Presentacin de PowerPoint

Sesin 01LIMITES DE UNA FUNCION Definicin de limitesPropiedades Limites Laterales Limites Trigonomtricos

Docente : Alberto Henry Ulloa Lpez

11CAPACIDAD :

Explica el concepto de lmite en la evaluacin de lmite de funciones, y analiza el concepto riguroso de lmite.

INDICADOR DE LOGRO :

Interpreta el concepto de lmites, explicando su aplicacin en situaciones de contexto real.2Definicin de LimitesEn matemtica, el lmite es un concepto que describe la tendencia de una sucesin o una funcin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor. En clculo (especialmente en anlisis real y matemtico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivacin, integracin, entre otros.3

Definicin de lmite4Proceso de Calculo de Limites5x0LL +1/10L1/10y = f(x)Ohacer que | f (x) L| < e = 1/10x0LL +1/10L1/10y = f(x)ORespuesta: | x x0 | < d1/10 (un nmero)x0+d1/10x0-d1/10x0LL +1/100L1/100y = f(x)Ohacer que | f (x) L| < e = 1/100x0LL +1/100L1/100y = f(x)ORespuesta: | x x0 | < d1/100x0+d1/100X0-d1/100

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Ejemplo 018

Ejemplo 029

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Tarea 01:15LIMITES : UN ENFOQUE INFORMALsi podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero no igual a a.Definicin de lmiteEscribimos:

y decimosel lmite de f(x) cuando x tiende hacia a, es igual a Lxf(x)xf(x)aLSea f una funcin definida en un intervalo abierto alrededor de a (no necesariamente en a). xy16aLxysi podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero menores que a.Lmite lateral izquierdoEscribimos:

y decimos el lmite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la izquierda, es igual a L Sea f definida en (c, a).xf(x)1718

A continuacin se muestra la grfica de una funcin g. sela para definir los valores, en caso de existir, de:Ejemplo

Unicidad del lmiteSi el lmite de f(x) cuando x tiende hacia a existe, entonces es nico.aLxyaxy

si y solo si

no existe19Reglas para calcular lmitesTeorema #1Las reglas siguientes son vlidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son nmeros reales)1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M2. Regla de la resta: limxc [f(x) g(x)] = L M3. Regla del producto: limxc f(x) g(x) = L M4. Regla del producto: limxc k f(x) = kLpor una constante5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 06. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

20Tipos de Indeterminacin21

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LMITES

Si L es finito y ambos lmites laterales coinciden, se dice que el lmite existe y vale L23Operaciones Conocidas24

Lmites de Polinomios25Teorema #2Los lmites de polinomios pueden ser calculados por sustitucinSi P(x) = anxn + an1 xn1 +...+ a0, entonceslimxc P(x) = P(c) = ancn + an1 cn1 +...+ a0Teorema #3Los lmites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitucin si el lmite del denominador no es cero.Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonceslimxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c) Indeterminacin 0/026Si en el clculo del lmite de una fraccin el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fraccin y calcular el lmite.

Ejemplo: Resolver los siguientes limites con indeterminacin 0/0Regla: Para resolver este tipo de indeterminacin 0/0, se debe Factorizar tanto denominador como denominador y simplificar luego remplazar el limites. Evaluar

27Si f es un polinomio o una funcin racional y a est en el dominio de f, entonces:

28Sustitucin directa

29Formas indeterminadas

Evaluar

agyLafyL

Encuentre, si es que existe...30

DefinicinSea la funcin f definida a ambos lados de a , excepto talvez en el mismo a. Entonces:31significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes (tan grandes como se quiera) tomando x suficientemente cerca de a pero distinto de a.

Encuentre, si es que existe...32

DefinicinLa recta x = a , se llama asntota vertical de la curva y = f(x) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:33

1. Hallar: 34

EJEMPLO 1:35

EJEMPLO 2:36

EJEMPLO 3:37

EJEMPLO 4:38

EJEMPLO 5:39

EJEMPLO 6:40

ASNTOTAS41

42La recta Y = b es una asntota HORIZONTAL de la funcin Y = f(x) si

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45La recta X = a es una asntota VERTICAL de la funcin Y = f(x) si

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48LIMITES TRIGONOMETRICOS49

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