licenciatura en física – departamento de física - ecen computación y cálculo numérico turner,...

Licenciatura en Física – Departamento de Física - ECEN

Computación y Cálculo Numérico Turner, P.A.

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III –

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S

UNIDAD III: ERRORES

Hemos desarrollado:

• Sistemas numéricos: decimal, binario y hexadecimal.

• Representación interna de datos: números y caracteres.

Presentaremos hoy:

• Nociones básicas de errores.

Nociones básicas de errores.



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En esta UNIDAD comenzamos a introducirnos en los:

MÉTODOS NUMÉRICOS

Situación REAL NO SIEMPRE se requiere una RESPUESTA EXACTA

MODELO MATEMÁTICO para describir y analizar

APROXIMACIÓN

SOLUCIÓN ANALÍTICA: Puede NO tenerPuede ser DIFÍCIL o COSTOSA

(objetivos)MÉTODOS NUMÉRICOS

Una SOLUCIÓN APROXIMADA al PROBLEMA ORIGINAL



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MÉTODO NUMÉRICOResolver problemas numéricos COMPLEJOS utilizando operaciones aritméticas SIMPLES.

OBJETIVO

Conjunto FINITO de reglas o instrucciones bien definidas, tal que, siguiéndolas paso a paso se obtiene la solución a un dado problema.

ALGORITMO

RECORDEMOS

MÉTODO NUMÉRICOEs un

ALGORITMO

diseñado para dar respuestaproblema con una PRECISIÓN prescripta.

NUMÉRICA

a un

DIREMOS

CÁLCULO NUMÉRICOEVALÚA los

MÉTODOS NUMÉRICOS

diseñados.

OBJETIVO



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El CÁLCULO de un dado MÉTODO NUMÉRICO dará NÚMEROS que se APROXIMAN a los que se obtendrían aplicando la SOLUCIÓN ANALÍTICA de un problema, en el caso que existiera.

DIREMOS

¿Qué tan PRECISOS (próximos a la solución “exacta”) son los resultados?

O

¿Qué tanto ERROR se ha introducido?

NOS PREGUNTAMOS

Si el cálculo aproxima a la solución “exacta”:



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TRATAMIENTO INFORMACIÓN

RESUMIMOS

ENTRADAINFORMACIÓN

PROCESOINFORMACIÓN

SALIDAINFORMACIÓN

NOCIONES BÁSICAS DE ERRORES

DATOSMÉTODO NUMÉRICO

RESULTADOS

FUENTES DE ERROR• Distintos ERRORES en cada ETAPA.

ERROR

ERROR

ERROR

• Los ERRORES se PROPAGAN dando el ERROR TOTAL.

¿Cómo MEDIMOS el ERROR?



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MAGNITUD DEL ERROR

CUANTIFICAMOS el ERROR:

Siendo VA una aproximación de VV, y VV el valor real, entonces:

e = | VA – VV |

eR = | ( VA – VV ) / VV | con la condición VV ≠ 0

ERROR PORCENTUAL ABSOLUTO

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO ABSOLUTO

eP = 100.| ( VA – VV ) / VV |(%) con la condición VV ≠ 0



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CIFRAS SIGNIFICATIVAS

EJEMPLOS

MEDIR la CONFIABILIDAD de un VALOR NUMÉRICO

Siendo VA una aproximación de VV (de la definición de ERROR RELATIVO)Si d es el mayor número natural tal que | ( VA – VV ) / VV | <

10-d/2 VA es una aproximación a VV con d CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• VA = 3.14 y VV = 3.141592

|(VA – VV)/VV| = 0.000507 < 10-2/2

VA es una aproximación a VV con 2 cifras significativas.

• VA = 999 996 y VV = 1 000 000

|(VA – VV)/VV| = 0.000004 < 10-5/2


• VA = 0.000012 y VV = 0.000009

|(VA – VV)/VV| = 0.25 < 10-0/2




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S PROCESOMÉTODO

NUMÉRICOALGORITMO

COMPUTACIONAL

FUENTES DE ERROR

ERRORES• ERROR DE TRUNCAMIENTO (tiempo).

Tiempo

• ERROR DE REDONDEO (espacio).

ERRORES en el CÁLCULO al implementar en MÁQUINA el MÉTODO.Es decir:

TIEMPO FINITO (ALGORITMO)ESPACIO FINITO (COMPUTADORA)

INTENCIONALMENTE al usar un ALGORITMO COMPUTACIONAL

Introducimos restricciones:

Espacio

RIGUROSAMENTE: FINITO no alcanza. FINITO debe entenderse como RAZONABLE.



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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL

ERROR DE TRUNCAMIENTO

SURGEN debido a la limitación en TIEMPO.

Debemos realizar un número finito de acciones.

EJEMPLOS:• Evaluar funciones con la Serie de Taylor.• Proceso iterativo convergente.• Evaluar por intervalos.

Faltará evaluar (ERROR) términos, iteraciones o intervalos TRUNCADOS.

NO PODEMOS IMPLEMENTAR EL LÍMITE ANALÍTICO

TRUNCAR



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FUENTES DE ERROR EN EL ALGORITMO COMPUTACIONAL

ERROR DE REDONDEO

SURGEN debido a la limitación en ESPACIO (la memoria ocupa espacio).

Los números reales se representan por una INFINIDAD de dígitos.En MÁQUINA sólo podemos tener un representación FINITA.

X = ± 0, d1 d2 d3 …. dm x 10n , 1≤d1≤9 y 0≤di≤9

d1 d2 d3 …. dm: mantisa n: exponente

Trabajamos con: fl(x) = ± 0, d1 d2 d3 …. dk x 10n Tenemos almacenado un REDONDEO del número real que difiere (ERROR) del número real.



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S

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos 7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777

0.3333 + 0.6666 = 0.9999 (redondeo truncado)

0.3333 + 0.6667 = 1.000 (redondeo simétrico)

Errores

REDONDEO TRUNCADO

REDONDEO SIMÉTRICOEl redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida si la primera cifra descartada está entre 5 y 9, o dejarla igual si la primera cifra descartada está entre 0 y 4.

Ejemplo: 1/3 + 2/3 = 1, su resolución mediante la calculadora puede llevarnos a un resultado diferente. Si realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas se obtiene



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ERROR NUMÉRICO TOTAL

ERROR NUMÉRICO TOTAL

Agregando términos, iteraciones o disminuyendo el intervalo.

DISMINUIR UNA COMPONENTE DE ERROR CONDUCE A UN INCREMENTO EN LA OTRA

ERROR DE TRUNCAMIENTOERROR DE REDONDEO

Error de truncamiento

Significa

número de operaciones

Error de redondeo



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S There are 10 types of people in the world:

those who understand binary

and

those who don't.

2



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n24321 2xddd0.d )(

{0.10002 x 2-3, 0.10012 x 2-3, … , 0.11102 x 24, 0.11112 x 24}

Conjunto de todos los números reales positivos de la forma

n pertenece al conjunto {-3,-2,-1,0,1,2,3,4}.

Mantisa Exponente

n=-3 n=-2 n=-1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4

0.1000(2) 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

0.1001(2) 0.0703125 0.140625 0.28125 0.5625 1.125 2.25 4.5 9

0.1010(2) 0.078125 0.15625 0.3125 0.625 1.25 2.5 5 10

0.1011(2) 0.0859375 0.171875 0.34375 0.6875 1.375 2.75 5.5 11

0.1100(2) 0.09375 0.1875 0.375 0.75 1.5 3 6 12

0.1101(2) 0.1015625 0.203125 0.40625 0.8125 1.625 3.25 6.5 13

0.1110(2) 0.109375 0.21875 0.4375 0.875 1.75 3.5 7 14

0.1111(2) 0.1171875 0.234375 0.46875 0.9375 1.875 3.75 7.5 15



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Por ejemplo que pasaría si en nuestra computadora de 4 cifras como describimos en los párrafos anteriores se realiza la operación (1/10 + 1/5) + 1/6? . Supongamos además que nuestra computadora redondea todos los números reales al número binario más próximo de los que dispone.

2-2

2-2

2-2

2-2

3-2

2x001111103

2x110102x1101051

2x0110102x11010101

)(

)()(

)()(

.

_______________

..

..

La computadora debe decidir ahora cómo almacenar el número 1.00111(2) x 2-2 . Supongamos que se redondea como 0.1010(2) x 2-1 . El paso siguiente es

1-2

1-2

2-2

1-2

1-2

2x11111015

7

2x0101102x101106

1

2x101002x1010010

3

)(

)()(

)()(

.

_______________

..

..



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S

02 2x10000

157

)(.

03330500004667010000157

2 .... )(

Ahora la computadora decide como almacenar el número 0.11111(2) x 2-1. Puesto que suponemos que redondea, almacena 0.1000(2) x 20 . Por lo tanto, la solución a nuestro problema original es

El error en el cálculo efectuado por la computadora es

Equivalente a un error del 7% aproximadamente !!...

(1/10 + 1/5) + 1/6 =? 1/10 + (1/5 + 1/6) ….



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Utilizando polinomios de Taylor analice el valor de exp(x) en funcion del numero de términos retenidos en la serie

exp(1)

)(5432

15432

xn

xxxxxxe n

nx P

!...

!!!!

(6 cifras significativas):



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S

a

acbbx

a

acbbx

2

4;

2

4 2

2

2

1

10.62000.2

2.124

000.2

06.6210.62

02000.0000.2

04000.0

000.2

06.6210.62

2

1

x

x

Ejemplo ERROR DE REDONDEO

x2 + 62.10 x + 1 = 0

Raíces aproximadas (7 cifras significativas):

x1 = -0.01610723 , x2 = -62.08390

Soluciones:

84406.623852000.414.3856000.410.624 22 acb

Usando aritmética de 4 cifras (para forzar el error):

Calculamos

x1 y x2



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Considere la serie de Taylor para el seno(x)

!...

!!!)sin(

n

xxxxxx

n

753

753

Para pequeños valores de x, solo un reducido numero de términos es necesario para obtener un “buena solución”.

Valor verdadero = Valor suma + Error de truncamiento

El valor del Error de truncamiento depende de x y del número de términos incluidos en Valor suma

Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO



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Se puede demostrar que para cualquier serie alternante convergente el error de truncamiento es menor que el primer término despreciado

663211

111

ex

trunc .!

E

Nótese que valores de x mayores a 0.5 aprox. el error aumenta rápidamente cuando x tiende a 1. El error máximo es de 3.54e-06, lo cual esta en acuerdo con el error de truncamiento expresado anteriormente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5x 10

-6

pi/2 x

error to

tal

En el caso de utilizar 5 términos siempre



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Si usamos 15 términos …

2675229

129

ex

trunc .!

E

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-16

pi/2 x

error to

tal

El error por redondeo está controlando el comportamiento. Nótese de todas formas se logra todavía un resultado aceptable en el valor de la serie



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0 5 10 1510

0

105

1010

2 4 6 8 10 12 1410

-10

100

1010

1020

1030

1040

numeros de termninos

factorial

potencia (x=pi/2) potencia (x=pi/2)

potencia (x=13pi/2)

0 5 10 1510

-40

10-20

100

1020

sin(pi/6)

Error de truncamiento

sin(13pi/6)

Potencia .vs. factorial

potencia (x=pi/6)

potencia (x=13pi/6)



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S



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TRES IMPORTANTES CONSTANTES EN LA COMPUTADORA

Estos tres valores definen el rango de números disponibles y la precisión de nuestra computadora

realmax := máximo número (normalizado) 21024 1.8E+308

realmin := minimo número (normalizado) 2-1022 2.2E-308

valor positivo mas pequeño de forma tal que sumado a 1 se obtenga como resultado un valor mayor que 1

eps = = 0.00…..12 x 20 = 2-52 2.2E-16

# número de dígitos binarios = - log2(eps) = 52

# número de dígitos decimales = - log10(eps) 15.6



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PROGRAM MACHINE_EPSILONIMPLICIT NONEREAL * 8 :: machEps = 1, tmp =1PRINT *, "currEp, 1 + currEp"DO PRINT *, machEps, tmp + machEps IF (tmp + machEps == 1.0) EXIT

machEps = machEps/2.0END DOmachEps = machEps*2PRINT *PRINT *, "Calculated Machine epsilon: ", machEps! Verify our calculation via the intrinsic F95 function EPSILON() PRINT *, "EPSILON(x) = ", EPSILON(machEps) END PROGRAM MACHINE_EPSILON



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TRES ERRORES DE REDONDEO CRÍTICOS

Cancelación

Underflow

Overflow

sustracción de dos números casi iguales

resultado más pequeño que realmin

resultado más grande que realmax



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• 25 de Febrero 1991. Falla en el sistema de defensa Patriot (Irak) Reporte GAO/IMTEC-92-26. Problema de software razón acumulación de errores de redondeo.(www.math.psu.edu/dna/455.f97/notes.html)

• 4 de Junio 1996. El cohete Ariane se auto destruye la corto tiempo del despegue. Causa del desastre un error de overflow. (www.rpi.edu/~holmes/NumComp/Misc/siam.ariane.html)

• 1997 un error de redondeo es descubierto en los procesadores Pentium-II. Problema no solo de imagen de la empresa (INTEL) sino el costo del reemplazo de un gran numero de procesadores defectuosos. (x86.ddj.com/secrets/dan0441.htm)

constantes de la computadora errores de redondeo críticos

Errores

Algunos datos …



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Ejemplo ERROR DE TRUNCAMIENTO

Compare el resultado “exacto” (provisto por la función de librería) de:

2/1

0x dxe2

= 0.544987104184

con el que se obtiene al integrar los primeros términos de la serie asociada al integrando.

Problema para el laboratorioEscriba un programa que le permita calcular el valor del coseno aproximándolo por su desarrollo en polinomios de Taylor alrededor de cero en orden creciente desde 1 hasta 4. Realice los cálculos para valores cercanos a 0, /2 y /4.



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Ejemplo ERROR DE REDONDEO

x2 + 62.10 x + 1 = 0

Raíces aproximadas (7 cifras significativas):

x1 = -0.01610723 , x2 = -62.08390

Resolver la ecuación cuadrática

Problema para el laboratorioEscriba un programa para sumar 0.00001 diez mil veces a la unidad usando simple precisión. Compare el resultado con el que se obtiene si implementa una estrategia de agrupamiento o si lo resuelve utilizando doble precisión.

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