Lógica Matemática

proposicional

• La lógica estudia la forma del razonamiento• Por medio de reglas y técnicas determina si un teorema es

falso o verdadero• En la computación la lógica se aplica en la elaboración y

revisión de programas, en el estudio de lenguajes formales y la relación existente entre ellos, así como la obtención de resultados en forma recursiva

• Con el apoyo de la lógica en el área de la inteligencia artificial se logra que la máquina tome decisiones precisas

• En lo cotidiano se usa constantemente la lógica, si se va a la super, o se desea pintar una pared

Proposición

• Proposición o enunciado es una oración, frase o expresión matemática que puede ser falsa o verdadera

• p: Estados Unidos es el país territorialmente más grande de América

q: -19+50=31r: x>(y-13)7s: Morelia será campeón en la presente temporadau:¿Cómo estás?v: Formatea el disco antes de usarlo

Operadores lógicos

• And o conjunción (y)• Conecta dos proposiciones que se deben

cumplir (ambas) para obtener un resultado verdadero. Su símbolo es ˄

Sean:p: El automóvil arrancaq: El tanque tiene gasolinar: La batería tiene corriente

Considere el siguiente enunciado: “El automóvil arranca si y solo sí el tanque tieneGasolina y la batería tiene corriente.”

La representación lógica de dicha proposición es p=q˄r

Su tabla de verdad es q r p = q˄r

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

1 es verdadero0 es falso

Al operador ˄ (and) se le conoce como multiplicación lógica

Operador or o Disyunción (o)

• Con este operador se obtiene un resultado falso cuando las dos proposiciones son falsas

• Sus símbolos son: {˅,+}

Sean:p: una persona entra al cineq: compra su boletor: le regalan un pase

Considere el siguiente enunciado: “una persona puede entrar al cine, si y solo siCompra su boleto o le regalan un pase.”

La representación lógica de dicha proposición es P=q˅r

Su tabla de verdad es q r p = q˅r

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1 es verdadero0 es falso

Al operador ˅ (or) se le conoce como suma lógica

Operador not o negación (no)

• La función de este operador es negar la proposición (complemento)

• Sus símbolos son:{ ‘,˜,¬}

p: el automóvil es azulp’: el automóvil no es azul

Considere el siguiente enunciado: “el automóvil es azul.”

Su tabla de verdad es p P’

1 0

0 1

Si una proposición tiene un número impar de negaciones, es como si sólo tuviera una

p’’’=p’

Si una proposición tiene un número par de negaciones, equivale a una proposición verdadera

p’’’’=p

Operador or exclusivo (xor)

• Su funcionamiento es similar al de or con la diferencia de que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, ya que cuando ambas son verdad el resultado es falso

• Su símbolos es:

Se obtiene un resultado verdadero solo cuando una de las proposiciones es verdaderaPero no si ambas lo son

Su tabla de verdad esp q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

'' qpqpqp

qp

Proposición Condicional (→)

• Una proposición condicional es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuestas) p y q y que se indica de la siguiente manera p→q

• Se lee “si p entonces q”

Sean:p: salió electo Presidente de la Repúblicaq: El crecimiento anual fue del 7%

Considere que un candidato a la presidencia de México dice: “Si salgo electo presidenteDe la República, entonces el crecimiento anual del país será del 7%”

La representación lógica de dicha declaración condicional es p→q

Su tabla de verdad es p q p →q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

1 es verdadero0 es falso

La tabla evalúa si el candidato dijo la verdad en la campaña

Proposición Bicondicional (↔)

• Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente forma: p↔q

• Se lee “ p si y sólo si q”• El resultado es verdadero si p es verdadera y si

y sólo si q también lo es• O es verdadera si p es falsa y si y sólo si q

también es falsa

Sean:p: es un buen estudianteq: tiene promedio de diez

Considere el enunciado: “es un buen estudiante, si y sólo si, tiene promedio de diez

La representación lógica de dicha declaración condicional es p↔q

Su tabla de verdad es p q p ↔q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 es verdadero0 es falso

Como se ve en la tabla, la proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien si ambas son verdaderas

Representación lógica

• Se pueden representar con notación lógica enunciados compuestos con más de una proposición

• “Si no estudio matemáticas discretas y no hago la tarea de fundamentos de programación, entonces reprobaré el semestre o no podré ir de vacaciones a Cancún”

1. Determinar las proposiciones simplesp: Estudio matemáticas discretasq: Hago la tarea de fundamentos de programaciónr: Reprobaré el semestres: Podré ir de vacaciones a Cancún

2. Usar las proposiciones simples y los operadores correspondientes

''' srqp

Ejercicio

• Si no pago el teléfono, entonces me cortarán el servicio telefónico, y si pago el teléfono, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la tarjeta de crédito, si y sólo si soy una persona desorganizada”

p: pago el teléfonoq: me cortarán el servicio telefónicor: me quedaré sin dineros: pediré prestadot: pagar la tarjeta de créditow: soy una persona desorganizada

wtsrsrpqp ''

Representar usando notación lógica

• Si vivo en un lugar bajo, entonces se inunda la casa. Si vivo en un lugar alto, entonces me falta el agua o es zona cara. Por consiguiente, si no es zona cara y no se inunda la casa y me falta el agua, entonces vivo en la montaña

usqttsrqp ''

Tablas de Verdad

• Por medio de una tabla de verdad es posible mostrar los resultados obtenidos al aplicar cada uno de los operadores lógicos, así como el resultado de la proposición para todos y cada uno de los valores que pueden tener las proposiciones simples

• El número de filas depende del número de proposiciones diferentes que conforman una proposición compuesta

»Número de filas = 2n

• El número de columnas depende del número de proposiciones que integran la proposición y del número de operadores lógicos contenidos en la misma

Jerarquía de operadoresJerarquía Operador

1 ( )

2 ‘

3

4

5

Construir la tabla de verdad de

qrrqqp '

Número de proposiciones = 3 (p,q,r) n=3

Número de filas = 23 = 8Columnas: una para cada proposición (p,q,r) = 3

y una para cada una de las siguientes operaciones:

qp

rq '

rqqp 'qr

qrrqqp '

'q

Columnas = 9

p q r q’

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

0 1

0 1

1 0

1 0

0 1

0 1

1 0

1 0

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

0 0 1

0 0 1

0 1 1

0 1 1

1 0 0

1 0 0

1 1 1

1 1 1

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

0 1 0

1 1 1

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 1

0 0 0

1 0 0

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

1 0 1

1 1 1

1 0 1

1 0 1

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 0 1

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

1 1 1

1 0 0

1 1 1

1 1 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

1 1 1

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

p q r q’

0 0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0 1 1 1

qrrqqp '

qp rq ' rq

qp

'qr qrrqqp '

Jerarquía Operador1 ( )2 ‘345

Para hacer la tabla• Es importante mantener un orden para

facilitar su revisión• Proposiciones ordenadas alfabéticamente, con

sus valores de menor a mayor (00,01,10,11)• Proposiciones complemento (p’)• Luego se aplica el criterio de la jerarquía de

operadores

• Si hay más de un paréntesis se evalúa primero el que se encuentra más adentro y de izquierda a derecha (si uno no está dentro del otro)

• Lo miso para el condicional y bicondicional, primero el que esté más a la izquierda

• Realice la tabla de verdad de:

''' rqqp