los números me ponen malo. -...

Los números me ponen malo.

Shakespeare (Hamlet)

Los números nunca han sido mi fuerte.

“La aritmética es el coco de la niñez; recuerdo que lloraba amargamente por no poder aprender la tabla de multiplicar”.

Bertrand Russell

"Una persona puede ser un matemático de primer orden sin ser capaz de hacer cálculos. Es posible ser un gran calculador sin tener la mas ligera idea de las matemáticas."

Novalis (1772-1801)

CÁLCULO MENTAL"Dígame vuestra merced: ¿Cuánto me dará por cada azote que me diere?.Toma tú el tiento a lo que llevas mío, y pon el precio a cada azote.Ellos - respondió Sancho - son tres mil y trescientos y tantos; dellos me he dado hasta cinco: quedan los demás; entren entre los tantos estos cinco, y vengamos a los tres mil y trescientos, que a cuartillo cada uno, que no llevaré menos si todo el mundo me lo mandase, montan tres mil y trescientos cuartillos, y son los tres mil, mil y quinientos medios reales, que hacen setecientos y cincuenta reales; y los trescientos hacen ciento y cincuenta medios reales, que vienen a hacer setenta y cinco reales, que juntándose a los setecientos y cincuenta, son por todos ochocientos y veinticinco reales. Estos separaré yo de los que llevo de vuestra merced, y entraré en mi casa rico y contento, aunque bien azotado".

El Quijote, II, 71

SENTIDO NUMSENTIDO NUMÉÉRICORICO

Hacer cHacer cáálculos mentalmente siempre que lculos mentalmente siempre que sea posible.sea posible.

Explorar diferentes maneras de encontrar Explorar diferentes maneras de encontrar soluciones mentalmente.soluciones mentalmente.

Discutir las tDiscutir las téécnicas empleadas con el cnicas empleadas con el resto de la clase.resto de la clase.

SENTIDO NUMÉRICO YACTITUD MATEMÁTICASENTIDO NUMSENTIDO NUMÉÉRICO RICO YYACTITUD MATEMACTITUD MATEMÁÁTICATICA

Desarrollo del gusto y afición por las investigaciones numéricas.

Confianza en las propias capacidades para desarrollar estrategias “inteligentes” para el tratamiento de problemas numéricos.

Con el trabajo sobre sentido numérico deben fomentarse actitudes como: tener en cuenta ideas “alternativas”, mejorar la seguridad en símismo, tener ganas de “pensar por sí mismo”, necesidad de razonar de forma lógica, ...

DESARROLLO DEL SIGNIFICADO NUMDESARROLLO DEL SIGNIFICADO NUMÉÉRICORICO

Utilizar hechos numéricos bien conocidos para calcular otros de los que no se está seguro.Dar respuestas numéricas aproximadas cuando una aproximación resulta lo bastante conveniente.Explicar situaciones con números y cantidades.Utilizar la estructura del sistema decimal para descomponer y recomponer números, de modo que esto le facilite los cálculos.

Sowder y Schapelle, 1989

ATMATMÓÓSFERA DE AULASFERA DE AULAAnima a los alumnos a explorar, cuestionar, comprobar, buscar sentido y desarrollar estrategias personales.

Participación activa.

Los alumnos discuten sus conjeturas y las comprueban.

Tienen la oportunidad de crear algoritmos y procedimientos para hallar una solución.

Tenemos 153 estudiantes en nuestro colegio. Otro Tenemos 153 estudiantes en nuestro colegio. Otro colegio de la localidad, tiene 273. colegio de la localidad, tiene 273. ¿¿CuCuáántos ntos estudiantes hay entre los dos colegios?estudiantes hay entre los dos colegios?

95 Alumnos, 5 en cada coche95 Alumnos, 5 en cada coche

ELENA728 : 34728 : 34

GABRIEL

PROFESO

RA

Tabla de S. Pumkett 5+9

135+100

139+28

592+276

3964+7123

13-8

85-20

83-26

592-276

5960-4918

4x7

5x30

17x3

931x8

931x768

35/5

90/3

72/4

693/7

8391/57

Tipologiasde cálculo

TABLA DE S. PLUNKETT Contar y pensar

¿¿16 x 25?16 x 25?

Estra

tegi

as

parti

cula

res

4 X (4 X 25)4 X (4 X 25)

4 X 1004 X 100

400400

1616

X 25X 25

8080

3232

400400

Contar y pensar ¿¿350+785+256+150?350+785+256+150?

Estra

tegi

as

parti

cula

res

350 + 150+ ...350 + 150+ ...

Contar y pensar

7x4x7 49x4 98+98 200 - 4

7 x 28

¿16 x 25?

Estra

tegi

as

parti

cula

res

CCÁÁLCULO MENTAL Y ACTITUD LCULO MENTAL Y ACTITUD NUMNUMÉÉRICARICA

• Procedimientos distintos:Procedimientos distintos:

7 x 287 x 28• 7 x 25 y después 7 x 3. Sumando 175 + 21• 7 x 30 y restando dos sietes. Mentalmente: 210....203....196

Como 28 es 4 x 7 entonces será 2 x 7 x 7 ó 4 x 49

Facilitar que los alumnos inventen procedimientos proporciona una mejor comprensión del sistema de numeración.

PROCEDIMIENTOS MENTALESPROCEDIMIENTOS MENTALES

• Variables.• Flexibles y adaptables a los números con los que se trabaja.• Activos: elección y control de los cálculos.• Trabajan con números completos.• Constructivos: 37 + 28; 37, 47, 57, 67, 6565• Requieren comprensión.Proporcionan aproximación a la respuesta correcta.

Sería aburrido hacer por ejemplo 18x47 con Algoritmos de lápiz y papel, cuando podemos plantearlo así:

20x47 = 940; 940 20x47 = 940; 940 –– 94 = 84694 = 846.

Sentido numérico:

48x 048x 0’’55x 0’5

½ de 48 = 24 24’0

0’5...........1/2 48

4’5x 1’2

9045 5454’’00

Sumar fracciones

1+2/3+3/4+1/3

1/2+1+1/4+2/5

¿Seguro que no te sale?

Significado numérico1+2/3+3/4+1/3 1+2/3+1/3+3/4

2+3/42+3/4

22’’7575

Si ha de sumarSi ha de sumar 1/2+1+1/4+2/5,1/2+1+1/4+2/5,

los alumnos harán:10/20 + 20/20+ 5/20 + 8/20 = 43/2043/20

1+0’5+0’25+0’4=22’’1515

Flexibilidad en el cómputo de números

25 x 4825 x 48

convierte el problema enconvierte el problema en100/4 x 48 100 x 48/4 100/4 x 48 100 x 48/4 100x12 = 100x12 = 1.2001.200

25 x 48025 x 480El alumno realiza: 5x0 es 0, 5x8 es 40 y me llevo

4; 5x4 es 20 y 4 son 24.Con el segundo número: 2x0 es 0, 2x8 es 16 y

llevo 1; 2x4 es 8 y 1 son 9. Son 960... 9600; 9600+2.400 = 12.00012.000

4x35 y 4 x 1; 140 + 4 = 4x35 y 4 x 1; 140 + 4 = 144144

CONMUTATIVIDAD.CONMUTATIVIDAD. Cambiando el orden de los factores.

4x36 es (4x35) + (4x6)4x36 es (4x35) + (4x6)2 treintaicincos son 70; 4 serán 140 y 24 =144

347 x 6347 x 64343

Divide 6 y 43. (El 42 tiene como factor al 6)

347/7 son unas 50.347/7 son unas 50.

Multiplicamos 36 x 436 x 4

Usando la propiedad distributiva. Estimación numérica

Sabiendo que49 x 7 = 40x7 + 9 x 7,

¿como harías para encontrar el resultado de 325 x 23325 x 23?

325 x 23 =325 x 23 =325 x 20 +325x3(distributiva) 325x2x10+325x3 (asociativa)

6.500 + 975 = 7.475

Si el m.c.d. de (12,6) es 6, ¿qué me puedes decir de b?.Si el m.c.m. de (a,12) es 60, ¿qué puedes decir de a?.Si el m.c.d. de (a,136) es 1, ¿qué puedes decir de a?.

¿¿CUCUÁÁL SERL SERÁÁ LA MEDIDA EN CM DE UN TELEVISOR DE LA MEDIDA EN CM DE UN TELEVISOR DE 28 PULGADAS?.28 PULGADAS?.

(1 pulgada = 2’54 cm)

28x228x2’’54 = 56+14+154 = 56+14+1’’12 = 7112 = 71’’1212

(28x2)+(28x0(28x2)+(28x0’’5)+(28x05)+(28x0’’04)04)

Obtener a partir de sumas y multiplicaciones el número 15, sin usar los números 1, 3, y 5.

Obtener a partir de sumas y multiplicaciones el número 1515, sin usar los números 1, 3, y 5.

¿De cuántas formas distintas?

TAMAÑO DE SUMANDOS

La suma de cinco números de dos dígitos es menor que 100.Considerando cada una de las afirmaciones siguientes hay que decidir si son necesariamente ciertas, necesariamente falsas, o posiblemente ciertas.

Explica los razonamientos.1. Todos los números son menores que 20.

2. Uno de los números es mayor que 60.3. Cuatro de los números son mayores que 20 y el quinto

es menor que 20.4. Si dos de los números son menores que 20, por lo

menos uno es mayor que 20.5. Si los cinco números son diferentes, entonces la suma

de los cinco es mayor o igual que 60. Arithmetic Teachers, nº 36.

Tres profesores de 4º Nivel de Primaria del C.P. “Diego Ciller” de Minaya decidieron llevar a todos sus alumnos de excursión. Víctor se gastó 26’94 euros en refrescos. Como los tres profesores querían compartir los gastos de la excursión, Víctor cogió la calculadora y dijo que cada profesor tenía que pagarle 13’47 euros. ¿Es razonable este resultado?. Explícalo.Después de efectuar una estimación los alumnos llegaron a la conclusión de que Víctor se había equivocado porque 27 dividido entre 3 da 9; por tanto unos 9 euros es lo que tenía que poner cada profesor, no 13’47.

¿Cuántas cifras tendrá la respuesta?_________________________________1. 1. 134 + 689

2. 134 + 9893. 1246 - 3484. 2054 – 1285. 5 x 6896. 12 x 2347. 2344 : 48. 2388 : 14

¡¡Di una fracciDi una fraccióón!n!1.1. Que estQue estéé entre entre ½½ y 1.y 1.2.2. Entre Entre ¼¼ y y ¾¾, que no sea , que no sea ½½..3.3. Entre Entre ¼¼ y y ½½, que tenga como denominador 10., que tenga como denominador 10.4.4. Entre 7/8 y 1. Entre 7/8 y 1. ¿¿CuCuáántas se te ocurren?.ntas se te ocurren?.5.5. Entre 0 y 1/10, que tenga 1 como numerador.Entre 0 y 1/10, que tenga 1 como numerador.

TAMAÑO DE SUMANDOS

La suma de cinco números de dos dígitos es menor que 100.Considerando cada una de las afirmaciones siguientes hay que decidir si son necesariamente ciertas, necesariamente falsas, o posiblemente ciertas.

Explica los razonamientos.1. Todos los números son menores que 20.

2. Uno de los números es mayor que 60.3. Cuatro de los números son mayores que 20 y el quinto

es menor que 20.4. Si dos de los números son menores que 20, por lo

menos uno es mayor que 20.5. Si los cinco números son diferentes, entonces la suma

de los cinco es mayor o igual que 60. Arithmetic Teachers, nº 36.

MULTIPLICAR PORMULTIPLICAR POR: : • 1’5 es una vez y media.• 2’5 es dos veces y media.• 0’75 es ¾• 1’25 es 1 y ¼.

DIVIDIR PORDIVIDIR POR::• 0’1 multiplicando por 10.• 0’2 multiplicando por 5.• multiplicando por 2 y dividir por 10.• 0’5 multiplicando por 2.

• 0’25 multiplicando por 4.

Significado de las fracciones entre 0 y 1

1/4, 9/10, 2/19, 4/7, 7/9, 1/3, 12/15, 2/5, 5/8

Preguntas:¿Cuál es la menor?. ¿Y la mayor?.Justifica lo que pienses.1.Elige las que sean las menores que 1/2.2.Ordénalas de menor a mayor.3.Forma parejas de fracciones que sumen alrededor de 1.

Encontrar una fracción que: • Esté entre ½ y 1

• Entre ¾ y ¼ que no sea 1

• Entre ¼ y ½ de denominador 10

• Entre 7/8 y 1 ¿Cuántas podrías encontrar?

• Entre 0 y 1/10 cuyo denominador sea 1.

Decid cualquier cosa que se os pueda ocurrir sobre la fracción 2/5.

1. Es casi igual que ½.2. Es más pequeño que ½.3. Es mayor que ¼.4. Es mayor que 1/3.5. Es el doble de grande que 1/5.6. Dos dos quintos darían casi una unidad.7. Se puede poner como 0’4.8. Es igual que 40 por ciento.9. Es una fracción propia.10. Es un número racional.11. Es igual que 8/20.12. Lunes y martes son 2/5 de la ssemana de clases.Noción de fracciones – relación con propia experiencia – noción del tamaño, el

significado y la variedad de expresiones asociadas con 2/5. Plantear preguntas y dejar tiempo para verbalizar, construir a partir de experiencias de los

t

LA CAZA DE FRACCIONESLA CAZA DE FRACCIONESUtiliza las pistas para identificar en cada caso el

número sospechoso.Pista 1: Soy mayor que 0’5Pista 2: No soy igual que 0’75Pista 3: Si me multiplicas por 2, sale un número menor que 2. Pista 4: Mi denominador es número primo.

NNúúmeros sospechososmeros sospechosos½ ¾ 2/5 12/11

3/5 5/8 7/10Fuente: Woodward, Ernest, The Math Detective, Portland, Maine: J.Weston Walch, 1983.

OPERACIONES CON OPERACIONES CON FRACCIONESFRACCIONES

Si se multiplican las fracciones representadas por los puntos D y E, ¿qué otro número representará mejor el producto?.Si se multiplican las fracciones representadas por los puntos C y D, ¿qué otro número representará mejor el producto?.Si se multiplican las fracciones representadas por los puntos B y F, ¿qué otro número representará mejor el producto?.Supongamos que el número representado por el punto E se multiplica por 20. Haz una estimación del producto?Supongamos que el número representado por el punto E se divide por 20. Haz una estimación del cociente.

ESTIMACIÓN CON DECIMALES

1. 146 x 0’762. 7’8 x 0’98

3. 45’1 x 1’05

4. 16 x 0’5

5. 39’5 : 0’95

6. 436’2 : 0’63

7. 82’5 : 1’2

MULTIPLICAR PORMULTIPLICAR POR: : • 1’5 es una vez y media.• 2’5 es dos veces y media.• 0’75 es ¾• 1’25 es 1 y ¼.

DIVIDIR PORDIVIDIR POR::• 0’1 multiplicando por 10.• 0’2 multiplicando por 5.• multiplicando por 2 y dividir por 10.• 0’5 multiplicando por 2.

• 0’25 multiplicando por 4.

EXPLORACIEXPLORACIÓÓN DE EXPRESIONES EQUIVALENTES CON PORCENTAJESN DE EXPRESIONES EQUIVALENTES CON PORCENTAJES

Elige de cada fila el elemento que no corresponde con los demás y explica el razonamiento que hayas hecho.

1. ¾ 0’75 0’34 75%

2.20% de 40 40% de 20 10% de 80 5% de 20

3. 3 ¼ 0’325 3’25 325%

4. 50% de 18 18(0’5) 1/2% de 18 18% de 50Fuente: Glatzer, David, J, y Joyce Glatzer. Math Connections, Palo Alto (California)

19 x 019 x 0’’99a) 19 x 0’9 1717’’11

b) 19 x 0’9 ; falta una décima para 1Si fuera 1, sería 19 x 1 = 19

Debemos quitarle 19 décimas que nos hemos pasado.

19 – 1’9 = 1717’’11.

c) 19 x 0’9 = (9x10)+(9x9) = 90+81 = 171 décimas. Esto es 1717’’11.

Si 502 son 2500.¿Cuánto son 492?

Si Si 505022 son son 2.5002.500,,¿¿cucuáánto sernto seráán n 494922?.?.

RESOLUCIÓN 1Como 502 = 2.500;50x50 = 2.500.50x49 son 49 veces 50 (“pierdo un 50”) = 2.500 – 5049x49 son 49 veces 49 (“pierdo un 49”) = 2.500-50-49 = 2041.Reflexión

50x49 = 50(50-1) = 50x50-50x1Conexiones

En la multiplicación por dos cifras se usa la propiedad distributiva.RESOLUCIÓN 2

502 = 2.500; 492 = (50-1)2 =502 – 100+1REFLEXIÓN : cuadrado de una diferencia

RESOLUCIÓN 3 492 = 502 – (49+49+1)Reflexión: Visualización geométrica de productos.

¿¿QuQuéé pasa cuando un npasa cuando un núúmero mero entero positivo se multiplica por entero positivo se multiplica por una fracciuna fraccióón menor que 1?n menor que 1?

¿¿QuQuéé pasa cuando se multiplica pasa cuando se multiplica un nun núúmero natural por un mero natural por un decimal que estdecimal que estéé entre entre 00’’99 y y 11’’11??

••Modelos, manipulaciModelos, manipulacióón n y sentido numy sentido numééricorico..

1.¿Qué tamaño tendría el diámetro del círculo si se lo copia al 50%? ¿Y al 150%?

2.Supongamos que se copia el dibujo al 50%. Después decidimos copiarlo otra vez para que vuelva a quedar como el original. ¿Qué tamaño de ampliación habría que pedirle a la máquina?.

3.Supongamos que se copia el dibujo al 150%. Después decidimos copiarlo otra vez para que vuelva a quedar como el original. ¿Qué tamaño de ampliación habría que pedirle a la máquina?.

DDÉÉCIMAS Y CENTCIMAS Y CENTÉÉSIMASSIMASEmpezaremos en 0 e iremos contando en décimas hasta 10. Tomamos 0’1 como sumando constante.

Secuencia de teclas: 0 + 0 . 1 = = = ....0 + 0 . 1 = = = ....

En algunas calculadoras se introduce el número que tomamos como sumando constante , en este caso 0’1 y pulsando dos veces el signo + seguido del signo =Continua contando hasta que pases varios números naturales.

¿Qué es mayor 33’’4 0 44 0 4’’33?.

Repite la secuencia anterior tomando ahora como sumando constante 00’’0101 (una centésima).

¿Cómo se llega antes a 1, contando en décimas o en centésimas?.

TRABAJOS DE ALUMNOS.

Expresar la fracción 4/5 en forma de porcentaje.

ESTRATEGIAS PERSONALESLAURA Gª FILOSO:

4/5=2/2’5=20/25=80/100=0’80=80%

MERCEDES: 4/5=80/100=0’80=80%

DIVIDIR ENTRE 4

Después de un rato buscábamos algo que multiplicado por 4 nos diera 0’5ELENA: 4x0’12= 0’48 y 4x0’13=0’52. Busco 0’50 que está justo en medio de 0’48 y 0’50. De uno a otro van 4. Aumentando una centésima el resultado aumenta en 4. Como quiero que sólo sea 2 mayor, aumentarémedia centésima, es decir 5 milésimas. Entre 120 y 130 milésimas está 125. Así pues 4x0’125=0’5

DIVIDIR ENTRE 4

GABRIEL:4x0’15= 0’60 y 4x0’10=0’40. El número que busco 0’50 se obtendrá dela mitad entre 0’15 y 0’10. La diferencia es de 5 centésimas. La mitad de 5 centésimas o 50 milésimas es 25 milésimas. Así pues será 0’125

En una taza caben 0’253 litros. ¿Cuántos litros hay en 15 tazas?.

Mercedes (5º):Cuenta: 0’253 x 15 = 3’795

Yo lo hago así: Como 0’253 está cerca de 0’250 y 0’250 es ¼ de litro, entonces 4 tazas son 1 litro. 12 tazas son 3 litros. Como son ¾ más son 3’750, pero como eran 0’003 más, multiplico 0’003 x 15 y me da 0’045, lo sumo y sale 3’795.

Un cántaro tarda en llenarse en una fuente 50 segundos. ¿Cuánto tardarán en llenarse seis cántaros?.

PASCUAL: 50 X 6 = 300. 300 segundos. 300:60 = 5; 5 minutos.

MERCEDES: Si 120 son 2 minutos; 150 serán 2 minutos y medio. Y otros 2 minutos y medio de los otros 150 serán 5 minutos.

DAVID MELERO: 5 minutos son 1/12 de hora porque 5/60 = 1/12.

A una estación de autobuses llegan en un momento dado 43 pasajeros. ¿Cuántos taxis necesitan para desplazarse al centro de la ciudad?.

Reformulación: ¿Cuántos cuatros hay en 43?.

La respuesta es 11 taxis. En uno de ellos sobra una plaza.

Pedro ha comprado un besugo que pesa 1’25 kilos a 1.960 pesetas el kilo y 1’4 kilos de merluza a 1.025 ptas el kilo. Si paga con un billete de 5.000 ptas., ¿cuánto dinero tienen que devolverle?.

¿Cómo averiguar el coste del besugo si pesa 1’25 kg y se sabe que el kilo cuesta 1.960 ptas?. La mayor dificultad la ha representado el saber el coste de la merluza, porque 1’4 tiene un decimal menos familiar que el 1’25.

¿Cómo se explica que para saber el coste del besugo se multiplica 1’25 x 1.960?.

¿Cómo decir a los alumnos que el coste de la merluza se averigua multiplicando 1’4 x 1.025?.

los números me ponen malo. -...

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