Límites infinitos.

1- Se dice que lím f (x) = si:

x x

a) una vecindad perforada

V de 0 V Dom. f | f (x)| 0

b) lím 1 = 0

x x f (x)

Ejemplo:

Lím 1 = x 2 (x - 2)³

a) x V Dom f 1 0

(x - 2)³

b) lím 1 lím (x - 2)³ 0 x 2 1 x 2

(x - 2)³

el límite es infinito.

2- Se dice que lím f (x) = + si:

x x0

a) una vecindad perforada

V de o V Dom. f f (x) 0

b) lím 1 = 0

x x0 f (x)

Ejemplo:

Lím 1 = + x 0 x²

a) x V Dom f 1 0 x²

b) lím 1 lím x ² 0 x 0 1 x 0

x²

el límite es infinito positivo.

3- Se dice que lím f (x) = - si:

x x0

a) una vecindad perforada

V de o V Dom. f f (x) < 0

b) lím 1 = 0

x x0 f (x)

Ejemplo:

Lím 1 = - x 2 x - 2x < 2

a) x V Dom f 1 < 0 x - 2

b) lím 1 lím x - 2 0 x 2 1 x 2

x < 2 x - 2 x < 2

el límite es infinito negativo.

Límites a izquierda y a derecha.

lím f (x) lím f (x)x x0 x x0 +

x x0

Llamaremos límite en Xo por la derecha.

Definición:

lím f (x) L

x x0 +

(0)(0)(x)(xo x x0 + f (x) - L )

lím f (x) lím f (x)x x0 x x0 ¯

x < x0

Llamaremos límite en Xo por la izquierda.

Definición:

lím f (x) L

x x0 ¯

(0)(0)(x)(xo - x x0 f (x) - L )

Teorema de unicidad de límites.

lím f (x) = Existe lím f (x) = lím f (x) x

x0 x x0 + x x0 ¯

* El resultado siempre debe ser el mismo.Ejemplo:

1) lím x - 1 2) lím x - 1

x1 ¯ x - 1 x1+ x - 1

lím x - 1 = -1 lím x - 1 = 1

x1 ¯ - ( x - 1) x1+ ( x - 1)

lím x - 1 porque los límites son diferentes -1 1 x1 x - 1

Límites importantes.

1)1) lím sen x = 1 5)5) lím ex = x o x x

2)2) lím n! = 6)6) lím ln x = n x

3)3) lím 2n = 0+ 7)7) lím ( 1 + 1 ) x = e n n! x x

4)4) lím sen x = 0 8)8) lím ( 1 + ) 1/ =e x x

9)9) lím f (x) 0 12)12) lím f (|x|) = lím f (x)

x x0 xo xo+

entonces:

lím ( ln f (x)) = ln lím f (x) 13)13) lím e x = 0+

x x0 x x0 x -

10)10) lím sen 1 = 0 14)14) lím e x - 1 = 1

x x xo x

11)11) lím f (x) = lím f (-x) xo+ xo-

Teoremas de límites.

1. 1. f 1 (x) f 2(x) f 3 (x)

x de una vecindad reducida de xo y que:

lím f 1(x) = lím f 3(x) = L lím f 2(x) = L x x0 x x0 x x0

2.

f 2(x)

lím ( f 1(x)) x x0

Caso I:

lím f 1(x) = L1 lím f 2(x) = L2 con L1 L2 R x x0 x x0

f 2(x) L2

lím ( f 1(x)) = L1

x x0

Caso II:

lím f 1(x) = L1 lím f 2(x) = x x0 L1 1 x x0

f 2(x)

lím ( f 1(x)) x x0

• El límite se resuelve directamente.

Caso III:

lím f 1(x) = 1 lím f 2(x) = x x0 x x0

f 2(x) lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0

x x0 = e

Ejercicios: calcular los límites.

1. 1. 2x + 1

lím 5x + 2 3

x 3 x + 3

lím 5x + 2 = 17 lím 2x + 1 = 7

x 3 x + 3 6 x 3 3 3

2x + 1 7

lím 5x + 2 3 = 17 3

x 3 x + 3 6

2. 2. 1

lím 4x + 1 x -2 = x 2 x - 1

lím 4x + 1 = 9 lím 1 = x 2 x - 1 x 2 x - 2

a) 1 0

x - 2

b) lím 1 = lím (x - 2) = 0 x 2 1 x 2

(x - 2)

3. 3. 1

lím 3x - 11 x -4

x 4 x - 3

lím 3x - 11 = 1 lím 1 = x 4 x - 3 x 4 x - 4

lím 3x - 11 - 1 1

x 4 x - 3 x - 4

= e lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4)

x 4 x - 3 x - 4 x 4 (x - 3)( x - 4)

= e = e = e²

4. 4. lím f (x + h) - f (x) si f (x) = ln x h 0 h 1

lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h

h 0 h h 0 x 1

ln lím x + h h como se cumplen las condiciones

h 0 x del caso 3...

lím x + h - 1 1 lím x + h - x 1

h 0 x h h 0 x h 1

= ln e = ln e = ln e x = 1 X

Integrantes :Integrantes :

• Karen Arancibia• Claudia Carmona• Alejandra Gonzalez

Grupo 4.Grupo 4.