luis rincon i

Click here to load reader

Post on 13-Oct-2015

50 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Curso elemental de

    PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

    Luis Rincon

    Departamento de Matematicas

    Facultad de Ciencias UNAM

    Circuito Exterior de CU

    04510 Mexico DF

    Version: Diciembre 2007

    Una version actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato

    electronico en la direccion http://www.matematicas.unam.mx/lars

  • Prologo

    El presente texto constituye el material completo del curso semestral de Proba-bilidad y Estadstica, impartido por el autor a alumnos de la licenciatura enciencias de la computacion en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contiene el te-mario basico para un curso elemental e introductorio a algunos temas tradicionalesde la probabilidad y la estadstica, as como una coleccion de ejercicios. Algunosde estos ejercicios aparecen a lo largo del texto como parte de la lectura, y unacoleccion mas extensa aparece al final del libro incluyendo algunas soluciones osugerencias para resolverlos.

    El texto esta dirigido de manera general a alumnos de las distintas carreras deingeniera, ciencias de la computacion, y otras carreras cientficas similares, cuyosprogramas de estudio contemplan un semestre introductorio a estos temas. Comoes natural en este tipo de cursos, no se hace enfasis en el rigor matematico de lademostracion de los resultados, sino en el uso, interpretacion y aplicacion de estos.Como prerequisitos para una lectura provechosa de este material, se requiere, endeterminados momentos, tener cierta familiaridad con algunos conceptos elementa-les de algebra y del calculo diferencial e integral. El texto fue escrito en el sistemaLATEX, y la mayora de las ilustraciones fueron elaboradas usando el paquete ps-tricks.

    El autor agradece cualquier comentario, sugerencia o correccion enviada al correoelectronico que aparece abajo.

    Luis RinconDiciembre 2007

    Ciudad Universitaria [email protected]

  • Contenido

    1. PROBABILIDAD 5

    1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Analisis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4. Probabilidad condicional e independencia . . . . . . . . . . . . . . . 281.5. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6. Funciones de densidad y de distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7. Esperanza, varianza, momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.8. Distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.9. Vectores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    2. ESTADISTICA 83

    2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2. Variables y tipos de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3. Estadstica descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.4. Muestras aleatorias y estadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5. Estimacion puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.6. Estimacion por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.7. Pruebas de hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    A. Ejercicios 107

    B. Soluciones 139

    C. Formulario 167

    3

  • 4 Contenido

  • Parte 1

    PROBABILIDAD

    En esta primera mitad del curso estudiaremos algunos conceptos elementales de lateora matematica de la probabilidad. Esta teora tuvo como uno de sus primerospuntos de partida el intentar resolver un problema particular concerniente a unaapuesta de juego de dados entre dos personas. El problema al que nos referimosinvolucraba una gran cantidad de dinero y puede plantearse de la siguiente forma:

    Dos jugadores escogen cada uno de ellos un numero del 1 al 6, distintouno del otro, y apuestan 32 doblones de oro a que el numero escogido poruno de ellos aparece en tres ocasiones antes que el numero del contrarioal lanzar sucesivamente un dado. Suponga que el numero de uno de losjugadores ha aparecido dos veces y el numero del otro una sola vez.Como debe dividirse el total de la apuesta si el juego se suspende?

    Uno de los apostadores, Antonio de Gombaud, popularmente conocido como el ca-ballero De Mere, deseando conocer la respuesta al problema plantea a Blaise Pas-cal (1623-1662) la situacion. Pascal a su vez consulta con Pierre de Fermat (1601-1665) e inician un intercambio de cartas a proposito del problema. Esto sucede enel ano de 1654. Con ello se inician algunos esfuerzos por dar solucion a este y otrosproblemas similares que se plantean. Con el paso del tiempo se sientan las bases ylas experiencias necesarias para la busqueda de una teora matematica que sinte-tice los conceptos y los metodos de solucion de los muchos problemas particularesresueltos a lo largo de varios anos.

    5

  • 6 1.1. Introduccion

    Blaise Pascal

    (Francia, 16231662)

    Pierre de Fermat

    (Francia, 16011665)

    En el segundo congreso internacional de matematicas, celebrado en la ciudad de Pa-ris en el ano 1900, el matematico David Hilbert (1862-1943) plantea 23 problemasmatematicos de importancia. Uno de estos problemas es el de encontrar axiomaso postulados a partir de los cuales se pueda construir una teora matematica dela probabilidad. Aproximadamente treinta anos despues, en 1933, el matematicoruso A. N. Kolmogorov (1903-1987) propone ciertos axiomas que a la postre resul-taron adecuados para la construccion de una teora de la probabilidad. Esta teoraprevalece hoy en da y ha adquirido el calificativo de teora clasica. Actualmentela teora clasica de la probabilidad se ha desarrollado y extendido enormementegracias a muchos pensadores que han contribudo a su crecimiento, y es sin dudauna parte importante y bien establecida de las matematicas. Ha resultado util pa-ra resolver problemas puramente matematicos, pero sobre todo y principalmente,para modelar situaciones reales o imaginarias, en donde el azar es relevante.

    1.1. Introduccion

    La teora de la probabilidad es la parte de las matematicas que se encarga delestudio de los fenomenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio en-tenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condi-ciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo massencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o undado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos, hay situacionesen donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia. En principio no

  • Parte 1. PROBABILIDAD 7

    sabemos cual sera el resultado del experimento aleatorio, asi que por lo menos con-viene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestral(o tambien llamado espacio muestra de un experimento aleatorio es el conjunto detodos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por laletra griega (omega). Mas adelante mostraremos que este conjunto no es nece-sariamente unico y su determinacion depende del interes del observador o personaque realiza el experimento aleatorio. En algunos textos se usa tambien la letra Spara denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del termino sampling space dela lengua inglesa equivalente a espacio muestral. Por otro lado, llamaremos eventoa cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por lasprimeras letras del alfabeto en mayusculas: A,B,C, etc. Con la ayuda de algunosejemplos ilustraremos a continuacion los conceptos de espacio muestral y evento.

    Ejemplo. Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado y observar elnumero que aparece en la cara superior, entonces claramente el espacio muestral esel conjunto = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como ejemplo de un evento para este experimentopodemos definir el conjunto A = {2, 4, 6}, que corresponde al suceso de obtenercomo resultado un numero par. Si al lanzar el dado una vez se obtiene el numero4, decimos entonces que se observo la ocurrencia del evento A, y si se obtienepor ejemplo el resultado 1, decimos que no se observo la ocurrencia del evento A.

    Ejemplo. Considere el experimento aleatorio de participar en un juego de lotera.Suponga que hay un millon de numeros en esta lotera y un jugador participa conun boleto. Cual es un posible espacio muestral para este experimento? Natural-mente al jugador le interesa conocer su suerte en este juego y puede proponer comoespacio muestral el conjunto = {ganar, perder}. Sin embargo puede tambientomarse como espacio muestral el conjunto que contiene a todos los posibles nume-ros ganadores, es decir, = {1, 2, . . . , 1000000}. Este ejemplo sencillo muestra queel espacio muestral de un experimento aleatorio no es unico y depende del interesdel observador.

    Ejemplo. Suponga que un experimento aleatorio consiste en observar el tiempo enel que una maquina en operacion sufre su primera descompostura. Si se consideranmediciones continuas del tiempo, entonces puede adoptarse como espacio muestralpara este experimento el intervalo [0,). El subconjunto A = [1, 2] corresponde alevento en el que la primera descompostura se observe entre la primera y la segundaunidad de tiempo.

  • 8 1.1. Introduccion

    Ejercicio. Encuentre un espacio muestral para el experimento aleatorio de observarel marcador final de un juego de futbol soccer. Es un espacio muestral finito oinfinito?

    Ejercicio. Suponga que se tiene en operacion una sala de computo con 100 compu-tadoras. Encuentre un espacio muestral para el experimento de observar la confi-guracion de maquinas, desde el punto de vista de uso o no uso, en un momentocualquiera del da.

    Puesto que los conceptos de espacio muestral y evento involucran forzosamente later