libro problemas de fisica oscilaciones y ondas

OSCILACIONES Y ONDAS Colección de cuestiones de opción múltiple y problemas resueltos RICARDO JESÚS FLORIDO HERNÁNDEZ RAFAEL RODRÍGUEZ PÉREZ JUAN MIGUEL GIL DE LA FE

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Oscilaciones y ondas. Colección de cuestiones de opción múltiple y problemas resueltos.

Ricardo Jesús Florido Hernández, Rafael Rodríguez Pérez, Juan Miguel Gil de la Fe.

Abril 2006

ISBN: 84-7806-324-2

Editado por la Escuela Universitaria Politécnica de la ULPGC.

Impreso en el Servicio de Reprografía y Publicaciones de la ULPGC.

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Índice

Cuestiones de opción múltiple .……………….…………………….……………… 1

Oscilaciones ……………………………………………………………………………………….… 1 Ondas ……………..…………………….……………………………………………………….…… 15

Respuestas a las cuestiones de opción múltiple ….……..……………… 29

Problemas resueltos …….…………………………….………………………………… 31

Oscilaciones ……………………………………………………………………………………… 31 Ondas ……………..………………………………………………………………………………… 71

Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple.

1

Cuestiones de opción múltiple

de OSCILACIONES


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1. Siendo )(1 tx y )(2 tx soluciones de un movimiento vibratorio armónico simple, que obedece

a la ecuación 02

2

=+ kxdtxdm , efectuado por una partícula de masa m , ¿cuál de las

siguientes afirmaciones es falsa?

a) La frecuencia angular para ambos movimientos es mk /=ω .

b) La función )()()( 21 txtxtx += también será una posible solución para el movimiento de la

partícula.

c) El periodo de las oscilaciones será el mismo para ambos movimientos.

d) Para cualquiera de los dos movimientos se cumplirá que la suma de las energías cinética y

potencial irá disminuyendo con el tiempo.

2. El complejo )()( φωβ +−= tjt eAetz describe un movimiento oscilatorio amortiguado en

representación fasorial. Podemos afirmar que:

a) La magnitud A es la amplitud de las oscilaciones amortiguadas.

b) La evolución temporal del fasor en el plano complejo da lugar a una circunferencia de radio A.

c) En cada instante de tiempo, )( φωβ ++− tjt es el ángulo que forma el fasor con el eje real.

d) La evolución temporal del fasor en el plano complejo da lugar a una espiral que converge al

el origen del plano complejo.

3. Se superponen dos MM.AA.SS. en la misma dirección con frecuencias angulares 21 =ω

rad/s y 32 =ω rad/s. El movimiento resultante:

a) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la media de las frecuencias de los movimientos que

se superponen.

b) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico.

c) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico.

d) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la mayor de las frecuencias componentes.

4. Considérese un oscilador sobre el que actúa una fuerza )(tF periódica de periodo T . El

espectro de Fourier del movimiento resultante en régimen estacionario:

a) Será continuo. Habrá contribución para todos los valores de la frecuencia desde 0 hasta ∞ .

b) Será idéntico al espectro de Fourier que se obtenga del análisis de )(tF .

c) Tendrá una única contribución para aquel valor de la frecuencia igual a la frecuencia de la

fuerza impulsora, T/2πω = .

d) Será discreto. Habrá contribución sólo para aquellos valores de la frecuencia que sean

múltiplos de la frecuencia de la fuerza impulsora, es decir, para aquellos valores

Tnn

πω 2= , con ,..2 ,1 ,0=n .


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5. En situación de resonancia en energía, la potencia media transmitida por el agente externo

al oscilador es:

a) Cero.

b) Máxima o mínima dependiendo de la frecuencia del forzamiento.

c) Máxima.

d) Igual a la potencia media transmitida en situación de resonancia en amplitud.

6. La ecuación )()( αω += tAsintx describe:

a) Un movimiento oscilatorio particular.

b) Un movimiento periódico particular.

c) Un movimiento armónico simple.

d) Todas las opciones anteriores son ciertas.

7. El complejo )()( φω += tjAetz describe un M.A.S. movimiento armónico simple en

representación fasorial. Podemos afirmar que:

a) La parte real de )(tz nos da la amplitud del M.A.S.

b) El ángulo que forma en cada instante de tiempo )(tz con el eje real nos da la fase del

movimiento.

c) El módulo de )(tz determina la elongación asociada al M.A.S.

d) El complejo )()( φωω += tjejAtz& es un fasor paralelo en todo momento a )(tz , que

representa la velocidad instantánea del M.A.S.

8. La superposición de dos MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares da lugar:

a) A un M.A.S. perpendicular a ambos

b) A un movimiento bidimensional periódico.

c) A un movimiento bidimensional descrito por una trayectoria cerrada, siempre y cuando las

frecuencias de los movimientos componentes sean conmensurables.

d) A un movimiento bidimensional que no será periódico si las frecuencias de los movimientos

que superponen verifican una relación de conmensurabilidad.

9. La ecuación diferencial ( ) ( ) 0// 22 =++ kxdtdxdtxdm γ es:

a) La ecuación fundamental del movimiento armónico simple.

b) La ecuación fundamental del movimiento oscilatorio amortiguado, que es un movimiento

conservativo.

c) La ecuación fundamental del movimiento oscilatorio amortiguado en régimen de

amortiguamiento débil.

d) La ecuación fundamental del movimiento oscilatorio amortiguado.


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10. Una partícula de masa m se encuentra unida a un resorte de constante elástica k .

Tiramos de la masa y la soltamos cuando ésta se encuentra a una distancia 0x de la posición

de equilibrio. Si repetimos la misma acción con una partícula de masa m4 :

a) El periodo del movimiento será la mitad que en el primer caso.

b) El periodo del movimiento es el doble que en el primer caso y la amplitud valdrá 02x .

c) El periodo del movimiento será la mitad que en el primer caso y la amplitud valdrá 0x .

d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas.

11. La ecuación fundamental de un cierto sistema es de la forma 02

2

=++ cxdtdxb

dtxd

, 0≥b

y 0>c . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a) La solución de la ecuación diferencial es de la forma tt eAeAtx 2121)( ωω −− += si cb 2> .

b) En régimen estacionario, la solución es del tipo ( )δω −= tAsintx )( . Las constantes A y

δ no son arbitrarias.

c) Si 0=b , la solución es del tipo ( ) ( )α+= tcAsintx .

d) Diremos que el sistema presenta un amortiguamiento crítico si cb 2= .

12. Señale la afirmación correcta:

a) El factor de calidad correspondiente a las vibraciones atómicas en un sólido es mayor que

el asociado a las vibraciones de la corteza terrestre producidas por una onda sísmica.

b) En un oscilador amortiguado, la velocidad de la partícula sujeta al muelle es máxima (en

módulo) justo cuando aquélla pasa por la posición de equilibrio.

c) Se dará una pulsación al superponer dos MM.AA.SS. en direcciones perpendiculares y con

frecuencias similares.

d) La ecuación de un M.A.S. es del tipo ( ) ( )αω += tAsintx , siendoα el desfase entre la

posición y la fuerza impulsora.

13. La ecuación fundamental de un oscilador amortiguado es del tipo 02

2

=++ cxdtdxb

dtxda .

Su solución:

a) Será de la forma )()( αωβ += − tsinAetx t , siempre que )2/(/ abac > .

b) Será de la forma )()( αωβ += − tsinAetx t , siempre que )2/(/ abac = .

c) Será )2/()4( 2 aacbbx −±−= , como corresponde a una ecuación de segundo grado.

d) Será de la forma )()( αω += tAsintx .


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14. Considérese un sistema conservativo que describe un movimiento oscilatorio en torno a un

punto correspondiente a un mínimo de energía potencial. Podemos afirmar que:

a) En esta situación, el movimiento resultante puede considerarse un M.A.S.

b) Si la energía total del sistema es ligeramente superior al mínimo de energía potencial, la

amplitud de las oscilaciones será pequeña y el movimiento puede considerarse un M.A.S.

c) La frecuencia de las oscilaciones es proporcional a la energía potencial del oscilador.

d) El movimiento no es periódico.

15. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta:

a) En situación de resonancia en energía, el desfase entre la fuerza impulsora armónica y el

desplazamiento vale 2/πδ = rad.

b) El periodo de un M.A.S. depende de las condiciones iniciales del movimiento.

c) En un circuito LC, la energía magnética almacenada en la bobina y la energía eléctrica

almacenada en el condensador permanecen constantes en el tiempo. a) Cuando se superponen dos MM.AA.SS. de frecuencias similares y direcciones

perpendiculares se da un fenómeno que recibe el nombre de pulsación.

16. Considérese la superposición de los MM.AA.SS. )()( 111 αω += tsinAtx y

)()( 222 αω += tsinAtx .

a) El movimiento resultante es un M.A.S. de la misma frecuencia y de amplitud 21 AA + .

b) El movimiento resultante es un M.A.S. de la misma frecuencia y de amplitud 21 AA − .

c) El movimiento resultante no es un M.A.S. porque las frecuencias no son conmensurables.

d) El movimiento resultante es un M.A.S. cuya amplitud dependerá de la diferencia de fase

de los movimientos que se superponen.

17. En el contexto del movimiento oscilatorio, el fenómeno de las pulsaciones:

a) Se da cuando se superponen dos MM.AA.SS. en la misma dirección y frecuencias

similares.

b) No se da. Es exclusivo del movimiento ondulatorio.

c) Se da cuando se superponen dos MM.AA.SS. perpendiculares entre sí.

d) Se da cuando se analiza el espectro de Fourier de dos ondas armónicas.

18. Cuando en un oscilador amortiguado y forzado, la frecuencia del forzamiento es igual a

2/1220 )2( βωω −=f :

a) Estamos ante una situación de resonancia en energía.

b) Estamos ante una situación de resonancia en amplitud, por tanto, la transferencia de

energía al oscilador es máxima.

c) Estamos en una situación de amortiguamiento crítico.

d) Se da una resonancia en amplitud.


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19. En un movimiento armónico simple:

a) La amplitud del movimiento varía con el tiempo de la forma )( αω +tsin .

b) La frecuencia de las oscilaciones depende del valor del parámetro de amortiguamiento β .

c) La amplitud del movimiento queda determinada por la posición y velocidad inicial del

cuerpo que describe el M.A.S.

d) La amplitud de las oscilaciones no es constante en el tiempo.

20. Del análisis cinemático y energético de un M.A.S. se deduce que:

a) La velocidad es mínima en el punto de equilibrio.

b) La energía cinética alcanza su valor máximo cada vez que el cuerpo pasa por la posición

de equilibrio.

c) La energía potencial es mínima en los puntos de elongación máxima.

d) La energía total del sistema depende de la variación de la amplitud de las oscilaciones con

el tiempo.

21. Se superponen dos MM.AA.SS. en la misma dirección con frecuencias angulares 21 =ω

rad/s y 182 =ω rad/s. El movimiento resultante: a) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la media de las frecuencias de los movimientos que

se superponen.

b) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico.

c) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico.

d) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la mayor de las frecuencias componentes.

22. Cuando una partícula describe un M.A.S. se verifica que: a) Su energía potencial es mínima en los puntos donde la aceleración es máxima (en

módulo). b) Su energía cinética es siempre mayor que su energía potencial. c) Su energía total es constante y depende de las condiciones iniciales. d) Su energía cinética es máxima en los puntos donde la aceleración es máxima (en módulo). 23. En un oscilador amortiguado y forzado:

a) La energía total del sistema es igual a la de un oscilador armónico de frecuencia igual a la

frecuencia de forzamiento.

b) La energía total del sistema es constante una vez que desaparecen los efectos transitorios.

c) En régimen permanente y en situación de resonancia en energía, la energía total del

sistema es igual a la de un oscilador armónico de frecuencia igual a la frecuencia de

forzamiento.

d) En situación de resonancia en energía, la energía total del sistema es igual a la de un

oscilador armónico de frecuencia igual a la frecuencia de forzamiento.


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24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

a) En cualquier oscilador débilmente amortiguado podría tener lugar un fenómeno de

resonancia en amplitud.

b) El fenómeno de resonancia en amplitud no se da en un oscilador sobreamortiguado.

c) El factor de calidad de un sistema oscilante es tanto mayor, cuanto más pequeño sea el

coeficiente de amortiguamiento.

d) La anchura de banda de un oscilador armónico simple es igual a cero.

25. En un circuito LC en serie, con condiciones iniciales 0Q para la carga almacenada en el

condensador e 0I para la intensidad, ocurre que:

a) La carga almacenada y la intensidad están en fase. b) La frecuencia característica del sistema no depende de la capacidad del condensador. c) El período del proceso de carga y descarga no depende de la autoinductancia de la bobina.

d) La carga máxima que puede almacenarse en el condensador depende de 0Q .

26. Un cuerpo de masa m unido a un muelle de constante elástica k describe oscilaciones

armónicas de periodo T . Para duplicar el periodo del movimiento podríamos:

a) Cambiar el muelle por otro de constante elástica k4 .

b) Duplicar la amplitud del movimiento.

c) Cambiar el cuerpo por otro de masa m4 .

d) Duplicar la frecuencia de las oscilaciones.

27. Considere un circuito RLC en serie al que se conecta una fuente de tensión sinusoidal. Si

1=R kΩ y 16=C µF, ¿cuánto debe valer L para garantizar que se alcanza el estado

estacionario lo antes posible?

a) 4 H.

b) 2 H.

c) Basta con que 4>L H.

d) Basta con que 4<L H.

28. Se superponen dos MM.AA.SS. en direcciones perpendiculares y de frecuencias 31 =ω

rad/s y 1212 =ω rad/s. El movimiento resultante:

a) Será un M.A.S. de periodo igual a π2 s.

b) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico.

c) El movimiento será periódico de periodo π2 s.

d) El movimiento será periódico de periodo π6 s.


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29. Señale cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) En situación de resonancia en amplitud, la energía de un oscilador forzado y amortiguado

será igual a la de un oscilador armónico con frecuencia igual a la del forzamiento.

b) En todo oscilador forzado existen dos posibles situaciones de resonancia: en amplitud y en

energía.

c) En general, la energía total de un oscilador forzado en régimen permanente es una función

oscilante cuya frecuencia es igual al doble de la frecuencia del forzamiento.

d) Se produce una situación de resonancia en energía cuando 220 2βωω −=f .

30. La aceleración de una partícula que se mueve sobre el eje OX responde a la expresión

( ) ( )tCxta = , donde C es una constante, t es el tiempo y ( )tx la posición respecto al origen

de coordenadas. En este caso, podemos afirmar que:

a) El movimiento de la partícula es un M.A.S.

b) El movimiento de la partícula no es un M.A.S.

c) El movimiento de la partícula es un M.A.S., siempre que 0<C .

d) El movimiento de la partícula es un M.A.S., siempre que 0>C .

31. Una partícula de masa m se encuentra unida a un resorte de constante elástica k .

Tiramos de la masa y la soltamos cuando ésta se encuentra a una distancia 0x de la posición

de equilibrio. Si repetimos la misma acción soltando la partícula desde una distancia 02x :

a) La energía total del sistema es el doble que en el primer caso.

b) El periodo del movimiento es el doble que en el primer caso y la amplitud valdrá 02x .

c) El periodo del movimiento es el mismo en los dos casos.

d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas.

32. Considérese un oscilador sobre el que actúa una fuerza ( )tttF 2cossin3)( += , con t en

s. En régimen estacionario, el movimiento resultante:

a) Será un M.A.S.

b) Será el correspondiente a una situación en la que se dan dos resonancias en energías, a

las frecuencias 11 =ω rad/s y 22 =ω rad/s.

c) No será periódico.

d) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico.


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33. La energía media de un oscilador amortiguado decae un factor e cada segundo. ¿Cuál es

el valor del coeficiente de amortiguamiento?

a) 5.0=β ms-1.

b) 1−= eβ s-1.

c) 5.0=β s-1.

d) 2=β s-1.

34. Un circuito RLC en serie constituye la base de un aparato receptor de radio. Si 2=R Ω y

16=C pF, ¿cuánto debe valer L para sintonizar de manera óptima una emisora de frecuencia

85.1 MHz?

a) 20 H.

b) No será posible sintonizarla porque la anchura de banda es muy grande.

c) 219=L nH.

d) Basta con que 219<L nH.

35. Un oscilador mecánico caracterizado por los parámetros 500=m g, 50=k N/m y

4=β s-1 describe oscilaciones de amplitud máxima cuando se somete a un forzamiento de

tipo armónico. Entonces:

a) El sistema se encuentra en situación de resonancia en energía.

b) La potencia absorbida por el oscilador es máxima.

c) La frecuencia del forzamiento vale 17.9 rad/s.

d) La frecuencia del forzamiento vale 25.8 rad/s.

36. Se superponen dos MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares y ecuaciones

( ) ( )tAsintx ω= e ( ) ( )πω += tBsinty . El movimiento resultante:

a) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico con periodo ωπ /2=T .


c) Será un M.A.S. de periodo ωπ /2=T .

d) Será periódico de periodo ωπ /2=T y presentará polarización elíptica.

37. El factor de calidad de un oscilador mecánico no forzado es tal que ∞→Q . La solución

del sistema es entonces del tipo:

a) En régimen estacionario, ( )δω −= tAsintx )( . Las constantes A y δ no son arbitrarias.

b) ( )αω += tAsintx 0)( , con A y α constantes arbitrarias.

c) Si 0ωβ < , ( )αωβ += − tsinAetx t)( , con A y α constantes arbitrarias.

d) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.


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38. Un circuito RLC en serie se conecta a una fuente de tensión ( ) ( )tsinVtV fω0= . Se

encuentra que en régimen estacionario la carga almacenada en el condensador responde a la

ecuación ( ) ( )2/0 πω −= tsinQtQ f . En este caso:

a) Se produce una situación de resonancia en amplitud.

b) La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas es igual a fω .

c) La energía total almacenada en el sistema es una función oscilante de frecuencia fω .

d) La potencia transferida por la fuente al sistema es máxima.

39. Considérese un circuito LC en serie y señale la afirmación correcta: a) En régimen transitorio, la carga almacenada en el condensador es de la forma

( ) ( )δtωsineQtQ tβ −= −0' .

b) La anchura de banda es igual a cero. c) La frecuencia de las oscilaciones eléctricas amortiguadas será menor que la frecuencia

natural del sistema. d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.

40. Una partícula de masa m se encuentra unida a un resorte de constante elástica k . El

coeficiente de amortiguamiento vale β . Tiramos de la masa y la soltamos cuando ésta se

encuentra a una distancia 0x de la posición de equilibrio.

a) La amplitud de las oscilaciones será igual a 0x .

b) El movimiento resultante responde a la ecuación ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= − αβ t

mkextx t sin0 .

c) La energía total permanece constante e igual a 2/20kx .

d) La energía total en el instante inicial vale 2/20kx .

41. La ecuación resultante de la superposición de dos MM.AA.SS. es de la forma

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−= β

ωωα

ωω ttAtx2

sin2

cos2 2112 . Podemos afirmar que:

a) Esta ecuación garantiza que se da un fenómeno de pulsación.

b) Se están superponiendo dos MM.AA.SS. en la misma dirección.

c) Como las frecuencias de los movimientos que se superponen son diferentes, la ecuación

resultante no es la de un M.A.S.

d) Se están superponiendo dos MM.AA.SS. en direcciones perpendiculares.


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42. El factor de calidad de un oscilador mecánico no forzado es tal que 0→Q . La solución del

sistema es entonces del tipo:

a) En régimen estacionario, ( )δω −= tAsintx )( . Las constantes A y δ no son arbitrarias.

b) ( )αω += tAsintx 0)( , con A y α constantes arbitrarias.

c) Sobreamotiguado.

d) Si 0ωβ < , ( )αωβ += − tsinAetx t)( , con A y α constantes arbitrarias.

43. Se superponen dos MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares y ecuaciones

( ) ( )tAsintx ω= e ( ) ( )2/sin πω += tBty . El movimiento resultante:

a) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico con periodo ωπ /2=T .


c) Será un M.A.S. de periodo ωπ /2=T .

d) Será periódico de periodo ωπ /2=T y presentará polarización elíptica.

44. En un circuito RLC en serie, 2=L mH y 16=C pF. ¿Cuánto valdrá la frecuencia de la

fuente de tensión sinusoidal alterna que debemos conectar al circuito para compensar

exactamente las pérdidas energéticas que se producen en la resistencia?

a) No será posible, porque el sistema nunca alcanzará el estado estacionario.

b) 28 kHz. c) 2800 kHz. d) Para averiguarlo es necesario conocer el valor de la resistencia.

45. Del análisis cinemático y energético de un M.A.S. se deduce que:

a) La velocidad es máxima en el punto de equilibrio.

b) La suma de energía cinética y potencial disminuye exponencialmente con el tiempo.

c) La energía potencial es mínima en los puntos de elongación máxima.

d) La energía total es constante y, por tanto, es independiente de la posición y velocidad

inicial del sistema.

46. La intensidad de corriente que circula por un circuito LC en serie viene dada por

( ) ( )ttI 300cos6= mA, donde t viene dado en segundos. ¿Cuál es la máxima carga

almacenada en el condensador?

a) 20 µC.

b) La carga se disipará en la resistencia.

c) 20 C.

d) 50 µC.


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47. Sobre un oscilador amortiguado actúa una fuerza de tipo armónico. Podemos afirmar que:

a) La fuerza externa siempre comunica energía al sistema.

b) Si la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural del sistema, el factor de calidad

se hace infinito.

c) La fuerza externa compensará exactamente la pérdida de energía debida al

amortiguamiento.

d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.

48. En relación con la superposición de los movimientos ( ) ( )tsintx 531 = cm y

( ) ( )ttx 5cos42 = cm, señale la respuesta correcta.

a) La amplitud del movimiento resultante vale 7 cm y la polarización es lineal.

b) La amplitud del movimiento resultante vale 1 cm.

c) La amplitud del movimiento resultante vale 5 cm.

d) La amplitud resultante es variable porque los movimientos que se superponen están

desfasados 2/π rad.

49. Considérese un circuito RLC en serie conectado a una fuente de tensión alterna sinusoidal.

En régimen permanente, la carga almacenada en el condensador responde a una ecuación del

tipo ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= δtLC

sinQtQ 10 . Entonces:

a) En este caso 0=R Ω, porque 0ωω = .

b) El circuito se encuentra en situación de resonancia en energía.

c) πδ = rad.

d) El valor de 0Q dependerá de las condiciones iniciales del circuito.

50. Un oscilador amortiguado está caracterizado por los parámetros 80 =ω rad/s y 6=β s-1.

Si sobre el sistema comienza a actuar un forzamiento de tipo armónico: a) Las oscilaciones serán sobreamortiguadas. b) La transferencia de energía desde el exterior al sistema es máxima. c) La anchura de banda del sistema variará. d) El sistema nunca podrá experimentar una resonancia en amplitud.


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Cuestiones de opción múltiple

de ONDAS


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a) La función que describe una onda estacionaria está compuesta, al igual que ocurre con las

pulsaciones, por dos factores: uno dependiente de la variable espacial y otro dependiente

de la variable temporal.

b) La distancia entre dos nodos es una semilongitud de onda mayor que la distancia entre dos

vientres.

c) Una onda estacionaria no transporta energía.

d) En los instrumentos de cuerda pueden generarse ondas estacionarias, en los de viento no.

52. En general, cuando hacemos vibrar una cuerda de un instrumento musical:

a) Se establece una onda estacionaria que es superposición de diferentes modos de

vibración.

b) Se genera una onda estacionaria de frecuencia igual a la frecuencia fundamental.

c) Se pone de manifiesto el fenómeno de difracción en ondas planas.

d) El espectro de Fourier de la onda generada nos revelará que sólo está presente la

frecuencia fundamental.

53. Si quisiésemos que los sonidos agudos procedentes de un altavoz con forma circular

llegasen a todos los puntos de un auditorio:

a) Deberíamos utilizar altavoces cuyo diámetro fuese lo más pequeño posible, ya que

conseguiríamos disminuir la direccionalidad del sonido.

b) Cualquier tamaño del altavoz es válido, siempre y cuando sea del orden de la longitud de

onda característica del sonido que se quiere transmitir.

c) Deberíamos utilizar altavoces cuyo diámetro fuese el mayor posible, ya que la

direccionalidad es proporcional al diámetro del altavoz.

d) Deberíamos utilizar altavoces cuyo diámetro fuese el mayor posible, ya que la

direccionalidad es mayor cuanto mayor sea el diámetro del altavoz.

54. La función 2)(),( txAetx υψ +−= :

a) Es solución de la ecuación de onda y describe un pulso que se propaga en la dirección

positiva del eje OX.

b) No es solución de la ecuación de onda.

c) No es solución de la ecuación de onda, porque no es de la forma )sen( txA υ± o

)cos( txA υ± .

d) Es solución de la ecuación de onda y describe un pulso que se propaga hacia la izquierda

(en la dirección negativa del eje OX) con velocidad υ .


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55. Una de las magnitudes físicas (hay tres) que caracteriza a una onda sonora que se propaga

en un medio gaseoso (cumpliendo la ecuación de ondas) es:

a) El desplazamiento transversal de las partículas del medio.

b) La densidad volúmica de masa de partículas del medio.

c) Calor.

d) Transporte de materia.

56. En relación con el fenómeno de la polarización, señale cuál de las siguientes afirmaciones es

falsa:

a) La polarización es un fenómeno característico de las ondas transversales.

b) Una onda mecánica está linealmente polarizada cuando las partículas que vibran

produciendo la onda lo hacen siempre en el mismo plano.

c) La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica.

d) La polarización es un fenómeno característico de todo movimiento ondulatorio y puede ser

lineal, circular y elíptica.

57. Considérese un paquete de ondas constituido por la superposición de un conjunto de

movimientos ondulatorios.

a) Se define la velocidad de grupo como la velocidad a la que avanza el paquete de ondas.

b) Se define la velocidad de fase como la velocidad a la que viaja la señal.

c) La velocidad de fase será igual a la velocidad de grupo si el medio es dispersivo.

d) La velocidad de fase es siempre distinta a la velocidad de grupo.

58. En relación con los fenómenos de reflexión y/o refracción de las ondas, podemos afirmar que:

a) El factor de reflexión o reflectividad nos da la fracción de energía de la onda incidente que

es reflejada.

b) Cuando una onda se refleja contra un medio más denso o resistivo que el medio por el que

viene propagándose, no se produce ningún cambio de fase.

c) La ley de reflexión nos dice que el ángulo de incidencia y el de refracción deben ser

iguales.

d) La ley de Snell nos dice que el ángulo de incidencia y el de refracción deben ser iguales.

59. Cuando una onda esférica se propaga en un medio homogéneo, isótropo y absorbente; la

intensidad de la onda decae exponencialmente con la distancia del frente de onda al foco

emisor.

a) La afirmación anterior es cierta.

b) La afirmación anterior es falsa.

c) La intensidad sólo decae con el cuadrado de la distancia del frente de onda al foco emisor.

d) Efectivamente, hay decaimiento exponencial; pero además la intensidad decae con el

cuadrado de la distancia del frente de onda al foco emisor.


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60. Una onda de choque o de Mach se presenta cuando:

a) La velocidad de propagación de la onda en el medio y la velocidad de la fuente que la

produce son iguales.

b) La velocidad de propagación de la onda en el medio es mayor que la velocidad de la fuente

que la produce.

c) La velocidad de propagación de la onda en el medio es menor que la velocidad de la fuente

que la produce.

d) No tiene nada que ver la relación que exista entre ambas velocidades.

61. El principio de Huygens:

a) Afirma que las ondas secundarias generadas en cada punto de un frente de onda son

siempre ondas planas.

b) Nos dice que la intensidad de las ondas secundarias es uniforme en todas las direcciones

del espacio.

c) Nos dice que el nuevo frente de onda se obtiene construyendo una superficie tangente a

las ondas secundarias.

d) Permite explicar en su totalidad el fenómeno de la difracción.

62. Las ondas pueden clasificarse en:

a) Longitudinales y transversales polarizadas.

b) Mecánicas y electromagnéticas.

c) Electromagnéticas y sonoras.

d) Planas y esféricas.

63. Para que la función )(),( αψ +−= btaxAsintx sea solución de la ecuación

2

22

2

2

xt ∂∂

=∂∂ ψυψ

, ha de cumplirse:

a) ab /=υ .

b) ab=υ .

c) ba /=υ .

d) ba /=υ .

64. Seleccione la respuesta correcta:

a) Una onda armónica pasa de un medio a otro medio de características distintas variando su

velocidad de propagación y, por consiguiente, su longitud de onda.

b) Un foco sonoro que vibra con un periodo T, origina una perturbación en las partículas del

aire, que oscilarán con un periodo distinto al del foco.

c) En un movimiento ondulatorio, la energía y la cantidad de movimiento se propagan

acompañadas de un transporte neto de materia.

d) Las ondas sonoras longitudinales están linealmente polarizadas.


20

65. Podríamos decir, sin temor a equivocarnos, que:

a) Es imposible visualizar la interferencia de ondas luminosas.

b) Dependiendo de la diferencia de caminos recorridos por las ondas que interfieren

procedentes de dos fuentes que oscilan en fase, la interferencia puede ser destructiva o

constructiva.

c) La distribución de intensidades, generada por dos fuentes luminosas puntuales coherentes

y registrada en una pantalla lejana, es uniforme; esto es, la intensidad es siempre la misma

en todos los puntos de la pantalla.

d) La distribución de intensidades, producida por N fuentes sincrónicas y recogida sobre una

pantalla lejana, se caracteriza por la presencia de un conjunto de máximos aislados y

equiespaciados.

66. Según la relación de incertidumbre asociada al teorema integral de Fourier:

a) Cuanto menor es la duración de un pulso, menor será la anchura frecuencial de su

espectro.

b) Cuanto mayor es la duración de un pulso, mayor será la anchura frecuencial de su

espectro.

c) La duración del pulso será igual a la anchura frecuencial del espectro.

d) Cuanto menor es la duración de un pulso, mayor será la anchura frecuencial de su

espectro.

67. En relación con las ondas longitudinales que se propagan en un fluido, señale cuál de las

siguientes afirmaciones es falsa:

a) La onda longitudinal está asociada a la propagación de pulsos de compresión-

enrarecimiento.

b) En una región enrarecida, la presión y la densidad aumentan por encima de sus valores

normales.

c) La velocidad de propagación depende de las propiedades elásticas del medio, en concreto,

del módulo de compresibilidad.

d) Pueden ser descritas como ondas de desplazamiento, como ondas de presión y también

como ondas de densidad.

68. En un medio homogéneo, isótropo y no absorbente, la intensidad de una onda esférica:

a) Decae proporcionalmente a rer

β−2

1.

b) No decae, porque no existe absorción.

c) Decae de manera exponencial.

d) Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto considerado y el

foco.


21

69. El análisis de Fourier de una onda monocromática (con número de onda característico igual

a 0k ) de extensión limitada revela que:

a) La onda queda representa por una única onda armónica.

b) El espectro de Fourier es discreto, esto es, sólo contribuyen la longitud de onda

fundamental y submúltiplos de ella.

c) El espectro de Fourier es continuo, aunque la contribución principal del espectro se

concentra en torno a 0k .

d) El espectro de Fourier es continuo y todas las longitudes de ondas contribuyen por igual.

70. En una onda, la velocidad de fase:

a) Es igual al producto de la longitud de onda por la frecuencia.

b) En el caso de ondas armónicas, es igual al producto de la longitud de onda por la

frecuencia.

c) Es igual a la velocidad de grupo cuando el medio es dispersivo.

d) No es igual a la velocidad de grupo cuando el medio es no-dispersivo.

71. En relación a los fenómenos de reflexión y refracción, podemos decir que:

a) Cuando una onda alcanza la superficie de separación entre dos medios, siempre se

produce una reflexión total.

b) El ángulo límite depende del ángulo de la onda refractada.

c) La ley de Snell nos da la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión.

d) La ley de Snell nos da la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción.

72. Si r representa la distancia de un punto cualquiera del espacio al origen de coordenandas,

entonces )(),( tkrsinrAtr ωψ −= :

a) Es la ecuación de una onda esférica armónica.

b) Es la ecuación de una onda armónica tridimensional.

c) Es la ecuación de una onda armónica cuya amplitud decae con la distancia al origen.

d) Es la ecuación de una onda plana cuya amplitud decae con la distancia al origen.

73. Una onda luminosa plana se propaga por un medio de índice de refracción 1n . Si alcanza la

superficie que separa este medio de otro de índice de refracción 12 nn < :

a) El ángulo de refracción será siempre igual al ángulo de incidencia.

b) La ley de Snell nos permite determinar el ángulo de reflexión, conocido el ángulo de

incidencia.

c) Dependiendo del ángulo de incidencia, es posible que se produzca una reflexión total.

d) No puede darse el fenómeno de reflexión total.


22

74. La función )cos(),( 2 αυψ +−= txAtx :

a) Es solución de la ecuación de ondas, aunque no es una onda armónica.

b) Representa una onda armónica modificada.

c) Representa una onda plana que viaja de izquierda a derecha.

d) No es solución de la ecuación de ondas.

75. Si analizásemos el espectro de Fourier de la pulsación resultante de la superposición de

dos ondas armónicas de la misma amplitud A :

a) Observaríamos un pico de magnitud A2 en la frecuencia de la onda armónica resultante.

b) Observaríamos un pico en la frecuencia de la onda armónica resultante.

c) Observaríamos un pico en la frecuencia de la onda armónica resultante y otros de

magnitud inferior en las frecuencias correspondientes a los armónicos.

d) Observaríamos dos picos de la misma magnitud en frecuencias próximas.

76. Cuando en un medio se establece una onda estacionaria:

a) El flujo de energía de unos puntos a otros es igual a cero.

b) Hay un pequeño transporte de materia de unos puntos a otros.

c) Ésta puede caracterizarse por una ecuación similar a la de una onda armónica.

d) Todos los puntos del medio describen un M.A.S.

77. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el punto intermedio entre la Tierra y la Luna?

a) Será mayor que la velocidad del sonido en la Tierra.

b) Será menor que la velocidad del sonido en la Tierra.

c) Será aproximadamente igual a 360 m/s.

d) Será igual a cero.

78. Un móvil M se aleja de una fuente sonora en reposo a una velocidad 450=Mυ m/s. ¿Cuál

de las siguientes afirmaciones es cierta? a) El sonido percibido en M es de la misma frecuencia que el emitido por la fuente. b) No se percibe ningún sonido en M. c) La frecuencia percibida en M es mayor que la emitida por la fuente. d) La frecuencia percibida en M es menor que la emitida por la fuente. 79. Señale la respuesta correcta:

a) Las microondas, los rayos X y las ondas sonoras de campo son diferentes tipos de ondas

electromagnéticas.

b) Es imposible que los rayos ultravioletas se propaguen en el vacío.

c) La luz visible no es de naturaleza electromagnética, como tampoco lo es el sonido.

d) La radiación infrarroja es menos energética que la radiación ultravioleta.


23


a) En una pulsación, la frecuencia de la onda moduladora es mayor que la frecuencia de la

onda modulada.

b) La función que describe una pulsación ondulatoria está compuesta por dos factores: uno

dependiente de la variable espacial (onda moduladora) y otro dependiente de la variable

temporal (onda modulada).

c) El fenómeno de pulsaciones es exclusivo del movimiento oscilatorio.

d) En una pulsación, la frecuencia de la onda moduladora es menor que la frecuencia de la

onda modulada.

81. Según las relaciones de incertidumbre que se derivan del teorema integral de Fourier:

a) Una onda armónica es ideal para transportar una señal, ya que está perfectamente

localizada en el tiempo y en el espacio.

b) Una onda armónica está perfectamente localizada en el dominio temporal, pero

deslocalizada en el dominio espacial.

c) La anchura frecuencial del espectro de una onda armónica es infinita.

d) Una onda armónica está completamente deslocalizada, tanto en el dominio espacial como

en el dominio temporal.

82. En relación con el fenómeno de la difracción podemos afirmar que:

a) El ángulo de difracción es igual al ángulo de incidencia.

b) Es exclusivo de las ondas sonoras.

c) Aparecería si una onda electromagnética de frecuencia 1410=ν Hz, se encontrase en su

camino una abertura circular de 1 m de diámetro.

d) Aparecería si una onda electromagnética de frecuencia 1410=ν Hz, se encontrase en su

camino una abertura circular de 1 µm de diámetro.

83. En relación con el efecto Doppler podemos decir que:

a) Es característico del movimiento ondulatorio y describe las variaciones de la frecuencia de

la onda cuando fuente y/u observador se encuentran en movimiento.

b) Si un coche de policía se aleja de un observador parado en la acera, el sonido de la sirena

percibido por el observador es más grave que el sonido percibido si el coche estuviese en

reposo.

c) Si una fuente sonora y un observador se mueven con velocidades constantes Sυ y Oυ ,

respectivamente, pero en direcciones perpendiculares; la frecuencia del sonido percibido

no puede calcularse según la expresión SS

OO ν

υυυυ

ν−−

= .

d) Todas las afirmaciones anteriores son ciertas.


24

84. En relación con el análisis y síntesis armónica de una onda, se puede afirmar que:

a) El espectro de Fourier resultante del análisis de una onda armónica presenta un único pico

en una frecuencia determinada, es decir, una onda armónica está perfectamente localizada

en el tiempo y en el espacio.

b) Cuanto menor sea la duración de un pulso de onda, menor será la riqueza de su

composición frecuencial.

c) Cuanto mayor sea la duración de un pulso de onda, mayor será la riqueza de su

composición frecuencial.

d) El espectro de una onda monocromática de longitud de onda 0λ y extensión limitada

presenta un máximo en 00 /2 λπ=k y contribuciones de menor importancia para otros

valores del número de onda.

85. Una onda armónica electromagnética se propaga en la dirección del eje OX. El campo

eléctrico oscila en la dirección del eje OY y su amplitud vale 30 N/C. Entonces:

a) La amplitud de campo magnético será 710− T y éste oscila en sentido opuesto al campo

eléctrico.

b) La amplitud de campo magnético será igual a 81090 ⋅ T.

c) La amplitud de campo magnético será 710− T y éste oscila en la dirección del eje OZ.

d) Las afirmaciones a) y c) son ciertas.

86. Las ondas estacionarias proceden de la superposición de dos ondas de: a) La misma amplitud, frecuencia y sentido de propagación. b) La misma amplitud y frecuencia y sentidos opuestos de propagación. c) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y el mismo sentido de propagación. d) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y sentidos opuestos de propagación.

87. Considérese la onda armónica transversal ( ) ( )tkxAsintxy ω−=, que se propaga por una

cuerda tensa. Podemos afirmar que:

a) Cada punto de la cuerda se traslada a otro punto de la misma describiendo un M.A.S. cuya

frecuencia coincide con la de la onda, ω .

b) Cada punto de la cuerda repite su estado de movimiento transcurrido un tiempo πω 2/ .

c) La distancia entre dos puntos con idéntico estado de movimiento es k/2π .

d) Cada punto de la cuerda describe un M.A.S. en la dirección vertical (la del eje OY) con

velocidad k/ωυ = .


25

88. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) Las ondas electromagnéticas pueden propagarse en el vacío.

b) Los ultrasonidos constituyen una región del espectro electromagnético próxima a las ondas

de radio.

c) En una onda electromagnética, el vector BErr

× es paralelo a la dirección de propagación

de la onda.

d) En el vacío, la velocidad de propagación de la radiación infrarroja y de un rayo X es la

misma.

89. La intensidad de una onda sonora plana que se propaga en un medio no absorbente vale 1

mW/m2 a una distancia de 1 m de la fuente. A 10 m de la fuente, la intensidad:

a) Será igual a 1 mW/m2.

b) Será igual a 10 µW/m2.

c) Podrá determinarse haciendo uso de la ley de Lambert, ( ) xeIxI β−= 0 .

d) Será igual a 5 dB.

90. Una onda plana incide sobre la superficie de separación de dos medios formando un

ángulo de 0º con la normal a dicha superficie. En esta situación, se cumple que:

a) El ángulo de refracción y el de reflexión serán también iguales a 0º.

b) No hay onda refractada, puesto que la incidencia es normal.

c) La onda refractada se propagará paralela a la superficie de separación.

d) No hay onda reflejada y la onda refractada forma un ángulo de 0º con la normal.

91. Considérese la onda armónica transversal ( ) ( )tkxAsintxy ω−=, que se propaga por una

cuerda tensa. Podemos afirmar que:

a) El desplazamiento vertical de la cuerda en la posición x es igual al desplazamiento vertical

en la posición kx + .

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ωππ 2,,2 txyt

kxy .

c) La distancia entre dos puntos con idéntico estado de movimiento es ωπ /2 .

d) Cada punto de la cuerda describe un M.A.S. en la dirección vertical (la del eje OY) con

velocidad k/ωυ = .

92. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) Las ondas electromagnéticas pueden propagarse en el vacío.

b) La luz visible constituye una región muy pequeña dentro del espectro electromagnético.

c) Las ondas de radio son ondas longitudinales.

d) Las ondas electromagnéticas pueden ser difractadas.


26

93. Una ambulancia cuya sirena emite un sonido de frecuencia 290 Hz se aleja de un

observador O. ¿Cuál es la velocidad de la ambulancia si el observador escucha un sonido de

frecuencia 264 Hz?

a) Aproximadamente 120 km/h.

b) 100 km/h.

c) 50 m/s.

d) 80 m/s.

94. Por una cuerda con densidad lineal de masa 15.0=µ kg/m, se propaga una onda de

acuerdo con la ecuación 2

2

2

2

400xy

ty

∂∂

=∂∂

, donde x e y se miden en metros y t en

segundos. ¿Cuál es la tensión a la que está sometida la cuerda?

a) 20 N.

b) 15 N. c) 60 N. d) 10 N.

95. Dos sonidos difieren en 30 dB. La intensidad del sonido más fuerte es FI y la del más

débil DI . El valor de la relación DF II / es:

a) 1000 .

b) 30 .

c) 100 .

d) 300 .

96. Un tren de ondas que se propaga por una cuerda atraviesa un punto de observación. En

este punto, el tiempo entre crestas sucesivas es 2.0 s. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

verdadera?

a) La longitud de onda es 5 m.

b) La frecuencia es 5 Hz.

c) La velocidad de propagación es 5 m/s.

d) No hay suficiente información para justificar las afirmaciones anteriores. 97. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Las ondas de dos fuentes coherentes que emiten en fase interfieren constructivamente en

todos los puntos del espacio. b) Dos fuentes de ondas que están desfasadas 180º no son coherentes. c) Los diagramas de interferencia se observan sólo en fuentes coherentes. d) Decimos que dos ondas son coherentes cuando interfieren constructivamente.


27

98. Una onda sonora incide sobre la superficie de separación de dos medios formando un

cierto ángulo con la normal a dicha superficie. Si la velocidad de propagación del sonido en el

primer medio es 1υ , en el segundo es 2υ y 21 υυ > :

a) El ángulo que forma con la normal la onda refractada es mayor que el ángulo de incidencia.

b) Podría darse una situación de reflexión total.

c) Nunca podría darse una situación de reflexión total.

d) El ángulo de reflexión será menor que el ángulo de incidencia.

99. La superposición de dos ondas armónicas de frecuencias similares 1ν y 2ν que se

propagan en un medio no dispersivo da lugar a una pulsación de ecuación

( ) ( )tkxsintxkAtx ωω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−∆

=Ψ22

cos2, . Señale la afirmación correcta.

a) La pulsación responde también a la ecuación de una onda estacionaria y, por tanto, no

habrá transporte neto de energía.

b) Como el medio no es dispersivo, la velocidad de grupo y la de fase no coinciden.

c) En el espectro correspondiente al análisis tiempo-frecuencia de la onda sólo habrá

contribución procedente de la frecuencia de la onda moduladora, 21 ν−v , y de la onda

modulada, ( ) 2/21 νν + .

d) En el espectro correspondiente al análisis tiempo-frecuencia de la onda sólo habrá

contribuciones procedentes de las frecuencias 1ν y 2ν .

100. El nivel de intensidad sonora de una onda vale 20 dB. Entonces podemos afirmar que:

a) La intensidad de la onda es igual a la intensidad de referencia (correspondiente a la

intensidad del sonido más débil que puede oírse).

b) El oído humano no es capaz de percibir ese sonido, sea cual sea su frecuencia.

c) La intensidad es igual a 10 dB/m2.

d) La intensidad de la onda es 100 veces la intensidad de referencia.


28


29

Respuestas a las cuestiones de opción múltiple

Oscilaciones

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d d b d c d b c d d

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

b a a b a d a d c b

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

b c c a d c a c c c

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

c d c c d c b d b d

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

b c d b a a d c b d

Ondas

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

c a a d b d a a d c

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

c b a a b d b d c b

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

d a c d d a d b d d

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

b d d d c b c b a a

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

b c a c a b c c d d


30

Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos.

31

Problemas resueltos

de OSCILACIONES


32


33

1. Considérese el sistema de la figura. La pizarra Z, de masa 500 g., cuelga de un resorte

cuya constante elástica es 50=k N/m. Se sabe además que la constante de amortiguamiento

vale 5=β s-1. En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte

se estire 3 cm, y se acerca la punta entintada P a la pizarra, de manera que la punta toca la

superficie de la pizarra. A continuación, la pizarra se suelta. Considérese este instante como el

instante inicial y analicemos el movimiento de la punta respecto al centro de la pizarra O.

a) A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuación que describe el movimiento de la

punta respecto a O.

b) Transcurrido un cierto tiempo τ , la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas.

Determine el valor de τ y la longitud de la raya dibujada en la pizarra.

c) Respecto a la energía media inicial del sistema, ¿cuál es

el porcentaje de energía media almacenada en el oscilador

en el instante de tiempo 2ln51

=t s?

En un momento dado, la pizarra se conecta a un

mecanismo que ejerce sobre ella una fuerza periódica

vertical dada por )8(1037)6(1074)( 33 tsintsintF ⋅+⋅=

dinas.

d) Represente el espectro de Fourier a la fuerza )(tF .

e) ¿A qué frecuencias podría producirse una situación de

resonancia en energía?

f) Calcule la ecuación de movimiento de la punta P

respecto al centro O de la pizarra en régimen estacionario.

g) ¿Es periódico el movimiento resultante? En caso

afirmativo, calcule el periodo correspondiente. ¿El

movimiento es armónico simple?

NOTA: Considérese que el movimiento tiene lugar en la

dirección del eje OY (sentido positivo hacia arriba).

Solución del problema 1:

a) Según los datos del problema, la frecuencia natural del sistema es ,5.0

500 ==

mkω

100 =ω rad/s. El parámetro de amortiguamiento es 5=β s-1, luego 0ωβ < . Estamos en

situación de amortiguamiento débil.

La ecuación que describe el movimiento de la punta P respecto del punto O es de la

forma: )()( αωβ += − tsinAety t , donde la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas viene

dada por: 35510 22220 =−=−= βωω rad/s.

cm 3

β ,k

Z

O

P


34

Las condiciones iniciales nos van a permitir calcular las constantes A y α . Derivando

)(ty respecto del tiempo obtenemos la expresión general para la velocidad:

[ ])()cos()( αωβαωωβ +−+= − tsintAetv t . Las condiciones iniciales son: 3)0( =y cm y

0)0( =υ cm/s (la pizarra se suelta en el instante inicial). Entonces:

3 tag 0)0(

3sin 3)0(

==⇒=

=⇒=

βωαυ

αAy

De la segunda de estas ecuaciones obtenemos dos posibles valores para la fase inicial

34 ó

3ππα = . Sin embargo, de la primera de ellas, teniendo en cuenta que la constante A se

define como una cantidad positiva, se deduce que 0>αsin . Entonces, 3πα = . De la primera

de las ecuaciones queda: 32 ,323

== AA cm.

La ecuación que describe el movimiento es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += −

335sin32)( 5 πtety t cm.

b) Justo en el instante en que la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas alcanza su

elongación máxima negativa. Luego, 0)( =τυ . Sustituyendo τ en la ecuación para la

velocidad e igualando a cero tenemos:

[ ] 0)()cos( =+−+− αωτβαωτωβτ sinAe .

Obtenemos una primera solución ∞=τ , que evidentemente se corresponde con el

momento en que el movimiento cesa (tendencia asintótica). Éste no es el tiempo que estamos

buscando. Del otro factor se obtiene:

βωαωτ =+ )(tag , ππαωτ n+=+

3.

El caso 0=n corresponde al instante inicial (como se calculó anteriormente), por

tanto, la siguiente ocasión en la que la velocidad se anula se corresponderá con el caso 1=n .

Nos queda entonces: ππαωτ +=+3

. Dedujimos que 3πα = . Por tanto, πωτ = . El

instante de tiempo en que la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas es:

35π

ωπτ == s.

La longitud de la raya será igual a la distancia inicial respecto del punto O (3 cm) más la

longitud correspondiente a la máxima elongación negativa que alcanza el oscilador. Es decir,

)(3 τyL += cm


35

23323)

34(323)

33535(323 3335

5 πππ πππ −−−−+=+=++= esinesineL cm

La longitud de la raya dibujada en la pizarra es )1(3 3π

−+= eL cm.

c) La energía media del oscilador es tekAtkAE β222

21)(

21 −== . La energía media inicial

viene dada por 20 2

1 kAE = . Así que podemos escribir, teEE β20

−= . En el instante de

tiempo 2ln51

=t s, tenemos:

2ln5152

0

⋅⋅−= e

EE

, 41

0

=EE

.

Por tanto, la energía media almacenada en el oscilador en el instante de tiempo

2ln51

=t s es un 25% de la energía media inicial.

d) El análisis de Fourier nos permite descomponer una función periódica como combinación

lineal de términos armónicos. La fuerza )(tF ya está expresada precisamente como suma de

términos armónicos, esto es, ya está descompuesta como serie de Fourier. Los coeficientes de

Fourier en coseno son todos cero y sólo dos coeficientes en seno son diferentes de cero, para

los valores de la frecuencia 6=ω y 8=ω rad/s. La representación es:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8x 104

ω

nc 31074 ⋅

31037 ⋅


36

Por ser una fuerza periódica el espectro de Fourier será discreto. Sólo son posibles las

contribuciones para aquellos valores de la frecuencia que sean múltiplos de la frecuencia

fundamental. La frecuencia de la fuerza )(tF puede deducirse fácilmente teniendo en cuenta

que se trata de una suma de términos armónicos de frecuencias conmensurables. La

frecuencia fundamental resulta 2=fundω rad/s. En el caso que nos ocupa sólo hay

contribución del armónico n=3 ( 63 == fundωω rad/s) y n=4 ( 84 == fundωω rad/s).

e) Sólo es posible la situación de resonancia en energía a una frecuencia igual a la frecuencia

natural de vibración del sistema: 100 =ω rad/s.

f) La fuerza que actúa sobre el sistema es una superposición de dos fuerzas armónicas:

)8(1037)6(1074)( 33 tsintsintF ⋅+⋅= dinas. De acuerdo con el principio de superposición

lineal, el movimiento resultante en régimen estacionario será la superposición (suma) de los

movimientos debidos a cada una de las componentes de la fuerza por separado. Luego:

)()()()()( 22211121 δωδω −+−=+= tsinAtsinAtytyty ,

donde 61 =ω rad/s y 82 =ω rad/s. Además:

21

221

20

11

)2()(/

βωωω +−=

mFA , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 21

20

11

2ωω

βωδ arctag

22

222

20

22

)2()(/

βωωω +−=

mFA , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 22

20

22

2ωω

βωδ arctag ,

siendo 31 1074 ⋅=F dinas y 3

2 1037 ⋅=F dinas. Sustituyendo todos los valores y

simplificando se obtiene:

1337

1 =A cm, 753.01 =δ

1337

21

2 =A cm, 148.12 =δ

El movimiento resultante es: )148.18(1337

21)753.06(

1337)( −+−= tsintsinty cm,

para t suficientemente largo (cuando ya se ha alcanzado el régimen estacionario).

g) El movimiento resultante es una superposición de dos MM.AA.SS. de amplitudes y

frecuencias diferentes. Este movimiento no será un M.A.S., pero puede ser un movimiento

periódico si las frecuencias de sus componentes (o los periodos) son conmensurables. Las

frecuencias son dos números enteros: 61 =ω rad/s y 82 =ω rad/s. Luego, son

conmensurables y el movimiento será periódico. El periodo correspondiente vendrá dado por:

2211 TnTnT == ,


37

donde 1n y 2n son dos números naturales que dan cuenta de la relación de conmensurabilidad

entre periodos:

32

11

πωπ==T s,

42

22

πωπ==T s,

34

1

2

2

1 ==nn

TT

, 31 =n , 42 =n .

El periodo del movimiento es π=== 2211 TnTnT s.

2. En el interior de un recipiente se coloca un disco de masa 200=m g unido a dos muelles

ideales de constante elástica k . Los extremos de los muelles se han fijado a las paredes del

recipiente. La gráfica muestra cómo varía la velocidad del disco frente al tiempo.

a) Determine la constante elástica k de los muelles.

b) Calcule y represente la energía total del sistema frente al tiempo.

c) Determine la ecuación ( )tx que da cuenta de los desplazamientos del disco respecto a su

posición de equilibrio O .

d) En un cierto momento, llenamos el recipiente con un líquido que amortigua las oscilaciones

del disco, observándose que el periodo de las oscilaciones libres es 0.6 veces más pequeño

que el de las oscilaciones amortiguadas. Considerando como instante inicial de esta nueva

situación, aquél en el que el disco experimenta un desplazamiento máximo hacia la derecha de

4.5 cm, determine la nueva ecuación ( )tx que gobierna las oscilaciones del disco.


a) Para determinar el valor de la constante

elástica de cada uno de los muelles debemos en

primer lugar analizar el sistema y obtener su

ecuación fundamental. Para ello aplicamos la

segunda ley de Newton sobre el disco de masa

k km

O

x

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

( )s t

( )cm/s πυ ⋅

muelle 1 muelle 2

k km

O

x

1Fr 2F

r


38

m : amFi

irr

=∑ . Sobre el disco actúan las dos fuerzas elásticas 1Fr

y 2Fr

. Planteemos una

situación arbitraria como la que se muestra en la figura, donde el disco se ha desplazado una

cantidad x respecto a su posición de equilibrio O. Vemos que el muelle 1 se ha estirado una

cantidad x y, por tanto, ejerce sobre el disco una fuerza hacia la izquierda ikxF ˆ1 −=r

. Por otro

lado, el muelle 2 se ha comprimido la misma cantidad x y la fuerza que ejerce sobre el disco es

ikxF ˆ2 −=r

(los dos muelles poseen la misma constante elástica k ). Así pues, la segunda ley

de Newton queda:

amFF rrr=+ 21 , i

dtxdmikxikx ˆˆˆ2

2

=−−

Como el movimiento tiene lugar en la dirección horizontal podemos prescindir del

carácter vectorial y escribir:

2

2

2dtxdmkx =− , 022

2

=+ kxdtxdm , 02

2

2

=+ xmk

dtxd

Esta última es la ecuación fundamental del sistema y representa la ecuación de un

oscilador armónico simple de frecuencia mkeq=0ω , donde kkeq 2= . Esto es, el sistema de

la figura es completamente equivalente a unir el disco de masa m a un único muelle de

constante elástica k2 .

Sabemos, por tanto, que nuestro sistema es un oscilador armónico simple. Así pues, de

la curva de la velocidad frente al tiempo podemos deducir el periodo del movimiento: 5.0=T s.

Tenemos entonces:

Tmkeq πω 2

0 == , mT

keq 2

24π=

Sustituyendo datos: 2

5162 π== kkeq N/m y, por tanto, la constante elástica de los

muelles vale:

2

58π=k N/m

b) Estamos ante un movimiento armónico simple, así que, la energía total del sistema

permanecerá constante, por tratarse de un sistema conservativo, y vendrá dada por la

expresión:

220

2

21

21 AmAkE eq ω==

En la expresión anterior todos los datos son conocidos a excepción de la amplitud de

las oscilaciones A . El movimiento del disco vendrá dado por una expresión del tipo:


39

( ) ( )αω += tAtx 0sin

La velocidad será:

( ) ( )αωωυ += tAt 00 cos

De la gráfica del enunciado deducimos que la amplitud en velocidad vale πω 200 =A

cm/s y sabiendo que πω 40 = rad/s, encontramos:

5=A cm.

Sustituyendo valores, la energía total del sistema

vale: 24π=E mJ.

La representación frente al tiempo es la que se

muestra a la derecha.

c) En el apartado anterior ya planteamos las ecuaciones de la posición y la velocidad:

( ) ( )αω += tAtx 0sin

( ) ( )αωωυ += tAt 00 cos

Ahora todas las magnitudes son conocidas con excepción de la fase inicial α . En la

gráfica que nos dan podemos ver que en el instante inicial la velocidad del disco es máxima:

( ) 00 ωυ At == , 00 cos ωαω AA = , 1cos =α .

Así pues,

0=α rad.

La ecuación que da cuenta de los desplazamientos del disco será:

( ) ( )ttx π4sin5= cm, t en s.

d) Al llenar el recipiente de líquido, éste amortiguará las oscilaciones y el sistema se convierte

en un oscilador amortiguado. El enunciado nos dice que el periodo de las oscilaciones libres es

0.6 veces más pequeño que el periodo de las oscilaciones amortiguadas, esto es:

TT 6.00 = , 6.00TT =

La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas resulta:

06.02 ωπω ==T

, πω 4.2= rad/s

Tenemos que calcular también el coeficiente de amortiguamiento. Sabemos que la

frecuencia de las oscilaciones amortiguadas viene dada por la expresión: 22

02 βωω −= ,

pero 06.0 ωω = . Así que, 20

2 64.0 ωβ = , luego:

πωβ 2.38.0 0 == s-1.

E

t

mJ 4 2π


40

La nueva ecuación ( )tx será la correspondiente a un amortiguamiento crítico:

( ) ( )αωβ += − tAetx t sin

Debemos determinar las dos constantes arbitrarias del movimiento A y α y para ello

también nos hará falta la ecuación de la velocidad:

( ) ( ) ( )[ ]αωβαωωυ β +−+= − ttAet t sincos

El enunciado nos dice que en el instante inicial (en esta nueva situación) el disco

experimenta un desplazamiento máximo hacia la derecha de 5.4 cm. Por tanto, las

condiciones iniciales son:

( ) 5.40 ==tx cm

( ) 00 ==tυ cm/s

Sustituyendo 0=t en las ecuaciones de desplazamiento y velocidad encontramos:

( )πααα ,0 0sin sin5.4 ∈⇒>⇒= A

( )βωααβαω =⇒−= tag sincos0 A

De esta última ecuación deducimos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

43arctagarctag

βωα

Tenemos dos posibilidades 64.0=α rad o bien πα += 64.0 rad. En un resultado

anterior dedujimos que ( )πα ,0∈ , así que, finalmente:

64.0=α rad

En una ecuación anterior teníamos que αsin5.4 A= , por lo que, αsin5.4

=A ,

resultando:

5.7=A cm.

La nueva ecuación de movimiento es por tanto:

( ) ( )64.04.2sin5.7 2.3 += − tetx t ππ cm, t en s.

3. Se pretende determinar la constante elástica k y el coeficiente de

amortiguamiento β de un cierto muelle. Para ello se cuelga del mismo una masa

m , tal y como indica la figura. Entonces se comprueba que en la situación de

equilibrio el muelle se encuentra estirado una longitud l y que si ponemos la masa a

oscilar, la amplitud de las oscilaciones se reduce a la mitad después de 50

oscilaciones.

a) En primer lugar, demuestre que las oscilaciones de la masa en la dirección vertical están

descritas por la ecuación fundamental de un oscilador amortiguado.

m


41

b) Determine el valor de la constante elástica k .

c) Suponiendo amortiguamiento muy débil, determine el valor del coeficiente de

amortiguamiento β .


a) Cuando la masa m está oscilando, actúan sobre ella tres fuerzas: la fuerza elástica, elFr

, la

fuerza de amortiguamiento, amortFr

, y el peso, Pr

. Si consideramos la dirección vertical como la

del eje OY (sentido positivo hacia arriba) y medimos con la variable y la posición de la masa

respecto al punto O (origen de coordenadas correspondiente a la situación de elongación del

muelle nula), podremos escribir las fuerzas como: jkyFel ˆ−=r

, jdtdyFamort ˆγ−=

r y jmgP ˆ−=

r,

donde k es la constante elástica del muelle, γ es la constante de amortiguamiento y g la

aceleración de la gravedad. Aplicando sobre la masa la segunda ley de Newton:

amPFF amortelrrrr

=++ , ( ) jymjmgyγky ˆˆ &&& =−−− ,

2

2

dtydmmg

dtdyky =−−− γ , mgky

dtdy

dtydm −=++ γ2

2

gymk

dtdy

mdtyd

−=++γ

2

2

, gydtdy

dtyd

−=++ 202

2

2 ωβ ,

donde mγβ 2/= y mkω /0 = .

La ecuación diferencial que hemos obtenido no es la ecuación de un oscilador

amortiguado, porque en el segundo miembro aparece una inhomogeneidad de valor g− . Para

obtener la ecuación fundamental de un oscilador amortiguado bastará expresar las oscilaciones

de la masa respecto de su posición de equilibrio. En la situación de equilibrio la masa no está

oscilando, pero cuelga del muelle haciendo que éste se estire, según el enunciado, una

longitud l . En la situación de equilibrio se cumple: 0rrr

=+ PFel , mgkyeq =− , kmgyeq −= .

mO

resorte no deformado

situación de equilibrio

'Ol

Pr

elFr

elFr

PramortFr

υr

O

'Oy

'y

oscilación


42

Si definimos una nueva variable eqyyy −=' que dé cuenta de la posición de la masa

respecto a la posición de equilibrio, encontramos:

eqyyy += ' , 'yy && = , 'yy &&&& = .

Sustituyendo en la ecuación diferencial a la que habíamos llegado tenemos:

( ) gyymk

dtdy

mdtyd

eq −=+++ '''2

2 γ, gy

mky

mk

dtdy

mdtyd

eq −=+++ ''2

2 γ

Recordemos que la condición de equilibrio es gymk

eq −= , por tanto, la ecuación

diferencial queda:

0'''2

2

=++ ymk

dtdy

mdtyd γ

, 0''2' 202

2

=++ ydtdy

dtyd ωβ ,

que es la ecuación fundamental de un oscilador amortiguado.

b) De la condición de equilibrio se deduce que kmgyeq −= . Ahora bien, el enunciado nos dice

que en la situación de equilibrio el resorte se encuentra estirado una longitud l , o sea, que

lyeq −= . Por tanto, kmgl = . Se deduce entonces que:

lmgk = .

c) La amplitud de las oscilaciones amortiguadas viene dada por la expresión ( ) tβeAtA −= 0 . El

enunciado nos dice que transcurridas 50 oscilaciones, o sea, transcurrido un tiempo T50 (T

es el tiempo transcurrido en una oscilación), amplitud se reduce a la mitad. Por tanto,

( )21

)(50

=+tATtA

Así, ( )

21

0

500 =−

+−

tβ

Ttβ

eAeA

, 2150 =− βTe , 2ln50 =βT , 2ln

501T

β = .

Ahora bien, ωπT 2

= , siendo 220 βωω −= la frecuencia de las oscilaciones

amortiguadas. Suponiendo amortiguamiento muy débil, 0ωβ << , entonces 0ωω ≈ . Por otro

lado, mkω =0 y en el apartado b) dedujimos que

lmgk = . Así que,

lgω =0 y

glπT 2≈ . Finalmente, 2ln

1001

lg

πβ ≈ .


43

4. Una partícula de masa 5.0=m kg se encuentra unida a un resorte de constante elástica

50=k N/m y coeficiente de amortiguamiento 4/33=γ kg/s. El sistema se encuentra

dispuesto en posición horizontal (dirección OX). Sobre la masa y también en la dirección OX

actúan dos fuerzas armónicas de ecuaciones ( ) ( )tsintF 101033 11

−⋅= N y

( ) ( )tsintF 810312 22

−⋅= N, donde t se mide en segundos.

a) Determine la ecuación que nos da el desplazamiento de la partícula respecto a la posición

de equilibrio, ( )tx , en régimen permanente.

b) ¿Qué conjunto de frecuencias contribuyen en el espectro de Fourier correspondiente a la

función ( )tx ?

c) ¿Es periódico el movimiento resultante? En caso afirmativo, calcule el periodo. ¿Es un MAS?

d) ¿Cómo cambiaría la ecuación ( )tx si sustituyésemos el muelle por otro con la misma

constante elástica, pero con 0=γ ?


a) Con los primeros datos que nos dan podemos calcular la frecuencia natural del sistema,

mk

=0ω . Al sustituir 50=k N/m y 5.0=m kg, resulta 100 =ω rad/s. Por otro lado,

433

2==

mγβ s-1.

Sobre la masa actúan dos fuerzas armónicas del tipo: ( ) ( )iiii tsinFtF δω −= 0 ,

2 ,1=i . Por tanto, en virtud del principio de superposición lineal, la solución en régimen

permanente será de la forma:

( ) ( ) ( )222111 δωδω −+−= tsinAtsinAtx .

En esta última expresión,

( ) ( )22220

0

2

/

ii

ii

mFA

βωωω −−= , ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 22

0

2

i

ii arctag

ωωβω

δ , 2 ,1=i .

Así pues,

101 1033 −⋅=F N, 101 =ω rad/s ⇒ 41 =A cm,

21πδ = rad (resonancia en energía),

202 10312 −⋅=F N, 81 =ω rad/s ⇒ 12 =A cm,

62πδ = rad.

Finalmente, ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

68

2104 ππ tsintsintx cm, con t medido en segundos.


44

b) En el espectro de Fourier sólo habrá contribuciones correspondientes a las frecuencias

101 =ω rad/s y 82 =ω rad/s.

c) El movimiento resultante resulta ser la superposición de dos MM.AA.SS. en la misma

dirección y con distinta frecuencia. Las dos frecuencias son conmensurables, por tanto, el

movimiento será periódico, pero no será un M.A.S.

El periodo del movimiento puede calcularse de la siguiente manera:

2

1

2

1

nn

=ωω

, 45

810

2

1 ==ωω

⇒ 4 ,5 21 == nn .

22

112211

22ωπ

ωπ nnTnTnT ==== , π=T s.

d) Como 01 ωω = , tiene lugar una resonancia en energía. Si 0 0 =⇒= βγ , la amplitud de

las oscilaciones correspondientes se haría infinita, ∞→1A cuando 0→β .

5. Los desplazamientos de una masa M de un líquido de densidad ρ , vertido en un tubo

con forma de U de sección circular de radio R respecto al nivel de equilibrio están gobernados

por la ecuación diferencial 02 2

2

2

=+ yMgR

dtyd ρπ

. La curva de la figura muestra la variación

con respecto al tiempo de la aceleración correspondiente a este movimiento.

a) ¿Cuál es la masa M del líquido contenido en el interior del tubo?

b) ¿Cuánto vale la amplitud de las oscilaciones?

c) ¿Cuál es la función )(tEc que determina la evolución de la energía cinética del sistema con

el tiempo?

d) Supongamos ahora que los efectos de fricción del líquido con las paredes del tubo no son

despreciables. En este caso las oscilaciones se amortiguarán con el paso del tiempo hasta

Oy

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

tiempo (s)

acel

erac

ión

(

mm

/s2 )

π2


45

alcanzar la situación de equilibrio. Si la amplitud de las oscilaciones decae en un factor π6−e en

un intervalo de tiempo de 2 s., ¿cuál será la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas?

Datos: 3=R cm, 5.1=ρ g/cm3, 8.9=g m/s2.


a) Mirando la gráfica correspondiente a la aceleración del movimiento, puede deducirse que el

tiempo entre dos estados idénticos de movimiento, esto es, el periodo, vale 4.0=T s. La

frecuencia natural del sistema es ππω 520 ==

T rad/s. Ahora bien, de la ecuación

fundamental de movimiento se deduce que MgR ρπω

220

2= y, por tanto, la masa del líquido

contenido en el interior del tubo vendrá dada por: 20

22ω

ρπ gRM = . Sustituyendo datos resulta:

337=M g.

b) Los desplazamientos del líquido respecto al nivel de equilibrio se corresponden con un

M.A.S. Así pues, la variable y puede expresarse de la forma: )()( 0 αω += tAsinty .

Derivando con respecto al tiempo obtenemos la velocidad )cos()( 00 αωωυ += tAt y

derivando una vez más encontramos la aceleración, )()( 020 αωω +−= tsinAta . Según esta

última ecuación y observando la gráfica, el máximo valor de la aceleración será igual a 22

0 50πω =A mm/s2. Por tanto, la amplitud de las oscilaciones viene dada por:

25020

2

==ωπA mm.

c) La energía cinética será )(cos21)(

21)( 0

220

22 αωωυ +== tMAtMtEc . En esta última

expresión conocemos todas las magnitudes a excepción de la fase inicial α . Si recuperamos la

ecuación de la aceleración )()( 020 αωω +−= tsinAta y nos fijamos en la gráfica,

encontramos que, por ejemplo, a 05.0=′t s ocurre que 1)( 0 =+′ αω tsin , 20παω =+′t y,

por tanto, 442

05.0522 0

πππππωπα =−=⋅−=′−= t , 4πα = .

Sustituyendo entonces 337=M g, 2=A mm, πω 50 = rad/s y 4πα = , queda:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

45cos85.16)( 22 πππ ttEc µJ.


46

d) La amplitud de las oscilaciones amortiguadas es de la forma teAtA β−= 0)( , donde β es el

coeficiente de amortiguamiento. El enunciado nos dice que en 2 s., la amplitud decae en un

factor π6−e , es decir:

πβπββ

βπ 3 , ,

)()2( 62

0

)2(06 ====

+ −−−

+−− ee

eAeA

etAtA

t

t

s-1.

La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas (estamos en amortiguamiento débil, ya

que 0ωβ < ) viene dada por:

πππβωω 4925 22220 =−=−= , πω 4= rad/s.

6. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura. La fuente suministra una tensión

variable tsinV fω0 . Llamamos R al valor de la resistencia, L a la autoinductancia de la

bobina, C a la capacidad del condensador y Q a la carga almacenada en el condensador en

un instante de tiempo. Así, dtdQI = es la intensidad de

corriente que circula por el circuito, la diferencia de potencial entre

los extremos de la bobina será )( dtdIL , la diferencia de

potencial existente entre las placas del condensador es CQ y

entre los extremos de la resistencia, IR .

a) Demuestre, razonando cada uno de los pasos seguidos, que la

ecuación diferencial que gobierna el circuito es

tsinVQC

QRQL fω01

=++ &&& .

b) Considérese que a 0=t el circuito se

encuentra ya en régimen estacionario. La

intensidad de corriente medida en el

amperímetro es la que se muestra en la

gráfica. ¿Cuál es la ecuación )(tQ que

determina la carga almacenada en el

condensador en cualquier instante de

tiempo?

c) El coeficiente de autoinducción de la bobina vale 2210 π=L H. Además, el diseño del

circuito es tal que la potencia suministrada por la fuente es máxima. Demuestre que, entonces,

la capacidad del condensador vale 1 µF.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-100

-50

0

50

100

t (ms)

I (mA)

250

C

L

R

1S

2S

AtsinV fω0


47

d) En el instante 5.47=t ms se abre el interruptor S1 y se cierra el interruptor S2. Compruebe

que en ese instante de tiempo la carga almacenada en el condensador es π1 mC y que la

intensidad que circula por el circuito es cero. En este momento, el contador de tiempo se pone

nuevamente a cero. Si el valor de la resistencia es π16=R kΩ, ¿cuál es la ecuación )(tQ

que gobierna el proceso de descarga?

e) ¿Cuánto debería valer R para que el condensador se descargue lo más rápidamente

posible?

Ayuda: La ecuación fundamental de un oscilador mecánico amortiguado, sujeto a un

forzamiento de tipo armónico es tsinmF

xxx fωωβ 0202 =++ &&& .

Solución problema 6:

a) Aplicando la segunda ley de Kirchoff al circuito tenemos:

CLRf VVVtsinV ++=ω0 ,

CQ

dtdILIRtsinV f ++=ω0 ,

dtdQI = , Q

CdtdQR

dtQdLtV f

1sin 2

2

0 ++=ω .

b) Si a 0=t el circuito se encuentra ya en régimen estacionario, podemos escribir

)()( 0 δω −= tsinQtQ f . Si conociésemos los valores de los parámetros que caracterizan el

circuito podríamos calcular la amplitud 0Q y la fase δ usando las expresiones que conocemos

para el caso de un oscilador amortiguado y forzado. Como esto no es así, debemos calcularlas

a partir de la curva de intensidad que se nos proporciona.

La intensidad vendrá dada por:

δωω −= tQtI ff cos()( 0 ).

En la gráfica puede verse que el periodo (distancia temporal entre dos puntos en fase)

vale 20=T ms, luego 2102 ππω ==Tf rad/s. El máximo de intensidad son 100 mA, por

tanto, 1.00 =fQ ω (trabajando en unidades del S.I.). Finalmente, 120 10

1.0 −== ππ

Q mC.

En el instante inicial, δωδω cos)cos()0( 00 ff QQI =−= . Según la gráfica,

δcos10025 = y, por tanto, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22cosarδ . Aparecen aquí dos posibilidades,

4πδ ±= .

Para averiguar cuál de ellas es la correcta recurrimos de nuevo a la gráfica. Si, por ejemplo,

nos damos cuenta de que 250)105( 3 =⋅ −I mA; entonces veremos que necesariamente


48

4πδ = . También podemos llegar a la misma conclusión teniendo en cuenta el signo de la

derivada de la curva que se nos proporciona para algún valor de t (que podría ser 0=t ).

Finalmente,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

4100sin1)( ππ

πttQ mC.

c) El circuito ha sido diseñado de tal manera que se produzca una situación de resonancia en

energía. En estas condiciones, fωω =0 . La frecuencia fundamental viene dada por la

expresión LC/120 =ω . Entonces, 2/1 fLC ω= . Nos queda,

112 ==fL

Cω

µF,

donde se han sustituido los valores 2

210π

=L H y πω 100=f rad/s.

d) La carga venía dada por (apartado b): )4

100(1)( πππ

−= tsintQ mC y la intensidad:

)4

100cos(100)( ππ −= ttI mA. Sustituyendo el valor 5.47=t ms, se comprueba fácilmente

que: π/1)ms 5.47( =Q mC e 0)ms 5.47( =I mA. En este instante, se abre el interruptor S1

y se cierra el S2, esto es, se desconecta la fuente (el forzamiento) y el sistema se convierte en

un oscilador amortiguado. El contador de tiempo se pone nuevamente a cero, por lo que los

valores de carga e intensidad anteriormente calculados son nuestros nuevos valores de carga

e intensidad a tiempo cero.

A continuación debemos averiguar en qué régimen de amortiguamiento estamos, y

proponer después una expresión para el proceso de descarga del condensador. Comparando

con la ecuación de un oscilador mecánico, podemos deducir que

ππ

πβ 80)/10(2

10)/16(2 22

3

===LR

s-1. Ya sabemos que πω 100)/1(0 == LC rad/s. Así pues,

0ωβ < . Estamos en la situación de amortiguamiento débil. La frecuencia de las oscilaciones

amortiguadas será πβωω 60220 =−= rad/s. Podemos escribir, por tanto,

)()( 00 αωβ += − tsineQtQ t ,

donde la notación 00Q se introduce con el objetivo de no crear confusión con la magnitud 0Q

del apartado a).

En el proceso de descarga, dtdQtI =)( , luego:


49

)cos()sin()( 0000 αωωαωβ ββ +++−= −− teQteQtI tt .

Según nuestros cálculos anteriores:

αωαβαππ

cos0 0)0(/1 /1)0( 00

−=⇒==⇒=sinIsinQQ

.

La segunda de estas ecuaciones nos dice:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

43arctagarctag

βωα ,

mientras que la primera nos indica que 0>αsin , por tanto, α es un ángulo del primer

cuadrante y concluimos: 6435.0≈α rad.

Si usamos nuevamente la primera de las ecuaciones:

ππαπ 356.11

00 ===)

sinQ mC.

Así pues, el proceso de descarga está gobernado por la ecuación:

)6435.060(35)( 80 += − tsinetQ t ππ

π mC.

e) Para que la descarga fuese lo más rápida posible, o lo que es lo mismo, para que el sistema

alcance el equilibrio lo antes posible, debería darse una situación de amortiguamiento crítico.

Esta condición exige 0ωβ = . Entonces, 02ω=

LR

, o bien,

πω 202 0 == LR kΩ.

7. La curva de potencia absorbida media relativa de un cierto circuito RLC en serie es la que

se muestra en la figura. El circuito ha sido diseñado de tal forma que al conectar una fuente de

tensión alterna se alcanza el estado estacionario en un tiempo mínimo.

2S

C

L

R

1S

1v 2v0 40 80 120 160 200 240 280

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Curva de potencia absorbida media relativa

( )rad/s πω ⋅f

resext

ext

PP


50

a) Determine la anchura de banda ω∆ y el tiempo de relajación τ del sistema.

b) El valor de la resistencia es π2=R kΩ. Demuestre entonces que la capacidad del

condensador es 5.12=C µF y que la autoinductancia de la bobina vale 2

2

810π

=L H.

c) Si conectamos al circuito una fuente de tensión alterna, ¿cuál debe ser la frecuencia de la

señal para que se produzca una situación de resonancia en energía? ¿Y para que tenga lugar

una resonancia en amplitud?

d) A tiempo 0=t el interruptor S1 está cerrado, S2 abierto y el condensador cargado con 5

mC. Se ha comprobado que en el instante de tiempo 2ln80

1π

=t s, la carga almacenada es

la mitad que en el instante inicial. Determine la función )(tQ que gobierna el proceso de

descarga del condensador.

e) En un cierto instante se abre el interruptor S1 y se cierra S2. De esta manera, el circuito

queda alimentado por dos fuentes de tensión alterna sinusoidal de frecuencias 251 =v Hz y

302 =v Hz. Este hecho genera dos forzamientos de tipo armónico sobre la carga almacenada

en el condensador ambos de amplitud 10 mC y que resultan estar en fase. Suponiendo

situación estacionaria, ¿cuál es ahora la función )(tQ ? ¿Cuál es la frecuencia de la

modulación de este proceso de carga y descarga?


a) El enunciado del problema nos dice que el circuito ha sido diseñado para alcanzar el estado

estacionario en un tiempo mínimo, así que estamos en un caso de amortiguamiento crítico y,

por tanto, la frecuencia natural del sistema será igual al parámetro de amortiguamiento,

βω =0 .

Por otro lado, la potencia absorbida media relativa es máxima justo para un valor de la

frecuencia de forzamiento igual a la frecuencia natural del sistema. Luego, mirando la gráfica

se deduce que πω 800 = rad/s; y por lo dicho anteriormente πβ 80= s-1.

Por tanto, la anchura de banda vale πβω 1602 ==∆ s-1 y el tiempo de relajación del

sistema πβ

τ425

21

== ms.

b) Atendiendo a la ecuación diferencial que gobierna el circuito RLC, se sabe que LR

2=β y

que LC12

0 =ω . Como π2

=R kΩ y teniendo en cuenta los resultados del apartado a),


51

entonces 2

23

810

802102

2 πππβ=

⋅⋅

==RL H. Ahora, con este resultado podemos calcular la

capacidad del condensador como 5.128

1064001081 4

22

2

20

==⋅

==−

ππ

ωLC µF.

c) Para que se produzca una situación de resonancia en energía, la frecuencia de la señal ha

de ser igual a la frecuencia natural del sistema, esto es, πωω 800 ==f rad/s. Se produciría

una situación de resonancia en amplitud si la frecuencia de la señal fuese 220 2βωω −=f ,

pero recordemos que estamos en el sistema presenta un amortiguamiento crítico y al sustituir

valore en la expresión anterior nos encontraríamos con una frecuencia imaginaria. Esto pone

de manifiesto que en el caso de amortiguamiento crítico no se da el fenómeno de resonancia

en amplitud.

d) En el caso de amortiguamiento crítico, la expresión que gobierna el proceso de descarga del

condensador será del tipo: tetQQtQ β−+= )()( 10 , donde )(tQ es la carga almacenada en el

condensador en el instante de tiempo t y 0Q y 1Q son dos constante arbitrarias a determinar.

A partir de los datos que nos da el enunciado podemos calcular estas constantes:

5 5)0( 0 =⇒= QQ mC

212ln

8012ln

801

25

25)2ln

801( 10

2ln80

180

10 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒=

⋅−

ππππ

πQQeQQQ ,

pero 50 =Q y entonces queda 02ln160

11 =

πQ , 01 =Q .

Finalmente, la ecuación que gobierna el proceso de descarga del condensador es: tetQ π805)( −= mC, con el tiempo medido en s.

e) Al abrir el interruptor S1 y cerrar S2 conectamos las dos fuentes de tensión alterna. Éstas son

de frecuencias parecidas, de tal manera que 2112 νννν +<<− y se generará un fenómeno

de pulsaciones. El enunciado nos dice que sobre la carga actúan dos forzamientos de amplitud

10=A mC y en fase. Como estamos en situación estacionaria, éstos pueden expresarse

como:

( ) ( )tsintAsintQ ππν 50102)( 11 == mC

( ) ( )tsintAsintQ ππν 60102)( 22 == mC

La nueva función )(tQ será: )()()( 21 tQtQtQ += . Si recordamos la expresión

trigonométrica ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

cos2

2 212121

αααααα sinsinsin , entonces llegamos a:


52

( ) ( ) ( )tsinttsintAtQ ππωωωω 555cos20

22cos2 2112 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= mC.

Ésta última expresión describe un proceso de carga/descarga de frecuencia π55

rad/s, pero con una amplitud modulada. La frecuencia de esta modulación (la frecuencia de la

pulsación) es πωω 1012 =− rad/s o 512 =−νν Hz.

8. Considérese un circuito RLC en serie que es la base de un aparato receptor de radio. a) Si

el coeficiente de autoinducción de la bobina vale 1=L µH, cuánto debe valer la capacidad del

condensador para sintonizar de manera óptima Cadena 100 (91.8 MHz de la FM). b) ¿Cuál

debe ser el valor de la resistencia para garantizar que no tendremos interferencias con los 40

Principales (94.4 MHz de la FM)?

Nota: Considérese que la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas es prácticamente igual a

la de las oscilaciones libres (condición de amortiguamiento muy débil).


a) Si queremos sintonizar de forma óptima una emisora, entonces debe producirse una

situación de resonancia en energía, la frecuencia natural del sistema debe ser igual a la

frecuencia de forzamiento, siendo ésta última la frecuencia correspondiente a la emisora que

nos interesa. Así pues: 100 0 2 cadenaf πνωω == . Por tanto, 60 108.912 ⋅⋅= πω Hz.

Sabemos también que LC12

0 =ω . Así que de esta última expresión determinamos la

capacidad del condensador: 20

1ωL

C = . Sustituyendo datos resulta:

12103 −⋅=C F 3= pF.

b) Recordemos que la curva de potencia

absorbida media relativa era de la forma

que se muestra en la figura. La máxima

transferencia de potencia se produce en la

situación de resonancia en energía. Las

frecuencias 1ω y 2ω definen lo que

conocemos como anchura de banda. Todas

las frecuencias contenidas en el intervalo

definido por la anchura de banda darán

lugar a una absorción significativa de

energía por parte del sistema. Al contrario, la absorción de energía procedente de forzamientos

cuya frecuencia carácterística se encuentre fuera del intervalo definido por la anchura de banda

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

resPP><><

fω1ω 0ω 2ω


53

puede considerarse despreciable. En el caso que nos ocupa, para que no se produzcan

interferencias con los 40 Principales, la frecuencia correspondiente debe estar localizada fuera

del intervalo [ ]21 ,ωω . Situándonos en el caso límite y teniendo en cuenta que

100 Princ. 40 Cadenaνν > , entonces exigimos 6Pr 402 104.9422 ⋅⋅== ππνω inc Hz.

Por otro lado, el enunciado nos dice que el circuito RLC es un oscilador en régimen de

amortiguamiento muy débil. Esto se traduce en que, en este caso, las frecuencias 1ω y 2ω

están simétricamente localizadas en torno a 0ω y que, llamando ω∆ a la anchura de banda,

podemos escribir:

201ωωω ∆

−= , 202ωωω ∆

+= .

Sabiendo que la anchura de banda de banda está relacionada con el coeficiente de

amortiguamiento β a través de la expresión: βω 2=∆ y que, a su vez, LR

2=β , donde R

es el valor de la resistencia y L la autoinductancia de la bobina, encontramos:

202ωωω ∆

+= , βωω += 02 , LR

202 +=ωω , ( )022 ωω −= LR .

De esta última expresión determinamos el valor de la resistencia, sin más que sustituir

1=L µH, 60 108.912 ⋅⋅= πω Hz y 6

0 104.942 ⋅⋅= πω Hz. Así: 67.32=R Ω.

Este último valor representa una situación límite. Cualquier valor de la resistencia tal

que 67.32<R Ω garantizaría el hecho de que no se produjesen interferencias con los 40

Principales, ya que se reduciría la anchura de banda y la frecuencia 94.4 Mhz quedaría

siempre fuera del intervalo centrado en 0ω y de anchura ω∆ .

9. Los parámetros característicos del circuito de la figura son

100=L H y 1=C µF. Para 0=t s, la carga almacenada en el

condensador es de 3 mC. Además, se ha comprobado que el

condensador se descarga por completo por primera vez transcurridos

94.20 ms.

a) Determine la ecuación )(tI que gobierna la evolución temporal de la

intensidad de corriente que circula por el circuito.

b) Represente frente al tiempo la curva de energía almacenada en el

oscilador.

c) En el instante de tiempo 27.272=t ms, el contador de tiempo se pone nuevamente a cero

y se conecta la fuente de tensión ( )tsintV 90100)( = V. Demuestre que en este momento el

condensador está descargado y que la intensidad que circula por el circuito es de 2.0 A.

2S

1S

C

L


54

Determine la ecuación de la carga almacenada en el condensador, )(tQ , en esta nueva

situación.


a) Trabajamos con un circuito LC, esto es, un sistema cuya dinámica será idéntica a la de un

oscilador armónico simple. La frecuencia natural del sistema será 10010 ==

LCω rad/s.

La ecuación que gobierna la evolución temporal de la carga almacenada en el

condensador es del tipo: ( ) ( )αω += tsinQtQ 00 , donde 0Q y α son constantes arbitrarias a

determinar. El enunciado nos proporciona la información suficiente para calcularlas. Llamando

94.20'=t s tenemos:

( ) ( )( ) ( ) ,...2,1 ,' 0' ,0'

0, ,0 3 ,30

00

0

==+⇒=+==∈>⇒===nnttsinttQ

sinsinQtQπαωαω

πααα

El enunciado nos dice que para 'tt = el condensador se descarga por primera vez, así

que nos debemos quedar con el caso 1=n y deducir así:

3' ,' 00πωπαπαω =−==+ tt rad.

Por tanto, 2

3

30 ==

πsinQ mC.

Así pues, la ecuación que gobierna el proceso de carga y descarga oscilante del

condensador es : ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

31002 πtsintQ mC.

Se nos pide la intensidad de corriente que circula por el circuito, que se determina

fácilmente sabiendo que ( )dtdQtI −= . Por tanto,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

3100cos200 πttI mA.

b) Estamos trabajando con un circuito LC que es un sistema conservativo, por tanto, la energía

almacenada en el sistema permanecerá constante.

Teniendo en cuenta la analogía entre el circuito oscilante y el oscilador armónico

mecánico (o bien, sabiendo que la energía eléctrica almacenada en el condensador es

CQEC 2

2

= y que la energía magnética almacenada en la bobina es 2

21 LIEL = ) puede


55

deducirse fácilmente que: 202

1 QC

EEE LC =+= . Sustituyendo valores ya conocidos

encontramos que: 2=E J. La representación, por tanto, es:

c) Hasta el instante de tiempo que se menciona, las ecuaciones que gobiernan la evolución de

la carga almacenada en el condensador e intensidad de corriente son:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

31002 πtsintQ mC

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

3100cos200 πttI mA

Al sustituir 27.272=t ms se comprueba que ππ 93

100 =+t , por tanto,

( ) 0ms 27.272 ==tQ mC e ( ) 200ms 27.272 ==tI mA.

En este instante, que pasa a ser el nuevo instante inicial, se conecta la fuente y el

sistema se convierte en un oscilador forzado no amortiguado (ya que no hay resistencia). La

ecuación diferencial que gobierna este sistema es:

( )tVL

QLC

Q 11=+&& ,

donde ( ) ( )tsintV 90100= V. La solución general de esta ecuación diferencial será la suma de

la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación

completa (el problema es idéntico al de un oscilador amortiguado y forzado, con coeficiente de

amortiguamiento 0=β ):

( ) ( ) ( )δωαω −++= tsinQtsinQtQ ff00 ,

donde 0Q y α son constantes arbitrarias a determinar a partir de las condiciones iniciales.

Obsérvese que en este caso no habrá efectos transitorios, puesto que el factor exponencial

que, en principio, aparecería en el primer sumando de la solución no está presente, ya que

0=β . Las magnitudes fQ y δ se determinan a través de expresiones ya conocidas:

( ) ( )22220

0

2

/

ff

fLV

Qβωωω +−

= , 0=β , 220

0 /

ff

LVQωω −

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 22

0

2

f

farctagωω

βωδ , 0=β , 0=δ

( )tE

t

J 2


56

Sustituyendo los datos 1000 =V V, 100=L H, 1000 =ω rad/s y 90=fω rad/s,

resulta: 526.0=fQ mC.

Vamos a calcular ahora 0Q y α a partir de las condiciones iniciales, que son:

( ) 00 =Q C e ( ) 2.00 =I A. En el problema que ahora nos ocupa, el condensador está

inicialmente descargado, así que ( )dtdQtI = . Luego:

( ) ( ) ( )tQtQtI fff ωωαωω coscos 000 ++= .

Tenemos entonces:

( ) 00 =Q C, παα ,0 0 0 =⇒= sinsinQ .

( ) 2.00 =I A, ffQQ ωαω += cos2.0 00 , αωω

cos2.0

00

ffQQ−

= .

De la última expresión se deduce que para que 00 >Q , necesariamente 0=α . Por

tanto: 3

00 10527.1

2.0 −⋅=−

=ω

ω ffQQ C 527.1= mC.

Por tanto, la ecuación de la carga almacenada en el condensador en la nueva situación

es:

( ) ( ) ( )tsintsintQ 90526.0100527.1 += mC.

10. Considérese el circuito de la figura. En la gráfica que se muestra se representa la

energía magnética almacenada en la bobina frente a la carga almacenada en el condensador

en la situación correspondiente al interruptor S1 cerrado. Se sabe que 125=L mH.

a) Determine la energía total del sistema, el valor de la máxima carga que se puede almacenar

en el condensador y el periodo del proceso oscilante de carga/descarga.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

( )mCQ

( )JEL

2S

C

L

R

1S


57

b) Si en el instante inicial, la intensidad que circula por el circuito es igual a la mitad de su

máximo valor posible, ¿cuál es la ecuación )(tQ que gobierna la evolución temporal de la

carga almacenada en el condensador?

c) En un momento en el que el condensador se encuentra descargado y la intensidad es

máxima, se abre el interruptor S1 y se conecta la resistencia de valor 400=R Ω. Determine la

evolución temporal de la energía almacenada en el condensador, ( )tEC , en esta situación.

d) Determine el tiempo que debe transcurrir para que la energía total del sistema disminuya en

un factor 8e respecto a su valor en el momento de conectar la resistencia.


a) Tratamos con un circuito LC, cuya ecuación diferencial característica es formalmente

idéntica a la de un oscilador armónico simple. La comparación entre ambas ecuaciones nos

permite establecer una correspondencia entre los diferentes parámetros característicos de

cada sistema:

012

2

=+ QCdt

QdL , ecuación característica del circuito LC,

02

2

=+ kxdtxdm , ecuación característica del sistema masa-muelle,

de esta manera, mL ≡ , kC≡

1 y la carga almacenada en el condensador, Q , se identificaría

con los desplazamientos de la masa respecto a su posición de equilibrio, x .

Siguiendo con esta analogía, la energía magnética almacenada en la bobina, LE ,

podría identificarse con la energía cinética en el sistema masa-muelle y la energía eléctrica que

almacena el condensador, CE , con la energía potencial elástica. Por lo tanto, si la solución de

la ecuación del circuito LC es del tipo ( ) ( )αω += tsinQtQ 00 , la dependencia de LE con Q

viene dada por ( )2202

1 QQC

EL −= , que se corresponde con la curva que se representa en

el enunciado (recordemos que la energía cinética en el sistema masa-muelle venía dada por

( )22. 2

1 xAkEcin −= , donde A es la amplitud del movimiento).

El circuito LC es un sistema conservativo, de tal manera, que continuamente se

produce un balance entre la energía almacenada en la bobina y la almacenada en el

condensador, verificándose siempre totalCL EEE =+ . Cuando el condensador está

descargado, la energía almacenada en el condensador es cero y toda la energía del sistema se

almacena en la bobina, en este momento totalL EE = . Por tanto, mirando la gráfica deducimos

que:


58

25.2=totalE J.

Cuando el condensador se carga por completo ( 0QQ = ), la situación se invierte,

siendo ahora 0=LE . Volviendo a la gráfica, puede verse entonces que:

30 =Q mC.

El periodo del proceso oscilante de carga/descarga se calcula a través de la expresión:

LCT πωπ 22

0

== , donde LC1

0 =ω es la frecuencia natural del sistema. Necesitamos

calcular la capacidad del condensador. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que

202

1 QC

Etotal = . Despejando tenemos que: 202

1 QE

Ctotal

= . Sustituyendo las cantidades

calculadas anteriormente:

2=C µF.

Por lo tanto, la frecuencia natural del sistema resulta 20000 =ω rad/s y el periodo:

π=T ms.

b) La solución del sistema es del tipo ( ) ( )αω += tsinQtQ 00 . La intensidad de corriente viene

dada por: ( ) ( )αωω +−=−= tQdtdQtI 000 cos . El enunciado nos dice que ( )

20 00ωQI = . Si

sustituimos 0=t en la ecuación anterior nos queda: αωω

cos2 00

00 QQ

−= . De aquí se

obtiene, 21cos −=α y, por tanto,

34 ,

32 ππα = .

El enunciado no nos da ninguna otra condición con la que podamos discernir entre

estos dos valores, así que serán posibles soluciones:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3220003 πtsintQ mC,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3420003 πtsintQ mC,

donde t se mide en segundos.

c) Al abrir el interruptor S1 y conectar la resistencia pasamos a trabajar con un circuito RLC en

serie, esto es, un oscilador amortiguado. Consideremos este momento como el nuevo instante

inicial. Lo primero que vamos a hacer es determinar qué tipo de amortiguamiento tenemos. El

coeficiente de amortiguamiento viene dado por LR

2=β . Sustituyendo datos encontramos que

1600=β s-1. Así pues, 0ωβ < y estamos en amortiguamiento débil.


59

La expresión que nos da la energía eléctrica almacenada en el condensador es

( ) ( )2

21 tQC

tEC = . Por tanto, tendremos que determinar la nueva ecuación ( )tQ . Por estar en

amortiguamiento débil, ésta será de la forma ( ) ( )'' αωβ += − tsineQtQ t . En esta ecuación, 'Q

y 'α son constantes arbitrarias a determinar (han sido denominadas de esta manera para no

confundirlas con las del apartado a) y ω la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas. Esta

última se calcula a través de la expresión 1200220 =−= βωω rad/s.

La ecuación que determina la intensidad en la nueva situación es:

( ) ( ) ( )[ ] teQttsindtdQtI βαωωαωβ −+−+=−= ''' cos .

Como nuevas condiciones iniciales el enunciado nos da: ( ) 00 =Q C e

( ) 60 00 == ωQI A. Sustituyendo 0=t en las ecuaciones de la carga e intensidad y teniendo

en cuenta las condiciones iniciales encontramos:

( ) παα ,0 0 00 ''' =⇒=⇒= sinQQ .

Conocido este resultado: ( ) '0

' cos6 60 αωQI −=⇒= .

Como 'Q debe ser positiva, entonces de la última ecuación se deduce que

necesariamente πα =' y finalmente 5' =Q mC.

La ecuación para la carga resulta: ( ) ( )π+= − tsinetQ t 12005 1600 mC, donde t se mide

en segundos.

La energía eléctrica almacenada en el condensador vendrá dada por:

( ) ( ) ( )π+== − tsinetQC

tE tC 120025.6

21 232002 J, con t en segundos.

d) La energía media del circuito RLC se expresa como: ( ) tt eEeQC

tE ββ 20

2202

1 −− == ,

siendo 0

E la energía media inicial.

En el instante de tiempo t que pretendemos calcular, la energía ha disminuido un

factor 8e respecto a su valor inicial. Por lo tanto:

( )8

2

0

1e

eEtE t == − β .

Tomando logaritmos sobre la última expresión llegamos a: 82 =tβ . Y de aquí resulta:

5.2=t ms.


60

11. Considerando que a tiempo 0=t , el condensador está

completamente descargado, demuestre que la ecuación

diferencial que gobierna la evolución temporal del sistema se

corresponde con la de un oscilador armónico amortiguado.


Sabemos que RIVR = , CQVC = ,

dtdILVL = , donde Q es la carga almacenada en

el condensador e dtdQI = la intensidad de corriente que circula por el circuito. Aplicando la

segunda ley de Kirchhoff, tenemos:

0VVVV CRL =++

02

2 1 VQCdt

dQRdtQdL =++ ,

LV

QLCdt

dQLR

dtQd 02

2 1=++ .

Esta última ecuación no se corresponde con la ecuación fundamental de un oscilador

amortiguado, ya que el segundo miembro es distinto de cero.

Recordemos que para obtener la ecuación fundamental de un sistema oscilante, hay

que referir las oscilaciones respecto a la situación de equilibrio del sistema (lo que equivale a

hacer un cambio de variable en la ecuación fundamental). En este caso, a 0=t el

condensador se encuentra descargado. En instantes posteriores el condensador se irá

cargando, de tal manera que la situación de equilibrio del sistema es aquélla en la que el

condensador se encuentra completamente cargado. En este momento la intensidad de

corriente es igual a cero y la tensión a extremos del condensador es igual a la tensión de la

fuente: 0, VV eqC = . Por tanto, 0VCQeq = . Esto es, 0CVQeq = .

Definimos entonces una nueva variable eqQQQ −=' . Se verifica dtdQ

dtdQ

='

y

2

2

2

2 'dtQd

dtQd

= . Sustituyendo en la ecuación fundamental para eliminar la variable Q ,

llegamos a:

( )LV

QQLCdt

dQLR

dtQd

eq0

2

2

'1''=+++ ,

LV

QLC

QLCdt

dQLR

dtQd

eq0

2

2 1'1''=+++ .

L

R

C0V


61

Sustituyendo CVQeq 0= , se llega a:

0'1''2

2

=++ QLCdt

dQLR

dtQd

,

que es la ecuación fundamental de un oscilador armónico amortiguado.

12. Tenemos un circuito RLC en serie cuyos

parámetros característicos son 100=R Ω,

200=L mH y 20=C µF. El circuito está alimentado

por dos fuentes de corriente alterna sinusoidal

( ) ( )tsintV 10021 = mV y ( ) ( )tsintV 70052 = mV,

donde t se mide en segundos.

a) Determine la ecuación ( )tQ que nos da la carga almacenada en el condensador en

cualquier instante de tiempo, considerando que el circuito ha alcanzado ya el régimen

permanente.

b) ¿Qué conjunto de frecuencias contribuyen al espectro de Fourier correspondiente a la

función ( )tQ ?

c) ¿Es periódica la evolución temporal de la carga almacenada en el condensador? En caso

afirmativo, calcule el periodo correspondiente. ¿Es de tipo armónico?


a) Tenemos un circuito RLC en serie alimentado por dos fuentes de tensión alterna. Como en

este tipo de sistemas se verifica el principio de superposición lineal, la ecuación ( )tQ que nos

da, alcanzado el régimen permanente, la carga almacenada en el condensador en cualquier

instante de tiempo será de la forma:

( ) ( ) ( )tQtQtQ 21 += ,

donde ( )tQi es la respuesta del sistema cuando sólo está actuando la fuente

( ) ( )tVtV iii ωsin0= . Por tanto:

( ) ( )iiii tQtQ δω −= sin0 , 2,1=i

( ) ( )

[ ] 0, , 2

2

/

220

22220

00

πδωω

βωδ

βωωω

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+−=

ii

ii

ii

ii

arctag

LVQ

R

L

C

( )tV1 ( )tV2


62

siendo LC1

0 =ω y LR

2=β . Sustituyendo los datos 201 =V mV, 502 =V mV, 1001 =ω

rad/s, 7002 =ω rad/s, 100=R Ω, 200=L mH y 20=C µF obtenemos:

5000 =ω rad/s, 250=β s-1

801 1008.4 −⋅=Q C, 205.01 =δ rad

802 1089.5 −⋅=Q C, 172.22 =δ rad

Finalmente:

( ) ( ) ( )172.2700sin1089.5205.0100sin1008.4 88 −⋅+−⋅= −− tttQ C

b) La función ( )tQ es suma de dos términos armónicos, así que las frecuencias que

contribuyen al espectro de Fourier son:

1001 =ω rad/s y 7002 =ω rad/s

c) Las dos frecuencias que contribuyen en ( )tQ son conmensurables y, por tanto, la evolución

temporal de la carga almacenada en el condensador es periódica.

El periodo de dicha evolución es el que resulta de la relación de conmensurabilidad:

2211 TnTnT ==

7 , 1 71

700100 21

2

1

2

1

1

2

2

1 ==⇒===⇒= nnnn

TT

nn

ωω

πωπ

ωπ 20 , 22

22

11 === TnnT ms.

La evolución temporal de ( )tQ es periódica, pero no es armónica, ya que las dos

contribuciones son de frecuencias diferentes.

13. La curva de potencia absorbida media relativa del circuito RLC correspondiente a la

situación en que el interruptor S1 está cerrado es la que se muestra en la figura.

R

R′

L

C( )tsinV fω0

1S 2S0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(rad/s) fω

resext

ext

PP


63

a) Sabiendo que 375=R Ω, demuestre que los restantes parámetros característicos del

sistema valen: 625=L mH y 10=C µF.

b) Teniendo en cuenta que el sistema ha alcanzado ya la situación estacionaria, ¿cuál debe ser

la frecuencia de la señal para que las oscilaciones del proceso carga/descarga del

condensador sean de amplitud máxima? ¿Y para que sea máxima la energía por unidad de

tiempo transferida por la fuente al sistema?

c) Considere que el circuito ha sido diseñado para trabajar en esta última situación y que

300 =V V. Determine la ecuación ( )tQ que gobierna el proceso oscilante de carga/descarga

del condensador.

d) ¿La energía total del sistema permanece constante? Justifique la respuesta.

e) Compruebe que en el instante de tiempo π225

=t ms, la carga almacenada en el

condensador es 200 µC y la intensidad de corriente es nula. En este momento, el contador de

tiempo se pone nuevamente a cero, se abre el interruptor S1 y se cierra S2. ¿Cuál debe ser el

valor de R′ para que el condensador se descargue a través de ella en el menor tiempo

posible? Determine la ecuación ( )tQ que gobierna la descarga del condensador.


a) A partir de la gráfica pueden obtenerse los valores de la frecuencia natural del sistema y de

la anchura de banda. Se sabe que cuando la frecuencia de forzamiento coincide con la

frecuencia natural del sistema, la potencia absorbida media relativa toma su valor máximo,

1=resext

ext

PP

, por tanto, 4000 =ω rad/s. Por otro lado, la anchura de banda, ω∆ , es la

anchura del intervalo de frecuencias de forzamiento para las cuales 5.0≤resext

ext

PP

. Así pues,

mirando la gráfica podemos deducir los valores de las frecuencias que determinan la anchura

de banda, 2001 =ω rad/s y 8002 =ω rad/s. Entonces, 60012 =−=∆ ωωω rad/s.

Por otro lado, sabemos que LRβω ==∆ 2 y

LCω 12

0 = . De la primera de estas

expresiones podemos calcular la autoinductancia de la bobina:

ωRL∆

= , 625=L mH,

sustituyendo 375=R Ω y 600=∆ω rad/s.

Una vez calculado L , la capacidad del condensador la obtenemos como:

20

1ωL

C = , 10=C µF.


64

b) Para que las oscilaciones del proceso carga/descarga del condensador sean de amplitud

máxima debe darse una situación de resonancia en amplitud. Por tanto, la frecuencia de la

señal debe ser 220, 2βωω Af −= . Sin embargo, en el circuito que estamos tratando, el

coeficiente de amortiguamiento vale 3002

=∆

=ωβ s-1. Ocurre entonces que 02 22

0 <− βω ,

lo que daría lugar a una frecuencia de resonancia en amplitud imaginaria, este resultado carece

de sentido físico, y nos indica que, en este caso particular, el fenómeno de resonancia en

amplitud no puede darse.

Para que la energía por unidad de tiempo transferida por la fuente al sistema sea

máxima debe darse una situación de resonancia en energía. La frecuencia de la señal tendrá

que ser:

4000, == ωω Ef rad/s.

c) El enunciado nos dice que el circuito ha sido diseñado para trabajar en situación de

resonancia en energía, por tanto, 4000 == ωω f rad/s. La fuente que alimenta el circuito

responde a la ecuación ( ) ( )tωsinVtV f0= , con 300 =V V.

Como el circuito ha alcanzado ya la situación estacionaria, la ecuación que gobierna el

proceso oscilante de carga/descarga del condensador es:

( ) ( )δtωsinQtQ f −= 0 ,

siendo ( )tQ la carga almacenada en el condensador.

Las constantes 0Q y δ se determinan a partir de las expresiones:

( ) ( )22220

00

2

/

ff βωωω

LVQ

−−= y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= 22

0

2

f

f

ωω

βωarctagδ .

Como el circuito se encuentra en situación de resonancia en energía, 0ωω f = ,

queda:

2002

/00 ==

fβωLV

Q µC y 2πδ = rad.

Por tanto, ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2400200 πtsintQ µC, t en s.

d) Sí. La energía total del sistema permanece constante porque, a pesar de que se disipa

energía en la resistencia, el circuito se encuentra en situación de resonancia en energía y, por

tanto, la fuente compensa de manera exacta las pérdidas que ocurren en la resistencia.

e) Hasta el instante de tiempo indicado las ecuaciones de la carga y la intensidad de corriente

son:


65

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2400200 πtsintQ µC, t en s.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

2400cos80 πt

dtdQtI mA, t en s.

Sustituyendo el valor πt225

= ms en las expresiones anteriores se comprueba

fácilmente que 200ms 225

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = πtQ µC y 0ms

225

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = πtI mA.

En este momento el contador de tiempo se pone de nuevo a cero, se abre el interruptor

S1 y se cierra S2, por lo que el condensador se descargará a través de la resistencia 'R . Los

valores iniciales para éste nuevo circuito de descarga son:

( ) 200s 0 ==tQ µC y ( ) 0s 0 ==tI mA.

El nuevo sistema es un circuito RLC en serie sin forzamiento, cuya ecuación

fundamental responde a la de un oscilador amortiguado. Así pues, para que el condensador se

descargue a través de 'R en un tiempo mínimo, el circuito debe encontrarse en situación de

amortiguamiento crítico, esto es,

0' ωβ = , 02' ωLR

= .

De esta última ecuación deducimos 5002' 0 == ωLR Ω.

La ecuación ( )tQ que gobierna el proceso de descarga es la correspondiente a la

situación de amortiguamiento crítico:

( ) ( ) tβetQQtQ −+= 21 .

Nuestro objetivo es ahora determinar las constantes arbitrarias 1Q y 2Q a partir de las

condiciones iniciales. Necesitaremos para ello la ecuación de la intensidad de corriente que,

teniendo en cuenta que se trata de un proceso de descarga, viene dada por:

( ) ( )[ ] tβeQtQQβdtdQtI −−+=−= 221 .

De las condiciones iniciales se deduce:

( ) 2000 ==tQ µC ⇒ 2001 =Q µC.

( ) 00 ==tI mA ⇒ 021 =−QQβ , 8012 == QβQ mA.

Finalmente,

( ) ( ) tettQ 400802.0 −+= mC, t en s.


66

14. En una región del espacio se superponen los MM.AA.SS. perpendiculares siguientes:

)4()( 1 πω += tsinAtx e )43()( 2 πω += tsinAty .

a) ¿Es periódico el movimiento? ¿Por qué? En caso afirmativo, determine el valor del periodo.

b) Determine y represente la ecuación de la trayectoria resultante.

c) ¿Está polarizado el movimiento? En caso afirmativo, ¿qué tipo de polarización presenta?

¿Sentido horario o antihorario?


a) Sí, porque los movimientos que se superponen son de la misma frecuencia. El periodo vale:

ωπ2

=T .

b) Los movimientos que se superponen pueden escribirse de la siguiente manera:

)4/cos()4/3()()4/()(

22

1

πωπωπω

+=+=+=

tAtsinAtytsinAtx

.

Para obtener la ecuación de la trayectoria debemos eliminar el tiempo de las

ecuaciones anteriores y encontrar una relación entre x e y . Si dividimos la primera ecuación

entre 1A , la segunda entre 2A y elevamos cada una de las ecuaciones al cuadrado se obtiene:

)4/(cos

)4/(

22

2

2

22

1

2

πω

πω

+=

+=

tAy

tsinAx

Si ahora sumamos, se llega a la ecuación

de una elipse cuyos ejes coinciden con los ejes

cartesianos:

122

2

21

2

=+Ay

Ax

.

c) Del apartado anterior resulta evidente que el movimiento presenta polarización elíptica. Para

calcular el sentido del movimiento se puede proceder de varias maneras. Por ejemplo,

podemos calcular el vector velocidad en el punto ( )0,1A . En este punto, sólo la componente Y

de la velocidad es diferente de cero. Así, nos bastará saber el signo de yυ para averiguar el

sentido de movimiento. Si 0>yυ , el sentido es antihorario; si 0<yυ , el sentido es horario.

Entonces:

)4/()( 2 πωωυ +−== tsinAdtdyty .

X1A

Y

2A


67

En el punto ( )0,1A sucede que

1)4/( =+πωtsin y 02 <−= ωυ Ay . Por

tanto, el movimiento ocurre en sentido horario.

Otro procedimiento, menos riguroso,

pero igualmente válido hubiese sido razonar

cómo evoluciona el movimiento para dos

instantes de tiempo sucesivos.

15. Una partícula está sometida a dos MM.AA.SS. en la misma dirección, de ecuaciones

)cos(5)(1 ttx ω= y )2cos(10)(2 ππ += ttx , donde )(1 tx y )(2 tx se miden en cm.

a) ¿Para qué valor de ω se obtiene un M.A.S. por la superposición de estos dos movimientos?

Determine la ecuación del movimiento resultante.

b) Si el movimiento resultante del apartado anterior se superpone con otro de dirección

perpendicular a éste y ecuación )22cos(5)( ππ += tty , donde )(ty se mide en cm. Calcule

la ecuación de la trayectoria de la partícula. ¿Cuál es el sentido del movimiento? ¿Es éste un

M.A.S.?


a) Para que la superposición de dos MM.AA.SS. en la misma dirección dé como resultado otro

M.A.S., ambos deben tener la misma frecuencia. Luego, πω 2= .

Los movimientos que se superponen son:

)2cos(10)2cos(10)()2cos(5)(

2

1

tttxttx

ππππ

−=+==

La ecuación del movimiento resultante es:

)2cos(5)2cos(5)()()( 21 πππ +=−=+= tttxtxtx cm.

b) Ahora la superposición es entre los movimientos:

)2(5)2/2cos(5)()2cos(5)(

tsinttyttx

ππππ

−=+=−=

Operando:

Sumando las dos últimas ecuaciones encontramos la ecuación de la trayectoria:

2522 =+ yx .

X1A

Y

2A

( )0,en 1Aυr

)2(5

)2cos(5

tsiny

tx

π

π

=−

=−

)2(25

)2(cos25

22

22

tsiny

tx

π

π

=

=


68

Por tanto, la trayectoria es una circunferencia de radio 5 cm y el movimiento no es un

M.A.S. Para averiguar el sentido del movimiento nos basta con calcular el vector velocidad en

cualquier punto de la trayectoria. Será más sencillo si lo hacemos en un punto que sea

intersección de la trayectoria con alguno de los ejes coordenados. Para 0=t , por ejemplo, la

partícula se encuentra en la posición ( ) ( )0,5)0(),0( −=yx . Como el vector velocidad siempre

es tangente a la trayectoria, está claro que en ese punto la componente X de la velocidad será

cero. Así, si la componente Y de la velocidad es

positiva, el sentido de movimiento será horario,

mientras que si es negativa, el sentido será

antihorario. Luego, )2cos(10)()( ttyty ππυ −== & .

Para 0=t , 0)0( <yυ , por tanto, el sentido es

antihorario.

16. La punta entintada de la figura vibra horizontalmente

cuando estiramos el resorte R1, comprimiendo R1’ y

soltamos el cuerpo C. Tal punta toca a la superficie A

pendiente del resorte R2. Estiramos éste y soltamos A en el

instante en que el resorte R1 alcanza su máxima

compresión. Las dos vibraciones perpendiculares son del

mismo periodo T . Las amplitudes de los movimientos de A

y P son 10 y 5 cm, respectivamente. Considérese como

sentido positivo de los ejes cartesianos el indicado por las puntas de flecha de la figura.

a) ¿Qué dibuja la punta P? Determine la ecuación de los movimientos componentes y la

ecuación de la trayectoria respecto al centro O de la pizarra.

b) ¿El movimiento resultante es un M.A.S.? En caso afirmativo, calcule la amplitud del

movimiento y la fase inicial.


a) Los movimientos que se superponen serán de la forma ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += απ tT

Atx 2cos)( e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += βπ tT

Bty 2cos)( , donde 10=A cm y 5=B cm, y siendo α y β las fases iniciales

a determinar. En el enunciado se comenta:

0 cos1010 100 cos55 5)0(

=⇒=⇒==⇒=−⇒−=ββ

παα)y(

x

Por tanto, las ecuaciones de los movimientos componentes son:

X

Y

O

X

Y

5

5

( )00 , yx


69

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += t

Tt

Ttx πππ 2cos52cos5)( cm.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= tT

ty π2cos10)( cm.

Para encontrar la ecuación de la trayectoria basta dividir entre sí

las dos ecuaciones anteriores:

xyxy 2 2 −=⇒−= .

Por tanto, la trayectoria es una recta coincidente con una de las diagonales del

rectángulo que delimita el movimiento del sistema.

b) Sobre la recta determinada anteriormente, el sistema describe un M.A.S. Si escribimos la

ecuación para la coordenada r , que mide los desplazamientos respecto a O sobre la recta

xy 2−= y consideramos que 0>r en el cuadrante donde 0<x e 0>y , tendremos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+= t

Tt

Ttytxtr ππ 2cos552cos510)()()( 2222 cm.

Por tanto, la amplitud del movimiento es 55=A cm y la fase inicial, para el convenio

elegido, 0=α rad.

17. a) Considere la superposición de dos movimientos vibratorios armónicos de ecuaciones

( ) ( )tAtx ωcos1 = y ( ) ( )δω += tAtx cos2 . Calcule la diferencia de fase δ que deben tener

para que el movimiento resultante tenga la misma amplitud que cualquiera de ellos. Determine

la ecuación ( )tx del movimiento resultante.

b) El movimiento ( )tx se superpone ahora con otro de dirección perpendicular cuya ecuación

es ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

32cos2 πωtAty . ¿Es periódico el movimiento resultante de esta nueva

superposición? Determine la ecuación de la trayectoria y dibújela. ¿Es un MAS?


a) La superposición de dos MM.AA.SS. con la misma frecuencia y en la misma dirección dará

lugar a un nuevo M.A.S. de ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )ϕω +=+= tAtxtxtx res cos21 ,

212122

21

2 cos2 αα −++= AAAAAres

2211

2211

coscos αααα

ϕAAsinAsinAtag

++

=

X

Y

5

10xy 2−=


70

En el caso que nos ocupa AAA == 21 , 01 =α y δα =2 .

El problema nos pide determinar la diferencia de fase δαα =− 21 que dé un

movimiento resultante de igual amplitud que los movimientos componentes, esto es, AAres = .

Por tanto, utilizando la segunda de las expresiones anteriores nos queda:

δcos2222 AAAAA ++= , δcos22 222 AAA +=

δcos221 += , 21cos −=δ ,

32πδ = rad.

Por tanto, la diferencia de fase pedida es 3

2πδ = rad.

Para determinar la ecuación del movimiento resultante debemos determinar la fase

inicial ϕ . Sustituyendo en la ecuación correspondiente los datos conocidos encontramos:

3

211

23

32cos1

32

32cos

32

=−

=+

=+

=π

π

π

π

ϕsin

AA

Asintag ,

3πϕ = rad.

Finalmente, la ecuación del movimiento resultante es:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3cos πωtAtx

b) Se superponen ahora los movimientos ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3cos πωtAtx e ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

32cos2 πωtAty .

Son MM.AA.SS. perpendiculares y de igual frecuencia, lo que dará lugar a un movimiento

periódico limitado por la región rectangular del plano XY: [ ] [ ]AAAA 2,2, −×− . Para

determinar la ecuación de la trayectoria debemos eliminar la variable t y encontrar una relación

entre x e y . Procederemos como sigue:

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3cos2

3cos2

32cos2

3cos

πωππωπω

πω

tAtAtAty

tAtx

dividiendo entre sí estas dos ecuaciones llegamos a:

2−=xy

, xy 2−= .

Por tanto, el movimiento resultante tiene lugar sobre una de

las diagonales del rectángulo, presenta polarización lineal y, en

consecuencia, sí es un M.A.S.

X

Y

xy 2−=

A+A−

A2−

A2+


71

Problemas resueltos

de ONDAS


72


73

18. Uno de los extremos de una cuerda (x=0) cuya densidad lineal de masa es 0.1 kg/m

está firmemente unido a un vibrador accionado eléctricamente. El periodo de las vibraciones es

de 0.1 s y la amplitud de las mismas 2 cm. La cuerda pasa por una polea y lleva colgado de su

extremo libre una masa de 4 kg. La distancia entre el extremo unido al vibrador y la polea es de

4 m.

a) Determine la velocidad de las ondas transversales en la cuerda.

b) Calcule la frecuencia, periodo, longitud de onda y número de onda de la onda armónica

generada por el vibrador.

c) Si en el extremo impulsor (x=0) el desplazamiento vertical para t=0 es 1 cm y la velocidad

en esa dirección es negativa, ¿cuál es la función de onda?

d) ¿Cuál es el flujo energético medio transmitido de una porción a otra de la cuerda?

e) Justo cuando la onda ha recorrido una distancia de 3 m, sobre la pesa de 4 kg se coloca otra

de 28/9 kg. Calcule el tiempo que tarda la onda en alcanzar el extremo de la cuerda que pasa

por la polea.

f) Si dejamos que la onda incidente se refleje en el extremo que pasa por la polea; transcurrido

un tiempo suficientemente largo, ¿cuál será ahora el flujo energético transmitido entre las

diferentes porciones de la cuerda?

NOTA: Tómese el valor g=10 m/s2 para la aceleración de la gravedad.


a) Para calcular la velocidad de propagación de la onda transversal necesitamos conocer la

tensión a la que está sometida la cuerda, que no será otra que la debida al peso de la masa

que cuelga de su extremo libre:

40104 =⋅=== mgPT N

La velocidad de la onda viene dada por:

201.0

40===

µυ T

m/s.

m4

kg 4

0=x


74

b) En este apartado llamaremos T al periodo de la onda. El periodo de las vibraciones será

también el periodo de la onda, luego 1.0=T s. La frecuencia es 101==

Tν Hz. La longitud

de onda: 2== Tυλ m, y el número de onda: πλπ==

2k m-1.

c) Se genera una onda armónica transversal propagándose hacia la derecha que puede ser

descrita por la función: )(),( αω +−= tkxAsintxy . La velocidad de un elemento diferencial

de la cuerda en la dirección vertical es )cos(),(),( αωωυ +−−=∂

∂= tkxA

ttxytx . El

enunciado del problema nos dice que la amplitud de las oscilaciones y, por tanto, la amplitud de

la onda armónica es 2=A cm. Establece también las condiciones iniciales que nos permiten

calcular la fase inicial α :

1)0,0( =y cm 6

5 ó 6

21 ,1 ππααα =⇒==⇒ sinAsin .

0)0,0( <υ 0cos <−⇒ αωA .

Como la amplitud y la frecuencia angular se definen como cantidades positivas, la

última desigualdad nos exige 0cos >α y entonces 6πα = .

La función que describe la onda armónica es, por tanto:

)6

20(2),( πππ +−= txsintxy cm.

d) El flujo energético medio que se transmite de una porción a otra de la cuerda, viene dado

por la expresión (para ondas armónicas):

58.1)02.0(20)20(1.021

21 2222 =⋅⋅⋅⋅== πυµωφ A W

e) Una vez recorridos 3 m, se coloca sobre la pesa de 4 kg, otra de 928

kg. Con esto se varía

la tensión a la que está sometida la cuerda y, en consecuencia, la velocidad de propagación de

la onda.

Llamemos 1υ a la velocidad de la onda hasta el momento de colocar la segunda pesa.

El tiempo invertido por la onda en recorrer esos tres primeros metros es: 2033

11 ==

υt s.

La nueva velocidad de propagación 2υ se calcula como sigue. La nueva tensión en la

cuerda es 9

64010)9284()( 2122 =+=+== gmmPT N. La velocidad de propagación será


75

entonces: 3

801.09

64022 =

⋅==

µυ

T m/s. El tiempo invertido en recorrer el metro restante

hasta alcanzar la polea será: 8031

22 ==

υt s. Por tanto, el tiempo que tarda la onda en

alcanzar la porción de cuerda sobre la polea es:

163

803

203

21 =+=+= ttt s.

f) Si la onda se refleja en el punto de la cuerda fijo sobre la polea y se deja transcurrir el tiempo

suficiente, se establecerá en la cuerda una onda estacionaria. Las ondas estacionarias no

transportan energía, ya que es imposible la transmisión de energía a través de los nodos.

Luego, el flujo energético transmitido entre las diferentes porciones de la cuerda es cero.

Para ser rigurosos, habría que comprobar que la nueva longitud de onda es

consecuente con la condición 2λnL = . Calculando la nueva longitud de onda puede verse que

se satisface la condición anterior para el caso 3=n . Además, habría que decir que el flujo

energético es aproximadamente cero, ya que el vibrador está continuamente suministrando

energía a la cuerda y, en realidad, no existen nodos, sino cuasi-nodos.

19. Con el objetivo de montar un experimento para el estudio de las oscilaciones

amortiguadas, y las ondas armónicas se ha diseñado el siguiente sistema:

Un disco de masa 400=m g. se une a una base a través de un muelle de constante

elástica 90=k N/m. Asimismo, entre el disco y la base se ha instalado un dispositivo

(representado en la figura como una varilla) para forzar en el primero un movimiento de tipo

armónico. El sistema se encuentra introducido a modo de émbolo en un tubo cilíndrico cuyo

interior está ocupado por un fluido de densidad 1=ρ g/cm3 y módulo de compresibilidad

510=K N/m2 (figura 1). Cuando el dispositivo se encuentra desconectado, el fluido en el

interior del tubo amortigua las oscilaciones del disco y el sistema se comporta como un

oscilador amortiguado libre. Cuando el dispositivo está funcionando, el émbolo describe un

movimiento oscilatorio armónico forzado que se transfiere al fluido generándose una onda

armónica plana que viaja por el interior del tubo.

a) Considérese como instante inicial la situación en la que el dispositivo está desconectado y el

disco pasa por su posición de equilibrio ( 0=x ) con una velocidad de 24 mm/s hacia la

derecha. Se ha estimado que la resistencia que ofrece el fluido al movimiento del disco se

traduce en un coeficiente de amortiguamiento 9=β s-1. Calcule la ecuación de movimiento

del disco )(tx respecto de su posición de equilibrio.

b) ¿Cuál es el máximo desplazamiento que efectúa el disco respecto a 0=x ?


76

c) En un cierto instante de tiempo se conecta el dispositivo generador de ondas armónicas, que

ejerce sobre el disco una fuerza del tipo )(432.0)( tsintF fω= N. Si queremos que las ondas

sean de amplitud máxima, ¿cuál debe ser entonces la frecuencia del movimiento que el

mecanismo induce sobre el disco? ¿Cuál será la amplitud de las ondas generadas? ¿Y la

nueva ecuación de movimiento )(tx del disco una vez que los efectos transitorios se han

extinguido por completo?

d) Pasemos al estudio de las ondas armónicas (generadas de acuerdo a las condiciones

establecidas en el apartado c). Determine todos los parámetros de la onda armónica que viaja

por el tubo: amplitud, fase inicial, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación, así

como la función de onda ),( txψ correspondiente.

e) Si en 0=x , la intensidad de la onda armónica es 0I , ¿cuánto vale la intensidad en el punto

dx = ?


a) De acuerdo con los datos que se dan, la frecuencia natural del sistema es

154.0

900 ===

mkω rad/s. El parámetro de amortiguamiento es 9=β s-1. Luego,

0ωβ < . Estamos en una situación de amortiguamiento crítico. Proponemos entonces como

ecuación de movimiento del disco respecto a 0=x la expresión:

)()( αωβ += − tsinAetx t .

La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas será 12220 =−= βωω rad/s. Las

constantes A y α quedan determinadas a partir de las condiciones iniciales que son: 00 =x

mm y 240 =υ mm/s. Derivando )(tx obtenemos la velocidad del disco:

[ ])()cos()( αωβαωωυ β +−+= − tsintAet t .

De la condición inicial para la posición:

παα ,0 0 0)0( =⇒=⇒= Asinx

De la condición inicial para la velocidad:

( ) 24cos , ó 0 , 24cos 24)0( ===−⇒= αωπααβαωυ AsinA .

Como 0>A , entonces 0cos >α y necesariamente 0=α . Finalmente:

0=xFigura 1

base

dirección OX


77

224==

ωA mm.

Por tanto, la ecuación de movimiento es:

)12(2)( 9 tsinetx t−= mm.

b) El valor de t para el cual )(tx se hace máximo se calcula imponiendo la condición:

0)()(== t

dttdx υ .

Esto nos lleva a: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==−

βω

ωωβωω arctagttsint 1 , 0)()cos( máx . La solución de

esta ecuación no es única, pero en virtud de lo que se nos pide debemos quedarnos con el

menor valor de t (para los otros valores, la curva )(tx alcanza máximos locales, pero todos

serán más pequeños que el primero, debido al decaimiento exponencial). Así: 2

máx 10727.7 −⋅=t s. El desplazamiento máximo es:

8.0)( máxmáx ≈= txx mm.

c) Para que las ondas sean de amplitud máxima, tras conectar el dispositivo, las oscilaciones

forzadas también deben tener amplitud máxima. Debe darse, por tanto, una resonancia en

amplitud, así que:

( ) 732 2/1220 =−= βωω f rad/s.

La amplitud de las ondas será igual a la amplitud de las oscilaciones que viene dada

por:

( ) ( )( )

220

02/1220

22220

0

2/

,2 ,2

/βωβ

βωωβωβω −

=−=+−

=mF

AmF

A f

f

.

Sustituyendo datos: 3

22105

915924.0/432.0 −⋅=

−⋅=A m 5= mm.

El ángulo δ , que nos da el desfase de la posición respecto a la fuerza impulsora, viene

dado por:

723.02

220

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

f

farctagωω

βωδ rad.

La nueva ecuación de movimiento es:

( )723.0735)( −= tsintx mm.

d) Por el tubo se propaga una onda armónica que viaja de izquierda a derecha. La ecuación

correspondiente puede escribirse como: ( ) )(, αωψ +−= kxtAsintx . La amplitud de las

ondas ya fue calculada en el apartado c, 5=A mm. La frecuencia es la misma que la de las


78

420 4400

1

A

)(νC

)( Hzν

oscilaciones: 73== fωω rad/s. La velocidad de propagación viene dada por la expresión

ρυ K= , donde 510=K N/m2 es el módulo de compresibilidad y 1000=ρ kg/m3 es la

densidad del fluido. Sustituyendo, encontramos: 10=υ m/s.

Ahora puede calcularse el número de onda 10

73==

υωk m-1. La longitud de onda

será 73

202 ππλ ==k

m.

Para calcular la fase inicial basta con tener en cuenta que el desplazamiento de la

porción de fluido correspondiente a 0=x es igual al desplazamiento del émbolo para todo t :

( ) )()( ),(,0 δωαωψ −=+= tAsintAsintxt ff .

Luego: δα −= . La ecuación de la onda armónica es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅= − 723.0

107373105),( 3 xtsintxψ m.

e) Como el medio no es absorbente, la intensidad de la onda plana no decae, así que,

( ) 0IdxI == .

20. En una sala de un conservatorio se encuentran dos gemelos trompetistas afinando sus

instrumentos. Para ello hacen sonar la misma nota a la

vez. Uno de los dos, que ya ha afinado, emite un sonido

de frecuencia 440 Hz (que corresponde exactamente a la

nota la3). La superposición de los dos sonidos, que

pueden tratarse como ondas armónicas de igual amplitud

A , da lugar a una pulsación de frecuencia 10 Hz.

Además, el sonido resultante es recogido por un

micrófono y analizado posteriormente. El análisis tiempo-

frecuencia revela un espectro de Fourier como el que se

muestra en la figura.

a) Justifique por qué el espectro de Fourier es de la forma que aparece en la figura.

b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido emitido por la trompeta desafinada?

c) Imaginemos que los músicos están lo suficientemente cerca el uno del otro como para

considerar que los sonidos parten del mismo punto y centremos nuestra atención en la

propagación del sonido en la dirección que va desde los músicos al micrófono (dirección OX).

Si los sonidos procedentes de las trompetas se tratan como ondas armónicas planas en fase,


79

determine la función de onda de los sonidos que se superponen y la correspondiente a la onda

resultante.

d) Una vez que las trompetas están afinadas, los músicos tocan otra vez la misma nota la3.

¿Cuál es la mínima distancia a la que debe colocarse un trompetista de otro, sobre la línea OX,

para que el micrófono no registre ningún sonido procedente de esa dirección?

e) Este último sonido sale a la calle a través de una ventana abierta que hay en la sala.

Determine la frecuencia percibida por el conductor de un coche que se acerca

perpendicularmente a la ventana circulando a una velocidad de 54 km/h.

f) Un tercer músico que estaba observando el proceso de afinado se marcha a una sala

contigua y allí comprueba que la intensidad del sonido de las trompetas ha caído un 80%. Si el

coeficiente de absorción del

material que separa ambas

salas vale 365.5=β m-1,

¿cuál es el grosor de la

pared? (Se desprecia la

absorción debida al aire).

NOTA: La velocidad de

propagación del sonido en el

aire es de 340 m/s.


a) El micrófono recoge el sonido resultante de la superposición de dos ondas armónicas. Éstas

tienen frecuencias perfectamente definidas y es, por esta razón, por la que el espectro de

Fourier no es continuo, sino que presenta dos picos localizados en las frecuencias

correspondientes: 440 Hz para el sonido procedente de la trompeta afinada y 430 Hz para el

sonido procedente de la desafinada.

Las dos contribuciones son de la misma magnitud porque las ondas tienen la misma

amplitud y están próximas entre sí (sobre el eje de frecuencias), porque se está analizando un

fenómeno de pulsación.

b) El sonido de la trompeta afinada tiene frecuencia 4401 =ν Hz. Nos dicen que la frecuencia

de la pulsación es 10=pν Hz. Entonces, la frecuencia del otro sonido podría ser

pννν ±= 12 . El espectro de Fourier nos saca de dudas, ya que puede verse que la frecuencia

buscada es menor que 440 Hz. Así, 4302 =ν Hz. (Podría haberse deducido directamente de

la gráfica).

c) Centramos ahora nuestra atención en la dirección OX. Cada una de las ondas que se

superponen pueden describirse a través de la forma funcional )(),( txkAsintx iii ωψ −= ,

dirección OX


80

2,1=i . Buscamos los parámetros característicos de cada onda teniendo en cuenta que la

velocidad de propagación para ambas es 340=υ m/s.

Onda 1. Trompeta afinada.

4401 =ν Hz, ππνω 8802 11 == rad/s, πυω

17441

1 ==k m-1, 22172

11 ==

kπλ m-1.

)8801744(),(1 txAsintx ππψ −= m, suponiendo que describimos el sonido como una onda de

desplazamiento y que A viene dada en metros.

Onda 2. Trompeta desafinada.

4302 =ν Hz, ππνω 8602 22 == rad/s, πυω

17432

2 ==k m-1, 43342

22 ==

kπλ m-1.

)8601743(),(2 txAsintx ππψ −= m.

Onda resultante.

La onda resultante puede describirse como una pulsación. La ecuación

correspondiente es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−= tx

kksintx

kkAtx

2222cos2),( 21212121 ωωωω

ψ .

Con los datos que tenemos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= txsintxAtx ππππψ 870

348710

34cos2),( m.

d) Una vez que las trompetas están afinadas, los dos sonidos tienen la misma frecuencia (440

Hz). Para que no se registre ningún sonido procedente de la dirección OX, debe darse una

situación de interferencia destructiva. Si se considera que las ondas están en fase, el desfase

que dará lugar a la interferencia será debido a una diferencia de caminos entre las dos ondas,

esto es, los músicos deben situarse a cierta distancia el uno del otro. Ahora bien, sabemos que

se producirá interferencia destructiva cuando la diferencia de caminos, x∆ , sea un múltiplo

impar de la semilongitud de onda, es decir:

2)12( λ

+=∆ nx , ,...2,1,0=n

Si buscamos la mínima distancia a la que debe colocarse un músico de otro, nos

quedaremos con el caso 0=n . Así,

4417

221 ===∆λλx m, 39≈∆x cm.


81

e) Este apartado se resuelve teniendo en cuenta nuestros conocimientos de efecto Doppler. El

sonido sale por la ventana (fuente, S) y llega al coche (observador, O), que se acerca:

La relación general de efecto Doppler es:

O

O

s

s

uu υυν

υυν

rrrr −=

−,

donde ur es un vector unitario en la dirección SO. Teniendo en cuenta que la fuente está en

reposo y que el coche se mueve en sentido contrario a la línea SO, la frecuencia pedida puede

determinarse a partir de la expresión:

4.459=+

= SO

O νυυυ

ν Hz,

donde 340=υ m/s, 54=Oυ km/h 15= m/s y 440=Sν Hz.

f) Como la absorción del aire se considera despreciable, la intensidad de la onda sólo decaerá

debido a la absorción del material que separa ambas salas. Si llamamos d al grosor de la

pared, la ley de Lambert nos permite escribir: d

OeIdI β−=)( .

Por otro lado, el enunciado nos dice que OIdI 2.0)( = . Combinando estas ecuaciones

se llega a que:

2.0ln1β

−=d .

Sustituyendo el valor 365.5=β m-1, encontramos que el grosor de la pared es 30=d

cm.

21. Las fuentes de ondas sonoras S1 y S2,

que están sincronizadas en fase, generan

ondas armónicas esféricas de iguales

características.

a) Sabiendo que la frecuencia de las ondas es 1000< Hz, determine la longitud de onda para

que la intensidad del sonido sea mínima en el punto P.

b) La amplitud de cada una de las ondas que se superponen (descritas como ondas de

presión) vale 10 mPa a 1 m del foco correspondiente. ¿Qué valores podría tomar la constante

OS

Oυ

υSν

P

S2 S1

º60

cm 25

cm 3


82

de fase de cada onda componente, si, en el instante inicial, la onda resultante alcanza el valor

de 80 mPa en el punto medio entre fuentes?

c) En un cierto momento se desconecta la fuente S1. En estas condiciones, determine el nivel

de intensidad sonora a 20 cm de la fuente S2, teniendo en cuenta que la intensidad de la onda

vale 710− W/m2 a un metro de la misma.

Nota: La velocidad de propagación del sonido vale 340=υ m/s. Considérese que la

intensidad del sonido más débil que puede oírse vale 1210−=umbI W/m2.


a) Para que la intensidad sea mínima en P debe darse una situación de interferencia

destructiva. Como las dos fuentes generan ondas de idénticas características, la interferencia

destructiva sólo podrá deberse a la diferencia de caminos que deben recorrer las ondas desde

las fuentes hasta P. Si llamamos 1r a la distancia entre S1 y P, y 2r a la distancia entre S2 y P,

entonces la diferencia de caminos será 12 rrr −=∆ . Se producirá una situación de

interferencia destructiva cuando ( ) rλn ∆=+2

12 , siendo ,...2,1,0=n y λ la longitud de onda.

Teniendo en cuenta la geometría del problema podremos calcular la diferencia de

caminos r∆ . Ya sabemos que 31 =r cm

y que 25=d cm. Usando el teorema de

Pitágoras ( ) 222 yxdr +−= . Por otro

lado, 5.123º60cos1 === rx cm e

6.22

33º601 === sinry cm. Así, encontramos que 64.232 =r cm y la diferencia de

caminos será 64.2012 =−=∆ rrr cm.

Si despejamos λ de la condición de interferencia destructiva, tenemos 12

2+∆

=nrλ .

Para cada valor de n tendremos un valor de λ diferente, pero el enunciado nos dice que la

frecuencia de la onda es 1000<=λυν Hz (siendo υ la velocidad del sonido). Entonces:

0=n , 28.412 =∆= rλ cm, 64.823=v Hz

1=n , 76.1332

=∆= rλ cm, 93.2470=v Hz

M

P

S2 S1

º60y

2r1r

xd


83

Sólo para 0=n se cumple que 1000<v Hz. Por tanto, la longitud de las ondas que

interfieren destructivamente es:

28.41=λ cm

b) Las ondas que se superponen son ondas armónicas esféricas de iguales características, así

que serán de la forma:

( ) ( )ϕωψ +−= tkrsinrAtr 11

11 ,

( ) ( )ϕωψ +−= tkrsinrAtr 22

22 ,

El enunciado nos dice que a 1 m de uno de los focos, la amplitud de la onda

correspondiente vale 10 mPa. Entonces, por ejemplo, para 11 =r m, 101

=rA

mPa. Esto nos

permite deducir que 10=A mPa⋅m.

En el instante inicial y en el punto medio entre fuentes, la onda resultante alcanza el

valor de 80 mPa. Como la onda resultante es la superposición de las ondas generadas en S1 y

S2, entonces se cumple:

( ) ( ) 800,0, 2111 ===+=== trrψtrrψψ mmresultante mPa,

donde hemos llamado mr a la distancia desde cualquiera de las fuentes al punto medio entre

ambas, esto es, 5.12=mr cm.

Sustituyendo las expresiones para 1ψ y 2ψ :

( ) ( ) ( ) 802=+=+++= ϕϕϕψ m

mm

mm

mresultante krsin

rAkrsin

rAkrsin

rA

mPa.

De la última igualdad y conocidos los valores de A y mr , encontramos:

( )21

=+ϕmkrsin . Este resultado nos da como posibles valores para la constante de fase:

38.1 ,6 11 −==+ ϕπϕmkr rad,

72.0 ,6

522 ==+ ϕπ

mkr rad,

donde λπk 2

= y 28.41=λ cm (calculada en el apartado anterior).

c) La onda generada en S2 es una onda esférica. Como el enunciado no nos dice nada al

respecto, consideramos que el medio no es absorbente. En estas condiciones, las intensidades

de la onda en dos puntos que distan 1r y 2r de S2, se relacionan a través de la


84

expresión: 22

21

1

2

rr

II

= . Del enunciado se sabe que 11 =r m, 2.02 =r m e 71 10−=I W/m2.

Luego, 62

2

12

12 105.2 −⋅==

rIr

I W/m2. El nivel de intensidad sonora a 20 cm de S2, vendrá dado

por:

64log10 2 ≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

umbII

β dB,

siendo 1210−=umbI W/m2.

22. Dos fuentes coherentes que emiten

ondas sonoras armónicas esféricas distan

entre sí 1=d m. Estas fuentes sólo son

capaces de producir sonidos de frecuencias comprendidas entre 1 y 2 kHz.

a) Encuentre los posibles valores de frecuencia de las ondas sonoras que den lugar a un

mínimo de intensidad en el punto P. ¿Es cero la intensidad sonora en P? ¿Por qué?

b) En un cierto instante, que tomaremos como 0=t , se desconecta la fuente S2. Si el sonido

es de frecuencia 1700=ν Hz, determine la función de la onda sonora armónica generada en

S1, descrita como una onda de presión, considerando que la constante de fase de la onda es

igual a cero y sabiendo que a 1 m de S1 la amplitud de la misma vale 1 Pa.

c) Utilizando los datos del apartado anterior, sabiendo que el medio en que se propaga la onda

es el aire y que su densidad vale 201.1=ρ kg/m3, compruebe que la intensidad de la onda a 1

m de la fuente vale 22.1 mW/m2. ¿Cuál será la intensidad de la onda a 10 m de S1?

d) El sonido procedente de S1 entra en una habitación a través de una pequeña ventana

circular de radio 20=R cm. ¿Podría indicar en qué regiones de la habitación apenas se

escucharía el sonido?

Dato: La velocidad de propagación del sonido vale 340=υ m/s.


a) Para que en el punto P se registre un mínimo de intensidad, debe darse en este punto una

situación de interferencia destructiva. La condición de interferencia destructiva es:

( )2

12 λ+=∆ nd ,

donde λ es la longitud de onda y d∆ la diferencia de caminos recorridos por las dos ondas

para llegar al punto P. Por tanto, 21 rrd −=∆ , siendo 1r la distancia entre S1 y P; y 2r la

distancia entre S2 y P. De acuerdo con los datos del enunciado, 50=∆d cm.

P

S2 S1

m1

cm 25


85

Según lo que hemos comentado, el conjunto de longitudes de onda que daría lugar a

un mínimo de intensidad en P viene determinado por la ecuación:

dn

∆+

=12

2λ .

Así pues:

para 12 ,0 0 =∆== dn λ m, 3400

0 ==λυν Hz

para 31

32 ,1 1 =∆== dn λ m, 1020

11 ==

λυν Hz

para 51

52 ,2 2 =∆== dn λ m, 1700

22 ==

λυν Hz

para 71

72 ,3 3 =∆== dn λ m, 2380

33 ==

λυν Hz

…

donde 340=υ m/s es la velocidad del sonido.

Como las fuentes sólo son capaces de producir sonidos de frecuencias comprendidas

entre 1 y 2 kHz, las frecuencias que darán lugar a un mínimo de intensidad en P son 1020 y

1700 Hz.

La intensidad sonora en P será mínima, pero no será igual a cero; porque como las

ondas generadas en S1 y S2 son esféricas, la amplitud de las mismas en el punto P no son

iguales y la interferencia destructiva no es total

b) La onda generada por la fuente S1 es una onda esférica armónica con constante de fase

igual a cero, así pues será de la forma:

( ) ( )tkrrAtrP ω−= sin, ,

donde r es la distancia desde el punto del medio considerado a la fuente S1.

El sonido es de frecuencia 1700=ν Hz, con lo que ππνω 34002 == rad/s y

πυω 10==k m-1. La amplitud de la onda decae con la distancia a la fuente y viene dada por

( )rArA = . El enunciado nos dice que ( ) 1

11 ===

ArA Pa, luego 1=A Pa·m.

Finalmente:

( ) ( )trr

trP ππ 340010sin1, −= Pa, r en m y t en s.


86

c) Utilizando la expresión ρυ2

20PI = podemos determinar la intensidad de la onda en un punto,

siendo 0P la amplitud de la onda en dicho punto y ρ la densidad del medio por el que se

propaga la onda. Del apartado anterior sabemos que a un metro de la fuente 10 =P Pa y por

otro lado 201.1=ρ kg/m3. Sustituyendo datos comprobamos que 22.1=I mW/m2.

Para determinar la intensidad a 10 m de la fuente utilizamos la expresión

( ) 20

20

rIr

rI = .

Sabiendo que para 10 =r m, 22.10 =I mW/m2 y tomando 10=r m encontramos:

( ) 2.12m 10 ==rI µW/m2.

d) Cuando el sonido se encuentra con la abertura

circular se difractará y la mayor parte de la

intensidad sonora quedará encerrada en la

superficie cónica determinada por el ángulo θ (ver

figura). Este ángulo calcularse a través de la

expresión:

Dλθ 22.1sin = ,

donde λ es la longitud de onda y D el diámetro de

la abertura.

El sonido es de frecuencia 1700=ν Hz, por lo que la longitud de onda será

20=λ cm. La abertura es de radio 20=R cm, luego 40=D cm.

Por tanto,

61.0sin =θ , º59.37=θ

Fuera de la superficie cónica determinada por este ángulo, el sonido apenas se

escuchará.

23. Una onda esférica se propaga en un medio homogéneo, isótropo y no absorbente. La

intensidad de la onda a una distancia de 10 m de la fuente es de 100 nW/m2.

a) ¿Cuál será la intensidad a una distancia de 20 m? ¿Y a 100 m?

b) Calcule la potencia de la fuente.

c) Repita los cálculos de los apartados anteriores suponiendo que la onda es plana.

región donde apenas se escucha el sonido

región donde apenas se escucha el sonido

θ


87


a) Para ondas esféricas, la intensidad en un punto situado a una distancia r de la fuente

puede calcularse a partir de la expresión:

)(2

200 0)( rrerrI

rI −−= β ,

donde 0I es la intensidad de la onda en un punto que dista 0r de la fuente. Como el medio es

no absorbente, 0=β , y entonces:

2

200)(rrIrI = .

Según el enunciado 1000 =I nW/m2 y 100 =r m. Entonces:

22

2

22

2

nW/m 1100

10100)100(

nW/m 2520

10100)20(

=⋅

=

=⋅

=

I

I

b) Para calcular la potencia de la fuente usamos la expresión: )(4 2 rIrP π= . Se obtiene:

4222 1041100425204100104 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ππππP nW,

π40=P µW.

c) Si la onda es plana, su intensidad no variará con la distancia del frente de onda a la fuente.

Entonces:

100)100()20()10( === III nW/m2.

Por otro lado, la potencia (energía por unidad de tiempo que radia una fuente) es

independiente de la geometría del frente de onda (una onda generada por una fuente podría

considerarse una onda esférica para puntos próximos a la fuente y como una onda plana para

regiones muy alejadas de ella). Así,

π40=P µW.

24. La rendija F es una fuente emisora de ondas planas. Las ondas generadas tienen una

intensidad 0I que va decayendo conforme atraviesan el medio, caracterizado por un

coeficiente de absorción β . Tras recorrer la distancia d , las ondas alcanzan la abertura

circular A de radio ρ donde son difractadas, generándose un tren de ondas esféricas. Calcule

la intensidad de las ondas a una distancia r de la abertura A.


88


De acuerdo con la ley de Lambert, cuando las ondas planas alcancen la abertura A

tendrán una intensidad: dA eII β−= 0 . La abertura A es ahora una fuente de ondas esféricas,

podemos, por tanto, calcular la potencia de la fuente: AAA SIP = , donde 2πρ=AS es el área

de la fuente. Así: dA eIP βπρ −= 0

2 . Por otro lado, sabemos que en un medio absorbente la

potencia asociada a un tren de ondas esférico decae exponencialmente, de acuerdo con la

expresión: rAePrP β−=)( , siendo AP la potencia de la fuente y r la distancia del frente de

onda a la misma. El enunciado nos pedía calcular la intensidad a una distancia r de la

abertura A. Sabemos la relación entre potencia e intensidad: )()()( rSrIrP = , donde )(rI es

la intensidad pedida y )(rS es la superficie asociada al frente de onda. Justo después de A,

los frentes de onda son semiesféricos, así que 22)( rrS π= . Nos queda:

22)()()(

reP

rSrPrI

rA

π

β−

== .

Sustituyendo el valor de AP anteriormente calculado, encontramos:

)(2

2

0 2)( rde

rIrI +−= βρ

.

25. Un viajero de un tren que marcha a una velocidad 54=Oυ km/h observa que viene un

tren en sentido contrario y comprueba que la frecuencia del silbato de la locomotora contraria

disminuye, al pasar por él y alejarse, a 5/6 del valor que oye antes de pasar; y que el tren

contrario tarda en pasar por su ventanilla t=3 s.

a) Calcule la velocidad Sυ del otro tren y su longitud.

b) Si el coeficiente de absorción del sonido en el aire es 01.0=β m-1 y la potencia del silbato

del tren es de 50 W, ¿cuál será la intensidad sonora percibida por el viajero 10 segundos

después de que el silbato pase justo por delante de su ventanilla?

NOTA: Considérese que la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s.

F r

β

d

β

A


89


a) El problema se resuelve haciendo uso de las relaciones de efecto Doppler para el caso en

el que la dirección fuente-observador coincide también con la dirección de movimiento de

ambos. La expresión que relaciona la frecuencia percibida por el observador con la frecuencia

de la fuente es: S

S

O

O

υυν

υυν

−=

−, en esta expresión se considera dirección positiva de

movimiento la que va de S a O.

Situación 1: Los dos trenes se acercan. El viajero escucha un sonido de frecuencia 1Oν .

Trabajando siempre con los módulos de las velocidades la expresión de efecto Doppler queda:

S

S

O

O

υυν

υυν

−=

+1 , S

S

OO ν

υυυυ

ν−+

=1

Situación 2: Los dos trenes se alejan. El viajero escucha un sonido de frecuencia 2Oν .

La expresión de efecto Doppler queda en este caso:

S

S

O

O

υυν

υυν

+=

−2 , S

S

OO ν

υυυυ

ν+−

=2

El enunciado del problema nos dice que la frecuencia percibida por el viajero tras el

cruce de los trenes es 5/6 de la frecuencia que percibía antes del mismo:

12 65

OO νν = , S

O

S

O

υυυυ

υυυυ

−+

=+−

65

.

Agrupando términos en Sυ y teniendo en cuenta que m/s 15km/h 54 ==Oυ y que

m/s 340=υ , resulta que la velocidad del tren es:

97.15=Sυ m/s.

El tiempo que tarda el tren contrario en pasar por la ventanilla del viajero es 3=t s. La

velocidad a la que se alejan ambos trenes (velocidad relativa) es la suma de sus velocidades

absolutas. Por tanto, la longitud del tren es:

O SOυ

Sυ

υSν

OS

OυSυ

υSν


90

92.923)97.1515()( =+=+= tL SO υυ m.

b) Tratamos con ondas esféricas que se propagan en un medio absorbente. La energía por

unidad de tiempo que se reparte entre todos los puntos de un frente de ondas esférico que

dista una distancia r de la fuente es: rePP β−=

0,

donde hemos considerado 00 =r (situación en la que el silbato pasa justo por delante de la

ventanilla del viajero). 500=P W es la potencia de la fuente (el silbato). Transcurridos diez

segundos, la distancia que separa el silbato del viajero es:

7.30910)97.1515()( =+=+= tr OS υυ m.

La potencia a esa distancia será:

26.250 7.30901.0 == ⋅−eP W.

La intensidad percibida es:

87.17.3094

26.24 22 =

⋅==

ππrP

I µW/m2.

Para ser completamente rigurosos habría que tener en cuenta el tiempo que tarda la

onda sonora en recorrer la distancia que separa al emisor del receptor, pero consideraremos

despreciable esta circunstancia.

26. El silbato de una locomotora emite ondas armónicas esféricas a una frecuencia de 800

Hz y de amplitud A Pa⋅m. Un observador que se encuentra en el borde de unas vías de tren

percibe el sonido del silbato de la locomotora, que circula a velocidad constante alejándose de

él, con una intensidad de 10 µWm-2 en el instante en que ésta se encuentra a una distancia de

40 m del observador. Transcurridos 6 s, el observador percibe el mismo sonido con una

intensidad de 100 nWm-2.

a) La potencia de la onda sonora emitida por el silbato de la locomotora.

b) La velocidad del tren.

c) Si llamamos r a la distancia que separa al observador de la fuente, ¿cuál es, para este

observador, la ecuación ( )tr,ψ que describe las ondas armónicas esféricas?


a) En un medio no absorbente, la potencia de una onda esférica se relaciona con la intensidad

de la misma a través de la expresión ( )rIrP 24π= , donde r representa la distancia del

punto considerado a la fuente emisora.


91

Según el enunciado, para 40=r m, 10=I µWm-2, por tanto: π64=P mW.

b) Las intensidades en dos situaciones caracterizadas por unas distancias 1r y 2r entre fuente

y observador se relacionan según la fórmula: 21

22

2

1

rr

II

= . A partir de ella, podemos calcular la

distancia existente entre fuente y observador transcurridos los 6 s de los que habla el

enunciado:

401 =r m, 101 =I µWm-2, 1002 =I nWm-2 ⇒ 2

112 II

rr = , 4002 =r m.

Ahora bien, como la locomotora viaja a velocidad constante, υ , se cumple:

trr υ=− 12 ,

donde t es el tiempo transcurrido entre ambas situaciones, esto es, 6=t s.

Por tanto, despejando de la expresión anterior encontramos:

trr 12 −=υ , 60=υ m/s.

c) Estamos tratando con una onda armónica esférica, por tanto:

( ) ( )tkrsinrAtr ωψ −=, ,

y sólo nos queda calcular k y ω . Para ello debemos tener en cuenta que la fuente se

encuentra en movimiento respecto al observador y que debemos usar la expresión

correspondiente de efecto Doppler para averiguar la frecuencia percibida por el observador.

Teniendo en cuenta que fuente y observador se alejan, la frecuencia percibida por este

último es:

SSsonido

sonidoO ν

υυυ

ν+

= ,

donde 800=Sν Hz, 60=Sυ m/s (velocidad de la fuente, de la locomotora) y 340=sonidoυ

m/s. Así resulta, 680=Oν Hz.

Por tanto, la frecuencia angular será ππνω 13602 == O rad/s y el número de onda,

πυω 4==sonido

k m-1.

Finalmente,

( ) ( )trsinrAtr ππψ 13604, −= Pa,

con r en metros y t en segundos.


92

27. Para determinar la velocidad de un automóvil que acaba de pasar, se emite una señal

de radar de 9 GHz desde un coche de la policía de tráfico situado a un lado de la carretera.

Dicha señal se refleja en el automóvil y es recibida de nuevo por el equipo de radar situado en

el coche de la policía. Se observa que entre la onda emitida y la recibida se produce una

pulsación de 2 kHz. ¿Cuál era la velocidad del automóvil?

Datos: La velocidad de propagación de una onda electromagnética es 8103 ⋅=c m/s.


Utilizaremos la expresión de efecto Doppler para el caso unidimensional,

S

S

O

O

υυν

υυν

±=

±, donde Ov es la frecuencia de la señal percibida por el observador O, Sv es

la frecuencia de la señal emitida en la fuente S, υ es la velocidad de propagación de la onda,

Oυ es la velocidad del observador y Sυ la velocidad de la fuente. El signo de los

denominadores dependerá de si el sentido de movimiento del observador (fuente) coincide con

el sentido S→O, signo menos, o no, en cuyo caso habrá elegir el signo más.

Según el enunciado, la policía emite una señal de frecuencia emP ,ν que el coche recibe con

frecuencia coν . De acuerdo con la expresión de

efecto Doppler y teniendo en cuenta que el coche de

policía está en reposo, 0=Pυ , encontramos:

a

aemP

υυν

υν

−=, , emP

aa ,υ

υυυ

ν−

= .

La señal se refleja en el automóvil (éste actúa como una fuente emisora de una señal

de frecuencia aν ) y es recibida por la policía con

una frecuencia reP ,ν . Se verifica:

a

emPreP

υυν

υν

+= ,, , a

areP ν

υυυν+

=, .

Sustituyendo la expresión obtenida para aν se llega a:

emPa

areP ,, ν

υυυυ

ν+−

= .

El enunciado nos dice que las señales emitida y recibida dan lugar a una pulsación de

frecuencia pulν . Por tanto, como emPreP ,, νν < :

rePemPpul ,, ννν −= , emPa

apul ,1 ν

υυυυ

ν ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−= .

υ

aυS O

policía automóvil

υ

aυSO

policía automóvil


93

Despejando de esta última ecuación aυ se obtiene:

υνν

νυ

pulemP

pula −=

,2.

Teniendo en cuenta que 2=pulν kHz, 9, =emPν GHz y que 8103 ⋅== cυ m/s, como

corresponde a una onda electromagnética, podemos calcular la velocidad del automóvil:

3.33)

=aυ m/s 120= km/h.

28. Un conductor fue sancionado por circular a 180 km/h en autopista (la velocidad máxima

permitida es 120 km/h) al ser detectado por un coche radar de la policía que circulaba a menor

velocidad en el mismo sentido que él. La policía envió una señal de 10 GHz que se reflejó en el

vehículo sancionado y se recibió nuevamente en el coche de los agentes, observándose que

entre la onda emitida y la recibida se producía una pulsación de 1333 Hz. Averigüe si el coche

de la policía infringía también la misma norma que el conductor multado.

Nota: Considérese el valor 8103 ⋅ m/s como la velocidad de propagación de una onda

electromagnética.


Llamemos Pυ a la velocidad del coche de la policía, aυ a la velocidad del automóvil

sancionado, υ a la velocidad de propagación de la onda, Pν a la frecuencia de la señal

enviada inicialmente por la policía y pulν a la frecuencia de la pulsación.

Situación 1: La policía envía una señal de frecuencia Pν que será recibida por el coche con

una frecuencia aν . Si aplicamos la expresión de

efecto Doppler, teniendo en cuenta que fuente (S),

observador (O) y onda viajan en el mismo sentido,

encontramos: P

aPa υυ

υυνν

−−

= .

Situación 2: La señal se refleja en el coche (es reemitida con frecuencia aν ) y llega de nuevo al

coche de la policía, que la recibe con frecuencia 'Pν :

a

PaP υυ

υυνν

++

=' . Sustituyendo la expresión para aν

calculada anteriormente:

P

a

a

PPP υυ

υυυυυυ

νν−−

++

=' .

υ

Pυ aυS O

υ

Pυ aυSO


94

Entre la onda emitida inicialmente por la policía y la que recibe tras la reflexión en el

automóvil se genera una pulsación de frecuencia 'PPpul ννν −= . El enunciado del problema

nos dice que aP υυ < , así que 1<++

a

P

υυυυ

y 1<−−

P

a

υυυυ

. Esto nos permite deducir que

PP νν <' y podemos escribir: 'PPpul ννν −= . Sustituyendo la expresión que obtuvimos para

'Pν se llega a la expresión:

PP

a

a

Ppul ν

υυυυ

υυυυ

ν ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

++

−= 1 .

Si de esta última ecuación despejamos Pυ , se obtiene:

( )( ) ( )( )( ) ( )υυυνυυνν

υυνυυννυ

aPaPpul

aPaPpulP −−+−

−++−= .

Sustituyendo los valores 1333=pulν Hz, 91010 ⋅=Pν Hz, 8103 ⋅=υ m/s y

180=aυ km/h 50= m/s, encontramos:

30=Pυ m/s 108= km/h.

Por tanto, los agentes no infringían la misma norma que el conductor sancionado.

29. Tres móviles con instrumentos musicales que emiten la nota Do ( 264=ν Hz) están

situados a una cierta distancia de un punto P, donde se encuentra un observador. Dos de ellos

parten en un cierto momento hacia P, de tal manera que al cabo de 25 s, cuando aún no han

llegado a P, el observador percibe el acorde perfecto de Do Mayor. ¿Cuál debe ser la

aceleración de estos móviles para que se produzca el fenómeno descrito?.

Nota: Las frecuencias que componen un acorde mayor guardan una relación de 4/5 y 2/3

con respecto a la nota tónica (en este caso, la nota Do).


Los móviles parten hacia el observador con aceleraciones 1a y 2a . Por tanto, al cabo

de un tiempo t , sus velocidades serán ta11 =υ y ta22 =υ .

Como los móviles se acercan al observador (en reposo), las frecuencias percibidas por

éste al cabo de un tiempo t son:

νυυ

νυυ

υν

tasonido

sonido

sonido

sonido

111 −

=−

= ,


95

νυυ

νυυ

υν

tasonido

sonido

sonido

sonido

222 −

=−

= .

Lógicamente, también percibe un sonido de frecuencia 2643 ==νν Hz, procedente

del móvil que permanece en reposo.

Para 25=t s el observador escucha el acorde perfecto de Do Mayor. Según el

enunciado, para que esto suceda:

νν45

1 = y νν23

2 = .

Por tanto, tenemos:

ta

tasonido

sonido

sonido υν

υυ

ν51

45

11

=⇒−

= ,

ta

tasonido

sonido

sonido υν

υυ

ν31

23

22

=⇒−

= .

Sustituyendo 25=t s y 340=sonidoυ m/s, llegamos a:

72.21 =a m/s2 y 53.42 =a m/s2.

30. La alarma de la sucursal bancaria de la figura se activa justo cuando el coche C, que

circula a una velocidad cυ , pasa delante de ella.

Al oír la alarma, el coche de policía P, que se

encontraba detenido a una distancia d de la

sucursal, activa su sirena y se pone en marcha

con una aceleración a , en dirección hacia el

banco. Si el sonido emitido por la alarma es de

frecuencia Bν y el de la sirena de la policía es de

frecuencia Pν , determine:

a) Frecuencia del sonido de la sirena de la policía percibido por el conductor del coche, en un

instante de tiempo t (anterior al momento en que la policía llega al banco).

b) Frecuencia del sonido de la alarma percibido por el conductor del coche en el mismo

instante t anterior.

Nota: Considérese que la velocidad de propagación del sonido vale υ .

d

PυCυ

€ C

P


96


a) Teniendo en cuenta que el coche de policía P se dirige hacia la sucursal bancaria B

siguiendo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración a , y que el

coche C se mueve con velocidad constante Cυ ; entonces, transcurrido un tiempo t , el

problema adquiere la siguiente disposición geométrica de la figura. En ella, Pυr es el vector

velocidad del coche de policía, Cυr es el vector velocidad del coche, ur es un vector unitario en

la dirección fuente-observador (o sea, en la dirección de P a C), α es el ángulo que forman ur

y Cυr , y β es el ángulo que forman ur y Pυ

r .

Recordando la expresión general del efecto Doppler y sabiendo que P es la fuente

emisora de ondas sonoras y que C es el observador, tenemos:

P

P

C

C

uu υυν

υυν

rrrr −=

−,

βυυν

αυυν

coscos P

P

C

C

−=

−.

Ahora bien, P se mueve según un MRUA, por tanto, atP =υ . Por otro lado, del

triángulo rectángulo de la figura se deduce que:

( )2

22

21

cos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

atdt

t

C

C

υ

υα ,

( )2

22

2

21

21

cos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−=

atdt

atd

Cυ

β .

Si sustituimos estas expresiones en la fórmula del efecto Doppler, encontramos que la

frecuencia del sonido percibido por el conductor del coche procedente del coche de policía es:

( )

( )P

C

CC

C

atdatatdt

tatdtν

υυ

υυυν

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=2

222

22

22

21

21

21

.

2

21 atd −

α

urPυr

Cυr

βP

C

B

tCυ


97

b) La geometría de este caso es muy sencilla y es la que se indica en la figura. El

vector unitario ur nos da la dirección fuente-observador, que es la que va desde B

hasta C. La relación de efecto Doppler es:

B

B

C

C

uu υυν

υυν

rrrr −=

−.

Ahora bien, en este caso, la fuente está fija, 0=Bυ , y el ángulo que

forman ur y Cυr es cero grados. Así pues, la frecuencia percibida por el conductor

del coche procedente de la alarma del banco es:

BC

C νυυυ

ν−

= .

31. Una fuente sonora recorre una trayectoria circular de radio 5 m, con una velocidad

angular constante de 4 revoluciones por segundo, emitiendo una señal de 600 Hz.

a) Calcule las frecuencias máximas y mínimas oídas por dos observadores situados en el plano

de la trayectoria: uno situado a 10 m y el otro a 50 m del centro de la trayectoria.

b) Calcule las distancias fuente-observador a las que tienen lugar estas circunstancias para

cada observador.

c) ¿Influye en la respuesta a las preguntas anteriores, la dirección en la que se encuentran

ambos observadores respecto del centro de la trayectoria descrita por la fuente sonora?

Razone la respuesta.

d) ¿Cuál es la frecuencia percibida por un observador situado sobre un punto del eje

perpendicular al plano de la trayectoria y que pasa por el centro de la misma?

Dato: La velocidad de propagación del sonido vale 340=υ m/s.


a) La geometría del problema en un instante arbitrario de tiempo es la que se indica en la

figura.

La fuente S describe una trayectoria circular (el sentido de giro no lo especifica el

enunciado, aquí hemos escogido sentido antihorario) de radio 5=r m y emite un sonido de

frecuencia 600=Sν Hz que llega hasta el observador O, situado a una distancia d (que según

CυrC

B

tCυ

ur

sentido de giro

S

O

Sυr

d

uα r


98

el observador será igual a 10 m en un caso y a 50 m en otro). En la figura se indica el vector

unitario en la dirección OS → , u y el ángulo α que forma este vector con el vector

velocidad de la fuente, Sυr

(siempre tangente a la trayectoria de la fuente). El ángulo α irá

variando conforme S vaya recorriendo la circunferencia.

La frecuencia con la que el observador percibirá el sonido vendrá por la expresión:

SS

OO u

uν

υυυυ

ν r

r

ˆˆ

−−

=

Como en el caso que nos ocupa el observador está siempre en reposo 0=Oυr

y la

expresión anterior queda:

SS

O uν

υυυν rˆ−

= ,

siendo 340=υ m/s la velocidad de propagación del sonido.

Nos preguntan por las frecuencias máxima y mínima percibidas por cada observador,

por tanto, tendremos que calcular el máximo y el mínimo de Oν de acuerdo con la última

ecuación. Así pues, Oν será máxima cuando el denominador de la expresión anterior sea

mínimo y Oν será mínimo cuando el denominador de la expresión anterior sea máximo. Este

denominador tomará a su vez los valores máximo y mínimo en función del valor del producto

escalar Suυrˆ . Así,

αυυ cosˆ SSu =r

Por tanto, es fácil deducir que:

cuando SSu υυα =⇒=rˆ 0 y el denominador SSu υυυυ −=−

rˆ toma su valor mínimo y

cuando SSu υυπα −=⇒=rˆ y el denominador SSu υυυυ +=−

rˆ toma su valor máximo.

En conclusión,

cuando 0=α , la frecuencia observada es máxima SS

máxO νυυυν−

=, ;

cuando πα = , la frecuencia observada es mínima SS

mínO νυυυν+

=, .

Ahora lo único que nos queda es calcular la velocidad Sυ de la fuente. El enunciado

nos da el valor de la velocidad angular 4=ω rev/s π8= rad/s. Por tanto, πωυ 40== rS m/s.


99

Finalmente,

60040340

340, π

ν−

=máxO , 77.951, =máxOν Hz

60040340

340, π

ν+

=mínO , 11.438, =mínOν Hz

Las situaciones de frecuencia máxima y mínima se corresponden con los casos 0=α

(los vectores u y Sυr

tienen la misma dirección y el mismo sentido) y πα = (los vectores u y

Sυr

tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos). Por tanto, como el vector Sυr

es

siempre tangente a la circunferencia, los puntos de frecuencia observada máxima y mínima son

los que se indican en la siguiente figura:

Como vemos, los valores de las frecuencias máxima y mínima son independientes de

la distancia d del observador al centro de la trayectoria. Por tanto, dichas frecuencias son

iguales para el observador situado a 10 m que para el observador situado a 50 m.

b) Para calcular la distancia fuente–

observador en las situaciones de

frecuencia máxima y mínima

retomamos la figura anterior y nos

fijamos en los triángulos rectángulos

SOC. La distancia SOd es la misma en

la situación de frecuencia máxima que

en la de frecuencia mínima y de acuerdo con el teorema de Pitágoras:

22222 rddrdd SOSO −=⇒+=

Así pues,

para 10=d m, 66.8=SOd m y

para 50=d m, 75.49=SOd m.

sentido de giro

O

Sυr

umínO, , νπα =

r

S u Sυr

máxO, ,0 να =

d

S

sentido de giro

O

Sυr

u

r

S u Sυr

d

S

r

C

SOd


100

c) La dirección en la que se encuentran los observadores respecto del centro de la trayectoria

no influye en la respuesta a los apartados anteriores porque el problema tiene simetría circular.

d) La geometría de esta situación es la que se muestra

en la figura. La frecuencia percibida por el observador

vendrá dada por la expresión:

SS

OO u

uν

υυυυ

ν r

r

ˆˆ

−−

= ,

pero en este caso los vectores u y Sυr

son siempre

perpendiculares, por lo que 0ˆ =Suυr . Así pues, la

frecuencia percibida por el observador es la misma que

la emitida por la fuente:

600== SO νν Hz.

32. Una onda electromagnética armónica plana que se propaga en el vacío en la dirección

positiva del eje OX, teniendo el vector Er

la dirección del eje OY, transmite una intensidad

media de 20 W/m2 y su frecuencia es de 1 MHz.

a) Determine las ecuaciones de Er

y Br

para cualquier posición e instante.

b) Determine el vector de Poynting Sr

de la onda.

Datos: 8103 ⋅=c m/s, 70 104 −⋅= πµ m⋅kg⋅C-2.


a) Según el enunciado y teniendo en cuenta que en una onda electromagnética, los campos

eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí, las ecuaciones de Er

y Br

serán de la

forma:

( ) ( ) jtkxEtxE ˆsin, 0 ω−=r

( ) ( )ktkxBtxB ˆsin, 0 ω−=r

Tendremos por tanto que determinar las amplitudes de campo eléctrico, 0E , y campo

magnético, 0B ; y posteriormente los parámetros característicos de la onda electromagnética

armónica.

El enunciado nos da el valor de la intensidad media de la onda, que viene dada por la

expresión 0

00

2µBE

SI == . Por otro lado, sabemos que en una onda electromagnética se

O

Sυr

u

S


101

verifica la relación 00 cBE = . Combinando las dos últimas expresiones tenemos 0

20

2µcB

I = .

De aquí obtenemos la amplitud de campo magnético:

cI

B 00

2 µ= , 7

0 103

4 −⋅=πB T.

Y utilizando la ecuación 00 cBE = encontramos:

π3400 =E N/C.

La frecuencia de la onda es 610=ν Hz, por tanto, la frecuencia angular vale

6102 ⋅= πω rad/s. Por otro lado, sabemos que k

c ω= y entonces 210

32 −⋅=πk m.

Finalmente,

( ) jtxtxE ˆ1010312sin340, 62

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −ππ

r N/C; x en m y t en s.

( ) ktxtxB ˆ1010312sin10

34, 627

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= −− ππr

T; x en m y t en s.

b) El vector de Poynting puede calcularse a partir de la expresión 0µBESrr

r ×= . Ahora bien,

sabiendo que el módulo del vector de Poynting nos da la intensidad de la onda y que su sentido

es de propagación de la onda, entonces:

( ) ( )itkxBE

txS ˆsin, 2

0

00 ωµ

−=r

Así pues,

( ) itxtxS ˆ1010312sin40, 622

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −π

r W/m2; x en m y t en s.

33. Una onda electromagnética armónica plana de 14106 ⋅ Hz de frecuencia, se propaga en

el vacío en el sentido negativo del eje OZ. El campo magnético vibra en la dirección de la recta

xy22

1= . Sabiendo que la intensidad media de la onda es

π415

=S W/m2, calcule:

a) Las ecuaciones de propagación del campo eléctrico Er

y el campo magnético Br

.

b) El vector de Poynting de la onda.

Nota: La velocidad de propagación de una onda electromagnética en el vacío es 8103 ⋅=c

m/s. La permeabilidad magnética del vacío vale 70 104 −⋅= πµ m⋅kg⋅C-2.


102


a) El enunciado del problema nos dice que estamos tratando con una onda electromagnética

armónica plana que se propaga en el sentido negativo del eje OZ. Por tanto, las expresiones

para el campo eléctrico Er

y campo magnético Br

serán de la forma:

( ) ( )tkzsinEtzE ω+= 0,rr

, ( ) ( )tkzsinBtzB ω+= 0,rr

,

donde k es el número de onda, ω la frecuencia angular y 0Er

y 0Br

los vectores que

determinan las direcciones de vibración y amplitudes de los campos eléctrico y magnético,

respectivamente.

Calculemos en primer lugar los módulos 0E y 0B . Sabemos que la intensidad media

de una onda electromagnética viene dada por la relación: 0

00

2µBE

S = . Por otro lado, se

verifica 00 cBE = . Al sustituir en la expresión anterior nos queda: 0

20

2µcB

S = . Podemos

entonces calcular 0B a partir de la fórmula: cS

B 00

2µ= . El enunciado nos dice que

π415

=S W/m2. Así pues, sustituyendo los valores conocidos de c y 0µ , encontramos que:

70 10−=B T.

Recuperando la expresión 00 cBE = , se deduce que:

300 =E N/C.

Calculemos ahora las componentes de los vectores 0Er

y 0Br

. El enunciado nos dice que el

campo magnético vibra sobre la dirección de la recta xy22

1= . Por tanto, el campo eléctrico

lo hará sobre sobre la dirección

perpendicular contenida en el plano

XY , esto es, la de la recta

xy 22−= . Si tomamos el vector

0Br

en el sentido que se indica en la

figura, necesariamente el vector 0Er

tendrá el sentido también indicado, de

esta manera garantizamos que el

producto vectorial BErr

× dé lugar a

un vector orientado en el sentido de

0Er

xy22

1=

0Br

X

Y

xy 22−=


103

propagación de la onda, esto es, el sentido negativo del eje OZ . De acuerdo con la figura, se

verificará 22

1

0

0 =x

y

BB

. Por otro lado, se cumple que 20

20

20 yx BBB += . Combinando estas

dos expresiones se llega a 00 322 BB x = . Como ya habíamos calculado el valor de 0B ,

tenemos entonces 70 10

322 −=xB T. Y, por tanto, 7

0 1031 −=yB T.

Si seguimos el mismo procedimiento y combinamos las ecuaciones 220

0 −=x

y

EE

y

20

20

20 yx EEE += , se llega a 00 3

1 EE x −= . Sustituyendo el valor de 0E , encontramos:

100 −=xE N/C y que 2200 =yE N/C. En definitiva:

( ) 70 1022

31 −⋅+= jiB

rrr T,

( )jiErrr

220100 +−= N/C.

Nos queda determinar los parámetros característicos de la onda. La frecuencia angular

será πνω 2= , siendo 1410=ν Hz. Así, 141012 ⋅= πω rad/s. El número de onda lo

calculamos a partir de la relación c

k ω= . Sustituyendo valores, 6104 ⋅= πk m-1. Así:

( ) ( ) ( )tzsinjitzB 1467 1012104102231, ⋅+⋅⋅+= − ππ

rrr T,

( ) ( ) ( )tzsinjitzE 146 101210422010, ⋅+⋅+−= ππrrr

N/C.

b) El vector de Poynting viene dado por la expresión 0µBESrr

r ×= . Sabiendo que los campos

son perpendiculares entre sí y que Sr

tiene el sentido de propagación de la onda, entonces

( ) ( )ktkzBE

tzSrr

ωµ

+−= 2

0

00 sin, . Al sustituir valores queda:

( ) ( )ktztzSrr

1462 1012104sin215, ⋅+⋅−= πππ

W/m2.

33. Suponiendo que de una bombilla de 60 W, el 60 % se convierte en radiación

electromagnética y que ésta se propaga uniformemente en todas las direcciones

(isotrópicamente), determine a 2 m de ella:

a) La intensidad.


104

b) La presión de la radiación.

c) Las amplitudes de los campos eléctrico y magnético.

Datos: 70 104 −⋅= πµ NA-2, 9

0 1094/1 ⋅⋅= πε C-2Nm2, 8103 ⋅=c m/s.


a) El 60 % de la potencia de la bombilla se convierte en radiación electromagnética, por tanto,

la potencia de la onda electromagnética será: 36606.0 =⋅=P W.

El medio no es absorbente, así que, potencia e intensidad se relacionan a través de la

expresión: ( ) 24 rP

rIπ

= , siendo r la distancia al foco, en este caso, distancia a la bombilla.

Así pues, ( ) 72.049

4436m 2 ==⋅

==ππ

rI W/m2.

b) 91039.2 −⋅==cIPrad Pa.

c) Sabemos que, 20

021 cBIµ

= . Luego, cI

B 00

2µ= . Sustituyendo valores, se obtiene:

80 1077.7 −⋅=B T.

Por otro lado, 00 cBE = . Por tanto,

30.230 =E V/m.

libro problemas de fisica oscilaciones y ondas

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