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Licenciatura de Matemáticas

Análisis Funcional

Juan Carlos Cabello Píñar

Granada, 2008

Índice general

Introducción. v

1. Espacios normados. 11.1. De los espacios vectoriales a los espacios normados. . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Espacios vectoriales de dimensión arbitraria. . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Espacios normados y espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Distancia inducida. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Aplicaciones lineales y continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1. Norma de un operador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2. Isomorfismos e isometrías. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Dual de un espacio normado. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1. Espacio dual topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Espacios normados reflexivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.3. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Espacios normados de dimensión finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1. Continuidad automática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2. Caracterización de la finito-dimensionalidad. . . . . . . . . . . . . . 251.4.3. Espacios normados separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.4. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5. Subespacios complementados. Cociente de espacios normados. . . . . . . . 281.5.1. Subespacios complementados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.2. Cociente de espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

i

1.5.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.4. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2. Espacios de Hilbert. 332.1. Identidad del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1. Espacio prehilbertiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2. Norma natural en un espacio prehilbertiano. Espacios de Hilbert. . 352.1.3. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. Teorema de la proyección ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2. Autodualidad de los espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.3. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1. Familias sumables en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.2. Bases ortonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.3. Espacios de Hilbert"tipo". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.4. El sistema trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3. Teorema de Hahn-Banach 553.1. Versión analítica del Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Relación de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2. Primeras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.1. Relación de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3. Versión Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1. Relación de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Teoremas de la aplicación abierta y Banach-Steinhaus 754.1. Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Teorema de la aplicación abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.1. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3. Teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.1. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5. Topologías débiles 895.1. Espacios de Banach reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2. Topologías débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3. Teorema de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Introducción. iii

5.4. Teorema de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5. Separabilidad y metrizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.6. Teorema de Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6. Operadores compactos 1396.1. Operadores en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2. Teorema de resolución espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

iv Análisis Funcional

Introducción

El Análisis funcional es una herramienta relativamente moderna que forma parte delAnálisis matemático. La idea que unifica los primeros trabajos del Análisis Funcional esla utilidad de considerar a las funciones, definidas sobre ciertos subconjuntos del espacioeuclídeo Rn, como elementos o puntos de un algún espacio vectorial abstracto y estudiarlas ecuaciones diferenciales e integrales que relacionan estos puntos en términos de aplica-ciones lineales entre estos espacios. El espíritu que dio origen al Análisis Funcional quedamuy bien reflejado en la siguiente frase debida a Stefan Banach:

el objetivo (. . . ) es demostrar algunos teoremas que son ciertos para diferen-tes espacios funcionales. En lugar de probar los resultados para cada espacioparticular, he optado por un enfoque diferente: considero en general un con-junto de elementos abstractos, para los que postulo una serie de propiedades ydemuestro los teoremas para esos conjuntos. Entonces pruebo que los distin-tos espacios funcionales particulares en los que estoy interesado satisfacen losaxiomas postulados (Tesis doctoral de S. Banach (1920)).

Maurice Fréchet (1878-1971) fue uno de los primeros autores en desarrollar una teoríaabstracta de espacios de funciones, a él es debido el desarrollo del concepto de espaciométrico abstracto. Entre 1904 y 1910, David Hilbert (1862-1943) publica una serie deartículos sobre ecuaciones integrales, motivados por los resultados de Erik Ivar Fredholm(1866-1927) (lo que hoy conocemos como alternativa de Fredholm). Estos trabajos, juntocon la tesis doctoral de su alumno Erhard Schmidt (1876-1959), suponen el nacimientode la teoría actual de espacios de Hilbert: aparecen ya conceptos como bola unidad,convergencia débil de sucesiones, distancia entre elementos, teoría espectral de operadores. . . si bien todo ello restringido a las sucesiones de cuadrado sumable ℓ2.

Otra de las grandes aportaciones de principios del siglo XX fue la teoría de Integracióndebida a Henri Léon Lebesgue (1875-1941). Esta teoría de integración introducida por

v

vi Análisis Funcional

Lebesgue dio paso al estudio de los espacios L2[a, b] y con ellos al problema de ver quésucesiones de números reales pueden surgir como los coeficientes de Fourier de algunafunción. Este problema fue resuelto por Frigyes Riesz (1880-1956) y Ernst Fischer (1875-1954) de manera independiente. Este resultado es hoy día conocido como Teorema deRiesz-Fisher y establece que el espacio métrico L2[a, b] es completo, separable e isométricoal espacio de Hilbert de sucesiones ℓ2. Otra de las aportaciones debidas a Riesz es larepresentación de cualquier funcional lineal y continuo sobre el espacio C[a, b], lo quesupuso un paso importante en la clarificación de las ideas de dualidad, ya que es el primerejemplo en el que el dual topológico no puede identificarse con el espacio base. Riesz estambién considerado como el padre la teoría abstracta de operadores.

En 1920 aparece la Tesis de Stefan Banach (1892-1945) titulada Théorie des Opéra-tions Linéaries. En este trabajo aparece la definición axiomática de espacio vectorial real,normado y completo, también se presentan, entre otros resultados, una versión del prin-cipio de acotación uniforme y el principio de contracción en espacios métricos completos.Pero sobre todo, la contribución más importante de la tesis de Banach fue sacar a la luzla noción correcta de espacio normado, que de modo más o menos implícito, estaba sub-yacente en gran parte de los artículos previos sobre Análisis Funcional. Esta tesis reúne losresultados más importantes que se conocían hasta la fecha, incluyendo los tres principiosfundamentales del Análisis Funcional (los dos primeros aparecen en el ambiente gene-ral de los F-espacios), la teoría de Riesz de operadores compactos, las bases y sucesionesbásicas de un espacio normado y, finalmente, la convergencia débil y débil-* de sucesiones,probándose versiones secuenciales de los teoremas de Banach-Alaoglu y Dieudonné.

El año 1932 verá la consolidación definitiva del Análisis Funcional como una ramaindependiente e importante del Análisis Matemático. Esta consolidación se debe en granparte a la publicación de la ya mencionada tesis de Banach y las monografías escritaspor John von Neumann (1903-1957) y Marshall Stone (1903-1989). El trabajo de vonNeumann, trata de los fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica, formalizandola teoría abstracta de espacios de Hilbert y la teoría espectral de operadores; uno desus grandes pilares es la equivalencia entre funciones de cuadrado integrable y series decuadrado sumable, que permite unificar la mecánica matricial y la mecánica ondulatoria.El libro escrito por Stone se titula “Linear Transformations in Hilbert Space and theirApplications to Analysis” y en el mismo desarrolla la teoría espectral de operadores enespacios de Hilbert con multitud de aplicaciones al Análisis Clásico. Estos trabajos son elpunto de partida para la Teoría espectral de operadores y el estudio de las C∗-álgebras.

Lo que actualmente se entiende por Análisis Funcional, término acuñado, según lamayoría de los libros de historia, po Paul P. Lévy (1886-1971), es algo tan amplio que

Introducción. vii

resulta imposible de abarcar. En este sentido, podemos decir con J. Conway en [13] que:“hoy día el Análisis Funcional ha pasado a ser una vasta y bella área dentro de la matemá-tica, .... , es posible que dos investigadores en Análisis Funcional tengan serias dificultadesactualmente para comunicarse sus respectivos descubrimientos”.

viii Análisis Funcional

Capıtulo 1Espacios normados.

Este primer capítulo tiene un marcado carácter preparatorio. Está subdivido en cincolecciones:

Lección 1.1: De los espacios vectoriales a los espacios normados.

Esta primera lección nos va a introducir en algunos de los conceptos básicos queestudiaremos en este curso. Comenzaremos estudiando, en un nivel puramente algebraico,los espacios vectoriales y comentaremos la existencia de bases de Hamel en cualquierespacio vectorial arbitrario. En la segunda parte de la lección abandonaremos el nivelpuramente algebraico para introducir los espacios normados y los espacios de Banach. Lamotivación más sencilla para introducir el concepto de norma sobre un espacio vectorialno es otro que la generalización de los conceptos de valor absoluto y módulo en R y C,respectivamente. Terminaremos presentando una buena variedad de ejemplos de espaciosnormados y de espacios de Banach.

Lección 1.2: Aplicaciones lineales continuas

La segunda lección está dedicada al estudio de las aplicaciones lineales entre espaciosnormados. Entre los resultados presentados en este tema destacan las diversas caracteri-zaciones de las aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados. Estas caracteri-zaciones permiten dotar de su norma natural al correspondiente espacio de aplicacioneslineales continuas.

Lección 1.3: Dual de un espacio normado. Ejemplos.

En la tercera lección damos entrada al espacio dual. Tendremos ocasión de presentary describir el dual de algunos de los espacios normados clásicos. Es necesario mencionar

1

2 Capítulo 1. Espacios normados.

que en este punto echamos de menos algún resultado que nos garantice la no trivialidaddel dual de un espacio normado arbitrario.

Lección 1.4: Espacios normados de dimensión finita

La cuarta lección se dedica al estudio de los espacios normados de dimensión finita.Nos gustaría destacar el resultado de Tihonov (1.935), que nos garantiza la continuidadde toda aplicación lineal que sale de un espacio normado finito dimensional (por tanto laequivalencia de dos cualesquiera normas en tal espacio) y el teorema de Riesz (1.918) quepone en equivalencia la dimensión finita de un espacio normado y la compacidad localde dicho espacio. Este último resultado justifica la filosofía que seguirá en adelante: labuena compatibilidad entre las estructuras algebraica y topológica, así como para ponerde manifiesto la “escasez” de conjuntos compactos en dimensión infinita. Finalizaremosla lección presentando a los espacios normados más pequeños desde el punto de vistatopológico: espacios normados separables.

Lección 1.5: Subespacios complementados. Cociente de espacios normadosLa última lección está dedicada a los subespacios complementados y al cociente de

espacios normados. Mostraremos una técnica para construir algunos ejemplos de espaciosnormados muy destacados.

BIBLIOGRAFÍA: Los contenidos de este primer tema pueden ser complementados con lostextos [11, 12, 13, 17, 19, 22, 24, 33] y [37]. El teorema de Tihonov se puede ver, por ejemplo, en[21].

1.1. De los espacios vectoriales a los espacios normados. 3

1.1. De los espacios vectoriales a los espacios normados.

Durante todo este curso los espacios vectoriales estarán definidos sobre el cuerpo delos números reales R o sobre el cuerpo de los números complejos C, y K denotará a cual-quiera de estos dos cuerpos indistintamente. Cuando aparezcan varios espacios vectorialesrelacionados, entenderemos que todos están definidos sobre el mismo cuerpo. Si α ∈ Kentonces |α| denotará el valor absoluto o el módulo de α dependiendo si K es R o C,respectivamente.

1.1.1. Espacios vectoriales de dimensión arbitraria.

Recordemos que un espacio vectorial sobre K es un conjunto no vacío X dotado condos aplicaciones

+ : X ×X −→ X

(x, y) 7→ x+ y

: K×X −→ X

(α, x) 7→ αx

tales que para todo x, y, z ∈ X y todo α, β ∈ K se verifican los siguientes axiomas

1. (x+ y) + z = x+ (y + z);

2. x+ y = y + x;

3. Existe un elemento O ∈ X, denominado neutro o cero, tal que O + x = x;

4. Para cada x ∈ X existe un elemento −x ∈ X, llamado opuesto de x, tal quex+ (−x) = O;

5. α(x+ y) = αx+ αy;

6. (α+ β)x = αx+ βx;

7. (αβ)x = α(βx);

8. 1x = x.


Los elementos de un espacio vectorial X se denominan vectores, mientras que loselementos del cuerpo K se llaman escalares.

Dado un subconjunto M de un espacio vectorial X, diremos que M es un subespaciovectorial de X si, y solo si, para cualesquiera x, y ∈ M , α, β ∈ K se satisface queαx+ βy ∈M .

Sea A un subconjunto no vacío de un espacio vectorial X. Puedo considerar la familiade todos los subespacios vectoriales que lo contienen. Es fácil probar que la intersecciónde los elementos de dicha familia es el menor subespacio vectorial de X que contiene alconjunto A. Dicho subespacio es llamado envolvente lineal de A, se representa porLin(A) y es fácil probar que

Lin(A) = λ1x1 + . . .+ λnxn : n ∈ N, x1, . . . , xn ∈ A, λ1, . . . , λn ∈ K.

Diremos que A es algebraicamente libre o linealmente independiente si en laexpresión

α1x1 + . . .+ αnxn = 0,

con n ∈ N, α1, . . . , αn ∈ K y x1, . . . , xn ∈ A, es obligado que α1 = . . . = αn = 0.

Diremos que un subconjunto B de un espacio vectorial X es una base algebraicao base de Hamel de X si B es un subconjunto no vacío y linealmente independienteverificando que Lin(B) = X.

Se puede probar que todo subconjunto no vacío y linealmente independiente de unespacio vectorial está contenido en una base de Hamel de dicho espacio.

1.1.2. Espacios normados y espacios de Banach

La motivación más sencilla para introducir el concepto de norma sobre un espaciovectorial no es otro que la generalización de los conceptos de valor absoluto y módulo enR y C, respectivamente.

Definición 1.1.1 Sea X un espacio vectorial sobre K. Una norma sobre X es una apli-cación x 7→ ∥x∥, de X en R, verificando:

1. ∥x∥ = 0 si, y sólo si, x = 0 (∀x ∈ X);

2. ∥x+ y∥ ≤ ∥x∥+ ∥y∥, ∀x, y ∈ X;


3. ∥αx∥ = |α| ∥x∥, ∀α ∈ K, ∀x ∈ X.

Un espacio normado es un par (X, ∥ · ∥) donde X es un espacio vectorial sobre K y∥ · ∥ es una norma sobre X.

En la práctica, para simplificar la notación, escribiremos X para referirnos al espacionormado (X, ∥ · ∥). Si K = R se dice que el espacio normado es real, y si K = C se diceque es complejo.

De la condición 3) es inmediato que ∥ − x∥ = ∥x∥ y entonces, por las condiciones 1)

y 2), es claro que

0 = ∥0∥ = ∥x+ (−x)∥ ≤ ∥x∥+ ∥−x∥ = 2 ∥x∥ .

Por tanto, una norma sólo toma valores no negativos.

Veamos que en todo espacio vectorial se puede definir más de una norma. En efecto,si X es un espacio vectorial no trivial sobre K (el caso X = 0 no merece comentario) yei : i ∈ I es una base de Hamel de X, entonces todo vector x ∈ X se expresa de maneraúnica en la forma

x =∑i∈I

αiei

donde αi ∈ K para todo i ∈ I y el conjunto i ∈ I : αi = 0 es finito. Podemos definir,por ejemplo,

∥x∥1 =∑i∈I

|αi| ó ∥x∥∞ = max |αi| : i ∈ I .

Es muy sencillo comprobar que de esta manera se obtienen dos normas sobre X llamadasrespectivamente la norma suma y la norma del supremo asociadas a la base de Hamelei : i ∈ I .

1.1.3. Distancia inducida. Espacios de Banach

Podemos preguntarnos ahora qué tipo de consecuencias se desprenden del hecho deque un espacio vectorial sea dotado de una norma. Veamos en primer lugar, que si X es unespacio normado, entonces podemos definir una distancia en dicho espacio. Concretamentepodemos ver que la aplicación

d : X ×X −→ X


definida pord(x, y) := ∥x− y∥,

es, en virtud de las propiedades de la norma, una distancia en X. Esta distancia d, llamadadistancia inducida por la norma, nos permite, a su vez,

1) definir conjuntos que hacen en cierto modo un papel similar al de los intervalos enR:

Dado a ∈ X y r ∈ R, notaremos

BX(a, r) = y ∈ X : ∥y − a∥ ≤ r,

al conjunto que llamaremos bola cerrada de centro a y radio r) (resp. notaremos

BX(a, r) = y ∈ X : ∥y − a∥ < r,

al conjunto que llamaremos bola abierta de centro a y radio r ó).

Notaremos

BX := x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1 y SX := x ∈ X : ∥x∥ = 1,

conjuntos que llamaremos bola unidad cerrada y esfera unidad de X, respectiva-mente.

2) definir el concepto de conjunto acotado

Dado A ⊆ X, se dice que está acotado si ∃r > 0 tal que A ⊆ BX(0, r)

3) hablar de convergencia de sucesiones:

Dada una sucesión xn de elementos de X, se dice que es convergente si ∃x ∈ X

tal que∀ε > 0,∃n0 tal que si n ≥ n0, entonces ∥xn − x∥ < ε.

Dado que este valor x es único, se dice en este caso que la sucesión xn converge ax o que x es el límite de la sucesión xn (y se suele notar xn → x ó limnxn = x).

4) definir una topología en X, topología que recibe el nombre de topología de lanorma en X:


Sean A ⊆ X y x ∈ X. Se dice que x es un punto interior, x ∈ A, si existe r > 0,tal que BX(x, r) ⊆ A. Diremos que A es un conjunto abierto si todos sus puntosson interiores.

Se dice que x es un punto adherente, x ∈ A, si existe una sucesión xn en X

convergente a x. Es fácil probar que A es un conjunto cerrado (respectivamentedenso) si A = A (resp. A = X).

Igualmente se puede probar que A es compacto si toda sucesión xn de elementosde A, admite una ” sucesión parcial ” xσ(n) convergiendo a un punto a ∈ A.

5) hablar de completitud:

Dada una sucesión xn en un espacio normado X, se dice que es una sucesión deCauchy, si

∀ε > 0, ∃n0 tal que si n ≥ n0, h ∈ N entonces ∥xn − xn+h∥ < ε.

Claramente toda sucesión convergente es también de Cauchy, mientras que el recí-proco no es cierto (baste considerar en Q la sucesión (1 + 1

n)n).

Nota 1.1.2

1. Es importante subrayar que existe una buena avenencia entre las estructuras topoló-gica y algebráica de un espacio normado:

- Las aplicaciones σ : X × X → X y τ : K × X → X definidas por σ(x, y) =

x + y y τ(α, x) = αx son continuas cuando consideramos las topologías naturales(inducidas por la topologías de las normas de X y de K y la topología productocorrespondiente).

- Si M un subespacio de un espacio normado X, entonces M es también un subes-pacio.

2. Se dice que dos normas definidas en un mismo espacio vectorial son equivalentessi ambas generan la misma topología en X. Es fácil probar que

- ∥.∥1 y ∥.∥2 son dos normas equivalentes en un espacio vectorial X si, y sólo si,existen números reales positivos α y β tales que α∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ β∥x∥1, ∀x ∈ X.


- Si X es un espacio vectorial infinito dimensional , entonces la norma suma y lanorma del supremo para una determinada base de Hamel de X, son dos normas noequivalentes.

Definición 1.1.3 Se dice que un espacio normado X es un espacio de Banach si todatoda sucesión de Cauchy en X es convergente a un punto de X. En este caso diremos quela norma de X es completa.

El espacio normado (K, |.|) es el ejemplo más sencillo de espacio de Banach.

Veamos que la completitud de un espacio de Banach se transfiere a sus subespacioscerrados.

Sea X un espacio normado y M un subespacio vectorial de X. La restricción a M de lanorma de X define una norma sobre M , llamada norma inducida. Dicho espacio normadoM recibe el nombre de subespacio (normado) de X. Evidentemente todo subespacionormado de X es un subespacio métrico de X con la distancia inducida por su norma.

Proposición 1.1.4 Sea X un espacio de Banach y M un subespacio de X.

1. Si M es cerrado en X, entonces M es un espacio de Banach.

2. Si M es un espacio de Banach, entonces M es cerrado en X.

1.1.4. Ejemplos

Este es un buen momento para introducir algunos ejemplos de espacios normados yespacios de Banach.

Ejemplo 1.1.5 Normas sobre Kn.

1. Norma euclídea

La función x 7→ ∥x∥2 , de Kn en R, definida por

∥x∥2 =

(n∑k=1

|xk|2) 1

2

, ∀x = (x1, ..., xn) ∈ Kn


es una norma sobre Kn, llamada norma euclídea.

Esta norma no es más que un elemento de la familia de normas dadas por:

una función x 7→ ∥x∥p , de Kn en R, con p ∈ [1,+∞[ y definida por

∥x∥p =

(n∑k=1

|xk|p) 1

p

, ∀x = (x1, ..., xn) ∈ Kn.

El espacio normado (Kn, ∥ · ∥p) se designa por ℓnp .

La única propiedad cuya demostración no es trivial es la propiedad triangular. Esfácil ver que ésta es consecuencia de la siguiente cadena de desigualdades:

a) Desigualdad de Young:

ab ≤ ap

p+bq

q, (∀a, b ≥ 0) (∀p, q > 0, con

1

p+

1

q= 1).

b) desigualdad de Hölder:

n∑k=1

|akbk| ≤ (n∑k=1

|ak|p)1p (

n∑k=1

|bk|q)1q ,

donde n es un número natural y a1, ..., an, b1, ..., bn, son escalares cualesquieray p y q son dos números reales positivos tales que 1

p+ 1

q= 1).

c) desigualdad de Minkowski:

[n∑k=1

(ak + bk)p

] 1p

≤ (n∑k=1

apk)1p + (

n∑k=1

bpk)1p ,

donde n es un natural y a1, ..., an, b1, ..., bn, son números reales no negativos yp ≥ 1.

2. Norma del máximo

También se usa frecuentemente la norma del máximo en Kn definida por:

∥x∥∞ = max |x1| , ..., |xn| , ∀x = (x1, ..., xn) ∈ Kn.


El espacio normado (Kn, ∥ · ∥∞) se representa por ℓn∞.

Es fácil comprobar que, para todo x ∈ Kn y p, p′ ∈ [1,+∞[ con p ≤ p′, se cumpleque

∥x∥∞ ≤ ∥x∥p′ ≤ ∥x∥p ≤ ∥x∥1 ≤ n∥x∥∞ y lımp→+∞

∥x∥p = ∥x∥∞,

lo que da coherencia a las notaciones empleadas.

La completitud del módulo o valor absoluto en K permite demostrar que (Kn, ∥ · ∥p)es un espacio de Banach (para todo 1 ≤ p ≤ +∞). De hecho veremos más adelanteque toda norma sobre un espacio vectorial de dimensión finita es completa.

Las normas sobre Kn del ejemplo anterior se pueden extender a espacios de dimensióninfinita.

Ejemplo 1.1.6 Espacios de sucesiones

Dado p ∈ [1,+∞[, consideremos el conjunto

ℓp =

x(n) ∈ KN :

∑n≥1

|x(n)|p es convergente

.

Es fácil probar que dicho subconjunto es un subespacio vectorial de KN. Usando ahora denuevo la cadena de desigualdades, se puede probar que la aplicación

x 7−→ ∥x∥p =

(∞∑n=1

|x(n)|p) 1

p

, (∀x = x(n) ∈ ℓp),

define una norma completa sobre ℓp.

También es sencillo probar que el conjunto

ℓ∞ =x(n) ∈ KN : x(n) está acotada

es un subespacio vectorial de KN y que la aplicación

x 7−→ ∥x∥∞ = sup |x(n)| : n ∈ N , (∀x = x(n) ∈ ℓ∞),

define una norma completa sobre ℓ∞.

Destaquemos algunos subespacios importantes de ℓ∞ :


(a) El conjunto c de las sucesiones convergentes de escalares:

c =

x(n) ∈ KN : lım

n→+∞x(n) ∈ K

es un subespacio cerrado de ℓ∞ y, por tanto, es un espacio de Banach (1.1.4).

b) El conjunto c0 de las sucesiones de escalares que convergen a cero:

c0 =

x(n) ∈ KN : lım

n→+∞x(n) = 0

,

es un subespacio cerrado de c, luego también es un espacio de Banach.

(b) El conjunto c00 de las sucesiones casinulas de escalares:

c00 =x(n) ∈ KN : n ∈ N : x(n) = 0 es finito

es un subespacio de c0. El espacio c00 no es completo. De hecho, c00 es denso en c0.

Ejemplo 1.1.7 Productos finitos de espacios normados.

Sea X1, ..., Xn una familia de finita de espacios vectoriales sobre K. El productocartesiano

n∏i=1

Xi = x = (x1, x2, ..., xp) : xi ∈ Xi /∀1 ≤ i ≤ n,

puede dotarse de forma canónica (mediante las operaciones puntuales) de estructura deespacio vectorial sobre K. Este espacio vectorial recibe el nombre de espacio vectorialproducto (o producto directo) de la familia X1, ..., Xn. Es habitual, usar la notación

Xn si X1 = · · · = Xn = X.

Supongamos ahora que X1, ..., Xn es una familia de finita de espacios normadossobre K. Para cada 1 ≤ j ≤ n, sea pj :

∏ni=1Xi → Xj la proyección natural dada por

pj(x) = xj, ∀x ∈n∏i=1

Xi.

Recuérdese que la topología producto en∏

i∈I Xi se define como la menor topología sobre∏i∈I Xi que hace continuas a las proyecciones pj : j ∈ I .


Las relaciones:

∥(x1, ..., xn)∥p =

(n∑i=1

∥xi∥p) 1

p

, ∀(x1, ..., xn) ∈n∏i=1

Xi, (p ∈ [1,+∞[)

∥(x1, ..., xn)∥∞ = max ∥x1∥, ..., ∥xn∥ , ∀(x1, ..., xn) ∈n∏i=1

Xi

definen normas sobre el espacio vectorial producto∏n

i=1Xi que generan la topología pro-ducto, y que son completas si, y sólo si, lo son las normas sobre X1, ..., Xn.

Ejemplo 1.1.8 Espacios de funciones continuas Sea Ω un conjunto no vacío arbi-trario. Definiendo

∥f∥∞ = sup |f(w)| : w ∈ Ω (f ∈ ℓ∞(Ω))

se obtiene una norma completa sobre el espacio vectorial ℓ∞(Ω) de las funciones acotadasde Ω en K.

Se comprueba fácilmente que la convergencia en esta norma equivale a la convergenciauniforme en Ω, razón por la cual es conocida como norma uniforme.

En el caso de que Ω sea un espacio topológico, aparecen ciertos subespacios importantesdel espacio normado ℓ∞(Ω). Concretamente, tenemos:

El conjunto Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en K es un subespaciocerrado de ℓ∞(Ω) y, por tanto, es un espacio de Banach.

Si Ω es un espacio topológico compacto Hausdorff, entonces toda función continua deΩ en K es siempre acotada y se nota simplemente por C(Ω) al espacio de las funcionescontinuas de Ω en K, normado por

∥f∥∞ = max |f(w)| : w ∈ Ω , ∀f ∈ C(Ω).

Recordemos que un espacio topológico Ω es localmente compacto si todo punto de Ω

tiene una base de entornos formada por conjuntos compactos. En el caso de que Ω sólosea localmente compacto, tienen interés los dos espacios siguientes:

Definición 1.1.9 Sea Ω un espacio topológico y f : Ω → K una función. Se dice que fse anula en el infinito si para cada ε > 0, el conjunto

w ∈ Ω : |f(w)| ≥ ε


es compacto. Se nota C0(Ω) al conjunto de las funciones continuas de Ω en K que seanulan en el infinito.

Se llama soporte de f, y lo notamos sop(f), al conjunto

w ∈ Ω : f(w) = 0.

Se nota C00(Ω) al conjunto de las funciones continuas de Ω en K cuyo soporte es compacto.

Si Ω es localmente compacto Hausdorff, puede comprobarse que C0(Ω) es un subespaciocerrado de Cb(Ω) y que C00(Ω) es un subespacio denso de C0(Ω).

En el caso particular Ω = N dotado con la topología discreta, tenemos que:

Cb(N) = ℓ∞(N) = ℓ∞,

y dado que los únicos subconjuntos compactos de N son los finitos,

C0(N) = c0 y C00(N) = c00.

1.1.5. Relación de ejercicios

1. Sean X un espacio normado, x, y ∈ X y r, s > 0 tales que B(x, r) ⊆ B(y, s). Probarque ∥x− y∥ ≤ s− r. Utilícese el resultado anterior para probar que, en un espaciode Banach, toda sucesión decreciente de bolas cerradas tiene un punto en común.

2. Sea X un espacio normado. Dados x ∈ X y r > 0, pruébense las siguientes igualda-des:

a) BX(x, r) = BX(x, r).

b) BX(x, r) = BX(x, r)

.

c) δ(BX(x, r)) = 2r. (δ denota el diámetro).

3. Sea X un espacio normado. Pruébese que si xn es una sucesión de Cauchy deelementos no nulos de X que no converge a cero, entonces xn

∥xn∥ es también unasucesión de Cauchy.

4. Sea X un espacio normado. Pruébese que son equivalentes:


a) X es completo.

b) BX es completo.

c) SX es completo.

5. Sea X un espacio normado. Se define f : X −→ BX mediante f(x) = x

1+∥x∥ .

Pruébese que f es un homeomorfismo de X sobre BX .

6. Sean X un espacio normado y A un subconjunto no vacío de X. Pruébese queA+BX = x ∈ X : dist(x,A) ≤ 1. Deducir que A + BX es cerrado si, y sólo si,para cada x ∈ X con dist(x,A) = 1 existe a ∈ A tal que ∥x− a∥ = 1.

7. Pruébese que, en un espacio normado, el interior de un subespacio vectorial propioes vacío.

8. Sea X un espacio normado y A un subconjunto no vacío de X. Se llama envolventelineal cerrada de A, y la denotaremos por lin(A), a la intersección de todos lossubespacios cerrados de X que contienen a A. Pruébese que

a) lin(A) es el menor subespacio cerrado de X que contiene a A.

b) lin(A) = lin(A).

9. Sea M un subespacio de un espacio normado X con la siguiente propiedad: si∑xn

es una serie de elementos de M convergente en X, entonces∑∞

n=1 xn ∈M. Pruébeseque M es cerrado.

10. Sea X un espacio vectorial de dimensión infinita y ei : i ∈ I una base algebraicade X. Para cada x =

∑i∈I xiei (sólo hay un número finito de sumandos no nulos)

se define∥x∥1 =

∑i∈I

|xi|, ∥x∥∞ =Max|xi| : i ∈ I.

Pruébese que ∥ · ∥1 y ∥ · ∥∞ son dos normas en X no equivalentes.

11. a) Dese un ejemplo de una sucesión que converja a cero en l∞ pero no en l1 ni enl2.

b) Dese un ejemplo de una sucesión que converja a cero en l2 pero no en l1.

c) Dese un ejemplo de una sucesión que converja en c0 pero no en l2.

d) Si x ∈ lp para algún p ≥ 1, pruébese que x ∈ lr, ∀r ≥ p y que ∥x∥r ≤ ∥x∥p ylımp→∞ ∥x∥p = ∥x∥∞.


12. Estúdiese la convergencia de la sucesión

fn(t) =tn+1

n+ 1− tn+2

n+ 2(t ∈ [0, 1])

en cada uno de los espacios siguientes:

i) X = (C([0, 1]), ∥ · ∥∞); ii) X = (C1([0, 1]), ∥ · ∥1), donde ∥f∥1 = ∥f∥∞ + ∥f ′∥∞;

iii) X = (C([0, 1]), ∥ · ∥1), donde ∥f∥1 =∫ 1

0|f(t)|dt.


1.2. Aplicaciones lineales y continuas

Sean X e Y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, recordemos que una apli-cación T : X → Y es lineal si

T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y), ∀x, y ∈ X, ∀α, β ∈ K.

Nos interesa ahora saber cuando una aplicación lineal es continua. El siguiente resulta-do proporciona diversas caracterizaciones de la continuidad de una aplicación lineal entreespacios normados.

Proposición 1.2.1 Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicación lineal.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Existe una constante β > 0 tal que ∥T (x)∥ ≤ β∥x∥, ∀x ∈ X.

2. T es lipschitziana, es decir, existe una constante C > 0 tal que∥T (x)− T (y)∥ ≤ C∥x− y∥ para todo x, y ∈ X.

3. T es continua.

4. T es continua en 0.

5. Si A es un subconjunto acotado de X, entonces T (A) es un subconjunto acotado deY.

6. T está acotada en BX .

Veamos ahora que existen aplicaciones lineales, incluso biyectivas, que no son continuas.

Ejemplo 1.2.2 Sea X un espacio normado infinito-dimensional. Entonces existe unasucesión (en) de vectores linealmente independientes de X (cuyos elementos suponemos,puesto que no es restrictivo, de norma 1). Sea B una base de Hamel de X que contengaa la sucesión (en). La aplicación lineal T : X → X dada por

T (en) = nen, ∀n ∈ N, T (e) = e, ∀e ∈ B\en : n ∈ N,

es una biyección lineal no continua.

1.2. Aplicaciones lineales y continuas 17

1.2.1. Norma de un operador.

Sean X e Y dos espacios normados. A lo largo del curso notaremos por L(X,Y )

al espacio vectorial formado por todas las aplicaciones lineales y continuas de X en Y ,también llamado espacio de operadores de X en Y . Cuando X = Y escribimos L(X) enlugar de L(X,X). En lo que concierne a este espacio vectorial podemos afirmar:

Proposición 1.2.3 Sean X e Y espacios normados.

1. La aplicación T 7→ ∥T∥ , de L(X, Y ) en R, definida por

∥T∥ = sup∥T (x)∥ : x ∈ BX

es una norma sobre L(X,Y ), conocida como la norma canónica de operado-res. La topología generada por la norma de operadores se conoce como topologíauniforme de operadores.

2. Se verifica:

∥T∥ = sup∥T (x)∥ : x ∈ BX = sup∥T (x)∥ : x ∈ SX

= mınβ ≥ 0 : ∥T (x)∥ ≤ β∥x∥, ∀x ∈ X.

En particular, ∥T (x)∥ ≤ ∥T∥ ∥x∥ para todo x ∈ X.

3. La convergencia en la norma canónica de operadores equivale a la convergenciauniforme en BX , o a la convergencia uniforme en cada subconjunto acotado de X.

4. Si Y es un espacio de Banach, entonces el espacio L(X, Y ), con la norma canónicade operadores, también lo es.

5. Si Z es otro espacio normado, T ∈ L(X, Y ) y S ∈ L(Y, Z), entonces la aplicaciónST : X → Z definida por

ST (x) = S(T (x)), ∀x ∈ X

pertenece a L(X,Z) y ∥ST∥ ≤ ∥S∥∥T∥.


Nota 1.2.4 Es necesario notar que la convergencia de una sucesión en la topología dela norma en el espacio L(X,Y ) implica convergencia puntual. En efecto, sea Tn unasucesión convergente en norma a un elemento T ∈ L(X, Y ) y sea x un elemento en X.La desigualdad

∥Tn(x)− T (x)∥ ≤ ∥Tn − T∥ ∥x∥

implica que Tn(x) converge a T (x). Esto nos muestra que Tn converge a T puntual-mente. El recíproco no es cierto ni siquiera en caso completo.

Ejemplo: Para cada n ∈ N, sea Tn : c0 → K definida por

Tn(x) = x(n), ∀x ∈ c0.

Para cada n, Tn es claramente lineal y es igualmente evidente que la sucesión Tn con-verge puntualmente a cero. Además, para cada x ∈ c0, se tiene:

|Tn(x)| = |x(n)| ≤ ∥x∥∞ .

Luego Tn ∈ c∗0 y ∥Tn∥ = 1 y por tanto Tn no puede converger a cero en c∗0.

1.2.2. Isomorfismos e isometrías.

Sean X e Y espacios normados sobre K. Diremos que una aplicación T : X → Y esun isomorfismo si T es biyectiva, lineal y continua y su inversa T−1 es continua. En talcaso, también diremos que X e Y son isomorfos.

Como consecuencia de la proposición 1.2.3 tenemos que una aplicación lineal sobre-yectiva T entre dos espacios normados X e Y es un isomorfismo si, y solo si existen dosconstantes positivas m,M tales que

m∥x∥ ≤ ∥T (x)∥ ≤M∥x∥, ∀x ∈ X.

Nótese que si T es un isomorfismo de (X, ∥ · ∥) en (Y, ∥ · ∥), entonces, en virtud delas desigualdades anteriores, la aplicación x 7→ ∥x∥1 = ∥T (x)∥ define una nueva normaen X que es equivalente a la norma inicial ∥ · ∥. Es fácil probar que todo isomorfismoentre espacios normados es una aplicación abierta (lleva abiertos en abiertos) y que todoespacio isomorfo a un espacio de Banach es también un espacio de Banach.

1.2. Aplicaciones lineales y continuas 19

Si T es un isomorfismo que conserva las normas :

∥T (x)∥ = ∥x∥ (x ∈ X),

se dice que T : X → Y es un isomorfismo isométrico y que X e Y son isométrica-mente isomorfos.

El isomorfismo isométrico es la identificación total entre dos espacios normados. SiT es un isomorfismo de (X, ∥ · ∥) en (Y, ∥ · ∥), y considero de nuevo la norma en X,∥x∥1 = ∥T (x)∥, entonces, T es un isomorfismo isométrico de (X, ∥ · ∥1) en (Y, ∥ · ∥).

Evidentemente todo isomorfismo isométrico es un isomorfismo. El recíproco no escierto. Considérese por ejemplo, la aplicación identidad de (R2, ∥ ·∥1) en (R2, ∥ ·∥2). Dichaaplicación es un isomorfismo no isométrico.


1. Dada una sucesión an en l1, se define T : c0 −→ c0 por T (x) = ∑∞

k=n akxk.Probar que T está bien definida, es lineal y continua y calcular su norma.

2. a) Sea T : Kn −→ K la forma lineal T (x1, x2, · · · , xn) =∑n

i=1 aixi. Calcular lanorma de T en (Kn, ∥ · ∥p), para p = 1, 2,∞.

b) Sea M = (x, y) ∈ R2 : x + y = 0 y T : M −→ R la forma linealT (x,−x) = x. Calcular la norma de T con la norma inducida en M por l22,l21 y l2∞. Calcular todas las posibles extensiones de T al espacio total con lamisma norma.

3. Probar que las siguientes aplicaciones lineales T : lp −→ lp son continuas y calcularsu norma:

a) T (x1, x2, x3, · · · ) = (0, x1, x2, x3, · · · ).

b) T (x1, x2, x3, · · · ) = (x2, x3, · · · ).

c) T (x1, x2, x3, · · · ) = (xn, xn−1, · · · , x2, x1, xn+1, xn+2, · · · ).

4. Sea X = C([0, 1]). Calcular la norma de T : X −→ X en cada uno de los siguientescasos:

a) T (f)(x) =∫ x0f(t)dt.


b) T (f)(x) = x2f(0).

c) T (f)(x) = f(x2).

5. Sea αn una sucesión acotada de escalares. Se define T : lp −→ lp (1 ≤ p ≤ ∞)

mediante T (xn) = αnxn. Probar que T es lineal y continua y calcular su norma.

6. Sean X, Y cualquiera de los espacios c0 ó lp (1 ≤ p < ∞) y en la base canónicade X. Dada T : X −→ Y una aplicación, se define su matriz asociada A = (aij)i,j∈Nmediante T (ej) = (a1j, a2j, · · · ). Probar que, si T es lineal y continua, T quedadeterminada por su matriz asociada mediante la fórmula T (x)(n) =

∑∞i=1 anix(i)

para cada x ∈ X y n ∈ N.

7. Sea A = (aij)i,j∈N una matriz infinita tal que M =∑∞

i,j=1 |aij|2 < +∞. Se defineT : l2 −→ l2 mediante T (x)(n) =

∑∞i=1 anix(i) (x ∈ l2). Probar que T es lineal y

continua con ∥T∥ ≤√M.

8. Demuéstese que c es isomorfo pero no isométricamente isomorfo a c0, . (Indicación:considérese la aplicación T : c→ c0 definida por:

[T (x)](1) = l(x), [T (x)](n) = x(n− 1)− l(x) (n > 1),

donde para cada x ∈ c, l(x) = lımn→∞ x(n).)

9. Probar que, si T : c0 −→ c0 es lineal y continua y A = (aij)i,j∈N es su matrizasociada, se verifica:

a) limi→∞aij = 0 ∀j ∈ N.

b) Sup∑∞

j=1 |aij| : i ∈ N < +∞.

Recíprocamente, si A es una matriz infinita que verifica las dos condiciones anterioresy se define T : c0 −→ c0 mediante T (x)(n) =

∑∞i=1 anix(i) (x ∈ c0), entonces T es

lineal y continua y ∥T∥ = Sup∑∞

j=1 |aij| : i ∈ N.

1.3. Dual de un espacio normado. Ejemplos 21

1.3. Dual de un espacio normado. Ejemplos

Centramos ahora nuestra atención en el espacio de operadoresL(X, Y ) en el caso en que Y coincide con el cuerpo base K. Llamaremos a las aplica-ciones lineales de X en K funcionales ó funcionales lineales en X.

1.3.1. Espacio dual topológico

Si X es un espacio normado, llamaremos dual o dual topológico de X, y lo repre-sentaremos por X∗, al espacio de Banach L(X,K).

El primer resultado, cuya demostración es elemental, es una generalización de la dis-tancia de un punto a un hiperplano.

Lema 1.3.1 Sea X un espacio normado y sea f ∈ X∗\0. Entonces para todo x ∈ X

se verifica que dist(x,Ker(f)) = |f(x)|∥f∥ .

Veamos a modo de ejemplo los duales de los espacios lp,

Proposición 1.3.2 Sean p ≥ 1 y 1 ≤ q ≤ +∞ tales que 1p+ 1

q= 1 (entendiendo que

q = ∞ si p = 1). Entonces la aplicación Φ : ℓq −→ ℓ∗p definida por

Φ(y)(x) =+∞∑n=1

x(n)y(n), x = x(n) ∈ ℓp, y = y(n) ∈ ℓq,

es un isomorfismo isométrico.

Proposición 1.3.3 La aplicación F : ℓ1 −→ c∗0 definida por:

F (y)(x) =+∞∑n=1

x(n)y(n), x ∈ c0, y ∈ ℓ1,

es una isometría sobreyectiva.


1.3.2. Espacios normados reflexivos.

Podemos ahora considerar el espacio dual de un espacio dual. Sea X un espacio nor-mado, llamamos bidual de X y denotamos por X∗∗ al espacio dual de X∗, esto es, alespacio (X∗)∗ dotado con la norma

||x∗∗|| = sup|x∗∗(x∗) : x∗ ∈ X∗.

Veamos algunos elementos distinguidos del bidual. Nótese que para cada x ∈ X,podemos definir la aplicación

JX(x) : X∗ → K dada por JX(x)(f) = f(x), ∀f ∈ X∗,

que es, claramente lineal, y puesto que,

|JX(x)(f)| = |f(x)| ≤ ∥f∥ ∥x∥ , ∀f ∈ X∗,

es también continua. Así pues JX(x) ∈ X∗∗.

Podemos ahora considerar la aplicación inyectiva x 7→ JX(x) de X en X∗∗. Dichaaplicación, que recibe el nombre de inyección canónica de X en su bidual X∗∗, esclaramente lineal, y por tanto continua ya que, para cada x ∈ X, se tiene que ∥JX(x)∥ ≤∥x∥ .

Diremos que un espacio normado X es reflexivo si la inyección canónica JX : X →X∗∗ es sobreyectiva. Del estudio del dual de Los espacios ℓp, se deduce que éstos sonreflexivos, cualquiera que sea p ∈]1,+∞[. Sin embargo, veremos más adelante que ℓ1 noes reflexivo.


1. Sea X un espacio normado y f un funcional lineal en X. Probar que, si el funcionalRe(f) está mayorado en un subconjunto de X con interior no vacío, f es continuo.

2. Sea X = CR([0, 1]). Se define ∥f∥1 =∫ 1

0|f(t)|dt y se escribe X1 = (X, ∥·∥1), X∞ =

(X, ∥ · ∥∞). Para cada φ ∈ X, se define Tφ(f) =∫ 1

0φ(t)f(t)dt.

a) Probar que X1 no es completo.

b) Probar que Tφ ∈ X∗1 y calcular su norma.

1.3. Dual de un espacio normado. Ejemplos 23

c) Probar que Tφ ∈ X∗∞ y que ∥Tφ∥ = ∥φ∥1.

d) Para cada t ∈ [0, 1] se considera la forma lineal en X definida por δt(f) = f(t).

Probar que δt ∈ X∗∞, pero δt /∈ X∗

1 .

3. Pruébese que ℓ2 es un espacio reflexivo.

4. Pruébese que la aplicación G : ℓ1 −→ c∗ definida por:

G(y)(x) = y(1) lımn→+∞

x(n) ++∞∑n=1

x(n)y(n+ 1), x ∈ c, y ∈ ℓ1

es una isometría sobreyectiva.

5. Sea X un espacio normado. Se dice que un funcional f ∈ X∗ alcanza su norma siexiste x ∈ BX tal que ∥f∥ = |f(x)|.

a) Pruébese que si f ∈ X∗ alcanza su norma, entonces existe y ∈ SX tal que∥f∥ = f(y).

b) Sea f : c0 −→ K definido por f(x) =∑∞

n=1x(n)2n

. Pruébese que f es lineal ycontinuo y no alcanza su norma.


1.4. Espacios normados de dimensión finita.

El objetivo de esta lección no es otro que el de presentar y describir todos los espaciosnormados de dimensión finita. Esta meta se podría resumir en intentar dar respuesta a lasiguiente pregunta: ¿Cuántos espacios normados de dimensión n sobre K existen?

En este sentido será útil recordar que todas las norma que hemos considerado hastael momento sobre Kn son equivalentes y por tanto generan la misma topología en Kn.

1.4.1. Continuidad automática.

A lo largo del curso consideraremos como topología usual en Kn aquella topologíainducida por la norma euclídea. El siguiente resultado muestra la continuidad automáticade cualquier aplicación lineal de Kn en cualquier espacio normado cuando en éste seconsidera la topología de la norma.

Lema 1.4.1 Toda aplicación lineal de Kn, con la topología usual, en cualquier espacionormado X es continua.

Como consecuencia, podemos probar que Kn es, salvo isomorfismos, el único espacionormado n-dimensional sobre K.

Teorema 1.4.2 (Teorema de Tihonov). Sea X un espacio normado de dimensiónn sobre K. Entonces toda biyección lineal de Kn, con la topología usual, en X es unisomorfismo.

A continuación vamos a extraer algunas consecuencias interesantes del Teorema deTihonov.

Corolario 1.4.3 Las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. Si X es un espacio normado de dimensión finita, toda aplicación lineal de X enotro espacio normado Y es continua.

2. Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es un isomor-fismo. En consecuencia, dos espacios normados de dimensión finita son isomorfossi, y sólo si, tienen la misma dimensión.

1.4. Espacios normados de dimensión finita. 25

3. Todas las normas sobre un mismo espacio vectorial de dimensión finita son equiva-lentes.

4. Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach.

5. Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio reflexivo.

6. Todo subespacio finito dimensional de un espacio normado es cerrado.

7. Un subconjunto de un espacio normado de dimensión finita es compacto si, y sólosi, es cerrado y acotado.

1.4.2. Caracterización de la finito-dimensionalidad.

Como consecuencia del apartado (6) del Corolario 1.4.3 obtenemos que la bola unidadcerrada de cualquier espacio normado finito dimensional es un conjunto compacto. Vea-mos a continuación que esta propiedad es característica de los espacios normados finitodimensionales.

Teorema 1.4.4 (Teorema de Riesz clásico). Sea X un espacio normado. Las si-guientes afirmaciones son equivalentes:

1. X es finito-dimensional.

2. X es localmente compacto.

3. La bola unidad de X es compacta.

Su demostración requiere del siguiente resultado

Lema 1.4.5 (Lema de Riesz clásico). Sea X un espacio normado y M un subespa-cio cerrado no total de X. Entonces, para cada ε > 0 existe un vector x ∈ SX tal qued(x,M) ≥ 1− ε.

Es importante resaltar

1. La diferente naturaleza de las afirmaciones que aparecen en el Teorema de Riesz, laafirmación (1) es de naturaleza algebraica mientras que la (3) es puramente topoló-gica.


2. Todo subconjunto compacto A de un espacio normado de dimensión infinita X ha detener interior vacío. Este hecho refleja claramente que la abundancia de compactos,tal y como se entiende en el caso finito dimensional, es imposible cuando la dimensiónes infinita.

3. Si X es finito-dimensional, entonces X puede verse como la envolvente lineal de uncompacto, a saber, su bola unidad.

1.4.3. Espacios normados separables

Presentaremos ahora la siguiente talla en espacios normados: los espacios normadosque son el cierre de la envolvente lineal de un subconjunto compacto.

Definición 1.4.6 Un espacio normado X se dice separable si existe un subconjunto Ade X numerable tal que X = A.

Veamos que los espacios separables son los que buscamos.

Teorema 1.4.7 Sea X un espacio normado. Equivalen

1. X es separable.

2. Si X = Lin(A) y A es un subconjunto de X que contiene un subconjunto densonumerable.

3. Existe un subconjunto numerable A de X tal que X = Lin(A).

4. Existe un subconjunto compacto K de X tal que X = Lin(K).

En caso afirmativo se puede conseguir que A ⊆ SX y que exista un subconjunto numerableB tal que BX = B.

Es fácil ver que c00, c0, c y ℓp (p ≥ 1) son espacios normados separables y sin embargo,ℓ∞ no es separable.

1.4. Espacios normados de dimensión finita. 27


1. Pruébese que si X es de dimensión finita, entonces todo funcional alcanza su norma.

2. Pruébese que todo subconjunto compacto de un espacio normado de dimensióninfinita tiene interior vacío.

3. Sean X un espacio normado, M un subespacio vectorial de X. Pruébese que si Mes de dimensión finita entonces, para cada x ∈ X, existe m ∈M tal que ∥x−m∥ =

dist(x,M).

4. Sea X un espacio normado de dimensión finita y M un subespacio cerrado no totalde X. Pruébese que existe un vector x ∈ SX tal que d(x,M) = 1.

5. Sea X un espacio normado de dimensión infinita y sea en una sucesión de vectoreslinealmente independientes en X. Sea B una base algebraica de X, conteniendo lasucesión en, y consideremos el funcional lineal f : X −→ K, definido sobre loselementos de B mediante:

f(en) = n∥en∥, n ∈ N y f(x) = 0 si x ∈ B \ en : n ∈ N.

Pruébese que f no es continuo.

6. Pruébese que, para cada espacio vectorial infinito dimensional X, existe una biyec-ción lineal no continua de X en X.

7. Pruébese que, para cada espacio normado infinito dimensional X, existe una normaen X que no es equivalente a la norma original.


1.5. Subespacios complementados. Cociente de espa-cios normados.

1.5.1. Subespacios complementados.

Nivel algebraico

Sea X un espacio vectorial y sean M,N dos subespacios vectoriales de X. Diremosque X es suma directa de M y N (representado por X = M ⊕ N) si M + N = X yN ∩M = 0. En este caso diremos que N es el complemento directo de M .

La ley (m,n) 7→ Φ(m,n) := m+n define una aplicación, Φ, de M ×N en X y es fácilcomprobar que

- X =M ⊕N si, y solo si, la aplicación Φ es una biyección.- todo subespacio propio de un espacio vectorial admite un complemento directo.

Nivel topólogico

Sea X un espacio normado, M es un subespacio normado de X cuyo complementodirecto es N . Diremos que X es suma topológico-directa de M y N (notado porX = M ⊕t N) si la aplicación (m,n) 7−→ m + n es un isomorfismo de M × N sobreX, considerando la topología producto de las inducidas por X en M y N . En tal casodiremos que N es un complemento topológico de M y que M es un subespaciocomplementado.

El siguiente resultado contesta la cuestión de cuando un complemento algebráico esde hecho topológico

Proposición 1.5.1 Si X es suma directa de dos subespacios M y N y p es la proyecciónnatural sobre M , entonces X es suma topológico-directa de los subespacios M y N si , ysólo si, p es continua.

1.5. Subespacios complementados. Cociente de espacios normados. 29

1.5.2. Cociente de espacios normados.

Sea M un subespacio de un espacio vectorial X. Consideremos en X la relación binariaR definida, para todo x, y ∈ X, por

xRy si, y sólo si , x− y ∈M.

Se comprueba sin dificultad que R es una relación de equivalencia. El conjunto cocientede X por R se representa por X/M. Sus elementos (clases de equivalencia) son de laforma x+M donde x ∈ X. Por tanto, si x, y ∈ X, es inmediato que x+M = y+M si, ysólo si, x− y ∈M. Si definimos la suma y el producto por escalares de la siguiente forma(totalmente natural):

(x+M) + (y +M) = (x+ y) +M, α(x+M) = αx+M, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K

habremos dotado (como puede comprobarse fácilmente) a X/M de estructura de espaciovectorial sobre K, el espacio vectorial cociente de X por M .

La aplicación (evidentemente lineal y sobreyectiva) π : X → X/M dada porπ(x) = x + M para todo x ∈ X, recibe el nombre de proyección canónica de X

sobre X/M.

Supongamos ahora que X es un espacio normado y M es un subespacio cerrado de X.Dado un elemento arbitrario x+M del espacio vectorial cociente X/M definimos:

∥x+M∥ = ınf ∥x+m∥ : m ∈M .

Puesto que M es un subespacio, es claro que

∥x+M∥ = d(x,M),

la distancia de x a M.

Puede comprobarse fácilmente que la definición no depende del representante elegidoy que, la aplicación x +M 7→ ∥x+M∥ , de X/M en K, define una norma en X/M, lacual recibe el nombre de norma cociente en X/M.

La consideración de la norma cociente es bastante natural ya que genera la topologíacociente en X/M que es, por definición, la mayor topología en X/M que hace continuaa la proyección canónica π : X → X/M . Es fácil probar que la proyección canónica esabierta y que ||π|| = 1.


El concepto de norma cociente nos permite poner de manifiesto una vez más la potenciade la finitodimensionalidad: Es claro que toda aplicación lineal y continua tiene un núcleoque es un subespacio cerrado y que la afirmación recíproca que no es cierta en general,tal como vimos en el Ejemplo 1.2.2. Sin embargo, podemos probar el siguiente resultado

Proposición 1.5.2 Sea X un espacio normado y f un funcional en X. Las siguientesafirmaciones son equivalentes

1. f es continuo;

2. Ker(f) es cerrado.

Finalmente veamos que para definir una norma cociente no es necesario tener unanorma en el propio espacio.

Consideremos ahora un espacio vectorial X sobre K. Una seminorma sobre X es unaaplicación ν : X → R que verifica las condiciones ii) y iii) de la Definición 1.1.1:

ν(x+ y) ≤ ν(x) + ν(y) (x, y ∈ X)

ν(αx) = |α| ν(x) (α ∈ K, x ∈ X).

Estas condiciones implican que ν(0) = 0, que |ν(x)− ν(y)| ≤ ν(x−y) para todo x, y ∈ X

y que ν(x) ≥ 0 para todo x ∈ X. La única diferencia con respecto a una norma es laposible existencia de elementos x no nulos tales que ν(x) = 0.

Sea ν una seminorma sobre un espacio vectorial X y sea

M = x ∈ X : ν(x) = 0.

Claramente M es un subespacio de X. La aplicación x+M 7−→ ν(x), de X/M en R defineuna norma en X/M.

1.5.3. Ejemplos.

En el siguiente ejemplo estudiamos un caso particular de este último hecho.

1.5. Subespacios complementados. Cociente de espacios normados. 31

Ejemplo 1.5.3 Espacios de Lebesgue Lp[0, 1]. Para cada p ∈ R con p ≥ 1, definimos:

Lp[0, 1] = f ∈ [0, 1] → K : f es medible Lebesgue ,∫ 1

0

|f |p <∞.

Dados f, g ∈ Lp[0, 1] y t ∈ [0, 1] se tiene:

|f(t) + g(t)|p ≤ 2pmax|f(t)|p , |g(t)|p ≤ 2p(|f(t)|p + |g(t)|p),

por tanto∫ 1

0|f + g|p < ∞ y f + g ∈ Lp[0, 1]. De forma similar, αf ∈ Lp[0, 1] para todo

f ∈ Lp[0, 1] y α ∈ K. Por tanto, Lp[0, 1] es un subespacio vectorial de K[0,1]. La desigualdadde Minkowski para integrales:(∫ 1

0

|f + g|p) 1

p

≤(∫ 1

0

|f |p) 1

p

+

(∫ 1

0

|g|p) 1

p

(f, g ∈ Lp[0, 1])

(que se obtiene de forma similar a su anteriormente comentada versión numérica) permitededucir que la función νp : Lp[0, 1] → R definida por

νp(f) =

(∫ 1

0

|f |p) 1

p

(f ∈ Lp[0, 1])

es una seminorma. Sea pues

N = f ∈ Lp[0, 1] : f = 0 c.p.d. .

Es claro que N es un subespacio vectorial de Lp[0, 1] y el espacio cociente Lp[0, 1]/N, quedenotaremos por Lp[0, 1], se convierte en un espacio normado, definiendo, como se indicóen la nota precedente,

∥f +N∥p =(∫ 1

0

|f |p) 1

p

, ∀f ∈ Lp[0, 1].

El Teorema de Riesz-Fisher garantiza que Lp[0, 1] es un espacio de Banach.

Una función medible Lebesgue f : [0, 1] → K se dice esencialmente acotada si existeun número real no negativo α tal que

λ(t ∈ [0, 1] : |f(t)| > α) = 0 (esto es, |f(t)| ≤ α c.p.d.).


También se dice que α es una cota esencial de f . Denotaremos por

L∞[0, 1] =f ∈ K[0,1] : f es esencialmente acotada

.

Se comprueba que, dada f ∈ L∞[0, 1], el conjunto de sus cotas esenciales tiene mínimo,que denotamos por ν∞(f). Sea

M = f ∈ L∞[0, 1] : f = 0 c.p.d. .

L∞[0, 1] denotará el espacio de Banach cociente L∞[0, 1]/M cuando en él se considerala norma

∥f +M∥∞ = ν∞(f), ∀f ∈ L∞[0, 1].

No está de más mencionar que Lp [0, 1] (1 ≤ p ≤ ∞) se considerará siempre comoespacio normado mediante ∥ · ∥p y que los elementos de este espacio serán tratados habi-tualmente como funciones (en lugar de clases) sin olvidar, claro está, la igualdad casi pordoquier.


1. Sea X = CR([0, 1]). Pruébese que H = f ∈ X :∫ 1

0f(t)dt = 0 es cerrado en X.

Calcúlese la norma en X/H de las clases de las siguientes funciones:

i) f(t) = sen(πt); ii) f(t) = cos(πt); iii) h(t) = t− 1.

2. Pruébese que

a) El conjunto L∞[0, 1] es un subespacio vectorial de K[0,1].

b) Pruébese que la aplicación f 7−→ ν∞(f) define una seminorma sobre L∞[0, 1].

c) Pruébese que la aplicación f 7−→ ν∞(f), donde por f se indica la clase de f ,define una norma completa en el espacio cociente L∞[0, 1]

Capıtulo 2Espacios de Hilbert.

El origen de los espacios de Hilbert se encuentra, sin lugar a dudas, en un trabajo deDavid Hilbert sobre teoría espectral publicado en (1906) . La finalidad del mismo no eraotra que profundizar en un trabajo anterior de Fredholm sobre las ecuaciones integralesque llevan su nombre. De esta forma Hilbert llega de forma natural a la consideración delespacio ℓ2 de las sucesiones de números reales de cuadrado sumable. Dos años después dela aparición del trabajo de Hilbert aparecen los resultados del propio Fréchet y de uno delos más destacados discípulos de Hilbert, E. Schmidt. Estos últimos trabajos presentanya métodos geométricos para el estudio del espacio de Hilbert separable, explotando lasimilitud con la geometría euclídea en dimensión finita (el trabajo de Schmidt contienelas nociones de producto escalar, norma, ortogonalidad y el Teorema de la Proyecciónortogonal).

En 1906-1907, F. Riesz y E. Fisher, aprovechando la preciosa herramienta que Lebesgueles había proporcionado, establecen el teorema que lleva su nombre sobre la completituddel espacio L2(I) de las (clases de) funciones de cuadrado integrable en un intervalocompacto I y el total isomorfismo de dicho espacio con ℓ2, vía coeficientes de Fourier,ligando de por vida los espacios de Hilbert con la teoría de la integración y la de lasseries de Fourier y abriendo el camino para la consideración de los espacios Lp(I) y de losespacios de Banach en general. Históricamente estos resultados son claramente anterioresa los desarrollados en el primer capítulo curso, los cuales se centran más en los espacios deBanach. Así pues, nos permitimos un pequeño salto hacia atrás en el tiempo para poderpresentar la teoría de Hilbert.

Este capítulo presenta los conceptos y resultados básicos en la teoría de los espaciosde Hilbert y está subdivido en tres lecciones:

33

34 Capítulo 2. Espacios de Hilbert.

Lección 2.1: Identidad del paralelogramo.

En esta lección introducimos el concepto de espacio prehilbertiano y de espacio deHilbert. Una vez visto que todo espacio de Hilbert es un espacio normado presentamosuna caracterización de los espacios normados cuya norma proviene de un producto escalar.Nos referimos a la caracterización, obtenida por Jordan y von Neumann, que afirma queuna norma en un espacio vectorial proviene de un producto escalar si y solo si dicha normaverifica la identidad del paralelogramo.

Lección 2.2: Teorema de la proyección ortogonal. Teorema de Riesz.

La identidad del paralelogramo nos permitirá obtener diversas propiedades geométricasde los espacios de Hilbert entre las que destacan claramente el Teorema de aproximaciónóptima y el Teorema de la proyección ortogonal. La principal consecuencia del Teorema dela proyección ortogonal es, si duda alguna, el Teorema de Riesz-Fréchet, el cual describeperfectamente el dual de un espacio de Hilbert y nos afirma que estos espacios son dehecho autoduales.

Lección 2.3: Bases ortogonales. Espacios de Hilbert "tipo".

Esta lección nos permite, gracias al concepto de base ortonormal, la representación deun espacio de Hilbert abstracto en la forma ℓ2(Λ).

2.1. Identidad del paralelogramo 35

2.1. Identidad del paralelogramo

2.1.1. Espacio prehilbertiano

Definición 2.1.1 Sea X un espacio vectorial sobre K. Diremos que una aplicación φ :

X ×X → K es un producto escalar en X si verifica las siguientes afirmaciones:

i) (λx1 + x2|y) = λ(x1|y) + (x2|y) (x1, x2, y ∈ X, λ ∈ K).

ii) (y|x) = (x|y) (x, y ∈ X).

iii) x ∈ X, x = 0 ⇒ (x|x) > 0.

Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial en el que se tiene definido unproducto escalar.

2.1.2. Norma natural en un espacio prehilbertiano. Espacios deHilbert.

Nuestro primer resultado, de obtención inmediata, nos permite dotar de estructura deespacio normado a cualquier espacio prehilbertiano.

Proposición 2.1.2 Sea X un espacio prehilbertiano. Se verifican entonces:

1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

|(x|y)|2 ≤ (x|x)(y|y) (x, y ∈ X).

2. Desigualdad de Minkowski:

(x+ y|x+ y)1/2 ≤ (x|x)1/2 + (y|y)1/2 (x, y ∈ X).

Por tanto, la aplicación x→ (x|x)1/2 es una norma en X.


Consideraremos cualquier espacio prehilbertiano X canónicamente como espacio nor-mado con la norma dada por:

∥x∥ = (x|x)1/2 (x ∈ X).

La desigualdad de Minkowski se convierte en la desigualdad triangular para la norma ∥ · ∥y la de Cauchy-Schwarz toma la forma:

|(x|y)| ≤ ∥x∥∥y∥ (x, y ∈ X).

Como consecuencia, la aplicación x : y 7−→ (x|y) (resp. x : y 7−→ (y|x) ) es lineal (resp.conjugado -lineal) y continua de norma 1.

Si la norma de un espacio prehilbertiano X es completa, decimos que X es un espaciode Hilbert.

Nos podemos preguntar ahora si toda norma proviene de un cierto producto escalar.Para ello, veamos que tal producto escalar si existe, vendría determinado como sigue:

Lema 2.1.3 (Identidad de polarización) Sea X un espacio prehilbertiano, entonces,para cualesquiera x, y ∈ X, se verifica:

4Re(x|y) = (x+ y|x+ y)− (x− y|x− y)

y en consecuencia, ya que

Im (x|y) = ℜe(x|iy) (x, y ∈ X),

se tiene,

4(x|y) = ∥x+ y∥2 − ∥x− y∥2 + i(∥x+ iy∥2 − ∥x− iy∥2).

Antes de continuar observemos, que como consecuencia inmediata de lo anterior, si Xe Y son espacios prehilbertianos y T : X → Y es lineal e isométrica, entonces T conservael producto escalar. Dicho de otra forma, dos espacios prehilbertianos son totalmenteisomorfos si son idénticos como espacios normados, es decir, isométricamente isomorfos.

El siguiente resultado proporciona la caracterización más utilizada de cuando unanorma proviene de un producto escalar.

2.1. Identidad del paralelogramo 37

Teorema 2.1.4 (Jordan-von Neumann) Sea ∥ · ∥ una norma en un espacio vectorialX. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. Existe un producto escalar (·|·) en X tal que

∥x∥2 = (x|x) (x ∈ X).

2. Se verifica la igualdad del paralelogramo, es decir,

∥x+ y∥2 + ∥x− y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2) (x, y ∈ X).

Una de las más directas consecuencias que se pueden derivar de la caracterizaciónanterior, y en particular de la identidad del paralelogramo, es que un espacio normadosea o no un espacio prehilbertiano lo deciden sus subespacios reales dos dimensionales:

Corolario 2.1.5 Sea X un espacio normado, entonces se verifican:

1. Si X es un espacio normado complejo, entonces X es prehilbertiano (su normaprocede de un producto escalar) si, y sólo si, lo es XR, el espacio normado realsubyacente a X.

2. Si X es un espacio normado real con dim(X) ≥ 2, entonces X es un espacio prehil-bertiano si, y sólo si, cada subespacio bidimensional de X es prehilbertiano.

Si recorremos la historia en sentido contrario a su desarrollo, ahora podemos contrastarfácilmente cuando algunos espacios de Banach clásicos son espacios de Hilbert.

Ejemplo 2.1.6 De la familia de espacios de Banach

ℓp : 1 ≤ p ≤ +∞ ∪ Lp[0, 1] : 1 ≤ p ≤ +∞

son espacios de Hilbert sólo ℓ2 y L2[0, 1].

De hecho, dados x, y ∈ ℓ2 (resp. f, g ∈ L2[0, 1]), la aplicación

(x, y) 7−→+∞∑n=1

x(n)y(n),

(respectivamente

(f, g) 7−→∫ 1

0

f(t)g(t)dt),

define el correspondiente producto escalar.



1. Pruébense la desigualdad de Cauchy-Schwarz y su consecuencia: la desigualdad deMinkowski.

2. Demuéstrese que la elipse (x, y) ∈ R2 : x2

a2+ y2

b2= 1 de semiejes a, b ∈ R+ es la

esfera unidad para una norma de espacio de Hilbert en R2.

3. Pruébese que si p = 2 entonces lp y Lp([0, 1]) no son espacios de Hilbert.

4. Pruébese que ni c00 ni C([0, 1]) son espacios prehilbertianos. En consecuencia, nin-guno de los espacios c0 , c , l∞ son espacios de Hilbert.

5. Sea xnn∈N una sucesión en un espacio prehilbertiano X y x ∈ X tal que(xn | x) −→ ∥x∥2 y ∥xn∥ −→ ∥x∥. Pruébese que xn −→ x.

2.2. Teorema de la proyección ortogonal 39

2.2. Teorema de la proyección ortogonal

Podemos abordar ahora la consecuencia más importante de la identidad del paralelo-gramo, nos referimos al Teorema de aproximación óptima.

Definición 2.2.1 Sea X un espacio métrico, M un subconjunto no vacío de X y a ∈ X.

Se dice que un punto x0 ∈M es una aproximación óptima (o mejor aproximación)de a en M si

d(a, x0) = d(a,M) := ınf d(a, x) : x ∈M .

Teorema 2.2.2 (Teorema de aproximación óptima) Sea H un espacio de Hilbert yM un subconjunto no vacío, convexo y cerrado de H. Entonces, para cada a ∈ H, existeun único punto x0 ∈M tal que

∥a− x0∥ = d(a,M).

Es decir, a tiene una única aproximación óptima en M.

Antes de continuar veamos la siguiente caracterización de la aproximación óptima.

Proposición 2.2.3 Sea M un subespacio de un espacio de Hilbert H y sea a ∈ H\M .Entonces x0 ∈ M es la mejor aproximación de a en M si, y sólo si, (a− x0|y) = 0 paratodo y ∈M .

Dicha caracterización motiva la siguiente definición.

2.2.1. Ortogonalidad

Definición 2.2.4 Decimos que dos vectores x e y de un espacio de Hilbert H son orto-gonales, y lo notaremos por x ⊥ y, si, y solo si, (x|y) = 0. Dado un subconjunto no vacíoM de H, se denomina complemento ortogonal de M en H al conjunto definido por

M⊥ = y ∈ H : (y|x) = 0, ∀x ∈M.

Es evidente que (x|y) = 0 si, y sólo si, (y|x) = 0. Además, notemos que si x e y sonortogonales, entonces

∥x+ y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 (expresión abstracta del Teorema de Pitágoras).

El siguiente resultado recoge algunas propiedades del complemento ortogonal de com-probación inmediata.


Proposición 2.2.5 Sea M un subconjunto no vacío de un espacio de Hilbert H.

1. M⊥ es un subespacio cerrado de H.

2. M ⊂M⊥⊥ := (M⊥)⊥.

3. M ∩M⊥ ⊂ 0, y si M es un subespacio, entonces M ∩M⊥ = 0.

4. M⊥ = (Lin(M))⊥.

Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. De acuerdo con el Teoremade aproximación óptima, para cada a ∈M existe una única aproximación óptima de a enM que notaremos por PM(a) ∈ M . Sabemos además que a− PM(a) ∈ M⊥ y que PM(a)

es el único punto de M que materializa la distancia de a a M. Podemos enunciar ahorael Teorema de la proyección ortogonal.

Teorema 2.2.6 (Teorema de la proyección ortogonal) Sea H un espacio de Hilberty M un subespacio cerrado de H. Entonces:

1. Todo punto a ∈ H se expresa, de manera única, en la forma

a = PM(a) + (a− PM(a))

con PM(a) ∈M y a− PM(a) ∈M⊥, esto es

H =M ⊕M⊥.

2. La aplicación PM es una proyección lineal continua (esto es, la suma directa estopoógica) con ∥PM∥ = 1 si M = 0 y cuyo núcleo es M⊥. PM recibe el nombre deproyección ortogonal de H sobre M.

Como consecuencia inmediata del Teorema de la proyección ortogonal podemosobtener el siguiente resultado:

Corolario 2.2.7 Sea A un subconjunto arbitrario y no vacío de un espacio de HilbertH. Entonces A⊥⊥ es el mínimo subespacio cerrado de H que contiene al conjunto A. Enparticular, si Y es un subespacio de H se tiene Y = Y ⊥⊥, luego Y es denso en H si, ysólo si, Y ⊥ = 0. 2


2.2.2. Autodualidad de los espacios de Hilbert

Una vez que hemos obtenido el Teorema de la proyección ortogonal vamos a poderobtener la autodualidad de los mencionados espacios.

Comenzamos por una observación elemental que podía haberse hecho inmediatamentedespués de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Si H es un espacio prehilbertiano y x ∈ H

podemos considerar la aplicación x : H → K definida por

x(y) = (y|x) (y ∈ H);

tenemos claramente que x es un funcional lineal continuo en H, esto es x ∈ H∗, y∥x∥ = ∥x∥. La aplicación x → x es conjugado-lineal (lineal en caso real) e isométri-ca. Para que sea sobreyectiva H debería ser completo, puesto que H∗ siempre lo es. Bajola hipótesis de completitud el Teorema de la Proyección ortogonal nos permite probarfácilmente:

Teorema 2.2.8 (Teorema de Riesz-Fréchet) Sea H un espacio de Hilbert y sea f ∈H∗. Entonces existe un único vector x ∈ H tal que f(y) = (y|x) para todo y ∈ H. Comoconsecuencia la aplicación x→ x, donde

x(y) = (y|x) (x, y ∈ H)

es una biyección conjugado-lineal isométrica de H sobre H∗.

Como caso particular del teorema anterior obtenemos la descripción del dual deL2[0, 1]. Notemos que, en el caso complejo, la identificación de L2[0, 1] con su dual queahora obtenemos es conjugado-lineal. Ello no es ningún problema, puesto que la aplicacióng → g (g ∈ L2[0, 1]) es a su vez una biyección conjugado-lineal e isométrica de L2[0, 1] ensí mismo, y basta componerla con la que da el teorema anterior.

Concluimos este tema con una segunda aplicación del Teorema de Riesz-Fréchet, parael estudio de formas sexquilineales continuas en espacios de Hilbert, que culmina conel resultado que se conoce como Teorema de Lax-Milgram, de utilidad en el estudio deexistencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales de tipo elíptico.

Definición 2.2.9 Sean X e Y dos espacios vectoriales sobre K. Diremos que una apli-cación T : X → Y es conjugado-lineal si se verifica que

T (λx1 + x2) = λT (x1) + T (x2) (x1, x2,∈ X, λ ∈ K),


donde λ denota al conjugado de λ si el cuerpo K es C y al propio λ is K coincide con R.Es claro que en el caso real conjugado-lineal es lo mismo que lineal.

Sea Z otro espacio vectorial. Se dice que una aplicación φ : X×Y → Z es sexquilinealcuando φ es lineal en la primera variable y conjugado-lineal en la segunda, es decir,

φ(λx1 + x2, µy1 + y2) =

= λµφ(x1, y1) + λφ(x1, y2) + µφ(x2, y1) + φ(x2, y2),

para cualesquiera x1, x2 ∈ X, y1, y2 ∈ Y, λ, µ ∈ K.

De forma directa, del Teorema de Riesz-Fréchet se deduce:

Corolario 2.2.10 Si H y K son espacios de Hilbert, para cada forma sexquilineal conti-nua φ : H ×K → K, existen aplicaciones lineales continuas T ∈ L(H,K), S ∈ L(K,H),determinadas en forma única, tales que:

φ(x, y) = (Tx|y) = (x|Sy) (x ∈ H, y ∈ K).

Se tiene además ∥T∥ = ∥S∥ = ∥φ∥. En el caso particular K = H, φ es hermítica si, ysólo si, S = T . 2

Concentrándonos en el caso más interesante, K = H, y, añadiendo a la forma sexqui-lineal la hipótesis de ser coerciva, esto es,

∃m > 0 : |φ(x, x)| ≥ m∥x∥2 ∀x ∈ H.

el correspondiente operador es un isomorfismo, hecho que usaremos para obtener:

Corolario 2.2.11 (Teorema de Lax-Milgram) Sea H un espacio de Hilbert yφ : H×H → K una forma sexquilineal continua y coerciva. Entonces, para cada funcionallineal continuo f ∈ H∗ existe un único vector x0 ∈ H tal que

φ(x, x0) = f(x) (x ∈ H). (1)

De hecho en caso real si φ es simétrica y definida positiva, el punto x0 viene caracterizadopor la condición

1

2φ(x0, x0)− f(x0) = mın

x∈H

1

2φ(x, x)− f(x)

(x ∈ H, f ∈ H∗). (2)

2

Merece la pena observar que la relación entre la ecuación (1) y el problema de mini-mización (2) suele tener interpretación física (principios de minimización de energía, porejemplo).



1. Sea X un espacio prehilbertiano real. Demuéstres que para x, y ∈ X equivalen:

a) x⊥y.

b) ∥ x+ ty ∥=∥ x− ty ∥ para todo t ∈ R.

c) ∥ x+ ty ∥≥∥ x ∥ para todo t ∈ R.

2. Pruébese que si X es un espacio de Hilbert y P : X −→ X es una proyección linealcontinua de norma uno, entonces P es una proyección ortogonal.

3. Sean X un espacio de Hilbert y M un subespacio cerrado de X. Si Q : X → X/M

es la aplicación cociente, compruébese que

Q |M⊥ :M⊥ → X/M

es un isomorfismo isométrico.

4. Calcúlese la proyección ortogonal en l2 sobre el subespacio M generado por losvectores v1 = (1, 1, 0, 0, . . .), v2 = (1, 0, 1, 0, . . .) y v3 = (1, 0, 0, 1, 0, 0, . . .).

5. Sea M = x ∈ l2 : x(1) = x(2) = x(3). Pruébese que M es el complementoortogonal del subespacio de l2 generado por los vectores u = (1,−1, 0, 0, . . .) yv = (0, 1,−1, 0, . . .). Obténgase la descomposición de cualquier vector de l2 comosuma de un elemento de M y otro de M⊥.

6. Sea M el subespacio de l2 generado por el conjunto vn : n ∈ N, con v1 =

(1,−5, 6, 0, 0, . . .), v2 = (0, 1,−5, 6, 0, 0, . . .), v3 = (0, 0, 1,−5, 6, 0, . . .), etc. Dadox ∈ l2, pruébese que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) x ∈M⊥.

b) 6x(n+ 2)− 5x(n+ 1) + x(n) = 0 para todo n ∈ N.

c) x es combinación lineal de u = (1, 12, 14, 18, . . .) y v = (1, 1

3, 19, 127, . . .).

7. Calcúlese el mínimo valor de∫ 1

−1|x3−a− bx− cx2|2dx, siendo a, b, c números reales.


2.3. Bases ortonormales

La idea de esta lección no es otra que la descripción, salvo isometrías sobreyectivas,de los espacios de Hilbert abstractos. Concretamente, veremos que cualquier espacio deHilbert abstracto es isométricamente isomorfo a un espacio ℓ2(I) para cierto conjunto I.

2.3.1. Familias sumables en espacios normados

Para la definición de los espacios ℓp(I) reemplazamos N por un conjunto arbitrario novacío I.. La única salvedad es sustituir el concepto de serie sumable en K por el de familiasumable en K. Este último concepto, tal y como se ve en la siguiente definición, puede serdefinido en un espacio normado en general.

Definición 2.3.1 Si I es un conjunto no vacío arbitrario, F(I) denotará el conjunto delas partes finitas de I. Si X es un espacio normado, se dice que una familia xi : i ∈ Ide vectores de X es sumable si existe x ∈ X con la siguiente propiedad:

∀ε > 0, ∃J0 ∈ F(I) : J ∈ F(I), J0 ⊂ J ⇒ ∥∑i∈J

xi − x∥ < ε.

Es evidente que el vector x, si existe, es único. En tal caso le llamamos suma de lafamilia y escribimos x =

∑i∈I xi para indicar simultáneamente que la familia xi : i ∈ I

es sumable y que x es su suma.

En un espacio normado X toda familia sumable verifica la condición de Cauchy,es decir,

∀ε > 0, ∃J0 ∈ F(I) : J1, J2 ∈ F(I), J0 ⊂ J1, J2 ⇒ ∥∑i∈J1

xi −∑i∈J2

xi∥ < ε,

lo cual es claramente equivalente a que

∀ε > 0, ∃J ∈ F(I) : K ∈ F(I), K ∩ J = ∅ ⇒ ∥∑i∈K

xi∥ < ε.

La prueba del siguiente resultado es inmediata:

Proposición 2.3.2 Sea xi : i ∈ I una familia de vectores de un espacio normado.Cada una de las siguientes afirmaciones implica la siguiente:

2.3. Bases ortonormales 45

1. xi : i ∈ I es sumable.

2. xi : i ∈ I verifica la condición de Cauchy.

3. i ∈ I : xi = 0 es numerable. 2

La condición 3) podría inducir a pensar que basta limitarse al estudio de familiasnumerables. Sin embargo, puede interesarnos considerar “todas” las familias sumables conun mismo conjunto de índices I no numerable. Por otra parte, aunque I sea numerablela noción de sumabilidad es una cómoda reformulación de la convergencia incondicionalo conmutativa de una serie:

Teorema 2.3.3 Dada una familia xi : i ∈ I de elementos de un espacio normado X,son equivalentes:

1. xi : i ∈ I es sumable.

2. El conjunto A = i ∈ I : xi = 0 es numerable y, para cualquier biyección σ : N→A la serie

∑n≥1 xσ(n) es convergente.

En el caso en que se cumplan 1) y 2) se tiene que∑

i∈I xi =∑∞

n=1 xσ(n) para cualquierbiyección σ : N→ A. 2

Conviene resaltar que en la condición 2) del teorema anterior no se supone que todas lasseries de la forma

∑n≥1 xσ(n) tengan la misma suma, sino que este hecho se obtiene como

tesis. Aclarada la relación (esencialmente equivalencia) entre familias sumables y seriesincondicionalmente convergentes nos restringimos ya al caso completo para redondear laequivalencia entre sumabilidad y condición de Cauchy. Podemos evitar la completitud entérminos de redes o bases de filtro (que no vamos a utilizar en esta memoria) simplementeaplicando el teorema anterior. Es obvio que si la familia xi : i ∈ I verifica la condiciónde Cauchy, igual le ocurre a cualquiera de las series

∑n≥1 xσ(n) que aparecen en el teorema

anterior, luego:

Corolario 2.3.4 Una familia de vectores de un espacio de Banach es sumable si, y sólosi, verifica la condición de Cauchy. 2

Es obvio que toda subfamilia de una familia que verifique la condición de Cauchy lasigue verificando, luego en espacios de Banach, toda subfamilia de una familia sumable essumable.

Si X es un espacio de Banach entonces, una familia de vectores en X es sumable si ysolo si verifica la condición de Cauchy. Diremos que una familia xi : i ∈ I en un espacio


normado X es absolutamente sumable si la familia ∥xi∥ : i ∈ I es sumable en R. SiX es finito dimensional las familias sumables y absolutamente sumables en X coinciden.

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del Corolario 2.3.4.

Corolario 2.3.5 Sea X un espacio de Banach, xi : i ∈ I una familia de vectores deX y supongamos que existe α ∈ ℓI1 tal que ∥xi∥ ≤ |α(i)| para i ∈ I. Entonces la familiaxi : i ∈ I es sumable en X y se verifica que:

∥∑i∈I

xi∥ ≤∑i∈I

|α(i)|.

En particular, en un espacio de Banach, toda familia absolutamente sumable es sumable.

2.3.2. Bases ortonormales.

La clave para la demostración de la descripción, salvo isometrías sobreyectivas, delos espacios de Hilbert abstractos. será la existencia de bases ortonormales en cualquierespacio de Hilbert.

Comenzamos observando el espacio ℓ2(I) más detenidamente. Fijamos un conjunto Iarbitrario. Para cada i ∈ I definimos ei ∈ ℓ2(I) mediante

ei : I → K

ei(j) := δi,j.

Cada elemento x ∈ ℓ2(I) puede ser reconstruido a partir de los ei. Para ser más precisoscada x ∈ ℓ2(I) se puede expresar en la forma

x =∑i∈I

(x|ei) ei.

Esto nos permite aproximar xmediante elementos del subespacio generado por el conjuntoei : i ∈ I. Queremos destacar que estos ei también verifican:

∥ei∥ = 1, (ei|ej) = 0 (i, j ∈ I, i = j).

Tenemos de este forma justificada la siguiente definición.

Definición 2.3.6 Un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert H es un subcon-junto no vacío E = xi : i ∈ I de vectores de la esfera unidad de H, tal que

(xi|xj) = 0 para cada i, j ∈ I, i = j.


Para cada x ∈ H, la familia de escalares (x|xi) : i ∈ I es, por definición, la familia delos coeficientes de Fourier del vector x con respecto al sistema ortonormal E.

Es claro que el conjunto formado por todos los sistemas ortonormales de H está orde-nado parcialmente con respecto a la relación de inclusión. Una base ortonormal de Hes un sistema ortonormal maximal en H.

Teorema 2.3.7 Todo espacio de Hilbert (no trivial) H posee una base ortonormal. Dehecho todo conjunto ortonormal en H está contenido en una base ortonormal de H.

El siguiente lema recoge una serie de resultados de fácil demostración pero de unagran utilidad.

Lema 2.3.8 Sea xi : i ∈ I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H.

1. Si, para cada J ∈ F(I), MJ denota el subespacio de H engendrado por la familiaxi : i ∈ J y PJ la proyección ortogonal de H sobre MJ , se tiene:

PJ(x) =∑i∈J

(x|xi)xi, ∀x ∈ H. (2.1)

En particular,

∥x∥2 =

∥∥∥∥∥x−∑i∈J

(x|xi)xi

∥∥∥∥∥2

+∑i∈J

|(x|xi)|2, ∀x ∈ H. (2.2)

2. Para cada x ∈ H, la familia |(x|xi)|2 : i ∈ I es sumable y se verifica:∑i∈I

|(x|xi)|2 = ∥x∥2 − d(x,M)2 (2.3)

donde M es el subespacio de H engendrado por xi : i ∈ I. En particular, severifica la desigualdad de Bessel:∑

i∈I

|(x|xi)|2 ≤ ∥x∥2 .

El siguiente teorema se sigue de manera directa del lema anterior.

Teorema 2.3.9 Sea xi : i ∈ I un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H yM el subespacio vectorial de H engendrado por xi : i ∈ I. Las siguientes afirmacionesson equivalentes:


1. xi : i ∈ I es una base ortonormal de H.

2. M es denso en H.

3. x =∑

i∈I(x|xi)xi, ∀x ∈ H.

4. (x|y) =∑

i∈I(x|xi)(xi|y), ∀x, y ∈ H.

5. ∥x∥2 =∑

i∈I |(x|xi)|2, ∀x ∈ H.

6. Si x ∈ H y (x|xi) = 0 para todo i ∈ I, entonces x = 0.

Definición 2.3.10 Sea xi : i ∈ I una base ortonormal de un espacio de Hilbert H.Dado x ∈ H, la igualdad

x =∑i∈I

(x|xi)xi

recibe el nombre de desarrollo de Fourier del vector x con respecto a la base ortonormalxi : i ∈ I. También se dice que la familia de escalares (x|xi) : i ∈ I es la familia delos coeficientes de Fourier del vector x con respecto a la base ortonormal xi : i ∈ I.Cualquiera de las relaciones

∥x∥2 =∑i∈I

|(x|xi)|2, (x|y) =∑i∈I

(x|xi)(xi|y) (x, y ∈ H)

se conoce como igualdad de Parseval.

2.3.3. Espacios de Hilbert"tipo".

Podemos ahora obtener la descripción de cualquier espacio de Hilbert abstracto.

Corolario 2.3.11 Sea H un espacio de Hilbert, y sea xi : i ∈ I una base ortonormalde H. Entonces H es isométricamente isomorfo a ℓ2(I). En concreto la aplicación x 7→ x,

de H en ℓ2(I), dondex(i) = (x|xi) (i ∈ I)

es un isomorfismo isométrico de H en ℓ2(I).

Los resultados del corolario anterior nos permiten mejorar los obtenidos en el Lema2.3.8.


Corolario 2.3.12 Sea H un espacio de Hilbert y xi : i ∈ I un conjunto ortonormal enH. Entonces se verifican las siguientes afirmaciones:

1. Si αi : i ∈ I es una familia de escalares, entonces la familia de vectoresαi xi : i ∈ I es sumable en H si, y sólo si, lo es la familia de números reales|αi|2 : i ∈ I.

2. Si M es el subespacio cerrado de H engendrado por la familia xi : i ∈ I y PM esla proyección ortogonal de H sobre M, se tiene

PM(x) =∑i∈I

(x|xi)xi, ∀x ∈ H.

Los espacios de Hilbert nos permiten obtener ejemplos de familias sumables que no sonabsolutamente sumables. Consideremos, por ejemplo 1

nen : n ∈ N donde en : n ∈

N es la base canónica de ℓ2. En efecto, como∣∣ 1

n

∣∣2 : n ∈ N

es sumable, entonces por

el corolario anterior

1nen : n ∈ N

es sumable pero no absolutamente sumable ya que∥∥ 1

nen∥∥2: n ∈ N

=

1n: n ∈ N

no es sumable.

Con las herramientas que disponemos en este momento es sencillo demostrar quetodo conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert siempre es un conjunto linealmenteindependiente. Si por el contrario pretendemos encontrar un conjunto ortonormal a partirde un conjunto linealmente independiente obtenemos la siguiente respuesta afirmativapara el caso en que el conjunto de vectores es numerable.

Proposición 2.3.13 (Método de Gram-Schmidt) Si xn : n ∈ N es un conjuntode vectores linealmente independientes de un espacio de Hilbert H, entonces existe unconjunto ortonormal yn : n ∈ N en H tal que, para cada n ∈ N, el subespacio engendradopor yi : 1 ≤ i ≤ n coincide con el subespacio engendrado por xi : 1 ≤ i ≤ n.

Un proceso similar al anterior permite ortonormalizar un conjunto finito de vectoreslinealmente independientes. Exactamente se tiene:

Corolario 2.3.14 Si x1, ..., xn es un conjunto finito de vectores linealmenteindependientes de un espacio de Hilbert H, entonces el conjunto y1, ..., yn de vectoresde H definido por:

y1 =x1

∥x1∥, yk =

xk −k−1∑i=1

(xk|yi)yi∥∥∥∥xk − k−1∑i=1

(xk|yi)yi∥∥∥∥ , k = 2, ..., n


es un conjunto ortonormal en H tal que

Lin(y1, ..., yn) = Lin(x1, ..., xn).

Con las herramientas desarrolladas hasta este momento podemos describir, salvoisometrías sobreyectivas, todos los espacios de Hilbert abstractos finito-dimensionales oseparables.

Ya podemos enunciar la descripción de una manera más precisa,

Teorema 2.3.15 Se verifica:

1. Todo espacio de Hilbert de dimensión finita n es isométricamente isomorfo a ℓn2 .

2. Un espacio de Hilbert es separable si, y sólo si, posee una base ortonormal numerable.

3. Todo espacio de Hilbert separable infinito-dimensional es isométricamente isomorfoa ℓ2.

Ya sabemos que un espacio de Hilbert no nulo admite una gran cantidad de basesortonormales, sin embargo podemos ser un poco más precisos en lo que respecta al cardinalde dichas bases.

Teorema 2.3.16 Todas las bases ortonormales de un mismo espacio de Hilbert H tienenel mismo cardinal que se conoce como dimensión hilbertiana de H.

En términos de este nuevo concepto, el apartado 2) del Teorema 2.3.15 dice que ladimensión de un espacio de Hilbert X es menor o igual que ℵ0 si, y sólo si, X es separable.

Teorema 2.3.17 Dos espacios de Hilbert X e Y son isométricamente isomorfos si, ysólo si, tienen la misma dimensión hilbertiana.


2.3.4. El sistema trigonométrico

Una vez que hemos descrito los espacios de Hilbert abstractos vamos a particularizarla teoría desarrollada a una de los más importantes aplicaciones. Nos referimos al casoen que H = L2[−π, π] que nos permite además presentar la conexión entre los espaciosde Hilbert y las series de Fourier. Ya sabemos que todo espacio de Hilbert separableH es isométricamente isomorfo a ℓ2, pero con frecuencia es importante conocer la formaconcreta de un tal isomorfismo, equivalentemente, conocer una base ortonormal del espaciode Hilbert H.

Definición 2.3.18 Para cada n ∈ Z consideremos la función en definida por:

en(t) =1√2πeint (t ∈ R).

Se comprueba inmediatamente que en : n ∈ Z es un sistema ortonormal en el es-pacio de Hilbert L2([−π, π]), que recibe el nombre de sistema trigonométrico. Paraf ∈ L2([−π, π]) los coeficientes de Fourier de f vienen dados por:

f(n) =1√2π

∫ π

−πf(t)e−intdt (n ∈ Z).

El sistema trigonométrico en L2([−π, π]) es un sistema ortonormal maximal:

Teorema 2.3.19 El sistema trigonométrico es una base ortonormal del espacio de HilbertL2([−π, π]). Por tanto:

1. Igualdad de Parseval:∫ π

−πf(t)g(t)dt =

∑n∈Z

f(n)g(n) (f, g ∈ L2([−π, π])),

en particular, ∫ π

−π|f(t)|2dt =

∑n∈Z

|f(n)|2 (f ∈ L2([−π, π])).

2. Desarrollo de Fourier: Para f ∈ L2([−π, π]), la serie de Fourier de f convergea f en L2([−π, π]):

lımn→∞

∫ π

−π|f(t)−

n∑k=−n

f(k)eikt|2dt = 0.


3. Teorema de Riesz-Fisher: Para cn ∈ ℓZ2 existe una única función f ∈ L2([−π, π])tal que f(n) = cn para todo n ∈ Z.

En suma, la aplicación f → f , definida por

f(n) =1√2π

∫ π

−πf(t)e−intdt (n ∈ Z, f ∈ L2([−π, π]))

es un isomorfismo isométrico de L2([−π, π]) sobre ℓZ2 . 2

Para probar el resultado anterior basta obtener la maximalidad del sistema trigono-métrico en L2([−π, π]). De las múltiples demostraciones que pueden hacerse de dichamaximalidad destacamos la que nos parece más directa y elemental, que aparece en ellibro de Wilansky [41].

No quisiéramos terminar este tema sin comentar la relación entre la dimensión alge-braica y la dimensión hilbertiana de un espacio de Hilbert. Es claro que si H es un espaciode Hilbert de dimensión finita, toda base ortonormal de X es una base de Hamel de X yla dimensión algebraica de X coincide con su dimensión hilbertiana.

Por el contrario, ninguna base ortonormal de un espacio de Hilbert de dimensióninfinita es una base de Hamel. En este sentido ya hemos obtenido un resultado que refrendanuestra afirmación, el Corolario 4.1.5 nos asegura que la dimensión algebraica de unespacio de Banach es finita o infinita no numerable. Esto contrasta con la dimensiónhilbertiana de un espacio de Hilbert separable que, como hemos visto, es numerable.

El siguiente ejemplo nos clarifica esta situación más detalladamente. La base canónicaen : n ∈ N de ℓ2 es una base ortonormal de ℓ2, pero no es una base de Hamel de ℓ2 yaque

Lin(en : n ∈ N) = c00.

De forma más general, si I es un conjunto infinito, xi : i ∈ I es una base ortonormal deun espacio de Hilbert H y I0 = in : n ∈ N es un subconjunto infinito numerable de I,la familia 1

nxin : n ∈ N es sumable en H por el Corolario 2.3.12, pero su suma no puede

expresarse como combinación lineal (finita) de elementos de xi : i ∈ I.En consecuencia, la dimensión hilbertiana y la dimensión algebraica de un espacio de

Hilbert no coinciden en general. Por ejemplo, la dimensión hilbertiana de ℓ2 es el cardinalde N, ℵ0, pues en : n ∈ N es una base ortonormal de ℓ2,mientras su dimensión algebraicaes el cardinal de R, ℵ1 = 2ℵ0 . En efecto, para cada α ∈]0, 1[ la sucesión xα : N→ K definidapor

xα(n) = αn (n ∈ N)


es un elemento de ℓ2, pues la serie∑

|αn|2 es convergente y, equivalentemente, la familia|αn|2 : n ∈ N

es sumable. Como xα : α ∈]0, 1[ es un conjunto de vectores linealmente

independientes de ℓ2, la dimensión algebraica de ℓ2 es mayor o igual que el cardinal de]0, 1[, que es el cardinal de R. Por otra parte,

dim ℓ2 ≤ dimKN = (card(R))card(N) = (2card(N))card(N)

= 2card(N)card(N)) = 2card(N) = card(R)

y así, dim ℓ2 = card(R).


1. Probar que el Teorema de Riesz-Fréchèt es falso en espacios prehilbertianos nocompletos. (Considérese el subespacio c00 en l2).

2. Considérese el espacio de Hilbert L2([−π, π]). Probar que si f ∈ C([−π, π]), enton-ces la mejor aproximación a f en la norma de L2([−π, π]) por una suma del tipo∑n

k=1 tk sen kx, con n ∈ N fijo, viene dada por la función∑n

k=1 ck1√πsen kx, donde,

para cada k ∈ 1, ..., n, ck es el coeficiente de Fourier de f , esto es

ck =1√π

∫ π

−πf(x) sen kx dx.

3. Sea φn un sistema ortonormal en L2([a, b]). Probar que φn es base si, y sólo si,

∞∑n=1

|∫ x

a

φn(t) dt |2= x− a, para todo x ∈ [a, b].

Sugerencia: Téngase en cuenta que Lin χ[x,y] : a ≤ x ≤ y ≤ b es denso enL2([a, b]).

4. Calcular los desarrollos de Fourier respecto del sistema trigonométrico en L2([−π, π])de las funciones f(t) = t y g(t) = t2 . Utilizar la identidad de Parseval para probarque

∑∞n=1

1n2 = π2

6y que

∑∞n=1

1n4 = π4

90.

Capıtulo 3Teorema de Hahn-Banach

Tema 3: Teorema de Hahn-Banach

Este capítulo está dedicado al desarrollo de uno de los tres resultados conocidos comolos tres principios del Análisis Funcional, nos estamos refiriendo al Teorema de Hahn-Banach.

En el capítulo anterior introducimos el concepto de dual de un espacio normado ypudimos conocer los duales de una buena cantidad de espacios de Banach clásicos. Sinembargo, para un espacio normado abstracto arbitrario, aún no podemos asegurar laexistencia de funcionales lineales y continuos no nulos. Para poder asegurar la existenciade elementos no nulos en el dual de cualquier espacio normado vamos a disponer de unapoderosa herramienta, nos referimos a la versión analítica del Teorema de Hahn-Banach.Dicho Teorema fue probado por primera vez por Hahn en 1927 para un espacio normadoreal. Es cierto que Helly en 1912 había planteado la posibilidad de extender un funcionallineal continuo definido en un subespacio de un espacio de funciones. Prácticamente conlos mismos argumentos de Hahn, Banach obtuvo en 1929 una versión más general para unespacio vectorial real, demostrando que todo funcional lineal definido en un subespaciode un espacio vectorial real y dominado por un funcional sublineal puede ser extendido alespacio total manteniendo la dominación. La versión compleja es debida a Bohnenblust ySobczyk en 1938 e, independientemente, a Soukhomlinoff, también en 1938.

El primer tema de este capítulo esta dedicado a la presentación de esta versión analíticadel Teorema de Hahn-Banach. Como consecuencia de este teorema obtenemos el conocidocomo Teorema de extensión de Hahn-Banach para espacios normados, el cual establecela posibilidad de extender todo funcional lineal y continuo definido en un subespacio deun espacio normado a la totalidad del espacio manteniendo además la misma norma. Eneste tema se incluyen también unas primeras aplicaciones del mencionado Teorema de

55

56 Capítulo 3. Teorema de Hahn-Banach

extensión de Hahn-Banach, terminamos estas aplicaciones estableciendo que todo espaciofinito dimensional de un espacio normado X está complementado “topológicamente” enX.

El segundo tema presenta algunas aplicaciones del Teorema de extensión de Hahn-Banach. Las aplicaciones presentadas en este tema tienen en común que no requierenmás ingredientes que los desarrollados hasta el momento. Entre las mismas están lasdescripciones de los duales de un subespacio de un espacio normado y del cociente deun espacio normado por un subespacio cerrado. Si bien, para describir este último no esnecesario el Teorema de Hahn-Banach. Aprovechamos para introducir la noción de adjuntode un operador, obteniendo algunas relaciones importantes entre sus propiedades y las deloperador de partida. Para terminar este tema, usamos el teorema de Hahn-Banach paraidentificar, de alguna forma conocida, los elementos del dual de C[0, 1].

La versión o versiones geométricas del Teorema de Hahn-Banach centran la atencióndel último tema de este capítulo. Las versiones geométricas del Teorema de Hahn-Banachse concretan en distintos teoremas de separación de conjuntos convexos, más perfectosconforme se fortalecen las hipótesis sobre el espacio ambiente y los conjuntos que sepretende separar. Nos limitaremos en este tema a las formulaciones correspondientes a losespacios normados. Los primeros resultados de este tipo fueron obtenidos por Minkowskipara espacios finito-dimensionales y los trabajos pioneros de Helly ya ponían de manifiestola relación entre sus resultados sobre extensión de funcionales lineales continuos y las ideasde Minkowski. Son, sin embargo, las aportaciones de Banach las que permiten establecertotal equivalencia entre la versión analítica del Teorema de Hahn-Banach y un teoremageneral de separación de conjuntos convexos en espacios vectoriales.

3.1. Versión analítica del Teorema de Hahn-Banach 57

3.1. Versión analítica del Teorema de Hahn-Banach

Con esta lección iniciamos el estudio del problema crucial de la llamada teoría dedualidad: ¿ hasta qué punto el conocimiento del espacio dual permite la descripción, almenos topológica, de X? Un primer paso sería asegurarse la existencia de elementos deldual no nulos. En el estudio del espacio dual que hemos desarrollado en el capítulo anteriorpudimos constatar la existencia y abundancia de funcionales lineales continuos en losespacios normados que denominamos espacios “clásicos”. También hemos podido asegurarla abundancia de funcionales lineales continuos sobre un espacio normado de dimensiónfinita gracias al Teorema de Tihonov (recuérdese que en tal caso la continuidad de losfuncionales lineales es automática). Sin embargo, no está clara la existencia y abundanciade funcionales lineales continuos en espacios normados abstractos de dimensión finita.Intentamos ahora encontrar, al menos, un funcional lineal continuo no nulo en un espacionormado abstracto no trivial. La continuidad de un funcional lineal en un espacio normadoequivale a su acotación en la bola unidad. El camino a seguir puede ser el extender unfuncional lineal de forma que se mantenga una cierta condición de acotación.

Consideraremos el problema planteado sustituyendo la norma por funciones para podercontemplar la demostración original de Banach.

Definición 3.1.1 Sea X un espacio vectorial. Un funcional sublineal sobre X es unaaplicación p : X → R que es subaditiva:

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (x, y ∈ X)

y positivamente homogénea:

p(αx) = αp(x) (α ∈ R+0 , x ∈ X).

Se dice que un funcional lineal f : X → R está dominado por p si

f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Nótese que toda seminorma es un funcional sublineal. Sin embargo, un funcional su-blineal puede estar muy lejos de ser una seminorma. Pensemos que cualquier funcionalR-lineal es un funcional sublineal y, en consecuencia, éstos pueden tomar valores negativos.

Hoy día se sabe que la demostración del Teorema de Hahn-Banach requiere necesaria-mente la utilización de inducción transfinita, el Lema de Zorn o algunas de sus reformu-laciones equivalentes.


Teorema 3.1.2 (Teorema de Hahn-Banach, versión analítica).Sea X un espaciovectorial, p un funcional sublineal sobre X, M un subespacio de X y g un funcional linealde M en K cuya parte real está dominada por p, es decir,

Reg(x) ≤ p(x), ∀x ∈M.

Entonces existe un funcional lineal f : X → K tal que

f(x) = g(x), ∀x ∈M y Ref(x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Si p es una seminorma se tiene, de hecho,

|f(x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Demostración.- Supongamos en primer lugar que X es un espacio vectorial real.Sea F la familia de todos los pares ordenados (Y, h) donde Y es un subespacio de X quecontiene a M y h es un funcional lineal en Y que extiende a g y está dominado por p,esto es,

h(x) = g(x), ∀x ∈M y h(x) ≤ p(x), ∀x ∈ Y.

La familia F no es vacía ya que (M, g) ∈ F . Dados (Y1, h1) , (Y2, h2) ∈ F , la relación ≤definida por

(Y1, h1) ≤ (Y2, h2) ⇔ Y1 ⊂ Y2, h2|Y1 = h1

ordena parcial e inductivamente a la familia F . En efecto, si

(Yi, hi) : i ∈ I

es una cadena no vacía en F , el par (Y, h) donde Y =∪i∈I Yi y h es el funcional en

Y dado por h(x) = hi(x) si x ∈ Yi para algún i ∈ I, es un mayorante en F de dichacadena. Entonces el Lema de Zorn fuerte afirma que F posee un elemento maximal (Y, f)verificando (Y, f) ≥ (M, g). Si probamos que Y = X, esto concluirá la prueba del casoreal. Supongamos, para llegar a una contradicción, que Y = X y sea x0 ∈ X\Y. Paracualesquiera u, v ∈ Y se tiene

f(u) + f(v) = f(u+ v) ≤ p(u+ v) = p(u− x0 + x0 + v) ≤ p(u− x0) + p(x0 + v),

esto es,f(u)− p(u− x0) ≤ p(x0 + v)− f(v).

La arbitrariedad de u y v permite deducir que

sup f(u)− p(u− x0) : u ∈ Y ≤ ınf p(x0 + v)− f(v) : v ∈ Y .


Sea α cualquier número real en la situación

sup f(u)− p(u− x0) : u ∈ Y ≤ α ≤ ınf p(x0 + v)− f(v) : v ∈ Y .

Considérese la aplicación h : Y + Lin(x0) → R dada por

h(y + λx0) = f(y) + λα, ∀y ∈ Y, ∀λ ∈ R.

Claramente h está bien definida, es lineal y extiende a g. Además h está dominada por p.En efecto, dado y ∈ Y, si λ = 0 se tiene

h(y + λx0) = f(y) ≤ p(y) = p(y + λx0),

para λ > 0 es claro que

h(y + λx0) = f(y) + λα ≤ f(y) + λ(p(x0 +

y

λ)− f(

y

λ))= p(y + λx0)

y si λ < 0 entonces

h(y + λx0) = f(y) + λα ≤ f(y) + λ

(f(

−yλ

)− p(−yλ

− x0)

)= p(y + λx0).

Luego (Y + Lin(x0), h) ∈ F y claramente (Y, f) ≤ (Y +Lin(x0), h) lo que contradicela maximalidad de (Y, f) .

Supongamos ahora que X es un espacio vectorial complejo. Evidentemente X es tam-bién un espacio vectorial real. Aplicando lo probado en el caso real al subespacio vecto-rial real M de X y al funcional R-lineal ℜe(g) : M → R, existe un funcional R-linealf1 : X → R tal que

f1|M = ℜe(g) y f1(x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Definimos la aplicación f : X → C por

f(x) = f1(x)− if1(ix), ∀x ∈ X.

Claramente f es R-lineal y puesto que, para todo x ∈ X se tiene f(ix) = if(x), esinmediato que f es C-lineal en X. Evidentemente f extiende a g:

f(x) = f1(x)− if1(ix) = ℜe(g)(x)− iℜe(g)(ix) = g(x) (x ∈M)

y por último, ℜe(f)(x) = f1(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. Esto concluye la demostracióndel caso complejo.


Finalmente, si p es una seminorma, dado x ∈ X existe λ ∈ K con |λ| = 1 tal que|f(x)| = λf(x). En tal caso,

|f(x)| = λf(x) = f(λx) = ℜe(f)(λx) ≤ p(λx) = |λ| p(x) = p(x).

Conviene dejar claro que la existencia de la extensión lineal está garantizada a nivelpuramente algebraico y que la verdadera relevancia del Teorema de Hahn-Banach resideen que la extensión que proporciona permanece dominada por el funcional sublineal.

Corolario 3.1.3 (Teorema de extensión de Hahn-Banach). Sea X un espacio nor-mado, M un subespacio de X y g un funcional lineal y continuo en M . Entonces existef ∈ X∗ tal que f |M = g y ∥f∥ = ∥g∥ .

Podemos ya extraer como consecuencia del Teorema de extensión de Hahn-Banach lano trivialidad del dual de un espacio normado abstracto no trivial X. De hecho, vamos aver que los elementos de X∗ son suficientes cómo para separar los puntos de X.

Corolario 3.1.4 Sea X un espacio normado y x1, ..., xn un conjunto de vectores lineal-mente independientes de X. Dados α1, ..., αn ∈ K, existe f ∈ X∗ tal que

f(xk) = αk, ∀k ∈ 1, ..., n.

Veremos además que la abundancia de elementos del dual sirve incluso para computarla norma de cualquier vector de X.

Corolario 3.1.5 Sea X un espacio normado no trivial y x un elemento de X. Entoncesexiste f ∈ X∗ tal que ∥f∥ = 1 y f(x) = ∥x∥ . Como consecuencia obtenemos lo siguiente:

1. X∗ separa los puntos de X, es decir, dados x, y ∈ X con x = y existe f ∈ X∗ talque f(x) = f(y).

2. ∥x∥ = max|f(x)| : f ∈ X∗, ∥f∥ = 1 (x ∈ X).


El Corolario anterior pone de manifiesto cierta simetría entre las normas de X y deX∗ :

∥f∥ = sup|f(x)| : x ∈ X, ∥x∥ = 1 (f ∈ X∗)

∥x∥ = sup|f(x)| : f ∈ X∗, ∥f∥ = 1 (x ∈ X).

Así pues, el conocimiento del espacio dual X∗ junto con su norma, permite la descripciónde la norma de X.

Nuestro próximo resultado muestra la capacidad del dual de un espacio normado paraseparar un subespacio de un punto exterior al mismo.

Corolario 3.1.6 Sea X un espacio normado y M un subespacio de X. Si x0 es un puntode X tal que δ = d(x0,M) > 0, entonces existe f ∈ X∗ tal que

∥f∥ = 1, f(x0) = δ y f(x) = 0, ∀x ∈M.

Definición 3.1.7 Dado un espacio normado X, llamamos bidual de X y denotamos porX∗∗ al espacio dual de X∗.

Como primera aplicación del Teorema de Hahn-Banach (más concretamente del Co-rolario 3.1.5) podemos identificar todo espacio normado con un subespacio de su bidual.

Sea X un espacio normado. Cada x ∈ X define una aplicación

JX(x) : X∗ → K dada por JX(x)(f) = f(x), ∀f ∈ X∗.

La aplicación JX(x) es, claramente, lineal y continua con ∥JX(x)∥ ≤ ∥x∥ . De hecho, porel Corolario 3.1.5, se tiene:

∥JX(x)∥ = sup |f(x)| : f ∈ X∗, ∥f∥ = 1 = ∥x∥ .

Luego JX(x) ∈ X∗∗ y la aplicación JX : x 7→ JX(x), de X en X∗∗, conserva las normas.En realidad, se tiene un poco más:

Proposición 3.1.8 Si X es un espacio normado, la aplicación x 7→ JX(x) es una iso-metría lineal de X en X∗∗. En consecuencia, X es isométricamente isomorfo a JX(X).


Definición 3.1.9 Sea X un espacio normado. Se llama inyección canónica de X ensu bidual X∗∗ a la aplicación x 7→ JX(x) de X en X∗∗..

La inyección canónica proporciona un procedimiento sencillo para obtener la comple-tación de cualquier espacio normado.

Proposición 3.1.10 Todo espacio normado es un subespacio denso de un espacio deBanach.

Definición 3.1.11 Se dice que un espacio normado es reflexivo si JX(X) = X∗∗. Enparticular todo espacio normado reflexivo es un espacio de Banach.

Despues del teorema de Riesz-Frechet todo espacio de Hilbert es un espacio reflexivo.El siguiente resultado ofrece cierta información sobre el tamaño de X∗. De hecho, permiteprobar que todo espacio finito dimensional es también reflexivo.

Corolario 3.1.12 Sea X un espacio normado. Son equivalentes:


2. X∗ es finito-dimensional.

3. X∗∗ es finito-dimensional.

En cualquiera de los casos anteriores, dimX = dimX∗ = dimX∗∗.

En los siguientes ejemplos estudiamos la posible reflexividad de algunos de los espaciosde Banach clásicos.

Ejemplo 3.1.13 El espacio ℓp(I) es reflexivo, cualquiera que sea p ∈]1,+∞[ y paracualquier conjunto no vacío I. Consideremos, para ponerlo de manifiesto, las identifi-caciones naturales:

F : ℓq(I) → ℓp(I)∗ y G : ℓp(I) → ℓq(I)

∗ (1

p+

1

q= 1),

dadas por:

[F (y)](x) =∑i∈I

x(i)y(i) = [G(x)](y), ∀y ∈ ℓq(I), ∀x ∈ ℓp(I)


(ver Proposición 1.3.2). Se puede comprobar que Jℓp(I) = (F−1)∗ G, esto es, que elsiguiente diagrama conmuta:

ℓp(I)Jℓp(I)−→ ℓp(I)

∗∗

G (F−1)∗

ℓq(I)∗

En efecto, dados x ∈ ℓp(I) y f ∈ ℓp(I)∗, tenemos que[

((F−1)∗ G)(x)](f) =

[(F−1)∗(G(x))

](f) =

(G(x) F−1

)(f)

= [G(x)](F−1(f)) = [F (F−1(f)](x) = f(x) = Jℓp(I)(x)(f).

De este modo vemos que Jℓp(I) es composición de dos isomorfismos isométricos y es, enparticular, sobreyectivo.

Sin embargo, el caso p = 1 es distinto.

Proposición 3.1.14 Sea X un espacio normado reflexivo. Entonces X es separable si, ysólo si, su dual X∗ lo es.

En consecuencia, ℓ1 no es reflexivo. Si ℓ1 fuese reflexivo, dado que es separable, tambiénsería separable su dual ℓ∞, el cual sabemos que no lo es.

Los siguientes resultados nos muestran que la reflexividad se preserva por isomorfismosy se heredada por subespacios cerrados.

Proposición 3.1.15 Sean X e Y espacios normados isomorfos. Entonces X es reflexivosi, y sólo si, lo es Y.

Corolario 3.1.16 El espacio c de las sucesiones convergentes de escalares no es reflexivo.

Demostración.- El espacio c es isomorfo a c0 (Ejemplo ??) y c0 no es reflexivo. Porla proposición anterior, c tampoco es reflexivo.

Proposición 3.1.17 Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo es re-flexivo.

Como c0 es un subespacio cerrado de ℓ∞ y c0 no es reflexivo, el resultado anterior nosda:


Corolario 3.1.18 El espacio de Banach ℓ∞ no es reflexivo. 2

El siguiente resultado es también consecuencia de las Proposiciones 5.1.7 y 5.1.5, noobstante su deducción no es tan directa como las anteriores aplicaciones.

Corolario 3.1.19 El espacio de Banach C[0, 1] no es reflexivo.

3.1.1. Relación de Ejercicios

1. Sea X un espacio vectorial sobre K, y sean p1, p2 : X → R seminormas. Probar quesi f : X → K es un funcional lineal verificando que | f(x) |≤ p1(x)+p2(x) para todox ∈ X, entonces existen f1, f2 : X → K funcionales lineales tales que f = f1 + f2,y | f1(x) |≤ p1(x), | f2(x) |≤ p2(x) para todo x ∈ X. [Indicación: En el espaciovectorial X×X considérese la seminorma p definida por p(x1, x2) = p1(x1)+p2(x2),y en el subespacio ∆ = (x, x) : x ∈ X considérese el funcional lineal h definidopor h(x, x) = f(x).]

2. Sean X un espacio normado, M un subespacio vectorial de X, y u ∈ X. Pruébeseque existe f ∈ X∗ tal que | f(x) |≤ dist(x,M) para todo x ∈ X y f(u) = dist(u,M).

3. Sean X un espacio normado real y M un subespacio vectorial de X. Pruébese quesi f, g ∈ M∗ verifican que | f(m) | + | g(m) |≤∥ m ∥ para todo m ∈ M , entoncesexisten h, k ∈ X∗ que extienden a f y g respectivamente y verifican

| h(x) | + | k(x) |≤∥ x ∥

para todo x ∈ X. [Indicación: Considérense f + g y f − g.]

4. Sea X un espacio de Banach. Pruébese que si X∗ contiene un subespaciocerrado propio que separa los puntos de X, entonces X no es reflexivo.

5. Fijado n ∈ N, pruébese que existe un funcional lineal y continuo f en C[0, 1] talque f(p) = p′(0) para todo polinomio p de grado menor o igual que n. ¿Existe unfuncional lineal y continuo f en C[0, 1] tal que f(p) = p′(0) para todo polinomio p ?

3.2. Primeras aplicaciones 65

3.2. Primeras aplicaciones

Ya hemos comentado la importancia del Teorema de Hahn-Banach en el Análisis Fun-cional. Este Teorema va a aparecer en una gran parte de los resultados que veremos apartir de ahora. Si el primer tema de este capítulo ha permitido algunas aplicaciones delTeorema de Hahn-Banach en la teoría de dualidad en espacios normados; pretendemos enesta segunda lección mostrar la utilidad y variedad de otras aplicaciones de dicho teoremapara las que no necesitamos conocimientos adicionales.

Comenzamos obteniendo un primer precedente del Teorema del bipolar, a tal efectointroducimos la siguiente definición.

Definición 3.2.1 Si M es un subespacio de un espacio normado X, el conjunto

M = f ∈ X∗ : f(x) = 0, ∀x ∈M

recibe el nombre de anulador o polar de M en X∗.

Es claro que M es un subespacio de X∗. El siguiente resultado nos permite decidircuando un subespacio es denso.

Corolario 3.2.2 Sea M un subespacio de un espacio normado X. Entonces

M =∩f∈M

ker(f) .

En particular, M es denso en X si, y sólo si, M = 0.

La siguiente aplicación del Teorema de Hahn-Banach es una descripción del dual deun subespacio de un espacio normado.

Proposición 3.2.3 Sea X un espacio normado y M un subespacio de X. Entonces laaplicación Φ : X∗/M −→ M∗ dada por Φ(f +M) = f |M (∀f ∈ X∗) es una biyecciónlineal isométrica.

El siguiente resultado permite describir el dual de un cociente. En su demostraciónno es necesario el Teorema de Hahn-Banach. Se incluye aquí por el claro paralelismo quetiene con el resultado anterior.


Proposición 3.2.4 Sea M un subespacio cerrado de un espacio normado X y sea π laproyección canónica de X en X/M. La aplicación

T : (X/M)∗ →M

dada por T (f) = f π es un isomorfismo isométrico.

Sean X e Y dos espacios normados. En los comentarios que siguen al Lemma 1.2.3afirmamos que la completitud de Y es necesaria y suficiente para que L(X, Y ) sea com-pleto. Podemos demostrar ahora, gracias al Teorema de Hahn-Banach, que la completitudde Y es necesaria para que L(X,Y ) sea completo.

Proposición 3.2.5 Sean X = 0 e Y espacios normados. Si el espacio L(X,Y ) escompleto, entonces Y es completo.

Cuando estamos trabajando con espacios normados separables el Teorema de Hahn-Banach nos permite establecer con mayor precisión los resultados obtenidos en 3.1.5 y3.2.2.

Proposición 3.2.6 Sea X un espacio normado separable. Se verifican las siguientes afir-maciones:

1. Para cada subespacio M de X, puede encontrarse una sucesión fn de elementosde X∗ verificando que

d(x,M) = sup |fn(x)| : n ∈ N , ∀x ∈ X.

Como consecuencia, M =∩n∈N ker(fn).

2. Existe un conjunto numerable en X∗ que separa los puntos de X.

3. X es isométricamente isomorfo a un subespacio de ℓ∞.

El espacio ℓ1 muestra claramente que la separabilidad de un espacio no es hereda-da necesariamente por su espacio dual. Sin embargo, el Corolario 3.2.2 permite deducirfácilmente que en la dirección contraria las cosas van mucho mejor:

Proposición 3.2.7 Sea X un espacio normado cuyo dual X∗ es separable. Entonces Xes separable.

3.2. Primeras aplicaciones 67

Hasta el momento hemos obtenido una serie de consecuencias, con las que mostramoscómo el teorema de Hahn-Banach es útil para el desarrollo de la teoría de dualidad. Sinembargo, una teoría de dualidad que se precie no puede dejar de tocar el otro ingredientebásico, al margen de los espacios normados, que nos ocupa. A saber, las aplicacioneslineales continuas.

Definición 3.2.8 Sean X, Y espacios normados y T ∈ L(X,Y ). Llamamos operadoradjunto de T , denotado por T ∗, a la aplicación lineal y continua T ∗ : Y ∗ −→ X∗ dadapor T ∗(g)(x) = g(T (x)) para todo g ∈ Y ∗, x ∈ X.

El teorema de Hahn-Banach permite comprobar que la adjunción de operadores, co-mo aplicación de L(X,Y ) en L(Y ∗, X∗), es una isometría lineal. El siguiente enunciado,totalmente elemental recoge algunas propiedades más de los operadores adjuntos.

Proposición 3.2.9 Sean X e Y espacios normados y T ∈ L(X,Y ).

1. Ker T ∗ = T (X)

2. Si Z es otro espacio normado y S ∈ L(Y, Z), entonces (S T )∗ = T ∗ S∗.

3. I∗X = IX∗, donde IX (respectivamente, IX∗ denota al operador identidad en X (res-pectivamente, en X∗).

4. Si T es una biyección lineal bicontinua, entonces también lo es T ∗. Además, en talcaso, (T ∗)−1 = (T−1)∗.

5. Si T es una biyección lineal isométrica, entonces también lo es T ∗.

6. T ∗∗ es una extensión de T a los biduales de X e Y , es decir, T ∗∗ JX = JY T ,donde JX y JY representan a las inyecciones canónicas de X e Y en sus respectivosbiduales.

Merece la pena observar que los recíprocos de los enunciados 4) y 5) de la lista anteriorno son ciertos, en general. Pensemos, por ejemplo, que el dual de un espacio y el de unsubespacio denso de aquél son isométricos, mientras que los espacios no tienen por quéser ni siquiera isomorfos. En el caso anterior se encuentran c00 y c0, los dos tienen dualesisométricamente isomorfos pero ellos no son isomorfo ya que c0 es completo pero c00 no loes. Sin embargo, la relación entre un operador y su adjunto es mejor en ambiente completo,como muestra la siguiente consecuencia de 3.2.2.


Corolario 3.2.10 Sean X, Y espacios de Banach y T ∈ L(X,Y ).

1. T es un isomorfismo sobreyectivo si, y sólo si, lo es su adjunto.

2. T es una isometría sobreyectiva si, y sólo si, lo es su adjunto.


1. Para cada n ∈ N sea Tn : l∞ −→ K definido por Tn(x) = x1+x2+···+xnn

, (x ∈ l∞). SeaM = x ∈ l∞ : Tn(x) converge y definamos T (x) = limTn(x)(x ∈M).

a) Probar que Tn ∈ (l∞)∗ y que ∥ Tn ∥= 1 para todo n ∈ N.

b) Probar que M es un subespacio vectorial de l∞ que contiene al espacio c de lassucesiones convergentes.

c) Probar que T ∈M∗ con ∥T∥ = 1 y que T (x) = limxn para todo x ∈ c.

d) Sea τ(x) = (x2, x3, · · · ) para todo x ∈ l∞. Probar que x− τ(x) ∈ Ker(T ) ⊆M

para todo x ∈ l∞.

e) Deducir que existe S ∈ (l∞)∗, extensión de T tal que ∥S∥ = 1 y S(x) =

S(τn(x)) para todo x ∈ l∞ y para todo n ∈ N.

f ) Probar que S(0, 12, 0, 1

2, · · · ) = 1

4.(Indicación: comparar con S(1

2, 0, 1

2, 0, · · · )). ¿

Cuánto vale S(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, · · · ) ?

2. Sean X un espacio normado y M un subespacio vectorial de X. Probar que paracada T ∈ L(M, l∞), existe S ∈ L(X, l∞) tal que S |M= T y ∥ S ∥=∥ T ∥ .

3.3. Versión Geométrica 69

3.3. Versión Geométrica

Vamos a dedicar esta sección a la presentación de la versión geométrica del Teoremade Hahn-Banach en el ambiente de los espacios normados. La cuestión puede ser resu-mida en la siguiente forma: ¿Podemos separar dos subconjuntos distintos A y B de unespacio vectorial real X mediante un funcional en X? más precisamente, ¿es posible en-contrar un funcional no nulo f en X y un número real α tales que f(a) ≤ α ≤ f(b),

∀a ∈ A, b ∈ B? Para abarcar también el caso en que X es un espacio normado complejopodemos simplemente, sustituir las desigualdades anteriores por

ℜef(a) ≤ α ≤ ℜef(b), ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.

Notemos también que esta noción básica de separación puede fortalecerse exigiendo quealguna de las dos desigualdades anteriores sea siempre estricta, o ambas, o incluso quesupℜef(A) < ınf ℜef(B), situaciones para las que no usaremos una terminología especí-fica.

El siguiente ejemplo muestra que el problema de separar cualesquiera dos subconjuntosconvexos y disjuntos de un espacio normado no tiene, en general, una respuesta afirmativa.

Ejemplo 3.3.1 Sea c00 el espacio vectorial de las sucesiones casi nulas de números realesy sea A el subconjunto de c00 formado por las sucesiones no idénticamente nulas de c00cuya última coordenada distinta de cero es estrictamente positiva. Entonces A es convexoy 0 /∈ A, pero tomando B = 0 es imposible separar, incluso en la forma más suaveposible, A y B. En efecto, veamos que todo funcional lineal no nulo f en c00 toma en A

valores estrictamente positivos y estrictamente negativos.

En una primera fase vamos a presentar un teorema de separación en espacios vecto-riales. Para poder abordar este primer resultado necesitamos algunos conceptos previosque nos prepararán para usar la versión analítica del Teorema de Hahn-Banach.

En 1927 Hahn demostró una primera versión del teorema de Hahn-Banach, en la mismaaparecía una norma en vez de un funcional sublineal. La introducción de un funcionalsublineal realizada por Banach (1929) fue la clave para obtener los teoremas de separación.

Comenzamos por encontrar funcionales sublineales. A modo de motivación, si unointenta escribir la norma de un espacio normado X, conociendo sólo la bola unidad delmismo, se llega sin dificultad a la igualdad

∥x∥ = infλ > 0 : x ∈ λBX.

Si en vez de una norma se tiene una seminorma, la igualdad es la misma.


La pregunta que nos planteamos es: ¿Qué propiedades debe reunir un subconjuntoA ⊂ X para que la expresión de la derecha, sustituyendo BX por A, nos proporcione unfuncional sublineal en X?

Recordemos para ello que un subconjunto A de un espacio vectorial X es convexo sidados x, y ∈ A y t ∈ [0, 1] se verifica que (1− t)x+ ty ∈ A.

Y

Definición 3.3.2 diremos que A es absorbente si R+A = X.

Usando la terminología proporcionada por las definiciones anteriores, obtenemos elsiguiente resultado.

Lema 3.3.3 Sea X un espacio vectorial y A un subconjunto absorbente y convexo de X.Entonces, la aplicación pA de X en R dada por

pA(x) = infλ > 0 : x ∈ λA x ∈ X,

es un funcional sublineal en X, llamado funcional de Minkowski de A.

Podemos ofrecer ya un teorema de separación para espacios vectoriales.

Teorema 3.3.4 (Separación en espacios vectoriales) Sea X un espacio vectorial yA,B ⊂ X subconjuntos no vacíos, convexos y disjuntos. Si existe a0 ∈ A tal que A − a0es absorbente, entonces existe f ∈ X♯ \ 0 y α ∈ R tales que:

ℜef(a) ≤ α ≤ ℜef(b), (∀a ∈ A, b ∈ B).

Recordamos que un subconjunto no vacío V de un espacio vectorialX es una variedadafín si V = x0 +M, donde x0 es un vector de X y M es un subespacio de X. Si M esun subespacio maximal, se dice que V es un hiperplano afín. Donde un subespaciomaximal X no es otra cosa que un subespacio M satisfaciendo que si M = X y que si Nes un subespacio de X tal que M ⊂ N, entonces N = M ó N = X. De acuerdo con estaterminología, el teorema anterior nos dice que los conjuntos A y B se separan medianteel hiperplano afín de ecuación ℜef(x) = α, en el sentido de que dicho hiperplano deja aun lado al conjunto A y al otro a B.

El siguiente corolario nos va a demostrar que el Teorema 3.3.4 es en realidad unaversión equivalente de la versión analítica del Teorema de Hahn-Banach. Sea X un espaciovectorial, diremos que una función Φ : X −→ R es convexa si y solo si

Φ(tx+ (1− t)y) ≤ tΦ(x) + (1− t)Φ(y)

para cualesquiera x, y ∈ X, t ∈ [0, 1].


Corolario 3.3.5 Sea X un espacio vectorial real, Φ : X −→ R una función convexa. SiM es un subespacio de X y g ∈M ♯ son tales que

g(m) ≤ Φ(m), ∀m ∈M,

entonces existe f ∈ X♯ tal que f(m) = g(m) ∀m ∈M y f(x) ≤ Φ(x), ∀x ∈ X.

Por supuesto, cualquier funcional sublineal es una función convexa, con lo que a par-tir del corolario anterior, se obtiene la versión analítica del teorema de Hahn-Banach.Mostramos de esta forma que el Teorema 3.3.4 es una lectura equivalente de la versiónanalítica del Teorema de Hahn-Banach. Ambas versiones son puramente algebraicas. Sinembargo, podríamos pensar que el concepto absorbencia es una especie de reformulacióndel concepto de interior en términos “algebraicos”, ya que si el origen es un punto inte-rior a un subconjunto de un espacio normado, entonces dicho subconjunto es absorbente.En vista de esta observación podemos obtener el siguiente teorema de separación paraespacios normados.

Corolario 3.3.6 Sea X un espacio normado y A y B dos subconjuntos no vacíos y con-vexos de X. Si int(A) = ∅ y B ∩ int(A) = ∅, entonces existe f ∈ X∗ y α ∈ R talque

ℜef(a) ≤ ℜef(b), ∀a ∈ A, b ∈ B.

Además ℜef(x) < α ∀x ∈ int(A). 2

Si ahora, en el resultado anterior, tomamos A cerrado y B = x0 un punto de lafrontera de A llegamos a:

Corolario 3.3.7 (Existencia de funcionales soporte). Sea X un espacio normadoy A un subconjunto convexo y cerrado de X, con interior no vacío. Entonces para cadapunto x0 en la frontera de A existe un funcional f ∈ SX∗ tal que

ℜef(x0) = maxℜef(x) : x ∈ A.

Observemos que el hiperplano de ecuación ℜef(x) = α, donde α = ℜef(x0), pasa porx0 y deja a un lado al conjunto A. Esta situación de claro contenido geométrico sueledescribirse diciendo que el funcional f0 (respectivamente, el hiperplano H0) soporta alconjunto A en el punto x0 o también que x0 es un punto de soporte de A, o que f0 unfuncional de soporte de A o que H0 un hiperplano de soporte de A.

Por último, si pretendemos separar dos conjuntos convexos no sólo disjuntos, sinoque además su distancia sea estrictamente positiva, se puede añadir alguna perfecciónadicional.


Corolario 3.3.8 Sea X un espacio normado y A y B dos subconjuntos convexos y novacíos de X. Si dist(A,B) = δ > 0, entonces existe un funcional f ∈ SX∗ tal que

supℜef(A) + δ ≤ infℜef(B).

2

Es usual referirse a cualquiera de los tres últimos resultados utilizando la expresiónde teorema de separación de tipo Hahn-Banach. Si en el último de ellos el conjunto B sereduce a un punto obtenemos:

Corolario 3.3.9 Sea X un espacio normado y A un subconjunto de X no vacío y convexo.Dado x0 ∈ X con d(x0, A) > 0, existe f ∈ X∗ con ∥f∥ = 1 tal que

ℜef(x0) = supℜef(A) + d(x0, A).

2

Cuando intentamos separar dos subconjuntos no vacíos, cerrados y disjuntos de unespacio normado donde además uno de ellos es compacto podemos conseguir el siguienteteorema de separación, el cual es un poco más fuerte que los anteriores.

Corolario 3.3.10 (Milman). Sea X un espacio normado y sean A y B subconjuntosdisjuntos, convexos y no vacíos de X. Supongamos que A es cerrado y B es compacto.Entonces existe f ∈ X∗ con ∥f∥ = 1 tal que

ınf ℜef(B)− supℜef(A) = d(A,B).


1. Sea X un espacio normado y A un entorno de cero convexo que verifica la siguientepropiedad : si x ∈ A y λ ∈ K con |λ| ≤ 1, entonces λx ∈ A. Pruébese que elfuncional de Minkowski de A es una seminorma en X.

2. Sean X un espacio vectorial y M un subespacio vectorial de X. Supóngase que p esuna seminorma en X y que q es una seminorma en M tales que q(m) ≤ p(m) paratodo m ∈M . Pruébese que existe una seminorma r en X tal que r(m) = q(m) paratodo m ∈ M y r(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. [Indicación: Considérese el funcionalde Minkowski de U := co(B(X,p) ∪B(M,q)).]


3. Sean X un espacio normado y M un subespacio vectorial de X. Supóngase que||| . ||| es una norma equivalente en M . Pruébese que ||| . ||| puede extenderse a unanorma equivalente sobre X.

4. Sean A y B subconjuntos no vacíos, abiertos, convexos y disjuntos de un espacionormado X. Probar que existen f ∈ X∗ con ∥f∥ = 1 y α ∈ R tales que Ref(a) <α < Ref(b) para todo a ∈ A y b ∈ B. ¿Es posible encontrar f tal que SupRef(A) <InfRef(B) ?

BIBLIOGRAFÍA: La mayor parte de los resultados contenidos en este capítulo pueden serencontrados en los textos [8], [21], [26], [5], [22], [32], [13] y [31]. La demostración del teoremade Markov-Kakutani la hemos tomado de [38]. Los trabajos [2] y [23] contienen más aplicacionesdel teorema de Hahn-Banach. Proponemos además la monografía [9] como texto de consulta.

Capıtulo 4Teoremas de la aplicación abierta yBanach-Steinhaus

Tema IV: Teoremas de la aplicación abierta y Banach-Steinhaus Dentro del

ámbito del Análisis Funcional existen tres resultados conocidos como los tres principiosfundamentales del Análisis Funcional. El primero de ellos es el Teorema de Hahn-Banach,el cual ya ha sido presentado en el capítulo anterior. Los otros dos principios fundamentalesa los que nos referimos son el Teorema de la aplicación abierta y el Teorema de Banach-Steinhaus (o Principio de acotación uniforme). Vamos a dedicar este capítulo al desarrollode estos dos principios.

El primer autor en notar que cualquier biyección lineal y continua entre espacios deBanach siempre es abierta fue Banach. Posteriormente, Schauder obtuvo una demostracióndel mismo resultado utilizando el Teorema de Baire.

En la primera lección de este capítulo presentamos y desarrollamos el Teorema deBaire para poder obtener a partir de él el Teorema de la aplicación abierta.

La segunda lección de este capítulo presenta diferentes reformulaciones del Teorema dela aplicación abierta, nos referimos al Teorema de los isomorfismos de Banach, al Teoremadel homomorfismo de Banach y al Teorema de la gráfica cerrada. Asímismo presentamosalgunas aplicaciones de este principio en sus diferentes formas.

Dejamos para la tercera lección de este capítulo el último de los principios fundamen-tales del Análisis Funcional: el Teorema de Banach-Steinhaus. Como dato interés mencio-namos que el citado Teorema de Banach-Steinhaus va a ser obtenido como consecuenciadel Teorema de la gráfica cerrada, ya que en la mayor parte de los textos este teorema

75

76 Capítulo 4. Teoremas de la aplicación abierta y Banach-Steinhaus

suele ser deducido del Principio de acotación uniforme. Después de la presentación delprincipio de acotación uniforme, aplicando de nuevo el Teorema de Baire, obtenemos al-gunas consecuencias como por ejemplo las diversas caracterizaciones de la acotación enespacios de operadores.

4.1. Teorema de Baire 77

4.1. Teorema de Baire

En 1897 Osgood demostró que la intersección de cualquier sucesión de abiertos densosde R es de nuevo un subconjunto denso de R. Dos años más tarde Baire estableció queel mismo resultado continua siendo cierto cuando reemplazamos R por Rn. Tenemos queesperar casi treinta años para obtener la versión definitiva del resultado conocido comoTeorema de Baire. Concretamente, en 1927 Banach y Steinhaus observaron que la pruebade Baire es perfectamente válida cuando Rn se sustituye, bien por un espacio métricocompleto o bien por un espacio topológico localmente compacto Hausdorff. Estos dosúltimos autores pusieron de manifiesto la utilidad del Teorema de Baire para simplificarciertas pruebas que necesitaban de complicadas construcciones. Para ser más precisos, elresultado de Banach y Steinhaus, es el inicio de una herramienta imprescindible en eldesarrollo del Análisis Funcional denominada método de la categoría de Baire, cuya baseson los conceptos de “grandeza” y “pequeñez” de un subconjunto de un espacio topológicoque definimos a continuación.

Definición 4.1.1 Sea X un espacio topológico y A ⊂ X. Diremos que A es de primeracategoría en X, (o pequeño), si A está contenido en una unión numerable de subconjuntoscerrados y con interior vacío en X. Diremos que A es de segunda categoría en X, (ogrande), si no es de primera categoría en X. Diremos, por último, que X es un espaciode Baire si todo abierto no vacío en X es de segunda categoría en X.

Como consecuencia de la definición, un subconjunto de otro de primera categoría estambién de primera categoría, así como todo subconjunto que contiene a uno de segundacategoría vuelve a ser de segunda categoría.

La siguiente equivalencia, de obtención inmediata, pone de manifiesto la naturalidadde los espacios de Baire.

Proposición 4.1.2 Sea X un espacio topológico. Entonces son equivalentes:

1. X es un espacio de Baire.

2. La intersección numerable de abiertos densos en X es densa en X.

3. La unión numerable de subconjuntos cerrados con interior vacío en X tiene interiorvacío en X.

El siguiente teorema proporciona dos amplias clases de espacios de Baire.


Teorema 4.1.3 (Baire) Los espacios métricos completos y los espacios topológicos lo-calmente compactos Haussdorff son espacios de Baire.

Dos aplicaciones muy destacadas del Teorema de Baire son las siguientes.

Corolario 4.1.4 (Principio de acotación uniforme) Sea X un espacio topológico desegunda categoría y fi : i ∈ I una familia de aplicaciones semicontinuas inferiormentede X en R que está puntualmente acotada. Entonces existe un abierto no vacío G de Xdonde la familia fi : i ∈ I está uniformemente acotada.

Corolario 4.1.5 La dimensión (algebraica) de un espacio de Banach es finita o no nu-merable.

En el resultado anterior la completitud de X es esencial. Sirva como prueba de elloel espacio c00 que tiene dimensión infinita numerable y no es completo. Llegados a estepunto, conviene advertir que los conceptos de categoría dependen del espacio ambiente,puesto que R es de primera categoría en R2, mientras que R es de segunda categoría ensí mismo, como consecuencia del teorema de Baire.

4.2. Teorema de la aplicación abierta 79

4.2. Teorema de la aplicación abierta

Este tema contiene una presentación del Teorema de la aplicación abierta. En 1929,Banach probó el primer teorema de la aplicación abierta, demostrando que una aplicaciónbiyectiva, lineal y continua entre espacios de Banach debe ser abierta. En 1930, Schauderobtuvo una versión más general del teorema. Por esta razón, el Teorema de la aplicaciónabierta se denomina con frecuencia Teorema de Banach-Schauder. La demostración quepresentamos en este tema es la que se realiza aplicando el Teorema de Baire y sigue lasideas de Schauder. El tema también contiene diversas reformulaciones equivalentes delTeorema de la aplicación abierta como son el Teorema de los isomorfismos de Banach, elTeorema del homomorfismo de Banach y el Teorema de la gráfica cerrada.

Comenzamos la sección con una caracterización de las aplicaciones lineales que sonabiertas:

Proposición 4.2.1 Sean X e Y dos espacios de Banach y T : X −→ Y una aplicaciónlineal. Demuéstrese que son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. T es abierta.

2. Existe r > 0 tal que rBY ⊆ T (BX).

3. Existe M > 0 tal que para cada y ∈ Y , existe x ∈ X con T (x) = y y ||x|| ≤M ||y||.

4. Para cada sucesión nula yn en Y , existe una sucesión nula xn en X verificandoque, para cada n, T (xn) = yn.

5. La aplicación T : x +KerT 7−→ T (x) es una biyección lineal de X/KerT sobre Ycuya inversa es continua.

Una primera aproximación al Teorema de la aplicación abierta nos dice que en casode que el espacio de partida sea completo toda aplicación lineal y continua que sea “casiabierta”, es de hecho abierta.

Lema 4.2.2 Sea X un espacio de Banach, Y un espacio normado y T ∈ L(X,Y ). Su-pongamos que T (BX) es un entorno de cero en Y. Entonces T es abierta.

La actuación combinada del lema anterior y del Teorema de Baire, nos permite obtenerel Teorema de la aplicación abierta.


Teorema 4.2.3 (Teorema de la aplicación abierta de Banach) Toda aplicaciónlineal, continua y sobreyectiva entre dos espacios de Banach es abierta.

Hay ocasiones en las que la aplicación del Lema 4.2.2 puede ser más útil que la apli-cación del Teorema de la aplicación abierta, este es el caso del siguiente resultado.

Corolario 4.2.4 Todo espacio de Banach separable es isomorfo a un cociente del espacioℓ1.

No podemos pensar que el resultado anterior nos proporciona una representación acep-table o útil de los espacios de Banach separables, más bien nos da idea de la inmensavariedad de cocientes que podemos encontrar en el espacio ℓ1.

El Teorema de la aplicación abierta admite la siguiente reformulación equivalente.

Corolario 4.2.5 (Teorema de los isomorfismos de Banach) Toda biyección linealy continua continua entre dos espacios de Banach es bicontinua y, por tanto, un isomor-fismo.

No es difícil obtener el Teorema de la aplicación abierta a partir del Teorema de losisomorfismos de Banach, corroborando así que ambos resultados son equivalentes.

La complitud es esencial en el teorema de los isomorfismos, tal como muestra el si-guiente ejemplo:

Ejemplo 4.2.6 Puesto que evidentemente c00 ⊂ ℓ1 ⊂ c0 ⊂ ℓ∞ podemos considerar en ℓ1la norma que hereda de ℓ∞ (la norma del supremo). Respecto de dicha norma sabemosque c00 = c0, luego también ℓ1 = c0. De esta forma ℓ1 no es un subespacio cerrado de ℓ∞y, en consecuencia, (ℓ1, ∥ ·∥∞) no es un espacio de Banach. Sin embargo, ℓ1 con su normahabitual ∥ · ∥1, es un espacio de Banach y es claro que

∥x∥∞ ≤ ∥x∥1 , ∀x ∈ ℓ1.

La identidad es pues una biyección lineal continua de (ℓ1, ∥ · ∥1) en (ℓ1, ∥ · ∥∞)

pero no es un isomorfismo (luego no es abierta) puesto que ∥ · ∥1 y ∥ · ∥∞ no sonequivalentes.


Sean ∥.∥1 y ∥.∥2 dos normas sobre un espacio vectorial X. Ya sabemos que ∥.∥1 y∥.∥2 son equivalentes si y solo si generan la misma topología en X o equivalentemente, siexisten dos constantes positivas α, β ∈ R+ tales que

α∥x∥1 ≤ ∥x2∥ ≤ β∥x∥1 (∀x ∈ X). (4.1)

Con objeto de generalizar este concepto diremos que las normas ∥.∥1 y ∥.∥2 son compa-rables si y solo si la topología generada por una de ellas contiene a la topología generadapor la otra norma, equivalentemente, si existe alguna de las constantes α o β verificandoalguna de las desigualdades en (4.1).

El siguiente ejemplo nos muestra que en cualquier espacio normado de dimensióninfinita podemos encontrar otra norma no comparable a la norma de partida, además sila norma de partida es completa podemos conseguir que la norma no equivalente tambiénlo sea.

Ejemplo 4.2.7 Sea X un espacio normado de dimensión infinita y seaB = ei : i ∈ I una base de Hamel de X, cuyos elementos suponemos, puesto queno es restrictivo, de norma 1. Como I es infinito, I contiene una sucesión inn∈N. Laaplicación lineal T : X → X definida mediante

T (ei2n−1) = nei2n−1 , T (ei2n) =1

nei2n , ∀n ∈ N

T (ei) = ei, ∀i ∈ I\in : n ∈ N

es biyectiva pero ni ella ni su inversa son continuas por no estar acotadas en la bolaunidad. Si definimos:

|||x||| = ||T (x)||, ∀x ∈ X

obtenemos una norma sobre X no comparable a la norma de partida. Además, Tes un isomorfismo isométrico de X con la norma ||| · ||| en X con la norma || · || y, portanto, ||| · ||| es completa si, y sólo si, lo es || · ||.

Es claro que dos normas equivalentes son comparables. Cuando las dos normas ∥.∥1 y∥.∥2 son completas, el Teorema de los isomorfismos de Banach nos permite asegurar que∥.∥1 y ∥.∥2 son equivalentes si y solo si son comparables.

Corolario 4.2.8 Sea X un espacio vectorial y supongamos que ∥ · ∥1 y ∥ · ∥2 son dosnormas completas sobre X. Entonces dichas normas son equivalentes si, y sólo si, soncomparables, esto es, existe una constante α > 0 tal que ∥x∥1 ≤ α ∥x∥2 para todo x ∈ X.


El siguiente ejemplo muestra que la complitud de ambas normas es esencial.

Ejemplo 4.2.9 Si X es un espacio de Banach infinito dimensional y T es una aplicaciónlineal no continua de X en X, es claro que la relación

|||x||| = ||x||+ ||T (x)||, ∀x ∈ X

define una nueva norma sobre X claramente comparable pero no equivalente a lade partida. Puesto que, evidentemente, la identidad es una biyección lineal continua deX con la norma ||| · ||| en X con la norma || · || y no es un isomorfismo.

La siguiente reformulación del Teorema de la aplicación abierta es a veces conocida enla literatura como Teorema del homomorfismo de Banach..

Definición 4.2.10 Sean X e Y dos espacios de Banach y T ∈ L(X,Y ). Se dice que Tes un homomorfismo de X en Y si la aplicación T es abierta sobre la imagen.

Corolario 4.2.11 Si X e Y son espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ), entonces T es unhomomorfismo si, y sólo si, T (X) es un subespacio cerrado de Y.

Es claro que el Teorema del homomorfismo de Banach implica el Teorema de la apli-cación abierta y es por tanto otra reformulación equivalente de este último.

Ya hemos estudiado dos reformulaciones equivalentes del Teorema de la aplicaciónabierta (el Teorema de los isomorfismos de Banach y el Teorema del homomorfismo deBanach). Vamos a terminar este tema considerando una tercera reformulación del Teoremade la aplicación abierta cuyo enunciado es totalmente distinto a los visto hasta ahora, nosreferimos al Teorema de la gráfica cerrada. La autoría de este resultado debe ser adjudicadasi duda a Banach (ver [2]). Consideremos, a modo de introducción, dos espacios topológicosX e Y con Y Haussdorff y una aplicación F : X → Y . Si F es continua, entonces la gráficade F :

G(F ) = (x, y) ∈ X × Y : y = F (x)

es un subconjunto cerrado de X × Y . No obstante, no toda aplicaciónF : X → Y cuya gráfica sea cerrada es continua, por ejemplo, la función F : R → Rdefinida por F (x) := x−1 si x = 0 y F (0) := 0 es claramente no continua en cero y sinembargo, su gráfica es cerrada.

Cuando trabajamos con aplicaciones lineales entre espacios de Banach no se van apoder producir situaciones como las del ejemplo anterior.


Corolario 4.2.12 (Teorema de la gráfica cerrada). Sean X e Y espacios de Banachy T : X → Y una aplicación lineal. Entonces T es continua si, y sólo si, su gráfica escerrada.

Como la gráfica de una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos es cerradasi, y sólo si, lo es la gráfica de su inversa, el Teorema de la gráfica cerrada permite deducirel Teorema de los isomorfismos de Banach.

Entonces podemos afirmar que los Teoremas de la aplicación abierta, de los isomorfis-mos de Banach y de la gráfica cerrada son diferentes formulaciones de un mismo principio.

En muchos casos, el Teorema de la gráfica cerrada facilita enormemente el estudio dela continuidad de una aplicación lineal entre espacios de Banach. El siguiente resultadonos proporcionará una visión clara de este hecho.

Proposición 4.2.13 Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicación lineal.Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La gráfica de T es cerrada.

2. Si xn es una sucesión de elementos de X convergente a cero tal que la sucesiónT (xn) es convergente, entonces T (xn) → 0.

Así pues, si T : X → Y es una aplicación lineal entre dos espacios de Banach X eY, para estudiar su continuidad no necesitamos probar que dada una sucesión xn deelementos de X convergente a cero, entonces T (xn) converge y su límite es cero. Bastasuponer que T (xn) converge y entonces probar que su límite es cero pues, en tal caso,la gráfica de T es cerrada y T es continua.

Una de las aplicaciones más directas del teorema de la gráfica cerrada es caracterizar lossubespacios complementados de un espacio de Banach. Como sabemos un tal subespacioy su complemento han de ser cerrados. De hecho el recíproco es también cierto.

Corolario 4.2.14 Sea X un espacio de Banach y supongamos que X es suma directa dedos subespacios M y N . Entonces la suma es topológico directa si, y sólo si, M y N soncerrados en X. 2



1. Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y T : X −→ Y una aplicaciónlineal. Se define una nueva norma en X mediante la expresión ∥x∥1 = ∥x∥+ ∥T (x)∥para todo x ∈ X. Pruébese que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) T es continua.

b) ∥ · ∥ y ∥ · ∥1 son normas equivalentes.

c) ∥ · ∥1 es una norma completa en X.

2. Sean X e Y espacios de Banach y T : X −→ Y una aplicación lineal y continua.Probar que T es inyectiva y T (X) es cerrado en Y si, y sólo si, existe m > 0 tal∥T (x)∥ ≥ m∥x∥ para todo x ∈ X.

3. Sea M un subespacio cerrado de lp y de lq. Pruébese que las normas inducidas enM por lp y lq son equivalentes.

4. Probar que no existe ninguna sucesión u = un en K tal que, para toda sucesiónx = xn en K, se verifica que:

x ∈ l1 ⇔ xnun está acotada.

[Sugerencia: Supuesta la existencia de una tal sucesión u = un ésta está acotada,nótese además que se puede suponer que todos sus términos son no nulos, y con-sidérese para cada sucesión x = xn, la sucesión x′ = xn

un, y demuéstrese que la

aplicación x 7→ x′ es un isomorfismo topológico de l∞ sobre l1].

5. Pruébese que todo funcional lineal de un espacio normado con gráfica cerrada escontinuo.

6. Sean X,Y espacios de Banach, y A ⊆ Y ∗ tal que A separa los puntos de Y . Pruébeseque si T : X −→ Y es una aplicación lineal tal que f T ∈ X∗ para todo f ∈ A,entonces T es continua.

4.3. Teorema de Banach-Steinhaus 85

4.3. Teorema de Banach-Steinhaus

El objetivo de este tema es presentar la consecuencia más importante del Teorema dela Gráfica cerrada, nos referimos al Teorema de Banach-Steinhaus o Principio de acotaciónuniforme. Este Teorema es conocido como el último de los tres principios fundamentalesdel Análisis Funcional.

El Teorema de Banach-Steinhaus no requiere más motivación que la que exponemosa continuación. Sean X e Y espacios normados y Tn una sucesión de elementos deL(X, Y ) que converge puntualmente a una aplicación, necesariamente lineal, T : X → Y.

Es natural cuestionarse la posible continuidad de T . el siguiente ejemplo prueba que engeneral la continuidad no se puede asegurar

Ejemplo 4.3.1 Para cada natural n, sea Tn el funcional sobre c00 definido por

Tn(x) =n∑k=1

x(k), ∀x ∈ c00.

Evidentemente Tn es lineal y como

|Tn(x)| =

∣∣∣∣∣n∑k=1

x(k)

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|x(k)| ≤ n ∥x∥∞ , ∀x ∈ c00,

se tiene que Tn es continuo y ∥Tn∥ ≤ n,∀n. Considérese, para cada n ∈ N, la sucesiónun : N→ K dada por

un(k) = 1 si 1 ≤ k ≤ n, un(k) = 0 si k > n.

Claramente un ∈ c00 con ∥un∥∞ = 1 y Tn(un) = n. Entonces ∥Tn∥ = n.

Es inmediato comprobar que la sucesión Tn converge puntualmente en c00 al funcio-nal lineal T dado por

T (x) =∞∑k=1

x(k) (x ∈ c00),

y T no es continua, porque T no está acotada en la bola unidad de c00 ya que T (un) = n

para todo n ∈ N.

¿Cómo pues podemos asegurarnos esta convergencia? Obsérvese que, para cada x ∈ X,tenemos:

∥Tn(x)∥ ≤ ∥Tn∥ ∥x∥ , ∀n ∈ N.


Si la sucesión ∥Tn∥ está acotada por α, es claro que

∥Tn(x)∥ ≤ α ∥x∥ , ∀n ∈ N

y, haciendo n → ∞, obtenemos ∥T (x)∥ ≤ α ∥x∥, luego T ∈ L(X,Y ). Necesitamos, portanto, la acotación de ∥Tn∥ o, lo que es lo mismo, la acotación uniforme de Tn en BX .

Este hecho justifica el interés de un resultado que nos permita pasar de la acotaciónpuntual a la uniforme en la bola (aunque precise de la completitud de X). Dicho resultadoes consecuencia del Teorema de la gráfica cerrada.

Corolario 4.3.2 (Teorema de Banach-Steinhauss) Sea X un espacio de Banach ysea Yi : i ∈ I una familia arbitraria de espacios normados. Supongamos que para cadai ∈ I tenemos una aplicación lineal y continua Ti de X en Yi. Si la familia Ti : i ∈ Iestá puntualmente acotada, entonces también lo está uniformemente en BX , esto es,

∃M > 0 : ∥Ti(x)∥ ≤M∥x∥ ∀x ∈ X, i ∈ I.

Conviene poner de manifiesto que el resultado precedente también se puede obetner co-mo consecuencia del Principio de acotación uniforme, que como ya vimos, es un resultadopuramente topológico consecuencia a su vez del teorema de Baire.

La situación más interesante para aplicar el resultado anterior es la que se producecuando todos los espacios Yi coinciden con un espacio normado Y . En este caso la familiade operadores Ti es un subconjunto del espacio L(X,Y ). Cuando X es completo elPrincipio de acotación uniforme garantiza que dicho subconjunto está acotado en normasiempre que este acotado puntualmente. Se puede afinar un poco más suponiendo lafamilia Ti : i ∈ I coincide con el conjunto formado por los términos de una sucesión deelementos de L(X, Y ).

Corolario 4.3.3 (Teorema de cierre de Steinhaus). Sea X un espacio de Banach,Y un espacio normado y Tn una sucesión de elementos de L(X, Y ) puntualmente con-vergente a un operador (necesariamente lineal) T de X en Y. Entonces T es continuo ypor tanto T ∈ L(X,Y ).

Las primeras aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhaus nos permiten obtenercaracterizaciones de la acotación en espacios normados y en espacios de operadores.

4.3. Teorema de Banach-Steinhaus 87

Corolario 4.3.4 Sea X un espacio normado y A un subconjunto de X. Entonces sonequivalentes:

1. A está acotado.

2. El conjunto de escalares f(a) : a ∈ A está acotado para cada f ∈ X∗.

Corolario 4.3.5 Sean X un espacio de Banach y B un subconjunto no vacío de X∗. Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

1. B está acotado.

2. Para cada x ∈ X, el conjunto [JX(x)](B) = f(x) : f ∈ B está acotado.

Corolario 4.3.6 Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y F un subcon-junto de L(X, Y ). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. F está acotado.

2. Para cada x ∈ X y cada g ∈ Y ∗, el conjunto g(T (x)) : T ∈ F está acotado.

Otra aplicación directa del Teorema de Banach-Steinhaus nos permite obtener lasiguiente equivalencia entre acotación puntual y uniforme para series de escalares.

Corolario 4.3.7 Sea y ∈ KN una sucesión de escalares. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. y ∈ ℓ1.

2. Para cada x ∈ c0 la serie∑

n x(n)y(n) es absolutamente convergente.


n x(n)y(n) es convergente.


n x(n)y(n) tiene sumas parciales acotadas. 2

El Teorema de Banach-Steinhaus puede ser también aplicado para obtener la siguientecaracterización de la continuidad de aplicaciones bilineales entre espacios de Banach.


Corolario 4.3.8 Sean X un espacio de Banach, Y , Z espacios normados yT : X × Y −→ Z una aplicación bilineal. Entonces son equivalentes:

1. T es continua.

2. T es separadamente continua.

3. Existe M > 0 tal que ∥T (x, y)∥ ≤M∥x∥∥y∥ ∀x ∈ X, y ∈ Y . 2


1. Sean X un espacio de Banach sobre K e I un conjunto no vacío. Dada una aplicaciónlineal T : X → l∞(I) se considera, para cada i ∈ I, el funcional lineal Ti : X → K

definido porTi(x) = T (x)(i).

Pruébese que si Ti ∈ X∗ para todo i ∈ I, entonces T es continua.

2. Sean X un espacio de Banach, A ⊆ X tal que X = Lin(A), y fn una sucesión deelementos de X∗. Pruébese que equivalen:

a) fn(x) → 0 para todo x ∈ X.

b) Sup ∥ fn ∥ : n ∈ N <∞ y fn(a) → 0 para todo a ∈ A.

3. Sean (E, d) un espacio métrico y X un espacio normado. Probar que una aplicaciónT : E → X es lipschitziana si, y sólo si, f T lo es, para todo f ∈ X∗.

4. Sea xn una sucesión de escalares tal que la serie∑xnyn es convergente para toda

sucesión yn ∈ l1. Probar que xn ∈ l∞.

5. Sea xn una sucesión de escalares tal que la serie∑xnyn es convergente para toda

sucesión yn ∈ lp (1 < p < +∞). Probar que xn ∈ lq, siendo 1p+ 1

q= 1.

BIBLIOGRAFÍA: Las demostraciones de los resultados más importantes de este capítuloestá muy cerca de las ideas originales de Banach [2]. Sin embargo, la adaptación de las mismas auna notación actual se ha llevado a cabo tomando ideas de los textos [5, 7, 8, 13, 22, 29, 32, 41, 42].La mayoría de las aplicaciones que hemos expuesto aparecen en [31] y [42]. La idea de probar elteorema de Banach-Steinhauss a partir del teorema de la gráfica cerrada ha sido tomada de [26].

Capıtulo 5Topologías débiles

Tema V: Topologías débiles Una vez completado el estudio de los tres principios

fundamentales del Análisis Funcional vamos a dedicar este capítulo a desarrollar unateoría de dualidad para espacios de Banach. En este sentido tenemos que reconocer queel Teorema de Hahn-Banach será la herramienta que nos permita un desarrollo exitosode esta teoría de dualidad. Comenzaremos por estudiar los espacios de Banach reflexivos.Nuestro primer encuentro con estos espacios nos va a asegurar que muchos de los espaciosconsiderados hasta el momento son reflexivos (por ejemplo, espacios de Banach finito-dimensionales, espacios ℓp(I) y Lp[0, 1] para 1 < p < ∞). Una de las motivaciones másimportantes para estudiar los espacios de Banach reflexivos es que todo funcional linealy continuo en un espacio de Banach reflexivo alcanza su norma. Este hecho nos revela laidoneidad de estos espacios para el desarrollo de teorías de optimización o de aproximación.

En el segundo tema continuamos definiendo la topología débil de un espacio norma-do y débil-* de su dual, estudiando las analogías y diferencias existentes entre todas lastopologías que hasta el momento podemos considerar en un espacio normado. La motiva-ción para dicho estudio es la “escasez” de subconjuntos compactos para la topología de lanorma. Veremos que las topologías débiles solo coinciden con la topología de la norma enel caso finito dimensional y que un espacio normado X es reflexivo si y solo las topologíasdébil y débil-* de su dual coinciden, obteniendo así una conexión con la reflexividad.

En el tema siguiente obtendremos el Teorema de Goldstine com consecuencia del Teo-rema de Helly. El Teorema de Milman-Pettis nos proporcionará una condición suficientepara que un espacio normado sea reflexivo. Este último resultado es quizás la consecuenciamás importante del Teorema de Goldstine.

Después de desarrollar un Teorema del Bipolar para subespacios tendremos ocasiónde encontrarnos con el principal resultado de este capítulo, nos referimos al Teorema de

89

90 Capítulo 5. Topologías débiles

Banach-Alaoglu. Este teorema nos demuestra la abundancia de subconjuntos compactospara la topología débil-* en el dual de un espacio normado. Entre las primeras aplicacionesdestaca la caracterización de los espacios reflexivos en función de la compacidad débil desu bola unidad cerrada.

Aunque las topologías débil y débil-* sobre un espacio de Banach infinito-dimensionalnunca son metrizables, veremos que es posible mostrar que bajo ciertas condiciones estastopologías son metrizables si se las restringe a conjuntos acotados lo cual suele ser su-ficiente para determinadas aplicaciones. Para finalizar estudiamos el conceptos de puntoextremo de un subconjunto de un espacio vectorial y demostramos el Teorema de Krein-Milman para los subconjuntos convexos y débilmente compactos de un espacio normado.

5.1. Espacios de Banach reflexivos

En el tema dedicado a la versión analítica del Teorema de Hahn-Banach (ver defi-nición 3.1.9) pudimos comprobar que cualquier espacio normado puede identificarse conun subespacio de su bidual mediante la aplicación que habíamos denominado inyeccióncanónica. Es natural preguntarse si, de hecho, la mencionada aplicación es sobreyectiva.Nos ha parecido muy interesante dedicar este tema al estudio de los espacios en los quela respuesta a dicha pregunta es afirmativa.

Definición 5.1.1 Se dice que un espacio normado X es reflexivo si la inyección canó-nica JX : X → X∗∗ es sobreyectiva.

Evidentemente, todo espacio normado reflexivo es isométricamente isomorfo a su bi-dual y, por tanto, es completo. No obstante, tenemos que dejar bien claro que un espaciode Banach X que sea isométricamente isomorfo a su bidual no tiene que ser siemprereflexivo. La definición de reflexividad exige que el isomorfismo isométrico sea, precisa-mente, la inyección canónica. En 1951 James dió un ejemplo de un espacio de Banach noreflexivo que es isométricamente isomorfo a su bidual.

En los siguientes ejemplos estudiamos la posible reflexividad de algunos de los espaciosde Banach clásicos.

Ejemplo 5.1.2 Este primer ejemplo presenta el caso más sencillo de estudiar, nos refe-rimos a los espacios de Banach de dimensión finita. Todo espacio normado de dimensiónfinita es reflexivo ya que dimX = dimX∗ = dimX∗∗ (ver 3.1.12) y toda aplicación linealinyectiva entre espacios normados con la misma dimensión finita es también sobreyectiva.

5.1. Espacios de Banach reflexivos 91

Ejemplo 5.1.3 El espacio ℓp(I) es reflexivo, cualquiera que sea p ∈]1,+∞[ y paracualquier conjunto no vacío I. Consideremos, para ponerlo de manifiesto, las identifi-caciones naturales:

F : ℓq(I) → ℓp(I)∗ y G : ℓp(I) → ℓq(I)

∗ (1

p+

1

q= 1),

dadas por:

[F (y)](x) =∑i∈I

x(i)y(i) = [G(x)](y), ∀y ∈ ℓq(I), ∀x ∈ ℓp(I)

(ver Proposición 1.3.2). Se puede comprobar que Jℓp(I) = (F−1)∗ G, esto es, que elsiguiente diagrama conmuta:

ℓp(I)Jℓp(I)−→ ℓp(I)

∗∗

G (F−1)∗

ℓq(I)∗

En efecto, dados x ∈ ℓp(I) y f ∈ ℓp(I)∗, tenemos que[

((F−1)∗ G)(x)](f) =

[(F−1)∗(G(x))

](f) =

(G(x) F−1

)(f)

= [G(x)](F−1(f)) = [F (F−1(f)](x) = f(x) = Jℓp(I)(x)(f).

De este modo vemos que Jℓp(I) es composición de dos isomorfismos isométricos y es, enparticular, sobreyectivo.

Ejemplo 5.1.4 El espacio Lp[0, 1], con p ∈]1,+∞[, es reflexivo. Sea q ∈]1,+∞[ tal que1p+ 1

q= 1. Cosideremos los isomorfismos isométricos:

F : Lq[0, 1] → Lp[0, 1]∗, G : Lp[0, 1] → Lq[0, 1]

∗

definidos por:

[F (g)](f) =

∫ 1

0

fg = [G(f)](g) (f ∈ Lp[0, 1], g ∈ Lq[0, 1])

proporcionados por el Teorema ??. Procediendo como en el ejemplo precedente se pruebaque JLp[0,1] es sobreyectiva.

Sin embargo, el caso p = 1 es distinto:


1. ℓ1 no es reflexivo. Si lo fuese, su bidual ℓ∗∗1 , al ser homeomorfo a ℓ1, sería separable.Entonces, por la Proposición 3.2.7, ℓ∗1 es separable. Por tanto, ℓ∞ es separable loque es absurdo.

De forma análoga se tiene:

2. El espacio L1[0, 1] no es reflexivo.

3. El espacio c0 no es reflexivo. Sean F : ℓ1 → c∗0 y G : ℓ∞ → ℓ∗1 las identificacionesnaturales:

[F (y)](x) =∞∑n=1

y(n)x(n), ∀x ∈ c0, ∀y ∈ ℓ1

[G(x)](y) =∞∑n=1

x(n)y(n), ∀x ∈ ℓ∞, ∀y ∈ ℓ1

(ver Proposición 1.3.3 y Proposición 1.3.2) y nótese que

[F (y)](x) = [G(x)](y), ∀x ∈ c0, ∀y ∈ ℓ1.

Denotando por i la inclusión de c0 en ℓ∞, el siguiente diagrama es conmutativo:

c0Jc0−→ c∗∗0

↓ i ↓ F ∗

ℓ∞G−→ ℓ∗1

Para comprobarlo, sea x ∈ c0 e y ∈ ℓ1, es claro que

[(F ∗ Jc0)(x)] (y) = [Jc0(x) F ](y) = [Jc0(x)](F (y))

= [F (y)](x) = [G(x)](y) = [(G i)(x)] (y).

En consecuencia, i = G−1 F ∗ Jc0 y, puesto que i no es sobreyectiva, Jc0 tampocopuede serlo.

Los siguientes resultados nos muestran que la reflexividad es preservada por isomor-fismos y heredada por subespacios cerrados.

Proposición 5.1.5 Sean X e Y espacios normados isomorfos. Entonces X es reflexivosi, y sólo si, lo es Y.


Demostración.- Recordemos que para todo T ∈ L(X,Y ) se verifica que T ∗∗ JX =

JY T, donde JX y JY representan a las inyecciones canónicas de X e Y en sus respectivosbiduales (Proposición 3.2.9). Si T es un isomorfismo, entonces también lo es T ∗∗ (ver denuevo la Proposición 3.2.9) en tal caso, la igualdad anterior permite deducir que JX essobreyectiva si, y sólo si, lo es JY .

Corolario 5.1.6 El espacio c de las sucesiones convergentes de escalares no es reflexivo.

Demostración.- El espacio c es isomorfo a c0 (Ejemplo ??) y c0 no es reflexivo. Porla proposición anterior, c tampoco es reflexivo.

Proposición 5.1.7 Todo subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo.

Demostración.- Sea M un subespacio cerrado de un espacio de Banach reflexivo X.Sean JM : M → M∗∗ y JX : X → X∗∗ las respectivas inyecciones canónicas de M y X.Dado m∗∗ ∈M∗∗, definimos x∗∗ ∈ X∗∗ por

x∗∗(x∗) = m∗∗(x∗|M), ∀x∗ ∈ X∗.

Como JX es sobreyectiva, existe x ∈ X tal que JX(x) = x∗∗. Probaremos que x ∈ M yque JM(x) = m∗∗. Si x /∈ M, por el Corolario 3.1.6 existe x∗ ∈ X∗ tal que x∗(x) = 0 yx∗(m) = 0 para todo m ∈M. Entonces

x∗∗(x∗) = m∗∗(x∗|M) = 0 de donde x∗(x) = [JX(x)](x∗) = x∗∗(x∗) = 0,

que es una contradicción. Luego x ∈ M. Por otra parte, dado m∗ ∈ M∗ existe y∗ ∈ X∗

tal que y∗|M = m∗ por el Corolario 3.1.3. Entonces

[JM(x)](m∗) = [JM(x)](y∗|M) = [y∗|M ](x) = y∗(x) = [JX(x)](y∗)

= x∗∗(y∗) = m∗∗(y∗|M) = m∗∗(m∗)

de donde JM(x) = m∗∗.

Como c0 es un subespacio cerrado de ℓ∞ y c0 no es reflexivo, el resultado anterior nosda:

Corolario 5.1.8 El espacio de Banach ℓ∞ no es reflexivo. 2


El siguiente resultado es también consecuencia de las Proposiciones 5.1.7 y 5.1.5, noobstante su deducción no es tan directa como las anteriores aplicaciones.

Corolario 5.1.9 El espacio de Banach C[0, 1] no es reflexivo.

Demostración.- La Proposición 5.1.7 nos asegura que basta con demostrar queC[0, 1] contiene un subespacio isométricamente isomorfo a c0 para concluir la prueba.Para cada natural n, consideremos el intervalo

In =]1

n+ 1,1

n[

y sea tn su punto medio. Denotemos por φn una función continua de [0, 1] en R tal que

0 ≤ φn(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1], φn(tn) = 1, φn(t) = 0, ∀t ∈ [0, 1]\In.

Es muy fácil construir funciones que verifiquen todo lo anterior. Definamos, por ejemplo,

φn(t) =

0 si t ≤ 1

n+1

2n(n+ 1)t− 2n si 1n+1

< t ≤ tn2(n+ 1)− 2n(n+ 1)t si tn < t < 1

n

0 si t ≥ 1n

Sea T : c00 → C[0, 1] la aplicación definida por

T (x) =∑n∈N

x(n)φn, ∀x ∈ c00

(se trata de una suma finita pues, cualquiera que sea x ∈ c00, el conjunto de los naturalesn tales que x(n) = 0 es finito).

Evidentemente T es lineal y, dado x ∈ c00, se tiene

T (x)(t) = 0 si t /∈∪n∈N

In y T (x)(t) = x(n)φn(t) si t ∈ In

(notemos que los intervalos In son dos a dos disjuntos). Por tanto,

|T (x)(t)| ≤ sup |x(n)| : n ∈ N = ∥x∥∞ , ∀t ∈ [0, 1]

y, en consecuencia,

∥T (x)∥∞ = sup |T (x)(t)| : t ∈ [0, 1] ≤ ∥x∥∞ .


Es claro además que T (x)(tn) = x(n) para todo n ∈ N, luego

∥T (x)∥∞ ≥ ∥x∥∞ .

Hemos probado de esta forma que T es un isomorfismo isométrico de c00 en

T (c00) = Lin(φn : n ∈ N).

La completitud de C[0, 1], junto con la densidad de c00 en c0, garantizan la existenciade una aplicación lineal y continua T : c0 → C[0, 1] que extiende a T . Es inmediato que∥∥∥T (x)∥∥∥

∞= ∥x∥∞ para todo x ∈ c0, luego T es un isomorfismo isométrico de c0 en T (c0).

Las ideas expuestas en la demostración del corolario anterior pueden ser adaptadaspara probar que si K es un espacio topológico compacto Hausdorff con infinitos elementos,entonces C(K) no es reflexivo. Basta con considerar una sucesión de abiertos de K, dos ados disjuntos, y aplicar el Lema de Urysohn para obtener las correspondientes funcionesφn.

Veamos ahora que la reflexividad es también preservada cuando cocientamos espaciosreflexivos por subespacios cerrados. Para la demostración del resultado necesitaremos lasiguiente proposición que deducimos de las identificaciones del dual de un subespacio yde un cociente.

Proposición 5.1.10 Sea X un espacio normado y sea M un subespacio cerrado de X.Entonces se verifica que X∗∗/M es isométricamente isomorfo al bidual de X/M . Másaún, si existe una biyección lineal e isométrica φ : X∗∗/M → (X/M)∗∗ verificando que

φ π2 JX = JX/M π1,

donde JX y JX/M las respectivas inyecciones canónicas de X y X/M en sus biduales y π1(respectivamente, π2) es la proyección canónica de X sobre X/M (respectivamente, X∗∗

sobre X∗∗/M).

Demostración.- Como M es un subespacio de X, la Proposición 3.2.3 nos aseguraque la aplicación definida por f+M 7→ f |M es una biyección lineal e isométrica deX∗/M

a M∗. Como M es un subespacio de X∗, la misma proposición anterior nos asegura quela aplicación dada por f +M 7→ f |M , es una biyección lineal e isométrica de X∗∗/M

a (M)∗ .

Por otra parte, la Proposición 3.2.4 nos asegura que la aplicaciónT : (X/M)∗ → M definida por T (f + M) = f π1 es una biyección lineal e isomé-trica. Como ((X/M)∗)

∗= (X/M)∗∗, tenemos como consecuencia de lo anterior, que la

aplicaciónφ : X∗∗/M → (X/M)∗∗


φ(f +M) := f |M T,

es una biyección lineal e isométrica.Para comprobar la última afirmación tomamos x ∈ X, g ∈ (X/M)∗ y evaluamos

g(JX/M π1(x)) = g(x+M);

g(φ π2 JX(x)) = g(φ(JX(x) +M)) = g(JX(x)|M T )

= g(π1(JX(x)|M)) = g π1(x) = g(x+M).

Proposición 5.1.11 Sea X un espacio normado reflexivo y sea M unsubespacio cerrado de X. Entonces X/M es también reflexivo.

Demostración.- Sean JX y JX/M las respectivas inyecciones canónicas de X y X/Men sus biduales. Vamos a demostrar que JX/M es sobreyectiva. A tal efecto tomamosα ∈ (X/M)∗∗ . Sea φ : X∗∗/M → (X/M+)∗∗ la biyección lineal e isométrica dada porla proposición anterior y sea π1 (respectivamente, π2) la proyección canónica de X sobreX/M (respectivamente, X∗∗ sobre X∗∗/M).

Como π2 es sobreyectiva existe µ ∈ X∗∗ tal que π2(µ) = µ + M = φ−1(α). Porhipótesis sabemos que X es reflexivo y por tanto JX es sobreyectiva. En consecuencia,existe x ∈ X tal que JX(x) = µ. Finalmente aplicamos la relación proporcionada por laanterior proposición para obtener que

JX/M(x+M) = JX/M π1(x) = φ π2 JX(x) = φ π2(µ) = φ(φ−1(α)) = α,

lo que nos asegura que X/M es reflexivo.

En realidad podemos obtener alguna relación más fuerte entre la reflexividad de X yla reflexividad de un subespacio cerrado tal y como se muestra en el siguiente resultado.

Proposición 5.1.12 Sea X un espacio normado y sea M un subespacio cerrado de X.Entonces X es reflexivo si, y solo si, M y X/M son reflexivos.

Demostración.- Las Proposiciones 5.1.7 y 5.1.11 demuestran la condición necesaria.Para la condición suficiente, supongamos que M y X/M son reflexivos. Veamos que

JX es sobreyectiva. Sea α ∈ X∗∗. Por la Proposición 5.1.10 sabemos que la aplicaciónφ : X∗∗/M → (X/M)∗∗ es una biyección lineal e isométrica y que además

φ π2 JX = JX/M π1,


donde JX y JX/M las respectivas inyecciones canónicas de X y X/M en sus biduales yπ1 (respectivamente, π2) es la proyección canónica de X sobre X/M (respectivamente,X∗∗ sobre X∗∗/M). Como φ (π2(α)) ∈ (X/M)∗∗ y JX/M es sobreyectiva, entonces existex+M ∈ X/M tal que JX/M(x+M) = φ(π2(α)). Como además

JX/M(x+M) = JX/M π1(x) = φ π2 JX(x),

podemos afirmar que π2(α) = π2(JX(x)), ya que φ es una biyección lineal e isométrica.Tenemos por tanto que JX(x)− α ∈M.

Notemos por π a la proyección canónica de X∗ en X∗/M. SeanΦ : (X∗/M)∗ → M y Ψ : X∗/M → M∗ las biyecciones lineales e isométricas defi-nidas por Φ(f +M) = f π y Ψ(f +M) = f |M , respectivamente (ver Proposiciones3.2.3 y 3.2.4). La Proposición 3.2.9 nos asegura que Φ Ψ∗ es una biyección lineal eisométrica de M∗∗ en M. Tenemos por tanto que (Φ Ψ∗)−1(JX(x) − α) ∈ M∗∗. Apli-cando ahora que M es reflexivo podemos asegurar que existe m ∈ M verificando queJM(m) = (Φ Ψ∗)−1(JX(x) − α). Como la aplicación (Φ Ψ∗) JM = JM tenemos queJM(m) = α− JX(x), lo que en consecuencia implica que α = JX(m+ x).

Estudiaremos ahora la relación existente entre la reflexividad de un espacio y la de sudual.

Proposición 5.1.13 Un espacio de Banach X es reflexivo si, y sólo si, X∗ es reflexivo.

Demostración.- Supongamos que X es reflexivo. Para probar que la inyección canó-nica JX∗ : X∗ → X∗∗∗ es sobreyectiva, sea x∗∗∗ ∈ X∗∗∗. Se define

x∗ = x∗∗∗ JX .

Entonces x∗ ∈ X∗ y, para todo x ∈ X, se tiene:

JX∗(x∗) [JX(x)] = JX(x) [x∗] = x∗(x) = x∗∗∗[JX(x)].

Como JX(X) = X∗∗, resulta JX∗(x∗) = x∗∗∗ y de este modo JX∗ es sobreyectiva.Para probar el recíproco, supongamos que X∗ es reflexivo. Si X no es reflexivo, JX(X)

es un subespacio cerrado propio de X∗∗. Sea x∗∗ ∈ X∗∗\JX(X). Por el Corolario 3.1.6,existe x∗∗∗ ∈ X∗∗∗ tal que

x∗∗∗(x∗∗) = 0 y x∗∗∗[JX(x)] = 0, ∀x ∈ X.

Como JX∗(X∗) = X∗∗∗, existe x∗ ∈ X∗ tal que JX∗(x∗) = x∗∗∗. Entonces

0 = x∗∗∗[JX(x)] = JX∗(x∗)[JX(x)] = JX(x)[x∗] = x∗(x), ∀x ∈ X,


de donde x∗ = 0 y, por tanto, x∗∗∗ = 0. Esto contradice que x∗∗∗(x∗∗) = 0.

Como c0 no es reflexivo, la proposición anterior nos permite afirmar que ℓ1 y ℓ∞tampoco pueden ser reflexivos ya que, como hemos visto, son isométricamente isomorfos ac∗0 y c∗∗0 , respectivamente. De forma análoga podemos asegurar que L∞[0, 1] no es reflexivopuesto que es isométricamente isomorfo al dual de L1[0, 1].

Sea X un espacio normado. Diremos que un funcional f ∈ X∗ alcanza su normasi existe x ∈ BX (necesariamente de norma 1, si f = 0) tal que |f(x)| = ∥f∥ (x puedeelegirse si se desea con f(x) = ∥f∥). Si X es finito-dimensional todo elemento de X∗

alcanza su norma debido a la compacidad de BX . No obstante, como consecuencia delTeorema de Hahn-Banach, vamos a poder demostrar que en cualquier espacio normadoreflexivo todo funcional alcanza su norma.

Proposición 5.1.14 Todo funcional lineal y continuo sobre un espacio de Banach reflexivoalcanza su norma.

Demostración.- Sea X es un espacio de Banach reflexivo y sea f ∈ X∗. El Corolario3.1.5 nos permite afirmar la existencia de un elemento F ∈ X∗∗ con ∥F∥ = 1 y F (f) = ∥f∥.Por la reflexividad de X existe x ∈ X tal que JX(x) = F. Es claro que

∥x∥ = ∥JX(x)∥ = ∥F∥ = 1 y ∥f∥ = F (f) = JX(x)(f) = f(x).

Sea X es un espacio normado y f ∈ X∗. Parece lógico pensar que la manera másfácil de asegurar que f alcanza su norma es asegurarse que la bola unidad cerrada de Xes compacta, lo que equivale a la finito dimensionalidad de X. Sin embargo, el resultadoanterior nos muestra que en cualquier espacio normado reflexivo X todo funcional alcanzasu norma y en general BX no tiene por qué ser compacta. Más adelante tendremos laocasión de comprobar que en este último caso la bola unidad cerrada de X si va a sercompacta para cierta topología que no es la de la norma pero que hace continuos a todoslos funcionales del dual de X.

No es tan obvio el recíproco de la proposición anterior. El resultado que caracteriza lareflexividad a través del hecho de que todo funcional del dual alcance su norma no es nimucho menos trivial y se debe a R. C. James. Lo presentamos a título informativo.

Teorema 5.1.15 (James) Sea X un espacio de Banach. Entonces X es reflexivo si, ysólo si, todo funcional de X∗ alcanza su norma. 2

5.2. Topologías débiles 99

Por el resultado anterior sabemos que cuando X es un espacio de Banach no reflexivoexisten funcionales en X∗ que no alcanzan su norma. Sin embargo, si podemos asegurarque el conjunto de elementos de X∗ que alcanzan su norma es, en cierto sentido, “grande”dentro de X∗, ya que es denso dentro de este último espacio. Este resultado, expuestoaquí por completitud, es debido a Bishop y a Phelps.

Teorema 5.1.16 (Teorema de Bishop-Phelps). Sea X un espacio de Banach. El con-junto de elementos de X∗ que alcanzan su norma es denso en X∗. 2

5.2. Topologías débiles

Hemos tenido la ocasión de comprobar que la topología inducida por la norma en unespacio normado de dimensión infinita es demasiado grande cuando tratamos de obtenerpor ejemplo la compacidad de la bola unidad cerrada de dicho espacio. También sabemosdesde los capítulos anteriores que el conocimiento del dual ayuda al estudio de ciertaspropiedades del espacio.

Claramente, el dual de un espacio normado está determinado por la topología dela norma, es por tanto natural considerar topologías en X que nos permitan asegurarque los funcionales del dual sigan siendo continuos para dichas topologías. La primeraposibilidad consiste en tomar la mínima topología en el espacio que hace continuos a todoslos funcionales del dual. La herramienta idónea para este tipo de topologías es sin dudala topología inicial. Creemos que el concepto de topología inicial está bien desarrolladodentro de la topología general, no obstante hemos introducido un apéndice en nuestramemoria que permite refrescar las propiedades más importantes de dicha topología.

Definición 5.2.1 Sea X un espacio normado. Se llama topología débil de X, y sedenota por σ(X,X∗) o simplemente por w, a la topología inicial en X para la familia X∗

de los funcionales lineales y continuos (respecto de la topología de la norma) de X en K.Es decir, la topología débil de X es la más pequeña topología sobre X que hace continuosa los elementos de X∗.

A partir de este momento, τX denotará la topología de la norma en X. Puesto quela topología débil de X es la más pequeña topología sobre X que hace continuos a loselementos de X∗, se sigue de la propia definición de X∗, que σ(X∗, X) ⊂ τX .

Sea X un espacio normado. Sobre X∗ tenemos dos topologías, la topología de lanorma y su topología débil (σ(X∗, X∗∗)). No obstante, en este caso podemos introduciruna topología más sobre X∗.


Definición 5.2.2 Sea X un espacio normado. Se llama topología débil-* de X∗, y sedenota por σ(X∗, X) o simplemente por w∗, a la topología inicial en X∗ para la familiaJX(X) (⊆ X∗∗). Es decir, la topología débil-* de X∗ es la más pequeña topología sobreX∗ que hace continuos a los elementos de JX(X).

Como JX(X) es un subespacio deX∗∗ y la topología σ(X∗, X∗∗) hace continuos a todoslos elementos de X∗∗, podemos asegurar que también hace continuos a los elementos deJX(X). Como la topología débil-* de X∗ es la topología inicial en X para este últimosubconjunto es claro que

σ(X∗, X) ⊂ σ(X∗, X∗∗) ⊂ τX∗ .

Veamos a continuación algunas propiedades básicas de las topologías débil y débil-*.

Proposición 5.2.3 Sea X un espacio normado.

1. Si x0 ∈ X, ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗, el conjunto

U(x0; ε, n, f1, ..., fn) = x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n

es un entorno de x0 para la topología débil de X. De hecho, la familiaU(x0; ε, n, f1, ..., fn) : ε ∈ R+, n ∈ N, f1, ..., fn ∈ X∗

es una base de entornos de x0 en la topología débil de X.

2. Si f0 ∈ X∗, ε ∈ R+, n ∈ N y x1, ..., xn ∈ X, el conjunto

U(f0; ε, n, x1, ..., xn) = f ∈ X∗ : |xi(f)− xi(f0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n

es un entorno de f0 para la topología débil-* de X∗. De hecho, la familiaU(f0; ε, n, x1, ..., xn) : ε ∈ R+, n ∈ N, x1, ..., xn ∈ X

es una base de entornos de f0 en la topología débil-* de X∗.

3. La topologías σ(X,X∗) y σ(X∗, X) son topologías Hausdorff.

4. La topología σ(X,X∗) es compatible con la estructura vectorial de X. Esto es, lasuma y el producto por escalares son continuos cuando en X se considera la topologíaσ(X,X∗), en K la topología usual y en X×X y K×X las correspondientes topologíasproducto.


5. La topología σ(X∗, X) es compatible con la estructura vectorial de X∗.

6. Una sucesión xn de elementos de X converge en la topología débil a un puntox0 ∈ X si, y sólo si, para cada f ∈ X∗ la sucesión f(xn) converge a f(x0).

7. Una sucesión fn en X∗ converge en la topología débil-* a un funcional f0 ∈ X∗

si, y sólo si, fn(x) converge a f0(x) para todo x ∈ X.

Demostración.- 1) Pongamos X∗ = fi : i ∈ I para un conveniente conjunto deíndices I. Para cada i ∈ I, la familia

Bi =B(fi(x0), ε) : ε ∈ R+

,

dondeB(fi(x0), ε) = λ ∈ K : |λ− fi(x0)| < ε (ε ∈ R+),

es una base de entornos de fi(x0) en la topología usual de K. Entonces, por el apartado2) de la Proposición ??, la familia

B =

n∩i=1

f−1i (B(fi(x0), ε)) : ε ∈ R+, n ∈ N, f1, ..., fn ∈ X∗

es una base de entornos de x0 en la topología débil de X.En concreto, dados ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗ se tiene:

n∩i=1

f−1i (B(fi(x0), ε))

= x ∈ X : fi(x) ∈ B(fi(x0), ε), ∀i ∈ 1, ..., n

= x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n = U(x0; ε, n, f1, ..., fn).

Hemos probado la afirmación 1).2) Prácticamente la misma demostración expuesta en el apartado anterior permite

demostrar este.3) Por el apartado 5) de la Proposición ??, la topología débil de X es de Hausdorff

ya que X∗ separa los puntos de X (3.1.5). Más explícitamente, dados x, y ∈ X con x = y

existe f ∈ X∗ tal que f(x) = f(y). Así, con ε = |f(x)−f(y)|2

, es claro que los conjuntos

z ∈ X : |f(z)− f(x)| < ε y z ∈ X : |f(z)− f(y)| < ε

son entornos débiles disjuntos de x e y, respectivamente.


La afirmación para la topología σ(X∗, X) se sigue del hecho de que X o JX(X) separapuntos de X∗.

4) Para probar que la topología σ (X,X∗) es compatible con la estructura vectorial deX, sea (x0, y0) un punto de X ×X y sea V un entorno débil de x0 + y0 en X. Entonces

z ∈ X : |fi(z)− fi(x0 + y0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ V

para convenientes ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗.

El conjunto U = U1 × U2 ⊂ X ×X, donde

U1 =x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| <

ε

2, ∀i ∈ 1, ..., n

y

U2 =y ∈ X : |fi(y)− fi(y0)| <

ε

2, ∀i ∈ 1, ..., n

,

es un entorno de (x0, y0) en X × X (para la topología producto correspondiente a latopología débil de X) y U1 + U2 ⊂ V , esto es,

(x, y) ∈ U ⇒ x+ y ∈ V,

lo que prueba la continuidad de la suma en el punto (x0, y0).

Consideremos ahora (λ0, x0) ∈ K×X y sea V un entorno débil de λ0x0 en X. Entoncesexisten ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗ tales que

z ∈ X : |fi(z)− fi(λ0x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ V.

El conjunto U = U1 × U2 ⊂ K×X, donde

U1 =

λ ∈ K : |λ− λ0| <

ε

2(1 + max|f1(x0)| , ..., |fn(x0)|)

y

U2 =

x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| <

ε

2 |λ0|+ ε, ∀i ∈ 1, ..., n

,

es un entorno de (λ0, x0) en K×X (para la topología producto de la topología usual deK y la débil en X) y dado (λ, x) ∈ U se tiene:

|fi(λx)− fi(λ0x0)| ≤ |fi(λx)− fi(λx0)|+ |fi(λx0)− fi(λ0x0)|

= |λ| |fi(x)− fi(x0)|+ |λ− λ0| |fi(x0)|


≤ (|λ− λ0|+ |λ0|)ε

2 |λ0|+ ε+ |λ− λ0| |fi(x0)|

< (ε

2+ |λ0|)

ε

2(|λ0|+ ε2)+

ε |fi(x0)|2(1 + max|f1(x0)| , ..., |fn(x0)|)

<ε

2+ε

2= ε

para todo i ∈ 1, ..., n . Por tanto, λx ∈ V y la continuidad del producto por escalaresqueda demostrada.

5) Cuando en los razonamientos expuestos en el apartado anterior utilizamos las ba-se de entornos de la topología σ(X∗, X) proporcionados en 2), obtenemos de forma laafirmación deseada.

6) Supongamos que xn es una sucesión de puntos de X que converge a un puntox0 ∈ X en la topología débil de X. Sean f ∈ X∗ y ε > 0. Como el conjunto

x ∈ X : |f(x)− f(x0)| < ε

es un entorno débil de x0 y xn converge débilmente a x0, tenemos:

∃ m ∈ N : n ≥ m ⇒ |f(xn)− f(x0)| < ε.

Esto demuestra que f(xn) converge a f(x0).Recíprocamente, sea xn ∈ XN y x0 ∈ X tal que f(xn) → f(x0) para todo f ∈ X∗.

Sea V un entorno de x0 en la topología w de X. Entonces

x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ...,m ⊂ V

para convenientes ε > 0, m ∈ N y f1, ..., fm ∈ X∗. Como fi(xn) converge a fi(x0) paracada i ∈ 1, ...,m, entonces:

∃ ni ∈ N : n ≥ ni ⇒ |fi(xn)− fi(x0)| < ε (i = 1, ...,m).

Sea N = maxni : i = 1, ...,m. Para n ≥ N se tiene:

|fi(xn)− fi(x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ...,m

y, por tanto, xn ∈ V para n ≥ N. Hemos probado que xn converge a x0 en la topologíadébil de X.

La última afirmación se demuestra de forma análoga a la anterior con la salvedad dereemplazar los entornos débiles por entornos débil-*.

El concepto de dual topológico de un espacio normado puede ser generalizado a dualestopológicos de espacios más generales que los espacios normados. Recordamos que un


espacio vectorial topológico es un espacio vectorialX que posee además una estructurade espacio topológico verificando que la suma y el producto por escalares son continuospara dicha topología. Si X es un espacio normado entonces X equipado con la topologíade la norma es un espacio vectorial topológico. Los apartados 4) y 5) de la Proposición5.2.3 nos asegura que X equipado con su topología débil es también un espacio vectorialtopológico y que lo mismo sucede conX∗ cuando consideramos su topología débil o débil-*.

Sea (X, τ) un espacio vectorial topológico. Llamamos dual topológico de X y lonotamos por (X, τ)∗ al espacio vectorial formado por todas las aplicaciones lineales yτ -continuas de X en K.

En realidad, la topología débil de un espacio normado X no hace continuos másfuncionales lineales sobre X que los que impone la propia definición de dicha topología,es decir, los duales topológicos de (X, τX) y de (X, σ(X,X∗)) son el mismo.

Proposición 5.2.4 Dado un espacio normado X, su dual X∗ es también el conjunto delos funcionales lineales débilmente continuos de X en K. Más sugestivamente,

X∗ := (X, τX)∗ = (X, σ(X,X∗))∗.

Demostración.- Sea f ∈ X♯. Si f ∈ X∗, entonces f es σ(X,X∗)-continuo ya queσ(X,X∗) es una topología en X que hace continuos a los elementos de X∗. Por otra parte,si f es σ(X,X∗)-continuo, entonces para todo abierto G ⊂ K se tiene que f−1(G) ∈σ(X,X∗) y como σ(X,X∗) ⊂ τX , se sigue que f−1(G) ∈ τX . Por tanto, f ∈ X∗.

Hemos visto que la topología débil de un espacio normado hace continuos los mismosfuncionales que la topología de la norma. Realmente este hecho es válido para aplicacioneslineales en general:

Proposición 5.2.5 Sean X e Y espacios normados y T : X → Y una aplicación lineal.Entonces T es continua de (X, τX) en (Y, τY ) si, y sólo si, es continua de (X, σ(X,X∗))

en (Y, σ(Y, Y ∗)).

Demostración.- Supongamos que T es continua de (X, τX) en (Y, τY ). Sea x0 unpunto de X y W un entorno débil de T (x0) en Y. Entonces existen ε ∈ R+, n ∈ N yf1, ..., fn ∈ Y ∗ tales que

y ∈ Y : |fi(y)− fi(T (x0))| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ W.

Consideremos el conjunto

V = x ∈ X : |fi(T (x))− fi(T (x0))| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n .


Como fi T ∈ X∗ para cada i ∈ 1, ..., n, entonces V es un entorno de x0 en la topologíadébil de X. Es claro que T (V ) ⊂ W y esto prueba que T es continua de (X, σ(X,X∗)) en(Y, σ(Y, Y ∗)).

Supongamos ahora que T es continua considerando en X e Y las correspondientestopologías débiles. Para todo f ∈ Y ∗ se tiene que f T ∈ X∗ (5.2.4) y en tal caso,el conjunto (f T )(BX) está acotado (1.2.1). Como f ∈ Y ∗ era arbitrario, T (BX) estáacotado (4.3.4) y entonces T es continua de (X, τX) en (Y, τY ) (1.2.1).

El siguiente corolario es una consecuencia de la Proposición 5.2.3 y nos dice que, aligual que pasa con la topología de la norma, las traslaciones y la homotecias no nulas en unespacio normado son homeomorfismos con cualquiera de las topologías recién introducidasen este tema.

Corolario 5.2.6 Sea X un espacio normado, x0 ∈ X, f0 ∈ X∗ y λ0 ∈ K \ 0.

1. Las aplicaciones x 7→ x+ x0 y x 7→ λ0x, de X en X, son homeomorfismos para latopología σ(X,X∗).

2. Las aplicaciones f 7→ f + f0 y f 7→ λ0f, de X∗ en X∗, son homeomorfismos para latopología σ(X∗, X∗∗) y también para la topología σ(X∗, X).

Demostración.- La aplicación x 7→ x + x0 es, obviamente, la composición de laaplicación x 7→ (x, x0) de X en X ×X con la suma de X ×X en X. La continuidad dela suma para la topología σ(X,X∗) se ha probado en la Proposición 5.2.3 y la aplicaciónx 7→ (x, x0) tiene como funciones coordenadas la identidad en X y una función constante,en consecuencia es continua (cualquiera que sea la topología que se considere sobre X,siempre y cuando en X × X se considere la correspondiente topología producto). Asípues, cualquier traslación es continua para la topología débil y puesto que se trata de unaaplicación biyectiva cuya inversa es también una traslación, concluimos que es, de hecho,un homeomorfismo para la citada topología.

De forma análoga se razona con la aplicación x 7→ λ0x pues se trata de la composiciónde la aplicación x 7→ (λ0, x) de X en K×X con el producto por escalares.

Para probar el segundo apartado se procede de idéntica forma.

Sea X un espacio normado. Ya sabemos que

σ(X∗, X) ⊂ σ(X∗, X∗∗) ⊂ τX∗ .

Parece entonces lógico preguntarse cuando podemos asegurar que alguna de las desigual-dades anteriores es de hecho una igualdad. Para comenzar veamos que la topología débil


o la débil-* coincide con la inducida por la norma solamente en el caso finito-dimensional.Para ello, necesitaremos la siguiente caracterización de la dependencia lineal de funciona-les.

Proposición 5.2.7 Sea X un espacio vectorial y f1, ..., fn, f ∈ X♯. Las siguientes condi-ciones son equivalentes:

1. f es combinación lineal de f1, ..., fn.

2.∩ni=1 ker fi ⊂ ker f.

Demostración.- Si f es combinación lineal de f1, ..., fn, es inmediato que

n∩i=1

ker fi ⊂ ker f.

Recíprocamente, consideremos la afirmación: si∩ni=1 ker fi ⊂ ker f, entonces existen n

escalares α1, ..., αn tales que f =∑n

i=1 αifi. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad,que los funcionales f1, ..., fn son linealmente independientes. Haremos la demostración porinducción sobre n.

Para n = 1, supongamos que ker f1 ⊂ ker f. Fijamos un punto x0 ∈ X tal quef1(x0) = 1 y entonces, para todo x ∈ X, se tiene:

x− f1(x)x0 ∈ ker f1 ⊂ ker f de donde f(x) = f1(x)f(x0).

Tomando α1 = f(x0), tenemos f = α1f1.

Admitamos que la afirmación es cierta para n − 1 y demostremos que lo es para n.

Supongamos entonces que∩ni=1 ker fi ⊂ ker f. Para cada k ∈ 1, ..., n, fk no es combi-

nación lineal de los funcionales del conjunto fi : i = 1, ..., n, i = k. Entonces, por lahipótesis de inducción,

n∩i=1,i =k

ker fi ⊂ ker fk,

y, por tanto, existe un vector xk tal que fk(xk) = 1 y fi(xk) = 0 para i = k. Definamosαk = f(xk) para k = 1, ..., n y veamos que f =

∑nk=1 αkfk. En efecto, para todo x ∈ X,

el vector x−∑n

k=1 fk(x)xk pertenece a∩ni=1 ker fi :

fi(x−n∑k=1

fk(x)xk) = fi(x)−n∑k=1

fk(x)fi(xk) = fi(x)− fi(x) = 0 (i = 1, ..., n).


Como∩ni=1 ker fi ⊂ ker f, x−

∑nk=1 fk(x)xk ∈ ker f. Entonces

0 = f(x)−n∑k=1

fk(x)f(xk) = f(x)−n∑k=1

αkfk(x),

y por la arbitrariedad de x, tenemos f =∑n

k=1 αkfk tal y como queríamos.

Una prueba distinta del resultado anterior, usando la extensión de aplicaciones lineales,puede consultarse en [21, pág 5].

Proposición 5.2.8 Sea X un espacio normado. Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:

1. σ(X,X∗) = τX .

2. σ(X∗, X) = τX∗ .


Demostración.- Supongamos en primer lugar que σ(X,X∗) = τX . Se tiene entonces,en particular, que BX es un entorno débil de cero. Por tanto, existen ε ∈ R+, n ∈ N yf1, ..., fn ∈ X∗ tales que

x ∈ X : |fi(x)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ BX .

Dado x ∈∩ni=1 ker fi, es obvio por la inclusión anterior que

Lin(x) ⊂ BX .

Esto implica que x = 0. Así pues,∩ni=1 ker fi = 0 y, por tanto, cualquiera que sea

f ∈ X∗ se tiene quen∩i=1

ker fi ⊂ ker f.

La caracterización de la dependencia lineal de funcionales (5.2.7) permite deducir quef ∈ Lin(f1, ..., fn), lo cual prueba que X∗ es de dimensión finita. Se sigue que X esfinito-dimensional (3.1.12).

Recíprocamente, supongamos que X es de dimensión finita, con lo que también lo esX∗, y sea f1, ..., fn una base de X∗. Para cada x ∈ X, sea

|||x||| = max |f1(x)| , ..., |fn(x)| .


Veamos que x 7→ |||x||| es una norma sobre X. Si x, y ∈ X y α ∈ K, para cadai ∈ 1, ..., n , se tiene que

|fi(x+ y)| = |fi(x) + fi(y)| ≤ |fi(x)|+ |fi(y)| ≤ |||x|||+ |||y|||

|fi(αx)| = |αfi(x)| = |α| |fi(x)| .

Por tanto,|||x+ y||| = max |fi(x+ y)| : i = 1, ..., n ≤ |||x|||+ |||y|||

|||αx||| = max |fi(αx)| : i = 1, ..., n = |α|max |fi(x)| : i = 1, ..., n = |α| |||x||| .

Finalmente, si x ∈ X es tal que |||x||| = 0, entonces fi(x) = 0 para i = 1, ..., n. ComoX∗ = Lin(f1, ..., fn), se sigue que f(x) = 0 para todo f ∈ X∗. Esto implica que x = 0

ya que X∗ separa los puntos de X (3.1.5).Como X es de dimensión finita, la norma |||·||| es equivalente a la norma de partida

(1.4.3 3)). Por tanto, τX coincide con la topología inducida por esta nueva norma. Enconsecuencia, dado G ∈ τX y x0 ∈ G existe ε ∈ R+ tal que

x ∈ X : |||x− x0||| < ε ⊂ G,

esto es,x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ G,

lo que prueba que G ∈ σ(X,X∗).

Hasta aquí se ha demostrado que σ(X,X∗) = τX si, y sólo si, X es finito-dimensional.Finalmente, si σ(X∗, X) = τX∗ la relación

σ(X∗, X) ⊂ σ(X∗, X∗∗) ⊂ τX∗

nos da que σ(X∗, X∗∗) = τX∗ , y aplicando lo ya probado a X∗ obtenemos que dimX∗ <∞lo que equivale a la condición dimX <∞ (3.1.12).

Recíprocamente, si X es de dimensión finita, entonces X es, en particular, reflexivo y,por tanto, JX(X) = X∗∗, de donde se sigue que

σ(X∗, X) = σ(X∗, X∗∗) = τX∗ .

Para obtener la última igualdad hemos aplicado nuevamente la equivalencia ya probadaa X∗.

En lo que resta de memoria, cada vez que trabajemos con un concepto topológicoen espacios normados, entenderemos, salvo mención en contra, que nos referimos a latopología de la norma.


La proposición anterior permite demostrar el siguiente hecho: Si X es un espacionormado y τ es una topología de Hausdorff sobre X contenida en τX , dado un subconjuntocompactoK deX yA ⊂ K, abierto relativo aK, se tiene claramente queK\A es compactoy, en particular, τ -compacto, luego τ -cerrado. En consecuencia, A es τ -abierto relativo aK y tenemos así que τ y τX inducen en K la misma topología. Por tanto:

Proposición 5.2.9 Si X es un espacio normado y K es un subconjunto compacto de X(resp. de X∗), entonces σ(X,X∗) y τX (resp. σ(X∗, X) y τX∗) inducen la misma topologíasobre K. Como consecuencia, las sucesiones w-convergentes (resp. w∗-convergentes) deelementos de K coinciden con las sucesiones convergentes en norma. 2

Sea X un espacio normado. La inclusión σ(X,X∗) ⊂ τX nos permite afirmar quetodo subconjunto débilmente cerrado de X es cerrado para la topología de la norma. Elrecíproco no es cierto si X es de dimensión infinita, como veremos en el Ejemplo 5.2.11.Sin embargo, gracias a la versión geométrica del Teorema de Hahn-Banach, vamos a poderafirmar que los subconjuntos convexo-cerrados (en particular, los subespacios cerrados)coinciden en ambas topologías.

Proposición 5.2.10 (Teorema de Mazur). Sea X un espacio normado y A un sub-conjunto convexo de X. Entonces el cierre de A en la topología débil de X coincide conel cierre de A en la topología de la norma de X.

Demostración.- Denotemos por Aw y A los cierres de A en las topologías w y τX ,

respectivamente. Es claro que A ⊂ Aw (pues A ⊂ A

w y Aw es cerrado respecto de la

topología w y, en consecuencia, también es cerrado respecto de la topología τX). Paraprobar la otra inclusión, sea x0 ∈ X\A, entonces d(x0, A) = δ > 0 y el Corolario 3.3.9(aquí se precisa la convexidad de A) nos da un funcional f ∈ X∗ tal que

∥f∥ = 1 y ℜef(x0) = supℜef(A) + δ.

Así pues,|f(x0)− f(a)| ≥ ℜef(x0)−ℜef(a) ≥ δ, ∀a ∈ A.

En tal caso, el conjunto x ∈ X : |f(x)− f(x0)| < δ tiene intersección vacía con A y,evidentemente, es un entorno débil de x0, luego x0 /∈ A

w.

Si consideramos la topología débil-* en X∗, es cierto que todo conjunto w∗-cerrado escerrado en norma (basta recordar que σ(X∗, X) ⊂ τX∗). Sin embargo, no se verifica lo quese afirma en el Teorema de Mazur, es decir, un subconjunto convexo y cerrado en normade X∗ puede no ser cerrado para la topología w∗.


Antes de continuar vamos a comentar algunas propiedades de las topologías débilesque resultan sorprendentes al compararlas con el comportamiento de la topología inducidapor la norma. Una de estas propiedades es la siguiente: si X es un espacio normado dedimensión infinita, todo entorno débil de cero contiene un subespacio de dimensión infinita.En efecto, si V es un entorno débil de cero en X, existen ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗

tales quex ∈ X : |fi(x)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ V.

Por otra parte, la aplicación T : X → Kn definida por

T (x) = (f1(x), ..., fn(x)), ∀x ∈ X

es lineal y su núcleo viene dado por

kerT = x ∈ X : fi(x) = 0, ∀i ∈ 1, ..., n .

Finalmente, como dimX ≤ n + dimkerT, el subespacio kerT es de dimensión infinita yclaramente está contenido en V.

Notemos también que, de acuerdo con la Proposición 5.2.8, todo espacio normado dedimensión infinita contiene conjuntos abiertos (resp. cerrados) en la topología de la normaque no son abiertos (resp. cerrados) en la topología débil. A continuación exponemosalgunos ejemplos de este tipo de conjuntos.

Ejemplo 5.2.11 Dado un espacio normado X de dimensión infinita, la esfera unidad SXde X no es cerrada en la topología débil de X. En concreto probaremos que SX

w= BX .

Veamos primero que x ∈ X : ∥x∥ < 1 ⊂ SXw. Para ello, sea x0 ∈ X con ∥x0∥ < 1 y

sea V un entorno débil de x0. Entonces existen ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗ tales que

x ∈ X : |fi(x)− fi(x0)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n ⊂ V.

Fijemos un punto y0 ∈ X\0 tal que fi(y0) = 0 para todo i ∈ 1, ..., n . Un punto y0 conesta propiedad siempre existe ya que, en caso contrario, la aplicación lineal T : X → Kn

definida porT (x) = (f1(x), ..., fn(x)), ∀x ∈ X

sería inyectiva, luego T sería una biyección lineal de X sobre T (X) ⊂ Kn y, por tanto, Xsería de dimensión finita lo que contradice la hipótesis.

Consideremos ahora la función g : R→ R dada por

g(t) = ∥x0 + ty0∥ , ∀t ∈ R.


Claramente g es continua, g(0) = ∥x0∥ < 1 y g(t) → +∞ cuando t → +∞. En tal caso,existe un punto t0 > 0 tal que ∥x0 + t0y0∥ = 1. Además, x0 + t0y0 ∈ V :

|fi(x0 + t0y0)− fi(x0)| = |fi(t0y0)| = |t0fi(y0)| = 0 < ε, ∀i ∈ 1, ..., n .

Por consiguiente, x0 + t0y0 ∈ V ∩ SX . Tenemos, por tanto, que

SX ⊂ BX ⊂ SXw.

Finalmente, como BX es un cerrado en la topología débil de X (5.2.10), se sigue queSX

w= BX , como queríamos.

Nótese que en el ejemplo anterior x0 + ty0 ∈ V para todo t ∈ R, luego V contiene,sorpresivamente, toda una “recta” que pasa por x0.

Ejemplo 5.2.12 Si X es un espacio normado de dimensión infinita, el interior del con-junto A = x ∈ X : ∥x∥ < 1 en la topología débil de X es vacío. Para probar esto,supongamos, razonando por reducción al absurdo, que existiese un punto x0 ∈ X y unentorno débil V de x0 tal que V ⊂ A. Por el comentario que precede a este ejemplo, V, ypor tanto A, contendría a x0 + ty0 : t ∈ R para un conveniente y0 ∈ X\0, lo que nosdaría que R está acotado.

Ahora podemos afirmar que la topología débil (respectivamente, la topo-logía débil-*)coincide con la topología de la norma en un espacio normado X (respectivamente, X∗) si,y solo si, X es finito dimensional. Aún nos queda por analizar cuando la topologías débily débil-* coinciden en X∗.

Proposición 5.2.13 Si X es un espacio normado, entonces X es reflexivo si, y sólo si,σ(X∗, X) = σ(X∗, X∗∗).

Demostración.- Si X es reflexivo entonces JX(X) = X∗∗ y la igualdad

σ(X∗, X∗∗) = σ(X∗, X)

se sigue directamente de las definiciones de dichas topologías.Recíprocamente, supongamos que σ(X∗, X∗∗) = σ(X∗, X) y sea F ∈ X∗∗. La propia

definición de la topología σ(X∗, X∗∗) garantiza que F es continuo de (X∗, σ(X∗, X∗∗) enK. Luego, teniendo en cuenta la hipótesis, F es continuo para σ(X∗, X) (en particular, loes en el origen). Así pues, existen δ ∈ R+, n ∈ N y x1, ..., xn ∈ X tales que

f ∈ X∗, |f(xi)| < δ, ∀i ∈ 1, ..., n ⇒ |F (f)| < 1.


Dado f ∈∩ni=1 ker JX(xi), es claro que λf ∈

∩ni=1 ker JX(xi) para todo λ ∈ K. De

lo anterior, |F (λf)| < 1 para todo λ ∈ K lo que implica que f ∈ kerF. Por tanto,∩ni=1 ker JX(xi) ⊂ kerF y, por la Proposición 5.2.7, F es combinación lineal de los fun-

cionales JX(x1), ..., JX(xn). Por tanto F ∈ JX(X).

Si nos fijamos en la parte final de la demostración anterior, hemos probado que siF : X∗ → K es un funcional lineal y w∗-continuo, entonces F ∈ JX(X) y como loselementos de JX(X) son también w∗-continuos tenemos:

Proposición 5.2.14 Los funcionales lineales y w∗-continuos sobre X∗ son, exactamente,los elementos de JX(X). De forma sugestiva, (X∗, w∗)∗ = X. 2

5.3. Teorema de Goldstine

Uno de los principales motivos para introducir las topologías débiles fue la escasez desubconjunto norma compactos en espacios normados infinito-dimensionales. Para justificarplenamente la introducción de las topologías débiles, vamos a demostrar la abundancia desubconjuntos compactos para las topologías débiles en espacios normados de dimensióninfinita. Para comenzar vamos a obtener el Teorema de Goldstine que jugará un papelimportante en la caracterización de la reflexividad a partir de la compacidad débil de labola unidad de un espacio de Banach.

Ya sabemos que cualquier espacio normado X puede ser embebido en su bidual me-diante la inyección canónica JX : X → X∗∗, la cual es una isometría lineal. Veamosa continuación como se comporta esta inyección canónica con respecto a las topologíasdébiles.

Proposición 5.3.1 Sea X un espacio normado. Si en X consideramos la topologíaσ(X,X∗) y en JX(X) la topología inducida por la topología σ(X∗∗, X∗) de X∗∗, entoncesla inyección canónica JX : X → X∗∗ es un homeomorfismo de X en JX(X). De formamenos precisa, pero más sugestiva (identificando X con JX(X)), lo anterior nos dice quela topología débil-* de X∗∗ induce en X su topología débil.

Demostración.- La topología σ(X∗∗, X∗) es la topología inicial enX∗∗ para la familiaJX∗(X∗). Entonces, por el apartado 3) de la Proposición ??, la aplicaciónJX : X → X∗∗ es continua de (X, σ(X,X∗)) en (X∗∗, σ(X∗∗, X∗)) si, y sólo si, paracada f ∈ X∗, JX∗(f) JX : X → K es σ(X,X∗)-continua. Pero esto está garantizadopuesto que JX∗(f) JX = f y los elementos de X∗ son σ(X,X∗)-continuos (5.2.4).

5.3. Teorema de Goldstine 113

Del mismo modo, para probar que J−1X : JX(X) → X es continua cuando en JX(X) se

considera la topología inducida por la topología débil-* de X∗∗ y en X su topología débil,basta probar que f J−1

X : JX(X) → K es continua para todo f ∈ X∗ (considerando enJX(X) la mencionada topología). Pero, f J−1

X = JX∗(f)|JX(X) cualquiera que sea f ∈ X∗

y JX∗(f)|JX(X) es continua para dicha topología como se desprende de la definición deσ(X∗∗, X∗).

Pese a que un espacio normado X puede no ser reflexivo, a cada elemento F de subidual se le puede hacer corresponder un vector x en X tal que JX(x) y F coinciden enun subespacio finito-dimensional de X∗ arbitrariamente prefijado (naturalmente el vectorx depende también de dicho subespacio).

Teorema 5.3.2 (Teorema de Helly) Sea X un espacio normado y F un elemento deX∗∗. Dados un subespacio finito-dimensional W de X∗ y ε > 0, existe x ∈ X tal que

∥x∥ < ∥F∥+ ε y JX(x)|W = F |W .

Demostración.- SeaM =∩f∈W ker f. Probemos primero queM = W. Sea f1, ..., fn

una base de W. Si f ∈ W podemos escribir f =∑n

i=1 αifi para convenientes escalaresα1, ..., αn. Si x ∈M entonces fi(x) = 0 para todo i en 1, ..., n, por tanto f(x) = 0 y asíf ∈M. Recíprocamente si f ∈M, se tiene:

f(x) = 0, ∀x ∈M =∩f∈W

ker f =n∩i=1

ker fi,

es decir,∩ni=1 ker fi ⊂ ker f , equivalentemente, f ∈ Lin(f1, ..., fn) = W por la Proposi-

ción 5.2.7.Claramente, M es un subespacio cerrado de X. Puesto que (X/M)∗ es isomorfo a M

(3.2.4) y M = W es finito-dimensional, tenemos que (X/M)∗ es finito-dimensional, luegoX/M también lo es (3.1.12) y, por tanto, es reflexivo. Si π es la proyección canónica de Xsobre X/M , es obvio que F π∗ ∈ (X/M)∗∗ y por la reflexividad de X/M, existe y ∈ X

tal queJX/M(y +M) = F π∗.

Sea m ∈M tal que∥y +m∥ < ∥y +M∥+ ε.

Veamos que el vector x = y +m verifica lo pedido. En primer lugar,

∥x∥ < ∥y +M∥+ ε =∥∥JX/M(y +M)

∥∥+ ε = ∥F π∗∥+ ε ≤ ∥F∥+ ε.


En segundo lugar, teniendo en cuenta que W =M y que π∗ : g 7→ gπ es un isomorfismoisométrico de (X/M)∗ en M (3.2.4), dado f ∈ W existe g ∈ (X/M)∗ tal que π∗(g) = f

y, por tanto,F (f) = F (π∗(g)) = (F π∗)(g) = [JX/M(y +M)](g)

= g(y +M) = g(x+M) = (g π)(x) = f(x) = JX(x)(f),

como queríamos.

El teorema anterior es una versión actualizada de lo que se denominaba “Principio deselección de Helly”, uno de los primeros acercamientos al teorema de Hahn-Banach.

El Teorema de Helly es un caso particular del llamado “Principio de reflexividad local”,una importante herramienta en el estudio de los espacios de Banach que no incluiremos.De forma poco precisa, pero intuitiva, dicho principio viene a decirnos que aunque X∗∗

puede ser mucho más grande que X, ambos tienen, esencialmente, los mismos subespaciosfinito-dimensionales.

Como consecuencia inmediata del Teorema de Helly obtenemos el Teorema deGoldstine. En esta sección y también en la siguiente tendremos ocasión de apreciar suutilidad para estudiar la dualidad en espacios normados.

Teorema 5.3.3 (Teorema de Goldstine) Si X es un espacio normado, JX(BX) es w∗-denso en BX∗∗ . Más sugestivamente, la bola unidad de X es w∗-densa en la bola unidadde X∗∗.

Demostración.- Sea F0 ∈ BX∗∗ y V un entorno básico de F0 para la topologíaσ(X∗∗, X∗). Entonces existen ε ∈ R+, n ∈ N y f1, ..., fn ∈ X∗ tales que

V = F ∈ X∗∗ : |F (fi)− F0(fi)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n .

El teorema quedará probado si encontramos un punto x0 ∈ BX tal que

|JX(x0)(fi)− F0(fi)| < ε, ∀i ∈ 1, ..., n .

Sea α ∈ R con α > max ∥f1∥ , ..., ∥fn∥ . El Teorema de Helly nos da un vector x ∈ X

tal que

∥x∥ < ∥F0∥+ε

α≤ 1 +

ε

αy JX(x)(fi) = F0(fi), ∀i ∈ 1, ..., n .

Si tomamos x0 = αα+ε

x, es claro que ∥x0∥ < 1 y, para cada i ∈ 1, ..., n ,

|JX(x0)(fi)− F0(fi)| = |fi(x0)− fi(x)| ≤ ∥fi∥ ∥x− x0∥


= ∥fi∥∥∥∥∥(1− α

α + ε)x

∥∥∥∥ < α(1− α

α + ε)α+ ε

α= ε.

El Teorema de Goldstine nos muestra que para cualquier espacio normado X se verificaque BX∗∗ ⊂ JX(BX)

w∗

. Veamos que en realidad se verifica que

BX∗∗ = JX(BX)w∗

. (5.1)

Como la inyección canónica de X en su bidual es una isometría, se verifica que JX(BX) ⊆BX∗∗ . Por tanto, nos bastará con comprobar que BX∗∗ es débil-*-cerrada para concluirque JX(BX)

w∗

⊆ BX∗∗ . Para ello, sea F0 ∈ BX∗∗w∗

. Evidentemente

∥F0∥ = sup |F0(f)| : f ∈ BX∗ = sup |JX∗(f)(F0)| : f ∈ BX∗ .

Para cada f ∈ BX∗ , la aplicación JX∗(f) : X∗∗ → K definida por

JX∗(f)(F ) = F (f) (F ∈ X∗∗)

es w∗-continua y es inmediato que

JX∗(f)(BX∗∗) ⊂ D := λ ∈ K : |λ| ≤ 1.

Por tanto,JX∗(f)(BX∗∗

w∗

) ⊂ JX∗(f)(BX∗∗) ⊂ D = D.

En particular |JX∗(f)(F0)| ≤ 1 y como f ∈ BX∗ era arbitrario, ∥F0∥ ≤ 1.

Debemos destacar que el Teorema de Goldstine también permite demostrar que JX(X)

es w∗-denso en X∗∗.Si X es infinito-dimensional, teniendo en cuenta que BX = SX

w (5.2.11) y que JX escontinua cuando en X y X∗∗ se consideran, respectivamente, sus topologías débil y débil-*(5.3.1), es claro que JX(BX) ⊂ JX(SX)

w∗

; luego, en virtud de la igualdad (5.1), se tienede hecho BX∗∗ = JX(SX)

w∗

.

Como primera aplicación del Teorema de Goldstine obtendremos seguidamente unacondición suficiente para la reflexividad de un espacio de Banach que suele ser muy útil.Empezamos introduciendo una propiedad geométrica que da idea de “redondez” de la bolaunidad de un espacio normado.

Definición 5.3.4 Sea X un espacio normado. Se dice que X es uniformemente conve-xo cuando para cada ε > 0 se puede encontrar δ > 0 tal que ∥x−y∥ < ε para cualesquierax, y ∈ SX verificando ∥x+ y∥ > 2− δ.


Intuitivamente, si el punto medio determinado por dos puntos de la esfera tiende estaren la esfera, entonces los puntos tienden a ser el mismo.

El hecho de que los espacios Lp[0, 1], 1 < p < +∞ sean uniformemente convexos sedebe a las desigualdades de Clarkson:

∥f + g∥pp + ∥f − g∥pp ≤ 2p−1(∥f∥pp + ∥g∥pp) ∀f, g ∈ Lp[0, 1], p ∈ [2,+∞[,

∥f + g∥qp + ∥f − g∥pp ≤ 2(∥f∥pp + ∥g∥pp)qp ∀f, g ∈ Lp[0, 1], p ∈]1, 2].

El hecho de que las desigualdades anteriores sean válidas para los espacios Lp(µ), dondeµ es una medida cualquiera puede también mostrar, si se quiere, la convexidad uniformede dichos espacios.

Ahora que tenemos ejemplificada la clase de los espacios uniformemente convexospodemos obtener la siguiente consecuencia del teorema de Goldstine.

Teorema 5.3.5 (Teorema de Milman-Pettis) Todo espacio de Banach uniformemen-te convexo es reflexivo.

Demostración.- Sea X un espacio de Banach uniformemente convexo. Para probarque X es reflexivo, dado F ∈ BX∗∗ , tenemos que demostrar que F ∈ JX(BX). ComoJX(BX) es un cerrado (en norma) de X∗∗ (por ser JX una isometría lineal, se verificaJX(BX) = JX(X) ∩ BX∗∗ con BX∗∗ y JX(X) cerrados), será suficiente si probamos lasiguiente propiedad:

∀ε > 0 ∃x ∈ BX : ∥F − JX(x)∥ ≤ ε.

Sea ε > 0 arbitrario. Por la convexidad uniforme de X, existe un δ > 0 tal que

x, y ∈ BX , ∥x+ y∥ > 2− δ ⇒ ∥x− y∥ < ε.

Sea f ∈ SX∗ tal que |F (f)| > 1− δ4

(f existe ya que ∥F∥ = 1) y consideremos el conjunto

V = G ∈ X∗∗ : |G(f)− F (f)| < δ/4 .

V es un entorno abierto de F en la topología débil-* deX∗∗ y, por el Teorema de Goldstine,se sabe que V

∩JX(BX) = ∅. Sea, por tanto, un vector x ∈ BX tal que JX(x) ∈ V. Veamos

que ∥F − JX(x)∥ ≤ ε y la demostración habrá concluido. Razonemos, por reducción alabsurdo, suponiendo que ∥F − JX(x)∥ > ε. Entonces el conjunto

W = G ∈ X∗∗ : ∥G− JX(x)∥ > ε

es también un entorno abierto de F en la topología σ(X∗∗, X∗) (ya que BX∗∗ es unw∗-cerrado de X∗∗ y X∗∗\W = JX(x) + εBX∗∗). Aplicando nuevamente el Teorema


de Goldstine se obtiene que (V∩W )

∩JX(BX) = ∅, luego existe x′ ∈ BX tal que

JX(x′) ∈ V

∩W. Resulta pues, por ser JX(x), JX(x′) ∈ V, que

|JX(x)(f)− F (f)| < δ/4 y |JX(x′)(f)− F (f)| < δ/4

y, por consiguiente,|JX(x+ x′)(f)− 2F (f)| < δ/2.

De lo anterior y como |F (f)| > 1− δ/4 se tiene:

δ/2 > 2 |F (f)| − |JX(x+ x′)(f)| > 2(1− δ/4)− |JX(x+ x′)(f)|

y, por tanto,|JX(x+ x′)(f)| > 2(1− δ/4)− δ/2 = 2− δ.

Como JX : X → X∗∗ es una isometría lineal, se sigue:

∥x+ x′∥ = ∥JX(x+ x′)∥ ≥ |JX(x+ x′)(f)| > 2− δ

y, por la convexidad uniforme de X, se tiene que ∥x− x′∥ < ε, pero también

∥x− x′∥ = ∥JX(x− x′)∥ = ∥JX(x)− JX(x′)∥ > ε

ya que JX(x′) ∈ W. Tenemos así una contradicción.

Nos gustaría terminar los resultados de este tema presentando el teorema del bipolaral menos en el ambiente de los espacios normados.

Sea M un subespacio de un espacio normado. Ya hemos tenido al ocasión de definirel polar de M mediante

M = f ∈ X∗ : f(m) = 0; ∀m ∈M ⊆ X∗.

Cuando N es un subespacio de X∗ podemos definir, el prepolar de N en X mediante

N = x ∈ X : f(x) = 0; ∀f ∈ N ⊆ X.

Es sencillo comprobar que M es un subespacio w∗-cerrado de X∗ y que N es unsubespacio cerrado (o equivalentemente w-cerrado) en X. De acuerdo con esta notación,el Corolario 3.2.2 nos permite afirmar que

(M) =Mw=M,

para cada subespacio M de X.


Parece natural preguntarse que ocurre con el polar del prepolar de cualquier subespaciode X∗, es decir, si N es un subespacio de X∗, ¿podemos afirmar que (N)

coincide conel cierre w∗ de N en X∗?

Para comenzar vamos obtener una versión del Corolario 3.2.2 en este nuevo ambiente.Necesitaremos antes la siguiente reformulación del Corolario 3.1.6 obtenida a partir delTeorema de Goldstine.

Corolario 5.3.6 Sea X un espacio normado. Sea N un subespacio de X∗ y seaf ∈ X∗\Nw∗

. Entonces existe x ∈ BX verificando que JX(x)(Nw∗

) = 0 y |JX(x)(f)| > 0.

Demostración.- Notemos M = Nw∗

. Como M es débil*-cerrado en X∗ tenemos, enparticular que M es cerrado en X∗. Como f ∈ X∗\M el Corolario 3.1.6 nos asegura queexiste F ∈ SX∗∗ tal que F (M) = 0 y F (f) = δ > 0. Definamos

V =M∩

G ∈ X∗∗ : |G(f)| ≥ δ .

Es claro que V es un entorno débil-* cerrado de F en X∗∗. Por el Teorema de Goldstineexiste x ∈ BX tal que JX(x) ∈ V . En consecuencia JX(x) ∈M y

|JX(x)(f)| = |f(x)| ≥ δ > 0.

Proposición 5.3.7 Sea X un espacio normado y N un subespacio de X∗. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. Nw∗

= X∗.

2.∩f∈N ker f = 0, es decir, N separa los puntos de X.

Demostración.- 1) ⇒ 2) Supongamos que Nw∗

= X∗ y sea x ∈ X\0. El Corolario3.1.5 nos asegura que existe g ∈ X∗ con ∥g∥ = 1 y g(x) = ∥x∥. Como N es w∗-densoen X∗, podemos afirmar que existe h ∈ N tal que |g(x) − h(x)| < ∥x∥

2. En particular,

|h(x)| > ∥x∥2> 0, y por tanto

x /∈ kerh ⊇∩f∈N

ker f.

2) ⇒ 1) Asumimos que∩f∈N ker f = 0. Como N

w∗

⊆ X∗, solo tenemos quedemostrar el otro contenido para probar la igualdad buscada. Supongamos, por el contrario


que existe h ∈ X∗\Nw∗

. El Corolario 5.3.6 nos asegura la existencia de un x ∈ BX talque JX(x)(N

w∗

) = 0 y |JX(x)(h)| > 0, es decir, x ∈∩f∈N ker f = 0 y |h(x)| > 0, lo

cual es una contradicción.

Como consecuencia, X∗ es w∗−separable si, y sólo si, existe un subconjunto numerablede X∗ que separa los puntos de X.

Podemos obtener ahora la respuesta a la pregunta formulada anteriormente.

Corolario 5.3.8 (Teorema del bipolar para espacios normados) Sea X un espacionormado y sean M y N subespacios de X y X∗, respectivamente. Entonces:

1. (M0)0 =Mw.

2. (N0)0 = N

w∗

. 2

El corolario anterior nos permite describir, en términos del dual, el cierre de cualquiersubespacio para las topologías débiles. En realidad, nos describe como se obtienen todos lossubespacios cerrados para las topologías débiles correspondientes. Para ser más preciso,la operación de tomar polar es un anti-isomorfismo de retículos entre los subespacioscerrados de X y los subespacios w∗−cerrados de X∗, para el orden parcial de la inclusión.

Vamos a concluir este tema intentando describir cuándo un espacio de Banach es dualde otro. Antes de entrar de lleno en esta cuestión, introducimos un hecho tan elementalcomo útil.

Proposición 5.3.9 (Proyección de Dixmier) Sea X un espacio normado. La aplica-ción

PX = JX∗ J∗X : X∗∗∗ −→ X∗∗∗,

es una proyección lineal continua tal que

∥PX∥ = 1, PX(X∗∗∗) = JX∗(X∗), ker PX = JX(X)0.

En consecuencia, X∗∗∗ = JX∗(X∗)⊕ JX(X)0.

Podemos obtener como consecuencia inmediata que un espacio de BanachX es reflexivosi, y solo si, lo es su dual, dando de esta forma una demostración alternativa de la Pro-posición 5.1.13.

Volvamos a la cuestión de ver si un espacio de Banach es dual de otro espacio. Si Y esun espacio de Banach dual, digamos isomorfo a X∗, la proposición anterior nos garantiza


la existencia de una proyección, no necesariamente de norma 1, de Y ∗∗ sobre Y cuyonúcleo es un polar y, por tanto, w∗−cerrado.

Recíprocamente, supongamos que P es una proyección lineal y continua de Y ∗∗ sobreY con núcleo w∗−cerrado. El teorema del bipolar nos informa de que ker P = M0 paraalgún subespacio M de Y ∗. Como ya sabemos ha de ser entonces Y isomorfo a M∗.

Tenemos probado el siguiente resultado.

Teorema 5.3.10 Sea Y un espacio de Banach. Entonces equivalen:

1. Existe X espacio de Banach tal que Y es isomorfo a X∗.

2. Existe una proyección lineal y continua de Y ∗∗ sobre Y cuyo núcleo es w∗−cerrado.

Además, si cambiamos isomorfo por isométrico, el resultado sigue siendo válido si se exigeque la proyección sea de norma 1. 2

Podemos ilustrar el resultado anterior observando que c0 no es isomorfo al dual de unespacio normado, aplicando el teorema de Phillips (??).

5.4. Teorema de Banach-Alaoglu

Después de haber obtenido algunas aplicaciones del Teorema de Goldstine en el temaanterior, vamos a dedicar éste al Teorema de Banach-Alaoglu. El mencionado resultadonos va a asegurar que la topología débil-* de un espacio de Banach dual hace compacta a labola unidad cerrada de dicho espacio, propiedad que habíamos perdido para la topologíade la norma en espacios infinito dimensionales. Ponemos así de manifiesto la principalutilidad de la topología w∗, debida sobre todo a la abundancia de conjuntos compactos,para dicha topología, en el dual de un espacio normado.

La historia de este resultado comienza en 1932 con Banach. Dicho autor probó quela bola unidad del dual de un espacio de Banach separable es w∗-compacta [2]. En 1940,Alaoglu suprime la hipótesis de separabilidad estableciendo el resultado que hoy día co-nocemos como Teorema de Banach-Alaoglu.

El hecho de que todo espacio de Banach sea isométricamente isomorfo a un subespaciode C(K) (para un conveniente compacto de Hausdorff K) es la consecuencia más llamati-va, pero no la más útil, del Teorema de Banach-Alaoglu. En combinación con el Teoremade Goldstine (Teorema 5.3.3), el Teorema de Banach-Alaoglu da lugar a una importantecaracterización de los espacios de Banach reflexivos en función de la compacidad débil desu bola unidad.

5.4. Teorema de Banach-Alaoglu 121

Teorema 5.4.1 (Teorema de Banach-Alaoglu) La bola cerrada unidad del dual deun espacio normado X es w∗-compacta. En consecuencia, todo subconjunto w∗-cerrado yacotado (en norma) de X∗ es w∗-compacto.

Demostración.- En el espacio vectorial KX de todas las aplicaciones de X en Kconsideramos la topología producto, es decir, la topología inicial para la familia de pro-yecciones px : x ∈ X donde, para cada x ∈ X,

px(f) = f(x) (f ∈ KX).

Evidentemente X∗ es un subespacio de KX y es claro que

px|X∗ = JX(x) (x ∈ X) .

Por tanto, la topología producto de KX induce en X∗ la topología inicial para la familiaJX(X) (?? 4)), es decir, la topología w∗. Así pues, teniendo en cuenta que la compacidadno depende del espacio ambiente (siempre y cuando las topologías de los ambientes máspequeños sean las inducidas por las de los ambientes mayores) basta probar que BX∗ esun subconjunto compacto de KX .

Si f ∈ BX∗ entonces |f(x)| ≤ ∥x∥ para todo x ∈ X. Así pues, si notamos

Dx = λ ∈ K : |λ| ≤ ∥x∥

tenemos que f(x) ∈ Dx para todo x ∈ X. Luego f ∈∏

x∈X Dx y por tanto

BX∗ ⊂∏x∈X

Dx ⊂ KX .

Por el Teorema de Tihonov (??),∏

x∈X Dx es un subconjunto compacto de KX (respectode la topología producto). Luego es suficiente probar que BX∗ es un subconjunto cerradode∏

x∈X Dx. Para ello, sea f un elemento del cierre de BX∗ en∏

x∈X Dx. Tenemos queprobar que f ∈ BX∗ , es decir, que f es una función de X en K, lineal y continua (ennorma) con ∥f∥ ≤ 1. Puesto que f ∈

∏x∈X Dx, f es una aplicación de X en K con

|f(x)| ≤ ∥x∥ , ∀x ∈ X.

Sólo nos resta probar que f es lineal. Dados x, y ∈ X, α ∈ K y ε ∈ R+, el conjunto

V =

g ∈

∏x∈X

Dx : |g(z)− f(z)| < ε, ∀z ∈ x, y, αx+ y


es un entorno abierto de f en∏

x∈X Dx, luego V ∩BX∗ = ∅. Sea g ∈ V ∩BX∗ . Evidente-mente g es lineal y se cumple que

|f(αx+ y)− αf(x)− f(y)|

= |f(αx+ y)− g(αx+ y) + αg(x) + g(y)− αf(x)− f(y)|

≤ |f(αx+ y)− g(αx+ y)|+ |α| |g(x)− f(x)|+ |g(y)− f(y)| < ε (2 + |α|) .

La arbitrariedad de ε permite concluir que f es lineal.

Como primera aplicación del Teorema de Banach-Alaoglu, obtenemos seguidamentela citada caracterización de la reflexividad que parece deberse a Dieudonné.

Corolario 5.4.2 (Dieudonné) Un espacio normado es reflexivo si, y sólo si, su bolaunidad es débilmente compacta.

Demostración.- Sea X un espacio normado. El Teorema de Banach-Alaoglu nosdice que BX∗∗ es compacta en la topología w∗ de X∗∗. Por otra parte, la Proposición 5.3.1garantiza que JX es un homeomorfismo de X en JX(X), si en X se considera su topologíadébil y en JX(X) la inducida por la topología w∗ de X∗∗.

Si X es reflexivo, entonces JX(X) = X∗∗ y como JX : X → X∗∗ conserva las normas,JX(BX) = BX∗∗ . De acuerdo con todo lo anterior, BX es débilmente compacta.

Recíprocamente, si BX es débilmente compacta entonces JX(BX) es un subconjuntow∗-compacto de X∗∗ y, en particular, es w∗-cerrado. El Teorema de Goldstine nos permiteconcluir que

BX∗∗ = JX(BX)w∗

= JX(BX)

lo que, evidentemente, implica la reflexividad de X.

Es importante notar que el resultado anterior permita obtener, de nuevo, que todofuncional lineal continuo en un espacio de Banach reflexivo alcanza su norma.

Ya hemos mencionado que una de las aplicaciones más llamativas del Teorema deBanach-Alaoglu permite ver a cada espacio de Banach dentro del espacio C(K) paraapropiado espacio topológico compacto y Haussdorff. Más concretamente

Corolario 5.4.3 Dado un espacio normado X, existe un espacio topológico compacto deHausdorff K tal que X es isométricamente isomorfo a un subespacio de C(K).

5.5. Separabilidad y metrizabilidad 123

Demostración.- Sea K = (BX∗ , w∗), un espacio topológico compacto Hausdorff envista de la Proposición 5.2.3 y del Teorema 5.4.1. La demostración se reduce a comprobarque la aplicación

x 7→ JX(x)|K de X en C(K)

es lineal e isométrica, un ejercicio inmediato.

En realidad el corolario anterior, más que una representación auténticamente útil paraun espacio normado abstracto, muestra cuán variados pueden ser los subespacios de C(K).

No obstante, el resultado merece la pena como primer ejemplo de un tipo de representaciónque suele ser exitosa cuando la mayor riqueza de estructura permite elegir el compactoK de forma más apropiada. Así, por ejemplo, en el caso separable se tiene el siguienteenunciado que, además del Teorema de Banach-Alaoglu, requiere algunos resultados (decierta relevancia) de Topología General. Lo incluimos a título informativo, si bien sudemostración puede consultarse en [22, Theorem 28.7].

Teorema 5.4.4 (Teorema de Banach-Mazur) Todo espacio normado separable esisométricamente isomorfo a un subespacio de C[0, 1]. 2

El caso 3) de la Proposición 3.2.6 es un resultado similar al anterior para ℓ∞ en lugarde C[0, 1]. La ventaja de este último espacio consiste en que él mismo es separable.

5.5. Separabilidad y metrizabilidad

En este tema vamos a plantearnos cuando alguna de las topologías débiles sonmetrizables, es decir, coinciden con la topología generada por una distancia. Veremosque la respuesta a esta pregunta va a ser casi nunca. Para ser más precisos, vamos a verque el Teorema de Baire, junto con el lema siguiente, nos va a permitir deducir fácilmenteque la topología débil de un espacio de Banach infinito-dimensional no es metrizable eigual le ocurre a la topología débil-* sobre su dual.

Lema 5.5.1 Sea X un espacio vectorial e Y un subespacio vectorial de X♯ que separa lospuntos de X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La topología inicial en X para la familia Y es metrizable.

2. Y tiene dimensión numerable.


Demostración.- Designamos por τ a la topología inicial en X para la familia Y. Siτ es metrizable, existe una métrica d, definida en X, de manera que τ es la topologíainducida por d en X. En tal caso, para cada natural n, existe An ⊂ Y finito tal que

x ∈ X : |f(x)| < 1, ∀f ∈ An ⊂ B(0,1

n)

dondeB(0,

1

n) =

x ∈ X : d(x, 0) <

1

n

.

Sea A =∪∞n=1An. Claramente A es numerable. Veamos que Lin(A) = Y y entonces

tendremos ii). Por ser Y un espacio vectorial, es claro que Lin(A) ⊂ Y. Para probar queY ⊂ Lin(A), sea g ∈ Y. El conjunto

U = x ∈ X : |g(x)| < 1

es un entorno de cero en la topología τ y dado que ésta es, por hipótesis, metrizable,existe δ > 0 tal que B(0, δ) ⊂ U, luego para n suficientemente grande B(0, 1

n) ⊂ U. Como

consecuencia:

x ∈ X : |f(x)| < 1, ∀f ∈ An ⊂ x ∈ X : |g(x)| < 1 (5.2)

de donde se deduce que∩f∈An

ker f ⊂ ker g (si x ∈∩f∈An

ker f y g(x) = 0 enton-ces |g(ρx)| ≥ 1, para un conveniente ρ > 0, con lo que (5.2) nos dice, en particular,que ρx /∈

∩f∈An

ker f, una contradicción pues∩f∈An

ker f es un subespacio). Así pues,g ∈ Lin(An) ⊂ Lin(A).

Recíprocamente, supongamos que la dimensión de Y es numerable:

Y = Lin(fn : n ∈ K).

Evidentemente la topología τ coincide con la topología inicial en X para la familiafn : n ∈ K. En efecto, esta última topología hace continuo a cada fn y, en conse-cuencia, a todos los funcionales que sean combinación lineal de los fn, es decir, a todoslos elementos de Y. Luego dicha topología contiene a τ. Por otra parte, puesto que τ hacecontinuos a todos los elementos de Y, en particular a los de la familia fn : n ∈ N, setiene también que τ contiene a la topología inicial en X para dicha familia. Si definimos:

d(x, y) =∞∑n=1

1

2n|fn(x− y)|

1 + |fn(x− y)|(x, y ∈ X)

obtenemos claramente una distancia sobre X y todo lo que tenemos que probar es queinduce la topología τ (la topología inicial en X para la familia fn : n ∈ N de acuerdo


con el comentario anterior). Sea G ⊂ X abierto en la topología inducida por d y x0 ∈ G.

Entonces existe δ > 0 tal que B(x0, δ) ⊂ G. Consideremos un natural m tal que

∞∑n=m+1

1

2n<δ

2

y sea

U = x ∈ X : |fn(x)− fn(x0)| <δ

2, para n = 1, ...,m.

Es claro que U es un entorno de x0 en la topología τ y, dado x ∈ U,

d(x, x0) =∞∑n=1

1

2n|fn(x− x0)|

1 + |fn(x− x0)|≤ δ

2

m∑n=1

1

2n+

∞∑n=m+1

1

2n< δ,

luego x ∈ B(x0, δ) y así U ⊂ B(x0, δ) ⊂ G, lo que prueba que G es también abierto enla topología τ. Supongamos ahora que G es abierto en esta topología y sea nuevamentex0 ∈ G. Entonces existe m ∈ N tal que

x ∈ X : |fn(x)− fn(x0)| < 1, para n = 1, ...,m ⊂ G.

Dado x ∈ X con d(x, x0) < 12m+1 , es obvio que

1

2n|fn(x− x0)|

1 + |fn(x− x0)|<

1

2m+1(n ∈ N)

y, en particular,|fn(x− x0)|

1 + |fn(x− x0)|<

1

2(n = 1, ...,m)

de donde|fn(x− x0)| < 1 (n = 1, ...,m)

y así x ∈ G. Hemos probado que B(x0,1

2m+1 ) ⊂ G, luego G es abierto en la topologíainducida por d en X.

Proposición 5.5.2 Sea X un espacio normado infinito-dimensional. Entonces:

1. La topología débil de X no es metrizable.

2. La topología débil-* de X∗ es metrizable si, y sólo si, X tiene dimensión numerable.Por tanto, si X es un espacio de Banach, la topología débil-* de X∗ tampoco esmetrizable.


Demostración.- 1) Sabemos que X∗ es un subespacio vectorial de X♯ que separa lospuntos de X (3.1.5). Como X∗ es un espacio de Banach de dimensión infinita, la dimensiónde X∗ es no numerable (4.1.5) y, en tal caso, el lema anterior nos dice que la topologíainicial en X para la familia X∗ (es decir la topología débil de X) no es metrizable.

2) Evidentemente JX(X) es un subespacio vectorial de X∗∗ que separa los puntos deX∗. Por el lema anterior, la topología inicial en X∗ para la familia JX(X) es metrizablesi, y sólo si, JX(X) tiene dimensión numerable. Teniendo en cuenta la definición de latopología débil-* de X∗ y que los espacios X y JX(X) son isomorfos, lo anterior dice quela topología débil-* de X∗ es metrizable si, y sólo si, X tiene dimensión numerable.

En consecuencia, si X es un espacio de Banach de dimensión infinita, al ser la dimen-sión de X no numerable (4.1.5), tenemos que la topología débil-* de X∗ no es metrizable.

Sea X un espacio normado infinito-dimensional. Aunque la proposición anterior nosasegura que las topologías σ(X,X∗) en X y σ(X∗, X) en X∗ no son metrizables, vere-mos que en ciertas condiciones estas topologías si son metrizables cuando se restringen aconjuntos acotados. Podremos ver que esto es suficiente para obtener algunas aplicaciones.

Teorema 5.5.3 Un espacio normado X es separable si, y sólo si, BX∗ es w∗-metrizable.

Demostración.- Supongamos que BX∗ es w∗-metrizable. Entonces existen conjuntosabiertos Un : n ∈ N en (BX∗ , w∗) tales

∩n∈N Un = 0. Por definición de la topología

w∗ relativa a BX∗ , para cada natural n existe un conjunto finito Fn ⊂ X tal que

f ∈ BX∗ : |f(x)| < 1, ∀x ∈ Fn ⊂ Un.

El conjunto F =∪n∈N Fn es claramente numerable. Si f ∈ BX∗ ∩ (Lin(F )) entonces,

para cada n ≥ 1 y para cada x ∈ Fn, se tiene |f(x)| = 0 < 1. Luego f ∈ Un para todon ≥ 1, de donde f = 0. Luego (Lin(F )) = 0, por tanto Lin(F ) es denso en X (3.2.2)y entonces X es separable (??).

Recíprocamente, supongamos que X es separable y sea xn : n ∈ N un subconjuntodenso de SX . Si para f, g ∈ BX∗ definimos:

d(f, g) =∞∑n=1

1

2n|f(xn)− g(xn)| ,

obtenemos claramente una distancia sobre BX∗ . Veamos que la aplicación identidad I de(BX∗ , w∗) en (BX∗ , d) es continua. Sea f0 ∈ BX∗ y ε > 0. Fijemos un natural m tal que

∞∑n=m+1

1

2n<ε

4.


El conjuntoU =

f ∈ BX∗ : |f(xn)− f0(xn)| <

ε

2, ∀n ∈ 1, ...,m

es un entorno abierto de f0 en (BX∗ , w∗) y dado f ∈ U se tiene que

d(f, f0) =∞∑n=1

1

2n|f(xn)− f0(xn)|

=m∑n=1

1

2n|f(xn)− f0(xn)|+

∞∑n=m+1

1

2n|f(xn)− f0(xn)|

<ε

2

m∑n=1

1

2n+ 2

∞∑n=m+1

1

2n< ε,

lo que prueba que I es continua.

Si A es un subconjunto w∗-cerrado de BX∗, entonces A es w∗-compacto (5.4.1) y, portanto, A es también compacto para d, lo que implica que A es cerrado respecto de taldistancia. Hemos probado así que la identidad I es un homeomorfismo de (BX∗ , w∗) en(BX∗ , d) y, por tanto, la topología débil-* relativa a BX∗ es precisamente la inducida pord.

Es conocido que en un espacio métrico la compacidad y la compacidad secuencial sonequivalentes, en consecuencia, el Teorema de Banach-Alaoglu nos permite obtener:

Corolario 5.5.4 Si X es un espacio normado separable, BX∗ es secuencialmente com-pacta en la topología w∗. Como consecuencia toda sucesión acotada de elementos de X∗

admite una sucesión parcial débil-* convergente. 2

El Teorema 5.5.3 admite la siguiente versión:

Teorema 5.5.5 Sea X un espacio normado.

1. X∗ es separable si, y sólo si, (BX , w) es metrizable.

2. Si X es reflexivo, entonces X es separable si, y sólo si, (BX , w) es metrizable.

Demostración.- 1) Si X∗ es separable, el teorema anterior nos dice que (BX∗∗ , w∗)

es metrizable, luego también lo es (JX(BX), w∗) y como este último espacio topológico es

homeomorfo a (BX , w) (5.3.1), concluimos que (BX , w) es metrizable.


Para demostrar el recíproco supongamos que BX es w-metrizable. Entonces BX poseeuna base numerable Vn de entornos de cero para la topología débil. Podemos suponer(5.2.3) que cada Vn tiene la forma:

Vn = x ∈ BX : |f(x)| < εn, ∀f ∈ An

donde An ⊂ X∗ es finito y εn > 0. Sea A =∪n∈NAn y sea Y = Lin(A). Por el Corolario

??, Y es separable y vamos a probar que X∗ = Y. Si X∗ = Y, podemos elegir g ∈ X∗\Y.Sea δ = d(g, Y ). Entonces δ > 0 y, por Corolario 3.1.6, existe F ∈ X∗∗ tal que

∥F∥ = 1/δ, F (g) = 1 y F (f) = 0, ∀f ∈ Y.

Claramente V =x ∈ BX : |g(x)| < δ

2

es un entorno débil de cero en BX , y por tanto

V ⊃ Vn para algún n. Como δF ∈ BX∗∗ y el conjunto

Un = G ∈ X∗∗ : |δF (f)−G(f)| < mınεn, δ/2, ∀f ∈ An ∪ g

es un w∗-entorno de δF , el Teorema 5.3.3 nos da un punto x1 ∈ BX tal que

|f(x1)| = |δF (f)− f(x1)| = |δF (f)− JX(x1)(f)| < εn (f ∈ An)

y

|δ − g(x1)| = |δF (g)− g(x1)| = |δF (g)− JX(x1)(g)| <δ

2·

De lo anterior se deduce:

|f(x1)| < εn, ∀f ∈ An y |g(x1)| >δ

2

pero esto nos dice, respectivamente, que x1 ∈ Vn y que x1 /∈ V, una contradicción queprueba que X∗ = Y.

2) Supuesto que X es reflexivo, deducimos:

(BX , w) es metrizable ⇔ (JX(BX), w∗) es metrizable

⇔ (BX∗∗ , w∗) es metrizable ⇔ X∗ es separable ⇔ X es separable.

La primera equivalencia se sigue por la Proposición 5.3.1, la segunda porqueX es reflexivo,la tercera por el Teorema 5.5.3 y de la cuarta, la condición necesaria por la Proposición3.2.7 y la suficiente porque si X es separable y reflexivo, entonces X∗∗ = JX(X) esseparable, lo que implica X∗ separable, otra vez por la Proposición 3.2.7.

Después de ver los resultados anteriores es natural preguntarse si la separabilidadde un espacio normado X (por supuesto no reflexivo) es suficiente para garantizar lametrizabilidad débil de BX . La respuesta a esta pregunta va a ser no, en general, y nosla proporcionará el siguiente resultado debido a Schur.


Teorema 5.5.6 (Lema de Schur) Una sucesión de elementos de ℓ1 converge en normasi, y sólo si, converge en la topología débil.

Demostración.- Es claro que la convergencia en norma implica convergencia débil.Demostramos la otra implicación por reducción al absurdo, es decir, supongamos queexiste una sucesión xn de elementos de ℓ1 verificando:

∥xn∥ ≥ 1, ∀n ∈ N (5.3)

que converge a cero en la topología débil de ℓ1, en particular

lımn→∞

xn(k) = 0, ∀k ∈ N. (5.4)

A partir de (5.3) y (5.4) conseguimos una sucesión parcialxσ(n)

tal que la mayor con-

tribución a la norma de xσ(n) se debe a términos cada vez más avanzados. La construcciónse conoce como método de “sliding hump” (no nos atrevemos a traducir). Concretamenteconstruimos por inducción dos aplicaciones estrictamente crecientes σ, τ : N → N verifi-cando que τ(1) = 1 y las dos condiciones siguientes:

τ(n)∑k=1

∣∣xσ(n)(k)∣∣ ≤ 1

5(n ∈ N) (5.5)

∞∑k=τ(n+1)+1

∣∣xσ(n)(k)∣∣ ≤ 1

5(n ∈ N). (5.6)

En efecto, (5.4) nos permite definir σ(1) de forma que se cumpla (5.5) para n = 1.

Construidos τ(n) y σ(n), por ser xσ(n) ∈ ℓ1 podemos tomar τ(n + 1) ∈ N de forma quese cumpla (5.6) y, aplicando nuevamente (5.4), encontramos σ(n + 1) de forma que severifique (5.5) con n+ 1 en lugar de n. Construidas pues τ y σ, a partir de (5.3), (5.5) y(5.6) tenemos claramente

τ(n+1)∑k=τ(n)+1

∣∣xσ(n)(k)∣∣ ≥ 3

5, ∀n ∈ N. (5.7)

Tomemos ahora una sucesión αk de escalares de módulo 1 tales que

αkxσ(n)(k) =∣∣xσ(n)(k)∣∣ (5.8)

para τ(n) + 1 ≤ k ≤ τ(n+ 1) y n ∈ N. Si ponemos

f(x) =∞∑k=1

αkx(k) (x ∈ ℓ1)


tenemos claramente f ∈ ℓ∗1. Sin embargo, para cualquier natural n tenemos tambiénclaramente:

∣∣f(xσ(n))∣∣ ≥ τ(n+1)∑k=τ(n)+1

∣∣xσ(n)(k)∣∣− τ(n)∑k=1

∣∣xσ(n)(k)∣∣− ∞∑k=τ(n+1)+1

∣∣xσ(n)(k)∣∣ ≥ 1

5

donde se ha aplicado (5.8), (5.7), (5.5) y (5.6). Así pues hemos llegado a contradicción,ya que xσ(n) no converge a cero en la topología débil, siendo una sucesión parcial dexn.

Se dice que un espacio normado X tiene la Propiedad de Schur cuando las suce-siones convergentes con respecto a la norma y con respecto a la topología débil en X sonexactamente las mismas.

Como decíamos, la separabilidad de X no garantiza la metrizabilidad débil de BX .Por ejemplo, el espacio ℓ1 es separable y si Bℓ1 fuese metrizable para la topología débil,por el Lema de Schur la topología de la norma en ℓ1 coincidiría con su topología débil, loque no puede ser (Proposición 5.2.8).

Puesto que el espacio (BX , w) es homeomorfo a (αBX , w) cualquiera que sea α > 0,

la metrizabilidad del primero implica la metrizabilidad de cualquier subconjunto acotadode X respecto de la topología débil. Un comentario análogo puede hacerse respecto de(BX∗ , w∗).

Si X es un espacio normado separable, el Teorema 5.5.3 garantiza que BX∗ es unespacio métrico w∗-compacto y en consecuencia, w∗-separable; por tanto

X∗ =∪n∈N

(nBX∗)

es w∗-separable. Podemos pues completar la información que obtuvimos en el Capítulo2 acerca de la relación entre la separabilidad de un espacio normado y la de su dual.Concretamente tenemos

X∗ separable en norma ⇒ X separable ⇒ X∗ w∗-separable.

Ninguna implicación de las anteriores es reversible pues, por ejemplo, ℓ1 es separable, ℓ∞no es separable y ℓ∗∞ es w∗-separable (ver Proposición ??).

La segunda afirmación del Teorema 5.5.5 nos permite obtener una interesante genera-lización del clásico Teorema de Bolzano-Weierstrass:

Corolario 5.5.7 Toda sucesión acotada de elementos de un espacio de Banach reflexivoadmite una sucesión parcial débilmente convergente.

5.6. Teorema de Krein-Milman 131

Demostración.- Sea X un espacio de Banach reflexivo, xn una sucesión acotadade elementos de X y

α = sup ∥xn∥ : n ∈ N .

SiM denota el subespacio cerrado engendrado por los términos de dicha sucesión, entoncesM es un espacio de Banach reflexivo y separable (Proposiciones ?? y 5.1.7). Como quieraque xn ∈ αBM para todo n ∈ N y (αBM , w) es un espacio métrico compacto (Teorema5.5.5 y Corolario 5.4.2), la sucesión xn admite una sucesión parcial convergente en esteespacio, es decir, débilmente convergente (nótese que la topología débil de un subespaciocoincide con la topología que en él induce la topología débil del espacio total, Proposición?? 4) y Teorema de Hahn-Banach).

La propiedad destacada en el corolario anterior es en realidad una caracterización delos espacios de Banach reflexivos. Para deducir esta afirmación necesitaremos el siguienteresultado que se incluye aquí por razones de completitud.

Teorema 5.5.8 (Teorema de Eberlein-Smulian) Sea X un espacio normado y A unsubconjunto débilmente cerrado de X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es débilmente compacto.

2. A es débilmente secuencialmente compacto.

3. A es débilmente numerablemente compacto. 2

Así pues, si un espacio de BanachX posee la propiedad expresada en el Corolario 5.5.7,entonces todo subconjunto acotado y débilmente cerrado de X es débilmente compacto.En particular lo es su bola unidad y por tanto X es reflexivo (Corolario 5.4.2). Luegotenemos:

Corolario 5.5.9 Un espacio de Banach X es reflexivo si, y sólo si, toda sucesión acotadade elementos de X admite una parcial débilmente convergente. 2

5.6. Teorema de Krein-Milman

Es sencillo comprobar que en una región cuadrangular del plano todo punto se puedeexpresar como combinación convexa de los cuatro vértices del cuadrángulo. De la mismamanera, todo punto del interior de un disco es combinación lineal de los puntos de sufrontera. En ambos casos los vértices del cuadrángulo y los puntos de la frontera del disco


no pueden ser expresados como combinación convexa de dos puntos distintos de los do-minios cerrados que delimitan. Tenemos de esta forma una aproximación al concepto depunto extremo de un conjunto. La definición formal aparece por primera vez en 1911 enun trabajo de Minkowski quién probó que todo subconjunto convexo compacto de R3 es laenvolvente convexa de sus puntos extremos. Este teorema, conocido en Rn como Teoremade Minkowski, fue mejorado por Carathéodory mostrando que si A es un subconjuntoconvexo compacto de Rn, entonces todo punto de A puede expresarse como combinaciónconvexa de, a lo sumo, n+1 puntos extremos de A. El Teorema de Krein-Milman, publi-cado en 1940, es una generalización del Teorema de Minkowski-Carathéodory a espaciosde dimensión infinita y afirma que todo subconjunto convexo compacto A de un espaciolocalmente convexo Hausdorff es la envolvente convexo-cerrada de los puntos extremos deA. En esta memoria nos limitaremos a probar una versión del Teorema de Krein-Milmanpara los subconjuntos convexos débilmente compactos de un espacio normado X.

La siguiente definición formaliza los conceptos de punto extremo y de subconjuntoextremo.

Definición 5.6.1 Sea A un subconjunto de un espacio vectorial y sea E un subconjuntono vacío de A. Diremos que E es un subconjunto extremo de A si siempre que unsegmento con extremos en A tenga un punto intermedio en E, se verifica que los extremosde dicho segmento están en E, es decir,

∀x, y ∈ A, t ∈]0, 1[, (1− t)x+ ty ∈ E ⇒ x, y ∈ E.

Se dice que un punto e ∈ A es un punto extremo de A si e es un subconjuntoextremo de A, es decir, si:

∀x, y ∈ A, t ∈]0, 1[, e = (1− t)x+ ty ⇒ x = y = e.

Notaremos por Ext(A) al conjunto (eventualmente vacío) de los puntos extremos de A.

Los lados y los vértices de un rectángulo cerrado R en el plano son conjuntos extremalesde R. Si consideramos el interior del rectángulo entonces es claro que tenemos un conjuntoconvexo que no tiene puntos extremos. Es obvio que todo subconjunto no vacío es unconjunto extremo de sí mismo.

El siguiente lema recoge algunas propiedades de estabilidad de los subconjuntos ex-tremos que será de utilidad más adelante. Dejamos la demostración de las mismas comoejercicio.


Lema 5.6.2 Sea A un subconjunto de un espacio vectorial X. Entonces se verifican lassiguientes afirmaciones:

1. La intersección no vacía de cualquier familia de subconjuntos extremos de A es unsubconjunto extremo de A.

2. Si E1 es un subconjunto extremo de A y E2 es un subconjunto extremo de E1,

entonces E2 es un subconjunto extremo de A. 2

El siguiente resultado nos permite obtener otro ejemplo de subconjunto extremo.

Lema 5.6.3 Sea A un subconjunto no vacío de un espacio vectorial X y f un funcionallineal en X. Supongamos que la función ℜef alcanza su máximo absoluto en A. Entoncesel conjunto

E = x ∈ A : ℜef(x) = maxℜef(A)

es un subconjunto extremo de A.

Demostración.- Sean x, y ∈ A y t ∈]0, 1[ tales que (1− t) x + ty ∈ E. Entoncesx, y ∈ E ya que, si x /∈ E ó y /∈ E, se tiene:

maxℜef(A) = ℜef((1− t) x+ ty) = (1− t)ℜef(x) + tℜef(y) < maxℜef(A),

lo que es absurdo.

Nos interesan, sobre todo, los puntos extremos de los subconjuntos convexos de unespacio vectorial. El resultado siguiente recoge tres caracterizaciones para puntos extremosde un convexo que resultan ser de mucha utilidad.

Lema 5.6.4 Sea X un espacio vectorial, A un subconjunto convexo de X y e un puntode A. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. e ∈ Ext(A).

2. ∀x, y ∈ A, e = 12(x+ y) ⇒ x = y = e.

3. ∀x ∈ X, e− x, e+ x ∈ A ⇒ x = 0.

4. F ⊂ A finito, e ∈ co(F ) ⇒ e ∈ F.


Demostración.- 1) ⇒ 2) : Evidente.2) ⇒ 3) : Sea x ∈ X tal que e− x, e+ x ∈ A. Es claro que

e =1

2((e− x) + (e+ x)) .

Por 2) se tiene e− x = e+ x = e, esto es, x = 0.

3) ⇒ 1) Supongamos que e = tx + (1 − t)y para ciertos x, y ∈ A, t ∈]0, 1[. No esrestrictivo suponer que t ≤ 1− t y por tanto 0 < t < 1

2. Notemos λ = 2t− 1 ∈]0, 1[. Como

A es convexo, tenemos que a = λx+ (1− λ)y ∈ A. Además es claro que e = 12(x+ a). Si

tomamos z = 12(x− a), entonces e+ z = x ∈ A y e− z = a ∈ A. Por 3), z = 1

2(x− a) = 0,

esto es, x = a. Entonces e = x y así x = y = e.

1) ⇒ 4) : Sea e ∈ Ext(A). Sea n ∈ N y F = x1, ..., xn ⊂ A. Puesto que e ∈ co(F ),

entonces e =∑m

i=1 λixi para un conveniente natural m ≤ n, elementos x1, ..., xm de Fy números reales no negativos λ1, ..., λm tales que

∑mi=1 λi = 1. Podemos suponer, sin

pérdida de generalidad, que λ1 > 0. Si λ1 = 1, entonces e = x1 ∈ F y hemos acabado. Siλ1 < 1, podemos escribir:

e = λ1x1 + (1− λ1)m∑i=2

λi1− λ1

xi.

Puesto que λ1 ∈]0, 1[, x1 ∈ A y∑m

i=2λi

1−λ1 xi ∈ A (por la convexidad de A), se sigue de ladefinición de punto extremo que e = x1 ∈ F y esto prueba la implicación.

4) ⇒ 1) : Sean x, y ∈ A y t ∈]0, 1[ tales que

e = (1− t)x+ ty. (5.9)

Entonces e ∈ co(F ) donde F = x, y. Por 4) se tiene que e ∈ F de donde e = x ó e = y.

En cualquiera de los dos casos, sustituyendo en (5.9), se sigue que e = x = y lo que pruebaque e ∈ Ext(A).

La bola unidad BX de un espacio normado X contiene toda la información geométricadel espacio. Por esta razón, en muchos casos el interés se ha centrado en el estudio de laestructura extremal de tales conjuntos convexos. Observemos, en primer lugar, que todopunto extremo de BX tiene norma 1. En efecto, si e ∈ Ext(BX) entonces ∥e∥ ≤ 1. Seax0 ∈ SX y consideremos los puntos

x = e+ (1− ∥e∥)x0, y = e− (1− ∥e∥)x0.

Claramente x, y ∈ BX . Luego, por el apartado 3) del lema anterior, se tiene (1−∥e∥)x0 = 0,es decir ∥e∥ = 1.

A continuación vamos a presentar algunos ejemplos en espacios normados clásicos.


Ejemplo 5.6.5 Recordemos que un espacio normado X es estrictamente convexo sisu esfera unidad no contiene segmentos no triviales, es decir, si

x, y ∈ SX ,

∥∥∥∥12(x+ y)

∥∥∥∥ = 1 ⇒ x = y.

Estrictamente convexos son los espacios Lp[0, 1] para 1 < p < ∞ (ver desigualdades deClarkson).

Es claro que la convexidad uniforme implica la convexidad estricta. Cuando X esun espacio normado finito-dimensional, la compacidad de la bola unidad cerrada de X

nos permite afirmar que la convexidad uniforme y la convexidad estricta son equivalen-tes. Cuando X no es finito-dimensional la convexidad estricta no implica la convexidaduniforme, un ejemplo de este hecho puede ser consultado en [28, Example 5.2.13].

Veamos que un espacio normado X es estrictamente convexo si, y sólo si,Ext(BX) = SX . En efecto, supongamos que X es estrictamente convexo y sea e ∈ SX .Sean x, y ∈ BX tales que e = 1

2(x + y). Entonces necesariamente x, y ∈ SX . Por la es-

tricta convexidad de X se tiene que x = y y sustituyendo esto en e = 12(x + y) resulta

x = y = e por lo que e ∈ Ext(BX). Recíprocamente, supongamos que Ext(BX) = SX ysean x, y ∈ SX tales que

∥∥12(x+ y)

∥∥ = 1. Entonces 12(x + y) ∈ Ext(BX) y, por el lema

anterior, x = y lo que muestra que X es estrictamente convexo.

Ejemplo 5.6.6 El espacio ℓ1 no es estrictamente convexo y su bola unidad no es tan ricaen puntos extremos. En efecto, para cada natural n, la sucesión en dada por

en(k) = δnk (k ∈ N)

es un elemento de ℓ1 con ∥en∥1 = 1. Si n,m ∈ N y n = m, es inmediato que∥∥12(en + em)

∥∥1= 1, pero en = em. Luego ℓ1 no es estrictamente convexo. De hecho,

vamos a comprobar que

Ext(Bℓ1) = λen : λ ∈ K, |λ| = 1, n ∈ N .

En efecto, sea n ∈ N y λ ∈ K con |λ| = 1. Si λen = 12(x+ y) con x, y ∈ Bℓ1 , entonces

1

2(x(k) + y(k)) = λen(k) =

λ si k = n

0 si k = n

Como |λ| = 1 y |x(k)| , |y(k)| ∈ BK, por la estricta convexidad del cuerpo base K, se sigue:

x(k) = y(k) = λ = λen(k) si k = n


x(k) = y(k) = 0 = λen(k) si k = n.

Luego x = y = λen y así λen ∈ Ext(Bℓ1).

Recíprocamente, sea x ∈ Sℓ1 y supongamos que

x = λen para todo λ ∈ K con |λ| = 1 y n ∈ N.

Entonces podemos escribir x = y + z con

y =

x(k) si k = 1, ...,m

0 si k ≥ m, z =

0 si k = 1, ...,m

x(k) si k ≥ m

para algún m > 1, con z e y no nulos. Puesto que

1 = ∥x∥1 = ∥y∥1 + ∥z∥1 ,

es claro que

x = ∥y∥1y

∥y∥1+ ∥z∥1

z

∥z∥1= ∥y∥1

y

∥y∥1+ (1− ∥y∥1)

z

∥z∥1,

cony

∥y∥1= z

∥z∥1·

Por tanto, x /∈ Ext(Bℓ1).

Ejemplo 5.6.7 La bola cerrada unidad de c0 carece de puntos extremos. Para probar esto,sea cualquier x = x(n) ∈ Bc0 . Puesto que x(n) → 0, existe m ∈ N tal que |x(m)| < 1

2.

Sean y = y(n) y z = z(n) las sucesiones definidas, respectivamente, por

y(n) = x(n) si n = m, y(m) = x(m) +1

2

y

z(n) = x(n) si n = m, z(m) = x(m)− 1

2·

Es inmediato que

x =1

2(y + z) con y, z ∈ Bc0 e y = z.

Por tanto, x /∈ Ext(Bc0) y así Ext(Bc0) = ∅.


Si A es un subconjunto de un espacio normado X, llamaremos envolvente convexo-cerrada de A, y lo notaremos por co(A), al cierre (en norma) de la envolvente convexade A.

Es claro que co(A) coincide con la intersección de todos los subconjuntos convexos ycerrados (en norma) de X que contienen a A.

Estamos ya en condiciones de probar el Teorema de Krein-Milman para espacios nor-mados. En realidad este resultado tiene dos partes bien diferenciadas. Una primera partenos asegura que todo subconjunto no vacío y débilmente compacto de un espacio normadoposee puntos extremos. Esto nos da un bonito resultado matemático ya que una propiedadalgebraica es obtenida a partir de una topológica. En ua segunda parte se utiliza el Teo-rema de separación de Milman (Corolario 3.3.10) para concluir que los puntos extremosde cualquier subconjunto no vacío y débilmente-compacto de un espacio normado son tanabundantes que permiten obtener el propio conjunto como la envolvente convexo-cerradade sus puntos extremos.

Teorema 5.6.8 (Teorema de Krein-Milman) Sea X un espacio normado y A unsubconjunto no vacío y débilmente compacto de X. Entonces:

1. Todo subconjunto no vacío, débilmente cerrado y extremo de A contiene un puntoextremo de A. En particular, A tiene puntos extremos.

2. A ⊂ co(Ext(A)) y si A es, además, convexo entonces A = co(Ext(A)).

Demostración.- Obsérvese, en primer lugar, que por la convexidad de co(Ext(A)) yla Proposición 5.2.10 tenemos que

cow(Ext(A)) = co(Ext(A)).

Empecemos por la primer afirmación. Sea S un subconjunto no vacío, débilmentecerrado y extremo de A. Sea E la familia de todos los subconjuntos no vacíos, débilmentecerrados y extremos de A que están contenidos en S. La familia E es no vacía (ya queS ∈ E) y está ordenada parcial e inductivamente por la inclusión. En efecto, si Ei : i ∈ Ies una cadena no vacía en E , el conjunto

∩i∈I Ei es un subconjunto no vacío, débilmente

cerrado y extremo de A (5.6.2) que está contenido en S. Que el conjunto∩i∈I Ei es

distinto del vacío se debe a que A es débilmente compacto y Ei : i ∈ I es una familia novacía de subconjuntos débilmente cerrados de X que tiene la propiedad de interseccionesfinitas con A. Luego

∩i∈I Ei ∈ E y, claramente, es un minorante de la cadena Ei : i ∈ I .

Entonces el Lema de Zorn garantiza que la familia E posee un elemento minimal E (estoes, no existe F ∈ E tal que F E).


Probaremos que E se reduce a un punto y como E es un subconjunto extremo deA, entonces este punto será un punto extremo de A que está en S, luego se verifica laafirmación i). Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que existen dos puntosx, y ∈ E con x = y. Por el Corolario 3.1.5, existe f ∈ X∗ tal que ℜef(x) < ℜef(y).Entonces

F = z ∈ E : ℜef(z) = maxℜef(E)

es un subconjunto propio de E (F = ∅ ya que ℜef es una función real continua en elcompacto E, y F = E ya que x ∈ E\F ), débilmente cerrado en A y extremo de A (5.6.3)que está contenido en S (ya que F ⊂ E ⊂ S). Luego F ∈ E y F E lo que contradice laminimalidad de E. Esto prueba 1).

Veamos ahora la segunda afirmación. Por lo probado antes, el conjunto co(Ext(A)) esno vacío. Para probar que

A ⊂ cow(Ext(A)),

supongamos que existiese un punto a ∈ A\cow(Ext(A)). Entonces, por el Corolario 3.3.9,existe f ∈ X∗ tal que

ℜef(b) < ℜef(a), ∀b ∈ cow(Ext(A)). (5.10)

Si denotamos por F al conjunto

x ∈ A : ℜef(x) = maxℜef(A) ,

se deduce de la condición (5.10) que cow(Ext(A)) ∩ F = ∅ y, en particular,

Ext(A) ∩ F = ∅,

lo que contradice 1) ya que F es un subconjunto no vacío, débilmente cerrado y extremode A. Esto prueba que A ⊂ cow(Ext(A)).

BIBLIOGRAFÍA: La mayor parte de los textos donde se estudian las topologías débilesen espacios normados completan sobradamente los contenidos expuestos en este capítulo, noobstante, podríamos destacar [40, 20, 22, 14, 23, 3, 13, 29] y [19]. La demostración del Teoremade Eberlein-Smulian se puede consultar en [16, pág. 430], podemos encontrar demostracionesmás elementales en [25] y [39].

Capıtulo 6Operadores compactos

Este último tema del curso nos introduce en la teoría de los operadores sobre espaciosde Hilbert. La mencionada teoría comenzó a cristalizarse a comienzos del siglo XX funda-mentada en cuatros trabajos: un artículo de Fredholm sobre ecuaciones integrales (1900),la tesis de Lebesgue sobre integración (1902), un articulo de Hilbert sobre teoría espec-tral (1906) y la tesis de Fréchet sobre espacios métricos. Históricamente estos resultadosson claramente anteriores a los desarrollados en los primeros temas del curso, los cualesse centran más en los espacios de Banach. No obstante, los resultados obtenidos sobreespacios de Hilbert y sobre operadores en espacios de Hilbert son para muchos autoresel origen del Análisis Funcional. Nos permitimos pues un pequeño salto hacia atrás en eltiempo para poder presentar la teoría de operadores en espacios de Hilbert.

Este capítulo se subdivide en dos lecciones que son una introducción a la teoría deoperadores en espacios de Hilbert. La primera lección de este tema presenta los conceptosbásicos de la teoría de operadores junto con algunos ejemplos. La última lección estádedicado a la obtención del Teorema de resolución espectral de un operador compacto ynormal en un espacio de Hilbert complejo.

6.1. Operadores en espacios de Hilbert

Este tema recoge los resultados básicos sobre la teoría de operadores en espacios deHilbert. Para muchos autores esta teoría fue el inicio del Análisis Funcional y la principalrazón para el desarrollo del mismo.

Después de introducir y estudiar las primeras propiedades del adjunto de un operadoren un espacio de Hilbert estudiaremos los operadores autoadjuntos, unitarios y normalesen un espacio de Hilbert. Tendremos ocasión de presentar algunos ejemplos de operadores

139

140 Capítulo 6. Operadores compactos

en espacios de Hilbert que nos permitirán comprender mejor los resultados teóricos. Alfinal de la lección introduciremos los operadores de rango finito. Estos últimos nos serviránde motivación para la introducción de los operadores compactos.

El primer resultado de esta lección nos garantiza la existencia del adjunto de un opera-dor lineal y continuo entre espacios de Hilbert. Su demostración se sigue directamente de ladescripción de las formas sexquilineales y continuas entre espacios de Hilbert proporcio-nada por el Corolario 2.2.10.

Teorema 6.1.1 Sean X e Y espacios de Hilbert y T ∈ L(X, Y ). Entonces se verificanlas siguientes afirmaciones:

1. Existe una única aplicación T ∗ : Y → X verificando que:

(Tx|y) = (x|T ∗y) (x ∈ X, y ∈ Y ).

2. T ∗ ∈ L(Y,X) y T ∗∗ = T .

3. ∥T ∗∥ = ∥T∥ = ∥T ∗T∥1/2.

4. Para T1, T2 ∈ L(X,Y ) y α ∈ K, se tiene

(T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2 , (αT )∗ = αT ∗.

5. Si Z es otro espacio de Hilbert y S ∈ L(Y, Z), se tiene

(ST )∗ = T ∗S∗.

Demostración.- Las afirmaciones 1) y 2) se siguen directamente del Corolario 2.2.10.

3) Para cada x ∈ BX e y ∈ BY se verifica que

|(x|T ∗(y))| = |(T (x)|y)| ≤ ∥T∥.

En consecuencia, para cada y ∈ BY , se verifica que ∥T (y)∥ ≤ ∥T∥. Al tomar supremo eny ∈ BY concluimos que ∥T ∗∥ ≤ ∥T∥. Como además T ∗∗ = T, podemos afirmar por loanterior que

∥T∥ = ∥T ∗∗∥ ≤ ∥T ∗∥ ≤ ∥T∥.

Por tanto ∥T∥ = ∥T ∗∥. Como para cada x ∈ X se verifica que

∥T (x)∥2 = (T (x)|T (x)) = (x|T ∗T (x)) ≤ ∥T ∗T∥ ∥x∥2,

6.1. Operadores en espacios de Hilbert 141

tomando supremo en x ∈ BX , obtenemos que ∥T∥2 ≤ ∥T ∗T∥. Finalmente, el Lema 1.2.3nos asegura que ∥T ∗T∥ ≤ ∥T ∗∥ ∥T∥, lo que unido a las a afirmaciones anterior nos aseguraque ∥T∥2 = ∥T ∗T∥.

Las restantes afirmaciones se siguen de la propia definición de T ∗.

Desde este momento usaremos el término operador para designar a cualquier apli-cación lineal y continua entre espacios de Hilbert. Si T : X → Y es un operador entredos espacios de Hilbert, entonces para cada x ∈ X escribimos, siempre que no presenteconfusión alguna, Tx en lugar de T (x). La composición de operadores será notada porsimple yuxtaposición. Con esta nueva notación podemos formalizar la siguiente definición.

Definición 6.1.2 Si T es un operador entre dos espacios de Hilbert X e Y , entonces eloperador T ∗, cuya existencia garantiza el teorema anterior, recibe el nombre de operadoradjunto de T .

Estamos en un buen momento para destacar la estructura que posee el espacio L(H)

para cualquier espacio de Hilbert H. En primer lugar, cuando consideramos en L(H) elproducto definido por la composición de operadores, podemos dotar a L(H) de estruc-tura de álgebra asociativa con unidad I (el operador identidad en H, IH si hay lugar aconfusión). L(H) también tiene una estructura de espacio de Banach y gracias al teoremaanterior, la correspondencia T 7→ T ∗ de L(H) en sí mismo, es una involución en L(H),es decir una biyección conjugado-lineal e isométrica. Estas tres estructuras que cohabitanen L(H) tienen el atractivo añadido de mantener “buenas relaciones” entre ellas. Para sermás precisos, en primer lugar, la norma es submultiplicativa

∥ST∥ ≤ ∥S∥∥T∥ (S, T ∈ L(H)),

equivalentemente, el producto es una aplicación bilineal y continua de norma 1 (descartadoel caso trivial H = 0), y ∥I∥ = 1; estamos por tanto ante un ejemplo de lo que seconoce en la literatura con el nombre de álgebra de Banach unital. En segundo lugar,la involución es multiplicativa

(ST )∗ = T ∗S∗ (S, T ∈ L(H)),

en particular I∗ = I. Finalmente, norma e involución están ligadas por la crucial propiedad

∥T ∗T∥ = ∥T∥2 (T ∈ L(H))

denominada propiedad estelar de la norma y también axioma de Gelfand-Naimarken honor de quienes pusieron de manifiesto su importancia.


La riqueza de la estructura de L(H) permitirá obtener diversas relaciones entre suestructura algebraica y su estructura geométrica. Comenzamos por mostrar la relaciónexistente entre ciertas propiedades de un operador y de su adjunto.

Proposición 6.1.3 Sean X e Y espacios de Hilbert, T ∈ L(X, Y ). Entonces se verifican:

1. ker T = T ∗(Y )⊥. Como consecuencia, T es inyectivo sí, y sólo si, T ∗ tiene imagendensa.

2. T es un isomorfismo si, y sólo si, lo es T ∗, en cuyo caso se tiene

(T ∗)−1 = (T−1)∗.

3. T es una isometría si, y sólo si, T ∗T = IX .

4. T es un isomorfismo isométrico si, y sólo si,

T ∗T = IX TT ∗ = IY

esto es, T es biyectivo con T ∗ = T−1.

Demostración.- 1) Sean x ∈ X e y ∈ Y . La identidad (T (x)|y) = (x|T ∗(y)), nospermite afirmar que x ∈ ker(T ) si, y sólo si, x ∈ T ∗(Y )⊥, lo que a su vez muestra queker T = T ∗(Y )⊥.

2) Supongamos que T es un isomorfismo con inverso T−1. La igualdad

T ∗ (T−1)∗

=(T−1T

)∗= I∗ = I =

(TT−1

)∗=(T−1

)∗T ∗,

nos asegura que T ∗ es un isomorfismo con inverso (T−1)∗. Para concluir la equivalencia,

simplemente notar que si T ∗ es un isomorfismo, entonces lo mismo le ocurre a T ∗∗ = T .3) En el primer tema de este capítulo vimos que un operador entre espacios de Hilbert

es isométrico si, y sólo si, conserva productos escalares. Concretamente, T ∈ L(X,Y )

es una isometría si, y sólo si, (T (x)|T (y)) = (x|y), para todo x, y ∈ X, si, y sólo si,(x|T ∗T (y)) = (x|y), para todo x, y ∈ X, lo que claramente equivale a T ∗T = IX .

La última afirmación es una consecuencia directa de la tercera.

La siguiente definición está justificada por los resultados obtenidos en la proposiciónanterior.

Definición 6.1.4 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador; se dice que T esunitario, si T ∗T = TT ∗ = I, cuando T ∗ = T decimos que T es autoadjunto, finalmentediremos que T es normal, si T ∗T = TT ∗.


Sea T ∈ L(H) un operador isométrico. Es claro que en este caso T es unitario si, y solo,si T es normal. Los operadores en L(H) que corresponden con proyecciones ortogonalessobre un subespacio tienen una descripción propia.

Proposición 6.1.5 Sea H un espacio de Hilbert y P ∈ L(H) tal que P 2 = P . Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

1. P es autoadjunto.

2. P es normal.

3. P es la proyección ortogonal sobre P (H).

Demostración.- 1) ⇒ 2) Supongamos que P ∗ = P . Claramente

P ∗P = P 2 = P = PP ∗,

lo que muestra que P es normal.

2) ⇒ 1) Supongamos que P es normal. Afirmamos que P ∗(ker(P )) = 0. A tal efecto to-mamos x ∈ ker(P ). Como PP ∗(x) = P ∗P (x) = 0, podemos afirmar queP ∗(ker(P )) ⊆ ker(P ). Por el primer apartado de la Proposición 6.1.3 se sigue que

ker(P ) = (P ∗(H))⊥ .

Si además tenemos en cuenta que P ∗(ker(P )) es un subespacio de la imagen de P ∗,tenemos en consecuencia que

P ∗(ker(P )) ⊆ (P ∗(H))⊥ ∩ P ∗(H) = 0.

Tomemos x ∈ H. Como P 2 = P es fácil comprobar que x−P (x) ∈ ker(P ) y por tantoP ∗(x−P (x)) = 0. Como x era un elemento arbitrario en H, esta última igualdad implicaque P ∗ = P ∗P , lo que a su vez implica que P ∗ = P .

1) ⇒ 3) Las hipótesis P 2 = P = P ∗ nos permiten ver fácilmente que

ker(P ) = x− P (x) : x ∈ H = P (H)⊥.

El Teorema de la proyección ortogonal nos asegura que P es la proyección ortogonal deH sobre P (H).

La implicación 3) ⇒ 1) es clara.


Sea T un operador en un espacio de Hilbert H. Es conocido que podemos definir unaforma sexquilineal φT en H ×H, mediante la expresión

φT (x, y) = (Tx|y) = (x|T ∗y) (x, y ∈ H)

(en realidad el Corolario 2.2.10 nos asegura que todas las formas sexquilineales en H ×H

son de esta forma). Esta forma sexquilineal da lugar a una forma cuadrática

QT (x) = (Tx|x) = (x|T ∗x) (x ∈ H).

Observemos que T es autoadjunto si, y sólo si, φT es simétrica, en cuyo caso está formasexquilineal está determinada por QT . A partir de esta observación obtenemos:

Proposición 6.1.6 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H).

1. Si T = T ∗, entonces

∥T∥ = sup |(Tx|x)| : x ∈ H, ∥x∥ = 1 .

En particular, si T = T ∗ y (Tx|x) = 0 para todo x ∈ H, entonces T = 0.

2. T es normal si, y sólo si, ∥Tx∥ = ∥T ∗x∥ para todo x ∈ H.

Demostración.- 1) Supongamos que T ∗ = T . Sea x un elemento arbitrario en la bolaunidad cerrada de H. El Corolario 2.2.10 nos asegura que

∥T∥ = ∥φ∥ = sup|φT (x, x)| : x ∈ BH = sup|(Tx|x)| : x ∈ BH.

La afirmación 2) es clara.

En el caso complejo disponemos de ventajas adicionales, toda formasexquilineal (por tanto todo operador) queda determinada por la forma cuadráticaasociada y el operador es autoadjunto si, y sólo si, la correspondiente forma cuadráti-ca toma sólamente valores reales. El resto de las afirmaciones del siguiente enunciado secomprueba inmediatamente:

Proposición 6.1.7 Sea T un operador en un espacio de Hilbert complejo H.

1. Si (Tx|x) = 0 para todo x ∈ H, entonces T = 0.

2. T es autoadjunto si, y sólo si, (Tx|x) ∈ R para todo x ∈ H.


3. T se expresa de manera única en la forma T = A + iB donde A,B ∈ L(H) sonoperadores autoadjuntos; T es normal si, y sólo si, AB = BA.

En lo que sigue presentamos una serie de ejemplos importantes de operadores enespacios de Hilbert que pueden ayudar a la comprensión de este tema.

Ejemplo 6.1.8 Representación Matricial: Extendiendo de forma natural la represen-tación matricial de las aplicaciones lineales entre espacios finito-dimen-sionales, fijadassendas bases ortonormales xi : i ∈ I, yj : j ∈ J en los espacios de Hilbert X eY respectivamente, a cada operador A ∈ L(X, Y ) podemos asociar una “matriz”, máspropiamente una función a : I × J → K, dada por

a(i, j) = (Axi|yj) (i ∈ I, j ∈ J).

Usando los desarrollos de Fourier, la función a determina al operador A por

Ax =∑j∈J

(∑i∈I

(x|xi)a(i, j)

)yj (x ∈ X)

y el operador adjunto A∗ viene determinado por la función a∗ : J × I → K dada por

a∗(j, i) = a(i, j) (j ∈ J, i ∈ I).

Semejante representación matricial tiene muy poco valor a menos que la función a seade un tipo muy especial. Por ejemplo no es fácil saber qué funciones de I × J en Krepresentan a un operador y, salvo casos sumamente elementales, no se sabe calcularsiquiera la norma del operador A en términos de la matriz a. La posibilidad de elegir lasbases ortonormales de forma que a sea especialmente sencilla es más interesante. A títulode ejemplo, en el caso X = Y = H, es claro que un operador A ∈ L(H) es unitario si,y sólo si, Txi : i ∈ I es una base ortonormal de H, lo que equivale a la posibilidadde elegir la base yi : i ∈ I de forma que a sea la “matriz unidad”, es decir, la funcióncaracterística de la diagonal de I × I. Dicho de otra forma, la función a asociada a unoperador unitario A puede considerarse como la matriz de transformación de coordenadasen un cambio de base ortonormal.

Ejemplo 6.1.9 Operadores de multiplicación: Consideremos el espacio de HilbertH = L2[0, 1]. Cada ϕ ∈ L∞(µ) da lugar a un operador Mϕ ∈ L(H) mediante:

Mϕ(f) = ϕf (f ∈ L2[0, 1]).


Mϕ es un operador en L2[0, 1] y ∥Mϕ∥ ≤ ∥ϕ∥∞. Se dice que Mϕ es el operador de multi-plicación por ϕ. Se tiene de hecho ∥Mϕ∥ = ∥ϕ∥∞.

Así pues, ϕ → Mϕ es una inyección lineal isométrica de L∞[0, 1] en L(H) conH = L2[0, 1]. Nótese que L∞[0, 1] es un álgebra con el producto definido puntualmentey que Mϕψ = MϕMψ para ϕ, ψ ∈ L∞[0, 1], esto es, tenemos un monomorfismo de álge-bras. Más aún, L∞[0, 1], tiene una involución natural, dada por

ϕ∗(w) = ϕ(w) (w ∈ [0, 1], ϕ ∈ L∞[0, 1])

y es claro que Mϕ∗ = (Mϕ)∗. Así, todo operador de multiplicación es un operador normal;

Mϕ es autoadjunto si, y sólo si, ϕ(w) ∈ R para casi todo w ∈ [0, 1]; Mϕ es unitario si, ysólo si, |ϕ(w)| = 1 para casi todo w ∈ [0, 1].

El caso H = ℓ2 merece destacarse, si ϕ = αn es una sucesión acotada de escalares,el operador de multiplicación por ϕ viene dado por

[Mϕx] (n) = αnx(n) (n ∈ N, x ∈ ℓ2)

y en la base canónica en : n ∈ N de ℓ2 tiene una representación “diagonal”, ya que

Mϕen = αnen (n ∈ N).

Así pues ℓ∞ es isométricamente isomorfo a un subespacio cerrado de L(ℓ2), en particular,L(ℓ2) no es separable. Nótese también que si un operador T ∈ L(ℓ2) verifica

Ten = λnen (n ∈ N)

la sucesión λn ha de estar acotada.

También en el caso H = ℓΛ2 donde Λ es un conjunto no vacío arbitrario volvemos atener una perfecta identificación de ℓΛ∞ con un subespacio de L(ℓΛ2 ) (operadores diagonales)siendo ciertas todas las afirmaciones hechas en el caso de L2[0, 1].

Ejemplo 6.1.10 Operadores de desplazamiento: Sea H = ℓZ2 y consideremos el ope-rador S ∈ L(H) dado por

[Sx](n) = x(n+ 1) (n ∈ Z, x ∈ ℓZ2 ).

Claramente S es un operador unitario. Veámoslo como un operador T en L2([−π, π]),bajo la identificación proporcionada por el Teorema 2.3.19, es decir,

T f(n) = f(n+ 1) (n ∈ Z, f ∈ L2([−π, π]).


Si para f ∈ L2([−π, π]) ponemos g(t) = f(t)e−it tenemos claramente g(n) = f(n+1) (n ∈Z), luego Tf = g. En suma T es el operador de multiplicación por la función t→ e−it.

La situación es diferente si tomamos, formalmente, el mismo operador, pero ahora enℓ2, es decir, S ∈ L(ℓ2),

[Sx](n) = x(n+ 1) (n ∈ N, x ∈ ℓ2).

Ahora, para x ∈ ℓ2, se comprueba fácilmente que

[S∗x](n) = x(n− 1) si n ≥ 2, [S∗x](1) = 0.

S∗ recibe el nombre de operador de desplazamiento unilateral. Nótese que S∗ esisométrico, equivalentemente SS∗ = I, pero no es sobreyectivo (no es normal), S∗S es laproyección ortogonal sobre el subespacio x ∈ ℓ2 : x(1) = 0 = e1⊥.

Ejemplo 6.1.11 Operadores integrales: Sea K ∈ L2([0, 1]× [0, 1]). El operador in-tegral de núcleo K es, por definición, el operador TK ∈ L(L2[0, 1]), definido por:

[TK(f)](x) =

∫Ω

K(x, y)f(y)dy (x ∈ [0, 1], f ∈ L2[0, 1]).

El Teorema de Fubini y la desigualdad de Hölder nos dicen que la funcióny 7→ K(x, y)f(y) pertenece a L1[0, 1] y que

| [TKf ] (x)| ≤ ∥f∥2(∫ 1

0

|K(x, y)|2dy)1/2

para casi todo x ∈ [0, 1]. Una nueva aplicación del Teorema de Fubini y obtenemos queTKf ∈ L2[0, 1] para f ∈ L2[0, 1] y que ∥TKf∥2 ≤ ∥K∥2.

El operador adjunto T ∗K es el operador integral TK∗ cuyo núcleo viene dado por

K∗(x, y) = K(y, x) (x, y ∈ [0, 1]).

Un caso particular importante se presenta cuando K es la función característica del con-junto (x, y) : 0 ≤ y < x ≤ 1. El correspondiente operador integral es el operador deVolterra, V , dado por:

[V f ](x) =

∫ x

0

f(y)dy (x ∈ [0, 1], f ∈ L2[0, 1]).

Se calcula fácilmente el operador adjunto V ∗ y se comprueba igual de fácilmente que Vno es normal.


Hemos dejado para el final un ejemplo que se puede construir de una manera muchomás simple en cualquier espacio de Hilbert abstracto. Nos referimos a los operadores derango finito que nos servirán además para motivar el estudio de los operadores compactos.

Definición 6.1.12 Dados dos vectores u, v de un espacio de Hilbert H definimos u⊗ v :

H → H mediante:u⊗ v(x) = (x|u)v (x ∈ H).

Si u = 0, v = 0 la imagen de u⊗ v es el subespacio unidimensional de H engendrado porv. En general llamaremos rango de un operador a la dimensión de su imagen. NotaremosF (H) al subconjunto de L(H) formado por los operadores de rango finito.

La siguiente proposición recoge una serie de propiedades básicas de los operadores derango finito. Su demostración puede ser dejada como ejercicio para el alumno puesto queno ofrece ninguna dificultad.

Proposición 6.1.13 Sea H un espacio de Hilbert. Entonces se verifican las siguientesafirmaciones:

1. Para u, v ∈ H se tiene u⊗ v ∈ F (H),

∥u⊗ v∥ = ∥u∥∥v∥, (u⊗ v)∗ = v ⊗ u.

2. F (H) es el subespacio de L(H) engendrado por el conjunto

u⊗ v : u, v ∈ H,

esto es, cada operador de rango finito T puede expresarse en la forma

T =n∑k=1

uk ⊗ vk

con n ∈ N, uk, vk ∈ H, k = 1, 2, . . . , n. Además F (H) es un ideal bilátero yautoadjunto del álgebra L(H) (es decir, TR,RT, T ∗ ∈ F (H) para todo T ∈ F (H),

R ∈ L(H)). 2

Así pues, los operadores u⊗ v definidos elementalmente a partir del producto escalargeneran linealmente el espacio F (H) de los operadores de rango finito, subespacio que esestable por las demás operaciones algebraicas de L(H), producto e involución. Si H esfinito dimensional es claro que F (H) = L(H). En otro caso, F (H) nunca es cerrado.

Nuestro objetivo ahora es caracterizar los operadores que pertenecen al cierre de F (H).Es claro que si T ∈ F (H) y BH es, como siempre, la bola unidad de H, T (BH) esun conjunto acotado y está contenido en el espacio finito-dimensional T (H), luego esrelativamente compacto. Motivamos así el siguiente concepto:


Definición 6.1.14 Sea H un espacio de Hilbert. Un operador compacto en H es, pordefinición, una aplicación lineal T : H → H tal que la imagen por T de la bola unidad deH es un subconjunto relativamente compacto de H. Nótese que en particular T ∈ L(H),ya que T (BH) es un conjunto acotado. Notaremos por K(H) al subconjunto de L(H)

formado por los operadores compactos. Notemos que T ∈ K(H) si, y sólo si, T (A) esrelativamente compacto para cada subconjunto acotado A de H, equivalentemente, paracada sucesión acotada xn en H, la sucesión Txn admite una parcial convergente.

El siguiente teorema presenta algunas propiedades básicas de los operadores compactosde demostración elemental.

Teorema 6.1.15 Sea H un espacio de Hilbert.

1. K(H) es un ideal bilátero cerrado y autoadjunto de L(H) y F (H) ⊂ K(H).

2. Si T ∈ K(H), T (H) es separable; si en : n ∈ N es una base ortonormal deT (H) y para cada n ∈ N, Pn es la proyección ortonormal de H sobre el subespa-cio engendrado por e1, e2, . . . , en entonces PnT converge a T en L(H). Comoconsecuencia, K(H) = F (H).

3. Dado T ∈ L(H) se tiene T ∈ K(H) si y sólo si T ∗ ∈ K(H).

Demostración.- 1) Es claro que K(H) es un ideal bilátero y autoadjunto. Veamosque además es cerrado. Supongamos que (Tm) es un sucesión de operadores compactosque converge a un operador T . Para ver que T es compacto probaremos que para cualquiersucesión acotada (xn) en H, la sucesión (T (xn)) admite una parcial Cauchy.

Como T1 es compacto, existe (xσ1(n)) parcial de (xn) verificando que (T1(xσ1(n))) es unasucesión de Cauchy. Como T2 es compacto, entonces existe (xσ1σ2(n)) parcial de (xσ1(n)) talque (T2(xσ1σ2(n))) es una sucesión de Cauchy. Supongamos definidas σ1, . . . , σm verificandoque para τk = σ1 σ2 . . . σk se verifica que (Tk(xτk(n))) es una sucesión de Cauchy para todok : 1, . . . ,m. Como Tm+1 es un operador compacto entonces existe (xτmσm+1(n)) parcial de(xτm(n)) verificando que para τm+1 = τmσm+1 la sucesión (Tm+1(xτm+1(n))) es de Cauchy.Por inducción matemática, para cada m ∈ N, tenemos definida σm : N→ N estrictamentecreciente verificando que para τm = σ1 σ2 . . . σm se verifica que (Tm(xτm(n))) es unasucesión de Cauchy para todo m ∈ N. Definimos τ(m) := τm(m). Finalmente, aplicandoque Tm converge a T , obtenemos que (T (xτ(n))) es una sucesión de Cauchy en H.

2) Como T (BH) es un espacio métrico compacto entonces es separable. En particularT (BH) es separable y T (H) =

∪n∈N T (nBH) es también separable.


Fijado x ∈ H, el desarrollo de Fourier de x nos asegura que Pn(x) converge a x en H.Dado ε > 0, la compacidad de T nos permite asegurar la existencia de x1, . . . , xm ∈ BH

tales que para cada x ∈ BH existe k ∈ 1, . . . ,m verificando que

∥T (x)− T (xk)∥ < ε.

Como (PnT (xk)) → T (xk) para todo k ∈ 1, . . . ,m, podemos asegurar que(PnT (x)) → T (x) uniformemente en x ∈ BH , equivalentemente (PnT ) → T .

3) Aplicando que la involución T 7→ T ∗ es bicontinua obtenemos la equivalenciadeseada.

Para terminar estudiamos la compacidad de los operadores presentados en los ejemplosanteriores.

Ejemplo 6.1.16 Si en es una base ortonormal del espacio de Hilbert separable H y T ∈K(H), entonces Ten converge a cero. En particular ningún operador de multiplicaciónno nulo en L2([−π, π]) es compacto.

La situación en ℓ2 es más interesante; si αn es una sucesión acotada y T es eloperador de multiplicación dado por

[Tx](n) = αnx(n) (n ∈ N, x ∈ ℓ2),

es claro que T ∈ K(H) siempre que αn → 0. Recíprocamente, por lo dicho antes, siT ∈ K(H) se tendrá Ten → 0, luego αn → 0. Así pues los operadores de multiplica-ción compactos en ℓ2 se corresponden con sucesiones convergentes a cero al igual que losoperadores de multiplicación de rango finito se corresponden con las sucesiones casi-nulas.

Ejemplo 6.1.17 Todo operador integral del tipo considerado en los ejemplos anterioreses compacto. Ello se debe a las dos observaciones siguientes, de fácil comprobación:

En primer lugar, si ei : i ∈ I es una base ortonormal en L2[0, 1], definiendo

ϕij(w) = ei(w)ej(w) (w ∈ [0, 1], i, j ∈ I)

se tiene que ϕij : i, j ∈ I es una base ortonormal en el espacio L2([0, 1]× [0, 1]).En segundo lugar, es casi obvio que para i, j ∈ I el operador integral de núcleo ϕij es

de rango 1. Se considera entonces la aplicación K 7→ TK de L2([0, 1]×[0, 1]) en L(L2[0, 1])

que a cada núcleo K asocia el operador integral TK. Tal aplicación es lineal y continua;puesto que sus valores en un subespacio denso de L2([0, 1] × [0, 1]) (el engendrado porϕij : i, j ∈ I) son operadores de rango finito, deducimos que TK ∈ F (H) = K(H) paraK ∈ L2([0, 1]⊗ [0, 1]), como se quería. En particular el operador de Volterra es compacto.

6.2. Teorema de resolución espectral 151

6.2. Teorema de resolución espectral

Este último tema del capítulo está dedicado a uno de los resultados básicos en la teoríade operadores, nos referimos al Teorema de resolución espectral de un operador compactoy normal en un espacio de Hilbert complejo. Este resultado nos permitirá descomponer elespacio ambiente en suma ortogonal de subespacios propios, en cada uno de los cuales untal operador actúa como un múltiplo de la identidad. Desde este Teorema de resoluciónespectral de operadores compactos y normales en un espacio de Hilbert complejo tendre-mos la posibilidad de “diagonalizar” operadores compactos y autoadjuntos. Al final deltema presentaremos el cálculo funcional acotado en un operador compacto normal en unespacio de Hilbert complejo con algunas de sus consecuencias.

Tal y como comentamos en el tema anterior, si eλ : λ ∈ Λ es una base ortonormalde un espacio de Hilbert H, cada operador T ∈ L(H) queda determinado por la función(“matriz”) aT : Λ× Λ → K, definida por

aT (λ, µ) = (Teµ|eλ) (λ, µ ∈ Λ).

Concretamente se tiene

Tx =∑

(λ,µ)∈Λ×Λ

aT (λ, µ)(x|eµ)eλ (x ∈ H) (1),

expresión que se comprueba fácilmente usando los desarrollos de Fourier y propiedadesconocidas de las familias sumables.

Si se quiere resaltar el aspecto matricial de la representación anterior, basta pensarque (1) es equivalente a

(Tx|eλ) =∑µ∈Λ

aT (λ, µ)(x|eµ) (λ ∈ Λ, x ∈ H).

Viendo cada elemento x ∈ H como el vector columna formado por sus coordenadas(coeficientes de Fourier) la expresión anterior nos da el “vector” Tx como “producto” dela “matriz” aT por el “vector” x.

Como también se ha comentado ya, a pesar de que la función aT es un objeto ma-temático más sencillo que el operador T ∈ L(H), la anterior representación, incluso enel caso finito dimensional, tiene escaso valor, a menos que la matriz aT tenga una formamuy sencilla. Puede decirse que el primer objetivo de la teoría espectral de operadores enespacios de Hilbert consiste en encontrar condiciones suficientes, y a ser posible necesarias,sobre un operador T ∈ L(H), para que pueda elegirse la base ortonormal eλ : λ ∈ Λde forma que la matriz aT tenga alguna forma sencilla.


A semejanza del caso finito-dimensional podemos plantearnos la posibilidad de que aTsea una matriz diagonal, esto es

aT (λ, λ) = αλ, aT (λ, µ) = 0 (λ, µ ∈ Λ, λ = µ) (2)

donde αλ : λ ∈ Λ es una cierta familia de escalares, con lo que la representación (1)del operador T tomaría la forma sencilla

Tx =∑λ∈Λ

αλ(x|eλ)eλ (x ∈ H) (3)

que muestra a T como un operador de multiplicación en ℓΛ2 . Si tal cosa se puede conseguir,se ha de tener obligatoriamente, como consecuencia de (3), que

Teλ = αλeλ (λ ∈ Λ). (4)

Recíprocamente, si se verifica (4), la definición de la matriz aT nos dice que tambiénse verifica (2) y hemos conseguido “diagonalizar” el operador T . Quedan así motivados lossiguientes conceptos:

Definición 6.2.1 Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H) un operador; se dice queα ∈ K es un autovalor de T si existe un vector x ∈ H, con ∥x∥ = 1, tal que Tx = αx,esto es, si

Ker(T − αI) = 0,

en tal caso decimos también que ker (T − αI) es el subespacio propio asociado alautovalor α y sus elementos reciben el nombre de vectores propios de T , asociados alautovalor α. Notaremos σp(T ) al conjunto de los autovalores de T . Se dice que el operadorT es diagonalizable si existe una base ortonormal de H formada por vectores propios deT , equivalentemente, si existe un sistema ortonormal eλ : λ ∈ Λ en H y una familiaαλ : λ ∈ Λ de escalares tal que

Tx =∑λ∈Λ

αλ(x|eλ)eλ (x ∈ H).

Es obvio que todo operador diagonalizable es normal. El primero de los siguientesejemplos muestra hasta qué punto un operador (incluso compacto) no normal puede estarlejos de ser diagonalizable; el segundo pone de manifiesto la existencia de operadoresnormales sin autovalores. La comprobación de las afirmaciones que se hacen es un sencilloejercicio:


Ejemplo 6.2.2 El operador de Volterra carece de autovalores. En realidad si fuesediagonalizable entonces sería normal, lo cual es imposible.

Ejemplo 6.2.3 El operador de desplazamiento S ∈ L(ℓZ2 ), dado por

[Sx](n) = x(n+ 1) (n ∈ Z, x ∈ ℓZ2 )

es unitario, en particular normal y carece de autovalores. S+S∗ es autoadjunto y tambiéncarece de autovalores.

Los ejemplos anteriores nos muestran que nos es fácil asegurar la existencia de auto-valores de cualquier operador. Sin embargo, cuando consideramos operadores compactosy autoadjuntos la situación va a ser mucho más agradable.

Lema 6.2.4 Sea H un espacio de Hilbert y sea S ∈ L(H) un operador compacto y au-toadjunto. Entonces σp(S) ⊂ R y existe un autovalor α ∈ σp(S) tal que |α| = ∥S∥, enparticular

∥S∥ = sup|λ| : λ ∈ σp(S).

Demostración.- Supongamos que λ ∈ σp(S), entonces existe x ∈ H con ∥x∥ = 1 yS(x) = λx. Como S = S∗ concluimos que

λ = (λx|x) = (S(x)|x) = (x|S∗(x)) = (x|S(x)) = λ,

lo que nos asegura que σp(S) ⊆ R.La Proposición 6.1.6 nos asegura que

∥S∥ = sup|(S(x)|x)| : x ∈ H, ∥x∥ = 1

≥ |(S(x)|x)| : x ∈ H, ∥x∥ = 1, x vector propio de S

= sup|λ| : λ ∈ σp(S).

Par ver que la desigualdad anterior es de hecho una igualdad tomamos una sucesión(xn) en SH verificando que |(S(xn)|xn)| → α = ∥S∥ > 0. Como S es compacto, podemostomar una parcial (xσ(n)) verificando que (S(xσ(n))) es convergente. La desigualdad

∥S(xn)− αxn∥ ≤ ∥S(xn)∥2 + α2∥xn∥2 − 2α(S(xn)|xn) = 2α2 − 2α(S(xn)|xn),

nos asegura que (S(xn)−αxn) tiende a cero. En consecuencia (αxn) es también convergentea un elemento de la forma αx con x ∈ SH . La continuidad de S nos permite asegurar queT (x) = αx, y por tanto α = ∥T∥ ∈ σp(S).


Incluso en el caso finito-dimensional, un operador normal puede carecer de autovalores.Sin embargo, en el caso complejo, el lema anterior puede extenderse al caso de un operadorcompacto normal, y éste será el punto de ruptura para la obtención de la descomposiciónespectral de un tal operador.

Lema 6.2.5 Si T es un operador compacto normal en un espacio de Hilbert complejo H,entonces σp(T ) = ∅. Además, se tiene ker(T − λI) = ker(T ∗ − λI) para todo λ ∈ C y, enparticular

σp(T∗) = λ : λ ∈ σp(T ).

Demostración.- Sea T un operador compacto y normal en un espacio de HilbertcomplejoH. La Proposición 6.1.7 nos asegura que existen A,C operadores autoadjuntos enH verificando que T = A+iC y AC = CA. Como además A = 1

2(T+T ∗) y C = 1

2i(T−T ∗),

tenemos que ambos operadores deben ser compactos ya que T y T ∗ lo son.El operador A es un operador compacto y autoadjunto en H. Como consecuencia

del Lema 6.2.4 podemos asegurar que existe x en la esfera unidad de H y λ ∈ R talque A(x) = λx. En particular el subespacio M = ker(A − λI) es distinto de cero. Laconmutatividad de A y de C nos aseguran que B(M) ⊆M . En efecto, si x ∈M entoncesA(C(x)) = C(A(x)) = λC(x), lo que muestra que C(x) ∈ M . Como C|M es un operadorcompacto y autoadjunto en M , el de nuevo el Lema 6.2.4 nos asegura que existe β ∈ R yx0 en la esfera unidad de M tal que C(x0) = βx0. Como x0 también está en la esfera deH y además A(x0) = λx0, podemos comprobar fácilmente que

T (x) = (λ+ iβ)x0,

lo que a su vez muestra que σp(T ) = ∅.Para demostrar la última afirmación notemos que como T es normal entonces T − λI

es otro operador normal en H. Esto último equivale a que para cada x ∈ H,

∥ (T − λI) (x)∥ = ∥(T ∗ − λI

)(x)∥.

Por tanto, los núcleos de los operadores (T − λI) y(T ∗ − λI

)coinciden.

Proposición 6.2.6 Sea T un operador compacto y normal en un espacio de Hilbert com-plejo H. Para λ ∈ C pongamos

Eλ = Ker(T − λI).

1. Existe λ ∈ σp(T ) tal que |λ| = ∥T∥.


2. Si λ ∈ C \ 0, Eλ tiene dimensión finita.

3. Si λ, µ ∈ C, λ = µ, se tiene Eλ ⊂ E⊥µ . Equivalentemente,

PλPµ = PµPλ = 0

donde Pλ y Pµ son las proyecciones ortogonales de H sobre Eλ y Eµ, respectivamente.

4. Para cada ε > 0 el conjunto λ ∈ σp(T ) : |λ| ≥ ε es finito. Como consecuenciaσp(T ) es numerable y el cero es su único posible punto de acumulación.

Demostración.- 1) El axioma de Gelfand-Naimark nos asegura que

∥T∥2 = ∥T ∗T∥.

El operador S = T ∗T es compacto y autoadjunto. Como consecuencia del Lema 6.2.4,existe x en la esfera unidad de H tal que S(x) = ∥S∥x. En consecuencia

∥T∥2 = ∥S∥ = (S(x)|x) = (T ∗T (x)|x) = (T (x)|T (x)) = ∥T (x)∥2 ≤ ∥T∥2.

Notemos M = ker(T ∗T − ∥T∥2I) = 0. Dicho M es un subespacio cerrado (y portanto completo) de H. La normalidad de T nos permite concluir que T (M) ⊆ M . Másaún el operador TM : M → M es normal y autoadjunto. En consecuencia existe x0en la esfera unidad de M y λ ∈ R verificando que T (x0) = λx0. Como x0 ∈ M yker(T − λI) = ker(T ∗ − λI) (6.2.5), podemos concluir que

∥T∥2x0 = T ∗T (x0) = λT ∗(x0) = λλx0,

igualdad que nos asegura que |λ| = ∥T∥.2) Sea λ ∈ σp(T )\0. Supongamos, por reducción al absurdo, que Eλ tiene dimensión

infinita. En tal caso existe una familia ortonormal (xn) ∈ Eλ. La sucesión (T (xn)) = (λxn)

está contenida en T (BH) y para cada n = m

∥T (xn)− T (xm)∥2 = |λ|2∥xn − xm∥2 = 2 |λ|2.

Por tanto (T (xn)) no admite ninguna parcial de Cauchy, lo que contradice que T seacompacto.

3) Sean λ = µ ∈ σp(T ) y sean x ∈ Eλ, y ∈ Eµ. La expresión

λ(x|y) = (T (x)|y) = (x|T ∗(y)) = µ(x|y),

nos asegura que x ⊥ y, tal y como queríamos.


4) Supongamos por reducción al absurdo que existe ε > 0 tal que el conjunto λ ∈σp(T ) : |λ| ≥ ε es infinito. Podemos por tanto tomar una sucesión infinita de valorespropios distintos (λn) verificando que |λn| > ε para todo n ∈ N. El apartado 3) nosasegura la existencia de una familia ortonormal de vectores (xn) en H tales que paracada n ∈ N, xn ∈ Eλn . Un razonamiento análogo al que se hizo en la demostración delapartado 2), asegura que T (xn) no puede tener parciales de Cauchy, lo que contradice lacompacidad de T .

El siguiente resultado colma totalmente nuestras aspiraciones acerca de un operadorcompacto normal:

Teorema 6.2.7 (Resolución espectral de un operador compacto normal) Sea Tun operador compacto normal, en un espacio de Hilbert complejo H, sea Λ = σp(T ) elconjunto de autovalores de T y, para λ ∈ Λ, sea Pλ la proyección ortogonal de H sobre elsubespacio propio Ker(T−λI) asociado al autovalor λ. Entonces la familia λPλ : λ ∈ Λes sumable en el espacio de Banach L(H) y se verifica que:

T =∑λ∈Λ

λPλ (∗)

Además, para λ ∈ Λ \ 0, Pλ tiene rango finito y para λ, µ ∈ Λ, con λ = µ, se tienePλPµ = PµPλ = 0.

Demostración.- Si tenemos en cuenta la proposición anterior, para concluir la pruebasolo tenemos que demostrar que la familia λPλ : λ ∈ Λ es sumable en el espacio deBanach L(H) y se verifica que:

T =∑λ∈Λ

λPλ.

Para cada ε > 0 seaJ0 := λ ∈ Λ : |λ| > ε.

Los apartados 2) y 4) de la proposición anterior implican que J0 es un subconjunto finitode Λ. Vamos a demostrar que para cada J ∈ F(Λ) con J0 ⊆ J se verifica que∥∥∥∥∥T −

∑λ∈J

λPλ

∥∥∥∥∥ ≤ ε.

Tomemos J ∈ F(Λ) con J0 ⊆ J y notemos S = T −∑

λ∈J λ Pλ. Claramente, S escompacto y normal.


En virtud del apartado 1) de la Proposición 6.2.6 tenemos asegurada laexistencia de un elemento de norma uno x ∈ H y de un α ∈ C tal que S(x) = αx y|α| = ∥S∥. Para cada λ ∈ J es fácil comprobar que SPλ = PλS. Por tanto, si z ∈ Pλ(H)

para algún λ ∈ J se sigue que

α(x|z) = (S(x)|z) = (x|S∗(x)) = (x|T ∗(z)− λz) = (x|λz − λz) = 0.

En consecuencia x ∈ Pλ(H)⊥ para todo λ ∈ J . Esto nos asegura que

T (x) = S(x)−∑λ∈J

λPλ(x) = S(x) = αx.

Entonces α ∈ Λ \ J0, ya que x ∈ Pλ(H)⊥ para todo λ ∈ J . De esta forma

ε ≥ |α| = ∥S∥ =

∥∥∥∥∥T −∑λ∈J

λPλ

∥∥∥∥∥ .

Nótese que, recíprocamente, todo operador de la forma (∗) con las condiciones indica-das al final del enunciado anterior, es un operador compacto normal. Además, la formaque ha de tener el conjunto Λ queda claramente de manifiesto en la proposición anterior:Λ puede ser un conjunto finito o el conjunto de los términos de una sucesión convergentea cero, incluyendo o no al cero. Todas las posibilidades son fácilmente ejemplificables encualquier espacio de Hilbert infinito-dimensional. En la mayoría de los textos consultadosla expresión (∗) aparece en la forma

T =∞∑n=1

λnPλn (∗∗)

que se explica por los comentarios anteriores y la “sucesión” λn se ordena de forma que|λn| sea decreciente.

Consecuencia inmediata del Teorema de resolución espectral es:

Corolario 6.2.8 (Diagonalización de un operador compacto normal) Si T esun operador compacto normal en un espacio de Hilbert complejo H, existe un sistemaortonormal numerable eγ : γ ∈ Γ en H y un conjunto de escalares αγ : γ ∈ Γ talesque

T =∑γ∈Γ

αγeγ ⊗ eγ


siendo la familia del segundo miembro sumable en el espacio de Banach L(H). En parti-cular

Tx =∑

αγ(x|eγ)eγ (x ∈ H)

y T es diagonalizable. Así pues, un operador compacto en un espacio de Hilbert complejoes diagonalizable si, y sólo si, es normal. 2

Corolario 6.2.9 Sea T un operador compacto y normal en un espacio de Hilbert complejoH. Entonces se verifica que H es la suma hilbertiana de la familia

Eλ : λ ∈ σp(T ) ∪ 0.

Demostración.- Es claro que la suma hilbertiana de la mencionada familia estácontenida en H. Para ver la otra inclusión tomemos x ∈ H \ 0. Si para todo λ ∈ σp(T ),x ∈ Pλ(H)⊥, entonces

T (x) =∑

λ∈σp(T )

λPλ(x) = 0.

Como x = 0, la igualdad anterior implica que 0 ∈ σp(T ) y por tanto quex ∈ E0 ∩ E⊥

0 = 0, lo que es una contradicción.

Aunque conseguir la forma diagonal del operador dada por el corolario anterior sehabía propuesto como objetivo en este tema por su claro e intuitivo contenido, la descom-posición dada por la resolución espectral es preferible, ya que es claramente única, estácanónicamente asociada al operador, mientras que la diagonalización introduce, inclusoen dimensión finita, un cierto grado de arbitrariedad en la elección de una base orto-normal para cada subespacio propio. Dedicamos el resto de este tema a obtener algunasaplicaciones importantes de dicha resolución espectral.

En lo sucesivo H será un espacio de Hilbert complejo, T un operador compacto normalen H y pondremos

Λ = σp(T );

para λ ∈ Λ, escribiremos Eλ = Ker(T − λI) y Pλ será la proyección ortogonal de H sobreEλ.

El siguiente resultado es una extensión natural de la definición de los operadores demultiplicación en ℓ2.

Proposición 6.2.10 Supongamos que dos espacios de Hilbert X e Y están descompuestosen sendas sumas hilbertianas de subespacios, de la forma

X =⊥i∈I Xi, Y =⊥i∈I Yi.

Para cada i ∈ I, sea Ti ∈ L(Xi, Yi). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:


1. ∃M > 0 : ∥Ti∥ ≤M ∀i ∈ I.

2. Existe un (único) operador T ∈ L(X, Y ) tal que Tx = Ti(x) para todo x ∈ Xi y todoi ∈ I. Concretamente se tiene

Tx =∑i∈I

TiPix (x ∈ X)

donde, para cada i ∈ I, Pi es la proyección ortogonal de X sobre Xi.

Demostración.- 1) ⇒ 2) Sea x ∈ X. Como∑i∈I

∥TiPi(x)∥2 ≤∑i∈I

∥Ti∥2∥Pi(x)∥2 ≤∑i∈I

M2∥Pi(x)∥2,

se sigue que la expresiónT (x) =

∑i∈I

TiPi(x),

define un operador lineal y continuo en X con ∥T∥ ≤M . Además es claro que T |Xi= Ti.

La implicación 2) ⇒ 1) es trivial.

Volviendo a la notación introducida, la resolución espectral del operador compacto ynormal T ∈ L(H) puede ahora visualizarse de la siguiente forma. Teniendo en cuenta que

H =⊥λ∈Λ Eλ

el Teorema de resolución espectral implica que T es el único operador en H que verifica

Tx = λx ∀x ∈ Eλ ∀λ ∈ Λ.

De manera más general, cabe pensar en los operadores (ya no necesariamente compac-tos) cuya restricción a cada subespacio Eλ es un múltiplo de la identidad. Tales operadoresforman una subálgebra de L(H) que veremos puede identificarse, a todos los efectos (nor-ma, producto e involución), con el álgebra ℓΛ∞, cuyo producto e involución se definen demanera obvia.

Definición 6.2.11 Para cada función acotada ϕ ∈ ℓΛ∞, denotaremos por ϕ[T ] al únicooperador en H que verifica

ϕ[T ](x) = ϕ(λ)x (x ∈ Eλ, λ ∈ Λ),

equivalentemente,ϕ[T ](x) =

∑λ∈Λ

ϕ(λ)Pλ(x) (x ∈ H).

La aplicación ϕ 7→ ϕ[T ] recibe el nombre de cálculo funcional acotado en el operadorT .


Teorema 6.2.12 Sea H un espacio de Hilbert complejo, T un operador compacto y nor-mal en H y continuamos denotando Λ = σp(T ).

1. La aplicación ϕ 7→ ϕ[T ] de ℓΛ∞ en L(H) es una isometría lineal y un homomorfismode álgebras que verifica ϕ[T ]∗ = ϕ(T ), donde ϕ(λ) = ϕ(λ) para λ ∈ Λ, ϕ ∈ ℓΛ∞.Además I = ϕ0[T ], T = ϕ1[T ] donde ϕ0(λ) = 1 y ϕ1(λ) = λ para λ ∈ Λ.

2. Para un operador S ∈ L(H), las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) ∃ϕ ∈ ℓΛ∞ : ϕ[T ] = S.

b) Todo operador que conmute con T conmuta con S, esto es,

A ∈ L(H), TA = AT ⇒ SA = AS.

Demostración.- La primera afirmación es de comprobación inmediata.2) (a) ⇒ b)) Supongamos que ∃ϕ ∈ ℓΛ∞ : ϕ[T ] = S. En tal caso

S =∑λ∈Λ

ϕ(λ)Pλ.

Tomemos A ∈ L(H) verificando que TA = AT . Como TPλ = λPλ, la conmutatividad deT y A nos asegura que APλ = PλA, lo que implica que AS = SA.

(a) ⇒ b)) Supongamos ahora que para cada A ∈ L(H) verificando queAT = TA también tenemos que AS = SA. Como T conmuta con las proyecciones Pλse sigue que SPλ = PλS para cada λ ∈ Λ. Para cada λ ∈ Λ tomamos xλ, uλ ∈ Eλ con∥uλ∥ = 1. Definimos A = uλ ⊗ xλ ∈ L(H). Es claro que AT = TA, en consecuenciaAS = SA. Entonces

S(xλ = SA(uλ) = AS(uλ) = (S(uλ)|uλ)xλ.

Definimos, para terminar, ϕ(λ) := (S(uλ)|uλ). La desigualdad

|ϕ(λ)| = |(S(uλ)|uλ)| ≤ ∥S∥,

nos asegura que ϕ ∈ ℓΛ∞ y es claro que ϕ[T ] = S.

Concluimos este tema enunciado algunas de las aplicaciones típicas del cálculo funcio-nal acotado.

Definición 6.2.13 Se dice que un operador A en un espacio de Hilbert complejo H espositivo si verifica que (Ax|x) es un número real no negativo para todo x ∈ H. Enparticular, A es autoadjunto.


Corolario 6.2.14 Sea T un operador compacto y normal en un espacio de Hilbert com-plejo H.

1. T es positivo si, y sólo si, todos los autovalores de T son números reales no negativos.

2. T es autoadjunto si, y sólo si, todos los autovalores de T son números reales. Ental caso T se expresa, de manera única, en la forma T = A − B donde A y B sonoperadores compactos positivos y AB = BA = 0.

3. Si T es positivo existe un único operador compacto y positivo S tal que S2 = T .

4. Existe un operador compacto y positivo A y un operador unitario U tales queT = AU .

2

Concluimos el tema con el estudio de la equivalencia unitaria para operadores com-pactos normales. Puesto que un isomorfismo isométrico entre espacios de Hilbert permi-te la identificación total de dichos espacios, la siguiente relación de equivalencia entreoperadores resulta completamente natural.

Definición 6.2.15 Sean X e Y espacios de Hilbert, T ∈ L(X), S ∈ L(Y ); se dice que losoperadores S y T son unitariamente equivalentes si existe un isomorfismo isométricoU de X sobre Y tal que: S = UTU−1. Sea ahora T un operador compacto normal en unespacio de Hilbert complejo H, y para cada λ ∈ C sea mT (λ) la dimensión hilbertianade Ker(T − λI). La ley mT así definida recibe el nombre de función de multiplicidaddel operador T . Nótese que mT (λ) = 0 solamente cuando λ ∈ σp(T ) en cuyo caso, siλ = 0, mT (λ) es un número natural, mientras mT (0) puede ser un cardinal arbitrario.

Teorema 6.2.16 Dos operadores compactos normales en sendos espacios de Hilbert com-plejos son unitariamente equivalentes si, y sólo si, tienen la misma función de multiplicidad.2

La demostración de este último teorema así como la demostración del último resultadopueden ser dejadas como ejercicios para el alumno. Una demostración de las mismas puedeser encontrada en [13, §7, §8].

BIBLIOGRAFÍA: Las referencias [10, 4, 8, 5, 13] y [30] cubren sobradamente los contenidosde este capítulo.

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