logica y conjuntos

ASIGNATURA: Matemática aplicada a la Medicina

2010

JEFE DEL CURSO: Dr. Félix Peña Palomino

2

CONTENIDO

Lógica y Conjuntos Análisis combinatorio y probabilidades Sistema de números reales Relaciones y funciones. Logaritmos y exponenciales. Mediciones y magnitudes.

3

Lógica Proposicional

Enunciado abierto Son expresiones que contienen variables y que no

tienen propiedad de ser verdaderos o falsos. Ejemplo: x+3 = 8 ; El tiene 20 años

Enunciado:Es toda frase u oración que se emite. Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplo:¿Qué hora es? , ¡Arriba Perú!La matemática es fácil. x + 4 = 6

4

Proposición:

Es toda expresión que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa.

Ejemplo:

Notación.Generalmente a las proposiciones se les denota por letras minúsculas tales como: p, q, r, ..Así : P: Luis estudia ; q : Luis trabaja

Juan estudia medicina en la USMP.2 + 5 = 8Si estudio matemática, entonces apruebo el examen.Mario Vargas Llosa nació en Arequipa.

5

Conectivos lógicos:

p : Luis estudiaq : Luis trabaja : Luis estudia “y” trabaja

""

Son expresiones que enlazan dos o más proposiciones Entre estas , se tiene: “o”; “y” ; “entonces”, “implica”; “ si y solo si”, etc.Los conectivos lógicos que usaremos son:

La ConjunciónEnlaza dos o más proposiciones con la palabra “y”, denotado por Ejemplo:

qp

6

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Su tabla de verdad es:

La conjunción sólo es verdadera, cuando las dos proposiciones son verdaderas

7

•La Disyunción:

Relaciona dos o más proposiciones con la palabra “0”; que se denota por “ “


p q p q

V

V V

V F V

F V V

F F F

La disyunción sólo es falsa, cuando ambas proposiciones son falsas.

8

La disyunción exclusiva o diferencia simétrica

La disyunción exclusiva, sólo admite que es verdadera, si una de las proposiciones es verdadera y la otra es falsa. Se denota por: poro

p q p q

V

V F

V F V

F V V

F F F

Se lee: “p o q pero no ambos”

:qΛp

“ o es p o es q”

p: Víctor Raúl nació en Trujillo. q: Víctor Raúl nació en Lima.

“ o Víctor Raúl nació en Trujillo o en Lima”

:qΛp

9

La negación:

La negación de una proposición “p”, es otra proposición , denotado por “ ~p”, que se lee: “no p” , o “no es cierto que”, cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla:

p ~p

V F

F VEjemplo:

P: Pedro es estudioso~p: Pedro no es estudioso, o también: No es cierto que Pedro es estudioso

10

El condicional:

En el condicional: p q

“p” se llama antecedente

“q” se llama consecuente

Denotado por el símbolo: se lee: “Entonces” o “implica”, etc.Por lo tanto, este conectivo une dos o más proposiciones con la palabra “entonces”Ejemplo: p: Juan estudia q: Juan aprueba el examen p q : Si Juan estudia, entonces aprueba el examen.

11

p q p ⇒ q

V

V V

V F F

F V V

F F V


Nota: En el condicional:

Sólo, es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en todo los demás casos es verdadero.

p q

12

Al condicional se le asocia tres expresiones lógicas importantes:

Sea el condicional: p⇒q

La proposición Recíproca es: q ⇒ p

La proposición inversa es: ~p ⇒ ~ q

La Contrarrecíproca es: ~q ⇒ ~p

Construyendo la tabla de verdad, se tiene:

qp pq qp pq

Directo

Rcíproco

p q

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V V V

Inversa Contrarecíproco

13

El Bicondicional o Doble implicación

Denotado por: Se lee: “Sí y sólo sí”. Relaciona dos o más proposiciones mediante la palabra “sí y sólo si”. Su tabla de verdad es:

qp p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p: Londres está en Inglaterraq: París está en Francia.

Londres está en Inglaterrasi, y solamente si,París está en Francia.

qp

14

Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas

Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden combinar cualquier número finito de fórmulas lógicas para obtener el valor de verdad de otras expresiones más complejas.

Tener en cuenta que el número de combinaciones de valores de verdad de una proposición, está supeditado al número de variables o proposiciones simples que intervienen. Para esto basta aplicar la fórmula: 2n , donde “n” indica el número de variables que hay en la proposición compuesta.

15

qpqp )( p

q

V V F V V F F

V F F V F V V

F V V F F V F

F F V F F F V

Ejemplo: Construir la tabla de vedad de las siguientes expresiones lógicas:

qrprqpb

qpqpa

)()(.)

(.)

Solución: qpqpa (.)

16

qrprqpb )()(.)

qrprqp )()( p q r

V V V F F V V V V V

V V F F F V V V V V

V F V F F V V V F F

V F F F F F V V F F

F V V V V V V V V V

F V F V V V F F F V

F F V V V V F V F F

F F F V F F V F F F

17

Proposiciones equivalentes:

Se dice que dos proposiciones son equivalentes, si tienen iguales valores de verdad.

Ejemplo: ,qpyqp

Construyendo su tabla de verdad:

qp p q ~p ∨ q

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

Son equivalentes

18

Tautologías, contradicciones y contingencias:

• Una expresión proposicional se llama Tautología, si

los valores de su tabla de verdad todos son verdaderos

• Una expresión proposicional se llama Contradicción,si

los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.

• Una expresión proposicional se llama Contingencia,

si los valores de su tabla de verdad hay valores

verdaderos y falsos

19

Determinar si el siguiente esquema es tautológico, consistente o contradictorio.

p p)]~ q(~ q) (p [~ p

q

V V F V V F F F V V

V F F V V V F F V V

F V F V V F F V V F

F F V F V V V V V F

pp)]~q(~q)(p[~

20

Dada las proposiciones :p: 18 es un número primoq: 4 es un número cuadrado perfecto.r: 13 es un número parDeterminar el valor de verdad del siguiente esquema:

r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [(

r~ ] s) ~ Δ (s q) p~ [(

V(p)= F

V(q)= V

V( r )= F

Solución:= V

V V

V V

VV

21

INFERENCIA LÓGICA Y CUANTIFICADORES

La inferencia lógica, llamado también razonamiento lógico, es un par ordenado de la forma:

Donde es un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas y ”q”, otra proposición, llamada conclusión.

Es decir, si p1, p2 , p3….., pn , son proposiciones llamadas premisas y q la conclusión, entonces la implicación: Es una tautología

Por lo tanto:

-Si la implicación es una tautología, entonces, se tiene un Argumento válido.

-Si la implicación es Falsa, entonces, se tiene una Falacia.

ip qpi ,

qpppp n ).....( 321

22

Ejemplo:

Simbolizando, se tiene:

P: El día está frío.

q: El cielo está nublado. Simbolizando la inferencia

Determinar la validez de la siguiente inferencia:“El día está frío, entonces el cielo está nublado. El día está frío. Por lo tanto : El cielo está nublado”Solución:

q

p

qp

23

Desarrollando la tabla de verdad de:

qpqp )(

p q

V V V V V V V

V F F F V

V F

F V V F F

V V

F F V F F

V F

Es una tautología, por lo tanto, la inferencia es Válida

24

Principales leyes lógicas o Tautologías:

qqpb

pqpa

ciónSimplificadeLey

qqpp

PonensModusDelLey

pp

excluidoTerciodelLey

pp

ióncontradiccdeLey

ppypp

identidadde

tieneseestasEntre

)

)

:.5

)(

:.4

:.3

)(~

:.2

:.1

:

25

Principales Leyes Lógicas

pqpqpb

pqqpa

AbsurdodelLey

qqqp

DisyuntivoismoSidelLey

rprqqp

hipotèticoismoSidelLey

qqqp

TollensModusdeLey

)()()

)()

:.9

)(

:log.8

)()()(

log.7

)(

:..6

26

Equivalencias Notables

)()()

)()()

)()()

:.4

)

)

)

:.3

)

)

:.2

)(

:)(:.1

rqprqpc

rqprqpb

rqprqpa

AsociativaLey

pqqpc

pqqpb

pqqpa

aConmutativLey

pppb

pppa

iaIdempotencdeLey

pp

negaciónDobleinvolucióndeLey

27

Equivalencias notables:

Fppc

ppb

Vqpa

oComplementdeLeyes

qpqpb

qpqpa

MorganDdeLey

rpqprqpd

rpqprqpc

rpqprqpb

rpqprqpa

vasDistributiLeyes

)

)()

)

:.7

)()

)()

:´.6

)()()()

)()()()

)()()()

)()()()

:.5

28

Principales leyes lógicas

qpqppdqpqppc

pqppbpqppa

AbsorsióndeLey

FFpdpFpc

pVpbVVpa

IdentidaddeLeyes

qpqpqpb

pqqpqpa

nalBicondiciodelLey

pqqpc

qpqpb

qpqpa

onaldelCondiciLeyes

)())()

)())()

:.11

))

))

:.10

)()()()

)()()()

:.9

)()

)()

)

:.8

29

Principales leyes lógicas

iónContradiccCíaTautoT

CCpdpCpc

TTpbpTpa

NeutrosElementos

rppppprppppb

rqprqpa

nExportaciódeLey

pqqpb

pqqpa

iónTransposicdeLey

nnn

;log

))

))

:.14

)()....()....()

)()()

:.13

)()()

)()()

:.12

321321

30

CUANTIFICADORES

Función Proposicional:

Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante específica. Se les denota asi:

P(x) ; q(x) ; etc.

Ejemplo:

Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es verdadera. Esto escribimos asi:

P(3): 3+5=12 es falsa

P(7): 7+5=12 es verdadera.

31

TIPOS DE CUANTIFICADORES

1.- Cuantificador Universal:

Es toda función proposicional presedida por el Prefijo “Para Todo”, que está denotado por:

Así por ejemplo:

Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2es mayor o igual a cero”

2.- Cuantificador Existencial

Es toda función proposicional presedida por el prefijo “Existe algún x”, que está denotado por :

0: 2 xRx

082::

"lg"::2

xRxEjemplo

xúnaExisteleesex

32

Negación de los Cuantificadores:

Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces

si esta función proposicional está cuantificada y se niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:

)(:)(: xpAxxpAx Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces, si esta función proposicional está cuantificada en forma existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:

)(:)(: xpAxxpAx

33

Circuitos lógicos

Llamados también redes lógicas. Son como su nombre indica, redes que representan posiciones lógicas.

Estas redes se presentan como redes en serie o como redes en paralelo

:qp

CONJUNCIÓNlaconseasociaserieenConexiónUna

/p /q

34

.:qp

DISYUNCIÓNlaconasociaseparaleloenConexiónUna

P/

q/

35

Circuitos lógicos

Describir simbólicamente el circuito

pr

~q

q ~r

1. r y ~q están conectados en paralelo : r v ~q

2. P y (r y ~q) están conectados en serie: q)~(rp 3. q y ~r están conectados en serie: r~ q

q)~(rp y r~ q Están conectados en paralelo,

Luego se simboliza: r)~(qq)~(rp

36

Circuitos lógicos

Determinar el circuito equivalente al circuito:~p

Solución

El circuito se simboliza por:

p~qp~pqp~

~p

q

p

q

~p

37

Circuitos lógicos

Solución

p~qp~pqp~ Simplificamos utilizando las leyes lógicas y las equivalencias notables.

qp~p~qpp~ Asociativa

qp~qT Ley del tercio excluido , Idempotencia.

qp~T

qp~ Elemento neutro para la conjunción

El circuito equivalente es: ~p

q

38

CONJUNTO:

Idea Intuitiva:

La palabra conjunto sugiere de inmediato la idea de:

Grupo

Colección

Selección

Asociación

Agregado , etc.

NOTACION

Para representar un conjunto se utilizan letras Mayúsculas, tales como A , B , C .......

LA TEORIA DE CONJUNTOSLA TEORIA DE CONJUNTOS

39

ELEMENTO :Son los objetos que forman parte del conjunto la propiedad fundamental de un elemento es la pertenencia ; que se simboliza así

: Se lee : “ pertenece a ”

A los elementos se les designa con letras minúsculas , tales como x , y , z

etc.

Si un elemento x forma parte del conjunto A, entonces, ese elemento

pertenece a ese conjunto A así denotamos :

x A : Se lee: “ x pertenece a A”

Si un elemento x no forma parte del conjunto A, entonces, ese

elemento no pertenece a ese conjunto A. Así denotamos :

x A : Se lee: “ x no pertenece a A”

Ejemplo: Sea A = {x , y , z}

x A y A z A m A


40

Determinación de un conjunto :Un conjunto se puede determinar:

por extensión y por comprensión

Por extensión :

Nombrando uno a uno los elementos del conjunto

Ejemplo: A = {m , n , p , q}

Por Comprensión :

Enunciando una propiedad o característica común a los elementos del

conjunto.

Ejemplo: A = {x x es un número par }


41

Conjuntos Especiales : Conjunto Unitario : Ejemplo: M = { x } ; N = { x N 1 < x < 3 }

Conjunto Nulo o Vacío : Denotado por

Ejemplo: P = { x N 1 < x < 2 } =

Conjunto Finito

Ejemplo: M = { x x es número dígito par menor que 40 }

Conjunto Infinito

Ejemplo: N = { x R 1 < x 5 }

Conjunto Universal

Constituido por todos los elementos de una determinada materia.

El conjunto Universal no está definida en forma única, podemos elegir a

nuestra conveniencia.

Se denota por la letra U

Ejemplo: Sea el universo U = { a , e , i , o , u }


42

Diagrama de Veen - Euler :Consisten en representar a los conjuntos por medio de figuras geométricas

planas y cerradas en cuyo interior se ubican los elementos.

Ejemplo: A = {m , n , p }

.m

.n

.p

A


43

Relaciones entre Conjuntos :LA INCLUSION

Denotado por se lee: está incluido o contenido .

Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí ,

todos los elementos de A pertenece a B ; es decir :

Ejemplo: Sea A = {2 , 3 , 5} y B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }BxAxBA

.1.4

.6

La inclusión denotado por da la posibilidad de que A y B

tengan los mismos elementos

.2 .3.5

A

B


44

Subconjunto Propio o Parte Propia:

Se dice que un conjunto A es subconjunto propio de o parte propia de B ; sí y

solo si, todos los elementos de A pertenecen a B , existiendo elementos de B

que no pertenecen a A ; se denota así:

A B se lee: A es subconjunto propio de B

Nota: El conjunto nulo es subconjunto de todo conjunto .

A ; A


45

Propiedades de la Inclusión:

1. Reflexiva :

A A ; A

2. Antisimétrica :

Si A B B A A = B

3. Transitiva :

Para los conjuntos A , B y C

Si A B B C A C


46

Igualdad de Conjuntos :

A y B son iguales , cuando están formados por los mismos elementos.

Y definimos así:

Ejemplo:

A={x , y } y B= { y , x }

A = B

AB BA B A


47

Relaciones entre Conjuntos :Conjuntos Comparables

.b

.d .f

Tienen algunos elementos en común.

A={a , b , c , d} y B= { a , c , e , f}

.a

.c

A B

AB BA B a comparable esA Conjuntos no comparables

AB BA BA B a comparable es noA

.e

Conjuntos Disjuntos:

BA disjuntosson By A

Números pares

Números impares

A B

No tienen ningún elemento en común


48

Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos :

Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos.

Ejemplo: A={ {1 , 2 } , { 0 } , { 3 } }

A X / X P(A)


Conjunto Potencia

Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese

conjunto , incluyendo el mismo y el nulo.

Dado un conjunto A ; el conjunto potencia de A, se denota por P(A)

Luego :

Ejemplo: Sea A = {a , b}

P(A) = { {a } , { b } , { a , b } , }

49

Nota :

1. Si A tiene “ n” elementos, el número de elementos de la P(A) es igual

a 2n elementos.

P(B)P(A)BA Si 4.

P(B)P(A)BA Si 3.

}{ )P( A Si 2.


El conjunto potencia de A es una familia de conjuntos

50

El Conjunto de Números Naturales ( N)

N = { 1 , 2 , 3 ,4 , .................. }

En este conjunto sólo se puede efectuar operaciones de adición y

multiplicación sin restricciones.

CONJUNTOS NUMERICOS CONJUNTOS NUMERICOS

El Conjunto de Números Enteros ( Z )

Son los números naturales precedidos por el signo - o + , incluyendo

el cero.

Z = { ............... – 3 , , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , .................. }

Donde N Z

N

Z

51

El Conjunto de Números Racionales ( Q)

Q = { x / x = ; a , b Z ; b 0 }

Es decir el conjunto Q resulta de dividir 2 números enteros , con el

divisor diferente de cero . Y puede obtenerse.


N

Z

ba

mixto Periódico

puro Periódicoinexacto Decimal

exacto Decimal

decimal Número

Q

52

Conjunto de Números Irracionales( Q )Son aquellos números que no pueden expresarse en la forma ; b 0

a , b Z , es decir que no presentan periodicidad en sus cifras decimales.


ba

..........2 , e , , 2 , 3..,.......... 3Q=

Conjunto de Números Reales ( R )

R = Q Q

Nota:

Existe una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto

de números reales y el conjunto de puntos de la recta .

PiP2P1

(x1) (x2) (xi)- +

53

GRAFICA CONJUNTISTAGRAFICA CONJUNTISTA

RR

QQ

ZZ

NNQ’Q’

54

El Conjunto de Números Complejos ( C )Al resolver la ecuación :


1icon ; 1- si donde,

R1x01 x2

2

i

i se llama unidad imaginaria

Por lo tanto :

Un número Complejo podemos escribir en la forma a + bi ; a ,b RLuego :

C = { a + bi a , b R ; i2 = - 1 }

55

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión o Reunión de Conjuntos

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }

A B Si A y B son no comparables , entonces:

A B gráficamente es:

Si A y B son comparables , entonces:

A B es:

Si A y B son Disjuntos

A B es:

B

B

A

A

56


Propiedades de la Reunión de Conjuntos

n21i

n

1iA...........AAA 12.

DBCA DC BA Si 11.

BBABA Si .10

B A BA Si 9.

B)(AB B)(AA 8.

UUA 7.

C)(BC)(ABA Si 6.

C ; C)A(B)A(C)B(A 5.

AA 4.

C)B(ACB)(A 3.

ABBA 2.

A ;A AA .1

57


Intersección de Conjuntos

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A B = { x/ x A x B }

A B Si A y B son no comparables , entonces:

A B gráficamente es:


A B es:


A B es:

B

B

A

A

BA

58

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Intersección de Conjuntos

A...........AAA 13.

AB)(AA ;A B)(AA 12.

C)(AB)(AC)(BA

C)(AB)(AC)(BA 11.

P(B) P(A) B)P(A 10.

CBA DB CA Si 9.

BB)(A A B)(A 8.

CBCABA Si 7.

ABABA Si 6.

A 5.

AUA 4.

C)B(ACB)(A 3.

ABBA 2.

A ;A AA .1

n21i

n

1

i

D

59

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSDiferencia de Conjuntos

Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x A x B }

Gráficamente , mediante el diagrama

de Veen se tiene: A B

Si A y B son no comparables , entonces:

A - B es:


A - B = (No hay gráfico)


A - B es:BA

BA

B – A es:

60

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades de la Diferencia de Conjuntos

B-C)-A(C-B)-(A 12.

Disjuntosson A -B ; BA ; B-A 11.

C)(AB)(AC)(B-A

C)-(AB)-(AC)(B-A 10.

C , C)-(BC)-(ABA Si 9.

BA BA Si 8.

C)(A-B)(AC)-B(A 7.

B)-(AB 6.

B)(A-AB-B)(A B)-(A 5.

A- 4.

AB-A 3.

AA 2.

A -A .1

61

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSComplemento de un Conjunto

Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A , denotado por

A O Ac se define asi :

Ac = { x/ x U x A } = U - A

Ac

Gráficamente:

A

Si el conjunto referencial no es el conjunto universo, tal como B , donde

A B ; entonces el complemento de A con respecto a B , denotado

por CB (A) Será :

CB (A) = { x / x B x A } = B - A

U

62

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSOPERACIONES ENTRE CONJUNTOSPropiedades del Complemento

B)(AU)B(A 12.

B)(A-U)B(A 11.

BA)B(A

BA)B(A 10.

ABBA Si 9.

B (A)C 8.

A-B (A)C 7.

6.

U 5.

U 4.

AA 3.

UAA 2.

A)A( .1

B

B

BABA

63

Diferencia Simétrica

Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A B se define así:

A B = (A – B ) U (B – A)

B

Gráficamente:

A

Ejemplo . Si A = { 2 , 3 , 5 } y B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } Hallar A B

Solución.

Como A B = (A – B ) (B – A) = { 5 } { 0 , 1 , 8 , 9 }

A B = { 0 , 1 , 5 , 8 , 9 }

64

Propiedades de la Diferencia simétrica

CBC A B A Si 9.

) AB ()BA(B ΔA 8.

B)(A-B)A(B ΔA 7.

C)B(A-)BA(CBB) Δ(A 6.

C)B Δ( C)A(C B) Δ(A 5.

BA 4.

A BΔB ΔA 3.

A A 2.

A A .1

C

CBAC

65

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS

Número de Elementos de un Conjunto

Al número de elementos de un conjunto se le llama :

Cardinal de un Conjunto y se denota así:

Para un conjunto A se tiene n(A) ó Card (A

Ejemplo . Si A = { a , e , i , o , u }

n(A ) = 5

ó

n [ P(A) ] = 25 = 32

66


Propiedades

C)Bn(A C)n(B-C)n(A - B)n(A - n(C) n(B) n(A) C)B n(A

:entonces , CBA

:que taless,comparable no conjuntosson Cy B ,A Si 4.

B)n(A - n(B) n(A) B) n(A

:entonces s,comparable no conjuntosson By A Si 3.

B)n(A - n(A) B) -n(A

: racualesquie conjuntosson By A Si 2.

n(B) n(A) B)n(A

:entonces , disjuntos conjuntosson By A Si .1

67


Para la gráfica de A , B y C se tiene:

Las operaciones que representan las regiones:

A B

C

R1

R4

R5

R7

R2

R6

R3

R8

U

)BCn(A]BC)n[(A n(B)C)n(AR

)BAn(C)B(An[C B)n(An(C)R

)CAn(B])C(AB n[C)n(An(B)R

)CBn(A])C(Bn[A C)n(Bn(A)R

4

3

2

1

68


Para la gráfica de A , B y C se tiene:

Las operaciones que representan las regiones:

A B

C

R1

R4

R5

R7

R2

R6

R3

R8

U

)CBn(AR

C)Bn(AR

)ACn(B] AC)(B n[n(A)C)n(BR

)CBn(A]C)n[(A n(C)B)n(AR

8

7

6

5

B

69


Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = { 1 , 2 , 3 , 4} ; B = { 0 , 2 , 5 , 6} y C = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }

con U ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Hallar :

Solución:

)B'A(CBA 3. B'CA 2. CBA 1.

71,2,4,6,77,8,9 1,2,4,6,75,60,1,2,3,4, CBA .1

66,5,2,0)7,63(BA)(CC)(A BCA .2

9,8,7,6,5,3,2,1,09,8,7,6,5,3,1,0 2)BA(C)B(A .3

70


Ejemplo:

Si los conjuntos A y B tienen los siguientes datos:

n(AB) = 60 ; n(A – B) = 24 y n(B A ) = 20 Hallar: n(A) + n(B)

Solución:

......(1) 60B)n(A - n(B) n(A) : tieneSe

B)n(A - n(B) n(A) B)n(A :que Sabemos

......(2).......... 24B)n(A - n(A)

B)n(A - n(A) B)n(A :que Sabemos

......(3).......... 20B)n(A - n(B)

A)n(B - n(B) A)n(B A - B AB Como

Restando : (1) y (2) se tiene : n(B) = 36

Restando : (1) y (3) se tiene : n(A) = 40

Luego n(A) + n(B) = 40 + 36 = 76

71


Ejemplo:

Dado los conjuntos: A = { a , {a , b} } ; B = { a , b , { c } } ; C = A – B

Hallar : a) P(A C) b) P(A) P(B)

Solución:

, , C)P(A ba,CA a.

entonces , ba,BAC cb,a, B ; ba,a,A :Como

ba

, a P(B) P(A)

, ,, ,, ,, ,, , , ,a P(B)

,, , , , a P(A) b.

cbacbcabacb

baaba

72

Ejemplo:

En una encuesta realizada en un centro hospitalario de Lima , conformado

por 60 profesionales de la salud se tiene la siguiente información :

40 profesionales hablan inglés ; 28 hablan el francés , 16 hablan alemán

; 12 hablan el inglés y el francés 5 el inglés y el alemán , los tres idiomas

sólo 2. Si el número de profesionales que hablan sólo el francés es igual al

número de profesionales que hablan el francés y el alemán. ¿Cuántos

hablan únicamente el francés?

Solución:

x )IFn(A

2I)Fn(A 5A)n(I

12F)n(I 16n(A)

28n(F) 40n(I)

I F

A

25

32

10

x

16-(3+2+x)

28-(10+2+x)

73

Solución:

I F

A

25

32

10

x

16-(3+2+x)

28-(10+2+x)

76760

)5(16)12(2832102560

xx

xxx

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