luis edo garcÍa jaimes politÉcnico colombiano j ......sistemas de control avanzado luis edo...

SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

LUIS EDO GARCÍA JAIMES

POLITÉCNICO COLOMBIANO J.I.C

PRIMERA PARTE

Luis Edo García Jaimes

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Este método tiene como objetivo la descripción de

un sistema en función de 𝑛 ecuaciones en

diferencias o diferenciales de primer orden, las

cuales pueden combinarse para formar una

ecuación matricial en diferencias o una diferencial

de primer orden.


CONCEPTOS BÁSICOS

• Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjuntomás pequeño de variables, tales que el conocimiento dedichas variables en 𝑡 = 𝑡𝑜 junto con el conocimiento de laentrada para 𝑡 ≥ 𝑡𝑜 , determinan completamente elcomportamiento dinámico del sistema para 𝑡 ≥ 𝑡𝑜.

• Variables de Estado: son las variables que conforman elconjunto más pequeño de variables que determinan elestado de un sistema dinámico: 𝑥1, 𝑥2 . . . 𝑥𝑛.

• Vector de Estado: es el vector formado por el conjunto de

las 𝑛 variables de estado 𝑥1, 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 que sean necesariaspara determinar completamente el comportamiento del

sistema.


REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE UN SISTEMA CONTINUO

Las variables 𝑢𝑖(𝑡), 𝑖 = 1. . . 𝑟, representan las entradas

Las variables 𝑦𝑖(𝑡), 𝑖 = 1. . . 𝑚, representan las salidas

Las variables 𝑥𝑖(𝑡), 𝑖 = 1. . . 𝑛, representan las variables de estado

𝑢 𝑡 =

)𝑢1(𝑡

𝑢2 𝑡∙∙

𝑢𝑟 𝑡

y 𝑡 =

)𝑦1(𝑡

)𝑦2(𝑡∙∙

)𝑦𝑚(𝑡

𝑥 𝑘𝑡 =

)𝑥1(𝑡

)𝑥2(𝑡∙∙

)𝑥n(𝑡


y2(t)

y3(t)

ym(t)

Variables de

estadou1(t)

u2(t)

u3(t)

ur(t)

y1(t)

x1(t)

x2(t)

x3(t)

xn(t)

u(t) y(t)Vector de

Estado

a)

ECUACIÓN DE ESTADO

En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo

continuo, se puede escribir en la forma:

ሶ𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡)

La salida del sistema se puede dar como:

𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡)

Para los sistemas lineales, de tiempo continuo e invariantes en el tiempo, la

ecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así

ሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡


DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

En donde:

𝑥(𝑡) = Vector de estado (vector 𝑛)

𝑦(𝑡) =Vector de salida (vector 𝑚)

𝑢(𝑡) = Vector de entrada (vector 𝑟)

𝐴 =Matriz de estado (matriz 𝑛 × 𝑛)

𝐵 = Matriz de entrada (matriz 𝑛 × 𝑟)

𝐶 = Matriz de salida (matriz 𝑚 × 𝑛)

𝐷 = Matriz de transmisión directa (matriz 𝑚 × 𝑟)


DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA CONTINUO

ሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡


++

++

B

A

D

Cu(t) y(t)

x(t)x(t)

REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE UN SISTEMA DISCRETO

Las variables 𝑢𝑖(𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑟, representan las entradas

Las variables 𝑦𝑖(𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑚, representan las salidas

Las variables 𝑥𝑖(𝑘), 𝑖 = 1. . . 𝑛, representan las variables de estado

𝑢 𝑘 =

)𝑢1(𝑘

𝑢2 𝑘∙∙

𝑢𝑟 𝑘

𝑦 𝑘 =

)𝑦1(𝑘

)𝑦2(𝑘∙∙

)𝑦𝑚(𝑘

𝑥 𝑘 =

)𝑥1(𝑘

)𝑥2(𝑘∙∙

)𝑥n(𝑘


y2(k)

y3(k)

ym(k)

Variables de

estadou1(k)

u2(k)

u3(k)

ur(k)

y1(k)

x1(k)

x2(k)

x3(k)

xn(k)

u(k) y(k)Vector de

Estado

b)

ECUACIÓN DE ESTADO SISTEMA DISCRETO

En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo discreto,

en el instante 𝑘 + 1 se puede escribir en la forma:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑓 𝑥 𝑘 , 𝑢(𝑘)

Así mismo, la salida del sistema se puede dar como:

𝑦 𝑘 = 𝑔 𝑥 𝑘 , 𝑢(𝑘)

Para los sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la ecuación

de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘


DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

En donde:

𝑥(𝑘) = Vector de estado (vector 𝑛)

𝑦(𝑘) =Vector de salida (vector 𝑚)

𝑢(𝑘) = Vector de entrada (vector 𝑟)

𝐴 =Matriz de estado (matriz 𝑛 × 𝑛)

𝐵 = Matriz de entrada (matriz 𝑛 × 𝑟)

𝐶 = Matriz de salida (matriz 𝑚 × 𝑛)

𝐷 = Matriz de transmisión directa (matriz 𝑚 × 𝑟)


DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA DISCRETO

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘



++

++

B

A

D

Cz-1u(k)

x(k+1) x(k)

y(k)

EJEMPLO


Considere el movimiento angular de deflexión de un avión respecto a la horizontal.

Dicho sistema puede representarse, para ángulos pequeños, mediante la ecuación

diferencial:

𝑑2𝛼(𝑡)

𝑑𝑡2+

1

𝑇

𝑑𝛼(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐴𝛿(𝑡)

Los alerones son accionados mediante un servomecanismo que responde a la

ecuación diferencial:

𝑑𝛿(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐾𝑒(𝑡)

Siendo 𝛼(𝑡) el ángulo del avión con respecto a la horizontal, 𝛿(𝑡) el ángulo de

deflexión de los alerones y e(t) es el voltaje de alimentación del servo que mueve

los alerones

Hallar una representación del sistema en el espacio de estado. Asuma que 𝛼(𝑡) es

la salida del sistema y 𝑒(𝑡) su entrada

EJEMPLO


La figura representa el sistema de control de un depósito de sección constante y

altura máxima de 1m alimentado por una caudal de entrada 𝑞𝑒 . La salida del líquido

se controla mediante una válvula de modo que el caudal de salida depende del

producto de su velocidad por el factor de apertura de la válvula 𝑤. El factor de

apertura responde a la señal eléctrica proporcionada por un amplificador diferencial

que amplifica, con una ganancia 𝐾, la diferencia entre la señal eléctrica 𝑛,

proporcional al nivel de líquido en el depósito (𝑛 = 𝑁ℎ) y la señal de referencia 𝑟.

a) Obtenga la representación en el espacio de estado para el sistema y calcule la

altura de equilibrio que alcanza el líquido cuando 𝑞𝑒 = 0.02 𝑚3 𝑠 y 𝑟 = 7 𝑉.

b) Obtenga el un diagrama de bloques para el sistema.

𝑁 = 10 𝑉 𝑚 𝐾 = 0.005 𝑚2 𝑉 𝐴 = 0.5𝑚2

SOLUCIÓN AL EJEMPLO


𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎 = 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑆𝑎𝑙𝑒 𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝑞𝑒 − 𝑞𝑆

𝑞𝑆 = 𝑤 ∗ 𝑣 = 𝑤 2𝑔ℎ 𝑤 = 𝐾 𝑁𝐻 − 𝑟

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝑞𝑒 − 𝐾 𝑁𝐻 − 𝑟 2𝑔ℎ

Reemplazando los valores dados:

0.5𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝑞𝑒 − 0.005 10ℎ − 𝑟 19.6ℎ

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 2𝑞𝑒 − 0.442ℎ ℎ + 0.0442𝑟 ℎ

Se define como variable de estado 𝑥 = ℎ

Así la representación en el espacio de estado es:

𝑥ሶ = 2𝑞𝑒 − 0.442𝑥 + 0.0442𝑟 𝑥

SOLUCIÓN AL EJEMPLO (2)

En el equilibrio el cambio de altura es igual a cero: 𝑑ℎ

𝑑𝑡= 0 y con 𝑟 = 7 resulta:

0 = 0.04 − 0.442ℎ ℎ + 0.3094 ℎ Organizando la ecuación:

0.1953ℎ3 − 0.2735ℎ2 + 0.09572ℎ = 0.0016 Resolviendo se obtiene: ℎ = 0.802𝑚 ,

ℎ = 0.58 𝑚 𝑦 ℎ = 0.0175𝑚. La solución válida es ℎ = 0.802 𝑚


FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO

Sea el sistema en tiempo discreto definido por la ecuación de diferencias:

𝑦 𝑘 + 𝑎1𝑦 𝑘 − 1 + 𝑎2𝑦 𝑘 − 2 + ⋯𝑎𝑛𝑦 𝑘 − 𝑛 = 𝑏𝑜𝑢 𝑘 + 𝑏1𝑢 𝑘 − 1 ⋯+ 𝑏𝑛𝑢 𝑘 − 𝑛

En donde 𝑢(𝑘) es la entrada y 𝑦(𝑘) es la salida del sistema.

La función de transferencia de pulso correspondiente a la ecuación anterior está

dada por:

𝐺 𝑧 =𝑌(𝑧)

𝑈(𝑧)=

𝑏𝑜 + 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧

−2 ⋯+ 𝑏𝑛𝑧−𝑛

1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧

−2 ⋯+ 𝑎𝑛𝑧−𝑛


𝑈(𝑧)=

𝑏𝑜𝑧𝑛 + 𝑏1𝑧

𝑛−1 + 𝑏2𝑧𝑛−2 ⋯+ 𝑏𝑛

𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧𝑛−1 + 𝑎2𝑧

𝑛−2 ⋯+ 𝑎𝑛


TIPOS DE FORMAS CANÓNICAS

Existen diferentes formas para representar el sistema discreto

definido por las ecuaciones dadas.

Las más utilizadas son las llamadas formas canónicas a saber:

• Forma canónica controlable (FCC).

• Forma canónica observable (FCO).

• Forma canónica diagonal (FCD).

• Forma canónica de Jordan (FCJ).


FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto

definido por las funciones de transferencia dadas se puede expresar en

la forma:

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)𝑥3(𝑘 + 1)

∙∙

𝑥𝑛(𝑘 + 1)

=

−𝑎1 −𝑎2 ∙ −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛1 0 ∙ 0 00 1 ∙ 0 0∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙0 0 ∙ 1 0

𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)𝑥3(𝑘)

∙∙

𝑥𝑛(𝑘)

+

10∙∙00

𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑜 𝑏2 − 𝑎2𝑏𝑜 ∙ 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛𝑏𝑜

𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)

∙∙

𝑥𝑛−1(𝑘)𝑥𝑛(𝑘)

+ 𝑏𝑜𝑢(𝑘)


FORMA CANÓNICA OBSERVABLE

La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto,

definido por las funciones de transferencia dadas, se puede expresar en la

forma:

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)

∙∙

𝑥𝑛−1(𝑘 + 1)𝑥𝑛(𝑘 + 1)

=

−𝑎1 1 0 ∙ 0−𝑎2 0 1 ∙ 0

∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙

−𝑎𝑛−1 0 0 ∙ 1−𝑎𝑛 0 0 ∙ 0


∙∙


+

𝑏1 − 𝑎1𝑏𝑜𝑏2 − 𝑎2𝑏𝑜

∙∙

𝑏𝑛−1 − 𝑎𝑛−1𝑏𝑜𝑏𝑛 − 𝑎𝑛𝑏𝑜

𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 1 0 0 ∙ 0


∙∙


+ 𝑏𝑜𝑢(𝑘


FORMA CANÓNICA DIAGONAL

Si los polos de la función de transferencia de pulso dada son todos distintos, es decir, si ella

se puede expandir en fracciones parciales en la forma:

𝐺 𝑧 =𝐶1

𝑧 − 𝑝1+

𝐶2𝑧 − 𝑝2

+ ⋯𝐶𝑛

𝑧 − 𝑝𝑛+ 𝑏𝑜

La representación en el espacio de estado definido se puede expresar en la forma:

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)

∙∙∙

𝑥𝑛(𝑘 + 1)

=

𝑝1 0 ∙ 0 00 𝑝2 ∙ 0 00 0 ∙ 0 0∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙0 0 ∙ 0 𝑝𝑛


∙∙∙

𝑥𝑛(𝑘)

+

11∙∙∙1

𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶1 𝐶2 ∙ ∙ 𝐶𝑛

𝑥1 𝑘

𝑥2 𝑘∙∙∙

𝑥𝑛 𝑘

+ 𝑏𝑜𝑢 𝑘


FORMA CANONICA DE JORDAN

Si al descomponer en fracciones parciales la función de transferencia dada se obtiene un polo

múltiple de orden 𝑟 en 𝑧 = 𝑝1 y todos los demás polos son distintos, es decir:

𝐺 𝑧 =𝐶1

(𝑧 − 𝑝1)𝑟+

𝐶2(𝑧 − 𝑝1)

𝑟−1+ ⋯

𝐶𝑟𝑧 − 𝑝1

+𝐶𝑟+1

𝑧 − 𝑝𝑟+1+

𝐶𝑟+2𝑧 − 𝑝𝑟+2

+ ⋯𝐶𝑛

𝑧 − 𝑝𝑛+ 𝑏0

La representación en el espacio de estado se puede expresar en la forma

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)

∙𝑥𝑟(𝑘 + 1)

𝑥𝑟+1(𝑘 + 1)∙∙

𝑥𝑛(𝑘 + 1)

=

𝑝1 1 0 00 𝑝1 1 0∙ ∙ ∙ ∙0 0 0 𝑝10 0 ∙ 0∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙0 0 ∙ 0

0 ∙ 00 ∙ 0∙ ∙ 00 ∙ 0

𝑝𝑟+1 ∙ 00 ∙ 0∙ ∙ ∙0 ∙ 𝑝𝑛


∙𝑥𝑟(𝑘)

𝑥𝑟+1(𝑘)∙∙

𝑥𝑛(𝑘)

+

00∙11∙∙1

𝑢

𝑦 𝑘 = 𝐶1 𝐶2 ∙ ∙ 𝐶𝑛

𝑥1 𝑘

𝑥2 𝑘∙∙∙

𝑥𝑛 𝑘

+ 𝑏𝑜𝑢 𝑘


EJEMPLO

Obtenga tres representaciones en el espacio de estado para el sistema descrito

mediante la ecuación en diferencias dada. Considere condiciones iniciales

iguales a cero.

𝑦 𝑘 − 1.3 𝑘 − 1 + 0.4𝑦 𝑘 − 2 = 𝑢 𝑘 − 1 + 0.5𝑢(𝑘 − 2)

Tomando la transformada z:

1 − 1.3𝑧−1 + 0.4𝑧−2 𝑌 𝑧 = 𝑧−1 + 0.5𝑧−2 𝑈(𝑧)

La función de transferencia es:


𝑈(𝑧)=

𝑧−1 + 0.5𝑧−2

1 − 1.3𝑧−1 + 0.4𝑧−2∴

𝑏0 = 0 𝑏1 = 1 𝑏2 = 0.5

𝑎1= −1.3 𝑎2 = 0.4


SOLUCIÓN

a) FORMA CANÓNICA CONTROLABLE (FCC)

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)

=1.3 −0.41 0


+10

𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0.5𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)

b) FORMA CANÓNICA OBSERVABLE (FCO)

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)

=1.3 1

−0.4 0


+1

0.5𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0


c) FORMA CANÓNICA DIAGONAL (FCD)


𝑈(𝑧)=

𝑧−1 + 0.5𝑧−2

1 − 1.3𝑧−1 + 0.4𝑧−2=

4.333

𝑧 − 0.8−

3.333

𝑧 − 0.5

𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)

=0.8 00 0.5


+11

𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 4.333 −3.333𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)


FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA UN SISTEMA CONTINUO

La representación en el espacio de estado de un sistema continuo es:

ሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡

Tomando la transformada de Laplace con CI=0 se obtiene𝑆𝑋 𝑆 = 𝐴𝑋 𝑆 + 𝐵𝑈(𝑆)

𝑆𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑆 = 𝐵𝑈(𝑆)

Despejando 𝑋(𝑆) :𝑋 𝑆 = 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈(𝑆)

Es decir:𝑌 𝑆 = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈 𝑆 + 𝐷𝑈 𝑆

Como 𝑢(𝑡) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑡) su salida, la función de transferencia es:

𝐺 𝑆 =𝑌(𝑆)

𝑈(𝑆)= 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷


ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA CONTINUO

Por definición:

𝐴−1 =𝐴𝑑𝑗(𝐴)

𝑑𝑒𝑡(𝐴)=

𝐴𝑑𝑗(𝐴)

𝐴Para la expresión:


𝑈(𝑆)= 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵

Se obtiene:


𝑈(𝑆)= 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵 =

𝐶 ∗ 𝐴𝑑𝑗 𝑆𝐼 − 𝐴 ∗ 𝐵

𝑆𝐼 − 𝐴

La ecuación característica del sistema es:

𝑆𝐼 − 𝐴 = 𝑆𝑛 + 𝛼1𝑆𝑛−1 + 𝛼2𝑆

𝑛−2 + ⋯𝛼𝑛 = 0


FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DISCRETO

La representación en el espacio de estado de un sistema discreto es:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘

Tomando la transformada z con CI=0 se obtiene:

𝑧𝑋 𝑧 = 𝐴𝑋 𝑧 + 𝐵𝑈(𝑧)𝑧𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑧 = 𝐵𝑈(𝑧)

Despejando 𝑋 𝑧 :𝑋 𝑧 = 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈(𝑧)

Es decir:

𝑌 𝑧 = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵𝑈 𝑧 + 𝐷𝑈 𝑧Como 𝑢(𝑘) es la entrada al sistema e 𝑦(𝑘) su salida, la función detransferencia es:


𝑈(𝑧)= 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷


ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA DISCRETO

Por definición:

𝐴−1 =𝐴𝑑𝑗(𝐴)

𝐷𝑒𝑡(𝐴)=

𝐴𝑑𝑗(𝐴)

𝐴Para la expresión:


𝑈(𝑧)= 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵

Se obtiene:


𝑈(𝑧)= 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵 =

𝐶 ∗ 𝐴𝑑𝑗 𝑧𝐼 − 𝐴 ∗ 𝐵

𝑧𝐼 − 𝐴

La ecuación característica del sistema es:

𝑧𝐼 − 𝐴 = 𝑧𝑛 + 𝛼1𝑧𝑛−1 + 𝛼2𝑧

𝑛−2 + ⋯𝛼𝑛 = 0


EJEMPLOHallar la función de transferencia de pulso del sistema cuyo comportamiento

dinámico está descrito mediante la ecuación:

𝑥 𝑘 + 1 =0.8 0.5

−0.4 0.3𝑥 𝑘 +

0.60.6

𝑢(𝑘) 𝑦 𝑘 = 1 0.5 𝑥(𝑘)

La función de transferencia del sistema es:


𝑈(𝑧)= 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵

𝑧𝐼 − 𝐴 =𝑧 00 𝑧

−0.8 0.5

−0.4 0.3=

𝑧 − 0.8 −0.50.4 𝑧 − 0.3

𝑧𝐼 − 𝐴 −1 =𝑎𝑑𝑗(𝐴)

𝑧𝐼 − 𝐴=

𝑧 − 0.3 0.5−0.4 𝑧 − 0.8

𝑧 − 0.8 𝑧 − 0.3 + 0.2=

𝑧 − 0.3 0.5−0.4 𝑧 − 0.8

𝑧2 − 1.1𝑧 + 0.44

𝐺 𝑧 = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵 =1 0.5

𝑧 − 0.3 0.5−0.4 𝑧 − 0.8

0.60.6

𝑧2 − 1.1𝑧 + 0.44

𝐺 𝑧 =0.9𝑧 − 0.24

𝑧2 − 1.1𝑧 + 0.44


DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

• El diseño de un sistema de control digital consiste en determinar un

algoritmo que permita generar una secuencia de valores de las

variables de control de la planta 𝑢(𝑘), de manera que las salidas

𝑦(𝑘) cumplan con las especificaciones de funcionamiento

establecidas.

• En esta sección se presenta el diseño de controladores en el

espacio de estado, utilizando el método de asignación de polos.

Para su aplicación se requiere que el sistema sea completamente

controlable y completamente observable.


CONTROLABILIDAD

Sea el sistema discreto:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘


Se dice que dicho sistema es de “estado completamente

controlable”, si es posible transferir el sistema desde un estado

inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado en un intervalo

de tiempo finito mediante la aplicación de una señal de control,

no restringida, 𝑢(𝑘𝑇).


CONDICIÓN DE CONTROLABILIDAD

El sistema descrito por la ecuación:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘


Es controlable si:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 ⋯ 𝐴𝑛−1𝐵 = 𝑛

Siendo 𝑛 × 𝑛 el orden de la matriz A.

Una condición suficiente y necesaria para la controlabilidad completa del

estado, es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función

de transferencia del sistema.


OBSERVABILIDAD

Sea el sistema discreto definido por:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘


Se dice que dicho sistema es de “estado complemente

observable” si cualquier estado inicial 𝑥(0) puede determinarse

a partir de la observación de 𝑦(𝑘) en 𝑛 períodos de muestreo

como máximo.


CONDICIÓN DE OBSERVABILIDAD

El sistema discreto definido por la ecuación:𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘Es de estado completamente observable sí:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

𝐶𝐶𝐴𝐶𝐴2

⋮𝐶𝐴𝑛−1

= 𝑛

Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completa

del estado es que no se presente cancelación de ceros y polos en la

función de transferencia de pulso.


EJEMPLO DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Dado el sistema en tiempo discreto definido por:

𝑥 𝑘 + 1 =0 1 00 0 1

−0.5 −0.4 −0.8𝑥 𝑘 +

100

𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 = 1 0 0 𝑥 𝑘

a) Es el sistema completamente controlable?

b) Es el sistema completamente observable?

Solución:

a) La matriz de controlabilidad es: 𝐶𝑜 = 𝐵 𝐴. 𝐵 𝐴2. 𝐵

𝐶𝑜 =1 0 00 0 −0.50 −0.5 0.4

det 𝐶𝑜 = −0.25 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐶𝑜 = 3

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒


MATRIZ DE OBSERVBILIDAD

b) La matriz de observabilidad para el sistema dado es:

𝑂𝑏=𝐶𝐶𝐴𝐶𝐴2

𝑂𝑏 =1 0 00 1 00 0 1

det 𝑂𝑏 = 1 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑂𝑏 = 3

𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒.

NOTA: Tener en cuenta que las matrices son de orden 3.


CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y ASIGNACIÓN DE POLOS

• El método de asignación de polos, comienza con ladeterminación de los polos de lazo cerrado deseados,utilizando especificaciones basadas en la respuestatransitoria y/o en los requerimientos de respuesta enfrecuencia.

• Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en 𝑧 = 𝑧1, 𝑧 =𝑧2, … 𝑧 = 𝑧𝑛 es posible elegir una matriz de ganancia derealimentación K adecuada, que force al sistema a tener lospolos de lazo cerrado en el lugar deseado siempre y cuandoel sistema sea de estado completamente controlable ycompletamente observable.


CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO

Sea el sistema de control en lazo abierto de la fig a, definido por laecuación de estado:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘

Si se elige como ley de control:

𝑢 𝑘 = −𝐾𝑥 𝑘

Se obtiene el sistema de control realimentado de la fig b. A esteesquema se le denomina “sistema con realimentación de estado”.

Sistema en lazo abierto Sistema en lazo cerrado

u(k)B

+

+

x(k+1) x(k)z-1I

A

-K

b.


MATRIZ DE REALIMENTACIÓN KLa matriz 𝐾 = 𝑘1 𝑘2 ⋯ 𝑘𝑛 se llama “matriz de ganancia derealimentación” y convierte al sistema en un sistema de control en lazo

cerrado, con sus polos ubicados en el lugar deseado.Reemplazando la ley de control: 𝑢 𝑘 = −𝐾𝑥(𝑘):

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 − 𝐵𝐾𝑥(𝑘)

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝑥 𝑘

Tomando la transformada z a la ecuación se obtiene:

𝑧𝑋 𝑧 − 𝑧𝑥 0 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝑋(𝑧)

𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 𝑋 𝑧 = 𝑧𝑥 0

𝑋 𝑧 =𝑧. 𝑎𝑑𝑗 𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 . 𝑥(0)

𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾Así, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:

𝑧𝐼 – 𝐴 + 𝐵𝐾 = 𝑧𝑛 + 𝛼1𝑧𝑛−1 + 𝛼2𝑧

𝑛−2 ⋯+ 𝛼𝑛−1𝑧 + 𝛼𝑛 = 0

En donde 𝛼1, 𝛼2, ⋯𝛼𝑛 son los coeficientes de la ecuación característica deseada.


CÁLCULO DE LA MATRIZ DE GANACIA DE REALIMENTACIÓN K

La matriz de ganancia de realimentación 𝐾 se puede obtener por

diferentes métodos. Uno de los más utilizados es el de la Formula de

Ackerman el cual permite calcular directamente la matriz de ganancia

de realimentación, a partir de la ecuación:

𝐾 = 0 0 ⋯ 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 ⋯ 𝐴𝑛−1𝐵 −1𝜙 𝐴

En donde:

𝜙 𝐴 = 𝐴𝑛+𝛼1𝐴𝑛−1 + 𝛼2𝐴

𝑛−2 ⋯+ 𝛼𝑛−1𝐴 + 𝛼𝑛𝐼

Siendo 𝛼1, 𝛼2 ⋯𝛼𝑛 los coeficientes de la ecuación característica

deseada:

𝑧 − 𝑧1 𝑧 − 𝑧2 . . 𝑧 − 𝑧𝑛 = 𝑧𝑛 + 𝛼1𝑧

𝑛−1 + 𝛼2𝑧𝑛−2 ⋯+ 𝛼𝑛−1𝑧 + 𝛼𝑛 = 0


SISTEMA CON REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y ENTRADA DE REFERENCIA

El sistema de control anterior no tiene entrada de referencia. Este tipo de

control se denomina “sistema de control tipo regulador”. En la mayoría

de los casos, es necesario que la salida 𝑦(𝑘) siga a una entrada de

referencia 𝑟(𝑘) , este sistema se denomina “sistema de control tipo

Servo” y su configuración básica se muestra en la figura

u(k)B

++

x(k+1) x(k)z-1I

A

-K

++

r(k)Ko

v(k) y(k)C


CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko

Considerando el sistema de la figura anterior, se tiene:

Co𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝑐𝑥(𝑘)

La señal de control está dada por:

𝑢(𝑘) = 𝐾𝑜𝑟(𝑘) − 𝐾𝑥(𝑘)

En donde 𝐾𝑜 es una constante que se debe determinar y r(k) es la referencia.

𝑌(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵𝐾𝑜𝑅(𝑧)

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

𝐺𝑤(𝑧) =𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)= 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵𝐾𝑜 =

𝐾0𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)

Para obtener error de estado estable igual a cero se debe cumplir que: 𝑦𝑆𝑆 = 𝑟

por lo tanto:

𝐾𝑜 lim𝑍→1

𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵 = 1 𝐾0 ∗ lim𝑧→1

𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)= 1


EJEMPLOLa dinámica del sistema de flujo que se muestra en la figura 2.2 está dada por:

𝐺𝑓(𝑆) =2.372𝑒−0.45𝑆

1.64𝑆 + 1

Obtener para este proceso: a) la matriz de ganancia de realimentación de modo que

el sistema en lazo cerrado, tenga un tiempo de establecimiento de 3 𝑠 y coeficiente

de amortiguamiento igual a 0.8. b) El factor de corrección de error 𝐾𝑜 para que el

error de estado estable sea igual a cero.

Asuma que el período de muestreo es 𝑇 = 0.3 𝑠.


SOLUCIÓNLa función de transferencia de pulso del sistema, con 𝑇 = 0.3 𝑠 está dada por:

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑧−𝑁ℑ𝑚 𝐺(𝑆)

𝑆 𝐺(𝑆) =

2.372

1.64𝑆 + 1

𝐻𝐺(𝑧) =0.2073𝑧 + 0.1892

𝑧3 − 0.8328𝑧2=

0.2073(𝑧 + 0.9126)

𝑧2(𝑧 − 0.8328)

La representación en el espacio de estado en tiempo discreto es:

𝑥(𝑘 + 1) = 0.8323 0 0

1 0 00 1 0

𝑥(𝑘) + 100 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 0 0.2073 0.1892 𝑥(𝑘)

La ubicación de los polos de lazo cerrado deseados se obtiene a partir de las

especificaciones de tiempo de establecimiento y coeficiente de amortiguamiento

requerido así:

𝑡𝑠 =4

𝜉𝑤𝑛 𝑤𝑛 =

4

𝜉𝑡𝑠=

4

0.8 ∗ 3 𝑤𝑛 = 1.66 𝑟𝑎𝑑/𝑠


SOLUCIÓN

La ubicación de los polos se obtiene con las ecuaciones::

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 = 𝑒−0.8∗1.66∗0.3 = 0.671 Para diseño 𝑧 < 1

𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2 = 57.3 ∗ 1.66 ∗ 0.3 ∗ 1 − 0.82 = 17.12𝑜 Para diseño 0° ≤ 𝜃 ≤ 80°

𝑧 = 𝑧 (𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑧 = 0.671(cos 17.12º ± 𝑗 sin 17.12º) = 0.641 ± 𝑗0.197

Los polos de lazo se ubican en:

𝑧 = 0.641 + 𝑗0.197 y 𝑧 = 0.641 − 𝑗0.197.

El tercer polo se asigna en 𝑧 = 0.05 de modo que no sea polo dominante.

La ecuación característica está dada por:

(𝑧 − 0.641 − 𝑗0.197)(𝑧 − 0.641 + 𝑗0.197)(𝑧 − 0.05) = 0

𝑧3 − 1.332𝑧2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 0


CÁLCULO DE LA MATRIZ K

Utilizando la Fórmula de Ackerman:

𝐾 = 0 0 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 −1𝜙(𝐴)

La ecuación característica deseada dio: 𝑧3 − 1.332𝑧2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 0

Entonces:

𝜙(𝐴) = 𝐴3 − 1.332𝐴2 + 0.5137𝐴 − 0.0224𝐼 = 0.0589 0 00.0977 −0.0224 0

−0.4997 0.5137 −0.0224

𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 = 1 0.8323 0.69270 1 0.83230 0 1

𝐾 = 0 0 1 1 0.8323 0.69270 1 0.83230 0 1

−1

0.0589 0 00.0977 −0.0224 0

−0.4997 0.5137 −0.0224

𝐾 = −0.4997 0.5137 −0.0224 Luis Edo García Jaimes


𝐾𝑜 lim𝑧→1

𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵 = 1

𝐺𝑤(𝑧) = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 −1𝐵 =

0.2073(𝑧 + 0.9126)

𝑧3 − 1.332𝑧2 + 0.5137𝑧 − 0.0224


0.2073(𝑧 + 0.9126)

𝑧3 − 1.332𝑧2 + 0.5137𝑧 − 0.0224 = 1 𝐾𝑜 = 0.4

Sin factor de corrección Con factor de corrección 𝐾𝑜 = 0.4


0BSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO

En la práctica, no todas las variables de estado de un sistema se pueden medir en

forma directa. Este hecho hace necesario estimar el valor de aquellas variables de

estado cuya medición directa no es posible.

El sistema que posibilita la estimación se denomina “Observador o estimador de

estado”.

El observador de un sistema dinámico lineal en tiempo discreto es otro sistema

dinámico lineal en tiempo discreto que tiene como entradas la entrada y la salida

del sistema discreto y como salida, los valores de las variables de estado.


TIPOS DE OBSERVADORESPara resolver el problema de la observación son posibles dos soluciones:

a. Utilizar un observador tipo predictor que permite obtener el estado del

sistema en el instante (𝑘 + 1), estimando 𝑥(𝑘 + 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y

de la salida 𝑦(𝑘).

b. Utilizar un observador corriente que permite obtener el estado del sistema

en el instante (𝑘 + 1) estimando 𝑥(𝑘 + 1) a partir de la entrada 𝑢(𝑘) y de la

salida 𝑦(𝑘 + 1)

Las figuras representan, los dos tipos de observadores.

Observadores de estado a) Tipo Predictor b) Tipo Corriente Luis Edo García Jaimes

OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR

Para obtener las ecuaciones que describen a este observador, se supone que el

estado real del sistema 𝑥(𝑘) no puede medirse directamente.

Si el estado 𝑥(𝑘) debe estimarse, es necesario que el estado estimado 𝑞(𝑘) y el

estado real 𝑥(𝑘) sean iguales.

La figura ilustra cómo se realiza la estimación de los estados.

Observador de estado tipo predictor


ECUACIÓN DEL OBSERVADOR TIPO PREDICTOR

La planta está descrita mediante la ecuación:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘)

De la figura del observador se deduce que el sistema tiene dos entradas 𝑢(𝑘) e

𝑦(𝑘), entonces, su ecuación se puede escribir en la forma:

𝑞(𝑘 + 1) = 𝐹𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘) + 𝐻𝑢(𝑘)

En donde 𝐹, 𝐿 y 𝐻 son matrices desconocidas.

Para que 𝑞(𝑘) = 𝑥(𝑘). Las matrices 𝐹, 𝐿 y 𝐻 deben cumplir que:

𝐻 = 𝐵 y 𝐴 = 𝐹 + 𝐿𝐶.

Entonces, la ecuación del observador predictor, se puede escribir en la forma:

𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶)𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

La matriz 𝐿 se denomina Matriz de ganancia de realimentación del observador.

La ecuación característica del observador es:

𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿. 𝐶 = 0


DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON EL OBSERVADOR TIPO PREDICTOR

La figura representa el sistema de control con la matriz de ganancia de

realimentación 𝐾 y el observador de estado incluidos.

Bx(k+1)

z-1x(k)

Cy(k)

++

A

-K

Cz-1

A

L

B+

++

+

+

-

u(k)

q(k+1) q(k) y(k)^

La ley de control es 𝑢(𝑘) = − 𝑘𝑞(𝑘) así la ecuación del observador tipo predictor

de orden completo se puede escribir en la forma:

𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾)𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘) Luis Edo García Jaimes

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DEL CONTROLADORUna vez obtenida la matriz de ganancia de realimentación 𝐾 y la matriz de ganancia

del observador 𝐿, es posible obtener la función de transferencia de pulso del

controlador. Para este controlador, la entrada es −𝑌(𝑧) y la salida 𝑈(𝑧).

La ecuación del observador de estado es:

𝑞(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾)𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘)

Tomando la transformada z a esta ecuación del observador con CI=0

𝑧𝑄(𝑧) = 𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 𝑄(𝑧) + 𝐿𝑌(𝑧)

𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 𝑄(𝑧) = 𝐿𝑌(𝑧)

𝑄(𝑧) = 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧)

La ley de control es: 𝑢(𝑘) = −𝐾𝑞(𝑘) 𝑈(𝑧) = −𝐾𝑄(𝑧)

Entonces: 𝑈(𝑧) = −𝐾𝑄(𝑧) = −𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧)

𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)= 𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿

Esta ecuación permite estimar la función de transferencia de pulso del controlador. Luis Edo García Jaimes

FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR

Si se desea tener error de estado estable igual a cero, ante una entrada en escalón,

es necesario adicionar un factor de corrección de error 𝐾𝑜 en el circuito del set-point

+-

R(z)Ko HG(z)

D(z)

Y(z)

Sistema de control por realimentación de estados con factor de corrección

de error en el circuito del set-point

De la figura se obtiene

𝐺𝑤(𝑧) =𝑌(𝑧)

𝑅(𝑧)=

𝐾0𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)

Para que el error sea cero debe cumplirse que 𝑦(∞) = 𝑟(𝑡), por lo tanto:

𝐾0 ∗ lim𝑧→1

𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)= 1


EJEMPLODado el sistema de control en tiempo discreto mostrado en la figura a) Hallar la

matriz de ganancia 𝐾 de modo que la respuesta del sistema en lazo cerrado tenga

máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 4 s. b) Diseñar un observador

adecuado para el sistema. c) obtener la ecuación del controlador y la respuesta

del sistema ante una entrada en escalón unitario. Asuma que el período de

muestreo es 1 s.

SOLUCIÓN: Con 𝑇 = 1 𝑠, la función de transferencia de pulso del sistema es:

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 𝐺𝑝(𝑆) =

0.25

𝑆(𝑆 + 0.1)

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 0.25

𝑆2(𝑆 + 0.1) 𝐻𝐺(𝑧) =

0.1209(𝑧 + 0.9672)

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.9048)

𝐻𝐺(𝑧) =0.1209𝑧 + 0.1169

𝑧2 − 1.9048𝑧 + 0.9048


SOLUCIÓN: UBICACIÓN DE POLOS

La representación del sistema en su forma canónica controlable es:

𝑥(𝑘 + 1) = 1.9048 −0.9048

1 0 𝑥(𝑘) +

10 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 0.1209 0.1169 𝑥(𝑘)

a) Ubicación de los polos de lazo cerrado deseados para estimar la matriz de

ganancia de realimentación 𝐾.

𝑀𝑝 = 𝑒−𝜋𝜉 1−𝜉2 𝜉 = −

ln(𝑀𝑝)

𝜋2 + (ln(𝑀𝑝))2 𝜉 = 0.59

𝑡𝑝 =𝜋

𝑤𝑛 1 − 𝜉2 𝑤𝑛 =

𝜋

𝑡𝑝 1 − 𝜉2 𝑤𝑛 = 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠

La ubicación de los polos deseados es por lo tanto:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝑧 = 0.563

𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝜃 = 45𝑜 𝑧 = 0.398 ± 𝑗0.398


SOLUCIÓN: CÁLCULO DE LA MATRIZ K

La ecuación característica deseada para el sistema es, entonces:

(𝑧 − 0.398 − 𝑗0.398)(𝑧 − 0.398 + 𝑗0.398) = 𝑧2 − 0.796𝑧 + 0.3168 = 0

Utilizando la fórmula de Ackerman:

𝐾 = 0 1 𝐵 𝐴𝐵 −1𝜙(𝐴)

𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 0.796𝐴 + 0.3168𝐼 𝜙(𝐴) = 1.5241 −1.00321.1088 −0.5880

𝐵 𝐴𝐵 = 1 1.90480 1

𝐾 = 0 1 1 1.90480 1

−1

1.5241 −1.00321.1088 −0.5880

𝐾 = 1.1088 −0.588 Luis Edo García Jaimes

UBICACIÓN DE POLOS PARA EL OBSERVADOR

Para diseñar el observador, se recomienda que su coeficiente de amortiguamiento

sea igual al seleccionado para el cálculo de la matriz 𝐾 y que su velocidad angular

sea mayor que la del sistema. Sea 𝜉 = 0.59 y 𝑤𝑛 = 1.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. (La velocidad

angular para el diseño de la matriz 𝐾 fue 𝑤𝑛 = 0.972 𝑟𝑎𝑑/𝑠). Con estos parámetros,

la ubicación de los polos deseados para el observador es:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝑧 = 0.412

𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝜃 = 69.4 𝑜

Es decir, los polos deseados son 𝑧 = 0.145 ± 𝑗0.385.

La ecuación característica deseada para el observador es:

(𝑧 − 0.145 − 𝑗0.385)(𝑧 − 0.145 + 𝑗0.385) = 𝑧2 − 0.29𝑧 + 0.16925 = 0


CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR LUtilizando la fórmula de Ackerman:

𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶𝐶𝐴

−1

01

𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 0.29𝐴 + 0.16925𝐼 = 2.3404 −1.46121.6148 −0.7356

𝐶𝐶𝐴

= 0.1209 0.11690.3472 −0.1093

𝐿 = 2.3404 −1.46121.6148 −0.7356

0.1209 0.11690.3472 −0.1093

−1

01

𝐿 = 8.36345.1586

La ecuación del observador está dada por:

𝑞(𝑘 + 1) = 𝐴 − 𝐿𝐶 − 𝐵𝐾 𝑞(𝑘) + 𝐿𝑦(𝑘)

𝑞(𝑘 + 1) = 0.2155 −1.29490.3761 −0.6033

𝑞(𝑘) + 8.36345.1586

𝑦(𝑘)


CÁLCULO DE LA FTP DEL CONTROLADOR

La ecuación del controlador está dada por:

𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)= 𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿

𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 = 𝑧 + 0.2151 1.2944−0.3764 𝑧 + 0.6030

𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1 = 𝑧 + 0.6030 −1.2944

0.3764 𝑧 + 0.2151

𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171

𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)=

1.1088 −0.588 𝑧 + 0.6030 −1.2944

0.3764 𝑧 + 0.2151

8.36345.1586

𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171

𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)=

6.2403(𝑧 − 0.6916)

𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171



Para que el error sea cero debe cumplirse que:

𝐾0 ∗ lim𝑧→1

𝐺𝑤(𝑧) = 1 𝐾0 ∗ lim𝑧→1

𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)= 1

Con

𝐻𝐺(𝑧) =0.1209𝑧 + 0.1169

𝑧2 − 1.9048𝑧 + 0.9048 𝑦 𝐷(𝑧) = −

𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)=

6.2403(𝑧 − 0.6916)

𝑧2 + 0.8188𝑧 + 0.6171

Resulta:

𝐺𝑤(𝑧) =0.1209𝑧3 + 0.216𝑧2 + 0.1704𝑧 + 0.07219

𝑧4 − 1.086𝑧3 + 0.7169𝑧2 − 0.2266𝑧 + 0.05362

Para el caso del ejemplo se tiene:

𝐾𝑜 ∗ lim𝑧→1

(0.1209𝑧3 + 0.216𝑧2 + 0.1704𝑧 + 0.07219)

𝑧4 − 1.086𝑧3 + 0.7169𝑧2 − 0.2266𝑧 + 0.05362

1.265𝐾𝑜 = 1 𝐾𝑜 = 0.79 Luis Edo García Jaimes

RESPUESTAS DEL SISTEMA CONTROLADO CON Y SIN FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR

Respuesta sin factor de corrección Respuesta con factor de corrección


SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADORLa figura muestra un sistema de control por realimentación del estado en el cual se

utiliza un integrador adicional para estabilizar adecuadamente el sistema y mejorar

su exactitud

Bx(k+1)

z-1x(k)

Cy(k)

++

A

K1

Cz-1

A

L

B+

++

+

+-

u(k)

q(k+1) q(k) y(k)^

K1q(k)

+-

K i

z-1

++

+-

r(k) v(k)

Sistema tipo servo con integrador Luis Edo García Jaimes

DISEÑO DEL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR

La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son,

respectivamente:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘)

La ley de control para el sistema es:

𝑢(𝑘) = −𝐾1𝑥(𝑘) + 𝐾𝑖𝑣(𝑘)

𝑣(𝑘) = 𝑟(𝑘) − 𝑦(𝑘) + 𝑣(𝑘 − 1)

Para realizar el diseño, utilizando la técnica de asignación de polos, se debe estimar

la matriz 𝐾𝑖 correspondiente al integrador y la matriz 𝐾1 correspondiente a la matriz

de ganancia de realimentación.


ECUACIONES DE DISEÑO PARA EL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR

Para el cálculo de las matrices 𝐾1 y 𝐾𝑖 se utiliza la ecuación:

𝐾1 ⋮ 𝐾𝑖 = 𝐾 + 0 ⋮ 𝐼𝑚 𝐴 − 𝐼𝑛

𝐶𝐴

𝐵

𝐶𝐵 −1

𝐾 = 0 0 ⋯ 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 2𝐵 ⋯ 𝐴 𝑛−1𝐵 −1

𝜙 𝐴

∅ 𝐴 = 𝐴 𝑛 + 𝛼1𝐴 𝑛−1 + 𝛼2𝐴

𝑛−2 + ⋯ 𝛼𝑛𝐼

𝛼1 , 𝛼2 …𝛼𝑛 : son los coeficientes de la ecuación característica deseada.

𝐴 = 𝐴

0 𝐵

0 (𝑛+𝑚)×(𝑛+𝑚)

𝐵 = 0

𝐼𝑚

(𝑛+𝑚)×𝑚

Conocidas las matrices 𝐾1 y 𝐾𝑖 , la ley de control para el sistema está dada por:

𝑈(𝑧) = 1 + 𝐾1 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶

−1𝐵 −1 𝐾𝑖𝑧 𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧) − 𝐾1(𝑧 − 1) 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧)

𝑧 − 1

La matriz 𝐿, correspondiente a la matriz de ganancia del observador, se calcula en

la misma como la del observador de orden completo con la fórmula de Ackerman. Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO DISEÑO SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADORSea el tanque con agitador representado en la figura.

El objetivo es controlar la temperatura 𝑇𝑜 del fluido de salida 𝑓𝑜 , manipulando el

caudal de vapor 𝑞𝑖 que pasa a través del serpentín. Mediante la aplicación de una

entrada en forma de escalón, se obtuvo la función de transferencia:

𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 (%)

Flujo de vapor (%)=

𝑇0(𝑆)

𝑄𝑖(𝑆)=

2.5𝑒−20.3𝑆

75.4𝑆 + 1

Diseñe para el sistema un controlador tipo servo con integrador para regular la

temperatura del tanque. (Tiempo en s) Luis Edo García Jaimes

SOLUCIÓN: DISCRETIZACIÓN DEL SISTEMA

Selección del periodo de muestreo:

0.2(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃′) ≤ 𝑇 ≤ 0.6(𝜏𝑒𝑞 + 𝜃

′ )

𝜏𝑒𝑞 = Constante de tiempo equivalente del sistema en lazo cerrado sin el retardo.

𝜏𝑒𝑞 = 21.54𝑠. 8.36 ≤ 𝑇 ≤ 25.1 Se asume 𝑇 = 21 𝑠

𝐺𝑝(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑧−𝑁ℑ𝑚

𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 𝐺𝑝(𝑧) = (1 − 𝑧

−1)ℑ𝑚 2.5

𝑆(75.4𝑆 + 1)

𝐺𝑝(𝑧) =0.0329𝑧 + 0.5747

𝑧(𝑧 − 0.7569)=

0.0329𝑧 + 0.5747

𝑧2 − 0.7569𝑧

Se representa el sistema en FCO:

𝑥(𝑘 + 1) = 0.7569 1

0 0 𝑥(𝑘) +

0.03290.5747

𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘) = 1 0 𝑥(𝑘)


CÁLCULO DE LA MATRIZ

La matriz 𝐾 , que permite calcular a la matriz de realimentación 𝐾1 y a la matriz del

integrador 𝐾𝑖 se calcula a partir de la ecuación:

𝐾 = 0 0 ⋯ 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 2𝐵 ⋯ 𝐴𝑛−1𝐵 −1𝜙(𝐴 )

𝐴 = 𝐴

0 𝐵

0 =

0.7569 10 0

0 0

0.03290.5747

0 𝐵 =

0𝐼𝑚

= 001

𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 2𝐵 = 0 0.0329 0.59960 0.5147 01 0 0

𝜙 𝐴 = 𝐴 3 + 𝛼1𝐴 2 + 𝛼2𝐴 + 𝛼3𝐼

La ubicación de los polos para la matriz 𝐾 , se obtiene con las ecuaciones:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃

Estos polos permiten el obtener la ecuación característica y por lo tanto el de los

coeficientes 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 Luis Edo García Jaimes

UBICACIÓN DE LOS POLOS PARA LA MATRIZ K

El tiempo de establecimiento del sistema en lazo abierto es: 𝑡𝑠𝐿𝐴 = 4𝜏 = 301.6 𝑠

Se selecciona el tiempo de establecimiento: 0.3𝑡𝑠𝐿𝐴 ≤ 𝑡𝑠 ≤ 0.8𝑡𝑠𝐿𝐴 𝑡𝑠 = 225 𝑠

Se selecciona el coeficiente de amortiguamiento: 0.6 ≤ 𝜉 ≤ 0.9 𝜉 = 0.8

La ubicación de los polos es:

𝑧 = 𝑒−𝜉𝑤𝑛𝑇 𝜃 = 57.3𝑤𝑛𝑇 1 − 𝜉2 𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑡𝑠 =4

𝜉𝑤𝑛 𝑤𝑛 =

4

𝜉𝑡𝑠=

4

0.8 ∗ 225 𝑤𝑛 = 0.0222 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑧 = 𝑒−0.8∗0.0222∗21 = 0.688 𝜃 = 57.3 ∗ 0.0222 ∗ 21 ∗ 1 − 0.82 = 16.02°

Polos están ubicados en 𝑧 = 0.661 ± 𝑗0.1898. Se adiciona un tercer polo en 𝑧 = 0

La ecuación característica es:

(𝑧 − 0.661 − 𝑗0.1898)(𝑧 − 0.661 + 𝑗0.1898)𝑧 = 𝑧3 − 1.322𝑧2 + 0.4729𝑧 = 0


CÁLCULO DE LAS MATRICES K1 Y Ki

Con la ecuación característica obtenida resulta:

𝜙 𝐴 = 𝐴 3 − 1.322𝐴 2 + 0.4729𝐴 = 0.0342 0.0451 −0.3232

0 0 0.27370 0 0

𝐾 = 0 0 1 0 0.0329 0.59960 0.5147 01 0 0

−1

0.0342 0.0451 −0.3232

0 0 0.27370 0 0

𝐾 = 0.05702 0.0753 −0.5651

𝐾1 𝐾𝑖 = 𝐾 + 0 ⋮ 𝐼𝑚 𝐴 − 𝐼𝑛 𝐵𝐶. 𝐴 𝐶. 𝐵

−1

𝐾1 𝐾𝑖 = 0.05702 0.0753 −0.5651 + 0 0 1 −0.2431 1 0.0329

0 −1 0.57470.7569 1 0.0329

−1

𝐾1 𝐾𝑖 = 0.5386 0.7117 0.2483

𝐾1 = 0.5386 0.7117 𝐾𝑖 = 0.2483


CÁLCULO DEL OBSERVADOR


El diseño del observador se realiza utilizando la fórmula de Ackerman:

𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶𝐶𝐴

−1

01

Ubicación de los polos del observador: Se toma 𝑡𝑠𝑜 < 𝑡𝑠𝑘 . En este caso se asume

𝑡𝑠𝑜 = 200 𝑠 y 𝜉 = 0.8

𝑤𝑛 =4

𝑡𝑠𝜉=

4

200 ∗ 0.8= 0.025 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑧 = 𝑒−0.8∗0.025∗21 = 0.657 𝜃 = 57.3 ∗ 0.025 ∗ 21 ∗ 1 − 0.82 = 18.04°

𝑧 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 ± 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0.624 ± 𝑗0.203

Ecuación característica: 𝑧2 − 1.248𝑧 + 0.4305 = 0

𝜙(𝐴) = 𝐴2 − 1.248𝐴 + 0.4305 ∗ 𝐼 = 0.0587 −0.4917

0 0.4305

𝐶𝐶𝐴

= 1 0

0.7569 1

𝐿 = 0.0587 −0.4917

0 0.4305

1 00.7569 1

−1

01 𝐿 =

−0.49110.4305

CÁLCULO DE LA LEY DE CONTROL

La ley de control es:

𝑈(𝑧) = 1 + 𝐾1 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶

−1𝐵 −1 𝐾𝑖𝑧 𝑅(𝑧) − 𝑌(𝑧) − 𝐾1(𝑧 − 1) 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐿𝑌(𝑧)

𝑧 − 1

𝐾1 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐵 =

0.4254𝑧 − 0.2103

𝑧2 − 1.248𝑧 + 0.4305

𝐾1 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐿𝐶 −1𝐿 =

0.04171𝑧

𝑧2 − 1.248𝑧 + 0.4305

𝑈(𝑧) = 0.248𝑧3 − 0.3098𝑧2 + 0.10689𝑧 𝑅(𝑧) − 0.248𝑧3 − 0.2681𝑧2 + 0.0652𝑧 𝑌(𝑧)

𝑧3 − 1.8226𝑧2 + 1.0428𝑧 − 0.2202

Ecuación en diferencias correspondiente a la ley de control:

𝑢(𝑘) = 0.248𝑟(𝑘) − 0.3098𝑟(𝑘 − 1) + 0.10689𝑟(𝑘 − 2) − 0.248𝑦(𝑘) + 0.2681𝑦(𝑘 − 1)

− 0.0652𝑦(𝑘 − 2) + 1.8226𝑢(𝑘 − 1) − 1.0428𝑢(𝑘 − 2) + 0.2202𝑢(𝑘 − 3) Luis Edo García Jaimes

RESPUESTA DEL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR


SISTEMAS NO LINEALES

Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo

comportamiento no se puede expresar como la suma de los

comportamientos de sus descriptores, es decir son sistemas que

no cumplen el principio de superposición.

En los sistemas no lineales, las ecuaciones de movimiento,

evolución o comportamiento que regulan su comportamiento

dinámico son no lineales.


EJEMPLO DE SISTEMAS NO LINEALES (2)


REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA NO LINEAL

Un sistema no lineal se puede representar mediante ecuaciones de estado en la

siguiente forma:

𝑥ሶ1 = 𝑓1(𝑥, 𝑢, 𝑡)

𝑥ሶ2 = 𝑓2(𝑥, 𝑢, 𝑡)

⋯ ⋯

𝑥ሶ𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥, 𝑢, 𝑡)

𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑢, 𝑡)

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial así:

𝒙ሶ (𝑡) = 𝒇 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝒉 𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡)

En donde 𝒙(𝑡) es el vector de estado (𝑛 × 1), 𝒖(𝑡) es el vector de entradas (𝑟 × 1)

y 𝒇[𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)] es un vector que es función del vector de estado y del vector de

entrada. Luis Edo García Jaimes

LINEALIZACIÓN DE UN SISTEMA NO LINEALPara linealizar un sistema no lineal existen diferentes métodos: uno de ellos

consiste en la expansión de las ecuaciones de estado no lineales en series de Taylor

alrededor de un punto o de una trayectoria de operación nominal del sistema,

despreciando los términos de orden superior al primero, con lo cual resulta una

aproximación lineal de las ecuaciones de estado en un punto determinado.

𝑥ሶ(𝑡) = 𝐴 𝑥(𝑡) + 𝐵 𝑢(𝑡)

En donde:

𝐴 =

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

𝜕𝑓1𝜕𝑥2

⋮𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

𝜕𝑓2𝜕𝑥2

⋮𝜕𝑓2𝜕𝑥𝑛

⋯ ⋯ ⋮ ⋯𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1

𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛

𝑃𝑜

𝐵 =

𝜕𝑓1𝜕𝑢1

𝜕𝑓1𝜕𝑢2

⋮𝜕𝑓1𝜕𝑢𝑛

𝜕𝑓2𝜕𝑢1

𝜕𝑓2𝜕𝑢2

⋮𝜕𝑓2𝜕𝑢𝑛

⋯ ⋯ ⋮ ⋯𝜕𝑓𝑛𝜕𝑢1

𝜕𝑓𝑛𝜕𝑢2

⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑢𝑛

𝑃𝑜

𝑃𝑜: corresponde al punto de equilibrio alrededor del cual se va a linealizar el

sistema. Los valores de 𝑥(𝑡) y de 𝑢(𝑡) deben mantenerse siempre lo más cerca

posible a los valores de referencia 𝑥𝑜 y 𝑢𝑜 respectivamente Luis Edo García Jaimes

EJEMPLO DE LINEALIZACIÓNLas siguientes ecuaciones corresponden al modelo matemático de un giroscopio

electrostático:

𝑥 ሶ 1 = 𝑥2

𝑥ሶ = −𝑥1 − 𝑥32 + 1

𝑥ሶ3 = 𝑥3 − 𝑥1𝑥3 − 𝑢

𝑦 = 𝑥1

El punto de operación deseado es 𝑢𝑜 = 8

a) Linealice el sistema en el punto de operación deseado. b) Discretice el modelo

lineal obtenido utilizando un período de muestreo 𝑇 = 0.5 𝑠 a) Diseñe un

controlador discreto utilizando técnicas de realimentación de estado, de modo que

el sistema en lazo cerrado tenga sus polos en el origen. d) Grafique la respuesta del

sistema no lineal con el controlador diseñado.


SOLUCIÓN: LINEALIZACIÓN DEL MODELO

La linealización se debe realizar alrededor del punto de operación 𝑢𝑜 = 8. Para los

puntos de equilibrio se tiene:

𝑥ሶ 𝑜𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥𝑜 , 𝑢𝑜) = 0

𝑥2 = 0

−𝑥1 − 𝑥32 + 1 = 0

𝑥3 − 𝑥1𝑥3 − 𝑢 = 0

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene el punto de equlibrio:

𝑃𝑂 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑢0 𝑇 = −3 0 2 8 𝑇

Las matrices 𝐴 y 𝐵 se evalúan con las ecuaciónes

𝐴 =

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

𝜕𝑓1𝜕𝑥2

𝜕𝑓1𝜕𝑥3

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

𝜕𝑓2𝜕𝑥2

𝜕𝑓2𝜕𝑥3

𝜕𝑓3𝜕𝑥1

𝜕𝑓3𝜕𝑥2

𝜕𝑓3𝜕𝑥3

𝐵 =

𝜕𝑓1𝜕𝑢𝜕𝑓2𝜕𝑢𝜕𝑓3𝜕𝑢


SISTEMA LINEALIZADO

Evaluando las derivadas parciales en el punto de equilibrio se obtiene:

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

= 0 𝜕𝑓1𝜕𝑥2

= 1 𝜕𝑓1𝜕𝑥3

= 0

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

= −1 𝜕𝑓2𝜕𝑥2

= 0 𝜕𝑓2𝜕𝑥3

= −2𝑥3 = −4

𝜕𝑓3𝜕𝑥1

= −𝑥3 = −2 𝜕𝑓3𝜕𝑥2

= 0 𝜕𝑓3𝜕𝑥3

= 1 − 𝑥1 = 4

𝜕𝑓1𝜕𝑢

= 0

𝜕𝑓2𝜕𝑢

= 0

𝜕𝑓3𝜕𝑢

= −1

Así, el sistema linealizado es:

𝑥ሶ1(𝑡)𝑥ሶ2(𝑡)𝑥ሶ3(𝑡)

= 0 1 0−1 0 −4−2 0 4

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)

+ 0 0−1

𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 1 0 0

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)𝑥3(𝑡)

La función de transferencia del sistema continuo equivalente es:

𝐺𝑝(𝑆) = 𝐶 𝑆𝐼 − 𝐴 −1𝐵

𝐺𝑝(𝑆) =4

𝑆3 − 4𝑆2 + 𝑆 − 12


DISCRETIZACIÓN DEL MODELO

La discretización del modelo, con 𝑇 = 0.5 𝑠 da:

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 = (1 − 𝑧−1)ℑ

4

𝑆(𝑆3 − 4𝑆2 + 𝑆 − 12)

Utilizando el MATLAB:

𝐻𝐺(𝑧) =0.1491𝑧2 + 1.0206𝑧 + 0.3906

𝑧3 − 10.2337𝑧2 + 11.9419𝑧 − 7.3891

La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en

la forma canónica observable es:

𝑥(𝑘 + 1) = 10.2337 1 0

−11.9419 0 17.3891 0 0

𝑥(𝑘) + 0.14911.02060.3906

𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 1 0 0 𝑥(𝑘) Luis Edo García Jaimes

DISCRETIZACIÓN DEL MODELO

La discretización del modelo, con 𝑇 = 0.5 𝑠 da:

𝐻𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)ℑ 𝐺𝑝(𝑆)

𝑆 = (1 − 𝑧−1)ℑ

4

𝑆(𝑆3 − 4𝑆2 + 𝑆 − 12)

Utilizando el MATLAB:

𝐻𝐺(𝑧) =0.1491𝑧2 + 1.0206𝑧 + 0.3906

𝑧3 − 10.2337𝑧2 + 11.9419𝑧 − 7.3891

La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en

la forma canónica observable es:

𝑥(𝑘 + 1) = 10.2337 1 0

−11.9419 0 17.3891 0 0

𝑥(𝑘) + 0.14911.02060.3906

𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 1 0 0 𝑥(𝑘)


CÁLCULO DE LA MATRIZ DE REALIMENTACIÓN K


𝐾 = 0 0 1 𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 −1𝜙(𝐴)

La ecuación característica deseada para el sistema en lazo es:

𝑧3 = 0

𝜙(𝐴) = 𝐴3 𝜙(𝐴) = 834.7 92.8 10.2

1032.4 −114.8 −11.9685.6 75.6 7.4

𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵 = 0.1491 2.5464 24.66961.0206 −1.3899 −29.30770.3906 1.1017 18.8159

𝐾 = 0 0 1 0.1491 2.5464 24.66961.0206 −1.3899 −29.30770.3906 1.1017 18.8159

−1

834.7 92.8 10.2

1032.4 −114.8 −11.9685.6 75.6 7.4

𝐾 = 38.5915 4.2449 0.3774


CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR L


𝐿 = 𝜙(𝐴) 𝐶𝐶𝐴𝐶𝐴2

−1

001

La ecuación característica deseada para el observador es: 𝑧3 = 0

𝜙(𝐴) = 𝐴3 = 834.7 92.8 10.2

1032.4 −114.8 −11.9685.6 75.6 7.4

𝐶𝐶𝐴𝐶𝐴2

= 1 0 0

10.2337 1 092.7867 10.2337 1

𝐿 = 834.7 92.8 10.2

1032.4 −114.8 −11.9685.6 75.6 7.4

1 0 0

10.2337 1 092.7867 10.2337 1

−1

001

𝐿 = 10.2337

−11.94197.3891


CONTROLADOR Y FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERRORLa ecuación del controlador con observador de orden completo tipo predictor es:

𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)= 𝐾 𝑧𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 + 𝐿𝐶 −1𝐿

𝐷(𝑧) = −𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)=

347.03𝑧2 − 429.4896𝑧 + 285.1561

𝑧4 + 10.2337𝑧2 + 41.0445𝑧 + 15.0738

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado está dada por:

𝐺𝑤(𝑧) =𝐻𝐺(𝑧)

1 + 𝐷(𝑧)𝐻𝐺(𝑧)

𝐺𝑤(𝑧) =0.1491𝑧5 + 2.5464𝑧4 + 16.9548𝑧3 + 48.1348𝑧2 + 31.4163𝑧 + 5.8878

𝑧6

El valor del factor de corrección de error 𝐾𝑜 esta dado por:


𝐺𝑤 (𝑧) = 1


0.1491𝑧5 + 2.5464𝑧4 + 16.9548𝑧3 + 48.1348𝑧2 + 31.4163𝑧 + 5.8878

𝑧6 = 1

𝐾𝑜 = 0.009515 Luis Edo García Jaimes

RESPUESTA DEL SISTEMA AL ESCALÓN UNITARIO

+-

R(z)Ko HG(z)

D(z)

Y(z)

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t [s]

Respuesta


luis edo garcÍa jaimes politÉcnico colombiano j ......sistemas de control avanzado luis edo...

Documents