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PRESENTACIÓN

Pensar en forma coherente, ordenada y sistemática es una condición indispensablepara lograr un profesional eficiente. La lógica tiene este propósito, su estudio contribuye, deforma significativa, a lograr un mayor grado de abstracción y, así, obtener, precisamente, unmayor rigor y precisión lógica en el discurso cotidiano, especialmente, cuando se tienen queformular razonamientos deductivos. Al mismo tiempo, la lógica formal nos proporcionaherramientas que nos permiten ordenar y sistematizar rigurosamente el conocimientocientífico.

En el curriculum de nuestros profesionales no hay ninguna materia, ni en la segundaenseñanza, ni en la superior, que enseñe sistemáticamente el pensamiento ordenado, rigurosoy coherente. Nuestros profesionales no saben los secretos para razonar en forma válida y,menos, los métodos que garanticen ese razonar. Por eso, consideramos que el estudio de lalógica, como parte de la Formación General, debe ser obligatorio para todos los estudiantes.

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INTRODUCCIÓN

Este texto autoinstruccional de lógica que presentamos constituye un curso deintroducción a la Lógica Formal, concebido dentro de dos coordenadas que lo definen:

• Por una parte, es un programa de formación general válido para cualquier profesionalde hoy en día que debe asumir una actitud crítica ante la realidad histórico-socialsobre la cual se quiere que incida de una manera eficiente y eficaz. Para ello debemanejar las herramientas teórico-metodológicas que le permitan acceder alconocimiento, procesarlo, sistematizarlo y comunicarlo. En este cometido, loselementos conceptuales y las técnicas de la Lógica Formal constituyen un insumoinsoslayable.

• Por otra parte, el enfoque que hacemos de la lógica es de carácter eminentementeinstrumental; ante la cantidad abrumadora de información que nos llega esimprescindible el manejo de procedimientos para analizar, desde el punto de vistaracional, la forma y contenido del discurso científico y, por supuesto, también deldiscurso cotidiano. En este programa partimos siempre del lenguaje natural para suanálisis lógico y volvemos, al final del proceso, al mismo lenguaje con una evaluaciónracional de sus estructuras y su utilidad o validez para las ciencias ó para la vidaprofesional.

El curso de “Lógica para un Profesional Eficiente” es, pues, un curso de “AnálisisLógico del Discurso”.

El programa está compuesto por tres unidades modulares con una relativa autonomíaque podrían combinarse con otras unidades de otros programas de lógica alternativos.

La primera unidad: “Lógica y Lenguaje” nos conduce desde la realidad del lenguaje,como concreción del pensamiento, para ir recortando dentro del discurso, en círculos cadavez más restringidos, el campo específico de nuestra disciplina limitándola al discursoargumentativo, a su aspecto formal, abordado a través de los lenguajes formales de la lógica.Constituye la unidad básica, conceptual e introductoria.

En las unidades segunda y tercera abordamos dos niveles de la lógica: LógicaProposicional y Lógica de Predicados. En ambos casos presentamos los lenguajes formalesrespectivos que explican las estructuras lógicas del discurso. Además, se introduce alestudiante en las técnicas para “probar” y “demostrar” la validez de los razonamientos dellenguaje natural.

Por último, hay que resaltar que estamos ofreciendo un texto, diseñado con lasespecificaciones del material de estudio autoinstruccional. Esto permite una mayorversatilidad y variedad en el empleo de las horas de clase o actividades presenciales deinteracción y posibilita convertir el curso en lo que realmente hemos querido: un taller parala aplicación de la lógica formal al quehacer profesional.

PROPOSITOS DE LA ASIGNATURA

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1. Contribuir a desarrollar un mayor grado de abstracción en el estudiante.

2. Contribuir a lograr en el estudiante un mayor rigor y precisión lógica en el discursocotidiano

3. Contribuir a desarrollar el modo de pensar deductivo en el estudiante

4. Propiciar en el estudiante una actitud positiva ante la Lógica Formal, comoherramienta para la fundamentación, la sistematización y el rigor científico delconocimiento.

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

El estudiante estará en capacidad de:

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1. Analizar el discurso cotidiano, aplicando los conceptos básicos de la Lógica Formal.

2. Determinar la validez de los razonamientos expresados en el lenguaje cotidiano,aplicando las técnicas de la Lógica Formal.

RECOMENDACIONES PARA EL APRENDIZAJE

El texto que presentamos puede ser utilizado con distintas estrategias, según que elcurso se implemente en una Modalidad de Educación Presencial o en una Modalidad deEducación a Distancia.

En ambos casos, partimos de una concepción de la educación como proceso activo yparticipativo por parte del estudiante, en el cual el profesor se convierte en facilitador delaprendizaje. En ningún caso planteamos que el profesor exponga los temas magistralmente yel alumno tome apuntes. Estos dos vicios de nuestro sistema escolar quedan soslayados, anuestro modo de ver, con el uso del Texto Autoinstruccional “Lógica para un Profesional

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Eficiente”, que ofrecemos como material de estudio para esta asignatura. Esto permitesuperar la concepción tradicional y convertir el salón de clase en un Aula Taller donde, bajola orientación del profesor, los estudiantes aprenden la lógica resolviendo los problemas yejercicios.

En el caso de la educación presencial, el ciclo de enseñanza aprendizaje se explícitaen esta secuencia:

• Presentación del tema por parte del profesor, el cual ofrece una visión panorámica,global, insistiendo en el logro de la conducta terminal que se pretende (inducción).

• Lectura del material de estudio por parte del estudiante (trabajo personal). ·Realización de los ejercicios de autoevaluación (evaluación formativa).

• Resolución de problemas en clase y aclaratorias por parte del profesor(retroalimentación).

• Evaluación del aprendizaje: evaluación por objetivos, continua y acumulativa, concarácter recuperativo (evaluación sumativa).

Las actividades de la secuencia se pueden realizar en el salón o los estudiantes por supropia cuenta, individualmente o por equipos. Todo esto según la conveniencia de cada caso.

Con respecto a la modalidad de educación a distancia o semi-presencial (el caso deEstudios Universitarios Supervisados), la secuencia del proceso se mantiene igual, sólo quelas actividades de interacción se reducen a dos tipos de asesorías por parte del profesor:grupales, para abordar los puntos claves del programa, que ameriten una dinámica especial;individuales, para resolver las dudas y dificultades de cada estudiante, lo cual permiteindividualizar aún más el aprendizaje. En cuanto a la evaluación sumativa, el sistema deE.U.S. prevé la realización de dos (o tres) Pruebas Parciales (una por unidad) y una PruebaRecuperativa Final. Además, en la cátedra de lógica proponemos la evaluación individualopcional para aquellos objetivos que conlleven la resolución de problemas (objetivosterminales 6, 7, 8, 1 l, 12 y 13).

Las asesorías y la evaluación vienen explicitadas en los respectivos Plan de Asesoríasy Plan de Evaluación, que el estudiante recibe, al inicio del curso, con su respectivoCalendario de Actividades y con el Texto.

En los dos casos planteados (sistema presencial o supervisado), el textoautoinstruccional de lógica explícita, paso por paso, todas las estrategias en el desarrollo decada tema. Como se puede apreciar, la diferencia entre las dos modalidades se minimiza yqueda reducida a un mayor o menor grado de presencialidad e intervención directa delprofesor.

Para los estudiantes, queremos hacer aquí una serie de sugerencias de tipometodológico, a fin de facilitarles su trabajo y hacerlo más productivo, provechoso y ameno:

1. Es conveniente que limites tu estudio a pequeñas porciones cada vez y no abarcarsino hasta donde hayas comprendido y ejercitado. En este sentido, mejor cerrar ellibro antes que agotarte o embotarte.

2. Pon el mejor empeño en hacer los ejercicios con relación a cada nuevo aspectoteórico que aprendas. Se quiere que razones adecuadamente, no que sepas lo que esun razonamiento adecuado. Los ejercicios te permitirán apreciar si has logrado loque se esperaba de ti en el objetivo.

3. Es muy importante que estudies en la secuencia indicada. Si te adelantas, corres elriesgo de encontrarte con conceptos que no manejas y que fueron expuestospreviamente.

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4. Se espera que seas honesto contigo mismo y soluciones por tu propia cuenta losejercicios y las autoevaluaciones antes de revisar las respuestas, las cuales encontrarásal final del material instruccional de esta Unidad; algunas de ellas están sin contestarpara que las consultes con tu asesor y aclares tus dudas.

5. Asegúrate haber logrado el dominio de los conceptos fundamentales.6. Para la realización de los ejercicios de control y las autoevaluaciones te

recomendamos el uso de un cuaderno. En él podrás ir anotando las correcciones quesurjan al confrontar tus respuestas con las de tus compañeros o con las aclaratoriasque te formule el asesor.

Por último, a continuación les ofrezco el cuadro descriptivo de las unidades, con susrespectivos temas y objetivos terminales, con el fin de proporcionar una panorámica delcontenido del curso. Además se propone una ponderación de los objetivos que pueda serusada para la evaluación.

CUADRO DESCRIPTIVO

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UNIDAD

UNIDAD I:LÓGICA Y

LENGUAJE

TEMA

A. USOS DEL LENGUAJE

B. EL RAZONAMIENTO

C. RAZONAMIENTOSFALACES

D. LENGUAJESNATURALES YCIENTÍFICOS

OBJETIVOSTERMINALES

1. Dada la distinción de lasfunciones principales del lenguajeen una serie de párrafos, redactarotros equivalentes que expresen,en un lenguaje neutro, lainformación correspondiente.

2. Identificar los razonamientosinductivos, deductivos, analógicosen una serie de pasajes dados.

3. Comprender en que consistela validez de un razonamiento ylas condiciones para la verdad dela conclusión.

4. En un conjunto de razonamientosfalaces, señalar que tipo de falaciase ha cometido y porqué es unrazonamiento falaz.

5. Determinar las características delos lenguajes naturales ycientíficos y su importancia parael desarrollo de la lógica.

PONDERACION PORCENTUAL DE LOS OBJETIVOS TERMINALES

En función de la importancia, el grado de dificultad y el tiempo de estudio querepresentan cada uno de los Objetivos Terminales, se les asignó un valor porcentual del totalde la evaluación de la asignatura. Esos valores están distribuidos como sigue:

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UNIDAD TEMA OBJETIVOTERMINAL

VALORPORCENTUAL

UNIDAD I:LÓGICA YLENGUAJE.

UNIDAD II:LÓGICAPROPOSICIONAL

UNIDAD III:SILOGÍSTICA:ENFOQUETRADICIONAL YMODERNO

A. Usos del lenguaje.

B. El razonamiento.

C. Razonamientos falaces.

D. Lenguajes naturales ycientíficos.

A. Formas lógicas.

B. Prueba de validez.

C. Demostración devalidez.

A. Lógica tradicional.

B. Prueba de validez.

C. Lógica de predicados.

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ESQUEMA DE CONTENIDO

Presentación.Introducción.Propósitos Generales de la Asignatura.Objetivos Generales de la Asignatura.Recomendaciones para el Aprendizaje.Esquema de Contenido.

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UNIDAD I: LOGICA Y LENGUAJE

INTRODUCCIÓN

A. USOS DEL LENGUAJEl. FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE2. MULTIPLICIDAD DE FUNCIONES DEL LENGUAJE3. FORMAS DEL DISCURSO4. LENGUAJE EMOTIVAMENTE NEUTRAL

B. EL RAZONAMIENTO1. LA PROPOSICIÓN2. TIPOS DE PROPOSICIONES3. EL DISCURSO LÓGICO4. EL RAZONAMIENTO

4.1. Premisas y Conclusión4.2. Proceso del Razonamiento. Su Concepto4.3. Identificación de Razonamientos

5. TIPOS DE RAZONAMIENTOS5.1. Razonamiento Inductivo5.2. Razonamiento Analógico5.3. Razonamiento Deductivo

6. VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS6.1. Contenido y forma de los Razonamientos6.2. Variables y Constantes Lógicas6.3. Razonamiento Válido6.4. Validez y Verdad

C. RAZONAMIENTOS FALACES1. FALACIAS DE ATINENCIA

1.1. Argumentum ad Baculum (apelación a la fuerza)1.2. Argumentum ad Hominem (argumento contra el hombre)1.3. Argumentum ad Ignorantiam (argumento por la ignorancia)1.4. Argumentum ad Misericordiam (argumento por misericordia)1.5. Argumentum ad Populum (argumento de la multitud)1.6 Argumentum ad Verecundiam (apelación a la autoridad)1.7. La Causa Falsa1.8. La Pregunta Compleja

2. FALACIAS DE AMBIGÜEDAD2.1 El Equivoco2.2. Anfibología2.3. El Énfasis2.4. La Composición2.5. La División

3.COMO EVITAR FALACIAS

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D. LENGUAJES NATURALES Y CIENTIFICOS1. SINTÁXIS Y SEMÁNTICA2. LENGUAJES NATURALES Y CIENTÍFICOS3. LENGUAJE FORMALIZADO, CARACTERISTICAS E IMPORTANCIA4. LENGUAJE FORMALIZADO Y LOGICA FORMAL5. LOGICA FORMAL Y LOGICA NATURAL6. MATEMATIZACIÓN DE LA LÓGICA7. SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LA LOGICA TRADICIONAL Y LAMODERNA

Lecturas ComplementariasRespuestasBibliografíaÍndice

INTRODUCCION

Desde su aparición como disciplina en el siglo IV a. C., la lógica se ha planteadocomo objeto de estudio la descripción formal del pensamiento racional, a fin de poderdistinguir los modos válidos de razonar de los que no lo son. Los métodos adoptados en cadaépoca, marcan la diferencia entre las distintas etapas de la historia de la lógica.

En estricto rigor etimológico, la lógica estudia el pensamiento o razón (en griego‘logos’). Sin embargo, hay que anotar que la realidad mental es, en si, inaprehensible y sólopodemos tener acceso a ella a través de su expresión material, es decir, la Palabra. Es curiosoque el mismo término ‘logos’ también se traduce como ‘Palabra’. En conclusión, podemosdecir que la lógica se ocupa del lenguaje como concreción material del pensamiento racional.

Pero esto es aún impreciso, por cuanto el lenguaje, como vamos a esclarecer en eldesarrollo de la unidad, tiene múltiples funciones. Es necesario, pues, delimitar qué tipo deexpresiones del lenguaje le interesan a la lógica y qué aspecto de las mismas se dedica aestudiar. Esto es lo que planteamos en el objetivo l.

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A partir de las proposiciones como unidad informativa del lenguaje aprendemos, en elobjetivo 2, a distinguir y clarificar los tipos de construcciones del lenguaje que expresanargumentos racionales. Con ello estamos ya centrados en el campo de la lógica: losrazonamientos.

En adelante, nos abocaremos a hacer una serie de precisiones conceptualespreliminares, necesarias para poder abordar, con pié firme, el aspecto instrumental del curso:los métodos y técnicas del análisis lógico. Precisiones tales como ‘Forma’ y ‘Contenido’,‘Verdad’ y ‘Validez' (objetivo 3); las falacias de contenido (objetivo 4); y, por último, loslenguajes naturales, científicos y formales que nos permiten situarnos en la óptica de lahistoria para precisar las dos grandes etapas del desarrollo de la lógica (objetivo 5).

Con ello habremos cumplido el cometido de esta unidad introductoria que, como tal,es fundamental para adentrarnos en las dos unidades subsiguientes. Sólo si tenemos bienclaro los conceptos básicos, podremos avanzar sin dificultad en los procedimientos de lalógica.

Ya estarás ansioso por comenzar, así quepasamos, enseguida, a desarrollar los

contenidos ¡Buena Suerte!

A. USOS DEL LENGUAJE

OBJETIVO TERMINAL 1: Dada la distinción de las funciones principales dellenguaje en una serie de párrafos, redactar otros equivalentes que expresen, en unlenguaje neutro, la información correspondiente

Para ello se deberá lograr los siguientes Objetivos Específicos:

1.1. Dada una serie de pasajes, distinguir las funciones informativa, expresiva ydirectiva.

1.2. En una serie de pasajes que cumplan múltiples funciones, explicitar cadafunción señalando, también, la función principal.

1.3. Señalar la forma y las funciones del discurso en ejemplos dados.

1.4. Dados varios pasajes que cumplen múltiples funciones, redactar pasajesequivalentes en un lenguaje neutro donde sólo aparezca la información contenida enellos.

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1 FUNCIONES BÁSICAS DEL LENGUAJE

Entre las funciones del lenguaje se destacan tres funciones fundamentales: lainformativa, la expresiva y la directiva.

Cuando usamos el lenguaje para comunicar información, describir el mundo y razonaracerca de los hechos presentados, estamos en presencia de la función informativa. Así,estamos informando cuando decimos, por ejemplo:

(a) La arbitrariedad de los jueces pone en duda la seriedad del proceso.(b) En la tarde de ayer nos visitó el Vice-Ministro de Educación.(c) Dado que no tenemos el quórum reglamentario, queda suspendida la asamblea.

Cuando usamos el lenguaje para comunicar nuestros sentimientos, emociones,estado de ánimo y actitudes personales decimos que su función es expresiva. Así, el lenguajecumple la función expresiva en los casos siguientes:

(d) ¡Cuán triste es, Dios mío, la vida sin ti! (Santa. Teresa).(e) ¡Cómo me molesta 1a demora!(f) ¡Ojalá castiguen a todos los corruptos!(g) ¡Nadie me apartará de mis principios!

Cuando lo usamos para motivar, originar o impedir en otra persona una acción,conducta o actitud, su función es directiva. Veamos:

(h) ¡Ayúdanos a rescatar nuestro Lago!(i) Prohibido girar a la izquierda.(j) Sé buen ciudadano.

Sólo del discurso (lenguaje) informativo podemos afirmar la ‘verdad’ o ‘falsedad’.Del discurso directivo podemos decir que es ‘adecuado’ y ‘pertinente’ o ‘inadecuado’ y ‘nopertinente’; así mismo, al discurso expresivo lo podemos calificar de ‘sincero’ o ‘insincero’,‘oportuno’ o ‘inoportuno’.

A la lógica sólo le interesa el discurso informativo; por eso, es muy importanteaprender a distinguir la función que cumple una comunicación determinada.

A continuación encontrarás unos ejercicios que te brindaránla oportunidad de saber lo que has aprendido.

EJERCICIOS

En las siguientes expresiones, determina la función que cumplen y explique el porqué. Luegocompara tus respuestas

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(1) Se recomienda consumir alimentos ricos en fibras.

(2) ¡Qué horror! ¡Estás que das asco!

(3) Algunos autores asignan mayor número de funciones al lenguaje.

(4) Tendremos una cosecha abundante.

Ver las respuestas

2. MULTIPLICIDAD DE FUNCIONES EN EL LENGUAJE

En la realidad cotidiana el lenguaje no se usa de esta manera pura, sino que susdiversas funciones se encuentran entremezcladas. En casi todas las frases encontramospresente, en mayor o menor medida, cada función.

Veamos este caso:

(a) ¡Cuánta cháchara y palabras engañosas! Cuando los dirigentes políticos sepresenten con resultados concretos, quedará acreditado su discurso.

Podemos observar aquí las tres funciones:

• Manifiesta el rechazo por la palabrería vacía de los políticos (función expresiva).

• Pretende motivar a que se aboquen a resolver los problemas de la comunidad (funcióndirectiva).

• Refiere el hecho de la demagogia de los dirigentes, el cual ha generado la pocacredibilidad que tienen ante el pueblo (función informativa).

Así, pues, casi siempre el lenguaje tiene un uso mixto o múltiple; sin embargo, debemosseñalar que de las tres funciones siempre hay una que adquiere mayor relevancia, según laintencionalidad del emisor. Esto es lo que denominamos FUNCIÓN PRINCIPAL DELDISCURSO.

En el caso del ejemplo, notamos que predomina la función directiva, seguida de lafunción expresiva que viene a reforzarla. La función informativa queda relegada a un últimoplano, por cuanto se da como un hecho evidenciado por todos.

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La función principal del ejemplo es, pues, directiva. Algunas veces, la función principalno se ve claramente definida en el texto y sólo se puede inferir del contexto y lascircunstancias.

Resuelve los siguientes ejercicios; para ello, si hace faltalee de nuevo el material.

EJERCICIOS:

Determina en cada párrafo las funciones que cumple y cual puede tomarse comofunción principal.

(1) "Entonces Francisco se había levantado ante los tres mil hermanos reunidos. Nobley salvaje, como madre a quien quieren arrancarle 1os hijos, había gritado: “ElEvangelio no tiene necesidad de ser justificado. Hay que tomarlo o dejarlo" (E.Leclerc, La Sabiduría de un pobre).

(2) En nuestro país la función del escritor ha estado determinada por las presiones delsistema. En algunos casos se han atrevido a denunciar las perversiones del régimen desu época.

(3) "...Lo había pensado mejor: su pobre mamá estaba quebrantada para ir ella aproporcionarle un disgusto. Pero ella cumpliría con su deber de esposa mártir hasta elfin. Sentábase a almorzar y con más calma tomaría el partido que debía... ¡Nada deperdón eso sí...” (J.R. Pocaterra, La llave).

(4) Para lograr la consistencia de la bechamel, se deberá verter muy lentamente laleche, previamente calentada, y mezclarla con la harina, sin dejar de revolverconstantemente, hasta que espese...

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3. FORMAS DEL DISCURSO

La gramática señala, entre otras, cuatro formas de oraciones: declarativas,interrogativas, imperativas y exclamativas. Aquí se refiere a la forma de la oración, que notiene necesariamente que coincidir con su función.

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En un lenguaje llano, generalmente, la forma se corresponde con la función; sinembargo, la mayoría de las veces ocurre que el discurso, aunque expresamente se presentacomo declarativo o exclamativo, en la oculta intención del emisor, tiene una funcióndirectiva.

Por ejemplo, la señora resentida dirá:

(a) ¡ Qué solícitos son algunos maridos con sus esposas!(forma exclamativa);

o bien:

(b) El marido de fulana siempre está pendiente de los deseos de ella(forma declarativa).

En realidad quiere, bajo camuflaje, cambiar la conducta de su marido desatento.Ambas frases, aunque cumplen las tres funciones, ocultan, bajo la forma expresiva oinformativa, la que realmente es su función principal, dentro del contexto planteado, es decir,la función directiva.

Otro ejemplo:

(c) ¿No sabían que la reunión era a las ocho en punto?Tiene forma interrogativa.

Informa la hora de la reunión (que se supone conocida).Expresa disgusto por el retraso.Pero.., intenta obtener la puntualidad del aludido.

Aquí, según el contexto, la función principal es expresiva o directiva, másprobablemente lo segundo.

Trata de resolver los siguientes ejercicios

EJERCICIOS

Señala en cada caso la forma del discurso, cada una de sus funciones y su funciónprincipal:

(1)“Señores, les informo que son las diez de la noche” (Contexto: el caso típico delpadre a los pretendientes de sus hijas).(2) ¿No te parece estrambótico y de mal gusto el abrigo de imitación que trae laesposa del gerente?(3)¡Ah!, si mis compañeros de partido abrieran los ojos verían con claridad lasmaniobras urdidas por los jerarcas para apartarnos de nuestros principios.(4) ¿No era tu esposo el que pasaba de la mano con la morena de los ojos claros queacaba de comenzar en la oficina?(5) “Perdonad y seréis perdonados" (San Mateo).

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4. LENGUAJE EMOTIVAMENTE NEUTRAL

Este procedimiento de distinguir la forma, las funciones y la función principal deldiscurso es muy útil en cualquier análisis que hagamos, pero sobre todo en el caso de lalógica, por cuanto a ella sólo le interesa la función informativa del discurso.Por eso, el paso siguiente consiste en extraer, de cualquier texto que se nos presente, lafunción informativa que contenga y expresarlo en forma de una oración declarativa.

Para ello, lo primero que debemos tener en cuenta es que el discurso, aun cuando suforma y su función sean claramente informativas, casi siempre contiene palabras que llevanuna fuerte carga emotiva. Todos podemos constatar que para describir el mismo hecho oreferirse al mismo objeto podemos usar distintas expresiones que, aunque tengan el mismosignificado literal, llevan una carga emotiva diferente.

Tomemos el caso de que tengamos que referirnos a una persona perfeccionista que nodescuida ni el más mínimo detalle. Si se trata de uno mismo o de alguien estimado diremosque es ‘meticuloso’, en caso contrario, lo llamaríamos ‘quisquilloso’.

En este campo abundan los ejemplos:

De otro diremos:(a) Él hace propaganda. (aquí la expresión posee una carga emocional peyorativa).

En cambio, de sí mismo se dirá:(b) Yo explico mi punto de vista (hace simple referencia, casi ingenua, al hecho).

Podemos citar muchos otros ejemplos similares.Sin menospreciar las otras funciones del lenguaje, el objetivo de la lógica nos exige

extraer y aislar la función informativa. Esto sólo es posible recurriendo a un lenguaje noemotivo o neutral, en el cual nada nos ‘distraiga’ de la descripción objetiva de los hechos y,así, poder establecer inequívocamente la verdad o falsedad de una proposición.

Resumiendo:

Para expresar, en forma neutral, la función informativa de cualquier discurso,debemos:

(i) Determinar la forma del discurso, su función principal y las funciones secundarias(tal como lo hicimos en el ejercicio anterior).(ii) Detectar las palabras que tengan una carga emotiva para descartarlas.(iii) Ubicar los términos que se refieren a objetos y hechos. Estos nos remiten alasunto tratado.(iv) Construir varias oraciones declarativas equivalentes, lo más simples posible, queexpresen exactamente la información objetiva.(v) Escoger aquélla que nos parezca más fría y neutral, es decir, la que tenga menoscarga emotiva.

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Ahora ilustraremos estos pasos con un ejemplo:(c) “Era yo pues, bien miserable; que por fuerza lo es el alma que sirve presaen la amistad de las cosas mortales y se desgarra cuando las pierde” (SanAgustín, Confesiones Lib. IV, Nº1).

Siguiendo los pasos del procedimiento indicado tendremos:(i) El texto tiene forma declarativa, por lo que la función que parece, a simple vista,principal, es informar del desgarramiento que sufre Agustín a causa de una pérdida, enel plano material.

La función expresiva es relevante: la miseria y sufrimiento experimentados porel emisor debido a la pérdida, su apego desmesurado a esa persona. Esta es la funciónprincipal.

La función directiva está implícita; no te apegues desmesuradamente a lascosas mortales.(ii) Palabras emotivas: ‘miserable’, ‘alma’, ‘presa’, ‘mortales’, ‘desgarra’.(iii) Términos objetivos: ‘amistad de las cosas’, ‘desgarra’, ‘pierde’(iv) Posibles versiones de función informativa:

• La pérdida de las cosas mortales produce un desgarramiento del alma.• El apego desmesurado de las cosas queridas de esta vida causa gran

sufrimiento al perderlas.• La pérdida de las cosas a las que estamos demasiado apegados causa gran

sufrimiento.

Los términos: ‘mortales’, ‘desgarramiento’, ‘alma’, por su carga emotiva, noshacen desechar la primera versión. Los términos: ‘desmesurados’, ‘queridas’, nospermiten igualmente dejar de lado la segunda versión y quedarnos con la tercera.(v) Así pues, la oración declarativa que expresa la información contenida en elpárrafo, de una forma neutra sería algo así:

“La pérdida de las cosas a las que estamos demasiado apegados causa gransufrimiento”.

Podría haber otras versiones igualmente aceptables. Una más personalizada sería:

"La pérdida de algo a lo que yo estaba demasiado apegado me ha causado gransufrimiento”.

Resuelve los siguientes ejercicios de la autoevaluación¡ÁNIMO!

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AUTOEVALUATIVO 1

Ahora te daremos varios textos para que procedas de manera similar y expreses lafunción informativa en una frase neutral.

(1) Entre flores, música fina, exquisita comida, rifas y concursos, transcurrió la tarde.Las secretarias departieron amigablemente y recibieron de sus jefes el mejor de losregalos: cariño y respeto (agasajo de una empresa a sus secretarias).

(2) “Habemos unos cuantos, - ¡todos locos! - que estamos enamorados del saber, yvenderíamos nuestra última camisa por una pequeña verdad, una punta de estrella paraalumbrar la tiniebla y el misterio de lo que llamamos nuestra vida” (Morris West, ElHereje, Acto lero, Escena 1).

(3) “Según voceros del Grupo Monaca, la inauguración de una nueva planta,demuestra la confianza que dicha corporación tiene en el futuro del país y en susinstituciones” (La Columna, 7-10-90, pág.6).

(4) “Ocho de cada diez familias no cuentan con los recursos necesarios para cubrir susnecesidades de alimentación, vivienda, vestido, salud y educación [...] [El Gobierno]sólo se ocupa de la deuda externa sin tomar en cuenta [...] una deuda social que se haacumulado a lo largo de los últimos 15 años". (E. Fernández en Valera, La columna,7-10-90, pág.12).

(5) “Para mí. Dios hizo de la mujer un cojín para el mundo, sus labios un panal demiel, sus senos una fuente de dulzura, sus manos un milagro que cura, su vientre unrefugio de vida vacilante. ¿Por qué Él entonces pronunciaría sentencia de tortura parasu obra maestra?” (Morris West, El Hereje, Acto 1ero Escena 1).

(6) “...este problema se está atendiendo [...] con seriedad y no con programascortoplacistas [...] sino soportados por una ley de la República y asegurarán suvigencia no sólo durante mi gobierno, sino en los próximos gobiernos que vengan enVenezuela". (C.A.P. en Barinas, en referencia al problema de los hospitales, LaColumna, 7-10-90, pág.12).

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Consideras que debes realizar una revisión del material sí!, ladecisión es tuya, ya que de ti depende tu progreso. Avanza con

la lectura del objetivo “El Razonamiento”

B. EL RAZONAMIENTO

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Objetivo Terminal 2: Identificar los razonamientos inductivos, deductivos yanalógicos en una serie de pasajes dados

Para ello deberás lograr los siguientes Objetivos Específicos:

2.1. Distinguir en una serie de expresiones los que son proposiciones.

2.2. Dadas varias proposiciones, distinguir las simples de las compuestas.

2.3. Identificar las premisas y la conclusión en razonamientos dados.

2.4. Dada una serie de pasajes identificar aquellos que son razonamientos.

2.5. A partir de la clasificación de los razonamientos, ubicar los razonamientosdados dentro de cada tipo.

l. LA PROPOSICIÓN

Señalábamos en el objetivo anterior la importancia que tiene para la lógica extraer lafunción informativa del lenguaje y expresarla en forma de oraciones declarativas, respecto delas cuales se pueda establecer sin ambigüedad su verdad o falsedad.

Aquí debemos hablar brevemente de la oración declarativa y la proposición. Lasoraciones declarativas son juicios mediante los cuales informamos algo del mundo real oimaginario; es decir, afirmamos o negamos un enunciado. Ahora bien, si de esta informaciónpodemos determinar inequívocamente su verdad o falsedad, decimos que la oración expresauna proposición, o sencillamente que es una proposición.

De aquí concluimos que no todas las oraciones o juicios declarativos expresan unaproposición, sino sólo aquellos que puedan ser verificados objetivamente.

Es obvio, entonces, que la lógica se interese por las proposiciones y que éstas sean launidad de análisis del discurso lógico.

Veamos en los siguientes casos:(a) Perdonad y seréis perdonados.(b) La capa de ozono se deteriora progresivamente.(c) El SIDA es un castigo de Dios.(d) Los números pares son divisibles por dos.(e) Acaba de llegar tu suegra.(f)Los ricos no entrarán en el Reino de los Cielos.(g) Existe vida inteligente fuera de la tierra.(h) ¡Si los políticos fueran honestos!Los enunciados (a) y (h) tienen forma imperativa y exclamativa respectivamente, a

ellos corresponden igualmente las funciones directiva y expresiva; por lo tanto no son juiciosdeclarativos, ni expresan una proposición.

Por otra parte, los enunciados (c) y (f) tienen forma declarativa y función informativa,pero se refieren a realidades espirituales que caen fuera del campo de la comprobaciónobjetiva, dependen de las creencias de cada uno y, por lo tanto, no pueden ser verificados.

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Finalmente, sólo los enunciados (a), (b), y (e), que son juicios declarativos, expresanproposiciones porque pueden ser verificados objetivamente.

El enunciado (g), aunque no puede ser verificado o falsificado en estos momentos porlas ciencias, se puede explicitar el método objetivo con el que se podría determinar si esverdadero o falso. Por eso, se considera proposición.

Resumiendo:Sólo las oraciones o juicios declarativos de cuyo contenido podemos establecer

inequívocamente su verdad o falsedad, expresan proposiciones, son proposiciones.Así pues, la proposición es una expresión lingüística cuyo contenido objetivo es

inequívocamente verdadero o falso. Generalmente, su forma es declarativa, pero, a veces,está camuflada de otra forma. En este caso siempre será posible traducirla a una formadeclarativa equivalente. En consecuencia, no serán proposiciones aquellas expresioneslingüísticas que tienen como función preguntar, exclamar, dar órdenes, expresar dudas odeseos. De ellas no se puede determinar si son verdaderas o falsas. En efecto, de una preguntase puede decir si es oportuna o no lo es; de una exclamación si es expresiva o no lo es; de unaorden si es respetuosa o no lo es; de una duda si es fundada o no; de un deseo si es sincero ono; pero de ninguna de ellas se puede decir si son verdaderas o falsas.

Son proposiciones:(i) Los gusanos son vertebrados.(j) Julio Verne escribió la Vuelta al Mundo en Ochenta Días.(k) 7 no es número primo.(1) Gabriel García Márquez ganó el premio Novel de Literatura en 1.990.(m) Quine es un lógico moderno.(n) ¿No es cierto que Bolívar logró la independencia de cinco países?(o) ¡ Qué gran maestro fue Andrés Bello!.Las primeras cinco proposiciones tienen una forma declarativa; la forma de (n) es

interrogativa y la de la (o) exclamativa, sin embargo ambas tienen la función de informar, porlo cual se pueden traducir a una forma declarativa, a saber: “Bolívar logró la independenciade cinco países” y “Andrés Bello fue un gran maestro”, respectivamente.

Como podemos ver, a la ciencia sólo le interesan los enunciados que sonproposiciones los cuales proporcionan informaciones verificables y útiles. Por ese motivo, lalógica que vamos a estudiar en este curso se ocupará sólo de proposiciones, aunque hay otroscampos de la lógica que trabajan con otro tipo de juicios.

Seguidamente, para constatar si has comprendido estepunto, debes resolver los siguientes ejercicios

EJERCICIOSDetermina de cada uno de los siguientes enunciados si expresa o no una proposición,y explica por qué.

(1) A menudo nuestros actos están movidos por motivos desconocidos paranosotros.

(2) ¿Quién podrá llegar a conocerse en su propia mismidad?

(3) La vida es una pasión frustrada.

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(4) En diciembre las noches son mas largas.

(5) Sólo por la violencia se puede cambiar la sociedad.

(6) Derrocaron al dictador de esa convulsionada nación.

(7)Venezuela, hoy por hoy, ha conquistado su independencia económica.Ver las Respuestas

Para reafirmar lo tratado, te presentamos los siguientes ejercicios

EJERCICIOSDe las siguientes expresiones lingüísticas determina si son o no proposiciones dandolas razones correspondientes.

(1) ¡Que consigas tus propósitos, amigo!

(2) La fiesta de fin de curso.

(3) El 4 de Febrero del ano 1992 se intentó en Venezuela un golpe de estado.

(4) Bolívar no fue partidario de la creación de la Gran Colombia.

(5) ¿Cuándo lograremos que en Venezuela haya una justicia confiable?

(6) Nunca te rebajes solicitando lo que no ganaste.

(7) Los amigos de lo ajeno.

(8) Bolívar asistió a la coronación de Napoleón Bonaparte como emperador.

(9) ¡Que gran ciudad es París!

(10) Colón descubrió a Venezuela en su primer viaje.Ver las Respuestas

2. TIPOS DE PROPOSICIONES POR SU COMPLEJIDAD.

Las proposiciones, por su complejidad, se dividen en simples y compuestas. Lasproposiciones simples son aquéllas de las cuales no se pueden obtener otras proposiciones,por ejemplo:

(a) “Newton descubrió la ley de gravedad”.(b) “Luis Hómez fue un político”.(c) “Rómulo Betancourt fue presidente de Venezuela”.(d) “Gorvachov empezó la Perestroika en 1989”.

Las cuatro expresiones son proposiciones simples. De ninguna de ellas se puedeobtener otras proposiciones.

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Las proposiciones compuestas son aquéllas de las cuales se pueden obtener otrasproposiciones más simples. Por ejemplo:

(e) “Frege fue un lógico y Copérnico fue un gran astrónomo”.

es una proposición compuesta porque de ella pueden obtenerse dos más simples, como son:“Frege fue un lógico” y “Copérnico fue un gran astrónomo”.

También es compuesta la proposición:

(f) “Jesús E. Lossada no fue rector de la Universidad del Zulia”.ya que de ella se puede obtener la proposición más simple: “Jesús E. Lossada fue rector de laUniversidad del Zulia”.

Pasemos ahora a unos ejercicios que nos ayudarán areafirmar lo que hemos aprendido

EJERCICIOS

Distinga con una S las proposiciones simples y con una C las compuestas.

(1) El filósofo Alemán Leibniz vivió en siglo XVI. ( )(2) Miguel A. Asturias no vivió en París. ( )(3) Bertrand Russel nació en Inglaterra y escribió el libro titulado Principia

Mathematica. ( )(4) No llueve. ( )(5) Rómulo Gallegos escribió Doña Bárbara. ( )(6) Rafael Urdaneta fue leal a Bolívar y fue presidente de la Gran Colombia ( )(7) Si hay educación, entonces el desarrollo será más rápido. ( )(8) Si L.U.Z. cumple con su lema: “Post Nubila, Phoebus”, está cumpliendo con su

misión. ( )

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3. EL DISCURSO LÓGICO

Como ves, hemos ido, poco a poco, delimitando dentro del lenguaje el campo en elcual está ubicada la lógica. Ya sabemos que se trabaja con juicios u oraciones declarativasque expresan proposiciones. Sin embargo, hay que precisar aún más qué es la lógica y de quése ocupa.

En el lenguaje diario usamos los términos ‘lógico’ o ‘lógica’ de modo impreciso y,muchas veces, equivocado. Veamos algunos casos:

(a)Si te mojaste en la lluvia es lógico que te hayas resfriado.(b)Si contaminamos el ambiente lógicamente se rompe el equilibrio natural.(c) La argumentación del abogado fue rigurosamente lógica en todos sus puntos.(d)Es una novela disparatada, sin una secuencia lógica que permita seguir la trama.

En los dos primeros ejemplos (a) y (b) el término se refiere a la conexión natural deun hecho ‘A’ que tiene como consecuencia otro hecho o resultado ‘B’. En estos casos

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podemos cambiar el término por otras expresiones: “es natural”, “en consecuencia”, “debeocurrir que”. Es decir, aquí se señala conexiones de causa-efecto, relaciones de hechos. Estono le compete a la lógica sino a las ciencias naturales.

En los ejemplos (c) y (d), en cambio, podemos notar que el término lógica señala larelación entre las partes de un discurso oral o escrito; se refiere pues a la coherencia oincoherencia de lo que se ha dicho, de lo que se discurre, razona o argumenta. La palabra aquíse puede sustituir por “es coherente”, “está bien construida”; es decir, señala una corrección(o falta de ella) en la construcción del discurso, en su forma, en su estructura.

El término no tiene, pues, nada que ver con los hechos ni con la veracidad de lasafirmaciones, sino con la construcción o estructura del discurso, con la secuencia oconcatenación rigurosa de sus partes.

El rigor lógico de un discurso está en la concatenación de sus partes, en la correcciónde su construcción.

Así, cuando un texto está coherentemente estructurado y sus partes llevan unasecuencia rigurosa, decimos que es un discurso lógico.

Resumiendo:La palabra ‘lógico’, de uso corriente en el lenguaje castellano, no siempre responde al

uso estricto que se le da en lógica. Así pues, para mayor claridad, distinguiremos dos usos deesa palabra a saber: uso corriente y uso estricto.

• Cuando la palabra ‘lógico’ puede sustituirse por palabras como: ‘es natural’ y ‘esesperado’, decimos que está empleada en sentido corriente. Así, decir:

(e) “Es lógico que hayas triunfado”.

equivale a decir:“Es natural que hayas triunfado”.

La palabra ‘lógico’ en (e) ha sido empleada en sentido corriente.• Cuando la palabra ‘lógico’ se emplea para referirse a las relaciones o vinculaciones entre

las partes de un pasaje o de un artículo, a la coherencia de las partes de un discurso,diremos que está usada en sentido estricto. Por ejemplo, cuando se afirma:

(f) “El abogado litigante refutó con gran rigor lógico lo afirmado por el testigo”,

se quiere decir que el abogado litigante concatenó, relacionó, unió, vinculó de formacoherente sus afirmaciones y sus argumentos; que una afirmación se basó en otra y ésta, a suvez, en la anterior y así sucesivamente.

En el ejemplo dado (f) la palabra ‘lógico’ no puede sustituirse por la palabra ‘natural’sin que cambie su significado. En este caso, la palabra ‘lógico’ está usada en sentido estricto.

En nuestro curso sólo emplearemos la palabra ‘lógico’ en sentido estricto.

4. EL RAZONAMIENTO

En un texto cualquiera podemos estar simplemente informando, relatando, presentadolos hechos, sin que haya un flujo o conexión desde unas afirmaciones o proposiciones a otras;

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es decir, sin que estemos discurriendo, argumentando 0 razonando. Por eso, como decíamosal principio del punto anterior, todavía no estamos en el campo de la lógica.

La lógica, pues, se ocupa del texto que exprese un razonamiento o argumento. Unrazonamiento es un pasaje, un trozo de texto, un discurso, en el cual se pretende probar odemostrar alguna proposición.

Este tipo de discurso racional o argumentativo es lo que interesa a la lógica comoherramienta de las ciencias, las cuales pretenden construir argumentos, razonamientossólidos, que permitan demostrar o probar nuevos conocimientos a partir de la experiencia ode las verdades ya conocidas. Veamos un ejemplo:

(a) Todos los lenguajes tienen sintaxis.Sin duda, el wayú es un lenguaje.Luego, el wayú tiene sintaxis.

Primera etapa:En la primera etapa se determina la verdad de las premisas. Si la primera premisa es

verdadera se continúa, de lo contrario ahí termina todo. Se hace lo mismo con las demáspremisas.

Segunda etapa:La mente encuentra una relación entre algunos términos de las premisas. Nota que, en

el ejemplo dado, el nexo que se da entre los términos `wayú' y `sintaxis' se logra en virtud deltérmino `lenguaje' que aparece en ambas premisas. Esta relación permite, pues, que se dé unaunión, un nexo que antes no se percibía, o se percibía confusamente entre:wayú-lenguaje-sintaxis

Tercera etapa:La percepción del nexo entre esos tres términos lleva a la conclusión: "Luego, el wayú

tiene sintaxis".Finalmente, observa que la conclusión está contenida en las premisas, y que se ha

hecho explícita en virtud de la percepción de su trabazón (unión, nexo) con las premisas.

¿Qué es, pues, un razonamiento?.

Un razonamiento es un conjunto de proposiciones vinculadas entre sí de tal maneraque, mediante un acto mental, una de ellas (la conclusión) se desprende de las otras(premisas).

Resumiendo:

Un conjunto de proposiciones vinculadas de tal manera que, la proposición final(conclusión) se desprende de las proposiciones iniciales (premisas), obteniendo unconocimiento nuevo que rebasa el expresado en las premisas.

Este paso lógico de las premisas a la conclusión es lo que llamamos inferencia. Asípues, las características de un razonamiento son:

(i) Está formado por un conjunto de proposiciones: premisas y conclusión.(ii) Los términos de las premisas están vinculados entre sí.(iii)La mente se percata de ese nexo e infiere (obtiene) la conclusión.

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Una última observación. Los razonamientos en el lenguaje corriente están, casisiempre, ocultos dentro de una gran riqueza lingüística; por eso, el primer trabajo es extraer,en un lenguaje neutro, el razonamiento presente en esos párrafos. Veamos un ejemplo y lamanera de proceder:

(a) Cuando se quiso averiguar los efectos del cigarrillo sobre la salud, los científicosaislaron las sustancias contenidas en el tabaco que eran absorbidas por losfumadores,

(b) luego se la administraron a los animales del laboratorio y se registraron losresultados encontrando una asociación entre la nicotina y el cáncer de las vías respiratorias.

Resumiendo en un argumento esta experiencia científica se diría más o menos así:

"Se viene observando una mayor incidencia de cáncer entre los fumadores. Sometidoslos animales del laboratorio a la acción de la nicotina, todos desarrollaron algún tipode cáncer Por 1o tanto, el efecto de la nicotina en los fumadores está directamenterelacionado con la mayor incidencia de cáncer en dicho grupo ".

Como podemos observar, a partir de los conocimientos ya establecidos en las dosprimeras proposiciones llegamos a un conocimiento nuevo expresado en la últimaproposición.

4.1. Premisas y Conclusión

Todo el que polemiza, todo el que debe sostener una tesis o una conclusión como, porejemplo, el abogado, el juez, el expositor científico, el estadista, el político, el economista, elfilósofo, etc., se ve obligado a unir, a vincular ordenadamente un conjunto de proposicionesque le sirva de base para sustentar esas conclusiones o tesis. esto es, tiene que relacionarcoherentemente sus proposiciones, sus verdades, tiene que argumentar, tiene que razonar,tiene que discurrir correctamente.

Alguien, por ejemplo, que no esté de acuerdo con el neoliberalismo económico podríarazonar de la siguiente manera:

(a) Las medidas económicas conducentes a privilegiar una minoría no son las másindicadas para el país. No hay duda que las medidas económicas basadas en elneoliberalismo económico favorecen a minoría. Por lo tanto, el liberalismo económico no eslo que requiere el país.

Otro ejemplo:

Un ciudadano que considere que sin educación no es posible el desarrollo de unasociedad, podría razonar de una forma parecida a ésta:

(b) Dado que la educación fue la base de Japón para lograr un desarrolloeconómico; que el Plan Marshal tuvo éxito en Europa por la preparación de loseuropeos; que los países desarrollados han logrado serlo por contar, en general, conciudadanos con un buen nivel educativo; parece, por consiguiente, que la educaciónde los ciudadanos es imprescindible para lograr un país desarrollado.

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Observa cómo en los dos razonamientos anteriores unas afirmaciones se basan enotras, cómo se extrae un conocimiento de otros, una proposición de otras, cómo esto seplasma en el lenguaje mediante determinadas expresiones que, unas veces, se anteponen a laconclusión (como ‘por lo tanto’, ‘pues’, ‘luego’, ‘por ende’, ‘por consiguiente’, etc. ); y otrasque, a veces, preceden a las premisas (como ‘dado que’, ‘ya que’, ‘puesto que’,...).

En el primer razonamiento aparece la expresión ‘por lo tanto’ precediendo a laconclusión. En el segundo se antepone ‘dado que’ a las premisas y ‘parece, por consiguiente’a la conclusión.

Vemos, pues, que en todo razonamiento hay premisas y conclusión. Premisas son lasproposiciones que sirven de base para obtener la conclusión. Esta es la proposición obtenidade la relación existente entre las premisas. Las premisas expresan verdades conocidas y, porla relación establecida entre ellas, se descubre una verdad desconocida o confusamenteconocida: la conclusión.

Así pues, un razonamiento está compuesto de unas proposiciones iniciales llamadaspremisas y una proposición final llamada conclusión. Partimos de las premisas y llegamos ala conclusión. Una sola proposición no es un razonamiento: debe haber, al menos, unapremisa y una conclusión.

Tampoco cualquier colección de proposiciones hace un razonamiento: deben estarconcatenadas de una manera coherente de modo que se desprenda de ellas la conclusión, si seaceptan las premisas, hay que aceptar la conclusión.

Además, la conclusión proporciona un conocimiento nuevo que no estabacontenido en las premisas y la cual no se podía acceder por la simple observación.

4.2. Proceso del Razonamiento. Su Concepto.

Con el fin de comprender mejor el concepto de razonamiento me referiré al procesoseguido por la mente en la elaboración de un razonamiento. El razonamiento es un proceso enel cual la mente se traslada de unas proposiciones a otras en tres etapas.

Analicemos estas tres etapas mentales en la construcción del siguiente razonamiento:

“¿Dónde están los hombres?- preguntó cortésmente el Principito-.¿Los hombres? [...] Los vi hace años; pero no se sabe nunca donde encontrarlos. Elviento los lleva, pues no tienen raíces"(A. de. Saint-Exupéry, El Principito).

He aquí el razonamiento del Principito en lenguaje neutro:

(i) Los hombres estaban aquí hace años, pero ahora no están.(ii) No tienen raíces y el viento los lleva a todas partes.(iii)Por lo tanto, no se sabe nunca donde encontrarlos.

De esta manera son evidentes las premisas y la conclusión. El resto del diálogo noforma parte del razonamiento.

4.3. Identificación de Razonamientos

Como señalamos antes, no todos los textos o pasajes contienen un razonamiento; poreso es importante que aprendamos a distinguir cuándo hay o no razonamiento.

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A pesar de que en todo razonamiento hay un conjunto de proposiciones, sin embargono todo conjunto de proposiciones constituye un razonamiento. Cuando expresamos unconjunto de proposiciones sucesivamente sin establecer una relación entre ellas que nospermita obtener otra nueva, ese conjunto de proposiciones no forma un razonamiento.

Si afirmamos:

(a) "El 27 de Noviembre de 1992 se intentó, por segunda vez en el año, un golpe deestado en Venezuela. En el mismo estuvieron involucrados, a diferencia del primerintento, varios generales de las fuerzas armadas. El pueblo, sin embargo, no se unió alos golpistas",

observamos que ninguna proposición se deriva de las anteriores, simplemente, se informa,mediante proposiciones seriadas, parte de lo ocurrido el 27 de Noviembre de 1992 enVenezuela. Ninguna proposición funge ni como premisa ni como conclusión, y, enconsecuencia, no hay razonamiento alguno.

No avances tan aprisa si no estas seguro de lo que hasLeído, repasa... y continua los ejercicios siguientes

EJERCICIOS

Determinar si los siguientes conjuntos de proposiciones son o no razonamiento. Enlos razonamientos indique las premisas y la conclusión.

(1) En forma desprovista de todo espíritu crítico, hase mezclado la Jurisprudencia conla Psicología y la Biología con la Ética y con la Teología. Por eso hoy en día, casi nohay ciencia especial en cuyo recinto el jurisperito se considere incompetente parapenetrar (Dr. Hans Kelsen: La Teoría Pura del Derecho).(2) Dice el World Resources Institute: “América Latina es una tierra de promesas yparadojas. La región en su conjunto es rica en recursos naturales [...]. Pero estosrecursos naturales no están distribuidos equitativamente y diversos países en la regiónenfrentan severas privaciones”.(3) La mejor ley de huelga es la que no existe, tal ha sido la consigna más recurridacada vez que se planteó la necesidad de una regulación de una huelga, sobre todo porlo que hace a moderar su impacto en los servicios públicos (Humberto Villasmil P.,SIC, No. 550)(4) Tradicionalmente el Derecho Civil ha girado en torno a la regulación de lasgrandes instituciones: la persona y el patrimonio, que constituyen dos fines humanosesenciales, de ahí la importancia de su estudio.(5) El problema de la violación de los derechos humanos a través de los atropellospoliciales, no puede ser visto como una fatalidad accidental producto de lasdesviaciones de conducta de quienes la ejecutan ni tampoco como producto de lacasualidad (Luis Urdaneta A.: Nueva Sociedad, N° 123).(6) La democracia no se mejora limitándola o destruyéndola, sino perfeccionándola.Los pueblos no aumentan sus condiciones de vida bajo, el autoritarismo, sinomediante una real participación en las decisiones de los gobiernos (ComisiónSudamericana de Paz).(7) El lenguaje ha jugado el papel más impactante en la constitución de la herenciasocial humana. La transmisión de las ideas y de la ciencia sólo fue posible por el

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lenguaje; el conocimiento que posee cada generación puede ser transmitido en sutotalidad a la siguiente en virtud del lenguaje.(8) Después de una larga noche de terror, muerte y silencio, claramente verificable enlos hechos, nombres y cifras de tantos países de la región, hoy el 90% de la poblaciónlatinoamericana vive bajo regímenes democráticos, porcentaje que hace sólo unadécada era el correspondiente a quienes estaban gobernados por dictaduras (HeidulfSchmidt. Nueva Sociedad, N° 123).(9)Encontramos como primeros elementos en el conocimiento el sujeto pensante, elsujeto cognoscente y el objeto. Todo conocimiento, cualquier conocimiento, ha de serde un sujeto sobre un objeto (Manuel García Morente: Lecciones Preliminares deFilosofía).(10) Yo puedo pensar que estoy soñando, que nada de lo que pienso es verdad, pero esverdad que lo pienso y que ese pensamiento es mío. Por consiguiente, si pienso existo(cogito ergo sum: Descartes).(11) Son las 4:30 a.m. y suenan unas palmadas. Son las madres que hacen milagroscon la masa para rendir 1as arepas para sus hijos. A partir de esa hora no hay descansoposible: La cola de los carros para salir del barrio; los reales que no alcanzan paracomprar un pote de leche; el hospital que no atiende; los niños que necesitan máscosas para la escuela; no hay agua y hay que acarrearla. Lo cierto es que los valoresde la vida que nos son propios se van diluyendo, [...] hasta llegar a desconocerloscomo valores inherentes (Nueva Sociedad, N° 123).(12) El nombre de ley, tomado en su sentido más amplio significa aquello que imponeuna manera de obrar fija y determinada a un individuo cualquiera, a todos losindividuos de la misma especie o solamente a algunos. La ley que depende de unanecesidad natural es la que resulta necesariamente de la propia o de su definición; laque depende de la voluntad de los hombres es la que los hombres establecen paracomodidad y seguridad de la vida, o por otras razones suficientes: en este último casose llama propiamente derecho (Baruch Sponoza, Tratado Teológico Político).(13)Grecia es una piedra de toque para el intelectual. El sonido que emita su alma altropezar con aquella revelará sus cualidades últimas. Entonces se ve si es hombre demeras frases, de postura, de carantoñas, un lindo o, por el contrario, un hombre deintuiciones inmediatas, afanoso de sumergirse en las cosas y de transmigrar desde símismo a los objetos para volver, como el buzo, sucio, roto, pero cubierto de algas yautentica fauna abisal (José Ortega y Gasset, Ética de los Griegos, Obras Completas,T. III, pág. 529).(14) Se trata que es la europea una cultura nacida y crecida en simbiosis con otracultura extraña y muerta: la griega. No creo que este caso se haya dado en otraocasión. Y ocurre preguntarse, ¿ constituye un organismo unitario y saludable, o es unmonstruo histórico, un caso de feroz parasitismo? Y si vale esto último, ¿ quién es elparásito y quién el anfitrión (José Ortega y Gasset, Ética de los Griegos, ObrasCompletas, T. III, pág. 329).(15) Antes de intentar construir una teoría del conocimiento humano, el filósofo debetratar de tener ante sus ojos el peculiar fenómeno de la conciencia que llamamos“conocimiento”, y describir en sus rasgos esenciales lo que ve. Para ello debeguardarse de introducir por su cuenta datos o interpretaciones extrañas al fenómeno(Johannes Hessen, Tratado de Filosofía, pág. 233).(16) Hay una ética social y una ética íntima. La primera dicta normas y recetas pararesolver los conflictos del hombre con la sociedad que le rodea la ciudad y los dioses.La segunda se preocupa de resolver los problemas interiores, de poner en orden la

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barahúnda de los instintos e impulsos (José Ortega y Gasset, Ética de los Griegos,Obras Completas, T. III, pág. 531).

(17) El solo nombre de Maquiavelo nos dice bien hasta que punto se afanó elrenacimiento por renovar su concepción del hombre y de su vivir social. Loespecíficamente nuevo está en que el hombre no se valora ya según la medida de unorden sobrehumano, al que se subordina y sirve, sino que comienza a buscar en símismo 1a medida ( J. Hirschberger, Historia de la Filosofía, pág. 498).(18) Todo lo que esta en movimiento debe ser movido por otro, pues nada puedemoverse a sí mismo, y como no se puede retroceder hasta el infinito en la dependenciade los movidos respecto de sus motores (si no hay un primer motor, tampoco hay unsegundo, pues todas las segundas causas dependen de la primera), ha de admitirsefinalmente un primer motor que no sea a su vez movido por otro, sino que sea él porsí mismo movimiento, fuente de movimiento; pero a esto todos llamamos Dios(Prueba de la existencia de Dios por el movimiento según Santo Tomás de Aquino.Cf. J. Hirschberger, Historia de la Filosofía, pág. 401).(19)La Geometría de Euclides estudia las propiedades de las figuras geométricas en lasuperficie plana, en tanto que la geometría no euclidiana estudia las propiedades delas figuras en las superficies curvadas, por ejemplo, en una esfera. En estas superficiescurvas ya no puede haber líneas rectas, y las propiedades de las figuras geométricasson distintas de las de un plano. (I. Nóvikov, Cómo explotó el Universo, pág. 71).(20) El dominio de las reglas de la lógica simbólica tiene sobre la actuación en elrazonar informal, el mismo efecto vigorizador que tiene la gimnasia en la actuación enlos deportes (Kuppermann, Joel. Fundamentos de Lógica, pág. 251).

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Para reafirmar este punto, sumamente importante,te presentamos otra serie de ejercicios

EJERCICIOSDetermina las premisas y las conclusiones de los siguientes razonamientos.

(1) Si hay rectitud en el corazón, habrá belleza en el carácter; si hay belleza en elcarácter, habrá armonía en el hogar; cuando haya armonía en el hogar, habrá orden enla nación; cuando haya orden en la nación, habrá paz en el mundo. Por tanto si hayrectitud en el corazón, habrá paz en el mundo.(2) El oxígeno tiene 16 como peso atómico y el peso atómico de un elemento expresala relación que existe entre el peso real del átomo correspondiente y el peso real de unátomo de hidrógeno, al cual se le ha asignado un peso atómico de 1; luego, esto quieredecir que el oxígeno pesa 16 veces más que el átomo de hidrógeno.(3) Minkowski denomina “punto del universo” a un punto determinado del espacio enun tiempo o instante determinado, [...]; y una secuencia de semejantes puntos deluniverso espacio-temporales, en la que el espacio y el tiempo están ensamblados entresí en todos sus puntos, es una “línea del universo”; de ahí que una línea el universosea la historia continua de un individuo existente en el espacio-temporal generada poruna existencia individual (Marx W. Wartofsky, Introducción a la Filosofía de laCiencia).(4) Dado que fuerza es toda causa de provocar o modificar el movimiento de uncuerpo, o de producir su deformación; y que si soltamos un peso que tenemos en la

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mano cae; si lo suspendemos en un resorte éste se deforma; si lanzamos una piedrahacia arriba, su movimiento disminuya, acaba y la piedra vuelve a caer finalmente alsuelo; es obvio que, en la proximidad de la Tierra, todo cuerpo está sometido a unafuerza.(5) El ojo, según sabemos, esta perfectamente acondicionado para discriminar coloresy percibir las forma; así mismo el oído está organizado para captar diferencias detonos y de volumen de sonidos; [...] la habilidad que tienen los niños recién nacidospara localizar sonidos, sugiere que el organismo ya viene provisto de una estructuraque puede ordenar la supuesta experiencia virgen según un esquema típico. Teniendoen cuenta estos elementos de juicio podemos concluir que la experiencia nos llega yaconformada por las propias estructuras que la hacen posible. (Marx W. Wartofsky,Introducción a la Filosofía de la Ciencia).(6) Los derechos humanos, planteados como límite a la arbitrariedad del poder,poseen fundamentos históricos y filosóficos. Podemos reflexionar sobre ellos desdelos griegos, continuando con los romanos, pasando por la Magna Charta Libertatumde los nobles ingleses hace más de siete siglos, la Declaración de los Derechos delHombre y del Ciudadano (1789) de los franceses, hasta la Declaración Universal delos Derechos del Hombre e la O.N.U. (Heidulf Schmidt, Nueva Sociedad, Nº 123).(7) Y alzando los ojos vio a los ricos que echaban sus dones en el arca de las ofrendas.Y vio también a una viuda pobre, que echaba allí dos monedas. Y dijo: en verdad osdigo, que esta viuda pobre ha echado más que todos. Porque éstos, de lo que les sobrahan echado para las ofrendas de Dios; más ella, de su indigencia, ha echado todo elsustento que tenía (Lucas, 21,1-4).(8) - ¿Quiénes son ustedes?- les preguntó el Principito sorprendido.- Somos rosas- respondieron las flores. -- ¡Ah!- dijo el Principito.[...] Su flor le había dicho que ella era la única especie en todo el universo, y ahoraveía que sólo en este jardín había cinco mil, todas semejantes (El Principito, A. deSaint Exupéry).(9) La razón encuentra en sí misma la idea de un ser, el ser sumo que se puede pensar.Si este ser existiera sólo en la mente; no sería el mayor ser pensable, pues se podríapensar todavía un ser superior a él, el ser, en efecto, que no sólo existiera en la mente,sino también en la realidad. Consiguientemente, la idea del ser sumo exige que esteser no sólo exista en la mente, sino también en la realidad (Anselmo de Cantorbery).(10) El espectáculo histórico del derrumbamiento del aristotelismo pone en primerplano del pensamiento moderno una cuestión previa, antes de toda otra. La cuestiónque nos interesa [...] es la cuestión metafísica: ¿quién existe?. Pero cuando Descartes[...] acomete esa pregunta, ya todo es un fracaso en 1a primera filosofía y él no quierefracasar. Por eso, antes de acometer la pregunta de quien existe quiere asegurarse, yresuelve pensar minuciosamente en un método que permita evitar el error (ManuelGarcía Morente, Lecciones Preliminares de Filosofía).

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5. TIPOS DE RAZONAMIENTO

5.1. Razonamiento Inductivo

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Ya Aristóteles afirmaba que: “inducción es el tránsito de las cosas particulares al casouniversal”, y lo ilustraba con el siguiente ejemplo:

(a)si el piloto mejor es el experto, y lo mismo sucede con el auriga, puede decirseentonces, de forma general, que el hombre experto es el mejor en cada caso (Cf.Tópica 1, 7 (1° 3 a 6-14)).

Veamos un segundo ejemplo:

(b)La medicina A curó el cáncer B a las personas V, W, X, Y y Z. De estas premisaspuede inferirse que, probablemente, la medicina A cure todos los cánceres de tipo B.

En ambos ejemplos las premisas ofrecen cierta evidencia para afirmar la verdad de laconclusión. Sin embargo, puede presentarse algún caso en que el cáncer B no sea curado porla medicina A, e igualmente podría suceder que no siempre el experto es el mejor en todos loscasos. Esto nos permite anotar las siguientes características de un razonamiento inductivo:

(i) La conclusión es más general que las premisas.(ii)La conclusión no se sigue necesariamente de las premisas.(iii)La conclusión no es necesariamente verdadera sino sólo probable.

Resumiendo:

El razonamiento inductivo es una operación lógica discursiva por la cual de lasuficiente observación de cosas particulares se llega a una generalización legítima; aunque nonecesariamente verdadera, sino sólo probable.

En esta definición hay una expresión que determina el grado de valor de la misma:“suficiente número de casos”, esto es, un número de casos que me Induzca a afirmar que elfenómeno no se debe a circunstancias externas al mismo, sino a su misma estructura.

Cuando los fenómenos observados son puramente externos y fortuitos la inducción esarriesgada científicamente. A este respecto el Profesor Ernesto Dann O. anota: "Un médicoquiere probar una inyección en un tuberculoso que, abatido, desanimado, no quierealimentarse y, junto con la receta, le suministra "inyecciones psicológicas" de optimismo; elenfermo cobra una fe ciega en la medicina nueva, su moral se levanta, empieza a salir de sucuarto a oxigenarse, y consigue despertar su apetito, come más. Por fin el enfermo presentaun cuadro satisfactorio, ¿podrá decir el médico que el efecto se debe a la inyección? (Cf DannO. Ernesto, Lógica, pág. 200).

Evidentemente que no, pues no hay seguridad de sí la curación se debe a la inyección(medicina) o a esa otra “inyección psicológica” fenómeno externo y fortuito.5.2. Razonamiento Analógico

Los razonamientos por analogía no son deductivos, esto es, no pretenden demostrar laverdad de sus conclusiones como derivaciones necesarias de sus premisas. Los razonamientosanalógicos sólo aspiran a que sus conclusiones sean probablemente verdaderas, y, en esesentido, son razonamientos inductivos.

Además, la mayoría de nuestros razonamientos ordinarios los hacemos por analogía.Así, infiero que:

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(a) un carro nuevo resultará bueno sobre la base de que otro carro de la mismamarca y vendido por la misma agencia me ha resultado bueno.

En base al ejemplo dado veamos las características del razonamiento por analogía. Enel ejemplo las dos cosas que consideramos similares son los dos carros. Hay cuatro elementosanálogos o semejantes en ellos: primero, son carros; segundo son de la misma marca; tercero,han sido comprados en la misma agencia; cuarto, han dado buen resultado. Ahora bien, loscuatro elementos de analogía no desempeñan el mismo papel en el razonamiento. Los tresprimeros forman parte de las premisas, mientras que el cuarto se afirma en la conclusión. Estees pues un razonamiento en el que las premisas afirman la semejanza de dos cosas en tresaspectos (son carros, son de la misma marca y han sido comprados en la misma agencia) y laconclusión afirma que son, además, semejantes en otro aspecto (en el buen resultado).

Los razonamientos analógicos se pueden referir a dos o más cosas y a dos o másaspectos. Sean muchas o pocas las cosas y sus respectivas semejanzas, todo razonamientoanalógico parte de la similitud de dos o más cosas en uno o en más aspectos para concluir queesas cosas son similares en algún otro aspecto. Todos tienen la misma estructura. En efecto, siA, B, C, D son cosas cualquiera, y a, b, c, d y e son aspectos cualesquiera, un razonamientoanálogo se representaría con el siguiente esquema:

A, B, C, y D tienen en común los aspectos a, b, c, y d.A, B y C tienen en común el aspecto e.Por tanto, D tiene también el aspecto e.

Es preciso notar que no todas las analogías constituyen razonamientos analógicos. Lasanalogías se usan también de dos maneras, a saber: primero, los escritores la utilizan, en lametáfora, en el símil, para obtener informaciones vívidas y bellas. Así, un literato podríaescribir: “El rocío, cual arco iris sin igual, se vestía de colores y de luz”. Aquí se compara elrocío y el arco iris, pero solamente para describir la belleza del rocío de esa mañana.

Segundo, la analogía se usa también en la explicación. A veces una cosa difícil omenos familiar se compara con otra más familiar o más fácil con la que tiene algunasimilitud. Por ejemplo, para empezar a entender la corriente eléctrica un profesor de físicapodría empezar comparándola con la corriente de un río. Esta comparación de algo conocidole permite establecer semejanzas: el cauce con el cable que conduce la corriente eléctrica, elagua con los fotones, la cantidad de agua con el amperaje, la fuerza del agua con el voltaje,etc. Esta analogía, entre el río y la corriente eléctrica, sólo pretende explicar algunos aspectosde la corriente eléctrica aprovechando algunas similitudes entre una cosa familiar (el río) yuna menos familiar (la corriente eléctrica).

Resumen de las características de un razonamiento analógico:

(i) Su conclusión es probable.(ii)Su conclusión no se sigue necesariamente de las premisas.(iii)Las similitudes entre los aspectos de dos o más cosas no juegan todos el mismopapel: unos, cumplen la función de premisas, y otros el de conclusión.

Valoración de los Razonamientos Analógicos

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Aunque la conclusión de los razonamientos analógicos es sólo probable; sin embargo,no todas sus conclusiones tienen el mismo grado de probabilidad, sino que hay diversosgrados en ella. Hay varios criterios para determinar el grado de probabilidad de la conclusiónde un razonamiento analógico. Estos, son algunos de ellos:

El primer criterio para la estimación de la conclusión de un razonamiento analógico esel número de entidades entre las cuales se establece la analogía. Por ejemplo, aconsejar a unamigo, recién llegado a Maracaibo, que no compre una camioneta Cherokee, en base a que hahabido dos casos de robo, no tiene el mismo grado de convencimiento que basar ese consejoen diez o más casos ocurridos en el mismo lapso de tiempo.

El segundo criterio es el número de características que se tienen en cuenta paraestablecer analogías entre distintos asuntos. Veamos el ejemplo ya citado de los carros. Elhecho de que el nuevo carro haya sido comprado en la misma agencia que el viejo que diobuenos resultados es, ciertamente, una premisa de la cual podemos deducir que el nuevo carrotambién tendrá buenos resultados. Pero esta conclusión será más probable si las premisas,además de afirmar que fue comprado en la misma agencia, añaden que son de la mismamarca, que el vendedor es el mismo, que tendrá el mismo uso.El tercer criterio es determinar la fuerza de sus conclusiones en relación a sus premisas. Porejemplo, si en los últimos veinte años los graduados de la Universidad del Zulia hanempleado, como promedio ocho años de permanencia para obtener su titulo, se puede inferirque el promedio de tiempo que empleará el nuevo contingente de estudiantes que ingresa enla institución para graduarse será aproximadamente de ocho años. Ahora bien, también sepuede concluir con esa misma premisa que los estudiantes que ingresan en LUZemplearán más de siete años para lograr su diploma. También, con la misma premisa sepueden tener otras conclusiones como que los recién ingresados en LUZ tardaránexactamente ocho años. Evidentemente, la última conclusión sería la menos probable;mientras que la penúltima sería más probable que sus anteriores.

El cuarto criterio es determinar las diferencias entre las condiciones presentadas en laspremisas y en la de la conclusión. Las conclusiones del primer razonamiento y del último sehacen más dudosas si se añade que en los tres últimos años, por diferentes circunstancias,sólo se ha podido ofrecer un solo semestre por año académico. En cambio, las conclusionesdel segundo y tercer razonamiento se hacen más probables.

El quinto criterio es que cuanto mayor sean las diferencias entre las condicionesmencionadas en las premisas, tanto más probable es la conclusión del razonamientoanalógico. La conclusión de que Luis López, recién ingresado a la Universidad del Zulia,terminará su carrera, puede considerarse con un grado de probabilidad muy alto, sobre la basede que otros doce estudiantes del mismo instituto, del mismo estrato social y de la mismaetnia y sexo ingresaron en esa misma carrera en LUZ y terminaron sus estudiosuniversitarios. Ahora bien, el razonamiento sería más fuerte si los doce estudiantesmencionados se desenvuelven en circunstancias distintas. La conclusión es más probable si seañade que esos doce estudiantes son de diferente origen racial, de diferente estratoeconómico, de distinto sexo, provenientes de diferentes colegios, etc. Esto es como afirmarque el recién ingresado terminará su carrera no importa de qué colegio venga, de qué sexosea, de qué etnia, etc. porque los doce alumnos que se han graduado lo han hecho a pesar deque entre ellos había circunstancias muy diferentes al ingresar a la universidad. Equivale, enla práctica, a decir que implícitamente, la Universidad del Zulia es tan eficiente que, pormuchas que sean las diferencias de los estudiantes recién ingresados, éstos terminarán suscarreras.

El sexto y último criterio es el llamado de Atingencia. La fortaleza de unrazonamiento analógico depende de la relación de las premisas con la conclusión. Losejemplos citados hasta ahora guardan esa relación y, por eso, son convincentes. Si en el

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ejemplo anterior sacáramos la conclusión de que Luis López terminará su carrera porque,como doce amigos suyos que se graduaron en esa carrera, es blanco, alto, buen atleta, le gustael cine, etc. Es evidente que este razonamiento es mucho más débil que el formulado en elpárrafo anterior, y la razón de ello es que en el segundo las características señaladas noguardan ninguna relación con el hecho de que Luis López vaya a terminar su carrera. Esdecir, no hay atingencia entre las premisas y la conclusión.

La atingencia se explica en función de la causalidad, los razonamientos altamenteprobables van de la causa al efecto o del efecto a la causa. Si un apartamento está frente alLago de Maracaibo y en él corre la brisa por la tarde, naturalmente, si el apartamento quequiero comprar está también al frente del Lago de Maracaibo, puedo esperar con muchaprobabilidad que en él correrá la brisa por la tarde. La analogía guarda una relación causalentre la ubicación del apartamento y la brisa.

5.3. Razonamiento Deductivo

En el razonamiento deductivo, en general, se pasa de un grado mayor degeneralización en las premisas a un grado de generalización menor en la conclusión. Además,en los razonamientos deductivos se pretende que la conclusión se siga necesariamente de laspremisas, esto es, que no pueda darse otra conclusión, por lo cual los antiguos decían que “laconclusión de un razonamiento deductivo está incluida en las premisas”. Consecuencia de loanterior es que la conclusión de un razonamiento deductivo es verdadera o falsa, no tienegrados de probabilidad, como en la del razonamiento inductivo.

En el siguiente razonamiento deductivo podremos verificar las característicasseñaladas anteriormente.

(a) Todos los hidrocarburos son combinaciones orgánicas (premisa).Algunos hidrocarburos son gases (premisa).Por tanto, algunos gases son combinaciones orgánicas(conclusión).

Observa, primero, que el grado de generalización de la conclusión es inferior al de laspremisas. En efecto, se pasa de "todos los hidrocarburos" en las premisas, a "algunos gases"en la conclusión. Segundo, la conclusión se sigue necesariamente de las premisas, puescualquiera que sepa razonar correctamente, aunque no sepa nada de química, con sólo esasdos premisas dadas obtiene la conclusión anotada. La conclusión se sigue con necesidad delas premisas, no necesito de la experiencia para ello. Tercero, la conclusión es verdadera, estoes, no hay grados de probabilidad en la misma.

Si has realizado todos los ejercicios anteriores y aclarado tusdudas, estas en capacidad de responder las siguientes

preguntas.

AUTOEVALUATIVO 2

Determinar si los siguientes razonamientos son deductivos, inductivos o analógicos,indicando en cada uno las premisas y la conclusión.

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(1) “Los animales ante ciertos estímulos externos proceden, reaccionan externamente, enforma. análoga a los racionales, luego tienen también percepciones sensibles” (ErnestoDann, Lógica, pág., 208).(2) Los científicos, experimentando diversos metales sometidos a calor en distintosambientes, observaron que cada uno de ellos aumentaba su tamaño; de ahí concluyeroncon la verdad científica: "Los metales se dilatan con el calor".(3) Del hecho de que el Dr. Robinson es un médico por vocación, puedo inferir lo mismodel Dr. Allison, ya que ambos fueron educados en familias honorables, en el mismocolegio, la misma universidad y ambos son hombres leales, generosos, responsables.(4) Darwin en sus investigaciones observó que los organismos se reproducíanindefinidamente, por lo cual concluyó afirmando que todos los organismos tienen latendencia a reproducirse indefinidamente.(5) El mal, que consiste en el defecto de la acción, proviene siempre de algún defecto delagente. Mas en Dios no hay defecto alguno, sino suma perfección... Luego, el mal queconsiste en el defecto de la acción o que es causado por deficiencia del agente, no puedereducirse a Dios como causa (Suma Teológica T II-III, lq, 49 a.2).(6)Podemos observar gran similitud entre la Tierra que habitamos y los otros planetas,Saturno, Júpiter, Martes, Venus y Mercurio. Todos ellos giran alrededor del sol, al igualque la Tierra, aunque a distancia y períodos diferentes. Todos ellos toman su luz del Sol,lo mismo que la Tierra. Se sabe que varios de ellos giran alrededor de sus ejes, como laTierra, y debido a esto deben presentar una sucesión de días y de noches. Algunos deellos tienen lunas que les dan luz en ausencia del sol, como lo hace nuestra Luna paranosotros. En sus movimientos, todos ellos están sometidos a la misma ley de gravitación,como ocurre con la Tierra. Tomando como base todas estas semejanzas no es disparatadopensar que, al igual que en la Tierra, esos planetas puedan estar habitados por seresvivientes de diversos órdenes (Cf. Irving M. Copi, Introducción a la Lógica, pág. 304).(7) Si la persona sometida a hipnosis recibe una información y, al salir de este estado, norecuerdan nada, significa que esa información no está en la conciencia de esa persona.Ahora bien, si después de la insistencia del terapeuta, esta persona va recordando toda lainformación, entonces hay en nuestra mente otro “espacio” distinto al de la conciencia, aese espacio de la mente se le llama inconsciente. Por lo tanto, existe el inconsciente.(8) El abogado para ser eficiente tiene que contribuir a resolver el problema de la justicia.El médico para ser un profesional eficiente tiene que preocuparse por resolver la saludpública. Un ingeniero sólo será eficiente si contribuye a resolver los problemas socialescon su profesión. Lo mismo cabe decir de los veterinarios, economistas, etc. Por tanto,un profesional eficiente, además de ser competente en su profesión, tiene que sersocialmente útil.(9) Los estudiantes que ingresan a la universidad tienen muchas lagunas en matemáticas.Esa es la conclusión que obtuvieron los treinta profesores que hicieron la evaluación alos cuatro mil nuevos estudiantes que ingresaron en la universidad.(10)Blanca siempre sobre el pinar siempre verde; rosa o azul, siendo blanca, en la aurora;de oro o malva en la tarde, siendo blanca; verde o celeste, siendo blanca en la noche; laFuente vieja, Platero donde tantas veces me has visto parado tanto tiempo, encierra en sí,corno una clave o una tumba, toda la elegía del mundo, es -... decir, el sentimiento de lavida verdadera (Juan Ramón Jiménez, Platero y Yo).

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Si tienes alguna duda de lo que has estudiado, vuelve a leer elmaterial; si no, avancemos con el siguiente objetivo

“Validez de los Razonamientos”.

6. VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS

Objetivo terminal 3: Establecer en que consiste la validez de un razonamiento y lascondiciones de verdad de la conclusión.

Para ello deberás lograr los siguientes Objetivos Específicos:

3.1. A partir de la distinción entre forma y contenido, constantes y variablessimbolizar la forma lógica de los razonamientos dados usando los símbolos (A, B, C,D..) para las variables.

3.2. En razón a la distinción entre verdad y validez precisar que un razonamiento esválido únicamente por su forma lógica.

3.3. En base a la relación entre la verdad de las premisas y conclusión y la validez delrazonamiento determinar cuáles de los razonamientos dados cumple las condicionespara que su conclusión sea necesariamente verdadera.

3.4. A partir de la combinación de los valores veritativos de las premisas y conclusión,determinar, en un conjunto de razonamientos cuyas proposiciones tengan valoresveritativos conocidos, cuáles son no válidos.

6.1. Contenido y Forma de los Razonamientos.

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De ahora en adelante sólo tendremos en cuenta los razonamientos deductivos, de talmanera que, al escribir la palabra razonamiento, nos estaremos refiriendo al deductivo.

En todo razonamiento hay forma y contenido.El contenido es el tema, el asunto, la materia sobre los cuales trata el razonamiento. El

contenido viene, pues, expresado en las diversas proposiciones que contiene el párrafo.La forma, en cambio, es la estructura o la organización del razonamiento; es decir, la

manera como están interrelacionadas esas proposiciones que lo conforman. Analicemos lossiguientes razonamientos y veamos cuáles son su forma y su contenido:

(a)Si hace calor, entonces sube el termómetro, pero no sube el termómetro;_____________________________________________________________por tanto, no hace calor.

(b)Si el juez se atiene al expediente, entonces el indiciado es declarado culpable, peroel indiciado no es declarado culpable;______________________________________________________________por tanto, el juez no se atiene al expediente.

El contenido de estos razonamientos está constituido por los objetos, personas ypropiedades a que se refieren las expresiones lingüísticas de los mismos. El contenido, porejemplo, del término ‘termómetro’ del primer razonamiento será el conjunto de todas lascosas que tengan la propiedad de ser termómetro; el término ‘calor’ se refiere a la propiedadcalor.

En el segundo razonamiento la palabra ‘juez’ se refiere a las personas que tienen lapropiedad de ser juez; la palabra ‘culpable’, se refiere a las personas que tienen lacaracterística de ser culpables, y así el resto de las palabras se refieren a algo distinto de ellas,esto es, a su contenido.

El contenido de ambos razonamientos es distinto; sin embargo, ambos tienen lamisma forma o estructura. En efecto, si en el primer ejemplo sustituimos ‘hace calor’ por A y‘sube el termómetro’ por B, tenemos la siguiente forma de los razonamientos (a) y (b):

Si A, entonces Formas de losB, razonamientopero no B;______________________________________por tanto, no A (a) y (b)

Esta forma del primer razonamiento es la misma que la del segundo. Basta sustituir laproposición ‘el juez se atiene al expediente’ por A y ‘el indiciado es declarado culpable’ porB, para darnos cuenta de ello. Por tanto, ambos razonamientos tienen contenidos distintos,pero su forma es la misma.

Analicemos dos razonamientos más:

(c) Todos los números naturales son racionales, todos los números racionales sonreales,___________________________________________________________________por tanto, todos los números naturales son reales.

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(d) Todos los jueces son abogados, todos los abogados son egresados universitarios,___________________________________________________________________por tanto, todos los jueces son egresados universitarios

Sustituyamos en (c) las expresiones: ‘los números naturales’ por A, ‘racionales’ por By ‘reales’ por C. Y en (d) sustituyamos las expresiones: ‘los jueces’ por A, ‘abogados’ por By ‘egresados universitarios’ por C. El resultado es la siguiente forma de los razonamientos (c)y (d):

Todos A son B Formas de RazonamientoTodos B son C razonamiento______________________por tanto, Todos A son C (a) y (b)

Nuevamente, observamos que los razonamientos (c) y (d) tienen la misma forma ydistinto contenido. En consecuencia, dos o más razonamientos pueden tener la misma forma,aunque su contenido sea diferente. Hay un sin número de razonamientos distintos paracualquiera de las dos formas de razonamiento anteriores. Las palabras ‘si entonces’, ‘perono’, ‘por tanto’, ‘todos’ y ‘son’ no se refieren ni a objetos ni a propiedades, por lo cual no sesustituyen por ninguna letra.

Observa también que la forma de un razonamiento se obtiene sustituyendo lasexpresiones que se refiere a objetos y propiedades por letras como: A, B, C, D, etc.

6.2. Variables y Constantes Lógicas.

En las formas de los cuatro razonamientos estudiados observamos que hay ciertasletras: A, B, C. Estas letras reciben el nombre de variables. Pero, además, en ambas formasde razonamiento aparecen una serie de expresiones en castellano que no cambian aunque seadiferente el contenido del razonamiento.

En los dos primeros razonamientos esas expresiones son:

‘Si..., entonces...’, ‘pero no...’ y ‘por tanto, no...’y en los dos últimos: ¿todos’, ‘son’ y ‘por tanto’.

A estas expresiones las llamaremos constantes, porque permanecen siempre lasmismas en razonamientos de la misma forma, sin tener en cuenta si su contenido se refiere ala biología, a la física o a cualquier otra ciencia. Además de las constantes anotadas hay otrasmás, como: `o', `o bien', `si y sólo si', `y', `ni... ni' y otras equivalentes.

Más adelante veremos que en la lógica moderna también se simbolizan las constantes.Finalmente, de lo expuesto se infiere que, para obtener la forma de un razonamiento, serealiza un proceso de abstracción. Este proceso consiste en sustituir el contenido por lasvariables A, B, C, D, etc.

Pasemos a resolver los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS

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Abstraiga la forma lógica de los siguientes razonamientos usando las letras A, B, C,D, ...

(1) Toda pasión es un hábito,todo egoísmo es una pasión,por tanto, todo egoísmo es un habito.(2) El mercurio es líquido,el mercurio es un metal,por lo tanto, algún metal es líquido.(3)Ningún viviente es metal,todo plomo es metal;por tanto, ningún plomo es viviente.(4) El presidente o deja de luchar en contra de la corrupción, o la enfrenta. Si loprimero, entonces deja de cumplir con su obligación y merece censura. Si lo segundo,entonces cumple con su obligación y será recordado por la historia. El presidente serárecordado por la historia. Por tanto enfrentará, la corrupción.(5) 0 gobierno con honestidad o gobierno para enriquecerme. Si gobierno conhonestidad, entonces fortaleceré a la democracia y contribuiré al bienestar de la gente.Si gobierno para enriquecerme haré una fortuna pero la gente sufrirá. Yo no quieroque mi gente sufra. Por tanto, gobernaré con honestidad.(6) El ángulo puede ser o recto, o agudo, u obtuso; no es recto, ni obtuso; luego esagudo.(7) El triángulo puede ser equilátero, o isósceles, o escaleno, es, en realidad, escaleno;por tanto, no es equilátero ni isósceles.(8) O se logra un presupuesto justo para la Universidad o habrá problemas laborales yse perderá mucho tiempo. No se logra un presupuesto justo para la Universidad. Portanto, habrá problemas laborales y se perderá mucho tiempo.(9) Los cristianos son criminales o inocentes. Si criminales, tu decreto es injustoporque prohibe las investigaciones. Si inocentes, tu decreto es injusto porque retieneslos encarcelados (Dilema de Tertuliano contra el emperador Trajano).(10) Este abrigo es muy caro. Los abrigos muy caros son de visón. Por tanto, esteabrigo es de visón.

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6.3. Razonamiento Válido

La distinción entre forma y contenido del razonamiento nos permite comprendermejor lo que es un razonamiento válido.

En primer término, la validez de un razonamiento depende única y exclusivamente desu forma. El contenido no tiene ningún papel al respecto, más bien puede dificultar esa tarea.En este sentido, los lógicos se parecen a los geómetras. Cuando un geómetra define unaesfera, por ejemplo, lo que le interesa es la forma de la misma y no el material de que estáhecha, esto es, prescinde de que sea de hierro, de madera o de cualquier otro material, puestoque sus características y propiedades sólo dependen de su forma. De la misma manera unrazonamiento estará bien construido, es decir, será válido, si su forma es válida,independientemente del contenido que tenga.

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Ahora bien, la forma de un razonamiento es válida si la conclusión se sigue, sedesprende, NECESARIAMENTE de las premisas. En otras palabras, en un razonamientoválido las premisas ofrecen una base segura para la conclusión, ya QUE LA CONCLUSIÓNESTA INCLUIDA EN LAS PREMISAS.

Veamos el siguiente razonamiento:

(a)Todos los acusados son culpables,Todos los culpables son ladrones.Por tanto, todos los acusados son ladrones.

Esta es su forma lógica:Todo A es BTodo B es C,Por tanto, todo A es C.

La conclusión: “Todos los acusados son ladrones”, es la única que puede deducirse; ysu fundamentación está en la manera en que están distribuidos los términos de las premisas,manera que se hace patente al abstraer la forma lógica del razonamiento. Todo razonamientoque tenga esta forma será válido, no importa el contenido que tenga. Es decir, razonando enconformidad con esta FORMA razonaremos correctamente, independientemente de queapliquemos nuestros razonamientos a fenómenos físicos, químicos, biológicos o cualesquieraotros.

6.4. Validez y verdad

La lógica, como toda ciencia, será útil en la medida en que nos ayude a encontrar laverdad; por eso surge espontánea la pregunta: ¿ siempre que razonamos correctamentellegamos a una conclusión verdadera? Sin lugar a dudas. Sin embargo, con la sola validez delrazonamiento no podemos garantizar la verdad de la conclusión; se necesita, además, que laspremisas sean verdaderas. En consecuencia, la conclusión de un razonamiento será verdaderasi se cumplen estas dos condiciones:

(i) Que el razonamiento sea válido.(ii)Que las premisas sean verdaderas.

Si falta una de las dos condiciones no hay ninguna garantía de la verdad de laconclusión.

Podemos concluir afirmando que el razonamiento válido es un instrumento que nosgarantiza siempre la verdad de la conclusión, siempre que tengamos el cuidado de que laspremisas sean verdaderas. En consecuencia ES IMPOSIBLE QUE EN UNRAZONAMIENTO VALIDO DE PREMISAS VERDADERAS OBTENGAMOS UNACONCLUSIÓN FALSA.

Observación:Fíjate que las premisas y la conclusión, por ser proposiciones, pueden ser verdaderas o

falsas; pero no se puede decir lo mismo del razonamiento, pues en éste lo decisivo es laforma, y de ésta se dice únicamente si es válida o no. De una forma no tiene sentido decir sies verdadera o falsa.

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De ahí que de los razonamientos se dice sólo si son válidos o no, nunca si sonverdaderos o falsos.

Dedícate a resolver el autoevaluativo que te ofrecemos acontinuación. ¡Comienza a trabajar y suerte!

AUTOEVALUATIVO 3

I. Determinar si las conclusiones de los razonamientos que cumplen los siguientes requisitosson necesariamente verdaderas:

(1) Las premisas son verdaderas.(2) El razonamiento es válido.(3) La forma del razonamiento es válida.(4) El razonamiento no es válido y las premisas son verdaderas.(5) El razonamiento es válido y las premisas son falsas.(6) El razonamiento es válido y las premisas son verdaderas.(7) La conclusión se sigue necesariamente de las premisas.(8) Las premisas son falsas y la conclusión está incluida en las premisas.(9) Las premisas son verdaderas y la conclusión está incluida en las premisas.(10) La forma del razonamiento es válida y las premisas son verdaderas.

II. Determinar si los razonamientos son válidos o no, de acuerdo a los siguientes datos:

(1) Las premisas y la conclusión son verdaderas.(2) La conclusión es verdadera.(3) Es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa.(4) La forma del razonamiento es válida.(5) La conclusión está contenida en las premisas.(6) La conclusión se sigue necesariamente de las premisas.(7) La forma del razonamiento es válida y sus premisas falsas.(8) La forma del razonamiento es válida y su conclusión es falsa.(9) El razonamiento es válido por su contenido.(10) Es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

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Pasemos ahora al estudio del Objetivo Nº 4“Razonamientos Falaces”

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C. RAZONAMIENTOS FALACES

OBJETIVO TERMINAL 4: En un conjunto de razonamientos falaces, señalar quétipo de falacia se ha cometido y el porqué es un razonamiento falaz.

Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

4.1. Conocidos los diferentes tipos de falacias de atinencia (pertinencia), reconocerlas en unaserie de ejemplos dados, explicando el porqué de cada una.4.2. Conocidos los diferentes tipos de falacias de ambigüedad, reconocerlas en una serie deejemplos dados, explicando el porqué de cada una.

La falacia, en el sentido lógico, es un tipo de razonamiento incorrecto peropsicológicamente persuasivo; es un razonamiento que PARECE correcto, pero resulta, unavez analizado cuidadosamente, que no lo es. Las falacias suelen clasificarse en dos grupos:las formales y las no formales. En este capítulo sólo nos referiremos a las no formales, porcuanto para explicar las formales necesitamos conocer ciertas estructuras de deducciónválidas que no conocemos todavía, y que estudiaremos más adelante.

Las falacias no formales tienen que ver con el contenido de los razonamientos, secometen en gran medida por falta de atención al punto que se desarrolla, por imprecisiones yambigüedades en el lenguaje o por interferencia de las funciones expresiva y directiva dellenguaje. Se dividen en dos tipos: falacias de ATINENCIA y falacias de AMBIGÜEDAD.

1. FALACIAS DE ATINENCIA

Las falacias de atinencia (o atingencia) tienen como característica común el hecho deque sus premisas carecen de ATINENCIA LÓGICA con la verdad o falsedad de lasconclusiones que quieren establecer, es decir, no hay una relación lógica entre lo expresadoen las premisas y la conclusión que se pretende desprender de ellas.

La atingencia existente es, generalmente, PSICOLÓGICA, la cual hace que elrazonamiento tenga una corrección aparente y sea persuasivo.

Es frecuente, en personas que no son cuidadosas en el uso del lenguaje, confundir laatingencia lógica con la psicológica, puesto que con la apariencia de un uso informativo dellenguaje se hace uso de locuciones expresivas que fácilmente conducen a cometer esa clasede razonamientos incorrectos. Hay inatingencia lógica, por ejemplo, cuando, para argumentaren favor de una legislación sobre la descentralización de la educación, un senador se refiere alas bondades de esa descentralización. No hay atingencia lógica con respecto al tema que seestá analizando. Una cosa es enumerar las ventajas de la descentralización de la educación, yotra muy distinta determinar las medidas concretas para que ésta se lleve a felizcumplimiento. En ese discurso no hay atinencia lógica, hay, en tal caso, atinencia psicológica.¿Cuál es el mecanismo utilizado por este senador? Primero, lograr una actitud de aprobaciónpara sí y para lo que dice; y, segundo, transferir esta aprobación a la legislación propuesta.Evidentemente, esta transferencia, si se logra, se hace más por asociación psicológica que poratinencia lógica. A continuación nos referiremos a las principales falacias de atingencia.l.l. Argumentum ad Baculum (apelación a la fuerza)

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El nombre proviene de la palabra latina ‘baculum’ que significa bastón. Se cometeesta falacia cuando se apela a la fuerza, a la amenaza para obtener su conclusión. El políticoque, para apoyar sus proposiciones, recuerda a sus adversarios políticos la alta votación queobtuvo en las elecciones; el profesor que, ante las intenciones de sus alumnos de denunciarlopor su incumplimiento, les recuerda que é 1 es en última instancia e 1 que los va a calificar; e1 exfuncionario de una agencia de inteligencia del estado que amenaza al gobierno con hacerpúblico un conjunto de documentos que lo involucran, si se le condena a prisión; lasamenazas de sanciones económicas por parte de algunos países para obtener sus propósitos,son todas falacias argumentum ad baculum.

1.2. Argumentum ad Hominem (argumento contra el hombre)

Este argumento puede tener dos interpretaciones: la ofensiva y la circunstancial. Elargumentum ad hominem ofensivo tiene lugar cuando, en vez de tratar de refutar la verdad delo que se dice, se ataca a quien lo dice. Así, el abogado que quiere probar que lo afirmado porun testigo es falso aduciendo que es drogadicto, o borracho, o anárquico o cualquier otradescalificación personal; o argumentar que lo propuesto por un candidato a ocupar un puestoen la administración pública no es verdad porque es conservador, o rico, o ateo, son falaciasargumentum ad hominem ofensivo.

El argumentum ad hominem circunstancial consiste en pretender que alguien debeaceptar ciertas afirmaciones en virtud a circunstancias especiales que le envuelven.Argumentar que alguien debe aceptar una proposición acerca del aborto porque, siendocatólico, tiene que aceptar lo señalado por el Papa es un argumentum ad hominemcircunstancial. El que argumenta de esta manera no demuestra que su posición es verdadera,sino que urge al otro a aceptarla en virtud de la circunstancia especial de ser católico. Ungobierno que pretenda convencernos que debemos consumir los bienes nacionales porque delo contrario no somos buenos ciudadanos, comete también una falacia argumentum adhominem circunstancial, ya que no prueba que esos bienes nacionales sean los mejores, sinoque insta a consumirlospor la circunstancia especial de nuestra nacionalidad.

Con frecuencia, se afirma que el argumentum ad hominem ofensivo, cuando se lo usaen una corte de justicia para arrojar dudas sobre las declaraciones de un testigo, no es falaz.En los casos en que se demuestre esto, es evidente que disminuye la confianza y aumenta laduda sobre el testimonio de ese testigo.

1.3. Argumentum ad Ignorantiam (argumento por la ignorancia)

Se comete esta falacia cuando se afirma la verdad de una proposición sobre la base deque no se ha demostrado su falsedad; o, también cuando se afirma su falsedad porque no seha demostrado su verdad. Decir que es falso que en otras partes del universo hay vidainteligente por el hecho de que no se ha probado que haya; afirmar que Dios no existe porqueno se ha probado su existencia; sostener que hay un mundo paralelo al nuestro porque no seha probado que no lo haya; afirmar que una ley es buena porque no se ha probado que seamala; o que hay fantasmas porque no se ha probado que no los haya; o que alguien esculpable porque no se ha probado que no lo sea, todos son casos de argumentum adignorantiam.

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Es conveniente anotar que en un tribunal de justicia el argumentum ad ignorantiam nose considera como falacia, pues por principio universalmente aceptado una persona esinocente en un juicio hasta que se demuestre su culpabilidad. En el famoso juicio contra O.J.Simpson el jurado dictaminó que no era culpable porque la parte acusadora no pudo probar suculpabilidad.

Hay otro caso que tenemos que aclarar. Hay hechos de los cuales se puede sostenerrazonablemente que, de haberse dado, hay investigadores calificados que pueden obtenerpruebas de los mismos. En ese caso, si los investigadores calificados no han logrado ningunaprueba, es razonable tomar la ausencia de pruebas como una prueba positiva de que esoshechos no se han cometido. En efecto, esta prueba se basa en el CONOCIMIENTO de que, siesos hechos se hubieran dado, los sabríamos, no se basa en nuestra ignorancia. Por ejemplo,si una señora sostiene que el señor X es el padre biológico de su hijo, y los especialistas noconsiguen pruebas genéticas que prueben esa paternidad, sería un error concluir que estasinvestigaciones no han aportado ningún conocimiento. Al contrario, hay que concluir concerteza que, en base a esos conocimientos, el señor no es el padre biológico del niño encuestión.

1.4. Argumentum ad Misericordiam (argumento por misericordia)

Esta falacia se comete cuando se apela a la piedad, a la compasión para lograr unadeterminada conclusión. Así, un abogado defensor que deja de lado los hechos queincriminan a su defendido y trata de despertar la compasión del jurado para lograr laabsolución del mismo comete la falacia de argumentum ad misericordiam. Solicitar laabsolución de una persona que ha cometido un crimen porque tuvo una niñez desgraciada, espadre de familia, sus hijos no pueden vivir sin su trabajo, etc. es una falacia de argumentumad misericordiam.

1.5. Argumentum ad Populum (argumento de la multitud)

Esta falacia consiste en despertar las pasiones y emociones de una masa de gente paraintentar ganar su apoyo y asentimiento para una conclusión que no está sustentada por unrazonamiento válido. La suelen utilizar los populistas y demagogos así como lospropagandistas de productos. Ante una medida determinada que perjudica sus intereses unpolítico demagogo, en lugar de realizar estudios y presentar argumentos que demuestren suinconveniencia, tratará de despertar las pasiones e instintos de la gente en su contraaduciendo que es una medida que atenta contra los “logros alcanzados”, que es una medida“antidemocrática que sólo favorece a unos cuantos privilegiados”, etc.

Muchísimas “publicidades” han convertido esta falacia en un arte asociando losproductos que promocionan con algo que tiene una gran aprobación en el público. Así, laspropagandas de automóviles presentan a personas bien vestidas, a mujeres atractivas junto alvehículo promocionado; o bien, en los carteles de propaganda, los productos promocionadosse presentan como lo mejor del mercado y para probarlo se exhiben personas bien vestidas,apuestos si son hombres, esbeltas y hermosas si son mujeres. En estos casos la elección no sebasa en las características positivas de lo que se promociona, sino en un sentimiento asociadoa algo extraño a lo promocionado.

Se puede incluir en esta falacia el llamado “argumento de la multitud”. El político quedice ser el mejor porque la mayoría va a votar por él; el predicador de una creencia que

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sostiene que es verdadera porque todo el mundo la cree; el vendedor de un producto queafirma que es el mejor porque es el más consumido; el gobierno que defiende la bondad deuna medida porque es apoyada por la mayoría, cometen argumentum ad populum. En efecto,el apoyo mayoritario a un político no implica que sea el mejor; el hecho que alguna creenciasea generalizada no demuestra que sea verdadera; el consumo masivo de un producto noprueba que sea el mejor; el apoyo general a una medida no quiere decir que sea la mejor.

1.6. Argumentum ad Verecundiam (apelación a la autoridad)

Se comete esta falacia cuando se apela al sentimiento de admiración y respeto quesiente la gente por determinadas personas famosas para apoyar o ganar asentimiento a unaconclusión. La apelación a la autoridad de estas personas, para que sea falacia, tiene que seren cuestiones que no sean de su especialidad. Por ejemplo, apelar a la opinión del famosofutbolista Pelé para zanjar una huelga laboral en su país; o apelar a las opiniones de una reinade belleza para probar las bondades de las medidas económicas de un país, serían ejemplos deesta falacia.

Este argumento no es falaz si se apela a una celebridad reconocida en un área de sucompetencia para apoyar una proposición determinada. Si una conversación entre no expertosversa sobre la contaminación ambiental y uno de ellos apela al testimonio de un especialistaen la materia como el capitán Cousteau, indudablemente, este testimonio es válido parareforzar su posición.

Es cierto que con ello no se prueba lo que se sostiene, pero tiende a confirmarlo.Ahora bien, si la discusión anterior se hubiera realizado entre especialistas, apelar a laautoridad de Cousteau, no significaría un gran apoyo, ya que entre expertos solo cuentan lasinvestigaciones, los hechos y los razonamientos. Entre especialistas apelar a la autoridad deotro especialista no tiene valor probatorio alguno.

1.7. La Causa Falsa

La falacia de causa falsa se puede cometer de dos maneras: la primera, tomando porcausa de un efecto algo que no es su causa real; la segunda, inferir que un hecho es la causade otro solamente en base a que el primero es anterior al segundo. Para comprender acabalidad la primera forma habría que realizar un estudio pormenorizado sobre las“conexiones causales”, estudio que rebasa nuestros propósitos en este curso. Por eso, paranuestro estudio utilizaremos el concepto de causa tal como se usa en la vida cotidiana y en laciencia, esto es, presuponemos que la causa y el efecto se relacionan UNIFORMEMENTE,de tal manera que causas similares producen efectos similares. Por ejemplo, el anhídridocarbónico (CO2), proveniente de la combustión de los vehículos y fábricas, causa o ayuda acausar el efecto invernadero en nuestro planeta. La falta de trabajo en una sociedad es causade su atraso.

Un ejemplo del segundo tipo de falacia de causa falsa es argüir que el alimento X mealivia la dolencia Y porque hasta ahora al tomar ese alimento ha desaparecido esa dolencia.Aunque esta observación puede ayudar a un médico para hallar la causa real (que podríaprobar, por otra parte, que es el alimento aducido), no podemos inferir sólo por eso que elmencionado alimento sea la causa real del alivio. Yo conozco a una persona que paraaliviarse del dolor de estómago tomaba leche porque, en efecto, lo aliviaba. Después deacudir al médico y hacer los análisis pertinentes, se probó, por el contrario, que la leche era la

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causa principal del dolor de estómago de mi amigo, aunque momentáneamente lo aliviará.Atribuir a remedios “milagrosos” administrados con ritual determinado la causa de las curasde enfermedades es una falacia, también, de causa falsa.

1.8. La Pregunta Compleja

Preguntas como: “¿ Sigues utilizando tus influencias para que se resuelvafavorablemente tu caso?”, “¿ Es cierto que su partido sigue obstaculizando el proceso dedescentralización de la educación?”, “¿ Es cierto que ya no consumes drogas?”, no sonpreguntas simples que se pueden contestar con un sí o con un no, pues son preguntas quesuponen otras que no han sido formuladas. En la primera pregunta, por ejemplo, hay unapregunta no formulada que es “¿ Ha utilizado, alguna vez, influencias para que su caso seresuelva favorablemente?”; en la segunda, está sin formular la pregunta “¿ Su partido se haopuesto a la descentralización de la regionalización de la educación?”; en la tercera “¿ Hasconsumido drogas?”. Si se respondiera con un sí o con un no a las preguntas complejas seconfirmaría la respuesta a la pregunta no formulada. Ante una pregunta compleja elinterrogado tiene que responder primero a la pregunta no formulada implícita. Muchas vecesal responder a estas preguntas implícitas no formuladas las preguntas implícitas se respondenpor sí mismas.

Hay otras variedades de falacias de pregunta compleja. Una muy frecuente esproponer ante un organismo o asamblea que se voten en bloque un conjunto deproposiciones. La falacia consistiría, en este caso, en “colar” entre esas proposiciones algunaque, de ser votada por separado, no sería aprobada.

Otra variedad la constituyen aquellas encuestas en que ciertos calificativos inducen larespuesta, como sería preguntar: “¿ El ministro X es un socialista tradicional o un capitalistadecimonónico?”.

En todos los casos de pregunta compleja es preciso dividir la pregunta para evitar lafalacia. En el procedimiento parlamentario hay una moción especial, la moción de “dividir lacuestión”. Con esto se reconoce que hay cuestiones y preguntas complejas que es precisoanalizar o responder por partes.

Pasemos a resolver los siguientes ejercicios

EJERCICIOS

Distinguir y explicar las falacias de atinencia contenidas en los párrafos siguientes.

(1) Un astronauta manifiesta después de su caminata espacial que no había encontradoa Dios, y que, por tanto, Dios no existe.(2) El problema de la excelencia académica en nuestras universidades sólo seresolverá si se contesta sin tapujos a esta pregunta: “¿ No ha llegado el momento determinar con una gratuidad que conduce a una conducta académica regida por la leydel menor esfuerzo?”(3) Quizá haya alguno entre vosotros que pueda experimentar resentimiento hacia míal recordar que él mismo, en una ocasión similar y hasta, quizá, menos grave, rogó ysuplicó a los jueces con muchas lágrimas y llevo ante el tribunal a sus hijos, paramover a compasión, junto con toda una hueste de sus parientes y amigos; yo en

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cambio, aunque corra peligro mi vida no haré nada de esto. El contraste puedeaparecer en su mente, predisponerlo en contra de mí e instarlo a depositar su voto conira, debido a su disgusto conmigo por esta causa. Si hay alguna persona así entrevosotros –observad que no digo que la haya, pero si la hay- podría responderlerazonablemente de esta manera; “Como amigo, yo soy un hombre, y como los otroshombres una criatura de carne y sangre, y no de madera o piedra como dice Homero;y tengo también familia, sí, y tres hijos, ¡oh! Atenienses, tres en número, uno casi unhombre y dos aún pequeños; sin embargo, no traeré a ninguno ante vosotros para queos pidan mi absolución” (Platón, Apología de sócrates).(4) Un profesor, ante el reclamo de uno de sus estudiantes reprobados, aduce que suconducta altanera y rebelde fue la causa de su mala calificación.(5) Las autoridades de un partido político amenazan con la expulsión a uno de susmiembros, que es senador, si no vota la medida X de la menara como ellos handecidido y, además, argumentan que, por su condición de miembro del partido, nopuede oponerse a lo dispuesto por ellos.(6) ¿ No es cierto que un acuerdo con el FMI nos conducirá a una mayor dependenciade los países desarrollados?(7) “El presidente de la república, en acto de apertura oficial de la 51ª AsambleaGeneral de la SIP, acusó a la propaganda surgida en torno a la devaluación y unaamplia flexibilización del control de cambio de la caída de nuestras reservasinternacionales”.(8) “Los concejales de esta tierra, raíz de Venezuela, queremos hacer llegar a usted elsentimiento de una raza que la indolencia y el abandono de todos los gobiernos desdeque llegó Cristóbal colón la han asumido en el más profundo olvido” (PANORAMA”18-10-95).(9) En libro Lanzas Coloradas Arturo Uslar Pietri, refiriéndose al terremoto del 26 demarzo de 1812, expresa: “El terremoto deshizo los poblados y desequilibró losespíritus. El pueblo, de monstruoso fanatismo, supersticiosamente interpretó aquellasseñales como la prueba de que dios desaprobaba y castigaba a los rebeldes que sealzaban contra el rey de España. Así lo predicaron los curas sobre las ruinas de lasiglesias, mientras la muchedumbre rezaba en voz alta, contricta y empavorecida”.(10) La Coca-Cola es, sin duda, el mejor refresco, de lo contrario no se explicaría porqué es el más consumido en el país.(11) Todo lo que opinan los representantes de la Federación de Cámaras sobre lasnuevas medidas de corte social no tiene que tenerse en cuenta, pues como empresariostienen que oponerse a ellas.(12) “- ¡Esas son pendejadas de la vieja! El hombre no tiene sino carne. Búsquenmeen el cuerpo el sitio que ocupa el alma. Búsquelo, a ver si lo encuentra” (Uslar Pietri,Lanzas Coloradas).(13) La posición sostenida por el ponente sobre la Ley de Educación Superior esdistinta a la que sostuvo hace un año, por tanto, es contradictoria y hay que rechazarla.(14) Profesor, arguye un estudiante, recuerde antes de poner la calificación, que losalumnos del turno de la noche trabajamos y disponemos de poco tiempo para estudiar.(15) Preguntada la Miss Universo sobre las medidas económicas tomadas por elgobierno de su país, responde que no tiene la menor duda de que van a ser positivas yque, finalmente, la inflación va ser controlada y el país se va a recuperar rápidamente.Esta respuesta ha convencido a mucha gente del pueblo sobre las medidas económicaspropuestas por la administración.(16) No se puede tener en cuenta la oposición del sacerdote X a la ley sobre el aborto,porque, por el hecho de ser sacerdote, está obligado a oponerse a ella.

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(17) Las medidas económicas propuestas por el exministro Miguel Rodríguez eranerróneas, pues todo el pueblo las rechazó, y, como afirma el Dr. Caldera, el pueblonunca se equivoca.(18) Un senador suplente, que no conoce bien el contenido de la ley que va a sersometida a votación, pregunta al senador que sustituye como tiene que votar, y éste ledice: “Vota contra lo que proponga el presidente del senado”.(19) Señor Gobernador, esta medida atenta contra los trabajadores, y debe serrechazada. Recuerde que los votos de los obreros son tan válidos como los votos delos empresarios y, en nuestro estado, hay más de medio millón de afiliados a nuestrossindicatos.(20) ¿ No cree que ya es tiempo que reconozca su fracaso?(21) Marx sostenía que la religión era el opio del pueblo. ¿ Que otra cosa puedesostener un judío desleal como él?(22) La economía de mercado no es conveniente para los países del tercer mundoporque es la defendida por el FMI que está al servicio de los países ricos.(23) En las elecciones presidenciales de Polonia en noviembre de 1995 “los sacerdotespidieron a sus fieles que no elijan ‘a personas que en la época del régimen totalitarioparticiparon en el ejército del poder’ (declaración de la conferencia episcopal del 25de agosto pasado), señalando así directamente a Kwasniesoski, quien a pesar de sujuventud (41 años), fue miembro de los gobiernos comunistas entre 1985 y1989”)Varsovia, AFP, PANORAMA, 23-10-95).(24) Con ocasión de una gran discusión televisiva en la que la Princesa Diana deGales, durante una hora, narró sus experiencias desde que entró a formar parte de lafamilia real inglesa, el secretario de defensa, amigo del Príncipe Carlos, dijo que laPrincesa de Gales dio una prueba de una ‘buena dosis de paranoia’. Entonces eldiputado Andrew Mackinlay interpeló al Primer Ministro John Mayor preguntando:“¿va Ud. a continuar tolerando que el secretario de Estado de Defensa continúecomportándose como el sirviente del Príncipe Carlos?” (Londres, AFP,PANORAMA, 24-11-95).(25) No sé que interés hay en el cierre de las carreras humanísticas del InstitutoUniversitario “Santiago Mariño” dicta y lo que es aún peor, cuál es el roce que tienecon el Director Nacional del Instituto, Dr. Raúl Quero Silva. Lo único que sé, es que aeste señor (sic) sí le debo el no salir de mi estado Nueva Esparta a estudiar a otraparte, y así evitarle gastos mayores a mi familia (Br. Gladys Rodríguez, ELNACIONAL, octubre 1995).(26) Respecto de la gratuidad poco se dice (en el Proyecto de Ley de EducaciónSuperior). Sin embargo, encierra un peligroso desliz: la Constitución Nacional prevéque será la ley quien establecerá las excepciones a la gratuidad cuando se trate depersonas provistas de medios de fortuna, pero el proyecto lo único que hace es decirque esas personas están obligadas a sufragar su educación, y remite a lareglamentación interna de cada institución el modo de hacerlo.Pienso que esa salida no desarrolla adecuadamente el proyecto constitucional a la vezque traslada al seno de cada universidad la potencialidad conflictiva de esareglamentación. Luego, El mismo gobierno dirá que las universidades no tienensuficiente presupuesto porque no han cobrado la matrícula a los estudiantes ricos(Jesús Esparza, PANORAMA, 15-10-95).(27) Fría e irresponsablemente, con el más desparpajo, usted arremetió contra la moraly la dignidad de todos los señores Generales de la Fuerza Aérea Venezolana. Con suverbo incisivo y algunos gestos de ensayado dramatismo usted se refirió... “a laguerra entre los generales de la Fuerza Aérea Venezolana para repartirse el botín de

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los cuarenta millones de dólares de la reparación de los C-130”. ¡Asombra tansemejante ofensa! (parte del comunicado de los Generales de la Fuerza AéreaVenezolana al Señor José Vicente Rangel. EL NACIONAL, 19-10-95).(28) Para muchos asiáticos un eclipse total de sol es un evento crucial [...]. De acuerdocon un antiguo mito de los sacerdotes brahmanes, un eclipse ocurre cuando el airadoDios-monstruo Rahu trata de comerse el sol y la única manera de evitar el desastre eshacer que Rahu huya. En el pasado, muchas personas en el sur y sureste de Asiatocaban tambores, ollas y sartenes durante el eclipse para ahuyentar a Rahu (Bangkok,Reuter, EL NACIONAL, 29-10-95).(29) Usted Señor Ministro, o no sabemos quién de su fabuloso entorno íntimo, en unadecisión arbitraria y leonina, ordenó descontar a los maestros venezolanos, dos días...dos días, de su deteriorado y disminuido salario quincenal. ¡Vaya regalo! Estedescuento obedece, según lo transcrito en el talón de cheques, a los dos últimos díasde PARO NACIONAL, parcial, ordenado por el Comando Nacional Intersindical.Nosotros estamos convencidos que esa no es la verdadera razón, pues tenemosargumentos sobradamente legales y legítimos que no pueden ser rebatidos; entre estosmencionaremos estos dos:a...b. El Inspector Nacional de Asuntos Colectivos y del Trabajo del ministerio delTrabajo, [...] decreta la inamovilidad de todos los trabajadores de conformidad con loestablecido en el artículo 458 de la Ley Orgánica del Trabajo, según la cual nadiepuede ser despedido, trasladado ni disminuido en sus condiciones de trabajo.(30) Las siguientes son las palabras de un Comandante que conspiró el 4 de febrero:“Hugo (se refiere a Hugo Chávez) fallaste porque no tuviste buena fe, pensando by-pasear a Árias Cárdenas coqueteaste con Sanfeliz Ruíz, con Ochoa Antich”. Y basadoen estas palabras, el articulista Oscar Silva añade: “Confirma lo que siempre hemossostenido. Chávez y Árias eran y son lo mismo, los dos buscan traicionarse despuésdel golpe de resultar con éxito. (Oscar Silva, PANORAMA, 23-10-95).

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2. FALACIAS DE AMBIGÜEDAD

Las falacias de ambigüedad se presentan en contextos donde aparecen palabras ofrases ambiguas, cuyo significado cambia sutilmente a lo largo del mismo. Estas son lasprincipales falacias de ambigüedad:

2.1. El Equivoco

El equívoco consiste en utilizar la misma palabra o frase dentro del mismo contextocon distinto sentido o distinta referencia sin percatarse de ello.

(a) "La democracia es el mejor sistema de gobierno, por eso debemos esforzarnos porpreservar esta democracia venezolana”.

Aquí la palabra ‘democracia’ tiene dos significados, la primera se refiere a lademocracia ideal; la segunda a la pseudodemocracia de nuestro país; de ahí que lo expresadosea un equívoco.

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(b) “Los estudios básicos de las diferentes ingenierías son prácticamente los mismosy los elementos básicos del curriculum deben ser las prácticas profesionales”.

Aquí la palabra ‘básica’ tiene dos significados: en el primer caso, significa losestudios iniciales de toda ingeniería; en el segundo, por referirse al curriculum, significa “loselementos importantes” del curriculum.

Un equívoco especial es el que se relaciona con los términos “relativos”, que, encontextos diferentes, tienen significados diferentes. Por ejemplo, la palabra pequeño es‘relativa’, pues la pequeñez no se puede decir en el mismo sentido de un elefante y de unratón. Un elefante pequeño y un ratón pequeño son dos categorías diferentes. Un elefante espequeño con relación a los elefantes, y el ratón en relación con los ratones, de tal manera queun elefante pequeño sigue siendo un animal grande. Hay equívocos con términos relativosmás sutiles.

Palabras como bueno, eficiente son términos relativos que pueden usarse de formaequívoca. Por ejemplo, decir que fulano de tal será un gobernador eficiente porque es unempresario eficiente, o que debe ser una buena persona porque es un buen médico, sonequívocos, pues las palabras ‘eficiente’ y ‘bueno’ son relativas y su significado es distinto encada contexto.

2.2. Anfibología

Esta falacia se debe a las distintas interpretaciones que se pueden dar a algunasafirmaciones a causa de una combinación o sintaxis descuidada de las palabras que lascomponen. Un ejemplo sería la siguiente información aparecida en un periódico:

“El gobierno explicó la conveniencia de aceptar algunas recomendaciones del FondoMonetario Internacional después de una reunión con los representantes de éste através de los medios de comunicación”.

Esta comunicación es anfibológica porque la frase ‘a través de los medios decomunicación’ se puede interpretar de dos maneras: una, que el gobierno, a través de losmedios de comunicación, explicó...; dos, que la reunión del gobierno y los representantes delFMI se hicieron a través de los medios de comunicación.

2.3. El Enfasis

La falacia de énfasis tiene lugar cuando, al destacar una u otra palabra, cambia elsignificado de un enunciado. En forma hablada se destaca alguna parte de lo que se estádiciendo cambiando el tono o la intensidad de la voz; en forma escrita cambiando el tipo deletra, tal como este:

(a) No debemos desobedecer a NUESTROS PADRES

El énfasis está en ‘nuestros padres’, y ese énfasis podría conducir a inferir que a losque no son nuestros padres sí los podemos desobedecer. El que extraiga esa conclusiónestaría cometiendo la falacia de énfasis. Si se leyera sin ningún énfasis indebido laprohibición sería correcta y no habría ninguna falacia.

Otra forma de énfasis se puede presentar al hacer una cita, cuando al introducir osuprimir alguna palabra o frase en letra especial, se cambia su significado. A veces se

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produce un énfasis falaz cuando al introducir una cita aislada del contexto cambia elsignificado de ella. Por eso, un autor responsable, que cita a otro autor directamenteespecificará si las palabras con letras especiales son de él o del autor, así mismo indicará elcontexto de donde forma parte.

En algunas publicaciones, como los periódicos sensacionalistas, para atraer laatención mediante sus títulos, destacan algunas partes que, consideradas fuera del contexto,pueden cambiar su significado. Por ejemplo, uno de estos periódicos puede poner comoprincipal título en su primera página:

(b) Devaluación del Bolívar

y en el texto, en tipo de imprenta mucho menor puede decirse:"Es lo que quiere la oposición, afirmó el representante del gobierno ".

La afirmación completa puede ser verdadera, pero la forma en que se destaca una desus partes la hace falsa.2.4. La Composición

Cuando partiendo del hecho de que cada una de las partes de un todo tiene unadeterminada característica, se infiere que el todo como tal tiene también esa característica, secomete la falacia de composición. Afirmar, por ejemplo, que un equipo de béisbol es muybueno, sobre la base de que cada jugador individuamente lo es, es una falacia decomposición, pues se da el caso de que individualmente los jugadores pueden ser buenosjugadores y el equipo, como equipo, no lo sea. Luego, una forma de falacia de composiciónconsiste en atribuir al todo, las propiedades de cada una de sus partes.

Una segunda forma más sutil de esta falacia consiste en atribuir una propiedad a unaclase o conjunto en virtud de que cada uno de sus miembros aisladamente la poseen.

Esta forma de falacia de composición, aunque semejante a la primera, es, sinembargo, distinta, debido a la diferencia que hay entre una colección de elementos y el todoconstituido a partir de sus elementos. Así, una simple colección de partes no es una máquina;para que esas partes constituyan una máquina tienen que estar organizadas. Luego, si no es lomismo una colección o clase y un todo organizado, las dos versiones de la falacia decomposición son también distintas.

La segunda forma se debe a los dos sentidos que puede tener el verbo ‘ser’. Laproposición “Los astronautas son preparados” significa que cada astronauta tomadoindividualmente es preparado. Es decir, el verbo ‘ser’ está usado aquí en formaDISTRIBUTIVA. Ahora bien, en la proposición “Los astronautas son pocos” el verbo ‘ser’se usa en sentido colectivo, esto es, se entiende que la propiedad de “ser pocos” se predicacolectivamente de los astronautas, no de cada uno de ellos por separado. Por eso, no tienesentido afirmar “Amstrong es poco”. Afirmar, por ejemplo, que los discursos de Fidel Castro,generalmente, han sido más largos que los de los restantes políticos latinoamericanos, sóloserá verdadero y, por tanto, no falaz, si se toma distributivamente, esto es, uno por uno, puesusualmente los discursos de Fidel Castro, son más largos que los discursos, también uno auno, de los restantes políticos latinoamericanos. Ahora bien, si los discursos a que hacemosreferencia se toman colectivamente, la relación se invierte, pues por mucho que sumen lashoras de los discursos de Fidel Castro tomados colectivamente siempre serán menores a las

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horas de todos los discursos de todos los políticos latinoamericanos. Si se ignora estadiferencia en un razonamiento se daría origen a una falacia de composición.

2.5. La División

La falacia de división es la inversa de la falacia de composición, y como en ésta, sedistinguen también dos tipos. En el primero se afirma que lo que es verdad de un todo lo estambién de cada una de sus partes tomadas aisladamente. Sostener que, puesto que un equipode fútbol es bueno, cada uno de sus integrantes aisladamente lo son es una falacia de división.Deducir que yo soy buen estudiante porque estudio en un colegio que es reconocido por sualto nivel académico; o afirmar que yo soy reconocido internacionalmente porque formoparte de la Universidad del Zulia, que sí es reconocida internacionalmente, son, así mismo,falacias de división.

El segundo tipo de falacia de división consiste en inferir de las propiedades de unconjunto de elementos, las propiedades de los elementos mismos. Afirmar que, ya que todaslas reses del país proporcionan carne suficiente para sus ciudadanos, por tanto cada resproporciona carne suficiente para los ciudadanos, seria cometer el segundo tipo de falacia dedivisión. Es obvio, que puede haber reses flacas y escuálidas y proporcionan poca carne, y,no obstante, puede haber tal cantidad que, colectivamente, proporcionensuficiente carne paralos ciudadanos del país. Luego, si se toma colectivamente no es falaz afirmar que todas lasreses del país proporcionan carne suficiente para sus ciudadanos. Pero sí es falaz si se tomandistributivamente.

Pasemos a resolver los siguientes ejercicios

EJERCICIOSDistinguir y explicar las falacias por ambigüedad contenidas en 1os siguientes

párrafos.

(1) Un comedor dietético promociona dieta a través de este anuncio "Si haces la dietatal como está detallada, tendrás buenos resultados" Aparece un candidato que, a pesarde cumplir rigurosamente con todo lo indicado por la dieta, después de unos mesessigue con el mismo peso. Entonces, se dirige al dueño del comedor reclamándole quela dieta no había surtido ningún efecto en él. Aquel le contestó: ¡Que mejor resultadoque no haber aumentado de peso!, luego la dieta dio buenos resultados.(2) Estados Unidos es muy rico y, como yo soy ciudadano norteamericano, tambiénsoy rico.(3) Una casa comercial se promociona con este anuncio: "Todo cuesta menos".(4) El ex vicerrector académico de LUZ, Profesor Jesús Esparza, en su columna deldiario Panorama del 15-10-95 publicó un artículo titulado: "Las cinco falacias delPLES". En uno de sus párrafos dice: "Se insiste en la Exposición de Motivos delProyecto de Ley de Educación Superior (PLES) en los aspectos positivos de laautonomía universitaria la cual se extiende de inmediato a todas las universidades, ygradualmente, a todas las instituciones de educación superior, condicionado solamentepor su grado de desarrollo y madurez. Pero esta "autonomía" esta en definitivareferida a una entidad directiva nacional, el Consejo Nacional de Universidades, cuyacomposición y atribuciones la desdice totalmente. Ese Consejo Nacional deUniversidades deja de ser un órgano de "Coordinación", como el actual Consejo

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Nacional de Universidades, para convertirse en un órgano de "dirección" con elagravante de que en su constitución colegiada queda fuera 1a universidad nacionalautónoma". autónoma"(5) He aquí el anuncio en un periódico regional:

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(6) Titular de un periódico:BOLÍVAR GANA TERRENO FRENTE AL DÓLAR POR

SEGUNDO DÍACaracas (AP) "Por segundo día consecutivo, el bolívar ganó terreno frente al dólar enlas operaciones de bonos Barda. El denominado dólar Brady cerró este martes en 296-299 bolívares, frente a los 302-305 del cierre de ayer" (PANORAMA 18-10-95)(Nota: En esa fecha había dos tipos de cambio en Venezuela: el oficial, a 170bolívares por dólar, y el del dólar Brady cuyo cambio dependía de estos bonos).(7) Una Honda es un carro muy caro, eso quiere decir que sus repuestos también soncaros.(8)Es un hecho que las ciudades pequeñas son tranquilas y, puesto que las ciudadesestudiantiles los son, puedo recomendarle cualquier ciudad estudiantil si buscastranquilidad.(9)Las condiciones de hambre y enfermedad en que se desenvuelven los yanomamishacen que desaparezcan, por tanto, esta persona, que es un yanomami, estadesapareciendo.(10)Las bombas atómicas lanzadas durante la Segunda Guerra Mundial hicieron másdaño que las bombas ordinarias.(11)Creso, rey de Lidia, preparaba una guerra contra Persia. Antes de emprender laguerra quería asegurase de su victoria y por eso fue a consultar al oráculo de Delfassobre el asunto. Este le respondió: "Si Creso emprende la guerra contra Persia,destruirá un reino poderoso". Creso entusiasmado, emprendió la guerra, pero fuefácilmente derrotado con Ciro, rey persa. Creso, enojado, se dirigió al oráculoquejándose de su engaño. Entonces, los sacerdotes de Delfas le dijeron que el oráculohabla hecho una predicación correcta, pues al ir a la guerra, Creso destruyó unpoderoso reino, el suyo propio.(12)Curriculum de X, aspirante a presidente de la caja de ahorro de los empleados delejecutivo: El Señor X es médico graduado con las más altas calificaciones, hapublicado importantes artículos en revistas nacionales e internacionales, (...), harecibido la medalla de Mérito al Trabajo, ha sido premiado como el investigador delestado, Creemos que con estas credenciales de trabajo, eficiencia y honradez el señorX hará una gran gestión al frente de la caja de ahorros.(13)El profesor explicó la lección después que habló con sus amigosapresuradamente.(14)La felicidad de cada persona es un bien para esta persona, y la felicidad general,por lo tanto, es un bien para el agregado de todas las personas. (Jhon Stuart Mill, ElUtilarismo, Cap. 4).(15) Hay una falacia que tiene que hacerse expresa para resolver la adivinanza: "¿Porque las ovejas blancas comen más que las ovejas negras?". Resuélvela.

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3. COMO EVITAR LAS FALACIAS

No hay ninguna receta mágica para evitar las falacias. Sin lugar a dudas, unacondición necesaria para lograr ese propósito es una vigilancia permanente, ya que sonmuchas las maneras como se pueden infiltrar las falacias. Esa vigilancia será mucho másefectiva si tenemos un dominio de todas las clases de falacia que se pueden cometer. Dichomás llanamente, evitaremos, en general, el razonar falazmente si entendemos a cabalidad lasfalacias explicadas en este capítulo. Esto nos permitirá reconocerlas, analizarlas y, así lograruna serie de hábitos para impedir ser engañados por esos modos incorrectos de razonar.

El dominio de las diferentes y múltiples funciones del lenguaje y la comprensión desu flexibilidad es también de suma importancia para evitar caer en cualquier falacia. Ello nospermitirá descubrir aspectos tan importantes como distinguir una exhortación para aceptaruna determinada proposición de un razonamiento riguroso para demostrar su verdad.

Obviamente, las falacias de ambigüedad, dado los múltiples sentidos de muchaspalabras, requieren una condición más: tener presente con toda claridad los significados delas palabras que utilizamos. Para ello, en trabajos de cierta envergadura, es convenientedefinir con precisión los términos claves.

Detente y piensa bien lo que estudiaste, si tienes dudas repásalo,y prosigue con el autoevaluativo.

¡Suerte!

AUTOEVALUATIVO 4

Clasifica y explica cada una de las falacias contenidas en los siguientes párrafos(Objetivo).

(1) A pesar de todas las declaraciones y discursos el gobierno no ha probado que elcontrol de cambio sea lo mejor para la economía del país; en consecuencia, el librecambio de la moneda nos llevará a una economía más sana.(2) Los argumentos para liberar los precios provienen de aquellos que, precisamente,se beneficiarían con esa medida, lo cual quiere decir que sus argumentos no sonválidos.(3) Debemos rechazar con energía cualquier convenio con el Fondo MonetarioInternacional porque, formando parte del tercer mundo, no podernos aceptar suspolíticas.(4) Esa dieta para rebajar debe ser muy buena, ya que es publicitada por todos losmedios de comunicación.(5) Todos los miembros del Consejo Universitario son personas serias y honestas, poreso podemos confiar en las medidas que tome ese cuerpo.

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(6) Ningún estudiante de los aquí presentes, aisladamente, es capaz de incendiar unautobús como señal de protesta; por lo tanto, no hay peligro de que esta manifestaciónde estudiantes termine quemando alguna unidad autobusera.(7) ¿ No es cierto que la intervención de la policía fue represiva?(8) El gremio de transportes declarará persona no grata al ministro de transportes ycomunicaciones si no aprueba nuestras proposiciones.(9) La democracia norteamericana ha logrado erradicar el fraude electoral; por lotanto, nuestra democracia venezolana, por ser también democracia corno lanorteamericana, garantiza la transparencia en el conteo de votos en las próximaselecciones.(10)Una persona tan inteligente, famosa y viajada como Julio Iglesias votará en laspróximas elecciones presidenciales por los conservadores; en consecuencia, creo quela alternativa de éstos es la mejor y yo también voy a votar por ellos.

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Ahora pasemos al último objetivo “Lenguajes Naturales yCientíficos”, y completamos el estudio de la Unidad I.

¡Sigue adelante!

D. LENGUAJES NATURALES Y CIENTIFICOS

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OBJETIVO TERMINAL 5: Determinar las características de los lenguajes naturalesy científicos y su importancia para el desarrollo de la lógica.

Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECIFICOS:

5.1. A partir de los conceptos de Semántica y Sintaxis, clasificar una serie deexpresiones dentro del campo de las mismas.

5.2. Reconocer, en una serie de expresiones, los casos de lenguajes naturales ycientíficos.

5.3. Señalar, mediante una contraposición o comparación, las principalescaracterísticas, funciones e importancia de cada uno.

5.4. Señalar los dos elementos fundamentales que permitieron la matematización de lalógica.

5.5. Como conclusión de todo lo anterior, establecer dos semejanzas y dos diferenciasentre la lógica tradicional y la moderna.

1. SINTAXIS Y SEMANTICA

Cuando uno se ocupa del lenguaje puede hacerlo, principalmente, desde dos puntos devista: su sintaxis y su semántica.

La sintaxis estudia la interrelación de los signos de un lenguaje, el orden en que debencolocarse para constituirse en una fórmula bien formada (una fórmula correcta) de eselenguaje. Una frase o una oración son fórmulas bien formadas. La sintaxis no tiene en cuentael significado de los signos, sólo se ocupa de la construcción de los lenguajes. La sintaxis deun lenguaje proporciona dos clases de reglas: las de formación de las fórmulas bien formadas;y las de transformación que permiten convertir unas fórmulas bien formadas en otrasigualmente bien formadas. Por ejemplo, la expresión: “lógica la importante es” o la expresiónmatemática: “+5x / 4”, obviamente, no son fórmulas bien formadas porque no se atienen a lasreglas de formación del castellano y de la matemática respectivamente. En cambio, “la lógicaes importante” y “5 / 4” son fórmulas bien formadas por cumplir con las sintaxis respectivas.La expresión: “Luis escribe una carta” se puede transformar en: “Una carta escrita por Luis”en virtud de una de las reglas de transformación del castellano que permite convertir unaoración activa en otra, equivalente, en voz pasiva.

La sintaxis lógica es la sintaxis del lenguaje lógico. Ellas nos proporcionan las reglasde formación y reglas de transformación. Estas serán estudiadas más adelante.

La Semántica estudia la relación entre las expresiones de un lenguaje y los objetos opropiedades a que se refieren, esto es, estudia el significado e interpretación del lenguaje. Laexpresión: “sócrates fue filósofo” tiene significado. En efecto, la palabra “Sócrates” se refierea un filósofo que vivió en el siglo V antes de Cristo; la palabra “Filósofo” a la propiedad realde esa persona. Este significado de la expresión constituye su Semántica.

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Una expresión lingüística tiene semántica para quien la utiliza, si conoce elsignificado de la misma. Por ejemplo, la palabra “Hemeroteca”, aunque como palabracastellana tenga su significado, sólo tendrá valor semántico para aquellas personas que sepanel objeto a quien se refiere.

Seguidamente, para constatar si has comprendido estepunto, debes responder los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS

Determina si las siguientes proposiciones pertenecen a la semántica o a la sintaxis(objetivo específico 5.1.).

(1) El artículo, en castellano, concuerda en género y número con el nombre queacompaña.

(2) La luz roja del semáforo encendida quiere decir pare.(3) La luz roja del semáforo viene a continuación de la amarilla.(4) En la aritmética el signo “=” se escribe entre dos números.(5) Para los españoles rojo y encarnado son sinónimos.(6) El antónimo de luz es oscuridad.(7) En telegrafía los puntos (.) puede ir antes, después o entre los guiones (-).

En taquigrafía la expresión ‘ ’ quiere decir ‘de la’.(8) Maracaibo se puede referir a la palabra ‘Maracaibo’ o a la ciudad de Maracaibo.(9) Los indígenas utilizaban las hogueras para comunicarse entre sí.(10)En un banquete de gala los cubiertos de colocan de determinada manera.

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2. LENGUAJES NATURALES Y CIENTIFICOS

Tal como hemos venido insistiendo en este curso de lógica, lo importante es aprendera razonar correctamente. Obviamente, esta capacidad está determinada, en gran medida, porel manejo preciso y amplio dominio que tengamos de nuestra lengua. Por ser la lógica,además de una ciencia, un lenguaje, vamos a dedicarnos a reflexionar sobre los tipos delenguajes, a fin de facilitar el uso adecuado de los términos y el acceso a la construcción dellenguaje lógico (del lenguaje formal de la lógica) en las unidades subsiguientes. Hay queseñalar sin embargo, que el uso adecuado y pertinente de un lenguaje no es suficiente para lalógica: el lenguaje corriente por su imprecisión y vaguedad no es el más adecuado para laciencia. Los lenguajes naturales tienen una serie de limitaciones que desfavorecen yobstaculizan el rigor y la precisión requeridos por las ciencias y por la lógica, comoherramienta para la sistematización del conocimiento. Por ese motivo, a través de la historiadel pensamiento, los hombres de ciencia han ido haciendo, su propio lenguaje a manera derecorte sobre el lenguaje natural, con miras a reducir o superar estas limitaciones. Esto hadado como resultado el surgimiento de los llamados “lenguajes científicos”, los cuales se hanido afinando y perfeccionando progresivamente para adaptarse a los fines y propósitos de lasdiversas ciencias.

En general, decimos que un lenguaje es un sistema de signos que usamos paracomunicar pensamientos, emociones, convicciones, etc. El signo es convencional, o ideadopara representar algo distinto de él mismo: el signo reloj está en lugar del objeto reloj, y la

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palabra reloj es una forma gráfica del sonido reloj (en castellano). En los lenguajes naturaleslos signos son palabras; en los lenguajes científicos, más específicamente, en los lenguajesformales, el signo es una forma. Así tenemos lenguajes de señas luminosas, de signos Braille,de clave Morse, etc. También tenemos los lenguajes formales de la matemática y de la lógica.

Se puede hablar, pues, de lenguajes naturales y científicos. Vamos a caracterizar, acontinuación, cada uno de ellos.

(i) En primer lugar, los lenguajes naturales son los diversos idiomas o lenguas queusamos como lenguaje corriente, cotidiano. Sirven para comunicarnos en nuestra vidaordinaria. Ya hemos visto, en el objetivo 1, que se usan para narrar, describir,persuadir, influir, expresar sentimientos y emociones.

En cambio, los lenguajes científicos no pertenecen a un idioma particular sinoque son usados por toda la comunidad científica. Sirven para comunicar elconocimiento específico de una ciencia (función informativa) y lo hacen en unlenguaje neutro; es decir, en forma objetiva y fría, desprovista de todos los elementosafectivos, los cuales, en el caso de la ciencia, constituyen una interferencia, unobstáculo, que puede distorsionar la información transmitida.

(ii) Los lenguajes naturales son, a menudo, imprecisos: muchas veces no sabemos conexactitud a qué objeto se refiere una palabra, porque ésta no señala lasdeterminaciones más sutiles, sino que designa su objeto de una manera vagaindeterminada.

En los lenguajes científicos, los signos utilizados señalan con exactitudrigurosidad un objeto único y determinado. En la vida ordinaria se puede permitircierta imprecisión. Palabras como ‘progesista’ y ‘democrático’ se pueden referirdiversas características de las personas; son palabras imprecisas. Al contrario, ciencianecesita una total correspondencia entre el signo y el objeto designado.

(iii)Así mismo, en los lenguajes naturales encontramos términos ambiguos queoriginan, con frecuencia, fallas en la comunicación (Les remitimos aquí al tema de lasfalacias de ambigüedad). En la ambigüedad la palabra representa dos objetos estudio,con la consecuente confusión.

Los lenguajes científicos deben necesariamente evitar cualquier equívocousando los signos en forma unívoca: un signo único para cada objeto designado.

(iv)Por otra parte, los lenguajes naturales adoptan tanto la forma de comunicación oralcomo escrita; sin embargo, básicamente son lenguajes orales, por lo que escritura esde tipo fonética: los signos representan sonidos.

Los lenguajes científicos son fundamentalmente gráficos (escritos) y; escrituraes de tipo ideográfica, es decir, los signos designan ideas.

(v)Además, los lenguajes naturales poseen una gramática más o menos compleja, conmúltiples reglas y numerosas excepciones.

Por el contrario, los lenguajes científicos tienen una gramática simple, reglascompletas que no admiten excepciones.

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(vi)Por último, señalamos que los lenguajes naturales comprenden todos los campossemióticos: sintaxis, semántica y pragmática. En contraposición, los lenguajescientíficos son sólo sintáctico-semánticos y, en algunos casos, adoptan un carácterexclusivamente sintáctico, como es el caso de los lenguajes formales, que pasamos aconsiderar.

3. LENGUAJE FORMALIZADO, CARACTERISTICAS E IMPORTANCIA

Las diversas ciencias, al ir conformando sus propios lenguajes, han ido adoptandodiversas modalidades: los más sencillos son un simple afinamiento precisión de los términosy elaboración de construcciones lingüísticas propias, con una jerga técnica dentro dellenguaje natural; algunos incorporan cierto número c expresiones simbólicas; los mássofisticados constituyen un lenguaje totalmente simbólico. En este caso, se trata de losllamados lenguajes formales, como el de 1: matemáticas, la computación y la lógica.

El lenguaje formalizado se hace necesario cuando se quiere analizar procesos yrelaciones complejas. Para estudiar estructuras del conocimiento simple no hace falta unlenguaje distinto del natural; pero para pasar de la verdad de las proposiciones simples a todala frecuencia de verdades derivadas, hace falta una gran precisión y rigor.

Consideremos, por ejemplo, las demostraciones de las matemáticas expresadas en ellenguaje común: sería complicado seguir su desarrollo. Es necesario, para ello, un lenguajeespecial, a base de símbolos, un lenguaje formal.

Los lenguajes formalizados han logrado la simplicidad y la precisión de lasexpresiones. Para lograr su avance, hoy día, las ciencias no pueden prescindir de estoslenguajes. Ha llevado siglos elaborar y perfeccionar estos lenguajes; por eso, las ciencias másantiguas como la matemática, la física y la lógica los han desarrollado, lo cual les hapermitido su altísimo grado de perfección y su vertiginoso ritmo de progreso. Otras ciencias,como la biología, la química, la lingüística tienen lenguajes con un alto grado deformalización; las demás tienen simplemente un lenguaje especializado y, poco a poco, hanido incorporando estructuras formalizadas, en distinta medida, tal es el caso de la psicología,la etnología, entre otras.

Cada vez más, se tiene la convicción de que sólo con los lenguajes formales, comoherramienta, puede una ciencia ser suficientemente rigurosa y lograr un avance permanente.

El enorme progreso de las citadas ciencias, y los increíbles logros de la informática yla computación lo confirman.

En referencia a la lógica, se corrobora lo antedicho: en muchos siglos, desdeAristóteles hasta Leibniz, no hubo grandes avances, hasta que, en 1.847, George Booleformalizó completamente el lenguaje de la lógica a semejanza del de la matemática. Ellenguaje formal de la lógica es el modelo de todos los lenguajes formales.

4. LENGUAJE FORMALIZADO Y LOGICA FORMAL

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Hemos estudiado la diferencia entre lenguajes naturales y los lenguajes científicos.Hemos analizado cuáles son las principales propiedades de los lenguajes científicos y hemosexplicado por qué su empleo es imprescindible para desarrollar las ciencias, especialmentelas matemáticas y la lógica. Pero no hemos dicho por qué este lenguaje se llama formalizado.Podría llamarse lenguaje simbólico o lenguaje exacto o cualquier otra cosa parecida, porque,en efecto, todo lenguaje formalizado es simbólico y preciso. Sin embargo, se llamaformalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma de lasproposiciones y de las inferencias.

A1 hacer esta afirmación no hemos ganado mucho, al parecer, porque no sabemos quécosa es la forma del lenguaje ni la forma de la inferencia. El término ‘forma’ usado en ellenguaje natural, es vago, impreciso, difícil de analizar. En cambio, en lógica se emplea conun sentido preciso y único. Entre los diversos significados que tiene el término ‘forma’ en loslenguajes naturales destaca el significado de estructura y es precisamente en este sentido quese emplea en relación al lenguaje y la lógica. Al decir, pues, que el lenguaje de la lógica es unlenguaje formalizado, se quiere decir que se trata de un lenguaje que revela su propiaestructura.

Pero todavía no sabemos bien lo que significa el término ‘estructura’, aunque demanera intuitiva tenemos más o menos una noción de dicho significado. En primer lugar, lapalabra estructura se refiere siempre a algo compuesto. Esto es fundamental. Si un objeto escompletamente simple, no tiene estructura: Para que un objeto tenga estructura, debe estarcompuesto por varios elementos. Así, en geometría, el punto, que es un elementoabsolutamente simple, no puede tener estructura. Pero las figuras geométricas si tienenestructura, porque están compuestas de puntos.

Sin embargo, no basta que un objeto esté compuesto de elementos para que tengaestructura. Para esto los elementos que integran el objeto deben relacionarse de algunamanera muy definida. De modo general, puede decirse que para que un objeto tengaestructura, debe haber un orden determinado entre los elementos que lo integran.

Estas dos propiedades son esenciales a toda estructura: el objeto debe ser compuesto ydebe haber un orden entre sus elementos. Obsérvese que estas dos propiedades se refierenúnicamente a los elementos como integrantes o componentes de la estructura, pero no serefieren a las cualidades o propiedades de dichos elementos. Lo que interesa de una estructuraes la relación de unos elementos con otros, pero no las cualidades intrínsecas de estoselementos. Así, si contemplamos los dos gráficos:

Gráficos

vemos de inmediato que aunque defieren en una serie de propiedades, como el tamaño, elcolor, el lugar de la página donde están impresos, etc., tienen sin embargo exactamente lamisma estructura, porque tienen el mismo número de elementos, y el mismo orden entre estoselementos. Esta comprobación nos indica que el concepto de número también es propiedadesencial de la estructura. Para que dos estructuras sean idénticas, deben tener el mismonúmero de elementos. De otra manera no podrán ser idénticas. Podrán ser parecidas, pero noidénticas.

Y ahora tenemos ya una visión más clara y precisa de lo que es una estructura. Paraque un objeto tenga una estructura debe ser compuesto, debe tener un número determinado de

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elementos y debe existir un orden entre ellos. Composición, número y orden son lascualidades esenciales de toda estructura.

Si, como manifestamos al comienzo, entendemos que el término ‘forma’, significaexactamente lo mismo que ‘estructura’, comprendemos por qué se llama formalizados a loslenguajes simbólicos que emplean la matemática y la lógica. Son formalizados porque hansido elaborados especialmente para hacer posible que, por el sólo hecho de emplearlos omanejarlos, se revele su estructura o forma de manera patente y compleja. Formalizar unlenguaje es precisar y arreglar de tal modo los símbolos empleados que sea posible captar sinninguna oscuridad, sin ninguna posibilidad de errar, su estructura.

Como después veremos, el razonamiento o inferencia, la deducción, depende demanera directa de la estructura o forma de las proposiciones cuya verdad se relaciona. Poreste hecho, por la razón profunda de que todo proceso deductivo, toda inferencia se basa enrelaciones estructurales o formales, y porque siempre es necesario emplear cierto tipo deformalización para estudiar estas relaciones, es que la lógica que estudia la relación de verdadentre las proposiciones, se llama también lógica formal.

5. LOGICA FORMAL Y LOGICA NATURAL

Para concluir este punto, presentaremos aquí, algunas consideraciones sobre la lógicaformal o científica en contraposición a lo que denominaremos “lógica natural”.

Así como venimos hablando de lenguajes naturales y formales, así, también, nosreferimos a estos dos tipos de lógica distintos.

La lógica natural corresponde al lenguaje natural. Es la lógica del pensamientocomún, cotidiano, es lo que frecuentemente referimos como sentido común. Ella impregnanuestro discurso ordinario y lo estructura para argumentar; es decir, para reforzar lo quedecimos, para darle apoyo y hacerlo verosímil y creíble ante nuestros interlocutores.

En el caso de la lógica formal, estamos en el terreno del conocimiento y del lenguajecientífico. Aquí, la finalidad es distinta; se trata de razonar; esto es, de demostrar verdadescientíficas, las cuales adquieren solidez independientemente de quien las acepte.

En la lógica natural, cuando argumentamos, se trata de convencer al otro para queacepte nuestros puntos de vista y, así, lograr con él un terreno común para el entendimiento yla comunicación. El valor que se maneja, aquí, es la verosimilitud, que conlleva elconvencimiento y la aceptación del interlocutor. No se trata de verdad o falsedad de laconclusión, ni de la validez o no validez de la estructura del argumento, corno en el caso de lalógica formal, sino de obtener el asentimiento de la otra persona, o de los varios escuchas.Por ese motivo, en la argumentación del discurso común se recurre a los elementos afectivosy coactivos, y a toda clase de influjos, para conseguir apoyar nuestra proposición.Obviamente, todos estos elementos del argumento son ex profeso rechazados y excluidos enun razonamiento de la lógica formal.

Además, en la lógica formal se construyen razonamientos deductivos: el sistemateórico de las ciencias físicas e hipotético deductivo. Hay que anotar que igualmente setrabaja con razonamientos inductivos y analógicos.

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De un modo muy distinto, la lógica natural construye argumentos en los cuales, envez de premisas y conclusión, tenemos dos elementos: una proposición apoyante, que es elpunto de partida, y una proposición apoyada, que viene a ser la conclusión del argumento.Pero las relaciones entre estos dos elementos no son necesariamente de causa-efecto(causalidad). Son relaciones de muy diversa índole: confirmación en los hechos,reformulación del enunciado, comparación, finalidad, entre otros.

Por último, hay que señalar que estas dos lógicas, la del discurso común y la deldiscurso científico, no están desvinculadas entre sí. La lógica científica se deriva por unproceso de depuración de la lógica natural, de manera que aquélla constituye un recorte oespecialización de ésta. A su vez, la lógica científica aporta sus avances y sus logros alargumento del discurso común nutriéndolo con nuevos elementos de persuasión,impregnándolo con su rigor. Las personas que argumentan en su discurso cotidiano toman,más o menos, referencias de la lógica científica en la medida de su mayor o menor cercanía alconocimiento científico.

A continuación encontrarás unos ejercicios que te brindaránla oportunidad de saber lo que has aprendido.

EJERCICIOS

A continuación encontrarás una serie de proposiciones que expresan características delos lenguajes naturales y científicos (formales). Señala anotando una “N” o una “C” segúncorresponda en cada caso.

(1) Su amplitud expresiva se limita a un campo determinado.(2) Sirve para comunicar informaciones y emociones.(3) Sus reglas gramaticales son complejas y admiten excepciones.(4) Su escritura es ideográfica.(5) Es un lenguaje formal.(6) Posee símbolos limitados en número.(7) Puede ser expresivo, directivo o informativo.(8) Es totalmente neutro.

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6. MATEMATIZACIÓN DE LA LÓGICA

La lógica formal nació, hace aproximadamente dos mil quinientos años, con elfilósofo griego Aristóteles. Desde entonces hasta el siglo XIX no experimentó ningúndesarrollo significativo. El adelanto de los estudios matemáticos en el siglo XIX preparó elterreno para lograr un avance cualitativo en el desarrollo de la lógica incorporando, a lamisma con el rigor y la precisión del método matemático. En ese sentido se dice que la lógicase matematizó.

Sólo pudo matematizarse la lógica cuando se logró simbolizar completamente todoslos elementos de un razonamiento. Aristóteles ya había simbolizado las variables

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representándolas por las letras A, B, C, D, etc., pero no simbolizó las constantes, como“todo”, “si-entonces”, “algunos”, etc. Esto se va a lograr en el año 1847 por el lógico inglésBoole. Este logro constituye la clave del desarrollo de la lógica formal que, desde estemomento, empieza a llamarse, entre otras denominaciones, lógica simbólica o moderna. Porejemplo, desde la antigua Grecia existía el siguiente esquema de razonamiento:

“ Si A, entonces B; no B; por tanto, no A”. Es decir, se simbolizaban los elementosvariables, pero no las constantes. Pero, si se conviene en representar la partícula: “si...,entonces...” por una especie de herradura “ ⊃ ”; la partícula “no” con el símbolo “~”; lapartícula “por tanto” por el símbolo “ � ”, y la “y” la sustituimos por una coma “,”; elesquema de la forma del razonamiento que acabamos de anotar se formularía así:

A ⊃ B, ~B � ~A

De esta manera se lograría la simbolización total de los elementos del razonamiento.

La simbolización de las constantes fue, pues paso decisivo del FORMALISMO de lalógica tradicional al SIMBOLISMO de la lógica moderna. La simbolización total en la lógicapermite: estudiar sus estructuras con la misma objetividad y exactitud que la cienciamatemática; una mayor precisión en la formulación de sus reglas; la aplicación del métodomatemático a sus demostraciones.

Para afianzar lo tratado, te presentamos losSiguientes ejercicios.

EJERCICIOS

Escriba una “V” si lo afirmado es verdadero o una “F” si es falso (objetivo específico5.4.).

(1) La simbolización de las variables fue suficiente para la matematización de laLógica.

(2) Para la matematización de la lógica es necesaria la simbolización de las variables.(3) El método matemático sólo puede aplicarse a la lógica cuando se simbolizaron las

variables y las constantes.(4) En la lógica simbólica (moderna) hay expresiones en castellano.(5) En la lógica formal (tradicional) hay expresiones en castellano.(6) Aristóteles aplicó el método matemático en la lógica.(7) La lógica simbólica emplea el método matemático en sus demostraciones.(8) La lógica formal (tradicional) aplicaba el método matemático en sus

demostraciones.(9) La simbolización total del lenguaje lógico hace más engorroso la formulación de

sus reglas.(10)La simbolización total de la lógica permite estudiar objetivamente la estructurade los razonamientos

7. SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE LA LÓGICA TRADICIONAL Y LAMODERNA.

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La lógica que se estudió desde Aristóteles (s. IV a. C.) hasta G. Boole (s. XIX d. C.)recibe el nombre de Lógica Tradicional o Formal; de Boole a nuestros días a la lógica se leda distintos nombres: Logística, Lógica Simbólica, Lógica Matemática, Algebra Lógica.Nosotros, en adelante, la denominaremos Lógica Moderna.

A pesar del distinto desarrollo de ambas lógicas hay aspectos fundamentales comunes.Ambas se centran en el estudio de los razonamientos y para ello lo hacen a través de susformas o estructuras. Evidentemente, la lógica simbólica, al lograr la simbolización total delos razonamientos introduce el método matemático en sus demostraciones, permitiéndolemanejar y resolver, de forma rigurosa y transparente, problemas que la lógica formal, al nosimbolizar las constantes, no le era posible realizar.

Sin embargo a pesar de las diferencias anotadas entre ambas lógicas, la mayoría de laslógicas modernas consideran que la lógica simbólica se sitúa en una línea de continuidad dela lógica formal.

En ese sentido el lógico H. Scholz anota que “hasta hoy no existe ninguna formaconcebible de lógica, por muy distinta que sea de la lógica formal que no tenga una conexióncon la obra aristotélica”1.

Como anota Agazzi, “todo lo más que se puede decir respecto a la relación de lalógica formal tradicional y la simbólica es que con los instrumentos (simbolización) a nuestradisposición, estamos en condiciones de saber cuanto sabían hacer nuestros predecesores eincluso de hacerlo además de manera más pulida y elegante, así como enfrentarnos conproblemas poco manejables por ellos. Indudablemente, éste ya es un proceso implícito, peropara hacerlo explícito, es aún necesario que se proceda efectivamente a la construcción deledificio de la lógica, lo cual es un trabajo muy largo que en gran parte está todavía porhacer”2.

Por todo lo anterior podemos afirmar que la diferencia entre la lógica formaltradicional y la lógica simbólica no es de esencia sino de grado. Aunque es preciso insistir enque la lógica simbólica, al desarrollar un simbolismo más técnico, se ha convertido en uninstrumento más eficaz y poderoso para el análisis lógico. La notación simbólica facilitaextraordinariamente las deducciones. Veamos a este respecto lo que escribió Whitehead en sulibro “An Introduction to Mathemathics”: “Con la ayuda del simbolismo, podemos efectuarpor medio de la vista y de manera casi mecánica transiciones en el razonamiento queexigirían, sin aquél, el uso de las facultades superiores del cerebro”3.

Ejercicios:

l. ¿En qué se parecen la lógica formal tradicional y la lógica simbólica? Explíquelo en treslíneas.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 Scholz H. ABRISS GESCHICHTE DER LOGIK, Berlín, 1931. Citado por E. Agazzi enLógica Simbólica, pág. 60.2 AGAZZII, E. La Lógica Simbólica. Edit. Herder, Traducción: J. Pérez Ballestar, 1967,Barcelona, pág.58.

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3 WHITEHEAD, Alfred N. An Introduction to Mathemathics. Oxford University Press, 1911.

2. Explique si hay o no oposición entre la lógica formal tradicional y la lógica simbólica.Redáctelo con sus palabras en cuatro líneas.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿En qué se diferencian básicamente la lógica formal tradicional y la lógica simbólica?Escríbalo en tres líneas.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Trata de resolver los siguientes ejercicios de Autoevaluación¡Suerte!

AUTOEVALUATIVO 5

I. Escriba V si es verdadero o F si es falso (objetivo específico 5.5.).

(1) La lógica simbólica y la formal son formales.(2) La diferencia principal entre la lógica formal y la simbólica es que ésta simbolizalos elementos constantes.(3)La lógica formal simboliza los elementos variables y constantes.(4) La lógica simbólica simboliza las variables y las constantes.(5) La lógica simbólica no es la continuación de la formal.(6) La lógica simbólica puede resolver más problemas lógicos que la formal.(7) La lógica formal aplica el método matemático en las demostraciones.(8) A la lógica simbólica se le llama también lógica matemática.(9) Las lógicas formal y simbólica son igualmente exactas y rigurosas en susdemostraciones.(10) Las lógicas formal y simbólica estudian los razonamientos.

II. Enuncie la diferencia fundamental entre la lógica tradicional o aristotélica y la lógicamoderna o simbólica. Escríbalo en tres líneas.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

III. Enumere dos condiciones necesarias para la aplicación del método matemático a lalógica.

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(1)_______________________________________________________________________

(2)_______________________________________________________________________IV. Enumere dos ventajas de la matematización de la lógica.

(1)_______________________________________________________________________

(2)_______________________________________________________________________

V. Complete:

(1) Aristóteles simbolizó los elementos _________________________________________

de una proposición.

(2) Al matematizar la lógica se lograron simbolizar los elementos ____________________

_________________________________________ de una proposición.

(3) Las partículas: "si... entonces", "todos", "Por tanto", "es", son elementos_____________

__________________________________________________________ de una proposición.

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LECTURAS COMPLEMENTARIAS

Para cerrar el ciclo de aprendizaje, te proponemos ahora cinco lecturas que amplían ycomplementan el contenido de los temas que han sido abordados en esta primera unidad.

La primera lectura te presenta una panorámica del desarrollo de la lógica desdeAristóteles hasta nuestros días, haciendo énfasis en los elementos que posibilitaron el avancede esta disciplina. Culminamos con la segunda y tercera lecturas sobre la importancia de lalógica y el arte de razonar bien, en las cuales se hacen importantes recomendaciones para lavida práctica.

La cuarta y quinta lecturas, constituyen un apéndice que tocan, en forma breve, lasdistinciones entre ‘lenguaje objeto’ y ‘metalenguaje’ y ‘uso’ y ‘mención’. Estos conceptospermiten dilucidar algunas confusiones que habían generados problemas y paradojas. Estostemas podrían ser incluidos como puntos del temario de esta unidad, a juicio del profesor; porese motivo nos pareció conveniente ofrecerlos.

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I. BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA

Aristóteles: Nació alrededor de 384 a. de C. enEstagira Traná. Fue discípulo de Platón. Fuemaestro de Alejandro Magno. En 323 fundó unaescuela que llamó Liceo. Murió en Calcis en 322a. de C.

En este recuento histórico usted va a encontrar una serie de términos que en principiono van a tener gran significación para usted, por cuanto se refieren a conocimientos que iráadquiriendo conforme adelanta el curso. También es bueno anotar que en virtud de que éstees un curso introductorio de un nivel elemental, no es posible hacer referencia a muchospuntos complejos y propiamente lógicos estudiados especialmente a partir 'de la segundamitad del siglo XIX. El propósito es que, después de una lectura atenta, se percate deldesarrollo histórico de la disciplina, de tal manera que pueda darse cuenta de las relacionesexistentes entre la lógica tradicional v aristotélica y la lógica moderna o simbólica.

LA LÓGICA ARISTOTÉLICA

Aristóteles (384-322 a. de C.) fue el primero en concebir que el producto delpensamiento reflexivo era en sí mismo el asunto de una ciencia especial. Aristóteles fue elprimero en reflexionar sobre la forma de las proposiciones y se percató que en elrazonamiento no era el contenido sino la forma lo que tenía importancia. Él fue el que,además, codificó en forma sistemática las formas de la argumentación correcta. Por eso se leconsidera el “Padre de la Lógica Formal”. El mismo escribe en su libro “RefustacionesSofisticas”: ...“Más de la presente ciencia (lógica) no se trata de que hubiera hasta ahora algoya elaborado junto a otras cosas todavía no elaboradas, sino que, por el contrario, hasta esemomento no había de ella absolutamente nada disponible”1.

Aristóteles sistematizó principalmente la teoría de un argumento especial que llamóSilogismo. En su libro Tópicos se lee. “... La presente obra trata de hallar un método graciasal cual podamos construir silogismos sobre cualquier cuestión que se proponga, partiendo depremisas probables. Pues el silogismo, es un discurso en que, puestas ciertas premisas, algodistinto de ellas surge necesariamente a partir de las mismas. Con esta última frase quierodecir que ellas producen la consecuencia, y con esto, que no se requiere ningún terminoadicional desde fuera para hacer la consecuencia necesaria”2.

___________________________________1 Refustaciones Sofisticas XXV, 183b, 34 s.s.2 TÓPlCOS, A. 1.100a. 22 s.s.

La base de la teoría silogística está en la hipótesis de que todo razonamiento correctopuede analizarse mediante proposiciones de una forma peculiar y que llamamosproposiciones de sujeto-predicado. En esta clase de proposiciones hay un sujeto cuantificado,o sea un sujeto precedido por alguna de estas palabras: “todo”, “ninguno”, “alguno”. Estesujeto está unido al predicado por medio de un verbo. Ejemplos de ellos son:

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“Todos los alumnos son zulianos”“Algunos, alumnos son marabinos”“Ningún alumno es alemán”“Algún alumno no es marabino”

Si en estos ejemplos el sujeto se denota por S y el predicado por P, entonces tenemoslas siguientes formas:

“Todos S son P”“Algunos, S son P”“Ningún S es P”“Algún S no es P”

Con estas formas de las proposiciones sujeto-predicado, Aristóteles concibe, además,que la deducción tiene lugar en virtud de la forma. Por eso el Estagirita afirma: “siempre quetres términos están relacionados entre sí de tal modo que el último está contenido en el mediocomo en un todo, y el medio está contenido en el primero como un todo, los extremos debenestar relacionados por un silogismo perfecto. Llamó medio a aquél que está contenido en otroy a la vez contiene a otro; también en cuanto a su posición está en el medio. Por extremosentiendo tanto aquel término que está contenido en otro cuanto aquel en que otro estácontenido. Si A es predicado de B, y B lo es de C; A debe ser predicado de toda C”1. Esteejemplo ofrecido por Aristóteles equivale, entonces a lo siguiente:

Toda A es BToda B es C

Por lo tanto, Toda A es C

Aquí los extremos serían A y C y el término medio B.A partir del ejemplo ofrecido podemos observar que la lógica de Aristóteles era formal y quetanto él como los lógicos subsiguientes se aproximaron mucho a la teoría de la variablelógica. Además está implícito en el ejemplo anotado que no se requiere ningún términoadicional fuera del mismo silogismo para hacer la consecuencia necesaria, lo cual quieredecir que Aristóteles en el estudio del silogismo aplica leyes que relacionan internamente lostérminos sin necesidad de ninguna injerencia externa.

________________________________1 ANAL. prioria, 25b, 32-26a

Este uso de símbolos y ésta aplicación de leyes constituyen los elementos;fundamentales de toda lógica, de aquí se puede afirmar que en el desarrollo de la lógicasimbólica moderna está siempre presente de alguna manera la obra del gran estagirita.

Para terminar diremos que los estudios de Aristóteles sobre lógica están distribuidosen cinco tratados; los cuales fueron reunidos por sus discípulos en uno solo que recibió elnombre de Organon, palabra que quiere decir “Instrumento”.

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LA OBRA DE LEIBNIZ Y EL NACIMIENTO DE LA LÓGICA SIMBÓLICA

Gottried Wilhem Leibniz (1646-1716). Nació enLepzig, ahí mismo alcanzó su doctorado. De1663 a 1667 estudió matemáticas en laUniversidad de Jéna y jurisprudencia en la deAltdos. En 1700 fue nombrado presidente de laSociedad de Ciencias de Berlín.

Pasar de Aristóteles a Leibniz supone un salto de dos mil años. El hecho de que nohagamos mención en esta brevísima reseña de la historia de la lógica a ese largo lapso, nosignifica que en el mismo no se cultivara la lógica, y que en algunos campos, incluso, se

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lograra un desarrollo de la misma; sin embargo, en su estructura fundamental es la mismalógica aristotélica, y, como nuestro propósito, más que señalar nombres de lógicos, es mostrarel desarrollo de la misma lógica, consideramos innecesario hacer referencia a ese período.Solamente del siglo XVI al siglo XVIII hubo una interrupción total del desarrollo de la lógicaformal. En el siglo XVIII, precisamente, en el año de 1787, Kant había afirmado, comoanotamos anteriormente, que la lógica formal había sido creada por Aristóteles con talperfección que no había dado ni un paso atrás ni un paso adelante en su desarrollo, de talforma que parecía completa y cerrada. Sin embargo, Leibniz no fue de la misma opinión ycon él empieza la lógica formal una vida nueva cuyo desarrollo posterior culminaría en lamoderna lógica simbólica. Leibniz, en efecto, se dio cuenta de que la lógica aristotélica eraincompleta, que era tarea de la lógica la obtención de un instrumento potente que lepermitiera alcanzar el mismo rigor y objetividad que las ciencias matemáticas. Leibniz tuvola intuición de que la lógica se podía reducir a un simple “cálculo”, y para ello propone elestudio de la deducción como simple operación de símbolos a la manera como se opera enmatemáticas.

El idioma ordinario, dice Leibniz, imita en el papel palabras que representanconvencionalmente objetos. En cambio los ideogramas chinos y los jeroglíficos egipciosrepresentan directamente los objetos mismos. Se podría construir según él un idioma en elcual cada concepto simple fuera representado directamente por un carácter o signo, llamado“característica universal”, y de esa forma obtendríamos un idioma ideográfico, o sea unidioma de las ideas o conceptos.

Sería por lo tanto, un lenguaje simbólico, con la propiedad de ser tratado como uncálculo del razonamiento, como un álgebra. Los caracteres o signos constituirían un “alfabetodel pensamiento humano” que correspondería a todas las ideas simples posibles. Estas ideassimples serían conceptos primitivos a partir de los cuales podrían construirse conceptoscomplejos por medio de reglas de combinación. De esta manera Leibniz concibió tanto laposibilidad de un cálculo del razonamiento como la posibilidad de una matemática universal,que sería el origen, en definitiva, de la lógica simbólica.

De aquí que Leibniz sostenía que cuando se logre simbolizar todas las ideas, no habránecesidad de discutir más entre filósofos. Será suficiente con tomar la pluma en la mano,sentarse en la mesa y decir el uno al otro: calculemos. Leibniz, no pudo cumplir su sueño,sólo pudo ejecutar algunos fragmentos del programa que se había trazado, pero tuvo el méritoindiscutible de abrir y orientar el nuevo camino que desembocaría en la lógica simbólicacontemporánea.

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GEORGE BOOLE

George Boole: (1815-1864). Nació enLincoln, Inglaterra. Profesor de matemáticas enQueen's College de Cork. Es considerado como

el fundador de la Lógica Simbólica.

Estas ideas de Leibniz encuentran el terreno preparado para llegar a realizacionesconcretas a mitad del siglo XIX. En efecto, el progreso de los estudios matemáticosproporcionó a los lógicos los instrumentos necesarios para empezar a construir la lógica tanvivamente deseada y entrevista por Leibniz. George Boole, matemático y lógico, publica enLondres en 1847 su libro, “The Mathemathical Analyst of Logic”, en el cual aplicando elmétodo matemático logra traducir la lógica aristotélica a una teoría de ecuaciones, dondecada uno de los términos de la lógica tradicional los representó con símbolos. En su obraBoole. subrayó como característica fundamental de todo elemento del lenguaje la de sersigno, y, además, que estos signos son susceptibles de combinación de acuerdo a reglas fijasque bastan para determinar la significación de la combinación.

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Boole propuso los siguientes símbolos:(i) Los objetos de nuestros conceptos los representó con las letras últimas del alfabeto

x, y, z, . . .(ii) Como signos de operación empleó: +, -, x.(iii) Empleó además el signo de identidad.

Para Boole el recurso de la simbolización era capital. A este respecto he aquí suspalabras: “... Nosotros estamos en condiciones de dar como característica definitoria delcálculo la de que es un método basado en el uso de los símbolos, cuyas leyes de combinaciónson conocidas y generales y cuyos resultados permiten una interpretación exenta decontradicciones. Sobre este principio general es sobre lo que yo me propongo construir elcálculo de la lógica y reclamo para él un lugar entre las formas reconocidas del análisismatemático independientemente del hecho de que tal cálculo deba, por ahora, apartarse deellas espontáneamente en todo lo referente a su objeto e instrumentos”1.

La obra de Boole señala un cambio de rumbo en él estudió de la lógica y si bien nologró construir definitivamente la lógica matemática, se puede considerar con todo derechocomo el iniciador de la misma; y su posterior desarrollo no hubiese sido posible sin el trabajopor él realizado.

El camino señalado por Boole fue transitado por varios autores que condujeron a lalógica matemática o simbólica a avances insospechados en lo que a construcción de sistemasformalizados se refiere. Como dato curioso es bueno anotar que en 1860, Jevons,

______________________________1 BOOLE, G. The Mathemathical Analyst of Logic, Londres-Cambridge 1847. ReimpresoOxford 1948-1951. Pág. 3s.

como consecuencia de la aplicación de los adelantos teóricos logrados en los sistemasformalizados, concibió la idea de construir una “máquina-pensante”, que sería el primerprecursor de las modernas calculadoras.

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GOTTLOB FREGE

Gottlob Frege: (1848-1925). Nació en Wismar,fue profesor de matemáticas en la Universidadde Jena. La publicación de su libro“Conceptografía” señala una fecha capital en eldesarrollo de la lógica simbólica.

Hay otros muchos lógicos que habría que nombrar en esta época, pero entre todossobresale Gottlob Frege (1848-1925). La lógica después de Boole se había convertidofundamentalmente en un cálculo. Con Frege aparece otra necesidad, la necesidad dedeterminar las condiciones adecuadas para lograr un procedimiento deductivo riguroso.

En 1879 Frege publica su obra “Begriffsschift” (Conceptografía). En ella consigue laconstrucción de un cálculo lógico casi perfecto. Para ello crea un simbolismo muy original,aunque muy complejo, que le va a permitir realizar la formalización completa de la lógicadeductiva elemental. En esta obra Frege formula de manera clara la distinción entre variabley constante, el concepto de función lógica, el concepto de cuantificador, distingue entre reglay ley, diferencia el lenguaje objeto y el metalenguaje.

Desde Boole todos los lógicos aceptaban que la lógica era una parte de lasmatemáticas, Frege será el primero en sostener el punto de vista opuesto, es decir, que losconceptos matemáticos se pueden obtener a partir de conceptos lógicos, y de esta manera lamatemática se convertía en una parte de la lógica.

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A pesar de su gran valor la obra de Frege pasó casi inadvertida durante veinte añosantes de que B. Russell llamara la atención sobre ella. Como causa de ese olvido se señala locomplicado y difícil de su simbolización, lo cual hacía su lectura sumamente dificultosa.

Giuseppe Peano tiene la virtud de simplificar el simbolismo de Frege. Estesimbolismo propuesto por Peano, salvo ligeras modificaciones, es el que adoptarán Russell yWhitehead en su libro “Principia Mathemathic”, simbolismo que es el que prevalece en granparte hasta nuestros días. Peano, logró también notables aportes para el desarrollo de la lógicasimbólica. Entre ellos están la concepción de la lógica como poderoso instrumento parasistematizar la matemática, establece la posibilidad de vincular una clase a cada predicado ehizo la distinción entre variables libres y ligadas.

LAS INVESTIGACIONES LÓGICAS EN EL SIGLO XX

Bertrand Russell: Nació en 1872 en Trelleck,Inglaterra. Estudió en Trinity College(Cambridge). Primero se interesó por lasmatemáticas, luego por temas filosóficos,históricos y sociales.En 1952 recibió el Premio Novel de Literatura.

La obra más notable de lógica simbólica que existe, es la publicada por BertrandRussell y Alfred N. Whitehead entré 1910 á 1913 cuyo título es “Principia Mathemathic”.Esta obra ha reelaborado, analizado y sintetizado de manera brillante y original todos loslogros alcanzados por los lógicos precedentes.

El principio fundamental de “Principia Mathemathic” consiste en probar que lasmatemáticas puras no son otra cosa que una extensión de la lógica formal. Demostraron quelos números enteros positivos pueden analizarse en términos puramente lógicos.

A parte de este objetivo central los autores señalan en el prólogo de su libro que hansido guiados por tres propósitos distintos, a saber:

(i) Efectuar el mayor análisis posible de los conceptos de las matemáticas y de losprocesos de la demostración matemática.(ii)Expresar las proposiciones matemáticas en la notación más conveniente a fin deasegurar la expresión más precisa.(iii)Desarrollar un sistema especialmente construido para resolver las paradojas.

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Para comprender a Russell y Whitehead así como el desarrollo de la lógica simbólicaen el siglo XX es preciso referirse aunque sea brevemente al desarrollo de los fundamentosde la matemática, ciertamente uno de los procesos más fascinantes de la culturacontemporánea.

Las matemáticas del siglo XIX, hicieron hincapié en la “exigencia de rigor”, y, enparte, este rigor se había logrado concretar en la llamada “aritmetización del análisis”. Laaritmetización del análisis fue un intento de reducir los conceptos del análisis, (teoría de losnúmeros naturales), a los de la aritmética, rama que descansa en la teoría de los númerosnaturales, de manera que su propósito era hacer descansar todo el edificio de la matemáticaclásica en la aritmética, pues ésta se manifestaba como la única base "no artificial" de lasmatemáticas. Este proceso de reducción de las matemáticas a la aritmética termina conPeano, quién logró una construcción axiomática de la aritmética elemental.

Mientras tanto otro grupo de matemáticos se dio a la tarea de reducir la aritmética aun concepto todavía más profundo que parecía explicar mejor los fundamentos de lamatemática.

Este concepto, era el concepto lógico de clase.

George Cantor, expone a finales del siglo XIX la teoría de los conjuntos. A través deesta teoría logra definir los números.

Desde el punto de vista lógico esto tiene singular importancia, pues el concepto denúmero sobre el cual descansa la aritmética ya no resulta ser primitivo sino reducible alconcepto de clase.

Este edificio de la matemática construido aparentemente con fundamentos definitivosfue sacudido abruptamente por uno de los acontecimientos más desconcertantes de laactividad intelectual contemporánea: el descubrimiento de las “paradojas lógicas”. Porparadoja se entiende una serie de proposiciones en las cuales una y su negación sonverdaderas.

Estas paradojas, entre las cuales una de las más importantes es la de Russell,socavaban la teoría de conjuntos en su misma base, ya que esta teoría conducía a esascontradicciones o paradojas y por lo tanto la convertían en algo totalmente inconsistente; y aldescansar el edificio de las matemáticas en esta teoría, y desplomarse ésta, se desplomaba conella toda la matemática. Esto llevó a realizar un examen exhaustivo de los principalessistemas de la matemática clásica. En este análisis el único instrumentó apropiado resultó serla lógica simbólica contemporánea, y ésta es la razón, en parte, del arraigo de la lógicasimbólica en el siglo XX.

Para resolver las paradojas lógicas los matemáticos y lógicos se dieron a la tarea de laconstrucción de sistemas axiomáticos puramente fórmales, construyendo de esta manera la“teoría axiomática de los conjuntos”.

Sin embargo, muchos matemáticos y lógicos consideraron que la teoría axiomática delos conjuntos, aunque resolvía las paradojas lógicas, no permitía resolver otros problemas queen cambio, la teoría intuitiva de los conjuntos sí lo lograba. Como consecuencia de esto, sevan a establecer tres corrientes principales: la logicista, la formalista y la intuicionista.

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La escuela logicista está defendida por Frege, Peano y Russell entre otros. Para ellos,los números y las clases existen en sí mismos, tienen cierto carácter de objetividad, no losinventamos nosotros. Las paradojas no serían, pues, según esta escuela, sino el fruto denuestro modo inadecuado de hablar de las relaciones entre las clases, por lo cual, paraevitarlas era suficiente con ser más cuidadosos en el lenguaje empleado al referirnos a esasteorías. Russell pretende resolver el problema de las paradojas mediante su teoría de los“tipos de predicados”. Esta teoría, sin embargo se demostró posteriormente que no era capazde evitar todas las paradojas cómo por ejemplo la enunciada por J. Richard en 1905.

La escuela intuicionista fue encabezada por el matemático holandés L. E. J. Brouwer.Los intuicionistas rechazan cualquier intento de fundamentar la aritmética en algún sistemamás fundamental y consideran que los números positivos son realidades intuitivassuficientemente seguras como para constriur en base ellos toda la aritmética.

Para los intuicionistas, verdad era sinónimo de demostrabilidad, un enunciadomatemático es verdadero si tenemos una demostración de él.

La escuela formalista considera que las entidades matemáticas son construidas pornuestra inteligencia, y, por tanto, existirán en la medida que se puedan definir sincontradicción. Por eso la fundamentación de las matemáticas está supeditada a laconstrucción de sistemas axiomáticos perfectamente formalizados donde sea imposible que sedé la presencia de contradicciones. El adalid de esta escuela fue David Hilbert.

Esta escuela que tiene su mayor auge a partir de 1930, sufrió un serio revés pocotiempo después. Efectivamente el alemán K. Godel demostró los límites inherentes alformalismo puro. Godel demostró que en cualquier teoría deductiva que poseyera un mínimode complejidad hay proposiciones verdaderas que no son demostrables mediante ningúnsistema formalizado.

El hecho de que los sistemas axiomáticos formalizados no pudieran resolver conabsoluta seguridad la demostración de la no contradicción de ellos mismos, ha dado origen ala tendencia semántica dentro de la lógica moderna. El acta de nacimiento de estemovimiento tiene lugar en 1935, cuando Tarski publica el artículo titulado “El concepto deverdad en los lenguajes formalizados”. El Desarrollo de los estudios semánticos es el hechomás destacado acerca de la lógica simbólica en los últimos decenios.

Asegúrese de que conoce los puntos principales de la historia de la lógica; para ello:Elabore en quince líneas, un resumen de los aportes principales de sus representantes:

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II. IMPORTANCIA DE LA LÓGICA

No necesitamos ponderar la importancia del pensar correcto. La función fundamentalde las instituciones docentes, en el campo del conocimiento, en la preparación adecuada delhombre del futuro, no va a consistir en lograr que los estudiantes se esfuercen para almacenaruna gran cantidad de información, puesto que ésta fácilmente estará a su disposiciónmediante los modernos medios de comunicación, sino en enseñarles el manejo óptimo deesos datos que automáticamente tendrán en sus manos. Bajo este punto de vista, nadautópico, el pensar reflexivo, el razonar correcto, será el instrumento de trabajo másimportante. Este pensar reflexivo será el que en definitiva señalará la diferencia entre elhombre que se deja anular por la máquina y aquél que utilice ésta para su propio desarrollo ybienestar, así como el de la sociedad. De ahí la importancia de desarrollar al máximo lahabilidad para pensar correctamente, habilidad que depende de la capacidad de verconexiones, de ponderar un conjunto de hechos a fin de deducir relaciones, pues la merasuma de un hecho con otro es de muy poco valor en la solución de problemas; solamenteaquél que tiene la capacidad de relacionar coherentemente los hechos y datos es el quelogrará solucionar en forma óptima los problemas.

Si esto es así y si, además, el razonamiento es un utensilio al que constantemente serecurre en todas las facetas de la vida, desde las pruebas científicas y los debates políticoshasta las situaciones más concretas de cualquier persona, parece que es conveniente la tareade abocarnos al estudio de los diferentes esquemas o modelos de confección de talesutensilios.

El estudio de la lógica nos permite conocer las reglas, leyes y procedimientos delrazonar correcto. De este modo estamos mejor preparados para descubrir y rebatir las ideaserróneas que aparecen en discusiones, en debates, en libros, en artículos.

Es cierto que no es necesario estudiar lógica para razonar correctamente; pero encondiciones iguales, tiene más probabilidades de tener éxito en la búsqueda de la verdad, quees el propósito de toda ciencia, quien ha estudiado las técnicas lógicas del razonamiento queaquél que no lo ha hecho, máxime si se tiene en cuenta que el análisis lógico no se detiene aconsiderar el razonamiento sólo desde el punto de vista del contenido, sino, también yespecialmente, desde el punto de vista de su estructura o forma lógica, terreno vedado paralos que no se han dedicado sistemáticamente al estudio de la lógica. Este estudio formal delrazonamiento ayuda a evitar la falta de claridad, las contradicciones y las inconsecuencias, enque se incurre al razonar.

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El estudio de la lógica, al ser un estudio que, al menos, en este nivel, se hace teniendocomo referencia el lenguaje ordinario, permite determinar el sentido exacto de las palabras yexpresiones empleadas en el lenguaje hablado o escrito. En otras palabras, nos ayuda a serrigurosos y precisos en el uso del lenguaje corriente y a descubrir las falacias presentes, confrecuencia, en el mismo.

El estudio de la lógica es indispensable para todos aquéllos que quieran adentrarse enel campo de la investigación, en el campo de la metodología científica, en el de laepistemología, en el de matemática y en el de filosofía. La lectura de libros especializados enlos campos anotados se hace casi imposible hoy en día para aquéllos que no esténfamiliarizados con el lenguaje de la lógica simbólica.

Para terminar quiero hacerlo con las palabras de uno de los lógicos contemporáneosmás brillantes: Quine. Refiriéndose a la importancia de la lógica simbólica señala Quine losiguiente: “... trata de todo. No en el sentido de que la lógica es una ciencia universal, queabarque toda otra ciencia y de cuyas leyes puedan deducirse las leyes de cualquiera cienciaespecial. La lógica no es en tal sentido una ciencia universal; pero sí es una ciencia general,en el sentido de que las verdades lógicas se refieren a objetos cualesquiera... Por lo tanto nopodemos decir que la lógica incluye las demás ciencias, pero sí que está incluida en todas lasotras ciencias, de manera que forma parte común de todas ellas. La lógica es, como losugiriera Tarski, el común denominador de las ciencias especiales”1.

Como resumen podemos, pues, anotar que la lógica simbólica tiene aplicaciones enlos campos más diversos. Es el fundamento de lo que se podría llamar “interciencia”, además,su técnica de pensar, sus recursos de ordenación pueden lograr el desarrollo de lasinvestigaciones científicas, no ya por la vía del tanteo y del empirísmo estéril, sino merced alempleo de una técnica cuidadosa y confiable.

Ejercicios:

1. ¿Por qué en un futuro próximo, será más notable la importancia del razonar correctamenteque la acumulación de materias informativas? Fundamente su respuesta en tres líneas.

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2. Enumere tres razones por las cuales el estudio de la lógica simbólica es importante.

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___________________________1 QUINE, Willard. El Sentido de la Nueva Lógica. Traductor: Mario Bunge. Editorial NuevaVisión, Buenos Aires, 1958, pp. 6 y 7.

3. Escriba en dos líneas en qué sentido la lógica es una ciencia general.

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4. Consulte un diccionario y escriba el significado de la palabra “Epistemología”.

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III. APTITUDES QUE DEBEN APRENDERSEPARA LLEGAR A RAZONAR BIEN

Es licito preguntar “¿cómo puede uno aprender a ser racional?”. ¿Cuál es el procesode educación que produce el mejor desarrollo posible de esas diversas capacidadesracionales? No hay una respuesta sencilla para esa pregunta; y ciertamente los factorescomprendidos en la racionalidad son lo bastante diversos para que no pueda sugerirse que seincluyesen cursos sobre racionalidad en los programas universitarios. Sin embargo, existenciertas aptitudes básicas que parecen desempeñar un papel en la conquista de la excelencia enmás de uno de los seis factores principales de racionalidad de que hemos tratado. Cuatro deesas aptitudes básicas son especialmente dignas de mención.

Una aptitud de primera importancia que debe tener el que desea razonar bien esdestreza en utilizar su propio idioma de manera precisa y flexible. Quien ha dominado suidioma será también capaz de clasificar eficazmente los temas u objetos en discusión, y deadvertir inmediatamente las implicaciones, de los modos en que las palabras se utilizan endescripciones, preguntas, peticiones, etc.

Una segunda aptitud esencial es la de poseer un sentido de lo pertinente. La mayorparte de los problemas racionales propios de la vida cotidiana requieren pericia paradistinguir rápida y acertadamente lo que es pertinente y lo qué no lo es. Hay un númeroilimitado de hechos que podría tener conexión de uno u otro tipo con un problema dado. Lasolución del problema requiere, pues, habilidad para captar inmediatamente los hechos conque hay que contar. Una persona que estuviera completamente falta de esa aptitud nuncapodría empezar a razonar.

Una tercera aptitud es la que consiste en tener, y ser capaz de emplear, conocimientodel mundo adquirido por la experiencia. Gran parte del razonamiento ordinario requierehabilidad para anticipar regularidades, estimar verosimilitudes, etc. Es un mito filosófico querazón y experiencia sean independientes en nuestro funcionamiento intelectual. Esciertamente verdad que el razonamiento deductivo no requiere una experiencia que no sea laexperiencia del lenguaje, pero la mayor parte de nuestro razonar ordinario no es deductiva. Lamayor parte de nuestro razonar ordinario se ocupa de hechos y conexiones entre hechos. Esosólo pueda ser llevado a cabo por quien tenga una oportuna experiencia de hechos.

Una cuarta aptitud es la destreza general aprendida en la lógica formal. Hay muypocas operaciones de razonamiento cotidiano en las que esa destreza pueda entrardirectamente en juego. Sin embargo, el estudio y el dominio de la lógica formal fortalecemuchas capacidades que entrar en juego en la mayor parte del razonar cotidiano. Da alestudiante un conocimiento de familiaridad de la finalidad y naturaleza de su razonamientoque le libra de confusiones básicas1. Además, el dominio de las reglas de la lógica formaltiene sobre la actuación en el razonar informal el mismo efecto vigorizador

___________________________1 KUPPERMAN, Joel. Fundamentos de lógica, Edit. Labor S. A. Barcelona. Trad. : Juan C.García B., 1973, pág. 251-252que tiene la gimnasia en la actuación en los deportes. Dado que las diversas especies deproblemas racionales con que nos encontramos son demasiado distintas para ponerlas en un

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vademécum, ese entrenamiento indirecto de nuestra capacidad de razonamiento es de lamayor utilidad.

IV. LENGUAJE OBJETO Y METALENGUAJE

El interés de los lógicos modernos por los problemas del lenguaje se acentúa conocasión de la aparición, de las llamadas paradojas semánticas. Por paradoja semánticaentendemos, en sentido lato, una proposición que es al mismo tiempo verdadera y falsa. Una

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paradoja semántica desemboca, pues, en una contradicción. A modo de ilustración y no conel ánimo de que usted pueda realizar un análisis exhaustivo de las paradojas semánticas, nisiquiera de la que me propongo exponer, me voy a referir a una de ellas. La paradoja quecomúnmente se suele denominar de “mentiroso”. Mi propósito al exponerla no es otro que elque usted se percate de cómo el lenguaje usual, debido a su ambigüedad, nos lleva a ciertascontradicciones, y cómo es necesario un análisis más profundo del mismo para explicarlas y,de alguna manera, evitarlas.

Se dice que todos los habitantes de Creta son mentirosos, no hay un solo cretense quepronuncie una sola verdad. Ahora bien, Epiménides, que es un cretense dice: “Todos loscretenses son mentirosos”.

Ahora se pregunta: ¿lo afirmado por Epiménides, o sea, “Todos los cretenses sonmentirosos”, es verdadero o falso?

Veamos. Si decimos que es verdadero, entonces, todo lo dicho por los cretenses,incluso lo dicho por Epiménides es falso; por lo tanto “todos los cretenses son mentirosos”dicho por Epiménides es verdadero y falso a la vez. En otras palabras, si Epiménides dice laverdad, entonces miente. Por otra parte, si decimos que lo afirmado por Epiménides es falso,entonces lo dicho por los cretenses es verdadero, incluso lo dicho por Epiménides. Luego, lodicho por Epiménides, es verdadero por ser falso. Como usted puede observar, se considereverdadero o falso lo afirmado por Epiménides siempre conlleva una contradicción. A estetipo de contradicción es a lo que llamamos paradojas semánticas.

Estas paradojas, que vistas superficialmente parecen un juego, son sin embargo,graves dificultades que amenazan los mismos fundamentos del razonar correcto, y, por lotanto, de la lógica, y que han obligado a los lógicos a realizar un estudio profundo dellenguaje que les permita dar una explicación satisfactoria de las mismas. El interés de loslógicos por el lenguaje se impuso, pues, por la necesidad de eliminar estas contradiccionesque amenazaban los fundamentos mismos de la lógica.

El estudio de las paradojas permitió descubrir que hay distintos niveles en el lenguaje.Veamos qué quiere decir esto. A veces empleamos un lenguaje para explicar otro lenguaje.Por ejemplo, si queremos explicar a un estudiante de habla castellana lo que significa la fraselatina: "Ant. Caesar. aut nihil", la explicación la tenemos que dar en castellano. Es decir, ellatín es el lenguaje que se está explicando o investigando, y el español es el lenguaje con elcual se explica o investiga el latín. Hay pues, un lenguaje que es explicado y otro lenguajecon el cual se explica ese lenguaje. Pues bien, el lenguaje que es "objeto” de mi explicacióna1 cual me refiero o que investigo lo llamaremos Lenguaje Objeto, y al lenguaje de que mesirvo para explicar, referirme o investigar el lenguaje objeto, lo llamaremos Metalenguaje.En este caso, el lenguaje objeto sería “la frase latina” y el metalenguaje “el castellano con queexplico la frase latina”. Observe que cuando hablamos de lenguaje objeto, la palabra “objeto”no se refiere a ningún objeto extralingüístico, sino que lenguaje objeto quiere decir: “objetode mi estudio”.

Pero la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje puede darse también en elmismo idioma, y, precisamente ésta es la distinción que más nos interesa en esté caso.Sirvámonos del siguiente ejemplo para entender lo que pretendo explicar: ... Un profesor,escribe en la pizarra la siguiente oración: “Los países subdesarrollados son dependientes “.El profesor empieza a explicar lo que significa esa oración, y entre otras cosas dice: “Por

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países subdesarrollados queremos decir aquellos pueblos que todavía no han alcanzado elnivel cultural, económico, político y social propio de los países desarrollados. Dependientesquiere decir, que estos países están dominados... etc.”

Analicemos el ejemplo. En primer lugar observe que tanto la oración escrita en elpizarrón por el profesor, como la explicación dada de esa oración por el mismo, están encastellano. En segundo lugar, observe que hay dos niveles de lenguaje. Hay un lenguaje quees explicable (primer nivel): “la oración escrita en el pizarrón”; y hay un lenguaje con el cualse explica el lenguaje anterior (segundo nivel): “las palabras empleadas por el profesor paraexplicar la oración escrita en el pizarrón”.

Por lo tanto, en el mismo castellano se da un lenguaje que es explicado (primer nivel),y un lenguaje con el que se explica (segundo nivel). Al lenguaje que es explicado, es decir elprimer nivel, lo hemos llamado Lenguaje Objeto, y al lenguaje que se emplea para explicar ellenguaje objeto, es decir, el segundo nivel lo hemos llamado Metalenguaje. Esto quiere decir,que en el ejemplo propuesto, el lenguaje objeto es la oración escrita en el pizarrón, y elmetalenguaje el lenguaje empleado por el profesor para explicar la oración.Consecuentemente, vemos que en el mismo idioma se puede dar el lenguaje objeto y elmetalenguaje. El metalenguaje es de un “nivel superior”, “es un lenguaje de otro lenguaje”,“signo de otro signo”.

El lenguaje objeto y el metalenguaje son correlativos, es decir no puede haberlenguaje objeto sin metalenguaje y viceversa, no puede haber metalenguaje sin lenguajeobjeto. La razón es muy sencilla, pues, un lenguaje objeto siempre que haya otro lenguaje (elmetalenguaje) que lo explique o investigue, y en ese caso nunca se puede dar el uno sin elotro. Si por ejemplo un profesor define la Psicología así: “Psicología es la ciencia de laconducta humana”, y no se detiene a explicar lo que significan las palabras de la definición,entonces, la definición “Psicología es la ciencia de la conducta humana”, no es ni lenguajeobjeto ni metalenguaje, ya que no hay ningún lenguaje explicado, ni lenguaje que lo explique.¿Qué será pues “Psicología es la ciencia de la conducta humana?" Un lenguaje en este caso,el castellano con el cual trato de explicar o referirme a algo distinto del mismo lenguaje, perono es de ninguna manera, ni lenguaje explicado (lenguaje objeto), ni lenguaje con el cual seexplica o se refiere a otro lenguaje (metalenguaje); o sea, en la definición no hay niveles delenguaje, hay un simple lenguaje.

Ahora bien, si el profesor se detiene a explicar las palabras de la definición diciendopor ejemplo: “Psicología se compone de dos palabras griegas ‘psique’ y ‘logos’ y quiere decirestudio de la mente, etc.”. Es obvio que en estas circunstancias se está empleando dos nivelesdel lenguaje, uno que es el explicado y otro el que explica al primero, es decir, hay lenguajeobjeto y metalenguaje. Luego, el lenguaje objeto y el metalenguaje son correlativos, no sepuede dar el uno sin el otro.

El metalenguaje se puede convertir en lenguaje objeto. Esto tiene lugar cuando seemplea un nuevo nivel (tercer nivel) para referirse o para explicar o investigar elmetalenguaje.

En este caso, este nuevo nivel de lenguaje sería un “Metalenguaje” y el metalenguajese convertiría en lenguaje objeto. Por ejemplo en el párrafo anterior dijimos que la expresiónlingüística: “Psicología se compone de dos palabras griegas ‘psique’ y ‘logos’ y quiere decirestudio de la mente, etc.”, es metalenguaje; ahora bien, si ahora el profesor se refiere a la

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expresión “estudio de la mente”, que forma parte del metalenguaje y dice: “La expresiónestudio de la mente es una expresión imprecisa”, es claro que con esta explicación se estárefiriendo al metalenguaje sirviéndose de otro nivel de lenguaje (tercer nivel), lo cual quieredecir que el metalenguaje se ha convertido en lenguaje explicado, y por ende, el metalenguajepasa a ser lenguaje objeto. Teóricamente, podemos también utilizar un nivel cuatro, un nivelcinco, y, en general, un nivel n, aunque en la práctica su uso no sea frecuente.

Como conclusión podemos decir, siguiendo a Carnap que si describimos, estudiamoso analizamos un lenguaje L1, necesitamos un lenguaje L2 , para expresar nuestra descripcióno análisis de L1. En este caso a L1, lo llamaremos Lenguaje Objeto y a L2 Metalenguaje.

Ahora que hemos explicado lo que es lenguaje objeto y el metalenguaje, podemosreferirnos de nuevo a la paradoja del mentiroso. Esta paradoja se da precisamente porque nose hace la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje. Para resolverla tendríamos quedeterminar exactamente cuál es el lenguaje objeto y cuál es el metalenguaje. Sin embargo,esto va más allá de nuestros propósitos, que no son otros que el que usted se dé cuenta de laimportancia de distinguir el lenguaje objeto y el metalenguaje. Con todo, lo invitamos a quereflexione y de una posible solución y, posteriormente, en la sesión de actividad deinteracción correspondiente, podamos discutirla.

Ejercicios:

1. ¿Por qué los lógicos están interesados en el estudio del lenguaje? Razone su respuesta endos líneas.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Podría usted escribir, con sus palabras o vocabulario, por qué se dan las paradojassemánticas?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Escriba en tres líneas, ¿qué es Lenguaje Objeto?

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4. Escriba en dos líneas, ¿qué es Metalenguaje?

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5. Redacte un ejemplo donde aparezca el lenguaje objeto y el metalenguaje.

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6. ¿Podría usted explicar si puede haber lenguaje objeto sin metalenguaje? Justifique surespuesta en tres líneas.

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V. USO Y MENCIÓN

Muy relacionado con el lenguaje objeto y el metalenguaje está la teoría del uso ymención de las palabras. Esta teoría tiene sus raíces en la Edad Media. Los filósofosescolásticos a partir del siglo XIII hablaban de la suposición material y de la suposiciónformal. Esta teoría cayó en desuso siglos después hasta que fue redescubierta por la lógicasimbólica a partir del siglo pasado. A lo que los filósofos de la Edad Media llamabansuposición formal hoy lo llamamos uso de nombre, y a lo que llamaban suposición material,hoy lo llamamos mención de nombre.

En las expresiones siguientes: “Caracas es la capital de Venezuela”, y “Caracas tienetres sílabas” (la palabra “Caracas” está empleada de manera muy distinta. En primeraexpresión la palabra “Caracas” se refiere a la ciudad de Caracas, mientras que en la segundala palabra “Caracas”, se refiere a la palabra “Caracas”, es decir, en este último caso “Caracas”es una palabra de otra palabra. (A esta distinta manera de aplicar una palabra la llamaron losfilósofos suposición). En el primer caso, como “Caracas” se refiere a un objetoextralingüístico, un objeto que no pertenece al lenguaje, cvmo es la ciudad de Caracas, se

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dice que está en suposición formal, o en la terminología moderna que el nombre de Caracasestá usado. En el segundo caso, como Caracas, se refiere a la misma palabra “Caracas” sedice que está en suposición material o que está mencionada. La palabra que está mencionada(Suposición material) se suele escribir entre comillas simples, mientras que la palabra queestá usada (Suposición formal) se escribe normalmente sin ninguna indicación.

Por ejemplo, en la proposición: “Maracaibo” se escribe con mayúscula, la palabra“Maracaibo” está mencionada, y para indicarlo se entrecomilla como aparece en el ejemplo.Otro ejemplo sería: “A Venus se le llama ‘Venus’”. Observe que la primera aparición de lapalabra Venus se refiere al planeta Venus, y, por lo tanto está usada, y por eso de acuerdo a laconvención establecida no se entrecomilla, se deja tal cual se escribe corrientemente; encambio, en la segunda aparición la palabra “Venus” está mencionada, puesto que se refiere ala palabra "Venus", y, por eso, aparece entrecomillada como se puede apreciar en el ejemplo.En consecuencia cuando queramos señalar la diferencia entre una palabra usada y una palabramencionada, es suficiente con poner entre comillas simples la palabra mencionada.

En tercer ejemplo: “‘Luis’ es nombre propio”. La palabra “Luis” se refiere a lapalabra “Luis” y no a la persona Luis, por eso aparece entrecomillada en el ejemplo, pues estámencionada. Un ejemplo más: “Algunos escriben mal ‘prohibir’”. Aquí la palabra “prohibir”se refiere a la palabra “Prohibir” y no a la acción de prohibir, y está por lo tanto, mencionada,y por eso aparece en el ejemplo entre comillas simples.

Para terminar consideremos la expresión:

(1) 2 + 3 = 5

Esta expresión pertenece al lenguaje de las matemáticas y está formadaexclusivamente de signos aritméticos elementales y por lo tanto, está usada. Por otra parte laproposición:

(2) “‘2 + 3 = 5’ es una fórmula aritmética”, no pertenece al lenguaje de laaritmética, afirma algo acerca de la expresión (1), se refiere a la expresión (1) y por lotanto, pertenece al metalenguaje de la aritmética. En este caso la expresión 2 + 3 = 5de (1) está usada, mientras que la expresión ‘2 + 3 – 5’ de (2) está mencionada.

La no distinción entre el uso y la mención de las palabras puede llevar paradojas y aconclusiones erróneas.

Ejercicios:

1. De acuerdo a la convención de uso y mención de las palabras, entrecomille la palabramencionada.

1. 1. “No todos escriben lógica con mayúscula”.1.2. “¡Qué niño más inteligente! ‘tiene cuatro palabras’”.1.3. “A Antonio lo llaman Tony”.1.4. “Termina, termina con a”.

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2. Escriba con sus palabras, ¿por qué es importante, la distinción entre uso y mención de laspalabras? Hágalo en cuatro líneas.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

RESPUESTAS

A. USOS DEL LENGUAJE

Ejercicios: Funciones Básicas del Lenguaje.

Compara tus respuestas con las que se muestran a rincipal nt:

(2) Cumple una función directiva, porque pretende cambiar los hábitos alimenticiosdel receptor.

(3) Cumple una función expresiva. Refleja las emociones y el parecer del emisor.

(4) y (4) cumplen función informativa. (3) Nos refiere a otras clasificaciones de lasfunciones del lenguaje; (4) nos habla de un hecho referido y de una futuraconsecuencia.

Si acertaste, pasa al siguiente punto. Si no, repasa rincipal nte larincipal n y... ¡ÁNIMO!!

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Ejercicios: rincipal nte de Funciones del Lenguaje.

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(5) Función informativa: relata la intención de Francisco en la reunión.Función expresiva: nos presenta el sentimiento de coraje que lo embarga.Función directiva: exhorta a tomar el Evangelio rincipal nt en toda su

rincipal n.Función Principal: directiva.

(2)Función informativa: señala la relación Escritor-Sistema Socio-Político.Función directiva: alienta a los escritores a asumir una actitud de denuncia.Función expresiva: casi inexistente. Cierta Principal por los que “se han atrevido” adenunciar.Función Principal: informativa.

Las respuestas de los ejercicios (3) y (4) consúltalas con tu asesor.

Aclara con él todas tus dudas, y rectifica.

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Ejercicios: Formas del Discurso.

(1) Tiene forma declarativa.rincipal nte cumple función informativa: son las 10:00 p.m. Pero, rinc el

contexto, expresa disgusto mal disimulado, por no haberse marchado; y, en realidad,tiene función claramente directiva: señores, márchense.

(2) Tiene forma interrogativa.Informa que el abrigo parece ser un poco exagerado. Expresa una actitud de rechazo ycrítica destructiva del emisor hacia la persona aludida. La función directiva, muysecundaria, consiste en promover la misma actitud en el receptor. La función Principales expresiva.

Las respuestas de los ejercicios (3), (4) y (5) consúltalas con tu compañero o con tu asesor.

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AUTOEVALUATIVO l: Página

(1) (a) El texto tiene forma declarativa y coincide con su función principal informativa:resaltar las bondades y delicadeza de los jefes. La función directiva, muy sutil, espropiciar una actitud positiva en el trabajo, aunque puede haber cierta ironía respectoal trato de los jefes hacia las secretarias.

(b) Palabras emotivas: ‘fina’, ‘exquisita’, ‘amigablemente’, ‘cariño’ y ‘respeto’.(c) Términos objetivos: ‘flores’, ‘música’, ‘comida’, ‘secretarias’, ‘jefes’, ‘regalos’.(d) Posibles versiones:

• La empresa agasajó con una comida y otros detalles a sus secretarias.

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• Las secretarias recibieron un banquete y cariñosos obsequios de los jefes de la empresa.• (Construye tú otras)

(e) La versión neutralLa empresa agasajó... a sus secretarias.¿Por qué desechamos las otras?Razona tu respuesta.

(2) El texto tiene forma expresiva y declarativa. Su función principal es expresiva:(enúnciala...).

La versión neutral informativa es:Algunos intentamos encontrar, a cualquier costo, una pequeña parte de la verdad, para

comprender la vida.

El resto de los ejercicios puedes, si te parece, hacerlo en esta forma resumida, una vezque estés bien ejercitado. Las respuestas de los ejercicios (3), (4), (5) y (6) consúltalas conalgún compañero o tu asesor.

Si tienes alguna duda, vuelve a ese punto y repásalo.Volver al texto

B. EL RAZONAMIENTOEjercicios: Página La Proposición.

Compara tus respuestas con las siguientes que te presentamos.

(1) Es un enunciado declarativo y puede ser verificado por cada uno y por la psicología; portanto, es una proposición.

(2) Es un enunciado interrogativo, su función es básicamente expresiva, y no es susceptiblede ser verificado; por eso, no es una proposición.

(3) Tiene forma declarativa, pero su contenido no puede ser verificado por cuanto depende decómo vea cada uno la vida; así pues, no es proposición.

(7) Es declarativa y su contenido puede ser verificado en la realidad; por lo cual es unaproposición.

Las respuestas de los ejercicios (4), (5) y (6) consúltalas con un compañero o con tuasesor.

¿Está todo claro?¡Sigue adelante!

¿Quedaron dudas?.Lee de nuevo cuidadosamente o consulta.

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Ejercicios: La Proposición.(1) No, expresa un deseo.(2) No, es una simple frase.

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(3) Sí, expresión declarativa verdadera.(4) Sí, expresión declarativa falsa.(5) Sí, es una pregunta cuya función es informar que en Venezuela no hay justicia confiable.(6) No, es una recomendación.Las respuestas de los ejercicios (7), (8), (9) y (10) consúltalas con tu compañero o tu asesor.

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Ejercicios: Tipos de Proposiciones por su Complejidad.(1) S, (2) C, (3) C, (7) C

Las respuestas de los ejercicios (4), (5), (6) y (8) consúltalas con algún compañero o con tuasesor.

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Ejercicios: Página Discurso Lógico y El Razonamiento.

(1) No es razonamiento.(2) Sí es razonamiento.Premisas:

• La región en su conjunto es rica en recursos.• Diversos países en la región enfrentan severas privaciones.

Conclusión:América Latina es una tierra de promesas y paradojas. (La proposición: “Estos

recursos no están distribuidos equitativamente” sería la explicación de la segunda premisa).(6) No es razonamiento.(11) Hay dos razonamientos

Primer razonamiento:Premisas:

• Las madres se levantan a las 4:30 a.m. para hacer rendir el alimento a sus hijos.• Tienen que hacer la cola de los carros para salir del cerro.• Los reales no les alcanzan para comprar un pote de leche.• El hospital no atiende.• Los niños necesitan más cosas para la escuela.• No hay agua y hay que acarrearla.

Conclusión:Por tanto, a partir de las 4:30 a.m. no hay descanso para las madres de los cerros.

Segundo razonamiento:Premisas:

• A partir de las 4:30 a.m. no hay descanso para las madres del cerro (conclusión delprimer razonamiento).

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Conclusión:Los valores de la vida se van diluyendo en ellas y hasta los desconocen como sus

valores inherentes.Hay dos premisas implícitas en el segundo razonamiento: (a) los valores a que se

dedican las madres de los cerros desde las 4:30 a.m. no son los valores de la vida; (b) lasmadres de los cerros no tienen tiempo para reflexionar sobre los valores inherentes al serhumano.

(15) No es razonamiento.(18) Sí es razonamiento.

Premisas:• Si nada puede moverse por sí mismo todo lo que está en movimiento debe ser

movido por otro.• No se puede mover hasta el infinito en la dependencia de los movidos respecto de

sus motores.• Si todas las segundas causas dependen de la primera, entonces si no hay primer

motor tampoco hay un segundo.

Conclusión:Ha de admitirse un primer motor que no sea a su vez movido, sino que se

mueva por sí mismo y sea fuente de movimiento; pero a esto todos llamamos Dios.

Las respuestas de los ejercicios restantes consúltalas con algún compañero o con tu asesor.

Volver al TextoEjercicios: Discurso Lógico y El Razonamiento.

(2) Premisas:• El oxígeno tiene 16 de peso atómico.• El peso atómico de un elemento es la relación que existe entre el peso real del

átomo correspondiente y el peso real de un átomo de hidrógeno.• El peso atómico del hidrógeno es 1.

Conclusión:El oxígeno pesa 16 veces más que el hidrógeno.

(3) Premisas:• Un punto del universo es un punto determinado del espacio en un tiempo

determinado.• Una secuencia de puntos del universo ensamblados entre sí es una línea del

universo.• Una existencia individual, que es histórica, genera una línea del universo.

Conclusión:Una línea del universo es la historia continua de un individuo existente en el espacio-

tiempo.

(4) Premisas:

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• Fuerza es toda causa de provocar o modificar el movimiento de un cuerpo o deproducir su modificación.

• Si soltamos un peso que tenemos en la mano, se cae. · Si suspendemos un peso deun resorte, se deforma.

• Si lanzamos una piedra hacia arriba, su movimiento disminuye, acaba y la piedravuelve a caer al suelo.

Conclusión:En la proximidad de la tierra todo cuerpo está sometido a una fuerza.

(5) Premisas:• El ojo humano está acondicionado para discriminar colores y percibir las formas. ·

El oído está organizado para captar diferencias de tonos y de volumen de lossonidos.

• La habilidad de los niños recién nacidos para localizar sonidos sugiere que elorganismo viene provisto de una estructura que puede ordenar la experienciasegún un esquema típico.

Conclusión:Parece ser que la experiencia nos llega ya conformada por las propias

estructuras que la hacen posible. .

(6) Premisas:• Podemos reflexionar sobre los derechos humanos desde los griegos.• Podemos reflexionar sobre los derechos humanos desde los romanos.• Podemos reflexionar sobre los derechos humanos desde la Magna Charra

Libertatum de los nobles ingleses.• Podemos reflexionar sobre los derechos desde la Declaración Universal de los

Derechos del Hombre y del Ciudadano de 1.789.• Podemos reflexionar sobre los derechos humanos hasta la Declaración Universal

de los Derechos del Hombre de las Naciones Unidas.

Conclusión:Por tanto, los derechos humanos poseen fundamentos históricos y filosóficos. Está

implícita la proposición de que en todas esas instancias que se refieren alos derechos humanos hay fundamentos filosóficos.

(7) Premisas:• Vio a los ricos que echaban sus dones en el arca.• Vio a una viuda pobre que echaba allí la moneda.• Los ricos han echado al arca de lo que les sobra.• La viuda ha echado todo lo que tenía.

Conclusión:Esta viuda pobre ha echado más que todos.En este razonamiento está implícito que dar más o menos es proporcional al dinero de

cada cual.

(8) Premisas:

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• En este jardín había cinco mil rosas semejantes.• La flor había dicho al Principito que ella era la única especie en todo el mundo.

Conclusión:El Principito se sorprendió de la falta de información de la rosa.La sorpresa se expresa con la interjección ‘¡ah!’. En el contexto se sobreentiende que

la rosa no mentía.

Las respuestas de las preguntas (1), (9), (10), consúltalas con tu asesor.Volver al Texto

AUTOEVALUATIVO 2:

(1) Razonamiento AnalógicoPremisas:

• Los animales y los racionales reaccionan externamente, ante ciertos estímulosexternos, en forma análoga

• Los racionales tienen percepciones sensibles (implícita).

Conclusión:Los animales tienen también percepciones sensibles.

(2) Razonamiento Inductivo.Premisas:

• Los metales A, B, C, D, .... sometidos a calor en distintos ambientes aumentan sutamaño.

Conclusión:Todos los metales se dilatan con el calor.

(7) Razonamiento Deductivo.Premisas:

• La razón encuentra en sí misma la idea de un ser, del ser sumo que se puedepensar.

• Si este ser existiera sólo en la mente no sería el mayor ser cogitable (pensable),pues podría pensarse un ser superior a él, el que existiera además en la realidad.

Conclusión:La idea del ser sumo exige que este ser no sólo exista en la mente, sino también en la

realidad.

(10) Razonamiento Deductivo.Premisas:

• El agua blanca de la Fuente vieja encierra en sí el verde del pinar, el rosa o azul dela aurora, el oro o malva de la tarde, el verde o celeste de la noche.

• (Implícita) El verde del pinar, el rosa o azul de la aurora, el oro o malva de la tardey el verde o celeste de la noche encierra la elegía o el sentimiento de la vidaverdadera.

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Conclusión:La Fuente vieja encierra en sí toda la elegía del mundo, esto es, el sentimiento de la

vida verdadera.

(11) Determinar qué clase de razonamiento son los correspondientes a los números: 2, 7,10,11 y 18 del autoevaluativo de la página (ver página)

Las respuestas de las preguntas (3), (4), (5), (6), (8), (9), consúltalas con algún compañero otu asesor.

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Ejercicios: Validez de los Razonamientos.

(1) Todo A es BTodo C es A

____________Por tanto, todo C es B

(2) Todo A es BTodo es C____________Por tanto, algún C es B

Nota: cuando se dice ‘el mercurio es...’, es, obvio que quiere decir “todo mercurio es...”, poreso se ha escrito en la forma “Todo A es B”.

(3) No A o ASi no A, entonces no B y CSi A, entonces B y D________________________Por tanto A

(6) o A o B o Cno A y no C

____________Luego, B

(8) o A o B y Cno A_____________Por tanto, B y C

Las respuestas de los ejercicios (3), (7), (5), (9), (10), consúltalas con tu asesor.

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AUTOEVALUATIVO 3:

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Serie de preguntas del autoevaluativo sección I

(1) No. Se necesita, además, que el razonamiento sea válido(3) No. Es necesario, además, que las premisas sean verdaderas.(4) No. Las premisas tienen que ser verdaderas, además de ser válido el razonamiento.(7) No. Sería un razonamiento válido, pero se necesita además saber que las premisas seanverdaderas.(9) Sí. El razonamiento es válido y las premisas verdaderas.

Las respuestas de los ejercicios (2), (4), (6), (8), consúltalas con tu asesor.

Serie de preguntas del autoevaluativo sección II.

(1) Puede ser válido o no. Será válido si su forma es válida, de lo contrario será no válido.(3) Válido.(6) Válido.(8) Válido. La validez de un razonamiento depende única y exclusivamente de su forma, y siésta es válida, el razonamiento también lo es. La verdad o falsedad de las premisas no incidenen la validez del razonamiento.

Las respuestas de los ejercicios (2), (4), (5), (7), (9), (10), consúltalas con tu asesor.

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C. RAZONAMIENTOS FALACES

Ejercicios: Página Falacias de Atinencia.

(1)Falacia de argumentum ad ignorantiam: ese astronauta deduce la no existencia de Dios enbase a que no se ha encontrado en el espacio.

(5)Falacia de argumentum ad baculum ofensivo: le amenazan con la expulsión si no vota lamedida X. También, hay argumentum ad hominem circunstancial por cuanto requieren suvoto por su condición de ser miembro del partido.

(10)Falacia de argumentum ad populum: trata de ganar el asentimiento al consumo de laCoca-cola, no en base a las bondades de sus componentes, sino apoyándose en un consumomayoritario.

(15)Hay dos falacias. Primera falacia de argumentum ad verecumdiam: el hecho de ser Missdel Universo no le da autoridad para emitir opinión en el campo económico Segunda falaciade argumentum ad populum: acude al parecer del pueblo y no a las razones en favor de esasmedidas.

(20)Falacia de pregunta compleja: si se responde sí, se acepta el fracaso, por eso es precisodividir la pregunta.(25)Hay varias falacias: primera, falacia de argumentum ad ignorantiam: no conoce losintereses para cerrar las carreras Universitarias en ese instituto superior, y, de ahí, deduce quesi hay intereses para su cierre; segunda, falacia de argumentum ad hominem ofensivo: ofendeal ministro al afirmar que la única causa del cierre es su roce con la autoridad del mencionado

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instituto y no a razones legales o académicas; tercera, falacia de argumentum admisericordiam: acude al sentimiento de piedad para con ella misma al afirmar que eseinstituto evita gastos mayores a su familia.

Las respuestas de los ejercicios restantes consúltalas con tu asesor.Volver al Texto

Ejercicios: Falacias de Ambiguedad.

(1) Equivoco. La expresión ‘tendrás buenos resultados’ puede tener dos significados: uno, laque le da el dueño del comedor dietético; y otra, la de la persona que se sometió a la dieta.

(5) Énfasis. Al destacar sólo `gratis aprenda inglés' cambia el significado, ya que enletra pequeña se añade que sólo son gratis los 40 primeros grupos. Una de dos, ose han cubierto los 40 cupos gratis o no se han cubierto. Si se han cubierto elnuevo aspirante no puede participar de los lo primeros cupos sin costo alguno. Sino se han cubierto los lo primeros cupos, los restantes no son los últimos, pues esobvia en el texto que los primeros 40 cupos son primeros y no últimos. Luego, en amboscasos hay contradicción.

(10) Si se toma distributivamente no hay falacia, puesto que separadamente las bombasatómicas fueron las más destructivas; pero si las dos clases de bombas se considerancolectivamente los daños de las bombas convencionales, lanzarse muchísimas más, fueronmás destructivas. Luego, si se afirma lectivamente se comete una falacia de composición. Sebasa en la confusión implicada en la falacia de división. Puesto que la respuesta: “porque haymás ovejas blancas”, trata colectivamente lo que parece considerarse distributivamente en laadivinanza.

Las respuestas de los ejercicios restantes consúltalas con tu asesor.

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AUTOEVALUATIVO 4: Página:

(1)Argumentum ad misericordiam. Se afirman la verdad de “el libre cambio de la monedanos llevará a una economía sana” sobre la base de que no se ha demostrado la faseldad de queel control de cambio sea lo mejor para la economía del país.(3)Argumentum ad hominem circunstancial el Fondo Monetario Internacional en perteneceral tercer mundo. Se exhorta a rechazar los convenios con virtud de la circunstancia especialde pertenecer al tercer mundo

(5)Falacia de Composición. De la honradez y seriedad de cada miembro del ConsejoUniversitario no se puede deducir que el Consejo Universitario como un todo sea serio yhonesto.

(7)Pregunta compleja. Esta pregunta supone una pregunta anterior: "¿ Hubo intención de lapolicía?".

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Ejercicios: Sintaxis y Semántica(1) Sintaxis, por que se refiere a reglas gramaticales de concordancia(2) Semántica, ya que define un significado asociado a un signo(3) Sintaxis, en virtud de un orden de aparición y no de un significado asociado al color(4) Sintaxis, aclara reglas de ortografía(5) Semántica, porque la sinonimia se elabora a partir de significados que difieren en suforma de escritura.(6) Semántica, porque alude a un significado opuesto(7) Sintaxis, ya que se refiere a la ortografía telegráfica(8) Semántica, porque pretende definir un término según el contexto y uso(11)Sintaxis, regula la horma de ordenar utensilios

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Ejercicios: Lógica Formal y Lógica Natural(1) Lenguaje científico, porque determina un campo lexical(2) Lenguaje Natural, porque se refiere a contenidos subjetivos(3) Lenguaje Natural, hace referencia a la gramática española(5) Lenguaje científico, ya que su carácter es formal(8) Lenguaje científico, su naturaleza es natural, porque no expresa emociones.

Volver al TextoMatematización de la Lógica

Ejercicio(1) Falso, también se simbolizaron las constantes(2) Verdadero(5) Verdadero, es de carácter sintáctico(7) Verdadero(8) Falso, aplicaba el método tradicional

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Ejercicio Semejanzas y Diferencias entre la Lógica Tradicional y la Moderna

(1) Ambas simbolizan las variables lógicas y utilizan métodos para determinar la validezdel razonamiento

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AUTOEVALUATIVO 5: Página

I.- Verdadero y Falso(1) Verdadero(2) Verdadero(6) Falso(8) Verdadero

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(9) Falso

III.- Condiciones(1) Simbolización de elementos constantes

IV.- Ventajas_ revisar lectura No. 6: Página 79

V.- Complete(1) Variables(2) Constantes y Variables

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BIBLIOGRAFIA

• COPI, lrving M. Introducción a la Lógica. Edit. Universitaria de Buenos Aires, 6'aEdición, 1968. 475 pp.

• DANN OBREGON, Ernesto. Lógica. Librería y Editorial S.A., 4~ Edic. Santa Fé,Argentina. 535 pp.

• GAINZA, José Luis y otros. Lógica. Librería Gráficos de Cravajal, S.A., Cali Colombia,289 pp.

• GARRIDO, Manuel. Lógica Simbólica. Editorial Tecnos, S.A. Madrid.• FUCHS, Waller R. Los Padres Descubren la Nueva Lógica. Ediciones Omega, S.A.,

Barcelona, España, 1974. 279 pp.• KUPPERMAN, Joel y ACKERMAN, W. Elementos de la Lógica Simbólica. Editorial

Labor, S.A., Barcelona, 1973.• LANGER, Susanne K. Introducción a la Lógica Simbólica. Siglo Veintiuno. Editores

S.A., 2da Edición. Traductor: Francisco González Aramburen.• MITCHELL, D. Introducción a la Lógica. Editorial Labor, S.A., Barcelona, 1968.

Traductor: Juan C. García B.• NUDLER, Telma B. y NUDLER, O. Elementos de la Lógica Simbólica. Editorial

Kepeluz, S.S. Buenos Aires, Argentina, 1973. 133 pp.• PLANCENZA, Eduardo. Lógica. Universidad Nacional Abierta, 4'~ Edición, Caracas,

Venezuela, 1985. 291 pp.

101

• QUINE, Willard Van O. Los Métodos de la Lógica Edit. Aires, Barcelona, 1962.Traductor: Manuel Sacristán.

• SUPPES, Patrick. Introducción a la Lógica Simbólica. Compañia Editorial Continental,S.A., México, 3a Edición, 1970. Traductor: Gabriel Aguirre C.

• SUPPES, P. y HILL, S. Introducción a la Lógica Matemática. Editorial Roverte, S.A.,1971. Traductor: Enrique Lines E.

Análisis Lógico del Discurso(Unidad II)

Prof. José Luis Gainza RoaProf. Alfredo Romero Méndez

Universidad del ZuliaNúcleo Costa Oriental del Lago

Estudios Universitarios Supervisados

LÓGICA PARA UN PROFESIONAL EFICIENTE

102

Cabimas, 2007

CUADRO DESCRIPTIVO

103

UNIDAD TEMA OBJETIVOSTERMINALES

UNIDAD II

LÓGICAPROPOSICIONAL

A. FORMAS LÓGICAS

B. PRUEBA DE VALIDEZ

C. DEMOSTRACIÓN DEVALIDEZ

6. Simbolizar en el lenguajede la Lógica Proposicional laforma lógica de losrazonamientos dados encastellano.

7. Efectuar la prueba devalidez de un razonamientomediante el método de la“implicación tautológica”

8. Efectuar demostracionesformales de validez derazonamientos, dentro de lalógica profesional, aplicandolas reglas de inferencia

ESQUEMA DE CONTENIDO

UNIDAD II.

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Cuadro DescriptivoEsquema de ContenidoIntroducción

A. FORMAS LÓGICASINTRODUCCIÓN.1. PROPOSICIONES EXTENSIONALES.2. VARIABLES PROPOSICIONALES.3. CONECTIVOS PROPOSICIONALES.4. CONECTORES.5. FORMAS PROPOSICIONALES.6. TIPOS DE PROPOSICIONES COMPLEJAS.

6.1. La Negación.6.2. La Conjunción.6.3. La Disyunción.6.4. La Implicación.6.5. La Equivalencia.Cuadro Resumen.Tabla de Verdad.

7. PARÉNTESIS Y SIMBOLIZACIÓN.8. SIMBOLIZACIÓN DE LA FORMA LÓGICA DE UN RAZONAMIENTO.

B. PRUEBAS DE VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS MEDIANTEEL MÉTODO DE IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA.

1. VALOR DE VERDAD.2. TABLAS DE VERDAD DE FORMAS PROPOSICIONALES DE CIERTA

COMPLEJIDAD.Diagramación de la Tabla de Verdad.

3. TIPOS DE FORMAS PROPOSICIONALES.3.1. Formas proposicionales tautológicas.3.2. Formas proposicionales contradictorias.3.3. Formas proposicionales contingentes.

4. VARIABLES SlNTÁCTICAS.5. IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA.6. EQUIVALENCIA TAUTOLÓGICA.7. MÉTODO ABREVIADO POR REDUCCIÓN AL ABSURDO.

8. MÉTODO DE IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA PARA. DETERMINAR LAVALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO.

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D. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ.l. DEMOSTRACIÓN.2. EXPLICACIÓN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA.

2.1. Modus Ponendo Ponens.2.2. Modus Tollendo Tollens.2.3. Transitividad Implicativa.2.4. Modus Tollendo Ponens.2.5. Regla de Simplificación.2.6. Regla de Conjunción.2.7. Regla de Adición.2.8. Dilema Constructivo.2.9. Dilema Destructivo.2.10. Reglas de inferencia por sustitución.

3. CONSTRUCCIÓN DE RAZONAMIENTOS VÁLIDOS.

BIBLIOGRAFÍAINDICE

INTRODUCCIÓN

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Con la distinción entre lenguaje natural y lenguaje formal, que hemos hecho en elobjetivo 5 de la Unidad I, estamos preparados para adentrarnos en los distintos niveles delanálisis lógico, comenzando por la definición y construcción del lenguaje formalcorrespondiente a cada nivel: en este curso abordaremos sólo dos: la lógica proposicional y lalógica de predicados.

La presente unidad corresponde a la lógica de proposiciones. En primer lugar,describiremos los elementos para el análisis lógico y procederemos en el objetivo 6, aconstruir el lenguaje respectivo, con el objeto de obtener 1a forma lógica de losrazonamientos. A partir de allí, describiremos dos procedimientos que nos permitan probar ydemostrar la validez de los razonamientos deductivos, a nivel de la lógica proposicional. Encada caso utilizaremos las técnicas apropiadas.

En el objetivo 7, a partir del análisis de la función de verdad de cada conector lógico,construiremos las tablas de verdad de formas preposicionales complejas, tales como losrazonamientos, con el fin de probar 1a validez de los mismos.

En el caso del objetivo 8, el procedimiento consiste en demostrar 1a validez delrazonamiento utilizando las reglas de inferencia.

Esta unidad, concentra un alto porcentaje de la evaluación de la asignatura, comocorresponde al grado de dificultad y al tiempo de trabajo que te va a tomar su aprendizaje.Por ello, te recomendamos realizar todos los ejercicios y mantener contacto con tu profesor.

Ante las dificultades, se acrecienta el esfuerzo y la voluntad por superarlas.

¡Adelante!

. y ¡ Animo!

A. FORMAS LÓGICAS

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OBJETIVO TERMINAL 6: Simbolizar en el lenguaje de la Lógica Proposicional la. formalógica de los razonamientos dados en castellano

Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

6.1. Dado un conjunto de proposiciones compuestas identificar las extensionales y las noextensionales.

6.2. Simbolizar, en el lenguaje de la lógica proposicional, proposiciones compuestas dediversos grados de complejidad y, a la inversa, del lenguaje de la lógica proposicional allenguaje natural.

6.3. Simbolizar, en el lenguaje de la lógica proposicional, proposiciones complejas queexpresen razonamientos, obteniendo su forma lógica.

INTRODUCCIÓN

En la Unidad I analizamos la estructura de los tres tipos de razonamiento y, enespecial, de los deductivos. Sin embargo, un punto tan determinante como el de su validez nopudo ser resuelto completamente por carecer de todos los instrumentos adecuados. Para ellose necesitaban, al menos dos elementos más: primero, simbolizar completamente, en losrazonamientos, tanto los elementos variables como las constantes; segundo, proveernos demétodos científicos que nos permitan probar y demostrar la validez de los mismos. El estudiode la lógica proposicional nos permitirá cumplir ambos objetivos.

La lógica proposicional estudia aquellos razonamientos cuya validez depende de lamanera en que las proposiciones simples que contienen se relacionan por medio deconectivos extensionales para formar proposiciones compuestas. Esta lógica nos proporcionalos instrumentos necesarios y adecuados para cumplir con estos propósitos. En este sentido,su estudio es imprescindible.

l. PROPOSICIONES EXTENSIONALES

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El concepto de proposición y la división de la misma por su complejidad, en simples ycompuestas, han sido ya explicados en las páginas 22-23 y siguientes en la Unidad I. Ahoranos detendremos en el análisis de las proposiciones compuestas.

Las proposiciones compuestas pueden ser extensionales y no-extensionales. Acontinuación estudiaremos las primeras. Para comprender su concepto, analizaremos lasiguiente proposición compuesta:

(a) Rómulo Gallegos es un: escritor venezolano y Cervantes escribió el Quijote.

Las dos proposiciones simples de (a) son:

(i) Rómulo Gallegos es un escritor venezolano.(ii) Cervantes escribió el Quijote(iii) ‘y’ es el conectivo.

Ahora preguntémonos qué es lo que determina el valor de verdad de la proposición(a). Este depende únicamente del valor de verdad de las proposiciones (i) y (ii) definidas porel correctivo ‘y’. No necesitamos ningún otro dato para determinar su valor de verdad. Poreso, como (i) y (ii) son verdaderas, la proposición compleja (a) es verdadera.

(b) Gabriel García Márquez es colombiano y Vargas Llosa es mexicano.

La proposición (b) está formada por las proposiciones simples:

(i) Gabriel García Márquez es colombiano(ii) Vargas Llosa es mexicano

Estas proposiciones se unen con el conectivo ‘y’.Preguntémonos ¿cuál es el valor de verdad de (b)?

Cualquiera que conozca un mínimo de literatura latinoamericana sabe que (i) esverdadera y (ii) falsa, y, por tanto, (b) es falsa. La falsedad de (b) es función de los valores deverdad de (i) y (ii) definidas por el conectivo. ‘y’. En otras palabras, la falsedad de (b) sólodepende de los valores de verdad de (i) y (ii) definidos por `y'.Las proposiciones compuestas (a) y (b) reciben el nombre de extensionales. En consecuenciapodemos definir una proposición extensional:

Se dice que una proposición es extensional cuando su valor de verdad estádeterminado completamente por el valor de verdad de las proposiciones que la componen.

Las proposiciones extensionales también reciben el nombre de proposicionesveritativo- funcionales.

Los conectivos de las proposiciones extensionales se llaman conectivos extensionales.PROPOSICIONES NO EXTENSIONALES

109

Analicemos las siguientes proposiciones:

(c) El Lago de Maracaibo está contaminado porque sobre él se derrama muchopetróleo.

Las proposiciones simples de (c) son:

(i) El Lago de Maracaibo está contaminado(ii) Sobre él (el Lago de Maracaibo) se derrama mucho petróleo.(iii) Porque, es el conectivo.

¿Cuál será el valor de verdad de (c)?. En primera instancia, nos damos cuenta que noes insuficiente conocer los valores de verdad de (i) y (ii), para ello necesitamos algo más.Averiguar si realmente la causa de la contaminación del Lago de Maracaibo es el vertederode petróleo sobre él. Podrá suceder que esa no sea la causa. Es decir, para determinar el valorde verdad de (c) necesitamos otros datos, además de los valores de verdad de suscomponentes (i) y (ii).

Otro ejemplo más:

(d) Juan de Austria triunfó en la batalla de Lepanto, debido a que era un grangeneral.

Analicemos la proposición (d). Las proposiciones simples son:

(i) Juan de Austria triunfó en la batalla de Lepanto.(ii) (Juan de Austria) era un gran general.(iii) Debido a que, es el conectivo.

Observemos que las proposiciones (i) y (ii) son verdaderas según todos los datoshistóricos Pero eso no es suficiente para afirmar que (d)también sea verdadera, ya que labatalla de Lepanto pudo haberse ganado por otras razones distintas. Lo que importa esresaltar que el valor de verdad de (d) no depende solamente de los valores de verdad de (i) y(ii), sino que, además, se necesitan otras informaciones para determinar su valor de verdad.

Las proposiciones (c) y (d) se llaman no extensionales. Podemos, pues, definir unaproposición no extensional así:

110

Una proposición es no extensional cuando para determinar su valor deverdad no es suficiente conocer el valor de verdad de las proposiciones simples quela componen.

Los conectivos de las proposiciones no extensionales reciben el nombre de conectivosno extensionales.

En la lógica formal se tiene en cuenta sólo las proposiciones extensionales y losconectivos extensionales.

EJERCICIOS

Determinar si las siguientes proposiciones son o no extensionales (objetivo específico6.1)

(1) La descentralización en Venezuela es un desideratum de la población porque es anivel local donde se sienten y se tienen que resolver los problemas de cada día.

(2) Si es a nivel parroquial y municipal donde se resuelven los problemas, entonces, ladescentralización en Venezuela tiene que darse lo antes posible.

(3) En general, el ignorante tiene respuesta y solución a todo debido a que sólo ve unaspecto del todo.

(4) Los gobernantes, con frecuencia, no conocen las necesidades de la gente porqueviven en su torre de marfil.

(5) Los astronautas flotan en el espacio, ya que a determinada altura no estánsometidos a la gravedad terrestre.

(6) Si los medios de comunicación social penetran en todos los hogares, tiene queutilizarse con mucho respeto y prudencia.

2. VARIABLES PROPOSICIONALES

Las variables proposicionales son ciertas letras minúsculas del alfabeto, tales como“p”, “q”, “r”, “s”, “t”, etc., que representan proposiciones simples. Por ejemplo, si a laproposición: “El Estado Zulia es rico en petróleo” convenimos en representarla con la letra“p”, decimos que “p” es una variable proposicional; o si la proposición: “Caracas es la capitalde Venezuela” convenimos en representarla con la letra “q”, diremos que “q” es otra variableproposicional.

Se les llama variables proposicionales porque cada una de ellas puede representarcualquier proposición en distintos contextos. Así “p” en un contexto puede representar “LuisHómez nació en Maracaibo” y en otro representar “El número atómico del hidrógeno es 1”.Lo mismo sucede con “q”, “r”, “t” y demás variables proposicionales.

Adoptaremos la convención siguiente: si hay una sola proposición simple larepresentaremos con “p”; si hay dos, la primera la simbolizaremos con “p” y la segunda con“q”; si hay tres, la primera la simbolizaremos con “p”, la segunda con “q” y la tercera con“r”, y así sucesivamente.

En el caso de que sean muchas las proposiciones podemos escribir subíndices a lasletras, es decir, así: ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’, ‘pl’, ‘ql’, ‘rl,’, ‘sl’, ‘tl’, ‘p2’, ‘q2’, ‘r2’, ‘s2’, ‘t2’.

3. CONECTIVOS PROPOSICIONALES

111

Analicemos las siguientes proposiciones:

(a) Los yanomamis viven en el oriente de Venezuela y hay unos cuantos miles.(b) El gobierno de Venezuela protege a los yanomamis o éstos se extinguen.(c) Si a un cuerpo en reposo se le aplica una fuerza, entonces se mueve.(d) Hay vida si, y sólo si hay agua.(e) No llueve.

En (a) el conectivo es ‘y’; en (b) es ‘o’; en (c) es ‘si... entonces’; en (d) es ‘si, y sólosi’ y en (e) ‘no’. Los conectivos son expresiones que unen o conectan proposiciones.

Los conectivos pueden ser monádicos y diádicos. Los monádicos afectan a unaproposición y los diádicos unen dos proposiciones. El conectivo ‘no’ es monádico, los otrosrestantes (‘y’; ‘o’; ‘si... entonces’; ‘si, y sólo si’ o sus equivalentes) son diádicos.

4. CONECTORES

Los símbolos lógicos que representan a los conectivos se llaman conectores. Cadaconectivo tiene un conector determinado con su nombre correspondiente. En el cuadrosiguiente aparecen los conectivos, los conectores y el nombre de cada conector.

CONECTIVOS CONECTORES NOMBRE DELCONECTOR

NOYO

SI..., ENTONCESSI Y SÓLO SI

∼∧∨⊃≡

NegadorConjuntorDisyuntorImplicador

Coimplicador o Equivalencia

5. FORMAS PROPOSICIONALES

El resultado de representar las proposiciones por variables proposicionales y losconectivos por los conectores correspondientes se llama Forma Proposicional. Así, en laproposición: “Los yanomamis viven en el oriente de Venezuela y suman unos cuantos miles”,representamos por ‘p’: “Los yanomamis viven en el oriente de Venezuela”, y por ‘q’: “(losyanomamis) suman unos cuantos miles” y el conectivo ‘y’ por el conector ‘∧’, tendremos lasiguiente forma proposicional:

p q

Por tanto, una forma proposicional es una sucesión ordenada, de acuerdo a

112

ciertas reglas, de variables proposicionales y conectores. Las formas proposicionalesrepresentan proposiciones para la lógica formal.

6. TIPOS DE PROPOSICIONES COMPLEJAS

6.1. La Negación.

Es una proposición que contiene un conectivo negativo. El modo más corriente deformarla es anteponiendo `no' al verbo principal. Por ejemplo, la negación de “llueve” es “nollueve”, la negación de “Sócrates nació en Atenas” es “Sócrates no nació en Atenas”.

En castellano se usan para negar, además de ‘no’ otras expresiones como ‘es falsoque’, ‘no es cierto que’, ‘no es el caso que’, ‘no ocurrió aquí’ y otras similares. Todas estasexpresiones cumplen la misma función de negar, y se simbolizan con el negador.

Cuando se niega una variable proposicional el negador se coloca delante de ella. Así“~ p” es la negación de “p”.

La negación de una proposición verdadera es falsa y viceversa. Si la proposición“Cristóbal Colón nació en Venecia” es verdadera, su negación será falsa. Si ‘p’ representauna proposición cualquiera y representamos los valores de verdad por ‘1’ (uno) la verdad y‘0’ (cero) la falsedad. Lo anterior puede expresarse por medio de la siguiente tabla de verdad.

p p1 00 1

Cuando p es verdadera , p es falsa y viceversa

6.2. La Conjunción.

Cuando dos proposiciones se unen mediante el conectivo ‘y’ o sus equivalentes, laproposición compuesta resultante es una conjunción, así, la proposición “Maracaibo es lacapital del Estado Zulia y fue fundada en el siglo XVI” es una conjunción.

Si sustituimos “Maracaibo es la capital del Estado Zulia” por ‘p’, “(Maracaibo) fuefundada en el siglo XVI” por ‘q’ y el conectivo ‘y’ por el conjuntor (), la formaproposicional anterior es:

p q

La conjunción tiene dos argumentos: el primero es lo que aparece a la izquierda delconjunto (en este caso p) y el segundo lo que aparece a su derecha (aquí q).

Dados “p” y “q” y partiendo de que cada uno puede ser verdadero (1) o falso (0),solamente podemos asignarle a la proposición ‘p q’ cuatro posibles casos de combinaciónde esos valores de verdad. Estos conjuntos son:

1er Conjunto: p verdadero y q verdadero

113

2do Conjunto: p falso y q verdadero3 er Conjunto: p verdadero y q falso4to Conjunto: p falso y q falso

El valor verdadero de una conjunción está definido por los valores de verdad de suscomponentes estableciendo que una conjunción es verdadera cuando ambos argumentos sonverdaderos y falsa en los demás casos. En el caso de “p ∧ q” los valores de verdad de loscuatro conjuntos posibles pueden expresarse brevemente en la tabla siguiente:

p q

1 1 10 0 11 0 01 0 0

Sólo en la primera fila, donde p y q son verdaderas, su conjunción es verdadera, en losdemás casos, tal como se muestra en las tres siguientes, es falsa.

En castellano, además de la ‘y’ se emplean otras expresiones, como ‘también’, ‘pero’,‘sin embargo’, ‘aunque’, ‘no obstante’ y otras semejantes para construir una conjunción.Todas estas expresiones se representan en lógica por el conector (∧).

La ‘y’ no siempre une proposiciones. Por ejemplo, en la proposición “Bolívar y Sucrefueron contemporáneos” la ‘y’ no une dos proposiciones, puesto que esa proposición essimple. Distinto sería si dijera: “Bolívar y Sucre son dos próceres venezolanos”. Aquí la ‘y’ síune dos proposiciones, ya que esta última proposición equivale a “Bolívar es un prócervenezolano y Sucre es un prócer venezolano”.

A veces una coma equivale a ‘y’. Por ejemplo, en la proposición: “Cesar llegó, vio yvenció”, la coma que aparece después de ‘llegó’ equivale a ‘y’.

6.3. La Disyunción

La disyunción de dos proposiciones se forma insertando el conectivo ‘o’ entre ellas.La proposición “Rafael Urdaneta nació en Maracaibo o en Caracas” es una disyunción.

Si “Rafael Urdaneta nació en Maracaibo” se representa por ‘p’ y (Rafael Urdanetanació) en Caracas” por ‘q’, y el conectivo ‘o’ por la disyunción ‘∨’. La disyunción anterior sesimboliza:

p v qque se lee “p o q”.

La disyunción tiene dos argumentos, el primero es el que aparece a la izquierda deldisyuntor y el segundo, aparece a su derecha. En el caso anterior ‘p’ sería el primerargumento y ‘q’ el segundo.

La columna de valores deverdad que aparece debajodel conjuntor se llamanúmero matricial

114

Aunque la disyunción es ambigua en castellano, en lógica consideramos todas lasdisyunciones inclusivas, de tal manera que la conjunción la consideramos verdadera cuandouno de sus argumentos es verdadero o ambos son verdaderos, falsa sólo cuando ambosargumentos son falsos. esto se expresa en la siguiente tabla de verdad:

p q1 1 10 1 11 1 00 0 0

Para expresar una disyunción en castellano, a veces se suele repetir el conectivo ‘o’para hacer énfasis, o también se usa la expresión ‘o bien’, igualmente repetida, con esemismo fin. En estos casos hay que señalar que, desde el punto de vista meramente lógico,estas expresiones son equivalentes a la disyunción simple. Por lo tanto, cuando decimos: ‘Oel examen es el lunes o el martes’ así como ‘O bien el examen es el lunes o bien el martes’esto equivale a decir ‘El examen es el lunes o el martes’. Las tres formas se simbolizan de lamisma manera. Siendo “p” ‘el examen es el lunes’ y “q” ‘(El examen) el martes’, la formaproposicional sería:

p q6.4. La Implicación

La proposición compuesta, formada por dos proposiciones ordenadas de tal maneraque la primera está precedida por el condicional ‘si’ y la segunda por la palabra ‘entonces’ sellama implicación. Por ejemplo, la proposición “Si se logra castigar a los corruptos, entoncesse fortalece la confianza pública”, es una implicación. La proposición que aparece entre el‘si... entonces...’ es el antecedente, y la que sigue al ‘entonces’ el consecuente. El conectivoes ‘si-entonces’.

La simbolización de la implicación es semejante a la de la conjunción y a la de ladisyunción, colocando el implicador entre las variables proposicionales. Así, si en la anteriorimplicación ‘p’ representa “Se logra castigar a los corruptos” y ‘q’ “Se fortalece la confianzapública”, su simbolización será:

p q

que se lee, “si p, entonces q” y también “p implica q”.

Una implicación es falsa cuando el antecede es verdadero y el consecuente falso, enlos demás casos es verdadera, lo cual se expresa en esta tabla de verdad.

p q

1 1 10 1 11 0 00 1 0

115

En castellano, además de la expresión “si-entonces”, hay otras equivalentes que seusan para formar implicaciones. Veamos,

Sean “p” y “q” y su implicación “p ⊃ q”. Estas pueden expresarse, entre otras, de lasiguiente manera:

Si p, entonces qSi p, qp implica qp sólo si qq, si pq siempre que pp es condición suficiente para qq es condición necesaria para p

Observa que en todas esas expresiones ‘p’ es siempre el antecedente y ‘q’ elconsecuente, sin importar el orden en que aparecen en las distintas expresiones; es decir,todas se simbolizan así: “p ⊃ q”.

6.5. La Equivalencia

Si colocamos el conectivo ‘si y sólo si’ entre dos proposiciones, la proposicióncompuesta correspondiente recibe el nombre de equivalencia. Por ejemplo, la proposición“La matemática es una ciencia formal, si, y sólo si opera con formas” es una equivalencia.

Si en la proposición anterior representamos a “La matemática es una ciencia formal”por ‘p’, “(La matemática) o opera formas” por ‘q’ y el conectivo ‘si, y sólo si’ por elcoimplicador ‘≡’, su simbolización es:

p q

que se lee “p si, y sólo si q”, o también “p equivale a q”.

La equivalencia tiene dos argumentos, el primero es el que aparece a la izquierda delcoimplicador, el segundo el que aparece a su derecha. En el ejemplo dado ‘p’ sería el primerargumento y ‘q’ el segundo.

Una equivalencia es verdadera cuando ambos argumentos tienen el mismo valor deverdad, y falsa cuando los argumentos tienen distinto valor de verdad. Esto se expresa en latabla siguiente:

p q1 1 10 0 11 0 00 1 0

116

CUADRO RESUMEN

CONECTORESNOMBREDE LOS

CONECTORES

EXPRESIÓNCASTELLANA

EJEMPLO DEPROPOSICIÓN

NOMBREDE LA

PROPOSICIÓNSIMBOLIZACIÓN

Negador

Conjuntor

Disyuntor

Implicador

Coimplicador

no

y

o

si, entonces

si, y sólo si

No llueve

Llueve y truena

Llueve o truena

Si llueve,entonces truena

Llueve si y sólosi truena

Negación

Conjunción

Disyunción

Implicación

Equivalencia

∼ p

p ∧q

p ∨ q

p ⊃ q

p ≡ q

TABLAS DE VERDAD

Negación Conjunción Disyunción Implicación Equivalenciap p p q p q p q p q10

01

1010

1000

1100

1010

1110

1100

1010

1101

1100

1010

1001

1100

7. PARÉNTESIS Y SIMBOLIZACIÓN

Los paréntesis en las formas proposicionales se utilizan para indicar el alcance decada conector, su zona de influencia. El conector principal es el que tiene mayor alcance y elque define la forma proposicional.

Veamos en la siguiente forma proposicional el uso de los paréntesis:

2 1 1 2 3 3

( ( p q ) p ) ( q p )

En ella hay cinco conectores. El alcance del negador es ‘q’; el del primer conjuntor elparéntesis 1; el del implicador el paréntesis 2; el del segundo conjuntor los paréntesis 2 y 3; yel del disyuntor el paréntesis 3. El conector principal es el que tienen mayor alcance, en estecaso es el segundo conjuntor. El conector principal determina qué tipo de proposición es. Enel ejemplo, por ser el conector principal el conjuntor, la proposición e una conjunción.

Otro ejemplo. Sea la forma proposicional:

2 1 1 2 3 3

( ( p q ) r ) ( r s )

117

Observa que los tres negadores tienen alcances diferentes: el primero es todo loincluido en el paréntesis 2, el del segundo ‘q’ y el del tercero lo incluido en el paréntesis 3; elalcance del conjuntor es el paréntesis l; el del implicador lo que está a su izquierda(antecedente) y ‘r’ (consecuente); el del coimplicador lo que está a su izquierda (primerargumento) y lo que está a su derecha (segundo argumento); y el del disyuntor el tercerparéntesis. El coimplicador es el conector principal.

En la abstracción de las formas proposicionales de proposiciones de ciertacomplejidad los paréntesis son de uso necesario. Para facilitar este proceso es convenienteseguir los pasos siguientes:

(i) Identificar las proposiciones simples y representarlas con variablesproposicionales.(ii)Identificar los conectivos con sus alcances y determinar el conectivo principal ysustituirlos por los conectores correspondientes.(iii)Escribir la forma proposicional colocando los paréntesis requeridos.

Veamos un ejemplo. Sea la proposición:

“Si la universidad no cierra sus puertas y tiene profesores responsables, entonces losestudiantes no perderán su tiempo y saldrán bien preparados.”

1. Proposiciones Simples

• La universidad cierra sus puertas: p• (La universidad) tiene profesores responsables: q• Los estudiantes perderán su tiempo: r• (Los estudiantes) saldrán bien preparados: s

2. Conectivos y Conectores

• Conectivo principal: si-entonces (⊃)• Conectivos en el antecedente: no (~) e y (∧)• Conectivos en el consecuente: no (~) e y (∧)

3. Se escribe la forma proposicional con los paréntesis requeridos:

( p q ) ( r s )

Observaciones:• La forma proposicional es una implicación.• No hay una regla mecánica que permita identificar el conectivo principal y el

alcance de cada conectivo; sin embargo, con un análisis de las proposicionescorrespondientes se logra con relativa facilidad.

118

Cuando una proposición no tiene la forma típica correspondiente, antes de proceder asu simbolización es conveniente traducir la misma. Por ejemplo, la proposición:

Sólo si se simbolizan los elementos variables y constantes de las proposiciones, sepodrá aplicar el método matemático a la lógica y demostrar la validez de losrazonamientos.

Esta proposición es una implicación, sin embargo esa no es su forma típica en la queel antecedente aparece claramente entre el ‘si’ y el ‘entonces’ y el consecuente sigue al‘entonces’. Por eso, antes de simbolizar, es preciso expresarla en su forma. típica. Si tenemosen cuenta que el consecuente es condición necesaria para el antecedente y que el ‘solo si’indica necesidad, la forma típica será esta:

Si se puede aplicar el método matemático a la lógica y demostrar la validez de losrazonamientos, entonces se simbolizan los elementos variables y constantes de lasproposiciones.

Observa que se ha cambiado el tiempo del verbo; el futuro (podrá) a presente (puede). Enlógica los tiempos de los verbos no cambian la forma de las proposiciones y, por tanto, espermitido hacerlo sin modificar su estructura.

Hecho esto se procede a abstraer la forma proposicional tal como se hizo en el primerejemplo.

Veamos:

l. Proposiciones Simples:p: se puede aplicar el método matemático a la lógicaq: (se puede) demostrar la validez de los razonamientosr: se simbolizan los elementos variables y constantes de las proposiciones

2. Conectivos y Conectores:

• Conectivo principal: si... entonces... (⊃)• Conectivo en el antecedente: y (∧)

3. Forma Proposicional:( p q ) r

A continuación se te presentan unos ejercicios.Si te hace falta lee el material para aclarar tus dudas.

119

EJERCICIOS

Simbolice en el lenguaje de la lógica proposicional las siguientes proposiciones(objetivo específico 6.2).

(1) Si se logra una mayor conciencia cívica, un mayor compromiso con la comunidady unos gobernantes honestos, entonces los distintos problemas del país iránsolucionándose poco a poco y la democracia se podrá catalogar de eficiente.

(2) Si la corriente eléctrica no puede observarse a simple vista, ni se pueden ver lascargas eléctricas que circulan por el conductor, entonces conoceremos que unacorriente está pasando por un circuito eléctrico por los efectos que produce.

(3) La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta si y sólo si tenemos encuenta la geometría plana de Euclídes; pero si la geometría es Euclides, ladistancia mas corta entre dos puntos no es línea recta.

(4) Sólo si leemos buenos autores y observamos el uso que ellos hacen de los signosde puntuación, podremos redactar con buen estilo y nos atreveremos a expresarpor escrito nuestras ideas y convicciones.

(5) Si Luis ni fue al juego de pelota ni a la playa, se quedó en casa de Ana y ahoraestá preparando el examen de matemática.

(6) Si los colores dependen del ojo humano y no de los objetos mismos, entonces olos animales no perciben los mismos colores que los humanos o los ojos de losanimales no tienen la misma constitución que la de los humanos.

(7) Si la humanidad logra viajar a una velocidad próxima a la de la luz y se encuentraen el universo planetas semejantes a la Tierra, entonces el sol podrá extinguirse yla tierra desaparecer, pero la raza humana podrá seguir viviendo en el universo.

(8) Siempre que la humanidad pueda desarrollarse respetando el medio ambiente ycambie sus valores, podrá salvarse la vida en la Tierra.

(9) Venezuela logrará una mayor calidad de vida para sus habitantes y una mayorrespeto a los derechos humanos si, y sólo si sus ciudadanos trabajan con ahínco ycambian su jerarquía de valores.

(10) Si es falso que a escala sideral el tiempo no es lo mismo que el espacio,entonces en el universo el espacio y el tiempo son una misma realidad.

(11) En la oficina los empleados están contentos y realizan con mística sus tareassiempre que el jefe llega a tiempo, trabaja con dedicación y trata con respeto a susempleados.

(12) Sólo si te dedicas a aquello que te apasiona, trabajarás sin descanso y lograrásel éxito.

(13) Si no hay gente ni perezosa si incapaz, hay gente que no dedica su tiempo ysus capacidades a lo que verdaderamente le interesa.

(14) Si el abogado para ser eficiente tiene que contribuir a resolver el problema dela justicia en el país, el médico para serlo tiene que preocuparse por la saludpública y el ingeniero, a su vez, contribuir a resolver los problemas socialespropios de su profesión, entonces un profesional eficiente, además de sercompetente en su profesión, tiene que ser socialmente útil.

(15) Sólo si nos distraemos en clase ni dejamos de hacer los ejercicios del libro,entenderemos la lógica.

120

8. SIMBOLIZACIÓN DE LA FORMA LÓGICA DE UN RAZONAMIENTO

En todo razonamiento hay, como se explicó en la unidad I, contenido y forma. Paraabstraer la forma lógica de un razonamiento:

(i) Separamos las premisas y la conclusión.(ii) Señalamos todos los conectivos y demás términos de enlace que no sean los cincoconectivos definidos en la lógica proposicional.(iii) Identificamos cada una de las proposiciones simples asignándoles las variablesproposicionales correspondientes.(iv) Simbolizamos la forma lógica de cada premisa alineadas una debajo de la otra yla conclusión separada por una línea horizontal.

En cada línea colocamos los paréntesis que sean necesarios, para indicar el alcance decada conector.

Abstraigamos la forma lógica del siguiente razonamiento:

a) Si hay inflación, sube el precio de las mercancías.En efecto, hay inflación. Por lo tanto, sube el costo de las mercancías.

(i) Separamos las premisas y la conclusión.(ii) Sustituimos las proposiciones simples por variables proposicionales y(iii) El conectivo por el conector correspondiente:

p: Hay inflación.q: Sube el precio de las mercancías.⊃: El conectivo ‘si-entonces’.

(iv) Trazamos una línea horizontal que representa a ‘por tanto’, para indicar el tránsitode las premisas a la conclusión.

La palabra ‘entonces’, como parte del conectivo de la implicación de la primerapremisa, está implícita. Para abstraer la forma lógica sustituimos las proposiciones simplespor sus variables correspondientes, el conectivo (‘si-entonces’). La forma lógica es:

p q Primera premisap Segunda premisa

____________________________________q Conclusión

La expresión ‘en efecto’ se puede suprimir, pues no forma parte de ningunaproposición y no es tampoco conectivo, simplemente, es parte del estilo.

121

Otro ejemplo. Abstraigamos la forma lógica de este razonamiento:

b) Si un objeto flota en el agua, es menos denso que el agua. Si es menos denso que elagua, puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso. Si puede desplazaruna cantidad de agua igual a la de su peso, el objeto flotará en el agua. Por tanto, unobjeto flotará en el agua si, y sólo si puede desplazar una cantidad de agua igual a 1ade su peso.

Separar las premisas y la conclusión:

Si un objeto flota en el agua, es menos denso que el agua.Si es menos denso que el agua, puede desplazar una cantidad de agua igual a la de supeso.Si puede desplazar una cantidad de agua igual a la de su peso, el objeto flotará en elagua.Por tanto, un objeto flotará en el agua si, y sólo si puede desplazar una cantidad deagua igual a la de su peso.

Identificar y sustituir las proposiciones simples por variables proposicionales:

p: Un objeto flota en el agua.q: Es menos denso que el agua.r: Puede desplazar una cantidad de agua igual a su peso.

Las tres premisas tienen como conectivo ‘si-entonces’. La palabra ‘entonces’ comoparte del conectivo de la implicación está sobreentendida en las tres premisas. El conectivode la conclusión es ‘si y sólo si’.

Para abstraer la forma lógica sustituimos las proposiciones simples por suscorrespondientes variables, los conectivos por los conectores y trazamos una raya a laconclusión. El resultado es de esta forma lógica:

p q Premisaq p Premisar p Premisa____________________p r Conclusión

A veces la forma lógica de los razonamientos no es tan obvia en vista de que algunapremisa o la conclusión están formuladas de una manera distinta a la típica. En este caso serecomienda transcribir el razonamiento formulando las premisas y j,~ conclusión en su formatípica. Veamos un ejemplo. Sea el razonamiento:

c) Sólo .si la bóveda se hubiera cerrado automáticamente y la policía hubiera llegadoa tiempo, el cajero o el contador hubiera hecho sonar la alarma. La policía hubierapodido alcanzar el automóvil de los ladrones, siempre que hubiera llegado a tiempo.Sin embargo, no pudo alcanzar el automóvil de los ladrones. Luego, el cajero no hizosonar la alarma.

122

En este razonamiento las dos primeras premisas, que son dos implicaciones, no estánexpresadas en la forma normal o típica. Luego, antes de abstraer la forma lógica delrazonamiento procederemos a expresarlas en la forma típica de la implicación de la siguientemanera:

Si el cajero o el contador hubiera hecho sonar la alarma, entonces la bóveda sehubiera cerrado automáticamente y la policía hubiera llegado a tiempo.Si la policía hubiera llegado a tiempo, entonces hubiera podido alcanzar el automóvilde los ladrones.Sin embargo, no pudo alcanzar el automóvil de los ladrones. Luego, el cajero no hizosonar la alarma.

Ahora se continúa de la forma explicada anteriormente. Sustitución de las proposicionessimples anteriores:

p: El cajero hubiera hecho sonar la alarmaq: El contador hubiera hecho sonar la alarma.r: La bóveda se hubiera cerrado automáticamente.s: La policía hubiera llegado a tiempo.t: La policía hubiera podido alcanzar el automóvil de los ladrones.

Sustitución de los conectivos ( ‘o’, ‘si-entonces’ y ‘no’ ) por los conectores (‘’, ‘’,y ‘’).

Abstracción de la forma lógica:

( p q ) ( r s ) Premisas t Premisat Premisa_______________________________p Conclusión

Si has seguido toda la secuencia, estarás en capacidad de resolver elAutoevaluativo que a continuación se te presenta.

123

AUTOEVALUATIVO 6

Abstraiga dentro de la lógica proposicional, la forma lógica de los siguientesrazonamientos (objetivo específico 6.3).

(1) Bien el profesor no corrigió bien el trabajo o bien se equivocó al registrar lacalificación. En realidad, el profesor corrigió correctamente el trabajo. Por tanto, seequivocó al registrar la calificación.

(2) Si al introducir un papel de tornasol azul en una solución se torna rojo, o bien lasolución es un ácido o bien hay algo que está fallando. Sin embargo, no falla naday el papel de tornasol azul se cambia a color rojo. Luego, la solución es un ácido.

(3) Si el portero o la empleada hubieran avisado, se habría llamado a la policía y elladrón habrían sido atrapado. Pero el ladrón no fue atrapado. Por tanto, es falsoque el portero y la empleada avisaron.

(4) Si el nuevo presupuesto nacional no aumenta la inflación o no disminuye el salarioreal, es falso que habrá una explosión social. El análisis del nuevo presupuestoindica que es falso que es inflacionario y que disminuye el salario real. Por tanto,no habrá explosión social.

(5) Siempre que llego a tiempo al trabajo, éste se lleva a cabo con eficiencia y laempresa progresa. Si ésta progresa es más competitiva y asegura el empleo bienremunerado a sus trabajadores. Siempre llego a tiempo al trabajo. Por tanto, laempresa asegura un empleo bien remunerado a los trabajadores.

(6) Si los países del tercer mundo exportan materias primas y éstas se paganjustamente por los países desarrollados y, además, hay una distribución equitativade la riqueza, sus pueblos serán bien alimentados. Sin embargo, los hechos indicanque estas naciones exportan materias primas y sus pueblos están desnutridos . Enconsecuencia o las materias primas no se pagan justamente o a hay una maladistribución de riquezas.

(7) Si hay impunidad, aumenta la corrupción. Si los políticos persiguen sus interesespersonales, nuestra democracia es una pseudodemocracia. Sin embargo, no escierto que aumenta la corrupción y que nuestra democracia sea pseudodemocracia.Luego, o no hay impunidad o los políticos no persiguen sus intereses personales.

(8) Actuamos con rectitud, sólo si hay adecuación entre nuestros pensamientos ynuestros actos. Si se da esto último, vivimos en paz con nosotros mismos. Sólo sisomos felices vivimos en paz con nosotros mismos. Actuemos con rectitud. Portanto, somos felices.

(9) Si Luis recibe la notificación, vendrá siempre que todavía pueda tomar un avión.Aunque no ha venido, aun puede tomar el avión. Por tanto, no recibió lanotificación.

(10) Si el primer argumento de una conjunción es falso, la conjunción como untodo es falsa. Por tanto, si tanto el primer argumento como el segundo de unaconjunción son falsos, la conjunción como todo es falsa.

(11) Sólo si un razonamiento es falso y sus premisas verdaderas, la conclusión delmismo es necesariamente verdadera. Por tanto, la conclusión de un razonamientono es necesariamente verdadera, si el razonamiento no es válido o las premisas noson verdaderas.

(12) Actuamos correctamente si y sólo si hay adecuación en nuestro pensamiento yel acto ejecutado. Sólo si hay coherencia en nuestra personalidad, lo que hacemoscorresponde a los que pensamos. Si hay coherencia en nuestra personalidad, somoshonestos. Luego no actuamos correctamente o somos honestos.

124

(13) Si se quiere que el Aula Magna de la Universidad del Zulia sea un gran centrocultural regional, tendrá que ubicarse en el mismo corazón de la ciudad y tener losespacios suficientes para cumplir con este cometido. Ahora bien, si se logran estasdos últimas condiciones, su costo será multimillonario. Si el costo esmultimillonario, es preciso el trabajo solidario de la comunidad para lograr lacantidad de dinero necesaria En consecuencia, es falso que simultáneamente sequiera que el Aula Magna de la Universidad del Zulia sea un gran centro culturalregional y la comunidad no trabaje solidariamente para conseguir los recursosnecesarios.

(14) Si la descripción bíblica de la cosmogonía es estrictamente correcta, el sol nofue creado el cuarto día. Y si el sol no fue creado el cuarto día, no puede haber sidola causa de la sucesión del día y de la noche durante los tres primeros días. Pero, obien las Estructuras usan la palabra `día' en un sentido diferente de la acepcióncorriente en la actualidad, o bien el sol debe haber sido la causa de la sucesión deldía y la noche durante los tres primeros días. De esto se desprende que, o bien lapalabra `día' es usada en las Escrituras en un sentido diferente al aceptadocorrientemente en la actualidad o bien la descripción bíblica de la cosmogonía noes estrictamente correcta ( I. Copi ).

Compara tus respuestas si aún te quedan dudas. Si todo está correcto. Felicitaciones!Continúa con Prueba de Validez de los Razonamientos.

125

B. PRUEBA DE VALIDEZ DE LOS RAZONAMIENTOS MEDIANTE EL MÉTODODE LA IMPLICACIÓN TAUTOLÓGlCA .

OBJETIVO TERMINAL 7: Efectuar la prueba de validez de un razonamientomediante el método de la “implicación tautológica”.

Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

7.1. Conocidas la definición y la tabla de verdad de cada conector lógico, obtener elvalor de verdad de una f.p. compuesta a partir de los valores de verdad asignados alos v.p.

7.2. Asimismo, construir tablas de verdad de f.p. más complejas.

7.3. Comprendido los conceptos de “función veritativa” y “número matricial”,distinguir las f.p. tautológicas, contradictorias y contingentes mediante las tablas deverdad o el “Método Abreviado por Reducción al Absurdo”.

7.4. Dado que un razonamiento válido es una implicación lógica (tautológica),aplicar este principio para probar si un razonamiento es válido o no.

1. VALOR DE VERDAD DE LAS FORMAS PROPOSICIONALES.

Una vez conocidas las tablas de verdad simples definidas por los conectores lógicospodemos obtener el valor de verdad de formas proposicionales más complejas a partir de losvalores de verdad asignados a las variables proposicionales.

Veamos un ejemplo:

Sea la forma proposicional: ( ~p ⊃ q ) ∼∧ r ; asignamos a ‘p’ el valor de verdad V, a‘q’ F y a ‘r’ F. Coloquemos los valores veritativos asignados a las v.p. debajo de las mismas yefectuemos las operaciones de cada conector. Hagámoslo.

lº 2º 3º( p q ) r

0 1 1 0 0 0

126

Observaciones:• El conector principal es el conjuntor.• El orden de las operaciones está indicado encima de cada conector.• Los valores de verdad que intervienen en cada operación están indicados por

flechas de doble sentido.• El valor de verdad de la forma proposicional es falso.

Antes de seguir el estudio, revisemos si dominas los conceptos explicados.Para ellos te presentamos estos ejercicios

EJERCICIOS

Si ‘p’ es falso, ‘q’ verdadero y ‘r’ falso, hallar el valor de las siguientes formasproposicionales

(1) ( p ⊃ ∼ q ) ∨ ∼ r

(2) ( p ∨ ∼ q ) ⊃ r

(3) ( ( p ⊃ q ) ∧ r ) ≡ ∼ p

(4) ( ( p ⊃ q ) ∧ p ) ⊃ q

(5) ( ∼ ( ∼ p ⊃ q ) ∧ ∼ q ) ⊃ ∼ p

(6) ( ( p ∨ ∼ q ) ∧ q ) ⊃ ( p ∨ r )

(7) ( ∼ p ∨ ∼ q ) ≡ ∼ ( p ∧ q )

(8) ( ∼ p ⊃ q ) ≡ ( ( p ∨ q ) ∨ r )

(9) ( p ⊃ ( q ⊃ r ) ) ≡ ( ( p ∧ q ) ⊃ r )

(10) ( ( ( p ∧ q) ⊃ r ) ∧ ∼ r ) ⊃ ∼ ( p ∧ q )

2. TABLAS DE VERDAD DE FORMAS PROPOSICIONALES DE CIERTACOMPLEJIDAD.

Para diagramar una tabla de verdad es preciso tener en cuenta, al menos, dos puntosprincipales: primero, el alcance de los conectores; segundo, el número de conjuntos deposibles combinaciones de valores de verdad.

El primer punto ya lo dilucidamos al estudiar los paréntesis. Para determinar elsegundo, emplearemos la siguiente fórmula: 2º. El exponente ‘n’ señala el número devariables que tiene la forma proposicional; la base ‘2n’ los dos valores de verdad: verdad yfalsedad. Por lo tanto, si una forma proposicional tiene tres variables proposicionales, losposibles conjuntos de valores veritativos en ella serán: 23 = 8; si tiene cuatro, 24 = 16; si tienedos, 22 = 4; si tiene una, 21 = 2 y así sucesivamente.

127

DIAGRAMACIÓN DE TABLAS DE VERDAD

Diagramación de la tabla de verdad de la forma proposicional:

2º lº 3º 5º 4º( ( p q) q ) p

1 0 0 1 1 1 1 0 10 1 0 1 1 1 1 1 01 1 1 0 0 0 1 0 10 1 1 0 0 0 1 1 0

Observaciones:

(i) El conector principal es el segundo implicador y, en consecuencia, la formaproposicional es una implicación.(ii) Hay cuatro posibles formas de combinación de los valores de verdad, en efecto, 22

= 4.(iii) El orden de colocación de los valores de verdad debajo de las variablesproposicionales se ha hecho así por comodidad; traten de hacerlo de otra forma ysiempre serán esos y sólo esos cuatro conjuntos posibles de combinación. La prácticaha enseñado que se puede hacer así y eso significa un ahorro de energía.(iv) Se inicia con el antecedente siguiendo el orden de alcance de los conectores talcomo se indica en el diagrama y luego se sigue con el consecuente.(v) Las flechas que aparecen en la parte inferior del diagrama indican las columnasque se tienen en cuenta en cada operación.(vi) El número matricial es el que aparece debajo del conector principal.

Otro ejemplo, sea la forma proposicional:3º lº 2º 8º 5º 4º 7º 6º~ ( ( p q ) r ) ( ~ ( p q ) r )0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 10 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 11 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 11 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 01 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

Observaciones:

(i) El conector principal es el implicador y la forma proposicional es, por tanto, unaimplicación.(ii) Hay ocho conjuntos posibles de combinación de los valores de verdad, en efecto,23 = 8.(iii) La distribución de los valores de verdad se ha hecho de esa forma, también, porcomodidad.(iv) El orden de las operaciones está indicado por los números de la parte superior deldiagrama y por las flechas de su parte inferior.

128

3. TIPOS DE FORMAS PROPOSICIONALES.

Hay tres tipos de formas proposicionales, a saber: tautologías, contradicciones ycontingencias.

3.1. Formas Proposicionales Tautológicas

Una forma proposicional es una tautología si en la columna del conector principalsólo aparecen valores de verdad verdaderos, esto es, si su número matricial está constituidosólo por unos. Ejemplo de tautología:

( ( p q ) p ) q1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 0 0 1 1 00 1 0 0 0 1 0

Observa la columna del conector principal, en ella sólo hay valores de verdadverdaderos.

3.2. Formas Proposicionales Contradictorias

Una forma proposicional es una contradicción si en la columna del conector principalsólo aparecen valores de verdad falsos, es decir, si su número matricial sólo contiene ceros.

Ejemplo de contradicción:

( p q ) ( p q )1 1 1 0 0 0 1 1 10 1 1 0 0 1 0 1 11 0 0 0 1 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 1 0

Observa que debajo del conector principal sólo aparecen valores de verdad falsos.

3.3. Formas Proposicionales Contingentes

Una forma proposicional es contingente si en la columna del conector principalaparecen valores de verdad verdaderos y falsos.

Ejemplo de forma proposicional contingente:

( ( p q ) p ) ~ q1 1 1 1 1 0 0 10 1 1 0 0 1 0 11 0 0 0 1 1 1 00 1 0 0 0 1 1 0

129

Observa que debajo del conector principal aparecen valores de verdad verdaderos yfalsos.

A continuación te proponemos unos ejercicios,para que reafirmes el grado de comprensión

de los puntos tratadosEJERCICIOS

Construya la tabla de verdad de las siguientes formas proposicionales y determina sison tautológicas, contradicciones o contingencias ( objetivo específico 7.3.)

(1) p ∧ q

(2) ( ∼ p ⊃ q )

(3) ( ∼ p ∨ q ) ≡ ( p ⊃ q )

(4) ( p ∨ ∼ q ) ≡ ∼ r

(5) ( ( ∼ p ∨ q ) ⊃ r )

(6) ∼ ( ( p ∨ ∼ q ) ∨ ∼ r) ⊃ ( ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r )

(7) ( ( p ⊃ ∼ q ) ⊃ ∼ r ) ≡ ( ( p ∧ ∼ q ) ⊃ ∼ r )

(8) ( ( ∼ ( p ∨ ∼ q ) ∧ r ) ⊃ ∼ r ) ⊃ ( p ∨ ∼ q )

(9) ( ( p ⊃ ∼ q ) ∧ ( ∼ q ⊃ r ) ) ⊃ ( p ⊃ ∼ r )

(10) ( ( ( ∼ p ∧ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ r ) ⊃ ∼ ( ∼ p ∧ q )

4. VARIABLES SINTÁCTICAS

Con el fin de facilitar la explicación de lo que sigue, voy a referirme a las variablessintácticas. Las variables sintácticas son las primeras letras mayúsculas del alfabeto: A, B, C,D etc., que representan CUALQUIER FORMA PROPOSICIONAL. Por ejemplo, A puederepresentar en una ocasión la forma proposicional “p ⊃ q” y en otra “( p ⊃ q ) ∧ ~ r)”.Lo mismo sucede con B, C, D etc.

5. IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA

A implica tautológicamente a B si, y sólo si A ~ B es una tautología.

130

Por ejemplo, sea A “( p ⊃ q ) ∧ ~ q” y B “~ p”. Construyamos la implicación A ⊃B y obtengamos su número matricial, construyendo su tabla de verdad.

A B( ( p ⊃ q ) ∧ ∼ q ) ⊃ ∼ p

1 1 1 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 10 1 0 1 1 0 1 1 0

La implicación A ⊃ B es una tautología puesto que su número matricial está formadosólo por valores de verdad verdaderos, por lo tanto A implica tautológicamente a B. A laimplicación tautológica se le llama también implicación lógica; luego, se puede decir tambiénque, en el ejemplo dado, A implica lógicamente a B.

6. EQUIVALENCIA TAUTOLÓGICA

A equivale tautológicamente a B si, y sólo si A ≡ B es una tautología.Por ejemplo, sea A “~ p ∨ q” y B “p ⊃ q”. Construyamos la equivalencia A ≡ B y

obtengamos su número matricial construyendo su tabla de verdad.

A B( ∼ p ∨ q ) ≡ ( p ⊃ q )

0 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 0 1 0

El número matricial está formado sólo por valores de verdad verdaderos, por lo tantola equivalencia (A ≡ B) es una tautología y, en consecuencia A equivale tautológicamente aB. También se dice que A equivale lógicamente a B.

7. MÉTODO ABREVIADO POR REDUCCIÓN AL ABSURDO

Cuando las vp son más de tres el método de tablas de verdad para probar si una formaproposicional es o no tautología es largo y engorroso, por cuanto el número de filas aumentaconsiderablemente; piénsese, por ejemplo, que con cuatro variables se requerirían 16 filas(24), con cinco 32 filas (25 ) y así sucesivamente. Para formas proposicionales que tengan másde tres vp se puede aplicar un método más abreviado, que lo hemos llamado MétodoAbreviado por Reducción al Absurdo.

Como el método es por medio de reducción al absurdo debemos tener presente que eneste método se tienen que cumplir los siguientes pasos:

131

• Primero, se supone lo opuesto de lo que se quiere probar. Por ejemplo, si se quiereprobar que una forma proposicional es tautológica, se empieza suponiendo que no loes.

• Segundo, con la suposición anterior se hacen las relaciones o las operaciones según elcaso.

• Tercero, si después de realizar las operaciones se encuentra alguna contradicción,algún absurdo, entonces la suposición inicial se rechaza y se afirma lo opuesto.

Veamos, ahora, cómo se aplica el Método Abreviado por Reducción al Absurdo paradeterminar si una forma proposicional es o no tautología. Empezaremos con una formaproposicional sencilla. .

Sea la siguiente forma proposicional:

( ( p q ) p ) q

Para determinar si es o no tautología seguiremos los tres pasos indicados:

Primer paso: Se supone lo opuesto a lo que queremos determinar; luego, como queremosespecificar que es tautología, supondremos que no es tautología. Si no es tautología alguno(al menos uno) de los valores de verdad del número matricial será falso. Por tanto se colocaun cero debajo del conector principal, así:

( ( p q ) p ) q0

Segundo paso: Con ese valor de verdad debajo del conector principal se realizan lasoperaciones correspondientes siguiendo las reglas de los conectores, así:

( ( p q ) p ) q1 1 0 1 1 0 0

(6)(4) (7) (2)(5) (1) (3)

Observación: Los números entre paréntesis indican el orden en que se han hecho lasoperaciones: debajo del 0 (cero) del segundo implicador aparece (1) por ser el primer valor deverdad supuesto; el (2) aparece debajo del 1 del conjuntor y el (3) debajo de la última ‘q’, porser los dos siguientes valores de verdad obtenidos con la regla del implicador, que dice que siel implicador es falso, como en este caso, entonces el antecedente (en este caso laconjunción) es verdadero y el consecuente (aquí la última q ) es falso. Cada uno de los otrosvalores de verdad se obtienen mediante las reglas de los conectores presentes y mediante eltraslado de los valores de verdad que se conocen de alguna vp.

Tercer paso: Se determina si hay alguna contradicción o absurdo. En el caso presenteobservamos que hay una contradicción en el paso (4), ya que según la regla del implicador la

132

implicación es falsa cuando el antecedente (aquí `p') es verdadero y el consecuente (aquí `q')es falso, y esa implicación aparece verdadera. Eso es una contradicción o un absurdo porqueva en contra de la regla del implicador. En consecuencia tenemos que rechazar la suposicióninicial, es decir, tenemos que afirmar su opuesta, y si supusimos que la forma proposicionalno era tautología, tenemos que afirmar ahora su apuesto, es decir, que la forma proposicionalanalizada es tautología.

Segundo ejemplo: determinar si es tautología esta forma proposicional.

( ( ( p q ) ( q r ) ) ( r s ) ) ( p s )

Primer paso: Suponemos que no es tautología, luego colocamos falso debajo del conectorprincipal; así:

( ( ( p q ) ( q r ) ) ( r s ) ) ( p s )0

Segundo paso: Efectuamos las operaciones lógicas con los conectores:

( ( ( p q ) ( q r ) ) ( r s ) ) ( p s )1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

(10)(8)(12) (6) (14)(9)(15) (2) (13)(7)(11) (1) (4)(3)(5)

Tercer paso: Se observa si hay alguna contradicción. Según la regla del implicador, en el (9),hay una contradicción, puesto que si el antecedente es verdadero y el consecuente falso laimplicación es falsa y aquí aparece verdadera. Luego, tenemos que afirmar lo contrario de losupuesto, y, de esta manera, determinamos que la forma proposicional propuesta estautología.

Tercer ejemplo: una forma proposicional en la que se dan más de una posibilidad. En losdos ejemplos anteriores fue suficiente con una sola. posibilidad. En el ejemplo presente sepueden dar dos posibilidades. Determinar si la forma proposicional:

( p q ) ( ~ p q )

Primer paso: Suponemos que no es tautología, luego:

( p q ) ( ~ p q )0

Segundo paso: Se opera con los conectores y se trasladan valores de verdad si hace falta.Inmediatamente se observa que se pueden dar dos casos, ya que la equivalencia es falsacuando sus dos argumentos tienen valores de verdad diferentes, esto es:

( p q ) ( ~ p q )1er caso: 0 0 12docaso: 1 0 0

133

Analizamos el primer caso así:

( p q ) ( ~ p q )1 0 0 0 0 1 1 0(4)(2)(5) (1) (8)(6)(3)(7)

Observamos que en (3) hay una contradicción.

Analizamos el segundo caso:

( p q ) ( ~ p q )1 1 0 0 0 1 0 0(7)(2)(8) (1) (4)(6)(3)(5)

En el (2) hay una contradicción, ya que según la regla del implicador tenía que serfalso.

Tercer paso: Puesto que en ambos casos se dan contradicciones tenemos que rechazar lasuposición y afirmar su contraria, es decir, que la forma proposicional propuesta es unatautología.

Cuarto ejemplo: en él hay más de tres vp y se da una sola posibilidad. Determinar si es o notautología la forma proposicional:

( ( p ( q r ) ) ( ( q r ) s ) ) ( p s )

Primer paso: se supone que no es tautología, luego

( ( p ( q r ) ) ( ( q r ) s ) ) ( p s )0

Segundo paso: se opera con los conectores y se trasladan los valores de verdad de las vp si sehan logrado obtener, luego:

( ( p ( q r ) ) ( ( q r ) s ) ) ( p s )1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0(8)(6) (13)(15)(14) (2) (11)(10)(12) (7)(9) (1) (4)(3)(5)

Tercer paso: En (6) hay una contradicción, pues no se cumple con la regla del implicador. Portanto, la forma proposicional analizada es tautología.

134

Quinto ejemplo: en él hay más de tres vp y más de una posibilidad. Probar si la siguienteforma proposicional “~ ( ( p ⊃ q ) ∨ ( r ⊃ s ) ) ≡ ( ~ ( p ⊃ q ) ∧ ~ ( r ⊃ s ) )”es tautología.

Primer paso: Se supone que no es tautología, luego:

~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~ ( p q ) ~ ( r s ) )

Segundo paso: Opera con los conectores. Se dan dos casos a saber:

~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~ ( p q ) ~ ( r s ) )1er caso: 0 0 12docaso: 1 0 0

Efectuamos el primer caso:

~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~ ( p q ) ~ ( r s ) )0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0(2) (13)(17)(14) (12) (15)(18)(16) (1) (4) (8)(6) (9) (3) (5) (10)(7)(11)

Hay contradicción en (12).

Efectuamos el segundo caso.

~ ( ( p q ) ( r s ) ) ( ~ ( p q ) ~ ( r s ) )1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0(2) (7)(5) (8) (4) (9) (6)(10) (1) (17) (11)(15)(12) (3)(18)(13)(16)(14)

Hay contradicción en (3).

Tercer paso: En los dos casos hay contradicción, por tanto hay que rechazar la suposición yafirmar lo opuesto, luego la proposición analizada es una tautología.

En el caso en que haya más de una posibilidad y, al analizar la primera, no se llega aninguna contradicción, no es necesario realizar las otras posibilidades, pues con sólo analizarla primera, ya podemos afirmar que no es tautología. Ilustremos esto con un ejemplo.Determinar si la forma proposicional “( ( p ⊃ q ) ⊃ r ) ≡ ( ( p ⊃ q ) ∨ ∼ r )” es o notautología.

Primer paso: Se supone que no es tautología, luego:

135

( ( p q ) r ) ( ( p q ) r )0

Segundo paso: Operar con los conectores. Se dan dos casos, a saber:

( ( p q ) r ) ( ( p q ) r )1er caso: 1 0 02docaso: 0 0 1

Efectuamos el primer caso.

( ( p q ) r ) ( ( p q ) r )1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1(9)(12)(l0) (2)(11) (1) (6)(4) (7) (3) (5)(8)

En (2) sería el único lugar donde podría darse una contradicción y, de hecho, no se da;por tanto, la suposición hecha es correcta, y, en consecuencia, la forma proposicionalanalizada no es tautología. Como ya hemos determinado que la forma proposicional no estautología sería inútil efectuar el segundo caso.

Ahora se te presentan unos ejerciciospara reafirmar lo estudiado.

EJERCICIOS

Probar mediante el Método de Reducción al Absurdo si las siguientes formasproposicionales son o no tautología (objetivo específico 7.3.)

(1) ( ( ∼ p ⊃ ∼ q ) ∧ ∼ p ) ⊃ ∼ q )

(2) ( ( ( p ⊃ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ r ) ⊃ ∼ ( p ⊃ q )

(3) ( ( ( p ⊃ ∼ q ) ⊃ r ) ∧ ∼ r ) ⊃ ∼ ( p ⊃ ∼ q )

(4) ( ( p ⊃ q ) ⊃ r ) ≡ ( ∼ r ⊃ ∼ ( p ⊃ q ) )

(5) ( ( ( p ⊃ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) ) ∧ ( p ⊃ q )) ⊃ ( r ⊃ s )

(6) ( ( ( p ⊃ ( q ∧ r ) ) ∧ ( ( q ∧ r ) ⊃ s ) ) ∧ ( s ⊃ t ) ) ⊃ ∼ ( p ∧ ∼ t )

(7) ( ( ∼ p ⊃ ∼ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) ) ≡ ( ∼ ( ∼ p ⊃ ∼ q ) ∨ ( r ⊃ s ) )

(8) ( ( p ∧ q ) ∨ r ) ≡ ( ( p ∨ q ) ∧ ∼ r )

(9) ( ( ∼1 p ∨ ∼ q ) ∧ ∼ r ) ≡ ( ( ∼ p ∧ ∼ q ) ∨ ∼ r )

136

(10) ( ( p ∧ ∼ q ) ⊃ ( r ∨ s ) ) ≡ ( ∼ ( r ∨ s ) ⊃ ∼ ( p ∧ ∼ q )

8. MÉTODO DE IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA PARA DETERMINAR LAVALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO

El concepto de implicación tautológica nos permite dar una definición derazonamiento válido que está en la base del método de implicación tautológica paradeterminar la validez de cualquier razonamiento. La definición es la siguiente:

Un razonamiento es válido si la CONJUNCIÓN de sus premisasIMPLICA TAUTOLÓGICAMENTE a su conclusión.

De acuerdo con esta definición tienen que seguirse los pasos siguientes en el métodoque llamaremos IMPLICACIÓN TAUTOLÓGICA para probar si un razonamiento es válidoo no.

Primero, se abstrae la forma lógica del razonamiento en el lenguaje de la lógicaproposicional.

Segundo, se construye una implicación cuyo antecedente es la conjunción de laspremisas y su consecuente la conclusión.

Tercero, determinamos mediante las tablas de verdad o el Método de Reducción alAbsurdo si la implicación es tautológica.

Cuarto, en el caso de que la implicación sea tautológica, se habrá probado, de acuerdoa la definición del razonamiento válido, que la forma del razonamiento es válida y, enconsecuencia, el razonamiento también lo será. En el caso contrario el razonamiento no seráválido.

Veamos cómo se procede en la práctica. Determinemos si el siguiente razonamientoes o no válido.

(a) Si sube la inflación, se deteriora la economía del país. En efecto, .sube deinflación. Por tanto, se deteriora la economía del país.

Primer paso: Abstracción de la forma lógica:

p ⊃ q Premisap Premisa________q Conclusión.

137

Segundo paso: Construcción de la implicación en la que el antecedente es la conjunción delas premisas y el consecuente la conclusión:

( ( p ⊃ q ) ∧ p ) ⊃ q

Tercer paso: Determinar si la implicación anterior es una implicación tautológica:

( ( p ⊃ q ) ∧ p ) ⊃ q1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 0 0 1 1 00 1 0 0 0 1 0

Cuarto paso: La respuesta: el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisasimplica tautológicamente a la conclusión.

Veamos un segundo ejemplo.

(b) Si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución es un ácido. Si es ácido contienehidrógeno. Luego, si el papel de tornasol se vuelve rojo, la solución contienehidrogeno.

Primer paso: Abstracción de la forma lógica:

p ⊃ qq ⊃ r______p ⊃ r

Segundo paso: Construcción de la implicación en la que el antecedente es la conjunción delas premisas y el consecuente la conclusión:

( ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) ) ⊃ ( p ⊃ r )

Tercer paso: Determinar si la implicación anterior es tautológica:

( ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) ) ⊃ ( p ⊃ r )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 l 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 0 00 1 1 0 1 0 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

138

Cuarto paso: La respuesta: el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisasimplica tautológicamente a la conclusión.

Si has realizado todos los ejercicios anterioresy aclarado todas tus dudas, pasa entonces a

resolver el siguiente Autoevaluativo,AUTOEVALUATIVO 7

I Determinar si las siguientes formas de razonamiento son válidas mediante el métodode implicación tautológica.

1.1. p ⊃ q P∼ r ⊃ ∼ q P____________________p ⊃ r C

1.3. p ⊃ ∼ q P∼ q ⊃ ∼ r P____________________∼ r C

1.5. p ⊃ q Pp ∨ r P∼ r P____________________q C

1.7. ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r Pr P____________________∼ ( p ∨ q ) C

1.9. ( p ∨ q ) ⊃ r P____________________∼ r ⊃ ∼ ( p ∨ q ) C

1.2. p ⊃ ( ∼ q ∧ ∼ r ) Pq ∨ r P____________________∼ p C

1.4. ( p ∨ q ) ⊃ r P∼ r P____________________∼ p ∧ ∼ q C

1.6. p ⊃ q P∼ p ∧ r P____________________∼ ( p ∨ ∼ r ) C

1.8. p ⊃ q Pq ⊃ ∼ r Pr P____________________∼ p C

1.10. p ≡ q P∼ q P____________________p ∨ r C

139

II Determinar si los razonamientos de las págs. 25 y 26 son o no válidos (objetivoespecífico 7.4).

Antes de pasar al siguiente objetivo,deberás haber subsanado tus fallas con tu asesor

C. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZ

OBJETIVO TERMINAL 8: Efectuar demostraciones formales de validez derazonamientos, dentro de la lógica profesional, aplicando las reglas de inferencia

Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

8.1. Dada una demostración formal justificar cada una de las líneas señalando, en cadacasilla regla aplicada.

8.2. Dada la forma válida de un razonamiento demostrar la conclusión, a partir de laspremisas, aplicando las reglas de inferencia.

8.3. Demostrar la validez de razonamientos dados en castellano, mediante el métododemostrativo.

8.4. Conocidas las reglas de inferencia asignar contenidas a las variablesproposicionales y construir los razonamientos válidos respectivos.

8.5. Dados razonamientos en el lenguaje natural, determinar si hay o no falaciasformales, efectuando la prueba validez. Específicamente los casos del falso MPP yMTT.

l. DEMOSTRACIÓN

La Lógica no sólo permite probar la validez de los razonamientos mediante el métodode implicación tautológica, sino, también, demostrar la validez de los mismos con el llamadoMÉTODO DEMOSTRATIVO.

Se trata de demostrar la conclusión a partir de las premisas. La demostración de laconclusión de una forma válida de razonamiento es una sucesión finita de líneas (Ll, L2,L3......., Ln) de formas proposicionales de las cuales la última línea (Ln) es la conclusión ycada una de las anteriores son o bien premisas o bien formas proposicionales obtenidas delíneas anteriores mediante alguna regla de inferencia.

140

El método demostrativo se asemeja al juego de ajedrez. Para jugar ajedrez serequieren: a) un conjunto de piezas; b) lugares iniciales para cada pieza; c) un conjunto dereglas que permitan obtener nuevas posiciones a cada una de las piezas en su propósito delograr el triunfo. En el método demostrativo, de manera análoga, se requieren: a) un conjuntode formas proposicionales; b) lugares iniciales para estas formas proposicionales; c) unconjunto de reglas que permitan obtener a partir de formas proposicionales anteriores, nuevasformas proposicionales en sus correspondientes líneas hasta llegar a la conclusión. Estasreglas reciben el nombre de REGLAS DE INFERENCIA. En consecuencia, esimprescindible aprender estas reglas antes de empezar el método demostrativo.

Veamos, a modo de ejemplo, la demostración de la siguiente forma válida derazonamiento. Las reglas de inferencia que aparecen en la demostración se explican másadelante.

Forma válida de razonamiento:p ⊃ q Premisaq ⊃ r Premisar ⊃ s Premisap ∨ t Premisa∼ s Premisa∴ t Conclusión

Demostración:(1) p ⊃ q Premisa(2) q ⊃ r Premisa(3) r ⊃ s Premisa(4) p ∨ t Premisa(5) ~s Premisa(6) p ⊃ r de (1) y (2) por Transitividad Implicativa.(7) p ⊃ s de (3) y (6) por Transitividad Implicativa.(8) ~p de (5) y (7) por Modus Tollendo Tollens.(9) t de (4) y (8) por Modus Tollendo Ponens.

Observa que en esta demostración están presentes los tres requisitos anotados: a)formas proposicionales (todas las líneas son formas preposicionales); b) lugares iniciales paraesas formas proposicionales ( las líneas del 1 al 5); c) nuevas formas proposicionalesobtenidas de líneas anteriores mediante la aplicación de alguna regla de inferencia, siendo laúltima línea ‘t’ que es precisamente la conclusión a la cual llegamos en un número finito delíneas. En la columna de la izquierda aparecen las premisas y las formas proposicionales quese deducen de ellas; en la de la derecha las reglas de inferencia usadas para obtener lasnuevas líneas.

Por REGLA DE INFERENCIA se entiende la forma lógica de un razonamientoválido elemental. Razonamiento elemental es aquel que no puede darse más simplificado.Veamos un ejemplo:

Si Sócrates es filósofo, entonces reflexiona sobre la realidad.

141

En efecto, Sócrates es filósofo._____________________________________________________Por tanto, Sócrates reflexiona sobre la realidad!

La forma lógica de este razonamiento válido y elemental es ésta:

p ⊃ qp________q

Esta forma de razonamiento constituye una regla de inferencia llamada ModusPonendo Ponens (MPP).

Las reglas de inferencia no siempre se presentan en varias líneas, como la anterior,algunas a veces se hace en una sola línea, separando las premisas con una coma ( , ) yprecediendo la conclusión con tres puntos en forma triangular ( ∴ ). Por ejemplo, la regla deinferencia anterior en lugar de expresarse en tres líneas como se hizo, se puede hacer en unasola así:

p ⊃ q, ∴ q

A continuación aparece una lista de las principales reglas de inferencia. Parageneralizar, las hemos expresado con variables sintácticas.

REGLAS DE INFERENCIA ESQUEMAS1. Modus Ponendo Ponens (MPP) A ⊃ B, A ∴ B2. Modus Tollendo Tollens (MTT) A ⊃ B, ∼B ∴ ∼A3. Transitividad Implicativa (TT) A ⊃ B, B ⊃ C ∴ A ⊃ C4. Modus Tollendo Ponens (MTP) A ∨ B, ∼A ∴ B5. Dilema Constructivo (DC) (A ⊃ B) ∧ (C ⊃ D), A ∨ C ∴ B ∨ D6. Dilema Destructivo (DD) (A ⊃ B) ∧ (C ⊃ D), ∼B ∨ ∼D ∴ ∼A ∼C7. Conjunción (Conj.) A, B ∴ A ∧ B8. Simplificación (S) A ∧ B ∴ A9. Adición (Ad) A ∴ A ∨ B

Las diez reglas de inferencia restantes se basan en el PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓNmediante el cual dos formas proposicionales lógicamente equivalentes pueden sustituirsemutuamente en todos los lugares en que aparezcan sin que cambie cl resultado. En ellassimplemente se expresará la equivalencia.

10. Conmutación (Conm.) (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)

11. Asociación (Asoc.) ( A ∧ ( B ∧ C ) ) ≡ ( ( A ∧ B ) ∧ C )( A ∨ ( B ∨ C ) ) ≡ ( ( A ∨ B ) ∨ C )

12. Distribución (Dist.) ( A ∧ ( B ∨ C ) ) ≡ ( ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) )( A ∨ ( B ∧ C ) ) ≡ ( ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) )

13. Doble Negación (DN) A ≡ ∼~ A14. Implicación Material (IM) ( A ⊃ B ) ≡ ( ~A ∨ B )15. Contraposición (Cont.) ( A ⊃ B ) ≡ ( ~B ⊃ ∼A )

142

16. Equivalencia (Eq.) ( A ≡ B ) ≡ ( ( A ⊃ B ) ∧ ( B ⊃ A ) )17. Exportación (Exp.) ( ( A ∧ B ) ⊃ C ) ≡ ( A ⊃ ( B ⊃ C ) )18. Tautología (Taut.) A ≡ ( A ∨ A)19. Leyes de Morgan (LM) ~( A ∧ B) ≡ ( ~A ∨ ~B )

~( A ∨ B) ≡ ( ~A ∧ ~B )

No tenemos reglas mecánicas para la construcción de las demostraciones de validezde las formas de razonamiento. En este sentido, estas demostraciones difieren de las delmétodo de implicación tautológica. En este caso, debemos pensar por dónde empezar y cómoproseguir hasta llegar a la conclusión. Con el fin de ejercitarnos en estas demostracionesprocederemos a explicar detalladamente cada una de las reglas de inferencia, aplicándolas, almismo tiempo, a formas válidas sencillas de razonamiento.

2. EXPLICACIÓN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA

2.1. Modus Ponendo Ponens (MPP)Esta regla dice que afirmando (ponendo) el antecedente de una implicación dada se

afirma (ponens) su consecuente.Veamos un ejemplo:

(a)Si los iones tienen carga eléctrica, entonces no son átomos; efectivamente, losiones tienen: carga eléctrica. Por tanto, los iones no son átomos.

Forma lógica:p ⊃ q Premisap Premisa_________________________q Conclusión

en la cual ‘p’ y ‘q’ son:

p: Los iones tienen carga eléctrica.q: (Los iones) son átomos.

Observa que la primera premisa es una implicación y la segunda su antecedente.Siempre que se dé esa circunstancia se obtiene como conclusión su consecuente. El nombrelatino, Modus Ponendo Ponens, que sugiere la regla, quiere decir: el método por el cualafirmando (Ponendo) el antecedente, se afirma (Ponens) su consecuente.

Para generalizar esta regla se expresa con variables sintácticas, obteniendo suESQUEMA, así:

A ⊃ B Premisa: Implicación.A Premisa: Afirmación del antecedente.B Conclusión: Afirmación del Consecuente.

Resumiendo:Si en una línea tenemos una implicación, y en otra cualquiera su antecedente,

143

podemos obtener en otra línea más su consecuente.

Veamos un ejemplo de demostración en el cual se emplea dos veces el ModusPonendo Ponens. Sea la forma de razonamiento:

p ⊃ q Pq ⊃ r Rp Pr C

Demostración:

(1) p ⊃q P(2) q ⊃ r P(3) p P(4) q MPP (1) y (3)(5) r MPP (2) y (4)

La línea (4) se obtiene mediante la regla Modus Ponendo Ponens aplicada a 1 laslíneas ( 1 ) y (3 ).La línea (5) se obtiene aplicando la misma regla a las líneas (2) y (4). La última línea(5) es la conclusión que había que demostrar.

2.2. Modus Tollendo Tollens (MTT)Esta regla dice que negando (tollendo) el consecuente de una implicación dada se

niega (tollens) su antecedente. Esto es, si tenemos en una línea una implicación y en otra lanegación de su consecuente, podemos obtener en otra línea distinta la negación de suantecedente.

El esquema del Modus Tollendo Tollens será:

A ⊃ B Implicación.~B Negación del consecuente.~A Negación del antecedente.

Es sumamente importante que pases ahora a resolver los ejercicios.No debes seguir adelante hasta que todo este claro

EJERCICIOS

Dadas las siguientes formas válidas de razonamiento demostrar la conclusiónaplicando el Modus Ponendo Ponens y/o el Modus Tollendo Tollens. La conclusión apareceencabezando cada forma de razonamiento después de la palabra demostrar (objetivoespecífico 8.5).

1. Demostrar: ∼ ∼ p(1) ∼ p ⊃ q P

144

(2) q ⊃ r P(3) ∼ r P

2. Demostrar: q(1) ∼ p ⊃ q P(2) p ⊃ r P(3) r ⊃ s P(4) ∼ s P

3. Demostrar: ∼ p(1) ∼ p ⊃ ( q ∧ r ) P(2) ( q ∧ r ) ⊃ s P(3) s ⊃ t P(4) ∼ t P

4. Demostrar: ∼ ( p ∧ q )(1) ( p ∧ q ) ⊃ w P(2) r ⊃ ( s ∨ t ) P(3) ( s ∨ t ) ⊃ n P(4) ∼ n P

5. Demostrar: ∼ ( ( p ∧ q ) ∨ r )(1) ( ( p ∧ q ) ∨ r ) ⊃ ∼ s P(2) ∼ s ⊃ t P(3) ∼ t P

6. Demostrar: ∼ t(1) ∼ p ⊃ ∼ q P(2) ∼ q ⊃ ( r ⊃ ∼ t ) P(3) ∼ p P(4) r P

2.3. Transitividad Implicativa (TI)Si se nos dan dos implicaciones como: (1) p ⊃ q

(2) q ⊃ r

en donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda, entonces podemosinferir una nueva forma preposicional en la que el antecedente será el antecedente de laprimera y el consecuente, el consecuente de la segunda, es decir:

(3)p ⊃r

Por tanto, el esquema de la Transitividad Implicativa es:

A ⊃ BB ⊃ C______A ⊃ C

Esta regla también se llama Silogismo Hipotético.

2.4. Modus Tollendo Ponens (MTP)Es el modo mediante el cual negando (tollendo) uno de los argumentos de una

disyunción dada se afirma (ponens) el otro argumento.

En términos lógicos se indican así los dos posibles casos de esta regla:

Primer caso: Segundo caso:A ∨ B A ∨ B~A ~B

_______ ______B A

145

Por tanto, si en la demostración de una forma de razonamiento tiene en una línea unaDISYUNCIÓN y en otra cualquiera la negación de uno de sus argumentos, se puede inferiruna nueva línea que será el otro argumento. Esta regla también recibe el nombre SilogismoDisyuntivo.

Tal como has venido haciendo,resuelve los ejercicios propuestos

EJERCICIOS

Demostrar la conclusión de las siguientes formas válidas de razonamiento aplicandocualquiera de las reglas de inferencia estudiadas (objetivo específico 8.5).

1. Demostrar: s(1) p ⊃ q P(2) p ⊃ r P(3) ∼ r P(4) p ∨ s P

2. Demostrar: ∼ r(1) p ∨ ∼ q P(2) ∼ q P(3) ∼ p ⊃ ( r ⊃ t ) P(4) ∼ t P

3. Demostrar: q ⊃ s(1) p ∨ ( q ⊃ ∼ r ) P(2) p ⊃ t P(3) ∼ t P(4) ∼ r ⊃ s P

4. Demostrar: n(1) (p ∨ q ) ⊃ ( r ⊃ ∼ t ) P(2) p ∨ q P(3) ∼ ∼ t P(4) s ⊃ r P(5) ∼ s ⊃ r P

5. Demostrar: r ⊃ p(1) ( p ∨ q ) ∨ ( ( r ⊃ s ) ∨ t ) P(2) ∼ ( p ∨ q ) P(3) ∼ t P(4) s ⊃ p P

6. Demostrar: ∼ q(1) p ⊃ ( q ⊃ r ) P(2) p ∨ r P(3) ∼ r P

2.5. Regla de Simplificación (S)De una conjunción se puede inferir cualquiera de los argumentos. De la conjunción ‘p

∧ q’ se puede inferir ‘p’ o ‘q’.El esquema de la regla de Simplificación es:

A ∧ B Conjunción___________A Primer argumento.B Segundo argumento.

146

2.6. Regla de Conjunción (Conj.)Es la operación opuesta a la de la Simplificación. Puedo unir, mediante la conjunción,

varias formas proposicionales que hayan aparecido en alguna línea anterior de lademostración. Si en dos líneas de la demostración aparecen ‘p’ y ‘q’ puedo obtener una filamás con la conjunción, es decir, obtengo ‘p ∧ q’.

Esquema de la regla de Simplificación

A Forma proposicional cualquiera.B Forma proposicional cualquiera.

A ∧ B Conjunción de las formas proposiciones anteriores.2.7. Regla de Adición (Ad)

De una forma proposicional cualquiera se puede inferir esa forma proposicional endisyunción con cualquiera otra. Este es su esquema:

A Forma proposicional cualquiera._________

A ∨ B Disyunción de la forma proposicional anterior con otracualquiera representada por B.

2.8. Dilema Constructivo (DC)El siguiente esquema:

A ⊃ BR ⊃ SA ∨ R______B ∨ S

corresponde a la regla de inferencia Dilema Constructivo (DC). Observa que en las premisashay dos implicaciones con formas proposicionales distintas, una disyunción formada con losantecedentes de las dos implicaciones y la conclusión es la disyunción de los consecuentes delas dos implicaciones de las

2.9. Dilema Destructivo (DD)El siguiente esquema:

A ⊃ BR ⊃ S~B ∨ ~S_________~B ∨ ~R

corresponde a la regla de inferencia Dilema Destructivo. En él las premisas están formadaspor dos implicaciones con formas proposicionales distintas y con la disyunción de lanegación de sus consecuentes, y la conclusión con la negación de los antecedentes de lasmismas implicaciones de las premisas.

147

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios,estos te ayudarán a reafirmar lo estudiado.

EJERCICIOS

Demostrar la validez de las siguientes formas de razonamiento aplicando cualquierade las reglas de inferencia estudiadas (objetivo específico 8.5).

1. Demostrar: q(1) p ⊃ q P(2) p ∧ r P

2. Demostrar: ∼ q(1) p ∨ ( p ⊃ r ) P(2) ∼ p ∧ ∼ r P

3. Demostrar: p ∨ q(1) p ⊃ q P(2) p ∨ r P(3) ∼ r P

4. Demostrar: r ∧ ∼ s(1) p ∨ ∼ q P(2) p ⊃ r P(3) ∼ q ⊃ s P(4) ∼ s P

5. Demostrar: ∼ p ∨ ∼ u(1) ∼ p ∨ q P(2) ∼ r ∧ ∼ t P(3) ∼ r ⊃ ∼ q P(4) ∼ r P

6. Demostrar: ∼ t(1) p ⊃ ∼ q P(2) ( p ⊃ r ) ⊃ ∼ s P(3) ∼ q ⊃ ∼ r P(4) t ⊃ s P

7. Demostrar: q ∨ s(1) p ⊃ q P(2) r ⊃ t P(3) t ⊃ s P(4) p P

8. Demostrar: ∼ t(1) ( p ⊃ q ) ∧ ( r ⊃ s ) P(2) ∼ q ∨ ∼ s P(3) ∼ ∼ r P(4) p ∨ ∼ t P

9. Demostrar: r(1) ((p ∧ ∼q) ⊃ r) ∧ (s ⊃ t) P(2) ( p ∧ ∼ q ) ∨ s P(3) t ⊃ u P(4) ∼ u ∧ w P

10. Demostrar: ∼ u(1) ( ∼p ⊃ q ) ∧ ( ∼r ⊃ s ) P

148

(2) ( q ∧ ∼∼s ) ⊃ ( t ∨ ∼ u) P(3) ∼ p ∧ ∼ s P(4) ( q ∧ ∼∼u ) ⊃ ( t ∨ ∼u ) P(5) ∼ t P

2.10. Reglas de Inferencia por Sustitución

Las diez siguientes reglas de inferencia, basadas en el principio o regla de sustitución,se aplican teniendo en cuenta que dos formas proposicionales lógicamente equivalentespueden sustituirse mutuamente en cualquier parte que aparezcan sin que cambie el resultado.En el ejemplo siguiente se muestra la manera cómo se aplica cada una de estas reglas. Si , “(p ∨ q ) ≡ (q ∨ p )”, entonces “p ∨ q” puede sustituirse por “p ∨ q” y viceversa. A estaregla se le llama Conmutación de la Disyunción. En el ejemplo siguiente de demostración deuna forma válida de razonamiento se muestra la manera cómo se aplica la regla anterior. Loque se hace en este caso se puede hacer, cuando sea necesario, con cualquiera de las reglas deinferencia restantes por sustitución. Sea la forma válida de razonamiento:

( p ∨ q ) ⊃ ∼ rq ∨ p

_______________~ r

y su demostración ésta:(1) ( p ∨ q ) ⊃ ~ r P(2) q ∨ p P(3) p ∨ q Conm. 2(4) r MPP 1, 3

Observe que la línea (3) se obtiene de la fila (2) aplicando la regla conmutativa, A ∨ B≡ B ∨ A sustituyendo “q ∨ p” por su equivalente lógico “p ∨ q”.

Sea la forma válida de razonamiento:

∼ ∼ p ⊃ ( q ∧ r )p

_________________r

y su demostración la siguiente:

(1) ~ ~ p ⊃ ( q ∧ r ) P(2) p P(3) p ⊃ ( q ∧ r ) DN 1(4) q ∧ r MPP 2 y 3

149

(5) r Simp. 4

Observa que (3) se ha obtenido aplicando la regla de doble negación en el antecedentede (1), es decir, las reglas de inferencia por sustitución, a diferencia de las otras, se puedenaplicar a toda la línea, como en el primer ejemplo, o parte de la. línea como en el ejemplopresente. Dado que con todas las reglas de inferencia por sustitución se trabaja de la mismamanera es innecesario referirme a cada una de ellas particularmente, en la pág. (41 ) está lalista completa de esas reglas.

Para reafirmar tus conocimientos resuelvelos siguientes ejercicios

EJERCICIOS

I. Las siguientes son demostraciones formales de validez de formas derazonamientos. Justificar cada línea que no sea premisa. (objetivo específico 8.4).

1. Demostrar: p r(1) p ⊃ q P(2) ∼ r ⊃ ∼ q P(3) ∼ ∼ q ⊃ ∼ ∼ r(4) q ⊃ r(5) p ⊃ r

2. Demostrar: ( r s ) t(1) p ∧ q P(2) ∼ r ⊃ ∼ ( s ∧ t ) P(3) ( q ∧ p ) ⊃ ( t ∧ s )(4) ( p ∧ q ) ⊃ ( t ∧ s )(5) t ∧ s(6) s ∧ t(7) ∼ ∼ ( s ∧ t )(8) ∼ ∼ r(9) r ∧ ( s ∧ t )(10) ( r ∧ s ) ∧ t

3. Demostrar: ( t q ) r(1) r ⊃ 1 t P(2) ∼ r ⊃ ∼ p P(3) t ∧ ∼ q P(4) ∼ ∼ t ⊃ ∼ r(5) t ⊃ ∼ r(6) t ⊃ ∼ p(7) t(8) ∼ p(9) ∼ ( ∼ t ∨ q )(10) ∼ ( ∼ ∼ t ⊃ q )(11) ∼ ( t ⊃ q )(12) ∼ r

150

(13) ∼ ( t ⊃ q ) ∧ ∼ r4. Demostrar: ( q r ) s

(1) ( p ⊃ q ) ⊃ r P(2) ∼ r P(3) ∼ ( p ⊃ q )(4) ∼ ( ∼ p ∨ q )(5) ∼ ∼ p ∧ ∼ q(6) p ∧ ∼ q(7) ∼ q(8) ∼ q ∧ ∼ r(9) ( ∼ q ∧ ∼ r ) ∨ s

5. Demostrar:(1) p ∨ ( q ∧ r ) P(2) ( ∼ q ∨ r ) ∧ ( ∼ q ∨ ∼ p ) P(3) ( p ∨ q ) ∧ ( q ∨ r )(4) p ∨ q(5) ∼ p ⊃ q(6) ∼q ∨ ∼ p(7) ∼ ∼ q ⊃ ∼ p(8) q ⊃ ∼ p(9) ( ∼ p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ ∼ p )(10) ∼ p ≡ q

6. Demostrar: ( n r )(1) ∼ s ⊃ ∼ ( p ∨ ∼ t ) P(2) t ⊃ ( q ∧ r ) P(3) ∼ s P(4) ∼ ( p ∨ ∼ t )(5) ∼ p ∧ ∼ ∼ t(6) ∼ p ∧ t(7) t(8) q ∧ r(9) r ∧ q(10) ( r ∧ q ) ∨ n(11) n ∨ ( r ∧ q )(12) ( n ∨ r ) ∧ ( n ∨ q )(13) n ∨ r(14) ∼ ( ∼ n ∧ ∼ r )

7. Demostrar: q s(1) p ⊃ q P(2) r ⊃ s P(3) p ∨ r P(4) q ∨ s(5) ∼ q ⊃ s

151

8. Demostrar: p t(1) r ⊃ ∼ s P(2) ∼ r ⊃ ∼ p P(3) s ∧ ∼ q P(4) ∼ ∼ p ⊃ ∼ ∼∼ r(5) p ⊃ r(6) p ⊃ ∼ s(7) s(8) ∼ ∼ s(9) ∼ p(10) ∼ p ∨ t(11) ∼ ∼ p ⊃ t(12) p ⊃ t

9. Demostrar: t u(1) (p ⊃ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) P(2) ( t ⊃ p ) ∧ ( u ⊃ ∨ ) P(3) ( u ⊃ q ) ∧ ( s ⊃ ∨ ) P(4) ∼ r(5) ∼ r ∨ ∼ s(6) ∼ ( r ∧ s )(7) ∼ ( p ∧ q )(8) ∼ p ∨ ∼ q(9) t ⊃ p(10) u ⊃ q(11) ( ⊃ p ) ∧ ( u ⊃ q )(12) ∼ t ∨ ∼ u(13) t ∨ ∼ u

10. Demostrar: ( s r )(1) ( p ⊃ q ) ⊃ ( ∼ r ⊃ s ) P(2) ∼ q ⊃ s P(3) p ⊃ ∼ s P(4) ∼ ∼ s ⊃ ∼ p(5) s ⊃ ∼ p(6) ∼ q ⊃ ∼ p(7) ∼ ∼ p ⊃ ∼ ∼ q(8) p ⊃ q(9) ∼ r ⊃ s(10) ∼ ∼ r ∨ s(11) r ∨ s(12) s ∨ r(13) ∼ ( ∼ s ∧ ∼ r )

II. Demuestre la validez de las siguientes formas de razonamiento mediante el métododemostrativo, esto es, aplicando las reglas de inferencia (objetivo específico 8.5).

152

1. Demostrar: p r(1) p ⊃ q P(2) ∼ r ⊃ ∼ q P

2. Demostrar: r ( s t )(1) p ∧ q P(2) ∼ r ⊃ ∼ ( s ∧ t ) P(3) ( q ∧ p ) ⊃ ( t ∧ s ) P

3. Demostrar: ( s q ) r(1) r ⊃ ∼ s P(2) ∼ r ⊃ ∼ p P(3) s ∧ ∼ q P

4. Demostrar: ( q r ) s(1) ( p ⊃ q ) ⊃ r P(2) ∼ r P

5. Demostrar: r ( q r )(1) s ⊃ ( q ∧ r ) P(2) ( p ⊃ r ) ⊃ s P(3) ∼ p ∨ n

6. Demostrar: ( n ( r q )(1) ∼ s ⊃ ∼ ( p ∨ ∼ t ) P(2) t ⊃ ( q ∧ r ) P(3) ∼ s P

7. Demostrar: t u(1) (p ⊃ q ) ⊃ ( r ⊃ s ) P(2) ( t ⊃ p ) ∧ ( u ⊃ ∨ ) P(3) ( u ⊃ q ) ∧ ( s ⊃ ∨ ) P(4) ∼ r P

8. Demostrar: r s(1) ( p ⊃ q ) ⊃ ( ∼ r ⊃ s ) P(2) ∼ q ⊃ s P(3) p ⊃ ∼ r P

9. Demostrar: q s(1) p ⊃ q P(2) r ⊃ s P(3) ∼ p ⊃ ( ∼ r ⊃ t ) P(4) ∼ t P

10. Demostrar: p(1) p ∨ ( q ∧ r ) P

153

(2) ∼ q ∨ ( r ∧ p ) P

11. Demostrar: ( p r ) ( p r )(1) ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) P(2) (s ⊃ p ) ∧ ( r ⊃ s ) P

12. Demostrar: u(1) p ∧ ( q ∧ r ) P(2) ( p ∧ q ) ∧ ( s ∨ t ) P(3) p ⊃ ( t ⊃ ∼ q ) P(4) ( ∼ u ∨ ∼ q ) ∨ ∼ s P

III. Demostrar la validez de los siguientes razonamientos mediante el métododemostrativo (objetivo específico 8.6).

(1) No se da el caso de que es culpable o no se arrepintió. Luego no es culpable.(2) Si el universo comenzó a expansionarse con el Big Bang hace cerca de trece milmillones de años, entonces en él no puede haber objetos de más de trece mil millonesde años, ni tampoco puede haber fuentes que iluminen más allá de trece mil millonesde años. Efectivamente, el universo empezó su expansión con el Big Bang; luego, nihay objetos ni luces anteriores a trece mil millones de años.(3) Si un profesor no prepara responsablemente sus clases, es responsable de la malapreparación de los estudiantes; si prepara bien sus clases, tiene que dedicar tiempoextra para ello. O bien no prepara bien sus clases o bien lo hace. Por tanto o esresponsable de la deficiente preparación de los estudiantes o tiene que dedicar tiempoextra a la preparación de las clases.(4) Sólo se puede exigir a los demás si uno cumple con sus responsabilidades. Sólo siuno cumple con sus responsabilidades puede esperar lo mismo de los demás. Él, enrealidad, no espera que los demás cumplan sus deberes. En consecuencia, uno nocumple con sus responsabilidades.(5) La víctima tenía el dinero en su cartera sólo si el robo no fue el motivo del crimen.Ahora bien, el motivo del crimen fue el robo o la venganza. De hecho la víctima teníael dinero en su cartera. Luego, la venganza fue el motivo del crimen.(6) Si es falso que va a aumentar la inflación y habrá pocas inversiones extranjeras, esfalso también que el presupuesto nacional es deficitario. Pero, en realidad, elpresupuesto nacional si es deficitario. Por consiguiente, aumentará la inflación y habrápocas inversiones extranjeras.(7) Si la curvatura del espacio tridimensional es una esfera, entonces el universo esilimitado y finito a la vez. Esto es lo mismo que afirmar que es falso que el universosea ilimitado y finito a la vez o que la curvatura del espacio tridimensional deluniverso sea una esfera.(8) Si hay impunidad, aumenta la corrupción. Si el gobierno da el ejemplo, losciudadanos se sienten motivados para cumplir sus deberes cívicos. O no aumenta lacorrupción o los ciudadanos no se sientan motivados para cumplir sus deberes cívicos.Luego, es falso que haya impunidad y el gobierno dé el ejemplo.

(9) Actuamos honestamente si, y sólo si hay una adecuación entre lo que pensamos ylo que hacemos. Si tiene lugar esto último aumenta nuestra autoestima. En realidad

154

nuestras actuaciones disminuyen nuestra autoestima. Luego no actuamos conhonestidad.(10) Venezuela puede tener muchas naciones amigas, sólo si respeta suautodeterminación. No puede esperar que todos tengan el mismo sistema de gobierno,si se respeta su autodeterminación. Venezuela, en realidad tiene muchas nacionesamigas. Luego, Venezuela no espera que todas las naciones tengan el mismo sistemade gobierno.(11) Sólo si un objeto es menos denso que el agua, flota en ella. O el objeto no esmenos denso que el agua o puede desplazar una cantidad de agua igual a la de supropio peso. Si desplaza una cantidad de agua igual a la de su propio peso, flotará enel agua. Por lo tanto, un objeto flotará en el agua si, y sólo si puede desplazar unacantidad de agua igual a la de su propio peso.

3. CONSTRUCCIÓN DE RAZONAMIENTOS VALIDOS

En este tiempo de las superautopistas de la comunicación, de los computadores quepueden "pensar lo impensable" es más necesario que nunca estar preparado y no sólo paradetectar falacias y equivocaciones, sino para poder construir, con los inmensos datos queestarán a nuestro alcance, ese conjunto proposicional irrompible, interrelacionadomonolíticamente que llamamos razonamiento. Para este cometido ninguna guía mejor que lasreglas de inferencia. Todo razonamiento, no importa lo complejo que sea, que tenga la formalógica de cualquier regla de inferencia siempre será válido. Luego, mediante, por ejemplo, laregla del MPP podemos construir razonamientos de diversa complejidad, desde el más simplecuya forma lógica sea:

p ⊃ qp

_____q

a otra más compleja, como los que tienen formas lógicas como ésta:

~ ( p ∨ q ) ⊃ ( r ∧ s )~ ( p ∨ q)

______________________r ∧ s

Obviamente, para construir razonamientos tenemos que dar contenido a las formaslógicas de razonamiento, esto es, tenemos que sustituir las variables proposicionales porproposiciones. En el caso de las dos formas de razonamiento anteriores habrá un sin númerode razonamientos, por cuanto las variables proposicionales pueden sustituirse por distintoscontenidos proposicionales: contenidos de química, física, economía, política, de lo queocurre diariamente, etc. Por esa, antes de construir los razonamientos, es preciso sustituir lasvariables proposicionales por las proposiciones que van a constituir su contenido. A modo deejemplo, construiremos razonamientos con las formas lógicas de razonamiento a que nosestamos refiriendo.

Para construir un razonamiento cuya forma sea el MPP:

155

p ⊃ qp

_______q

tenemos que dar contenido, como se ha dicho más arriba, a las variables proposicionales. Sea,pues:

p: Se logra la descentralización en Venezuela.q: Se fortalece la democracia.

El razonamiento seria éste:

Si se logra la descentralización en Venezuela, entonces se fortalece su democracia.Efectivamente, se está logrando la descentralización. Por tanto, se fortalece dademocracia en Venezuela.

Un razonamiento cuya forma lógica sea también el MPP:

~ ( p ∨ q ) ⊃ ( r ∧ s )~ ( p ∨ q)

_____________________r ∧ s

y sus variables proposicionales se sustituyan por las siguientes proposiciones:

p: Hay inflación.q: Hay poca inversión extranjera.r: Habrá desarrollo económico.s: Se crearán nuevos empleos.

sería éste:

Si es falso que hay inflación o poca inversión extranjera, habrá un desarrolloeconómico sostenido y se crearán nuevos empleos. En efecto, es falso que hayinflación o poca inversión extranjera. Luego, habrá un desarrollo económicosostenido y se crearán nuevos empleos.

Lo que hemos hecho con la regla del MPP se puede hacer con el resto de las reglas deinferencia.

En este momento, debes haber cubierto todas las etapasen el aprendizaje de este objetivo. El Autoevaluativo, te permitirá

conocer hasta que punto lo has logrado. Por eso debesresolver, uno por uno cada ejercicio

156

AUTOEVALUATIVO 8

I. Construir un razonamiento con cada una de las reglas de inferencia asignandocontenido a las variables proposicionales (objetivo específico 8.4).

II. Dadas las siguientes formas válidas de razonamiento construir razonamientosasignando contenido a las variables proposicionales (objetivo 8.4).

(1) ∼ p ⊃ q∼ p________q

(2) ∼ p ⊃ ∼ qq_________p

(3) p ⊃ ∼ q∼ q ⊃ r________p ⊃ r

(4) p ⊃ ∼ qr ⊃ ∼ qq ∨ r________∼ q ∨ s

(5) ∼ p ⊃ qr ⊃ s∼ q ∨ p_________p ∨ ∼ r

(6) ∼ ( p ∧ ∼ q )____________∼ p ∨ q

(7) ∼ p ⊃ q________∼ q ⊃ p

(8) ∼ p ⊃ q________p ∨ q

(9) ( p ∧ ∼ q ) ⊃ ∼ r________________p ⊃ ( ∼ q ⊃ ∼ r )

(10) p ≡ q_____________________( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ p )

157

Si todo esta resuelto, ¡Felicitaciones! y adelante...Si hay alguna duda, no dejes de acudir a tu asesor.

Continua ahora con la unidad III

RESPUESTAS

A. FORMAS LÓGICAS

Ejercicios: Página 10 Proposiciones Extensionales y no Extensionales(1) Proposición no extensional.(4) Proposición no extensional.(6) Proposición extensional.

Ejercicios: Página 20 Lógica Proposicional (objetivo específico 6.2)(1) (a) Proposiciones simples y su representación:

• Se logra una mayor conciencia cívica (p).• Se logra un mayor compromiso con la comunidad (q).• (Se logra) unos gobernantes honestos (r).• Los distintos problemas del país irán solucionándose poco a poco (s).• La democracia se podrá catalogar de eficiente (t).

(b) Conectivos y Conectores:• Conectivo principal: si-entonces (⊃).• Conectivos en el antecedente: la coma (,) que equivale a y (∧), e y (∧)• Conectivos en el consecuente: y (∧).

158

(c) Forma proposicional:( p q r ) ( s t )

(4) (a) Forma típica de la proposición:Si podemos redactar con buen estilo y nos atrevemos a expresar por escrito nuestrasideas y convicciones, entonces leeremos buenos autores y observaremos el uso de lossignos de puntuación.

(b) Proposiciones simples y su representación:• Podemos redactar con buen estilo (p).• Nos atrevemos a expresar por escrito nuestras ideas y convicciones (q).• Leemos buenos autores (r).• Observamos el uso de los signos de puntuación (s).

(c) Conectivos y Conectores:• Conectivo principal: si-entonces (⊃).• Conectivo en el antecedente: y (∧). (El segundo ‘y’ no es conectivo).• Conectivo en el consecuente: y (∧).

(d) Forma proposicional:( p q ) ( r s )

(7) (a) Proposiciones simples y su representación:• La humanidad logra viajar a una velocidad próxima a la luz del sol (p).• Se encuentra en el universo planetas semejantes a la tierra (q).• El sol podrá extinguirse (p).• La tierra (podrá) desaparecer (s).• La raza humana podrá seguir viviendo en el universo (t).

(b) Conectivos y Conectores:• Conectivo principal: si-entonces (⊃).• Conectivos del antecedente: y (∧).• Conectivos del consecuente: dos y (∧).• (c) Forma proposicional:

( p q ) ( ( r s ) t )

(15) (a) Forma típica de la proposición:Si entendemos la lógica, entonces no nos distraeremos en clase y nodejaremos de hacer los ejercicios del libro.

(b) Proposiciones simples y su representación:• Entendemos la lógica (p).• Nos distraeremos en clase (q).• Dejamos de hacer los ejercicios (r).

(c) Conectivos y Conectores:• Conectivo principal: si-entonces (⊃).• Conectivo del antecedente: ninguno.• Conectivo del consecuente: y (∧) y dos no (~).

(d) Forma proposicional:p ( ~ q ~ r )

159

Ejercicios: Página 25 Lógica Proposicional (objetivo específico 6.3)(1) Sustitución de proposiciones por variables proposicionales:

p: El profesor corrigió bien el trabajo.q: (El profesor) se equivocó al registrar la calificación.

Forma lógica: p q Primera premisap Segunda premisa__________q Conclusión

(4) Sustitución de proposiciones por variables proposicionales:p: Con el nuevo presupuesto nacional aumentará la inflación.q: (Con cl nuevo presupuesto nacional aumentará) disminuirá el salario real.r: Habrá una explosión social.

Forma lógica: ( ~ p ~ q ) ~ r Primera premisa( p q ) Segunda premisa___________________r Conclusión

(7) Sustitución de proposiciones por variables proposicionales:p: Hay impunidad.q: Aumenta la corrupción de los políticos.r: Los políticos persiguen sus intereses personales.s: Nuestra democracia es una pseudodemocracia.

Forma lógica: p q Primera premisar s Segunda premisa~ ( q s ) Tercera premisa____________q ~ r Conclusión

(10) Sustitución de las proposiciones simples por variables proposicionalesp: El primer argumento de una conjunción es falso.q: La conjunción como un todo es falsa.r: El segundo argumento es falso.

Forma lógica: p q Primera premisa____________( p r ) q Segunda premisa

(11) Sustitución de las proposiciones simples por variables proposicionales:p: Un razonamiento es válido.q: Las premisas son verdaderas.r: La conclusión es necesariamente verdadera.

Forma lógica: r ( p q ) Primera premisa_____________

160

( ~ p ~ q) ~ r Conclusión

(15) Sustitución de las proposiciones simples por variables proposicionales:p: La descripción bíblica de la cosmogonía es estrictamente correcta.q: El sol fue creado el cuarto.r: (El sol) puede haber sido la causa de la sucesión del día y de la noche durante lostres primeros días.s: Las Escrituras usan la palabra `día' en un sentido diferente de la acepción corriente

en la actualidad.Forma lógica: p ~ q Primera premisa

~ q ~ r Segunda premisat r Tercera premisa___________t ~ p Conclusión.

B. PRUEBA DE VALIDEZEjercicios: Página 28 Valor de Verdad de Formas Proposicionales

(1)l° 2°

( p ⊃ ∼ q ) ∨ ∼ r0 1 0 1 1 1 0

Observación: los negadores, por afectar solo a una v.p., no han sido numerados.

(5) 1° 2° 3°( ~ ( ~ p ⊃ q ) ∨ ~ q ) ⊃ ~ p

0 1 0 1 1 0 0 1 l 1 0

(10) 1° 2° 3° 6° 5° 4°( ( ( p ∨ q ) ⊃ r ) ∨ ~ r ) ⊃ ∼ (p ∨ q )

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

Ejercicios Página 32 Tabla de Verdad (objetivo específico 7.3)

(3)l° 2° 4° 3°

( ~ p ∨ q ) ≡ (p ⊃ q)0 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 0 1 0

(6)3° 1° 2° 6° 4° 5°~ ( ( p ∧ ~ q ) ∨ ∼ r ) ⊃ ( ( p ∧ q) ⊃ ∼ r1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1

Es una formaproposicionalcontingente.

La formaproposicional estautológica.

161

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 10 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 11 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 10 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 00 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0

Observación: Los negadores, cuyo alcance es sólo una variable proposicional, no han sidonumerados.

(8)2° 1° 3° 4° 6° 5°( ( ~ ( p ∨ ~ q ) ∧ r ) ⊃ ~ r ) ⊃ ( p ∨ ∼ q )

0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 11 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 00 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 11 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 00 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0

Ejercicios: Página 39 Método de Reducción al Absurdo (objetivo específico 7.3)

(2) ( ( ( p ⊃ q ) ⊃ ~ r) ∧ r ) ⊃ ~ ( p ⊃ q )1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0(10)(9)(11) (5) (8)(7) (2)(6) (1) (3)(12)(4) (13)

En (4) hay una contradicción, luego la forma proposicional es tautológica.

(3) ( ( p ⊃ q ) ⊃ r ) ≡ ( ~ r ⊃ ~ ( p ⊃ q )l° Caso 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 l 0

(10)(9)(11) (2) (8) (1) (4)(6)(3) (5)(12)(7) (13)

2° Caso l 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0(12)(4)(13) (2) (5) (1) (7)(6)(3) (8)(10)(9) (11)

En el primer caso en (7) hay contradicción, en el segundo en (4); luego, la formaproposicional es una tautología.

(6) ( ( ( p ⊃ ( q ∧ r ) ) ∧ ( ( q ∧ r ) ⊃ s ) ) ∧ ( s ⊃ t ) ) ⊃ ~ ( p ∧ ∼ t )l 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 l 0 1 0 0 0 1 1 1 0

Forma proposicionalcontingente.

162

(12)(6) (18)(17)(19) (4) (20)(16)(21)(7)(15) (2) (14)(5)(13) (1)(3)(9) (8)(10)(11)

En (16) hay una contradicción, por tanto la forma proposicional es tautológica.

(8) ( ( p ∧ q ) ∨ r ) ≡ ( ( p ∨ q ) ∧ r )ler. caso: 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0

(8) (7)(4) (2)(6) (1) (10)(4)(11) (3)(5)

2do. caso: 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1(8)(7)(9) (2)(6) (1) (10)(4)(11) (3)(5)

En el primer caso hay contradicción en (4), en el segundo en (2) pues sea verdadero ofalso su primer argumento al tener el segundo verdadero la disyunción no puede ser falsa.

(10) ( ( p ∧ ∼ q ) ⊃ ( r ∨ s ) ≡ ∼ ( r ∨ s ) ⊃ ∼ ( p ∧ ∼ q )ler. caso: 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0

(13)(l8)(14)(15) (2) (16)(19)(17) (1)(4) (7) (6) (8) (3) (5) (10)(9)(11)(12)

2do. caso: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0(8) (4) (9)(10) (2) (6) (5) (7) (1) (18)(11)(13)(12) (3) (19)(14)(17)(15)(16)

En el primer caso hay contradicción en (2), en el segundo en (3); luego la formaproposicional es tautología.

AUTOEVALUATIVO 7: I PARTE página: 42

1.1. Primer paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la confusión delas premisas y como consecuente la conclusión.

( ( p q ) ( r q ) ) ( p r )

Segundo paso: determinar si la implicación anterior es tautología:

( ( p ⊃ q ) ∧ ( ∼ r ⊃ ∼ q ) ) ⊃ ( p ⊃ r )1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 11 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1

163

1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 00 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 01 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 00 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0

Tercer paso: la respuesta; el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisasimplica tautológicamente a la conclusión, luego el razonamiento es válido.

1.8. Primer paso: construcción de la implicación.

( ( ( p q ) ( q r ) ) r p

Segundo paso: determinar si la implicación anterior es tautológica.

( ( ( p q ) ( q r ) ) r p1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 10 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 01 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 10 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 10 1 1 1 1 1 1 0 0 0 l 1 01 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0

Tercer paso: respuesta: la forma de razonamiento es válida porque la conjunción de laspremisas implica tautológicamente a la conclusión.

1.10. Primer paso: construcción de la implicación:

( ( p q ) q ) ( p r )

Segundo paso: determinar si la implicación anterior es tautológica.

( ( p ≡ q ) ∧ ∼ q ) ⊃ ( p ∨ r )1 1 1 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 1 1 0 1 0 1 11 1 1 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 1 1 1 10 1 0 0 1 0 1 0 0 0

Tercer paso: respuesta; la forma de razonamiento es valida porque la conjunción de laspremisas implica tautológicamente la conclusión.

AUTOEVALUATIVO 7: PARTE II página: 48

164

2.- Primer paso: forma lógica.

p ( q r )~ r p .q

Segundo paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la conjunción delas premisas y como consecuente la conclusión.

(p ⊃ ( q ∨ r ) ∧ ( ∼ r ∧ p ) ) ⊃ q

Tercer paso: determinar si la implicación anterior es tautológica:

(p ⊃ ( q ∨ r ) ∧ ( ∼ r ∧ p ) ) ⊃ q1 1 1 1 1 0 0 l 0 1 1 10 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 10 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 11 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Cuarto paso: respuesta; el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisasimplica tautológicamente a la conclusión.

4. Primer paso: forma lógica: ( p q ) r

p q .r

Segundo paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la conjunción delas premisas y como consecuente la conclusión:

( ( ~ ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ (p ∧ q ) ) ⊃ r

Tercer paso: determinar si la implicación anterior es tautológica:( ( ~ ( p ∧ q ) ⊃ ∼ r ) ∧ (p ∧ q ) ) ⊃ r

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 01 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 01 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0

165

Cuarto paso: respuesta; el razonamiento no es válido porque la conjunción de las premisas noimplica tautológicamente a la conclusión.

9. Primer paso: forma lógica:p ( q r ) r q . p

Observación: Todavía puede tomar el avión es ‘q’. ( Luis) vendrá es ‘r’.

Segundo paso: construcción de la implicación colocando como antecedente la conjunción delas premisas y como consecuente la conclusión.

( ( p ⊃ ( q ⊃ r ) ) ∧ ( ~ r ∧ q ) ) ⊃ ∼ p

Tercer paso: determinar si la implicación anterior es tautológica.( ( p ⊃ ( q ⊃ r ) ) ∧ ( ~ r ∧ q ) ) ⊃ ∼ p

1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 01 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 10 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 01 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 01 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

Cuarto paso: respuesta; el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisasimplica tautológicamente a la conclusión.

13. Primer paso: forma lógica:

p ( q r )( q r ) ss t . ( p t )

Segundo paso: construcción de la implicación en la que el antecedente es la conjunción de laspremisas y el consecuente la conclusión.

( ( ( p ⊃ ( q ∧ r ) ) ∧ ( ( q ∧ r ) ⊃ s ) ) ∧ ( s ⊃ t ) ) ⊃ ∼ ( p ∧ ∼ t )

Tercer paso: determinar si la implicáción anterior es tautológica. En este caso, por tener 5variables proposicionales, emplearemos el Método de Reducción al absurdo.

( ( ( p ⊃ ( q ∧ r ) ) ∧ ( ( q ∧ r ) ⊃ s ) ) ∧ ( s ⊃ t ) ) ⊃ ∼ ( p ∧ ∼ t )1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

(12)(6) (18)(17)(19) (4) (20)(16)(21) (7) (15) (2) (14)(5) (13) (1) (3) (9)(8) (10)(11)

Cuarto paso: respuesta: el razonamiento es válido porque la conjunción de las premisasimplica tautológicamente a la conclusión.

C. DEMOSTRACIÓN DE VALIDEZEjercicios: Página 48 MPP y MTT (objetivo específico 8.5)(1) Demostrar: ~ ~ p

166

1. ~ p ⊃ q P2. q ⊃ r P3. ~ r P4. ~ q MTT 2y35. ~ ~ p MTT 1 y 4

(5) Demostrar: ql. ~ p ⊃ q P2. p ⊃ r P3. r ⊃ s P4. ~ s P5. ~ r MTT 3 y 46. ~ p MTT 2 y 57. q MPP 1 y 6

(6) Demostrar: ~tl. ~ p ⊃ ∼ q P2. ~ q ⊃ ( r ⊃ ∼ t ) P3. ~ p P4. r P5. ~ q MPP 1 y 46. r ⊃ ∼ t MPP 2 y 57. ~ t MPP 4 y 6Ejercicios: Página 49 . Reglas de Inferencia (objetivo específico 8.5)(1) Demostrar: s1. p ⊃ q P2. q ⊃ r P3. ~ r P4. p ∨ s P5. p ⊃ r TI 1 y 26. ~ p MTT 3 y 57. s MTP 4 y 6

(3) Demostrar: q s1. p ∨ ( q ⊃ ∼ r ) P2. p ⊃ t P3. ~ t P4. ~ r ⊃ s P5. ~ p MTT 2 y 36. q ⊃ ∼ r MTP 1 y 57. q ⊃ s TI 7 y 4(5) Demostrar: r p1. (p ∨ q) ∨ ((r ⊃ s) ∨ t ) P2. ~ ( p ∨ q) P3. ~ t P4. s ⊃ p P5. (r ⊃ s ) ∨ t MTP 1 y 26. r ⊃ s MTP 3 y 5

167

7. r ⊃ p TI 6 y 4

Ejercicios: Página 52 Reglas de inferencia (objetivo específico 8.5)(2) Demostrar: ~ ql. p ∨ ( q ⊃ r ) P2. ~ p ∧ ∼ r P3. ~ p Simp 24. q ⊃ r MTP 1 y 35. ~ r Simp 26. ~ q MTT 4 y 5(6) Demostrar: ~ t1. p ⊃ ∼ q P2. ( p ⊃ ∼r ) ⊃ ∼ s P3. ~ q ⊃ ∼ r P4. t ⊃ s P5. p ⊃ ∼r TI 1 y 36. ~ s MPP 2 y 57. ~ t MTT 4 y 6(8) Demostrar: ~ t1. ( ~ p ⊃ q ) ∧ ( ~ r ⊃ s ) P2. ( q ∧ ~ ~ s ) ⊃ ( t ∨ ~ u ) P3. ~ p ∧ ~ s P4. ( q ∧ ~ ~ r ) ⊃ ( t ∨ ∼ u ) P5. ~ t P6. ~ p Simp 37. ~ s Simp 38. ~ p ⊃ q Simp 19. ~ r ⊃ s Simp 110. q MPP 6 y 811. ~ ~ r MTT 7 y 912. q ∧ ~ ~ r Conj10 y 1113. t ∨ ~ u MPP4 y 1214. ~ u MTP 5 y 13Ejercicios: Página 57 Parte I. Demostraciones Formales de Validez (obj. específico 8.4)

En la solución de estos ejercicios se procede de la misma manera que en losanteriores. Confronta tus respuestas con tus compañeros o con el asesor.

Ejercicios: Página 57 Parte II. Método Demostrativo (objetivo específico 8.4)(2) Demostrar: r ( s t )l. p ∧ q P2. ~ r ⊃ ( s ∧ t ) P3. ( q ∧ p ) ⊃ ( t ∧ s ) P4. q ∧ p Conm 15. t ∧ s MPP 3 y 46. s ∧ t Conm 57. ~ ~ r MTT 2 y 68. r DN 79. r ∧ ( s ∧ t ) Conj 8 y 6

168

(6) Demostrar: ~ ( n ( ~ r ~ q ) )1. ~ s ⊃ ∼ ( p ∨ ∼ t ) P2. t ⊃ ( q ∧ r ) P3. ~ s P4. ~ ( ~ p ∨ t) MPP l y 35. ~ ~ p ∧ ~ ~ t LM 46. p ∧ t DN 57. t Simp 68. q ∧ r MPP 2 y 79. r ∧ q Conm 810. ( r ∧ q ) ∨ ~ n Ad 911. ~ n ∨ ( r ∧ q) Conm 1012. ~ ( n ∧ ∼ ( r ∧ q ) ) LM 1113. ~ ( n ∧ (~ r ∨ ∼ q ) ) LM 12

(9) Demostrar: q s1. p ⊃ q P2. r ⊃ s P3. ~ p ⊃ ( ~ r ⊃ t ) P4. ~ t P5. ( ~ p ∧ ∼ r ) ⊃ t Exp 36. ~ ( ~ p ∧ ∼ r ) MTT 4 y 57. ~ ~ p ∨ ∼ ∼ r LM 68. p ∨ ~ ~ r DN 79. p ∨ r DN 710. ( p ⊃ q ) ∧ ( r ⊃ s ) Conj 1 y 211. q ∨ s DC 9 y 10

(10) Demostrar: p1. p ∨ ( q ∧ r ) P2. ~ q ∨ ( r ∧ p ) P3. ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q) Dist 14. p ∨ q Simp35. ~ ~ p ∨ q DN 46. ~ p ⊃ q Imp 57. ( ∼ q ∨ r ) ∧ ( ~ q ∨ q ) Dist 28. ( ~ q ∨ p ) ∧ ( ~ q ∨ r ) Conm 79. ~ q ∨ p Simp 810. q ⊃ p Simp 911. ~ p ⊃ p TI 6 y 1012. ~ ~ p ∨ p Imp 1113. p ∨ p DN 1214. p

169

(11) Demostrar: ( ~ p ~ r ) ( ~ p r )l. ( p ⊃ q ) ∧ ( q ⊃ r ) P2. ( s ⊃ p ) ∧ ( r ⊃ s ) P3. p ⊃ q Simp 14. ( q ⊃ r ) ∧ ( p ⊃ q ) Conm 15. q ⊃ r Simp46. p ⊃ r TI 3 y 57. s ⊃ p Simp 28. ( r ⊃ s ) ∧ ( s ⊃ p ) Conm29. r ⊃ s Simp 810. r ⊃ p TI 7 y 911. ( p ⊃ r ) ∧ ( r ⊃ p) Conj12. p ≡ r Eq 1113. ( p ∧ r ) ∨ ( ~ p ∧ ~ r ) Eq 1214. ~ ~ ( p ∧ r ) ∨ ( ~ p ∧ ~ r ) DN 1315. ~ ( p ∧ r ) ⊃ ( ~ p ∧ ~ r ) Imp 1416. ( ~ p ∨ ~ r ) ⊃ ( ~p ∧ ∼ r ) LM 15

(12) Demostrar: ~ ul. p ∧ ( q ∧ r ) P2. ( p ∧ q ) ∧ ( s ∨ t ) P3. p ⊃ ( t ⊃ ∼ q) P4. ( ~ u ∨ ~ q ) ∨ ∼ s P5. ( ( p ∧ q ) ∧ s ) ∨ ( p ∧ q ) ∧ t ) Dist 26. p ⊃ ( ~ ~ q ⊃ ∼ t ) Cont 37. p ⊃ ( q ⊃ ~ t ) DN 68. ( p ∧ q ) ⊃ ~ t Exp 79 ~ ( p ∧ q ) ∨ ~ t Imp 810. ~ ( ( p ∧ q ) ∧ t ) LM 911. ( ( p ∧ q ) ∧ t ) ∨ ( ( p ∧ q ) ∧ s) Conm 512. ( p ∧ q ) ∧ s MTP13. p ∧ ( q ∧ s ) As 1214. ( q ∧ s ) ∧ p Conm 1315. q ∧ s Símp 1416. ~ u ∨ ( ~ q ∨ ~ s ) As 417. ~ ~ ( q ∧ s ) DN 1518. ~ ( ~ q ∨ ~ s ) LM l719. u ⊃ ( ~ q ∨ ~ s ) Cont 1620. ∼ u MTT 18 y 19

Ejercicios: Página 58 Parte III. Validez de Razonamiento (objetivo específico 8.6)

(1) Forma lógica: ∼ (p ∨ q)∼ p

Demostración:

170

(1) ~ ( p ∨ q ) P(2) ~ p ∧ ∼ q LM 1(3) ~ p Simp 2

(5) Forma lógica: p ⊃ ∼ qq ∨ rp .r

Demostración:(1) p ⊃ ∼ q P(2) q ∨ r P(3) p P(4) ~ q MPP 1 y 3(5) r MTP 2 y 4

(8) Forma lógica : p ⊃ qr ⊃ s~ q ∨ ∼ s .~ ( p ∧ r )

Demostración:(1) p ⊃ q P(2) r ⊃ s P(3) ~ q ∨ ∼ s P(4) ~ p ∨ ∼ s DD l, 2 y 3(5) ~ (p ∧ s ) LM 4

(11) Forma lógica: q ⊃ p~ p ∨ rr ⊃ q .q ≡ r

Demostración:(1) q ⊃ p P(2) ~ p ∨ r P(3) r ⊃ q P(4) ~ ~ p ⊃ r Imp 2(5) p ⊃ r DN 4(6) q ⊃ r TI 1 y 5(7) ( q ⊃ r ) ∧ ( q ⊃ q ) Conj 6 y 3(8) q ≡ r Eq 7

AUTOEVALUATIVO 8: I PARTE página 62(a) Razonamiento con forma lógica del MTT.

p ⊃ q~ q .~ p

Sean:

171

p: El juez es honesto.q: La sociedad puede confiar en sus decisiones.

Razonamiento:Si el juez es honesto, la sociedad puede confiar en sus decisiones. Sin embargo, la

sociedad no confia en sus decisiones. Luego, el juez no es honesto.

(b) Razonamiento en forma lógica del MTP.p ∨ q~ p .q

Sean:p: Nos adaptamos a la era de la informática y del espacio.q: Seguimos anclados mental y tecnológicamente a la ya vieja era industrial.

Razonamiento:O bien nos adaptamos a la era de la informática y del espacio o bien seguimos

anclados mental y tecnológicamerlte en la ya vieja era industrial. Por distintos motivos nocambiamos para adaptarnos a la era informática y espacial. Luego, seguimos atados mentaly tecnológicamente a la ya superada era industrial.

(c) Razonamiento con forma lógica de MPP.( p ∧ q ) ⊃ ( ~ r ∧ ∼ s )p ∧ q .~ r ∧ ~ s

Sean:p: La matemática es una ciencia formal.q: La lógica es una ciencia formal.r: Las proposiciones matemáticas tienen que ser contrastadas con el mundo exteriorpara verificar su verdad.s: Las proposiciones lógicas tienen que ser contrastadas con la realidad exterior paraverificar su verdad.

Razonamiento:Si la matemática y la lógica son ciencias formales, ni unas ni otras tienen que

contrastarse con la realidad externa para verificar su verdad. No hay duda de que ambasciencias .son formales. Luego, ninguna de sus proposiciones tienen que .ser contrastadas conla realidad para determinar su verdad.

(d) Razonamiento con forma lógica Dilema Destructivo (DD).p ⊃ qr ⊃ s~ q ∨ ∼ s .∼ p ∨ ∼ r

Sean:p: El juez aplica la ley.q: El juez administra correctamente la justicia.r: El juez actúa moralmente.s: Su conducta se rige por principios éticos.

172

Razonamiento:Si el juez aplica la ley, administra correctamente la justicia.Si, además, el juez es moral, su conducta se rige por principios éticos.Pero o bien el juez no administra correctamente la justicia o bien su conducta no serige por principios éticos. Por tanto, o bien el juez no cumple con la Ley o bien no esmoral.

(e) Razonamiento en forma lógica de Exportación (Exp).( p ∧ q ) ⊃ rp ⊃ ( q ⊃ r )

Sean:p: Los valores humanos se conquistan.q: Los valores humanos son patrimonios de la humanidad.r: Hay que esforzarse para adquirir los valores humanos.

Razonamiento:Si 1os valores humanos se conquistan y, además, son patrimonio de la humanidad,

entonces los seres humanos tienen que esforzarse por adquirirlos. En consecuencia, losvalores humanos se conquistan implica que si son patrimonio de la humanidad, los hombrestienen que luchar por lograrlos.

AUTOEVALUATIVO 8: II PARTE

En la solución de estos ejercicios se procede de la misma manera que en losanteriores. Confronta tus respuestas con tus compañeros o con el asesor.

BIBLIOGRAFIA

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• DANN OBREGON, Ernesto. Lógica. Librería y Editorial S.A., 4° Edic. Santa Fé,Argentina. 535 pp.

• GAINZA, Jose Luis y otros. Lógica. Librería Gráficos de Cravajal, S.A., Cali Colombia,289 pp.

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Barcelona, España, 1974. 279 pp.• KUPPERMAN, Joel y ACKERMAN, W. Elementos de la Lógica Simbólica. Editorial

Labor, S.A., Barcelona, 1973.• LANGER, Susanne K. Introducción a la Lógica Simbólica. Siglo Veintiuno. Editores

S.A., 2° Edición. Traductor: Francisco González Aramburen.

173

• MITCHELL, D. Introducción a la Lógica. Editorial Labor, S.A., Barcelona, 1968.Traductor: Juan C. García B.

• NUDLER, Telma B. y NUDLER, O. Elementos de la Lógica Simbólica. EditorialKepeluz, S.S. Buenos Aires, Argentina, 1973. 133 pp.

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• QUINE, Willard Van O. Los Métodos de la Lógica. Edit. Airel, Barcelona, 1962.Traductor: Manuel Sacristán.

• SUPPES, Patrick. Introducción a la Lógica Simbólica. Compañia Editorial Continental,S.A., México, 3° Edición, 1970. Traductor: Gabriel Aguirre C.

• SUPPES, P. y HILL, S. Introducción a la Lógica Matemática. Editorial Roverte, S.A.,1971. Traductor: Enrique Lines E.

CUADRO DESCRIPTIVO

UNIDAD TEMA OBJETIVOSTERMINALES

174

UNIDAD III:SILOGISTICA: ENFOQUETRADICIONAL YMODERNO

A. LÓGICA TRADICIONAL

B. PRUEBA DE VALIDEZ

C. LÓGICA DEPREDICADOS

9. Efectuar inferenciasinmediatas derivadas del“Cuadro Tradicional deOposición” e inferencias porconversión y obversión.10. Construir, dadas lasformas válidas de la primerafigura del silogismocategórico, razonamientosválidos.

11. Efectuar la prueba devalidez de un razonamientosilogístico mediante losdiagramas de Venn.

12. Simbolizar, en el lenguajede la lógica de los predicados,la forma lógica de lossilogismos típicos y no típicosdados en castellano.13. Efectuar demostracionesformales de validez desilogismos C.F.T. dentro de lalógica de predicadosaplicando las reglas deinferencia.

ESQUEMA DE CONTENIDO

UNIDAD III. SILOGÍSTICA: ENFOQUE TRADICIONAL Y MODERNO

Cuadro DescriptivoEsquema de ContenidoIntroducción

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A. LÓGICA TRADICIONAL1. INFERENCIAS INMEDIATAS

1.1. Proposiciones singulares y generales1.2. Proposiciones Categóricas de Forma Típica1 .3. Proposiciones Categóricas de Forma No Típica y su traducción a Forma Típica1.4. El Cuadro Tradicional de Oposición1.5. Otras Inferencias Inmediatas

1.5.1 . Inferencias por Conversión1.5.2. Inferencias por Obversión

2. VALIDEZ DE LOS SILOGISMOS2.1. Silogismos Categóricos de Forma Típica2.2. Las 4 Figuras de Silogismo C.F.T.2.3. Formas Válidas del Silogismo2.4. Silogismos Categóricos de Forma No Típica2.5. Construcción de Silogismos2.6. Los Entimemas2.7. El Sorites2.8. El Dilema

B. PRUEBA DE VALIDEZ1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS(DIAGRAMA DE VENN)

2. PRUEBA DE VALIDEZ DE SILOGISMOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN

C. LÓGICA DE PREDICADOS1. SIMBOLIZACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

INTRODUCCIÓN1.1. Simbolización de las Proposiciones Singulares1.2. Simbolización de Proposiciones Generales de un Predicado1.3. Simbolización de las Proposiciones Categóricas1.4. Simbolización de Silogismos Categóricos de Forma Típica1.5. Simbolización de Silogismos de Forma No Típica

2. MÉTODO DEMOSTRATIVO DE VALIDEZ Y REGLAS DE INFERENCIAINTRODUCCIÓN

2.1. Función Proposicional2.2. Ejemplo de Sustitución2.3. Valor de Verdad de las cuantificaciones de las Funciones Proposicionales2.4. Reglas de Inferencia

2.4.1. Ejemplificación Universal (EU)2.4.2. Generalización Universal (GU)2.4.3. Ejemplificación Existencial (EE)2.4.4. Generalización Existencial (GE)

2.5. Demostración de Validez

RespuestasBibliografíaÍndice

176

INTRODUCCIÓN

La lógica proposicional sólo puede analizar formalmente de manera acabada aquellosrazonamientos en cuya validez no desempeña ningún papel la estructura interna de lasproposiciones que los componen. Y, sin embargo, hay razonamientos válidos que lo son, noen virtud de las conexiones externas sino en virtud de ciertas relaciones entre ciertoselementos internos de las proposiciones simples que los componen. Por eso, es preciso unalógica más potente que nos permita exhibir cumplidamente esos elementos internos de lasproposiciones y, así, poder mostrar la forma lógica válida de ese tipo de razonamientos. El

177

siguiente es un ejemplo de ese tipo de razonamientos cuya validez escapa a la lógicaproposicional.

(a) Todos los hombres son mortales.Sócrates es hombre.Luego, Sócrates es mortal.

Si encomendáramos a la lógica proposicional que nos proporcionara, la forma lógicade este razonamiento, nos proporcionaría, como sabemos, la siguiente:

pqr

y así se daría el caso de que un razonamiento que, a la luz de la lógica “natural” y de laintuición es válido, no lo sería a la luz de la Lógica. Si la Lógica sólo contara con la lógicaproposicional no le sería posible probar y demostrar la validez de razonamientos de este tipo.Pero no, la lógica dispone de otros recursos, tal como lo vamos a ver en la silogística y en lalógica de predicados.

Ya estarás ansioso por comenzar, así que pasamos,Enseguida, a desarrollar los contenidos ¡Buena Suerte!

A. LOGICA TRADICIONAL

l. INFERENCIAS lNMEDIATAS

OBJETIVO TERMINAL 9: Efectuar inferencias inmediatas derivadas del ‘cuadrotradicional de oposición’ e inferencias por conversión y obversión.

178

Para ello deberás lograr los siguientes objetivos específicos:

9.1. Clasificar una serie de proposiciones en singulares, particulares y universales.9.2. Distinguir los elementos de esas proposiciones: individuos determinados eindeterminados, sujeto, predicado y cuantificadores.9.3. Reconocer, en ejemplos dados, los esquemas de las distintas proposicionescategóricas (A, E, I, O ). Determinar, además, su calidad y cantidad.9.4. A partir de una serie de proposiciones categóricas, efectuar las respectivasinferencias inmediatas derivadas del cuadro tradicional de oposición.9.5. Asimismo, hacer las respectivas inferencias inmediatas por conversión yobversión.

1.1. Proposiciones Singulares y Generales

Puesto que la validez de razonamientos, como el anotado más arriba, depende de lasrelaciones existentes entre ciertos elementos internos de las proposiciones que los componen,empezaremos por desarrollar procedimientos de análisis que nos permitan desvelar esoselementos internos.

La segunda premisa del razonamiento anterior recibe el nombre de proposiciónsingular. Afirma que el individuo Sócrates tiene el atributo de ser humano. ‘Sócrates’ es eltérmino sujeto y ‘humano’ el término predicado. Luego, las proposiciones singulares sonaquéllas en que se atribuye a uno o más individuos determinados una o más propiedades. Seconsideran individuos no sólo a las personas sino también a cualquier otra cosa: estrellas,minerales, animales, ríos, países, etc.

Las proposiciones “Todo es mortal” y “Alguno es humano” son proposicionesgenerales. Estas difieren de las proposiciones singulares en que no contienen nombres deindividuos. En estas proposiciones se predica alguna cualidad de todos o de algunosindividuos del universo del discurso, esto se refieren a individuos indeterminados. Por esoempiezan con palabras como: ‘todos’, ‘cualquiera’, ‘algunos’, ‘ninguna’ y algunossemejantes.

Por universo del discurso o dominio entendemos, en forma general, el conjunto deindividuos a que nos referimos.

1.2. Proposiciones Categóricas de Forma Típica

La lógica tradicional se ocupó principalmente de la deducción de un tipo derazonamiento formado por proposiciones generales de un tipo especial llamadasProposiciones Categóricas. Razonamientos como éste:

(b) Todo los filósofos son pensadores.Algunos griegos son filósofos.Luego, algunos griegos son pensadores.

179

Las tres proposiciones del razonamiento precedente son categóricas. Una proposicióncategórica es una proposición general acerca de dos clases indicando si una está o no total oparcialmente incluida en otra. Recordemos que una clase es una colección de individuos quetienen en común una propiedad específica. En las proposiciones categóricas, por referirse aclases, el sujeto y el predicado tienen que ser sustantivos. Sin embargo, dado que unapropiedad determina una clase, consideraremos también proposiciones categóricas de formatípica a aquellas que tengan adjetivos o frases adjetivares como predicado.

Las clases se pueden relacionar de tres formas, a saber, por:

• INCLUSIÓN: Si todo miembro de una clase ‘S’ es también miembro de otra clase‘P’: “S está incluida en P”.

• INTERCEPCIÓN: Cuando algunos miembros de una clase ‘S’ son tambiénmiembros de otra ‘P’: “Algunos S son P”.

• EXCLUSIÓN: Cuando dos clases no tienen ningún miembro en común: “S noestá incluida en P”.

Por su cantidad las proposiciones categóricas pueden ser universales y particulares.Las universales se refieren a todas los individuos de una clase, y, por eso, empiezan con laspalabras ‘todos’ y ‘ninguno’ o sus equivalentes.

Las particulares se refieren a algunos de los individuos de una clase, y, por eso,empiezan con el término ‘algunos’ o sus equivalentes. La palabra ‘algunos’ es un pocoindeterminada. ¿Cuántos individuos significa? ¿uno, dos, tres, cien?. En lógica, aunque seaparte del uso ordinario la palabra ‘algunos’ significa al menos uno. Así, una proposiciónparticular que esquemáticamente se escribe:

Algún S es P

se entiende que afirma que al menos un miembro de la clase designada por ‘S’ es tambiénmiembro de la clase designada por ‘P’.

Los términos ‘todos’, ‘ninguno’, ‘algunos’ o sus equivalentes, por expresar lacantidad de individuos a que se refiere la proposición, reciben nombre de ‘Cuantificadores’.

Los cuantificadores se dividen en Universales, como ‘todos’, ‘ninguno’, que serefieren a todos los individuos de una clase, y existenciales o particulares, como ‘alguno’, quese refiere a una parte de los individuos de una clase.

Las proposiciones categóricas pueden ser también afirmativas y negativas. En esesentido se dice que tienen cualidad. Además, entre los términos sujeto y predicado de todaproposición categórica de forma típica aparece el verbo ‘ser’ en algunos de sus tiempos. Detal manera que el esquema general de una proposición categórica de forma típica consta decuatro partes:

• El cuantificador, el término sujeto, la cópula (verbo ser), el término predicado.Combinando la cualidad y la cantidad tenemos cuatro tipos de proposiciones

categóricas de forma típica:• Tipo A: Universal Afirmativa: Todo S es P: S está incluida en P.• Tipo E: Universal Negativa: Ningún S es P: S y P se excluyen entre sí.• Tipo I: Particular Afirmativa: Algún S es P: S y P tienen individuos comunes.• Tipo O: Particular Negativa: Algún S no es P: hay individuos no comunes a S y P.

180

Las letras A-I para las afirmativas proceden de las vocales de la palabra latina‘affirmo’ (AFFIRMO); así mismo las letras E-O, de la palabra latina ‘negó’ (NEGÓ), paralas negativas.

1.3. Proposiciones Categóricas de Forma No Típica y su Traducción a Forma TípicaAdemás de las proposiciones A, E, I y O, hay otras proposiciones categóricas, más

flexibles, no típicas. A continuación nos referiremos a algunas de éstas, explicando, además,la forma de traducirlas a proposiciones categóricas de forma típica.

Un primer grupo de proposiciones categóricas de forma no típica es el que presentacomo verbo principal a uno distinto del verbo ser. Por ejemplo,

“Ningún alumno desea perder el año académico”y “Algunos mamíferos viven en el mar”.

Para traducir estas proposiciones categóricas a la forma típica se sustituyen los verbos poruna forma apropiada del verbo ser y los predicados por términos que designen las clasesdefinidas por ellos.

Así, los ejemplos anteriores adoptarían estas formas típicas de proposicionescategóricas:

“Ningún alumno es una persona que desee perder el año académico”y “Algunos mamíferos son animales que viven en el mar”.

Un segundo grupo son las que usan cuantificadores distintos a los de las proposicionescategóricas de forma típica: ‘todos’ , ‘ninguno’ y ‘algunos’. Tales son las proposiciones quecontienen las palabras ‘cada’, ‘alguien’, ‘quien’, ‘aquel que’, ‘un’, ‘el’ y otros semejantes. Engeneral, la cantidad expresada por estos cuantificadores está claramente determinada. En elcaso de los artículos ‘un’ y ‘el’ es necesario tener en cuenta el contexto para determinar si serefieren a todos o a algunos de los individuos de la clase correspondiente. Así;

“Un juez es abogado”

quiere decir

“Todo juez es abogado”;

pero,

“Un juez es calvo”

evidentemente no se refiere a todos los jueces sino a uno sólo, y que, recordando que enLógica “algunos” significa “al menos uno”, su traducción puede ser “Algunos jueces soncalvos”.

Otro grupo de proposiciones categóricas de forma no típica son las que contienenexpresiones como ‘nadie más que’, ‘solamente’, ‘únicamente’. A éstas se les llama‘exclusivas’ ya que, en general, afirman que la propiedad atribuida se refiere exclusivamentea los sujetos nombrados.

Por ejemplo,

181

“Sólo los alumnos presentes pueden realizar el examen”y “Nadie más que los estudiosos tienen éxito”,

que se traducen respectivamente a forma típica así :

“Todos los que pueden realizar el examen son los alumnos presentes"y “Todos lo que tienen éxito son personas estudiosas”

Algunas proposiciones categóricas no contienen términos para indicar la cantidad, comopor ejemplo,

“Se permite entrar a los niños”y “Hay películas prohibidas”.

La cantidad, en estos casos, sólo puede determinarse analizando el contexto en que seproducen. Sin embargo, en ejemplos como los dados la cantidad es clara. El primero serefiere a todos los niños y el segundo a algunas películas. Sus traducciones a forma típicaserían:

“Todos los niños son seres que se les permite entrar”y “Algunas películas son prohibidas”.

Hay proposiciones categóricas no típicas que expresan la cantidad de una manera másexplícita que las de forma típica. Son las que utilizan cuantificadores numéricos o cuasi-numéricos, como: ‘uno’, ‘dos’, ..., ‘muchos’, ‘la mayoría’, ‘bastantes’, ‘pocos’, etc. Paratodos los propósitos relacionados con esta parte del programa, en toda proposición categóricaen que aparezcan esos cuantificadores se traducirán todos con el cuantificador ‘algunos’. Así,las proposiciones:

“Había un jugador en la discoteca”,“Había dos jugadores en la discoteca”,“Había muchos jugadores en la discoteca”,“Casi todos los jugadores estaban en la discoteca”

y otras parecidas, se traducirán, a pesar de que no todos los cuantificadores indican lamisma cantidad de individuos, como:

“Algunos jugadores son personas que estaban en la discoteca”.

Sin embargo, hay cuantificadores cuasi-numéricos más complejos que no puedentraducirse por ‘algunos’ como los ejemplos que preceden. Estos cuantificadores son, entreotros: ‘no todos’, ‘todos excepto unos pocos’, ‘casi todos’. Las proposiciones que tienen estoscuantificadores se llaman ‘exceptivas’, y hacen no una sino dos afirmaciones. Por ejemplo, en

“Todos son elegibles excepto los jugadores”

hay dos afirmaciones, a saber: la primera,

“Todos los no jugadores son elegibles”,

182

la segunda:“Ningún jugador es elegible”.

Cada proposición exceptiva es, pues, compuesta y su traducción equivale a laconjunción de dos proposiciones categóricas de forma típica. El ejemplo dado se traduciríaasí:

“Todos los no jugadores son elegibles y ningún jugador es elegible”.

Aparte de las proposiciones anotadas hay otras que sólo en apariencia no soncategóricas, como

“Nadie puede estar al mismo tiempo en el campanario y en la procesión” o“No hay peces con pulmones”.

En efecto, si los analizamos con cuidado nos percatamos que pueden traducirserespectivamente a las siguientes proposiciones categóricas de forma típica:

“Ninguna persona que está en el campanario es una persona que está también en laprocesión”y “Ningún pez es un animal con pulmones”.

Como éstas hay un gran número de proposiciones que requieren una atención y unanálisis especial para descubrir su estructura de una proposición categórica de forma típica.

A continuación aparecen unos ejercicios, si hace falta lee denuevo el material para aclarar tus dudas. AVANZA..!

EJERCICIOS

De las siguientes proposiciones categóricas:a) determinar si son o no de forma típica; b) en el caso de no serlo traducirlas a suforma típica; c) identificar los términos sujeto y predicado; d) clasificarlas atendiendoa su cantidad y cualidad.

(1) Algunos libros escritos en arameo hace dos mil quinientos años son traducidosactualmente al castellano.

(2) Un abogado graduado en la Universidad del Zulia es un profesional eficiente.

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(3) Ningún juez ha sido presionado en el veredicto.(4) Hay matemáticos famosos que han sido filósofos.(5) Nada nuevo hay bajo el sol.(6) Nadie que se precie a sí mismo se entrega al vicio.(7) Algunos países ricos no son moralmente desarrollados.(8) Los que siembras vientos cosechan tempestades.(9) La última guerra mundial fue sumamente cruel.(10) Ningún caballero engaña.(11) Hay empleados honestos.(12) Únicamente los alumnos regulares pueden presentar el examen.(13) No todos los alumnos entendieron la explicación.(14) No se discutió nada importante.(15) Sólo los médicos están autorizados para diagnosticar.(16) Casi todos los alumnos estuvieron presentes.(17) Solamente los ciudadanos mayores de dieciocho años pueden votar en laselecciones.(18) Un alumno del salón no entiende la explicación.(19) Un cáncer es normalmente curable.(20) Alguien de la clase puede no estar de acuerdo con la explicación del profesor.(21) Los errores de opinión pueden ser tolerados allí donde se deja a la razón lalibertad de combatirlos.(22) No se puede ir al cine y a la playa al mismo tiempo.(23) El cobarde se envalentona con los débiles.(24) Al menos un testigo dijo la verdad.(25) Un hombre orgulloso no reconoce fácilmente sus errores.(26) Cada uno debe asumir sus responsabilidades.(27) No todo lo que brilla es oro.(28) Los estudiantes sólo pueden entrar con autorización a los laboratorios.(29) Muy pocos son los que han navegado todo el curso del Amazonas.(30) Digno de admiración es quien respeta al pobre.

1.4. El Cuadro Tradicional de Oposición

Los lógicos medievales inventaron un gráfico donde quedaban visualizadas lasrelaciones de oposición de los cuatro tipos de proposiciones categóricas de forma típica enreferencia a su cantidad y cualidad.

A las proposiciones que, teniendo el mismo sujeto y predicado, difieren por sucantidad o cualidad o por ambas se dice que son OPUESTAS.

En el cuadro tradicional de oposición suponemos la existencia de al menos unindividuo en las clases respectivas. A excepción de los lógicos modernos, que se plantean laposibilidad de que haya clases vacías lo normal es que las clases definidas por lasproposiciones categóricas contengan algún individuo. Por eso, consideraremos todas lasinferencias que se pueden realizar en el cuadro tradicional de oposición en el que las clasesnunca son vacías.

Este gráfico se construye ubicando lo cuatro tipos de proposiciones A, E, I, O, en losvértices de un cuadrado, tal como se ilustra: las universales arriba, las particulares abajo; lasafirmativas a la izquierda y las negativas a la derecha.

184

GRÁFICO

A partir de este cuadro se pueden obtener fácilmente Inferencias Inmediatas.Hablamos de inferencias inmediatas cuando podemos pasar directamente de una sola premisaa la conclusión. Con ello sólo se presenta la misma proposición con una estructura diferente.

Explicaremos ahora cada una de las relaciones de oposición basándonos en el cuadrode la oposición.

(i) Proposiciones ContradictoriasCada una es la negación de la otra; por lo tanto, ambas no pueden ser verdaderas o falsas

a la vez. Así de la verdad de una se infiere la falsedad de la otra: Si A es verdadera, O es falsay viceversa. De una proposición categórica se infiere inmediatamente la negación de sucontradictoria. Por ejemplo, de la proposición categórica:

“Todo hombre es racional” (A)

se infiere inmediatamente:

“Es falso que algún hombre no es racional” (O)

(ii) Proposiciones ContrariasPueden ser ambas falsas, pero no ambas verdaderas. Por tanto, si A es verdadera se infiere

que E es falsa, y, en consecuencia, de A se infiere inmediatamente la negación de E. Porejemplo, si la proposición:

“Todo hombre es racional” (A) es verdadera,

de ella se infiere la proposición:

“Es falso que ningún hombre es racional”

Si A es falsa no se puede concluir de ella ninguna inferencia inmediata.

(iii) Proposiciones SubcontrariasPueden ser ambas verdaderas, aunque no ambas falsas a la vez. Por lo tanto, si I es

falsa, O es verdadera y viceversa. Si I es verdadera no se infiere de ella ni la verdad ni lafalsedad de O, ni viceversa.

(iv) Proposiciones SubalternasEn ellas la verdad de la proposición superior implica la verdad de la inferior, pero no a

la inversa; esto es, si A es verdadera, E también lo será; si E es verdadera I también esverdadera. De la falsedad de A y de E no se infiere ni la verdad ni la falsedad de susrespectivas proposiciones subalternas.

Resumiendo:Teniendo en cuenta las relaciones del cuadrado de oposición tenemos que:

185

• Si A es verdadera se infiere que E es falsaI es verdaderaO es falsa

• Si E es verdadera se infiere que A es falsaI es falsaO es verdadera

• Si I es verdadera se infiere que E es falsaO es falsa

• Si O es verdadera se infiere que A es falsaI es falsa

• Si A es falsa se infiere que O es verdadera

• Si E es falsa se infiere que A es verdadera

• Si I es falsa se infiere que E es verdaderaO es falsa

• Si O es falsa se infiere que A es verdaderaI es verdadera

Como en un razonamiento se supone que las premisas son verdaderas, sólo nosinteresan las inferencias inmediatas que se pueden dar en los cuatro primeros casos.

Antes de seguir adelante, revisa lo que has aprendido,resolviendo estos ejercicios

EJERCICIOS

Con base en el Cuadro de Oposición, determina la inferencia inmediata pornegación de la contradictoria de las siguientes proposiciones categóricas.

(1) Ningún ciego puede guiar a otro ciego.(2) Algunos que se atrincheras en sus mentiras terminan por creerlas.(3) Todo el que odia a su hermano es un asesino.(4) Algunos que viven afanados no disfrutan de las cosas hermosas de la vida.(5) Todos los que engañan a otros se engañan a sí mismos.

186

1.5. Otras Inferencias InmediatasAdemás de las inferencias inmediatas que se pueden dar en el Cuadro de la oposición,

los lógicos, desde muy antiguo, se dedicaron a otros tipos de inferencias inmediatas a partir,también, de la proposiciones categóricas. De ellas nos ocupamos a continuación.

1.5.1. Inferencias por ConversiónLa conversión consiste en el simple intercambio de los términos ‘S’ y ‘P’ de una

proposición categórica. Solamente son válidas las inferencias por conversión en lasproposiciones ‘E’ e ‘I’.

Así de la proposición E:

“Ningún político es idealista”

podemos inferir válidamente por conversión:

(E) “Ningún idealista es político”.

Igualmente de la proposición I:

“Algunos líderes son buenos ciudadanos”

inferimos válidamente por conversión:

(Y) “Algunos buenos ciudadanos son líderes”

podemos resumirlo así:PROPOSICIONES CATEGÓRICAS PROPOSICIONES CONVERSAS(A) Todo S es P (A) Todo P es S (no es una inferencia

válida)(E) Ningún S es P (E) Ningún P es S(I) Algún S es P (I) Algún P es S(O) Algún S no es P (O) Algún P no es S (no es una

inferencia válida)

1.5.2. Inferencia por ObversiónLa obversión hace referencia a lo que, en lógica de clases, llamamos la clase

complemento, la cual está conformada por todos los elementos que no pertenecen a la claseen cuestión. Así, por ejemplo,

la clase complemento de ‘A’ son todos los elementos que no están en A (no-A); laclase complemento de ‘P’ es ‘no-P’Veamos:- De la proposición A:

Todos los prestamistas son avaros

podemos inferir válidamente por obversión:

(E) Ningún prestamista es no-avaro.

187

- De la proposición O:

Algunos árbitros no son honestos

inferimos válidamente por obversión:

(I) Algunos árbitros son no honestos (deshonestos),

en resumen:

PROPOSICIONES CATEGÓRICAS PROPOSICIONES CONVERSAS(A) Todo S es P (E) Ningún S es no-P(E) Ningún S es P (A) Todo S es no-P(I) Algún S es P (O) Algún S no es no-P(O) Algún S no es P (I) Algún S es no-P

Además de estas inferencias inmediatas, se habla también de conversión por accidentey contraposición, pero aquí no nos ocuparemos de ellas.

Ahora a manera de conclusión presentamos un cuadro de resumen de las principalesinferencias inmediatas.

CUADRO RESUMEN DE LAS PRINCIPALESINFERENCIAS INMEDIATAS

PROPOSICIONESCATEGÓRICAS

INFERENCIAS INMEDIATASPOR NEGACIÓNDE LACONTRADICTORIA

PORCONVERSIÓN

POROBVERSIÓN

A: Todo S es P O: Es falso quealgún S no es P

A: Todo P es S (noes válida)

E: Ningún S es no-P

E: Ningún S es P I: Es falso quealgún S es P

E: Ningún P es S A: Todo S es no-P

I: Algún S es P E: Es falso queningún S es P

I: Algún P es S O: Algún S no esno-P

O: Algún S no esP

A: Es falso quetodo S es P

O: Algún P no esS (no es válida)

I: Algún S es no-P

Antes de pasar al siguiente objetivo, deberásConsultar las dudas con tu asesor

AUTOEVALUATIVO 9Para este ejercicio se requiere que sepas identificar una proposición categórica,

determinar los términos S y P, construir su esquema y clasificarlas.

188

Lo que te pedimos ahora es que, dada una proposición, puedas efectuar las inferenciasinmediatas que hemos estudiado. Para ello te puedes ayudar con el cuadro anterior.

En la prueba parcial se te pedirá realizar ejercicios semejantes.

(1) Todos los poetas son soñadores.(2) Hay matemáticos famosos que han sido filósofos.(3) Nada nuevo hay bajo el sol.(4) Existen monarquías que funcionan mejor que las democracias.(5) Nadie que se precie a sí mismo se entrega al vicio.(6) Algunos países ricos no son moralmente desarrollados.(7) Los que siembran vientos cosechan tempestades.

Continúa con el estudio… Avanza.

2. VALIDEZ DEL SILOGISMO CATEGÓRICO

OBJETIVO TERMINAL 10: Construir dadas las formas válidas de la primerafigura del silogismo categórico, razonamientos válidos.

189

Para ello deberás lograr los siguientes OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

10.1. Conocidos los modos y figuras del silogismo categórico de forma típica , elestudiante indicará en una serie de ejemplos dadas las figuras y el modo de cada uno.

10.2. Dada una serie de silogismos categóricos, el estudiante determinará cuáles sonválidos o no recurriendo al inventario de formas válidas del silogismo categórico deforma típica.

10.3. Dadas las formas válidas de la primera figura del silogismo categórico, elestudiante construirá razonamientos válidos.

10.4. Dada una serie de entimemas y sorites el estudiante determinará cuáles sonválidos o no recurriendo al inventario de formas válidas del silogismo categórico deforma típica.

10.5. Dado una serie de dilemas el estudiante refutará cada uno de ello.

2.1. Silogismos Categóricos de Forma Típica.Como ya señalamos en los objetivos anteriores, la lógica tradicional se ocupó de un

tipo especial de proposiciones generales, llamadas Proposiciones Categóricas (Obj. 13). Apartir de ellas se puede construir un tipo especial de razonamiento llamado SilogismoCategórico. Aquí nos ocuparemos del Silogismo Categórico de Forma Típica. Este consta dedos premisas y una conclusión (todas proposiciones categóricas). Conclusión; y una PremisaMenor que contiene el término ‘S’ (Sujeto) de la conclusión. El término ‘M’ será el que serepite en las dos premisas.

Según esto podemos precisar sus características:

• Sólo admite proposiciones categóricas.• Sólo contiene tres términos ‘S’, ‘P’, y ‘M’.• La Premisa Mayor va primero, seguida de la Premisa Menor y por último la

Conclusión.

Veamos un ejemplo:

Algunos intelectuales son distraídos.Todos los filósofos son intelectualesAlgunos filósofos son distraídos.

El término ‘S’ (sujeto) de la conclusión: ‘filósofos’ es el término menor, por eso lapremisa en la cual aparece, es la Premisa Menor. El término ‘P’ (predicado) de la conclusión‘distraídos’ es el término mayor, y así la premisa donde aparece, es la Premisa Mayor. Porúltimo, el término ‘M’ (medio) es el que se repite en las premisas y no puede aparecer en laconclusión; en este caso es ‘intelectuales’.

De tal modo que el esquema o figura de este silogismo será:

Algunos M son P

190

Todos los S son MAlgunos S son P

o mejor: Algún M es PTodo S es MAlgún S es P

Y clasificando las proposiciones por su cantidad:

(Tipo I) M – P (Premisa Mayor)(Tipo A) S – M (Premisa Menor)(Tipo I) I – P (Conclusión)

Este es un Silogismo Categórico de Forma Típica (en lo sucesivo Silogismo C.F.T).Ahora observemos atentamente: el esquema resulta de enunciar el tipo de cada

proposición, lo llamamos modo de Silogismo.En nuestro caso: IAI

quedando claro que el orden: Premisa Mayor - Premisa Menor - Conclusión.

Por otra parte, el esquema que resulta de relacionar la posición de los términos ‘S’ y‘P’ en el Silogismo lo llamamos figura del Silogismo.

En nuestro ejemplo:M – PS - MS - P

Siempre la conclusión será S - P; las variaciones posibles se darán, pues, solamente enlas premisas. Así pues, es un Silogismo Categórico de Forma Típica (C.F.T) podemosdeterminar su modo y figura.

Tomemos otro ejemplo:

Ningún acróbata sufre de mareosTodas las embarazadas sufren de mareosNinguna embarazada es acróbata.

Su esquema es: Ningún P es MTodo S es MNingún S es P.

Su modo será: EAE

Su figura: P - MS - MS - P

Hay que hacer notar que:• Distintos silogismos pueden tener el mismo modo y distinta figura y la misma

figura y distinto modo.

191

• Todos los silogismos categóricos que no tengan forma típica, pueden serconvertidos a la forma típica colocando de primero la Premisa Mayor.

Una vez que hayas realizado los ejercicios y aclarado tus dudascon en profesor, pasa al siguiente punto.

Sigue adelante…

EJERCICIOS

A. Determinar el modo y la figura de los siguientes silogismos (objetivo 10.1)

(1) Todas las fiestas religiosas son feriados bancarios y algunas fiestas religiosas sonfiestas religiosas que no caen en días laborables; por lo cual, algunos feriadosbancarios son feriados bancarios que no caen en días laborables.

(2) Todos los aviadores son arriesgados y ninguna persona temerosa es arriesgada.Así, pues, ninguna persona temerosa es aviador.

(3) Todos los planetas son cuerpos que giran alrededor del sol; pero algunos cuerposcelestes son planetas. Por ende, algunos cuerpos celestes son cuerpos que giranalrededor del sol.

B. Construye en castellano dos Silogismos C.F.T: con el mismo modo y distinta figura y doscon la misma figura y distinto modo.

2.2. Las 4 Figuras del Silogismo C.F.T.Cuando queremos expresar la forma lógica de un Silogismo, a la manera de la lógica

tradicional, debemos, pues, indicar su Modo y su Figura. Si hacemos un inventario de lasposibles figuras que puede adoptar un Silogismo C.F.T., encontraremos cuatro diferentesfiguras:

PRIMERA FIGURA SEGUNDA FIGURA TERCERA FIGURA CUARTA FIGURAM - PS - MS - P

P – MS – MS – P

M - PM - SS - P

P - MM - SS - P

Todas las demás posibles figuras se pueden reducir a una de éstas, como ya dijimos,simplemente colocando de primero la Premisa Mayor.

A manera de práctica determina la forma de los silogismos que han aparecido en elmodulo de ejercicios anterior.

La forma del ejercicio.(A1) sería: OAO-3. Realiza tú las otras…

2.3. Formas Válidas del Silogismo CFTAhora bien, si combinásemos todos los modos posibles con las cuatro figuras,

obtendríamos 256 formas distintas de Silogismos CFT.

192

Sin embargo, todas estas formas no son razonamientos válidos, que es lo que enverdad le interesa a la lógica formal. Por este motivo, los lógicos antiguos y, sobre todo, losescolásticos se dedicaron a enunciar reglas para la formulación de Silogismos válidos. Conellas, después de analizar las antedichas 256 formas, llegaron a formular un reducido grupode formas válidas distribuidas según su modo y su figura. Esto les permite determinarrápidamente la validez de cualquier silogismo dado, simplemente comparando con elinventario de formas válidas.

Nosotros aquí, para hacerlo más sencillo, las presentaremos en un cuadro con laspalabras mnemotécnicas que ellos mismos inventaron a fin de poder recordarlas con mayorfacilidad.

Estas palabras que hemos colocado entre paréntesis (Barbara, Celarent,…) son losnombres tradicionales de las formas válidas del Silogismo CFT Las vocales que contienenindican el modo: así, por ejemplo, Bárbara → AAA; Fresison: EIO. También quedó señaladala figura: como podemos observar Darii pertenece a la primera figura, de manera que suModo y Figura son: AII-1.

Las consonantes de estos nombres indican, diversas reglas y operaciones que permitenconvertir (pasar a) en una forma de la 1° figura, cualquiera de las otras formas restantes. Sinembargo, para el objetivo que nos ocupa, sólo nos interesa conocer los modos válidos de cadafigura, como en el cuadro.

FIGURASFIGURASPRIMERAFIGURA

SEGUNDAFIGURA

TERCERAFIGURA

CUARTAFIGURA

M – PS – MS – P

P – MS – MS – P

M – PM – SS – P

P – MM – SS – P

MODOS

AAA (BARBARA)

EAE(CELARENT)AII (DARII)EIO (FERIO)

EAE(CESARE)AEE(CAMESTRES)EIO((FESTINO)AOO(BAROCO)

AII(DARAPTI)IAI(DISAMIS)AII (DATISI)EAO(FELAPTON)OAO(BOCARDO)EIO(FERISON)

AII(BAMALIP)AEE(CAMESTES)EAO(FRESAPNO)EIO(FRESINON)IAI(DIMATIS9

Ahora ilustraremos, con un ejemplo, cómo vamos a usar el cuadro para determinar lavalidez o no validez de un silogismo CFT

Tomemos el siguiente Silogismo:

Ningún habitante de otro planeta es humano.Todo humano es racional.Algún racional no es habitante de otro planeta.

Su esquema o forma es:

193

Ningún P es MTodo M es SAlgún S no es P

Como hicimos anteriormente, su modo y figura son: EAO-4-Si nos remitimos al cuadro vemos que el modo EAO está entre las formas válidas de

la 4° figura.Por lo tanto, el Silogismo es válido.Como ves, es sumamente sencillo.

Resuelve los ejercicios que te presentemos y luego compara tusrespuestas. De esa manera irás progresando paso a paso

EJERCICIOS

Determinar la validez o no-validez de los siguientes silogismos CFT recurriendo alinventario de sus formas válidas (objetivo 10.2)

(1) Ningún deshonesto es confiable, todo mentiroso es deshonesto; por tanto, ningúnmentiroso es confiable.

(2) Ningún hombre es eterno y algunos políticos son hombres; así, afortunadamente,ningún político es eterno.

(3) Todo ser perecedero es un ser que ha tenido principio y todos los seres son seresperecederos; así pues, todos los seres son seres que han tenido principio.

(4) Todo fanático es una persona de mente estrecha y algunos fanáticos son militantesde los partidos, en consecuencia, algunos militantes de los partidos son personasde mente estrecha.

(5) Todas las personas que carecen de autoestima son personas que se irrespetan a símismas y todas las personas que se copian en los exámenes son personas quecarecen de autoestima; por tanto, todos los alumnos que se copian en losexámenes son personas que se irrespetan a sí mismas.

(6) Todas las personas que temen son personas carentes de amor. Todas las personasque carecen de amor son egoístas. Por tanto, algunos egoístas son personas quetemen.

(7) Todos los maestros son personas que forman alumnos responsables. Algunoslibros son nuestros maestros. Luego, algunos libros son medios que formanalumnos responsables.

(8) Todo trabajo es motor de progreso. Todos los ciudadanos responsables sonpersonas que son motores del progreso. Por tanto, todos los ciudadanosresponsables son personas que realizan un trabajo.

(9) Todas las personas responsables son personas que se deben imitar. Ningúnperezoso es una persona que se deba respetar.

2.4. Silogismos Categóricos de Forma No Típica

194

En la argumentación ordinaria los silogismos categóricos adquieren aspectos tanvariados que raramente se expresan en forma típica. Los silogismos categóricos de forma notípica presentan, al menos, una de las tres situaciones siguientes: primera, alguna de susproposiciones (premisas o conclusión) son de forma no típica; segunda, las premisas no estándebidamente ordenadas; tercera aparentemente, sus proposiciones contienen más de trestérminos. Veamos un ejemplo de cada uno de los casos y su traducción a silogismos C.F.P.Primer caso:

Sólo los fanáticos son personas irreflexivas.Algún profesor es irreflexivo.Por tanto, algún profesor es fanático.

Este silogismo categórico no es de forma típica porque la premisa mayor no lo es.Traduciendo ésta a su forma típica tendremos un silogismos CFT, así:

Todas las personas irreflexivas son fanáticosAlgún profesor es irreflexivoPor tanto, algún profesor es fanático.

Su estructura: Todo M es PAlgún S es MAlgún S es P

Modo y figura: AII-1Corresponde a la forma DARII, luego es válido.

Segundo caso:Ningún reformador es persona insincera.Todas las personas hipócritas son personas insinceras.Luego, ningún reformador es persona hipócrita.

Este silogismo categórico es de forma no típica porque el orden en que aparecen laspremisas (mayor y menor) no es el que corresponde a un silogismo CFT. Expresado en formatípica quedaría así:

Todas las personas hipócritas son personas insinceras.Ningún reformador es persona insincera.Luego, ningún reformador es persona hipócrita.

Su estructura: Todo P es MNingún S es MNingún S es P

Modo y figura: AEE-2, que corresponde a la forma CAMESTRES, y, por tanto, es válido.

Tercer caso:Ningún dogma es cosa inocua.Todos las ideologías son dogmasPor tanto, toda ideología es cosa dañina

195

Es un silogismo de forma no típica porque tiene, al menos aparentemente, cuatrotérminos: ‘dogma’, ‘inocua’, ‘ideologías’, y ‘dañina’. Para traducirlo a un silogismo CFTtenemos que recordar que ‘inocuo’ quiere decir ‘no-dañino’, de tal manera que la premisamayor sería: ‘Ningún dogma es cosa no-dañina’. Sin embargo, a pesar del cambio elsilogismo seguiría teniendo cuatro términos y habríamos adelantado muy poco. No obstante,por inferencia de obversión esta premisa equivale a : ‘Todos los dogmas son dañinos’. Deesta manera los términos ahora son solamente tres, y el silogismo CFT es éste:

Todos los dogmas son cosas dañinas.Todas las ideologías son dogmas.Luego, todas las ideologías son cosas dañinas.

Su estructura: Todo M es PTodo S es MTodo S es P

Modo y figura: AAA-1, que corresponde a la forma BARBARA, y, en consecuencia, esválido.

Hay silogismos categóricos de forma no típica cuyas proposiciones constituyentespueden contener hasta media docena de términos aparentemente diferentes, pero que,mediante inferencias inmediatas de obversión y conversión, pueden reducirse a tres y, así,lograr un silogismo CFT.

Veamos un silogismo categórico válido con seis aparentes distintos términos.

Ningún no-sabio es filósofo.Todos los no-filósofos son no pensadores.Por tanto, todos los pensadores son sabios.

Estos son los cinco términos: ‘no sabio’, ‘filósofo’, ‘no-filósofos’, ‘no-pensadores’ y‘pensadores’. Para pasar este razonamiento a un silogismo CFT tenemos que reducir lostérminos a tres. Para ello aplicaremos a las premisas las inferencias por conversión yobversión. A la primera premisa (la mayor) se le aplica primero la conversión y, luego, laobversión, así:

Ningún filósofo es no-sabio (conversión).Todo filósofo es sabio (obversión).

A la segunda premisa (la menor) se le aplica, primero, la obversión; segundo, laconversión; y tercero, la obversión nuevamente. De esta manera:

Ningún no-filósofo es pensador (obversión).Ningún pensador es no-filósofo (conversión).Todo pensador es filósofo (obversión).

El resultado es el siguiente silogismo CFT.

Todos los filósofos son sabios.Todos los pensadores son filósofos.Por tanto, todos los pensadores son sabios.

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Su estructura: Todo M es PTodo S es MTodo S es P

Modo y figura: AAA-1, que corresponde a la forma BARBARA, y , por ende , es válido.

Pasa, ahora, a resolver los ejercicios y confronta tus respuestasEJERCICIOS

Traducir cada una de los siguientes silogismos a forma típica, y determinar si son o noválidos recurriendo al inventario de formas válidas del silogismo CFT (objetivo 10.2)

(1) Algunos filósofos son distraídos, pues los filósofos son intelectuales y algunosintelectuales son distraídos.

(2) Los escritores son creativos y ningún escritor es perezoso, luego ninguna personaperezosa es creativa.

(3) Los sabios son personas humildes, así como las personas ponderadas también sonsabios; en consecuencia, las personas ponderadas son humildes.

(4) Todas las soluciones son mezclas y ninguna mezcla es no-combinación desustancias; luego, las soluciones son combinaciones de sustancias.

(5) Los empresarios no se empobrecen por pagar impuestos, puesto que losempresarios son millonarios y ningún millonario se empobrece por pagarimpuestos.

(6) Algunos ciudadanos no respetan las opiniones ajenas y ningún demócrata es no-respetuosos de las opiniones ajenas; en consecuencia, algunos ciudadanos no sondemócratas.

(7) Los animales domésticos ayudan a sus dueños, pues los objetos que ayudan asusdueños son útiles y los animales domésticos son útiles.

(8) Algún abogado no forma parte de la directiva, puesto que todos los miembros delequipo son abogados y algún miembro del equipo no forma parte de la directiva.

(9) Ninguna cosa barata adorna bien la casa, y en casa hay pinturas baratas; luego, encasa hay pinturas que la afean.

(10) Ningún silogismo válido tiene cuatro términos. Ningún silogismo de esteejercicio es inválido. Luego, ningún silogismo de este ejercicio tiene cuatrotérminos.

(11) Solo los vanidosos son ignorantes. Nadie que se vanagloria triunfa. Luego,ningún ignorante triunfa.

(12) Algunos demócratas no son tolerantes. Solamente los orgullosos sonintolerantes. Luego, algunos orgullosos son antidemócratas.

(13) Cualquier razonamiento que valga la pena de ser tomado en cuenta para lalógica debe exponerse en lenguaje ordinario. Sin embargo, ninguno de losrazonamientos que se expresan en el lenguaje ordinario es de la cuarta figura. Portanto, ningún razonamiento de la cuarta figura vale la pena de ser tomado encuenta para la lógica (Copi, Introductorio a la Lógica).

(14) Ninguno de los presentes está sin trabajo. Ningún socio está ausente. Por lotanto, todos los socios tienen empleo (Copi, Introductorio de la Lógica).

(15) Todas las cosas baratas son imitaciones, puesto que sólo lo caro es difícil deobtener y ningún original es fácil de lograr.

2.5. Construcción de Silogismos

197

Hasta ahora sólo nos hemos dedicado a determinar la validez de silogismos dados. Sinembargo, cuando necesitamos argumentar para probar o sostener nuestras ideas oplanteamientos esto no es suficiente, necesitamos elaborar razonamientos convincentes , y,entre éstos, los más comunes suelen ser los silogismos .Por eso, en esta parte, sirviéndonosdel inventario de formas válidas del silogismo categórico de forma típica introducidos por lalógica tradicional, expondremos, por medio de ejemplos, cómo debemos proceder para laconstrucción tanto de silogismos de forma típica como algunos de forma no típica. Haremosespecial énfasis en los silogismos de la primera figura, y esto por dos razones: una, porqueson los silogismos más frecuentes; dos, porque los silogismos de las restantes formas puedenconvertirse a la primera.

Antes de convertir cualquier silogismo válido tenemos que recordar que la formacomprende el modo y la figura y que el contenido puede referirse a cualquier materia o tema.

Empecemos construyendo un silogismo de la forma DARII, teniendo como tema lospolíticos.

La forma DARII nos proporciona los siguientes datos:• Modo: A I I• Primera figura:

M – PS – MS – P

Silogismo:Todos los políticos honestos son demócratas (A).Algunos políticos venezolanos son honestos ( I ).Luego, algunos políticos venezolanos son demócratas ( I ).Determina por tu propia cuenta que este razonamiento tiene la figura y el modo de la

forma DARII.

Segundo ejemplo. Construir un silogismo válido de la forma CAMESTRE cuyo contenido serefiera al ser humano.

Datos contenidos en la forma CAMESTRE:• Modo: AEE• Segunda figura: P – M

S – MS – P

Silogismo:Todos los filósofos son reflexivos (A).Ningún fanático es reflexivo (E).Luego, ningún fanático es filósofo (E).

Tercer ejemplo. Construcción de un silogismo de forma no típica de la forma CELARENTcuyo contenido sea de química.

Datos que nos da la forma CELARENT:• Modo: EAE.• Primera figura: M – P

S – MS – P

Silogismo:Ningún gas noble reacciona con otras sustancias.

198

Todos los gases cuyos átomos contienen en su última envoltura el máximo númeroposible de electrones son gases nobles.Por tanto, ningún gas cuyos átomos contienen en su última envoltura el máximonúmero posible de electrones reacciona con otras sustancias.

Observa que la premisa mayor y la conclusión son proposiciones categóricas de formano típica que, al traducirlas a su forma típica, nos percatamos que corresponden a la formaCELARENT. Esta traducción de las proposiciones de forma no típica se puede hacermentalmente en el momento en que se está construyendo el silogismo. Así, antes de escribir‘Ningún gas noble reacciona con otras sustancias’, mentalmente hacemos, cuidando quetenga la forma de la proposición tipo E, su correspondiente traducción ‘Ningún gas noble esun gas que reacciona con otras sustancias’.

Con la conclusión hacemos algo similar. Esta traducción se hace con doble propósito:uno, para cerciorarse de que es un silogismo; dos, para asegurarse que la figura y el modo sonlos correctos.

Antes de realizar los ejercicios siguientesaclara tus dudas con el asesor

EJERCICIOS

Construir, con el contenido que libremente determines, cuatro silogismos CFT ycuatro de forma no típica con las cuatro formas válidas de la figura primera (Objetivo10.3)Observación: Los silogismos son múltiples, los ejemplos analizados son suficientespara orientar tus respuestas.

2.6. Los EntimemasEl uso de los silogismos categóricos es muy frecuente, pero generalmente no se

expresan en forma explícita; con frecuencia, se formulan en forma incompleta dejando elresto sobrentendido. Por ejemplo, la conclusión ‘Luis se ha graduado de médico’, puedeinferirse de la premisa ‘Luis está operando en el Hospital Universitario’. Este razonamientoes incompleto, pero la premisa que falta es obvia, pues nadie puede operar en el HospitalUniversitario a no ser que se haya graduado de médico. Por eso, el silogismo completo,añadiendo la premisa que falta, es el siguiente:

Todos los que operan en el Hospital Universitario son médicos.Luis está operando en el Hospital Universitario.Luego, Luis se ha graduado de médico.

Un ENTIMEMA es un silogismo incompleto cuyas partes faltantes se dejansobrentendidas o implícitas. La mayoría de las veces, puesto que muchas proposiciones sonde dominio común, los razonamientos se expresan en forma de entimemas.Para determinar si un entimema es o no válido hace falta dos cosas: una, agregar las partesdel razonamiento que faltan; dos, someter el silogismo resultante a alguna prueba de validezque, al no introducirse ningún principio lógico nuevo, son los mismas que se aplican a lossilogismos CFT.

199

Para determinar si la premisa que falta es la mayor o la menor, es menester recordarque el término menor es el sujeto de la conclusión y la premisa que lo tenga será la premisamenor (segunda premisa), y que el término mayor es el predicado de la conclusión y lapremisa que lo incluya será la premisa mayor (primera premisa). De modo que, sabiendo laconclusión, es rutinario el determinar las dos premisas.

Tal como venimos haciendo, procede a realizar los ejerciciospropuestos. Sigue adelante…

EJERCICIOS

Completar las partes que faltan a los siguientes entimemas y determinar, mediante elinventario de las formas válidas de los silogismos CFT, si son o no válidos (Objetivo 10.4).

(1) Todos los socios propietarios del Colegio de Ingenieros son graduadosuniversitarios, puesto que los socios propietarios de dicho colegio son ingenieros.

(2) Nadie entendió bien la materia, pues nadie respondió bien el exámen.(3) Algunos estudiantes son reflexivos y estudiosos, esos estudiantes son el porvenir

de la sociedad.(4) Sabe su materia porque es un profesor estudioso.(5) Algunos alumno no tiene descuento en el transporte público, ya que no tienen el

carnet estudiantil.(6) Algunos políticos son honestos, pues sus riquezas provienen de lo que ganan.(7) Hay libros que forman alumnos responsables, pues algunos libros son nuestros

maestros.(8) El trabajo es el motor del progreso, luego todos los ciudadanos responsables

tienen que trabajar.(9) Ningún perezoso debe ser imitado, pues los perezosos no son respetados.(10) Los que no la deben no la temen, por eso yo no la temo.

2.7. El SoritesEl sorites es un razonamiento que aparentemente consta de un solo silogismo, pero en

realidad está formado por varios. He aquí un ejemplo:

Todos los profesores de EUS son responsables.Algunos universitarios son profesores de EUS.Todos los universitarios son personas de buen nivel cultural.Por tanto, algunas personas de buen nivel cultural son responsables.

Aquí no hay un silogismo sino dos, a saber:

PRIMERO. Todos los profesores de EUS son responsables.Algunos universitarios son profesores de EUS.Luego, algunos universitarios son responsables (proposición faltante).

SEGUNDO. Algunos universitarios son responsables.Todos los universitarios son personas de un buen nivel cultural.Luego, algunas personas de un buen nivel cultural son responsables.

200

Si observamos el sorites analizado nos percatamos que el segundo silogismo tiene lapremisa implícita: “Algunos universitarios son responsables” , que es la subconclusión de lasdos primeras premisas. El sorites, por tanto, no es un silogismo sino una cadena desilogismos categóricos en los cuales hay algunas proposiciones implícitas. El soritesprecedente sólo consta de dos silogismo, pero hay otros que pueden tener tres, cuatro ocualquier número. Un sorites es válido cuando su cadena de silogismos lo es.

Un sorites es un silogismo categórico de forma típica cuando todas sus proposicionesson de forma típica, cuando contiene un término más que sus premisas y cuando todaproposición, a excepción de la conclusión, tiene un término medio con la que le sigueinmediatamente. El autor Irving Copi ilustra lo anterior con el sorites de Lewis Carroll:

(1) Todo el que sea cuerdo puede estudiar lógica.(2) Ningún loco está calificado para formar parte de un jurado.(3) Ninguno de sus hijos puede estudiar lógica.Luego, ninguno de sus hijos está calificado para formar parte de un jurado.

Tal como aparece, este razonamiento no pareciera cumplir con los requisitos anotadosanteriormente para ser sorites; sin embargo, hechas las traducciones y cambios deproposiciones permitidas por la lógica se convierte en el siguiente razonamiento equivalente,que, sin duda, es sorites.

(2’) Todas las personas calificadas para formar parte de un equipo son personascuerdas.(1’) Todas las personas cuerdas son personas que pueden estudiar lógica.(3’) Ningún hijo suyo es una persona que pueda estudiar lógica.Luego, ningún hijo suyo es una persona calificada para formar parte de un jurado.La proposición (2’) se origina así:

Primero: cambio de sinónimo: no-cuerdo por loco y traducción a una posición categóricatípica, cuyo resultado es:

(a) Ninguna persona no-cuerda es una persona calificada para formar parte de unjurado.

Segundo: Aplicar la inferencia por conversión a (a) para obtener:(b) Ninguna persona calificada para formar parte de un jurado es una persona no-cuerda.

Tercero: Aplicar la inferencia por obversión y así obtenemos (2’).(c) Toda persona calificada para formar parte de un jurado es una persona cuerda.

Las proposiciones (1’) y (3’) y la conclusión simplemente han sido traducidas aproposiciones categóricas de forma típica. Finalmente, la proposiciones (2’) y (1’) hancambiado de orden para cumplir con la regla que prescribe que toda proposición, a excepciónde la conclusión, tiene un término medio con la que la sigue inmediatamente.

Veamos si es o no válido. Consta de dos silogismos CFT.El primero es éste:

Todas las personas cuerdas son personas que pueden estudiar lógica.Ningún hijo suyo es una persona que puede estudiar lógica.Por tanto, ningún hijo suyo es una persona cuerda.Forma: AEE-2: CAMESTRES, luego es válido.

Segundo silogismo:

201

Todas las personas calificadas para formar parte de un jurado son personas cuerdas.Ningún hijo suyo es cuerdo .Por tanto, ningún hijo suyo es una persona calificada para formar parte de un jurado.Forma: AEE-2: CAMESTRES, luego es válido.El sorites es válido, puesto que los dos silogismos de que se compone lo son.

Es importante que resuelvas los ejercicios, para que compruebes loque has aprendido. Avanza…

EJERCICIOS

Traducir a forma típica cada uno de los siguientes sorites y determinar si son o noválidos (objetivo 10.4)

(1) Los trabajadores tienen éxito.Los que tienen éxito son felices y los que son felices son pacíficos.Luego, los trabajadores son pacíficos.

(2) Los alumnos son estudiosos.Las personas estudiosas son responsables.Ninguno que robe es responsable.Por tanto, ningún alumno roba.

(3) Ningún sabio es orgulloso.Los corruptos mienten.Ninguna persona humilde miente.Luego, ningún corrupto es sabio.

(4) Todos los que ingresan a la universidad son disciplinados.Los que desconocen la importancia del tiempo son indisciplinados.Ningún perezoso sabe la importancia del tiempo.Luego, ninguno de los que ingresan a la universidad son perezosos.

(5) Todos los rectos de corazón tienen buen carácter.Todos los que tienen buen carácter tendrán armonía en el hogar.Los que tienen armonía en el hogar ayudan al orden de la nación.Los que ayudan al orden de la nación contribuyen a la paz del mundo.Por tanto, todos los rectos de corazón contribuyen a la paz del mundo.

2.8. El DilemaDecimos que uno está en un dilema cuando debe elegir entre dos alternativas, en que,

generalmente, ambas son inconvenientes. El dilema es una argumentación que consta de unaproposición disyuntiva de dos argumentos opuestos entre sí y tales que, de cualquiera queelija el adversario, sacamos una conclusión en su contra. Sirva de ejemplo el dilema de SanAgustín para probar que la religión cristiana es verdadera. Argumentaba así:

La religión cristiana se ha propagado con milagros o sin ellos (primera premisa ).Si lo primero, por lo mismo es verdadera, y si lo segundo, éste es el gran milagro(segunda premisa).Por tanto, la religión cristiana es verdadera (conclusión).

Otro ejemplo sería el que algunos artistas emplean para probar que siempre son libres:

Los artistas o bien son deudores del gobierno o no lo son.

202

Si no lo son, se sienten libres y si lo primero también.Por tanto, los artistas en ambos casos son libres.

Los dilemas están constituidos por dos premisas y la conclusión. La primera premisa estáformada por una disyunción de argumentos opuestos; la segunda es la conjunción de loscondicionales. Los dilemas son razonamientos formalmente válidos. Por eso para eludir suconclusión tenemos que probar que una de sus premisas es falsa. En el dilema referente a lalibertad de los artistas alguien que no estuviera de acuerdo con la conclusión podríaargumentar presentando varios casos de artistas que, por ser deudores del gobierno, estánmediatizados por él.

Uno de los métodos más ingeniosos para refutar un dilema es replicar con uncontradilema en el que la conclusión sea la opuesta. En la refutación puede usarse cualquiercontradilema, pero el más efectivo es el que infiere su conclusión casi con las mismaspremisas que el dilema.

Un ejemplo de contradilema fue el usado por Eulato contra su maestro Protágoras.Este era un profesor griego de retórica del siglo V a. C. Eulato era un alumno pobre que, parapoder pagar los honorarios correspondientes, hizo un acuerdo con Protágoras mediante elcual éste le daría las lecciones y Eulato le pagaría cuando ganara el primer caso. Eulato segraduó, pero tardó mucho tiempo antes de defender el primer caso. Protágoras se cansó deesperar y abrió un juicio en contra de su exdiscípulo por el incumplimiento de su contrato.Protágoras presentó su versión del conflicto con un dilema aparentemente inatacable:

Eulato debe perder o ganar este caso; si lo pierde, debe pagarme (pordecisión del tribunal) y si lo gana, también tiene que pagarme (por los términos delcontrato). Por lo tanto, debe pagarme de cualquier manera.

Eulato, que hizo su propia defensa, contestó con este contradilema:

Este caso lo gano o lo pierdo; si lo gano, no tengo que pagar a Protágoras ( pordecisión del tribunal) y si lo pierdo, tampoco tengo que pagárselo (por términos delcontrato). Por tanto, en ambos casos dejaré de pagar a Protágoras.

El dilema no es un instrumento científico, sino de polémica; sirve más bien paraconfundir al adversario que para descubrir verdades. El contradilema no es una refutación;simplemente dirige la atención a un aspecto distinto de la misma situación, de tal manera quesu conclusión no constituye un desacuerdo en cuanto a los hechos, sino un modo diferente deconsiderar los mismos . Sin embargo, en un debate una réplica de este tipo produce un efectodevastador en el oponente.

Si resolviste todos los ejercicios ¡Sigue Adelante!Si quedan dudas vuelve a leer cuidadosamente el material.

203

AUTOEVALUATIVO

Refutar cada uno de los siguientes dilemas (la refutación puede realizarse o bienrefutando alguna de las premisas o bien construyendo un contradilema). (objetivo 10.5).

(1) En las próximas elecciones o votamos o no votamos. Si votamos seremos responsablespor los malos gobernantes electos y si no votamos seremos igualmente responsables porlos malos gobernantes electos. Luego, en ambos casos seremos responsables por losmalos gobernantes electos.

(2) En Venezuela o bien se aprueba la economía libre o bien no se aprueba. Si lo primero, laespeculación se desata y si lo segundo, se compromete el desarrollo del país. Luego, enambos casos es negativo.

(3) O digo la verdad o no la digo; si lo primero, me expongo a represalias, y si lo segundo,paso por un cobarde. Luego, en ambos casos estoy perjudicado.

(4) Para defender mi punto de vista o uso un dilema o no lo uso. Si lo uso, fácilmente puedeser refutado y si no lo uso no puedo refutar a mi adversario. Luego, en ambos casos esdesaconsejable.

(5) Los estudiantes disfrutan o no estudiando. Si lo primero, no necesitan recompensas paraestudiar y si lo segundo, las recompensas no lograrán que estudie. Por tanto, lasrecompensas no ayudan a estudiar.

(6) El gobierno debe o bien aumentar los impuestos o no aumentarlos. Si los aumenta, lapoblación protesta y si no los aumenta, no puede atender los servicios públicos. Luego, enambos casos no es conveniente.

(7) Me jubilo o no me jubilo. Si lo primero, no me voy a sentir útil a la comunidad y si losegundo, no dispongo del tiempo para mis distracciones favoritas. Luego, en ambos casoses inconveniente.

(8) O bien trabajo o bien no lo hago. Si trabajo, me canso en exceso y si no lo hago, meaburro. Por tanto, ambos casos son negativos.

Avancemos con el estudio del objetivo “Prueba de Validez”

204

B. PRUEBA DE VALIDEZ

Objetivo Terminal 11: Efectuar la prueba de validez de un razonamiento silogísticomediante los diagramas de Venn.

Para ello deberás lograr los siguientes objetivos específicos:

11.1. Conocidas las convenciones del diagrama de Venn, representar gráficamenteuna serie de proposiciones categóricas dadas.

11.2. Conocidas las convenciones de los diagramas de Venn, efectuar la prueba devalidez de una serie silogismos categóricos dados.

1. Representación gráfica de las proposiciones categóricas mediante el uso del diagramade Venn:

Los llamados “Diagramas de Venn” son unos gráficos propuestos por John Venn(1824 - 1923) como un procedimiento mecánico y entretenido para probar la validez de unrazonamiento (silogismo categóricos).

Para empezar procederemos a representar gráficamente las cuatros proposicionescategóricas (A, E, I, O.) de acuerdo a las siguientes convenciones:

(i) Cada uno de los términos (predicados) del silogismo, “S”, “P”, “M” estárepresentado por un circulo que simboliza un conjunto de individuos o clase.

(ii) Si la clase que representa dicho término es vacía no tiene miembros, el circulo vasombreado o rayado.

(iii) Si hay algún individuo en dicha clase, se señala con una “X” dentro del circulo.(iv) Si no hay información concreta, el circulo queda en blanco.Veamos:

GRÁFICO 1

(v) Las proposiciones categóricas se representan por dos círculos interceptados,rotulados con los términos s y p, del siguiente modo:

Proposición Universal Afirmativa (Tipo A)

205

“Todo s es p”

que quiere decir que la zona de S que no pertenece a P está vacía, no contiene ningúnmiembro y por esto está sombreada. Así pues, todo los miembros de S están en P.

Las demás proposiciones categóricas quedarán diagramadas así:

*Proposición Universal (Tipo E )

“Ningún S es P”

* Proposiciones Particular Afirmativa ( Tipo O )

“Algún S es P”

*Proposiciones Particular Negativa (Tipo O).

“Algún S no es P”

Gráfico 2

Gráfico 3

Con lo cual queda a la vistaque la parte común a S y Pestá vacía, no hay miembrosS que sean P.

Gráfico 4

Significa que en la zonacomún a S y P existe unindividuo “X” que es S y P ala vez.

Gráfico 5

Expresa que en la parteque pertenece a S pero noes P, existe algúnindividuo “X”

206

En resumen: Gráfico 6

ProposicionesCATEGÓRICAS

ProposicionesCONVERSAS

TipoA

TipoE

TipoI

TipoO

Nota: Hay que observar las siguientes precauciones:1. El Simple diagrama de dos círculos sin ninguna indicación representa clases, pero

no proposiciones.2. Dejar un espacio en blanco no significa nada; ni que hay miembros, ni que no los

hay.3. Un diagrama representa una proposición sólo si se tiene una parte sombreada o se

ha insertado una “X”.

Continúa con el siguiente ejercicio, si presentas alguna dudaConsulta con tu asesor.

EJERCICIOS:

Representar mediante los diagramas de Venn las siguientes proposiciones categóricas:

(1) Todos los que pasan de 40 años, tienden a ser hipertensos.(2) Algunas raíces son comestibles.(3) Ningún deportista quiere ser perdedor.(4) Los que hablan demasiado suelen ser imprudentes.(5) Algunos canarios no tienen un canto hermoso.

2. Prueba de Validez de Silogismos mediante los diagramas de Venn como un método derepresentación claro y evidente a simple vista; ahora vamos a utilizarlos como unaherramienta para determinar (probar) la validez de los razonamientos silogísticos (silogismocategóricos) de una manera simple y directa.

Para diagramar un silogismo necesitamos tres círculos interceptados, uno para cadauno de los términos (predicados) que contiene: “S”, “P”, “M”

207

“S” y “P” serán los términos Sujeto y Predicado de la conclusión y “M”, el términomedio que se repite en las premisas.

Tomemos un ejemplo:

Todo verdadero sabio es de pocas palabrasTodo el que se domina a sí mismo es un verdadero sabioTodo el que se domina a sí mismo es de pocas palabras

(i) En primer lugar construiremos el esquema o figura del silogismo dado:

Todo M es PTodo S es MTodo S es P

(ii) Luego trazamos los tres círculos interceptados y los rotulamos con los términos S, P, MAsí:

(iii)Entonces procedemos a diagramar la primera premisa (Premisa Mayor) tal como loexplicamos en el objetivo 14.

Todo M es P

(iv)Seguidamente, diagramamos (en el mismo gráfico ) la premisa menor.

Todo S es M:

(v) Par último, analizamos el gráfico para constatar si al diagramar las premisas, laconclusión ha quedado diagramada. Si es así, el razonamiento es válido; de lo contrario no es.

Gráfico 7

Gráfico 8

Gráfico 9

208

En efecto, en nuestros ejemplos la conclusión todo S es P está incluida en el diagramade premisas; por lo cual podemos concluir la validez de dicho silogismo.

La fundamentación lógica de este método estriba en la definición misma de validez:un razonamiento deductivo es válido cuando la conclusión se desprende necesariamente delas premisas; es decir, cuando, al afirmar las premisas, queda afirmada la conclusión.

Así, en nuestro diagrama, graficar las premisas significa que las estamos afirmando.Si al hacer esto, queda diagramada la conclusión, indica que también ha quedado afirmada.Concluirnos pues que dicha conclusión se desprende necesariamente de ella, que elRAZONAMIENTO ES VÁLIDO.

Lo ventajoso de esta prueba está en que esa inclusión de la conclusión en las premisasqueda evidencia inmediatamente y a simple vista en el diagrama.La clave para interpretar los diagramas es ésta:

Si una vez diagramadas las premisas, la conclusión queda diagramada inequívocamente,el silogismo es válido.

Si no queda diagramada, o da lugar a alguna ambigüedad, entonces no es válido.

Consideramos otro caso:

Todos los deportistas estimulan la competencia.Algunas competencias generan agresividadAlgunos deportistas generan agresividad.

Su esquema o figura:Todo los S son MAlgún M es PAlgún S es P

El diagrama respectivo será:(En estos casos que tengamos una premisa particular y una universal SE DEBE comenzar porel universo)

Todos los S son M:

Luego la premisa particular:

Algún M es P:

Gráfico 10

Gráfico 11

209

Observe que hemos ubicado la letra X en la línea para indicar que las premisas quedanverificadas, tanto si está a la derecha como a la izquierda de la línea.

Finalmente constatamos que la conclusión “Algún S es P” no queda necesariamenteincluida en las premisas. En efecto, si “X” estuviese a la derecha de la línea, no quedaríaverificada. Por lo tanto el silogismo no es válido.

Consideremos ahora otro ejemplo más:

Ningún aviador sufre de vértigoTodos los aviadores son amantes del peligroNingún amante del peligro sufre de vértigo

Su figura o esquema es:

Ningún M es PTodo M es PNingún S es P

Diagramamos la primera premisa:Ningún M es P:

Diagramamos la segunda premisa:Todo M es S:

y observamos que la conclusión: Ningún S es P no se verifica pues no quedó diagramada, porlo tanto el silogismo no es válido.

En Resumen:Para probar la validez de un silogismo por los diagramas de Venn:1. Identificamos los términos “S” y “P” en el silogismo construyendo su figura o

esquema.2. Rotulamos los tres círculos interceptados con dichos tres términos.3. Diagramamos las dos premisas, graficando primero la universal en caso de que haya

una universal y otra particular, y cuidado de colocar la X sobre la línea, al diagramar laparticular, si no ésta claro sobre cuál lado de la línea debe ir.

Gráfico 12

Gráfico 13

210

Observemos si la conclusión quedo inequívocamente graficada (contenida) en el diagrama, delo cual interpretamos que el silogismo es válido. De lo contrario, no lo es.

Resuelve los siguientes ejercicios de Autoevaluación.¡Ánimo!

AUTOEVALUATIVO

Probar la validez de los siguientes silogismos mediante los diagramas de Venn.

(1) Todo el que se adelanta a su época puede ser considerado profeta y ningún profeta esreconocido por su gente. Por lo tanto, nadie que sea reconocido por su gente se adelanta asu época.

(2) Nadie que se aprecie a si mismo atenta contra su vida; algunos al fumar atenta contra suvida. Es obvio que algunos al fumar no se aprecian a sí mismos.

(3) Los que se miman demasiado son narcisistas y, por otra parte, los que se mimandemasiado se desentienden de los demás. Así pues, todo el que se desentiende de losdemás es narcisista.

(4) Si admitimos que todo los procesos bélicos se sustentan en intereses económicos y queningún proceso bélico es garantía de una paz duradera, entonces debemos concluir que lagarantía de una paz duradera no se sustenta en intereses económicos.

(5) Todas las aves tienen plumas y algunos ovíparos no tienen plumas. Por consiguiente,algunos ovíparos no son aves.

(6) Los niños suelen ser curiosos y algunos curiosos son imprudentes. Por lo tanto, algunosimprudentes son niños.

Continua con el estudio del objetivo “Lógica de Predicados”

211

C. LOGICA DE PREDICADOS

1. SIMBOLIZACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

OBJETIVO TERMINAL 12: Simbolizar, en el lenguaje de la lógica de predicados,la forma lógica de los silogismos típicos y no típicos dados en castellano

Para ello deberá lograr los siguientes objetivos específicos:

12.1. Conocido el vocabulario primitivo simbolizar, en la lógica de predicados, losdistintos tipos de proposiciones con un sólo predicado.

12.2. Simbolizar, en la lógica de predicados, las proposiciones categóricas típicas yno-típicas dadas.

12.3. Simbolizar en el lenguaje de la lógica de predicados diversas, formas típicas yno-típicas de silogismos.

INTRODUCCION

Lo que diferencia principalmente, la lógica de predicados de la silogística es que laprimera ha logrado simbolizar cada uno de los elementos internos de las proposicionessingulares y generales, y, con ello, ha hecho posible construir un método riguroso dedemostraciones de validez de los silogismos con sólo añadir cuatro nuevas reglas deinferencia a las ya empleadas por la lógica proposicional. En esta parte, nos abocaremos a lasimbolización completa de las proposiciones singulares, particulares y universales.

l. l. Simbolización de las Proposiciones SingularesPara simbolizar las proposiciones singulares introduciremos tres nuevos símbolos:

1) Las primeras letras minúsculas del alfabeto: ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, . . . ; ‘n’, para representar losindividuos determinados del universo del discurso, y las llamaremos ConstantesIndividuales;

2) las últimas letras minúsculas del alfabeto: ‘x’, ‘y’, ‘z’, para designar los individuosindeterminados del universo del discurso, y las denominaremos Variables Individuales,

3) las letras iniciales mayúsculas de la palabra principal del predicado a las quedenominaremos Variables Predicativas o Predicados.

212

Para simbolizar una proposición singular se empieza con la definición del vocabularioprimitivo. Por definición de vocabularios primitivo entendemos la asignación de símboloslógicos a los distintos elementos de las proposiciones. Veamos algunos ejemplos desimbolización de proposiciones singulares.

Primer ejemplo: Simbolizar la proposición:

Rafael Urdaneta fue presidente de la Gran Colombia.

Procederemos así:Vocabulario primitivo:

a: Rafael UrdanetaPx: x fue presidente de la Gran Colombia ( la ‘P’ es la primera letra de ‘presidente’que es la palabra principal del predicado; y la ‘x’ un individuo indeterminado).

Simbolización:

Paque se lee ‘P de a’. La constante individual siempre se coloca a la derecha de la variablepredicativa.

Segundo ejemplo: Simbolizar:

“E1 Padre de la patria liberó cinco naciones”

Vocabulario primitivo:

a: El Padre de la patria.Lx: x liberó cinco naciones.

Simbolización:

La.

Hay una cierta libertad para escoger la variable predicativa pues, a veces, no es fácildeterminar la palabra principal del predicado. Sea una u otra, todo se clarifica una vezdefinido el vocabulario.

1.2. Simbolización de Proposiciones Generales de un PredicadoPara simbolizar las proposiciones generales de un predicado sólo nos falta introducir

los símbolos de los cuantificadores universales y existencial.Para el cuantificador universal ‘todos’ o sus equivalentes emplearemos el símbolo:

‘(x)’ que se lee “para toda x”, donde ‘x’ es un individuo indeterminado.El cuantificador existencial ‘algunos’ o sus equivalentes lo simbolizaremos así: ‘(∃x)’

que se lee “existe, al menos, un x”.Ahora ya podemos simbolizar cualquier proposición general de un sólo predicado. Se

empieza definiendo el vocabulario primitivo. Empecemos con las universales.

Simbolizaremos la proposición:

213

(a) Todos son estudiantes.

Vocabulario primitivo.

(x): Todos o para todo xEx: x es estudiante.

La proposición (a) equivale a:

(b) Para todo x, x es estudiante

que, simbolizada de acuerdo a la definición de vocabulario primitivo, equivale a:

(c) (x) Ex.

Luego, (c) es la simbolización de (a) y se lee:

“Para todo x, x es estudiante” y también: “Para todo x, E de x”.

Simbolización de una proposición existencial o particular de un sólo predicado. Sea laproposición:

(a) Algunos son filósofos.

Vocabulario primitivo:

(∃x): Algunos o existe, al menos, un x.Fx: x es filosofo.

La proposición (a) equivale a:

(b) Existe, al menos, un x tal que x es filosofo.

y en símbolos equivale a:

(c) (x) Fx.

Por tanto, (c) es la simbolización de (a), y se lee igal que (b), es decir:

“Existe, al menos, un x tal que x es filosofo” y también: “Existe, al menos, un x talque F de x”.

Tercer ejemplo: Simbolizar una proposición universal negativa con un sólo predicado. Sea laproposición:

(a) Ninguno es filósofo.

El cuantificador ‘ninguno’, además de ser universal, expresa una negación, y, enconsecuencia, (a) equivale a:

214

(b) Todos son no-filósofos,

que es una inferencia por obversión.

Vocabulario primitivo:(x): todos o para todo x.Fx: x es filosofo.

Parafraseando (b) tenemos:

(c) Para todo x, x es no-filósofo,

que en símbolos es:

(d) (x) ~ Fx,

el cual equivale a (a), y se lee como (c) y también:

“Para todo x, no F de x”.

En la simbolización de esta proposición, a diferencia de las dos anteriores, noempezamos con la definición del vocabulario por la dificultad que suponía el cuantificadornegativo universal ‘ninguno’; pero una vez superada esta dificultad, aún en casos como elanterior, se empieza cualquier simbolización de proposiciones por la definición delvocabulario primitivo.

Cuarto ejemplo: Simbolización de una proposición particular negativa. Sea la proposición:

(a) Algunos no son estudiantes.

Vocabulario primitivo:

(∃x): Existe, al menos, un xEx: x es estudiante

La proposición (a) equivale, pues, a:

(b) Existe, al menos, un x tal que x no es estudiante.

Y ésta, a su vez, es igual a:

(c) (x) Ex.

que se lee como (b) y, también:

"Existe, al menos, un x tal que no E de x ".

Proposiciones generales como:• Hay socialistas,

215

• Cada uno construye la democracia,• Nadie es perfecto,• Unos son ecologístas,• Cualquiera es ecologísta,

antes de simbolizarlas, hay que traducirlas a sus equivalentes usando los cuantificadores‘todos’, ‘ninguno’ o ‘algunos’.

Así la proposición:

(a) Hay socialistas.

se traduce a su equivalente

(b) Algunos son socialistas.

Y para su simbolización se procede de la forma inclicada más arriba.

Resumen:• Constantes individuales: ‘a’, ‘b’, ‘c’, ‘d’, . . . , ‘n’, representan individuos determinados

del universo del discurso.• Variables individuales: ‘x’, ‘y’, ‘z’, representan individuos indeterminados del universo

del discurso.• Variables predicativas: son las primeras letras iniciales mayúsculas de la palabra principal

del predicado, y representan a las propiedades que se atribuyen a los individuos deluniverso del discurso.

• Cuantificador universal: ‘(x)’, representa al cuantificador universal ‘todo’ o ‘todos’.• Cuantificador existencial o particular: ‘(∃x)’, representa al cuantificador ‘algún’ o

‘algunos’.

Para reafirmar este punto, te presentamos los siguientesEjercicios. Avancemos…

EJERCICIOS

Simbolizar en el leguaje de la Lógica de Predicados las siguientes proposiciones conun solo predicado (objetivo 12.1)

(1) Hay marcianos.(2) Alguien llegó tarde.(3) Ninguno es perfecto.(4) Nadie vino.(5) No hay marcianos.(6) Cualquiera está interesado.(7) No todo es oro.(8) Es falso que Luis es estudiante.(9) Mi amigo Pedro es médico.(10) La ciudad más populosa del mundo es peligrosa.(11) Nadie es inmutable

216

(12) Cada uno es responsable de su futuro.(13) Unos estaban implicados.(14) No existen fantasmas.

1.3. Simbolización de las Proposiciones CategóricasLos símbolos introducidos para la definición de vocabulario primitivo son suficientes

para simbolizar los cuatro tipos de proposiciones CFT. Veamos.

Simbolización de la proposición universal afirmativa (tipo A).Sea la proposición:

(a) Todos los hombres son mortales.

Vocabulario primitivo:

(x): Para todo x.Hx: x es hombre.Mx: x es mortal.

Luego, (a) es equivalente a:

(b) Para todo x, si x es hombre, entonces x es mortal.

Observa que sólo con la implicación cuantificada universalmente se expresa el sentidode (a).

Si en (b) sustituimos el cuantificador y sus predicados conforme al vocabulariodefinido tenemos:

(c) (x) (Hx Mx ).

que se lee como (b), y, también: “Para todo x, H de x implica M de x”. Observa que esnecesario el paréntesis de la implicación para que el cuantificador alcance al antecedente y alconsecuente.

Simbolización de la proposición universal negativa (tipo E).

Sea la proposición:

(a) Ningún molusco es vertebrado.

Por obversión (a) equivale a:

(b) Todo molusco es no-vertebrado.

Vocabulario primitivo:

(x): Para todo xMx: x es moluscoVx: x es vertebrado.

217

Luego, (b) se puede escribir así:

(c) Para todo x, si x es molusco entonces x es no-vertebrado.

Si sustituimos (c) por el vocabulario definido tenemos:

(d) (x) (Mx Vx)

que se lee como (c), y, también:

“Para todo x, M de x implica no v de x”.

Simbolización de la proposición particular afirmativa (tipo I)

Sea la proposición:

(a) Algunos hombres son libres.

Vocabulario primitivo:

(∃x): Existe, al menos, un x.Hx: x es hombre.Lx: x es libre.

Obviamente, (a) equivale a:

(b) Existe, al menos, un x tal que x es hombre y x es libre.

Observa que sólo la conjunción cuantificada existencialmente expresa el significadode (a)

Sustituyendo el cuantificador y los predicados por sus símbolos, (b) equivale a:

(c) (x) (Hx Lx)

que se lee como (b), y, también:

“Existe, al menos, un x tal que H de x y L de x”

Simbolización de la proposición particular negativa (tipo O)

Sea la proposición:

(a) Algunas letras no son vocales.

Vocabulario primitivo:

218

(∃x): Existe, al menos, un xLx: x es letra.Vx: x es vocal.

Por lo tanto, (a) equivale a:

(b) Existe, al menos, un x tal que x es letra y x no es vocal,

que, sustituyendo el cuantificador y los predicados de acuerdo al vocabulario definidoequivale a:

(c) (x) (Lx Vx)

cuya lectura se puede hacer como (b) o como:

“Existe, al menos, un x tal que L de x y no Ti de x”.

Todas las proposiciones CFT pueden ser negadas, y su simbolización s variará porquedelante de sus respectivos cuantificadores se escribirá el negador.

Primer ejemplo, la proposición:

No todos los hombres son arquitectos

se simboliza así: ~ (x) (Hx ⊃ Ax)

y la proposición: Es falso que algunos hombres no son racionales

se simboliza de esta manera: ~ (∃x) (Hx ∧ ∼ Rx).

En la simbolización de las proposiciones categóricas de forma no típica, primero, tienenque traducirse a proposiciones CFT, y, luego, simbolizarlas como se ha indicado más arriba.Así, para simbolizar la siguiente proposición de forma no típica:

(a) Hay algunos distraídos

se traduce a su proposición CFT correspondiente que es:

(b) Algunos alumnos son distraídos.

Y después se procede como ya se ha explicado, esto es:

Vocabulario primitivo:

(∃x) Existe, al menos, un x.Ax: x es alumno.Dx: x es distraído.

Por tanto (b) se puede expresar así:

219

(c) Existe, al menos, un x tal que x es alumno y x es distraído.

que en símbolos sería de esta forma:

(d) (x) (Ax Dx).

La proposición (a) se simbolizaría como (d).

Segundo ejemplo: Sea la proposición categórica de forma no típica:

(a) Un juez es abogado.

La correspondiente proposición CFT sería:

Todos los jueces son abogados.

A continuación se simboliza como una proposición CFT tipo A, ya explicado.

Tercer ejemplo: Sea la proposición categórica de forma no típica.

Sólo 1os alumnos presentes pueden presentar el examen.

Su correspondiente proposición CFT es:

Todos los que pueden presentar el examen son los alumnos presentes,

que es una proposición de tipo A, y, como tal, se simboliza.

Cuarto ejemplo: Sea la siguiente proposición de forma no típica llamada exceptiva.

Todos los alumnos son elegibles, excepto los repitientes.

Esta proposición es, en realidad, doble, y está formada por:

(a) Todos los alumnos no-repitientes son seleccionables.(b) Ningún alumno repitiente es seleccionable.

La (a) es tipo A y la (b) tipo E, y, como tal, se simbolizan.

A continuación encontrarás unos ejercicios que te brindarán laOportunidad de saber lo que has aprendido.

EJERCICIOS

220

Simbolizar las siguientes proposiciones categóricas definiendo el vocabularioprimitivo y traduciendo a preposiciones CFT las que no lo requieran (objetivo 12.2)

(1) Los perros son invertebrados.(2) No hay alumnos incapaces.(3) Ningún caballero es vivo.(4) Existen profesores estudiosos.(5) Hay políticos honestos.(6) Ningún país es completamente democrático.(7) Sólo los trabajadores triunfan.(8) Las solicitudes de los estudiantes fueron atendidas solícitamente.(9) El cáncer es generalmente curable.(10) No todos los estudiantes entendieron.(11) Todo lo que brilla no es oro.(12) No todo lo que brilla es oro.(13) No se dijo nada importante.(14) Sólo los jueces administran justicia.(15) Es falso que ningún médico es profesional.(16) No cualquier profesor es investigador.(17) Sólo los ciudadanos mayores de dieciocho años votan en las elecciones.(18) No hay enfermedades que no sean de cuidado.(19) Es falso que no hay enfermedades peligrosas.(20) Hay alumno de la facultad de derecho que serán jueces.(21) Cada oveja con su pareja.

1.4. Simbolización de Silogismos Categóricos de Forma TípicaDado que los silogismos de forma típica se componen de proposiciones CFT

ordenadas debidamente, la simbolización de los mismos es elemental. Veamos un ejemplo.Sea el silogismo de forma típica:

Todos los grandes humanistas son demócratas.Algunos abogados son demócratas.Por tanto, algunos abogados son grandes humanistas.

Vocabulario primitivo:

Hx: x es un gran humanista.Dx: x es demócrata.Ax: x es abogado.

Su simbolización es:

(x) (Hx ⊃ Dx)(∃x) (Ax ∧ Dx)(∃x) (Ax ∧ Hx)

1.5. Simbolización de Silogismos de Forma No TípicaLa única diferencia de éstos con los silogismos de forma típica es que, antes de

proceder a simbolizarlos, hay que traducirlos a forma típica, recordando, entre otras cosas,

221

que todas las proposiciones tienen que ser categóricas de forma típica, y que la primerapremisa es la mayor.

Sea, por ejemplo, el silogismo de forma no típica sigu.iente:

Ningún médico es juez, pues todos los médicos son profesionales de la salud y ningúnjuez es profesional de la salud.

Este silogismo no es de forma típica porque la conclusión aparece como primeraproposición. Sabemos que “Ningún médico es juez” es la conclusión porque no contiene eltérmino medio.

Ningún juez es profesional de la salud.Todos los médicos son profesionales de la salud.Por tanto, ningún médico es juez.

Observa el orden de las premisas. La primera es la premisa mayor que es la que contieneel término mayor, el cual es predicado de la conclusión, es decir, contiene el término “juez”.

La simbolización, ahora, es rutinaria:Vocabulario primitivo:

Mx: x es médico.Sx: x es profesional de la salud.Jx: x es juez.

Su simbolización es:

(x) (Jx ⊃ ∼ Sx)(x) (Mx ⊃ Sx)(x) (Mx ⊃ ∼ Jx)

Otro ejemplo. sea el silogismo válido:

Sólo los esforzados triunfan.Algún zuliano triunfa.Luego, algún zuliano es esforzado.

Su correspondiente silogismo de forma típica es:

Todos los triunfadores son esforzados.Algún zuliano es triunfador.Por tanto, algún zuliano es esforzado.

Observa que todas las proposiciones son categóricas de forma típica y que las premisashan cambiado de orden porque la premisa mayor es la primera.

Su simbolización es obvia:

Vocabulario primitivo:

Tx: x es triunfador.Ex: x es esforzado.Zx: x es zuliano.

222

Luego,(x) (Tx ⊃ Ex)(∃x) (Zx ∧ Tx)(∃x) (Zx ∧ Ex)

Pasa a resolver el siguiente autoevaluativo¡Comienza a trabajar y suerte!

AUTOEVALUATIVO 9

Construir, si es necesario, en forma típica los siguientes silogismos y, luego, abstraersu forma lógica (objetivo 12.2.).

(1) Todos los artistas son personas exigentes y, además, algunos artistas son insolentes;luego, algunas personas insolentes son personas exigentes.

(2) Ningún político es idealista y los mártires son idealistas; luego ningún político es mártir.(3) Algunas propuestas son grandes ideales, ya que algunas propuestas son compromisos

sociales y todos los compromisos sociales son grandes ideales.(4) Ningún estudiante de esta sección es profesional, pues todos los estudiantes de esta

sección son principiantes universitarios y ningún principiante universitario es profesional.(5) Algunos abogados no son jueces, puesto que ningún irresponsable es juez y algunos

abogados son irresponsables.(6) Todos los animales son irracionales; luego, ningún irracional es responsable, ya que

ningún responsable es animal.(7) Algunos atletas son buenos políticos, ya que todos los buenos políticos son grandes

servidores públicos y algunos atletas son grandes servidores públicos.(8) Ningún reptil es mamífero, puesto que el mamífero es animal de sangre caliente y ningún

reptil es animal de sangre caliente.(9) Las pinturas originales son caras, porque las pinturas originales son di~ciles de obtener y

las pinturas caras son difíciles de obtener.(10) Ningún profesor es fanático, puesto que ningún profesor es una persona de mente

cerrada y sólo las personas fanáticas son personas de mentes cerradas.(11) Ningún idealista es corrupto; luego ningún idealista es mentiroso, ya que sólo las

personas corruptas son mentirosas.(12) Algunos griegos son filósofos y sólo los reflexivos son filósofos. Por tanto, algunos

griegos son reflexivos.(13) Algún científico es artista, puesto que sólo las personas dedicadas son científicos y

algunas personas dedicadas son artistas.(14) Algunos griegos no son perversos, puesto que algunos griegos son sabios y nadie que

sea sabio es perverso.(15) Sólo las personas objetivas son científicos; sólo los responsables son objetivos. Por lo

tanto, todos científicos son responsables.(16) Ninguna persona desleal es confiable y todas las personas no-confiables son personas

no-transparentes; en consecuencia, sólo las personas leales son transparentes.

Si presentas alguna duda de lo que has estudiado, vuelve a leerEl material, si no avancemos…

223

2. MÉTODO DEMOSTRATIVO DE VALIDEZ Y REGLAS DE INFERENCIA

OBJETIVO TERMINAL 13: Efectuar demostraciones formales de validez desilogismos CFT dentro de la lógica de predicados aplicando las reglas de inferencia.

Para ello deberás lograr los siguientes objetivos específicos:

13.1. Conocidas las cuatro reglas de inferencia, propias de la lógica de predicados,identificarlas en una serie de inferencias dadas, tanto en el lenguaje natural como en elde la lógica de predicados.

13.2. Dada una demostración de un razonamiento, justificar cada uno de sus pasosseñalando la regla aplicada correspondiente.

13.3. A partir de determinadas premisas, demostrar la conclusión del razonamientoaplicando las reglas de inferencia.

13.4. A partir de formas válidas de silogismos CFT, construir silogismosasignándoles un contenido determinado.

INTRODUCCION

Para poder construir las demostraciones formales de validez de los .silogismos dentrode la lógica de predicados tenemos que ampliar nuestro repertorio con cuatro nuevas reglasde inferencia. La comprensión de estas cuatro reglas requiere la explicación de funciónproposicional, de ejemplo de sustitución y de las condiciones requeridas para que loscuantificadores universales y existenciales sean verdaderos.

2.1. Función ProposicionalConsideremos las siguiente proposición singular:

(a) Einstein es científico.

Su simbolización es:

(b) Ca

224

Tanto (a) como (b) son proposiciones, una en castellano y la otra en la lógica depredicados (a).

Si sustituimos en las expresiones (a) y (b) a ‘Einstein’ y a ‘a’ por ‘x’ respectivamentetendremos:

(c) x es científico.

(d) Cx

Las expresiones (c) y (d) son funciones proposicionales. Para nuestro propósito nosreferiremos sólo a la expresión (d). Como toda función proposicional está constituida por unavariable predicativa y una variable individual, para convertir ‘Cx’ en proposición se puedelograr de dos modos: uno, sustituyendo la variable individual ‘x’ por una constante individualcomo ‘a’, dando como resultado ‘Ca’; dos, cuantificándola, sea universal o existencialmente,dando las siguientes proposiciones: ‘(x) Cx’ y ‘(∃x) Cx’.

Una función proposicional es, pues, una expresión constituida por variablespredicativas y variables individuales, y que, al sustituir las variables individuales porconstantes individuales o al cuantificarlas con cualquiera de los dos cuantificadores, seconstituyen en proposiciones.

2.2..Ejemplo de SustituciónSi decimos, refiriéndonos a las tres únicas personas que sostienen una conversación:

Jorge, Ana y Luis: “Todos son ingenieros”, obviamente, se está afirmando que: “Jorge esingeniero”, “Ana es ingeniero” y “Luis es ingeniero”. Cada una de las tres proposicionessingulares anteriores es un ejemplo de sustitución de la proposición universal: “Todos soningenieros”.

Expresado lo anterior en la lógica de predicados tendríamos lo siguiente:Vocabulario primitivo:

Ix: x es ingenieroa: JorgeB: AnaC: Luis.

(x) Ix: todos son ingenierosIa: Jorge es ingeniero.Ib: Ana es ingeniero.Ic: Luis es ingeniero.

‘Ia’, ‘Ib’, y ‘Ic’ son ejemplos de sustitución de ‘(x) Ix’. Los ejemplos de sustitución sepueden dar en las proposiciones universales y particulares, y consiste en atribuir a uno o avarios individuos concretos la propiedad asignada a todos o a algunos de los individuos deluniverso del discurso respectivo.

2.3. Valor de Verdad de las Cuantificaciones de las Funciones Proposicionales.

225

La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera si, y sólo sitodos sus ejemplos de sustitución son verdaderos. Es falsa cuando, al menos uno de susejemplos de sustitución es falso.

En efecto, sea la cuantificación universal siguiente:

(x) Px.

Es decir, “Todos los individuos, x tienen la propiedad P”. Para que esta proposiciónsea verdadera es necesario que todos sus ejemplos de sustitución sean verdaderos, pues lacuantificación universal de una función proposicional equivale a la CONJUNCIÓN de todossus ejemplos de sustitución, y basta que uno de sus argumentos sea falso para que laconjunción, lo sea. Aplicado esto a nuestro ejemplo tendríamos:

(x) Px = Pa ∧ Pb ∧ Pc ∧ ... Pn

donde ‘pa’, ‘pb’, ‘pc’,... ‘pn’ son todos los ejemplos de sustitución. Para que el segundomiembro de la igaldad sea verdadero, de acuerdo a las reglas del conjuntor, todos losejemplos de sustitución tienen que ser verdaderos. Es suficiente que uno de ellos sea falsopara que la conjunción total sea falsa.

La cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera si, al menos,uno de sus ejemplos de sustitución es verdadero, y falsa si todos sus ejemplos de sustituciónson falsos. En efecto, la cuantificación existencial de una función proposicional equivale a ladisyunción de todos sus ejemplo de sustitución, es decir:

(∃x)Px = Pa ∨ Pb ∨ Pc ∨ …Pn

Ahora bien, la segunda parte de la igualdad anterior será verdadera, de acuerdo a laregla del disyuntor, si, al menos, un ejemplo de sustitución es verdadero, y será falsa si todossus ejemplos de sustitución son falsos.

2.4. Reglas de Inferencia

2.4.1. Ejemplificación Universal (EU).Esta regla afirma que lo que se predica de todos los individuos de un universo del

discurso se predica de cualquiera de esos individuos. Así, si el universo del discurso estácompuesto por Carlos, Ana y Luis y afirmamos que “todos son ingenieros”, de ello podemosinferir que cualquiera de los individuos de ese universo del discurso escogido arbitrariamentees ingeniero, también, que cada uno de ellos escogidos determinadamente es ingeniero.

Teniendo en cuenta el universo del discurso definido, y simbolizando a un individuocualquiera del universo del discurso por ‘γ’, a Carlos por ‘a’, Ana por ‘b’ y Luis por ‘c’, de laproposición: “Todos son ingenieros”, podemos inferir “γ es ingeniero” y, también, “a esingeniero”, “b es ingeniero” y “c es ingeniero”.

Haciendo uso de la simbolización lo anterior se expresaría así:

Universo del discurso: a, b, c.Proposición: (x) Ix (todos son ingenieros)Ejemplificación universal: (x) Ix y (x) Ix

Iγ Ia

226

La ejemplificación universal quiere decir que de una proposición universal ‘(x) Ix’, sepuede deducir o bien un ejemplo de sustitución con un individuo arbitrariamente escogido deluniverso del discurso, ‘Yγ’, o bien con cada uno de los individuos determinados del universadel discurso, ‘Pa’, ‘Pb’, ‘Pc’....

2.4.2. Generalización Universal (GU)Lo que se afirma de un individuo cualquiera escogido arbitrariamente, ‘γ’ de un

universo del discurso determinado, se afirma de todos los individuos de ese universo deldiscurso. Si el universo del discurso, por ejemplo, está constituido por los alumnos de lógicade una sección y afirmamos con verdad que uno cualquiera de ellos escogido al azar esvenezolano, podemos inferir con verdad que todos los alumnos de esa sección sonvenezolanos.

Luego, de ‘Vγ’ (“γ es venezolano”) se puede deducir ‘(x) Vx’ (“Todos sonvenezolanos”).

Generalizando, de un ejemplo de sustitución de un individuo cualquiera escogidoarbitrariamente obtenido por EU se puede deducir una proposición universal en el respectivouniverso del discurso. Dicho de otra forma, de la función proposicional, ‘Px’, de unaproposición singular formada con un individuo cualquiera escogido arbitrariamente, ‘Pγ’,obtenido de una proposición universal mediante EU, se puede deducir la cuantificaciónuniversal de esa función proposicional, ‘(x) Px’.

De ahí la regla de GU:P

(x) Px

Esto es, de ‘Pγ’ se puede deducir ‘(x) Px’, donde ‘P’ es un predicado cualquiera.

2.4.3. Ejemplificación Existencial (EE)Lo que se dice de algunos individuos en forma indeterminada, en un universo del

discurso específico, se dice de, al menos, uno o de varios individuos determinados de eseuniverso. Si el universo del discurso está constituido por los estudiantes de la Universidad delZulia y afirmamos: “Algunos son extranjeros”, evidentemente, de esta proposición podemosdeducir que hay estudiantes (al menos uno) determinados que son extranjeros. Esto es, de unaproposición particular se puede inferir uno o varios ejemplos de sustitución con individuosdeterminados.

Por tanto, generalizando, la regla de ejemplificación existencial se expresa así:

(∃x) PxPa

Donde ‘P’ es un predicado cualquiera. Ahora bien, de ‘(∃x) Px’ se puede deducir, almenos, un ejemplo de sustitución, ‘Pa’, pero también pueden deducirse otros ejemplos desustitución como ‘Pb’, ‘Pc’, etc.

Por eso, cuando en una demostración de validez de un razonamiento se aplique laregla de ejemplificación existencial más de una vez, en la primera aplicación se obtiene elejemplo de sustitución con el individuo ‘a’, es decir, se deduce ‘Pa’; en la segunda aplicaciónse obtendrá el ejemplo de sustitución con el individuo ‘b’, para deducir ‘Pb’; si hubiera unatercera aplicación se obtendría ‘Pc’, y así sucesivamente. Es decir, de ‘(∃x) Px’ se puedededucir un ejemplo de sustitución que todavía no haya aparecido en la demostración.

227

2.4.4. Generalización Existencial (GE)De lo que se predica de un individuo, por ejemplo, de Robert Smith, afirmando: “Robert

Smith es extranjero” en el universo del discurso constituido por los alumnos de laUniversidad del Zulia, se puede inferir la proposición:

“Algunos son extranjeros”,

recordando que, en lógica, ‘algunos’ quiere decir ‘al menos uno’. Generalizando,podemos decir que de un ejemplo de sustitución o de una proposición singular se puedededucir la cuantificación existencial de su función proposicional. Luego, la regla de lageneralización existencial se formula así:

Pa(x ) Px

donde ‘P’ es un predicado cualquiera.

Resumen de las cuatro reglas de inferencia.• Ejemplificación universal (EU)

a) (x) Px b) (x) PxPγ Pa

• Generalización universal (GU) Pγ(x)Px

• Ejemplificación existencial (EE) (∃x) PxPa

• Generalización existencial (GE) Pa(∃x) Px

Observaciones:• Restricción para el uso de la GU. El ejemplo de sustitución de un individuo cualquiera

escogido arbitrariamente tiene que provenir de la aplicación de la EU a una proposiciónuniversal.

• Restricción para el uso de la EE. El ejemplo de sustitución deducido tiene que hacersecon una constante individual que no haya aparecido antes. Eso significa que en unademostración formal de validez de razonamientos donde sea necesario utilizar tanto la EUcomo la EE, esta última debe utilizarse primero.

• Una última observación. La aplicación de las cuatro reglas de inferencia introducidaspueden efectuarse también con proposiciones que contengan dos o más predicados. Porejemplo, a la proposición ‘(x) (Px ⊃ Rx)’ se puede aplicar la regla de ejemplificaciónuniversal para obtener ‘Pγ ⊃ Rγ' o, según el caso, ‘Pa ⊃ Ra’.

228

Pasamos a resolver los siguientes ejercicios

EJERCICIOS:

Identificar las reglas de inferencia propias de la lógica de predicados.

(1) Los ángulos internos de un triangulo cualquiera valen 180, por tanto los ángulosde TODOS los triángulos son iguales a 180.

(2) El pelotero venezolano Luis Aparicio está en el salón de la Fama, por lo tanto,algún pelotero venezolano está en el Salón de la Fama.

(3) Todas las circunferencias suman 360°, luego la circunferencia A suma 360°.(4) Los husos horarios suman 15°, luego cualquier hoso horario escogido al azar suma

también 15°.(5) Algunos alumno de la Universidad del Zulia proceden del estado Táchira, luego,

al menos, uno de los alumnos de la Universidad del Zulia procede del Táchira.(6) Pγ implica (x) Px.(7) Pa implica (∃x) Px.(8) (x) Px implica Pa.(9) (∃x) Px implica Pa.(10) (x) Px implica Pγ.

2.5. Demostración de ValidezUna vez introducidas las cuatros reglas de inferencia necesarias para construir

demostraciones formales de validez para razonamientos cuya validez depende de lasestructuras internas de las proposiciones simples que aparecen en los mismos, procederemosa su aplicación demostrando algunos razonamientos en que se deben aplicar.

Primer razonamiento.Todos los griegos son mortalesSócrates es griego.Luego, Sócrates es mortal.

Vocabulario primitivo:a: SócratesGx: x es griegoMx: x es mortal.

En símbolos, es:

(x) (Gx ⊃ Mx)Ga

229

Ma

La demostración formal de validez se realiza de esta manera.Demostrar: Ma1. (x) (Gx ⊃ Mx) P2. Ga P/∴Ma3. Ga ⊃ Ma EU, 14. Ma MPP 2, 3

En la línea 3 hemos aplicado la opción (b) de la regla de EU, por cuanto en la premisa(2) el razonamiento se refiere a un individuo determinado, Sócrates, del universo deldiscurso. La línea 4 es obvia.Segundo razonamiento:

Todos los jueces son abogados.Todos los magistrados de la Corte Suprema son jueces.Por tanto, todos los magistrados de la Corte Suprema son abogados.

Vocabulario primitivoJx: x es juezAx: x es abogadoMx: x es magistrado de la Corte Suprema.

En símbolos, es así:(x) (Jx ⊃ Ax)(x) (Mx ⊃ Jx)(x) (Mx ⊃ Ax)

Demostración formal de validez.Demostrar: (x)(Mx ⊃ Ax)l. (x) (Jx ⊃ Ax) P2. (x) (Mx ⊃ Jx) P3. Jγ ⊃ Ay EU, 14. Mγ ⊃ Jy EU, 25. Mγ ⊃ Aγ TI 3, 46. (x) (Mx ⊃ Ax) GU 5

En las líneas 3 y 4 se ha aplicado la regla EU en su opción (a), por cuanto en la línea 6se tiene que aplicar la regla GU, la cual sólo se puede realizar si se tiene un ejemplo desustitución con un individuo cualquiera escogido arbitrariamente que hemos convenido ensimbolizarlo con la letra griega ‘γ’. La línea 5 se obtiene mediante la regla de TI aplicada alas líneas 3 y 4. Y, finalmente, la línea 6 se obtiene aplicando la regla de EU a la línea 5 quees un ejemplo de sustitución con el individuo ‘γ’, esto es, con un individuo cualquieraescogido arbitrariamente del universo del discurso.

Tercer razonamiento:Todos los filósofos son reflexivos.Algunos zulianos son filósofos.Luego, algunos zulianos son reflexivos.

230

Vocabulario primitivo:Fx: x es filósofo.Rx: x es reflexivo.Zx: x es zuliano.

Lo simbolizamos de este modo:(x) (Fx ⊃ Rx)(∃x) (Zx ∧ Fx)(∃x) (Zx ∧ Rx)

Su demostración formal es como sigue:Demostrar: (∃x) (Zx ∧ Rx)1. (x) (Fx ⊃ Rx) P2. (∃x) (Zx ∧ Fx) P3. Za ∧ Fa EE 24. Fa ⊃ Ra EU 15. Fa Simp. 36. Ra MPP 4, 57. Za Simp. 38. Za ∧ Ra Conj. 7, 69. (∃x) (Zx ∧ Rx) GE 8

Observa que es obligatorio aplicar, primero la regla de EE y, luego, la EU, debido a larestricción en el uso de la EE, la cual estípula que el ejemplo de sustitución deducido tieneque hacerse con un individuo que no haya aparecido en la demostración. Si se hubieraaplicado primero la regla de EU, el individuo ‘a’ con el cual se hubiera deducido el ejemplode sustitución, no podría usarse en la aplicación siguiente de la regla EE en virtud de larestricción anotada y tendría que utilizarse el individuo ‘b’. De esta manera no sería posible lademostración formal de validez de este razonamiento válido. Veamos cómo quedaría lapretendida demostración de validez aplicando primero la regla de EU sería así:

1. (x) (Fx ⊃ Rx) P2. (∃x) (Zx ∧ Fx) /∴ (Zx ∧ Rx) P3. Fa ⊃ Ra EU 14. Zb ∧ Fb EE 25. Fb Simp. 4

Hasta ahí se podría seguir ya que del no se puede aplicar el MPP en las filas 3 y 4,puesto que el antecedente de (3), ‘Fa’, es distinto de la línea (5), ‘Fb’. Por eso, siempre que setengan que aplicar las reglas de EU y EE, ésta última debe aplicarse primero.

Las filas 5, 6, 7 y 8 se obtienen, como se indica en la demostración, con las reglasanotadas. En la fila 9 introducimos por primera vez la aplicación de la regla de GE.

Para indicar la necesidad de la restricción de EE me voy a referir a un razonamientoobviamente inválido que, aunque vanal y absurdo, es sumamente ilustrativo al respecto. Elrazonamiento es éste:

Algunos zulianos son responsables.Algunos caraqueños son responsablesPor tanto, algunos zulianos son caraqueños.

La tal demostración “errónea” podría ser ésta:

231

Demostrar: (∃x)(Zx ∧ Cx)1. (∃x) (Zx ∧ Rx) P2. (∃x) (Cx ∧ Rx) P3. Za ∧ Ra EE 14. Ca ∧ Ra EE 2 (erróneo)5. Za Simp. 36. Ca Simp. 47. Za ∧ Ca Conj. 5, 68.(∃x)(Zx ∧ Cx) GE 7El error aparece en la línea (4). Por la segunda premisa, ‘(∃x) (Cx ∧ Rx)’, sabemos

que hay, al menos, una persona que es caraqueña y al mismo tiempo es responsable. Sipudiéramos asignarle la constante individual ‘a’, podríamos afirmar, obviamente, ‘Ca ∧ Ra’.Pero no nos es permitido hacer esa asignación, pues en la fila (3) ya ha servido comoconstante individual para un zuliano. Para evitar estos errores tenemos que tener siempre encuenta la restricciones de EE, y por tanto, en toda demostración en que se requieran tanto eluso de EE como de EU, EE debe utilizares siempre primero.

Pasemos a resolver los siguientes ejerciciosEJERCICIOS:

Justifica cada una de las filas de la demostración de las siguientes formas desilogismos de forma típica (objetivo 13.2)

(1) Demostrar: (x) (Gx ⊃ ∼ Px)(1) (Hx ⊃ ∼ Px) P(2) (x) (Gx ⊃ Hx) P(3) Gγ ⊃ Hγ(4) Hγ ⊃ ∼ Pγ(5) Gγ ⊃ ∼ Pγ(6) (x) (Gx ⊃ ∼ Px)

(2) Demostrar: (∃x) (Gx ∧ Sx)(1) (x) (Fx ⊃ Sx) P(2) (∃x) (Gx ∧ Fx) P(3) Ga ∧ Sa(4) Fa ⊃ Sa(5) Fa(6) Sa(7) Ga(8) Ga ∧ Sa(9) (∃x) (Gx ∧ Sx)

(3) Demostrar: (∃x) (Mx ∧ ∼ Gx)(1) (x) (Hx ⊃ Mx) P(2) (∃x) (Hx ∧ ∼ Gx) P(3) Ha ∧ ∼ Ga(4) Ha ⊃ Ma(5) Ha(6) Ma(7) ∼ Ga(8) Ma ∧ ∼ Ga(9) (∃x) (Mx ∧ ∼Gx)

(4) Demostrar: (x) (Gx ⊃ Mx)

232

(1) (x) (Hx ⊃ Mx) P(2) (x) (Gx ⊃ Hx) P(3) Gγ ⊃ Hγ(4) Hγ ⊃ Mγ(5) Gγ ⊃ Mγ(6) (x) (Gx ⊃ Mx)

Ahora resuelve el autoevaluativo que te ofrecemos a continuación.¡Comienza a trabajar y Suerte!

AUTOEVALUATIVO 13

A. Demostrar la validez de las siguientes formas de los silogismos CFT m~iante el métododemostrativo (objetivo 13.3.).

1. (x) (Sx ⊃ Ex)(∃x) (Sx ∧ ∼ Vx)(∃x) (Ex ∧ ∼ Vx)

2. (x) (Tx ⊃ ∼ Dx)(x) (Gx ⊃ Tx)(x) (Gx ⊃ ∼ Dx)

3. (x) (Fx ⊃ Px)(∃x) (Gx ∧ Fx)(∃x) (Gx ∧ Px)

4. (x) (Ix ⊃ Nx)(x) (Gx ⊃ Ix)(x) (Gx ⊃ Nx)

B. Demostrar la validez de los siguientes silogismos CFT mediante el método demostrativo(objetivo 13.3.).

(1) Demostrar la validez de los silogismos CFT No. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 13, 14 y 15de la autoevaluación de las páginas 11 y 12.

(2) Demostrar la validez de los silogismos CFT de los No. 1, 4 y 5 de la autoevaluación de lapágina 24.

(3) Demostrar la validez de los silogismos CFT No. 1, 2 y 3 de la autoevaluacion de la página

C. Construye en castellano dos silogismos CFT a partir de las siguientes formas lógicas,determinando el contenido y definiendo su vocabulario primitivo. ‘P’, ‘Q’, y ‘R’, representancualquier predicado. (objetivo 13.4.).

(1) (x) (Px ⊃ Qx)(x) (Qx ⊃ ∼ Rx)(x) (Rx ⊃ ∼ Px)

(2) (∃x) (Rx ∧ Px)(x) (Px ⊃ ∼Qx)(∃x) (Rx ∧ ∼ Qx)

(3) (∃x) (Px ∧ ∼ Qx)(x) (Px ⊃ Rx)(∃x) (Rx ∧ ∼ Qx)

(4) (x) (Px ⊃ Rx)(x) (Qx ⊃ Px)(x) (Qx ⊃ Rx)

233

Muy bien… hemos concluido con el estudio de la unidad III, ahora teInvitamos a corroborar los resultados de los ejercicios en el ciclo de respuestas,

Pasa a la página siguiente. ÉXITO…

RESPUESTAS

A. LÓGICA TRADICIONAL

Ejercicios: Página 11 Proposiciones Generales, Singulares y Categóricas

(1) Algunos libros escritos en arameo hace dos mil años,S

son traducidos actualmente al castellano.P

• Es una proposición categórica de forma típica.• Su esquema: Algún S es P.• Por tanto, es particular afirmativa (Tipo I).

(2) Un abogado graduado en La Universidad del Zulia es un profesional eficiente:• Es una proposición categórica de forma no típica.• Traducción a su forma típica:

Todos los abogados graduados en La Universidad del Zulia, sonS

profesionales eficientes.P

• Su esquema: Todo S es P.• Por tanto, es universal afirmativa (Tipo A)

(5) Nada nuevo hay bajo el sol.• Es una proposición categórica de forma no típica.• Su forma típica es: Ninguna cosa es nueva bajo el sol.

S P• Su esquema: Ningún S es P.• Por tanto, es universal negativa (Tipo E).

(10) Ningún caballero engaña.

234

• Es una proposición categórica de forma no típica.• Traducción a su forma típica: Ningún caballero es persona que

engaña.S P

• Su esquema: Ningún S es P.• Por tanto, es universal negativa (Tipo E).

(15) Sólo los médicos están autorizados para diagnosticar• Es una proposición categórica de forma no típica.• Traducción a su forma típica: Todos los autorizados para diagnosticar son

médicos. SP

• Su esquema: Todo S es P.• Por tanto, es universal afirmativa (Tipo A).

(20) Alguien de la clase puede no estar de acuerdo con la explicación del profesor.• Es una proposición categórica de forma no típica.• Traducción a su forma típica: Algunos alumnos de la clase no son personas que

Spueden estar de acuerdo con la explicación del profesor.

P• Su esquema: Algún S no es P.• Por tanto, es particular negativo (Tipo O).

(25) Un hombre orgulloso no reconoce fácilmente sus errores.• Es una proposición categórica de forma no típica.• Traducción a su forma típica: Todo hombre orgulloso es un hombre que no

reconoce fácilmente sus errores; que a su vez equivale a:Ningún hombre orgulloso es hombre que reconoce fácilmente sus errores

S P• Su esquema: Ningún S es P.• Por tanto, es universal negativa (Tipo E).

(30) Digno de admiración es quien respeta al pobre.Es una proposición categórica de forma no típica.Traducción a su forma típica: Todas las personas que respetan a los pobres son

Sdignas de admiración.

P

• Su esquema: Todo S es P.• Por tanto, es universal afirmativa (Tipo A).

235

Ejercicios: Página 1 5 Cuadro Tradicional de Oposición(1) De E infiero las negaciones de I, la proposición 0 y la negación de A.

Las proposiciones inferidas son:a) Es falso que algún ciego pueda guiar a otro ciego.b) Algunos ciegos no pueden guiar a otros ciegos.c) Es falso que los ciegos puedan guiar a otros ciegos.

(2) De I se infiere la negación de E.La inferencia es:Es falso que ninguno que se atrinchera en sus mentiras termina por creerlas.

(3) De A infiero la negación de 0 , la proposición I y la negación de E.Las inferencias son:a) Es falso que alguno que odia a su hermano es un asesino.b) Alguno que odia a su hermano es un asesino.c) Es falso que ninguno que odia a su hermano es un asesino.

AUTOEVALUATIVO 9: Página: 18(2) Su esquema: Algún S es P (tipo I).

De ella se puede inferir válidamente:* Por negación de la contradictoria: Es falso que ningún matemático famoso haya sidofilósofo.* Por conversión: Hay filósofos que han sido matemáticos famosos.* Por obversión: Hay matemáticos famosos que no han sido no-filósofos.

(3) No es una proposición categórica, sin embargo, por negación de la contradictoria sepuede inferir: es falso que hay algo nuevo bajo el sol.

Las demás inferencias no son posibles.Nota: Si te quedó alguna duda, consúltala con tu asesor.

(5) Su esquema: Ningún S es P (tipo E).Se puede inferir válidamente:* Por negación de la contradictoria: No es verdad que alguien que se aprecie a símismo se entregue al vicio.* Por conversión: Nadie que se entregue al vicio se precia a sí mismo.* Por obversión: Todo el que se precie a sí mismo no se entrega al vicio.

(7) Su esquema: Todo S es P (tipo A).Se puede inferir válidamente:* Por negación de la contradictoria: Es falso que algunos que siembran vientoscosechan tempestades.* Por conversión: No es válida su conversa.* Por obversión: Ninguno que siembra vientos no cosecha tempestades.

236

Las respuestas de (1), (4) y (6) consúltalas con algún compañero o con tu asesor.Cuando hayas concluido, si deseas ampliar o profundizar este punto te recomiendola siguiente LECTURA COMPLEMENTARIA: I. COPI; Introducción a la Lógicapáginas:

Si tienes alguna duda vuelve a trabajar cuidadosamente tu material.

Ejercicios: Página 21 Silogismos Categóricos de Forma Típica(A1) Su esquema: Todo M es S

Algún M no es PAlgún S no es P

Volviéndolo a la forma típica:

Algún M no es PTodo M es SAlgún S no es P

Su modo: OAOSu figura: M – P

M – SS – P

(A2) Su esquema: Todo P es MNingún S es MNingún S es P

Su modo: AEESu figura: P – M

S – PS – P

Nota: Las respuestas del ejercicio (A3) y del ejercicio B consúltalas con tu asesor y aclaracualquier duda.

Ejercicios: Página 24 Figuras y Formas Válidas del Silogismo C.F.T.(1) Su esquema:

Ningún M es PTodo S es MNingún S es P

Su figura y modo: EAE-1El razonamiento es válido porque tiene la forma CELARENT.

237

(2) Su esquemaNingún M es PAlgún S es MNingún S es P

Modo y figura: EIE-1No hay ninguna forma válida que corresponda a ese modo y figura, luego es unsilogismo no válido.

(4) Su esquema:Todo M es PAlgún M es SAlgún S es P

Modo y figura: AII-3Corresponde a la forma DATISI, luego es un silogismo válido

(7) Su esquema:Todo M es PAlgún S es MAlgún S es P

Modo y figura: AII- 1Luego, es DARII y, por tanto, válido.

(8) Su esquema:Todo P es MTodo S es MTodo S es P

Modo y figura: AAA-2No hay ninguna forma válida correspondiente, luego, no es válido.

(9) Su esquema:Todo P es MNingún S es MNingún S es P

Modo y figura: AEE-2.Luego, es CAMESTRE y, por tanto, válido.

Ejercicios: Página 27 Silogismos categóricos de Forma No Típica(1) Silogismo Categórico de Forma Típica:

• Algunos intelectuales son distraídos.

• Todos los filósofos son intelectuales.

238

• Por lo tanto, algunos filósofos son distraídos.

Su estructura: Algún M es PTodo S es MAlgún S es P

Modo y figura: IAI- 1No hay ninguna forma que corresponda a ese modo y figura, por tanto, es inválido.

(5) Silogismo Categórico de Forma Típica:

• Ningún millonario es persona que se empobrece por pagar impuestos.

• Todos los empresarios son millonarios.

• Por tanto, ningún empresario es persona que se empobrece por pagar impuestos

Su estructura: Ningún M es PTodo S es MNingún S es P

Modo y figura .- EAE- 1, que corresponde a la forma CELARENT, luego es válido.

(10) Silogismo Categórico de Forma Típica:

• Ningún silogismo válido es un silogismo de cuatro términos.

• Todo silogismo de este ejercicio es válido.• Luego, ningún silogismo de este ejercicio es un silogismo de cuatro términos.

Para obtener la premisa menor, primero se sustituyó ‘inválido’ por su sinónimo ‘no-válido’, y segundo se aplicó la inferencia por obversión.

Su estructura: Ningún M es PTodo S es MNingún S es P

Modo y figura: EAE-1, que corresponden a la forma CELARENT, luego es válido.

(15) (a) Silogismo ordenado:

• Ningún original es fácil de lograr.• Todas las cosas difíciles de obtener son cosas caras.• Luego, todas las cosas baratas son imitaciones.

Observe que la premisa menor ha sido sustituida por su equivalente.

(b) Sustitución de sinónimos:

239

No-imitada por original. No-baratas por caras.No-fáciles por dificiles.

Entonces el silogismo sería:

• Ninguna cosa no-imitada es fácil de lograr.• Todas las cosas no-fáciles de lograr son cosas no-baratas• Luego, todas las cosas baratas son imitaciones.

(c) Aplicación a la premisa mayor la conversión y, luego, la obversión; aplicación a lapremisa menor la obversión, después la conversión y, finalmente, otra obversión.

• Todas las cosas fáciles de lograr son cosas imitadas.• Todas las cosas baratas son cosas fáciles de lograr.• Luego, todas las cosas baratas son cosas imitadas.

Su estructura : Todo M es PTodo S es MTodo S es P

Modo y figura: AAA-l, que corresponden a la forma BARBARA, luego es válido.

Ejercicios: Página30 Construcción de Silogismos

Si tienes alguna duda consulta con tu Asesor

Ejercicios: Página 31 Los Entimemas(1) Todos los ingenieros son graduados universitarios (proposición faltante).

Todos los socios propietarios del Colegio de Ingenieros son ingenieros.Luego, todos los socios propietarios del Colegio de Ingenieros son graduadosuniversitarios.

Forma del silogismo: AAA-l: BARBARA, luego es válido.

(2) Todos los alumnos que estudien bien la materia son alumnos que responden bien elexamen ( proposición faltante ).Ningún alumno es un alumno que responde bien el examen.Por tanto, ningún alumno es un alumno que entienda bien la materia.

Forma: AEE-2: CAMESTRES, luego es válido.

240

(3) Todas las personas reflexivas y estudiosas son el porvenir de la sociedad ( proposiciónfaltante ).Algunos estudiantes son personas reflexivas y estudiosas.Por tanto, algunos estudiantes son el porvenir de la sociedad.

Forma del silogismo: AII-1: DARII, luego es valido.

(6) Todos los políticos cuyas riquezas provienen de lo que ganan son hombres honestos(proposición faltante).Algunos políticos son políticos cuyas riquezas provienen de lo ganado.Por tanto, algunos políticos son honestos.

Forma del silogismo: AII-1 : DARII, luego es válido.

Ejercicios: Página 33 El Sorites(1)a) Todas las personas felices son personas pacíficas

Todas las personas exitosas son personas felices.Luego, todas las personas exitosas son personas pacíficas.

Forma: BARBARA (1), luego es válido.

b) Todas las personas exitosas son personas pacíficas.Todos los trabajadores son personas exitosas.Luego, todos los trabajadores son personas pacíficas.

Forma: BARBARA, luego es válido.El sorites es válido ya que los silogismos que lo componen lo son.

(2)a) Todas las personas estudiosas son personas responsables.Todos los alumnos son personas estudiosasPor tanto, todos los alumnos son personas responsables

Formas BARBARA (1), luego es válido.

b) Ninguna persona que robe es persona responsableTodos los alumnos son personas responsables.Por tanto, ningún alumno es persona que robe.

Forma: CESARE, luego es válido.El sorites es válido por ser válidos sus silogismos componentes.

(3)a) Ninguna persona humilde es una persona que miente.Todos los corruptos son personas que mienten.

241

Luego, ningún corrupto es humilde.

Forma: CESARE (2) luego es válido

b) Todas las personas sabias son humildes.Ningún corrupto es humildeLuego, ningún corrupto es persona sabia.

Forma: CAMESTRE (2), luego es válido.El sorites es válido porque los dos silogismos de que se compone son válidos.

AUTOEVALUATIVO 14: Página: 36(1) Se puede refutar rechazando la segunda premisa. Los que votaron pueden argumentarque en una democracia el voto es su principal instrumento de participación y que, a veces,es preciso escoger el menos malo de los aspirantes. El que no votó puede argüir diciendoque lo hace para protestar, puesto que de hacerlo contribuiría al afianzamiento de esta“democracia” aparente.

(3) Se puede refutar con este contradilema:

O bien digo la verdad o no la digo; si la digo, gano el respeto de la gente y si losegundo, no delato a mi amigo. Luego, en ambos casos es positivo.

(6) Se puede refutar con este contradilema:

O el gobierno aumenta los impuestos o no lo aumenta. Si lo primero, dispondrá demás dinero para invertir, si lo segundo , las familias contarán con mayorpresupuesto. Luego, en ambos casos es positivo.

C. PRUEBA DE VALIDEZ

Ejercicios: Página 39 Representación Gráfica de Proposiciones Categóricas(1) Su esquema: Todo S es P (Tipo A)

(2) Algún S es P (Tipo I)

Gráfico

Gráfico

242

(4) Tipo A: Todo S es P

Las respuestas de (3) y (5) consúltalas con tu asesor o con algún compañero

AUTOEVALUATIVO 11: Página: 44(1) La figura del silogismo es: Todo los P son M

Ningún M es SNingún S es P

El diagrama de las premisas:

Como se ve en la conclusión quedó diagramada; por lo tanto el razonamiento esválido.

(2) Figura: Ningún P es MAlgún S es MAlgún S no es P

Interpretación: la conclusión quedó diagramada. El silogismo es válido.

(3) Figura: Todo M es PTodo M es STodo S es P

Interpretación: La conclusión no quedó diagramada por lo cual…

(4) Figura: Todo M es PNingún M es SNingún S es P

Gráfico

Gráfico

Gráfico

Gráfico

Gráfico

243

Interpretación…

Las respuestas de (3), (4), (5) y (6) deberás confrontarlas con algún compañero Oconsultarlas con tu profesor.

C. LÓGICA DE PREDICADOS

Ejercicios: Página: 49 Simbolización de Proposiciones Generales de unPredicado

(2) Algunos llegaron tarde.Vocabulario primitivo:

(∃x): Existe, al menos, un x.Tx: x llegó tarde.(∃x) Tx.

(4) Ninguno vinoVocabulario primitivo:

(x): Para todo x.Vx: x vino.(x) ~ Vx.

(8) Vocabulario primitivo:a: LuisEx: x es estudiante.~ Ea.

(10) Vocabulario primitivo:a: La ciudad más populosa del mundo.Px: x es peligrosa.Pa.

Ejercicios: Página:53 Simbolización de Proposiciones Categóricas

Observación: en el vocabulario primitivo no incluiremos los cuantificadores

(1) Equivale a la proposición: Todos los perros son invertebrados.Vocabulario primitivo: Px: x es perro.

Lx: x es invertebrado.La proposición se formula también así:

“Para todo x, si x es pero entonces x es mortal.”

Por tanto su simbolización es: (x) (Px ⊃ Lx)

244

(7) Equivale a la proposición: Todos los triunfadores son trabajadores.Vocabulario primitivo: Tx: x es triunfador.

Rx: x es trabajador (la R es la segunda letra de trabajador, seutiliza porque la T ya está utilizada para triunfador).

Su simbolización es: (x) (Tx ⊃ Rx)

(11) Equivale a la proposición: Algo brillante no es oro.Vocabulario primitivo: Bx: x es brillante.

Ox: x es oro.Su simbolización es: (∃x) (Bx ∧ ∼ Ox).

(13) Equivale a la proposición: Todo lo dicho fue no-importante.Vocabulario primitivo: Dx: x es dicho.

Lx: x es importante.Su simbolización es: (x) (Dx ⊃ ∼ Lx).

(18) Equivale a la proposición: Es falso que algunas enfermedades no son de cuidado.Vocabulario primitivo: Ex: x es enfermedad.

Cx: x es de cuidado.Su simbolización es: ~ (∃x) (Ax ∧ ∼ Cx).

(20) Equivale a la proposición: Algunos alumnos de la facultad de derecho serán jueces.Vocabulario primitivo: Ax: x es un alumno de la facultad de derecho.

Jx: x es juez.Su simbolización es: (∃x) ( Ax ∧ Tx).

(21) Equivale a: Toda oveja es una oveja con pareja.Vocabulario primitivo: Ox: x es oveja.

Px: x es una oveja con pareja.Se simboliza: (x) (Ox ⊃ Px).

AUTOEVALUATIVO 12: Página: 56

(1)Vocabulario primitivo Ax: x es artistaEx: x es persona exigente.Ix: x es insolente.

Forma Lógica:(x) (Ax ⊃ Ex)(∃x ) (Ax ∧ Cx)

245

(∃x ) (Px ∧ Ix)

(3) Silogismo en forma típica:Todos los compromisos sociales son grandes ideales.Algunas propuestas son compromisos sociales.Luego, algunas propuestas son grandes ideales.

Vocabulario primitivo: Cx: x es compromiso socialIx: x es gran ideal.Px: es propuesta

Forma lógica:(x) (Cx ⊃ Ix)(∃x) (Px ∧ Cx)(∃x ) (Px ∧ Ix)

(10) Silogismo en forma típica:Ningún profesor es fanático.Todas las personas de mente cerrada son fanáticas.Por tanto, ninguna persona de mente cerrada es profesor.

Vocabulario primitivo: Px: x es profesor.Fx: x es fanático.Cx: x es persona cerrada

Forma lógica:(x) (Px ⊃ ~ Fx)(x) (Cx ⊃ Fx)(x) (Cx ⊃ ∼ Px)

(15) Silogismo en forma típica:Todas las personas objetivas son responsables.Todos los científicos son personas objetivasPor consiguiente, todos los científicos son responsables.

Vocabulario primitivo: Cx: x es cientíñco.Ox: x es persona objetiva.Rx: x es responsable.

Forma lógica:(x) (Ox ⊃ Rx)(x) (Cx ⊃ Ox)(x) (Cx ⊃ Rx)

(16) Este silogismo tiene cinco términos, luego para traducirlo a silogismos de FormaTípica hay que reducirla a tres. Para ello la premisa mayor: “Ninguna persona desleal esconfiable” se transforma por conversión en: “Ninguna persona confiable es desleal”, y ésta,a su vez, por obversión se convierte en: “Toda persona confiable es leal”. A la premisa

246

menor: “Todas las personas no-confiables son personas no-transparentes”, se le aplica,primero, la obversión y, así, se obtiene: “Ninguna persona no-confiable es transparente”;segundo, a ésta se le aplica la conversión convirtiéndose en : “Ninguna personatransparente es no-confiable”; y, tercero, se aplica nuevamente la obversión y se convierteen: “Toda persona transparente es confiable”. Finalmente, la conclusión: “Sólo las personasleales son transparentes”, equivale a: “Todas las personas transparentes son leales”.

Luego, el silogismo de forma típica es éste:Toda persona confiable es leal.Toda persona transparente es confiable.Por tanto, todas las personas transparentes son leales

Vocabulario primitivo: Cx: x es confiable.Lx: x es leal.Tx: x es transparente.

Forma lógica:(x) (Cx ⊃ Lx)(x) (Tx ⊃ Cx)(x) (Tx ⊃ Lx)

Ejercicios: Página: 62 Reglas de Inferencia(l) Generalización universal(5) Ejemplificación existencial.(10) Ejemplificación universal.

Ejercicios: Página: 66 Demostración de Validez

(1) Demostrar: (x) (Gx ⊃ ∼ Px)(1) (x) (Hx ⊃ ∼ Px) P(2) (x) (Gx ⊃ Hx) P(3) Gγ ⊃ Hγ EU2(4) Hγ ⊃ ∼ Pγ EU 1(5) (x)(Hx ⊃ ∼ Px) GU 5

AUTOEVALUATIVO 13: Página: 68

A (1) Demostrar: (∃x) (Ex ∧ ∼ Vx)(1)(x) ( Sx ⊃ Ex) P(2)(∃x ) (Sx ∧ ∼ Vx) P(3) Sa ∧ ∼ Va EE 2(4) Sa ⊃ Ea EU 1(5) Sa Simp 3(6) Ea MPP 4, 5(7) ~ Va Simp 3(8) Ea ∧ ∼ Va Conj 6,7

247

(9) (∃x) (Ex ∧ ∼ Vx) GE8

B(1) # 1. Forma lógica:(x) (Ax ⊃ Ex)(∃x) (Ax ∧ Ix)(∃x) (Ix ∧ Ax)

Demostrar: (∃x) (Ix ∧ Ax)(1) (x) (Ax ⊃ Ex) P(2) (∃x) (Ax ∧ Ix) P(3) Aa ∧ Ia EE 2(4) Aa ⊃ Ea EU(5) Aa Simp 3(6) Ea MPP 4, 5(7) Ia Simp 3(8) Ia ∧ Aa Conj 7, 5(9) (∃x) (Ix ∧ Ax) GE

Nota: Observa que la regla de EE fue aplicada antes de la EU. Razón: si se hubierautilizado primero la regla de GLl, al aplicar la regla de EE el ejemplo de sustitución nopodría realizarse con la misma constante individual debido a la restricción de la regla EEque dice que el ejemplo de sustitución sólo puede hacerse con una constante individual queno haya aparecido antes en la demostración.

B(1) #4. Forma lógica(x) (Ex ⊃ Ux)(x) (Ux ⊃ ∼ Px)(x) (Ex ⊃ ∼ Px)

Demostrar: (x) (Ex ~~ Px)(1) (x) (Ex ⊃ Px) P(2) (x) (Ux ⊃ ∼ Px) P(3) Eγ ⊃ Uγ EU l(4) Uγ ⊃ ∼ Pγ EU 2(5) Eγ ⊃ ∼ Py TI 2,4(6) (x) (Ex ⊃ ∼ Px) GU 5

Nota: El ejemplo de sustitución de (1) y de (2) tiene que ser un individuo cualquieraescogido arbitrariamente y representado por ‘γ’. De no ser así no se podría aplicar la GU en(5) para obtener la conclusión.

B(2) #5. Forma lógica:(x) (Cx ⊃ Ax)(x) (Ax ⊃ Ix)

248

(x) (Cx ⊃ Ix)

Demostrar: (x) (Gx ⊃ Ix)(1) (x) (Cx ⊃ Ax) P(2) (x) (Ax ⊃ Ix) P(3) Cγ ⊃ Aγ EU l(4) Aγ ⊃ Iγ EU 2(5) Cγ ⊃ Iγ TI 3,4(6) (x) (Cx ⊃ Ix) GU5

Nota: El resto de los ejercicios son semejantes a los resueltos.

C (3) Contenido: características humanas.Vocabulario primitivo: Px: x es estudiante.

Qx: x es responsable.Rx: x es marabino.

Silogismos:Algunos estudiantes no son responsables.Todos los estudiantes son marabinos.Por tanto, algunos marabinos no son responsables,

C(4) Contenido: Física.Vocabulario primitivo: Px: x es materia

Qx: x es estrellaRx: x es energía.

Silogismos:Toda la materia es energíaToda estrella es materiaToda estrella es energía.

249

BIBLIOGRAFIA

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