1 - B

Manual de Álgebra Lineal

INTEGRANTES

Vega Arroyo María de los Ángeles Rocha Orozco Elizabeth Martínez Ceja Monserrat Carmen Camarena Ramos Alfredo Álvarez Ayala Julio César Alanís López Juan José

Docente Rogelio Quintero González

Lic. Contador Público

Unidad l

NUMEROS COMPLEJOS

---------------------------------------------------------√−1=i

Ejemplo:

X2+63=0x2=-63x=√−63x=√(−7)(9)x=√9√−7x=3√7√−1

X=3√7 i

Ejercicio:

a)X2+48=0

X2=-48 x=2√12√−1x=√−48 x=√ (12 ) (4 ) x=2√12ix=√4 √−12

b)X2+68=0

X2=-68 x=2√17√−1x=√−68 x=√(4)(17) x=2√17 ix=√4 √−17

c) X2+60=0

X2=-60 x=√15√−1x=√−60 x=√(4)(15) x=2√15 ix=√4 √−15

d)X2+112=0

X2=-112 x=4√7√−1x=√−112x=√(16)(7) x=4√7 ix=√16√−7

e) X2+45=0

X2=-45 x=3√5√−1x=√−45x=√(9)(5) x=3√5 ix=√9√−5

f) X2+75=0

X2=-75 x=5√3√−1x=√−75x=√(25)(3) x=5√3 ix=√25√−3

g)X2+56=0

X2=-56 x=2√14√−1x=√−56x=√(4)(14) x=2√14 ix=√4 √−14

h)X2+50=0

X2=-50 x=5√2√−1x=√−50

x=√(25)(2) x=2√2ix=√25√−2

i) X2+63

X2=-63 x=3√7√−1x=√−63x=√(9)(7) x=3√7 ix=√9√−7

j) X2+20=0

X2=-20 x=2√5√−1x=√−20x=√(4)(5) x=2√5 ix=√4 √−5

Suma y resta de números complejos

--------------------------------------------------------

i0=0 i=√−1i1=i i=√−1i2=-1 i=√−1i3=-i Por lo tantoi4=1 −√−1

1. i28= (i4)7=12. i29= (i4)7(i)=i3. i55=(i4)13(i3)=-i4. i25=(i4)6(i)=i5. i32=(i4)8=16. i41=(i4)10(i)=i7. i9=(i3)3=-i8. i85=(i4)21(i)=i9. i133=(i4)33(i)=i10. i99=(i4)24(i3)=-i

(a+bi)+(c+di)= (a+c)+ (b+d) i(a+bi)-(c+di)= (a-c)- (b-d) i

(5+2i)+ (-8+3i)-(4-2i)=(5-8-4)+ (2+3+2) i=-7+7i

Realizar:

Z1=-5+4i Z2=8-7i Z3=-9-2i

a)Z1-Z2

(-5+4i)- (8-7i)(-5-8)+ (4+7) i = -13+11

b)Z2-Z1

-1

(8-7i)- (-5+4i)(8+5)+ (-7-4) i= 13-11i

c) (Z2+Z1)- Z3

((8-7i)+ (-5+4i))- (-9-2i)((8-5)+ (7+4) i)+ (9+2i)(3-3i)+ (9+2i)= (3+9)+ (-3+2) i= 12-i

d)(Z2-Z3)+ Z1

((8-7i)-(-9-2i))+ (-5+4i)((8+9)+ (-7+2) i)-5+4i(17-5i)+ (-5+4i)= (17-5)+ (-5+4) i= 12-i

Z1= 2 + 3i Z2= - 1 + 5i Z3= - 3 + 2i Z4=4 – 3i Z5= - 2 – i

e) 2Z1 + Z2

2(2 + 3i) + (- 1 + 5i) = (4 + 6i) + (- 1 + 5i)(4-1) + (6 + 5) i = 3 + 11i

f) Z3 + 3Z4

(- 3 + 2i) + 3(4 – 3i) = (- 3 + 2i) + (12 – 9i) (- 3 + 12) + (2 – 9) i = 9 – 7i

g) – 3Z2 – 4Z5

-3(- 1 + 5i) – 4(- 2 – i)= (3 – 15i) – (- 8 -4i)(3 + 8) – (15 - 4) i = 11 – 11i

h)5Z4 – 3Z1

5(4 – 3i) – 3(2 + 3i) = (20 – 15i) – (6 + 9i)(20 – 6) – (15 + 9) i = 14 - 24i

i) – 3Z1 – 4Z5

-3(2 + 3i) – 4(- 2 – i) = (- 6 -9i) – (-9 – 4i)(-6 + 8) – (9 – 4) i = 2 – 5i

j) Z1 – Z3

(2 + 3i) – (-3 + 2i)(2 + 3) – (-3 + 2) i = 5 + i

Multiplicación de números complejos

---------------------------------------------------------

Sean Z1= 5+7iZ2= 4-9i

a)Z1Z2= 20-45i +28i-63i2

Z1Z2= 83-17i

Z3=-4-7iZ4= 9+2i

b)Z3 Z4= -36-8i-63i-14i2

Z3 Z4=-22-71

c) Z1 Z3+ Z2

(5+7i)(-4-7i)+ (4-9i)-20-35i-28i-49 i2 + (4-9i)29-63i+ (4-9i)(29+4) + (-63-9) i

33-72i

d)Z2 Z4- Z1Z3

(4-9i)(9+2i) – (5+7i) (-4-7i)(36+8i-81i-18 i2) – (-20-35i-28i-49 i2)(54-73i) – (29-63i)(54-29) + (-73+69) i

25-10i

Z1= 2 + 3i Z2= - 1 + 5i Z3= - 3 + 2i Z4=4 – 3i Z5= - 2 – i

e) (– 5Z3)(-2Z5)

-5(-3 + 2i)-2(-2 – i)= (15 – 10i) (4 + 2i)(60 + 30i – 40i - 20i2) = 80 – 10i

f) (-2Z3)(-2 Z5)

-2(-3 + 2i)-2(-2 – i) = (6 – 4i) (4 + 2i)(24 + 12i -16i – 8i2) = 32 – 4i

g)(4 Z2)(-3 Z2)

4(-1 + 5i)-3(-1 + 5i) = (-4 + 20i) (3 – 15i)(-12 + 60i + 60i – 300i2)= 288 + 120 i

h)(2 Z1)(Z5)

2(2 + 3i) (-2 – i)= (4 + 6i) (-2 – i)(-8 – 4i – 12i – 6i2)= -2 – 16i

i) (Z4)(Z3)

(4 – 3i)(-3 +2i)(-12 + 8i + 9i – 6i2) = -6 + 17i

j) (Z2)(Z4)

(2 + 3i)(4 – 3i)(8 – 6i + 12i – 9i2)= 17 + 6i

División de números complejos

---------------------------------------------------------

a)Z2/Z3=4−9 i

−4−7 i (−4+7 i−4+7 i)= - 16 + 28i + 36i - 63i2 = 47 + 64i

16-49i2 65

Z2/ Z3= 47 + 64 i 65 65

b)Z1/Z4= 5+7 i9+2 i (9−2 i9−2 i)

= 45 – 10i + 63i – 14i2 = 59+53i 81 – 4i2 85

Z1/Z4= 59 + 53 i 85 85

c) (Z4/ Z2)( Z3) = ( 9+2 i4−9 i)(-4-7i)

9 + 2i 4+9i = 36 + 81i + 8i + 18i2 = 18 + 89 i4 – 9i 4+9i 16 – 81i2 97

18 + 89 - 4 – 7i = - 72 – 126i – 356i – 623i2 = 551 – 482i 97 97 1 1 97 97

(Z4/ Z2)(Z3) = 551 - 482i 97 97

Y1= 3 + 2i Y2= -1 + 2i

d)Y1/ Y2

Y1/ Y2= 3+2i

−1+2i = (3+2i )(−1−2i)

(−1+2i )(−1−2i) =

-3 – 6i – 2i – 4i2 = 1 – 8i 1 – 4i2 5

Y1/ Y2= 15−8 i5

e) Z1= - 1 – 5i Z2= 1 + i

Z1/ Z2= −1−5 i(1−i)1+i(1−i)

=¿ - 1 + i – 5i + 5i2 = - 6 – 4i = - 3 – 2i

1 – i2 2

Z1= 2+ 3i Z2= - 1 + 5i Z3= -3 + 2i Z4= 4 – 3i Z5= - 2 –i

f) Z3/ Z2 = −3+2 i(−1−5 i)−1+5i(−1−5 i) =

3 + 15i – 2i – 10i2 = 13 + 13i = 13 + 13i 1 – 25 i2 26 26 26

g)Z4/ Z5= 4−3i(−2+ i)−2−i(−2+i) =

-8 + 4i + 6i – 3i2 = - 5 + 10i = - 1 + 2i 4 – i2 5

h) Z1/ Z5= 2+3 i(−2+i)−2−i(−2+i) =

-4 + 2i – 6i + 3i2 = - 7 – 4i = - 7 - 4i 4 – i2 5 5 5

i) Z3/ Z1= −3+2 i(2−3 i)2+3 i(2−3 i) =

-6 – 9i + 4i - 6i2 = - 5i 4 - 9i2 13

j) Z4/Z1= 4−3 i(2−3 i)2+3 i(2−3i) =

8 – 12i – 6i + 9i2 = - 1 – 18i = - 1 - 18i 4 – 9i2 13 13 13

1. Clasifica los siguientes números complejos en reales e imaginarios. Di, para cada uno, cuál es la parte real y cuál la

imaginaria.

a) (3i) c) 6/5 – 3i e) Ø g) (1/3) – i b) 1/3 -5/2 i d) √3−√5 i f) i h) - 15

a) Imaginario e) Realb) Complejo f) Imaginarioc) Complejo g) Complejod) Complejo h) Real

2. Escribe 3 números complejos imaginarios puros, 3 imaginarios y 3 reales.

Complejos imaginarios puros Imaginarios Reales 6 + 3i 18i – 9i 5 + 10 5 – 8i 4i 23 – 12 25 + 43i 5i + 43i 24

3. Representa gráficamente los números complejos.

a) (3 + 4i) e) 1 + 3ib) – 4 f) 6 - ic) – 2i

g) - 2d) (- 2 + 3i)

h) - 4i

(3 + 4i)

(1 + 3i)

(-2 + 3i)

(-1 + i)

4. Representa gráficamente el opuesto del conjugado de:a) – 3 + 5i e) 6b) 3 – 2i f) 5ic) 1 – 2i g) 3d) – 2 + i h) - 4i

OPUESTO:

a) 3 – 5i c) - 1 + 2i e) 6 g) - 3b) – 3 +2i d) 2 – i f) - 5i h) 4i

(6 – i) (-2)

(-4) (-2i)

(4i)

(3 – 5i)

(2 – i)

(-1 + 2i)

(- 3 + 2i)

(-5i)

CONJUGADO:

a) -3 -5i c) 1 + 2i e) 6 g) 3 b) 3 + 2i d) - 2 – i f) - 5i h) 4i

4i

-2 – i

-3 – 5i

-5i

6

3

1 + 2i

3 + 2i

NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

---------------------------------------------------------

ba=∢ b−a

=180 °−∢ −ba

=360 °−∢

−b−a

=180 °+∢ 0a=0 ° 0−a

=180 °

b0=90 ° −b

0=270 °

Ejercicios

a)−1+√3 𝑖¿√(−1)2+√32¿√4¿2∢¿ √3

−1=−1.73

Arctag =-1.73=59.97°=180°-59.97 ¿2120°

b)1+√3 i=√(1)2+√32 =√1+3=√4=2 ∢¿ √3

1=1.73

=Arctag=1.73 =259.97 °

c) −1−√3 i=√ (−1 )2−(√32 )=√1+3=√4=2∢=−√3

−1=1.73°

Arctag= 1.73 =59.97 ∢239.97° =2239.97 °

d)1−√3 i=√(1)2−√(3)2

=√1+3=√4=2∢−√31

=1.73°

Arctag= 1.73 =59.97 ∢300.03=2300.03°

e) 2

=√(2)2 =2 =02=0 °

f) −2

=√ (−2 )2=√4=2

=0

−2=180 °

=2180 °

g)−2 i

=√ (−2 )2=√4=2∢−20

=270°

=2270 °

h)2 i=√ (−2 )2=√4=2

=20=90 °

=290 °

i) −2−i

=√(−2)2−(−1)2

=√4+1=√5=2.23∢=−1−2

=0.5

Arctag= 0.5 = 26.56° ∢206.56°=2.23206.56 °

j) 1+i=√ (1 )+(−1)2

=√2=1.41∢=1

−1=−1

Arctag= −1=45 °=1.4145 °

PASAR DE POLAR A BINOMIO

Z=r∢

1. Z=245 °A=2cos 45° b=2sin 45 ° =2 (0.70 )=2(0.70)

= 1.41 = 1.41Z= 1.41+1.41 i

2. z=3225 °a= 3cos225 ° b= 3sin 225 ° =−2.12 =−2.12

Z= −2.12−2.12i

3. Z=40 °a= 4 cos0 b=4 sin 0 = 4 = 0 Z= 4

4. Z= 3270 °a= 3cos270 ° b=3sin 270 °

= 0 = −3

Z=−3 i

5. z=2135 °

a= 2cos135 ° b= 2cos135 °

= −1.41 = 1.41

Z= −1.41+1.41 i

6. Z=2.390 °

a= 2.3cos 90° b= 2.3 sin 90 °

= 0 =2.3

Z= 2.3 i

7. Z= 3135 °

a=3cos135 ° b=3sin 135 °

=−2.12 =2.12

Z=−2.12+2.12 i

8.1270°a=1cos270° b= 1sin 270°

= 0 =−1

Z= −1 i

9.630 °a=6cos30 ° b=6sin 30 ° =5.19 =3

Z= 5.19+3 i

10.530 °

a=5cos30 ° b=5sin 30 °

= 4.33 = 2.5

Z= 4.33−2.5 i

Teorema de Moivre

---------------------------------------------------------

Calculo de potencias:

Ejemplo: Sea Za= 3250

Calcular Za4-Primero convertimos a la forma trigonométrica:3 25

0 = 3(cos 250 + sen 250 )

-Segundo, aplicamos la potencia:Za4= 34 cos 4( 250 )+ sen 4 (250) = 81 (cos 100 + sen 100) = 81 (-0.173648 + 0.984807)

Za4= -14.0655 + 79.7694 i)

Ejemplos:Za= 430

0 Zb= 2100 Zc= 545

0 Zd= 6900 Ze= 7120

0

1.- Calcula Za2

Za2= 16 (cos 600 + sen 600) =16 (0.5 + 0.86 ) = 8 + 13.76 i

2.- Calcula Zb3

Zb3= 8 (cos 300 + sen 300) = 8( 0.86 + 0.5 ) = 6.88 + 4 i

3.- Calcula Zc4

Zc4= 625 (cos 1800 + sen 1800 ) = 625 ( -1 + 0 ) = -625 + 0 i

4. - Calcula Zd2

Zd2= 36 (cos 1800 + sen 1800) = 36 (-1 + 0) = -36 + 0 i

5.- Calcula Ze3

Ze0= 343 ( cos 3600 + sen 3600) = 343 ( 1 + 0) = 343 + 0 i

6.- Calcula Za3

Za3= 64 (cos 900 + sen 90 ) = 64 ( 0 + 1) = 0 + 64 i

7.- Calcular Zb2

Zb2= 4 (cos 200 + sen 200) = 4 ( 0.93 + 0.34) = 3.72 + 1.36 i

8. - Calcular Zc3

Zc3= 125 (cos 1350 + sen 1350) = 125 ( -0.70 + 0.70) = -87.5 + 87.5 i

9.- Calcular Zd3

Zd3= 216 (cos 2700 + sen 2700) = 216 ( 0 + -1)

= 0 + -216 i

10.- Calcular Ze2

Ze2= 49 (cos 2400 + sen 2400) = 49 ( -0.5 + - 0.86)

= -24.5 + -42.14 i

UNIDAD II

SOLUCION DE ECUACIONES

---------------------------------------------------------

EJEMPLO: ¿Cuánto vale x?

7+x=12 7+x=12−2x

x=12−7 x=5 2 x+x=12−7

3 x=5 x=53

Ecuaciones simultáneas

Métodos de solución

Suma y resta

Sustitución

Igualación

Ejemplos de ecuaciones por el método de suma y resta

1.2 x+3 y=18x+2 y=11

2 x+3 y=182 ( x+2 y=11)

2 x+3 y=182 x+4 y=22− y=−4

y=4

x+2 (4 )=11

x+8=11

x=11−8

x=3

Comprobación

2 x+3 y=18 x+2 y=11

2 (3 )+3 (4 )=183+2 (4 )=11

6+12=18 3+8=11

18=18 11=11

2. +2 y=5−x+5=− y

3 x+2 y=53 (−x+ y=−5 )

3 x+2 y=5−3 x+3 y=−15 5 y=−10

y=−105

y=−2

3 x+2 (−2 )=5 3 x−4=5 3 x=5+4

x=93

x=3

Comprobación 3 (3 )+2 (−2 )=59−4=55=5

−(3 )+(−2 )=−5−3−2=−5−5=−5

3. 5 x− y=−9−5 x+3 y=17

5 x− y=−9−5 x+3 y=17 2 y=8

y=82

y=4

5 x−4=−95 x=−9+4

x=−55

x=−1

4. −3 x+ y=25 x+6= y

−3 x+ y=25 x− y=−6 2 x=−4

x=−42

x=−2

−3 (−2 )+ y=26+ y=2y=2−6

y=−4

Comprobación −3 (−2 )−4=26−4=22=2

5 (−2 )−(−4 )=−6−10+4=−6

−6=−6

Comprobación 5 (−1 )−4=−9−5−4=−9−9=−9

−5 (−1 )+3 (4 )=175+12=1717=17

5. 3 x+2 y=7 4 x−3 y=−2

−4 (3 x+2 y=7 )3 (4 x−3 y=−2 )

−12 x−8 y=−2812 x−9 y=−6−17 y=−34

y=−34−17

y=2

3 x+2 (2 )=73 x+4=73 x=7−4

x=33

x=1

Comprobación3 (1 )+2 (2 )=73+4=77=7

4 (1 )−3 (2 )=−24−6=−2−2=−2

6.3 x+2 y=24x+3 y=3

−1 (3x+2 y=24 )3 ( x+3 y=3 )

−3 x−2 y=−24 3 x+9 y=97 y=−15

y=−157

y=−2.142

x+3 (−2.142 )=3x−6.426=3x=3+6.426

x=9.426

Comprobación 3 (9.42 )+2 (−2.14 )=2428.26−4.26=2424=24

9.426+3 (−2.142 )=39.426−6.426=33=3

7. x+ y=3500

x− 10100

+ y− 8 y100

=3170

( x−.1+ y−0.08=3170 )(0.9 x+0.92 y=3170)

0.9 ( x+ y=3500 )

−1 (0.9 x+0.92 y=3170 )

0.9 x+0.9 y=3150−0.9 x−0.9 y=−3170−0.02 y=−20

y= 200.02

y=1000

x+1000=3500x=3500−1000x=2500

Comprobación2500+1000=35003500=3500

8. 2 x+3 y=−13 x+4 y=0

−4 (2x+3 y=−1 )3 (3 x+4 y=0 )

−8 x−12 y=4¿9 x+12 y=0x=4

2 (4 )+3 y=−18+3 y=−1

3 y=−1−8

y=−93

y=−3

Comprobación 2 (4 )+3 (−3 )=−18−9=−1−1=−1

9. 2 ( x+5 )=4 ( y−4 x )10 ( y−x )=11 y−12x

(2 x+10=4 y−16 x )18 x−4 y=−1010 y−10 x=11 y−12x2 x− y=0

−2 (18 x−4 y=−10 )18 (2x− y=0 )

−36 x+8 y=2036 x−18 y=0−10 y=20

y= 20−10

y=−2

2 x−(−2 )=02 x=−2

x=−22

x=−1

Comprobación 18 (−1 )−4 (−2 )=−10−18+8=−10−10=−10

2 (−1 )−(−2 )=0−2+2=00=0

10. x+ y=2000

x+10 x100

+ y+ 15 y100

=2260

( x+0.1 x+ y+0.15 y=2260 )

−1 (1.1x+1.15 y=2260 )1.1 ( x+ y=2000 )

−1.1 x−1.15 y=−22601.1 x+1.1 y=2200−0.05 y=60

y= 60−0.05

y=1200

x+1200=2000x=2000−1200x=800

Comprobación800+1200=20002000+2000

Ejemplos de ecuaciones por el método de sustitución

1. 2+3 y=18x+2 y=11

1 (2x+3 y=18 )2 ( x+2 y=11)

Despejo ecuación 1x=11−2 y

Sustituyo en ecuación 12 (11−2 y )+3 y=1822−4 y+3 y=1822− y=1822−18= yy=4

x+2 (4 )=11x+8=11x=3

Comprobación 2 x+3 y=18 2 (3 )+3 (4 )=186+12=18 18=18 x+2 y=113+2 (4 )=11 3+8=1111=11

2. 3 x+2 y=5−x+ y=−5

−x=−5− y−1

=5+ y

3 (5+ y )+2 y=515+3 y+2 y=515+5 y=55 y=5−15

y=−105

y=−2

3 x+2 (−2 )=53 x=5+4

x=93

x=3

Comprobación3 (3 )+2 (−2 )=59−4=55=5

−(3 )+(−2 )=−5−3−2=−5 −5=−5

3. 5 x− y=−9−5 x+3 y=17

x=−9+ y5

−5(−9+ y5 )+3 y=17−5 (−1.8+0.2 y )+3 y=179+ y+3 y=17 4 y=17−9

y= 84

y=4

5 x−4=−95 x=−9+4

x=−55

x=−1

Comprobación 5 (−1 )−4=−9−5−4=−9−9=−9

−5 (−1 )+3 (4 )=175+12=17

17=17

4. −3 x+ y=25 x+6= y

y=2+3x

5 x−(2+3 x )=−65 x−2−3 x=−62 x=−6+22 x=−4

x=−42

x=−2

−3 (−2 )+ y=26+ y=2y=2−6y=−4

Comprobación −3 (−2 )−4=26−4=22=2

5 (−2 )−(−4 )=−6−10+4=−6

−6=−6

5. 2 x+3 y=−13 x+4 y=0

x=−1−3 y2

3 (−0.5−1.5 y )+4 y=0−1.5−4.5 y+4 y=0−0.5 y=1.5

y= 1.5−0.5

y=−3

2 x+3 (−3 )=−12 x=−1+9

x=82

x=4

Comprobación

2 (4 )+3 (−3 )=−18−9=−1−1=−1

6. x+ y=582 x+4 y=168

x=58− y

2 (58− y )+4 y=168116−2 y+4 y=168116+2 y=1682 y=168−116

y=522

y=26

x+26=58x=58−26x=32

Comprobación 32+26=5858=58

2 (32 )+4 (58 )=16864+104=168168+168

7. 8 x−5=7 y−96 x=3 y+6

(8 x−7 y=−4 )(6 x−3 y=−6 )

x=−4+7 y8

6(−4+7 y8 )−3 y=−6

6 (−0.5+0.875 y )−3 y=−6−3+5.25 y−3 y=−6−3+2.25 y=−62.25 y=−6+3

y= −32.25

y=−1.333

8 x−7 (−1.333 )=−48 x+9.333=−48 x=−4−9.333

x=−13.3338

x=−1.666

Comprobación 8 (−1.666 )−7 (−1.333 )=−4−13.333+9.333=−4−4=−4

6 (−1.666 )−3 (−1.333 )=−6−9.996+3.996=−6−6=−6

8. 30−(8−x )=2 y+305 x−29= x−(5−4 y )

30−8+x−2 y=30( x−2 y=8 )5 x−29= x−5+4 y(4 x−4 y=24 )

x=8+2 y

4 (8+2 y )−4 y=2432+8 y−4 y=2432+4 y=244 y=24−32

y=−84

y=−2

x−2 (−2 )=8x+4=8x=8−4x=4

Comprobación 4−2 (−2 )=244+4=88=8

4 (4 )−4 (−2 )=2416+8=2424=24

9. 12 ( x+2 y )−882x+ y ¿=2 (x−6 y )20 ( x−4 y )=10

12 x+24 y−16 x−8 y=2x−12 y(−6+28 y=0 )−4 x+16 y−2 x+12 y=0(20 x−80 y=−10 )

x=−28 y−6

20(−28 y−6 )−80 y=−10

20 (4.666 y )−80 y=−1093.33 y−80 y=−1013.33 y=−10

y= −1013.33

y=−0.75

−6 x+28 (−0.75 )=0−6 x=21

x= 21−6

x=−3.5

Comprobación−6 (−3.5 )+28 (−0.75 )=021−21=0

0=020 (−3.5 )−80 (−0.75 )=−10−70+60=−10

−10=−10

10. 3 x+2 y=24x+3 y=3

x=3−3 y

3(3−3 y )+2 y=249−9 y+2 y=24−7 y=24−9−7 y=15

y= 15−7

y=−2.142

x+3 (−2.142 )=3x−6.426=3x=3+6.426x=9.426

Comprobación 3 (9.42 )+2 (−2.14 )=2428.26−4.26=2424=24

9.426+3 (−2.142 )=39.426−6.426=33=3

Ejemplos de ecuaciones por el método de igualación

1. 2 x+3 y=18x+2 y=11

Despejar la misma variable en las dos ecuaciones

Despejamos y3 y=18−2x

y=18−2x3

2 y=11−x

y=11−x2

18−2 x3

=11−x2

2 (18−2 x )=3 (11−x )36−4 x=33−3 x36−33=−3 x+4 xx=3

2 (3 )+3 y=186+3 y=183 y=18−6

y=123

y=4

Comprobación2 x+3 y=18 2 (3 )+3 (4 )=186+12=18 18=18

2. 3 x+2 y=5−x+5=− y

y=5−3x2

y=−5+x

5−3x=2 (−5+x )5−3x=−10+2x5+10=2x+3 x15=5x155

=x

x=3

3 (3 )+2 y=52 y=5−9

y=−42

y=−2

Comprobación

3 (3 )+2 (−2 )=59−4=55=5

−(3 )+(−2 )=−5−3−2=−5 −5=−5

3. 5 x− y=−9−5 x+3 y=17

x=−9+ y5

x=−3 y+17−5

−5 (−9 y )=5 (−3 y+17 )45−5 y=85−15 y−5 y+15 y=85−4510 y=40

y= 4010

y=4

5 x−4=−9

5 x=−9+4

x=−55

x=−1

Comprobación 5 (−1 )−4=−9−5−4=−9−9=−9

−5 (−1 )+3 (4 )=175+12=1717=17

4. −3 x+ y=25 x+6= y

y=2+3x y=−6−5x−1

2+3 x=−1 (−6−5x )2+3 x=6+5 x2−6=5 x−3 x

−4=2x−42

=x

x=−2

−3 (−2 )+ y=26+ y=2y=2−6y=−4

Comprobación −3 (−2 )−4=26−4=22=2

5 (−2 )−(−4 )=−6−10+4=−6

−6=−6

5. 3 x+2 y=74 x−3 y=−2

x=7−2 y3

x=−2+3 y4

4 (7−2 y )=3 (−2+3 y )4 (7−2 y )=3 (−2+3 y )28−8 y=−6+9 y28+6=9 y+8 y34=17 y3417

= y

y=2

4 x−3 (2 )=−24 x−6=−24 x=−2+6

x=44

x=1

Comprobación

3 (1 )+2 (2 )=73+4=77=7

4 (1 )−3 (2 )=−24−6=−2−2=−2

6. 3 x+2 y=24x+3 y=3

x=3−3 y x=24−2 y3

3 (3−3 y )=24−2 y 9−9 y=24−2 y9−24=−2 y+9 y−15=7 y−157

= y

y=−2.142

x+3 (−2.142 )=3x−6.426=3x=3+6.426x=9.426

Comprobación 3 (9.42 )+2 (−2.14 )=2428.26−4.26=2424=24

9.426+3 (−2.142 )=39.426−6.426=33=3

7. x+ y=3500

x−−10 x100

+ y− 8 y100

=3170

( x−.1+ y−0.08=3170 )(0.9 x+0.92 y=3170)

x=3170−0.92 y0.9

x=3500− y

0.9 (3500− y )=3170−0.92 y3150−0.9 y=3170−0.92 y−0.9 y+0.92 y=3170−31500.02 y=20

y= 200.02

y=1000

x+1000=3500x=3500−1000x=2500

Comprobación2500+1000=35003500=3500

8. x+ y=582 x+4 y=168

x=58− y x=168−4 y2

2 (58− y )=168−4 y116−2 y=168−4 y−2 y+4 y=168−1162 y=52

y=522

y=26

x+26=58x=58−26x=32

Comprobación 32+26=5858=58

2 (32 )+4 (58 )=16864+104=168168+168

9. 3 ( x+2 )=2 y2 ( y+5 )=7 x

(3 x−2 y=−6 )(−7 x+2 y=−5 )

x=−6+2 y3

x=−5−2 y−7

−7 (−6+2 y )=3 (−5−2 y )42−14 y=−15−6 y42+15=−6 y+14 y57=8 y578

= y

y=7.125

3 x−2 (7.125 )=−63 x−14.125=−63 x=−6+14.125

x=8.253

x=2.75

Comprobación 3 (2.75 )−2 (7.125 )=−68.25−14.25=−6−6=−6

−7 (2.75 )+2 (7.125 )=−6−19.25+14.25=−5−5=−5

10. ( x− y )−(6 x+8 y )=−(10 x+5 y+3 )( x+ y )−(9 y−11 x )=2 y−2 x

x− y−6 x−8 y=−10 x−5 y−3(5 x−4 y=−3 )x+ y−9 y+11 x=2 y−2x(14 x−10 y=0 )

x=−3+4 y5

x=10 y14

14 (−3+4 y )=5 (10 y )−42+56 y=50 y56 y−50 y=42

y= 426

y=7

5 x−4 (7 )=−35 x−28=−3

x=255

x=5

Comprobación 5 (5 )−4 (7 )=−325−28=−3−3=−3

14 (5 )−10 (7 )=070−70=00=0

Ejemplos de ecuaciones con 3 incógnitas

1.

 Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x más bajo.

 Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación,

para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después

ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

 Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación,

para eliminar el término en x.

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer

reducción y eliminar el término en y.

 Obtenemos el sistema equivalente escalonado .

 Encontrar las soluciones.

z=1

− y+4∗1=−2 y = 6

x+6−1=1 x = −4

2.

Eliminamos y para obtener el valor de z.

Buscamos soluciones

3.

Buscamos soluciones

4. x+4 y−8 z=−8 4 x+8 y−z=768 x− y−4 z=110

−4 x−16 y−32=24 x−8 y−z=76−8 y−31 z=108

−8 x−32 y+64 z=64 8− y−4 z=11032 y+60 z=174

−8 y+31 z=108−33 y+60 z=174

A continuación resolvemos el sistema utilizando el método de igualación:

Despejando la incógnita   z   en ambas ecuaciones obtenemos un nuevo sistema:

z=108+8 y31

z=174+33 y60

Igualando ambas ecuaciones se obtiene:

108+8 y31

=174+33 y60

Quitamos denominadores multiplicando en cruz:

60 (108+8 y )=31(174+33 y )6480+480 y=5394+1023 y

1086=543 yy=2Sustituyendo el valor de   y   en la primera ecuación del anterior sistema obtenemos el valor de   z.

z=108+8 y31

=108+1631

=12431

z=4Por último, para obtener el valor de   x   sustituimos las soluciones obtenidas para   y   y para   z.

x+4 y−8 z=−8x=−8−4 y+8 z=−8−8+32

x=16

5. 3 x−2 y+z=8 x+3 y+2=2 z−x+ y−z=−6

x+3 y−2 z=−2−x+ y−z=−63 x−2 y+z=8

−x+3 y−2 z=−2−x+ y−z=−64 y−3 z=−8

−3 x−9 y+6 z=63 x−2 y+z=8−11+7 z=14

x+3 y−2 z=−24 y−3 z=−8−11 y+7 z=14

44 y−33 z=−88−44 y+28 z=56

−5 z=−32

z=−32−5

=6.4

z=6.44 y−3 (6.4 )=−8 x+3(2.8)−2(6.4)=−2

y=2.8 x=2.4

Matrices Unidad III

Método de Gauss

---------------------------------------------------------

Ejemplos:

1.- F1: 3x-3y= 15 F1 3 -3 15 3 -3 15 1 -1 5

F2: 2x+5y= -4 F2 2 5 -4 1 -8 19 1 -8 19

F1- F2---F2 F1/ 3---F1 F1-F2---F2

1 -1 5 1 -1 50 7 -14 0 1 -2

F2/7---F2 y=-2

2.- F1: 3x+2y= 7 F1 3 2 7 12 8 28 12 8 28

F2: 4x-3y= -2 F2 4 -3 -2 12 -9 -6 0 17 34

F1 (4) ---F1 F1-F2---F2 F1/4---F1 F2 (3) ---F2

3 2 7 3 2 7 0 17 34 0 1 2 F2/17---F2 y= 2

3.-F1: 3x-4y= -6 F1 3 -4 -6 6 -8 -12 6 -8 -12

F2: 2x+4y= 16 F2 2 4 16 6 12 48 0 -20 -60

F1 (2) ---F1 F1-F2---F2 F2/ -20---F2 F2 (3) ---F2

6 -8 -12 0 1 3

y=3

x-y= 5x-(-2)= 5x=3

3x+4=73x=3x= 1

3x= -6+12x=2

4.- F1: 2x+3y= -1 F1 2 3 -1 2 3 -1 1 2 -2

F2: 3x+4y= 0 F2 3 4 0 1 1 -1 1 1 1

F2-F1---F2 F1-F2---F1 F1-F2---F1

0 1 -31 1 1

y= -3

5.- F1: 3x+ y=4 F1 3 1 4 0 -1 -1 0 1 1

F2: 3x+ 2y= 5 F2 3 2 5 3 2 5 3 2 5

F1-F2---F1 F1/-1---F1 y= 1

6.- F1: 3x+2y+z= 1 F1 3 2 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1

F2: 5x+3y+4z= 2 F2 5 3 4 2 5 3 4 2 5 3 4 2

F3: x+y-z=1 F3 1 1 -1 1 3 2 1 1 0 1 -4 2

F1 F3 3(F1) - F3---F3 5(F1) - F2---F2

1 1 -1 1 1 1 -1 10 2 -9 3 0 2 -9 30 1 -4 2 0 0 -1 -1

F2- (2) F3---F3 z= 1

2x-9=-1x=8/2x=4

3x+2=53x=3x=1

2y-9 (1) = 3 x=1-6+12y=3+9 x=-4y=12/2y=6

7.- F1: 2x-y+2z=6 F1 2 -1 2 6 6 -3 6 18 0 -7 8 10

F2: 3x+2y-z=4 F2 3 2 -1 4 6 4 -2 8 6 4 -2 8

F3: 4x+3y-3z=1 F3 4 3 -3 1 4 3 -3 1 4 3 -3 1

3(F1) ---F1 F1-F2---F1 F2-F3---F2 2(F2) ---F2

0 -7 8 10 0 -7 8 10 0 -7 8 10 0 -6 3 -3 0 -2 1 -1 2 1 1 7 4 2 2 14 0 -1 5 13 0 -1 5 13 0 -1 5 134 3 -3 1 4 3 -3 1 4 3 -3 1 4 3 -3 1 4 3 -3 1 2 (F2) ---F2 F2-F3---F2 F1-F2---F1 F1/3---F1 F1-F2---F

0 -1 -4 -14 0 -1 - 4 -14 0 -1 - 4 -14 0 -1 5 13 0 0 9 27 0 0 1 3 4 3 -3 1 4 3 -3 1 4 3 -3 1 F2-F1---F2 F2/9---F2 z=3

8.-F1: 9x+4y-10z= 6 F1 9 4 -10 6 9 4 -10 6

F2: 6x-8y+5z= -1 F2 6 -8 5 -1 6 -8 5 -1

F3: 12x+12y-15z= 10 F3 12 12 -15 10 4 4 -5 10/3

F3/3---F3 2(F2)-3(F3) ---F3

9 4 -10 6 9 4 -10 6 9 4 -10 6 9 4 -10 66 -8 5 -1 0 32 -35 15 0 32 -35 15 0 32 -35 15 0 -28 25 -12 0 -28 25 -12 0 0 -180 36 0 0 1 -1/5 2(F1)-3(F2) ---F2 28(F2)+32(F3) ---F3 F3/-180---F3 z= -1/5

-y-4(3)= -14 4x+6-9=1-y= -14+12 x= 4/4-y=-2 x= 1y= 2

32y+7=15 9x+1+2=632y=8 9x=3y=1/4 x=1/3

Tipos de Matrices

---------------------------------------------------------

Las siguientes figuras representan los tipos de matrices existentes:

Matriz Columna: Dentro de la matriz, los números se colocan de forma vertical con una sola columna y las filas que desee. Ejemplo: (2x1, 3x1, 4x1, etc.). Las siguientes figuras representan algunos ejemplos de marices columna:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Matriz Fila: Se posicionan los números de manera horizontal con una sola fila y múltiples columnas. (1x2, 1x3, 1x4, etc.).

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

0 0 7

1 7 2 3

10-2 4

0-2 9 2 9

6 0-4 4

910 0-2

5 7 0 3

0 0-2-1 4 2

.5 9 .3 8

3 0 3

1 2 4 1 3 -1 0 1 3 -2 0 10 2 -11 9

4 2 4 5 -10 1 3 2 1 -2 1 2 0

8. 9. 10.

Matriz Rectangular: Se refiere a una serie de números posicionados de forma rectangular, es decir, con más filas que columnas o viceversa. (2x3, 3x5, 5x2, 9x2, etc.). Las siguientes matrices son representaciones de matrices rectangulares:

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

Matriz Transpuesta: Cualquier matriz invertida, es decir, con el cambio de filas por columnas. Se cambia de lugar los números que se encuentran en una fila a donde está la columna y viceversa. Adelante mostraremos algunos ejemplos de estas. La opuesta o transpuesta se simboliza con una “t”.

1. t 2. t 3. t

2 4 -2 9 1 4 5 10 -22 1 4 1 2 0 9 4

1 3 4

-1 3 5

2 4 5 6 9 03 10 6 7 9 7

2 53 04 95 -1

2 42 -3

2 4 -5 4

0 -2 4 51 6 8 8

2 4 0 -10 4 .5 3

1 34 40 44 02 -9

1 2 4

0 3 -2.5 .5 30 8 80 0 0

9 5 21 0 01 2 77 8 4

9 6 7 8 93 -1 3 6 96 -3 5 5 01 3 6 -2 2

1 3 6 77 6 4 3

1 73 66 47 3

2 45 4

3 2

2 5 34 4 2

124

1 2 4

4. t 5. t 6. t

7. t 8. t 9. t

10. t

Matriz Nula: Una matriz nula es donde las todas las cantidades dentro de una matriz son cero.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Matriz Cuadrada: Es donde el número de columnas es igual al número de filas, formando así, un cuadrado.

1. 2. 3. 4. 5.

4 5 6 -1 456-1

¼ ½ ¾

1 2 33 4 5

¼ 1 3½ 2 4¾ 3 5

1 4 1

4

4 5 64 5 5

4 45 56 5

7 -34 -43 4

7 4 3-3 -4 4

0 0 10 3 3

0 00 31 3

5 5 3 44 2 1 2

5 45 23 14 2

0 00 0

0 0 0 0 000

0 0 00 0 0

0 00 00 0

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 00 00 00 0

0 0 0000

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0

1 95 2

0 2 12 4 53 4 5

0 2 3 43 4 3 29 9 2 1

¼ ½ ¼ ¾

.5 -2 5

.4 .4 5-9 4 3

6. 7. 8. 9. 10.

Matriz Diagonal: Una matriz diagonal se da cuando todos los números fuera de la diagonal principal son cero, es decir, se forma, con números de valor, una diagonal.

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

Matriz Escalar: Una matriz escalar está conformada por una diagonal principal con números del mismo valor y los que se encuentran fuera de esta son nulos o cero.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

-1 2 3 4 50 4 5 6 75 6 5 3 21 1 1 2 39 8 9 1 1

1 2 3 44 3 2 12 1 3 43 4 1 2

0 30 2

1 2 32 3 13 1 2

-2 -3

-3 -4

0 42 0

2 0 00 3 00 0 1

2 00 5

0 0 20 4 08 0 0

1 0 0 00 2 0 00 0 5 00 0 0 4

0 0 ¼

0 ½ 0½ 0 0

4 0 00 -2 00 0 -9

0 0 0 40 0 -2 00 8 0 09 0 0 0

0 ½

¼ 0

2 0 0 00 ½ 0 00 0 ½ 00 0 0 ¼

2 00 2

2 0 00 2 00 0 2

3 00 3

4 0 0

0 4 00 0 4

5 0 0 00 5 0 00 0 5 00 0 0 5

½ 00 ½

7 0 0 00 7 0 00 0 7 00 0 0 7

8 0 00 8 00 0 8

9 0 0 00 9 0 00 0 9 00 0 0 9

10 0 00 10 00 0 10

Matriz Identidad: Es cuando los valores de la diagonal principal son 1 y los que esta fuera de ella son cero.

1. 2. 3. 4. 5.

Sumas de Matrices

Cuando tenemos dos matrices y sea necesario hacer una suma con ellas, simplemente se suman los números que se encuentren en el mismo lugar. Por ejemplo:

1. (A + B = C) La suma de la matriz A y B.

Cada número dentro de una cuadrante se sumara con un número dentro de la misma cuadrante de otra matriz. En el caso de abajo sería (0 + 1 = 1), (3 + 4 = 7), etc.

0 3 45 2 −20 1 6

+ 1 4 54 1 81 −3 5

= 1 7 99 3 61 −2 11

2. (D + E = F) La suma de la matriz D y E.

1 22 1 + 3 3

7 2 = 4 59 3

1 0 00 1 00 0 1

1 00 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

3. (A + Bt = G) La suma de la matriz A y la transpuesta de B. 0 3 45 2 −20 1 6

+ 1 4 14 1 −35 8 5

= 1 7 59 3 −55 9 11

4. (A + B)t = H La suma de las matrices A y B; la respuesta es transpuesta. 0 3 45 2 −20 1 6

+ 1 4 54 1 81 −3 5

= 1 7 99 3 61 −2 11

Transpuesta : 1 9 17 3 −29 6 11

5. (At + Bt = H) La suma de la transpuesta de A y B. 0 5 03 2 14 −2 6

+ 1 4 14 1 −35 8 5

= 1 9 17 3 −29 6 11

6. (At + B = J) La suma de la transpuesta de A y la matriz

B. 0 5 03 2 14 −2 6

+ 1 4 54 1 81 −3 5

= 1 9 57 3 95 −5 11

7. (H + J = K) La suma de las matrices H y J. 1 9 17 3 29 6 11

+ 1 9 57 3 95 −5 11

= 2 18 614 6 1114 1 22

8. (Ht + Jt = L) La suma de las transpuestas de H y J. 1 7 99 3 61 2 11

+ 1 7 59 3 −55 9 11

= 2 14 1418 6 16 11 22

9. (A + G = M) La suma de las matrices A y G. 0 3 45 2 −20 1 6

+ 1 7 59 3 −55 9 11

= 1 10 914 5 −75 10 17

10. (Ht + A = N) La suma de la transpuesta de H

y la matriz A. 1 7 99 3 61 2 11

+ 0 3 45 2 −20 1 6

= 1 10 1314 5 41 3 17

Multiplicación de Matrices

La multiplicación de matrices se puede hacer de dos formas. Un número real por una matriz o una matriz por una matriz.

Iniciaremos con el número real por una matriz. Para lograr esto efectivamente se multiplica el número singular (real) por cada elemento dentro de la matriz. Adelante mostramos algunos ejemplos de esto:

1. 5 x2 3 01 2 03 5 6

=10 15 05 10 015 25 30

(5 x A)

Lo que hacemos aquí es multiplicar el “5” por cada número dentro de la matriz. (5 x 2 = 10), (5 x 3 = 15), (5 x 0 = 0), etc.

2. 2 x5 −13 0

=10 −26 0 (2 x B)

3. 4 x1 9 42 4 3

=4 36 168 16 12 (4 x C)

4. 3 x2 1 33 2 50 0 6

=6 3 99 6 150 0 18

(3 x At)

5. 3 x 5 3−1 0

= 15 9−3 0 (3 x Bt)

6. 6 x 1 9 42 4 3

= 6 54 2412 24 18 (6 x Ct)

7. 5 x2 41 54 1

=10 205 2520 5

(5 x D)

8. 5 x 2 1 44 5 1

=10 5 2020 25 5 (5 x Dt)

9. 6 x1 −2 1 /3=6 −12 2 (6 x E)

10. 4 x3 12 0

=12 48 0 (4 x F)

Ahora seguimos con la multiplicación de una matriz por otra. Para hacer esto debemos multiplicar los elementos de una fila se multiplican por los elementos correspondientes en la columna de la otra matriz. Una excepción a la multiplicación es que solo se puede multiplicar matrices en las cuales el numero de filas de una matriz sea igual al número de columnas de la otra. El resultado se coloca de forma horizontal.

1.1 2 33 2 12 1 3

x2 4 66 4 24 2 6

=2 12 1212 8 212 2 18

(A x B)

2.1 2 33 2 12 1 3

x2 6 44 4 26 2 6

=2 8 1818 8 28 2 18

(A x Bt)

3.1 3 22 2 13 1 3

x2 4 66 4 24 2 6

=2 18 88 8 218 2 18

(At x B)

4.1 3 22 2 13 1 3

x2 6 44 4 26 2 6

=2 12 1212 8 212 2 18

(At x Bt)

5. 1 32 0 x 4 −2

3 −4=1 −49 0 (C x D)

6. 1 23 0

x 4 −23 −4

=4 −66 0 (Ct x D)

7. 1 32 0

x 4 3−2 −4

= 4 6−6 0 (C x Dt)

8. 1 23 0

x 4 3−2 −4

=4 −49 0 (Ct x Dt)

9. 2 3 48 4 6

x2 34 54 0

= 4 12 1624 20 0 (E x F)

10. 3 4 2 x654=18 20 8 (G x H)

Unidad IV

Inversa de Matrices

Para obtener la inversa de una matriz se utiliza el método de Gauss-Jordan. Se debe alinear esta con una matriz identidad y realizar ecuaciones que afecten a ambas. Esto se debe hacer hasta convertir la matriz regular en una matriz identidad y la identidad en una matriz normal. El resultado de esto es una matriz inversa.

1. 2 31 2

1 00 1

Debemos utilizar ecuaciones para convertir la matriz de la izquierda en una matriz identidad. (F= fila).

F12 3F21 2

1 00 1

La primer función que hacemos es: F1 – (2)F2 = F2 Quedaría así:2−2 (1 )=0 ; 3−2 (2 )=−1 ; 1−2 (0 )=1 ; 0−2 (1 )=−2

2 30 −1

1 01 −2

La siguiente función sería: (-1)F2 = F2 Quedaría:

(−1 )0=0 ; (−1 )−1=1 ; (−1 )1=−1 ; (−1 )−2=2

2 30 1

1 0−1 2

Enseguida hacemos: (3)F2 – F1 = F1:

−2 00 1

−4 6−1 2

Hacemos: F1 / -2 = F1

1 00 1

2 −3−1 2

La matriz inversa sería: 2 −3−1 2

2. 2 44 6

1 00 1

2F1 – F2 = F2

2 40 2

1 02 −1

F2 / 2 = F2

2 40 1

1 01 −1/2

4F2 – F1 = F1

−2 00 1

3 −21 −1/2

F1 / -2 = F1

1 00 1

−3/2 11 −1/2

Inversa: −3/2 11 −1/2

3. 4 106 6

1 00 1

6F1 – 4F2 = F2

4 100 36

1 06 −4

F2 / 36 = F2

4 100 1 1 0

6 /36 −4 /36

10F2 – F1 = F1

−4 00 1

24 /36 −40/366 /36 −4 /36

F1 / -4 = F1

1 00 1

−1/6 5/181/6 −1/9

Inversa: −1/6 5/181/6 −1/9

4. 3 34 2

1 00 1

4F1 – 3F2 = F2

3 30 6

1 04 −3

F2 / 6 = F2

3 30 1

1 04 /6 −3/6

3F2 – F1 = F1

−3 00 1

1 −9 /64 /6 −3/6

F1 / -3 = F1

1 00 1

−1/3 1 /22/3 −1 /2

Inversa: −1/3 1/22/3 −1/2

5. 2 48 8

1 00 1

4F1 – F2 = F2

2 40 8

1 04 −1

F2 / 8 = F2

2 40 1

1 04 /8 −1 /8

4F2 – F1 = F1

−2 00 1

1 −4 /84 /8 −1/8

F1 / -2 = F1

1 00 1

−1/2 1/41/2 −1 /8

Inversa: −1/2 1/ 41/2 −1/8

6.1 2 32 3 13 1 2

1 0 00 1 00 0 1

3F1 – F3 = F3

1 2 32 3 10 5 7

1 0 00 1 03 0 −1

2F1 – F2 = F2

1 2 30 1 50 5 7

1 0 02 −1 03 0 −1

5F2 – F3 = F3

1 2 30 1 50 0 18

1 0 02 −1 07 −5 1

F3 / 18 = F3

1 2 30 1 50 0 1

1 0 02 −1 07 /18 −5 /18 1/18

5F3 – F2 = F2

1 2 30 −1 00 0 1

1 0 0−1 /18 −7 /18 5/187 /18 −5/18 1/18

-1F2 = F2

1 2 30 1 00 0 1

1 0 01/18 7 /18 −5 /187/18 −5 /18 1 /18

3F3 – F1 = F1

−1 −2 00 1 00 0 1

3/18 −15/18 3/181/18 7/18 −5/187 /18 −5/18 1/18

2F2 + F1 = F1

−1 0 00 1 00 0 1

5 /18 −1/18 −7 /181 /18 7 /18 −5/187 /18 −5 /18 1/18

-1F1 = F1

−1 0 00 1 00 0 1

−5 /18 1/18 7/181 /18 7 /18 −5/187 /18 −5/18 1/18

7. 1 2 24 1 21 4 2

1 0 00 1 00 0 1

F1 – F3 = F3

1 2 24 1 20 −2 0

1 0 00 1 01 0 −1

4F1 – F2 = F2

1 2 20 7 60 −2 0

1 0 04 −1 01 0 −1

2F2 + 7F3 = F3

1 2 20 7 60 0 12

1 0 04 −1 015 −2 −7

F3 / 12 = F3

1 2 20 7 60 0 1

1 0 04 −1 0

15/12 −2 /12 −7/12

6F3 – F2 = F2

1 2 20 −7 00 0 1

1 0 042/12 0 −42 /1215/12 −2/12 −7 /12

F2 / -7 = F2

1 2 20 1 00 0 1

1 0 0−1/2 0 1/215/12 −2/12 −7/12

2F3 – F1 = F1

−1 −2 00 1 00 0 1

18/12 −4 /12 −14 /12−1/2 0 1/215/12 −2/12 −7 /12

2F2 + F1 = F1

−1 0 00 1 00 0 1

1/2 −4 /12 −2 /12−1/2 0 1/215 /12 −2 /12 −7 /12

-1F1 = F1

1 0 00 1 00 0 1

−1/2 4 /12 2/12−1/2 0 1/215/12 −2/12 −7/12

8.2 1 12 2 21 2 3

1 0 00 1 00 0 1

F1 – 2F3 = F3

2 1 12 2 20 −3 −5

1 0 00 1 01 0 −2

F1 – F2 = F2

2 1 10 −1 −10 −3 −5

1 0 01 −1 01 0 −2

3F2 – F3 = F3

2 1 10 −1 −10 0 2

1 0 01 −1 02 −3 2

F3 / 2 = F3

2 1 10 −1 −10 0 1

1 0 01 −1 02/2 −3/2 2/2

F3 + F2 = F2

2 1 10 −1 00 0 1

1 0 04 /2 −5/2 2 /22/2 −3/2 2 /2

-1F2 = F2

2 1 10 1 00 0 1

1 0 0−4 /2 5 /2 −2/22/2 −3 /2 2/2

F3 – F1 = F1

−2 −1 00 1 00 0 1

0 −3/2 2 /2−4/2 5/2 −2 /22/2 −3/2 2 /2

F2 + F1 = F1

−2 0 00 1 00 0 1

−4 /2 2/2 0−4 /2 5/2 −2/22/2 −3/2 2/2

F1 / -2 = F1 1 0 00 1 00 0 1

−4 /4 −2/ 4 0−4/2 5/2 −2/22/2 −3/2 2/2

Inversa: −1 −1/2 0

−1/2 5/2 −11 −3/2 1

UNIDAD V

DETERMINANTES

---------------------------------------------------------

Sea el sistema:

3 x+2 y=24x+3 y=3

La matriz completa es:

(3 21 3|243 |)La matriz compacta es:

(3 21 3)El determinante se obtiene con la matriz compacta

|3 21 3| D= (3×3 )−(2×1 )=9−2

D=7

|3 24 −3| D= (3×−3 )−(2×4 )=−9−8

D=−17

|2 33 4| D= (2×4 )−(3×3 )=8−9

D=−1

EJEMPLOS

1. | 5 8−3 1| D= (5×1 )−(8×−3 )=5+24

D=29

2. |4 −30 −5| D= (4×−5 )— 3=−20+3

D=−17

3. | 3 −2 11 3 1

−1 1 −1| D= (3×3×1 )+(1×1×1 )+(−1×−2×1 )−(1×3×1 )+(1×1×3 )+(−1×−2×1 )

D= [ (−9+1+2 )−(−3+3+2 ) ]=−6−2

D=−8

4. |2 −1 23 2 −14 3 −3|D= [ (2×2×−3 )+ (3×3×2 )+(4×−1×−1 ) ]−[ (2×2×4 )+(−1×3×2 )+(−3×−1×3 ) ]

D= (−12+18+4 )−(16−6+9 )=10−9

D=−9

5. |1 4 72 5 83 6 9| D=¿

D= (45+84+96 )−(105+48+72 )=25−25

D=0

6. |1 1131

244

1 1323

−11

−1|

D= [ (1×2×2×1 )+ (1×4×3×1 )+ (3×4×1×−1 )+(1×3×1×1)]−[ (1×3×4×1 )+(−1×2×4×1 )+(1×3×1×1 )+(−1×1×2×3)]

D= (−4+12−12+3 )− (12−8+3−6 )=−1−1

D=−2

Sea el sistema:3 x+2 y−z=124 x−3 y+3 z=192 x+4 y+4 z=20

Solución:

7. D=|3 2 −14 −3 32 4 4 |= [ (3×−3×4 )+ (4×4×−1 )+ (2×2×3 ) ]−[ (−1×−3×2 )+(3×4×3 )+ (4×2×4 ) ]

D= (−36−16+12 )−(6+36+32 )=−40−74

D=−114

Dx=|12 2 −119 −3 320 4 4 |=(−144−76+120 )−(60+144+152 )

x=−100−356=−456

x=−456−114

=4

Dy=|3 12 −14 19 32 20 4 |=(228−80+72 )−(−38+180+192 )

y=220−334=−11 4

y=−114−114

=1

Dz=|3 2 124 −3 192 4 20|=(−180+192+70 )−(−72+228+160 )

z=88−316=−228

z=−228−114

=2

Comprobación

( 3 x+2 y−z=124 x−3 y+3 z=192 x+4 y+4 z=20|

12+2−2=1216−3+6=198+4+8=20 )

8.2 x+3 y+4 z=32x+6 y+8 z=54 x+9 y−4 z=4

D=|2 3 42 6 84 9 4|=(−48+72+96 )−(96+144−24 )

D=120−216

D=−96

Dx=|3 3 45 6 84 9 −4|=(−72+180+96 )−(96+216−60 )

x=204−252=−48

x=−48−96

=12

Dy=|2 3 42 5 84 4 −4|=(−40+32+96 )− (80+64−24 )

y=88−120¿=−32

y=−32−96

=13

Dz=|2 3 32 6 54 9 4|=(48+54+60 )−(72+90+24 )

z=162−186=−24

z=−24−96

= 14

Comprobación:

( 2 x+3 y+4 z=32x+6 y+8 z=54 x+9 y−4 z=4|

1+1+1=31+2+2=52+3−1=4 )

9.3x+5 y+2 z=−222 x− y+6 z=328 x+3 y−5 z=−33

D=|3 5 22 −1 68 3 −5|=(15+12−240 )−(−16+54+50 )

D= (−213−88 )

D=−301

Dx=|−22 5 232 −1 6

−33 3 −5|=(−110+192+990 )−(66−396+800)

x=(1072−470 )=602

x= 602−301

=−2

Dy=|3 −22 22 32 68 −33 −5|= (−480−132−1056 )−(512−594+800 )

y=−1668−138=−1806

y=−1806−301

=6

Dz=|3 −5 −222 −1 328 3 −33|=(99−132−1280 )−(176+288+330 )

z=−1313−794=−2107

z=−2107−301

=7

Comprobación

(3 x−5 y+2 z=−222x+ y+6 z=32

8 x+3 y−5 z=−33|−6−30+14=−22−4−6+42=32

−16+18−35=−33)10.

9 x+4 y−10 z=66 x−8 y+5 z=−112 x+12 y−15 z=10

D=| 9 4 −106 −8 512 12 −15|=(1080−720+240 )−(960+540−360 )

D=600−1140D=−540

Dx=| 6 4 −10−1 −8 510 12 −15|=(720+120+200 )−(800+360+60 )

x=1040−1220=−180

x=−180−540

=13

Dy=| 9 6 −106 −1 512 10 −15|=(135−600+360 )−(120+450−540 )

y=−105−30=−135

y=−135−540

=14

Dz=| 9 4 66 −8 −112 12 10|=(−720+432−48 )−(−576−108+240 )

z=(−336+444 )=108

z= 108−540

=−15

REPASOS EXTRAS

Leyes de los exponentes

---------------------------------------------------------

EL INVENTOR DE LA MODERNA NOTACION DE EXPONENTES FUE JOHN WALLIS, (1616-1703), MATEMATICO INGLES. LA UTILIZACION DE EXPONENTES ES FUNDAMENTAL EN EL MANEJO DE LOS NÚMEROS ENTEROS, PUESTO QUE PERMITE EXPRESAR CANTIDADES MUY GRANDES EN FORMA ABREVIADA.

Los exponentes también se llaman potencias o índices.

. La ley de los exponentes no es más que sumar multiplicar o dividir exponentes, solo necesitamos saber en qué momento tenemos que hacer cada operación. Un exponente se puede definir como el número

que define la cantidad de veces que se tiene qué multiplicar un factor por sí mismo, el problema es cuando tenemos que elevar algo a la "cero" o manejar exponentes fraccionarios o incluso exponentes literales

1. LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.

Ejemplos: aman= am+n

b5b5=b5+5= b10

ce c f=ce+ f, T gT a=t g+a

x2 x3=x2+3=x5

x8 x8=x8+8=x16

a5a3=a5+3=a8

2. LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.

( 62¿3 = 62.3 = 66

(53 ¿5 = 53.5 = 515

(82 ¿5= 82.5=810

(a2¿3= a2.3=a6

(b5¿5 = b5.5 =b25

(d4 ¿5 = d4.5 = d20

(82 ¿2 = 82.2 =84

(95 ¿5 = 95.5 = 925

3. Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores

(

3 x¿¿4

= (3x)(3x)(3x)(3x) (5x

¿2

= (5x)(5x)

= 3.3.3.3.x.x.x.x = 5.5.x.x

= 34 x4 = 52 x2

=51 x4 = 25x2

(2 xz3¿2 = (2¿¿2(x¿2(z

3¿2 = 8x2 z63

(5 p¿¿3= (5p)(5p)(5p) (4 xg2 ¿5 = (4 ¿¿5 (x ¿¿5(g2 ¿5 = 1024 x5g10

= 5.5.5.x.x.x

= 53 p3

=125 p3

4.- LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.

am

an = am−n

bbc

a

= ba−c C5

c3 = c5−3 = c2

g p

go = gp−o

a4

a2 = a4−2 = a2

e8

e4 = e8−4 = e4

mo

ms = mo−s

p2

p2 = p2−2

am

an = ama−n

an

am = ana−m

Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:

PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.

a−m = 1

am b−c =

2

bc f−a =

4

f a d−5 =

3

d5 p−7 =

2

p5

s−t = 6

st z−k =

8

zk r−2 =

1

r2

am

an = am−n

PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.

a0= 1 b0= 1 c0= 1 d0=1 50= 5 40=4 z0= 1

am

am = am a−m ama−m = a0

am

am = a0

5. LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.

n√am = a mn

o√ pc = p co t√ba = b

at 2√h2 = h

22 4√ j2 = j

24

g√ f v = f vg

5√e3 = e 35 ñ√ xc = x

cñ

Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.

n√a = a 1n p√ t = t

1p

o√5 = 5 5o c√ p = p

1c 2√8 = 8

82

m√b = b 1m

j√9 = 9 9j u√d = d

1u 2√ x = x

12 A

1n = n√a1

Operaciones con fracciones

1.- Suma de fracciones con el mismo denominador

ab+ cb=a+bb

57+ 17=67

75+ 25=95

159

+ 89=239

=2 59

314

+ 714

=1014

ba+ aa=b+aa

155

+ 55=205

ab+bb=a+bb

2.- con diferente denominador:

54+ 16=15+212

=1712

=1 512

59+ 13=5+1527

=2427 = 89

135

+ 84=65+32

20=9720

=4 1720

89+ 43=5+12

9=209

=2 29

34+ 56=9+10

12=1912

13+ 415

=5+415

= 915

=35

12+ 83=3+16

6=193

24+ 12=2+24

= 44

3.-Resta de fracciones

57−17=47

128

−58=78

136

−34=52−18

24=3424

=1 1024

53−87=35−24

21=1121

18−12=2−4

8=28

34−15=15−4

20=1120

36− 515

=15−1030

= 530

=16

46−58=32−30

48= 248

= 148

510

− 410

=5−410

= 110

73−53=7−5

3=23

4.- Multiplicación de fracciones:

54x16= 524

abxcd=acbd

54x16= 524

baxab=baab

82x85=6415

54x45=2020

=1

86x33=1824

caxab= caab

jdxac= jadc

52x45=2010

=2

5.- División de fracciones:

42:15=202

63:26=368

1231

=12:31=16

ab:cd=adbc

1412

=14:12= 24

82:53=2415

cd:aj= cjda

510:119

= 45110

1819

=18:19=98

58:205

= 25160