Unidad 1. Lmites y Derivadas.1.2 Lmites de una funcin.

Algunos lmites bsicos.Si b y c son nmeros reales y n un entero positivo:

Algunos lmites bsicos. Ejemplos:Si b y c son nmeros reales y n un entero positivo:

Propiedades de los lmites.Si b y c son nmeros reales y n un entero positivo, f y g funciones con los lmites siguientes:

Propiedades de los lmites.Ejemplo:Propiedad 2

Propiedad 1

SimplificandoNota: La sustitucin directa es vlida para todas las funciones polinmicas y racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado.

Lmites de funciones polinmicas y racionales.Si p es una funcin polinmica y c un nmero real, entonces:Si r es una funcin racional dada por r(x)=p(x)/q(x) y c un nmero real tal que q(c)0, entonces:

Lmites de funciones polinmicas y racionales. Ejemplo:Encontrar el lmite:Puesto que el denominador no es 0 cuando x=1, se puede aplicar la sustitucin directa:

Lmite de una funcin radical.Si n es un entero positivo, el siguiente lmite es vlido para toda c si n es impar, y para toda c0 si n es par:Ejemplos:

Lmites de funciones trigonomtricas.Sea c un nmero real en el dominio de una funcin trigonomtrica dada:

Lmites de funciones trigonomtricas. Ejemplos:

Ejercicios para la clase.

Ejercicios para la clase.Soluciones.

Una estrategia para el clculo de lmites.Aprender a reconocer cules lmites pueden evaluarse por medio de la sustitucin directa.

Si el lmite de f(x) cuando x se aproxima a c no se puede evaluar por sustitucin directa, tratar de encontrar una funcin g equivalente a f tal que el lmite de g(x) se pueda evaluar por medio de la sustitucin directa.

Forma indeterminada.Si la sustitucin directa produce la forma fraccionaria 0/0, denominada forma indeterminada, porque no es posible (a partir slo de esa forma) determinar el lmite, debe reescribirse la fraccin de modo que el nuevo denominador no tenga 0 como lmite. Para esto se utilizan dos tcnicas:

Tcnica de cancelacin.

Tcnica de racionalizacin.

Tcnica de cancelacin. Ejemplo:Encontrar el lmite:Factorizar.

Cancelar factores comunes.

Usar sustitucin directa.

Simplificar.

Tcnica de racionalizacin. Ejemplo:Encontrar el lmite:Racionalizacin

Dos lmites trigonomtricos especiales.

Un lmite en el que interviene una funcin trigonomtrica. Ejemplo.Encontrar el lmite:

Ejercicios para la clase.

Ejercicios para la clase.Soluciones.