logica de conjuntos

Lgica MatemticaSEMESTRE 2015 1

Prof. Daniel Quinto Pazce

[email protected]

Lgica

Matemtica Lgica Matemtica

Lgica:

Es la Ciencia que estudia los principios del razonamiento logico, que ofreceparametros formales para expresar el conocimiento , y operacionalizarmediante la deduction, y verificar la validez de ese argumento.

Lgica proposicional Lgica Simblica :Estudia la validez del proceso de razonamiento lgico, basado en simbolos, reglas y anlisis como una herramienta del modelo lgico de los procesos, desde el punto de vista del lenguaje, de su interpretacin, y demostracion.

La lgica computacional :La lgica computacional utiliza razonamiento lgico para analizar, y/o refutar afirmaciones validas, que se sustentan fundamentalmente en la capacidad computacional y algortmico de los procesos a resolver.Desde la publicacin de los trabajos de Herbrand en 1930 la lgica computacional se ha convertido en un valioso instrumento conceptual al servicio de las ciencias de computacin, en la que ayudan para representar el conocimiento de la ciencia, y para soportar el diseo de sistemas de informacin, es decir, hoy la lgica computacional se aborda desde la perspectiva de aplicacin y creacin de tecnologa.

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica


Por qu aparece la lgica en las ciencias computacionales?Porque los diferentes organismos internacionales como la Association for Computing Machinery (ACM-), y el Institute for Electrical and Electronic Engineers (IEEE). Proponen utilizar la lgica en las Ciencias Computacionales como instrumento de la tarea de representacin y resolucin de problemas por medio del computador. Adems, reconocen el carcter fundamental de la lgica como herramienta imprescindible de la ciencia de computacin, ya que le permite elaborar especificaciones formales y formalizar lneas de razonamiento, de diseo y descripcin de modelos de sistemas.

Proposicin: Es una afirmacin que puede ser V o F, estas variables se comporta; dominio En lgebra de Boole se representa : F = 0 y la V = 1, esta es una cte. Que puede ser: F < V

Toda Afirmacin: Pueden ser: Declarativo: Un cuadrado tiene sus cuatro lados iguales.( P. simple) Imperativo: Bate todos los das. Admirativo: Eso es grandioso ! Interrogativo: Qu es eso?

Afirmaciones abiertas: Las espinacas son ----------------- ---------------

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Lgica


Proposicin Compuesta (Afirmacion compuesta)

Tablas: n= # variables v=

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Lgica


En la Tabla Lgica (Binaria): para dos variables: N = 2

VARIACIONES

INTERPRETACIONES

SALIDA

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.

4 es variacionde numero 2N

Si N = 2 variables, entonces 22 = 4 variacionesv P Q

Lgica


Relaciones con Compuertas Lgicas:

Lgica Simblica

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Lgica


Relaciones con Compuertas Lgicas:

Lgica Simblica FIS

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.

Lgica


Aplicacin:

Disear un sumador completo de 1 bit para ALU de una

Computadora de Von Newmann de dos v. de entradas

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Lgica

Matemtica DISEO DE UN CHIP

Encapsulamiento :

Es el ocultamiento del estado miembro de las compuertas.

En el Sumador de 1 bit :

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.

0 C cero es

externoCarry el siempre comienzo Al

:C como denota se externo, CarryEl

Lgica

Matemtica DISEO DE UN CHIP

REGLAS DE LA SUMA BINARIA

1 + 1 + 0 + 0+

1 0 1 0

10 1 1 0

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Lgica

Matemtica DISEO DE UN MODELO LOGICA

Ejercicio:

Disear un sumador completo de cuatro bits, de dos variables de entradas (A, B ).

Ejercicio:

Disear un sumador completo de ocho bits, de dos variables de entradas (A, B ).

Ejercicio:

Disear un sumador completo de cuatro bits, de tres variables de entrada (A, B, C )

FIS

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Lgica

Matemtica DISEO DE UN MODELO LOGICO

Ejemplos:

Si Juan toma el autobs(R), luego Juan pierde su

Cita(P), si el autobs llega tarde (Q). disear un modelo

lgico. Formulacin lgica es: R (Q P), para el diseo del modelo lgico, debemos eliminar , . etc.

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Lgica

Matemtica Principios Lgicos:

Doble negacin ( P ) P

Ley de Contradiccin P ^ P F

P.P 0

Ley del tercio excluido P v P V P + P 1

Ley de implicacin PQ P v Q

Ley de Morgan ( P ^ Q) P v Q

( P v Q) P ^ Q

Son procesos de razonamiento que se considera como valido, y a partir

de este principio lgico se prueba la valides de otras expresiones.

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Lgica

Matemtica Principios Lgicos:

Ley de Equivalencia P Q (PQ) ^ (QP)

Ley de Simplificacin P.P P P+P P

P.1 P P+1 1

P.0 0 P+0 P

Ley de Absorcin P (P + Q) P

P + ( PQ ) P

P + PQ P + Q

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Lgica

Matemtica Ejemplos

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Lgica

Matemtica INFERENCIAS

Son formas de demostrar o deducir la validez de un proceso de

razonamiento basados en cinco reglas de inferencias.

Toda Inferencia generalmente va de lo General a lo Particular.

Mtodos Por reglas de inferencia

Por mtodo del asterisco

por mtodo de las clusulas

Premisa E1

Premisa E2

.

.

Premisa En

.. E

Formalizando: [E1 ^ E2 ^ E3 ... ^ En] E

Por el Mtodo de las reglas de inferencias:

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Lgica

Matemtica INDUCCION VS HEURISTICA

Induccin: Inferencias que va de lo particular a lo general

Heurstica: Reglas empricas basadas en la experiencia.

De E1 E2 E3 ... En E

1 E1 Premisa

2 E2 premisa

...

N En premisa

... A justificar

... B justificar

X E

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TABLA, para hacer deducciones por Reglas de inferencias

Lgica

Matemtica Estudio de Reglas de Inferencias

I : introduccin

E : eliminacin FIS

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Lgica

Matemtica Reglas de Inferencia

1,

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.

Lgica

Matemtica Reglas de Inferencia(Cont)

REGLA 5

1 2 2 1

1 2

1 2

1 2 2 1

E , E:

: E , E

E EI

E E

E EE

E E

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.

Lgica

Matemtica Aplicacin

Demostrar por las reglas de inferencia:

De P Q Q P

1 P Q premisa

2 P - E, 1

3 Q - E, 1

4 Q P - I, 2, 3

1)

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Lgica

Matemtica Aplicacin

2)De P Q P (R Q)

1 P Q Premisa

2 P - E, 1

3 Q - E, 1

4 R Q - I, 3

5 P (R Q) - I, 2, 4

Deducir por las reglas de inferencia:

FIS

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a M

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Lgica

Matemtica Aplicacin

De P (P)

1 P Premisa

2 De P P P

2.1 P Premisa

2.2 P P - I, 1, 2.1

3 (P) - I, 2

3)

Demostrar por las reglas de inferencia:

FIS

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a M

.

Lgica

Matemtica Ejemplo:

De P Q , Q R P R

1 P Q premisa1

2 Q R premisa2

De P R

3.1 P premisa

3.2 Q - E, 3.1, 1

3.3 R - E, 3.2, 2

4 P R definicin , 3

4) FIS

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3

Lgica

Matemtica Ejemplo con enunciado

Si Bernardo se casa, entonces Florida se suicida,. Florida se suicida slo si Bernardo no se

hace monje luego si Bernardo se casa, entonces no se hace monje.

C : Bernardo se casa

S : Florida se suicida

M : Bernardo se hace monje

De C S , S M C M

1 C S premisa

2 S M premisa

De C M

3.1 C premisa

3.2 S - E, 3.1, 1

3.3 M

- E, 3.2, 2

4 C - I, 3

5 C M - I, 4

6 C M definicin ,

5) Dado el Enunciado Formalizar el segmento, y D.

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.

3

Lgica

Matemtica Ejemplo con enunciado

Juan esta enfermo o esta cansado, Juan esta cansado y entonces se

queda en casa. No se queda en casa. Luego esta enfermo.

P : Juan esta cansado Q : Juan esta enfermo

R : Juan se queda en casa

6)

D P Q , P R, R Q

1 P Q premisa

2 P R premisa

3 R premisa

DeQ

R R

4.1Q

Premisa

4.2 R - E, 1, 2

4.3

R

R

- I, 4.2, 3

5 Q - E, 4

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e-.

4

Lgica

Matemtica METODO DEL ASTERISCO

Deducir el razonamiento siguiente

P Q R P QP R

R Q

V V V V V F*

V V F V F*

V F V V V F*

V F F V F*

F V V V V F*

F V F V V V V

F F V F*

F F F F*

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Lgica

Matemtica SATISFACIBILIDAD LOGICA

Ejemplo satisfacibilidad Lgica, cuando todas las formulas estn

en la forma normal conjuntiva (FNC),y es parte de la complejidad.

P Q R P QP R

F V F V V V

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(P Q) (P R)

Es decir Clausulas unidas por conjunciones. Una formula es satisfacible, si y

solo si tiene al menos una interpretacin Verdadera (V) , bajo la conectividad

dominante. Analizar el algoritmo DPLL por Davis-Putnam-Logemann-

Lovelandes, un algoritmo completo basado en la vuelta hacia atrs

F= (p V q) (P R) (P Q) (P R)

Lgica


Deducir el siguiente razonamiento

1. Si Alberto ve la televisin, Carlos tambin. Puede estar viendo la televisin Beln o Carlos o Alberto o Carlos ven la

televisin pero no ambos. Carlos ve la televisin si y solo si la ve

Beln

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.

D P Q, Q R , P v Q , QR P

1 P R Premisa 1

2 Q R Premisa 2

3 P v Q Premisa 3

4 QR Premisa 4

2. Genere una formula lgica satisfacible si y solo si tiene al

menos una interpretacin verdadera, bajo la conectividad

dominante. Caso del algoritmo DPLL.

Lgica


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D QR , R Q , (R P ) Q

1 Premisa 1

2 Premisa 2

3 Premisa 3

Demuestre usando el principio del asterisco, el segmento dado

Lgica

Matemtica Revision de algunos principios

Modus Ponens (MP) Modus Tolens (MT)

Principio de Lewis

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Lgica

Matemtica Revision de algunos principios

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.

QPQRQP

V F

F

V F V

Existe una contradiccin, pues

los valores de P y Q son

verdaderos y las alternativas

posibles no coinciden

F

F

V

F

F

entonces

P = V

Q = V

R = F podemos calcular cualquier expresion

RRQPQPCalcule el valor la expresin:

Lgica

Matemtica Principio contrario y contradictorio

A B S

F F V

F V V

V F V

V V V

A B S

F F F

F V F

V F F

V V F

Tautologa (T) Contradiccin (F)

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Lgica

Matemtica

Teorema Recursivo

DIRECTAP Q

(condicin necesaria)

RECIPROCA

Q P(Condicin suficiente)

CONTRARIO

P QCONTRA RECPROCA

Q P

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D P Q, Q R , P v Q , QR fido P

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Matemtica

Ejercicios del principio de Lewis

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1. Si 4 es un nmero primo y 8 es un mltiplo de 2, entonces 4+8=12; o si 8 no es un mltiplo de 2, entonces 4+8=12 y 4 no es un nmero primo. Determinar el valor de verdad de la expresin lgica formalizada.

[ ( p q ) r ] v [ q (r p) ]

2. Admitiendo la falsedad de la expresin (P Q ) [ (R S ) T] , hallar el

valor de verdad de (P V T ) [ (R S ) V Q]

3. Cul de las siguientes premisas es tautolgicamente equivalente a . Si Fidotiene hambre, entonces Fido ladra. Fido ladra o es un perro. o Fido tiene

hambre o ladra pero no ambos. Fido ladra si y solo si Fido es un perro, en

consecuencia Fido no tiene hambre. Sea P = Fido tiene hambre,Q = Fidoladra, R = Fido es un perro. A la proposicin: a) (P V Q ) [ (R P ) V Q]

b) [ ( p q ) r ] v [ q (r p) ]

Lgica

Matemtica PREDICADO

Un predicado es una funcin definida sobre uno o mas argumentos

Del dominio, que corresponde a cada letra del predicado.

Funcin (Objeto o argumento del dominio)

F: D1 x D2 x D3 x ... x Dm ---> S

(X1, X2, X3, , Xn) ----> F(X1, X2, X3, , Xn) = Yargumentos

Dominio:

D = D1x D2x D3x ... x Dm

Todo predicado cumple las mismas propiedades de una proposicin simple.

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Lgica

Matemtica Caracteristicas

a) Predicado = funcin(argumento del dominio)

= caracterstica propiedad del argumento

= verbo u objeto del argumento

CARACTERISTICAS: funcin ( mayscula) y argumento

(minuscula)

CLASES DE PREDICADOS

Predicado Mondico: Tiene un solo argumento

Predicado Didico : Tiene dos argumentos

Predicado Polidico: Tiene mas de dos argumentos

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Lgica

Matemtica Ejemplos

a) Mara es una mujer: M(m) predicado mondico

m M

b) Si X N = {0, 1, 2, ...}

X es un numero par P(x) predicado mondico

Si X = 1, P(1) es F

Si X = 2, P(2) es V

c) Alguien me conoce C(x) predicado mondico

x C

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Matemtica Ejemplos

d) Juan ama a Rosario A(j, r) predicado diadico

j A r

e) Juan regala flores a Mara R(j, f, m) predicado poliadico

j R f m

f) Si a Mara le gusta escribir y a Carlos le gusta leer entonces

a Pedro le gusta jugar.

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G(m , e) G(c , l) G(p , j) predicado poliadico

Lgica

Matemtica SUSTITUCION

Si A es una frmula, x una variable A(x); t es un trmino que se reemplaza a x entonces:

Ejemplos:

a)

b)

c)

( ( ) ( )) ( ) ( )xy P y Q x P Y Q Y

)()())()(( tQtPxQxPxt

)()())()(())()(( tQtPaQaPaQaP atat

)/())(( txAxAxt

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x puede ser variable libre o ligado, si x es una variable

ligado, entonces el argumento del predicado es x. En otros

casos se comporta como una constante.

Variable ligado

Lgica

Matemtica SUSTITUCION - Ejemplos

d)

XJ

H(x) M(x)H(j)

M(j)

DeH(x) M(x), H(j) M(j)

1 H(x) M(x) premisa 1

2 H(j) premisa 2

3 H(j) M(j) A(x), 1

4 M(j) - E, 2, 3

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Lgica

Matemtica CUANTIFICADORES

Cuantificador Universal:

Cuantificador Existencial:

1 2 3

( ), para todos los predicados

( : : ( )) ( ) ( ) ( ) ... ( )n

xP x

x a x m P x P a P a P a P a

1 2 3

( ) Existe algunos predicados

( : : ( )) ( ) ( ) ( ) ... ( )n

xP x

x a x m P x P a P a P a P a

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Lgica


Propiedades:

Algunos Significados:

)()())()(( )4

)()())()(( )3

)( ))(( )2

)( ))(( )1

xxQxxPxQxPx

xxQxxPxQxPx

xPxxxP

xPxxxP

P son x algn );( )3

Q son no P los x, todo para ));()(( )2

Q son P los x, todo para ));()(( )1

xxP

xQxPx

xQxPx

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Lgica


Ejemplos:

a) x P(x) x Q(x) x z (P(x) Q(z))

b) x P(x) x Q(x) x x (P(x) Q(z))

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Lgica

Matemtica PARTICULARIZACION

Regla:

1) Particularizacin UNIVERSAL:

UI : Eliminacin

2) Generalizacin Universal:

GU : Introduccin

x

)(

)(

xAxa

xxA

x

)(

)(

xxA

xA

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Lgica

Matemtica Particularizacion Existencial

3) Particularizacin Existencial: (EI)

EI : Eliminacin

Nota: Para la generalizacin requiere de una funcin llamado Skolen.

a) x A(x) A(a)

x

)(

)(

xAxa

xxA

)(xAxa

))(,(),(y EVx xfxAyxA

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.

Lgica

Matemtica FUNCION DE THORALF SKOLEN

)( xAxa

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.

Z

Lgica

Matemtica APLICACION

Aplicacin:

1) x H(x) M(x)

H(j)M(j)

XJ

De x H(x) M(x), H(j) M(j)

1 x (H(x) M(x)) Premisa 1

2 H(j) Premisa 2

3 H(j) M(j) A(x), 1, UI

4 M(j) - E, 2, 3

FIS

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to P

azc

e-

lLo

gic

a M

.

Lgica

Matemtica Aplicacin

2)

)(XAXX

)(yAYY

De x y P(x, y) y x P(x, y)

1 x y P(x, y) premisa 1

2 y P(x, y) , 1, UI

3 P(x, y) , 2, UI

4 x P(x, y) GU , 3

5 y x P(x, y) GU , 4

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a M

.

Lgica

Matemtica Aplicacin

3)

XX

De x ( P(x)) x P(x)

1 x ( P(x)) premisa 1

2 P(x) A(x), 1, UI

3

De x P(x)

3.1 Premisa 1

3.2 P(x) - E, 2, 3.1

3.3x

P(x)GU, 3.2

4 x P(x)

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.

Lgica

Matemtica PRINCIPIO DE DUALIDAD

DUALIDAD

Permite hallar la negacin de una expresin lgica, teniendo en cuenta, de eliminar los conectivos: previamente.

REGLAS

Eliminar el conectivo

Sustituir el conectivo v por

por v

La negacin solo afecta a las variables lgicas.

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Matemtica PRINCIPIO DE DUALIDAD

Ejemplo : negar por DUAL la siguiente expresin log.

(P Q v R

Sustituir, directamente al estar ausente en la exp.

Sustituir (P v Q R

La negacin solo afecta a las variables lgicas.

( P v Q R, es la respuesta negada de la expresin.

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.

Lgica

Matemtica Razonamiento Clausular:

LITERAL ( L)

Un literal (L) es un predicado que puede ser atmico

(A(x)) y/o su negacin ( B(x)).

Un literal, No pude contener: ,

Clusula:

Una clusula es la disyuncin de literales,

C = L1 v L2 v L3 v v Lno C = { L1 , L2 , L3 , , Ln }, que son equivalentes.

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.

Lgica

Matemtica Ejemplos

a) Clausulas disyuncion de literales: P v Q v R v S

o Clusula: {P, Q, R, S}

b) Clausulas disyuncion de literales: P v Q v S v (P v R) o Clusulas: {P, Q, S}

{P}{R}

c) (A B) v C; eliminando A v B v CClusula: {A, B, C}

d) (A) C = (A C) (C A) = (A v C) (C v A)Clusulas: {A, C}

{C, A}

Lgica

MatemticaDEMOSTRAR POR CONTRADICCION

E1 E2 ... En C Formalizo (1)

(E1 E2 ... En) C defino (2)

[E1 E2 ... En C] reemplazo ( 3 )

[(E1 E2 ... En) C ] negamos (2) en (3)

( E1 E2 ... En ) C es una contradiccin.

Demostracin por contradiccin:

Pasos: Simplificacin

Negar la conclusin, y si tuviera , eliminarlos. Obtener el resolvente por clusulasSi el resolvente es vaco, se ha demostrado la valides por resolvente.

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.

Lgica

Matemtica Resolvente: Metodo del Arbol

a)C C

b) P Q P R

Q R R

Q Q

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica

Matemtica Ejemplo:

{M, P, N} {M}

{P, N} {P, Q}

{N, Q} {N}

{Q} {Q}

Razonamiento Valido

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

rbol clausular

Lgica

Matemtica Resolvente: Metodo de las Tablas

a) De P, P Q Q

1 P premisa 1

2 P Q premisa 2

3 Q conclusin

4 P Q definicin , 2

5 Q Por dual, 3

6 {P} clusula 1, 1

7 {P, Q} clusula 2, 4

8 {Q} clusula 3, 5

9 {Q} resolvente, 6, 7

10 resolvente 8, 9

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica


b) De P Q, Q R P R1 P Q premisa 1

2 Q R premisa 2

3 P R conclusin

4 P Q definicin , 1

5 Q R definicin , 2

6 P R definicin , 3

7 P R Por dual, dual 6

8 {P, Q} clusula 1, 4

9 {Q, R} clusula 2, 5

10 {P} clusula 3, 7

11 {R} clusula 4, 7

12 {P, R} resolvente, 8, 9

13 {R} resolvente 10, 12

14 resolvente 11, 13

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica


c) A BB CC D

A D

De A B, B C, C D A D

1 A B premisa 1

2 B C premisa 2

3 C D premisa 3

4 A D conclusin, definicin

5 A D Por dual, 4

6 A B definicin , 1

7 B C definicin , 2

8 C D definicin , 3

9 {A, B} clusula 1, 6

10 {B, C} clusula 2, 7

11 {C, D} clusula 3, 8

12 {A} clusula 4, 5

13 {D} clusula 5, 5

14 {A, C} resolvente, 9, 10

15 {A,D} resolvente 14, 11

16 {D} resolvente 15, 12

17 resolvente 16, 13

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica

Matemtica Resolver por el met. de las tablas

{P, Q} {P, R}

{Q, R} {R}

{Q} {Q}

Razonamiento Vlido

d) P Q {P, Q}P R {P, R}

R {R}Q {Q} F

ISI-

Da

nie

l Qu

into

Pa

zc

e-

Lo

gc

a M

Demostrar por contradictorio.

( Se muestra su rbol clausular)

Lgica

Matemtica Metodo de las Tablas con

e)

YY

YY

XX

YX

YX

Def. ,

De y (y), y ( (y) (y)) x (x)

1 y (y) premisa 1

2 y ( (y) (y)) premisa 2

3 x (x) conclusin

4 (y) A(x), UI, 1

5 (y) (y) A(x), UI, 2

6 (x) A(x), UI, 3

7 (X) A(x), 4

8 (x) (x) A(x), 5

9 { (X)} clusula 1, 7

10 { (x), (x)} clusula 2, 8

11 { (x)} clusula 3, negacin 6

12 { (x)} resolvente, 9, 10

13 resolvente, 11, 12

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica

Matemtica EJERCICIOS DE LOGICA

1.- Escriba una expresin lgica que sea verdadero en todos los casos, salvo cuando las tres variables p, q y r son falsos.

2.- Escriba una expresin lgica compuesta que sea : a) verdadera cuando exactamente una de las variables P, Q y R sean exactamente verdadero. b) verdadero cuando exactamente dos de las tres variables sean exactamente verdaderas.

3.- De la persona aptica porque ignoraba la alegra de estudiar matemticas Discretas. Dar el significado formal equivalente y traducir a un lenguaje corriente del enunciado (A y/o B) y (no (A y B))

4.- Si 4 es un nmero primo y 8 es un mltiplo de 2, entonces 4+8=12; o si 8 no es un mltiplo de 2, entonces 4+8=12 y 4 no es un nmero primo. Determinar el valor de verdad de la expresin lgica formalizada.

Lgica


RRQPQP

PRQRQP

SQSSRRQQP

SSPRQPRPP

P

QP

PP

P

QP

PP

P

QP

Q

QP

PQP

P

QP

Q

QP

PQPQP

b)

c)

d)

6.-Diga cual es la validez de las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

d)

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica


? QP

PQ

PQ

QQP

PQQP

RPQP

RPRQP

7.- Si P y Q son primitivas distintas cul de las siguientes proposiciones es tautolgicamente equivalentes a

a)

b)

c)

d)

8.- Preparar el algoritmo de

a)

b)

QRQP

RPQP

9.- Simplificar por propiedades:

a)

b)

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

Lgica


SC MS MC

QP RP R

QP QR PR

QP RQ QP

QP RP S QTS

10.-Deducir la validez, usando el mtodo de tablas.

a) ,

b) , ,

c) , ,

d) , , ,

e)

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

FIS

I-D

an

iel Q

uin

to P

azc

e-

Lo

gic

a M

.

logica de conjuntos

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