Conjuntos Difusos y Conjuntos Clásicos

Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 10 Septiembre 2005

Introducción a la Lógica Difusa

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Tabla de Contenido• Introducción• Lógica Difusa• Conjuntos Difusos• Funciones de membresía• Ejemplos de funciones de membresía• Conceptos relacionados con los conjuntos difusos

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Mapa Conceptual del Curso

Conjuntos Difusos y Clásicos

Operaciones con Conjuntos

Difusos

Funciones de membresía

Relaciones en Conjuntos

Difusos

Principio de Extensión

Variables Lingüísticas

Lógica Clásica y Lógica Difusa

Reglas de Inferencia Difusas

Inferencia Difusas

Fusificadores y Defusificadores

Conjuntos Difusos

Operaciones Difusas

Lógica DifusaFusificadores y Defusificadores

Inferencia Difusa

Introducción a la Lógica Difusa

44/58/58

INTRODUCCIÓN

55/58/58

Introducción

1. Incertidumbre.– Se relaciona a la información (falta de información).– Cuando no se sabe cuando puede ocurrir cierto evento.– No se conoce una teoría que explique el fenómeno.

2. Probabilidad.– Es una propiedad física de los objetos, determina la

posibilidad de que cierto evento puede ocurrir.– Se calcula y verifica por experimentación.

3. Imprecisión (ambigüedad).– Es una característica del lenguaje de comunicación

humano.– Esta relacionada con el grado en que el evento ocurre.

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1. Incertidumbre• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?• ¿Aprobaré el curso?• Si tiro la moneda, ¿sale cara o sello?• ¿La respuesta a la pregunta es V o F?

• A medida que se dispone de más información la incertidumbre se puede reducir.

• La ausencia de incertidumbre es tener información total.

• Se trabaja con niveles de creencias.

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1. Incertidumbre• Se trabaja con niveles de creencias.• Rango de valores [0,1]

• ¿Cuándo va ha suceder un terremoto?Silencio sísmico

• ¿Aprobaré el curso?¿Estudiaste?, ¿le dedicaste tiempo?, ¿hiciste tus trabajos?

• Si tiro la moneda, ¿saldrá cara o sello?¿la moneda está sesgada?

• ¿Cuál es la respuesta para una pregunta con V o F?Si sabes, responde. Si no sabes, cualquiera es buena respuesta.

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2. Probabilidad

Rango de valores [0,1]

Ejemplos:• P (X = cara) = 0.5

• P (X = hombre) = 0.5

• P (X = ROJO) = 2/7

P(X=x)

XROJO AZUL VERDE

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3. Ambigüedad• La ambigüedad es incertidumbre determinística

• Ambigüedad está relacionada con el grado con el cual los eventos ocurren sin importar la probabilidad de su ocurrencia.

• Por ejemplo, el grado de juventud de una persona es un evento difuso sin importar que sea un elemento aleatorio.

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3. Ambigüedad

Es una característica del lenguaje humano.

Ejemplos:• Si estudias bastante entonces obtendrás buenas notas.• El proyecto del KDD avanza fuertemente.• Los alumnos le ponen fuerza a sus proyectos.• Profesor buena gente• Profesor mala gente• Si el profesor es buena gente entonces el examen será fácil• Si el profesor es mala gente entonces el examen será difícil

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Ambigüedad contra Probabilidad• Ambigüedad es una incertidumbre determinística, la

probabilidad es no determinística.

• La incertidumbre probabilística se disipa con el incremento del número de ocurrencias y la difusifisidad no.

• La ambigüedad describe eventos ambiguos, la probabilidad describe los eventos que ocurren.

• Si un evento ocurre es aleatorio. El grado con el cual ocurre es difuso.

1212/58/58

Ejercicio 1

¿Es probablemente una elipse, o

es ambiguamente una elipse?

1313/58/58

Ambigüedad contra Probabilidad

Incertidumbre

Redes Bayesianas

Aleatoriedad de eventos definidos de

manera precisa

Conjuntos Difusos

Subjetividad en la calificación de eventos no

aleatorios

1414/58/58

LÓGICA DIFUSA

1515/58/58

Lógica Difusa• La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional

(Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.

• La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”

F

V

F

V

Lógica booleana Lógica difusa

1616/58/58

Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello)

y se traduce por difuso o borroso.• Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teoría (Zadeh,

1965).• Importancia: En la actualidad es un campo de

investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas.

• Revistas Int.: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems...

• Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...• Bibliografía Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994),

(Mohammd, 1993), (Pedrycz, 1998)...

1717/58/58

Conjuntos Difusos y Lógica Difusa• Problemas Básicos subyacentes:

– Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?

– La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).

• “Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende de quien lo diga y...

• “Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco mejor que regular?

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Ejemplo 1

Defina los siguientes conceptos:• Algunas mujeres jóvenes son inteligentes

• Algunos hombres maduros son responsables.

• Sígueme de cerca.

• El carro está limpio.

• Otros ejemplos . . . . . . .

1919/58/58

¿Cuándo usar la lógica difusa?(Sur, Omron, 1997)• En procesos complejos, si no existe un modelo de solución

sencillo.• En procesos no lineales.• Cuando haya que introducir la experiencia de un operador

“experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.

• Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma fiable (con errores posibles).

• Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras.

• En general, cuando se quieran representar y operar con conceptos que tengan imprecisión o incertidumbre (como en las Bases de Datos Difusas).

2020/58/58

¿Cuándo no usar la lógica difusa?• Si puedes resolver el problema con otra técnica más

sencilla.

2121/58/58

Aplicaciones(Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):• Control de sistemas: Control de tráfico, control de

vehículos (helicópteros...), control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción, precisión en las paradas y ahorro de energía), ascensores...

• Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimizar horarios...

• Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en la cámara

• Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos

2222/58/58

CONJUNTOS DIFUSOS

2323/58/58

Conjuntos Clásicos (crisp)• El conjunto universal U (Universo de discurso) contiene

todos los elementos de cada contexto ó aplicación en particular.

• Los conjuntos clásicos se pueden definir de las siguientes maneras:– Método de Lista (Finito) (extensión)– Método de Regla A = {x ε U / x cumple ciertas

condiciones} (comprensión)– Método de membresía (comprensión)

2424/58/58

Ejercicio 2• Defina el conjunto A mediante los tres métodos de

representación de conjuntos:

A B C DJ F H

N

M

K

LAA

UU

2525/58/58

Ejercicio 2

Extensión:

AA = {A, B, C, D, F, J, H}

Comprensión:

AA = {x / A ≤ x ≤ H & x≠E & x≠G}

Membresía:1

0

si x є {A, B, C, D, F, J, H}

si x є {K, L, M, N}AA(x) =

A K L MNB CD F H J

1

0

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Conjuntos Clásicos (crisp)• Surgen de forma natural, por la necesidad del ser humano

de clasificar objetos y conceptos.• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...

• Función de pertenencia A(x), x ε X:– x es el Universo de Discurso.– Restricción de la Función A: X {0,1}

• Conjunto Vacío Φ(x)=0, ε X• Conjunto Universo U(x)=1, ε X

2727/58/58

Conjuntos Clásicos• Conjunto de Frutas: Manzana|Frutas, Lechuga|Frutas...

0

1

ManzanasFrutas que no son manzanas

0

1

lechugasFrutas que no son lechugas

Grado de pertenencia o función de membresía

2828/58/58

Conceptos sobre Conjuntos Difusos• Surgieron como una nueva forma de representar la

imprecisión y la incertidumbre.

• Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad, Estadística, Filosofía, Psicología...

• Es un puente entre dos tipos de computaciones:– C. Numérica: Usada en aplicaciones científicas, por

ejemplo.– C. Simbólica: Usada en todos los campos de la

Inteligencia Artificial.

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Conjuntos Difusos (fuzzy):• Relajan la restricción, A: X [0,1] intervalo

• Un conjunto difuso en el universo U se caracteriza por la función de membresía A(x) que toma el intervalo [0,1], a diferencia de los conjuntos clásicos que toman el valor de cero o uno {0, 1}

• El conjunto difuso A se puede representar por

• A = { (μA (x), x) / x ε U}

• A = { (μA (x) / x) / x ε U}

• Donde μA(x) es el grado de pertenencia.

3030/58/58

Conjuntos Difusos (fuzzy):

3131/58/58

Conjuntos Difusos• Un conjunto difuso puede ser alternativamente denota

como:

• x es discreto

• x es continuo

• Notar que la sumatoria y la integral representan la unión de los grados de membresía y / no significa división.

3232/58/58

Ejemplo 2

Sea el conjunto difuso joven.

3015 20 25 5035 40 45

A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }

A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) }

edad0

1

grado de pertencia

3333/58/58

Ejemplo 2

Sea el conjunto difuso joven.

3015 20 25 5035 40 45

A = {1/10, 1/15, 0.80/20, 0.60/25, 0.40/30, 0.20/35, 0.0/40 }

A = {(10,1), (15,1), (20,0.8), (25,0.60), (30,0.40), (35,0.20), (40,0.0) }

grado de pertencia

0

1

edad

3434/58/58

FUNCIONES DE MEMBRESIA

3535/58/58

Función de membresía

Se pueden definir como:

• Una función con parámetros pk(x) del elemento x.

• Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto

• donde no representa una suma, sino una agregación de pares.

– A(x)/x no representa ningún cociente, sino un par (posibilidad/elemento)

))(,),...(),(()( 21 xpxpxpx nAA

Ux

AxxA /)(

3636/58/58

Ejemplo 3• Sea el conjunto de las personas “altas” definido sobre el

conjunto de la población y considerando un elemento del mismo denominado “pepe”.

• ¿ pepe pertenece o no al conjunto de las personas “altas”?• Esto se puede resolver atendiendo a la medida altura(pepe)

y una función que mide la posibilidad de ser considerado alto en base a la altura.

1.0

0.5

0.0

alto(altura)

1.0 1.5 2.0altura (m)

3737/58/58

Ejercicio 3• Supongamos que se desea definir lo rápido que es un

carro.

• Aunque se puede utilizar la velocidad limite como referencia, pocos carros alcanzan su velocidad límite en alguna ocasión, de modo que una referencia mejor puede ser utilizar la aceleración de 0 a 100 Km/hora.

• Podría afirmarse entonces que cualquier carro con una aceleración de 0 a 100 km/h. en menos de 8 segundos, es rápido y los demás son lentos.

3838/58/58

Ejercicio 3

La escala vertical representa la opinión de los especialistas sobre lo que es rápido. El valor 1 significa que el 100 % opina que una aceleración por debajo de los 8 segundos supone un carro rápido. El 0 indica que por encima de los 8 segundos de aceleración, nadie cree que un carro sea rápido

3939/58/58

En ella se muestra que sólo el 50 % de los especialistas considerará que un tiempo por debajo de los 8 segundos es rápido. En cualquier caso, él numero entre 0 y 1 da un valor que indica rapidez de un carro, medida en una cierta escala.

0 8

1

tiempo

grado de pertenencia

Ejercicio 3

4040/58/58

Ejercicio 4• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años

4141/58/58

Ejercicio 4• Grafique el conjunto difuso cerca de 50 años

30 7050 30 7050

4242/58/58

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE MEMBRESIA

4343/58/58

1.0

0.5

0.0

0 50 100

Triangular

4444/58/58

1.0

0.5

0.0

0 50 100

Trapezoidal

4545/58/58

1.0

0.5

0.0

0 50 100

Gaussiana

4646/58/58

1.0

0.5

0.0

0 50 100

Campana

4747/58/58

1.0

0.5

0.0

0 50 100

Sigmoide

4848/58/58

Ejemplo de función de membresía

Altura(cm)a1 a2

Bajo Médio Alto

1

Gra

u de

Per

tene

ncia

1

4949/58/58

Ejercicio 5• Defina el conjunto difuso “cercano a cero”

5050/58/58

Ejercicio 5• Defina el conjunto difuso “cercano a cero”

5151/58/58

Ejercicio 6

Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”

Dado el universo discreto:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

5252/58/58

Ejercicio 6

Definir el conjunto difuso: A = “número sensible de niños”

Dado el universo discreto:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}

0 1 2 3 4 5 6

.1

.3

.5

.7

.9

5353/58/58

CONCEPTOS RELACIONADOS CON CONJUNTOS DIFUSOS

5454/58/58

Conceptos Básicos

5555/58/58

• El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto crips que contiene todos los elementos de U que tenga valores de membresía ≠ 0 en A.

Suporte(A) = {x є U / μA(x) > 0}

Soporte

1

suporte

x

μA(x)

5656/58/58

• Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).

• Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).

Soporte

μA(x)

x

0.5

1

• El punto de cruce (crossover point) de un conjunto difuso es el punto en U donde el valor de membresía en A es 0.5.

Punto de cruce

5757/58/58

• El conjunto x, donde μA(x) alcanza el valor de 1 se denomina núcleo (core).

Núcleo

1

núcleo

x

μA(x)

5858/58/58

• La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de membresía logrado por algún punto.

• En un conjunto difuso normal la altura es 1.

• normal: se μA(x) = 1

• subnormal: se μA(x) 1

Altura

altura

μA(x)

x

5959/58/58

• Si el valor medio de todos los puntos en el cual la función de membresía de un conjunto difuso logra su máximo valor es finito, entonces el centro del conjunto difuso es el promedio de los valores.

• Si el valor medio es infinito, entonces el centro es definido como el más pequeño entre todos los puntos que logran el máximo valor de membresía.

Valor Medio

6060/58/58

Valor medio

6161/58/58

- cut y - cut fuerte• Dado un conjunto difuso A definido en X y un número

[0; 1] un conjunto - cut es un conjunto crisp que contiene todos los elementos en U que tengan valores de membresía en A mayores o iguales que α, definido por:

A = { x є U / μA(x) }

A + = { x є U / μA(x) } strong - cut

6262/58/58

Propiedades -cut y strong -cut • Dado un conjunto difuso A definido en X y un par 1 y 2

[0; 1] tal que 1 < 2 entonces:

– A1 A2 y A1+ A2+

– (A1 A2) = A2 y (A1+ A2+) = A2+

– (A1 A2 ) = A1 y (A1+ A2+) = A1+

6363/58/58

Operaciones Estándar• Complemento A(x)

A(x) = 1 - A(x)

• Punto de equilibrio:

Son todos los elementos en X donde A(x) = A(x)

6464/58/58

Operaciones Estándar• Sean dos conjuntos difusos A y B:

• Unión: t-conormas

( AB ) x = max[ A(x), B(x)]

• Intersección: t-normas

( AB ) x = min[ A(x), B(x)]

6565/58/58

Conjunto Crisp: Convexo• Sea A un conjunto en Rn .• A es un conjunto convexo si y solo si:

para todos los pares de puntos rr y ss de A para todo numero real [0;1] un punto t definido por t = rr + (1-) ss también está en A

6666/58/58

Conjunto Difuso: Convexo

• Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su α-cut Aα es un conjunto convexo para algún a en el intervalo (0, 1]

• Un conjunto A es convexo si para algún λ en [0, 1]

• μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))

• Alternativamente, A es convexo si todos los α-cuts son convexos

6767/58/58

Conjunto Difuso: Convexo

1

0.8

6868/58/58

Ejercicio• Un conjunto difuso A esta dado por:• A = {(2,1), (3,0.8), (4,0.6), (5,0.4), (6,0.2), (7,0.4), (8,0.6),

(9,0.8), (10,1)}• Usando:

• μA(λx1 + (1 – λ)x2) ≥ min(μA(x1), μA(x2))

• Donde x1 = 2, x2 = 10 y λ = 0.5, buscar si el conjunto es convexo o no. Confirmar su respuesta dibujando el conjunto difuso A.

6969/58/58

Conjunto Crips: Supremo e Infimo• Sea R un conjunto de números reais tal que:

– r es el límite superior de R– s es el límite inferior de R

• Supremo: r = sup R• Infimo: s = inf R

7070/58/58

PREGUNTAS