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Contenidos Introduccion Resolviendo TSP Programacion Entera y el TSP

El Problema del Vendedor Viajero

Dpto. Ingenierıa Industrial, Universidad de Chile

IN47B, Ingenierıa de Operaciones

9 de abril de 2007

Dpto. Ingenierıa Industrial, Universidad de Chile El Problema del Vendedor Viajero




Contenidos

1 Introduccion

2 Resolviendo TSP

3 Programacion Entera y el TSP





Descripcion del Problema

Definicion:

Dado un conjunto finito deciudades , y costos de viaje

entre todos los pares, visitar

todas las ciudades

exactamente una vez acosto mınimo.

Mas precisamente:

Asumimos costos sim etricos , i.e. viajar desde la ciudad X

a la ciudad Y tiene el mismo costo que viajar desde laciudad Y a la ciudad X. La condicion de visitar todas las

ciudades implica que el problema se reduce a decidir en

que orden las ciudades van a ser visitadas.





Historia

Primeras referencias datan del 1832, para

vendedores viajeros.Karl Menger, 1930, (Shortest Hamiltonian Path).

J.B. Robinson, “On the Hamiltonian game (a

traveling-salesman problem)”, 1949. Esta es la primera

referencia del problema como es conocido hoy en dıa.G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson, ”Solution

of a large-scale traveling-salesman problem”, 1954.

Solucion de una instancia de 49 ciudades (capitales de los

estados de USA), introduccion de cortes y branching.

M. Held and R.M. Karp, .A dynamic programming

approach to sequencing problems”, 1962. introduccion

de heurısticas basadas en programacion dinamica.





Record TSP en el tiempo

Ano Autores Ciudades

1954 Dantzig, Fulkerson, and Johnson 491971 Held and Karp 64

1975 Camerini, Fratta, and Maffioli 67

1977 Grotschel 120

1980 Crowder and Padberg 318

1987 Padberg and Rinaldi 5321987 Grotschel and Holland 666

1987 Padberg and Rinaldi 2,392

1994 Applegate, Bixby, Chvatal, and Cook 7,397

1998 [idem] 13,509

2001 [idem] 15,112

2004 [idem] and Helsgaun 24,978

2005 Cook, Espinoza and Goycoolea 33,810

2006 Cook 85,900





Record TSP en el tiempo

1953 1961 1969 1977 1985 1993 2001

1

0 0

1 0 0 0

1 0 0 0 0





Algunas Aplicaciones del TSP

Ruteo de Vehıculos.

Bus Escolar.Atencion de

Llamadas de

Emergencia.

Servicio de Correo

Expreso.


C id I d i´ R l i d TSP P i ´ E l TSP




Enumeracion y Heurısticas


¿Podemos enumerar las soluciones y escoger lamejor?

10 ciudades : ≈ 105,56 posibilidades.

100 ciudades : ≈ 10155,97 posibilidades.

1,000 ciudades : ≈ 102,564,60 posibilidades.85,900 ciudades : ≈ 10386,522,04 posibilidades.

Edad del universo : ≈ 1018 segundos.

Numero de atomos en el universo: < 10100.

Enumeracion solo para problemas muy pequenos.


C t id I t d i´ R l i d TSP P i ´ E t l TSP





Heurısticas K-Opt

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos

Reemplazar K arcos.

Lin-Kernighan usa

reemplazos de pares.

Lin-Kernigham-Helsgun usa

reemplazos de 5 arcos.

Heurısticas no proveen cotaspara el problema.

1

23

4

5

6

7 8

9

10

K = 2

1

23

4

5

6

7 8

9

10

23Dpto. Ingenierıa Industrial, Universidad de Chile El Problema del Vendedor Viajero





Obteniendo Cotas

¿Como obtener cotas o

garantıas?

Cırculos disjuntos a

ciudades.

Bandas sin interseccion

a subconjuntos de

ciudades.

Dos veces la suma de

los radios da cota

inferior.

¿Como encontramos

radios y bandas?

15,112ciudades en Alemania, cota a

0.74 % de la solucion optima






Formulacion del TSP como IP

Definiciones previas:V Conjunto de ciudades a considerar.

E Conecciones entre ciudades, i.e.E = {(a , b ) : a , b ∈ V , a = b }.

c Costo de las conecciones entre ciudades.

δ(S ) Arcos cruzando la frontera de un conjunto, i.e.

δ(S ) = {(a , b ) ∈ E : a ∈ S , b ∈ V \ S }.

Formulacion como IP:

mın

(c e x e : e ∈ E )

s .t .

(x e : e ∈ δ({v })) = 2 ∀v ∈ V

(x e : e ∈ δ(S )) ≥ 2 ∀∅ S V

x e ∈ {0, 1} ∀e ∈ E






Relajacion continua

Problemas de la formulacion discreta

Tanto o mas difıcil que contar permutaciones.Numero de variables es |V |(|V | − 1)/2.

No existen algoritmos eficientes para resolver.

Relajacion continua (SEP):

mın

(c e x e : e ∈ E )s.t.

(x e : e ∈ δ({v })) = 2 ∀v ∈ V (r v )

(

x e :

e ∈ δ(

S )) ≥ 2 ∀∅

S

V (

W S )x e ∈ [0, 1] ∀e ∈ E

Puede Resolverse eficientemente.






Relajacion continua

Cotas obtenidas del SEP0.69 % gap para chile5445





g y

Algoritmo de hiperplanos cortantes

Resolviendo IP usando LP

Propuesto por Dantzig, Fulkersony Johnson (1954) para al TSP.

1 Considerar relajacion

continua.

2 Obtener solucion optima x ∗.

3 x ∗ entera?, terminar.

4 Buscar restriccion valida para

puntos enteros.

5 Agregar a la formulacioncontinua.

6 Volver a 2.





g y

Cortes para el TSP

(Algunos) Cortes Estructurales

Subtour (separable)

Blossom (Edmonds 1965)(separable)

Combs (Chvatal 1973, Grotschel y Padberg 1979)

Clique-Tree (Grotschel y Pulleyblank 1986)

Star, Path (Fleischmann 1988, Cornuejols et al. 1985)

Bipartition (Boyd y Cunningham 1991)

Binested (Nadeff 1992)

Double Deckers (Applegate et. al. 1994)Domino Parity (Letchford 2000)(planar)

K-Parity (Cook, Espinoza, Goycoolea 2004)(planar)





Cortes para el TSP

Cortes no estructurados

Idea: generar cortes automaticamente.

Base: usar una version simplificada del problema.

Cortes de Gomory (1958) dentro de esta clase.

Considerar solo una restriccion (basica).

Redondeo entrega corte automaticamente.

En teorıa resuelve cualquier IP.

0 1 2 3 40123

4

····

··

····

··

····

··

····

··

····

··

····

··

x 2 ∈ Z, x 1 ∈ R+

P = {(x 1, x 2) : x 1 + x 2 ≤ 4,5}.x 1 + x 2 ≤ 4,5, x 1 ≥ 0 ⇒ x 2 ≤ 4,5

x 2 ≤ 4.





Cortes para el TSP

Cortes no estructuradosLocal Cuts en el TSP:

Reducir a un GTSP

pequeno (16-48 nodos).

Separar punto

fraccionario.Si punto es separable,

agregar corte.

Problemas numericos.

Extension a MIP.Cuando todo falla,

¿Que podemos hacer?

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

x e = 0,5

x e = 1,0

x e = 1,5

Dado x ∗ solucion fracciona-

ria, y P poliedro:

x ∗ ∈ P ? Sea {v k :Dpto. Ingenierıa Industrial, Universidad de Chile El Problema del Vendedor Viajero




Cortes para el TSP

Entre enumeracion y Programacion LinealStrong Branching (Dividir para reinar)

Crear sub-problemas mas

faciles.

Fijar cotas para unavariable.

Resolver cada

sub-problema.

Escoger mayor impacto.Usar junto con planos

cortantes.

P

P 1

P 2

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············

····

············





Resultados Numericos

Resultados Numericos (chile5445)Mejor solucion: 40011.091Km

Conf. Valor Tiempo GAP ( %)

Subtour 39755.198 134 0.639

Cortes Heurısticos 39846.738 25518 0.470

Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040

Domino Parity 40001.294 10863 0.024

DP + LC 24 40002.578 14160 0.021

DP + LC 32 40003.294 21159 0.019

DP + LC 40 40004.291 60269 0.017

DP + LC + Branching 40008.475 +3 dıas 0.007LKH 40031.459 46 -0.051

Primera Solucion 44594.459 3 -11.455





Resultados Numericos

Resultados Numericos (Sobre Sub-Tour)

Configuracion GAP Relati-vo

Cortes Heurısticos 35.773

Local Cuts (24) 93.689

Domino Parity 96.171

DP + LC 24 96.673

DP + LC 32 96.953

DP + LC 40 97.343

DP + LC + Branching 98.978

LKH 107.960

LKH

BRDP+LC40DP+LC32DP+LC24DP

LC24

CH

%

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100





Algunos Comentarios Finales

Conclusiones

TSP ofrece un punto de referencia dentro de IP.

Estrategia depende del objetivo:

Solucion factible.

Buena solucion.

Optimalidad.Muchas tecnicas generales han nacido del TSP.

Importancia de generacion de cortes.

Problemas numericos.

Posibilidad de extender Local Cuts para MIP.





Algunos Comentarios Finales

GraciasPreguntas?


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