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LUGAR GEOMÉTRICO DE RAÍCES
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Polos y ceros
En una función racional, los ceros son las raíces del
polinomio numerador y los polos son las raíces del polinomio
denominador.
Ejemplo:
F(s)=
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Polos y ceros
Una función racional
F(s)=
Se puede siempre factorizar de la forma
F(s)=
Los ceros son los número z1, z2, …, zm y los polos son los números p1, p2, …, pn.
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Polos y ceros
La constante k se conoce como constante multiplicadora
de la función y es la relación de los coeficientes principales
del numerador y del denominador.
k=
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Polos y ceros
Ejemplos:
F1(s)= F3(s)=
F2(s)= F4(s)=
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Gráfica de polos y ceros
Cuando se indican los polos y ceros de una función en el
plano complejo, el resultado es una gráfica de polos y ceros.
Los valores cero se indican por O en la gráfica y los valores
de los polos se representan por X.
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Gráfica de polos y ceros
Se utiliza la notación de Clark y otros según la cual la constante multiplicadora de una
función racional se coloca dentro de un cuadro a la derecha de la gráfica de polos y ceros.
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Evaluación gráfica
Una función racional
F(s)=
Cuando se evalúa en un valor específico de la variable s=s0 es
F(s0)=
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Evaluación gráfica
En una gráfica de polos y ceros se traza un segmento de recta
dirigido desde la posición de un polo o un cero, por ejemplo,
p1, hasta el valor s0 en que se está evaluando la función.
La longitud del segmento es |s0 - p1| y forma un ángulo
<(s0-p1) con el eje real.
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Evaluación gráfica
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Evaluación gráfica
|F(s0)|=
< F(s0) = suma de los ángulos de los segmentos de recta
dirigidos desde los ceros hasta s0 – suma de los ángulos
polares + 180º si k es negativo
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Evaluación gráfica
Si k fuera positiva no se suma 180º al ángulo y |k|=k.
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
Una gráfica de lugar geométrico de raíces consta de los
lugares de los polos de una función de transferencia, u otra
función racional, cuando se varía algún parámetro.
Configuración básica
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
G(s) y H(s) son funciones racionales.
La constante de ganancia K es el parámetro de interés.
Función de transferencia
T(s)=
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
Los polos de la función de transferencia son las raíces de
1+KG(s)H(s)=0
Las cuales dependen del parámetro K.
El producto de la transmitancia directa KG(s) y la transmitancia de retroalimentación H(s) se denomina transmitancia de ciclo abierto o ganancia del sistema.
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
Los polos y ceros de G(s)H(s) se llaman polos y ceros de ciclo
abierto, mientras que los polos y ceros de T(s) son polos y ceros
de ciclo cerrado.
Si 1+KG(s)H(s)=0, entonces G(s)H(s)= −1
𝐾
Para K positiva significa que un punto s que es un polo de T(s)
produce
|G(s)H(s)|= 1
𝐾 y G(s)H(s)=<180º
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
Si hay un s para el cual la segunda condición se satisface, entonces cualquiera que sea la magnitud de G(s)H(s) para este valor, existe un valor correspondiente de K.
Cualquier punto s para el cual <G(s)H(s)=180º es un punto en el lugar geométrico de las raíces para algún valor de K.
Los lugares principian en los polos de GH y terminan en los ceros de GH.
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
Superpuestas a la gráfica de polos y ceros de G(s)H(s) están las curvas que son los lugares de los polos de T(s) cuando K varía de cero a infinito.
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
Para determinar si un punto dado es un punto del lugar
geométrico de las raíces para algún valor de K entre 0 y +∞
es necesario determinar si <G(s)H(s) es o no 180º.
< G(s0) H(s0) = suma de ángulos cero a s0 – suma de ángulos
polares a s0 + 180º si k es negativo
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Lugar geométrico de raíces de
sistemas con retroalimentación
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
Para la construcción del lugar geométrico de raíces existen ciertas reglas básicas.
Ramas
Regla 1: Curvas continuas que comprenden las ramas del lugar geométrico principian en cada uno de los polos de GH para los cuales K=0. Cuando K se aproxima a +∞ , las ramas del lugar se aproximan a los ceros de GH. El lugar geométrico de las ramas de los polos excedentes se extiende hasta el infinito. Para los ceros excedentes, los segmentos del lugar vienen desde el infinito.
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
Segmentos en el eje real
Regla 2: El lugar geométrico incluye a todos los puntos del eje
real que están a la izquierda de un número impar de polos más
los ceros de GH.
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
Ángulos asintóticos
Regla 3: Cuando K se aproxima a +∞, las ramas del lugar geométrico llegan a ser asíntotas en líneas rectas cuyos ángulos con el eje real están dados por
θ =180 + 𝑖360
𝑛 −𝑚
Para i=0, ±1,±2 hasta que se obtengan todos los n-m ángulos y no difieran en múltiplos de 360º.
n=número de polos de GH m=número de ceros de GH
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
Centroide de las asíntotas
Regla 4: El punto de partida del eje real desde el cual divergen
las líneas asintóticas se obtiene mediante la fórmula
σ = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜
𝑛 − 𝑚
Este punto recibe el nombre de centroide de las asíntotas.
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
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Construcción del lugar geométrico de
raíces
Puntos de separación
Regla 5: Las raíces salen del eje real con una ganancia K que es
el valor máximo posible de K en esa región del eje real. Las
raíces entran al eje real con una ganancia K que es el valor
mínimo posible de esa región del eje real. Dos raíces salen o
llegan al eje en un punto de convergencia a ángulos de ±90º.
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Construcción del lugar geométrico de
raíces