lqr_carros_acoplados

7/30/2019 LQR_Carros_Acoplados

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Carros Acoplados con Unin Flexible.

1ADVANCED CONTROL IVAN RAMIREZ

El sistema de la Figura est compuesto por dos carros con masas M 1 yM2. Los carros estn unidos a travs de un resorte con constante K yde un damper con coeficiente de friccin viscosa b. El carro de laizquierda tiene un motor elctrico que permite aplicar una fuerza F al

sistema. El objetivo del sistema de control es reducir la oscilacin delsegundo carro cuando el primero cambia de posicin. se espera untiempo de establecimiento de 1 segundo y un sobrepico menor al10%. Como instrumentacin hay instalados en cada carro unpotencimetro que permite medir el desplazamiento.

Se espera un tiempo de establecimiento de 1 segundo y un sobre picomenor al 10%.

Como instrumentacin hay instalados en cada carro un potencimetroque permite medir el desplazamiento.


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+

+

Carro 1

Carro 2


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3

Parmetros del sistema

ADVANCED CONTROL IVAN RAMIREZ

b Coeficiente de friccin viscosa= 2 Ns/m

C1 , C2 Constantes debidas al motor y la transmisinC1= 1.6954 , C 2= 7.252


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4

Ecuaciones del Sistema en SS



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5

Anlisis de Controlabilidad y Observabilidad

Rank( C ) =4

Rank( O ) =4

El sistema es totalmente controlable y observableADVANCED CONTROL IVAN RAMIREZ


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0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

T o

Y ( 1 )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

T o :

Y ( 2 )

Respuesta Impulso Carros acople flexible

Time (sec)

A m p

l i t u

d e

Respuesta Impulso

sistema en lazo abierto


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Control Optimo

La ubicacin de los polos en un sistema dinmico controlado vienedeterminada por las especificaciones de control. Tpicamente lasespecificaciones de control vienen dadas por las condiciones del problema .

Para el control ptimo , las especificaciones de control son formuladas enuna funcin de costo . La funcin de costo (tambin conocida como figurade mrito, ndice de desempeo, etc.), es una funcin que penaliza el mal comportamiento del sistema, es decir cuanto ms lejos este el sistema dela situacin deseada, mayor ser el valor de la funcin de costo. Entonces,el objetivo del controlador ptimo, ser minimizar esta funcin.

Controladores ptimos cuadrticos por realimentacin de estado LQR Filtros de KalmanRegulador optimo cuadrtico Gaussiano. LQG


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Regulador Optimo Cuadrtico Lineal(Linear Quadratic Regulator-LQR)

Problema con Horizonte finito

Con las siguientes restricciones:

El problema puede ser planteado como la necesidad de calcular la mejorentrada u(t) , que permita llevar el sistema de un estado inicial x(to), a unestado final x(tf), en un tiempo tf-to.

El problema es equivalente a minimizar la funcin:

P f : indica la importancia del estado finalQ : la importancia de los estados durante latransicin yR : la importancia de la entrada.

P f , Q y R son matrices positivas definidas


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Sean

Si = entonces

( )= ( + )

Si adems A es simtrica

( )= 2

El problema con las restricciones dadas puede ser formulado como una optimizacinsin restricciones utilizando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange

RECORDERIS

Calculando las derivadas indicadas , =

( )= &

( )=

Linear Quadratic Regulator-LQR


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El problema se puede plantear como un sistema de ecuaciones diferenciales con dospuntos como condicin de frontera

O la ecuacin diferencial:


Ecuacin Matricial de Riccati


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Asumimos que


Problema con Horizonte finito


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La ecuacin algebraica de Riccati se puede escribir como:

Solucin de la ecuacin algebraica de Riccati

En esta representacin tenemos una matriz de 2nx2n asociada a la ecuacin deRiccati, esta matriz se conoce con el nombre de matriz de Hamilton

Propiedades importantes de la matriz de Hamilton: Los valores propios de H son simtricos con respecto al eje imaginario. Existen las matrices X 1 y X2 nxn y X1 es invertible de forma que la matrizformada por X 1 y X2 son los vectores propios de la matriz H, si (A, B) es estabilizabley (Q, A) detectable.


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Entonces la solucin de la ecuacin de Riccati se obtiene por descomposicin de H ensus espacios propios, y la solucin es de la forma:

Solucin de la ecuacin algebraica de Riccati


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Retomemos ahora nuestro problema..

Para el diseo del controlador LQR seleccionamos las matrices Q y R as:

Observe que la matriz Q penaliza en mayor proporcin las desviaciones de los carros desu punto de equilibrio, comparado con las velocidades o con la entrada.


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Los polos del sistema sern: 1.9521 10.6106 i, 4.1151i -5.7951

Si penalizamos an ms la posicin la matriz Q ser

la nueva matriz de realimentacin ser:

y los polos del sistema: -8.7999 8.4970 i , -3.6673 10.5267 i

4.1151i

[K,S,E] = LQR(SYS,Q,R)


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Carros Acoplados con Unin Flexible Respuesta del sistema para los dos controladores propuestos

El segundo tiene una respuesta ms rpida, pero para lograr esa respuesta ms rpidase requiere una entrada con mayor amplitud. La seleccin de las matrices de costo estabasada en el compromiso entre una respuesta rpida pero sin saturar la entrada oconsumir demasiada energa para llevar el sistema al estado deseado.

Esto convierte el diseo en la tarea de encontrar los valores adecuados de Q y R que llenen las especificaciones de control.

.. Q=1000 ___ Q=10000


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Diseo de un LQR con referencia

En nuestro ejemplo se pide controlar dos variables ( x 1 y x3) con cero error de estadoestacionario. Esta tarea exige que si queremos construir un controlador porrealimentacin de estado debamos extender el sistema de modo que incluya unpar de integradores sobre las variables que deseamos controlar con ceroerror de estado estacionario . El sistema extendido tendr la siguiente presentacin:

donde el vector e representa la integral del error de seguimiento , definido como:

-


X1ref

x2ref


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Usando esta nueva representacin podremos calcular un controlador LQR si definimoslas matrices de la funcin de costo:

de la siguiente forma:

Observe que todos los estados y las entradas tienen la misma penalizacin.

Obtenindose una matriz de realimentacin de estado con los siguientes valores:K=[335.9724 15.9142 -19.5435 24.8015 -0.7071 -0.7071]

Q =diag([50000 1 50000 1 1 1]); R =diag([1]);

Las cuatro primeras columnas corresponden a la realimentacin de los 4 estados"naturales" del sistema (posicin y velocidad del carro 1, posicin y velocidaddel carro 2) (matriz Ks); las dos columnas restantes corresponden a larealimentacin de las integrales de los errores de seguimiento (matriz K I ).



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Diagrama de bloques de la simulacin del controlador LQR

Ks = [335.9724 15.9142 -19.5435 24.8015] Ki = [ -0.7071 -0.7071]



4

v2

3

x2

2v1

1

x1

x2 Ref

x1 Ref

time

To Workspace1

position

To Workspace

Scope1Scope

-Ks* u

MatrixGain1

-Ki* u

MatrixGain

1

sIntegrator1

1s

Integrator

Clock

In1

Out1

Out2

Out3

Out4

CARROS ACOPLADOS


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Es conveniente realizar la sintona del controlador usando el modelo lineal, una vezajustado se puede montar el controlador sobre el modelo no-lineal.



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

posicion del carro 2 (m)

tiempo (s)

p o s

i c i o n

( m )

posicionReferencia

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