DECIMA UNIDAD

APLICACION DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL A LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE LA ACCION HUMANA1

La lógica actual, conocida como lógica matemática, tiene una amplia gama de aplicaciones especialmente en la Matemática y en la Filosofía, que no pueden ser mostradas al nivel de este texto porque demandan mayores conocimientos de esta materia que los que aquí ofrecemos. Sin embargo, el material expuesto nos permitirá mostrar una aplicación de la lógica a la tecnología, que es muy sencilla pero que impacta mucho a las personas no especializadas.

I. Diseño de circuitos eléctricos para computadoras

La aplicación de la lógica proposicional a la construcción de circuitos eléctricos se debe mayormente al aporte del investigador Claudio Shannon, que es uno de los diseñadores de las modernas computadoras. En lo que sigue explicaremos las nociones más elementales de la contribución de Shannon.

Consideramos que una llave eléctrica de las que todos conocemos puede ser representada mediante una palanquita; como la de la figura 1, que solamente tiene dos posiciones posibles: o deja pasar la corriente cuando se la baja y entonces está en la posición de cerrada, o no deja pasar la corriente cuando está levantada y está en la posición de abierta. Nosotros podemos denominar a la llave o conmutador con la variable proposicional p. Cuando el conmutador p esté en la posición de cerrado diremos que toma el valor de V y cuando el conmutador p esté en la posición de abierto diremos que toma el valor de F. Asimismo, con la llave p podemos construir un circuito, como el de la figura 1 que tiene un pedazo de cable de entrada y otro de salida. Se aprecia claramente que sólo hay una corriente de salida si la llave p está cerrada, pues en otro caso la corriente eléctrica no pasa.

De la misma manera cuando hay impulso eléctrico de salida y se enciende un foco diremos que la salida es igual a V, cuando por ausencia de impulso eléctrico el foco no se enciende diremos que la salida es igual a F.

1 PISCOYA, Luis. Filosofía y Lógica. Lima, Edimaso, ¿1992? Pp. 133-141

Foco encendido = VFoco apagado = F

Ahora, usando los conmutadores p y q construyamos un circuito en línea como lo muestra la figura 2. La observación nos indica claramente que para que el foquito se encienda es necesario que las dos llaves estén cerradas, pues basta que una esté abierta para que no haya corriente de salida y el foco no se encienda. En otras palabras, para que la salida sea igual a V es absolutamente necesario que p sea V y q sea V, pues en cualquier otra posición de las llaves la salida será F.

Esto significa que un circuito en línea se comporta exactamente igual que una conjunción. Por tanto, en el lenguaje lógico un circuito en línea se representa por una conjunción p q cuando hay sólo dos llaves. Pero si es un circuito en línea con tres llaves o más se representa por una conjunción con tres o más variables proposicionales, una por cada llave. Por ejemplo, la expresión lógica del circuito de la figura 3 es p q r. Como indicamos anteriormente, en este caso no es necesario usar signos de jerarquía.

Figura 2. Circuito en línea o circuito de conjunción. Para que se encienda el foco es

necesario que p= V y q = V.

Figura 3. Circuito de p q r

Ahora procedemos a construir un circuito en paralelo como se muestra en la figura 4. Este circuito tiene a los conmutadores p y q ubicados uno frente al otro. Como la observación claramente lo revela, es suficiente que uno de los conmutadores esté en la posición de cerrado para que haya impulso eléctrico de salida y se encienda el foquito. Asimismo, para que no haya corriente de salida es absolutamente necesario que los dos conmutadores estén en la posición de abierto, pues solamente en este caso la corriente no pasa al sector del circuito denominado de salida. Consecuentemente, el circuito en paralelo se comporta como una

disyunción inclusiva debido a que la salida es igual a V cuando p es V o cuando q es V y la salida es F solamente cuando ambos conmutadores toman el valor F, lo cual coincide exactamente con la definición dada para construir la tabla de verdad de la disyunción inclusiva.

Figura 4. Circuito en paralelo para p q

También presentaremos un conmutador llamado inversor, que es la versión electrónica de la negación lógica. Al conmutador inversor lo denominaremos con la variable p a la que añadiremos una comilla simple: p'. De esta manera, p' representa el inversor o la negación de p. La propiedad esencial de p' es que se encuentra en la posición de cerrado si y sólo si p se encuentra en la posición de abierto y se encuentra en la posición de abierto si y sólo si p se encuentra en la posición de cerrado. Vale decir, p' es V cuando p es F y p' es F cuando p es V. En la figura 5 representamos un con-mutador inversor.

Figura 5. Conmutador inversor que representa p

Con los conocimientos anteriores se pueden construir circuitos más complejos para expresiones de la lógica proposicional más complicadas y que estén constituidas por disyunciones inclusivas, conjunciones y negaciones. La jerarquía de la expresión lógica se conserva en el circuito de tal manera que si la disyunción es la conectiva de mayor jerarquía, entonces el circuito de mayor jerarquía será en paralelo y si la conjunción es la conectiva de mayor jerarquía, entonces el circuito principal será en línea. Por ejemplo dada la expresión de la lógica proposicional (p q) r, su circuito co-rrespondiente será uno en paralelo cuyo primer subcircuito estará en línea como se ve en la figura 6.

Figura 6.

Como fácilmente se entiende, cada vez que se enciende el foquito equivale a un valor V en la

matriz principal de la tabla de verdad de la correspondiente expresión lógica. Y cada vez que no enciende el foquito equivale a un valor F en la misma matriz. Las diferentes posiciones en que podemos colocar las llaves corresponden a los diferentes arreglos del margen de la tabla de verdad. Consecuentemente, en este caso sólo podemos mover las tres llaves hasta ocho posiciones posibles que coinciden con el número de arreglos de una tabla de verdad para una proposición con tres variables. Por tanto, este circuito de la figura 6 es exactamente el plano de una maquinita que con las veces que se enciende y las que no se enciende su foquito nos indica cuál es la matriz principal de (p q) r.

El circuito para (p q) (r s) será uno en línea con dos subcircuitos en paralelo como se muestra en la figura 7:

Figura 7.

Asimismo, de acuerdo a lo anterior, a una tautología debe corresponderle un circuito que para todas las posibles posiciones de sus llaves siempre encienda el foquito. Por ejemplo, a la tautología p p le corresponde un circuito en paralelo que en un lado tiene una llave y en el otro su correspondiente inversor, de tal manera que la corriente siempre pasa puesto que si p estuviera abierto entonces p' debe estar necesariamente en la posición de cerrado y por este lado pasaría la corriente. Asimismo, si p' estuviera abierto entonces p necesariamente estaría en la posición de cerrado y dejaría pasar la corriente. El plano de este circuito se puede ver en la figura 8.

Figura 8. Circuito para p V p

A continuación veremos dos ejemplos de construcción de circuitos para dos expresiones lógicas más complicadas. En cada caso lo decisivo es mantener la jerarquía de las conectivas en el diseño del circuito.

a. (p ((q r) s)) (p ((q r) s))b. (p q) ((p (p q)) r) (p (q r s))

Figura 9. Circuito para 'a'.

Figura 10. Circuito para 'b'

II. Circuitos lógicos a compuertas.Los circuitos que hemos presentado en la sección anterior proporcionan una idea precisa sobre la forma como la lógica proposicional puede ser aplicada al diseño de computadoras electrónicas. Dichos circuitos que son conocidos como circuitos a conmutadores, llaves o switches han sido, sin embargo, reemplazados por dispositivos más ágiles conocidos como circuitos lógicos a compuertas que son más acordes con las exigencias de la tecnología contemporánea.

La necesidad de diseñar compuertas está ligada al hecho de que la computadora actual se encuentra en la práctica muy alejada de las llaves o switches a los que ha sustituido gradualmente por relays y transistores. Pero esto no debe llevar a la creencia de que las compuertas complican el manejo lógico de los circuitos, pues la situación es exactamente al revés. Lo facilitan y permiten visualizar mejor la aplicación de las fórmulas lógicas.

Una compuerta es un artefacto que en general tiene entradas y una salida las mismas que se representan con líneas para reemplazar a los alambres eléctricos. El artefacto mismo se representa con-vencionalmente por una media luna o por un triangulito y su función es dejar o no pasar un tipo de impulso eléctrico bajo ciertas condiciones.

La figura 11 facilitará considerablemente la comprensión de lo dicho a través de un ejemplo que será el de la compuerta de conjunción.

Figura 11. Compuerta de conjunción o compuerta del producto lógico.

Los alambres A y B son las entradas y el alambre A.B es la salida. Debemos aclarar que A.B significa lo mismo que AB pero hemos preferido usar el punto en este caso porque se aproxima más a la idea de producto y la conjunción es el producto lógico. Consecuentemente, al diagrama de la figura 11 llamaremos compuerta de conjunción o del producto lógico, o, simplemente, compuerta Y. Su regla de funcionamiento es la siguiente:

Regla 11. Una compuerta Y, de conjunción, emite un impulso eléctrico de salida si y sólo si todas sus entradas, en este caso A y B, permiten el ingreso de impulsos eléctricos. Al impulso eléctrico de salida lo llamamos abreviadamente impulso A⋅BSin embargo las compuertas en la práctica no se utilizan para distinguir entre la presencia de impuso eléctrico y su ausencia, como los conmutadores o switches de los circuitos en línea y en paralelo. Para que la lógica sea aplicable es suficiente que distingan claramente dos estados que no tienen que ser del tipo todo-nada como los switches sino que perfectamente pueden ser del tipo impulso eléctrico de alto potencial versus impulso eléctrico de bajo potencial, en breve, la dicotomía impuso alto-bajo. De acuerdo a esto debemos reajustar la Regla 11 en la siguiente forma:

Regla 11 reajustada. Una compuerta Y emite un impuso de salida alto si y sólo si todas sus entradas, en este caso A y B. permiten el ingreso de impulsos altos. En otro caso, vale decir, si al menos una de sus entradas permite el ingreso de un impulso bajo, entonces no se produce el impulso alto de salida A⋅BEl diagrama de compuerta de disyunción o suma es muy parecido al de la conjunción. Para distinguirlos se ha convenido que en este caso la media luna esté cortada horizontalmente por la línea que representa al alambre de salida. A esta compuerta se tiende a llamarla de suma porque la conjunción es la suma lógica y, abreviadamente, se la denomina compuerta 0. La representación de las entradas y de la salida es la misma que en el caso de la compuerta Y.

Figura 12. Compuerta de disyunción o de suma.

Regla 12. Una compuerta O, de disyunción o suma, emite un impulso alto de salida cuando al menos una de sus entradas, en este caso A y B, permite el ingreso de un impulso alto. Al impulso alto de salida lo llamamos abreviadamente A+B, y, evidentemente, si más de una entrada permite el ingreso de un impulso alto también se producirá el impulso de salida A+B. En el único caso en el que no se emite impulso de salida A+B es cuando ninguna de las entradas permite el ingreso de un impulso alto.

La tercera compuerta que es necesario diagramar es la del tipo inversor que co-rresponde a la negación lógica. Un ligero análisis muestra que en la fórmula p el operador de negación funciona como un inversor de valores pues cuando p=V se obtiene p=F y cuando p=F se obtiene p=V. En correspondencia, con estas propiedades de la negación lógica una compuerta inversora transforma un impulso alto en impulso bajo y viceversa. Su representación convencional es un triangulito.

Figura 13. Compuerta inversora ocompuerta No.

Regla 13. Una compuerta inversora o compuerta No (se le llama abreviadamente inversor) emite un impulso de salida alto si la entrada admite un impulso bajo y emite un impulso de salida bajo si la entrada admite un impulso alto. Al impulso de salida se le llama A que significa lo mismo que A. El cambio de notación se debe a que en el diseño de circuitos se usa un simbolismo algebraico en lugar del de la lógica proposicional. Sin embargo, como hemos visto, las equivalencias son muy sencillas.

Asimismo se prefiere no usar los valores verdadero-falso y a los impulsos altos se los representa por el cero y a los impulsos bajos por el uno, de este modo las tablas de verdad de la conjunción, disyunción y negación se transforman de la siguiente manera:

En base a estas tablas las reglas anteriores se pueden abreviar en los términos siguientes. En una compuerta Y se tiene A⋅B=1 si y solamente si A=1 y B=1; en otro caso A⋅B=0. En una compuerta 0 se tiene A+B=0 si y sólo si A=0 y B=0; en otro caso A+B=1. En una compuerta No se tiene =1 si A=0 y =0 si A=1.

Regla 14. Jerarquía de las compuertas. La jerarquía de las compuertas corresponde a la jerarquía de las conectivas de las fórmulas cuyo circuito se está diagramando. Asimismo, una compuerta cualquiera W tiene más jerarquía que cualquier otra Z si la salida de Z funciona como una entrada de W.

Para explicar mejor el contenido de la regla anterior recurriremos a un ejemplo. Construiremos el circuito lógico a compuertas de la fórmula (p q) r que podemos escribirla, usando notación algebraica, de la siguiente manera (A⋅B) + R. En la fórmula la disyunción o suma es de mayor jerarquía que la conjunción o producto, por consiguiente en el diagrama de circuito la compuerta O debe ser de mayor jerarquía que la compuerta Y, lo que significa que la salida de la compuerta Y debe ser entrada de la compuerta O.

Figura 14. Circuito a compuertas de (A⋅B)+R

El circuito de la figura 14 ejecuta eléctricamente la tabla de la fórmula (A⋅B)+R que a continuación se detalla. El uso de uno y cero, dígitos binarios, facilita, cuando se necesita, adaptar los circuitos para que realicen operaciones aritméticas que es su objetivo principal.

Como se puede apreciar el único caso en el que la tabla anterior no coincide con la suma y el producto de la aritmética es en el primer arreglo,

pues como A=1, B=1 y R=1, se tiene en términos aritméticos (1x1)+1 que es igual a 2 y no a 1 como dice la matriz principal de la tabla. Todos los demás casos coinciden con las operaciones aritméticas, así el segundo arreglo, en el que A=1, B=1 y R=0, da lugar a (1 x1)+0 que es igual a 1 lo que coincide con el valor que la matriz principal otorga a ese arreglo. Tomando otro caso, el sexto arreglo da lugar a (0x1)+0 que es igual a 0, coincidiendo nuevamente con la tabla. El análisis de los otros arreglos puede dejarse como ejercicio. Téngase presente siempre que la fórmula en términos aritméticos establece la suma de un producto más un dígito.

El caso discrepante, el primer arreglo, se corrige con un circuito adicional que nos permite representar el número dos en dígitos binarios, artificio sencillo pero que por ahora debe esperar.

I. Circuitos lógicos a compuertas para fórmulas negadas.

Una de las ventajas de los circuitos a compuertas es que permiten diagramar fácilmente circuitos para fórmulas negadas como es el caso de las de De Morgan. Este autor señaló las siguientes equivalencias que las escribiremos en lenguaje algebraico.

i) ( ⋅ ) equivale a ( )

ii) ( ) equivale a ( )

Es ecesario aclarar que la fórmula ( ) equivale a la (A B) de la lógica proposicional, y la (A ⋅ B) a la (A B). Se trata de las negaciones de la disyunción y de la conjunción respectivamente.

El ejemplo i) afirma que los dos circuitos siguientes son equivalentes

El ejemplo ii) afirma que los dos siguientes circuitos también son equivalentes.

Asimismo, valiéndonos de lo aprendído hasta ahora podemos construir el circuito de la fórmula ( ⋅ ) + (C + ) de la siguiente manera.

Antes de terminar con esta exposición contestaremos una pregunta que debe preocupar al lector. ¿Es posible construir circuitos para proposiciones que contienen otras conectivas además de la disyunción inclusiva, la conjunción y la negación? La respuesta es afirmativa y el método para lograrlo es sencillo. Lo que ocurre es que enseñarlo excede nuestros fines por ahora. Es más, casi todos los problemas de lógica que pueden plantearse con los conocimientos dados por este texto pueden ser resueltos con gran facilidad por una computadora construida mediante un número muy grande de circuitos como los que hemos mostrado. El lógico chino Hao Wang en el año 1960 usando una computadora IBM 704 demostró 220 teoremas de la lógica proposicional en sólo tres minutos. Como se puede comprender, las computadoras pueden demostrar teoremas de la Lógica Matemática, porque sus circuitos han sido diseñados en correspondencia con las propiedades de las conectivas. Asimismo, como es sabido, estas máquinas pueden resolver diversos problemas matemáticos.

EJERCICIOS

I. Construir circuitos para1. (p q) (p q)

2. (p (q r) (r s)3. (p q) (~ q r) (— p — s)4. (p q r) (p q r) (p q)5. ¿Cuál es la fórmula del circuito siguiente?

II. Actividad. Construir una maquinita para el ejercicio 3 del grupo 1, usando llaves, alumbres y un foco sobre una madera.

III. Construir un diagrama de circuito a compuertas para cada una de las fórmulas del ejercicio I y convertir el plano de circuito de 1.5 también a un circuito a compuertas.

IV. ¿Cuál es la fórmula que corresponde al siguiente circuito a compuertas?