lugar geomÉtrico de las raices
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Lugar Geométrico de la Raíces Sistemas de Control
Por: Raúl R. Roque Y. 1
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES
Introducción
La característica básica de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado
SLC, está estrechamente ligada a la ubicación de los polos del mimo.
R.W. Evans desarrolló un método para hallar las raíces del polinomio característico
del SLC , este fue denominado “Método del Lugar de Raíces”. El mismo permite
hallar todos los polos del SLC, partiendo del sistema de lazo abierto SLA ,
tomando una ganancia como parámetro, además permite seleccionar dicha
ganancia de tal forma de desplazar los polos del SLC a posiciones deseadas y
obtener cierto desempeño deseado.
El método del lugar geométrico de las raíces es aplicable a sistemas con retardo de
transporte y es extensible al uso de varios parámetros.
Lugar geométrico de las raíces
Sea el sistema representado en la figura:
+
-)(sGK
R(s) C(s)
Fig. 1 Sistema de Control
cuya función de transferencia es :
)(1)(
)()(
sKGsKG
sRsC
+= ; (1.1)
la ecuación característica o polinomio característico es:
0)(1 =+ sKG ; (1.2)
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de aquí se desprende dos condiciones:
Condición de Angulo: la relación (1.2) debe cumplir con:
)12(180)12()( +°=+±=∠ kksKG π ; (1.3)
Condición de Magnitud: la relación (1.2) debe cumplir con:
1)( =sKG ; (1.4)
Los valores de s que cumplen con las condiciones de ángulo y magnitud, son las
raíces de la ecuación característica o polos del SLC. El diagrama de los puntos del
plano complejo que solo satisfacen la condición de ángulo constituye el lugar
geométrico de las raíces.
Se considera todos los valores positivos de K . En el limite 0→K los polos del
SLC son iguales a los polos del SLA.
La función )(sG puede ser escrita como:
nnnn
mmmm
bsbsbs
asasas
sDsNsG
++++++++==
−−
−−
11
1
11
1
......
)()()( ;
mn > ; (1.5)
donde n ym definen el órden de los polinomios )(sD y )(sN . El sistema debe tener
siempre n polos, el lugar de las raíces debe tener n ramas, cada rama inicia en un
polo de )(sG (ó raíz de )(sD ) y termina en un cero de )(sG (ó raíz de )(sN ). Si
)(sG tiene más polos que ceros (como es en la mayoría de los casos) se dice que
)(sG tiene ceros en infinito. En este caso 0)( =∞→
sGLims
.
El numero de ceros en infinito es mn − y es el número de raíces que van al infinito
(asíntotas).
Diseño analítico
Se presenta a continuación la traza del Lugar geométrico de las raíces utilizando
un método analítico y será mostrado con un ejemplo:
Sea la función de transferencia de un sistema:
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)5)(3)(1)(208(54
)( 2
2
+++++++
=sssss
sssG ;
Solución.-
1.- Determinar los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, para ello se
utiliza la condición de ángulo.
Im
Re
2
1
-1
-2
-1-3-5
Fig. 2 Posible lugar de Raíces
2.- Determinar las asíntotas del Lugar Geométrico de las Raíces:
mn
k
−+°
±=)12(180
θ ; ,...2,1,0=k
con =n número de polos y =m número de ceros, entonces:
)12(603
)12(180+°=
+°±= k
kθ ;
°= 600θ , °= 1801θ , °= 3002θ
3.- Determinar la intersección de las asíntotas con el eje real.
mn
cerospolos
−
−= ∑ ∑σ ;
entonces:
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67.43
1425
)22()44531(−=−=
−+−++++
=σ
Hasta aquí se tiene la siguiente grafica
Im
Re
2
1
-1
-2
-1-3-5
Fig. 3 Puntos de Intersección y asíntotas del LGR
4.- Como se tiene 2 ramas unidas sobre el eje real (lugar de raíces entre –1 y -3),
ellos quiebran en su trayectoria a °90 , el punto de quiebre se determina utilizando:
0)(
=ds
sdf , donde )(1)( sGsf +=
reemplazando se tiene:
)5)(3)(1)(208(541)(
2
2
++++++++=
ssssssssf ;
finalmente:
01700319026611269344503)()( 23456 =++++++== sssssssP
ds
sdf ;
cuyas raíces son:
7978.11 −=s ;
7044.32 −=s ;
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is 1975.12363.44,3 ±= ;
is 6059.13459.16,5 ±−= ;
solo 1s pertenece al Lugar geométrico de las raíces, por tal razón el punto de
quiebre de las ramas es:
7978.1−=γ .
Se construye finalmente el Lugar Geométrico de las Raíces, mediante el uso de la
regla: El diagrama del lugar de raíces parte de los polos del SLA y terminan en los
ceros del SLA, con esto se tiene la grafica.
Im
Re
2
1
-1
-2
-1-3-5
7978.1−=γ6667.4−=σ
Fig. 4 Lugar Geométrico de las Raíces
Con el anterior ejemplo se dio a conocer los pasos necesarios para realizar el
trazado del Lugar geométrico de la Raíces.
A continuación se utiliza el método , en el diseño de sistemas de control. Primero
se lo realiza de forma analítica y luego utilizando la herramienta computacional
MATLAB.
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Ejemplo 2.-
Sea el SLA, con función de transferencia:
)6)(2)(6(56
)( 2
2
+++++
=sss
sssG ; (2.1)
Trazar el Lugar Geométrico de las Raíces, diseñar K de tal manera que el sistema
tenga como polos dominantes a is 824.9571.02,1 ±−= .
Solución.- El comportamiento del SLA a una entrada escalón es:
Tiempo (sec.)
Am
plitu
d
Respuesta en e l t iempo de G(s)
0 2 4 6 8 10 12-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
Fig. 5 Respuesta en el Tiempo
Como se muestra en la figura anterior, el sistema es oscilante y mediante la
elección de la ganancia K , se mejorar el desempeño del SLC.
1.- Primero se identifica los polos y ceros de la función de transferencia, con esto se
determina los posibles lugares de las raíces.
Polos : is 62,1 ±= , 23 =s , 64 =s .
Ceros: 11 =z , 52 =z .
De esa manera se tiene :
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Im
Re
6
-6
-1-2-5-6
Fig. 6 Posible Lugar Geométricos de Raíces
2.- Determinación de las asíntotas de los lugares geométricos:mn
kk −
+°±=
)12(180θ ;
)12(9024
)12(180+°±=
−+±
= kk
kθ ; (2.2)
Las asíntotas tiene ángulos : °= 900θ , °= 2701θ ;
3.- Determinación del Punto de intersección de las asíntotas con el eje real.
mn
cerospolos
−−
= ∑ ∑σ ;
24)15()6662(
−+−−++
=ii
σ ; (2.3)
El punto de intersección de las asíntotas y el eje real se produce en :
1=σ ;
4.- Determinación del puntos de quiebre de las ramas. Nótese que en este ejemplo
no se tiene la unión de dos ramas (polos).
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0)()()(
=== sPds
sdG
ds
sdf ; (2.4)
01152384116262)( 345 =−−++= sssssP ; (2.5)
cuyas raíces son:
012.21 =s ;
is 101.227.53,2 ±−= ;
is 971.123.25,4 ±−= ;
ninguno de estas soluciones pertenece al Lugar de Raíces, entonces quiere decir
que no hay puntos de quiebre.
5.- Determinación de los ángulos con que el lugar de raíces deja a los polos:
∑∑ ∠+∠−+°= cerospolosotroskk )12(180ω ;
°=°+°+°+°+°−°= 110)7232()905727(1801ω ; (2.6)
como los polos son conjugados:
°−=°=°−°−+°−°−°−−= 110250)7232()905727(1802ω . (2.7)
La mediciones se muestran en la figura siguiente.
Im
Re
6
-6
-1-2-5-6
27 32 57 72
Fig. 7 Medición de ángulos
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6.- El valor de K se halla reemplazando el polo deseado (este polo debe estar en el
LGR), y cumple con:
1.6456
)128)(36(
)(1
824.9571.0
2
22
=++
+++==
+−= isss
sss
sGK . (2.8)
Im
Re
6
-6
-1-2-5-6
Fig. 8 Lugar geométrico de la Raíces
El sistema de Lazo cerrado es ahora es:
+
-)(sG1.64
R(s) C(s)
Fig. 9 Sistema de Lazo cerrado
el comportamiento en el tiempo se muestra en la figura 10.
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T ime (sec . )
Am
plitu
deStep Response
0 2 4 6 8 1 00
0.2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1.2
1 .4
From: U(1)
To:
Y(1
)
Es importante aclarar que el sistema en lazo abierto era oscilatorio, en cambio con
el uso de método del Lugar Geométrico de las raíces se ha encontrado una
ganancia la misma que hace que el sistema de lazo cerrado tenga mayor
desempeño, aunque con un sobre paso bastante grande.
El diseño anterior puede ser resuelto utilizando algunas herramientas
computacionales. Ahora se presenta el desarrollo del diseño utilizando rutinas de
MATLAB.
El Lugar Geométrico de Raíces es trazado mediante la función rlocus, , se utiliza
el siguiente script para generar tal grafica:
> num=[1 6 5];
> den=[1 8 48 288 432];
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> sisla=tf(num,den);
> rlocus(sisla);
Generando :
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-20
-15
-10
-5
0
5
1 0
1 5
2 0
Real Axis
Imag
Axi
s
mediante la función rlocfind se busca los polos deseados:
> z=0.057;
>wn=9.84;
> sgrid(z,wn);
> rlocfind(sisla);
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-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-40
-30
-20
-10
0
1 0
2 0
3 0
4 0
Real Axis
Imag
Axi
s
esta función determina la ganancia K para obtener los polos deseados, el resultado
fue el siguiente:
» rlocfind(sisla)
Select a point in the graphics window
selected_point =
-0.59447004608295 + 9.59064327485381i
ans =
59.81092426934112.