LÓGICA CUANTIFICACIONAL

1. Predicados, cuantificadores, nombres e individuos

1.1. Predicados: Términos que se refieren a clases o conjuntos.

1.2. Cuantificadores: Términos que generalizan total o parcialmente un conjunto.

1.3. Nombres: Términos que identifican objetos para distinguir de los demás. Los nombres pueden ser de personas, lugares, animales, obras de arte, etc.

1.4. Individuos: Elementos no determinados o no específicos.

A continuación algunos ejemplos:

a. Algunos deportistas no son disciplinadosb. Algunos autores escriben novelas picarescas.c. Todos los diplomáticos son cortesesd. Sócrates fue un filósofo ateniense e. Fiorella es más estudiosa que Franciscof. Pamela ama a Carlos más que a Federicog. Ningún condenado a cadena perpetua es felizh. Los heraldos negros es un poema escrito por César

Vallejo

2. Sintaxis de LC

2.1. Símbolos primitivos1. Predicados: F, G, H, ... (F1, F2, F3, ....,Fn )2. Nombres: a, b, c, ...3. Individuos indefinidos: x, y, z, ....4. Cuantificadores: Universal " y existencial $ 5. El lenguaje primitivo de LP es válido en este sistema.

2.2. Metavariables1. A, B, C, ....2. q, j, Y,....3. a = a, b, c, x, y, z 4. b = x, y, z 5. g = a, b , c

2.3. Reglas de formación: 1. Cada variable de LP por sí misma es una fbf.2. Si q es un predicado, qa es una fbf.3. Si A es una fbf, ~ A es una fbf.4. Si A y B son fbfs, (A Ù B), (A Ú B), (A ® B) y (A « B) son fbfs.5. Si A es una fbf, ("b)A y ($b)A son fbfs.6. No hay otras reglas en LC que las mencionadas en la

presente reglas de formación.

2.4. Fórmulas y esquemas de fórmulas

2.4.1. Fórmula: Conjunto de signos que se comportan de acuerdo a un conjunto de reglas de formación.

2.4.2. Esquemas de fórmulas: Representación de fórmulas mediante metavariables. A continuación algunos casos:

A = Esquema de fórmula de cualquier fórmula lógica (puede ser proposicional o cuantificacional).

qa = Esquema de una fórmula cuantificacional donde hay sólo símbolos de predicados seguidos de un nombre propio o individuo indefinido.

qb = Esquema de una fórmula cuantificacional donde hay sólo símbolos de predicados seguidos de individuos indefinidos.

qg = Esquema de una fórmula cuantificacional donde hay sólo símbolos de predicados seguidos de nombres propios.

("b)A=Esquema de una fórmula cuantificacional donde el cuantificador universal tiene mayor alcance.

($b)A=Esquema de una fórmula cuantificacional donde el cuantificador existencial tiene mayor alcance.

("b)qb = Esquema de una fórmula donde el dominio del cuantificador universal tiene sólo predicados seguidos de individuos indefinidos.

("b)qg = Esquema de una fórmula donde el dominio del cuantificador universal tiene sólo predicados seguidos de nombres propios.

($b)qb = Esquema de una fórmula donde el dominio del cuantificador existencial tiene sólo predicados seguidos de individuos indefinidos.

($b)qg = Esquema de una fórmula donde el dominio del cuantificador existencial tiene sólo predicados seguidos de nombres propios.

3. Semántica de LC

3.1. Fórmulas abiertas:

Una fórmula cuantificacional está abierta cuando exhibe por lo menos una variable libre. Una variable está libre cuando no está bajo el dominio de un cuantificador, o estando, la variable indefinida no está ligada al cuantificador. 3.2. Fórmulas cerradas:

Una fórmula cuantificacional está cerrada cuando ninguna variable está libre, esto es, cuando las variables indefinidas de los operandos de un cuantificador están ligadas al cuantificador. Son fórmulas cerradas todas las fórmulas de LP y las fórmulas que responden al esquema de fórmula qg.Sólo las fórmulas cerradas son verdaderas o falsas.

4. El método de los diagramas semánticos en LC

Decide la validez o invalidez de fórmulas cuantificacionales monádicas de primer grado.

4.1. Reglas semánticas para los cuantificadores:

V("b)qb F("b)qb V($b)qb F($b)qb

v(qa) F(qg) V(qg) F(qa)

4.2. Para aplicar el método de los diagramas semánticos, el procedimiento es el mismo usado en LP, con el añadido de las siguientes reglas:

i) Aplicar las reglas semánticas a los operadores proposicionales con mayor jerarquía que los cuantificadores.

ii) Si todos los cuantificadores generan ¨a¨, sustituir las variables indefinidas por ¨a¨.

iii) Por cada cuantificador que genera ¨g¨, sustituir las variables indefinidas por un símbolo que representa nombre propio,

iv) Después de aplicarse la regla iii, los operandos de cada cuantificador que genera “α” se sustituye por el símbolo que se ha introducido el nombre propio de cada cuantificador que ha generado “γ”.

v) Al aplicarse las reglas ii, iii y iv, se eliminan a la vez los cuantificadores, luego las operaciones se efectúan como si fueran fórmulas de la lógica proposicional.

5. Proposiciones categóricas

a. Lógica tradicional aristotélica

b. Organon: - Las categorías, - Sobre las proposiciones,

Primeros- Los analíticos

Segundos - Los tópicos, - Las refutaciones sofísticas

c. Clasificación de las proposiciones categóricas- Por su cantidad: Universales y particulares- Por su cualidad: Afirmativas y negativas

d. Simbolización de las proposiciones categóricas que poseen ¨cuantificador¨, ¨verbo¨ y ¨predicado lógico¨.

Universal afirmativo: Todos son j ("x) jxUniversal negativo: Ninguno es j ("x) ~ jxParticular afirmativo: Algunos son j ($x) jxParticular negativo: Algunos no son j ($x) ~ jx

e. Simbolización de proposiciones categóricas típicas. Estas poseen “cuantificador”, “sujeto”, “verbo” y “predicado lógico”.

A -- Todos los S son P -- S a P -- ("x) (Sx ® Px)

E -- Ningún S es P -- S e P -- ("x) (Sx ® ~ Px)

I -- Algunos S son P -- S i P -- ($x) (Sx Ù Px)

O -- Algunos S no son P -- S o P -- ($x) (Sx Ù ~ Px)

f. Otras formas de proposiciones categóricas

- Todos no son j ~ ("x) jx

- Todos los S no son P ~ ("x) (Sx ® Px)

- Todos los F y G son H ("x)(Fx Ú Gx .®. Hx)- Todos los F son G si son H ("x)(Fx.®.Hx ® Gx)

o también ("x)(Fx Ù Hx .®. Gx)- Ningún F es G si es H ("x)(Fx .®. Hx ® ~ Gx)

o también ("x)(Fx Ù Hx .®. ~ Gx)g. Proposiciones con nombres propios

- Sócrates fue un filósofo ateniense

a = Sócrates

Fx = x fue un filósofo ateniense

Fa

- Sócrates y Platón fueron filósofos griegosa = Sócratesb = Platón

Gx = x fue un filósofo griego

Ga Ù Gb

- Si Claudia estudia Derecho, entonces cuando sea profesional será miembro del Colegio de Abogados

c = Claudia

Dx = x estudia Derecho

Px = x es profesional

Cx = x es miembro del Colegio de Abogados

Dc .®. Pc ® Cc

h. Proposiciones con interpretación sólo en LP- El cielo está nubladoEsta proposición sólo puede simbolizarse por una variable proposicional, por ejemplo ¨p ¨

6. Distribución de términos

A -- Todos los S son P -- S a P E -- Ningún S es P -- S e P I -- Algunos S son P -- S i P O -- Algunos S no son P -- S o P

7. Cuadros de la oposición7.1. Cuadro tradicional de la oposición

A E

I O

Relaciones válidas:

Contradictorias Contrarias Subcontrarias Subalternas Subalternantes

A « ~ O A ® ~ E ~ I ® O A ® I ~ I ® ~ A ~ A « O E ® ~ A ~ O ® I E ® O ~ O ® ~ E I « ~ E ~ I « E

7.2. Cuadro moderno de la oposición

("x) jx ("x) ~ jx

($x) jx ($x) ~ jx

Reglas de intercambio de cuantificadores (RIC)

RIC 1: ("x) jx « ~ ($x) ~ jx RIC 2: ~ ("x) jx « ($x) ~ jxRIC 3: ($x) jx « ~ ("x) ~ jxRIC 4: ~ ($x) jx « ("x) ~ jx

7.3. Cuadro tradicional de la oposición en versión cuantificacional

("x) (Sx ® Px) ("x) (Sx ® ~ Px)

($x) (Sx Ù Px) ($x) (Sx Ù ~ Px)

Este cuadro tiene sólo las siguientes relaciones válidas:

("x) (Sx ® Px) « ~ ($x) (Sx Ù ~ Px)

~ ("x) (Sx ® Px) « ($x) ) (Sx Ù ~ Px)

($x) (Sx Ù Px) « ~ ("x) (Sx ® ~ Px)

~ ($x ) (Sx Ù Px) « ("x) (Sx ® ~ Px)

7.4. El problema del contenido existencial

Ley del contenido existencial: En las inferencias de la lógica tradicional se aplica el contenido existencial sólo cuando la premisa o el conjunto de premisas son universales y la conclusión es una particular.

8. Análisis de validez inferencial por DS

Argumentos silogísticos y otro tipo de inferencias