88

33..1166 CCoorrrriieennttee aalltteerrnnaa yy ggeenneerraaddoorreess ddee ccoorrrriieennttee aalltteerrnnaa

Para suministrar una corriente alterna a un circuito, se requiere una fuente de fem o voltaje alterno. Un ejemplo de este tipo de fuente es una bobina que gira con velocidad angular constante en un campo magntico, la cual analizaremos a continuacin. La figura muestra un generador de corriente alterna (ca) muy simple, formado por una bobina de N espiras de rea A, rotando dentro de un campo magntico uniforme B

r.

LLooss eexxttrreemmooss ddee llaa bboobbiinnaa eessttnn ccoonneeccttaaddooss aa uunnooss aanniillllooss qquuee ggiirraann ccoonn ssttaa.. EEll ccoonnttaaccttoo eellccttrriiccoo ccoonn llaass eessppiirraass ssee rreeaalliizzaa mmeeddiiaannttee eessccoobbiillllaass ffiijjaass ccoonndduuccttoorraass,, eenn ccoonnttaaccttoo ccoonn llooss aanniillllooss.. CCuuaannddoo llaa llnneeaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ppllaannoo ddee llaass eessppiirraass ffoorrmmaa uunn nngguulloo ccoonn eell ccaammppoo mmaaggnnttiiccoo,, eell fflluujjoo mmaaggnnttiiccoo aa ttrraavvss ddee llaa bboobbiinnaa eess::

NBAcosB = [3.33] Cuando la bobina gira mecnicamente, el flujo que le atraviesa vara con el tiempo y se induce una fem. Si es la rapidez angular de rotacin y el ngulo inicial, al cabo de cierto tiempo t el ngulo viene dado por:

= +=+ t 2t f [3.34]

Por lo tanto: ( ) ( ) +=+= t 2NBAcos t NBAcosB f [3.35] As, la fem inducida en la bobina ser:

( )( ) ( ) t senNBA t NBAcosdtd

dtd B ++=+== ifem [3.36]

Designando por femmx = NBA a la fem mxima o de pico, entonces la expresin anterior la podemos escribir como: ( ) t senmx += femfemi [3.37]

89

Por otro lado, la misma bobina que se utiliza en un campo magntico para generar una fem alterna, puede tambin usarse como motor de ca. En lugar de girar mecnicamente la bobina para generar una fem, se aplica una diferencia de potencial de ca a la bobina procedente de otro generador de ca. Esto produce una corriente alterna en la bobina, y el torque magntico debido a la fuerza magntica acta sobre la bobina y la hace girar. Cuando la espira gira en el campo magntico, se genera una fuerza contraelectromotriz que tiende a contrarrestar la diferencia de potencial que produce la corriente. Cuando el motor se pone en marcha, no hay fuerza contraelectromotriz y la corriente es muy intensa, limitada slo por la resistencia del circuito. Cuando el motor comienza a girar la fuerza contraelectromotriz se incrementa y la intensidad de corriente disminuye. Ejemplo de aplicacin: Una bobina de 250 vueltas tiene un rea de 3cm2. Si gira en un campo magntico de 0,4(T) con una frecuencia de 60Hz, su fem mxima es:

11.3VNBA2NBAmx === femf 3.17 Corriente alterna en una resistencia Consideremos un circuito simple de ca como el que se muestra en la figura, el cual est compuesto por un generador ideal y una resistencia. La cada de tensin VR, a travs de la resistencia R es igual a la fem del generador y, de cuerdo a la expresin [3.37], la cada de tensin en la resistencia es:

)t sen(V)t sen(V mxR,mx +=+== emfemf [3.38] Si en la ecuacin anterior consideramos la fase como = /2, la cada de tensin ser:

t cosVV mxR,R = [3.39]

A su vez, aplicando la ley de Ohm en la expresin [3.39], resulta:

t cosViR mxR,= [3.40] de donde la corriente en la resistencia resulta ser:

tcosii mx= [3.41] siendo R

Vi mxR,mx = . Vea que la corriente que circula por la resistencia, est en fase con la tensin aplicada, tal como se observa en la figura siguiente.

90

Por otro lado, la potencia disipada en la resistencia vara con el tiempo siendo su valor instantneo:

( ) t RcosiRt cosiRiP 22mx2mx2 === [3.42]

En otro aspecto, la potencia media Pm a lo largo de uno o ms ciclos ser:

( ) ( )m22mxm2m tcosRi21Ri P == [3.43] Puesto que sen2t +cos2t = 1 y el desplazamiento es de 900, el valor medio de cos2t es 1/2, por lo que resulta:

( ) Ri21RiP 2mxm

2m == [3.44]

3.18 Valores eficaces La mayora de los ampermetros y voltmetros de ca estn diseados para medir valores eficaces de la corriente o de la tensin en lugar de los valores mximos o de pico. Su valor es la raz cuadrada del valor cuadrtico medio respectivo. As, para una corriente sinusoidal, el valor medio de i

2 es:

( ) ( )[ ] 2mxm2mxm2 i21t cosii == [3.45] Luego, la corriente eficaz ser:

mxef i21i = [3.46]

El valor eficaz de esta corriente es igual al valor de la corriente continua constante, que producira el mismo calentamiento Joule. Para el circuito presentado en la figura en tem 3.17, la potencia media aportada por el generador es:

( ) ( )( )[ ] ( ) efefm2mxmxmxmxmm i t cosi t cosit cosiP femfemfem fem ==== [3.47]

91

De la misma forma que la corriente mxima est relacionada con la cada de potencial mxima, la corriente eficaz est relacionada con la cada de potencial eficaz de modo que:

RVi efef = [3.48]

Luego, si utilizamos valores eficaces para la corriente y la cada de potencial, podemos calcular la potencia y el calor generado empleando las mismas ecuaciones obtenidas para la corriente continua. EEjjeemmpplloo ddee aapplliiccaacciinn Se conecta una resistencia de 12 a una cada de potencial sinusoidal que tiene un valor de pico de 48V. Hallar (a) la corriente eficaz, (b) la potencia media y (c) la potencia mxima.

SSoolluucciinn::

a) ( )A2.832RV

RVi maxefef ===

b) ( )W962i V

iP efmaxefefm === fem

c) ( )W192RVP

2mx

mx == La potencia de ca suministrada a las viviendas en Chile, tiene una frecuencia de 50Hz y un voltaje de 220Vef. Este voltaje se mantiene, independientemente de la corriente que circule de modo que si se enchufa un calentador elctrico de 6000W, consumir una corriente:

( )A27.3220V

6000WPief

mef === fem

y como los aparatos enchufados a las tomas de corriente de un nico circuito de 220V estn conectados en paralelo, entonces si se enchufan un tostador de 500W en otro punto del circuito en el que est conectado el calentador, extraer una corriente de 500W/220V = 2.3A, de modo que la corriente total a travs de la combinacin en paralelo ser prxima a los 30A. Las tomas de corriente domsticas acostumbran a ser de unos 15A y forman parte de un circuito que utiliza hilos que pueden soportar el paso de corrientes desde unos 10A hasta 25A, teniendo cada circuito varias tomas de corriente. Una corriente ms elevada que la que puede soportar el circuito lo puede calentar demasiado, con riesgo de producir fuego. Cada circuito dispone de un dispositivo controlador de corriente, denominado automtico (con funciones similares a los fusibles de las casas antiguas) que automticamente salta cortando el paso de la misma cuando sta exceda los valores indicados en ellos.

92

Ejemplo de aplicacin Suponga que en la cocina de un hogar se hallan conectados, al mismo circuito, los siguientes dispositivos: un refrigerador de 1800W, un micro-ondas de 1000W, un hervidor de 1200W y un sistema de iluminacin de dos fluorescentes de 60W cada uno. Si el automtico del circuito indica 20A, podrn estar todos los dispositivos funcionando a la vez? Solucin La femef es de 220V y la potencia media total es de 4120W, por lo que la corriente demandada es:

( )A1220V

4120WPief

mef 7.8=== fem

Como el automtico del circuito es de 20A, ste no desconectar el circuito. 3.19 Inductor en un circuito ca. La figura de la derecha muestra una bobina inductora en serie con un generador de corriente alterna. Cuando la corriente crece en el inductor se crea en ste una fuerza

contraelectromotriz de valor dtdi

L , debido a la variacin

de flujo. Generalmente, sta fem es mucho mayor que la cada de tensin iR debida a la resistencia de la bobina y por lo tanto, podemos despreciar esta resistencia. La cada de voltaje VL, a travs del inductor, viene dada entonces por:

dtdiVL L= [3.49]

siendo sta igual a la fem del generador. Luego podemos escribir:

t cosVt cosV mxL,mxL == fem [3.50] As, reordenando [3.49] con [3.50] se obtiene:

dtt cosV

di mxL,L

= [3.51]

la cual integrando resulta:

Ct sen

Vdtt cos

Vi L,mxL,mx +== LL [3.52]

93

siendo C, la componente de la corriente continua. Escogiendo C = 0, la corriente circulante por el inductor resulta ser:

t senit sen

Vi mx

mxL, ==L [3.53]

en donde,

L V

i mxL,mx = [3.54] La corriente i = imxsent est desfasada 90 respecto al voltaje VL = VL,mxcost a travs del inductor, tal como se muestra en la figura a continuacin.

VLi

t

En sta se observa que el valor mximo del voltaje ocurre 90 antes que el correspondiente valor mximo de la corriente. Se dice que la cada de voltaje a travs del inductor adelanta a la corriente en 90. Lo anterior es porque cuando i est creciendo, di/dt alcanza un valor mximo de modo que la fem inducida en la bobina pasa por un valor mximo. Un cuarto de ciclo despus, i es mximo y en ese instante di/dt = 0, de modo que VL = 0.

Por otro lado, considerando que

=2

cos sen , siendo = t, la expresin [3.53] se puede escribir como:

=2

tcosii mx

[3.55]

y la corriente mxima es:

L

mxL,mx

Vi = [3.56]

en la cual L se denomina reactancia inductiva o impedancia inductiva y tiene las mismas unidades de la resistencia elctrica.

94

A su vez, la corriente eficaz viene dada por:

L

efL,ef

Vi = [3.57]

en tanto que la potencia instantnea, cedida al inductor por el generador, es:

( )t 2 seniV21i VP mxL,mxL,L == [3.58]

y la potencia media es cero puesto que el valor de oscila dos veces durante cada ciclo, siendo en una mitad del tiempo negativa y la otra positiva. Por lo tanto, en trmino medio, el inductor no disipa ninguna energa, siempre y cuando se desprecie la resistencia en el inductor. Ejemplo de aplicacin La cada de potencial entre los extremos de una bobina de 40mH es sinusoidal, con una amplitud de 120V. Hallar la reactancia inductiva y la corriente mxima cuando la frecuencia es:

(a) 60 Hz y (b) 2000 Hz.

Solucin:

a) La reactancia inductiva es = L, que al sustituir valores, resulta = 15.1().Como la corriente mxima es imx = VL,mx / , al reemplazar valores, imx = 7.95(A).

b) Al aplicar las mismas expresiones se obtiene = 503() e imx= 0.24(A).

3.20 Condensador en un circuito de corriente alterna Cuando un condensador se conecta entre los terminales de un generador de corriente alterna, como se muestra en la figura, la cada de voltaje a travs del condensador es:

CQVC = [3.59]

En ste circuito, la diferencia de potencial VC a travs del condensador es igual a la fem, del generador.

95

De forma similar a lo anteriormente visto, la cada de potencial es:

t cosVt cosV mxC,mxC === femfem [3.60]

que al sustituir en la expresin [3.59], se obtiene:

t cos VCQ mxC, = [3.61]

A su vez, como la corriente es dtdQi = , al derivar la expresin anterior, en relacin al tiempo,

resulta:

t sen it sen VC dtdQi mx mxC, === [3.62]

en donde,

VC i mxC,mx = [3.63] Si utilizamos la identidad trigonomtrica sen = -cos(+/2), con = t, podemos expresar la corriente como:

+= 2

tcos ii mx

[3.64]

Nuevamente y en forma similar a lo que ocurre con la corriente en un inductor, en la figura anterior se observa que el valor mximo del voltaje se presenta 90 o un cuarto de periodo despus de aparecer el valor mximo de la corriente. As pues, la cada de tensin en un condensador est retrasada respecto a la corriente en 90. Esto porque la carga Q es proporcional a la cada de potencial VC. La mxima variacin del crecimiento de la carga dQ/dt = i debe ocurrir cuando la carga Q sea nula y, por lo tanto, VC sea cero. Al aumentar la carga en el condensador, la corriente disminuye hasta que, un cuarto de perodo despus, la carga es mxima y la corriente es cero. Entonces la corriente se hace negativa cuando la carga Q disminuye.

96

Por otro lado, tambin podemos relacionar la corriente con la cada de tensin, de forma similar a lo efectuado en el caso de una resistencia elctrica. En efecto, de la expresin [3.63] podemos escribir:

C

mxC,mxC,mxC,mx

VC 1

V VC i === [3.65]

y, en forma anloga, la corriente eficaz la podemos escribir como:

C Vi efef = [3.66]

siendo, en ambas expresiones:

C 1

C = [3.67]

en donde c recibe el nombre de reactancia capacitiva o impedancia capacitiva, medida en las mismas unidades de resistencia elctrica. Su valor depende de la frecuencia de la corriente y, al igual que en los inductores, los condensadores ideales no disipan energa. Ejemplo de aplicacin Un condensador de 20F se conecta a un generador que proporciona una cada de potencial de amplitud (valor mximo) de 100V. Hallar la reactancia capacitiva y la corriente mxima cuando la frecuencia es:

a) 50Hz b) 60Hz.

Solucin: Utilizando y reordenando las expresiones [3.65] y [3.67], se obtiene:

C 2

1C

1C f== ; mxC,C

mxC,mx VC

V i 2 f==

que al sustituir valores, resulta: a) 159.2(); 0.63(A) y b) 132.6(); 0.75(A )