Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

1.- PROPOSICIÓN.-

Consideremos las siguientes oraciones:

1.- ¿Qué hora es?2.- ¡Alto!3.- Wilsterman es el Campeón Boliviano4.- Los partidos neoliberales impiden las transformaciones en el País

Son oraciones, interrogativa la primera; imperativa la segunda y las dos ultimas son declarativas.

De las dos primeras no podemos decir que son verdaderas ni falsas, por cuanto una pregunta puede formularse o no y una orden puede ser cumplida o no. En cambio de las dos ultimas que son declarativas, tiene sentido decir que son verdaderas o falsas, a estas se denominan proposiciones.

Entonces:

2.- CLASIFICACIÓN

Las proposiciones se clasifican en:

ATÓMICAS, son las que NO utilizan conectivos lógicos o llamados también términos de enlace.MOLECULARES, son las que SI utilizan conectivos lógicos o términos de enlace.

IMPORTANTE.- A partir de proposiciones simples se pueden generar proposiciones compuestas.

3.- TÉRMINOS DE ENLACE O CONECTIVOS LÓGICOS

Negación No p o no es cierto que p Conjunción o producto Lógico p y q Disyunción o suma Lógica p o q (en sentido incluyente) Implicación o Condicional p implica q o si p, entonces q Doble implicación p si y solo si q Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente)

Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

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NOCIONES DE LÓGICA MATEMÁTICA

PROPOSICIÓN, es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa o sea esta asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o sino falso (F) y se las representan mediante las letras p, q, r, s,....

CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO

4.- OPERACIONES PROPOSICIONALES

IMPORTANTE.- Como consecuencia de estas operaciones el resultado SIEMPRE es otra proposición.

4.a.- NEGACIÓN.- ()

Se trata de una operación unitaria, por cuanto a partir de una proposición se obtiene otra que es su negación y cuya tabla de verdad es:

4.b.- CONJUNCIÓN ( )

Es una operación donde intervienen siempre dos proposiciones y cuya tabla de verdad es :

4.c.- DISYUNCIÓN ( )

Es también una operación que involucra a dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:

Observar que o en sentido incluyente es V, cuando una de las dos proposiciones es verdadera.

Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

4.d.- IMPLICACIÓN O CONDICIONAL ()

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p p

V

F

F

V

p q

V V VV F FFF

F VF F

p q

V V V

V V F

F

F

V V

F F

Definida también para dos proposiciones: p q, donde p es llamado el ANTECEDENTE y q el CONSECUENTE , cuya tabla de verdad es:

4.e.- DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL.-( )

Operación asociada también al juego de dos proposiciones y cuya tabla de verdad es:

4.f.- DIFERENCIA SIMÉTRICA.- ( )

Llamada también disyunción excluyente, donde la verdad de la operación esta caracterizada por la verdad de una y solo una de las proposiciones, su tabla de verdad es:

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5.- VALORES DE VERDAD

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p q

V V V

V F F

F

F

V V

V F

p q

V V V

V F F

F

F

F V

V F

p q

V F V

V V F

F

F

V V

F F

Los valores de verdad asociados a las tablas de verdad se denominan:

6.- LEYES LÓGICAS

Ing. Juan Antonio Rodríguez Sejas

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TAUTOLOGÍA: si todos los valores de verdad de la tabla son Verdaderos

CONTRADICCIÓN: si todos los valores de verdad de la tabla son Falsos

CONTINGENCIA: si los valores de verdad en la tabla son “mezcladitos”

INVOLUCIÓN : ( p) p IDENTIDAD:p F pV p p

IDEMPOTENCIA: p p p p p p

CONMUTATIVIDAD:p q q pp q q pp q q p

ASOCIATIVIDAD:p ( q r ) ( p q ) rp ( q r ) ( p q ) rp ( q r ) ( p q ) r

DISTRIBUTIVIDAD:p ( q r ) ( p q ) ( p r )p ( q r ) ( p q ) ( p r )p ( q r ) ( p q ) ( p r )p ( q r ) ( p q ) ( p r )

EQUIVALENTES LÓGICOS:p q p qp q ( p q ) ( q p )

LEYES DE D´MORGAN: ( p q ) p q ( p q ) p

LEY * :p ( p q ) pp ( p q ) p

LEY DE ABSORCION:p F Fp V V

LEY DEL COMPLEMENTO:p p V

p p F

7.- RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VALIDO

8.- CUANTIFICADORES

Introducimos la cuantificación asociada a un objeto determinado x, perteneciente a cierto universo o conjunto expresado mediante los símbolos x llamado cuantificador universal y x llamado cuantificador existencial en x, entonces:

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LEY DEL MODUS PONENS:p q

p

q

LEY DEL MODUS TOLLENS: p q q

p

LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO: p q q r p r

SIMPLIFICACIÓN: p q p q p q

SILOGISMO DISYUNTIVO: p q p r q s r s

Para todo x, se verifica P(x) y se denota por x : P(x)

LEY DEL MODUS TOLLENDO PONENS: p q p q p q q p

LEY DE LA CONJUNCION:pq

p q

LEY DE LA ADICION:p

p A

LEY ** :

p ( p q ) p qp ( p q ) p q

LEY DE LA CONTRARECIPROCA:p q q p

y corresponde a una función proposicional P(x) o propiedad relativa al objeto x cuantificado universalmente en el primer caso y existencialmente en el segundo caso.

Para negar una función proposicional cuantificada universalmente, se cambia el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional; igualmente para la negación de un cuantificador existencial, o sea:

9.- CIRCUITOS LÓGICOS

La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito eléctrico con un interruptor, donde el interruptor se cierra, si la proposición p es Verdadera y se abre si p es Falsa.

Para representar a p si es Verdadera, se tiene:

Para representar a p si es Falsa, se tiene:

Las operaciones proposicionales de la CONJUNCIÓN y la DISYUNCIÓN, se pueden representar mediante las conexiones serie y paralelo de los circuitos eléctricos, llamados en lógica, circuitos lógicos, a saber:

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CONJUNCIÓN ( ) : Operación proposicional representada mediante la conexión en SERIE de los circuitos eléctricos : p q

Existe x, tal que se verifica P(x) y se denota por x / P(x)

[ x : P(x) ] x / P(x)

[ x / P(x) ] x / P(x)

Se puede observar que este circuito admite el pasaje de corriente solo si las dos proposiciones son verdaderas.

Se verifica que no pasa corriente, para el caso de que ambas proposiciones son falsas.

Agosto del 2014

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DISYUNCIÓN ( ) : Operación proposicional representada mediante la conexión en PARALELO de los circuitos eléctricos : p

q