Matemática - Cuarto Año - 1

3 LÍMITE - Teoría y Ejemplos

Introducción A partir del concepto de límite, podemos analizar el comportamiento de una función tanto en intervalos muy pequeños alrededor de un número real como cuando los valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos permitirá tener una idea más aproximada del gráfico de una función. El estudio del límite de una función es uno de los primeros temas que incluye una rama de la matemática llamada Cálculo (Análisis Matemático). Ella abarca el cálculo infinitesimal, el diferencial y el integral. Se propone mirar el video realizado por el Dr. Adrián Paenza cuyo link es:

Grandes temas de la matemática: Capítulo 10: Noción de límite – Por Adrián Paenza https://www.youtube.com/watch?v=eCB_Jr_VKyg

Límite Finito para x→a

Ejemplo: Dada la función { } ( ) −ℜ − − →ℜ =

+xf : / f xx

2 422

vamos a utilizar su

fórmula simplificada ( ) = −f x x 2 para estudiar qué ocurre con los valores f(x) cuando x toma valores cada vez más próximos a -2, (esto es en un entorno reducido de -2).

x . . . -2,01 -2,001 -2,00001 -2 -1,999 -1,99 -1,9 . . . f(x) . . . -4,01 -4,001 -4,00001 -3,999 -3,99 -3,9 . . .

A partir del gráfico y de la tabla de valores observamos que a medida que x toma valores más próximos a -2 , f(x) toma valores cada vez más cercanos a -4. Esto se escribe matemáticamente como:

( )2

4x

f xlím→−

= − ; que se lee: “ -4 es el límite de f(x)

cuando x tiende a -2 ”.

Para acercarnos más formalmente al concepto de límite necesitamos demostrar que f(x) puede tomar valores “ tan próximos a -4 como se desee ” con tal de tomar x suficientemente próximo a -2. Para ello vamos a considerar un número positivo “ tan pequeño como se quiera ” al que llamaremos ε “ epsilon ” como radio de un entorno de -4, y

Matemática - Cuarto Año - 2

a partir de él debemos encontrar otro número δ “delta”, radio del entorno reducido de -2, en el cual los valores de x toman sus imágenes con una distancia a -4 menor que ε. Conclusión:

( ) ( ) ( ) ( )( ) / ε δ δ ε∗

→−

= − ⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈ ∧ ∈ − ⇒ ∈ −x

f x x x Df x E f x Elím2

4 0, 0 : 2; 4;

Para generalizar hacemos -2 = a y -4 = l y resulta la:

Definición de Límite Finito

( ) ( ) ( ) ( )( ) / ε δ δ ε∗

→

= ⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈ ∧ ∈ ⇒ ∈x a

f x l , x : x Df x E a; f x E l ;lím 0 0

El punto a puede o no pertenecer al dominio de la función, pero en todo entorno reducido de él deben hallarse elementos del dominio de f.

( ) ( ) ε ε ε= − +E l l l; ;

( )δδ

δδ δ

∗∈

< − <

− > ∧ − <

≠ ∧ − + < < +

x E a;

x a

x a x ax a a x a

Análogamente equivale a

0

0

Ejemplo : Demostrar que ( )

→

− =x

xlím3

2 1 5 .

( ) ( )( )( )( )

ε

ε

ε ε

ε ε

∈

− <

− < − <

− + < < +

f x E l ;

f x l

f x l

l f x l

Exigir que equivale a

Matemática - Cuarto Año - 3

( )

( )

( )

f x l

x l

x

x

x

x

− < →

− − < =

− <

− <

⋅ − <

− < = →

( tan pequeño como se desee para

2 1 5 radio del entorno del entorno de 5)

2 6

2 3

2 3

3 radio del entorno de 3, depende de 2

ε ε

ε

ε

ε

εε δ δ ε

( ) ( )Luego: ε ε∗ ∈ ⇒ ∈

x E f x E3; 5;2

Ejemplo: Consideremos la función:

( )

( )

2

1

1 si 1 si 1

?x

x xf x

x x

f xlím→

+ í=

<

=

Si nos acercamos a 1 por la derecha, es decir, por valores de x mayores que 1,

observamos que f(x) tiende a 2 . En cambio, si nos acercamos a 1 por la izquierda, es decir, por valores de x menores que 1, f(x) tiende a 1.

Entonces, ¿cuál es el límite de la función f cuando x tiende a 1, 2 ó 1 ? Al tomar un entorno de 2 vemos que no es posible encontrar un entorno de 1, de tal manera que para cualquier x de este entorno, sus imágenes pertenezcan al entorno de 2 ; entonces 2 no es el límite. Un razonamiento análogo puede hacerse para mostrar que 1 tampoco es el límite. Por lo tanto, no existe el límite de f(x) cuando x tiende a 1, pero sí existen los “ límites por derecha y por izquierda ” del punto 1 a los que llamamos “ límites laterales ”.

Matemática - Cuarto Año - 4

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x

x x

f x x

f x x

lím lím

lím lím

+ +

− −

→ →

→ →

= + =

= =

1 1

2

1 1

1 2 derecha y

1 izquierda

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

x a

x a

f x l x Df a x a f x E l ;

f x l x Df a x a f x E l ;

lím

lím

+

−

→

→

= ∈ ∧ < < + ⇒ ∈<

= ∈ ∧ − < < ⇒ ∈<

Límite por derecha: verifica

Límite por izquierda: verifica

δ ε

δ ε

Conclusión: decimos que una función f(x) tiene límite l cuando x tiende a a si y sólo si los límites por derecha y por izquierda de a coinciden.

( ) ( ) ( ) x a x a x a

f x f x f x llím lím lím+ −→ → →

= = =

“ El límite de una función en un punto, si existe, es único.”

Infinitésimo

f es infinitésimo en el punto a si y sólo si ( ) 0x a

f xlím→

=

Ejemplos:

Propiedades – Álgebra de Límites

( ) ( )x a x a

Si y son números reales, entonces:f x g xlím lím→ →

( )( )( ) ( )

( ) ( ) π

=

= −

=

=

f x x

f x x a

f x sen x

f x cos x

es infinitésimo en 0

es infinitésimo en a

es infinitésimo en 0

es infinitésimo en 2

Matemática - Cuarto Año - 5

( ) ( ) ( ) ( ) x a x a x a

f x g x f x g xlím lím lím→ → →

± = ±

( ) ( ) ( ) ( ) x a x a x a

f x g x f x g xlím lím lím→ → →

⋅ = ⋅

( )( )

( )

( ) ( ) si 0x a

x a x ax a

f xf xg x

g x g x

límlím límlím

→

→ →→

= ≠

( ) ( )

ng x f x n , a = ∈ Si además, la función , con está definida en un entorno de ,

entonces:

( ) ( ) ( )Si 0 n

n

x a x a x af x f x f xlím lím lím

→ → →

≠ ⇒ =

( ) ( ) ( )Si 0 y 0 n

n

x a x a x af x n f x f xlím lím lím

→ → →

= ≠ ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

Si 0 o 0 x ag x

g x

x a x a x a x a

límf x g x f x f xlím lím lím lím →

→ → → →

≠ ≠ ⇒ =

Límite Infinito para x→a Decimos que una función f(x) tiene límite infinito cuando x→ a, si a medida que x

toma valores más próximos a a , | f(x)| toma valores cada vez más grandes:

Definición de Límite Infinito

( ) ( ) ( )*

x af x x E a; f xlím

→

= ∞ ⇔ ∀ > ∃ > ∈ ⇒ > 0 , 0 / si ε δ δ ε

Ejemplo:

Consideremos la función ( ) =f xx1

en un entorno reducido de cero y analicemos la

definición anterior representando los entornos sobre el siguiente gráfico:

Matemática - Cuarto Año - 6

x x

y1

=

1 1

21 2

41 4

. . . . . . . . . . . . . .

101 10

. . . . . . . . . . . . . .

100001 10000

. . . . . . . . . . . . . .

10000001 1000000

Por más grande que sea el valor propuesto de > 0ε siempre es posible encontrar un entorno

reducido de cero donde los valores de la función lo superen. En estas condiciones podemos

concluir que: x xlím→

= ∞0

1 . Además para este ejemplo podemos observar que:

x xx xlím lím+ −→ →

= +∞ = −∞0 0

1 1 y

Nota: la tabla está confeccionada para valores en el semi-entorno a derecha de cero; análogamente se puede trabajar en el semi-entorno a izquierda.

Definición de Asíntota Vertical La recta de ecuación =x a se denomina

Asíntota Vertical al gráfico de la función f si y

sólo sí ( ) x a

f xlím→

= ∞ .

Otros ejemplos:

Matemática - Cuarto Año - 7

{ } ( ) { } ( )

( ) ( )

2 2

0 0

1 1 0 ; 0

x x

f : / f x g : / g x - x x

f x g xlím lím

+ −

→ →

ℜ − →ℜ = ℜ − →ℜ =

= +∞ = −∞

( ) ( ) ( ) ( )δ δ ε δ δ ε∈ − ⇒ > ∈ − ⇒ < −x ; f x x ; f x Límite Finito para x→±∞ Decimos que una función f(x) tiende a un número l cuando x tiende a infinito si a

medida que | x | toma valores cada vez más grandes, f(x) tiende a l.

En este caso escribimos: ( ) x

f x llím→∞

=

( ) ( )ε δ δ ε∀ > ∃ > > ⇒ ∈, / x f x E l ;0 0

Matemática - Cuarto Año - 8

En la función del ejemplo se verifica: ( ) ( ) 2 y 2x x

f x f xlím lím→+∞ →−∞

= =

Definición de Asíntota Horizontal

La recta de ecuación y = l es Asíntota Horizontal al gráfico de f si sólo si

( ) x

f x llím→∞

=

Ejercicio: Dada la función homográfica:

{ } { } ( ) − +ℜ − →ℜ − − =

−xf : / f x

x3 12 3

2 demostrar que las rectas x = 2

e y = -3 son respectivamente asíntotas vertical y horizontal al gráfico de f. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nota: recordar de lo explicado en clase que decimos que un límite está indeterminado cuando

en un comienzo no podemos determinar cuál es su resultado. Éste dependerá de cada caso en

particular. Hasta el momento conocemos las indeterminaciones: ∞

∞ 0 y 0

.

Otras indeterminaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞∞ − ∞ ⋅∞ ∞ .0 0 ; 1 ; 0 ; y 0 En total son

siete las indeterminaciones de límite.

Matemática - Cuarto Año - 9

Límite Infinito para x→±∞

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a más infinito, y

escribimos ( ) x

f xlím→+∞

= ∞ , si a medida que x toma valores cada vez más grandes, | f(x) |

toma valores cada vez más grandes.

( )ε δ δ ε∀ > ∃ > > ⇒ >, / x f x 0 0

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a menos infinito, y

escribimos ( ) x

f xlím→−∞

= ∞ , si a medida que x toma valores negativos cada vez más chicos, |

f(x) | toma valores cada vez más grandes.

( )ε δ δ ε∀ > ∃ > < − ⇒ >, / x f x 0 0

Decimos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito, y

escribimos ( ) x

f xlím→∞

= ∞ , si a medida que x toma valores cada vez más grandes, | f(x) |

toma valores cada vez más grandes.

( )ε δ δ ε∀ > ∃ > > ⇒ >, / x f x 0 0

Ejemplo:

( )

( )

( )

( )δ ε

→+∞

→−∞

= +

+ = +∞

+ = −∞

> ⇒ >

x

x

f x x

x

x

x f x

lím

lím

3

3

3

1

1

1

Matemática - Cuarto Año - 10

Más Propiedades – Álgebra de Límites

( ) ( )Si y con entoncesx a x a

f x g x n nlím lím→ →

= ∞ = ∈ ℜ

( ) ( )

→

± = ∞ x a

f x g xlím

( ) ( ) ( ) 0 x a x a

g x f x g xlím lím→ →

≠ ⇒ ⋅ = ∞

( )( )

x a

f xg xlím

→

= ∞

( )

( ) ( )

Si entonces:

para es y para es 0

x a

n n

x a x a

f x

n f x n f x

lím

lím lím→

+ −

→ →

= +∞

∈ ℜ = +∞ ∈ ℜ =

Un Límite Interesante

( )0

0 indeterminación 0x

sen x?

xlím→

=

Consideramos la circunferencia trigonométrica (de radio la unidad, R=1) en la que se

verifica para el ángulo x medido en radianes:

Matemática - Cuarto Año - 11

( ) ( ) y ab cdsen x ab tg x cdR R

= = = =

Para valores de 02

x ;π ∈

, es decir, 02

x π< < , se verifica que:

( ) ( ) < < sen x x tg x

si dividimos la desigualdad por 0sen( x )> en el intervalo

( )( )( )

1tg xx

sen x sen x< <

( )( )

( ) ( )1

sen xxsen x cos x sen x

< <⋅

( ) ( )11 x

sen x cos x< <

Si hacemos: 0 1 1

xlím→

= y ( )0

1 1xlím

cos x→= luego podemos concluir:

( )0 1

x

xlímsen x→

=

Análogamente vamos a considerar los siguientes resultados:

( ) ( )( )0 0 0

1 , 1 y 1x x x

sen x tg x xlím lím límx x tg x→ → →

= = =

Ejemplo:

( ) ( )0 0

1 2 2 2x x

sen x sen xlím lím

.x .xπ π ππ

π→ →= ⋅ ⋅ =

Matemática - Cuarto Año - 12

Límite en Funciones Exponencial y Logarítmica

Observemos como escribimos con límite el comportamiento de estas funciones : Exponencial

( ) ( ) con 1 con 0 1x xf x a a f x a a= > = < <

0

0

x xx x

x xx x

lím a lím a

lím a lím a→−∞ →−∞

→+∞ →+∞

= = +∞

= +∞ =

Logarítmica

( ) ( ) con 1 con 0 1a a

f x x a f x x alog log= > = < <

Matemática - Cuarto Año - 13

0 0

a ax x

a ax x

lím x lím

lím x lím x

log loglog log

+ +→ →

→+∞ →+∞

= −∞ = +∞

= +∞ = −∞

Indeterminación: ( ) 1∞

( ) ( ) ( )( )

Si 1 y , entonces , es indetermiado.g x

x xx

f x g x lím f xlím lím→∞ →∞

→∞

= = ∞

Consideremos la función cuya fórmula es ( ) 11f xx

= + y tratemos de analizar por qué es

1 1 indeterminación 1x

x xlím ∞

→∞

+

.

Podemos pensar que si elevamos 1 a cualquier exponente, el resultado de la potencia

siempre será 1. Pero sabemos, por concepto de límite, que la base de esa potencia no es 1 sino un número cada vez más próximo a él.

Recurramos a los límites vistos en la página anterior. Cuando x → + ∞ , si la base de la potencia es un número menor que uno, el límite

será cero. Pero, si la base de la potencia es mayor que uno, el límite será más infinito. Luego, ¿cuál es el límite?. En principio este límite está indeterminado. Cuándo x → − ∞ se puede hacer un razonamiento similar que nos lleva también a la conclusión de que el límite es indeterminado.

Para trabajar con este tipo de indeterminaciones vamos a utilizar el siguiente

resultado: 1 1 x

xe

xlím→∞

+ =

. Y también este otro: ( )1

0 1 x

xx elím

→

+ = .

El número e, que debe su nombre al matemático alemán Leonard Euler. El número e es un número real, dentro de estos es irracional y trascendente, lo cual

quiere decir que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes de números racionales. Su valor es de 2,718281828459045..., tiene infinitos decimales y estos no son

periódicos. Resulta muy ilustrativo e interesante mirar con atención el siguiente video.

Grandes temas de la matemática: Capítulo 5: Número e – Por Adrián Paenza

https://www.youtube.com/watch?v=ds8oBDVqhBc

Matemática - Cuarto Año - 14

Asíntota Oblicua

Más arriba definimos la Asíntota Vertical y la Asíntota Horizontal. Nos toca ahora hablar del tercer tipo de asíntota que es la Asíntota Oblicua, aquella cuya ecuación será la de una función lineal. En determinadas funciones, cuando x tiende a infinito, f(x) no se estabiliza (asíntota horizontal) pero tampoco crece indefinidamente, sino que lo hace siguiendo una línea recta llamada Asíntota Oblicua – como ilustra la figura:

Definición de Asíntota Oblicua La recta de ecuación y m.x b= + es una Asíntota Oblicua al gráfico de y f ( x )= si:

[ ]m= y x x

f ( x )lím b lím f ( x ) m.xx→∞ →∞

= − finitos con m≠0.

En el ejemplo, la función es 2

3 3x xf ( x ).x+

=−

que presenta dos asíntotas, una vertical y

otra oblicua. Demostrar que las ecuaciones de las asíntotas vertical y oblicua son respectivamente 1 21 y

3 3x y x= = + .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matemática - Cuarto Año - 15

Un caso particularmente frecuente se con las funciones racionales P( x )f ( x )Q( x )

= ya

que:

Pueden tener asíntotas verticales en las raíces del denominador: soluciones de 0Q( x ) = .

Tienen asíntotas horizontales si el grado de 0P( x ) = es menor o igual que el grado de 0Q( x ) = .

Tienen una asíntota oblicua siempre que el grado de 1 grado de P( x ) Q( x )= + .