CAMPOS Y ONDAS

Línea de Transmisión

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

Líneas de transmisión

• Obtención de las ecuaciones diferenciales de la tensión y de la corriente en una línea de transmisión bifilar(ecuaciones del Telegrafista) a partir de las ecuaciones de Campo .– Solución general de la ecuación para una línea ideal sin

pérdida. Determinación de la:• velocidad de propagación • impedancia característica.

• Líneas reales excitadas con funciones periódicas sinusoidales, solución de la ecuación diferencial, constante de propagación.

• Ondas estacionarias en líneas excitadas por sinusoides y cargadas.

• Obtención de la onda incidente y reflejada en función de la carga y el generador. – Línea adaptada.– Coeficientes de reflexión.– Impedancia de entrada de líneas – línea de longitud infinita– línea en cortocircuito– línea en circuito abierto– línea de longitud=λ/4

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

Z

z

Y

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

2 2

2

( , ) ( , ) ( , )u x t i x t i x tr lx t t t

∂ ∂ ∂= − −

∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2

( , ) ( , ) ( , )i x t u x t u x tg cx x t x

∂ ∂ ∂− = +

∂ ∂ ∂ ∂

( , ) ( ) . ( ) 0u x t l i x r i xx t

∂ ∂+ + =

∂ ∂

( , ) ( ) . ( )u x t l i x r i xx t

∂ ∂= − −

∂ ∂

2 2

2 2

( , ) ( ) ( , ) ( , ). ( )i x t i x i x t i x tgl gr i x cr lcx t t t

∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

( )i x( )i x x+∆

( )u x x+∆( )u x

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Líneas de transmisión

( )i x ( )i x x+ ∆( )u x x+ ∆( )u x

x∆

( )( ) ( ) . . . . ( )u x xi x i x x c x g x u x xt

∂ + ∆= + ∆ + ∆ + ∆ + ∆

∂

( )( ) ( ) . . ( )i xu x u x x xl xr i xt

∂− + ∆ = ∆ + ∆

∂

0( ) ( ) ( )lim . . ( )x

u x u x x i xl r i xx t∆ →

− + ∆ ∂= +

∆ ∂

( ) ( ). . ( )u x i xl r i xx t

∂ ∂− = +

∂ ∂

0( ) ( ) ( )lim . . ( )x

i x x i x u x xc g u x xx t∆ →

− + ∆ + ∂ + ∆= + + + ∆

∆ ∂

( ) ( ). . ( )i x u xc g u xx t

∂ ∂− = +

∂ ∂

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

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Líneas de transmisión

1 ( )1 ( )

u x vt l Zok i x vt c

−= = =

−1 ( )2 ( )

u x vt Zok i x vt

+= = −

+

Zo Impedancia característica de la línea

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Líneas con funciones armónicas

( ) ( ). . ( )u x i xl r i xx t

∂ ∂− = +

∂ ∂

( )U jwcU xt

∂=

∂( )I jwI x

t∂

=∂

( ) ( ). ( ) 0I x jwc g U xx

∂+ + =

∂( ) ( ). ( ) 0U x jwl r I xx

∂+ + =

∂

2

2

( ) ( ).( ) ( ) 0I x jwc g jwl r I xx

∂− + + =

∂2

2

( ) ( ).( ) ( ) 0U x jwc g jwl r U xx

∂− + + =

∂

( ) ( ). . ( )i x u xc g u xx t

∂ ∂− = +

∂ ∂

( ) ( ). . ( )u x i xl r i xx t

∂ ∂− = +

∂ ∂

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Líneas con funciones armónicas

CAMPOS Y ONDAS

Líneas con funciones armónicas

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Líneas con funciones armónicas

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Líneas con funciones armónicas

Onda Estacionaria

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Líneas con funciones armónicas

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Líneas con funciones armónicas

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Líneas con funciones armónicas

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Perfiles de Tensiones y Corrientes estacionarias a lo largo de la línea

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3

-2

-1

0

1

2

3

E

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

I V

Zl=200 Z0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zl=0,5Zo

Zl=2Zo

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

I

V

Línea abierta, l=0.16λ

x/λx/λ

x/λx/λ

Zl=Zo

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Líneas con funciones armónicas

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Líneas con funciones armónicas

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Líneas con funciones armónicas

Impedancia de entrada de una línea de perdidas despreciables, en cortocircuito (Zecc).

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Líneas con funciones armónicas

Impedancia de entrada de una línea con pérdidas despreciables, en circuito abierto (Zca).

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Líneas con funciones armónicas

La impedancia de entrada es igual a la inversa de la impedancia de carga. Si la impedancia de carga tiene un comportamiento inductivo, la impedancia de entrada se comportara capacitivamente o viceversa.

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Líneas con funciones armónicas

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Respuesta al escalón de una línea sin pérdidas

σl

σsRs

RLV1V2

01 ( )o

o s

Z xV V U tZ R v

+ = −+

0( ) . ( )vs t V U t=

x

Zo,v, td

Rl ZolRl Zo

σ −=

+

Rs ZosRs Zo

σ −=

+

Coeficientes de Reflexión

( )U t = 0, ... 01, ... |1

para tpara t

<≥

U ZoI

+

+ =U ZoI

−

− = −

U U U+ −+ =

U U IZo Zo

+ −

− =

U U UZo RlIU U

+

+

−

−

+= =

+

( )RlU U U UZo

+ +− −+ = −

( 1) ( 1)Rl RlU UZo Zo

+− + = −

( ) ( )Rl Zo Rl ZoU UZo Zo

+− + −=

( )U Rl Zo lRl ZoU

σ+

− −= =

+

Vo

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Respuesta al escalón de una línea sin pérdidas

20

3 2 3 3

( , ) [ ( ) . ( 2 ) . . ( 2 ) . . ( 4 )

. . ( 6 ) . . ( 6 )....]

o

o s

Z x x x xV x t V U t l U t td l sU t td l sU t tdZ R v v v v

x xl s U t td l s U t tdv v

σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

= − + − + + − − + − + ++

− + + − −

td

V1+

σl. V1+

V1+( 1+σl)

2td

3td

4td

td/2

σs. σl. V1+

σs. σl2. V1+

td

U(t-td)

V1+( 1+σl+ σs. σl.+ σs. σl2 )

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2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 40( , ) [1 . . . . . . . ....]o

o s

ZV x V l l s l s l s l s l s l s l sZ R

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ∞ = + + + + + + + ++

0 0 01 1( , ) [( ) )]

1 . 1 . 1 .o o

o s o s s

Z Zl l RlV x V V VZ R l s l s Z R l s Rl R

σ σσ σ σ σ σ σ

+∞ = + = =

+ − − + − +

Tensión en la carga, igual al caso de no tener la línea interpuesta

2 2 3 3 4 4 2 2 3 30( , ) [(1 . . . . ..) (1 . . . ..)]o

o s

ZV x V l s l s l s l s l l s l s l sZ R

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ∞ = + + + + + + + + ++

Para tiempos muy largos

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Lattice

t

x

T

V=1

1

1

2

-1 -1

-1

2T

3T

4T

-1

1

1

0

t

t

X=l

X=0

X=l/2

σR=1σR=-1

T/2

1

2