1

CAPITULO I. LGICA Y LENGUAJE

Tradicionalmente se ha dicho que la lgica se ocupa del estudio del

razonamiento. Esto hoy en da puede considerarse desbordado por

la enorme extensin y diversidad que ha alcanzado esta disciplina,

pero puede servirnos como primera aproximacin a su contenido.

Un matemtico competente distingue sin dificultad una

demostracin correcta de una incorrecta, o mejor dicho, una

demostracin de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es.

Sin embargo, no le pregunt es qu es lo que entiende por

demostracin, pues a menos que adems sepa lgica no sabr

responder, ni falta que le hace. El matemtico se las arregla para

reconocer la validez de un argumento o sus defectos posibles de

una forma improvisada pero, al menos en principio, de total

fiabilidad. No necesita para su tarea contar con un concepto preciso

de demostracin. Eso es en cambio lo que ocupa al lgico: El

matemtico demuestra, el lgico estudia lo que hace el matemtico

cuando demuestra. Entonces el matemtico se las arregla solo sin

necesidad de que nadie le vigile los pasos, pero entonces, qu

hace ah el lgico? Posiblemente la mejor forma de justificar el

estudio de la lgica sea dar una visin, aunque breve, de las causas

histricas que han dado a la lgica actual tal grado de prosperidad.

Si observamos lo que hace un matemtico cuando demuestra,

vemos que no es sino escribir ordenadamente una afirmacin tras

otra, por lo que una demostracin ser una sucesin de

afirmaciones. Estas afirmaciones las hace cada matemtico en su

propia lengua, ya sea en castellano, francs, ingls, alemn o

japons, pero sucede que estos lenguajes son demasiado complejos

para ser analizados fructferamente a nivel terico. Por ello en

2

primer lugar hemos de construirnos un lenguaje apropiado para

nuestro propsito, es decir, un lenguaje que, por una parte est

despojado de relativos, indefinidos, subjuntivos y tantas cosas que

tanto enriquecen nuestra lengua, pero que tanto la complican, y

que, al mismo tiempo, siga siendo capaz de expresar todo lo que un

matemtico necesita.

1.1. QU ES LGICA?

La lgica es una ciencia formal que estudia los principios de la

demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego

antiguo (logike), que significa dotado de razn, intelectual,

dialctico, argumentativo, que a su vez viene de (logos),

palabra, pensamiento, idea, argumento, razn o principio.

As como el objeto de estudio tradicional de la qumica es la

materia, y el de la biologa la vida, el de la lgica es la inferencia.

La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a

partir de premisas.1 La lgica investiga los principios por los cuales

algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una

inferencia es aceptable, lo es por su estructura lgica, y no por el

contenido especfico del argumento o el lenguaje utilizado. Por esta

razn la lgica se considera una ciencia formal, como la

matemtica, en vez de una ciencia emprica.

La lgica tradicionalmente se consider una rama de la

filosofa. Pero desde finales del siglo XIX, su formalizacin simblica

ha demostrado una ntima relacin con las matemticas, y dio lugar

3

a la lgica matemtica. En el siglo XX la lgica ha pasado a ser

principalmente la lgica simblica, un clculo definido por smbolos

y reglas de inferencia, lo que ha permitido su aplicacin a la

informtica. Hasta el siglo XIX, la lgica aristotlica y estoica

mantuvieron siempre una relacin con los argumentos formulados

en lenguaje natural. Por eso aunque eran formales, no eran

formalistas.2 Hoy esa relacin se trata bajo un punto de vista

completamente diferente. La formalizacin estricta ha mostrado las

limitaciones de la lgica tradicional o aristotlica, que hoy se

interpreta como una parte pequea de la lgica de clases.

1.2. VERDAD Y VALIDEZ

Una verdad lgica es una frmula bien formada de un lenguaje

formal que es verdadera bajo todas las interpretaciones de los

componentes (distintos de las constantes lgicas) de ese lenguaje.

En algunos contextos, las verdades lgicas se conocen como

frmulas lgicamente vlidas (que tienen validez lgica). Dos

caractersticas generalmente aceptadas de las verdades lgicas son

que son formales y necesarias. Que sean formales implica que

cualquier instanciacin de una verdad lgica es tambin una verdad

lgica. Que sean necesarias significa que es imposible que sean

falsas, es decir que en todas las situaciones contrafcticas, las

verdades lgicas siguen siendo verdades lgicas.

A veces se confunde a las verdades lgicas con las

tautologas. Las tautologas son las verdades lgicas de la lgica

4

proposicional. Si bien toda tautologa es una verdad lgica, no toda

verdad lgica es una tautologa.

Algunos ejemplos conocidos de verdades lgicas en la lgica

proposicional son:

P P

(P P)

En lgica, la validez es una propiedad que tienen los

argumentos cuando las premisas implican la conclusin. Si la

conclusin es una consecuencia lgica de las premisas, se dice que

el argumento es deductivamente vlido. Algunos consideran estas

dos nociones idnticas y usan ambos trminos indistintamente.

Otros, sin embargo, consideran que puede haber argumentos

vlidos que no sean deductivamente vlidos, como las inducciones.

En cualquier caso, de las inducciones a veces se dice que son

buenas o malas, en vez de vlidas o invlidas.

Ejemplos de argumentos deductivamente vlidos son los

siguientes:

1. Si est soleado, entonces es de da.

2. Est soleado.

3. Por lo tanto, es de da

1. Si es lunes, entonces es martes.

2. Es lunes.

3. Por lo tanto, es martes

5

Ntese que para que un argumento sea deductivamente vlido, no

es necesario que las premisas o la conclusin sean verdaderas. Slo

se requiere que la conclusin sea una consecuencia lgica de las

premisas. La lgica formal establece nicamente una relacin

condicional entre las premisas y la conclusin. Esto es: que si las

premisas son verdaderas, entonces la conclusin tambin lo es

(esta es la caracterizacin semntica de la nocin de consecuencia

lgica); o alternativamente: que la conclusin sea deducible de las

premisas conforme a las reglas de un sistema lgico (esta es la

caracterizacin sintctica de la nocin de consecuencia lgica). Si

un argumento, adems de ser vlido, tiene premisas verdaderas,

entonces se dice que es slido.

No se debe confundir la validez (una propiedad de los

argumentos) con la validez lgica (una propiedad de las frmulas).

Se dice que una frmula tiene validez lgica, o que es lgicamente

vlida, cuando es verdadera bajo todas las interpretaciones posibles

del lenguaje al que pertenece. Por lo dems, el trmino validez

lgica est cayendo en desuso frente al trmino verdad lgica

para designar a estas frmulas.

1.3. FUNCIONES DE VERDAD Y TABLAS DE VERDAD

En lgica matemtica, una funcin de verdad es una funcin que

toma un conjunto de valores de verdad y devuelve un valor de

verdad. Clsicamente el dominio y el rango de una funcin de

verdad son {verdadero, falso}, pero en general pueden tener

cualquier nmero de valores de verdad, incluso una infinidad de

6

ellos. Una sentencia conectiva (vase abajo) se llama "funcional de

verdad" si asigna o denota tal funcin.

Una sentencia se llama funcin de verdad si el valor de

verdad de la sentencia es una funcin del valor de verdad de sus

subsentencias. Una clase de sentencias se denomina funcional de

verdad si cada uno de sus miembros lo es. Por ejemplo, la

sentencia "Las manzanas son frutos y las lechugas son verduras" es

funcional de verdad puesto que es verdadero si lo son cada una de

sus subsentencias "la manzanas son frutas" y "las lechugas son

verduras", y es falso en caso contrario. No todas las sentencias de

un lenguaje natural, tal como el espaol, son funcionales de

verdad.

Sentencias de la forma "x cree que..." son ejemplos tpicos de

sentencias que no son funciones de verdad. Supongamos por

ejemplo que Mara cree errneamente que Mariano Rajoy gan las

elecciones del 14 de marzo de 2004 pero no cree que la luna est

hecha de queso verde. Entonces la sentencia

"Mara cree que Mariano Rajoy gan las elecciones del 14 de

marzo de 2004"

Es verdadera mientras que

"Mara cree que la luna est hecha de queso verde"

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Es falsa. En ambos casos, cada componente de la sentencia (es

decir "Mariano Rajoy gan las elecciones del 14 de marzo de 2004"

y "la luna est hecha de queso verde") es falsa, pero cada

componente de la sentencia formada antecediendo la frase "Mara

cree que" difiere en su valor de verdad. Esto es, el valor de verdad

de una sentencia de la forma "Mara cree que..." no est

determinado solamente por el valor de verdad de las sentencias de

que se compone, y as pues el conectivo (o simplemente operador)

no es una funcin de verdad.

En lgica clsica, la clase de sus frmulas (incluyendo las

sentencias) es una funcin de verdad puesto que cada conectivo

sentencial (por ejemplo, y, , etc.) usado en la construccin de

frmulas es funcin de verdad. Sus valores para varios valores de

verdad como argumento se dan usualmente mediante tablas de

verdad.

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una

tabla que muestra el valor de verdad de una proposicin

compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se

pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los aos

1880, pero el formato ms popular es el que introdujo Ludwig

Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en

1921.

Ejemplo:

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La tabal de verdad de la funcin lgica Y Z = A&B

A B Z

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

TABLA 1.1. TABLA DE VERDAD DE LA FUNCIN LGICA Y.

1.4. PROPOSICIONES

Una proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o

verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento

fundamental de la lgica matemtica.

A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones

vlidas y no vlidas, y se explica por qu algunos enunciados no

son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una

letra minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha.

Ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia ser campen en la presente temporada de Futbol.

t: Hola como estas?

w: Lava el coche por favor.

9

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso

o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r

tambin es una proposicin valida, aunque el valor de falso o

verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en

determinado momento. La proposicin del inciso s tambin esta

perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera

se tendra que esperar a que terminara la temporada de futbol. Sin

embargo los enunciados t y w no son vlidos, ya que no pueden

tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el

otro es una orden.

1.5. LGICA Y LINGSTICA

El neopositivismo se hizo consciente de un hecho sencillo, pero

extraordinariamente fecundo: la nica manera que dispone

cualquier ciencia para expresar sus pensamientos, ya sean estos

fsicos, qumicos, matemticos, etc., es mediante el lenguaje. A

partir de entonces, quedara establecido que todos los problemas de

cualquier ciencia estn vinculados al lenguaje, de ahora y para

siempre. Ello nos explica porque hay trabajos en los cuales, se

vinculan la matemtica y la lingstica, la fsica y el lenguaje, etc., y

por qu se habla de una sintaxis matemtica, de una semntica

fsica, de un metalenguaje jurdico, etc. Bsicamente, todas las

ciencias se vincularon a la lingstica, a travs de la sintaxis, la

semntica y la pragmtica.

Con la sintaxis, porque ella brinda el conjunto de reglas en las

cuales se establecen las combinaciones de palabras permitidas y

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prohibidas. Si referimos la definicin anterior a cualquier realidad,

por ejemplo, al juego de ajedrez, la sintaxis est representada por

las reglas mediante las cuales se fijan los movimientos que puedan

tener cada una de las piezas, o nmero de jugadores, jugadas

permitidas, en fin, es su reglamento. Claramente podemos

comprender, por lo anterior que todos los juegos tiene una sintaxis,

por la simple razn tienen su sintaxis, por la simple razn de que

necesariamente tienen un reglamento. Las ciencias tambin tienen

su sintaxis, porque tienen su reglamento, un conjunto de

combinaciones fsicas, o matemticas, o qumicas, etc., admisibles

e inadmisibles.

La semntica, estudia las significaciones de las palabras

desde el punto de vista de las relaciones signo-objeto, entendiendo

el objeto como "imagen de la cosa". La semntica, como un hecho

universal, estudia las relaciones entre los conceptos y los signos de

las cosas. Por consiguiente, todas las ciencias tienen una

semntica, en la medida en que relacionan sus signos con los

conceptos propios de cada una de ellas.

Se ha dicho: el signo es una cosa que por naturaleza o

convencin, evoca el entendimiento la idea de otro objeto. Es una

evocacin asociada a un estmulo. En el ejemplo del ajedrez, la

semntica en el momento que asociamos los signos del juego con

sus conceptos; esto es, los signos son las piezas: Rey, pen, etc., y

los conceptos son las funciones que tienen dichas piezas.

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La pragmtica, estudia las relaciones signo-usuario, desde el

punto de vista de su utilizacin practica por parte de la comunidad.

en el juego comentado, se hace presente la pragmtica en la forma

como usan los jugadores todo el sistema de signos que componen

el ajedrez .

En conclusin, pensamos en la medida en que transcurren el

tiempo, se har ms importante la importante la relacin ciencia-

lenguaje. Los hombres de hoy estamos cientficamente ms

posibilitados para entender a San Juan que quienes nos han

precedido. En efecto, dice al comenzar su evangelio: "en el principio

era el verbo y por el fueron creadas todas las cosas." Si la palabra

creo todas las cosas el universo entero es el lenguaje, y al estudiar

cualquier proporcin de este, tal vez se podra de presente la

existencia de un lenguaje objetivado, de unas estructuras

lingsticas en todas las ciencias, en todos los objetos y en todos

los procesos.

1.6. REGLAS DE DEDUCCIN NATURAL

La deduccin natural es una aproximacin a la teora de la

demostracin en la que se busca capturar la manera en que las

personas razonan naturalmente al construir demostraciones

matemticas. En vez de contar con unos pocos axiomas a los que

se aplican unas pocas reglas de inferencia, la deduccin natural

propone vaciar la lista de axiomas y ampliar la de reglas de

inferencia, introduciendo dos reglas para cada constante lgica: una

para introducirla y otra para eliminarla.2 Una demostracin se

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construye partiendo de supuestos y aplicando las reglas para llegar

a la conclusin deseada.

Los problemas deductivos que se resolvern mediante

el mtodo de deduccin natural sern los siguientes:

Demostrar la validez de un razonamiento.

Demostrar que un enunciado es un caso de ley lgica.

Demostrar que un conjunto de enunciados es inconsistente.

Deducciones

Los contextos deductivos son argumentaciones en las que se

sostiene la verdad de un enunciado a partir de otros enunciados

que se suponen tambin verdaderos, de modo que aquel se deduce

(o se pretende deducir) de estos. Cuando analizamos estas

argumentaciones en sus aspectos puramente lgicos las llamamos

deducciones.

Una deduccin va a ser una serie o secuencia de enunciados

que se van obteniendo gracias a la aplicacin de reglas de

inferencia, que en las situaciones ms comunes estn implcitas.

Por lo tanto, las deducciones pueden verse como encadenamientos

de reglas de inferencia. A partir de enunciados que funcionan como

premisas en la deduccin se obtienen mediante reglas vlidas

otros enunciados que son todos ellos conclusin de las premisas.

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CAPITULO II. CONJUNTOS

DEFINICIONES BSICAS

Cualquier intento de definir el concepto de conjunto est condenado a

enumerar sinnimos como son coleccin, familia, agregado, agrupacin,

etc. Lo importante de la idea que asociamos al trmino conjunto es que

contiene elementos y debemos poder expresar si un elemento pertenece

o no a un conjunto: la pertenencia es el concepto sobre el que se

construye la teora de conjuntos, es el concepto primitivo (es decir, que

no se define). El smbolo que indica que x pertenece al conjunto A es x

A, y decimos que x es elemento de A, mientras que x A es su

negacin.

La teora de conjuntos tiene esencialmente dos actividades:

comparar conjuntos y construir nuevos conjuntos a partir de unos dados

(para, despus, comparar los nuevos con los originales). En cualquiera

de los dos casos, la teora usa conjuntos ya existentes, no puede crear

un conjunto de la nada. Por ello el primer axioma que enunciamos es el

que dice que, al menos, existe un conjunto de modo que toda la teora

no se quede vaca.

NOTACIN

A los conjuntos se les representa con letras maysculas A, B, C y a los

elementos con letras minsculas a, b, c...

Ejemplo

El conjunto A cuyos elementos son los nmeros en el lanzamiento

de un dado:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la

seleccin de una forma particular de expresin depende de la

conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

Extensin: Cuando se describe a cada uno de los elementos.

A = {a, e, i, o, u}

Comprensin: Cuando se enuncian las propiedades que deben

tener sus elementos.

A = {x | x es una vocal}

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el

smbolo de pertenencia o es elemento de, con el smbolo , en caso

contrario .

Ejemplos:

A = {1, 2, 3}

2 A; 5 A

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Vaci Nulo: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza

por { }.

Ejemplo:

A = {x2+1=0| x R}

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El conjunto A, es un conjunto vaco por que no hay ningn nmero

real que satisfaga a x2+1 = 0

Conjunto Universal: Es el conjunto de todos los elementos

considerados en una poblacin universo, en un problema en especial.

No es nico, depende de la situacin, denotado por U.

Relaciones entre conjuntos

Axioma (De existencia). Existe un conjunto. La primera tarea es, por

tanto, comparar conjuntos. La comparacin ms bsica es saber si dos

conjuntos son iguales o no, que es lo que resuelve el segundo axioma.

Axioma (De igualdad). Dos conjuntos son iguales si, y slo si,

contienen los mismos elementos. De manera simblica lo escribimos.

Lo que dice este axioma es que un conjunto queda completamente

caracterizado por los elementos que contiene, y no importa si los

elementos los guardamos en una caja o en una bolsa, si los ordenamos

o estn desordenados; slo importa cules son los elementos. Tambin

se llama axioma de extensin porque permite definir un conjunto

describiendo todos y cada uno de sus elementos, es decir, describiendo

su extensin.

Axioma (De la unin). Dada una familia de conjuntos F, existe

un conjunto que contiene los elementos de los elementos de F. Si

llamamos E a dicho conjunto, entonces podemos definir el conjunto

llamado unin de F utilizando el axioma de especificacin como sigue.

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Definicin. Dada una familia de conjuntos F, la unin de la familia

F es el conjunto formado exactamente por los elementos de los

conjuntos que estn en F:

{ |

Axioma (Del conjunto potencia). Dado un conjunto A, existe el

conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de A, llamado conjunto

potencia y denotado P(A).

2.1. OPERACIONES BSICAS

Hay una representacin grfica de los conjuntos que es particularmente

apropiada para visualizar las operaciones entre conjuntos: los diagramas

de Venn. Un diagrama de Venn representa al conjunto E por un

rectngulo, y cualquier subconjunto del mismo por una curva cerrada

dentro del rectngulo. Si es posible, los elementos del conjunto E se

marcan como puntos dentro del rectngulo y la curva que representa a

un subconjunto encierra sus elementos. Ejemplo:

Los conjuntos E = {a, b, c, d} y A = {a, b} E se muestran en la figura

n 2.1.

FIGURA N 2.1. EJEMPLO DE REPRESENTACIN GRFICA CON DIAGRAMAS DE

VENN.

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Debe quedar claro que los diagramas de Venn no sirven como

demostraciones de teoremas. Slo son ilustraciones de los mismos.

COMPLEMENTO

Definicin. El complemento de un subconjunto A del conjunto E es el

conjunto de todos los elementos de E que no estn en A. Se denota Ac y

se puede describir como

{ |

Graficamente lo vemos en la figura n 2.2.

Figura 2.2: Representacin grfica del complemento.

Ejemplo:

En el conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5}, el complemento del conjunto A

= {1, 2} es Ac = {3, 4, 5}.

UNIN

Definicin. La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por

los elementos que estn en A estn en B. Se denota A u B.

{ |

En la figura n 2.3 se muestra esta definicin.

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FIGURA 2.3: REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO A U B.

INTERSECCIN

Definicin. La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto

formado por los elementos que estn en A y estn en B. Se denota A

B.

{ |

En la figura n 2.4 se muestra esta definicin.

Si dos conjuntos verifican A B = se dice que son disjuntos

porque no tiene elementos en comn.

FIGURA 2.4: REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO A B.

DIFERENCIA

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Definicin. La diferencia del conjunto A menos el conjunto B es el

conjunto formado por los elementos que estn en A pero no en B. Se

denota A\B.

{ |

En la figura n 2.5 se muestra esta definicin.

FIGURA 2.5 REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO A\B.

Ejemplo:

Las diferencias de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} son A \ B

= {1}, B \ A = {3}.

La diferencia de conjuntos, como en los nmeros, no es conmutativa;

en general A\B B\A. Sin embargo, la diferencia simtrica se construye

de forma que s lo es.

DIFERENCIA SIMTRICA

Definicin. La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto

formado por los elementos que estn en A o estn en B excepto los

comunes a ambos. Se denota A B y se puede escribir como:

En la figura n 2.6 se muestra esta definicin.

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FIGURA 2.6: REPRESENTACIN GRFICA DEL CONJUNTO AB.

Ejemplo:

La diferencia simtrica de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3}

es AB = BA = {1, 3}.

Las leyes del algebra de conjuntos son las leyes del algebra de las

operaciones complemento, unin e interseccin. A continuacin se

enumeran algunas de tales leyes. No son todas, pues se pueden deducir

otras nuevas a partir de stas, tampoco son independientes entre ellas,

pues algunas de la lista se pueden deducir de otras. Es una eleccin

arbitraria de las ms tiles y habituales.

Teorema. Sea E un conjunto y A, B y C subconjuntos arbitrarios

de l. Entonces se cumple:

1. Ley del doble complemento

2. Ley de idempotencia

A A = A.

A A = A

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3. Ley conmutativas

A B = B A

A B = B A

4. Leyes asociativas

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

5. Elementos neutros de la unin y la interseccin: el vaco es neutro

de la unin y el conjunto E es neutro de la interseccin

A = A

A E = A

6. Elementos dominantes de la unin y la interseccin: el conjunto E

es dominante en la unin y el vaco lo es en la interseccin:

A E = E

A =

7. Leyes del complemento

A Ac = E

A Ac =

8. Leyes distributivas

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (AC)

9. Leyes de absorcin

A (A B) = A

A (A B) = A

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10. Leyes de De Morgan

(A B)c = Ac Bc

(A B)c = Ac Bc

2.2. CONJUNTOS FINITOS Y CONJUNTOS INFINITOS

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se

pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.

Conjuntos Finitos: Tienen un nmero conocido de elementos, es decir,

se encuentran determinados por su longitud o cantidad.

Ejemplo

El conjunto de das de la semana

Conjuntos Infinitos: Son aquellos en los cuales no podemos

determinar su longitud.

Ejemplo

El conjunto de los nmeros reales

2.3. SUBCONJUNTOS

Subconjunto. Un conjunto B es subconjunto de otro conjunto A, y se

denota B A. si todo elemento de B es elemento de A. es decir,

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Para ver que la inclusin es una comparacin ms poderosa que la

igualdad, en el siguiente resultado se indica como verificar la igualdad

de conjunto usando la inclusin.

Teorema. Dos conjuntos son iguales si y solo si es un subconjunto

del otro, o bien,

2.4. PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto formado por

parejas ordenadas, con un elemento de cada conjunto. Pero no hemos

definido qu es una pareja ordenada. Obsrvese que el smbolo {a, b}

denota el conjunto cuyos elementos son a y b; es una pareja. Pero no

es ordenada ya que, segn el axioma de igualdad, {a, b} = {b, a} pues

tienen los mismos elementos. Necesitamos definir el smbolo (a, b) en el

que, en general, (a, b) (b, a). Cmo hacerlo? Podemos usar el

smbolo {a, b} y aadir la informacin de cul de los dos elementos es

el primero. Una forma de hacerlo es la siguiente definicin.

Definicin. La pareja ordenada (a, b) es el conjunto {{a}, {b}}.

Es correcto llamar conjunto a (a, b) pues obsrvese que si a A y b B,

entonces {a, b} es un subconjunto de A B, es decir un elemento de

P(A B). Entonces (a, b) es subconjunto de P(A B) y, por tanto

elemento de P (P(A B)), todo ello apoyado en la existencia del conjunto

potencia que asegura el axioma del mismo nombre.

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Con el concepto de pareja ordenada, que es diferente del smbolo

{a, b} podemos definir el producto cartesiano como un subconjunto de

P (P(A B)).

Producto Cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A

y B, denotado A X B, es el conjunto formado por todas las parejas

ordenadas cuyo primer elemento es el conjunto A y cuyo segundo

elemento es el conjunto B.

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = {1, 2} y B = {a, b}. entonces su producto

cartesiano es el conjunto A X B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Obsrvese que, puesto que las parejas son ordenadas, A X B no es

el mismo que B X A.

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CAPITULO III. LENGUAJE PREPOSICIONAL

3.1 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Una proposicin atmica simple es una proposicin completa sin

trmino de enlace. Por ejemplo:

1. Hoy es sbado

2. No hay clases

Una proposicin molecular compuesta es la unin de una

varias proposiciones atmicas con un termino de enlace. Por ejemplo:

Hoy es sbado y no hay clases.

Esta proposicin molecular se ha construido con dos proposiciones

atmicas y el termino de enlace . Cuando analizamos una

proposicin molecular las descomponemos en las ms pequeas

proposiciones atmicas completas. El ejemplo anterior la proposicin

molecular se puede descomponer en dos proposiciones atmicas. El

termino de enlace no forma parte de ninguna de las

proposiciones atmicas nicamente se ha aadido a las proposiciones

atmicas para construir una proposicin molecular.

3.2 TRMINOS DE ENLACE DE PROPOSICIONES

Las palabras de enlace de proposiciones forman proposiciones

moleculares a partir de proposiciones atmicas.

Los trminos de enlace mas comunes son las palabras ,

, , y . Los cuatro

trminos de enlace considerados, , ,

y se usan para enlazar dos proposiciones atmicas,

26

pero la proposicin se agrega a una sola proposicin atmica

para formar una molecular. Se puede decir que este trmino cada vez

acta sobre una sola proposicin atmica y que los otros trminos de

enlace actan sobre dos preposiciones atmicas a la vez. El trmino de

enlace , es el nico que no conecta realmente dos

proposiciones. Cuando a una sola proposicin se le agrega se

forma una preposicin molecular. A continuacin se muestran unos

ejemplos de proposiciones moleculares que utilizan los trminos de

enlace considerados:

La luna no esta hecha de queso verde.

El viento arrastrara las nubes o llover hoy con seguridad.

Si estamos en diciembre entonces llegara pronto Navidad.

El terreno es muy rico y hay suficiente lluvia.

Usted puede votar si y solo si esta inscrito.

3.3 SIMBOLIZACIN DE PREPOSICIONES Y DE TRMINOS DE

ENLACE

Los smbolos que se utilizan para representar proposiciones atmicas,

son las letras maysculas tales como , , ,

, y . Un ejemplo de como usar estos smbolos

es el siguiente:

Consideremos la proposicin . Asignando una letra a cada proposicin atmica:

P=

Q=

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Se escribe la forma lgica de la proposicin haciendo uso de los

parntesis:

(La nieve es profunda) y (el tiempo es fro)

Ahora se utilizan los smbolos y para que la

proposicin quede simbolizada.

(P) y (Q).

Los trminos de enlace tambin se pueden simbolizar. Se

considera cada trmino de enlace por separado y se le asignara un

smbolo, tambin se dar un nombre a la proposicin molecular que se

forme utilizando cada uno de los trminos de enlace. En la tabla n 3.1

se muestran los trminos de enlace antes mencionados con sus

respectivos smbolos.

Tabla n 3.1. Smbolos de trminos de enlace.

Algunos ejemplos utilizando smbolos de proposiciones y smbolos

de enlace son:

(P) & (Q) se lee p y q.

(P) (Q) se lee si p entonces no q.

(R) V (P) r v.

Termino de enlace Smbolo

&

V

28

3.4. TIPOS DE PREPOSICIONES

La unin de dos proposiciones atmicas con la palabra , se

denomina conjuncin de las dos preposiciones. Ejemplo:

Juana tiene trece y Rosa quince. (Preposicin de conjuncin).

La unin de dos proposiciones atmicas con la palabra , se

denomina disyuncin de las dos proposiciones.

Corrers en la maana o nadaras en la tarde. (Preposicin de

disyuncin).

Cuando a una proposicin se le aade el trmino de enlace

, el resultado se denomina la negacin de la preposicin. Una

negacin en una preposicin molecular que utiliza el trmino de enlace

. La diferencia con los otros trminos de enlace es que el

trmino usa una sola preposicin. Se considera el trmino de

enlace separado de la preposicin de la que acta, esto es necesario

para poder representar la negacin por un smbolo lgico. Ejemplo:

En el hemisferio Sur, Julio no es un mes de verano. (Negacin de

la preposicin)

El trmino de enlace , se puede llenar los

espacios con proposiciones atmicas con proposiciones moleculares.

La proposicin molecular formada por este trmino de enlace se llama

proposicin condicional. Ejemplo:

Si llueve hoy, entonces se suspende el picnic. (Preposicin

condicional).

29

La unin de dos proposiciones con la palabra , se

denomina bicondicionales equivalencias de las dos proposiciones.

Ejemplo:

Usted puede votar si y solo si esta inscrito. (Proposicin

bicondicional).

30

CAPITULO IV. FORMULAS LGICAS

4.1. VALORES DE CERTEZA

Cada proposicin tiene un valor de certeza, cada proposicin ha de ser

cierta o falsa. El valor de certeza de una proposicin cierta es cierto, y el

valor de certeza de una proposicin falsa es falso. Cada preposicin

atmica o molecular tiene uno de estos dos valores de certeza posibles.

Si se conocen los valores de certeza de las proposiciones atmicas

dentro de proposiciones moleculares, entonces es posible dar valores de

certeza de las proposiciones moleculares; pues los cinco trminos de

enlace que se han empleado para formar proposiciones moleculares son

trminos de enlace de certeza funcional. En consecuencia la certeza o

falsedad de una proposicin molecular depende completamente de la

certeza o falsedad de las preposiciones atmicas que la componen. Para

determinar la certeza o falsedad de cada proposicin molecular solo es

necesario conocer la certeza o falsedad de sus proposiciones atmicas y

los trminos de enlace que la ligan.

4.2. TABLAS DE VERDAD DE LAS PREPOSICIONES

TABLA DE VERDAD DE PROPOSICINES DE CONJUNCIN

Hay cuatro combinaciones posibles de valores de certeza para

proposiciones de la forma P y Q. Recordando que la certeza de

conjuncin P & Q depende de los valores de certeza de aquellas, se

trata de hallar las combinaciones para las que la conjuncin P & Q ser

una proposicin cierta.

La regla prctica para conjunciones es: la conjuncin de

proposiciones es cierta si y solo si ambas proposiciones son ciertas. Por

lo tanto la tabla de verdad para esta preposicin es la que se muestra

en la tabla n 4.1.

31

TABLA N 4.1. TABLA DE VERDAD DE PREPOSICINES DE CONJUNCIN.

TABLA DE VERDAD DE NEGACIN DE PROPOSICINES

Tratemos de la negacin P. la preposicin puede ser cierta o falsa. En

la tabla n 4.2 se muestra los posibles valores de certeza para la

negacin P.

P P

Cierta Falsa

Falsa Cierta

TABLA N 4.2. TABLA DE VERDAD DE NEGACIN DE PROPOSICINES.

TABLA DE VERDAD DE PROPOSICIONES DE DISYUNCIN

En cualquier proposicin de disyuncin una de las dos proposiciones es

cierta y quizs ambas. Lo que quiere decir es que por lo menos un

miembro sea cierto.

La regla prctica es: La disyuncin de dos proposiciones es cierta

si y solo si por lo menos una de las dos proposiciones es cierta.

Queda claro que para conocer la certeza o falsedad de la

proposicin P V Q se ha de conocer la certeza o falsedad de las

preposiciones P y Q.

P Q P & Q

Cierta Cierta Cierta

Cierta Falsa Falsa

Falsa Cierta Falsa

Falsa Falsa Falsa

32

Puesto que la disyuncin liga dos preposiciones, tambin se tienen

cuatro combinaciones posibles de certeza o falsedad, como se muestra

en la tabla n 4.3.

TABLA N 4.3. TABLA DE VERDAD DE PROPOSICINES DE DISYUNCIN.

TABLA DE VERDAD DE PROPOSICIONES CONDICIONALES

TABLA N 4.4. TABLA DE VERDAD DE PREPOSICIONES CONDICIONALES.

Para hallar la tabla de verdad de proposiciones condicionales la

regla prctica es: Una preposicin condicional es falsa si el antecedente

es cierto y el consecuente es falso; en todo otro caso la preposicin

condicional es cierta. Como en el caso de las otras preposiciones

moleculares que contienen ambas preposiciones P y Q, P Q tiene

cuatro posibilidades de certeza y falsedad, como se muestra en la tabla

n 4.4.

TABLA DE VERDAD DE PROPOSICIONES BICONDICIONALES

P Q P V Q

Cierta Cierta Cierta

Cierta Falsa Cierta

Falsa Cierta Cierta

Falsa Falsa Falsa

P Q P Q

Cierta Cierta Cierta

Cierta Falsa Falsa

Falsa Cierta Cierta

Falsa Falsa Cierta

33

Siempre que se tenga una proposicin bicondicional con un miembro

cierto y un miembro falso, entonces una de las implicaciones que

contiene tendr un antecedente cierto y un consecuente falso, por lo

que la proposicin completa, ser falsa.

La regla practica para equivalencias es: Una proposicin

condicional es cierta si y solo si sus dos miembros son ciertos o ambos

falsos.

Puesto que la proposicin bicondicional contiene dos miembros

que ambos pueden ser ciertos o falsos, hay cuatro combinaciones

posibles de certeza o falsedad, como se muestra en la tabla n 4.5.

TABLA N 4.5. TABLA DE VERDAD DE PREPOSICIONES BICONDICIONALES.

4.3. TAUTOLOGAS

Una proposicin molecular es una tautologa si es cierta, cualesquiera

que sean los valores de certeza de las preposiciones atmicas que la

componen. En una tautologa se pueden sustituir sus preposiciones

atmicas por otras preposiciones atmicas cualesquiera, ciertas o falsas

y la preposicin es tambin cierta.

En una tabla de certeza, si una proposicin es una tautologa,

entonces cada lnea ha de ser cierta, en la columna encabezada por ella,

P Q P Q

Cierta Cierta Cierta

Cierta Falsa Falsa

Falsa Cierta Falsa

Falsa Falsa Cierta

34

lo que indica que la preposicin es siempre cierta independientemente

de las combinaciones de los valores de certeza de sus preposiciones

atmicas. Una definicin formal de tautologa es:

Una proposicin es una tautologa si y solo si permanece cierta

para todas las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas a

cada una de sus distintas proposiciones atmicas.

Por ejemplo consideremos la formula P V (P & Q) probemos si

es una tautologa, en la tabla n 4.6 se muestra la tabla de verdad de la

formula P V (P & Q) y se comprueba que si es tautologa porque es

cierta para cualquier combinacin.

TABLA N 4.6. EJEMPLO DE UNA TAUTOLOGA.

4.4. CONTRADICCIN

Una preposicin es contradiccin si y solo si permanece falsa para todas

las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas a cada una de

sus distintas preposiciones atmicas. Una de las mas usadas y mas

sencilla es P & P. la tabla n 4.7 muestra su correspondiente tabla de

verdad.

P Q P & Q (P & Q) P V (P & Q)

C C C F C

C F F C C

F C F C C

F F F C C

35

TABLA N 4.7. TABLA DE VERDAD DE UNA CONTRADICCIN.

4.5. REGLAS DE INFERENCIA

Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos

de simbolizacin a nuestro alcance, podemos dirigirnos ya hacia una

parte importante de la Lgica formal: inferencia y deduccin. Las reglas

de inferencia que rigen el uso de los trminos de enlace son muy

simples. Se pueden aprender estas reglas y su uso, como se aprende las

reglas de un juego. El juego se juega con preposiciones, o formulas

lgicas, nombre que se dar a las preposiciones simbolizadas. Se

empieza con conjuntos de formulas que se denominan premisas. El

objetivo del juego es utilizar las reglas de inferencia de manera que

conduzcan a otras formulas que se denominan conclusiones. El paso

lgico de las premisas a la conclusin es una deduccin. La conclusin

que se obtiene se dice que es una consecuencia lgica de las premisas si

cada paso que se da para llegar a la conclusin esta permitido por una

regla. La idea de inferencia se puede expresar de la siguiente manera:

de premisas verdaderas se obtienen solo conclusiones que son

verdaderas. Es decir, si las premisas son verdaderas, entonces las

conclusiones que se derivan de ella lgicamente, han de ser verdaderas.

MODUS PONENDO PONENS

La regla de inferencia modus ponendo ponens permite demostrar Q a

partir de P Q y P. permite pasar de dos premisas a la conclusin.

P P P & P

Cierta Falsa Falsa

Falsa Cierta Falsa

36

Decir que la conclusin es consecuencia lgica de las premisas, es decir,

que siempre que las premisas son ciertas, la conclusin es tambin

cierta. La regla de inferencia aprendida dice que si se tienen dos

proposiciones de la forma de P Q y P se puede deducir la conclusin

Q.

La regla se aplica a la forma de proposiciones, es decir, que

siempre que se de una proposicin condicional y se de precisamente el

antecedente de aquella condicional, se sigue precisamente el

consecuente. La misma regla se aplica tanto si el antecedente es una

proposicin atmica como si es una preposicin molecular y tanto si el

consecuente es una preposicin atmica como si es una preposicin

molecular.

El nombre modus ponendo ponens se puede explicar de la

siguiente manera: esta regla de inferencia es el mtodo (modus), que

afirma (ponens) el consecuente, afirmando (ponendo) el antecedente.

Ejemplos:

Premisa 1. Si l esta en el partido de futbol, entonces l est en el

estadio.

Premisa 2. l est en el partido de futbol.

Conclusin. l est en el estadio.

Sea

P = >

Q = >

Conclusin Q

37

DOBLE NEGACIN

La regla de doble negacin es una regla simple que permite pasar de

una premisa nica a la conclusin. La abreviatura para esta regla es DN.

Un ejemplo simple es el de una negacin de negacin, que brevemente

se denomina . Sea la preposicin

No ocurre que Ana no es un estudiante

Qu conclusin se puede sacar de esta premisa? Evidentemente,

se puede decir:

Ana es un estudiante

La regla de doble negacin tambin acta en sentido contrario. Por

ejemplo, de la preposicin:

Juan toma el autobs para ir la escuela.

Se puede concluir la negacin de su negacin:

No ocurre que juan no toma el autobs para ir a la escuela.

As la regla de doble negacin tiene dos formas simblicas:

(P) y (P)

(P) (P)

MODUS TOLLENDO TOLLENS

La regla de inferencia que tiene el nombre latino modus tollendo tollens

se aplica a las proposiciones condicionales. Pero en este caso, negando

38

(tollendo) el consecuente, se puede negar (tollens) el antecedente de la

condicional. La abreviatura del modus tollendo tollens es TT.

Cuando el antecedente o el consecuente es una proposicin

molecular, puede usarse el parntesis para mayor claridad:

(P) (Q)

(Q)

(P)

Por lo tanto, la regla modus tollendo tollen permite pasar de dos

premisas: (a) una preposicin condicional, y (b) una preposicin que

niega el consecuente, a una conclusin que niega el antecedente.

Ejemplo:

Premisa 1. Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella.

Premisa 2. El astro no es una estrella.

Conclusin. Por tanto no tiene luz propia.

Se simboliza el ejemplo de la manera siguiente:

Sea

P =

Q = >

P Q

Q

P

39

ADJUNCIN

Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. Si ambas

proposiciones son verdaderas, entonces se podran juntar en una

preposicin molecular utilizando el termino de enlace y se

tendra una proposicin verdadera.

Si ambas premisas son ciertas, entonces la conclusin tendr que

ser cierta. La regla que permite pasar de las dos premisas a la

conclusin se denomina regla de adjuncin. Se indica abreviadamente

por A.

De manera simblica se puede ilustrar la regla as:

De las premisas (P)

(Q)

Se puede concluir (P) & (Q)

O se puede concluir (Q) & (P)

Los parntesis en la conclusin son necesarios solo si P o Q son

preposiciones moleculares que no sean negaciones. El orden de las

premisas es indiferente. Ejemplo:

Premisa 1. Jorge es adulto.

Premisa 2. Mara es adolecente.

Conclusin. Jorge es adulto y Mara es adolecente.

Conclusin. Mara es adolecente y Jorge es adulto.

SIMPLIFICACIN

Esta regla es la opuesta a la regla de adjuncin. Se tiene una premisa

en la que se pueden deducir dos conclusiones o preposiciones, si la

40

premisa es cierta, cada una de las conclusiones es cierta. La regla que

permite pasar de una conjuncin a cada una de las dos preposiciones

que estn unidad por & se denomina regla de simplificacin.

Esta regla se designa abreviadamente por S. en forma simblica es:

De la premisa (P) & (Q)

Se puede concluir (P)

O se puede concluir (Q)

Con los parntesis se hace resaltar que la premisa ha de ser una

conjuncin. La regla de simplificacin no se puede aplicar a P & Q R

cuyo significado es: (P & Q) R pero se puede aplicar a P & (Q R)

obteniendo P o Q R.

Premisa. El cumpleaos de Mara es el viernes y el mio el sbado.

Conclusin. El cumpleaos de Mara es el viernes.

Conclusin. El mio es el sbado.

41

CAPITULO V. RELACIONES

Introduccin

En la teora desarrollada hasta este punto la nica referencia que se ha

hecho a los elementos de un conjunto es la pertenencia a dicho

conjunto. No hay ninguna conexin entre los elementos de un conjunto

(aparte de la de pertenecer al mismo) y, mucho menos, entre elementos

de diferentes conjuntos. El papel de las relaciones y las funciones es,

precisamente, establecer dichas conexiones. Las relaciones son la forma

ms bsica (y por ello de ms alcance) de imponer una estructura en un

conjunto.

Las equivalencias son las que permiten clasificar los elementos de

un conjunto. El objetivo del estudio de las equivalencias es ver el

resultado de que toda equivalencia da lugar a una clasificacin de los

elementos del conjunto y viceversa, toda clasificacin ( particin) de un

conjunto procede de una relacin de equivalencia.

Definicin de relacin

A un subconjunto del producto cartesiano A x B se le llama relacin de

A en B. En general si A es un conjunto con n elementos y B un

conjunto con m elementos, entonces el nmero de relaciones de A a B

es igual a 2mn, incluyendo a la relacin vaca . Ejemplo:

Obtener cinco relaciones de A en B, si

A = {m, n, l}

B = {1, 0}

Solucin:

Paso 1.

42

Hay 26 = 64 relaciones de A en B

Paso 2.

Del producto anterior obtendremos las cinco relaciones pedidas.

R1= {(m, 1)}

R2= {(n, 1), (n, 1)}

R3= {(m, 0), (n, 1), (l, 1), (m, 1)}

R4= {(n, 1), (n, 0)}, {(n, 1), (l, 1)}, {(n, 1), (l, 0)}

R5= , etc.

5.1. RELACIN BINARIA.

Considere a un conjunto no vaco A, se le llama relacin binaria a todo

subconjunto de A x A.

Es necesario indicar el significado de los siguientes smbolos:

Suponga que R es una relacin binaria, definida sobre el producto

cartesiano A x A, y que (a, b) R, entonces a esta situacin la

denotamos con el smbolo a b, que significa: a est relacionada con

b, mediante R. En caso contrario, es decir si a no est relacionada con

b mediante R, escribimos a R b.

La notacin anterior cobra importancia en los siguientes ejemplos:

1. Definimos la relacin R sobre el conjunto A como (a, b) R, si a

b. Este subconjunto de axb es la relacin ordinaria menor o igual

que sobre el conjunto A. Por ejemplo est claro que 2R3, porque

2 3; sin embargo 5R3, porque 5>3. En tal sentido decimos que

(2,3) R, pero que (5,3) R.

2. Si A = {a, b, c}, obtener 3 relaciones binarias no vacas de A.

Solucin:

43

Primero obtenemos el producto cartesiano A x A:

A x A = A {a, b, c} x A {a, b, c}

= {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

R1 = {(a, a), (a, b)}

R2 = {(a, a), (a, b), (a, c)}

R3 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a)}

TIPOS DE RELACIONES

Dada una relacin R, puede o no tener la caracterstica de ser reflexiva,

simtrica y transitiva, entre otras. Hacer esta distincin es importante,

porque de el hecho que tengan estas propiedades depende de que

puedan introducir o no una particin o un orden parcial dentro de un

conjunto, lo cual es muy significativo en la ciencia de la computacin

para poder clasificar datos.

RELACIN REFLEXIVA

Una relacin sobre un conjunto A es una relacin reflexiva, si para todo

x R, implica que xRx.

RELACIN SIMETRICA

La relacin R sobre el conjunto A es simtrica, si dados(x, y) A y (x,

y) R, implica que (y, x) R.

RELACIN TRANSITIVA

R es una relacin transitiva sobre un conjunto A si dados (x, y, z) A y

adems se cumple que: xRy y yRz, implica que xRz.

Ejemplos de relaciones:

44

1. La relacin de parentesco ser descendiente de es una relacin

transitiva. Sin embargo, ser padre de no lo es.

2. Si A = {1, 2, 3, 4}, R = {(2, 1), (1, 2), (4, 3), (3, 4)}. Puede

verse que no es reflexiva, porque por ejemplo (2, 2) no es parte

de R. Tambin R es simtrica; pero no es transitiva, porque (2,1)

y (1,2) son parte de R, pero (2,2) no.

3. La relacin entre mercancas de una tienda de tener el mismo

precio es simtrica. Ser ms caro que, es una relacin

asimtrica.

4. La relacin vivir en la misma ciudad es reflexiva, ya que todo el

mundo vive en la misma ciudad que s mismo, mientras que ser

madre de, es irreflexiva, pues nadie es madre de s mismo. Por

otro lado, la relacin ser empleado de no es ni una ni otra, pues

algunos empresarios son empleados de s mismos, mientras que

muchos trabajadores son empleados de otra persona y no de ellos

mismos.

5.2. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Se le llama relacin de equivalencia aquella relacin R que tenga la

propiedad simtrica, reflexiva y transitiva (las tres juntas). Ejemplo:

1 Consideremos el conjunto de los polgonos regulares y la relacin

de semejanza, en la que un polgono se relaciona con otro si

tienen el mismo nmero de lados, sus ngulos respectivos son

iguales y sus lados proporcionales. Es una relacin reflexiva, pues

un polgono es semejante as mismo. Es simtrica, pues si un

polgono es semejante a otro, el otro lo es al uno ya que los

ngulos son iguales y los lados proporcionales con el factor de

proporcionalidad inverso del primero. Por ultimo, si un polgono es

45

semejante a un segundo y este a un tercero, el primero es

semejante al tercero, pues tienen el mismo nmero de lados,

ngulos iguales y lados proporcionales con factor el producto de

los dos factores originales.

2 Definamos una relacin R en el conjunto A mediante nRm si y solo

si nm 0. Es R una relacin de equivalencia?. Debemos verificar

las tres caractersticas de una relacin de equivalencia:

o Reflectividad: si a R, entonces aRa, debido a que a2 0.

o Simetra: Si (a,b) R y adems aRb, entonces es claro que

bRa, porque ba=ab 0.

o Transitividad: No lo es, porque por ejemplo (-3) (0) 0 y (0)

(5) 0, pero (-3)(5)

46

descomposicin de un conjunto en celdas, tales que todo elemento del

conjunto este en exactamente una de las celdas.

Teorema: sea A un conjunto no vaco y sea R una relacin entre

elementos de A que es reflexiva, simtrica y transitiva, entonces R

produce una particin natural de A, en donde { | es la celda

que contiene a todos los elementos x que son equivalentes a . Cada

celda en la particin natural es una clase de equivalencia.

Ejemplos:

1. Dar tres ejemplos de particiones del conjunto A = {1, 2, 3, 4,}.

Solucin:

P1= {{a, b, c, d}}

P2= {{a}, {b, c, d}}

P3= {{a, b}, {c, d}}

Todas ellas son particiones en donde todo elemento en

exactamente uno de los conjunto, y la unin de los conjunto de

cada clase de equivalencia es exactamente igual a A.

2. Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, las familias P1 = {{1,

2},{3, 4, 5}, {6}} y P2 = { ,A} son particiones de A, mientras

que P3 = {{1, 2, 3, 4},{4, 5, 6}} y P4 = {{1, 2}, {6}} no lo son.

47

CAPITULO VI. FUNCIONES

Conceptos bsicos

Funcin. Una funcin f del conjunto A al conjunto B es un subconjunto

del producto cartesiano AB en el que no hay dos parejas que tengan el

mismo primer elemento. El conjunto A se llama inicial, y el conjunto B,

final y se denotan con el smbolo f: A B. En la Figura n6.1 se muestra

la representacin grafica de una funcin. Ejemplo:

Sea A = {a, b, c} y consideremos los subconjuntos de A A, f =

{(a, a), (b, b), (b, c)}, g = {(a, b), (b, c), (c, a)}, h = {(a, a), (b,

a)}. Los tres conjuntos son relaciones en A, pero f no es una

funcin porque el elemento b aparece como primer elemento en

dos parejas. Sin embargo, g y h s son funciones.

Como en el caso de las relaciones, no se ha exigido en la definicin que

todo elemento del conjunto inicial est relacionado con alguno del final

ni que todo elemento del final reciba la relacin de alguno del inicial. Por

ello definimos los conceptos de dominio y contradominio de una funcin,

que tendrn mucha ms importancia que en el contexto de las

relaciones.

Dominio. El dominio de una funcin f: AB es el subconjunto de

A de elementos relacionados con algn elemento de B. lo denotamos

D(f).

{ |

Contradominio. El contradominio de una funcin f: AB es el

subconjunto de B de elementos con los que algn elemento de A esta

relacionado. Lo denotamos D(f).

{ |

48

FIGURA N 6.1. REPRESENTACIN GRAFICA DE UNA FUNCIN.

Merece la pena dedicar unas lneas a comentar cmo se define una

funcin (una en concreto, no el concepto de funcin). Lo que hay que

definir son las parejas de A B que la conforman. En la prctica esto se

lleva a cabo de dos formas que corresponden a las dos maneras de

definir conjuntos. Primera, por enumeracin de todos los elementos del

dominio indicando qu elemento del conjunto final le corresponde a cada

uno. Segunda, dando una regla o frmula que permita saber qu

elemento corresponde a cada uno.

Imagen de un subconjunto. Dada una funcin f: A B, la imagen

bajo f de un subconjunto X del dominio es el subconjunto del

contradominio formado por las imgenes de los elementos de X. Se

denota f(X). Es decir

{ |

Anlogamente se puede definir la preimagen de un conjunto, pero

cuidado, no se puede definir la preimagen de un elemento.

Preimagen de un conjunto. Dada una funcin f: A B, la

preimagen bajo f de un subconjunto Y de B es el subconjunto del

49

dominio de los elementos cuyas imgenes estn en Y. Se denota f-1(Y).

Esto es,

{ |

Funcin constante. Una funcin se llama funcin constante si su

dominio coincide con el conjunto inicial y su contradominio contiene un

nico elemento, es decir f: AB es constante si

{

Para algn elemento de B.

Funcin identidad. La funcin identidad de un conjunto A,

denotada idA es la funcin del conjunto A a si mismo, cuyo dominio es

todo el conjunto A y en la que la imagen de cada elemento es el mismo,

lo que podemos escribir como D(idA) = A y f(x) = x para todo elemento

x de A.

En la figura n 6.2 se muestra grficamente la funcin constante y

la funcin identidad.

FIGURA N5.2. UNA FUNCIN CONSTANTE Y UNA FUNCIN IDENTIDAD.

6.1. COMPOSICIN DE FUNCIONES

50

Definicin. Dadas las funciones f : A B y g : B C donde el

contradominio de f est incluido en el dominio de g, la composicin de f

con g es una funcin, denotada g f, que tiene por conjunto inicial a A,

por final a C y asocia a cada elemento de D(f) A el elemento de D(g)

C que es la imagen bajo g de su imagen bajo f. Es decir

( )

Existe una forma de representar la composicin de funciones

grficamente mediante los llamados diagramas conmutativos. El

diagrama que representa la composicin de f y g es la que se muestra a

continuacin.

FIGURA 6.3. REPRESENTACIN GRAFICA DE COMPOSICIN DE FUNCIONES.

Este diagrama ilustra los dos caminos para ir desde A hasta C; se

llama diagrama conmutativo porque ambos caminos tienen el mismo

resultado, que es lo que expresa la composicin.

Ejemplos:

1 Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, C = {X, Y } y

las funciones f: A B y g : B C dadas por

f (1) = a g(a) = X,

f (2) = b g (b) = Y,

g (c) = Y.

51

Entonces se cumplen las condiciones de la definicin, pues D(f) = {a,

b} D(g), y la funcin compuesta est definida para los elementos

de D(f) = {1,2} A.

(g f)(1) = g (f (1)) = g (a) = X

(g f)(2) = g (f(2)) = g(b) = Y

Graficamente.

FIGURA N 6.4. REPRESENTACIN GRAFICA DEL EJEMPLO 1.

f = {(2,3), (4,1), (3,5), (7,4), (6,8)}; g = {(2,5), (2,3), (3,0),

(7,2), (13,4)}. Obtener f g.

El dominio de la composicin de estas funciones, viene dado por el

conjunto { | { . Por lo tanto, en esos

nmeros tiene sentido hablar de tal composicin; la regla de

correspondencia resulta {

6.2. CLASES DE FUNCIONES

Dada una funcin f: A B, ya sabemos cmo es su dominio: un

subconjunto del conjunto inicial donde cada elemento tiene una imagen,

y slo una, en B. En esta seccin nos ocupamos del contradominio.

Segn sea la relacin entre el contradominio y el conjunto final tenemos

52

tres tipos de funciones especialmente interesantes: inyectivas,

suprayectivas y biyectivas. Estos tipos de funciones son fundamentales

pues veremos que toda funcin se puede escribir como la composicin

de una funcin inyectivas, una biyectivas y una suprayectivas.

6.3. INYECTIVAS

Una funcin es inyectiva si su dominio es todo el conjunto inicial y las

imgenes de elementos diferentes son diferentes, que lo expresamos

como

Para elementos x, y de A.

Ejemplos:

1. f = {(1,4), (3,1), (2,8), (5,4)}, es inyectiva ya que para cada

valor de x corresponde aun valor de y distinto.

2. f = {(1,3), (3,2), (2,3)}, no es inyectiva ya que para x=1, x = 2

le corresponden el mismo valor de y =3.

6.4. SUPRAYECTIVAS

Una funcin f: A B es suprayectiva si el contradominio coincide con el

conjunto final:

Ejemplo:

53

La funcin f: AB, con A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {a, b, c} cuya

regla de correspondencia es f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, a), (5,

b)}.

6.5. BIYECTIVAS

Una funcin es biyectivas si es inyectiva y suprayectiva. En otras

palabras, una funcin es inyectiva si el dominio es todo el conjunto

inicial y cada elemento del conjunto final es imagen de, a lo sumo, un

elemento del inicial. Es suprayectiva si todo elemento del conjunto final

es imagen de, al menos, un elemento del inicial. Es biyectiva si cada

elemento del final es imagen de exactamente un elemento del dominio

(que coincide con el inicial).

Ejemplo de las funciones inyectivas, biyectiva y suprayectivas:

Sean los siguientes conjuntos y funciones con dominio en A = {1,

2, 3}:

F1: A B1 donde B1 = {a, b, c, d}

F1 (1) = b

F1 (2) = c

F1 (3) = a

F2: A B2 donde B2= {a, b}

F2 (1) = a

F2 (2) = a

F2 (3) = b

F3: A B3 donde B3 = {a, b, c}

F3 (1) = c

F3 (2) = b

F3 (3) = a

F4: A B4 donde B4 = {a, b, c, d}

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F4 (1) = b

F4 (2) = b

F4 (3) = a

Entonces, la funcin f1 es inyectiva, pero no es suprayectiva. La

funcin f2 es suprayectiva, pero no es inyectiva. En tercer lugar, f3 es

biyectiva. Por ltimo, f4 no es ninguno de los tres tipos. Grficamente se

aprecia en la figura 6.5.

FIGURA N 6.5. REPRESENTACIN GRAFICA DE LAS FUNCIONES INYECTIVA,

BIYECTIVA Y SUPRAYECTIVA.

6.6. FUNCIONES INVERSAS

Dada una funcin f: A B, una funcin y: B A es inversa de f si la

composicin de f con g y la composicin de g con f son ambas funciones

identidad. Es decir, si

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Obsrvese que ambas composiciones son funciones diferentes,

pues g f: AA mientras que f g: BB. por ello es necesario exigir

las dos condiciones. De hecho se pueden distinguir los conceptos de

inversa derecha e inversa izquierda. Tambin hay que hacer notar que

la definicin exige D (f) = A y D (g) = B, pues de otro modo no se

consigue la funcin identidad en A la identidad en B.

Teorema. Si una funcin tiene inversa, entonces sta es nica.

Funcin invertible. Si una funcin f tiene inversa se dice que la

funcin f es invertible, y denotando por f-1 la nica funcin que es

inversa de f.

Teorema. Una funcin es invertible si y solo si, es biyectiva.

Ejemplos:

1. Si f (1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10. Encuentre f-1(7), f-1(5) y f-1(-

10).

f-1 (7) = 3 porque f(3) = 7

f-1 (5) = 1 porque f(1) = 5

f-1 (-10) = 8 porque f(8) = -10

6.7. FUNCIONES LOCALIZADORAS

Una funcin localizadora es una expresin matemtica que contiene las

variables y parmetros del sistema x = f(x) y la cual es indispensable

para resolver el problema de localizacin de los conjuntos compactos

invariantes.

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Desafortunadamente no se cuenta con una metodologa apropiada

para encontrar una funcin localizadora de manera general. En este

caso, se recomienda estudiar la dinmica del sistema no lineal y

proponer funciones localizadoras las cuales contengan las variables de

estado de dicho sistema. Dichas funciones pueden parecer a las

ecuaciones de superficies geomtricas conocidas, como por ejemplo,

elipsoides, planos, esferas, etc.