lÍmite de una funciÓn en un punto. · en ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproxima...

1º Bachillerato Matemáticas I Tema 8:Límites y continuidad Ana Pascua García

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1.- CONCEPTO DE LÍMITE. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. En ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproxima una función cuando la variable independiente toma valores "próximos a" un número real dado. Para ello es necesario introducir un nuevo concepto matemático, el de límite de una función en un punto. 1.1 Definición intuitiva de límite: Sean b a, ℜ∈ ,y f(x) una función real de variable real; la expresión

b f(x)limax

=→

quiere decir que siempre que x tome valores próximos al

número a, tanto mayores como menores, los correspondientes valores de la función f , se aproximan al número b. Ejemplo: Dando valores cada vez más próximos a los puntos indicados, estima el valor de los siguientes límites:

( ) ( ))())5) limlimlim

10

2

2

xEntcx

xsenbxa

xxx →→→+

Puede comprobarse fácilmente que: - en el caso a) el límite es 9 - en el caso b) el límite es 1 - en el caso c) no existe el límite, ya que la función se aproxima a dos valores diferentes cuando la x toma valores menores o mayores a 1. Véase la gráfica siguiente:


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1.2 Límites laterales. Como se ha observado en el ejemplo c) , en ocasiones la función alcanza valores diferentes por la derecha o por la izquierda de un punto. Por eso es necesario definir los límites laterales. Definición: Límite lateral de f(x) en x = a por la izquierda, es el valor b al que se aproxima la función cuando la variable x tiende al valor a, aproximándose por valores menores que a. Se denota bxf

ax

=−→

)(lim .

El límite lateral de f(x) en x = a por la derecha, es el valor b al que se aproxima la función cuando la variable x tiende al valor a, aproximándose por valores mayores que a. Se denota bxf

ax

=+→

)(lim .

Si los límites laterales de la función en un punto, existe y coinciden, entonces diremos que existe el límite de la función en ese punto, y coincide con ese valor. Es decir, si:

� existen los límites laterales )(lim xfax −→

y )(lim xfax +→

� y su valor coincide =

−→

)(lim xfax

)(lim xfax +→

,

Entonces, )(lim xf

ax −→

= )(lim xfax +→

= )(lim xfax→

Ejemplo: Observa la gráfica de la siguiente función y di cuáles son los límites laterales de la función en x = 2. Calcula también f(2).

5)2( =f

5)(lim2

=−→

xfx

2)(lim2

=+→

xfx

Como los límites laterales no coinciden , no existe el límite de la función en x = 2


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Ejercicio: Observa la gráfica y completa:

a) f(a1) )(lim

1

xfax −→

)(lim1

xfax +→

)(lim1

xfax→

b) f(a2) )(lim2

xfax −→

)(lim2

xfax +→

)(lim2

xfax→

c) f(a3) )(lim3

xfax −→

)(lim3

xfax +→

)(lim3

xfax→

d) f(a4) )(lim4

xfax −→

)(lim4

xfax +→

)(lim4

xfax→

e) f(a5) )(lim5

xfax −→

)(lim5

xfax +→

)(lim5

xfax→

Observando los resultados de los resultados anteriores, estudia el dominio, la imagen y la continuidad de la función. 1.3 CÁLCULO DE LÍMITES. INDETERMINACIONES El primer paso para el cálculo del límite de una función en un punto, consiste en sustituir el valor de la variable en la función, y realizar las operaciones indicadas. Pueden darse las siguientes situaciones: 1.- Se obtiene un valor real, que es el límite buscado. 3

296

63159

65

lim2

3

−=−=+−=

+−

→ x

xxx

2.- Se obtiene una cantidad arbitrariamente grande, pero puede calcularse el límite.

05

65

65

lim =∞+

=+∞

=++∞→ xx

3.- Aparecen expresiones que no son reales, ni resulta inmediato saber a qué valor tiende el límite.

00

331818

362

lim2

3=

−−=

−−

→ x

xxx

La expresión 00

no es real, recibe el nombre de

indeterminación


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En el cálculo de límites podemos encontrarnos las siguientes situaciones, que no son indeterminaciones, y es importante tener claro.

Indeterminación: Es una expresión que no tiene sentido en R, y deberemos utilizar técnicas apropiadas para resolverla. Tipos de indeterminación:

0,0

≠kconk

00

∞∞

∞·0 ∞−∞ ∞1 0∞ 00

Veamos cómo resolver cada tipo de indeterminación.

Tipo Ejemplo k > 0 +∞=∞=

+∞→

44lim xx

k∞

k < 0 0

114

44lim =∞+

=∞

=∞= −−

+∞→x

x

k >1 +∞== ∞

+∞→22lim x

x

∞k 0< k <1 ( ) ( ) 02/12/1lim == ∞

+∞→

x

x

k > 0 +∞=+∞=+∞→

)·(3)3(lim xx

∞·k k < 0 −∞=+∞−=−

+∞→)·(5)5(lim x

x

∞k

03

4

35lim =

∞+=

+∞→ xx

∞∞ ( ) ( ) +∞=∞=−∞=− ∞∞

→33lim 2

3

x

xx

∞∞ · +∞=∞∞=∞= ∞

+∞→···lim eex x

x

∞+∞ +∞=∞+∞=++∞→

)( 3lim xxx

∞+k +∞=∞+−=+−+∞→

3)3(lim xx


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1.- Indeterminación 0,0

≠kconk

El resultado de esta indeterminación será ∞± , para saber qué valor le corresponde, hallaremos los límites laterales; si éstos coinciden, el límite toma dicho valor, en caso contrario, no existe el límite

Ejemplo: 3

5lim existe No

05

35

lim

05

35

lim

05

35

lim3

3

3

3 +−→

−∞=−=+

−

+∞=−=+

−

→−=+

−−→

+−→

−−→

−→

+

−

xx

xx x

x

x

x

2.a- Indeterminación 00

con funciones racionales

Se resuelve factorizando numerador y denominador, simplificando, y calculando el límite en la expresión simplificada. Ejemplo:

( )( )( )( )( ) ( ) 1

22

1)3(

lim11

)3(1lim

11)34(

lim1

34lim

00

134

lim

11

2

12

23

1

2

23

1

−=−=+−=

+−−−=

+−+−=

−+−

=−

+−

→→→→

→

x

xx

xx

xxx

xx

xxx

x

xxx

x

xxx

xxxx

x

2.b- Indeterminación 00

con funciones irracionales

Se resuelve multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada del radical o radicales que aparezcan, y se calcula el límite en la expresión simplificada. Ejemplo:


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2.c- Indeterminación 00

con funciones trigonométricas.

En otras ocasiones puede ser necesario utilizar otros recursos, véase el límite de esta función trigonométrica.

3.- Indeterminación ∞∞

Se resuelve la indeterminación dividiendo numerador y denominador por la potencia de mayor grado de la variable que aparece en el denominador. Simplificamos la expresión y hallamos el límite de dicha expresión. Ejemplo 1: (Con funciones irracionales)

010

61

21

61

21

lim6

1

2

lim6

2

lim62

lim

62

lim

01

2

=

∞+

∞−

∞=+

−=

+

−=+

−

=+−

∞∞=

+−

=→

∞

∞→∞→∞→∞→

∞→

x

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxxx

x

Ejemplo 2 : (Con funciones racionales) Se procede de la misma forma, pero en este caso podemos predecir el resultado del límite estudiando los grados de los polinomios numerador y denominador.

∞∞=

∞→ )()(

lim xQ

xP

x

⇒

=

∞±

0 será límite el [Q(x)], Grado quemenor ]es [P(x) Grado Si c)

es, esto r,denominadoy numerador

del sprincipale escoeficient los de cociente el será límite el [Q(x)], Grado ] [P(x) Grado Si b)

polinomios los de sprincipale escoeficient los de signos los de odependiend

, será límite el [Q(x)], Grado quemayor es ] [P(x) Grado Si a)

n

n

b

a


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Es decir:

Ejemplos:

−∞=

∞+−

∞=+−

−=+−

−

=+−

−

∞∞=

+−−

∞→∞→∞→

∞→

61

61

2lim

6

2

lim6

2lim

62

lim)

2

23

23

23

x

xx

x

xx

xx

x

xx

x

xxa

xxx

x

34

63

24

63

24

lim63

24

lim63

24lim

6324

lim)

5

3

5

5

5

25

5

25

5

25

−=

∞+−∞

−=

+−

−=

+−

−

=+−

−

∞∞=

+−−

∞→∞→∞→

∞→

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

xxb

xxx

x

03

06

3

24

63

24

lim63

24

lim63

24lim

6324

lim)

15

1310

15

15

15

25

15

25

15

25

=−

=

∞+−

∞−

∞=+−

−=

+−

−

=+−

−

∞∞=

+−−

∞→∞→∞→

∞→

x

xx

x

xx

xx

x

xx

x

xxc

xxx

x

4.- Indeterminación ∞·0 Suelen aparecer cuando hallamos el límite del producto de dos funciones f( x) y g(x) y 0)(lim0)(lim ==

→→xgyxf

axax resuelve la indeterminación operando, y

simplificando hasta transformarla en una indeterminación del tipo 00

o ∞∞

Ejemplo: ( ) ∞==−−

−→

·001

·02

1·2lim 22 xx

xx

( ) ( )( )↑

→→→→=

+=

+−−=

−−−=

−−−

00

31

11

lim1·2

2lim

22

lim2

1·2lim

222222 xxx

x

xx

x

xxx

xxxx


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5.a Indeterminación ∞−∞ con funciones racionales Se resuelve la indeterminación operando, y simplificando, normalmente se

transforma en una indeterminación del tipo 00

o ∞∞

o 0k

Ejemplo: ∞−∞=−=

−−

−→ 01

01

31

91

lim 22 xxx

( )

límite el existe No

05

92

lim

0

5

9

2lim

92

lim931

lim3

19

1lim

23

23

0

5232323

→

−∞=−=

−−−

+∞=−=

−−−

=

−−−=

−+−=

−−

−+→

−→

−→→→

+

−

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

x

xxx

5.b Indeterminación ∞−∞ con funciones irracionales Se resuelve la indeterminación multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada y se simplifica antes de hallar de nuevo el límite. Ejemplo:

( ) ∞−∞=−++∞→

xxxx

2lim 2

( ) ( )( ) ( )

111

2

11

1

2

12

1

2lim

2

2

lim2

2lim

2

2lim

2

2lim

2

22lim2lim

2

22

2

22

2

22

2

2

222

=+

=+

∞+

=++

=++

=++

=

=++

−+=++−+=

++++−+=−+

+∞→+∞→

∞∞

+∞→

+∞→+∞→+∞→+∞→

xx

x

x

xxx

x

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xxx

xxxx

5.c Indeterminación ∞−∞ con funciones trigonométricas. Se resuelve la indeterminación transformando la expresión usando las relaciones entre las razones trigonométricas y simplificando.

Ejemplo: ∞−∞=−=

−→ 20

1cos

1lim

2

ππ

tgtgxxx

0

0

222cos

1lim

coscos

1lim

cos

1lim =−=

−=

−→→→ x

senx

x

senx

xtgx

x xxxπππ

0

(La última indeterminación está resuelta en el caso 2.c)


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6.- Indeterminación ∞1

Aparece al calcular [ ] ( ) )(lim)( )(lim)(limxg

ax

xg

ax

axxfxf →

→→=

Para poder resolver esta indeterminación es necesario conocer el número e, que se

obtiene como límite al que converge la sucesión cuyo término general es n

n na

+= 11

718282.2....59045235367182818284.21

1lim ≈==

+∞→

en

n

n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 50 100 200 300

(1-1/n)^n 2,00 2,25 2,37 2,44 2,49 2,52 2,55 2,57 2,58 2,59 2,65 2,67 2,69 2,70 2,71 2,71 Gráficamente:

En general: Si ∞=∞→

)(lim xfx

, entonces, exf

xf

x=

+∞→

)(

)(1

1lim

Ejemplo: ∞∞+

∞→=

=

−+

122

2212

lim12x

x x

x

3

)12(·22

3lim

3

22)12(·

22

3·

3

22

12

12121212

22

36lim

3

221

1lim

3

221

1lim

3

221

1lim22

31lim

22

22121lim1

22

121lim

22

12lim

eexx

xxx

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

==

−+=

−+=

−+==

−+=

−+−++=

−−++=

−+

−+

∞→

∞→

+−−

∞→

+−

−

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

Este tipo de límites también pueden resolverse mediante esta expresión :


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2.- RAMAS INFINITAS: ASÍNTOTAS Y RAMAS PARABÓLICAS Cuando hacemos tender la x a infinito, es decir, nos alejamos indefinidamente por el eje de abscisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproximarse cada vez más a una dirección (asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite (rama parabólica).

En la figura se observan algunos de los casos que analizaremos con detalle a continuación

Observa la "peculiar definición de asíntota" de la izquierda. Refleja de una forma clara qué es asíntota: una recta , por lo tanto horizontal, vertical u oblicua, a la que se aproxima cada vez más la función, sin llegar a tocarla.


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2.1.- Tipos de asíntotas Asíntotas verticales:

Éstas son las distintas situaciones que podríamos encontrar si f(x) está definida a ambos lados de x = a

Criterio práctico: Las posibles asíntotas verticales de una función:

� racional, se localizan en los valores de x donde se anula el denominador. � logarítmica, se localizan en los puntos extremos de su dominio de definición.

Nota: Una vez que sabemos dónde puede haber asíntotas verticales, hay que comprobar que el límite de la función en dicho punto es ∞+ o ∞− .

Para situar la función respecto a la asíntota vertical x = a, hallaremos los límites laterales en x = a.

Podríamos encontrarnos todas estas situaciones al intentar hallar una asíntota vertical:

Nota: Es muy importante que entiendas que la función jamás puede cortar una asíntota vertical.


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Asíntotas horizontales:

Si una función f(x) tiene Asíntota Horizontal en y = l , se podrían dar las siguientes situaciones:

Si observas las gráficas anteriores comprobarás que es muy importante saber si la función se aproxima a la asíntota por encima o por debajo. Para situar correctamente la función respecto de la asíntota estudiaremos el signo que tiene lxf −)( cuando x tiende a ∞± . � Si ( )lxf

x−

±∞→)(lim > 0 → f(x) se sitúa sobre la asíntota cuando ±∞→x

� Si ( )lxfx

−±∞→

)(lim < 0 → f(x) se sitúa bajo la asíntota cuando ±∞→x

Nota: A diferencia de lo que ocurre con las asíntotas verticales, en ocasiones la gráfica de la función puede cortar a una asíntota horizontal, ya que la función sólo se aproxima a la recta cuando ±∞→x . (Véase el segundo gráfico de los ejemplos anteriores).


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Asíntotas oblicuas

Es decir, la función no presenta asíntota horizontal, ya que )(lim xf

x ∞→ no es finito, y se

aproxima a una recta oblicua de ecuación y = mx + n

m es la pendiente de la recta n es la ordenada en el origen

Para situar la función respecto a la asíntota estudiaremos el signo de f(x) - (mx + n) cuando ±∞→x

� Si ( )[ ]nmxxfx

+−±∞→

)(lim > 0 → f(x) se sitúa sobre la asíntota cuando ±∞→x

� Si ( )[ ]nmxxfx

+−±∞→

)(lim < 0 → f(x) se sitúa bajo la asíntota cuando ±∞→x

Nota: Si una función tiene asíntota horizontal cuando ±∞→x , entonces no tendrá asíntota oblicua. Por lo tanto como es más "sencillo" calcular las asíntotas horizontales, siempre las calcularemos antes y solo si no hay asíntotas horizontales, comprobaremos si tuviera asíntotas oblicuas. Criterio práctico: Una función racional presenta asíntotas oblicuas si el grado del numerador es uno más que el del denominador


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3.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Intuitivamente, diremos que una función es continua si podemos trazar o recorrer su gráfica sin levantar la mano del papel, ni encontrarnos ningún obstáculo (indefiniciones, saltos, asíntotas.....) Sin embargo, podemos estudiar de una forma más precisa la continuidad de una función en un punto, en un intervalo o incluso en su dominio de definición, y eso lo haremos a través de los límites. 3.1.- Continuidad de una función en un punto

3.2.- Continuidad de una función en un intervalo abierto. Diremos que una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. Si la función es continua en todo su dominio, entonces diremos que la función es continua. 3.3.- Operaciones de funciones continuas Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en x = a, podemos afirmar que:

� f(x) + g(x) es continua en x = a � f(x) · g(x) es continua en x = a

� )()(

xg

xf es continua en x = a , siempre que g(a) 0≠

� f(g(x)) es continua en x = a, si f es continua en g(a)

3.4.- Propiedades de las funciones continuas: Las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, con radicales y trigonométricas son continuas en todo su dominio, luego presentarán discontinuidades en los puntos en los que no estén definidas, es decir, los que no pertenezcan al dominio de definición de la función, y por lo tanto en estos puntos habrá que estudiar con detalle y con ayuda de los límites el tipo de discontinuidad que presentan.


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3.4.- Tipos de discontinuidad Existen varios tipos de discontinuidades:

Las discontinuidades evitables se llaman así, porque podrían solventarse redefiniendo la función en un punto, bien porque no estuviera definida o bien porque la imagen de la función en dicho punto no coincide con el valor de los dos límites laterales en dicho punto, que son iguales y finitos.

La función no está definida en x = 1 La discontinuidad se evita redefiniendo:

>−≤

=123

1)(

3

xsix

xsixxf

lÍmite de una funciÓn en un punto. · en ocasiones interesa saber hacia qué valor se aproxima...

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