LÍMITES

Por Stephany Yejas

Definición de límite de una función

Límite es el valor al que se aproximan los valores de la variable dependiente de una función, cuando la variable independiente se aproxima a un valor determinado. El concepto del límite se usa para describir la tendencia de una sucesión o una función.

La expresión = Lse lee: límite cuando x tiende a “a” de f(x) es L. La función f(x) tiende hacia el límite L cuando x tiende a , si es posible hacer que f(x) se aproxime tanto a L como se quiera, siempre y cuando x esté lo suficientemente cerca de a, sin llegar a tomar el valor de a.

Ejemplo de límite de una función I. Dada la función f(x)= - 2, averigua si los valores de f(x) tienden o se acercan a un valor cuando x se aproxima a 0, Primero: realizamos la tabla de valores, cuando a x se acerca a 1.

De la tabla es posible concluir que -2 es el límite de la función cuando x tiende a 0, y se escribe = -2 y se lee “límite cuando x tiende a 0 de efe de x es igual a menos dos”. Ver gráfica 1OJO: cuando el límite existe, este valor es único.

-0,01 -0,001 0 0,001 0,01

-1,9999 -1,999999

? -1,999999

-1,9999

Gráfica 1 Esta gráfica muestra el

comportamiento de la función f(x)= -2, cuando x tiende a 0. Podemos notar que se va acercando -2, la gráfica tiende a este valor.

Ejemplo de límite de una función Determine el límite indicado para la siguiente función.

A partir de la tabla es posible afirmar que: los valores de f(x) oscilan entre 1 y 0 cuando x se aproxima a 0. Por tanto, la función no tiende a un solo número L, cuando x está cerca de 0 y se concluye que: no existe

Ver gráfica 2.

-2/5 -2/6 0 2/6 2/5

1 0 ? 0 1

dd

En la gráfica se ilustra el comportamiento de la función f(x)= sen (1/x) para valores cercanos a o. Podemos notar que no se acerca a un valor estable. Por lo anterior decimos que no existe el límite de esa función.

Gráfica 2

Límites lateralesEs el límite que indica los acercamiento de x a a por la izquierda o por la derecha. Para determinar el límite de una función es necesario realizar aproximaciones laterales. Para expresar los límites laterales se utiliza una simbología especial, si el acercamiento es por la derecha o por la izquierda.= L se lee límite cuando x tiende a a por la derecha de f(x) es L; esto quiere decir que se tomarán valores mayores que a.= M se lee límite cuando x tiende a a por la izquierda de f(x) es M; estoy significa que se tomarán valores menores que a.

Ejemplo de límites lateralesDetermina los límites laterales de la función g(x)= - - x+3 A partir de la gráfica se obtiene que: = -3, = -3

EjerciciosRealiza una gráfica en la que se cumpla lo siguiente:=M = L

Determina para las siguientes funci0nes los límites laterales indicados:

F(x)= +4 F(x)=

Propiedades de los límitesSi c R es una constante, = L y =M, entonces:∈

= c, el límite de una constante es igual a la

constante. = a, el límite de una variable que tiende a a, es

igual a a. +g(x)]= = L+M, el límite de la suma de dos

funciones es igual a la suma de los límites de las funciones. g(x)]= = L-M, el límite de la diferencia de dos funciones es

igual a la diferencia de los límites de las funciones. = c[)]=c.L; el límite de una constante por la función es igual a la constante por el límite de

la función. = []. [, el límite de un producto de dos funciones es

igual al producto de los límites de las funciones.

Propiedades de los límites == el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente

de los límites de las funciones.=[, si n E ; el límite de la potencia de una función es igual a la

potencia del límite de la función.= , n E ; el límite de una potencia es igual a la potencia

calculada en a.=, n E ; el límite de una raíz es igual a la raíz evaluada en a (si n

es par, entonces, a ≥ 0)

Cálculo de límites aplicando propiedadesPrincipio de sustitución: en algunas

funciones se cumple que: =f(a), es decir, el límite de l función se obtiene al sustituir x por a en la función f(x).

Este método para calcular el límite de las funciones es llamado método de sustitución directa y se aplica a funciones polinomiales, racionales cuyo denominadores no sean cero para el valor considerado y otras funciones.

Ejemplos aplicando el principio de sustitución y las propiedades.Halla el +2x-1 …límite dado (función

polinómica)+2x-1= +2x-1= 4+4-1…resolvimos potencias+2x-1= 7…resolvimos operacionesEntonces, el límite de la función +2x-1 es 7, es decir que cuando x tiende a 2 tanto por la derecha como por la izquierda la función se acerca a 7.

Ejemplos aplicando sustitución directa…límite dado. Como 2(1)-1=1, por tanto, 2x-1

es diferente de 0 cuando x=1. Luego,

=1/1=1 Entonces, = 1

Aplicación de sustitución directaDetermina el límite si h(x)== [ = [ = [

Ejercicios a desarrollarCalcula los siguientes límites aplicando las propiedades:

+ 4x-9• Halla cuando sea posible casa uno de los siguientes

límites. Justifica tu respuesta.

Límites de funciones indeterminadasAl realizar el principio de sustitución en el cálculo de algunos límites, es posible que resulten expresiones como o también indeterminaciones como . Por ejemplo, al realizar la sustitución en resulta la indeterminación . Pero al hallar los límites laterales vemos que sí se acercan a un valor, 8, por ende si existe límite. Entonces, = 8

Límite de funciones racionalesSi P(x) y Q(x) son polinomios de grado n y m, respectivamente, y =, la indeterminación de evita factorizando el numerador P(x) o el denominados Q(x), de modo que el binomio (x-a) se simplifique así: = =

Es decir, para resolver estos tipos de límites se factoriza el numerador o el denominador, si es posible, y luego se simplifica.

Ejemplo de límites de funciones racionales e indeterminadas …límite dado = …indeterminación matemáticaNumerador: diferencia de cuadrados perfectos, =1 (x+1) (x-1)Denominador: trinomio de segundo grado, =x (2)(-1)=2 (2)+(-1)=1 (x+2) (x-1) …luego, simplificamos el factor común (x-1) ..realizamos sustitución directa= 2(/3Por lo tanto, =

Límites de funciones radicalesSi f(x) y g(x) son funciones radicales y = , entonces, la indeterminación se elimina racionalizando el numerador o el denominador o ambos y luego se simplifica la expresión.

Se debe tener en cuenta el conjugado, recordemos que el conjugado de y que al multiplicar algo por el conjugado salen cuadrados.

Ejemplo de funciones radicalesHallar : …límite dado = …realizamos sustitución directa …multiplicamos por el conjugado=… aplicamos que, =a= …simplificamos = …sustitución directa, racionalizamos . ==Entonces, =

Ejercicios de repaso1. Utiliza la definición formal para demostrar los siguientes límites:a) =10b) = 6c) = 182. Halla los siguientes límites si es posible:

d)

BibliografíaMORALES , Miriam et al. Hipertextos

matemáticas. 21 ed. Bogotá: Santillana, 2010. 320 p. ISBN: 978-958-24-1471-9