CÁLCULO

LÍMITE DE FUNCIONES: LÍMITES LATERALES, LÍMITES INFINITOS

Departamento de Ciencias

Saberes Previos

1. En la función definida por , hallar el dominio de f.

2. En la función f(x) definida anteriormente, hallar f(2) y f(3).

3. ¿A que valor se aproxima la función f(x) cuando x se aproxima a 3?,

si:

a. x es menor que 3.

b. x es mayor que 3.

4. ¿Coinciden el valor de f(x) cuando x se aproxima a 3, en ambos

casos?

5. A pesar que f(x) no esta definida para x = 3, ¿qué podemos afirmar

acerca de f(x) cuando x se acerca a 3?

36

)(2

xxx

xf

Introducción a Límites

Introducción a Límites

Introducción a Límites

CAPACIDAD DE UNA PLANTA

Un gerente determina que, cuando se está utilizando x porcentaje de la capacidad de la planta de su compañía, el costo total de producción es

960683206368

)(2

2

xxxx

xc

La compañía tiene una política de rotar el mantenimiento de tal forma que nunca se utilice más del 80% de su capacidad.

¿Qué costo de producción esperaría el gerente cuando la planta está operando a toda la capacidad permitida?

en ciento de miles de dólares.

¿Cómo definiría el hecho de acercarse lo más posible a un valor real?

¿Qué entiende por el límite de una función?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante

resuelve e interpreta problemas

aplicados al estudio de fenómenos

naturales, económicos y tecnológicos,

haciendo uso correcto del cálculo de

límites.

CONTENIDOS DE LA SESIÓN

1. DEFINICIÓN DE LÍMITES Indeterminación de un límite

2. LÍMITES LATERALES

4. EJEMPLOS

NOCIÓN INTUITIVA

(… …)

(…

…

)Consideremos la función Observe cómo se comporta f cuando x se aproxima a 2.

24

)(2

xx

xf

2)( RfDom

La función se puede expresar como

}2{todopara2)(2

2224

)(2

Rxxxfx

xxxx

xf

4)(lim2

xfx

1. DEFINICIÓN DE LÍMITE

Si f(x) se acerca más y más al número L cuando x se aproxima al valor de a. Este comportamiento se expresa simbólicamente como:

Lxfax

)(lim

Definición formal. Sea f: Dom (f) → R una función en cada número de algún intervalo abierto que contenga a a, excepto posiblemente en el valor de a mismo: Decimos que:

a

lxfaxDxLxf fax)(0:0,0)(lim

Definición épsilo-delta de límites

INDETERMINACIÓN MATEMÁTICA

A estas expresiones que no es claro cómo calcular su límite se le denomina formas indeterminadas . Como por ejemplo:

Indeterminaciones A los límites que al evaluar directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

Se le llama indeterminación.

777lim ndosimplifica00

77

lim

42lim ndosimplifica00

24

lim

7

2

7

2

2

2

xxx

xxx

xx

xx

¿Cómo levantar la indeterminación de un límites?

Para levantar la indeterminación es necesario realizar las siguientes operaciones algebraicas.1. Cancelar el factor común(numerador y denominador)en funciones

racionales, para levantar la indeterminación.2. Levantar la indeterminación mediante cambio de variable.3. Levantar la indeterminación mediante una racionalización,

multiplicando denominador y numerador por su conjugado de la expresión a racionalizar

Ejemplos: Hoja de trabajo ejercicios: 1 , 2 y 4 del nivel IConsiderar los ejercicios: 1e ; 2 a; 2f

MLMxfyLxfaxax

)(lim)(lim

Unicidad del LímiteEl límite de una función, si existe es único. Es decir, si:

LEYES DE LÍMITES

Se usan las siguientes propiedades de límites. Supongamos que C es un constante y los siguientes límites existen.

Entonces

MxgyLxfaxax

)(lim)(lim

APLICACIÓN TIEMPO DE ESPERA EN UN SERVICIO

• El servicio de traumatología de un hospital va a implementar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:

2 8 50; 0 10( ) 38 100

; 100, 4

t t tp t t

tt

• Analizar el porcentaje de pacientes que pueden ser operados sin necesidad de entrar en lista de espera cuando estamos cercanos al décimo mes.

El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:

2

2

x100P(x) =+0,5x+0,03x

donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando seutilicen x unidades de droga.¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?

Ejemplo 21:

Verificando mis Logros

1. Calcular

2. Calcular el límite si existe:

3. Si

Determinar el valor de la constante k para la cual el existe.

3

2

8

2x

xlím

x

2 1, 1( )

2 1

x xf x

x

3

2 , 2( )

( 1), 2

x xf x

x k x x

2( )

xlím f x

BIBLIOGRAFÍA

1. Pita Ruiz, Claudio. Cálculo de una variable. 515.3 PITA

2. Prado, Santiago. Precálculo. 515 PRAD.

3. Stewart, James. Precálculo. 515 STEW/P.

4. Haeussler/ Richard, Paul. Matemática para administración y economía. 510

HAEU/M.