licenciatura de matemáticas na usc · datas de exames ... plan de estudios, programación docente...

Guía

da

Facu

ltade

de

Mate

mática

sCur

so20

07/20

08

Imprime Unidixital - DLG - C 2813-2007

C U R S O

200708

50 anosLicenciatura deMatemáticas na USC

C U R S O

200708

50 anosLicenciatura de

Matemáticas na USC

ÍNDICE

I. PRESENTACIÓN

Saúdo do equipo decanal ..............................................................................................9

Enderezo, equipo de goberno e servizos ......................................................................13Aulas ...........................................................................................................................15Aulas de informática ...................................................................................................17Biblioteca ....................................................................................................................21Departamentos adscritos e outros órganos vencellados á facultade ............................22

Profesorado..............................................................................................................................23

Directorio telefónico e de despachos por departamentos............................................25Órganos colexiados de goberno..............................................................................................29

II. REGULAMENTOS E NORMATIVAS

Plano de estudos ......................................................................................................................33

Regulamento de réxime interno .............................................................................................39

Normativas internas................................................................................................................53

Utilización das taquillas ..............................................................................................55Ocupación das salas de bolseiros ................................................................................56Cambio de grupo.........................................................................................................58Monitores de clases prácticas......................................................................................59Traballos Académicamente Dirixidos.........................................................................60Grao de Licenciado modalidade traballo de investigación .........................................62

Normativa básica para a ordenación do proceso ensino/aprendizaje.................................63

Normativa para articular os procedementos extraordinarios de avaliación e a revisión de

cualificacións ...........................................................................................................................69

III. PROGRAMACIÓN DOCENTE CURSO 2007-2008

Materias de libre elección.......................................................................................................75

Programas de intercambio .....................................................................................................79

Oferta de posgrao....................................................................................................................85

Calendario académico.............................................................................................................89

Datas de exames ......................................................................................................................93

Horario de clases ...................................................................................................................105

IV

Introdución ................................................................................................................................7

Administración e servizos...................................................................................................... 11.

Introdución histórica ...................................................................................................10

PROGRAMAS DAS MATERIAS. CURSO 2007-2008..………………………………123

Primeiro curso…………...…………………………………………………………………….125 Segundo curso…………...…………………………………………………………………….159 Terceiro curso…………...…………………………………………………………………….175 Cuarto curso…………...…………………………………………………………………..….195 Quinto curso…………...……………………………………………………………………...221 Libre configuración ...………………………………………………………………………..305

5

Introdución

Niels Henrik Abel(Findö, Noruega, 1802;Froland, Noruega,1829)

Abel foi un matemático noruegués. É célebre fundamentalmente por ter probado en 1824 que non hai ningunha fórmula para halla-los ceros de tódolos

polinomios xerais de grao > 4 en termos dos seus coeficientes e, no ámbito das funcións elípticas, por ter desenvolvido un método xeral para a construción de funcións periódicas recíprocas da integral elíptica.

En 1815 ingresou na escola da Catedral de Cristianía (hoxe Oslo) onde tres anos despois probaría as súas aptitudes para as matemáticas coas súas brillantes solucións ós problemas orixinais propostos por Bernt Holmboe. Nesa mesma época morreu o seu pai, un pastor protestante pobre, e a súa familia sufriu graves penurias económicas; sen embargo, unha pequena bolsa do estado permitiu a Abel ingresar na Universidade de Cristianía en 1821.

O primeiro traballo relevante de Abel consistiu en demostra-la imposibilidade de resolve-las ecuacións de quinto grao usando raíces (Teorema de Abel-Ruffini). Foi esta, en 1824, a súa primeira investigación publicada, aínda que a demostración era difícil e abstrusa. Posteriormente publicouse de modo máis elaborado no primeiro volume da revista de Crelle.

7

O financiamento estatal permitiulle visitar Alemania e Francia en 1825. Abel coñeceu ó astrónomo Schumacher (1780-1850) en Altona, preto de Hamburgo, cando residiu seis meses en Berlín, onde colaborou na elaboración, para a súa publicación do diario matemático de August Leopold Crelle. Este proxecto foi respaldado con entusiasmo por Abel, que foi en grande parte responsable do éxito da iniciativa. De Berlín trasladouse a Friburgo onde levou a cabo a súa brillante investigación sobre a teoría das funcións, na que estudou sobre todo a elíptica e a hiperelíptica, e introduciu un novo tipo de funcións que hoxe se coñecen como funcións abelianas, e que foron obxecto dun profundo estudo pola súa parte. En 1826, Abel viaxou a París, onde permaneceu uns dez meses; alí coñeceu ós matemáticos franceses máis importantes, aínda que nin el nin o seu traballo (pouco coñecido) foron especialmente valorados. A isto contribuíu tamén a súa modestia, que o levou a non facer públicos os resultados das súas investigacións. Os problemas económicos, que nunca se separaron del, levaron a Abel a interrumpi-la súa viaxe para regresar a Noruega, onde traballou como profesor (en Cristianía) durante algún tempo. A principios de abril de 1829 Crelle axudoulle a obter un traballo en Berlín, pero a oferta chegou a Noruega dous días despois da súa morte, a causa dunha pulmonía. A prematura morte, ós 27 anos, deste xenio das matemáticas rematou cunha brillante e prometedora carreira. As súas investigacións aclararon algúns dos aspectos máis escuros da análise e abriron novos campos de estudo, posibilitando numerosas ramificacións

no coñecemento matemático e alcanzando un notable progreso. A parte máis profunda e orixinal do traballo de Abel publicouse na revista de Crelle da que era editor Holmboe. Unha edición máis completa dos seus traballos foi publicada en 1881 por Ludwing Sylow e Sophus Lie. O adxectivo abeliano, que se popularizou nos escritos matemáticos, deriva do seu nome e indícase usualmente en minúsculas. Dende 2002, ano en que se instituíu no seu honor, o prestixioso premio Abel otórgase cada ano ós matemáticos máis destacados.

8

SAÚDO DO EQUIPO DECANAL

Esta Guía da Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela pretende informar da realidade da Facultade, difundir a súa oferta formativa e ofrecer información xeral de utilidade para os estudiantes e profesores: orientacións sobre o funcionamento da administración e servicios, plan de estudios, programación docente do curso, calendarios, horarios, datas de exames, regulamentos e normativas, programas de intercambio, ...

O título de Licenciado en Matemáticas que ofrece a nosa Facultade non está dirixido á formación especializada en ningunha rama das matemáticas. Ofrece unha ampla selección de materias optativas, que se encadran nas orientacións de Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Matemática Pura. Estas orientacións fan posible que o estudante poda deseñar un curriculum adaptado ás súas expectativas profesionais. É posible, pero non obrigatorio, conseguir créditos por realizar prácticas nunha empresa ou industria e por traballos académicamente dirixidos.

Sendo as matemáticas unha ciencia imprescindible nunha sociedade desenvolvida, o Licenciado en Matemáticas da nosa Facultade pode optar ás categorías máis altas da función pública e está cualificado para a formulación matemática, análise, resolución e, no seu caso, tratamento informático de problemas en diversos campos interdisciplinares das ciencias básicas, ciencias sociais e da vida, enxeñería, finanzas, consultoría, etc..., con vistas ás aplicacións, á investigación e/ou á docencia.

A Facultade de Matemáticas da USC reafirma a súa vontade decidida de mellora da calidade dos seus servizos educativos e esfórzase en dar resposta nas mellores condicións ás demandas da sociedade en formación e investigación, que axuden a incentivar o tecido productivo do noso entorno. Confiamos firmemente que a capacidade do noso profesorado, a progresiva mellora dos medios materiais, as vindeiras reformas cara á converxencia do espacio educativo europeo e a iniciativa decidida da Facultade, permitirán aspirar con optimismo a esas metas nun clima de apertura ao exterior e de convivencia entre profesores, alumnos e persoal de administración e servizos.

A elaboración desta Guía foi posible gracias a colaboración de todo o profesorado e membros do PAS. O Decanato agradece a todos a súa colaboración. Serán benvidos os comentarios e ideas sobre esta información, que nos servirán para actualizala e mellorala en vindeiras versións.

O equipo decanal.

Santiago, xullo de 2007

9

Introdución histórica

Os estudos de matemáticas na Universidade de Santiago de Compostela son relativamente recentes, se pensamos que a propia universidade conta con máis de cincocentos anos de historia. Se ben as matemáticas estiveron presentes na Universidade de Santiago dende, polo menos, mediados do século XVIII, época na que existía a cátedra de "Ars Mathematicae", temos que agardar ata a segunda metade do século XX para o establecemento de estudios conducentes a un título de matemáticas.

A Sección de Matemáticas comezou a funcionar no curso 1957-58 (B.O.E. de 22 de outubro de 1957) dentro da antiga Facultade de Ciencias. A dita facultade, que se creou no ano 1845 e que xa contaba coa Sección de Química dende o ano 1922, tamén acollería ás Seccións de Bioloxía, a partires do curso 1966-67, e a de Física, a partires do 1976-77.

A Facultade de Matemáticas instituíuse como tal polo decreto regulador do 14 de outubro de 1977, publicado no B.O.E. do 11 de novembro dese ano. Non obstante, non é ata mediados dos oitenta que as Facultades de Bioloxía, Física e Matemáticas abandoan o edificio da Facultade de Ciencias, que dende o ano 1961 era o edificio que hoxe ocupa a Facultade de Química, e pasan ás súas actuais ubicacións no Campus Sur.

Nesta etapa tivo importancia o Colexio Universitario de Lugo, que albergou unha Sección de Matemáticas dende o ano 1972 ata a súa supresión no 1988. Alí se impartían os tres primeiros cursos da Licenciatura de Matemáticas.

A división da Facultade nos Departamentos de Álxebra, Análise Matemática, Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Xeometría e Topoloxía levouse a cabo coa implantación da Lei de Reforma Universitaria no curso 1985-86. É salientable o feito de que ata o momento da segregación das universidades galegas no ano 1989, estes departamentos aportaban profesorado para os sete campus universitarios de Galicia.

No ano 1996 creouse o Instituto de Matemáticas, un centro de investigación, docencia, especialización, aplicación e divulgación das matemáticas. Compartindo sede e membros coa Facultade de Matemáticas, o Instituto organiza conferencias e cursos de terceiro ciclo, ademáis de ser responsable científico de importantes proxectos internacionais.

Polo menos catro planos de estudio precederon ao Plano do 2000 (B.O.E. de 16 de marzo de 2001), que é o que hoxe se imparte. É un plano de estudios de dous ciclos, estruturado en créditos e cuadrimestres, e permite acada-lo título de Licenciado en Matemáticas coas Orientacións de Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Matemática Pura.

10

Administración e Servizos

Marius Sophus Lie (Nordfjordeide,Noruega, 1842; Cristianía (hoxe Oslo), Noruega, 1899)

Sophus Lie foi un matemático noruegués que creou en grande parte a teoría da simetría continua, e aplicouna ó estudo das estruturas xeométricas e as ecuacións diferenciais.

Doutorouse na Universidade de Oslo en 1872, cunha tese titulada Sobre unha clase de transformacións xeométricas..

Foi nomeado membro honorario da Sociedade Matemática de Londres en 1878 e membro da Royal Society (FRS).

A ferramenta principal de Lie, e un dos seus logros máis grandes foi o descubrimento de que os grupos continuos de transformacións (hoxe chamados grupos de Lie), podían ser mellor entendidos "linearizándoos" e estudando os correspondentes campos vectoriais xeradores (os, así chamados, xeradores infinitesimais). Os xeradores obedecen unha versión linearizada da lei do grupo, chamada o corchete ou conmutador, e teñen a estrutura do que hoxe, no seu honor, chamamos unha álxebra de Lie.

11

Enderezo da Facultade de Matemáticas

Avda. Lope Gómez de Marzoa, Campus Universitario Sur, s/n, 15782 Santiago de Compostela. Teléfono: 981563100 Ext.13130 Fax: 981597054 Correo: [email protected]

Equipo de goberno

Decano:

Ilmo. Sr. Don Juan M. Viaño Rey Teléfono: 981563100 Ext.13130, 42400 Correo electrónico: [email protected]

Vicedecana:

Ilma. Sra. Dona Regina Castro Bolaño Teléfono: 981563100 Ext.13145, 42407 Correo electrónico: [email protected]

Secretaria:

Sra. Dona Rosana Rodríguez López Teléfono: 981563100 Ext.13368, 42402 Correo electrónico: [email protected]

Administración e servizos

Secretaría:

Dona Mª Elena Veiga Álvarez Secretaria Decanato Teléfono: 981563100 Ext.13130 Correo electrónico: [email protected]

Don Xosé Luís Santos Cabanas Responsable Unidade Apoio á Xestión de Centros e Departmentos Teléfono:981563100 Ext. 13133 Correo electrónico: [email protected]

Portería:

Don Ignacio Becerra Carril Dona Albina Blanco Castro Dona Carmen Trillo Sendón Dona Victoria Vidal Ferro Teléfono: 981563100 Ext.13219 Correo electrónico: [email protected]

Asuntos Económicos:

Dona Yolanda Mª Martínez Rodríguez Don Santiago Rey Budiño Responsable Asuntos Económicos Teléfono: 981563100 Ext. Correo electrónico: [email protected]

13

Biblioteca:

Dona Rosa Bassave Roibal Dona Ana I. Portugués del Río Dona Ana Rodríguez Lorenzo Dona Carmen Vázquez Castro Dona María Aguirre Rodríguez Don Fernando Mata Rodríguez Teléfono: 981 563 100 Ext: 13127 (Préstamo), 13128 (Dirección) Correo electrónico: [email protected]

14

AULAS DO CENTRO

AULA 1

Nome da aula: Aula 1

Localización: Nivel 1

Capacidade: 60 alumnos

Equipamento:Ordenador con monitor, canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla. Conexión a Internet.

AULA 2




Equipamento:Ordenador con monitor, canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla.Conexión a Internet.

AULA 3




Equipamento:Ordenador con monitor, canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla. Conexión a Internet.

AULA 4





AULA 5





AULA 6





15

AULA MAGNA

Nome da aula: Aula Magna



Equipamento:Canón de vídeo e pantalla grande. Retroproxector de transparencias. Conexión a Internet. Megafonía con 4 micros fixos e 1 inalámbrico. Vídeo e DVD.

SALÓN DE GRAOS

Nome da aula: Salón de graos



Equipamento: Canón de vídeo, retroproxector de transparencias e pantalla. Conexión a Internet.

AULA 7





AULA 8





AULA 9





AULA 10





Outro equipamento docente (previa reserva na conserxería): 2 PC’s portátiles, 2 canóns de vídeo, 2 reproductores de vídeo, 1 televisor e 2 monitores para vídeo.

16

Aulas de Informática do Centro

SERVIDORES

Ordenador Sist. operativo Memoria RAM Disco Duro

PENTIUM IV Windows XP SP2. Fedora Core 5 1 Gb 3 x 30 Gb

AULA 0



Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula. Horario acceso

alumnos: 1º Cuadrimestre: 9-21 h 2º Cuadrimestre: 9-21 h

Postos de

traballo:22 postos, 16 equipos (previsión).

Comunicacións: Integrada na Rede de Aulas de Informática.

AULA 1


Localización: Nivel 3E

Acceso alumnos: Libre acceso. Horario acceso

alumnos: 1º Cuadrimestre: 9-21 h 2º Cuadrimestre: 9-21 h

Postos de

traballo:20 equipos (previsión).


AULA 2


Localización: Nivel 3E Equipamento: Canón de vídeo, retroproxector e pantalla. Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.

Horario acceso

Alumnos: 1º Cuadrimestre: 9-21 h 2º Cuadrimestre: 9-21 h

Postos de

traballo:20 equipos.

Comunicacións Integrada na Rede de Aulas de Informática.

AULA 3


Localización: Nivel 3E

Equipamento: Canón de vídeo, retroproxector e pantalla.

Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.

Horario acceso


Postos de



17

AULA 4


Localización: Nivel 3E Equipamento: Canón de vídeo, retroproxector e pantalla. Acceso alumnos: Prácticas segundo dispoñibilidade da aula.

Horario acceso


Postos de



AULA 5


Localización: Nivel 3E Equipamento: Equipo de videoconferencia, canón de vídeo, retroproxector e pantalla. Acceso alumnos: Actividades con profesor segundo dispoñibilidade da aula.

Horario acceso


Postos de

traballo:29 postos, 17 equipos.


INFORMACIÓN SOBRE SOFTWARE INSTALADO NAS AULAS DE INFORMÁTICA

1. Os ordenadores das aulas teñen instalados dous sistemas operativos:

-WINDOWS XP SP2 -FEDORA CORE 5

2. Software instalado en Windows XP:

Acrobat Reader 7.08 ActiveTcl 8.14.13.0 Actran 2004 Adobe Flash Player 9 Antivirus Norman 5.81 BlueJ1.3.5 Cabri-Geometre II Clustalx 1.83 ColasComsol 3.2b Dreamweaver 4 EPIDAT 3.0 Fluent 6.1.22 + Exceed 9.0.0.0 + Gambit 2.2.30 Flux 8.1 D1 Ghostscript 8.11 GID para windows 7.2 Gsview 4.4.2 I-DEAS 8 J2SE 5.0 Update 8 + Netbeans 5.0 Lindo 6.1 Lingo 8.0 Maple 10 Marc 2003 Mathtype 5.2 Matlab R2006a

18

MEGA 3.1 MEV v4.0 Microsoft Project 2000 SR1 MikTex 2.4.1705 Office 2003 ( incluye frontpage) SP2 PAML 3.14 Patran 2001r3 + Nastran + Frameviewer 5.5 Quicktime Player 7.1 R 2.3.1 Scientific Workplace 3.0 Splus 6.0 Spotfinder v3.1.1 SPSS 14 SPSS Data Entry Builder 4.0 Superficies 6.2.1 TreeView 32 1.6.6 Visual Fortran 6.1 Visual Studio 2005 + MSDN 2005 WinEdt 5.4 Winzip 9.0

3. Software instalado en Fedora Core 5, ademáis do que xa inclúe a instalación básica do sistema

operativo:

-G95 -Xemacs

4. Na aula dispónse dunha impresora láser e outra de inxección de tinta en color para que os

alumnos impriman os seus traballos.

19

PERSOAL TÉCNICO

Nome Dirección correo-e: Extensión:

Técnico

responsable do

SAUS:

Manuel Seijas Rivas [email protected] 13221

Bolseiros:

María Louro Enjo

Ivan Expósito López

(outro bolseiro en fase de selección)

[email protected]

[email protected] 13221

20

Biblioteca

A Biblioteca está ubicada na planta baixa da Facultade. Conta con 256 postos de lectura divididos en dous andares. Ten 5 terminais para acceso ao catálogo automatizado (CAPEL), fotocopiadoras e PCs para acceso ás bases de datos en CD-ROM. Dous dos terminais teñen conexión a Internet. Os fondos bibliográficos están divididos en: libros de alumnos e obras xerais e libros de investigación. Na Sala de Lectura hai uns fondos de Consulta en Sala excluídos de préstamo a domicilio. O restante fondo bibliográfico está instalado en libre acceso nunha sala contigua. Na Hemeroteca poden consultarse os números do último ano de 336 títulos de revistas.As coleccións da Biblioteca comprenden 27.367 volumes de monografías e 564 títulos de revistas de Matemáticas, das cales 220 están abertas a edición impresa; delas 65 permiten ademáis o acceso á versión electrónica. Cabe destacar que, coa creación do Consorcio de Bibliotecas de Galicia (BUGALICIA), dende 2004 pódese acceder dende a rede da USC ás revistas electrónicas ás que o Consorcio se subscribiu (93 das cales se dispoñía en edición impresa, ademáis doutras novas) relativas ás editoriais Elsevier, Wiley, Springer e Kluwer, o que supón a posibilidade de acceso electrónico a un gran número de títulos de revistas de destacada importancia no campo das Matemáticas.

A Biblioteca da Facultade de Matemáticas é un punto de acceso á Biblioteca Universitaria, dende onde se poden consultar tódalas bases de datos subscritas pola Universidade e as de BUGALICIA. Neste sentido, cabe destacar as bases de datos de MathSciNet e Zentralblatt MATH.

As principais áreas de coñecemento representadas nestes fondos son :

Lóxica Investigación Operativa; Programación Xeometría Probabilidades Álxebra Estatística Análise Matemática Topoloxía Computación Astronomía e Astrofísica Teoría dos Números Física e Química Análise Numérica Matemáticas Xerais: Historia, Biografías,

Ensino Matemáticas

Existen diferentes modalidades de préstamo en función do tipo de obras e dos usuarios. Os tipos máis habituais son os seguintes: Préstamo para investigación: 2 meses renovable. Préstamo para alumnos: 5 obras durante 7 días (3 do fondo xeral e 2 do fondo de investigación). Pódese facer renovación de obras a través da Web segundo o tipo de usuario. Poden solicitarse en préstamo, sen custos para o usuario, obras das Bibliotecas do Campus de Lugo, sempre que non se trate de manuais de uso frecuente. Tódolos servicios funcionan ininterrumpidamente no horario da biblioteca.

Correo electrónico: [email protected]

Horario habitual: 08:30-21:30 (luns a venres).

Web: http://busc.usc.es

BIBLIOTECA DO OBSERVATORIO ASTRONÓMICO RAMÓN MARÍA ALLER

A Biblioteca do Observatorio Astronómico conta con 1450 volumes de libros e 373 títulos de revistas, 36 delas en curso, das cales 11 son electrónicas. Está atendida polo persoal da Biblioteca de Matemáticas, e está aberta ao público os xoves de 10 a 14. Os fondos poden ser consultados en sala.

21

Departamentos adscritos á Facultade de Matemáticas

Departamento de Álxebra:

Director: Don Celso Rodríguez Fernández. Secretario: Don José Manuel Fernández Vilaboa. Administrativa: Dona María del Pilar Ruanova Santomil.

Teléfono: 981 563 100 Ext.13224

Departamento de Análise Matemática: http://www.usc.es/anmat/

Director: Don Alberto Cabada Fernández. Secretario: Don Francisco Javier Fernández Pérez. Administrativa: Dona Julia Aneiros Pena. Teléfono: 981 563 100 Ext.13160

Departamento de Estatística e Investigación Operativa: http://eio.usc.es/

Director: Don Wenceslao González Manteiga. Secretario: Don Manuel Febrero Bande. Administrativa: Dona Julia Aneiros Pena.

Teléfono: 981 563 100 Ext.13201

Departamento de Matemática Aplicada: http://www.usc.es/dmafm/

Directora: Dona Peregrina Quintela Estévez. Secretario: Don Hipólito Irago Baúlde. Administrativo: Don Manuel Porto Canosa.

Teléfono: 981 563 100 Ext.13184

Departamento de Xeometría e Topoloxía: http://xtsunxet.usc.es/

Director: Don Xosé Masa Vázquez. Secretaria: Dona Beatriz Rodríguez Moreiras. Administrativa: Dona María del Pilar Ruanova Santomil.

Teléfono: 981 563 100 Ext.13135

Outros órganos vencellados á Facultade de Matemáticas

Instituto de Matemáticas: http://www.usc.es/imat/

Director: Don Juan José Nieto Roig. Secretario: Don Eduardo García Río. Administrativo: Don Manuel Porto Canosa. Enderezo: Facultade de Matemáticas. Campus Universitario Sur 15782 Santiago. Teléfono: 981 563 100 Ext.13147

Observatorio Astronómico Ramón María Aller: http://www.usc.es/astro/

Director: Don José Ángel Docobo Durántez. Enderezo: Apto. de correos 197. Avda. das Ciencias. Campus Universitario Sur. Santiago. Teléfono: 981 59 27 47

22

Profesorado

Sofia Kovalevskaya(Moscova, Rusia, 1850;Estocolmo, Suecia,1891)

Kovalevskaya naceu no seo dunhafamilia da nobreza rusa. Sentiuseatraída polas matemáticas dendemoi nova, ata o punto de abandonarpracticamente o estudo doutrasdisciplinas. Viuse obrigada a casarpara así poder acceder a unhaeducación superior que o seu pai lle

23

prohibía. En 1869 comezou aestudar matemáticas en Heidelberg,pero de forma non oficial, xa que asmulleres non podían matricularse ea súa asistencia ás clases estabasupeditada ó permiso do profesorcorrespondente. Non só obtivo opermiso para asistir ás clases, senónque a súa extraordinaria habilidadematemática chamou a atención dosprofesores en Heidelberg. Naprimavera de 1874 tiña rematadostres traballos, o máis importante

sobre ecuacións en derivadasparciais, dos que Weierstrass opinouque cada un deles tiña o niveldunha tese de doutoramento. Trasremata lo seu doutoramento enGöttingen non puido acadar unposto académico debido ó seu sexo,pero en 1883 conseguiu un posto naUniversidade de Estocolmo, onderealizaría as súas contribucións máisimportantes.

24

DIRECTORIO TELEFÓNICO E DE DESPACHOS POR DEPARTAMENTOS

(O enderezo electrónico dos profesores pódese consultar na páxina http://www.usc.es/x500/)

Departamento de Álxebra Extensión telefónica

Número despacho

Alonso Tarrío, Leovigildo 13159 512

Barja Pérez, Javier 13150 427

Costoya Ramos, María Cristina 13175 520

Fernández Rodríguez, Rosa Mª 13158 513

Fernández Vilaboa, José Manuel 13167 507

Franco Fernández, Leoncio 13163 514

Gago Couso, Felipe 13140 508

García Rodicio, Antonio 13144 517

Gómez Pardo, José Luis 13155 506

Jeremías López, Ana 13366 515

Ladra González, Manuel 13138 421

López López, Mª Purificación 13157 509

Majadas Soto, José Javier 13168 518

Pedreira Pérez, Manuel Ramón 13152 429

Rodríguez Fernández, Celso 13161 522

Rodríguez González, Nieves 13156 502

Vale Gonsalves, Mª Jesús 13164 521

Villanueva Nóvoa, Emilio 13172 519

Departamento de Análise Matemática

Extensión telefónica

Número despacho

Cabada Fernández, Alberto 13206 546

Caínzos Prieto, Juan Manuel 13169 540

Costal Pereira, Fernando 13176 529

Costal Pereira, José Benito 13215 528

Fernández Pérez, Francisco Javier 13202 550

Fugarolas Villamarín, Manuel 13214 545

Isidro Gómez, José Mª 13173 538

López Pouso, Rodrigo 13166 526

Nieto Roig, Juan José 13177 525

Otero Espinar, Mª Victoria 13170 541

Otero Pérez, Mª del Carmen 13231 542

Paraños Pardo, José 13200 531

Paredes Álvarez, José Mª 13209 547

Pérez Méndez, José 13165 532

del Río Vázquez, Miguel 13162 533

Rodríguez López, Gerardo 13174 530

Rodríguez López, Rosana 13368 543

Trinchet Soria, Rosa 13205 549

25

Departamento de Estatística e Investigación Operativa


Número despacho

Carollo Limeres, Mª del Carmen 13203 556

Casares de Cal, Mª Ángeles 13183 451

Casas Méndez, Balbina Virginia 13180 448

Coladas Uría, Luis 13218 563

Faraldo Roca, Pedro 13216 561

Febrero Bande, Manuel 13187 565

Fernández Fernández, Mª Ángeles 13217 562

Fernández Sotelo, Mª Ángeles 13210 566

García Jurado, Ignacio 13185 457

González Manteiga, Wenceslao 13204 558

Iglesias Patiño, Carlos Luis 13207 564

Lombardía Cortiña, Mª José 13212 559

Prada Sanchez, José Manuel 13189 455

Rodríguez Casal, Alberto 13229 560

Sánchez Sellero, César Andrés 13208 453

Departamento de Matemática Aplicada


Número despacho

Álvarez Dios, José Antonio 13353 452

Barral Rodiño, Patricia 13191 454

Bermúdez de Castro, Alfredo 13192 441

Burguera González, Margarita 13220 433

Calaza Cabanas, Manuel 13194 456

Docobo Durántez, José Ángel 15025/15027 Observatorio

Ferrín González, José Luis 13191 454

Gómez Pedreira, Mª Dolores 13186 440

Irago Baúlde, Hipólito 13194 456

Ling Ling, Josefina 15025/15027 Observatorio

López Pouso, Óscar 13228 450

Mato Eiroa, Pilar 13181 436

Muñiz Castiñeira, Mª del Carmen 13354 319

Muñoz Sola, Rafael 13182 435

Pena Brage, Francisco José 13186 440

Quintela Estévez, Peregrina 13223 442

Rodríguez Iglesias, Carmen 13178 431

Seoane Martínez, Mª Luisa 13230 437

Vázquez Cendón, Mª Elena 13196 446

Viaño Rey, Juan Manuel 13188 439

26

Departamento de Xeometría e Topoloxía


Número despacho

Alcalde Cuesta, Fernando 13142 422

Álvarez López, Jesús Antonio 13149 426

Bonome Dopico, Agustín 13136 403

Carballés Vázquez, José Manuel 13146 409

Castro Bolaño, Regina Mª 13145 408

Cordero Rego, Luis Ángel 13147 410

García Río, Eduardo 13211 423

Gómez Tato, Antonio Mariano 13151 428

Hervella Torrón, Luis Mª 13139 406

Macías Virgós, Enrique 13153 412

Masa Vázquez, Xosé Mª 13134 401

Oubiña Galiñanes, José Antonio 13141 407

Rodríguez Moreiras, Beatriz 13148 411

Salgado Seco, Modesto Ramón 13154 413

Torres Lopera, Juan Francisco 13137 419

Vázquez Abal, Mª Elena 13143 424

27

Órganos de goberno colexiados

Felix Hausdorff

(Breslau, Alemania (hoxe

Wroclaw, Polonia), 1868;

Bonn, Alemaña, 1942)

Felix Hausdorff foi un matemático alemán que está considerado como un dos fundadores da Topoloxía moderna e

que contribuíu significativamente ás teorías de Conxuntos e da Medida, á Análise Funcional e á Teoría de Funcións.

En 1909, mentres afondaba no estudo de conxuntos parcialmente ordenados de sucesións de números reais, atopou o que hoxe coñecemos como o Principio Maximal de Hausdorff; co que foi o primeiro en aplicar un principio maximal en Álxebra. Na súa obra clásica de 1914 Grundzüge der Mengenlehre, definiu e estudou os conxuntos parcialmente ordenados de maneira abstracta, usando o Axioma de elección, e probou que todo conxunto parcialmente ordenado ten un subconxunto maximal linearmente ordenado. Neste mesmo libro, axiomatizou o concepto topolóxico de entorno e introduciu os espazos topolóxicos coñecidos como Espazos de Hausdorff. En 1914, usando o Axioma de elección, obtivo unha descomposición "paradóxica" da 2-esfera como a unión disxunta de catro conxuntos A, B, C e Q, onde Q é

29

numerable e os conxuntos A, B, C e B U C son mutuamente congruentes. Isto inspirou máis tarde a descomposición da esfera en tres dimensións de Banach-Tarski. Hausdorff introduciu asimesmo os conceptos de Medida de Hausdorff e Dimensión de Hausdorff, que son cruciais no estudo da Teoría de Fractais. En Análise, resolveu o que hoxe chamamos Problema do Momento de Hausdorff. Mesmo publicou traballos filosóficos e literarios baixo o pseudónimo de "Paul Mongré".

Hausdorff estudou en Leipzig e foi docente alí ata 1910, ano no que pasou a ser profesor de matemáticas en Bonn. Foi profesor en Greifswald dende 1913 ata 1921, ano en que volveu a Bonn. Cando os Nazis alcanzaron o poder, Hausdorff, que era xudeu, non se librou de sufrir persecución pese a ser un reputado profesor universitario. Aínda máis, as súas investigacións foron denunciadas como "xudías", non prácticas, e "antixermánicas" e foi expulsado en 1935. En 1942 non puido evitar por máis tempo ser internado nun campo de concentración e suicidouse xunto á súa muller e a irmá desta.

30

MEMBROS DA XUNTA DE FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Persoal docente e investigador funcionario censado no centro

Fernando Alcalde Cuesta Leovigildo Alonso Tarrío José Antonio Álvarez Dios Jesús Antonio Álvarez López Javier Barja Pérez Alfredo Bermúdez de Castro López-Varela Agustín Bonome Dopico Margarita Burguera González Alberto Cabada Fernández Xan Manuel Caínzos Prieto José Manuel Carballés Vázquez Pablo Carpintero Organero Mª Ángeles Casares de Cal Regina María Castro Bolaño (vicedecana) Luis Coladas Uría Luis Ángel Cordero Rego Fernando Costal Pereira José Benito Costal Pereira José Ángel Docobo Durántez Pedro Faraldo Roca Manuel Febrero Bande Francisco Javier Fernández Pérez Rosa María Fernández Rodríguez José Manuel Fernández Vilaboa José Luis Ferrín González Leoncio Franco Fernández Manuel Antonio Fugarolas Villamarín Felipe Gago Couso Ignacio García Jurado Antonio García Rodicio María Dolores Gómez Pedreira Antonio Mariano Gómez Tato Wenceslao González Manteiga Luis María Hervella Torrón Hipólito Irago Baulde José María Isidro Gómez Ana Jeremías López Josefina Ling Ling María Purificación López López Óscar López Pouso Rodrigo López Pouso Enrique Macías Virgós José Javier Majadas Soto Xosé María Masa Vázquez Pilar Mato Eiroa Rafael Muñoz Sola Juan José Nieto Roig María Victoria Otero Espinar María Carmen Otero Pérez José Antonio Oubiña Galiñanes José María Paredes Álvarez José Pérez Méndez José Manuel Prada Sánchez Peregrina Quintela Estévez Miguel Antonio del Río Vázquez Celso Rodríguez Fernández Nieves Rodríguez González

31

Carmen Rodríguez Iglesias Gerardo Rodríguez López Modesto Ramón Salgado Seco César Andrés Sánchez Sellero Juan Francisco Torres Lopera Rosa María Trinchet Soria María Jesús Vale Gonsalves María Elena Vázquez Abal María Elena Vázquez Cendón Juan Manuel Viaño Rey (decano) Emilio Villanueva Nóvoa

PDI non funcionario ou en formación censado no centro

Miguel Brozos Vázquez María Cristina Costoya Ramos Rosa María Crujeiras Casais Manuel Fernández Delgado Luz María García García Carlos Luis Iglesias Patiño José Paraños Pardo Andrés Prieto Aneiros Rosana Rodríguez López (secretaria) Mª Teresa Sánchez Rúa

Estudantes de 1º e 2º ciclo

Paula Alonso Rivera

Persoal de Administración e Servizos

Julia M Aneiros Peña Rosa María Bassave Roibal José Ignacio Becerra Carril Manuel Porto Canosa Pilar Ruanova Santomil Xosé Luís Santos Cabanas Carmen Trillo Sendón

Outro PDI que solicitou ser convocado ás reunións da Xunta de Facultade

Balbina V. Casas Méndez Mª del Carmen Carollo Limeres Mª de los Ángeles Fernández Fernández María Ángeles Fernández Sotelo María Luisa Seoane Martínez

Comisións Delegadas: En fase de renovación.

32

Plano de estudos

Emmy Amalie Noether(Erlangen, Alemaña,1882; Bryn Mawr,Pennsylvania, USA,1935)

Emmy Noether é coñecida polas súas contribucións á álxebra abstracta, en particular polo seu estudo de condicións de cadea sobre ideais de aneis.

O pai de Emmy Noether, Max Noether, foi un distinguido matemático profesor en Erlangen e a súa nai pertencía a unha adiñeirada familia de Colonia, ambos eran de orixe xudía.

Emmy estudou alemán, inglés, francés, aritmética e piano. O seu desexo era converterse en profesora de idiomas, para o cal se examinou e acadou o certificado en 1900.

Sen embargo, nunca chegou a ser profesora de idiomas. No seu lugar, decidiu toma-lo camiño máis difícil para unha muller naquel tempo e estudar matemáticas na universidade. Nas universidades alemás, permitíase que as mulleres estudasen “extraoficialmente” e cada profesor tiña que da-lo permiso para o seu curso. Emmy Noether obtivo permiso na Universidade de Erlangen de 1900 a 1902. Entón, despois de aproba-los exames en Núremberg en 1903, foi á

33

Universidade de Göttingen. Durante o curso 1903-04, asistiu ás clases de Blumenthal, Hilbert, Klein e Minkowski. En 1904 permitíronlle matricularse en Erlangen e en 1907 obtivo unha bolsa para realiza-la súa tese de doutoramento.

Tras doutorarse, a progresión normal cara un posto académico sería a “habilitación”, pero este era un camiño que non estaba aberto para as mulleres, así que Emmy permaneceu en Erlangen axudando ó seu pai, e tamén traballou nas súas propias investigacións.

A reputación de Noether medrou rapidamente cando apareceron as súas primeiras publicacións. En 1908, foi elixida para o Circolo Matematico di Palermo, en 1909 foi invitada a converterse nun membro da Deutsche-Mathematiker-Vereinigung, e no mesmo ano foi invitada a dirixi-la reunión anual da Sociedade en Salsburgo. En 1913 daba clases en Viena. En 1915, Hilbert e Klein invitárona a voltar a Göttingen, convencéndoa para que estivese alí

mentres eles libraban a batalla para obte-la súa “oficialidade” na Facultade. Finalmente en 1919 acadou o permiso.

Foi o seu traballo en teoría de invariantes o que a conduciu á formulación de varios conceptos da teoría xeral de relatividade de Einstein.

Ademais de ensinar e investigar, Noether axudou a editar Mathematische Annalen.

Gran parte da súa obra aparece en traballos escritos por colegas e estudantes, máis que co seu propio nome. En 1933, e sen que servisen de nada os seus logros matemáticos, os Nazis expulsárona da Universidade por ser xudía. Entón aceptou ser profesora visitante no Bryn Mawr College en USA e tamén impartiu clases no Instituto de Estudos Avanzados en Princeton (USA).

34

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

R.D. 1416/1990 do 26 de outubro Complementos de Formación: Orde 10 de decembro de 1993

(BOE 27 de decembro de 1993)

PLAN 2000 Resolución 1 de marzo de 2001 (BOE 16 de marzo de 2001)

PRIMEIRO CICLO

Curso Troncais Obrigatorias Optativas Libre Config. Total Primeiro 42 18 - - 60 Segundo 43,5 9 - 7,5 60 Terceiro 22,5 31,5 - 6 60 Total 108 58,5 - 13,5 180

Para supera-lo 1º ciclo é obrigatorio ter superadas tódalas materias (troncais e obrigatorias) do 1º ciclo máis un total de 13,5 créditos en materias de libre configuración.

Para acceder ó 2º ciclo, os alumnos de 1º ciclo deberán ter superados cando menos 100 créditos no conxunto de materias troncais e obrigatorias do 1º ciclo. Tamén poderán acceder ó 2º ciclo os que estean en posesión do título de Diplomado en Estatística, cursando, de non telo feito antes, 24 créditos distribuidos entre as materias: Xeometría Afín e Proxectiva, Métodos Numéricos, Teoría Global de Superficies e Elementos de Variable Complexa.

SEGUNDO CICLO

Curso Troncais Obrigatorias Optativas Libre Config. Total Cuarto 42 6 4,5 7,5 60 Quinto 5 - 46 9 60 Total 47 6 50,5 16,5 120 TITULO 155 64,5 50,5 30 300

Equivalencias en créditos Outorgaranse por equivalencia créditos a:

Prácticas en empresas e Institucións públicas ou privadas: 30 créditos optativos ou de libre elección (30 horas = 1 crédito).

Traballos academicamente dirixidos e integrados no plano de estudios: 15 créditos optativos ou de libre elección.

Estudios realizados no marco de convenios internacionais ou nacionais subscritos pola Universidade: 60 créditos troncais, obrigatorios, optativos ou de libre elección (aprox. 1 semana = 2 créditos).

Ordenación Temporal dos Estudios Establécense 3 orientacións. Configuranse do seguinte xeito Orientacións Crd. Vinculados Crd. Non Vinculados Estatística e Inv. Operativa 39 12 Matemática Aplicada 36 15 Matemática Pura 30 21

O alumno pode optar por non cursar ningunha delas. A vinculación de materias troncais, obrigatorias e optativas a cursos e cuadrimestres é orientativa.

35

PRIMEIRO CICLO

CENTRO 416 - SECCIÓN 0 - PLANO 12 - ESPEC. 00

1º CURSO TRONCAIS

101 Álxebra linear e multilinear (1º C) 4,5 4,5 9 102 Cálculo diferencial e integral (2º C) 4,5 4,5 9 103 Informática (1º C) 6 3 9 104 Introdución ao cálculo numérico (2º C) 3 4,5 7,5 105 Topoloxía dos espacios euclidianos (2º C) 3 4,5 7,5

OBRIGATORIAS 111 Introdución á análise matemática (1º C) 4,5 4,5 9 112 Xeometría métrica (2º C) 4,5 4,5 9

2º CURSO TRONCAIS

201 Análise numérica matricial (2º C) 3 3 6 202 Diferenciación de funcións de varias variables reais (1º C) 4,5 3 7,5

203 Integración de funcións de varias variables reais (2º C)

4,5 3 7,5

204 Introdución ás ecuacións diferenciais ordinarias (2º C)

4,5 3 7,5

205 Introdución ao cálculo de probabilidades (2º C) 3 3 6 206 Xeometría afín e proxectiva (1º C) 6 3 9

OBRIGATORIAS 211 Topoloxía (1º C) 6 3 9

3º CURSO TRONCAIS

301 Curvas e superficies (1º C) 6 3 9 302 Elementos de variable complexa (1º C) 3 3 6 303 Inferencia estatística (2º C) 4,5 3 7,5

OBRIGATORIAS 311 Introducción á álxebra (2º C) 4,5 3 7,5 312 Métodos numéricos (1º C) 3 3 6 313 Series de Fourier e introdución ás E.D.P. (2º C) 3 1,5 4,5 314 Teoría global de superficies (2º C) 4,5 3 7,5 315 Vectores aleatorios (1º C) 3 3 6

36

SEGUNDO CICLO

CENTRO 416 - SECCIÓN 0 - PLANO 12 - ESPEC. 00

4º CURSO TRONCAIS

401 Álxebra (1º C) 6 3,5 9,5 402 Análise Funcional en Espacios de Banach (2º C) 5 2,5 7,5 403 Cálculo Numérico (2º C) 6 3,5 9,5 404 Ecuacións Diferenciais Ordinarias (2º C) 4 2 6 405 Xeometría e Topoloxía (1º C) 6 3,5 9,5

OBRIGATORIAS

411 Teoría da Medida (1º C) 4,5 1,5 6 OPTATIVAS

421 Física Xeral (2º C) 3 1,5 4,5 422 Programación Avanzada (2º C) 3 1,5 4,5

OPTATIVAS VINCULADAS

Espec. 01 OP. ESTATÍSTICA E INVEST. OPERATIVA 461 Teoría da Probabilidade (2º C) 4,5 3 7,5 Espec. 02 OP. MATEMÁTICA APLICADA 471 Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo (1º C) 3 1,5 4,5 472 Modelos Matemáticos (2º C) 4,5 3 7,5 Espec. 03 OP. MATEMÁTICA PURA 481 Álxebra Conmutativa (2º C) 3 3 6 482 Grupos de Lie (2º C) 3 3 6

5º CURSO

TRONCAIS

501 Variable Complexa (1º C) 3 2 5 OPTATIVAS NON VINCULADAS

521 Álxebra Computacional (2º C) 3 3 6 522 Álxebra Homolóxica (1º C) 3 3 6 523 Álxebra Non Conmutativa (2º C) 3 3 6 524 Ampliación de Investigación de Operacións (2º C) 3 3 6 525 Análise Multivariante (2º C) 4,5 3 7,5 526 Análise Numérica de Grandes Sistemas (1º C) 3 3 6 527 Astronomía Xeral (2º C) 3 3 6 528 Curvas Alxébricas (1º C) 3 3 6 529 Ecuac. en Difer. Introd. á Dinámica Discreta (1º C) 3 3 6 531 Física Matemática (2º C) 3 3 6 532 Funcións de Varias Variables Complexas (2º C) 3 3 6 533 Fundamentos de Astronomía (1º C) 3 3 6 534 Historia da Matemática (1º C) 3 1,5 4,5 535 Homotopía (1º C) 3 3 6 536 Informática Aplicada ao Cálculo Científico (1º C) 3 3 6 537 Introd. ao Cálculo Vectorial e Paralelo (2º C) 3 3 6 538 Lóxica Matemática (2º C) 3 3 6 539 Mecánica Celeste (2º C) 3 3 6 540 Métodos de Matemática Aplicada (2º C) 3 3 6 541 Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica (1º C) 3 3 6 542 Modelado de Problemas Industriais (2º C) 3 3 6 543 Modelos Temporais (2º C) 3 3 6 544 Mostraxe (2º C) 4,5 3 7,5 545 Teoría Clásica de Números (2º C) 3 3 6 546 Teoría da Decisión (2º C) 3 3 6 547 Teoría de Números Alxébricos (1º C) 3 3 6 548 Teoría de Xogos (2º C) 4,5 3 7,5 549 Teoría Espectral e Ec. Integrais (2º C) 3 3 6 550 Topoloxía Diferencial (2º C) 3 3 6

37

552 Xeometría de Riemann (2º C) 3 3 6 OPTATIVAS VINCULADAS

Espec. 01 OP. ESTATÍSTICA E INVEST. OPERATIVA 561 Estatística Matemática (1º C) 4,5 3 7,5 562 Métodos de Regresión (1º C) 3 1,5 4,5 563 Procesos Estocásticos (1º C) 3 1,5 4,5 564 Programación Linear e Enteira (1º C) 3 3 6 565 Simulación (2º C) 1,5 3 4,5 566 Técnicas de Optimización da Xestión (2º C) 3 1,5 4,5Espec. 02 OP. MATEMÁTICA APLICADA 571 Diferencias Finitas en E.D.P. (1º C) 3 3 6 572 Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P. (1º C) 3 3 6 573 Ecuacións en Derivadas Parciais (1º C) 3 3 6 574 Elementos Finitos en E.D.P. (2º C) 3 3 6 Espec. 03 OP. MATEMÁTICA PURA 581 Espacios Vectoriais Topolóxicos e Distribucións (1º C) 3 3 6 582 Representacións de Grupos e Álxebras (1º C) 3 3 6 583 Sistemas Dinámicos (2º C) 3 3 6 584 Topoloxía Alxébrica (2º C) 3 3 6 585 Topoloxía de Superficies (1º C) 3 3 6 586 Xeometría Alxébrica (2º C) 3 3 6 Materias Optativas

Sen prexuizo da súa inclusión en cursos, as materias optativas poderanse elixir libremente dentro das ofrecidas en cada ciclo.

Requisitos

Para matricularse de materias do 2ºciclo deberánse reuni-los requisitos de acceso ó inicio do curso. Non obstante, de reunilos no 2ºcuadrimestre, poderiase amplia-la matrícula pero só para materias do 2ºcuadrimestre

Complementos de formación

Para o acceso ó 2ºciclo dende outras titulacións ou outros primeiros ciclos: para os Diplomados en Estatística

Créditos Totais 801 Xeometría Afín e Proxectiva (1º C.) 6 802 Métodos Numéricos (2º C.) 6 803 Teoría Global de Superficies (2º C.) 6 804 Elementos de Variable Complexa (1º C. ) 6

38

Regulamento de réxime interno

Stefan Banach(Cracovia, ImperioAustrohúngaro (hoxePolonia), 1892; Lvov,Ucrania,Unión Soviética,1945)

Stefan Banach foi un matemático polaco considerado o fundador da análise funcional moderna.

En 1920, grazas á publicación de varios dos seus traballos, foille ofrecida unha praza de axudante na Universidade Técnica de Lvov. Doutorouse na mesma Universidade en 1922 e, posteriormente, formou unha escola de matemáticas. En 1929, fundou, xunto con Hugo Steinhaus, a importante revista StudiaMathematica. Dez anos máis tarde, foi elexido presidente da Sociedade Matemática Polaca.

Banach contribuiu á teoría das series ortogonais e fixo innovacións na teoría da Medida e Integración, pero a súa contribución máis importante foi en Análise Funcional. Théorie des opérations linéaires (Teoria operacji

liniowych, 1932) está considerada a obra máis importante de Banach. Nela formulou o concepto de espazo linear normado completo, agora coñecido como Espazo de Banach, e demostrou moitos teoremas fundamentais da análise funcional.

39

REGULAMENTO DE RÉXIME INTERNO DA FACULTADE DE MATEMÁTICAS DA

UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA (USC)

Aprobado pola Xunta de Facultade o 19 de marzo de 2007Ratificado polo Consello de Goberno o 19 de xullo de 2007

TITULO PRELIMINAR

Artigo 1

A Facultade de Matemáticas, para o cumprimento das funcións que lle son conferidas pola lexislaciónvixente, nomeadamente os Estatutos da USC, rexerase polo presente Regulamento, que haberá de serinterpretado no marco dos devanditos Estatutos e demais lexislación sobre ensino universitario.

Artigo 2

Para todas aquelas cuestións non previstas neste Regulamento, nos Estatutos da USC, nin na lexislaciónsobre o ensino universitario, aplicarase o previsto na Lei 30/1992 de 26 de novembro de Réxime Xurídicodas Administracións Públicas e do Procedemento Administrativo Común.

TÍTULO I. NATUREZA E FINALIDADES

Artigo 3

1. A Facultade de Matemáticas é o Centro da Universidade de Santiago de Compostela encargado daorganización e xestión dos estudos conducentes á obtención do título académico oficial de Licenciadoen Matemáticas, así como aqueles estudos de grao e posgrao no ámbito das Matemáticas que, de acordo coa normativa vixente, se implanten na USC.

2. Tamén poderá impartir ensinanzas conducentes á obtención doutros diplomas e títulos que no futuropuideran implantarse ou encargarse a esta Facultade, de acordo coa lexislación vixente.

Artigo 4. Funcións da Facultade

De acordo co art. 56 dos Estatutos da USC, son funcións da Facultade as seguintes:a) A elaboración dos planos de estudos das titulacións impartidas polo centro e a participación na

elaboración doutras compartidas por varios centros. b) A organización e a xestión dos servizos docentes que lle correspondan.c) A coordinación, a supervisión e o control da actividade docente desenvolvida no centro e a

participación nos procedementos que estableza a universidade para a avaliación da calidade docente.d) A elaboración dun calendario de actividades lectivas para cada curso, que se deberá facer público con

anterioridade á apertura do prazo de matrícula.e) A promoción de programas de intercambio.f) A promoción e posta en marcha de medidas para a realización de prácticas externas.g) A realización das actividades de xestión académica que lle encomende a universidade.h) A administración dos servizos, equipamentos e recursos do centro, así como o control da súa

calidade.i) O coñecemento da actividade investigadora que se desenvolva no centro.l) A realización de actividades de formación permanente ou de extensión universitaria no seu ámbito decompetencia.m) A promoción de estudos de posgraoñ) A promoción de colaboracións con outras entidades públicas ou privadas de carácter universitario,empresarial ou profesional, para o desenvolvemento de actividades docentes ou complementarias de interese para os estudantes ou os profesores.

Artigo 5

A Facultade de Matemáticas velará especialmente pola promoción da lingua galega e o seu uso, promoverá a participación da muller en pé de igualdade co home e preocuparase, así mesmo, polo

41

desenvolvemento sustentable.

TÍTULO II. DOS ÓRGANOS DE GOBERNO DA FACULTADE

Artigo 6. Órganos de goberno e administración da Facultade

Os órganos de goberno e administración da Facultade de Matemáticas son os seguintes: 1. A Xunta de Facultade. 2. O Equipo Decanal, integrado por:

a) O decano ou decana b) O vicedecano ou vicedecana. Ou, se os houber, vicedecanos ou vicedecanas. c) O secretario ou secretaria.

CAPITULO 1. A Xunta de Facultade

Artigo 7

A Xunta de Facultade, segundo o establecido nos Estatutos da USC, é o órgano colexiado de goberno do centro e, como tal, aproba as liñas xerais de actuación no ámbito da Facultade e supervisa o labor dos seus órganos de dirección e xestión.

Artigo 8

A asistencia ás sesións da Xunta constitúe un dereito e un deber para todos os seus membros. Para o cumprimento desta función quedan dispensados de calquera outra actividade universitaria polo tempo que duren as sesións.

Artigo 9

A Xunta de Facultade actúa en Pleno ou en Comisión Permanente. Tamén poderá dotarse de Comisións Delegadas, estables ou conxunturais, que a asesoren e asistan nas súas funcións.

Artigo 10. Composición do Pleno da Xunta

1. A composición do Pleno da Xunta de Facultade, establecida no art. 98 dos Estatutos da USC, é a seguinte:

a) O decano ou decana, que a presidirá e convocará. b) O vicedecano ou vicedecana. Ou, se os houber, vicedecanos ou vicedecanas. c) O secretario ou a secretaria, que o será tamén da Xunta. d) O seguinte persoal docente e investigador con docencia no centro e censado nel ou non censado que

teña neste un encargo docente igual ou superior a 9 créditos: Todo o persoal funcionario docente, que representará o 51% da Xunta. O resto, nunha proporción que non exceda do 14% do total dos membros da Xunta. A Xunta de Facultade poderá establecer porcentaxes de representación para as diferentes categorías deste persoal, cando o seu número na Facultade exceda do 14% do total dos membros da Xunta.

A representación do persoal docente e investigador a tempo parcial será como máximo do 5% do total de membros da Xunta.

e) Unha representación dos estudantes igual ao 30% do total de membros da Xunta. O 25% será alumnado de 1º e 2º ciclo e o 5% alumnado de 3º ciclo.

f) Unha representación do persoal de administración e servizos censado no centro nunha proporción do 5% do total da Xunta, cun mínimo de dous.

2. Tamén deberá ser convocado para a Xunta de Facultade, con voz, pero sen voto, todo o persoal docente e investigador que imparta docencia no centro e non sexa membro dela, sempre que o solicite.

3. Todos os representantes, que serán elixidos polos mesmos sectores que representan, desempeñarán o

42

seu posto por un período de 2 anos, excepto os do estudantado, para os que o período derepresentación dura 1 ano. Se algún dos representantes perdese a súa condición de membro da Xuntadurante o período do seu mandato, o seu posto será ocupado ata o final do período polo seu suplente,que será sucesivamente o que obtivera máis votos nas eleccións correspondentes. A condición demembro da Xunta perderase ao cesar a vinculación co centro ou ao deixar de cumprir os requisitosdemandados ao sector polo que foi elixido.

Artigo 11. Competencias do Pleno da Xunta de Facultade

Son competencias do Pleno da Xunta, de acordo co art. 101 dos Estatutos da USC, as seguintes:a) A elección do decano e, de ser o caso, a súa revogación.b) A elaboración e a aprobación do seu Regulamento de Réxime Interno.c) A supervisión da xestión dos restantes órganos de goberno e de administración do centro.d) A elaboración e a aprobación dos proxectos de planos de estudos das titulacións radicadas no centro,

en consonancia coa lexislación vixente e coas normas xerais emanadas da Universidade.e) A aprobación das liñas xerais da política académica do centro e, entre elas, a proposta e implantación

de novas titulacións, de creación de escolas de especialización profesional dependentes do centro e deorganización de cursos ou estudos de posgrao.

f) A distribución das asignacións orzamentarias concedidas ao centro e o control da súa aplicación.g) O informe verbo das propostas de creación, modificación ou supresión de departamentos relacionados

co centro pola súa docencia e investigación.h) A organización de servizos docentes para a obtención de títulos académicos do seu

ámbito, así como a coordinación e a supervisión da actividade docente do profesorado con docenciano centro, e igualmente a supervisión do seu cumprimento.

i) A programación dos servizos e equipamentos do centro e a supervisión da súa xestión.j) A organización de actividades de formación permanente e de extensión.m) A creación de comisións delegadas.n) O nomeamento de tribunais no ámbito das competencias da Facultade.ñ) O pronunciamento sobre aqueles asuntos que lle sexan sometidos polo decanato ou as comisiónsdelegadas.o) A manifestación da súa opinión verbo de calquera asunto relacionado co centro oucoas súas actividades.p) As restantes competencias que lle atribúen os Estatutos da USC.

Artigo 12. Reunións do Pleno da Xunta de Facultade

1. O Pleno da Xunta de Facultade reunirase, con carácter ordinario, por iniciativa do decano polo menosunha vez ao trimestre en período lectivo.

2. O Pleno da Xunta de Facultade poderá reunirse con carácter extraordinario ben por iniciativa dodecano, ben a solicitude da maioría dos membros da Comisión Permanente ou dun 20% dos membrosda Xunta, que será presentada por escrito no Rexistro da Facultade.

3. A solicitude dunha reunión extraordinaria do Pleno da Xunta deberá incluír, dunha maneira explícita econcreta, a relación de asuntos que se tratará. O decano está obrigado a convocar a Xunta de Facultadenun prazo máximo de dez días hábiles seguintes a súa presentación no Rexistro da Facultade.

Artigo 13. Convocatoria

1. O Pleno da Xunta de Facultade será convocado polo secretario, por orde do decano. Na convocatoriadeberá constar a orde do día, data, hora e lugar da reunión. A convocatoria deberá ser entregada,cando menos, con 48 horas de antelación, excepto no caso de Xunta extraordinaria, que por razóns deurxencia poderá ser convocada o día anterior.

2. Na convocatoria ordinaria, a documentación ou información relacionada directamente cos asuntos daconvocatoria, que impliquen toma de decisións, deberán estar ao dispor dos membros da Xunta,cunha antelación de 48 horas.

Artigo 14. Orde do día

43

1. A orde do día será elaborada polo decano, asistido polo secretario e os demais membros do EquipoDecanal. Nela figurarán as mencións de aprobación da acta da sesión anterior, asuntos de trámite,peticións e preguntas (salvo que a Xunta se convoque con carácter extraordinario, para a elección dedecano, ou para a súa revogación).

2. Cun mínimo de 72 horas de antelación á convocatoria da Xunta ordinaria poderán presentarse, no rexistro da Facultade, propostas de puntos a tratar na orde do día, que deberán ser incluídos no casode que sexan avaladas polas sinaturas dun 20% dos integrantes da Xunta de Facultade.

3. Non poderá ser obxecto de acordo ningún asunto que non figure incluído na orde do día agás queestean presentes todos os membros da Xunta e sexa declarada a urxencia do asunto polo votofavorable da maioría.

Artigo 15. Constitución do Pleno da Xunta de Facultade

A Xunta de Facultade entenderase validamente constituída en primeira convocatoria coa asistencia damaioría absoluta dos seus membros e en segunda convocatoria, que se celebrará media hora despois aíndaque non se diga expresamente, coa presenza do 20% dos seus membros. En ambos os dous casosrequirirase a presenza do decano e o secretario. De non alcanzar o quórum sinalado, a Xunta deberá sernovamente convocada para un día posterior.

Artigo 16. Desenvolvemento das sesións

1. A Xunta será presidida polo decano, ou por quen faga as súas veces, asistido polo Equipo Decanal. Odecano dirixe e ordena o desenvolvemento dos debates. O Equipo Decanal, tendo en conta a opiniónda Xunta de Facultade, interpretará o presente regulamento en casos de dúbida ou omisión.

2. As sesións do Pleno poderanse desenvolver nunha ou máis reunións. Enténdese por sesión o períodode tempo preciso para esgotar a orde do día, e por reunión o período da mañá ou tarde en que teñalugar parte da sesión. A duración de cada reunión non superará as 4 horas, agás que acordaren ocontrario máis da metade dos membros presentes.

Artigo 17. Debates ou deliberacións

1. Cada punto da orde do día dará lugar a que se abra un debate, sempre que haxa pedimento de palabra.Aberto o debate poderán intervir cantos membros da Xunta o desexen, respectando a quenda deexposición que estableza o presidente.

2. Ningún membro da Xunta de Facultade poderá intervir nas deliberacións sen ter pedida e obtida dopresidente a palabra.

3. Ningún interveniente poderá ser interrompido cando fale, senón polo presidente, para advertirlle quese esgotou o tempo, para chamarlle á cuestión ou ao orde, para retirarlle a palabra ou para facerchamadas ao orde a algún dos membros da Xunta.

4. Se o presidente considera que se aludiu á conduta ou á persoa dun membro da Xunta, deberáconcederlle a palabra para que conteste á alusión.

5. O establecido nos parágrafos anteriores enténdese sen prexuízo das facultades do Presidente paraordenar as deliberacións. O Presidente poderá limitar o número de intervencións a favor e en contra decalquera proposta ou informe, fixando o tempo máximo para cada unha delas, determinar a orde dasintervencións, as quendas de réplica, a duración das intervencións e do debate, a forma de votación,así como calquera outro aspecto referido ao desenvolvemento dos debates.

6. O presidente poderá dar por suficientemente debatido un tema se así o considera oportuno, debéndoseconsumir neste caso, como mínimo, dúas intervencións a favor ou en contra, sempre que se solicitaran.

7. Nos puntos da orde do día emanados das comisións delegadas o presidente poderá conceder a palabraao poñente, ou ao informante previamente designado, abríndose o correspondente debate trala súaintervención.

Artigo 18. Votación

1. Una vez debatido un punto da orde do día, o Pleno da Xunta de Facultade tomará unha decisión enforma de acordo, que poderá ser tomado por asentimento ou por votación favorable da maioría simpledos asistentes, cando o número destes sexa igual ou superior a 1/3 dos membros da Xunta. En caso

44

contrario, será necesario que a maioría dos votos favorables sexa polo menos igual a 1/6 dos membrosda Xunta de Facultade. Para axilizar o procedemento, as votacións poderán ser públicas e a manalzada, ou secretas cando o soliciten un mínimo do 10% dos membros asistentes. Serán secretas, en todo caso, cando afecten a persoas concretas. En ningún caso poderán admitirse votos de membrosnon presentes no momento da votación.

2. De ser o caso, deberáselle entregar ao secretario o texto literal da proposta e este procederá a súalectura antes de sometela a votación.

3. De existiren unicamente dúas propostas, aprobarase a que acade maioría simple dos presentes enprimeira votación.

4. De haber máis de dúas propostas, efectuarase unha primeira votación conxunta de todas elas e,posteriormente, unha segunda votación entre as dúas máis votadas, aprobándose a que acade maioríasimple dos presentes, sen prexuízo do apartado un.

5. En caso de empate, despois dunha quenda de intervencións limitada a un dos promotores de cadaproposta, procederase a unha nova votación. En caso de persistir o empate, decidirá o voto de calidadedo decano, salvo nos casos en que se especifique o contrario.

6. Exceptúanse das maiorías indicadas nos apartados anteriores aqueles acordos para os queexplicitamente este regulamento especifique outros tipos de maioría.

Artigo 19. Das actas

1. O secretario levantará acta de cada sesión, na que se recollerá necesariamente a relación de asistentes,a orde do día da reunión, as circunstancias de lugar e tempo de celebración, os puntos principais dasdeliberacións, o contido dos acordos adoptados, así como, no seu caso, o resultado das votacións.

2. Na acta figurará, previa solicitude dos respectivos membros da Xunta, o voto contrario ao acordoadoptado, a súa abstención e os motivos que a xustifican, ou o sentido do voto favorable. Así mesmocalquera membro da Xunta terá dereito á transcrición íntegra da súa intervención ou proposta, para oque será imprescindible que se lle entregue por escrito ao secretario antes do remate da sesión ou noprazo que sinale o decano.

3. Os membros que discrepen do acordo maioritario poderán formular por escrito voto particular, noprazo de 48 horas, que se incorporará ao texto aprobado. En todo caso deberán anunciar a intención devoto particular na propia sesión.

4. As actas, asinadas polo secretario co visto e prace do presidente, serán sometidas á consideración da Xunta para a súa aprobación na sesión ordinaria inmediatamente posterior. Non obstante, o secretariopoderá emitir certificación sobre os acordos específicos que se tivesen adoptado, sen prexuízo daposterior aprobación da acta.

5. Nas certificacións dos acordos adoptados emitidas con anterioridade á aprobación da acta faraseconstar expresamente tal circunstancia.

6. As actas estarán depositadas na Secretaría da Facultade con cinco días naturais de antelación á sesiónna que deben ser aprobadas, coa finalidade de que calquera membro da Xunta poida consultalas.Tamén se poñerán a disposición dos membros da Xunta de Facultade por medios electrónicos.

7. As obxeccións á acta deben presentarse na Secretaría da Facultade cunha antelación mínima de 24horas ao inicio da sesión. No caso de non presentarse obxeccións á acta, considerarase aprobada polaXunta por asentimento.

8. As actas, unha vez aprobadas, transcribiranse no Libro de Actas, quedarán baixo a custodia dosecretario da Facultade e poderán ser consultadas por calquera membro da Xunta de Facultade.

CAPÍTULO II. Das Comisións Delegadas da Xunta de Facultade

Artigo 20. Comisións

1. As Comisións Delegadas son instancias de asesoramento, que actúan por delegación da Xunta quecreará as que estime oportunas. A súa función é emitir informes, coordinar, estudar, elaborar propostasde carácter operativo ou resolver nos asuntos que este Regulamento ou os órganos competentes de goberno da Facultade, para o desempeño dos seus cometidos, lles encomenden.

2. Sen prexuízo das Comisións específicas, creadas pola Xunta na forma que determine para tratar temasconcretos, crearanse as seguintes comisións estables da Xunta de Facultade:

45

a) Comisión Permanenteb) Comisión de Bibliotecac) Comisión de Docencia e Asuntos Académicosd) Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos.

3. Previa proposta do decano ou dun mínimo do 30% dos membros da Xunta, poderán crearse Comisiónsde traballo específicas coas funcións e composición que lle asigne a propia Xunta.

4. As Comisións de traballo que se creen ao abeiro do apartado anterior contarán, polo menos, cunmembro do equipo decanal e terán apoio administrativo do persoal da Facultade.

Artigo 21. Elección dos membros das Comisións

1. As Comisións estarán formadas por membros natos e por membros electos. Os membros natos nonnecesitan ser membros da Xunta de Facultade.

2. Os membros electos, agás expresa indicación en contra, serán elixidos entre e polos membros de cadasector que o sexan tamén da Xunta.

3. O decano abrirá un prazo para a presentación de candidaturas e fixará día e hora para a proclamaciónde candidatos e para a elección que terá lugar na Xunta de Facultade.

4. Cada elector poderá dar o seu voto, como máximo, a un número de candidatos igualao70% do númerode representantes do seu sector na Comisión. No caso de que dous ou máis candidatos obteñan omesmo número de votos, cando se trate de profesores ou de persoal de administración e servizosproclamarase candidato electo ao que leve máis tempo vinculado á Universidade de Santiago deCompostela como funcionario ou contratado laboral indefinido. Nos restantes casos será elixido o demáis idade.

5. Se algún dos sectores non cobre o número total de representantes que lle corresponden nunhaComisión, os postos considéranse vacantes ata o momento no que os cubra o propio sector.

6. Agás renuncia expresa ou cesamento na súa condición de membros da Xunta, os compoñentes das Comisións renovaranse logo dos correspondentes procesos electorais nos diferentes sectores.

7. Logo de se producir a baixa dun membro dunha Comisión, procederase a elixir un novo membro queo substitúa, na Xunta inmediatamente posterior segundo se indica nos apartados 3 e 4.

8. Sen prexuízo dos apartados anteriores, os membros das Comisións delegadas renovaranse despois daseleccións do decano da Facultade.

Artigo 22. Funcionamento das Comisións

1. A presidencia das Comisións correspóndelle ao decano ou ao vicedecano no que delegue. Nocaso dunha Comisión de Traballo específica, a Xunta de Facultade pode nomear presidente acalquera membro da Comisión.

2. Cada Comisión elixirá o seu secretario, e dotarase do réxime de funcionamento que consideremáis apropiado para o cumprimento das súas funcións

3. A convocatoria das Comisións correspóndelle ao presidente a iniciativa propia ou a pedimentodunha maioría dos seus membros, e notificarase por escrito cunha antelación mínima de 48horas, agás en casos de urxencia ou acordo da propia Comisión.

4. Para a válida constitución das comisións requirirase a presenza do presidente e do Secretario ou,no seu caso, daqueles que os substitúan, e da metade, polo menos, dos seus membros.

5. De non se producir quórum na primeira convocatoria, as comisións constituiranse na segundaconvocatoria, media hora despois da sinalada na primeira, cando asistan, ademais do presidente e o secretario, polo menos o 30% dos restantes membros.

6. O Presidente de cada Comisión poderá convocar a quen considere oportuno para que a informeou asesore sobre puntos concretos da orde do día.

Artigo 23. A Comisión Permanente

A Comisión Permanente é o órgano deliberante e executivo da Xunta de Facultade que actúa pordelegación e ten a súa representación permanente para axilizar a xestión dos asuntos da súa competencia.As decisións que adopte sobre estes serán vinculantes para a Xunta de Facultade, a menos que se produzauna revogación expresa destes no seu Pleno.

46

Artigo 24. Composición da Comisión Permanente

A Comisión Permanente estará composta por: - O decano ou a decana, que a presidirá e convocará, - O vicedecano/s ou vicedecana/s - O secretario ou a secretaria, que o será tamén desta, - 12 profesores ou profesoras funcionarios - 2 profesores ou profesoras non funcionarios/as ou investigadores/as en formación e

perfeccionamento - 4 alumnos ou alumnas - 2 membros do PAS. No sector de profesorado incluiranse necesariamente os directores ou directoras de departamentos adscritos á Facultade de Matemáticas e o director ou directora do Instituto de Matemáticas, sempre que sexan membros da Xunta de Facultade.

Artigo 25. Competencias da Comisión Permanente

1. As competencias da Comisión Permanente son as seguintes: a) Coñecer e adoptar acordos sobre aqueles asuntos que, sendo competencia da Xunta de Facultade,

lle foran delegados polo Pleno por non lle estaren expresamente reservados ao Pleno. b) Asesorar en todas as cuestións que o Decano lle someta no exercicio das súas competencias. c) Coñecer e decidir sobre os asuntos que lle sexan presentados polas Comisións delegadas e

elevalos, no seu caso, ao Pleno. d) Aquelas funcións, administrativas de trámite, que non estean expresamente atribuídas a outras

comisións ou órganos de Goberno da Facultade de Matemáticas.

2. En canto o Pleno da Xunta de Facultade non se pronuncie no senso contrario, enténdese que delega na Comisión Permanente as competencias que se mencionan nas letras i), l) e ñ) do artigo 11 deste Regulamento

Artigo 26

Todos os acordos tomados pola Comisión Permanente deberán ser apoiados polos 2/3 dos presentes e, en todo caso, cando 1/3 dos membros da Comisión así o solicite, levarase o asunto ao Pleno da Xunta de Facultade.

Artigo 27

O pleno da Xunta de Facultade será informado polo secretario das actuacións da Comisión Permanente, incluíndo a distribución a todos os membros da Xunta das actas das reunións anteriores da devandita comisión.

Artigo 28. A Comisión de Biblioteca

A Comisión de Biblioteca créase ao abeiro do artigo 150.3 dos Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela e as súas funcións enténdense supeditadas ao regulamento da Biblioteca Universitaria.

Artigo 29. Composición da Comisión de Biblioteca

A Comisión da Biblioteca estará formada por: a) O decano ou a persoa en que delegue, que actuará como presidente/a; b) O director ou directora da Biblioteca de centro ou o bibliotecario encargado desta, aínda que non sexan membros da Xunta de Facultade. c) Un profesor ou profesora por cada departamento adscrito á Facultade, elixido entre o profesorado do departamento con docencia no centro e que formen parte da Xunta de Facultade. d) Un representante da Biblioteca do Observatorio Astronómico “Ramón Mª Aller”, adscrita á Facultade de Matemáticas. e) Un número de representantes do alumnado que suporá o 30% dos membros da Comisión. Estes representantes serán elixidos entre o alumnado que forme parte da Xunta da Facultade; deles un 20%

47

serán de 1º e 2º ciclo e o 10% de 3º ciclo.

Artigo 30. Funcións da Comisión de Biblioteca

Serán funcións da Comisión de Biblioteca da Facultade: a) Aprobar as directrices de desenvolvemento das coleccións bibliográficas e propoñer a distribución do orzamento correspondente, no ámbito da súa competencia, de acordo coas liñas xerais emanadas daComisión da Biblioteca Universitaria.b) Participar na elaboración das normas de funcionamento dos servizos bibliotecarios, que estarán adisposición dos lectores na Biblioteca da Facultade.c) Aprobar o informe anual da Biblioteca da Facultade e elevalo á Dirección da Biblioteca Universitaria.d) Asesorar nas diferenzas de criterio que poidan xurdir entre a Biblioteca e calquera dos seus usuarios.e) Propoñer as medidas previstas no Regulamento da Biblioteca Universitaria contra os infractores das normas dos usuarios.f) Asesorar en todos os asuntos que pola súa importancia se considere necesario someter á súaconsideración.g) Garantir, en réxime de consulta e/ou empréstito, un número de exemplares axeitado da bibliografíaobrigatoria de todas as materias para o alumnado universitario.

Artigo 31. A Comisión de Docencia e Asuntos Académicos

A Comisión de Docencia e Asuntos Académicos estará composta por:a) O decano, ou persoa na que delegue, que a convoca e a preside;b) O secretario, que o será tamén da Comisión;c) O xestor ou xestora académica da Facultade, aínda que non sexa membro da Xunta de Facultade;d) Un representante do profesorado por cada departamento adscrito á Facultade, elixido entre e polosprofesores do Departamento con docencia no centro e que formen parte da Xunta de Facultade.e) Un número de representantes do alumnado que suporá o 30% dos membros da Comisión. Estesrepresentantes serán elixidos entre e polo alumnado que formen parte da Xunta da Facultade; deles un20% serán de 1º e 2º ciclo e o 10% de 3º ciclo.

Artigo 32. Competencias da Comisión de Docencia e Asuntos Académicos

A Comisión de Docencia e Asuntos Académicos terá as seguintes competencias:a) Elaborar, en colaboración cos departamentos responsables, o plan docente anual seguindo asorientacións establecidas pola Xunta de Facultade.b) Coñecer e informar sobre os plans de organización docente presentados polos departamentos.c) Coñecer e informar sobre a programación das materias correspondentes as titulacións radicadas nocentro. En particular, atenderá á coordinación e á adecuación dos programas aos obxectivos dastitulacións.d) Coñecer e informar sobre o calendario de exames, horarios e a organización das clases das materiasque forman parte dos plans de estudos.e) Velar pola correcta aplicación dos Plans de Estudos da Facultade, facendo un seguimento destes e propoñendo, no seu caso, as modificacións pertinentes.f) Coordinar e supervisar a actividade docente do profesorado con docencia no centro.g) Analizar e promover a mellora da calidade da docencia, supervisando a metodoloxía didáctica, os métodos de avaliación e o rendemento dos/as docentes e discentes.h) Mediar, dentro dos límites das súas competencias, nos conflitos que no aspecto docente poidan xurdirentre os membros dos colectivos da Facultade.i) Coñecer e informar sobre calquera conflito que puidera xurdir no desenvolvemento da docencia.j) Coñecer e informar sobre as reclamacións ás cualificacións presentadas polos/as estudantes, de acordoco previsto no artigo 128.2 dos Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela.m) Actuar como Comisión de Validación prevista no artigo 129.2 dos Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela, que emitirá informe sobre as solicitudes de adaptacións, validacións ourecoñecemento académico de estudos e actividades cursados no propio centro ou noutros centros españoise estranxeiros. ñ) Organizar e promover cursos, conferencias, actos e todo tipo de actividades que puideran reforzar a formación integral dos membros da Facultade de Matemáticas.

48

o) Calquera outra función relacionada coa docencia que sexa competencia da Xunta de Facultade e queesta delegue nela.

Artigo 33. Das reclamacións dos estudantes ás cualificacións

1. Consonte ao artigo 128.2 dos Estatutos da Universidade de Santiago, cando un/ha estudante considereque a cualificación recibida supón un tratamento arbitrario ou discriminatorio poderá solicitar do decano,mediante unha petición razoada, a revisión da súa cualificación.2. A revisión levarase a cabo de acordo coa normativa establecida pola Universidade de Santiago deCompostela a tal efecto.

Artigo 34. Composición da Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos

A Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos estará integrada por:a) O decano ou persoa na que delegue, que actuará como Presidente.b) O responsable de Asuntos Económicos da Facultade, aínda que non sexa membro da Xunta deFacultade.c) O conserxe da Facultade, aínda que non sexa membro da Xunta de Facultade.d) Un profesor por cada departamento con implantación na Facultade elixido/a por e entre o profesoradodo departamento que sexan membros da Xunta de Facultade.e) Un número de representantes do alumnado que suporá o 30% dos membros da Comisión. Estesrepresentantes serán elixidos entre e polos alumnos que formen parte da Xunta da Facultade; deles un20% serán de 1º e 2º ciclo e o 10% de 3º ciclo.

Artigo 35. Competencias da Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos

Son competencias da Comisión de Economía, Infraestruturas, Administración e Servizos: a) Coñecer e informar sobre a proposta de gastos da Facultade e controlar o gasto e cumprimento do presuposto. b) Asesorar ao equipo decanal na avaliación de necesidades materiais en infraestruturas e equipamento da Facultade e na proposta das actuacións máis eficaces na procura de solucións, mellora dos servizos e utilización óptima de recursos. c) Velar porque se respecte a lexislación vixente en materia de seguridade e hixiene no traballo, dereitos laborais e individuais, respecto ao medio ambiente, etcétera d) Controlar o nivel de eficacia dos servizos que teña arrendados a Universidade de Santiago de Compostela e estean instalados na Facultade . e) Instar ás autoridades competentes para a creación de servizos ou dotación de equipamentos que atendan necesidades manifestas da comunidade universitaria . f) Calquera outra competencia nestes ámbitos que non sexa exclusiva da Xunta de Facultade.

CAPÍTULO III. Do Equipo Decanal

Artigo 36. Do decano ou decana

1. O decano representa a Facultade, exerce a súa dirección e a xestión ordinaria, preside e coordina a actuación dos seus órganos colexiados e executa os seus acordos. 2. O decano ten as competencias que lle atribúen os Estatutos da Universidade de Santiago de Compostela (art. 103) e este Regulamento. 3. Será elixido pola Xunta de Facultade entre os profesores ou profesoras doutores pertencentes a corpos docentes universitarios censados no centro.

Artigo 37

A elección e revogación do decano decorrerán segundo o establecido no Regulamento Electoral Xeral da USC e neste Regulamento.

Artigo 38

1. As eleccións serán convocadas polo decano cun mes de antelación á expiración do seu mandato, agás que o cesamento se producise por outra causa, en cuxo caso serán convocadas por quen o substitúa, nos

49

20 días seguintes ao antedito cesamento.2. No caso de incumprimento do apartado anterior, as eleccións serán convocadas polo reitor.

Artigo 39

A convocatoria para elección de decano deberá indicar polo menos as seguintes datas e prazos: a) Prazo de presentación de candidaturas, que non será inferior a sete días hábiles, nin superior a quince.b) Proclamación provisoria de candidatos;c) Prazo de reclamacións contra a proclamación provisoria de candidatos/as, que non será inferior a dousdías hábiles;d) Proclamación definitiva de candidatos;e) Data, lugar e hora da reunión da Xunta de Facultade en que se efectuará a votación. A reunión daXunta de Facultade, en que se procederá á votación, non poderá ser convocada para antes de que pasen 3 días hábiles despois de pechado o prazo de presentación de candidaturas, nin para despois de 45 díasnaturais desde a data de saída da convocatoria.f) data, lugar e hora da reunión da Xunta de Facultade na que se procederá á segunda votación, se fosenecesaria. A segunda votación pode ter lugar na mesma reunión que a primeira e nunca máis tarde que 3 días despois desta.g) Se convocada a elección a decano non se presentara ningún candidato ou, se concluído o procesoelectoral, ninguén resultara elixido, o reitor resolverá, con carácter xeral, a continuidade en funcións doanterior titular, que deberá convocar novas eleccións no prazo máximo de 3 meses.

Artigo 40

1. A presidencia da sesión para a votación corresponderá ao decano en funcións, sempre que non concorraá elección. Neste caso, será substituído polo vicedecano, sempre que este non fora candidato, en cuxo caso actuará como presidente a persoa, pertencente á Xunta, de maior idade, que reúna as condiciónsestablecidas nos Estatutos da USC para o desempeño do cargo.2. Se o secretario presenta a súa candidatura a decano, actuará como secretario da sesión a persoa demenor idade que reúna as condicións establecidas nos Estatutos da USC para o desempeño do cargo.3. Antes de cada unha das votacións a que se fai referencia no presente Regulamento os candidatospoderán expor o seu programa durante un tempo máximo de trinta minutos ao que poderá seguir undebate que se prolongará como máximo durante unha hora.

Artigo 41

1. A votación será nominal e secreta. Cada elector poderá dar o seu voto a favor dun único candidato,votar en branco ou absterse. O voto poderá expresarse cunha cruz á beira do nome do candidato ou doutroxeito inequívoco.2. No caso de concorrencia de máis dun candidato, as eleccións celebraranse de acordo co sistema dedobre volta. En primeira volta resultará elixido o candidato que obtivera a maioría absoluta dos votosvalidamente emitidos polos membros do corpo electoral. Se esta non é alcanzada, procederase a unhasegunda votación, que se poderá celebrar na mesma sesión ou, a máis tardar, dentro dos 3 días seguintes á primeira, e á cal poderán concorrer os dous candidatos máis votados na primeira volta que manteñan a súacandidatura, resultando elixido o que obtivera o maior número de votos. No caso de empate na segundavotación, esta repetirase. Se aínda nesta se mantivera o empate, terá preferencia o candidato que sexamáis antigo de acordo co art. 17 dos Estatutos da USC.3. No caso dun único candidato, só se celebrará unha votación, resultando elixido o candidato se obtén o25% ou máis dos votos emitidos.

Artigo 42

1. Ata que sexan nomeados os cargos unipersoais elixidos, continuarán en funcións os anteriores.2. Os efectos económicos e administrativos do cargo electo, cando procedan, serán computados a partir

do momento en que sexa nomeado polo órgano competente.

Artigo 43

50

1. O decano poderá perder a súa condición pola adopción, por maioría absoluta, dunha moción decensura.

2. A moción de censura deberá ser proposta, cando menos, por 1/3 dos membros da Xuntade Facultade,e terá que incluír unha candidatura alternativa.

3. Presentada a moción, o decano convocará unha Xunta de Facultade Extraordinaria con este únicopunto na orde do día; deberase fixar a data de celebración no prazo máximo de dez días. Nesta Xuntaactuará como presidente o profesor máis antigo de acordo con artigo 17 dos Estatutos da USC e estaráasistido polo secretario da Facultade.

4. O candidato e o decano disporán dun tempo máximo de trinta minutos cada un para fixaren as súasposicións; a seguir abrirase unha quenda de preguntas que se prolongará durante un tempo máximo de 1 hora e a continuación procederase á votación, que será nominal e secreta.

5. A moción considerarase aprobada de obter un número de votos favorables superior á metade dosmembros da Xunta; neste caso proclamarase decano electo a persoa proposta na moción de censura.

6. Logo de ser nomeado o novo decano, este desempeñará o cargo o resto do período para o que foielixido o decano censurado.

7. Se a moción de censura non fose aprobada, os seus asinantes non poderán presentar outra dentro domesmo período de mandato.

Artigo 44. Dos vicedecanos ou vicedecanas

1. Os vicedecanos serán nomeados polo reitor a proposta do decano, entre os membros da comunidadeuniversitaria da Facultade que reúnan os requisitos establecidos no artigo 72 dos Estatutos da USC.

2. Corresponde aos vicedecanos coordinar ou dirixir, baixo a autoridade do decano, as áreas decompetencia que este lles asigne, sen prexuízo de que as funcións técnicas ou administrativascorrespondan ao persoal de administración e servizos.

3. Se houbese varios vicedecanatos, o decano designará ao seu substituto para os casos de ausencia,enfermidade ou imperativo regulamentario.

4. Os vicedecanos cesarán no seu cargo por decisión do reitor, logo de proposta do decano, ou a peticiónpropia.

Artigo 45. Do secretario ou secretaria

1. O secretario da Facultade é quen dá fe dos actos e acordos dos órganos de goberno, representación e administración do centro e, como tal, ten encomendada a custodia dos libros de actas e a expedicióndas certificacións dos acordos e de todos os actos ou feitos que consten nos documentos oficiais do centro. Ademais, exercerá aquelas funcións que lle encomende o decano ou que lle encomende a lexislación vixente, os estatutos da USC ou este regulamento.

2. O secretario será nomeado polo reitor, segundo proposta do decano entre os profesores ou funcionarios dos grupos A ou B censados no centro.

3. O secretario cesará por decisión do reitor, a proposta do decano ou a petición propia.

TÍTULO III. DA REFORMA DO REGULAMENTO

Artigo 46

1. A iniciativa, motivada e articulada, da reforma total ou parcial deste Regulamento correspóndelle aodecano ou ao 30% dos membros da Xunta de Facultade.

2. Recibida a proposta, no prazo máximo de 3 días hábiles, o decano enviará copia a todos os membrosda Xunta de Facultade e no prazo máximo de 15 días hábiles convocará un pleno extraordinario daXunta de Facultade para a toma en consideración.

3. Se a proposta recibise os votos favorables do 30% dos membros da Xunta de Facultade, abrirase unprazo de 15 días hábiles para a presentación de emendas e convocarase unha nova sesión do pleno daXunta de Facultade para someter a aprobación o texto e as correspondentes emendas. Asmodificacións totais ou parciais esixirán o acordo maioritario da Xunta, con votación favorable demáis da metade dos seus membros en primeira votación e mais dun terzo na segunda.

4. Se a proposta fose rexeitada, non poderá presentarse outra reforma nos mesmos termos atatranscorrido un prazo de 2 anos.

51

5. No caso de que reforma do Regulamento veña motivada pola necesidade de adaptación aos Estatutos ou calquera outra normativa de obrigado cumprimento, farase de oficio, mediante presentación do proxecto e a apertura do prazo de emendas, non sendo necesario someter a oportunidade da reforma á consideración da Xunta.

Disposición adicional

Aos efectos deste Regulamento, os departamentos adscritos á Facultade son os seguintes: Álxebra,Análise Matemática, Estatística e Investigación Operativa, Matemática Aplicada e Xeometría e Topoloxía.En calquera momento, a Xunta de Facultade poderá adscribir outros departamentos que xustificadamente considere con suficiente relación e implantación na Facultade de Matemáticas, sen prexuízo doutras normas da Universidade nesta materia.

Disposición transitoria

No prazo máximo de 30 días, contados a partir da entrada en vigor do presente Regulamento, procederase á elección dos membros das Comisións previstas nel.

Disposición final

O presente Regulamento entrará en vigor o día seguinte ao da súa aprobación polo Consello de Goberno da USC.

52

Normativas internas

Benoît Mandelbrot

(Varsovia,Polonia,1924)Benoît B. Mandelbrot naceu dentro dunha familia xudía culta de orixe lituana. Foi introducido no mundo das matemáticas dende pequeno grazas ós seus dous tíos. Cando a súa familia emigra a Francia en 1936, o seu tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas no Collège de France e sucesor de Hadamard neste posto, toma a responsabilidade da súa educación. Despois de realiza-los seus estudos na Universidade de Lyon ingresou na "École Polytechnique" en 1944 baixo a dirección de Paul Lévy quen tamén o influíu fortemente. Doutorouse en

53

matemáticas pola Universidade de París no ano 1952.

En 1967 publicou en Science ¿Canto mide a costa de Gran Bretaña?, onde se expoñen as súas primeiras ideas sobre os fractais.

Foi profesor de economía na Universidade de Harvard, de enxeñaría en Yale, de fisioloxía no Colexio Albert Einstein de Medicina, e de matemáticas en París e Xenebra. Dende 1958 traballou en IBM no Centro de Investigacións Thomas B. Watson en Nova York.

Foi o principal creador da Xeometría Fractal, ó referirse ó impacto desta disciplina na concepción e interpretación dos obxectos que se atopan na natureza. En 1982 publicou o seu libro Fractal Geometry of Nature no que explicaba as súas investigacións neste campo. A xeometría fractal distínguese por unha aproximación máis abstracta á dimensión da que caracteriza á xeometría convencional.

En 1985 recibiu o premio "BarnardMedal for Meritorious Service to Science". Nos anos seguintes recibiu a "Franklin Medal". En 1987 foi galardoado co premio "Alexander von Humboldt"; tamén recibiu a "Medalla Steindal" en 1988 e moitos outros premios, incluindo a "Medalla Nevada" en 1991.

Benoît B. Mandelbrot é un matemático coñecido polos seus traballos sobre os fractais. É o principal responsable da auxe deste dominio das matemáticas dende o inicio dos anos oitenta, e do interese crecente do público. En efecto soubo utiliza-la ferramenta que se estaba popularizando nesta época -o ordenador- para traza-los máis coñecidos exemplos de xeometría fractal: o conxunto de Mandelbrot por suposto, así como os conxuntos de Julia descubertos por Gaston Julia, quen inventou as matémáticas dos fractais, e desenvolvidos logo por Mandelbrot.

Conxunto de Mandelbrot

54

Normativa de utilización de taquillas

1- As taquillas do Nº1 ata o Nº65 poderán ser utilizadas, por períodos cortos de tempo, usando unha moeda de 0,5 .

Deberán estar baleiras ao rematar o horario de apertura da Biblioteca. Aquelas taquillas que permanezan pechadas fora dese horario serán abertas e baleiradas polo persoal da Facultade que depositará o seu contido, en caso de habelo, nas mesas contiguas (A Facultade non se responsabilizará dos perxuicios que poda ocasionar o incumplimento deste horario).

2- Déixase aberto o prazo de solicitudes, no que tódolos estudiantes da Facultade de Matemáticas interesados poderán utilizar as taquillas do Nº66 ata o Nº100 durante o curso académico 2007-2008

completo, mediante o depósito dunha fianza de 30 . Para poder recoller a súa chave, os alumnos solicitantes deberán entregar na Secretaría do Centro os seguintes documentos debidamente cubertos:

1. A “solicitude de taquilla”, pódese recoller na Conserxería da Facultade.

2. O impreso “48/2 liquidación de tasas”, despois de facer o ingreso no banco da cantidade de

30 .

3. Unha fotocopia do resguardo de matrícula.

A fianza será restituida despois da devolución da chave (data límite 21/07/2008) e da comprobación do estado da taquilla. Será necesario facilitar os datos dunha conta conta bancaria para ingresar a devolución. No caso de necesidade de novas convocatorias ou de esgotamento de taquillas disponibles, os avisos sairán publicados no taboleiro da entrada da Biblioteca.

55

Normativa de asignación de lugares de traballo nas Salas de Bolseiros I e II

As novas Salas de Bolseiros [Sala I (ala oeste do andar do nivel 4) e Sala II (ala leste do mesmo andar)] estarán destinadas a lugares de traballo para os bolseiros que colaboran nos distintos equipos de investigación da Facultade de Matemáticas, entendendo por bolseiros todos aqueles alumnos de Terceiro Ciclo ou equivalente que teñan vinculación cun departamento da Facultade de Matemáticas por medio dunha bolsa ou contrato. O motivo de non incluír os bolseiros postdoutorais e que as salas de bolseiros, foron concibidas para a súa ocupación polo persoal investigador en formación. Para a adxudicación dos postos teranse en conta os seguintes puntos:

1.- No mes de xaneiro de cada ano os departamentos adscritos á Facultade enviarán ao Decanato a relación dos bolseiros que solicitan posto nas Salas I e II, acompañada da correspondente documentación de cada bolseiro, que necesariamente incluirá o documento de solicitude segundo o modelo que se acompaña e copia dos documentos xustificativos (credencial de bolsa, contrato, comunicado da renovación, etc.). Ademais, os Departamentos deben indicar o número de postos de traballo ofertados, é dicir, aqueles que poden ser asignados aos bolseiros do seu departamento que estean comprendidos nalgunha das categorías descritas no punto 4 desta normativa.

2.- A Secretaría do Decanato elaborará a lista de concesión formada por 16 bolseiros atendendo aos criterios expostos no punto 4 e ao procedemento descrito no punto 5 desta normativa. Ademais, acorde cos puntos 4 e 5, tamén elaborará unha lista de agarda na que se incluirá a todos os bolseiros que presentaron unha solicitude e que, estando nunha das categorías descritas no punto 4, non obtiveron un posto de traballo nas salas de bolseiros. De ser o caso no que houbera algunha reclamación á resolución de concesión provisoria, será a Comisión de Administración, Servizos e Asuntos Económicos da Facultade quen a tramite e a resolva conforme aos criterios establecidos no punto 4.

3.- As concesións serán outorgadas de forma anual e con carácter intransferible. A renuncia dun bolseiro a un posto, a non utilización do mesmo sen causa xustificada, ou a ocupación por parte doutra persoa que non sexa o bolseiro ao que se lle asignou o posto, producirá a perda do posto de traballo nas salas de bolseiros. Ao longo do ano as concesións dos postos de traballo só serán revisadas cando se produza a baixa (finalización ou renuncia da bolsa/contrato) dalgún bolseiro cun posto asignado ou algunha reclamación xustificada dos Departamentos ou bolseiros. Os Departamentos teñen a obriga de comunicar as baixas ou reclamacións ao Decanato da Facultade. De haber unha praza vacante nas aulas de bolseiros, a Secretaría do Decanato asignaralla ao primeiro bolseiro da lista de agarda.

4.- Para a adxudicación dos postos de traballo a Secretaría do Decanato deberá ter en conta a prioridade dos solicitantes segundo a seguinte orde:

1º) Bolseiros de FPI/FPU con DEA. 2º) Bolseiros predoutorais da Xunta de Galicia. 3º) Bolseiros de FPI/PFU sen DEA. 4º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de convocatorias públicas, a tempo completo. 5º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de asignación directa, a tempo completo. 6º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de convocatorias públicas, a tempo parcial. Bolseiros de Terceiro Ciclo ou equivalente de convocatorias públicas. 7º) Bolseiros de proxectos, contratos e convenios de investigación e/ou docencia de asignación directa, a tempo parcial.

En cada unha destas categorías, os solicitantes ordenaranse pola antigüidade da condición de bolseiro nesa categoría contabilizando esta antigüidade por curso académico. En caso de igualdade na antigüidade dos solicitantes, utilizarase como segundo criterio o expediente académico (calculado como nota media simple, segundo a Resolución do 15 de marzo de 2005, da Secretaría Xeral da Consellería de Educación e Ordenación Universitaria). Só se requirirá unha certificación do mesmo en caso de haber algunha reclamación.

56

5.- A Secretaría do Decanato elaborará unha lista priorizada de concesión e agarda cos bolseiros solicitantes comprendidos nalgunha das categorías descritas no punto 4 desta normativa, co seguinte procedemento:

5.1.- Elaboración dunha lista priorizada con todas as solicitudes aceptadas segundo o criterio descrito no punto 4. Os 16 primeiros lugares desta lista formarán a lista de concesión, mentres que os restantes pasarán a unha lista de agarda. 5.2.- Os postos ofertados por cada departamento serán ocupados polos primeiros bolseiros na lista de agarda do respectivo departamento mantendo o seu posto na lista de agarda. Se non fosen ocupados todos os postos ofertados polo departamento, os postos vacantes ocuparíanse cos últimos bolseiros da lista de concesión do respectivo departamento. 5.3.- Unha vez realizado o procedemento descrito nos puntos 5.1 e 5.2, elaborarase unha lista de concesión e unha lista de agarda provisorias. 5.4.- De ser o caso no que o número de solicitudes aceptadas sexa inferior ao número de postos das aulas de bolseiros I e II, abrirase un novo prazo de presentación de solicitudes para alumnos de terceiro ciclo coa seguinte prioridade:

1º) Alumnos de Terceiro Ciclo en 2º ano (traballo de investigación) ou equivalente. 2º) Alumnos de Terceiro Ciclo en 1º ano ou equivalente. 3º) Bolseiros de colaboración.

6.- Os prazos que se corresponden co proceso de solicitude, concesión e reclamación derivados da asignación de postos de traballo nas Salas de Bolseiros I e II son os seguintes:

Presentación de solicitudes: do 8 ao 20 de Xaneiro Resolución da concesión provisoria: publicación, nos dez días hábiles seguintes ao remate do período de presentación de solicitudes, das listas de concesión e agarda provisorias (punto 5.3), achegando ademais as listas de concesión e agarda elaboradas no punto 5.1. Presentación de reclamacións: nos cinco días hábiles seguintes á publicación da resolución provisoria. Resolución de reclamacións e publicación da resolución definitiva: nos cinco días hábiles seguintes ao remate do período de reclamación. Ocupación dos postos: nos dez días hábiles seguintes á publicación da resolución.

Recomendacións

No proceso de asignación dos postos aconséllase que estea presente un bolseiro de cada un dos departamentos.

No caso de que algún bolseiro se ausente do seu posto de traballo un período longo de tempo, como ocorrería durante a realización dunha estancia de investigación, recoméndase poñer este posto a disposición dos bolseiros da lista de agarda.

57

Normas sobre o cambio de grupo

Prazos e solicitudes:

1. Existirán dous prazos de solicitude de cambio de grupo: o primeiro nas dúas primeiras semanas de outubro, tanto para as materias do primeiro como do segundo cuadrimestre; e o segundo, nas dúas primeiras semanas do segundo cuadrimestre, exclusivamente para as materias do segundo cuadrimestre. 2. Os impresos recolleranse e entregaranse na secretaría do centro. Na solicitude de cada cuadrimestre faranse constar únicamente as materias nas que se solicita o cambio de grupo e por orde de maior a menor preferencia. Non é obrigatorio indica-los motivos da solicitude, pero poderíanse ter en conta razóns xustificadas (por motivos laborais, médicos,...) para priorizar os cambios naqueles casos nos que non fose posible conceder tódolos solicitados, consonte ó punto 1 das normas xerais. 3. A resolución provisoria concedendo ou denegando o cambio de grupo será asinada polo decano, nos seguintes 15 días ó remate do prazo de solicitude. Contra esta resolución poderá impoñerse reclamación no prazo de 10 días hábiles.

Normas xerais:

1. Os cambios de grupo serán concedidos sempre e cando non se produza un desequilibrio importante no tamaño dos grupos. En tal caso o decanato informará á Comisión de Docencia e ó departamento correspondente co obxectivo de toma-las medidas oportunas. 2. A Facultade non se responsabiliza de que os cambios que se concedan creen incompatibilidades de horario, polo que os solicitantes deben responsabilizarse da súa escolla. 3. A concesión de cambio de grupo terá en conta exclusivamente os que se soliciten, e non outras posibles combinacións. En tódolos casos de dúbida realizarase unha entrevista persoal co interesado.

58

Normativa de monitores de clases prácticas

I. Funcións dos monitores.

1. Son funcións dos monitores todas as relacionadas coa orientación académica, axuda na realización de exercicios, desenvolvemento das prácticas de laboratorio ou seminario, resolución de dúbidas, corrección de probas parciais ou boletíns, e cantas actividades signifiquen unha mellora da atención ós estudiantes.

2. As tarefas concretas de cada monitor serán fixadas polo profesor responsable, dacordo coas directrices que poda establecer o departamento.

3. Cada monitor colaborará exclusivamente nunha materia en cada cuadrimestre, durante o período lectivo de clases, e baixo a responsabilidade directa do profesor encargado. As tarefas que lle sexan asignadas desenvolveranse baixo a tutela do profesor. Baixo ningunha circunstancia se admitirá que o profesor sexa substituido por un ou varios monitores nas clases ou nas titorías, nen que os monitores impartan clases teóricas ou de problemas.

4. Os departamentos e a Comisión de Docencia coidarán de que non se produzan desviacións non recomendables das tarefas encomendadas ós monitores.

5. Os departamentos e a Facultade tratarán de que a condición de monitor sexa compatible coas as propias obrigas do estudiante.

6. En ningún caso a condición de monitor implica a participación no P.O.D., nen supón ningún tipo de relación contractual.

II. Recoñecemento de créditos

1. De xeito orientativo, cada monitor terá dereito ó recoñecemento de 1 crédito de libre configuración

por cada 20 horas de seminarios, laboratorios, titorías ou corrección de boletíns nos que colabore. O número de créditos imputables como libre configuración aos monitores variará entre 3 e 6, segundo estableza o profesor que ofreza o posto, e sen posibilidade de obter máis de 6 créditos de libre configuración por curso en concepto de monitor de clases prácticas.

2. O recoñecemento efectuarao a Comisión de Docencia, a proposta do profesor encargado, que será acompañada dun informe sobre as actividades realmente realizadas e tramitada a través do seu departamento.

3. Os créditos serán computados como de libre configuración ó abeiro do apartado "Outras Actividades (máximo 30 créditos)" recoñecido no plano de estudios.

III. Proceso de selección

1. No mes de maio de cada curso o decanato solicitará ós departamentos con docencia na Licenciatura de Matemáticas o número de prazas de monitores que ofertan para o vindeiro curso, precisando a materia na que colaborará, as tarefas a desenvolver, os créditos que aportará, o profesor desa materia que avaliará a cada monitor e os criterios de selección que aplicará. Só poderán ter monitores asociados as materias de primeiro ciclo impartidas por profesores da Facultade de Matemáticas.

2. O decanato fará pública na Facultade a lista de plazas ofertadas e as súas características, abrindo unha convocatoria de solicitude, que se presentará na secretaría do centro nas datas que se determinen.

3. Os candidatos deben ser estudiantes de segundo ciclo da Licenciatura de Matemáticas, que teñan superadas todas as materias troncais e obrigatorias do primeiro ciclo.

4. Cada departamento seleccionará os seus candidatos, polo procedemento que estime máis axeitado, dacordo cos criterios publicados na convocatoria. Posteriormente remitirá ó decanato a relación de admitidos e suplentes en cada plaza ofertada.

5. As posibles reclamacións serán resoltas pola Comisión de Docencia, previa consulta ó departamento que correponda.

6. A Comisión de Docencia estudará a procedencia de solicitudes de prazas vacantes cursadas fóra dos prazos habituais.

59

Normativa de Traballos Académicamente Dirixidos (T.A.D.)

O plano de estudio da titulación de Matemáticas que ofrece esta Facultade contempla a posibilidade de que os estudiantes poidan realizar traballos academicamente dirixidos (T.A.D.), cos que poden obter ata 15 créditos optativos ou de libre configuración. Segundo acordo da Comisión de Docencia do 7 de abril de 2003, os T.A.D. teranse en conta exclusivamente como créditos optativos ou de libre configuración, non se imputarán a ningunha materia concreta do plano de estudios, e aparecerán no epígrafe xenérico de “Traballos académicamente dirixidos” nos expedientes académicos dos alumnos da Facultade.

Segundo as Normas de Xestión Académica (artigo 76), o proceso de selección terá lugar no curso anterior ó da presentación do traballo.

1. Oferta de T.A.D. por parte dos departamentos

A oferta de T.A.D. para cada curso será realizada polos departamentos no mes de maio do curso anterior e será remitida á secretaría da facultade. Na oferta deberán especificar:

Liñas do traballo académicamente dirixido e obxectivos. Tipo de créditos. Requisitos académicos para concorrer á realización dos T.A.D. Profesor ou profesores que dirixirán o traballo. Criterios de selección. Prazo de realización.

2. Requisitos para poder optar á realización dun T.A.D.

Ser alumno de segundo ciclo e ter aprobado no momento da convocatoria un mínimo dun 60% das materias troncais e obrigatorias do primeiro ciclo.

Ademáis, as áreas poderán esixir unha nota media mínima, que en ningún caso poderá ser superior á de notable. Este requisito deberá facerse público antes de que se inicie o prazo de presentación de solicitudes.

3. Presentación de solicitudes

Segundo a Resolución Rectoral do 11 de maio de 1999, os alumnos interesados en realizar un T.A.D. deberán no prazo indicado unha solicitude dirixida á Ilmo. Sr. Decano da Facultade, na que farán constar os seus datos persoais e unha relación priorizada de ata cinco das liñas de traballo ofertadas para a súa titulación. Se unha das liñas elixidas contase con varios directores, o alumno deberá colocalos por orde de preferencia. Advírtese que a priorización das liñas e de directores será vinculante.

Os modelos de solicitude pódense recoller na secretaría da facultade ou descargalos da web propia da Facultade.

4. Selección de candidatos.

A selección dos candidatos realizarana as Áreas de Coñecemento que propoñan as liñas. A decisión que adopten deberá ser aprobada polo departamento.

A selección realizarase tomando como criterio a media do expediente académico dos solicitantes. No cálculo da media ponderaranse as materias da Área que propón a liña de traballo ou outras que se considere pertinente tomar en consideración. Antes da data en que comece o prazo de presentacións de solicitudes os departamentos publicarán nos seus taboleiros a relación de materias que se ponderarán en cada liña.

A nota final será o resultante da media entre a nota media global do expediente e a nota media das materias que se ponderen en cada liña de investigación.

60

Se algunha área esixe para poder ser admitido unha nota media determinada, deberá facer pública esta circunstancia antes de que se inicie o prazo de presentación de solicitudes.

O proceso de selección terá lugar do mes de setembro, antes do día 15. Inmediatamente despois, os departamentos darán a coñecer nos seus taboleiros de anuncios a relación provisoria de alumnos admitidos en cada liña de traballo, así como unha relación de reservas.

5. Reclamacións.

Habilitarase un prazo de sete días naturais para que os solicitantes presenten as súas reclamacións. Decorrido este prazo, os departamentos deberán reunirse novamente para estudialas e para elaborar a relación definitiva de alumnos admitidos, que se publicará inmediatamente nos taboleiros de anuncios dos departamentos.

Tamén os Departamentos deberán remitir á Secretaria do Decanato a seguinte información: a) Relación de alumnos aceptados para a realización do TAD, título do traballo, director ou

directores e prazo de realización b) Proposta da comisión para a avaliación de cada un dos TAD

A relación de alumnos seleccionados para a realización dos TAD, será remitida pola Secretaría do Decanato á Unidade de Xestión Académica antes do 30 de setembro.

6. Matrícula.

A matrícula nesta materia formalizarase no curso académico inmediatamente posterior ó da selección.

7. Avaliación e cualificacións.

A avaliación dos T.A.D. realizaraa unha comisión de tres membros (presidente, vocal e secretario) proposta polo departamento, por iniciativa da Área responsable da dirección do traballo e nomeada polo decano.

Os T.A.D. serán avaliados nas convocatorias de febreiro, xuño ou de setembro mediante as cualificacións habituais que lle correspondan como materia optativa ou de libre configuración.

8. Procedemento extraordinario.

En todo momento a Comisión de Docencia considerará para a súa posible aprobación propostas debidamente xustificadas.

61

Normativa para a obtención do Grao de Licenciado

na modalidade de Traballo de Investigación

A memoria de licenciatura é un traballo no que se expoñen os resultados dunha iniciación á investigación sobre temas relacionados coas áreas de coñecemento integradas nos Departamentos adscritos á Facultade.

Poderán iniciar a elaboración da memoria Licenciados en Ciencias Matemáticas ou alumnos do último curso de carreira baixo a dirección dun doutor. Se o director non pertence a un dos Departamentos adscritos á Facultade, designarase como ponente un doutor que sí pertenza.

A súa tramitación, defensa e cualificación rexerase polo seguinte regulamento:

1. Solicitudes. Os aspirantes á realización da memoria de licenciatura comunicarán ó Sr. decano da Facultade o tema de traballo no formulario que se lles entregará na secretaría da facultade; na comunicación deberá figurar o "conforme" do director do traballo (no seu caso tamén do ponente) e a "autorización do Consello de Departamento" ó que éste pertence. Non se poderá realizar a lectura e defensa da memoria ata que transcorran tres meses contados a partir da data da devandita comunicación.

2. Tribunal. A lectura e defensa da memoria farase ante un tribunal composto por tres membros (presidente, vocal e secretario) pertencentes ós corpos de catedráticos ou profesores titulares de universidade. O tribunal será nomeado pola Xunta de Facultade (ou organismo no que delegue) oído o director da tesiña (ou no seu caso o ponente). No tribunal non poderán figurar máis de dous profesores do mesmo Departamento e poderá figurar o director do traballo (ou o ponente).

3. Matrícula. O alumno, que deberá ser licenciado para matricularse, entregará catro exemplares na Secretaría da Facultade nos que necesariamente constará a autorización do director (ou, no seu caso do ponente) da mesma para a súa presentación. Un destes exemplares estará a disposición dos membros da Facultade durante un período de dez días lectivos; dito período comunicarase ós Departamentos adscritos á Facultade e publicarase no taboleiro de anuncios de mesma. As posibles alegacións, que serán dirixidas por escrito ó Sr. decano, comunicaránselle ó director da memoria e ó tribunal que se designe para xulgala. Transcurrido ese período de dez días xa se pode proceder á súa lectura. A data de lectura debe comunicarse á Facultade coa debida antelación ós efectos de reserva de aulas e comunicación oficial á Unidade de Xestión Académica, tras o cal o alumno poderá formaliza-la matrícula.

4. Lectura da memoria de licenciatura e cualificación na proba de grao. A defensa da memoria farase oralmente por parte do autor en sesión pública; disporá como mínimo de 15 minutos e como máximo de 45 e exporá os obxectivos e conclusións do traballo. O tribunal poderá solicitar as aclaración que estime oportunas e deberá concederlle audiencia ó director do traballo se éste non forma parte do mesmo. O tribunal, en sesión secreta, enxuiciará a calidade e defensa do traballo presentado polo aspirante. Tendo en conta dito xuízo e o seu expediente académico, outorgaralle a cualificación que lle corresponde na proba de Grao de Licenciado na modalidade de Traballo de Investigación. Tal cualificación poderá ser: suspenso, aprobado, notable ou sobresaliente.

62

Normativa básica para aordenación do proceso deensino/aprendizaxe

John Charles Fields

(Hamilton, Ontario,

Canadá, 1863; Toronto,

Ontario, Canadá 1932)

Fields suministrou fondos para unha medalla internacional: o equivalente, en Matemáticas, ó Premio Nobel. O seu principal tema de investigación foron as funcións alxébricas. Escribiu un importante libro publicado en 1906. Sen embargo, é máis coñecido como un excelente organizador de matemáticas. As series de Congresos Internacionais

63

de Matemáticas (ICM) empezaron en Zurich en 1897, pero non houbo congresos durante a Primeira Guerra Mundial (1914-18). A Unión Internacional de Matemáticas (IMU) foi establecida en 1920 no primeiro congreso despois da guerra, en Estrasburgo. Foi un político moi hábil conseguindo diñeiro para sufraga-los gastos de asistencia ós ICM, tanto que en 1924 conseguiu que incluso lle sobrasen cartos e isto deulle a oportunidade de levar a cabo unha grande idea. Fields é lembrado por concebi-la idea e suministrar fondos para unha medalla internacional de distinción matemática. A proposta orixinal foi ó Comité do Congreso celebrado en 1924. Despois de conseguir fondos para as medallas das Sociedades Matemáticas líderes en Francia, Alemaña, Italia, Suiza e Estados Unidos, tiña a idea de viaxar en setembro de 1932 ó Congreso de Zurich, pero en maio dese ano a súa saúde empezou a resentirse por problemas de corazón. Uns días antes de morrer, incluíu 47000 dólares para engadir ós fondos das medallas. Non chegou a asistir ó Congreso de Zurich, pero os seus desexos convertéronse en realidade. Os premios chamáronse “Medallas Fields” a pesar de que nunha carta deixou escrito que non debían levar ningún nome.

As medallas Fields creáronse para ser concedidas cada catro anos no ICM a

dous matemáticos menores de corenta anos. Estas condicións foron establecidas para respecta-los desexos de Fields de que o premio recoñecese o traballo feito e o potencial para futuros logros. Non se entregaron Medallas durante a Segunda Guerra Mundial, e foi en 1950 cando volveron entregarse cada catro anos.

En 1966 decidiuse que non se entregarían menos de dúas nin máis de catro medallas en cada Congreso. A pesar de que o prestixio das Medallas Fields é alto, non é así a súa cuantía, de 9500 dolares, que resulta irrisoria comparada coa dos premios Nobel, cos que se equiparan. Sen embargo, cumpren as condicións establecidas por Fields: “ser acuñada en ouro por un valor equivalente a 200 dólares” (Naturalmente 200 dólares co seu valor de 1933).

No anverso da Medalla Fields figura a frase en latín “Transire Suum Pectus Mundoque Potiri” (Sobrepasa-lo seu propio entendemento e apoderarse do mundo), adornada coa imaxe do grande Arquímedes. No reverso figura “Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere” (Os matemáticos do mundo aquí congregados renden tributo por traballo extraordinario), aludindo ó feito de que ditas Medallas se entregan na celebración dos ICM.

Medalla Fields

64

NORMATIVA BÁSICA PARA A ORDENACIÓN DO PROCESO DE ENSINO/APRENDIZAXE

E DA AVALIACIÓN DO RENDEMENTO ACADÉMICO DOS ESTUDIANTES.

(Xunta de Goberno do 15-novembro-2001)

(Engadido do punto 2 no artigo 15, Consello de Goberno do 22-06-04)

Este documento pretende o desenvolvemento básico da normativa emanada da LRU, dos Estatutos da USC e do Estatuto do Estudiante da USC co fin de mellorar o proceso de aprendizaxe do alumno. Esta normativa pretende establecer os sistemas que, en base ás competencias dos centros e departamentos, permitan levar a cabo unha docencia coordinada ó mesmo tempo que se fan explícitas as características e condicións da avaliación tanto ordinaria como extraordinaria.

Artigo 1.- O Plan Docente Anual determinará o número de grupos de cada materia, o cuadrimestre en que se impartirá, a(s) área(s) responsables da impartición da docencia, etc. Así mesmo o Plan de Estudios determina os descriptores de cada materia.

Artigo 2.- O centro establecerá os horarios, a ser posible antes da elaboración dos Planos de Organización Docente dos departamentos.

En todo caso, os horarios de teoría e, ata onde sexa posible, os das clases prácticas serán públicos antes do 15 de maio do curso académico anterior.

Artigo 3.- O departamento ten a obriga de garantir para cada materia unha Programación Docente que deberá especificar:

I. Profesorado encargado da docencia con indicación, de ser varios, do coordinador da mesma.

II.. Descritores da materia no Plan de Estudios.

III. Número de créditos teóricos, de prácticas de encerado, de laboratorio, etc.

IV. Obxectivos.

V. Programa da parte teórica e práctica.

VI. Desenvolvemento do temario (con indicación, a ser posible, do tempo previsto para cada tema) con determinación da docencia non presencial.

VII. Criterios e sistemas de avaliación (tipo e número de probas, traballos para presentar coas posibles datas, controis periódicos, etc)

VIII. Bibliografía recomendada actualizada.

O departamento fará chegar ó centro unha copia da programación docente de cada materia antes do 15 de abril e este faraa pública antes do 15 de maio.

Artigo 4.- Os departamentos garantirán a coordinación da programación e equivalencia formativa de todos os grupos dunha mesma materia. O centro supervisará que o programa e demais apartados da programación anual de cada materia se adapta ó plan de estudios vixente e exercerá a necesaria coordinación de programas e sistemas de avaliación dentro dun mesmo curso, ciclo e titulación.

65

Artigo 5.- Todas as materias terán dúas probas finais (febreiro/xuño e setembro), salvo nas materias en que polas súas características a Comisión de Docencia do Centro, a proposta do departamento correspondente, autorice de forma expresa a non existencia de tales probas.

A programación docente de cada materia fará explícita a cualificación que se debe outorgar os estudiantes que realicen algunha proba "parcial" de avaliación e non se presenten á proba final. Se non figura referencia explícita, entenderase que os estudiantes que non se presenten a esta proba final e non superen a materia serán cualificados como "Non presentado" na dita convocatoria.

No caso de que, pola característica da materia, non exista tal proba, entón a Programación Docente da dita materia indicará baixo qué circunstancias se cualificará como "Non presentado".

A programación docente dunha materia pode determinar a obriga de realizar certas actividades prácticas de laboratorio, entrega de traballos, etc. sen as cales non será posible a superación da dita materia. Se as ditas actividades só poden ser desenvolvidas durante o período de clase, a Comisión de Docencia do Centro pode establecer a imposibilidade de presentación destes alumnos á convocatoria de setembro.

A programación docente tamén pode contemplar a posibilidade de que a avaliación positiva de certas actividades (prácticas de laboratorio, etc.) poida ser conservada, durante un número determinado de cursos académicos. Neste caso o departamento debe determinar cómo se ten en conta esta situación na cualificación final unha vez que o alumno supere todas as probas e actividades necesarias para superar a materia.

Artigo 6.- Os estudiantes teñen dereito a seren avaliados en todas as materias das que estean matriculados. Este dereito non implica dereito a datas de avaliación distintas das previstas se están matriculados de materias con datas de avaliación coincidentes. Procurarase que non haxa materias de dous cursos consecutivos con calendarios de avaliación coincidentes.

Artigo 7.-O centro aprobará e fará pública a programación das probas finais das disciplinas de todas as convocatorias de cada curso antes do 15 de maio do curso académico anterior.

Artigo 8.- O decano/director do centro resolverá, previa consulta co(s) profesor(es) correspondente(s) e cos alumnos do curso ou grupo afectado, as situacións nas que por imposibilidade sobrevida resulte imposible realizar o exame de acordo co establecido na programación.

Artigo 9.- A avaliación do rendemento académico dos estudiantes é un paso fundamental de calquera proceso educativo. A avaliación ten que basearse en obxectivos educativos e debe de servir para asegurar cinco grandes obxectivos: mellorar a docencia, informar á Universidade sobre o grao de asunción dos obxectivos educativos previstos, garantir a competencia dos alumnos, asegurar a equidade e mellorar a aprendizaxe dos propios estudiantes.

Dada a importancia da avaliación do rendemento académico dos alumnos en calquera proceso docente, o estudiante debe de ter a máxima información posible. É moi importante que os estudiantes poidan predicir as consecuencias do seu rendemento e que poidan controlar o resultado da súa avaliación.

Os alumnos deben de ser informados minuciosamente sobre os criterios e métodos de avaliación, así como o tipo e número de exames.

Os estudiantes serán avaliados de acordo cos criterios que figuren de forma explícita na programación da materia e que, en xeral, se basearán, nalgunha ou nalgunhas das seguintes actividades:

I. Asistencia e participación en clases teóricas, seminarios e outras actividades complementarias

II. Realización de prácticas e traballos de laboratorio

III. Presentación de traballos ou informes relacionados co contido da materia

66

IV. Probas parciais e/ou final

V. Outras actividades específicas que tamén garantan a avaliación obxectiva do rendemento do estudiante

En todo caso para as probas, distintas da final, que se declaren obrigatorias deben indicarse as datas da súa realización na programación docente.

A dirección do centro deberá de ter coñecemento das actividades que poidan afectar ó resto de actividades académicas co fin de que se fagan de xeito coordinado.

No caso de alumnos con algunha minusvalía, facilitaráselles a realización das probas de avaliación en condicións acordes coas súas capacidades.

Artigo 10.- En todo caso o artigo 115 dos Estatutos da USC asigna ó Consello de Departamento o establecemento dos criterios de avaliación do rendemento dos estudiantes e o artigo 3.1. do Estatuto do Estudiante establece que todos os estudiantes terán igualdade de dereitos e deberes sen máis distincións cás derivadas das ensinanzas que estean a cursar polo que é necesario que os alumnos dos distintos grupos dunha mesma materia reciban unha formación equivalente e sexan avaliados con criterios tamén equivalentes, independente do grupo que lles corresponda sempre que este dereito poida exercitarse sen menoscabo dos dereitos dos demais membros da comunidade universitaria, como establece o mesmo artigo 3 do Estatuto do Estudiante no apartado 2.

Artigo 11.- Para a realización de probas orais, convocarase cada día os alumnos que previsiblemente o profesor poida examinar. Tales exames serán públicos e polo menos nos casos en que sexa a única proba de avaliación, o departamento nomeará unha comisión de avaliación que deberá estar formada por un mínimo de dous profesores.

Artigo 12.- En calquera momento dos exames se poderá requirir a identificación dos alumnos.

Artigo 13.- Os estudiantes teñen dereito, se o solicitan, a un xustificante documental de terse presentado á proba ou exame.

Artigo 14.- O estudiante ten dereito a coñecer os resultados das probas, traballos ou exames parciais que realice, segundo o sistema de avaliación previamente establecido, nun prazo razoable que, salvo casos excepcionais, debidamente xustificados perante a dirección do centro, serán inferiores a 20 días naturais dende a data de realización da proba excepto para as cualificacións finais que deberán axustarse ó regulamentado polas Normas de Xestión Académica. Tales resultados deben coñecerse con suficiente antelación á realización dunha nova proba.

Os profesores deberán conservar todo o material utilizado para a avaliación do alumno por un período mínimo de seis meses, sen prexuicio do previsto no artigo 19.

No caso de que desapareza (perda, roubo…) o material dunha proba antes de finalizar o prazo de revisión e sen que o alumno exercera este dereito, entón o alumno pode solicitar a realización dunha nova avaliación. Neste caso o profesor procurará que o alumno teña facilidades (flexibilización das datas de exame, tipo de exame, etc.) para esta avaliación especial.

Artigo 15.-

1. A notificación das cualificacións finais provisorias de cada materia realizarase mediante a publicación dunha listaxe coa cualificación de cada estudiante. O(s) profesor(es) informará(n) no momento da realización do exame da data aproximada de publicación dos resultados. Unha copia da listaxe exposta coas cualificacións finais provisorias e as rectificacións será depositada na secretaría do centro xunto coa acta por un período mínimo de cinco anos, e deben enviarse a continuación ó Arquivo Histórico. Estas cualificacións consideraranse definitivas ó finalizar o prazo de revisión de exames. O alumno poderá recoller no lugar que se indique unha comunicación coas cualificacións acadadas en cada convocatoria unha vez que finalice o proceso de informatización das actas.

67

2. Cando sexa posible, a listaxe de cualificacións provisionais á que se refire o apartado anterior elaborarase mediante a aplicación informática de cobertura das actas de cualificacións. Así mesmo, no caso de estar operativo un procedemento para enviar aos alumnos a través de teléfonos móbiles información sobre as cualificacións provisionais das materias nas que estean matriculados e a data de revisión de exames, os profesores deberán autorizar dita comunicación no momento de publicar as cualificacións provisionais, mediante as canles técnicas que se establezan.

Artigo 16.- Na realización dos exames e probas de cada materia deberá(n) estar presente(s) o(s) profesor(es) responsable(s) da materia, salvo casos excepcionais debidamente autorizados pola dirección do centro e departamento.

Artigo 17.- O alumno ten dereito á revisión dos exames tanto parciais como finais na súa presencia nas datas e horarios que para tal efecto deberán fixarse no momento de facer públicos os resultados provisorios. As datas de revisión deberán estar comprendidas dentro dos dez días seguintes á publicación dos resultados e tal prazo non deberá ser inferior a tres días hábiles e garantirá que todos os alumnos que o desexen podan revisar o exame. Procurarase que, para cada estudiante, estas revisións se poidan levar a cabo en dúas datas opcionais e que sexan un instrumento útil para que o alumno poida percibir o seu nivel de coñecementos e carencias, tanto se resulta aprobado como suspenso. Deberá quedar constancia desta revisión (mediante sinatura no exame revisado, listaxe, etc.).

Artigo 18.- A realización fraudulenta dalgún exercicio ou proba esixida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na convocatoria correspondente, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor.

Artigo 19.- Os traballos e demais material de tipo creativo elaborados polos estudiantes seranlles devoltos, se o solicitan, no prazo de tres meses unha vez finalizado o período de reclamación, agás naqueles casos en que por razóns debidamente xustificadas se establezan períodos maiores.

A reproducción total ou parcial dos traballos do curso e dos contidos das probas de avaliación ou a utilización para outra finalidade, necesita a autorización explícita do autor ou autores, de acordo coa Lei de propiedade intelectual.

68

Normativa para articular osprocedementos extraordinarios deavaliación e a revisión decualificacións

Michael FrancisAtiyah, (Londres,Reino Unido, 1929)Michael Atiyah é un matemático británico, coñecido polas súas numerosas contribucións á xeometría contemporánea.

Atiyah foi un dos creadores, xunto a Friedrich Hirzebruch, da Teoría K topolóxica, unha parte da topoloxía alxébrica. Ten colaborado con moitos outros matemáticos, entre eles Raoul

69

Bott e Isadore Singer. Con este último formulou o Teorema dos índices de Atiyah-Singer. Isto levouno a estudar a teoría das representacións e as ecuacións da calor sobre as variedades. Sucesivamente interesouse pola teoría de campo de gauge.

Atiyah recibiu a medalla Fields en 1966, a medalla Copley en 1988 e o Premio Abel en 2004. Foi condecorado coa “Orde do Mérito” do Reino Unido.

En 1981, a Accademia dei Linceiotorgoulle o Premio Feltrinelli.

A fotografía, tomada durante a súa visita á Facultade de Matemáticas en novembro de 2006, mostra ao profesor Atiyah asinando os exemplares das súas Obras Completas que se atopan na nosa Biblioteca.

70

NORMATIVA PARA ARTICULAR OS PROCEDEMENTOS EXTRAORDINARIOS DE

AVALIACIÓN E A REVISIÓN DE CUALIFICACIÓNS

(Xunta de Goberno do 15-novembro-2001)

Esta normativa desenvolve o artigo 115 dos Estatutos da USC que establecen que a Xunta de Goberno elaborará unha normativa para articular os procedementos extraordinarios de avaliación e a revisión de cualificacións.

1.- AVALIACIÓN ORDINARIA

Artigo 1.1.- A avaliación ordinaria será realizada polo(s) profesor(es) encargado(s) da materia de acordo cos criterios establecidos polo consello de departamento.

Artigo 1.2.- A avaliación dos estudiantes sen posibilidade de docencia previa (exames de febreiro dos plans non-renovados, convocatoria fin de carreira, etc.) realizaraa o profesor que impartiu a materia o curso anterior, ou, en ausencia deste, o que a imparte o curso actual ou quen determine o departamento. Os criterios de avaliación serán os do curso anterior ou do último impartido e o programa deberá axustarse ó realmente impartido nese curso. No caso de materias sen dereito a docencia (por exemplo, materias de plans de estudio en extinción) seguiranse os criterios anteriores e en ausencia do profesor que impartiu a materia por última vez, o departamento designará o profesor ou profesores responsables da avaliación.

Artigo 1.3.- Os centros establecerán os criterios tanto para a asignación como para o cambio de grupo. Tales criterios poden ter en consideración as características das diferentes materias e o número de convocatorias esgotadas polos solicitantes.

2.- AVALIACIÓN EXTRAORDINARIA

Artigo 2.1.- A Comisión de Ordenación Académica e Profesorado (COAP) fará cada curso unha análise global e por centros do rendemento académico dos estudiantes. A parte de poñer en marcha as medidas que poidan axudar a corrixir as disfuncións ou problemas que se detecten, fará chegar ós centros e departamentos responsables as suxestións que considere oportunas (suxestións xerais, axuste do programa, cambio dos métodos de avaliación, etc.). No caso de que a porcentaxe de alumnos que superan unha disciplina se desvíe significativamente, por exceso ou por defecto, da media do resto de materias do mesmo curso, ciclo e titulación, a COAP, impulsará unha análise técnica (baseada en informes sobre o programa, exames, calidade da docencia, etc.) sometendo a consideración da Xunta de Goberno a aprobación das resolucións que considere oportunas.

Artigo 2.2.- En consonancia co indicado nos puntos 2.3 e 2.4, os distintos grupos dunha mesma disciplina deberán ter uns criterios e sistemas de avaliación similares e equilibrados. De non ser así COAP, previo informe do correspondente centro e departamento, estudiará as posibles solucións.

Artigo 2.3.- O esforzo necesario para superar unha materia debe estar en concordancia co número de créditos que se lle asigna no plano de estudios. No caso que se considere que existe unha desviación importante entre os obxectivos previstos no plano de estudios e o nivel de esixencia para superar unha determinada materia, a COAP, previo informe do centro e departamento, someterá a consideración da Xunta de Goberno as resolucións que considere oportunas.

Artigo 2.4.- Apoio titorial extraordinario:

Os alumnos que teñan un máximo de dúas materias pendentes, que non sumen máis de 12 créditos, con catro convocatorias esgotadas en cada unha, poderán solicitar un apoio titorial extraordinario para as ditas materias sempre que teñan superado o 80% dos créditos troncais e obrigatorios para titularse. Este apoio titorial restrinxirase a un máximo de dúas materias en toda a titulación.

71

O director do departamento, a pedimento do alumno e previa consulta cos profesores da área que ten encargada a docencia da materia, nomeará un profesor- titor do alumno que se encargará de orientar a súa aprendizaxe co fin de que adquira os coñecementos suficientes para superar a dita materia, e será o responsable da súa avaliación.

A Universidade establecerá procedementos que permitan detectar os casos de alumnos que, estando en cursos superiores, levan fracasado de forma continuada no intento de superar algunha materia de cursos inferiores. A estes alumnos ofreceráselles a orientación necesaria para que no proceso de matrícula poidan facer unha elección de materias encamiñada a superar as atrasadas.

3.- REVISIÓN DE CUALIFICACIÓNS

A revisión da cualificación establecida no artigo 115.2 dos Estatutos da Universidade e no artigo 33 do Estatuto do Estudiante levarase a cabo de acordo co seguinte procedemento:

i) Todos os estudiantes teñen dereito a presentar as reclamacións debidamente motivadas que consideren oportunas. Para poder exercer este dereito é necesario que o alumno teña acudido previamente ó proceso de revisión do exame que establece o punto 17. O prazo para a presentación de tales reclamacións será de 15 días hábiles dende que finalice o prazo de revisión de exames.

ii) Á vista da reclamación, o decano /director do centro decidirá sobre a admisión a trámite da alegación presentada. En todo caso, a non admisión a trámite debe estar suficientemente xustificada.

iii) O estudiante pode recorrer a non-admisión a trámite ante o rector. Se o rector confirma a non-admisión a trámite, esta resolución esgotará a vía administrativa.

iv) No caso de que sexa admitida a trámite, o decano/director trasladará a reclamación ós profesores responsables da mesma para que presenten as alegacións que consideren oportunas nun prazo non superior ós tres días hábiles.

v) O decano/director vistas as alegacións presentadas polo profesor e previa audiencia do alumno, poderá decidir sobre a desestimación da reclamación o que poderá ser recorrido polo alumno diante do rector, ou nomeará unha comisión formada por 3 profesores e 1 alumno con voz e sen voto, elixido entre os representantes da Xunta de Centro, a ser posible, con esa materia superada, ademais do decano/director ou vicedecano/subdirector en quen delegue que a presidirá. Non formará(n) parte da dita comisión o(s) profesor(es) responsable(s) da cualificación. Un dos tres profesores será de área distinta e, de ser posible, os outros dous, que serán propostos polo director do departamento, serán da mesma área que ten encargada a docencia e un deles impartindo a docencia da mesma disciplina. A comisión revisará o material que serviu de base para a cualificación do reclamante e demais compañeiros e, se considera que os exames realizados adolecen das garantías mínimas necesarias ou non existen elementos suficientes para a avaliación, pode realizar unha nova proba ó reclamante. A dita comisión fará a proposta de cualificación que corresponda.

vi) A resolución do decano/director do centro, que reflectirá a proposta da comisión, non esgotará a vía administrativa e será o propio director do centro quen lla comunique ó estudiante. No escrito farase constar que, contra esta resolución, se poderá interpoñer recurso de alzada perante o rector no prazo dun mes a partir da data de recepción da resolución.

vii) A revisión de exames non modifica os prazos ordinarios de entrega das actas.

viii) Os exames ou probas, xa sexan parciais ou finais, que foran realizados por escrito ou por calquera outro medio que permita deixar constancia deles, conservaranse por un periodo mínimo de seis meses. En caso de reclamación conservarase ata a finalización de todos os procesos.

ix) No caso de ser necesaria unha modificación en acta da cualificación como consecuencia do proceso de revisión de exames, a nova cualificación será notificada polo decano/director do centro ó secretario xeral da Universidade que establecerá o procedemento para a modificación da acta, na que se incorporará unha dilixencia administrativa que reflicta o acordo de modificación.

72

Disposición derrogatoria: Quedan derrogadas as "Directrices Xerais sobre Avaliación do

Rendemento Académico dos Estudiantes" aprobadas pola Xunta de Goberno do 27 de febreiro de 1997 así como calquera outra norma ou disposición que se opoña a esta normativa.

Disposición adicional: Modifícase o artigo 28 das Normas de Xestión Académica que queda redactado como sigue:

28. CONSERVACIÓN E CUSTODIA DE EXAMES

Os exames ou probas, xa sexan parciais ou finais, que foran realizados por escrito ou por calquera outro medio que permita deixar constancia deles, deberán ser conservados polos profesores encargados da materia polo menos seis meses dende a data final de entrega das actas, agás nos supostos de que estea en curso un expediente administrativo ou xudicial, ou que por outras normas se establezan prazos maiores.

73

Materias específicas de libreconfiguración

Andrei Okounkov(Moscova, Rusia, 1969)

Medalla Fields 2006

Andrei Okounkov naceu en Moscova en 1969, doutorándose en Matemáticas na Universidade Estatal de Moscova en 1995. É profesor de matemáticas na Universidade de Princeton e foi investigador na Academia Rusa de Ciencias, no Instituto de Estudos Avanzados de Princeton, na Universidade de Chicago e na de California en Berkeley. Entre as súas distincións atópase a de ter sido seleccionado como investigador da Fundación Sloan (2000) e da Fundación Packard (2001), así como a de obte-lo premio da Sociedade Matemática Europea (2004).

En 2006, durante a celebración do ICM 2006 en Madrid, foille concedida a Medalla Fields “polas súas contribucións na interacción entre aprobabilidade, a teoría de representacións e a xeometría alxébrica”. A súa investigación, segundo comenta el mesmo, é un intento de conecta-las Matemáticas con outras áreas científicas.

75

Materias de libre elección

A normativa sobre as Materias de Libre Elección está recollida nas “Normas para a Xestión Académica” (http://www.usc.es/gl/normativa/xestionacademica.jsp). A Xunta de Goberno aprobará anualmente un catálogo de materias excluidas do ámbito de libre elección.

Solicitude:

Tódolos alumnos, agás os de primeiro curso, que desexen cursar materias de libre configuración curricular deberán presentar unha solicitude nas Unidades Centralizadas de Xestión Académica. O alumno indicará na solicitude por orde de preferencia, as materias que desexa cursar entre as ofertadas para o curso 07/08.

Materias de libre elección:

Terán a consideración de materias de libre configuración curricular ós efectos da presente convocatoria, tódalas materias incluidas na oferta aprobada pola Xunta de Goberno. Para cada titulación quedarán excluidas aquelas materias impartidas noutros planes de estudio de contido idéntico ou moi semellante ás propias do plano de estudios que está a cursa-lo alumno. Todas estas materias terán limitación de prazas.

Materias de libre elección impartidas na Facultade de Matemáticas:

Primeiro cuadrimestre:

Criptografía Xeometría e Civilización.

Segundo cuadrimestre:

Códigos Correctores de Erros Didáctica da Matemática en Secundaria. Unha Andaina pola Matemática

77

Programas de intercambio

Grigori Perelman

(Leningrado, hoxeSan Petersburgo,Rusia, 1966)

Medalla Fields 2006

Perelman naceu en 1966 en Leningrado (agora San Petersburgo). Doutorouse na Universidade Estatal de San Petersburgo. Nos anos 90, trasladouse a Estados Unidos, desfrutando dunha bolsa Miller na Universidade de California (Berkeley). Durante anos, foi investigador no Instituto Steklov de Matemáticas en San Petersburgo. En 1994 foi conferenciante invitado no ICM (International Congress of Mathematicians) en Zurich.

O recoñecemento a Perelman débese á súa demostración da chamada conxectura de xeometrización de Thurston, e á súa proposta, feita en 2003, para a resolución dun dos chamados “sete problemas do Milenio”, a conxectura de Poincaré. Ata o momento ninguén puido atopar un erro na súa solución.

Perelman é un dos gañadores da Medalla Fields 2006 “polas súas contribucións á xeometría e os seus revolucionarios enfoques da estrutura analítica e xeométrica do fluxo de Ricci”. Esta condecoración debería ser entregada durante a celebración do ICM 2006 en Madrid, pero Perelman renunciou a tal honor e non asistiu a este Congreso.

79

Programas de intercambio

I. ERASMUS/SÓCRATES

Coordinadora na Facultade de Matemáticas:

Regina Castro Bolaño. Teléfono: 981563100- Ext. 13145 Fax: 981597054 [email protected]

Convenios da facultade de Matemáticas

Tódolos convenios da Facultade pertencen á área 11.1

Université des Sciences et Technologies de Lille FRANCIA (1 Plaza ) Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

Université du Maine FRANCIA (1 Plaza)Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

Universiade do Minho PORTUGAL ( 2 Plazas) Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

University of Southampton REINO UNIDO ( 2 Plazas) Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

Politechnika Gdanska POLONIA (1 Plazas)Coordinador: Antonio Gómez Tato. Teléfono: 981563100, Ext. 13139 [email protected]

Universiade do Porto PORTUGAL ( 2 Plazas)Coordinador: Enrique Macías Virgós. Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

West University of Timisoara RUMANIA ( 2 Plazas) Coordinador: Enrique Macias Virgós. Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

Universität Wien AUSTRIA ( 2 Plazas)Coordinador: Enrique Macias Virgós.Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

Universiade do Minho PORTUGAL ( 2 Plazas) Coordinador: Enrique Macias Virgós.Teléfono: 981563100, Ext. 13153 [email protected]

Universität Trier ALEMANIA ( 3 Plazas)Coordinador: Felipe Gago Couso. Teléfono: 981563100, Ext. 13140 [email protected]

Université Claude Bernard-Lyon I FRANCIA ( 2 Plazas) Coordinador: Fernando Alcalde Cuesta. Teléfono: 981563100, Ext. 13142 [email protected]

Uniwersytet Jagiellonski POLONIA 1 ( 2 Plazas) Coordinador: Fernando Alcalde Cuesta. Teléfono: 981563100, Ext. 13142 [email protected]

Università degli Studi di Genova ITALIA ( 2 Plazas) Coordinador: Ignacio García Jurado. Teléfono: 981563100, Ext. 13185 [email protected]

Universitatea Bucuresti RUMANIA ( 1 Plaza [Tercer Ciclo] ) Coordinador: Luis A. Cordero Rego. Teléfono: 981563100, Ext. 13147 [email protected]

Université de Technologie de Compiègne FRANCIA ( 3 Plazas) Coordinadora: Maria Luisa Seoane. Teléfono: 981563100, Ext. 13230 [email protected]

Università degli Studi di Roma “La Sapienza” ITALIA ( 2 Plazas) Coordinador: Oscar López Pouso. Teléfono: 981563100, Ext. 13228 [email protected]

Ecole Nationale super. D’Arts et Metiers FRANCIA ( 2 Plazas) Coordinadora: Peregrina Quintela Estévez. Teléfono: 981 563 100 Ext 13223 [email protected]

81

Universität Bielefeld ALEMANIA ( 2 Plazas)Coordinador: Emilio Villanueva Novoa. Teléfono: 981 563 100 Ext.13172 [email protected]

Université Pierre & Marie Curie-Paris 6 FRANCIA ( 1 Plaza) Coordinador: Rafael Muñóz Sola. Teléfono: 981563100, Ext. 13182 [email protected]

Responsable na USC:

Enrique López Veloso. Oficina de Relaciones Exteriores, Casa Jimena y Elisa Fdez de la Vega, R/ Casas Reais, nº 8. 15782 Santiago de Compostela (A Coruña)- España telf: + 34 981584989, + 34 981 563100, Ext. 12840, fax: + 34 981578017 E-mail: [email protected]ón na USC sobre Erasmus-Sócrates

http://www.usc.es/gl/servizos/ore/socrates/index.jspInformación xeral sobre Erasmus-Sócrates

http://ec.europa.eu/education/index_en.html

II. SISTEMA DE INTERCAMBIO ENTRE

CENTROS DAS UNIVERSIDADES

ESPAÑOLAS (SICUE)

Coordinadora:

Regina Castro Bolaño Teléfono: 981563100- Ext. 13145 Fax: 981597054 [email protected]

Principios xerais

Por medio deste sistema o estudiantado das universidades españolas pode realizar unha parte dos seus estudios noutra universidade distinta da súa, con garantías de recoñecemento académico e de aproveitamento, así como de adecuación ó seu perfil curricular.

Este sistema de intercambio ten en conta o valor formativo do intercambio, ó facer posible que o estudiante experimente sistemas docentes distintos, incluídos o réxime de prácticas, así como os distintos aspectos sociais e culturais doutras Autonomías.

Para asegurar que o estudiante coñece ben o seu sistema docente este intercambio deberá realizarse unha vez que se teñan superado na Universidade

de Orixe un mínimo de 30 créditos e estar matriculado en 30 créditos máis en Diplomaturas, Enxeñerías Técnicas e Arquitectura Técnica; 90 créditos e estar matriculado en 30 créditos máis en Licenciaturas, Enxeñerías e Arquitecturas.

Bases de funcionamento

Estableceranse acordos bilaterais entre as distintas Universidades para determinar os centros, titulacións, oferta de prazas e duración do intercambio. Estes acordos terán carácter indefinido sempre que non haxa ningunha cancelación por unha das partes, esto non impedirá formalizar acordos bilaterais novos ou ampliar os xa existentes que terán que realizarse durante os meses de outubro, novembro e decembro para que teñan validez no seguinte curso académico. Non obstante poderanse asinar acordos ó longo do ano, pero para comezar o seu funcionamento nun curso académico posterior. Cada Universidade designará unha persoa responsable da execución e coordinación do programa na súa Institución.

Acordos bilaterais da Facultade de

Matématicas

Universidad Autónoma de Madrid (1 plaza 9 meses) http://www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/docencia/docencia.htmlDirección Postal: Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, C-XV Universidad Autónoma de Madrid ctra. de Colmenar Viejo, Km. 15 28049 Madrid Teléfono: 913974889, 913967633 Fax: 913974889

Universidad de Barcelona (1 plaza 9 meses) http://www.mat.ub.es/mates/indexmates.htmlDirección Postal: Facultat de Matemàtiques Universitat de Barcelona Gran Via de les Corts Catalanes, 585 08007-Barcelona Teléfono: 934021597 Fax: 934021601

Universidad de Cádiz (1 plaza 9 meses) http://www2.uca.es/facultad/ciencias/ciencias2/explorer.htmDirección Postal: Facultad de Ciencias Campus Río San Pedro s/n. 11510 Puerto

82

Real CÁDIZ Teléfono: 956016299 Fax: 956016303

Universidad Complutense de Madrid (1 plaza 9 meses) http://www.mat.ucm.es/Dirección Postal: Facultad de Ciencias Matemáticas Ciudad Universitaria 28040 MADRID Teléfono: 913944616 Fax: 913944607

Universidad de Extremadura (1 plaza 9 meses) http://ciencias.unex.es/Dirección Postal: Facultad de Ciencias Avda. de Elvas 06071 Badajoz Teléfono:924289402 Fax:

Universidad de Granada (1 plaza 9 meses) http://www.ugr.es/~decacien/Dirección Postal: Facultad de Ciencias Campus de Fuentenueva Avenida Severo Ochoa s/n E-18071-Granada, España Teléfono: 958243372 Fax: 958246387

Universidad de Málaga (1 plaza 9 meses) http://www.ciencias.uma.esDirección Postal: Facultad de Ciencias Campus de Teatinos s/n 29071 Málaga Teléfono: 952131979 Fax: 95-213200

Universidad de Murcia (1 plaza 9 meses) http://www.fmath.um.es/Dirección Postal: Facultad de Matemáticas Campus de Espinardo 30100 Murcia Teléfono: 968 363674 Fax: 968364182

Universidad de Oviedo (2 plazas 9 meses) http://www.uniovi.es/Vicerrectorados/Estudiantes/Estudios/Carreras/ LICENCIADOENMATEMATICAS.htmlDirección Postal: Facultad de Ciencias c/ Calvo Sotelo, s/n. 33007 Oviedo Teléfono: 985103372 Fax: 985103291

Universidad de Sevilla (1 plaza 9 meses) http://www.us.es/fmate/Dirección Postal: Facultad de Matemáticas Aptdo. de Correos 1160 41080 Sevilla Teléfono: 954557917 Fax: 954557919

Universidad de La Laguna (2 plaza 9 meses) http://www.fmat.ull.es/Dirección Postal: Facultad de Matemáticas Astrofísico Fco. Sanchez, s/n 38200 La Laguna

Universidad del País Vasco (2 plazas 9 meses) http://ztf-fct.ehu.es/Dirección Postal: Facultad Ciencia y Tecnología. Barrio de Sarriena, s/n .48940. Leioa

Universidad de Valencia (2 plaza 9 meses) http://www.uv.es/matematiquesDirección Postal: Facultat de Ciencias Matematiques. Avda. Vicent A. Estellés, 1 46100 Burjassot. Valencia

Universidad Politécnica de Catalunya (2 plaza 9 meses) http://www.fme.upc.edu/Dirección Postal: Facultat de Matematiques i Estadistica. Pau Gargallo, 5. 08028 Barcelona

Universidad de Zaragoza (2 plaza 9 meses) http://ciencias.unizar.es/estudios.htmlDirección Postal: Facultad de Ciencias. Pedro Cerbuna, 12. 5009 Zaragoza

Bolsas:

1. SÉNECA: O Ministerio de Educación e Ciencia apoia o SICUE coa convocatoria de Bolsas SÉNECA. Para solicitar esta bolsa é condición indispensable:

o Obter unha praza de mobilidade a través do programa SICUE.

o Ter unha nota media do expediente académico igual ou superior a 1,5 puntos e 1,2 para as ensinanzas técnicas.

o Que a estancia teña unha duración de 3, 4, 6 ou 9 meses.

O prazo de presentación de solicitudes será o que se estableza na convocatoria que faga o MEC e que adoita realizarse todos os cursos académicos no mes de abril. Será publicada no Boletín Oficial do Estado (BOE) e na páxina web http://www.mecd.es/univ/

Para máis información :http://www.usc.es/ore

83

Oferta de Posgrao

Terence Tao (Adelaide,Australia, 1975)

Medalla Fields 2006

Terence Tao naceu en Adelaide, Australia, en 1975. Doutorouse en 1996 na Universidade de Princeton. Foi profesor de matemáticas na Universidade de Los Angeles de California. Entre as súas distincións están unha bolsa da Fundación Sloan, unha bolsa da Fundación Packard e unha bolsa-premio do Instituto Clay de Matemáticas. Obtivo o premio Salem (2000), o premio Bocher da American Mathematical Society (AMS) (2002) e o premio Conant da AMS (2004) conxuntamente con Allen Knutson.

En 2006, durante a celebración do ICM en Madrid, foille concedida a Medalla Fields “polas súas contribucións ás ecuacións en derivadas parciais, combinatoria, análise harmónica e teoría de números aditiva”, afrontando todo, segundo se manifesta na concesión do premio, cunha orixinalidade fóra do común e unha grande espontaneidade.

85

Oferta de Posgrao

6070-07-1 MATEMÁTICAS

Departamento responsable académico: Instituto de Matemáticas

Co-responsables científicos:

Depto. de Análise Matemática Depto. de Álxebra Depto. de Xeometría e Topoloxía

Coordinador xeral do programa:

Eduardo García Río 981 56 31 00 (ext. 13211)[email protected]

Máis información:

http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2007/Pd6070-07-101_200701_2008ga.htm

6070-06-1 MATEMÁTICAS (segundo curso: Traballo de investigación tutelado)

Departamento responsable académico: Instituto de Matemáticas

Co-responsables científicos:

Depto. de Análise Matemática Depto. de Xeometría e Topoloxía Depto. de Álxebra

Coordinador xeral do programa:

Eduardo García Río 981 56 31 00 (ext. 13211)[email protected]

Máis información:

http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2006/Pd6070-06-101_200601_2007g.htm

2145-06-1 ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (segundo curso: Traballo de investigación tutelado)

Departamento responsable académico: Depto. de Estatística e Investigación Operativa

Coordinador xeral do programa:César Andrés Sánchez Sellero 981 56 31 00 (ext. 13208) [email protected]

Máis información:

http://www.usc.es/cptf/TercerCiclo/Programas/Datos2006/Pd2145-06-101_200601_2007g.htm

POSGRAO INTERUNIVERSITARIO EN MÉTODOS MATEMÁTICOS E SIMULACIÓN NUMÉRICA EN ENXEÑARÍA E CIENCIAS APLICADAS

Coordinadores da Universidade de Santiago de Compostela:

Alfredo Bermúdez de Castro (coordinador xeral) 981 56 31 00 (ext. 13192) [email protected]

87

Óscar López Pouso 981 56 31 00 (ext. 13228) [email protected]

Máis información:

http://www.usc.es/gl/titulacions/pop/matematicas.jsphttp://www.dma.uvigo.es/MASTER

PROGRAMA OFICIAL DE POSGRAO ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA -MÁSTER EN TÉCNICAS ESTATÍSTICAS

Coordinadores da Universidade de Santiago de Compostela:

Wenceslao González Manteiga (coordinador xeral) 981 56 31 00 (ext. 13204) [email protected]

César Andrés Sánchez Sellero 981 56 31 00 (ext. 13208) [email protected]

Máis información:

http://www.udc.es/dep/mate/mte/

MÁSTER DE BIOESTATÍSTICA (título propio)

Máis información:

http://eio.usc.es/pub/master_bio/

MÁSTER EN FINANZAS CUANTITATIVAS (título propio)

Máis información:

http://www.usc.es/posgrao/masterfc/

88

Calendario académico

Wendelin Werner

(Alemaña, 1968)

Medalla Fields 2006

Werner, nacido en 1968 en Alemaña, é de nacionalidade francesa. Doutorouse en Matemáticas en 1993 na Universidade de Paris VI. Dende 1997 é profesor na Universidade de Paris-Sud en Orsay. Entre 2001 e 2006 foi tamén membro do Instituto Universitario de Francia e dende 2005 está trasladado temporalmente en L’Ecole Normale Supérieure.

En 2006, durante a celebración do ICM 2006 en Madrid, foille concedida a “Medalla Fields” polas súas contribucións ó desenvolvemento da evolución estocástica de Löewner, a xeometría do movemento Browniano en dúas dimensións e a teoría conforme de campos.

89

CALENDARIO ACADÉMICO DO CURSO 2007-2008

1.- O período lectivo do Curso Académico comprenderá dende o 1 de outubro de 2007 ao 30 de setembro de 2008. Non será lectivo o mes de agosto, nin os días festivos.

2.- Actividade académica dos planos de estudos estructurados en créditos:

Duración (inclusive as datas mencionadas):Primeiro cuadrimestre: dende o 1 de outubro de 2007 ao 25 de xaneiro de 2008. Segundo cuadrimestre: dende o 20 de febreiro de 2008 ao 6 de xuño de 2008.

Probas de avaliación (inclusive as datas mencionadas):

1ª convocatoria ordinaria: -Primeiro cuadrimestre: entre o 29 de xaneiro e o 19 de febreiro de 2008. -Segundo cuadrimestre: entre o 9 de xuño e o 4 de xullo de 2008.

2ª convocatoria ordinaria (setembro): entre os días 1 e 15 de setembro de 2008.

Convocatoria extraordinaria de fin de carreira: entre decembro e xaneiro, según determinen os centros.

Entrega de actas ( data límite de sinatura das actas na secretaría do centro):

1ª convocatoria ordinaria: -Primeiro cuadrimestre: ata o 7 de marzo de 2008. -Segundo cuadrimestre: ata o 22 de xullo de 2008.

2ª convocatoria ordinaria (setembro): ata o 2 de outubro de 2008.

Convocatoria extraordinaria de fin de carreira: ata quince días despois de finalizado o período de exames determinado polo centro.

3.-As actividades académicas docentes e os exames de tódolos planos interrumpiranse dende o día 22 de decembro de 2007 ata o día 7 de xaneiro de 2008 (ámbolos dous incluídos); os días 4 e 5 de febreiro de 2008 (entroido); e dende o día 17 ao día 23 de marzo de 2008 (ámbolos dous incluídos).

4.- A festividade de San Tomé celebrarase o día 28 de xaneiro de 2008, que será festivo na USC. Así mesmo, posuirán carácter festivo os días das festas oficiais do Estado, da Comunidade Autónoma e das cidades onde estea ubicado cada centro, así como o da festividade de cada un deles.

Coa finalidade de aproveitar ao máximo os días lectivos, sempre que as festividades dos centros coincidan en martes ou xoves celebraranse o luns ou venres máis próximo; e se cadraran en mércores trasladaranse ao venres. As que cadren en sábado, domingo ou festivo celebraranse o día lectivo anterior ou seguinte.

5.- Son festividades dos centros as seguintes:

4 de outubro (S. Francisco de Asís): Fac. de Veterinaria. 18 de outubro (S. Lucas): Fac. de Medicina e Odontoloxía (Lic. en Medicina). 15 de novembro (S. Alberte Magno): Facultades de Bioloxía, Física, Matemáticas, Química e Ciencias.27 de novembro (S. Xosé de Calasanz): E. U. de Formación do Profesorado. 8 de decembro (Inmaculada): Fac. de Farmacia. 13 de decembro (Sta. Otilia): E. U. de Óptica e Optometría. 23 de xaneiro (S. Raimundo de Peñafort): Fac. de Dereito. 9 de febreiro (Sta. Apolonia): Fac. de Medicina e Odontoloxía (Lic. en Odontoloxía). 24 de febreiro (Xoán Huarte de S. Xoán): Fac. de Psicoloxía.

91

8 de marzo (S. Xoán de Deus): E. U. de Enfermería. 9 de marzo (natalicio do Padre Sarmiento): Fac. de CC. da Educación. 17 de marzo (San Patricio): Titulación de Graduado Superior en Xerontoloxía. 19 de marzo (S. Xosé): Fac. de Ciencias Políticas e Sociais. 5 de abril (S. Vicente Ferrer): Fac. de CC. Económicas e Empresariais e Fac. de Administración e Dirección de Empresas. 15 abril (natalicio de Leonardo da Vinci): Escola Técnica Superior de Enxeñería. 22 de abril (Día da Terra): Escola Politécnica Superior. 26 de abril (S. Isidoro de Sevilla): Facultades de Filoloxía, Filosofía, Humanidades e Xeografía e Historia. 1 de maio (Día do Traballo): E. U. de Relacións Laborais. 3 de maio (Día da Liberdade de Expresión): Fac. de Ciencias da Comunicación.

92

Datas de exames

Jon Kleinberg (Boston,

Massachusetts,U.S.A.,

1971)

Premio Rolf Nevanlinna

2006

Naceu en 1971 en Boston, Massachusetts (U.S.A.). Doutorouse en 1996 no MIT (Massachusetts Institute of Technology). É profesor de Ciencia Computacional na Universidade de Cornell. Entre as súas distincións están

unha bolsa da Fundación Sloan (1997), unha bolsa da Fundación Packard (1999) e o Premio de Iniciativas en Investigación da Academia Nacional U.S. de Ciencias (2001). En 2005, recibiu unha bolsa MacArthur “genius” da Fundación John D. E Catherine T. MacArthur. Durante a celebración do ICM 2006 en Madrid recibiu o Premio Nevanlinna. Este Premio vén sendo entregado cada catro anos dende 1982 en recoñecemento ós avances máis notables feitos nas Matemáticas da Sociedade da Información e consiste nunha medalla de ouro co perfil de Rolf Nevanlinna (1895-1980), reitor da Universidade de Helsinki e presidente da IMU. Nevanlinna foi o primeiro matemático que introduciu a computación nas universidades Finlandesas en 1950.

Medalla Rolf Nevanlinna

93

[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

CALENDARIO DE EXAMES CURSO : 2007/2008

Código Contido Data Hora Lugar Convocatoria

1º CURSO

091101 Álxebra Linear e Multilinear 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira

14/02/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 1º Cuadrimestre



08/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

091102 Cálculo Diferencial e Integral 17/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira




03/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 2 Setembro

03/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091103 Informática 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


Prácticas de Informática 29/01/2008 16:00 - 21:00 Aula de informática 2

1º Cuadrimestre



2º Cuadrimestre

12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro


Setembro

091104 Introdución ao Cálculo Numérico 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



13/06/2008 09:00 - 14:00 Aula Magna 2º Cuadrimestre

05/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091105 Topoloxía dos Espazos Euclidianos 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira




15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

091111 Introdución á Análise Matemática 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira




01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

091112 Xeometría Métrica 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira




10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

2º CURSO

95




091201 Análise Numérica Matricial 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



05/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

091202 Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais 09/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091203 Integración de Funcións de Varias Variables Reais 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



10/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091204 Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


03/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091205 Introdución ao Cálculo de Probabilidades 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



01/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 2 Setembro

091206 Xeometría Afín e Proxectiva 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091211 Topoloxía 11/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



15/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

3º CURSO

091301 Curvas e Superficies 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



08/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 2 Setembro

091302 Elementos de Variable Complexa 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 2 Setembro

091303 Inferencia Estatística 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091311 Introdución á Álxebra 18/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



96




12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 2 Setembro

12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula Magna Setembro

091312 Métodos Numéricos 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091313 Series de Fourier e Introdución ás E.D.P. 09/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


05/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

091314 Teoría Global de Superficies 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



03/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

091315 Vectores Aleatorios 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



11/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

4º CURSO

091401 Álxebra 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



12/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

12/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091402 Análise Funcional en Espazos de Banach 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



01/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

01/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091403 Cálculo Numérico 18/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


08/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091404 Ecuacións Diferenciais Ordinarias 09/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



05/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091405 Xeometría e Topoloxía 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



10/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 2 Setembro

10/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

97




091411 Teoría da Medida 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/02/2008 09:00 - 14:00 Aula Magna 1º Cuadrimestre

15/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

15/09/2008 09:00 - 14:00 Aula Magna Setembro

5º CURSO

091501 Variable Complexa 09/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



03/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

COMPLEMENTOS DE FORMACIÓN

091302 Elementos de Variable Complexa 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 2 Setembro

091312 Métodos Numéricos 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091801 Xeometría Afín e Proxectiva 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro

091803 Teoría Global de Superficies 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira



03/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 6 Setembro

OPTATIVAS XERAIS DE 2º CICLO

091421 Física Xeral 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 5 Setembro

091422 Programación Avanzada 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

OPTATIVAS NON VINCULADAS DE 2º CICLO

091521 Álxebra Computacional 18/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 7 Setembro

091522 Álxebra Homolóxica 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

98




091523 Álxebra Non Conmutativa 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 7 Setembro

091524 Ampliación de Investigación de Operacións 18/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 9 Setembro

091525 Análise Multivariante 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 9 Setembro

091526 Análise Numérica de Grandes Sistemas 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


05/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

091527 Astronomía Xeral 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 1 Setembro

091528 Curvas Alxébricas 12/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

091529 Ecuacións en Diferenzas. Introdución á Dinámica Discreta

20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2009 16:00 - 21:00 Aula 10 Setembro

091531 Física Matemática 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


05/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 9 Setembro

091532 Funcións de Varias Variables Complexas 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 10 Setembro

091533 Fundamentos de Astronomía 11/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


08/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

091534 Historia da Matemática 09/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 10 Setembro

091535 Homotopía 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2009 09:00 - 14:00 Aula 10 Setembro

091536 Informática Aplicada ao Cálculo Científico 11/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


99




08/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091537 Introdución ao Cálculo Vectorial e Paralelo 18/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

091538 Lóxica Matemática 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091539 Mecánica Celeste 13/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

091540 Métodos de Matemática Aplicada 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

091541 Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica 11/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


08/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

091542 Modelado de Problemas Industriais 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 7 Setembro

091543 Modelos Temporais 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

091544 Mostraxe 13/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091545 Teoría Clásica de Números 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 8 Setembro

091546 Teoría da Decisión 17/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 9 Setembro

091547 Teoría de Números Alxébricos 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


05/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

091548 Teoría de Xogos 08/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


05/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

100




091549 Teoría Espectral e Ecuacións Integrais 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

091550 Topoloxía Diferencial 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091552 Xeometría de Riemann 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

OPCIÓN ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

091461 Teoría da Probabilidade 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091561 Estatística Matemática 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

091562 Métodos de Regresión 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

091563 Procesos Estocásticos 12/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091564 Programación Linear e Enteira 11/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


08/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 3 Setembro

091565 Simulación 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 5 Setembro

091566 Técnicas de Optimización da Xestión 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 7 Setembro

OPCIÓN MATEMÁTICA APLICADA

091471 Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 3 Setembro

091472 Modelos Matemáticos 17/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 9 Setembro

101




091571 Diferenzas Finitas en E.D.P. 12/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

091572 Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P. 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

091573 Ecuacións en Derivadas Parciais 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 10 Setembro

091574 Elementos Finitos en E.D.P. 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 10 Setembro

OPCIÓN MATEMÁTICA PURA

091481 Álxebra Conmutativa 10/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


09/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091482 Grupos de Lie 17/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 8 Setembro

091581 Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións 12/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


10/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 10 Setembro

091582 Representacións de Grupos e Álxebras 20/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


02/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091583 Sistemas Dinámicos 18/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 8 Setembro

091584 Topoloxía Alxébrica 14/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 9 Setembro

091585 Topoloxía de Superficies 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 9 Setembro

091586 Xeometría Alxébrica 11/01/2008 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


04/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 8 Setembro

LIBRE CONFIGURACIÓN

102




118608 Códigos e Criptografía 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

118631 Filosofía da Matemática 13/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 5 Setembro

118633 Introdución á Lóxica Formal 13/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


11/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

118637 Xeometría e Civilización 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 5 Setembro

118662 Xeometría Computacional 19/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


01/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 5 Setembro

118669 Criptografía 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


12/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

118673 Didáctica da Matemática en Secundaria 13/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


03/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

118675 Códigos Correctores de Erros 10/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Fin de Carreira


15/09/2008 09:00 - 14:00 Aula 5 Setembro

118697 Cálculo de Estruturas 13/12/2007 16:00 - 21:00 Aula 6 Setembro


10/09/2008 16:00 - 21:00 Aula 10 Setembro

103

Horario de clases

Kiyosi Itô (Hokusei,

Prefectura de Mie,

Xapón, 1915)

Premio Carl Friedrich

Gauss para Aplicacións das

Matemáticas 2006

Itô naceu en Hokusei, na prefectura de Mie (Xapón), en setembro de 1915. Doutorado en 1945, foi profesor da Universidade de Kyoto ata a súa xubilación, en 1979. O seu traballo principal é o chamado Cálculo de Itô e, dentro do mesmo, a Integral de Itô, de aplicación común nas finanzas e a economía.

Durante a celebración do ICM 2006, foille entregado o Premio Gauss. Este premio é a primeira vez que se concede “en recoñecemento ós avances en Matemáticas que tivesen o maior impacto no desenvolvemento tecnolóxico e na vida diaria”.

O premio toma o seu nome de Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss,

coñecido como o “Príncipe das Matemáticas” é recoñecido como un dos máis brillantes matemáticos de tódolos tempos. En 1801 tivo unha revolucionaria idea para calcula-la órbita do asteroide Ceres, que desaparecera do ceo unha vez descuberto. Grazas ó “método de

105

mínimos cadrados” de Gauss, Ceres foi localizado de novo. O Premio Gauss consiste nunha medalla cun retrato de Gauss no anverso e, no reverso, unha curva simbolizando a órbita de Ceres, unha circunferencia (o asteroide) e un cadrado (o método).

Medalla Carl Friedrich Gauss para Aplicacións das Matemáticas

106

[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS [2007/2008]

1º CURSO - Primeiro Cuadrimestre

Hora Luns Martes Mércores Xoves Venres

09:00-10:00

Informática [Grupo A-B (A-Z)]

Aula 2


Aula 2

Informática [Titorias programadas] Aula de informática 2


Aula 2


Aula 2

10:00-11:00

Álxebra Linear e Multilinear

[grupo A (A-L)] Aula 2

Introdución á Análise Matemática

[grupo B (M-Z)] Aula 8


[Titorías programadas-grupo A]Aula 2


[Titorias programadas-grupo B]

Aula de informática 3


[Titorias programadas-grupo A]



[Titorias programadas-grupo B]Aula 8













11:00-12:00




[Grupo A (A-L)] Aula 2














[Sem 1 (A-F)]Aula 2


[Sem 3 (M-Q)] Aula 8


[Sem 3 (I-L)]Aula 7


[Sem 6 (R-Z)] Aula 4

12:00-13:00


[Sem 4 (R-Z)] Aula 8

Informática [Lab 1 (A-F)]



[Sem 5 (O-Q)] Aula 4

Informática [Lab 2 (G-L)]



[Sem 4 (M-N)] Aula 8

Informática [Lab 3 (M-Q)]



[Sem 2 (E-H)] Aula 5


[Sem 2 (G-L)] Aula 4

Informática [Lab 4 (R-Z)]



[Sem 1 (A-D)] Aula 7

107




13:00-14:00Informática

[Lab 1 (A-F)]Aula de informática 2

Informática [Lab 2 (G-L)]


Informática [Lab 3 (M-Q)]


Informática [Lab 4 (R-Z)]


16:00-17:00

Cálculo Diferencial e Integral

[GRUPO Repetidores] Aula 8







Cálculo Diferencial e Integral [Sem 1]


17:00-18:00

Introdución ao Cálculo Numérico







[Lab]Aula de informática 2

Cálculo Diferencial e Integral [Sem 2]


18:00-19:00

Topoloxía dos Espazos Euclidianos







[Sem]Aula 4

Xeometría Métrica [Sem]Aula 8

19:00-20:00Xeometría Métrica


Xeometría Métrica [GRUPO Repetidores]

Aula 8


Aula 8


Aula 8


1º CURSO - Segundo Cuadrimestre


09:00-10:00



Xeometría Métrica [grupo B (M-Z)]

Aula 2




Aula 2




Aula 2


Aula 2

10:00-11:00Introdución ao Cálculo

Numérico Aula 2


Aula 2


Aula 2


[Lab 3 (M-P)] Aula de informática 4


[Sem 1 (A-F)]Aula 4

Xeometría Métrica [Sem 4 (Q-Z)]

Aula 2





Xeometría Métrica [Sem 3 (M-P)]

Aula 4

108




11:00-12:00




[Grupo B (M-Z)] Aula 10










[Sem 4 (Q-Z)] Aula 10




[Sem 3 (M-P)] Aula 4


[Sem 1 (A-F)]Aula 9


[Lab 2 (G-L)]Aula de informática 2

Xeometría Métrica [Titorias programadas-

grupo B]Aula 4

12:00-13:00



Xeometría Métrica [Grupo A (A-L)]

Aula 5




Aula 5




Aula 5




Aula 5




[Sem 3 (M-P)] Aula 10



Xeometría Métrica [Sem 1 (A-F)]

Aula 4

13:00-14:00


[Titorias programadas-grupo A]Aula 4


[Lab 4 (Q-Z)]Aula de informática 2

Xeometría Métrica [Sem 2 (G-L)]

Aula 4



Xeometría Métrica [Titorias programadas-

grupo A]Aula 4

16:00-17:00


[grupo Repetidores] Aula 10










[sem 2 (grupo repetidores)]

Aula 10

17:00-18:00






[Titorias programadas] Aula de informática 2






[Sem (grupo repetidores)]

Aula 10

109




18:00-19:00

Informática [Lab (grupo repetidores)]





[Sem 1 (grupo repetidores)]

Aula 10

Informática [grupo Repetidores]

Aula 10


Aula 10

19:00-20:00

Informática [Lab (grupo repetidores)]



Aula 10


Aula 10




10:00-11:00

Xeometría Afín e Proxectiva [Sem 1]Aula 3

Xeometría Afín e Proxectiva

[Sem 3 (M-Q)] Aula de informática 2

Topoloxía [Sem 4 (Q-Z)]

Aula 3

Diferenciación de Funcións de Varias

Variables Reais [Sem 1]


Topoloxía [Sem 2 (G-L)]

Aula 3









11:00-12:00





















12:00-13:00


Variables Reais Aula 3












Topoloxía [Sem 1 (A-F)]

Aula 3

Topoloxía [Sem 3 (M-Q)]

Aula 4

110




13:00-14:00

Topoloxía [Grupo A (A-L)]

Aula 3

Topoloxía [Grupo B (M-Z)]

Aula 5


Aula 3


Aula 5


Aula 3


Aula 5


Aula 3


Aula 5


Aula 3


Aula 5

16:00-17:00





17:00-18:00


Variables Reais [Titorias programadas ]

Aula 4

18:00-19:00

Topoloxía [Titorias programadas-

grupo A]Aula 8

Topoloxía [Titorias programadas-

grupo B]Aula 5




09:00-10:00Introdución ao Cálculo

de Probabilidades Aula 6

Introdución ao Cálculo de Probabilidades

Aula 6


Aula 6

Integración de Funcións de Varias Variables

Reais [Sem 3 (Q-Z)]

Aula 3

Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

[Sem 2A (G-L)] Aula 9


[Sem 1 (A-F)]Aula 6


Reais [Sem 1 (A-F)]

Aula 10




[Sem 2 (G-P)] Aula 6

111




10:00-11:00Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Aula 6


Aula 6


Aula 6


Aula 6


Reais [Sem 2 (G-P)]

Aula 10


[Sem 1 (A-F)]Aula 3



11:00-12:00


Reais Aula 6


Reais Aula 6


Reais Aula 6


Reais Aula 6

Análise Numérica Matricial

[Lab 3 (Q-Z)]Aula de informática 3

12:00-13:00




[Sem 2B (M-P)] Aula 6

Análise Numérica Matricial Aula 6



13:00-14:00


[Lab 2 (G-P)]Aula de informática 2

16:00-17:00


[Titorias programadas] Aula 4

17:00-18:00

Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias [Titorias programadas]

Aula 4

18:00-19:00


Reais [Titorias programadas]

Aula 4

19:00-20:00


[Titorias programadas] Aula de informática 2

112




09:00-10:00

Curvas e Superficies [Grupo A (A-L)]

Aula 3

Curvas e Superficies [Grupo B (M-Z)]

Aula 6


Aula 3


Aula 6


Aula 3


Aula 6


Aula 3


Aula 6


Aula 3


Aula 6

10:00-11:00Elementos de Variable

Complexa Aula 6

Elementos de Variable Complexa

Aula 6


Aula 6

Curvas e Superficies [Sem 2B (M-Q)]

Aula 6



Curvas e Superficies [Sem 3 (Q-Z)]

Aula 6


[Sem 2 (G-Q)] Aula 9

11:00-12:00Métodos Numéricos

Aula 6 Métodos Numéricos

Aula 6 Métodos Numéricos

Aula 6

Métodos Numéricos [Lab 2 (G-Q)]


Vectores Aleatorios [Sem 1 (A-F)]

Aula 6


[Sem 1 (A-F)]Aula 9

Métodos Numéricos [Lab 3 (Q-Z)]


12:00-13:00Vectores Aleatorios

Aula 6 Vectores Aleatorios

Aula 6 Vectores Aleatorios

Aula 6

Curvas e Superficies [Sem 1 (A-F)]

Aula 8

Vectores Aleatorios [Sem 2 (G-Q)]

Aula 6

Curvas e Superficies [Sem 2A (G-L)]

Aula 6

Métodos Numéricos [Lab 1 (A-F)]


Vectores Aleatorios [Sem 3 (Q-Z)]

Aula 10

16:00-17:00

Curvas e Superficies [Titorias programadas-

grupo A]Aula 4

Curvas e Superficies [Titorias programadas-

grupo B]Aula 9

17:00-18:00



18:00-19:00

Métodos Numéricos [Titorias programadas] Aula de informática 2

19:00-20:00

Vectores Aleatorios [Titorias programadas]

Aula 4

113




10:00-11:00

Introdución á Álxebra[Grupo B (M-Z)]

Aula 3

Teoría Global de Superficies



Aula 3 Teoría Global de

Superficies [Grupo A (A-L)]

Aula 5




Aula 5

Introdución á Álxebra [Grupo B (M-Z)]



Aula 5

Inferencia Estatística [Sem 3 (P-Z)]

Aula 5 Introdución á Álxebra



[Sem 2A (G-L)] Aula 8

11:00-12:00Inferencia Estatística

Aula 3 Inferencia Estatística



Aula 3

Inferencia Estatística [Sem 2 (G-P)]

Aula 5

Introdución á Álxebra[Sem 3 (Q-Z)]

Aula 7

Series de Fourier e Introdución ás E.D.P.

[Sem 1 (A-F)]Aula 10

12:00-13:00

Introdución á Álxebra[Grupo A (A-L)]

Aula 3




Aula 3




Aula 3



Introdución á Álxebra [Grupo A (A-L)]

Aula 3



Introdución á Álxebra[Sem 1 (A-F)]

Aula 7



13:00-14:00Series de Fourier e

Introdución ás E.D.P. Aula 3


Aula 3

Inferencia Estatística [Sem 1 (A-F)]

Aula 4


[Sem 2 (G-P)] Aula 3

Introdución á Álxebra [Sem 2A (G-L)]

Aula 3






[Sem 1 (A-F)]Aula 8

16:00-17:00

Introdución á Álxebra[Titorias programadas-

grupo B]Aula 4



17:00-18:00

Inferencia Estatística [Titorias programadas]

Aula 4 [14]

114




18:00-19:00

091311Introdución á Álxebra




19:00-20:00






09:00-10:00Álxebra Aula 1

Álxebra Aula 1

Álxebra Aula 1

Álxebra Aula 1

Álxebra Aula 1

10:00-11:00

Xeometría e Topoloxía [Grupo A (A-L)]

Aula 1

Xeometría e Topoloxía [Grupo B (M-Z)]

Aula 5


Aula 1


Aula 5


Aula 1


Aula 5


Aula 1


Aula 5


Aula 1


Aula 5

11:00-12:00

Teoría da Medida [Grupo A (A-L)]

Aula 1

Teoría da Medida [Grupo B (M-Z)]

Aula 5


Aula 1


Aula 5


Aula 1


Aula 5


Aula 1


Aula 5


Aula 1


Aula 5

12:00-13:00Álxebra

[Sem 1 (A-F)]Aula 1

Álxebra [Sem 2 (G-Q)]

Aula 1

Álxebra [Sem 3 (Q-Z)]

Aula 8

Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo

Aula 1


Aula 1


Aula 1

13:00-14:00 Métodos Matemáticos da

Mecánica do Continuo Aula 1

115




09:00-10:00Cálculo Numérico

Aula 1 Cálculo Numérico



Aula 1

Cálculo Numérico [Lab 1 (A-L)]


10:00-11:00Ecuacións Diferenciais

Ordinarias Aula 1

Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Aula 1


Aula 1


Aula 1

Cálculo Numérico Aula 1

11:00-12:00

Análise Funcional en Espazos de Banach


Análise Funcional en Espazos de Banach [Grupo B (M-Z)]

Aula 2




Aula 2




Aula 2




Aula 2




Aula 2

12:00-13:00

Programación Avanzada Aula de informática 2

Álxebra Conmutativa Aula 10





Cálculo Numérico [Lab 2 (M-Z)]



13:00-14:00

Teoría da ProbabilidadeAula 1

Modelos MatemáticosAula 5

Grupos de Lie Aula 10







Teoría da Probabilidade Aula 1

Modelos Matemáticos Aula 5



Modelos Matemáticos Aula 5

16:00-17:00Física Xeral

Aula 5 Física Xeral

Aula 5 Física Xeral

Aula 5




09:00-10:00

Álxebra Homolóxica Aula 8

Estatística Matemática Aula 9

Diferenzas Finitas en E.D.P.

Aula 10

Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións

Aula 7




Aula 10


Aula 7




Aula 10


Aula 7






Aula 10


Aula 7

116




10:00-11:00

Teoría de Números Alxébricos

Aula 4

Métodos de Regresión Aula 9

Ecuacións en Derivadas Parciais Aula 10

Topoloxía de Superficies Aula 7


Aula 4





Aula 4

Métodos de Regresión Aula de informática 3





Aula 4




11:00-12:00

Homotopía Aula 4

Programación Linear e Enteira Aula 9

Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P.

Aula Dpto. Análise

Representacións de Grupos e Álxebras

Aula 7

Homotopía Aula 4



Aula Dpto. Análise


Aula 7

Homotopía Aula 4



Aula Dpto. Análise


Aula 7

Homotopía Aula 4



Aula Dpto. Análise


Aula 7

12:00-13:00

Análise Numérica de Grandes Sistemas


Ecuacións en Diferenzas. Introdución á Dinámica

Discreta Aula 10

Fundamentos de Astronomía

Aula 2

Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica

Aula 7

Procesos Estocásticos Aula 9




Discreta Aula 10


Aula 2


Aula 7





Discreta Aula 10


Aula 2


Aula 7





Discreta Aula 10


Aula 2


Aula 7

Programación Linear e Enteira


13:00-14:00Variable Complexa

Aula 1 Variable Complexa

Aula 1 Variable Complexa

Aula 1

16:00-17:00

Curvas Alxébricas Aula 5

Informática Aplicada ao Cálculo Científico



Aula 10





Aula 10





Aula 10



Aula 10

17:00-18:00Historia da Matemática

Aula 7 Historia da Matemática

Aula 7 Historia da Matemática

Aula 7

117




09:00-10:00

Análise Multivariante Aula 9

Lóxica Matemática Aula 8

Modelado de Problemas Industriais

Aula 10

Xeometría de RiemannAula 7


Introdución ao Cálculo Vectorial e Paralelo







Aula 10





Xeometría de Riemann Aula 7

10:00-11:00

Álxebra Non Conmutativa

Aula 8


Aula 10

Simulación Aula 9

Sistemas Dinámicos Aula 7


Aula 8



Simulación Aula 9



Aula 8


Aula 10

Simulación [Lab 1]




Aula 8

Análise Multivariante Aula de informática 3




11:00-12:00

Ampliación de Investigación de

Operacións Aula 9

Teoría Espectral e Ecuacións Integrais

Aula 8

Elementos Finitos en E.D.P.


Xeometría Alxébrica Aula 7


Operacións Aula 9


Aula 8





Operacións Aula 9


Aula 8





Operacións Aula de informática 3


Operacións Aula 9


Aula 8




12:00-13:00

Astronomía Xeral Aula 7

Teoría Clásica de Números Aula 8

Técnicas de Optimización da Xestión

Aula 9

Topoloxía Alxébrica Aula 4




Aula 9





[Lab 1]Aula de informática 3


Aula 9


Análise Multivariante Aula de informática 3




118




13:00-14:00

Física Matemática Aula 2

Funcións de Varias Variables Complexas

Aula 8

Modelos Temporais Aula 9

Topoloxía Diferencial Aula 7



Aula 8





Aula 8

Modelos Temporais Aula de informática 3





Aula 8

Modelos Temporais Aula de informática 3


15:45-17:00Teoría de Xogos

Aula 9 Teoría de Xogos



Aula 9

17:00-18:00Teoría da Decisión

Aula 9 Teoría da Decisión



Aula 9

18:00-19:00Mostraxe Aula 9

Mostraxe Aula 9

Mostraxe Aula 9

19:00-20:00Mostraxe Aula 9

Mecánica Celeste Aula 6

Mostraxe Aula 9

Mecánica Celeste Aula 6

20:00-21:00Mecánica Celeste

Aula 6 Mecánica Celeste

Aula 6

119

[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICASLIBRE CONFIGURACIÓN - Primeiro Cuadrimestre


17:00-18:00

Xeometría e Civilización

Aula 5

Criptografía

Aula 5Criptografía

Aula 5


Aula 8

18:00-19:00


Aula 5

Criptografía


Criptografía Aula 5


Aula 8

[091P01] LICENCIATURA EN MATEMÁTICASLIBRE CONFIGURACIÓN - Segundo Cuadrimestre


17:00-18:00

Códigos Correctores de Erros Aula 5

Didáctica da Matemática en

Secundaria Aula 5



Secundaria Aula 5

18:00-19:00



Secundaria Aula 5

Códigos Correctores de Erros



Secundaria Aula 5

120

Programas das MateriasCurso 2007 2008

Andrew John Wiles(Cambridge,Gran Bretaña, 1953)

Wiles rematou a demostración doDerradeiro Teorema de Fermat ensetembro de 1994, tras anos deadicación o tema. A demostraciónapareceu publicada en Annals ofMathematics no ano 1995. AEncyclopaedia Britannica recolleunha biografía súa que cualifica oseu traballo como “altamenteorixinal, un tour de force técnico eun monumento á perseveranciaindividual”.

En 1998, como tributo especial polaresolución do Derradeiro Teoremade Fermat, foille concedida a placade prata da IMU.

123

Primeiro Curso

125

Código : 091101A Nome:Álxebra Linear e Multilinear Ano Academico : 2007/2008

Créditos teóricos: 4.5 Créditos prácticos: 4.5 Total: 9.0

Carácter: Troncal Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre Segundo Cuadrimestre

Data de Aprobación do Centro:12/06/2007 Data de Aprobación do Departamento:01/06/2007

Profesorado do Contido

Nome Categoria Función

Barja Pérez,Javier TIT-UN Profesor/a

Fernández Vilaboa,José Manuel TIT-UN Profesor/a

Rodríguez Fernández,Celso TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaA Álxebra Linear é unha parte fundamental das ferramentas matemáticas necesarias para o estudo moderno en moitas áreas, como as ciencias do comportamento, da natureza, físicas ou sociais, en economía, en enxeñaría ou informática e, por descontado, nas matemáticas puras e aplicadas. Os propósitos deste curso son desenvolver os conceptos fundamentais da álxebra linear ao tempo que ilustramos a súa aplicabilidade mediante un conxunto selecto de aplicacións. Máis en concreto, poderiamos dicir que os obxectivos son: i) Familiarizarse coa linguaxe matemática e os métodos de demostración. ii) Adquirir unhas primeiras nocións da teoría de conxuntos, operacións, aplicacións, relacións e cardinais. iii) Dominio das propiedades das matrices e da súa aplicación para formulación e resolución de sistemas de ecuacións lineares. iv) Familiarizarse co uso das matrices en diversas ramas do saber. v) Unha primeira aproximación ás estruturas alxébricas: os espazos vectoriais e as aplicacións lineares como xeneralización dos vectores de R3 e as matrices, respectivamente. vi) Comprensión dos conceptos de dependencia e independencia linear: reinterpretación dos conceptos de sistema compatible, rango dunha matriz, matriz invertible, etc. vii) Comprensión da necesidade de reducir matrices a formas predeterminadas e práctica dos algoritmos. viii) Explotar o paralelismo sistema homoxéneo - subespazo, sistema arbitrario - variedade linear: Introdución á xeometría afín.

Contidos0.- Básicos da Teoría de Conxuntos, cardinalidade e divisibilidade (Teoría: 12 horas; Práctica: 8 horas) Introdución á teoría de conxuntos: operacións. Relacións e aplicacións. Cardinalidade. Conxuntos infinitos. Operacións. Grupos, aneis, corpos. Divisibilidade

1.- Resolución de ecuacións lineares. Operacións con matrices (Teoría: 4 horas; Práctica: 3 horas) Resolución de sistemas de ecuacións lineares; o método de Gauss. Rango dunha matriz. Estrutura das solucións dun sistema. Aplicacións lineares de Rn en Rm e operacións con matrices. Inversa dunha aplicación e inversa dunha matriz

2.- Determinantes e as súas aplicacións (Teoría: 5 horas; Práctica: 3 horas) Determinantes de orde 2 e 3. Definición xeral de determinante: propiedades Determinante dun produto de matrices. Cálculo de determinantes de orde n. Inversa dunha matriz, regra de Cramer. Rango dunha matriz. Resolución de sistemas compatibles indeterminados. Determinantes e permutacións

3.- Espazos vectoriais (Teoría: 9 horas; Práctica: 6 horas) Definición de espazo vectorial: exemplos. Base e dimensión dun espazo vectorial. Cambio de base. Subespazos vectoriais. Intersección e suma de subespazos vectoriais

4.- Aplicacións entre espazos vectoriais (Teoría: 9 horas; Práctica: 6 horas) Definición de aplicación linear. Exemplos. Matriz dunha aplicación linear. Operacións con aplicacións lineares. Cambio de base para aplicacións lineares. Aplicacións lineares inxectivas e sobrexectivas. Rango e núcleo. O espazo dual dun espazo vectorial

5.- O espazo afín (Teoría: 6 horas; Práctica: 4 horas) Definición de espazo afín. Variedades lineares. Sistemas de referencia. Coordenadas. Afinidades. Ecuacións dunha afinidade

Bibliografía básica e complementariaHERNÁNDEZ, E., Álgebra y Geometría, Ed. Addison-Wesley, UAM CASTELLET, M. I LLERENA, I., Álgebra Lineal y Geometría. Ed. Reverté, UAB DE BURGOS, J., Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana, Ed. McGraw Hill DE LA VILLA, A., Problemas de Álgebra con esquemas teóricos, Ed. GLACSA, I.C.A.I. FERNÁNDEZ, V., Teoría Básica de Conxuntos, Ed. Anaya.

127

CompetenciasManexar a linguaxe matemática con rigor e precisión en demostracións sinxelas sobre conxuntos e aplicacións. Saber usar o método de Gauss para analizar e resolver sistemas de ecuacións, determinar o rango de matrices e, no seu caso invertelas. Manexo da linguaxe de espazos vectoriais e aplicacións lineares: matriz asociada a unha aplicación linear, imaxe e núcleo, fórmula da dimensión. Cálculo de matrices dalgunhas aplicacións lineares: xiros no plano e no espazo, simetrías sobre espazos vectoriais. Manexar con precisión o concepto de base: dependencia das coordenadas da base. Sistema de referencia afín e coordenadas afíns.

Metodoloxía da ensinanzaA distribución semanal da materia será a seguinte: 3 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de seminarios. Ademais, está previsto 1 hora de actividades discentes non presenciais, que se aproveitará para programar actividades tales como realización de proxectos en grupos, ferramentas de autoavaliación, minicursos co imprescindible que deben coñecer para seguir a materia, etc.

Sistema de avaliación da aprendizaxeAo longo do curso, realizarase unha proba escrita e requirirase do alumnado a entrega de exercicios escritos e a participación activa nas titorías e seminarios; a puntuación conxunta destas actividades representará o 20% da nota final. O 80 % restante sairá do exame final. Este exame será escrito e conterá preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 40 horas teóricas 15 horas de problemas 15 horas de seminarios 5 de titorías en grupo

Horas non presenciais: 105 horas relacionadas coa docencia presencial (7 á semana: 4 horas de teoría, 1,5 de problemas, 1 de seminarios e 0,5 de titorías) 20 horas para preparar traballos 30 horas de preparación do exame final

Horas de avaliación: 3 horas exame parcial e outras actividades avaliativas 5 horas exame final

Total volume de traballo: 238 horas

Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías tan pronto como xurdan dificultades.

128

Código : 091101B Nome:Álxebra Linear e Multilinear Ano Academico : 2007/2008




Profesorado do Contido Nome Categoria Función

Gago Couso,Felipe TIT-UN Profesor/a

Jeremías López,Ana TIT-UN Profesor/a

Rodríguez Fernández,Celso TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaA Álxebra Linear é unha parte fundamental das ferramentas matemáticas necesarias para o estudo moderno en moitas áreas, como as ciencias do comportamento, da natureza, físicas ou sociais, en economía, en enxeñaría ou informática e, por descontado, nas matemáticas puras e aplicadas. Os propósitos deste curso son desenvolver os conceptos fundamentais da álxebra linear ao tempo que ilustramos a súa aplicabilidade mediante un conxunto selecto de aplicacións. Máis en concreto, poderiamos dicir que os obxectivos son: i) Familiarizarse coa linguaxe matemática e os métodos de demostración. ii) Adquirir unhas primeiras nocións da teoría de conxuntos, operacións, aplicacións, relacións e cardinais. iii) Dominio das propiedades das matrices e da súa aplicación para formulación e resolución de sistemas de ecuacións lineares. iv) Familiarizarse co uso das matrices en diversas ramas do saber. v) Unha primeira aproximación ás estruturas alxébricas: os espazos vectoriais e as aplicacións lineares como xeneralización dos vectores de R3 e as matrices, respectivamente. vi) Comprensión dos conceptos de dependencia e independencia linear: reinterpretación dos conceptos de sistema compatible, rango dunha matriz, matriz invertible, etc. vii) Comprensión da necesidade de reducir matrices a formas predeterminadas e práctica dos algoritmos. viii) Explotar o paralelismo sistema homoxéneo - subespazo, sistema arbitrario - variedade linear: Introdución á xeometría afín.

Contidos0.- Básicos da Teoría de Conxuntos, cardinalidade e divisibilidade (Teoría: 12 horas; Práctica: 8 horas) Introdución á teoría de conxuntos: operacións. Relacións e aplicacións. Cardinalidade. Conxuntos infinitos. Operacións. Grupos, aneis, corpos. Divisibilidade

1.- Resolución de ecuacións lineares. Operacións con matrices (Teoría: 4 horas; Práctica: 3 horas) Resolución de sistemas de ecuacións lineares; o método de Gauss. Rango dunha matriz. Estrutura das solucións dun sistema. Aplicacións lineares de Rn en Rm e operacións con matrices. Inversa dunha aplicación e inversa dunha matriz

2.- Determinantes e as súas aplicacións (Teoría: 5 horas; Práctica: 3 horas) Determinantes de orde 2 e 3. Definición xeral de determinante: propiedades Determinante dun produto de matrices. Cálculo de determinantes de orde n. Inversa dunha matriz, regra de Cramer. Rango dunha matriz. Resolución de sistemas compatibles indeterminados. Determinantes e permutacións

3.- Espazos vectoriais (Teoría: 9 horas; Práctica: 6 horas) Definición de espazo vectorial: exemplos. Base e dimensión dun espazo vectorial. Cambio de base. Subespazos vectoriais. Intersección e suma de subespazos vectoriais

4.- Aplicacións entre espazos vectoriais (Teoría: 9 horas; Práctica: 6 horas) Definición de aplicación linear. Exemplos. Matriz dunha aplicación linear. Operacións con aplicacións lineares. Cambio de base para aplicacións lineares. Aplicacións lineares inxectivas e sobrexectivas. Rango e núcleo. O espazo dual dun espazo vectorial

5.- O espazo afín (Teoría: 6 horas; Práctica: 4 horas) Definición de espazo afín. Variedades lineares. Sistemas de referencia. Coordenadas. Afinidades. Ecuacións dunha afinidade

Bibliografía básica e complementaria HERNÁNDEZ, E., Álgebra y Geometría, Ed. Addison-Wesley, UAM CASTELLET, M. I LLERENA, I., Álgebra Lineal y Geometría. Ed. Reverté, UAB DE BURGOS, J., Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana, Ed. McGraw Hill DE LA VILLA, A., Problemas de Álgebra con esquemas teóricos, Ed. GLACSA, I.C.A.I. FERNÁNDEZ, V., Teoría Básica de Conxuntos, Ed. Anaya.

129

Competencias Manexar a linguaxe matemática con rigor e precisión en demostracións sinxelas sobre conxuntos e aplicacións. Saber usar o método de Gauss para analizar e resolver sistemas de ecuacións, determinar o rango de matrices e, no seu caso invertelas. Manexo da linguaxe de espazos vectoriais e aplicacións lineares: matriz asociada a unha aplicación linear, imaxe e núcleo, fórmula da dimensión. Cálculo de matrices dalgunhas aplicacións lineares: xiros no plano e no espazo, simetrías sobre espazos vectoriais. Manexar con precisión o concepto de base: dependencia das coordenadas da base. Sistema de referencia afín e coordenadas afíns.

Metodoloxía da ensinanza A distribución semanal da materia será a seguinte: 3 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de seminarios. Ademais, está previsto 1 hora de actividades discentes non presenciais, que se aproveitará para propoñerlle actividades de aplicación dos contidos da materia ao alumno.

Sistema de avaliación da aprendizaxe A avaliación dos alumnos estará baseada nunha proba final teórico-práctica e nunha avaliación continua durante o curso. Esta última consistirá en:

- Dúas probas curtas. - O seguimento do traballo por parte do profesor.

Para superar a materia é necesario unha puntuación mínima de 5 sobre 10 puntos. Un mínimo de 4 destes 5 puntos deben de obterse na proba final que puntúa sobre 10 puntos. De acordo coa avaliación continua, o alumno poderá obter ata 2,5 puntos que se engadirán á nota da proba final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 40 horas teóricas 15 horas de problemas 15 horas de seminarios

Horas non presenciais:

Por cada hora de clase de teoría, cada alumno debería dedicarlle hora e media de traballo persoal. Durante este tempo, o alumno debería (a) traballar os contidos teóricos do curso e a bibliografía proposta, (b) facer os exercicios propostos e (c) preparar as probas e exames da materia.

Recomendacións para o estudo da materia Asistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente as cuestións indicadas nas clases. Aproveitar os seminarios e as titorías tan pronto como xurdan dificultades.

130

Código : 091102A Nome:Cálculo Diferencial e Integral Ano Academico : 2007/2008






Trinchet Soria,Rosa M TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia Introducir de xeito rigoroso os conceptos e métodos do cálculo diferencial e integral para funcións dunha variable real, así como para as sucesións e series deste tipo de funcións. Os estudantes, que xa deberan estar familiarizados coas técnicas habituais máis sinxelas do cálculo, ampliarán o espectro dos seus coñecementos relativos ás ideas e aos procedementos neste eido, e deberán demostrar con precisión os resultados involucrados. Por outra parte, preténdese que os estudantes amplíen a súa visión do cálculo como ferramenta indispensable para formalizar e resolver matematicamente moitos problemas que se presentan noutros campos científicos e técnicos (bioloxía, economía, enxeñaría, física, etc.). Finalmente, tendo en conta o carácter desta materia, o seu bo coñecemento proporcionará o nivel básico para afrontar con normalidade o estudo de materias de cursos posteriores da titulación.

Contidos1. Diferenciación de funcións reais Derivada e diferencial dunha función real. Derivabilidade e continuidade. Álxebra de derivadas. Regra da cadea. Derivabilidade de funcións inversas. Derivabilidade e derivabilidade lateral; aplicación ao estudo de extremos relativos. Teorema de Rolle. Teorema do valor medio. Aplicacións. Teorema do valor intermedio da función derivada. Teorema do valor medio xeneralizado. Regla de L’Hôpital. Derivadas de orde superior. Teorema de Taylor; aplicacións. Aplicación das derivadas de orde superior ao estudo de extremos relativos. Funcións convexas. Representación gráfica de funcións reais

2. Integración de funcións reais Integral de Riemann dunha función limitada nun intervalo compacto. Condición de integrabilidade de Riemann. Integrabilidade de funcións monótonas e de funcións continuas. A integral como un límite. Propiedades da integral. Teorema do valor medio. Teorema fundamental do cálculo. Integración por partes. Cambio de variable. Cálculo de primitivas. Aplicacións do cálculo integral. Integrais impropias de Riemann. Criterios de converxencia. Relación con series numéricas. Integral de Riemann-Stieltjes

3. Sucesións e series de funcións reais Sucesións funcionais. Converxencias puntual e uniforme. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme. Converxencia uniforme e continuidade, derivación ou integración. Series funcionais. Converxencias puntual, absoluta, e uniforme. Condición de Cauchy e criterio maiorante de Weierstrass para a converxencia uniforme. Converxencia uniforme e continuidade, derivación ou integración. Series de potencias. Radio de converxencia. Converxencia absoluta e uniforme. Continuidade, derivación e integración. Teorema de unicidade. Series de Taylor. Funcións analíticas

Bibliografía básica e complementaria APOSTOL, T. M., Análisis Matemático, Reverté. BARTLE, R. G., Introducción al Análisis Matemático, Limusa. BARTLE, R. G. e SHERBERT, D. R., Introducción al Análisis Matemático de una Variable (2ª Ed.), Limusa Wiley. CASASAYAS, J. e CASCANTE, M. C., Problemas de Análisis Matemático de una variable real, Edunsa. DEMIDOVICH, B., Problemas y ejercicios de Análisis Matemático, Paraninfo. FERNÁNDEZ VIÑA, J. A., Lecciones de Análisis Matemático I, Tecnos. FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. e SÁNCHEZ MAÑES, E., Ejercicios y complementos de Análisis Matemático I, Tecnos. GARCÍA, A. (e outros), Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable, Clagsa. LINÉS, E., Principios de Análisis Matemático, Reverté. RUDIN, W., Principios de Análisis Matemático (3ª Ed.), McGraw-Hill. SIMMONS, G. F., Cálculo y Geometría Analítica (2ª Ed.), McGraw-Hill. SPIVAK, M., Calculus, Reverté.

Competencias (a) Demostrar con rigor resultados teóricos da materia. (b) Coñecer e relacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa. (c) Formular matematicamente e resolver mediante o cálculo problemas que se presentan noutras materias, ciencias ou tamén algúns que xorden na vida cotiá.

Metodoloxía da ensinanza Sendo esta unha materia de carácter singular (dirixida soamente a alumnos que xa a teñen cursado con anterioridade) tentarase levar a cabo unha docencia “máis personalizada”, que potencie a propia aprendizaxe dos estudantes, de acordo

131

coas necesidades específicas de cada un, a través do traballo continuado, tanto individual como colectivo, ao longo do cuadrimestre.

Sistema de avaliación da aprendizaxe Entendendo que a cualificación final debe ser o resultado dun traballo diario, valorarase a participación dos alumnos nas diversas actividades (voluntarias) que se proporán ao longo do curso, de xeito que un alumno habitualmente asistente e participativo podería chegar a acadar unha porcentaxe da súa cualificación final por medio da súa actividade diaria nas aulas. En calquera caso, realizarase un exame final escrito que lle permita ao alumno mostrar o grao de coñecemento adquirido, no que se refire á comprensión dos conceptos e técnicas propias da materia, á madurez no seu manexo e á capacidade de relacionar os diversos aspectos involucrados nos distintos temas de estudo.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais semanais: teóricas, 3; prácticas, 1; seminarios, 1. Horas non presenciais: dependerán, evidentemente, do proceso de aprendizaxe de cada alumno, máxime en primeiro curso por constituír un grupo moi diverso con niveis de preparación matemática amplamente diferentes. Resulta aconsellable dedicar, polo menos, sete horas semanais.

Recomendacións para o estudo da materia(a) Estudar diariamente, coa utilización de material bibliográfico. (b) Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala. (c) Dar resposta ás cuestións, exercicios e problemas correspondentes para fixar así as ideas e os métodos estudados na parte teórica. (d) Ter un bo coñecemento da materia Introdución á análise matemática.

132

Código : 091102B Nome:Cálculo Diferencial e Integral Ano Academico : 2007/2008






Otero Espinar,M Victoria TIT-UN Profesor/a

Pérez Méndez,José TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir de xeito rigoroso os conceptos e métodos do cálculo diferencial e integral para funcións dunha variable real, así como para as sucesións e series deste tipo de funcións. Os estudantes, que xa están familiarizados coas técnicas habituais máis sinxelas do cálculo, ampliarán o espectro dos seus coñecementos relativos ás ideas e procedementos neste eido, e deberán demostrar con precisión os resultados involucrados. Por outra parte, preténdese que os estudantes amplíen a súa visión do cálculo como ferramenta indispensable para formalizar e resolver matematicamente moitos problemas que se presentan noutros campos científicos e técnicos (bioloxía, economía, enxeñaría, física, etc.). Finalmente, tendo en conta o carácter desta materia, o seu bo coñecemento proporcionará o nivel básico para afrontar con normalidade o estudo de materias de cursos posteriores da titulación, non só todas as relativas á análise matemática, senón tamén doutras áreas.

Contidos1. Diferenciación de funcións reais Derivada e diferencial dunha función real. Derivabilidade e continuidade. Álxebra de derivadas. Regra da cadea. Derivabilidade de funcións inversas. Derivabilidade e derivabilidade lateral; aplicación ao estudo de extremos relativos. Teorema de Rolle. Teorema do valor medio. Aplicacións. Teorema do valor intermedio da función derivada. Teorema do valor medio xeneralizado. Regra de L’Hôpital. Derivadas de orde superior. Teorema de Taylor; aplicacións. Aplicación das derivadas de orde superior ao estudo de extremos relativos. Funcións convexas. Representación gráfica de funcións reais

2. Integración de funcións reais Integral de Riemann dunha función limitada nun intervalo compacto. Condición de integrabilidade de Riemann. Integrabilidade de funcións monótonas e de funcións continuas. A integral como un límite. Propiedades da integral. Teorema do valor medio. Teorema fundamental do cálculo. Integración por partes. Cambio de variable. Cálculo de primitivas. Aplicacións do cálculo integral. Integrais impropias de Riemann. Criterios de converxencia. Relación con series numéricas. Integral de Riemann-Stieltjes

3. Sucesións e series de funcións reais Sucesións funcionais. Converxencias puntual e uniforme. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme. Converxencia uniforme e continuidade, derivación ou integración. Series funcionais. Converxencias puntual, absoluta, e uniforme. Condición de Cauchy e criterio maiorante de Weierstrass para a converxencia uniforme. Converxencia uniforme e continuidade, derivación ou integración. Series de potencias. Radio de converxencia. Converxencia absoluta e uniforme. Continuidade, derivación e integración. Teorema de unicidade. Series de Taylor. Funcións analíticas

Bibliografía básica e complementaria APOSTOL, T. M., Análisis Matemático, Reverté. BARTLE, R. G., Introducción al Análisis Matemático, Limusa. BARTLE, R. G. e SHERBERT, D. R., Introducción al Análisis Matemático de una Variable (2ª Ed.), Limusa Wiley. CASASAYAS, J. e CASCANTE, M. C., Problemas de Análisis Matemático de una variable real, Edunsa. DEMIDOVICH, B., Problemas y ejercicios de Análisis Matemático, Paraninfo. FERNÁNDEZ VIÑA, J. A., Lecciones de Análisis Matemático I, Tecnos. FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. e SÁNCHEZ MAÑES, E., Ejercicios y complementos de Análisis Matemático I, Tecnos. GARCÍA, A. (e outros), Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable, Clagsa. LINÉS, E., Principios de Análisis Matemático, Reverté. LARSON. R., HOSTETLER, R.P., EDWARDS, B.H., Cálculo (8ª Ed.), McGraw-Hill. NEUHAUSER, C., Matemáticas para Ciencias (2ª Ed.), Pearson Prentice Hall. RUDIN, W., Principios de Análisis Matemático (3ª Ed.), McGraw-Hill. SIMMONS, G. F., Cálculo y Geometría Analítica (2ª Ed.), McGraw-Hill. SPIVAK, M., Calculus, Reverté.

Competencias(a) Demostrar con rigor resultados teóricos da materia. (b) Coñecer e relacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa. (c) Formular matematicamente e resolver mediante o cálculo problemas que se formulan noutras materias, ciencias ou tamén algúns que xorden na vida cotiá.

133

Metodoloxía da ensinanzaA docencia estruturarase en clases teóricas, prácticas e seminarios. Nas primeiras, preséntanse e desenvólvense os contidos esenciais da disciplina. Porase máis énfase en dotar os estudantes de ferramentas para a construción da súa propia aprendizaxe que na simple acumulación de contidos. As clases prácticas dedícanse á resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións) e nelas procurarase unha activa participación do estudante. Nos seminarios, ao estar programados en grupos reducidos, poderán ter cabida diversos enfoques nos que se traten conceptos e cuestións da materia (construción de exemplos, resolución de problemas sinxelos, exposicións por parte dos alumnos, lecturas matemáticas adecuadas, etc.), procurando sempre que a participación do estudante sexa máxima. Proporanse con asiduidade* actividades encamiñadas a que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos adquiridos da materia, así como proxectos, individuais ou en grupo, que eles deben preparar e expoñer nalgunhas clases.

Estas accións veranse potenciadas por sesións de titorías deseñadas especialmente para estimular a súa actividade fóra da clase. Estas titorías tamén servirán para que o alumno interesado poida examinar en cada momento o seu proceso de aprendizaxe.

Os alumnos asistentes á clase disporán de extensas notas fotocopiadas dos contidos que se desenvolverán nas clases, acompañados de boletíns de exercicios.

(*) O tipo de actividades, a súa extensión e frecuencia dependerán, obviamente, do número de alumnos matriculados e asistentes á clase.

Sistema de avaliación da aprendizaxeSe se entende que a cualificación final debe ser o resultado dun traballo diario, valorarase a participación dos alumnos nas diversas actividades (voluntarias) que se proporán ao longo do curso, de xeito que un alumno habitualmente asistente e participativo podería chegar a acadar unha porcentaxe da súa cualificación final por medio da súa actividade diaria nas aulas. En calquera caso, realizarase un exame final escrito que lle permita ao alumno mostrar o grao de coñecemento adquirido, no que se refire á comprensión dos conceptos e técnicas propias da materia, á madurez no seu manexo e á capacidade de relacionar os diversos aspectos involucrados nos distintos temas de estudo.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais semanais: teóricas: 3; prácticas: 1; seminarios: 1. Horas non presenciais: dependerán, evidentemente, do proceso de aprendizaxe de cada alumno, máxime en primeiro curso por constituír un grupo moi diverso con niveis de preparación matemática amplamente diferentes. Non obstante, parece aconsellable dedicar, polo menos, sete horas semanais.

Recomendacións para o estudo da materia(a) Estudar diariamente, coa utilización de material bibliográfico. (b) Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala. (c) Dar resposta ás cuestións, exercicios e problemas correspondentes para fixar así as ideas e os métodos estudados na parte teórica. (d) Ter un bo coñecemento da materia Introdución á análise matemática.

134

Código : 091103A Nome:Informática Ano Academico : 2007/2008

Créditos teóricos: 6 Créditos prácticos: 3 Total: 9.0





Cernadas García,Eva TIT-UN Profesor/a non Propio

Fernández Delgado,Manuel PC-DOU Profesor/a

Obxectivos da materia1) Introducir ó alumno na estrutura e funcionamento dos computadores. 2) Aprende-los conceptos fundamentais de algorítmica e metodoloxía da programación. 3) Aprender a programar en FORTRAN 90, linguaxe de programación de extensa implantación no eido do cálculo científico en Matemáticas. 4) Introducir a programación en MATLAB para manexar unha ferramenta de cálculo do máis alto nivel. 5) Familiarizarse coas estruturas de datos dinámicas básicas.

ContidosContidos Teóricos (60 horas):

1. Introdución a Fortran 90 (5 horas) Estrutura básica dun programa. Tipos de datos elementais. Vectores e matrices. Reserva dinámica de memoria. Expresións aritméticas

2. Control de fluxo (5 horas) Operadores relacionais e lóxicos. Sentenzas de selección. Sentenzas de iteración: definidas e indefinidas

3. Subprogramas (6 horas) Funcións externas. Subrutinas. Paso de arrais como argumentos. Sentenza save. Bloques common. Recursividade

4. Metodoloxía da programación (10 horas) Conceptos de algoritmo e de programa. Etapas no desenrrolo do software: análise de requirimentos, deseño do algoritmo, codificación, depuración, proba e mantemento. Representación de algoritmos: diagramas de fluxo e pseudocódigo. Programación estruturada e modular. Algoritmos de ordeamento: selección, intercambio, inserción, Shell e Quicksort.

5. Entrada e Saída a arquivos (2 horas) Acceso secuencial a arquivos. Formatos de E/S

6. Introdución á programación con Matlab (10 horas) Escalares, vectores e matrices. Variables e formatos. Operacións aritméticas. Funcións predefinidas. Programación en Matlab: programas e funcións, estruturas de control, E/S por arquivos, manexo de cadeas de caracteres. Operacións con polinomios. Resolución de sistemas de ecuacións lineais. Representación gráfica de curvas e superficies. Cálculo simbólico: integrais definidas e indefinidas, series numéricas, derivadas e límites de funcións

7. Estruturas de datos (10 horas) Clasificación das estruturas de datos dinámicas. Operacións básicas sobre listas enlazadas. Listas dobremente enlazadas. Listas circulares. Pilas. Colas. Implementación en Fortran 90: tipos derivados, módulos, punteiros. Árbores. Grafos

8. Estrutura e funcionamento do ordenador (8 horas) Hardware: Modelo Von Neumann. Unidades de control e aritmético-lóxica. Memoria RAM. Buses. Dispositivos periféricos. Software: sistemas operativos, linguaxes de programación, compiladores e intérpretes. Redes de ordenadores: redes de área local, Internet

9. Representación interna da información (4 horas) Sistemas de numeración: código binario posicional, representacións en complementos. Códigos de E/S. Representación de enteiros en punto fixo. Representacións de números reais en punto flotante

Contidos prácticos (30 horas):

1. Manexo básico do sistema operativo Linux Fedora Core (2 horas) 2. Programas básicos en Fortran 90 (2 horas) 3. Manexo de estruturas de control: programación estruturada (8 horas) 4. Uso de subprogramas: programación modular (8 horas) 5. Manexo de arquivos (2 horas) 6. Programación básica en Matlab (6 horas) 7. Estruturas de datos dinámicas en Fortran 90 (2 horas)

135

Bibliografía básica e complementariaBIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

Fortran:CURSO BÁSICO DE FORTRAN 90. Sebastián Ventura Soto, José Luis Cruz Soto, Cristóbal Romero Morales, Universidad de Córdoba, 2000. [3C60-84] (Biblioteca Física)

Metodoloxía da programación: PROBLEMAS DE METODOLOGÍA DE LA PROGRAMACIÓN. L. Joyanes. Mc Graw-Hill, 1990. [68-331] (Biblioteca Matemáticas)

Matlab: INTRODUCCIÓN A MATLAB Y SUS APLICACIONES. P. Quintela. Servicio de Publicacións da USC, 1997.

Estruturas de datos: ESTRUCTURAS DE DATOS. O. Cairó, S. Guardati. McGraw-Hill, 1993. [1203-143-A, 1203-143-B, 1023-143-C]

Estrutura e funcionamento dos ordenadores / Representación interna da información: INTRODUCCIÓN A LA INFORMÁTICA. 3ª EDICIÓN. A. Prieto, A. Lloris, J.C. Torres. Mc Graw-Hill, 2001.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

FORTRAN 90/95 FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. Stephen J. Chapman. McGraw-Hill, 2004. [1203-204] (Biblioteca Matemáticas)

FORTRAN 95/2003 EXPLAINED. Michael Metcalf, John Reid, Malcolm Cohen, Oxford University Press, 2004. [1203-205][68-559]

PROGRAMMING IN FORTRAN 90 : A FIRST COURSE FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS. I. M. Smith. Wiley, 2001. [1203-203]

PROGRAMMER'S GUIDE TO FORTRAN 90. Walter S. Brainerd, Charles H. Goldberg, Jeanne C. Adams. Springer, 1996. [68-407-B], [1203-130-A], [1203-130-B], [1203-130-c]

FORTRAN 90 / 95 EXPLAINED. SECOND EDITION. M. Metcalf, J. Reid. Oxford University Press. [C60-338]

PROGRAMACIÓN EN FORTRAN 77 CON APLICACIONES DE CÁLCULO NUMÉRICO EN CIENCIAS E INGENIERÍA. G. J. Borse, Anaya Multimedia.

ESTRUCTURAS DE DATOS: IMPLEMENTACIÓN CLÁSICA Y ORIENTADA A OBJETOS. V. Alonso Secades. Univ. Pontificia de Salamanca, 2000. [3-C60-83 (Física)]

FUNDAMENTOS DE INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN CIENTÍFICA. RESOLUCIÓN EN C Y MATLAB. J.M. Zamarreño, M. Teresa Álvarez, L. Felipe Acebes, M.A. García y Fernando J. Tadeo.

INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN. P. Norton. 3ª edición. McGraw-Hill, 2001.

METODOLOXÍA DA PROGRAMACIÓN. C. Álvarez, M. Hernández, C. Liz, X.H. Román. Ir-Indo. 1994. [GA-15004/13 (B. Xeral)]

FORTRAN: with engineering applications. E.B. Koffman, F.L. Friedman. Addison-Wesley. 1993. [C60-177 (Física)]

GUÍA PRÁCTICA DEL SISTEMA OPERATIVO UNIX. M.G. Sobel. [68-296]

Competencias- Dominio de conceptos básicos sobre a estrutura e funcionamento dos ordenadores. - Capacidade para a realización de programas de tamaño pequeno-medio orientados á realización de cálculos matemáticos: * Nunha linguaxe de programación de nivel medio (Fortran 90). * Nunha linguaxe de programación de nivel alto (Matlab). - Coñecementos de metodoloxía da programación e algoritmia básica. - Utilización de subprogramas como elemento básico para a realización de programas de tamaño mediano. - Manexo das estruturas de datos elementais: vectores, matrices, rexistros, listas, pilas e colas. - Coñecemento da forma na que se almacena internamente a información nos ordenadores. - Dominio de Matlab como ferramenta de cálculo, visualización de datos e cálculo simbólico.

Metodoloxía da ensinanzaAs clases teóricas impartiranse na pizarra, co apoio de recursos audiovisuais e a realización de exercicios explicativos dos conceptos introducidos. As clases prácticas realizaranse nos ordenadores das aulas de Informática da Facultade de Matemáticas, nun entorno operativo Linux Fedora Core e co compilador de Fortran 95 de GNU, g95. As sesións de prácticas exemplificarán os contidos impartidos nas clases teóricas sobre Fortran 90, algorítmica e estruturas de datos. Tamén se realizarán sesións de programación en Matlab, así como de cálculo e visualización de datos.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA nota final (NF) será a seguinte:

NF = 0.6*NT + 0.4*NP

136

Nesta expresión:

NT = nota de teoría, entre 0 e 10. Esixirase unha NT igual ou superior a 4 puntos. Haberá dous exames parciais de teoría: un primeiro parcial en novembro, que elimina materia, e outro en febreiro. A nota de teoría NT será a media das notas obtidas nas dúas partes (NT1 e NT2, ambas de 0 a 10):

NT = 0.5*NT1 + 0.5*NT2

Esixirase unha nota mínima de 4 puntos en cada exame parcial. No exame de febreiro poderán repetir o primeiro parcial aqueles alumnos que non acadasen a nota mínima, ou desexen subir nota (neste caso, conservarase a nota do exame parcial se fose superior).

NP = nota de prácticas, entre 0 e 10. Esixirase unha NP igual ou superior a 4 puntos. Existen dúas alternativas para supera-la parte práctica da asignatura: a) Realización de controis de prácticas no ordenador durante as clases prácticas, sen previo aviso. Neste caso, a nota de prácticas NP será a media das notas acadadas nos controis. b) Realización dun exame práctico escrito, en febreiro. Neste caso NP será a nota deste exame práctico.

Polo tanto, para aproba-la asignatura deberás: 1) obter NT e NP iguais ou superiores a 4 puntos 2) obter unha NF igual ou superior a 5 puntos

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaAproximadamente: - 3 horas de traballo semanal para a asimilación dos conceptos teóricos. - 1 hora de traballo semanal para a realización de prácticas de programación en Fortran 90 e, en menor medida, Matlab. En total, 4 horas de traballo semanal ademáis das 6 horas de clases teórico-prácticas

Recomendacións para o estudo da materia 1) Asistencia ás clases teóricas e prácticas. 2) Realización de traballo práctico adicional de programación no ordenador, ben na aula de Informática da Facultade de Matemáticas, ben no ordenador persoal, se é o caso. 3) Seguimento semanal da materia para adquirir a destreza práctica necesaria. 4) Realización dos exercicios propostos e exames de anos anteriores recompilados na páxina web da materia:

http://www-gsi.dec.usc.es/~delgado/informatica

ObservaciónsPáxina web da materia:


Empregarase tamén o servizo de Universidade Virtual da USC:

http://www.usc.es/campusvirtual/index.php

137

Código : 091103B Nome:InformáticaAno Academico : 2007/2008






Cernadas García,Eva TIT-UN Profesor/a non Propio

Obxectivos da materia1) Introducir ó alumno na estrutura e funcionamento dos computadores. 2) Aprende-los conceptos fundamentais de algorítmica e metodoloxía da programación. 3) Aprender a programar en FORTRAN 90, linguaxe de programación de extensa implantación no eido do cálculo científico en Matemáticas. 4) Introducir a programación en MATLAB para manexar unha ferramenta de cálculo do máis alto nivel. 5) Familiarizarse coas estruturas de datos dinámicas básicas.

ContidosContidos Teóricos (60 horas):

1. Introdución a Fortran 90 Estrutura básica dun programa. Tipos de datos elementais. Vectores e matrices. Reserva dinámica de memoria. Expresións aritméticas

2. Control de fluxo Operadores relacionais e lóxicos. Sentenzas de selección. Sentenzas de iteración: definidas e indefinidas

3. Subprogramas Funcións externas. Subrutinas. Paso de arrais como argumentos. Sentenza save. Bloques common. Recursividade

4. Metodoloxía da programación Conceptos de algoritmo e de programa. Etapas no desenrrolo do software: análise de requirimentos, deseño do algoritmo, codificación, depuración, proba e mantemento. Representación de algoritmos: diagramas de fluxo e pseudocódigo. Programación estruturada e modular. Algoritmos de ordeamento: selección, intercambio, inserción, Shell e Quicksort.

5. Entrada e Saída a arquivos Acceso secuencial a arquivos. Formatos de E/S

6. Introdución á programación con Matlab Escalares, vectores e matrices. Variables e formatos. Operacións aritméticas. Funcións predefinidas. Programación en Matlab: programas e funcións, estruturas de control, E/S por arquivos, manexo de cadeas de caracteres. Operacións con polinomios. Resolución de sistemas de ecuacións lineais. Representación gráfica de curvas e superficies. Cálculo simbólico: integrais definidas e indefinidas, series numéricas, derivadas e límites de funcións

7. Estruturas de datos Clasificación das estruturas de datos dinámicas. Operacións básicas sobre listas enlazadas. Listas dobremente enlazadas. Listas circulares. Pilas. Colas. Implementación en Fortran 90: tipos derivados, módulos, punteiros. Árbores. Grafos

8. Estrutura e funcionamento do ordenador Hardware: Modelo Von Neumann. Unidades de control e aritmético-lóxica. Memoria RAM. Buses. Dispositivos periféricos. Software: sistemas operativos, linguaxes de programación, compiladores e intérpretes. Redes de ordenadores: redes de área local, Internet

9. Representación interna da información Sistemas de numeración: código binario posicional, representacións en complementos. Códigos de E/S. Representación de enteiros en punto fixo. Representacións de números reais en punto flotante

Contidos prácticos (30 horas):

1. Manexo básico do sistema operativo Linux Fedora Core 2. Programas básicos en Fortran 90 3. Manexo de estruturas de control: programación estruturada 4. Uso de subprogramas: programación modular 5. Manexo de arquivos 6. Programación básica en Matlab 7. Estruturas de datos dinámicas en Fortran 90

138

Bibliografía básica e complementariaFortran:CURSO BÁSICO DE FORTRAN 90. Sebastián Ventura Soto, José Luis Cruz Soto, Cristóbal Romero Morales, Universidad de Córdoba, 2000. [3C60-84] (Biblioteca Física)

Metodoloxía da programación: PROBLEMAS DE METODOLOGÍA DE LA PROGRAMACIÓN. L. Joyanes. Mc Graw-Hill, 1990. [68-331] (Biblioteca Matemáticas)

Matlab: INTRODUCCIÓN A MATLAB Y SUS APLICACIONES. P. Quintela. Servicio de Publicacións da USC, 1997.

Estruturas de datos: ESTRUCTURAS DE DATOS. O. Cairó, S. Guardati. McGraw-Hill, 1993. [1203-143-A, 1203-143-B, 1023-143-C]

Estrutura e funcionamento dos ordenadores / Representación interna da información: INTRODUCCIÓN A LA INFORMÁTICA. 3ª EDICIÓN. A. Prieto, A. Lloris, J.C. Torres. Mc Graw-Hill, 2001.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

FORTRAN 90/95 FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. Stephen J. Chapman. McGraw-Hill, 2004. [1203-204] (Biblioteca Matemáticas)

FORTRAN 95/2003 EXPLAINED. Michael Metcalf, John Reid, Malcolm Cohen, Oxford University Press, 2004. [1203-205][68-559]

PROGRAMMING IN FORTRAN 90 : A FIRST COURSE FOR ENGINEERS AND SCIENTISTS. I. M. Smith. Wiley, 2001. [1203-203]

PROGRAMMER'S GUIDE TO FORTRAN 90. Walter S. Brainerd, Charles H. Goldberg, Jeanne C. Adams. Springer, 1996. [68-407-B], [1203-130-A], [1203-130-B], [1203-130-c]

FORTRAN 90 / 95 EXPLAINED. SECOND EDITION. M. Metcalf, J. Reid. Oxford University Press. [C60-338]

PROGRAMACIÓN EN FORTRAN 77 CON APLICACIONES DE CÁLCULO NUMÉRICO EN CIENCIAS E INGENIERÍA. G. J. Borse, Anaya Multimedia.

ESTRUCTURAS DE DATOS: IMPLEMENTACIÓN CLÁSICA Y ORIENTADA A OBJETOS. V. Alonso Secades. Univ. Pontificia de Salamanca, 2000. [3-C60-83 (Física)]

FUNDAMENTOS DE INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN CIENTÍFICA. RESOLUCIÓN EN C Y MATLAB. J.M. Zamarreño, M. Teresa Álvarez, L. Felipe Acebes, M.A. García y Fernando J. Tadeo.

INTRODUCCIÓN A LA COMPUTACIÓN. P. Norton. 3ª edición. McGraw-Hill, 2001.

METODOLOXÍA DA PROGRAMACIÓN. C. Álvarez, M. Hernández, C. Liz, X.H. Román. Ir-Indo. 1994. [GA-15004/13 (B. Xeral)]

FORTRAN: with engineering applications. E.B. Koffman, F.L. Friedman. Addison-Wesley. 1993. [C60-177 (Física)]

GUÍA PRÁCTICA DEL SISTEMA OPERATIVO UNIX. M.G. Sobel. [68-296]

Competencias- Dominio de conceptos básicos sobre a estrutura e funcionamento dos ordenadores. - Capacidade para a realización de programas de tamaño pequeno-medio orientados á realización de cálculos matemáticos: * Nunha linguaxe de programación de nivel medio (Fortran 90). * Nunha linguaxe de programación de nivel alto (Matlab). - Coñecementos de metodoloxía da programación e algoritmia básica. - Utilización de subprogramas como elemento básico para a realización de programas de tamaño mediano. - Manexo das estruturas de datos elementais: vectores, matrices, rexistros, listas, pilas e colas. - Coñecemento da forma na que se almacena internamente a información nos ordenadores. - Dominio de Matlab como ferramenta de cálculo, visualización de datos e cálculo simbólico.

Metodoloxía da ensinanzaAs clases teóricas impartiranse na pizarra, co apoio de recursos audiovisuais e a realización de exercicios explicativos dos conceptos introducidos. As clases prácticas realizaranse nos ordenadores das aulas de Informática da Facultade de Matemáticas, nun entorno operativo Linux Fedora Core e co compilador de Fortran 95 de GNU, g95. As sesións de prácticas exemplificarán os contidos impartidos nas clases teóricas sobre Fortran 90, algorítmica e estruturas de datos. Tamén se realizarán sesións de programación en Matlab, así como de cálculo e visualización de datos.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA nota final (NF) será a seguinte:

NF = 0.6*NT + 0.4*NP

Nesta expresión:

NT = nota de teoría, entre 0 e 11. Farase un exame final de teoría no que se obterá como máximo 7 puntos. Os 4 puntos

139

restantes obteranse na asistencia a clase facendo exercicios. Esixirase unha NT igual ou superior a 4 puntos.

NP = nota de prácticas, entre 0 e 10. Esixirase unha NP igual ou superior a 4 puntos. Existen dúas alternativas para supera-la parte práctica da asignatura: a) Mediante evaluación continua no laboratorio. b) Realización dun exame práctico escrito, en xuño. Neste caso NP será a nota deste exame práctico.

Polo tanto, para aproba-la asignatura deberás: 1) obter NT e NP iguais ou superiores a 4 puntos 2) obter unha NF igual ou superior a 5 puntos

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala

Aproximadamente: - 3 horas de traballo semanal para a asimilación dos conceptos teóricos. - 1 hora de traballo semanal para a realización de prácticas de programación en Fortran 90 e, en menor medida, Matlab. En total, 4 horas de traballo semanal ademáis das 6 horas de clases teórico-prácticas

Recomendacións para o estudo da materia1) Asistencia ás clases teóricas e prácticas. 2) Realización de traballo práctico adicional de programación no ordenador, ben na aula de Informática da Facultade de Matemáticas, ben no ordenador persoal, se é o caso. 3) Seguimento semanal da materia para adquirir a destreza práctica necesaria. 4) Realización dos exercicios propostos e exames de anos anteriores recompilados na páxina web da materia:


ObservaciónsPáxina web da materia:


Empregarase tamén o servizo de Universidade Virtual da USC:

http://www.usc.es/campusvirtual/index.php

140

Código : 091104A Nome:Introdución ao Cálculo Numérico Ano Academico : 2007/2008

Créditos teóricos: 3 Créditos prácticos: 4.5 Total: 7.5





García García,Luz María BOL.PIF Bolseiro/a

Vázquez Cendón,María Elena TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia1. O coñecemento do Cálculo Numérico, algúns dos seus problemas típicos e algúns exemplos físicos que os motivan. 2. O manexo de diversos métodos para a resolución de ecuacións numéricas nunha variable real. 3. O coñecemento de diversas fórmulas de interpolación polinómica e as súas aplicacións, particularmente, a súa aplicación no eido da integración numérica por medio das fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio-polinómico. 4. O coñecemento das fontes dos distintos tipos de erro no cálculo numérico e os problemas concernientes á representación de números no ordenador en aritmética de punto flotante.

Contidos1. Que é o Cálculo numérico?. Problemas típicos e exemplos físicos que os motivan.

2. Resolución de ecuacións numéricas dunha variable real. Métodos iterativos. Converxencia local e global. Algoritmo de dicotomía: descrición, converxencia e estimación do erro. Descrición e converxencia dos algoritmos da secante e da regula falsi. O problema do punto fixo. Algoritmo de iteración funcional de tipo punto fixo: descrición, converxencia e estimación do erro.Orden de converxencia dun algoritmo. Método de Aitken para a aceleración da converxencia: aplicación ao método de iteración funcional. Algoritmo de Newton-Raphson: descrición e converxencia.

3. Interpolación polinómica de Lagrange. Fórmulas de Lagrange e Newton. Fórmula do erro de Cauchy-Peano. Introducción á interpolación polinómica a trozos. Introducción á integración numérica: fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio-polinómico. Reglas do trapecio e Simpson (simples e compostas). Fórmulas do erro.

4. Erros no cálculo numérico. Fontes do erro. Erro de redondeo. Exemplos. Representación de números no ordenador. Overflow-Underflow. Análise do erro en aritmética de punto flotante. Propagación de erros.

Bibliografía básica e complementariaVIAÑO, J.M. Lecciones de métodos numéricos. 1.- Introducción general y análisis de errores. Tórculo edicions. 1995. VIAÑO, J.M. Lecciones de métodos numéricos. 2.- Métodos de resolución de ecuaciones numéricas no lineales. Tórculo edicions. 1997. VIAÑO, J.M.- BURGUERA, M. Lecciones de métodos numéricos. 3.- Interpolación. Tórculo edicions. 2000. HENRICI, P. Elementos de análisis numérico. Trillas. 1972. KINKAID, D. – CHENEY, W. Análisis numérico. Addison-Wesley Iberoamericana. 1991. ATKINSON, K.E. An introduction to numerical analysis. John Wiley. 1989. ATKINSON, L.V. – HARLEY, P.J. – HUDSON, J.D. Numerical methods with FORTRAN 77. A practical introduction. Addison Wesley. 1989. CHAPRA, S.C. – CANALE, R.P. Métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales. McGraw Hill. 1987. DAVIS, P.J. Interpolation and approximation. Blaisdell. 1975. GERALD, C.F. – WHEATLEY, P.O. Applied numerical analysis. Addison Wesley. 1989. ISAACSON, E. – KELLER, H.B. Analysis of numerical methods. John Wiley. 1994. MORRIS, J. Ll. Computational methods in elementary numerical analysis. John Wiley. 1983. YOUNG, D.M. – GREGORY, R.T. A survey of numerical mathematics. Addison Wesley. 1973

CompetenciasXenéricas: * Resolver problemas * Capacidad de análisis e síntesis

Específicas: * Dominio dos conceptos e ferramientas básicas do cálculo numérico. * Programación dos métodos numéricos e as súas aplicacións

141

Metodoloxía da ensinanzaPresentación e repaso dos contidos teóricos, clases de problemas coa participación activa dos estudantes e implementación e análise dos métodos numéricos en Fortran e MATLAB.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito (6 puntos), proba de contidos no primeiro bimestre (1 punto) e un traballo persoal (3 puntos). O traballo persoal consiste na realización dun traballo que conterá elementos de programación conectados con cuestións teóricas y prácticas.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 60 horas * teoría: 30 horas * problemas: 15 horas * laboratorio: 15 horas

Horas non presenciais xerais: 90 horas * Aproximadamente unha hora e media de estudo por cada hora de clase presencial

Horas non presenciais para as avaliacións específicas: 34 horas * Preparación do traballo persoal: 20 horas * Preparación da proba do bimestre: 10 horas * Examen escrito de fin de cuatrimestre: 4 horas.

Total volume traballo: 184 horas.

Recomendacións para o estudo da materiaDesenvolver un estudo continuado da materia, combinando o traballo teórico co práctico.

ObservaciónsAs notas da proba e do traballo persoal obtidas na convocatoria de febreiro compútanse para a convocatoria de setembro.

142

Código : 091104B Nome:Introdución ao Cálculo Numérico Ano Academico : 2007/2008





Burguera González,Margarita TIT-UN Profesor/a

Mato Eiroa,M Pilar TIT-UN Profesor/a

Vázquez Hernández,Rafael BOL.FPI Bolseiro/a

Obxectivos da materia1. O alumno coñecerá que é a Análise Numérica, algúns dos seus problemas típicos e algúns exemplos físicos que os motivan. 2. O alumno manexará diversos métodos para a resolución de ecuacións numéricas nunha variable real. 3. O alumno coñecerá diversas fórmulas de interpolación polinómica e as súas aplicacións, particularmente, a súa aplicación no eido da integración numérica por medio das fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio-polinómico. 4. O alumno coñecerá as fontes dos distintos tipos de erro no cálculo numérico e os problemas relativos á representación de números no ordenador en aritmética de punto flotante.

Contidos1. Que é o Cálculo numérico?. Problemas típicos e exemplos físicos que os motivan.

2. Resolución de ecuacións numéricas dunha variable real. Métodos iterativos. Converxencia local e global. Algoritmo de dicotomía: descrición, converxencia e estimación do erro. Descrición e converxencia dos algoritmos da secante e da regula falsi. O problema do punto fixo. Algoritmo de iteración funcional de tipo punto fixo: descrición, converxencia e estimación do erro.Orden de converxencia dun algoritmo. Método de Aitken para a aceleración da converxencia: aplicación ao método de iteración funcional. Algoritmo de Newton-Raphson: descrición e converxencia.

3. Interpolación polinómica de Lagrange. Fórmulas de Lagrange e Newton. Fórmula do erro de Cauchy-Peano. Introducción á interpolación polinómica a cachos. Introducción á integración numérica: fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio-polinómico. Reglas do trapecio e Simpson (simples e compostas). Fórmulas do erro.

4. Erros no cálculo numérico. Fontes do erro. Erro de redondeo. Exemplos. Representación de números no ordenador. Overflow-Underflow. Análise do erro en aritmética de punto flotante. Propagación de erros.

Bibliografía básica e complementariaVIAÑO, J.M. Lecciones de métodos numéricos. 1.- Introducción general y análisis de errores. Tórculo edicions. 1995. VIAÑO, J.M. Lecciones de métodos numéricos. 2.- Métodos de resolución de ecuaciones numéricas no lineales. Tórculo edicions. 1997. VIAÑO, J.M.- BURGUERA, M. Lecciones de métodos numéricos. 3.- Interpolación. Tórculo edicions. 2000.

ATKINSON, K.E. An introduction to numerical analaysis. John Wiley. 1989. ATKINSON, L.V. – HARLEY, P.J. – HUDSON, J.D. Numerical methods with FORTRAN 77. A practical introduction. Addison Wesley. 1989. BRAINERD, W.S.-GOLDBERG, C.H.- ADAMS, J.C. Programmer’s Guide to Fortran 90. Springer. 1996. CHAPRA, S.C. – CANALE, R.P. Métodos numéricos para ingenieros con aplicaciones en computadoras personales. McGraw Hill. 1987. DAVIS, P.J. Interpolation and approximation. Blaisdell. 1975. GERALD, C.F. – WHEATLEY, P.O. Applied numerical analysis. Addison Wesley. 1989. HENRICI, P. Elementos de análisis numérico. Trillas. 1972. ISAACSON, E. – KELLER, H.B. Analysis of numerical methods. John Wiley. 1994. KINKAID, D. – CHENEY, W. Análisis numérico. Addison-Wesley Iberoamericana. 1991. MORRIS, J. Ll. Computational methods in elementary numerical analysis. John Wiley. 1983. YOUNG, D.M. – GREGORY, R.T. A survey of numerical mathematics. Addison Wesley. 1973.

CompetenciasCálculo de raíces reais dunha ecuación numérica. Interpolación polinómica de Lagrange. Integración numérica. Estudo do erro no cálculo numérico. Programación en Fortran 90 dos diferentes métodos.

143

Metodoloxía da ensinanzaLección maxistral, xunto coa implementación dos métodos numéricos estudados en Fortran 90.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito (7 puntos), exame práctico (2 puntos) e traballo persoal (1 punto). O exame práctico consistirá na realización sobre o ordenador das tarefas propostas, relacionadas cos algoritmos desenvolvidos no Laboratorio de Informática (*). O traballo persoal consistirá na realización dalgúns problemas propostos.

(*) máis de 3 faltas inxustificadas no Laboratorio de Informática: imposibilidade de sumar a nota do exame práctico á nota final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 75 horas (30 de teoría, 45 de prácticas aprox.) Horas non presenciais: aproximadamente unha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora de clase (112,5 horas)Horas de avaliación: 2,5 horas. Total volume traballo: 190 horas.

Recomendacións para o estudo da materiaDesenvolver un estudo continuado da materia, combinando o traballo teórico co práctico.

ObservaciónsAs notas do exame práctico e do traballo persoal obtidas na convocatoria de xuño consérvanse para a convocatoria de setembro do mesmo curso académico.

144

Código : 091105A Nome:Topoloxía dos Espazos EuclidianosAno Academico : 2007/2008






Brozos Vázquez,Miguel BOL.PIF Bolseiro/a

Vázquez Abal,M Elena TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaTrátase de estudar conceptos, métodos e propiedades métricos e, fundamentalmente, topolóxicos en R^p, partindo da súa estrutura euclidiana. Os principais conceptos que se van estudar son os de continuidade, compacidade e conexidade, facendo especial fincapé nas técnicas de converxencia de sucesións.

Contidos1. OS ESPAZOS EUCLIDIANOS 1.1. Produto escalar e norma euclidiana 1.2. Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski 1.3. Distancia euclidiana. Propiedades; a desigualdade triangular 1.4. Bólas abertas 1.5. Distancia entre conxuntos. Conxuntos limitados. Diámetro

2. A TOPOLOXÍA DE R^P 2.1. Definición de conxunto aberto. Exemplos 2.2. Propiedades características dos conxuntos abertos 2.3. Conxuntos pechados.

3. ESPAZOS E SUBESPAZOS 3.1. Espazos e subespazos 3.2. Abertos relativos. 3.3. Interior, adherencia e fronteira dun conxunto

4. CONVERXENCIA 4.1. Sucesións. Sucesións converxentes 4.2. Converxencia e topoloxía: puntos de acumulación.

5. COMPLETITUDE 5.1. Sucesións de Cauchy 5.2. A completitude de R: principio do supremo e postulado dos intervalos encaixados 5.3. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Completitude de R^p.

6. CONTINUIDADE 6.1. Definición local de continuidade 6.2. Composición de funcións continuas 6.3. Continuidade secuencial 6.4. Continuidade uniforme

7. CONTINUIDADE GLOBAL 7.1. Caracterización global da continuidade 7.2. Restrición de funcións continuas 7.3. Función combinada

8. EXTENSIÓN DE FUNCIÓNS 8.1. Extensión de funcións. Lema de Urysohn 8.2. Conxuntos densos e unicidade da extensión 8.3. Existencia de extensións uniformemente continuas

9. PROPIEDADES TOPOLÓXICAS 9.1. Homeomorfismos. 9.2. Propiedades topolóxicas

10. COMPACIDADE 10.1. A condición de Borel-Lebesgue. Teorema de Heine-Borel 10.2. A condición de Bolzano-Weierstrass e a compacidade secuencial 10.3. Compacidade e continuidade 10.4. Continuidade uniforme

11. CONEXIDADE

145

11.1. Separación. Espazos conexos 11.2. Teorema do valor intermedio 11.3. Conxuntos compactos e conexos

Bibliografía básica e complementaria1. BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980

2. CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra.

3. MASA VÁZQUEZ, X.M. Topoloxía xeral. Introducción aos espazos euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, 1. Universidade de Santiago de Compostela, 1999.

4. SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford.

CompetenciasUnha das ferramentas que utilizaremos de forma máis reiterada será a converxencia de sucesións. Esa será a primeira competencia curricular que sinalamos, que podería enunciarse como capacidade de aplicar a converxencia de sucesións á caracterización de propiedades topolóxicas. Isto require unha boa comprensión do concepto de límite, primeiro; require ser capaz de identificar sucesións converxentes; require ser capaz de construír sucesións converxentes relevantes para a cuestión en estudo; ser capaz, en fin, de relacionar a converxencia coa propiedade considerada, ideando a oportuna demostración.

A segunda competencia curricular ten que ver coa continuidade das funcións máis comúns no ámbito dos espazos euclidianos. Trátase de identificar funcións continuas ou discontinuidades de funcións, de describir funcións xeometricamente, dispor de exemplos de funcións que ilustren propiedades diversas, ou expresar analiticamente transformacións xeométricas sinxelas.

Os resultados máis profundos do programa relaciónanse cos conceptos de compacidade e conexidade. É tamén o marco no que se obteñen as aplicacións máis fortes da teoría desenvolta. Coñecer esta teoría abstracta e comprender o papel determinante que estas nocións desempeñan nas aplicacións consideradas é a terceira competencia curricular. Na súa expresión máis sinxela, o resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo pechado alcanza o máximo, o mínimo e calquera valor intermedio. É unha mostra dun dos aspectos máis característicos da matemática: como a solución de problemas, as veces de formulación simple, require a miúdo de teorías moi abstractas.

Ademais destas competencias estritamente curriculares, no curso vanse traballar outras dúas.

A primeira céntrase na linguaxe das matemáticas, nunha dobre vertente: comprender os enunciados cos que se traballa, diferenciar hipóteses, tese e demostración, comprender o valor dos exemplos e dos contra-exemplos,... Doutra parte trátase de incidir na expresión matemática formal, acadar unha escritura medianamente correcta, evitando mesturar a linguaxe informal coa sintaxe lóxica formal.

A segunda competencia non curricular terá que ver coas estratexias de aprendizaxe, tratando de inculcar a práctica de pensar por un mesmo, do esforzo na comprensión, analizando exemplos concretos, do empeño na resolución de exercicios, evitando a dinámica de buscar onde ler a solución, adquirir o hábito do esforzo por encontrar un mesmo o camiño, de xeito que cada estudante poida chegar a elaborar demostracións propias de cuestións sinxelas, non porque as recorde, senón pola pericia que teña acadado.

Metodoloxía da ensinanzaAs tres cuartas partes do traballo na aula corresponden, fundamentalmente, a docencia impartida polo profesor. De ordinario, nunha mesma sesión adicarase un tempo á exposición ou ilustración de algunha cuestión teórica, e outro tempo á resolución de problemas ou exercicios. As veces, o modelo achegarase ao da lección maxistral, as veces procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas.

No resto da docencia presencial, as horas de laboratorio, preténdese unha maior participación activa das e dos estudantes. Adicaranse, fundamentalmente, a resolver os exercicios e problemas propostos.

Eventualmente, demandarase a entrega por escrito de algunha cuestión ou exercicio.

As titorías adicaranse, de forma individual ou en grupos, a resolver as dúbidas e dificultades que vaian xurdindo.

Sistema de avaliación da aprendizaxeHaberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da facultade; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula. A cualificación da materia será a do exame incrementada, no seu caso, en función dunha avaliación continuada positiva.

O exame terá unha parte de teoría, que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso. Indicativamente, cada parte terá un peso de entre un 40 e un 60% do total.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaA docencia da materia repártese en 3 créditos de teoría, 1,5 créditos de problemas e 1,5 créditos de laboratorio.

146

Contabilízanse outros 1,5 créditos adicados a titorías programadas.

Aos 7,5 créditos totais corresponden, por término medio, unhas 187,5 horas de traballo para cada estudante.

A título orientativo, 105 horas de traballo corresponderían aos 4,5 créditos de encerado, teoría e problemas: 45 presenciais, 60 de traballo autónomo. Ao traballo de laboratorio corresponderían 45 horas: 15 presenciais e 30 de traballo autónomo. O resto do tempo correspondería a titorías (que tamén requiren traballo autónomo), preparación e realización do exame e preparación dos eventuais traballos escritos solicitados.

Recomendacións para o estudo da materiaNo curso adícase moito tempo á resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe conducir a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría é a pedra angular da formación. Haberá que manexar certo número de definicións e resultados, que se terán que asimilar nun período breve de tempo. As demostracións dos resultados axudan a comprendelos mellor e permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes; deben constituír un dos compoñentes fundamentais do estudo da materia. O outro, certamente, será o empeño na resolución dos exercicios.

ObservaciónsExiste un curso virtual de apoio á docencia desta materia, ao que se pode acceder no enderezo: http://xtsunxet.usc.es/topoloxia/

147

Código : 091105B Nome:Topoloxía dos Espazos Euclidianos Ano Academico : 2007/2008






Bonome Dopico,Agustín TIT-UN Profesor/a

Castro Bolaño,Regina TIT-UN Profesor/a

Masa Vázquez,Xosé María CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaTrátase de estudar conceptos, métodos e propiedades métricos e, fundamentalmente, topolóxicos en R^p, partindo da súa estrutura euclidiana. Os principais conceptos que se van estudar son os de continuidade, compacidade e conexidade, facendo especial fincapé nas técnicas de converxencia de sucesións.

Contidos1. Os espazos euclidianos 1.1. Produto escalar e norma euclidiana 1.2. Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski 1.3. Distancia euclidiana. Propiedades; a desigualdade triangular 1.4. Bólas abertas 1.5. Distancia entre conxuntos. Conxuntos limitados. Diámetro

2. A topoloxía de R^p 2.1. Definición de conxunto aberto. Exemplos 2.2. Propiedades características dos conxuntos abertos 2.3. Conxuntos pechados.

3. Espazos e subespazos 3.1. Espazos e subespazos 3.2. Abertos relativos. 3.3. Interior, adherencia e fronteira dun conxunto

4. Converxencia 4.1. Sucesións. Sucesións converxentes 4.2. Converxencia e topoloxía: puntos de acumulación.

5. Completitude 5.1. Sucesións de Cauchy 5.2. A completitude de R: principio do supremo e postulado dos intervalos encaixados 5.3. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Completitude de R^p.

6. Continuidade 6.1. Definición local de continuidade 6.2. Composición de funcións continuas 6.3. Continuidade secuencial 6.4. Continuidade uniforme

7. Continuidade Global 7.1. Caracterización global da continuidade 7.2. Restrición de funcións 7.3. Función combinada

8. Extensión de funcións 8.1. Extensión de funcións. Lema de Urysohn 8.2. Conxuntos densos e unicidade da extensión 8.3. Existencia de extensións uniformemente continuas

9. Propiedades topolóxicas 9.1. Homeomorfismos. 9.2. Propiedades topolóxicas

10. Compacidade 10.1. A condición de Borel-Lebesgue. Teorema de Heine-Borel 10.2. A condición de Bolzano-Weierstrass e a compacidade secuencial 10.3. Compacidade e continuidade 10.4. Continuidade uniforme

148

11. Conexidade 11.1. Separación. Espazos conexos 11.2. Teorema do valor intermedio 11.3. Conxuntos compactos e conexos

Bibliografía básica e complementariaBartle, R.G., Introducción al Análisis Matemático Ed. Limusa, México, 1980 Chinn, W.G. e Steenrod, N.E., Primeros conceptos de Topología Ed. Alambra, Madrid, 1975. Masa, X.M., Topoloxía Xeral. Introducción aos espacios euclidianos, métricos e topolóxicos. Univ. Santiago de Compostela, 1999. Sutherland, W.A., Introduction to metric and topological spaces. Clarendon Press, Oxford, 1975.

CompetenciasUnha das ferramentas que utilizaremos de forma máis reiterada será a converxencia de sucesións. Esa será a primeira competencia curricular que sinalamos, que podería enunciarse como capacidade de aplicar a converxencia de sucesións á caracterización de propiedades topolóxicas. Isto require unha boa comprensión do concepto de límite, primeiro; require ser capaz de identificar sucesións converxentes; require ser capaz de construír sucesións converxentes relevantes para a cuestión en estudo; ser capaz, en fin, de relacionar a converxencia coa propiedade considerada, ideando a oportuna demostración.

A segunda competencia curricular ten que ver coa continuidade das funcións máis comúns no ámbito dos espazos euclidianos. Trátase de identificar funcións continuas ou discontinuidades de funcións, de describir funcións xeometricamente, dispor de exemplos de funcións que ilustren propiedades diversas, ou expresar analiticamente transformacións xeométricas sinxelas.

Os resultados máis profundos do programa relaciónanse cos conceptos de compacidade e conexidade. É tamén o marco no que se obteñen as aplicacións máis fortes da teoría desenvolta. Coñecer esta teoría abstracta e comprender o papel determinante que estas nocións desempeñan nas aplicacións consideradas é a terceira competencia curricular. Na súa expresión máis sinxela, o resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo pechado alcanza o máximo, o mínimo e calquera valor intermedio. É unha mostra dun dos aspectos máis característicos da matemática: como a solución de problemas, as veces de formulación simple, require a miúdo de teorías moi abstractas.

Ademais destas competencias estritamente curriculares, no curso vanse traballar outras dúas.

A primeira céntrase na linguaxe das matemáticas, nunha dobre vertente: comprender os enunciados cos que se traballa, diferenciar hipóteses, tese e demostración, comprender o valor dos exemplos e dos contra-exemplos,... Doutra parte trátase de incidir na expresión matemática formal, acadar unha escritura medianamente correcta, evitando mesturar a linguaxe informal coa sintaxe lóxica formal.

A segunda competencia non curricular terá que ver coas estratexias de aprendizaxe, tratando de inculcar a práctica de pensar por un mesmo, do esforzo na comprensión, analizando exemplos concretos, do empeño na resolución de exercicios, evitando a dinámica de buscar onde ler a solución, adquirir o hábito do esforzo por encontrar un mesmo o camiño, de xeito que cada estudante poida chegar a elaborar demostracións propias de cuestións sinxelas, non porque as recorde, senón pola pericia que teña acadado.

Metodoloxía da ensinanzaAs tres cuartas partes do traballo na aula corresponden, fundamentalmente, a docencia impartida polo profesor. De ordinario, nunha mesma sesión adicarase un tempo á exposición ou ilustración de algunha cuestión teórica, e outro tempo á resolución de problemas ou exercicios. As veces, o modelo achegarase ao da lección maxistral, as veces procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas.

No resto da docencia presencial, as horas de laboratorio, preténdese unha maior participación activa das e dos estudantes. Adicaranse, fundamentalmente, a resolver os exercicios e problemas propostos.

Eventualmente, demandarase a entrega por escrito de algunha cuestión ou exercicio.

As titorías adicaranse, de forma individual ou en grupos, a resolver as dúbidas e dificultades que vaian xurdindo.

Sistema de avaliación da aprendizaxeHaberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da facultade; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula. A cualificación da materia será a do exame incrementada, no seu caso, en función dunha avaliación continuada positiva.

O exame terá unha parte de teoría, que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso. Indicativamente, cada parte terá un peso de entre un 40 e un 60% do total.

149

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaA docencia da materia repártese en 3 créditos de teoría, 1,5 créditos de problemas e 1,5 créditos de laboratorio. Contabilízanse outros 1,5 créditos adicados a titorías programadas.

Aos 7,5 créditos totais corresponden, por término medio, unhas 187,5 horas de traballo para cada estudante.

A título orientativo, 105 horas de traballo corresponderían aos 4,5 créditos de encerado, teoría e problemas: 45 presenciais, 60 de traballo autónomo. Ao traballo de laboratorio corresponderían 45 horas: 15 presenciais e 30 de traballo autónomo. O resto do tempo correspondería a titorías (que tamén requiren traballo autónomo), preparación e realización do exame e preparación dos eventuais traballos escritos solicitados.

Recomendacións para o estudo da materiaNo curso adícase moito tempo á resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe conducir a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría é a pedra angular da formación. Haberá que manexar certo número de definicións e resultados, que se terán que asimilar nun período breve de tempo. As demostracións dos resultados axudan a comprendelos mellor e permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes; deben constituír un dos compoñentes fundamentais do estudo da materia. O outro, certamente, será o empeño na resolución dos exercicios.

ObservaciónsExiste un curso virtual de apoio á docencia desta materia, ao que se pode acceder no enderezo:

http://xtsunxet.usc.es/topoloxia/

150

Código : 091111A Nome:Introdución á Análise MatemáticaAno Academico : 2007/2008


Carácter: Obrigatorio Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre Segundo Cuadrimestre




López Pouso,Rodrigo TIT-UN Profesor/a

Paraños Pardo,José ASOU Profesor/a

Paredes Álvarez,José María TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Comprender e utilizar correctamente as definicións, tanto en linguaxe matemática como en linguaxe coloquial. - Familiarizarse con técnicas que permitan realizar a demostración de resultados teóricos (indución, redución ao absurdo,…) - Manexar diversos métodos para o cálculo de límites, a análise da converxencia de series e o estudo da continuidade e continuidade uniforme.

Contidos1. CONXUNTOS DE NÚMEROS 1.1. Os números naturais e o principio de indución. 1.2. Os números racionais e a súa insuficiencia. 1.3. Axiomática dos números reais: conxuntos limitados. Axioma do supremo. 1.4. Propiedade arquimediana de R. Densidade de Q en R. 1.5. Os números complexos: raíces dun número complexo.

2. SUCESIÓNS DE NÚMEROS REAIS 2.1. Sucesións converxentes. Propiedades. 2.2. Sucesións de Cauchy e monótonas. 2.3. Subsucesións. Teorema de Bolzano-Weierstrass. 2.4. Límites infinitos. Cálculo de límites. 2.5. Límites de oscilación.

3. SERIES DE NÚMEROS REAIS 3.1. Series numéricas e converxencia. 3.2. Series de termos non negativos. Criterios de converxencia. 3.3. Converxencia absoluta e condicional.

4. LÍMITES DE FUNCIÓNS REAIS 4.1. Preliminares topolóxicos da recta real: conxuntos compactos. 4.2. Funcións reais dunha variable real. Xeneralidades. 4.3. Límite e límite secuencial dunha función nun punto. Propiedades. 4.4. Límites infinitos e no infinito. Cálculo de límites.

5. CONTINUIDADE 5.1. Funcións continuas. Propiedades. 5.2. Teoremas de Weierstrass e Bolzano. 5.3. Continuidade uniforme e continuidade en compactos.

Bibliografía básica e complementariaBÁSICA:

R. BARTLE e D. SHERBERT. Introducción al Análisis Matemático de una Variable, Limusa.

A. GARCÍA e outros. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable. CLAGSA.

COMPLEMENTARIA:

T. M. APOSTOL, Análisis Matemático, Reverté.

J. CASASAYAS e M. C. CASCANTE, Problemas de Análisis Matemático, Edunsa.

J. A. FERNÁNDEZ VIÑA, Lecciones de Análisis Matemático I, Tecnos.

J. A. FERNÁNDEZ VIÑA e E. SÁNCHEZ, Ejercicios y Complementos de Análisis Matemático I, Tecnos.

M. SPIVAK, Calculus, Reverté.

151

Competencias- Coñecer os distintos conxuntos de números e as súas propiedades, tanto alxébricas coma de orde e completitude. - Adquirir destreza na determinación da converxencia de sucesións e series numéricas. - Comprender os conceptos de límite, continuidade e continuidade uniforme no ámbito de funcións reais dunha variable real.

Metodoloxía da ensinanzaA docencia estruturarase en catro horas semanais de clases teóricas e prácticas, máis unha hora semanal de seminario. As primeiras dedicaranse á presentación e desenvolvemento dos contidos esenciais da disciplina, así como á resolución de problemas. Nos seminarios, ao estaren programados en grupos reducidos, terán cabida outros xeitos de traballar sobre a materia (construción de exemplos, resolución de problemas, exposicións por parte dos alumnos, etc).

As titorías programadas durante o cuadrimestre polo centro dedicaranse á discusión e debate co estudante.

Proporanse actividades, sempre con carácter voluntario, encamiñadas a que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos adquiridos da materia.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA cualificación final basearase no resultado dun exame escrito teórico-práctico, xunto coas actividades realizadas.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaConsideramos que un alumno medio debería dedicar unha hora e media de traballo persoal por cada hora de clase.

Recomendacións para o estudo da materiaPara o estudo desta materia son fundamentais as destrezas matemáticas correspondentes aos programas do ensino secundario.

O alumno deberá traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases cunha actitude participativa e preguntar cantas dúbidas poida ter en relación coa materia.

152

Código : 091111B Nome:Introdución á Análise MatemáticaAno Academico : 2007/2008






Cabada Fernández,Alberto TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaComprender e utilizar correctamente as definicións, tanto en linguaxe matemática como en linguaxe coloquial.

Familiarizarse en técnicas que permitan realizar a demostración de resultados teóricos (inducción, reducción ao absurdo,…)

Manexar diversos métodos para o cálculo de límites, a análise da converxenza de series e o estudo da continuidade e continuidade uniforme.

Contidos1. SISTEMAS DE NÚMEROS 1.1. Os números naturais e o principio de inducción. 1.2. Os números racionais e a súa insuficienza. 1.3. Axiomática dos números reais: conxuntos acotados. Axioma do supremo. 1.4. Propiedade arquimediana de R. Densidade de Q en R. 1.5. Os números complexos: raíces dun número complexo.

2. SUCESIÓNS DE NÚMEROS REAIS 2.1. Sucesions converxentes. Propiedades. 2.2. Sucesións de Cauchy e monótonas. 2.3. Subsucesións. Teorema de Bolzano-Weierstrass. 2.4. Límites infinitos. Cálculo de límites. 2.5. Límites de oscilación.

3. SERIES DE NÚMEROS REAIS 3.1. Series numéricas e converxenza. 3.2. Series de térmos non negativos. Criterios de converxenza. 3.3. Converxenza absoluta e condicional.

4. LÍMITES DE FUNCIÓNS REAIS 4.1. Preliminares topolóxicos da recta real: conxuntos compactos. 4.2. Funcións reais dunha variable real. Xeneralidades. 4.3. Límite e límite secuencial dunha función nun punto. Propiedades. 4.4. Límites infinitos e no infinito. Cálculo de límites.

5. CONTINUIDADE 5.1. Funcións continuas. Propiedades. 5.2. Teoremas de Weierstrass e Bolzano. 5.3. Continuidade uniforme e continuidade en compactos.

Bibliografía básica e complementariaBÁSICA:

T. M. APOSTOL. Análisis Matemático. Reverté.

R. BARTLE e D. SHERBERT. Introducción al Análisis Matemático de una Variable. Limusa.

A. GARCÍA LÓPEZ e outros. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable. CLAGSA.

COMPLEMENTARIA:

J. CASASAYAS e M. C. CASCANTE. Problemas de Análisis Matemático. Edunsa.

J. DE BURGOS. Cálculo Infinitesimal de una Variable. McGraw-Hill.

J. A. FERNÁNDEZ VIÑA. Lecciones de Análisis Matemático I. Tecnos.

E. LINÉS. Principios de Análisis Matemático. Reverté.

153

W. RUDIN. Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill.

M. SPIVAK. Calculus. Reverté.

CompetenciasCoñecer os distintos sistemas de números e as súas propiedades, tanto alxébricas coma de orde e completitude.

Adquirir destreza na determinación da converxenza de sucesións e series numéricas.

Manexar con fluidez os conceptos básicos e propiedades da topoloxía da recta real.

Comprender os conceptos de límite, continuidade e continuidade uniforme no ámbito de funcións reais dunha variable real.

Metodoloxía da ensinanzaA docencia estruturarase en catro horas semanais de clases teóricas e prácticas, máis unha hora semanal de seminario. As primeiras dedicaranse á presentación e desenvolvemento dos contidos esenciais da disciplina, así como á resolución de problemas. Nos seminarios, ao estaren programados en grupos reducidos, terán cabida outros xeitos de traballar sobre a materia (construción de exemplos, resolución de problemas, exposicións por parte dos alumnos, etc.).

Propoñeranse actividades, sempre con carácter voluntario, encamiñadas a que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos adquiridos da materia.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA cualificación final basearase no resultado dun exame escrito teórico-práctico, xunto coas actividades realizadas.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaConsideramos que un alumno medio debería dedicar unha hora e media de traballo persoal por cada hora de clase.

Recomendacións para o estudo da materiaPara o estudo desta materia, son fundamentais as destrezas matemáticas correspondentes aos programas de ensino secundario.

O alumno deberá traballar con regularidade e rigor, así como asistir ás clases de modo participativo, preguntando, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

154

Código : 091112A Nome:Xeometría Métrica Ano Academico : 2007/2008






Franco Fernández,Leoncio TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Coñecer a forma canónica de Jordan dun endomorfismo, existencia, cálculo e utilidade. - Estudar a estrutura dos espazos vectoriais métricos ortogonais e a dos simplécticos. - Clasificar as xeometrías ortogonais reais ou complexas e as xeometrías simplécticas. - Estudar os espazos euclidianos. - Coñecer os espazos afíns euclidianos e estudar os movementos ríxidos (euclidianos).

Contidos1.- Estrutura dunha aplicación linear: valores e vectores propios dunha aplicación linear. Aplicacións diagonalizables. Teorema de Cayley-Hamilton. Forma de Jordan

2.- Formas bilineares e cuadráticas: estruturas métricas en espazos vectoriais. Isometrías. Xeometría ortogonal e simpléctica. Teorema de Sylvester

3.- Espazos euclidianos: lonxitudes. Bases ortonormais. Teorema espectral. Clasificación de isometrías

4.- Espazos afíns euclidianos: perpendicularidade, distancias. Grupo dos movementos

Bibliografía básica e complementariaGodement, R., Álgebra, Ed. Tecnos, Madrid, 1967. Gruenberg, K.W. e Weir, A. J., Linear Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1977. Hernandez, E., Álgebra y geometría, Ed. Addison Wesley, Madrid, 1994. Artin, E., Álgebra geométrica, Ed. Limusa, México, 1992. Castellet, M. e Llerena, I., Álgebra lineal y geometría, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. De Burgos, J., Álgebra lineal y geometría cartesiana, Ed. MacGraw-Hill, Madrid, 1999. Kostrikin, A. I. w Manin, Yu. I., Linear álgebra and geometry, Ed. Gordon and Breach, N. York, 1981.

Competencias- Recoñecer se unha matriz é diagonalizable ou triangularizable. Saber calcular a forma canónica de Jordan dun endomorfismo e aplicala á clasificación de endomorfismos. - Distinguir os diferentes tipos de espazos vectoriais métricos. Saber calcular bases ortogonais nunha xeometría ortogonal real ou complexa. - Saber calcular as distancias entre variedades lineares nun espazo afín euclidiano. - Saber clasificar os movementos dando os seus elementos xeométricos e, reciprocamente, obter a ecuación dun movemento dado en termos xeométricos.

Metodoloxía da ensinanzaA materia desenvólvese ao longo dun cuadrimestre coa cadencia semanal de catro horas de clases teórico-prácticas e outra hora de seminario para cada un dos dous grupos reducidos nos que se divide cada curso. Aínda que a explicación teórica será ilustrada con exemplos, as clases de problemas dedicarase á resolución dos que lles foran propostos aos alumnos en boletíns que lles serán entregados previamente. Para cada tema, proporase unha serie de problemas que deberán ser resoltos polos alumnos de forma individual ou en grupo, baixo a tutela do profesor. Os seminarios estarán dedicados á aclaración de dúbidas sobre os aspectos teórico-prácticos da materia.

Sistema de avaliación da aprendizaxeProba escrita no período regrado de exames. O profesor poderá valorar a participación dos alumnos nas clases e seminarios cun valor de ata un 10% da cualificación máxima.

155

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- HORAS PRESENCIAIS: 60 teórico-prácticas, 15 seminarios - HORAS NON PRESENCIAIS: 90 horas relacionadas coa docencia presencial + 25 horas para resolver problemas de proba correspondentes aos boletíns. - Horas de avaliación: 5 - TOTAL Volume de traballo: 195 horas/cuadrimestre

Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia regular ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías para expoñer e resolver as dúbidas de comprensión da materia explicada nas clases e dos exercicios propostos.

156

Código : 091112B Nome:Xeometría Métrica Ano Academico : 2007/2008






Majadas Soto,José Javier TIT-UN Profesor/a

Vale Gonsalves,M Jesús TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia - Coñecer a forma canónica de Jordan dun endomorfismo, existencia, cálculo e utilidade. - Estudar a estrutura dos espazos vectoriais métricos ortogonais e a dos simplécticos. - Clasificar as xeometrías ortogonais reais ou complexas e as xeometrías simplécticas. - Estudar os espazos euclidianos. - Coñecer os espazos afíns euclidianos e estudar os movementos ríxidos.

Contidos1.- Estrutura dunha aplicación linear: valores e vectores propios dunha aplicación linear. Aplicacións diagonalizables. Teorema de Cayley-Hamilton. Forma de Jordan

2.- Formas bilineares e cuadráticas: estruturas métricas en espazos vectoriais. Isometrías. Xeometría ortogonal e simpléctica. Teorema de Sylvester

3.- Espazos euclidianos: lonxitudes. Bases ortonormais. Teorema espectral. Clasificación de isometrías

4.- Espazos afíns euclidianos: perpendicularidade, distancias. Grupo dos movementos

Bibliografía básica e complementaria Artin, E., Álgebra geométrica. Ed. Limusa, México, 1992.

Castellet, M.; Llerena, I., Álgebra lineal y geometría. Ed. Reverté, Barcelona, 1991.

De Burgos, J., Álgebra lineal y geometría cartesiana. Ed. MacGraw-Hill, Madrid, 1999.

Godement, R., Álgebra. Ed. Tecnos, Madrid, 1967.

Gruenberg, K.W.; Weir, A.J., Linear Geometry. Springer-Verlag, Berlin, 1977.

Hernandez, E., Álgebra y geometría. Ed. Addison Wesley, Madrid, 1994.

Kostrikin, A. I.; Manin, Yu. I., Linear algebra and geometry. Ed. Gordon and Breach, N. York, 1981.

Competencias - Recoñecer se unha matriz é diagonalizable ou triangularizable. Saber calcular a forma canónica de Jordan dun endomorfismo e aplicala á clasificación de endomorfismos. - Distinguir os diferentes tipos de espazos vectoriais métricos. Saber calcular bases ortogonais nunha xeometría ortogonal real ou complexa. - Saber calcular as distancias entre variedades lineares nun espazo afín euclidiano. - Saber clasificar os movementos dando os seus elementos xeométricos e, reciprocamente, obter a ecuación dun movemento dado en termos xeométricos.

Metodoloxía da ensinanzaA materia desenvólvese ao longo dun cuadrimestre, coa cadencia semanal de catro horas teórico-prácticas e unha hora de seminario para cada un dos grupos nos que se divide cada curso. A explicación teórica será completada con exemplos e, ademais, resolveranse problemas propostos aos alumnos en boletíns que lles serán entregados previamente. Despois de cada tema, proporáselles un exercicio aos alumnos para realizar individualmente na hora de clase.

157

Nos seminarios preténdese que os alumnos participen na resolución dos problemas propostos nos boletíns e que expoñan as súas dúbidas sobre os aspectos teórico-prácticos da materia.

Sistema de avaliación da aprendizaxeProba escrita na data de exames establecida. Os alumnos poderán obter ata un 30% da cualificación coa súa participación nos seminarios e coa realización dos exercicios propostos ao finalizar cada tema.

Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia regular ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías para expoñer e resolver as dúbidas de comprensión da materia explicada nas clases.

158

Segundo Curso

159

Código : 091201 Nome:Análise Numérica MatricialAno Academico : 2007/2008


Carácter: Troncal Convocatoria: Segundo Cuadrimestre





Rodríguez Iglesias,Carmen TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaO estudo e a aplicación de métodos numéricos para a resolución de sistemas de ecuacións lineares e o cálculo de autovalores e autovectores dunha matriz. Ademais, nas prácticas de laboratorio, poranse en práctica nun ordenador os algoritmos estudados, mediante a elaboración dos correspondentes programas FORTRAN 90.

Contidos1. Normas en Rn e Cn. Matrices especiais. Normas matriciais e subordinadas. Valores e vectores propios. Redución unitaria de matrices á forma triangular: Factorización de Schur e aplicacións. Cociente de Rayleigh e norma espectral. Acoutamento do radio espectral por normas matriciais. Converxencia de sucesións e series de matrices. Invertibilidade dunha perturbación da identidade.

2. Necesidade do uso de métodos numéricos para a resolución dun S.E.L. Métodos directos e iterativos. Sistemas facilmente resolubles: sistemas triangulares e diagonais. Sistemas triangulares e diagonais por bloques. Condicionamento dun sistema linear.

3. Métodos iterativos para S.E.L.: descrición e converxencia. Métodos iterativos obtidos a partir dunha descomposición da matriz do sistema. Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Condicións suficientes de converxencia. Método de w-relaxación. Teoremas de Ostrowski-Reich e Kahan. Métodos clásicos por bloques. Comparación dos métodos clásicos para matrices tridiagonais, por puntos ou por bloques.

4. Métodos directos para S.E.L.: xeneralidades. Eliminacións de Gauss e Gauss-Jordan. Estratexias de pivote parcial e total. Existencia e unicidade da factorización A=LU. Factorizacións PA=LU e PAQ=LU. Existencia e unicidade da factorización A=BB*. Almacenamento dunha matriz simétrica: perfil cheo e perfil oco. Método de Householder. Factorización A=QR.

5. Necesidade do uso de métodos numéricos para o cálculo de valores e vectores propios. Condicionamento dun problema de valores propios: teorema de Bauer-Fike. Acotamento de autovalores: teorema de Gerschgorin.

6. Método de Jacobi para matrices simétricas.

7. Método da potencia iterada e variantes: principio xeral do método da potencia iterada. Análise do método para autovalores dominantes. Algoritmo de Rayleigh. Método da potencia iterada inversa.

Bibliografía básica e complementariaATKINSON, K.E. - HAN, W. [2004]: Elementary numerical analysis. John Wiley and Sons. ATKINSON, L.V. - HARLEY, P.J. - HUDSON, J.L. [1989]: Numerical methods with FORTRAN 77. A practical introduction. Addison-Wesley. AUBANELL, A. - BENSENY, A. - DELSHAMS, A. [1991]: Eines bàsiques de càlcul numèric. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona. BRAINERD, W.S. - GOLDBERG, C.H. - ADAMS, J.C. [1996]: Programmer's Guide to Fortran 90. Springer. CIARLET, P.G. [1999]: Introducción á análise numérica matricial e á optimización. Servicio de Publicacións da USC. GOLUB, G.H. - VAN LOAN, C. [1996]: Matrix computations. Johns Hopkins University Press. GOURLAY, A.R. - WATSON, G.A. [1973]: Computational methods for matrix eigenproblems. John Wiley and Sons. HORN, R.A. - JOHNSON, C.R. [1991]: Matrix analysis. Cambrigde University Press. KINCAID, D. - CHENEY, W. [1994]: Análisis numérico. Addison-Wesley Iberoamericana. METCALF, M. - REID, J. - COHEN M. [2004]: Fortran 95/2003 explained. Oxford University Press. PARLETT, B.N. [1980]: The symmetric eigenvalue problem. Prentice-Hall. STOER, J. - BULIRSCH, R. [1993]: Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag. YOUNG, D.M. - GREGORY, R.T. [1972]: A survey of numerical methods, vol. I-II. Addison-Wesley.

CompetenciasCon respecto ás competencias específicas, centrarémonos nas seguintes: - Identificación de distintos tipos de matrices e as súas propiedades. - Coñecemento e programación dos métodos numéricos clásicos para a resolución dun S.E.L. - Coñecemento dalgúns métodos numéricos para o cálculo de valores e vectores propios e programar os máis sinxelos. Pretendemos desenvolver, ademais, as competencias transversais:

161

- Resolución de problemas. - Comunicación escrita na lingua nativa.

Metodoloxía da ensinanzaTres horas de teoría e práctica e unha na aula de Informática por semana. Os alumnos asistentes á clase disporán de material relacionado cos contidos que se desenvolverán nas clases, xunto con boletíns de exercicios propostos para a súa resolución. Proporanse con asiduidade actividades encamiñadas a que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos adquiridos na materia. Os estudantes disporán dun curso virtual, complemento da docencia presencial e que constitúa unha nova vía de comunicación cos profesores.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA avaliación farase a partir da realización das actividades:

• Exame final escrito na data prevista polo centro • Exame final práctico na data prevista polo centro • Problemas e traballos de programación na linguaxe FORTRAN 90

segundo se indica:

Exame escrito (Teoría, cuestións e problemas): 6 (mínimo para aprobar: 2,5) Exame práctico (Programación): 2,5 (mínimo para aprobar: 1) Nota de Problemas: 0,5 Nota de Laboratorio (*): 1

(*) máis 3 faltas inxustificadas no Laboratorio de Informática: imposibilidade de sumar a nota de Laboratorio á nota final. Tanto a nota de Problemas como a de Laboratorio conservaranse ata a seguinte convocatoria.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaEstimamos a seguinte dedicación:

Teoría e problemas: - Horas presenciais: 45 horas - Horas non presenciais: 67,5 horas

Prácticas de ordenador: - Horas presenciais: 15 horas - Horas non presenciais: 30 horas

Exame final: - Horas presenciais: 3,5 + 1,5 horas - Horas non presenciais: 30 horas

Total: - Horas non presenciais: 66 horas - Horas non presenciais: 127,5 horas

Créditos ECTS: (/ 27) 7,2

Recomendacións para o estudo da materia- Estudo diario dos contidos tratados nas clases, complementados no curso virtual da materia. - Comparación e complementación dos apuntamentos de clase coa bibliografía recomendada. - Resolución dos boletíns de problemas e busca doutros na bibliografía. - Programación dos algoritmos propostos, para o que se dispón das aulas de Informática da Facultade. - Utilizar as horas de titoría dos profesores para resolver todo tipo de dúbidas.

162

Código : 091202 Nome:Diferenciación de Funcións de Varias Variables ReaisAno Academico : 2007/2008

Créditos teóricos: 4.5 Créditos prácticos: 3 Total: 7.5

Carácter: Troncal Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre




Rodríguez López,Gerardo CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaPreténdese proporcionar os fundamentos teóricos e, ademais, as imprescindibles destrezas do cálculo diferencial no ámbito das funcións reais de varias variables reais; en particular, os problemas de extremos e de funcións implícitas e inversas deben ser abordados e resoltos con facilidade. Trátase dun curso básico e, polo tanto, coa pretensión de contribuír á formación matemática do estudante, que proporcione, ao mesmo tempo, o imprescindible instrumental de cálculo diferencial para a resolución de problemas do ámbito da licenciatura.

Contidos1. Conceptos previos O espazo euclidiano R^n Estudo de normas usuais. Aplicacións lineares e multilineares entre espazos euclidianos. Espazos normados: ideas básicas sobre a súa topoloxía e sobre o espazo das aplicacións lineares e multilineares continuas entre espazos normados

2. Aplicacións diferenciables A derivada no cálculo elemental. O concepto de diferencial. Regras de diferenciación

3. Diferenciación parcial. Derivada segundo un vector para unha función real de varias variables reais. Derivadas parciais. Diferenciación en espazos produto. Expresión da diferencial: a matriz xacobiana. Interpretacións e aplicacións elementais do cálculo diferencial de varias variables

4. O teorema dos incrementos finitos O teorema do valor medio para funcións reais de varias variables reais. Caso xeral. Aplicación ao estudo de condicións de diferenciabilidade. Funcións continuamente diferenciables

5. Diferenciación de orde superior. Fórmula de Taylor Derivadas e diferenciais de orde superior. Permutación da orde de derivación. Estudo da diferencial segunda. Matriz hessiana. Funcións de clase m. Fórmula de Taylor

6. Extremos relativos Condicións necesarias e suficientes para a existencia de extremo

7. O Teorema da función implícita

8. O Teorema da función inversa

9. Aplicacións dos teoremas da función implícita e da inversa Extremos condicionados. Cambios de variable. Problemas xeométricos

Bibliografía básica e complementariaBibliografía recomendada: 1.- BOMBAL, F.; RODRÍGUEZ, L.; VERA, G. Problemas de Análisis Matemático 2º. Cálculo diferencial. Ed. AC. 1991. 2.- FERNÁNDEZ VIÑA, J.A. Análisis Matemático II:Topologia y Cálculo diferencial. 2ª ed. Tecnos. 1993. 3.- FERNÁNDEZ VIÑA, J.A.; SÁNCHEZ MAÑES, E. Ejercicios y complementos de análisis Matemático II. 2ª ed. Tecnos. 1993. 4.- RODRÍGUEZ, G. Diferenciación de funciones de varias variables reales.Manuais Universitarios. Nº 4.Publicacións da Universidade de Santiago. 2003.

Outras lecturas de interese: 1.- APOSTOL, T. M., Análisis Matemático, Ed. Reverté, 1991. 2.- BARTLE, R. G., Introducción al análisis Matemático, 1ª ed., Limusa, 1991. 4.- CARTAN, H., Cálculo diferencial, Ed. Omega. 5.- CASTILLO , F. del, Análisis Matemático II, Ed. Alambra. 7.- FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. e SÁNCHEZ MAÑES, E., Ejercicios y complementos de análisis Matemático II, 2ª ed., Tecnos, 1993. 9.- MARSDEN, J. e TROMBA, A., Vector cálculus, 3ª de. W. H. Freeman and Comp.

163

Competencias- Dominio dos aspectos teóricos básicos da materia. - Capacidade e soltura de cálculo para funcións de varias variables reais. - Familiaridade coa resolución de sinxelos problemas xeométricos, físicos e da vida real que poidan ser resoltos mediante os conceptos e técnicas aquí estudadas.

Metodoloxía da ensinanzaEnfócase a docencia mediante clases teóricas, prácticas e seminarios. Nas primeiras, preséntanse e desenvólvense os contidos esenciais da disciplina. As clases prácticas dedícanse á resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións) e procúrase unha activa participación do estudante. Nos seminarios, ao estar programados en grupos reducidos, poderán ter cabida diversos enfoques nos que se traten conceptos e cuestións da materia (construción de exemplos, resolución de problemas sinxelos, exposicións por parte dos alumnos, etc.) e procurarase sempre que a participación do estudante sexa máxima.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito, teórico-práctico. Valorarase, así mesmo, a participación do estudante nas actividades propostas ao longo do curso.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaEnténdese que unha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida deberá ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado segundo as diversas circunstancias que concorran no alumno.

Recomendacións para o estudo da materia- Aconséllase manexar con soltura os conceptos elementais básicos de: Introdución á Análise Matemática, Cálculo diferencial e integral, Topoloxía dos espazos euclidianos e Álxebra linear e multilinear. - Asemade, e fundamental participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia: asistencia ás clases, participación nas clases de problemas e seminarios, utilización de horas de titorías, etc.

164

Código : 091203 Nome:Integración de Funcións de Varias Variables ReaisAno Academico : 2007/2008






Fugarolas Villamarín,Manuel Antonio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Preténdese conseguir, mediante as clases teóricas, prácticas e de seminario, un coñecemento profundo e rigoroso dos contidos do programa.

Contidos1. A medida de Lebesgue en Rn 2. Funcións medibles 3. A integral de Lebesgue en Rn.Teoremas de converxencia 4. Relación entre as integrais de Riemann e de Lebesgue 5. O espazo L2 (I) 6. Transformadas integrais 7. Integrais iteradas: Teorema de Fubini 8. Cambio de variable na integral de Lebesgue

Bibliografía básica e complementariaT. M. APOSTOL. Análisis Matemático. Reverté, 1976. F. BOMBAL, L. RODRÍGUEZ e G. VERA. Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral. A. C, 1987. J. A. FERNÁNDEZ VIÑA. Análisis Matemático III. Integración y Cálculo exterior. Tecnos, 1992. J. A. FERNÁNDEZ VIÑA e E. SÁNCHEZ MAÑES. Ejercicios y Complementos de Análisis Matemático III. Tecnos, 1994. FLORENCIO DEL CASTILLO. Análisis Matemático II. Alhambra, 1980. W. RUDIN. Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill, 1980.

CompetenciasComprender, en profundidade, as definicións e teoremas fundamentais da materia, xunto coas súas aplicacións.

Metodoloxía da ensinanzaO temario desenvolverase de forma totalmente rigorosa e daráselle especial relevancia aos conceptos e resultados fundamentais.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExames finais desta materia que convocará a Facultade de Matemáticas.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaÉ unha cuestión subxectiva do/a alumno/a.

Recomendacións para o estudo da materiaSeguir as indicacións do profesor ao longo de todo o curso.

ObservaciónsAs observacións oportunas sobre a materia irá dándoas o profesor ao longo do curso.

165

Código : 091204 Nome:Introdución ás Ecuacións Diferenciais OrdinariasAno Academico : 2007/2008






Costal Pereira,Fernando CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir o alumno no campo das ecuacións diferenciais ordinarias, ao tempo que se pon de manifesto a importancia da súa aplicación ao estudo de problemas da vida real e se fai fincapé nos resultados de existencia de solución, métodos elementais de integración e, dun xeito especial, no estudo, tanto desde o punto de vista teórico como práctico, dos sistemas lineares.

Contidos1. Motivacións e xeneralidades. Concepto de solución. Problema de Cauchy 2. Existencia e unicidade de solucións 3. Prolongación de solucións. Solucións maximais 4. Métodos elementais de integración das ecuacións de primeira orde 5. Dependencia da solución respecto das condicións iniciais e da ecuación 6. Sistemas de ecuacións lineares. Propiedades das solucións. Matriz fundamental 7. Sistemas de ecuacións lineares con coeficientes constantes 8. Sistemas autónomos. Espazo de fases para sistemas lineares autónomos no plano 9. Ecuación linear de orde superior. Ecuacións de coeficientes constantes 10. Aplicacións das ecuacións diferenciais

Bibliografía básica e complementariaW.E. BOYCE e R. C. DI PRIMA, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores de Frontera, Limusa, 1996.

M. BRAUN, Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.

E. A. CODDINGTON e N. LEVINSON, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.

C.H. EDWARDWS e D.E. PENNEY, Ecuaciones Diferenciales, Prentice Hall, 2001.

C. FERNÁNDEZ PÉREZ, Ecuaciones Diferenciales, vol.1, Pirámide, 1992.

C. FERNÁNDEZ PÉREZ e J. M. VEGA MONTANER, Ecuaciones Diferenciales, vol. 2, Pirámide, 1996.

M. M. GUTERMAN e Z. H. NITECKI, Differential Equations. A first Course, Saunders College Publishing, 1992.

G. LEDDER, Ecuaciones Diferenciales. Un enfoque de modelado. McGraw-Hill, 2006.

R. K. NAGLE e E. B. SAFF, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison Wesley Iberoaméricana, 1992.

S. NOVO, R. OBAYA e J. ROJO, Ecuaciones y Sistemas Diferenciales, McGraw-Hill, 1995.

G. F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales, McGraw-Hill, 1993.

SOTOMAYOR, Liçoes de Equaçoes Diferenciais Ordinarias, I.M.P.A., 1979.

D. ZILL, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1988.

CompetenciasComprender, asimilar e saber expresar con rigor, os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa. Dun xeito especial, deberá ser quen de aplicar os resultados relativos á existencia e unicidade de solución dunha ecuación diferencial ordinaria, resolver algunhas ecuacións diferenciais mediante a aplicación dalgúns dos métodos elementais e resolver sistemas lineares e ecuacións de orde superior, ambas as dúas con coeficientes constantes. Ademais, deberá saber analizar, desde o punto de vista cualitativo, un sistema diferencial linear autónomo no plano e aplicar as técnicas estudadas a problemas elementais da Física, Química, Bioloxía, Socioloxía, etc.

166

Metodoloxía da ensinanzaA materia, de 7,5 créditos (4,5 T + 3 P), impártese coa axeitada proporción entre teoría e práctica e procúrase fomentar o interese e a participación do alumnado ante a teoría das ecuacións diferenciais e as súas aplicacións a distintos problemas concretos. O alumnado disporá de referencias bibliográficas apropiadas e concretas para cada un dos temas, así como de “Boletíns de Problemas” cos que poderá poñer a proba en cada momento o nivel acadado na súa preparación da materia e as súas posibilidades de cara á superación do exame final.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade da súa aplicación a casos concretos, tanto de carácter teórico como aplicado. A nota final (NF) obterase a partires da nota do exame final (NEF) e da obtida durante o curso (NC) seguindo o algoritmo indicado a continuación: NF=0.7 NEF + máx{0.3 NC, 0.3 NEF} A nota do curso (NC) obterase tendo en conta a participación do alumno nas tarefas propostas con esta finalidade.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaAínda que é difícil de computar o tempo necesario, xa que depende do grao de formación e das habilidades de cada alumno, pódese considerar que para un alumno medio debería ser suficiente unha dedicación de hora e media por cada hora de clase impartida.

Recomendacións para o estudo da materiaO alumno deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Cálculo Diferencial e Integral” e “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais”. Partindo desta situación, deberá traballar conregularidade e rigor, así como acudir ás clases dun modo participativo e preguntar, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

167

Código : 091205 Nome:Introdución ao Cálculo de Probabilidades Ano Academico : 2007/2008






Coladas Uría,Luis CAT-UN Profesor/a

Fernández Sotelo,María Ángeles TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir os conceptos básicos do cálculo de probabilidades como modelo para o estudo dos fenómenos aleatorios. Familiarizar o alumnado cos resultados fundamentais do cálculo de probabilidades, estudando con detalle os modelos de variables aleatorias unidimensionais.

Contidos1. Introdución ao cálculo de probabilidades Modelos matemáticos. Evolución histórica do cálculo de probabilidades. Revisión práctica dos conceptos de combinatoria

2. Espazo de probabilidade Situacións determinísticas e aleatorias. Experimentos aleatorios. Espazo mostral. Sucesos. Probabilidade. Propiedades

3. Probabilidade condicionada Introdución. Teorema do produto. Teorema das probabilidades totais. Teorema de Bayes. Dependencia e independencia de sucesos

4. Variable aleatoria unidimensional Concepto de variable aleatoria. Espazo de probabilidade inducido. Función de distribución. Tipos de variables aleatorias. Variables discretas. Variables continuas. Función de densidade. Descomposición dunha función de distribución. Transformacións dunha variable aleatoria

5. Características das distribucións unidimensionais Esperanza matemática. Momentos. Propiedades. Desigualdades relativas a momentos. Outras medidas de centralización, dispersión e forma

6. Funcións xeratrices e funcións características Funcións xeratrices de probabilidade e de momentos. Funcións características: propiedades. Relación entre características e momentos

7. Principais distribucións discretas. Probas de Bernoulli. Distribución binomial. Distribución de Poisson. Distribución hiperxeométrica. Distribucións de tempos de espera: xeométrica, binomial negativa. Relacións entre as distintas distribucións

8. Principais distribucións continuas Distribución uniforme. Distribución normal. Relación coa binomial e Poisson. Outras distribucións continuas: exponencial, gamma, beta... Outras relacións de interese

Bibliografía básica e complementariaLibros xerais

BARTOSZYNSKI, R.; NIEWIADOMSKA-BUGAJ, M. “Probability and Statistical Inference”. Wiley. 1996. DEGROOT, M.H. “Probabilidades y Estadística”. Addison-Wesley. 1988. DUDEWICZ, E.J.; MISHRA, S.N. “Modern Mathematical Statistics”. Wiley. 1988. QUESADA, V.; GARCÍA, A. “Lecciones de Cálculo de Probabilidades”. Ediciones Díaz de Santos, S.A..1988. ROHATGI, V.K. “An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics”. Wiley. 1976.

Libros de problemas

CALOT, G. “Exercices de Calcul des Probabilités”. Dunod. 1976. CUADRAS, C.M. “Problemas de Probabilidades y Estadística. Vol. 1: Probabilidades”. Ediciones Universitarias de Barcelona. 1999 (Hai varias edicións anteriores). LEBOEUF, C. et al. “Exercices corrigés de probabilités”. Ellipses. 1984. MONTERO, J.; PARDO, L.; MORALES, D.; QUESADA, V. “Ejercicios y problemas de Cálculo de Probabilidades”. Ediciones Díaz de Santos. 1988. RAHMAN, N.A. “Theoretical Exercices in Probability and Statistics”. Griffin. 1983.

168

CompetenciasA partir dos conceptos estudados e dos coñecementos adquiridos, o alumno pode facer o estudo de calquera fenómeno aleatorio: construción do espazo de probabilidades asociado, definición de variables aleatorias sobre o espazo construído e cálculo das súas características de centralización, dispersión e forma. Coñece tamén os principais modelos de variables aleatorias, discretos e continuos, así como as relacións entre eles. Como consecuencia, o alumno debe ser capaz de modelizar situacións da vida real en terminoloxía probabilística, resolvendo os problemas que se presentan en relación cos conceptos estudados.

Metodoloxía da ensinanza• A materia consta de seis créditos, distribuídos en sesenta horas de clase, das que aproximadamente 45 son teórico-prácticas e 15 corresponden a seminarios. As clases teñen unha duración de 60 minutos e desenvólvense na aula asignada. A explicación de cada tema do programa por parte do profesor irá precedida da súa presentación e dos seus obxectivos. • As clases teóricas desenvólvense intercalando problemas e exemplos entre as explicacións teóricas cando se estime oportuno. • Os seminarios terán un carácter eminentemente práctico, utilizándose tamén para avaliar o aproveitamento do alumnado. • Nas titorías e titorías activas tratarase de resolver as dúbidas suscitadas polos alumnos sobre as clases teórico-prácticas ousobre os problemas que deben resolver. • Os alumnos contarán co apoio do campus virtual da USC, a través da páxina do curso, para dispoñer de acceso ao programa, bibliografía e aos distintos boletíns de exercicios, así como a apuntamentos dalgúns temas e información sobre actividades complementarias voluntarias e a ferramentas de comunicación.

Sistema de avaliación da aprendizaxeEsta materia participa nas experiencias sobre a converxencia ao Espazo Europeo de Educación Superior polo que o sistema de avaliación será distinto do tradicional. • Haberá un exame final teórico-práctico consistente na interpretación dunha serie de cuestións ou o desenvolvemento de preguntas de teoría e a resolución de problemas. A este exame daráselle un peso do 75% na nota final da materia. • A asistencia, participación e aproveitamento de clases, titorías e seminarios suporá o 25% da nota final. A súa avaliación realizarase de acordo coas liñas de actuación aprobadas pola comisión de docencia da Facultade de Matemáticas.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, unha hora diaria de estudo e traballo persoal que complemente a asistencia a clases e titorías debería resultar suficiente.

Recomendacións para o estudo da materiaPara superar con éxito a materia, é necesaria a asistencia ás clases teóricas e prácticas e a resolución e revisión dos problemas que se propoñan. Coa utilización da bibliografía recomendada é posible completar ou ampliar calquera tema.

ObservaciónsAconséllase cursar previamente: Cálculo Diferencial e Integral.

169

Código : 091206 Nome:Xeometría Afín e ProxectivaAno Academico : 2007/2008






Alonso Tarrío,Leovigildo M TIT-UN Profesor/a

Jeremías López,Ana TIT-UN Profesor/a

Vale Gonsalves,M Jesús TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer a metodoloxía básica da Xeometría, co emprego do método de coordenadas. ii) Adquirir visión espacial e formar a intuición dos sistemas de dimensión superior. iii) Pór en relación a Xeometría intuitiva coa Xeometría da perspectiva e o concepto de punto do infinito. iv) Empregar o método proxectivo para mellorar a comprensión dos problemas xeométricos.

ContidosI. ESPAZO AFÍN

1. Variedades lineares 1.1. Incidencia e paralelismo 1.2. Posicións relativas

2. Xeometrías afíns 2.1. Referencias afíns: coordenadas 2.2. Ecuacións de variedades lineares afíns

3. Colineacións afíns 3.1. Grupo afín 3.2. Determinación dunha afinidade 3.3. Ecuacións dunha afinidade

4. Cónicas e cuádricas 4.1. Lugares xeométricos no plano afín euclidiano: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola 4.2. Clasificación métrica das cónicas e das cuádricas reais 4.3. Cónicas e cuádricas afíns: clasificación afín das cónicas e das cuádricas

II. ESPAZO PROXECTIVO

1. Espazo proxectivo: principio de dualidade 1.1. Motivación. Adxunción de puntos do infinito a un plano afín 1.2. Espazos proxectivos analíticos. Dimensión. Variedades lineares proxectivas 1.3. Sistemas de referencia proxectivos. Coordenadas homoxéneas 1.4. Espazo proxectivo asociado ao espazo dual. Coordenadas de Plücker 1.5. Proposicións duais. Principio de dualidade 1.6. Teoremas de incidencia: Desargues, Pappus

2. Teorema fundamental da xeometría proxectiva 2.1. Colineacións proxectivas: proxectividades 2.2. Isomorfismos semilineares 2.3. Colineación inducida por un isomorfismo semilinear 2.5. Teorema fundamental da xeometría proxectiva

3. Encaixe dun espazo afín nun espazo proxectivo 3.1. Encaixe dun espazo afín nun espazo proxectivo: hiperplano do infinito 3.2. Homoxeneización. Compleción proxectiva de cónicas afíns 3.3. Restrición e extensión de colineacións proxectivas e afíns

4. Configuración invariante dunha colineación 4.1. Configuración invariante dunha colineación proxectiva 4.2. Cálculo da configuración invariante dunha colineación 4.2. Colineacións centrais: centro e eixe 4.3. Consecuencias do Teorema de Desargues e do Teorema de Pappus

5. Razón dobre 5.1. Definición da razón dobre de catro puntos dunha recta

170

5.2. Invarianza da razón dobre para proxectividades 5.3. Cuaternas harmónicas e cuadrivértices completos. Planos de Fano 5.4. Teorema fundamental entre rectas proxectivas e o teorema de Staudt 5.5. Proxectividades entre rectas dun plano proxectivo

6. Polaridades. Cónicas proxectivas 6.1. Correlacións e polaridades 6.2. Polaridades no plano proxectivo e cónicas non dexeneradas 6.3. Involución definida por unha cónica sobre unha recta: construción xeométrica das tanxentes a unha cónica dende un punto.6.4. Triángulos autopolares. Ecuacións reducidas das cónicas 6.5. Clasificación proxectiva das cónicas

7. Teoremas clásicos sobre cónicas. 7.1. Cónica xerada por feixes de rectas: teorema de Steiner-Chasles 7.2. Cónica determinada por cinco puntos 7.3. Teorema de Pascal e Brianchon. Recta de Pascal e punto de Brianchon 7.4. Teoremas de Desargues e Pappus sobre cónicas. Teorema de Sturm 7.5. Feixes de cónicas

Bibliografía básica e complementariaAnzola, M.; Caruncho, J. y Pérez Canales, G.: Geometría Proyectiva Cónicas y Cuádricas. Algebra, Tomo 7, 1982. Burgos, J.: Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana (segunda edición), McGraw-Hill, 2000. Coxeter, H. M. S.: Projective Geometry. 2nd Edition, Springer, 1987. Golovina L. I.: Álgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. Mir, 1980. Gruenberg, K. W.; Weir, A. J.: Linear Geometry. 2nd Edition, GTM 49, Springer, 1977. Hartshorne R.: Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamín, New York 1967. Hefez, A.: Introdução à Geometria Projetiva. Monografías de Matemática, n 46, IMPA, 1989. Hernández E.: Álgebra y Geometría. Addison-Wesley/UAM, 1994. Montesdeoca, A.: Geometría Proyectiva. Cónicas y Cuádricas. CECD, Gobierno de Canarias, 2001 Ruiz, J. M.; Rodríguez-Sanjurjo, J. M.: Geometría Proyectiva. Addison-Wesley Iberoamericana, Madrid 1998 Santaló, L.: Geometría Proyectiva. Eudeba, 1977.

Algunhas direccións sobre Xeometría Proxectiva en internet http://ochoa.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/expogp.html http:/www.math.poly.edu/courses/projective_geometry

Competencias- Manexar a linguaxe xeométrica con rigor e precisión en demostracións sobre variedades lineares afíns e proxectivas. - Comprender e manexar a relación entre as xeometrías afín e proxectiva. - Manexar argumentos baseados no principio de dualidade. - Calcular a configuración invariante dunha proxectividade. - Manexar as polaridades para o estudo de cónicas proxectivas. - Utilizar a razón dobre e aplicala a problemas xeométricos. - Coñecer os resultados básicos da xeometría proxectiva e o seu significado.

Metodoloxía da ensinanzaClases de teoría e problemas con exposición por parte do profesor e, ocasionalmente, realización de problemas na aula polos alumnos.

Clases de seminario nas que os alumnos comentan as súas dúbidas sobre a materia coa orientación do profesor e realizan exercicios adicionais.

Sistema de avaliación da aprendizaxeAsistencia. Realización de exercicios propostos e exposicións nos seminarios (10%). Exames (90%).

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaUnha hora de estudo e traballo persoal por hora de clase de teoría impartida. Unhas 5 horas semanais.

Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases.

Na parte de xeometría afín, o alumno debe tratar de formalizar xeometricamente os resultados xa coñecidos de álxebra linear.

Na parte de xeometría proxectiva, inicialmente, o alumno ten que facer fincapé en adquirir unha nova visión xeométrica e só despois tratar de asimilar os resultados e teoremas explicados na materia.

171

Código : 091211 Nome:TopoloxíaAno Academico : 2007/2008


Carácter: Obrigatorio Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre




Álvarez López,Jesús Antonio CAT-UN Profesor/a

Carballés Vázquez,José Manuel TIT-UN Profesor/a

Oubiña Galiñanes,José Antonio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Introducir as nocións básicas de espazos topolóxicos, espazos métricos e continuidade.

- Construír novos espazos topolóxicos mediante produtos e cocientes.

- Coñecer as propiedades topolóxicas básicas; compacidade e conexidade.

Contidos1.- Espazos topolóxicos e espazos métricos: Topoloxías: espazos topolóxicos; abertos. Pechados. Bases e subbases. Veciñanzas. Bases locais. Métricas nun conxunto: espazos métricos. Metrizabilidade. Comparación de topoloxías. Métricas equivalentes. Interior, clausura e fronteira. Espazos de Hausdorff. Propiedades de numerabilidade. Sucesións converxentes. Sucesións de Cauchy en espazos métricos. Espazos métricos completos. Topoloxía relativa: subespazos

2.- Continuidade: Aplicacións continuas. Aplicacións abertas e pechadas. Homeomorfismos e propiedades topolóxicas. Restricións. Aplicacións combinadas. Topoloxías inducidas. Aplicacións isométricas

3.- Suma e produto de espazos topolóxicos: Topoloxía suma. Produto finito de espazos topolóxicos; a topoloxía produto. Propiedades. Produtos e continuidade

4.- Espazos cocientes: Identificacións. A topoloxía cociente. Propiedades. Exemplos de espazos cocientes

5.- Conexidade: Espazos topolóxicos conexos. Espazos conexos por camiños. Compoñentes conexas. Conexidade local

6.- Compacidade: Espazos topolóxicos compactos. Compacidade e continuidade. Produto de espazos compactos. Compacidade local. Compactificación

7.- Espazos normais: O problema de extensión dunha aplicación continua. Retraccións. Espazos normais. Lema de Urysohn. Teorema de extensión de Tietze

8.- Compacidade e compleción en espazos métricos: Compacidade secuencial. Propiedade de Bolzano-Weierstrass. Caracterizacións da compacidade en espazos métricos. Completamento dun espazo métrico. Teorema de compleción. O espazo R como completamento de Q

Bibliografía básica e complementariaLima, E.L. Espaços métricos. I.M.P.A. Rio de Janeiro, 1983. Masa Vázquez, Xosé M. Topoloxía Xeral. Universidade de Santiago de Compostela. Santiago, 1999. Munkres, J.R. Topología. Prentice-Hall. Madrid, 2002. Willard, S. General Topology. Addison-Wesley. Reading, 1970.

Competencias - Comprender distintas formas de dar unha topoloxía nun conxunto: usando abertos, pechados, abertos básicos, veciñanzas básicas; e coñecer topoloxías definidas por distancias.

- Adquirir intuición no estudo dos espazos topolóxicos abstractos.

- Ser capaces de xeneralizar a espazos topolóxicos conceptos xa coñecidos polo alumno en espazos euclidianos: interior, adherencia, puntos de acumulación, a noción de continuidade, as definicións e propiedades básicas de conexidade e compacidade; e coñecer novas propiedades xerais que tamén se aplican ao estudo de espazos métricos.

172

- Saber construír novos espazos a partir doutros: subespazos, espazos suma, produto e cociente.

- Afondar na noción de continuidade: homeomorfismos e propiedades topolóxicas, extensións continuas.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito

ObservaciónsMaterias que se aconsella cursar previamente: Topoloxía dos Espazos Euclidianos.

173

Terceiro Curso

175

Código : 091301 Nome:Curvas e Superficies Ano Academico : 2007/2008






Cordero Rego,Luis Ángel CAT-UN Profesor/a

Hervella Torrón,Luis María CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Manexo do método do triedro móbil (Triedro de Frenet) para o estudo da teoría local de curvas, analizando en profundidade as ideas de curvatura e torsión. - Estudo das superficies regulares mediante as súas coordenadas, introducindo os conceptos de plano tanxente, diferencial dunha aplicación entre superficies e formas fundamentais. - Coñecemento e manexo da curvatura de Gauss e curvaturas normais. - Demostración e comprensión do Teorema Egregium de Gauss.

Contidos1.- Curvas regulares. Parámetro lonxitude de arco Definicións. Exemplos. Vector e recta tanxentes. Parámetro lonxitude de arco. Curvas de velocidade unidade

2.- Curvatura, torsión, triedro de Frenet Curvatura e torsión dunha curva. Interpretación xeométrica. Fórmulas de Frenet-Serret

3.- Teorema fundamental de curvas Transformacións lineares. Transaccións. Transformacións afíns. Isometrías e movementos ríxidos Orientación. Teorema fundamental 4.- Superficies regulares Definicións básicas. Exemplos. Cambio de parámetros. Funcións diferenciables sobre superficies O plano tanxente. Diferencial dunha aplicación

5.- A primeira forma fundamental A primeira forma fundamental. Aplicacións

6.- A xeometría da aplicación de Gauss A segunda forma fundamental. Curvaturas normais. Teoremas de Meusnier e Euler Liñas de curvatura. Clasificación dos puntos dunha superficie. Indicatriz de Dupin Direccións conxugadas

7.- A aplicación de Gauss en coordenadas locais Ecuacións de Gauss e Weingarten. Ecuacións diferenciais das liñas asintóticas e de curvatura

8.- Aplicacións entre superficies Isometrías. Aplicacións conformes

9.- Teorema de Gauss Ecuacións de Codazzi-Mainardi. Teorema Egregium de Gauss. Teorema de Bonnet

10.- Aplicacións prácticas Superficies de revolución. Superficies regradas. Superficies minimais

Bibliografía básica e complementariaAraújo, P.V. Geometria Diferencial. Coleçao Matemática Universitária. IMPA, Rio de Janeiro. 1998 Carmo, M.P.do. Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza ed. Madrid 1990. Cordero, L.A., Fernandez, M., Gray, A. Curvas y superficies con Mathematica. Addison-Wesley Iberoamericana. 1994. Fedenko, A. Problemas de geometría diferencial. Mir. Moscú 1981. Hsiung, C. C. A first course in differential geometry. Wiley. New York 1981. Klingenberg, W. Un curso de geometría diferencial. Alhambra ed. Madrid 1973. Lipschutz, L.M. Geometría diferencial. Schaum. Colombia 1971. López de la Rica, A; de la Villa Cuenca, A. Geometría diferencial. Edit. Clagsa, Madrid 1997. Milman, R.S., Parker, G.D. Elements of differential geometry. Prentice Hall.New J. 1977. Vaisman, I. A first course in differential geometry. Marcel Dekker.New York 1984.

177

Competencias- Identificar as curvas regulares, illando singularidades. - Coñecemento e manexo da curvatura e da torsión dunha curva regular mediante o triedro de Frenet. - Identificación de superficies abstractas e superficies regulares. Manexo do seu plano tanxente. - Utilización da aplicación de Gauss para o estudo local dunha superficie regular. - Coñecemento das curvaturas normais dunha superficie, e das curvaturas principais cara á definición e manexo da curvatura de Gauss e da curvatura media. - Utilización do anterior para o estudo de superficies coñecidas (superficies de revolución, regradas e minimais). - Utilización de paquetes informáticos para a visualización de superficies e o cálculo dos seus elementos.

Metodoloxía da ensinanzaCatro horas de teoría e dúas horas de problemas e seminarios á semana. Nas clases de problemas e seminarios resolveranse os exercicios propostos nas horas de teoría e as dúbidas que poidan xurdir. Mediante o uso de ordenador, faranse exercicios prácticos de cálculo de curvaturas.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Probas periódicas e exame final escrito.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 60 problemas: 15 seminarios: 15

Horas non presenciais: 8 horas/semana x 12 semanas: 96 horas Horas de preparación do exame final: 30 horas


Recomendacións para o estudo da materiaMaterias que se aconsella cursar previamente: Álxebra Linear e Multilinear, Topoloxía, Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais, Integración de Funcións de Varias Variables Reais, Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias.

ObservaciónsÉ moi importante o traballo diario para levar a materia ao día e poder seguir o desenvolvemento desta materia que é moi construtiva e intuitiva.

178

Código : 091302 Nome:Elementos de Variable Complexa Ano Academico : 2007/2008






Costal Pereira,José Benito TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia Proporcionarlle ao estudante, no seu primeiro contacto coa teoría de funcións de variable complexa, as súas ferramentas, técnicas e conceptos fundamentais, ao tempo que se destacan as propiedades principais da análise complexa e as súas diferenzas coa análise real estudada en cursos anteriores.

ContidosDIFERENCIABILIDADE COMPLEXA 1. Introdución: o corpo dos números complexos. O plano euclidiano e o plano complexo 2. O plano complexo ampliado e a esfera de Riemann: o punto do infinito 3. Diferenciabilidade complexa. Ecuacións de Cauchy-Riemann. Funcións holomorfas 4. Funcións elementais dunha variable complexa: a función exponencial, as funcións trigonométricas e hiperbólicas, as funcións logaritmo e potenciais

TEOREMA INTEGRAL DE CAUCHY 5. Integración ao longo dun camiño. Propiedades 6. Índice dun punto respecto dun camiño pechado. Propiedades 7. Versión local do teorema integral de Cauchy: fórmula integral de Cauchy 8. Analiticidade das funcións holomorfas. Teorema de Morera 9. Ceros das funcións holomorfas: teorema de unicidade 10. Funcións enteiras: teorema de Liouville 11. Teorema do módulo máximo: consecuencias 12. Teorema da aplicación aberta 13. Versión homolóxica do teorema integral de Cauchy: ciclos e ciclos homólogos 14. Versión homotópica do teorema integral de Cauchy: conxuntos abertos simplemente conexos

SINGULARIDADES ILLADAS 15. Desenvolvementos en serie de Laurent 16. Singularidades illadas: clasificación. Teorema de Casorati-Weierstrass 17. Residuos. Teorema dos residuos: aplicacións

Bibliografía básica e complementaria CONWAY, J. B.: Functions of One Complex Variable, Springer, 1978. CRESPO, D.-VIZMANOS, J. R.: Problemas resueltos de variable compleja, 1982. CHURCHILL, R. V.: Variable compleja y aplicaciones. McGraw-Hill, 1992. JAMESON, G. J. O.: A first Course on Complex Functions. Chapman and Hall, 1982. RUDIN, W.: Análisis real y complejo.: McGraw-Hill, 1987.

Competencias- Demostrar con rigor resultados teóricos da materia. - Coñecer e interrelacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa e adquirir destreza na súa aplicación a situacións concretas. - Resolver algúns problemas da análise real con axuda da análise complexa.

Metodoloxía da ensinanza- Exposición teórica dos temas obxecto de estudo. Poderán propoñerse algunhas partes teóricas para a súa preparación e posterior exposición por parte dos alumnos nos seminarios. - Proposición de cuestións, exercicios ou problemas de diverso tipo (rutineiro, que requiran maior nivel de pensamento ou de relación entre diversas partes da materia). - Ademais de dar solución ás dubidas e, na medida que sexa preciso, ao mencionado no apartado anterior, nas clases prácticas e nos seminarios os alumnos deberán poñer de manifesto o labor que realizaran sobre as tarefas previamente propostas e traballar sobre outras que poidan propoñerse.

179

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame teórico-práctico, que terá lugar de acordo co calendario de exames que fixe o Centro. A cualificación de cada alumno non será inferior á que obteña nese exame, pero podería ser incrementada, no seu caso e conforme o modo que se fixe, tendo en conta a actividade desenvolta por ese alumno ao longo do curso.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- Horas presenciais semanais: teóricas: 2; prácticas: 1; de seminario: 1. - Horas non presenciais: dependerán, evidentemente, do sistema de aprendizaxe do alumno ao longo do curso.

Recomendacións para o estudo da materia- Realizar un traballo constante de estudo todos os días, coa utilización de material bibliográfico. - Participar activamente no desenvolvemento da materia durante as horas presenciais. - Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala e, a continuación, dar resposta ás cuestións, exercicios ou problemas correspondentes. - Manexar con soltura os contidos das materias: Introdución á Análise Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais, Topoloxía dos Espazos Euclidianos. - Seguir as suxestións do profesor ao longo do curso

180

Código : 091303 Nome:Inferencia EstatísticaAno Academico : 2007/2008






González Manteiga,Wenceslao CAT-UN Profesor/a

Prada Sánchez,José Manuel CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir os principios básicos da Inferencia Estatística, utilizando como ferramenta de traballo o Cálculo de Probabilidades desenvolvido nas materias Introdución ao Cálculo de Probabilidades e Vectores Aleatorios.

Contidos1.- ESTATÍSTICA MATEMÁTICA: PRELIMINARES - Fontes, evolución, obxecto e método da Estatística - Conceptos de poboación, mostra e estatístico - Principios metodolóxicos da inferencia estatística: conceptos de estimación puntual, intervalo de confianza e contraste de hipóteses

2.- DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA. CUANTÍS E MOMENTOS MOSTRAIS - Converxencia de sucesións de variables aleatorias. Leis febles e fortes dos grandes números. Teorema central do límite - Distribución empírica. Estatístico de Kolmogorov-Smirnov. Aplicacións - Mostra ordenada: cuantís mostrais. Distribucións asociadas. Aplicacións - Momentos mostrais. Distribucións asociadas

3.- INFERENCIA EN POBOACIÓNS NORMAIS - Distribución da media e varianza mostrais: distribución X2 de Pearson. Teorema de Fisher. Aplicacións - Estatístico e distribución t de Student. Aplicacións - Distribución da diferenza de medias mostrais. Aplicacións - Distribución do cociente de cuasivarianzas mostrais: distribución F de Snedecor. Aplicacións

4.- O PRINCIPIO DE SUFICIENCIA - Concepto de estatístico suficiente - Criterios para identificar un estatístico suficiente. Teorema de factorización - A familia exponencial

5.- ESTIMACIÓN PUNTUAL - Comparación de estimadores: funcións de perda e risco. Criterios Bayes e min-max - Estimadores innesgados uniformemente de mínima varianza - Cotas para a varianza: desigualdade de Fréchet-Cramer-Rao. Eficiencia - Métodos de construción de estimadores: momentos e máxima verosimilitude

6.- ESTIMACIÓN POR REXIÓNS DE CONFIANZA - Intervalos e rexións de confianza - Métodos de construción de intervalos de confianza: pivotal, Neyman, bayesiano e asintótico

7.- CONTRASTES DE HIPÓTESES - Tests de hipóteses. Criterios de optimalidade - Lema de Neyman-Pearson - Tests unilaterais e bilaterais. Tests centrados - Métodos de construción de contrastes: test de razón de verosimilitudes - Tests de bondade de axuste

8.- O MODELO LINEAR - A hipótese linear xeral - O modelo de regresión linear - Análise da varianza con un e dous factores

Bibliografía básica e complementariaAZZALINI, A. (1996). “Statistical Inference. Based on the likelihood”. Chapman Hall. CASELLA, G. y BERGER, R.L. (1990). “Statistical Inference”. Wadsworth & Brooks/Cole. CRISTÓBAL CRISTÓBAL, J.A. (1995). “Inferencia Estadística” (Segunda edición). Universidad de Zaragoza. DUDEWICZ, E.J. y MISHRA, S.N. (1988). “Modern Mathematical Statistics”. Wiley. GÓMEZ VILLEGAS, M.A. (2005). "Inferencia Estadística". Díaz de Santos. LEHMANN, E.L. (1991). “Testing Statistical Hypothesis” (Segunda edición). Wiley.

181

LEHMANN, E.L. (1991). “Theory of Point Estimation” (Segunda edición). Wiley. PEÑA, D. (2001). “Fundamentos de Estadística”. Alianza Editoral. ROHATGI, V.K. (1976). “An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics”. Wiley. SCHERVISH, M.J. (1995). “Theory of Statistics”. Springer. SHAO, J. (2003). “Mathematical Statistics” (Segunda edición). Springer. SHAO, J. (2005). “Mathematical Statistics: Exercices and Solutions”. Springer. VÉLEZ IBARROLA, R. y GARCÍA PÉREZ, A. (1993). “Principios de Inferencia Estadística”. UNED.

Competencias- Con carácter xeral, manexar os conceptos básicos e os principios metodolóxicos da Inferencia estatística nos diversos modelos de poboación. - Utilizar os conceptos de converxencia de sucesións de variables aleatorias e leis asociadas para estudar o comportamento asintótico de estatísticos notables. - Manexar os principais estatísticos asociados a poboacións normais para a inferencia nunha ou en dúas destas poboacións. - Identificar estatísticos suficientes. - Determinar as propiedades básicas dos estimadores puntuais. - Manexar os métodos de máxima verosimilitude e momentos para a construción de estimadores. - Calcular estimadores Bayes, Min-max, ECUMV e eficientes. - Manexar os métodos pivotal, Neyman, bayesiano e asintótico para a construción de intervalos de confianza. - Formular e resolver problemas de contraste de hipóteses e manexar o test de razón de verosimilitudes. - Construír e analizar modelos lineares.

Metodoloxía da ensinanzaO curso impartirase en bloques teóricos de 4 horas semanais mediante lección maxistral e utilizarase fundamentalmente o encerado. Fomentarase a participación dos alumnos nas clases propoñéndose diversos exercicios para a súa resolución fóra das devanditas horas.

Unha vez a semana, haberá unha hora de prácticas de encerado na que se presentarán e se resolverán exercicios e casos prácticos enunciados nas clases e nos boletíns de problemas que se entregan. Nestas prácticas, para conseguir un mellor aproveitamento e participación dos alumnos, o grupo de teoría subdivídese en tres subgrupos, que se organizan da seguinte forma.

A primeira semana (posiblemente, as dúas primeiras), o profesor resolverá exercicios diferentes nos tres subgrupos; os alumnos dos diferentes subgrupos deberán comunicarse entre si para dispoñer de todas as solucións. As titorías programadas servirán para resolver dúbidas neste sentido.

A partir da segunda semana (posiblemente, da terceira), o profesor resolverá exercicios só en dous subgrupos, utilizando o terceiro, que rotará todas as semanas, para avaliar os alumnos do devandito subgrupo. Esta avaliación, relativa aos exercicios resoltos ata ese momento (por exemplo, resolución dun exercicio), poderá ser oral ou escrita. No segundo caso, cada tres semanas todos os alumnos terán sido avaliados unha vez. No primeiro, en función do tamaño de cada subgrupo, quizais cada seis semanas. Sería razoable, e posible nun curso de quince semanas, acadar dúas avaliacións escritas e unha oral de cada alumno.

Ademais, opcionalmente, os alumnos poderán realizar un estudo de simulación sobre cuestións concretas propostas ao longo do curso nas clases teóricas, como por exemplo: 1. Aproximar por Monte Carlo a distribución ou características da distribución dun estatístico, en particular o erro cuadráticomedio dun estimador. 2. Aproximar por Monte Carlo o erro de recubrimento dun intervalo de confianza para unha característica poboacional. 3. Aproximar por Monte Carlo a función de potencia dun test de hipóteses para contrastar unha suposición relativa a unha característica poboacional. Este estudo, que poderá realizarse ben de modo individual, ben en grupos de dous alumnos, presentarase antes de realizar o exame final.

Sistema de avaliación da aprendizaxeO 25% da nota final procederá da asistencia (obrigatoria) e da participación activa nas clases prácticas.

O 75% restante procederá dun exame final escrito que poderá incluír cuestións teóricas ou teórico-prácticas (ata 2 puntos) e exercicios (resto da puntuación ata un total de 10 puntos).

Dado que esta metodoloxía, en principio será opcional para o alumno (alumnos repetidores con incompatibilidades horarias…), a nota final y, será:

y = máx {x, 0,75x + 0,25s},

onde x é a nota do exame final e s a procedente das clases prácticas. Para incentivar a asistencia ás clases prácticas, o valorde s será 5 se o alumno asiste, polo menos, ao 80% das devanditas clases (0, noutro caso). Entre asistentes, esta nota poderá chegar a 10 en función das avaliacións.

A valoración do estudo opcional de simulación farase entre 0 e 1, e engadirase á nota final y.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar esta materia depende moito da destreza e das habilidades do alumno. En xeral, unha hora e media diaria de estudo e de traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debe resultar suficiente.

182

Mediante unha enquisa controlarase semanalmente o tempo real investido polos alumnos nela.

Recomendacións para o estudo da materiaPara superar con éxito a materia é necesaria a asistencia ás clases teóricas e prácticas e a resolución e revisión dos boletínsde exercicios entregados ao longo do curso. Todos os temas do programa poden seguirse perfectamente polos apuntamentos tomados na clase. Ademais, no epígrafe bibliografía básica e complementaria aparece unha lista de textos recomendados para a materia cos que é posible completar ou ampliar calquera tema.

ObservaciónsAconséllase cursar previamente as materias Introdución ao Cálculo de Probabilidades e Vectores Aleatorios.

183

Código : 091311 Nome:Introdución á ÁlxebraAno Academico : 2007/2008


Carácter: Obrigatorio Convocatoria: Segundo Cuadrimestre




Fernández Rodríguez,Rosa M TIT-UN Profesor/a

García Rodicio,Antonio CAT-UN Profesor/a

López López,Purificación TIT-UN Profesor/a

Villanueva Novoa,Emilio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEstablecer as estruturas alxébricas fundamentais das matemáticas que van ser usadas noutras disciplinas.

Estudar a divisibilidade nos aneis de enteiros e de polinomios e noutros aneis importantes, usando os resultados para obter a estrutura de módulos sobre estes aneis.

Contidos1. ANEIS Grupos. Aneis. Subaneis. Ideais. Homomorfismos de aneis. Anel cociente. Teoremas de isomorfía. Corpos. Característica dun corpo. Aneis conmutativos. Ideais primos e maximais. Nilradical e radical de Jacobson. Operacións con ideais. Teorema chino dos restos. Elementos irredutibles. Dominios de factorización única. Dominios de ideais principais. Dominios euclidianos. Aneis de polinomios. Algoritmo de Euclides

2. MÓDULOS Módulos. Submódulos. Módulo cociente. Homomorfismos de módulos. Teoremas de isomorfía. Módulos cíclicos. Produto directo e suma directa. Módulos libres. Xeradores e relacións. Sucesións exactas. Lema do Ker-Coker. Sucesións rotas

3. FUNCTORES HOM Categorías, functores e transformacións naturais. Functores Hom e sucesións exactas. Módulos proxectivos. Módulos inxectivos. Criterio de Baer. Módulos inxectivos e módulos divisibles. APÉNDICE: restrición de escalares. O Lema de Nakayama. Módulos proxectivos sobre un anel local

4. PRODUTO TENSORIAL Produto tensorial. Asociatividade do produto tensorial. Isomorfismo de adxunción. Produto tensorial e sumas directas. Produto tensorial e sucesións exactas. Módulos planos. Extensión de escalares. Rango dun módulo libre sobre un anel conmutativo. APÉNDICE: Módulos planos de presentación finita

5. MÓDULOS DE TIPO FINITO SOBRE DOMINIOS DE IDEAIS PRINCIPAIS Equivalencia de matrices. Diagonalización. O teorema de estrutura. Módulos de torsión e compoñentes primarios. Invariantes

Bibliografía básica e complementariaM. F. ATIYAH e I. G. MACDONALD, Introducción al Álgebra Conmutativa, Reverté, 1978. N. BOURBAKI, Commutative Algebra, Ch I (Flat modules), Springer, 1989. N. BOURBAKI, Algebra, Cap. I, II, VII, Springer, 1990. P. J. HILTON e YEL-CHIANG WU, Curso de Álgebra Moderna, Reverté, 1977. B. HARTLEY e T. O. HAWKES, Rings, Modules and Linear Algebra, Chapman and Hall, 1970. S. LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1993. J. J. ROTMAN, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1979.

Competencias - Coñecer os diferentes tipos de estruturas alxébricas. - Manexo da linguaxe categórica no caso concreto da categoría de módulos. - Utilización das sucesións exactas de módulos e de certos resultados relacionados con elas. - Clasificar os grupos abelianos finitamente xerados.

Metodoloxía da ensinanzaCada alumno recibirá 3 horas de teoría, 1 de práctica e 1 de seminario á semana.

A parte práctica da materia consistirá na resolución de exercicios que serán propostos polo profesor ou en boletín de problemas.

184

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- HORAS PRESENCIAIS: 45 teóricas, 15 prácticas, 15 seminarios - HORAS NON PRESENCIAIS: 150 - Horas de avaliación: 4 - TOTAL volume de traballo: 229 horas/cuadrimestre

Recomendacións para o estudo da materiaTer unha dedicación constante á disciplina co fin de comprender e manexar os conceptos estudados.

Dedicar esforzos para aplicar os razoamentos das demostracións teóricas á resolución de problemas.

185

Código : 091312 Nome:Métodos NuméricosAno Academico : 2007/2008






Ferrín González,José L TIT-UN Profesor/a


Obxectivos da materia1. Coñecer as ferramentas e os algoritmos máis relevantes para a resolución de: sistemas de ecuacións non lineares, problemas de optimización e problemas de aproximación de funcións. 2. Fomentar a capacidade constructiva e crítica do alumno respecto das técnicas estudadas. 3. Desenvolver a programación en linguaxe informática dos algoritmos estudados.

Contidos1. Resolución de sistemas de ecuacións non lineares 2. Métodos numéricos en optimización 3. Aproximación de funcións no sentido de mínimos cadrados 4. Problema de mínimos cadrados discreto

Bibliografía básica e complementaria1. Bertsekas, D.P. [1995]: Nonlinear programming. Athena Scientific. 2. Burden, R.L.—Faires, J.D. [1998]: Análisis Numérico. ITP Thomson. 3. Davis, P.J. [1975]: Interpolation and Approximation. Dover. 4. Dennis-Schnabel, P.G. [1983]: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. Prentice Hall.5. Hanselman, D.-Littlefield,B. [2005]: Mastering MATLAB.Pearson/Prentice Hall. 6. Metcalf, M.-Reich, J. [1999]: Fortran 90/95. Oxford University. 7. Nocedal, J.-Wright, S. J. [1999]: Numerical Optimization. Springer-Verlag. 8. Ortega, J.M.—Rheinboldt, J. [1970]: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press. 9. Quintela, P. [1997]: Introducción a MATLAB y sus aplicaciones. Servicio de Publicacións de la USC. 10. Sun, W.-Yuan,Y.: Optimization Theory and Methods. Springer 2006.

CompetenciasResolución de problemas: tendo que resolver problemas concretos.

Organización do tempo: tendo que organizar o seu tempo de traballo para presenta-las tarefas que periodicamente encomenda o profesor.

Uso de computadoras: como ferramenta de uso imprescindible para realiza-los cálculos numéricos correspondentes aos métodos que se estudan na materia. Isto permitirá ademais acadar fluidez nas linguaxes de programación.

Comunicación verbal e escrita: ao ter que explicar e ademais presentar informes escritos correspondentes a algúns dos exercicios a realizar no Laboratorio de Informática.

Metodoloxía da ensinanza3 horas de clases teórico-prácticas e 1 hora de laboratorio de informática á semana. Os alumnos realizarán tres prácticas de programación en Fortran e Matlab, e certos traballos encomendados polo profesor.

Sistema de avaliación da aprendizaxe1. Exame escrito: 7 puntos. 2. Programación: 2 puntos. A realización desta parte é requisito imprescindible para aprobar a materia. 3. Traballos: 1 punto. 4. Para superar a materia é necesario acadar 5 puntos na nota global.

186

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais teórico-prácticas: 45. Horas presenciais de laboratorio informático: 15. Horas non presenciais: 85. Horas de avaliación: 5.

TOTAL: 150 h.

Recomendacións para o estudo da materia1. Coñecemento das materias de informática, análise matemática e numérica dos cursos anteriores. 2. Asistencia diaria a tódalas clases. 3. Participación activa nas clases. 4. Estudo diario mínimo para seguir o ritmo de aprendizaxe dos contidos.

ObservaciónsO primeiro día de clase entregaráselle a cada alumno unha guía docente onde se expoñen con detalle tódolos apartados deste programa, e onde se insire, asemade, información adicional de interese.

187

Código : 091313 Nome:Series de Fourier e Introdución ás E.D.P. Ano Academico : 2007/2008






Fernández Pérez,Fco Javier TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir o alumno no estudo e na resolución práctica das ecuacións en derivadas parciais que regulan, nun marco elemental, procesos físicos reais tales como vibracións, transmisión de calor e distribución de potencial. Como ferramenta necesaria para este estudo, preséntanse previamente os conceptos e resultados elementais dos espazos de Hilbert, con especial incidencia nos exemplos e aplicacións. Singularízanse, con particular énfase, os conceptos e práctica con series de Fourier respecto do sistema trigonométrico no espazo das funcións de cadrado sumable nun intervalo limitado.

Contidos1.- ESPAZOS DE HILBERT. Espazos dotados de produto interior. Bases ortonormais. Espazos de Hilbert. Teorema de Riesz-Fisher

2.- SERIES DE FOURIER. O espazo das funcións de cadrado integrable. Sistema trigonométrico. Converxencia de series de Fourier: puntual, uniforme, en media

3.- ECUACIÓN DE ONDAS. Problema da corda vibrante. Solución de D’Alembert. Separación de variables

4.- ECUACIÓN DA CALOR. Problema da transmisión da calor nunha barra. Método de separación de variables. Principio do máximo

5.- ECUACIÓN DO POTENCIAL. Ecuación de Laplace en dúas variables. Principio do máximo. Problemas de Dirichlet e Neumann

Bibliografía básica e complementariaL. ABELLANAS e A. GALINDO, Espacios de Hilbert, Eudema, 1991. L. C. ANDREWS, Elementary Partial Differential Equations with Boundary Value Problems, Academic Press, 1986. W. BOYCE e R. DIPRIMA, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Limusa, 1996. A. CAÑADA VILLAR, Series de Fourier y Aplicaciones. Un tratado elemental con notas históricas y ejercicios resueltos, Pirámide, 2002. R. CHURCHILL, Series de Fourier y Problemas de Contorno, McGraw-Hill, 1966. A. KOLMOGOROV e S. FOMIN, Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional, Mir, 1978. I. PERAL, Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Addison-Wesley/U. Autónoma Madrid, 1995. G. F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, McGraw-Hill, 1993.

CompetenciasComprender, asimilar e saber expresar con rigor os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa. Dun xeito especial, deberá ser quen de aplicar os resultados relativos aos espazos de Hilbert, con especial incidencia no caso do espazo de funcións de cadrado integrable, e determinar distintos tipos de converxencia das series de Fourier en exemplos e aplicacións. Resolución práctica das ecuacións en derivadas parciais que regulan, nun marco elemental, procesos tales como vibracións, transmisión de calor e distribución de potencial e particularizalos a exemplos concretos con significado físico.

Metodoloxía da ensinanzaA materia impártese durante 3 horas semanais, distribuídas na proporción axeitada entre teoría, práctica e seminarios. Procurarase fomentar o interese do alumnado ante os conceptos obxecto da materia, nos seus aspectos teórico e práctico.

O alumnado disporá de referencias bibliográficas apropiadas e concretas para cada un dos temas, así como de “Boletíns de Problemas” cos que poderá poñer a proba en cada momento o nivel acadado na súa preparación da materia e as súas posibilidades de cara á superación do exame final.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito, que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade de aplicación dos mesmos a casos concretos, tanto de carácter teórico como aplicado. A nota final (NF) obterase a partires da nota do exame final (NEF) e da nota obtida ó longo do curso (NC) consonte o algoritmo:

188

NF=0.7NEF+máx(0.3NC, 0.3NEF) A nota do curso (NC) obterase tendo en conta a participación do alumno nas tarefas propostas con esta finalidade.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaAínda que é difícil computar o tempo necesario, xa que depende do grao de formación de cada alumno, pódese considerar que para un alumno medio debería ser suficiente unha dedicación de hora e media por cada hora de clase impartida.

Recomendacións para o estudo da materiaO alumno deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Cálculo Diferencial e Integral”, “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais” e “Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias”. Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases dun modo participativo e preguntar, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

189

Código : 091314 Nome:Teoría Global de Superficies Ano Academico : 2007/2008






Bonome Dopico,Agustín TIT-UN Profesor/a

Gómez Tato,A Mariano TIT-UN Profesor/a

Torres Lopera,Juan Francisco TIT-UN Profesor/a

Vilariño Fernández,Silvia BOL.PIF Bolseiro/a

Obxectivos da materiaEstudo dos campos de vectores nun aberto do espazo euclidiano e dos campos de vectores tanxentes e normais a unha superficie. Estudo dos conceptos de integral de liña e integral de superficie. Campos de vectores paralelos. Transporte paralelo dun vector ao longo dunha curva. Xeodésicas. Curvatura xeodésica. Estudo das propiedades e teoremas máis destacados da xeometría diferencial global de superficies, incluíndo orientabilidade, o teorema de Gauss-Bonnet e o teorema da rixidez da esfera.

Contidos1. Campos de vectores Campos de vectores nun aberto do espazo euclidiano. Gradiente, diverxencia e rotacional. Campos de vectores ao longo dunha curva. Integrais de liña. Campos de vectores tanxentes a unha superficie regular

2. Orientabilidade Campos de vectores normais a unha superficie. Atlas orientados. Caracterización da orientabilidade das superficies regulares mediante campos normais

3. Integración en Superficies Integración en superficies. Teoremas de Green, Stokes e Gauss-Ostrogradski

4. Superficies compactas en R3. A rixidez da esfera Lema de Hilbert. Teorema de Liebmann. Rixidez da esfera

5. Transporte paralelo e xeodésicas Derivada covariante ao longo dunha curva sobre unha superficie. Campos de vectores paralelos. Transporte paralelo dun vector tanxente ao longo dunha curva. Xeodésicas. Curvatura xeodésica. Fórmula de Liouville

6. Teorema de Gauss Bonnet. Trianguacións e característica de Euler-Poincaré. Fórmula local de Gauss-Bonnet. Teorema global de Gauss-Bonnet. Aplicacións

7. A aplicación exponencial Aplicación exponencial. Coordenadas normais e coordenadas poares xeodésicas. Lema de Gauss. Carácter minimizante local das xeodésicas. Estrutura métrica dunha superficie regular. Teorema de Hopf-Rinow

8. Complementos Superficies abstractas. Superficies regulares (ou embebidas) nun espazo euclidiano. Esbozo da xeometría riemanniana sobre unha superficie abstracta. Superficies completas

Bibliografía básica e complementariaAPOSTOL, T.M. Calculus, vol. 2. Blaisdell Pub. Company, 1967. (versión castelán, Edit.Reverté, 1973). DO CARMO, M.P.(*) Differential Geometry of curves and surfaces. Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1976. (versión castelán, Alianza Editorial, 1990). FEDENKO, A. Problemas de geometría diferencial. Mir. Moscú 1981. GRAY, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, 1998. GÖETZ, A. Differential Geometry, Addison-Wesley, 1970. KLINGENBERG, W. A Course in Differential Geometry. Springer-Verlag, GTM 51, 1978. (versión en castelán, Edit. Alhambra, 1973). LEHMAN, D. e SACRÉ, C. Géométrie et Topologie des Surfaces . Presses Universitaires de France, Paris, 1982. LIPSCHUTZ, L.M. Geometría diferencial. Mac Graw Hill, Serie Schaum. México 1971. MARSDEN, J.E. e TROMBA, A.J. Cálculo vectorial, 5ª edición. Addison Wesley Iberoamericana, Madrid 2004. MONTIEL, S. e ROS, A. Curvas y superficies . Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997 O'NEILL, B. Elementary Differential Geometry. Second Edition Academic Press, 1997. (versión castelán, Limusa-Wiley, 1972).VENTURA ARAÚJO, P. G Diferencial. IMPA, Rio de Janeiro, 1998.

190

O libro máis utilizado no curso aparece marcado cun (*) na Bibliografía.

Competencias1.- Uso dos conceptos de gradiente, diverxencia e rotacional. 2.- Orientación de curvas e superficies. 3.- Resolver integrais de liña e de superficie. Uso dos teoremas de Green, Stokes e Gauss-Ostrodadski. 4.- Cálculo do transporte paralelo en curvas sinxelas. 5.- Coñecer as xeodésicas de superficies elementais. 6.- Coñecemento dos principais métodos de obtención da curvatura xeodésica. 7.- Uso do teorema de Gauss-Bonnet para o cálculo dalgunhas integrais sobre rexións dunha superficie.

Metodoloxía da ensinanzaA distribución semanal da materia será aproximadamente a seguinte: 3 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de seminarios. Nas clases de problemas traballarase sobre os exercicios que se lles propuxeron aos alumnos e sobre dúbidas aparecidas nas clases teóricas.

Sistema de avaliación da aprendizaxeHaberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da Facultade; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula. A cualificación da materia será a do exame incrementada, no seu caso e ata un 30%, baseándose nunha avaliación continuada positiva.

O exame terá unha parte de teoría (ente un 25 e un 40% do total da proba), que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 45 horas teóricas 15 horas de problemas 15 horas de seminarios

Horas non presenciais: 80 horas relacionadas coa docencia presencial (6 á semana: 4 horas de teoría, 1 de problemas e 1 de seminarios) 20 horas para preparar traballos 20 horas de preparación do exame final

Horas de avaliación: 5 horas exame final


ObservaciónsAconséllase ter cursadas previamente as seguintes materias: - Álxebra Linear e Multilinear - Topoloxía - Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais, - Integración de Funcións de Varias Variables Reais - Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias - Curvas e Superficies

191

Código : 091315 Nome:Vectores AleatoriosAno Academico : 2007/2008






Prada Sánchez,José Manuel CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaCoñecer os principios básicos do Cálculo de Probabilidades no contexto de máis dunha dimensión (vectores e sucesións de variables aleatorias), ferramenta de traballo que –xunto con Introdución ao Cálculo de Probabilidades (contexto dunha dimensión)– se utilizará, entre outras, na materia de Inferencia Estatística.

ContidosTEMA 1.- VECTOR ALEATORIO. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADE ASOCIADA - Concepto. Espazo probabilístico inducido. Función de distribución n-dimensional

TEMA 2.- TIPOS DE VECTORES ALEATORIOS - Tipos discreto, absolutamente continuo, singular e situacións mixtas. Distribucións marxinais e condicionadas. Fórmula de Bayes xeralizada - Independencia de variables aleatorias: caracterización

TEMA 3.- TRANSFORMACIÓN DE VECTORES ALEATORIOS - Caso discreto - Caso absolutamente continuo. Aplicacións. Método de Box-Muller - Convolución de distribucións. Reprodutividade

TEMA 4.- CARACTERÍSTICAS DUNHA DISTRIBUCIÓN VECTORIAL - Vector de medias e matrices de varianzas-covarianzas e correlacións. Propiedades. Interpretación do seu rango. Varianza xeneralizada. Aproximacións empíricas - Función xeratriz e característica: propiedades. Fórmula de inversión. Caracterización da independencia

TEMA 5.- O MODELO DE CORRELACIÓN (FUNCIÓN DE REGRESIÓN) - Rectas de regresión mínimo cuadráticas. Descomposición da varianza: varianza residual e coeficiente de correlación - Liñas xerais de regresión. Descomposición da varianza: varianza residual e razón de correlación - Regresión linear n-dimensional. Descomposición da varianza: varianza residual e coeficiente de correlación múltiple. Correlación parcial. Aplicacións - Aproximacións empíricas dos modelos de correlación

TEMA 6.- PRINCIPAIS DISTRIBUCIÓNS VECTORIAIS - Distribución multinomial - Distribución normal. Transmisión do carácter mediante transformacións lineares. Caracterización da normalidade

TEMA 7.- INTRODUCIÓN ÁS SUCESIÓNS DE VARIABLES ALEATORIAS - Concepto. Espazo probabilístico inducido. Distribución da sucesión - Criterios de converxencia: probabilidade, case segura, r-media e distribución. Relacións

TEMA 8.- LEIS FEBLES E FORTES DOS GRANDES NÚMEROS. TEOREMA CENTRAL DO LÍMITE - Principais condicións suficientes e caracterizacións das leis - Teorema central do límite para sucesións de variables aleatorias independentes e identicamente distribuídas. Velocidade de converxencia

Bibliografía básica e complementariaTEXTOS XERAIS:

DEGROOT, M.H. (1988). "Probabilidades y Estadística". Addison-Wesley. DUDEWICK, E.J. e MISHRA, S.N. (1988). "Modern Mathematical Statistics". Wiley. HAIGH, J. (2002). "Probability Models". Springer-Verlag. KARR, A.F. (1993). “Probability”. Springer-Verlag. PETROV, V. e MORDECKI, E. (2002). "Teoría de Probabilidades". Editorial URSS. QUESADA, V. e GARCÍA, A. (1988). "Lecciones de Cálculo de Probabilidades". Ediciones Díaz de Santos S.A. VÉLEZ, R. (2004). “Cálculo de probabilidades 2”. Ediciones Académicas, S.A.

TEXTOS DE PROBLEMAS:

DACUNHA-CASTELLE, D. e DUFLO, M. (1982). "Exercices de Probabilités et Statistique". Masson.

192

FERNÁNDEZ-ABASCAL, H. e outros (1995). “Ejercicios de Cálculo de Probabilidades resueltos y comentados”. Ariel Matemática. HERNÁNDEZ, V. e outros (1989). “Problemas y ejercicios de Teoría de la Probabilidad”. Cuadernos de la UNED. LEBOEUF, C. e outros (1984). "Exercices corrigés de Probabilités". Ellipses. MONTERO, J., PARDO, L., MORALES, D. e QUESADA, V. (1988). "Ejercicios y problemas de Cálculo de Probabilidades". Ediciones Díaz de Santos. RAHMAN, N.A. (1983). "Theoretical exercices in Probability and Statistics". Griffin. RÍOS, S. (1989). "Ejercicios de Estadística". Paraninfo. VENTZEL, E.S. e OWTSCHAROW, L.A. (1978). "Problemas de Cálculo de Probabilidades". Paraninfo.

Competencias- Calcular, para vectores aleatorios discretos ou absolutamente continuos, as súas distribucións marxinais e condicionadas, a distribución de transformacións destes vectores, o seu vector de medias, a súa matriz de varianzas e covarianzas e as funcións xeratriz e característica - Calcular aproximacións empíricas do vector de medias e da matriz de varianzas e covarianzas - Interpretar o rango da matriz de varianzas e covarianzas - Utilizar o concepto de independencia entre vectores aleatorios - Calcular e interpretar coeficientes que midan o grao de dependencia entre dúas ou máis variables e construír a recta e a liña de regresión para dúas variables e o hiperplano de regresión para n variables. - Calcular aproximacións empíricas dos coeficientes de correlación e dos modelos de regresión considerados. - Descompoñer a varianza dunha variable no contexto de regresión. - Aplicar os modelos multinomial e normal n dimensional. - Aplicar os diferentes criterios de converxencia para sucesións de variables aleatorias.

Metodoloxía da ensinanzaO curso impartirase en bloques teóricos de 3 horas semanais, mediante lección maxistral, e utilizarase fundamentalmente o encerado. Fomentarase a participación dos alumnos nas clases, nas que se proporán diversos exercicios para a súa resolución fóra das devanditas horas.

Unha vez á semana haberá unha hora de prácticas de encerado na que se formularán e resolverán casos prácticos e exercicios, enunciados nas clases e nos boletíns de problemas entregados, utilizando as técnicas desenvolvidas no programa de teoría; nestas prácticas, para conseguir un mellor aproveitamento e participación dos alumnos, o grupo de teoría subdivídese en tres subgrupos, que se organizan da seguinte forma.

A primeira semana (posiblemente, as dúas primeiras), o profesor resolverá exercicios diferentes nos tres subgrupos; os alumnos dos diferentes subgrupos deberán comunicarse entre si para dispoñer de todas as solucións. As titorías programadas servirán para resolver dúbidas neste sentido.

A partir da segunda semana (posiblemente, da terceira), o profesor resolverá exercicios só en dous subgrupos, utilizando o terceiro, que rotará todas as semanas, para avaliar os seus alumnos. Esta avaliación, relativa aos exercicios resoltos ata ese momento (por exemplo, resolución dun exercicio), poderá ser oral ou escrita. No segundo caso, cada tres semanas todos os alumnos serán avaliados unha vez. No primeiro, en función do tamaño de cada subgrupo, quizais cada seis semanas. Sería razoable, e posible nun curso de quince semanas, acadar dúas avaliacións escritas e unha oral de cada alumno.

Ademais, opcionalmente, os alumnos poderán realizar un estudo de simulación sobre cuestións concretas propostas ao longo do curso nas clases teóricas, como comparación entre características dun vector aleatorio, recta de regresión teórica, liña xeral de regresión… e as súas correspondentes aproximacións empíricas. Este estudo, que poderá realizarse de modo individual, ou ben, en grupos de dous alumnos, presentarase antes de realizar o exame final.

Sistema de avaliación da aprendizaxe O 25% da nota final procederá da asistencia (obrigatoria) e da participación activa nas clases prácticas.

O 75% restante procederá dun exame final escrito que poderá incluír cuestións teóricas ou teórico-prácticas (ata 2 puntos) e exercicios (resto da puntuación ata un total de 10 puntos).

Dado que esta metodoloxía, en principio será opcional para o alumno (alumnos repetidores con incompatibilidades horarias…), a nota final y, será:

y = máx {x, 0,75x + 0,25s},

onde x é a nota do exame final e s a procedente das clases prácticas. Para incentivar a asistencia ás clases prácticas, o valorde s será 5 se o alumno asiste, polo menos, ao 80% das devanditas clases (0, noutro caso). Entre asistentes, esta nota poderá chegar a 10 en función das avaliacións.

A valoración do estudo opcional de simulación farase entre 0 e 1 e engadirase á nota final y.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar esta materia depende moito da destreza e das habilidades do alumno. En xeral, unha hora e media diaria de estudo e de traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debe resultar suficiente. Mediante unha enquisa controlarase semanalmente o tempo real investido polos alumnos nela.

193

Recomendacións para o estudo da materiaPara superar con éxito a materia, é necesaria a asistencia ás clases teóricas e prácticas e a resolución e revisión dos boletínsde exercicios entregados ao longo do curso. Todos os temas do programa poden seguirse perfectamente polos apuntamentos tomados na clase. Ademais, no epígrafe bibliografía básica e complementaria aparece unha lista de textos recomendados para a materia cos que é posible completar ou ampliar calquera tema.

ObservaciónsAconséllase cursar previamente as seguintes materias: Cálculo Diferencial e Integral Nunha e Varias Variables e Introdución ao Cálculo de Probabilidades.

194

Cuarto Curso

195

Código : 091401 Nome:ÁlxebraAno Academico : 2007/2008






Villanueva Novoa,Emilio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEstudo das estruturas alxébricas básicas necesarias para a obtención dos teoremas de Galois e Abel sobre a resolubilidade de ecuacións alxébricas. Despois do estudo dos tópicos habituais en teoría de grupos finitos (teoría de Sylow e resolubilidade de grupos finitos), estúdase con detalle a factorización de polinomios con coeficientes nun corpo e os criterios de Eisenstein, de cambio de variable e de redución, para a determinación da irredutibilidade de polinomios. A parte fundamental da materia está centrada na metodoloxía necesaria para o uso destes conceptos na teoría de Galois de ecuacións alxébricas, fundamentalmente no caso de característica cero. As aplicacións ás conxecturas xeométricas clásicas sobre a trisección do ángulo, duplicación do cubo, e cuadratura do círculo, así como a construtibilidade de polígonos regulares, son tamén contempladas neste curso, xa que constitúe o marco natural para o seu estudo, e todas elas forman parte da bagaxe cultural imprescindible para calquera matemático.

Contidos1.- Complementos sobre as estruturas alxébricas básicas: grupos finitos (co estudo da teoría de Sylow da resolubilidade de grupos finitos) e aneis de polinomios, coa aplicación a estes dos resultados básicos sobre factorialidade en aneis xa estudada no curso de “Introdución a Álxebra” 2.- Extensións de corpos. As nocións fundamentais de extensión alxébrica e transcendente e o teorema do grao para extensións finitas permiten sentar a base para iniciar a parte máis específica do curso e tamén contestar xa ás conxecturas xeométricas clásicas antes mencionadas 3.- Extensións normais. Onde se considera o problema da existencia de extensións do corpo de coeficientes dun polinomio na que este teña polo menos unha raíz e, por reiteración apropiada, atopar unha extensión onde o polinomio escinda en factores lineares. A existencia de clausura alxébrica dun corpo arbitrario e o estudo da noción de multiplicidade das raíces dun polinomio serán tamén contempladas aquí 4.- Teoría de Galois. A utilización da teoría de grupos, en relación co retículo das subextensións dunha certa extensión de corpos dada, constitúe o núcleo central da metodoloxía que se vai seguir para o estudo da resolubilidade de ecuacións alxébricas. Próbase aquí, tamén, o teorema fundamental da Álxebra como unha aplicación máis da teoría de Sylow de grupos finitos 5.- Resolubilidade por radicais. Todas as ferramentas ata agora desenvolvidas permiten introducir o grupo de Galois dun polinomio en relación cos grupos de permutacións, e, demostrado o gran teorema de Galois que establece a resolubilidade por radicais de ecuacións alxébricas en termos da resolubilidade do grupo, próbase o teorema de Abel sobre a non resolubilidade da ecuación alxébrica xeral de grao n maior ou igual que 5 6.- Construtibilidade de polígonos regulares. O teorema de Gauss-Wantzel sobre a construtibilidade de polígonos regulares é ilustrativo e constitúe unha aplicación sinxela dalgúns resultados da teoría de extensións radicais

Bibliografía básica e complementaria1. ARTIN, M., Algebra, Prentice Hall, 1991 2. COHN, P., Algebra. (vol. 1 e 2), Wiley, 1984, 1989 3. DELGADO, F., FUERTES, C. e XAMBÓ, S., Introducción al Álgebra: Anillos, Factorización y Teoría de Cuerpos, Secretariado de Publicaciones e Intercambio Científico, Univ. Valladolid, 1998 4. DUMMIT, D. S., Abstract Algebra, Wiley, 1999 5. ESCOFIER, J. P., Galois Theory, GTM 204, Springer, 2000 6. FENRICK, M. H., Introduction to the Galois Correspondence, Birkäuser, 1992 7. GARLING, D. J. H., A Course in Galois Theory, Cambridge Univ. Press, 1986 8. LANG, S, Algebra, Addison- Wesley, 1993 9. ROTMAN, J., Galois Theory, Springer-Verlag 1990 10. ROWEN, L., Algebra. Groups, rings, and fields, AK Peters, 1994 11. STEWARD, I., Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics, 1980

Competencias- Determinación do número de subgrupos de Sylow dun grupo finito e do seu retículo de subgrupos. Determinación do carácter resoluble. - Factorización en irredutibles de polinomios con coeficientes nun corpo. - Cálculo do grao dunha extensión de corpos e do corpo de escisión dun polinomio. - Identificación de extensións de Galois finitas e cálculo do retículo de subextensións. - Cálculo do grupo de Galois dun polinomio, do seu retículo de subgrupos e a súa relación coas subextensións do seu corpo de escisión. - Recoñecemento da resolubilidade por radicais dunha ecuación alxébrica.

197

Metodoloxía da ensinanzaA materia desenvólvese ao longo dun cuadrimestre, coa cadencia semanal de catro horas de clases de teoría, unha hora de clase de problemas e outra hora de seminario para cada un dos dous grupos reducidos nos que se divide cada grupo de teoría. Aínda que a explicación teórica será ilustrada con exemplos, a clase de problemas dedicarase á resolución dos que lle foran propostos aos alumnos nos boletíns que lles serán entregados previamente. Os seminarios estarán dedicados á aclaración de dúbidas sobre os aspectos teórico-prácticos da materia e resolución de problemas.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Unha vez finalizada a explicación da parte correspondente aos complementos sobre as estruturas alxébricas básicas, realizarase unha proba de control. Aqueles que teñan superado esta primeira proba non estarán obrigados a contestar as cuestións relativas a aquela parte da materia no exame final. - A participación e asistencia ás clases e seminarios, así como a realización das tarefas que se programen será avaliada e constituirá un dez por cento da cualificación final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- HORAS PRESENCIAIS: 60 teóricas, 15 prácticas, 15 seminarios - HORAS NON PRESENCIAIS: 90 teoría, 65 prácticas e seminarios - Horas de avaliación: 7 - TOTAL Volume de traballo: 252 horas/cuadrimestre

Recomendacións para o estudo da materiaPola natureza da materia, resulta imprescindible o traballo diario, tanto de estudo como de asistencia a todas as actividades programadas.

198

Código : 091402 Nome:Análise Funcional en Espazos de Banach Ano Academico : 2007/2008






Isidro Gómez,José María CAT-UN Profesor/a

Otero Pérez,M Carmen TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os fundamentos dos espazos de Banach. ii) Coñecer os fundamentos dos espazos de Hilbert. iii) Coñecer os fundamentos do espazo de operadores lineares limitados entre espazos de Banach. iv) Coñecer os fundamentos da teoría espectral de operadores entre espazos de Hilbert.

ContidosCAPÍTULO I. ESPAZOS DE BANACH (Teoría: 25 horas; Prácticas: 12,5 horas) Propiedades elementais e exemplos. Operadores lineares entre espazos normados. Funcionais lineares continuos. Dual topolóxico dun espazo normado. O teorema de Hanh-Banach. Os teoremas da aplicación aberta e do gráfico pechado. O principio de acotamento uniforme. Aplicacións e exemplos. Duais sucesivos dun espazo de Banach. Inmersión canónica dun espazo no seu bidual. Topoloxías débil e débil*. Espazos reflexivos. O ideal dos operadores compactos

CAPÍTULO II. ESPAZOS DE HILBERT (Teoría: 25 horas; Prácticas: 12.5 horas) Propiedades elementais e exemplos. Ortogonalidade. Teorema da proxección. Teorema de representación de Riesz. Conxuntos ortonormais, Ortonormalización. Bases ortonormais. Transformación de Fourier. Isomorfismos entre espazos de Hilbert. O adxunto dun operador acotado. Proxeccións. Operadores compactos entre espazos de Hilbert. Diagonalización de operadores autoadxuntos compactos

Bibliografía básica e complementaria1.- H. Megginson, An introduction to Banach Space Theory, Springer 1998. 2.- J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer 1990. 3.- H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Universidad Textos 1984. 4.- A. Vera López & P. Alegría Ezquerra, Un curso de Análisis Funcional. Teoría y problemas, AVL 1997.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito teórico-práctico.

Recomendacións para o estudo da materiaSon coñecementos previos imprescindibles: Álxebra Linear, Topoloxía dos Espazos Métricos e Teoría da Medida.

199

Código : 091403 Nome:Cálculo NuméricoAno Academico : 2007/2008






López Pouso,Óscar TIT-UN Profesor/a


Seoane Martínez,María Luisa TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia1) Describir os métodos de cuadratura e os esquemas de discretización de EDO máis importantes.

2) Asimilar os conceptos básicos relativos ás fórmulas de cuadratura: orde de exactitude, optimalidade, converxencia.

3) Asimilar os conceptos fundamentais da análise numérica para EDO: discretización, consistencia, orde, estabilidade, converxencia e estabilidade numérica.

4) Coñecer e utilizar adecuadamente un marco teórico xeral de análise das propiedades dos esquemas de resolución numérica de EDO.

5) Poñer en práctica e validar algún dos métodos estudados.

6) Ser capaz de aplicar con solvencia os métodos estudados a problemas concretos.

Contidos1) Fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico. 1.a) Construción e análise do erro das fórmulas de Newton-Cotes e das fórmulas de Gauss 1.b) Regras compostas 1.c) Converxencia

2) Esquema de diferenzas finitas para unha EDO de segunda orde linear con condicións Dirichlet: descrición e análise. Programación no ordenador

3) Resolución numérica de problemas de valor inicial 3.a) Métodos básicos: Euler explícito, Euler implícito, regra do trapecio, regra do punto medio. Programación dos métodos de Euler 3.b) Descrición das familias máis importantes: métodos Runge-Kutta, métodos lineares multipaso e métodos predictor-corrector. Programación do método de Runge-Kutta clásico 3.c) Teoría xeral dos métodos de discretización 3.c.i) Conceptos básicos: consistencia, orde, estabilidade, converxencia e estabilidade numérica 3.c.ii) Caracterización da consistencia e a estabilidade. Estudo da orde 3.d) Problemas ríxidos

Bibliografía básica e complementaria **BÁSICA: 1) ASCHER, URI M.; PETZOLD, LINDA R. (1998) Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM, Philadelphia, PA. 2) CIARLET, PHILIPPE G. (1982) Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l'optimisation. Masson, Paris. 3) HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin. 4) HENRICI, PETER (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, NY. 5) ISAACSON, EUGENE; KELLER, HERBERT BISHOP (1994, reimpresión correxida) Analysis of Numerical Methods. Dover Publications, New York, NY. [Edición orixinal: 1966 en Wiley] 6) LAMBERT, JOHN DENHOLM (1991) Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. Wiley, Chichester. 7) STOER, JOSEF; BULIRSCH, ROLAND (1993, segunda ed.) Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York, NY. [Primeira edición: 1980]

**COMPLEMENTARIA: 1) BUTCHER, JOHN CHARLES (2003) Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Wiley, Chichester. 2) CROUZEIX, MICHEL; MIGNOT, ALAIN L. (1989, segunda edición) Analyse Numérique des Équations Differentielles. Masson, Paris. [Primeira edición: 1984] 3) DAVIS, PHILIP J.; RABINOWITZ, PHILIP (1975) Methods of Numerical Integration. Academic Press, New York, NY. 4) DEKKER, KEES; VERWER, JAN G. (1984) Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. Elsevier Science Publishers B. V., Amsterdam. 5) ENGELS, HERMANN (1980) Numerical Quadrature and Cubature. Academic Press, London.

200

6) HAIRER, ERNST; WANNER, GERHARD (1991) Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer, Berlin. 7) KINCAID, DAVID RONALD; CHENEY, ELLIOT WARD (1991) Numerical Analysis. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA. 8) KROMMER, ARNOLD R.; UEBERHUBER, CHRISTOPH W. (1994) Numerical Integration on Advanced Computer Systems. Springer, Berlin. 9) LAMBERT, JOHN DENHOLM (1973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, London. 10) QUARTERONI, ALFIO; SACCO, RICCARDO; SALERI, FAUSTO (2000) Numerical Mathematics. Springer, New York, NY. 11) UEBERHUBER, CHRISTOPH W. (1997) Numerical Computation 1/2. Methods, Software, and Analysis. Springer, Berlin.

Competencias1) Coñecer as fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico.

2) Construír algunhas fórmulas de cuadratura, aplicalas a problemas concretos e acotar o erro cometido.

3) Coñecer as dúas grandes familias de métodos de resolución numérica de EDO (Runge-Lutta e lineares multipaso), así como os métodos predictor-corrector.

4) Estudar consistencia, orde, estabilidade, converxencia e estabilidade numérica dalgúns esquemas de discretización de EDO.

5) Coñecer algún método de discretización para problemas de segunda orde con condicións Dirichlet.

6) Coñecer os conceptos básicos asociados á análise dos métodos numéricos estudados.

7) Poñer en práctica os métodos e avaliar criticamente os resultados obtidos.

Metodoloxía da ensinanza1) Planificación coordinada dos contidos de cada clase. 2) Explicación no encerado (lección maxistral). 3) Entrega de boletíns de problemas. 4) Curso virtual. 3) Programación no ordenador dalgúns métodos.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito valorado sobre 9 puntos.

Este exame conterá unha pregunta de programación, que non valerá máis de 2 puntos.

Sobre a nota obtida no exame, o alumno poderá sumar ata un máximo de 1,5 puntos pola realización de traballos prácticos de programación. A nota de prácticas sumarase á nota do exame soamente se o alumno acada no devandito exame un mínimo do 40% da puntuación tanto na parte teórica como na pregunta de programación.

En calquera caso, para superar a materia será obrigatorio realizar as prácticas de ordenador que se mencionan no apartado “contidos”.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 60 horas. de problemas: 20 h. de prácticas de ordenador: 15 h.

Horas non presenciais: 150 h. (90 h. de teoría, 30 h. de problemas, 30 h. de prácticas de ordenador).

Horas de avaliación: 5 h.

Volume total de traballo: 250 h.

Recomendacións para o estudo da materia1) Comprender o que se estuda. Para comprobalo, o alumno debería ser capaz de realizar por si mesmo os exercicios propostos na clase e nos boletíns de problemas.

2) Facer uso do horario de titorías.

3) Recorrer á bibliografía.

201

Código : 091404 Nome:Ecuacións Diferenciais OrdinariasAno Academico : 2007/2008






Rodríguez López,Rosana ASOU Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir ao alumno no campo da teoría cualitativa das ecuacións diferenciais ordinarias, tanto dende o punto de vista teórico como práctico, poñendo de manifesto o interese desta diante da dificultade ou imposibilidade, especialmente no caso non linear, de obter as súas solucións. As técnicas estudadas son aplicadas a ecuacións que representan modelos de diferentes problemas en distintos campos científicos.

Contidos1. Campos de vectores e fluxos. Diferenciabilidade de fluxos xerados por campos de vectores 2. Retrato de fases asociado a un campo de vectores. Aplicación a problemas da física, bioloxía, medicina, etc. 3. Clasificación topolóxica dos campos vectoriais lineares 4. Equivalencia e conxugación de campos de vectores. Teorema do fluxo tubular. Teorema de Hartman 5. Sistemas conservativos. Integrais primeiras. Aplicación á resolución de sistemas de ecuacións diferenciais 6. Estabilidade e estabilidade asintótica. Persistencia da estabilidade por conxugacións topolóxicas 7. Estudo da estabilidade de solucións de sistemas lineares autónomos 8. Estudo da estabilidade de solucións de sistemas autónomos non lineares por medio da aproximación linear 9. Método de Liapunov para o estudo da estabilidade de solucións de sistemas autónomos non lineares 10. Conxuntos invariantes e estabilidade. Rexión de atracción. Aplicacións

Bibliografía básica e complementariaARNOLD, V. I., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Rubiños, 1995.

BRAUER, F. e NOHEL, J. A., Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Benjamin, 1969.

CODDINGTON, E. e LEVINSON, N., Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.

FERNÁNDEZ PÉREZ, C., Ecuaciones Diferenciales I', Pirámide, 1992.

FERNÁNDEZ PÉREZ, C. e VEGAS MONTANER, J. M., Ecuaciones Diferenciales II, Pirámide, 1996.

GUZMÁN, M., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Teoría de Estabilidad y Control, Alhambra, 1987.

HIRSCH, M. e SMALE, S., Ecuaciones Diferenciales. Sistemas dinámicos y álgebra lineal, Alianza Univ., 1983.

JORDAN, D.W. e SMITH, P., Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford Univ. Press, 1992.

ROUCHE, N. e MAWHIN, J., Equations Differentielles Ordinaires, vol. 1 e 2, Masson et Cíe, 1973.

SOTOMAYOR, J., Liçoes de Equaçoes Diferenciais Ordinarias, IMPA, 1979.

CompetenciasComprender, aprender e saber expresar con rigor os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa. Traducir, en termos de ecuacións diferenciais ordinarias, algúns problemas das ciencias aplicadas (física, química, bioloxía, medicina, etc.). Utilizar as técnicas matemáticas estudadas para facer o estudo dinámico das ecuacións obtidas (diagramas de fases, estabilidade, etc.) e interpretar os resultados, avaliando as fortalezas e debilidades do modelo proposto.

Metodoloxía da ensinanzaA materia, de 6 créditos (4 T + 2 P), impártese en 4 horas semanais, coa adecuada proporción entre teoría e práctica. Procurarase fomentar o interese e a participación do alumnado ante a teoría cualitativa das ecuacións diferenciais e as súas aplicacións a distintos problemas concretos. O alumnado disporá de referencias bibliográficas apropiadas e concretas para cada un dos temas, así como de “Boletíns de Problemas” cos que poderá poñer a proba en cada momento o nivel acadado na súa preparación da materia e as súas posibilidades de cara á superación do exame final.

202

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e coa capacidade de aplicación dos mesmos a casos concretos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaAínda que é difícil computar o tempo necesario, xa que depende do grao de formación e das habilidades de cada alumno, pódese considerar que para un alumno medio debería ser suficiente unha dedicación de hora e media por cada hora de clase impartida.

Recomendacións para o estudo da materiaO alumno deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Cálculo Diferencial e Integral”, “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais”, “Integración de Funcións de Varias Variables Reais” e, de modo moi especial, os contidos da materia “Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias”, por ser a materia que precede, en canto a contidos, a esta materia. Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases dun modo participativo e preguntar, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.

203

Código : 091405 Nome:Xeometría e Topoloxía Ano Academico : 2007/2008






Alcalde Cuesta,Fernando TIT-UN Profesor/a

Castro Bolaño,Regina TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEstudar os conceptos básicos da xeometría diferencial no contexto xeral das variedades diferenciables, destacando a súa importancia na física e favorecendo o punto de vista intrínseco e global fronte aos puntos de vista extrínsecos e locais previos.

Trasladar as destrezas adquiridas no cálculo diferencial, exterior e integral dos modelos locais, os espazos euclidianos, ás variedades diferenciables.

Contidos1. Variedades topolóxicas e diferenciables Variedades topolóxicas. Variedades diferenciables. Propiedades topolóxicas das variedades

2. Aplicacións diferenciables Aplicacións diferenciables. Difeomorfismos. Funcións diferenciables reais

3. Vectores tanxentes Espazo vectorial tanxente. Aplicación linear tanxente. Difeomorfismos locais.

4. Subvariedades e variedades cociente Subvariedades inmersas e regulares. Variedades cociente

5. Campos de vectores Fibrado tanxente. Campos de vectores. Curvas integrais. Grupos uniparamétricos de transformacións

6. Formas diferenciais Fibrado cotanxente. Formas diferenciais. Diferencial exterior

7. Particións da unidade Variedades paracompactas. Particións diferenciables da unidade

8. Orientación Orientación nos espazos vectoriais. Orientación nas variedades diferenciables

9. Integración e teorema de Stokes Integración de formas en variedades. Integración sobre dominios regulares. Teorema de Stokes

Bibliografía básica e complementariaBACHMAN D., A Geometric Approach to Differential Forms. Birkhäuser, Boston, 2006. BOOTHBY W.M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1986. CONLON L., Differentiable Manifolds. A first Course. Birkhäuser, Boston, 1993. DARLING R.W.R., Differential Forms and Connections. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. LEE J.M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 2000 MATSUSHIMA Y. Differentiable Manifolds. Marcel Dekker, New York, 1972.

Competencias- Coñecer os conceptos básicos da xeometría diferencial. - Trasladar as destrezas adquiridas no cálculo diferencial, exterior e integral ás variedades diferenciables.

Metodoloxía da ensinanza4 horas de teoría e 2 horas de problemas semanais. Realizarase un control periódico da aprendizaxe mediante unha ou varias probas escritas ou a resolución de problemas propostos no encerado.

204

Sistema de avaliación da aprendizaxeAvaliación continuada baseada no traballo de cada alumno na aula e avaliación final mediante unha proba escrita fixada no calendario da facultade. No caso de avaliación continuada en grupos pequenos, que non superen os dez alumnos, unha avaliación continuada positiva eximirá da realización do exame final. En xeral, a cualificación final non será inferior á calificación do exame final, pero poderá verse incrementada ata un 40% se a avaliación continuada é positiva. No caso de realización dunha ou varias probas escritas, a cualificación final poderá igualar á media das cualificacións de todas as probas.Cada proba escrita consistirá en varias cuestións teóricas, que poden incluír a definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial dos mesmos, e varios problemas análogos aos resoltos no curso.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 60 horas teóricas 30 horas prácticas

Horas de traballo autónomo: 90 horas de estudo teórico e práctico relacionado coa docencia presencial 70 horas de preparación dos exercicios e do exame final

TOTAL: 250 horas de traballo para o alumno

205

Código : 091411 Nome:Teoría da Medida Ano Academico : 2007/2008






Costal Pereira,José Benito TIT-UN Profesor/a

Otero Pérez,M Carmen TIT-UN Profesor/a

Pérez Méndez,José TIT-UN Profesor/a

Trinchet Soria,Rosa M TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir os alumnos nos fundamentos e técnicas básicas da Teoría da Medida e Integración abstractas, proporcionarlles un instrumental básico para o estudo doutras materias da licenciatura ou doutras ciencias e poñer de manifesto, á vez, a conveniencia de facer esa abstracción.

Contidos1. Medida e integración abstractas Sigma-álxebras e medidas. Espazos de medida. Completamento dun espazo de medida. Funcións medibles. Propiedades. Aproximación de funcións medibles mediante funcións medibles simples. Integración de funcións medibles. Propiedades. Teoremas de converxencia

2. Medida e integración en espazos localmente compactos Preliminares topolóxicos. O teorema de representación de Riesz para funcionais lineares positivos. Propiedades de regularidade das medidas de Borel. Propiedades de continuidade das funcións medibles; o teorema de Lusin

3. Os espazos Lp Os espazos Lp. Desigualdades integrais (desigualdades de Hölder e de Minkowski). Seminormas en Lp. Completitude dos espazos Lp. Aproximación en Lp mediante funcións continuas

4. Medidas complexas Variación total dunha medida complexa. Variacións positiva e negativa dunha medida real; descomposición de Jordan. Medidas absolutamente continuas. Medidas mutuamente singulares. O teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym. Algunhas consecuencias inmediatas. Teorema de descomposición de Hahn

5. Medida e integración en espazos produto Sigma-álxebra produto e medida produto. O teorema de Fubini. Completamento do espazo produto

Bibliografía básica e complementariaCASTILLO, F., Análisis Matemático II, Alhambra. CHAE, S. B., Lebesgue Integration, Springer-Verlag. GUZMÁN, M. e RUBIO, B., Integración: teoría y técnicas, Alhambra. HEWITT, E. e STROMBERG, K., Real and abstract Analysis, Springer-Verlag. RUDIN, W., Análisis Real y Complejo, McGraw-Hill. WHEEDEN, R. L. e ZYGMUND, A., Measure and Integration, Marcel Dekker.

CompetenciasDemostrar con rigor resultados teóricos da materia. Coñecer e relacionar conceptos, propiedades e técnicas que se estudan no desenvolvemento do programa, así como a súa aplicación a problemas concretos.

Metodoloxía da ensinanzaExposición teórica dos temas obxecto de estudo. Procurarase que a intuición e o coñecemento que debe terse de situacións ou problemas estudados previamente facilite a comprensión e a aprendizaxe daqueles. Proposición de cuestións, exercicios ou problemas de diverso tipo (rutineiro, que requiran maior nivel de pensamento ou de relación entre diversas partes da materia). Resolución, na medida que sexa preciso, ao mencionado no apartado anterior e, no seu defecto, tratar cuestións, exercicios ou problemas que sirvan de complemento para a aprendizaxe ou para adquirir unha visión máis ampla da materia. As clases teóricas e prácticas mesturaranse, na medida do posible, con obxecto de facilitar a aprendizaxe da materia.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame teórico-práctico que terá lugar de acordo co calendario de exames que fixe o centro, xunto con posibles actividades complementarias que se anunciarán oportunamente.

206

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais semanais: teóricas: 3; prácticas: 1. Horas non presenciais: dependerán, evidentemente, do proceso de aprendizaxe do alumno; en todo caso, parece aconsellable dedicar, polo menos, unha hora por cada hora de teoría e dúas horas por cada hora de prácticas.

Recomendacións para o estudo da materiaRealizar un traballo constante de estudo todos os días, coa utilización de material bibliográfico. Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala. Dar resposta ás cuestións, exercicios ou problemas correspondentes. Ter cursado previamente as materias seguintes: Introdución á Análise Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Integración de Funcións de Varias Variables Reais, Topoloxía.

207

Código : 091421 Nome:Física Xeral Ano Academico : 2007/2008


Carácter: Optativo Convocatoria: Segundo Cuadrimestre




Maza Frechín,Jesús TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os conceptos fundamentais da física no dominio das ondas, mecánica, electromagnetismo e termodinámica que permiten analizar cuantitativamente os fenómenos físicos asociados. ii) Aprender a aplicar os conceptos e resultados básicos da física en diferentes contextos e situacións. iii) Salientar a diferenza entre os obxectivos e a metodoloxía da física e os das matemáticas.

Contidos1.Ondas As ondas: ver e oír. Descrición das ondas. Propiedades xerais: a) Ondas lonxitudinais e transversais; b) Efecto Doppler; c) Superposición de ondas; d) Reflexión; e) Refracción; f) Enerxía; g) Propagación do fronte de ondas; h) Interferencia; i) Difracción. Óptica xeométrica: a) Refracción por unha superficie esférica; b) Imaxe dunha lente delgada; c) Aberracións. Problemas

2.Mecánica Cinemática: ecuacións básicas; referenciais. Leis de Newton. Traballo, enerxía e potencia. Campo gravitacional: exemplos de aplicación: leis de Kepler, mareas. Momento linear: o centro de masa. Momento angular. Movementos oscilatorios: a) estabilidade, b) oscilador harmónico, c) exemplos, d) oscilador harmónico con rozamento, e) oscilador forzado. Problemas

3. Electromagnetismo Interaccións fundamentais. O campo electrostático: campo dipolar; teorema de Gauss; aplicacións. A corrente eléctrica Lei de Ohm. Forza electromotriz. O campo magnetostático: forza de Lorentz. Indución electromagnética. Conservación da carga eléctrica. Ecuacións de Maxwell. Ondas electromagnéticas: propagación no baleiro, propagación en medios condutores. Problemas

4. Termodinámica Traballo e calor. Temperatura. Propiedades xerais das substancias. O gas perfecto e o gas real. Os principios da Termodinámica. Introdución á Física Estatística. Transmisión de enerxía: condución, convección, radiación. Problemas

Bibliografía básica e complementariaPara a seguinte listaxe tivéronse en conta os libros dispoñibles na biblioteca da Facultade de Matemáticas.

TEXTOSJorge Días de Deus e outros, INTRODUCCIÓN A LA FISICA, McGraw-Hill (2001). Marcelo Alonso y Edward J. Finn, FISICA, Addison-Wesley Iberoamericana (1986). Robert M. Eisberg y Lawrence S. Lerner, FÍSICA. FUNDAMENTOS Y APLICACIONES.McGraw-Hill (1990). F. Rubio Royo, FÍSICA. CONCEPTOS BASICOS, Editorial Interinsular Canaria (1985). J. Catalá, FÍSICA, (1988). S. Burbano, E. Burbano y C. García Muñoz, FÍSICA GENERAL, Mira Editores, Zaragoza (1993). W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, FISICA CLÁSICA Y MODERNA, McGraw-Hill (1995).

PROBLEMAS S. Burbano, E. Burbano y C. García Muñoz, PROBLEMAS DE FISICA, Mira Editores, Zaragoza (1993) Félix A. González, LA FÍSICA EN PROBLEMAS, Ed. Tebar Flores (1981). Lisardo Núñez, LA FÍSICA EN PROBLEMAS, Universidad de Santiago (1994).

Outro material docente: Publicaranse apuntamentos da materia: tanto o contido básico co que deberá familiarizarse o alumno como a colección de problemas que se resolverán ao longo do curso.

Competencias• Aplicar os resultados básicos teóricos a situacións e casos concretos, incluíndo o cálculo numérico das variables físicas pertinentes. • Captar a simplicidade conceptual da meirande parte dos principios e leis básicas da física. • Manexo de recursos (fontes, etc.) e desenvolvemento da capacidade expositiva empregando os medios que ofrecen as TIC.

208

Metodoloxía da ensinanzaPresentación breve expositiva por parte do Profesor dos 4 temas. Resolución da colección de problemas do curso por parte dos alumnos, organizados en grupos de dous ou tres. As devanditas resolucións serán expostas e comentadas na clase polos seus autores, que tamén as poñerán por escrito constituíndo unha “memoria de problemas” que entregarán ao final do curso. Sesións expositivas de Presentacións multimedia (diapositivas mediante videoproxector) realizadas polos alumnos sobre temas de física elixidos por eles mesmos. Os autores entregaranlle ao Profesor unha copia destas Presentacións.

Sistema de avaliación da aprendizaxeEsencialmente trátase dun proceso de avaliación continua. A resolución de problemas será puntuada cun máximo de 7,5 puntos. Os 2,5 puntos restantes poderán obterse ben mediante a exposición dunha Presentación multimedia ou ben mediante un exame final de cuestións e problemas numéricos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais teoría: 15 Horas presenciais problemas: 20 Horas presenciais Presentación: 5

Horas non presenciais teoría: 10 Horas non presenciais problemas: 20

Horas non presenciais Presentación: 15 Horas preparación exame final: 15

TOTAL VOLUME DE TRABALLO: 85 horas

Recomendacións para o estudo da materiaTrátase de ir descubrindo a rede conceptual que sostén a física. Aínda que as relacións entre fenómenos físicos exprésanse cuantitativamente mediante ecuacións, a énfase debe poñerse no “armazón conceptual”, polo que o estudo debe ser esencialmente reflexivo, interrogándose continuamente e indagando sobre as ideas físicas expresadas polas ecuacións.

ObservaciónsDado o carácter de avaliación continua da materia, a asistencia á clase é requisito imprescindible.

209

Código : 091422 Nome:Programación AvanzadaAno Academico : 2007/2008






Álvarez Dios,José Antonio TIT-UN Profesor/a

Pena Brage,Francisco José ASOU Profesor/a

Obxectivos da materiaEstudo dunha linguaxe de programación procedural. Introdución á algoritmia. Introdución á programación orientada a obxectos.

Contidos1. Linguaxe C: tipos intrínsecos e derivados, entrada e saída, sentenzas de control, punteiros, funcións matemáticas, vectores e matrices (2,5 créditos) 2. Introdución á linguaxe C++: entrada e saída, clases, funcións matemáticas, vectores e matrices (1 crédito) 3. Introdución á algoritmia: clasificación de algoritmos matemáticos (1 crédito)

Bibliografía básica e complementariaEl lenguaje de programación C. Kerningham e Ritchie. C++. Guía de autoenseñanza. Schildt Fundamentos de algoritmia. Brassard e Bratley.

CompetenciasProgramar en C. Deseño de estruturas de datos e algoritmos. Programar en C++.

Metodoloxía da ensinanzaDocencia Virtual en Web temática, traballos propostos cada semana.

Sistema de avaliación da aprendizaxeTraballos e exame. Os traballos representarán o 30 por cento da nota final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala20 teóricas + 5 prácticas + 20 prácticas ordenador Horas non presenciais: 90 (6 horas/semana, 2 h de teoría, 2 de problemas/prácticas, 2 h. preparación do exame final) Horas de avaliación: 4 Total volume de traballo: 139 horas.

Recomendacións para o estudo da materiaCoñecementos do sistema operativo UNIX.

210

Código : 091461 Nome:Teoría da Probabilidade Ano Academico : 2007/2008






Coladas Uría,Luis CAT-UN Profesor/a

Fernández Sotelo,María Ángeles TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaConsolidar os fundamentos matemáticos do cálculo de probabilidades adquiridos no primeiro ciclo da licenciatura utilizando os recursos da teoría da medida. Estudo detallado dos distintos problemas de converxencia de sucesións de variables aleatorias e de sumas parciais (leis dos grandes números e problema central do límite).

Contidos1. Revisión dos conceptos da teoría da medida no contexto da teoría da probabilidade Estruturas de interese na teoría da probabilidade. Funcións de conxunto. Extensión da medida e aplicacións. Integración: revisión dos distintos conceptos e resultados e aplicación aos momentos das variables aleatorias

2. Función de distribución Función de distribución dunha variable aleatoria. Descomposición dunha función de distribución. Sucesións de funcións de distribución

3. Funcións características Propiedades. Relación cos momentos. Teoremas de inversión. Teorema de continuidade. Caracterización das funcións características

4. Sucesións de variables aleatorias Distintos conceptos de converxencia e relacións entre eles

5. Leis dos grandes números Leis débiles e fortes dos grandes números e resultados relacionados: lemas de Borel-Cantelli, teoremas de Markov, Gnedenko, Khintchine, Kolmogorov e Etemadi. Series de variables aleatorias

6. Problema central do límite Formulacións e solucións dos distintos problemas do límite: teorema clásico, distribucións estables e autodivisibles, distribucións infinitamente divisibles

Bibliografía básica e complementariaASH, R. “Real Analysis and Probability”, Academic Press. 1972. (A 2ª edición titulase “Probability and measure theory” e foi publicada no ano 2000 por Harcourt/Academic Press). ATHREYA, K.B.; LAHIRI, S.N. “Measure Theory and Probability Theory”, Springer. 2006. BILLINGSLEY, P. “Probability and Measure”, 3ª ed., Wiley. 1995. CHUNG, K.L. “A Course in Probability Theory”, Academic Press. 1968. DUDLEY, R.M. “Real Analysis and Probability”, Wadsworth&Brooks/Cole. 1989. EISEN, M. ”Introduction to Mathematical Probability Theory”, Prentice-Hall. 1969. KINGMAN, J.F.C.; TAYLOR, S.J. “Introduction to Measure and Probability”, Cambridge University Press. 1973. LAHA, R.G.; ROHATGI, V.K. “Probability Theory”, Wiley. 1979. LOEVE, M. “Teoría de la Probabilidad”, Tecnos, 1976. LUKACS, E. “Characteristics Functions”, Griffin. 1970. RENYI, A. “Cálculo de probabilidades”, Reverté. 1976.

Competencias- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa e que serán necesarios no estudo doutras materias da licenciatura e incluso de terceiro ciclo. - Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á resolución de problemas.

Metodoloxía da ensinanza- Clases teóricas que inclúen aplicacións dos conceptos e resultados estudados. - Resolución de problemas entregados previamente ao alumnado co obxecto de favorecer o traballo individual e de grupo.

211

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito que inclúe preguntas de teoría ou cuestións teórico-prácticas e problemas. O exame valorarase de 0 a 10 puntos. Para aprobar a materia será necesario obter 5 puntos ou máis.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, dúas horas de traballo persoal (estudo de resultados teóricos e resolución de problemas) por cada hora de clase deberían ser suficiente.

Recomendacións para o estudo da materia- Para superar con éxito a materia é necesaria a asistencia á clase e a resolución e revisión dos problemas que se propoñan.- Coa utilización da bibliografía xeral ou a que se recomende para cuestións específicas é posible completar e ampliar calquera tema.

ObservaciónsMaterias que se aconsella cursar previamente: Teoría da Medida.

212

Código : 091471 Nome:Métodos Matemáticos da Mecánica do ContinuoAno Academico : 2007/2008


Carácter: Optativo Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre





Obxectivos da materiai) Manexar con soltura o cálculo alxébrico, diferencial e integral con campos vectoriais e tensoriais. ii) Coñecer a cinemática dun medio continuo deformable. iii) Coñecer os principios fundamentais da Termomecánica dos medios continuos, nas formas integrais e diferenciais.

Contidos1. Álxebra tensorial. Espazo dos tensores como aplicacións multilineares. Operacións. Bases. Os tensores de segunda orde como endomorfismos. Valores e vectores propios. Teorema espectral

2. Análise tensorial. Operadores diferenciais. Teoremas integrais

3. Cinemática. Definición de deformación. Propiedades. Definición de movemento. Propiedades

4. Masa. Distribución de masa. Principio de conservación da masa. Propiedades. Momentos linear e angular. Centro de masa

5. Forza. Hipótese de Cauchy. Forzas e momentos. Leis de equilibrio dos momentos. Tensor de tensións. Teorema de Cauchy. Ecuación do movemento

6. Enerxía. Primeiro principio da Termodinámica. Formas locais. Enerxía interna

7. Entropía. Segundo principio da Termodinámica. Desigualdade de Clausius-Duhem. Outras formas locais

Bibliografía básica e complementariaALFREDO BERMÚDEZ, Continuum Thermomechanics. Progress in Mathematical Physics, Vol. 43, Birkhäuser, 2005. MORTON E. GURTIN, An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press. New York, 1981. ÓSCAR LÓPEZ POUSO, An Introduction to Continuum Mechanics. Problemas resueltos (Capítulos I-VI). Publicacións Docentes do Departamento de Matemática Aplicada, nº 1. Universidade de Santiago de Compostela, 2002.

CompetenciasManexo do cálculo alxébrico, diferencial e integral, necesario para o estudo da mecánica dos medios continuos. Coñecemento da Cinemática e do significado xeométrico dos campos asociados a un movemento. Paso das formas integrais dos principios de conservación ás formas locais. Interpretación do tensor de tensións.

Metodoloxía da ensinanzaClases teóricas e prácticas de encerado.

Sistema de avaliación da aprendizaxe Exame escrito de teoría e práctica. Para aprobar a materia será imprescindible presentarse ao exame e obter un total de 5 puntos ou máis.

213

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: - teóricas: 30 - problemas: 15 - ordenador: 0

Horas non presenciais: 70 Horas de avaliación: 5

Total volume de traballo: 120

214

Código : 091472 Nome:Modelos MatemáticosAno Academico : 2007/2008






Irago Baúlde,Hipólito TIT-UN Profesor/a

Muñoz Sola,Rafael TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia1. Dotar os alumnos do coñecemento fundamental, unificando conceptos, da Termomecánica de medios continuos. 2. Estudar as teorías de fluídos ideais, viscosos e incompresibles e fluídos elásticos. 3. Estudar unha introdución ás teorías da termoviscoelasticidade linear e non linear.

Contidos1. Leis constitutivas: o concepto de corpo material. 2. Fluídos ideais. Ecuacións de Euler incompresibles. Estudo dos movementos planos e irrotacionais. 3. Fluídos elásticos: ecuacións da acústica. 4. Materiais hiperelásticos con condución de calor e viscosidade. Materiais de Coleman-Noll. 5. O principio da indiferenza material. 6. Eliminación da entropía. 7. Isotropía. 8. Paso a coordenadas Lagrangianas. 9. Modelos linearizados. 10. Fluídos. 11. Gases perfectos. 12. Fluídos incompresibles.

Bibliografía básica e complementariaBibliografía básica: [1] A. BERMÚDEZ. Continuum Thermomechanics. Birkhäuser. Basel. 2005. [2] M. E. GURTIN. An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press. New York, 1981.

Bibliografía complementaria: [1] D. J. ACHESON. Elementary Fluid Dynamics. Clarendon Press. Oxford. 1990. [2] S. CANDEL. Mécanique des Fluides. Bordas. Paris. 1990. [3] P. G. CIARLET. Élasticité Tridimensionnelle. Masson. Paris. 1985. [4] A. J. CHORIN, J. E. MARSDEN. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer. New York. 1993. [5] B. D. COLEMAN, W. NOLL. Thermodynamics of viscosity, heat conduction and elasticity. Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 13 (1963), 167-178. Tamén en The Foundations of Mechanics and Thermodynamics. Springer. Berlin. 1974. [6] G. DUVAUT. Mécanique des Milieux Continus. Masson. Paris. 1990. [7] O. LÓPEZ POUSO. "An Introduction to Continuum Mechanics" de M. E. Gurtin. Ejercicios resueltos (capítulos I-VI). Publicacións docentes do Departamento de Matemática Aplicada, USC. 2002. [8] J. OBALA. Exercices et problèmes de mécanique des milieux continus. Masson. 1988. [9] I. L. RYHMING. Dynamique des Fluides. Presses Polytechniques Romandes. Laussane. 1981. [10] J. SERRIN. Mathematical principles of classical fluids mechanics. Encyclopedia of Physics, Volume VIII/1 Fluid Dynamics I, edited by C. Truesdel. Springer-Verlag. 1959. [11] Z. U. A. WARSI Fluid Dynamics. Theoretical and Computational Approaches. CRC Press LLC. 1999. [12] H. ZIEGLER. An Introduction to Thermomechanics. North Holland. Amsterdam. 1981.

Competencias1. Manexar as propiedades das funcións tensoriais. 2. Expresar as leis físicas mediante ecuacións diferenciais ou integrais. 3. Expresar as propiedades dos materiais mediante ecuacións da álxebra tensorial. 4. Modelar o comportamento termomecánico asociado a materiais xerais. 5. Deducir os modelos máis usuais en física e na enxeñaría para sólidos e fluídos.

Metodoloxía da ensinanza O alumno recibe tres horas de teoría e dúas de problemas por semana.

De maneira acompasada co ritmo do curso, iránselles propoñendo aos alumnos exercicios que deberán resolver e expoñer na

215

clase. Tamén se enunciarán cuestións para que eles desenvolvan por escrito.

Sistema de avaliación da aprendizaxeUn exame final escrito que contará o 85% da cualificación. O 15% restante corresponderá á realización de exercicios e achegas persoais relacionadas con aspectos (teóricos ou prácticos) da materia.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: - teóricas: 45 - de problemas: 30 - de prácticas de ordenador: 0

Horas non presenciais: 117,5h ( 6,5h á semana, 4,5h de teoría e 2h de problemas/prácticas + 20h de preparación do exame final). Horas de avaliación: 4h

Total volume de traballo: 196,5h

Recomendacións para o estudo da materiaTer bos coñecementos da materia Métodos Matemáticos da Mecánica do Continuo. Asistir e participar activamente nas clases presenciais. Dedicar un mínimo diario ao estudo da materia.

216

Código : 091481 Nome:Álxebra ConmutativaAno Academico : 2007/2008






López López,Purificación TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os elementos básicos da teoría de aneis conmutativos e os seus ideais, con especial fincapé nos aneis de polinomios sobre un corpo ou sobre os enteiros, e nos seus cocientes e localizacións. ii) Introducir as técnicas alxébricas básicas para empregar na Xeometría Alxébrica e na teoría dos números.

Contidos1. Aneis conmutativos, módulos e localización Ideais. Espectro primo dun anel conmutativo. Aneis e módulos de fraccións. Ideais en aneis de fraccións. Propiedades locais.

2. Condicións de cadea Aneis noetherianos e artinianos. Aneis noetherianos: localización e álxebras de tipo finito (Teorema da base de Hilbert). Criterios para determinar se un anel é noetheriano. Módulos de lonxitude finita. Aneis artinianos.

3. Descomposición primaria Ideais primarios, propiedadeso. Teoremas de unicidade da descomposición primaria. Teorema de existencia da descomposición primaria para aneis noetherians.

4. Dependencia enteira Extensións enteiras de aneis. Aneis integramente pechados. Primos nunha extensión enteira: Teoremas de ascenso e descenso.

5. K-álgebras afíns Teorema dos ceros de Hilbert. Lema de normalización de Noether.

6. Dimensión Dimensión de Krull. Dimensión das K-álgebras afíns. Teorema do ideal principal de Krull xeralizado. Dimensión de aneis noetherians locais. Dimensión de Chevalley. Aneis locais regulares.

7. Valoracións. Dominios de Dedekind Aneis de valoración. Aneis de valoración discreta. Dominios de Dedekind: ideais fraccionarios, grupos de clases de ideais.

8. Compleción de aneis e módulos Compleción de aneis e módulos. Topoloxía dada por un ideal. Filtracións, aneis graduados e complecións respecto a un ideal: Lema de Artin-Rees, teorema de intersección de Krull. Conservación da propiedade noetheriana: anel graduado asociado a un ideal.

Apéndice. A1.- O grao do polinomio de Hilbert-Samuel. Teorema da dimensión. A2.- Propiedades das sucesións regulares: complexo de Koszul. Caracterización homolóxica dos aneis locais regulares: Teorema de Auslander-Buchsbaum-Serre.

Bibliografía básica e complementariaM. F. Atiyah e I. G. MacDonald, Introducción al álgebra conmutativa. N. Bourbaki, Commutative algebra, Chap I-VII, Springer Verlag, 1989 D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer, 1995. J. A. Hermida, M. L. Pérez e J. G. Tena, Álgebra local, Univ. de Valladolid, Secreteriado de Publicaciones, 1985. E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhäuser, 1985. H. Matsumura, Commutative Algebra (2 ed.), Math. Lect., Note Series, Benjamin, 1980. H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. R. Y. Sharp, Steps in commutative algebra (2 ed.), London Math, Soc. Student Texts 51, Cambridge U. P., 2000. O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra I, II, GTM 28, 29, reimpresión de Van Nostrand de 1958, 1959.

Competencias- Dominar os razoamentos básicos con aneis conmutativos e os seus módulos e ideais. - Manexar os aneis definidos mediante cocientes de aneis de polinomios.

217

- Comprender a importancia dos aneis conmutativos na xeometría, especialmente na xeometría alxébrica, e na aritmética, especialmente na teoría de números alxébricos. - Ser quen de saber resolver problemas e explicar un temario de iniciación á álxebra conmutativa

Metodoloxía da ensinanza- Clases de teoría con exposición por parte do profesor. - Sesións de problemas nas que os estudantes propoñen as súas solucións e se debate conxuntamente a súa corrección, coa orientación do profesor. - Exposicións de temas do programa por parte dos alumnos.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Realización de exercicios propostos e exposición da súa solución na clase. - Dependendo do número de alumnos, probas escritas se son necesarias. - Exposicións de temas na clase.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaUnhas 10 horas semanais (150 horas por cuadrimestre, incluíndo nelas as clases presenciais que serán entre 3 ou 4 á semana).

Recomendacións para o estudo da materiaTer cursado previamente as materias Introdución á Álxebra (311) e Álxebra (401).

218

Código : 091482 Nome:Grupos de LieAno Academico : 2007/2008






Macías Virgós,Enrique TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaCoñecer as nocións fundamentais e as ferramentas básicas da teoría de Lie e dos espazos homoxéneos. Aprender a realizar cálculos de álxebras de Lie e aplicacións exponenciais. Ampliar os coñecementos sobre variedades diferenciables co Teorema de Frobenius.

Contidos1.- Grupos de Lie Definicións básicas e primeiros exemplos. Grupos de matrices. Produto directo e semidirecto. Propiedades topolóxicas dos grupos de Lie. Compoñentes conexas. Relación de equivalencia asociada a un subgrupo. Espazos cociente

2.- Álxebras de Lie Definición e primeiros exemplos. A álxebra de Lie asociada a un grupo de Lie: campos de vectores invariantes. Cálculo de exemplos. Constantes de estrutura. Morfismos de álxebras de Lie. Morfismo inducido por un morfismo de grupos de Lie

3.- A aplicación exponencial A exponencial de matrices. Propiedades. Curvas integrais de campos de vectores completos. Campos de vectores invariantes en GL(n,\R) A aplicación exponencial dun grupo de Lie. Propiedades. Diferencial da exponencial. A representación adxunta dun grupo de Lie e dunha álxebra de Lie. Aplicacións.

4.- Subgrupos de Lie Subvariedades inmersas, embebidas e debilmente embebidas. Definición e exemplos. Subgrupos pechados. Subálxebras de Lie. O teorema de Cartan. Coordenadas canónicas de primeira e segunda especie

5.- O teorema de Frobenius Fluxo dun campo de vectores sen singularidades, existencia de cartas adaptadas, campos de liñas Distribucións. Subvariedades integrais. Distribucións involutivas. Cartas adaptadas. Demostración do teorema de Frobenius. Correspondencia entre subálxebras de Lie e subgrupos de Lie conexos

6.- Espazos homoxéneos Subgrupos pechados: estrutura diferenciable do cociente. Propiedades. Accións de grupos de Lie sobre variedades. Orbitas. Subgrupos de isotropía. Espazos homoxéneos. Exemplos

7.- Cubertas Nocións de homotopía e grupo fundamental. Cubertas. Propiedades de levantamento. Cuberta universal. Grupos de Lie simplemente conexos. Subgrupos discretos centrais. Estrutura de grupo de Lie das cubertas. Clasificación dos grupos de Lie asociados a unha álxebra de Lie. Correspondencia entre morfismos de álxebras de Lie e de grupos de Lie

Bibliografía básica e complementaria1. Bourbaki, Nicolas: Lie groups and Lie algebras. Chapters 1--3. (English). Elements of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1989. xviii+450 pp. (hai versión francesa)

2. Carter, R.; Segal, G.; MacDonald, I. : Lectures on Lie groups and Lie algebras. Student Texts 32, London Mathematical Society, 1995.

3. Chevalley, Claude : Theory of Lie groups. I. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1946, 1957. xi+217 pp.

4. Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Pure and Applied Mathematics, 80. Academic Press, Inc., New York-London, 1978. xv+628 pp.

5. Mneimné, Rached; Testard, Frédéric : Introduction a la theorie des groupes de Lie classiques. Collection Méthodes. Hermann, Paris, 1986. vi+346 pp.

6. Postnikov, M.: Lie groups and Lie algebras. Lectures in geometry. Semester V. Ed.` Mir', Moscow, 1986. 440 pp (hai versión francesa)

7. Shapukov, B. N.: Guía práctica. Grupos y álgebras de Lie. Editorial URSS (2001).

219

8. Varadarajan, V. S.: Lie groups, Lie algebras, and their representations. Graduate Texts in Mathematics, 102. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1984. xiii+430 pp.

Competencias- Coñecer os grupos matriciais clásicos - Saber calcular a álxebra de Lie dun grupo de Lie mediante: campos de vectores invariantes, forma de Maurer-Cartan, aplicación exponencial - Entender os grupos de Lie como grupos de transformacións - Coñecer os espazos homoxéneos usuais: esferas, espazos proxectivos, variedades de Grasmann e Stiefel - Ter unha idea básica da clasificación de grupos de Lie

Metodoloxía da ensinanza3 horas teóricas e 1 hora de problemas cada semana. Boletíns de problemas (obrigatorios) e exercicios (opcionais).

Sistema de avaliación da aprendizaxeExposición individual dun tema durante 15/20 minutos. Exame escrito de problemas (só se non se fixeron regularmente os boletíns de problemas).

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 4h/semana = 60 h Preparación de problemas: 2h/semana = 30 h Estudo da teoría: 1h/semana = 15h Preparación da exposición: 8 h

Total de carga de traballo: 113 h

Recomendacións para o estudo da materiaTer cursado as materias Xeometría e Topoloxía (Variedades) e Topoloxía (Topoloxía Xeral).

ObservaciónsDescritores da materia no Plan de Estudos: Subvariedades. Teorema de Frobenius. Grupos de Lie. Álxebras de Lie. Espazos Homoxéneos

220

Quinto Curso

221

Código : 091501 Nome:Variable ComplexaAno Academico : 2007/2008






Isidro Gómez,José María CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Continuar o estudo das funcións de variable complexa. - Estudar as propiedades básicas da topoloxía natural no espazo das funcións holomorfas. - Coñecer as propiedades xeométricas das aplicacións conformes. - Estudar a existencia de funcións holomorfas cumprindo propiedades prefixadas.

Contidos1.- O espazo das funcións holomorfas Converxencia no espazo das funcións continuas. Equicontinuidade. Familias normais O espazo das funcións holomorfas: os teoremas de Weierstrass e de Hurwitz. Compacidade no espazo das funcións holomorfas: o teorema de Montel

2.- Representación conforme Significado xeométrico da derivada. Conservación de ángulos. Aplicacións conformes Transformacións de Möbius. Principios de orientación e simetría O lema de Schwarz O teorema da aplicación de Riemann

3.- Aproximación mediante funcións racionais Produtos infinitos numéricos e funcionais. Criterios de converxencia O teorema de factorización de Weierstrass O teorema de Runge O teorema de Mittag-Leffler

4.- Prolongación analítica Xeneralidades. Prolongación ao longo dunha curva. O teorema de monodromía

Bibliografía básica e complementariaCONWAY, J. B.: Functions of one complex variable. Springer. RUDIN, W.: Análisis real y complejo. McGraw-Hill.

Competencias - Coñecer e comprender as demostracións dos resultados centrais da materia. - Manexo práctico das transformacións de Möbius. - Manexo das técnicas de representación de funcións mediante produtos infinitos.

Metodoloxía da ensinanzaNon haberá separación entre teoría e práctica no desenvolvemento do programa.

Fomentarase o traballo individual dos alumnos, de modo que teñan a oportunidade de responsabilizarse da súa aprendizaxe. Proporanse distintas actividades e realizaranse, periodicamente, sesións de titorías conxuntas nunha aula.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito teórico práctico.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais totais: 50 (30 teóricas + 20 prácticas).

223

Recomendacións para o estudo da materiaTer cursada a materia Elementos de Variable Complexa.

224

Código : 091521 Nome:Álxebra ComputacionalAno Academico : (DURANTE O CURSO 2007/2008 NON SE IMPARTIRÁ ESTA MATERIA)






Ladra González,Manuel Eulogio TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os fundamentos básicos da álxebra computacional e algunhas das súas moitas aplicacións: cálculo efectivo con polinomios e con variedades, probas automáticas de teoremas xeométricos, teoría de grafos, programación enteira, test de primalidade de enteiros e factorización de enteiros.

ii) Saber programar algúns algoritmos sinxelos no ordenador.

iii) Utilizar paquetes de programas onde estean postos en práctica estes algoritmos: Maple, Mathematica, CoCoA, Macaulay e Singular.

ContidosCOMPUTACIÓN CON POLINOMIOS

1. Polinomios en varias variables: problemas básicos 2. Ordes monomiais. Algoritmo da división en varias variables 3. Bases de Gröbner e o algoritmo de Buchberger 4. Aplicacións elementais das bases de Gröbner 5. Teoría da eliminación. Ecuacións implícitas dunha variedade 6. Solucións de sistemas de ecuacións polinómicas 7. Operacións con ideais. Dicionario álxebra-xeometría 8. Probas automáticas de teoremas xeométricos 9. O problema das tres cores 10. Programación enteira

TEORÍA DE NÚMEROS COMPUTACIONAL

1. Algoritmos básicos con números enteiros 2. Números primos e pseudoprimos 3. Tests de primalidade e de composición 4. Factorización de números enteiros

Bibliografía básica e complementariaAdams, W. W. e Loustaunau, P., An Introduction to Gröbner Bases, American Mathematical Society, 1994. Bressoud, D. M., Factorization and Primality Testing, Springer-Verlag, 1989. Bressoud, D. M. e Wagon, S., A Course in computational number theory, Key College Publishing, 2000. Cox, D., Little, J. e O'Shea, D., Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, 2ª ed., 1997. Greuel G-M. e Pfister, G., A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer-Verlag, 2002. Koblitz, N., A course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, 2ª ed., 1994. Kreuzer, M. e Robbiano, L., Computational commutative algebra 1, Springer-Verlag, 2000.

CompetenciasO alumno será capaz de: - Operar con polinomios en varias variables, ordenalos con diferentes ordes monomiais e calcular bases estándar ou bases de Gröbner de ideais. - Calcular as ecuacións implícitas dunha variedade afín parametrizadas por funcións polinómicas ou racionais. - Resolver sistemas de ecuacións polinómicas, determinar se teñen solución e, en caso afirmativo, contar o número de solucións (finitas ou infinitas) - Saber calcular as diferentes operacións con ideais no anel de polinomios e dar a súa interpretación xeométrica. - Saber aplicar as técnicas das bases de Gröbner noutras disciplinas matemáticas: teoría de grafos, programación matemática, proba automática de teoremas, etc. - Coñecer algoritmos e aplicalos para determinar se un número é primo ou composto. - Coñecer algoritmos e aplicalos para descompoñer un número composto nun produto de números primos - Saber utilizar un programa informático de cálculo simbólico (Maple, Mathematica, CoCoA, Macaulay ou Singular) e aplicar os algoritmos aprendidos para resolver todos os problemas formulados no curso.

225

Metodoloxía da ensinanzaO profesor dedicará tres horas semanais de docencia presencial á presentación dos conceptos teóricos e á demostración dos resultados que sexan máis útiles para a comprensión da materia, intercalando exemplos e problemas sinxelos.

Para cada tema, proporase unha serie de problemas que deberán ser resoltos polos alumnos de forma individual ou en grupo, co apoio do profesor.

Dedicarase unha hora semanal á explicación dun programa de cálculo simbólico e á realización de prácticas tuteladas na Aula de Informática.

Será necesaria a utilización dos programas de cálculo simbólico para a resolución de problemas.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito-práctico e traballos. O exame escrito-práctico valorarase sobre 8 puntos e inclúe preguntas de teoría, exercicios e cuestións teórico-prácticas que esixen o manexo de software de álxebra computacional con ordenador. Dous traballos prácticos obrigatorios que se realizarán individualmente ao longo do curso (2 puntos). Para aprobar a materia será imprescindible realizar os traballos prácticos, presentarse ao exame e obter un total de 5 puntos e un mínimo de 4 puntos no exame escrito-práctico.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais á semana: teóricas: 2 problemas: 1 prácticas de ordenador: 1

Horas non presenciais á semana: teóricas: 1 problemas: 2 prácticas de ordenador: 1

Horas de avaliación: 6

Total volume de traballo: 60 horas presenciais, máis 60 horas de comprensión dos fundamentos teóricos e de resolución de problemas para os que terá que contar coa axuda dun programa informático de cálculo simbólico.

Recomendacións para o estudo da materiaMaterias que se aconsella cursar previamente:

Introdución a álxebra. Álxebra.

O alumno debe comprender as demostracións de teoría relacionándoas coas técnicas de resolución de problemas prácticos (utilización do algoritmo de Buchberger para o cálculo de bases de Gröbner, aplicación da teoría da eliminación, resolución de sistemas de ecuacións polinómicas, interpretación xeométrica das diferentes operacións no anel de polinomios, utilización dos algoritmos de primalidade para pescudar se un número é primo, utilización dos algoritmos de factorización para descompoñer un número composto).

Debe ter unha dedicación constante e disciplina co fin de comprender os conceptos e poder abordar as diferentes cuestións expostas e poder aplicalos noutras disciplinas.

Debe dedicar esforzos para ser capaz de aplicar os razoamentos das demostracións teóricas á resolución de problemas e poñer en práctica estes métodos de resolución nos paquetes de cálculo simbólico establecidos.

226

Código : 091522 Nome:Álxebra Homolóxica Ano Academico : 2007/2008






Alonso Tarrío,Leovigildo M TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Introducir a linguaxe categórica. - Familiarizarse coas técnicas propias da Álxebra Homolóxica. - Coñecer as aplicacións básicas.

Contidos1. Complementos de Teoría de Categorías: categorías e functores. Transformacións naturais. Obxectos e morfismos especiais. Construcións universais: núcleos e conúcleos, produtos e coprodutos, cadrados cartesianos e cocartesianos, límites e colímites. Functores adxuntos. Categorías abelianas

2. Complexos e Homoloxía. Homotopía: complexos de cadea. Complexos dobres. Operacións sobre complexos de cadea. Sucesión exacta longa de (co)homoloxía. Homotopía. Cono e cilindro dun morfismo de complexos

3. Functores derivados: delta-funtores. Resolucións proxectivas. Resolucións inxectivas. Functores derivados á esquerda. Functores derivados á dereita. Sucesións exactas longas de functores derivados

4. Os functores Tor e Ext: Tor e Ext. Propiedades elementais. Equilibrio do Tor e Ext. Tor e torsión. Tor e planitude. Ext paraaneis especiais. Ext e extensións

5. Teoremas dos coeficientes universais. Fórmula de Künneth: fórmula de Künneth. Teoremas dos coeficientes universais para homoloxía e cohomoloxía. Aplicación da fórmula de Künneth

Apéndice: Dimensión homolóxica

Bibliografía básica e complementariaBibliografía básica

- Hilton, P. J. e Stammbach, U., A course in Homological Algebra, Springer-Verlag, 1971. - Weibel, C. A., An introduction to Homological Algebra, Cambridge-University Press, 1994.

Bibliografía complementaria

- Bourbaki, N., Algébre homologique, Algébre Ch. 10, Masson, 1980. - Lluis-Puebla, E., Álgebra homológica, Cohomología de grupos y K-teoría algebraica clásica, Addison-Wesley Iberoamericana, 1990. - MacLane, S., Homology, Springer-Verlag, 1963. - Rotman, J. J., An introduction to Homological Algebra, Academic-Press, 1979.

Competencias- Familiarizarse coa linguaxe categórica. - Cálculo de resolucións proxectivas e inxectivas e complexos de cadeas dun módulo. - Cálculo de grupos de homoloxía e cohomoloxía. - Cálculo da torsión dun módulo. Cálculo de extensións.

Metodoloxía da ensinanza- Tres horas de teoría e unha de prácticas á semana. - Proporanse temas, exercicios, exemplos, para que os estudantes desenvolvan exposicións na clase.

Sistema de avaliación da aprendizaxeTraballos, exposicións de temas, participación na clase e probas escritas.

227

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 45, prácticas: 15. Horas non presenciais: 90 para preparar a teoría, os exercicios práctica e as exposicións. Horas de avaliación: 6.

Total volume de traballo: 156 horas.

Recomendacións para o estudo da materia- Ter un bo dominio da teoría de módulos sobre un anel. - Relacionar os contidos do programa cos xa coñecidos das outras materias da licenciatura. - Ter unha dedicación constante á disciplina co fin de comprender e manexar os conceptos estudados. - Dedicar esforzos para aplicar os razoamentos das demostracións teóricas á resolución de problemas.

228

Código : 091523 Nome:Álxebra Non ConmutativaAno Academico : 2007/2008






Fernández Vilaboa,José Manuel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaFamiliarizarse coas estruturas de aneis e álxebras.

Contidos1. Aneis artinianos Aneis e módulos semisimples: Teorema de Wedderburn-Artin. Teorema de estrutura de aneis artinianos simples. Teorema de Maschke. Teorema de densidade. O radical de Jacobson. Aneis locais e semilocais. Teorema de Hopkins-Levitzki

2. Descomposicións de módulos Descomposicións indescompoñibles. Descomposicións que complementan sumandos directos. Teorema de Krull-Remak-Schmidt-Azumaya. Descomposicións de módulos inxectivos. Teorema de Faith-Walker. Descomposicións de módulos proxectivos: Teorema de Kaplansky. Aneis semiperfectos e perfectos. Teorema P de Bass. Aneis auto-inxectivos e aneis cuasi-Frobenius

3. Álxebras asociativas Tipo de representación finito. As conxecturas de Brauer-Thrall. Sucesións de Auslander-Reiten. O teorema de Roiter. Álxebras simples centrais e o grupo de Brauer

4. Localización non conmutativa Teorías de torsión e filtros de Gabriel. Aneis de cocientes. O anel de cocientes maximal. Aplicacións

Bibliografía básica e complementariaAnderson, F. W. e Fuller, K. R., Rings and Categories of Modules, 2nd, Ed. Springer-Verlag, 1992. Auslander, M., Reiten, I. e Smalo, S. O., Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge University Press, 1995. Drodz, Y. A. e Kirichenko, V., Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, 1994. Farb, B., Dennis, R. K., Noncommutative Algebra, Springer-Verlag, 1993. Lam, T. Y., Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999. Pierce, R. S., Associative Algebras, Springer-Verlag, 1980. Stenström, B., Rings of Quotients, Springer-Verlag, 1975.

CompetenciasManexar con soltura os contidos do programa.

Metodoloxía da ensinanzaDedicaranse as horas semanais de docencia presencial á presentación dos conceptos teóricos e ás demostración dos resultados que sexan máis útiles para a comprensión da materia, intercalando exemplos e problemas.

Para cada tema proporase unha serie de problemas que deberán ser resoltos polos alumnos de forma individual ou en grupo, co apoio do profesor.

Sistema de avaliación da aprendizaxeAvaliación continuada. Exame escrito. Contémplase a posibilidade de realización de traballos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30. Horas non presenciais: 95 para preparar a teoría, a práctica e as exposicións. Horas de avaliación: 3.


229

Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia regular ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases.

230

Código : 091524 Nome:Ampliación de Investigación de Operacións Ano Academico : 2007/2008






Casares De Cal,M. Ángeles TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaCoñecer os resultados clásicos de programación non linear, a técnica de programación dinámica para a resolución de problemas de optimización e estudar os modelos de colas baseados nos procesos de nacemento e morte. Posta en práctica no ordenador das técnicas e modelos estudados.

ContidosPROGRAMACIÓN NON LINEAR Introdución. Conxuntos convexos. Funcións convexas. Condicións de optimalidade nos problemas sen restricións, con restricións de igualdade e con restricións de desigualdade. As condicións de optimalidade de Fritz-John e de Karush-Kuhn-Tucker

PROGRAMACIÓN DINÁMICA Introdución. Exemplo prototipo. Características dos problemas de programación dinámica. Exemplos

TEORÍA DE COLAS Introdución. Nocións básicas sobre procesos estocásticos. Conceptos xerais da teoría de colas. Modelos de colas baseados nos procesos de nacemento e morte

Bibliografía básica e complementariaBazaraa, M.S.; Sherali, H.; Shetty, C. (1993):"Nonlinear Programming. Theory and Algorithms", Wiley. Denardo, E.V. (1982):"Dynamic Programming: Models and Applications", Prentice-Hall. Gross, D.; Harris, C.M. (1985): "Fundamentals of Queueing Theory", Wiley. Hillier, F.S.; Lieberman, G.J. (2002): "Investigación de operaciones", McGraw-Hill. Parlar,M. (2000); "Interactive Operations Research with Maple. Methods and Models", Birkhäuser.

CompetenciasQue o alumno coñeza os modelos de investigación operativa estudados nesta materia, ser capaz de formular os modelos matemáticos asociados aos problemas que xorden nesta materia, así como utilizar os distintos recursos e técnicas introducidos para a resolución dos devanditos problemas, coa súa posta en práctica no ordenador, se é o caso.

Metodoloxía da ensinanzaExplicación da materia nas clases teóricas, coa realización de exercicios nas clases prácticas, e a súa posible posta en práctica no ordenador.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito. Valórase sobre 10 puntos e inclúe preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e problemas. Para aprobar a materia hai que realizar o exame e obter unha puntuación de 5 ou máis.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala120 horas (incluídas as horas de clase).

Recomendacións para o estudo da materiaÉ aconsellable que o alumno teña coñecementos de cálculo diferencial e integral, programación linear e de teoría da probabilidade.

231

Código : 091525 Nome:Análise MultivarianteAno Academico : 2007/2008






Sánchez Sellero,César Andrés TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEntender os problemas da análise multivariante e as técnicas axeitadas para o seu tratamento.

Contidos1. Modelos con variable resposta discreta Regresión loxística. Regresión de Poisson. Introdución aos modelos lineares xeneralizados

2. Modelos log-lineares Táboas de continxencia de dobre entrada. Táboas de triple entrada. Modelos xerárquicos. Interpretación dos modelos. Métodos de estimación. Contraste de modelos

3. Distribucións notables multidimensionais Distribución de Wishart, distribución de Hotelling e distribución de Wilks

4. Inferencia en poboacións normais multivariantes Inferencia sobre a media e a matriz de covarianzas dunha poboación normal. Rexións de confianza e comparacións simultáneas. Comparación de poboacións normais multivariantes

5. O modelo linear xeral multivariante Presentación do modelo, estimación dos parámetros e propiedades dos estimadores. Restricións lineares: estimación e contrastes

6. Análise multivariante da varianza Presentación do modelo, a táboa de descomposición da variabilidade, contraste de igualdade de medias, comparacións múltiples. O modelo con dous factores de variación e o deseño por bloques aleatorizados

7. Análise de compoñentes principais Descomposición dun vector aleatorio nas súas compoñentes principais. Propiedades

8. Análise de correspondencias Expresión da inercia dunha táboa de continxencia a través dos perfís de fila ou de columna. Extracción dos compoñentes. Representación simultánea de filas e columnas. Interpretacións

9. Análise discriminante Solucións discriminantes con distribucións poboacionais coñecidas. Estimación da regra discriminante

10. Técnicas de formación de grupos Técnicas de agrupamento xerárquico. Métodos de particionamento

Bibliografía básica e complementariaAGRESTI, A. (1990). Categorical data analysis. Wiley. AGRESTI, A. (1996). An introduction to categorical data analysis. Wiley. ANDERSON, T.W. (2003). An introduction to multivariate statistical analysis. Wiley. DEVROYE, L., GYORFI, L. y LUGOSI, G. (1996). A probabilistic theory of pattern recognition. Springer. HOSMER, D.W. y LEMESHOW, S. (1989). Applied logistic regression. Wiley. JOHNSON, R.A. y WICHERN, D.W. (1982). Applied multivariate statistical analysis. Prentice-Hall. MARDIA, K.V., KENT, J.T. y BIBBY, J.M. (1979). Multivariate analysis. Academic Press. PEÑA, D. (2002). Análisis de datos multivariantes. McGraw-Hill. PÉREZ, C. (2004). Técnicas de análisis multivariante de datos. Pearson Educación, S.A. SEBER, G.A.F. (1984). Multivariate observations. Wiley.

Competenciasi) Coñecer as técnicas principais da análise multivariante e as súas propiedades. ii) Ter habilidade no emprego de métodos informáticos para executar as técnicas multivariantes. iii) Saber resolver un problema concreto: identificar o problema, encontrar a técnica que se lle debe aplicar, executala e interpretar os resultados; e estar capacitado para redactar informes estatísticos como froito das tarefas anteriores.

232

Metodoloxía da ensinanzaContémplanse tres horas semanais nunha aula dotada de encerado, proxector de transparencias, un ordenador e canón de vídeo. Nestas clases desenvólvense os contidos teóricos e abórdanse exemplos prácticos sinxelos. Tamén se contemplan dúas horas semanais nunha aula dotada de ordenadores. Nelas resólvense problemas de análise multivariante sobre casos prácticos, mediante o uso de técnicas estatísticas postas en práctica no ordenador. Os alumnos disporán duns apuntamentos da materia facilitados polo profesor.

Sistema de avaliación da aprendizaxeO sistema de avaliación contempla exames por escrito, exame na aula de ordenadores e traballos realizados polos alumnos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaAdemais da asistencia e do aproveitamento das clases, o estudante debe dedicarlle un tempo de estudo adicional que lle permita manter o ritmo de comprensión e de traballo activo durante as clases. Ademais, ten que realizar os traballos que se lle encarguen e que forman parte do procedemento de avaliación. Todo isto pode supor unha hora e cuarto adicional por cada hora de clase, aínda que isto non é máis ca unha estimación suxeita á ampla variabilidade entre as capacidades dos estudantes e ao nivel de aprendizaxe que pretendan acadar.

Recomendacións para o estudo da materiaEsta materia desenvólvese mediante o traballo do profesor e dos estudantes nas clases, polo que a asistencia ás clases e a participación activa no traballo ao longo delas, ou proposto nelas, é o procedemento natural para acadar a aprendizaxe desta materia.

ObservaciónsMaterias que se aconsella cursar previamente: Álxebra Linear e Multilinear, Xeometría Métrica, Introdución ao Cálculo de Probabilidades, Vectores Aleatorios, Inferencia Estatística, Métodos de Regresión.

233

Código : 091526 Nome:Análise Numérica de Grandes SistemasAno Academico : 2007/2008








Obxectivos da materiaCoñecer os métodos clásicos e de gradiente para a resolución de grandes sistemas, e os métodos de Galerkin para o cálculo de valores propios de grandes matrices. Programación dos devanditos métodos en Fortran 90/95.

Contidos1. Introdución ao Fortran 90/95 2. Sistemas sobredeterminados 3. Métodos directos: redución a triangular por bloques 4. Ordenación a formas particulares: métodos de resolución 5. O método de gradiente conxugado para matrices simétricas 6. O método de gradiente conxugado con precondicionamento 7. Métodos derivados do algoritmo de ortogonalización 8. Algoritmos do dobre gradiente conxugado e GMRES 9. Métodos de cálculo de valores propios derivados de métodos de gradiente 10. Métodos de cálculo de valores propios para grandes matrices

Bibliografía básica e complementaria*Sobre FORTRAN 90/95:

[1] BRAINERD, WALTER S.; GOLDBERG, CHARLES H.; ADAMS, JEANNE C. (cop. 1994, 2nd ed.) Pogrammer's guide to Fortran 90. Unicomp. Albuquerque (NM, USA). [2] METCALF, MICHAEL; REID, JOHN; COHEN, MALCOLM (2004) FORTRAN 95/2003 explained. Oxford University Press. Oxford (GB).

*Sobre Análise Numérica de Grandes Sistemas:

[1] CIARLET, PHILIPPE G. (1982) Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l'optimisation. Masson, Paris. (Existen traducións ao inglés e ao galego.) [2] DONGARRA, JACK J.; DUFF, IAIN S.; SORENSEN, DANNY C.; VAN DER VORST, HENK A. (cop. 1998) Numerical linear algebra for high-performance computers. SIAM. Philadelphia (Pennsylvania). [3] HACKBUSCH, WOLFGANG (cop. 1994) Iterative solution of large sparse systems of equations. Springer. New York. [4] SAAD, JOUSEF (cop. 1996) Iterative methods for sparse linear systems. PWS. Boston. [5] STEWART, G. W. (cop. 1973) Introduction to matrix computations. Academic Press. New York. [6] YOUNG, DAVID M. (1971) Iterative solution of large linear systems. Academic Press. New York; London.

Competencias- Coñecer as vantaxes e inconvenientes dos métodos clásicos e métodos de gradiente. - Programar os métodos estudados en Fortran 90/95.

Metodoloxía da ensinanza- Explicación no encerado (clase maxistral). - Prácticas de ordenador en coordinación co desenvolvemento das clases teóricas.

Sistema de avaliación da aprendizaxeTraballos e exame. Os traballos representarán o 30% da nota final.

234

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala 20 teóricas + 10 prácticas + 30 prácticas ordenador

Horas non presenciais: 105 (7 horas/semana, 2,3 h de teoría, 2,3 de problemas/prácticas, 2,3 h. preparación do exame final)



Recomendacións para o estudo da materiaTer superada Programación Avanzada. Nótese que esta materia ten moita relación con Introdución ao Cálculo Vectorial e Paralelo.

235

Código : 091527 Nome:Astronomía XeralAno Academico : 2007/2008






Ling Ling,Josefina TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai. Introducir conceptos básicos de Astronomía Estelar. ii. Ampliar coñecementos, completar e resolver problemas xerais de Astronomía de posición. iii. Manexar diversas técnicas de observación astronómica.

Contidos- Radiación electromagnética - Parámetros estelares: luminosidade, temperatura, tipo espectral, magnitudes, etc. - Astronomía Estelar. Diagrama H-R - Estrelas dobres: visuais, espectroscópicas e eclipsantes. Cálculo de órbitas - Astronomía de posición: variacións nas coordenadas dos astros - Medida do tempo: Tempo rotacional e escalas modernas. Calendarios. - Eclipses de Sol e de Lúa

Bibliografía básica e complementaria- A. ABAD, J. A DOCOBO e A ELIPE.: “Curso de Astronomía” - R. M. ALLER. “Introducción a la Astronomía” - R. CID PALACIOS “Curso de Astronomía” - R. M. GREEN “Spherical Astronomy” - A. E. ROY: “Astronomy: Principles and Practice” - W. M. SMART: “Textbook of Spherical Astronomy” - J. A. DOCOBO e A. ELIPE: “Astronomía: 280 problemas resueltos” - VORONTOSOV e B. A. VELIAMINOV: “Problemas y ejercicios prácticos de Astronomía”

Competencias- Realizar unha primeira toma de contacto cos parámetros fundamentais da Astronomía estelar. - Manexar diversos detectores e técnicas de observación astronómica tanto nocturna como diúrna. - Visualizar en distintos formatos coñecementos sobre cuestións da materia. - Relacionar diferentes temas da actualidade astronómica cos estudados na materia.

Metodoloxía da ensinanza3 créditos de teoría e 3 de problemas e prácticas

1ª Parte: Astronomía Estelar 1.- Radiación electromagnética: leis e definicións (Teoría: 1 hora) 2.- Clasificación espectral das estrelas (Teoría: 1 hora) 3.- Magnitudes estelares. Luminosidade. Diagrama H-R. (Teoría: 2 horas. Práctica: 3 horas) 4.- Estrelas dobres e múltiples a) Estrelas dobres visuais. Métodos de cálculo de órbitas. Determinación de masas (Teoría: 6 horas. Práctica: 4 horas) b) Binarias espectroscópicas e eclipsantes. Cálculo de órbitas (Teoría: 5 horas. Práctica: 2 horas)

2ª Parte: Astronomía de Posición 5. - Variacións nas coordenadas dos astros: a) Refracción astronómica (Teoría: 2 horas. Práctica: 2 horas) b) Aberración (Teoría: 3 horas. Práctica: 2 horas) c) Paralaxe (Teoría: 2 horas. Práctica: 2 horas) d) Precesión e Nutación (Teoría: 2 horas. Práctica: 3 horas) e) Movementos propios das estrelas (Teoría: 1 hora. Práctica: 2 horas) 6.- Medida do tempo (ampliación): Tempo rotacional e escalas modernas. Novos sistemas de referencia. (Teoría: 2 horas. Práctica: 4 horas) 7.- Eclipses de Sol e de Lúa (Teoría: 3 horas)

2 Prácticas nocturnas: medidas micrométricas de estrelas dobres visuais (duración 1h 30m). Obtención de imaxes astronómicas CCD (duración 1h 30m)

236

3 Prácticas diúrnas: imaxes speckle (duración 1h). Debuxo das manchas solares (duración 1h) Visualización de vídeos de Astronomía (duración 1h)

A materia conta con apoio virtual a través dun curso que baixo o mesmo título se encontra na lista de cursos da WebCT.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA avaliación da primeira parte do programa poderá ser a través dun traballo, que se entregará ao final de curso, ou dun exame escrito. A segunda parte cualificarase mediante un exame escrito. Ambas as dúas partes poden ser eliminatorias. O exame escrito constará de dous partes: a de teoría, que será tipo test, e a de problemas. No exame de teoría as preguntas non contestadas valerán cero puntos e as erróneas cualificaranse negativamente ata -0,5, sendo 1,0 o valor da resposta correcta. Para aprobar a materia, é obrigatorio asistir as prácticas da disciplina. Terase en conta a participación nas clases.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: Teóricas: 30 de problemas: 24 de prácticas: 6

Horas non presenciais: 5h á semana: 3h de teoría e 2h de problemas 10h preparación exame final Elaboración dun traballo individual: 15h

Horas de avaliación: 5h


Recomendacións para o estudo da materiaÉ importante cursar previamente a materia de Fundamentos de Astronomía.

Os alumnos deben dispoñer dunha calculadora, non programable, que teña as funcións circulares e as súas inversas. Deben traela a clase todos os días.

A elaboración do traballo individual correspondente á primeira parte do programa será optativo. Elixirase un tema entre os propostos pola profesora, debendo axustarse a uns parámetros que se marcarán previamente.

É fundamental para o estudo da segunda parte, manexar con soltura todos os conceptos básicos asociados á Astronomía de posición, en especial os diferentes sistemas de coordenadas astronómicos e a resolución de problemas astronómicos elementais.

O uso das novas tecnoloxías da comunicación facilita a visualización en tres dimensións dos problemas astronómicos propostos no encerado.

237

Código : 091528 Nome:Curvas Alxébricas Ano Academico : 2007/2008






Pedreira Pérez,Manuel Ramón TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEsta materia contémplase coma unha primeira introdución á Xeometría Alxébrica, facendo un estudo dos primeiros exemplos de variedades alxébricas; isto é, as curvas. De feito, o curso reproduce os primeiros conceptos desenvolvidos na teoría de curvas planas, ata chegar á proba de Brill-Noether do Teorema de Riemann-Roch coa simplificación feita por E. Bertini e C. Segre. O alumno precisa de coñecementos do anel de polinomios en varias variables e de conceptos básicos da teoría de corpos. De feito, os primeiros temas do programa veñen a ilustrar a interpretación xeométrica de moitos resultados alxébricos xa estudados. No derradeiro tema do programa faise unha introdución sinxela aos aneis de valoración discreta e ás valoracións que definen, pero sempre tomando como motivación e referencia os divisores nunha curva. Isto da motivación ilústrao o estudo dos aneis de valoración discreta que se fai na materia de Álxebra Conmutativa. Destacar, tamén, un estudo detallado da resolución de singularidades e a construción do modelo liso dunha curva plana. No eido do problema de clasificación, estúdase o Teorema de Salmon, dando a clasificación das curvas elípticas, salvo isomorfía vía o x-invariante.

Contidos1. Curvas alxébricas planas. Exemplos de curvas alxébricas no plano afín e proxectivo. Relación entre unha curva alxébrica afín e a súa compleción proxectiva 2. Interseccións de curvas alxébricas planas. Finitude da intersección. A resultante de dous polinomios. O Teorema dos Ceros3. O Teorema de Bezout. Interseccións dunha curva cunha recta. Puntos múltiples. Índice de intersección nun punto. O teorema de Bezout 4. Multiplicidades. Propiedades do índice de intersección. Caracterización intrínseca por series de potencias 5. Ecuacións de Plücker e aplicacións. As Fórmulas de Plücker: curva polar a unha dada. Estudo da curva hessiana. Curvas adxuntas a unha dada 6. Cúbicas planas. Cúbicas planas. Clasificación proxectiva. Invariante proxectiva da cúbica lisa e o Teorema de Salmon 7. Curvas racionais. Curvas afíns e racionais. Funcións regulares e funcións racionais. Curvas racionais e proxectivas. O teorema de Luroth. O xénero virtual dunha curva plana e caracterización das curvas alxébricas racionais 8. Cúbicas non singulares. Forma normal da cúbica. Funcións racionais. Ciclos e equivalencia racional. A estrutura de grupo 9. Resolución de singularidades de curvas.Transformacións cuadráticas do plano. Caracterización dos puntos lisos dunha curva vía o anel das funcións definidas localmente nun punto. O corpo de funcións racionais. Modelo liso dunha curva alxébrica. Superficie de Riemann vinculada a unha curva alxébrica lisa 10. Teoría de funcións sobre unha curva lisa. Divisores. Curvas adxuntas a unha curva plana de grao dado. O divisor canónico. O Teorema fundamental de Max Noether e a proba de Bertini-Brill-Noether do Teorema de Riemann Roch

Bibliografía básica e complementariaBrieskorn, E. e Knörrer, H., Plane algebraic curves, Birkhäuser Verlag, 1986, capítulos II e III. Fulton, W., Curvas Algebraicas, Editorial Reverte, 1971. Kendig, K., Elementary Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, New York, 1977, capítulos II e V. Walker, R., Algebraic Curves, Dover publications, Inc. 1950, N.Y. É unha referencia completa dabondo, xa que expón grande parte da teoría clásica debida a Brill-Noether xustificándoa coa teoría de corpos e de valoracións. Polo tanto a exposición é moi lenta e pesada. Pedreira, Manuel, Apuntamentos "Teoría clásica de curvas según el método de Brill-Noether".

Competencias1.- Comprender o concepto de grao e número de intersección. Cálculo da intersección de dúas curvas polo método da resultante e axiomático. 2.- Cálculo das singularidades dunha curva plana. Identificación das singularidades usando transformacións de Cremona. 3.- Estudo da racionalidade dunha curva. Cálculo do xénero aritmético e xeométrico. 4.- Cálculo de sistemas lineares sobre unha curva plana. Exemplos de sistemas lineares e completos. Aplicacións do teorema AF+BG de Noether. 5.- Cálculo das curvas adxuntas a unha curva dada. Exemplos. Cálculo de adxuntas canónicas. 6.- Ilustracións do Teorema de Riemann-Roch. Desigualdade de Riemann e o concepto de especialidade.

Metodoloxía da ensinanzaEn relación coa programación da materia, a materia corresponde a un cuadrimestre, polo que o desenvolvemento total do programa depende moito da disposición dos alumnos para participar. Pola experiencia dos derradeiros anos, unha vez introducidos os conceptos básicos, os temas 5, 6,7 e 8 son unha aplicación instrutiva dos anteriores e poden ser traballados

238

directamente polos alumnos cunha referencia apropiada que teño á súa disposición. Isto permíteme afondar dabondo nos temas 2, 3, 4, 9 e 10 que dan unha boa formación para quen pense en se dedicar á investigación en Xeometría Alxébrica.

Sistema de avaliación da aprendizaxeA asistencia ás clases é un referente obrigado. Como norma xeral, a clase farase participativa a todo o alumnado, feito que virá reflectido nunha cualificación complementaria ás outras para superar a materia. Esta cualificación corresponderá ao desenvolvemento dos exercicios propostos para comprender a materia explicada. Algúns temas do programa poden ser asignados para un labor conxunto. Todos os alumnos poden acollerse a este traballo para a procura da cualificación final. Neste caso, os traballos deberán ser expostos na clase. Por suposto, todos os alumnos teñen dereito a facer un exame sobre a materia explicada na clase.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaOs traballos serán asignados de xeito que cada estudante teña a oportunidade de desenvolver un concepto e un teorema relacionado. Pola experiencia doutros anos, isto lévalle unhas cinco horas de estudo tutelado polo profesor e unha exposición na aula de hora e media ou dúas horas.

Recomendacións para o estudo da materiaSeguir os apuntamentos que teño sobre a materia e facer todos os exercicios propostos. No caso dos exercicios, a experiencia amosa que é máis didáctico expoñer na aula as dúbidas que resultan da súa resolución e tamén intentar dous métodos: o algorítmico e o xeométrico. De feito, o método é necesario para a comprensión dos sistemas lineares, o cálculo de sistemas adxuntos e o cálculo de sistemas canónicos.

239

Código : 091529 Nome:Ecuacións en Diferenzas. Introdución á Dinámica Discreta Ano Academico : 2007/2008






Del Río Vázquez,Miguel Antonio TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir ó alumnado no campo das ecuacións en diferenzas, tanto dende o punto de vista teórico como das aplicacións á modelación matemática; mostrando o paralelismo existente entre o estudio destas ecuacións e as ecuacións diferenciais. Tratarase en profundidade o caso lineal, comezando polos casos unidimensional e bidimensional, mentres se fará un estudio mási superficial da teoría cualitativa dos sistemas non lineais autónomos. A consideración dos sistemas dinámicos asociados ás ecuacións en diferenzas, permitirá poñer de manifesto a complexidade dinámica que pode derivarse de sinxelas ecuacións unidimensionais non lineais.

Contidos1. Modelos continuos e modelos discretos. Ecuacións en diferenzas e sistemas. Solución xeral e problema de valor inicial. Exemplos de modelación mediante ecuacións en diferenzas. 2. Sistemas lineais de primeira orde. Sistemas homoxéneos e non homoxéneos. Estrutura do conxunto de solucións. Método dos coeficientes indeterminados e de variación de parámetros. 3. Espazo de fases asociado a un sistema de ecuacións en diferenzas: órbitas, puntos fixos e puntos periódicos. Estabilidade. Configuracións do espazo de fases dun sistema lineal autónomo bidimensional. 4. Sistemas non lineais autónomos. Linearización. Estabilidade. Funcións de Liapunov. 5. Descrición da dinámica xerada pola ecuación loxística discreta. Comportamento caótico. Sistemas dinámicos discretos. Distintos conceptos de caos.

Bibliografía básica e complementaria• Devaney “An Introduction to Chaotical Dynamical Sistems” Addison-Wesley, 1994. • Elaydi, S. “An Introduction to Difference Equations”. Springer-Verlag, 1999. • Elaydi, S. “Discrete Chaos”. Chapman&Hall, 2000. • Fernández Pérez, C. – Vázquez Hernández, F. – Vegas Montaner. “Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias. Sistemas Dinámicos”. Thomson Ed. 2003.

Competencias- Capacidade de formular en termos de ecuacións en diferenzas problemas que proveñen de distintos campos científicos. - Coñecer e ter capacidade de aplicar a teoría das ecuacións en diferenzas ó estudio dinámico dos modelos obtidos. - Capacidade de interpretar os resultados do modelo e de propoñer, cando proceda, reformulacións alternativas ó mesmo.

Metodoloxía da ensinanzaImpartiranse 4 horas semanais de clase nas que se tratarán tanto as cuestións teóricas como de aplicación a problemas que proceden de distintos campos científicos. Completaráse coa resolución de problemas tanto de contido práctico como teórico.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito no que se avaliará o dominio dos contidos da materia tanto dende un punto de vista teórico como a súa aplicación a casos prácticos concretos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaTempo de clases presenciais: 60 horas

Tempo de traballo individual: 90 horas

Horas totais de traballo: 150

240

Recomendacións para o estudo da materiaAconséllase ter cursado previamente as materias: "Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias" e "Ecuacións Diferenciais Ordinarias".

241

Código : 091531 Nome:Física MatemáticaAno Academico : 2007/2008





Merino Gayoso,Carlos Miguel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaProporcionar métodos matemáticos avanzados na Física.

ContidosO curso está dividido en catro partes: Introdución á Análise Tensorial, Formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano, Medios Continuos e Relatividade Especial

Introdución á Análise Tensorial: - Tensores - Espazos Métricos - Grupo de Isometrías - Álxebra de Lie dos Grupos de Isometrías

Formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano: - Formalismos L e H en Mecánica Clásica - Formalismos L e H en Teoría de Campos - Introdución a unha Teoría Cuántica de Campos

Medios Continuos: - Deformación - Ritmo de Deformación - Tensor de Esforzos - Dinámica de Fluídos - Introdución á Elasticidade

Relatividade Especial: - Axiomas Fundamentais - Diagramas de Espazo-Tempo - Transformacións de Lorentz - Álxebra de Lie do Grupo de Lorentz - Representacións do Grupo de Lorentz - Invariantes Relativistas - Dinámica Relativista - Límite de Baixa Velocidade (Grupo de Galileo) - Fundamentos da Relatividade Xeral

Bibliografía básica e complementariaParte I -M. Nakahara. Geometry, Topology and Physics -B. Schutz. Geometrical Methods of Mathematical Physics -V.I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics Parte II -H. Goldstein. Mecánica Clásica (Ed. Reverté) -L.D. Landau e E. M. Lifshitz. Mecánica-Curso de Física Teórica (MIR) -M. Chaichian e N.F. Nelipa. Introduction to Gauge Field Theories (Springer-Verlag) -T.D. Lee. Particle Physics and Introduction to Field Theory (Harwood) -C. Itzykson e J.B. Zuber. Quantum Field Theory (McGraw-Hill) Parte III -G.E. Vekstein. Physics of Continuous Media (Adam Hilger) -L.D. Landau e E.M. Lifshitz. Teoría de la Elasticidad-Curso de Física Teórica (MIR) -P. Germain e P. Muller. Introduction á la Méchanique des Milieux Continus (Masson) -D.J. Tretton. Physical Dynamics (Oxford Science Publications) -W.F. Hughes. Dinámica de los Fluidos (McGraw-Hill) Parte IV -R.A. Mould. Basic Relativity (Springer Verlag) -B.F. Schutz. A First Course in General Relativity (Cambridge University Press) -U.E. Schröder. Special Relativity (World Scientific) -S. Weinberg. Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity (Giley and Sons)

242

Competencias- Manexo de conceptos matemáticos avanzados e das súas relacións coa teoría física que describe os fenómenos físicos. - Aplicación de obxectos e leis matemáticas na resolución de problemas físicos fundamentais.

Metodoloxía da ensinanza- Clases teóricas de encerado e problemas prácticos.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Avaliación continua da presentación e exposición por parte dos alumnos, e para súa discusión na clase, de traballos individuais sobre temas relacionados cos contidos do programa, así como da resolución de problemas prácticos tamén derivados da materia.

En casos excepcionais, poderase recorrer á realización dun exame final escrito para determinar a cualificación final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- O tempo de estudo e traballo persoal depende moito de cada estudante. Estaría, de media, entre unha e tres horas por hora de clase.

Recomendacións para o estudo da materia- Asistencia á clase e resolución dos problemas suxeridos nos boletíns.

243

Código : 091532 Nome:Funcións de Varias Variables ComplexasAno Academico : 2007/2008






Nieto Roig,Juan José CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Coñecer as diferenzas e analoxías fundamentais entre a Teoría de funcións dunha variable complexa e a Teoría de funcións de varias variables complexas. - Familiarizar o alumno cos métodos e técnicas básicas propias da teoría das funcións de varias variables complexas e a súa relación e aplicación noutros campos da matemática (xeometría, grupos de Lie, ecuacións en derivadas parciais...)

Contidos1. Introdución O espazo Cn . Polidiscos. Series de potencias en varias variables. Ecuacións de Cauchy-Riemann en varias variables

2. Funcións holomorfas Posibles definicións. Exemplos

3. Comparación entre unha e varias variables Dominios de holomorfía. Fenómeno de Hartogs. Aplicacións biholomorfas. Ceros de funcións holomorfas. Dominios de converxencia para series de potencias. Extensións de funcións holomorfas. As ecuacións de Cauchy-Riemann. Aproximación por funcións holomorfas

4. Resultados básicos das funcións de varias variables complexas Diferenciabilidade, holomorfía e analiticidade. Fórmula integral de Cauchy. Ceros de funcións holomorfas. Principio do módulo máximo. Teorema de Weierstrass. Teorema de Montel. Teoremas de Cartan. Grupos de automorfismos holomorfos da bóla unidade e do polidisco unidade. Teorema de Poincaré. Dominios de Reinhardt. Teorema de Hartogs

5. Aplicacións Variedades complexas Grupos de Lie Ecuacións en derivadas parciais

Bibliografía básica e complementariaS. GONG, Concise complex analysis, World Scientific, 2001. H. GRAUERT e K. FRITZSCHE, Several complex variables, Springer-Verlag, 1976. L. HÖRMANDER, An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland, 1973. R. NARASIMHAN, Several complex variables, Chicago University Press, 1971. J. L. TAYLOR, Several complex variables with connections to algebraic geometry and Lie groups, American Mathematical Society, 2002.

Competencias- Comprender e manexar as demostracións dos resultados máis relevantes da materia, así como ser capaz de aplicalas a cuestións teóricas e problemas sinxelos. - Coñecer as diferenzas e analoxías fundamentais entre a Teoría de funcións dunha variable complexa e a Teoría de funcións de varias variables complexas. - Familiarizar o alumno cos métodos e técnicas básicas propias da teoría das funcións de varias variables complexas e a súa relación e aplicación noutros campos da matemática (xeometría, grupos de Lie, ecuacións en derivadas parciais...).

Metodoloxía da ensinanza- Clases de teoría - Clases prácticas - Resolución de exercicios na aula - Participación activa dos estudantes

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Avaliación continuada. Exame escrito.

244

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- Horas presenciais (30 + 30) - Horas non presenciais (30 + 30) - Total volume de traballo: 120 horas

Recomendacións para o estudo da materia- Asistencia ás clases e traballo diario.

ObservaciónsNon hai.

245

Código : 091533 Nome:Fundamentos de Astronomía Ano Academico : 2007/2008






Docobo Durántez,José Ángel TIT-UN Profesor/a

Ling Ling,Josefina TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os temas fundamentais da Astronomía de posición e Mecánica Celeste. ii) Manexar a ferramenta matemática básica para resolver problemas astronómicos. iii) Familiarizarse a nivel tanto teórico como observacional coa Astronomía iv) Utilización de instrumentación astronómica

Contidos- Trigonometría esférica - A Terra: forma e movementos - A esfera celeste. Sistemas de coordenadas astronómicas - Nocións sobre a medida do tempo - Problemas elementais de Astronomía de posición - Instrumentación astronómica - Mecánica celeste: o problema de dous corpos

Bibliografía básica e complementaria1. ABAD, J. A DOCOBO e A ELIPE.: “Curso de Astronomía” 2. R. M. ALLER. “Introducción a la Astronomía” 3. R. CID PALACIOS “Curso de Astronomía” 4. R. M. GREEN “Spherical Astronomy” 5. A. E. ROY: “Astronomy: Principles and Practice” 6. W. M. SMART: “Textbook of Spherical Astronomy” 7. T. VIVES: “Astronomía de posición: espacio y tiempo” 8. J. A. DOCOBO e A. ELIPE: “Astronomía: 280 problemas resueltos” 9. VORONTOSOV e B. A. VELIAMINOV: “Problemas y ejercicios prácticos de Astronomía”

Competencias1) Contribuír á mellora da percepción espacial. 2) Comprensión da cosmografía e da xénese de cuestións astronómicas fundamentais. 3) Coñecemento das escalas de tempo rotacional ata chegar a definir a hora que debe marcar o noso reloxo. 4) Manexar as ferramentas matemáticas necesarias para o estudo da Mecánica Celeste básica. 5) Oportunidade de manexar instrumentación astronómica de calidade e transmisión dos conceptos elementais para o seu correcto manexo. 6) Capacitar o alumnado para a realización de diversas observacións astronómicas e outros traballos relacionados coa materia.

É importante que o alumno saiba que se trata dunha materia de iniciación, onde se van transmitir conceptos básicos de especial utilidade para outras materias como Mecánica Celeste e Astronomía Xeral.

Metodoloxía da ensinanza3 créditos de teoría e 3 de problemas e prácticas.

1. Trigonometría esférica (Teoría: 4 horas; Problemas: 3 horas) 2. Forma e dimensións da Terra. Coordenadas xeográficas e xeocéntricas (Teoría: 3 horas; Problemas: 2 horas) 3. Esfera celeste. Movemento diúrno aparente. Rotación da Terra (Teoría: 2 horas) 4. Movemento orbital da Terra (Teoría: 2 horas) 5. Sistemas de coordenadas astronómicas. Transformacións de coordenadas (Teoría: 6 horas; Problemas: 8 horas) 6. Medida do Tempo (Teoría: 1 hora; Problemas: 2 horas) 7. Algúns problemas elementais en Astronomía de Posición (Teoría: 3 horas; Problemas: 4 horas) 8. Repaso de diversas nocións de Mecánica Clásica (Teoría: 2 horas; Problemas: 2 horas) 9. Leis de Kepler e Lei da Gravitación (Teoría: 1 hora; Problemas: 1 hora) 10. O problema de dous corpos. Ecuación de Kepler (Teoría: 3 horas; Problemas: 3 horas)

3 Prácticas nocturnas:

246

Visita ao Observatorio Astronómico “Ramón María Aller” e primeiras observacións astronómicas con telescopios (duración 1h 30m) / Utilización dun telescopio altazimutal automatizado de campo (1h de duración) / Identificación de Constelacións, planetas e outros obxectos astronómicos (1h de duración)

3 Prácticas diúrnas: Montaxe dun telescopio refractor portátil (1h de duración) / Manexo do planisferio. Anuarios. Efemérides Astronómicas. Instrumentos de observación. Colocación de coordenadas (1h 30m de duración) / Visualización de vídeos de Astronomía (2h de duración).

_____________________________________________________________

No desenvolvemento de cada tema, as clases de problemas mestúranse coas de teoría co obxecto de poñer inmediatamente en práctica os coñecementos acadados. Paralelamente, o alumnado participa nas distintas clases prácticas de observación astronómica e de gabinete a fin de familiarizarse cos métodos básicos empregados en Astronomía.

Ao dispor esta materia dun curso virtual, os matriculados nela teñen un acceso inmediato ás distintas táboas e fórmulas, que son esenciais no seu seguimento, e os recursos multimedia, que permiten mellorar a visión espacial de conceptos explicados no encerado, así como a posibilidade de poñerse en contacto cos profesores a través das ferramentas de comunicación para solucionar dúbidas puntuais.

Sistema de avaliación da aprendizaxeO traballo persoal realizado polo alumnado ao longo do curso quedará reflectido, polo menos, nun 30% na nota final.

Este traballo pode comprender algunha ou todas as seguintes posibilidades:

a) avaliación dos apuntamentos persoais b) participación nas clases de teoría e de problemas c) asistencia activa ás clases prácticas d) programación de algoritmos e) elaboración de problemas orixinais f) participación na mellora do curso virtual g) outras achegas.

Se é o caso, haberá un exame final escrito de teoría e problemas. O exame teórico será tipo test. As respostas incorrectas cualificaranse negativamente ata -0,5, sendo de 1,0 o valor da resposta correcta e de cero a contestada en branco. O exame práctico consiste na resolución de problemas. Haberá un control parcial liberatorio de materia normalmente antes do Nadal.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: - Teóricas: 27 - De problemas: 25 - De prácticas: 8

Horas non presenciais: 4h á semana: 2h de teoría e 2h de problemas 10h preparación do control 20h de avaliación dos traballos persoais (10 das cales poden ser de preparación do exame final, se é o caso).


Recomendacións para o estudo da materiaDado o carácter que se lle quere imprimir a materia, é imprescindible unha participación directa do alumnado, o que leve consigo un seguimento ao día co obxecto de que a avaliación continua poida ser efectiva.

Para un correcto aproveitamento, os alumnos deberán posuír unha calculadora, non programable, que dispoña das funcións circulares e as súas inversas e que se aconsella leven todos os días á clase, independentemente que esta sexa de problemas ou non.

A materia conta con apoio virtual, que lles facilita aos alumnos o uso de recursos informáticos e multimedia para reforzar e ilustrar en maior detalle os conceptos expostos nas clases presenciais.

Adoitase explicar en xaneiro a parte de Mecánica Celeste que contén o curso.

247

Código : 091534 Nome:Historia da Matemática Ano Academico : 2007/2008






Alcalde Cuesta,Fernando TIT-UN Profesor/a


Fugarolas Villamarín,Manuel Antonio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia Coñecer algúns dos feitos máis importantes na historia das matemáticas e o seu influxo na actualidade. Coñecer o traballo dalgúns matemáticos relevantes. Utilizar a Historia das Matemáticas para tentar de comprender as distintas concepcións existentes sobre a natureza do coñecemento matemático.

ContidosParte I. Historia antiga e medieval 1. O nacemento da matemática grega. O período helénico 2. O período alexandrino: Euclides, Arquímedes e Apolonio 3. De Hiparco a Diofanto (s. II BC-III AD) 4. As matemáticas do Islam e no medievo europeo

Parte II. Paralelismo e movemento: de Euclides a Poincaré 1. A evolución histórica dos conceptos de paralelismo e movemento (3 horas) 2. Os Elementos de Euclides e os enunciados do V Postulado (2 horas) 3. O semiplano de Poincaré e as transformacións lineares fraccionais. O disco de Poincaré e as transformacións de Möbius (5 horas)4. A construción de Beltrami dos modelos de Klein e Poincaré (2 horas) 5. O modelo do hiperboloide de Poincaré (3 horas)

Parte III. Elementos da historia da Análise Matemática 1. Cálculo diferencial e integral 2. Outras ramas da análise: series, ecuacións diferenciais, funcións dunha variable complexa 3. A teoría de funcións dunha variable real 4. A teoría de aproximación de funcións 5. Análise Funcional

Bibliografía básica e complementariaParte I

Boyer, C.M. Historia de las matemáticas. Alianza Universidad, 1986. Collette, J.P. Historia de la matemática I. Siglo XXI de España editores 1983. Fauvel, J. and Gray, J. Eds. The history of mathematics. MacMillan Pres 1987. Kline, M. Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford Univ. Press 1972.

Parte II

H. M. S. Coxeter, Fundamentos de Geometría. Ed. Limusa-Wiley S.A., México D.F., 1971. Euclides, Elementos, Editorial Gredos. Madrid, 1991. D. Hilbert, Foundations of Geometry. Open Court, La Salle, IL, 1971. S. Katok, Fuchsian Groups. Chicago Lectures in Math. Series, The University of Chicago Press, Chicago, IL, 1992. J. Milnor, Hyperbolic Geometry: the first 150 years. Bull. Amer. Math. Soc., 6 (1982), 9-24. R. Penrose, Lo grande, lo pequeño y la mente humana. Cambridge University Press, Madrid, 1999 H. Poincaré, Œuvres. Gauthier-Villars, Paris, 1953. L. A. Santaló. Geometrías no euclidianas. Eudeba, Buenos Aires, 1966. J. Stillwell, Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics 10, Amer. Math. Soc., Providence, RI; London Math. Soc., London, 1996

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/cabri0.html http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htm http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/resources.html

Parte III

A. D. Aleksandrov, A . Kolmogorov, M. A. Laurentiev y otros, La matemática: su contenido, métodos y significado,

248

Tomos 1, 2 y 3. Alianza Universidad, Madrid, 1973-1974. N. Bourbaki, Elementos de historia de las matemáticas. Alianza Universidad, Madrid, 1972. C. B. Boyer, Historia de la matemática. Alianza Universidad, 1986. C. H. Edwards, The historical development of the Calculus. Springer, 1979.

CompetenciasCoñecer algúns dos feitos máis importantes na historia das matemáticas e o seu influxo na actualidade. Coñecer o traballo dalgúns matemáticos relevantes. Coñecer as principais concepcións existentes sobre a natureza das Matemáticas a través dos episodios da Historia das Matemáticas que máis influíron nelas. Ser capaces de analizar criticamente os distintos tipos de demostracións matemáticas e o problema da existencia dos obxectos matemáticos.

Metodoloxía da ensinanzaParticipación activa dos estudantes.

Sistema de avaliación da aprendizaxeAvaliación continua. Exame escrito. Contémplase a posibilidade de realización de traballos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 45 Horas non presenciais: 80


Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia ás clases e traballo diario.


249

Código : 091535 Nome:HomotopíaAno Academico : 2007/2008






Masa Vázquez,Xosé María CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia

Preséntanse os métodos da Topoloxía Alxébrica mediante resultados xeométricos, de grande riqueza matemática, mesturando ferramentas de álxebra, de xeometría métrica, de topoloxía conxuntista, de teoría de categorías, como mostra da unidade da matemática, da natureza dos problemas que aborda e da metodoloxía que emprega. Preténdese capacitar para o manexo de exemplos sinxelos pero interesantes e fomentar o estudo autónomo dos e das estudantes.

A Homotopía é unha ferramenta que formaliza, de xeito rigoroso, o concepto de deformación continua. Constitúe a base sobre a que se asenta toda a Topoloxía Alxébrica. Neste curso vaise estudar o Grupo Fundamental, un dos invariantes topolóxicos máis ricos dun espazo, magnífico expoñente da potencia da homotopía. E vaise facer da man das proxeccións de revestimento e dos grupos de transformacións, que é como xurdiu historicamente este concepto.

Contidos

1. PRELIMINARES.- Categorías e Functores.- Camiños e conexidade por camiños.-Espazos cociente.- Grupos de Transformacións.

Os Preliminares agrúpanse nun tema a efectos informativos, pero serán abordados na medida en que se vaian necesitando. Algúns forman parte da bagaxe que se lle supón ao estudante, como os relativos a conexidade e espazos cociente. Outros poden ser relativamente novidosos, como Categorías e functores ou Grupos de transformacións. Todos son precisos para a boa comprensión da materia e o manexo de exemplos.

2. HOMOTOPÍA DE APLICACIÓNS.- Funcións homótopas.- Retractos e deformacións.- Equivalencia de homotopía e Tipo de homotopía.- Espazos contráctiles.

É o tema máis formal, onde se introduce a noción de homotopía e se fixa a notación e linguaxe. Farase un desenvolvemento sucinto na aula e reservarase algunha exposición dos estudantes para afondar en conceptos relacionados (retractos por deformación, fibracións, cofibracións,…).

3. HOMOTOPÍA DE CAMIÑOS.- Homotopía de camiños.- O Grupo Fundamental.- Espazos simplemente conexos.- Grupo fundamental da circunferencia.

Introdúcese a ferramenta máis importante, o Grupo Fundamental. O tema é o marco apropiado para que cada estudante probe a súa capacidade de facer construcións de homotopías sinxelas. Para a mellor comprensión e manexo deste obxecto é conveniente o uso dos conceptos de Categorías e Functores. O cálculo do grupo fundamental da circunferencia é un belo exemplo de conxugación de álxebra e topoloxía, e adianta as dificultades que comporta o cálculo deste invariante.

4. PROXECCIÓNS DE REVESTIMENTO.- Proxeccións de revestimento e cubertas.- Levantamento de camiños.- Levantamento de homotopías.

Un tema de contido moi xeométrico, no que se introduce o concepto de Proxección de Revestimento e de Espazo de Revestimento ou Cuberta, e se establecen as importantes propiedades topolóxicas que, esencialmente, os caracterizan (unha cuestión, a da caracterización, que se poderá abordar nunha exposición por parte dos estudantes).

5. CUBERTAS REGULARES.- Automorfismos de revestimento. Accións propiamente discontinuas. Cubertas regulares.

Introdúcese o Grupo de Automorfismos, o que permite presentar os espazos como cociente das súas cubertas pola acción dun grupo de transformacións, e fornece un método eficaz de construción de exemplos.

6. TEOREMA DE CLASIFICACIÓN.- Levantamento de aplicacións.- Cuberta universal.- Clasificación dos espazos de revestimento.

É o tema central da materia. Demóstranse dous teoremas (de levantamento e de clasificación) nos que o functor grupo fundamental, que traduce problemas xeométricos a problemas alxébricos, permite resolver completamente o problema xeométrico inicial. Constrúese a cuberta universal dun espazo.

7. CALCULO E APLICACIÓNS.- Teorema de Van Kampen.- Grupo fundamental das superficies compactas.-

A febleza do Grupo Fundamental é a dificultade do seu cálculo. O Teorema de van Kampen o resolve en moitos casos e permite, en particular, calculalo para as superficies. Este cálculo vai permitir clasificar as superficies, teorema que se aborda

250

neste tema, cun tratamento rápido da parte xeométrica, que se deberá completar cunha lectura guiada.

8. TEORÍA DE GRAFOS.- Grafos e Árbores. O Teorema de Kurosh

Abórdase un breve estudo de grafos e árbores, que permite dar unha demostración topolóxica dun teorema alxébrico, que afirma que todo subgrupo dun grupo libre é libre.

9. REVESTIMENTOS MÉTRICOS.- O plano hiperbólico.- As superficies como cocientes métricos do seu espazo de revestimento.

Este é un tema complementario, do que non se fará un tratamento sistemático, se non máis ben a presentación duns resultados, introducindo as ferramentas necesarias, e a consideración pormenorizada de algún exemplo. Esencialmente, trátase de describir os grupos de transformacións das cubertas universais das superficies de curvatura negativa como subgrupos de isometrías do plano hiperbólico. Ademais do interese matemático dos conceptos implicados, entronca co camiño en que, historicamente, Poincaré chegou o concepto de Grupo Fundamental.

Bibliografía básica e complementaria

1.- Godbillon, C., Éléments de Topologie Algébrique. Hermann, Paris, 1971

2.- Greenberg, M. J. and Harper, J. R., Algebraic Topology: a first course, Benjamin, 1981.

3.- Hatcher, A., Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002. Dispoñíbel en http://www.math.cornell.edu/$\sim$hatcher/

4.- Lee, J.M., Introduction to Topological Manifolds, Springer 2000

5.- Lima, E. L., Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento, IMPA, Rio de Janeiro, 1977.

6.- Massey, W.S., Introducción a la Topología Algebraica. Editorial Reverté, 1972

7.- Spanier, E., Algebraic Topology, McWraw-Hill, 1966.

Competencias

Preténdese que, ao finalizar o curso, cada estudante coñeza os principais resultados estudados e sexa capaz de discutir as súas demostracións, sexa capaz de calcular o grupo fundamental das superficies e doutros espazos sinxelos, coñeza exemplos que axuden a mostrar as distintas propiedades consideradas. Preténdese tamén contribuír á capacitación para o estudo autónomo dos e das estudantes.

Metodoloxía da ensinanza

O traballo na aula combinará tempos de exposición polo profesor, sexan de cuestións teóricas, resolución de exercicios ou construción de exemplos, tempos de exposición polos estudantes, e outros, idealmente, moitos, de diálogo ou debate conxunto, onde se poidan aclarar dificultades, procurar probas, respostas, explorar exemplos complexos e relevantes, etc.

A cada estudante, de forma individual ou en grupo, en función do número de estudantes e tempo dispoñible, encomendaráselle a exposición dun tema, que amplíe ou profunde algunha cuestión do Programa.

Se a dinámica do curso o aconsella, poderíase requirir a presentación dalgún traballo por escrito, ben recollendo a resolución dalgún dos problemas propostos, ben comentando algunha das lecturas suxeridas. O material escrito entregado será discutido en sesións de titoría.

Sistema de avaliación da aprendizaxe

Combinarase a avaliación continuada, en función da participación no curso, realización de exercicios, lecturas, exposición de algún tema,… cunha proba final escrita. Esta proba será voluntaria, e a cualificación final non será inferior á obtida no proceso de avaliación continuada.

Avaliarase o grao de comprensión da teoría, a capacidade para reproducir demostracións e a destreza adquirida no manexo dos exemplos e na resolución de exercicios.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala

A materia consta de 6 créditos, o que supón 150 horas de traballo efectivo medio do estudante, das que serían presenciais 50, incluíndo unha de titoría.

Por cada hora de traballo presencial enténdese que se precisan, por término medio, outra hora e media de traballo autónomo, o que fai unha carga de traballo de 125 horas. As restantes 25 horas haberá que adicalas á preparación da exposición dun tema, lecturas complementarias, elaboración dalgún traballo escrito e, no seu caso, realización do exame.

251

Recomendacións para o estudo da materia

No curso adícase moito tempo á resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe conducir a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría é a pedra angular da formación. Haberá que manexar certo número de definicións e resultados, que se terán que asimilar nun período breve de tempo. As demostracións dos resultados axudan a comprendelos mellor e permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes; deben constituír un dos compoñentes fundamentais do estudo da asignatura. O outro, certamente, será o empeño na resolución dos exercicios.

252

Código : 091536 Nome:Informática Aplicada ao Cálculo CientíficoAno Academico : 2007/2008







Obxectivos da materiai) Coñecer unha linguaxe de programación orientada a obxectos e iniciarse na programación gráfica. ii) Manexar un programa de CAD-CAM de uso industrial.

Contidos1. Programación orientada a obxectos e Linguaxe Java. 3,5 créditos. 2. Estudo e manexo dun programa de CAD-CAM: Ferramentas de modelado xeométrico. Ferramentas de mallado. 2,5 créditos.

Bibliografía básica e complementariaLearning Java, 3rd Edition. O'Reilly. Piensa en Java. Bruce Eckel. Prentice Hall. La biblia del Java 2. Anaya Multimedia. http://www.ugs.com/products/nx/ideas/ http://gid.cimne.upc.es/support/

CompetenciasProgramación orientada a obxectos en contorno Java. Programación de applets. Modelado 3D.



Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala20 teóricas + 10 prácticas + 30 prácticas ordenador Horas non presenciais: 105 (7 horas/semana, 2,3 h de teoría, 2,3 de problemas/prácticas, 2,3 h. preparación do exame final)Horas de avaliación: 4 Total volume de traballo: 169 horas.

Recomendacións para o estudo da materiaTer superada Programación Avanzada.

253

Código : 091537 Nome:Introdución ao Cálculo Vectorial e ParaleloAno Academico : 2007/2008







Obxectivos da materiaSaber programar ordenadores paralelos e coñecer a paralelización de algoritmos clásicos e algoritmos paralelos clásicos como a descomposición de dominio.

Contidos1. Necesidade do cálculo vectorial e paralelo 2. Un panorama do cálculo paralelo 3. Primeiro programa paralelo 4. Unha aplicación: integración numérica 5. Comunicacións colectivas 6. Agrupar datos para a comunicación 7. Comunicadores e topoloxías 8. Entrada e saída en paralelo 9. Depuración de programas paralelos 10. Deseño e codificación de programas paralelos 11. Rendemento de programas paralelos 12. Máis sobre rendemento 13. Comunicacións punto a punto avanzadas 14. Algoritmos paralelos. Métodos de descomposición de dominio 15. Librarías paralelas

Bibliografía básica e complementariaProgrammer’s guide to Fortran 95. Brainerd, Goldberg e Adams. Introduction to matrix computations. Stewart. Parallel Programming with MPI. Peter Pacheco. Iterative Solution of large linear systems. Young. Iterative Methods for sparse linear systems. Saad. Numerical linear algebra for high-performance computers. Dongarra, Duff, Sorensen, van der Vorst.

CompetenciasProgramación paralela. Depuración de programas paralelos. Manexo dos ordenadores do CESGA. Paralelización de código.



Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala20 teóricas + 10 prácticas + 30 prácticas ordenador. Horas non presenciais: 105 (7 horas/semana, 2,3 h de teoría, 2,3 de problemas/prácticas, 2,3 h. preparación do exame final). Horas de avaliación: 4. Total volume de traballo: 169 horas.

254

Recomendacións para o estudo da materiaTer cursada a materia de Programación Avanzada. Interesante ter cursado Análise Numérica de Grandes Sistemas.

255

Código : 091538 Nome:Lóxica MatemáticaAno Academico : 2007/2008






Barja Pérez,Javier TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Familiarizarse coas técnicas propias da Lóxica Matemática. ii) Revisión crítica dos principios lóxicos empregados na matemática. iii) Coñecemento dalgúns dos problemas derivados dos cardinais infinitos. iv) Tomar contacto cos estudos de Fundamentación da Matemática e os traballos de Gödel. v) Unha breve exposición a outras lóxicas e a outras matemáticas: Intuicionismo, Análise non Estándar, Categorías, Lóxica Fuzzy.

Contidos1.- Básicos da Lóxica Matemática (8 horas) Xeneralidades. Sistemas axiomáticos: conceptos básicos e derivados. Sistemas formais: sintaxe vs semántica, linguaxe, símbolos, expresións, fórmulas, axiomas, regras de inferencia, teoremas 2.- Cálculo de proposicións (14 horas) Linguaxe obxecto vs. metalinguaxe: variables sintácticas. Semántica proposicional: valoración de verdade, consecuencia tautolóxica, táboas de verdade e árbores de confutación para proposicións. O principio de resolución. Cálculo de proposicións baseado en implica e negación: tres axiomas proposicionais e unha regra de dedución. Cálculo de proposicións baseado en negación e disxunción: un axioma e cinco regras 3.- Teorías de primeira orde: cálculo de predicados (10 horas) Universo, funcións e predicados. Funcións de verdade. Variables e cuantificadores. Sintaxe básica dunha linguaxe de primeira orde: variables, símbolos de funcións, termos, símbolos de predicados, símbolos lóxicos, fórmulas atómicas e derivadas. Interpretación dunha linguaxe: estruturas e valoracións; regras básicas de semántica. Consecuencia e equivalencia lóxicas. Variables libres e acoutadas: substitución. Un sistema axiomático para o cálculo de predicados. Dedución ou proba de primeira orde. Teorema de dedución. Inconsistencia dun conxunto de fórmulas. Teoremas de consistencia e completitude do cálculo de Predicados. Resolución en Predicados. Teorías de primeira orde: axiomática da aritmética de Peano 4.- Teoría de modelos (16 horas) Ideas básicas: redución e extensión de linguaxes e estruturas; morfismos de estruturas e subestruturas elementais. Teoremas de Löwenheim–Skolem. Retículos: álxebras de Boole, filtros e ultrafiltros. Ultraprodutos de estruturas: Teorema de Los e Teorema de Compacidade. Un modelo para Análise non Estándar 5.- Incompletitude e indecidibilidade (12 horas) Diversos problemas de decisión. Funcións recursivas (primitivas) e funcións calculables: máquinas de Turing e Tese de Church. Representabilidade. Aritmetización dunha teoría: números de Gödel. Teorías recursivamente axiomatizables. Teoremas de Gödel de incompletitude. Consecuencias

Bibliografía básica e complementariaJohn Bell e Moshé Machover, A Course in Mathematical Logic, North Holand, 1977. J. N. Crossley e outros, What is Mathematical Logic?, Oxford University Press, 1972. John Barwise (editor), Handbook of Mathematical Logic, North Holand, 1977.

CompetenciasDistinguir con claridade os conceptos sintácticos dos semánticos. Saber facer probas sintácticas de resultados sinxelos do cálculo axiomático de proposicións. Dominar algún método para derivar consecuencias semánticas do cálculo de predicados. Manexar o teorema de compacidade para probar resultados limitativos da lóxica de primeira orde. Capacidade para axiomatizar teorías sinxelas. Implicacións dos teoremas de Lowenheim-Skolem. A construción como ultrapotencia de R dun modelo para a Análise non Estándar. Manexo dalgún tipo de máquina ideal para facer programas sinxelos. Saber formularos teoremas de Incompletitude de Gödel e a súa repercusión.

Metodoloxía da ensinanzaA distribución semanal da materia será a seguinte: 3 horas de clase de teoría e 1 hora de clase de problemas. Situados en contexto, iranse ditando os problemas que formarán parte do exame de cada capítulo. Todo isto simultaneado cun Curso Virtual con comentarios ao programa, ferramentas de autoavaliación e comunicación cos profesores.

256

Sistema de avaliación da aprendizaxeCon cada capítulo, entregarase un exame para ser realizado nun prazo máximo dunha semana en grupos de tres persoas. Da súa cualificación sairá o 80% na nota final. O 20% restante sairá dos exames individuais, un por cada capítulo, que se realizarán no curso virtual.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 45 horas teóricas 15 horas de problemas

Horas non presenciais: 60 horas relacionadas coa docencia presencial (4 á semana, 3 horas de teoría e 1 de problemas) 30 horas para resolver problemas dos grupos

Horas de avaliación: 5 horas redactar exames en grupos 5 horas exames curso virtual


Recomendacións para o estudo da materiaAsistencia regular ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías para delimitar o traballo dos exames. Traballar nos exames en paralelo coas clases. Aproveitar o curso virtual (ferramentas de autoavaliación, exames virtuais comentados, contexto para os exames en grupo, etc.).

257

Código : 091539 Nome:Mecánica CelesteAno Academico : 2007/2008






Docobo Durántez,José Ángel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai. Coñecer os conceptos fundamentais da Mecánica Celeste e poñelos en práctica. ii. Manexar a ferramenta matemática necesaria para abordar as teorías analíticas de perturbación. iii. Aplicacións a problemas astronómicos concretos: movemento da Lúa, satélites artificiais, etc.

Contidos- O problema de dous corpos (extensión) - Cálculo de órbitas no Sistema Solar - O movemento kepleriano perturbado. Nocións de Mecánica Analítica e transformacións canónicas - Ecuacións do movemento kepleriano perturbado. Ecuacións de Lagrange - O problema de n-corpos. O caso n = 3. O movemento da Lúa perturbado polo Sol. Solucións de Lagrange e Euler - Problema restrinxido de tres corpos - Movemento dun satélite artificial en torno á Terra

Bibliografía básica e complementariaA. ABAD, J. A DOCOBO e A ELIPE.: “Curso de Astronomía” R. CID PALACIOS: “Apuntes de Mecánica Celeste” J. M. A. DANBY: “Fundamentals of Celestial Mechanics” E. ROY: “Orbital motions” T. ELICES: Mecánica Espacial” R. R. BATE E OUTROS: “Fundamentals of Astrodynamics” F. R. MOULTON: “An introduction to Celestial Mechanics” J. KOVALEVSKY: “Introduction to Celestial Mechanics” D. DUBYAGO: “The determinations of orbits” P. R. ESCOBAL: “Methods of orbit determination”

Competencias- Coñecemento do desenvolvemento da Mecánica Celeste ao longo da Historia. - Comprensión global do problema de dous corpos. - Introdución ao cálculo de órbitas no sistema solar. - Utilización dos conceptos de Mecánica Analítica aplicados á Astrodinámica. - Manexo das ferramentas matemáticas necesarias para abordar as teorías analíticas de perturbacións. - Aplicacións de todo o anterior a problemas reais.

Metodoloxía da ensinanza3 créditos de teoría e 3 de problemas e prácticas.

1. Problema de dous corpos (extensión) (Teoría: 8 horas; Práctica: 8 horas) 2. Cálculo de órbitas no Sistema Solar (Teoría: 9 horas; Práctica: 9 horas) 3. Movemento kepleriano perturbado. Formulación hamiltoniana. Transformacións canónicas. Sistemas canónicos no movemento elíptico (Teoría: 8 horas; Práctica: 8 horas) 4. Problema de n-corpos. Solucións particulares. O movemento da Lúa: perturbacións seculares. O problema restrinxido de 3 corpos (Teoría: 4 horas; Práctica: 4 horas) 5. Movemento do satélite artificial (Teoría: 1 hora; Práctica: 1 hora)

Sistema de avaliación da aprendizaxe Teráse en conta o aproveitamento das clases de teoría e problemas.(70% da nota) As alumnas e alumnos presentarán ó final do curso un traballo relacionado coa materia e cuxo contido comentaráse previamente co profesor.(30% da nota)

258

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: - teóricas: 30 - de problemas: 30

Horas non presenciais: 4h á semana: 2h de teoría e 2h de problemas 15h preparación control parcial 15h preparación do traballo a presentar

Horas de avaliación: 5h


Recomendacións para o estudo da materiaÉ importante cursar previamente Fundamentos de Astronomía. Aconséllase cursar previa ou simultaneamente Astronomía Xeral.

Os alumnos deberán posuír unha calculadora, non programable, que dispoña das funcións circulares e as súas inversas e que se ten que levar todos os días á clase.

O tema do traballo para presentar ao final de curso é libre dentro do ámbito da materia.

Aconséllase consultar a bibliografía recomendada e facer uso das posibilidades da internet.

259

Código : 091541 Nome:Métodos Xeométricos de Mecánica Clásica Ano Academico : 2007/2008






Salgado Seco,Modesto Ramón TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaA formulación xeométrica das descripcions lagrangiana e hamiltoniana da mecánica clásica está basada nas estructuras dos fibrados tanxente e cotanxente das variedades de configuración.

O obxetivo fundamental da materia é desenrolar esta formulación, mostrando que o cálculo diferencial en variedades é unha ferramenta fundamental para a mellor comprensión da Mecánica Clásica.

ContidosTEMA 1. Mecánica Clásica: mecánica dun sistema de partículas. Formulación Lagrangiana e Hamiltoniana cando o espazo de configuración é un aberto de R^{3n}.

TEMA 2. Formulación Lagrangiana e Hamiltoniana cando o espazo de configuración é unha subvariedade de R^{3n}: a aplicación forza total. Forzas de ligadura. Enerxía cinética. Ecuacións de Euler-Lagrange. Forzas conservativas. A transformación de Legendre. Conservación da enerxía. Ecuacións de Hamilton

TEMA 3. Mecánica lagrangiana e hamiltoniana para sistemas holonómicos: forma simpléctica canónica do fibrado cotanxente. Morfismos musicais. Campos de vectores lagrangianos e hamiltonianos. Formulacións da mecánica nos fibrados tanxente e cotanxente. Estructura tanxente canónica: formulación lagrangiana

TEMA 4. Simetrías e constantes do movimento.

TEMA 5. Accións de grupos de Lie: Aplicación momento

Bibliografía básica e complementariaR. Abraham e J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin, New York, 1978. J. E. Marsden e T.S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, New York 1994. W. D. Curtis e F. R. Miller. Differential manifolds and Theorical Physics Manuel de Le\'{o}n; Paulo R. Rodrigues Methods ofdifferential geometry in analytical mechanics, North-Holland Math. Studies, 158, 1989. V. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, GTM 60, Spriner-Verlag 1984

Competencias- Utilización das destrezas adquiridas no cálculo diferencial en variedades diferenciables: campos de vectores, 1-formas diferenciais, grupos 1-parámetricos... para ter unha visión global da Mecánica Clásica.

Metodoloxía da ensinanza4 horas teóricas nas que se desenvolven a partir de exemplos físicos concretos a formulación xeométrica da Mecánica Clásica.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame (teórico) e unha exposición dun tema ligado á materia.

Recomendacións para o estudo da materia Ter cursado a materia Xeometría e Topoloxía (Variedades).

260

Código : 091542 Nome:Modelado de Problemas IndustriaisAno Academico : 2007/2008






Quintela Estévez,Peregrina CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaO obxectivo principal da materia é a adquisición de coñecementos e técnicas para o modelado de problemas da enxeñaría e das finanzas. Para iso, ao longo do curso traballarase con casos reais xurdidos na industria.

Contidos1. Ecuacións da termodinámica dos medios continuos: repaso e complementos. Ecuacións da termoelasticidade de sólidos. Ecuacións dos fluídos compresibles e incompresibles

2. Vibracións mecánicas. Introdución á acústica. Linealización das ecuacións do movemento de sólidos e fluídos. Método de Fourier. Modos propios. Teoría espectral. Ecuacións da acústica. Propagación do son en medios multicapa

3. Ecuacións para mesturas de especies reactivas. Modelización das reaccións químicas. Reaccións químicas nun tanque axitado. Química finita e en equilibrio. Fluxos de mesturas reactivas. Método de fracción de mestura

4. Aplicacións industriais I: simulación da calidade da auga dun lago

5. Introdución ao electromagnetismo: ecuacións de Maxwell. Electrostática. Corrente continua. Corrente alterna. Indución electromagnética

6. Aplicacións industriais II: modelización termoeléctrica de cubas electrolíticas

7. Aplicacións industriais III: modelización de eléctrodos de fornos eléctricos

8. Modelos matemáticos en economía e finanzas. Valoración de derivados. Opcións europeas e americanas. Ecuacións de Black-Scholes

Bibliografía básica e complementariaBERMÚDEZ, A. Lecture Notes on Continuous Thermomechanics. Progress in Mathematical Physics 43. Editorial Birkhäuser 2005. BIRD, R.B., STEWART,W.E.,LIGHTFOOT, E.N., Fenómenos de Transporte . Ed. Reverté, 1980. GURTIN, M.E., An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press. New York, 1981. KUO K.K., Principles of combustion. Wiley-Interscience. New York. 1986. MEIROVITCH, L., Fundamentals of Vibrations . Mc Graw Hill. New York. 2001. MORAND H., OHAYON R. Intéractions Fluides-Strcutures. Masson. Paris. 1996. PIERCE A. Acoustics. Acoustical Society of America. New York. 1991. RHYMING, I.L., Dynamique des Fluides. Presses Polytechniques Romandes. Laussane, 1981. SANTALÓ, L.A., Vectores y Tensores con sus aplicaciones. Ed. Univ. de Buenos Aires. 1985. SPIEGEL, M.S., Análisis Vectorial. Mc Graw Hill. México. 1991. TIMOSHENKO S., GOODIER, J.N., Teoría de la Elasticidad. Urmo S.A. de Ediciones. Bilbao. 1981. WILMOTT P., HOWISON S., DEWYNNE J, The mathematics of financial derivatives. A student introduction. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. ZIEGLER H. An Introduction to Thermomechanics. North Holland. Amsterdam, 1981.

CompetenciasEntender os fenómenos implicados nun proceso industrial. Identificar os modelos matemáticos asociados a cada fenómeno do devandito proceso e o seu posible acoplamento. Xustificar as posibles simplificacións dos modelos: linearizacións, desacoplamento, efectos desprezables. Identificar as condicións de contorno asociadas. Establecer as condicións iniciais.

Metodoloxía da ensinanzaO alumno recibe 4 horas de clase por semana. A asistencia á clase é obrigatoria. O alumno deberá ler libros ou traballos de investigación relativos á modelización de problemas empresariais ou industriais. O alumno deberá elaborar un traballo relativo, polo menos, a dous temas do programa. O alumnos deberá expoñer na clase o traballo realizado.

261

Sistema de avaliación da aprendizaxeO 50% da cualificación corresponderá a un exame final. O outro 50% obterase a partir dos traballos persoais propostos a cada alumno.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: - teóricas: 30 - problemas: 30 - ordenador: 0

Horas non presenciais: 90 Horas de avaliación: 5

Total volume de traballo: 155

Recomendacións para o estudo da materiaTer bos coñecementos de métodos matemáticos na mecánica do continuo e os principais modelos matemáticos na termomecánica do continuo. En particular, coñecer as teorías de fluídos ideais, viscosos e incompresibles, as correspondentes aos fluídos elásticos e as da termoviscoelasticidade linear e non linear.

262

Código : 091543 Nome:Modelos Temporais Ano Academico : 2007/2008






Febrero Bande,Manuel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaO obxectivo da materia é que o alumno coñeza os conceptos fundamentais dos procesos e das series de tempo, a súa interpretación e a análise de casos prácticos.

Contidos1. ANÁLISE CLÁSICA DE SERIES DE TEMPO (BOX-JENKINS) a. Análise descritiva dunha serie de tempo b. Modelización Box-Jenkins dunha serie temporal c. Estimación d. Predición e. Exemplos de series de tempo

2. ANÁLISE BIVARIANTE DE SERIES DE TEMPO a. Modelización da interdependencia b. Modelos de intervención c. Identificación de Outliers d. Exemplo de series financeiras

3. EXTENSIÓNS DOS MODELOS CLÁSICOS BOX-JENKINS a. Modelos GARCH b. Modelos Multivariantes e de Espazo de Estados

4. PROCESOS DE POISSON E XENERALIZACIÓNS

Bibliografía básica e complementaria• Chan, N. H. "Time Series. Applications to Finance". Wiley. 2002 • Fan, J. & Yao, Q. "Nonlinear Time Series. Nonparametric and Parametric Methods". Springer, 2003 • Hamilton, J.D. "Time Series Analysis". Princeton. 1994. • Karlin, S. - Taylor, H.M. “A first course in Stochastic Processes”. Academic Press. 1975 • Karlin, S. - Taylor, H.M. “A second course in Stochastic Processes”. Academic Press. 1981 • Medhi, J. “Stochastic Processes”. Wiley. 1982 • Parzen, E. “Procesos Estocásticos”. Wiley. 1972 • Ross, S.M. “Stochastic Processes”. Wiley. 1983 • Peña, D. “Estadística. Modelos y métodos 2. Modelos lineales y series temporales.” Alianza Universidad Textos. 2ª edición revisada. 1989. • Tanaka, K. "Time Series Analysis. Nonstationary and Noninvertible Distribution Theory". Wiley. • Tsay, R. S. “Analysis of Financial Time Series”. 2002. Wiley • Wei, W.S. “Time series analysis. Univariate and Multivariate Methods”. Addisson-Wesley. 1990.

Competencias- Manexo de procesos de Poisson. - Describir estatisticamente series de tempo (lineares e non lineares). - Analizar a dependencia temporal dunha serie (lineares e non lineares). - Identificación axeitada de modelos temporais (lineares e non lineares). - Estimación e predición de modelos temporais (lineares e non lineares).

Metodoloxía da ensinanzaA materia estrutúrase en 4 horas de clase á semana, das que dúas son clases maxistrais de encerado, unha corresponde a clases practicas de encerado e a restante é práctica na aula de informática.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito e exame práctico. O exame escrito valórase sobre 7 puntos e inclúe unha parte tipo test sobre a teoría (3 puntos) e a resolución de problemas (4 puntos). O exame práctico consistirá na análise, mediante ordenador cun paquete estatístico, dunha ou varias series temporais e terá unha valoración máxima de 3 puntos. Para aprobar a materia, será

263

imprescindible obter un total de 5 puntos ou máis.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala Como tempo medio de traballo persoal, un estudante debe dedicar unha hora/hora e cuarto por cada hora de traballo na clase.

Recomendacións para o estudo da materiaO alumno debe cursar as materias de primeiro ciclo do departamento de Estatística para obter os coñecementos previos para afrontar esta materia. Para cada parte, o profesor indicará a bibliografía máis axeitada entre a proposta.

ObservaciónsAs prácticas na aula de informática faranse co paquete estatístico SPSS e con R/S-Plus.

264

Código : 091544 Nome:MostraxeAno Academico : 2007/2008






Iglesias Patiño,Carlos Luis ASOU Profesor/a

Lombardía Cortiña,María José PC-DOU Profesor/a

Obxectivos da materia Estudo das técnicas de mostraxe en poboacións finitas e as súas aplicacións.

Contidos1. Introdución Tipoloxía das investigacións estatísticas. Censos e enquisas. Descrición da poboación. Mostraxe probabilística e non probabilística. Números aleatorios e pseudoaleatorios

2. Mostraxe aleatoria simple con e sen reemprazamento Inferencia en poboacións finitas. Determinación do tamaño da mostra

3. Mostraxe estratificada Formación dos estratos. Estimadores. Varianzas dos estimadores. Estimación das varianzas. Afixación

4. Mostraxe sistemática Estimadores. Varianzas. Comparación cos outros tipos de mostraxe. Poboacións estruturadas

5. Mostraxe por conglomerados sen submostraxe Mostraxe por conglomerados. Mostraxe por conglomerados sen submostraxe. Efecto do deseño

6. Métodos que utilizan información adicional Método da razón. Método da diferenza. Método da regresión. Utilización na mostraxe estratificada

7. Técnicas especiais de estimación da varianza Linealización. Replicación. Jackknife. Bootstrap. Semimostras

8. Mostraxe bietápica Mostraxe por conglomerados con submostraxe. Teorema de Madow. Estimadores. Varianzas dos estimadores. Mostraxe con probabilidades proporcionais ao tamaño. Aplicación á mostraxe bietápica

9. Erros alleos á mostraxe Tipoloxía dos erros alleos á mostraxe. Tratamento da falta de resposta. Resposta aleatorizada

Bibliografía básica e complementariaXeral: AZORÍN, F. SÁNCHEZ-CRESPO, J.L.(1986) Métodos y aplicaciones del muestreo. Alianza Universidad Textos COCHRAN, W.(1980) Técnicas de muestreo. Ed. CECSA FERNÁNDEZ, F.R.; MAYOR, J.A.(1994) Muestreo en poblaciones finitas: curso básico. Ed. PPU FERNÁNDEZ, F.R.; MAYOR, J.A.(1996) Ejercicios y prácticas de muestreo en poblaciones finitas. Ed. PPU LOHR, S.L.(2000) Muestreo: Diseño y análisis. International Thomson Editores MIRÁS, J.(1985) Elementos de muestreo para poblaciones finitas. INE PÉREZ, C.(2005) Muestreo estadístico. Conceptos y problemas. Pearson Prentice Hall RUEDA, M.M.; ARCOS, A.(1998) Problemas de muestreo en poblaciones finitas. Grupo Editorial Universitario SÁNCHEZ-CRESPO, J.L.; PARADA, J. DE(1990) Ejercicios y problemas resueltos de muestreo en poblaciones finitas. INE SCHEAFFER, R.L., W. MENDENHALL III y R.L. OTT(2006) Elementos de muestreo. Thompson (6ª ed.)

Complementaria: CAMPOS, P.(1997) Relatório de Aula Práctica sobre Teoría de Amostragem. Univ. do Porto GOMES, P.(1998) Tópicos de sondagem. Sociedade Portuguesa de Estatística GONZALEZ MANTEIGA, W.; PRADA, J.M.; ROMO, J.(1994) The Bootstrap-A Review. Computational Statistics 9: 165-205 PRADA, J.M.; RIO, I. DEL(1998) Estatística do gasto do turismo que pernoita en establecementos hoteleiros de Galicia: Nota metodolóxica. Bol. de series estatísticas de Galicia, nº 44, II trim.: 19-35. IGE SANTESMASES, M.(2001) DYANE Versión 2 Diseño y análisis de encuestas en investigación social y de mercados. Ed. Pirámide.

265

Competencias- Concepto de poboación finita e a súa descrición. Repaso da estatística descritiva - Clasificación das operacións estatísticas: censo, enquisa e rexistro administrativo. Fortalezas e debilidades. Exemplos - Coñecemento das enquisas por mostraxe nunha poboación finita - Coñecementos das ferramentas matemáticas para o tratamento do deseño, estimación e avaliación do erro estatístico dunha enquisa por mostraxe - Estudo das diferentes estratexias para a abordaxe da inferencia en poboacións finitas - Diferentes tipos de deseño mostral - Utilización de información auxiliar no deseño da estratexia - Técnicas especiais de estimación da varianza - Coñecemento dos diferentes tipos de erros alleos á mostraxe - Censo fronte enquisa no relativo aos erros alleos á mostraxe - Tratamento dos erros alleos á mostraxe - Aprendizaxe da linguaxe técnica das enquisas por mostraxe - Resolución de problemas prácticos na realización de enquisas

Metodoloxía da ensinanza- Clases teórico-prácticas. - Continuas referencias a operacións estatísticas reais.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Exame escrito. - Traballos complementarios optativos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala75 horas de estudo máis 30 horas se o alumno decidise facer o traballo complementario.

Recomendacións para o estudo da materia- Coñecementos básicos de Teoría da Probabilidade e Estatística Matemática. - Consultar a bibliografía recomendada, sobre todo no referente a problemas e cuestións. - Intentar relacionar os coñecementos teóricos e mais os problemas coa práctica estatística real.

266

Código : 091545 Nome:Teoría Clásica de Números Ano Academico : 2007/2008






García Rodicio,Antonio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntrodución ao estudo da distribución dos números primos.

Contidos0. PRELIMINARES: 0.1. Funcións enteiras de orde finita. O teorema de factorización de Hadamard 0.2. Funcións holomorfas definidas por integrais

1. A FUNCIÓN GAMMA: 1.1. Fórmulas de Euler e Gauss 1.2. Ecuación funcional 1.3. Fórmula do complemento e fórmula de duplicación 1.4. Representación integral da función gamma 1.5. Fórmula de Stirling

2. A FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN: 2.1. Fórmula de Euler 2.2. Prolongación analítica e ecuación funcional 2.3. Ceros triviais e non triviais. O teorema de Hadamard: relación entre a derivada logarítmica e os ceros 2.4. Unha rexión libre de ceros: o teorema de De la Vallée-Poussin 2.5. Acotación do número de ceros non triviais e estimacións da derivada logarítmica

3. O TEOREMA DO NÚMERO PRIMO: 3.1. A función de Chebyshev 3.2. A fórmula explícita: expresión da función de Chebyshev en termos dos ceros da función zeta 3.3. O teorema do número primo 3.4. A hipótese de Riemann e a acotación do termo do erro no teorema do número primo

4. NÚMEROS PRIMOS EN PROGRESIÓNS ARITMÉTICAS: 4.1. Caracteres de grupos abelianos finitos 4.2. Caracteres de Dirichlet 4.3. Series de Dirichlet 4.4. As funcións L 4.5. Infinitude do conxunto de primos nunha progresión aritmética

Bibliografía básica e complementaria1. T. M. Apostol, Introducción a la Teoría Analítica de Números, Reverté, 1980. 2. J. Cilleruelo. e A. Córdoba, La Teoría de los Números, Mondadori, 1992. 3. H. Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer-Verlag, 1980. 4. A. A. Karatsuba, Basic Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1993. 5. S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 1985. 6. M. R. Murty, Problems in analytic number theory, Springer-Verlag, 2001. 7. W. Narkiewicz, The Development of prime number theory : from Euclid to Hardy and Littlewood, Springer-Verlag, 2000. 8. G. Tenenbaum, M. Mendès France, Les Nombres Premiers, Presses Universitaires de France, 1997.

CompetenciasManexar os métodos analíticos básicos da teoría de números.

Metodoloxía da ensinanzaCada alumno recibirá 2 horas de teoría e 2 de práctica por semana.


267

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30. Horas non presenciais: 95. Horas de avaliación: 3. Total volume de traballo: 158 horas.

Recomendacións para o estudo da materiaDedicación constante á disciplina co fin de comprender e manexar os conceptos estudados.

268

Código : 091546 Nome:Teoría da Decisión Ano Academico : 2007/2008






García Jurado,Ignacio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaO obxectivo desta materia é presentarlles aos alumnos os principais modelos matemáticos de toma de decisións e as principais solucións proporcionadas desde as diferentes teorías da racionalidade e da xustiza.

Contidos1. Problemas de decisión unipersoais 1.1. Preferencias dun decisor racional 1.2. Valores ordinais 1.3. Valores ordinais no caso multiatributo 1.4. Teoría da utilidade de von Neumann e Morgenstern 1.5. Decisións en ambiente de incerteza

2. Xogos bipersoais de suma nula 2.1. Valor e estratexias óptimas 2.2. O teorema minimax en xogos matriciais 2.3. Algoritmos de resolución de xogos matriciais 2.4. S-xogos 2.5. Xogos sobre o cadrado unidade

3. Elección social 3.1. Regras de elección social en votacións para dúas alternativas 3.2. Regras de elección social en votacións para máis de dúas alternativas 3.3. Funcións de elección social e manipulabilidade

Bibliografía básica e complementariaDanilov V.I. and Sotskov A.I. (2002). Social Choice Mechanisms. Springer Verlag. Fishburn P.C. (1970). Utility Theory for Decision Making. Wiley. French S. (1986). Decision Theory. An Introduction to the Mathematics of Rationality. Ellis Horwood. Kelly J.S. (1988). Social Choice Theory. Springer Verlag. Kreps D.M. (1988). Notes on the Theory of Choice. Westview Press. Mas-Colell A., Whinston M.D. and Green J.R. (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press. R. Myerson (1991). Game Theory. Analysis of Conflict. Harvard University Press. Osborne M.J. and Rubinstein A. (1994). A Course in Game Theory. The MIT Press. Owen G. (1995). Game Theory. Academic Press. Parthasarathy T. and Raghavan T.E.S. (1971). Some Topics in Two-Person Games. Elsevier. Ríos S., Ríos-Ínsua M.J. y Ríos-Ínsua S. (1989). Procesos de Decisión Multicriterio. Eudema Universidad.

Competencias- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa. - Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á modelización e á resolución de problemas. - Competencia para utilizar os coñecementos adquiridos na análise e interpretación de problemas xurdidos nas ciencias sociais.

Metodoloxía da ensinanza- Clases de teoría e de problemas (aproximadamente, en proporción tres a un). Nas clases de problemas os estudantes corrixirán no encerado os problemas propostos. - Utilizarase o encerado, o retroproxector de transparencias e o canón de vídeo. Os estudantes terán á súa disposición na fotocopiadora e na web os apuntamentos do profesor e algúns exames resoltos de cursos anteriores. - Fomentarase a participación dos estudantes na clase. - Farase fincapé nas relacións entre a teoría da decisión e as ciencias sociais.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito que inclúe preguntas de teoría, cuestións e problemas. O exame valorarase de 0 a 10 puntos. Para aprobar son necesarios cinco puntos.

269

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, dúas horas de traballo persoal (estudo de resultados teóricos e resolución de problemas) por cada hora de clase, deberían ser suficientes.

Recomendacións para o estudo da materiaPara superar esta materia é aconsellable a asistencia ás clases e a resolución e revisión dos exercicios propostos.

270

Código : 091547 Nome:Teoría de Números Alxébricos Ano Academico : 2007/2008







Obxectivos da materia Coñecer os métodos e resultados básicos de teoría de números alxébricos, xeral, local e global. Aplicacións aos corpos cuadráticos e ciclotómicos.

Contidos1. Subaneis e valores absolutos dun corpo Base enteira. Extensión residual. Valores absolutos e divisores primos. Teorema de aproximación. Aneis de enteiros e grupos de divisores. Extensións de valores absolutos 2. Corpos completos e corpos locais Completación. Extensións de valores absolutos, casos completo e non completo. Norma e conorma. Estrutura das unidades dun corpo local. Estrutura dos corpos locais 3. Dominios de Dedekind Ideais e divisores. Divisores primos de Q. Teorema de aproximación forte discreto. Extensións de dominios de Dedekind. Teorema de Kummer 4. Ramificación Grupos de descomposición e ramificación. Automorfismo de Frobenius, símbolos de Artin e de resto potencial. Extensións non ramificadas. Extensións totalmente ramificadas. Ramificación moderada 5. Diferente e discriminante Diferente. Diferente e ramificación. Discriminante. Base enteira, ramificación e Discriminante. Cálculo da discriminante. Teorema de Kummer e discriminante 6. Corpos globais Corpos de funcións. Aneis de enteiros. Fórmula produto. Extensións de corpo de constantes 7. Ideis. Xeometría de números Ideis. Representación xeométrica dos números alxébricos. Teorema de aproximación forte. A constante de Minkowski 8. Ideis. Teorema das unidades Ideis. Ideis e ideais. Finitude do número de clase. Teorema das unidades de Dirichlet. Regulador 9. Corpos ciclotómicos Símbolo de Artin e lei de reciprocidade ciclotómica. Lei de descomposición. Base enteira. Unidades 10. Corpos cuadráticos Base enteira e discriminante. Kronecker-Weber e fórmula discriminante-condutor cuadráticos. Lei de descomposición. Representación por formas cuadráticas binarias. Lei de reciprocidade cuadrática. Unidades, ecuación de Pell

Bibliografía básica e complementariaBorevic, Z. I. e Safarevic, I. R., Theorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966. Lang, S., Algebra, Addison-Wesley, 1965. Lang, S., Algebraic number theory, Addison-Wesley, 1970. Neukirch, J., Algebraic number theory, Springer, 1999. Serre, J. P., Corps locaux, Hermann, 1968. Weiss, E., Algebraic number theory, MacGraw-Hill, 1963.

CompetenciasCálculo de discriminantes e bases enteiras e descomposición de primos en certos corpos cúbicos, cuárticos e outros corpos de grao baixo. Aplicación do teorema das unidades.

Metodoloxía da ensinanzaExposición dos contidos por parte do profesor. Discusión e participación dos alumnos. Realización de problemas en relación cos contidos.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito teórico e práctico.

271

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala6 horas semanais.

272

Código : 091548 Nome:Teoría de XogosAno Academico : 2007/2008






García Jurado,Ignacio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaPresentarlles aos alumnos os principais modelos matemáticos para a toma de decisións en situacións conflitivas, as principais solucións proporcionadas desde as diferentes teorías da racionalidade (no caso dos conflitos non cooperativos) e da xustiza (no caso dos conflitos cooperativos), os principais métodos de cálculo das devanditas solucións, e as principais aplicacións dateoría de xogos.

Contidos1. XOGOS EN FORMA ESTRATÉXICA 1.1. Introdución aos xogos en forma estratéxica 1.2. Equilibrio de Nash en xogos en forma estratéxica 1.3. Estratexias mixtas en xogos finitos 1.4. Xogos bimatriciais 1.5. Xogos bipersoais de suma nula 1.6. Xogos matriciais 1.7. Refinamentos do equilibrio de Nash en xogos finitos 1.8. O equilibrio correlado

2. XOGOS EN FORMA EXTENSIVA 2.1. Introdución aos xogos en forma extensiva 2.2. Equilibrio de Nash en xogos en forma extensiva 2.3. Refinamentos do equilibrio de Nash en xogos en forma extensiva 2.4. Xogos con información incompleta

3. MODELOS DE NEGOCIACIÓN 3.1. Aproximacións axiomáticas ao problema de negociación 3.2. Aproximacións estratéxicas ao problema de negociación

4. XOGOS TU 4.1. Introdución aos xogos TU 4.2. O núcleo e outros conceptos relacionados 4.3. O valor de Shapley e outros conceptos relacionados 4.4. O nucléolo 4.5. Aplicacións dos xogos TU

Bibliografía básica e complementariaR. Aumann and S. Hart (1992). "Handbook of Game Theory (Vol. 1)". North-Holland. R. Aumann and S. Hart (1994). "Handbook of Game Theory (Vol. 2)". North-Holland. R. Aumann and S. Hart (2002). "Handbook of Game Theory (Vol. 3)". North-Holland. D. Blackwell and M.A. Girshick (1954). "Theory of Games and Statistical Decisions". Wiley. M.D. Davis (1986). "Introducción a la Teoría de Juegos". Alianza Universidad. T. Driessen (1988). "Cooperative Games, Solutions and Applications". Kluwer Academic Publishers. R. Gibbons (1992). "Un Primer Curso de Teoría de Juegos". Antoni Bosch Editor. F.J. Girón y M.A. Gómez Villegas (1977). "Teoría de los Juegos". U.N.E.D. T. Ichiishi (1983). "Game Theory for Economic Analysis". Academic Press. R.D. Luce and H. Raiffa (1957). "Games and Decisions". Wiley. A. Mas-Colell, M.D. Whinston and J.R. Green (1995). “Microeconomic Theory”. Oxford University Press. R. Myerson (1991). "Game Theory. Analysis of Conflict". Harvard University Press. M. Osborne and A. Rubinstein (1994). “A Course in Game Theory”. The MIT Press. G. Owen (1995). "Game Theory". Academic Press. T. Parthasarathy and T.E.S. Raghavan (1971). "Some Topics in Two-Person Games". Elsevier. H. Peters (1992). "Axiomatic Bargaining Theory". Kluwer Academic Publishers. S. Tijs (2003). "Introduction to Game Theory". Hindustan Book Agency. E. van Damme (1991). "Stability and Perfection of Nash Equilibria". Springer-Verlag. J. von Neumann and O. Morgenstern (1947). "Theory of Games and Economic Behavior". Princeton University Press.

273

Competencias- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa. - Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á modelización e á resolución de problemas de toma de decisións en interacción con outros decisores. - Competencia para utilizar os coñecementos adquiridos na análise e interpretación de problemas xurdidos nas ciencias sociais.

Metodoloxía da ensinanza- Clases de teoría e de problemas (aproximadamente, en proporción catro a un). Nas clases de problemas os estudantes corrixirán no encerado os problemas propostos. - Utilizarase o encerado, o retroproxector de transparencias e canón de vídeo. Os estudantes terán á súa disposición na fotocopiadora e na web os apuntamentos do profesor e algúns exames resoltos de cursos anteriores. - Fomentarase a participación dos estudantes na clase. - Farase fincapé nas relacións entre a teoría de xogos e as ciencias sociais.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito que inclúe preguntas de teoría, cuestións e problemas. O exame valorarase de 0 a 10 puntos. Para aprobar son necesarios cinco puntos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar a materia depende moito dos coñecementos previos e da destreza do alumno. Normalmente, dúas horas de traballo persoal (estudo de resultados teóricos e resolución de problemas) por cada hora de clase, debería ser suficiente.

Recomendacións para o estudo da materiaPara superar esta materia é aconsellable a asistencia ás clases e a resolución e revisión dos exercicios propostos.

274

Código : 091549 Nome:Teoría Espectral e Ecuacións Integrais Ano Academico : 2007/2008






Nieto Roig,Juan José CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Coñecer os fundamentos da teoría espectral e a súa relación coas ecuacións integrais. - Familiarizar o alumno cos métodos elementais de resolución de ecuacións integrais. - Exposición e resolución de problemas reais que conducen a ecuacións integrais.

Contidos1. Exemplos e motivacións O problema mecánico de Abel. Problemas iniciais para ecuacións diferenciais ordinarias: ecuacións integrais de Volterra. Problemas de fronteira para ecuacións diferenciais ordinarias: ecuacións integrais de Fredholm. Problemas de fronteira para ecuacións diferenciais en derivadas parciais: formulación integral

2. Operadores compactos e operadores de Hilbert-Schmidt Propiedades. Exemplos. Operadores de Hilbert-Schmidt nun espazo de Hilbert. Operadores integrais. Núcleo dun operador integral

3. A teoría de Riesz-Fredholm Teorema da alternativa de Fredholm. Espectro e resolvente dun operador compacto. Espectro e resolvente dun operador autoadxunto

4. Forma canónica dun operador compacto e autoadxunto Teorema de existencia dunha base de Hilbert formada por autovectores. Exemplos. Bases ortonormais clásicas: sistema trigonométrico, polinomios de Legendre, polinomios de Bessel, polinomios de Hermite, funcións de Bessel, etc.

5. Ecuacións integrais de Volterra e de Fredholm Propiedades elementais. Equivalencia entre operadores integrais con núcleo de cadrado sumable e operadores de Hilbert-Schmidt. Teorema da alternativa para ecuacións integrais

6. Métodos de resolución de ecuacións integrais Núcleo resolvente. Resolución no caso dexenerado. Métodos iterativos. Series de Neumann. Método dos determinantes de Fredholm. Ecuacións integrais de convolución e a transformada de Laplace. Métodos numéricos

Bibliografía básica e complementariaL. ABELLANAS e A. GALINDO, Espacios de Hilbert, Eudema, 1987. H. BREZIS, Análisis Funcional, Alianza, 1984. A. KOLMOGOROV e S. FOMIN, Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional, Mir, 1975. M. KRASNOV, A. KISELIOV e G. MAKARENKO, Ecuaciones Integrales, Mir, 1977 D. PORTER e S.G. STIRLING, Integral equations: a practical treatment, from spectral theory to applications, Cambridge University Press, 1993

Competencias- Comprender e manexar as demostracións dos resultados máis relevantes da materia, así como ser capaz de aplicalas a cuestións teóricas e problemas sinxelos. - Coñecer os fundamentos da teoría espectral e a súa relación coas ecuacións integrais. - Familiarizar o alumno cos métodos elementais de resolución de ecuacións integrais. - Formulación e resolución de problemas reais que conducen a ecuacións integrais.

Metodoloxía da ensinanza- Clases de teoría. - Clases prácticas. - Resolución de exercicios na aula. - Participación activa dos estudantes.

275

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Avaliación continuada. - Exame escrito.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- Horas presenciais (30 + 30) - Horas non presenciais (30 + 30) - Total volume de traballo: 120 horas

Recomendacións para o estudo da materia - Asistencia ás clases e traballo diario.


276

Código : 091550 Nome:Topoloxía DiferencialAno Academico : 2007/2008






Carballés Vázquez,José Manuel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia Proporcionar ó alumno unha formación básica de Topoloxía diferencial elemental.

Contidos1.- Variedades: Variedades diferenciables. Exemplos. Variedades con borde. 2.- Teorema de Sard: Subvariedades. Teoremas de Morse-Sard e Brown. Aplicacións. Teoremas de embebemento. 3.- Transversalidade: Subvariedades en posición xeral. Transversalidade. Estabilidade e densidade. 4.- Grao dunha aplicación: Grao e grao módulo 2. Teorema de Hopf. Número de intersección. Característica de Euler. 5.- Cohomoloxía de De Rham: Formas pechadas e exactas. Lema de Poincaré. Cohomoloxía de De Rham. Teorema de Poincaré- Hopf. Teorema de De Rham.

Bibliografía básica e complementariaGUILLEMIN, V. - A. POLLACK. Differential Topology. Prentice-Hall. 1974. HIRSCH, M.W. Differential Topology. Springer. 1976. MADSEN, I. - J. TORNEHAVE. From Calculus to Cohomology. Cambridge U.P. 1997. MILNOR, J.W. Topology from the Differentiable Viewpoint. The University Press of Virginia. 1965. OUTERELO, E. - J.M. RUIZ. Topología diferencial. Addison-Wesley. 1998.

CompetenciasManexo das técnicas básicas da Topoloxía diferencial.

Metodoloxía da ensinanzaClases presenciais.

Sistema de avaliación da aprendizaxeResolución de problemas, exposición de temas relacionados co programa e, eventualmente, exame escrito.

ObservaciónsMaterias que se aconsella cursar previamente: Xeometría e Topoloxía.

277

Código : 091552 Nome:Xeometría de RiemannAno Academico : 2007/2008






García Río,Eduardo TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEstudo da xeometría local de variedades Riemannianas: I) Conexión de Levi Civita II) Xeodésicas: propiedades minimizantes III) Curvatura: curvatura seccional

Estudo da xeometría global de variedades Riemannianas: I) Distancia II) Completitude xeodésica: Teorema de Hopf-Rinow

Contidos1. Métricas Riemannianas Preliminares. Tensor métrico. Existencia de métricas de Riemann. Exemplos

2. Conexión de Riemann Conexións afíns, transporte paralelo. A conexión de Levi Civita. Derivación de campos de tensores

3. Xeodésicas O fluxo xeodésico. Propiedades minimizantes das xeodésicas. Aplicación exponencial e contornos convexos

4. Variedades completas Distancia asociada á métrica de Riemann. Completitude xeodésica. Teorema de Hopf-Rinow

5. Curvatura Tensor curvatura. Funcións curvatura seccional, de Ricci e escalar. A ecuación de Jacobi. Puntos conxugados. Determinación local da métrica a partir da curvatura. Variedades de curvatura seccional constante

Bibliografía básica e complementaria W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure Appl. Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.

M. P. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.

Chavel, Riemannian geometry, a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

John M. Lee, Riemannian geometry, an introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag, New York, 1997.

B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with applications to relativity, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, New York-London, 1983.

CompetenciasManexo das técnicas básicas da Xeometría Riemanniana.

Metodoloxía da ensinanzaClases presenciais.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Traballo na clase. - Exame.

278

Recomendacións para o estudo da materiaMaterias que se aconsella cursar previamente: Curvas e Superficies, Teoría Global de Superficies, Xeometría e Topoloxía.

279

Código : 091561 Nome:Estatística Matemática Ano Academico : 2007/2008






Rodríguez Casal,Alberto PAXU-DOU Profesor/a

Obxectivos da materiaO obxectivo da materia é que o alumno obteña un coñecemento básico das técnicas de Inferencia Estatística paramétrica e non paramétrica

Contidos1.- INTRODUCCIÓN a) Breve revisión dos conceptos da Estatística: poboación, mostra, estatísticos, suficiencia, etc.

2.- ESTIMACIÓN a) Estimación inesgada b) Invariancia c) Estimadores Bayes d) Métodos de construcción de estimadores paramétricos c) Introducción aos métodos non paramétricos de estimación

3.- CONTRASTES DE HIPÓTESES a) O lema de Neymann-Pearson b) Tests bilaterais. Tests centrados c) Tests en modelos paramétricos d) Tests en modelos non paramétricos

4.- ESTIMACIÓN POR REXIÓNS DE CONFIANZA a) Rexións de confianza pivotal b) Rexións de confianza asintótica c) Rexións de confianza Bootstrap

Bibliografía básica e complementaria1)Berger, J.O. (1985). “Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis”. Springer Verlag. 2)Casella, G. e Berger, R.L. (1990). “Statistical Inference”. Wadsworth & Brooks/Cole. 3)Cristóbal Cristóbal, J.A. (1992). “Inferencia Estadística”. Universidad de Zaragoza. 4)Dekking, F. M., Kraaikanp, H. P., Lopuhää. H. P. e Meester, L. E. (2005). “ Understanding Why and How”. Springer 5)Garthwaite, P.H., Jollliffe, I.T. e Jones, B. (1995). “Statistical Inference”. Prentice Hall 6)Gibbons, J.D. e Chakraborti, S. (1992). “Nonparametric Statistical Inference”. Tercera Edición. Marcel Dekker. 7)Gómez Villegas, M.A. (2005). "Inferencia Estadística". Diaz de Santos. 8)Knight, K. (2000). “Mathematical Statistics”. Chapman & Hall. 9)Lehmann, E.L. (1991). “Testing Statistical Hypothesis”. Segunda Edición. Wiley. 10)Lehmann, E.L. (1991). “Theory of Point Estimation”. Segunda Edición. Wiley. 11)Rohatgi, V.K. (1976). “An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics”. Wiley 12)Shao, J. (2003). “Mathematical Statistics”. Springer. 13) Shao, J. (2005). "Mathematical Statistics: Exercises and solutions". Springer 14)Vélez Ibarrola, R. e García Pérez, A. (1993). “Principios de Inferencia Estadística”. UNED. 15)Welsh, A.H. (1996). “Aspects of Statistical Inference”. Wiley. 16)Wand, M.P. e Jones, M.C. (1995). “Kernel Smoothing”. Chapman Hall.

Competencias- Manexar todos os métodos máis importantes da estimación paramétrica e non paramétrica. - Enunciar e resolver contrastes de hipóteses paramétricos e non paramétricos. - Manexar os métodos clásicos e de tipo Bootstrap de construcción de rexións de confianza - Capacidade de resolver problemas que requiran o uso da inferencia estatística

Metodoloxía da ensinanzaO curso impartirase en bloques de 5 horas semanais mediante leccións maxistrais, e clases de tipo práctico

280

Sistema de avaliación da aprendizaxeConsistirá nun único exame escrito. Tamén se terá en conta a resolución de problemas feitos polos alumnos ao longo do curso.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar esta materia depende da destreza e habilidades do alumno. En xeral, unha hora e media diaria de estudo e traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debe de ser suficiente.

Recomendacións para o estudo da materiaPara superar con éxito esta materia, é necesario a asistencia ás clases, sendo fundamental o traballo na resolución de problemas propostos ao longo do curso. O exame constará de problemas moi relacionados cos feitos en clase.

ObservaciónsMaterias que se aconsella cursar previamente: Cálculo Diferencial e Integral Nunha e Varias Variables, Introdución ao Cálculo de Probabilidades e Vectores Aleatorios e Inferencia Estatística.

281

Código : 091562 Nome:Métodos de RegresiónAno Academico : 2007/2008






Carollo Limeres,María Del Carmen TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaPreténdese conseguir, mediante as clases teóricas e prácticas, un coñecemento profundo e rigoroso do modelo linear xeral con resposta unidimensional e a súa utilización en distintas situacións atendendo ao tipo de variables en estudo. Coas clases de laboratorio preténdese que o alumno coñeza a correcta utilización de aplicacións informáticas, orientadas á resolución de problemas estatísticos (por exemplo o SPSS), para resolver problemas reais en relación co modelo linear xeral.

Contidos1. A distribución normal multivariante 2. Distribución de formas cuadráticas 3. O modelo linear xeral e as súas aplicacións 4. O modelo linear xerar con restricións lineares e as súas aplicacións 5. Análise da varianza 6. Análise da covarianza 7. Principais modelos do deseño de experimentos

Bibliografía básica e complementariaDRAPPER, N.R. y SMITH, H. Applied Regression Analysis. Ed. Wiley. 1998. HASTIE, T, TIBSHIRANI, R y FRIEDMAN J. The Elements of Statistical Learning. Springer Series in Statistics. 2001. JOBSON , J.D. Applied Multivariate Data Analysis. (Regression and Experimental Design). Springer-Verlag, 1992. PEÑA, D. Regresión y diseño de experimentos. Alianza Editorial. Ciencias Sociales, 2002. RYAN, T.P. Modern Regression Methods . John Wiley, 1997. SEBER, G.A.F. Linear Regression Analysis. John Wiley, 1977. VISAUTA VINACUA, B. Análisis estadístico con SPSS para WINDOWS. McGrawHill Wiley, 1997.

Competencias- Dominio dos aspectos teóricos básicos da materia. - Coñecer os problemas, tanto teóricos como reais, que se poden resolver empregando o modelo linear xeral. - Familiaridade coa resolución destes problemas, utilizando o paquete estatístico SPSS naqueles casos nos que o volume de datos así o requira.

Metodoloxía da ensinanzaEnfócase a docencia mediante clases teóricas, prácticas e de laboratorio. As clases teóricas, dúas á semana, dedícanse, fundamentalmente, ao desenvolvemento dos contidos esenciais da disciplina. Evítanse as longas e aburridas demostracións sempre que non proporcionen algo importante para a comprensión dos conceptos. As clases prácticas, unha á semana, dedícanse á resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións), procurando unha activa participación do estudante. Nas prácticas realizadas na aula de informática, cinco ao longo do curso, introdúcense os alumnos no manexo do SPSS e resólvense, utilizando as técnicas desenvolvidas nas clases teóricas, problemas con datos tomados da vida real. Sempre se procurará que a participación do estudante sexa máxima.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito, teórico-práctico, cunha valoración do 90% do total. Unha práctica voluntaria cunha valoración do 10% do total. Valorarase especialmente, ademais dos contidos, o rigor, a claridade e a concisión da exposición tanto no exame como na práctica voluntaria. Terase en conta, ademais, a participación dos alumnos nas clases. Para superar a materia será imprescindible asistir ás clases prácticas impartidas no laboratorio de Informática.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaEnténdese que unha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida debería ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado en función das circunstancias que concorran no alumno.

282

Recomendacións para o estudo da materiaAconséllase participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia: asistencia ás clases, participación nas clases prácticas e de laboratorio, utilización de horas de titorías, etc.

ObservaciónsA cualificación da práctica voluntaria conservarase para o resto das convocatorias dese mesmo curso e esta práctica poderá ser entregada, como data límite, o día do exame da convocatoria correspondente.

283

Código : 091563 Nome:Procesos Estocásticos Ano Academico : 2007/2008






Faraldo Roca,Pedro TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEste curso está deseñado para proporcionar un coñecemento básico dos Procesos Estocásticos. Estudo dos procesos tipo e as súas aplicacións na modelización dos fenómenos aleatorios.

Contidos1. Nocións básicas: clasificación e exemplos de procesos estocásticos 2. Cadeas de Markov en tempo discreto 3. Procesos de Poisson 4. Probabilidade e ensinanza condicionada: formulación xeral. Martingalas

Bibliografía básica e complementariaBATH, U. N. Elements of applied Stochastic Processes. Wiley & Sons.1991(2ªE.) BOSQ, D. Y NGUYET, H.Y. A course in Stochastic Processes. Kluwer Academic Publisher.1996 IBARROLA, R. Procesos Estocásticos. Unidades Didácticas. UNED.1998 KARLIN, S. - TAYLOR, H.M. A first course in Stochastic. Processes. Academic Press. 1981 KARLIN, S.- TAYLOR, H.M. A Second course in Stochastic Processes. Academic Press. 1981 LAHA, R.G.- ROHATGI, V. K. Probalility Theory. John Wiley. 1979 LAMBERTON, D. Y LAPERYRE, B. Stochastic calculus applied of finance, Springer Verlag.1996 MEDHI, J. Stochastic Processes. John Wiley.1982 PARZEN, E. Procesos Estocásticos. John Wiley.1972 ROSS, S.M. Stochastic Processes. John Wiley.1983

Competencias- Coñecemento dos resultados teóricos incluídos no programa e que serán necesarios no estudo de modelización de fenómenos aleatorios. - Capacidade para aplicar correctamente os resultados obtidos á resolución de problemas. - Resolución de problemas fundamentados nos modelos estudados.

Metodoloxía da ensinanza- Clases teóricas que inclúen aplicacións dos conceptos e resultados estudados. - Resolución de problemas entregados previamente ao alumnado co obxecto de favorecer o traballo individual e de grupo.

Sistema de avaliación da aprendizaxeAo final do curso proporase un único exame. Ao longo do curso iranse formulando problemas para resolver e entregar, que serán avaliados individualmente.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo necesario para superar esta materia depende moito da destreza e da habilidade do alumno. En xeral, unha hora e media de estudo e de traballo persoal, que complemente a asistencia á clase, debería resultar suficiente.

Recomendacións para o estudo da materia Para superar con éxito a materia é necesaria a asistencia á clase e a resolución e revisión dos problemas que se propoñan. Coa utilización da bibliografía xeral ou a que se recomende para cuestións específicas é posible completar e ampliar calquera tema.

284

Código : 091564 Nome:Programación Linear e EnteiraAno Academico : 2007/2008






Fernández Fernández,María Ángeles TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaO obxectivo da materia é que o alumno coñeza e utilice as técnicas de programación linear e enteira. A parte teórica vai acompañada de resolución de casos prácticos nos que se irán introducindo as técnicas desenvolvidas no programa de teoría, tanto nas clases de seminario como nas de laboratorio.

ContidosTEMA 1: O Modelo de Programación Linear. Métodos de resolución TEMA 2: Dualidade en Programación Linear TEMA 3: Análise de Sensibilidade e Programación Paramétrica TEMA 4: Programación Enteira. Problemas especiais e resolución

Bibliografía básica e complementariaANDERSON, D./ SWEENEY, D./ WILLIANS, T. (1993): “Introducción a los modelos cuantitativos para administración”. Grupo Editorial Iberoamérica. BAZARAA, M. /JARVIS,J. (1991) :”Programación lineal y flujo en redes”.Limusa CALVETE, S. / MATEO, P.(1994) : “Programación lineal, entera y meta. Problemas y Aplicaciones”. Prensas Universitarias de Zaragoza.CALDERÓN MONTERO, S/ GONZÁLEZ PAREJA, A. (1996): “Programación matemática”. Universidad de Málaga GOBERNA, M.; JORNET, V.PUENTE, R.(2004) : Optimización lineal. Teoría, Métodos y Modelos. McGraw-Hill HILLIER,F./LIEBERMAN,G. (1991): “ Introducción a la Investigación de Operaciones”. McGraw-Hill. MARTÍN, Q. (2003) : Investigación Operativa. Pearson. Prentice Hall OSORIO ACOSTA, T. (1999):” Problemas de P. Lineal”. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. RAMOS ,E. (1993): “Programación lineal y métodos de optimización”. UNED. RÍOS INSUA, S./ RÍOS INSUA, D./ MATEOS, A./ MARTÍN, J (1997) : “Programación lineal y aplicaciones”. Ra-Ma. RÍOS INSUA, S (1996): “Investigación Operativa. Programación lineal y aplicaciones”. Centro de estudios Ramón Areces. WILLIAMS, H. P. (1993): “Model Building in Mathematical Programming”. John Wiley and Sons. WINSTON, W. (1994):”Investigación de operaciones. Aplicaciones y algoritmos”. Grupo Editorial Iberoamérica. WOLSEY, L. A. (1998): “Integer Programming”. John Wiley and Sons.

Competencias - Dominio dos aspectos teóricos básicos da materia. - Coñecer os problemas, tanto teóricos como reais, que se poden resolver empregando a programación linear e enteira. - Familiaridade coa resolución destes problemas e a capacitación para o emprego de software adecuado para o apoio na súa resolución.

Metodoloxía da ensinanzaEnfócase a docencia mediante clases teóricas, prácticas e de laboratorio. As clases teóricas, 30 horas no cuadrimestre, dedícanse fundamentalmente ao desenvolvemento dos contidos esenciais da disciplina. Evítanse as longas e aburridas demostracións sempre que non proporcionen algo importante para a comprensión dos conceptos. As clases prácticas, outras 30 horas no cuadrimestre (25 de seminario e 5 de laboratorio), dedícanse á resolución de problemas, tanto teóricos como no ámbito das aplicacións, procurando unha activa participación do estudante. Nas prácticas realizadas na aula de informática, introdúcense os alumnos no manexo de software adecuado para o apoio na súa resolución. Nestas prácticas haberá dous grupos de alumnos para conseguir un mellor aproveitamento e favorecer que a participación do estudante sexa máxima.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final escrito, teórico-práctico, cunha valoración do 90% do total. Unha práctica voluntaria cunha valoración do 10% do total. Valorarase especialmente, ademais dos contidos, o rigor, a claridade e a concisión da exposición tanto no exame como na práctica voluntaria. Terase en conta, ademais, a participación dos alumnos nas clases. Para superar a materia será imprescindible asistir ás clases prácticas impartidas no laboratorio de Informática (excepto incompatibilidades que deberán ser xustificadas).

285

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaEnténdese que unha hora e media de estudo e de traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida debería ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado en función das circunstancias que concorran no alumno.

Recomendacións para o estudo da materiaAconséllase participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia: asistencia ás clases, participación nas clases prácticas e de laboratorio, utilización de horas de titorías, etc.

ObservaciónsA cualificación da práctica voluntaria conservarase para o resto das convocatorias do mesmo curso e esta práctica poderá ser entregada, como data límite, o día do exame.

286

Código : 091565 Nome:SimulaciónAno Academico : 2007/2008







Febrero Bande,Manuel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIntroducir o alumno nas técnicas de simulación: xeración de números pseudoaleatorios, xeración de variables aleatorias coa súa posta en práctica no ordenador para a súa utilización nas aplicacións nos campos, fundamentalmente, da Estatística e a Investigación de Operacións.

ContidosINTRODUCIÓN

XERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Técnicas para a xeración de números aleatorios Tests para números pseudoaleatorios

SIMULACIÓN DE DISTRIBUCIÓNS NON UNIFORMES Métodos para distribucións continuas Métodos para distribucións discretas Algoritmos especializados

APLICACIÓN Á ESTATÍSTICA E Á INVESTIGACIÓN DE OPERACIÓNS Integración por métodos de Monte Carlo Redución da variabilidade

Bibliografía básica e complementaria Cao Abad, R. (2002): "Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas", Netbiblo. Devroye, L. (1986): "Non-uniform Random Variate Generation", Springer. Fishman, G.S. (1997): "Monte-Carlo: Concepts, Algorithms and Applications", Springer. Johnson, M.E. (1987): "Multivariate Statistical Simulation", Wiley. Kleijnen, J.; Van Groenendaal, W. (1992): "Simulation. A Statistical Perspective", Wiley. Robert, C. P.; Casella, G. (1999): "Monte Carlo Statistical Methods", Springer. Ríos Insua, D.; Ríos Insua, S.; Martín, J. (1997): "Simulación: Metodos y aplicaciones", Ra-Ma. Ripley, B. (1987): "Stochastic Simulation", Wiley. Rubinstein, R.Y. (1981): "Simulation and the Monte Carlo Method", Wiley.

CompetenciasQue o alumno domine as técnicas de simulación de variables aleatorias e a súa posta en práctica en linguaxe de ordenador, e a resolución de problemas de simulación no campo da estatística e a investigación de operacións.

Metodoloxía da ensinanzaNas clases teóricas introducirase a materia e ensinaranse as técnicas (con exemplos) que se porán en práctica no laboratorio de informática.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito sobre a materia explicada nas clases teóricas e avaliación das prácticas explicadas no laboratorio de informática que o alumno deberá entregar feitas.


287

Recomendacións para o estudo da materiaÉ aconsellable que o alumno estudara Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estatística e que teña coñecementos mínimos de informática e programación.

288

Código : 091566 Nome:Técnicas de Optimización da Xestión Ano Academico : 2007/2008







Sánchez Sellero,César Andrés TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaCoñecer os problemas de programación linear en redes con fluxo e algoritmos para resolvelos. Coñecer as técnicas de programación e control de proxectos. Estudar os principais modelos de inventario. Posta en práctica das técnicas e modelos estudados no ordenador.

ContidosANÁLISE DE REDES Introdución aos grafos e redes. Os modelos de redes con fluxo: exemplos e aplicacións. Formalización dos modelos de redes. O algoritmo de desviacións (“out-of-kilter”). O problema do camiño máis curto. O problema da árbore de expansión mínima. O problema do fluxo máximo

PLANIFICACIÓN DE PROXECTOS Introdución. O método PERT. Aceleración de proxectos a custo mínimo (método MCE). Programación de proxectos con recursos limitados

MODELOS DE INVENTARIO Introdución. Modelos deterministas: os modelos EOQ (“Economic Order Quantity”) e PLS (“Production Lot Size”). Modelos probabilistas: o problema do vendedor de periódicos

Bibliografía básica e complementariaAhuja, R.K.; Magnanti, T.L.; Orlin, J.B. (1993): "Network Flows. Theory, Algorithms and Applications", Prentice-Hall. Bazaraa, M.S.; Sherali, H.; Jarvis, J.J. (1991): "Programación lineal y flujo en redes", Limusa. Romero López, C. (1993): "Técnicas de programación y control de proyectos", Pirámide. Hillier, F.S.; Lieberman, G.J. (2002): "Investigación de Operaciones", McGraw-Hill Jensen, P.A.; Barnes, J.W. (1980): "Network Flow Programming", Krieger. Johnson, L.A.; Montgomery, D.C. (1974): "Operations Research in Production Planning, Scheduling and Inventory Control", Wiley.

CompetenciasQue o alumno sexa capaz de identificar os distintos problemas que xorden no marco da Investigación Operativa e que estudaron nesta materia, así como enunciar os modelos matemáticos que permitiría resolvelos, poñéndoos en práctica, se é o caso, no ordenador, e, finalmente, saber encontrar as solucións. Redacción de documentos escritos onde se presenten os problemas, as técnicas empregadas e as solucións obtidas.

Metodoloxía da ensinanzaExplicación da materia nas clases teóricas e, a continuación, realización de exercicios nas clases prácticas, poñéndoos en práctica no ordenador, se é o caso. Elaboración de traballos escritos polos alumnos, co asesoramento dos profesores.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito e traballos feitos polos alumnos.


Recomendacións para o estudo da materiaÉ conveniente que o alumno coñeza o cálculo de probabilidades, cálculo diferencial e integral e programación linear e enteira.

289

Código : 091571 Nome:Diferenzas Finitas en E.D.P. Ano Academico : 2007/2008






Muñoz Sola,Rafael TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Coñecer as técnicas básicas de obtención de esquemas en diferenzas finitas para ecuacións en derivadas parciais (EDP). - Coñecer os esquemas en diferenzas finitas máis usuais para as ecuacións en derivadas parciais que serven de prototipo ás ecuacións elípticas, parabólicas e hiperbólicas. - Asimilar os conceptos fundamentais da análise dos esquemas numéricos para EDP: consistencia, orde, estabilidade e converxencia. - Asimilar os conceptos básicos seguintes, relevantes na análise dos esquemas numéricos para ecuacións hiperbólicas: condición de Courant-Friedrichs-Lewy, descentramento e monotonía - Coñecer e utilizar axeitadamente as ferramentas necesarias para o estudo teórico dos esquemas, con especial fincapé no estudo da estabilidade. - Poñer en práctica e validar algúns dos métodos estudados.

Contidos- Discretización da ecuación de Poisson en dimensión dous: descrición e análise. - Métodos de diferencias finitas básicos para a ecuación da calor: esquemas explícito, implícito, Crank-Nicolson, du Fort-Frankel, e método de liñas. - Métodos de diferencias finitas básicos para a ecuación de transporte: FTCS, FTFS, FTBS, Lax-Wendroff, salto da ra, esquemas implícitos dun paso. - Marco funcional para os métodos dun paso. Consistencia, orde, estabilidade e converxencia. Teorema de Lax. - O método matricial para a análise da estabilidade de esquemas dun paso para problemas mixtos valor inicial-fronteira: aplicación á ecuación da calor nun intervalo limitado. - Análise de Fourier en hZ. Estudio da estabilidade de esquemas dun paso para problemas de valor inicial con coeficientes constantes mediante análise de von Neumann. - Ecuación de transporte: descentramento, condición de Courant-Friedrichs-Lewy. Esquemas monótonos: teorema de Godunov. Introdución ós problemas mixtos valor inicial-fronteira: condiciones de contorno numéricas. - Introdución ós esquemas para sistemas de EDP e ós métodos de varios pasos.

Bibliografía básica e complementariaBÁSICA- CIARLET, P. G. Introducción á análise numérica e á optimización, Servicio de Publicacións e Intercambio Científico da USC, 1999. (Edición orixinal: Masson, 1982.) - STRIKWERDA, J. C. Finite difference schemes and partial differential equations, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989. - THOMAS, J. W. Numerical partial differential equations. Finite difference method, Springer, 1995.

COMPLEMENTARIA - EUVRARD, D. Résolution numérique des équations aux dérivées partielles, Masson, 1988. - GODUNOV, S. K. - RYABENKII, V. S. Difference schemes, North Holland, 1987. - HACKBUSCH, W. Elliptic differential equations: theory and numerical treatment, Springer, 1992. - ISAACSON, E. - KELLER, H. B. Analysis of numerical methods, Dover publications, 1994 (reimpresión correxida; edición orixinal: John Wiley, 1966). - MITCHELL, A. R. - GRIFFITS, D. F. The finite difference method in partial differential equations, John Wiley, 1980. - MORENO GONZÁLEZ, C. Cálculo numérico II, Publicaciones de la UNED, 1999. - QUARTERONI, A. - SACCO, R. - SALERI, F. Numerical mathematics, Springer, 2000. - RICHTMYER, R. D. - MORTON , K. W. Difference methods for initial-value problems, Interscience, 1967. - SAMARSKII, A. A. – ANDRÉIEV, V. B. Métodos en diferencias para las ecuaciones elípticas, Mir, 1979. - SAMARSKII, A. A. The theory of difference schemes, Marcel Dekker, 2001. - THOMAS, J.W. Numerical partial differential equations. Conservation laws and elliptic equations, Springer, 1999. - TORO, E. F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics : a practical introduction, Springer, 1997. - VICHNEVETSKY, R. – BOWLES, J. B. Fourier analysis of numerical approximations of hyperbolic equations, SIAM. 1982.

Competencias- Coñecer os métodos de diferencias finitas básicos para a ecuación de Poisson en dimensión dous e para a ecuación da calor, a de transporte e a de ondas en dimensión un de espacio. - Obter discretizacións de EDP sinxelas. - Analizar as propiedades de consistencia, orde, estabilidade, converxencia e monotonía dalgúns métodos de diferencias finitas para EDP. - Coñecer os conceptos básicos asociados á análise dos métodos numéricos estudados.

290

- Implementar os métodos e evaluar criticamente os resultados obtidos. - Empregar algún software numérico para resolver EDP.

Metodoloxía da ensinanza 2 horas de teoría, 4/3 horas de problemas e 2/3 horas de laboratorio á semana en promedio. As horas dedicadas a teoría e problemas non se separarán de forma ríxida. Ó principio dedicaranse máis horas á exposición da teoría e posteriormente máis horas a clases de problemas. O profesor dedicará a meirande parte destas á resolución na pizarra dalgúns problemas representativos. Nalgunhas clases de problemas os estudantes correxirán no encerado algúns dos problemas propostos. Nas clases de laboratorio utilizarase algún software de cálculo numérico para resolver EDP. Aproveitarase para realizar experimentos numéricos ilustrativos do comportamento dos esquemas. Os alumnos deberán programar algúns dos métodos numéricos estudados, en grupos de dúas ou tres persoas. Aproveitaranse os recursos de docencia virtual para que os estudantes poidan comparar a resolución por eles mesmos dalgúns problemas propostos non abordados en clase coa resolución deses problemas efectuada polo profesor, e tamén como apoio para a realización das prácticas de programación.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito que inclúe problemas e preguntas de teoría (80% da nota global), e valoración dos traballos de programación (20%). Para aprobar será necesario acadar una nota global de 5 ou máis puntos.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 30 de problemas: 20 de prácticas de ordenador: 10

Horas non presenciais: 100 ( 50 h de teoría, 20 de problemas, 15 h de prácticas de ordenador, + 15 h de preparación do exame final )


Volume total de traballo: 165 horas

Recomendacións para o estudo da materia1) Aconséllase ter cursado previamente as materias "Introducción ás EDP e Series de Fourier" e "Cálculo Numérico", e cursar simultaneamente "Ecuacións en Derivadas Parciais". 2) Asistencia diaria a todas as clases. 3) Participación activa nas clases de problemas. 4) Estudo diario para que o ritmo de aprendizaxe dos contidos e adquisición de destrezas se acomode ó da progresión do curso. 5) Abordar a resolución de todos os problemas propostos. 6) Facer uso do horario de titorías.

Observacións1) Como norma, as linguaxes de programación habituais para os traballos son o Matlab e o Fortran. 2) A nota dos traballos prácticos obtida na convocatoria de febreiro poderase conservar para a convocatoria de setembro e a de fin de carreira máis inmediata.

291

Código : 091572 Nome:Distribucións e Métodos Variacionais en E.D.P.Ano Academico : 2007/2008






Caínzos Prieto,Juan Manuel TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Coñecer os fundamentos dos métodos variacionais en E.D.P. de tipo elíptico e dos espazos funcionais implicados.

Contidos1. Distribucións e derivadas xeneralizadas 2. Definición e propiedades elementais dos espazos de Sobolev 3. Problemas variacionais abstractos. Teorema de Stampacchia e lema de Lax-Milgram 4. Desigualdade de Poincare. Teorema de trazas 5. Os espazos de Sobolev de orde fraccionaria. Teoremas de compacidade 6. Formulación variacional para un problema de contorno elíptico 7. Existencia e unicidade de solución débil 8. Regularidade das solucións débiles 9. Teoría espectral dos problemas de contorno

Bibliografía básica e complementaria1.- H. Brezis, Analyise Fonctionnelle: théorie et applications, Masson, 1996. 2.- S. Kesavan, Topics in Functional Analysis and Applications, John Wiley & Sons, 1989. 3.- V. P. Mijailov, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Mir. 1978. 4.- P. A. Raviart e J. M. Thomas, Introduction à l'Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partialles, Masson, 1988.

Competencias- Dominar os conceptos de solución clásica e solución débil. - Coñecer os espazos de Sobolev fundamentais. - Formular distintos tipos de problemas variacionais.

Metodoloxía da ensinanzaImpartiranse dúas horas semanais de teoría e dúas de práctica. Nas clases de práctica, resolveranse problemas e cuestións relacionadas coa teoría.

Sistema de avaliación da aprendizaxe Exame final na data oficial fixada polo centro.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30 Horas non presenciais: Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de teoría: 50 Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de práctica: 50 Horas dedicadas a facer exames: 5


Recomendacións para o estudo da materiaSon coñecementos previos imprescindibles as materias de Análise Funcional e Teoría da Medida. Non son imprescindibles, pero son aconsellables, as materias de Ecuacións en Derivadas Parciais e Espazos Vectoriais Topolóxicos e Distribucións.

292

Código : 091573 Nome:Ecuacións en Derivadas Parciais Ano Academico : 2007/2008






Cabada Fernández,Alberto TIT-UN Profesor/a

Rodríguez López,Rosana ASOU Profesor/a

Obxectivos da materia- Familiarizar o alumnado coa teoría clásica das ecuacións en derivadas parciais. - Coñecer técnicas de resolución de ecuacións de primeira e segunda orde. - Clasificar as ecuacións de segunda orde. - Obter resultados de existencia e comparación para problemas parabólicos, hiperbólicos e elípticos.

Contidos- Ecuacións de primeira orde: preliminares e exemplos. Ecuacións cuasilineares: método das curvas características e das integrais primeiras. Ecuacións non lineares: o método das bandas características

- Ecuacións de segunda orde: xeneralidades: clasificación e formas canónicas das ecuacións lineares. O problema de Cauchy. Teorema de Cauchy-Kowalevski

- Ecuacións parabólicas: solución fundamental para a ecuación da calor: solucións autosemellantes e transformada de Fourier. Principio do máximo para a ecuación da calor. O problema de Cauchy non homoxéneo

- Ecuacións hiperbólicas: a ecuación de ondas en dimensión un: fórmula de D’Alambert. A ecuación de ondas en dimensión espacial tres: método das medias esféricas. A ecuación de ondas en dimensión espacial dous: método de descenso de Hadamard. A ecuación de ondas non homoxénea: principio de Duhamel

- Ecuacións elípticas: función de Green e a súa aplicación á resolución do problema de Dirichlet para a ecuación de Laplace. Propiedades das funcións harmónicas: teoremas do máximo e do mínimo. Teoremas de Harnack. O problema de Dirichlet en dominios xerais: método de Perron. A ecuación de Poisson

Bibliografía básica e complementariaCOURANT, R.; HILBERT, D., Methods of Mathematical Physics, Vol. I e II, Wiley-Interscience, 1962. DOU, A., Ecuaciones en derivadas parciales, Dossat, 1970. EVANS, L. C., Partial differential equations, AMS, 1998. JOHN, F., Partial differential equations, Springer-Verlag, 1991. PERAL, I., Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Addison-Wesley, 1995. PETROWSKY, I. G., Lectures on partial differential equations, Dover Publications, 1991. STAVROULAKIS, I. P. e TERSIAN, S. A. Partial Differential Equations. An Introduction with Mathematica and MAPLE. (Second Edition). World Scientific, 2003. STRAUSS, W. A., Partial differential equations, an introduction, John Wiley, 1992. WEINBERGER, H. F., Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, Reverté, 1992.

Competencias- Distinguir os distintos tipos de ecuacións en derivadas parciais. - Dominar técnicas de resolución de ecuacións en derivadas parciais de primeira e segunda orde. - Clasificar as ecuacións de segunda orde. - Interpretar fisicamente distintas propiedades das ecuacións en derivadas parciais. - Distinguir entre problemas de valor inicial e problemas de contorno, tanto na súa interpretación matemática como física.

Metodoloxía da ensinanzaImpartiranse dúas horas semanais de teoría e dúas de práctica. Nas clases de práctica resolveranse os problemas propostos nos boletíns entregados previamente ao alumnado.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame final na data oficial fixada polo centro.

293

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30

Horas non presenciais: Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de teoría: 30 Horas que debe empregar cada alumno/a para estudar as clases de práctica: 30 Horas que debe investir un alumno/a para resolver os boletíns de problemas: 40 Horas dedicadas a facer exames: 5


Recomendacións para o estudo da materiaÉ recomendable ter cursado con anterioridade as materias: Series de Fourier e Introdución ás EDP e Ecuacións Diferenciais Ordinarias.

294

Código : 091574 Nome:Elementos Finitos en E.D.P. Ano Academico : 2007/2008






Viaño Rey,Juan Manuel CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os fundamentos teórico-prácticos do método de elementos finitos para problemas de contorno de EDP en dimensión 1, 2 e 3. ii) Programar o método nunha linguaxe coñecida validando o programa para un elemento e un problema concreto. iii) Utilizar paquetes de programas para simular problemas de condución de calor, flexión de vigas e membranas, problemas de elasticidade, ondas, vibracións, etc.

Contidos1. Ecuacións variacionais abstractas (Clase presencial: 3 h - teoría) Lema de Lax-Milgram, aproximación abstracta. Lema de Céa. Converxencia

2. Problemas elípticos de orde 2 en dimensión 1 (Clase presencial: 3 h - teoría + 5 h - práctica) Formulación variacional, elementos finitos, estimación do erro, programación Aplicación en tracción e en condución da calor en barras elásticas

3. Problemas elípticos de orde 4 en dimensión 1 (Clase presencial: 2 h - teoría + 2 h - práctica) Formulación variacional, elementos finitos, estimación do erro, programación Aplicación en flexión de vigas.

4. Problemas elípticos de orde 2 en dimensión 2 e 3 (Clase presencial: 7 h - teoría + 9 h - práctica) Formulación variacional, elementos finitos, programación. Estimacións do erro. Aplicacións en flexión de membranas e condución da calor

5. Sistema de elasticidade tri e bidimensional (Clase presencial: 3 h - teoría + 5 h – práctica) Formulación variacional, método de elementos finitos, programación en ordenador. Aplicacións

6 .Resolución da ecuación de Stokes (Clase presencial: 2 h - teoría + 2 h - práctica)

7. Introdución ás inecuacións variacionais elípticas (Clase presencial: 3 h - teoría + 2 h - práctica) Problemas do obstáculo e problema de contacto simplificado, existencia e aproximación por elementos finitos, resolución dos problemas discretos

8. Problemas espectrais (Clase presencial: 3 h - teoría + 2 h - práctica) Formulación variacional, aproximación por elementos finitos. Vibracións

9. Problemas de evolución parabólicos e hiperbólicos de orde 2 en tempo (Clase presencial: 4 h - teoría + 3 h práctica) Formulación variacional, discretización en espazo e tempo

Bibliografía básica e complementaria1. Bibliografía básica

JOHNSON, C. Numerical solution of partial differential equations by finite element method. Cambridge Univ. Press. 1987. KRIZEK, M - NEITTAANMAKI, P. Finite element approximation of variational problems and applications. Longman Scientific & Technical. 1990. RAVIART, P.A. - THOMAS, J.M. Introduction à l’ánalyse numérique des équations aux dérivées partielles. Masson. 1983. VIAÑO, J.M – FIGUEIREDO, J. : Implementação do método de elementos finitos. Notas. 2000. VARIOS: Guías de usuario do software que se utilice.

2. Bibliografía complementaria

AXELSSON, O. - BAKER, V.A. Finite element solution of boundary value problems. Theory and computations. Academic Press, 1984. BATHE, K-J. - WILSON, E.L. Numerical methods in finite element analysis. Prentice Hall. 1976. CIARLET, P.G. Basic error estimates for elliptic problems. Handbook of Numerical Analysis, Vol II, North Holland, 1991. FAIRWEATHER, G. Finite element Galerkin methods for differential equations. Dekker. 1978. GLOWINSKI, R. Numerical methods for nonlinear variational problems. Springer. 1984 SMITH, I.M. - GRIFFITHS, D.V. : Programming the finite element method. J. Wiley. 1998. ZIENKIEWICZ, O.C. - TAYLOR, R.L. The finite element method (I-III) Oxford. 2000.

295

Competencias- Coñecer e manexar os principais espazos de elementos finitos en dimensión 1, 2 e 3 construídos con elementos de Lagrange e Hermite rectos e isoparamétricos: nodos, graos de liberdade, elementos de referencia, polinomios de base, mallados, construción dos espazos. - Saber aplicar o método de elementos finitos á resolución de problemas de contorno en ecuacións en derivadas parciais (condución da calor, flexión de vigas e membranas, problemas de elasticidade bi e tridimensional, flexión de placas…) incluíndo a discretización do problema, os feitos básicos da estimación do erro (erro de interpolación, efecto da calidade do mallado), a escritura matricial do problema, a realización dos cálculos (mallado, ensamblado), a posta en práctica en ordenador e a representación gráfica do mallado e dos resultados. - Saber utilizar paquetes de software de elementos finitos existentes no mercado para resolver problemas de contorno habituais en cálculo de estruturas ou dinámica de fluídos: flexión de vigas ou placas, elasticidade, vibracións, ecuación de Stokes, problema do obstáculo, contacto elástico, etc.

Metodoloxía da ensinanza - 4 horas de clase á semana nas que se van intercalando as clases teóricas (15h), as prácticas no encerado (15 h) e as clases en laboratorio de informática (15 h). -As clases teóricas dedícanse esencialmente á descrición do método e á estimación do erro; as prácticas de encerado, á escritura matricial dos problemas e á realización ordenada do mallado e dos cálculos con vistas a programación; e nas clases de laboratorio apréndese a utilizar ferramentas de mallado e outros paquetes de elementos finitos. - Os alumnos dispoñen con antelación de notas escritas polo profesor sobre todos os contidos do curso. - Os alumnos, en grupos de 2/3, realizarán 2 traballos de programación titorizados e un pequeno informe sobre cada un deles.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame escrito (5 puntos): inclúe preguntas de teoría e cuestións teórico-prácticas. Exame práctico (5 puntos): inclúe a avaliación sobre ordenador do manexo de software, a concepción, posta en práctica e informe dos 2 traballos prácticos de programación que se realizan ao longo do curso.

Para aprobar a materia é imprescindible realizar os traballos, presentarse aos dous exames e obter un total de 5 puntos ou máis.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala* Horas presenciais: 60 h. - Teóricas: 30 h. - Prácticas de encerado: 15 h. - Prácticas de laboratorio: 15h.

* Horas non presenciais: 145 h. - Horas de estudo das clases teóricas ~ 30 h. - Horas de estudo das clases prácticas de encerado ~ 30 h. - Horas de estudo das clases de laboratorio ~ 15 h. - Horas de preparación dos 2 traballos solicitados ~ 70 h.

* Horas para os exames escrito e práctico en ordenador: 5 h.

* Total volume de traballo ~ 210 horas.

Recomendacións para o estudo da materia* Materias que se aconsella cursar previamente: Análise Numérica Matricial, Métodos Numéricos, Distribucións e Métodos Variacionais en EDP, Modelos Matemáticos da Mecánica do Continuo, Series de Fourier e Introdución ás EDP.

Observacións* Como norma, as linguaxes de programación habituais para os traballos son Fortran ou Matlab. En casos xustificados, poderase autorizar outra linguaxe. * A nota do exame práctico obtida na convocatoria de xuño, pódese conservar para as convocatorias de setembro e de fin de carreira.

296

Código : 091581 Nome:Espazos Vectoriais Topolóxicos e DistribuciónsAno Academico : 2007/2008






Del Río Vázquez,Miguel Antonio TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiai) Coñecer os fundamentos dos espazos vectoriais topolóxicos. ii) Coñecer os fundamentos da teoría da dualidade topolóxica. iii) Coñecer os fundamentos da teoría de distribucións segundo Schwartz. iv) Coñecer o cálculo con distribucións.

ContidosCAPÍTULO I. ESPAZOS VECTORIAIS TOPOLÓXICOS (Teoría: 15 horas; Prácticas: 15 horas) Espazos vectoriais topolóxicos. Sistemas fundamentais de contornos da orixe. Conxuntos convexos e seminormas. Espazos localmente convexos. Condicións de metrizabilidade e de normabilidade dun espazo localmente convexo. O teorema de Hanh-Banach en espazos localmente convexos. Separación de conxuntos convexos. Espazos límite indutivo. Os espazos LF. Límites indutivos estritos de espazos de Frechet

CAPÍTULO II. DUALIDADE E DISTRIBUCIÓNS (Teoría: 15 horas; Prácticas: 15 horas) Dualidade topolóxica en espazos localmente convexos. Espazos de aplicacións lineares continuas. Equicontinuidade. Principio de acotamento uniforme. Teorema de Banach-Steinhauss. Sistemas duais e topoloxías débiles. Topoloxías compatibles cunha dualidade. Dualidade nos espazos LF. Concepto de distribución. Cálculo con distribucións. Espazos de distribucións

Bibliografía básica e complementaria1.- F. Treves, "Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels". Academic Press, 1967. 2.- J. Horváth, "Topological Vector Spaces and Distributions". Addisson Wesley, 1965. 3.- H. H. Schaefer, "Topological Vector Spaces". Graduate Texts in Mathematics, vol. 3; Springer, 1966. 4.- M. Valdivia Ureña, "Análisis Matemático V". Unidades Didacticas de La UNED.

Competenciasi) Coñecer os fundamentos dos espazos vectoriais topolóxicos. ii) Coñecer os fundamentos da teoría da dualidade topolóxica. iii) Coñecer os fundamentos da teoría de distribucións según Schwartz. iv) Coñecer o cálculo con distribucións.

Metodoloxía da ensinanzaExposición presencial do contido por parte do profesor. Exposición presencial dalgúns temas por parte dos alumnos, para o que disporá das oportunas indicacións bibliográficas, etc.

Sistema de avaliación da aprendizaxeAvaliación continua. Exame escrito teórico e práctico.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaAproximadamente tantas horas de traballo persoal como de asistencia e participación nas clases.

Recomendacións para o estudo da materiaPresupóñense coñecementos de Análise Funcional en Espazos de Banach e de Teoría da Medida.

297

Código : 091582 Nome:Representacións de Grupos e Álxebras Ano Academico : 2007/2008






Fernández Rodríguez,Rosa M TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaIniciar o estudo da teoría de representacións, obtendo como aplicación algúns resultados da teoría de grupos.

Contidos- Aneis e módulos semisimples - Representacións ordinarias dos grupos finitos - Representacións irredutibles do grupo simétrico - Caracteres. - O teorema pªqª' de Burnside - Representacións inducidas - Representacións de álxebras artinianas

Bibliografía básica e complementariaF. W. Anderson; K. R. Fuller. Rings and Categories of Modules. GTM 13, Springer-Verlag, New Yor, 1974. P. M. Cohn. Algebra, Vols. 1 e 2 (2ª ed.) John Wiley & Sons, New York, 1982, 1989. Ch. W. Curtis; I. Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras. Pure and Appl. Maht. Vol. XI. John Wiley & Sons (Interscience Publishers), New York, 1962. N. Jacobson. Basic Algebra, Vol. 2. Freeman, San Francisco, 1980. I. M. Isaacs. Character theory of finite groups. Academic Press, New York, 1976. J. J. Rotman. An Introduction to the theory of groups (4ª ed.). GTM 148, Springer-Verlag, New York, 1995. J.-P. Serre. Representaciones lineales de los grupos finitos. Omega, Barcelona, 1970.

CompetenciasManexar con soltura os contidos do programa.

Metodoloxía da ensinanzaDúas horas de teoría e dúas de prácticas á semana. Proporanse temas para que os estudantes os poidan expoñer.

Sistema de avaliación da aprendizaxeTraballos, exposicións de temas, participación na clase e exame.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala- Horas presenciais: teóricas: 30; prácticas: 30. - Horas non presenciais: 95 para preparar a teoría, a práctica e as exposicións. - Horas de avaliación: 4.


Recomendacións para o estudo da materiaRecoméndase cursar previamente as materias "Introdución á Álxebra" e "Álxebra".

298

Código : 091583 Nome:Sistemas DinámicosAno Academico : 2007/2008






Fernández Pérez,Fco Javier TIT-UN Profesor/a

Otero Espinar,M Victoria TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaPreténdese familiarizar o alumno coa terminoloxía e cos conceptos básicos da teoría de sistemas dinámicos no marco dos espazos topolóxicos e das variedades. Ademais, estúdanse os tópicos elementais relativos ao estudo local dos sistemas diferenciais en Rn (variedades invariantes, teorema de Hartman-Grobman e, para o caso do plano, estudo de singularidades non dexeneradas). Nos aspectos globais, preséntanse brevemente os conceptos básicos relativos ás órbitas periódicas, incluíndo a teoría de Poincaré-Bendixon e a teoría do índice para os sistemas dinámicos no plano. Estúdanse a aplicación cuadrática e a ferradura de Smale como exemplos de sistemas dinámicos discretos.

ContidosI. Elementos de dinámica topolóxica 1.- O concepto de sistema dinámico. Xeneralidades. Fluxos e sistemas dinámicos discretos 2.- Órbitas. Tipos de órbitas. Caracterización de puntos críticos e de órbitas periódicas 3.- Conxuntos a-límite e w-límite. Propiedades 4.- Exemplos de sistemas dinámicos. Suspensións. Fluxos asociados a campos de vectores en Rn, no círculo e no toro 5.- Equivalencia e conxugación en sistemas dinámicos. Idea da estabilidade estrutural 6.- Recursividade

II. Sistemas dinámicos en . Estudo local 7.- O teorema do fluxo tubular 8.- Singularidades hiperbólicas. O teorema de Hartman-Grobman. Consecuencias 9.- Variedades invariantes

III. Sistemas dinámicos en . Estudo global 10.- Orbitas periódicas e ciclos límite 11.- A aplicación de Poincaré

IV. Sistemas dinámicos planos 12.- Teoría de Poincaré Bendixón 13.- Puntos críticos non dexenerados 14.- O índice de Poincaré

V. Sistemas dinámicos con comportamentos caóticos 15.- A aplicación cuadrática e a ferradura de Smale

Bibliografía básica e complementariaBHATIA N. P. e SZEGÖ G. P., Stability Theory of Dynamical Systems, Springer, 1970. DEVANEY, R. L., An introduction to chaotic dynamical systems, Benjamin C., 1986. GUCKENHEIMER J. e HOLMES P., Nonlínear oscilations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, 1983. HUBBARD J. H. e WEST B. H., Differential Equations: A Dynamical Systems Approach, Springer-Verlag, Texts in Applied Mathematics, 18, 1995. IRWIN M. C., Smooth Dynamical Systems, Academic Press, 1980. MEYER K. R. e HALL G. R., Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-body Problem, Springer-Verlag, Applied Mathematical Sciences, 1992. PALIS J. e de MELO W., Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer, 1982. PERKO L., Differential Equations and Dinamical Systems, Springer, 1991. SOTOMAYOR, J., Liçoes de equaçoes diferenciais ordinarias, IMPA, CNPQ, 1979. YE YAN-QIAN, Theory of Limit Cycles, Translations of Mathematical Monographs, Volume 66, A.M.S.

Competencias- Coñecemento dos aspectos básicos da dinámica topolóxica. - Dominio das técnicas elementais do estudo cualitativo de ecuacións diferenciais nos aspectos locais e globais.

299

Metodoloxía da ensinanzaAs clases teóricas, dúas á semana, dedicaranse, fundamentalmente, á presentación e á introdución dos conceptos e enfoques da disciplina, así como ao desenvolvemento detallado daquelas situacións de interese que teñan especial dificultade.

Nas horas prácticas, resolveranse exercicios e os estudantes exporán as distintas actividades que lles foran encomendadas. Evitaranse as aburridas e longas demostracións sempre que non acheguen algo importante para a comprensión dos conceptos e pretenderase que o estudante manteña unha actitude de activa participación no desenvolvemento da disciplina.

Sistema de avaliación da aprendizaxe- Realizarase exame final escrito e probas parciais. - Valoraranse as actividades do estudante ao longo do curso.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaUnha hora e media de estudo e traballo persoal por cada hora teórico-práctica impartida deberá ser suficiente para superar a disciplina. Non obstante, é este un dato completamente subxectivo que pode ser alterado de acordo coas diversas circunstancias que concorran no alumno.

Recomendacións para o estudo da materia- Aconséllase ter superado, ademais do primeiro ciclo, as materias de Ecuacións Diferenciais Ordinarias, Cálculo en Variedades e Topoloxía Xeral. - É fundamental participar activamente no proceso de desenvolvemento da materia.

300

Código : 091584 Nome:Topoloxía Alxébrica Ano Academico : 2007/2008






Gómez Tato,A Mariano TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaEste curso é unha introdución á Topoloxía Alxébrica. Prestaremos especial atención ao cálculo dos grupos de homoloxía e cohomoloxía dos espazos CW, con máis énfase no aspecto xeométrico que no alxébrico.

ContidosContidos mínimos:

1. Introdución Presentación do campo e de varios dos espazos que serán obxecto de estudo posterior

2. Homoloxía 2.1. Homoloxía simplicial e singular Invarianza homotópica. Sucesións exactas e excisión 2.2. Cálculos e aplicacións Grao. Homoloxía celular. Sucesión de Mayer-Vietoris. Homoloxía con coeficientes

3. Cohomoloxía 3.1. Grupos de cohomoloxía Teorema dos coeficientes universais. Cohomoloxía de espazos

Bibliografía básica e complementaria1. Allen Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002. 2. Marcelo Aguilar y otros, Algebraic Topology from a Homotopical viewpoint, Springer 2001.

CompetenciasO estudante aprenderá a: Construír estruturas celulares sobre varios espazos “clásicos”. Calcular os grupos de homoloxía e cohomoloxía de espazos CW. Traballar con sucesións exactas (longas e curtas) de grupos abelianos.

Tamén, afondará no seu coñecemento sobre varias das nocións topolóxicas aprendidas no segundo curso da licenciatura. En particular, traballaremos profusamente sobre a noción de topoloxía cociente.

Metodoloxía da ensinanza50% teórica 50% práctica

Sistema de avaliación da aprendizaxe50% exposición sobre un tema proposto e traballos ao longo do curso. 50% exame

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala120 horas (contando as 60 horas de clase).

301

Código : 091585 Nome:Topoloxía de Superficies Ano Academico : 2007/2008






Álvarez López,Jesús Antonio CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia- Clasificar as superficies compactas. - Coñecer as técnicas que se usan en varios métodos de clasificación. - Manexar esas técnicas para resolver problemas sobre superficies.

Contidos- Superficies e superficies con borde - Adxunción de superficies - Suma conexa de superficies - Suma conexa polo borde - Enunciado do teorema de clasificación - Triangulacións e representacións poligonais - Redución de representacións poligonais ás formas canónicas - Orientación de superficies - Característica de Euler de superficies - Superficies diferenciables - Valores regulares - Puntos críticos - Funcións de Morse sobre superficies - Franqueamento dun valor crítico - Construcións con discos e cintas - Redución de construcións con discos e cintas a formas canónicas - Superficies pechadas no espazo euclidiano de dimensión tres - Grupos fundamentais de superficies - Homoloxía de superficies

Bibliografía básica e complementaria- H.B. Griffiths. Surfaces. Cambridge University Press, 1976. - A. Gramain. Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1971. - M. W. Hirsch, Differential topology, Graduate Texts in Mathematics, vol. 33, Springer-Verlag, New York, 1976. - L. C. Kinsey, Topology of Surfaces. Springer-Verlag, 1993. - D. Lehman and C. Sacré. Géométrie et Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1982. - W.S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics, vol. 56, Springer-Verlag, New York, 1967.

Competencias- Seguir os pasos dos métodos de clasificación en exemplos concretos. - Distinguir superficies usando os invariantes topolóxicos que se introducen. - Resolver problemas diversos sobre superficies coas técnicas introducidas. - Desenvolver a habilidade de visualizar ideas sobre superficies.

Metodoloxía da ensinanzaDaráselle moita importancia a que os alumnos desenvolvan habilidades para resolver problemas. Aínda que as clases teóricas superarán as prácticas ao principio, esa proporción irase invertendo ao longo do curso. Nas clases prácticas, os alumnos expoñerán no encerado as súas ideas para resolver os problemas que propoña o profesor. Nas clases teóricas, moitas ideas serán expostas visualmente sen perda esencial de rigor, e espérase que os alumnos consigan o mesmo nas clases prácticas.

Sistema de avaliación da aprendizaxeExame principalmente de problemas. Ademais, terase en conta a asistencia e participación na clase, e tamén se dará a posibilidade de facer traballos para subir a nota.

302

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaEstímase que necesitan 150 horas en total, distribuídas da seguinte maneira:

Horas presenciais: teóricas: 30 de problemas: 30

Horas non presenciais: dedicarlle algún tempo continuo (variable) para entender a teoría, consultar a bibliografía e, sobre todo, intentar resolver os problemas

Recomendacións para o estudo da materiaRepasar a teoría e intentar resolver os exercicios propostos día a día. Participar na clase e nas titorías para aclarar dúbidas e expoñer ideas. Intentar resolver moitos problemas. A intuición visual será moi útil para entender a teoría e resolver os problemas.

ObservaciónsNon se verán as demostracións dalgúns resultados complexos auxiliares que poden estudarse noutras materias, senón sería imposible abordar todo o programa no tempo previsto.

303

Código : 091586 Nome:Xeometría Alxébrica Ano Academico : 2007/2008






Majadas Soto,José Javier TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaProporcionarlle ao alumno unha formación básica de Xeometría Alxébrica. Na medida do posible, esta formación terá en conta os coñecementos xeométricos previos do alumno, así como os seus intereses de tipo xeométrico ou alxébrico.

Contidos1. Variedades afíns e proxectivas 2. Morfismos e funcións racionais 3. Variedades non singulares 4. Interseccións e dimensión 5. Exemplos: curvas

Bibliografía básica e complementariaBump, Daniel, Algebraic geometry, World Scientific Publishing Co., 1998. Fulton, W., Algebraic Curves, W. A. Benjamin, 1969. Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer–Verlag, 1977. Mumford, D., The Red Book of Varieties and Schemes, Springer–Verlag, 1988. Shafarevich, I. R., Basic Algebraic Geometry, Springer–Verlag, 1994.

CompetenciasManexar con soltura os contidos da materia, poñendo especial énfase, no seu caso, nos aspectos que teñan máis relación cos posibles intereses do alumno de cara á súa formación futura.

Metodoloxía da ensinanzaExposicións polo profesor. Posibles exposicións dalgún aspecto complementario polos alumnos.


Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaDepende do alumno e da súa formación previa.

Recomendacións para o estudo da materiaÉ necesario ter coñecementos elementais de Álxebra Conmutativa. O libro de Atiyah-Macdonald, ou as materias “Álxebra Conmutativa” e “Álxebra” son suficientes.

304

Libre Configuración

305

Código : 118637 Nome:Xeometría e CivilizaciónAno Academico : 2007/2008


Carácter: Libre Elección Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre




Torres Lopera,Juan Francisco TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia(1) Mostrar, a través dos temas seleccionados, a presenza da Xeometría nas ciencias e nas artes, nas formas dos minerais e os seres vivos e nos edificios e creacións plásticas ou ornamentais de varias civilizacións. Introduciranse, entre outros, os seguintes conceptos: - grafos - poliedros - mosaicos - cristalografía matemática - a xeometría de Minkowski

Outras partes do programa serán tarefa individual dos alumnos, para que aprecien os vínculos da Xeometría con outras materias.

(2) Destacar a influencia da Xeometría na nosa percepción racional do espazo e nos procesos de explorar o mundo e deducir as súas leis físicas, expoñendo brevemente algunhas ideas xeométricas ben coñecidas, que están presentes en varias teorías clásicas, por exemplo: - simetría - perspectiva - grupos de simetrías e leis de conservación - accións de grupos - as xeodésicas como traxectorias extremais - obxectos invariantes por un grupo de transformacións, - formas e patróns de crecemento

ContidosPROGRAMA

Tema 1. Números enteiros e poliedros Os pitagóricos e a explicación aritmética do mundo; os números enteiros, a música e os corpos celestes O teorema de Pitágoras e a Xeometría nas antigas civilizacións orientais A concepción xeométrica do mundo na civilización helenística e a súa influencia no Renacemento e no descubrimento de América Os poliedros desde Platón e Arquímedes a Piero dela Francesca e Kepler Complexos simpliciais e poliedros Grafos, árbores e polígonos Característica de Euler-Poincaré dun poliedro Triangulación dun poliedro curvilíneo Poliedros convexos: teorema de Euler-Descartes Os poliedros regulares Os poliedros estreados de Poinsot Os paraleloedros de Fedorov Outras familias de poliedro Schläfli e o descubrimento dos poliedros regulares en dimensión superior

Tema 2. Rosetas, frisos e mosaicos Frisos e rosetas nas artes decorativas A Xeometría na civilización islámica: mosaicos e arabescos Simetrías, xiros e orientación no plano O grupo de isometrías do plano euclidiano Grupo de simetrías das rosetas, dos frisos e dos mosaicos periódicos Grupos cristalográficos no plano euclidiano Grafo dun mosaico Mosaicos non periódicos; mosaicos de Penrose

Tema 3. O nacemento da perspectiva e as orixes da xeometría proxectiva Matemáticas e óptica na Idade Media. As Xeometría na arte renacentista: (1) Tratado de perspectiva de Piero dela Francesca (2) A perspectiva artificial. Masaccio

307

(3) Desenvolvementos posteriores: Leonardo e Durero Perspectiva e xeometría proxectiva O teorema de Desargues e a invariancia da razón dobre O plano proxectivo real como espazo topolóxico e a banda de Moebius O icosaedro e o plano proxectivo real

Tema 4. A xeometría e as leis físicas. De Ptolomeo a Copérnico Desde Kepler e Galileo a Newton: curvatura, forza, masa e aceleración Xeodésicas e traxectorias extremais na mecánica lagrangiana e a óptica xeométrica A rotación da Terra, o péndulo de Foucault e o ángulo de holonomía O nacemento das xeometrías non euclidianas As ecuacións de Maxwell e o grupo de Lorentz O experimento de Michelson-Morle, e a xeometría de Minkowski A teoría restrinxida da reactividade e as súas xeneralizacións A natureza discreta do microcosmos: o nacemento da Mecánica Cuántica e a súa axiomatización Simetría e partículas elementais

Tema 5. Minerais e cristais O grupo de isometrías do espazo euclidiano tridimensional Cuaternios e rotacións Os grupos cristalográficos no espazo euclidiano tridimensional A cristalografía clásica no estudo dos minerais Os grupos cristalográficos noutros espazos e dimensións Cristais líquidos Novos materiais, novas simetrías

Tema 6. Xeometría, medida da Terra Agrimensura e Topografía Cartografía e Xeodesia Navegación e astronomía de posición

Tema 7. Algúns modelos xeométricos na arquitectura, a industria e a ornamentación A sucesión de Fibonacci e o número de ouro na arquitectura As innovacións xeométricas da arquitectura romana Algúns motivos decorativos do Gótico Brunelleschi e o retorno das bóvedas á arquitectura Columnas salomónicas O modulor de Le Corbusier Parafusos, “roulettes”, catenarias, espirais e hélices Algunhas superficies regradas e algunhas superficies minimais na arquitectura e a industria

Tema 8. As formas xeométricas dos seres vivos Algunhas formas e simetrías frecuentes en animais ou plantas Filotaxia A sucesión de Fibonacci no crecemento A molécula con forma de dobre hélice

Bibliografía básica e complementariaBIBLIOGRAFÍA

[1] C. Alsina, E. Trillas. Algebra lineal y geometría. Curso para estudiantes de arquitectura. Edit. Gustavo Gili, Barcelona (1984).

[2] V. Arnold. Méthodes mathématiques de la méchanique classique. Editions de Moscou , Moscú (1976).

[3] M. Berger. Géometrie, (5 vol.). CEDIC-Nathan, Paris (1977).

[4] J. J. Callahan. The geometry of Spacetime. Springer Verlag, New York, (1999).

[5] H. M. S. Coxeter. Fundamentos de geometría. Limusa, México D.F. (1971).

[6] H. M. S. Coxeter. Regular Complex Polytopes. Cambridge U. Press, Cambridge (1974).

[7] J. L. Coolidge. A history of geometrical methods. Dover, New York (1963).

[8] J. V. Field.

308

The Invention of Infinity. Oxford University Press, New York (1997).

[9] M. Ghyka. The geometry of art and life. Dover, New York, (1977).

[10] G. Guillén Soler. Poliedros. Editorial Síntesis, Madrid (1991).

[11] D.T. Gillespie. Introducción a la mecánica cuántica. EditorialReverté, Barcelona (1991).

[12] A. Gray. Differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 2nd. ed. CRC Press, Boca Raton (1998)

[13] J. L. Heilbron. Geometry Civilized. History, Culture and Technique. Oxford University Press, Oxford (1998).

[14] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen. Geometria intuitiva. Ed. Boringhieri, Torino (1972)

[15] S. Hildebrandt, A. Tromba . Matemáticas y formas óptimas. Biblioteca Scientific American, Editorial Prensa Científica, Barcelona (1990).

[16]B. Iversen. Crystallographic groups. Aarhus Univ. Aarhus (1990).

[17]G. A. Jennings. Modern Geometry with applications. Springer Verlag, Berlin (1997).

[18] D. L. Johnson. Symmetries. Springer Verlag, Berlin (2001)

[19]L. Joly. Les polyèdres. Libr. Albert Blanchard, Paris (1979).

[20] J. Kappraff. Connections: The geometric bridge between art and science. World Scientific, Singapore (2001).

[21] M. Kemp. La Ciencia del arte: la óptica en el arte occidental, de Brunelleschi a Seurat. Madrid, Akal, Madrid (2000).

[22] C. Klein, C. S. Hurblut. Mineralogía (2 vol.) Editorial Reverté, Barcelona (1996)

[23] L. Landau, E. Lifschitz. Curso abreviado de Fisica teorica, (2 vol.) Mir, Moscú (1979).

[24] G. E. Martin. Transformation Geometry. An Introduction to Symmetry. Springer Verlag, Berlin (1987).

[25] J. M. Montesinos. Classical tessellations and three-manifolds. Springer Verlag, Berlin (1987).

[26] A. Nussbaum. Teoría de grupos aplicada, para químicos, físicos e ingenieros. Editorial Reverté, Barcelona (1974).

[27] D. Pedoe. Geometry. A comprehensive course. Dover, New York (1998).

309

[28] M. Sazanov. El universo tetradimensional de Minkowski. Editorial Mir, Moscú, (1990).

[29] I. S. Sokolnikoff. Análisis tensorial. Limusa, México D. F. (1976).

[30] L. F. Toth. Regular Figures. Pergamon Press, Oxford (1964).

[31]H. Weyl. Symmetry. Princeton Univ. Press, Princeton (1952).

CompetenciasTriangulación e desenvolvemento dalgúns poliedros. Cálculo da característica de Euler-Poincaré dun poliedro. Determinación do grupo dun mosaico. Representación en perspectiva de figuras planas simples Comprensión da dependencia entre velocidade e medición de masa e tempo, na reactividade restrinxida. Determinación de lonxitudes e áreas sobre a terra. Recoñecemento dalgúns sistemas de representación usados en cartografía. O número de ouro, a sucesión de Fibonacci e a súa presenza na arte e a natureza.

Metodoloxía da ensinanzaClásica pero flexible. Favorecerase e puntuarase a participación na clase, a solución de problemas e, no último mes, cada alumno exporá un traballo no que desenvolverá unha parte dun tema do programa.

Sistema de avaliación da aprendizaxeNa convocatoria ordinaria (xuño), o 40 % da cualificación final obterase participando na clase, solucionando exercicios escritos e expoñendo unha parte dun tema do programa. O 60 % da cualificación final obterase no exame.

Na convocatoria extraordinaria (setembro) o 100 % da cualificación obterase no exame.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaVariable, dependendo do interese e da dedicación. A modo orientador, polo menos, catro horas semanais netas de estudo. Entre trinta e corenta horas adicionais para elaborar un traballo, co fin de expoñelo na clase. Vinte horas para realizar un mínimo de dez exercicios escritos. Vinte horas adicionais para a preparación do exame final.

Recomendacións para o estudo da materiaAsistir á clase, participando e facendo exercicios. Estudar os textos recomendados para cada tema e reflexionar sobre os conceptos novos. Calcular. Facer modelos e visualizar os obxectos para comprender mellor a materia.

ObservaciónsRequisitos previos: curiosidade cara a outras materias, cultura xeral e coñecementos de álxebra, xeometría e análise (aproximadamente, nivel de primeiro ciclo). Coñecementos elementais de física. Esta é unha materia de Matemáticas e non trata de abordar de forma sistemática ningún aspecto da historia da xeometría, nin de desenvolver os temas por orde cronolóxica, pero daranse frecuentes referencias para situar no tempo os contidos.

310

Código : 118669 Nome:CriptografíaAno Academico : 2007/2008


Carácter: Libre Elección Convocatoria: Primeiro Cuadrimestre




Gómez Pardo,José Luis CAT-UN Profesor/a

Obxectivos da materia Proporcionar unha introdución aos métodos da criptografía moderna e ás súas aplicacións máis importantes e permitir que o alumno sexa quen de comprender os métodos e os algoritmos fundamentais desta disciplina. Coñecer os máis importantes ataques criptoanalíticos e a relación existente entre a criptografía e a seguridade informática.

Contidos1. INTRODUCIÓN Á CRIPTOLOXÍA. Criptoloxía, criptografía e criptoanálise. Criptosistemas clásicos e a súa criptoanálise: a cifra de Vigenère. Seguridade incondicional: o caderno de uso único. Criptosistemas de fluxo e de bloque. O AES (Advanced Encryption Standard) e os seus modos de operación. Funcións “hash” criptográficas e o ataque do aniversario. Autenticación por medio de MAC's

2. CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA. Introdución á criptografía de clave pública. Seguridade computacional: funcións unidireccionais e portas-trampa. Criptosistemas asimétricos e o seu uso para confidencialidade e para sinaturas dixitais

3. RSA E LOGARITMOS DISCRETOS. O criptosistema RSA. A complexidade do algoritmo de Euclides e da exponenciación binaria. Xeración aleatoria de primos grandes. Tests de primalidade probabilistas: o test de Miller-Rabin. A seguridade de RSA e o problema da factorización. Introdución aos criptosistemas baseados no logaritmo discreto e á criptografía de curvas elípticas

4. PROTOCOLOS CRIPTOGRÁFICOS. Sinaturas dixitais. O algoritmo DSA. Esquemas para compartir segredos. Técnicas de coñecemento nulo. Protocolos de intercambio de claves. Infraestruturas de clave pública e criptografía baseada na identidade

Bibliografía básica e complementaria Básica:

J. Buchmann, Introduction to Cryptography, Springer-Verlag, 2001.

W. Trappe, L. C. Washington, Introduction to Cryptography with Coding Theory, Prentice Hall, 2002.

Complementaria:

M. Bellare, P. Rogaway, Introduction to Modern Cryptography, dispoñible en: http://www.cse.ucsd.edu/users/mihir/cse207/classnotes.html

N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Second Edition, Springer-Verlag, 1994.

R. A. Mollin, An Introduction to Cryptography, Chapman & Hall/CRC, 2001.

J. Pastor, M. A. Sarasa, J. L. Salazar, Criptografía Digital, 2ª edición, Prensas Universitarias de Zaragoza, 2001.

W. Stallings, Cryptography and Network Security, 3rd edition, Prentice Hall, 2003.

D. R. Stinson, Cryptography: Theory and Practice, Second edition, Chapman & Hall/CRC, 2002.

CompetenciasSaber criptoanalizar sistemas clásicos: substitucións monoalfabéticas, criptosistema de Hill e criptosistema de Vigenère.

Utilizar paquetes de cálculo simbólico para estudar os criptosistemas anteriormente mencionados e, no seu caso, a súa criptoanálise, tomando como punto de partida implementacións xa existentes.

Coñecer en detalle o funcionamento do AES (Advanced Encryption Standard) e os seus modos de operación, utilizando diversas implementacións existentes. Estudar posibles variantes e optimizacións dalgunhas delas.

Manexar con precisión os algoritmos básicos necesarios para a implementación de RSA, en particular o algoritmo de Euclides e a exponenciación binaria.

Facer, coa axuda de programas de cálculo simbólico, experimentos sobre a distribución dos números primos. Manexar

311

implementacións de tests de primalidade: Miller-Rabin, curvas elípticas, etc.

Comprender algúns dos máis importantes e recentes ataques criptoanalíticos e as técnicas usadas para rexeitalos.

Metodoloxía da ensinanzaDedicaranse tres horas semanais á docencia presencial, tanto para o desenvolvemento dos conceptos teóricos como para a discusión no encerado de problemas e algoritmos.

Dedicarase unha hora semanal á realización de prácticas na aula de informática, utilizando tanto paquetes de cálculo simbólico como outros programas.

Sistema de avaliación da aprendizaxeValoraranse a resolución de problemas e a realización de traballos propostos ao longo do curso, así como a realización dunha proba escrita final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaO tempo de traballo do estudante pode depender de diversos factores, pero estímase que unha hora de estudo por cada hora de clase debería de ser suficiente na maioría dos casos.

ObservaciónsOs estudantes deberán ter coñecementos básicos de Álxebra Linear para poder cursar esta materia.

312

Código : 118673 Nome:Didáctica da Matemática en Secundaria Ano Academico : 2007/2008


Carácter: Libre Elección Convocatoria: Segundo Cuadrimestre




Cajaraville Pegito,José Antonio TIT-UN Profesor/a

Labraña Barrero,Pedro Antonio ASOU Profesor/a

Obxectivos da materia1. Ofrecerlles aos futuros profesores de matemáticas de secundaria unha formación básica que os capacite para impartir docencia das nocións que figuran no currículo de educación secundaria nesta área.

2. Capacitalos para o deseño e desenvolvemento de propostas didácticas de carácter curricular para o ensino/aprendizaxe das nocións matemáticas para o nivel da educación secundaria e, tamén, para abordar as dificultades de aprendizaxe que poidan xurdir na aula.

Contidos1. Fundamentos da ensinanza/aprendizaxe da Matemática en Secundaria Epistemoloxía da Matemática e Didáctica da Matemática Aprendizaxe da Matemática. Significado e comprensión dos obxectos matemáticos. Erros e obstáculos de aprendizaxe Ensinanza da Matemática. Modelos: a teoría das situacións didácticas

2. Análise didáctica dos contidos matemáticos en Educación Secundaria Da Aritmética á Álxebra Estatística e Probabilidade Corpos no espazo Gráficas e funcións Tema de bacharelato: Cálculo Integral

3. Resolución de problemas na Educación Matemática Estratexias e recursos na resolución de problemas. Heurísticos A resolución de problemas como metodoloxía de traballo na aula. Situacións e proxectos

4. Novas tecnoloxías na Educación Matemática O papel da visualización na representación dos conceptos matemáticos Calculadoras científicas e gráficas. Posibilidades e estratexias Ordenador e educación matemática. Os programas de cálculo simbólico. As follas de cálculo

5. Deseño curricular na ESO e no Bacharelato Fins e dimensións da Educación Matemática en Secundaria Deseño de unidades didácticas A avaliación de obxectivos e contidos

Bibliografía básica e complementaria- ALSINA, C.; BURGUÉS, C.; FORTUNY, J.; GIMÉNEZ, J. e TORRA, M., Enseñar Matemáticas, Graó, Barcelona, 1996. - AZCÁRATE, C. e DEULOFEU, J., Funciones y gráficas, Síntesis, Madrid, 1990. - BRANSFORD, J. e STEIN, B., Solución IDEAL de problemas, Labor, Barcelona, 1987. - CAJARAVILLE, J. A., Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso, Síntesis, Madrid, 1989. - CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M. e GASCÓN, J., Estudiar Matemáticas: el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, ICE-Horsori, Barcelona, 1997. - GARCIA, A.; MARTINEZ, A. e MIÑANO, R., Nuevas tecnologías y enseñanza de las Matemáticas, Síntesis, Madrid, 1995. - GIMÉNEZ, J., Evaluación en Matemáticas: Una integración de perspectivas, Síntesis, Madrid, 1997. - LABRAÑA, A, e outros, Algebra lineal. Resolución de sistemas lineales, Síntesis, Madrid, 1995. - LABRAÑA, A, e outros, Matemáticas 1º curso da ESO, Ed. Penta, A Coruña, 1999. - LABRAÑA, A. e CAJARAVILLE, J., A medida de superficie a través de procesos de indagación que conxugan métodos estimativos e formais, Adaxe 13, p. 141-161, 1997. - NCTM, Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. Addenda Series, SAEM Thales, Sevilla, 1993- PÓLYA, G., How to solve it, Princeton University Press, 1945 (Tradución ao castelán: Cómo plantear y resolver problemas, Trillas, México, 1986) - RICO, L. e outros, La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria, ICE-Horsori, Barcelona, 1997.

313

Competencias- Desenvolver competencias para recoñecer erros e obstáculos no proceso de ensino/aprendizaxe da matemática en educación secundaria. - Ser capaz de planificar, seleccionar e distribuír contidos para a aprendizaxe da matemática en educación secundaria. - Manexar con soltura situacións-problema propios desta temática. - Ser capaz de usar contextualizadamente material didáctico para propoñer e resolver problemas, dotando de significado os obxectos matemáticos que se estudan neste nivel educativo.

Metodoloxía da ensinanza- A distribución do horario semanal será: 2 horas de teoría e 2 horas de prácticas de laboratorio á semana. - As clases de teoría terán un compoñente mixto: exposicións do profesor, traballo individual e posta en común. - Nas prácticas de laboratorio, os estudantes resolverán situacións prácticas de aula baseadas na resolución de problemas matemáticos e didácticos relacionados coa ensinanza e aprendizaxe das matemáticas na educación secundaria. Usarán diferentes materiais didácticos e o sistema de traballo basearase en: presentación de tarefas por escrito, debate en pequenos grupos e posta en común do traballo realizado por cada grupo, con aclaracións e suxestións por parte do profesor.

Sistema de avaliación da aprendizaxe1. Valorarase a asistencia e participación activa da/do estudante nas actividades que se realicen nas clases e a calidade na realización e presentación de traballos que puideran encomendárselle, que lles permitirá aos alumnos acadar ata un máximo do 60% da nota final.

2. Realizarase unha proba final escrita de avaliación dos coñecementos didácticos adquiridos, na que se resolverán situacións-problema concretos relacionados coa Didáctica da Matemática en secundaria.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais: 60 (teóricas: 30; de prácticas de laboratorio: 30)

Horas non presenciais: 80 (3 horas/semana para o estudo da teoría, 2 horas/semana para completar os traballos de laboratorio + 20 horas para preparación do exame final)

Horas de avaliación: 4 horas


Recomendacións para o estudo da materia- Estudo de capítulos concretos dos libros e artigos que o profesor selecciona dos documentos propostos na bibliografía. - Asistencia ás clases e participación activa nas prácticas de laboratorio e nos debates de aula. - Levar un diario organizado das actividades realizadas na clase para unha posterior preparación axeitada da proba final de avaliación.

314

Código : 118675 Nome:Códigos Correctores de ErrosAno Academico : 2007/2008






Rodríguez González,Nieves TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaCoñecer as nocións e métodos básicos da teoría de códigos correctores de erros e manexar os algoritmos fundamentais desta disciplina. Coñecer as familias de códigos máis importantes e algunhas das súas aplicacións máis interesantes (transmisións a longa distancia, discos compactos, etc.).

Contidos- Unha breve introdución histórica - Problemas básicos da teoría de códigos - Códigos detectores e correctores de erros: exemplos - Distancia de Hamming e descodificación por distancia mínima. Códigos perfectos - Códigos lineares. Matrices xeratrices e matrices de control - Códigos especiais: códigos de Hamming, de Golay e de Reed-Muller - Introdución aos códigos cíclicos: códigos BCH e códigos de Reed-Solomon

Bibliografía básica e complementariaD. R. Hankerson, D. G. Hoffman, D. A. Leonard, C. C. Lindner, K. T. Phelps, C. A. Rodger e J. R. Wall, Coding theory and cryptography - The essentials, Marcel Dekker, 2000. R. Hill, A First Course in Coding Theory, Clarendon Press, 1986. C. Munuera e J. Tena, Codificación de la información, Universidad de Valladolid, 1997. O, Papini e J. Wolfmann, Algèbre discrète et codes correcteurs, Springer-Verlag, 1995. S. Roman, Introduction to coding and information theory, Springer-Verlag, 1997. W. Trappe e L.C. Washington, Introduction to cryptography with coding theory, Prentice-Hall, 2002.

Competencias - Familiarizarse cos códigos básicos de identificación: NIF, ISBN, códigos de barras... - Coñecer os códigos de caracteres máis importantes, desde o Morse ata o UNICODE. - Coñecer os principios xerais usados no deseño de bos códigos. - Manexar os códigos lineares por medio do cálculo de matrices xeratrices, matrices de control, distancia mínima, etc. - Construír a táboa estándar e realizar a descodificación por síndrome. - Utilizar os procedementos específicos de descodificación para códigos de Hamming e de Golay. - Coñecer o algoritmo de cálculo do polinomio de Boole que induce unha función de Boole dada e utilizalo para o cálculo dos códigos de Reed-Muller. - Utilizar programas informáticos para explorar os algoritmos anteriormente mencionados.

Metodoloxía da ensinanzaDedicaranse tres horas semanais á docencia presencial, tanto para o desenvolvemento dos conceptos teóricos como para a discusión no encerado de problemas e algoritmos.

Dedicarase unha hora semanal á realización de prácticas na aula de informática. Empregaranse paquetes de cálculo simbólico para amosar o funcionamento dos principais algoritmos da disciplina.

Sistema de avaliación da aprendizaxeValoraranse a resolución de problemas e a realización dos traballos propostos ao longo do curso, así como a realización dunha proba escrita final.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superala O tempo de traballo do estudante pode depender de diversos factores, pero estímase que unha hora de estudo por cada hora de clase debería de ser suficiente na maioría dos casos.

315

ObservaciónsOs estudantes deberán ter coñecementos básicos de Álxebra Linear para poder cursar esta materia.

316

Código : 118713 Nome:Unha Andaina pola MatemáticaAno Academico : 2007/2008






Vázquez Abal,M Elena TIT-UN Profesor/a

Obxectivos da materiaO obxectivo destas conferencias e seminarios é formativo e divulgativo a un tempo. Preténdese mostrarlles aos asistentes a evolución histórica dalgúns conceptos matemáticos, a importancia e fermosura de resultados clásicos e modernos, así como as aplicacións dalgunhas teorías básicas, tanto nas propias Matemáticas como na Arte, Arquitectura, Bioloxía, Ciencias Sociais, Enxeñaría, Física, Informática, Música, Química...

ContidosOs contidos e horarios das conferencias faranse públicos no transcurso do 1º cuadrimestre.

Bibliografía básica e complementariaDependerá da programación anual.

CompetenciasAlcanzar unha mínima visión crítica da importancia das matemáticas nas diversas ciencias e na vida.

Metodoloxía da ensinanzaA actividade consistirá nunha serie de 10 conferencias ou seminarios de duración entre 120 e 180 minutos, baixo o nome UNHA ANDAINA POLA MATEMÁTICA 2007, que pretende ter unha continuidade nos seguintes cursos académicos. Celebraranse no curso académico 2006-2007, preferentemente en horario de tarde e na Facultade de Matemáticas. As conferencias poderán ser impartidas por profesorado de Universidade, pero tamén se dará cabida ao profesorado de ensino medio e profesionais con algún tipo de relación coas matemáticas. As charlas e seminarios estarán dirixidas a alumnos das Licenciaturas de Ciencias e complementaranse cun curso virtual onde se realizarán exames e traballos complementarios. Coa intención de potenciar a participación e de evitar a masificación, haberá un número limitado de 150 prazas na inscrición, dando preferencia na admisión a quen estea a cursar algunha materia de 3º, 4º ou 5º curso das Licenciaturas de Matemáticas, Física, Química e Bioloxía ou das diversas enxeñarías.

Sistema de avaliación da aprendizaxePara superar o curso, o alumnado terá que acreditar a súa participación nun mínimo de 9 das 10 sesións, para o que deberá acudir coa súa tarxeta universitaria ás conferencias. En canto á cualificación, no curso virtual iranse propoñendo actividades e/ou exames en liña con cuestións relacionadas cos temas tratados para matizar a avaliación.

Tempo de estudos e de traballo persoal que debe dedicar un estudante para superalaHoras presenciais 2,5*10= 25. Horas traballo persoal no curso virtual (exames e/ou traballos): 5.

ObservaciónsPara validar a asistencia ao curso, é necesario presentar a tarxeta magnética de estudante en cada conferencia.

Pódese atopar información na dirección: http://xtsunxet.usc.es/

317

Guía

da

Facu

ltade

de

Mate

mática

sCur

so20

07/20

08

Imprime Unidixital - DLG - C 2813-2007

C U R S O

200708

50 anosLicenciatura deMatemáticas na USC

licenciatura de matemáticas na usc · datas de exames ... plan de estudios, programación docente...

Documents