LOGICA - TEORICA 10-09Hoy estuvimos viendo:

1) Reglas de inferencia: concepto de teorema de la lógica proposicional. Esto significa una fórmula que puede ser derivada sin partir de premisas dadas. ¿De dónde se deriva el teorema entonces? Se lo deriva con la ayuda de supuestos que se van cancelando (con rectángulos que se van cerrando); en la derivación, por tanto, se utiliza una estrategia de PC o RAA.

Ejemplo: Mostrar que p--->(pvq) es una teorema de la lógica.

Demostración:

------------------------------------------- (abro rectángulo)1. p   HPC2. pvq Ad.1------------------------------------------- (cierro rectángulo)3. p --->(pvq) PC 1-2 

Noten que la conclusión que derivamos, es decir, el paso 3, p--->(pvq), la obtuvimos sin premisas. Los teoremas de la lógica pura, se suele decir algo esotéricamente, son consecuencias del conjunto vacío de premisas.

Demostramos varios teoremas lógicos, entre ellos:

La ley de no contradicción: -(p&-p)La ley de tercero excluido: pv-pPraeclarum theorema: ((p-->q) & (r--->s)) -----> ((p&r) ---->(q&s))

Por último, vimos que las fórmulas "p-->q" y -q -->-p" son lógicamente equivalentes. En general, un condicional 

A --> B 

es equivalente al condicional 

-B -->-A.

 Esta equivalencia se llama, como vimos, ley de contraposición. Vimos cómo nos permite traducir enunciados matemáticos en otros de idéntico contenido. Por ejemplo, una definición usual de la inyectividad de una función f es la siguiente:

f es inyectiva  <--> para todo x, y,  f(x) = f(y)  --->  x = y

A algunos esta definición les parece ligeramente alejada del contenido intuitivo del concepto, a saber, que distintos elementos del dominio reciben distintos valores (imágenes) en el codominio. Pues bien, aplicando la ley de contraposición al condicional escrito más arriba, podemos transformar la definición acercándola al contenido "intuitivo" deseado:

f es inyectiva <--> para todo x, y,   x ≠ y --->  f(x) ≠ f(y)

(Acá A sería "f(x) = f(y)"; y B sería "x = y").

2) Texto de Geymonat, cap. 1.: análisis y comentario.

   Comenzamos recordando nuestra discusión previa de lo distintivo de la matemática griega (su carácter demostrativo, deductivo, "saber racional irreducible a una simple y mera colección de experiencias de la vida cotidiana", como escribe Geymonat). Proclo (filósofo neoplatónico citado por Geymonat) atribuye a Pitágoras este tránsito de las matemáticas empíricas y prácticas a una matemática como disciplina intelectual y racional, dirigida por el entendimiento puro, convirtiéndola por tanto en una "enseñanza liberal". Recordemos que las llamadas artes "liberales" se contraponían a las artes "mecánicas" por su independencia de cualquier finalidad práctica, manual o técnica; eran las disciplinas intelectuales. Las siete artes liberales fueron tradicionalmente divididas en un trivium que abarcaba la gramática, retórica y dialéctica; y un quadrivium, que comprendía las ciencias de la aritmética, la geometría, la música (entendida formalmente) y la astronomía. De hecho, la composición del quadrivium se deriva (según Proclo mismo) del pitagorismo.  Todo esto nos dio ocasión de referirnos al carácter de aquellos notables y curiosos hombres, los pitagóricos. Vimos que se trataba de una comunidad de carácter religioso (pero donde se cultivaba con gran esmero la ciencia). Vimos que en tanto comunidad religiosa se respetaban ciertas prácticas rituales (algunas de ellas para nosotros muy misteriosas y otras no tanto, como la de abstenerse de comer carne) y que estas prácticas eran parte de un proceso de purificación (katharsis) mediante la cual el alma o mente (psyché) se iba liberando del cuerpo. Los pitagóricos, en efecto, concebían al cuerpo como una prisión del alma (o mente) y creían que las almas migraban tras la muerte a algún otro animal, que podía no ser humano, dependiendo del género de vida que hubieran llevado anteriormente. La filosofía (incluida la matemática) ayudarían a cortar este ciclo de transmigraciones del alma ("metempsychosis") y lograr finalmente la liberación definitiva del alma del cuerpo, convirtiéndose ésta en una divinidad, en un puro intelecto inmaterial. Un elemento fundamental para la katharsis, la purificación, era pues el cultivo del intelecto a través de la matemática.   Comentamos además el notable descubrimiento de Pitágoras de que a las armoníasmusicales cualitativas subyacen ciertas armonías (proporciones) aritméticas. Por ejemplo, las longitudes de dos cuerdas que den un intervalo de una octava estarán en una relación de 2:1; si se trata de una quinta (Do-Sol, digamos) la relación será de 3:2; una cuarta (Do-Fa), de 4:3, etc. Los pitagóricos pensaron que en realidad todos los fenómenos naturales podían ser explicados mediante armonías matemáticas subyacentes, y que la naturaleza era esencialmente matemática, regida por los números.  Seguimos la próxima comentando el texto de Geymonat.