libro termodinamica

Fundamentos de termodinámica clásica

para ingeniería

Bibian Alonso Hoyos Marta Cecilia Mejía

Fundamentos de termodinámica clásica

para ingeniería

Colección Facultad de Minas 120 años

Fundamentos de termodinámica clásica para ingeniería

© Bibian Alonso Hoyos • Marta Cecilia Mejía

© Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín

Colección Facultad de Minas 120 años

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Facultad de Minas

Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín

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ISBN: 978-958-728020-3

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Contenido

1. Conceptos básicos ........................................................................ 11.1 Ingeniería ............................................................................. 11.2 Termodinámica ..................................................................... 21.3 Método de la termodinámica ................................................ 31.4 Dimensiones y unidades ....................................................... 5

1.4.1 Sistema internacional de unidades ........................... 51.4.2 Sistema inglés de unidades (americano

de ingeniería) ............................................................ 61.5 Sistemas termodinámicos .................................................... 101.6 Propiedades termodinámicas y sustancia de trabajo ............. 111.7 Equilibrio y procesos termodinámicos ................................. 14

Problemas propuestos ..................................................................... 16

2. Propiedades termodinámicas ....................................................... 202.1 Masa y peso........................................................................... 202.2 Volumen y densidad .............................................................. 212.3 Temperatura ........................................................................ 23

2.3.1 Ley cero de la termodinámica .................................. 232.3.2 Concepto de temperatura ......................................... 242.3.3 Medida de la temperatura ......................................... 242.3.4 Escalas de temperatura ............................................. 25

2.4 Presión ................................................................................. 282.5 Energía ................................................................................ 32

2.5.1 Energía cinética ........................................................ 322.5.2 Energía potencial ...................................................... 332.5.3 Energía interna ......................................................... 33

2.6 Entropía .............................................................................. 34Problemas propuestos ..................................................................... 35

vi

3. Ecuaciones de balance ................................................................. 403.1 Calor .................................................................................... 403.2 Trabajo ................................................................................ 41

3.2.1 Trabajo para vencer fuerzas de fricción ..................... 413.2.2 Trabajo para levantar un peso ................................... 423.2.3 Trabajo para acelerar un sistema .............................. 423.2.4 Trabajo en procesos con resortes .............................. 423.2.5 Trabajo en procesos eléctricos .................................. 433.2.6 Trabajo de expansión o compresión para

procesos en sistema cerrado ..................................... 433.2.7 Trabajo de flujo ......................................................... 453.2.8 Trabajo en el eje ........................................................ 45

3.3 Ecuaciones de balance ......................................................... 523.3.1 Balance de masa ....................................................... 523.3.2 Balance de energía .................................................... 573.3.3 Balance de entropía .................................................. 66


4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica ................ 844.1 Postulados de la segunda ley de la termodinámica .............. 844.2 Máquinas térmicas ............................................................... 854.3 Refrigeradores y bombas de calor ........................................ 87


5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras mediante diagramas y tablas ...................................................................... 935.1 Reglas de las fases de Gibbs.................................................. 935.2 Relaciones fundamentales para una sustancia pura .............. 935.3 Superficie P-v-T y diagramas de propiedades ......................... 95

5.3.1 Diagrama presión temperatura (diagrama de fases) .................................................................... 95

5.3.2 Diagrama presión volumen específico ....................... 975.3.3 Diagrama temperatura volumen específico ............... 985.3.4 Diagrama temperatura entropía ............................... 995.3.5 Diagrama entalpía entropía ...................................... 1005.3.6 Diagrama presión entalpía ........................................ 100

5.4 Calidad y humedad .............................................................. 1005.5 Tablas de propiedades .......................................................... 105

vii

5.5.1 Interpolación de propiedades tabuladas .................... 1065.6 Capacidad calorífica ............................................................ 109


6. Cálculo de las propiedades de los gases ideales ........................... 1166.1 Propiedades de los gases ideales .......................................... 116

6.1.1 Relaciones P-v-T para gases ideales ............................ 1176.2.2 Relaciones para calcular energía interna (u),

entalpía (h) y entropía (s) de gases ideales ............... 1186.2 Datos tabulados de propiedades de gases ideales ................. 120

6.2.1 Tabulación de la energía interna, la entalpía y la entropía de gases ideales .................................... 121

6.2.2 Presión relativa y volumen relativo ............................ 1216.3 Procesos reversibles con gases ideales ................................. 124

Problemas propuestos ...................................................................... 130

7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras por medio de relaciones ............................................................................... 1337.1 Relaciones P-v-T .................................................................... 133

7.1.1 Ecuaciones de estado cúbicas ................................... 1337.1.2 Ecuación virial .......................................................... 1387.1.3 Relaciones P-v-T mediante correlaciones

generalizadas ............................................................ 1417.1.4 Propiedades P-v-T para líquidos ................................. 145

7.2 Cálculo de otras propiedades de sustancias puras en una sola fase ................................................................... 1477.2.1 Relaciones de Maxwell ............................................... 1487.2.2 Cálculo de propiedades de sustancias puras

por correlaciones generalizadas ................................ 1527.2.3 La propiedad fugacidad, su función

y su cálculo ............................................................... 1607.3 Cálculo de propiedades en sistemas difásicos ...................... 162


8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos ............. 1728.1 Energía disponible y energía no disponible ........................... 173

8.1.1 Energía disponible .................................................... 1738.1.2 Disponibilidad de la energía en tránsito .................... 1768.1.3 Pérdida de disponibilidad ......................................... 178

viii

8.2 Balance de disponibilidad ..................................................... 1798.3 Eficiencia exergética ............................................................ 181

8.3.1 Eficiencia de una máquina térmica ........................... 1828.3.2 Eficiencia de un refrigerador .................................... 1828.3.3 Eficiencia de una bomba de calor ............................. 1828.3.4 Eficiencias de bombas y compresores ....................... 1838.3.5 Eficiencia de una turbina ......................................... 1838.3.6 Eficiencia de un intercambiador de calor.................. 1838.3.7 Eficiencia de toberas ................................................. 184

8.4 Análisis termodinámico de procesos..................................... 186Problemas propuestos ...................................................................... 190

9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos ........................ 1949.1 Balance de energía mecánica ............................................... 194

9.1.1 El trabajo perdido en el flujo de fluidos .................... 1959.1.2 Aplicaciones del balance de energía mecánica .......... 196

9.2 Flujo a través de toberas y difusores .................................... 2009.2.1 La velocidad del sonido ............................................. 2019.2.2 Propiedades de estancamiento .................................. 2039.2.3 Flujo adiabático reversible en conductos

de sección transversal variable .................................. 2059.2.4 Eficiencia de toberas ................................................. 206

9.3 Procesos de compresión y expansión en flujo estable ........... 2099.3.1 Expansión en turbinas ............................................... 2099.3.2 Flujo en compresores ................................................ 210


10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración ..................... 21410.1 Ciclos de potencia ............................................................. 21410.2 Ciclos de potencia de gas ................................................. 215

10.2.1 Ciclo de Brayton o ciclo de turbina de gas básico .................................................................. 215

10.2.2 Ciclos para modelar máquinas de combustión interna ................................................................ 224

10.3 Ciclos de potencia de vapor ............................................. 22910.3.1 Ciclo de Carnot ................................................... 23010.3.2 Ciclo de Rankine ................................................. 23010.3.3 Regeneración en plantas de potencia de vapor .... 233

ix

10.3.4 Recalentamiento en las plantas de potencia de vapor ............................................................... 238

10.4 Cogeneración: producción de potencia y calor ................ 23910.5 Ciclos de refrigeración ..................................................... 240

10.5.1 Sistema de refrigeración de gas .......................... 24110.5.2 Sistemas de refrigeración de vapor ..................... 242


11. Referencias bibliográficas .......................................................... 249

Introducción

El esfuerzo realizado para presentar este trabajo, obedece principalmente a la necesidad de tener un texto de principios de termodinámica clásica que enfatice en los balances de materia, energía, entropía y disponibilidad y en el cual estos temas se presenten de una manera ordenada, integrada y global.Contrario a la gran mayoría de textos que tratan el tema (en los cuales se presentan los balances en forma segmentada o particularizada para diver-sos casos y donde parece primar la idea de que lo importante es el cálculo de propiedades en sí mismo), este libro nace de la convicción de que los estudiantes pueden adquirir una mayor comprensión de la termodinámica conociendo su panorama global para simplificar luego las relaciones más generales a las situaciones particulares ante las que se encuentre. Con este objetivo, se presenta una descripción macroscópica de la materia en forma de los balances generales de masa, energía, entropía y disponibilidad con aplicaciones a diversos procesos y dispositivos. Es importante resaltar aquí también, el esfuerzo realizado para lograr una presentación ordenada del balance de energía, que permita a los estudiantes enlazar este nuevo concepto al de los balances previamente estudiados.Como este libro está escrito con la intención de que pueda utilizarse en el primer curso de termodinámica para estudiantes de ingeniería, creemos que no es necesario abrumarlos con una gran cantidad de conceptos y nuevas técnicas de cálculo; por tanto, estimamos que es suficiente con aplicar los conceptos de los balances a procesos en los cuales solo están involucradas sustancias puras; dejamos pues el cálculo de propiedades de mezclas y de sistemas con reacción química a cursos posteriores, cuando el concepto de balance tenga madurez.El hecho de enfatizar en los balances no implica descuidar la presentación del cálculo de propiedades de sustancias puras. Es por esto que presenta-mos este tema en tres capítulos consecutivos intentando recopilar en ellos las técnicas de cálculo de más amplio uso en la actualidad y que, además, sean un compromiso satisfactorio entre una descripción correcta de las sustancias y la complejidad del cálculo.

1. Conceptos básicos

1.1 IngenieríaEs difícil dar una explicación de ingeniería en pocas palabras, pues se puede decir que la ingeniería comenzó con el hombre mismo, pero se puede intentar dar un bosquejo general de la ingeniería como una profesión. La definición dada por el Accreditation Board for Engineering and Technology es:

La ingeniería es la profesión mediante la cual se aplican racionalmente los conocimientos de las matemáticas y de las ciencias naturales, adqui-ridos por el estudio, la experiencia y la práctica, al desarrollo de métodos económicos de utilización de los materiales y las fuerzas de la naturaleza para beneficio de la humanidad.

Se puede ampliar un poco más la definición y decir que los conocimientos que un ingeniero necesita aplicar racionalmente en la actualidad, para llevar a cabo un buen desempeño, abarcan muy diversas áreas (además de las matemá-ticas y las ciencias naturales); podemos mencionar las ciencias de ingeniería (termodinámica, fenómenos de transporte, cinética), las ciencias sociales y humanas (economía, historia, sociología), la legislación y la ética, entre otras. Pero como lo menciona la cita anterior, estos conocimientos adquiridos por el estudio alcanzarán su máxima utilidad en el ingeniero a medida que este se enfrente a problemas cada vez más complejos, para cuya solución es necesario recurrir al conocimiento adquirido por medio de la experiencia; y esto requiere a menudo hacer gala de sentido común y creatividad.Con estos conocimientos anteriormente mencionados (y por supuesto, con nuevos descubrimientos o teorías en esas áreas del conocimiento), y siem-pre teniendo en cuenta los recursos disponibles, el ingeniero puede crear, diseñar, operar y optimizar procesos que transformen dichos recursos con miras a obtener un producto (bien o servicio) que satisfaga alguna necesidad de la sociedad. El ingeniero deberá por tanto estar atento, no solo a encontrar soluciones tecnológicamente factibles, sino también a preguntarse si esa solución satisface las necesidades de la sociedad. Esto implica, por supuesto, que el ingeniero debe cuidar al máximo los recursos ambientales y, en la medida de sus posibilidades, que el proceso para llegar a un producto final los afecte en la menor medida.


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En la figura 1.1 se presenta un esquema que resume la anterior exposición de la ingeniería como una profesión.

Figura 1.1 Esquema de la ingeniería como profesión

1.2 TermodinámicaComo se mencionó, la termodinámica hace parte de las herramientas que debe tener un buen ingeniero para su desempeño eficiente, y puede consi-derarse dentro de esa perspectiva como un puente entre los conocimientos de las ciencias naturales y los conocimientos de las ciencias de ingeniería. La termodinámica nació como una forma de estudiar y comprender mejor dispositivos que producen energía mecánica a partir del calor (de allí su nombre, el cual significa: potencia obtenida a partir del calor) y no es extraño encontrar en los primeros libros sobre el tema definiciones como “Termo-dinámica es la ciencia que trata de las relaciones entre calor y trabajo”. En la actualidad, se considera a la termodinámica como un área con un mayor alcance y que se podría definir como “El estudio de las transformaciones energéticas y las restricciones a estas transformaciones mediante la obser-vación y la medición de propiedades macroscópicas de las sustancias en condiciones de equilibrio o cerca de este”. Algunas de las palabras claves de esta definición como energía, propiedad, sustancia y equilibrio, se explicarán y definirán con mayor detalle. Por ahora se puede decir que el análisis de estas transformaciones descansa en unos postulados o leyes (llamadas las leyes de la termodinámica) que no se han demostrado matemáticamente; su validez se basa en la experiencia recogida por la humanidad durante años de observación de la naturaleza. Dentro de las restricciones que impone la termodinámica no se ha encontrado ningún proceso que incumpla con los postulados, y es claro que ellos serán válidos mientras no se hallen procesos o situaciones que los contradigan (momento en el cual será la hora de desarrollar una nueva teoría).En la última definición también se habla de un enfoque macroscópico (a gran escala) de la naturaleza. Este enfoque, llamado termodinámica clá-

Desarrollocientífico

No

Sí

Recursosdisponibles

Herramientas:

— Matemáticas— Ciencia básica— Ciencia de ingeniería— Ciencias sociales

y humanas— Legislación— Ética— Experiencia— Sentido común

y creatividad

Diseño yoptimización:

— Procesos— Equipos— Optimización

económica— Manejo del recurso

ambiental— Manejo del recurso

humano— Mercadeo y venta

¿El producto puedesatisfacer las necesidades

de la sociedad?

El producto entraa competir con otros

ofrecidos a la sociedad

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sica, no considera por tanto los cambios ni procesos que ocurren a escala microscópica o molecular. Por ello, al estudiar los efectos globales, no es necesario tener un modelo de la estructura atómica de las sustancias, de allí que los nuevos descubrimientos o teorías en este campo no modifican la validez de los postulados de la termodinámica. La estructura de la termodi-námica clásica es relativamente simple debido a que sus conceptos son más fácilmente aceptables intuitivamente y a que las matemáticas involucradas en su estudio no contienen mayor complejidad o nivel de abstracción; esta estructura simple involucra alguna desventaja: aunque por medio de la termodinámica clásica se pueden predecir las relaciones entre las propie-dades de las sustancias, no puede mostrar por qué tales relaciones tienen una forma particular. Afortunadamente, en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, es más importante conocer los efectos globales que tener un conocimiento detallado de lo que ocurre a nivel atómico.En situaciones donde el enfoque macroscópico no es adecuado (como, por ejemplo, cuando se hacen estudios de sustancias a alta temperatura y presión en procesos de generación de energía magnetohidrodinámica), se debe emplear un estudio basado en el comportamiento estadístico de gran número de partículas (grupos del orden de 1020 o superiores). Este enfoque, llamado termodinámica estadística, requiere un modelo de la estructura de las sustancias, y combina técnicas de cálculo estadístico y teoría de probabilidades con conocimientos de teoría cuántica. Por esto, las matemáticas requeridas por la termodinámica estadística son bastante más complejas que las requeridas por la termodinámica clásica, pero esta complejidad es recompensada por la posibilidad de predecir y explicar el comportamiento macroscópico de la materia.Como se mencionó, la mayoría de los problemas de ingeniería solamente requieren un análisis del efecto global de los procesos sobre las sustancias; es por eso que la presentación de la termodinámica en este libro tendrá esencial-mente un enfoque clásico, el cual permite soluciones a menudo más simples y una más fácil comprensión e interpretación de los resultados obtenidos.En la definición de termodinámica se dice que los estudios se hacen entre estados de equilibrio (o cerca del equilibrio). Esto quiere decir que solo se consideran las características o propiedades de las sustancias antes y des-pués de un proceso de cambio y no durante dicho proceso, ni se estudia el mecanismo o la velocidad a la cual se lleva a cabo la transformación. O en otras palabras, la termodinámica puede predecir lo que va a ocurrir en un caso determinado, pero no dirá nada acerca de la velocidad a la que ocurrirá ni cuál es el mecanismo involucrado.

1.3 Método de la termodinámicaPara el estudio de procesos de transformación energética, la termodiná-mica ha desarrollado un método claro y un modo de obrar que permite,


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como ya se dijo, soluciones relativamente simples a problemas reales de ingeniería. Este método de análisis termodinámico se puede resumir en lo siguiente:1. Análisis de las diferentes formas de energía que pueden estar involu-

cradas en un proceso particular.2. Conocimiento de las propiedades de las sustancias que están relacio-

nadas con los procesos de transformación energética.3. Determinación de la forma de medir estas propiedades y búsqueda de

las relaciones que permitan asociar propiedades de difícil medición con otras cuya medición pueda ser más directa o sencilla.

4. Evaluación de la eficiencia de la transformación energética que ha tenido lugar.

Para ilustrar este método con un ejemplo, considérese el dispositivo mos-trado en la figura 1.2 (una máquina térmica).

Figura 1.2 Máquina térmica para la producción de energía eléctrica

El principal objetivo de esta máquina térmica es transformar energía química del combustible (petróleo, carbón, gas, etc.) en la cámara de combustión en energía eléctrica. Por esta máquina circula una sustancia (llamada comúnmente sustancia de trabajo) que será la encargada de recibir y entregar los flujos energéticos involucrados y sufrirá cambios en sus propiedades a medida que pasa por cada uno de los equipos.Por medio de la determinación de las propiedades de la sustancia en los puntos 1, 2, 3 y 4 (condiciones anteriores y posteriores de la sustancia en cada uno de los equipos) y un análisis termodinámico, se puede establecer cuánta de la energía entregada a la sustancia de trabajo en la cámara de combustión se convirtió realmente en energía eléctrica, así como la mag-nitud de los diferentes flujos energéticos involucrados en todo el proceso. Cabe resaltar que la cuantificación de los flujos energéticos dependerá solo del valor de las propiedades de la sustancia de trabajo en cada punto y no de la naturaleza de la sustancia utilizada (esta característica tan importante, será explicada con mayor detalle en capítulos posteriores).

Gases decombustión

Calor

CombustiblesTrabajo

Bomba

Turbina

Condensador

Generadoreléctrico

EvaporadorCámara decombustión

1

2

3

4

Trabajo

Calor

5


Por último, cabe anotar que los resultados que se pueden obtener de un aná-lisis termodinámico de una situación en particular, dependen en gran medida de la “confiabilidad” de los datos que están disponibles. Es decir, que a medida que los datos de las propiedades de las sustancias se determinen con mayor exactitud, se obtendrán resultados (por medio de análisis termodinámicos) más ajustados a la realidad. Por esto en la actualidad la consecución de datos más confiables de las propiedades y la búsqueda de mejores relaciones entre ellas es uno de los campos de mayor actividad investigativa.

1.4 Dimensiones y unidadesCualquier medida física tiene dimensiones y debe ser expresada en las uni-dades correspondientes a estas dimensiones de acuerdo con un sistema de unidades particular. Dimensión es el nombre que se le da a las cantidades físicas: longitud, masa, tiempo, etc. Unidad es la medida de la dimensión; por ejemplo, pie, metro, y milla son unidades de la dimensión longitud.Expresar una aceleración como 9,8 no tiene sentido; si se agrega la unidad correspondiente de un determinado sistema y se dice por ejemplo que la aceleración es 9,8 m/s2, esta información adquiere sentido. Para trabajos científicos y de ingeniería, deben usarse las unidades de medida del Sistema internacional de unidades (S.I.).El gobierno colombiano expidió el decreto ley 2416 de diciembre de 1971 por medio del cual se adopta el S.I. como sistema métrico oficial. Sin embargo, debido a que en la bibliografía poco reciente, así como en la calibración de algunos instrumentos, se utilizan unidades de otros sistemas, es indispensa-ble saber trabajar e interpretar información de ellos (en especial el inglés de ingeniería) y saber convertir unidades de un sistema a otro. Cada sistema escoge un grupo de dimensiones fundamentales (de acuerdo con un patrón estricto y reproducible) y las unidades asignadas a estas dimensiones son unidades básicas. Las unidades asignadas a aquellas dimensiones que no pertenezcan al grupo escogido recibirán el nombre de unidades derivadas. Por ejemplo, si un sistema escoge la longitud como dimensión fundamental, el área será una cantidad física derivada.Los sistemas de unidades se clasifican en:— Absolutos: aquellos donde las unidades de fuerza y energía son deriva-

das, como el S. I.— Gravitacionales: los que no cumplen la condición anterior; para ellos la

fuerza es una dimensión fundamental definida con base en la fuerza de atracción gravitacional al nivel del mar, un ejemplo es el sistema inglés.

1.4.1 Sistema internacional de unidadesEstá sustentado en siete unidades básicas y dos suplementarias como se indica en la tabla 1.1.


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Tabla 1.1 Unidades básicas del sistema internacional de unidades

Dimensión física Símbolo Unidad Símbolo

Longitud L metro mMasa M kilogramo kg

Tiempo θ segundo sIntensidad eléctrica I amperio A

Temperatura T kelvin KIntensidad luminosa C candela cd

Cantidad de sustancia N mole molÁngulo plano radián radÁngulo sólido estereorradián sr

En este sistema algunas definiciones de unidades son:

— Metro: longitud igual a 1.650.763,73 veces la longitud de onda en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de kriptón 86.

— Segundo: duración de 9,192631770 periodos de la radiación corres-pondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fun-damental del átomo de cesio 133.

Las ventajas del S. I. son:

1. El producto o el cociente de dos o más de sus dimensiones da como resultado la unidad derivada correspondiente, por ejemplo, área: L × L, (m × m) = m2; fuerza M × L / θ2, (kg × m/s2) = N (newton).

2. La unidad de fuerza es independiente de la aceleración debida al campo gravitatorio terrestre y por tanto será unidad derivada, en cambio, en sistemas gravitacionales, la fuerza es una cantidad física fundamental y su unidad estará definida estrictamente.

3. Los factores de proporcionalidad para obtener unidades derivadas de las básicas son siempre la unidad: 1 J ( j oule) = 1 N × 1 m = 1 W × 1 s.

1N =1 kg × 1 m

1 s2

4. Se utiliza exclusivamente el sistema arábigo de numeración con base 10 y se usan prefijos para facilitar el trabajo (véase tabla 1.2).

1.4.2 Sistema inglés de unidades (americano de ingeniería)Tiene las dimensiones fundamentales con sus unidades básicas (véase tabla 1.3).

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Tabla 1.2 Prefijos para formar los múltiplos y submúltiplos del sistema inter-nacional de unidades

Múltiplos

Prefijo Símbolo Factor de multiplicación

Exa E 1018

Penta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo k 103

Hecto h 102

Deca da 101

Submúltiplos

Prefijo Símbolo Factor de multiplicación

Deci d 10–1

Centi c 10–2

Mili m 10–3

Micro µ 10–6

Nano n 10–9

Pico p 10–12

Femto f 10–15

Atto a 10–18

Tabla 1.3 Dimensiones fundamentales y unidades básicas del sistema inglés

Dimensión física Símbolo Unidad Símbolo

Longitud L pie ft

Masa M libra masa lbm

Tiempo θ segundo s

Fuerza F libra fuerza lbf

Temperatura T grado ranking 0R

Corriente eléctrica I ampere A

Intensidad luminosa C candela cd

La libra fuerza está definida como: La fuerza necesaria para acelerar una masa de 1 lbm a 32,174 pies/s2 siendo esta la aceleración del campo gra-


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vitatorio terrestre en el ecuador, a nivel del mar.La ley de Newton puede emplearse para ver cual es la situación con respecto a la conversión de unidades dentro de un mismo sistema.

F ∝ M × a, F = M × a

gc(1.1)

En la cualF : Fuerza.M : Masa.a : Aceleración.gc : Constante, cuyo valor numérico y unidades dependen del sistema de

unidades elegido y tiene dimensiones de (M × L / F ×θ2).En el S.I. el newton está definido como la fuerza necesaria para acelerar 1 kg, con una aceleración de 1 m/s2:

1 N = 1 kg × 1 ms2 × gc

gc = M × a = 1 kg × 1 m/s2=1 kg × m

F 1 N N × s2

En el sistema gravitatorio inglés como se mencionó

1 lbf = 1 lbm × 32,174pie

s2 × gc

luego

gc = 32,174 lbm × pies2 × lbf

Puesto que en la mayoría de los campos científicos se trabaja con unidades del S. I., la omisión del gc no causa problemas; es casi universal la práctica de no incluir gc en las ecuaciones donde aparece conversión de unidades de masa a fuerza. Sin embargo, la omisión del gc en el sistema inglés es desastrosa.Por otra parte, en ingeniería es muy importante comprobar la homogenei-dad dimensional de cualquier ecuación, o sea que las dimensiones del lado derecho de la ecuación deben ser las mismas que las del lado izquierdo.

Ejemplo 1.1

Establecer si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea

En la cualP : Presión.V : Volumen que fluye por unidad de tiempo.

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g : Aceleración de la gravedad.d1 y d2 : Diámetros de boquillas.A : Área de descarga de boquilla.ρ : Densidad del fluido.c : Constante.

Solución

Para que sea consistente en cuanto a dimensiones debe ser una ecuación dimensionalmente homogénea

De acuerdo con el análisis dimensional, c no puede ser una constante adimensional, debe tener dimensiones de [θ/L1/2].

Ejemplo 1.2

La pérdida de presión total a través de un plato de una columna de des-tilación es

Para ht [pulg], ρL, ρv [lbm/pie3], g [pie/s2], Vd [lbm/h], Ad y AE [pie2]. Se desea transformar la ecuación para que pueda aplicarse directamente con h't [cm], ρL′, ρv ′ [kg/m3], g′ [m/s2], Vd′ [kg/h], Ad′ y AE′ [cm2]. ¿Por qué la presión está dada en unidades de longitud?

Solución

Para transformar la relación original que tiene validez en unas unidades determinadas, en una relación similar pero expresada en otras unidades, es necesario relacionar cada una de las variables expresadas en las dos unidades mediante factores de conversión, así

ht [pulg] = h't [cm] 1 pulg

2,54 cmLuegoht = 0,394 h't De la misma manera para las otras variables


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luegoρv = 0,0623 × ρ′vEn la misma forma se tiene queρL = 0,0623 × ρ′Lademás

por tantog = 3.281 × g′

luego Vd = 2,2 × V′d

Ad [pie2] = A'd [cm2] ×1 pie2

929 cm2

luegoAd = 1,08 × 10-3 A′dDe la misma forma AE = 1,08 × 10-3 A′EReemplazando en la ecuación original

por tanto

1.5 Sistemas termodinámicos Sistema, en termodinámica, se puede definir como toda aquella parte del universo que se separa para su estudio. Esta separación se hace por medio de superficies que pueden ser reales, como las paredes de un equipo (tanque, compresor, etc.), o pueden ser imaginarias, como la delimitación de una determinada cantidad de fluido que circula a través de una tubería. El resto del universo y por supuesto, todos los otros sis-

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temas termodinámicos que estén por fuera de esta frontera, se llamarán alrededores o ambiente.Dependiendo del tipo de interacciones entre el sistema y los alrededores permitidas por la frontera, los sistemas se pueden clasificar como abiertos, cerrados o aislados. En un sistema abierto, la frontera permite el intercam-bio de materia entre él y los alrededores, además podrá también permitir el flujo de energía. Sistema cerrado es aquel en el cual la frontera permite el flujo de energía (como calor o trabajo), pero es impermeable al paso de la materia y por tanto este tipo de sistemas mantienen su masa constante. En un sistema aislado la frontera no permite el flujo de materia ni de energía entre el sistema y los alrededores. Siempre que se consideren un sistema y sus alrededores juntos, estos constituirán un sistema aislado.Se puede observar de la clasificación anterior, que un sistema termodi-námico puede presentar interacción con los alrededores como: flujo o intercambio de materia y flujo o intercambio de energía (el cual se divide en flujo de calor y flujo de trabajo). En la figura 1.3 se presentan diferentes tipos de sistemas.La frontera puede también recibir un nombre específico dependiendo de sus características: una frontera rígida es aquella que no permite que el volumen del sistema cambie; una frontera diatérmica es la que permite el flujo de energía en forma de calor hacia o desde el sistema (cuando dos o más sistemas están conectados por medio de una frontera diatérmica se dice que están en contacto térmico); una frontera adiabática es aquella que no permite el intercambio de energía térmica entre el sistema y los alrededores. Las fronteras reales que se encuentran en la naturaleza son generalmente diatérmicas y aunque una frontera adiabática es una situación ideal, puede suponerse que existe una frontera adiabática entre un sistema y sus alrededores si la cantidad de energía térmica transmitida es muy pequeña comparada con las cantidades de otros tipos de interacción energética. En años recientes se han desarrollado materiales llamados súperaislantes que pueden ser considerados para todos los propósitos como una frontera diabática.

1.6 Propiedades termodinámicas y sustancia de trabajo La sustancia que constituye el sistema y que permite las diferentes transfor-maciones energéticas mediante la variación de algunas de sus características macroscópicas distintivas es llamada la sustancia de trabajo, la cual puede ser una sustancia pura o una mezcla de sustancias puras. Las características distintivas de la sustancia de trabajo reciben el nombre de propiedades y son las cantidades que se pueden especificar para dar una descripción macroscó-pica de la sustancia. Estas propiedades pueden ser de medición directa (por


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ejemplo masa, volumen, temperatura, presión, etc.) o pueden ser medidas indirectamente o calculadas por medio de relaciones matemáticas (como entropía). Cualquier tipo de combinación entre propiedades, como por ejem-plo el producto o suma de varias propiedades, es también una propiedad, o en otras palabras, se pueden obtener nuevas propiedades mediante una relación matemática de otras propiedades, esta es una característica que será de gran utilidad en estudios termodinámicos.Para describir completamente la condición física de una sustancia en un instante dado es necesario caracterizarla por medio del conocimiento de la magnitud de sus propiedades observables y el conocimiento de la fase (o fases) en que se encuentra la sustancia. Una descripción de este tipo es

Figura 1.3 Ejemplo de varios tipos de sistemas. a. Sistema cerrado: el fluido. b. Sistema abierto: la sustancia que está en la bomba. c. Sistema aislado: bloques A y B.

Transferencia de calor

a.

b.

Transferenciade calor

Fluido Frontera

Frontera delsistema

Fronteradel sistema Salida de

la sustanciaEntrada dela sustancia

Entradade trabajo

Paredadiabáticac.

Bloque B

Bloque A

T > TA B

13


llamada el estado termodinámico de una sustancia. Por ejemplo, el estado termodinámico de una sustancia en un momento dado puede ser: una masa de 60 kg la cual ocupa un volumen de 80 l y que está en fase líquida y vapor (dos fases) cuando se mantiene a la temperatura y presión del ambiente.El valor de las propiedades que caracterizan a una sustancia debe ser indepen-diente de la forma como se llegó a ese estado. Es decir, si un sistema está cam-biando sus propiedades (su estado termodinámico) el valor que ellas alcancen no dependerá de cómo se realice este cambio. Las propiedades que cumplen la anterior condición son llamadas propiedades de estado o propiedades de punto. Las propiedades que toman diferentes valores dependiendo de la forma en que se han efectuado estos cambios son llamadas funciones de línea o de trayectoria. Considere, por ejemplo, la figura 1.4 en la cual la propiedad h puede cambiar entre los estados 1 y 2 por tres trayectorias diferentes, h será una propiedad termodinámica de estado si el cambio en su valor es independiente de la trayectoria seguida

Cambio en la propiedad = (1.2)

Las propiedades se pueden clasificar también como intensivas o extensivas. Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia que hace parte del sistema (como presión, temperatura, concentración). Las propiedades extensivas son las que dependen de la masa del sistema, algunas de estas propiedades son la masa, el volumen, la energía, etc. Las propiedades extensivas pueden transformarse a propiedades intensivas mediante su división por la masa o por la cantidad de sustancia (moles) del sistema, este tipo de propiedades son llamadas propiedades específicas. Considerando nuevamente la propiedad h anteriormente mencionada en la figura 1.4 se puede decir que el valor específico (h) de la propiedad extensiva (H) se puede obtener de la siguiente manera h = H/Mo se puede obtener el valor específico molar (h) como

= H/Número de moles

Figura 1.4 Función de estado

1

2a

b

Estado termodinámico

c

h


14

1.7 Equilibrio y procesos termodinámicos Se dice que una sustancia está en equilibrio termodinámico con sus alrede-dores si es incapaz de experimentar espontáneamente algún cambio en su estado cuando está sometido a las condiciones que le imponen los alrede-dores. Se dice que cualquier sistema aislado alcanzará el equilibrio termodi-námico después de permanecer un tiempo prolongado sin estar sometido a interacciones. Si en un sistema todas las fuerzas dentro de él se contrarrestan exactamente y a su vez contrarrestan a las fuerzas externas, se dice que el sistema y los alrededores están en equilibrio mecánico. Si la temperatura dentro del sistema es uniforme e igual a la temperatura de los alrededores, se tendrá entonces un equilibrio térmico. Cuando la composición química del sistema no sufre ningún cambio entonces se dice que el sistema está en equilibrio químico. El equilibrio termodinámico implica que los equilibrios mecánico, térmico y químico deben cumplirse al mismo tiempo.Cuando un sistema está cambiando de un estado termodinámico a otro, se dice que está experimentando un proceso, y el conjunto de todos los estados por los que pasa un sistema durante un proceso es denominado la trayectoria del proceso. Las características particulares de una trayectoria son utilizadas muchas veces para dar nombre a los procesos:

1. Proceso isométrico: es aquel que se da por medio de una trayectoria a volumen constante.

2. Proceso isobárico: es el proceso que se realiza a presión constante.3. Proceso isotérmico: se realiza mediante una trayectoria a temperatura

constante.4. Proceso adiabático: es el que se lleva a cabo por una trayectoria en la

cual no hay transferencia de energía en forma térmica (no hay flujo de calor).

5. Proceso cíclico: muchas veces llamado simplemente ciclo, es un proceso mediante el cual la sustancia de trabajo, después de sufrir una serie de transformaciones, siempre regresa a sus condiciones iniciales. O sea que el cambio neto de las propiedades del sistema es cero cuando se lleva a cabo un proceso de esta naturaleza.

6. Proceso reversible e irreversible: un proceso reversible puede ser definido como aquel que ocurre de tal manera que es posible de algún modo re-gresar el sistema y los alrededores a sus estados iniciales. Un proceso que no cumpla con esta condición es un proceso irreversible.

Considere, por ejemplo, el dispositivo mostrado en la figura 1.5. Si el bloque B (el sistema) se puede deslizar lentamente sin fricción por el plano inclinado y si tampoco hay fricción cuando la cuerda se desliza por la polea, entonces el bloque B levantará al bloque A hasta el punto L (aumentando su energía potencial). Si posteriormente se permite que el bloque A descienda, este

15


regresará al bloque B hasta su posición inicial. En el límite, si el proceso se lleva a cabo a una velocidad infinitesimal, el sistema y los alrededores regre-sarán a sus condiciones iniciales, lo cual constituye un proceso reversible. Si se considera ahora que en el dispositivo anterior hay fricción cuando el desplazamiento tiene lugar, entonces el sistema (bloque B) levantará al bloque A hasta un punto por debajo del nivel L (el resto de la energía po-tencial se ha disipado como calor debido a la fricción). Cuando el bloque A descienda nuevamente no podrá llevar al bloque B hasta su posición inicial y sería necesaria la intervención de una fuerza externa para lograrlo. Este proceso es entonces irreversible.El análisis de los procesos irreversibles no es una tarea fácil (tal como ocurre la mayoría de las veces en procesos reversibles) y una parte importante de un estudio termodinámico es conocer y determinar los factores que generan irre-versibilidades para así diseñar nuevos procesos que las eviten. Las fuentes de irreversibilidades aparecen en procesos en los cuales hay fricción de cualquier clase (mecánica, de flujo viscoso o de resistencia eléctrica), siempre que se encuentre un desequilibrio térmico, mecánico o químico dentro del sistema y cuando hay deformación de sustancias sólidas. Como se dijo anteriormente, una de las condiciones para que un proceso sea reversible es que se debe llevar a cabo a una velocidad infinitamente pequeña. Sin embargo, muchas transformaciones pueden ocurrir a una velocidad finita pero de tal manera que el sistema alcanza el equilibrio en cada instante y sus propiedades solo cambian infinitesimalmente de un estado de equilibrio a otro. Este tipo de proceso es llamado también proceso internamente reversible. La trayectoria seguida por el sistema en un proceso de estas características se puede representar como una serie de estados de equilibrio separados sólo infinitesimalmente entre sí.En termodinámica clásica se supone que cualquier transformación irrever-sible que ocurra en la naturaleza, también puede lograrse con un proceso reversible entre los mismos estados.

Figura 1.5 Proceso reversible e irreversible

A

L

A

A

B

B


16

Ejemplo 1.3Extraer la información concerniente al tipo de sistema, de proceso y de frontera en los siguientes casos:a. Una taza de café a 65 °C que se enfría hasta 25 °C, mediante intercambio

de calor con la atmósfera.b. Un tanque aislado térmicamente con 1 kg de líquido con una densidad

determinada al cual se adicionan 2 kg de un fluido diferente.c. Un kilogramo de un fluido que viaja entre dos puntos en una tubería

aislada térmicamente.d. El flujo a través de una bomba.

Solucióna. Al considerar como sistema el café contenido en una taza, se puede

decir que se trata de un sistema abierto (debido a la evaporación de la sustancia). El proceso es un enfriamiento isobárico (a presión atmos-férica) y la frontera es real y diatérmica.

b. Si el sistema es el tanque y su contenido, entonces se trata de un sistema abierto (entra masa al sistema), el proceso es un llenado adiabático de un tanque y la frontera del sistema es real, rígida y adiabática.

c. Escogiendo como sistema solamente un kilogramo de fluido (el cual está rodeado por el resto del fluido), entonces se tratará de un sistema cerrado en un proceso de flujo a través de una tubería con una frontera imaginaria, móvil y diatérmica (puede existir flujo de calor entre el sistema y el resto de fluido que lo rodea).

d. En este caso se puede escoger como sistema al fluido que está en la bomba en cada instante y entonces se tendrá un sistema abierto con frontera rígida, real y diatérmica.

Problemas propuestos 1.1 La distancia entre la tierra y la estrella Alfa-Centauro es de 4,3 años

luz. Calcular el número de pasos que tomaría recorrer esta distancia (con un paso normal).

1.2 La constante universal de los gases R , en unidades S. I. es 8,3144 kJ/kmol K.a. Calcular el valor de R en Btu/lbmol °R.b. Hallar el valor de R en Cal/gmol K.

1.3 El consumo de energía en Colombia es de aproximadamente 46 × 1015 Btu al año. ¿Cuál es el consumo en GJ? ¿Cuál es el equivalente en barriles de petróleo? (La energía contenida en un barril de petróleo es aproximadamente 5,8 × 106 Btu).

17


1.4 El consumo de energía en el mundo es cerca de 78 GJ por persona al año. Para una población mundial de 5.500 millones de personas, ¿cuál es el consumo anual total de energía equivalente en barriles de petróleo crudo?

1.5 El coeficiente de convección externa en una coraza de un intercam-biador de calor se puede calcular como

dondeh0: Coeficiente de convección externo, Btu/s pie2 °R.kL: Conductividad térmica del líquido, Btu/s pie °R.ρL: Densidad molar del líquido, lbmol/pie3.PML: Peso molecular, lbm/lbmol.g: Aceleración de la gravedad, pie/s2.µL: Viscosidad del líquido, centipoises.Re: Número de Reynolds, adimensional.Escribir la ecuación anterior en unidades del S.I.

1.6 La caída de presión a través de las ranuras de un plato de campanas en una torre de destilación es

en la cualK1: Pérdida de presión a través de las ranuras, pulg.ρL, ρv: Densidad del líquido y del vapor respectivamente, lb/pie3.hsh: Claridad bajo el borde de las campanas, pulg.V: Caudal de vapor a través del plato, pie3/s.A: Área perforada total del plato, pie2.Hallar la expresión equivalente en unidades del S.I.

1.7 El acero inoxidable 306 tiene una conductividad k = 16,2 Btu/h pie °F. Convertir este valor a unidades del S.I.

1.8 El coeficiente de transferencia de calor para un gas que fluye en forma turbulenta dentro de un tubo es

h = 16,6 × Cp × G0,8

D0,2

donde h: Coeficiente de transferencia de calor, Btu/h pie2 ºF.Cp: Capacidad calorífica, Btu/lbm ºF.


18

D: Diámetro interno del tubo, pulg.G: Velocidad de masa, lbm/s pie2.Transformar la ecuación con h en kJ/h m2 ºCCp en Cal/g ºCD en cm.G en kg/s m2

1.9 La velocidad mínima de una hélice de cuatro aspas en un tanque de agitación, sin resistencia, para mezclar dos líquidos inmiscibles, es

conN: Velocidad del impulsor, h–1.T: Diámetro del tanque, pie.µ: Viscosidad, lbm/pie h.ρ: Densidad, lbm/pie3.∆ρ: Diferencia de densidades, lbm/pie3.Convertir la ecuación anterior para obtener: N en s–1, T en m, µ en kg/m s, ρ en kg/m3 y ∆ρ en kg/m3.

1.10 En un experimento de la expansión de un gas se determinó que la siguiente relación es válida Log P = 14,6 log V + 12,3con P: Presión, kPa y V: Volumen, m3/kg.Transformar la ecuación para obtener P en lbf/pulg2 y V en pie3/lb.

1.11 El número de Reynolds es un grupo adimensional definido, para un fluido que se desplaza en un tubo como

donde D: Diámetro del tubo.: Velocidad del fluido.

ρ: Densidad del fluido.µ: Viscosidad del fluido.Cuando el valor del número de Reynolds es menor que 2.100, el flujo es laminar (el fluido se mueve en corrientes suaves). Para números de Reynolds por arriba de 2.100, el flujo es turbulento (existe una fuerte agitación interna).

19


La metil etil cetona (MEC) fluye a través de un tubo de 2.067 pulg de diámetro interno a 20 °C, temperatura a la que su densidad es 0,805 g/cm3 y su viscosidad es 0,43 centipoises. La velocidad promedio del fluido es 0,048 pie/s. Determinar si el flujo es laminar o turbulento.

1.12 Afirmar para cada uno de los siguientes procesos si es reversible, irre-versible o cuasiestático.a. Enfriamiento de un tanque de almacenamiento desde una tem-

peratura inicial de 250 °C hasta 25 °C mediante intercambio de calor con la atmósfera (la cual está a 25 °C).

b. Se añade calor, muy despacio desde una fuente a 100 °C hasta una mezcla de hielo y agua en equilibrio a 0 °C.

c. Una bola metálica que reposa encima de una mesa, alguien em-puja la bola y la deja caer de la mesa.

d. Se agrega azúcar a una taza de café y este se disuelve lentamente.e. Una bola metálica que rueda sin fricción por el interior de un

riel en forma de anillo circular.1.13 Para cada uno de los siguientes procesos seleccionar un sistema y

especificar de qué tipo es (abierto, cerrado etc.) y además decir de qué tipo es el proceso y el contorno.a. Inflar una llanta de bicicleta con una bomba manual.b. Enfriar la fuente de poder de una computadora personal.c. El cambio en la presión dentro de un paquete sellado conforme

cambia T.d. El enfriamiento de un transformador de energía eléctrica, pasando

aire frío.e. El enfriamiento de una manzana dentro de un refrigerador.f. Bombear agua de un lago hacia una cisterna de almacenamiento

elevada.g. Un gas en un cilindro que se expande contra un pistón para

comprimir un resorte.h. El calentamiento de un freno de disco conforme el automóvil se

detiene.i. Mezclar alimentos en una licuadora eléctrica.

2. Propiedades termodinámicas

2.1 Masa y pesoLa masa, representada por M, es una medida de la cantidad de sustancia, por tanto es proporcional al número de moléculas que posee el cuerpo. Se determina comparándola con masas patrón en una balanza. Es necesario tener claro la diferencia entre masa y peso; para ello hay que recurrir a la segunda ley de Newton (véase ecuación 1.1), según esta, el peso es la fuerza de atracción gravitacional que actúa sobre un cuerpo de masa M.

El procedimiento de comparar masas en una balanza se ha llamado pesar y frecuentemente se hace referencia a la masa con la palabra peso, por esto es necesario estar atento para evitar confusiones. La unidad de masa en el sistema S.I. es el kilogramo (kg) y la de peso en el mismo sistema es el newton (N).

Ejemplo 2.1 Una balanza de resorte está calibrada para leer lbm en un sitio donde la aceleración es 32,35 pie/s2, es decir: una lbm colocada en dicha balanza dará una lectura de 1,00. Si la balanza se lleva a un sitio donde g = 32,00 pie/s2, ¿a cuántas lbm equivale una lectura de 15,5?

Solución Si: L → Lectura de la balanzaF→ Fuerza de atracción (o sea el peso)entonces L∝F Tomando el primer sitio como 1 g1 = 32,35 pie/s2

El segundo sitio como 2, g2 = 32,00 pie/s2

L1 = Constante × F1 = constante × (M × g1) / gc

L2 = Constante × F2 = constante × (M × g2) / gc

Si L1 = 1 entonces

Peso =M × g

gc

(2.1)

21


1 =constante × 1 lbm × 32,35 pie/s2

32,174 lbm pie/lbf.s2

constante = 32,174 lbm pie/lbf.s2

32,35 lbm pie/s2

para el segundo sitio

L2 = 15,5 = cte ×M × 32,00 pie/s2

32,174 lbm pie/lbf.s2

y la masa puesta en la balanza es

M = 15,5 × 32,174 lbm pie/lbf.s2

constante × 32 pie/s2

M = 15,5 × 32,174 lbm pie/lbf.s2 × 32,35 lbm pie/s2

32,174 lbm pie/lbf.s2 × 32 pie/s2

M = 15,67 lbmUna lectura de 15,5 en la balanza equivale a 15,67 lbm, lo que da una desviación aproximada del 1%.

2.2 Volumen y densidadEl volumen (V) puede definirse como el espacio ocupado por una cantidad de masa, por esto es el producto de tres longitudes, la unidad fundamental en el S.I. es el m3.La relación entre el volumen y la masa de una sustancia recibe el nombre de volumen específico, se representa por v = V/M y la relación entre el volumen y la cantidad de sustancia en moles recibe el nombre de volumen molar y se representa porv = V/N, el inverso de los volúmenes específico o molar es la densidad específica o molar y se representa por ρ oρ respectivamente.Es común reportar para muchas sustancias su densidad relativa que es la relación entre la densidad de esa sustancia y una densidad de referencia conocida; para gases la densidad de referencia es generalmente la del aire a condiciones normales (0,957 kg/m3) y para líquidos es el agua a 1 atm y 4 °C (1.000 kg/m3); o su peso específico que es la relación entre el peso de la sustancia y el volumen que esta ocupa

Peso específico γ =M × g

= ρg

V × gc gc

(2.2)


22

Ejemplo 2.2

El peso de 1 l de gasolina extra es 7 N (a 25 °C) en un lugar donde la ace-leración de la gravedad es 9,8 m/s2. Determinar:a. La densidad de la gasolina en kg/m3 y lbm/pie3.b. La densidad relativa en las unidades anteriores.c. El peso específico.

Solucióna. El primer paso es calcular la masa de la gasolina: De la ley de Newton

M = Peso × gc

g

M = 7,0 N × 1 kg m/N s2

= 0,714 kg9,8 m/s2

Y la densidad se puede calcular como

ρ = M

= 0,714 kg

=0,714 kg

= 714 kg/m3

V 1 lt 1 × 10–3 m–3

Para obtener el valor de la densidad en el sistema inglés, se utilizan los factores de conversión apropiados

ρ = 714 kg/m31 lbm/pie3

16,018 kg/m3

o sea que ρ = 44,6 lbm/pie3

b. Calculando la densidad relativa con respeto al agua a 4 °C. Usando uni-dades S.I.

ρ (25/4) =714 kg/m3

= 0,7141.000 kg/m3

Si se usan unidades del sistema inglés

ρ (77/39,4) =44,6 lbm/pie3

= 0,71462,43 lbm/pie3

c. El peso específico se puede calcular como

γ =Peso

= 7 kg m/s2

V × gc 1 × 10–3 m3 × 1 kg m/Ns2

23


y por tanto, γ = 7.000 kg/m2 s2, γ = 7.000 N/m3

Ejemplo 2.34 m3 de argón a 27 °C y 85 kPa tienen una masa de 7,13 kg.a. Indicar tres propiedades intensivas y dos extensivas.b. Si g = 9,6 m/s2 calcular el peso específico.

Solucióna. En ese caso tres propiedades que no dependen de la cantidad de masa

(son intensivas): Temperatura: 27 °C. Presión: 85 kPa. Concentración: 100% argón. Y las propiedades extensivas son en este caso: Volumen: 4 m3. Masa: 7,13 kg.b. Para el peso específico

γ =M × g

= 7,13 kg × 9,6 m/s2

V × gc 4 m3 × 1 kg m/N s2

O sea que γ = 17,112 N/m3

2.3 Temperatura Antes de dar un concepto de temperatura es bueno comprender lo que significa el equilibrio térmico mediante la ley cero de la termodinámica.

2.3.1 Ley cero de la termodinámica Recibe este nombre debido a que en un desarrollo lógico debe preceder a la primera y la segunda ley, que fueron formuladas mucho antes.Cuando un sistema A cuya temperatura es TA se pone en contacto prolon-gado con un sistema B cuya temperatura es TB a través de una superficie diatérmica como muestra la figura 2.1 se dice que los sistemas están en contacto térmico.

Figura 2.1 Sistemas en contacto térmico

Transferencia deenergía térmica

Superficie adiabática

Superficie diatérmica

A

B


24

Si TA > TB se establece una transferencia de energía térmica de A hacia B, las propiedades termodinámicas de ambos sistemas se modifican espontá-neamente hasta cuando esta evolución se detiene, alcanzado el equilibrio térmico. Cuando los dos sistemas A y B se ponen cada uno en contacto con un sistema C a través de superficies diatérmicas, como muestra la figura 2.2, A y B por separado alcanzan equilibrio térmico con C y entonces A y B estarán en equilibrio térmico entre sí. Estos resultados constituyen la ley cero de la termodinámica, que puede enunciarse así: “Dos sistemas A y B puestos en contacto prolongado alcanzan equilibrio térmico. Si estos sistemas separadamente están en equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces están en equilibrio térmico entre sí”.

Figura 2.2 Sistemas en contacto térmico

De acuerdo con lo anterior, todos los sistemas en equilibrio térmico con un sistema de referencia (este tercer sistema es generalmente el termómetro) poseen en común una propiedad que es la temperatura.

2.3.2 Concepto de temperaturaLa temperatura puede interpretarse como una medida de la capacidad que tiene un sistema para intercambiar energía térmica. Este intercambio se da hasta cuando se alcanza el equilibrio térmico.

2.3.3 Medida de la temperaturaLa variación de temperatura de un cuerpo generalmente es acompañada por la variación de alguna propiedad observable como: longitud, volumen, resistencia eléctrica o fuerza electromotriz. Establecer una escala de temperatura consiste en adoptar una de estas propiedades de la sustancia termométrica como medida de la variación de temperatura y relacionar la temperatura con esta propiedad mediante una función ojalá lineal, así:Si T (que representa temperatura) es función lineal de X, siendo X la pro-piedad observable, entonces

T = aX + b (2.3)

Superficie adiabática

Superficie diatérmica

A

BC

AB

25


Para obtener a y b se pueden definir arbitrariamente dos puntos o elegir b = 0 y un punto y se tendrán escalas empíricas, por ejemplo: si se escoge como sustancia termométrica un gas que se comporte como ideal (véase figura 2.3), se tiene que: T = P × V/R, si además se mantiene constante el volumen del termómetro, entonces la temperatura será función únicamente de la presión: T = f (P). Adicionalmente si se elige en forma arbitraria b = 0 entonces

T = a × PPara obtener el valor de la constante a se escoge como referencia el punto triple del agua: P(Punto triple) = 0,6113 kPa. T(Punto triple) = 273,16 KY por tanto

a =T(punto triple) =

273,16

P(punto triple) P(punto triple)

Lo cual conduce a la escala empírica

T = 273,16 P/P(punto triple)

Con la temperatura en Kelvin.Siendo P la presión medida cuando el bulbo del termómetro se sumerge en un sistema de temperatura T, la experiencia demuestra que el valor de la relación P/P(punto triple) depende del tipo y de la cantidad de gas en el bulbo. Sin embargo, cuando el procedimiento se repite utilizando cada vez menos gas, el valor límite del cociente P/P(punto triple) y por tanto el valor de T se hace independiente del gas utilizado.

Figura 2.3 Relación presión temperatura para un termómetro de gas ideal

2.3.4 Escalas de temperaturaLa medida de la temperatura se puede representar mediante dos tipos de escalas: relativas y absolutas. Las dos escalas relativas son Fahrenheit y Celsius. Hasta 1954 las escalas eran construidas basándose en dos puntos fijos: el punto del hielo que es aquel en el que están en equilibrio el agua líquida y el agua sólida a 1 atm de presión, este se marcó con 32 °F en la

T

PtP

273,16

P


26

escala Fahreheit y 0 °C en la escala Celsius; y el punto del vapor donde están en equilibrio agua líquida y vapor de agua a 1 atm, este se marcó con 212 °F y 100 °C. A partir de 1954 la base de las escalas es el punto triple del agua (0,01 °C y 0,6113 kPa) y una definición de la magnitud de grado.Las escalas absolutas están definidas a partir de la segunda ley de la termodiná-mica y son independientes de cualquier sustancia termométrica y se denominan escala Kelvin (K) en S.I. y escala Rankine (°R) en sistema inglés, asociadas respectivamente con la Celsius y la Fahrenheit. Las equivalencias son:T (°R) = 1,8 T (K)t (°F) = T (°R) − 459,67t (°C) = T (K) – 273,15t (°F) = 1,8 t (°C) + 32La escala práctica internacional de temperatura se adoptó en 1968 por el Comité Internacional de Pesas y Medidas, revisada en 1975, para facilitar la calibración de los termómetros científicos e industriales, y coincide prácticamente con la escala absoluta. Esta escala está basada en una serie de puntos fijos y reproducibles, algunos de los cuales se especifican en la tabla 2.1. Como puede verse, esta escala no está definida por debajo de 13,81 K, donde se utilizan métodos experimentales basados en propiedades magnéticas para la medición de la temperatura. Por encima de 1.064,43 ºC se emplean pirómetros de radiación monocromática. Una comparación entre las escalas absolutas y relativas puede verse en la figura 2.4.

Ejemplo 2.4Un termómetro de gas a volumen constante muestra una lectura de 0 °C cuando la presión es 85 kPa y 100 °C cuando la presión es 110 kPa. ¿Qué temperatura tendrá un recinto en el cual el gas dentro del termómetro está a 100 kPa, considerando que la temperatura y la presión están rela-cionadas linealmente?

Soluciónt = a × P + bPara la primera condición 0 = a × 85 + b Para la segunda condición 100 = a × 110 + b b = –5a y reemplazando 100 = 110 × a − 85 × aLuegoa = 100/25 = 4 ºC/kPayb = −340 °C

27


Conociendo a y b se puede calcular la temperatura de la relaciónt = 4 × P − 340 Y para 100 kPat = 4 × 100 − 340 = 60 °C

Ejemplo 2.5Dos termómetros uno con lectura en °C y otro en K están en equilibrio térmico con un sistema. ¿Cuál es la temperatura del sistema si los termó-metros marcan −A °C y A K respectivamente?

SoluciónDe la relación de escalas se tiene K = °C + 273,15Reemplazando en esta relación la lectura de los termómetros se tiene A = −A + 273,15

Tabla 2.1 Puntos fijos de la escala práctica de temperatura

Puntos fijos T (K) t (°C)Termómetro

utilizado

Punto triple de H2 13,81 − 259,34

Resistencia de platino

Punto triple de O2 54,36 − 218,79

Punto de rocío de O2 90,19 − 182,96

Punto triple de H2O 293,16 0,01

Punto de ebullición de H2O 373,15 100,00

Punto solidificación, Zn 692,73 419,58

Punto solidificación, Sb 903,90 630,75

Punto solidificación, Ag 1.235,08 691,93 Par termoeléctrico

Punto solidificación, Au 1.337,58 1.064,43 Pt / Pt (10%) Rh

Figura 2.4 Comparación de escalas

32,02

100,00

491,69491,67

0,00

212,00671,67

–273,15

0,010,00

0,00

273,15273,16

32,00

–459,67

373,15Punto del vaporde agua (1 atm)

0 absoluto

Punto de hieloPunto triple del agua

K ºC ºR ºF


28

la lectura es entonces

A =273,15

= 136,572

A = 136,57 K y A = −136,57 °C.

Ejemplo 2.6 La capacidad calorífica del tolueno líquido en kJ/kmol K está dada por la relación: Cp = 8.314 (15.133 + 6,79 × 10−3 T +16,35 × 10−6 T2), en la cual T es la temperatura en K.Transformar la ecuación para obtener una relación válida para C′p en Btu/lbm oF y T en oF. El peso molecular del tolueno es 92 kg/kmol.

SoluciónDe la misma forma como se procedió en el ejemplo 2.2, se relacionan las variables en las distintas unidades mediante los factores de conversión

luego Cp = 384,36 C′P

T[K] = [t (ºC) + 273,15]=[t (ºF) –32) × 5/9 + 273,15]

luego

T[K] =t (ºF) + 459,67

1,8

Reemplazando en la ecuación original se tiene Cp = 125,8 + 56,45 × 10–3 T + 13,59 × 10–5 T2

Simplificando se obtiene

384,36 C′p = 149,04 + 0,07 t(ºF) + 4,17 × 10-5 [t(ºF)]2

Entonces la nueva relación es

C′p = 0,388 + 1,85 × 10-4t(ºF) + 1,1 × 10-7 [t(ºF)]2

2.4 PresiónLa presión se define como la fuerza total normal por unidad de área ejer-cida sobre la superficie del sistema (sea esta real o imaginaria). La unidad de presión en el S.I. es el pascal (Pa), que se define como la fuerza de un newton ejercida sobre un área de 1 m2

1 Pa = 1N/1m2

29


En el sistema inglés la unidad de presión es el psi y es la fuerza ejercida por una libra fuerza sobre una pulgada cuadrada

1 psi = 1 lbf/1 pul2

Otras unidades de presión usadas ampliamente en ingeniería son el bar, la atmósfera (atm) y los milímetros de mercurio (mm Hg)

1 bar = 105 N/m2

1 atmósfera = 101.325 N/m2 = 760 mm de Hg ≈ 105 N/m2

La presión, así como la temperatura, se puede medir o expresar de dos maneras diferentes, en una escala relativa (llamada escala manométrica) o en una escala absoluta. La presión absoluta es la presión total a la que está sometido un sistema en un momento determinado y toma como punto de referencia el cero absoluto de presión. La escala manométrica expresa las presiones tomando como referencia la presión ejercida por la atmósfera terrestre, o en otras palabras

Pman = Pabs − Patm (2.4)

La presión de vacío es una presión manométrica negativa y es utilizada para expresar presiones totales inferiores a la presión atmosférica

Pvac = Patm − Pabs (2.5)

En la figura 2.5 se muestra una representación esquemática de la relación entre las escalas de presión.

Figura 2.5 Relación entre presión atmosférica, manométrica y absoluta a. Presión absoluta mayor que la presión atmosférica. b. Presión absoluta menor que la presión atmosférica.

Los dispositivos mecánicos típicos para las mediciones de las presiones absoluta y manométrica son el barómetro aneroide y el manómetro de Bourdon respectivamente (véase figura 2.6).

P

a. b.

Presión manométrica

Presión absoluta

Presión absolutaPresión atmosférica

P

Presión atmosférica

Presión de vacío(manométrica negativa)


30

Figura 2.6 Medidores de presión mecánicos. a. Barómetro aneroide. b. Manómetro de Bourdon.

El barómetro aneroide (véase figura 2.6 a), consta de un cilindro corto cerra-do, dentro del cual se ha hecho un vacío de manera que la presión es cercana al cero absoluto. El cilindro tiene un diafragma elástico que se deforma ha-cia adentro por la presión impuesta desde el exterior y esta deformación se puede convertir en una medida de presión por medio de una escala. Aunque el cilindro aneroide se utiliza convencionalmente para medir un pequeño intervalo de presiones, el mismo principio se puede utilizar para medidores de presión absoluta de uso más general.Cuando el manómetro de Bourdon (véase figura 2.6 b) se conecta al sistema al cual se le desea medir la presión, el tubo elíptico tiende a enderezarse y mueve el indicador sobre una escala graduada. Si el manómetro está adecua-damente ajustado, el indicador se encontrará en el cero de la escala cuando el manómetro está desconectado. Existen también medidores de presión en los cuales se pueden hacer medicio-nes por medio de la altura de una columna de líquido (véase figura 2.7); estos medidores son el tubo abierto en forma de u (para mediciones manométricas) y el barómetro de mercurio (para mediciones de presión absoluta).

Figura 2.7 Medidores de presión por medio de columna de líquido. a. Manó-metro de tubo en U abierto. b. Barómetro.

A

B

b.a.

Vacío

Sistema

Y

a.

z

Y*

b.

z

Presiónabsoluta 0≈

Mercurio

31


En el manómetro de tubo en forma de U un tubo abierto en dicha forma se llena de un cierto líquido el cual se denomina fluido manométrico. En este medidor la fuerza total que actúa hacia abajo en el punto Y es igual a la fuerza que actúa al otro lado del tubo en el punto Y*, lo cual mediante una relación de equilibrio de fuerzas se puede escribir comoP × A = Patm × A + peso de la columna de líquido sobre Y*en la cual A es el área transversal del tubo del manómetro

Pt × A = Patm × A + M × g/gc (2.6)

Pt × A = P × A + ρ × V × g/gc

en la cual ρ es la densidad, V es el volumen del fluido manométrico y V = A × z siendo z la altura del líquido sobre el plano Y − Y*Psist × A = Patm × A + A × ρ × z × g/gc

y reemplazando en la ecuación 2.4 se obtiene

Pman = ρ × g × z/gc (2.7)

La presión atmosférica (llamada también presión barométrica) se puede medir con un dispositivo inventado por Torricelli en 1643, el cual es mostrado en la figura 2.7. Este medidor se construye llenando el tubo con mercurio libre de aire, e invirtiéndolo con el extremo abierto debajo de la superficie del mercurio contenido en el recipiente. Si se desprecia la cantidad de mercurio en forma de vapor que puede pasar al espacio sobre la columna de mercurio (a condi-ciones normales la presión de vapor del mercurio es 1,7×10−4 kPa), entonces la presión en ese espacio es cero absoluto y nuevamente PBar = ρ × g × z/gc siendo en ese caso z una medida directa de la presión absoluta.La presión barométrica puede variar con el clima, con la posición que ocupe el dispositivo sobre la tierra (longitud y latitud) y con el tiempo. Para hacer diseño de ingeniería que no dependa de estas fluctuaciones y que pueda ser analizado en cualquier parte del planeta, se define un nivel de referencia para la presión atmosférica, llamado atmósfera normal, que es la presión que produce una columna de mercurio de 760 mm de altura a 273,15 K bajo la aceleración normal de la gravedad.Para distinguir entre presión manométrica y presión absoluta con frecuencia se agrega a los símbolos de las unidades las letras a (por absoluta) o g (por manométrica): 50 psia (absoluta). 30 psig (manométrica).En las unidades del S.I. todas las presiones son absolutas, a menos que se indique lo contrario. En este libro se mantendrá la misma convención.

Ejemplo 2.7Calcular la presión que soporta un buzo cuando ha descendido 30 m bajo la superficie del mar si la presión barométrica al nivel del mar es 0,95 bar y la densidad relativa del agua de mar es 1,03.


32

SoluciónDe la ecuación 2.4 se obtienePabs = Pman + Patm

En la cual Patm = Pbar = 0,95 bar = 95 kPay la presión manométrica debida a la columna de agua de mar que está sobre el buzoPman = ρ × g × zPman = 1,030 kg/m3 × 9,8 m/s2 × 30 mPman = 302,820 Pa = 302,82 kPay entoncesPabs = 95 + 302,82 = 397,82 kPa

2.5 Energía Durante años los científicos e ingenieros han descrito el comportamiento de la naturaleza basándose en unos conceptos básicos o abstracciones que se aceptan como realidades científicas. Uno de esos conceptos básicos es la energía y es tal vez uno de los conceptos físicos más importantes.En términos de su uso cotidiano, se relaciona a la energía con la cantidad de combustible necesario para el transporte o el calentamiento de alguna sustancia, la electricidad para la iluminación o para los aparatos domésticos, con los alimentos consumidos, etc. Pero estas apreciaciones no definen de una manera formal la energía. En muchos textos se encuentra la energía definida como la capacidad de efectuar un trabajo. Sin embargo, esta definición es incompleta, por lo cual es más conveniente tratar de definirla mediante una relación matemática (balance de energía), como se verá en el capítulo 3.La energía tiene las mismas unidades del producto de fuerza por longitud. En el S.I. la unidad de energía es el Joule (J) 1J = 1N × 1mEn el sistema inglés la unidad de energía es la lbf × pie.La energía puede tomar múltiples formas, entre las que se incluyen la ener-gía mecánica, electromagnética, química, térmica, nuclear y superficial. No obstante, la energía total almacenada en un cuerpo se puede dividir (sólo por motivos de conveniencia para su presentación) en dos clases: la energía que no está determinada por las interacciones microscópicas de la materia y que puede ser mensurable con respecto a un marco de referencia externo (energía externa) y las energías que son función de la estructura molecular y de las interacciones que ocurren a escala atómica (energía interna).

2.5.1 Energía cinéticaEs posible concebir la energía cinética como aquella energía asociada con el movimiento de un cuerpo con respecto a un marco de referencia (general-

33


mente, otro cuerpo en reposo). En la mayoría de los cálculos de ingeniería se toma en forma conveniente a la Tierra como marco de referencia y se considera que su velocidad es cero. La energía cinética se define como el producto de la mitad de la masa por el cuadrado de la velocidad, es decir

(2.8)

con representando la velocidad. Esta expresión es válida en el límite no relativista, o sea, cuando << C, siendo C la velocidad de la luz.

2.5.2 Energía potencialLa energía potencial es la energía que posee un cuerpo debido a su posición en un campo potencial (gravitatorio, electromagnético, etc.). Según esta definición, existe energía potencial entre las moléculas de una sustancia, pero en termodinámica, este tipo de energías potenciales serán contabili-zadas como de energía interna. Es decir que en estudios termodinámicos cuando se habla de energía potencial se está haciendo referencia a la energía potencial gravitatoria.La energía potencial se define como el producto del campo potencial por la distancia que separa al cuerpo de un marco de referencia, que en el caso de un campo gravitacional es

(2.9)

Ejemplo 2.8Calcula la velocidad teórica con la que debe salir el agua de la boquilla de una manguera de bombero para que pueda alcanzar 12 metros de altura.

SoluciónComo se debe recordar de los estudios de mecánica, la energía cinética y la energía potencial son totalmente intercambiables en ausencia de fricción. En otras palabras, para este caso, la energía potencial que alcanza el agua debe ser igual a la energía cinética con la que sale de la boquilla

y para la altura de 12 metros

2.5.3 Energía internaEs la energía asociada a la materia misma e incluye todas aquellas formas energéticas diferentes a la cinética, potencial, eléctrica, magnética, de


34

superficie y de distorsión de sólidos. En la energía interna se contabili-zan las energías de rotación, translación y vibración molecular, el espín nuclear, el momento dipolar magnético, la energía electrónica dentro del átomo, etc. En termodinámica no se requiere conocer el valor absoluto de la energía interna de un sistema en un estado determinado, sino que se requiere conocer el cambio efectuado en la energía durante el proceso y se puede por tanto seleccionar un estado de referencia arbitrario para calcular la energía interna de todos los otros estados. (De la misma forma en que se asigna el valor de cero a la energía potencial de un cuerpo en un plano horizontal apropiado).En ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, de distorsión de sólidos y de tensión superficial, el contenido total de energía de un sistema es el debido a la suma de las energías interna y externa

Etotal = U + Ecinética + Epotencial (2.10a)

Y el cambio en la energía durante el proceso se puede escribir como

∫ dE = E2 – E1 = ∆E = ∆U + ∆Ecinética + ∆Epotencial (2.10b)

2.6 Entropía Es una propiedad extensiva de la sustancia de trabajo y se representa por S. Desde el punto de vista de la estructura atómica, la entropía es una medida de la organización estructural de la sustancia: a mayor desorganización mayor entropía. De acuerdo con este criterio, si se tiene una cantidad fija de una sustancia a una presión determinada (por ejemplo: 1 kg de agua a 1 bar) la cual puede estar como vapor, como líquido o como sólido, depen-diendo de la temperatura, la entropía será mayor en la fase de vapor que en la fase líquida y esta a su vez mayor que en la fase sólida.Si se tiene una cantidad fija de una sustancia pura en fase gaseosa y se enfría mediante extracción de energía, alcanzará unas condiciones a las cuales pue-de pasar a la fase líquida, cuando toda se ha convertido en líquido, continúa el enfriamiento, hasta obtener las condiciones para pasar a la fase sólida, en este punto todo el líquido se convierte en sólido y luego puede seguir en-friándose hasta llegar a convertirse en sólido cristalino, donde prácticamente desaparecen las energías de traslación, vibración y rotación de partícula y se logra la máxima organización, condición en la cual se tiene el cero absoluto de temperatura, a este estado de máxima organización se le asigna el valor de cero entropía y en cualquier otro estado la entropía será mayor.Un estudio más detallado de esta propiedad puede hacerse mediante la termodinámica estadística, este tópico está por fuera del alcance de la ter-modinámica clásica y por tanto no se trata en este libro.

35


Como se verá más adelante la entropía es una medida de la degradación (pérdida de calidad) de la energía, pero sin ser energía.

Las dimensiones para la entropía son energía sobre temperatura; en el S.I. se expresan en J/K y en sistema inglés en Btu/ºR. El porqué de estas unidades se comprenderá más adelante.

Entropía específica es la entropía dividida por la masa y se simboliza por S = S/M y la entropía molar es la relación entre la entropía y la cantidad de sustancia y se simboliza pors = S/N.

Problemas propuestos 2.1 Un gas cumple la siguiente ecuación de estado

con

a = 0,24203 J m3/mol2.

b = 2,0956 ×10−5 m3/mol.

c = 9,9106 × 10−6 m3/mol.

T en K, R: Constante universal de los gases y P: Presión.

a. ¿Cuáles son las unidades de P,R,v en esta ecuación?

b. Hallar los valores de a, b, c si se desea transformar. La ecuación para obtener P en lbf/pulg2, T en °R y v en pie3/lbmol?.

2.2 El poder emisor de un cuerpo se puede expresar por W = A × T2 donde

W: Poder emisor, Btu/pie2 h

A: Constante = 0,171 × 10−8

T: Temperatura en °R.

a. ¿Cuáles deben ser las unidades de A?

b. ¿Cuál será la relación si W debe estar expresado en J/m2 s y T en °C?

2.3 Se ha propuesto la siguiente relación para calcular la viscosidad de gases

donde µ : Viscosidad del gas, centipoises. T : Temperatura, °R. M : Peso molecular, lbm/lbmol. P : Presión, lbf/pulg2. Escribir la relación anterior en unidades S.I.


36

2.4 El fern se define como la unidad de fuerza requerida para acelerar la unidad de masa llamada beng con la aceleración gravitacional de la superficie lunar en m/s2 (la cual equivale a 1/6 de la acción gravita-cional de la tierra).a. ¿Cuánto vale gc en este sistema?b. ¿Cuál es el peso en fern de 3 bengs sobre la superficie terrestre?

2.5 Una balanza es calibrada en La Costa para que la lectura sea igual a la masa que se coloca sobre ella en kg. Si un hombre en La Costa se sube a la balanza y la lectura es de 82 kg calcular:a. El peso del hombre en Medellín (1.600 m/snm).b. El peso del hombre en Bogotá (2.600 msnm).c. La altura sobre el nivel del mar en la cual el peso del hombre

desciende un 1%. (La aceleración de la gravedad en función de la elevación sobre el nivel del mar es g = 9,807 – 3,32×10−6 z, con g en m/s2 y z en m).

2.6 Calcular la densidad de una mezcla formada por 32 litros de nitroben-ceno (densidad relativa = 1,2) y 4,5 pie3 de benceno (densidad relativa = 0,879) suponiendo que el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes de los componentes puros.

2.7 Un bloque rectangular de grafito flota en la interfase de dos líquidos inmiscibles. El líquido inferior es un aceite lubricante y el líquido su-perior es agua, el 54% del volumen total del bloque está sumergido en el aceite y el resto en agua. ¿Cuál es la densidad relativa del aceite?

2.8 Se mezclan 2 litros de agua a 25 °C con un líquido desconocido para formar una mezcla líquida. El volumen y la masa de la mezcla total son 4.000 cm3 y 4 kg respectivamente. Si el volumen de la mezcla es la suma de los volúmenes iniciales, determinar la densidad del líquido desconocido.

2.9 Un tanque con volumen de 0,85 m3 contiene 16 kg de gas.a. Determinar el volumen específico.b. Calcular el volumen específico y la densidad del gas que queda en

el tanque después de que se escapan 12 kg de gas.2.10 En un termómetro de gas de volumen constante, se halla experimen-

talmente que con independencia del gas usado, el siguiente resultado es correctoTs / Ti = 1,3661

En la cual Ts es la temperatura de ebullición a presión atmosférica y Ti es el punto de congelamiento (a presión atmosférica).

Demostrar que si Ts − Ti =100, Ts y Ti son exactamente el punto de ebullición y el punto de congelamiento del agua en la escala Kelvin.

37


2.11 El químico austriaco Johann Sebastian Farblunget, formuló una escala de temperaturas que nunca se popularizó. Los puntos de referencia de esta escala eran 0 °FB (4 °C) (la temperatura por debajo de la cual la nariz de Farblunget comenzaba a gotear y a molestarle) y 1.000 °FB (98 °C) el punto de ebullición de la cerveza.a. Encontrar una ecuación para T(°C) en función de T(°FB).b. Encontrar una ecuación para T(°FB) en función de T(°R).c. ¿Cuál es la equivalencia de un intervalo de temperatura 10 °FB

en °C, K, °F, °R?2.12 Un termostato con escala de 0 a 100 se utiliza para regular la tem-

peratura de un proceso. Una curva de calibración de la temperatura (en °C) en función de la posición de la escala (R) es una línea recta en un papel logarítmico que pasa a través de los puntos (R1 = 20, T1 = 220) y (R2 = 40, T2 = 150).a. Encontrar la ecuación para T(°C) en función de R.b. Estimar la posición de la escala del termostato necesaria para

obtener una temperatura de 346 °F.2.13 La temperatura de un fluido se mide con un termómetro Celsius y

con uno Fahrenheit. Si la lectura N es la misma numéricamente en los dos termómetros, ¿cuál es la temperatura del fluido en K y °R?

2.14 Suponiendo una escala lineal de temperatura definida de modo que los puntos de fusión y ebullición del agua a 1 bar de presión son respec-tivamente 100 y 400, hallar la relación entre la temperatura medida en dicha escala y la correspondiente en °C.

2.15 En un vacuómetro se lee 10 pulg de Hg. La presión barométrica es 29,9 pulg de Hg. Calcula la presión absoluta en bar.

2.16 La presión barométrica al nivel del mar es 762 mm de Hg cuando en la cima de una montaña es 737 mm de Hg. Si se supone que el peso específico del aire es constante y de 11,8 N/m3, calcular la altura de la montaña.

2.17 El peso específico del agua de mar se puede calcular a partir de la relación empírica

En la cual γ es el peso específico y h es la profundidad bajo la superficie del océano.

Derivar una expresión para calcular la presión en cualquier punto h y calcular el peso específico y la presión a una profundidad de 3,22 km suponiendo que γ0 = 10,3 kN/m3 y K = 7,98 N/m7/2.

2.18 Un manómetro de Bourdon montado en un tanque cerrado lleno de aire indica 141,1 kPa cuando el barómetro se encuentra en 775 mm


38

de Hg. Si la presión barométrica desciende a 741,2 mm de Hg, ¿qué lectura indica el manómetro?

2.19 La ventana de observación de un antiguo traje de buzo mide aproxi-madamente 65 cm2 de área. Si se intenta mantener una presión de 1 atm en el interior del traje, ¿qué fuerza tendría que soportar la ventana si el buzo descendiera a una profundidad de 150 m?

2.20 El depósito de la figura 2.8 contiene aceite de densidad relativa 0,75.a. Determinar la lectura del manómetro A en psi.b. ¿Cuál es la diferencia de presión entre M y N en psi y en Pa?

Figura 2.8 Depósito para el problema 2.20

2.21 Un sistema de alimentación por gravedad se utiliza para suministrar agua a un intercambiador de calor. Se necesita una presión de agua mínima de 30 psig a la entrada del intercambiador.a. ¿Cuál es la elevación mínima del nivel del agua por encima del

intercambiador?b. ¿Qué elevación se requeriría si el fluido fuera etanol?

2.22 Se lanza en dirección vertical un chorro de agua por una boquilla con una velocidad de 82 pie/s en un lugar donde g = 32,174 pie/s2. ¿Cuál es la velocidad teórica del chorro en un punto que está 72 pies arriba de la boquilla?

2.23 Una turbina hidráulica recibe agua de un depósito que se encuentra a 100 m por encima de ella. ¿Cuál es el flujo mínimo de agua, en kg/s, para producir una salida permanente en la turbina de 50.000 kW?

2.24 Un fluido en el interior de un cilindro vertical provisto con un pis-tón sin fricción, como se muestra en la figura 2.9, está en equilibrio mecánico. La presión atmosférica es 101.325 kPa. El área del pistón es de 3.000 mm2. El resorte lineal que tiene una constante de 1.500 N/m, se comprime 250 mm respecto a su elongación libre. ¿Cuál es la masa del pistón si la presión absoluta del fluido es de 400 kpa?

Aire M

N3 m

Aceite

A

Hg

23 cm

39


Figura 2.9 Fluido en el interior de un cilindro vertical provisto de un pistón sin fricción, problema 2.24

2.25 Los compartimientos de los tanques de la figura 2.10 se cierran y se llenan con aire. El manómetro A indica 207 kPa, el manómetro B re-gistra un vacío de 254 mm de Hg. ¿Qué indica el manómetro C si se conecta al compartimiento 1, pero está dentro del compartimiento 2? La presión barométrica es de 101 kPa.

Figura 2.10 Compartimientos llenos de aire para el problema 2.25

2.26 En una cascada el agua fluye a razón de 4,5 × 106 galones/h y cae desde una altura de 170 pies. Determinar la potencia teórica (en kW) que podría ser generada por una planta de energía instalada al final de la caída de agua.

P atm

Fluido

A

B

2

C

1

3. Ecuaciones de balance

Hasta ahora se han estudiado algunas de las propiedades termodinámicas de la sustancia de trabajo, entre ellas una de particular importancia, la energía.Este capítulo presenta la energía no como propiedad sino como transferen-cia durante un proceso, clasificándola como calor o como trabajo depen-diendo de la causa de la transferencia. Además, se siguen cuidadosamente los cambios que experimenta el sistema mediante un esquema tradicional de contabilidad, que conduce a la formulación de las ecuaciones de ba-lance de masa, energía y entropía y su aplicación en diversos casos.

3.1 Calor Es el flujo de energía a través de los límites del sistema en virtud de una diferencia de temperatura entre el sistema y los alrededores. Una vez que la energía térmica ha cruzado la frontera ya no se considera como calor sino que pasa a ser parte de la componente térmica de la energía interna del sistema o de los alrededores y por tanto no afecta la energía cinética o potencial del sistema. Como se puede concluir de la definición anterior, un flujo de energía debida a un gradiente de temperatura dentro del sistema no puede ser llamado calor.El calor se simboliza por Q, sus unidades en S.I. son Joules (J) y en el sistema inglés Btu; se puede expresar la cantidad de energía en forma de calor por unidad de masa comoq = Q/M y el flujo de calor por unidad de tiempo .Teniendo en cuenta que el calor es una energía en tránsito, es importante saber cuál es la dirección, si la energía entra al sistema se representa por Qe y si lo abandona, por Qs y son siempre cantidades positivas; otra con-vención muy utilizada es considerar el calor como positivo cuando entra al sistema y negativo cuando lo abandona, en otras palabras Qneto = Qe − Qs

41


3.2 Trabajo Es el flujo de energía mecánica, debido a fuerzas motrices distintas al gradiente de temperatura, que atraviesa los límites del sistema y que puede ser convertido completamente (por lo menos en teoría) por un dispositivo apropiado, al equivalente de una fuerza que se mueve a través de una distancia.Considerando el esquema mostrado en la figura 3.1, el trabajo hecho por el sistema al expandirse, debido a una diferencia de presión entre el sistema y sus alrededores es equivalente al trabajo para levantar el peso una distancia z.

Figura 3.1 Esquema del trabajo hecho por un sistema

En otras palabras, δW = F × dz (3.1)Al igual que con el calor, es importante conocer la dirección del flujo de trabajo y se puede representar We trabajo hecho sobre el sistema y Ws tra-bajo realizado por el sistema. Arbitrariamente muchos autores consideran un trabajo neto W = Ws − We, el cual es positivo si es hecho por el sistema sobre los alrededores y negativo en caso contrario.Se puede expresar la cantidad de trabajo por unidad de masa como w = W/M y la cantidad de trabajo por unidad de tiempo por .

3.2.1 Trabajo para vencer fuerzas de fricciónEn la figura 3.2, la fuerza que causa el desplazamiento es la componente horizontal de la fuerza F, de tal manera que la ecuación 3.1a se convierte enδW = F cos θ dx

Si F y θ son constantes entonces We = F cos θ ∆x (3.1 a)

F = M g

dz

Sistema


42

Figura 3.2 Trabajo realizado para vencer fuerzas de fricción

3.2.2 Trabajo para levantar un pesoEn la figura 3.1 el trabajo para levantar un cuerpo de masa M a una altura dz se puede escribir como

y por tanto

(3.1 b)

El trabajo realizado sobre el sistema causa un aumento en su energía potencial.

3.2.3 Trabajo para acelerar un sistemaLa ecuación 3.1 para el trabajo hecho sobre un sistema de masa M que se somete a una aceleración a constante se transforma en

entonces

luego

(3.1 c)

El trabajo realizado sobre el sistema causa un aumento en su energía cinética.

3.2.4 Trabajo en procesos con resortesSi se considera como sistema un resorte ideal, sin peso ni rozamiento y que cumple la ley de Hooke F = kx (véase figura 3.3), la ecuación 3.1 se convierte en

F

q

1

2 x

43


δWe = kxdxy

(3.1 d)

Este trabajo aumenta la energía interna del sistema.

3.2.5 Trabajo en procesos eléctricosEl trabajo para cargar una partícula neutra que se encuentra sometida a un campo eléctrico ε, hasta adquirir una carga −q, está dado por

pero dq = I dθ donde I es la intensidad de corriente y θ es el tiempo, luegoδWe = ε I dθy We = ε I (θ2 − θ1) (3.1 e)

3.2.6 Trabajo de expansión o compresión para procesos en sistema cerradoPara ilustrar este tipo de trabajo se puede considerar el gas contenido en un cilindro con un émbolo que se desplaza sin rozamiento, sometido a una fuerza Fres como se muestra en la figura 3.4.Si el cambio se lleva a cabo mediante un proceso de cuasi equilibrioFres = PresAdonde Pres es la presión ejercida por el gas sobre el área transversal del pistón, A, entonces δW = Fres dx = Pres A dxpero

Figura 3.3 Esquema del trabajo realizado sobre un resorte

x = x1 x = x0

F


44

A dx = dVluegoδW = Pres dV

(3.2)P y V son respectivamente presión y volumen del sistema.Si V2 > V1, se trata de un trabajo hecho por el sistema, si V2 < V1, será un trabajo realizado sobre el sistema.La evaluación del trabajo se puede hacer analíticamente si se conoce la relación entre P y V, por ejemplo, P × Vn = constante; o gráficamente me-diante la evaluación del área bajo la curva en un diagrama P − V, la cual puede hacerse utilizando métodos numéricos como el trapezoidal o el de Simpson entre otros.Considerando la figura 3.5 se ve claramente que el trabajo de expansión para llevar el sistema desde el estado 1 al estado 2, depende de la trayec-toria seguida durante el proceso, ya que el área bajo la curva cambia si la trayectoria cambia.

Figura 3.4 Trabajo en sistemas cerrados

Figura 3.5 Representación del trabajo de expansión o de compresión en un sistema cerrado

Pres

x2 x1

Fres

P

V

1

2

45


3.2.7 Trabajo de flujoEs el trabajo que una cantidad de sustancia realiza para salir del volumen de control, venciendo la presión de oposición del fluido que lo precede; o el trabajo hecho sobre la sustancia por el fluido que le sigue para entrar al volumen de control.

Figura 3.6 Trabajo de flujo

De acuerdo con la figura 3.6 el trabajo de flujo en e es

pero si se considera un diferencial de masa con volumen específico dV = ve dM y

(3.3a)De la misma forma, el trabajo de flujo en s es

(3.3b)

3.2.8 Trabajo en el ejeEl trabajo en el eje es la máxima cantidad de trabajo que se puede obte-ner del flujo de un fluido a través de algún componente del equipo donde se realiza trabajo (es también la mínima cantidad de trabajo que tendría que ser suministrada a un fluido cuando pasa por un dispositivo donde se realiza trabajo).La máxima cantidad de trabajo que puede obtenerse del sistema se logra solo mediante un proceso internamente reversible, cualquier proceso real entre los mismos dos estados producirá una cantidad menor. O en forma análoga, la mínima cantidad de trabajo que se debe suministrar a un cuerpo se obtiene mediante un proceso cuasi estático.Considérese la figura 3.7, en la cual un fluido fluye a través de una turbina o de un compresor. Si se escoge como sistema una masa fija de fluido (sis-tema cerrado) y se estudia durante su paso a través del volumen de control, entonces para este sistema existen tres formas de trabajo: a) el trabajo de flujo que hace sobre el sistema el fluido que le sigue para llevarlo a lo largo de la tubería, dado por Pent, Vent, b) el trabajo que es transmitido al eje, Weje y c) el trabajo que hace el sistema sobre el fluido que le precede, Psal, Vsal. Por tanto, el trabajo neto que sale del sistema es

s

dmdm

e


46

(3.4)y despejando el trabajo realizado en el eje

(3.5)Ahora bien, si se considera que

entonces

que al ser sustituida en la ecuación 3.5 da

(3.6)Debe recordarse aquí que Weje es el trabajo neto transferido al eje y por tanto será una cantidad positiva si el fluido realiza trabajo sobre el eje o, en caso contrario, será una cantidad negativa.

Figura 3.7 Trabajo en el eje en un sistema abierto

De la misma manera que para sistemas cerrados, la ecuación 3.6 se puede evaluar analíticamente si se conoce la relación entre el volumen y la presión o gráficamente mediante la evaluación del área comprendida entre la curva y el eje de presión en un diagrama presión volumen (véase figura 3.8)

Figura 3.8 Evaluación gráfica del trabajo en el eje

Entrada

Volumende control

Salida

Weje

P

1

2

V

47


Ejemplo 3.1Un gas dentro un cilindro con un pistón de 18 kg (véase la figura 3.4) a una presión de 2,5 bar ocupa un volumen de 0,1 m3 y se mantiene en esa posición mediante un pasador. Al retirarse el pasador, el gas se expande (sin fricción en el pistón) siguiendo una trayectoria en la cual PV = constante, hasta que su volumen es cuatro veces el volumen inicial. Calcula:a. El trabajo total hecho por el gas.b. El trabajo hecho por el gas contra la atmósfera.c. La velocidad final del pistón.

Solucióna. Si se escoge como sistema el gas confinado en el arreglo cilindro pistón

entonces este sistema realiza trabajo contra la atmósfera (para compri-mirla) y contra el pistón (para acelerarlo)

Wtotal sistema = Watm + Wpistón

y el trabajo total se puede calcular en este caso comoWtotal = PdVpero como P V = constante, entonces

Wtotal = constante dV

VWtotal = constante × ln V2/V1 = constante × ln 4El valor de la constante se puede encontrar de las condiciones inicialesconstante = 2,5 bar × 0,1 m3 = 0,25 bar m3 = 25 kJy por tantoWtotal = 25 × ln 4Wtotal = 34,66 kJb. Para calcular el trabajo hecho contra la atmósfera se considera que esta opone

una fuerza constante y el trabajo en este caso se puede calcular porWatm = PodVen la cual Po es la presión atmosférica constante. Por tantoWatm = Po ∆V = 101,325 kPa × 0,3 m3 =30,4 kJc. El trabajo hecho sobre el pistón es entoncesWpistón = 34,66 – 30,4 = 4,26 kJy de la ecuación 3.1c con se obtiene

Ejemplo 3.2Durante la experiencia que se esquematiza en la figura 3.9 se obtuvo la tabla de datos 3.1. Se logró que el agua pasara de un estado de equilibrio


48

a 5,0 MPa y 40 °C hasta un nuevo estado a 7,0 MPa y 400 °C suministrando calor desde una fuente a 773 K.

Figura 3.9 Esquema ilustrativo del ejemplo 3.2

Tabla 3.1 Datos obtenidos luego de efectuar el ciclo que se esquematiza en la figura 3.9

P(MPa) V(l) t(°C)

5,0 1,01 40

5,2 4,85 76

5,4 8,62 115

5,6 12,5 156

5,8 16,49 178

6,0 20,47 200

6,2 24,42 220

6,4 28,51 245

6,6 32,20 294

6,8 36,12 347

7,0 39,93 400

El trabajo realizado sobre el resorte ideal fue de 37,87 kJ que se observa en el medidor W acoplado al resorte. Evaluar:a. El trabajo que efectúa el agua.b. El trabajo perdido por fricción.c. La relación k/A2, donde k es la constante del resorte ideal y A es el área

transversal del pistón.

P

Q

Vacío

773 K

T1 kg de agua

W

49


SoluciónTomando como sistema el kilogramo de agua dentro del tanque, se trata de un sistema cerrado que recibe una cantidad de calor y realiza un tra-bajo contra el pistón, contra el resorte y para vencer la fricción entre el émbolo y la pared del tanque. Considerando que este proceso se realiza cuasiestáticamente, o de una manera internamente reversiblea. El trabajo que efectúa el agua será

no se conoce la ecuación que relaciona P con V para efectuar la integración analítica, pero se tiene una tabla que reporta las medidas del volumen a diferentes presiones desde el estado inicial de 5 MPa y 40 °C hasta el estado final de 7 MPa y 400 °C.Representando estos datos en un diagrama P–V (véase figura 3.10), prác-ticamente todos los puntos están sobre una línea recta cuyas coordenadas iniciales son (5,0, 1,01) y las finales son (7,0, 39,93).

Figura 3.10 Diagrama P–V del ejemplo 3.2

Entonces el trabajo hecho por el agua será igual al área bajo la curva que se representa. Esa área corresponde al área de un trapecio con base menor = 5,0, base mayor = 7,0 y altura (39,93 − 1,01), y por tantoárea = (base menor + base mayor)/2 × altura.

reemplazando

luegoW = 233,52 kJes el trabajo total hecho por el agua.

P(MPa)

7

5

f

i

1,01 39,93 V(l)


50

b. Para calcular la energía gastada en vencer la fricción se usa la relaciónWfricción = Whecho por el sistema − Wpara mover el pistón − Wpara comprimir el resorte

Ya se conoce el trabajo hecho por el sistema.El trabajo para mover el pistón donde P es la presión debida al peso del pistón que es constante e igual a 5.0 MPa (puesto que inicial-mente el agua solo está soportando el pistón y el resorte no está ofreciendo ninguna resistencia) y ∆V es el cambio de volumen experimentado por el agua.Wpistón = P × ∆V = 5,0 × 103 kPa × (39,93 − 1,01) × 10−3 m3 Wpistón = 194,6 kJEl trabajo para comprimir el resorte Wresorte = 37,87 kJ de acuerdo con la información disponible.Wfricción = Wagua − Wpistón − Wresorte

Wfricción = 233,52 − 194,60 − 37,87 = 1,05 kJc. Para hallar el valor de la relación k/A2, considerando nuevamente el trabajo hecho sobre el resorte

Expresando x (longitud que se comprime el resorte) en términos del cambio del volumen del sistema y el área del pistón

se tiene

Ejemplo 3.3Se desea comprimir 0,685 kg/s de aire mediante un compresor centrífugo desde una presión de 0,8 bar y una temperatura de 298 K hasta una presión de 3,2 bar. La densidad del aire a la entrada del compresor es 0,935 kg/m3. Estimar la potencia requerida para impulsar el compresor, suponiendo que durante el proceso de compresión no hay que vencer fricciones y que la pre-sión y el volumen del aire en cada momento están relacionados mediante la ecuación P × v1,4 = constante.

SoluciónSe trata de un proceso que ocurre en sistema abierto, donde la frontera la constituyen las paredes del compresor, y la sustancia de trabajo es el aire sobre el cual se está realizando un trabajo de eje para aumentar su presión. Como no hay que vencer fricciones, la potencia para impulsar el

51


compresor es recibida totalmente por el aire el cual sufre un proceso de transformación cuasi estático.

se puede evaluar analíticamente pues se conoce la relación entre P y v, y las condiciones de presión a la entrada y a la salida, P × V1,4 = constante. Si se toma n = 1,4, entonces P × vn = k1 y P1/n × v =k2

k1 y k2 son constantes.Reemplazando v en términos de P

k2 = vs × Ps1/n = ve × Pe

1/n

Reemplazando k2 en términos de las condiciones de entrada o salida, de-pendiendo de lo que más convenga

pero

Al reemplazar n = 1,4Pe = 0,8 bar = 80 kPa,Ps = 3,2 bar = 320 kPay

se obtiene

weje = – 145.604 kJ/kg


52

o sea trabajo hecho sobre el sistema. = × weje = 0,685 kg/s × 145,604 kj/kg = 99,74 kW suministrados

al sistema.

3.3 Ecuaciones de balance El comportamiento de un sistema se puede estudiar siguiendo los cambios de estado que experimenta durante un proceso y los flujos de masa, energía y entropía que atraviesan los límites del sistema, por ello al enfrentar el análisis de un proceso es importante el concepto de contabilidad de una cantidad física extensiva. Esta contabilidad puede representarse mediante una relación que se conoce como ecuación de balance:

(3.7)

3.3.1 Balance de masaEn todo proceso donde no se presentan reacciones nucleares la masa total se conserva y en ese caso no existe generación ni consumo y la ecuación 3.7 para el balance de masa de un sistema que sufre un proceso durante un tiempo dθ se transforma, véase figura 3.11.

Figura 3.11 Esquema del balance de masa

(3.8)En la cual dM/dθ representa la variación de la masa con el tiempo dentro del sistema y y representan la cantidad diferencial de flujo de masa que entra y sale del sistema respectivamente.Integrando la ecuación 3.8 entre dos límites de tiempo

Masa que entraal sistema

Variaciónde masa

Masa que abandonael sistema

53


(3.9)

1. Balance de masa en un sistema cerrado Teniendo en cuenta que en un sistema cerrado no hay flujo de masa entonces

La ecuación 3.8 queda

(3.10)

2. Balance de masa en un sistema abiertoConsiderando que el sistema abierto permite flujo de masa se pueden presentar dos casos:a. Flujo estable: quiere decir que en el interior del sistema no se presenta

acumulación de masa y por tanto la ecuación 3.8 queda

y la ecuación 3.9 se convierte en

la cual se puede transformar si se escribe la masa en términos de la densidad y del volumen, para producir

en la cual representa el caudal (volumen por unidad de tiempo) de la i-ésima corriente. El caudal se puede escribir también en términos de la velocidad del fluido y del área transversal de flujo así

(3.11)Esta ecuación es llamada la ecuación de continuidad y es válida para flujo unidireccional a través de una porción de un tubo de corriente. Para estudios de flujo bi y tridimensionales deben usarse expresiones diferenciales de la ecuación de continuidad.

b. Flujo uniforme: es cuando se presenta variación de masa en el interior del sistema a velocidad constante. La ecuación 3.9 se transforma en

Ejemplo 3.4Se alimenta metano de una densidad de 0,52 kg/m3 a un quemador (véase figura 3.12). El metano entra a 30 m/s a través de una tubería con sección transversal de 8,2 cm2. Al quemador también entra aire con una densidad de 1,2 kg/m3 de tal manera que la relación masa de aire/combustible sea 21 por una tubería de 6 pulgadas de diámetro. Los gases de la combustión (ρ=0,68 kg/m3) escapan por medio de una tubería de 6 pulgadas de diámetro.Calcular la velocidad de entrada del aire al quemador, el flujo másico y la velocidad de salida de los gases de combustión.


54

Solución

Figura 3.12 Ilustración del proceso indicado en el ejemplo 3.4

Si se considera que el quemador opera con un flujo estable entonces el balance de masa queda así

pero

El área de la tubería de entrada del aire es

y por tanto

Reemplazando con los datos suministrados en las unidades apropiadas

El flujo másico de salida de los gases se calcula

y la velocidad de salida de los gases obtenida es

Metano Gasesde combustión

Aire

Quemador

55


Ejemplo 3.5Un radiador contiene 3 kg de una mezcla anticongelante de etilen glicol agua al 30% en peso de etilen glicol. Se desea elevar la concentración del etilen glicol al 50%.a. ¿Cuánto etilen glicol puro se debe añadir si no se saca líquido del ra-

diador?b. ¿Cuánto etilen glicol se debe añadir, si al comienzo dentro del radiador

hay una cantidad tal que al final queden 3 kg de mezcla sin sacar nada de material del radiador?

SoluciónSi se considera como sistema el radiador que contiene una cantidad de anticongelante y se le va adicionando sustancia para aumentar su concen-tración, el balance total de masa es∆M dentro del sistema = Mf – Mi = Me El balance para el etilen glicol es0,5Mf – 0,3 Mi = Me

El balance para el agua0,5Mf – 0,7 M1 = 0siendo: Mi = masa total dentro del radiador al comienzo.Mf = masa total dentro del radiador al final.Me = masa total que entra al radiador y que es etilen glicol puro.a. En este caso Mi = 3 kg, Mf y Me son incógnitas. Tomando dos de las

tres ecuaciones de balance de material planteadas se pueden conocer Mf y Me.

Del balance totalMf – 3 kg = Me

Mf = Me + 3 kgy reemplazando en el balance para etilen glicol0,5(Me + 3 kg) – 0,3 × 3 kg = Me

luego

Me = 1,2 kg es la cantidad de etilen glicol puro que debe añadirse.Mf = 1,2 kg + 3 kgMf = 4,2 kg es la cantidad total de anticongelante al 50% en peso de etilen glicol en el radiador.b. En este caso Mf = 3 kg, Mi y Me son las incógnitas. Tomando dos de las

tres ecuaciones de balance de materia planteadas se pueden conocer Mi y Me.


56

Del balance total 3 kg – Mi = Me

Del balance de agua 0,5 × 3 kg = 0,7 Mi

luego

Me = (3 – 2,14 ) kg = 0,86 kgLa masa de etilen glicol puro que se añade es 0,86 kg para obtener una solución anticongelante al 50% en peso; en el radiador había inicialmente 2,14 kg de una solución al 30% de etilen glicol. En procesos en los cuales se da reacción química se puede realizar un balance de masa total o balances por componentes. En estos últimos, los términos generación o consumo pueden aparecer en la ecuación.

Ejemplo 3.6Un proceso antiguo para la producción de ácido clorhídrico requiere ca-lentar una mezcla de NaHSO4 y NaCl en un horno especial. Si la reacción estequiométrica esNaHSO4 (s) + NaCl (s) → Na2SO4 (s) + HCl (g)y ocurre en su totalidad, establecer el balance para cada uno de los com-ponentes y el balance total de materia, si se alimentan al horno 140 kg de NaHSO4, 58,5 kg de NaCl y 10 kg de Na2SO4 cada hora.

SoluciónTomando como sistema el horno (véase figura 3.13).

Figura 3.13 Ilustración del proceso indicado en el ejemplo 3.6

Teniendo como referencia la ecuación 3.7, si se considera que dentro del horno no se da acumulación de masa, pues al mismo ritmo se alimenta y se extrae el producto, el término de variación en el interior del sistema es cero para todos los componentes.De acuerdo con la estequiometría de la reacción, 1 mol de NaHSO4 reac-ciona con un mol de NaCl, o sea que 120 kg de NaHSO4 reaccionan con 58,5 kg de NaCl, y en este caso el reactivo límite es el NaCl, luego— Balance de masa para el NaHSO4:

0 = Entrada – Salida – Consumo0 = 140 kg/h – Salida – 120 kg/h La cantidad de NaHSO4 que sale sin reaccionar es 20 kg/h.

Entrada SalidaHorno

57


— Balance de masa para el NaCl:0 = Entrada – Consumo0 = 58,5 kg/h – 58,5 kg/h

— Balance de masa para el Na2SO4

0 = Entrada – Salida + Generación0 = 10 kg/h – Salida + 142 kg/hLa cantidad de Na2SO4 que se retira del horno es 152 kg/h.

— Balance de masa para el HCl0 = – Salida + Generación0 = – Salida + 36,5 kg/h La cantidad de HCl que se retira del horno es 36,5 kg/h.

— Balance total de masa0 = Entrada – SalidaEntrada = 140 kg/h NaHSO4 + 10 kg/h Na2SO4 + 58,5 kg/h NaClEntrada = 208,5 kg/hSalida = 20 kg/h NaHSO4 + 36,5 kg/h HCl + 152 kg/h Na2SO4

Salida = 208,5 kg/hEstos resultados están de acuerdo con lo planteado en la ecuación de balance de masa.

3.3.2 Balance de energíaHasta mediados del siglo xix se consideraba al calor y al trabajo como magnitudes de distinta naturaleza. Fue James Prescot Joule quien entre 1840 y 1849 llevó a cabo cuidadosos experimentos acerca de la naturaleza del calor y el trabajo.Básicamente se trataba de experiencias sencillas en las cuales una cantidad medida de agua se ponía dentro de un recipiente aislado (véase figura 3.14) y se agitaba por medio de un agitador rotatorio.

Figura 3.14 Experimento de Joule

Peso


58

A medida que el peso baja una distancia determinada, se realiza una cantidad de trabajo sobre el agitador que a su vez lo transmite al agua produciendo un aumento de temperatura y esa energía mecánica transmitida incrementa la energía interna del agua. Midiendo cuidadosamente el incremento de tempera-tura, Joule calculó el incremento en la energía interna. Por otra parte, calculó también el trabajo hecho por el peso en su descenso dándose cuenta que cuando se suministraba una cantidad de trabajo mecánico el efecto era equivalente al causado por el suministro de una cantidad de calor, estableciéndose así el equi-valente mecánico del calor. El mejor valor obtenido por Joule fue1 Btu = 772,5 lbf pie1 cal = 4.155 Jmediciones posteriores han fijado estos valores más exactamente en1 Btu = 777,647 lbf pie1 cal = 4,184 JEstos resultados llevan a la conclusión de que la energía es una cantidad conservativa y que puede manifestarse de diversas formas.Si para un sistema cualquiera que sufre un proceso se realiza un balance de energía, teniendo en cuenta que esta es una cantidad conservativa y por tanto no existe generación ni consumo, entonces la ecuación 3.7 queda reducida a

Si se plantea el balance de energía entre un tiempo θ y un tiempo θ + dθ se tiene dEsist/dθ representa la variación de la energía total dentro del sistema con respecto al tiempo. Y, en ausencia de efectos eléctricos, magnéticos, de tensión superficial y de distorsión de sólidos, tenemos

La entrada de energía al sistema puede darse de diversas formas:— Con el flujo másico

— Con el flujo de calor — Con el flujo de trabajo La salida de energía del sistema puede darse de las mismas tres formas

59


El término W(total) representa todas las formas de trabajo (eléctricas, magnéticas, de eje, de expansión o compresión de los límites del sistema, de flujo, etc.), y puede representarse como:W(total) = Wflujo + Wmecánico

En la cual W mecánico representa todas las formas de trabajo excepto el trabajo de flujo. Reemplazando la ecuación 3.3 en la ecuación anterior se obtieneW(total) = M P v + Wmecánico

La ecuación general de balance de energía queda

factorizando

El término u + P v (propiedades de la sustancia) aparece en repetidas ocasiones en desarrollos termodinámicos y por conveniencia se ha definido como una nueva propiedad termodinámica llamada entalpíah = u + P v (3.12)Reemplazando en la ecuación general del balance de energía

(3.13)

La ecuación 3.13 permite contabilizar la energía teniendo en cuenta que es una cantidad conservativa, quiere decir que la energía total se conserva aunque adopte diferentes formas. Cuando desaparece una forma de energía


60

surge simultáneamente otra y esto se aplica al sistema y a sus alrededores durante un proceso, luego: variación de energía del sistema + variación de energía de los alrededores = 0, es decir, d (E)sistema + d (E)alrededores = d (E)Universo = 0 (3.14)Esta relación constituye la formulación de la primera ley de la termodiná-mica, es una ley empírica que se basa en inducciones a partir de observa-ciones experimentales, aún no ha sido demostrada.Es bueno recalcar que la energía interna representa la energía almacenada en el sistema pero el producto Pv no tiene este significado, luego la entalpía es una propiedad útil pero no representa la energía almacenada.

1. Balance de energía en un sistema cerradoUn sistema cerrado que no permite transferencia de masa a través de la frontera, tampoco puede transferir energía con la masa, entonces la ecua-ción 3.13 se simplifica

(3.15 )

Por lo general, solo se da un determinado flujo de energía que entra al siste-ma en forma de calor o en forma de trabajo y lo mismo ocurre con respecto a la salida, además el sistema no se desplaza ni cambia de posición con respecto a un plano de referencia durante un proceso, entonces la relación puede simplificarse en ese caso y presentarse de diferentes formas

(3.15 a)

(3.15 b)integrando

(3.16 a)M ∆u = Qneto – Wneto (3.16 b)

Ejemplo 3.7Un gas contenido dentro de un cilindro con pistón cumple un proceso cíclico en tres etapas. Primero se expande a presión constante con una adición de calor de 50 kJ y la realización de un trabajo de 25 kJ. Luego se enfría a volumen constante con remoción de 30 kJ de calor. Finalmente mediante un proceso adiabático regresa a sus condiciones iniciales.a. Representar el proceso en un diagrama P-V.b. Determinar el trabajo del proceso adiabático.c. Determinar el trabajo neto del ciclo.

61


d. Determinar la energía interna de gas en cada uno de los estados interme-dios si se le asigna un valor de cero a la energía interna inicial.

SoluciónTomando como sistema la cantidad de gas en el cilindro, es un sistema ce-rrado sometido a un proceso cíclico en tres etapas: 1→2 a P = constante; 2→3 a V = constante y 3→1 con Q = 0.a. La representación en un diagrama P-V de este proceso se indica en la

figura 3.15.

Figura 3.15 Diagrama P-V del proceso indicado en el ejemplo 3.7

b. Haciendo un balance de masa y de energía para la etapa adiabática, considerando que el sistema permanece fijo con respecto a un punto de referencia, luego no experimenta cambios en su energía potencial ni cinética, se tiene

M1 – M3 = 0U1 – U3 = We Para calcular We es necesario conocer la variación de la energía internaU1 – U3 = – (U3 – U1) = – ∆U1→3

∆U1→3 = ∆U1→2 + ∆U2→3 La variación de energía interna de 1 a 2 puede calcularse a partir de un balance de energía para ese proceso asíU2 – U1 = Qe 1→2 – Ws 1→2 = (50 – 25) kJ∆U1→2 = 25 kJLa variación de energía interna de 2 a 3 puede calcularse a partir de un balance de energía para ese proceso asíU3 – U2 = – Qs 2→3 = – 30 kJluego reemplazando, se tiene∆U1→3 = 25 –30 = – 5 kJ∆U3→1 = – ∆U1→3 = 5 kJde la relación anterior We = 5 kJ.

P

12

V

3


62

c. Para determinar el trabajo neto del ciclo, se hace un balance de energía global; teniendo en cuenta que no hay variación de energía dentro del sistema

Qneto= Wneto

Qe 1→2 – Qs 2→3 = Wneto

50 – 30 = 20 kJ es el trabajo neto.d. Si se toma como referencia la energía interna en el estado 1 igual a ceroU2 – U1 = 25 kJ; U2 = 25 kJ.U3 – U2 = – 30 kJ; U3 = – 5 kJ.

2. Balance de energía en un sistema abiertoEn general el ingeniero trata de diseñar equipos y procesos que operen en régimen permanente o estacionario durante largos periodos de tiempo, estos procesos son de operación y mantenimiento más sencillos que los no estacio-narios. De acuerdo con esto se pueden adoptar dos modelos para el estudio de los sistemas abiertos.— Modelo de estado estable, flujo estable: es un modelo en el cual las pro-

piedades de la sustancia de trabajo en un punto dado no cambian con el tiempo y se consideran las siguientes suposiciones:

• El volumen de control no tiene un movimiento relativo a un eje coorde-nado.

• El estado de la masa en cada punto en el interior del volumen de control no varía con el tiempo.

• La masa que fluye a través de los límites del sistema (frontera) conserva su estado termodinámico con el paso del tiempo y no se acumula.

• La velocidad a la cual el calor y el trabajo fluyen a través de los límites del sistema permanece constante.

Teniendo en cuenta estas suposiciones, se analizan nuevamente todos los términos de la ecuación 3.13. Con respecto a la variación de energía dentro del sistema, esta solo puede presentarse si existe variación de masa, pero la condición del modelo es que no hay acumulación de masa, luego este término siempre es cero. Con respecto a la energía que entra o sale con la masa, se debe tener presente que no varía con el tiempo, lo mismo para los flujos de calor y trabajo, y la ecuación 3.13 se convierte en

(3.17)

63


Ejemplo 3.8Se comprime aire en un proceso de estado estable flujo estable y sin fricción desde 90 kPa, 15 °C y v = 0,918 m3/kg hasta 130 kPa de tal manera que P (v + 0,25) = constante. La velocidad a la entrada del compresor puede despreciarse, a la salida es de 110 m/s.Cuál es el trabajo requerido para la compresión por kilogramo de aire y la cantidad de calor asociada con el proceso, si la entalpía a la entrada es 290 kJ/kg y a la salida 295 kJ/kg.

SoluciónDe acuerdo con el enunciado (véase figura 3.16), puede considerarse que no hay variación en la energía potencial de la sustancia que sale con res-pecto a la sustancia que entra, además, el volumen de control permanece fijo con respecto a un punto de referencia.

Figura 3.16 Representación esquemática del proceso de compresión

El balance de masa, teniendo en cuenta que no hay acumulación en el in-terior del sistema, es pero no se conoce cuál es el flujo másico.El balance de energía es

como no se conoce el flujo másico se puede plantear el balance por unidad de masa y la relación se transforma así

en la cual we y qs son incógnitas, es necesario disponer de otra relación para resolver el problema.Se sabe que y se conoce cómo está relacionado v con P

cte = Pe (ve + 0,25) = 90 kPa (0,918 + 0,25)m3/kgcte = 105,12 kJ/kg

Qs

e sCompresor

We


64

quiere decir que es necesario suministrar en forma de trabajo 28,65 kJ por cada kg de aire que se vaya a comprimir.Conociendo este trabajo se puede reemplazar en la ecuación del balance de energía para saber la cantidad de calor asociada con el proceso.

En este proceso es necesario suministrar una energía en forma de trabajo de 28,65 kJ por kg de aire que se comprime y se liberan 17,6 kJ de calor por kg de aire.— Modelo de estado uniforme, flujo uniforme: a este modelo corresponden

por ejemplo, los procesos que ocurren cuando se llenan o vacían tanques. En él se consideran las siguientes suposiciones:

• El volumen de control permanece en una posición relativa constante con respecto a un eje coordenado.

• El estado de la masa dentro del volumen de control puede cambiar con el tiempo, pero este cambio es a velocidad constante.

• El estado de la masa que fluye a través de los límites del sistema no varía con el tiempo.

• Los flujos de calor y trabajo si los hay, son constantes en el tiempo. En este caso habrá que entrar a considerar si tienen o no validez todos los términos de la ecuación 3.13.

Ejemplo 3.9

Vapor de agua a una presión de 1,4 MPa y 300 °C fluye por una tubería que está conectada, por medio de una válvula, con un tanque vacío. La válvula se abre y el tanque se llena hasta cuando la presión llega a 1,4 MPa, en ese mo-mento la válvula se cierra. El proceso es adiabático y los cambios de energía cinética y potencial se pueden considerar despreciables, además se cuenta con la información de la tabla 3.2 acerca de las propiedades aP = 1,4 MPa.

Tabla 3.2 Datos para el ejemplo 3.2

t (°C) u (kJ/kg) h (kJ/kg)

300 2.785,2 3.040,4

350 2.869,2 3.149,5

400 2.952,5 3.257,5

500 3.121,1 5.474,1

65


Si se escoge como límite del sistema el tanque que inicialmente está vacío, entonces los balances de masa y de energía son

o en forma integrada

pero Mi = 0 (el tanque estaba inicialmente vacío)

Balance de energía

integrando nuevamente con Mi = 0

la cual conduce a

Con los datos proporcionados por el problema se puede encontrar la en-talpía a la entradahe = 3.040,4 kJ/kg (a 1,4 MPa y 300 °C)y por tanto uf = 3.040,4 kJ/kg. Con este valor se puede mirar, en la tabla de propiedades, a qué valor de temperatura corresponde el valor encontra-

Figura 3.17 Esquema del proceso indicado en el ejemplo 3.9

Determinar la temperatura final del vapor en el tanque.

SoluciónLa figura 3.17 presenta un esquema del proceso.

Vapor de agua

Vacío Q = 0


66

do de energía interna. Se puede observar que el valor de energía interna en el estado final está entre los dos últimos valores reportados en la tabla de propiedades. Si se supone que la temperatura y la energía interna se comportan linealmente para intervalos pequeños de temperatura (esto es, suponiendo que entre valores contiguos de la tabla de propiedades se puede utilizar interpolación lineal) entonces utilizando la ecuación de una línea recta entre dos puntos

en la cual los subíndices 1 y 2 representan dos valores contiguos en la tabla de propiedades y el subíndice ∗ el punto en el cual se quiere hallar una de las propiedades.Despejando

Se dice que un sistema que experimenta un proceso se encuentra en con-dición transitoria (estado no estacionario), si el valor de cualquiera de las variables termodinámicas del sistema cambia con el tiempo. Cuando se arranca o se para un proceso de estado estable, flujo estable, se presentan cambios en las condiciones normales de operación y se tiene entonces un modelo transitorio, que no se estudiará en el presente libro.

3.3.3 Balance de entropíaLa primera ley es una herramienta útil y versátil en el análisis de transforma-ciones energéticas. Sin embargo, hay fenómenos de conversión de energía que no pueden explicarse utilizando únicamente la primera ley, pues esta no permite predecir a qué grado habrá conversión de energía, ni tampoco indica si un proceso ideado para la conversión de energía es posible o no.El concepto de entropía fue sugerido originalmente por el físico Clausius como una medida de la capacidad que tendrá el universo en el futuro para producir trabajo, como resultado de los procesos actuales o pasados, mos-trando cómo cada vez se pierde esa capacidad de hacer trabajo y cómo la entropía del universo aumenta.Teniendo en cuenta que la primera ley de la termodinámica dice que a escala macroscópica la energía se conserva, entonces para comprender el concepto de balance de entropía es necesario considerar que la energía puede tener calidades y que a medida que se realizan los procesos la energía se va trasformando de una forma más útil (trabajo) a una menos útil (calor). La entropía entonces está relacionada con la energía sin ser energía.

67


La ecuación general de balance de entropía para un sistema sometido a un proceso es

La variación de entropía con el tiempo dentro del sistema se representa por

El flujo de entropía que entra es debido a los flujos de masa, de trabajo y de calor.— El flujo de entropía que entra con la masa puede representarse como .

1. Flujo de entropía que entra con el trabajoPara determinar el aporte del flujo de trabajo a la variación de entropía, se puede considerar el siguiente proceso ilustrativo: si se tiene una canti-dad fija de una sustancia dentro de un arreglo cilindro pistón de paredes adiabáticas y se ejerce sobre él un trabajo de tal manera que el pistón se desplaza sin fricción, con un desplazamiento infinitesimalmente lento, el proceso de compresión es adiabático y es internamente reversible, aumenta la energía cinética de las partículas que chocan con el pistón, aumentando por ello su temperatura, produciendo mayor desorganización y aumento de entropía. Como también aumenta la presión y disminuye el volumen, se tiene por ello mayor organización (al estar más empacadas las partículas) y por tanto disminuye la entropía. Se puede demostrar mediante herramientas de termodinámica estadística que estos dos efectos se compensan exactamente y la variación de entropía neta para el sistema por efecto de este trabajo hecho sobre él, es cero. Lue-go, un flujo de energía en forma de trabajo no conlleva flujo de entropía.

2. Flujo de entropía que entra con el calorComo consta en la definición de entropía (véase sección 2.6), si se coloca una cantidad de gas en un recipiente rígido y se le suministra calor, aumen-ta el grado de desorganización y por tanto la entropía, o sea que el flujo de energía en forma de calor va acompañado de un flujo de entropía, esto puede representarse mediante la relación ds∝δQ. La entropía del sistema varía si se recibe o libera calor durante un proceso (independiente de que este sea reversible o no). La variación de entropía por flujo de calor será:

.


68

Para calcular cuál es la constante de proporcionalidad, considérese una cantidad de sustancia sujeta a un proceso cíclico reversible en cuatro etapas:Dos isotermas A B y C D y dos adiabáticas B C y D A como se muestra en la figura 3.18.El proceso comienza en A y regresa al mismo punto y no hay variación en las propiedades de la sustancia.t1 y t2 representan trayectorias isotermas, t1 > t2 y S1 y S2 representan las trayectorias adiabáticas.De A a B se adiciona calor a temperatura constante (t1), de B a C hay una expansión adiabática, de C a D se extrae calor a temperatura constante (t2), de D a A hay una compresión adiabática.

Figura 3.18 Proceso reversible en cuatro etapas

El trabajo neto está representado por el área dentro de la curva A B C D y como puede observarse es un trabajo realizado por el sistema. Durante el proceso cíclico se obtuvo energía mecánica a partir de energía térmica y el ciclo reversible propuesto se conoce como ciclo de Carnot.Si se quiere aumentar el trabajo producido por el ciclo, lo que equivaldría a aumentar el área encerrada por la curva del proceso, se puede entregar calor en la tercera etapa a una temperatura menor t3, y en este caso el ciclo es A B E FWneto = Q1 – Q3 y t1 > t2 > t3

Considerando valores absolutosQ1 > Q2 > Q3

Puede observarse entonces que en general Qi es una función de ti.La variación de entropía en los dos ciclos (por ser reversibles) ocurre solo en las trayectorias isotermas y para el ciclo A B C D se puede escribir como

A

B

C

D

E

F

P

V

S1t1

t2

t3 Q2

Q3

Q1

S2

69


como el proceso es cíclico entonces, ∆SABCD = 0 luego

y

(3.18)

La función f(t) puede escogerse arbitrariamente, para que no dependa de las propiedades de la sustancia de trabajo de la máquina térmica si no de la temperatura a la cual se transfiere calor reversiblemente, como lo propuso Lord Kelvin: f (t) = T, esta temperatura T se conoce como temperatura termodinámica y coincide con la escala absoluta de temperatura que se había presentado anteriormenteluego

En resumen, el flujo de entropía que entra al sistema se representa por

De forma análoga, el flujo de entropía que sale del sistema se representa por

siendo TQe y TQs las temperaturas a las cuales se da la transferencia de calor.

3. Entropía generada y entropía consumidaPara ilustrar el concepto de generación o consumo de entropía considerar el siguiente arreglo: se tiene confinado un gas en parte de un recipiente rígido y aislado térmicamente, separado del resto del recipiente que se encuentra vacío, mediante una membrana impermeable (véase figura 3.19a), si se rompe la membrana, el gas llena todo el recipiente (véase figura 3.19b), este proceso es irreversible y no se da transferencia de energía ni en forma de calor ni en forma de trabajo. Cualquiera que sea el sistema escogido, la desorganización aumenta y nunca se podrá obtener un sistema más or-ganizado espontáneamente, luego la entropía aumenta y ese aumento va asociado a la irreversibilidad. Se puede afirmar que la irreversibilidad de un proceso genera entropía pero nunca la consume.Este proceso se pudo haber realizado entre los mismos estados inicial y final en forma tal que el sistema hiciera trabajo, esa energía que no se


70

aprovechó como trabajo se gastó en vencer las irreversibilidades, por eso se conoce como trabajo perdido (LW por el término en inglés lost work), y puede decirse que la entropía generada .Se acaba de mostrar que la constante que relaciona el flujo de calor y el flujo de entropía es 1/T, de la misma manera se puede establecer que la constante para la generación de entropía es de igual forma, siendo en este caso T la temperatura absoluta a la cual se producen las irreversibilidades. Entonces

En la cual TLW es la temperatura a la cual se da la irreversibilidad. Esta temperatura es en general variable y diferente de TQe y TQs.Esta entropía generada también da cuenta de los flujos energéticos en el interior del sistema que no pueden ser llamados calor ni trabajo. En resu-men, la ecuación general del balance de entropía queda

(3.19a)

4. Balance de entropía en un sistema aisladoEn el caso de un sistema aislado en el cual no se da transferencia de materia ni de energía, la ecuación 3.19a se transforma en

(3.19b)

Para el caso particular en el cual se trata de un proceso reversible entonces

(3.19c)

Las dos ecuaciones anteriores llevan a la conclusión de que

(3.20a)

Figura 3.19 Ilustración del concepto de generación o consumo de entropía. a. Estado inicial del proceso irreversible. b. Estado final del proceso irreversible.

a. b.

VacíoGas Gas

71


En la cual la igualdad se cumple en el caso de un proceso reversible.La ecuación 3.20a establece que la entropía de un sistema aislado nunca puede disminuir y se conoce como principio de aumento de la entropía.Debido a que un sistema aislado es aquel que no interactúa en forma al-guna con sus alrededores, este principio puede parecer muy limitado en sus aplicaciones. Sin embargo, una selección apropiada de las fronteras con frecuencia hace posible trabajar con sistemas aislados. En particular, siempre puede formarse un sistema aislado si se incluyen el sistema y sus alrededores dentro de una misma frontera y puesto que el conjunto de un sistema y sus alrededores se ha definido como el universo, entonces

(3.20 b)

en la cual

(3.21)

Se debe recordar en este punto que la entropía de un sistema puede au-mentar, disminuir o permanecer constante (véase ecuación 3.19a). Es solo la entropía del universo (o la de cualquier sistema aislado) la que no puede disminuir.El principio de aumento de entropía proporciona un criterio de reversibilidad para cualquier proceso: 1) si la entropía del universo permanece constante, entonces el proceso es reversible, 2) si la entropía del universo aumenta, el proceso es irreversible y 3) si la entropía del universo disminuye, entonces el proceso es imposible. (La entropía del universo no puede disminuir).Es importante notar que, así como el principio de conservación de la energía en el universo (véase ecuación 3.14) es llamado la primera ley de la termo-dinámica, el principio de aumento de la entropía (véase ecuación 3.20a) es postulado generalmente como la segunda ley de la termodinámica.

5. Balance de entropía en sistema cerradoEn un sistema cerrado la ecuación 3.19 se reduce a

(3.22 a)

En términos de la transferencia neta de calor la ecuación se puede escribir como

(3.22 b)

Integrando


72

(3.22 c)

Cuando se trata de un proceso reversible la ecuación 3.22b quedaT dS)sist = δQN

integrandoQN = ∫ T dSsist (3.23)En la cual es claro que la variable independiente es el tiempo.La integral del lado derecho de la ecuación 3.23 puede evaluarse como el área bajo la curva en un diagrama T-S (véase la figura 3.20), o analítica-mente si se conoce la ecuación que relaciona la temperatura y la entropía durante el proceso.

Figura 3.20 Evaluación gráfica de la transferencia de calor en procesos re-versibles

De la figura 3.20 puede concluirse que la cantidad de calor transferida durante el proceso, al igual que el trabajo, depende de la trayectoria.

Ejemplo 3.10Dos kilogramos de oxígeno se comprimen isotérmicamente en un arreglo cilindro pistón de 95 kPa y 20 °C a 300 kPa. Determina la transferencia de calor sia. El proceso es reversible.b. Si las irreversibilidades incrementan el trabajo requerido en un 80%

comparado con el trabajo necesario para la compresión reversible.Las variaciones de energía interna, entalpía y entropía son respectivamente:5 kJ/kg, 7 kJ/kg, –0,3 kJ/kg K.

SoluciónSi se escoge como sistema los dos kilogramos de oxígeno dentro del arreglo cilindro pistón, se trata entonces de un sistema cerrado. Se considera que no hay variaciones de energía cinética y potencial en el interior del sistema para determinar la transferencia de calor.

T

1

2

S

73


a. En el proceso reversible e isotérmico:Balance de masa Mi = Mf = MBalance de energía ∆U = QN – WN

M(∆u) = QN – WN

Balance de entropía

Directamente del balance de entropía se puede calcular el calor transferido.QN = MT∆s = 2 kg × 293 K (–0,3) kJ/kg K = – 175,8 kJComo se trata de una cantidad neta de calor, el hecho de que sea negativo significa que el calor se libera del sistema.b. En el proceso irreversible e isotérmico:Balance de masa Mi = Mf = MBalance de energía M(∆u) = QN – WN


equivale a la entropía generada por irreversibilidades, en este caso TLW = TQN.Para calcular QN mediante el balance de entropía es necesario conocer LW. De acuerdo con el enunciado, el trabajo perdido por irreversibilidades es el 80% del trabajo requerido para la compresión en el proceso reversible, este trabajo se puede calcular del balance de energía en la parte a) cono-ciendo el QN asíWN(rev) = QN – M(∆u) = –175,8 kJ – 2 kg × 5 kJ/kgWN(rev) = –185,8 kJ trabajo que se suministra al sistema.Entonces LW = 0,8 × WN(rev) = 0,8 × 185,8 = 148,64 kJQN = MT∆s – LW = –2 kg × 293 K × 0,3 kJ/kg K – 148,64 kJ = –324,44 kJEs un calor que fluye del sistema a los alrededores.

6. Balance de entropía en sistemas abiertos.Al igual que para el balance de energía se pueden presentar dos casos:—Modelo de estado estable, flujo estable: teniendo en cuenta las restriccio-

nes mencionadas anteriormente, para este modelo, la ecuación general del balance de entropía se convierte en

(3.24)


74

En el caso especial de un proceso adiabático con una sola entrada y una salida, la ecuación anterior se transforma en

la cual conduce a que (3.25)

en la igualdad anterior se cumple solo en el caso reversible.De la ecuación 3.25 se puede concluir que en el flujo adiabático a través de cualquier sistema abierto el fluido no puede disminuir su entropía.

Ejemplo 3.11Por una válvula de expansión fluyen 2,3 kg/s de refrigerante 12. A la entrada de la válvula el refrigerante tiene las siguientes condiciones:P = 2,7 MPa, h = 212,614 kJ/kg, s = 0,6585 kJ/kg K.Escribir los balances de masa, energía y entropía si se desea que el proceso sea:a. Adiabático.b. Isentrópico.

Solucióna. Si se considera como sistema el refrigerante que fluye en todo momento

por la válvula en estado estable y se desprecian los cambios en la energía cinética y potencial entonces

Balance de masa Balance de energía Como el refrigerante no mueve ningún eje en la válvula ni tampoco se mueven los límites del sistema, entonces

y

Si además, se considera que el flujo a través de una válvula se da a una velocidad tal que no hay tiempo para establecer una transferencia de calor, entonces

y el balance de energía se reduce a

lo cual conduce a he = hs El balance de energía lleva entonces a la conclusión de que el flujo adia-bático a través de una válvula es isoentálpico.

75


Balance de entropía: para el proceso sin transferencia de calor el balance de entropía queda

y

b. Un proceso isentrópico se puede dar de dos maneras:• Proceso adiabático reversible

En este caso los balances de masa y energía están representados por las ecuaciones

y he = hs y el balance de entropía queda

se = ss

• Proceso irreversible con transferencia de calorEl balance de masa es nuevamente la ecuación

el balance de energía es ahora la ecuación

y el balance de entropía queda

como se requiere que el proceso sea isentrópico, entonces

— Modelo de estado uniforme, flujo uniforme: de acuerdo con las res-tricciones para este modelo presentadas en el balance de energía, la ecuación que se aplica es la ecuación general del balance (3.19a).

Ejemplo 3.12Un tanque aislado cuyo volumen es 1 m3 contiene aire a 800 kPa y 25 °C con una densidad de 9,35 kg/m3, como muestra la figura 3.21. Se abre la válvula para entregar el aire a la presión atmosférica y a 20 °C. La presión dentro del tanque cae hasta 150 kPa y la densidad dentro del tanque alcanza un valor de 2,83 kg/m3. La diferencia de entropía entre el aire que escapa y el que permanece dentro del tanque es 0,58 kJ/kg K.Asumiendo que el aire que permanece dentro del tanque experimenta una expansión adiabática reversible, calcular la entropía generada durante el proceso.


76

SoluciónSe trata de un sistema abierto que cumple el modelo de estado uniforme, flujo uniforme. De acuerdo con el enunciado del problema, el aire que permanece dentro del tanque no sufre cambio en su entropía.Mque permanece (sf – si) = 0Luego, sf = si dentro del tanque.

Figura 3.21 Ilustración de un tanque aislado

Para el sistema considerado, cuya superficie de control se muestra con las líneas punteadas (véase figura 3.22).

Figura 3.22 Ilustración de un sistema abierto

Balance de masa: Mf – Mi = –Ms Balance de entropía Mf sf – Mi si = –Ms ss + Sgenerada

Reemplazando, y recordando que si = sf se tiene queMs (ss – si) = Sgenerada

por otra parte Mi = ρi Vi = 9,35 kg/m3 × 1 m3 = 9,35 kgMf = ρf Vf = 2,83 kg/m3 × 1 m3 = 2,83 kgMs = Mi – Mf = (9,35 – 2,83) kg = 6,52 kgy de los datos del problema(ss – si) = 0,58 kJ/kg KReemplazando los valores de Ms y (ss – si) se tieneSgenerada = 6,52 kg × 0,58 kJ/kg K = 3,78 kJ/KLas irreversibilidades en este proceso se generan en el paso a través de la válvula.

Aire

Aire

77


Problemas propuestos 3.1 Una masa de 25 kg en reposo cae desde una altura de 5 m hasta que

golpea un resorte lineal que está en ese momento en posición de equilibrio. Si toda la energía del cuerpo al caer se destina a compri-mir el resorte, ¿cuánto se acortará este si la constante del resorte es de 500 N/m?

3.2 En función de la altura sobre el nivel del mar, la aceleración de la gravedad es g = 9,807 – 3,32 × 10–6 Z; con g en m/s2 y Z en metros. ¿Qué cantidad de trabajo será necesario realizar para elevar un satélite que en La Costa pesa 2.350 N, desde la cuidad de Medellín (1.500 msnm) hasta una altura de 450 km sobre la superficie de la tierra?

3.3 Calcular la potencia necesaria para acelerar un cuerpo de 3.400 N de una velocidad de 40 m/s hasta 100 m/s:a. En 1 segundo.b. En 1 minuto.

3.4 Se tiene argón en un tanque rígido de 0,6 m3 a una presión de 1.500 kPa. El argón se enfría para así reducir la presión hasta 950 kPa. ¿Cuánto trabajo se realiza? Dibujar un diagrama P-V para la trayec-toria de este proceso.

3.5 Un gas sufre un proceso mediante una trayectoria que se puede es-cribir como P×Vn = C donde n y C son constantes. Halla la ecuación general para el trabajo realizado, cuando el gas se expande de una presión absoluta y un volumen inicial de P1, V1 hasta una presión y un volumen final de P2, V2 respectivamente.a. Suponiendo un sistema cerrado con trabajo debido a la expan-

sión.b. Suponiendo un sistema abierto con trabajo hecho por un eje.

3.6 Calcular la potencia necesaria para bombear 3,4 m3/h de agua (ρ = 999,1 kg/m3) desde un lago hasta un tanque abierto ubicado 3 metros por encima del nivel del lago.

3.7 Un fabricante de ventiladores presenta los siguientes datos de su producto cuando opera con aire a 20 °C:Presión del aire a la entrada del ventilador = 101,325 kPa.Diferencia de presión entre la entrada y la salida del aire = 0,80 kPa.Gasto volumétrico = 870 m3/h. Calcular la potencia mínima que se debe suministrar al ventilador de estas características para que opere en estado estable.

3.8 Un gas ideal es sometido a una compresión reversible isotérmica en un conjunto cilindro pistón sin fricción. Hallar la ecuación del trabajo.


78

3.9 Un dispositivo cilindro pistón contiene un gas que sufre un proceso de expansión cuasiestático para el cual la relación entre P y V es

con P en bar y V en m3. Si la expansión se realiza entre 4 y 5 bar,

determinara. Las unidades de la constante 10,8.b. La relación entre P y V en unidades S.I.c. El trabajo desarrollado en el proceso.

3.10 En un experimento de la expansión de un gas en un sistema cerrado se tomaron los datos indicados en la tabla 3.3.Tabla 3.3 Datos para el ejemplo 3.10

(m3/kg) 0,7998 0,8027 0,8700 0,9890 0,10976

P (kPa) 2.139,5 2.128,7 1.901,8 1.589,3 1.373,6

(m3/kg) 0,12010 0,13014 0,13998 0,15930 0,17832

P (kPa) 1.210,9 1.082,2 977,2 815,4 696,3

a. Hallar el valor del volumen específico para los siguientes valores de presión: 600 kPa, 1.100 kPa, 2.500 kPa y 3.000 kPa.

b. Calcular el trabajo realizado por el gas entre 2.100 kPa y 700 kPa.3.11 Oxígeno gaseoso es mantenido en un dispositivo cilindro pistón a

5 atm de presión por medio de un pistón que pesa 65 kgf y que es mantenido en una posición inicial dentro del cilindro mediante un pasador. El cilindro, que tiene un área transversal de 652 cm2 y mide 4 metros de altura, está abierto al ambiente. El volumen inicial del gas es de 32 litros y la temperatura es de 25 °C (la cual puede ser considerada constante durante todo el proceso). En un momento dado, el pistón se libera y el gas se expande mediante una trayectoria que se puede escribir

Con: a = 0,24203 J m3/mol2, b = 2,0956 × 10–5 m3/mol, c = 9,9106

× 10–6 m3/mol.Si el pistón asciende sin rozamiento, determinar:a. ¿El pistón abandona el cilindro?b. ¿Qué altura alcanza el pistón?c. Si el pistón sale fuera del cilindro, ¿cuál es la velocidad con la que

lo abandona?

79


3.12 En un conjunto cilindro pistón sin fricción se tiene 1 kg de gas a 5 bar y ocupando un volumen de 100 litros. Este gas puede pasar a un estado 2 a 1 bar y 263 litros por la trayectoria A o por la B. El proceso por la trayectoria A es adiabático y la relación entre P y V es V5/3 × P = constante.

El proceso por la trayectoria B se caracteriza porque la presión de-pende linealmente del volumen y hay transferencia de calor.

Determinar el trabajo que realiza el gas por cada trayectoria.3.13 El proceso de bombeo de agua se lleva a cabo en una planta industrial

mediante una bomba a la cual entra el agua a 14,7 psia y sale a una presión de 500 psig. Se puede considerar que el proceso de bombeo es adiabático y que los cambios de energía cinética y potencial son despreciables. Determinar la potencia mínima requerida para operar la bomba con un gasto másico de 100 kg/s.

3.14 En un proceso de cuasiequilibrio en un sistema abierto, un gas se expande en un eje desde un volumen de 0,150 m3/kg y una presión de 120 kPa a la entrada hasta un volumen de 0,25 m3/kg a la salida mediante una trayectoria tal que

P (v + 0,028) = constante Calcular el trabajo realizado por el gas en el eje.3.15 Un combustible de avión con un peso específico de 8.232 N/m3 debe

bombearse a una velocidad de 5,2 kg/s desde una presión de 40 kPa hasta una presión de 800 kPa. La temperatura del combustible es aproximadamente de 5 °C y el cambio de velocidad a través de la bomba es pequeño. Se calcula que la potencia necesaria de entrada a la bomba es del 140% de la requerida para realizar el bombeo sin fricción. Describir las suposiciones que se hagan y determinar la potencia de entrada requerida.

3.16 Una mezcla benceno tolueno contiene 50% en masa de benceno. Una porción de la mezcla se vaporiza para dar un vapor que contiene 85% en masa de benceno y un líquido residual que contiene 10,6% en masa de benceno.

Si el proceso es continuo en régimen permanente y la alimentación de la mezcla es de 100,0 kg/h, calcular cuántos kg/h se obtienen de vapor y cuántos kg/h de líquido residual.

3.17 Entra agua a un tanque de 2 litros con un flujo másico de 3 g/s y sale con un flujo másico de 5 g/s. Inicialmente el tanque está a la mitad de su capacidad. Escribir el balance de masa para este proceso. Resolver la ecuación para determinar en cuánto tiempo se descarga el tanque.

3.18 Por una línea de conducción de 2 pulgadas de diámetro fluye CO2 a 40 psia y 20 °F, con una densidad de 0,052 lb/pie3 y a una velocidad


80

de 2.000 pies/s. En una sección que está corriente abajo la tubería se reduce a una de 0,5 pulgadas de diámetro, por la cual el CO2 fluye con una densidad de 0,124 lb/pie3. Determinar la velocidad del fluido después de la reducción.

3.19 En una unidad de aire acondicionado entra aire atmosférico a 32 °C, con una densidad de 1,24 kg/m3 a través de un área de sección transversal de 0,058 m2 con una velocidad de 11,2 m/s. Se elimina el agua del aire y sale del sistema de aire acondicionado como un líquido a un ritmo de 45,8 kg/h. El aire que sale de la unidad está a 15 °C con una densidad de 1,32 kg/m3. El área de la sección trans-versal de descarga es de 0,077 m2. Determinar la velocidad del aire que sale.

3.20 El sistema de flujo de un motor de avión de propulsión a chorro se debe diseñar de tal manera que entre aire con una densidad de 0,041 lb/pie3 a una velocidad de 400 millas/h a través de una sección transversal con un área de 9,22 pie2. Del aire que ingresa, se deben retirar 6 lb/s de aire a través de un compresor, para la ventilación de la cabina. Al aire que va al motor se le añade combustible a una razón de masa de aire/combustible de 38 y se quema. Los gases de escape tendrán una densidad de 0,021 lb/pie3 y una velocidad de 1.180 pie/s. Determinar el área de la sección transversal de escape.

3.21 Un sistema cerrado experimenta un cambio de 1 a 2 en el cual se aña-den 450 kJ de calor y realiza un trabajo equivalente a 150 kJ. Durante el proceso inverso 2-1, se suministran 100 kJ en forma de trabajo. Determinar la transferencia de calor durante el proceso 2-1.

3.22 Para cada uno de los procesos siguientes que se llevan a cabo en sistema cerrado, llene los espacios en blanco de la tabla 3.4 donde sea posible.

Tabla 3.4 Datos para el ejemplo 3.22

Qneto (kJ) Wneto (kJ) E1 (kJ) E2 (kJ) ∆E (kJ)

a 40 16 10

b 40 –16 60

c –55 –30 10

d –15 20 0

e 10 30

3.23 En un tanque rígido se encuentran almacenados 1,5 kg de gas, los cuales se agitan mediante un impulsor que suministra 50 kJ/kg de gas de trabajo. La energía del gas se incrementa de 120,0 a 160.000 kJ/kg. Determinar la transferencia total de calor.

81


3.24 En un compresor se comprimen 129 kg/h de aire. Se sabe que du-rante la compresión aumenta la entalpía del aire en 19.000 kJ/kg y la entalpía del agua que enfría el compresor aumenta en 10.000 kJ/h. Despreciando los cambios en energía cinética y potencial y conociendo que 1 kWh de energía cuesta $45, calcula el costo de operación del compresor.

3.25 Una batería de plomo de 12 voltios se requiere para suministrar 1,8 amperios. La caída de energía interna de la batería debe ser 954 kJ (máximo). En este proceso la batería se calienta y debe disipar 90 kJ de calor al aire que la rodea. Calcular el tiempo que se puede usar la batería antes de que se deba recargar.

3.26 Un cilindro cuyo volumen es 2 pie3 contiene 1,5 lb de un gas a 20 psia y 60 °F. el gas se comprime en un proceso de cuasiequilibrio hasta 120 psia de forma tal que

P (en psia) = constante – 100 V donde V está expresado en pie3. Su temperatura final es de 30 °F.

La energía interna del gas está dada por: u (en Btu/lb) = 0,20 t con t en grados Fahrenheit. Dibujar un diagrama P-V y calcular:

a. La transferencia de calor.b. El cambio de la entalpía por libra de gas.

3.27 A través de un aparato que opera en condiciones de estado estable flujo estable se realizan 70 kJ de trabajo por cada kilogramo de fluido que pasa a través de él. La tubería de entrada está locali-zada 20 m sobre el piso y en este punto el volumen específico de la sustancia es 3 m3/kg, su presión es 300 kPa y la velocidad con que se desplaza es 50 m/s. La tubería de descarga está localizada 15 m bajo el piso y en este punto la sustancia tiene un volumen específico de 9 m3/kg, una presión de 60 kPa y una velocidad de 150 m/s. La pérdida de calor del fluido es de 3 kJ/kg. Determinar el cambio en la energía interna que experimenta la sustancia.

3.28 En un tanque aislado se encuentran almacenados 0,50 kg de gas con una energía interna de 260 kJ/kg. Por medio de una válvula se le suministra gas con una energía interna de 260 kJ/kg y una entalpía de 350 kJ/kg, hasta cuando la masa total dentro del tanque sea de 1,0 kg. Calcular la energía interna final del gas dentro del tanque.

3.29 Un fluido se expande en una turbina en condiciones de estado y flujo permanentes. El fluido ingresa a la turbina por una tubería de 10 pulgadas de diámetro a 13 m/s. En el punto de entrada, la entalpía del fluido es de 2.400 kJ/kg y el volumen específico de 0,34 m3/kg. En el punto de salida, la tubería tiene 5 pulgadas de diámetro y el


82

fluido sale con una entalpía de 2.100 kJ/kg y con un caudal de 22,62 l/s. Despreciando la transferencia de calor:a. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del trabajo involucrado en

este proceso?b. ¿Cuál es la densidad del flujo a la salida?c. ¿Cuál es el error que se comete si se considera que el cambio en

la energía cinética es despreciable?3.30 Se desea producir 40 l/s de vapor de agua a 350 °C en un evaporador

provisto de una resistencia eléctrica. Al evaporador se alimentan 8,5 kg/s de agua líquida en la siguiente condición: t = 350 °C, P = 16,13 MPa, u = 1.641,9 kJ/kg, s = 3,7777 kJ/kg K.

El agua entra al evaporador con una velocidad de 4,2 m/s por una tubería de 2 pulgadas de diámetro. Al evaporador se entregan 2.500 kW de energía eléctrica y este disipa 420 kW de calor al ambiente. El vapor sale por una tubería de 6 pulgadas, ubicada 8 metros por arriba de la tubería de entrada. La eficiencia del evaporador es del 78%. Calcular la entalpía, la entropía y el volumen específico a la salida del evaporador.

3.31 El trabajo realizado por un sistema cerrado que experimenta un proceso de transformación reversible es de 15 kJ, y el calor que se le agrega es de 5 kJ. Determinar si el cambio de entropía para el sistema es:a. Positivo.b. Negativo.c. Puede ser positivo o negativo.

3.32 Un sistema cerrado efectúa un proceso durante el cual el cambio de entropía para el sistema es 18 kJ/K. El sistema recibe 6.000 kJ de un depósito de calor a 300 K. Determinar si el proceso es reversible, irreversible o imposible.

3.33 Un sistema cerrado efectúa un proceso mediante el cual elimina calor. ¿Se puede regresar el sistema a su estado inicial mediante un proceso adiabático? Justificar la respuesta.

3.34 En un arreglo cilindro pistón se realiza un proceso isotérmico re-versible a 25 °C en el cual el volumen del sistema se duplica sin que cambie su energía interna. Determinar el trabajo desarrollado por el sistema en kJ/kg si la relación que existe entre la entropía y el volumen para un sistema cerrado se puede expresar como

s = so + 0,29 × ln v donde s queda expresado en kJ/kg K si v está dado en m3/kg y so es

una constante.

83


3.35 Se efectúa un proceso en un dispositivo que opera de acuerdo con el modelo de estado estable flujo estable. El trabajo desarrollado es de 50 Btu y la cantidad de calor cedido es de 10 Btu. Determinar si el cambio de entropía del fluido es:a. Positivo.b. Negativo.c. Puede ser positivo o negativo.

3.36 Un gas se expande reversible e isotérmicamente a 25 °C, sin que cambie su entalpía, en un dispositivo que opera en estado perma-nente. La presión del gas a la salida es igual a la tercera parte de la presión a la entrada. Los cambios en energía cinética y potencial son despreciables. ¿Qué potencia en kW desarrolla el dispositivo si el flujo másico es de 50 kg/s? La relación entre la entropía y la presión del gas es: s = so + 0,29 × ln P donde s está dada en kJ/kg K, P está dada en kPa.

3.37 Se enfría un fluido en un intercambiador de calor que opera en flujo permanente y que elimina calor al ambiente a 25 °C. El fluido entra con una entalpía de 2.326,1 kJ/kg y una entropía de 7.508 kJ/kg K. A la salida los valores de estas propiedades son respectivamente 162,5 kJ/kg y 0,555 kJ/kg K. Demostrar que este proceso de trans-ferencia de calor es irreversible.

3.38 En un sistema cerrado a temperatura constante hay vapor de agua con las siguientes propiedades: P = 16 bar, t = 350 °C, v = 0,17456 m3/kg, h = 3.145,4 kJ/kg.Durante el proceso se realiza un trabajo de 100 kJ/kg sobre el vapor por medio de una rueda de paletas dentro del tanque. En un instan-te dado se transfieren 12,7 kJ/kg de calor a los alrededores. Si la eficiencia es del 72% calcular:a. La energía interna al final del proceso.b. El cambio de entropía del vapor de agua.c. El trabajo perdido.

4. Consecuencias de la segunda ley de la termodinámica

El balance de materia y de energía no es suficiente para analizar muchos sistemas y procesos termodinámicos, debido a que la naturaleza ha impues-to sobre la conversión y la transferencia de energía ciertas restricciones adicionales.El tratamiento de estas restricciones se ha facilitado por la introducción del concepto de entropía y la segunda ley de la termodinámica, que permiten establecer si un proceso puede realizarse o no y con qué eficiencia se lleva a cabo la transformación energética.

4.1 Postulados de la segunda ley de la termodinámica Las observaciones de las transformaciones en la naturaleza, referidas a la unidireccionalidad de los procesos que en ella ocurren, están incorporadas en el enunciado de que todos los procesos espontáneos se desarrollan de tal forma que la entropía del universo nunca disminuye. Las consecuen-cias de este enunciado son conocidas con el nombre de segunda ley de la termodinámica.Esta ley se ha postulado en formas muy diversas, pero todas son equivalentes entre sí. Sin embargo, ninguna de las formulaciones puede derivarse de ninguna otra ley de la naturaleza. Por tanto, la segunda ley de la termodi-námica (al igual que la primera) mantendrá su validez hasta el momento en el cual se descubran procesos que no puedan ser explicados por estas leyes.Los numerosos enunciados de la segunda ley pueden ser considerados como variaciones de dos premisas básicas:— Ningún dispositivo puede operar continuamente en forma tal que su

único efecto sea la conversión completa de calor en trabajo. Este es conocido como el enunciado Kelvin Planck de la segunda ley.

— Es imposible la transferencia espontánea de calor desde un cuerpo a una temperatura dada hacia otro de temperatura superior. Este constituye el enunciado de Clausius.

85


Si se acepta uno de los postulados, todos los demás pueden demostrarse a partir de él.Aunque los postulados anteriores muestran la imposibilidad de transformar completamente en forma continua energía térmica en mecánica, en la prácti-ca esta transformación puede llevarse a cabo, al menos parcialmente, median-te un dispositivo conocido como máquina térmica. De la misma manera se puede transferir calor de un cuerpo a baja temperatura a otro a temperatura alta con la intervención de un dispositivo conocido como refrigerador, el cual requiere para operar el suministro de un trabajo mecánico.

4.2 Máquinas térmicas Una máquina térmica es un arreglo de equipos que operando en forma cíclica y continua transforma parte de la energía térmica que recibe en energía mecánica. La representación esquemática de una máquina térmi-ca operando entre una temperatura alta (Tc) y una temperatura baja (TF) constantes, puede verse en la figura 4.1, y algunos ejemplos de máquinas térmicas son la planta de generación termoeléctrica (véase figura 1.2) y los motores de combustión interna (ciclos de Otto y de Diesel).

Figura 4.1 Representación esquemática de una máquina térmica

Para medir la calidad del funcionamiento de una máquina térmica se utiliza el concepto de eficiencia térmica definida como la relación entre el trabajo neto producido y la cantidad de calor suministrado

(4.1)

Si se realiza un balance de energía a la máquina térmica de la figura 4.1 se obtiene

luego

TC

QC

WN

QF

TF

MT


86

y reemplazando en la ecuación 4.1

(4.2)

Este resultado es aplicable a cualquier máquina térmica sea esta reversible o no. En el caso particular de una máquina completamente reversible, el balance de entropía (teniendo en cuenta que la temperatura de los focos permanece constante) lleva al siguiente resultado

luego

y remplazando esta última relación en la ecuación 4.2 se obtiene

(4.3)

La ecuación 4.3 establece que la eficiencia de una máquina térmica re-versible depende solamente de la temperatura de los focos con los cuales intercambia calor y no depende de las características de la sustancia de trabajo que opera en el interior de la máquina.Como puede observarse la eficiencia térmica nunca puede ser del 100%, porque esto implicaría o entregar calor a un foco a temperatura de cero absoluto o recibir calor de un foco a temperatura infinita.Vale la pena resaltar que los focos con los cuales la máquina intercambia calor son cuerpos cuya temperatura permanece constante a medida que se da el intercambio de calor y además, el proceso de transferencia de calor se considera reversible. En la naturaleza los cuerpos que más se aproximan a estas características deben ser de gran tamaño como: la atmósfera, el océano y los grandes ríos.

Ejemplo 4.1Una planta termoeléctrica que opera entre una fuente de calor a 850 °C y una descarga (depósito) de calor a 110 °C opera con una eficiencia de solo el 48% de la eficiencia ideal.a. ¿Cuál debe ser la velocidad de transferencia de calor hacia la planta si se

quiere generar una potencia de 1000 MW? ¿Cuál debe ser la velocidad a la cual se descarga calor de la planta?

b. Realizar el mismo cálculo anterior considerando una máquina ideal.

Solucióna. La eficiencia térmica ideal se puede calcular como

87


La eficiencia real de la planta será

y por definición

y por tanto

El calor que sale de la planta se puede calcular como

b. Si la máquina térmica es ideal

y

4.3 Refrigeradores y bombas de calor Los refrigeradores y las bombas de calor son dispositivos que operan en sentido inverso al de las máquinas térmicas y por tanto pueden, mediante el suministro de trabajo, extraer calor de un foco de baja temperatura y transmitir calor a un foco de alta temperatura.Cuando el propósito del dispositivo es mantener un espacio a baja tempe-ratura mediante la extracción de calor recibe el nombre de refrigerador. Si el objetivo es mantener un espacio a alta temperatura se tiene una bomba de calor. Una representación esquemática puede verse en la figura 4.2.Aunque la representación y el principio de funcionamiento son el mismo para un refrigerador y una bomba de calor, el diseño mecánico y estructural es diferente debido a que los objetivos son diferentes.Teniendo en cuenta el objetivo del refrigerador, se define el coeficiente de operación como la relación entre el calor extraído del depósito frío y el trabajo suministrado

(4.4)

Al igual que en una máquina térmica, si se reemplaza en términos de y de acuerdo con el balance de energía, entonces

(4.5)


88

Si se trata de un refrigerador reversible

(4.6)

Ejemplo 4.2Se desea que un refrigerador elimine 8,4×105 kJ/h de calor de un cuerpo frío. Si el coeficiente de funcionamiento del refrigerador es de 3,5, ¿cuál es la potencia con que se debe alimentar el refrigerador? ¿Cuál es la velocidad a la cual el refrigerador debe entregar calor al ambiente?

SoluciónDe la definición de coeficiente de funcionamiento para un refrigerador (véase la ecuación 4.4)

= 240.000 kJ/hDel balance de energía

C = F + neto

C = 1,08 × 106 kJ/hLa bomba de calor tiene como propósito mantener un depósito a alta tem-peratura, luego su coeficiente de operación está definido como la relación entre el calor suministrado al depósito y el trabajo neto

(4.7)

y de acuerdo con el balance de energía se obtiene

(4.8)

Figura 4.2 Representación esquemática de un refrigerador y de una bomba de calor

TC

QC

WN

QF

TF

MT

89


Si la bomba de calor es reversible

(4.9)

Ejemplo 4.3Una bomba de calor proporciona 14 kJ/s para mantener una habitación a 25 °C y recibe calor del exterior a –8 °C. Si el coeficiente real de funciona-miento es 50% del correspondiente a una bomba de calor ideal que opera entre las mismas temperaturas, ¿cuál es la potencia real necesaria para operar la bomba?

SoluciónEl coeficiente de funcionamiento ideal de la bomba de calor está dado por

El coeficiente de funcionamiento real es entonces(COP)real = 0,5 (COP)ideal = 4,515y de la ecuación 4.7

Contrario a la eficiencia de una máquina térmica que nunca puede ser igual o mayor que uno, en una bomba de calor o en un refrigerador el coeficiente de operación puede ser mayor que uno, sin embargo, el coefi-ciente de operación del dispositivo reversible siempre será mayor que el real, funcionando entre los mismos focos de temperatura.

Problemas propuestos 4.1 Una máquina térmica que opera en un ciclo reversible recibe energía

de un depósito de calor a 1.500 °C y cede calor a un depósito a 40 °C. Calcular el cambio de entropía de los depósitos y del universo si por cada ciclo la máquina realiza un trabajo de 5.000 kJ.

4.2 Una máquina térmica que opera en un ciclo recibe calor de un depósito a 2.000 K y cede calor a un depósito a 300 K.

Determina si la máquina es reversible, irreversible, o imposible para cada uno de los siguientes casosa. Qf = 50 J, Ws = 1.500 J

b. Qc = 2.000 J, Qf = 300 J c. Qc = 1.000 J, Ws = 900 J4.3 Dos refrigeradores reversibles están conectados en serie. El primero

toma calor de un depósito frío a TF y descarga calor a 10 °C. El se-


90

gundo refrigerador absorbe el calor eliminado por el primero a 10 °C y descarga al medio ambiente que se encuentra a 25 °C.a. Si se desea que ambos refrigeradores tengan el mismo coeficiente

de funcionamiento, ¿cuánto debe valer TF?b. Si se desea que ambos refrigeradores consuman la misma cantidad

de trabajo, ¿cuánto debe valer TF?4.4 Dos máquinas térmicas que operan en ciclos de Carnot están colo-

cadas en serie. La máquina A, recibe calor a 1.200°F y descarga a un depósito con una temperatura T. La máquina B, recibe el calor que descarga la primera y a su vez descarga calor a un depósito que está a 60 °F. Calcular la temperatura T para el caso en quea. Los trabajos de las dos máquinas sean iguales.b. Las eficiencias de las dos máquinas sean iguales.

4.5 Durante mucho tiempo se ha propuesto generar potencia eléctrica aprovechando la diferencia de temperatura que se presenta en cier-tas partes del mar. Si la máxima temperatura disponible cerca de la superficie del océano es de 30 °C y la mínima, cerca del fondo, es de 5 °C, ¿cuál es la eficiencia máxima que puede tener una máquina de esta naturaleza?

4.6 Una persona asegura haber desarrollado una máquina térmica que aprovecha la diferencia de temperatura que se da en el océano (30 °C y 5 °C) y dice que puede producir 100 kJ de trabajo a partir de 1.000 kJ de calor que se agreguen en cada ciclo. Verificar si puede ser verdad.

4.7 Una máquina térmica reversible que toma energía de un depósito de alta temperatura TC y elimina calor a los alrededores a TO, se utiliza para operar un refrigerador (también reversible). El refrigerador toma calor de un cuerpo frío a TF y elimina calor a los mismos alrededores a TO. Demostrar que el cociente del calor eliminado del cuerpo frío (QF) y el calor proporcionado a la máquina térmica (QC) se aproxima a TF/(To–TF) si TC es un valor mucho mayor que TO.

4.8 Una máquina térmica reversible intercambia calor con tres depósitos y produce una cantidad de trabajo de 400 Btu. El depósito A tiene una temperatura de 800 °R y suministra 1.200 Btu a la máquina; si los depósitos B y C tienen temperaturas de 600 y 400 °R respectivamente. ¿qué cantidad de calor en Btu intercambia cada uno con la máquina? ¿Cuál es la dirección de los intercambios de calor con respecto a la máquina?

4.9 Si para hacer funcionar un refrigerador cuyo coeficiente de operación es 4, se emplea una máquina térmica con una eficiencia del 40%, ¿qué cantidad de calor se debe proveer a la máquina térmica por cada kilo joule que se sustrae del cuerpo frío mediante el refrigerador?

91


4.10 El arreglo mostrado en la figura 4.3 se puede utilizar para producir calor del proceso a alta temperatura. Si la eficiencia térmica de la máquina real es el 60% de la eficiencia de la máquina reversible y el coeficiente de funcionamiento real de la bomba de calor es el 60% del coeficiente de la bomba de calor reversible. Determinar la cantidad de calor que se requiere de la fuente a 373 K para producir cada unidad de calor a 425 K.

Figura 4.3 Obtención de calor mediante una fuente de baja temperatura, para el problema 4.10

4.11 Para mantener un edificio a 22 °C se requiere suministrar 85.000 kJ/h de calor. Cuánta potencia requiere una bomba de calor de Carnot si absorbe calor de

a. La atmósfera a –5 °C. b. Agua de un pozo a 8 °C.4.12 Una máquina térmica recibe 250 kJ de calor reversiblemente de un

depósito de calor a 1.200 K. Luego, mediante un proceso adiabático reversible de expansión se reduce la temperatura del sistema a 300 K. Posteriormente se transfieren en forma reversible 180 kJ de calor a un sumidero que se encuentra a 300 K. El ciclo se completa mediante un proceso adiabático de compresión. Determinar si la compresión adiabática es reversible, irreversible o imposible.

4.13 Se hace pasar una corriente eléctrica de 20 A por una resistencia de 50 ohmios que se mantiene a 100 °C. la energía disipada por la resistencia la recibe el aire de los alrededores, que permanece a 25 °C. Si el proceso transcurre durante 2 horas. ¿Cuánta entropía se produce (en kJ/kg K)?

4.14 Una máquina térmica y un refrigerador están conectados como se muestra en la figura 4.4. La máquina térmica tiene una eficiencia de solo el 81% de la eficiencia ideal y el refrigerador tiene un coeficiente de funcionamiento de sólo el 86% del coeficiente de funcionamiento de un refrigerador ideal. Calcular:

373 K

425 K

Q1

W

300 K

MT BC

Q2 Q

QP


92

a. El trabajo que sale de la máquina térmica.b. El flujo de calor del depósito de alta temperatura hacia la máquina

térmica.c. El flujo de calor y la temperatura de descarga del refrigerador.

Figura 4.4 Conexión entre una máquina térmica y un refrigerador, para el problema 4.14

4.15 Se desea mantener refrigerado un depósito a –30 °C mediante la extracción de 1.500 kW de calor. Para esta operación se utiliza un refrigerador que descarga calor al ambiente (el cual está a 25 °C) y que tiene un coeficiente de funcionamiento de solo el 62% del coefi-ciente de funcionamiento del refrigerador ideal que opera entre las mismas temperaturas. El refrigerador recibe trabajo de una máquina térmica reversible que recibe calor de un depósito de alta temperatura y deposita 500 kW de calor al ambiente. Calcular:a. El flujo de calor descargado del refrigerador.b. El flujo de calor y la temperatura del depósito de alta temperatura

hacia la máquina térmica.c. Si en lugar de una máquina térmica reversible se tiene una con

una eficiencia del 71% de la eficiencia máxima, ¿cuál debe ser el flujo de calor de la fuente de alta temperatura hacia la máquina térmica?

TC 80 ºC

- 6 ºC–

R MT

Q = 812 kWQ = 580 kW

5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras mediante diagramas y tablas

En este texto solo se presentan procesos en los cuales la sustancia de trabajo es una sustancia pura, es decir, que tiene una composición química definida la cual no varía durante la transformación. Algunos ejemplos son: agua, dióxido de carbono, amoníaco, oxígeno y aire seco. En este último caso se considera como una sustancia pura porque siempre tendrá una composición fija de 21% de oxígeno y de 79% de nitrógeno.En el análisis de procesos es necesario determinar el estado termodinámico de las sustancias y esto se logra mediante el conocimiento de un cierto número de propiedades. En este punto es indispensable conocer, en cada caso, cuál es el mínimo número de propiedades que determinan el estado termodinámico, esto se logra mediante la aplicación de la regla de las fases.

5.1 Reglas de las fases de GibbsEsta regla establece que el número de propiedades intensivas indepen-dientes que deben especificarse arbitrariamente para fijar el estado ter-modinámico de un sistema en equilibrio se llama grados de libertad y es la diferencia entre el número total de variables que se tiene y el número de ecuaciones independientes que relacionan estas variables. J. W. Gibbs dedujo mediante racionamiento teórico la siguiente relación

L = 2 – F + C – r (5.1)en la cual L es el número de grados de libertad, F es el número de fases en equilibrio, C es el número de componentes y r indica las restricciones (generalmente asociado al número de reacciones químicas presentes). Para el caso de una sustancia pura C = 1 y r = 0, luegoL = 3 – F (5.2)De la ecuación 5.2 se puede deducir que para una sustancia pura el número máximo de fases que pueden coexistir en equilibrio es tres. En este caso no hay grados de libertad y las condiciones son únicas.

5.2 Relaciones fundamentales para una sustancia puraDe acuerdo con la regla de las fases el estado termodinámico de una sustancia pura en una fase queda determinado conociendo dos variables intensivas,


94

esto significa que cualquier propiedad puede evaluarse como una función de las dos propiedades conocidas. Esto es

Z = f (X, Y) (5.3)

En la cual X, Y, Z representan propiedades. En particular para las propie-dades que ya se conocen

u = f (T, v)s = f (u, P)h = f (s, T)

(5.4)

Estas relaciones definen estados de equilibrio y se conocen como ecuaciones de estado. Para una cantidad fija de una sustancia pura que experimenta un cambio de estado reversiblemente, el balance de energía en forma diferencial esdu = δqneto – δwneto

y el balance de entropía es

y reemplazando en el balance de energíadu = T ds – δwneto

y con δw de la ecuación 4.2 quedadu = T ds – P dv (5.5)Además, por definiciónh = u + Pvy entoncesdh = du + P dv + v dPpor tantodh = T ds + v dP (5.6)Aunque las ecuaciones 5.5 y 5.6 fueron deducidas para el caso de un proceso reversible, el resultado muestra una relación entre propiedades de estado, y por tanto son válidas también para procesos irreversibles y se pueden aplicar siempre que se requiera evaluar la variación de la energía interna o de la entalpía conociendo las variaciones de la entropía y el volumen o de la entropía y de la presión respectivamente.Se pueden definir otras propiedades útiles (como se verá más adelante), llamadas energía libre de Gibbs (G) y energía libre de Helmholtz (A), asíg = h – T s (5.7)a = u – T s (5.8)y en forma diferencialdg = dh – T ds – s dTda = du – T ds – s dTreemplazando las ecuaciones 5.5 y 5.6

95

5. Cálculo de las propiedades de sustancias puras...

dg = v dP – s dT (5.9)da = –P dv – s dT (5.10)Las ecuaciones 5.5, 5.6, 5.9 y 5.10 se conocen como ecuaciones funda-mentales de la termodinámica porque a partir de ellas se puede generar cualquier relación termodinámica.

5.3 Superficie P-v-T y diagramas de propiedadesComo se dijo anteriormente, la presión, el volumen y la temperatura son propiedades de medición directa y por tanto se pueden realizar una serie de experiencias que permiten establecer cómo están relacionadas estas propie-dades en las distintas fases y en equilibrio entre ellas. Los resultados obtenidos se pueden representar en coordenadas rectangulares obteniendo lo que se conoce como superficie P-v-T. Las condiciones bajo las cuales dos o más fases de una sustancia pura pueden coexistir en equilibrio reciben el nombre de condiciones de saturación. En estos puntos la presión y la temperatura se conocen como presión de saturación y temperatura de saturación. Es importante recordar, de la regla de las fases, que al especificar la presión (o la temperatura) y la condición de saturación se determinan las otras propiedades intensivas de las fases involucradas. Cualquier fase de una sustancia que exista bajo estas condiciones se conoce como fase saturada. Por ejemplo, en el equilibrio de un líquido con vapor de una sustancia, a estas fases se les llama líquido saturado y vapor saturado respectivamente.Mucho más útiles que la superficie P-v-T en tres dimensiones son los dia-gramas bidimensionales que se pueden obtener como proyecciones de la superficie P-v-T sobre cada uno de los planos.

5.3.1 Diagrama presión-temperatura (diagrama de fases)En este diagrama se pueden apreciar varias características de las sustancias puras (véase figura 5.1).Aunque para la mayoría de las sustancias la temperatura de congelación aumenta a medida que aumenta la presión, de forma que la curva de satu-ración sólido líquido (línea de fusión) tiene pendiente positiva, para el agua y otras para sustancias que se expanden al congelarse, el incremento en la presión disminuye la temperatura de congelación de modo que la línea de fusión tiene una pendiente negativa (véase figura 5.2).Para la mayoría de las sustancias hay cierta presión por debajo de la cual no puede existir el líquido. Por debajo de esta presión las fases sólida y de vapor coexisten en equilibrio y la línea de saturación sólido vapor en un diagrama P-T se conoce como línea de sublimación. Para todas las sustancias, a mayor presión, mayor es la temperatura de sublimación (o en otras palabras, la línea de sublimación siempre tiene pendiente positiva).


96

Figura 5.2 Diagrama de fase de una sustancia que se expande al congelarse

Figura 5.1 Diagrama de fase para una sustancia que se contrae al congelarse

La curva que separa la fase líquida de la fase vapor recibe el nombre de curva de vaporización o curva del punto de ebullición. La pendiente de la curva de vaporización es positiva para todas las sustancias simples compresibles, lo cual significa que la temperatura a la cual el líquido alcanza la ebullición aumenta al incrementarse la presión.El líquido que existe a una temperatura inferior a su temperatura de satura-ción (o a una presión superior a su presión de saturación) se conoce como líquido comprimido o líquido sub-enfriado; por consiguiente, todos los puntos de la región líquida que no están en la línea de saturación líquido vapor o sólido líquido, representan estados de líquido comprimido. De igual forma, un sólido a una temperatura menor que la temperatura de saturación se llama sólido comprimido, y un vapor con una temperatura por encima de la temperatura de saturación se conoce como vapor sobrecalentado.

P

T

Sólido-líquido

Líquido-vapor

Líquido

Sólido-vapor

Sólido

VaporPunto triple

P

T

LíquidoSólido

Vapor

Punto triple

97


El punto en el cual se interceptan las líneas de vaporización, de sublimación y de fusión representa las condiciones a las cuales las tres fases pueden coexistir en equilibrio y recibe el nombre de punto triple. Esta condición está representada por un punto solamente en el diagrama P-T, pero en otros diagramas de propiedades está representado por una línea o por un área. Si una sustancia puede existir en más de tres fases, tiene más de un punto triple.

5.3.2 Diagrama presión-volumen específicoUn diagrama P-v de una sustancia pura se muestra en la figura 5.3. De la misma manera que en el diagrama P-T, los estados sólido, líquido y vapor están representados por distintas regiones en un diagrama P-v. Sin embargo, a diferencia del diagrama P-T el equilibrio de dos fases está representado por un área y el equilibrio de tres fases está representado por una línea. En este diagrama se puede observar que a medida que aumenta la presión, el volumen específico del líquido saturado se incrementa y el del vapor saturado disminuye, de tal forma que al final de la línea de vaporización se hacen iguales y el líquido y el vapor no se pueden diferenciar entre sí. Este punto se conoce como punto crítico. A presiones y temperaturas mayores que la presión y la temperatura crítica las fases líquida y vapor no son distinguibles.

Figura 5.3 Diagrama presión volumen específico

Pb d f

a

c e

V

gh

Sólid

o-líq

uido

Líquido-vapor

Líquid

o

Sólido-vapor

Sólid

o

Vapor

Punto crítico

El área bajo el domo formado por las líneas de líquido saturado y de vapor saturado representa mezclas de líquido y vapor y se conoce en ocasiones como la región de vapor húmedo (esta región se representa, en el diagrama P-T, como la línea de vaporización entre el punto triple y el punto crítico). La línea a-b representa los estados de volumen específico mínimo para el sólido a diferentes presiones, o en otras palabras, el sólido no puede com-primirse más allá de esta línea.


98

Figura 5.4 Domo de vapor en un diagrama P-v con líneas de temperatura constante

El área delimitada por los puntos a-b-c-d representa la región sólida y el área delimitada por los puntos c-d-e-f representa mezcla de sólido y líquido. De acuerdo con la definición de las condiciones de saturación, el líquido a la temperatura de congelación (e-f) podría llamarse líquido saturado, pero esto puede producir confusión con la línea de líquido a temperatura de ebullición. Por tanto, la línea e-f se conoce como línea de líquido en congelación.Por debajo de la presión de tres fases no pueden existir líquidos, el área encerrada por los puntos a-c-e-g-h representa mezclas de sólido y vapor (la línea a-c representa el sólido saturado y la línea g-h representa estados de vapor saturado). La línea c-e-g representa los estados en los que pueden coexistir las tres fases.Debido a la compresibilidad menor del líquido, comparado con el vapor, la pendiente de las líneas de temperatura constante en la región del líquido es mucho mayor que las mismas líneas en la región del vapor (véase figura 5.4). Por otra parte, dado que la vaporización a temperatura constante se efectúa también a presión constante, una línea de temperatura constante dentro de la región de vapor húmedo constituye también una línea de presión constante.

P

V

Líquido-vapor

Líneas detemperatura constante

T >T2 C

TC

T < T1 C

5.3.3 Diagrama temperatura-volumen específicoLa figura 5.5 constituye un diagrama T-v donde se muestra la curva de sa-turación. El comportamiento de la sustancia en la región de líquido vapor es muy semejante al examinado en el diagrama P-v.El espaciamiento de las líneas de presión constante en la región del líquido es mucho más pequeño que en la región de vapor. Por esta razón, un estado de líquido comprimido se puede aproximar como un estado de líquido sa-turado a la misma temperatura y se puede observar también que el cambio

99


Figura 5.5 Diagrama T-v

de volumen a temperatura constante, debido a un cambio de presión, es mucho mayor para un vapor que para un líquido. Esto es debido a que el vapor es mucho más compresible que el líquido.

5.3.4 Diagrama temperatura-entropíaAdemás de la superficie P-v-T y de sus proyecciones a cada uno de los pla-nos, se pueden establecer diagramas de otras propiedades que son útiles en aplicaciones específicas de ingeniería. Uno de estos es el diagrama T-s (véase figura 5.6). Por lo general, en estos diagramas se indican las líneas de presión constante y las líneas de entalpía constante lo cual hace que este diagrama sea sumamente útil.

T

V

P > P4 C

P < P3 C

P < P2 3

P < P1 2

PC

Líquido-vapor

Líneas de entalpía constante

T

S

Líneas de presión constante

Figura 5.6 Esquema de un diagrama T-s para una sustancia pura

Dado que, como se explicó antes, el área bajo la trayectoria que representa un proceso cuasi estático en un diagrama T-s constituye la cantidad de calor suministrada durante el proceso, en el caso de un ciclo reversible (formado por varios procesos reversibles), la transferencia de calor neta


100

Figura 5.7 Diagrama h-s o diagrama de Mollier

durante el ciclo está dada entonces por el área encerrada por los procesos y de acuerdo con el balance de energía, esta área representa también el trabajo neto desarrollado durante el ciclo. Es por esta razón que el diagrama T-s adquiere gran valor para el estudio de ciclos.

5.3.5 Diagrama entalpía-entropíaUn esquema de un diagrama h-s (también llamado diagrama de Mollier en honor a su creador) se muestra en la figura 5.7. Dado que el diagrama de Mollier contiene información de utilidad para la mayoría de los análisis de ingeniería, su uso es bastante común. En especial, se facilita mucho el es-tudio de dispositivos tales como toberas, difusores, compresores, turbinas e intercambiadores de calor.

5.3.6 Diagrama presión entalpíaEn la figura 5.8 se muestra un diagrama P-h. Este diagrama es de gran utilidad en el estudio de ciclos de refrigeración, ya que en él, varios de los procesos ideales que forman tales ciclos quedan representados por líneas rectas.Las líneas de temperatura constante en la región del líquido son prácti-camente verticales dado que el efecto de la presión en la entalpía es des-preciable para un líquido. En la región de vapor, las líneas de temperatura constante tienen una pendiente muy pronunciada, acercándose a la vertical en la región de baja presión. Esto se debe a que en un vapor a baja presión esta no afecta a la entalpía. (Este aspecto se estudiará con mayor detalle cuando se muestre el comportamiento de los gases ideales).

5.4 Calidad y humedad Como lo define la regla de las fases para una sustancia pura, si se establece una propiedad y la condición de saturación entonces las otras propieda-

h

S

Líneas de presión constante

Punto crítico

Líneas detemperaturaconstante

101


des de las fases involucradas quedan determinadas. Pero las propiedades de la mezcla total no pueden ser especificadas a menos que se conozcan las cantidades de cada una de las fases presentes. En efecto, suponga que el volumen ocupado por el vapor saturado en una mezcla sea Vg y que el volumen ocupado por el líquido saturado sea Vf, entonces el volumen total de la mezcla está dado porV = Vf + Vg (5.11)y en términos de volúmenes específicosV = Mf vf + Mg vg (5.12)en la cual Mf y Mg son la masa del líquido saturado y del vapor saturado respectivamente.Es claro que se necesita conocer Mf y Mg (además de vf y vg) para determinar el valor del volumen de la mezcla.La ecuación 5.12 se puede escribir como

(5.13)

en la cual v es el volumen específico de la mezcla y M es su masa. El co-ciente de la masa del vapor entre la masa total recibe el nombre de calidad de la mezcla x.

(5.14)

combinando las ecuaciones 5.13 y 5.14 se obtiene

v = vf (1 – x) + vg x (5.15a)

o bien v = vf +( vg – vf) x = vf + x vfg (5.15b)

en la cual, vfg = vg – vf

Figura 5.8 Domo de vapor en un diagrama P-h

P

h



Líneas deentropíaconstante

Punto crítico


102

La relación entre la masa del líquido y la masa total se llama humedad de la mezcla (Y)

(5.16)

Un líquido saturado que no esté en presencia de vapor tiene entonces x = 0 y Y = 1.De igual manera, un vapor saturado sin presencia de líquido se caracteriza porque x = 1, Y = 0 (a esta condición se le llama en ocasiones vapor satu-rado seco). Se ve claramente entonces, que el valor mínimo de la calidad y de la humedad es cero. Los conceptos de calidad y humedad no tienen sentido por fuera de la región de equilibrio de fases líquido vapor.De forma similar a la ecuación 5.12 se pueden escribir las otras propiedades de una mezcla de dos fases de una sustancia puraU = Mf uf + Mg ug (5.17a)

H = Mf hf + Mg hg (5.17b)

S = Mf sf + Mg sg (5.17c)y en términos de la calidadu = uf (1 – x) + ug x = uf + ufg x (5.18a)

h = hf (1 – x) + hg x = hf + hfg x (5.18b)

s = sf (1 – x) + sg x = sf + sfg x (5.18c)

Ejemplo 5.1En un arreglo cilindro pistón se expanden adiabática y reversiblemente 10 kg de refrigerante R 134a desde una presión de 1 MPa hasta una presión de 0,2 MPa y una temperatura de 12 °C. ¿Cuál es la temperatura inicial del sistema y cuál el trabajo realizado por el refrigerante sobre el pistón y la atmósfera?

SoluciónSe trata de un proceso que ocurre en sistema cerrado sin experimentar cambios en su energía cinética y potencial. Luego el balance de masa es ∆M = M2 – M1 = 0El balance de energía para esta situación es∆U = M (u2 – u1) = – Ws

Balance de entropía∆S = M (s2 – s1) = 0Con las condiciones del estado 2P2 = 0,2 MPa y t2 = 12 °C.En el diagrama P-h del R 134a se pueden leer las otras propiedades:v2 = 0,12 m3/kg, h2 = 262 kJ/kg, s2 = 1 kJ/kg K.Para calcular u2 se debe recordar que

103


u2 = h2 – P2 v2 = 262 – 200 × 0,12 = 238 kJ/kgcomo s2 = s1, entonces con s1 y P1 = 1 MPa queda determinado el estado 1 y se puede leerv1 = 0,024 m3/kg, h1 = 298 kJ/kg, t1 = 67 °Cy calcular u1 = h1 – P1 v1 = 298 – 1.000 × 0,024 = 274 kJ/kgy del balance de energíaWs = 10 kg (274 – 238) kJ/kg = 360 kJLa temperatura al comienzo de la expansión es de 67 °C y el trabajo hecho por el sistema es 360 kJ.

Ejemplo 5.2En la línea de una estación de bombeo de gas, el metano se comprime adia-báticamente desde 500 psia y 77 °F hasta 725 psia, a razón de 2,5 lbm/s. Calcular la potencia requerida en kW y la temperatura del metano a la salida del compresor, si el proceso es reversible.

SoluciónLimitando el volumen de control como se muestra en la figura 5.9, se trata de un sistema abierto que experimenta un proceso de compresión adiabático en estado estable flujo estable.

Figura 5.9 Limitación del volumen de control, ejemplo 5.2

Las bases del análisis son: 1) que las variaciones de energía cinética y po-tencial de la masa que fluye pueden considerarse despreciables y 2) que el proceso es adiabático y reversible. El balance de masa es

Balance de energía:

he puede conocerse pues el estado termodinámico a la entrada está deter-minado con Pe = 500 psia y te = 77 °F.Para determinar hs es necesario determinar primero el estado termodinámi-co a la salida, del cual aparentemente se conoce una propiedad, la presión Ps = 725 psia. Un balance de entropía para ese sistema es

W

e s


104

luegoSe = Ss

Se tiene entonces la otra propiedad ss que define completamente el estado.Con ayuda del diagrama P-h para el metano con Pe = 500 psia y te = 77 °F se lee he = 390 Btu/lbm y se = 1.23 Btu/lbm °R con ss = 1.23 Btu/lbm °R y Ps = 725 psia: hs = 418 Btu/lbm y ts = 120 °F = 48,9 °C.

e = (hs – he) = 2,5 lbm/s (418 – 390) Btu/lbm = 70 Btu/s = 70,38 kWLa potencia requerida es de 70,38 kW y la temperatura con la cual sale el metano del compresor es 48,9 °C.

Ejemplo 5.3Un recipiente rígido cuyo volumen es de 0,5 m3 contiene 80% en volumen de agua líquida y 20% en volumen de vapor a 200 °C. En esas condiciones se bom-bea agua de tal modo que se introducen al recipiente 140 kg. Si la temperatura final del fluido en el recipiente es de 80 °C, ¿cuál es la presión final en kPa?

SoluciónSi se selecciona como volumen de control las paredes del tanque rígido como se aprecia en la figura 5.10, se trata de un sistema abierto, sometido a un proceso de llenado.

Figura 5.10 Volumen de control para el ejemplo 5.3

Para determinar la presión final es necesario, conocer el estado termodi-námico mediante dos propiedades intensivas independientes que son la temperatura y el volumen específico que puede calcularse a partir de la información suministrada.Temperatura final del agua dentro del recipiente tf = 80 °C.Volumen específico final del agua

para conocer la masa final, se hace un balance de masaMf – Mi = Me, Mf = Mi + Me

además se sabe que

Tanque rígido

VálvulaVapor

Agua

105


Mi vi = Vrecipiente

vi se puede conocer, se trata de una mezcla líquido vapor con calidad

Vlíquido = 0,8 Vrecipiente = 0,8 × 0,5 m3 = 0,4 m3

Vvapor = 0,2 Vrecipiente = 0,2 × 0,5 m3 = 0,1 m3

a 200 °C en el diagrama T-s para el agua vf = 2 cm3/g = 2 × 10–3 m3/kgvg = 140 cm3/g = 14 × 10–2 m3/kgCon esto se obtienex = 0,0036vi = (1 – x) vf + vg x = 2,5 × 10–3 m3/kgMi = 200 kgEntoncesMf = 200 + 140 = 340 kgvfinal = 0,5/340 = 1,47 × 10–3 m3/kgcon tf = 80 °C y vfinal = 1,47 × 10–3 m3/kg en el diagrama T-s se puede ver que P es la presión de saturación: 0,5 bar.

5.5 Tablas de propiedades La misma información que reportan los diagramas se puede obtener en forma de tablas de datos. Tanto los diagramas como las tablas de propiedades se construyen a partir de una serie de mediciones experimentales de las variables de medición directa y la ayuda de relaciones entre propiedades (como las ecuaciones 5.5 a 5.10). Debido a que los datos experimentales son (en gene-ral) escasos, se pueden generar valores para otros estados termodinámicos por medio de interpolaciones con la ayuda de métodos numéricos apropiados. La ventaja de las tablas frente a los diagramas es su precisión a costa de un mayor consumo de tiempo para obtener la información. El valor reportado para aquellas propiedades que no se pueden medir en forma directa se obtiene escogiendo un estado de referencia arbitrario para el cual se asigna un valor de cero (generalmente a la energía interna y a la entropía). Por esto, se debe tener cuidado de no mezclar datos de una sustancia obtenidos de distintas fuentes. A diferencia de los diagramas, donde toda la información aparece en ellos, en las tablas la información se muestra sectorizada.— Tabla de saturación: donde aparecen reportadas la temperatura y la

presión de saturación, el valor de las propiedades específicas del líquido saturado (subíndice f) y las del vapor saturado (subíndice g). Esta tabla reporta valores entre el punto triple y el punto crítico.


106

Teniendo en cuenta que en equilibrio de fases la temperatura y la pre-sión son dependientes entre sí, esta tabla puede presentarse teniendo la temperatura o la presión como argumento.

— Tablas de vapor sobrecalentado y líquido comprimido: de acuerdo con la regla de las fases, en esta zona se requiere del conocimiento de dos propiedades independientes entre sí, es por eso que estas tablas son de dos argumentos (temperatura y presión). Conviene recordar que las propiedades del líquido comprimido cambian muy poco con la presión. Solo para altas presiones. A bajas presiones las propiedades se pueden calcular de manera aproximada, suponiéndolas iguales a los valores correspondientes de la saturación a la misma temperatura.

Puesto que la información en las tablas de datos se encuentra dividida por fases, es necesario determinar la fase en que se encuentra una sustancia para así utilizar la tabla apropiada. Para esto se presentan generalmente dos casos:1. Se conocen la temperatura y la presión.

a. En la tabla de saturación se lee la presión de saturación (Psat) a la temperatura conocida, y si

Pconocida>Psat ⇒ Líquido comprimido Pconocida=Psat ⇒ Líquido + vapor Pconocida<Psat ⇒ Vapor sobrecalentadob. Otra manera de determinar la fase es leyendo la temperatura de sa-

turación (Tsat) a la presión conocida, y si Tconocida < Tsat ⇒ Líquido comprimido Tconocida = Tsat ⇒ Equilibrio líquido vapor Tconocida > Tsat ⇒ Vapor sobrecalentado

2. Se conocen la temperatura (o la presión) y una propiedad intensiva π (u, h, v, o s).

En la tabla de saturación a la temperatura (o presión) conocida se lee πf y πg (aquí π representa a cualquiera de las propiedades u, h, v, o s) y si

π < πf ⇒ Líquido comprimido π = πf ⇒ Líquido saturado πg > π > πf ⇒ Líquido + vapor π = πg ⇒ Vapor saturado π > πg ⇒ Vapor sobrecalentado

5.5.1 Interpolación de propiedades tabuladasMuy a menudo, en la solución de problemas, se requiere hacer interpolacio-nes entre valores tabulados con el fin de obtener el valor de las propiedades para condiciones que no aparecen en la tabla de datos. Si los incrementos

107


en variables independientes (temperatura y presión generalmente) son pequeños, se puede emplear la interpolación lineal para obtener datos aceptables (como en el ejemplo 4.9), es decir, si x es la propiedad que se quiere determinar, entonces

(5.19)

En la cual los subíndices 1 y 2 representan dos datos consecutivos de la tabla de datos.Para los casos en los cuales los intervalos no son lo suficientemente pe-queños (como en algunas tablas de vapor sobrecalentado), el cálculo de algunas propiedades (en especial el volumen y la entropía) no arroja buenos resultados si se realiza mediante una interpolación lineal.Para el caso del volumen, se sabe que este es inversamente proporcional a la presión y por tanto, una expresión de interpolación que da mejores resultados que la ecuación 5.19 es

(5.20)

Para el caso de la entropía las expresiones de interpolación que dan mejores resultados son

(5.21)

(5.22)

Ejemplo 5.4En un arreglo cilindro pistón se comprimen 50 kg de amoniaco en forma isotérmica. Al principio de la compresión el amoniaco está a 18 °C y 250 kPa y la presión al final es de 1.200 kPa. Para la compresión se necesitaron 18,5 MJ de trabajo mecánico. Calcular la transferencia de calor y el trabajo perdido durante el proceso.

SoluciónSi se escoge como sistema el amoniaco atrapado en el arreglo cilindro pistón, entonces se pueden escribir los balances de la siguiente manera. Balance de masa ∆Msist = 0; Me = 0; Ms = 0 Balance de energía ∆U = M (uf – ui) = We – Qs



108

e integrando M T (sf –si) = Lw – Qs Para calcular el trabajo perdido se debe determinar primero el trabajo que se hubiera requerido si el proceso se realiza en forma reversible entre los mismos estados inicial y final. Balance de energía del proceso reversibleM (uf – ui) = We, rev – Qs, rev Balance de entropía del proceso reversibleM T (sf –si) = – Qs, rev Se requiere conocer entonces el cambio en la energía interna y la entropía durante la compresión y se requiere primero que todo establecer la fase en la que está el amoniaco en las condiciones inicial y final. Para la condición inicial (de la tabla de saturación) ti = 18 °C ⇒ Psat = 803,66 kPa por tanto se trata de un vapor sobrecalentado. De la misma manera, se puede establecer que al final el amoniaco es un líquido comprimido.Las propiedades al comienzo de la compresión se pueden encontrar en la tabla de vapor sobrecalentado del amoniaco (mediante interpolaciones) vi = 0,5525 m3/kg, hi = 1.503,0 kJ/kg, si = 5,8043 kJ/kg K y se puede calcular ui = 1.503 – 250 × 0,5525 = 1.364,9 kJ/kg.Las propiedades al final de la compresión se pueden evaluar como aproxi-madamente iguales a las del líquido saturado a 18 °C.vf = 0,001631 m3/kg, hf = 265,4 kJ/kg, sf = 1,0112 kJ/kg K y, uf = 265,4 – 1.200 × 0,001631 = 263,4 kJ/kg.Se puede obtenerQs, rev = M T (si –sf) = 50 × 291,15 (5,8043 – 1,0112) = 69,77 MJWe, rev = Qs, rev + M (uf – ui) = 69.770 + 50 (263,4 – 1.364,9) = 14.695 kJpor tanto Lw = Wtotal – Wrev = 3,805 MJy la transferencia de calor del proceso no reversible se calcula así Qs, no rev = Qrev + Lw = 69,77 + 3,805 = 73,58 MJ

Ejemplo 5.5A una válvula de expansión fluyen 6 kg/s de freón-12 a 20 °C y 0,8 MPa y salen a presión atmosférica. Calcular la temperatura y la densidad del freón–12 a la salida de la válvula.

SoluciónEn forma esquemática el proceso se puede representar como se indica en la figura 5.11.Para este caso de sistema abierto en estado estable y suponiendo que los cambios en energía cinética y potencial no son apreciables, entonces

109


Figura 5.11 Volumen de control para el ejemplo 5.5

Balance de masa

Balance de energía. Como se explicó en el ejemplo 3.11 si se considera que el flujo es lo suficientemente rápido y puesto que no se mueve ningún eje, ni los límites del sistema0 = δ ehe – δ shs

he = hs

Balance de entropía. Al igual que en el ejemplo 3.11(Ss – Se) = generada

Las propiedades de salida se pueden conocer con Ps = 0,1 MPa y he = hs. Por otra parte, de la tabla de saturación del freón–12 se obtiene que a 20 °C Psat = 0,5673 MPa o sea que a la entrada se trata de un líquido compri-mido y he ≈ hf = 54.828 kJ/kg. Con estos datos se puede establecer que a la salida de la válvula Ps = 0,1 MPa y hs = 54.828 kJ/kg y de la tabla de saturación se puede leer t = –30 °C y hf = 8.854 kJ/kg y hg = 174.076 kJ/kg (hg > hs > hf).En este punto se puede decir que a la salida el freón-12 es una mezcla de líquido vapor con una temperatura de –30 °C.Para calcular la densidad de salida es necesario conocer primero la calidad en ese punto

con este valor y tomando de la tabla de saturación vf = 6,72 × 10–4 m3/kg y vfg = 0,158703 m3/kg entonces v = vf + vfg x = 0,0451 m3/kg y ρ = 1/v = 22,17 kg/m3.

5.6 Capacidad calorífica Es una propiedad termodinámica de gran utilidad cuando se quieren cono-cer la energía interna u o la entalpía h de las sustancias simples.Recordando que una propiedad cualquiera de una sustancia pura en una fase es función de dos propiedades intensivas independientes; u = u (T, v) y h = h (T, P), se puede escribir la diferencial total para cada una de las propiedades anteriores

Freón 1220 ºC, 0,8 Mpa

Freón 12Patm 0,1 Mpa≈


110

(5.23)

(5.24)

En este punto se pueden definir dos nuevas propiedades termodinámicas

(5.25)

en la cual Cv se llama capacidad calorífica a volumen constante y

(5.26)

donde CP es la capacidad calorífica a presión constante.Las unidades de Cv y CP serán unidades de energía por unidad de masa y dife-rencia de temperatura y se trata de cantidades específicas. También se puede hacer referencia a las capacidades caloríficas por cantidad molar de sustancia y en ese caso se representa con los simbolismos y y las unidades serán energía sobre cantidad de sustancia en moles y diferencia de temperatura.Cuando se tienen dos o tres fases en equilibrio para una sustancia pura P y T no son propiedades independientes y entonces no pueden evaluarse Cv y CP.. Para sustancias puras en fase sólida o líquida la variación de las propiedades por variación de volumen o presión es menos significativa que por variación de la temperatura, entonces Cv = CP = C y es solo función de temperatura.Dado que la capacidad calorífica es una propiedad termodinámica, es por tanto función de dos propiedades intensivas independientes. En fase gaseosa se acostumbra representarla como función de T y P. Físicamente esta propiedad representa la cantidad de energía que es necesa-rio suministrar o retirar a una cantidad determinada de sustancia para variar en un grado su temperatura. A esta cantidad de energía se le denominaba antiguamente “calor sensible”, porque se pensaba que esa energía sólo po-día suministrarse o retirarse en forma de calor, lo cual no es cierto porque también puede ser en forma de trabajo; el término sensible se refiere a que ese intercambio de energía causa un sensible efecto en la temperatura.En condiciones de saturación cualquier suministro de energía a presión constante produce un cambio de fase sin cambiar la temperatura, es por eso que a esta energía se le llamaba “calor latente” dando la idea de que el efecto quedaba oculto.

Ejemplo 5.6Un tanque de calentamiento se alimenta continuamente con hielo picado a –10 °C y 100 kPa. Si se desea obtener vapor a 200 °C y la misma presión, calcular la cantidad de calor que se debe suministrar al agua. Adicionalmente

111


se sabe que la capacidad calorífica del agua sólida es 2,03 J/gK, que la ca-pacidad calorífica del agua líquida es CL = 4,19 J/gK y que el calor latente de fusión del agua es 335 J/g.

SoluciónLos balances de masa y de energía para este sistema abierto en estado estable son (considerando cambios insignificantes en la energía cinética y potencial).Me = Ms 0 = M (he – hs) + Qey por tantoqe = hs – he = hvapor – hhielo = ∆h Se puede entonces conocer la cantidad de calor necesaria si se conoce el cambio de entalpía de todo el proceso, para lo cual este se debe dividir en varias etapas:a. Suministro de calor para pasar de hielo a –10 °C hasta hielo a 0 °C.b. Suministro de energía para el cambio de fase (hasta líquido a 0 °C).c. Aumento de la temperatura del líquido desde 0 °C hasta la temperatura

de saturación a 100 kPa (99,63 °C).d. Cambio de líquido saturado hasta vapor saturado a 100 kPa y 99,63 °C.e. Aumento de la temperatura del vapor desde 99,63 °C hasta 200 °C.O sea queqe = ∆ha + ∆hb + ∆hc + ∆hd + ∆hedonde los subíndices representan cada una de las etapas.La primera etapa se puede calcular utilizando la ecuación 5.24 que para un proceso a presión constante se puede escribir comodh= CP dT y en forma integrada con la capacidad calorífica del sólido constante∆ha = C (T2 – T1) = 2,03 × (0 + 10) = 20,3 J/gLa etapa b es el cambio de entalpía para el cambio de fase y es conocido como el calor latente de fusión∆hb = ∆hfusión = 335 J/gLa parte c se puede calcular utilizando dh= CP dT con la capacidad calorí-fica del líquido constante∆hc = CL (Tsat – Tcongelación) = 4,19 × (99,63 – 0) = 417,4 J/gEl cambio de entalpía del proceso d es el calor latente de vaporización que se puede encontrar en la tabla de saturación del agua a 100 kPa∆hd = hg – hf = hfg = 2.258 J/gPor último, la etapa e se puede hallar de las tablas del vapor de agua sobrecalentado que a 100 kPa ∆he = h200 °C – hsat = 2.875,3 – 2.675,5 = 199,8 J/g.


112

En conclusión, la cantidad de calor necesaria para llevar a cabo el proceso es

qe = 20,3 + 335 + 417,4 + 2.258 + 199,8 = 3.230,5 J/g.

Problemas propuestos 5.1 Se tiene agua en un sistema cerrado a 300 °C con un volumen especí-

fico de 0,015 m3/kg y se expande reversiblemente a presión constante hasta que vf = 2 vi.

a. Hacer un esquema del proceso en el diagrama T-s. b. Calcular la temperatura final. c. Calcular el trabajo y el calor involucrados en el proceso.5.2 Agua con una calidad de 0,5 se expande reversiblemente a tempera-

tura constante de 200 °C en un arreglo cilindro pistón hasta que su volumen sea 4,67 veces el volumen inicial.

a. Hacer un esquema del proceso en los diagramas P-v, P-T y T-s. b. Calcular el trabajo y el calor para realizar el proceso.5.3 Encontrar los valores de entalpía específica del agua para los siguientes

estados: a. P = 0,2 MPa, x = 1. b. P = 0,2 MPa, x = 0,59. c. P = 2,0 MPa, u = 2.900 kJ/kg. d. P = 25 MPa, t = 100 °C. e. P = 25 MPa, t = 110 °C. f. P = 0,1 MPa, t = 25 °C.5.4 Determinar la energía interna del freón–12 para cada uno de los

siguientes casos: a. t = –5 °C, P = 50 kPa. b. t = 25 °C, s = 0,5 kJ/kg K. c. P = 1,0 MPa, h = 220 kJ/kg.5.5 Determinar, para cada uno de los siguientes casos, la densidad del

amoníaco: a. t = –40 °C, P = 98 kPa. b. P = 300 kPa, h = 1.290 kJ/kg. c. P = 240 kPa, s = 6.230 kJ/kg K.5.6 Por un ciclo reversible de cuatro etapas fluye freón–12 de la siguiente

manera: freón–12 a –80 °C y una calidad desconocida se hace pasar por un evaporador hasta obtener una calidad de 0,9, luego el freón se comprime en forma adiabática reversible hasta vapor saturado.

113


En una tercera etapa el freón se condensa hasta líquido saturado. Por último, se expande en forma adiabática reversible hasta llegar al estado inicial.a. Hacer un esquema del ciclo en un diagrama T-s.b. Calcular la temperatura, la calidad y la entropía en cada punto del

ciclo.c. Calcular la transferencia de calor en el evaporador y en el condensador.d. Calcular el trabajo del proceso y el coeficiente de funcionamiento

del refrigerador.5.7 Una máquina térmica que utiliza agua como fluido de trabajo opera

como sigue: el líquido saturado recibe calor a 310 °C hasta alcanzar vapor saturado. Luego el agua sufre una expansión adiabática rever-sible hasta que la calidad sea del 80%. Luego de lo cual, el agua cede calor hasta alcanzar el valor de entropía del estado inicial. Por último, el agua se comprime a entropía constante hasta alcanzar nuevamente el estado inicial.

a. Hacer un esquema del proceso en el diagrama T-s. b. Calcular QC, QF, Wneto y η de la máquina térmica.5.8 Un compresor enfriado por agua cambia el estado del freón–12 desde

vapor saturado a 1 bar hasta una presión de 8 bar y 62 °C. El flujo másico de freón–12 al compresor es de 0,9 kg/min y el agua de en-friamiento absorbe calor a razón de 140 kJ/min. Calcular:a. La potencia que debe ser suministrada en el compresor.b. Si la velocidad del freón-12 no debe cambiar entre la entrada y la

salida del compresor, ¿cuál debe ser la relación entre los diámetros de la tubería de salida y tubería de entrada (ds/de)?

c. Si el agua de enfriamiento disponible está a 25 °C y 85 kPa y debe salir de la camisa de refrigeración como vapor saturado a la misma presión, calcular el flujo másico y el caudal de agua que se necesita.

d. Calcular el costo por hora de operación del compresor teniendo en cuenta que un kWh de energía eléctrica cuesta $50 y un metro cúbico de agua cuesta $540.

e. ¿Cuál es la eficiencia del compresor si se le compara con un com-presor adiabático reversible que opera entre las mismas condiciones de entrada y la misma presión de salida?

5.9 Amoniaco a 250 kPa y 10 °C fluye por una tubería que está conectada, por medio de una válvula, con un tanque vacío. La válvula se abre y el tanque se llena hasta que la presión alcanza 250 kPa. En ese momento la válvula se cierra. Si el proceso es adiabático y se pueden despreciar los cambios en la energía cinética y potencial, calcular la temperatura final del amoniaco dentro del tanque.


114

5.10 Un cilindro con pistón contiene 10 kg de nitrógeno a 0,5 MPa y –163 °C. El pistón se desplaza de tal manera que comprime el nitrógeno a tempe-ratura constante hasta obtener nitrógeno líquido saturado y retirando 2.200 kJ de calor. Calcular:a. El trabajo necesario para la compresión.b. La eficiencia de la compresión si se compara con una compresión

isotérmica reversible entre los mismos estados. 5.11 Se desea comprimir amoniaco de –18 °C y con una calidad del 85% hasta

500 kPa y 60 °C. Para realizar este proceso se utilizan un evaporador y un compresor acoplados en serie. El calentador descarga amoniaco como vapor saturado a una velocidad de 15 m/s a través de una tubería de 10 cm2 de área de sección transversal. El compresor es adiabático y descarga el amoniaco a través de un área de sección transversal de 3,65 cm2. El flujo es estable y se puede despreciar el cambio en la energía cinética en el evaporador pero no en el compresor. Calcular:a. El flujo másico y la velocidad de descarga del compresor.b. El flujo de calor de todo el proceso.c. El trabajo necesario para la compresión.d. La eficiencia de la compresión y la temperatura de salida si se utiliza

un compresor adiabático reversible.e. Si en lugar de un evaporador y un compresor en serie se pudiera

utilizar un solo compresor ideal. ¿Cuál sería el trabajo hecho en ese compresor hipotético?

5.12 En una planta de refrigeración el amoniaco líquido entra a la válvula de expansión a 200 psi y 80 °F. La presión a la salida de la válvula es de 40 psi y los cambios en la energía cinética son despreciables.a. Mostrar el proceso en un diagrama T-s.b. Calcular el incremento en la entropía por kilogramo de amoniaco.

5.13 Una turbina recibe vapor de agua a 7,04 kgf/cm2 y 260 °C. El vapor sale a 0,141 kgf/cm2. El trabajo medido en la salida es de 95,5 kcal/kg de vapor. Hallar la eficiencia de la turbina si se compara con una turbina adiabática reversible.

5.14 Entra vapor de agua a una tobera adiabática a 10 bar y 200 °C con una velocidad de 20 m/s. Las condiciones de salida son 7 bar y 180 °C. Determinar la relación entre los diámetros de tubería de entrada y de salida. (de/ds).

5.15 Se hace pasar agua por un estrangulamiento de tal manera que el agua entra a 40 bar y sale a 0,35 bar y 120 °C.a. Calcular la calidad del vapor que entra al dispositivo de estrangu-

lación.

115


b. Si las velocidades de entrada y de salida son prácticamente iguales, calcular la relación entre área de salida y área de entrada al dispo-sitivo de estrangulación.

5.16 Un bloque de 1 lbm de aluminio a 200 °C se pone en contacto con un bloque de 2 lbm de cobre a 1.000 °C y se les aísla del ambiente, permitiendo que lleguen en forma reversible a un equilibrio térmico. Si para el aluminio CP = 4,8 + 0,00322 T y para el cobre CP = 5,44 + 0,01462 T ( con CP en cal/mol K y T en kelvin), calcular:a. La temperatura final de los bloques.b. El cambio de entropía de cada bloque.

5.17 En un sistema cerrado hay vapor de agua a 16 bar con una densidad de 5,7287 kg/m3. Durante el proceso se realiza un trabajo de 100 kJ/kg de va-por por medio de una rueda de paletas dentro del tanque y se transfieren 12,7 kJ/kg de calor a los alrededores de tal manera que la temperatura permanece constante. Calcular la presión final en el tanque

5.18 Si se considera que el refrigerante más apropiado es aquel que muestra una mayor caída de temperatura para una caída de presión dada en una estrangulación, escoger el mejor refrigerante entre freón–134a, freón–12 y amoniaco si se tiene una caída de presión de 0,5 MPa a través de una válvula aislada y la temperatura de entrada a la válvula es de 25 °C (Considere que las sustancias a la entrada están como líquido saturado y que los cambios en la energía cinética y potencial son despreciables)

5.19 Utilizando los datos de tablas de propiedades para el oxígeno y la defini-ción CP = (∂h/∂T)p, determinar de manera aproximada la capacidad ca-lorífica a presión constante para el oxígeno en los siguientes estados:

a. 101,325 kPa y 180 K. b. 101,325 kPa y 300 K. c. 10 MPa y 180 K. d. 10 MPa y 300 K.5.20 La presión de saturación (presión de vapor) del agua para una tem-

peratura dada se puede determinar con gran precisión en el intervalo de temperaturas de 0 °C a 200 °C mediante la siguiente expresión

en la cual T está en kelvin y Psat es la presión de vapor en atmósferas. Escribir un programa de computadora con esta expresión para calcular

la presión de vapor (hasta tres cifras decimales) en kPa, desde 10 °C hasta 200 °C con incrementos de 10 °C y que calcule los porcentajes de desviación con respecto a los datos de las tablas.

6. Cálculo de las propiedades de los gases ideales

Como se vio anteriormente, se puede expresar una propiedad para una sustancia pura en función de otras dos. Para regiones donde existe una fase simple, la relación entre P, v y T puede expresarse como f (P, v, T) = 0. Esta relación es conocida como ecuación de estado y permite encontrar una de las propiedades en función de las otras dos, por ejemplo v = v (P,T) y

(6.1)

En esta ecuación las derivadas parciales tienen un significado determinado y pueden medirse experimentalmente.La ecuación 6.1 se puede transformar si se definen

(6.2)

en la cual β es el coeficiente de expansión térmica

(6.3)

siendo k el coeficiente de compresibilidad isotérmica. En consecuencia

(6.4)

Esta ecuación constituye una ecuación de estado. De entre todas las fases, la gaseosa permite una descripción cuantitativa relativamente sencilla y en especial aquellos gases que son llamados ideales se pueden modelar mediante relaciones simples. En este capítulo se pre-senta el cálculo de las propiedades y algunos procesos con gases ideales.

6.1 Propiedades de los gases ideales Los gases que se encuentran a bajas presiones y altas temperaturas (puede considerarse que cumplen esta condición las sustancias que se encuentran a presiones por debajo de dos atmósferas y temperaturas inferiores a dos veces Tc o a presiones por encima de dos atmósferas y temperaturas superiores a dos

117

6. Propiedades de los gases ideales

veces la Tc, o sea, que se encuentren alejadas de las condiciones de saturación, se pueden modelar como sustancias que tienen el siguiente comportamiento:— El volumen de las partículas se considera despreciable con respecto al

volumen del recipiente que contiene al gas debido a que la distancia entre ellas es apreciable.

— Las colisiones de las partículas son elásticas entre sí y con las paredes del recipiente.

— No hay atracción o repulsión interna.A estos gases se les denomina gases ideales.

6.1.1 Relaciones P-v-T para gases idealesEn 1662 Boyle realizó las primeras medidas cuantitativas del comporta-miento P-v de una cantidad fija de un gas a una temperatura constante y encontró que el volumen y la presión están relacionados inversamente

,

o sea queP v)T = constanteLa representación de esta relación en un diagrama P-v (véase figura 6.1) corresponde a una hipérbola equilátera en la cual cada una de las curvas es una isoterma y T1 < T2 < T3.

Figura 6.1 Experimento de Boyle: relación entre presión y volumen a tempe-ratura constante

Por tanto

(6.5)

En 1687 Charles y Gay Lussac cada uno trabajando independiente del otro, estudiaron el comportamiento de una cantidad fija de gas a una presión baja

P

V

T3

T2

T1


118

que permanecía constante y encontraron que la temperatura y el volumen tienen una relación directamente proporcional

(6.6)

Reemplazando las ecuaciones 6.5 y 6.6 en la ecuación 6.1 se obtiene

IntegrandoLn v = Ln T − Ln P + Ln Rdonde R es la constante de integración. Luegov P = R T (6.7a)Si se considera que la cantidad fija de gas es una mole, entonces se trata no de volumen específico sino de volumen molar entonces

(6.7b)

Se puede determinarR si se considera que cuando T = T0 = 273,15 K y P = P0 = 1 atm, entonces V0 = 22,415 × 10−3 m3 y (del principio de Avogadro); en consecuencia:

se conoce con el nombre de constante universal de los gases.Las ecuaciones 6.7a y 6.7b, representan distintas formas de la ecuación de estado del gas ideal y de ellas se puede deducir que

= R × PM (6.8)

donde PM es el peso molecular del gas y R es la constante particular del gas.Otras formas de expresar la ecuación de gas ideal sonP V = M R T P V = N T en las cuales M y N representan la cantidad de masa y el número de moles respectivamente.La ecuación de estado de gas ideal también puede obtenerse a partir de la mecánica cuántica.

6.2.2 Relaciones para calcular energía interna (u), entalpía (h) y entropía (s) de gases idealesDe acuerdo con la regla de las fases, la energía interna de una sustancia pura se puede escribir como una función de presión y temperatura. La dependencia de

119


la presión se debe a la existencia de fuerzas intermoleculares y si la sustancia se comporta como gas ideal estas fuerzas no existen y no se requiere ninguna energía para alterar la distancia molecular promedio y por consiguiente tampoco para producir cambios en el volumen y la presión de un gas a temperatura cons-tante. De esto se concluye que la energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura y por tanto la ecuación 6.25 puede escribirse como

y

du = Cv dT (6.9)

como h = u + Pv y para gases ideales Pv = RT entonces h = u + RT. Por tanto, la entalpía de gases ideales también depende solo de la temperatura y la ecuación 6.26 puede escribirse

y

dh = Cp dT (6.10)

Por otra parte, dh = du + R dT y entonces Cp dT = Cv dT + R dT y por tanto

Cp = Cv + R (6.11)

Para calcular la variación de entropía se tienen dos relaciones obtenidas a partir de las ecuaciones 6.5 y 6.6. De la ecuación 6.5

y reemplazando du de acuerdo con la ecuación 6.9 y P/T por R/v entonces

(6.12)

de la misma manera, de la ecuación 6.6 se obtiene

(6.13)

Para integrar las ecuaciones 6.9 a 6.13 es necesario tener en cuenta que las capacidades caloríficas son función de la temperatura y por tanto se debe conocer la expresión de la función para hacer una integración analítica. En general, si el cambio de temperatura no es de gran magnitud, se puede hacer un cálculo aproximado de las integrales considerando que Cp y Cv son constantes en el intervalo de temperatura de interés.

Ejemplo 6.1Un recipiente cerrado, rígido y aislado está ocupado por un gas ideal que tiene una masa molecular de 46 kg/kmol. El gas, que inicialmente se en-


120

cuentra a 50 kPa y 25 °C, recibe trabajo de un motor externo a través de un impulsor montado dentro del recipiente hasta que la presión es de 100 kPa. Se conoce también que para este gas Cp = 0,84 + 0,0075 T con Cp en kJ/kg K y T en kelvin. Calcular la temperatura final del gas y el tra-bajo realizado sobre él.

SoluciónSe trata de un sistema cerrado en un proceso a volumen constante. En este caso los balances de masa y energía son

dusist = δwe

pero en procesos a volumen constantedu = dh − v dPy por tantowe = ∆h − v ∆P Para calcular ∆h es necesario conocer la temperatura final, que para un gas ideal en un proceso a volumen constante es

y por tanto

por otra parte

y el trabajo realizado sobre el gas resultawe = 1.250,5 − 53,89 = 1.196,61 kJ/kg

6.2 Datos tabulados de propiedades de gases ideales Teniendo en cuenta el comportamiento particular de los gases ideales (para los cuales la energía interna y la entalpía son solo función de la temperatura) y utilizando relaciones termodinámicas apropiadas se pueden presentar las propiedades termodinámicas de estos gases en forma de tablas de datos. Esto es útil, por ejemplo, en el caso del aire seco a bajas presiones (en las cuales se puede considerar un gas ideal) por ser esa una sustancia de uso común en procesos químicos.Evidentemente no es necesario tabular la información de las propiedades P-v-T de gases ideales puesto que estas propiedades están relacionadas por medio de la ecuación de estado.

121


6.2.1 Tabulación de la energía interna, la entalpía y la entropía de gases idealesLas tablas de estas propiedades para gases ideales se construyen con respec-to a un estado de referencia Tref y Pref al cual se le asigna arbitrariamente

y por tanto se cumple que href ≈ 0

Se puede calcular entonces la energía interna y la entalpía de un gas ideal con respecto al estado de referencia escogido por medio de las ecuaciones 6.9 y 6.10

Si se conocen Cp y Cv en función de la temperatura se pueden evaluar las integrales del lado derecho de las ecuaciones anteriores y se puede por tanto tabular u y h utilizando la temperatura como argumento.De la ecuación 6.13 se puede obtener el cambio de entropía entre dos estados para un gas ideal

la cual se puede escribir también como

(6.14)

y si se define la propiedad s°

Es evidente que s° es solo función de la temperatura y se puede entonces tabular junto a la energía interna y la entalpía. La ecuación 6.14 se puede escribir como

(6.15)

De esta manera se puede evaluar el cambio de entropía empleando la tabla (para encontrar s°) y la ecuación 6.15.

6.2.2 Presión relativa y volumen relativoDe la ecuación 6.15 para un gas ideal que efectúa un cambio de estado isentrópico


122

o bien

(6.16)

se puede definir presión relativa mediante

(6.17)

como s° es solo función de la temperatura, Pr es función únicamente de la temperatura y se puede tabular.Combinando las ecuaciones 6.16 y 6.17 se obtiene para un proceso isen-trópico

o sea que

(6.18)

en la cual Pr2 corresponde a T2 y Pr1 corresponde a T1. De manera parecida, si se define el volumen relativo como

(6.19)

el cual evidentemente es solo función de la temperatura, se puede demos-trar que para un proceso isentrópico resulta

(6.20)

En las tablas de gases aparece también tabulado el volumen relativo con la temperatura como argumento.

Ejemplo 6.2Un tanque rígido de 0,6 m3 de capacidad contiene aire a 700 kPa y 20 °C. El tanque está provisto de una válvula de alivio que se abre cuando la presión es de 850 kPa y se cierra cuando la presión es de 810 kPa. Si un incendio ocasiona que la válvula se abra, calcular la temperatura del aire cuando se abre la válvula, la cantidad de aire que se pierde durante el incendio y cuánta energía en forma de calor ha recibido el tanque en el momento en que ésta se abre.

SoluciónInicialmente el tanque permanece cerrado y a medida que recibe energía en forma de calor aumenta su temperatura y su presión mientras su volumen específico se mantiene constante. Esta primera parte del proceso ocurre en sistema cerrado. Cuando la presión llega a 850 kPa se abre la válvula

123


y sale aire hasta cuando la presión cae a 810 kPa, momento en el cual se cierra. Se trata de un proceso de vaciado y el sistema es abierto.— Considerando que el aire tiene un comportamiento de gas ideal, se

puede calcular la temperatura en el momento en que se abre la válvula mediante

Con P = 850 kPa, V = 0,6 m3, R = 0,287 kJ/kgK y M es la masa de aire dentro del tanque, que se puede calcular de las

condiciones a las que este se encuentra inicialmente

Luego,

— El aire que se pierde durante el incendio puede calcularse por un balance

de masa para el sistema durante el tiempo que permanece abierta la válvula

Mf − Mi = − Ms

Mi es la masa dentro del tanque a las condiciones de 700 kPa y 20 °C que es la misma a las condiciones de 850 kPa y 82,78 °C.

Mf es la masa dentro del tanque cuando se cierra la válvula a 810 kPa. Si se

puede considerar que el vaciado del tanque se lleva a cabo de tal manera que la temperatura dentro de él permanece constante a 82,78 °C,

Ms = Mi − Mf = 0,24 kg.— Hasta el momento en que se abre la válvula se trata de un proceso en

sistema cerrado. O sea, balance de masa, Me = Ms = 0 ⇒ Mi = Mf, balance de energía M ∆u = QN. Como se trata de un gas ideal, la energía interna es función solo de la temperatura y utilizando la información de la tabla de aire a baja presión

∆u = u2 (355,78 K) − u1 (293 K)

como los valores de temperatura no se encuentran directamente en la tabla es necesario hacer una interpolación lineal


124

∆u = 254,2 – 209,07 = 45,13 kJ/kg QN = 5 × 45,13 = 225,64 kJ

6.3 Procesos reversibles con gases ideales Para una cantidad de gas ideal que experimenta una transformación rever-sible, se pueden estudiar diversos casos.— Procesos a presión constante. El balance de energía es du = δq − δw reemplazando δw de la ecuación 3.2 du = δq − P dv ⇒ δq = du + P dv = dh, luego

q = ∆h = ∫ Cp dT (6.21)

— Si el proceso ocurre a volumen constante entonces du = δq, luego

q = ∆u = ∫ Cv dT (6.22)

— En procesos reversibles a temperatura constante no hay variación de energía interna ni de entalpía y del balance de energía se tiene

(6.23)

— Si el proceso es adiabático reversible, el balance de energía es du = − δw reemplazando du y δw de acuerdo con las ecuaciones 6.9 y 3.2 y teniendo en cuenta la ecuación de estado de gas ideal

(6.24)

Si a la relación Cp/Cv se le denomina γ y de acuerdo con la ecuación 6.11

(6.25)

luego

reemplazando en la ecuación 6.24

125


reordenando

(6.26)

Si se reemplazan los volúmenes en función de la temperatura y la presión en la ecuación 6.26 se llega a

(6.27)

y

P1 v1γ = P2 v2

γ (6.28)

entonces para un proceso adiabático reversible de un gas ideal Pvγ = cons-tante y

(6.29)

En general los procesos internamente reversibles de gases ideales se pueden representar mediante la relación

P v n = constante (6.30)La ecuación 6.30 constituye la representación de un proceso politrópico, el exponente politrópico n toma diferentes valores dependiendo del proceso particular; así: n = 0, proceso a presión constante; n = ∞, proceso a volu-men constante; n = 1, proceso a temperatura constante; n = γ, proceso isentrópico de un gas ideal cuyas capacidades caloríficas son constantes. En las figuras 6.2a y 6.2b se muestran esquemáticamente estos procesos en diagramas P-v y T-s.Combinando la ecuación 6.30 con la ecuación de estado de gas ideal se obtienen las siguientes relaciones para proceso politrópicos

(6.31)

(6.32)

Ejemplo 6.3Se alimentan 2,4 kg/s de aire a un compresor adiabático a 20 m/s con una presión de 1 bar y una temperatura de 27 °C. El aire en la descarga está a 307 °C, 8 bares y con una velocidad de 60 m/s.a. Hallar la potencia necesaria para la compresión.


126

b. Calcular la potencia que se requiere si se utiliza un compresor ideal y se quiere la misma presión de salida del compresor real.

Solucióna. Escogiendo como sistema el aire que está en cada momento en el com-

presor, los balances de masa, energía y entropía se pueden escribir

Con las temperaturas a la entrada y a la salida se puede encontrar en

las tablas de aire el valor que corresponde a la entalpía y con el balance de energía se puede calcular la potencia necesaria para la compresión.

De las tablas de aire A Te ≈ 300 K ⇒ he = 300,19 kJ/kg, a Ts ≈ 580 K ⇒ hs = 586,04 kJ/kg y por tanto

Figura 6.2 Representación esquemática de procesos politrópicos. a. Diagrama P-v. b. Diagrama T-s.

P

V

T

S

n=n=

n=0

n=1

n=1

n=

n=0

a. b.

n=

P

V

T

S

n=n=

n=0

n=1

n=1

n=

n=0

a. b.

n=

127


b. Si el aire se comprime ahora en un compresor adiabático reversible, los balances de energía y entropía son:

Para encontrar la potencia del compresor ideal se debe primero calcular la

temperatura a la cual saldría el aire en ese compresor (Ts, ideal) y después hallar la entalpía de salida del compresor ideal (hs, ideal). El cálculo de la temperatura de salida del compresor ideal se puede hacer de tres maneras:— De la ecuación 6.15

y por tanto con R = 0,287 kJ/kg K y so

300K = 2,5133 kJ/kg K

soTs

= 3,11 kJ/kg K

y de la tabla del aire se puede encontrar (interpolando) que Ts, ideal = 538,8 K— De la ecuación 6.18, para un proceso adiabático reversible

y con Pr, 300 = 1,3860, entonces Pr, Ts =11,088 y de la tabla del aire Ts, ideal = 539,8 K.— Si se supone que CP y Cv son constantes en el intervalo de tempera-

tura, se puede utilizar la relación entre temperatura y presión para procesos politrópicos con n = γ = CP/CV (véase ecuación 6.27).

y como para el aire γ = 1,4, entonces Ts, ideal = 543,4 K. Es evidente que los tres métodos producen resultados muy cercanos

entre sí. Si se toma Ts, ideal ≈ 540 K se puede encontrar que hs, ideal = 544,35

kJ/kg y por tanto Definiendo eficiencia adiabática de un compresor (ηc) como

entonces, para este caso η = 85,5%.

Ejemplo 6.4Por medio de un compresor reversible se comprime aire permanentemente desde 100 kPa y 300 K hasta una presión de 900 kPa. Determinar el trabajo de la compresión por kilogramo de aire para:


128

a. Una compresión isoentrópica.b. Una compresión politrópica con n = 1,3.c. Una compresión isotérmica.Comparar los resultados.

SoluciónEl proceso de compresión obedece al modelo de sistema abierto, flujo es-table estado estable, se puede considerar que la sustancia de trabajo (aire) a esas condiciones de presión se comporta como gas ideal y su capacidad calorífica es función de la temperatura.Las condiciones de entrada al volumen de control y la presión de salida del volumen de control son las mismas para las tres compresiones propuestas y las variaciones de energía cinética y potencial pueden considerarse despreciables.a. Compresor isentrópico: Balance de masa Balance de energía Balance de entropía

Del balance de energía WN = he − hs = −∆hPara calcular la variación de entalpía es necesario conocer la temperatura a la salida.Por tratarse de un gas ideal sometido a un proceso isentrópico la ecuación 6.14 queda

Con ayuda de la tabla de aire se puede obtener s°300 K = 2,5153 kJ/kgK y entonces

con este valor y nuevamente con el uso de la tabla (interpolando) se encuentraTs = 557,72 Ky por tantowN = –(hTs

– hTs) = –(562,79 – 300,19) = –262,6 kJ/kg

Es necesario suministrar 262,6 kJ de energía en forma de trabajo por cada kilogramo de aire que se comprima.b. Compresor politrópico: Balance de masa Balance de energía


129


Durante el proceso hay transferencia de calor a temperatura que varía entre la entrada y la salida, luego este calor no puede calcularse directamente del balance de entropía. En este caso se cumplen las ecuaciones 6.31 y 6.32. Con n = 1,3 se obtiene

wN = −245,34 kJ/kgPara calcular la cantidad de calor liberada durante el proceso, de acuerdo con el balance de energíaqN = hs − he + wN

Utilizando las tablas del aire para calcular la variación de entalpíaqN = 500,21 – 300,19 – 245,34qN = − 45,32 kJ/kgEs necesario durante la compresión politrópica suministrar 245,24 kJ por cada kilogramo de aire que se comprima y se liberan 45,32 kJ en forma de calor.c. Compresor isotérmico: Balance de masa Balance de energía


Como la transferencia de calor ocurre a temperatura constante, del ba-lance de entropía

pero = y por tantoqN = − 300 × 0,287 Ln 9 = − 189,18 kJ/kgluego de la ecuación 6.23 wN = qN = − 189,18 kJ/kgEl compresor isotérmico requiere 189,18 kJ de energía en forma de trabajo para comprimir un kilogramo de aire liberando la misma energía en forma de calor; esto está de acuerdo con la consideración de gas ideal que dice que si no se varía la temperatura no existe variación en energía para la sustancia.


130

Si solo se tiene en cuenta el consumo de potencia del compresor para un flu-jo másico determinado, es más recomendable el compresor isotérmico.

Problemas propuestos6.1 Se expande aire en un arreglo cilindro pistón sin fricción. Al principio

de la expansión el aire se encuentra a 40 °C y 1,5 MPa. El estado final es 62 °C y 1,5 MPa. Calcular el trabajo y el calor involucrados.

6.2 Aire a 350 kPa y 90 °C con una velocidad de 5 m/s se hace pasar por una tobera con el fin de acelerarlo. El aire sale de la tobera a 340 kPa y 50 °C. Calcular la velocidad de salida del gas.

6.3 En un sistema cilindro pistón se comprime aire adiabáticamente desde 1 bar y 16 °C hasta 10 bares y 350 °C.a. Calcular el trabajo necesario para la compresión.b. Calcular el trabajo si la compresión se realiza en forma adiabática

reversible.6.4 Se comprime aire mediante un proceso con un coeficiente politrópico

de 1,3 en un sistema cerrado. El aire inicialmente está a 17 °C y 1 bar y la presión final es de 5 bares. Calcular:a. La temperatura final del aire.b. El trabajo efectuado sobre el gas.c. La cantidad de calor transferida.d. El trabajo necesario para una compresión adiabática reversible.

6.5 Un recipiente cerrado no rígido está ocupado por un gas ideal de un peso molecular de 46 g/mol a una presión de 50 kPa y una temperatura de 25 °C. Se realiza trabajo sobre el gas (mediante un motor externo acoplado a un impulsor montado dentro del recipiente) hasta que la presión alcanza 120 kPa. Se sabe que el proceso es reversible y se cum-ple que T v 0,36 = constante y que para el intervalo de temperaturas involucradas CP = 0,84 + 0,0075 T con T en kelvin y CP en kJ/kg K.

Calcular:a. El trabajo neto realizado sobre el gas.b. La transferencia de calor.

6.6 Demostrar que para un gas ideal, el coeficiente de expansión β (véase ecuación 6.2) es solo función de la temperatura.

6.7 Demostrar que la compresibilidad isotérmica k (véase ecuación 6.3) es solo función de la presión para un gas ideal.

6.8 A un compresor adiabático entran 32 kg/s de gas metano a 1 atm y 135 °C. El metano sale del compresor a 25 MPa y 935 °C. Calcular:a. La potencia necesaria para operar el compresor.b. La potencia requerida si la compresión de realiza en forma reversible.

131


6.9 Se tiene metano en un recipiente cerrado no rígido el cual, mediante un proceso politrópico, sufre una compresión desde 100 kPa y 27 °C hasta 300 kPa y 73,07 °C. Calcular:

a. El coeficiente politrópico. b. El cambio de entropía del metano. c. El trabajo hecho en la compresión y el calor transferido.6.10 Un vendedor está ofreciendo una turbina para generar 2.500 kW de energía

eléctrica. Las características de la turbina son: turbina adiabática para operar con 35 kg/s de aire. La línea de alimentación a la turbina debe estar a 6 MPa y 400 °C. Las condiciones de salida serán 1 MPa y 400 °C para una eficiencia global del 93,2 %. Verificar la veracidad de la oferta.

6.11 Dentro de un tanque no rígido se encuentran 10 kg de etileno (C2H4) a 10,23 MPa y 68 °C. El sistema sufre un proceso adiabático reversible hasta alcanzar una presión de 1,023 MPa. Si se considera el etileno como un gas ideal:

a. Calcular el trabajo involucrado en el proceso. b. Hallar el cambio en la entalpía del etileno.6.12 Por una tubería horizontal aislada de 2 pulgadas de diámetro fluye

nitrógeno en estado estable. El nitrógeno pasa por una válvula par-cialmente abierta en la cual experimenta una caída en la presión. Las condiciones justo antes de la válvula son: 80 psia, 100 °F y 15 pie/s. Si la presión justo después de la válvula es de 20 psia, calcular la temperatura después de la válvula (considerar el nitrógeno como un gas ideal con Cv = 5/2 R y CP = 7/2 R).

6.13 Se expande aire en una tobera para acelerarlo desde una velocidad de 2 m/s hasta 350 m/s. Calcula el descenso en la temperatura del aire.

6.14 El aire contenido en un cilindro con pistón se comprime en un pro-ceso reversible. Durante el proceso de compresión la relación entre la presión y el volumen es P v1,25 = constante. La masa de aire en el cilindro es 0,1 kg, la presión y la temperatura inicial son respectiva-mente 100 kPa y 20 °C, el volumen final es la octava parte del volumen inicial. Determinar el trabajo y el calor transferido.

6.15 Fluye aire por una tubería a 500 kPa y 25 °C, un tanque inicialmente vacío se conecta mediante una válvula. Cuando la válvula se abre el aire fluye al tanque hasta cuando la presión dentro del tanque es 500 kPa.a. Si el proceso ocurre adiabáticamente, cuál es la temperatura final

del aire dentro del tanque.b. Determinar una expresión general que dé la relación entre la tempera-

tura del gas que entra al recipiente y la temperatura final del gas dentro del tanque en términos de las propiedades termodinámicas del gas.


132

6.16 Un tanque cuyo volumen es 1 m3 está conectado a un tanque cuyo vo-lumen es 0,3 m3 mediante una válvula. Inicialmente, el tanque grande contiene aire a 700 kPa y 20 °C y el pequeño está vacío. Se abre la válvula y permanece abierta hasta cuando se alcanza una presión de equili-brio. Puede asumirse que el aire que permanece en el tanque grande sufre un proceso adiabático reversible y además que el proceso global es adiabático. ¿Cuál es la masa de aire al final en el tanque pequeño? ¿Cuál es la temperatura final del aire en el tanque pequeño?

6.17 Fluye nitrógeno a través de una tobera a razón de 1 kg/s. A la entra-da se encuentra a 400 kPa y 200 °C y su velocidad es de 30 m/s, a la salida la presión es 100 kPa. Asumiendo que el proceso es reversible y adiabático, encontrar la velocidad de salida y el área transversal de la tobera a la salida.

6.18 Se comprime aire en un proceso reversible de estado estable flujo estable desde 100 kPa y 27 °C hasta 800 kPa. Calcular el trabajo de compresión, el cambio de entropía y el calor transferido por kilogramo de aire comprimido, asumiendo los siguientes procesos:

a. Isotérmico. b. Politrópico con n = 1,25. c. Adiabático. Representar todos estos procesos en diagramas P-v y T-s.

7. Cálculo de las propiedades de sustancias puras por medio de relaciones

En el capítulo cinco se presentó la forma de cálculo de propiedades para sustancias de las cuales se dispone de información en forma de diagramas o tablas. En el capítulo seis se mostraron los procesos con gases ideales y la manera de calcular las propiedades de este tipo de sustancias. Para completar la presentación del cálculo de propiedades de sustancias puras se estudiarán en este capítulo formas de cálculo para sustancias que no se pueden considerar como gases ideales ni de las cuales se dispone de tablas de datos. El cálculo de las propiedades para estas sustancias se realiza principalmente por relaciones matemáticas.

7.1 Relaciones P-v-TEn la literatura pueden encontrarse un gran número de ecuaciones de estado para diversas aplicaciones. Estas ecuaciones tienen un grado de complejidad que va desde las expresiones más simples (gas ideal), pasando por ecuaciones de dos o tres constantes, hasta las más complicadas formas que contienen cincuenta o más constantes.Las ecuaciones de muchas constantes se han empleado para la presentación precisa de datos volumétricos; estas ecuaciones por lo general no son utili-zadas para el cálculo de equilibrio de fases o en estudios de simulación de procesos, principalmente debido a que requieren excesivo tiempo de com-putador y a que es difícil obtener formas generalizadas de ellas que puedan aplicarse a cálculos de mezclas multicomponentes, por tanto, en la mayoría de las situaciones, el uso de las ecuaciones de estado cúbicas representa un compromiso satisfactorio entre exactitud y velocidad de cálculo.

7.1.1 Ecuaciones de estado cúbicasPara la descripción precisa del comportamiento P-v-T de los fluidos dentro de un amplio intervalo de presión y temperatura se requiere una ecuación más general que la de gas ideal.La primera relación con esta característica la propuso J.D. Van der Waals en 1873, en la cual trata de corregir la ecuación de gas ideal en cuanto a con-siderar el volumen de las partículas y la pérdida de presión por colisiones


134

(7.1)

donde el término ac/v2 es la corrección por presión y b la corrección por volumen, ac y b son constantes características para cada sustancia.

Aunque la ecuación de Van der Waals tiene un reconocido valor histórico, no describe en forma precisa el comportamiento termodinámico de mu-chas sustancias y por esto desde su aparición se han propuesto cientos de variaciones a la ecuación semiempírica original. Una de las modificaciones más exitosa fue la realizada por Redlich y Kwong (en 1949) quienes pro-pusieron una ecuación que se puede escribir

(7.2)

En la cual α es llamada la función de atracción y depende de la temperatura reducida (Tr = T/Tc) para cada componente.Para la ecuación de Redlich-Kwong

(7.3)

Las constantes de las ecuaciones de estado se deben evaluar experimen-talmente a partir de datos disponibles de presión, volumen y temperatura. O en caso de que no se tenga esa información, se pueden evaluar para ecuaciones de dos constantes teniendo en cuenta que la isoterma Tc tiene un punto de inflexión en el punto crítico (véase figura 7.1) y por tanto, matemáticamente se cumple que

Al diferenciar las ecuaciones 7.1 y 7.2 se obtienen expresiones para las dos derivadas, que son iguales a cero cuando P=Pc, v = vc y T = Tc. La ecuación de estado se escribe para las condiciones críticas y de las tres relaciones se pueden obtener ecuaciones que permiten calcular ac y b conociendo las propiedades críticas de la sustancia.Para la ecuación de Van der Waals

(7.4a)

(7.4b)

Para la ecuación de Redlich-Kwong

(7.5a)

135


(7.5b)

En este punto se debe mencionar que aunque las ecuaciones 7.4 y 7.5 proporcionan resultados aceptables en la cercanía del punto crítico, los resultados que se obtengan en condiciones alejadas de este punto deben tomarse con reserva. Además, cabe decir que los coeficientes numéricos de las constantes ac y b, en esas expresiones, son adimensionales, de tal manera que se pueden utilizar con cualquier conjunto consistente de unidades.

Figura 7.1 Isotermas que se obtienen con una ecuación de estado cúbica

En los últimos años la principal línea de desarrollo en las modificaciones propuestas para mejorar la ecuación de Redlich-Kwong está basada en nuevas formas de la función de atracción (α). Una de las modificaciones más aceptadas es la hecha por Soave (en 1972) quien postuló (sin utilizar datos experimentales) la siguiente relación entre α y Tr

α = [1 + m (1 − Tr0,5)]2 (7.6)

con

m = 0,48 + 1,574 ω − 0,176 ω2 (7.7)

en la cual ω es el factor acéntrico. En 1976 Peng y Robinson propusieron una modificación que ha tenido gran acogida internacional y para la cual se basaron en las propiedades de una gran cantidad de sustancias

(7.8)

con

(7.9a)

P

v

T >T1 C

TC

T < T2 C

vgvf


136

(7.9b)

y α se debe evaluar con la ecuación 7.6 pero ahora

m = 0,37464 + 1,54226 ω − 0,26992 ω2 (7.10)

En resumen, las ecuaciones de estado cúbicas presentadas en este texto tienen la forma general

(7.11a)

con

(7.11b)

(7.11c)

y los valores de k1, k2, Ωa, Ωb, α y m para las cuatro ecuaciones de estado están en la tabla 7.1.La solución de las ecuaciones cúbicas produce tres raíces, las cuales pueden ser reales o imaginarias. En la región de una sola fase, bien sea de líquido comprimido, vapor sobrecalentado o por encima de las condiciones críticas, la solución de la ecuación conduce a una sola raíz real para el volumen. En la región de saturación la solución de la ecuación conduce a tres raíces reales, el menor valor corresponde al volumen de líquido saturado, el mayor al volumen de vapor saturado y el valor intermedio no tiene significado físico. En el punto crítico la ecuación de estado produce tres raíces reales iguales que corresponden al volumen crítico (véase figura 7.1).

Tabla 7.1 Valores de los parámetros para las ecuaciones de estado cúbicas consideradas en este texto

Ecuación k1 k2 Ωa Ωb α m

Van der Waals 0 0 0,421875 0,125 1 0

Redlich-Kwong 1 0 0,42747 0,08664 Ec. 7.3 -

Redlich-Kwong-Soave 1 0 0,42747 0,08664 Ec. 7.6 Ec. 7.7

Peng-Robinson 2 −1 0,45724 0,0778 Ec. 7.6 Ec. 7.10

Las raíces de una ecuación de estado cúbica pueden encontrarse analíti-camente o se pueden emplear técnicas iterativas que resultan prácticas solamente si convergen en la raíz deseada. Por ejemplo, la forma general de las ecuaciones de estado cúbicas presentadas en este texto (véase la ecuación 7.11a) se puede escribir como

137


la cual puede ser usada para calcular el volumen del vapor mediante la relación de iteración

(7.12)

El valor indicado del volumen para iniciar la iteración es el de gas ideal a las condiciones dadas de presión y temperatura.Para calcular el volumen del líquido con la misma ecuación, esta se puede representar en forma polinomial de la siguiente manera

la cual se puede iterar para el líquido mediante

(7.13)

en la que

Como valor inicial para el volumen se toma v0 = b.La solución de las ecuaciones de estado cúbicas mediante las técnicas iterativas de las ecuaciones 7.12 y 7.13 puede presentar problemas de convergencia (especialmente para la ecuación de Peng-Robinson), es por eso que en los últimos años se han desarrollado métodos que sistematizan adecuadamente el proceso iterativo. Entre estas técnicas, el método de Bairstow tiene gran aceptación porque con este procedimiento la deter-minación de las raíces tiene lugar secuencialmente de menor a mayor, lo que favorece la convergencia.

Ejemplo 7.1Calcular el volumen específico del líquido y del vapor saturado del propa-no a 70 °C, (cuya presión de saturación a esta temperatura es 25,94 bar) mediante las ecuaciones de Van der Waals, Redlich-Kwong, Soave y Peng-Robinson. Comparar con los valores experimentalesvf (70 °C) = 2,73 × 10−3 m3/kg vg (70 °C) = 11,23 × 10−3 m3/kg.

SoluciónPara calcular el volumen específico del vapor, se puede utilizar la ecuación 7.12.El valor inicial para el volumen es el calculado por la ecuación de gas ideal


138

y además se tiene para el propanoPc = 4.306 kPa, Tc = 369,8 K y ω = 0,152Para la ecuación de Van der Waalsac = 0,04763 kPa m6/kg2

b = 0,002 m3/kgk1 = 0k2 = 0α = 1y por tanto la ecuación 7.12 queda

Después de realizar las iteraciones se llega avg = 17,83 × 10−3 m3/kgPara calcular el volumen específico del líquido se puede utilizar la ecuación 7.13

con un valor inicial v0 = b = 0,002 m3/kg se llega después de varias ite-raciones avf = 4,22× 10−3 m3/kgLos porcentajes de error para la ecuación de Van der Waals son 54,6% para el líquido y 58,8% para el vapor.Igual procedimiento se puede seguir para las ecuaciones de Redlich-Kwong y de Soave. Para la ecuación de Peng-Robinson las ecuaciones 7.12 y 7.13 no convergen y por tanto se debe utilizar el método de Bairstow. En la tabla 7.2 se presentan los resultados para el volumen (el valor entre paréntesis corresponde al porcentaje de desviación con respecto al valor experimental).

7.1.2 Ecuación virialPara la fase gaseosa las ecuaciones P-v-T pueden ser más simples que para líquidos; siempre a temperatura constante cuando P aumenta v disminuye para una cantidad fija de sustancia, pero el producto P v se mantiene más o menos constante.En la figura 7.2 se representa este comportamiento para un gas ideal y para otros gases.Por tanto se puede decir quelim(Pv) = (Pv)* = a = RTP→0

(7.14)

139


Tabl

a 7.

2 C

álcu

lo d

e vo

lum

en e

spec

ífic

o en

el c

aso

del e

jem

plo

7.1

usan

do d

isti

ntas

ecu

acio

nes

de e

stad

o

Van

der

Waa

lsR

edli

ch-K

won

g S

oave

Pen

g-R

obin

son

Iter

ació

n ec

uaci

ón 7

.12

ó 7.

13B

airs

tow

Iter

ació

nB

airs

tow

Iter

ació

nB

airs

tow

Iter

ació

nB

airs

tow

v f × 1

03

(m3 /

kg)

4,21

8(5

4,6%

)4,

566

(67,

3%)

2,95

9(8

,39%

)2,

990

(9,5

2%)

2,85

2(4

,47%

)2,

874

(5,2

7%)

No

conv

erge

2,54

4(6

,81%

)

v g ×

103

(m3 /

kg)

17,8

59(5

8,8%

)17

,822

(58,

7%)

16,4

30(4

6,3%

)16

,421

(46,

2%)

16,1

30(4

3,6%

)16

,123

(43,

6%)

No

conv

erge

15,5

58(3

8,5%

)


140

En la cual a es el mismo para todos los gases y depende solo de la tempe-ratura T; a = a(T).Considerando este comportamiento se sugiere una expansión en serie para las relaciones P, v y T

P v = a + b P + c P2 + d P3 + ... (7.15a)

P v = a (1 + B′ P + C′ P2 + D′ P3 +...) (7.15b)En la cual a, B′, C′, D′ son los coeficientes viriales y solo dependen de la temperatura para un componente dado.Remplazando la ecuación 7.14 en la 7.15b

(7.16a)

(7.16b)

donde

(7.17)

La ecuación de estado virial se puede deducir utilizando la termodinámica estadística. Se puede demostrar que los coeficientes viriales están relacio-nados con las fuerzas que existen entre grupos de moléculas. Desde un punto de vista microscópico B′ representa las interacciones entre pares de moléculas, C′ describe interacciones entre grupos de tres moléculas y así sucesivamente.El número de términos que deben utilizarse en las ecuaciones 7.15 y 7.16 depende de la precisión que se desee, pero dado que la probabilidad de las interacciones de cuatro moléculas es mucho menor que la de las interaccio-nes entre pares de moléculas, es frecuente despreciar el cuarto coeficiente

Figura 7.2 Comportamiento de los gases a temperatura constante

a

P

T= Constante H2

Aire

Pv

N2

Gas ideal

141


virial (D). De igual manera, a bajas presiones el tercer coeficiente virial (C) se puede eliminar.

7.1.3 Relaciones P-v-T mediante correlaciones generalizadasPara el cálculo de propiedades P-v-T es de mucha utilidad disponer de una relación que se aplique de una manera general a cualquier gas. Una rela-ción de estas características se puede obtener por ejemplo a partir de la ecuación 7.11a. Si esta ecuación se multiplica por v/RT se tiene

definiendo el factor de compresibilidad Z como

(7.18)

El valor de Z es una medida de cuánto se desvía de la idealidad el compor-tamiento real de la sustancia (para el caso de una sustancia que cumpla el modelo de gas ideal es igual a uno).Entonces

(7.19)

en la cual

Si se reemplazan ac y b en términos de las condiciones críticas del gas en la ecuación para Z y además se definen las propiedades temperatura reducida como la relación entre la temperatura y la temperatura crítica

(7.20)

presión reducida como la relación entre la presión y la presión crítica

(7.21)

y volumen reducido como la relación entre el volumen y el volumen crítico

(7.22)

se obtiene

(7.23)

con

(7.24)


142

La ecuación 7.23 facilita la solución iterativa para un gas a cualquier condición de Tr y Pr (desafortunadamente no converge cuando se usan las constantes de la ecuación de Van der Waals ni para la mayoría de los cálculos de líquidos).De acuerdo con lo anterior se puede enunciar el principio de los estados correspondientes de dos parámetros que establece: todos los gases compa-rados a las mismas condiciones de temperatura y presión reducidas tienen aproximadamente el mismo factor de compresibilidad Z y se desvían del comportamiento ideal en el mismo grado.En realidad, para algunas sustancias este principio no tiene suficiente precisión. Para ilustrar esta inexactitud considérese la ecuación 7.22 que puede escribirse como

en la cual Zc es el factor de compresibilidad en el punto crítico

(7.25)

y por tanto z/zc = f (Tr, Pr). Esto implica que para los mismos valores de Pr y Tr todos los gases deberían tener la misma relación z/zc y como a valores muy bajos de presión, Z = 1 para todos los gases, entonces Zc debería ser igual para todos. Los experimentos muestran que esto no es cierto (por ejemplo, para el agua Zc = 0,299, para el bióxido de carbono Zc = 0,274 y para el hi-drógeno Zc = 0,305) por tanto, la relación generalizada para Z es imprecisa a bajas presiones y se comporta mejor en las cercanías al punto crítico. Las únicas sustancias que no presentan desviación son argón, criptón y xenón.Es necesario entonces modificar la relación introduciendo un tercer parámetro (adicional a Tr y Pr) característico de la estructura molecular para obtener un mejor comportamiento para gases reales. El más conocido de estos parámetros es el factor acéntrico ω, introducido por Pitzer y colaboradores.El factor acéntrico muestra la desviación del comportamiento de las sus-tancias reales con respecto a los fluidos simples (FS) Xe, Ar y Kr.

en la cual Prsat y Tr

sat son la presión de saturación reducida y la temperatura de saturación reducida.Pitzer notó que para todos los fluidos simples a Tr

sat = 0,7 se cumplía que log Pr

sat = −1 y por tanto

(7.26)La relación para Z desarrollada por Pitzer y colaboradores introduciendo el tercer parámetro ω es

Z = Z(0) + ω Z(1) (7.27)

143


en la cual Z(0) y Z(1) son funciones de Tr y Pr

Z(0) y Z(1) son funciones complejas de Tr y Pr por lo cual se dificultan los cálculos analíticos. Si se quiere evitar el cálculo por tablas de Z se puede utilizar la ecuación virial con dos términos

reemplazando P en términos de Pc y Pr y T en términos de Tc y Tr, entonces

considerando que la relación BPc /RTc puede ser de la forma B(0) + ω B(1) (similar a la relación para Z en términos de Z(0) y Z(1)) se tiene que

Comparando esta relación con la ecuación 7.27, entonces

(7.28)

Y

(7.29)

Los segundos coeficientes viriales son solo función de la temperatura y en forma similar, B(°) y B(1) son únicamente función de la temperatura redu-cida y quedan bien representados por las ecuaciones sencillas propuestas por M.M. Abbott

(7.30)

(7.31)

luego, Z puede calcularse analíticamente solo conociendo la condición de Tr y Pr para el gas real. Esta forma de calcular Z solo tiene validez a presiones reducidas bajas y moderadas donde Z es lineal con la presión.

Ejemplo 7.2Calcular el volumen específico del vapor saturado de propano a 70 °C y 25,94 bar mediantea. La ecuación 7.23.b. La ecuación 7.27 y las tablas.c. Las ecuaciones 7.27 a 7.31.

SoluciónComo para el propano se tiene que Tc = 369,8 K y Pc = 4.306 kPa, entonces, Tr = 0,928 y Pr = 0,61, además se tiene que ω = 0,152.


144

a. Utilizando las constantes de la ecuación de Peng-Robinson (véase tabla 7.1) en las ecuaciones 7.23 y 7.24 se obtiene

Se puede empezar el proceso iterativo con Z0 = 1 y hallar h. Con este valor se halla el nuevo valor de ZZ = 1 ⇒ h = 0,05114 ⇒ Z = 0,7320Z = 0,732 ⇒ h = 0,06986 ⇒ Z = 0,6430después de algunas iteraciones se llega a Z = 0,501 y utilizando la ecua-ción 7.18

este valor tiene una desviación del 9,62% con respecto al valor experimental.b. La ecuación 7.27 es, para este casoZ = Z(0) + 0,152 Z(1)

De las tablas con Tr = 0,928 y Pr = 0,61Z(0) = 0,6635Z(1) = −0,1662y por tanto Z = 0,6382 y de la ecuación 7.18 vg = 16,33 × 10−3 m3/kg (la desviación es 39,89%).Si no se hubiera utilizado la corrección por factor acéntrico entonces Z = 0,6635 y vg = 16,33 × 10−3 m3/kg con una desviación del 45,41% respecto al valor ex-perimental.c. Utilizando las ecuaciones 7.30 y 7.31 se obtiene

y las ecuaciones 7.28 y 7.29 producen

Por tanto de la ecuación 7.27 Z = 0,7419 – 0,152 × 0,06337 = 0,7323y vg = 18,03 × 10−3 m3/kg con una desviación de 60,6%.

145


7.1.4 Propiedades P-v-T para líquidosEl volumen específico de líquidos es una propiedad relativamente fácil de medir y hay un gran número de referencias bibliográficas en las cuales se pueden encontrar datos experimentales tabulados de volúmenes (o densidades) o en las cuales se proporcionan constantes para el cálculo rápido por medio de ecuaciones empíricas. Sin embargo, si no se dispone de datos experimentales, se puede estimar el volumen específico de líquidos mediante correlaciones.Una ecuación para estimar el volumen de líquidos saturados desarrollada por Rackett (en 1970) y luego modificada por Spencer y Danner (en 1972) es

(7.32)

en la cual ZRA es el factor de compresibilidad de Rackett que puede ser calculado por

ZRA = 0,29056 – 0,08775 ω (7.33)

Si se dispone de un dato experimental de volumen saturado a una tem-peratura de referencia (T

ref), la forma recomendada de la ecuación de Rackett es

(7.34)

con

Aunque de las ecuaciones de estado cúbicas se pueden obtener valores de volumen específico de líquidos saturados o subenfriados, los resultados obtenidos con estas ecuaciones no son muy buenos y se han propuesto numerosas modificaciones para mejorarlos.Una de las modificaciones más aceptadas es la de Peneloux y Rauzy (pro-puesta en 1982) quienes recomendaron que la siguiente corrección sea restada del volumen obtenido de la ecuación de Soave-Redlich-Kwong

c = 0,4076(0,29441 – ZRA) RTc / Pc (7.35)

Ejemplo 7.3Calcular el volumen específico del líquido saturado de propano a 70 °C y 25,94 bar mediantea. La ecuación 7.32.b. La ecuación 7.34 utilizando como volumen de referencia el volumen

crítico vc = 4,61 × 10−3 m3/kg.c. La corrección de la ecuación 7.35.

Solucióna. Mediante la ecuación 7.32 para este caso se obtiene


146

vf = 0,01619143 Zy de la ecuación 7.33ZRA = 0,277222esto lleva a que vf = 2,45 × 10−3 m3/kg (desviación de −10,26%).b. Utilizando vf

ref = vc = 4,61 × 10−3 m3/kg, entonces T ref = Tc y por tanto

Trref = 1 y la ecuación 7.34 queda

vf = 4,61 × 10−3 × 0,27222 (0.471545)

vf = 2,52 × 10−3 m3/kg (la desviación es – 7,69%)c. La corrección de la ecuación 7.35 es

c = 1,1343 × 10−4 m3/kgy del ejemplo 7.1 el valor hallado por la ecuación de Soave es v = 2,852 × 10−3 m3/kg, por tanto vf = 2,852 × 10−3 – 1,1343 × 10−4 = 2,74 × 10−3 m3/kg con una des-viación de 0,37%.

7.2 Cálculo de otras propiedades de sustancias puras en una sola fase En esta sección se mostrará la manera de calcular propiedades como la entalpía, la entropía y la energía interna para sustancias puras de las cuales no se dispone de información en forma de tablas o gráficas. Como estas propiedades no son de medición directa, es necesario obtener relaciones termodinámicas entre las propiedades que se desean calcular y las propie-dades de medición directa (P, v, T, CP , Cv).Antes de establecer la relación entre propiedades se recordarán algunas características matemáticas de estas relaciones. En el capítulo cinco se estableció que, según la regla de las fases, toda propiedad de una sustancia pura se puede expresar unívocamente en función de otras dos propiedades (véase ecuación 5.3).Z = f (X, Y ) (6.3)y por tanto, según las leyes del cálculo se puede escribir

(7.36)

y si por simplicidad se escribe

(7.37)

147


entonces

dZ = M dX + N dY (7.38)se puede ver también que

Pero las reglas del cálculo para derivadas establecen que la secuencia en la diferenciación de una propiedad de estado no puede cambiar el resultado de las derivadas. O sea que

(7.39)

Otra propiedad de las derivadas de funciones exactas que es de gran utilidad es la llamada relación del triple producto

(7.40)

Esta relación permite quitar de las derivadas restricciones (condiciones) desfavorables (tales como s, g, a, h o u).

7.2.1 Relaciones de MaxwellEn el capítulo cinco se obtuvieron las relaciones fundamentales para una sustancia pura (véanse ecuaciones 5.5, 5.6, 5.9 y 5.10)du = T ds − P dv (5.5)dh = T ds + v dP (5.6)dg = v dP − s dT (5.9)da =−P dv − s dT (5.10)Aplicando el resultado de la ecuación 7.39 resulta

(7.41)

(7.42)

(7.43)

(7.44)

(Las formas recíprocas de estas relaciones también son válidas).Las ecuaciones 7.41 a 7.44 son llamadas relaciones de Maxwell y son de gran utilidad (en unión con las ecuaciones fundamentales) a la hora de deducir expresiones para la evaluación de variaciones de propiedades en función de las variables de medición directa.


148

Una técnica para obtener relaciones termodinámicas en función de las propiedades de medición directa (P, T, v, CP, y Cv) y de relaciones entre ellas consiste en lo siguiente:— Si la ecuación diferencial que se va a transformar contiene u, h, a o g, llevar

estas funciones al numerador para luego eliminarlas por medio de la relación de propiedad adecuada y con ayuda de la relación del triple producto.

— Eliminar la entropía llevándola al numerador (el triple producto puede ser usado para eliminar la entropía como restricción) y reemplazando las diferenciales de entropía por medio de las relaciones de Maxwell. Si todavía aparecen derivadas de entropía introducir 1/dT en el numerador y en el denominador de la derivada y eliminar luego las derivadas de la entropía con respecto a la temperatura por medio de las ecuaciones de CP y Cv desarrolladas de las ecuaciones 5.5 y 5.6.

1. Evaluación de variaciones de entalpía, energía interna y entropíaLa entalpía se puede expresar en función de T y P o v, o en función de v y P, pero la función más sencilla y cómoda para evaluar es la que se expresa en función de T y P.Sea entoncesh = h (T, P)y la diferencial total es

pero de la ecuación 5.6

y

y por tanto

Utilizando la definición de CP y la relación de Maxwell (véase la ecuación 7.43) queda

(7.45)

149


De igual manera se puede expresar la energía interna como

(6.23)pero utilizando la definición de la ecuación 5.25 resulta

el término ∂u/∂v)T puede deducirse empleando la ecuación 5.5

y de la ecuación 7.44 de Maxwell

Reemplazando estos resultados en la ecuación 5.23 resulta

dv (7.46)

Por último, se puede encontrar la variación de entropía siguiendo el mismo procedimiento. Si s = s (T, P)se llega a

(7.47)

o si, por otra parte se expresas = s (T, v)el resultado es

(7.48)

Se debe observar que cuando se aplican las ecuaciones 7.45 a 7.48 a un gas ideal se obtienen las ecuaciones 6.9, 6.10, 6.12 y 6.13.Se debe anotar también que para integrar las ecuaciones 7.45 a 7.48 (y así obtener los cambios en entalpía, energía interna o entropía) se deben conocer, además de las relaciones entre CP o Cv con la temperatura, la ecuación de esta-do apropiada para la sustancia o disponer de datos experimentales de presión, volumen y temperatura que permitan realizar una integración gráfica.

Ejemplo 7.4Determinar el coeficiente de expansión volumétrica a 27 °C para un gas que obedece la ecuación de estado P( − b) = T donde b = 20 cm3/mol, si el volumen molar es = 1.500 cm3/mol.


150

SoluciónSe definió el coeficiente de expansión volumétrica. De acuerdo con la in-formación suministrada, se obtiene de la ecuación de estado

luego

Reemplazando por sus respectivos valoresβ = 3,29 × 10−3 K−1

Ejemplo 7.5Para cierto tipo de cálculos en toberas es necesario conocer la rapidez de variación de la entalpía de la sustancia con respecto a la densidad, puesto que el proceso en la tobera puede considerarse isentrópico, lo que se nece-sita conocer es ∂h /∂ρ)s en términos de P, v, T, Cp, Cv. Obtener la expresión particular en caso de gas ideal.

SoluciónLa relación entre volumen y densidad es ρ = 1/v y por tanto

entonces

derivando la ecuación 5.6 con respecto al volumen a entropía constante

aplicando el triple producto

a partir de la ecuación de estado se puede obtener ∂T /∂v)P y ∂T /∂P)v , y de las ecuaciones 5.5 y 5.6 de acuerdo con la definición de Cp y Cv

cuando se trata de gas ideal

Ejemplo 7.6Se comprime helio en un compresor isotérmico reversible. El helio entra al compresor a 300 K y 12 bar y se comprime continuamente hasta 180 bar.

151


Calcula el trabajo por mol de helio requerido para operar el compresor y la cantidad de calor que debe extraerse del compresor sia. El helio se comporta como gas ideal.b. Si obedece a la ecuación de estado P = T − aP/T + b P, con a = 0,385 m3 K/kmol y b = 0,0152 m3/kmol

SoluciónSe trata de un proceso que ocurre en estado estable flujo estable (véase figura 7.3) donde pueden despreciarse las variaciones de energía cinética y potencial.

Figura 7.3 Proceso descrito en el ejemplo 7.6

Las ecuaciones de balance de masa, energía y entropía son

0 = he + We − hs − qs ⇒ we − qs = ∆h0 = se − ss − qs /T ⇒ qs = −T ∆sLos estados de entrada y de salida del compresor están completamente de-terminados, y del balance de entropía se puede calcular la cantidad de calor que fluye por mol de helio, reemplazando este valor en el balance de energía se puede calcular la cantidad de trabajo para comprimir cada mol de helio.a. Cuando la sustancia se comporta como gas ideal

y como el proceso es isotérmico

6.754,74 J/mol

del balance de energíawe = qs + ∆hcomo se trata de un proceso isotérmico con gas ideal entonces ∆h = 0y we = qs = 6.754,74 J/mol

e

Weqs

s

Pe=12 bar

Te=300 K

Ps=180 barTs=300 K


152

b. Cuando la sustancia obedece la ecuación de estado P = T − aP/T + bP, entonces de la ecuación 7.47 para un proceso isotérmico

y por tanto

Para calcular el trabajo por medio del balance de energía se debe conocer el cambio en la entalpía de la ecuación 7.45 para este caso

pero

y por tanto

212,24 J/mol

por últimowe = 6.988,54 J/mol

7.2.2 Cálculo de propiedades de sustancias puras por correlaciones generalizadasEn la sección anterior se mencionó que para evaluar cambios en la entalpía, la energía interna y la entropía por medio de las ecuaciones 7.45 a 7.48 se debe conocer la ecuación de estado para las sustancias. En esta sección se desarrollaran aún más estas ecuaciones para sustancias que cumplan el principio de los estados correspondientes.Si se considera que una sustancia pura experimenta un cambio entre los estados 1 y 2 como se muestra en la figura 7.4a en estas condiciones es poco probable que la ecuación de gas ideal se aplique y se debe utilizar una ecuación de estado apropiada.Ya que el cambio de una propiedad de estado es independiente del camino elegido para su cálculo se puede evaluar este cambio mediante la ruta 1-1° -2°-2 de la figura 7.4b. Esta trayectoria consiste en un proceso a temperatura constante del estado 1 al 1°, un proceso a presión constante del estado 1° al 2° y un proceso a temperatura constante desde 2° hasta 2. Los estados 1° y 2° son a presiones tan bajas que se puede considerar que las sustancias se comportan como gases ideales. Por tanto el cambio de entalpía entre los estados 1 y 2 se puede escribir como:

153


h2 − h1 = (h2 − h°2 ) + (h°2 − h°1) + (h°1 − h1) (7.49)Cada uno de los términos del lado derecho de la ecuación 7.49 se puede evaluar mediante la ecuación 7.45.Si se generaliza, para un proceso a temperatura constante desde una pre-sión P (en la cual la sustancia no se puede considerar como un gas ideal), hasta una presión P°→0, la ecuación 7.45 queda

si además se cumple que v = ZRT/P entonces

y por tanto

Figura 7.4 Sustancia pura que experimenta un cambio entre los estados 1 y 2. a. Proceso de un gas real. b. Trayectoria 1-1°-2°-2 para evaluar h2−h1.

T

s

T

sa. b.

1

2

1

2

1º

2ºT2= Constante

T1= Constante

P=Co

nstan

te

T

s

T

sa. b.

1

2

1

2

1º

2ºT2= Constante

T1= Constante

P=Co

nstan

te


154

Recordando que T = Tc Tr y P = Pc Pr y que dT = Tc dTr y dP = Pc dPr, entonces

(7.50)

En la cual h° es la entalpía de la sustancia a presión muy baja (cuando se comporta como gas ideal).Si se define la propiedad residual de una sustancia pura como la diferencia entre la propiedad de la sustancia si esta se comporta como un gas ideal y la propiedad a la misma temperatura pero a una presión a la cual no es un gas ideal, entonces

hR = h° −h (7.51)es la entalpía residual y según la ecuación 7.50 se puede escribir como una función de Tr y Pr únicamente.Derivando la ecuación 7.27 con respecto a Tr y manteniendo Pr constante se obtiene

reemplazando ese resultado y la ecuación 7.51 en la ecuación 7.50 se obtiene

y por analogía con la ecuación 7.27

(7.52)

en la cual

(7.53)

y

(7.54)

Las integrales de las ecuaciones 7.53 y 7.54 se han calculado para distintos valores de Pr y Tr y se han llevado a diagramas y tablas.Con los resultados obtenidos hasta ahora se puede rescribir la ecuación 7.49 comoh2 − h1 = hR

1 − hR2 + h°2 − h°1

pero el cambio entre los estados 1° y 2° es el de un gas ideal a presión constante y por tanto

155


(7.55)

Si además se reemplaza el resultado de la ecuación 7.52 resulta

(7.56)

Para evaluar el cambio de entropía entre los estados 1 y 2 se puede suponer una ruta hipotética semejante al caso del cambio de entalpía: un proceso a tempe-ratura constante hasta una presión lo suficientemente baja para que el gas sea considerado gas ideal (no necesariamente la presión en el punto 2), luego un cambio desde el estado 1° hasta el estado 2° de gas ideal pero a la temperatura del estado 2. Finalmente, un cambio a temperatura constante desde el estado 2° hasta el estado 2. (Los estados 1° y 2° pueden no existir, son solamente estados hipotéticos donde la sustancia se comporta como gas ideal).El cambio de entropía entre dos estados se puede escribir como

s2 − s1 = (s2 − s°2) + (s°2 − s°1) + ( s°1 − s1) (7.57)y si se define la entropía residual

sR = s° − s (7.58)entoncess2 − s1 = sR

1 − sR2 + s°2 − s°1

Los valores de entropía residual se pueden evaluar considerando que estos son procesos a temperatura constante y por tanto de la ecuación 7.47 resulta

y si la sustancia cumple que v = ZRT/P entonces

e integrando para un proceso entre una presión P y una presión muy baja P°→ 0, entonces

Reemplazando la temperatura y la presión en términos de Pc, Tr, Tc y Tr y siguiendo un desarrollo similar al hecho para la entalpía residual se obtiene

(7.59)


156

en la cual

(7.60)

(7.61)

De la misma manera que para la entalpía residual, se pueden presentar los resultados de las ecuaciones 7.60 y 7.61 en forma de diagramas o de tablas de datos para distintos valores de Tr y Pr.El término s°2 − s°1 en la ecuación 7.57 es un cambio de estado para un gas ideal y por tanto se puede escribir

(7.62)

en la cual las entropías residuales se pueden evaluar mediante la ecuación 7.59 y las tablas.Para evaluar la capacidad calorífica de gases reales se puede definir una capacidad calorífica residual como

(7.63)

en la cual es la capacidad calorífica del gas a una presión lo suficiente-mente baja para ser considerado como un gas ideal.De una manera similar que para la entalpía se puede evaluar mediante

(7.64)y por tanto de la ecuación 7.63

(7.65)

Datos de y se reportan generalmente en tablas. Para evaluar el cambio de otras propiedades (como energía interna, ener-gía libre de Gibbs y energía libre de Helmothz) se utilizan las definiciones de estas propiedades en términos de entalpía y entropía. Por ejemplo, el cambio en la energía interna se puede evaluar fácilmente como∆u = ∆h − ∆Pvo

∆u = (h2 − h1) − (P2 v2 − P1 v1) = (h2 − h1) − R (Z2 T2 − Z1 T1) (7.66)

en la cual (h2 − h1) se evalúa mediante la ecuación 7.56.

Ejemplo 7.7Utilizando las tablas de correlaciones generalizadas, determinar el cambio de entalpía, entropía y energía interna para el nitrógeno que experimenta un cambio de estado desde 100 kPa y 300 K hasta 20 MPa y 200 K.

157


SoluciónLas propiedades del nitrógeno sonTc = 126,2 K, Pc = 33,9 bar, = 1,0416 kJ/kgK, R = 0,2968 kJ/kg K, ω = 0,04Como el valor del factor acéntrico es pequeño, se puede despreciar su co-rrección en el cálculo de las propiedades. LuegoZ = Z(0), hR = (hR)(0), sR = (sR)(0)

Además, como en la condición inicial la presión es baja, se puede considerar que su comportamiento prácticamente no se desvía del ideal. EntoncesZ1 = 1, , y por tanto, de acuerdo con las ecuaciones 7.55 y 7.62

las condiciones reducidas al final son

Utilizando las tablas de hR y sR con estas condiciones reducidas

por tanto

y

Para calcular la variación de energía interna se puede utilizar la ecuación 7.66∆u = ∆h − R (Z2 T2 − Z1 T1)para el estado final Z2 = = 0,902∆u = −181,96 – 0,2968 (0,902 × 200 − 300)∆u = −146,46 kJ/kgSi se hacen los cálculos de la variación de estas propiedades por medio de las tablas particulares del nitrógeno los valores obtenidos son∆h = −180,86 kJ/kg∆s = −2,292 kJ/kg K∆u = −149,54 kJ/kg


158

Ejemplo 7.8A través de una turbina isotérmica reversible se expande metano desde 70 bar y 27 °C hasta 20 bar (véase figura 7.5), parte del trabajo obtenido de la turbina se usa para impulsar un compresor isentrópico en el cual todo el gas descargado por la turbina es recomprimido parcialmente y sale del compresor a 93 °C.a. ¿Cuál es la presión del gas a la salida del compresor?b. ¿Qué fracción del trabajo total entregado por la turbina debe ser sumi-

nistrada al compresor?

SoluciónConsiderando que el metano cumple el principio de los estados correspon-dientes y que las propiedades pueden calcularse por correlaciones genera-lizadas, teniendo en cuenta que una fracción del trabajo total entregado por la turbina se gasta para accionar el compresor, la presión de salida del compresor debe ser menor que la de entrada a la turbina.a. Considerando la capacidad calorífica CP para el CH4 constante e igual

a 2,2537 kJ/kg K y además Tc = 190,6 K, Pc = 46 bar, ω = 0,008 (se puede despreciar la corrección por factor acéntrico).

Del cálculo de las condiciones reducidas se obtiene

Por otra parte, de acuerdo con la condición de operación del compresor, el balance de entropía para ese sistema ess4 = s3

y por tanto la ecuación 7.62 queda

Figura 7.5 Turbina isotérmica reversible, proceso descrito en el ejemplo 7.8

1

23 20 bar

27 ºC

C

493 ºCP4=?

20 bar27 ºC

T

70 bar27 ºC

WN

159


con las condiciones reducidas y las tablas de sR se obtiene K

y por tanto

Para calcular el valor de P4 se debe utilizar un proceso iterativo que se puede explicar como— Suponer una P4.— Calcular Pr4

.— Con Pr4

, Tr4 y las tablas, calcular sR

4.

— Con sR4 calcular la nueva P4.

El valor apropiado para empezar la iteración debe ser mayor que la presión a la entrada del compresor (P4 > 20 bar) pero menor que la presión de entrada a la turbina (P4 < 70 bar). Para este caso se puede comenzar la iteración con P4 = 40 bar.Luego de tres iteraciones se llega a que P4 = 46,31 bar.b. Un balance de energía para el compresor permite calcular el trabajo que

recibe de la turbina

y de las tablas

kJ/kg kJ/kgpor tantowc = 2,2537 × (93 − 27) + 21,21 – 29,52wc = 140,43 kJ/kgPara calcular el trabajo total que se obtiene de la turbina se deben plantear los balances de energía y de entropía en ellawT = h1 − h2 +qe = qe − ∆hqe = T (s2 − s1) = T∆sLas condiciones reducidas para los estados 1 y 2 sonPr1

= 1,52 Pr2 = Pr3

= 0,43Tr1

= 1,57 Tr2 = Tr3

= 1,57de las cuales se obtiene

kJ/kg K

kJ/kg K

kJ/kg Kluego


160

qe = 233,21 kJ/kgy wT = 188,32 kJ/kgLa fracción del trabajo de la turbina que se debe emplear en el compresor es

7.2.3 La propiedad fugacidad, su función y su cálculoPara ilustrar la utilidad de la propiedad fugacidad considerar primero el caso de un proceso isotérmico reversible de producción de trabajo en estado estable. Se tiene del balance de energíadh = δqe − δws

y del balance de entropía para un proceso reversibleδqe = T dscombinando estas dos ecuaciones resultaδws = T ds − dhpero dado que dg)T = dh − T ds entonces el trabajo de salida se puede expresar también como

δWs = − dg)T (7.67)pero la ecuación 5.9 para un proceso a temperatura constante produce

dg)T = v dP)T (7.68)que para un gas ideal se transforma en

(7.69)

En 1901 G. N. Lewis definió una nueva propiedad para preservar, para gases reales, la misma forma de la ecuación 7.69

dg)T = R T d(Ln f) (7.70)en la cual f recibe el nombre de fugacidad del gas real. (La fugacidad es también una propiedad sumamente útil en el estudio de equilibrio de fases y equilibrio químico, temas que no se tratarán en este texto). Esta nueva propiedad debe cumplir que

(7.71)

así que cuando la presión tiende a cero entonces f→P y la ecuación 7.70 se reduce a la ecuación 7.69.De la definición de propiedad residualdg° − dg = dgR = R T d(Ln P/f)

161


integrando a temperatura constante, desde una P cualquiera hasta una P→0, y teniendo en cuenta la ecuación 7.71 se obtiene

(7.72)

Si se define el coeficiente de fugacidad como

(7.73)

entonces la ecuación 7.72 queda

gR = − R T Lnφ (7.74)la evaluación del coeficiente de fugacidad puede llevarse a cabo combinando las ecuaciones 7.70 y 7.68

y en términos del factor de compresibilidad

y como

entonces

y d(Ln f)T – d(Ln P)T = Z d(Ln Pr)T – d(Ln Pr)T

es decir que

e integrando, desde P = 0 hasta una presión cualquiera

Ln ϕ = (Z – 1) d(LnPr)T (7.75)

e introduciendo la ecuación 7.27 se llega a

Ln φ = Ln φ(0) + ω Ln φ(1)

y por tanto

φ = φ(0) φ(1) ω (7.76)en la cual φ(0) es el coeficiente de fugacidad del fluido simple y φ(1) es la función de desviación del coeficiente de fugacidad. Los valores de Lnφ(0) Ln φ(1) se pueden presentar en forma de diagramas o de tablas a diferentes condiciones de Tr y Pr.Para evaluar la fugacidad en las fases líquida y sólida se debe tener en cuenta que según la regla de las fases de Gibbs, para dos fases α y β en equilibrio se debe cumplir quegα = gβ


162

y por tanto, según la ecuación 7.70

fα = fβ (7.77)Se puede entonces conocer la fugacidad del líquido o del sólido saturado conociendo la fugacidad del vapor en equilibrio con ellos.Cuando se trata de sólidos o líquidos que se encuentran alejados de la condición de saturación se puede utilizar la relación

(7.78)

O si se dispone de tablas o diagramas particulares de la sustancia para las fases condensadas, la fugacidad se puede estimar por

(7.79)

en esta ecuación P* es el menor valor reportado para la presión a una temperatura dada y a esas condiciones se evalúan h* y s*.

Ejemplo 7.9Mediante las tablas del coeficiente de fugacidad, calcular el trabajo que se obtiene en la turbina isotérmica reversible del ejemplo 7.8.

SoluciónLa turbina del ejemplo 7.8 opera a 27 °C con una presión de entrada de 70 bar y una presión de salida de 20 bar. De las ecuaciones 7.67 y 7.70

y utilizando el coeficiente de fugacidad

que se puede escribir comow = –RT[Ln φs – Ln φs + Ln (Ps /Pe)]las condiciones de reducción son Pr,e = 1,52, Pr,s = 0,43, Tr,e = 1,57, Tr,s = 1,57.Despreciando la corrección por factor acéntrico, de las tablas de coeficiente de fugacidad se obtieneLn φe = −0,050 × 2,302 y Ln φs = −0,0143 × 2,302 y por tantow = –0,51835 × 300 [–0,0329 + 0,1151 + Ln (2/7)]w = 182,03 kJ/kgQue es muy cercano al resultado obtenido por el método del ejemplo 7.8.

7.3 Cálculo de propiedades en sistemas difásicos Como se explicó anteriormente la transición de una fase α a otra fase β de una sustancia pura, ocurre a presión y temperatura constante.

163


Se puede verificar, con ayuda de las tablas de propiedades, que para cual-quier sustancia pura la energía libre de Gibbs también permanece constante para cualquier cambio de fase y por tanto se puede verificar que

gα = gβ (7.80)

en la cual los subíndices representan dos fases saturadas diferentes.La igualdad de la ecuación 7.80 se conoce como criterio de equilibrio y de ella se puede concluir que para cambios en la presión y la temperatura a lo largo de la curva de saturacióndgα = dgβ (7.81)

ovαdPsat – sαdTsat = vβdPsat – sβdTsat

y por tanto

(7.82)

Utilizando el criterio de equilibrio gα = hα – Tsatsα = hβ – TsatSβ = gβ

o sea

(7.83)

y con esta ecuación se puede eliminar la entropía en la ecuación 7.82

(7.84)

La ecuación 7.84 se conoce como ecuación de Clapeyron y proporciona información sobre la pendiente de la curva de saturación del diagrama presión-temperatura.Para el equilibrio sólido-líquidosβ – sα = sf – ssol = ∆sfusión

vβ – vα = vf – vsol = ∆vfusión

∆sfusión es positivo para todas las sustancias y ya que ∆vfusión puede ser po-sitivo o negativo (según que la densidad del sólido sea mayor o menor que la del líquido) entonces (dPsat /dTsat )sol-liq puede ser positiva o negativa.En el equilibrio líquido-gas∆sαβ = sgas – sliq = ∆svap

∆vαβ = vgas – vliq = ∆vvap

en este caso ∆svap y ∆vvap son siempre positivos y en consecuencia (dPsat /dTsat )líq – gas siempre será positivo.En el equilibrio sólido-gas∆sαβ = sgas – ssol = ∆ssublimación


164

∆vαβ = vgas – vsol = ∆vsublimación

∆ssubl y ∆vsubl son siempre positivos y (dPsat /dTsat )s – g siempre será positivo.Esto corrobora lo que se había discutido cuando se trató el diagrama de fases para una sustancia pura.Para integrar la ecuación de Clapeyron en el equilibrio sólido líquido

∆hfusión y ∆vfusión son casi independientes de T y P y por tanto

(7.85)

Para el equilibrio de una fase condensada, ya sea sólida o líquida, con vapor se tiene

(7.86)

donde ∆h es la variación de entalpía por vaporización del líquido o por subli-mación del sólido (según sea el caso); en la mayoría de los casos vg − vc ≈ vg y suponiendo que el gas se comporta según vg = ZRT/P, la ecuación se transforma en

(7.87)

o

(7.88)

La ecuación 7.88 se conoce con el nombre de ecuación de Clausius-Cla-peyron y relaciona la presión de vapor de líquido o sólido con la variación de entalpía (de vaporización o sublimación) y con la temperatura.Para el caso específico del equilibrio líquido vapor, la ecuación 7.88 se puede escribir como

(7.89)

La ecuación 7.89 se puede integrar considerando que, excepto en las cer-canías del punto crítico, ∆hvap y Z son funciones débiles de la temperatura y como ambos decrecen con el incremento de esta, resulta un efecto com-pensatorio y la relación ∆hvap /Z se puede considerar constante.La forma integrada de la ecuación 7.89 queda

165


(7.90)

en la cual A es una constante de integración y B = ∆hvap /ZR.La ecuación 7.90 es sorprendentemente buena para calcular presiones de vapor en intervalos pequeños de temperatura a baja presión, pero se obtienen malos resultados si se utiliza en las cercanías del punto crítico o a intervalos de temperatura grandes.Para mejorar los datos de presión de saturación obtenidos con la ecuación 7.90, Antoine (en 1888) propuso una modificación sencilla que se emplea ampliamente

(7.91)

los valores de A, B y C están publicados para una gran cantidad de sustancias.Aunque la ecuación 7.91 es una mejora de la ecuación original, no es utilizable para intervalos amplios de temperatura y no se debe utilizar para presiones superiores a 2 bar. Extrapolaciones más allá de este límite pueden producir resultados absurdos. Por otra parte, las constantes A, B y C forman un conjunto unificado (nunca usar constantes obtenidas de tablas diferentes en la misma ecuación).Se han propuesto una gran cantidad de ecuaciones para estimar con mayor precisión las presiones de saturación para grandes intervalos de tempera-tura, entre ellas la ecuación de Riedel

(7.92)

y la ecuación de Wagner

(7.93)

en la cual τ = 1 − Tr

La ecuación de Wagner es una de las mejores ecuaciones para predecir presiones de saturación, pero tiene el inconveniente de requerir cua-tro constantes para cada sustancia, lo que hace que su aplicación sea limitada.

Cuando no se dispone de información suficiente para calcular ∆hvap median-te las ecuaciones de Clapeyron o de Clausius Clapeyron, se pueden utilizar métodos empíricos aproximados para hacer estimaciones.

Riedel propuso la siguiente ecuación para predecir el cambio de entalpía por vaporización a una atmósfera de presión (llamado también el punto de ebullición normal)


166

(7.94)

donde

Tn = Temperatura de ebullición a P = 1 atm (punto de ebullición normal).

∆hn = Entalpía de vaporización a Tn.

Pc = Presión crítica en bar.

Tr n = Temperatura reducida a Tn.

R = Constante universal.

Los errores cometidos al utilizar esta ecuación rara vez exceden el 3%.

Las estimaciones de la entalpía de vaporización para líquidos puros a cual-quier temperatura a partir de un valor conocido a una sola temperatura, pueden hacerse mediante el método propuesto por K. M. Watson de acuerdo con la relación

(7.95)

esta ecuación es simple y confiable pues aunque se han sugerido ecuaciones más complejas, ellas no representan mejoras significativas en los errores promedio reportados.

Ejemplo 7.10En cierto proceso de fabricación de sales de mercurio se requiere conden-sar vapor de mercurio (Hg) desde 920 °F y 40 psia hasta obtener líquido saturado a la misma presión.Calcular la transferencia de calor necesaria para realizar la condensación con el uso de la siguiente información:1. Temperaturas de ebullición a diferentes presiones (véase tabla 7.3).

Tabla 7.3 Datos de presión y temperatura para el ejemplo 7.10

Presión (psia) 10 20 40 60 80

Temperatura (°F) 637,0 706,0 784,4 835,7 874,8

2. Peso molecular: PM = 200,59.3. Capacidad calorífica del vapor de mercurio .4. A 40 psi la densidad del mercurio líquido saturado es 787,4 lb/pie3 y el

volumen específico del vapor saturado es 1,648 pie3/lb.

SoluciónEl balance de energía para este proceso de condensación resulta:

167


qs = he − hs = −∆hSi se realiza la evaluación termodinámica al estado inicial, se llega a la conclusión de que el mercurio a la entrada está en fase gaseosa (Tsat < Te) y el proceso se puede representar en un diagrama T-s de la manera indicada en la figura 7.6.

Figura 7.6 Representación del proceso indicado en el ejemplo 7.10

El cambio de entalpía para el proceso que va desde vapor de mercurio a la entrada (punto e) y vapor saturado a la misma presión (punto I) (véase figura 7.6) es

El cambio de entalpía en el cambio de fase se puede calcular mediante la ecuación 7.86

en la cual (dPsat/dTsat) se calcula como la pendiente de la figura 7.7 de los datos de presión y temperatura de saturación a 40 psi.Y gráficamente se puede calcular que

= 0,35 psi/ºF

y por tanto∆hvap = 0,35 × (784,4 + 459,67) (1,648 – 1/787,4)∆hvap = 717,0 psi × pie3/lb = 33,43 kcal/lby como∆h2 = hs − hI = −∆hvap entonces

t (ºF)

784,4s I

s

P=40 psi

e920


168

Figura 7.7 Evaluación de dPsat/dTsat de los datos de presión y temperatura de ejemplo 7.10

∆h2 = −33,43 kcal/lben conclusiónqs = 33,43 + 0,846 = 34,276 kcal/lb

Problemas propuestos 7.1 Se va a transportar gas desde el yacimiento hasta el mercado de con-

sumidores. El gas es esencialmente metano que entra a la tubería a razón de 32 kg/s, a una presión de 210 bar y a una temperatura de 20 °C. El diámetro interno de la tubería es de 30 cm.

Calcular, a la entrada de la tubería, la densidad en kg/m3 y la velo-cidad en m/s considerando que el gas cumple:a. La ecuación de Van der Waals.b. La ecuación de Redlich Kwong.c. El principio de estados correspondientes y se pueden utilizar

correlaciones generalizadas. Comparar los resultados obtenidos con aquellos que se obtienen

utilizando tablas para el metano.7.2 Mediante la ecuación de estado de Van der Waals, graficar dos isoter-

mas para el nitrógeno en coordenadas P-v, una para 0 °C y otra para 100 °C; ambas en un intervalo que se extiende a 300 atm. Mostrar los puntos que se obtendrían mediante la ecuación de estado de gas ideal y mediante los factores de compresibilidad.

P (psi)

t (ºF)

40

784,4

169


7.3 Se ha sugerido que la temperatura de un líquido orgánico puede reducirse expandiéndolo adiabáticamente en una turbina reversible, el coeficiente de expansión térmica β es 4,0 × 10−3 (°R)−1, el líquido tiene una densidad relativa de 0,8, una capacidad calorífica de 0,09 Btu/lbm ºR. Determinar ∂T/∂P)s a 200 ºF.

7.4 Demostrar las siguientes igualdades

a.

b.

c.

7.5 Encontrar una expresión para el cambio de entalpía de un gas que obedece a la ecuación de estado P (v − b) = RT.

7.6 Determinar ∂ Cp /∂P)T para un gas que cumple la ecuación de Van der Waals.

7.7 Demostrar que las líneas de presión constante en la región de dos fases de un diagrama entalpía entropía son rectas pero no paralelas entre sí.

7.8 Demostrar que para un gas ideal las líneas de temperatura constante del diagrama entalpía entropía son horizontales.

7.9 Demostrar que para cualquier sustancia, en un proceso isentrópico, la entalpía disminuye si la presión disminuye.

7.10 La velocidad del sonido en una sustancia se puede definir como C2 =

∂P /∂P)s. Demostrar que para un gas ideal la velocidad del sonido es solo función de la temperatura.

7.11 Se expande isoentrópicamente CO2 por medio de una tobera aislada y de diseño adecuado. El CO2 se entrega a la tobera a 54 bar y a 40 °C y con velocidad despreciable. La presión de descarga será de 34 bar.

A una presión de 1 bar, para el CO2 Cp/R = 5.457 + 1.045 × 10−3 T, donde T se expresa en K. Determinar la velocidad de salida de la tobera:a. Suponiendo que el CO2 es un gas ideal.b. Suponiendo que el CO2 es un gas que cumple la ecuación de

estado P (v − b) = R T con b = 0,043 m3/kmol.c. Mediante correlaciones generalizadas.

7.12 Determinar la potencia requerida para comprimir 0,3 kg/s de etileno en un proceso en estado estable, reversible e isotérmico de 10 MPa y 10 °C a 40 MPa. También determinar la velocidad de extracción de


170

calor y el área de la línea de descarga si la velocidad media a la salida no excede 20 m/s.

7.13 Demostrar que el cambio de entalpía para un gas de Van der Waals, está dado por

7.14 Demostrar que la diferencia entreCp yCv para un gas de Van der

Waals, está dada por

7.15 La entalpía de vaporización del agua a 212 °F y 1 atm es 970,3 Btu/

lbm. Estimar la presión de vapor a 220 °F basándose únicamente en la información proporcionada.

7.16 Se bombea butano líquido saturado a un vaporizador a una presión de 16,2 atm, el butano sale del vaporizador como vapor húmedo con 90% de calidad y a la misma presión con que entró. Estimar la cantidad de calor suministrada por mol de butano.

Para el butano Pc = 37,48 atm, tc = 305,3 °F, Ln Psat = −4.840/T + 9,92, donde P está en atm y T en °R.

7.17 El punto de ebullición normal del Hg es 357 °C y su calor latente de vaporización es 68 cal/g, se requiere destilar el líquido a 100 °C. Estima la presión a la cual debe realizarse la destilación.

7.18 Las presiones de saturación de vapor para el benceno y el tolueno vienen dadas por la relación

donde A y B tienen los valores indicados en la tabla 7.4.

Tabla 7.4 Datos de A y B para el problema 7.18

A (K) BBenceno 32,290 9,779Tolueno 39,200 10,455

Calcular la variación de entalpía de vaporización para cada uno de esos valores a 85 kPa.

7.19 Se comprime CO2 en el compresor de una unidad de desasfaltado de una planta productora de parafinas. El compresor utiliza propa-no líquido saturado a 1 atm como refrigerante. El propano sale a la misma presión y a 50 °C; el CO2 a comprimir entra a 42 °C y 1,5 atm y sale como vapor saturado a 15,2 bar. Se ha estimado que del CO2 se deben retirar 2.170 kW de calor en el compresor. Calcular

171


el flujo másico de propano necesario para realizar la operación. Nota: la temperatura de ebullición normal del propano es 231,1K.

7.20 Determinar la fugacidad del hidrógeno a 0 °C y 2 atm, utilizando correlaciones generalizadas.

7.21 A partir de los datos del factor de compresibilidad para el H2 (véase tabla 7.5), determinar su fugacidad a 1.000 atm.

Tabla 7.5 Datos del factor de compresibilidad para el problema 7.21

P (atm) Z P (atm) Z

100 1,069 600 1,431

200 1,138 700 1,504

300 1,209 800 1,577

400 1,283 900 1,649

500 1,356 1.000 1,720

7.22 Estimar la fugacidad de la acetona líquida a 110 °C y 275 bar. A 110 °C la presión de vapor de la acetona es de 4.360 bar y el volumen molar del líquido saturado es igual a 73 cm3 mol−1.

7.23 Se comprime nitrógeno reversible e isotérmicamente en un compresor que trabaja en estado estable desde 300 K y 101 kPa hasta 20 MPa. Determinar el trabajo requerido.

7.24 En una turbina bien aislada térmicamente se expanden 0,087 kg/s de metano de 14 MPa y 13,5 °C hasta 0,5 MPa y −45 °C. Si los cambios de energía cinética y potencial son despreciables, calcular:

a. La potencia que se obtiene de la turbina. b. La eficiencia si se la compara con una turbina adiabática reversible

que descarga a la misma presión del proceso real.7.25 Dietil éter a 853 kPa y 100 °C se expande isotérmica y reversiblemente

en una turbina hasta la presión atmosférica. a. Calcular el trabajo obtenido en la turbina. b. Calcular la transferencia de calor.

8. Energía disponible. Análisis termodinámico de procesos

El objetivo de un análisis termodinámico es determinar con cuánta eficien-cia se emplea o produce la energía y mostrar cuantitativamente el efecto de las ineficiencias en cada etapa del proceso. A partir del estudio de la primera y de la segunda ley y del cálculo de las propiedades de las sustancias puras se sabe que una cantidad fija de aire a 100 kPa y 50 °C contiene la misma cantidad de energía que si se encuentra a 200 kPa a la misma temperatura. Sin embargo, el aire que se encuentra a mayor presión puede realizar más trabajo y por tanto es más valioso. De este análisis surgen las preguntas: de toda la energía con que se cuenta en un momento dado, ¿cuánta realmente puede utilizarse? O sea, ¿cuánta es la disponible? La disponibilidad de la energía depende de las condiciones a las cuales se encuentra el sistema y de las condiciones del medio en el cual interactúa.En capítulos previos, la referencia a la eficiencia se hacía en términos de un equipo en particular (por ejemplo, de una tobera, de una turbina, de un compresor) o de la eficiencia térmica de una máquina que transforma energía en forma de calor en energía en forma de trabajo.En este capítulo se pretende dar respuesta a las preguntas planteadas y además analizar la eficiencia de un proceso real comparada con la de un proceso completamente reversible que logre la misma transformación del proceso real. Por tanto, es necesario establecer una relación que permita calcular el trabajo para este proceso hipotético de comparación.Es necesario tener en cuenta que el sistema sólo puede transformarse has-ta cuando alcance equilibrio termodinámico (esto es: mecánico, térmico y químico) con el ambiente, en ese momento ya no puede sufrir ningún cambio espontáneo, las condiciones finales de presión y de temperatura son las del ambiente, su velocidad es cero, su energía potencial es mínima y no puede reaccionar químicamente. Por tanto, es necesario conocer las condiciones del ambiente, en el cual, al considerarse muy grandes en comparación con el sistema, la presión y la temperatura no son afectadas por los procesos que ocurren en este y se representan por P0 y T0.

173


8.1 Energía disponible y energía no disponibleEnergía disponible es aquella parte del contenido energético total que potencialmente puede transformarse en trabajo útil.

8.1.1 Energía disponibleEsta energía puede calcularse permitiendo que la sustancia efectúe un cambio de estado reversible hasta alcanzar equilibrio termodinámico con el medio ambiente que se encuentra a P0 y T0. En la práctica, al medio ambiente se le designa como depósito estándar para determinar la energía disponible del sistema.— Cuando el cambio de estado reversible se lleva a cabo en sistema cerrado,

de la primera ley se tiene queδq = du + δwde la segunda ley se sabe queds(sistema) + ds(alrededores) = 0 ⇒ ds(alrededores) = – ds(sistema)

ds(alrededores) =– dq(sistema)

T(alrededores)

combinando las ecuaciones anteriores se tiene queT(alred) ds(stma) = du + δw(máx) (8.1)

se trata de δw(máx) por ser un proceso reversible, luego

δw(máx) = T(alred) ds – du

si los alrededores son el medio ambienteδw(máx) = T0 ds – du (8.2)

entonces el trabajo máximo queda dado por

w(máx) = (u – T0 s) – (u0 – T0 s0) (8.3)

donde T0, s0, u0 son las propiedades del sistema cuando se encuentra en equilibrio con el medio ambiente y w(máx) es el máximo trabajo que puede realizar un sistema hasta alcanzar equilibrio con el ambiente.Se debe tener en cuenta que parte de este trabajo máximo se realiza con-tra el medio ambiente y por tanto no resulta útil. Este trabajo contra el ambiente está dado por P0 (v0 – v), entonces el trabajo máximo útil esw(máx, útil) = w(máx) – P0 (v0 – v)

w(máx, útil) = (u + P0 v – T0 s) – (u0 + P0 v0 – T0 s0) (8.4)

El trabajo máximo útil se conoce como disponibilidad o energía disponible en sistema cerrado o exergía sin flujo. Para representar esta disponibilidad por unidad de masa se utiliza el símbolo φφ = (u + P0 v – T0 s) – (u0 + P0 v0 – T0 s0) (8.5)


174

La disponibilidad es función de las propiedades del sistema y del medio ambiente.Cuando un sistema cerrado efectúa un cambio del estado 1 al estado 2, se puede decir que el máximo trabajo útil es la diferencia entre la disponibi-lidad al comienzo y la disponibilidad al final del proceso:w(máx, útil) = φ1 – φ2 (8.6)

w(máx, útil) = T0 (s2 – s1) – (u2 – u1) – P0 (v2 – v1) (8.7)

La visualización de cómo determinar la disponibilidad y lo que ello significa puede verse en la figura 8.1.

Figura 8.1 Arreglo conceptual para determinar la disponibilidad

Todos los procesos involucrados deben ser reversibles, luego, la transfe-rencia de calor es reversible, la máquina térmica es reversible y parte del trabajo hecho por el sistema es contra el medio ambiente que se encuentra a una presión P0.

Ejemplo 8.1A un recipiente cerrado y rígido que contiene amoníaco saturado seco a 10 °C se añade calor hasta que la presión alcanza 800 kPa. ¿En cuánto aumenta la energía disponible del amoníaco si la temperatura del ambiente es 25 °C?

SoluciónSe trata de calcular la variación de la disponibilidad para una cantidad fija de amoníaco que sufre una transformación en sistema cerrado a volumen constante. El aumento de la energía disponible por unidad de masa es∆φ = φ2 – φ1 de acuerdo con la ecuación 8.5φ2 – φ1 = (u2 – T0 s2) – (u1 – T0 s1)en el estado 1, vapor saturado seco a 10 °C

Cilindro conpistón sinfricción

M.T.

Qo

Q

Trabajo desarrolladopor la máquina

Trabajo hechosobre el pistón

Trabajo realizadocontra el ambiente

Depósito de trabajo útil

Medio ambiente a Po

Medio ambiente a To

Sistema

175


u1 = h1 – P1 v1 = 1.453,3 – 614,95 × 0,2056 = 1.326,87 kJ/kgs1 = 5,2104 kJ/kg KEn el estado 2, vapor sobrecalentado a 800 kPa y v2 = v1 = 0,2056 m3/kgu2 = h2 – P2 v2 = 1.621,68 – 800 × 0,2056 = 1.457,20 kJ/kgs2 = 5,6227 kJ/kg Kφ2 – φ1 = (1.457,2 – 298 × 5,6227) – ( 1.326,87 – 298 × 5,2104)φ2 – φ1 = 7,465 kJ/kgLa disponibilidad aumenta en 7,465 kJ por cada kilogramo de amoníaco, sin embargo, el calor añadido esQe = u2 – u1 = (1.457,20 – 1.326,87)Qe = 130,33 kJ/kg— Cuando el cambio de estado reversible se lleva a cabo en sistema abierto

en un proceso de flujo en estado estable, el balance de energía es0 = (h + ec + ep)e + qN – (h + ec + ep)s – wN

donde wN es el trabajo de eje que en su totalidad es trabajo útil y máximo.De la segunda ley para proceso reversible∆s(stma) + ∆s(alred) = 0

∆s(alred)=q(alred) =

– qN

T(alred) T(alred)

Combinando las ecuaciones anteriores resulta 0 = (h + ec + ep)e + T(alred) (ss – se) – (h + ec + ep )s – w(máx,útil)

Si la transformación se da hasta alcanzar el equilibrio con el ambiente donde la energía cinética y la potencial se anulan y la temperatura de la sustancia llega a T0, entoncesw(máx, útil) = T0 (s0 – s) – (h0 – h) + (ec + ep )e (8.8)

donde T0, s0 y h0 son las propiedades de la corriente en la descarga del dispositivo que está en equilibrio con el medio ambiente.El trabajo máximo útil expresado por la ecuación 8.8 se conoce como dis-ponibilidad o energía disponible en sistema abierto o la exergía del flujo. Esta disponibilidad por unidad de masa se representa con el símbolo ψ

ψ = (h + ec + ep – T0 s) – (h0 – T0 s0) (8.9)

y es función tanto de las propiedades del fluido como del medio ambiente.El máximo trabajo útil que puede obtenerse de una corriente de fluido que sufre un cambio al pasar a través de un dispositivo que opera en estado estable flujo estable esw(máx,útil) = ψe – ψs = (h + ec + ep – T0 s)e – (h + ec + ep – T0 s)s (8.10)


176

Si las contribuciones de la energía cinética y potencial se pueden considerar despreciables, la ecuación 8.10 queda

w(máx,útil) = T0 (ss – se) – (hs – he) (8.11)La visualización del significado de la disponibilidad de flujo está represen-tada en la figura 8.2.

Ejemplo 8.2Vapor de agua saturado a 100 °C se condensa reversiblemente en un inter-cambiador de calor hasta alcanzar líquido saturado a la misma temperatura. Calcular el trabajo máximo útil que se podría obtener de esta operación.

SoluciónEl trabajo útil es en este caso (despreciando los cambios de energía ciné-tica y potencial)w(máx,útil) = (h1 – T0 s1) – (h2 – T0 s2)w(máx,útil) = T0 ∆s – ∆hDe las tablas de vapor de agua se obtieneh1 = hg (100 °C) = 2.676,0 kJ/kg, s1 = sg = 7,3554 kJ/kg K, h2 = hf = 419,06kJ/kg, s2 = sf = 1,3069 kJ/kg K y suponiendo que T0 = 25 °C = 298,15 K, entonces w(máx,útil) = 453,5 kJ/kg.

8.1.2 Disponibilidad de la energía en tránsito1. Calor y energía disponibleCuando la energía en tránsito se está dando en forma de calor es muy importante tener en cuenta cuál es la condición de temperatura a la que

Figura 8.2 Arreglo conceptual para determinar la disponibilidad de flujo (la máquina térmica opera reversiblemente, el trabajo entregado por el volumen de control y por la máquina es en su totalidad trabajo útil).

M.T.

Qo

W Máquina de Carnot

Dispositivo que operaen estado permanente

Medio ambiente a To

se

Volumen de control

Qvc

(Salida del fluido a P , T )o o

Wvc WÚtil, max

177


el depósito está entregando ese calor porque de ello depende la disponibi-lidad que se tenga.La parte disponible del calor añadido o extraído de un sistema es aquella que podría convertirse en trabajo mediante una máquina térmica reversible, el resto será la energía no disponible.Si se utilizan los símbolos Qdis y Qno dis para las partes disponible y no disponible de la energía en forma de calor y Q la cantidad total de calor, entoncesQ = Qdis + Qno dis (8.12)La máquina de Carnot entonces recibe una cantidad de calor Q de un depósito que se encuentra a una temperatura T (que puede ser variable), parte lo transforma en trabajo y el resto lo entrega al ambiente a una temperatura T0. La adición de calor al sistema en un proceso reversible se puede representar como en la figura 8.3.T δqdis = (T – T0) ds

Figura 8.3 Representación de qdis y qno dis

La parte disponible de la energía que recibe el sistema se determina imagi-nando que cada fracción de calor se añade a una máquina de Carnot a una temperatura T. El proceso global, para el cual la temperatura cambia desde T1 hasta T2, se puede pensar como una serie de máquinas de Carnot que reciben la energía a una temperatura constante y descargan a T0. Luego, las porciones disponibles y las no disponibles están representadas por las áreas (T – T0) ds y T0 ds respectivamente, por consiguiente

(8.13)

T

s

T0

q =(T T ) dsdisponible 0

2

1

ds

qno disponible

q =T dsno disponible 0


178

(8.14)

2. Trabajo y energía disponibleCuando la energía en tránsito se está dando en forma de trabajo, se debe tener en cuenta que en un proceso de expansión o compresión la parte del trabajo que se realiza contra los alrededores no resulta verdaderamente útilw(útil, expansión) = wtotal – walred (8.15)Por otra parte, cuando el trabajo se realiza en un eje, no hay desplazamiento de las fronteras del sistema y por tanto no está haciendo trabajo contra los alrededores. De esto se concluye que todo el trabajo en el eje útil esw(útil, eje) = wtotal (8.16)

8.1.3 Pérdida de disponibilidad Es aquella energía que potencialmente pudo aprovecharse como trabajo, pero debido a las irreversibilidades del proceso se perdió. Esto puede ilus-trarse mediante el proceso representado en la figura 8.4.

Figura 8.4 Representación de un proceso con la mayor pérdida de disponibilidad

Se trata de una sustancia gaseosa confinada a unas condiciones Pi y Ti, sepa-rada por medio de una membrana de una cámara de vacío, cuando la mem-brana se rompe el sistema se expande ocupando todo el espacio sin realizar trabajo. Es claro entonces que el trabajo máximo que se pudo obtener, se perdió. Este trabajo perdido se conoce como irreversibilidad o disponibilidad perdida y se puede expresar a partir de la ecuación 8.2δwmáx = T0 ds – duen la cual δwmáx es todo el trabajo perdido. Por otra parte, como no hay transferencia de energía, la energía interna permanece constante durante el proceso y por tantoδlw = T0 dsademás, del balance de entropía para este casods = δsgen reemplazando se tiene

2

Pared adiabática

Sistema a P y Ti i Vacío Sistema a P y Tf f

a. b.

179


δ lw = T0 δsgen (8.17)como se mencionó anteriormente este trabajo perdido también puede llamarse irreversibilidad y se representa porδi = T0 δsgen (8.18)

8.2 Balance de disponibilidadTeniendo en cuenta que la energía puede estar conformada por una porción de energía que es disponible y otra que no lo es, la ecuación de balance de disponibilidad puede plantearse como

Entonces, variación de disponibilidad en el interior del sistema:

Entrada de energía disponible al volumen de control— Con la masa: .— Con el calor: .— Con el trabajo: .Salida de energía disponible del volumen de control— Con la masa: .— Con el calor: .— Con el trabajo: .Consumo de disponibilidad

La ecuación general de balance queda entonces

(8.19)

este balance de disponibilidad equivale a un balance de trabajo útil.

Ejemplo 8.3En un arreglo cilindro pistón se comprimen 50 kg de amoníaco en forma isotérmica. Al principio de la compresión el amoníaco está a 18 °C y 250 kPa y la presión final es de 1.200 kPa. Para la compresión se necesitaron 18,5 MJ de trabajo mecánico. Calcular la irreversibilidad del proceso.


180

SoluciónEl balance de energía disponible para este caso es

Como el proceso es a temperatura constante, la integral del lado derecho se puede calcular fácilmente

La transferencia de calor se puede calcular por medio de un balance de energíaQs = We(total) – M (uf – ui)y de las tablas del amoníacoQs = 18.500 + 50 (263,4 – 1.364,9) = 73.575 kJEl cambio en la disponibilidad del sistema se puede calcular (despreciando los cambios en energía cinética y potencial) comoφ2 – φ1 = (u2 – u1) + P0 (v2 – v1) – T0 (s2 – s1) si se supone que T0 = 25 °C y P0 = 85 kPa y con la ayuda de las tablas del amoníaco resulta φ2 – φ1 = (263,4 – 1.364,9) + 85 (0,001631 – 0,5525) – 298,15 (1,0112 – 5,8043)φ2 – φ1 = 280,74 kJ/kgPara calcular el trabajo útil que entra al sistema, se debe restar del trabajo total el trabajo hecho por la atmósfera (ecuación 8.15)we(útil) = we,total – watm

we(útil) = 18.500 – M P0 (v1 – v2)we(útil) = 18.500 – 50×85 (0,5525 – 0,001631)we(útil) = 16.158,8 kJy por tanto la irreversibilidad es

I = 3.890,7 kJ = 3,89 MJ

Ejemplo 8.4Se estrangula vapor saturado seco a 2,0 MPa hasta 600 kPa, haciéndolo pasar a través de una válvula. El flujo de vapor es de 360 kg/h. Para una temperatura ambiente de 5 °C, dibujar el diagrama T-s para el proceso y calcular la pérdida de disponibilidad.

SoluciónSe trata de un proceso en estado estable flujo estable donde no se realiza tra-bajo, se pueden despreciar los cambios de energía cinética y potencial. Del balance de energía se concluye que se trata de un cambio isoentálpico.Estado termodinámico a la entradaPe = 2,0 MPa, he = 2.799,5 kJ/kg, te = 212,42 °C, se = 6,3409 kJ/kg K.

181


Estado termodinámico a la salidaPs =600 MPa, hs = 2.799,5 kJ/kg, ts = 177,68 °C, ss = 6,8545 kJ/kg K.En un diagrama T-s el proceso se representa como se indica en la figura 8.5.

Figura 8.5 Representación del proceso del ejemplo 8.4

El balance de disponibilidad es

corresponde a la pérdida de disponibilidad.Pérdida de disponibilidad =

= 360 × 278 (6,8545 – 6,3409) = 51.401,09 kJ/hAunque durante el proceso no se da ningún tipo de transferencia de energía al ambiente, se pierde disponibilidad debido a la irreversibilidad.

8.3 Eficiencia exergéticaHasta el momento, al hacer referencia a la eficiencia siempre ha sido en términos energéticos, sin hacer distinción de la calidad de la energía pro-ducida o consumida. Una forma más apropiada de evaluar los procesos es en términos de la energía disponible consumida o producida ya que es la energía verdaderamente aprovechable. En esta sección se presentará la eficiencia exergética de procesos la cual se conoce también como eficiencia de segunda ley. En general, la eficiencia se puede definir como lo que se obtiene sobre lo que se paga

ηexergética=lo que se obtiene

lo que se paga(8.20)

T

h= Constantes

e

s


182

A diferencia de la eficiencia energética, la eficiencia exergética puede ser del ciento por ciento si el proceso de transformación al que se refiere se realiza de una manera completamente reversible (sin destrucción de exergía).

8.3.1 Eficiencia de una máquina térmicaDe acuerdo con el objetivo de una máquina térmica, que es obtener trabajo a partir de calor suministrado, y ya que todo el trabajo producido es, en este caso, energía disponible, mientras que la fracción disponible del calor es Qc (1 – T0 /Tc), tenemos

ηexergética=W = ηt

Qc (1 – T0 /Tc) (1 – T0 /Tc)(8.21)

La ηexerg siempre es mayor que la ηt debido a que sólo se contabiliza la fracción de calor que efectivamente se puede convertir en trabajo.

8.3.2 Eficiencia de un refrigeradorEl objetivo de un refrigerador es extraer calor para lograr una baja tempe-ratura por medio de una máquina que consume trabajo. Al extraer calor de un depósito, este queda en capacidad de permitir la producción de trabajo mediante una máquina térmica reversible que recibe calor del ambiente y descarga en el depósito; luego, la eficiencia exergética es

ηref, exerg=WM.T rev

Wreal

(8.22)

PeroWM.T rev = Qc ηT

de acuerdo con la primera leyWM.T rev = (WM.T, rev + QF) ηT

WM.T rev=QF ηT

1 – ηTReemplazando en la ecuación 8.22 se obtiene

ηref, exerg =ηT QF

1 – ηT Wrealy de acuerdo con la ecuación 5.4

(8.23)

8.3.3 Eficiencia de una bomba de calorEn este caso se desea mantener un recinto a una temperatura alta suminis-trándole calor extraído de un foco que se encuentra a menor temperatura mediante el empleo de trabajo mecánico. Al obtener un depósito caliente,

183


se está en capacidad de producir trabajo mediante una máquina térmica reversible conectada entre este depósito y el ambiente.

ηB. C, exergia =WM.T revWreal

ηB. C, exergia =Qc ηT

Wreal

de acuerdo con las ecuaciones 4.7 y 4.9

(8.24)

8.3.4 Eficiencias de bombas y compresoresEn estos equipos la sustancia recibe energía mecánica para aumentar su exergía (representada en alta presión o incremento de energía potencial)

ηexergia =incremento de exergia

trabajo real suministrado

ηexerg =ψs – ψe

We(8.25)

8.3.5 Eficiencia de una turbina En estos equipos se obtiene trabajo a expensas de una disminución de la exergía de la sustancia, luego

ηexerg =trabajo real obtenido

disminución de la exergia

ηexerg =Ws

ψE – ψs(8.26)

8.3.6 Eficiencia de un intercambiador de calorDe acuerdo con el criterio de eficiencia exergética se podría definir para un intercambiador de calor

ηI. C, exerg =exergia ganada por el fluido que se calienta

exergia perdida por el fluido que se calienta

(8.27)

En la práctica esta eficiencia no tiene mucho sentido, pues lo que interesa es la transferencia de calor para aumentar la energía de una sustancia. Sería más útil hacer referencia a una eficiencia energética.


184

8.3.7 Eficiencia de toberasEn estos dispositivos se logra aumentar la velocidad del fluido a expensas de una disminución de la presión

ηtob, exerg =ψsψe

(8.28)

donde la disponibilidad en la salida es debida principalmente a la velocidad, y en la entrada, a la presión.

Ejemplo 8.5Una máquina térmica que opera entre dos depósitos de calor a 2.000 y 200 °C, produce un trabajo neto de 2.000 kJ. Si la máquina tiene una eficiencia térmica del 51% de la eficiencia de Carnot entre las mismas temperaturas, calcular la eficiencia exergética de la máquina (suponer que la temperatura ambiente es 300 K).

SoluciónUn esquema que representa la máquina térmica se indica en la figura 8.6. La eficiencia exergética de la máquina es

ηexergetica =ηT (real)

(1 – T0 /Tc)para este caso, ηT (real) = 0,51 × ηCarnot = 0,51 × (1 – Tf /Tc)ηT (real) = 0,51 × (1 – 473 /2.273)= 0,40y por tanto

Figura 8.6 Esquema que representa la máquina térmica del ejemplo 8.5

ηexergetica =0,40

=0,46(1 – 300/2.273)

La eficiencia exergética es mayor que la eficiencia térmica porque se calcula con base únicamente en la energía disponible del calor.

Ejemplo 8.6

M.T.

Qf

QcW =2.000 kJN

200 ºC

2.000 ºC

185


Una turbina aislada térmicamente se alimenta con 10 kg/s de agua a 600 °C y 3.500 kPa. De la turbina salen dos corrientes: la corriente 2 está a 500 °C y

Figura 8.7 Esquema que representa la turbina aislada del ejemplo 8.6

400 kPa y la corriente 3 es agua con 80% de calidad a 70 kPa. Si la poten-cia que se obtiene de esta turbina es 7 MW, calcular la irreversibilidad y la eficiencia exergética de la turbina.

SoluciónEl proceso se puede esquematizar como se indica en la figura 8.7. Para calcular la irreversibilidad y la eficiencia de la turbina se deben calcular primero los flujos másicos de las corrientes 2 y 3. Estos se pueden calcular de los balances de masa y de energíaBalance de masa ;balance de energía resolviendo para las incógnitas y se obtiene =5,51 kg/s y =4,49 kg/s.Para calcular la irreversibilidad, el balance de energía disponible se puede escribir como

o en términos de las propiedades

De las tablas de propiedades del agua se obtieneh1 = 3.678,4 kJ/kg, h2 = 3.484,9 kJ/kg, h3 = 2.203,46 kJ/kg, s1 = 7,4339 kJ/kg K, s2 = 8,1913 kJ/kg K, s3 = 6,2218 kJ/kg K y si se toma T0 = 298,15 K y P0 = 101,3 kPa entonces h0 = 104,89 kJ/kg, s0 = 0,3674 kJ/kgK y por tanto .La eficiencia se puede calcular como

1

W=7.000 kJ/s

3

2

10 kg/s3.500 kPa600 ºC

400 kPa500 ºC

70 kPaX=0,8


186

y con los valores ya encontrados

8.4 Análisis termodinámico de procesosUn análisis comprende— La evaluación del estado termodinámico en cada uno de los puntos del

proceso.— Determinación de los flujos másicos de cada corriente.— El cálculo de las transferencias de calor y trabajo real para cada una de

las etapas.— El cálculo de la energía disponible en cada punto.— El cálculo de la irreversibilidad en cada etapa y a qué porcentaje de la

irreversibilidad total corresponde.— El cálculo de la eficiencia termodinámica de cada etapa y del proceso

global.Este análisis se puede ilustrar en el ejemplo 8.7.

Ejemplo 8.7La figura 8.8 muestra un proceso que enfría 0,5 kg/s de agua de 25 a 5 °C. El agua actúa como su propio refrigerante por medio de un ciclo de recirculación. El compresor (bomba de vacío) mantiene una presión de succión en el punto (4), de forma tal que la temperatura de saturación en el separador sea 5 °C y descarga al punto (5) a 10 kPa. El compresor opera con una eficiencia adiabática del 75% y el condensador descarga agua líquida saturada a 10 kPa. Realizar un análisis termodinámico completo.

SoluciónPara este problema y teniendo en cuenta los datos proporcionados, se con-sidera que todos los procesos, excepto en el condensador, son adiabáticos, las bombas operan en forma reversible y la corriente de alimentación y de producto están a presión atmosférica. El análisis termodinámico se realiza siguiendo los pasos que se indican a continuación.1. Determinación del estado termodinámico de todos los puntos y los flujos

másicos de cada corriente. De los datos del ejemplo: punto 1, P = 101,325 kPa, t = 25 °C; punto 2, P = 101,325 kPa; punto 3, vapor húmedo a 5 °C; punto 4, vapor saturado a 5 °C; punto 5, P = 10 kPa; punto 6, líquido saturado a 10 kPa; punto 7, P = 101,325 kPa; punto 8, líquido saturado a 5 °C; punto 9, P = 101,325 kPa. Queda entonces por determinar com-pletamente el estado termodinámico de los puntos 2, 3, 5, 7 y 9.

187


Para calcular otra propiedad en 7 se realiza un balance de energía en la bomba 1wb1 = h7 – h6

pero como la bomba es reversible y teniendo en cuenta que el volumen específico del líquido no cambia apreciablemente con la presión wb1 = v6 (P7 – P6) por tanto h7 = v6 (P7 – P6) + h6 = 191,92 kJ/kg.La entalpía en el punto 9 se puede evaluar de la misma manera, mediante un balance en la bomba 2 h9 = v8 (P9 – P8) + h8 = 21,08 kJ/kg.Los estados 2 y 3 se pueden encontrar de la siguiente manera— Balance de energía en la unión de 1 y 7

— Balance de energía en la válvula entre 2 y 3

— Balance de energía en el separador

Combinando estas tres ecuaciones se obtiene

y como entonces

Figura 8.8 Proceso que enfría 0,5 kg/s de agua de 25 a 5 °C, ejemplo 8.7

Condensador

Q5 6

Wc Compresorc=75%

4

3 2 1

7

8

9Agua fría

Bomba 2

Bomba 1

Separador

Agua de alimentación

Wb2

Wb1

Ambiente a 300 K


188

un balance de masa en la unión de 1 y 7 produce

reemplazando

y h3 = 107,91 kJ/kgEl estado 5 se puede determinar del proceso en el compresor. Si el com-presor fuera reversible wc, rev = h5, rev – h4, rev y del balance de entropía para el caso reversible s4 = s5, rev = 9,0257 kJ/kg K con s5, rev y P5 se encuentran de las tablas, h5, rev = 2.940,2 kJ/kg y la ecuación produce wc, rev = 429,6 kJ/kgde la ecuación de eficiencia adiabática

y del balance de energía para el compresor real h5 = h4 + wc,real = 3.083,4 kJ/kg.Hasta aquí se han encontrado, al menos, dos propiedades para cada punto y por tanto todas las otras propiedades pueden ser especificadas. En la tabla 8.1 se resumen las condiciones de todos los puntos

2. Energía en forma de trabajo en cada etapa. Es claro que en este caso sólo hay trabajo en el compresor y en las bombas

— En el compresor — En la bomba 1

— En la bomba 2

Se puede concluir que la potencia consumida en las bombas es prácticamen-te despreciable comparada con la potencia consumida en el compresor.

3. Transferencia en forma de calor en cada etapa. El único sitio donde se intercambia calor es en el condensador

4. Irreversibilidades en cada etapa. Mediante balances de energía disponible

se puede calcular la irreversibilidad de las etapas. — En la unión de las corrientes 1 y 7

— En la válvula 1,732 kJ/s

189


Tabl

a 8.

1 C

ondi

cion

es d

e to

dos

los

punt

os p

ara

el e

jem

plo

8.7

(los

val

ores

sub

raya

dos

son

los

que

perm

iten

lee

r la

s ot

ras

prop

ieda

des

en la

s ta

blas

)

Pun

tofa

seM

(k

g/s)

P (

kPa

)t

(°C

)h

(kJ/

kg)

s (

kJ/

kgK

)v

(m3 /

kg)

ψ (

kJ/

kg)

1Lí

quid

o co

mpr

imid

o0,

510

1,32

525

104,

890,

3674

0

2Lí

quid

o co

mpr

imid

o0,

518

101,

325

25,7

107,

910,

3771

80,

1040

3Va

por

húm

edo

X=

0,03

490,

518

0,87

215

107,

910,

3884

–3,2

4

4Va

por

satu

rado

0,01

80,

8721

52.

510,

69,

0257

–175

,76

5Va

por

reca

lent

ado

0,01

810

303,

43.

083,

49,

2924

317,

52

6Lí

quid

o sa

tura

do0,

018

1045

,81

191,

830,

6493

0,00

101

2,89

7Lí

quid

o co

mpr

imid

o0,

018

101,

325

45,8

319

1,92

0,64

930,

0010

12,

98

8Lí

quid

o sa

tura

do0,

50,

8721

520

,98

0,07

610,

001

2,94

9Lí

quid

o co

mpr

imid

o0,

510

1,32

55,

0221

,08

0,07

610,

001

3,04


190

— En el separador

— En el compresor 1,431 kJ/s

— En el condensador

y qdisp = q– qno dis, pero qno disp = T0 (s5 – s6) = 2.576,94 kJ/kg, qdisp = 314,63 kJ/kgcon estos resultados

— En la bomba 1 — En la bomba 2 5. Irreversibilidad total y porcentajes de contribución de cada etapa. La

irreversibilidad total es

Otra forma de cálculo es con un balance dé energía disponible de toda la planta

= 3,18 kJ/s6. Eficiencia exergética de cada etapa

— Para la mezcla de 1 y 7

— Para el separador

— Para el compresor

— En el condensador

— En la bomba 1

— En la bomba 2

Problemas propuestos8.1 Un tanque rígido contiene vapor de agua saturado a 90 °C. Se agrega

calor al agua hasta que la presión en el tanque alcanza un valor de 1,5 bar. La temperatura del ambiente es 10 °C. Calcular cuánto del calor agregado es energía disponible.

191


8.2 Se enfría aire a 15 lbf/pul2 y a presión constante desde 340 °F hasta 80 °F, todo el calor que cede el sistema aparece en los alrededores que tienen una temperatura de 60 °F. Determinar, del calor que se sustrae, qué cantidad es energía disponible para el sistema cerrado en Btu/h.

8.3 Determinar la cantidad máxima de trabajo que se puede obtener en un proceso de flujo de un kilogramo de vapor de agua a 200 kPa y 400 °C, si las condiciones del ambiente son 101,33 kPa y 300 K.

8.4 Agua a 300 K y 10.000 kPa fluye por una caldera a razón de 10 kg/s, allí se vaporiza produciendo vapor saturado a 10.000 kPa. ¿Cuál es la fracción máxima del calor agregado al agua en la caldera que puede convertirse en trabajo en un proceso cuyo producto terminal es agua a las condiciones iniciales, si T0 = 300 K? ¿Qué pasa con el calor restante?

8.5 Un gas ideal a 2.000 kPa se estrangula adiabáticamente hasta 200 kPa. Determinar el trabajo perdido durante este proceso si T0 = 300 K.

8.6 Considere la transferencia de calor directa desde un recipiente térmico a T1 hasta otro recipiente térmico a T2, donde T1 > T2 >T0. No es obvio por qué el trabajo perdido de este proceso depende de T0, puesto que los alrededores no intervienen en la transferencia de calor real. Mediante el empleo adecuado de la fórmula para la máquina de Carnot, demostrar que para la transferencia de una cantidad de calor Q se cumple

8.7 En un tanque rígido con un volumen de 0,10 m3 hay freón-12 a 2 bar

con una calidad del 50%. Se agrega calor de un depósito a 100 °C hasta que la presión alcanza 5 bar. Determinar la irreversibilidad del proceso. Considerar la temperatura ambiente 24 °C.

8.8 El arreglo de la figura 8.9 se puede emplear para producir vapor a 1.000 kPa, si se dispone de dos fuentes de vapor una a 2.500 kPa y otra a 300 kPa. Suponiendo que tanto el compresor como la turbina operan isoentrópicamente y en estado y flujo permanente, determinar:a. La razón de flujos másicos que hay entre las fuentes de vapor de

alta y de baja presión.b. La temperatura del vapor de 1.000 kPa que se obtiene mediante

la descarga de la turbina y el compresor.c. La irreversibilidad del proceso por cada kilogramo de vapor a 300 kPa,

suponer que todo el proceso es adiabático, P0 = 101,32 kPa, T0 8.9 Un refrigerador opera entre un depósito de calor de baja tempera-

tura a 5 °C y un depósito de calor de alta temperatura a 20 °C. Si se requiere proporcionar 1.000 kJ de trabajo para producir 4.000 kJ de refrigeración, ¿cuál es su eficiencia exergética? t0 = 20 °C.


192

8.10 Un flujo permanente de agua se calienta en un intercambiador de calor de 25 a 50 °C mediante el calor proveniente de un depósito a 250 °C. Si el flujo de agua es de 0,5 kg/s, determinar la irreversibi-lidad del proceso.

8.11 Un tanque rígido de 1 m3 de volumen contiene inicialmente aire a 700 kPa y 40 °C. Al extraer aire del tanque se proporciona calor al mismo de tal manera que su temperatura se mantenga a 40 °C. Determinar para cuando la presión del aire dentro del tanque haya caído a 175 kPa:

a. La cantidad total de calor que fue necesario proporcionar al tanque. b. La irreversibilidad del proceso. T0 = 300 K, P0 = 101,325 kPa.8.12 Se comprime aire isotérmicamente mediante un compresor que ope-

ra en estado permanente desde 100 kPa y 300 K hasta una presión final de 500 kPa. ¿Cuál es la eficiencia exergética del proceso? Para un flujo másico de 2,0 kg/s, ¿cuál es la potencia reversible? P0 = 101,25 kPa, T0 = 300 K.

8.13 Se comprime aire adiabáticamente mediante un compresor que ope-ra en estado permanente, desde 100 kPa y 300 K hasta una presión final de 500 kPa. ¿Cuál es la eficiencia exergética del proceso? Para un flujo másico de 2,0 kg/s, ¿cuál es la potencia reversible? P0 = 101,325 kPa, T0 = 300 K.

8.14 Un reactor nuclear opera una planta elemental de potencia de turbina de gas, como se muestra la figura 8.10. El aire entra en el punto 1 y se comprime adiabáticamente hasta el punto 2, se calienta a presión constante entre los puntos 2 y 3 y se expande adiabáticamente del punto 3 al punto 4. Las condiciones específicas son: punto 1, 20 °C, 1 bar; punto 2, 4 bar; punto 3, 540 °C, 4 bar; punto 4, 1 bar.

Figura 8.9 Descripción del proceso para el problema 8.8

1

T

2

Vapor saturado a2.500 kPa

Vapor saturado a300 kPa

C

4

3

5

193


El trabajo para operar el compresor Wc proviene de la turbina y el trabajo adicional de la turbina es el trabajo neto Ws que entrega la planta. Las eficiencias del compresor y la turbina se indican en la figura 8.10. Realizar un análisis termodinámico del proceso, inclu-yendo el reactor nuclear como parte del sistema y tratándolo como un depósito de calor a 650 °C, T0 = 293,15 K.

Figura 8.10 Descripción del proceso para el problema 8.14

8.15 Se usa agua como sustancia de trabajo en una planta de potencia que utiliza un reactor nuclear. El diagrama de esta planta se muestra en la figura 8.11. El líquido comprimido que sale del reactor entra al evaporador instantáneo, donde se reduce la presión. Aquella fracción de agua que se evapora fluye hacia la turbina, mientras que el líquido que permanece va hacia la cámara de mezcla; la turbina es adiabática reversible, igual que las bombas. Realizar un análisis termodinámico del proceso.

1

T

2

C

4

Reactor nucleara 650 ºC

Ws

3

WC

Figura 8.11 Diagrama de una planta para el problema 8.15

10 Mpa, 260 ºC

V

P=10 Mpa T4

W

L

Válvula

ReactorVapor saturado

2 Mpa

Evaporadorinstantáneo

CondensadorP=10 kPa

Cámara demezcla

P=2 Mpa

P=10 kPaP=2 MpaBomba

9. Aplicaciones termodinámicas del flujo de fluidos

En este capítulo se aplican los conceptos presentados en capítulos previos al estudio del flujo de fluidos a través de equipos. En este tipo de aplicaciones (y por supuesto en las presentadas en el capítulo diez) se requiere de un uso global de los conceptos y herramientas de cálculo estudiadas anteriormente.Se presentará primero el flujo de fluidos a través de tuberías (para mostrar la utilización de la ecuación del balance de energía mecánica), posteriormente se analizarán los flujos a través de toberas y difusores, para concluir el capí-tulo con el estudio de los procesos de compresión y expansión en turbinas.

9.1 Balance de energía mecánicaPara deducir el balance de energía mecánica se puede considerar el flujo a través de un equipo, como se muestra en la figura 9.1. El volumen de control para este caso será infinitesimal, de tal manera que los cambios en las propiedades se puedan considerar como diferenciales.

Figura 9.1 Sistema diferencial para determinar la ecuación de Bernoulli

Si se considera que el flujo es de estado estable, entonces el balance de energía es0 = δMe (h + ec + ep)e + δQ − δMs (h + ec + ep)s − δWs

e s

Sistema diferencial

Q W

195


y si los cambios en la entalpía, la energía cinética y la energía potencial, se pueden considerar como diferenciales, entonces el balance por unidad de masa es

0 = δq − δws − d(h + ec + ep) (9.1)

El balance de entropía para este caso es

y por unidad de masa

(9.2)

en la cual ds representa la diferencia en la entropía entre los puntos de salida y de entrada.Si se considera que el sistema diferencial se mantiene a temperatura constante, entonces

T ds = δq + δlw (9.3)combinando las ecuaciones 9.1 y 9.3 para eliminar el flujo de calor, se obtiene

0 = T ds − δlw − δws − d(h + ec + ep) (9.4)

la cual se puede reescribir como

0 = T ds − dh − δlw − δws − d(ec + ep) (9.5)

y utilizando la ecuación 5.6 (ecuaciones fundamentales) se transforma en

0 = − v dP − δlw − δws − d(ec + ep) (9.6)

La ecuación 9.6 es el balance de energía mecánica para un sistema dife-rencial. La integración de esta ecuación sobre todo el proceso (o en otras palabras, la suma de los cambios a través de todos los elementos diferen-ciales que componen un proceso) produce

(9.7)la únicas restricciones en la deducción de esta ecuación fueron las considera-ciones de un estado estable y que el proceso ocurre por una serie de estados de equilibrio (esto está implícito en la utilización de la ecuación 5.6). La consideración de que el sistema diferencial sea isotérmico no implica que el proceso global tenga esta restricción, simplemente significa que cada estado de equilibrio mantiene la misma temperatura.

9.1.1 El trabajo perdido en el flujo de fluidosEl trabajo perdido en estos casos es debido principalmente al rozamiento en la tubería, a cambios en la dirección del fluido y a turbulencias. En el caso de flujo por el interior de tuberías, las pérdidas se pueden expresar en función del factor de fricción de fanning (f)


196

(9.8)

en la cual D es el diámetro de la tubería y L la longitud.El factor de fricción es función del régimen de flujo (turbulento o laminar) representado por el número de Reynolds

la rugosidad relativa de la tubería (ε/D) y la relación longitud/diámetro

f = f (NRE, ε/D, L/D) (9.9)En muchos casos de interés práctico, en el cual el régimen se puede consi-derar turbulento, el factor de fricción se hace prácticamente independiente del número de Reynolds (especialmente en las tuberías de mayor rugosidad) y por tanto se puede considerar constante durante todo el flujo. En esos casos la ecuación 9.8 se puede integrar para producir

(9.10)

si el diámetro de la tubería es constante, la ecuación 9.10 queda

(9.11)

la cual se puede evaluar si se conoce la variación de la velocidad a lo largo de toda la tubería.Para el flujo de fluidos a través de accesorios (como codos, válvulas, unio-nes, etc.) el trabajo perdido se evalúa usualmente mediante el coeficiente de pérdidas del accesorio (kaccesorio).

(9.12)

Para la gran mayoría de aplicaciones prácticas, se ha encontrado que el coeficiente de pérdidas es constante y las tablas para gran número de ac-cesorios se pueden encontrar en la bibliografía sobre el tema.

9.1.2 Aplicaciones del balance de energía mecánicaEl balance de energía mecánica (véase ecuación 9.6) se puede simplificar a formas más útiles en algunos casos especiales.

1. Fluidos incompresiblesEn este caso, el volumen específico de la sustancia no cambia apreciable-mente durante el proceso y por tanto la ecuación 9.6 queda

(9.13)

197


Si se trata de flujo unidireccional y no hay equipos en los cuales se inter-cambie trabajo, el trabajo perdido se deberá solo a las rugosidades y por tanto usando la ecuación 9.10

(9.14)

y si el flujo es ideal (sin trabajo perdido) entonces

(9.15)

o en otras palabras

(9.16)

Ejemplo 9.1Se utiliza una bomba para llevar agua de enfriamiento a un intercambiador de calor, el agua de alimentación a la bomba se mantiene en un tanque abierto y llega al intercambiador por una tubería de 0,6 pulgadas (véase figura 9.2). El intercambiador requiere 0,3 m3/min de agua a 3 atm. La tubería que mide 27,5 m y que tiene una diferencia de altura entre la bomba y el intercambiador de 15,5 m, tiene un factor de fricción que se puede considerar constante ƒ = 0,003, los accesorios en la tubería son 4 codos de 90° (k = 0,75) y una válvula de globo (k = 6,4). Si el motor de la bomba consume 77 kW, ¿cuál es su eficiencia?

Solución

Figura 9.2 Esquema de bombeo para el ejemplo 9.1

Para resolver este problema se puede utilizar la ecuación 9.13, ya que se puede considerar que el volumen específico del agua no cambia durante el proceso y que el trabajo mecánico entra en la bomba

si se considera que la diferencia de velocidad entre los puntos 1 y 2 es despreciablewe = v∆P + lw + g/gc∆Zel primer término del lado derecho se puede evaluar suponiendo que el agua de alimentación está a condiciones atmosféricas y por tantov = 0,001 m3/kg

1

Intercambiadorde calor2

12 m

15,5 m


198

we = lw + 0,35455 kJ/kgEl término lw se puede dividir en tres contribuciones— Trabajo perdido en la tubería por fricción lwtub.— Trabajo perdido en los accesorios lwaccesorios.— Trabajo perdido en la bomba lwbomba.Para calcular la eficiencia de la bomba se debe encontrar primero el trabajo que haría una bomba reversible. ( con lwbomba = 0)we (rev) = lwtub + lwaccesorios + 0,35455 kJ/kgel trabajo perdido por fricción en la tubería se puede hallar de la ecuación 9.8 con velocidad constante

y en la cual la velocidad es

= caudal volumétrico

Área transversal de tubería Caudal = 0,3 m3/min = 0,005 m3/s

Área tubería = y entonces El trabajo perdido en la tubería es

lwtub = 8,134 kJ/kgPara calcular el trabajo perdido en accesorios se utiliza la ecuación 9.12

y kaccesorio = 4 × kcodo + 1 × kválvula

kaccesorio = 4 × 0,75 + 6,4 = 9,4por tanto

El trabajo requerido por la bomba reversible eswe (rev) = 8,134 + 3,513 + 0,35455 = 12,00 kJ/kgy la potencia consumida

La eficiencia de la bomba es por tanto

199


η = 77,9%

2. Fluidos compresibles a través de tuberías largasPara el caso de flujo a través de grandes longitudes de tubería en los cua-les se pueda despreciar el cambio en la energía potencial y donde no haya dispositivos que intercambien trabajo, la ecuación 9.6 se reduce a

que con la ecuación 9.8 queda

(9.17)

En estos casos, la velocidad cambia a lo largo de la tubería y por tanto la evaluación de la ecuación 9.17 requiere el conocimiento de la relación entre y L. Una forma de evitar este problema es mediante la siguiente manipulación matemática: dividiendo la ecuación 9.17 por se llega a

(9.18)

que se puede transformar en

(9.19)

Por otra parte, la ecuación de continuidad establece que = /A, que en el caso de estado estable en una tubería de área constante produce = cons-tante y en consecuencia, multiplicando la ecuación 9.19 por se llega a

(9.20)

pero

y por tanto la ecuación 9.20 queda

(9.21)

la cual puede ser integrada fácilmente, produciendo

(9.22)

o

(9.23)


200

En resumen, las ecuaciones 9.22 y 9.23 son aplicables al caso de flujo de fluidos a través de tuberías de diámetro constante, en estado estable, sin dispositivos que intercambien trabajo y en los cuales el cambio en la energía potencial no sea apreciable.

Para su evaluación se requiere conocimiento de la relación entre la pre-sión y la densidad durante todo el proceso. Esta puede expresarse en una forma sencilla en el caso de una sustancia que se pueda modelar como un gas ideal; pero produce expresiones extremadamente complicadas para el caso de ecuaciones de estado no ideales con las cuales se debe recurrir a métodos numéricos apropiados.

Ejemplo 9.2Se desea bombear etano entre dos estaciones de un gasoducto por una tubería de 12,3 km de longitud con un factor de fricción constante de 0,0025. La presión en la estación de bombeo inicial y final debe ser de 5 atm y 2 atm respectivamente. Si por el gasoducto deben fluir 1,2 kg/s de etano en forma isotérmica a 20 °C, calcular el diámetro del gasoducto a utilizar.

SoluciónConsiderando al etano que fluye por el gasoducto como un gas ideal enton-ces ρ = P/RT y la ecuación 9.23 queda (considerando flujo isotérmico)

con A = π D 2/4 e integrando, se obtiene

reemplazando los valores

reorganizando

D = 620.416,1 D5 – 67,1

y resolviendo por tanteo

D = 0,161 m

9.2 Flujo a través de toberas y difusores En esta sección se presentará la aplicación de los conceptos estudiados del flujo mediante dispositivos de área variable.Una tobera es un dispositivo que aumenta la velocidad de la sustancia mediante una disminución en la presión. En un difusor, la presión de la sustancia aumenta, disminuyendo la velocidad. Debido a que el flujo a

201


través de toberas y difusores es, en general, a altas velocidades, no hay tiempo para que se establezca la transferencia de calor y por tanto se puede considerar que estos dispositivos son adiabáticos. Por otra parte, los equipos estudiados en esta sección no requieren de ningún dispositivo para el intercambio de trabajo.Antes de plantear las ecuaciones que describen el comportamiento de las sustancias en las toberas y los difusores se deben presentar dos conceptos previos: la velocidad del sonido y las propiedades de estancamiento.

9.2.1 La velocidad del sonidoPara encontrar la expresión para la velocidad con la que viaja una onda de sonido (la cual puede ser considerada como una pequeña perturbación de presión) en un fluido, se examinará el fenómeno desde el punto de vista de un observador situado en la onda, como se muestra en la figura 9.3.

Figura 9.3 Movimiento de una onda de sonido, el observador se mueve con la onda

Desde el punto de vista del observador, está en una onda estacionaria, con el fluido viajando hacia él con una velocidad C y sale del volumen de control con una velocidad C−d . Debido a que la onda de sonido es infinitesimal, los cambios en la presión, densidad y entalpía durante el paso de la onda están dados por dP, dρ y dh respectivamente.Para el observador, se tiene un estado estable en flujo estable y puesto que el proceso se puede considerar adiabático, sin cambios en la energía potencial y no se tiene intercambio de trabajo, el balance de energía para el volumen de control de la figura 9.3 es

(9.24)

la cual, despreciando las diferenciales de segundo orden, queda

(9.25)

Por otra parte, la ecuación de continuidad para este caso puede escribirse en la formaρ C A = (ρ + dρ) (C−d ) Aque, despreciando nuevamente las diferenciales de segundo orden, se reduce a

Volumen de control

hPC

h + dh + dP + dPC dX


202

C dρ = ρ dque al reemplazarse en la ecuación 9.25 produce

(9.26)

Si se utiliza la ecuación 5.6 para eliminar la entalpía, la ecuación 9.26 queda

(9.27)

Como la onda sonora se puede considerar como una onda de presión infi-nitesimal, se puede suponer que el proceso es reversible. Por tanto, como el flujo es también adiabático, resulta que ds = 0 y la ecuación 9.27 se reduce a

es decir,

(9.28)

Como la derivada del lado derecho de la ecuación 9.28 se debe evaluar a entropía constante, se puede escribir más correctamente como

(9.29)

ya que la relación del lado derecho de la ecuación 9.29 es una propiedad termodinámica, entonces la velocidad del sonido también es una propie-dad termodinámica y tiene un solo valor para cada estado.Para el caso particular de un gas ideal, se puede demostrar que

que en un proceso isentrópico queda

o en otras palabras

(9.30)

Al reemplazar en la ecuación 9.29 se obtiene que para un gas ideal

(9.31)es decir que la velocidad del sonido en un gas ideal es función únicamente de la temperatura.En el estudio de flujo de fluidos es conveniente utilizar un parámetro adicional conocido como el número de Mach (M*) que se define como la relación entre la velocidad del fluido y la velocidad con la que se propaga el sonido dentro de este

203


(9.32)

Empleando el número de Mach se pueden clasificar los regímenes de flujo de la siguiente manera:Flujo subsónico, cuando M* < 1.Flujo sónico, cuando M* = 1.Flujo supersónico, cuando M* > 1.

Ejemplo 9.3Calcular el número de Mach en la estación inicial y final del etano que fluye por el gasoducto del ejemplo 9.2.

SoluciónLa velocidad del etano se puede calcular en cualquier punto con la ecua-ción de continuidad

y considerando al etano como un gas ideal

con los datos del problema 9.2

R = 0,277 kJ/kg K, se obtiene para la estación de bombeo inicial

en la estación de bombeo final la velocidad es

la velocidad del sonido, en este caso, se mantiene constante

La velocidad del sonido es entonces C = 310,33 m/s y el número de Mach en cada punto

9.2.2 Propiedades de estancamientoEste es un concepto que muchas veces simplifica el análisis de problemas de flujo compresible. Se define como estado de estancamiento isentrópico al estado que alcanza un fluido en movimiento si se llevara al reposo en un dispositivo


204

operando en estado estable, mediante un proceso reversible sin interacciones de calor ni de trabajo. El balance de energía para este proceso hipotético es

(9.33)

en el cual simboliza la entalpía del fluido en reposo.Por otra parte, como la entropía de estancamiento es la misma que la del fluido en movimiento, todas las propiedades quedan especificadas mediante el conocimiento de y .

Ejemplo 9.4Determinar la temperatura y la presión de estancamiento isentrópico de un avión que viaja a Mach 0,9 bajo unas condiciones atmosféricas de 50 kPa y −12 °C.

SoluciónPara el aire a −12 °C se tiene que

y por tanto la velocidad del avión es

De la ecuación 9.33, la entalpía de estancamiento es

y

si se considera un gas ideal con Cp constante

Para un proceso isentrópico de gas ideal y considerando capacidades ca-loríficas constantes

y

reemplazando los valores

205


9.2.3 Flujo adiabático reversible en conductos de sección transversal variablePara el estudio de flujo a través de toberas y difusores (dispositivos con área de flujo variable), se puede realizar un análisis similar al mostrado en el desarrollo del balance de energía mecánica.

e s

Sistemadiferencial

Q=0, W=0, LW=0

Figura 9.4 Sistema diferencial para flujo en conductos de área variable

La aplicación de la ecuación 9.6 al proceso mostrado en la figura 9.4 en el cual el flujo es adiabático, reversible sin intercambio de trabajo y con cambios insignificantes en la energía potencial, produce

o

(9.34)

Por otra parte, la ecuación de continuidad es = constante que dife-renciada logarítmicamente se transforma en

(9.35)

combinando las ecuaciones 9.34 y 9.35 se obtiene

que utilizando el resultado de la ecuación 9.29 se transforma en

(9.36)

Utilizando el concepto de número de Mach la ecuación se convierte en

(9.37)


206

o

(9.38)

reemplazando la ecuación 9.34 en la 9.38 resulta

(9.39)

El análisis de las ecuaciones 9.38 y 9.39 conduce a conclusiones importantes1. Cuando M* < 1

Esto significa que si se desea acelerar un fluido subsónico el área de la

sección transversal debe disminuir en la dirección en que aumenta la velocidad y disminuye la presión. De la misma forma, se puede concluir que un difusor subsónico debe tener forma divergente.

2. Cuando M* > 1

En este caso, una tobera supersónica debe ser divergente, mientras que

un difusor supersónico debe ser convergente.3. Cuando M* = 1

El área de flujo se mantiene constante en este caso. Se debe notar, de estas conclusiones, que una vez que el fluido alcanza

la velocidad del sonido, una aceleración posterior solo puede ocurrir en una sección divergente. Las conclusiones se pueden resumir esquemá-ticamente en la figura 9.5.

9.2.4 Eficiencia de toberasCuando el flujo a través de una tobera no es reversible, se puede utilizar la ecuación 9.40 para calcular la magnitud de las irreversibilidades

(9.40)

Las irreversibilidades en una tobera se deben principalmente a la fricción. En la actualidad, mediante diseños mejorados y la escogencia de materiales apropiados, los efectos de la fricción se han minimizado y es por eso que las eficiencias de toberas son generalmente muy altas (del orden de 92 a 97%).Un balance de exergía en una tobera real produce

que reemplazando en la ecuación 9.40 da

207


Es claro entonces que cuando la tobera funciona sin irreversibilidades, la eficiencia exergética es la máxima.Algunos autores postulan que el objeto de una tobera no es obtener una exergía alta en la salida, sino específicamente un aumento en la velocidad y por tanto definen una eficiencia energética como la relación entre la ener-gía cinética real obtenida y la que se obtendría si el flujo fuera isentrópico entre las mismas condiciones iniciales y la misma presión final.

(9.41)

y utilizando las propiedades de estancamiento (véase ecuación 9.33)

(9.42)

en la cual es la entalpía de estancamiento en la entrada y hsi es la entalpía de salida si el flujo fuera reversible.

Ejemplo 9.5Por una tobera entran 1,5 kg/s de aire a 160 kPa y 67 °C con una velocidad de 90 m/s. El área de la sección transversal de la salida de la tobera es de 0,018 m2 y el fluido sale por ella a 350 m/s. Calcular:a. La temperatura a la salida.b. La presión en la salida.b. La eficiencia energética.

e s

Tobera subsónica

P <Ps e

A <As e

X aumentaX < C

Difusor subsónico

seX disminuye

X < C

P >Ps e

A >As e

Tobera supersónica

se

X aumentaX > C

P <Ps e

A >As e

e s

Difusor supersónico

P >Ps e

A <As e

X disminuyeX > C

Figura 9.5 Relación de velocidad, área y presión para flujo isentrópico en toberas y difusores


208

Solucióna. El balance de energía es

y considerando gas ideal con Cp constante

y por tanto

b. Para un gas ideal P = ρ R T y de la ecuación de continuidad

o sea que

c. Para calcular la velocidad de salida del proceso adiabático reversible se

debe encontrar primero la temperatura de salida ideal. Del balance de entropía para el flujo adiabático reversible de un gas ideal

y por tanto Tsi = 185,9 K La velocidad de salida ideal se puede calcular del balance de energía

y entonces

la eficiencia es

209


9.3 Procesos de compresión y expansión en flujo estable Antes de presentar el funcionamiento de las máquinas térmicas y de los refrigeradores se estudiarán un poco más de cerca dos de los equipos más importantes de estos ciclos: las turbinas y los compresores.

9.3.1 Expansión en turbinasEl propósito de una turbina es producir trabajo llevando al fluido desde unas condiciones de entrada hasta una presión final específica. Por tanto, es útil investigar diferentes tipos de procesos reversibles entre el estado inicial y alguna presión final dada para determinar cuál representa la mayor cantidad de trabajo. En la figura 9.6 se muestran tres trayectorias reversibles de expan-sión para un gas entre un mismo estado inicial y una presión final dada.Del diagrama presión volumen mostrado, es claro que el proceso isotérmico es el que produce la mayor cantidad de trabajo, pero en la práctica, la cantidad de calor que puede transmitirse durante la expansión en una turbina está limitada por una pequeña superficie disponible para la transferencia de calor y por el poco tiempo que el gas permanece en la turbina. En consecuencia, muchas veces no es deseable el calentamiento durante la expansión propia-mente dicha, sino que se obtiene trabajo adicional con una etapa intermedia de recalentamiento: el gas se saca de la turbina a una presión intermedia entre las presiones de entrada y salida, se calienta a presión constante (véa-se figura 9.7) y entonces reingresa a la turbina o entra a otra turbina para expandirse hasta la presión de salida.

Figura 9.6 Trayectorias de expansión reversible

De la figura 9.7 es claro que el trabajo se incrementa (con respecto a la ex-pansión adiabática) mediante el recalentamiento. También se puede observar que para valores dados de PE y Ps existe una presión óptima para el recalenta-miento (esto se puede intuir analizando los casos extremos: si se selecciona una presión intermedia muy cercana a la presión de entrada o de salida, el aumento del trabajo obtenido es pequeño comparado con el aumento obtenido de una etapa intermedia como la mostrada en la figura 9.7).

Ps

Pe

P

a b c

Isotérmica

Adiabática

Adiabática

V S

T

a

b

c

Ps

Pe

Isotérmica


210

Figura 9.7 Recalentamiento en turbina de gas

Se ha demostrado que si el recalentamiento lleva al gas a su temperatura inicial, se obtiene el máximo trabajo cuando el trabajo es el mismo para las dos etapas. Se puede también concluir, de un análisis posterior, que cuando se tienen más de dos etapas, el trabajo óptimo se obtiene cuando las etapas aportan por partes iguales al total obtenido.

9.3.2 Flujo en compresoresUn análisis similar al realizado para las turbinas se puede hacer con el flujo estable en compresores. En este caso se desea obtener una presión de salida alta con un mínimo de trabajo invertido en ello. En la figura 9.8 se muestran tres procesos reversibles para realizar la compresión.

Figura 9.8 Trayectorias de compresión reversible

En el caso de los compresores se aplican restricciones similares al caso de las turbinas para la transferencia de calor y es por tanto preferible, en muchos casos, tener etapas de enfriamiento intermedio. En este caso, la experiencia ha mostrado que si se tienen más de dos etapas, el mínimo trabajo de entrada se requiere cuando el trabajo total se divide en partes iguales entre las etapas (véase figura 9.9).

Problemas propuestos 9.1 Se desea bombear gas metano entre dos estaciones de un gasoducto por

una tubería de 20 cm de diámetro, 12,3 km de longitud y un factor de

Ps

Pe

P

V S

T

Ps

Pe

Isotérmica

Pi

Adiabática

Pi

Ts

Te

Ti

AdiabáticaPs

Pe

P

V S

T Ps

PeIsotérmica

Adiabática

c b a

Isotérmica

Adiabática

c

b

a

211


fricción constante de 0,0025. A la estación final deben llegar 1,5 kg/s de metano a 4 atm. Calcular cuál debe ser la presión en la estación de partida si el flujo es considerado isotérmico a 20 °C.

9.2 Calcular la transferencia de calor involucrada en el problema 9.1.9.3 Por un tubo horizontal, perfectamente liso y aislado térmicamente

de diámetro constante (D = 4 pulgadas) fluye aire en estado estable. El aire entra a 150 kPa y 35 °C con una velocidad de 58 m/s y sale a 140 kPa y 240 °C. Determinar:a. La velocidad del aire a la salida.b. El flujo másico.

9.4 Por una tubería horizontal con un factor de fricción de 0,008 fluye agua a 78 °F. La caída de presión debida a la fricción es de 1,1 psi por cada 100 pies de tubería. ¿Cuál es el flujo másico que se puede conducir por una tubería de 6 pulgadas?

9.5 En un conducto horizontal fluye helio en forma adiabática reversible, desde 750 kPa y 60 °C hasta 150 kPa. Si la velocidad inicial es de 60 m/s, determinar la velocidad al final del ducto.

9.6 A un tubo de 4 cm de diámetro entra agua a 2.000 kPa y 30 °C con una velocidad de 2 m/s. La salida del tubo está a 25 m por arriba de la entrada. Si la caída de presión por fricción es de 15 kPa, determinar la presión a la salida.

9.7 Entre dos estaciones de bombeo de un gasoducto fluye propano por una tubería que se puede considerar horizontal de 32 cm de diámetro y de 38 km de largo. La presión del gas en la estación de bombeo inicial es de 62 atm y la presión de entrada a la estación de bombeo final es de 30,5 atm. Se puede suponer que el factor de fanning es de 0,0042 en toda la tubería. Si se considera que el flujo es isotérmico a 25 °C y que el propano obedece a la ecuación de estado

P

Ps

Pi1

Pe

V

Pi2

Adiabática

IsotérmicaFigura 9.9 Compresión en tres etapas con enfriamientos intermedios a Pi1 y Pi2


212

con Pc en kPa calcular:

a. El flujo másico.b. Las velocidades al comienzo y al final de la tubería.c. La transferencia de calor.

9.8 Se bombea gas natural (metano) a través de una tubería horizontal de 0,305 m de diámetro y de 56 km de largo. Las presiones al comienzo y la final de la tubería son respectivamente de 51 atm y 27 atm. Se puede suponer un factor de fricción de Fanning de 0,004. Si el metano obedece la ecuación de estado

calcular el caudal y la transferencia de calor si el flujo es isotérmico

a 15,6 °C.9.9 La central de una hidroeléctrica tiene una turbina que recibe 400 kg/s

de agua de un lago artificial a través de una tubería de cemento de 0,915 m de diámetro y 0,8 km de longitud y que se extiende hasta el lecho de un río 75 m más abajo. La tubería tiene una válvula de compuerta 50% abierta (con un coeficiente de pérdidas de 4,5) y para todos los caudales prácticos se tiene un flujo turbulento con un factor de Fanning de 0,005. Si la turbina tiene un rendimiento del 85%, calcular:a. El trabajo que se obtiene de la turbina.b. La presión justo antes de entrar a la turbina.

9.10 Suponiendo un comportamiento de gas ideal, determinar la velocidad del sonido en cada uno de los siguientes casos:a. Aire a 25 °C.b. Monóxido de carbono a 25 °C.c. Argón a 25 °C.d. Agua a 0,2 MPa y 250 °C.

9.11 A través de un conducto fluye oxígeno isoentrópicamente en estado estable. En el punto de entrada donde el área de la sección transversal es de 0,2 m2 el oxígeno está a 70 kPa y 50 °C y tiene una velocidad de 600 m/s. En la sección de salida el gas está a 340 kPa. Determinar:a. El área de la sección transversal de salida.b. El número de Mach en la salida.

9.12 En una tobera con una eficiencia energética del 93% se expande CO2 desde 3,2 MPa y 180 °C hasta 0,8 MPa. Suponiendo que el CO2 es un gas ideal, calcular:a. La velocidad de salida.b. La temperatura de salida.

213


9.13 En una tobera con una eficiencia energética del 95% se expande vapor de agua desde 6,0 MPa y 400 °C hasta 3,0 MPa. Si el área se salida es de 6,5 cm2, determinar el flujo másico del agua.

9.14 En una tobera se expande nitrógeno en forma adiabática reversible desde 1.500 kPa y 100 °C. Se desea obtener una velocidad de salida de 600 m/s. Despreciando la velocidad de entrada determinar:a. El número de Mach a la salida.b. La presión a la salida.c. La eficiencia energética en la tobera.

9.15 Demostrar que la presión de estancamiento , para un fluido incompresible, se puede expresar mediante

9.16 Determinar la presión de estancamiento para el agua a 100 °C y 200

kPa, que fluye con una velocidad de 50 m/s.9.17 Determinar la presión y la temperatura de estancamiento correspondiente

a un avión de propulsión a chorro que viaja a 500 m/s a través de aire atmosférico a 12 kPa y −20 °C.

9.18 Vapor de agua que se encuentra a 200 psia tiene una entalpía de estan-camiento de 1.270,8 Btu/lb y su velocidad es de 300 pies/s. Calcula la temperatura y la entropía de estancamiento.

9.19 Demostrar que para el flujo de un gas ideal con capacidades caloríficas constantes se cumple

a.

b.

9.20 Mediante una tobera se expande vapor de agua desde unas condiciones de estancamiento de 200 psia y 800 °F hasta otras condiciones de 40 psia y 450 °F. Determinar la eficiencia energética de la tobera.

9.21 Desde una caldera donde la presión es de 1,0 MPa y la temperatura es de 500 °C fluye vapor de agua. Determinar la velocidad en un punto de una tobera donde la presión es de 100 kPa, si el proceso es reversible.

9.22 Un gas ideal con calores específicos constantes entra a una tobera a 500 kPa y 300 K, y sale de la tobera a 100 kPa. Si el proceso es isen-trópico en estado estable, calcular el número de Mach a la salida de la tobera si el gas es:a. Aire.b. Dióxido de carbono.c. Helio.

10. Aplicaciones de ciclos de potencia y refrigeración

Una sociedad industrializada consume grandes cantidades de energía. Además se caracteriza por su creciente dependencia de la electricidad, tendencia que tiene efectos directos en el consumo global de energía e indirectos en el medio ambiente. Como consecuencia de ello, las decisiones que se deben tomar en relación con el diseño de un sistema de conversión de energía, están ligadas al comportamiento de la economía y a la calidad de vida en el ambiente.La generación de potencia involucra innumerables aplicaciones de la ter-modinámica, por ejemplo a la propulsión de automóviles, aviones o barcos, para suministro de electricidad o para aplicación directa en la operación de bombas, compresores, equipos de procesamiento de materiales y refri-geración.Un ingeniero debe esforzarse por incrementar la eficiencia térmica de un sistema de generación de potencia o por reducir el consumo de potencia en un proceso de refrigeración, tratando de minimizar irreversibilidades.El diseño de un buen proceso es aquel que tenga una eficiencia razo-nablemente alta y cumpla con los requisitos técnicos, económicos y de protección del ambiente.

10.1Ciclos de potenciaEn general el equipo generador de potencia se clasifica en: sistemas de potencia de gas y sistemas de potencia de vapor.Los sistemas de potencia de gas incluyen las turbinas de gas y los motores de combustión interna. En ambos la sustancia de trabajo, durante el pro-ceso, no cambia de fase, permanece como gas.En los sistemas de potencia de vapor la fase de la sustancia de trabajo cambia y este cambio permite que se alcance más energía que la que se puede almacenar por solo calentamiento en una fase. Aquí la sustancia de trabajo se expande como vapor pero se comprime como líquido con un volumen específico pequeño, por ello muy poco del trabajo obtenido en la expansión tiene que usarse en la compresión.

215


De todos los sistemas de potencia de gas, se tratarán en este texto las plantas de turbina de gas que operan de acuerdo con el ciclo de Brayton y las máquinas de combustión interna que operan de acuerdo con el ciclo de Otto y el ciclo de Diesel. Existen otros sistemas de potencia de gas mo-delados mediante otros ciclos o por combinación entre ellos, cuyo análisis se hace en la misma forma de los antes mencionados.El modelado de las plantas de potencia de vapor se hace de acuerdo con el ciclo de Rankine.

10.2 Ciclos de potencia de gas

10.2.1 Ciclo de Brayton o ciclo de turbina de gas básicoEn una turbina de gas simple el aire atmosférico entra a un compresor donde se comprime hasta una presión y una temperatura más alta, luego pasa a una cámara de combustión donde se le inyecta el combustible y los productos calientes de la combustión se expanden luego en una turbina para producir trabajo. Parte del trabajo de la turbina se usa para impulsar el compresor, una pequeña cantidad se utiliza para operar dispositivos auxiliares y el resto es la salida neta de trabajo de la planta.El modelo más simple para estudiar la turbina de gas es el modelo estándar de aire, con las siguientes características:— La sustancia de trabajo es aire, que se comporta como gas ideal a lo

largo del ciclo.— El proceso de combustión se reemplaza por un proceso de adición de

calor a presión constante.— El escape real de los productos de combustión de la turbina y el aspirado

del aire atmosférico por el compresor se reemplazan por un proceso de liberación de calor a presión constante.

Para el cálculo de propiedades del aire puede también suponerse que las capacidades caloríficas son constantes y sus valores corresponden a los de la temperatura ambiente.El ciclo de Brayton es un modelo de aire estándar de un ciclo de turbina de gas simple. La figura 10.1 muestra un diagrama de flujo, un diagrama P-v y un diagrama T-s para este ciclo.Los procesos de compresión y expansión son isentrópicos y la adición y li-beración de calor ocurren de una manera reversible a presión constante. En el diagrama T-s se ve claramente la divergencia de las líneas de presión constante con entropía, lo cual asegura que la variación de entalpía en la turbina es mayor en magnitud que la variación de entalpía en el compre-sor. De otra manera la turbina no puede impulsar el compresor y entregar trabajo a los alrededores.


216

Figura 10.1 Ciclo de Brayton que simula una operación simple de una turbina de gas. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c. Diagrama T-s.

Mediante los balances de energía en la turbina, en el compresor y en la cámara de combustión, despreciando variaciones de energía cinética y potencial se tienewturbina = h3 − h4 (10.1)wcompresor = h2 − h1 (10.2)wneto = wturbina − wcompresor = (h3 − h4) − (h2 − h1) (10.3)

(10.4)

Para el caso especial de capacidades caloríficas constantes con la temperatura

(10.5)

Esta eficiencia también podría expresarse en términos de las presiones.La eficiencia del ciclo de Brayton es significativamente menor que la de un ciclo de Carnot que opera dentro de los mismos límites de temperatura, como se muestra en la figura 10.2En algunas aplicaciones de turbinas de gas se pueden utilizar otras sus-tancias de trabajo.Las bajas eficiencias de las turbinas y los compresores retrasaron el de-sarrollo de plantas de turbinas de gas, pues los procesos reales en estos

1

2

Compresor

4

Cámara decombustión

3

W

Qentra

Qsale

a.P

V

Liberación de calor a P = Constante

Adición de calor aP = Constante

S = ConstanteS = Constante

1

2 3

4

T

S

1

2

3

4Compresiónisoentrópica

ExpansiónisoentrópicaP = C

onstante

P = Constante

b. c.

TurbinaW

217


equipos ocurren irreversiblemente generando pérdidas de disponibilidad, como puede apreciarse en el diagrama de la figura 10.3

Figura 10.3 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con compresión y expan-sión irreversibles

Ejemplo 10.1El aire entra al compresor de una planta de turbina de gas simple a 100 kPa, 20 °C, a razón de 2,20 kg/s. La eficiencia adiabática del compresor es 60%. La presión de descarga es de 450 kPa. Calcular la cantidad de calor en kJ/s, que debe agregarse para proporcionar una temperatura de entrada a la turbina de 650 °C.

SoluciónSe trata de un proceso en estado estable, flujo estable como se representa en la figura 10.4.

Figura 10.2 Superposición de un ciclo Brayton y un ciclo de Carnot para comparar las eficiencias

TCiclo de Carnot

Ciclo de Brayton

TC

TF

S

S

T

Irreversibilidad de la turbina

T0

Irreversibilidad del compresor

1

2

3

4


218

Figura 10.4 Proceso en estado estable, flujo estable, ejemplo 10.1

El calor se agrega en el proceso de 2 a 3 que se realiza a presión constante (reemplaza la combustión en el proceso real). El aire se va a considerar como un gas ideal, suponiendo capacidades caloríficas constantes con la temperatura. Un balance de energía en el intercambiador de calor daq2→3 = h3 − h2 real Para calcular h2 es necesario determinar el real estado 2, esto puede hacerse mediante un análisis en el compresor.Si el compresor trabaja de una manera adiabática reversible se cumple que

y para este caso con γ para el aire igual a 1,4

sería la temperatura a la salida del proceso reversible y el trabajo suminis-trado a este compresor de acuerdo con el balance de energía eswc, rev = h2, rev − h1 = Cp, 0 (T2, rev − T1)wc, rev = 1,0035 (450,5 −293) = 158,05 kJ/kgComo la eficiencia del compresor real es del 60%, se tiene

ηc =wc, rev

wc, real

luegowc, real = 158,05/0,6 = 263,42 kJ/kgUn balance de energía para el compresor real permite calcular T2 real asíwc, real = h2, real − h1 = Cp, 0 (T2, real − T1)

3

1

450 kPa

4

Compresor

650 ºC

2

q

WN

100 kPa20 ºC

Turbina

219


luego

T2, real=wc, real + T1Cp, 0

T2, real = 263,42/1,0035 + 293 = 555,5 K = 282,5 °C

De la ecuación aq2→3 = Cp, 0 (T3 − T2, real) = 1,0035 (650 – 282,5) = 368,79 kJ/kg

El flujo de calor en el intercambiador será

1. Regeneración en turbinas de gasComo la temperatura de escape de la turbina de gas es bastante mayor que la temperatura del aire que sale del compresor, se puede instalar un intercambiador de calor que recibe el nombre de regenerador, donde el gas de escape de la turbina calienta el aire que sale del compresor antes

Figura 10.5 Ciclo de turbina de gas regenerativa. a. Diagrama de flujo. b. Diagra-ma T-s.

3

1

Compresor

Regenerador6

4

5

CC

Turbina

2

Energía no disponible

Calor eliminadodel gas caliente

Calor absorbidodel gas frío

6

532

4

S

T

b.a.

1W

3

1

Compresor

Regenerador6

4

5

CC

Turbina

2


Calor eliminadodel gas caliente

Calor absorbidodel gas frío

6

532

4

S

T

b.a.

1W


220

de entrar a la cámara de combustión reduciendo así el consumo de com-bustible. Este ciclo regenerativo se muestra en la figura 10.5.Aplicando el balance de energía al regenerador suponiendo cambios de energía cinética y potencial despreciables y sin pérdida de calor a los al-rededores se tiene queh3 − h2 = h5 − h6 porqueq2 → 3 = q5 → 6

Las dos áreas que representan transferencia de calor en la figura 10.5 son iguales.Para una eficiencia térmica máxima de un ciclo regenerativo, T3 en la figura 10.5, debería ser tan alta como fuera posible, siendo su valor límite T5, por tanto puede definirse la efectividad del regenerador como

(10.6)

Figura 10.6 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con inter-enfriamiento. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

1

Compresor

QS

a

4

W

C.C.

Turbina

Qe

cInter-enfriador

S

T

c

1

a 4

3

b

2

El estado 2 es el dedescarga del compresorsin interenfriamiento

a.

b.

Compresor

3b

Incrementar la efectividad de un regenerador exige una mayor área de su-perficie de transferencia de calor, lo cual incrementa tanto el costo como

221


los requerimientos de espacio, entonces regeneradores con alta efectividad pueden no justificarse económicamente. En consecuencia los valores de efectividad raramente exceden el 0,7 en las plantas reales.

2. Inter-enfriamiento en turbinas de gasEl trabajo neto del ciclo puede incrementarse disminuyendo el trabajo necesario en la compresión o aumentando el de la turbina. Esos son los propósitos del inter-enfriamiento y del recalentamiento respectivamente, como puede apreciarse en las figuras 10.6 y 10.7.

Figura 10.7 Ciclo de turbina de gas de aire estándar con recalentamiento. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

3

1

Compresor

Qe

4

6

W

C.C.

Turbina

Qe, rec

Recalentador

S

T

6

5

4

3

1

2

Recalentamientoa presión constante

a.

b.

2 5

Turbina

3. Propulsión a chorro con turbinas de gasLos aviones son impulsados acelerando aire hacia atrás y ejerciendo una fuerza sobre estos. La fuerza de igual magnitud y dirección opuesta del fluido sobre el avión es lo que lo impulsa.De los diferentes motores de propulsión el turborreactor es el que mejor ilustra el principio de funcionamiento como puede apreciarse en la figura 10.8.


222

Figura 10.8 Motor turborreactor. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c. Diagrama T-s.

La potencia producida por la turbina es solamente la necesaria para im-pulsar el compresor, el gas solo se expande hasta una presión P4 la cual es mayor que la presión ambiente. Luego el gas a alta presión se expande isoentrópicamente en la tobera del estado 4 al estado 5 adquiriendo una velocidad considerablemente mayor que y en consecuencia se desa-rrolla un empuje.

Ejemplo 10.2Una turbina de gas de aire estándar opera en un ciclo regenerativo con una efectividad del regenerador del 70%. La compresión y la expansión son isentrópicas. La temperatura de entrada al compresor es de 15 °C. Calcular la eficiencia del ciclo si la temperatura de entrada a la turbina es de 635 °C y la razón de presión es 5.

SoluciónLos diagramas de flujo y T-s para este proceso se representan según la figura 10.9.

Eficiencia del regenerador =

Razón de presión =

3

C4

Tobera

C.C.

T

V

P

5

4

3

1

2

a.

b.

2

5

S

T

4

3

1

2

c.

Trabajo del compresor

Trabajo de la turbina

5

1X1

X5

223


Figura 10.9 Diagramas para una turbina de gas de aire. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

Se considera que el aire que entra al compresor se encuentra a la presión del ambiente supuesta como 100 kPa. Durante todo el proceso se comporta como gas ideal.La eficiencia del ciclo se calcula mediante la relación

De acuerdo con los balances de energía en el compresor la turbina y el intercambiador de calor, tenemoswc = h2 − h1

wT = h4 − h5

q3→4 = h4 − h3

porque en todas las etapas las variaciones de energía cinética y potencial se pueden despreciar.Para calcular la entalpía en cada punto, el estado tiene que estar comple-tamente determinado asíEstado 1: P1 = 100 kPa, T1 = 288 K.Estado 2: P2 = 5, P1 = 500 kPa.Para encontrar otra propiedad que lo determine, se hace un balance de entropía en el compresors2 = s1

o sea que para el aire

Esta relación permite calcular y en las tablas para el aire a ese valor de se puede calcular T2.

Estado 3: P3= P2 = 500 kPa

3

C

1

C.C.

T 6

a. b.

4

6

S

T 4

3

1

2 P= Constante 5

WN

5

2Regenerador

q


224

es necesario conocer la temperatura T3 que se puede calcular de la relación de la eficiencia del regenerador, siempre que se conozca T5.T3 = 0,7 (T5 − T2) + T2

Estado 4: P4 = P3 = 500 kPa, T4 = 908 K.Estado 5: P5 = P1 = 100 kPa.para determinar T5 se hace un balance de entropía en la turbinas4 = s5

luego

se calcula y con este valor y con ayuda de la tabla de propiedades para el aire se calcula T5. Después de conocer T5 se puede calcular T3.Con los estados 1, 2, 3, 4 y 5 determinados se calculan (con ayuda de las tablas) las entalpías (véase tabla 10.1).

Tabla 10.1 Entalpías para el ejemplo 10.2.

Estado P (kPa) T (K) h (kJ/kg)

1 100 288 288,6

2 500 455 457,19

3 500 551,6 556,41

4 500 908 941,9

5 100 593 599,68

wc = 168,59 kJ/kgwT = 342,22 kJ/kgq3 → 4 = 385,49 kJ/kgLa eficiencia del ciclo seráηter = 0,45 ó 45%Si se quiere saber cuál es la temperatura T6, se hace un balance de energía en el regenerador adiabáticoh5 + h2 = h6 + h3

h6 = h5 + h2 − h3 = 500,46 kJ/kgT6 ≈ 500 K

10.2.2 Ciclos para modelar máquinas de combustión internaPara motores de ignición por chispa que se usan en la mayoría de los automó-viles, una mezcla de aire combustible se aspira a un cilindro y se comprime, una chispa enciende la mezcla elevando la temperatura y el gas se expande,

225


realizando trabajo sobre un pistón que hace girar el árbol del motor. Al final de la carrera del pistón los gases de escape son expelidos para completar el ciclo de operación. La secuencia de procesos que ocurren dentro del cilindro es compleja y se dan variaciones químicas importantes.Los procesos de las máquinas de ignición por compresión son iguales de complejos a los de las máquinas de ignición por chispa pero difieren en que solo aire (y no una mezcla de aire combustible), es aspirado dentro del cilindro y comprimido, la compresión eleva la temperatura del aire por encima de la temperatura de ignición del combustible. Cerca del final de la carrera de compresión se inyecta el combustible y rápidamente se enciende. El gas se expande conforme procede la combustión y continúa expandiéndose hasta que inicia el proceso de escape.Los modelos más simples para máquinas de ignición por chispa e ignición por combustión son los de aire estándar, donde se consideran las siguientes bases de análisis: el sistema es cerrado por lo que el fluido se usa repetida-mente; el fluido de trabajo siempre es aire comportándose como gas ideal; los procesos de compresión y expansión son reversibles y adiabáticos; el proceso de combustión se reemplaza por un proceso reversible de transferencia de calor; como el sistema es cerrado, el proceso de escape de la máquina real es reemplazado por eliminación de calor reversiblemente y a volumen constante para regresar el fluido a su condición inicial antes de la compresión.

1. Ciclo de Otto de aire estándarEste ciclo se compone de cuatro procesos reversibles en un sistema cerrado: compresión adiabática, adición de calor a volumen constante, expansión adiabática y liberación de calor a volumen constante, como se muestra en la figura 10.10La razón de compresión r para el ciclo está definida por

Es una relación de volumen fijada por la geometría del motor.El balance de energía para este ciclo en cada etapa del proceso es∆U = QN − WN

Se debe tener en cuenta que en las etapas adiabáticas QN = 0 y en las etapas a volumen constante WN = 0.Cuando de consideran las capacidades caloríficas del aire constantes con la tem-peratura y teniendo en cuenta las relaciones para gases ideales, se llega a que

la eficiencia térmica para la máquina es

(10.7)


226

Figura 10.11 Ciclo de Diesel de aire estándar. a. Diagrama P-v. b. Diagrama T-s.

Figura 10.10 Ciclo de Otto de aire estándar. a. Diagrama P-v. b. Diagrama T-s.

este resultado muestra que la eficiencia térmica del ciclo de Otto de aire (cuando las capacidades se consideran constantes con la temperatura) de-pende solo de la razón de compresión. En caso contrario depende también de los límites de temperatura.

2. Ciclo de Diesel de aire estándarSe compone también de cuatro etapas reversibles en sistema cerrado: 1-2 compresión adiabática, 2-3 adición de calor a presión constante, 3-4 expansión adiabática hasta el volumen inicial y 4-1 liberación de calor a volumen constante, como puede apreciarse en la figura 10.11.La razón de corte o razón de fin de inyección rc está definida por

b.

S

T3

1

2

v = Constante

4

a.

v

P

3

1

2s = Constante

4

s = Constante v = Constante

b.

S

T3

1

2

v = Constante

4

a.

v

P

3

1

2

s = Constante

4

s = Constante p = Constante

227


el porcentaje de corte se define por

Porcentaje de corte =

es decir, esta es la fracción de la carrera durante la cual se agrega calor.La eficiencia térmica, cuando se consideran constantes las capacidades caloríficas del aire con la temperatura, es solo una función de la razón de compresión y la razón de corte.

(10.8)

Las máquinas Diesel reales son máquinas de ignición por compresión, lo que las distingue de las de ignición por chispa, como son las máquinas Otto reales.Las comparaciones de rendimiento entre los ciclos de Otto y de Diesel de aire estándar, se realiza al determinar cuál tiene la eficiencia térmica más alta con la misma razón de compresión y la misma entrada de calor. Esta comparación está representada en la figura 10.12.

Figura 10.12 Comparación de los ciclos de Otto y de Diesel.

De acuerdo con la localización relativa de los puntos 4O y 4D en el diagra-ma T-s se muestra que el ciclo de Otto elimina menos calor que el Diesel, en consecuencia tiene una eficiencia térmica más alta. Se pueden hacer comparaciones de manera similar para diversas condiciones.

Ejemplo 10.3Un ciclo de Otto de aire estándar tiene una razón de compresión de 8 y una temperatura máxima de 1.097 °C. Al inicio de la carrera de compresión, el aire está a 100 kPa y 25 °C. Determinar la presión máxima en el ciclo, la cantidad de calor agregado en kJ/kg y la fracción disponible del calor agregado.

S

T

3 O

1

2

v = Constante4 O

v = Constan

te

3 D

4 D

P = Constante

D DieselO Otto


228

Figura 10.13 Representación del proceso indicado en el ejemplo 10.3 en los diagramas a. P-v. b. T-s.

SoluciónLa representación del proceso en los diagramas P-v y T-s se indica en la figura 10.13.

De acuerdo con los diagramas se debe determinar la presión máxima que corresponde a P3, la cantidad de calor agregado que corresponde a q2→3 y de este la fracción que es disponible.Se considera que T0 = 298 K que es también la temperatura del aire al inicio de la carrera de compresión.Durante el proceso cíclico la temperatura y la presión varían pero se puede considerar que el aire se comporta como gas ideal y que su capacidad ca-lorífica no varía con la temperatura y es la capacidad calorífica a 300 K. — Para calcular P3 se debe tener determinado el estado 3, o sea conocer

T3 que corresponde a la temperatura máxima 1.097 °C o 1.370 K y v3 que es igual a v2, como

—Un balance de energía en la etapa de 2 a 3 determina que q2 → 3 = u3 − u2

Se debe entonces conocer la temperatura en 2. Haciendo un balance de entropía en la etapa de 1 a 2

s2 − s1 = 0

b.

S

T 3

1

2

v = Constante

4

a.

v

P

3

1

2s = Constante

4

s = Constantev = Constante

229


por tanto se puede aplicar la relación

con γ = 1,4 y

T2 = 298 (8)0,4 = 684,62 K q2 → 3 = 0,7165 (1.370 − 684,62) = 491 kJ/kg.—Para calcular la fracción disponible del calor agregado, el proceso de 2

a 3 se puede representar como se indica en la figura 10.14.

Figura 10.14 Cálculo de la fracción disponible del calor agregado, para el ejemplo 10.3

de acuerdo con la definición de disponibilidad (véase ecuación 9.5), el cambio de esta durante un proceso que se lleva a cabo en un sistema ce-rrado y con v3 = v2 es

Fracción disponible del calor agregado = 342,89/491 = 70%.

10.3 Ciclos de potencia de vapor Las plantas de potencia de vapor generan la fracción principal de la po-tencia eléctrica producida en el mundo. El ciclo de potencia de vapor es esencialmente el mismo si el suministro de calor a la sustancia de trabajo es una caldera en la que se quema combustible o mediante un reactor nuclear en el que ocurre la fisión. La sustancia de trabajo más común es el agua, pero existen plantas que operan con otras sustancias.

S

T

1

2

3

T =298 K0

684,62 K

v = Constante

Energía disponible



230

10.3.1 Ciclo de CarnotCuando se piensa en un ciclo de potencia para máxima eficiencia, de inme-diato se piensa en el ciclo de Carnot, ya que para límites de temperatura específicos, ningún ciclo puede tener una eficiencia más alta y esa eficiencia es independiente de la sustancia de trabajo, en la práctica las características de la sustancia de trabajo limitan los alcances. En la figura 10.15 se muestra un diagrama T-s para el agua y dos propuestas diferentes de ciclo de Carnot.La figura 10.15a muestra un ciclo que opera por completo con vapor húmedo. La temperatura del vapor durante los procesos 1-2 y 3-4 puede mantenerse constante, manteniendo constante la presión. En la práctica este ciclo es difícil de operar porque es difícil hacer que el proceso de liberación de ca-lor termine en el estado 4 que está a la misma entropía que 1, también la temperatura crítica del vapor (374 °C) limita la temperatura máxima en el ciclo a un valor muy bajo.

Figura 10.15 Ciclos de Carnot con agua como sustancia de trabajo. a. Ciclo que opera por completo con vapor húmedo. b. Ciclo donde la temperatura de adición de calor es mucho más alta que el anterior.

La figura 10.15b muestra un ciclo donde la temperatura de adición de calor es mucho más alta, pero se necesitan unas presiones muy altas para alcanzar la máxima temperatura al comprimir el líquido desde el estado 4 y el proceso isotérmico de 1 a 2 debe realizarse con una continua varia-ción de presión que significa un problema de control. En otras palabras el ciclo de Carnot es un modelo inadecuado para el diseño de plantas de potencia de vapor.

10.3.2 Ciclo de RankineLa figura 10.16 muestra los diagramas de flujo, P-v y T-s de un ciclo Rankine, el cual sirve para modelar plantas de potencia de vapor simples.Vapor saturado seco entra en 1 a la turbina donde se expande isoentrópica-mente hasta el estado 2. El vapor se condensa luego a presión y temperatura

b.

S

T

3

1 2

4

a.

1 2

4 3

231


Figura 10.16 Ciclo de Rankine. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c. Diagrama T-s.

constante hasta líquido saturado en 3 y durante este proceso se transfiere calor a los alrededores. El líquido saturado que sale del condensador se bombea isoentrópicamente hacia una caldera donde a presión constante P4 se calienta hasta la temperatura de saturación y luego se evapora para salir nuevamente en el estado 1 y completar así el ciclo.Para usar temperaturas más altas sin incrementar la presión máxima del ciclo, el vapor después de salir de la caldera se puede sobrecalentar a presión constante en un sobrecalentador. La combinación de la caldera y el sobre-calentador se llama generador de vapor. En la figura 10.17 se muestran los diagramas de flujo y T-s de un ciclo de Rankine con sobrecalentamiento. La comparación de los diagramas T-s de las figuras 10.16 y 10.17 muestra que para ciertos límites de presión, la eficiencia térmica se incrementa mediante el sobre-calentamiento.Para límites de temperatura dados, la eficiencia del ciclo de Rankine siem-pre es menor que la eficiencia de Carnot ya que no se agrega todo el calor a la temperatura más alta.Mediante balances de energía en las distintas etapas del proceso en estado estable y despreciando variaciones de energía cinética y potencial se tieneGenerador de vapor q4→1 = h1 − h4, (P1 = P4)Turbina wT = h1 − h2, (s1 = s2)Condensador q2→3 = h3 − h2, (P3 = P2, h3 = hf)

b.v

P

3

1

2

4

a.

1

2

4

3

S

T

Caldera

Condensador

T

1

V.S.S

WT

Wb

Qe

3

4

2

QS

c.


232

Figura 10.17 Ciclo de Rankine con sobrecalentamiento. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

Bomba wb = h4 − h3, (s4 = s3)La eficiencia térmica del ciclo es

(10.9)

Para las condiciones en el estado 4, las tablas, gráficos y programas de com-putador generalmente no permiten calcular h4. Pero para una bomba que opera reversiblemente w = ∫vdP y por tratarse de un líquido se puede consi-derar que el volumen durante la compresión permanece aproximadamente constante y es igual al del líquido saturado en las condiciones 3, luegowb = v3 (P4 − P3) (10.10)h4 = h3 + v3 (P4 − P3) (10.11)Una ventaja del ciclo de Rankine sobre todos los otros ciclos de potencia discutidos hasta aquí, es la baja razón de trabajo consumido

Razón de trabajo consumido =wbomba

wturbina

Ejemplo 10.4Determinar la eficiencia y la razón de trabajo consumido en un ciclo de Rankine que opera entre 5,0 MPa y 10 kPa con una temperatura máxima de 400 °C.

SoluciónDe acuerdo con el enunciado se trata de un ciclo de Rankine sencillo y rever-sible, su representación en un diagrama T-s se indica en la figura 10.18.La eficiencia térmica es

los balances de energía en la turbina, la bomba y el generador de vapor, llevan a las relacioneswT = h1 − h2

b.

3

1

2

4

a.

S

T

Generador devapor

Condensador

T

1

W

Wb

Qe

3

4

QS

2

Adición de calor aP=constante en elsobrecalentador

233


Figura 10.18 Representación en un diagrama T-s del ciclo de Rankine sencillo y reversible

wb = h4 − h3

q4→1 = h1 − h4

Por balance s de entropía en la turbina y en la bomba s1 = s2 y s3 = s4.O sea que los estados termodinámicos de todos los puntos están deter-minados.

La razón de trabajo consumido = Wb/WT

Con ayuda de las tablas de propiedades termodinámicas para el agua, se calculan las propiedades que aparecen en la tabla 10.2.

Tabla 10.2 Propiedades calculadas para el ejemplo 10.2

Estado P (kPa) t (°C) h (kJ/kg) s (kJ/kg K)

1 5.000 400 3.195,7 6,6459

2 10 45,81 2.106,04 6,6459

3 10 45,81 191,83 0,6493

4 5.000 46,11 207,49 0,6493

Entonces η = 0,36 ó 36%, r.w.c = 0,014 ó 1,4%.

10.3.3 Regeneración en plantas de potencia de vaporPara mejorar la eficiencia del ciclo disminuyendo irreversibilidades en la transferencia de calor en el generador de vapor, se precalienta el agua que

3

1

2

4

S

T

5 Mpa

10 Mpa


234

fluye al generador de vapor. Esto se hace extrayendo o “sangrando” vapor desde varios puntos de la turbina, después de que esta ha realizado algún trabajo al expandirse y usando este vapor para calentar el agua que fluye de la bomba al generador de vapor.Esta transferencia de energía ocurre en los calentadores de agua de ali-mentación. En la figura 10.6 se muestran los diagramas de flujo y T-s de un ciclo de potencia de vapor que usa un calentador de agua de alimentación abierto, llamado también de contacto directo, donde se mezclan el vapor sangrado y el condensado.El calentador opera a la presión del punto de sangrado, por lo que se ne-cesita otra bomba para forzar el agua hacia el generador de vapor.Para los balances de masa y energía en ciclos regenerativos es conveniente definir la razón de masa M´ para cualquier punto a como

donde es el flujo másico en cualquier punto y es el flujo másico a la entrada a la turbina.Un balance de energía en el calentador abierto es

que también puede escribirse (10.12)

Si se conocen los estados del fluido en los puntos 2, 5 y 6 (véase figura 10.19), esta ecuación puede resolverse para , la fracción de flujo de vapor que entra al calentador.

Figura 10.19 Ciclo regenerativo con calentador de agua de alimentación abierto. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

4

1

3

7

S

T

5 26

a.

Generador devapor

T WQe

3

QS

1 M´ = 11

2

Calentador 4 C5

7

M´ = 15 M´2

M´ =7 M´ =11

b.

M´2

6

1

El diagrama T-s de la figura 10.19 muestra correctamente la localización de todos los puntos; pero la masa de fluido no es la misma en cada punto,

235


Figura 10.20 Ciclo regenerativo con un calentador de agua de alimentación cerrado. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

por tanto el área bajo la curva de la trayectoria reversible representa la transferencia de calor por unidad de masa de fluido que experimenta ese proceso, y deben tenerse en cuenta las variaciones de flujos másicos cuando se comparen áreas.Cuando se usa un calentador de agua de alimentación cerrado, el agua de alimentación se bombea a través de varios tubos al calentador y el vapor sangrado se condensa en el exterior de los tubos, las dos corrientes de flui-do no se mezclan. En la figura 10.20 aparecen los diagramas de flujo y T-s para este ciclo.

En el caso ideal, el condensado que sale del estado 8 es un líquido saturado, y el agua que sale en el estado 6 está a una temperatura solo un poco más baja que T8, en la práctica es generalmente del orden de 5 °C.Un balance de energía en el calentador de agua de alimentación cerrado da

(10.13)

Ejemplo 10.5Un ciclo ideal regenerativo opera con condiciones de entrada de 25 bar y 400 °C, un calentador de agua de alimentación abierto a 2,5 bar y una presión del condensador de 15 kPa. Comparar su eficiencia con la de un ciclo de Rankine simple que tenga las mismas condiciones de entrada y presión de escape.

SoluciónLos diagramas T-s para ambos ciclos se indican en la figura 10.21.La eficiencia para el ciclo Rankine simple es

4

1

3

7

S

T

52

6

a.

Generadorde vapor

TW

Qe

QS

1

Calentadorcerrado

4

C

5

7

b.

2

3Trampa

8

6

Wb

8

9

10

10

Wb

9


236

Figura 10.21 Diagramas T-s para un ciclo ideal regenerativo a. ciclo de Rankine simple b. ciclo ideal regenerativo

Como se trata de un ciclo reversible, las propiedades para cada uno de los esta-dos, calculados con ayuda de las tablas de vapor se indican en la tabla 10.3.

Tabla 10.3 Propiedades para cada uno de los estados para el ejemplo 10.5

Estado P (MPa) t (°C) h (kJ/kg) s (kJ/kg K)

1 2,5 400 3.239,3 7,0148

2 0,015 53,97 2.273,92 7,0148

3 0,015 53,97 225,94 0,7549

4 2,5 54,57 228,46 0,7549

Para calcular h4, se tiene en cuenta que h4 = h3 + wb

como el proceso en la bomba es reversible

donde v es el volumen del líquido saturado en el estado 3 y no varía apre-ciablemente por tratarse de la compresión de un líquido.wb = − 0,001014 (2.500 − 15) = − 2,52 kJ/kges un trabajo suministrado a la bomba.ηR. S = 0,32 ó 32%Para el ciclo regenerativo que también se considera reversible, la eficien-cia se calcula teniendo en cuenta las 2 etapas en la turbina, cada una con distinto flujo másico y el trabajo de las 2 bombas también con diferentes flujos másicos (véase figura 10.20). Por ello es necesario conocer las ra-zones de flujo másico

, ,

3

1

2

7

S

T

0,25 Mpa

3

1

2

4

S

T

2,5 Mpa

0,015 Mpa4

65

0,015 Mpa

2,5 Mpa

a. b.

237


puede hallarse mediante un balance de energía en el calentador, de acuerdo con la ecuación 10.12

las propiedades para los diferentes estados, calculadas con ayuda de las tablas de vapor, se indican en la tabla 10.4.

Tabla 10.4 Propiedades para cada uno de los estados del ejemplo 10.5 para el ciclo regenerativo


1 2.500 400 3.239,3 70.148

2 250 127,44 2.716,9 70.148

3 15 53,97 2.273,92 70.148

4 15 53,97 225,94 0,7549

5 250 54,00 226,18 0,7549

6 250 127,44 535,37 1,6072

7 2.500 128,00 537,77 1,6072

El vapor que se extrae para el calentador en las condiciones 2 está prácti-camente saturado pues la calidad es del 99,3%.Para el cálculo de h5 y h7 se procede en la misma forma que para el cálculo de la entalpía h4 en el ciclo de Rankine simple. Entonces

Realizando balances de energía para las dos etapas de la turbina, las bom-bas y el generador de vapor, considerando que de todo el flujo másico que circula por el generador de vapor y que entra a la turbina parte se extrae al calentador y el resto continúa al condensador

ηC, reg = 0,336 ó 33,6%Por efecto de la regeneración la eficiencia aumentó 1,6%.El trabajo por kilogramo de sustancia que hay que suministrarle a las bombas es muy pequeño con respecto al trabajo realizado por la turbina y puede despreciarse, en ese casoηR.S = 32,06%ηreg = 33,7%Prácticamente se tienen los mismos resultados.


238

10.3.4 Recalentamiento en las plantas de potencia de vaporLa eficiencia térmica de un ciclo de Rankine se incrementa aumentando la presión en el generador de vapor o la temperatura máxima. Para una temperatura máxima dada, que está limitada por las características de los materiales de construcción, el incrementar la presión del generador hace que disminuya la calidad del vapor a la salida de la turbina, esto no es deseable, ya que una humedad mayor del 10% o 12% ocasiona erosión severa en los alabes de la turbina. Una forma de prevenir esta humedad es recalentar el vapor en el generador de vapor, una vez se haya expandido un poco en la turbina, para llevarlo nuevamente alrededor de la temperatura máxima, regresando nuevamente a la turbina para que continúe expan-diéndose. Este procedimiento puede realizarse varias veces.El efecto del recalentamiento en la eficiencia térmica depende de las condiciones del ciclo. Entre más alta sea la presión de recalentamiento y más alta sea la temperatura después del recalentamiento, más alta será la eficiencia. En la figura 10.22 pueden apreciarse los diagramas de flujo y T-s para un ciclo con recalentamiento.

Figura 10.22 Ciclo de Rankine con recalentamiento. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

a.

1

Qe

3

4

2

QS

T2

56

3

1

2

S

T

6

5

b.

4

T1

W

W

Wb

Ejemplo 10.6Determinar la eficiencia y la velocidad de flujo requerida de un ciclo ideal de recalentamiento que debe producir 150.000 kW en el acoplamiento de la turbina, si las condiciones de entrada son 15,0 MPa y 600 °C; el recalen-tamiento es de 1,4 MPa a 600 °C y la presión del condensador es 5 kPa.

SoluciónEl proceso cíclico puede representarse mediante un diagrama de flujo y un diagrama T-s como se indica en la figura 10.23. Las propiedades del agua en cada uno de los estados, calculados con ayuda de las tablas de vapor, se indican en la tabla 10.5.

239


Figura 10.23 Ciclo ideal de recalentamiento para el ejemplo 10.6. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

Tabla 10.5 Propiedades del agua en cada uno de los estados

Estado P (kPa) t (°C) h (kJ/kg) (kJ/kg K)1 15.000 600 3.582,3 6,67762 1.400 236,13 2.855,99 6,67763 1.400 600 3.694,8 7,87104 5 32,88 2.401,7 7,87105 5 32,88 137,82 0,47646 15.000 33,4 153,42 0,4764

Haciendo balances de energía en la turbina, la bomba y el generador de vapor

El ciclo regenerativo funciona con una eficiencia del 46,95% y un flujo másico de 7,43 kg/s.

10.4 Cogeneración: producción de potencia y calor En los ciclos discutidos hasta ahora se ha considerado que el calor liberado durante el proceso no tiene ningún valor, debido a que la mayor parte de su energía es no disponible.

a.

1

Qe

3

4

QS

W=150.000 kW

5

6

3

1

2

S

T

6

5

b.

4

2

Wb

5 kPa

1.400 kPa

15.000 kPa

T


240

Hay muchas circunstancias en las cuales se necesita energía en forma de calor y la potencia que se debe generar no es muy alta.En muchos procesos industriales las funciones de calentamiento y produc-ción de potencia frecuentemente pueden combinarse de manera efectiva. Esta combinación se llama cogeneración. La cogeneración puede darse de dos formas diferentes dependiendo de las necesidades, como puede apreciarse en la figura 10.24.

Figura 10.24 Ciclos de regeneración para calentamiento y potencia. a. Toda la masa que circula por la turbina y el sistema de calentamiento. b. Ciclo para cargas de calor y potencia variable.

a.

1

Qe

3

QS

42

Wb

TG.V

10Qs1

b.

Qe

3

62

TG.V

89

5 wb4

7W

3

1

wb

Qs2

W

En la figura 10.24a el mismo flujo de masa circula por la turbina y el sis-tema de calentamiento. Tal ciclo es satisfactorio donde el flujo de vapor puede ser controlado solo por las necesidades de calentamiento y cualquier potencia producida puede usarse como complemento a la potencia produ-cida por otras fuentes.Donde las cargas de calor y potencia variable deben ser proporcionadas por una sola planta, se usa un ciclo como el de la figura 10.24b. Cuando la carga de potencia es cero, todo el vapor pasa a través de la válvula y nada a través de la turbina. Cuando la carga de calentamiento es cero, la totalidad del vapor se expande a través de la turbina y el condensador. Para hacer frente a las demandas de calentamiento y de potencia, la distribución de flujo de vapor se determina de acuerdo con los requerimientos de calor y potencia y mediante balances de energía en el calentador y en la turbina.

10.5 Ciclos de refrigeración Un sistema de refrigeración elimina calor de una parte de los alrededores y descarga calor a una más caliente.El coeficiente de operación o rendimiento de un refrigerador se definió de acuerdo con la ecuación 4.4 como

241


El ciclo de Carnot inverso se utiliza como un estándar de comparación para los ciclos de refrigeración ya que su eficiencia es la máxima para unos límites de temperatura dados. La figura 10.25 muestra los diagramas T-s para diferentes sustancias de trabajo.

10.5.1 Sistema de refrigeración de gasLos ciclos de refrigeración reales con sustancia de trabajo gaseosa no están basados en el ciclo de Carnot debido a sus dificultades prácticas. Se modelan con base en un ciclo de Brayton inverso. La figura 10.26 muestra los diagramas de flujo, P-v y T-s para este ciclo. Tc y TF son las temperaturas de aquellas partes de los alrededores a los que el calor será liberado o de las que el calor será eliminado respectivamente.La sustancia de trabajo más común en este ciclo es el aire, este se comprime isoentrópicamente a una temperatura por encima de Tc y luego se enfría de manera reversible a presión constante hasta que su temperatura es Tc o ligeramente mayor. En seguida se expande isoentrópicamente a través de una máquina expansora (turbina) que suministra algo de la potencia requerida por el compresor. La temperatura del aire a la salida de la máquina cae a un valor menor que TF. Por tanto el calor puede ser absorbido de los alrededores que están a TF a medida que el aire fluye a presión constante a través de un intercambiador de calor para alcanzar el estado 1 y completar el ciclo.

Figura 10.25 Diagramas T-s de un ciclo de Carnot inverso para a. Cualquier sustancia de trabajo. b. Vapor saturado. c. Vapor algunas veces saturado y otras sobrecalentado.

Mediante balances de energía a cada uno de los procesos y considerando variaciones de energía cinética y potencial despreciables se tienewc = h2 − h1

qsalida, 2→3 = h2 − h3

wmáq = h3 − h4

qentra, 4→1 = h1 − h4

Hay entrada de trabajo, porque el trabajo producido por la máquina no es suficiente para accionar el compresor.

S

T

1 2

34

Tf

S

T

1 2

34 Tc

S

T

1 2

34

b.a. c.

Tf Tf

TcTc


242

Figura 10.26 Ciclo de Brayton inverso. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama P-v. c. Diagrama T-s.

La máquina no puede ser reemplazada, con buenos resultados, por una válvula de estrangulamiento porque si el aire se comporta como gas ideal no se logrará la caída de temperatura.Un inconveniente de un sistema de refrigeración de aire es que su baja densidad a presiones moderadas requiere ya sea de presiones muy altas o razones de flujo de volumen muy altas con el fin de obtener una capacidad de refrigeración moderada.

10.5.2 Sistemas de refrigeración de vaporLa figura 10.27 muestra los diagramas de flujo, T-s y P-h de un sistema de refrigeración por compresión de vapor convencional. Este ciclo propuesto como modelo está constituido por cuatro procesos, tres de los cuales son reversibles, pues el paso a través de la válvula no lo es, dos adiabáticos y dos a presión constante, alternados.

V

P

14

3 2

S

T

1

2

3

4

TLTF

b. c.

a.

2

41

WT

Qe Adición de calor apresión constante

Liberación de calor apresión constante QS

3

WC

243


Se habla de compresión seca, cuando al compresor llega vapor saturado seco, como es el caso representado en la figura 10.27, o sobrecalentado. La com-presión es húmeda cuando al compresor llega una mezcla líquido vapor.Son posibles muchas modificaciones al ciclo de compresión básico con el propósito de incrementar el coeficiente de operación.Cuando se trabaja con unidades inglesas, una unidad de capacidad de refri-geración ampliamente usada es la tonelada de refrigeración, la cual se define como un flujo de absorción de calor de 200 Btu/min. El nombre de esta unidad se deriva del hecho de que en 24 horas este flujo de calor eliminado congelará aproximadamente una tonelada de agua a 32 °F a hielo a 32 °F.

Ejemplo 10.7En un sistema de refrigeración por compresión de vapor, la temperatura del condensador es de 25 °C y la temperatura del evaporador es de −10 °C. A la válvula de expansión entra líquido saturado y al compresor vapor saturado seco. El compresor opera de manera adiabática reversible. Para un efecto de refrigeración de 3,5 kJ/s, determinar la velocidad de flujo y la potencia de entrada si el refrigerante es amoniaco.

SoluciónEste sistema de refrigeración puede representarse mediante los siguientes diagramas de flujo y T-s.El efecto de refrigeración corresponde a la cantidad de calor que es nece-sario retirar en la unidad de tiempo para mantener un espacio refrigerado, en este caso es de 3,5 kg/s que llegan al evaporador.Para calcular la velocidad de flujo , se hace un balance de energía en el evaporador.

La potencia de entrada al compresor se puede calcular mediante un ba-lance de energía

luego es necesario conocer las entalpías de los estados 1, 2, 4 para el amo-niaco, que es el refrigerante.El estado 4 está localizado a la salida de la válvula, y teniendo en cuenta que esta es adiabática y no realiza trabajo, un balance de energía lleva a concluir que h3 = h4.Con ayuda de las tablas de propiedades para el amoniaco se obtienen los resultados indicados en la tabla 10.6.

Tabla 10.6 Tablas de propiedades para el amoniaco


244

Figura 10.27 Ciclo de refrigeración por compresión de vapor: compresión seca. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s. c. Diagrama P-h.


1 290,85 −10 1.432 5,4730

2 1.003,00 76 1.605,5 5,4730

3 1.003,00 25 298,8 1,1234

entonces

Problemas propuestos 10.1 La relación de presión para un ciclo de Brayton estándar de aire es

de 4 a 1. La presión del aire en la entrada al compresor es 100 kPa y

S

T

1

3

2

h

P

1

23

4

b. c.

a.

2

1

W

4

CompresiónCompresión

Evaporador

Condensador

Qe

QS

4

3

245


la temperatura máxima del ciclo es 850 °C. La velocidad de flujo es 10 kg/s. Asumiendo que la capacidad calorífica del aire permanece constante con la temperatura, determinar:a. La potencia para accionar el compresor.b. La potencia entregada por la turbina.c. La potencia neta.d. La eficiencia térmica del ciclo.

10.2 Repetir el problema 10.1 asumiendo que la capacidad calorífica del aire varía con la temperatura.

10.3 Una turbina de gas se utiliza para bombear gas natural a través de un gaseoducto. La potencia requerida para impulsar el compresor es 1.000 kW y se ha decidido utilizar una turbina de gas para que provea esta potencia. Se usará un ciclo simple abierto, con un re-generador con 50% de rendimiento. Ya que es fácil el suministro de combustible y puesto que algunas de estas unidades pueden estar en lugares relativamente aislados, el bajo costo de mantenimiento es más importante que el rendimiento alto.Seleccionar un ciclo realizando las suposiciones apropiadas para los rendimientos de la turbina y el compresor y determinar la potencia de salida de la turbina, la potencia de entrada al compresor y el rendimiento del ciclo.

10.4 Considere un ciclo de turbina de gas con dos etapas de compresión. La relación de presión en cada etapa del compresor es de 2. La tem-peratura de entrada a cada compresor es 15 °C y la temperatura de entrada a la turbina es 900 °C. Un regenerador ideal se incorpora al ciclo. Determinar el trabajo del compresor, el trabajo de la turbina y

Figura 10.28 Sistema de refrigeración por compresión de vapor para el ejemplo 10.7. a. Diagrama de flujo. b. Diagrama T-s.

S

T

1

3

2

b.a.

2

1

W

4

Evaporador10 ºC

Condensador25 ºC

Qe=3,5 kg/s

QS

4

3

10 ºC


246

la eficiencia térmica. La presión a la entrada del primer compresor es P1 = 100 kPa.

10.5 Un ciclo de Diesel de aire estándar tiene una relación de compresión de 17. La presión al comienzo de la carrera de compresión es 100 kPa y la temperatura es 15 °C. La máxima temperatura alcanzada durante el ciclo es de 2.500 K. Determinar la eficiencia térmica y la presión media efectiva, que se define como la presión que si actuara sobre el émbolo durante toda la carrera, proporcionaría un trabajo igual al ejecutado sobre el émbolo real: wneto / volumen desplazado en el cilindro

10.6 Un ciclo de Otto de aire estándar opera con una razón de compresión de 8. Al inicio de la compresión, el aire se encuentra a 14,7 psia y 80 °F. La presión se triplica durante el proceso de calentamiento.

Determinar:a. La eficiencia térmica del ciclo.b. La cantidad de calor agregado en Btu/lbm.c. La presión media efectiva.

10.7 Trazar en un diagrama T-s un ciclo de aire estándar de Otto y un ciclo de Diesel, con las mismas condiciones a la entrada, la misma cantidad de calor agregada y la misma razón de compresión. Mostrar mediante la comparación de áreas en dicho diagrama que el ciclo de Otto posee una mayor eficiencia que el de Diesel.

10.8 Se desean diseñar dos ciclos Diesel (A y B) con la misma temperatu-ra, la misma presión al inicio del proceso de compresión y la misma razón de compresión. Sin embargo, el ciclo A debe tener una mayor razón de fin de la inyección que el ciclo B:a. ¿Cuál de los dos ciclos tendrá una mayor eficiencia?b. ¿Cuál de los dos ciclos tendrá una mayor presión media efectiva?Sustentar las condiciones con razonamientos lógicos. Utilizar los diagramas T-s y P-v.

10.9 Determinar la eficiencia y la razón de trabajo consumido de un ciclo Rankine que opera con condiciones de entrada a la turbina de 5,0 MPa y 400 °C y una presión del condensador de:a. 100 kPa.b. 50 kPa.c. 10 kPa.

10.10 Para un ciclo Rankine con temperatura de entrada a la turbina de 500 °C y una presión de escape de 5 kPa, graficar la eficiencia térmica contra la presión de entrada en el intervalo de 100 kPa a 5,0 MPa. Indicar la parte de la curva que incluye al vapor de escape sobrecalentado.

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10.11 Comparar las eficiencias térmicas de dos plantas ideales de potencia de vapor cada una operando con límites de presión de 400 psia y 1,5 pulgadas de mercurio, una en un ciclo de Carnot, la otra en un ciclo de Rankine sin sobrecalentamiento. En cada caso el vapor al final de la adición de calor está seco y saturado.

10.12 El vapor entra a una turbina a 1,5 MPa y 300 °C y sale a 100 kPa. Suponer un flujo adiabático reversible. ¿A qué presión debe estran-gularse el vapor entrante para reducir el trabajo por unidad de masa a dos tercios del que se obtiene sin estrangulamiento? Suponer que el flujo a través de la turbina permanece reversible y adiabático y que la presión de escape no cambia

10.13 Un ciclo ideal de vapor regenerativo tiene condiciones de entrada a la turbina de 3.000 kPa y 400 °C, un calentador de agua de ali-mentación abierto a 250 kPa y a una presión del condensador de 30 mm de mercurio absoluta. Comparar su eficiencia con la de un ciclo Rankine simple que tenga las mismas condiciones de entrada y la misma presión de escape.

10.14 Un ciclo ideal de recalentamiento sin regeneración tiene condiciones de entrada de 14,0 MPa y 450 °C y se recalienta a 3,8 MPa a 480 °C. La presión de salida es 5 kPa. Calcular la eficiencia térmica del ciclo. ¿Cuánta energía no disponible es liberada por kilogramo de vapor de entrada si la temperatura del ambiente es de 25 °C?

10.15 Determina la eficiencia y la velocidad de flujo del generador de vapor para un ciclo ideal regenerativo con recalentamiento que debe pro-ducir 150.000 kW en el acoplamiento de la turbina si las condiciones de entrada son 15,0 MPa y 600 °C; el recalentamiento es a 1,4 MPa y 600 °C, hay un calentador de agua de alimentación abierto a 150 kPa y la presión del condensador es de 7 kPa.

10.16 En una planta de energía nuclear se transmite calor al sodio líquido en el reactor; el sodio líquido se bombea a un intercambiador de calor, donde se transmite el calor al agua; de este intercambiador el agua sale como vapor saturado a 5 MPa y después se recalienta en un sobrecalentador con hogar propio hasta 600 °C. Enseguida el vapor entra a la turbina, la cual tiene una extracción a 0,4 MPa que fluye a un calentador de agua de alimentación de contacto directo. La eficien-cia de la turbina es del 75% y la presión del condensador de 7,5 kPa. Determinar el calor transferido en el reactor y en el sobrecalentador para producir una potencia en la turbina de 80.000 kW.

10.17 En un ciclo ideal de refrigeración la temperatura del condensador es 45 °C y la temperatura durante la evaporación es −15 °C. Determina el coeficiente de operación de este ciclo si el refrigerante es freón-134 o si es amoniaco.


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10.18 Un ciclo de refrigeración real utiliza freón-12 como fluido de trabajo. El refrigerante entra al compresor a 0,15 MPa, −10 °C y sale a 1,2 MPa, 75 °C. La potencia para accionar el compresor es 1,9 kW. A la entrada de la válvula de expansión las condiciones son 1,15 MPa, 40 °C y a la salida del evaporador las condiciones son 0,175 MPa, −15 °C. Si el flujo másico es 0,04 kg/s, determinar:a. La irreversibilidad durante el proceso de compresión.b. La capacidad de refrigeración.c. El coeficiente de operación para el ciclo.

10.19 Una pista de patinaje tiene un área de 550 m2. Tres centímetros de agua se encuentran en una capa de hielo a 0 °C. Si el agua se congelara toda en cuatro horas, determinar la mínima potencia de entrada posible para la unidad refrigeradora.

10.20 Una máquina refrigeradora de aire denso elimina 2.000 kJ/min de un cuarto frío de almacenamiento mientras opera entre presiones de 350 kPa y 1.400 kPa. Las temperaturas del aire que entra al compresor y a los cilindros de expansión son de 0 y 35 °C respecti-vamente. La expansión es reversible y adiabática, la compresión es politrópica con n = 1,35. Determinar la potencia de entrada y el coeficiente de operación.

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Se terminó de imprimir en el mes de

libro termodinamica

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