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Proceso de admisión 2019 – Curso de matemáticasLógica computacional

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO

CINVESTAV-Tamaulipas

20 de mayo de 2019

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Lógica computacional 20 de mayo de 2019 1 / 33

1 Lógica proposicional


Lógica proposicional Proposiciones y variables proposicionales

1 Lógica proposicionalProposiciones y variables proposicionalesOperadores básicosProposiciones atómicas y molecularesParéntesis y precedencia de operadoresTablas de verdadCondiciones lógicas en tablas de verdad



Proposiciones y variables proposicionales

Una proposición es una oración declarativa que puede serverdadera o falsa (pero no ambas)

Ejemplos:La Ciudad de México es la capital de MéxicoHay menos políticos en Tampico que en la Ciudad de México1 + 1 = 22 + 2 = 5



Proposiciones y variables proposicionales

Una variable que representa una proposición es llamada variableproposicional

Las variables proposicionales son los bloques de construcciónbásicos de las fórmulas proposicionales

Por ejemplo:P = La Ciudad de México es la capital de MéxicoQ = Hay menos políticos en Tampico que en la Ciudad de México


Lógica proposicional Operadores básicos




Operadores básicos

La lógica proposicional tiene cinco operadores básicos (deenlace)

Estos operadores lógicos son similares a los operadoresaritméticos, ya que dados algunos valores de entrada producenun nuevo valor

Sin embargo, los operadores lógicos realmente sólo tratan condos valores: los valores de verdad, T y F (verdadero y falso)



Operadores básicos

Operador Nombre Significado Ejemplo

¬ Negación No ¬X

∧ Conjunción Y X ∧ Y

∨ Disyunción O X ∨ Y

→ Condicional Si ... entonces X → Y

↔ Bicondicional Si y sólo si X ↔ Y


Lógica proposicional Proposiciones atómicas y moleculares




Proposiciones atómicas y moleculares

En la lógica proposicional las proposiciones atómicas son las deforma más simple (básica)

Una proposición atómica es una proposición completa sin ningúnoperador de enlace

Cuando unimos dos o más proposiciones atómicas conoperadores de enlace se forma entonces una proposiciónmolecular



Proposiciones atómicas y moleculares

Por ejemplo consideremos las siguientes dos proposiciones atómicas:Hoy es sábado

No hay clase

Si empleamos un operador de enlace podríamos unirlas para formaruna proposición molecular

Hoy es sábado y no hay clase

El operador de enlace no forma parte de ninguna de lasproposicionales atómicas empleadas


Lógica proposicional Paréntesis y precedencia de operadores




Paréntesis y precedencia de operadores

En la lógica proposicional los operadores de enlace pueden serusados con proposiciones moleculares de la misma forma quecon las proposiciones atómicas

En estos casos uno de ellos es el operador dominante por queactúa sobre toda la proposición

Por ejemplo en la siguiente proposición molecular los espacios sepueden llenar con proposiciones atómicas o moleculares

( ) ∧ ( )




Si se emplean proposiciones moleculares, éstas a su vezcontienen otros operadores de enlace

Sin embargo, la conjunción ∧ se mantiene como el operadordominante

Por ejemplo, la conjunción de dos negaciones, como “Antonio noestudia en la universidad” y “Ana no estudia en la Universidad”

Si designamos por T la proposición “Antonio estudia en laUniversidad” y por A la proposición “Ana estudia en laUniversidad” tendríamos la siguiente fórmula

(¬T ) ∧ (¬A)




Consideremos ahora una conjunción cuyo primer miembro sea asu vez una disyunción y cuyo segundo miembro sea unaproposición atómica

x = 1 o x = 2, y y = 3

Sea P = “x = 1”, Q = “x = 2”, y R = “y = 3”

(P ∨Q) ∧R (1)

Los paréntesis que encierran la proposición molecular P ∨Q en lafórmula (1) muestra que las partes están ligadas por unaproposición única




Una convención acerca del uso de los paréntesis es que lasconjunciones y las disyunciones tienen “menor precedencia” quelas condicionales y bicondicionales, i.e., dada una fórmula sinparéntesis, las conjunciones y las disyunciones deben agruparseantes

Por ejemplo

Proposición Lectura correcta Lectura incorrecta

P ∧Q → R (P ∧Q) → R P ∧ (Q → R)

¬P ↔ Q ∨R ¬P ↔ (Q ∨R) (¬P ↔ Q) ∨R

P ∧Q ↔ R ∨ S (P ∧Q) ↔ (r ∨ S) (P ∧ (Q ↔ R)) ∨ S




La negación ¬ tiene mayor precedencia que los operadoresbinarios

Por ejemplo, esta fórmula:

((¬P ) ∧ (¬Q) ∧ (¬R) ∧ S) ∨ ((¬P ) ∧Q ∧R ∧ (¬S))

Es equivalente a esta otra (retirando paréntesis innecesarios):

(¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R ∧ S) ∨ (¬P ∧Q ∧R ∧ ¬S)




En resumen, la precedencia de los operadores en lógicaproposicional es la siguiente.

Operador Nombre Precedencia

¬ Negación 1

∧ Conjunción 2

∨ Disyunción 3

→ Condicional 4

↔ Bicondicional 5


Lógica proposicional Tablas de verdad




Tablas de verdadTabla de verdad de la negación

X ¬X

T F

F T



Tablas de verdadTabla de verdad de la conjunción

X Y X ∧ Y

T T T

T F F

F T F

F F F

Nota: Una conjunción es verdadera sólo cuando ambas partes de ella son verdaderas. De lo contrario, es falsa.



Tablas de verdadTabla de verdad de la disyunción

X Y X ∨ Y

T T T

T F T

F T T

F F F

Nota: Una disyunción es verdadera cuando al menos una de sus partes es verdadera. De lo contrario, es falsa.



Tablas de verdadTabla de verdad de la condicional

X Y X → Y

T T T

T F F

F T T

F F T

Nota: Una sentencia condicional es falsa sólo cuando la primera parte es verdadera y la segunda parte es falsa. De lo contrario,

es verdadera.



Tablas de verdadTabla de verdad de la bicondicional

X Y X ↔ Y

T T T

T F F

F T F

F F T

Nota: Una sentencia bicondicional es verdadera sólo cuando ambas partes de ella tienen el mismo valor de verdad. De lo

contrario, es falsa.


Lógica proposicional Condiciones lógicas en tablas de verdad




Condiciones lógicas en tablas de verdadTautologías

Una tautología es una proposición que siempre es verdadera,independientemente de los valores de verdad de sus constantes

Se representa con el símbolo >

Un ejemplo de tautología es la proposición X ∨ ¬X

Debido a que ya sea X o ¬X pueden ser verdaderas, al menosuna parte de esta proposición es verdadera, por lo tanto estaproposición molecular siempre es verdadera

X ¬X X ∨ ¬X

T F T

F T T



Condiciones lógicas en tablas de verdadContradicciones

Una contradicción es una proposición que siempre es falsa,independientemente de los valores de verdad de sus constantes

Se representa con el símbolo ⊥

Un ejemplo de contradicción es la proposición X ∧ ¬X

Debido a que ya sea X o ¬X pueden ser falsas, al menos unaparte de esta proposición es falsa, por lo tanto esta proposiciónmolecular siempre es falsa

X ¬X X ∧ ¬X

T F F

F T F



Condiciones lógicas en tablas de verdadImplicación tautológica

Una proposición P se dice que implica tautológicamente unaproposición Q si y sólo si la condicional P → Q es una tautología

La proposición “Pérez apuesta a los Pumas y Lopez apuesta a losTigres” implica tautológicamente “Pérez apuesta a los Pumas”

Ya que cualesquiera que sean las proposiciones P y Q,P ∧Q → P es una tautología

P Q P ∧Q → P

T T TT F TF T TF F T



Condiciones lógicas en tablas de verdadEquivalencia lógica

Dos proposiciones son lógicamente equivalentes (llamadatambién equivalencia semántica) si en cualquier posibleasignación las dos tienen el mismo valor de verdad

Por ejemplo, si consideramos las proposiciones P , ¬¬P y sucorrespondiente tabla de verdad podremos comprobar que ambastienen el mismo valor de verdad en cualquier línea

P ¬P ¬¬P

T F TF T F



Condiciones lógicas en tablas de verdadEquivalencia lógica

Veamos otro ejemplo. Verificaremos si la proposición A ∧ ¬B eslógicamente equivalente a la proposición ¬(¬A ∨B)

A B ¬A ¬B ¬A ∨B ¬(¬A ∨B) A ∧ ¬B

T T F F T F F

T F F T F T T

F T T F T F F

F F T T T F F



Condiciones lógicas en tablas de verdadEquivalencia tautológica

Si dos proposiciones son lógicamente equivalentes, el valor deverdad de una es siempre el mismo que el de la otra, y subicondicional correspondiente será siempre verdadera (unatautología)

Las proposiciones lógicamente equivalentes se llaman tambiénproposiciones tautológicamente equivalentes y la bicondicional deellas (o equivalencia) se denomina equivalencia tautológica

A B ¬A ¬B ¬A ∨B ¬(¬A ∨B) A ∧ ¬B (¬(¬A ∨B)) ↔ (A ∧ ¬B)

T T F F T F F TT F F T F T T TF T T F T F F TF F T T T F F T



Condiciones lógicas en tablas de verdadConsistencia

Dos o más proposiciones son consistentes si al menos una asignación devalores de verdad hace que todas ellas sean verdaderas

Por ejemplo, si consideramos las siguientes cuatro proposiciones P , Q,(Q → ¬P ), y R y su correspondiente tabla de verdad

P Q (Q → ¬P ) R

T T F TT T F FT F T TT F T FF T T TF T T FF F T TF F T F

En ninguna interpretación se da que todas las proposiciones son verdaderas,por lo tanto el conjunto de proposiciones es inconsistente



Condiciones lógicas en tablas de verdadValidez

Un argumento es válido si en cada asignación donde las premisas sonverdaderas, la conclusión también lo es

Por ejemplo, si consideramos las siguientes dos premisas P ∧Q, R → ¬P y laconclusión ¬Q ↔ R y su correspondiente tabla de verdad

P Q R P ∧Q R → ¬P ¬Q ↔ R

T T T T F FT T F T T TT F T F F TT F F F T FF T T F T FF T F F T TF F T F T TF F F F T F

En la asignación donde las premisas son verdaderas la conclusión también loes, por lo tanto el argumento es válido


lógica computacional dr. eduardo a. rodrÍguez telloertello/logica/sesion02.pdf · en resumen, la...

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