fundamentos de logica difusa

8/3/2019 Fundamentos de Logica Difusa

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UNIDAD 2CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DELGICA DIFUSA.


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CONCEPTOS Y

FUNDAMENTOS DELGICA DIFUSA.2.2 Conjuntos Difusos, Operadores yPropiedades de Conjuntos Difusos


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2.2 CONJUNTOSDIFUSOS,

OPERADORES YPROPIEDADES DE

CONJUNTOSDIFUSOS2.2.1 Conjunto Clsicos.

2.2.2 Conjuntos Difusos.

2.2.3 Operaciones de conjuntos difusos.

2.2.4 Propiedades de conjuntos difusos.


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2.2.1 Conjunto Clsicos.

Un conjunto se puede definir de dos formasdistintas: (1) al enumerar sus elementos, o (2) aldescribir las propiedades comunes de sus

elementos. La segunda es mas utilizada que la primera por

tres razones: (a) Es ms consistente que laprimera; (b) Expresa explcitamente elsignificado de un conjunto; (c) Puede serutilizada para reconocer nuevos elementos deun conjunto cuando las propiedades de los

elementos cambian o cuando las propiedadesque los definen cambian.


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Operaciones en conjuntos Clsicos

Las tres operaciones bsicas en conjuntosclsicos son: unin, interseccin, ycomplemento

BxyAxxBADIFERENCIAXxAxxAOCOMPLEMENT

BxyAxxBANINTERSECCI

BxoAxxBAUNION

,


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Propiedades de las operaciones

bsicas en clsicosLas propiedades ms apropiadas

para definir a los conjuntos clsicos

y al mismo tiempo mostrar sussimilitudes con los conjuntosdifusos son las siguientes:

Ley Conmutativa A B B A

A B B A


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Propiedades de los conjuntos clsicos

Ley Asociativa

Ley Distributiva

A B C A B C

A B C A B C

CABACBACABACBA


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Idempotencia

(Ley de tautologa)

Identidad = AX = A

= X = X

AAA

AAA

A

A

AA


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Transitividad, si

Involucin ley de doblecomplementacin:

CAEntoncesCBA ,

AA


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Propiedades especiales en laoperacin de conjuntos

Las leyes de De-Morgan:

Las leyes del medio excluido. Existen dos leyes del medio excluido estas

son:

La ley del tercero excluido

(La ley del medio excluido)

La ley de contradiccin XAA

AA

BABA

BABA


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TODAS LAS PROPIEDADES DE LOS

CONJUNTOS CLSICOS LAS CUMPLENLOS CONJUNTOS DIFUSOS, SALVO LASLEYES DE CONTRADICCIN Y DELTERCERO EXCLUIDO.

Un conjunto clsico se convertir endifuso, justamente cuando se comiencen

a violar dichas leyes.


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2.2.2 Conjuntos Difusos

2.2.2.1 Tipos de funciones de membresa

Existen varios tipos de funciones demembresa, las ms utilizadas en la practicason: triangular, trapezoidal, forma decampana, Gaussiana y funcin sigmoidal.


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Funcin de Membresa Triangular

Se especifica mediantetres parmetros {a,b,c}:

cx

cxbbcxc

bxaabax ax

cbaxtriangular

0

0

,,:


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Funcin de Membresa Trapezoidal

Se especifica mediantecuatro parmetros

{a,b,c,d}:

dx

dxcbcxc

cxb

bxaabax

ax

dcbaxtriangular

0

1

0

,,,:


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Funcin de Membresa Gaussiana

Se especifica mediante dosparmetros {m,}, denotan el centro y

el ancho de la funcin,respectivamente:

2

2

exp,:

mx

mxgussiana


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Funcin de Membresa Forma deCampana

Se especificamediante tres

parmetros{a,b,c}: b

a

cxcbaxCampana

2

1

1,,:


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Cuatro tipos de funciones


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Funcin de MembresaSigmoidal Esta funcin aproxima una

funcin escaln (positivo infinito).

cxecxSigm

a1

1,a:

aa

c

1

0.5


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Funcin de Membresa S

bx

bxba

ab

bx

baxa

ab

axax

baxS

1

221

22

0

,:2

2

Esta funcin es una funcin de membresa suave con dosparmetros: ayb . El valor de membresa ser 0 para los

puntos por debajo de a, 1 para puntos arriba de b, y 0.5

para los puntos intermedios entre a y b.

a b(a+b)/2c

1

0.5


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Funcin de Membresa 1 y 2 La primera funcin se define con dos

parmetros: ay b. La funcin tiene un valor demembresa de 1 en el punto a, un valor de

membresa de 0.5 en a-b y a+b,respectivamente. A diferencia de una funcin S,la funcin decrece hacia cero asinttica mentesi se mueven sus valores desde el punto a.

211

1,:

b

axbax


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La otra funcin 2 , tiene cuatro parmetros yesta dada por:

rpx

rwrpx

rw

rpxlp

lpxxlwlp

lw

rwrplplwx 1,,,:2


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Funcin de Membresa 1 y 2

a-b a a+b lp-lw lp rp rp+rw

lw rw


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Hedges

Un hedgees un modificador de un conjuntodifuso . Al modificar el significado del conjuntooriginal se crea un conjunto difuso compuesto.

Los modificadores ms comnmente utilizadosson: Muy y Mas o menos (Very; More orLess):

)()()(

)()(

)()(2

xxx

xx

xx

AMoreOrLessAAvery

AAMoreOrLess

AAvery


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2.2.3 Operaciones de conjuntosdifusos

Vacuidad: Un conjunto difuso esta vaco sitodos los candidatos tienen MEMBRESA 0

(VACO), por ejemplo: El conjunto deocanos que comienzan con X

Complemento: El complemento de un

conjunto difuso es la cantidad que lamembresanecesita para alcanzar 1.


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Operaciones Bsicas Difusas

Contenimiento: en conjuntos difusoscada elemento debe pertenecer ms

al subconjunto que al conjunto msgrande.

Sea U un conjunto no difuso y M = [0,1], suconjunto asociado de membresa.


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Se dice que un conjunto difuso AU, estincluido en otro conjunto difuso BU, s:

A Bu u u U

A

U

B

U

uu

uu


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Operaciones Bsicas Difusas

Igualdad difusa: Sea U un conjunto nodifuso y M = [0,1], su conjunto asociado demembresa. Se dice que dos conjuntos difusos

AU y BU, son iguales s y solamente s:

A Bu u u U ,


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Operaciones Especiales Realizadas a

Los Conjuntos Difusos. Escalamiento difuso.- Si es unnmero real no negativo y Arepresenta un conjunto difuso,

entonces se define el escalamientodifuso como:

A =

AU

u u

0 1,


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Esta operacin, sirve para poder

escalar un conjunto difuso, y seutiliza en algunos mtodos deinferencia (producto-suma

algebraica) para realizar lostruncamientos de los conjuntosdifusos de salida a partir de un

nivel y en algunos mtodos dedefusificacin para sustituir a lasoperaciones de multiplicacin.

C


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Interseccin y Unin en ConjuntosDifusos

Se sabe que existen varias maneras derealizar las operaciones de conjuncin ydisyuncin difusas.

Adems de utilizar la conjuncin difusas min,

la disyuncin difusa max, se puede utilizar otrapareja de operadores para la conjuncin y

disyuncin difusas: el producto y la sumaalgebraicos, respectivamente. Y existe unnmero infinito de otras opciones.


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El conjunto de candidatos de operadores deconjuncin difusa, conocido como normatriangular o norma-tse define por una serie de

axiomas. Asimismo, el conjunto de operadoresde disyuncin difusas, llamados conormastriangulares, conormas-t, o normas-s estadefinido por un conjunto de axiomas dual. Se

definirn las normas-t y conormas-t utilizandolos axiomas siguientes:


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Operadores Tipo Normas-t

Las normas-t se utilizan para calcular losvalores de membresa de la interseccindedos o ms conjuntos difusos.

Los operadores que son clasificados dentrode las normas-t deben satisfacer ciertascondiciones, y no necesariamente cumplir

todas las propiedades mencionadas paralas operaciones bsicas de los conjuntosdifusos,


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las cuales fueron establecidasconsiderando a los operadores

min, max y complemento difuso,como operadores representativosde la conjuncin, disyuncin y

negacin difusa, respectivamente.Toda norma-t debe satisfacer las

siguientes condiciones:


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Las normas-t, definen una clasegeneral de operadores para losconjuntos difusos.

1 0 0 0 1 1

2

3

4

. , ; , , ,

. , , ;

. , , ;

. , , , , .

t t u t u u u U

t u u t u u si u u y u u

t u u t u u

t u t u u t t u u u

A A A

A B C D A C B D

A B B A

A B C A B C


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Definicin 1

Un operador norma-t, denotado como t(x,y) esuna funcin proyectada desde [0,1]x[0,1] a[0,1] que satisface las siguientes condiciones

para cualquier w, x, y, z, [0,1]:

1. (0,0)=0, t(x,1)= x

2. t(x,y) t(z,w) if xz and yw (monotonicity)3. t(x,y)= t(y,x) (commutativity)

4. t(x, t(y,z))= t(t(x,y),z) (associativity)


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Los operadores pertenecientes aesta clase de normas son, enparticular, asociativos y por lo tanto

es posible calcular los valores demembresa para la interseccindems de dos conjuntos difusos

mediante la aplicacin recursiva dealgn operador de norma-t.


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Las propiedades que estassatisfacen estn formuladasbajo las siguientes condiciones:

1 1 1 1 0 0

2

3

4

. , ; , , ,

. , , ;

. , , ;

. , , , , .

s s u s u u u U

s u u s u u si u u y u u

s u u s u u

s u s u u s s u u u

A A A

A B C D A C B D

A B B A

A B C A B C


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Definicin 2

Un operador norma-t, denotado como s(x,y) esuna funcin proyectada desde [0,1]x[0,1] a[0,1] que satisface las siguientes condiciones

para cualquier w, x, y, z, [0,1]:1. (1,1)=1, t(x,0)= x

2. s(x,y) s(z,w) if xz and yw (monotonicity)3. s(x,y)= s(y,x) (commutativity)

4. s(x, s(y,z))= s(s(x,y),z) (associativity)


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Las normas-t y las conormas-t serelacionan en un sentido dedualidad lgica, es decir:

uusuut BABA 1,11,

De tal manera que cualquier norma-t

puede ser generada a partir de una

conorma-t mediante la utilizacin de esta

transformacin.


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Tambin, las leyes de De Morganpueden ser aplicadas a las normas-ty conormas-t por medio de lautilizacin de algn operadoradecuado para la complementacin,

como: A Au u u U 1 ,


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De esta manera las leyes de DeMorgan para los conjuntos difusos,pueden quedar expresadas como:

ununsnuut

ununtnuus

BABA

BABA

,,

,,


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Lista De Parejas De Operadores

Normas-t Y Conormas-tSe presenta una serie de operadoresclasificados como operadores noparamtricos y que representan auna familia de operadores duales quese utilizan con frecuencia en los

sistemas difusos orientados haciacontrol, inteligencia, automatizacin,e informacin.


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Producto Y Suma Drstica

maneraotrade

uumaxsiuuminuut

BABABA

0

1,,

,1

maneraotradeuuminsiuumaxuus BABABA

1

0,,,1


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Producto Y Suma Acotada

1,0,2 uumaxuut BABA

uuminuus BABA ,1,2


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Producto Y Suma Einsteana

)(2,

3uuuu

uuuut

BABA

BABA

uu

uu

uus BA

BA

BA

1,3


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Producto Y Suma Algebraica

uuuut BABA ,4

uuuuuus BABABA ,4


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Producto Y Suma de Hamacher

)(,5

uuuu

uuuut

BABA

BABA

)(1 2,5 uu uuuuuus BABABABA


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Operador Mnimo Y Mximo

uuminuut BABA ,,6

uumaxuus BABA ,,6


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Los operadores producto - suma

acotada, producto - suma algebraicay los operadores mnimo - mximo,son los operadores ms utilizados

dentro de las aplicaciones de lalgica difusa en el rea de control,considerando su viabilidad de

implementacin en los sistemasbasados en microcontroladoresdigitales.


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Una propiedad importante de las normas-t esque todas las normas-t estn limitadas porarriba por el min y limitadas por abajo por el

producto drstico. Similarmente todas las conormas-t estn

limitadas por arriba por la suma drstica ylimitadas por abajo por el max.


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Teoremas 1 y 2

1. Todos los operadores norma-t, denotadopor t, son limitados por el producto drstico t1 ypor arriba por el min:

t1(x,y)t(x,y)min(x,y) 2. Todos los operadores conorma-t, denotado

por s, son limitados por el suma drstico s1 ypor arriba por el max:

max(x,y)s(x,y)s1(x,y)

2 2 4 P i d d d l j t


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2.2.4 Propiedades de los conjuntos

difusos

Los conjuntos difusos observan las propiedadesbsicas de los conjuntos clsicos, excepto las leyesdel medio excluido.

Considerando tres conjuntos difusos A, B y C, loscuales tienen como conjunto referencial al conjunto

U:

5

6.

4

8.

3

3.

2

5.

1

1

5

8.

4

7.

3

5.

2

0

1

1

5

4.

4

2.

3

7.

2

5.

1

0

5

2.

4

3.

3

5.

2

1

1

0

ByA

ByA


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Propiedades de los conjuntos difusos

Para que el conjunto A seapropiamente difuso se debe decumplir que:

Ley de contradiccinAA (0 0 .5 .3 .2)

Ley del Tercero excluidoAA U (1 1 .5 .7 .8)


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Representacin de las leyes del

medio excluido en conjuntos difusos

1

XTercero excluido


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1

X

La ley de contradiccin


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Propiedades Especiales

Cortes-.- Cuando se requiereindicar a un elemento u de A, quetpicamente pertenezca a l, sepuede condicionar que su valor demembresa sea mayor que ciertoumbral establecido (0,1]. Estodefine un conjunto difuso de nivel-que se representa como: A u u U u u UA , ,


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Tambin se define el corte- estrictocomo:

La funcin de membresa de un

conjunto difuso A, puede serexpresada en trminos de lasfunciones caractersticas de sus

cortes- (teorema de ladescomposicin), de acuerdo a lafrmula:

A u u U u u UA , ,

A Au min u u U sup , ,

,0 1


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Dado un conjunto difusocualquiera, se pueden discriminaralgunos de sus elementos menossignificativos mediante el uso delos cortes-. El nivel de recorte o

de inters queda determinadosegn el contexto donde seaplique.


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Elementos particulares dentro de los

conjuntos difusos Soporte.- El soporte de un

conjunto difuso A, es el conjunto

de los puntos para los cuales:

Segn la siguiente Tabla la

expresin que define al soportefinito del conjunto jovenes:

sop(joven) = {5, 10, 20, 30, 40}

Sop A u U u u U A , , 0


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Conjuntos Difusos Como ElementosDel Conjunto PotencialElementos

(edades)

Infante Adulto Joven Viejo

5 0 0 1 0

10 0 0 1 0

20 0 .8 .8 .1

30 0 1 .5 .2

40 0 1 .2 .4


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Considerando que xi es unelemento del soporte del conjuntodifuso A y que i es su grado demembresa en A.A = 1 /x1 + 2 /x2 +....+ n /xn.

Donde./ Se emplea para unir los elementos del

soporte con sus grados de membresa en A,y.+ Indica que los pares de elementos y grados de

membresa listados forman colectivamente la

definicin del conjunto A, en vez de cualquier


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Cardinalidad de conjuntos difusos

La cardinalidad de un conjunto es el nmerototal de elementos en el conjunto.

La cardinalidad de conjuntos difusos se utilizapara responder preguntas como por ejemplo:Cuntas personas son realmente viejas enun universo Edad?.

Por lo tanto, la cardinalidad juega un papel

importante en los sistemas de informacin yen las bases de datos difusas.


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La cardinalidad escalarde un conjunto

difuso A definido sobre un conjuntouniversal finito X, es la suma de losgrados de membresa de todos los

elementos de X en A.

Por ejemplo.

Para el conjunto viejo se tiene:

Xx

A xA

1.4118.6.4.2.1.00 viejo


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Tambin, La cardinalidad de un conjuntodifuso es utilizada al definir otraspropiedades, por lo que sirve como un factorde normalizacin.

De hecho el denominador (factor denormalizacin) de la ecuacin que define al

mtodo de defusificacin por centroide es lacardinalidad del conjunto difuso al serdefusificado.

El t ti l d t d l


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conjuntos difusos

Altura.- La altura de un conjuntodifuso es el grado de membresams alto alcanzado por cualquierelemento en el conjunto. Es decir,el elemento que posee el mayorgrado de pertenencia. Se dice que

A es normal si su altura es 1, deotra forma es subnormal.

Alt A uu U

A

sup

El t ti l d t d l


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conjuntos difusos

Punto de cruce.- Un punto decruce de A, es aquel punto u en

U cuyo grado de membresa en Avale A (u) = 0.5 (idealmente). Impulso difuso.- Un conjunto

difuso cuyo soporte est constituidopor un nico elemento uo, conA (uo) = 1; es referido como un

impulso difuso Elementos particulares dentro de los


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conjuntos difusos

Un corte - de un conjunto difusoes un conjunto certero A , el cualcontiene todos los elementos delconjunto universal X que tienen ungrado de membresa en A mayorque o igual al valor especificado de:

xXxA A


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Por ejemplo, en el conjunto difuso"joven" y tomando en cuenta que=0.5, se tendr la expresin:

Al conjunto de todos los niveles (0,1 que representan distintoscortes- de un conjunto difuso

dado A se le denomina conjuntonivel de A.

30,20,10,55.0 Joven

XxnaparaxaA _lg__


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En un conjunto difuso cualquiera,se pueden discriminar algunos desus elementos menos significativosmediante el uso de los cortes-. Elnivel de recorte o de inters quedadeterminado segn el contextodonde se aplique.

P i i i d Id tid d R l i


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Principio de Identidad Resolucin

Basado en la notacin de cortes , unconjunto difuso puede ser descompuesto enmltiples conjuntos crip (conjuntos nivel-)utilizando diferentes valores . Intuitivamente,

cada nivel- especifica una rebanada de lafuncin de membresa.

Por lo tanto, se puede reconstruir una funcinde membresa original al apilar dichasrebanadas en orden.


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El fundamento para reconstruir una funcin demembresa de sus cortes- es el principio deidentidad resolucinde la teora de conjuntosdifusos.

Si A es un conjunto difuso discreto. Se puedenordenar los valores de membresa no igualesa cero de los elementos en el conjunto soporteen una lista de orden ascendente (sinduplicar): (0, 1, , n).


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El principio de identidad resolucinen la teora deconjuntos difusos establece que

A = 0 x A0 + 1 x A1 + + n x An

Donde + representa al operador de disyuncindifusa y,i x Ai representa un conjunto difuso tal como el

que se muestra a continuacin:

maneraotrade

xsi iAiA

ii 0

)(


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En otras palabras, el conjunto difuso original Apuede ser visto como la unin de todos esosconjuntos difusos construidos de un i en la

lista (

0 ,

1 , ,

n ) tal que: (1) su soporte esel corte nivel i de A, y (2) su funcin demembresa es plana en el valor alfa i . Laforma de la funcin de membresa i x Ai por

lo tanto es rectangular con una altura de icomo se ilustra en la siguiente figura:

Identidad Resolucin de un


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de t dad eso uc de uConjunto Difuso

A0.2 x A0.2

A0.1

A0.2


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Convexidad.- Una caracterstica

muy importante que deben deposeer los conjuntos difusos en lasaplicaciones de la lgica difusa es

la propiedad de convexidad.Un conjunto difuso es convexo si yslo si cada uno de sus cortes-

son conjuntos convexos. Por loanterior se puede decir que unconjunto difuso A es convexo s y

slo s:

1 i


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Esta condicin establece que el valor demembresa de cualquier elemento dado en elintervalo [u1, u2] no debera ser menor que elvalor de membresa de cualquiera de lospuntos entremos.

Intuitivamente, un conjunto difuso es convexosi su funcin de membresa no tiene un valle.

,1,0,,

.,1

21

2121

conyUuUu

uuminuu AAA

Ej l


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Si =0.3; u1=3; y u2=7 entonces: A[5.8]min[A(3), A(7)]

u u

A (u)

1

A (u)

1

u1=3 5.8 u2=7

A[u1+(1-)u2]

A(u1)

A(u2)

a

Ejemplo:


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Se puede demostrar que si A y B sonconjuntos convexos tambin lo es AB.

Un conjunto difuso se puede llamar "nmerodifuso" si es convexo y si al menos uno de suselementos posee un grado de membresa total,es decir, si es normal.

2.2.5 Interpretacin Geomtrica


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pde Conjuntos Difusos

Bart Kosko desarrollo una interpretacingeomtrica completa de un conjunto difuso enla cual un conjunto difuso es un punto en unespacio*. Por ejemplo: Si se considera ununiverso de discurso Ucon dos elementos u1yu2, U = {u1 , u2}, y si A es un conjunto difusoen Ucon las siguientes funciones de

membresa: A (u1) = a

B(u2) = b

Donde a y b estn en [0, 1]. Como se muestra

en la si uiente fi ura:

*L. A. Zadeh fue el primero en introducir el concepto de que un conjunto fifuso puede ser

visto comom un punto en un hipercubo

Dos vistas de un conjunto difuso (a) Vista normal de sufuncin de membresa y (b) una forma alternativa basada


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funcin de membresa, y (b) una forma alternativa basadaen una Interpretacin Geomtricadel conjunto difuso.

Una forma alternativa de visualizacin de una funcin de

membresa es considerar un cuadrado unidad de dosdimensiones, en el cual los ejes horizontal y verticalcorrespondan a los valores de membresa posibles de u1y u2 , respectivamente. Un sub-conjunto difuso de Ucorresponde a un punto en el cuadrado. En la figura (b)anterior, el conjunto difuso A esta representado por elpunto (a,b).

0 u1 u2

1

b

a

(a)

(u2)1

b

(1, 1)

0 a 1(u1)

(b)

(a,b)

Observaciones de la interpretacin geomtrica


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Observaciones de la interpretacin geomtricade un conjunto difuso:A un conjunto clsico sera interpretado como un

vrtice en el cuadrado. Por ejemplo, los vrticesde la figura (b) anterior; [(0,0), (0,1), (1,0), y(1,1)].

Un conjunto difuso normal corresponde a unpunto en la frontera del cuadrado.Un conjunto difuso subnormal corresponde a un

punto al interior del cuadrado.

La cardinalidad de un conjunto difuso A es ladistancia de Hamming entre el punto A y el origendel cubo. La distancia de Hamming entre dosvectores x= (x1, , xn) y y= (y1, , yn) es:


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),(

),(

AdA

obtenerpuedeSe

yxyxd

H

i

iiH

Esta representacin geomtrica puede ser extendida a

cualquier universo de discurso finito U. Un conjunto

difuso en dicho universo corresponde a un punto en unhipercubo N -dimensional, donde Nes el nmero de

elementos en U.

2 2 6 Teora de la posibilidad


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2.2.6 Teora de la posibilidad

Aun que la idea de distribucin de posibilidades paralela a la distribucin de probabilidad enmatemticas convencionales, realmente no

existe una diferencia significativa. Enparticular, la distribucin de posibilidad nonecesita satisfacer la propiedad aditiva delaxioma de probabilidad.


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Mientras una distribucin de probabilidadestablece la probabilidad de que una variabledada tome un cierto valor, una distribucin deposibilidad establece el valor posiblede la

variable o la posibilidad de que la variabletome un cierto valor.

Una distribucin de posibilidad, , relaciona elsoporte de un conjunto dado con el intervalo

[0, 1].


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Se puede ver a una distribucin de posibilidadcomo un mecanismo para interpretar unadeclaracin que involucra conjuntos difusos.

La declaracin, La Temperatura es Alta,

donde Alta se define como, Alta: T[0,1], seilustra como una distribucin de posibilidad, dela siguiente forma: (T)=Alta(T).

Declaraciones complejas involucran ms de un


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p jconjunto difuso trasladado a una distribucin deposibilidad, de hecho es precisamente como

interpretamos las declaraciones lingsticas,dando a priori un proceso de inferencia.

Por ejemplo: La declaracin, La Temperatura es

Alta pero no demaciada Alta, interpretada comouna distribusin de posibilidad en termino deconjuncin de los terminos Alta y NO MUY Alta,se expresa de la siguiente forma:

(T) = min(Alta(T), NO MUY Alta(T)).= min[Alta(T), 1-(Alta(T))2]

Distribucin de posibilidad de Alta y NO MUY


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Distribucin de posibilidad de Alta y NO MUYAlta

NOT MUY Alta Alta

Muy Alta

T

Medida de la Posibilidad y Medida


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yde la Necesidad

En general, el relacionar (matching) unadistribucin de posibilidad de una variable xcon una condicin x es A involucra hacer las

siguientes dos preguntas relacionadas: (1) Dada la distribucin de posibilidad de x

(denotada por (x) ), es posible que x este enA?

(2) Dada la distribucin de posibilidad (x),es necesaria para que x este en A?

Suponiendo que se conoce lo siguiente:


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p q g La edad de Juan es entre 20 y 25 aos.

Y considerando la siguiente condicin:Si la edad de una persona excede los 22 aos.

Cul es La distribucin de posibilidad de quela edad de Juan cumpla con la condicin

planteada?. En lgica clsica, la respuesta para laspreguntas (1) y (2) son o SI o NO ya que nila edad de Juan ni la condicin acerca de la

edad de la persona es difusa.


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Sin embargo, en general, la respuesta a cadapregunta es una materia de grado.

La respuesta a la pregunta (1) es una

posibilidad, y la respuesta a la pregunta (2)es una necesidad.

Se utilizar a Pos(A|X) para denotar laposibilidad de la condicin X es A dada ladistribucin de posibilidad X.


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Y Nec(A|X) para denotar la necesidad de lacondicin X es A dada la distribucin deposibilidad X.

Una ilustracin de la Relacin entre Necesidady Posibilidad es:

AB1

B2NOT A

La posibilidad y la necesidad son dos medidas


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p yrelacionadas.

Existen varias relaciones entre los valoresextremos (0 1) de stas dos medidas.

Primero, la total necesidad implica la totalposibilidad. Si una variable es necesariamente

A, entonces es posiblemente A. Segundo,Ninguna posibilidad implica ningunanecesidad. Tercero, una variable no es posibleque sea NOT A si y solo si es necesariamente

A. Para ilustrar lo anterior se puede observarel diagrama de Venn de la figura anterior.


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Si una variable no tiene la posibilidad de serNOT A, su distribucin de posibilidad nodebe tener ninguna interseccin con NOTA.

Por lo tanto, debe estar enteramentecontenida en A. B1 es un ejemplo de esto,pero B2 no.

Es posible que una variable sea NOT A si ysolo si no es necesariamente A.

Cuatro Relaciones


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Si se generalizan las expresiones 1a y 1b setiene:Nec(A|X) Pos(A|X)

La relacin 2a y 2b se pueden generalizar a: 1-Pos(A|X) = Nec(A|X)

La expresin anterior se puede utilizar paradefinir una medida de necesidad medianteuna medida de posibilidad.

Definicin de la medida de


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posibilidad La medida de posibilidadpara una variable X

satisface la condicin X es A dada unadistribucin de posibilidad X se definemediante:

Donde denota un operador de interseccindifusa, y U denota el universo de discurso de lavariable X.

Un operador de interseccin difusa utilizadocomnmente para calcular la medida deposibilidad es el operador min:

XAUXX i

APos

sup

)(),(minsup iXiAUX

X xxAPosi


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La medida de posibilidad de A dado X sedefine a ser la altura de su interseccin.

A

X

0.5

1

0 2 4 6 8 10

Resumen


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Resumen

Se definieron: Varios tipos de funciones de membresa. La ley de medio excluido y la ley de

contradiccin de la teora de conjuntosclsicos no se cumplen en la teora deconjuntos difusos.

Hedges son modificadores de conjuntos

difusos. Se plantearon los axiomas que observan los

operadores de conjuncin difusa y losoperadores de disyuncin difusa.


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La Cardinalidad de conjuntos difusos. La altura, corte alfa, principio de identidad

resolucin de conjuntos difusos. Convexidad de conjuntos difusos y nmero

difuso. Una interpretacin geomtrica de conjuntos

difusos. Medida de posibilidad y medida de necesidad

para determinar que tan bien una distribucinde posibilidad de una variable relaciona unacondicin difusa a una variable.

,DIFUSAS Y


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,DIFUSAS Y

ARITMTICA DIFUSA(PRINCIPIO DE

EXTENSIN)2.3.1 Relaciones Difusas.

2.3.2 Composicin de relaciones difusas.

fundamentos de logica difusa

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