licenciatura física trabajo de diploma
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Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad Matemática Física Computación
Departamento de Física
Licenciatura Física
Trabajo de Diploma
Propuesta y análisis de un modelo matemático para
la determinación de la calidad del agua de aguas
superficiales
Autor: Jorge Alberto Cárdenas Pestana
Tutor: MSc. Víctor M. Mujica Marcelo
Santa Clara, año 2016
Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central Marta
Abreu de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la
especialidad de Física, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución,
para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que
además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la
Universidad.
_____________________
Firma del autor
Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según
acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos
que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
___________________ _____________________
Firma del Tutor Firma del Jefe Dpto.
MSc. Víctor M. Mujica Marcelo Dr. Kenia Herrera Lemus
Dedicatoria
A mis padres, a mi abuela y a mi hermano, por ser “mi familia” y por haberme indicado el
camino para convertirme en el ser humano que hoy soy.
A mi novia por su paciencia, su apoyo, su comprensión y dedicación hacia a mí.
A la vida
Al Medio Ambiente
Agradecimientos
A mis padres, por ser bujías inspiradoras, ejemplos a seguir y por haberme educado de la
forma que lo hicieron.
A mi novia pos su apoyo ilimitado todo este tiempo.
A mi tutor Víctor Mujica, por ser un gran maestro y un gran amigo, por apoyarme y darme
fuerzas para seguir adelante.
A la Dra. Yanelis Estrada, por creer en mí y por impulsarme en el plano profesional de mi
vida.
A la Revolución y a las Fuerzas Armadas Revolucionarias por haberme formado y dado la
oportunidad de estudiar esta carrera.
Al Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos (INRH) por su contribución en la
obtención de los datos.
A los Doctores Agustín García, Lorgio F. Batard, Lucía Argüelles y al Lic. Juan Manuel
Navarro, por su apreciada ayuda incondicional en todo momento.
A mis amigos y compañeros de aula por haber compartido juntos momentos únicos e
inolvidables durante estos cinco años de la carrera.
I
Resumen
En este trabajo se efectúa, mediante el estudio de modelos de la calidad del agua, la
propuesta de un modelo conceptual generalizado de la calidad del agua, específicamente
del oxígeno disuelto (OD), para aguas superficiales cubanas. Para ello se analiza
exhaustivamente los métodos analíticos y numéricos de solución del caso estacionario, así
como el método predictor-corrector de MacCormack para el caso transitorio del sistema
acoplado de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Una vez realizado este análisis, se
aplican base de datos de un caso real de estudio al modelo conceptual propuesto,
atendiendo a las consideraciones tomadas y a las mediciones hechas, para luego acudir al
análisis e interpretación estadística de los resultados que permitan o no la validación del
modelo. Los resultados revelan que no existen diferencias significativas entre los valores
reales y los tratados teóricamente, por lo que el modelo generalizado propuesto reproduce
aceptablemente las condiciones reales existentes en el río bajo estudio para una
confiabilidad del 95%.
II
Abstract
In this paper takes effect, through the study of water quality models, the proposal of a
generalized conceptual water quality model, specifically of the Dissolved Oxygen (DO), to
surface cuban waters. For that it‟s exhaustively analyze the analytical and numerical
solution methods of the steady state, as well as the predictor-corrector MacCormack
method to the non steady state of the second order diferential equations coupled system.
Once realice this analysis, data bases of a real case of study are applied to the proposed
conceptual model, attending to the taken considerations and the existent measurements, to
then yield to the analysis and statistical interpretation of the reults that permit or not the
model‟s validation. The results reveal it doesn‟t exist meaning differences between reals
and theoretical treated values, and that‟s why the model reproduce acceptably the existent
real conditions in the river under study for a 95% of reliability.
ÍNDICE
Resumen .................................................................................................................................. I
Abstract .................................................................................................................................. II
Introducción ............................................................................................................................ 1
CAPÍTULO I: FUNDAMENTOS TEÓRICOS ACERCA DE LA MODELACIÓN DE LA
CALIDAD DEL AGUA ......................................................................................................... 6
1.1 Volumen de Control Finito. ..................................................................................... 6
1.2 Ley de conservación de la masa. ............................................................................. 7
1.3 Balance de masa en sistemas naturales. ................................................................... 8
1.4 Transporte de contaminantes en ríos. Advección y dispersión. ............................. 10
1.5 Modelación de la calidad del agua. ........................................................................ 13
1.5.1 Clasificación de los modelos de la calidad del agua. ..................................... 14
1.5.2 Importancia. .................................................................................................... 15
1.5.3 Modelos más importantes en uso.................................................................... 16
1.6 Modelo Streeter-Phelps. ......................................................................................... 16
1.6.1 Historia y evolución del modelo. .................................................................... 16
1.6.2 Consideraciones. ............................................................................................. 17
1.6.3 Desarrollo matemático. ................................................................................... 17
1.7 Limitaciones. .......................................................................................................... 23
1.8 Conclusiones parciales. .......................................................................................... 23
CAPÍTULO II: PROPUESTA DE MODELO CONCEPTUAL .......................................... 24
2.1 Aguas superficiales. Ríos. ...................................................................................... 24
2.1.1 Clasificación. .................................................................................................. 24
2.1.2 Características fundamentales de los ríos. ...................................................... 25
2.1.3 Ríos de Cuba. .................................................................................................. 26
2.2 Procesos físicos, químicos y biológicos ................................................................ 27
2.2.1 Oxígeno Disuelto (OD) .................................................................................. 27
Niveles Esperados ......................................................................................................... 29
Determinación del OD .................................................................................................. 30
2.2.2 Demanda Bioquímica de Oxígeno (DBO)...................................................... 30
Determinación de la DBOC y DBON ........................................................................... 32
Determinación de la carga dispersa uniforme lineal de DBOC y DBON ..................... 34
2.2.3 Demanda de Oxígeno de los Sedimentos (DOS)............................................ 35
Determinación de la DOS ............................................................................................. 36
2.2.4 Fotosíntesis y Respiración .............................................................................. 38
Determinación de aporte de oxígeno por fotosíntesis ................................................... 39
Determinación por respiración de organismos acuáticos .............................................. 41
2.2.5 Determinación de las constantes cinéticas del modelo ................................... 42
Constantes de remoción de la DBOC (kr) y de la DBON (krn) ..................................... 42
Coeficiente de desoxigenación carbonosa (kd) .............................................................. 43
Coeficiente de desoxigenación nitrogenada o de nitrificación (kn) ............................... 44
Coeficiente de reaereación (ka) ..................................................................................... 44
Corrección por temperatura de las constantes cinéticas ................................................ 47
2.3 Otros parámetros .................................................................................................... 48
2.3.1 Concentración de Saturación de Oxígeno ...................................................... 48
2.3.2 Tiempo Recorrido ........................................................................................... 49
2.3.3 Déficit Inicial de Oxígeno (Do) ...................................................................... 49
2.4 Propuesta del Modelo Conceptual ......................................................................... 49
2.5 Consideraciones y limitaciones.............................................................................. 52
2.6 Conclusiones parciales ........................................................................................... 53
CAPÍTULO III: ANÁLISIS Y RESULTADOS .................................................................. 54
3.1 Caso estacionario (permanente) ............................................................................. 54
3.2 Caso transitorio (no permanente) ........................................................................... 57
3.2.1 Método de MacCormack para el caso transitorio (no permanente)................ 58
3.3 Criterios de estabilidad .......................................................................................... 60
3.4 Caso real de aplicación .......................................................................................... 61
3.4.1 Río Almendares .............................................................................................. 61
Consideraciones ............................................................................................................ 61
Modelo modificado de Streeter-Phelps como caso particular del Modelo Conceptual
Generalizado.................................................................................................................. 62
3.5 Análisis e interpretación estadística de los resultados del modelo aplicado .......... 62
3.6 Conclusiones parciales ........................................................................................... 68
CONCLUSIONES ................................................................................................................ 70
RECOMENDACIONES ...................................................................................................... 71
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 72
ANEXOS .............................................................................................................................. 74
Lista de Figuras
Figura 1:a) Volumen de control finito fijado en el espacio con el fluido moviéndose a través
de él. b) Volumen de control finito moviéndose con el fluido de forma tal que el mismo
fluido de partículas este en el mismo volumen de control. .................................................... 7
Figura 2: a) Elemento infinitesimal de fluido fijado en el espacio con el fluido moviéndose
a través de él. b) Elemento infinitesimal de fluido moviéndose a través de las líneas de flujo
con velocidad igual a la velocidad del flujo local en cada punto (Anderson, 1995). ............ 7
Figura 3: Perfil de la velocidad en un canal (Zhen - Gang, 2008) ....................................... 11
Figura 4: Componentes de la curva de la comba de oxígeno (Grizzard, 2007) ................... 18
Figura 5: Volumen de control de un río ............................................................................... 19
Figura 6: Variación del déficit con el tiempo ....................................................................... 22
Figura 7: Porcentaje de DBO extraído del agua (línea continua) y porciento de DBO
restante en el agua (línea discontinua) con kd = 0.23 día -1
(Zhen - Gang, 2008)................. 32
Figura 8: Dispositivos de medida de la DBO, métodos manométricos (a), medida directa
con sonda (b) y electrolítico (c) (Gil - Rodríguez, 1998) ..................................................... 33
Figura 9: Representación conceptual del flujo de OD .......................................................... 52
Figura 10: Representación conceptual de la malla numérica de un caso unidimensional
(Jimenez Jaramillo, 2008)..................................................................................................... 56
Lista de Tablas
Tabla 1: Cuencas de interés nacional ................................................................................... 26
Tabla 2: Ríos más importantes de Cuba (EcuRed) ............................................................... 27
Tabla 3: Rangos de concentración de OD y consecuencias ecosistémicas frecuentes
(Goyenola, 2007) .................................................................................................................. 28
Tabla 4: Requerimiento mínimo de OD ............................................................................... 28
Tabla 5: Valores reportados de “A” (Rojas, 2013) ............................................................... 37
Tabla 6: Valores típicos para SB* a 20 según el tipo de sedimento ................................... 37
Tabla 7: Valores propuestos para la ecuación de la clorofila a ............................................ 40
Tabla 8: Valores de los parámetros empíricos para el coeficiente de reaereación ............... 47
Tabla 9: Estimación del coeficiente de reaereación a partir de las descripciones de las
corrientes y factor de purificación a 20oC ............................................................................ 47
Tabla 10: Valores de θ .......................................................................................................... 48
Tabla 11: Prueba W de Shapiro-Wilk de la primera campaña. Datos modelados................ 66
Tabla 12: Prueba W de Shapiro-Wilk de la primera campaña. Datos de las mediciones de
campo. .................................................................................................................................. 66
Tabla 13: Prueba paramétrica t para muestras independientes de la primera campaña. ...... 66
Tabla 14: Prueba W de Shapiro-Wilk de la segunda campaña. Datos modelados ............... 67
Tabla 15: Prueba W de Shapiro-Wilk de la segunda campaña. Datos de las mediciones de
campo. .................................................................................................................................. 67
Tabla 16: Prueba paramétrica t para muestras independientes de la variable D de la segunda
campaña ................................................................................................................................ 67
Tabla 17: Prueba no paramétrica de Mann-Whitney para muestras independientes de las
variable DBOC y DBON de la segunda campaña. ............................................................... 68
1
Introducción
El agua es un recurso natural indispensable para la vida. Constituye una necesidad
primordial para la salud, por ello debe considerarse uno de los derechos humanos básicos.
En las sociedades actuales el agua se ha convertido en un bien muy preciado, debido a la
escasez que presenta; es un sustento de la vida y además el desarrollo económico está
supeditado a la disponibilidad de esta. El ciclo natural del agua tiene una gran capacidad de
purificación, pero esta misma facilidad de regeneración y su aparente abundancia hace que
sea el vertedero habitual de residuos: pesticidas, desechos químicos, metales pesados,
residuos radiactivos, etc. La contaminación de las aguas es un problema antiguo pero desde
el siglo pasado se ha extendido este problema a ríos y mares de todo el mundo.
La contaminación del agua debe entenderse como un concepto relativo, asociado a las
características físicas, químicas y biológicas que impiden o dificultan su uso según las
aplicaciones a las que vaya destinada. En la naturaleza, el agua en estado líquido no se
encuentra en estado puro, sino que va incorporando diversas sustancias desde su caída a la
superficie de la tierra como agua de lluvia hasta que llega al mar, a lo largo del ciclo del
agua. Durante este recorrido, el agua va disolviendo gases y compuestos minerales, y va
incorporando partículas en suspensión de naturaleza inorgánica y orgánica, etc. Finalmente,
el agua es utilizada por el hombre para el suministro propio y para usos agrícolas,
industriales y recreativos, impurificándose de forma considerable. Por ello, en sentido
estricto, el agua que se encuentra a disposición del ser humano está contaminada, y será su
aptitud o inaptitud para un uso determinado lo que determinará su calificación de
contaminada para ese uso (Martín - Monerris and Marzal - Doménech, 2010).
El origen de la contaminación de las aguas hay que buscarlo en procesos naturales pero,
sobre todo, en la actividad humana. La contaminación inducida por el hombre es un
fenómeno antiguo; la industrialización y el crecimiento demográfico y urbanístico han
agravado considerablemente el problema en muchas regiones, más aún, al no tenerse en
cuenta el mantenimiento de las condiciones naturales de forma que no se perturbe el
funcionamiento de los ecosistemas.
El conjunto de características físicas, químicas y biológicas de un determinado tipo de agua
define su calidad. En los ríos, estos componentes no permanecen estáticos, sino que tienen
una dinámica particular e interactúan de tal manera que favorecen el establecimiento de
procesos físicos, químicos y biológicos que dan lugar a cambios en el comportamiento de
esa calidad. La magnitud de tales cambios suele ser controlada de manera natural por
mecanismos de autorregulación o recuperación que los mantiene dentro de ciertos ámbitos
de variación que conocemos como equilibrio del ecosistema acuático. Sin embargo, este
equilibrio puede ser alterado por factores naturales externos al cuerpo de agua en cuestión,
producto de las actividades humanas (de Victorica - Almeida, 1996). Los ríos han sido
considerados como la principal fuente de disposición de descargas de contaminantes.
2
Claramente, los ríos poseen varios rasgos atractivos como un medio de disposición de
aguas residuales:
Transporte de aguas residuales hacia el océano.
Dilución y dispersión debido al mezclado rápido.
Baja sedimentación y resuspensión con extendimiento del sedimento sobre un área
grande.
Condiciones turbulentas que causan una rápida reaereación.
Sin embargo, pese a estas ventajas existen muchos cambios indeseables en la flora y la
fauna. La mayoría de estos cambios son a través de la descarga de materia orgánica (DBO),
la cual da como resultado un decrecimiento en la concentración de oxígeno disuelto. Los
modelos de calidad del agua de los ríos, no son más que relaciones entre la velocidad de
descarga y la concentración del oxígeno disuelto (OD) (Regalado - Méndez et al., 2008).
Por ello desde una perspectiva integral del manejo de los recursos hídricos, es conveniente
conocer la influencia o impacto ambiental, sobre el entorno y en particular en la calidad del
agua de los cursos receptores que las obras de infraestructura, actos administrativos
(otorgamiento de derechos de agua), manejo agrícola y silvícola, o cualquier proyecto de
inversión en una cuenca hidrográfica producen o eventualmente producirían. De aquí que el
tema y estudio de la modelación de la calidad de aguas superficiales goce de una amplia
repercusión y de gran auge en la actualidad.
A nivel mundial se desarrolla una amplia actividad de control de la calidad de aguas
superficiales (ríos, estuarios, lagos) con la aplicación de distintos modelos matemáticos de
autopurificación (de acorde a las condiciones existentes) para sustentar la planificación de
estrategias sanitarias, predecir su impacto en la calidad del agua y recuperar ecosistemas.
Consideraciones acerca del transporte, el orden y el carácter de las reacciones que tienen
lugar en el cuerpo receptor, las características de la contaminación, su forma de
incorporación al sistema y el método para solucionar las ecuaciones planteadas, son
algunos de los algoritmos de resolución de los modelos (Petroni, 2000).
Muchos de los modelos de contaminantes no conservativos de estado permanente (steady-
state), utilizados para estimar la calidad del agua en ríos, son extensiones de las ecuaciones
clásicas propuestas por Streeter-Phelps (1925) y son llamados modelos modificados de
Streeter-Phelps.
Desde la década del 80 del pasado siglo, en Cuba se reconoció la aplicabilidad del clásico
modelo de Streeter-Phelps para describir el proceso de autodepuración en corrientes
cubanas. J.M. García y J. Gutiérrez (1982) emplearon el modelo para estudiar el tercio
inferior del río Damuji en Cienfuegos, J.M. García y col (1982) y Santiago (1984) lo usaron
para los ríos Martín Pérez y Cojimar de la ciudad de La Habana. J. M. García (1985) lo
utilizó para describir el comportamiento del OD y la DBO en el río de Sagua la Chica de
3
Sancti Spiritus, mientras que G. Ruiz y colaboradores (1992) aplicaron el modelo en los
últimos tramos del río San Juan en Matanzas.
En 1989, J. M. García recopiló y sistematizó la información fundamental existente sobre las
características del proceso de autodepuración en corrientes cubanas y propuso una
metodología para el empleo del modelo simplificado de Streeter-Phelps y para el cálculo de
la carga máxima asimilable a partir de este.
Hay que tener en cuenta que en ninguna de las corrientes estudiadas el modelo fue validado
lo que limita su empleo en la planificación de estrategias de manejo del agua y los
residuales, y la elaboración de estrategias de saneamiento (Catasús, 2004).
En la presente década, las características de la contaminación en los ríos cubanos es similar.
La componente carbonosa continúa siendo dominante y los residuales reciben en el mejor
de los casos tratamiento primario.
En el año 2002 E. Perigó y colaboradores emplearon la modelación de la calidad del agua
para estudiar la contaminación del río Casas. En este estudio aplicaron modelos
matemáticos conservativos obtenidos como resultado de la solución de la ecuación de
balance de materia por métodos numéricos. En ese mismo año, M. Pérez calibró modelos
de calidad del agua para la bahía de Matanzas. En el 2004 Judith Domínguez realizó un
estudio en el rio Almendares con el empleo de trazadores radiactivos o radiotrazadores al
igual que Valcárcel y col en el río de Luyanó en el año 2010. Este último trabajo es la
referencia más reciente que se conoce sobre la aplicación de modelos de la calidad del agua
en Cuba.
Hoy en día en nuestro país, en el balance de la gestión medioambiental, persisten errores y
deficiencias, provocados por la insuficiente conciencia y educación ambiental, la carencia
de una exigencia mayor en la gestión, la limitada introducción y generalización de los
resultados de la ciencia y la tecnología y la aún insuficiente incorporación de la dimensión
ambiental en las políticas, planes y programas de desarrollo. De forma general, existe un
nivel alto de vertimiento de contaminantes a las aguas superficiales debido a la mala
política de algunas industrias y empresas que no tienen cuenta el importante aspecto que es
la calidad del agua superficial en los ecosistemas cubanos, ni las consecuencias que trae
consigo el vertimiento desmedido de contaminantes. De esta forma la calidad del agua de
los espacios naturales se ve alterada y los impactos sobre ella deben ser evaluados, la forma
más adecuada son los modelos de calidad de aguas. Es por eso que el objetivo general de
esta investigación es: proponer un modelo matemático de calidad del agua superficial de
acuerdo con las características de los ríos cubanos.
Para dar cumplimiento a este objetivo se proponen los siguientes objetivos específicos:
1. Dominar la historia del arte, las herramientas matemáticas y software necesarios
que permitan la crítica y análisis de modelos matemáticos de la calidad del agua.
4
2. Proponer un modelo conceptual de la calidad del agua que permita de acuerdo a la
norma cubana de fuentes de abasto y a las condiciones técnicas y naturales
existentes en nuestro entorno, su aplicación.
3. Desarrollar una comparación estadística entre los valores reales y los modelados
por el modelo propuesto, a partir de la aplicación de diferentes bases de datos y de
las técnicas estadísticas apropiadas.
Estos objetivos hacen que se plasmen la siguiente pregunta de investigación:
¿Puede el modelo conceptual generalizado, propuesto, a partir de las condiciones
existentes, dar una medida adecuada a nuestras necesidades de solvencia del control de la
calidad de las aguas superficiales?
Dado que en la actualidad el Estado continúa promoviendo el establecimiento de
tecnologías dirigidas a reducir al mínimo la contaminación en cursos de agua, y sin
embargo, dispone de recursos limitados y necesita del análisis costo-beneficio; se espera,
con los resultados de esta investigación, iniciar los estudios y aplicaciones de los modelos
matemáticos de la calidad del agua superficial, proponiendo un modelo matemático acorde
a las condiciones naturales y socioeconómicas existentes en nuestra localidad, teniendo en
cuenta que el modelo debe estar en correspondencia con el objetivo a alcanzar, las
características del sistema y la información disponible.
Debido a la variabilidad del modelado de los parámetros, un modelo universal generalizado
debe ser muy complejo. Los modelos complejos describen con más exactitud las
condiciones reales de los sistemas y las predicciones con ellos tienden a ser más valiosas.
Sin embargo requieren personal y tecnología altamente calificados, un gran número de
datos y por tanto un mayor costo. Consecuentemente, modelos más simples que consideran
solo los procesos más importantes tienden a ser más populares (Palmer, 2001). Por tanto
par que un modelo de calidad de las aguas pueda ser aplicado confiablemente para predecir
las condiciones de diversos parámetros en el futuro, tiene que cumplir con una condición
básica: reproducir aceptablemente las condiciones (Castagnino, 1975).
Para dar cumplimiento a los objetivos trazados, la tesis se encuentra estructurada de la
siguiente forma:
Capítulo I
Este capítulo presenta la descripción de los fundamentos teóricos de la investigación
necesarios para el análisis de los modelos matemáticos de la calidad de aguas superficiales,
tales como volumen de control finito, ley de conservación de la masa, balance de masa en
sistemas naturales, transporte de contaminantes por advección y dispersión, modelación del
calidad del agua, modelos más importantes en uso y tendencias actuales. Por último se
realiza un análisis del modelo clásico de Streeter-Phelps y se da paso al tema de
investigación.
5
Capítulo II
El objetivo de este capítulo es definir el término de aguas superficiales, dentro del cual
entran los ríos, estuarios, lagos y embalses, para luego realizar una descripción de cada
variable y parámetro físico, químico y biológico del modelo a proponer, así como de su
determinación empírica. Seguidamente se formaliza y analiza la propuesta del modelo
matemático conceptual de la calidad del agua atendiendo a las condiciones
socioeconómicas existentes en nuestro país y se establecen las consideraciones y
limitaciones de este. Se llegan a conclusiones parciales.
Capítulo III
En este capítulo se analizan las soluciones analíticas y numéricas de los casos estacionarios
y transitorios, así como los métodos empleados en su obtención. A continuación se analiza
la aplicación de un caso real del modelo conceptual con las consideraciones a tener en
cuenta en el río Almendares. Para esto, se aplican base de datos de dos campañas de
mediciones, se analizan los gráficos resultantes y se interpretan los datos a partir de las
técnicas estadísticas apropiadas. Se analizan los resultados y se llega a conclusiones
parciales.
6
CAPÍTULO I: FUNDAMENTOS TEÓRICOS ACERCA DE LA
MODELACIÓN DE LA CALIDAD DEL AGUA
Para adentrarnos en el mundo de la modelación de calidad de las aguas es necesario
conocer una serie de conceptos físico-matemáticos y de modelación, así como procesos
químicos y biológicos que permitan al investigador conocer la base teórica inicial de
cualquier modelo de la calidad del agua y así poder desarrollar sus ideas acerca de lo que se
propone. Se tratarán temas como volumen de control finito, ley de conservación de la masa,
balance de masa en sistemas naturales, transporte de contaminantes por advección y
dispersión, modelación del calidad del agua, clasificación de los modelos de la calidad del
agua, modelos más importantes en uso y tendencias actuales. También se analizará de
forma detallada el modelo clásico de Streeter-Phelps a modo de introducción en el tema de
la modelación físico-químico-matemática de las aguas.
1.1 Volumen de Control Finito.
Consideremos un campo de flujo representado por sus líneas de corriente en la figura 1.
Imaginemos un volumen cerrado dentro de una región finita del flujo y definamos V como
un control de volumen y S como un control de superficie que está definido como la
superficie cerrada que limita dicho volumen. El volumen de control puede ser fijado en el
espacio haciendo que el fluido pase a través de él, como muestra la figura 1a).
Alternativamente, este volumen de control puede analizarse de forma tal que se mueva con
el fluido, es decir, que las mismas partículas estén siempre dentro de este volumen de
control, como muestra la figura 1b). En cada caso, el volumen de control es una región
finita del flujo lo suficientemente grande y los principios físicos fundamentales se aplican
al fluido dentro del volumen de control y al fluido que cruza la superficie de control (si el
volumen de control está fijado en el espacio). Por lo tanto, en vez de mirar en todo el
campo de flujo de una vez, nos limitamos a centrar nuestra atención solamente en el fluido
dentro de la región del volumen de control. Las ecuaciones de flujo que se obtienen
indirectamente aplicando los principios físicos fundamentales a un volumen de control
finito están en forma diferencial. Las ecuaciones obtenidas del volumen de control finito
fijado en el espacio (figura 2 a)), en forma integral o diferencial, son llamadas las formas
conservativas de las ecuaciones gobernantes. Las ecuaciones obtenidas del volumen de
control finito que se mueve con el fluido (figura 2 b)), en forma integral o diferencial, son
llamadas las formas no conservativas de las ecuaciones gobernantes en el sistema de
estudio.
7
a) b)
Figura 1:a) Volumen de control finito fijado en el espacio con el fluido moviéndose a través de él. b) Volumen de
control finito moviéndose con el fluido de forma tal que el mismo fluido de partículas este en el mismo volumen de
control.
Figura 2: a) Elemento infinitesimal de fluido fijado en el espacio con el fluido moviéndose a través de él. b)
Elemento infinitesimal de fluido moviéndose a través de las líneas de flujo con velocidad igual a la velocidad del
flujo local en cada punto (Anderson, 1995).
El análisis del volumen de control finito tiene como bases las leyes fundamentales de la
física, como son, la conservación de la masa, la segunda ley de Newton y la primera y
segunda ley de la termodinámica. Estas leyes forman a su vez la base teórica de la
hidrodinámica y están presentes en los estudios de la calidad del agua (Zhen - Gang, 2008).
En el caso específico de la ley de conservación de la masa, esta representa la base para la
modelación de la calidad del agua, pues se puede conocer la cantidad que entra, la que se
acumula en el sistema y la que sale, de forma bastante acertada.
1.2 Ley de conservación de la masa.
La ley de conservación de la masa o ley de Lomonósov-Lavoisier es una de las leyes
fundamentales en todas las ciencias naturales. Como su nombre lo indica, la masa es la
misma (se mantiene constante) ante cualquier transformación en el sistema ya que esta no
se crea ni se destruye. A menudo esta ecuación es expresada en una ecuación de balance de
masa o de materia (ecuación de continuidad) (Zhen - Gang, 2008), la cual indica la cantidad
de flujo de masa entrante en un volumen de control y el flujo de masa que sale del mismo
teniendo en cuenta la reacción que ocurre dentro del sistema. Para un fluido incomprensible
(densidad constante) en un volumen de control finito, el flujo de agua entrante es igual al
flujo de agua saliente. Este concepto de flujo incomprensible se aplica de forma bastante
acertada a aguas superficiales debido a que bajo ciertas condiciones el cambio de densidad
8
en el cuerpo de agua es tan pequeño que se puede tomar constante con bastante acierto. La
representación de la ecuación de balance de masa queda:
(1.2.1)
Con frecuencia, en la hidrodinámica, la ecuación de conservación de la masa se demuestra
y se aplica a una columna de agua o volumen de control finito que permite que las variables
entren y dejen este volumen o queden almacenados dentro de él, pero su forma o posición
en el espacio no cambian. Para una columna de agua dada, la afluencia menos el desagüe
debe ser igual al cambio del volumen durante el tiempo. La ecuación (1.2.1) puede quedar
reescrita como:
( ) ( )
Donde
Acumulación de masa
Tasa de masa en el flujo
Tasa de masa fuera del flujo
Tasa neta de producción de todas las fuentes y sumideros
Incremento del tiempo
Para desarrollar la ecuación en términos de flujo de masa (velocidad a la que la masa entra
o deja la columna de agua), la ecuación (2) se divide por el incremento de tiempo, dt, lo
cual nos lleva a la siguiente ecuación de balance de masa para el agua (o un contaminante
particular)
( ) ( )
La fórmula anterior es la ecuación básica para la conservación de la masa y es usada de
forma extensiva en hidrodinámica y en estudios de la calidad del agua (Zhen - Gang, 2008).
1.3 Balance de masa en sistemas naturales.
Como habíamos mencionado anteriormente el núcleo de cualquier modelo de la calidad del
agua son los balances de masa. Estos se aplican a cada sustancia que se encuentre como
objeto de estudio o de interés. Pueden ser contaminantes químicos, biológicos, oxígeno
disuelto, fósforo, microorganismos, etc.; según el tipo de problema en estudio.
La concentración de cualquier sustancia en un punto cualquiera de un sistema natural ha de
cumplir la ecuación fundamental de conservación de la materia. Así, la ecuación diferencial
que representa la variación de concentración de un contaminante al cabo de un tiempo, que
se encuentra disuelto en un elemento diferencial de volumen es:
9
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
) ( )
Donde
Concentración del contaminante, mg/L o mol/L.
Tiempo, s
Componentes del vector velocidad real del agua; velocidad longitudinal,
transversal y vertical, m/s.
Componentes del tensor de dispersión en el seno del fluido; coeficientes de
dispersión longitudinal, transversal y vertical, m2/s.
Fuente o sumidero del contaminante, por unidad de volumen de fluido y de tiempo,
mg/ L∙s ó mol/ L∙s.
Esta ecuación muestra que en un sistema completamente mezclado,
Describamos los términos de la ecuación (1.3.1):
Acumulación: El primer miembro de la ecuación (1.3.1) representa la acumulación de
materia en el elemento diferencial de volumen, es decir, la variación de la concentración
presente con respecto al tiempo. La acumulación viene expresada como la suma de las
entradas menos las salidas del elemento diferencial de volumen originadas por el transporte
advectivo-dispersivo (advección-dispersión), más un término genérico de fuente/sumidero
que más adelante se explicara con más detalles.
Transporte por advección: Los términos en velocidad del segundo miembro de la
ecuación (1.3.1) representan el transporte por advección. La advección se refiere al
transporte horizontal por los flujos que mueven partes del material contaminante, pero no
los distorsiona significativamente ni los diluye, en una primera aproximación se puede
decir que el contaminante se mueve casi sin mezclarse con el cuerpo de agua describiendo
un flujo en pistón. El término que aparece en la ecuación representa la diferencia entre las
entradas y salidas del elemento diferencial de volumen por este concepto.
Transporte por dispersión: El término dispersión en la hidrodinámica hace referencia a la
propagación del contaminante debido a la dispersión mecánica, al mezclado turbulento y a
la difusión molecular.
Término de fuente/sumidero: El último término del segundo miembro de la ecuación
(1.3.1) representa todas las posibles entradas y/o salidas de la sustancia en estudio no
asociadas al transporte advectivo-dispersivo que puedan producirse por unidad de tiempo y
de volumen de fluido. A su vez, también se divide en tres procesos fundamentales: el
término de asentamiento, el término reactivo y el término carga. El término de
10
asentamiento representa el establecimiento de partículas en el fondo y la resuspensión de
estas hacia la superficie. El término reactivo se refiere a los procesos químicos y/o
biológicos que toman lugar dentro de la columna de agua y el término carga indica la
existencia de fuentes externas en el sistema.
Si el término de fuente/sumidero agrupa sólo entradas y salidas simples, el contaminante
considerado es conservativo y su estudio puede realizarse simplemente en base a la
resolución de la ecuación (1.3.1). En el caso de contaminantes no conservativos es
necesario incluir además, los términos de generación y/o desaparición de contaminante por
todos los procesos físicos, químicos y biológicos. En este término deberán incluirse las
ecuaciones cinéticas y de equilibrio que describen dichos procesos (Martín - Monerris and
Marzal - Doménech, 2010). En las ecuaciones aparecerá la concentración del contaminante
bajo estudio y la de cualquier otra especie con la que interactúe física, química o
biológicamente. La única forma de representar la evolución de un contaminante que se
encuentra bajo la influencia de otro es considerar simultáneamente las ecuaciones que
describen los procesos físicos, químicos y biológicos. A este sistema de ecuaciones
diferenciales se le conoce como sistemas acoplados. La demanda bioquímica de oxígeno
(DBO) y el OD, polifosfatos y ortofosfatos; oxidaciones de ciertas formas de nitrógeno son
ejemplos de sistemas acoplados (Castagnino, 1975).
1.4 Transporte de contaminantes en ríos. Advección y dispersión.
El transporte de contaminantes forma una parte fundamental de los modelos de la calidad
del agua. Cuando una carga de contaminante se vierte en un sistema acuático, está sujeta a
procesos de transporte que modifican la concentración del contaminante. Los principales
factores que determinan la concentración del contaminante son el transporte hidrodinámico
y las reacciones químico-biológicas.
El transporte hidrodinámico actúa para desplazar el contaminante de la locación donde son
vertidos. Por otra parte, algunos contaminantes, como la descarga de aguas residuales,
pueden degradarse en el cuerpo de agua si están lo suficientemente diluidas. Para estos
contaminantes, un comportamiento suave de la velocidad del agua y un mezclado lento y
débil puede resultar en excesivas concentraciones llevando así a un aumento del impacto
adverso en el medio ambiente. El transporte hidrodinámico incluye los siguientes procesos:
(a) advección, (b) dispersión y (c) mezclado vertical y convección. El material en los
sistemas acuáticos puede ser transportado por uno o por todos estos procesos (Zhen - Gang,
2008).
Como se ha discutido anteriormente, la advección es el transporte horizontal de las
propiedades del agua (por ejemplo, temperatura y concentración de nutrientes). En los ríos
y estuarios, el transporte por advección con frecuencia representa el proceso primario de
transporte de contaminantes en la dirección longitudinal. La advección lateral en un río es
usualmente pequeña. En canales rectos (figura 3), el perfil de velocidad indica que el
11
máximo de velocidad advectiva ocurre en el medio del canal y el mínimo cerca de la orilla.
La advección lateral promueve la dispersión a través del río.
En la literatura tiende a tomarse el concepto de convección como sinónimo de advección, lo
cual no es así; en contraste con la advección, el proceso de convección se refiere al
transporte vertical del agua y de los contaminantes (Zhen - Gang, 2008). En aguas
superficiales este tipo de transporte, usualmente, es muy pequeño.
Figura 3: Perfil de la velocidad en un canal (Zhen - Gang, 2008).
La evaluación del transporte advectivo requiere la determinación del campo de velocidades
del agua en el sistema natural. Para ello existen diversas soluciones, desde la simple
descripción empírica de las velocidades a partir de datos de campo, hasta el uso de
complejos modelos hidrodinámicos tridimensionales que resuelven simultáneamente las
ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento, continuidad, hidrostáticas y de
estado, en las tres direcciones del espacio. El problema a estudiar determinará el método de
evaluación de las velocidades. Así, por ejemplo, en estudios donde sea importante la
evolución a largo plazo o en estado estacionario únicamente será necesario disponer de
valores medios de las velocidades (Martín - Monerris and Marzal - Doménech, 2010). Si
solo existiera este proceso de advección en los ríos, el contaminante viajaría a la misma
velocidad del agua y la extensión ocupada por él sería constante.
Por otra parte, la interacción de la difusión turbulenta con un perfil definido de la velocidad
en la columna de agua provoca un mayor grado de mezcla. Este fenómeno se conoce como
dispersión. Otra forma de entender este proceso es como un mecanismo de transporte
causado por las fluctuaciones de la velocidad respecto a la media del fluido. Los gradientes
de velocidad del agua se originan por esfuerzos cortantes en las fronteras del sistema
(rozamiento con el fondo y paredes laterales, acción cortante del viento en la interfase aire-
agua, etc.) y por la morfología de canales y poros, por la sinuosidad de un río o por la
estratificación térmica. Cuando una parte del fluido que contiene sustancias disueltas
cambia de posición debido a la difusión turbulenta, este se encuentra en una zona con una
velocidad distinta, mayor o menor, que la que tenía. La porción de fluido desplazada y las
sustancias contenidas en ella se difunden, dependiendo de la concentración en las fronteras.
Si el flujo es laminar, el coeficiente de dispersión es el coeficiente de difusión molecular.
Para flujo turbulento, el coeficiente de dispersión engloba la difusión molecular, turbulenta
y dispersión. La evaluación de estos coeficientes no es tarea sencilla.
12
En la hidrodinámica el estudio de la dispersión se divide en dos conceptos: mezclado
turbulento y difusión molecular.
Difusión molecular: La difusión molecular es el desplazamiento aleatorio de las
moléculas de solutos entre las moléculas de agua debido al movimiento browniano
de las partículas. En la práctica se observa una homogenización de las partículas en
la solución, de manera que el efecto es como si las moléculas se “desplazaran”
desde las zonas de mayor concentración a las de menor, por lo que siempre que
exista un gradiente de concentración, se dará este fenómeno. Es un proceso
extraordinariamente lento que no suele ser importante a efectos prácticos en el
estudio de sistemas naturales.
Difusión turbulenta: La difusión turbulenta hace referencia al transporte de
sustancias disueltas y pequeñas partículas causada por turbulencias a pequeña
(micro) escala. Se trata de un transporte advectivo a microescala producido por
fluctuaciones turbulentas de la velocidad instantánea. Dichas fluctuaciones están
producidas por los esfuerzos cortantes que se dan en el interior de las masas de
agua. Su magnitud es varias veces superior a la difusión molecular. Puede darse en
las tres direcciones del espacio, pero suele ser anisotrópica. (Martín - Monerris and
Marzal - Doménech, 2010)
Los ríos naturales difieren de un canal rectangular uniforme de varias formas: la
profundidad varía irregularmente, el canal tiende a ser cóncavo, y las orillas del río también
tienden a ser irregulares. Estas irregularidades en la orilla tienen un mayor efecto en la
dispersión lateral de un río. Generalmente cuando mayor es la irregularidad, más rápido
ocurre el mezclado lateral. Un aspecto prominente en estos torrentes es la disipación
longitudinal: el transporte y propagación de contaminantes corriente abajo desde una fuente
puntual. Cuando un trazador es liberado en un río, dos procesos distintos controlan el
transporte del trazador: el flujo advectivo se encarga de llevar al trazador lejos del punto
donde se liberó y la dispersión turbulenta extiende y diluye la concentración de este(Zhen -
Gang, 2008).
Matemáticamente el flujo advectivo se expresa como:
Donde:
Flujo advectivo
Velocidad advectiva
Concentración del reactante
y la dispersión se representa por el término:
13
(
)
Donde:
Flujo dispersivo
Coeficiente de dispersión
Concentración del reactante
En fin, los procesos de mezclado lateral y vertical determinan cuanto demora un
contaminante en estar completamente mezclado en el río y el flujo de velocidad controla el
tiempo requerido por una partícula para atravesar los límites de este. Es por eso que debido
al flujo del río, el proceso de transporte dominante es la advección y el proceso de
dispersión en ríos suele ser menos importante en el transporte de contaminantes. El efecto
de dispersión puede ser ignorado en el análisis de la descarga de un contaminante a un río.
Uno de los aspectos por lo que esta consideración es posible es por la relación existente
entre el transporte advectivo y el transporte dispersivo, que viene dado por el número de
Peclet, el cual es un término adimensional que tiene lugar una vez aplicado el análisis
dimensional de longitud y concentración que intervienen en estos procesos (Martín -
Monerris and Marzal - Doménech, 2010).
Si el número de Peclet es alto (> 10), el transporte es predominantemente advectivo,
mientras que si es bajo (< 0.1) la mezcla longitudinal es importante y el sistema tiende a la
mezcla completa. Este análisis inicial permite estimar rápidamente que proceso es el
predominante en el río y simular en consecuencia (Martín - Monerris and Marzal -
Doménech, 2010).
1.5 Modelación de la calidad del agua.
Los modelos de calidad del agua tienen por finalidad determinar las nuevas concentraciones
de contaminantes del cuerpo de agua en cada punto y a lo largo del lapso de interés, cuando
las condiciones de modificación y el estado primitivo son conocidos (Castagnino, 1975).
De acuerdo a lo anterior, podemos establecer que dicho modelo es la herramienta adecuada
para la predicción del comportamiento de la calidad del agua en un río u otro cuerpo de
agua. Por lo tanto, corresponderá a un set de expresiones matemáticas que definen los
procesos físicos, biológicos y químicos que tienen lugar en dicho cuerpo de agua. Las
ecuaciones están basadas fundamentalmente en la conservación de la masa y/o energía, de
tal forma que existen tres fenómenos: ingreso de contaminantes al cuerpo de agua desde el
exterior del sistema, el transporte, ya sea por advección y/o dispersión en dependencia de
las características hidrodinámicas e hidrológicas del cuerpo de agua, y las reacciones que
ocurren en el cuerpo de agua. Para que un modelo de calidad de aguas pueda ser aplicado
confiablemente, para la predicción de las condiciones de los diversos parámetros, tiene que
14
cumplir, obviamente, con la condición básica de reproducir aceptablemente las condiciones
actuales (Castagnino, 1975). El problema, en sí, es fundamentalmente tridimensional e
impermanente, lo que lo hace difícil de abordar. Esta condición hace que el desarrollo de
modelos de calidad de aguas sea una ciencia y un arte
Los procesos fundamentales que rigen la calidad de agua de un cuerpo acuático, ya sea
fluvial o lacustre, son los hidrológicos, geomorfológicos, cinética de reacción de los
parámetros, los térmicos y los bioquímicos. Los procesos hidrológicos deben entenderse,
como aquellos exclusivamente relativos a la hidrología del cuerpo de agua, como aquellos
referidos al comportamiento hidrodinámico.
1.5.1 Clasificación de los modelos de la calidad del agua.
La mayoría de los modelos de la calidad del agua son generalmente matemáticos. Un
modelo matemático es una ecuación o un conjunto de ellas que relacionan parámetros de
entrada y variables para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones
difíciles de observar en la realidad; basados en suposiciones y simplificaciones específicas
del sistema real que está siendo modelado.
Los modelos de la calidad de las aguas se pueden clasificar de las siguientes formas:
Empíricos o mecanicistas: Un modelo empírico es desarrollado a partir de un análisis de
una base de datos primaria. Los modelos empíricos están basados más en el ajuste de un
conjunto de datos que en principios teóricos. Los modelos mecánicos, por otro lado, son
propuestos para descripciones matemáticas de principios teóricos. Debe de enfatizarse que
un buen modelo no presenta ambas características, pero es posible clasificar la mayoría de
los modelos de acuerdo a un fuerte fundamento, tanto empírico como teórico.
Simulación u optimización: Los modelos de simulación son diseñados para describir el
funcionamiento de un sistema. Los modelos de optimización son usados para encontrar la
mejor solución (mínimo o máximo) en algún aspecto (con frecuencia, son tomados en
cuenta las variables costo y calidad medioambiental).
Estático o dinámico: Estos términos se refieren a la presencia o ausencia de la
dependencia temporal. Los modelos estáticos o de estado permanente (“steady state” en
inglés) describen un comportamiento que es constante en el tiempo; la variación parcial con
respecto al tiempo en cada punto de los parámetros y variables es cero. Los modelos
dinámicos describen un comportamiento que si varía con el tiempo, por lo que esta variable
tiene que ser tomada en cuenta en la formulación.
Parámetro aglomerado o parámetro distribuido: Estos términos se refieren a la
presencia o ausencia de la dependencia espacial. Los modelos de parámetro aglomerado
son cero dimensionales en el espacio; ellos están basados en la suposición de condiciones
uniformes a través del sistema modelado. En contraste, los modelos de parámetro
distribuido, se desarrollan para describir los sistemas con condiciones variables en una o
más de una dimensión espacial.
15
Los modelos de parámetro distribuido son categorizados también, de acorde a como ellos
representan el mundo real en términos de resolución espacial. Los modelos
unidimensionales son considerados los más simples. Ellos simulan el comportamiento
vertical o longitudinal del cuerpo de agua. Los modelos de dos dimensiones simulan
cualquier comportamiento transversal (o profundidad del cuerpo de agua) y longitudinal.
Los modelos tridimensionales son los más complejos e intentan simular el comportamiento
del sistema entero teniendo en cuenta todo tipo de movimiento de las aguas. La decisión de
que modelo usar está usualmente limitada por la cantidad de datos disponibles y del
objetivo de la modelación bajo estudio.
Deterministas o estocásticos: Los modelos deterministas usan valores esperados para
todos los parámetros y variables, y llegan a predicciones que son también valores
esperados. Los modelos estocásticos incorporan variabilidad, y posiblemente error, en las
funciones de densidad de probabilidad para parámetros y/o variables seleccionados,
resultando así, una función de densidad de probabilidad para la predicción.
Transversal o longitudinal: Los modelos transversales describen el comportamiento entre
diferentes casos, en contraste con los modelos longitudinales, los cuales describen el
comportamiento para un solo cuerpo de agua a la vez. Como reglamentación los modelos
transversales tienden a presentar un carácter empírico, mientras que los modelos
longitudinales pueden ser empíricos o mecanicistas (Riecken, 1995).
1.5.2 Importancia.
Con el fin de realizar una mejor planificación de obras de saneamiento básico se emplea la
simulación de calidad del agua, este tipo de herramientas facilita el determinar la capacidad
asimilativa de los cuerpos de agua superficial. La simulación permite determinar el
comportamiento físico-químico y microbiológico del receptor de vertimientos y llegar a
predecir las condiciones ante cambios en la descarga, caudal del río, clima, etc., este hecho
facilita la identificación de los puntos más críticos en cuanto a calidad y permite tomar las
acciones correctivas y evaluar el efecto de estas, ahorrando tiempo y esfuerzos económicos
en lo que respecta al tipo de tratamiento.
16
1.5.3 Modelos más importantes en uso.
Al proceso de desarrollo de una comunidad humana, van ligado tres etapas secuenciales de
contaminación del agua fluvial. La primera es la contaminación por patógenos producto de
descarga de aguas residuales domésticas no tratadas a cursos fluviales, la segunda
corresponde a una contaminación a mayor escala debido a la progresiva industrialización de
las cuencas, caracterizada fundamentalmente por niveles elevados de DBO (Demanda
Bioquímica de Oxígeno) y de SS (sólidos en suspensión). La tercera etapa corresponde al
crecimiento industrial en las cuencas, que va asociada a una contaminación química, en la
cual los contaminantes de interés pasan a ser los metales pesados, sustancias no degradables
y nutrientes entre otros.
La evolución de los modelos de calidad del agua fluvial ha seguido muy cercanamente las
etapas mencionadas anteriormente y han ido desarrollándose aún más con la introducción
de la tecnología. Algunas de las tendencias actuales en la modelación de la calidad del agua
son:
Tendencias actuales.
Desarrollo de pantallas gráficas de comunicación con el usuario (entorno
Windows, por ejemplo).
Desarrollo de modelos biológicos cuyos parámetros varían en función de la
evolución del tipo de microorganismos presente.
En modelos de eutrofización: introducción de varias especies de fitoplancton,
introducción de más elementos de la red trófica: zooplancton, peces
planctívoros, peces piscívoros.
Empleo de modelos basados en redes neuronales (Martín - Monerris and Marzal
- Doménech, 2010).
1.6 Modelo Streeter-Phelps.
Un hito histórico corresponde "El estudio de la polución y purificación natural del río
Ohio" (Streeter and Phelps, 1925),que presenta la primera modelación de Oxígeno Disuelto
y Demanda Bioquímica de Oxígeno (OD-DBO) para un río. Este modelo puede
considerarse el "padre" de todos los modelos que posterior y actualmente se siguen
elaborando.
1.6.1 Historia y evolución del modelo.
Un estudio de los fenómenos de oxidación y reaereación en el río Ohio en los Estados
Unidos fue publicado por el ingeniero sanitario Harold Warner Streeter y el asesor y
experto sanitario Earl Bernard Phelps. El estudio se basó en una data experimental obtenida
de mayo de 1914 a abril de 1915 por la United States Public Health Services bajo la
supervisión del cirujano W.H. Frost.
17
Versiones más complejas del modelo Streeter-Phelps fueron introducidas durante los años
60 donde las computadoras hicieron posible incluir más contribuciones a la evolución del
oxígeno en las corrientes. En la cima de estas contribuciones estuvieron O‟Connor (1960) y
Thomann (1963). O‟Connor añadió la contribución de la fotosíntesis, respiración y
demanda de oxígeno sedimentado (DOS). Thomann expandió el modelo para que estuviera
habilitado para múltiples sistemas (Qinggai, 2013).
1.6.2 Consideraciones.
El modelo simple de Streeter-Phelps está basado en la hipótesis de que la descarga de
contaminantes en una fuente puntual dada es constante, la tasa de flujo es constante y la
sección transversal es uniforme. Las concentraciones lateral y vertical de oxígeno y DBO se
asumen uniformes a través de cualquier sección transversal y se mueven o se comportan
como un reactor ideal de un flujo en pistón de tal forma que los residuos están
uniformemente repartidos en la sección transversal del río y que no se produce mezcla a lo
largo del eje de este (es razonable siempre que el flujo del río no sea muy turbulento). Otras
suposiciones básicas son que la desoxigenación y la reaereación son reacciones de primer
orden, las velocidades de reacción son constantes, y el cambio neto del déficit de oxígeno
(D) es función solamente de la desoxigenación y la reaereación atmosférica por la
absorción del gas a través de la interfaz aire-líquido, realizándose ambas simultánea e
independientemente una de otra (Orlob, 1983). El proceso de distribución del contaminante
se puede considerar en estado permanente debido a que las cargas de contaminación no
varían sensiblemente día tras día y se desea conocer las concentraciones de oxígeno
disuelto a lo largo del curso del río.
1.6.3 Desarrollo matemático.
Al descargar materia orgánica en un cuerpo de agua, la corriente se desoxigena y se va
obteniendo un déficit en el contenido de oxígeno, aguas abajo la corriente empieza a
reoxigenarse debido a la transferencia de oxígeno con la atmósfera hacia el cuerpo de agua;
el déficit de oxígeno es igual a la concentración de saturación (Cs) menos la concentración
actual (C):
( )
donde Cs es función de la temperatura.
La figura 4 muestra una curva que es el resultado del efecto combinado de la
desoxigenación y de la reaereación. La curva de desoxigenación es la curva de la DBO
(estabilización de la materia orgánica), la cual empieza en un máximo y va disminuyendo
hasta llegar a casi cero (línea roja continua). La reaereación por su parte empieza con
velocidad cero, se considera que al principio la corriente está saturada con oxígeno (el
contenido de materia orgánica es cero); la velocidad de la reaereación es siempre
proporcional al déficit, la velocidad se incrementa con un aumento del déficit (línea azul
discontinua).
18
Figura 4: Componentes de la curva de la comba de oxígeno (Grizzard, 2007).
Conforme la desoxigenación y la reaereación se están llevando a cabo, se tiene un punto
mínimo en la concentración de OD, después del cual la reaereación es el factor dominante y
el déficit empieza a decrecer.
Debido a la carga de materia orgánica, su comportamiento es el de una reacción de primer
orden:
( )
Donde:
Constante de desoxigenación
Déficit de oxígeno disuelto
Concentración de materia orgánica
Tiempo
De la misma forma, la biodegradación de la materia orgánica es proporcional a la
concentración de materia orgánica presente:
( )
Como al degradar la materia orgánica se va obteniendo un déficit de oxígeno:
( ) ( )
Donde:
Constante de reaereación, es función de la temperatura, profundidad y velocidad de la
corriente.
19
Se observa que al aumentar la concentración de OD, el déficit va disminuyendo;
expresando (1.6.4) en términos del déficit de oxígeno se obtiene:
( )
Conociendo esto la dinámica del sistema DBO-OD se representa como sigue:
Figura 5: Volumen de control de un río.
Luego, considerando un volumen de control de un río con entradas y salidas como el que se
muestra en la figura 5, se hace el balance de materia alrededor del volumen de flujo
(Regalado - Méndez et al., 2008):
(Acumulación) = (Entrada) - (Salida) + (Reacción)
(Acumulación) = (Entrada) - (Salida) + (Desoxigenación (D)) + (Reaereación (R))
| |
( )
Donde:
Concentración de oxígeno
Incremento de volumen de longitud
Dividiendo la expresión (1.6.5) por nos queda:
| |
( )
Para un régimen estacionario
:
| |
( )
Tomando el límite lim nos queda:
20
* | |
+
( )
( )
Si el flujo de entrada es Q=cte, y además sabiendo que el tiempo de residencia es de la
forma ⁄ , y que , podemos reordenar la ecuación (1.6.7) de la forma:
⁄
( )
( )
Entonces nos queda:
( )
( )
Luego, conociendo que
, sustituyendo las expresiones (1.6.2), (1.6.5) y (1.6.10)
en la ecuación de balance de materia y dejando la expresión final en función del D nos da la
expresión:
( )
Esta relación refleja como el cambio del déficit con respecto al tiempo está influenciado por
la desoxigenación y por la reaereación. La ecuación (1.6.11) es conocida por el nombre de
modelo clásico Streeter-Phelps, y es uno de los modelos más ampliamente utilizados en
estudios de la calidad del agua en corrientes, con algunas modificaciones que
complementan el comportamiento real del desecho del agua.
Para resolver esta ecuación diferencial se debe conocer la variación de L con respecto al
tiempo. Al resolver la ecuación (1.6.3) por separación de variables con las siguientes
condiciones límites:
se obtiene:
( )
Sustituyendo la ecuación (1.6.12) en la ecuación (1.6.11) queda:
( )
Esta ecuación es diferencial lineal de primer orden. Teniendo en cuenta las condiciones
iniciales:
21
y conociendo que tiene solución de la forma:
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ( )
donde:
( )
( )
o usando el factor de integración:
∫
se obtiene la ecuación para el déficit de oxígeno, la cual nos proporciona el déficit y la
concentración de oxígeno disuelto en cualquier parte de la corriente.
( ) ( )
Donde:
Déficit de oxígeno disuelto en tiempo t
Déficit de oxígeno disuelto (OD) inicial
Demanda Bioquímica de Oxígeno última al inicio
Tasa de reaereación
Tasa de desoxigenación
Tasa de remoción de DBO
Tiempo
DBO remanente
A la hora de aplicar este modelo la remoción de DBO solo se realiza por bioxidación, por
ello la constante de remoción (kr) es igual a la tasa de desoxigenación (kd).
Al seguir analizando este modelo podemos darnos cuenta al graficar la ecuación del D
(figura 6) que se observa un déficit máximo al que se denomina déficit crítico (Dc). En ese
punto la velocidad de desoxigenación es igual a la de reaereación y el cambio del déficit
con respecto al tiempo es cero.
( )
Despejando el Dc:
( )
22
Figura 6: Variación del déficit con el tiempo.
Quedando así la expresión para el Dc de oxígeno. Podemos conocer también el tiempo para
el cual existe este Dc; es decir el tiempo crítico (tc).
Ahora sustituyendo la ecuación (1.6.14) en la expresión
se obtiene:
[
( )]
( )
[
( )]
( )
( ( ) )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Luego aplicando ln a ambos lados llegamos a la ecuación para el cálculo del tc:
( ) [
(
( )
]
{ [
(
( )
]} ( )
23
El déficit y el tiempo crítico son de gran importancia en el saneamiento de corrientes, con
ellos podemos conocer la cantidad de materia orgánica que debe descargarse en un río para
mantener la concentración de OD deseada.
1.7 Limitaciones.
Las consideraciones empleadas en este modelo dan paso a los errores. Se tiene en cuenta
una sola fuente de consumo de OD: en la interfaz aire-agua: la reaereación, y no incluye la
fotosíntesis, el aporte de las algas, etc. Considera también un solo sumidero para la
incorporación de OD: la demanda biológica de oxígeno debido a la descomposición de
materia orgánica (DBO) y no incluye la demanda de oxígeno por sedimentación (DOS), la
respiración, etc. A pesar de las limitaciones del modelo de Streeter-Phelps, su simple
solución analítica y su probada validez como un modelo aproximado, le permitió ser
aplicado por muchas décadas (McIntyre, 2004). Esto nos dice que la aplicación de este
modelo puede estar un poco alejada de lo que en realidad pasa en un sistema acuático
natural, a pesar de contener los aspectos más importantes de aporte y consumo de oxígeno.
Sin embargo, un poco después de la aparición de este modelo, los países aparentemente
desarrollados dieron paso a modelos más amplios que rompían con las limitaciones del
modelo Streeter-Phelps y conducían a resultados más acertados.
1.8 Conclusiones parciales.
Los matices tratados en este capítulo dan la oportunidad de conocer la base primordial de la
modelación de la calidad del agua. Se tratan conceptos matemáticos que permiten el
estudio analítico de los cuerpos de agua y se introducen las bases físicas de cualquier
modelo de la calidad del agua; como son la ley de conservación de la masa, el balance de
masa en sistemas naturales y el transporte de contaminantes por advección y dispersión. Se
dan algunas de las clasificaciones de los modelos de calidad del agua teniendo en cuenta
aspectos como la dependencia temporal y espacial, el carácter determinista y probabilístico,
entre otros; fundamentos estos, importantes en la elección de los objetivos que se vayan a
trazar en la investigación. Por último se analiza el modelo clásico Streeter-Phelps, el
“padre” de todos los modelos de calidad del agua para ríos, un modelo simple pero que
trata los principales factores que afectan la concentración de OD en ríos y facilita una
primera descripción del comportamiento de los niveles de este.
24
CAPÍTULO II: PROPUESTA DE MODELO CONCEPTUAL
A la hora de proponer un modelo de OD para ríos cubanos es necesario conocer primero a
qué tipo de agua se va aplicar y cuáles son las características que esta presenta, para luego,
en base a esto, analizar los aspectos fundamentales de los procesos físicos, químicos y
biológicos por los que estará compuesto el modelo, así como su determinación. Es por eso
que en este capítulo se estudiarán todos los procesos físicos, químicos y biológicos que
compondrán la propuesta del modelo conceptual así como las consideraciones y
limitaciones que este presenta.
2.1 Aguas superficiales. Ríos.
Se denomina agua superficial a la proveniente de las precipitaciones, que no se infiltra ni
regresa a la atmósfera por evaporación o la que proviene de manantiales o nacimientos que
se originan de las aguas subterráneas. Estas se pueden definir en dos tipos de agua
superficiales:
Aguas lóticas o corrientes: Son las masas de agua que se mueven siempre en una
misma dirección como ríos, manantiales, arroyos y riachuelos.
Aguas lénticas: Se denominan aguas lénticas a la interiores quietas o estancadas
tales como los lagos, lagunas, charcas, humedales y pantanos.
2.1.1 Clasificación.
Las aguas superficiales pueden clasificarse como artificiales o muy modificadas, o en
estado natural. Las artificiales no son más que una masa de agua superficial creada por la
actividad humana y las consideradas “muy modificadas” representan una masa de agua
superficial que como consecuencia de alteraciones físicas producidas por la actividad
humana, ha experimentado un cambio sustancial en su naturaleza. Este tipo de agua se ven
involucradas en casos como la construcción de obras destinadas a la navegación,
instalaciones portuarias o actividades recreativas, suministro de agua potable, producción
de energía o riego, regulación del agua, protección contra inundaciones, drenaje de terrenos
u otras actividades de carácter económico o no. En el caso de las aguas superficiales en
estado natural, se definen como las masas de agua superficial que no han sido modificadas
por acciones antrópicas (ejemplo: ríos y lagos) (EcuRed).
Los usos más comunes de las aguas superficiales incluyen:
1. Mantenimiento de la vida acuática
2. Abastecimiento de agua
3. Recreación (natación, pesca y navegación)
4. Industria pesquera
5. Transportación
Las personas confían en el uso de las aguas superficiales para la recreación, el
abastecimiento de agua, y para el consumo de peces. Las aguas superficiales son
25
indispensables también para la supervivencia de muchas especies. Decenas de miles de
aves, mamíferos, peces, y la restante fauna silvestre dependen de las aguas superficiales
como hábitat para vivir, alimentarse y reproducirse (Zhen - Gang, 2008).
Los ríos son corrientes naturales de agua que fluyen con continuidad y siempre por
gravedad discurren de las partes altas hacia las bajas. Posee un caudal determinado, rara vez
constante a lo largo del año, y finalmente desembocan en el mar, en un lago o en otro río,
en este último caso se le denomina afluente. La parte final de un río es su desembocadura.
Algunas veces terminan en zonas desérticas donde sus aguas se pierden por infiltración y
evaporación: es el caso de los ríos alóctonos (llamados así porque sus aguas proceden de
otros lugares con clima más húmedo). Cuando el río es corto y estrecho, recibe el nombre
de riacho, riachuelo o arroyo. Los lagos (y reservas) con frecuencia actúan como cuencas
receptoras corriente abajo producto de los alrededores de la línea divisoria de las aguas.
Estas afluencias son modificadas por los lagos, sirviendo ambos como filtros e
intermediarios químicos. Los lagos, a su vez, pueden retener el agua, los sedimentos, los
tóxicos y nutrientes en respuesta a la hidrodinámica, a los procesos químicos y biológicos y
a la humedad de los extremos de descarga existentes en el lago. Los estuarios también
actúan como filtros para los sedimentos y nutrientes descargados por los ríos y escorrentías
superficiales. Las aguas superficiales son flexibles y frágiles. Estas se encuentran en
constante cambio, producto de las fuerzas humanas y naturales que actúan sobre ellas. El
ecosistema de las aguas superficiales es un sistema interactivo que incluye características
hidrodinámicas (profundidad del agua, y velocidad del flujo), características químicas
(sólidos, OD y nutrientes) y características asociadas con la comunidad biológica de la
columna de agua y del fondo (Zhen - Gang, 2008).
2.1.2 Características fundamentales de los ríos.
Todos los ríos constan de una corriente tanto de agua como de sedimentos o materiales
procedentes de rocas y productos orgánicos cuyo tamaño varía desde finas partículas
arcillosas hasta cantos rodados. De este modo, el relieve que genera un río no depende sólo
de las características de la corriente, en especial de su caudal de distribución en el tiempo y
de la energía, sino también de la cantidad de tamaños de sedimentos que arrastre. Otro
elemento que contribuye en el modelado es la geología de la cuenca, que determina el tipo
y la cantidad de sedimentos, que afectan a la acción erosiva del río, ya que algunas rocas
son más duras que otras. Los principales factores responsables de la formación y evaluación
de los ríos y su modelado son la erosión, el acarreo de sedimentos y la degradación. Los
ríos pueden modificar el paisaje, puesto que la energía potencial del agua se transforma, en
su recorrido descendente, en energía cinética responsable de la erosión, el transporte y la
degradación; la cantidad de energía potencial que dispone un río es proporcional a su altitud
inicial con respecto al mar. Con el fin de minimizar la conversión de energía potencial en
energía térmica (o calor) como consecuencia de la fricción y, por tanto, aumentar la energía
cinética, el río sigue el curso que menos resistencia presente. Incluso así, se estima que el
95 % de la energía potencial de un río se usa para salvar la fricción que tiene lugar, de
26
forma especial, en el lecho y en los márgenes del cauce , aunque también es importante la
fricción interna del agua y la resistencia del aire sobre la superficie (Nava-Hernandez and
Cortes-Bow, 2009).
2.1.3 Ríos de Cuba.
La configuración de la Isla de Cuba, así como la existencia de parteaguas a lo largo del
territorio que lo divide en dos vertientes, la norte y la sur, determina, que la longitud de sus
ríos y el área de sus cuencas, en el 85 % de los casos, resulte inferior a los 40 km y 200 km2
respectivamente, de ahí que sus recursos hídricos potenciales alcancen los 38,1 km3,
desglosados en 6,4 km3 de recursos subterráneos en 165 unidades hidrogeológicas y 31,7
km3 de recursos superficiales en 642 cuencas hidrográficas, de las cuales, 117 (18%) se
encuentran reguladas. Por otra parte, los recursos hídricos aprovechables se calculan en
unos 24 km3 anuales, de los que el 75% corresponden a las aguas superficiales y el 25%
restante a las subterráneas. De los recursos hídricos aprovechables, solo se encuentran
disponibles 13,65 km3, de los cuales el 9,15 km
3 son de aguas superficiales y 4,48 km
3 de
aguas subterráneas; todo lo cual arrojaba en el 2015 un índice de 1220 m3 de agua por
habitante al año para todos los usos; valor que se considera de medio a alto, aunque varía
territorialmente existiendo regiones en Cuba con valores de bajos o muy bajos. Cuba
presenta la característica de tener estrechas y dinámicas relaciones entre las aguas
superficiales, aguas subterráneas y aguas marino-costeras (García-Fernandez and Gutierrez-
Díaz, 2014) .
Las cuencas hidrográficas más importantes de Cuba o de mayor interés nacional son las
representadas en la tabla 1.
Tabla 1: Cuencas de interés nacional.
Cuenca Localización (provincias) Área (Km2) Población (hab)
Cuyaguateje Pinar del Río 795 40 210
Almendares-Vento Habana, Ciudad de La Habana 402 570 000
Ariguanabo Habana, Ciudad de La Habana 295 90 000
Ciénaga de Zapata Matanzas 5000 9070
Hanabanilla Sancti Spiritus, Villa Clara, Cienfuegos 287 7 000
Zaza Sancti Spíritus, Villa Clara 2 413 264 150
Cauto Granma, Stgo de Cuba, Las Tunas, Holguín 9 540 1 167 400
Guantánamo-Guaso Guantánamo, Santiago de Cuba 2 347 410 000
Toa Guantánamo, Holguín 1 061 12 300
Mayarí Holguín y Santiago de Cuba 1 261 48 786
Los ríos de Cuba son cortos, lentos y de escaso caudal (mayormente en períodos de seca).
Por la gran cantidad de caliza que existe en Cuba muchos de ellos tiene cursos
subterráneos, lo que potencia su irregularidad. Se diferencian dos vertientes: norte y sur. El
río más grande es el Cauto y el más caudaloso el Toa, ambos se encuentran en el oriente del
país. Los ríos de la vertiente sur son ligeramente más largos que los de la vertiente norte.
27
Los ríos de mayor interés nacional son (Véase tabla 2):
Tabla 2: Ríos más importantes de Cuba (EcuRed).
No Río km Provincia
1 Cauto 370 Granma
2 Sagua La Grande 163 Villa Clara
3 Zaza 155 Sancti Spíritus
4 Caonao 133 Ciego de Ávila
5 San Pedro 124 Camagüey
6 Jatibonico del Sur y
Jatibonico del Norte 119 Sancti Spíritus
7 Las Yeguas 117 Camagüey
8 Cuyaguateje 112 Pinar del Río
9 Mayarí 106 Holguín
10 Agabama 105 Sancti Spíritus
11 Toa 100 Guantánamo
y se encuentran, por supuesto, dentro de las cuencas hidrográficas mostradas en la tabla 1.
Más adelante se hará más énfasis en las características del río a escoger para la aplicación
de los modelos matemáticos de OD.
2.2 Procesos físicos, químicos y biológicos.
2.2.1 Oxígeno Disuelto (OD).
El OD es la cantidad de oxígeno que se encuentra disuelto en el agua. Además es un
requerimiento básico y una de las variables de la calidad del agua más importantes en los
sistemas acuáticos e indica el potencial del cuerpo de agua para soportar un ecosistema
balanceado (CIMCOOL, 2004). Los peces y los insectos acuáticos necesitan del OD para
sobrevivir. Cuando los niveles de OD son bajos, la vida acuática puede deteriorarse y
pueden ocurrir una gran cantidad de defunciones (Zhen - Gang, 2008). La concentración de
OD es probablemente el único estado variable que provee máxima información sobre las
condiciones de calidad del agua en aguas naturales. Por esta razón, los parámetros de la
calidad del agua son ajustados por el OD para poder conocer los usos designados para la
mayoría de los cuerpos de agua.
Las condiciones de OD en los sistemas acuáticos son categorizadas con frecuencia como
aeróbicos, hipóxicos, o anaeróbicos:
1. La condición “aeróbica” está caracterizada por la presencia de OD. La palabra
“aeróbico” se usa también para describir los procesos químicos o biológicos
que ocurren en presencia de oxígeno.
2. “Hipoxia” es una condición ambiental en la cual la concentración de OD es lo
suficientemente baja como para causar efectos bilógicos. Según La EPA
(Environmental Protection Agency) y otras fuentes, se define el agua hipóxica
como agua con una concentración de oxígeno de 2 mg/L o menos.
28
3. La condición “anaeróbica” (anóxica) está caracterizada por no tener niveles de
oxígeno. Literalmente, “anaeróbico” significa “sin oxígeno”. Prácticamente, es
usado con frecuencia como sinónimo de anoxia en estudios de la calidad del
agua, representando condiciones ambientales que contienen muy poco o nada
de oxígeno. La palabra anaeróbico es también usada para describir procesos
bilógicos o químicos que ocurren en ausencia de oxígeno (Véase tabla 3).
Tabla 3: Rangos de concentración de OD y consecuencias ecosistémicas frecuentes (Goyenola, 2007).
[OD] mg/L Condición Consecuencias
0 Anoxia Muerte masiva de organismos aerobios
0-5 Hipoxia Desaparición de organismos y especies sensibles
5-8 Aceptable [OD] adecuadas para la vida de la gran mayoría de especies de peces y
otros organismos acuáticos 8-12 Buena
>12 Sobresaturada Sistemas en plena producción fotosintética
Algunos organismos, como el salmón, las efímeras y las truchas, requieren altas
concentraciones de OD, mientras que otros organismos como el siluro, las larvas de
mosquito y la carpa, pueden sobrevivir en ambientes con bajas concentraciones. La
diversidad de los organismos es mucho mayor a altas concentraciones de OD.
La tabla 4 indica las concentraciones mínimas de OD necesarias paras sostener a distintos
animales.
Tabla 4: Requerimiento mínimo de OD.
Organismo OD mínimo (mg/L)
Trucha 6.5
Lobina de boca pequeña 6.5
Larvas de tricópteros 4.0
Larvas de efemeróptero o mosca de mayo 4.0
Siluro 2.5
Carpa 2.0
Larvas de mosquito 1.0
El oxígeno gaseoso se disuelve en el agua por diversos procesos como la difusión entre la
atmósfera y el agua, oxigenación por el flujo del agua sobre las rocas y otros detritos, la
agitación del agua por las olas y el viento y la fotosíntesis de plantas acuáticas. Este
oxígeno que se encuentra disuelto en el agua proviene, generalmente de la disolución del
oxígeno atmosférico (en el aire se encuentra en la proporción del 21%). Siendo un gas muy
poco soluble en el agua y además como no reacciona químicamente, su solubilidad obedece
a la Ley de Henry, la cual expresa que la solubilidad de un gas en un líquido es
proporcional a su concentración o a la presión parcial del gas en la disolución.
Donde:
La presión parcial del gas.
La concentración del gas (solubilidad).
29
La constante de Henry, que depende de la naturaleza del gas, la temperatura y el
líquido.
Existen muchos factores que afectan la concentración del oxígeno disuelto en un ambiente
acuático. Estos factores incluyen (CIMCOOL, 2004):
Temperatura
Salinidad
Fotosíntesis
Respiración
Poblaciones de plantas acuáticas
Material orgánico en descomposición en el agua (DBO)
Flujo de corrientes
Presión atmosférica y altura
Actividad humana
Turbulencia
La temperatura es un factor importante en la capacidad del oxígeno para disolverse, ya que
el oxígeno, al igual que todos los gases, tiene diferentes solubilidades a distintas
temperaturas. Las aguas más frías tienen una mayor capacidad de OD que las aguas más
cálidas. La actividad humana, como la remoción del follaje a lo largo de una corriente o la
liberación de agua caliente empleada en los procesos industriales, puede causar un aumento
de la temperatura del agua a lo largo de un estrechamiento dado de la corriente. Esto resulta
en una menor capacidad de la corriente para disolver oxígeno. Los animales acuáticos
suelen ser más vulnerables a bajas concentraciones de OD.
Por otra parte, en los lagos, el nivel de OD varía fundamentalmente con la profundidad,
mientras en los ríos y arroyos los cambios suelen estar más vinculados a la dimensión
horizontal.
Niveles Esperados.
La unidad mg/L es la cantidad de oxígeno gaseoso disuelto en un litro de agua. Cuando se
relacionan las mediciones de OD con los niveles mínimos requeridos por los organismos
acuáticos, se utiliza esta unidad. La concentración de OD puede variar desde 0 hasta 15
mg/L. Las corrientes frías de montaña tendrán probablemente concentraciones de OD desde
7 hasta 15 mg/L, dependiendo de la temperatura del agua y de la presión del aire. En sus
menores alcances, los ríos y corrientes pueden exhibir una concentración de OD entre 2 y
11 mg/L.
Cuando se analiza la calidad del agua de una corriente o río, es conveniente usar una unidad
distinta que mg/L. El término porcentaje de saturación a menudo se usa para las
30
comparaciones de la calidad del agua. El porcentaje de saturación es la lectura de oxígeno
disuelto en mg/L dividido por el 100% del valor de OD para el agua (a la misma
temperatura y presión del aire). En algunos casos, el agua puede exceder el 100% de
saturación y deviene supersaturada por cortos períodos de tiempo.
Determinación del OD.
El OD, es una prueba que se utiliza para calcular el efecto de los desechos residuales en los
recursos de oxígeno de las aguas de recepción. Se determina por el método Winkler,
modificación azida, donde la muestra se trata con una sal de manganeso (II) y yoduro
alcalino. El precipitado de hidróxido de manganeso, reacciona con el oxígeno disuelto para
formar un precipitado carmelita de fórmula MnO (OH)2. La acidificación de la muestra con
ácido sulfúrico forma sulfato mangánico el cual actúa como agente oxidante, liberando el
yodo del yoduro de potasio. El yodo liberado es estequiométricamente equivalente al OD
(Rivero-Borroto, 2003).
( ) ( )
( )
2.2.2 Demanda Bioquímica de Oxígeno (DBO).
La demanda bioquímica de oxígeno (DBO) es una medida de la cantidad total de oxígeno
extraído del agua biológica o químicamente en un tiempo específico y a una temperatura
específica. Esto indica que la concentración total de OD es extraída durante la degradación
de materia orgánica y la oxidación de alguna materia inorgánica. Los microorganismos
requieren del oxígeno para descomponer la materia orgánica. La reducción drástica puede
resultar también de las reacciones químicas que demandan oxígeno, así como los procesos
de nitrificación. En resumen, DBO es más bien un indicador que una sustancia física o
química verdadera (Zhen - Gang, 2008).
Desde que las aguas residuales contienen un alto valor de DBO, y la concentración de OD
es un indicador primario de los sistemas acuáticos, la DBO es ampliamente usada para
medir el grado de polución de las aguas (contaminación) y ha sido tradicionalmente el
parámetro más importante para la contaminación orgánica. Por varias razones, la validez de
la DBO como medida de la calidad del agua con frecuencia ha sido cuestionada. Sin
embargo, la DBO permanece como una medida de gran importancia en el tratamiento de
aguas residuales.
El proceso de oxidación en los sistemas naturales es usualmente llevado a cabo en 2 etapas:
carbónica y de nitrógeno (nitrificación). La demanda bioquímica de oxígeno carbónico
(DBOC) involucra la descomposición de los componentes de carbón orgánico. La
demanda bioquímica de oxígeno por el nitrógeno (DBON) involucra la oxidación de
amoníaco en nitrato (nitrificación). Existe un tiempo de retraso entre la oxidación carbónica
31
y la nitrificación, y los dos procesos tienden a ocurrir a diferentes velocidades de
descomposición. En aguas residuales, la DBOC ocurre normalmente antes de la DBON,
dando alcance a la bien conocida segunda etapa de la curva de la DBO. En el comienzo de
la utilización de la DBO, la bacteria es responsable de la descomposición de la materia
orgánica (DBOC). La oxidación del amonio solo se convierte significativa después de los 7
o 8 días debido a la insuficiente población de nitrificadores dentro de una botella de DBO.
Esta es una de las razones por la que se limitó el test de DBO a 5 días. En aguas naturales,
sin embargo, los dos procesos pueden ocurrir simultáneamente (Zhen - Gang, 2008). El test
de DBO puede ser realizado también con un inhibidor de la nitrificación, de tal forma que
el test mida solamente la oxidación del material carbónico y los resultados son
considerados para ser DBOC.
La cantidad de oxígeno sustraído de las aguas varía con la concentración de materia
orgánica y muchos otros factores, como la concentración de bacterias, la temperatura del
agua, la naturaleza de la materia orgánica, y el tipo de bacteria.
Por simplicidad y en la práctica, con frecuencia se asume que la tasa de descomposición de
la materia orgánica es proporcional a la cantidad de materia orgánica y puede describirse
como una reacción de primer orden:
( )
donde L es la concentración de la materia orgánica expresada como O2 (mgO2/L), kd es la
velocidad de reacción de la DBO (coeficiente de desoxigenación, tiempo-1
) y t, el tiempo.
La ecuación (2.3.1) indica la velocidad a la cual el oxígeno es consumido, dL/dt, es
proporcional a la concentración del material orgánico biológicamente degradable y a las
substancias químicamente oxidables. La integración de esta expresión nos conduce a:
( )
donde DBOu es la última demanda bioquímica de oxígeno, una medida de la cantidad total
(última) de oxígeno extraído del agua por microorganismos aeróbicos. En la ecuación
(2.3.2), L también representa la cantidad de DBO que queda en al agua después del tiempo t
y DBOu representa la cantidad de DBO en el agua en el tiempo t=0.
La cantidad de DBO ejercida en el tiempo t, DBOt, es igual a la diferencia entre la DBOu y
la DBO restante en el tiempo t (L). Esto es,
( ) ( )
Los valores de kd varían significativamente, normalmente en un rango de 0.05 a 0.4 día-1
.
Dado un conjuntos de valores de DBO, los valores del coeficiente de desoxigenación (kd) y
la última DBO (DBOu) pueden ser calculados usando la ecuación (2.3.3). Las ecuaciones
(2.3.2) y (2.3.3) son representadas por las curvas mostradas en el gráfico de abajo, en la
cual la línea continua es el porciento de DBO extraído del agua (=DBOt/DBOu) y la línea
discontinua es el porciento de DBO restante en el agua (=L/DBOu) (Zhen - Gang, 2008). El
32
gráfico muestra que, con kd = 0.23 día-1
, la mitad de la DBO es extraída del agua después de
aproximadamente tres días (Véase figura 7).
Figura 7: Porcentaje de DBO extraído del agua (línea continua) y porciento de DBO restante en el agua (línea
discontinua) con kd = 0.23 día -1 (Zhen - Gang, 2008).
La formulación matemática de la DBON es muy similar a la de la DBOC, es decir, puede
ser modelada como una reacción cinética de primer orden bajo concentraciones mínimas de
1 mg/L en los ríos como:
Donde:
Es la DBON
Velocidad de reacción de la DBON o constante de nitrificación
La solución de esta ecuación es:
Donde es la última DBON. Este modelo asume que en el instante inicial todo el
nitrógeno está en forma oxidable (nitrógeno amoniacal), o bien que el nitrógeno orgánico
presente es mineralizado muy rápidamente a éste. Ambos casos pueden no ser siempre
ciertos. La realidad es que existirá cierto “retraso” en la aparición de la demanda de
oxígeno nitrosa cuando se produzca un vertido compuesto de una mezcla de nitrógeno
orgánico y amoniacal (Martín - Monerris and Marzal - Doménech, 2010).
Determinación de la DBOC y DBON.
La demanda bioquímica de oxígeno se determina a través de un test estandarizado que no
ha cambiado substancialmente a través de los años. Para determinar la DBO, una muestra
de agua es depositada en una botella, luego se mide la concentración inicial de OD. Debe
33
evitarse que la botella este expuesta a la luz solar, para que las algas no añadan oxígeno por
fotosíntesis, y que esté sellada también, para evitar la reaereación, para que esta no afecte
la concentración de oxígeno disuelto. La muestra es incubada a 20 para un período
específico, usualmente de 5 días. Al final del período, la concentración de OD se mide
nuevamente. De esta forma la DBO es calculada de la siguiente ecuación (Zhen - Gang,
2008):
( )
( )
Donde:
Concentración inicial de OD
Concentración final de OD
Volumen de la botella
El volumen de la muestra añadido a la botella
En los exámenes de DBO, los valores son calculados usando la ecuación (2.3.1). El
término DBO generalmente se refiere a la prueba estándar de DBO en cinco días, o DBO5,
la cual representa la cantidad total de oxígeno consumido durante cinco días por la muestra
tomada. Agencias reguladoras con frecuencia escriben descarga de agua residual permitida
en un término de cinco días.
Existen también, disímiles formas de determinar la DBO: la reacción “A” se lleva a cabo en
una botella especial, de modo que se permita la medida del oxígeno consumido, ya sea por
la medida de la disminución de presión, métodos manométricos (Jenkins, 1960), por la
medida de corriente electrolítica generadora del oxígeno utilizado por los microorganismos,
métodos electrolíticos (Young, 1972 y Sang, 1995), por el método de Winkler, o por
medida directa del OD en la muestra con un electrodo de oxígeno (Spanjers, 1995) (Véase
figura 8)
Figura 8: Dispositivos de medida de la DBO, métodos manométricos (a), medida directa con sonda (b) y
electrolítico (c) (Gil - Rodríguez, 1998).
34
Los compuestos nitrogenados que se encuentran en el agua incluyen el nitrógeno orgánico,
amoníaco, amonio, nitritos y nitratos. Normalmente los organismos carbónicos doblan su
población de 20 a 45 minutos, mientras que los nitrificadores (nitrosomonas y
nitrobacterias) toman de 18 a 36 horas para alcanzar el doble de su población inicial. La
DBON resulta de la oxidación del amonio a nitrito y después de nitrito a nitrato. Un
proceso generalizado de nitrógeno en cuerpos de agua naturales pueden ser escritos como:
→
Alrededor de 3,43g de oxígeno utilizado para 1g de nitrógeno oxidado a nitrito en el primer
paso, mientras que los nitritos son oxidados además por las nitrobacterias de la siguiente
forma:
→
En este paso es 1.14g de oxígeno para 1g de nitrógeno oxidado a nitrato. Sin embargo el
total de oxígeno utilizado es de 4.57g por 1g de amonio oxidado a nitrato bajo condiciones
alcalinas con pH mayor que seis (mínimo) (Hider et al., 2013).
La DBON se puede determinar en laboratorio de manera análoga a la determinación de la
DBOC, o bien utilizar la siguiente relación dada por Chapra, (1997):
Donde:
Concentración inicial de DBON, mg/L
Nitrógeno Total Kjeldahl (NTK), mg/L
La DBON puede ser despreciada del modelo de OD cuando el río en estudio presente
temperatura del agua menor a 10ºC, la concentración promedio de OD sea menor a 1.5
mg/L o la carga de DBOC sea alta (Rojas, 2013).
Determinación de la carga dispersa uniforme lineal de DBOC y DBON.
Las fuentes externas de contaminantes pueden ser caracterizadas como cualquier fuente
puntual o no puntual; las cuales son gobernadas por diferentes mecanismos y pueden
resultar en diferentes impactos en los cuerpos receptores de agua (Zhen - Gang, 2008).
Una fuente puntual es una fuente de contaminación que puede ser atribuida a una
localización física específica y es fácilmente identificable porque usualmente proviene de
una tubería. Algunos ejemplos incluyen planta de tratamientos, industrias, granjas porcinas
y otras. En contraste a las fuentes puntuales, las fuentes no puntuales provienen de
numerosas localizaciones o fuentes dispersas que no tienen bien definidos los puntos de
origen; pero cuando se acumulan, amenazan la calidad del agua y los sistemas naturales.
Una definición regulatoria de fuente no puntual podría ser: cualquier fuente que no sea
puntual. Ejemplos de fuentes no puntuales incluyen agricultura, la construcción, los capos
35
de pastoreo, estacionamientos y otras escorrentías urbanas. Las fuentes no puntuales
pueden ser originadas también desde la atmósfera (Zhen - Gang, 2008).
Cuando se considera importante la contribución de las descargas dispersas uniformes de
DBOC o de DBON en el déficit de OD, estas se pueden incluir en el modelo a utilizar. La
descarga lineal dispersa uniforme de DBOC se calcula como (Catasús, 2004):
( )
Donde:
Carga dispersa uniforme de DBOC (kg/d km)
Carga per cápita promedio de DBOC (kg/d)
Población estimada
Largo del segmento (km)
De forma similar para la DBON:
( )
Donde:
Carga dispersa uniforme de DBON (kg/d km)
Carga per cápita promedio de DBON (kg/d)
Población estimada
Largo del segmento (km)
2.2.3 Demanda de Oxígeno de los Sedimentos (DOS).
La descarga de residuales puede provocar la formación de “bancos de lodos” o depósitos de
material orgánico, sobre todo, si son residuales crudos o pobremente tratados y la velocidad
de la corriente es baja. Estos depósitos se incrementan con el tiempo y son una fuente de
consumo de OD (Mackenthum and Stefan, 1995). La degradación de materia orgánica
presente en los sedimentos (en ocasiones mucho mayor que la existente en una columna de
agua) hace disminuir la concentración de oxígeno en el agua intersticial de los mismos
promoviendo la transferencia de oxígeno desde la columna de agua hacia estos sedimentos.
A esta transferencia es a la que se le denomina demanda de oxígeno por los sedimentos
(DOS) (Martín - Monerris and Marzal - Doménech, 2010).
Los depósitos de lodo que provocan demanda de oxígeno por descomposición béntica
generalmente conducen a la estabilización de sólidos volátiles. En el centímetro superior de
lodo existen normalmente condiciones aerobias, mientras que por debajo de esa capa hay
descomposición anaerobia. Durante el proceso se consolida el lodo y el líquido intersticial
36
se desplaza hacia la capa superior. Algunas investigaciones han concluido (Fillos y Molof,
1972) que existe una altura crítica del sedimento entre 8 y 10 cm, por encima de la cual la
tasa de demanda de oxígeno es independiente de la profundidad del lodo.
La DOS puede representar una gran parte del consumo de oxígeno en las aguas
superficiales. Los factores que influyen sobre la demanda de oxígeno por sedimentos
incluyen la temperatura, la concentración de oxígeno en la interface entre el sedimento y el
agua, las características físicas y orgánicas del sedimento, la velocidad de la corriente a
través de los sedimentos, la química del agua, y la comunidad biológica presente. Cada uno
de estos factores son el resultado de otros procesos interactuantes que ocurren en cualquier
otra parte del sistema acuático (Bowie, 1985).
Determinación de la DOS.
La demanda de oxígeno por los sedimentos puede determinarse sumergiendo una cámara en
el fondo y midiendo el consumo de OD. En la literatura se reportan rangos probables de
estos valores en dependencia de la ubicación del sedimento con relación al lugar y al tipo
de descarga. Este método es de gran confiabilidad pero siempre no es posible ejecutarlo.
Una buena aproximación es muestrear los sedimentos y realizar mediciones en el
laboratorio comparando el consumo de oxígeno en recipientes con y sin sedimentos en el
fondo lo que permite conocer el valor de la DOS en condiciones de laboratorio. Otro
acercamiento es considerar que los coeficientes cinéticos del modelo han sido determinados
con suficiente nivel de confianza y definir el valor de la DOS por ajuste de los datos
experimentales (Di Toro et al., 1988).
Para el caso de lecho de ríos donde la actividad por descomposición sea importante, se
sugiere integrar al modelo uno de los cuatro procedimientos que a continuación se explican
para evaluar la DOS.
Fillos y Molof (1972), sugieren que la demanda de oxígeno de depósitos bentales puede
calcularse por la siguiente fórmula empírica que estima en función de la concentración de
OD:
( )
Donde:
Demanda de oxígeno por depósitos bentales, ⁄
Concentración de OD,
Es un valor constante que depende de la naturaleza del sedimento, ⁄
El OD no tiene mayor acción en SB a partir de valores mayores a 2 mg/L. Los valores de la
constante “A” van normalmente de 0.5 a 9 g/m2∙d; en la tabla 5 se muestran los valores que
puede tomar A.
37
Tabla 5: Valores reportados de “A” (Rojas, 2013).
Tipo de fondo Profundidad (cm) A (
)
Lodo de desagüe municipal 0.1 0.1-0.4
Lodo de desagüe municipal 4.0 2.0-3.0
Lodo de desagüe municipal 0.1 0.1-0.2
Lodo de desagüe municipal 4.0 4.0-6.0
Lodo con arena 2.5 4.0-5.0
Lodo con arena 7.5 7.0-8.0
Barro natural en río 2 3.0-4.0
Barro natural en río 25.0 5.0-7.0
Fondos arenosos Promedio máximo 10 0.4-0.8
Otro modelo para el cálculo del consumo de OD por efectos de los sedimentos cuando se
conoce el tipo de sedimento es (Véase tabla 6):
Tchobanoglous y Schroeder ,1985
Donde:
Consumo de oxígeno por sedimentos, ⁄
Consumo de oxígeno por sedimentos según el tipo de sedimento, ⁄
Profundidad promedio de la corriente,
Tabla 6: Valores típicos para SB* a 20 según el tipo de sedimento.
Tipo de sedimento Valor típico para (
)
Bacterias filamentosas 7.0
Lodos del desagüe municipal, cerca de la descarga 4.0
Lodos viejos del desagüe municipal, corriente debajo de la descarga 1.5
Lodo de estuario 1.5
Fondo arenoso 0.5
Suelos minerales 0.07
Existe también la fórmula de Pomeroy para el cálculo del consumo de oxígeno por
sedimentos, la cual no toma en cuenta la cantidad de lodos producidos o el tipo de éstos, y
en cambio considera las características hidráulicas del cauce:
( )
⁄
Donde:
Concentración de oxígeno disuelto,
Pendiente del tramo, adimensional
Velocidad del tramo,
Radio hidráulico, m
38
Algunos autores como Fair, Moore y Thomas proponen expresiones empíricas como:
⁄
Donde:
DBO5 del depósito béntico, g O2/kg∙SV
Factor de corrección de la temperatura
( ( ))
( ( ))
Tasa diaria de deposición de sólidos volátiles, kg SV/d
Números de días en que se depositan sedimentos
Finalmente, cuando no se cuenta con datos para el cálculo de la demanda de oxígeno por
sedimentos, Schnoor (1996) sugiere valores de 0.1-1.00 g/m2d para corrientes con
contaminación de natural a baja y para corrientes con contaminación de moderada a alta
valores de 5-10 g/m2d.
La demanda por los sedimentos puede ser despreciada cuando en el río no exista la
sedimentación de materia orgánica y la velocidad promedio de la corriente sea mayor de
0.2 (Rojas, 2013).
2.2.4 Fotosíntesis y Respiración.
En el caso de las aguas naturales superficiales, tales como lagos, lagunas, ríos, entre otros,
el oxígeno proviene de los organismos vegetales que contienen clorofila o cualquier otro
pigmento capaz de efectuar la fotosíntesis. Los pigmentos facultan a las plantas, tanto
inferiores como superiores a utilizar la energía radiante del sol y convertir el dióxido de
carbono (CO) en compuestos orgánicos. La energía lumínica procedente del sol, permite
que el agua y el dióxido de carbono (como única fuente de carbono) reaccionen para
producir un azúcar simple (glucosa), desprendiéndose oxígeno como subproducto.
Reacción de Fotosíntesis
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Por la noche, cuando no hay luz para producir la fotosíntesis, las plantas consumen el
oxígeno en la respiración. La respiración también tiene lugar en presencia de la luz solar;
sin embargo, la reacción neta es la producción de oxígeno.
Reacción de Respiración
( )
Por tanto, como resultado de la actividad de las plantas, los niveles de OD pueden fluctuar
durante el día, elevándose a lo largo de la mañana y alcanzando un máximo en la tarde. Por
la noche cesa la fotosíntesis, pero las plantas y animales continúan respirando, causando
39
una disminución de los niveles de OD. Como las fluctuaciones diarias son posibles, los
ensayos de OD deben realizarse a la misma hora cada día. Grandes fluctuaciones en los
niveles de OD en períodos cortos de tiempo pueden traer como resultado una
multiplicación de algas.
Determinación de aporte de oxígeno por fotosíntesis.
La acción fotosintética presenta fuertes variaciones dependiendo de la contaminación del
cauce, de la velocidad de la corriente, de la profundidad, de la temperatura, del contenido
de nutrientes o la radiación solar. Sí bien existen modelos para estimar la producción de
oxígeno por fotosíntesis, dichos modelos son complejos y de difícil aplicación (Rojas,
2013). Según Thomann y Mueller (1987), hay tres formas de medir la producción de
oxígeno a través de la fotosíntesis en los cuerpos de agua: a) las botellas claras y oscuras, b)
la ecuación de la clorofila a, y c) la ecuación diurna. A continuación se describen cada uno
de estos métodos.
Botellas claras y oscuras.
El método de las botellas claras y oscuras, fue desarrollado por Eugene Odum (1956). Es
aplicable a aguas que contiene fitoplancton y consiste en colocar una muestra de agua en
botellas de vidrio y exponer a la luz solar. El fitoplancton en el interior de la botella realiza
la fotosíntesis y produce oxígeno y, al mismo tiempo, el fitoplancton respira y hace uso del
oxígeno. Este método implica la corrección para la DBO, ya que en las botellas se presenta
la sedimentación, el oxígeno se consume a través del proceso de DBO. Este método sólo es
aplicable para medir la producción de oxígeno por el fitoplancton; además, cuando la
concentración de clorofila sea menor a 1 µg/L no se recomienda el uso de esta técnica
(Cathey, 2005). Las contribuciones de OD por las raíces de las plantas acuáticas o el
perifiton no se toman en cuenta en este método.
La ecuación de la clorofila a.
El método de la ecuación de la clorofila a se basa en el supuesto de que la producción de
oxígeno del fitoplancton en una corriente de agua puede calcularse asignándole una masa
de clorofila por volumen de agua. La clorofila a es una medida de la concentración del
pigmento en las plantas verdes, por lo tanto, es un indicador indirecto de la biomasa del
fitoplancton, así entonces, puede utilizarse como una medida de la producción de oxígeno
por el fitoplancton. Sin embargo, debido a que la fotosíntesis depende también de la
presencia de la luz y los nutrientes, la producción fotosintética de oxígeno, es también un
factor de la profundidad, la radiación solar, el coeficiente de extinción, y los nutrientes.
Este método no considera las raíces de plantas acuáticas ni el perifiton (Cathey, 2005). La
ecuación propuesta para la determinación de la concentración de la clorofila a es la
siguiente:
( ) ( )
40
( )
Donde:
( ) Factor adimensional de atenuación de luz a través de la profundidad y durante un
día
Radiación solar en la que el fitoplancton crece a su máximo nivel,
Radiación solar promedio durante un día,
Coeficiente de extinción,
Profundidad del agua,
Relación mg OD/mg clorofila a
Máxima tasa de crecimiento del fitoplancton,
Concentración de clorofila,
Temperatura del agua, °C
Producción bruta de oxígeno a través de la fotosíntesis,
Relación DBOCu/DBOC5
DBOC5: Demanda bioquímica de oxígeno carbonosa a 5 días,
DBOCu: Demanda bioquímica de oxígeno carbonosa última,
En ausencia de datos la siguiente tabla 7 proporciona valores propuestos en la literatura
para la ecuación de clorofila a.
Tabla 7: Valores propuestos para la ecuación de la clorofila a.
Variable Valor
250-500
112-289 langleys por día
0.1-0.3
1.5-3.0
Fuente: Thomann y Mueller (1987)
Wu-Seng (2001) propone la siguiente ecuación para determinar la producción de oxígeno
por la vía fotosintética:
41
Donde:
Concentración de clorofila a,
Ecuación diurna.
El método de la ecuación diurna consiste en la aplicación de la ecuación de Di Toro (1975)
que relaciona el ciclo diurno del OD con la producción de oxígeno en un cuerpo de agua.
En este método, el OD es medido periódicamente durante un día. El aumento en oxígeno
disuelto durante las horas de luz y su disminución durante la oscuridad se utiliza para
calcular la producción bruta de oxígeno.
, [ ( )]
( ) -
Donde:
Producción fotosintética de oxígeno,
Constante de reaereación,
Tiempo,
Variación diaria de la concentración de oxígeno disuelto,
En ausencia de datos, Schnoor (1996) sugiere valores para la producción máxima diaria por
fotosíntesis de 2-20 mg/L y según Yu y Salvador (2005) el aporte por fotosíntesis puede ser
despreciado en el caso de ríos con alta turbiedad, color y velocidad media de 0.2 m/s.
Determinación por respiración de organismos acuáticos.
La demanda de oxígeno por respiración de los organismos acuáticos, típicamente se basa en
la estimación de la clorofila a. La ecuación de respiración se basa, aparte de la
concentración de clorofila a, en la temperatura, la relación estequiométrica del oxígeno y la
producción de clorofila a.
Thomann y Mueller (1987)
( )( )
Donde:
Tasa de respiración de fitoplancton,
Relación estequiométrica oxígeno-clorofila a producida, adimensional
Concentración de clorofila,
Temperatura máxima del agua, °C
42
Como segunda opción se propone la siguiente ecuación para el cálculo de la respiración de
organismos acuáticos relacionada con la clorofila a
Wu-Seng (2001)
Donde:
Concentración de clorofila a,
Para los casos en los que no se cuente con datos, Schnoor (1996) reporta valores típicos
para el consumo de oxígeno por respiración de 1-10 mg/L∙d.
2.2.5 Determinación de las constantes cinéticas del modelo.
Constantes de remoción de la DBOC (kr) y de la DBON (krn).
Las constantes de remoción kr (ecuación 2.3.8) y krn (ecuación 2.3.9), caracterizan la
velocidad de remoción de la DBOC y de la DBON en el río respectivamente considerando
una cinética de primer orden. Según Thomann y Mueller (1987), estos coeficientes tienen
en cuenta, además de la componente bioquímica que provoca la remoción por oxidación,
otros procesos que intervienen en la eliminación de la materia orgánica de la columna de
agua, fundamentalmente, la sedimentación.
( )
Donde:
Constante de remoción total de la DBOC de la columna de agua, 1/ días
Constante de sedimentación, 1/ días
Constante de desoxigenación, 1/ días
De forma similar, la constante de remoción, puede escribirse para la componente
nitrogenada:
( )
Donde:
Constante de remoción total de la DBON de la columna de agua, 1/ días
Constante de desoxigenación nitrogenada, 1/ días
Representa la velocidad con que la materia particulada es removida de la columna de
agua
Según Nakamura y Stefan (1994),la constante de sedimentación ks se calcula, al igual que
la ksn, a partir de la velocidad de sedimentación us, y la profundidad H del río (ecuación
2.3.9) (Catasús, 2004).
43
( )
Según Chapra (1997), las constantes kr y krn se calculan gráficamente como la pendiente de
las rectas:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Donde:
DBOCu remanentes aguas debajo de la descarga
DBONu remanentes aguas debajo de la descarga
DBOCu en la zona de mezcla
DBONu en la zona de mezcla
Coeficiente de desoxigenación carbonosa (kd).
El coeficiente de desoxigenación indica la velocidad con que se consume el oxígeno
disuelto en el tramo de estudio, como consecuencia de la descomposición de la materia
orgánica carbonosa que contiene y se calcula con el objetivo de conocer la cantidad de
oxígeno que perderá el cuerpo (Solís, 1977).
La concentración de materia orgánica puede expresarse en términos del oxígeno que se
consume durante su oxidación por los microorganismos. La constante de desoxigenación
caracteriza la cinética del proceso. Existen diversos métodos para el cálculo de la kd. Solís
(1977) sintetiza los cuatro métodos más empleados para su determinación:
Método de los momentos de Thomas, Moore y Snow
Método gráfico basado en la remoción de la DBO
Método simplificado de Thomas Jr
Método de la DBO remanente
En todos los casos obtenemos la llamada kd de “botella” o de “laboratorio”. Por su relativa
simplicidad se recomiendan los dos últimos (Catasús, 2004).
Según Chapra (1997), pueden existir diferencias entre la kd determinada en el laboratorio y
la que realmente caracteriza este proceso en los ríos, ya que en laboratorio no se tiene en
cuenta la influencia de la demanda béntica del fondo de OD, en la columna de agua.
Comúnmente las bacterias que pueblan los sedimentos son mucho más agresivas que las
que flotan libremente, la densidad y tipo de estas influyen en la dinámica del consumo de
oxígeno. Por otra parte, no es posible reproducir en el laboratorio la actividad biológica
existente en las corrientes reales. Otros factores como la rugosidad del lecho y turbulencia
de la corriente también son importantes. De forma tal que exista una dependencia del
cálculo de kd de estos fenómenos, se han elaborado fórmulas empíricas que la relacionan
44
con los parámetros hidromorfológicos de las corrientes superficiales. Las diferencias entre
los valores del río y del laboratorio son más significativas en ríos poco profundos donde la
kd tiende a ser mayor. Este es el caso de la mayoría de los ríos cubanos (Catasús, 2004).
Parmley, R. O (1992)
(
)
Donde:
Profundidad, m
Donde:
Caudal, m3/s
La constante de desoxigenación kd también se puede determinar por métodos gráficos.
Coeficiente de desoxigenación nitrogenada o de nitrificación (kn).
Thomann (1987) reconoce que todo el nitrógeno oxidable, determinado analíticamente
como Nitrógeno Total Kjeldahl, es la suma del nitrógeno orgánico y el amoniacal. La
constante kn caracteriza la cinética total del proceso de nitrificación. Esta puede calcularse a
partir de la ecuación (2.3.9) si se determina gráficamente la constante de remoción total krn
(ecuación 2.3.12) y se calcula (ecuación 2.3.10) o estima la ks.
La nitrificación presenta la particularidad de que la producción de nitrosomonas se inhibe a
concentraciones de OD por debajo de 1.5 mg/L. En tal caso no hay transformación de
amonio a nitrato, no hay consumo de oxígeno por esta causa y la DBON de la columna de
agua solo ocurre por sedimentación de la materia orgánica nitrogenada (Catasús, 2004).
Coeficiente de reaereación (ka).
La tasa de reaereación ka mide la velocidad con la que el oxígeno presente en la atmósfera
es transferido a los cuerpos de agua. Este es el principal proceso que sirve como fuente de
oxígeno. El principal uso del coeficiente de reaereación es la cuantificación de los procesos
de reaereación en los modelos de OD de calidad del agua. Generalmente, para determinar
este coeficiente, se utilizan ecuaciones empíricas predictivas, las cuales al ser aplicadas en
condiciones diferentes de las que fueron derivadas, generan valores que están alejados de la
realidad. La mayoría de las ecuaciones han sido derivadas para ríos de Europa y Estados
Unidos los cuales representan sistemas físicos diferentes a los ríos centro y suramericanos,
especialmente en las zonas montañosas.
El trabajo realizado por Streeter y Phelps (1925) fue el pionero en la determinación de las
tasas de reaereación en los ríos. Posteriormente muchos investigadores desarrollaron
formulas predictivas que correlacionan ka con las propiedades hidráulicas de la corriente.
45
Estas ecuaciones se formularon siguiendo dos aproximaciones: métodos semi-empíricos
(O‟Connor y Dobbins (1956), Krenkel y Orlob (1962), Tsivoglou y Wallace (1972), Fok y
Stall (1972)), y métodos empíricos (Churchill HW DO. (1962), Langbein y Durumm
(1967), Owens y Gibbs HW (1964)) (Gil - Rodríguez, 1998). Además de las fórmulas, la
reaereación puede ser medida directamente en el lugar bajo estudio. Comúnmente se usan
cuatro métodos, el balance de oxígeno en estado estable, la desoxigenación con Sulfito de
Sodio, la oscilación diurna del oxígeno y la inyección de sustancias volátiles (trazadores),
siendo los tres primeros los más inexactos.
La descomposición de la materia orgánica provoca el consumo de OD. La incorporación de
oxígeno por reaereación ocurre a través de la capa superficial del agua expuesta a la
atmósfera. Un incremento de la materia orgánica estimula el crecimiento de bacterias y
algas acelerando así el proceso de oxidación. La concentración puede ser tan grande que el
cuerpo de agua puede quedar completamente desprovisto de OD. La reaereación representa
el aporte principal de oxígeno al agua y está relacionada primordialmente con la
temperatura, velocidad de la corriente, profundidad, tipo de lecho, el grado de turbulencia y
el mezclado natural en las aguas.
Para obtener el coeficiente de reaereación, algunos investigadores han propuesto las
siguientes fórmulas:
O‟Connor y Dobbins
( )
Donde:
Coeficiente de difusión molecular, m2/día
Velocidad del líquido, m/seg
Altura promedio del líquido, m
Esta fórmula tiene su basamento en una teoría de superficie renovada.
Las „‟parcelas‟‟ de agua son traídas a la interfaz aire-agua por un período de tiempo
finito.
El intercambio con el aire toma lugar solamente mientras una „‟parcela‟‟ de agua se
encuentra en la superficie.
Después que la „‟parcela‟‟ se va de la superficie esta se mezcla con el resto de la
masa líquida.
Churchill
46
Donde:
Velocidad del líquido, m/seg
Profundidad, m
Está basada en estudios empíricos de la reaereación en aguas saturadas corriente
abajo de los embalses del río Tennessee.
Asocia el coeficiente de reaereación medido con la velocidad y la profundidad del
flujo que se analiza
Langbein y Durumm
Donde:
Velocidad del líquido en m/seg
Profundidad en m
Owens y Gibbs
Donde:
Velocidad del líquido en m/seg
Profundidad en m
Estudios dirigidos de corrientes británicas donde el oxígeno era reducido
drásticamente de forma artificial por la adición de sulfatos.
Se combinó la información de los ríos británicos y el río Tennessee.
Asocia el coeficiente de reaereación medido con la velocidad y la profundidad del
flujo que se analiza.
A parte de estos modelos desarrollados para estimar este coeficiente, se puede calcular con
los valores de kd, un factor de autopurificación de 1.5 a 20oC (Véase tabla 8) y la ecuación
de este factor:
⁄
Donde:
Factor de autopurificación.
Constante de reaereación (días-1
)
Constante de desoxigenación (días-1
)
47
Este factor ( ) representa la recuperación de oxígeno o la autopurificación de la masa de
agua.
Las técnicas de restauración de los sistemas acuáticos con frecuencia toman ventajas de
estas relaciones, por ejemplo, para la instalación de cascadas artificiales para aumentar la
reaereación. Todas estas fórmulas empíricas fueron desarrolladas para la estimación de la
tasa de reaereación sin tener en cuenta los efectos del viento; solo están basadas en la
velocidad y la profundidad. Existe una fórmula bastante general que depende de los valores
que tomen los parámetros empíricos (Véase tabla 9), la cual es:
( )
Donde:
( ) Tasa de reaereación a 20oC
Velocidad del agua
Profundidad del agua
A, B, C Parámetros empíricos
Tabla 8: Estimación del coeficiente de reaereación a partir de las descripciones de las corrientes y
factor de purificación a 20oC.
Descripción del cuerpo de agua k2 (días-1
a 20oC) Factor de
autopurificación (f)
Pequeños estanques y remansos 0.12-0.23 0.5-1.0
Corrientes lentas y grandes lagos o represas 0.23-0.35 1.0-1.5
Corrientes de gran extensión y baja velocidad 0.35-0.46 1.5-2.0
Corrientes de gran extensión y velocidad moderada 0.46-0.69 2.0-3.0
Corrientes rápidas 0.69-1.15 3.0-5.0
Rápidas y cascadas >1.15 >5.0
Tabla 9: Valores de los parámetros empíricos para el coeficiente de reaereación.
Fórmulas A B C Características físicas del agua
O‟Connor y Dobbins (1958) 3.93 0.50 1.50 Ríos profundos y lentos
Churchill y otros. (1962) 5.026 0.969 1.673 Corrientes rápidas y de moderada profundidad
Owens y otros. (1964) 5.34 0.67 1.85 Corrientes poco profundas
Corrección por temperatura de las constantes cinéticas.
Como los sitios de muestreo no se encuentran a 20oC y los cambios de temperatura
producen aumento o reducción en la velocidad de reacción, así como en la transferencia de
oxígeno, fue necesario realizar las correcciones por temperatura para las constantes
cinéticas (kr krn kd kn y ka), utilizando la expresión de Van‟t Hoff-Arrhenius:
48
Donde:
Temperatura, oC
Coeficiente de reaereación a una temperatura T
Coeficiente de reaireación a 20 oC
Coeficiente de temperatura, constante empírica sin dimensiones.
El uso de esta expresión también facilita la comparación de los datos obtenidos para
diferentes cuerpos de agua y por diferentes autores (Catasús, 2004).
Se han hecho estudios experimentales y se ha encontrado que los valores del coeficiente de
temperatura para cada constante son (Véase tabla 10):
Tabla 10: Valores de θ.
Parámetro θ
ka 1.024
kr, kd, krn, kn 1.047
2.3 Otros parámetros.
Para utilizar la ecuación general del modelo a aplicar, es necesario calcular primero otros
parámetros como son el tiempo de recorrido, el déficit inicial de oxígeno (Do) y la
concentración de saturación de oxígeno. Enseguida se muestran las ecuaciones empleadas
en los cálculos de dichos parámetros.
2.3.1 Concentración de Saturación de Oxígeno.
La temperatura afecta la concentración de saturación de oxígeno. Aguas de baja
temperatura presenta una concentración de saturación de oxígeno elevada. La
concentración es empíricamente expresada como función de la temperatura y la salinidad
(Zhen - Gang, 2008).
*
(
)+ ( )
Donde es la temperatura en K (= 273.15+oC) y S es la salinidad en ppt.
Ajustando una curva polinomial de segundo orden para las mediciones obtenidas, Chapra y
Canale (1998) derivaron una ecuación de regresión para la
49
Donde T es la temperatura del agua en oC. Esta ecuación produce una muy similar a la
de la ecuación (2.3.1) con S igual a cero. La diferencia de error entre las dos expresiones es
de tan solo 0.08 mg/L para temperaturas del agua entre 0 y 40 oC. El análisis de estas
ecuaciones revela que al aumentar la temperatura (salinidad), la cantidad de oxígeno que el
agua puede poseer disminuye substancialmente.
Otra fórmula empírica para la incluyendo el efecto de la salinidad fue derivada por Hyer
y col. (1971)
( )
2.3.2 Tiempo Recorrido.
Para determinar el tiempo recorrido se utiliza la ecuación sencilla:
Donde:
Tiempo recorrido (días)
Distancia recorrida (m)
Velocidad de la corriente (m/días)
2.3.3 Déficit Inicial de Oxígeno (Do).
El déficit inicial se determina empleando la siguiente expresión:
Donde:
Déficit inicial de oxígeno (mg/L)
Concentración de saturación de oxígeno (mg/L)
Oxígeno disuelto (mg/L)
Con el fin de aplicar el modelo a describir, se deben conocer, de forma acertada, todos los
parámetros que lo componen, tales como: DBO5, DBOu, kd, kr, kn, OD, temperatura
ambiente y del agua, velocidades, caudal, tiempo de recorrido, características físicas de la
corriente, etc.
2.4 Propuesta del Modelo Conceptual.
Una vez conocidas y analizadas algunas de las herramientas matemáticas de la modelación
de la calidad del agua y los procesos físicos, químicos y biológicos que en esta ocurren, se
puede afrontar el análisis de la modelación del OD en las corrientes y ríos. El modelo
consta de los parámetros más importantes que de una forma u otra afectan los niveles de
50
OD en las aguas superficiales (debido a la gran limitación de los datos disponibles), así
como el transporte de sustancias y la reacción que en él ocurran.
La idea de plantear un modelo conceptual genérico del OD facilita y/o aumenta su
aplicabilidad a diversos casos de estudio de aguas superficiales. Como ya es conocido, estas
aguas presentan diversas características físicas, químicas, biológicas y morfológicas y a la
vez presentan fenómenos de transporte de sustancias y reacciones cinéticas dependientes de
estas y de otros muchos factores; haciendo que el análisis de una determinada sustancia, en
este caso un contaminante, sea muy específico. Es por eso que la existencia de un modelo
general permite que en dependencia de las características antes mencionadas así como los
mecanismos de transporte y la reacción que en las aguas superficiales ocurran; se
simplifiquen o modifiquen parámetros y variables del modelo de forma tal que quede
ajustado a dicho caso específico. No siempre es posible o necesario realizar todas las
mediciones requeridas para aplicar un modelo a los distintos segmentos en los que se divide
el estudio de un río, pues entran a jugar factores específicos como condiciones
socioeconómicas, costo computacional, tiempo, accesibilidad al entorno natural, desarrollo
de la técnica, etc.
Como habíamos tratado anteriormente, la principal fuente de contaminación en los ríos
cubanos sigue siendo la descarga de materia orgánica, y en el mejor de los casos, las aguas
residuales solo reciben tratamiento primario. En las cuencas hidrográficas de nuestro país
figura la presencia de empresas, industrias y cooperativas agropecuarias que de una forma u
otra vierten residuales mediante escorrentías y alcantarillados o de forma directa, a los
afluentes y ríos. Además existen pocos ríos con las condiciones necesarias para ser fuentes
de abasto por lo que se plantea necesario el uso de estrategias de saneamiento,
conocimiento y predicción de las diversas concentraciones de contaminantes y de sus
puntos críticos a lo largo de los ríos que permitan regular el vertimiento, para lograr así que
sean efectivos los mecanismos de autorregulación de estos cuerpos de agua naturales. Los
principales ríos del país desembocan en el mar, por lo tanto hay que tener en cuenta el
estudio y análisis de los estuarios. Es por eso que el modelo conceptual a proponer consta
del análisis del aporte de la DBO al D y tiene como finalidad determinar la concentración
de OD en un cuerpo de agua superficial. Para iniciar los estudios de la modelación de la
calidad del agua se eligió el OD, por ser un factor determinante e imprescindible para toda
la biota acuática y por ser un indicador de la calidad del agua incluido en todas las normas
concernientes a los distintos usos de las aguas dulces.
El modelo conceptual consta de un sistema acoplado de tres ecuaciones diferenciales
parciales (EDP‟s) de segundo orden (a las cuales se llegan mediante el análisis de la
ecuación de balance de masas) y queda expresado de la siguiente forma:
51
∑ }
( )
Donde:
DBOC remanente
DBON remanente
Déficit de oxígeno disuelto ( )
Descarga lineal dispersa uniforme de DBOC
Descarga lineal dispersa uniforme de DBON
Fuente dispersa sin aporte de agua o carga contaminante en el sistema
Carga contaminante de DBOC,
Carga contaminante de DBON,
∑ Fuentes y sumideros de oxígeno (fotosíntesis, respiración, DOS, etc.)
Área de sección transversal
Tasa de remoción de la DBOC
Tasa de remoción de la DBON
Tasa de reaereación
Tasa de desoxigenación carbonácea
Tasa de nitrificación
Coeficiente de dispersión longitudinal
Velocidad media
La primera EDP describe el comportamiento de la DBOC, expresándola como una cinética
de reacción de primer orden y teniendo en cuenta los fenómenos de transporte de dispersión
y de advección; incluyendo además las descargas de fuentes puntuales y dispersas. La
segunda EDP, al igual que la primera, representa el comportamiento de la DBON. La
tercera y última EDP que describe la dinámica del OD, depende de las dos ecuaciones
diferenciales anteriores y tiene en cuenta los mecanismos de transporte, una cinética de
reacción de primer orden y las principales fuentes y sumideros de oxígeno en un sistema
acuático. En la figura 9 se representa un esquema de los flujos de OD en un volumen de
control que permitirá una mejor representación de los procesos tratados.
52
Figura 9: Representación conceptual del flujo de OD.
2.5 Consideraciones y limitaciones.
El modelo conceptual está basado en la hipótesis de que, en cualquier instante dado, el D en
el agua corresponde a la resultante de la suma de los efectos de desoxigenación (los cuales
vienen dado por la DBOC, DBON, DOS y respiración de plantas y algas) y por la
oxigenación (proveniente de los procesos de reaereación atmosférica y fotosíntesis de
plantas y algas); realizándose ambos simultánea e independientemente uno del otro. Los
tipos de cargas contaminantes considerados son puntual y difusa. Cuando hay más de una
carga puntual a lo largo del tramo de estudio, el efecto es acumulativo, ya que se aplica el
principio de superposición lineal teniendo en cuenta la linealidad del sistema adoptado para
representar el transporte OD. Las cargas difusas se determinan mediante fórmulas
empíricas que estiman el aporte de estas al cuerpo de agua. El movimiento corriente abajo
ocurre por advección y por dispersión longitudinal, pudiendo prevalecer un fenómeno
sobre el otro. En la sección transversal del río se presenta una mezcla completa, lo que
permite la aproximación de un reactor de flujo mixto. Se considera una reacción cinética de
primer orden, la cual es un excelente grado de aproximación a la realidad. La tasa de flujo,
la sección transversal de la corriente, la velocidad y la dispersión longitudinal son
constantes. Este modelo se acerca bastante a la realidad pero no incluye el aporte de las
algas, la influencia de la radiación solar, la DBO lenta y la rápida, el proceso de
nitrificación no se describe completamente, pues solo trata el proceso de oxidación del
amonio en nitrato, la desnitrificación como fuente de oxígeno tampoco se tiene en cuenta y
la dispersión para casos turbulentos o donde existan fluctuaciones grandes de las
53
velocidades cortantes de las corrientes no se puede tomar como constante. No se tiene en
cuenta la difusión molecular y turbulenta.
2.6 Conclusiones parciales.
Para el desarrollo y aplicación de un modelo de la calidad del agua es necesario considerar
a qué tipo de agua se va aplicar y realizar un estudio exhaustivo de los procesos físicos,
químicos y biológicos que en esta ocurren. Es por eso que en este capítulo se analizan y
desarrollan a partir de un análisis de la literatura, todos los procesos físicos, químicos y
biológicos por los que está compuesto el modelo. Posteriormente se introduce el modelo
conceptual y se exponen las consideraciones y limitaciones que este presenta.
54
CAPÍTULO III: ANÁLISIS Y RESULTADOS
En este capítulo se lleva a cabo un análisis de los casos estacionarios y transitorios del
modelo conceptual analizado en la sección 2.4 y 2.5 del capítulo anterior, así como de sus
soluciones analíticas y numéricas.
Es importante conocer desde el punto de vista práctico la aplicabilidad del modelo
conceptual, pues con este trabajo se pretende lograr también su validación, con el fin de
futuras aplicaciones a casos de estudio en nuestro país. Es por eso que se analizan los casos
estacionario y transitorio, y se efectúa la aplicación de un caso real del modelo conceptual
propuesto con las consideraciones a tener en cuenta en el río Almendares. Para esto, se
aplican bases de datos de diferentes campañas, se analizan los gráficos resultantes y se
interpretan los datos a partir de las técnicas estadísticas apropiadas para así arribar a
resultados y conclusiones que nos permitan definir la certidumbre del modelo.
3.1 Caso estacionario (permanente).
El caso estacionario o permanente (steady state), como se le conoce, es ampliamente
utilizado en la modelación de la calidad del agua, pues cuando la carga contaminante no
varía lo suficientemente rápido en el tiempo, la derivada con respecto a este de la
concentración del contaminante, en un punto, permanece constante (
); o lo que es lo
mismo, la velocidad de la carga contaminante en ese punto, en los instantes sucesivos del
tiempo es la misma. Esto no quiere decir que no variará de un punto a otro pues la carga de
contaminante si se modifica con las coordenadas espaciales. Al hacerse estas suposiciones
se da por sentado que las demás propiedades del fluido y del flujo no varían con el tiempo,
dígase presión, densidad, caudal, etc. Por lo general esto sucede en los casos de estudio en
el que el tiempo es tomado en días y en intervalos relativamente cortos. La mayoría de los
problemas técnicos prácticos implican condiciones permanentes de flujo de contaminantes.
Las ecuaciones del modelo genérico de OD para el caso estacionario quedarían de la forma:
( )
( )
∑ ( )
Este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias EDO‟s presenta solución analítica
analizada en el anexo 4, donde se resuelve para distintas condiciones iniciales mediante el
uso del software Wolfram Mathematica 9.0. Además de su solución analítica, plantearemos
su solución numérica por el método de diferencias finitas, el cual es un método simple que
se aplica a la resolución de problemas prácticos del estudio de la mecánica de los fluidos y
que nos permite, debido a su simplicidad, explorar las propiedades de varias
discretizaciones numéricas y medir su grado de aproximación, así como analizar su
55
consistencia, convergencia y estabilidad numérica. Sin embargo, a pesar de tener mejores
características de estabilidad, hay que tener en cuenta que generalmente hay que trabajar
más para obtener la exactitud deseada (mayor costo computacional) y que este método es
difícil de aplicar cuando nos encontramos con una geometría compleja (Sayma, 2009). El
método de diferencias finitas plantea una aproximación de las derivadas de la ecuación
diferencial que representa el fenómeno bajo estudio, basada en diferencias entre los valores
de la variable dependiente (concentraciones) en puntos alineados específicos de una malla o
grilla numérica. Las diferentes vías a través de las cuales las derivadas se expresan por
dichas diferencias son llamadas aproximaciones en diferencias finitas: diferencias
regresivas, diferencias progresivas y diferencia central. En la figura 10 se muestra un
ejemplo de discretización topológica de una corriente en diferentes volúmenes de control,
en donde cada una de las interfaces entre volúmenes consecutivos define la posición
espacial de un nodo. La posición temporal de un nodo, representada por el eje vertical de la
figura 10 define diferentes estados en el tiempo de cada una de las posiciones espaciales de
la corriente, de tal forma que los puntos discretos o nodos definen la malla numérica del
problema, la cual puede ser regular o irregular según la aproximación en diferencias finitas
que se emplee y según los requerimientos del modelo a emplear de acuerdo con las
configuración física del sistema (Jimenez Jaramillo, 2008). Las ecuaciones anteriores para
el caso estacionario quedan, aplicando el método de diferencias finitas con un esquema
numérico implícito y con un error de truncamiento de segundo orden O(h2), de la siguiente
forma:
( )
( )
( )
( )
( )
∑ ( )
Donde
DBON remanente
Subíndice para puntos en el dominio espacial
56
Figura 10: Representación conceptual de la malla numérica de un caso unidimensional (Jimenez Jaramillo, 2008).
Los esquemas numéricos implícitos exigen mayor esfuerzo de procesamiento numérico y
computacional, ya que las aproximaciones en diferencias finitas utilizadas envuelven más
de una variable desconocida en cada ecuación planteada. Esto conlleva a que la solución
general del problema se haga mediante el planteamiento de un sistema lineal de ecuaciones
en el que la concentración de todos los nodos de la malla numérica se resuelve
simultáneamente para el nivel t+1. Por el contrario, en los esquemas explícitos las
concentraciones del dominio se resuelven secuencialmente en cada nodo de la malla
numérica a partir de los valores estimados en el paso de tiempo anterior (Jimenez Jaramillo,
2008).
Las derivadas de primer orden se aproximan con diferencias finitas hacia atrás y las de
segundo orden con diferencias finitas centradas, atendiendo a los criterios de estabilidad
numérica y al análisis del error de truncación. El coeficiente de dispersión longitudinal E y
la velocidad media U se toman como constantes en cada segmento de la malla. El sistema
de ecuaciones anterior puede ser reescrito de la forma siguiente:
Donde para la ecuación ( ):
( )
( )
Para la ecuación ( ):
( )
57
( )
Para la ecuación ( ):
( )
( )
(∑
)
El sistema resultante se expresa y puede ser resuelto en la forma de una matriz tridiagonal
de :
para DBOC
para DBON
∑ ∑ para D
3.2 Caso transitorio (no permanente).
La variación temporal de una descarga de material contaminante puede tener importancia,
de acuerdo a la naturaleza cíclica que se estudia, es decir, según el tamaño de los intervalos
de tiempo que interesa en la investigación (ciclos anuales, estacionales, mensuales, etc.) y a
la presencia de la dispersión del contaminante, ya sea por fluctuaciones de la velocidad del
flujo o por la presencia de las mareas. Todo esto trae consigo que el análisis del caso
transitorio sea más complejo, pero a la vez más cercano a la realidad del suceso. El sistema
de ecuaciones que representa este caso para el OD es el sistema de ecuaciones (2.4.1), que a
fin de cuentas constituye el caso más general del transporte hidrodinámico del OD al
incorporar la variación temporal de este en un cuerpo de agua. Encontrar una solución
analítica general para este sistema de ecuaciones se torna muy complejo; puede que existan
soluciones analíticas particulares para casos específicos con condiciones de fronteras
específicas, pero este no es el caso a tratar. Es por eso que para dar solución a este sistema
acoplado de EDP‟s se utilizará el método numérico de MacCormack.
58
∑
}
( )
3.2.1 Método de MacCormack para el caso transitorio (no permanente).
La técnica de MacCormack es una variante de la aproximación de Lax-Wendroff pero es
mucho más simple en su aplicación. Al igual que el método de Lax-Wendroff, el método de
MacCormack es una técnica explícita de diferencias finitas, la cual presenta una
aproximación de segundo orden tanto en el tiempo como en el espacio. Este método fue
introducido por primera vez en 1969 y a lo largo de 15 años fue considerado como el
método explícito de diferencias finitas más popular para encontrar soluciones al flujo de
fluidos. Hoy en día este procedimiento ha sido mayormente substituido por aproximaciones
más sofisticadas; pero sin embargo este no deja de ser un método muy factible, ya que se
encuentra entre los métodos más fácil de entender y de programar (Anderson, 1995).
Además, los resultados obtenidos usando el método de MacCormack son perfectamente
satisfactorios para muchas de las aplicaciones del flujo de fluidos y nos permite determinar
la solución numérica del problema de transporte a partir de predicciones y correcciones
sucesivas. Por estas razones se escogió el método de MacCormack para dar solución
numérica al sistema de ecuaciones (2.4.1).
La estrategia de solución del sistema de EDP‟s presentado anteriormente, se describirá para
una sustancia contaminante genérica C. Consideremos primero que la concentración del
contaminante en cada punto de la malla en el tiempo t es conocida, y procederemos a
calcular C en los mismos puntos de la malla pero en un tiempo t+∆t. Primero
consideraremos la concentración de C en un punto de la malla i en el tiempo t+∆t; y usando
el método de MacCormack se obtiene de la siguiente forma:
( )
Donde ( ⁄ )es un valor representativo promedio de ⁄ entre los tiempos t y t+∆t.
El valor de ( ⁄ ) es calculado para preservar la aproximación de segundo orden sin la
necesidad de calcular las segundas derivadas temporales ( ⁄ ) del método de Lax-
Wendroff (las cuales envuelven una gran cantidad de álgebra) y se obtiene de una filosofía
predictor-corrector de la forma siguiente:
Paso predictor: En la ecuación de balance de masas, las derivadas espaciales de primer
orden se reemplazan con el método de diferencias finitas progresivas o hacia delante y las
de segundo orden con diferencias centradas.
59
(
)
( )
En la ecuación (2.4.9) todos los parámetros y variables son conocidos en el tiempo t. Ahora
se obtiene un valor predictor de la concentración del contaminante,( ) , de los dos
primeros términos de una serie de Taylor, de la forma siguiente.
( )
(
)
( )
En esta ecuación es conocido, y ⁄
es un número conocido de la ecuación ( );
por lo tanto ( ) es obtenido fácilmente. El valor de ( )
es solamente un valor
predicho de la concentración del contaminante C y presenta una aproximación de primer
orden, ya que ( ) contiene solo los términos de primer orden de las series de Taylor.
Paso corrector: En el paso corrector primero obtenemos un valor predicho de la derivada
temporal en el tiempo t+∆t, ( ⁄ ) , sustituyendo los valores predichos de C en la
parte derecha de la ecuación de balance de masas y reemplazando las derivadas espaciales
de primer orden con diferencia hacia atrás.
(
)
( )
El valor promedio de la derivada temporal de C que aparece en la ecuación ( ) se
obtiene del promedio aritmético de ( ⁄ ) (obtenido de la ecuación ( )) y de
( ⁄ ) (obtenido de la ecuación ( )).
[(
)
(
)
] ( )
Esto nos permite obtener el valor corregido final de la concentración del contaminante C en
el tiempo t+∆t de la ecuación ( ).
[(
)
(
)
]
( )
La técnica de MacCormack presenta una aproximación de segundo orden puesto que está
basado en una secuencia de dos pasos predictor-corrector. Cabe aclarar también que el uso
de la aproximación de diferencias hacia delante en el predictor y de diferencias hacia atrás
en el corrector no es sagrado, el mismo orden de aproximación se puede obtener usando
diferencias hacia atrás en el predictor y diferencias hacia delante en el corrector. De hecho
la marcha en el tiempo puede ser analizada o llevada a cabo alternando estas dos secuencias
(Anderson, 1995).
60
3.3 Criterios de estabilidad.
La estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos que describe como
se propagan los errores en los datos de entrada a través de dichos algoritmos. Un problema
es estable cuando pequeños cambios en los datos de entrada originan pequeños cambios en
los resultados. Dicha estabilidad garantiza que el problema a resolver no pierda el sentido
lógico y físico (Jimenez Jaramillo, 2008), permitiendo así una aplicación práctica efectiva y
cercana a la realidad del fenómeno que se quiere representar.
Los problemas de estabilidad están estrechamente relacionados con la discretización
espacial y temporal (Δx y Δt, respectivamente) del esquema numérico que se emplee y,
aunque son muchas las resoluciones que pueden darse al dominio del problema, existen
expresiones que permiten establecer relaciones entre las diferentes variables (físicas y
numéricas) haciendo de la discretización un problema fácil de resolver en términos de
estabilidad. Los números adimensionales asociados al problema de transporte, son los que
permiten determinar la discretización espacio – temporal del problema que garantiza la
estabilidad de la solución de éste (Jimenez Jaramillo, 2008), Entre estos se encuentran el
número de Courant y el número Difusivo.
Para los criterios de estabilidad es muy aplicada la condición de Courant-Friedrichs-Lewy
(Condición CFL), la cual es una condición necesaria de convergencia fundamental que
sitúa límites para el paso temporal, garantizando así la positividad del problema de
transporte de advección-difusión-reacción y que la velocidad de la información numérica
no sobrepase a la velocidad de la información física. Entonces, la condición CFL, para este
tipo de transporte queda expresada de la siguiente forma:
( )
Desde el punto de vista físico, la interpretación de esta condición determina el
comportamiento espacial del viaje de la solución en un paso Δt. También, la solución en el
siguiente paso temporal, debe incluir toda la información física proveniente del paso
anterior que influye en la solución. La condición CFL asegura que el dominio de
dependencia de las ecuaciones gobernantes sea contenido enteramente en el dominio de
dependencia del esquema numérico.
La expresión (3.3.1) cambia según el problema de transporte a tratar. Si el transporte que
predomina es el advectivo, E=0, si es el difusivo, U=0, y si la sustancia es conservativa, es
decir, que no reacciona con el medio, k=0. Todo esto permite obtener en cualquier caso
(definido Δx) la resolución temporal que garantice la estabilidad de la solución numérica.
Basta entonces establecer la resolución espacial del sistema para determinar la resolución
temporal del mismo. Si se combinan el número difusivo y el número advectivo puede
demostrase, según W.L. Wood, 1993 que (Jimenez Jaramillo, 2008):
61
Otro tipo de manifestación de inestabilidad numérica es la dispersión numérica, que es la
degeneración de la solución, producto de la discretización del problema a través del
parámetro dispersivo E. Pero al tomar E como un valor constante en la aplicación del
modelo este problema queda descartado. Entonces, si la dispersión numérica (Enum) es nula,
aparece una vez más el número de Courant ⁄ .
3.4 Caso real de aplicación.
Una vez evaluado de forma teórica el modelo conceptual para representar diferentes
condiciones de flujo se hace necesario el análisis práctico a casos específicos con el fin de
probar la eficacia y certidumbre de este y obtener una acertada validación del modelo
genérico.
El caso a estudiar es el río cubano Almendares, el cual cuenta con bases de datos
registradas en la bibliografía estudiada. El principal factor al que se apeló a la hora de
escoger este caso de estudio es, precisamente, la existencia de los datos necesarios para la
aplicación de un modelo de calidad del agua y además de esto, que el río es cubano y la
principal intención de este trabajo es que el desarrollo del modelo conceptual permita su
aplicación a aguas superficiales cubanas según las condiciones socioeconómicas existentes.
3.4.1 Río Almendares.
Con fines de modelación, se estudió la zona del Almendares comprendida entre el punto
donde la estación de depuración de residuales (EDAR) “María del Carmen” vierte al
Almendares (km 14.45 desde la desembocadura) y el Puente del Bosque de la Habana (km
3.05).
En función de las características hidráulicas y morfológicas; los procesos físicos, químicos
y biológicos que ocurren en el río Almendares y a la cantidad y calidad de la información
disponible se pudo adaptar el modelo genérico propuesto. El resultado fue el modelo
expandido de Streeter-Phelps; el cual constituye un modelo unidimensional relativamente
sencillo que soluciona por métodos analíticos la ecuación de balance de masa.
Consideraciones.
Para llegar al modelo modificado de Streeter-Phelps a partir del modelo genérico se parte
de que una vez aplicado el número de Peclet, el transporte advectivo es superior al
dispersivo por lo que este término desaparece. Se considera el estado estacionario con
relación al caudal, la velocidad, los parámetros morfológicos del río y las cargas que
incluyen la DBOC, la DBON y de OD incorporadas a través de fuentes puntuales o
dispersas. Se asume una cinética de reacción de primer orden. Con respecto a las fuentes y
sumideros del OD se supuso que solo existía consumo de oxígeno por los sedimentos sin
tener en cuenta el balance fotosíntesis-respiración de la biota del río. En cada segmento de
estudio los parámetros (velocidad, constantes cinéticas de reacción, área de sección
transversal, flujo, etc.) se toman relativamente constantes.
62
Modelo modificado de Streeter-Phelps como caso particular del Modelo
Conceptual Generalizado.
Una vez analizadas las consideraciones a tener en cuenta, el sistema de EDO‟s del modelo
modificado de Streeter-Phelps queda representado de la forma:
}
( )
Del cual se obtienen las soluciones analíticas siguientes:
(
) ( )
(
) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
.
/
(
)
.
/
}
( )
Para la aplicación de este modelo al río Almendares se asumió que la razón existente entre
la DBO5 y la DBOu es el valor típico de 1.43 y entre la DBON y el NH4+
es de 4.57. La kn
es igual a la krn debido a que esta última se calculó mediante el NH4+
y no por el nitrógeno
total oxidable. También se trabajó con dos bases de datos de dos campañas intensivas de
mediciones correspondientes a dos condiciones diferentes de caudal. La primera, típica de
época seca en los meses de noviembre de 1998 a febrero de 1999. La segunda, originada
por el paso del ciclón Irene en octubre de 1999 y por cambios efectuados en el manejo de
las aguas en los meses de noviembre de 1999 a febrero del 2000 (Domínguez Catasús et al.,
2005).
3.5 Análisis e interpretación estadística de los resultados del modelo aplicado.
El tramo de estudio del río se dividió en 11segmentos, los cuales contenían 22 estaciones de
muestreo. Cada segmento se situó de forma tal que en sus límites existiera una descarga
puntual, asegurando así, que se cumpliera el principio de conservación de la masa. El anexo
1 muestra los valores de DBOC, DBON, OD, D, descargas dispersas, fuentes de OD y DOS
de las dos campañas y el anexo 2, los coeficientes cinéticos de reacción, la velocidad, el
63
caudal, el área y la temperatura; valores estos, que permitirán la aplicación del modelo para
poder simular las concentraciones del D y así determinar la cantidad de OD existente en el
tramo del río.
Una vez desarrollado el modelo con sus consideraciones por tramos; la solución completa
se obtiene mediante la unión de las soluciones para los distintos segmentos. Esto permitió,
a partir de los datos del anexo 3, trazar los gráficos donde se encuentran el valor
experimental y el valor teórico (modelado) de la DBOC, la DBON y el D a lo largo del
tramo de estudio para las dos campañas (Véase gráficos 1, 2, 3).
Gráfico 1: Gráficos de la DBOC de los valores reales y teóricos de la primera y segunda campaña de mediciones.
64
Gráfico 2: Gráficos de la DBON de los valores reales y teóricos de la primera y segunda campaña de mediciones.
Gráfico 3: Gráficos del D de los valores reales y teóricos de la primera y segunda campaña de mediciones.
65
Realizando el análisis de los gráficos de ambas campañas apreciamos que existen algunas
diferencias entre los valores modelados y los reales en los tramos finales del segmento.
Además se aprecia una conducta similar en las pendientes de estos tramos exceptuándose
algún que otro, puede que debido a errores en la determinación de las constantes cinéticas
de reacción, las cuales se determinaron por fórmulas empíricas no adaptadas a las
condiciones de ríos cubanos, o a la no inclusión de alguna fuente o sumidero de oxígeno.
Una inspección visual de los datos graficados, la cual nos da una evaluación cualitativa, no
es suficiente para demostrar la validez del modelo, de ahí que se acudió a la estadística para
llegar a conclusiones cuantitativas sobre este.
Para comparar estadísticamente los resultados prácticos con los teóricos utilizamos el
programa estadístico informático Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) versión
21.0. Inicialmente definimos las muestras o grupos de mediciones como independientes ya
que el resultado de una no afecta el contenido de la otra. Una vez definido el tipo de
muestra realizamos una prueba de bondad de ajuste, haciendo énfasis en la prueba W de
Shapiro-Wilk porque el tamaño de la muestra es inferior a 50. Esta prueba parte de la
Hipótesis Nula (Ho) de que los datos siguen una distribución normal; y en contraparte a
esta, la Hipótesis Alternativa (Ha), indicaría que los datos no se distribuyen normalmente.
En los casos que analizamos en la primera Campaña, todos presentaron una significación
mayor que 0.05, para una de confiabilidad del 95% (Véase tablas 11, 12), por lo que se
acepta la Ho, lo que indica que los datos correspondientes a la primera campaña se
distribuyen normalmente.
66
Tabla 11: Prueba W de Shapiro-Wilk de la primera campaña. Datos modelados.
Tabla 12: Prueba W de Shapiro-Wilk de la primera campaña. Datos de las mediciones de campo.
Estos resultados nos permiten aplicar una prueba paramétrica t para muestras
independientes, la cual nos permite contrastar que las medias de las dos poblaciones
independientes son iguales. Como Ho se plantea que no existen diferencias significativas
entre las medias de las dos muestras.
Tabla 13: Prueba paramétrica t para muestras independientes de la primera campaña.
Una vez obtenidos los resultados de la prueba (tabla 13), hay que considerar si las varianzas
son iguales o no, ya que el estadístico es diferente en cada caso. Para ello se hace uso de la
prueba de Levene para la igualdad de varianzas para dar la interpretación en cada caso.
Como la significación es grande (Sig.>0.05), podemos considerar las varianzas iguales.
Luego, analizando los valores de la casilla Sig. (bilateral) de las tres variables, vemos que la
significación es mayor que 0.05 también, por lo que se puede concluir que no existen
67
diferencias significativas entre las medias de los valores reales y los dados por el modelo
matemático en la primera campaña de mediciones.
Para la segunda campaña de mediciones se operó de igual forma pero al aplicar la prueba
de Shapiro-Wilk (Véase tablas 14, 15) nos quedó que la única variable que presentaba una
distribución normal en ambas muestras era el D, al cual se le aplicó la prueba t (Véase tabla
16). Los valores de la DBOC de los datos modelados (tabla 14) y la DBON de los datos
reales (tabla 15) no presentan una distribución normal, por lo que a estos no se les aplicó
dicha prueba t al no cumplir con los requisitos de su aplicación. Esto significa, que al no
cumplirse los criterios de normalidad en las muestras de estas variables se utilizó la prueba
no paramétrica de Mann-Whitney para el caso de muestras independientes, ya que esta
prueba no requiere de ninguna condición especial sobre las muestras (Véase tabla 17).
Tabla 14: Prueba W de Shapiro-Wilk de la segunda campaña. Datos modelados.
Tabla 15: Prueba W de Shapiro-Wilk de la segunda campaña. Datos de las mediciones de campo.
Tabla 16: Prueba paramétrica t para muestras independientes de la variable D de la segunda campaña.
Como se puede apreciar en la tabla anterior la prueba de Levene para la igualdad de
varianzas dio mayor que el nivel de significación (0.05), por lo que se asumen varianzas
68
iguales y se evalúa la Sig. (bilateral) de la prueba t, la cual también da mayor que 0.05 con
una confiabilidad del 95%, aceptándose así la Ho de que no existen diferencias
significativas entre las media de los valores reales y los teóricos (o modelados).
Tabla 17: Prueba no paramétrica de Mann-Whitney para muestras independientes de las variable
DBOC y DBON de la segunda campaña.
En el caso de la prueba de Mann-Whitney se analiza la significación asintótica bilateral
(Sig. asintót. (bilateral)) para una confiabilidad del 95 %, cumpliéndose la Ho de que no
existen diferencias significativas entre las medias de los valores reales y los teóricos.
De forma general, después del análisis estadístico aplicado a las dos campañas de
mediciones podemos afirmar que el modelo queda validado, lo que nos indica que su
aplicación en ríos es acertada por su acercamiento a los datos reales, lo que significa que
puede ser utilizado con fines de creación de estrategias de saneamiento, análisis y
localización de los puntos críticos, etc.
3.6 Conclusiones parciales.
En este capítulo se llevó a cabo un análisis del modelo conceptual genérico propuesto en el
Capítulo II. Se examinó el caso estacionario del modelo donde no existe variación de la
concentración del contaminante en el punto a lo largo del tiempo y se detalló los métodos
de solución analítica y numérica. Para encontrar la solución analítica para diferentes
condiciones iniciales, se utilizó el software Wolfram Mathematica 9.0 y para determinar la
solución numérica se utilizó el método numérico de diferencias finitas. Se examinó también
el caso transitorio del modelo donde si existe variación de la concentración en el punto con
el tiempo. Para dar solución a este caso se planteó el método numérico predictor-corrector
de MacCormack, para posteriormente plasmar los criterios de estabilidad numérica. Una
vez desglosado el análisis matemático del modelo se transitó a la aplicación de este a un
caso real del río Almendares, con la existencia de bases de datos de diferentes campañas de
mediciones. Inmediatamente se realizó una inspección visual de los gráficos que
comparaban los valores reales con los del modelo y una comparación estadística, utilizando
el programa estadístico SPSS v.21.0, en la que se aplicaron la prueba paramétrica t o la no
paramétrica de Mann-Whitney, atendiendo a si las muestras presentaban una distribución
69
normal o no. Se llegó a la conclusión de que no existen diferencias significativas entre las
medias de los datos reales y los teóricos, lo que dio paso a la validación del modelo para
futuras aplicaciones.
70
CONCLUSIONES
Una vez obtenidas las herramientas necesarias y después de haberse explicado cada
variable y parámetro físico, químico y biológico que describen el flujo de oxígeno en un
cuerpo fluvial o lacustre, se propuso en el capítulo II, como resultado del estudio, el modelo
generalizado de calidad del agua; un modelo conceptual que permitió de acuerdo a las
norma cubana de fuentes de abasto NC 1021:2014 y a las condiciones económicas, técnicas
y naturales existentes en nuestro entorno, su aplicación mediante el uso de base de datos del
río Almendares. El trazado de los gráficos de los datos obtenidos permitió mediante la
inspección visual apreciar el comportamiento del modelo con respecto a las mediciones de
campo a lo largo de la distancia.
El solo uso de la inspección visual no fue suficiente para validar el modelo y es por eso que
se desarrolló una comparación estadística entre los valores reales y los tratados
teóricamente por el modelo propuesto, a partir de las técnicas estadísticas apropiadas. Se
realizó la prueba de bondad de ajuste (W) de Shapiro-Wilk para determinar si la
distribución tenía o no un comportamiento normal y en base a esto se aplicó la prueba
paramétrica t de student o la prueba no paramétrica de Mann-Whitney. Los resultados de
estas pruebas fueron satisfactorios, con una confiabilidad del 95%; por lo que se pudo
afirmar que no existen diferencias significativas entre los valores reales y los teóricos.
A partir de la experiencia adquirida en el avance de esta investigación, se puede afirmar que
la propuesta del modelo conceptual presentado en este trabajo ostenta validez práctica, por
lo que este, predice aceptablemente las condiciones naturales del cuerpo de agua bajo
estudio para una confiabilidad del 95%.
71
RECOMENDACIONES
Dada la imperiosa necesidad del desarrollo económico de la costa norte del municipio
Sagua la Grande y del control de registro de afectación de la cuenca del mismo nombre es
de gran importancia monitorearla con la aplicación del modelo conceptual generalizado
para así poder trazar estrategias de control de vertidos y saneamiento del río, asegurando así
el equilibrio del ecosistema.
Además es ineludible el análisis y creación no solo de modelos de OD-DBO sino también
de patógenos y de metales pesados de acorde a las condiciones socioeconómicas existentes.
Por otra parte es recomendable la creación de un software nacional con bases en el modelo
conceptual propuesto que permita con facilidad y rapidez, el trabajo con los datos
obtenidos.
72
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74
ANEXOS
Anexo 1: Valores de DBOu, DBON, OD, D, descargas dispersas, fuentes de OD y DOS
para las dos campañas.
Segmentos 1ra Campaña
No. km DBOu, mg/L
DBON, mg/L
OD, mg/L
D, mg/L
WL, kg/d km
WN, kg/d km
W2, kg/d
DOS, g/m2
d
1 14.45 28.60 0.14 4.80 3.36 0
2 14.4 50.41 20.79 2.41 5.73 1.85
3 12.11 64.71 22.39 0.93 7.35 1.50
4 10.25 95.81 16.60 1.90 6.74 1.50
5 8.18 91.52 4.57 3.80 4.91 -0.825 0
6 8.13 51.48 15.538 2.7 5.83 0.778 0.04 1.50
7 5.63 62.21 19.88 2.51 6.01 0
8 5.24 14.30 21.48 2.68 5.60 -0.547 0
9 4.95 12.87 43.42 1.5 7.02 1.50
10 3.94 27.17 14.62 5.38 3.20 1.50
11 3.5 30.03 11.43 3 5.50 1.50
Segmentos 2da Campaña
No. km DBOu, mg/L
DBON, mg/L
OD, mg/L
D, mg/L
WL, kg/d km
WN, kg/d km
W2, kg/d
DOS, g/m2
d
1 14.45 58.63 0.59 5.80 2.42 0
2 14.4 60.42 5.32 4.10 4.16 1.85
3 12.11 67.93 6.40 2.56 5.81 1.50
4 10.25 50.53 9.29 2.38 5.96 1.50
5 8.18 54.34 5.94 4.10 4.29 -1.53 0
6 8.13 42.90 5.48 3.50 4.89 0.78 0.04 1.50
7 5.63 50.05 5.48 3.35 4.96 0
8 5.24 32.18 8.91 3.40 4.89 -1.79 0
9 4.95 22.88 24.22 1.8 6.54 1.50
10 3.94 58.63 11.43 4.12 4.25 1.50
11 3.5 48.62 10.05 3.1 5.29 1.50
75
Anexo 2: Valores de los coeficientes cinéticos de reacción, la velocidad, el caudal, el
área y la temperatura de las dos campañas.
Segmento 2da Campaña
No V, m/s Q del río,
m3/s
Q del tributario,
m3/s
H, m A, m2
Temperatura, oC
Constantes cinéticas
ks, 1/d kd, 1/d
kr, 1/d
krn=kn, 1/d
ka, 1/d
1 0.17 1.39 1.8 0.58 8.20 25.30 -0.06 0.2 0.14 0.49 3.35
2 0.17 1.77 0.42 0.58 10.40 25.03 0.03 0.11 0.14 0.48 2.29
3 0.20 1.36 0.06 0.72 6.80 24.35 0.12 0.27 0.39 0.43 3.32
4 0.34 3.06 0.67 0.66 9.00 24.53 0.04 0.11 0.15 0.40 2.42
5 0.34 3.37 0 0.66 9.90 24.20 0.00 0.15 0.15 0.40 2.42
6 0.25 4.23 0.36 1.42 16.90 24.20 0.02 0.06 0.08 0.28 0.82
7 0.19 3.59 0.65 0.75 18.90 24.70 0.00 0.06 0.06 0.31 1.41
8 0.19 3.59 0 0.75 18.90 24.80 0.00 0.90 0.90 0.30 1.45
9 0.19 4.56 0.99 0.82 24.00 24.50 0.03 0.18 0.21 0.44 2.44
10 0.19 4.56 0.002 0.83 24.00 24.30 0.03 0.18 0.21 0.43 3.40
11 0.19 4.75 0.002 0.74 25.00 24.20 0.03 0.18 0.21 0.42 3.40
Segmento 1ra Campaña
No V,
m/s Q del río,
m3/s
Q del tributario,
m3/s
H, m A, m2
Temperatura, oC
Constantes cinéticas
ks, 1/d kd, 1/d
kr, 1/d
krn=kn, 1/d
ka, 1/d
1 0.16 0.77 0.39 0.48 4.80 25.70 0.00 0.15 0.15 0.49 3.41
2 0.16 1.07 0.14 0.48 6.70 25.80 0.10 0.05 0.15 0.48 3.42
3 0.16 0.53 0.02 0.61 3.30 24.93 0.11 0.34 0.45 0.43 3.71
4 0.13 0.78 0.23 0.55 6.03 22.63 0.10 0.30 0.40 0.40 3.70
5 0.13 0.79 0 0.55 6.09 22.20 0.00 0.40 0.40 0.40 3.66
6 0.11 1.33 0.36 1.18 12.10 23.30 0.04 0.13 0.17 0.28 1.10
7 0.08 1.19 0.45 0.63 14.90 23.40 0.00 0.15 0.15 0.31 2.41
8 0.08 1.19 0 0.63 14.90 24.90 0.00 0.15 0.15 0.30 1.10
9 0.08 1.60 0.67 0.68 20.00 23.37 0.07 0.43 0.49 0.44 3.60
10 0.08 1.60 0.2 0.69 20.00 23.00 0.07 0.43 0.49 0.43 3.72
11 0.08 1.68 0.2 0.62 21.00 23.50 0.07 0.43 0.49 0.42 2.47
76
Anexo 3: Valores de DBOu, DBON, OD, D y concentración de saturación de oxígeno,
resultantes del modelo.
1ra Campaña
Segmentos Distancia, km L, mg/L N, mg/L D, mg/L OD, mg/L Saturación de OD, mg/L
1 14.45 24.450 0.082 1.480 6.678 8.158
2 14.4 45.828 6.531 3.110 5.033 8.143
3 12.11 39.030 16.217 5.480 2.795 8.275
4 10.25 68.518 20.330 7.800 0.838 8.638
5 8.18 68.513 3.421 5.430 3.280 8.710
6 8.13 46.791 10.003 6.204 2.326 8.530
7 5.63 57.640 19.074 6.236 2.278 8.514
8 5.24 10.917 26.174 5.200 3.079 8.279
9 4.95 13.354 25.906 5.030 3.489 8.519
10 3.94 20.382 10.954 4.100 4.478 8.578
11 3.5 23.376 12.795 5.580 2.918 8.498
2da Campaña
Segmentos Distancia, km L, mg/L N, mg/L D, mg/L OD, mg/L Saturación de OD, mg/L
1 14.45 51.027 0.367 2.800 5.415 8.218
2 14.4 51.823 1.828 4.192 5.248 8.260
3 12.11 50.333 4.546 4.839 3.497 8.363
4 10.25 48.244 8.033 4.581 4.495 8.335
5 8.18 51.468 5.812 3.450 5.623 8.387
6 8.13 41.689 4.938 4.623 4.210 8.387
7 5.63 48.340 4.939 4.257 3.995 8.309
8 5.24 26.196 7.620 3.439 4.791 8.294
9 4.95 21.488 21.232 4.984 3.370 8.340
10 3.94 49.706 12.359 4.245 4.126 8.371
11 3.5 46.513 9.191 4.421 3.966 8.387