lo bello de la matemÁtica

Universidad Simón I. Patiño Carrera de Matemáticas

Lo bello de las matemáticas

Dodovrosky F. Medrano Rocha

Cochabamba, 2008

Prefacio

Desde la adolescencia, Dodovrosky (nombre predestinado con el que fue bautizado)

entregó su tiempo y energía al desarrollo de soluciones arguciosas para un sin fin de

problemas relacionados con sucesiones y series. Como era de esperar, a la manera de

Euler, el concepto de convergencia supuesto intrínseco, nuestro joven matemático

(nadie puede objetar que merezca tal apelativo) hace gala de una intuición natural que le

permite manejar con destreza las herramientas algébricas propias al cálculo de límites.

Pero, más allá de la simple exposición de métodos mecánicos, logra dirigir la atención

del lector a la apreciación de la belleza de una demostración elegante. Sagaz

Sin duda el autor muestra, a lo largo de su obra, el potencial que como joven científico

posee y que, apostamos sin temor, aportará a Bolivia la satisfacción de contar con

matemáticos sobresalientes. Basta, para convencerse de ello, observar la madurez

adquirida entre las primeras páginas y las últimas. Poco a poco, el formalismo y el rigor,

propios de la ciencia fundamento de las ciencias, aparecen cada vez con mayor

pertinencia.

Aconsejo el estudio de este libro como un complemento enriquecedor y formativo.

Enriquecedor porque, desde los inicios de la civilización los matemáticos han

compartido sus conocimientos abierta y generosamente, como Dodovrosky lo hace

siguiendo esta milenaria tradición, y de tal manera han aportado al saber de las

generaciones venideras. Formativo porque nada mejor para formar el talento deductivo

que la de tomar la costumbre de embarcarse en la resolución de problemas que

requieren concentración y astucia, para luego comparar las soluciones encontradas con

las expuestas en el libro.

Agradezco a mi estudiante Dodovrosky Medrano, el honor que me hecho al solicitarme

que escriba estas líneas, privilegio que aprecio tanto más cuanto tengo la certeza de que

su formación en la Universidad de Ginebra, gracias a la beca que obtuvo de la

Fundación Simón I. Patiño, lo llevará a destacar entre los matemáticos mejor formados

de Europa.

Dr. Oscar Roberto Pino Ortiz Rector de la Universidad Simón I. Patiño

Introducción

El principal objetivo trazado en este libro, es ofrecerle al lector un sumario de los

principales y más básicos métodos de resolución de problemas que involucran series y

sucesiones. No se ha pretendido de ningún modo suplir el material de un curso formal

de cálculo o de uno más riguroso de análisis, se pretende llegar al lector con la cantidad

suficiente de ejercicios que le permitan resolver una gran cantidad de problemas

similares a los que se resuelven en el libro, esto justifica el porque los ejemplos

resueltos se llaman “anécdotas”, solo queremos advertir al lector que no se le está

enseñando a resolver ejercicios, sino más bien, dándole algunas sugerencias para

hacerlo. El “ejemplo” puede ser muy peligroso.

La mayoría de los resultados empleados se admiten sin demostración (mismas que se

pueden encontrar en un libro de análisis), el lector debe observar también que no se

discuten cuestiones de convergencia, puesto que ése no es el propósito de este trabajo.

Preferiría decir que este texto es una “lectura recreativa” el cual el estudiante (ya sea de

preparatoria o primer año de universidad) encontrará ameno y entretenido y pueda por

esta vía, al menos, encontrar “lo bello de las matemáticas”.

Deseo manifestar mi profunda gratitud con la comunidad universitaria USIP

(Universidad Simón I. Patiño), por haberme brindado la oportunidad de ser un

“usipiano” más. En especial mi gratitud para con los administrativos, el director de la

carrera de matemáticas Dr. Oscar Pino Ortiz y todos mis docentes de matemáticas:

Mgr. Celeste Neumann

Mgr. Rimer Zurita

Mgr. Lourdes Rodríguez

Uno particular para Mgr. Roberto Zegarra Urquidi, bajo cuya instrucción empecé a

forjar mi carácter de matemático.

Junio, 2008

Dodovrosky Medrano Rocha

A mis padres: Rudy Medrano y Bertha Rocha A mis hermanos: Eunice y Ruddy

Lo bello de las matemáticas 1

Tópicos matemáticos MÉTODO DE LA SECUENCIA REITERADA Un científico digno de este nombre, especialmente si es un matemático, experimenta en su labor la misma impresión que un artista; su placer es tan grande y de la misma naturaleza…. (Henri Poincaré). Iniciamos éste texto con un método muy interesante, además de fácil de aplicar, que se justifica para sucesiones que convergen. Antes de atemorizarse con los símbolos, entiéndase la idea que hay tras de ellos, si así lo hace aplique el método de la secuencia reiterada: observe la forma de la sucesión, identifique la estructura que se “repite”, platee una ecuación y resuélvase. Ejemplos:

1) calcular el valor de 2222 Para determinar este valor vamos a aplicar el método de la secuencia reiterada, primero tomemos nuestra cantidad secuencial:

E

E 22222

A partir de donde observamos se repite la secuencia, aplicamos una igualación “intuitiva”, si E es la cantidad secuencial, y dentro de “ E ” se repite nuevamente la secuencia, al tener muchos términos se puede “despreciar” uno de ellos y escribir la secuencia nuevamente. La ecuación de nuestro ejemplo es:

EE 2 , al resolver: EE 22 tenemos dos raíces 2;0 21 EE , aquí la segunda raíz es valida, la primera carece de sentido por lo que concluimos diciendo que 2E Algunas veces se pueden presentar los siguientes casos:

2) Calcular: 222 Si aplicamos el mismo método tenemos

EE 2 , elevando al

cuadrado EE 22 , lo que da una ecuación de segundo grado, cuyas raíces son

1;2 21 EE , aquí la respuesta que tiene sentido es 2 (una sucesión de números positivos converge a un número positivo), por lo que 2E .

3) Calcular:

2

2

2

Igualmente donde observemos se repita la secuencia aplicamos el método aprendido:

PP

2

PP

22 23 P

3 2P La razón por la que aceptamos el convenio de escribir la sucesión en su forma “expandida” es porque no siempre se puede aplicar el criterio de la secuencia reiterada. En los casos donde si es posible, la notación convenida es mas intuitiva y por tanto un poco más fácil de comprender. Lo importante es aclarar que este método solo se puede aplicar bajo ciertas condiciones razonables, dichas condiciones nos las provee el análisis. Para aplicar este método hay que probar que la sucesión está acotada y que es monótonamente creciente o decreciente y por lo tanto tiene límite y este debe ser único. La siguiente sucesión se define del modo siguiente:

4) ),2,1(1

1,1

1

0

nx

xxn

n ,

calcular lim nn

x

.

Si desarrollamos algunos términos de la sucesión:

2

11

1

2

1

2

1

x

x


2

11

11

13

x

2

11

11

11

1

nx

Esta última expresión es en la que hemos convenido. Cuando aplicamos el método de la secuencia reiterada no hacemos otra cosa sino comparar magnitudes cuya semejanza (en todo caso igualdad) se hace más y más evidente, toda vez que la secuencia tiende a su límite (si lo tiene). En efecto, la sucesión anterior, que es recursiva, tiene un límite tal que nx se confunde con 1nx cuando

n . Lo que se espera es que se verifique la igualdad:

1lim limn nn n

x x x

Donde el valor de x debe ser único si la sucesión es convergente, y se llama “límite de la sucesión”, esto no implica necesariamente que:

1

lim

lim

nn

nn

xx

x

o viceversa.

Suponemos que este límite existe, por tanto:

xx

1

1

Se obtiene la ecuación: 012 xx

Cuyas raíces son:

2

15

2

15

2

1

x

x

Desde luego, aquí la primera raíz tiene sentido, no es posible afirmar que la sucesión converja a un valor negativo. Por tanto:

5 1lim

2n

nx x

Ensayando algunos términos, veríamos que:

618033988,028657

17711

618055555,0144

89

619047619,021

13

615384615,013

8

625,05

3

666,03

2

5,02

1

1

20

10

6

5

4

3

1

0

x

x

x

x

x

x

x

x

Como se puede apreciar, es claro que para el 20º término, la sucesión se va aproximando

cada vez más al irracional 2

15 , en efecto,

eso es lo que vale con una precisión de 9 decimales:

618033988,02

15

Claramente, la sucesión en un principio no decrece ni decrece (es monótona) en forma ordenada, empieza a ordenarse a partir de que

se va aproximando al irracional 2

15

(Decrece ligeramente), es decir:

nn xx 1 Para algún kn

Y a partir de ese kn la sucesión estará acotada inferiormente y tendrá un límite x . Examinemos el siguiente ejemplo: 5) Sea la sucesión

1nnx , definida por

recurrencia, de modo que a

xax

n

n

1

1

y

00 x )1( a . Hallar lim nn

x

.

Por el criterio de la secuencia reiterada es fácil obtener:


1

1

1

lim nn

a

a a

a ax xa

)1(

11

1

aa

xxa

axa

xax

También podemos examinar la sucesión por pasos:

21

1

1

aa

ax

32

2

2

11

11

aaa

aax

432

32

3

111

111

aaaa

aaax

132

2 111

111

n

n

naaaa

aaax

De modo que:

2

2

1

1 1lim lim

1 ( 1)1

n

n kn nK

ax xa a a

a

En una buena parte de los casos, es posible demostrar el resultado obtenido de la simplicidad de operar que tiene el criterio de la secuencia reiterada. En contraparte, hay casos en que el cálculo de una secuencia, sin usar el criterio, se hace muy laborioso y hasta a veces muy difícil. Examinemos este último ejemplo 6) Dada la sucesión

1nnx de modo que

bn

m

n xax 1 , b max 1 )1( b Hallar lim n

nx

.

Por pasos:

b

m

b m aax 1

22

2b

m

b

m

b

m

b

m

b b mm aaaaax

32

3b

m

b

m

b

m

b b b mmm aaaax

nb

m

b

m

b

m

raicesn

b b b mmm

n aaaax

2

""

lim nn

x

1

lim

1

n

knk

m m

b bx a a

Y de modo más sencillo, por el criterio de la secuencia reiterada:

b

x

b b mmm aaax b m xax

11 b

m

mbmb axaxxax Hasta ahora hemos procedido de manera muy alegre sin preguntarnos si los límites calculados existen o no. Todo matemático debe asegurarse que los cálculos que efectúa están respaldados por resultados demostrados y verdaderos, por tanto para el ejemplo 2 tendríamos que demostrar que la sucesión es monótona creciente acotada y por lo tanto converge a su supremo, es decir: Sea la sucesión 1 2n nx x además

1 2x , no es tan difícil probar que es creciente, para ello usamos el principio de inducción matemática (ver más adelante)

1 2 2n Verdadero Suponemos cierto para

1k kn k x x , luego por hipótesis de inducción tenemos:

1 12 2k k k kx x x x

1 1 22 2k k k kx x x x

1n nx x n . Por lo tanto es creciente, luego usando nuevamente inducción podemos demostrar que 2 es cota superior de la sucesión i.e.

1 2 2n Verdadero Suponemos cierto

2kn k x


Luego por hipótesis inductiva 2 2 2k kx x i.e. 1 2kx Por lo

tanto 2nx n , y por un teorema

sabemos que 1lim limn nn n

x x x

, esto nos

permite llegar a la ecuación 2x x , lo que da como respuesta 2x que es el límite pedido. La razón por la cual no se considera la raíz negativa es porque toda sucesión real de números positivos si converge lo hace a un número positivo. En adelante no nos detendremos a estudiar la convergencia ó divergencia de los problemas de series y sucesiones planteados en este texto y se le recomienda al lector hacer las demostraciones respectivas utilizando los criterios adecuados, dado que ése no es nuestro propósito de estudio sino el de trabajar técnicas que nos permitan el cálculo de series y sucesiones.

MISCELÁNEA Nº1

Pruebe que las siguientes sucesiones convergen y encuentre su límite aplicando el método de la secuencia reiterada.

1) Dar la forma más simple de:

xxxxA 1x

5 3 5 3 2222 B 2) Calcular el valor de:

5 3 5 3 1625616256 F

3) Halle:

4202011

171717121212

E

4) Simplificar:

5 5 5 444

4 4 4 333

xxx

xxxE 1x

5) Hallar el grado de monomio:

3 3 3 424244

xM a

6) Hallar el grado de la siguiente

expresión:

3 3 3 6667

xM

7) Calcular el valor de:

666410

8) Simplificar:

364

64

323232

9) Simplificar:

n n n xexexeE 10) Calcular:

5

4

5

4

54

x

x

x

B

11) Si A=B, determinar el valor de “x”

x x x xxxA Nx

x x x xxxB 12) Determinar “ n ”


2222

""

radicalesx

n

13) si:

xxx xxx 323232

=

3

2

3

2x

x , calcular:

23232333

xA 14) Calcular:

3

2

3

2

32

y

y

y

15) Calcular:

nn

nxx

x

A

1

1

1

16) Calcular el valor de E:

22321212121 E

17) Señalar el conjunto solución de:

23 xxx 18) Simplificar:

3 3 3 666 19) Simplificar:

2724666 E 20) Calcular el valor de:

61233 2799 xxxxxE xxxx

Si se cumple que:

x x xxxxx 3232 22

21) Calcule aproximadamente:

323232E

22) Dada la sucesión:

;31 a 332 a ; 3333 a ; ... , calcular:

2005

2

2004

2

20062003

.

.

aa

aaE

23) Siendo:

3665 x

Calcular:

5 5 1515 xxE 24) Calcular:

2007321

222)5,0(5 5 525,0

25) Hallar dos números enteros

consecutivos “ a ” y “b ” tales que, a b , y verifiquen la siguiente relación:

a a a

bbb

a

b

b

a

b

a

b

a

1

1

4


Indique como respuesta:

a

ba

b

aF

Tópicos matemáticos FRACCIONES Y EXPONENTES (EJERCICIOS DIVERSOS) El método de la secuencia reiterada es una herramienta muy útil para el cálculo de secuencias infinitas, más adelante veremos como extender el uso de este método y aplicarlo a secuencias finitas. Ahora nos ocuparemos de estudiar estos casos: Anécdotas: 1) calcular el valor al que se aproxima:

1

21

21

21E

Aquí usamos el método de la secuencia reiterada:

EE

21 022 EE , de aquí

tenemos: 2E

2) Calcular el valor de “ A ”

2

22A

Procediendo del mismo modo tenemos:

A

A 2 2

11

2AA , por comparación 2A .

No todos los aparentes problemas de secuencias infinitas tienen solución rápida por el método anterior, como se verá en este problema:

3) La siguiente sucesión llamada de “Dodovrosky”, viene dada por las siguientes igualdades:

xa

111 ,

x

a1

1

112

,

x

a

11

11

113

, calcular el valor de

69a .

Antes de efectuar el cálculo, veremos lo que pasaría si UD Pensara en tomar el termino 69a como un valor próximo al que seria igual la secuencia si fuera infinita, considerando que 69 fracciones de la forma toman ese valor aproximado, UD se llevaría una gran sorpresa:

PP

11 012 PP , las raíces

de esta ecuación son:

2

31 iP

,

Es decir sus soluciones son imaginarias, puede que esto nos haga pensar que la sucesión no tiene un límite pero observe lo siguiente:

Para x

x

xa

1111

,

Para 1

1

11

112

x

x

a ,

Para x

x

a

11

11

113 ,

Para x

xa

14

La secuencia 4a es igual a la secuencia

1a , también se tiene que 2a es igual a

5a y 3a será igual a 6a ,...etc. Es decir los resultados son periódicos, muy similar


con lo que ocurre con las potencias imaginarias. Es decir la sucesión de Dodovrosky es oscilante, entonces los valores que puede tomar para cualquier “ n ” conocido serán:

x

xx

xan ,

1

1,

1, para n .

Si 23,....,10,7,4,1 kn , converge a:

x

x 1

Si .13,....,11,8,5,2 kn converge

a: 1

1

x

Si ,3,.....,12,9,6,3 kn converge a: x . A nosotros se nos pide determinar al valor de 69a , la ecuación que satisface para un valor de “k” entero positivo es:

693 k , 23k , por lo que el termino

69a es x . Es evidente que la sucesión no verifica la unicidad de su límite, por tanto esta no converge, lo que se ha podido apreciar es que es posible construir tres subsucesiones que van a valores fijos pero distintos entre si. Tópicos matemáticos ANÁLISIS INDUCTIVO El análisis inductivo es una útil herramienta que es utilizada por muchas ciencias, para las cuales el método inductivo consiste en: a partir de observaciones particulares llegar a concluir leyes generales. Este método se conoce también como razonamiento inductivo. Se debe tomar nota de algo muy importante, no se debe confundir el análisis inductivo con la inducción matemática, en matemática se entiende por inducción a un método demostrativo basado en el principio de buen orden de los números naturales que se emplea para

probar conjeturas o teoremas que se consideran validos para una conjunto que recorre los números naturales o desde un elemento de éste conjunto. Por lo que “razonamiento inductivo” en lo que se refiere a la matemática tiene otro sentido que el de inducción matemática. Con en análisis inductivo podemos partir de hechos particulares para llegar a uno general (generalmente hablamos de una “ley de formación”), debemos observar como mínimo que se cumpla para

3,2,1n para luego poder generalizar. El análisis deductivo es, al contrario, la aplicación del caso general a uno particular, en matemática también se considera distinto el concepto de “Deducción Matemática”, en este caso se refiere a obtener mediante conocimientos adquiridos con anterioridad otros que se suponen nuevos que son consecuencia directa de los anteriores. Pero la inducción matemática no está disconexa con el razonamiento inductivo, es decir podemos demostrar por inducción matemática lo que conjeturamos por medio de un razonamiento inductivo.

Anécdotas: 1) indicar la suma de las cifras del

resultado al efectuar la siguiente expresión:

"666"

2666666cifras

Casos particulares: suma de cifras:

26 9 = 9.1 266 18 = 9.2

2666 27 = 9.3 ............................. .............................

cifrasn""

2666666 9. n

Aplicando a nuestro caso particular: Suma de cifras = 666. n = 666.9 = 5994

2) Calcular la suma total de los

elementos del siguiente arreglo:


1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 13................13 1

Este es el famoso triangulo de Pascal, para hallar la suma de sus elementos empezaremos analizando casos particulares: Caso Suma total 1 1ª fila 121 1 1

1 2 1 2ª fila 123 2 1 1 2 1 1 3 3 1 3ª fila 127 3 Para un el caso general, osea la suma de

""n filas se tendrá 12 nS , en nuestro caso particular, nos piden:

163831214 3) Señalar el exponente de “ x ” luego de

simplificar:

radicalesn

xxxxE

""

4 4 4 4 3333 .....

Éste caso nos sugiere plantear otro método distinto al de la secuencia reiterada, dado que aquí no se tratan de infinitos radicales, sino un determinado numero “ n ” de raíces. Trataremos de hallar “una ley de formación” Analizando casos particulares: Suponiendo n = 1 se obtiene:

4

14

4

3

4 3

xxx Suponiendo n = 2 se obtiene:

2

2

4

14

16

15

4 4 33

xxxx Suponiendo n = 3 se obtiene:

3

3

4

14

64

63

4 4 4 333

xxxxx Para el caso general se tendrá:

n

n

x 4

14

Que es el resultado pedido. Para ser más rigurosos tendríamos que probar este resultado por inducción matemática (ejercicio), si el lector todavía no esta familiarizado con esta idea, puede omitir la demostración. 4) La siguiente expresión se llama “función de Dodovrosky”, si n , la

función converge a:1

12 x

x

x

x

x

nx

x

x

xxf

1

3

1

2

1

1

)(

Para hacer este cálculo no queda de otra que hacer un estudio de casos particulares:

21

1

1

)(xx

xxf


42

2

2

11

1

1

xxx

x

x

xxf

642

3

2

3

111

1

1

1

xxxx

x

x

x

x

xxf

A partir de esos casos particulares se puede demostrar que:

nn

xxxxxf

2642

1111 , esta

es la suma de los “ n ” primeros términos de una progresión geométrica, la cual es decreciente si 1x , por lo tanto si la función de Dodovrosky es convergente lo será para todo “x” que satisfaga dicha condición, como n tiende a infinito, aplicamos la formula de progresión geométrica decreciente al infinito:

1

1

11

1

1lim

2

2

21

x

x

x

q

uxf n

n

Tópicos matemáticos CONSTRUCCIÓN DE UNA SUCESIÓN POLINOMICA Una sucesión polinómica de números reales es aquella que viene definida por la suma de una cantidad constante llamada razón o diferencia, la sucesión puede ser lineal, en ese caso la razón es de primer orden y la sucesión es llamada “progresión aritmética”, pero si la razón es de segundo orden, la sucesión es llamada “cuadrática”, si es de orden tres, es llamada “cúbica”, etc. Ejemplos: Sucesión lineal o progresión aritmética (P.A)

)13(,....,16,13,10,7,4 n

Analizando la diferencia termino a término: 4 7 10 13 16 19 22 +3 +3 +3 +3 +3 +3 La regularidad es que cada término después del primero se obtiene sumándole 3 al anterior. Sucesión Cuadrática

2.,,64,49,36,25,16,9,4,1 n

Analizando las diferencias: 1 4 9 16 25 36 49 +3 +5 +7 +9 +11 +13 +2 +2 +2 +2 +2 Este tipo de sucesión, en el que la razón aparece en la diferencia de la diferencia, es decir en un segundo orden se llama “sucesión cuadrática”, la razón constante aquí es 2. Sucesión cúbica

3,,343,216,125,64,27,8,1 n Analizamos las diferencias: 1 8 27 64 125 216 343 +7 +19 +37 +61 +91 +127 +12 +18 +24 +30 +36 +6 +6 +6 +6 Este tipo de sucesión es llamado “sucesión cúbica”, aquí la razón aparece luego de hallar la diferencia de la diferencia de la diferencia, es decir en un orden de tres y dicha razón es 6. Procediendo del mismo modo se puede construir sucesiones cuárticas, etc. Método para calcular el término general de una sucesión polinómica. Anécdotas: 1) Calcular el termino general de:


,82,54,32,16,2 Como la variación de termino a termino no es lineal, esto nos hace suponer que la sucesión puede ser cuadrática, cúbica, etc. Analizamos las diferencias: 2 6 16 32 54 82 4 10 16 22 28 6 6 6 6

Por lo visto, la sucesión es cuadrática, por lo que su término general será de la forma:

CBnAnan 2 , planteamos ahora ecuaciones para los valores de “ n ”

n =1 21.1. 2 CBA n =2 62.2. 2 CBA n =3 163.3. 2 CBA

Al resolver el sistema da:

4,5,3 CBA , por lo que el término general será de la forma:

453 2 nnan

Nota: si la sucesión fuese cúbica habría que plantear un sistema de ecuaciones con cuatro incógnitas, si fuese cuártica se plantearía un sistema de ecuaciones con cinco incógnitas, etc.

Tópicos matemáticos CRITERIOS PARA RESOLVER ECUACIONES EXPONECIALES Hay muchos recursos que un matemático puede aplicar para resolver una ecuación exponencial, infinita o finita, aquí están los mas importantes:

a) nn

n xnx xx

b) n

n nn n

nxxxxn

nxxxx

Entonces: n nx

Anécdota:

1) Resolver la ecuación exponencial:

81

333

x

xxx

xxxx

x

xxx

Para cualquiera que este muy familiarizado con este tipo de problemas, al primer golpe de vista diría que la respuesta es 3 3x , en efecto ésa es la respuesta, ¿pero cual es el razonamiento que nos conduce a ella? Veamos:

Haciendo p

xxxx

3

, es evidente que

px p , de donde p px , ahora transformemos la ecuación:

3

23

333

..

xxxx

xxx

xxx

xx xxxx xxxx

23

3

.

xxx

xx

x

x xx

8112

pp

p ppp Al resolver la ecuación para “ p ” se tiene:

3p , de donde a sustituir en el cambio de

variable: 3 3 xpx p

MISCELÁNEA Nº2

1) La sucesión viene dada por las siguientes igualdades:


aa 1

aaa 2

aaaa 3

Calcular nn

a

lim

2) La siguiente expresión se llama “fracción Áurea” :

2

12

12

12

12

12

E

Averigüe porque. 2) Dar el exponente de “ x ” luego de

simplificar:

ny

y y

yy

y y xZ

32

3) Si se sabe que, hallar:

veces

xffff

12

Dar como respuesta la suma de las cifras del término independiente. 4) Si: 23 xxf , calcular “M”

vecesn

xffffM

""

5) Si: 32 xxG

xgxfG = 34 x

7 xgxfG Calcular:

1gfgfgfA

6) Si xf es un polinomio completo y

ordenado en forma creciente respecto de “x”, del cual se han indicado tres términos; si xf posee n8 términos:

calcular na .

termimosn

nan anxaxnxf)16(

15222

7) Calcular b a babA . , si el polinomio:

122)1(16 22

53 baaa nxxxxxfaa

,0,0 bn es completo y ordenado de

24 aa términos. 7) Calcular dando la forma general,

luego hallar su límite.

2

4

6

8

75

3

1

A

8) Calcular:

5

42

5

42

542

A

9)

radicalesn

vyyyy

""

3 3 3 222

Además: 2

;3

80 ny

nv

Hallar el valor de: )( yn

9) hallar “ x ” en:


3 3 6 6 ""3232""44 radicnradicn

n nx x 12 10) Calcular el valor de:

n

nA

8

6

4

2

13

5

7

)1(

11) Demostrar:

raicesn

N

""

22 2loglog , verificar que se

cumple nN 12) En que sistema de numeración se

demuestra:

28906255

2222

b 13) Calcular el valor numérico de “ B ” si

1x

1

11211

x

xnxnxmx

B

14) Calcular ""n en la igualdad:

1

93

32

""

333

xxxx

radicalesn

15) Efectuar:

2

11

12

22

21

1

n

nn

nn

nE

16) Determinar “ x ” en:

27

403 9 3

33 3 3 3 33

x

17) Expresar en forma simplificada:

n n n n nnnn n

xxxxE 32

18) Calcular la suma de la serie:

n

aaaa 222ln

1

ln

1

ln

1

ln

12

19) Calcular:

n

mL , si:

101010101010m ;

5 55 55 5n 20) Resolver:

xxxx

2222

2

1

2

1

2

1

2

1

2

21) Resolver:

2 2 22

4

2

xxxxx

22) Calcular:


2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

xx

xx

E

Si: 22 yx 23) Al calcular:

2

2

2

11

1

1

E

Se tiene… 24) hallar un valor de “x” y de “n” en:

32

nxxxx

25) Simplificar el Producto:

nxA

x

xA

x

xA

x1

211

26) Calcular la suma limite de la serie:

nn

nn

ba

ba

ba

ba

ab

baS

22

22

2

27) Si el polinomio es completo de n3

términos: 22122 )22()12(2 nnn xnxnnxxP

Calcular “n”

28) Si 2)( 2 xxP , Calcule:

vecesn

vecesn

PPPP

PPPPPPP

"8"

"8"

)...)))0((...((

)))2(((5)...)))2((...((3

29) Si: xn

nxxg

donde n ,

Determine:

" "

( ( (... ( )...))) ;

m parentesis

g g g g x m

30) A partir de:

4321)( xxxxxF Calcular: )6,0(FK 31) Resolver para “ n ”

vecesnvecesn )24()1(

333 4.4.44.4.4222

32) Resolver:

4 54 5

4 5

xx

x =

xxxx

111

33) Resolver dando un valor de “ x ” y “ n ”

22

nxxxx

34) Determinar “ R ”, sabiendo que

NM en las siguientes relaciones:

SSSM

CCCN Aclaración: aquí “ S ” representa una medida angular en grados sexagesimales y “C ” en grados centesimales. Lo que se pide es hallar un valor “x” expresado en radianes “ R ” tal que cumpla con la relación dada.


35) Hallar “ R ” si se cumple la relación siguiente:

SSSS

CCCC 36) Determinar la medida de un ángulo

en radianes, si BA

S

SS

SS

SSA

C

CC

CC

CCB


a

a

a

a

P2

3

4

11

1

1

, 1a

38) La siguiente fracción:

2

4

6

53

a

a

a

aa

a

D

Converge gracias al factor aditivo llamado: “Serie de convergencia de Dodovrosky”, la cual es:

22

12

111

12 n

nnn aaa

Pruebe UD que es verdadero y hallar la suma serie.

39) Demostrar la igualdad:

2

1

32

n

ka

a

a

a

ka

aa

a

=

= 3 3 3anti log (1 2 )a n 40) Para la siguiente fracción:

a

a

a

aa

aa

aM

2

2

2

2

Demostrar que converge a: )1( a donde es el número áureo, representar

el término general nM , como una sucesión recursiva. Nota: Una sucesión se dice que es recursiva o se define por recursividad si:

1 2, ,...,n n n n ka f a a a , este tipo de sucesión es tal que cada término se puede obtener conociendo los anteriores. Se dice que el termino n-ésimo viene dado por recurrencia o bien dado el caso, por recursividad.

41) calcule UD


m

mm

mm

m

m

mm

m

42) Deducir la formula para calcular:

2

1

1

2

n

kk

n

kk

k

k

kk

k

43) Sea

vecesn

n xfffxf

""

)))(((

Hallar )(xf n , si:

21)(

x

xxf

44) Expresar en forma simplificada:

AE cos22222

Tópicos matemáticos SUCESIONES NUMÉRICAS

Las sucesiones numéricas son conjuntos de números, donde cada elemento tiene un orden asignado, es decir a cada elemento le corresponde un ordinal, el termino representativo de la sucesión recibe el nombre de termino enésimo o termino general. Tipos más comunes de sucesiones numéricas Progresión Aritmética:

naaaa ,,,, 321 +d +d

Aquí: dnaan )1(1 Sucesión cuadrática:

naaaaa ,,,,, 4321 +r +p +p..... +a +a Aquí:

2

)23()1(

2

1

annrnaan

Progresión Geométrica

nuuuu ,,,, 321 *q *q... Aquí: 1

1

n

n quu Entre muchos otros tipos de sucesiones tenemos esas, que son las más conocidas, pero hay saber que existen tantos tipos de sucesiones como ingenio puede tener el hombre. Está por ejemplo la sucesión de Fibonacci:

1 21,1,2,3,5,...... n n nt t t , que como se ve es una sucesión recursiva. También tenemos la sucesión de números triangulares:

2

)1(,,10,6,3,1

nn

Llamados así porque se forman a partir de la suma de los elementos del siguiente arreglo

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

En el primer triángulo se suma 1, en el segundo se suma 3, en el tercero se suma 6, etc.

No valdría la pena enumerarlas todas, por que las hay de toda variedad y todo tipo. Estas y muchas otras más son con las cuales el estudiante esta familiarizado desde colegio.


SERIES Y SUMATORIAS 1

Nuestro primer encuentro será con las series numéricas. Las más simples y que se conocen desde colegio son las progresiones aritméticas y geométricas. Introducimos acá una serie que probablemente le sea familiar al lector, hablamos de la serie “ p ”, además le damos una receta al lector para evaluar series finitas usando un teorema importante sobre la serie “ p ”. Una serie numérica:

1 2

1

n n

n

a a a a

Se llama convergente si su suma parcial

nn aaaS 21 Tiene límite

cuando n . El número nn

SS

lim

recibe el nombre de suma de la serie y la cantidad 21 nnnn aaSSR

es el resto de la serie. Si nn

S

lim no existe,

la serie se dice divergente. Sumatoria notables

a) Progresión Aritmética Fórmula de suma, que se deduce en un curso de bachillerato es

2

1

1

naaa n

n

k

k

b) Progresión Geométrica La fórmula de suma es

1

1

1

1

nn

k

k

u qu

q

donde q es la razón.

c) La serie p Se llama serie p a la serie

1

1 1 1 1

1 2

n

p p p pkn k

, se tiene las

siguientes observaciones:

1

converge si 11lim

diverge si 1

n

pnk

p

pk

Se tiene el caso particular de p ,

para el cual 1

1 2n

p p p p

K

k n

.

En este caso por medios recursivos, puede obtenerse su suma parcial. Una identidad que sirve para hallar dicha suma es

11 1 ( 1) ( 1)

( 1) 11! 2!

p pp p p k p pk

k k


Veamos ahora unos casos particulares:

a) Establecer la formula para hallar la suma de:

n

k

kn1

22222 321

Aplicando la identidad se tendrá: 113

11.31.312 233 12.32.323 233

.....................................

..................................... 133)1( 233 nnnn

Sumando miembro a miembro se obtiene:

)1()21(3)21(3)1( 2223 nnnn

aritméticaprogresion

)1(2

)1(3)21(3)1( 2223

n

nnnn

De donde resulta:

6

)12)(1(321 2222

nnn

n

b) Establecer la formula para hallar la suma:

n

K

kn1

33333 321

Aplicando la identidad:

114 11.41.61.412 2344 12.42.62.423 2344

................... .............................

................................................ 1464)1( 2344 nnnnn

Al sumar miembro a miembro se tiene: 4 3 3 3 2 2 2( 1) 4(1 2 ) 6(1 2 ) 4(1 2 ) ( 1)n n n n n

En el segundo miembro nosotros tenemos dos sumas que ya conocemos, reemplazando por sus equivalentes se tendrá:

2

3333

2

)1(321

nnn

De este modo es fácil deducir las formulas para potencias a la cuarta, quinta, etc., pero ha y que tomar muy en cuenta que esta serie sólo es posible de calcularse cuando para una determinada potencia p , previamente se conocen las sumas parciales para las anteriores potencias 1,,2,1 pp , por lo que podemos afirmar que la serie “ p ” es recurrente.


Una característica destacable de la serie “ p ” es que para la potencia “ p ” elegida, la fórmula de la suma parcial de sus “ n ” primeros términos es un polinomio en “ n ” cuyo grado absoluto es en una unidad mayor que “ p ”, es decir se cumple siempre: 1. pnPAG

Suma de los productos de los primeros números naturales:

Una manera muy interesante de aplicar la serie “ p ”, es al cálculo de la suma de los productos de los primeros números naturales. a) Tomados de dos en dos:

)1(4.33.22.1 nn , se puede escribir como sigue:

)1()31(3)21(2)11(1 nn , efectuando los productos indicados: 2222 332211 nn , que son series conocidas, de esta manera,

reemplazando por sus equivalentes y efectuando operaciones se tendrá:

3

)2)(1()1(4.33.22.1

nnnnn

b) Tomados tres en tres:

)2)(1(5.4.34.3.23.2.1 nnn , escribimos la serie como sigue:

)1(1)1()31(3.2)21(2.1 nnn , efectuando los primeros productos indicados:

222 )1()1(3.23.22.12.1 nnnn , tenemos ahora dos series y una de ellas la conocemos:

222 )1(3.22.1)1(3.22.1 nnnn , por lo que la serie dada se puede escribir como:

Snnn

kkkn

k

3

)2)(1()2)(1(

1

, calculemos el valor de “S” por separado:

2222 )1(4.33.22.1 nnS 2222 )1()31(3)21(2)11(1 nnS

)21()32.31(3)22.21(2)11.21(1 2222 nnnS 32323232 233.2322.2211.21 nnnS

Obtenemos tres series, todas ellas conocidas: )21()21(2)21( 333222 nnnS

o lo que es lo mismo: 2

2

)1(

6

)12)(1(2

2

)1(

nnnnnnnS

Y finalmente reemplazamos en la sumatoria pedida, efectuamos operaciones y concluimos que

4

)3)(2)(1()2)(1(

1

nnnnkkk

n

K

Puede seguir UD similar razonamiento para otros productos consecutivos.


Tópicos matemáticos VARIANTES DEL MÉTODO DE LA SECUENCIA REITERADA En vista de que en un apartado posterior se expondrá métodos más generales para el cálculo de series, incluyendo las que exigen métodos del cálculo, aquí nos limitaremos a dar la noción fundamental del algoritmo de la secuencia repetida.

Anécdotas: Calcular la suma de la Serie: 1)

nrrrr 32 Se trata de una progresión Geométrica, podemos calcularla como sigue: Designemos su suma con S

nrrrrS 32 , dividamos miembro a miembro la igualdad por r ,

1321 nrrrr

r

S

Agreguemos el sumando nr a ambos miembros de la igualdad:

nnn rrrrr

Sr 121

Hemos vuelto ha formar la serie S , ahora tenemos:

Sr

Sr n 1 Al resolver despejando

S se tendrá:

1

)1(

r

rrS

n

1) Calcular la suma limite de:

16

1

8

1

4

1

2

1P

Multiplicando ambos miembros de la serie por 2:

8

1

4

1

2

112P

Se ha vuelto a crear la serie P , ahora se tendrá:

PP 12 , de donde se hace evidente que:

1P

2) Calcular la sumatoria:

n

n

22

3

2

2

2

132

Esta es una serie Aritmético-Geométrico de primera especie, porque el numerador esta en progresión aritmética, el denominador esta en progresión geométrica. Se llama serie Aritmético-Geométrico de segunda especie si el numerador esta en progresión Geométrica y el denominador en progresión aritmética. El algoritmo de la secuencia reiterada se aplica solo a las de primera especie, las de segunda especie se tratan con métodos del cálculo infinitesimal. Para calcular la serie pedida, hay que tener en cuenta que se trata de la suma de sus “ n ” primeros términos, y no es una serie infinita, por tanto vamos a operar como sigue:

Designemos por E a la serie pedida:

nn

nE

22

3

2

2

2

12

Podemos hacer lo siguiente:

n

nE

2

)1(1

2

21

2

11

2

132

Ahora multipliquemos ambos miembros por 2:

12 2

)1(1

2

21

2

1112

n

nE

Apliquemos la propiedad distributiva en cada fracción:

2 2 3 3 1 1

1 1 1 2 1 3 1 12 1

2 2 2 2 2 2 2 2n n

nE


Se han formado dos series, una de ellas es una progresión geométrica:

2 1 2 3 1

1 1 1 1 2 3 12 1

2 2 2 2 2 2 2n n

nE

La otra serie es igual a la dada inicialmente, sólo le falta un término el cual vamos a

completar sumando a ambos miembros de la igualdad la cantidad n

n

2

""

13212 22

1

2

3

2

2

2

1

2

1

2

1

2

112

2EdadaserielaesEsta

nn

geométricaprogresión

nn

nnE

n

Ahora tenemos la igualdad:

EEn

n

n

12

1

12

1

22

Al despejar “E” resulta:

nn

n nE

22

121

3) Calcular la suma de los elementos del siguiente arreglo:

12

22 22 333 222

4444 2222

nnnn 2222

Si observamos bien, al plantear la suma de los términos de cada fila obtenemos:

1 2 3 41.2 2.2 3.2 4.2 2nP n Podemos escribirla como sigue:

2 3 42 (1 1)2 (1 2)2 (1 3)2 1 ( 1) 2nP n Dividiendo miembro a miembro por 2:

2 3 11 (1 1)2 (1 2)2 (1 3)2 1 ( 1) 22

nPn


Efectuemos los productos indicados:

2 2 3 3 1 11 1 1 2 2 2.2 2 3.2 2 ( 1)22

n nPn

Hemos vuelto a formar nuestra Serie y también se ha formado una progresión geométrica. Para completar nuestra serie P vamos a agregar el sumando nn2 a ambos miembros de la igualdad, ordenando y separando adecuadamente tenemos:

2 1 1 2 3 12 1 2 2 2 1.2 2.2 3.2 ( 1)2 22

n n n n

serie geométrica P

Pn n n

Formándose así una ecuación, despejando “ P ”, se tendrá:

12 ( 1) 2nP n

4) Calcular la suma límite de la Serie:

nn

n a

n

aaaa

n 2

3

2

2

22

1

2 321

; 1a

Démosle un nombre más sencillo a la sumatoria, por ejemplo D , en primer lugar, multipliquemos ambos miembros de la serie por a :

4

2

3

2

2

22 4321

aaaaD

1

2

4

2

3

2

2

222 5432

1na

n

aaaaaD

Podemos hacer esta transformación:

1

2

3

2

2

22

2 )1(13121111

na

n

aaaaD

y lo que sigue:

1

2

3

2

2

222 )1()1(2133.2122.2111.21

1

na

nn

aaaaD

Separemos Términos aplicando la propiedad distributiva:


""

1

2

3

2

2

22

ª1,

13212

)1(32113212

1111

Dseriela

n

especiegeometricaaritméticaserie

n

geométricaserie

n a

n

aaaa

n

aaaaaaaD

Entonces se han producido 3 series, como se trata de hallar una suma límite, cuando se

reproduce la serie D , vemos que le falta el término na

n 2

, el cual no es imprescindible aquí,

ya que estamos tratando con una serie infinita y no finita, además ése termino es un

infinitésimo (cantidad muy pequeña), ya que se verifica 0lim2

nn a

n , porque según la

condición 1a , por tanto la serie converge. Dado que el término es cuestión es muy pequeño, se lo desprecia y la ecuación quedaría así:

Da

n

a

aDn

n

21

12

11

1

La serie Aritmético-Geométrico, la calculamos así:

4

4

3

3

2

21

aaaaS

3

31

2

21111

aaaaS

SinitoaledecrecientGP

aaaaaaaS

32

inf.

32

3211111

2)1(1

a

aSS

a

aaS

Regresando al problema original:

Da

a

a

aaD

2)1(2

)1(

Resolviendo la ecuación:

3)1(

)1(

a

aaD


Tópicos matemáticos MÉTODO PARA LA SUMA DE INVERSOS DE PRODUCTOS BINARIOS, TERNARIOS, ETC.

En muchos casos, es frecuente encontrarse con la suma de las inversas de determinados productos, por lo general en combinaciones binarias, ternarias, etc., estos términos suelen presentar una regularidad del tipo aritmético, y se resuelven aplicando un sistema de ecuaciones, siempre que sea posible.

Anécdotas:

1) calcular la suma limite de

)1(

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

nn

Este caso es especial, y se trata de la suma de las inversas de productos binarios, en su modo más general es:

rrr

aaaaaaS

433221 .

1

.

1

.

1

r

nn aa

1.

1

Cuya suma es:

11

111

naarS

Y su límite:

raS

.

1

1

; Porque 01

lim1

n

n a

Por tanto este tipo de series es convergente.

En nuestro ejemplo, al trabajar con el término general tendremos:

)1(

1

nn Separando en fracciones

parciales:

)1(

)1(

1)1(

1

nn

BnnA

n

B

n

A

nn

Proponemos la identidad:

AnBABnnA )()1(1 Tenemos el sistema:

1

0

A

BA

Del cual es inmediato que ,1A

1B

Entonces:

1

11

)1(

1

nnnn

Al aplicar a nuestra serie tenemos:

1

11

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11

nn

Al reducir queda:

11

11

SLimS

n n

1S


2) Calcular la suma límite de:

)2)(1(

1

5.4.3

1

4.3.2

1

3.2.1

1

nnn

Para este ejemplo aplicaremos el método de las fracciones parciales, tomemos en primer lugar

el término general de la serie:

)2)(1(

2)23()(

21)2)(1(

1 2

nnn

CAnCBAnCBA

n

C

n

B

n

A

nnnan

Ahora proponemos la identidad:

1002)23()( 22 nnCAnCBAnCBA Obteniendo el sistema:

2

1,1,

2

1:

0

023

12

CBAdaresolverAl

CBA

CBA

CA

Efectuando luego en la serie dada:

2

1

7

1

6

1

2

1

5

1

2

1

6

1

5

1

2

1

4

1

2

1

5

1

4

1

2

1

3

1

2

1

4

1

3

1

2

1

2

1

3.2

1

2

1

2

1S

2

1

2

1

1

1

2

11

2

1

1

11

2

1

1

1

2

11

1

1

2

1

2

1

nnnnnnnnn

Reduciendo términos:

)2)(1(4

)3(

)2(2

1

)1(2

1

4

1

nn

nn

nnS , esta es su suma parcial, su suma límite será:

)2)(1(4

)3(

nn

nnLimSn 4

1

4

1 LimS


Tópicos matemáticos RELACIONES ADICIONALES Antes de empezar a resolver lo ejercicios de la tercera miscelánea, conviene tener en cuenta las siguientes aclaraciones: Criterio práctico para obtener el término general de de una sucesión polinómica Sea la sucesión polinómica

ntttttt 54321

3210 aaaa

310 bbb

zz El término general se puede Calcular mediante la fórmula:

1 1 0 2 0 3

n n n n

n nu t C a C b C zC

Donde: 1.2.3)2)(1(

)2)(1(

""

kkk

nnnC

factoresk

n

k

Es el número combinatorio. Suma de los cuadrados de los primeros impares

2222

1

2 )12(531)12(

nkn

k

Se obtiene a partir de la fórmula de la suma de los primeros números naturales, pero previo se hace:

12 nnserAl nnnserAl 21)12(1

1212 nnserAl De lo cual se tendrá:

6

)12)(2)(12()12(

1

2

nnnk

n

k

Suma de los cuadrados de los primeros pares

ostern

n

K

nk

min""

2222

1

2 )2(642)2(

)321(2)2( 22222

1

2 nkn

k

3

)12)(1(2)2(

1

2

nnnk

n

k

Son inmediatas también las siguientes relaciones: Suma de los cubos de los primeros pares

21

3 )1(2)2(

nnkn

K

Suma de los cubos de los primeros impares

)12()12( 22

1

3

nnkn

K

MISCELÁNEA Nº 3 1) Calcular el número de esferas iguales de radio R que se necesitan para construir una pirámide cuadrangular de lado nR2 , calcular además en términos de """" Ryn la altura de dicha pirámide. 2) Calcular la suma de los elementos del siguiente arreglo:


1 32

654 10987

Luego indicar la suma de los elementos de la n -ésima fila 3) Calcular la suma de los elementos de la n -ésima fila del siguiente arreglo: 1

11 121

1331

14641

4) Calcular la suma de los términos del siguiente arreglo de 10 filas

1

11 121

1331

5) Si: 1

)(

x

xxf , Calcular:

veces

xffff

2002

))))((((

6) Calcular:

2314.3.2.1

30.293.2.14.3.2.13.2.12.1 2222

7) Hallar la suma de las cifras del

resultado:

2

""

111111 vecesn

8) Calcular la suma de los elementos del siguiente arreglo:

38

3636

343434

32323232

20202020

8888

666

44

2

9) Calcular la suma de las cifras de la siguiente expresión:

cifrascifras "1000""2000"

222222111111

10) Calcular la suma de las cifras del

resultado:

2

"2003""2003"

555555888888

cifrascifras

11) Hallar la suma de los elementos de la

siguiente matriz:

191813121110

18171211109

13127654

12116543

11105432

1094321

12) Determinar la suma de los elementos

del siguiente arreglo:


21 22 22

222 333

2222 nnnn

13) Calcular el doble de la raíz cuadrada

de la suma de todos los elementos del siguiente arreglo:

400

3425191371

2621161161

211713951

161310741

1197531


resultado de la siguiente expresión:

2

87

335333

cifras

E


resultado de la siguiente expresión:

2

100100100

)333322221111( cifrascifrascifras

S

16) Calcular la suma de los números de la

fila “ n ” en :

20181614

12108

64

2

17) Calcular la suma de las 20 primeras filas del triángulo numérico siguiente:

1 33

525 7227

92229 .................................

18) En la siguiente secuencia: 00001; 00002; 00003;.....; 10000 ¿Cuántos ceros inútiles se han escrito? 19) Si consideramos los números 6, 16,

26, y todos los que terminan en 6, ¿Cuál será la cifra que ocupa el lugar 980, si todos los números se escriben sucesivamente sin separación?

20) Al escribir la sucesión de números: 0123456789101112131415.............. ¿Cuál es el dígito que ocupa la posición 5000? 21) ¿Cuántos términos de tres cifras hay

en la siguiente sucesión? 3; 4; 11; 30; 67; 128;... 22) Halle 354 aa sabiendo que:

,156,35 231 aa además:

nnn aaa 12 2 23) Se tiene una sucesión que se define

mediante dos subsucesiones:

paresnsinna

imparesnsinnaa

k

k

n"",228

"",368

2

2

2

1

Determinar la nueva fórmula para el término general de la sucesión.

24) Para numerar un libro de 1000 páginas se dispone de 234 cifras “5” ¿Cuántos sobran o faltan?


25) Si se escribe la serie de los números naturales a partir de 1, sin separar las cifras,¿Cuál es en ésa serie el dígito que ocupa el lugar 1999º?

26) Si en la sucesión:

;;;;; 321 naaaa

Se tiene que:

1012 nnn aaa Para todo 1n y

además 10119 aa Hallar el valor de:

6543 aaaa 27) Si:

844;;25;18;11

;22;13;4

2

1

S

S

¿Cuántos términos son comunes, Ha ambas sucesiones? 28) Hallar el número de términos del

siguiente polinomio si es completo y ordenado:

456 )3()2()1()( mmm xmxmxmxP

Si

.)12()( 642 térmnxxxxP nnn Hallar:

)3()3()2()2()1( PPPPPE

29) Si

xxxxxxxP )( Además ,1)( xP calcular “ x ” 30) En:

radicalesn

zxxxxf

""

3 3 3 3)(

Si 3)24( f , calcular “ z ” 31) Hallar la función inversa de:

12 222

)(n

senxsenxsenxsenxxf

“ n ” es una cantidad infinitamente grande. 32) Hallar la suma total del siguiente

arreglo:

60

606

6064

60642

33) Se forma una pirámide triangular

regular (tetraedro) con 1540 esferas ¿Cuántas esferas conforman la base?

34) Resolver la ecuación:

)1)(1)(1)(1(1 842132 aaaaaaaa x 35) Racionalizar:

112321

n nn nn nn n bbabaa

36) Calcular la suma límite de la serie:

22

22

1

2ba

ba

ab

ba

ba

ba

iii

ii

37) Resolver la ecuación exponencial:

282642 04,05....5.5.5 x



axsia

x

a

x

a

x

a ,

43214

3

3

2

2


1,4.33.22.1 2

432 xsix

ax

aa

40) Se tiene la siguiente secuencia:

radicalesn

E

""

16842

a) Hallar la expresión para su término general. c) Si “ n ” se hace una cantidad tan grande como infinito, ¿A que valor converge la secuencia?

41) Hallar el resultado de sumar:

20

1920

345181920

2345181920

12345181920

42) Calcular la siguiente suma:

51.497.55.33.1 S 43) Hallar la suma límite de la serie:

9.7

16

7.5

12

5.3

8

3.1

4S

44) Hallar la suma de los elementos que se encuentran en la fila 20 del siguiente arreglo numérico:

1 74

161310 28252219

................................... ...........................................

45) Calcular el valor de la suma:

cifrasn )1(

996399399639636

46) Se tiene la siguiente sucesión:

.................................

052020200505

20200505

2005

3

2

1

a

a

a

¿Para que 8º valor de “ n ” el término

na es divisible por 9?

47) Calcular:

432 11

18

11

13

11

8

11

3S

48) Hallar la suma límite de:

1062 3

242

3

26

3

21S

49) El mayor número natural para el cual

la suma:

)1(

1

20

1

12

1

6

1

2

1

nnSn

Satisface: ;71

66nS es...

50) Calcular:


222222 5

1

4

11

4

1

3

11

3

1

2

11

22 20

1

19

11

51) Calcular la suma de las cifras de las

decenas de la siguiente suma:

!!4!3!2!1 n 52) Indicar la suma de las cifras del

resultado:

cifras"40"

999999999999

53) La figura está armada de manera que:

1 Es el padre de 2, 3 y 4 2 Es el padre de 5, 6 y 7 3 Es el padre de 8, 9 y 10, así sucesivamente.

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ..................................................

a) ¿Quién es el padre de 1996? b) ¿Quiénes son sus hijos? c) ¿Cuál es su generación? (1 pertenece a la primera generación; 2, 3 y 4 pertenecen a la segunda generación; 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 y 13 pertenecen a la tercera generación; etc.)

54) Resolver y dar el valor de “ x ”

)3)(2(

1

)2)(1(

1

1

1

axaxaxaxnax

)1)((

1

naxnax

55) Calcular “ x ” en la ecuación:

27

403 9 3

33 3 3 3 33 x

56) Hallar el grado absoluto de:

12

1

1 94

16..2

2

3

2

1

.....

nn n

nn

xxxx

yxB

57) Demostrar que:

ostern

b iiiiiLogmin"4"

54321

imaginariaunidadi

58) Si y

xxx 1

; Calcular:

x xxxxx xxxx x xxx xx xxA2 3322

nx xxxnxxnx xx

)1()1(

59) Calcular la suma parcial de los “n”

primeros términos de la serie:

12

1

1 321

nn

k

k nxxxkx

60) Dar el valor de 0x , después de

resolver el sistema de “ 1n ” ecuaciones con “ 1n ” incógnitas:


nnn

nnn

nnn

nn

n

axxxxx

axxxxx

axxxxxx

axxxxx

axxxx

1321

11320

213210

12210

01210

Los términos independientes están en progresión aritmética. 61) Expresar en forma simplificada:

xxxxxxL nnn 2321

62) Si se cumple que:

mn

n

14

3

3

2

2

1

Hallar el grado de:

factoresnxxx

xM

nm

"".. 43

63) Hallar la suma de los grados relativos

respecto a “x” e “y” en la siguiente expresión:

nn

nn

yxyxyx

yxyxyxyxM

111111

)())()((

22

3322

64) Hallar el grado de la siguiente

expresión:

1

11

2

11

3

11 1

12642 ..

n nxxxxM

65) ¿Cuál debe ser el valor de “x” para

que la expresión sea de segundo grado?

xxxx aaaaM 432 ..

66) Si se cumple que:

sumandosn

x xnxnnxxPx

""

33222

1

Calcular:

1

1nnn

P

67) Calcular el valor de “n” si el grado del

producto es 285:

)()9)(4)(1()( 294 2

nxxxxxP n 68) Hallar el grado del producto indicado:

)1)(1)(1()( 242322 xxxxP Hasta 20 términos. 69) Simplificar:

)(

11

1

13

2

2 xaa

x

a

x

a

x

a

x

a n

n

n

n

70) Simplificar:

13

2

2

13

2

2

)()()(

1

)()()(

1

n

n

n

n

xa

x

xa

x

xa

x

xa

xa

x

xa

x

xa

x

xaL

71) Cuántos términos tiene el siguiente

producto:

)( 67345 xxxxx nnn x

)5852( 5678 xxxx 72) Simplificar la fracción:


nm

n

m

1

1

1

nm

m

n

1

1

1

73) Evaluar:

288777777 74) Si ,,,, 321 SSS Son la suma de los

“n” primeros términos de una P. A. cuyos primeros términos son 1, 2, 3 ,4 ,...., y cuyas razones son 1 , 3 , 5, 7, ......, hallar el valor de :

PSSSSE 321 75) Si los números naaaa ;;;; 321

forman un P .A. Calcular el valor de:

3221

11

aaaaE

nnn aa

n

aa

11

11

76) Hallar la suma límite de:

32 10

1

10

1

10

1

77) Si pSSSS ,,,, 321 son la suma de

las series geométricas infinitas cuyos primeros términos son p,,3,2,1 cuyas razones son:

1

1,,

4

1,

3

1,

2

1

p

Calcular el valor de:

PSSSSE 321

78) Sea: 12 24

0

xxxan

k

k

k ,

Calcular:

n

K

ka0


10.8.6

1

8.6.4

1

6.4.2

1S

80) Calcular “S”

20.15

7

15.10

7

10.5

7S

81) Si:

n

K

kkk1

23 )2000200120022003(

edncnbnan 234

Calcular: edcba

82) Calcular la suma límite:

625

175

125

37

25

7

5

1S

83) Determinar la suma límite:

765432 8

1

8

6

8

4

8

1

8

6

8

4

8

1S

84) Calcular la suma límite de:

8642

3

24

3

23

3

22

3

2


)(2 3 aLogaLogaLogaLogS n aaaa , simplifique UD

85) Si: 122;12 ba , Resolver la ecuación:

2)22( xLogbLogbLog aaa 86) Resolver:

xxxLogxLogxLogxLog bLogbLogbLogbLogbLogx

232

)()().().()( 87) Hallar el campo de existencia de:

raícesn

xx

""

loglogloglog)(

88) ¿Cuál(es) deben ser las condiciones para que P x sea un polinomio completo y ordenado

entero en “ x ”?

nbbbb pppp

xxxxaxPloglogloglog 32

)( 89) Simplificar:

1 1 1

1 1 1 32

3 3 3222

3 3 3 3

2

2

22

2

111

3

1

2

11

1

n n n

nnn

n n nnnn

nLogLogLog

nsi

90) Simplificar:

1

1

1

1

1

1

11032021 10

nanana aaaLogaaaaLogaaaLog

E

n

0,,,, 210 naaaa

91) Simplificar:

n

k kk

k

kk

k

kk

k

kLogkLog

kLog

kLogkLog

kLog

kLogkLog

kLog

2 21

2

21

1

11)1()1(

)1(

1)2()2(

)2(

92) Hallar el valor de “M ”


" "

log log log log logb b b b b

n rad ica les

M x 8

1bsi

93) Efectuar “ A B ”

."1"22222222.""222222

radicnLogLogLogAradicn

raícesn

radicnLogLogLogB

"1"

""222222222

94) Resolver:

1log4log3

log2log

nxan

xaxaxa

n

ann xn )(log)!1()log1(log1log1log 231 95) Si:

6

22

3

2

2

22 44444 LogLogLogLogLog n , entonces el valor de “n” es: 96) El valor de:

)10099(log)32(log)21(log)10(log aaaa aaaaS

97) Calcular la suma:

3 23

2 22

1 111 11 32

1 11 3 32 23 32 2

2 3

n

n n

n n

n

98) Calcular:

sumandosnE ""

1

201

201

1

121

121

1

61

61

1

21

21



321

321

eeene

n

n

101) Para que la secuencia sea convergente, ¿Qué valor debe tomar ?

3 4 111)( n

Esta es la secuencia recursiva de MGdN. 100) Calcular la suma de la serie

en función de “ n ” :

n

n

ii

ni

3

3

3

2

33

1

3 321

101) Calcular la suma limite de la

serie numérica.

n

nn

2

)1(

2

4.3

2

3.2

2

2.132

102) Demostrar que la serie es

convergente y hallar lim nn

S

nn

nS

22

3

2

2

2

1 2

3

2

2

22

103) Transformar en radicales simples:

1222

112

11

2

11

2

11

2

146

n

n

104) Se escriben sin interrupciones la serie de los números naturales a partir de 42, prescindiendo de los que usan la cifra 3. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar 1993?

105) Hallar la suma de la serie:

1 321

1

n n


1 1

11

n narctg

narctg


12 222 n


12 14

1

n n


112 2

11

nnnn


11

2

)1(2

2

nn

n

nn

nn


122 )1(

12

n nn

n

113) Sea la sucesión de números reales:

;;;;; 321 naaaa , definida así:

1,3

21 naa nn

Hallar la suma de la serie ,1

k

ka si existe.

114) Sea la sucesión de números reales:


;;;;; 321 naaaa Definida así: .1;1,1 11 naaa nn

Hallar la suma de la serie (Si existe):

12

k

k

n

a

115) Calcular las siguientes sumas:

0 )2)(1(

321

n

n

nn

n

0 )1)((

1

n anan

Tópicos matemáticos SUCESIONES RECURSIVAS, PRODUCTOS FINITOS Es muy frecuente encontrarse con problemas referentes a series y sucesiones que se definen recursivamente, se sabe muy bien que una sucesión o serie es recursiva cuando para definirse requiere de al menos un término anterior a él. Es decir:

1 2, , ,n n n n ka f a a a , 0k

Anécdota: 1) Sea la sucesión:

,,,,, 321 naaaa , definida así:

1,6

5

0,,6

5

1

1

naa

bRbba

nn

Sea la sucesión: n

n

k

knn SaquetalS

1

1:,

¿Es convergente ?

1nnS Para este problema es necesario probar que si

1nnS , tiene límite entonces la sucesión dada será convergente: Como la primera sucesión viene dada por recursividad, es necesario encontrar otra sucesión que sea equivalente a la primera, pero que de algún modo ya no sea recursiva y dependa solo del conjunto de números enteros positivos, es decir de su dominio de función. Por definición sabemos:


1,6

51 nban , partiendo de un análisis inductivo tendremos:

Si n = 1 entonces: bbaa

2

126

5

6

5

6

5

6

5

Si n = 2 entonces:

bbaa

32

236

5

6

5

6

5

6

5

En general podemos inducir que:

ba

n

n

6

5 Que en otro sentido es ba

k

k

6

5 , luego al reemplazar en la segunda sucesión se

tendrá:

n

k

kn

k

knn baS11

16

5 , si converge entonces existirá:

lim nn

S

, que si existe dado que la serie prescindiendo de la notación de sumatoria se puede escribir

como sigue:

n

b6

5

6

5

6

5

6

532

Esta es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente, dado que la razón es menor a la unidad, cuyo límite se calcula por:

5

6lim 55

16

nn

S b b

Productos infinitos Al multiplicar consecutivamente los “ n ” primeros términos de una sucesión se obtiene una nueva sucesión:

n

k

kn ppppp1

321 ..

El símbolo para abreviar tal producto es (Pi mayúscula) que llamaremos “productoria”. Una productoria se llama convergente, si existe el límite finito:


1

lim limn

i nn n

i

p P P

y P es distinto de cero.

Si 0P y ninguno de los factores np es igual a cero, el producto se llama divergente hacia cero; en caso contrario el producto se llama convergente hacia cero. En el cálculo superior se han de tratar a mayor profundidad estos productos. Es importante aclarar que muchas funciones reales o complejas se pueden expresar como productos finitos o también infinitos, así como también en series de potencias finitas e infinitas, como veremos más adelante. Entre los productos infinitos que expresan funciones tenemos:

122

2

1n n

xxxsen

122

2

)12(

41

n n

xxCos

Las tablas de funciones trigonométricas, logarítmicas, etc., están hechas en base a Secuencias de este tipo y series de potencias, aún más, las calculadoras modernas operan con estos algoritmos. Es de ahí que es importante su aplicación. Anécdotas:

1) En la secuencia de productos para el seno, tomando x2

, demostrar la “Fórmula de Wallis”

12

2

12

2

2 1

n

n

n

n

n

Simplemente acá reemplazamos 2

x en la fórmula de producto para el seno de una función:

122

2

4122 n n

sen

Efectuando

Operaciones se tendrá:

12

12

2

4

)12)(12(

1

24

14

21

n

n

n

nnn

n

1 12

2

12

2

2 n n

n

n

n


2) Calcular el siguiente producto:

22

11

n n

En primer lugar vamos a desarrollar la Productoria:

2222

11

4

11

3

11

2

11

n

Ahora vamos a realizar operaciones que no despiertan desconfianza alguna:

2

2

2

2

2

2

2

2

5

15

4

14

3

13

2

12

Desarrollando las diferencias de cuadrados y separando los productos denominadores queda:

)1)(1(

)2(

5.5

6.4

4.4

5.3

3.3

4.2

2.2

3.1

nn

nn

Al simplificar factores queda: 1

2

2

1

n

n

Para calcular su valor, evaluamos su límite:

2

1

1

2

2

111

22

n

nLim

n nn


0

2

2

11

n

n

Primero desarrollamos la Productoria:

842 2

11

2

11

2

11

2

11

Veamos que ocurre cuando efectuamos los productos indicados de los paréntesis:

322 2

1

2

1

2

11

2

11

2

11

76543242 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11

2

11

2

11

Por lo que se puede decir que:


842 2

11

2

11

2

11

2

11

765432 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

11

El producto buscado es la suma de una serie geométrica decreciente al infinito, por tanto el producto pedido valdrá:

2

2

11

1

2

11

0

2

n

n

3) Llevar a cabo la siguiente demostración: (Pi según Francois Vieta).

222

2

22

2

2

2

2

Euler lo demostró analíticamente En primer lugar tomando en cuenta la identidad trigonométrica del ángulo mitad tendremos:

xx

cos12

cos2 2

Luego los radicales los podemos escribir como sigue:

16cos2

16cos2.2

8cos12

8cos22222

8cos2

8cos2.2

4cos12

4cos2222

4cos22

2

2

Por tanto, para “ n ” raíces se puede deducir que:

1

""2

cos2222

n

radicalesn

Si reemplazamos estas igualdades en la igualdad inicial tendremos:

15432 2

cos2

2

2cos2

2

2cos2

2

2cos2

2

2cos2

2

2

n

Al simplificar, en el denominador del segundo miembro quedará:


15432 2cos

1

2cos

1

2cos

1

2cos

1

2cos

1

2

n

Antes de continuar examinaremos el siguiente producto:

n

xxxxx

2cos

16cos

8cos

4cos

2cos

Probemos que este producto converge y tiene límite distinto de cero

Tenemos la siguiente identidad trigonométrica senxxx

sen 2

cos.2

2 , al despejar el coseno de la

fórmula del ángulo doble se tendrá

22

2cos

xsen

senxx , aplicando esta identidad al producto

tendremos:

n

n

xsen

xsen

xsen

xsen

xsen

xsen

xsen

xsen

xsen

senx

22

2

162

8

82

4

42

2

22

1

Simplificando se tendrá:

n

n xsen

senx

22

En este caso si n , la cantidad n

x

2 tiende a cero, haciendo un cambio de variable

z

xxz n

n 2

2 ahora si n la cantidad 0z , luego calculamos el límite

0 0lim limz z

x sen zsenz x xz z

De esta forma demostramos que el producto converge hacia:

lim cos cos cos cos cos2 4 8 16 2nn

x x x x x senx

x

Finalmente vamos a aplicar este resultado a nuestra demostración:

2

2

2

1

2

sen

Con lo que queda demostrada la igualdad.


Tópicos matemáticos DETERMINANTES, NÚMEROS IMAGINARIOS, DESIGUALDADES, NÚMEROS COMBINATORIOS Y FACTORIALES Es este subtítulo dedicaremos los ejemplos necesarios para resolver problemas de determinantes, números imaginarios, desigualdades, números combinatorios y factoriales. Todos presentados en forma de series y sucesiones. Determinantes Una determinante es el número que se le asigna a una matriz cuadrada (llamada así porque el número de filas coincide con el de columnas), los métodos para efectuar su cálculo son: La definición:

1221

22

11baba

ba

ba

Para las de orden 3 es práctica la regla de Sarrus:

222

111

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

=

)

(

312

231123213132321

cba

cbacbacbacbacba

Para determinantes de orden superior a tres se aplica un método más general que es el de Menores complementarios o Regla de Laplace. El menor complementario de un elemento en un determinante, es otro determinante que resulta después de suprimir en el determinante, lo elementos que pertenecen a la fila y columna de dicho elemento:

Por ejemplo, dado el determinante:

ic

ga

ifc

heb

gda

Es el

menor complementario de “e” Al desarrollar el menor complementario de un elemento, hay que tomar en cuenta que esta determinante tiene signos. El signo de un elemento esta indicado por la suma de el número de fila y el número de columna al que pertenece dicho elemento, si la suma es par el signo será positivo, si la suma es impar el signo será negativo. En la determinante anterior, el menor complementario “e” es de signo positivo dado que nºcolumna+nºfila = 2+2 = 4 es par. Una determinante de cualquier orden puede desarrollarse a partir de sus menores complementarios. Por ejemplo, desarrollar la determinante por menores complementarios:

333

222

111

cba

cba

cba

Para hacer este desarrollo elegimos cualquier fila, por ejemplo la fila 1, ahora la determinante será igual al producto de cada elemento de la fila elegida por su menor complementario con su signo.

333

222

111

cba

cba

cba

33

22

1

33

22

1

33

22

1ba

bac

ca

cab

cb

cba

Cantidades imaginarias Como sabemos las potencias de la unidad imaginaria se presentan en forma periódica pudiendo tomar cuatro valores:


1

1

1

1

4

3

2

i

ii

i

i

Aritméticamente se puede resumir las potencias imaginarias en general como:

1

1

1

1

334

224

14

4

iii

ii

ii

i

n

n

n

n

Un número complejo se puede representar en su forma polar o trigonométrica:

)(cos isenrbia Donde “ r ” es el radio vector.

Las operaciones con números complejos siguen las mismas leyes del álgebra: Adición, sustracción, multiplicación, división. En su forma polar muchas veces estos cálculos son más fáciles de realizar. Para hallar la raíz de un complejo se debe aplicar la siguiente fórmula:

n

ksen

n

krisenr nn

2

2coscos

Donde 1,,3,2,1,0 nk , ya que se debe obtener “ n ” raíces. Para hallar la potencia de un complejo se aplica la siguiente fórmula:

)(cos)(cos sennnrisenr nnn .

Para una mejor lectura acerca de los números complejos podría ser de utilidad los primeros capítulos de: Variable compleja (Murray Spiegel) Anécdotas: 1) Calcular el valor de:

100000

0

0000

0200

0010

000

n

n

n

Desarrollamos por menores complementarios respecto a la primera fila:

1000

0

0300

0020

0001

n

n

n

n + 0

Los otros términos salen cero ya que sus coeficientes son cero En forma similar desarrollamos por menores complementarios con respecto la primera fila:

1000

0400

0030

0002

)1(

n

n

n

nn

En este caso también los otros términos valen cero. Finalmente por inducción matemática, siguiendo el mismo proceso se deducirá que la determinante se reduce a:

!1.2.3)2)(1( nnnn 2) Calcular el valor de:


2

223432

111111

iiiii

E

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y hacemos operaciones.

2

223

219220221222223

)1

(i

iiiiiE

El numerador se puede escribir como un cociente notable:

01

11

.)(

1

1)(

1

1122

1112

11222

223

224

i

i

ii

i

i

i

iE

3) Demostrar la siguiente desigualdad:

)2(1

4

1

3

1

2

11 nn

n

Es un artificio muy común plantear desigualdades parciales y mediante una operación lícita unir las desigualdades en una más general: Es cierto que:

nn

n

n

nn

11

................

................

1

3

1

1

2

1

)2(1

1

Al sumar miembro a miembro las desigualdades se tendrá:

nn

vecesn

""

11111

4

1

3

1

2

11

El signo de “mayor o igual” se convierte en “mayor que” por que para “n” términos hay al menos “n-1” que cumplen con esa condición. Finalmente en la desigualdad:

n

n

n

1

4

1

3

1

2

11

De donde es inmediato que:

nn

1

4

1

3

1

2

11

MISCELÁNEA Nº 4 1) Calcular el valor de:

niniiiiE 810642 )4(532 2) Señalar si es posible calcular:

777

666

555

444

333

222

111

ii

iiiiiE

Si lo es calcular el valor de "E" 3) Calcular el valor de “n” en la igualdad:

6714

147

2

77

1

7

2)1()1.(

.)1()1()1()1(

n

nnnnn

ii

iCiiCi


n

iniiiiE n

4

)18(9753 4432

5) Calcular:

Sumandosn

iiiiiiE"4"

65432

6) Calcular:


nniiiiiE 432 432 7) Calcular:

niniiiiE 28642 )12(753 8) Efectuar:

)44()34()24(

876432

)14(

51

nnnni

iiE

9) Calcular:

)4()3()2()1( 432 niniiiE 10) Si 2,,1 ww son las tres raíces cúbicas de la unidad, hallar el valor de “n” que cumple con la siguiente identidad:

584

)1()1()1()1( 333322

nnwwww

11) Siendo 2,ww las raíces cúbicas complejas de la unidad, calcular el valor de:

504

32

ww

wwwwE

12) Siendo 2,ww las raíces cúbicas complejas de la unidad, calcular el valor de:

22015105

2532

1(

)1(

wwww

wwwwE

13) Si 2,,1 ww son las tres raíces cúbicas de la unidad, calcular el valor de:

535253

52

253

2

53

1

5421

1

1

wwCwCwC

wwwE

14) Si 1432 nn iiiii ; reducir:

)2()2( nniC

15) Calcular:

11

1n

nnni

16) Calcular:

4,)23(

1

23

nikCn

k

k

17) Simplificar:

niniiii

niiiiiF

n

n

4)18(9753

84324432

168642

18) Simplificar:

33

2

2

2

x

x

xE

19) Hallar el valor simplificado de la expresión:


n

n

nn

radicalesn

2

2211212

""

3.11313

3333

20) Hallar las siguientes sumas de las determinantes de Vandermonde:

Sumandosn""

25169

543

111

1694

432

111

941

321

111

21) Calcular:

1

1

1

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

121

1

1

1

1

rn

r

rnrn

n

r

nn

n

r

nn

n

r

nn

CCC

CCC

CCC

CCC

22) Reto: Demostrar la siguiente regla de derivación de una determinante de n -ésimo orden:

l

nnnn

knkk

n

xfxfxf

xfxfxf

xfxfxf

)()()(

)()()(

)()()(

21

21

11211

=

n

k 1

)()()(

)()()(

)()()(

´´

2

´

1

´

3

´

2

´

1

´

1

´

12

´

11

xfxfxf

xfxfxf

xfxfxf

nnnn

kkk

n

23) Calcular:

a

a

a

a

111

111

111

111

24) Calcular:

nnnn

nnn

nnn

nnn

3

2

1

25) Calcular el valor de la determinante:

012321

34512

23411

12321

nnn

n

nn

nnn

26) Calcular el valor de la determinante:

)1(1

0)1(01

00)1(1

1

xx

xx

xx

xxx

27) Calcular el valor de la siguiente determinante:


2

2

2

2

2

10000

1000

010

01

001

xx

xxx

xx

xxx

xx

28) Demostrar la desigualdad de Dodovrosky:

nxxxx nn 14

33

21 1111 Donde nxxxx ,,,, 321 son mayores que dos. 29) Demostrar la desigualdad de Bernoulli: nn xxxxxx 2121 1111

Donde nxxxx ,,,, 321 son números del mismo signo mayores que –1. 30) Demostrar la desigualdad:

nnn )!1()!2(!4!.2 1n

31) Demostrar la desigualdad:

12

1

2

12

6

5

4

3

2

1

nn

n

32) Evaluar la suma:

nm

nm

m

m

m

m

m

m CCCCA

1

2

3

1

21 33) Reducir:

sumandos

CCCF

"100"

300

299

200

199

100

99

34) Sabiendo que:

20

17

10

7

8

5

6

3

5

1 CCCCCk Calcular el valor de:

5

2

7

3

9

6

11

8

19

16

21

18 CCCCCCS 35) Representar en forma simplificada:

!

)1()2)(1(

!3

)2)(1(

!2

)1(1

n

nxxxx

xxxxxxE

36) Calcular “ n ” a partir de:

204)2(3)1(2

12

3

1

2

0

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

C

nC

C

Cn

C

Cn

C

nC

37) Hallar “ n ” en:

22

45

432

)12(753

4321

3210

n

n

nnnn

n

n

nnnn

nCCCCC

CnCCCC

38) Reducir:

1321

210

n

CCCCS

n

n

nnn

39) Calcular el valor de “ n ”:

2880)12(9.7.5.3.1

)!2(

2

12

n

nn

40) Calcular “ n ”:

!60)!3()3(!33!222 nn 41) Efectuar:

2321 !!3!.2!.1 nCCCC n

n

nnn


42) Efectuar:

mnn

m

n

m

nn

m

nn

m

n CCCCCCCC

0

2

22

1

110 43) Calcular en cada caso el número de términos diferentes no semejantes entre si, de los siguientes desarrollos:

2

21 )() nxxxa

3

21 )() nxxxb MISCELÁNEA Nº 5 Aplicaciones en Física 1) Determinar la capacidad equivalente entre “A” y “B” si todos los capacitores son iguales y de F1 de capacidad.

CC C

C CC

C C C C

...

...a

b 2) Hallar la resistencia equivalente entre “A” y “B” del siguiente conjunto de resistencias mostrado (Hay infinitas resistencias)

3) En la siguiente figura:

...

...

1 nn+1

n+k

m1

m1

m2

m2

Tn

a

Calcular la tensión que soporta la cuerda nT . 4) Un sistema de polipastos se une a una tabla de longitud “L“ de peso despreciable, articulada en “A” .Calcular el momento en ese mismo punto. Si el sistema estuviese en equilibrio, ¿Cuál sería el peso de la tabla?

...w

ww

..." n " veces ...

...

L

A

Los bloques son iguales y de peso “w”. Cada polipasto se articula en la tabla una distancia que el es doble del anterior. 5) Se tienen ladrillos del mismo tamaño. Uno sobre el otro y dispuestos tal como se ve en la figura. Hallar el máximo número de ladrillos que se pueden colocar del mismo modo para que exista equilibrio. (Considerar que los ladrillos quedan pegados entre sí).

30 cm

10 cm

3 cm

3 cm

3 cm

...

1

2

3

4


La altura de cada ladrillo es de 10cm y su largo de 30cm, cada ladrillo sobresale 3cm del otro. 6) Hallar la resistencia equivalente entre “a” y “b” del conjunto de resistencias mostradas, si todas son iguales a 2R

...

...

R R R R

RR

RR R R

RR

a

b 7) Hallar la resistencia equivalente entre “a” y “b”.

...

...

R R R R

RR

RR R R

RR

a

b 8) Se conecta un conjunto de resistencias a una diferencia de potencial de V=110 volt, una vez que la corriente se hace continua, calcular la carga en coulumbs que circula por el circuito en 20 seg.

......

V=110 volt

R R

R

R

RR

R

R

Todas las resistencias son iguales a 1R . 9) Determine la resistencia equivalente entre “a” y “b”

...

r r

ra

b

rr

r

10) Un foco de 5,0 funciona con 4 amperios. ¿Cuántos focos en serie funcionarán, si dicha red se alimenta con

J51024 de energía durante 40 minutos? 11) Considérese un números infinito de cargas idénticas (cada una con carga “q” ) colocadas a lo largo del eje “x” a distancias:

,4,3,2, aaaa del origen. ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen debido a esta distribución?. Aproveche el hecho de que:

64

1

3

1

2

11

2

222

12) Considere “n” cargas puntuales positivas iguales, cada una de magnitud Q/n , situadas simétricamente alrededor de un círculo de radio “R” . Calcule la magnitud del campo eléctrico “E” en un punto situado a una distancia “x” sobre la línea que pasa por el centro del círculo y es perpendicular al plano del círculo. 13) Se tiene “N+1” esferas conductoras del mismo radio, inicialmente una sola posee una carga de C3108,12 . Si esta se pone en contacto con otra esfera y luego se separa, repitiéndose el mismo proceso con las esferas restantes, hallar el número de esferas. Se sabe que después del último contacto la esfera posee una carga de 200 C .

14) “n” gotas esféricas iguales, de potenciales

nVVVV ,,,, 321 respectivamente se juntan en una sola gota. ¿Cuál es el potencial resultante de esta gota? 15) Calcular el menor coeficiente de fricción

"" s estático necesario para mantener el equilibrio de las “ n ” esferas iguales de peso “W” que se hallan sobre un plano inclinado de rozamiento despreciable.


1

2

3

4

...

16) Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados, si:

15,0

1010

naa n

aa

a

a

1

2

3

0

an

an+1...

17) Un atleta va de “A” hacia “B” con una velocidad constante 1V y regresa hacia “A”

con una velocidad constante 2V ; y así sucesivamente recorre “n” veces el segmento AB , como se indica en la figura. Hallar la

velocidad media promedio y su velocidad promedio.

...

A

A

B

B

A

A

B

B

v1

v2

v3

vn

1

2

3

n

t

t

t

t

L

18) Un rayo aparece en el cielo durante “p” segundos y describe la trayectoria que se muestra en la figura. Supongamos que los puntos ,,, 531 AAA están el línea recta al

igual que los puntos ;;; 642 AAA , Hallar la

rapidez media del rayo, si º60 y

kAAAA 3221 2 metros. Además:

////// 654321 AAAAAA

...

A A

AA

1 2

3 4

5 6

7 8

A

A

A

A

Tópicos matemáticos LIMITES La teoría correspondiente a este subtítulo no queda en los propósitos de este libro, para mejor consulta ver: Cálculo diferencial e integral tomo 1, de Nikolaiev Piskunov u otro manual de cálculo. Anécdotas: 1) Calcular el Límite:

2

1

2

( 1)( 1) ( 1)lim

( ) 1

n

nnn

x x x

nx

Para efectuar el cálculo de este límite, debemos tomar en cuenta que al multiplicar lo numeradores obtendremos un polinomio entero en “x” , que como bien sabemos tendrá como mayor exponente a la suma de los exponentes de “X” en cada factor: exp.máximo 1 2 3 4 n Esta suma es una progresión aritmética y equivale a:

( 1)

máximo 2

n n

x x

el coeficiente del término que contiene el exponente máximo será uno, porque los factores que se multiplican entre si tienen por coeficiente la unidad. Ahora en forma práctica el Límite se calculará por:

( 1)( 1)2

2( 1) ( 1)

2 2

lim

n nn n

n n n nn

xn

n x

2) Calcular el límite:


2

lim1

n

n

x x x n

x

En el numerador tenemos términos en progresión geométrica, por tanto podemos escribir el límite como sigue:

1 1

( 1) ( 1) ( 1)

1 1lim lim1 1

n n

x x

x x x x n xn

x x

x x

Simplificando:

1

21

( 1)lim

( 1)

n

x

x n x n

x

Para hallar el cociente de esta división, aplicaremos el método de Horner:

0014321

2

1

36

241

122

)1(000011

nn

nn

n

nn

El límite ahora podemos calcularlo como sigue:

1 2 3lim( 2 3 )

( 1)1 2 3

2

n n n

nx x x n

n nn

3) Sea n

n xaxaxaxaxP 3

3

2

21)( , y sea m un número entero. Demostrar que:

11 ( ) 1

limm

n

P x a

x m

Para llevar a cabo esta demostración, vamos a calcular el límite pedido y así verificamos si es cierto o no la igualdad a demostrar. En el límite podemos multiplicar tanto numerador y denominador por el factor racionalizante del numerador:

1 2

1 2

1 2

1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1lim

1 ( ) 1 ( ) 1

1 ( ) 1lim

( 1 ( ) 1 ( ) 1

m m m

n m m

n m m

P x P x P x

x P x P x

P x

x P x P x

Al reemplazar por el valor de P(x):

1

1 2

1 2

1 1

" "

( )lim

( 1 ( ) 1 ( ) 1)

0 0 0

(1 1 1 1 1)

n

n

m mn

m veces

x a a x a x

x P x P x

a a

m

Como queríamos demostrar. 4) Calcular el Límite:

3

11

(1 )(1 ) (1 )lim

(1 )

n

nx

x x x

x

Aplicamos en primer lugar el límite de un producto:

3

1 1 1

1 1 1lim

1 1 1

n

x x x

x x xLim Lim

x x x

Ahora aplicamos en los denominadores de cada límite la identidad de diferencias de potencias iguales:

3

3 23 31 1

2 11

1 1lim lim

(1 )(1 ) (1 )(1 )

1lim

(1 )(1 )

x x

n

n n nn nx

x x

x x x x x

x

x x x x

Finalmente el límite pedido será:

!

11

4

1

3

1

2

1

nn

5) Resolver el límite:

1lim

1 1m nx

m n

x x

Primeramente y después de efectuar operaciones tendremos:

1lim

(1 )(1 )

m n

m nx

nx mx m n

x x

Para salvar la indeterminación, el cociente del límite tiene que dividirse exactamente por

2)1( x , ya que es evidente que en el denominador del límite hay indeterminación porque:


)1)(1()1()1)(1( 112 mnmn xxxxxxx

Para salvar la indeterminación dividiremos por Rufinni dos veces sucesivas (Es una división exacta de acuerdo con el teorema del residuo):

0)2)(()1)(()(5432

)1)(()(4321

1

00000000

nmnnmnnmnnmnnnnn

nmnnmnnmnnnn

mnmnmnmnmnnnnnnn

mnmnmnmnnnnnnn

nmmn

Para calcular este límite se han formado dos sumas series, regresando al límite original después de haber efectuado la división:

1

1 1

1

( ) ( )( )

lim( )

m m n

k k

x

kn m n n kf x m n

g x mn mn

Este límite se calcula mucho más fácil aplicando le regla de L’Hopital, pero aquí nos interesa su cálculo por medio de series. MISCELÁNEA Nº 6 1) Demostrar que si “p” es un número natural, se tiene:

1

1

1 2 1) lim

1

1 2 1) lim

1 2

1 3 (2 1) 2) lim

1

p p p

pn

p p p

pn

p p p

pn

na

n p

n nb

n p

n pc

n p

2) Demostrar que, si la sucesión

),2,1( nxn es convergente, la sucesión

de las medias aritméticas

)2,1()(1

21 nxxxn

nn

También es convergente y lim limn nn n

x

. Lo recíproco no es justo.

Poner un ejemplo. 3) Demostrar que, si la sucesión

),2,1( nxn es convergente, entonces:

1 2lim . limnn n

n nx x x x


4) Calcular:

1 1 1lim

1 2 2n n n n

Indicación: Aplicar la fórmula

n

1

3

1

2

11 nnC ln

Donde C = 0,577216.... Es la llamada constante de Euler y nsin 0 5) Sea:

1

0 1

1

0 1

0 0

0

( ) ,

, 0.

:

,

lim ( ) ,

0,

n n

n

m m

n

xo

a x a x aR x

b x b x b

donde a b

Demostrar que

si n m

aR x si n m

b

si n m

6) Calcular los límites que siguen.

1

1

2

1

21

1) lim

1

( ) ( )) lim

( )

( 1)) lim

( 1)

( , )

m

nx

n n n

x a

n

x

xa

x

x a na x ab

x a

x n x nc

x

m n son números naturales

7) Calcular los límites que siguen:

2 2 2

2 2 2

3 3 3

3

3 3 3 3

2

1 3 (2 1)) lim

2 4 (2 )

1 2) lim

4

1 4 7 (3 2)) lim

1 4 7 (3 2)

n

n

n

na

n

n nb

n

nc

n


2

2

1lim ( 1, 1)

1

n

nn

a a aa b

b b b

9) Calcular los siguientes límites:

2 2 2

1

2 2 2

3 3 3

2 2 2

3

2 3

84 2

1 2 1) lim

1 2 3 ( 1)) lim

1 2 ( 1)) lim

1 3 (2 1)) lim

1 3 5 2 1) lim

2 2 2 2

) lim 2 2 2 2n

n

n

n

n

n

nn

n

na

n n n

nb

n n n n

nc

n n n

nd

n

ne

f

10) Calcular el siguiente límite:

3 42 3 1limn n

nx x x x

11) Demostrar que:

1 3 2 1lim 0

2 4 2n

n

n


11) Aplicando desarrollos de series, calcular los límites que siguen:

0

0

1 1 1lim

1 1lim

( , )

m n

x

m n

x

x x

x

x x

x

m n son números enteros

12) Hallar el límite:

11

11

lim1a

a

aaa

aa


1 21 22 22 1 2 1 4 32lim 1n nn nn

na a a a a

15) 1 2lim ( )( ) ( )nn

nx a x a x a x

16) Hallar el siguiente límite:

1 2 ( 1)limn

a a n ax x x

n n n n

17) Hallar el siguiente límite.

2 2 21 2 ( 1)

limn

a a n ax x x

n n n n

18) Evaluar el siguiente límite:

" "

limn

n veces

sensensen senx

19) Demostrar que:


lim 1

n

x

n

xe

n

Si se sabe que:

2

lim 12! !

nx

n

x xx e

n

Indicación: Aplicar el binomio de Newton. 20) Calcular los límites que siguen:

1 2 2

) lim( 1)! ( 2)! (2 )!

nn n

n

x x xa

n n n

2 4 2) lim (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1n

nb x x x x si x

) lim cos cos cos2 4 2nn

x x xc

19) Reto:

Sea 0

( )lim 1

( )x

x

x

donde

1 2 1 2

( ) 0 0 ( 1,2, ) , , 1,2,

( ).

:

lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )

mn mn

n n nn n n nnn n

x y m cuando n es decir para m

y n N

Demostrar que

Este es un teorema muy importante para el cálculo de determinados límites. 21) Hallar “n” si:

2 2 2 2 2lim (1 )(2 )(3 ) ( ) 6n

xx x x n x x

20) Calcular:

2 2 22 22 2 21 2 3 12 2 2 2

" "

lim 4

n n nn nn n n n n

n

n

n radicales


3 42 3

limx

x x x

x x x


MISCELÁNEA Nº 7 Aplicaciones en Física 2

1) Si todas las resistencias son iguales a 1 , calcular la intensidad de corriente eléctrica que circula por el circuito mostrado. La red se alimenta con una diferencia de potencial de

VoltiosnnV )( 2 V

...

1

n-1

n

2) Calcular la resistencia total.

Si todas las resistencias son iguales a .7

...

...

V

3) En el circuito: Hay “n” conjuntos iguales, determinar cuantos conjuntos de circuitos se tienen si por el circuito total pasa una corriente de 5 amperios.

...

...

V n-1 n

La red se alimenta con una diferencia de potencial de 3 ohmios. 4) Si:

AnIvoltnVyR )1(,7

216 2

En el siguiente circuito se pide calcular el valor de ""n

...

...

R

R

R

R

R

R

R

VR

R

R

1

n

5) Se tiene un conjunto de vectores concurrentes cuyo origen está en un centro “o”, cada uno de igual módulo, formando una especie de abanico circular. Cada vector hace un ángulo de n/360 con el otro. Calcular el vector resultante de la suma de todos ellos. 6) Se tiene un anillo cargado uniformemente con una carga total “Q”, se pide calcular la intensidad de campo eléctrico debida a la distribución de carga, a una distancia “a” del eje perpendicular al anillo de radio “r” que pasa por el centro del mismo.

7) Hallar la velocidad media del móvil en la gráfica “v-t”:

V

1 2 3 4 nn-1 n+1

ov

t

...

...

8) Un zancudo por efectos del insecticida empieza a volar en círculos sobre una mesa horizontal, como indica la figura. Si suponemos que partió de “A” en sentido horario, y que cada círculo descrito tiene como diámetro el radio del anterior, ocurriendo esto durante tres minutos hasta que el zancudo muere, hallar su velocidad media promedio.

mAB 10 .


A B

RR

R1

2

3

9) ¿Qué tipo de movimiento se muestra en la partícula?

d(m)

t(s)

1.5

0.5 2.5

10

-10

...

10) Se tiene “n” bolas en reposo. Si la bola “A”, que se mueve con una velocidad 0v sobre la superficie lisa mostrada, choca con la bola “1” y ésta a su vez choca con la bola “2”, y así sucesivamente, ¿Con qué velocidad se mueve la n-ésima bola? Todas las bolas son idénticas y los choques inelásticos, con un coeficiente de restitución igual a “e”.

...A 1 2 3 n

v = 0 v = 0v = 0 v = 0v 0o=

12) Hallar la ecuación dimensional de “x”, sabiendo que:

n n n

QRsen

xxx

QAsen

Pem

.

5

2

2 0

Donde:

neperianoseáreaA

fuerzaRpresiónPmasam

.log,

,,0

13) Si la ecuación dada es correcta

dimensionalmente, hallar la ecuación dimensional de “A”:

n n n eeekVA

Donde: e = espacio, v = velocidad. 14) Si la ecuación es correcta dimensionalmente, hallar la ecuación dimensional de “z” (y = área)

BBB

zB

yn

.

54

15) Si la ecuación que se da es

homogénea dimensionalmente, hallar las dimensiones de “x”

n n n xxxS

senRP

sec..

.

Donde: P = presión, m = masa, = longitud, S = fuerza; además se cumple:

SBA senmR 2º30..2

16) Si las unidades de “E” son segundos,

¿Qué unidades tendrá “B”?

nn

n

n

n

n n

n

n

n

PPPP

AAAAE

PAB

13

2

2

10

13

2

2

10

11.

Donde: 0A metros,

2

0 /2 smsenP 17) Si la siguiente ecuación es correcta

dimensionalmente, donde 0A área;

hallar el valor de ""n . ...)7182818,2( e

YA

VYe

AAAA

VAsen

nn

i

i

n n

n2

0

9

3

4

21

0

)(

)4log(2)º302(2

18) Si la expresión que contiene “n” términos es correcta en sus dimensiones

3

4

33

2

3

22

1

2

1100

x

VK

x

VK

x

VKVKQ

Donde:


físicaconstK

velocidadV

longitudx

naceleracióQ

i

i

i

.

Hallar el producto de las dimensiones de

5K y 7K 18) Si la siguiente expresión es correcta

dimensionalmente, hallar las dimensiones de “a”, siendo F = fuerza, v = velocidad. Dar la respuesta en función de “K”.

a63

975

KK

KKK

Además:

321

3

2

2

10 vKvKvKF

19) Hallar el módulo de la resultante del

conjunto de vectores mostrados. El radio de la circunferencia es

33R . Dar su respuesta en función de R . Los ángulos no indicados miden 15º cada uno.

20) Hallar las dimensiones de “x” en el

sistema técnico (M = masa)

x

x

xM

21) Hallar las dimensiones de “x” en el

sistema técnico, en la siguiente ecuación dimensional:

xxxC

mE )(sec 2

m = masa E = presión C = cantidad de movimiento 22) Se tienen “n” coches ubicados en

ciudades equidistantes entre sí, y en un estado de reposo. Si todos parten simultáneamente con aceleraciones constantes correspondientes a:

nn aaaaa ,,,,, 1321 Hallar el tiempo en que demorarán en encontrarse, si se considera que:

nn aaaaa 1321 y además, que la distancia que hay entre ciudad y ciudad es “L”. MISCELÁNEA Nº 8 Productos y secuencias 1) Calcular el producto:

2 )1(

21

n nn

2) Calcular el producto:

112

cosn

n


1 2cos

nn

x

11) Demostrar el siguiente producto:

1 2

coshn

n x

xsenhx

12) Si 1x , calcular el producto:

0

2 )1(n

nx

13) Demostrar:


33

2

13

3

13

3

1

n n

n

n

n


32

2

1

4

n n

n


1 )2(

11

n nn


1 )52)(32(

)72)(12(

n nn

nn

17) Si 0a , calcular.

1

)1(

n

n

n

a

18) Reto: Sea

1

1)(

nxn

x , que es la

función zeta de Riemann, y sea ),2,1( npn la sucesión de

números primos. Demostrar que

)(1

1

1

1

xpnx

n

19) Reto: Demostrar que

0,

,2

)(

)(

1

0

1

0

badonde

ebia

bia

Limn

i

n

n

i

n

20) Calcular la suma serie (si existe)

1 11

1

11

11

k kkk

21) Hallar la suma de los “n” primeros

términos de la serie en logaritmos

10ln

2log

10ln

2log

10ln

2log

2

2

n

n

S

22) Calcular “x” si:

3

2

3

2

3 323 32x

pp xxx Además

33

1

33

3 3 3px

Tópicos matemáticos

SERIES TRIGONOMÉTRICAS

Una serie de funciones de la forma:

1

0

1211

0

)cos(2

22coscos2

n

nn nxsenbnxaa

xsenbxaxsenbxaa

Recibe el nombre de "Serie Trigonométrica”. Los números constantes

)3,2,1(,,0 nbaa nn se llaman coeficientes trigonométricos. La serie es convergente cuando su suma es una función periódica de periodo 2 , puesto que

nxnxsen cos, son funciones periódicas de periodo 2 , además que se cumplan los criterios de convergencia. Si los límites de la sumatoria son entre 1 y n , la serie se convierte en un polinomio trigonométrico. En tópicos de análisis se estudian las series de Fourier, una serie de Fourier sirve para desarrollar ciertas funciones )(xf por medio de series trigonométricas ó polinomios trigonométricos, previo a ello es necesario


determinar los coeficientes constantes, que se llaman “coeficientes de Fourier”. Vamos a postergar de momento, el estudio de esta importantísima serie.

Fórmulas para la suma de cosenos y senos de ángulos en progresión aritmética (Caso elemental de la serie de Fourier, donde los coeficientes valen la unidad y el término independiente vale cero)

Fórmula para el seno:

)2

(

2

2

)1(

)(

)2()(

nsen

sen

nsen

nsen

sensensen

Fórmula para el coseno:

)2

cos(

2

2

)1(

)cos(

)2cos()cos(cos

n

sen

nsen

n

A partir de estas dos identidades es inmediata la siguiente igualdad:

)2

tan(

)cos(

)(

0

0

n

i

isen

n

i

n

i

En forma muy frecuente, al estudiar el cálculo superior nos encontramos con un tipo especial de funciones que reciben el nombre de “Funciones trigonométricas hiperbólicas”, llamadas así porque dichas funciones, a diferencia de las funciones trigonométricas comunes, se relacionan con la curva hipérbola, en tanto que las funciones comunes se relacionan con el círculo. Las funciones Hiperbólicas se definen como sigue:

xx

xx

xx

xx

ee

ee

x

xsenhx

eex

eexsenh

coshtanh

2cosh

2

A partir de sus definiciones se pueden deducir las propiedades de éstas funciones, que en casos muy particulares, son similares a las propiedades de las funciones trigonométricas comunes. Las series de Fourier son de importante aplicación en el campo de la ingeniería electrónica, telecomunaciones, etc. Una de las cosas más curiosas e interesantes que se obtienen con las series de Fourier, entre muchas otras cosas, es la “milagrosa” convergencia de la serie:

2

2 2 2

1 1 11

2 3 4 6

No obstante de que a pesar que más adelante analizaremos otros casos de cómo hallar la suma de series trigonométricas, examinaremos la utilidad del siguiente artificio: Si tenemos una serie trigonométrica cuyos ángulos de las funciones estén en progresión aritmética, se multiplica a ambos miembros de la serie por cos2 , para así tener un producto y convertirlo en suma por medio de las fórmulas ya conocidas. Veamos si tenemos la suma finita:

5432 sensensensensenS Si multiplicamos a la serie por cos2 :

5cos22cos2

2cos2cos2cos2

sensen

sensenS

Se sabe además:

)()(cos2 sensensen Aplicando la identidad:


)64()42()3(2cos2 sensensensensensensenS

Con el fin de reproducir nuestra suma en involucrarla en su propio cálculo separamos adecuadamente y aumentamos a ambos miembros los términos 5sen y sen :

)1(cos2

)142(6

62642cos2

6)52(25cos2

sensenS

senSsensenS

sensensensensensenS

Desde luego que para este ejercicio podíamos haber usado la fórmula propuesta anteriormente, el resultado hubiera sido el mismo, claro que hubiésemos tenido que ponerlo en una forma tal que se parezca al resultado que hemos obtenido con este procedimiento. Lo que pretendo mostrar es existe la necesidad de memorizar la fórmula de la suma de funciones trigonométricas cuyos ángulos estén en progresión aritmética. Más adelante deduciremos esta fórmula aplicando el mismo método que aquí usamos. Ahora examinaremos también casos de sumas de series trigonométricas convergentes y decrecientes al infinito, utilizando la misma idea y combinando algunos de los “Trucos” ya estudiados: 1) Hallar la suma límite de la serie:

nqqqqS n cos3cos2coscos 32 Solución: Multiplicando por cos2 :

cos4cos2cos3cos2cos2cos2coscos2cos2 432 qqqqS Se sabe por identidad: )cos()cos(coscos2

3cos5cos2cos4coscos3cos2coscos2

)3cos5(cos)2cos4(cos)cos3(cos)12(coscos2

443322

432

qqqqqqqqS

qqqqS

Separando de forma adecuada:

SS

qqqqqqq

S )2coscos()2coscos(1

coscos2 22

Hay que notar que para completar la serie hemos sumado y restado el término cos ,

2

2

22

22

cos21

cos

cos21(cos

coscos2

coscos2

qq

qqS

qqSqq

SqqSqSq

qSqq

SS

Que es la suma pedida.

En muchos casos donde se tenga que sumar series trigonométricas de este y otros tipos, es ininteresante ver como el artificio aquí propuesto puede ayudarnos a resolver problemas aparentemente complicados, como examinamos en este ejemplo, sólo necesitamos alguna fórmula elemental de trigonometría y álgebra elemental.


Anécdotas: 1) Simplificar:

º178º6º4º2 sensensensenJ Aquí vamos ha aplicar la fórmula para el seno de la suma de ángulos en progresión aritmética:

º1cotº1

º1cosº90

º1

º89)

2

º288º2(

2

º22

º289

sen

sensen

sensen

sen

sen

J

2) Reducir:

nxxxxE 2cos6cos4cos2cos , si xn )1( Aplicando la fórmula del coseno

)cos(

2

22

2

nxxx

sen

xnsen

E , pero como

1cos)cos(:

)()1(

nxxademás

senxxsensennxxnxxn

Luego tendremos:

1)1( senx

senxE

3) Hallar el valor de:

º90º3º2º1 2222 sensensensenE No podemos en este ejemplo aplicar una fórmula de suma, así que hacemos las siguientes transformaciones: Sea:

º90º8947º46º45º44º2º1 22222222 sensensensensensensensenEBA

Entonces:

5,112

12

BABAE

Hay que notar que:

º1cosº89,º2cosº88,,º43cosº47,º44cosº46 sensensensen Por lo que:


44

11111

:

º1º2º43º44

º1cosº2cosº43cosº44cos

"44"

2222

2222

BA

BA

sumando

sensensensenB

A

sumandos

Finalmente: 5,455,144 E 4) Deducir la fórmula para la suma:

nxxxxxSn cos4cos3cos2coscos Para este problema vamos a aplicar un artificio que será en adelante muy importante para resolver futuros problemas. Hemos en primer lugar, multiplicar la serie por 2cosx:

xnxxxxxxxxxSx n coscos2cos4cos2cos3cos2cos2cos2coscos2cos2 Aplicando la identidad trigonométrica de producto en suma:

)cos()cos(coscos2

xn

xnxxxxxxxxSn

)1cos(

)1cos()3cos5(cos)2cos4(cos)cos3(cos)2cos1(cos2

Separando y agrupando los sumandos en forma conveniente:

xnxxxnxxxxSn )1cos(3cos2cos)1cos(3cos2coscos1cos2 Agregamos términos a ambos miembros de la igualdad para completar las series:

xn

nxxxnxxnxxxnxxS n

)1cos(

cos2coscoscos)1cos(2coscos1coscoscos2

Por lo que se puede escribir la igualdad como una ecuación: 2cos cos cos 1 cos( 1)n n nxS nx x S S n x

2 (cos 1) 1 cos( 1) cos cosnS x n x x nx

(2 1)2 (cos 1) 2 1 cos

2 2n

n x xS x sen sen x

(2 1)2

1 cos2 2

2(cos 1) 2(1 cos )n

n x xsen sen

xS

x x

(2 1)12 2

1 cos 2n

n x xsen sen

Sx


2

(2 1)12 2

22

2

n

n x xsen sen

Sx

sen

(2 1) ( 1)

2 2 2 cos2

22 2

n

n x x n xsen sen sen

nxS

x xsen sen

5) Calcular la suma límite de la siguiente serie de Fourier, demostrar así que es convergente.

n

sennxxsenxsensenxS

22

3

2

2

2 32

La serie dada es convergente, por que al comparar en el término n-ésimo tanto el numerador como el denominador observamos que el denominador es infinitamente grande frente al denominador, que es una función periódica y solo toma valores comprendidos en el intervalo cerrado 1,1 , por que es una función periódica, además se cumple la condición necesaria

para su convergencia: lim 02nn

sen nx

.

Para calcular esta suma vamos aplicar el algoritmo de la secuencia reiterada: Multiplicando ambos miembros por 2cosx:

432 2

cos42

2

cos32

2

cos22

2

cos2 xxsenxxsenxxsenxsenxS

Multiplicando también por 2, y efectuamos operaciones:

32 2

35

2

24

2

322

xsenxsenxsenxsensenxxsenxsenS

Aplicamos la propiedad distributiva y hacemos algunos artificios:

senxxsenxsensenxxsensenx

S

SS

22

3

2

2

22

2

2

22

32

2

2

Efectuando operaciones finales:

senxS

Ssenx

senxSSS

3

2

32

242


MISCELÁNEA Nº 9 1) Aplicando la definición de funciones hiperbólicas, deducir la fórmula de la suma

shnxxshxshxshkxshn

k

321

2) Aplicando la definición de funciones hiperbólicas, deducir la fórmula de la suma:

chnchchchPn 32 3) Calcular la suma de la siguiente serie de Fourier:

nnsensensensenSn 3322

4) Calcular la suma serie (Si es posible):

chnx

nxsh

xch

xsh

xch

xsh

chx

xshS

n2

2

32

6

22

4

2

232

5) Calcular la suma de los “ n ” primeros términos de la siguiente serie trigonométrica, cuyos coeficientes de Fourier están en progresión geométrica.

n

n

kk

nxxxkx

cos2coscoscos2

1

6) Calcular la suma de los “ n ” primeros Términos de la siguiente serie trigonométrica:

nsennn

sensensen

)12)(12(

37.525.33.1

7) Representar el Polinomio trigonométrico de MGdN como una función equivalente a su suma (Es decir, deduzca UD la fórmula de la suma parcial de sus “ n ” primeros términos).

nsennsensenxP 222 221)( 8) Calcular la serie:

xnnxsensen

senx

xxsensen

senx

xxsensen

senx

xsenxsen

senxP

)1(

43322

9) Calcular:

)º45(2

)º452(2)º45(2

nAsen

AsenAsenT

10) Si 1m , calcular la suma de la serie:

3

2

2

22 3cos2coscos

m

x

m

x

m

xE

11) Calcular la suma serie de:

n

n

x

xf

x

xf

x

xfP

)(cos1

)(cos1)(cos12

21

Si 1x y además 1 2f x ;

1( ) 2 ( ) 1n nf x f x n



1/

)1(642

)2cos(5

cos3

coscos

imparnZn

nnsen

nsen

nsen

nsen

nn

nnnE

13) Deducir la fórmula de la suma:

nxxxx 2222 cos3cos2coscos 14) Si:

2

1

2

1

0

2

.....................................

923

422

12

nssvxsenn

ssvxsen

ssvxsen

ssvxsen

n

Además

2

1

2

2

2

3

2

0

2( 1)cos ( 1)

2( 2) cos ( 2)

2( 3) cos ( 3)

........................................ ..................

2(2 ) cos 4

n

n

n

n x ssv n

n x ssv n

n x ssv n

n x ssv n

También se sabe que “n” toma valores muy grandes. Se pide calcular:

2631 cos xxsen Aclaración: El símbolo ssv es la función “semisenoverso de ” definida mediante la siguiente relación:

cos12

1ssv

15) Demostrar la siguiente propiedad de las funciones trigonométricas:

n

i

i

n

i

i

n

i

iinn

sen

sensen

sensen

11

1

2211

cos

)cos()cos(

)cos)(cos(

En adelante tomar muy en cuenta esta propiedad. Sugerencia: Aplique la fórmula del seno y coseno de la suma de ángulos. Tópicos matemáticos UNA CLASIFICACIÓN DE LAS SERIES En los cursos de análisis interesa más saber si una serie es convergente o no, si una serie converge entonces existe su suma límite, caso contrario se dice que diverge. Cuando las series son de funciones entonces si convergen podemos tener las que lo hacen condicionalmente ó las que lo hacen absolutamente. Por su naturaleza (aunque para nada indiferentes) las series en matemáticas pueden ser de dos tipos:

de variable realseries

de variablecompleja

A su vez:

numéricasseries de variable real

seriesdefunciones

En las series de funciones encontramos un tipo especialmente estudiando, las series de potencias. Series Numéricas Las series numéricas son aquellas que no se encuentran afectadas por variables, Ej.:


3 14

1 2 3

1 1 1 1

2 3 4 1

2 2 2 2

n

n

n

n

S n

Pn

Q

etc. Series funcionales Son aquellas que vienen afectadas por variables, conformando así una función.

1 2

1

( ) ( ) ( )

n

i n

i

u x u x u x u x

Series de Potencias Son llamadas series de potencias, porque son series cuyos términos vienen expresados en función de potencias determinadas. En su forma general se representan por:

n

n axaaxaa )()(10 Cada término de la serie está expresada en potencias de )( ax . Su estudio es importante. De este tipo de series se obtienen los desarrollos de funciones continuamente derivables por medio de Series de Taylor. Cuando se hace 0a , se obtiene otra serie llamada Serie de Mclaurin. Con las series de potencias se pueden expresar funciones algebraicas como polinomios, por ejemplo, en serie de potencias; también las expresiones del seno, coseno, sus funciones inversas y otras funciones trascendentes se pueden obtener como series de potencias. Los desarrollos en series de potencias de las funciones trascendentales reciben el nombre de desarrollos Fundamentales. Tópicos matemáticos OPERACIONES CON SERIES Para todas las series cuyo campo de existencia pertenece a los números reales están definidas las siguientes operaciones. 1) Toda serie puede ser separada adecuadamente en otras series parciales.

Sea la serie:

nn SSSSS 321

Agrupando ciertos términos, por ejemplo una posibilidad sería:

)

()(

2

121

nkn

knknn

SS

SSSSS

Al interceptar la serie original entre paréntesis hemos obtenido dos series adicionales.

lmn SSS 2) linealidad y producto de series a)

1 1 1

( )n n n n

n n n

m a n b ma nb

Donde ,m n son constantes. Esta propiedad es conocida como linealidad en la sumatoria.

b)

111 n

n

n

n

n

n cba

Donde:

1121 bababac nnnn , que son los productos de las combinaciones binarias de los términos en “ a ” y en “ b ”. 3) La suma infinita:

1 1

limn

n kn

n k

a a

Esta aplicación consiste en pasar una serie finita a una serie infinita, generalmente no se pueden aplicar directamente algunas propiedades a una serie infinita, por lo cual debe convertirse la serie en una suma finita. (Recordemos que sumar hasta el infinito es una tarea humanamente imposible y con el paso al limite sólo estudiamos cómo es el comportamiento de una suma infinita).


4) Todo factor constante en una sumatoria, sale de la sumatoria, según sean los casos:

n

k

k

n

k

k

n

k

k

n

k

k

accab

anccaa

11

11

)

)()

c = constante METODOS DE SUMACIÓN DE SERIES 1º) SUMACION INMEDIATA Si nnn vvu 1 )3,2,1( n y

lim nn

v v

, se tiene: 1

1

vvun

n

La serie cuya suma se puede representar como en la igualdad anterior recibe el nombre de Serie Telescópica.

En particular, si mnnn

naaa

u

1

1

Donde los números ),3,2,1( iai forman una progresión aritmética con diferencia ""d , se tiene:

11

11

mnnn

naaamd

v

Este caso de sumación de series es el caso más general del método de las fracciones parciales, definida aquí con la rigurosidad matemática que le corresponde. 2º) SERIES TRANSFORMADAS En algunos casos se consigue expresar la serie dada en forma de una combinación lineal de otras series que más adelante vamos a estudiar. Estas series que son “conocidas”, se obtienen de los desarrollos de funciones en series de Fourier, de Mclaurin y Taylor. Entre muchas otras series conocidas tenemos:

6

1

2ln)1(

2

12

1

1

n

n

n

n

n

enn

1 !

1

, etc.

3º) MÉTODO DE EULER El método de Euler sirve para hallar la suma de Progresiones Armónicas convergentes. Una progresión se dice Armónica cuando la suma de sus recíprocos forma una progresión aritmética.

Sea naaaa

1111

321

una serie

armónica, al calcular las suma de sus recíprocos o lo que es lo mismo, sus inversos:

naaaa 321 Se tiene una serie aritmética. Casi todas las series armónicas son divergentes, aunque el criterio necesario de convergencia se cumpla en esta serie. Pero las series armónicas son convergentes condicionalmente o cuando tiene términos alternados positivos y negativos. Más adelante demostraremos que la serie

armónica n

1

4

1

3

1

2

11 es

divergente. Para aplicar el método de Euler se utiliza la siguiente identidad:

nnCn

ln1

4

1

3

1

2

11

Donde ....577216.0C Es la llamada constante de Euler y 0n cuando

n 4º) DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE UNA SERIE TÉRMINO A TÉRMINO. A una serie de funciones, en nuestro caso una función de una sola variable. Se le puede aplicar la derivación e integración término a término con el fin de reducir la


serie a otra serie conocida de la cual es posible hallar en forma directa su suma y luego aplicando la operación inversa a la que se le hizo inicialmente a la serie (derivación o integración) encontrar la expresión de la suma serie pedida. Este método se aplica tanto a series finitas como a series infinitas. A una serie se le puede derivar e integrar término a término dos o más veces si es necesario.

Sea la serie:

1

)(n

n xf una serie de

funciones, es posible realizar en ella lo siguiente:

/

/ / /

1 2

1

( ) lim ( ) ( ) ( )n nn

n

f x f x f x f x

Derivar término a término la serie dada, luego si existe la suma de la serie:

/ / /

1 2lim ( ) ( ) ( ) ( )nn

f x f x f x S x

Escribir la serie dada en la forma:

)()(

/

1

xSxfn

n

, para Hallar la serie

inicial pedida, aplicamos la antidiferencial o integral a ambos miembros:

dxxSxfn

n )()(

/

1

Como la integral anula la diferencial del primer miembro, finalmente tendremos:

1

)(n

n xf dxxS )( , que es la suma

serie pedida. En otros casos en necesario aplicar primero la integración término a término y luego la derivada.

Sea la serie:

1

)(n

n xf una serie de

funciones, es posible realizar en ella la siguiente operación:

1 2

1

( ) lim ( ) ( )

( )

nn

n

n

f x dx f x dx f x dx

f x dx

Supongamos ahora que es posible calcular la suma de la serie:

1 2lim ( ) ( ) nn

f x dx f x dx f x M x

Por lo que la igualdad la escribimos como sigue

1

( ) ( )n

n

f x dx M x

Es lícito integrar y derivar término a término una serie, siempre y cuando se lo haga dentro de su intervalo de convergencia, esto se debe tomar muy encuenta cuando se reemplaza en los límites de una integración. Por tanto para reestablecer la serie original aplicamos la derivada a ambos miembros de la igualdad para finalmente tener:

1

)(n

n xf )(/ xM

Remarca.- En realidad estas operaciones no son tan obvias, su demostración no la expondremos acá. Un método abreviado que nos permite determinar la suma de series del tipo

0

n

n

Q n x

, donde Q n es un

polinomio en n de grado q , consiste en pensar en las derivadas sucesivas de la serie geométrica

211

1

nx x xx

, derivando

una vez:

2 311 2 3 4

1

dx x x

dx x

ó

2 3

22 3

1

xx x x

x


De esta manera y con manipulaciones algebraicas se deducen fácilmente los desarrollos:

1

1

1

n

n

xx

;

2

1 1

n

n

xnx

x

22

3

1 1

n

n

x xn x

x

;

3 23

4

1

4

1

n

n

x x xn x

x

5º) MÉTODO DE ABEL (Del matemático Noruego Niels Henrik Abel). Para calcular una serie numérica se la puede reducir a una serie de Potencias.

Si la serie

1n

na es convergente, se tiene

1 00 0

lim n

n nx

n n

a a x

Ahora la serie se reduce al caso elemental de derivación e integración término a término, porque transformamos parcialmente la serie dada en una serie de potencias. 6º) SUMACIÓN DE SERIES TRIGONOMÉTRICAS: Al buscar las sumas de las series:

0 0

cos senn n

n n

a nx y a nx

Si es posible se aplica el algoritmo de la secuencia reiterada, previo una transformación de la serie, a menudo convirtiendo un producto en suma en cada término de la serie para formar (si es posible) la serie original y plantear luego la suma serie como una ecuación, como se ha visto en el subtítulo de series trigonométricas. Puede también considerarse cada serie como la parte real e imaginaria, respectivamente, de la suma de la serie de potencias en el campo complejo:

0n

n

n za , donde ixez .

A menudo suele ser útil la serie:

xn

z

n

n

1

1ln

1

También se verifican las siguientes igualdades:

3 5 7

2 4 6

sen3! 5! 7!

cos 12! 4! 6!

x x xx x

x x xx

2 3

11! 2! 3!

x x x xe

Que son los desarrollos de Maclaurin.

cos senixe x i x (Fórmula de Euler) Probablemente el lector ya conozca estas expansiones en series de potencia, no obstante más adelante se indicará como obtenerlas (notas introductorias a las series de Taylor). 7º) LA SERIE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICA Para el cálculo de series Aritmético-Geométricas de primera especie se propone aplicar a la sucesión:

121

1

)1(2)1(

n

n

kk uq

dna

uq

da

uq

da

u

a

uq

dka

Donde a y u son los primeros términos de las progresiones aritméticas y geométricas respectivamente y d y q las razones. La fórmula

21

1

)1(

)1)(1()1()1)(1(1

qq

qnqqdqqa

u n

nn

Esta fórmula permite Hallar tanto la suma de los “ n ” primeros términos de la serie como para su suma límite (Si existe) cuando la serie sea convergente. Para que la serie sea convergente es condición necesaria que 1q , y para


que la serie exista es indispensable que 0, uq .

La fórmula dada, es posible de deducir mediante métodos ordinarios del Álgebra. Entre otros apuntes cabe hacer notar que la memorización de la fórmula no tiene sentido práctico, por lo que es recomendable aplicarla sólo a casos demasiados complejos. En casos más simples se aconseja usar el algoritmo de la Secuencia Reiterada. Anécdotas: 1) Calcular la suma de la serie:

22222222 54

1

43

1

32

1

21

1S

Para hallar la suma de esta serie es necesario aplicar la siguiente identidad:

2

22 1

11

)1(

1

nnnn

Luego al desarrollar el binomio aplicándolo a los términos de la serie se tendrá:

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 1 1 2 1

1 1.2 2 2 2.3 3

1 2 1 1 2 1

3 3.4 4 4 4.5 5

S

De esta forma hemos obtenido dos series diferentes, por una lado la serie de Euler:

64

1

3

1

2

11

2

222

y por el otro

lado una serie telescópica conocida:

14.3

1

3.2

1

2.1

1

Al reemplazar estos resultados tenemos:

)1(2166

22

S

3

92

S


432

432

1

xxxx

n

x

n

n

Si 1x Para el cálculo de esta serie necesitamos recurrir a la derivación término a término, llamamos a la serie dada )(x , derivando:

321)(' xxxx De esta manera la serie se transforma en una progresión geométrica conocida, dado que es “x” es menor a la unidad, la serie es convergente y su suma límite será:

xx

1

1)('

Luego para eliminar la derivada aplicamos la integral a ambos miembros. Recordando que para que esta operación tenga sentido, se debe tomar muy encuenta que en la integral, los límites de integración correspondan al intervalo de convergencia.

)1(1

)(0

xLnt

dtx

x

,

Al introducir una nueva variable, indicamos en los límites de integración el segmento de convergencia, y como sabemos para que la serie derivada término a término sea convergente es necesario que 1x . Note lo absurdo que sería tratar de calcular la serie para un x digamos, igual a 2. (En una función real de variable real, no existen logaritmos de números negativos). No obstante de esta misma fórmula se deduce una serie recursiva que nos permite calcular logaritmos naturales a partir de su serie, sin las limitaciones que actualmente ofrece esta fórmula. Finalmente hemos probado que:

1

ln(1 )n

n

xx

n

Tal como se ve, esta expresión existe solo para 1x . 3) Calcular la suma de la serie:


1

1

32 3).12(

)1(

3.7

1

3.5

1

3.3

11

n

n

n

Para esta serie numérica vamos a aplicar el método de Abel:

1 1 2 1

1 11 01 1

( 1) ( 1)lim

(2 1).3 (2 1).3

n n n

n nxn n

xS

n n

La notación que aparece en el límite nos indica que x toma un valor próximo a uno, pero no igual a uno, es decir ligeramente menor a uno, gracias a ello es que cuando derivamos término a término, justificamos que la serie que resulta sea convergente. Por lo que la serie tendrá la forma:

3 5 7

2 31 0lim

3.3 5.3 7.3x

x x xS x

Derivando término a término:

2 4 6

2 31 0' lim 1

3 3 3x

x x xS

La nueva serie es la suma de una progresión geométrica decreciente al infinito, ya que 1x , por lo tanto la serie valdrá:

221 0 1 0

1 3' lim lim

31

3

x xS

xx

Para regresar a la serie original integramos:

21 00

3lim

3

x

x

dtS

t

1 0

3lim

3 3x

xS arctg

6

3

3

13

S

arctgS

4) Si 1x , Hallar la suma de la serie:

2

1

1 4.33.22.1)1( xxxnnn

n

Llamemos )(xS a su suma e integremos término a término:

32

0

432)( xxxxS

S

Podemos volver a integrar la serie, pero para no tener que derivar dos veces, hacemos la siguiente transformación:

)3()2()11( 22 xxxxxSdx

Hemos formado de nuevo nuestra serie además de otra serie geométrica convergente, por tanto:

Sdx

xxSdx

1

11

x

xxSdxx

1

)2()1(

2)1(

)2(

x

xxSdx

Para hallar “S” derivamos:

4

22

)1(

)2)(1(2)12)(2('

x

xxxxxxSdx

3

4

)1(

2

)1(

22

xS

x

xS


10

1

7

1

4

11S

Aplicamos el método de Abel: 4 7 10

1 0( ) lim

4 7 10x

x x xS x x

Derivando término a término:

3 6 9

1 0

31 0

'( ) lim 1

1'( ) lim

1

x

x

S x x x x

S xx

Luego integramos:


31 00

2

1 0

( ) lim1

ln(1 ) ln(1 )( ) lim

2 6

1 2 1 1 1arctg arctg

2 23 3

x

x

x

dtS x

t

x x xS x

x

Finalmente: 1 2 1

ln 2 arctg3 23

S


8.6.4.2

7.5.3.1

6.4.2

5.3.1

4.2

3.1

2

11S

Previamente examinemos la serie binomial:

32

!3

)2)(1(

!2

)1(

!11)1( x

mmmx

mmx

mx m

Si en ella ponemos 2

1m , entonces se

verifica:

4

32

8.6.4.2

5.3.1

6.4.2

3.1

4.2

1

2

111

x

xxxx

Por lo que podemos afirmar que la suma que se nos pide tendrá un parecido con esta serie. Nuevamente aplicamos el método de Abel:

2 4

1 0

6

1 1.3 1.3.5( ) lim 1

2 2.4 2.4.6

1.3.5.7

2.4.6.8

xS x x x

x

Integrando término a término en su intervalo de convergencia:

0

( )

S

S x dx 3 5

1 0

1 1.3lim

2 2.4 2.4.6x

xx x

7

8.6.4.2

5.3.1x

Luego de unos arreglos evidentes:

2 2 2

1 00

2 3

1 1 1( ) lim 1 ( ) ( )

2 2 2.4

1.3 1( )

2.4.6 2

S

x

xS x dx x x

x

xx

x

La serie dentro del paréntesis es el

desarrollo de21 x , que se obtiene

poniendo 2x en lugar de x en la serie

binomial. Luego:

2

1 00

1 1( ) lim

S

x

xS x dx x

x x

Finalmente, para regresar a la serie original, derivamos:

22

2

2 21 0

11 1

( ) lim 1x

xx

xS x

x x

2

1

1

22

1

11

S

S


12( 1)

1 2

nsen x sen x sennxS

n

Para Hallar la suma de esta serie trigonométrica, haremos uso de la variable compleja. Vamos ha examinar la suma de la siguiente serie de términos complejos:

432

)(432 zzz

zzS , donde z

es un número complejo de la forma xsenixz cos . En este caso

particular, la suma que se nos pide, se puede considerar como la parte imaginaria de la suma de la serie de términos complejos )(zS , en efecto:

in

nxsen

n

nxzS

n n

nn

1 1

11 )1(cos)1()(

Al derivar la serie de términos complejos (Considerando una función de variable compleja) se obtiene:


zzzzzS

1

11)(' 32

Esto es posible por que la serie es convergente en el intervalo x . Por integración se tendrá:

( ) ln(1 )S z z La pregunta: ¿Cómo obtengo el logaritmo de un número complejo?, se responde aplicando la fórmula de Euler: Si cos senixe x i x entonces ln(cos sen )x i x ix Curiosamente debemos escribir el número complejo )1( z en su forma polar, recordando que cos senz x i x , se tiene:

xsenixz )cos1('

2 2(1 cos ) sen 2cos2

senarctg

1 cos

xx x

x

x

sen' 2cos cos arctg

2 1 cos

sensen arctg

1 cos

x xz

x

xi

x

Determinando su logaritmo natural:

ln ' ln(1 ) ln 2cos2

senarctg

1 cos

Parte real

Parte imaginaria

xz z

xi

x

Porque para cualquier complejo bia , su logaritmo natural de determina por la fórmula

2 2ln( ) ln arctgb

a bi a b ia

Que se deduce de la fórmula de Euler. (Debe observarse que sólo nos interesamos en el valor principal del logaritmo). Por tanto la suma de la serie:

1

1

( 1) senn

n

nx

n

es igual a la parte

imaginaria de la suma de la serie compleja )(zS .

1

1

( 1) senn

n

nx

n

senarctg

1 cos 2

x x

x

Obsérvese que sen

tan1 cos 2

x x

x

.

Adicionalmente, hemos obtenido la suma de la serie de cosenos, que corresponde a la parte real de la suma de la serie de términos complejos:

2cos2

cos)1(

1

1x

LnLnn

nx

n

n


!3

3cos

!2

2cos

!1

cos1

!

cos

0

xxx

n

nx

n

)( x .

Esta es una serie cuya convergencia es evidente, curiosamente se la puede comparar con la parte real de la suma de la serie de números complejos:

zezzz

S !3!2!1

132

, donde

xsenixz cos . xsenixxsenixz eeee coscos

De la fórmula de Euler: )()cos( xsensenixsene xseni

imaginariaParte

x

realParte

xxsenix xsenseneixseneee )()cos( coscoscos

Deduciéndose:

)cos(!

cos cos

0

xsenen

nx x

n

Por otra parte también obtenemos la suma de la serie:

)(!

cos

1

xsensenen

nxsen x

n


1nn

nxsennsen

Previamente el producto lo volvemos en suma:


cos( ) cos( )sen( )sen( )

2 2

x xn nx

La suma equivaldrá a:

11

)cos(

2

1)cos(

2

1

nnn

x

n

x

Únicamente vamos a examinar la segunda serie, por que el cálculo de la primera es similar: La serie:

1

2

)cos()(

nn

xxS

Se puede

comparar con la parte real de la serie de variable compleja:

1n

n

n

z, donde

( ) cos seni xz e x i x

Al derivar la serie compleja:

zzzzS

1

11)(' 2 Por tanto:

1 1( ) ln ln

1 1 cos senS z

z t i t

Donde xt , o lo que es lo mismo:

( ) ln (1 cos ) senS z t i t Escribamos el complejo del logaritmo en su forma polar:

senarctg

cos 1

t

t

2 2(1 cos ) ( sen )t t , al desarrollar el binomio y sustituir

ttsen 22 cos1 , se obtiene:

2 2cos 2sen2

tt , por fórmula

del ángulo mitad. Luego el logaritmo del número complejo será de la forma:

senln 2sen arctg

2 cos 1

parte real parte imaginaria

t ti

t

Por lo que:

1

cos( )ln 2sen ln 2sen

2 2n

x t x

n

De modo similar se obtiene:

1

cos( )ln 2sen

2n

x x

n

y finalmente:

1

sensen sen 1 2ln2

sen2

n

xn nx

xn


)1(

)1( 1

1

nn

n

n

Aquí )1(

)1( 1

nnu

n

n , en valor absoluto la

descomposición de fracciones parciales del

término general da 1

11

nn

un ,

desarrollando de esta forma la suma serie:

6

1

5

1

5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11S

Ordenando de forma adecuada:

21

5

1

4

1

3

1

2

1

4

1

3

1

2

11

SS

S

, comparando con un resultado conocido 1

1

( 1)ln 2

n

n n

, Entonces los valores de

1S y 2S serán: ln 2 ln 2 1 2ln 2 1S


1

222 )2()1(

1

nnnn

, busquemos

descomponer el término general de la serie en fracciones parciales:

2

21

n

C

n

B

n

Aun

1)1()2()2)(1( nCnnBnnnA

2

11)1)(2(2

11)1)(1(1

2

11)2)(1(0

CCn

BBn

AAn


Luego:

)2)(1(

1

)2(2

1

)1(

1

)2(4

1

)1(

1

4

1

)1(2

1

1

1

2

1

2

22

2

nnnnnnn

nnnnn

En sí, la suma de la serie se reduce a calcular la suma de cada uno de las series obtenidas de nu . Recordando que es posible expresar una suma serie por medio de otras series conocidas, podemos usar el resultado:

63

1

2

11

2

22

Para obtener las

sumas:

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

11

6)2(

1

16)1(

1

6

1

n

n

n

n

n

n

Y descomponiendo en fracciones parciales, se hallan las sumas de las series telescópicas:

2

1

)2)(1(

1

2

1

)2(

1

1)1(

1

1

1

1

n

n

n

nn

nn

nn

Y la suma total será:

2

1

2

1

2

11

4

11

64

11

664

1 222

S

S16

39

4)2()1(

1 2

1

222

nnnn


1)!12(

)1(

n

n

n

n

Por la forma del denominador del sumando general, se observa que es posible hacer que se parezca a uno de los desarrollos de Maclaurin para el coseno y seno de un ángulo dado. En efecto podemos reescribir la serie dada como:

0)!12(2

)1(

)!12(2

)12()1(

n

nn

nn

n

Haciendo las simplificaciones adecuadas:

1

0

1cos

0)!12(

)1(

2

1

)!2(

)1(

2

1

sen

n

n

n

n

nn

11cos2

1

)!12(

)1(

1

senn

n

n

n


4.33.22.1

32 xxx 1x

Podemos separar previamente en fracciones parciales:

43322)(

3322 xxxxxxxs

Luego de agrupar términos del mismo signo:

122

1

22)(

3232

SS

xxx

x

xxxxs

La serie que se ve involucrada es un resultado conocido:

2 3 4

1

1ln

2 3 4 1

n

n

x x x xx

n x

El signo de valor absoluto no es necesario acá, porque nos restringimos a que x esté acotada y sea menor que uno, en efecto

1x . Finalmente:

1 1 1( ) ln ln 1

1 1s x

x x x

Haciendo álgebra: 1 1

( ) ln 11

xs x

x x


16

8

8

4

4

2

2 1111 x

x

x

x

x

x

x

x


Para 1x De repente podríamos complicarnos con métodos complejos para calcular la suma de esta serie, pero si observamos bien podemos encontrar una interesante relación con los términos de cada fracción, una vez que las hemos expandido por su correspondiente serie geométrica. Veamos los casos:

753

21xxxx

x

x

141062

4

2

1xxxx

x

x

2820124

8

4

1xxxx

x

x

5640248

16

8

1xxxx

x

x

............................... ............................... .............................................................. De esta forma podemos decir que cada fracción produce series de potencias de “ x ” únicas y diferentes de las demás, el conjunto suma de cada fracción equivaldría a sumar:

5432

12

12

1xxxxx

x

x

nn

n

Como “ x ” es menor a la unidad la serie es convergente, y por tanto:

x

x

x

x

nn

n

1112

12

15) Hallar las siguientes sumas

2 3

1

sen sen sen 2 sen 3n

n

q n q q q

2 3

1

cos cos cos 2 cos3n

n

q n q q q

Esta vez no se hará uso del método de la secuencia reiterada, pero el lector observará que es posible calcular estas sumas por dicho método. Consideremos la siguiente serie de variable compleja:

1 1

1

1

nn in i

in n

q e qeqe

, la cual

converge para 1q . Luego

1 1

1 1 cos seniqe q iq

de donde

2

1 cos sen1

1 cos sen 1 2 cos

q iq

q iq q q

Para las series pedidas se toma la parte imaginaria y real respectivamente.

1

1sen Im

1 in

qqe

, o sea

21

sensen

1 2 cosn

qq

q q

y

1

1cos Re

1

n

in

qqe

, o sea

21

1 coscos

1 2 cos

n

n

qq

q q

16) Calcular la suma

2arctan arctan

1 1 2

xx

x

2arctan

1 1

x

n n x

.

Recordando la igualdad

arctan arctan arctan1

a ba b

ab

Busquemos escribir cada sumando de la serie como una diferencia de arcos tangentes. Planteemos

21 1 1

a b x

ab n n x

, de donde

1a x n ; b xn . Entonces la serie se vuelve telescópica

21

arctg1 1n

x

n nx

1

lim arctg arctg 1n

nk

xk x k

,

21

arctg lim arctg1 1 2n

n

xxn

n nx



4

1

cos

3 !

n

n n

Recordando uno de los desarrollos más importantes de Mclaurin

2 3

11! 2! 3!

x x x xe , Necesitaremos

de la serie exponencial, puesto que la

forma de

4

1

cos

3 !

n

n n

lo dice a gritos, pero

tenemos que ser más sutiles y observar que esta serie no inicia exactamente igual que la serie exponencial. Pero si hacemos

3

4 4

2

41 1

cos cos1

3 ! cos 3 !

n n

n nn n

Ahora es más fácil ver que

2 3cos

4 4 4 44

1

cos cos cos cos2 1

3 ! 1! 2! 3!

n

n

en


3

1

3

4nn

n

La resolución sencilla y elegante es ver la serie como

3 3 3 3 3

3 3 2 3

1 4

3 3 2 11 0

4 4 4 4 4 4n n

n n

n n

Es lo mismo que

3

3

1 1

3 1 1 33

4 64 4 16

n

n

n n

nn

De este modo aplicamos el resultado

3 23

4

1

4

1

n

n

x x xn x

x

, haciendo cálculos

3

1

3 424

4 27n

n

n

.

19) Calcular la serie

2

0

31

1

n

n

n nx x

n

LAS SERIES EN LA GEOMETRÍA

Para nadie es un secreto que la geometría es una de las disciplinas mas lindas de la matemáticas, quizás por que exige una mayor comprensión y capacidad de análisis y reflexión. Por otra parte esta rama de la matemática también encuentra cosas muy interesantes relacionadas con series matemáticas. MISCELÁNEA Nº 10 1) En un cuadrado de lado “ a ” se inscribe otro cuadrado cuyos vértices están sobre los puntos medios del primero, en este segundo cuadrado se inscribe un tercer cuadrado cuyos vértices están sobre los lados del segundo y así sucesivamente. Se pide calcular la suma límite de las áreas de todos los cuadrados así inscritos.

a

2) Se construye una espiral que tiene como eje un triángulo equilátero de lado “b ”, de acuerdo al siguiente gráfico. Si se tiene “ n ” arcos para realizar dicha construcción, calcule UD el perímetro de dicha espiral.

3) En un segmento circular se han construido arcos de dos puntos que están sobre los radios de dicho segmento, cada uno después del siguiente tiene como radio


el doble del anterior, si se tiene “ n ” arcos incluyendo el del segmento circular, calcular la suma el perímetro de dicha figura.

B

A

C

r.

.

.

Además el ángulo º60BAC 4) Se tiene un triángulo ABC, el menor lado es de longitud “c”, en éste triángulo se inscribe una circunferencia, a continuación se inscribe una segunda circunferencia tangente a los lados “ a ” y “b ” del triángulo y tangente a la primera circunferencia, nuevamente se inscribe una tercera circunferencia tangente a los lados “ a ” y “b ” del triángulo y a la segunda circunferencia, así sucesivamente, se pide calcular la suma límite de las áreas de las circunferencias así obtenidas. 5) En un triángulo equilátero de lado “ a ” se inscribe una circunferencia, a continuación en dicha circunferencia se inscribe un triángulo equilátero, en este triángulo equilátero se vuelve a inscribir una circunferencia, así sucesivamente. Si representamos por 1S la suma límite de

las áreas de las circunferencias, y por 2S la de los triángulos equiláteros. Calcular la

relación 2

1

S

S.

a

6) La figura que se muestra a continuación se llama “supercubo “de Dodovrosky, cada cubo construido tiene a su base inscrita en los puntos medios del cubo con el que esta unido, así sucesivamente se va formando la figura. Se pide calcular el volumen total de la figura a medida que el número de cubos se acerca a infinito, además se sabe que el cubo del centro tiene de arista “ a ”.

7) En una elipse de semieje mayor “ a ” y semieje menor “b ” se inscribe un paralelogramo cuyos vértices coinciden con los de la elipse, en dicho paralelogramo se inscribe una elipse que es tangente al paralelogramo, en dicha elipse se vuelve a inscribir otro paralelogramo y así sucesivamente, se pide calcular la suma límite de las áreas de las elipses así construidas a medida que su número se acerca al infinito.

a

b

8) deacuerdo a la siguiente figura, calcular la suma límite de las áreas de las circunferencias inscritas en el cuadrado de lado “ a ”, a medida que se tengan infinitas.


9) En un hexágono regular se inscribe un triángulo equilátero cuyos vértices están sobre los puntos medios de los lados no consecutivos del hexágono, a continuación se inscribe otro hexágono en el triángulo equilátero de tal manera que tres de sus vértices toquen los puntos medios del triángulo equilátero, así sucesivamente. Calcular la suma límite la las áreas de los hexágonos así obtenidos.

10) En una circunferencia se inscribe un pentágono regular, a continuación en dicho pentágono se inscribe una circunferencia, se vuelve a inscribir otro pentágono regular en la segunda circunferencia, así sucesivamente. Se pide calcular la suma límite de las áreas de los pentágono así obtenidos.

11) En un cuadrado de lado “ a ” se traza con centro en un vértice un arco de radio “ a ”, en el sector BCD se inscriben las circunferencias tal como indica la figura,

todas tangentes entre sí, tangentes a los lados del cuadrado y tangentes al arco, a medida que el numero de circunferencias aumenta, calcule UD la suma límite si su número se acerca al infinito.

12) En un triángulo rectángulo isósceles ABC se traza la altura correspondiente a la hipotenusa BD, en l triángulo rectángulo BDC se traza la altura relativa a la hipotenusa DG, en el triangulo DGC se traza la altura relativa a la hipotenusa GE, así sucesivamente, formándose los triángulos rectángulos DGB, EHG, FIH, ... Se pide calcular el área total límite de todos los triángulos así formados si estos son en número infinitos.

APLICACIONES FINALES DE LAS SERIES. AREAS, VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN Entre tantas otras aplicaciones que tienen las series encontramos las de poder calcular áreas bajo curvas de funciones, volúmenes de revolución y longitudes de arcos (siempre y cuando conozcamos la


función que las relaciona). En primer lugar veremos el cálculo de áreas debajo de curvas de funciones, no es nada nuevo, es más hace ya muchísimos años el que sería uno de los cuatro más grandes matemáticos de todos los tiempos Arquímedes sabía como aproximar áreas de figuras cuyos trazos no eran tan simples como el de las figuras geométricas que usualmente conocemos, por medio de técnicas que él mismo desarrolló y que lo colocaron cientos de años por encima de su época, ese avance de geometría no pudo ser superada sino hasta el descubrimiento del calculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Los estudios de Arquímedes estaban fundados en el cálculo de áreas de curvas como parábolas, etc. por medio de sumatorias al descomponer el área de la buscada en figuras geométricas cuya área se pudiese conocer (Rectángulos por ejemplo) y formar una serie de suma finita pero de términos infinitos. Examinemos el ejemplo: Sea la función )(xf de la cual deseamos saber el área comprendida bajo la curva y el eje de las abscisas y las dos rectas verticales bxax ,

Ahora del intervalo cerrado ba,

tomamos los puntos nxxx ,,, 21 , luego tomamos los segmentos

xxxxxxxxx nn 1231201 Cada x es la base de cada uno de los rectángulos construidos, dentro de cada x tomemos un ),3,2,1( nn que

sea la coordenada de la altura del rectángulo correspondiente, formemos ahora la suma de las áreas de los rectángulos:

nAAAA 21

O lo que el lo mismo:

xf

xfxfxf

n

n

n

)(

)()()( 21

1

pero debe notar que para que todos los x sean iguales , este x debe ser lo más pequeño posible, de este modo eliminamos al máximo los espacios vacíos que quedan en los rectángulos y hacemos que se estrechen más unos con otros, hasta crear (teóricamente) infinitos rectángulos y así cubrir el área bajo la curva. Para ese cometido es necesario que x sea lo más pequeño posible, y eso se

consigue haciendo n

abx

, por lo que

el área buscada podemos escribirla en la forma:

01

lim ( )nx

n

A f x

Esta expresión que encontramos se llama la definición de integral definida en el sentido de Riemann. Se escribe así:

01

( ) lim ( )

b

nx

na

f x dx f x

Anécdotas: 1) Calcular el área bajo la curva kxy El eje de las abscisas y las rectas verticales bxax , .

x

y

O

A

ba1x 2x

y kx

...

B

x

y

O

A

ba1x 2x

y kx

...

B


Geométricamente el problema se reduce a calcular el área del trapecio aABb, si planteamos el problema como hicimos anteriormente tendremos:

Aquí n

abx

, al hacerse cada vez

más pequeños los x podemos decir que se confunde con 1x dado que en cada caso ambos representan la altura de los rectángulos pequeños, luego la serie para calcular esta área será.

xxnaf

xafxxafxafA

)(

)2()()(

O lo que es lo mismo escribir:

)()2()()( xnakxakxakakxA Operando la serie:

2

)1()1(

nnxanxkA

Como n

abx

, se tiene:

2

2

( ) ( 1)lim ( 1)

2n

b a b a n nA k n a

n n

Al calcular este límite obtendremos:

22

222 a

abb

aabkA

2

22 abkA

Para verificar si es verdadero aplicamos la fórmula de geometría que conocemos:

abkbka

A

2

2

22 abk

Lo cual es evidente. 2) Calcular el área del triángulo mixtilíneo OAM , limitado por la parábola

2

a

xby , del eje Ox y la recta ax ,

considerándola como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos de

base n

a, donde n .

y

x

...

0

A

M

Procedemos como en caso anterior:

2 2

2

2

limn

a a

a an nA b bn a n a

na

a nbn a

2 2 2 2

2

2

1 2 3lim

(2 1)( 1)lim

6

3

n

n

ab nA

n n

ab n n nA

n n

abA

Para el cálculo de volúmenes de revolución engendrados por intervalos de una función, no hay que hacer nada nuevo, solamente plantear en forma correcta la suma de la serie que nos dará el volumen de revolución buscado, pero eso si, habrá que hacer alguna observación, pero la idea es la misma. Veamos por ejemplo: Calcular el sólido o cuerpo de revolución engendrado por la función xy al


girar sobre el eje “x” y limitado por las rectas axx ,0 . Imaginamos la rotación de esa función alrededor del eje “x” y vemos un volumen parecido a la punta de una bala, este cuerpo esta siendo generado por la rotación de una mitad de parábola que se curva en el eje “ y ”, comúnmente llamada: paraboloide de revolución:

Para darnos una idea de cómo calcular su volumen imaginemos que hemos cortado la parábola en pequeños “filetes cilíndricos” como el iV de la figura cada uno con un

radio respectivo iy y una altura ix . Si sumamos todos estos pequeños cilindros podemos aproximar el volumen de este sólido por medio de la serie:

n

n

i

i VVVV

21

1

pero para que esta suma sea lo más próximo posible al volumen real del sólido de revolución, hacemos que los “filetes cilíndricos sean lo más pequeños posibles” Por geometría es fácil darse cuenta que el volumen de un pequeño cilindro es:

iii xyV 2 Ya no vamos ha analizar la naturaleza de esta formula por medio de integrales. Para que los ix sean los más pequeños posibles hacemos:

n

axxx i

021

Veamos ahora en que relación están las alturas de cada cilindro.

n

nay

n

ay

n

ay

n

2

2

2

2

1

2

Finalmente el volumen será:

2

01

limi

n

i ix

i

V x y

n

na

n

a

n

a

n

a

n

a

n

aV 2

nn

aV

321

2

si 0 ix entonces n

2 2

2

( 1)lim

2 2

2

n

a n n aV

n

aV

Esta “anécdota” es la única que UD debe saber, se trata de una sola idea y debe reproducirla cuando sea necesario, no debe memorizar nada. SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE DISTINTA NATURALEZA 1) ¿En la figura, cuántos palitos hay?

Resolvemos este problema aplicando el método de razonamiento inductivo.


Para el caso de tener: Una fila de triángulos = 4 palitos Dos filas de triángulos = 12 palitos Tres filas de triángulos = 24 palitos ....................................................... 4 = 1+1+1+1 12 = (1+2)+(1+2)+(1+2)+(1+2) 24 = (1+2+3)+(1+2+3)+(1+2+3)+(1+2+3) Por lo que para 20 filas de triángulos se tendrá:

8402

20)201(4

20

1

n

nN

2) ¿Qué número “a” (entre 0 y 9 ) se debe sumar a la siguiente expresión :

a5

555

tal que sea un múltiplo de 8? Se sabe que en el sistema decimal al multiplicar el cinco varías veces consecutivas (al menos 6 veces consecutivas) se obtiene un número que termina en los guarismos.....625, suficientes para determinar múltiplos de 8, dado que solo necesitamos conocer solo las últimas tres cifras. Para que sea múltiplo de 8 esas tres últimas cifras deben ser múltiplos de 8. Bajo esa condición encontramos que ese número más próximo es 632/8 = 79 , o sea que el número que sumamos es 632-625 = 7. Única solución comprendida entre 0 y 9.

3) Demuestre que es posible elegir 17 segmentos de longitudes enteras menores ó iguales que 1997, de manera que con ninguna terna de ellos pueda construirse un triángulo. ¿Pueden elegirse también 18 segmentos con las mismas características?

Veamos en primer término que no pueden elegirse 18 segmentos de longitudes enteras menores o iguales que 1997 de manera que tres cualesquiera de ellos no determinen un triángulo, lo que nos dará la pista para resolver la primera parte del problema. Recordemos que dadas tres cantidades positivas a b c, la condición necesaria y suficiente para que exista un

triángulo con dichas cantidades como longitudes de sus lados es que c < a + b.

Supongamos que podemos elegir 18 segmentos de longitudes enteras m1 m2

... m18 1997 de manera que cualquier terna de ellos no determine un triángulo. Tenemos entonces las desigualdades:

m1 1 ; m2 1 ; m3 m1+m2 2 ; m4 m2 + m3 3 ; m5 m3 + m4 5 .....,

y así siguiendo. Si observamos la ley de formación del miembro de la derecha de las desigualdades precedentes, observamos que cada uno es la suma de los dos anteriores, la misma que la regla de formación de los términos Fk de la sucesión de Fibonacci. Más aún, los dos primeros términos (ambos igual a 1), coinciden con los dos primeros números de Fibonacci F1 y F2. Deducimos entonces que m i Fi para todo i. En particular, resulta que m18 F18

= 2584, lo que es una contradicción.

Lo anterior nos permite resolver la primera parte del problema. En efecto, tomemos 17 segmentos de longitudes F1, F2, F3, ..., F17. Dada cualquier terna de ellos, digamos Fi, Fj y Fk, con los índices dados en forma creciente, tenemos: Fk = Fk-1+Fk-2 Fj+Fi, y por lo tanto no determinan un triángulo. Además, estas cantidades satisfacen los requerimientos del problema, ya que FsF17 = 1597 < 1997, para todo índice s.

4) Se escribe las cifras de 1995 como sigue:

199511999955111999999555......

a. Calcular cuántos dígitos se deben escribir para que la suma de los dígitos escritos sea 2880.

b. Determinar el dígito que aparece en el lugar 1995.

a) Podemos encontrar una ley de formación que nos permita determinar la suma de un grupo contado de términos de esta secuencia, de este modo:


)1(12

5991111

nnS

kkkkSnnnn

Igualamos a 2880:

2

9611

2

)240)(1(411

0240

240

)1(122880

2

2

n

n

nn

nn

nn

La raíz cuadrada de 961 es 31. por tanto

16n , es decir se han empleado

1362

)1(

nn dígitos por cada guarismo

de la cifra 1995, es decir en total se han empleado 5441364 N dígitos. b) Para determinar el dígito que ocupa la posición 1995, vamos a tomar un número de partida, por ejemplo el “ 1 “: 1995119999551119999995551111..... El primer uno aparece en la posición nº 1 El segundo uno aparece en la posición nº 5 El siguiente uno que empieza a repetirse aparece en la posición nº 13. El siguiente uno que comienza a repetirse nº 25. Analicemos cada número de esta secuencia: 1, 5, 13, 25, 41,....., vemos claramente que forman una sucesión cuadrática de término general

122 2 nnun , tratemos ahora de aproximar con esta fórmula para que n se acerca a 1995:

997)1(

0997

0199422

1995122

2

2

2

nn

nn

nn

nn

5) Expresar en forma simplificada la fracción:

2

4

6

8

2

12

75

3

1

n

n

A

Se conjetura:

!2

1!2

6.4.2

16.4.2

48

47

2

4

6

53

1

4.2

14.2

8

7

2

4

31

2

12

2

1

3

2

1

n

nA

A

A

A

n

n

n

Este resultado se puede luego probar por inducción matemática. 6) Simplificar:

3 4 5 eeeeE Se conjetura:

!

1

!4

1

!3

1

!2

1

3 4

!4

1

!3

1

!2

1

3 43

!3

1

!2

1

32

2

1

1

nnn eeeeeE

eeeeE

eeeE

eeE

Lo que debe saber ahora es que la serie:

2!4

1

!3

1

!2

1 e

Resultado que sale de la serie de Maclaurin que se estudiará más adelante.


Si n la serie se reduce a lo mostrado anteriormente. Por lo tanto:

2 eeE 7) Hallar el menor valor entero positivo de n para que las 73 fracciones sean todas irreductibles:

93

91,,

23

21,

22

20,

21

19

nnnn

Si “ n “debe ser un entero positivo, entonces para que cada fracción sea irreducible el denominador solo puede ser mayor al numerador, a su vez el denominador debe ser un prime entre si con el numerador, para estimar que valor podría tomar “n” hay que ver que dicho “n” al sumarse a 21, 22, 23,..., 93. Deberá ser primo con los números 19,20, 21,...,91. El menor primo de todos estos números es 97, y se debe cumplir:

)(

9721

9791

9792

9793

73

3

2

1

xn

xn

xn

xn

Para minimizar “n” es necesario que también los factores de 97: 7321 ,,, xxx Sean los menores posibles además de factores primos con el numerador de la fracción a la que corresponden. Es fácil hacer esta minimización, es necesario que cada 7321 ,,, xxx tome valores de 1 ó 2, 1 para fracciones de numerador par, 2 para fracciones de numerador impar. Al sumar miembro a miembro la igualdad alfa:

)(97)9321(73 7321 xxxn Entre los números: 19,20,...,93 hay 37 pares y 36 impares, por tanto la suma mínima de “x” deberá ser: 37.2+36=110 Pero como vemos al reemplazar

110)( 7321 xxx La anterior ecuación no se resuelve para un “n” entero, en efecto:

...96,89

)362.37(972

73)9321(73

n

n

Eso quiere decir que la suma de las “x” debe ser un múltiplo de 73 y para que “n” sea el menor posible buscamos el menor múltiplo de 73 que es mayor que 110 y ese es 146. Por este cambio debemos indicar que la suma de las “x” deberá ser igual a 146, y algunos de los “x” ya no valdrán 1 ó 2 sino un valor más grande para completar los 146, esta parte es posible de demostrar pero basta con estar certeros de que si existe la posibilidad de reordenar esos números, recuerde que estamos tratando con un cuantificador existencial, y solo nos interesa probar que existe y no cual es (el caso de las “x”) Por tanto la ecuación se trasforma en:

137

)146(972

73)9321(73

n

n

que como vemos cumple las condiciones dadas. 8) ¿De qué manera se deben colocar los signos + y - entre cada número para que su suma sea la menor posible?

122222 12399100101 Antes de abordar este problema veamos algunos hechos algebraicos evidentes:

52)3()2(

12)1(

22

22

nnn

nnn

De donde es evidente: 4)3()2()1( 2222 nnnn Es una identidad para cualquier grupo de 4 enteros consecutivos que se elijan. Al abordar nuestro problema vemos que entre 1 y 101 hay al menos 25 grupos de 4 enteros consecutivos de esos 25 grupos elegimos los que van desde 2 hasta 101 para que tengamos una suma algebraica de menor valor posible. De esos 25 grupos hay al menos 24 grupos que suman 4, de esos 24 grupos dividimos 12 que suman 4 y otros 12 que sumen 4 y restamos ambos grupos para tener una diferencia de cero,


como vemos queda un grupo que suma 4 mas la unidad que aislamos, por tanto la menor suma deberá ser 5. Los signos se deben colocar deacuerdo a la identidad planteada. 9) Calcular la suma:

0 !

)1(2

n

n

n

n

Desarrollando la sumatoria:

!3

)4(2

!2

)3(2

!1

)2(2

1

1 32

S

Podemos utilizar la serie de Mclaurin (Ver series de potencias, de Taylor y Mclaurin).

!!3!21

132

n

xxxxe

nx

Rescribimos la suma serie pedida como sigue:

!4

2

!4

4.2

!3

2

!3

3.2

!2

2

!2

2.2

!1

2

!1

21

42

3322

S

!4

4.2

!3

3.2

!2

2.2

!1

2

!3

2

!2

2

!1

21

43

232

2e

S

!3

2

!2

2

!1

2

!1

2 4322eS

!3

2

!2

2

!1

212

322eS

2

22

3

2

eS

eeS

10) Demostrar formalmente que la sucesión:

222 nu , o sea

nn uu 21 tal que 21 u tiene

un límite igual a 1u .

La sucesión es decreciente y acotada, esto es, vamos a probar que:

1 nn uu Vayamos por pasos:

4221

senu

8

422 2

2

1222

sensen

u

Porque xxsen cos)(2

y 442

y además por el ángulo mitad:

xxsen 2cos12 2 , como quiera que:

)(228482 sensenu

)(22

2

12222

168416

3

823

sensen

senu

Tomar nota: 8

3

82

En general se puede probar que:

1

1

( 1)

4 8 16 22sen

n

nnu

Vemos que la sucesión el contener como termino representativo la función seno, esta acotada. En efecto:

1

1

1

( 1)1 sen 1

2

n k

k

k

, por tanto la

sucesión si está acotada, y es decreciente porque se verifica la desigualdad:

1

1

( 1) ( 1)sen sen

2 2

n n

n n

Como esta acotada superior e inferiormente, la sucesión tiene un límite único y converge con la serie alternada:

1

1

( 1)

4 8 16 2lim 2sen

n

nn

u


16

2

2

11

2 4

sensenu

Como queríamos probar. 11) Se tiene la siguiente sucesión de funciones:

11

2

21

1

2

" 1"( ) lim

2

" "

x

x x

x x x

n Radicalesf x

nx x x x

n Radicales

Calcular )2(f . ( 0x ) La solución rápida la obtenemos por el método de la secuencia reiterada:

u

xlímfxlímf2

)(1)(

, se sabe que la

subsucesión se puede calcular también por:

2

411

02

xu

xuu

uxu

xxxu

Reemplazando:

x

xlímfxlímf411

)(1)(

Poniendo 2x

3

1)2(

)2(1)2(491

)2(1)2(

f

fff

f

Otra forma de resolver este problema, es observar que la anterior sucesión de funciones es la forma no simplificada de la

derivada de xxxnu

Si se trata de hallar lim nn

u

, entonces

podemos partir del siguiente cálculo:

2

411 xu

Donde u converge a una función real de variable real, por tanto:

uxuuxu 2 Derivando implícitamente:

xxdx

du

udx

du

dx

du

dx

duu

41

1

12

4112

1

12

112

Poniendo en la derivada 2x :

3

1

9

1

dx

du

NOTA INTRODUCTORIA A LAS SERIES DE TAYLOR Y MACLAURÍN. En este subtítulo revisaremos los principios básicos para obtener desarrollos de funciones por medio de series de potencias. Las series de potencias juegan un papel importante en el cálculo, conocer sus métodos es imprescindible para cualquier profesional de ciencias e ingeniería. Encontrar el desarrollo de una función en series de potencia es un problema muy clásico, dicha serie se denomina “expansión de Taylor de la función dada”. En los cursos básicos se estudia principalmente dos tipos de expansiones en serie: Taylor y Fourier. En cada caso se tienen condiciones a las que se sujetan las funciones cuyo desarrollo en serie queremos obtener. Nuestro primer encuentro será con las series de Taylor. Veamos como se plantea el problema: Se tiene una función )(xfy diferenciable o derivable hasta el orden

1n inclusive, esta función tiene en su dominio un punto ax para el cual hemos determinado un polinomio

)(xPy n de grado no superior a n , de tal manera que el polinomio tiene el mismo valor que la función en ax inclusive


para sus derivadas de hasta orden n , esto es:

).()(,

)()(''),()('),()(

)(afaP

afaPafaPafaP

n

n

nnn

Por lo visto este polinomio será próximo a

)(xf . Supongamos ahora que este polinomio se puede expresar en potencias de )( ax con coeficientes indeterminados:

n

n

n

axC

axCaxCCxP

)(

)()()( 2

210

Nuestro trabajito ahora consiste en determinar esos coeficientes, para lo cual vamos a utilizar la condición anterior (el polinomio tiene el mismo valor que la función inclusive para sus derivadas de hasta orden n para ax ).

2

32

1

2

321

)()1(

)(2.32)(''

)(

)(3)(2)('

n

n

n

n

n

n

axCnn

axCCxP

axnC

axCaxCCxP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n

n

n CnnxP 12)1()()(

Hacemos las sustituciones respectivas, es decir lo dicho en principio:

).()(,

)()(''),()('),()(

)(afaP

afaPafaPafaP

n

n

nnn

Es claro que tendremos:

n

n Cnnnaf

Caf

Caf

Caf

Caf

1.2)2)(1()(

1.2.3)/'''

1.2)(''

)('

)(

)(

3

2

1

0

Aquí ya no hay mucho que pensar, resulta:

)(3.2.1

1,),('''

3.2.1

1

)(''2.1

1),('),(

)(

3

210

afn

CafC

afCafCafC

n

n

Al reemplazar en el polinomio:

).(2.1

)()('''

3.2.1

)(

)(''2.1

)()('

1)()(

)(3

2

afn

axaf

ax

afax

afax

afxP

nn

n

El polinomio será muy próximo a la función en la medida que exista un residuo )(xRn tal que se cumpla:

)()()( xRxPxf nn Este es un supuesto necesario ya que debe existir un término complementario que al sumarse con el polinomio de cómo resultado la función. Este residuo se puede escribir a menudo en la forma:

)()!1(

)()(

1

xQn

axxR

n

n

El nuevo problema consiste en hallar el valor de )(xQ , su determinación no es asunto que trataremos aquí, sin embargo se ha demostrado que:

)()!1(

)()( )1(

1

n

n

n fn

axxR

Esta fórmula es llamada de Lagrange para el término complementario o residuo. El valor de se encuentra entre la vecindad de extremos x y a , y puede ser representado como sigue:

)( axa donde 10 La fórmula:

)()!1(

)()(

!

)(

)(''!2

)()('

!1)()(

)1(1

)(

2

axafn

axaf

n

ax

afax

afax

afxP

nn

nn

n


Es la que se conoce como fórmula de Taylor. Haciendo 0a la fórmula de Taylor se escribiría así:

xfn

xf

n

x

fx

fx

fxP

nn

nn

n

)1(1

)(

2

)!1()0(

!

)0(''!2

)0('!1

)0()(

Es este caso particular de la fórmula de Taylor la que se conoce como Fórmula de Maclarurin. En las series finitas es necesario considerar el residuo ó término complementario obtenido por la fórmula de Lagrange, pero para funciones infinitas convergentes que se pueden expresar como series de potencias, es común que se pueda notar:

0)(

xRLím nn

Veamos como funciona esta fórmula de Taylor. 1) Desarrollar en serie de potencias la función xexf )( . Observemos en primer lugar que esta función tiene derivada de orden n . Hallando las derivadas sucesivas se obtendrá:

1)0(,)(

1)0(',)('

1)0(,)(

)()(

nxn

x

x

fexf

fexf

fexf

Al reemplazar en la fórmula de Maclaurin:

xnn

x en

x

n

xxxxe

)!1(!!3!211

132

La serie es divergente para valores más grandes que uno de “ x ” pero para valores de “ x ” menores que la unidad la serie es convergente, note UD que para 1x la serie converge al número e . La función seno, coseno y otras más también pueden expresarse por medio de series de potencias, UD puede cerciorarse de eso si sigue los pasos aquí indicados.

Un resumen apretado de los desarrollos más importantes que se pueden obtener con las Fórmulas de Taylor y Mclaurin son:

2 3

3 5 7

2 11

2 4 6

2 21

2 31

11 2! 3! !

sen3! 5! 7!

( 1)(2 1)!

cos 12! 4! 6!

( 1)(2 2)!

ln(1 ) ( 1)2 3

nx

nn

nn

nn

x x x xe

n

x x xx x

x

n

x x xx

x

n

x x xx x

n

3 5

2 1

3 5 7

2 11

1 1.3arcsen

2 3 2.4 5

1.3.5 (2 1)

2.4.6 (2 ) 2 1

arctg3 5 7

( 1)2 1

n

nn

x xx x

n x

n n

x x xx x

x

n

Es necesario decir que no es necesario memorizar todas estas fórmulas, prácticamente el concepto de la serie de Taylor y Maclaurin son más que suficientes. Debe observarse que en las anteriores series por considerarlas infinitas en sus términos en n no consideramos el resto de la serie. Importante es también ver que el campo de existencia de las funciones:

,sen ,cos .xe x x es:

/D x x

En cambio la función )1ln( x existe solo para:

/ 1 1D x x Y las funciones arctan ,arcsenx x están bien definidas para:

/ 1 1D x x Ahora veamos como podemos demostrar algunos de estos y otros desarrollos:


2) Desarrollar en series de potencias la función xa .

aLnfaLnaxf

aLnfaLnaxf

aLnfaLnaxf

faxf

nnnxn

x

x

x

)0()(

)0('')(''

)0(')('

1)0()(

)()(

22

Reemplazamos en la fórmula de Maclaurin:

2

2 32 3

'(0) ''(0)(0)

1! 2!

ln ln ln1

1! 2! 3!

x

x

f fa f x x

a a aa x x x

Este es el desarrollo pedido. Remarca.- Como dice el viejo refrán: “mas vale astucia que fuerza bruta”, es interesante ver que el desarrollo de xa se puede obtener de una forma mucho más sencilla; observe que lnx x aa e , luego

2

lnln1

1! 2!

xx ax a

a

Con base a este ejemplo, suele ser un problema típico el buscar el desarrollo de

una función racional del tipo

P x

Q x, en

este caso se aplica el método de descomposición en fracciones parciales y se considera la serie geométrica. Por ejemplo si se pide el desarrollo en serie de

potencias de 2

2 4

4 3

x

x x

, se observa que

0 0

1 1 11 1

3 1 3 3

nn n n

n n

xx

x x

3) Desarrollar en series de potencias:

( ) senf x x Procedemos:

( ) sen (0) 0

'( ) cos '(0) 1

''( ) sen ''(0) 0

'''( ) cos '''(0) 1

( ) sen (0) 0

( ) cos (0) 1

iv iv

v v

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

Al reemplazar en la fórmula de Maclaurin:

2

3 5 7

'(0) ''(0)sen (0)

1! 2!

sen3! 5! 7!

f fx f x x

x x xx x

Con lo que hemos demostrado una de las fórmulas. El estudio de estas series en el análisis matemático es muy importante, ya que sólo como aplicaciones técnicas tenemos la de poder integrar ciertas funciones, resolver ecuaciones trascendentales, límites indeterminados, etc. Algunas anécdotas: 1) Resolver la ecuación: ln(1 ) arctg 1x x Si la solución de esta ecuación esta comprendida en el dominio de cada desarrollo es posible encontrar una solución tomando tres términos de cada serie, esto es, tomando hasta las expresiones cúbicas:

2 3

3

ln(1 )2 3

arctg3

x xx x

xx x

Reemplazando y resolviendo:

41,3;59,0024

1332

21

2

332

xxxx

xx

xxx

De donde la solución válida es 59,0x .


2) Evaluar el límite:

3

3 301

lim

nx sen x n

xn

xsen

e e m

x x

, 1m m Primero vamos a calcular cada límite por separado:

3

3 3

30 0 3

1 1lim lim

1

n n

n nx x

n

x xsen sen

m m

x m mxm

El otro límite lo tenemos que calcular por medio de series:

30lim

x sen x

x

e e

x

3 5

3 5 7

3! 5!

30

3! 5! 7!

30

lim

1

lim

x xx

x

x

x x x

x

x

e e

x

e e

x

23 5 3 5

30

1 11

1! 3! 5! 2! 3! 5!lim

x

x

x x x xe

x

3 5

3 5 2 2

2

1 11! 3! 5! 2! 3! 5!

0

1lim

6

x x x x x

xe

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El método de inducción matemática se aplica para probar conjeturas y proposiciones en conjuntos inductivos como por ejemplo o . Si bien no es un método constructivo, es una poderosa herramienta al momento de hacer demostraciones. Está basado en el buen orden que tiene el conjunto . Una versión práctica de este principio dice: Supongamos que nA es una proposición que queremos demostrar,

1) 1A se verifica

2) Si para todo n se verifica A n , entonces 1A n también se verifica

Entonces A n se verifica para todo n .

La forma alternativa del principio de inducción afirma que no es necesario que A n se

verifique desde 1n , si se verifica desde un ,n k k , entonces si además cumple 2) el

principio de inducción dice que A n se verifica para todo n k . Anécdotas:


1) Probar por el método de inducción matemática que:

3

)2)(1()1(4.33.22.1

nnnnn

Esta fórmula de una serie numérica la hemos demostrado por deducción, para demostrarla por inducción matemática la planteamos como una proposición, generalmente se denota como nA .

Se trata de ver si es válido para 1, 2, 3,..., n . Es suficiente con probar que se verifica para 1n , luego suponemos que se cumple para n , si logramos probar que se cumple también

para el siguiente número natural 1n , entonces la proposición será verdadera por principio inductivo. Una forma motivadora de entender este potente y riguroso método demostrativo es imaginarnos que subimos escalones y que hemos podido dar un primer paso y hasta un n -avo paso, si puedo garantizar que lograré dar el siguiente paso 1n , sé que podré hacerlo con el siguiente escalón y con el siguiente y así sucesivamente.

Para 23

)3)(2(12.1:1 A evidentemente cumple.

Así suponemos que hemos llegado hasta n y que también se verifica:

3

)2)(1()1(4.33.22.1:

nnnnnnA

Debemos mostrar que si hemos llegado hasta n es posible llegar hasta 1n y con lo que habremos probado la proposición:

3

2)1(1)1()1()2)(1()1(4.33.22.11

nnnnnnnnA

Pero sabemos que: 3

)2)(1()1(4.33.22.1

nnnnn

3

)3)(2)(1()2)(1(

3

)2)(1(:1

nnnnn

nnnnA

Vamos ha escribir de modo que se parezca a la proposición pedida:

:1nA3

)3)(2)(1( nnn 3

2)1(1)1()1(

nnn

Con lo que queda probado.

2) Mostrar que 732 n es divisible por 8. n . Debemos entender el concepto de “divisible”, se dice que un número a es divisible por b si

existe un número c tal que cb

a ó bca .

Ahora debemos probar que si existe un “ c “. 2.81673:1 1.2 A existe un )2( cc

11.88873:2 2.2 A existe un )11( cc (nótese que este paso no era necesario) EN general hemos recorrido los elementos inductivos y suponemos existe un “ c “para: cnA n 8732

Debemos probar que para el siguiente 1n también existe un “ 'c ” '873:1 )1(2 cnA n


Veamos:

)8(7)73(9:1

)13(7)73(3:1

77.37.33.3:1

73.3:1

2

222

2222

22

n

n

n

n

nA

nA

nA

nA

Pero sabemos que cn 8732 , por tanto: )79(8)8(7)8(9:1 ccnA , por lo tanto existe un 79' cc

Por tanto queda probada la proposición. Debe UD tomar muy en cuenta que aquí 'c es un cuantificador existencial solo basta con probar que existe. 3) Probar por inducción matemática que:

53""4.33.22.1

""4.123.82.4 222

n

sumandosn

sumandosnE

.

Por un razonamiento inductivo es fácil ver que:

5)(3)1(3.22.1

)1)(4(3.82.4:

5)3(3144.33.22.1

4.123.82.4:3

5)3(2113.22.1

3.82.4:2

5)1(382.1

2.4:1

222

222

22

2

nnn

nnsumandosn

sumandos

sumandos

sumando

Pero esto no tiene validez si no se prueba por inducción matemática, al menos en este caso debemos ver que si es posible recorrer los elementos inductivos 1, 2, 3,...., n, será también posible llegar hasta 1n y con lo que la sucesión siempre irá de esa forma. Veamos: 8:1 P Como vimos, cumple.

Supongamos que se cumple para n , i.e. tenemos como hipótesis 53: nnP

Debemos ver si es posible llegar hasta 1n , esto es debemos probar que: 5)1(3:1 nnP

Por definición

:1nP)2)(1()1(4.33.22.1

)2)(44()1)(4(4.123.82.4 22222

nnnn

nnnn


Podemos dividir tanto numerador y denominador por )1(4.33.22.1 nn y distribuir de forma que nos convenga:

)1(3.22.1

)2)(1(

)1(3.22.1

)1(3.22.1

)1(3.22.1

)2)(44(

)1(3.22.1

)1)(4(3.82.4

:1

2222

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nP

Debemos observar que 3

)2)(1()1(4.33.22.1

nnnnn (probado por

inducción matemática) además por hipótesis de inducción

53)1(4.33.22.1

)1)(4(4.123.82.4:

2222

n

nn

nnnP

Entonces tendremos:

5)1(383

)2)(1(

)2)(1(31

)2)(1(

)2)(44(3)53(

:1

2

nn

nnn

nn

nnn

nnn

nP y queda probado.

4) Aplicando el principio de inducción matemática, demostrar

1 3 5 2 1 1

:2 4 6 2 3 1

nP n

n n

.

Verifiquemos que para 1n P n sea cierto, en efecto

1 1 1

12 23 1 1

P

Supongamos que se cumple P n , i.e. tenemos como hipótesis

1 3 5 2 1 1

:2 4 6 2 3 1

nP n

n n

Debemos mostrar que la siguiente desigualdad es cierta

1 3 5 2 1 2 1 11 :

2 4 6 2 2 1 3 1 1

n nP n

n n n

, como

2 1 1

2 2 3 1 3 4

n

n n n

ya

que es equivalente a 211 10n n . Por otro lado por hipótesis de inducción 1 3 5 2 1 1

2 4 6 2 3 1

n

n n

Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por 2 1

2 1

n

n

1 3 5 2 1 2 1 2 1

2 4 6 2 2 1 2 2 3 1

n n n

n n n n

De donde por transitividad se tiene

1 3 5 2 1 2 1 2 1 1

2 4 6 2 2 1 2 2 3 1 3 4

n n n

n n n n n

, y finalmente

1 3 5 2 1 2 1 11 :

2 4 6 2 2 1 3 1 1

n nP n

n n n


Por lo tanto P n , 1n n .

5) Si n , demuestre que si sen 0 , entonces

1sen 2

cos cos 2 cos 4 cos 22 sen

n

n

n

.

Considerémosla una proposición, digamos A n , es fácil ver que 1A ya que

sen 2 2sen coscos cos

2sen 2sen

. Supongamos que se verifica A n , tenemos que

mostrar que se cumple también 1A n , entonces aplicando la hipótesis de inducción

1

sen 2

2 sen

cos cos 2 cos 4 cos 2 cos 2

n

n

n n

y con algunas identidades

trigonométricas se evidente que

1sen 2 2sen 2 cos 2

cos cos 2 cos 4 cos 2 cos 2 cos 22 sen 2 2 sen

n n n

n n n

n n

1

10

sen 2cos 2

2 sen

nn

k

nk

Que era a lo que queríamos llegar.

Por lo tanto A n , 1n n .

6) Para n , demostrar

1 ! 11 2 3 1

2! 3! 4! ! 1 ! 1 !n

nn nS

n n n

Vayamos al problema. Se observa que 1

1 2! 1

2 2!S

, supongamos que la fórmula es cierta

para n , i.e. tenemos como hipótesis de inducción

1 ! 11 2 3 1

2! 3! 4! ! 1 ! 1 !n

nn nS

n n n

, veremos que pasa con 1nS ,

escribiendo su suma

1

1 ! 1

1 !

11 2 3 1

2! 3! 4! ! 1 ! 2 !n

n

n

nn nS

n n n

haciendo álgebra

1

1 1 ! 1 1 2 1! 2 2 ! 1

2 ! 1 ! 2 ! 2 !n

n n n n n n nS

n n n n

que es a lo que

queríamos llegar. Por lo tanto nS , 1n n .


PROBLEMAS OLÍMPICOS

1) Determine todos los números primos de

la forma2

222 9

.

2) Demuestre que es posible elegir 17 segmentos de longitudes enteras menores ó iguales que 1997, de manera que con ninguna terna de ellos pueda construirse un triángulo. ¿Pueden elegirse también 18 segmentos con las mismas características?

3) Si c es un número real positivo, consideremos la sucesión

, 1 , 1 ,...c c c c

Pruebe que converge al número de

oro1 5

2

.

4) Supongamos que en la esfera de un reloj se altera arbitrariamente el orden usual de los números. Demuestre que cualquiera sea la permutación obtenida, siempre habrá una terna de números ocupando posiciones consecutivas de manera que la suma de los mismos sea mayor ó igual que 20.

5) Sea n un número natural y sean p1, p2, ..., pn los primeros n números primos. Demuestre que p1p2.....pn + 1 no es un cubo perfecto

6) ¿Qué términos de la sucesión 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21,... son divisibles por 9?

7) ¿Cuál es el mínimo número de círculos de radio 1 necesarios para cubrir un círculo cuyo radio es el número de oro

1 5

2

?

8) Al arrojar 12 veces un dado, cada número apareció exactamente dos veces. ¿Es posible que los unos hayan aparecido consecutivamente, el segundo 2 dos tiros después del primer 2, el segundo 3 tres tiros después del primer 3, etc., etc.?

9) ¿Cuántas potencias de 2 menores o iguales que 21000 tienen por primer dígito a 1?

10) Dos jugadores A y B practican el siguiente juego con dados: A arroja cinco dados y retiene para sí todos aquellos que registren un 6. Luego B arroja los restantes y realiza la misma operación, luego A hace lo mismo con los que queden, y así alternativamente, hasta que ya no queden dados. Se declara entonces ganador al jugador que posea la mayor cantidad de dados. Calcule la probabilidad de que gane A.

11) Determine todas las permutaciones a1a2a3...a9a10 del conjunto {1, 2, 3, ... , 10} tales que el número determinado por a1a2a3...ak sea múltiplo de k para todo k entre 1 y 10 .

12) Si n es un número natural, consideremos los números combinatorios

2 2 2 2, , ,...,

1 3 5 2 1

n n n n

n

¿Cuál es el máximo común divisor de todos ellos?

13) Pruebe que la serie

0.1 + 0.01 + 0.002 + 0.0003 + 0.00005 + 0.000008 + 0.0000013 +...

converge y calcule su suma

14) Si se escriben los números naturales de 1 a 1.000.000, ¿cuál es la suma de todos los dígitos escritos?

15) Se generan secuencias de números de dos dígitos en la siguiente forma: se elige uno cualquiera entre 00 y 99, se invierten sus cifras y luego se le suma la suma de las cifras (si el número obtenido supera a 99 se toma su resto de dividirlo por 100). Luego se repite sucesivamente el proceso hasta que un número se repita. Por ejemplo, la secuencia 58, 98, 06, 66, 78, .... ¿ Cuál es el máximo número de términos que puede tener una secuencia ?

16) Encuentre el valor máximo de X0 para el cual existe una sucesión de números


reales positivos X0,X1, ... ,X1995 que cumple las condiciones:

i. 0 1995X X

ii. 1

1

2 12i i

i i

X XX X

Para 1 1995i .

17) Determine todos los enteros n>3 para los cuales existen n puntos A1,A2, ... ,An en el plano, y números reales r1,r2,...,rn que cumplan las condiciones siguientes:

i. Entre los puntos A1,A2, ... ,An no hay tres que sean colineales.

Para cada terna i, j, k (1 i < j < k n) el triángulo AiAjAk tiene área igual a ri+rj+rk.

18) Sea p un número primo impar. Encuentre el número de subconjuntos A del conjunto {1,2,... ,2.p} tales que

i. el número de elementos de A es p. ii. la suma de todos los elementos de

A es divisible por p.

19) Con n3 cubos iguales, perforados a lo largo de una diagonal, se forma un collar, pasando un hilo por las diagonales, de modo que cada cubo se toque con el siguiente en un vértice y el último cubo se toque con el primero en un vértice. Decidir para qué valores de n el collar se puede guardar en una caja de n x n x n, sin romper el hilo.

20) Sean n y r enteros positivos tales que n es mayor o igual que 2 y r no es múltiplo de n, y sea d el máximo común divisor entre n y r.

1 12 2 3 3

2

n r n rr r r r r r n d

n n n n n n n n

ACLARACIÓN: Los corchetes indican parte entera, por ejemplo,

1 70; 2;

2 3

etc.

21) Un tablero de 1 x n tiene sus n casillas numeradas en azul de 1 a n. Hay n fichas con los números 1, 2,..., n escritos en rojo (un número en cada ficha). De cuántas

maneras se pueden distribuir las n fichas en el tablero (una ficha en cada casilla) de modo que haya exactamente dos casillas en las que el número rojo sea mayor o igual que el azul?

22) Sean n, p, q enteros positivos con n > p + q. Sean x0, x1,..., xn enteros que verifican las siguientes condiciones:

1. x0 = xn = 0, y 2. Para cada i, 1 i n, se tiene que,

o bien

xi - xi-1 = p,

o bien

xi - xi-1 = -q.

Demostrar que existe una pareja (i,j) con i < j, y (i,j) (0,n), tal que x i = xj.

23) ¿Cuántos números reales x , 0 1997x , verifican que 2 4x x es un número entero?

24) Determinar todos los enteros positivos n tales que n no es un cuadrado perfecto

y 2n es múltiplo de3

n

.

25) Hay n autos, numerados de 1 a n y una hilera de n lugares para estacionar, numerados de 1 a n. Cada auto i tiene su lugar preferido a1; cuando quiere estacionar se dirige a dicho lugar, si está libre estaciona y si está ocupado avanza hasta encontrar el primer lugar libre y estacionar allí. Si no encuentra lugar de este modo, se va y no regresa más. Determinar cuántas sucesiones de lugares preferidos a1, a2, ..., an hay tales que todos logran estacionar.

Aclaración: Autos distintos pueden tener el mismo lugar preferido.

26) Sean x1, x2, ... , xn números reales que verifican las condiciones:

1 2 ... 1 nx x x

y


1

2i

nx

Para 1, 2,...,i n

Demostrar que existe una reordenación (o permutación) y1, y2, ... , yn de x1, x2, ... , xn tal que

1 2

12

2n

ny y ny

27) Una matriz n x n (es decir, un tablero cuadrado de n filas y n columnas) se rellena con números del conjunto S={1, 2, ... , 2n - 1}, Tal tablero se llama matriz de plata si, para cada i = 1, ... , n, la i-ésima fila y la i-ésima columna juntas contienen todos los números del conjunto S. Demostrar que:

(a) No existe ninguna matriz de plata para n = 1997;

(b) Existen matrices de plata para infinitos valores de n.

28) Una sucesión a1, a2, ... , a100 de 100 números enteros positivos se llama apropiada si verifica las siguientes dos condiciones:

a. 1 a1 a2 ... a99 a100 1000; b. aj+1- aj-1 es divisible por 3 para todo

j=1, 2, ..., 99, es decir, a2-a1-1, a3-a2-1, a4-a3-1, ..., a100-a99-1 son todos divisibles por 3.

Determinar la cantidad total de sucesiones apropiadas.

29) Sea p un número primo impar. Para cada i=1, 2,..., p-1, denotamos con ri al resto de dividir ip por p2. Calcular la suma

r1 + r2 +...+rp-1.

30) Se tiene una hoja de papel rectangular y n colores distintos. En una cara de la hoja hay dibujadas líneas que la dividen en n regiones y cada región está coloreada con un color distinto, como si fuera un mapa. En la otra cara de la hoja, Martín dibuja a su antojo líneas que dividen la hoja en n regiones. Jorge debe colorearlas usando los n colores con un color distinto para

cada región. Llamaremos zonas de coincidencia a las zonas de la hoja en las que el color que usó coincide con el color que hay del otro lado de la hoja. Jorge gana si el área total de las zonas de coincidencia es mayor o igual que 1/n del área de la hoja del papel. En caso contrario, gana Martín. Demostrar que Jorge siempre puede ganar.

31) Para cada entero positivo n denotamos por d(n) el número de divisores positivos de n (incluyendo 1 y n). Encuentre todos los enteros positivos k para los que existe algún n tal que

2d nk

d n

32) Diremos que un entero positivo n es aceptable si los 2n números 0, 0, 1, 1, ..., n - 1, n - 1 se pueden ordenar de manera que para cada k = 0, 1, 2, ..., n - 1 haya exactamente k números ubicados entre las dos posiciones en que está colocado k (es decir, entre los dos 0 no hay otro número, entre los dos 1 hay un número, entre los dos 2 hay dos números, entre los dos 3 hay tres números, y así siguiendo).

Demostrar que hay infinitos números n que son aceptables y hay infinitos números n que no son aceptables.

33) Se escribe una sucesión de números enteros positivos menores o iguales que 56 (los números se pueden repetir), tales que cada números escrito, excepto el primero y el último, es mayor que el promedio de sus dos vecinos (el de la izquierda y el de la derecha). Determinar cuál es la mayor cantidad de números que puede haber escritos.

34) Sea n > 2 un entero dado.

Determinar la menor constante C para la cual se verifica la desigualdad:

4

2 2

1 1

i j i j i

i j n i n

x x x x C x

Para todos los números reales

1 2, ,..., 0nx x x .


Para esta constante C, determinar cuándo se verifica la igualdad.

35) Se considera un tablero cuadrado de n x n, donde n es un entero positivo par. El tablero se divide en n2 cuadrados unitarios. Decimos que dos cuadrados distintos del tablero son adyacentes si tienen un lado en común.

Se marcan N cuadrados unitarios del tablero de tal manera que cada cuadrado (marcado o sin marcar) es adyacente a por lo menos un cuadrado marcado.

Determinar el menor valor posible de N.

36) Decimos que un número natural es alternado de orden n si sus últimas n cifras se alternan en paridad. Por ejemplo, son alternados de orden 4 los números 1092, 6721, 541092, 31092, y no son alternados de orden 4 los números 8072, 3418072, 7123345, 125.

Demostrar que para cada entero positivo n existe un entero positivo k tal que 5k es un número alternado de orden n.

37) Juan y Pablo juegan, por turnos, al siguiente juego: cada uno, en su turno, escribe un número natural que sea divisor positivo de 100! y que no haya sido escrito antes. Después de cada jugada, se calcula el máximo común divisor de todos los números escritos, y si este máximo común divisor es igual a 1, el juego ha terminado y perdió el jugador que escribió el último número.

Si Juan comienza el juego (escribe el primer número), ¿cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora?

ACLARACION: 100! es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta 100, es decir, 100! = 1.2.3.4..... 97.98.99.100.

38) Dados n números reales x1, x2,.... xn, sea P el producto de estos n números. Demostrar que si los n números P - x1, P - x2,..., P - xn son todos enteros impares, entonces los n números iniciales, x1, x2,.... xn, son todos irracionales.

39). Sean p1, p2,..., pn los n primeros número primos. Marcos debe elegir n 1

números enteros positivos que sólo utilicen estos primos en su descomposición. Ramiro debe elegir algunos de los números de Marcos de modo que el producto de los números que elija sea un cuadrado perfecto. Determinar si es posible, para algún n, que Marcos elija sus n 1 números de manera que a Ramiro le resulte imposible cumplir con su objetivo.

40) . El número A esta formado por 666 dígitos "3" (33333...33333) y el número B esta formado por 666 dígitos 6. ¿Cuántos dígitos tendrá el número A.B y cuál será ese producto?

41) Un turista, de visita en Cochabamba, decide hacer un paseo por la ciudad. El paseo se realiza por etapas. Cada etapa consta de 3 segmentos, cada uno de ellos de longitud 100m, y dos giros de 60o a la derecha, como se muestra en la figura. Entre el último segmento de una etapa y el primero de la siguiente, se hace un giro a la izquierda de 60o. ¿A qué distancia estará el turista del punto inicial después de haber recorrido 1997 etapas?

42) Sea n un entero, n 2. Cada uno de los cuadros de un tablero nxn se colorea de blanco, amarillo o verde de acuerdo con los siguientes criterios:

1. los cuadros en las posiciones (i, i) para 1 i n se colorean de blanco;

2. los cuadros en las posiciones (i, j) para i j se colorean de amarillo o verde;

3. para cualesquiera i, j, k tales que los cuadros en las posiciones (i, j) u (j, k) son del mismo color, el cuadro en la posición (i, k) también es de ese mismo color.

a. Muestre que existe una fila que posee n-1 cuadros amarillos.


b. Muestre que filas distintas poseen cantidades distintas de cuadros amarillos.

Aclaración: el cuadro en la posición (i, j) es el que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna.


44) Hallar todos los enteros positivos n con la siguiente propiedad: existe un polinomio Pn(x) de grado n, con coeficientes enteros, tal que Pn(0)=0 y Pn(x)=n para n valores enteros y distintos de x.

45) Sean x1, x2, ... , xn números no negativos n 3 tales que

x1 + x2 + ... + xn = 1.

Determinar el máximo valor posible de la expresión x1x2 + x2x3 + ... + xn-1xn.

46) Los números 1, 2, 3, ... se colocan de la siguiente manera:

En la figura sólo se muestra la distribución de 16 números, pero si continuamos el proceso siguiendo el mismo esquema, ¿qué número ocupa la posición 1998 y en qué nivel se encuentra?

EJEMPLOS:

En la posición 10 se colocó el número 4 y está en el nivel 1. En la posición 13 se colocó el número 3 y está en el nivel 3.

47) Dado un entero n 2, considere todas las sucesiones x1, x2,..., xn de números reales no negativos tales que

x1 + 2x2 + ... + nxn = 1

Hallar el valor máximo y el valor mínimo de

x12 + x2

2 + ... + xn2,

y determinar todas las sucesiones x1, x2,..., xn para las cuales se obtienen estos valores.

48) Sean k primos distintos p1, p2, ..., pk. Consideramos todos los enteros positivos que sólo usan estos primos (no necesariamente todos) en su descomposición en factores primos, y ordenamos esos números en orden creciente, formando una sucesión infinita:

al < a2 < ... < an < ...

Demuestre que, para cada número c, existe n tal que an+1 - an > c.

49) Una "palabra" es una secuencia de letras. Consideramos las siguientes operaciones:

i. suprimir la primera letra de la palabra

ii. suprimir la última letra de la palabra iii. duplicar la palabra, o sea, agregar

una copia de la palabra a continuación de la misma.

Por ejemplo, si la palabra inicial es ABCD, podernos hacer:

ABCD --> ABC --> ABCABC --> BCABC --> CABC --> CABCCABC

a) Muestra una secuencia de estas operaciones que transforme la palabra ABC en la palabra CBA.

b) Muestra una secuencia de estas operaciones que transforme la palabra ABCDE en la palabra EDCBA.

50) Sea n > 1 un entero. Calcular la cantidad de permutaciones (p1, p2, ..., pn) de (1, 2, ..., n) tales que pi+1 - pi < 1 para todo i, 1 < i < n - 1.


51) Sea m > 3 un entero. Calcular el mínimo entero positivo r con la propiedad: en cada partición del conjunto {1, 2, ..., r} en dos subconjuntos, hay alguno de los subconjuntos en el cual se pueden elegir elementos a1, a2, ..., am (eventualmente repetidos) tales que a1 + a2 + ... + am - 1 = am.

52) Sea n > 2 un entero. Para cada n-upla (x1, x2, ..., xn) tal que x1

2 + x22 + ... + xn

2 = 1 llamamos

m = min { | x i - xj | : 1 < i < j < n}.

Calcular el mayor valor posible de m.

53) Encuentra el menor entero positivo n, n mayor o igual que 2, de modo que con n piezas cuadradas de lado 1, n – 1 piezas cuadradas de lado 2, n – 2 piezas cuadradas de lado 3, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 piezas cuadradas de lado n – 1 y 1 pieza cuadrada de lado n, se pueda armar un rompecabezas cuadrado, sin huecos ni superposiciones, y sin que sobre ninguna pieza. Para el valor de n hallado, muestra cómo se arma el rompecabezas. 54) Calcular el valor de la siguiente suma

10 2 10 3 10 999...

1 2 2 3 3 4 99 100

, Donde x denota la parte entera de x . 55) En un torneo cada participante jugó exactamente una vez contra cada uno de los restantes, y no hubo empates. En el torneo hubo k participantes, donde k > n, siendo n 2 un entero dado. Se sabe que para cada grupo de n participantes existe un participante que no pertenece al grupo y perdió contra cada uno de los n participantes del grupo. Demostrar que:

a) para cada grupo A de n 1 participantes existe un grupo B de n + 1 participantes tales que cada participante de A le ganó a cada participante de B.

b) k (n + 2 )2n 1 1 .

56) Para todo entero n 1, se define la sucesión nS por:

2 2 2 ... 2n

n radicales

nS

Donde x denota la parte entera de x . Probar que:

12 20002001 SS . 57) Para m = 1, 2, 3,… denotamos mS a la suma de los dígitos de m, y sea mSmmf .

Demostrar que para cada entero positivo n existe un número que figura exactamente n veces en la sucesión ,...,...,2,1 mfff .

58) Se tienen n cajas, cada una con 3 bolitas. Dos jugadores A y B retiran, cada uno en su turno, una bolita de una cualquiera de las cajas, empezando por A y hasta que se acaben las bolitas. El que se lleva la última bolita de una caja, se anota un punto. El objetivo de cada jugador es lograr la mayor cantidad de puntos. Si ambos juegan sin cometer errores, determinar cuántos puntos tendrá cada uno: a) si n = 100; b) si n = 101.

59) Lizbeth Fernández tiene n tarjetas numeradas de 1 a n y las divide en dos grupos (n>1). Una división es perfecta si por lo menos uno de los grupos contiene dos tarjetas tales que la suma de los números de esas tarjetas es igual al cuadrado de un número natural. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual todas las divisiones de las n tarjetas en dos grupos son perfectas?

60) Hallar todos los números de la forma 11…1 que tienen un múltiplo de la forma 10…01.

Nota: 11...1 tiene todos sus dígitos iguales a 1, y 10...01 tiene el primer dígito y el último dígito iguales a 1 y todos los demás iguales a 0.


61) Consideramos todas las sucesiones finitas de términos positivos menores o iguales que 3 y suma mayor que 100. Para una tal sucesión a consideramos una subsucesión cuya suma S difiera lo menos posible de 100, y definimos el defecto de a por S-100. Hallar el máximo valor del defecto cuando a recorre todas las sucesiones que se están considerando.

62) Sea k un entero positivo. Demostrar que para todo n>k se verifica lo siguiente:

Existen figuras convexas F1,..., Fn y F tales que ningún subconjunto de k figuras elegidas entre F1,..., Fn cubre por completo a F, pero todo subconjunto de k+1 figuras elegidas entre F1,..., Fn cubre por completo a F.

63) Hallar la suma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tiene n sumandos.

64) Se define el conjunto de 100 números 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100. Se eliminan dos elementos cualesquiera a y b de este conjunto y se incluye, en el conjunto, el número a + b + ab quedando así un conjunto con un elemento menos. Después de 99 de estas operaciones, queda sólo un número. ¿Qué valores puede tomar ese número?

65) Pruebe que existe una sucesión a1 ,..., ak ,..., donde cada a i es un dígito (o sea ai pertenece a { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ) y a0 = 6, tal que para cada entero positivo n el número

xn = a0 + 10a1+100a2+ ... +10n - 1 an - 1

verifica que xn2 - xn es divisible por 10n.

66) Se considera una circunferecia (C) de diámetro AB=1 . Se elige un punto P0 en la circunferencia, distinto de A, y a partir de P0 se construye una sucesión de puntos P1,

P2, ... ,Pn, ... de la circunferencia, del modo siguiente:

Qn es el simétrico de A respecto de Pn y la recta que une B y Qn corta a la circunferencia (C) en los puntos B y Pn+1 (no necesariamente diferentes).

Demostrar que es posible elegir P0 tal que se cumplan simultáneamente:

i. El ángulo P0AB es menor que 1 ii. En la sucesión generada a partir de

P0 hay dos puntos Pk y Pj tales que el triángulo APkPj es equilátero.

67) Se escribe las cifras de 1995 como sigue:

199511999955111999999555......

c. Calcular cuántos dígitos se deben escribir para que la suma de los dígitos escritos sea 2880.

d. Determinar el dígito que aparece en el lugar 1995.

68) Sea n natural, sea

f(n) = 2n - 1995 [n/1000]

Donde [ ] denota la función parte entera.

a. Demostrar que si para algún r, f( f( f...f(n)...)) = 1995 (donde se aplica r veces la función f), entonces n es múltiplo de 1995.

b. Demostrar que si n es un múltiplo de 1995, existe un r tal que f( f( f...f(n)...)) = 1995 (donde se aplica r veces la función f). Determinar r si n = 1995 x 500 = 997500.

Aclaración: Parte entera de un número x, es el mayor número entero que es menor o igual a x. Por ejemplo: [3,2] = 3; [4] = 4; [ -2,5] = -3.

69) Considerar una sucesión de números reales definida por:

an + 1 = an + 1/an para n = 0, 1, 2, ...

Demostrar que, cualquiera que fuera el número real positivo a0, se cumple que a1996 es mayor que 63.


70) Una tienda vende envases con las siguientes capacidades: 1 litro, 2 litros, ... 1996 litros. Los precios de los envases satisfacen las dos condiciones siguientes:

1. Dos envases cuestan lo mismo y sólo sí sus capacidades m, n (m>n) satisfacen m - n = 1000.

2. Cada envase de m litros de capacidad (1 m 1000) cuesta 1996 - m dólares.

Hallar todos los pares de envases de m y n litros tales que:

a. m + n = 1996 b. el costo total del par sea el menor

posible, c. con el par se pueda medir k litros,

para todo k entero desde 1 hasta 1996.

NOTA: Las operaciones permitidas para medir son:

i. Llenar o vaciar cualquiera de los dos envases.

ii. pasar líquido de un envase a otro.

Se ha logrado medir k litros cuando la cantidad de litros de un envase mas la cantidad de litros del otro, es igual a k.

71) La sucesión 0, 1, 1, 1, ... , 1 contiene 1996 números, siendo el primero cero y todos los demás unos. Se eligen dos o más números cualesquiera de la sucesión (pero no toda la sucesión) y se sustituye uno de ellos por la media aritmética de los números elegidos, obteniéndose así una nueva sucesión de 1996 números. Probar que, con la repetición de esta operación, es posible obtener una sucesión en la cual los 1996 números son iguales. NOTA: En cada operación no necesariamente se debe elegir la misma cantidad de números.

72) Se pretende cubrir totalmente un cuadrado de lado k (k entero mayor que uno) con los siguientes rectángulos: 1 rectángulo de 1 x 1, 2 rectángulos de 2 x 1, 4 rectángulos de 3 x 1, ... , 2n rectángulos de (n+1)x1, de tal manera que los rectángulos no se superpongan ni excedan los límites del cuadrado. Hallar todos los valores de k para los

cuales esto es posible y, para cada valor de k encontrado, dibujar una solución.

73) Se dispone de 98 tarjetas. En cada una de ellas está escrito uno de los números 1, 2, 3, ..., 98 (no hay números repetidos). Se desea ordenar las 98 tarjetas de modo tal que, al considerar dos tarjetas consecutivas, la diferencia entre el número mayor y el número menor escritos en ellas sea siempre mayor que 48. Indicar cómo y de cuantas formas es posible efectuar la ordenación.

74) En Terra Brasilis existen n casas donde viven n duendes, cada uno en una casa. Hay rutas de sentido único tales que:

cada ruta une dos casas; en cada casa comienza

exactamente una ruta; en cada casa termina exactamente

una ruta.

Todos los días, a partir del día 1, cada duende sale de la casa donde está y llega a la casa vecina. Una leyenda de Terra Brasilis dice que, cuando todos los duendes vuelvan a la posición original, se acabará el mundo.

a. Demuestre que el mundo se acabará.

Si n = 98, demuestre que es posible que los duendes construyan y orienten las rutas de modo que el mundo no se acabe antes de 300.000 años.

75) Dado un número natural n > 1, definimos las siguientes dos operaciones.

Operación 1: Se calcula la parte entera de cada una de las n fracciones n / 1 , n / 2 , ... , n / n , y luego se suman:

[n / 1] + [n / 2] + ... + [n / n].

Operación 2: Se calcula la parte entera de cada una de las n - 1 fracciones (n-1)/1 , (n-1)/2 , ... , (n-1)/(n-1) , luego se suman y se añade 2 al resultado:

2 + [(n - 1) / 1] + [(n - 1) / 2] + ... + [(n - 1) / (n - 1)].


Determinar todos los valores de n para los que el resultado de la operación 1 es igual al resultado de la operación 2.

ACLARACION: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran, por ejemplo, [18 / 1] = 18; [18 / 2] = 9; [18 / 4] = 4; [18 / 13] = 1; etc.

76) Sean m 2, n 2 números enteros. Se desea colorear las casillas de un tablero de m x n con blanco y negro de modo tal que cada casilla tenga exactamente dos vecinas del otro color. Determinar todos los valores de m y n para los cuales es posible hacer tal coloración.

ACLARACION: Casillas vecinas son las que tienen un lado común.

77) Hallar el menor entero positivo n tal que las 73 fracciones

19 20 21 91, , ,...,

21 22 23 93n n n n

Sean todas irreducibles.

78) Pablo elige un entero positivo n y escribe en el pizarrón los 2n+l números

n / 1 , n / 2 , n / 3 , ... , n / (2n+1)

(los denominadores aumentan de a 1 por vez).

Dodovrosky elige dos números escritos por Alfredo, a y b, los borra y escribe el número 2ab – a – b + l. Después de repetir este procedimiento 2n veces, en el pizarrón hay un solo número escrito. Determinar los posibles valores de este único número.

79) Se tiene la sucesión P(l), P(2), P(3), ... definida por las siguientes reglas

P(1) = 1

P(2) = P(l) + P(l) = 2

P(3) = P(2) + P(l) = 3

P(4) = P(3) + P(2) = 5

P(S) = P(4) + P(2) = 7

y en general,

si n > l es par, entonces P(n) = P(n - 1) + P(n / 2)

si n > l es impar, entonces P(n) = P(n - 1) + P((n – 1) / 2)

Demostrar que existe un valor de n, con n > 2000, tal que P(n) es múltiplo de 7.

80) Dos jugadores, A y B, juegan por turnos: A tiene los turnos impares (1, 3, 5, 7, ...) y B tiene los turnos pares (2, 4, 6, 8, ...). Cada jugador, en su turno, escribe en el pizarrón el número del turno ó menos el número del turno: primero A escribe 1 ó -1, luego B escribe 2 ó -2, a continuación A escribe 3 ó -3, en seguida B escribe 4 ó -4, etc. El juego termina cuando el último número escrito es múltiplo de 2001, o la suma de los dos últimos números escritos es múltiplo de 2001, o la suma de los tres últimos números escritos es múltiplo de 2001, ..., o la suma de todos los números escritos es múltiplo de 2001. Determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora; dar dicha estrategia y demostrar que con esa estrategia siempre gana.

ACLARACIÓN: Los múltiplos de 2001 son los números de la forma a . 2001, donde a es un entero que puede ser positivo, negativo o cero.

81) En el pizarrón están escritos los cuadrados de los primeros 101 números enteros positivos:

.

Hay que escribir delante de cada número un signo “+” o un signo “-“ de manera que al realizar la suma algebraica de los 101 números se obtenga el menor valor mayor o igual que cero que sea posible. Determinar cuál es ese mínimo e indicar como se distribuyen los signos para lograrlo.

82) Sea n un número natural. La sucesión finita de enteros positivos tiene, entre sus términos, exactamente n números distintos ( puede tener números repetidos). Además, si a uno cualquiera de sus


términos se le resta 1, se obtiene una sucesión que tiene, entre sus términos, al menos n números positivos distintos. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tener la suma de todos los términos de la sucesión ?

83) Se define la sucesión pn de la siguiente manera: p1=2 y para todo n mayor o igual que 2, pn es el mayor divisor primo de la expresión:

p1 p2 p3 ... pn-1 + 1

Pruebe que pn es diferente de 5.

84) Considere los conjuntos de n números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que en uno de esos conjuntos la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

85) Sea la función f definida sobre el conjunto {1; 2; 3; ... }

i. f(1)=1 ii. f(2n + 1)=f(2n) +1 iii. f(2n)=3f(n)

Determinar el conjunto de valores que toma f.

86) Sea f una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

i. Si n=2j -1, para n=0, 1, 2, ... , entonces f(n)=0

ii. Si n 2j -1, para n=0, 1, 2, ... , entonces f(n+1)=f(n)-1.

a. Demostrar que para todo entero n, mayor o igual que cero, existe un entero k, mayor que cero, tal que: f(n) + n =2k - 1.

b. Calcular f (21990).

87) Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número. 1+2+3+...+n Calcular a1 + a2 + a3 + ... + a1992.

88) Dadas la colección de n números reales positivos a1 a2 a3 ... an y la función

1 2

1 2

n

n

aa af x

x a x a x a

Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los x=1.

89) Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal, se puede leer de igual forma tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, por ejemplo: 8, 23432, 6446.

Sean x1ax2 ... xiaxi+1... todos los número capicúas. Para cada i sea yi+1=xi+1-xi.

¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y1,y2,y3,... }?

90) Sea N*={1,2,3,... }. Halle todas las funciones f: N* --a N* tales que:

i. Si x y entonces f(x) a f(y) ii. f(y(f(x))= x2.f(xy), para todos x, y en

N*.

91) En cada casilla de un tablero de n x n hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de n, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

92) Sean n y r dos enteros positivos. Se desea construir r subconjuntos A1, A2,... ,Ar de {0,1,... ,n-1} cada uno de ellos con k elementos exactamente y tales que, para cada entero x, 0 x n-1, existen x1 en A1,x2 en A2,... ,xr en Ar (un elemento en cada conjunto) con

x=x1+x2+... +xr.

Hallar el menor valor posible de k en función de n y r.

93) Demostrar que todo número natural n 21.000.000 puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1.100.000 sumas;


más precisamente, hay una sucesión finita de números naturales

x0, x1, ... , xk con k 1.100.000, x0=1, xk=n,

tal que para cada i=1,2,... ,k, existen r, s, con 0 r i, 0 s, i y xi=xr+xs.

94) Sea n un número entero mayor que 1. Determine los números reales

X1, X2, ... ,Xn 1, y Xn+1 0

que verifican las dos condiciones siguientes:

a. X11/2 + X2

3/2 + ... + Xnn+1/2 =n.Xn+1

1/2 b. (X1 + X2 + ... + Xn)/n=Xn+1

95) Una función f:N -- N es circular si para cada p en N existe n en N con n p tal que

f n(p)=f( f( ... n veces ... f(p)))=p

La función f tiene grado de repulsión k, 0 a ka1, si para cada p en N, f i (p) p para i=1, 2, ... , [k.p] (*).

Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular.

Nota (*): [x] indica el mayor entero menor o igual que x.

96) Sea n un número natural. Un cubo de arista n puede ser dividido en 1996 cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de n.

97) Se tienen n puntos distintos A1 , ... , An en el plano y a cada punto Ai se ha asignado un número real i distinto de cero, de manera que

2

i j i jA A

Para todos los ,i j con i j

Demuestre que

a) 4n

b) Si 4n , entonces 1 2 3 4

1 1 1 10

98) Sea n un entero positivo. Consideremos la suma x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, donde los valores que pueden tomar las variables x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn son únicamente 0 y 1. Sea I(n) el número de 2n-adas (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea P(n) el número de 2n-adas (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) para las cuales la suma toma valor par. Probar que

2 1

2 1

n

n

P n

I n

99) Sea P={P1, P2, ..., P1997} un conjunto de 1997 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siendo P1 el centro del círculo. Para cada k=1, ..., 1997 sea xk la distancia de Pk al punto de P más próximo a Pk y distinto de Pk. Demostrar que

2 2 2

1 2 1997... 9x x x

100) Sean n puntos distintos, P1, P2, ..., Pn , sobre una recta del plano (n a 2). Se consideran las circunferencias de diámetro PiPj (1 a i j a n) y coloreamos cada circunferencia con uno de k colores dados. Llamamos (n, k)-nube a esta configuración.

Para cada entero positivo k, determine todos los n para los cuales se verifica que toda (n, k)-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.

Nota (*): Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.

101) Sean A y B puntos del plano y C un punto de la mediatriz de AB. Se construye una sucesión C1, C2,..., Cn,... de la siguiente manera:

C1 =C y para n a 1, si Cn no pertenece al segmento AB, Cn+1 es el circuncentro del triángulo ABCn.

Determine todos los puntos C tales que la sucesión C1, C2,..., Cn,...está definida para todo n y es periódica a partir de un cierto punto.


Nota (*): Una sucesión C1, C2,..., Cn,... es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos k y p tales que Cn+p=Cn para todo n a k.

102) De una progresión aritmética infinita 1, a1, a2,... de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita 1, a1, a2,... de razón q. Encontrar los posibles valores de q.

103) Sean S un conjunto de n elementos y S1, S2, ..., Sk subconjuntos de S (k > 2), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos r elementos.

Demostrar que existen i y j, con 1< i < j < k tales que la cantidad de elementos comunes de Si y Sj es mayor o igual que

4

nk

k l

104) Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión a1 < a2 <...< an de n > 3 números reales.

Nota: Tres términos a i, aj, ak de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si a i < aj < ak y aj - ai = ak - aj.

105) Los números enteros del 1 al 2002, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma 3k + 1. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma

3k +1.

Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

106) La sucesión de números reales a1, a2,. . . se define como:

1 56a y 1

1n n

n

a aa

para cada entero n > 1.

Demuestre que existe un entero k, 1 < k < 2002, tal que ak < 0.

107) Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111......1 (escrito sólo con unos)

108) Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000. Cada número del triángulo -excepto los del primer renglón- es la suma de los dos números arriba de él. ¿Cuál es el número que ocupa el vértice inferior del triángulo? (Nota: Escribe tu respuesta final como producto de primos.)

1 2 3 4 5 3 5 7 9 8 12 16

20 28 48

109) Encuentre todos los enteros que se escriben como 1/a1+2/a2+...9/a9, donde a1, a2, ..., a9 son dígitos distintos de cero que pueden repetirse. Probar que el número 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas en la forma 1=1/5+1/a1+...+1/an, donde n y a1,a2,...,an son enteros positivos y 5<a1<a2<an.

Lo bello de la matemática 110

¿QUÉ SON LAS SERIES DE F0URIER? Como se había anticipado anteriormente, aquí no se pretende dar una teoría completa y rigurosa de los recursos del análisis que permiten desarrollar una función por medio de series, ya sea de potencias (Taylor y Mclaurin) o dado este caso, por polinomios trigonométricos (Series de Fourier). Pero al estudiar el cálculo de series (Que es en lo que se pone más énfasis a lo largo de este texto), es necesario conocer los cimientos de estos interesantes métodos del análisis. Anteriormente habíamos dicho que una serie trigonométrica es de la forma

1

0 cos2

n

nn nxsenbnxaa

, donde los números constantes ),2,1(,,0 naba nn son

llamados coeficientes de la serie. Afirmamos que si la serie es convergente, su suma es una función periódica de periodo 2 . De modo que se tiene )2()( xfxf . Nuestro problema consiste en determinar las condiciones que deben cumplirse para que la serie converja a la función señalada. Suponiendo que es posible determinar estos coeficientes, los mismos serán llamados Coeficientes de Fourier (En honor al matemático francés J. Fourier), y la serie que converja a dicha función se llamará Serie De Fourier. Antes de continuar examinemos lo siguiente: Una función monótona por trozos es aquella que en cada segmento ba, se puede dividir en

un número finito de intervalos ),(),(),( 1211 bxxxxa n , de modo que la función sea monótona en cada intervalo, es decir no creciente o bien no decreciente, como por ejemplo la de la figura:

Siendo la función monótona y acotada por trozos, solo puede tener puntos de discontinuidad de primera especie (o de salto finito), por tanto si cx es un punto de discontinuidad de la función, por definición existen los límites:

)0()(),0()(00

cfxfLímcfxfLímcxcx

Dado que c es un punto de discontinuidad de primera especie. Esto no implica que la función necesariamente deba ser discontinua.

Cualquier función que cumpla estrictamente estas condiciones puede ser representada por Series de Fourier. Es importante el siguiente teorema: Si la función periódica )(xf de periodo 2 es monótona por trozos y acotada en el segmento ),( , entonces la serie de Fourier formada para esta función, converge en todos los puntos. La suma de la serie obtenida )(xs es igual al valor de la función )(xf en los puntos de continuidad de la función. En los puntos de discontinuidad de la función )(xf la suma de la serie es igual al medio aritmético de los límites de la función )(xf a la derecha y a la izquierda, es decir si cx es un punto de discontinuidad de la función )(xf , entonces tenemos:

2

)0()0()(

cfcfxs cx

Este teorema pone en evidencia que la clase de funciones que pueden ser representadas por Series de Fourier es bastante amplia. Las series de Fourier han encontrado una exitosa aplicación en el campo de la física, matemática, mecánica, electrónica, etc., resolviendo problemas concretos. El simple hecho de Fourier, que demostró que una onda en su forma


general podía ser representada por medio de una combinación de ondas más simples llevó a desarrollar este importante tópico del análisis matemático. Veamos la gráfica de la siguiente función:

xsi

xsixf

01

01)( Esta función, evidentemente cumple con la condiciones

necesarias para ser representada por medio de una serie infinita de senos ó cosenos (ó talvez ambos), es decir tiene su serie de Fourier.

Es la función signo acotada en el intervalo , , deacuerdo con Fourier, esta función puede representarse como una combinación de ondas más simples, veamos:

Esta gráfica corresponde a la función:

sen 3 sen 5

sen3 5

x xf x x

Que son los tres primeros términos de una serie de senos de ángulos impares.

Esta otra corresponde a:

sen 3 sen 5 sen 7

sen3 5 7

x x xf x x

Hemos tomado ahora 4 términos.

Esta viene de:

sen 3 sen 5 sen 7 sen 9

sen3 5 7 9

x x x xf x x

Tomando 5 términos.

De la función:

sen 3 sen 5 sen 7 sen 9 sen11 sen13sen

3 5 7 9 11 13

x x x x x xf x x

Gráficamente hemos probado como la función signo acotada dentro de un intervalo adecuado para que

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1


sea una serie de Fourier, puede aproximarse aún más si el número de términos sigue creciendo. Si una función cumple todas las condiciones arriba mencionadas, se dice que satisface las condiciones de Dirichlet. Resumiendo: Sea f x una función que satisface:

1.- f x está definida en el intervalo 2c x c l .

2.- f x y 'f x son continuas seccionalmente en 2c x c l .

3.- 2f x l f x , i.e. f x es periódica de periodo 2l . Entonces en cada punto de discontinuidad se tiene

0

1

cos sen2

n n

n

a n x n xf x a b

l l

(*)

Donde

2

2

1cos

1sen

c l

nc

c l

nc

n xa f x dx

l l

n xb f x dx

l l

Para demostrar de una forma no muy rigurosa este hecho, se debe multiplicar la ecuación (*)

por cosm x

l

e integrar ambos miembros de l a l (así se obtiene na ), tomando en cuenta

que la integral de seno y coseno es cero cuando los límites de integración son simétricos. También le será útil el siguiente resultado

0cos cos sen sen

l l

l l

m nm x n x m x n xdx dx

l m nl l l l

De la misma forma se multiplica la ecuación (*) por senm x

l

y se integra ambos miembros de

l a l (así se obtiene nb ), 0a se determina trivialmente. Pero esto no completa la prueba, adicionalmente se necesita mostrar que

2l c l

l c

F x dx F x dx

para cualquier c .

En efecto si hacemos 2x l , para cualquier d y e se tiene

2 2

2 2

2e e l e l

d d l d l

F x dx F l d F x dx

Dado que 2F l F por ser

F x periódica de periodo 2l y la variable simbólica.

En particular poniendo e c , d l resulta 2c c l

l l

F x dx F x dx

, por lo que

2 2c l l l c l l l c

c c l l c l l

F x dx F x dx F x dx F x dx F x dx F x dx F x dx

Es decir 2l c l

l c

F x dx F x dx

.


SERIES DE FOURIER EN SENO O COSENO DE SEMI-PERIODO Cuando se busca el desarrollo de una función que satisfaga las condiciones de Dirichlet, estas normalmente se hallan definidas en el intervalo ,l l y para que su desarrollo se simplifique

ya sea en series de senos ó cosenos, su intervalo se reduce a 0, l o ,0l , de esta manera

la función será par ( F x F x ) o impar F x F x . Los coeficientes de la serie se determinan por:

0

20, sen

l

n n

n xa b F x dx

l l

para series en seno de semiperiodo

0

20, cos

l

n n

n xb a F x dx

l l

para series en coseno de semiperiodo

IDENTIDAD DE PARSEVAL Si F x satisface las condiciones de Dirichlet, se puede demostrar que

2

2 2 20

1

1

2

l

n nl

n

aF x dx a b

l

Anécdotas 1) Desarrollar en serie de Fourier la función 2 , 0 2F x x x si el periodo es 2 . La función cumple las dos primeras condiciones de Dirichlet, la tercera no es muy visible, pero es posible definir la función de manera que sea periódica. Adelantándonos a los que será su desarrollo en serie de Fourier tendríamos

Periodo 2 2l l donde la función inicia en 0c , entonces

222

00

1 8

3a x dx

2 2

2

0

1 1cos cos

c l

nc

n xa F x dx x nx dx

l l

2

2

2 3 2

0

1 sen cos sen 42 2 , ( 0)

nx nx nxx x n

n n n n

2 2

2

0

1 1sen sen

c l

nc

n xb F x dx x nx dx

l l

-10 -5 5 10

5

10

15

20

25

30 F x

2 424


2

2

2 3

0

1 cos sen cos 42 2

nx nx nxx x

n n n n

Y la serie de fourier corresponde a

2

2

1

4 4 4cos sen

3n

F x nx nxn n

(a)

La gráfica de arriba corresponde a la ecuación (a) tomando 40n , podemos suavizarla más con una mejor afinación i.e. tomando, por ejemplo, 1000n

Plot42

3 n1

1000

4

n2Cosnx

4

nSinnx, x, 4, 4

2) Desarrollar 0x x x en series de a) senos b) cosenos a) Una serie de Fourier consistente sólo en términos de seno se obtiene únicamente para una función impar, se debe extender la definición de F x de tal suerte que resulte impar, i.e.

2 2 , 0l l c .

0na

0 0

2 2sen sen

l

n

n xb F x dx x x nx dx

l l

3

3

2 4impar2 2 2cos sen

0 par

nn n nn

nn

Por lo tanto 3 3 3

8 sen sen 3 sen 5

1 3 5

x x xx x

Veamos el gráfico que se obtiene Plot

8

n1

1000 Sin2n1x2n13

, x x, x, 2, 2

-10 -5 5 10

10

20

30

40


Como se puede apreciar, la extensión del periodo de F x , hace que la función sea impar y obviamente cuanto mejor sea la afinación del gráfico la parábola x x coincidirá exactamente con la senoidal en 0 x .

b) Al extender la definición de F x para que sea una función par y sólo así admita desarrollo de fourier únicamente en cosenos, se tiene

3 2

00

1 1cos 0

6 6a x x x dx

30 0

2 2 2 cos 2sencos cos

l

n

n x n n n na F x dx x x nx dx

l l n

23

3 2

00

0 impar

12 cos 2senpar

2

1 1cos 0

6 6

n

n n n nn

n n

a x x x dx

0nb Por lo tanto

2

2 2 2

cos 2 cos 4 cos 6

6 1 2 3

x x xx x

.

La gráfica muestra claramente a la función. Plot

2

6 n1

1000 Cos2nxn2

, x x, x, 2, 2

3) Desarrollar en serie de Fourier la función 2 0 3

0 3 0

x xF x

x

, de periodo 6

-6 -4 -2 2 4 6

-10

-8

-6

-4

-2

2

F x x x

1000

3

1

sen 2 18

2 1n

n xF x

n

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2


Periodo 2 6 3l l , la fase es 3c , por lo que 2 3c l .

21

cosc l

nc

n xa F x dx

l l

0 3

3 0

1 10 cos 2 cos

3 3 3 3n

n x n xa dx x dx

Como la primera integral se hace cero, solo calculamos la segunda:

3

00

12 3

3a x dx

3

2 2 2 20

6 cos 12 6 sen 6cos 6cos

3 3n

nn x n n na x dx n n

n n

3

2 20

2 6sen 6 cos 6cossen

3 3n

n x n n n nb x dx n n

n n

Por lo que la serie de Fourier correspondiente es

2 2

1

6 cos 13 6coscos sen

2 3 3n

n n x n n x

n n

A la izquierda vemos un gráfico de la serie de fourier

de 2 0 3

0 3 0

x xF x

x

Se puede apreciar que en los puntos de discontinuidad la gráfica no esta suavizada, esta corresponde al tomar

40n .

4) Justificar los siguientes resultados

a) 2

2

1

1

6n

n

b)

1 2

2

1

1

12

n

nn

c)

1 3

3

1

1

322 1

n

n n

a), b) Con referencia a la parte 2 del segundo ejercicio, sabemos que

2

2 2 2

cos 2 cos 4 cos 6

6 1 2 3

x x xx x

Poniendo 0x se tiene 2

2 2 2 2

1

1 1 1 1

1 2 3 6nn

Poniendo x se tiene

1 2

2 2 2 2

1

11 1 1

1 2 3 12

n

nn

c) Se sabe que 3 3 3

8 sen sen 3 sen 5

1 3 5

x x xx x

, poniendo

2x

se obtiene

1 3

33 3 3

1

11 1 1

1 3 5 322 1

n

n n

-10 -5 5 10

1

2

3

4

5

6


5) Demostrar que a) 4

4

1

1

90n

n

b) 6

6

1

1

945nn

a) Utilizando la identidad de Parseval en el problema 2

2

2 2 20

1

1

2

l

n nl

n

aF x dx a b

l

2

2 2 2

cos 2 cos 4 cos 6

6 1 2 3

x x xx x

Aplicándole la identidad de Parseval

2 22

2

2

1

1 1 1

2 6n

x xn

SUMA DE SERIES VALIÉNDOSE DE LA INTEGRAL DEFINIDA A menudo cuando se tiene una cierta habilidad para interpretar una integral definida a través de su serie correspondiente, resulta muy práctico calcular el límite de su suma de Riemann. A menudo para resolver límites de sumas suele ser útil la fórmula

1

1 ( ) 1lim ( )

bn

nk a

b af a k f x dx

n n b a

Siendo f x una función continua Riemann-integrable sobre ,a b . La demostración de la misma parte de la definición de integral de Riemann. Algunas anécdotas: 1) Calcular:

1 1 2lim 1 1 1n

n

n n n n

Sabemos que una integral definida (Según Riemann) en dos extremos de una curva resulta de la suma de pequeños rectángulos que van estrechándose más y más hasta “confundirse” con


el área debajo de la curva, esta versión intuitiva de la integral definida resulta muy poderosa a la hora de evaluar el límite de ciertas sucesiones y series, resulta que para efectos del cálculo, se procura hacer la base de cada rectángulo lo más pequeño posible y hacer que sean casi iguales (no necesariamente es así) de modo que se toma una base común para cada pequeño rectángulo, esa base viene a ser como un “ factor constante “ que esta presente en cada sumando, por eso al calcular este y otro tipo de sumas límites necesitamos identificar ese factor constante y reconstruir en base a él, la función a integrar para evaluar la suma límite.

Es fácil ver que el factor constante es nnn

abxi

101

, procurando que sea lo más

pequeño posible, de este modo los límites de integración son 1 y 0. Ahora debemos examinar lo que queda en cada sumando después de dejar de lado el factor constante, en efecto

debemos encontrar una suma del tipo 0

1

lim ( )i

i ix

i

f x

que se trasforme en una integral, sin

alucinar tanto podemos dar con ii xxf 1)( ya que ,2,,2

,1

iii xxnn

x La

función deberá ser xxf 1)( . Pasando a Integral se tendrá 1223

21

1

0

dxx .

2) Calcular:

1

1 2lim

p p p

pn

n

n

, 0p . Del mismo modo, por propiedad distributiva:

1 1 2lim

p p p

n

n

n n n n

, ¿Qué coincidencia no? , de nuevo encontramos que

nxi

1 , la cual pertenece a la función pxxf )( , el límite pedido entonces viene de

integrar 1

11

0

pdxx p .

3) Hallar: 1 1 1

lim1 2n n n n n

, a simple vista no puedo encontrar mi factor constante,

pero puedo obtenerlo dividiendo por ""n tanto a denominador como numerador de cada sumando:

1 1 1

lim1 2 1 1

1 1n

n n n

n n

1 1 1 1 1 1lim

1 2 1 11 1

n n n n

n n

Nuevamente vemos que nnn

abxi

101

, Al examinar la suma

01

lim ( )i

i ix

i

f x

Podemos deducir que i

ix

xf

1

1)( porque ,2,,

2,

1iii xx

nnx , finalmente

pasamos la suma a una integral:

21

1

0

Lnx

dx


4)

1 2

2 2 2lim

1 11

2

n

n n n

n nn n

n

Este caso es un tanto especial porque debemos despreciar infinitésimos de orden superior, en

efecto la suma límite pedida se puede escribir como 1

1 2lim

11

kn

n

nkn

nk

y como

2

1

1limn

nkk k

n

donde 2k también crece hasta hacerse muy grande. Por lo tanto siendo 1

nk un infinitésimo de

orden superior a k

n podemos despreciarlo y la suma de Riemann es ahora más fácil de

encontrar: 1

01

1 1lim 2 2

ln 2

n k

xn

nk

dxn

5) 3 3 3

4 4 4 4 4 4lim

1 2n

n n n

n n n n

Notemos que la suma se puede escribir como

1

2 40

1

4arctg 1 2 4arctg 1 2 ln 17 12 21 1 1lim

1 8 21

n

n kk n

n x

Podemos hacer más simplificaciones, finalmente

2 2ln 3 2 2

8 8

6) 2 2 2

1 11 2 2lim sen cos sen cos sen cosn

n n

n n n n n n n

La suma de Riemann con 0

xn

es

3

2 2 2

0 001

1 1 cos 2lim sen cos sen cos cos cos

3 3

n

nk

k k xx x dx x d x

n n n

Sumas de otras series.- A continuación se presenta la solución de sumas de series infinitas convergentes, todas con la idea de usar la integración y derivación término a término y los otros métodos generales estudiados para el cálculo de las mismas. 1) Calcular la suma de la serie:

0

3

!n

nxn

n , para empezar se trata de crear una similitud de esta serie con las series de

potencias elementales anteriormente estudiadas, valiéndonos de series conocidas. Por ejemplo podemos ver que por la forma del denominador de la serie podríamos usar la conocida


serie de potencias

0 !n

xn

en

x, ahora nuestro “Truco” será escribir el polinomio 3n de la

siguiente manera CBnnAnnnnn )1()2)(1(3 . Al identificar coeficientes resulta 0,1,3 CBA . Por tanto

0

3

!n

nxn

n n

n

xn

nnnnnn

0 !

)1(3)2)(1(

Que es lo mismo que:

0

3

!n

nxn

n

123 )!1(

1

)!2(

13

)!3(

1

n

n

n

n

n

n xn

xn

xn

0

3

!n

nxn

nxexxx )3( 23

La idea de escribir el polinomio como una suma de productos consecutivos era para lograr una simplificación con el factorial del denominador. En general puede aplicarse este método para

sumar series del tipo nxn

nP

!

)( donde )(nP es un polinomio.


1 321

1

n

nxn

Escribimos la serie dada nuevamente

1 )1(

2

n

nxnn

, en lugar de integrar dos veces esta

serie podemos descomponer la expresión )1(

2

nn como sigue:

1

22

)1(

2

nnnn Entonces la serie toma la forma

11 122n

n

n

n

n

x

n

x, al estudiar las

series de potencias vimos que )1(1

xLnn

x

n

n

, de donde se deduce:

1 321

1

n

nxn

=

11 122n

n

n

n

n

x

n

x=

x

xxLnxLn

)1(2)1(2


n

n

xn

n 0 1

, De una forma más general podemos proceder como sigue:

Se sabe que 11

1

0

xsix

xn

n , derivando una vez la serie término a término en su

intervalo de convergencia se obtiene 2

0

1

)1(

1

xnx

n

n

, podemos operar dentro de la

serie y rescribirla así

02)1(n

n

x

xnx , para poder integrar término a término se hace un

cambio de variable como sigue:


)1(11)1(

0 0

1

2xLn

x

xx

n

ndt

t

tx

n

n

De donde finalmente:

x

xLn

xx

n

n

n

n )1(

1

1

10


a)

1

2

)12(n

n

nn

x, esta serie de potencia puede integrarse o derivarse término a término en su

intervalo de convergencia, por tanto podemos operar como sigue:

22

1

12

1

2

12

122)(''

)12(

2)('

)12()(

n

n

n

n

n

xn

nxfx

nn

nxf

nn

xxf

20

2

1

22

xx

n

n

Para regresar a la función suma original debemos integrar dos veces,

podemos proceder como en el anterior caso:

)1()1()1()1(1

1)(

1

1

1

2)('

00

2xLnxxLnxdt

t

tLnxf

x

xLn

t

dtxf

xx

De donde es directo que

1

2

)12(n

n

nn

x)1()1()1()1( xLnxxLnx

b)

0

3

2)1(

nn

nxn , suponiendo que “x” toma valores para los cuales la serie dada es

convergente podemos escribirla como sigue:

2323

3

30

3

0

3

0

3

)2(

4

21

2

21

1

222)1(

xx

x

x

xn

xxn

n

nn

nnn

n

Debe UD observar que la segunda serie se obtiene de una derivación término a término. Además este resultado sirve sólo en el intervalo de convergencia de la serie, esto es cuando:

22 3 x CRITERIO DE STOLZ PARA EL CÁLCULO DE ALGUNOS LÍMITES En aquellos límites de sucesiones que aparecen como sumas que se incrementan con “ n ” resulta útil aplicar para su cálculo el criterio de Stolz. Cuyo enunciado dice: Sean las sucesiones nx y ny , Donde ny puede ser creciente o decreciente, tales que:

0

nn

nn

yLimxLím o bien

nn

yLím , donde 0ny n , si existe:

nn

nn

n yy

xxLim

1

1 , entonces tenemos que n

n

n y

xLím

.

Cuando n , suele ser útil a formula de Stirling ! 2n nn n e n (Una demostración no muy rigurosa requiere de integrales dobles).


Omitiremos la demostración de este teorema. Una consecuencia muy importante del teorema de Stolz son los siguientes criterios de cálculo de límites: Sea

1na una sucesión convergente con lim n

na a

, entonces

Media aritmética: 1 2lim limnn

n n

a a aa a

n

Media geométrica: 1 2lim limnn n

n na a a a a

1lim lim , 0nnn n

n nn

aa a

a

Anécdotas: 1) Hallar el valor del límite:

3

2222 321

n

nLímn

, para poder aplicar el criterio de Stolz, observemos que se

cumplen las condiciones, en efecto 3n es creciente y

3nLímn

. Por tanto podemos

aplicar el teorema de Stolz:

3

1

133

)1(

)1(

21)1(212

2

33

222222

nn

nLím

nn

nnLím

nn

2) Hallar el límite 1 2

lim 1 1 1

x x x

n

n

n

n n n

Reescribiendo el límite !( 1) 2 3

lim!

x

nnn

n n n n n n

n n

, luego aplicando Stirling

! 2n nn n e n se tiene

2 22 ! 2 2 (2 )lim lim

! 2

xx n n

n nn n n nn n

n n e n

n n n e n n

4x

e

3) Hallar el límite:

2 2 2

2

2 32 3lim

n

sen sen sen n senn

n

Sea 1n n

y

de modo que 2

ny n , es claro que 1n n

y

es creciente y que

nn

yLím , por

lo tanto podemos aplicar el criterio de Stolz:

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 3 ( 1) 2 32 3 1 2 3

lim1n

sen sen sen n sen n sen sen sen sen n senn n n

n n


2( 1)1lim

2 1n

n senn

n

, luego hacemos la sustitución

1u

n

y por lo tanto el límite

equivalente será

2

22

0

sensen

lim lim2 2 2

1n u

uuu

u u

u

4) Hallar el límite 31 2 3

limn

n

n

n

Puesto que la sucesión 1n

n

satisface las condiciones para aplicar el teorema de Stolz, se

tiene 1

1

1

1lim lim 1

1

nn n n

n nn n n

x x x n

y y y

, (Aplique L´Hopital).

5) Hallar el límite 2

1 2 2 3 3limn

n n

n n

Aplicando Stolz

22 2

1 11 2 2 3 3 1lim lim

21 1n n

n nn n

n n n n n n

Una manera de verificar el límite de la derecha es poniendo 1n u , de modo que

1 1

2 2 2 2

1lim

212 1

2

u

u u

u u u u u u

6) Hallar 24 3 2 11lim 2 2 2

5

n n

n n

Aplicando Stolz

2 1

2 1 2 22 1 1

24 3 2 1lim 21 2

lim 2 2 2 lim5 5 5

n

n nn

n n n

n nn

, calculando el límite del

numerador 2 1

2 2lim 2 2n

n

nL L

, de donde 24 3 2 11 2

lim 2 2 25 5

n n

n n

.

7) Probar que 1

2 2lim

2 1 2 1 2

n

nk

k k

k k

Recordemos que el límite pedido no es otra cosa que la fórmula de Wallis . Notemos primero que el límite se puede escribir de otra manera más explícita

22 222

2 2

4 22 !2 4 6 21 1 1lim lim lim

2 1 1 3 5 2 1 2 1 2 ! 2 1 2 2 2

n n nn

n nn n n

n e nnn

n n n n n n e n

22 2 2 2

2 2 2

1 4 4lim lim

2 1 2 4 2 1 2

n n n

n n nn n

n e n n

n n e n n

REGLA DEL BOCADILLO PARA EL CÁLCULOS DE LÍMITES DE SUCESIONES


Conocida también como ley de emparedado. Nos dice que cuando una sucesión está acotada por otras dos, las cuales son convergentes y tienen el mismo límite, entonces dicha sucesión es convergente y además su límite es idéntico a de las dos sucesiones que la “aprietan”. En símbolos: Sea nx y ny dos sucesiones convergentes tales que lim limn n

n nx y L

, si

;0nnyzx nnn Entonces nz es convergente y lim nn

z L

.

Aplicación: 1) Calcular el siguiente límite:

2 2 2

1 1 1lim

( 1) ( )n n n n n

, Par ver como usar la regla del bocadillo, vamos a

comparar el límite de la sucesión de la siguiente manera

222222222 )(

1,,

)1(

1,

1max)1(

)(

1

)1(

11

)(

1,,

)1(

1,

1min)1(

nnnnn

nnnnx

nnnnn n

Lo que hacemos en esta comparación es buscar los “valores extremos de la sucesión”, es

decir el valor máximo y mínimo que puede alcanzar un término de la sucesión.

22222

1)1(

)(

1

)1(

11

)(

1)1(

nn

nnnnx

nnn n

Aplicando límites:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1lim lim lim

4 ( 1) ( )n

n n n

n nx

n n n n n n

2 2 2

1 1 10 lim 0

( 1) ( )n

nx

n n n n

Hemos demostrado que la sucesión está “acotada” entre cero y cero por tanto:

2 2 2

1 1 1lim

( 1) ( )n n n n n

0

PROBLEMAS ADICIONALES (STOLZ, SUMA DE RIEMANN) Calcular los límites de las siguientes sumas

1) 1

1lim sen

2 cos

n

nk

kn

n

2)

1

2

1

lim , 0

n

k

n

nx k nx k

xn

3)

2 2 2

11 2 2 1lim 1 sen 1 sen 1 senn

nn

n n n n n n


4) 1 1 1

lim sen sen sen1 2n n n n n

5) 2

2

1 4 9lim

2 5 10 1n

n

n

n

6)

1 2lim

n

n

n n n n

n

7)

11 cos

4lim1 2

n

n

n n ne

n

8)

3 2

1 1 1sen1 2sen 3sen sen

2 3limn

nn

n n

9) 1 1 1 1

lim1 2n n n

10)

2 3

2 1

2

12 3 4

1 2 3lim

n

n

n

n

n

n

11) 2

sen1 sen 2 senlimn

n

n

12)

2

1 3 4 2lim

4 5 316 3n

n

nn

13) ln 3 ln 6 ln 3

limln 5 ln10 ln 5

n

n

n

n 14)

2

limn n nn

n

e e e

n

15)

11 cos

lim1

sen

n

n

n

n

16)

2 ln 2 ln 3 lnlim sen 2 cos

ln 3 ln 4 ln 1n

n

n n

17) 1 2lim tan tan tan

4 4 4n

n

n n n n

18)

1 23 6 3

sen sen sen1

lim1 2

sen sen sen

n

n n n

n

ne e e

n n nnn

n n n

19)

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3lim

1 3 5 2 1n

n n n n n

n n n n n

20)

2 2 2

2 2sen sen sen

lim2

1 cos 1 cos 1 cosn

n n

n n n n n nnn

n n n

21) Verificar que

1

1lim

1 2 1

n

p

n pn

ne

n n n n p n p

22) Verificar que

2

2

1 2 4 21 2 4 2lim lim

1 3 5 2 1 1 3 5 2 1n n

nn

n n n n

Sug. Usar Wallis

23)

1 2 2 1

1 2 3 1limlog !n

n n n

n n

n

24)

22 2 2

3

1 2lim

1 2n

n

n

25) 3

1 1cos1 cos cos

2lim

log 1n

nn

n

25)

2

2 4 6 2 2lim

1 3 5 2 1n

nn

n

26)

2

1 2 3 2 3 4 1 2limn

n n n

n n


27) log1 log 2 log3 log 2 1 log 2

limlogn

n n

n

28)

3

2

1 1 12! tan 3! tan ! tan

2 3lim1

n

n

nn

n

29)

2 2 2

2 2 2lim sen sen sen

2 1 2 2 2n

n n n

n n n n

ALGUNAS APLICACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS La teoría de variable compleja es una rama apasionante de la matemática, con muchas aplicaciones técnicas y teóricas, motivo por el se considera muy importante el conocimiento elemental del manejo y uso correcto de los números complejos, en particular para estudiar las series y sucesiones especiales. Si bien la teoría es mucho más amplia de la que se expone en este manual, es necesario proveerles a los interesados en la materia una introducción ya sea bien, para los que llevan el curso de variable compleja como para los que no y de algún modo se sientan motivados a interesarse por una lectura individual. Tenemos aquí los resultados elementales más importantes: Suponemos que el lector conoce las propiedades elementales de los números complejos (conmutatividad, asociatividad,…, conjugado, etc.). En el siguiente párrafo se resume las propiedades de uso frecuente y algunas aclaraciones. Sea z x iy un número complejo, se denota por:

Re z x a la parte real de z .

Im z y a la parte imaginaria de z .

2 2r x y es el módulo del complejo.

arg arctany

zx

el argumento ó ángulo que forma el vector z x iy con el eje

horizontal medido en sentido horario. TEOREMA DE MOIVRE

Si z , entonces cos sen cos sennn nz r i r n i n . Su demostración se

hace por inducción. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Cada ecuación polinómica de la forma 1

0 1 1 0n n

n na z a z a z a

tiene por lo menos una raíz compleja, se puede demostrar que en realidad tiene n raíces complejas, algunas de las cuales pueden ser iguales, i.e. tienen multiplicidad mayor o igual a uno, o todas podrían ser idénticas. RAICES n-ésimas DE LA UNIDAD Se llaman así a las soluciones de la ecuación 1nz , donde n es un entero positivo. Por Moivre se tiene:

22 2

cos senki

nk k

z i en n

0,1, 2,...., 1k n


Para compactar la notación introducimos los símbolos 2 12

1 2 11; ;...;

n ii

nn ne e

para denotar las raíces de la unidad. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN POLINÓMICA EN Considérese la ecuación 1

0 1 1 0n n

n na z a z a z a

(*), se puede probar que:

1

1 0

n

k

k

az

a

Para la suma de todas sus raíces.

1 0

1n

n nk

k

az

a

Para el producto de todas sus raíces.

Si p qi es una raíz de la ecuación (*) entonces p qi es también una raíz. Los números complejos con las propiedades definidas para la adición y multiplicación en

forman una estructura algebraica conocida como cuerpo, además son isomorfos a 2 para la adición, cuando decimos isomorfos establecemos que se comportan de manera muy similar a los pares ordenados en 2 . En este curso no vamos a entra en detalles acerca de los isomorfismos. En la primera parte del texto vimos que los complejos admitían una representación geométrica en el plano y que operar con ellos era como operar con vectores. Una introducción formal y elegante a la teoría de variable compleja se puede encontrar en “variable compleja” de Hans Müller Santa Cruz. Algunas anécdotas:

1) Probar que

1

11cos cos cos 2 cos 4

2 2!

n

nn

n nn n n n R

Donde

2

0 Si es impar

!Si par

/ 2 !

n

n

nRn

n

Por la identidad de Euler, el coseno de un ángulo puede escribirse como 1

cos2

ie e

,

entonces aplicando el desarrollo binomial tenemos:

1 2 2

0 1 2

1cos

2

n i n in n ni n i n i

ne e e e e


1 2 2

0 1 2

2 12

2 1

1cos

2

n i n in n ni n i n i

n

n i n in i n i n ni

n n n

e e e e e

e e e e e

Es lo mismo que tener:

2 4 4 21 11cos

2 2! 2!

n i n i n i n in ni ni

n

n n n ne ne e e ne e

Nos detenemos en el siguiente análisis: a) Si n es impar, sabemos que el número de términos diferentes en el desarrollo binomial es par y por lo tanto es posible asociarlos dos a dos: nie y nie ; 2n i

ne y 2n i

ne ; etc.

Por lo que se tendrá: b) Si n es par, el término central del desarrollo binomial no tendrá término en ixe y será solamente un número, el término central será entonces el residuo y vale:

2 2

2

2 2

!

!

n ni i

n

n nn

nR e e

Considerando que los restantes términos pueden asociarse dos a dos. 2) Probar que para 2,3,m

1

12 3

2mm m

sen sen sen senm m m m

Al considerar la siguiente ecuación en : 1mz , sus raíces son 2 12 4

1, , , ,

m ii i

m m mz e e e

Podemos escribir la ecuación de la forma:

2 1 /2 / 4 /1 1m i mm i m i mz z z e z e z e

Dividiendo ambos lados por 1z y haciendo 1z (debe notar que

2 111

1

mmz

z z zz

) hallamos

2 1 /2 / 4 /1 1 1m i mi m i mm e e e

(I)

El conjugado complejo de ambos lados de esta igualdad también satisface

2 1 /2 / 4 /1 1 1m i mi m i mm e e e

(II)

Puesto que

2 1 /2 / 4 /

2 12 4

1

1 1 11

1 1

m i mi m i m

m

m ii im

m m m

e e em

e e e

, dado que 0

1m naza

Multiplicando (I) por (II) aplicando 2 / 2 /1 1 2 2cos 2 /k i m k i me e k m , tenemos

2 12 12 4

2 1 cos 1 cos 1 cosmm

mm m m

(III)

Puesto que 21 cos 2 / 2 /k m sen k m , (III) será

2 2 2 2 2 212

2 mm

m sen sen senm m m

Después, tomando la raíz cuadrada positiva de ambos lados, obtenemos el resultado pedido.


2) Probar que para un entero 1m

1

2 2 2 2 2

2

1

4 cotm

m m km

k

z a z a maz z a

(I)

Al considerar la siguiente ecuación en : 2 2

0m m

z a z a por el teorema

fundamental del álgebra sabemos que tiene 2 1m raíces (¿Por qué?), la ecuación polinómica tiene como coeficiente del término de mayor grado a 4ma , si logramos probar que

los números cot2

kz ia

m

son raíces de la ecuación polinómica

2 20

m mz a z a

quedará demostrada la igualdad (I). Puesto que si el complejo P iQ es una raíz de la ecuación, sabemos que su conjugado

P iQ también lo es. Entonces bastará probar que cot2

kz ia

m

es una raíz de la ecuación

polinómica donde 1,2, , 1k m . Notemos primero que 0z es una solución trivial de la ecuación, entonces considerando z a la ecuación puede escribirse en la forma:

2

2 20 1

mm m z a

z a z az a

Al sustituir cot2

kz ia

m

se tendrá

2

2

2

1 cot

1 cot

mkm

km

i

i

, llevando a la forma exponencial

22arctan cot

2 arctan cot arctan cot2 2

arctan cot2

mk

mik km i im m

ki

m

ee

e

Y recordando que

arctan arctan arctan1

, se tendrá

2

2 cot22 arctan

1 cot2

k

mi mk

me

, puesto que

2

2cot2

tan1 cot

2

kkm

k m

m

, finalmente 2 arctan tan

2 1

ki m

k ime e

.

Para escribir la respuesta consideremos el hecho de que dada la ecuación polinómica 1

0 1 0n n

na z a z a Puede escribirse como

1

0 1 0 1 2

n n

n na z a z a a z z z z z z , donde 1 2, , , nz z z son la raíces del polinomio. De este hecho deriva la fórmula

1

2 2 2 2 2

2

1

4 cotm

m m km

k

z a z a maz z a

3) Demostrar que para un entero 1m . 12 3

cot cot cot cot 12 2 2 2

m

m m m m

(I)

Observemos que 2

2cot

2

sen

sen

aplicando en (I):


1 2 2 2 2

12 3

12 32

2 2 2 2

m

msen sen sen sen

m m m mm


Examinemos el producto 1

2

1 2

m

k

ksen

m

. Del problema anterior sabemos que

1

2 2 2 2 2

2

1

4 cotm

m m km

k

z a z a maz z a

, en esta igualdad ponemos z a para

obtener: 1

2 2 2

2

1

2 4 1 cotm

m m km

k

a ma

que es equivalente a 1

2 2 2

1

22

mm

k

ksen m

m

, y

del problema 1 sabemos que

1

12 3

2mm m


, sustituyendo

estos resultados tenemos: 1

1 2 2

2 12 2

m

m m

m

m

que es el resultado pedido.

PROBLEMAS ADICIONALES 1) Si 2,3, 4,...,n probar que

2 12 4 6cos cos cos cos 1

2 12 4 6cos 0

na

n n n n

nb sen sen sen

n n n n

2) Probar que

12 1

212

12 1

212

1cos cos cos cos

1

sen na n n

sen

sen nb sen sen sen n sen n

sen

3) Sea 1 2, , , na a a y 1 2, , , nb b b números complejos. Probar la desigualdad de Schwarz,

2 2

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

Donde la doble barra es la aplicación 2: definida por 2 2z x yi x y , conocida también como norma euclidiana de z . 4) Sea ...ABCD PQ un polígono de n lados inscrito en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Probar que el producto de las longitudes de las diagonales , ,....,AC AD AP es

214

csc /n n . 5) Probar que si 0sen ,


11

1

2

21

2 cos cos

2 12 1 1

/ 2 1

nn k

n

k

n

k

sen na

sen

sen n senb n

sen sen k n

6) Demostrar que

2

21

coscos 2 1 1

cos 2 1 / 4

nn

k

nk n

.

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DE RECURRENCIA Consideremos un tipo especial de funciones :u n es decir las sucesiones, podemos

escribirla también de forma abreviada como nu o nu . Decimos que nu esta dado

recursivamente si nu depende de algunos de los términos anteriores 1 2 0, ,...,n nu u u . Por ejemplo podemos considerar la sucesión

1

1

1

2 1n n

S

S S n

Como podemos apreciar, esta no se encuentra escrita en forma explícita en función de n , sino que depende de uno de sus términos anteriores, decimos entonces que se define en forma recursiva, no es difícil obtener que en general 2

nS n . De algún modo es posible obtener una ecuación que dependa exclusivamente del valor de la variable n . Sea k y 0nC con ,..., 2, 1iC i n k n n , entonces decimos que

1 1 2 2 ,n n n n n n n k n kC u C u C u C u f n n k

Es una relación de recurrencia lineal (con coeficientes constantes) de orden k . Cuando

0f n para todo 0n , decimos que la relación es homogénea; en otro caso es no homogénea. Tratamos de buscar para la relación anteriormente definida una ecuación que identifique el término n -ésimo únicamente en función de n , en particular buscamos una solución de la forma n

nu cr donde , 0c r . En efecto si sustituimos n

nu cr en la relación lineal

homogénea, tenemos 1 2

1 2 0n n n n k

n n n n kC cr C cr C cr C cr

, es decir 1 2

1 2 0k k k

n n n n kC r C r C r C

Una ecuación polinómica de grado k , llamada también ecuación característica. RELACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS Nosotros vamos a concentrarnos en un tipo especial de relación lineal homogénea, las lineales a coeficientes constantes, en particular tenemos la de orden 2, es decir las del tipo

2

1 2 0n n nC cr C cr C c . El siguiente teorema es importante para analizar RLH (relaciones lineales homogéneas) de orden 2. TEOREMA


Sea nu una sucesión que satisface la RLH 1 1 2 2 0 2n n nu a u a u n , con las

condiciones iniciales 0 0 1 1,u c u c , y sean y las raíces de su ecuación característica 2

1 2 0t a t a

Si , entonces existen constantes A y B tales que 0n n

nu A B n es solución general de la RLH. Y si , existen constantes C y D tales que 0n

nu Cn D n es solución de la

RLH. Las constantes , , ,A B C D se determinan por las condiciones iniciales. DEMOSTRACIÓN a) Para 0n y 1n por las condiciones iniciales se obtiene

1 0

0 0

0 0

1 11 01 1

c cA

u A B A B c

c cu A B A B cB

Por como se planteó las igualdades para obtener n n

nu A B , es obvio que se cumple

para 0u y 1u , suponemos por hipótesis de inducción que se cumple hasta 1nu , tenemos que

mostrar que se cumple también para nu .

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 2 1 2

n n n

n n n n

n n

n n

u a u a u

a A B a A B

A a a B a a

A B

Tomando en cuenta que y son raíces de la ecuación característica, de donde es

inmediato que 2 2

1 2 1 20a a a a y de modo idéntico 2

1 2a a . Por

inducción tenemos que s cierto para toda 0n . b) . Ejercicio El teorema anteriormente demostrado es solamente un caso particular de uno ,desde luego , más general, podemos hasta cierto punto trabajar de manera muy sencilla con ecuaciones de segundo grado, podemos también hacerlo con ecuaciones de tercer y cuarto grado y en general con ecuaciones polinómicas de grado superior al cuarto, pero siempre que sus raíces sean relativamente fáciles de encontrar, como en general se requieren métodos numéricos para tal objetivo, el encontrar una solución de una relación lineal homogénea no es problema tan trivial. El método expuesto anteriormente es muy sistemático y un poco oscuro, pues no nos justifica el porqué la solución de una ecuación de recurrencia lineal homogénea de orden dos a coeficientes constantes tiene la forma n n

nu A B . La razón es la siguiente:

Consideremos en general una RLH de orden k a coeficientes constantes

1 1 2 2 0n k n k n k n k n k n k n nC u C u C u C u Puesto que 0n kC no perdemos

generalidad si hacemos 1 1 2 2n k n k n k n k n k n nu u u u , representando dicha ecuación en forma matricial (El lector debe estar familiarizado con conocimientos elementales de álgebra lineal) tenemos:


11 2 3 1

1 2

2 3

2 1

1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

n k n kn k n k n k n n

n k n k

n k n k

n n

n n

u u

u u

u u

u u

u u

Supongamos además que se tiene las condiciones iniciales 1 1 2 2, ,..., k ku c u c u c ,

entonces si designamos por A a la matriz que contiene los coeficientes de la RLH, la solución viene dada por

1 1

2 2

2 2

1 1

n k k

n k k

n k kn

n

n

u c

u c

u cA

u c

u c

Para calcular nA diagonalizamos la matriz A (esto es siempre posible en ), i.e. la escribimos en la forma 1A PBP , donde B es una matriz diagonal formada por los valores propios de la ecuación característica de A y P es una matriz no singular cuyas columnas son los vectores propios asociados a los valores propios de A . Con esta descomposición se tiene

1 1 1...n

n veces

A PBP PBP PBP

, puesto que el producto matricial es asociativo

1n nA PB P , dado que B es una matriz diagonal, nB es fácil de calcular, por lo tanto:

1

12

n

n

n

n

k

A P P

Remarca.- En general, como las matrices no son siempre diagonalizables en, este método puede resultar muy limitante, pero se puede aliviar en algo esta dificultad con un conocimiento adicional del álgebra lineal como la forma de Jordan, etc. Desde luego existen métodos más sofisticados como el cálculo operacional (transformadas de Laplace, etc.) para resolver relaciones de recurrencia más complicados, los cuales no trataremos acá. TEOREMA (RLH Caso general) Sea nu una sucesión definida por RLH y sean 1 2, ,..., s las raíces de su ecuación

característica con multiplicidades 1 2, ,..., sm m m respectivamente. Entonces:

1 1 2 2

n n n

n s su P n P n P n

Donde para cada 1,2,..., , ii s P n es una expresión de la forma 1

0 1 1i

i

m

mA An A n

Es decir, los 1iP n i s son polinomios en n de grados no superiores a 1im y que se los determina a partir de las condiciones iniciales, esto es de los término iniciales conocidos. RELACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS


Sea 1 1 2 2 , (*)n n n n n n n k n kC u C u C u C u f n n k Una relación lineal no

homogénea (RLnH), donde f n no es idénticamente nulo, se denomina relación lineal

homogénea asociada a la RLH obtenida al hacer 0f n , i.e.

1 1 2 2 0n n n n n n n k n kC u C u C u C u

Es fácil verificar que si hnu es la solución de la RLH asociada y p

nu es una solución particular

de la RLnH, es decir de (*), entonces h p

n n nu u u es la solución general de la RLnH (*). En efecto por se soluciones ambas satisfacen respectivamente:

1 1 2 2 0

h h h h

n n n n n n n k n kC u C u C u C u Por ser solución de la RLH asociada 1 1 2 2

p p p p

n n n n n n n k n kC u C u C u C u f n Por ser solución particular de (*) Y sumando es obvio que

1 1 1 2 2 2

p h p h p h p h

n n n n n n n n n n k n k n kC u u C u u C u u C u u f n lo

que indica que h p

n n nu u u es la solución general de (*). Lo importante de este resultado es que si nosotros somos capaces de resolver la ecuación lineal homogénea asociada, tenemos la mitad del trabajo ya hecho, lo que aprenderemos a continuación será a encontrar soluciones particulares deacuerdo a la forma de f n . Aunque no se tiene un método general para encontrar las soluciones particulares, estudiaremos el método de los coeficientes indeterminados. Recordemos que la ecuación característica de la RLnH asociada es

1 2

1 2 0k k k

n n n n kC r C r C r C

Vamos a plantear la solución particular en función de la forma de f n

Si kf n P n (polinomio de grado k ), planteamos la solución particular como p m

n ku Q n n , donde m representa la multiplicidad de la raíz 1 en la ecuación característica de la RLnH asociada.

Si n

kf n P n a , planteamos la solución particular de la forma p m n

n ku Q n n a , donde m representa la multiplicidad de la raíz a en la ecuación característica de la RLnH asociada. Si a no es raíz de la ecuación

característica se plantea p n

n ku Q n a .

Si sennf n r n ó cosnf n r n , se plantea en ambos casos la solución

particular de la forma sen cos

p n n

nu Ar n Br n . De este caso se derivan otros particulares.

Anécdotas 1) Hallar una ecuación en términos de n para la sucesión de Fibonacci definida por

0 1

1 2

0 , 1

2n n n

f f

f f f n

Este es un ejemplo típico, salta a la vista que la relación de recurrencia lineal es homogénea y viene dada por 1 2 0n n nf f f , valiéndonos de la sustitución n

nf cr encontramos su


ecuación característica 2 1 0r r cuyas raíces son 1

1 5

2r

y 2

1 5

2r

y por el

primer teorema la solución general viene dada por: 1 5 1 5

2 2

n n

nf A B

, con las

condiciones iniciales 0 10 , 1f f encontramos la solución particular:

1 1 5 1 5

2 25

n n

nf

.

Otra forma de hallar la solución consiste en expresar la ecuación en forma matricial:

1

1

1 1

1 0

n n

n n

f f

f f

, dado que las letras son un proceso de abstracción, no se pierde

generalidad en ver la ecuación con los subíndices modificados siempre que se lo haga en

todas sus instancias. En este caso la condición inicial sería 1

0

1

0

f

f

, intuitivamente se

observa 1 0

1

1 1 1 1 1 1...

1 0 1 0 1 0

n

n

n veces

f f

f f

, la matriz asociada es diagonalizable

(verificar), entonces:

Si 1 1

1 0A

, se tiene 1

11 2 1 2

2

0

01 1 1 1A

, de donde

1

1 2 1 21

2

0

1 1 1 10

n

n

nA

, donde 1

1 5

2

y 2

1 5

2

, haciendo los

cálculos necesarios, se obtiene 1 1

1 1 2

1 2

1

5

n nn

n nn

f

f

, finalmente:

1 1 5 1 5

2 25

n n

nf

.

Remarca.- Este método ofrece muchas ventajas, ya que se puede fácilmente generalizar a RLH a coeficientes constantes de orden mayor a dos; sólo se debe tener cuidado de los posibles valores propios complejos, en tal caso se aplica la formula de Moivre (veremos un ejemplo más adelante) y se elimina el valor complejo. 2) Para 1n , sea nD el siguiente determinante de n n .

2 1 0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 0 0 0 0 0 0

0 1 2 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 2 1 0

0 0 0 0 0 0 1 2 1

0 0 0 0 0 0 0 1 2

Encuentre y resuelva una relación de recurrencia para el valor de nD .


Observemos primero que 1 2 2D y

2

2 13

1 2D , que vendrían a ser condiciones iniciales.

Ocuparemos el desarrollo por cofactores con respecto a la primera columna:

1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 2 1 0 0 0 0 0

0 1 2 1 0 0 0 02 1

0 0 0 0 0 1 2 1

0 0 0 0 0 0 1 2

n nD D

, luego en la matriz resultante aplicamos desarrollo

por cofactores con respecto a la primera fila, obteniendo 1 22n n nD D D . Resolviendo la

RLH su ecuación característica es 2 2 1 0r r , la única raíz 1r tiene multiplicidad dos por tanto la solución debe ser de la forma 1nnD A nB , con las condiciones iniciales

1 2D y 2 3D , se obtienen las ecuaciones:

2 2

3 3

A B

A B

De donde la solución buscada es 1nD n .

3) para b , consideremos el determinante nD de orden n n dado por:

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

b b

b b b

b b b

b b

b b

b b

Encuentre el valor de nD como función de n . Notemos que solamente es necesario trabajar con una determinante de ceros y unos, ya que:

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1

n

n

D

b

Y como en el ejemplo anterior tenemos las condiciones iniciales 1 1 1D y

2

1 10

1 1D ,

luego desarrollamos el determinante por la primera fila, tenemos que:


1

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1

n nD D

, volvemos a desarrollar por la primera columna y

finalmente 1 2n n nD D D , resolvemos esta ecuación de recurrencia lineal homogénea. Su

ecuación característica es 2 1 0r r , pero sus raíces son complejas y diferentes

1,2

1 3

2

ir

, las cuales escritas en forma polar son 1,2 cos sen

3 3r i

, por teorema

sabemos que la solución general es de la forma cos sen cos sen3 3 3 3

n n

nD A i B i

,

aplicando Moivre:

cos sen cos sen3 3 3 3

n

n n n nD A i B i

, luego

1 2cos sen3 3

n

n nD k k

, donde

1k A B y 2 ( )k i A B , independientemente del valor de A y B , mediante las

condiciones iniciales se obtiene 1 1k y 2

1

3k , finalmente el valor pedido es:

1det cos sen

3 33

n n

n n

n nM b D b

.

4) matemáticas discretas (Grimaldi). Consideremos la red lineal de la figura, donde hay k resistencias de 1 y 3 ohmios conectadas por medio de cables a un generador que proporciona un voltaje constante V . Encuentre una fórmula para nv , 0 n k , que dé el voltaje en cada punto como función de n .

...

...

...

...

V

v3

v v v v v v v v3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1

nn+2 n+1k k-1 k-2 2 1 0

I

I

I

1

2

Por la ley de nodos de Kirchhoff sabemos que 1 2I I I , por la ley de Ohm V

IR

, entonces

2 1

3

n nv vI , 1 1nI v , 1

23

n nv vI . Por lo que tenemos:

2 1 11 2 15 0

3 3

n n n nn n n n

v v v vI v v v v

, la ecuación característica de la RLH

es 2 5 1 0r r y sus raíces son 5 21

2a

y

5 21

2b

, la solución general se

plantea de la forma 1 2

n n

nv c a c b . Por otro lado destacamos que por las leyes de Kirchhoff y

Ohm se tiene en el penúltimo nodo 1 0 0/ 3 /1v v v o 1 04v v , de manera que 0 1 2v c c

y 0 1 1 24v v c a c b . Por lo tanto:


1 0

4bc v

b a

, 2 0

4ac v

a b

, y

0

4 4n n

n

b av v a b

b a a b

, además

0

4 4

4

k k

k

b a a bV v v

b

, por lo que finalmente

4 4

4 4

n n

n k k

b a a bv V

b a a b

.

5) Determinar una fórmula explícita para el término general de la sucesión

2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 2

1 0 2 0 1 0 1 1, ,..., .n

n na a a

Podemos determinar fácilmente la relación de recurrencia asociada 2

2

1 11

n n n

na a a n

n

es decir 2

1n na a n , una RLnH. La ecuación característica

de la RLH asociada tiene una raíz 1 0 1r r , por lo que la solución homogénea es de

la forma hna A donde A es una constante.

El recetario dado para el caso, sugiere que planteemos la solución particular en la forma 2p

na Cn Dn E n , ahora bien:

3 23 2 21 1 1Cn Dn En C n D n E n n , al identificar coeficientes se

obtiene 1 1 1

, ,3 2 6

C D E , por lo que la solución general es de la forma:

3 21 1 1

3 2 6na n n n A , donde 0A de la condición inicial

21

1 0a . Finalmente la

solución buscada es 3 21 1 1

3 2 6na n n n n .

6) Se trazan n rectas en el plano de forma que cada una de ellas corta a todas las demás y no existen tres que se intersequen en un mismo punto. Determinar una fórmula explícita para el número nu de regiones en que dichas rectas dividen al plano.

Obsérvese que cada vez que se traza una nueva recta, como ésta corta a las 1n rectas anteriores, debe atravesar n regiones del plano a las cuales divide en dos, es decir, cuando trazamos la recta n -ésima añadimos n regiones. Esto nos lleva a que

1 1 1n n n nu u n u u n con 1 2u . La RLH tiene por solución hna A y una

solución particular de la RLnH debe ser p

na Bn C n luego:

2 21 1 1B n n C n n n

, de donde al identificar coeficientes se tiene

1 12 2,B C , por tanto 21

2nu n n A y como 1 2u se obtiene 1A , por lo que

211

2nu n n n .

Observación.- Este problema en particular tiene una solución mucho más rápida y eficiente, sugerimos al lector pensar en sumas notables (progresiones, etc.). 7) Plantear las soluciones particulares de las siguientes relaciones de recurrencia no homogéneas


a) 13 5 7nn nu u

La RLH asociada tiene como solución 3

h n

nu A , como 5 7nf n , se plantea

7p n

nu B (ya que 7 no es solución de la ecuación característica de la RLH asociada).

b) 13 5 3nn nu u En este caso como 3 es solución de la ecuación característica de la RLH asociada, la solución particular se plantea como

3p n

nu B n .

c) Supongamos que la ecuación característica de la RLH asociada tenga raíces 1 1r con

multiplicidad dos, 2 2r con multiplicidad uno, 3 3r con multiplicidad tres y que el término

“independiente” sea 2 23 2 2 3 2 1 3 3 5n n nf n n n n n n

La solución particular ha de ser de la forma 2 2 3 22 3 5p n n n

nu An Bn C n Dn F n Fn G n Hn In J

Ya que 2 3 2n n y 1 es raíz doble 2 2An Bn C n

2 3 2nn y 2 es raíz simple 2nDn F n

1 3nn y 3 es raíz triple 3 3nFn G n

2 3 5nn y 5 no es raíz de la ecuación característi ca 2 5nHn In J

FUNCIONES GENERATRICES (UNA BREVE DESCRIPCCIÓN) Para terminar esta introducción a las relaciones de recurrencia, analizaremos el método de las funciones generatrices, lo cual nos permitirá tener un nuevo recurso para resolver problemas de recursión. Consideremos una sucesión de números reales 0 1, ,...a a .La función

2

0 1 2

1

i

i

f x a a x a x a

Se denomina función generadora de la sucesión dada. El lector puede advertir la idea de “generador” como un mecanismo que nos permite obtener algo. Supóngase que tenemos una RLH, dada por

0 1 1

1 1 2 2

, ,...,

0

k

n n n k n k

u u u

u u u u

Supongamos además que tiene su función generadora 2

0 1 2f x u u x u x . Hagamos los siguientes cálculos 2 3

0 1 2 3

k n

k nf x u u x u x u x u x u x

2 3 4

1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1

k n

k nx f x u x u x u x u x u x u x

2 2 3

2 2 0 2 1 2 2 2 2

k n

k nx f x u x u x u x u x ………………………………………………………………….

0

k k n

k k k n kx f x u x u x Sumamos miembro a miembro todas las igualdades y se ve que a partir de los términos de grado k , la suma de los coeficientes verifica la relación de recurrencia y por tanto suman cero,


quedando, en el segundo miembro un polinomio de grado 1k . Denotando por 1kP x a dicho polinomio se tiene que

2

1 2 11 k

k kx x x f x P x

Lo cual nos permite tener la función generadora

1

2

1 21

k

k

k

P xf x

x x x

Necesitaremos los desarrollos de Taylor y Maclaurin (Damos una breve exposición en este texto en las paginas ¿?) para continuar estudiando las funciones generatrices. Anécdotas: 1) Hallar la función generadora de la sucesión de Fibonacci

Sabemos que 0 1

1 2

0 , 1

2n n n

f f

f f f n

, concentrémonos en RLH 1 2 0n n nf f f a la

cual multiplicamos por nx , i.e. x elevado al término de mayor orden (¿por qué?), por lo tanto, tenemos 1 2 0n n n

n n nx f x f x f , apliquemos sumatorias a ambos miembros de ésa ecuación

1 2

2 2 2

0n n n

n n n

n n n

x f x f x f

Hagamos algunas transformaciones más tomando en cuenta que 0

n

n

n

x f f x

2

0 1 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0n n n

n n n

n n n

x f f xf x x f f x x f

Lo que implica 2

0 1 0( ) ( ) ( ) 0f x f xf xf x f x f x , resolviendo para f x se

tiene 21

xf x

x x

, ya que 0 10 , 1f f .

2) Hallar la función generadora de la siguiente sucesión

0

1

3

2 si es par4

8 si es imparn n

a

na a

n

Simplifiquemos la relación de recurrencia con las siguientes observaciones a) Se sabe que: Si 2n m o 2 1n m , entonces

2 2 1

2 2 1 2 2

2 1 2 2

4 23 4 6

4 8

m m

m m m

m m

a aa a a

a a

Si 2n m o 2 1n m , entonces

2 2 1

2 1 2 2 1

2 1 2

4 23 4 6

4 8

m m

m m m

m m

a aa a a

a a

Concluimos, por tanto, que para 2n , se verifica 1 23 4 6n n na a a (RLnH de orden dos). Procediendo como en el caso anterior:

1 2 2

1 2

2 2 2 2

3 4 6n n n n

n n n

n n n n

x a x x a x x a x

, impongamos que la serie 2

n

n

x

sea

convergente (esto es para 1x ), de este modo


2

2

0 1 0

63 4

1

xf x a a x x f x a x f x

x

, simplificando y resolviendo

2

2

0 1 0

61 3 4 3

1

xf x x x a a x xa

x

Sabiendo que 0 3a y 1 4a finalmente

2

2 3

3 8

1 4 4

x xf x

x x x

Otra manera es resolviendo la ecuación de recurrencia obteniendo 4 1 1nn

na , a partir

de lo cual 0 0 0 0 0

4 1 1 4n n nn n n n

n

n n n n n

f x a x x x x x

, i.e.

2

2 3

1 1 1 3 8

1 4 1 1 1 4 4

x xf x

x x x x x x

.

Observación.- Es evidente que si encuentro la función generatriz de una relación de recurrencia puedo encontrar su solución también. 3) resuélvase por el método de las funciones generatrices la siguiente relación de recurrencia

1 0, 1, 1n na a n n a

Como en los ejemplos anteriores 1

1

1 1 1

n n n

n n

n n n

x a x x a nx

, la serie del segundo

miembro se halla por derivación término a término

21 1

n

n

xnx

x

, tomando en cuenta las

condiciones iniciales

21 3

1

xf x xf x

x

, de donde

2

1

1 3 1 1 3

xf x

x x x

.

Para obtener el desarrollo en serie de potencias de f x , utilizamos la descomposición en fracciones parciales para poder comparar con la serie geométrica

2

7 / 4 1/ 4 1/ 2

1 3 1 1f x

x x x

Donde

2

2

1/ 21/ 2 1 2 3

1x x

x

, entonces extraemos los coeficientes de cada

fracción obteniendo 0

7 1 13 1

4 4 2

n n

n

f x n x

, de donde por definición

7 33

4 4 2

n

n

na

.

4) Resolver el siguiente sistema lineal de relaciones de recurrencia lineales

1

1

2 4

4 6

n n n

n n n

a a b

b a b

con 0 01, 0 0a b n n

Utilizamos el método de las funciones generatrices:


1

1

0 0 0

1

1

0 0 0

2 4

4 6

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

x a x x a x x b

x b x x a x x b

o su equivalente

0

0

2 4

4 6

f x a xf x xg x

g x b xf x xg x

donde f x y g x son las funciones generatrices de na y nb respectivamente. Es decir el

problema queda reducido a resolver el sistema de ecuaciones en f x y g x dado por

1 2 4 1

4 1 6 0

x f x xg x

xf x x g x

, por la regla de Cramer se tiene:

2

1 4

0 1 6 1 6

1 2 4 1 2

4 1 6

x

x xf x

x x x

x x

,

2

4

1 2

xg x

x

Se debe recordar además que

2

2

1 11 2 3

11

dx x

dx xx

. De manera que

2 20 0

1 61 2 6 1 2

1 2 1 2

n n

n n

xf x n x x n x

x x

1

0

1 2 6 2n n n

n

n n x

, de

donde es inmediato 1 2 3 2 2 1 2n n n

na n n n . Con la misma idea se obtiene 12nnb n .

ALGUNAS RELACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS DE ORDEN SUPERIOR Recordemos que dado un escalar , se define la matriz de bloques de Jordan B , por

kB N I , donde kN es una matriz de ,k kM definida por 1 si 1

0 si 1ij

j in

j i

, más

explícitamente

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

kB N I

Se define la matriz de Jordan por:

1 1

2 2

1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

m m

m m

B

B

J

B

B

Donde cada i iB es una matriz de bloques de Jordan.


Aunque no todas las matrices sean diagonalizables, por el algebra lineal sabemos que toda matriz real o compleja es semejante a una matriz de Jordan. La forma de Jordan alivia esta dificultad. Veamos su utilidad: Dada una matriz cuadrada ,n nA M , supongamos además que su polinomio característico

tiene raíces 1 2, ,..., r con multiplicidades algebraicas 1 2, ,..., mr r r respectivamente, sabemos

que A es similar a una matriz de Bloques de Jordan, es decir existe ,n nC M no singular

(invertible) tal que 1A C J C . Aquí J es una matriz de jordan cuyas diagonales son los valores propios de A , donde el tamaño de cada matriz de bloques de Jordan depende de la multiplicidad de cada valor propio. Por ejemplo supongamos tenemos la matriz

2 1 0 1

1 3 1 3

0 1 2 1

1 1 1 1

A

Al calcular las raíces de su polinomio característico 3

2 0 se

tiene 1 2 y 2 0 , la primera con multiplicidad 3 y la segunda con multiplicidad 1. Entonces intuimos la forma de Jordan

1

1

1

2

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

J

Para hallar C supongamos que esta dada por 1 2 3 4C X X X X donde cada jX es

un vector columna, luego como 1A C J C , entonces A C C J , i.e.

1

1

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

A X A X A X A X X X X X

1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 1 3 2 4A X A X A X A X X X X X X X

1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 3 4 2 4 0AX X AX X X AX X X AX X Entonces, el problema se reduce a resolver el sistema

1 1

1 2 1

1 3 2

2 4

0

0

A I X

A I X X

A I X X

A I X

Observemos que la primera y cuarta ecuación son las ecuaciones para obtener los vectores propios ordinarios de cada autovalor . Mientras que en la segunda y tercera ecuación 2X y

3X son vectores propios generalizados asociados a 1 . Estas ideas se generalizan de forma inmediata, creemos además que este ejemplo explica por si sólo como se debe proceder en otros casos (es una sola idea).

Es notable que por su estructura diagonal n

B sea posible de evaluar, esto a su vez deriva en un resultado muy importante, la potencia n -ésima de la matriz de Jordan:


1 1

2 2

1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

n

n

n

n

m m

n

m m

B

B

J

B

B

Estudiemos entonces cómo calcular n

B . Se ha podido demostrar que n

B es una

matriz ,

n

ij r rB c M donde r es la multiplicidad algebraica de , dada por

si

si con 1,2,..., 1

0 si

n

n l

ij

i j

nc j i l l r

l

i j

En forma explícita

1 2 1

1 2 1

1 2

1 2

1

1

0

0 0 0

0 0 0

n n n n n n n r

r

n n n n n r

r

n

n n

n

B

La demostración se hace por inducción. De esta manera obtenemos 1 1 1 1n nA C J C C J C C J C C J C .

Centrémonos en nuestro problema principal de resolver una relación lineal de recurrencia de orden k homogénea a coeficientes constantes. Sea la relación:

1 1 2 2 1 1 0n k k n k k n k n nS S S S S

Sujeta a las condiciones iniciales 0 0 1 1 1 1, ,..., k kS c S c S c , la matriz asociada a la forma

matricial es

1 2 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

k k

A

, cuyo polinomio característico es

1

1 1 0

k k

kP

, suponiendo que tiene m soluciones distintas con

multiplicidades 1 2, ,..., mr r r respectivamente, sabemos que 1, 0n nA C J C n n con

1 1

2 2

3 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

n

n

nn

n

m m

B

B

J B

B

Nuestro problema queda reducido a encontrar la matriz C tal que A sea semejante a una matriz de Jordan. Sabemos que por cada valor propio j de multiplicidad jr se forman


jr columnas en C , de las cuales una esta dada por el vector propio ordinario y las restantes

1jr están dadas por los vectores propios generalizados asociados a j . Vamos a usar un resultado probado del álgebra lineal. Definamos la matriz

1 1 2 2 3 3 1 1 0 0

0 0 0 0 0

1 2 2 1

1 0 1 1

1 3 2

2 2 2

1 2

2 2

1

1

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

k k k k k k

j j j j j

k k

k

j

k

k k

k k

k

k

H

(A)

Donde j

kH es una matriz de tamaño k k , que es el mismo tamaño de la matriz A . Esta

matriz contiene en la primera fila al vector propio ordinario asociado a j y en las filas

restantes se pueden leer los vectores propios generalizados asociados a j . El único cuidado a tener es sobre las lecturas de los vectores generalizados, ilustremos estas palabras: Supóngase que queremos hallar la descomposición de Jordan de una matriz cuadrada A de tamaño seis y que el polinomio característico tiene dos raíces 1 de multiplicidad 2 y 2 de multiplicidad 4, lo primero es intuir la matriz de Jordan asociada

1

1

2

2

2

2

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

J

De esta manera sabemos que las dos primeras columnas de C estarán dadas por el vector propio ordinario y el vector propio generalizado asociados 1 , las restantes columnas estarán

dadas por el vector propio ordinario y los vectores propios asociados a 2 , i.e.

1 2 3 4 5 6C X X X X X X , donde cada valor propio aporta con un número de vectores igual a su multiplicidad. Tenemos que considerar las matrices

5 4 3 2 1 0

1 1 1 1 1 1

1

6

0 5 4 3 2 1

0 0 10 6 3 1

0 0 0 10 4 1

0 0 0 0 5 1

0 0 0 0 0 1

H

correspondiente a 1

5 4 3 2 1 0

2 2 2 2 2 2

2

6

0 5 4 3 2 1

0 0 10 6 3 1

0 0 0 10 4 1

0 0 0 0 5 1

0 0 0 0 0 1

H

correspondiente a 2


De donde

5

1

4

1

3

1

1 2

1

1

1

X

;

4

1

3

1

2

1

2 1

1

0

1

5

4

3

2

1

0

X

;

5

2

4

1

3

2

3 2

2

1

2

1

X

;

4

2

3

1

2

2

4 1

2

5

4

3

2

1

0

X

;

3

2

2

1

2

5

10

6

3

1

0

0

X

;

2

2

1

6

10

4

1

0

0

0

X

de

manera que la regla de construcción de la matriz C es la siguiente: Para obtener los vectores propios generalizados, primero se toma en cuenta la multiplicidad de cada j , en función a ello elegimos el número de vectores propios generalizados de su

correspondiente matriz j

kH , obviamente siempre estará el vector propio ordinario que

corresponde a la primera fila de la matriz j

kH . En el ejemplo anterior 1 tenía multiplicidad 2,

por lo tanto debíamos elegir un solo vector propio generalizado de su matriz 1

6H es claro que

1X es el vector propio ordinario asociado a 1 . La elección no es arbitraria, se debe tomar

como segundo vector columna de C , a la segunda fila de la matriz 1

6H , pero a partir de la entrada no nula y multiplicar cada una por su correspondiente en la primera fila, tal como se hizo para hallar 2X y completar con ceros al final. Una vez terminado con 1 , seguimos con

2 que tiene multiplicidad 4, claramente el vector columna 3X es el vector propio ordinario

asociado a 2 , entonces debemos elegir tres vectores propios generalizados asociados a 2 ,

debemos comenzar con la segunda fila de la matriz 2

6H a partir de la entrada no nula y

multiplicar cada una por los correspondientes de la primera fila de 2

6H y completar con ceros al

final. De esta manera se obtienen 4 5 6; ;X X X . Remarca.- Se ha mostrado al lector una manera sistemática de resolver el problema de encontrar la matriz C para hallar la descomposición de Jordan de la matriz A , se recomienda al lector una lectura más profunda acerca de la teoría en los libros de álgebra lineal; nuestra limitante es, por ahora, darle una receta de cálculo. Los cálculos que siguen a continuación son tareas humanamente tediosas, es recomendable que el lector use un programa de cálculo simbólico (Mathematica, maple; por ejemplo). Anécdotas 1) Resuélvase la siguiente relación de recurrencia dada

4 3 2 12 11 12 36n n n n nS S S S S

Sujeta a las condiciones iniciales 0 1 2 31, 1, 2, 3S S S S Escribamos primeramente la ecuación en forma matricial

3 2

2 1

1

1

2 11 12 36

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

n n

n n

n n

n n

S S

S S

S S

S S

, la matriz 2 11 12 36

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

A

tiene como polinomio

característico 4 3 22 11 12 36P , con raíces 1 2 de multiplicidad algebraica

dos y 2 3 de multiplicidad algebraica dos. La forma de jordan asociada es


1

1

2 2 0 02 1 0 0

0 2 0 00 2 0 0

0 0 3 1 0 0 3 3

0 0 0 3 0 0 0 3

n n

n

nn n

n

n

J Jn

según (A)

Lo que resta es encontrar la matriz C , sabemos que necesitaremos las matrices 3 2

1

4

2 2 2 1

0 3 2 1

0 0 3 1

0 0 0 1

H

y

3 2

2

4

3 3 3 1

0 3 2 1

0 0 3 1

0 0 0 1

H

; de donde la matriz C estará dada por

3 23 2 3 36 812125 125 125 125

3 181 42225 25 25 251

3 362 44125 125 125 125

81 1 1225 25 25 25

2 3 2 3 3. 3 8 12 27 27

4 4 9 62 2.2 3 2 3

2 1 3 12 1 3 1

1 0 1 01 0 1 0

C C

,

finalmente

0

3

2 1

1

3

2

1

1

n

n n

n

n

X

S

SC J C

S

S

haciendo los cálculos necesarios

119 4 16

2 2 3 3 020 5 25

n nn n

nS n n n n

2) Resolver la siguiente relación de recurrencia 5 4 3 2 138 18 405 675n n n n n nS S S S S S

Sujeta a las condiciones iniciales 0 1 2 3 41, 4, 2, 0S S S S S . La matriz asociada es

1 38 18 405 675

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

A

cuyo polinomio característico es

5 4 3 238 18 405 675P de raíces 1 3 de multiplicidad algebraica tres y

2 5 de multiplicidad algebraica dos. La matriz de Jordan asociada es

3 1 0 0 0

0 3 1 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 5 1

0 0 0 0 5

J

11 2

2

1

1

3 3 3 0 0

0 3 3 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 5 5

0 0 0 0 5

n nn n n

n n

nn

n n

n

n

n

J

n

, para hallar la matriz C nos

valemos de las matrices


4 3 2

1

5

3 3 3 3 1

0 4 3 2 1

0 0 6 3 1

0 0 0 4 1

0 0 0 0 1

H

y

4 3 2

2

5

5 5 5 5 1

0 4 3 2 1

0 0 6 3 1

0 0 0 4 1

0 0 0 0 1

H

, siguiendo la receta

construimos C :

4 34 3 2 3 63 135 347514096 1024 2048 1024 4096

3 2 27 5 52513 20256 128 32 256

1 13 15 2251 12264 16 32 16 62

3 63 135 62114096 1024 2048 1024 4096

1 1512 12

3 4 3 6 3 5 4 5

3 3 3 3 3 5 3 5

3 2 3 1 5 2 5

3 1 0 5 1

1 0 0 1 0

C C

9 27 1358 256 128 512

Y el problema se ha reducido a los cálculos 4

3

1

2

1

0

2

2

4

1

n

n

n

n

n

n

S

S

S C J C

S

S

Nótese que para obtener el resultado final no es necesario desarrollar completamente los productos matriciales. Finalmente

11 21055 577 421 3041 611

3 3 1 3 5 5 04096 256 128 4096 512

n nn n n

nS n n n n n n

PROBLEMAS ADICIONALES 1) En el circuito de la figura, se pide encontrar y resolver la relación de recurrencia asociada que permita calcular la diferencia de potencial

k ka bv v v 1 k n . Los capacitares tienen capacitancia c y todas la resistencias son iguales a r .

a a a a a1 2 3 n

c ccr r r r r

b b b b b

n-1

nn-1321

...

...

2) A modo de rutina, resolviendo la relación de recurrencia dada, demuéstrese que su solución general viene dada por:

a) 2 1 0 1

3 4 13 2 3 ; 0, 1 ; 1 2 3

4 5 20

n nn n

n n n nu u u u u u

b) 2

2 1 0

7 176 9 3 2 7 3 ; 1, 2 ; 3 2 2 3

18 18

n n n n

n n n n nu u u u u u n n


3) Resuelva las siguientes ecuaciones de recurrencia especiales a) 2 2 2

2 1 0 15 6 7 , 0, 1n n nu u u n n u u

b) 1 0!, 1, 1n nu nu n n u

c) 2

1 02 0, 1, 2n nu u n u (sea 2log , 0n nb u n ) PROBLEMAS ADICIONALES Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las siguientes sumas:

2 2 2

1 2 11) lim

n

n

n n n

2 2 2 2 2 2

1 1 12) lim

1 2

3) lim1 2

n

n

n n n n

n n n

n n n n

1 2 ( 1)4) lim

n

nsen sen sen

n n n n

1

15) lim

n

nk

b af a k

n n

Hallar la suma de las series mostrando que son del tipo telescópica

122

1

1

1

)1(

12)3

)2)(1()2

)1(

)12()1()1

n

n

n

n

nn

n

nnn

n

nn

n

21

2

12

)1log()(log

)1(1

1log

)5

1)4

nnn

n

nn

nn

nn

nn

Evaluar los siguientes límites:

2 2 2

2 2 2

2

1) lim1 2

1 22) lim

1 2

cos1 cos 2 cos3) lim

n

n

n

n n n

n n n n

n

n n n n

n

n

SEGUNDA TANDA DE PROBLEMAS DE DISTINTA NATURALEZA A continuación y para completar este manual de series y sucesiones, presentamos otro listado de problemas. No todos están resueltos, una buena parte se dejan como ejercicio. 1) ¿En qué sentido debe ser el vector aceleración del ascensor mostrado si los bloques

n,,3,2,1 son todos iguales de masa m , a excepción del bloque más grande que tiene una masa M y el objeto que cuelga de la polea de peso p . Considere una situación ideal.


a = ?12

n

P

2) Si todos los coches son iguales, calcular la expresión para la tensión n-ésima, calcular además la aceleración del sistema y la fuerza que ejerce la cuerda sobre el primer y último bloque:

3) Suponga que en una misma cuerda se hallan sujetos objetos de la misma forma y tamaño, despreciando los efectos de fricción del aire, si los objetos al caer hacen el mismo ruido en intervalos de tiempo iguales, ¿Cuál debe ser la distancia que los separa? , Hallar ésa distancia en términos de ""n

4) Una pelota se deja caer desde una altura h , en la parte superior de un plano inclinado, si el choque se considera plástico, ¿Qué relación hay entre las distancias recorridas en el plano inclinado después del primer, segundo, tercer, etc rebote?


5) Calcular:

20032

"2003"

1)2571753( factores

6) Hallar la suma de las cifras que resulta del número:

cifrasncifrasn """2"

222...222111....1111

7) Cuántos puntos de corte hay en la figura 20 de la secuencia:

8) Un triángulo equilátero se forma por la unión de 3 palitos de fósforo, como se ve en la f igura, ¿Cuántos palitos se necesitan para formar un triángulo que tenga 50 fosforitos de base?

9) Cuántos palitos se han utilizado en el siguiente arreglo:


10) Una cantidad (por el momento definido como tal) se denomina idempotente si al multiplicarse por si misma se reproduce, esto es een , para algún número Nn , probar que la unidad compleja ""i es idempotente en el campo complejo, determinar los valores de n para los cuales se verifica su idempotencia, además calcule:

199221 iii 11) Siendo n entero. ¿Qué valores puede tener nn ii ? 12) Probar que si z , es una raíz de la ecuación 01

1

10

nn

nn axaxaxa , cuyos

coeficientes son reales, entonces el conjugado de z , denotado por z , es también raíz de esta ecuación.

13) Si iz2

3

2

1 , calcule:

a) 6z b) 4721 zzz 14) Observando el desarrollo de ni)1( , calcule el valor de la suma:

6420

nnnn CCCCS 15) Observando el desarrollo de n)1( , donde es una raíz cúbica de la unidad, y k

nC es

el número de combinaciones simples de clase k de n elementos distintos, calcule los valores de las sumas:

741

1

630

0

)

)

nnn

nnn

CCCSb

CCCSa

852

3) nnn CCCSc 16) ¿Puede usarse la notación polar de un número complejo para calcular las sumas:

)cos()2cos()cos(cos)

)()2()()

2

1

nrararaaSb

nrasenrasenrasenasenSa

17) Sea nAAAA 321 un polígono regular convexo inscrito en un circulo cuyo radio es la

unidad, Probar que: .1413121 nAAAAAAAA n 18) A continuación se presenta un listado de ecuaciones de segundo grado con sus respectivas soluciones:


Ecuación Solución 011

2 bxax 10 , xx

022

2 bxax 20 , xx

033

2 bxax 30 , xx

02 nn bxax nxx ,0

Las soluciones de 02 n

bx

n

ax

nn son.....

19) Hallar las sumas de las siguientes series:

1

12

1

2

1

12

1

22

1

1

2

2

11)

14

1)

)2)(1(

32)1()

1)

)1(

12)

)1(2

2)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nnf

ne

nn

nd

nn

nnc

nn

nb

nn

nna

20) Hallar la suma de las series:

a) 5.4

1

2.3

1

3.2

1

2.1

1 b)

7.6.5

1

5.4.3

1

3.2.1

1

c)

1

22 )1(

12

n nn

n d)

1 )12(

1

n nn d)

1

2

!n n

n e)

0 !

)1(2

n

n

n

n

f)

1

222 )2()1(

1

n nnn g)

0

2 2

)1(

n

n

nn h) n

n

nx

n

n

0

2

!2

1 i) n

n

n

xn

n

0

3

)!1(

)1(

j) n

n

n

xn

n 2

0

2

)!2(

)12()1(

k)

0

2

)!12(n

n

n

xn l)

0

14

14n

n

n

x m)

1

21

)12(

)1(

n

nn

nn

x

n)

)0(2.

)1()(

1

dnddd

dnadaa

n

o)

22

29.6.3

7.4.1

26.3

4.1

23

1 xxx

p)

1

12

n

nxn q)

0

2

!

)12(

n

n

n

xn

Se suponen valores de x donde las series dadas sean convergentes.


Evaluar las series dadas por el método correspondiente (Abel, trigonométricas, derivación e integración término a término, etc.)

a) 10

1

7

1

4

11 b)

6.4.2

5.3.1

4.2

3.1

2

11 c)

7

1

5

1

3

11

d)

1

)(

n n

nxsen e)

1

cos

n n

nx f)

1

.

n n

nsennxsen

g)

1

2 .

n n

nxsennsen )

20(

h)

1

2)12(

)12cos(

n n

xn i)

1 12

)12(

n n

xnsen

j)

1

1

)1()1(

n

n

nn

nxsen k)

2

2 1

cos)1(

n

n

n

nx l)

0 !

cos

n n

nx

m)

1

2

2

)2()!2(

)!1(

n

nxn

n n)

0

2

)!2(

)!(

n

nxn

n

o)

)3)(2)(1(

!3

)2)(1(

!2

1

!1

xxxxxx

p) 0,01 3

2

2

1

2

1

naxqueSuponiendoxa

a

xa

a

a

a ),2,1( n y que la serie

1

1

n na es divergente.

r)

1

1

1

)1)(1(n

nn

n

xx

x si 1x

21) Examinando La derivada término a término de las series, deducir las fórmulas para las sumas:

122222

12

321

321

n

n

n

n

xnxxQ

nxxxP

nxnxxT

nxsenxsensenxS

n

n

cos2cos2cos

2

nxnxxSn cosh2cosh2cosh 22) Deducir la fórmula para la suma:

nnn

xtg

xtg

xtgS

22

1

44

1

22

1

23) El cálculo de una integral reiterada es muy similar al de una integral simple, se comienza de la primera integral (De derecha a izquierda), se integra la primera integral con su variable considerando a las otras variables constantes, ese resultado se vuelve a integrar pero ahora se considera la variable de esta integral como variable principal, y a las otras constantes, así sucesivamente. Hallar las siguientes integrales reiteradas:

a)

1

0

1

0

1

0

21

22

2

2

1 )( nn dxdxdxxxx


b)

1

0

1

0

1

0

21

2

21 )( nn dxdxdxxxx

24) Reto: Sea 01

1

1 axaxax n

n

n

un polinomio con coeficientes reales. Demostrar

que si 01 a y 002 aa entonces este polinomio no puede tener todas sus raíces reales. 25) Reto: para una función :f definimos una sucesión de funciones

: ( 1, 2,3 )kf k como sigue. Para cada ,k n

1.- )()(1 nfnf

2.- )1()()(1 nfnfnf kkk Se obtiene un número infinito de números de la forma )(nf k , ,k n . Encontrar todas

las funciones f para la cual la suma infinita

ZnNk

k

k nffS

,

22

)()( , converge

absolutamente. 26) Reto: Resolver la ecuación en los números reales

xxxxx 20050032002321 27) Sea 1n . Las variables reales 121 ,,, nxxx satisfacen las siguientes desigualdades:

n

n nxxx 1211

Encontrar el valor mínimo de la suma: 13

2

2

1

n

n

x

x

x

x

x

x

28) La sucesión de números reales 210 ,, xxx está determinada recursivamente de la

siguiente forma 00 x , 0,432 2

1 nxxx nnn .Se considera el valor positivo de la raíz cuadrática. Demostrar que todos los números de la sucesión son enteros. 29) Para 2n sean naaa ,,, 21 números reales distintos y no nulos. Sea:

niii aaaab 111 , el producto de todos los números excepto ia y sea

ij

jii aad )( . Encontrar

n

i i

i

d

b

1

30) Reto: Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con 2006 variables:

31003)cos()cos()cos()cos(

1003)()()()(

2006200521

2006200521

xxxx

xsenxsenxsenxsen

31) Un n-ágono convexo P tiene todos sus lados de la misma longitud. Además cumple con la siguiente propiedad: Existe un vértice 1A , a partir del cual todos los vértices pueden ser

nombrados consecutivamente nAAA ,,, 32 en el sentido de las manecillas del reloj,

obteniéndose las siguientes desigualdades 1132121 AAAAAAAAA nnn .

Demostrar que el polígono P es regular. 32) Demostrar que para cualquier n entero positivo se cumple:


23

1

1

111

nnn

33) Encontrar todos los números reales c tales que la sucesión:

n

nnna

cncnccc

n

1)1(2)1()2()1( 12

Converge a un número real.

34) Demuestre la siguiente igualdad:

en

iLim

n

in

1

21

35) Resolver el sistema:

337

333444

272

444222

97

333

222

zzzz

zzzz

zzzz

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

xxxx

xxxx

xxxx

zzzz

zzzz

zzzz

xxxx

xxxx

xxxx

36) En la notación indicada para los números combinatorios, demostrar que se cumple:

nn

n

nnn2

210

37) Demostrar por inducción matemática que:

!

)1(11

3

11

2

11

1

11

11432

n

n

n

nn

Además verifique esta igualdad por deducción matemática (Esto es calcule UD). 38) Calcular la suma finita siguiente )3(6.35.24.1 nnS , demuestre su resultado por inducción. 39) Probar por inducción matemática (si así lo requiera) las siguientes desigualdades:

nn

nn

12

1

9

1

4

11

21

3

1

2

11

2


40) Calcular los límites que siguen:

25

321

n

nLimn

!

!!3!2!1

n

nLimn

n

n

n n

nLim

21 21

41) A partir de la serie de potencias de xe deducir la identidad de Euler:

xisenxe ix cos

42) Para la serie de n razones iguales: kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n 3

3

2

2

1

1

Demostrar las siguientes propiedades:

n

n

n kbbbb

aaaaa

321

321) kbbbb

aaaab

n n

n

nnn

n n

n

nnn

321

321)

nnnn babababbbaaac 22112121 ))(()

nn

nn

nnn bbbbaaaabababad 3213212211 )())(()

43) Hallar la segunda derivada de:

cxyyxyxynx nn 2233 23 Aplicando derivación implícita:

0)'()')((2)'()(3)'()( 22212 xyyxyyxyxyyxyxyyxyn n Extrayendo factor común:

01)(4)(9)()'( 212 xyxyxynxyy n

De donde: 2

)(''''0'

x

yxyy

x

yyxyy

además

x

yy ' , luego:

22

2 2''x

yy

dx

yd

44) Hallar la primera derivada de:

xxxxy , por la secuencia reiterada y bajo ciertas condiciones razonables tenemos

yxy , aplicando logaritmos naturales: xyLnyLn , derivando implícitamente tendremos:

xxyLnx

yy

yxLnyxyxy

xyxLnyy

y

2

2

'

'.'

1''

1

45) Resolver:


radicalesn""

2cos12cos12cos12cos1

También por secuencia reiterada es fácil ver que 2cos1 , resolviendo:

sensen2 , recordando que:

!5!3

53 sen , de esta serie se obtiene la primera solución trivial:

!5!3

53 sen , que es para 0 .

46) Demostrar la igualdad (siempre válida para cuando la expresión arctg exista).

n

nn

k kk

kk

aa

aaarctg

aa

aaarctg

1

1

1 1

1

11

Indicación:

En primer lugar vamos ha probar que

xy

yxarctgyarctgxarctg

1, cosa muy

sencilla. Veamos.

ytgyarctg

xtgxarctg

Esto por definición, ahora emplearemos una identidad evidente:

tgtg

tgtgtg

1)(

Si aplicamos arco tangentes a ambos miembros y reemplazamos por sus equivalentes:

tgtg

tgtgarctgtgarctg

1)( Es lo mismo:

xy

yxarctgyarctgxarctg

1

Pues bien ahora solo resta usar

xy

yxarctgyarctgxarctg

1. Al aplicar esta identidad

la suma serie se vuelve telescópica, y de fácil cálculo. 47) Si na es una sucesión en los números reales que tiene límite, laLim n (Finito o

infinito), demostrar que también ln

aaaLim n

21

48) Aplicando la propiedad anterior, calcule el siguiente límite:

n

nLim

n3 32log

49) Si na es una sucesión en los números reales que tiene límite, laLim n (Finito o

infinito), demostrar que también laaaLim nn 21 (se supone na > 0).

50) Aplicando la propiedad anterior, calcular el siguiente límite:

n nLim 321



n

nn

n

nnLím

2

33222 332

52) Evaluar el valor de la siguiente expresión de números complejos:

4)1(

)1()1()1(

i

iiiE

53) A continuación vamos a resolver un problema general de series aplicadas a la geometría, En la figura tenemos un triangulo ABC cualquiera, en el que se ha inscrito un circulo de radio

1R , luego se ha trazado una tangente a dicho círculo, la tangente es paralela a uno de los lados del triángulo, por ejemplo el lado c , a partir de esta tangente se ha formado un triángulo semejante al primero, triángulo DEC. Así sucesivamente se ha seguido con el mismo proceso inscribiendo en cada triángulo, un círculo con las misma características, a medida que aumenta el número de círculos, se pide determinar la suma límite de sus áreas. Solución:

Sabemos que el semiperímetro puede expresarse por 2

cbap

, Por la fórmula de

Herón tenemos que el área del triangulo ABC es ))()(( cpbpappS , luego el

radio de la circunferencia inscrita es p

S

p

cpbpappR

))()((1 , por otra parte:

c

Sh

hcS

2

2

.1

1 y pc

cpS

p

S

c

SRhh

)(2222 112

, por semejanza de además

se tiene:


2

1

212

2

1

2

1 )(

2

)(2

p

cpS

c

S

pc

cpS

p

S

h

hRR

R

R

h

h

, ahora examinemos el valor de 3R .

Podemos ver del gráfico que:

p

cp

p

S

p

S

c

SRRhh

22222 2113

23

)1)((2

cp

pcpSh

, por relación de semejanza se tendrá:

1

31

3

3

1

3

1

h

hRR

R

R

h

h

3

22

3

)(

2

)1)((2

p

cpS

c

S

cp

pcpS

p

S

R

, si se procede del mismo modo para calcular el radio

de un cuarto círculo se tendrá 4

3

4

)(

p

cpSR

, ahora veamos en que relación están los

radios calculados ,)(,

)(,

)(,

4

2

43

2

3221p

cpSR

p

cpSR

p

cpSR

p

SR

, Es fácil

darse cuenta de que están en progresión geométrica, pero ¿Existe una suma límite? , en efecto la hay, por que la serie dada es convergente, muestra de que:

0)(

11

n

nn

n

n p

cp

p

SLim

p

cpSLím , puesto que si se trata de un triángulo

cpp , por lo tanto el límite dentro de el corchete es igual a cero, ent onces se cumple el Criterio básico de convergencia. La suma pedida es entonces:


c

cpbpapp

c

S

p

cp

p

S

p

cpS

p

SA

RRRA n

))()((

1

)(2

2

2

lim

2

2

2

2

1lim

54) Calcular la suma:

kS 321 , El paréntesis denota la función parte entera. Nk . Solución: La función parte entera expresa el valor entero de cualquier número real, así por ejemplo: ,22,189,1,09,0 etc. También es llamada función escalón (Por su gráfica). De este modo tenemos que la parte entera de cada raíz no cambia hasta que n , tome valore de cuadrados perfecto y la parte entera de un cuadrado perfecto es su raíz cuadrada.

Entre 1 y 4 las partes enteras son: )21(1.2132 24

1

k

k

Entre 4 y 9 las partes entera son: 2865 por lo que:

)321(2.2 29

1

K

k

Entre 9 y 16 las partes enteras son: 3151110 por lo que:

)4321(3.2 216

1

K

k

En general, entre 2n y 2)1( n las partes enteras son:

nnnnn 221 222 , por tanto )121(2 21

1

nnkn

k

Por lo que:

12123.22.21.2)1(321 22222 nnnS Tenemos dos series cuyas sumas ya conocemos:

2

)2)(1(

6

)1)(12(2

nnnnnS

Pero hemos supuesto que el último número de la suma k era un cuadrado perfecto, pero

no siempre puede ocurrir así, si 2)1( nk , existe un resto que va desde:

kn 1)1( 2 , desde luego 22 )2()1( nkn , supongamos que k se

puede expresar como sigue: 22 )1()()1( nkmNmmnk por otra parte:


1)1(2)2(1)1( 222 nmnnn y la suma:

vecesm

nnnmnnn

""

222 )1()1()1()1(2)2(1)1(

Finalmente:

)1(2

)2)(1(

3

)1)(12(

1

nmnnnnn

nk

n

, de donde ""m y ""n , se obtienen

de la ecuación: mnk 2)1( Por ejemplo si queremos hallar la suma particular:

320321 S Hacemos que el último sumando se exprese como un cuadrado perfecto más su resto por exceso, como vemos el más próximo es 17, entonces 3117320 2 , de donde es fácil ver que 16,31 nm , ahora solo sustituimos en la fórmula:

3672)17(312

)18)(17(

3

16)17)(33(

1

k

n

n

55) Demostrar la siguiente desigualdad:

1

1

3

1

2

1)1(

1

3

1

2

11

n

nLnn

, Por inducción matemática:

2

121:1 LnP , evidentemente cumple:

Suponemos que se cumple para ""n

:nP1

1

3

1

2

1)1(

1

3

1

2

11

n

nLnn

, si es cierto, se debe verificar

para el siguiente número natural "1" n :

1)1(

1

1

1

3

1

2

11)1(

1

11

2

11:1

nnnLn

nnnP ,

Pero por hipótesis inductiva:

1

1

3

1

2

111)1(

n

nLn , Luego por carácter transitivo:

1)1(1)1( nLnnLn

1

21

n

nLn , que es cierto Nn , dado que

1

2

n

n

solo puede ser ligeramente mayor que 1, pero no puede tomar un valor más grande. Dado que 12 Ln (el logaritmo de la base es la unidad, por tanto es más pequeño que uno), podemos acotar con 2:

nnnn

n

02222

1

21 Lo cual es evidente.

56) Juan, un estudiante de secundaria, había terminado de estudiar en su curso regular las progresiones geométricas decrecientes al infinito. El profesor de matemáticas le había pedido que calcule la suma de la siguiente serie:

432 1694)( xxxxxS , Juan se quedó muy pensativo, No era ningún tipo de progresión que el estudiaba, pero meditó durante unos momentos y dio con la forma de


resolverlo. ¿Cómo lo hizo? (Obviamente Juan no sabia derivar ni integrar una serie término a término). Expresó la serie en la forma:

42322

423222

)12.33()12.22()121()(

432)(

xxxxxS

xxxxxS Ordenó sus resultados:

)3.23()2.22()2(1)( 33322222 xxxxxxxxxxxS , logró reproducir su serie y obtener una que ya conocía. Había logrado involucrar a la serie original dentro de su propio cálculo (¿fascinante no creen?).

geométricaprogresiónxSxS

xxxxxxxxxx

xS 32

)(1

32

)(

3222 322321)(

Juan se topó con otra serie )(1 xS , él pensó que esta serie no tendría por que ser diferente en estructura al anterior, usó la misma idea para su cálculo:

2

2

1

11

32321

321

432

1

)1()(

1

1)(1

)(

)(321)(

)31()21()11(1)(

432)(

x

xxS

xxS

x

xS

xxxxxxx

xS

xxxx

xS

xxxxxS

Al final le quedó por resolver:

xx

xxS

x

xS

1

1

)1(21

)(2

2

3

2

)1(

)1()(

x

xxxS

. ¡Increíble Juan, lo hiciste!


1

2 2

0

( 1)

n n

n

x y xy

. Como los exponentes de los sumandos están afectados por la

función parte entera, tenemos la necesidad de desarrollar la serie. 444333322221 yxyxyxyxyxxyxyyS

Ahora tenemos un panorama más claro de lo que está sucediendo. Note que generamos dos series diferentes:

2

443322

1

433221

SS

yxyxyxxyyxyxxyyS

Ambas, progresiones geométricas decrecientes al infinito, convergentes porque 1xy

xy

yS

xy

xy

xy

yS

1

1

111

58) Si 0a , calcular:


aaa

a

aa

a

a

a

59) Calcular:

222

222

22

22

2

2

Indicación: Usar la igualdad de Vieta.

60) MOMENTO DE INERCIA DE UN CONO Calcular el momento de inercia de un cono sólido uniforme de radio basal R , altura H y masa M .

Un cono se puede considerar como una colección de delgados cilindros cuyos radios varía desde R hasta cero, y cuyo espesor se hace cada vez más y más pequeño. Si tomamos en cada pequeño cilindro un espesor:

n

Hx de modo que sea lo más pequeño posible, de

densidad uniforme: ii

i

i vmV

M

v

m , donde

im es la masa de un cilindro cuyo volumen será:

xrvi 2 . El momento de inercia de un cilindro macizo es

2

2

1rmI ii , luego para hallar el momento de inercia total, debemos sumar los momentos de

inercia de cada cilindro y pasar esta suma a límites: 4444

2

13

2

12

2

1

2

1

n

nRx

n

Rx

n

Rx

n

RxI , dado que

n

Hx , al evaluar el límite:

4

5

444 321

2

1R

n

nHLímI

n

, Tomando en cuenta que

30325

345

1

4 nnnnk

n

k

, es decir:

44

4

5

345

1052

130325

2

1R

HRHR

n

nnnn

HLímIn

como HR

M

V

M

2

3

1

Se tendrá:

2

10

3MRI

61) ENERGÍA CINÉTICA DE UN RESORTE CON MASA. Usualmente en los cálculos ideales se suele despreciar la energía cinética de un resorte considerando únicamente su energía potencial elástica, pero está claro que si la masa del resorte es considerable, no se puede hacer tal desprecio y es necesario considerar la energía


cinética debida al movimiento de sus espiras. Suponga que se tiene un resorte de masa M , el cual después de alongarse (o comprimirse, en tal caso la fuerza restauradora es de la misma magnitud) tiene una velocidad tal que su extremo libre se mueve con una velocidad v en un instante dado. Calcular su energía cinética.

Cada espira del resorte, se mueve con una determinada velocidad, la cual va reduciéndose desde el extremo libre hasta hacerse cero en el punto de unión con la pared (Porque no se puede mover). Si im es la masa de cada espira, tomándola de modo que sea lo más pequeño posible, es decir haciendo

n

Mmi , por definición, para un sistema

de partículas la energía cinética total de un sistema es 2

12

1i

n

i

ivmK

. En este caso nuestro

resorte se considera el sistema, y cada espira una partícula. Hecha las consideraciones de que la velocidad se reduce uniformemente para cada espira, se tendrá:

222

2 2

2

1

n

nvvm

n

vvm

n

vvmvmK iiii , como

n

Mmi . Pasando a

límites:

3

2

3

22222

6

)12)(1(

2

11)2()1(

2

1

n

nnnMvLím

n

nnnMvLímK

nn

2

6

1MvK

62) CAMPO ELÉCTRICO DE UN ANILLO Se tiene un anillo de radio interior a De un grosor muy pequeño, el mismo tiene una distribución superficial de carga uniforme y una carga total Q , se desea conocer la magnitud y dirección de el vector intensidad de campo eléctrico situado en un punto que dista x metros sobre un eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular a este. Designemos por r̂ al vector unitario de dirección. Tomando un pequeño trocito del anillo, consideramos que

este tiene una carga q , la cual hacemos que sea lo más pequeño posible, esto es n

Qq , el

vector intensidad de campo eléctrico se en un punto se define como la fuerza que actúa en Newton sobre una carga de prueba positiva (en Coulumbs) en el punto de dicho campo. De

esto se deduce que su cálculo se lo efectúa por la fórmula: rr

QKE e

ˆ2

, donde eK es la

constante electrostática, Q la carga total del cuerpo generador del campo eléctrico, r la distancia del cuerpo cargado al punto donde se quiere conocer la intensidad del campo , y r̂ el vector unitario de posición.


El “trocito” de anillo genera independientemente un campo iE (suponemos que todo el anillo

está cargado positivamente) que tiene dos componentes AEi cos y senAEi , pero por simetría sucede que las componentes paralelas al anillo, se anulan mutuamente y su suma

vectorial es cero, esto es 0

1

AsenE

n

i

i , por tanto solo hay un vector resultante en la

dirección perpendicular al anillo. Este vector es equivalente a la intensidad de campo neta:

n

i

e

n

i

e

n

i

i

ax

qxKr

ax

x

ax

qKrAEE

1

322

1222

221

ˆˆcos

, debe notar que

22cos

ax

xA

, pasando a límites:

2

322

322

""

322

322

ax

QxKE

axn

QxnKLím

ax

qxK

ax

qxKLímE

e

e

n

vecesn

ee

n

63) MOMENTO DE INERCIA DE UN DISCO CILÍNDRICO

64) Calcular el límite de la siguiente sucesión:

12cos4

2cos4

8cos4

4cos4

11

11

n

nnu

65) Demostrar que:


x

x

x

nx

nx

xx

x2

3

32

n

K

kk

x1 2

)1(

1

66) Demostrar:

x

x

x1

11

11

753

)2(8642

531)2(

642

312

42

12

2

11xxxx

x

67) Evaluar el límite de la siguiente sucesión para )2(nu .

x

xx

xxx

xxx

xx

x

xnx

xnu

1

12

13

1

1

)(

Los siguientes problemas requieren conocimientos elementales de Álgebra de matrices. 68) La matriz nnMA , se dice nilpotente si 0kA para algún entero positivo k . Si m

y ,01 mA demostrar que .)(1

1

n

k

k

nn AIAI

69) Sea

100

110

111

A , demostrar que

100

10

)1(121

n

nnn

An

70) Calcular las siguientes determinantes:

n

an

aa

aaa

aaaa

A

0000

1000

300

20

1

)det(

121321

32321

1521

1331

1321

)det(

nn

nn

nn

nn

nn

B

71) Calcular el valor de las determinantes:


210000

120000

001210

000121

000012

)det(

A ,

210000

000210

000021

111111

)det(

B

72) Las determinantes de Vandermonde son de la forma:

11

3

1

2

1

1

22

3

2

2

2

1

321

1111

n

n

nnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

Demostrar que el valor de este determinante es

nji

ij aa1

)(

73) calcular el valor de la determinante:

n

n

n

n

n

n

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

21

4321

4321

4321

4321

4321

1

1

1

1

1

1

74) Evaluar el siguiente límite:

3

3

3

3

12

1)1(

7

1

5

1

3

13

n

n

nLím

75) Decidir si es posible evaluar el siguiente límite:


222

333

)1()1(

1cos

)1cos(

3

13cos

2

12cos

1cos1

nn

nnn

nxn

n

x

x

xnLím

Si se cumple cos1

xx

76) Uno cono recto tiene de base una circunferencia de radio R y su altura R4 , se inscribe una esfera dentro del cono y a continuación se inscribe otra esfera tangente a la primera y a la pared interna del cono y así sucesivamente. ¿Cuál es el volumen total de todas las esferas inscritas en el cono a medida que su número crece indefinidamente? 77) Se define la sucesión de Fibonacci mediante las siguientes ecuaciones:

1 2 1 21, 1, 3n n nf f f f f n Demuestre que cada uno de los enunciados siguientes es verdadero

1 1 1 1

2 1 1

2 1 1

1 1 1)

1) 1

) 2

n n n n n n

n n n

n

n n n

af f f f f f

bf f

fc

f f

78) Calcule la suma de las series

4

0

2

20

2 1

2 10

) 1!

1)

6 2 !

1)

4 2 1 !

nn

n

n n

nn

n n

nn

xa

n

bn

cn

0

3)

5 !

n

nn

dn

9 27 81) 3

2! 3! 4!e


2 3

ln 2 ln 2) 1 ln 2

2! 3!f

79) Sea

3 6 9

13! 6! 9!

x x xu

4 7 10

4! 7! 10!

x x xv x

2 5 8

2! 5! 8!

x x xw

Muestre que 3 3 3 3 1u v w uvw

80) Suponga que 1 1cos , , 12 2

a b

y 11 1 12n n n n n na a b b b a .

Muestre que

n nn n

senLima Limb

81) Una sucesión na se define por recursión mediante las siguientes ecuaciones:

0 1 1 21 1 1 2 3n n na a n n a n n a n a

Calcule la suma n

n o

a

.

82) Si 0 1 2 0ka a a a , muestre que

0 1 21 2 knLim a n a n a n a n k

Sugerencia: investigue los casos particulares para 1 y 2k k y por inducción matemática u otro método pruebe la afirmación en general. 83) Usando el método de pasar la suma límite a una integral definida y otros, calcular los límites de las siguientes sucesiones:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 3 ...) ,

1 3 5 ... 2 1

n n nn

n n

n n n n n e e ea a b

nn n n n n

1 20 2 20

ln lnln 211 1 1

) ,1 2 2 1 20 2 20 20

n n

n n

n nb a b

n n n n n n n

2 171 3

82 4 21 2 3 4 1 1

) , 2 2 2 23 4 5 2 5

n

n

n n

nc a b

n n n

2 2

22

1 5 2 4 2 1 3 2 1) ,

4 4 7 3 1 3 2 1 6 12 61 9n

n n

n n n nd a b

n n n n nn


3 3 3

2 2 24

1 2) ,

2 1 1 2n n

n n n ne a b

n n n n n n

1 2

12 2 2

1 2

1

) , . ... 1n

nuu un

n n n p

k

pf a n k b u u u u

n

2 21

1) , 2 ( siempre que esten bien definidas

n

nn n

k

ng a b an b an b an nb

k n n

2 2 2 2 2)

1 2 2 4 4 2 9 6 2 2 2

2 ln 2 ln 3 ln2 cos

ln 3 ln 4 ln 1

n

n

n n n nh a

n n n n n n n n n n n

nb sen

n n

“Para mis futuros colegas y amigos” Dodovrosky, mayo-2007


PROBLEMAS RECREATIVOS Geometría de lo infinitamente pequeño y algunos fractales.

Echémosle un vistazo a las siguientes figuras:

Estas figuras irregulares que se repiten en diferentes escalas es lo que en esencia se conoce como fractales. Estas estructuras isomorfas están caracterizadas por un proceso recursivo que permite generarlas.

Como se ve, muchas de ellas presentan diversas formas de materia biológica. En síntesis la teoría fractal ha servido a muchas ciencias (no esencialmente matemáticas) que toman sus conceptos y los aprovechan en sus respectivas áreas (Teoría del Caos).

Básicamente entenderemos un fractal como un objeto geométrico (ya sea físico o no) cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. Nosotros únicamente vamos a trabajar con algunos fractales sencillos.


1) La figura mostrada, representa un fractal geométrico, porque en ella se pueden apreciar tales características, donde la estructura básica es un triángulo equilátero y se repite un número regular de veces en diferentes escalas, el problema que planteamos es el de hallar la suma de las áreas de todos los triángulos sombreados, sin necesidad de utilizar alguna fórmula. Como podemos apreciar cuando la estructura básica se va repitiendo un número regular de veces en sus diferentes escalas, la suma de las áreas de todos los triángulos sombreados, se va aproximando al del triángulo ABC , porque a medida que su número

aumenta, los “espacios vacíos” se van rellenando y alcanzan a cubrir toda la superficie del triángulo más grande. Llamemos “triángulo de la primera generación” al triángulo sombreado más grande, “triángulos de la segunda generación” a los tres que le siguen en tamaño, “triángulos de la tercera generación” a los 9 triángulos que continúan en tamaño a los de la segunda generación, así sucesivamente. En cada generación, los elementos se hacen cada vez más y más pequeños y su tamaño se reducen cuatro veces respecto de cada generación, a la vez que el número de miembros va triplicándose. Se obtiene la serie geométrica:

2

4

2

3

2

2 4

3

4

39

4

33

4

3aaaS , la cual es convergente e igual al área del

triángulo ABC . Sin necesidad de efectuar un solo cálculo, pero UD puede cerciorarse si lo desea, aplicando la fórmula de suma geométrica decreciente infinita.

2) Para construir la curva “copo de nieve” se procede del modo siguiente: Los lados de un triángulo equilátero se trisecan, la parte media de cada lado sirve de base de un nuevo triángulo equilátero y así continuando el proceso indefinidamente. Si el lado del triángulo inicial mide ""L , obtener el área de la región que limita dicha curva.

La curva copo de nieve, es un fractal cuya estructura principal es un triángulo equilátero. La primera generación está formada por 6 triángulos equiláteros (sin contar los que forman el área

hexagonal) cuya área es la 9

1 parte del triángulo inicial de lado ""L , la segunda generación

está conformada por 12 nuevos triángulos

Cada uno con un área equivalente a 9

1 parte de uno de la

primera generación, es decir 81

1 parte del triángulo principal, así

sucesivamente. La suma total de las áreas será:

Curva copo de nieve


hexagonalárea

L

LLLS

6

3

4

3

729

124

4

3

81

112

4

3

9

16

2

222

342

15 2LS . Que es la suma de una serie geométrica decreciente

al infinito de razón 9

2 absolutamente convergente.

3) Hallar la suma de la siguiente serie geométrica:

22

2

4

1

2

11S , sin necesidad de hacer el cálculo

directo de la serie, podemos servirnos de un rectángulo de dimensiones 12 y aplicar el principio fractal de modo siguiente:

Al dividir el rectángulo en dos cuadrados, y proceder a dividir uno de ellos en 4 nuevos cuadrados, sucesivamente como se muestra en la figura adjunta, podemos establecer el área del rectángulo principal como la suma de áreas de cuadrados que se hacen cada vez más y más pequeños, los cuales cubren completamente el rectángulo, haciendo más rápida su convergencia, luego planteamos la serie

24

13

2

131

22

2

S , cuya suma

conocemos (es el área total), podemos rescribir la serie:

3

4

4

1

2

114

4

13

2

1313

22

2

22

2

, que es la suma pedida.

4) Examinar la serie obtenida del el siguiente fractal:

5) Hallar la suma del área sombreada para nu , donde n se hace infinitamente grande.


6) Usando el principio fractal, expresar el área del cuadrado mayor como una serie infinita.

Los números de Fibonacci ¿Alguna vez UD intentó hallar la suma de los n primeros términos de la sucesión de Fibonacci?, ¿consiguió resultados alentadores? Es curioso observar que la sucesión de Fibonacci, que tanta atención ha llamado, no pueda tener una elegante fórmula para la suma de sus n primeros términos (dado que es divergente), no obstante la siguiente suma:

00000013,0000008,000005,00003,0002,001,01,0 , converge y existe. Un hecho realmente interesante puesto que para nuestro consuelo, al menos podemos calcular esta suma, veamos como:

765432 10

13

10

8

10

5

10

3

10

2

10

1

10

1S , expresando como quebrados.

Ahora usamos al artificio de la secuencia reiterada:

765432 10

85

10

53

10

32

10

21

10

11

10

1

10

1S

El hecho de que la sucesión de Fibonacci sea recursiva, nos ayuda bastante, porque podemos volver a reproducirla. Distribuyendo y haciendo operaciones:

10

1

10

3

10

2

10

1

10

1

10

1

10

3

10

2

10

1

10

1

10

14322432

SS

S

Para poder involucrarla en su cálculo, por tanto:

89

10

10

1

10010 S

SSS

¿Qué posición ocupa y en qué nivel se encuentra? Los números 1, 2, 3,... se colocan de la siguiente manera:


En la figura sólo se muestra la distribución de 16 números, pero si continuamos el proceso siguiendo el mismo esquema, ¿qué número ocupa la posición 1998 y en qué nivel se encuentra? EJEMPLOS:

En la posición 10 se colocó el número 4 y está en el nivel 1. En la posición 13 se colocó el número 3 y está en el nivel 3.

Para nuestro entendimiento, llamemos “número principal” al número que inicia la secuencia en el nivel uno, dichos números son 1, 2, 3, 4, 5, ... , es decir, el número principal es el primero en aparecer antes de repetirse, y en efecto los números 1, 2, 3, ... aparecen por primera vez en el primer nivel, luego, sus “clones” se repiten en un nivel distinto, observemos la posición que ocupan cada uno de ellos:

Los números s que indican la posición, forman una sucesión cuadrática: 1, 3, 6, 10, 15, 21 ,... +2 +3 +4 +5 +6 +1 +1 +1 +1

El término general CBnAnna 2 , se determina resolviendo el sistema:

0,2

1,

2

1

539

324

1

CBA

CBA

CBA

CBA

Por lo que 2

)1(

nnna , donde n indica el número principal y

na su posición. El problema consiste en determinar para que valor de n , na toma una valor

cercano a 1998, es decir tenemos la ecuación: 3996)1(2

)1(1998

nn

nn, sin

involucrarnos en el cálculo de las raíces de esta ecuación de segundo grado, probemos el producto de dos números consecutivos cuyo valor sea muy próximo a 3996 (fácil decir que estará entre 60 y 70, porque 3996 se aproxima a 4000 que es igual a 400.10 y la raíz cuadrado de 400 es 20 y de 10 es un tanto mayor que 3, por lo que 3.20 = 60 ) esos números como vemos son 62 y 63 , en efecto 62.63 = 1953, son los que mejor se acercan, aunque por defecto. Observemos también que entre el número principal 1 y 2 hay 1 número, entre los números principales 2 y 3 hay 2 números, etc. Entre 62 y 63 habrá entonces 62 números, como 62 es par eso quiere decir que los números de bajada y subida coinciden en un vértice, como se puede apreciar en la figura. De entre los 62 números existentes entre los principales 62 y 63, para completar los 1998 números hacen falta 1998 – 1953 = 45 números intermedios. El número que ocupa el vértice entre los intermedios es 62/2 +1 = 32 y entonces harán falta 45 –32 = 13, números de subida para dar con el que ocupa la posición 1998. Finalmente los números de subida y bajada en una misma fila dan una suma constante, por ejemplo entre los principales 4 y 5 las sumas son 1+ 5 = 2 + 4 = 6, y esta regularidad se cumple para cualesquiera números de una misma bajada y subida, en particular la suma entre los principales 62 y 63 es 1+ 63 = 64 y como esta suma debe ser constante 45 + x = 64 osea x = 19; teniendo en cuenta que los números de bajada indican el nivel , finalmente nuestra respuesta es: el número que ocupa la posición 1998 es el 45 y se encuentra en el nivel 19.

Número principal

Posición

1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 6 . . .

21 . . .


La terna siempre existe Supongamos que en la esfera de un reloj se altera arbitrariamente el orden usual de los números. Demuestre que cualquiera sea la permutación obtenida, siempre habrá una terna de números ocupando posiciones consecutivas de manera que la suma de los mismos sea mayor ó igual que 20. Si a1, a2,..., a12 es la permutación de los números 1, 2,..., 12 obtenida, consideremos las doce sumas Si de ternas de números ocupando posiciones consecutivas, esto es,

21121243223211 ,,, aaaSaaaSaaaS Es claro que cada número entre 1 y 12 aparece como sumando en exactamente tres de estas sumas (por ejemplo, a2 aparece en S1, S2 y S12). Por lo tanto, si sumamos todos los S i, obtenemos:

12

1

2342

13123)1221(3

i

iS

Dividiendo 234 por 12, vemos que el cociente es 19 y el resto es 6. Luego (Principio de los Casilleros), algún sumando Sk debe valer por lo menos 20, como queríamos probar. ¿Existe o no un potencial eléctrico? Suponga que se tienen infinitas cargas de la misma magnitud, distribuidas al lo largo de una misma línea, es decir son colineales, las cargas están separadas 2 cm entre sí, y la primera dista 2 cm del punto A . ¿Porque no es posible estimar la magnitud del potencial eléctrico en el punto A , cuando todas las cargas son del mismo signo, tomando en cuenta que las cargas más alejadas del punto, teóricamente en el infinito, no producen potencial? , que pasa si alternamos los signos de las cargas, entonces ¿se podría estimar dicho potencial? las cargas están medidas en Statcoulumbs. Tenemos un dibujo de la situación planteada en el problema:

Si todas las cargas fueran iguales en signo, el módulo del potencial eléctrico debida a estas cargas, sería en valor absoluto:

6

1

4

1

2

1

642qK

qKqKqKV e

eeeA

, en las dos posibilidades de signos en las cargas, la serie 6

1

4

1

2

1, es divergente. Por

lo que no se puede estimar el potencial eléctrico si todas las cargas son del mismo signo. Pero si las cargas alternan sus signos, como en la figura, el potencial eléctrico es:

)2(2

1

8

1

6

1

4

1

2

1LnqKqKV eeA

La serie 2

2

3

1

2

11

2

1

6

1

4

1

2

1

2

Ln

Ln

, pero sino recordamos el desarrollo

del paréntesis, podemos aplicar el método de Abel:

642)(

642

01

xxxLímxSx

Que derivando da

2

01

53

01 1)('

x

xLimxxxLímxSxx

, integrando

2

2

2

)1(

1)(

2

01

0

201

LnxLnLim

t

dttLimxS

x

x

x

Un problema de ordenación


Se dispone de 98 tarjetas. En cada una de ellas está escrito uno de los números 1, 2, 3, ..., 98 (no hay números repetidos). Se desea ordenar las 98 tarjetas de modo tal que, al considerar dos tarjetas consecutivas, la diferencia entre el número mayor y el número menor escritos en ellas sea siempre mayor que 48. Indicar cómo y de cuantas formas es posible efectuar la ordenación. Curiosamente, para resolver este problema no necesitamos ninguna fórmula de orden y combinación, simplemente tenemos en nuestra cabeza dos números a y b tales que

48 ba , lo que implica que a es el mayor número entre dos consecutivos, ordenémonos en una tabla:

b ba 48 Números posibles de elegir 1 49 98 – 49 = 49 2 50 98 – 50 = 48 . . .

.

.

.

.

.

. 48 96 98 – 96 = 2 49 97 98 – 97 = 1

El número total de maneras de poder elegir dos números será:

12252

49)491(494821

Comida para las gallinas El siguiente problema ha sido tomado de “Matemáticas Recreativas” (Yakov Perelman). Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitro por semana para cada una, esto se hacia en el supuesto de que el número de gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en uno el número de aves, la comida preparada duró doble tiempo del proyectado. ¿Qué cantidad de reservas de comida fue preparada y para cuánto tiempo fue proyectada? Supongamos que la reserva fue de x decalitros de comida para y semanas. Como el alimento se calculó para 31 gallinas en base a un decalitro por cabeza a la semana, resulta que

xy 31 , en la primera semana se consumió 31 Dl, en la segunda, 30; en la tercera, 29, así sucesivamente hasta la última semana del plazo doble, cuando se consumió:

1231)12(31( yy La reserva por consiguiente sería de:

yyyy

yyx )263(2

2)123131()1231(29303131

y como y no puede ser cero, tenemos derecho a dividir por y ambos miembros de la igualdad, con lo que tendremos:

1626231 yy , además 496163131 yx , por tanto, se prepararon 496 Decalitros de comida para 16 semanas. Números pitagóricos Demostrar por inducción matemática que nnn bac , donde ba, son los catetos de un triángulo rectángulo y c la hipotenusa, donde 2n . Veamos: 333:3 bacA , si elevamos al cuadrado 6366 )(2 babac , además por la

relación pitagórica 6222266222 )(3 bbabaacbac , al reemplazar en la

desigualdad: 326366222266 )(2)(3)(2)(3 ababcbababbabaac


, de donde abc 23 2 y como 0)(2 2222 baabbac , que es cierto y 223 cc por carácter transitivo abc 23 2 . En conclusión, se verifica para el primer elemento

inductivo. Así sucesivamente, afirmamos que es verdad nnn bacnA : , si es cierto, entonces

debe verificarse para el siguiente natural 1nA , veamos:

)()(:1 111 abbbaaccababbbaaccbacnA nnnnnnnnnnnn

Pero, por hipótesis inductiva nnn bac es lo mismo )( nnn baaac , al restar esta desigualdad de la anterior, se obtiene:

)()()( abbaccabbaccc nnnnn , lo que es muy cierto, por tanto queda demostrado. Observación:

abacbc ó nn bc , dado que c es hipotenusa. Al multiplicar miembro a miembro estas desigualdades se obtiene la que demuestra la hipótesis. Límite de una composición de funciones Sea RRf : una función no decreciente tal que xxfxf 1)()1( . Si )0(f es

un entero, muestra que )0()(

fn

xfLím

n

n

, la notación ffff n , indica la

composición de la función ""n veces. Como xxfxf 1)()1( , )(xf debe ser polinómica, osea

n

n xaxaaxf 10)( , sin embargo la función lineal del tipo xaxf 0)( , es la que

cumple incondicionalmente x , una función polinómica de grado superior necesita ser condicionada, si 0a es un entero positivo entonces xaxf 0)( es creciente porque

0)(

0

0

adx

xad, las composiciones:

xnaf

xaxaafff

xaxaaff

n

0

000

000

3)2(

2)(

Luego

xfan

xnaLím

n

xfLím

n

n

n)0(

)(0

0 , como queríamos probar.

El triángulo aritmético Escrito el triángulo aritmético:

0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993 1 3 5 7 ............................ 3983 3985

4 8 12 ........................................ 7968 ......................................................................... Donde cada número es la suma de los dos que tiene encima (cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Razonar que el último número es múltiplo de 1993.


Solución. Si representamos los elementos de la primera fila por a0, a1, a2, ........ los elementos de la segunda serán: a0 + a1, a1 + a2, a2 + a3, .............. los de la tercera serán : a0 + 2a1 + a1, a1 + 2a2 + a3, .............. para la cuarta : a0 + 3a1 + 3a1 + a1, a1 + 3a2 + 3a3 + a4,............ Supongamos que los dos primeros elementos bp,0 y bp,1 de la fila p-ésima son:

1100,1

1.......

1

1

0

1

pp a

p

pa

pa

pb ;

pp ap

pa

pa

pb

1

1.......

1

1

0

1211,

entonces, el primer elemento de la fila siguiente será :

pp ap

pa

pa

pb

.......

10100,1 (*)

en nuestro caso la primera fila tiene 1994 elementos, la segunda 1993, ... y la última corresponde a p + 1 = 1994 y su único elemento será

1993•1993

1993.......1•

1

19930•

0

19931994

b

Al ser 1993 primo, 1993

k

es múltiplo de 1993 para todo k menor que 1993 y por tanto b1993 es

múltiplo de 1993. El número primo y sus múltiplos Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111......1 (escrito sólo con unos). Veamos primero que p tiene infinitos múltiplos de la forma 999...9. Consideremos la sucesión: 9, 99, 999, ......,999...9 (el último tiene n nueves). Entonces se tiene: 9 = 10 - 1; 99 = 102 - 1; 999 = 103 - 1;.......999..9 = 10n - 1 en la sucesión hay infinitos términos de la forma 10p-1 - 1 con p 2, p 5 y p primo. Puesto que, por el teorema de Fermat: 10p-1 - 1 1 (mód p) si p 2, p 5 la afirmación queda demostrada. Finalmente 999...9 = 9 · 111...1 entonces si p es primo con 9 (p 3), p divide al producto, es primo con 9 luego divide a 111...1. Queda el caso p = 3 que es evidente ya que los infinitos números: 111; 111111, .......... son múltiplos de tres. Juegos de azar y probabilidades


Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura. Para comenzar el juego aparece una bola en el punto S. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras inmediatas con la misma

probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes: a) La bola vuelve a S y entonces el jugador pierde. b) La bola llega a G y entonces el jugador gana. Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.

Podemos representar el desarrollo del juego mediante un diagrama en árbol:

La probabilidad de que el juego tenga longitud 2 es 1

3

La probabilidad de que el juego tenga longitud 4 es :1

3

1

2

1

32 2

2

32• • • •

La probabilidad de que el juego tenga longitud 6 es :1

3

1

2

1

32 2 2

1

3

2

3

2

3• • • • • • , etc, en

general

la probabilidad de que el juego tenga longitud 2n es: 2

3

1n

n

Entonces, la duración media M de un juego es la suma de cada longitud por la probabilidad respectiva:

nnM

n

nn

n

n

•3

22

3

2

11

1

Serie aritmético-geométrica que se suma por el mismo método que la geométrica:

63•22

3

21

3

2

3

2

33

2

2

MM

MM

La probabilidad P de ganar será la suma de las probabilidades de ganar en 4 pasos más la de que gane en 6 pasos...etc.:

S G

A B

C

D

S C D

A

G C D

B

S C D

A

C D G

B

C D

A

S

S

1

1/3

1/2

1/3

1/3


3

1....

3

2

3

2

3

14

2

32P

Infinitos cuadrados perfectos en una progresión aritmética Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos. Solución Bastará probar que a partir de un cuadrado perfecto podemos construir otro. Sea la progresión: a2, a2 + d, a2 + 2d,......, a2 + kd...... Como (a + d)2 = a2 + 2ad + d2 = a2 + (2a + d)d, basta tomar k = 2a + d para obtener otro cuadrado en la progresión. Buscando el mínimo. Se consideran conjuntos A de cien números naturales distintos, que tengan la propiedad de que si a, b y c son elementos cualesquiera de A (iguales o distintos), existe un triángulo no obtusángulo cuyos lados miden a, b y c unidades. Se denomina S(A) a la suma de los perímetros considerados en la definición de A. Calcula el valor mínimo de S(A). Solución: Si n es el menor de los elementos de A y m el mayor, al tener A cien elementos distintos, será m n + 99. Para que el triángulo isósceles de lados n, n, m sea no obtusángulo debe ocurrir que m2 2 n2 ; si m es lo menor posible, m = n + 99 deberá ser (n + 99)2 2n2 , o sea:

2402+199n 999999n099-198n-n 2222 n . Si n < 240, es seguro que el conjunto no cumple la condición del enunciado pues m2 (n+99)2 2n2 y el triángulo de lados n, n, m no puede ser no obtusángulo. En particular la condición se cumple para el conjunto: A = {240, 241, 242, ...., 339} Cualquier otro conjunto que cumpla la condición, tendrá sus elementos respectivamente iguales o mayores que los de éste. Este es, por tanto el que da lugar al mínimo S(A). El número de triángulos que debe considerarse es el de variaciones ternarias con repetición de los elementos de A, que es 1003 = 1000000, con lo que el número de lados en total será de 3000000; de ellos habrá 30000 de longitud 240, otros tantos de longitud 241, etc. L uego

S A( ) • ( .... ) •

•

30000 240 241 242 339 30000

100 240 339

2868500000 unidades.

Este es el valor mínimo buscado.


Una suma aritmética Calcular la suma de los cuadrados de los cien primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de ellos vale -1, y que la suma de los términos de lugar par vale +1. Sea la progresión a, a + d, a + 2d, ......, a + 99d, entonces tenemos que hallar: S = a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 +.....+ (a + 99d)2 =100a2 + 2ad (1 + 2 + ...+ 99) +d2 (12 + 22 +....+ 992).

Para calcular a y d resolvemos el sistema:

12599

15099

dada

daaque operado y resuelto

sale: a = -2,98; d = 0,06. El resto es fácil de calcular. Los paréntesis son progresiones de primer y segundo orden.

1 + 2 + ...+ 99 = 4950; 1 2 + 22 +....+ 992 = 328350. El resultado final es S = 299,98 Funciones, funciones, funciones... Hallar todas las funciones f N N: estrictamente crecientes y tales que:

f(n + f(n)) = 2 f(n) para n = 1, 2, 3, ... Solución: Supongamos f(1) = b. Entonces, f(1 + b) = 2b, como f es estrictamente crecie nte, se tiene:

b = f(1) < f(1 +1 ) < …< f(1+b) = 2b = b + b. y resulta que f(1), f(2),….f(1+ b) son b + 1 naturales, distintos, el primero vale b y el último 2b, por tanto han de ser consecutivos. resulta entonces:

f(1) = b, f(2) = 1 + b, f(3) = 2 + b,…, f(1 + b) = b + b. En general, para n > 1, si f(n) = c , f(n + c) = 2c = c + c y resulta que: c = f(n) < f(n + 1) <…< f(n + c) = c + c y los números f(n), f(n + 1), …, f(n + c) son consecutivos. Así pues, f(n) = n - 1 + f Una sucesión, cuya suma de cuadrados de sus términos, es un cuadrado perfecto. Probar que existe una sucesión de enteros positivos a1, a2,…, an, … tal que

a12 + a2

2 +…….+ an2

es un cuadrado perfecto para todo entero positivo n. Solución: Lo haremos por inducción sobre n, para n = 2 basta tomar a1 = 3; a2 = 4 con 32 + 42 = 52. Supongamos que a1

2 + a22 +…….+ an

2 = k2 . Veamos que podemos encontrar un entero positivo an+1 tal que 22

1

2 pak n .

En efecto, 11

2

1

22

nnn apapapk .


Pongamos 11 nn apb;apa .

Tenemos: 2

;2

1

baa

bap n

;

22

2 babak

.

La última expresión exige que a y b son de la misma paridad. Distinguiremos dos casos 1.- a y b son pares, entonces k2 = 4m . Tomado a = 2m; b = 2 queda:

14

114

12

1

2

kma;

kmp n

2.- a y b son impares, entonces k2 = 2m + 1. Tomando a = 2m +1, b = 1 queda:

2

11

2

11

2

1

2

kma;

kmp n

En ambos casos hemos encontrado an+1 entero verificando el enunciado. La función parte entera dentro de otra sucesión Encuentra el mayor número entero N que cumpla las siguientes condiciones :

a)

3

NE tiene sus tres cifras iguales.

b)

3

NE es suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir, existe un

natural n tal que

3

NE = 1 + 2 + ....+ (n-1) + n .

Nota: E(x) es la parte entera de x. Solución:

Condición a): 9k1;Nk;k·1113

NEz

Condición b):

2

z811n0z2nn

2

1nnzn...321

3

NEz 2

(la otra raíz es negativa). Juntando las dos condiciones, queda:

2

k·111·811n

Como n es natural, el radicando ha ser cuadrado perfecto lo que ocurre sólo para k = 6 que sustituido en la expresión anterior resulta n = 36. Recuperando la condición a):

1998N20016663

N6676666·111

3

NEz

Por tanto el mayor N que cumple a) y B es N = 2000 Más funciones 1 Demuestra que no existe ninguna función f : N N que cumpla: f(f(n)) = n + 1. Solución: Supongamos que exista 1nnff|NN:f .


Se tiene que f(0) = a N. Por el enunciado:

;10ff 1af0ff

del mismo modo, f(1) = a + 1, f(a + 1) = 2, f(2) = a + 2,........ Supongamos que f(n - 1) = a + n - 1, entonces f( a + n -1) = a + n luego hemos probado por inducción que

na2nafnf

Entonces,

N2

1a1nna2

Hemos llegado a una contradicción y la condición supuesta es falsa con lo que queda demostrada la inexistencia de la función f. Más funciones 2 Determinar la función f : N N (siendo N = {1,2,3,...} el conjunto de los números naturales) que cumple, para cualesquiera s, n N, las dos siguientes condiciones: a) f (1) = 1, f (2s) = 1. b) Si n < 2s, entonces f (2s + n) = f (n) + 1. Calcular el valor máximo de f (n) cuando n 2001. Hallar el menor número natural n tal que f (n) = 2001. Solución Para cada número natural n definimos f (n) como la suma de las cifras de la expresión de n escrito en base 2. Está claro que esta función f cumple las condiciones a) y b). Además, es la única función que las cumple, porque el valor de f (n) viene determinado por las condiciones a) y b). Probamos esa afirmación por inducción sobre n. Si n = 1 o n = 2s, f (n) = 1. Supongamos n > 1, n 2s y que es conocido f (m) para todo m < n; se puede escribir n = 2s + m con m < 2s tomando 2s la mayor potencia de 2 que es menor que n; entonces f (n) = f (m) + 1. Ahora, es fácil resolver las dos cuestiones que nos plantean: En el primer caso, se trata de ver cuántos unos puede tener como máximo un número menor o igual que 2001 escrito en base 2. Ese número, escrito en base 2, es, obviamente, 1111111111, que corresponde a n = 1023 = 210 - 1. Es f (n) = 10. En el segundo caso, razonando de manera análoga, se observa que la respuesta es n = 2 2001 -1. Más funciones 3 La función g se define sobre los números naturales y satisface las condiciones:

g(2) = 1 g(2n) = g(n) g(2n + 1) = g(2n) + 1

Sea n un número natural tal que 1 n 2002. Calcula el valor máximo M de g(n). Calcula también cuántos valores de n satisfacen g(n) = M. Para cualquier natural n, consideramos su representación binaria,

1

1 1 0 1 0 22 2 2k k

k k kn a a a a a a a

,

Donde aj = 0 o 1.

Probaremos por inducción que 0

k

j

j

g n a

por inducción sobre k:


Para k = 0 es cierto: 21 1 1g g . Supuesto cierto para k, hay dos casos para k + 1:

1 0 12 0 20

1 0 12 0 20

0 2· ,

1 1 2· 1

k

k k j

j

k

k k j

j

g a a a g a a a a

g a a a g a a a a

Donde se han aplicado las propiedades de g y la hipótesis inductiva. Entonces g(n) es el número de unos de n escrito en base 2. Como 211 = 2048 > 2002 > 1024 = 210, resulta M = 10. Hay cinco soluciones de g(n) = 10: 1023, 1535, 1791, 1919 y 1983. Múltiplo de un número primo Probar que para cualquier primo p distinto de 2 y 5 existe un múltiplo de p cuyas cifras son todas nueves. Por ejemplo si p = 13, 999999 = 13·76923 Solución:

Sea ai el número compuesto por i nueves 99 9

i

ia . Supongamos que p tal que

| ip a i para probar por contradicción el enunciado.

Considérense en dicho caso los números 1 2, , pa a a , en este conjunto sabemos que no

hay ningún 0ia p (por hipótesis) . Por tanto al haber p números y sólo p – 1 restos

posibles módulo p, se sabe que existen m, n tales que 0m na a p . Suponemos sin pérdida de generalidad que m > n y:

| 99 9 99 9 99 900 0 ·10

m n m n n

n

m n m np a a a

Como 2 y 5 | 10 2 ·5 |n n n

m np p p p a y como am – n pertenece al conjunto escogido por ser m – n < n y m – n 1 se ha llegado a una contradicción. Por ende:

tal que |i ip a p a

y el enunciado queda probado. Un arreglo numérico Tenemos un conjunto de 221 números reales e cuya suma es 110721. Los disponemos formando un rectángulo de modo que todas las filas y la primera y última columna son progresiones aritméticas de más de un elemento. Probar que la suma de los elementos de las cuatro esquinas vale 2004 Solución Denotaremos por j

ia al elemento de la fila i-ésima y columna j-ésima del rectángulo Pongamos n para el número de filas, m para el de columnas y S para la suma de los n·m elementos. Con notación matricial queda:

1 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

m

m

m

n n n

a a a

a a aM

a a a


Sumando por filas y llamando Sk a la suma de la fila k, resulta: 1

1 11

1

2 22

1

·2

·2

.......................

·2

m

m

m

n nn

a aS m

a aS m

a aS m

y sumando miembro a miembro queda:

1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 1

·

2 4

m m m m m

n n n n n

m n mS S S S a a a a a a a a a a

1 1

1 1

4 4·1107212004

· 221

m m

n n

Sa a a a

n m

Un polinomio sin raíces enteras Sea P x un polinomio con coeficientes enteros, demostrar que si existe un entero k tal que

ninguno de los enteros 1 , 2 , ,P P P k es divisible por k, entonces P x no tiene raíces enteras. Solución. Por reducción al absurdo. Si n fuese una raíz, por una parte tenemos

P x x n Q x

y por otra siempre existen enteros q y r tales que n kq r , con 1 r k (basta hacer la división entera y en el caso de ser resto cero se rebaja el cociente en una unidad), entonces

P r r n Q r kqQ r en contra de lo supuesto en el enunciado. Un problema de la IMO La olimpiada internacional de matemática en su versión 47, se llevo a cabo entre el 12 y 13 de julio del 2006 en Eslovenia, ponemos como reto al lector, el siguiente problema de la segunda sesión: Sea )(xP un polinomio de grado 1n , con coeficientes enteros y sea k un entero positivo. Considere el polinomio ))))(((()( xPPPPxQ , donde P aparece k veces. Demuestre que hay a lo sumo n enteros t tales que ttQ )( . ¿Cuáles son las coordenadas? Se empieza con los vértices 1 2 3 40,1 ; 1,1 ; 1,0 ; 0,0P P P P de un cuadrado y se localizan

otros puntos, como se muestra en la figura: 5P es el punto medio de 1 2PP , 6P es el punto

medio de 2 3P P etc. La trayectoria espiral poligonal así formada 1 2 3 ...PP PP , tiende a un punto

P dentro del cuadrado. ¿Cuáles son las coordenadas de P ?


Para resolver este problema guiémonos de una trayectoria genérica arbitraria (como la de la figura de abajo), designemos por nP las coordenadas

del n -ésimo punto ,n nx y , las siguientes igualdades son obvias:

4 3

1 3 2

2 2 1

3 1

1

2

1

2

1

2

1

2

n n n

n n n

n n n

n n n

P P P

P P P

P P P

P P P

Al sumar miembro a miembro 1 2 3 4 3 2 1

1 1

2 2n n n n n n n nP P P P P P P P k , donde k es

una constante a determinar, obviamente afirmamos que la suma 1 2 3

1

2n n n nP P P P es

una constante porque esta relación se mantiene para otra sucesión de términos.

Entonces en 1 2 3

1

2n n n nP P P P k , poniendo 1n

se obtiene

1

1 2

2

0 1 1 01 32,

1 1 0 02 2

kk k

k

, en la

coordenada x haciendo paso a límite se tiene

1 2 3

1lim lim 2

2n n n n

n nx x x x

, finalmente

4

7x ,

análogamente 3

7y , i.e.

4 3lim , ,

7 7n n

nP x y

.

Increíblemente demostrable

P

P

P

P

P

P

PP

P

P

12

34

5

6

7

8

9

10

P

P

P

P

P

P

P

P

n-4

n-3

n-2

n-1

n

n+1

n+2

n+3

Lo bello de la matemática

US

IP


US

IP


US

IP


US

IP


US

IP

1/8

1/4

1/6

1/2


Suponga que tiene una gran cantidad de libros, todos iguales y los apila en la orilla de una mesa. Demuestre que es posible hacer esto de tal modo que el ejemplar de arriba quede totalmente fuera de la mesa. De hecho, demuestre que el ejemplar de arriba puede sobresalir cualquier distancia de la orilla de la mesa, si la pila tiene la altura suficiente. El libro de arriba sobresale la mitad de su longitud del segundo de abajo; y el segundo hacia abajo, sobresale la cuarta parte de su longitud del tercero; el tercero la sexta parte de su longitud con respecto al cuarto, y así sucesivamente. (Intente esto con un mazo de cartas). Considere los centros de masa. Olimpiadas de matemáticas UMSS A continuación presentamos como ejercicio al lector, algunos problemas que se propusieron en la olimpiada de matemática 2007. Son fáciles ¡inténtelo! a) Sea na una progresión aritmética con diferencia común 3 y primer término 1 1a , pruebe

1 2 2 3 2006 2007 1 2007

1 1 1 2006...

a a a a a a a a

b) Los números del 1 adelante están escritos en forma de espiral como se puede ver más abajo. El 51 por ejemplo está en la 4ª columna a la izquierda de 1 que inicia la serie y dos filas por debajo. Si continuamos la serie, ¿dónde estará el número 2007 2006 ?

31 32 33 34 35 36 37

30 13 14 15 16 17 38

29 12 3 4 5 18 39

28 11 2 1 6 19 40

27 10 9 8 7 20 41

51 26 25 24 23 22 21 42

50 49 48 47 46 45 44 43

c) Llamemos número chato menor a un número tal que la suma de sus dígitos es múltiplo de 4. Construir un número N tal que sus primeros 4 múltiplos , 2 ,3 , 4N N N N , son todos chatos menores. Llamemos número chato mayor a un número tal que la suma de sus dígitos es múltiplo de 2007. Construir un número N tal que sus primeros 2007 múltiplos

, 2 ,3 , , 2007N N N N , son todos chatos mayores. d) Determinar la cifra de las decenas del número: 1! 2! 3! 2007! e) Se construye la siguiente figura plana usando para cada lado un (único) palito de fósforo, en la figura adjunta se usaron 43 palitos y tiene 4 pisos, ¿con 701 palitos, cuántos pisos se pueden construir?

f) Se construye el siguiente número 122333444455555...N ¿Cuál es el dígito que ocupa el

lugar 1935?


g) Sabemos que 100 factorial (100!) es la cantidad que se obtiene del siguiente modo: 100! = 100 · 99 · 98 · ... · 3 · 2 · 1 Calcular el exponente de la potencia máxima de 3 que sea divisor de 100! h) Los números enteros mayores que 1 son ordenados de la siguiente forma:

2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

17 16 15 14

18 19 20 21

… … … …

¿En qué columna aparece el 2007? i) Todos los números del 19 al 80 son escritos uno después del otro para formar el número 19202122...7980. ¿Es este número divisible entre 1980? Explique su respuesta. j) El número 2000...0007

x

N empieza con 2, termina con 7 y tiene un número x de ceros.

Determine el número x de ceros tal que 2N tenga exactamente 2007 cifras.

k) ¿Cuántas cifras tiene el número 2

2007

(999...9 ) 1nueves

?

Problema geométrico 1 En la figura adjunta vemos dos círculos C y D de radio 1, que se tocan en P y T es una tangente común. 1C es el primer círculo de la sucesión nC de círculos tangentes entre si y

tangentes a C y D . De esta forma se tienen 2C , 3C , etc. Determinar una expresión para nC .

T

C

P

D

C

C

C

2

3

1

1

Problema geométrico 2 La figura adjunta representa una cantidad infinita de círculos que se aproximan a los vértices de un triángulo equilátero. Cada círculo toca otros círculos y los lados del triángulo. Si los lados del triángulo miden 1, calcule el área total que ocupan los círculos.


Método Árabe (balanceo y complementación) El matemático árabe Al Karagi (X-XI), escribió un libro titulado “El libro suficiente sobre la ciencia aritmética” en el cual demostró geométricamente (en escritura moderna) que

2

3

1 1

n n

k k

k k

, ¿cómo lo hizo?

Con referencia al gráfico adjunto, hagamos sobreponer cuadrados de áreas

21 , 2

1 2 ,…, 2

1 2 n . Consideremos las regiones en forma de “L” invertida que resultan, demostremos que la región n -ésima tiene un área igual a 3n . En efecto podemos considerar el área que cada región como la intersección de dos rectángulos cuya base es n y altura 1 2 n , entonces el área de cada región será la suma de las áreas de estos dos rectángulos menos el cuadradito que se forma en su intersección, es decir: 2 32 1 2 n n n n .

Puesto que el área del cuadrado más grande es igual a la suma de cada región que se forma, se tiene:

3 23 3 31 2 1 1 2n n n

Como se quería probar.

Mostrar geométricamente que 1

1 22

n nn

es también cosa sencilla. Como en el

anterior problema lo que se busca es asociar figuras geométricas a cada suma, por ejemplo si nuestra intención es obtener la suma 2 2 21 2 n , podemos pensar que vamos a trabajar con cuadrados, en efecto es así, pero la figura que se obtiene la tenemos que completar, esto lo logramos “añadiendo” una nueva figura adecuada para que la figura resultante esté bien proporcionada. En dibujos:

se le añade

a

a

a

a

2

1

3

4

números triangulares

22

2

2

12

34

Para el caso 2 2 21 2 n la figura añadida tiene una particularidad, si la vemos por bloques horizontales se ve claramente que el número de “cuadraditos unidad” que lo componen forma la conocidísima sucesión de números triangulares, que son producidos por la fórmula

1

2n

n na

. Luego podemos plantear la siguiente ecuación:

2

1 1

11 2 1

2

n n

k k

k kk n n

...

...

n

(n-1)3

(n-2)3

n 3

131

n

n-1

n-2


Que traducida al lenguaje ordinario nos dice: El área de los cuadrados más el área de los bloques horizontales es igual al área del rectángulo más grande (obviamente). Aplicando la linealidad en la suma

2 2

1 1 1

1 11 2 1

2 2

n n n

k k k

k k k n n

, despejando 2

1

1 2 1

6

n

k

n n nk

Parte entera de un número real La parte entera de un numero real x , a veces denotado por x , es el mayor numero entero

que no sobrepasa a x . Por definición x x , esto implica que 1x x , i.e. el número

x satisface las desigualdades 1x x x . La ventaja de esta relación es que podemos estimar con errores relativamente bajos la parte entera de un número, en efecto si

tenemos 1Nx Nx Nx o lo que es lo mismo 1Nx Nx

xN N N

, para un N lo

suficientemente grande la aproximación de una parte entera será más precisa. A modo de aplicación, hállese la parte entera de

1 1 11

2 3 1000000y

Para resolver este problema, busquemos acotar y de tal manera que la diferencia entre las dos cotas sea cada vez menor a medida que n sea más grande. El lector puede demostrar fácilmente que

12 1 2 2 2 1n n n n

n

Utilizando sucesivamente esta desigualad 1

2 3 2 2 2 2 2 12

12 4 2 3 2 3 2 2

3

12 5 2 4 2 4 3

4

12 1 2 2 2 1n n n n

n

Sumando miembro a miembro 1 1 1

2 1 2 2 2 22 3

n nn

y como 1n n y 2 2 3

1 1 1

2 2 1 2 12 3

n nn

, poniendo 1000000n se obtiene

1 1 12 1000000 2 1 2 1000000 1

2 3 1000000

Es decir 1998 1999y , de donde la parte entera es 1998y .


Algunos “trucos” (*) Cuando tenemos una sucesión que viene expresada como producto de un número finito de números naturales consecutivos, i.e. 1 2nu n n n n k , la suma de los primeros

n términos de dicha sucesión es 1 1

2n

n n n k n kS C

k

, donde C es un

constante a determinar (¿Por qué?). La prueba se hace por inducción matemática y se deja como ejercicio al lector. Anécdotas: Calcular la suma de los primeros n términos de las siguientes sucesiones:

a) 1

3 6n

k

k k k

b) 1

4 8n

k

k k k

Primeramente vamos a “quitarles el disfraz” a cada suma y reescribir de una manera astuta sus términos generales. a) 3 6 1 2 6 1 10nu n n n n n n n n n , de este modo se puede aplicar el resultado de arriba y tener (aplicando el principio de superposición):

1 2 3 1 2 16 10

4 3 2n

n n n n n n n n nS C

, haciendo 1n se

obtiene 28 6 12 10 0C C , finalmente haciendo cálculos se obtendrá: 1 6 7

4n

n n n nS

b) 4 8 1 2 9 1 21nu n n n n n n n n n , de manera que

1 2 3 21 13 1 2

4 2n

n n n n n nS C n n n

, haciendo 1n se

encuentra 0C ; por lo tanto,

1

1 8 94

nS n n n n

(*) Cuando el término genérico de la serie se obtiene a partir de órdenes sucesivos de diferencias, es práctico aplicar las sumas conocidas:

11 2

2

n nn

2 2 21 2 1

1 26

n n nn

2

3 3 31

1 22

n nn


2

4 4 41 2 1 3 3 1

1 230

n n n n nn

, etc. Sabemos muy bien que las sumas de potencias superiores se pueden obtener ya sea por medio de la forma matricial de las ecuaciones de recurrencia que se obtengan o siguiendo un proceso recursivo como se indicó en la primera parte de este texto. El siguiente cálculo ha sido efectuado en el programa Mathematica para 100n

k1

n

k100

=1

101

1

33094598037819122125295227433069493721872702841533066936133385696204311395415197247711n

1886151940189950140958019789851360145743929486359212140564529273718554104542588225n3

1

442

1645616696517941672360017531510103065275262833283721440989517429807734047757850913243n5

3499587543731869972014124130269577280310108931738563580941621380482207730998983400n7

1

3

5756590770602260358191435854546355687935592199061165293809327512369296553174512270n9 1

33

22726109441922580500884171178513217060966535175895522696891164745543825379273630900n11 174279494768949128332567900269065823948006393832155941056892677953319750396643530n

13

32763231782690479430094326667965512714118411726258839136458009525242207746495320n15

1

13

61818849643420370751195413473815903604304015989562701728371699195513031845438795n17 1

3

1646768125535716650151479444626896852720685309728796535902988214135913420381350n19 1

17877143330060751434255439975698188067238520258969202873053428399885044274486323n21

4025602264940138697692949939054474910168329446963893478400942931998024468600n23

1

5

1324370061036282771689106371621942824535634121628229346874477741034831785634n25

14895736277008181132334762623324412841085163414135218018322435135968555300n27

1

13

9414755251829274416159741243938295264430152396836676322311866541024925490n29

30742732793592509381106419132006507358047222774129415029742061713174600n31

1

2

2298625840008748358566711794822579277192552711582020488589661766598645n33

38128617994971540686928727825548132257444427285183833736253133613135n35

1

34

38422488837841697215283099397472598360568147579309143962750509312145n37

30103577433894512246858182453455658960106202076735695926771936400n39

1

13

9420573669003157380900304460100706657831264715697825695176843332n41 15840759067106242280101358431610862794065948614961249900612200n

43

315842475566278652769794518433084752824523271431300286502772n45

5767327080295841139197376022940252009203992973424865954800n47

96804824377907625766958196667811374130544676298755358130n49

1498706385453929682015798775810793226761993483673927900n51

1

221

4744488025337486128368405614479224053627996335161411090n53 285364778376751604005684315162841204524238571322480n

55 3529370266394983886455917920807642861607158198820n57

40717110829096195425403695982096491275834586600n59 439193198075153128312755784698960564940218084n61

4438979130223111934260052730572667315542800n63

1095274199011799727018355535070350711467369n65

26

376088893137055855489546763949785038575n67

107589814363898197258275769978834628505n69

34

25135966530951075573287359325147400n71 188799122216630460039649535142290n73 1342971292523623613254333982052n75

9059874211754038708880478210n77 58044394927135871743519800n79

1060880788018803688873237n81

3

6153690082202330694950n83

3192810104871174583331n85

17 59847066039976600n87 301724227591010n89

4366486651100n91

3 6736515170n93 30174760n95

272195n97

22525n99

3101n100

2 n101


Anécdotas: a) Encuéntrese el término general de la serie y calcule su suma parcial 2 12 36 80 150 252 Formando los órdenes sucesivos de diferencias

2, 12, 36, 80, 150, 252,...

10, 24, 44, 70, 152,...

14, 20, 26, 32,...

6, 6, 6,...

Apliquemos la fórmula dada en la pagina 25

2

1 22 10 1 6 3

2n

n nu n n n

, luego por la linealidad de la suma

22 23 3 1n n n n n n , al aplicar las sumas conocidas.

b) Encuéntrese el término general de la serie y calcule su suma parcial 2 2 2 2 21 3 2 7 3 13 4 21 5 31

Por un lado formamos los órdenes sucesivos

3, 7, 13, 21, 31,...

4, 6 ,8, 10,...

2, 2, 2,...

Cuyo término genérico es 2

1 23 4 1 2 1

2

n nn n n

, luego

2 2 21 1 1 2 1 1 2nu n n n n n n n n n n n n , aplicando el

principio de superposición 1 21 1 2 3 1 1 1 1

5 6 2

22

4n

n n n n n n n n n n n n nnS C

Haciendo 1n , se obtiene 0C , finalmente haciendo los cálculos necesarios

3 21 12 33 37 8

60n

n n n n nS

(*) Dado que las sumas del tipo 1

np

k

k

y sus formas “degeneradas” son problemas típicos y

puesto que la fórmula de suma parcial es un polinomio en n de grado 1p , podemos sistematizar el proceso cuando se busca dicha suma aplicando un nuevo método llamado “coeficientes indeterminados”. Anécdotas a) Hallar la suma parcial de la siguiente serie

2 2 41 2 n La suma parcial será de la forma 4 4 4 2 3 4 51 2 n A Bn Cn Dn En Fn , cambiando el objeto de abstracción n por 1n

4 2 3 4 54 4 41 2 1 1 1 1 1 1n n A B n C n D n E n F n ,

al restar la primera ecuación de la segunda


4 2 3 2 4 3 21 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1n B C n D n n E n n n F n n n n

De donde identificando coeficientes 1 1 1 1

, , , 0,5 2 3 30

F E D C B , i.e.

4 4 4 3 4 51 1 1 11 2

30 3 2 5n A n n n n , poniendo 1n se tiene 0A , haciendo

algunas cálculos más se llega a 4 4 4 21 2 1 2 1 3 3 130

nn n n n n .

b) Hallar la suma parcial de la siguiente serie

22 2 21 2 2 3 3 4 1n n

Tenemos un caso degenerado con término genérico 2

1nu n n que es de grado tres, podemos sospechar entonces que la suma parcial es de forma polinómica

22 2 2 2 3 41 2 2 3 3 4 1n n A Bn Cn Dn En , cambiando el objeto de

abstracción n por 1n

2 2 2 3 42 2 21 2 2 3 3 4 1 1 2 1 1 1 1n n n n A B n C n D n E n

Al restar la primera ecuación de la segunda

2 2 3 21 2 2 1 3 3 1 4 6 4 1n n B C n D n n E n n n , identificado

coeficientes 1 7 7 5

, , ,4 6 4 6

E D C B , luego 2 3 45 7 7 1

6 4 6 4nS A n n n n , poniendo

1, 0n A , haciendo algunos cálculos más se llega a

1 2 3 5

12n

n n n nS

(*) Cuando se presentan series telescópicas la suma nS se obtiene de manera inmediata. En ocasiones la suma viene tan bien “disfrazada” que el lector tendrá que tener cierta habilidad para advertirlas (en caso que las haya). Anécdotas

a) hallar la suma parcial nS de la siguiente serie

1

1 3 5 2 1

2 4 6 2 2

n

k

k

k

No es tan evidente que la serie sea telescópica, pero si nos concentramos en la forma de su

término genérico

1 3 5 2 1

2 4 6 2 2n

nu

n

, vemos que es lícita la descomposición

1 3 5 2 1 1 3 5 2 1

2 4 6 2 2 4 6 2 2n

n nu

n n

Esto hace que la suma sea del tipo telescópica, de donde es trivial

1 3 5 2 11

2 2 4 6 2 2n

nS

n

b) hallar la suma parcial nS de la siguiente serie 1 1 3 5 2 1 2 1

n

k

k

k k

Al trabajar con su término genérico, podemos plantear


1

1 3 5 2 1 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1n

A n Bn An Bu

n n n n

, i.e. tratamos de volverla

telescópica (de ser posible), entonces 2 1n An A B An B n , al identificar

coeficientes 1

0,2

A B . Para ver mejor desarrollemos la suma de manera explícita:

1

2

1

1 1 1 1

2 1 3 5 2 1 2 1 3 5 2 1

1 1 1 1

2 1 3 5 2 3 2 1 3 5 2 1

1 1 1 1

2 1 3 2 1 3 5

1 1 1 1

2 1 2 1 3

n

n

un n

un n

u

u

De donde

1 1 1

2 2 1 3 5 2 1nS

n

.

c) hallar la suma parcial nS de la siguiente serie

2

1

41 2

nk

k

k

k k

Trabajamos con la parte racional del término genérico

2 1 2 3 2 3 2 4 11 1

1 2 1 2 1 2 2 1

n n nn n

n n n n n n n n

Por lo que 1

11

1

2 3 2

2

2

1

4 44

2 1

4 44

1

1 14 4 4

4 3

1 14 4 4

3 2

n nn

n

n nn

n

un n

un n

u

u

1 1

2 4 1 4 24 4 4 2

2 2 3 3

n nn

n

nS

n n

(Se ha aplicado la suma geométrica).

d) Una serie numérica viene definida por

1

1

1

1

21 si impar

2 1 2 1

21 si par

2 1 2 1

nn

n n

n nn

n n

n

u

n

Calcular su suma parcial. Como no podemos saber si el número de términos de la suma parcial es par o impar, lo que podemos hacer es calcular individualmente la suma parcial en cada caso y luego “interceptar” ambos resultados para hallar la solución general.


Vemos que cuando n es impar 11

2 1 1 1

3 2 1 2 12 1 2 1

n

n n nn nu

.

Y cuando n es par 11

2 1 1 1

3 2 1 2 12 1 2 1

n

n n nn nu

.

Calculamos en cada caso la suma de sus 2 1mS y 2mS términos respectivamente:

(Tome en cuenta que para cada desarrollo se deben involucrar las definiciones para nu tanto en el caso de término de lugar par, como término de lugar impar).

2 2 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1

1 5 5 7 7 17 17 31 2 1 2 1 2 1m m m m

S

2 1 2 1 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1

1 5 5 7 7 17 17 31 2 1 2 1 2 1m m m m

S

En cada caso, la serie se vuelve telescópica y todos los términos vecinos se cancelan excepto el primero y el último. Para interceptar ambos resultados tenemos un problema de signos, eso lo corregimos fácilmente, entonces tenemos:

1

11

111

3 2 1

n

n nnS

(*) Cuando se busca la suma parcial de una serie, existe una alternativa básica que es pensar en el método de la secuencia reiterada (que se expone al principio de este texto). Otra manera de buscar dicha suma es observar su forma, si esta tiene la forma de una serie infinita convergente es posible (en muchos casos) a partir de ella obtener su suma parcial i.e. en el caso finito. Llamemos a este método el paso de una “serie infinita a una finita”. Anécdotas 1) calcular la suma de la serie finita 2 3 11 2 3 4 n

nS x x x nx . Recordará el lector que al estudiar los métodos generales de cálculo de series, esta serie se obtenía derivando la conocida serie geométrica 2 31 x x x , de la cual se podía deducir que la serie 2 3 11 2 3 4 n

nS x x x nx es una parte del desarrollo de

2

1

1 x, esto es de gran ayuda ya que podemos utilizar el método de la funciones

generatrices (ver relaciones de recurrencia) para calcular la suma en el caso finito. Entonces,

2 3 1

2 3 1

2 2 3 4 1 1

1 2 3 4

2 2 4 6 2 1 2

2 3 2 1

n

n

n n

n

n n n

n

S x x x nx

xS x x x n x nx

x S x x x n x n x nx

Sumado 2 11 1 1 n n

nS x n x nx ;

Luego

2

1

11

n n

n

x nxS

xx

2) calcular la suma de la serie finita 2 3 1

11 3 6 10

2

n

n

n nS x x x x


Los coeficientes de la suma son los números triangulares. Una alternativa es descomponer el

término general de la suma 1

1

2

n

n

n nu x

en

21 1

2 2

n n

n

n nu x x obteniendo dos series,

una de las cuales acabamos de calcular, pero además tendríamos que conocer la suma parcial de la serie de término general 2 1n

nu n x lo cual complica un poco el problema. Esta es una alternativa de las muchas posibles, pero es mejor si observamos la diferencia 1 1

2 2

n n n nn

, este hecho es notable puesto que si retraso los coeficientes de la

suma 2 3 1

11 3 6 10

2

n

n n

n nS x x x u x

en un término obtengo la suma

anteriormente calculada, más explícito:

2 3 1

2 3 1

11 3 6 10

2

1 13 6

2 2

n

n

n n

n nS x x x x

n n n nxS x x x x x

Restando 2 3 1

11 1 2 3 4

2

n n

n

n nx S x x x nx x

Y según el ejercicio anterior

3 2

11

2 11 1

n nn

n

n nx nxS x

xx x

.

Fracciones continuas generalizadas (Fracciones fractales). Una fracción del tipo , recibe el nombre de fracción continua. Cuando el numerador es distinto de uno, se dice que es una “fracción continua generalizada” en ambos casos se tiene una fracción fractal. La estructura matemática que presentan las fracciones continuas despertó el interés de muchos matemáticos durante la historia, desde Euclides hasta Euler, y constituye un de los temas más interesantes de la teoría de los números. El hecho de que un irracional no pueda ser expresado como el cociente de dos números irreductibles entre sí, no significaba que la procedencia de estos números tuviera que estar alejado de los racionales, ya con el criterio de la secuencia reiterada hemos estudiado los ejemplos suficientes sobre la convergencia de fracciones continuas en números irracionales como el número de oro, etc., de hecho el matemático árabe Omar Kayam fue uno de los primeros en observar esto. Veremos a continuación su enfoque e importancia desde el punto de vista de la teoría de los números. El matemático Bombelli, aplicaba las fracciones continuas para calcular raíces cuadradas, por ejemplo:

6

46

4313

Lagrange resolvió la ecuación de Pell-Fermat 122 dyx , para lo cual empleó las fracciones continuas. Más interesante aún es ver que los números irracionales como y e pueden representarse como una fracción continua. En efecto se verifican las convergencias:


)6(53

)4(31

)5(43

)2(11

)3(23

)3(23

11

2

5

44

33

22

11

12e

Como muchas otras fracciones continuas, su convergencia es lenta. Naturalmente nos podemos dar cuenta de que el método de la secuencia reiterada ya no puede aplicarse acá, porque si bien son fracciones continuas infinitas, su regularidad no permite usar ese criterio. (Obsérvese además que el método de la secuencia reiterada nos conducía a ecuaciones polinómicas, las raíces de dichas ecuaciones se denominan “números algebraicos”. Desde luego ni ni e los son). Para quien desee conocer más artículos interesantes sobre fracciones continuas una primera lectura podría ser: ¿Qué es la matemática? Richard Courant, Herbert Robbins Mathematical Mysteries Calvic C. Clawson Definición.- Sean 1 2, , , ,na a a números reales no nulos. Habíamos dicho que una expresión del tipo

3

2

1

0

1

1

1

aa

a

a

Se llama fracción continua. Resulta muy cómodo abreviar esa pesada notación utilizando la siguiente secuencia de símbolos 0 1, , , ,na a a , Si la fracción continua es finita se simboliza por 0 1, , , na a a

respectivamente. También se usa la simbología 0

1 2 3

1 1 1a

a a a

adaptable, desde luego

al caso finito. Se dice que una fracción continua es convergente si existe el límite

0 1 0 1, , , , lim , , ,n nn

a a a a a a

Si no simplificamos la fracción, las expresiones nP y nQ de 0 1, , , nn

n

Pa a a

Q reciben el

nombre de n -ésimas convergentes de la fracción continua. El siguiente teorema se verifica: TEOREMA.- Para todo 2n se verifica

1 2

1 2

n n n n

n n n n

P a P P

Q a Q Q

Además 1

1 1 1n

n n n nPQ P Q

.


La prueba de este teorema se la hace por inducción matemática y queda como ejercicio para el lector. Remarca.- Este teorema nos da la posibilidad de construir un algoritmo para generar las n -ésimas convergentes de una fracción continua. Cuando la fracción continua es simple (i.e. sus coeficientes son números enteros) la fracción continua converge a un numero real (Omitimos la demostración de esta afirmación ). FORMA PRÁCTICA PARA OBTENER UN DESARROLLO EN FRACCIÓN CONTINUA Existen métodos prefabricados para dado un número real, obtener su desarrollo en fracción continua, todos están basados en el algoritmo euclidiano de la división . Anécdotas 1) exprésese a) 174/251, b) 3 , c) 6 como fracciones continuas a) 174 1 1 1 1 1 1 1

251 77 1 1 1 1 12511 1 1 1 1 1

174 20 1 1 1174 1742 2 2 2

17 1 177 773 3 3

3 1201 1

2175

3

174 1 1

0,1, 2,3,1,5,1, 21 1251

1 11 1

2 21 1

3 31 1

1 12 1

5 513

12

b)

1 1 1 1 13 1 3 1 1 1

1 1 13 1 3 1 1 113 1 3 1 2 3 12 2

y

como volvemos a trabajar con 3 1 , el proceso se repite. Finalmente

3 1,1, 2,1, 2,1, 2...

c) Para este caso separamos 6 en la forma 6 2 6 2 , esto porque buscamos una

diferencia de cuadrados con el menos valor positivo posible.

1 1 1 1 16 2 6 2 2 2 2 2 2

1 1 16 2 6 2 2 22 26 2 6 22 26 2

16 2

12

4 6 2

y como volvemos de donde empezamos 6 2 , continuando el

proceso tenemos 6 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4,...

VOCABULARIO


Una fracción continua de la forma 1 1 1 1 1,..., , ,..., , ,..., ,... ,..., , ,...,n k k n ka a b b b b a a b b

,

recibe el nombre de periódica. La sucesión 1,..., kb b se llama periodo de y la sucesión

1,..., na a es el preperíodo de . Suele también, decirse que el entero positivo k es el periodo

de . Si la fracción continua es de la forma 1,..., kb b se dice periódica pura.

EJERCICIOS ADICIONALES 1) Sean /n nP Q y 1 1/n nP Q dos convergentes sucesivas de una fracción continua, probar que

1

2 2

1 1

1 1n n

n n n n n

P P

Q Q a Q Q

.

2) Verificar los siguientes desarrollos en fracciones continuas

2

2

1 1) 3, 2,3 3 15 ) , 4

2 2

1 1 1) , , ) 1

2 4 2 2 2

a b a a a a

a a ac a b a d

b

3) Si 1

1

2n n

n

pu u

u

cuando 0p y 1 0u , probar que lim n

nu p

. Este resultado es

muy útil para obtener desarrollo de irracionales en fracciones continuas.

lo bello de la matemÁtica

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