libro para el maestro matemáticas 5º quinto grado (plan de estudios 1993)

LIBRO PARA EL MAESTRO

MATEMÁTICAS

QUINTO GRADO

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El Libro para el maestro. Matemáticas. Quinto grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública

Coordinador generalHugo Balbuena Corro

AutoresHugo Balbuena CorroMartha Dávila VegaSilvia García PeñaMaría de los Ángeles Olivera BustamanteIrma Griselda Pasos Orellana

Coordinación editorialElena Ortiz Hernán Pupareli

Cuidado de la ediciónAlfredo Giles-DíazLeopoldo Cervantes-OrtizHéctor Veyna

Supervisión técnicaAlejandro Portilla de Buen

DiseñoJulián Romero Sánchez

FormaciónLeticia Dávila Acosta

PortadaIlustración: Serpientes, 1980. Gouache sobre papel, 59 x 47 cmFrancisco Toledo (1940) Colección: Galería Arte Mexicano

FotografíaJesús Sánchez Uribe

Primera edición, 2002Primera reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2002 Argentina 28, Centro,06020, México, D. F.

ISBN 970-18-7107-3

Impreso en MéxicoDISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

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Presentación

En el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la re-forma de los planes y programas de estudio de la educación pri-maria. En esa etapa el nuevo currículo entró en vigor en los gra-dos primero, tercero y quinto y, a partir del año escolar 1994-1995, también en los grados segundo, cuarto y sexto.

Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programasde estudio, se inició la renovación de los libros de texto gratuitosque el gobierno de la República entrega a todos los alumnos delas escuelas primarias del país.

Con objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevocurrículo, se ha enviado a todos los maestros y directivos escola-res un ejemplar del libro Plan y programas de estudio. Educaciónbásica. Primaria, en el que se describen los propósitos y conteni-dos de la enseñanza para cada grado y para cada asignatura, conla finalidad de que el maestro tenga una visión global del tipo dehabilidades, destrezas y actitudes que los alumnos deben desa-rrollar, así como de los conocimientos que deben construir.

La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tienen co-mo propósito que los niños mexicanos adquieran una formacióncultural más sólida y desarrollen su capacidad para aprenderpermanentemente y con independencia. Para que esta finalidadse cumpla, es indispensable que cada maestro lleve a la prácticalas orientaciones del plan y los programas y utilice los nuevosmateriales educativos en forma sistemática, creativa y flexible.

Tradicionalmente la Secretaría de Educación Pública ha distri-buido los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profe-sional que se realiza en nuestras escuelas primarias. Antes del ci-clo escolar 1994-1995, se integraban en un solo volumen las re-comendaciones didácticas para todas las áreas o asignaturas deun grado. A partir de este ciclo escolar, se elaboró un libro para elmaestro en cada una de las asignaturas de cada grado y, excep-cionalmente, uno para un par de asignaturas que se interrelacio-nan estrechamente.

El contenido de los Libros para el Maestro de matemáticas,que se han utilizado desde 1994, explicita el enfoque actual pa-ra la enseñanza, el estudio y el aprendizaje de las matemáticas yproporciona recomendaciones generales para cada uno de losejes temáticos que se trabajan en la educación primaria.

Este nuevo Libro para el Maestro. Matemáticas. Quinto grado in-tenta apoyar al maestro en la puesta en práctica del enfoque ac-tual para la enseñanza, el estudio y el aprendizaje de las mate-máticas en el aula, con sugerencias para la realización de las ac-tividades planteadas en cada una de las lecciones. Es importan-

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te destacar que estas recomendaciones no pretenden indicar alos profesores, de manera rígida e inflexible, lo que tienen quehacer en cada clase o en el desarrollo del tema, antes bien, sehan diseñado tomando en consideración la experiencia y lacreatividad del maestro y la existencia de diferentes estilos detrabajo docente.

El nuevo Libro para el Maestro. Matemáticas. Quinto grado, ade-más de ser un recurso que permite un mejor aprovechamientode las lecciones, se ha concebido también como un medio paraestimular y orientar el diálogo entre los maestros sobre la actitudde los alumnos al resolver las lecciones, los resultados que obtu-vieron, los procedimientos interesantes que surgieron, las dife-rentes estrategias didácticas utilizadas para ayudar a los alumnosa avanzar en sus conocimientos o sobre el contenido mismo decada lección. Igualmente, el nuevo Libro para el Maestro. Matemá-ticas. Quinto grado será un material de estudio básico para las ac-tividades y cursos de actualización profesional.

Los planes y programas de estudio, los libros de texto gratui-tos y otros materiales de apoyo destinados a los maestros y a losalumnos, deben ser corregidos y mejorados sistemáticamente,con base en los resultados obtenidos al utilizarlos en la práctica.Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la aten-ta invitación hecha a los profesores de educación primaria paraque envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendacio-nes relativas al mejoramiento de los materiales educativos men-cionados y en particular del presente libro.

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

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Índice

Aspectos generales del enfoque didáctico 7Organización general de los contenidos de la educación básica. Primaria 11Los contenidos matemáticos de quinto grado 12Propósitos generales 13El libro de texto gratuito y el fichero de actividades didácticas 14Recomendaciones de evaluación 15

Billetes y números 18¿Quién tiene razón? 20¿Dónde están? 22Cuadros y números 24Formas de representar los números 26La feria 28¿A dónde llega David? 30Grandes tamaños, grandes distancias 32¿Cuántas veces cabe? 34Un juego con el diccionario 36Con la calculadora 38El forro de las cajas 40Triángulos y rectángulos 42Adornos con listones 44Los programas de televisión 46Don Ramón y su terreno 48El precio de las tortillas 50

Las canicas de la feria 52¿Cuánto mide la República? 54La población del mundo 56Los números romanos 58Puntos y figuras 60Rectas y números 62El área de los polígonos 64La flota naval 66Hasta centenas de millar 68¿Qué tan altos somos? 70¿Cuántos centésimos y milésimos? 72Perímetros y áreas 74El papalote 76Reparto de galletas 78¿A qué hora nos vemos? 80La escuela de Pablo 82Collares de cuentas 84Más sobre decimales 86

Pesos y precios 88Las apariencias engañan 90

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Trazo de triángulos y cuadriláteros 92Compras en el mercado 94Para calcular el área 96Calificaciones y promedios 98Pensando y comprobando 100Los polígonos regulares 102Las fracciones en la recta 104¿Quién lava los trastes? 106El patio 108Tornillos y clavos 110Con el mismo sabor 112El grosor de la madera 114Área de figuras semejantes 116Las unidades de longitud 118El tamaño real 120

¿Como cuánto resulta? 122Algo más sobre el área 124Cuadrados mágicos 126Distintas formas de variación 128Descuentos y recargos 130La tienda de regalos 132El volumen de los prismas 134Los cubos de colores 136Medidas convenientes 138El círculo y sus encantos 140Las vacunas en el mundo 142La tienda de pinturas 144La pared sin ventana (I) 146Las compras por montón 148El secreto de los polígonos regulares 150Las fotocopias 152La pared sin ventana (II) 154

El circuito 156Qué tan grandes y qué tan chicos 158El precio de las cosas 160El deporte favorito 162Cálculo de impuestos 164¿Proporcional o no proporcional? 166Las albercas y las cisternas 168Estadísticas sobre los fumadores 170Material deportivo 172Las unidades de capacidad 174¿Qué distancia recorrieron? 176El juego de la ruleta 178El costo de los boletos 180La papelería 182Las reproducciones a escala 184Para comparar precios 186Las unidades de peso 188Sumas y dados 190

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Aspectos generalesdel enfoque didáctico

La formación matemática que le permita a cada miembro de lacomunidad enfrentar y dar respuesta a determinados problemasde la vida moderna dependerá, en gran parte, de los conocimien-tos adquiridos y de las habilidades y actitudes desarrolladas du-rante la educación básica. La experiencia que vivan los niños alestudiar matemáticas en la escuela puede traer como conse-cuencias: el gusto o el rechazo, la creatividad para buscar solucio-nes o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, labúsqueda de argumentos para validar los resultados o la supedi-tación de éstos al criterio del maestro.

La propuesta curricular, que se deriva de la reforma de 1993,consiste en llevar a las aulas actividades de estudio que despier-ten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encon-trar diferentes formas de solucionar los problemas y a formularargumentos que validen los resultados.

El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definicionessólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedanusar, de manera flexible, para resolver problemas. De ahí que suconstrucción amerite procesos de estudio más o menos largosque van de lo informal a lo convencional, en términos de lengua-je, representaciones y procedimientos. La actividad intelectualfundamental en estos procesos se apoya más en el razonamien-to que en la memorización.

Esta propuesta se fundamenta en los avances logrados en elcampo de la didáctica de la matemática, mediante los cuales seexplica el papel determinante que desempeña el medio, entendi-do como la situación o situaciones problemáticas que hacen ne-cesario el uso de las herramientas matemáticas que se preten-den estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos paraconstruir nuevos conocimientos y superar las dificultades quesurjan en el proceso de aprendizaje.

A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestrose enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintasfrente al conocimiento matemático y a ideas diferentes sobre loque significa enseñar y aprender. No se trata de que el maestrobusque las explicaciones más sencillas y amenas para que losalumnos puedan entender, sino de que analice y proponga pro-blemas interesantes, debidamente articulados, para que losalumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de téc-nicas y razonamientos cada vez más eficaces.

Para ayudar a los maestros en esta tarea, hemos analizado ca-da una de las lecciones del Libro de texto gratuito. Matemáticas.

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Quinto grado, con el fin de resaltar los aspectos que pueden ayu-dar a realizar un estudio más provechoso para los alumnos. Esteanálisis complementa pero no sustituye el que debe hacer elmaestro por cuenta propia y que inicia cuando resuelve la lec-ción previamente. Se trata, en general, de tener una idea clara so-bre las actividades propuestas y, consecuentemente, de mostrarmayor seguridad frente a los alumnos. De manera particular, hayque centrar la atención en los siguientes aspectos.

• Los procedimientos posibles. Dado que los alumnos trataránde resolver los problemas con sus propios recursos, es de es-perarse que surjan diferentes procedimientos, de manera queconviene anticipar cuáles pueden ser éstos y qué hacer paraque los alumnos puedan avanzar.

• Los errores. Entre los procedimientos posibles puede haber al-gunos incorrectos que, en vez de evadirlos o sancionarlos, hayque aclarar para que los alumnos puedan aprender de ellos.En muchos casos es posible que los propios alumnos se dencuenta de que han cometido un error y seguramente busca-rán la manera de corregirlo, pero en otros tal vez sea necesa-rio que el maestro plantee un contraejemplo, una nueva pre-gunta, o incluso que señale claramente el error.

• Los aspectos centrales de la lección. Una parte importante delanálisis de las lecciones consiste en tratar de encontrar el por-qué de las actividades propuestas, a fin de saber dónde con-viene detenerse para que los alumnos discutan o comenten loque han encontrado.

Seguramente el planteamiento de ayudar a los alumnos a es-tudiar matemáticas, apoyándose en actividades de estudio cui-dadosamente diseñadas, resultará extraño para muchos maes-tros compenetrados con la idea de que su papel es enseñar en elsentido de transmitir información. Sin embargo, vale la pena in-tentarlo, pues se produce un cambio radical en el ambiente delsalón de clase; los alumnos piensan, comentan y discuten con in-terés y el maestro revalora su trabajo docente. Para lograrlo hayque estar dispuesto a afrontar problemas como los siguientes:

a) La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la mane-ra de resolver los problemas que se les plantean. Aunque ha-brá desconcierto al principio, tanto de los alumnos como delmaestro, vale la pena insistir en que sean ellos quienes en-cuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un am-biente distinto en el salón de clases, los niños compartirán susideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresarán con liber-tad y no habrá duda de que reflexionarán en torno al proble-ma que tratan de resolver.

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b) La dificultad para leer y, por lo tanto, para comprender losenunciados de los problemas.Se trata de un problema muy co-mún cuya solución no corresponde únicamente a la asignatu-ra de Español. Muchas veces los alumnos obtienen resultadosdiferentes que no necesariamente son incorrectos, sino quecorresponden a una interpretación distinta del problema, demanera que el maestro tendrá que averiguar cómo interpretanlos alumnos las indicaciones que reciben por escrito.

c) El desinterés por trabajar en equipo. El trabajo en equipo esimportante porque ofrece a los niños la posibilidad de expre-sar sus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los de-más, porque desarrollan la actitud de colaboración y la habili-dad para argumentar, y porque de esta manera se facilita lapuesta en común de los procedimientos que encuentran. Sinembargo, la actitud para trabajar en equipo debe ser fomen-tada por el maestro, insistiendo sobre todo en que cada inte-grante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de re-solver, no de manera individual, sino como equipo. Por ejem-plo, si la tarea consiste en resolver un problema, cualquiermiembro debe estar en posibilidad de explicar el procedi-miento que utilizaron.

de que los alumnos logren aprendizajes de calidad es de ca-da profesor o profesora de grupo y de la escuela en su con-junto; sin embargo, no se puede negar que la ayuda de los pa-dres es fundamental en el proceso de estudio puesto quepuede darse en distintos niveles, en función de la disponibili-dad de tiempo y el nivel de estudios que tengan. Habrá pa-dres que sólo puedan estar al pendiente de que los niñoscumplan adecuadamente con las tareas para la casa y otrosque puedan ayudarlos a reflexionar cuando tienen dudas. Encualquier caso, es necesario que estén enterados sobre el tipode trabajo que se realiza en el aula y de qué manera puedenapoyarlo.

e) La falta de tiempo para concluir las actividades. Muchos maes-tros comentan que si llevan a cabo el enfoque didáctico en elque se propone que los niños resuelvan problemas con suspropios medios, discutan y analicen los procedimientos y re-sultados que encuentran, no les dará tiempo para concluir elprograma. Con este argumento, algunos optan por regresar alesquema tradicional en el que el maestro da la clase mientraslos alumnos escuchan aunque no comprendan. La sugerenciaque hemos reiterado va en el sentido de que más vale dedicarel tiempo necesario para que los niños adquieran conoci-mientos con significado y desarrollen habilidades que les per-mitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo, queenseñar conocimientos que pronto serán olvidados por los

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d) La falta de apoyo de los padres de familia. La responsabilidad

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alumnos. Si los alumnos comprenden los contenidos, losmaestros no tendrán que repetir año con año las mismas ex-plicaciones y esto se traduce en mayores niveles de logroeducativo.

f ) Espacios insuficientes para compartir experiencias. Al mismotiempo que los profesores asumen su responsabilidad de ma-nera individual, es necesario que la escuela en su conjuntoasuma la de brindar una educación de calidad a todos los ni-ños. Esto significa que no basta con que el maestro o maestrade quinto grado proponga a sus alumnos problemas intere-santes para que reflexionen, sino que antes y después de estegrado tengan las mismas oportunidades de aprender signifi-cativamente. Para ello, es necesario que los profesores com-partan experiencias, sean exitosas o no, que les permitan me-jorar permanentemente en su trabajo docente. Esto implicadestinar periódicamente algún tiempo para el trabajo acadé-mico debidamente planeado, establecer metas y estar pen-dientes de su cumplimiento a lo largo del año escolar.

g) La relación de las matemáticas con otras asignaturas. No sepuede pasar por alto que los profesores de educación prima-ria tienen la responsabilidad de ayudar a sus alumnos a estu-diar todas las asignaturas del plan de estudios y no sólo Mate-máticas, aunque, ciertamente, ésta es en muchos casos la queofrece mayor dificultad. La sugerencia general es tratar de vin-cular, siempre que sea posible, los contenidos de diferentesasignaturas, y claramente los de Matemáticas tienen muchospuntos en común con los de Ciencias Naturales y Geografía,sobre todo en lo referente a la elaboración e interpretación degráficas, al uso de los números y a la medición. Algunas leccio-nes del libro de texto de Matemáticas ya establecen esta rela-ción, por ejemplo, las lecciones 8 y 52.

Para resolver este aspecto de manera adecuada es necesarioque durante la planificación semanal se analicen las actividadespropuestas para observar si hay aspectos comunes y vincula-bles. Además de ahorrar tiempo, lo más importante es que losalumnos tengan una visión global de los temas.

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Organización generalde los contenidos dela educación básica.Primaria

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Cálculo de porcentajes con base en la idea de aumentar o reducir

68 1. Las fotocopiadoras pueden aumentaro reducir el tamaño de lo que se fotocopia,basta apretar un botón para indicarleun “tanto por ciento”. Por ejemplo, elrectángulo a se fotocopió con unareducción de 50% y se obtuvo elrectángulo b.

¿Cuánto miden los lados del rectángulo a?largoancho

Las fotocopias

¿Cuánto miden los lados de la fotocopia reducidaa 50%?largoancho

• Explica cómo cambian las medidas de los ladosde un rectángulo que se fotocopia a 50%.

¿Qué crees que resulte si el rectángulo a sefotocopia a 100%?

¿Cuáles medidas crees que resulten si el rectánguloa se fotocopia a 150%?largoancho

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2. El rectángulo a se fotocopió varias veces: a 60%, a 80%, a 100%, a 125% y a150%, y se obtuvieron los rectángulos dibujados abajo. Anota dentro de cadarectángulo el tanto por ciento que le corresponde y calcula sus medidas.

• Usa una regla para comprobar que son ciertas las medidas que calculaste.

3. Paco va a fotocopiar un rectángulo de 12 cm de ancho por 20 cm de largo,reduciéndolo a 75%. ¿Cuáles serán las medidas del rectángulo en la fotocopia?

4. La fotocopiadora no acepta tantos por ciento menores que 50. ¿Qué se puedehacer para reducir el rectángulo a a 25%?

¿Cuáles serían sus medidas? largo ancho

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Los contenidos matemáticos que se trabajan alo largo del quinto grado de la educación prima-ria están organizados en seis ejes:• Los números, sus relaciones y sus operaciones• Medición• Geometría• Procesos de cambio• Tratamiento de la información• La predicción y el azar

En cada bloque de lecciones del libro de tex-to se estudian contenidos de los seis ejes temá-ticos, con una frecuencia que depende de la ex-tensión de cada eje en el programa. Esto permi-te que todos los ejes se estudien reiteradamen-te a lo largo del curso y que se puedan vincularunos contenidos con otros, tanto en leccionesdiferentes como al interior de cada lección, locual significa que, por ejemplo, aunque el con-tenido principal de la lección 52 es el uso defracciones con denominadores 10, 100 y 1 000,también aparezca la noción de escala y propor-cionalidad.

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Los contenidos matemáticos de quinto grado

Los alumnos que inician el quinto grado ya han estudiado dife-rentes aspectos acerca de los números naturales, fraccionarios ydecimales, de tal forma que se esperaría que pudieran leerlos, es-cribirlos, compararlos e interpretarlos, además de poder resolverproblemas aditivos y multiplicativos mediante los procedimien-tos usuales para sumar, restar y multiplicar números naturales.Por otra parte, deberían conocer las características de triángulosy cuadriláteros, así como diversas formas de calcular sus períme-tros y áreas, aunque con procedimientos informales.

En quinto grado se espera que los alumnos consoliden sus po-sibilidades de resolver problemas aditivos y multiplicativos, inclu-yendo el algoritmo usual de la división con números naturales, lamultiplicación con números decimales, y la suma y resta con nú-meros fraccionarios. Que sepan resolver problemas que implicanel cálculo directo de porcentajes múltiplos de 10%.Particularmen-te importante para este grado es la resolución de problemas querequieren razonamiento proporcional y la noción de razón. Conrespecto a la geometría y la medición se agrega el conocimientode las características de los prismas y el cálculo de su volumenmediante procedimientos informales.También se incluye la inter-pretación de información en tablas y gráficas y la resolución deproblemas sencillos de probabilidad mediante la inferencia.

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Propósitos generales

De acuerdo con el enfoque actual para la enseñanza y el apren-dizaje de las matemáticas, se espera que las actividades propues-tas en el libro de texto Matemáticas. Quinto grado y en el Fiche-ro de actividades didácticas correspondiente, representen paralos alumnos retos interesantes que les permitan:

• Desarrollar habilidades para utilizar y entender el sentido y elsignificado de los números naturales (por lo menos de siete ci-fras) y de sus operaciones.

• Resolver problemas de suma y resta de fracciones asociadas acontextos y significados diferentes que les permitan com-prender y usar las fracciones en esos contextos y con esos sig-nificados.

• Resolver problemas que incluyan números decimales en ope-raciones de suma, resta y multiplicación.

• Desarrollar habilidades para estimar y hacer cálculos mentalesal resolver problemas que incluyan números naturales, frac-cionarios y decimales.

• Desarrollar habilidades y diferentes estrategias para medir,calcular, comparar y estimar longitudes, áreas, volúmenes, pe-sos, ángulos, tiempo y dinero, utilizando las unidades conven-cionales correspondientes.

• Desarrollar habilidades para clasificar, comparar y relacionarfiguras geométricas, de acuerdo con la simetría, paralelismo,perpendicularidad y ángulos, así como destrezas para la cons-trucción de figuras y cuerpos geométricos, utilizando la escua-dra, la regla, el transportador y el compás.

• Desarrollar habilidades para recolectar, organizar, representare interpretar información de diversos fenómenos.

• Interpretar, construir y analizar tablas y gráficas relacionadascon problemas de variación proporcional directa y con el cálcu-lo de porcentajes.

• Interpretar fenómenos relacionados con el azar; entender yutilizar adecuadamente los términos que se relacionan con lapredicción de algún evento o fenómeno a partir de la elabo-ración de tablas, gráficas o diagramas de árbol.

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El libro de texto gratuito y el fichero de actividades didácticas

El libro de texto gratuito Matemáticas. Quinto grado está formadopor 87 lecciones, de dos páginas cada una, distribuidas en cincobloques. Al principio de cada bloque se presenta un breve bos-quejo histórico sobre diferentes temas (sistemas de numeraciónde diferentes culturas, los números decimales, la geometría, lamedición y la estadística) que vale la pena leer y comentar conlos alumnos, sin pretender que lo memoricen.

Arriba del título de cada lección se indica el contenido mate-mático central que los alumnos estudiarán al resolverla. Esta in-formación está dirigida al maestro. Cada lección puede conteneruna o hasta ocho actividades numeradas. En cada actividad seplantean preguntas o diferentes problemas (señalados con unabala) relacionados con el primer problema planteado, con letrascafés, en la actividad 1.

En la mayoría de las lecciones aparecen tres niños acompaña-dos de un texto escrito con letras verdes, que invita a los alum-nos a discutir colectivamente las respuestas a las preguntasplanteadas, a confrontar los resultados que obtuvieron al resol-ver los problemas y los procedimientos que utilizaron, y a co-mentar los textos escritos con letras azules, en los que se ofreceinformación para formalizar sus hallazgos.

Es importante que se promuevan en el grupo estas discusio-nes en un ambiente de libertad, respeto y confianza, para que losalumnos aprendan a expresar sus ideas y a escuchar las de suscompañeros, a buscar argumentos para defenderlas o para inva-lidar aquellas con las que no estén de acuerdo.

Este libro para el maestro vincula las actividades del Fichero deactividades didácticas. Matemáticas. Quinto grado, con las del librode texto, atendiendo al contenido central que se trabaja en cadauna de las lecciones. Dado que en algunos casos se recomiendanhasta cuatro fichas, es importante que el maestro las lea, paraque, con base en su experiencia y en el conocimiento de susalumnos, decida en qué momento aplicarlas (antes o después deque resuelvan la lección), si las realiza todas o sólo algunas.

A veces, después del número de la ficha que se sugiere, apare-cen dos puntos y otros números, por ejemplo: Ficha 67:3 y 4. Estoquiere decir que en la ficha 67 hay varias actividades numeradas yque se recomienda desarrollar las actividades 3 y 4 de la ficha 67.

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Recomendacionesde evaluación

La evaluación es un aspecto inherente al proceso de estudioque, en la medida de su eficacia, permite mejorar la calidad delos tres factores principales que intervienen en dicho proceso.Éstos son: los alumnos, las actividades de estudio y el maestro.

Para que la evaluación cumpla con la función de mejorar lo quese evalúa,es necesario concebirla como un proceso continuo en elque se recaba información mediante distintos medios y se utilizapara realizar las acciones pertinentes que ayuden a mejorar.

La evaluación debe realizarse a partir del primer contacto delmaestro con el grupo, observando lo que ocurre en el aula y regis-trando puntualmente lo aprendido por los niños y lo que sabenhacer, así como las dificultades que deben superar. El proceso deevaluación debe dar al maestro la posibilidad de describir los ras-gos más importantes del proceso de estudio y aprendizaje que si-guen los alumnos, en términos de logros, metas y acciones paraconseguirlo. Como puede verse, la evaluación adquiere un carác-ter mucho más cualitativo y debe ser compartida con los propiosalumnos, con los padres de familia y con los demás maestros.

Observar sistemáticamente y con atención las participacionesde los alumnos permite que el maestro conozca el grado de do-minio que han alcanzado en ciertos aspectos y las dificultadesque enfrentan en otros.Tanto los errores como los aciertos sirvenpara entender cómo piensan los niños y, con esta base, puedeelegirse la manera más adecuada de ayudarlos. El maestro debepropiciar la reflexión sobre los errores y aprovecharlos comofuentes de aprendizaje, en vez de simplemente evitarlos o, peoraún, considerarlos como una razón para imponer castigos.

La aplicación de exámenes escritos individuales es una fuentemás para recabar información al cabo de ciertos periodos de es-tudio, pero no puede ser la única. Por un lado, es necesario utilizardiferentes tipos de pruebas (opción múltiple, preguntas de res-puesta cerrada, preguntas de respuesta abierta, etcétera), y porotro conviene contrastar la información que arrojan los resulta-dos de las pruebas con la que se obtiene de los registros de ob-servación, de los cuadernos de trabajo o de otros instrumentos,tales como la lista de control o el anecdotario. Para mayor infor-mación sobre este aspecto se recomienda leer el libro de MaríaAntonia Casanova, La evaluación educativa, de la Biblioteca parala Actualización del Maestro.

Una característica importante de las pruebas es que respon-dan fielmente al propósito de averiguar si los niños han adquiri-do ciertos conocimientos o habilidades. Para efectos de la eva-

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luación continua del proceso de estudio, el maestro de grupo esel único que puede tener claro este propósito, dado que cadagrupo de alumnos tiene características particulares. Con base enlo anterior, es conveniente que cada maestro elabore las pruebasque aplicará y que trate de verificar si obtuvo la información quedeseaba, pues en caso necesario debe modificar las pruebas yaplicarlas nuevamente. Este material no tiene por qué desechar-se, puede constituir un apoyo importante para el proceso deevaluación y se puede utilizar en otros cursos.

Independientemente de las ventajas que aporta la evaluacióncontinua, el maestro tiene que asignar una calificación en ciertosmomentos del año escolar. Este aspecto normativo no debe inter-ferir en el proceso de evaluación continua, al contrario, éste apor-ta la información necesaria para que la calificación asignada seapegue lo más posible al proceso formativo del alumno. Así, la ca-lificación podrá acompañarse con una breve descripción de losaprendizajes logrados y los padres de familia sabrán no sólo quesus hijos van muy bien, regular o mal, sino cuáles son sus logrosmás importantes y qué aspectos es necesario reforzar para obte-ner un mejor desempeño.

A continuación se presentan las competencias más relevantesque deben lograr los alumnos al concluir el quinto grado, tantode conocimientos como de habilidades.

Conocimientos

• Saber usar las cuatro operaciones básicas con números na-turales y, en casos sencillos, con números decimales, así co-mo la suma y resta con fracciones comunes.

• Saber usar el sistema decimal de numeración para leer e in-terpretar cantidades enteras o decimales.

• Conocer las características principales de triángulos, cua-driláteros, polígonos y prismas.

• Saber usar las unidades del sistema métrico decimal.• Conocer el significado de los términos más comunes usa-

dos en el tratamiento de la información y la probabilidad.

Habilidad de calcular

• Realizar operaciones básicas con una incógnita en el esta-do inicial, final o intermedio.

• Obtener mentalmente el resultado de las cuatro operacio-nes básicas con números dígitos y, en casos muy sencillos,con números decimales, así como de sumas o restas confracciones comunes.

• Formular las operaciones necesarias para resolver unproblema.

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Habilidad de comunicar

• Saber expresar oralmente sus ideas y la manera en la queresolvieron los problemas.

• Saber usar diagramas o tablas para organizar la informacióncon la que se resuelve un problema.

• Interpretar la información presentada en tablas o gráficas sencillas.• Saber expresar de diferentes maneras una cantidad, por

ejemplo, en porcentaje, fracción o decimal.

Habilidad de generalizar

• Identificar patrones de movimiento,de secuencias de figuras o desucesiones numéricas con operadores aditivos o multiplicativos.

• Calcular el término siguiente o uno no muy alejado en unasucesión numérica.

Habilidad de imaginar

• Identificar desarrollos planos que corresponden a prismasrectos.

• Identificar resultados de transformaciones sencillas me-diante rotaciones, traslaciones, doblado y recorte.

• Identificar la ubicación espacial de varios objetos vistosdesde diferentes ángulos.

• Reproducir o identificar los trazos que corresponden a ins-trucciones dadas.

Habilidad de inferir

• Resolver problemas que implican la conversión de unida-des de medida o el razonamiento proporcional.

• Determinar patrones numéricos con base en cálculos aditivos.• Resolver problemas aditivos o multiplicativos con diferente

ubicación de la incógnita.• Resolver problemas mediante el establecimiento y compa-

ración de razones.

Habilidad de medir

• Calcular perímetros o áreas de superficies regulares o irre-gulares de lados rectos.

• Calcular los volúmenes o la capacidad de cuerpos con for-ma de prismas rectos.

• Determinar la medida de un ángulo.• Construir plantillas o figuras con medidas dadas.

Habilidad de estimar

• Encontrar el resultado aproximado de operaciones, proble-mas y medidas mediante el calculo mental o escrito.

• Determinar la pertinencia del resultado de un problema,una operación o una medida.

M/5/P-001-017.QX4.0 5/20/02 10:59 AM

L e c c i ó nL e c c i ó n

18

1

Intenciones didácticas Sugerencias de organización

Para evitar que se alargue esta actividad, puede limitar el tiempoo la cantidad de números que deben escribir (10 números o 5minutos). Gana el equipo que forme más números diferentes ylos pueda leer.

Cuando construyan números con las cifras 8, 6 y 4 probable-mente ya se habrán dado cuenta de que para encontrar el nú-mero mayor es necesario colocar las cifras de mayor valor a la

Reconocer los significados que adquieren losnúmeros dependiendo del contexto en el quese utilicen; leer, escribir y comparar númerosde hasta seis cifras; descubrir regularidades enseries numéricas; resolver problemas que lespermitan reflexionar sobre los principios deagrupamiento y posición del sistema decimalde numeración; representar de diferentes ma-neras un mismo número.

Billetes y números

Para agilizar la confrontación de procedimien-tos y resultados conviene que los alumnos rea-licen en equipo las actividades 1, 2 y 4, y demanera individual la actividad 3 y por parejasla actividad 5.

Con esta actividad los alumnos tomarán con-ciencia de que los números pueden comunicardiferentes cosas (por ejemplo, en los billetes delotería que se muestran en el libro de texto al-gunos nos dicen cuántas veces se ha llevado acabo cada tipo de sorteo, otros indican cuándose realizaron los sorteos, el costo de los billeteso cuántos billetes con el mismo número partici-paron en cada sorteo, etcétera).

Una vez que hayan interpretado el significa-do de cada número que aparece en los billetes,propicie que comenten qué otros usos se lesdan a los números. A partir de sus comentariosdestaque que los números sirven para indicar elresultado de contar o de medir, para ordenar, co-mo claves o códigos (números secretos, códigospostales, etcétera), o como un medio para iden-tificar algo (teléfonos, automóviles, direcciones,tallas de ropa y calzado, cuentas de banco...).

1

2

Sugerencias para las actividades

L E C C I Ó N

10

Coméntalo con tus compañeros.

• Lee los números en voz alta. Luego escribe aquí los nombres de los que tenganseis cifras

2. En tu cuaderno haz los siguientes ejercicicos:

• Con el 5, el 7 y el 9 forma números de seis cifras. Puedes repetir dos veces cadacifra en los números que formes. Anota los números, ordenándolos del mayoral menor.

• Cuando hayas ordenado los números responde lo siguiente:

El número mayor que escribiste, ¿será el más grande de seis cifras que puedeformarse con el 5, el 7 y el 9? . Si tu respuesta es sí, comenta por qué.

Si tu respuesta es no, busca el mayor número que podías haber escrito y anótalo.

El número menor que escribiste, ¿será el menor de seis cifras que puede formarsecon el 5, el 7 y el 9? . Si tu respuesta es sí, argumenta por qué.

Si tu respuesta es no, busca el menor número que podías haber escrito y anótalo.

• Haz un ejercicio parecido con las cifras 8, 6 y 4; luego con las cifras 1, 2 y 0.

Comenta con tu maestro y tus compañeros: ¿En qué te fijaste para saberel orden entre los números?

Billetes y númerosLectura y escritura de números de seis o más cifras

1

1. Observa los números que aparecen en los billetes. ¿Qué númerosson? ¿Para qué sirven?

M/5/P-018-051.QX4.0 5/2/02 12:58 PM

19

Como se puede observar en el primer cuadro la serie va de unoen uno, por lo que el primer renglón termina en 100 009 y el se-gundo empieza con el 100 010, y así hasta llegar al 100 049. Enel segundo cuadro no sucede lo mismo. Cada renglón es unaserie diferente, aunque todas van de 100 en 100. En este caso, elprimer renglón termina con el 300 900, mientras que el segun-do inicia con el 400 000 en vez de empezar con el 301 000 queresulta al agregar 100 a 300 900.

Es probable que los alumnos no se den cuenta de esta diferen-cia o que consideren que 300 900 + 100 es 400 000. Es importan-te que averigüen qué regularidad se presenta en el segundocuadro entre los números de la última columna y los de la prime-ra, así como las regularidades que se observan en ambos cuadrosentre los números que forman parte de una misma columna.

izquierda, en el centro las del valor intermedio y al final las demenor valor (886 644), y que para escribir el número menor seprocede a la inversa (446 688). Procure que los alumnos tratende explicar en qué se fijaron para formar estos números y ayúde-los a concluir por qué un mismo dígito puede tener diferentesvalores.

Al formar el número menor con las cifras 1, 2 y 0 es probableque algunos alumnos escriban 001 122, si esto sucede, pregunte:¿de qué número se trata? Propicie que comenten si, para escribirel número mil ciento veintidós, es necesario anotar los ceros dela izquierda. Indague si los alumnos conocen algún caso en elque se escriban números con ceros a la izquierda.

Probablemente los alumnos han observado que a veces algu-nos números empiezan con ceros. Por ejemplo, los que aparecenen los boletos de algunas rifas, en las facturas de un negocio, enalgunos códigos postales, en algunas claves secretas, etcétera.Ayúdeles a identificar en qué casos es importante escribir los ce-ros a la izquierda y en qué casos no es necesario.

contiene 38 centenas y 14 unidades o bien 38centenas, una decena y 4 unidades.

Por lo anterior, para introducir en la calcula-dora 40 unidades de millar, que equivalen a 40grupos de 1 000, los alumnos tendrán que intro-ducir el número 40 000.

3

Con estas actividades los alumnos interpreta-rán y representarán un mismo número de dife-rentes maneras. Por ejemplo, el número 3 814puede leerse como 381 decenas, 4 unidades,porque ese número contiene 381 grupos de 10unidades más 4 unidades. Si se consideran lascentenas, puede decirse que el número 3 814

4 5

Ficha 7Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

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20

2

Analizar la noción que han construido los alum-nos acerca de los polígonos y desarrollar su per-cepción geométrica mediante la clasificaciónde diversas figuras.

¿Quién tiene razón?

Procure generar una discusión pidiendo a los niños que expli-quen en qué se basan para decir que Juan o Ruth tienen razón ensus afirmaciones. Es importante que ellos traten de definir si lospolígonos pueden o no tener lados curvos. Cuando lleguen a unaconclusión pida que la verifiquen leyendo, en la parte inferior dela página, el texto escrito con letras azules.

Para cerciorarse de que han entendido cuáles son las condi-ciones que determinan si una figura es o no un polígono pidaque digan el nombre de otras figuras que conozcan y que no es-tén dibujadas en la página 13, pero que también sean polígonos.

Es conveniente que los alumnos resuelvan lalección organizados en equipos de cuatro inte-grantes. Llevar a cabo dos confrontaciones deresultados, una cuando la mayoría de los equi-pos termine de resolver las actividades 1 y 2 yotra cuando terminen de resolver la actividad 3.

En caso de que tengan duda para identificarlos ejes de simetría en algunas figuras, puedesugerirles que las calquen, las recorten y me-diante dobleces encuentren sus ejes. Otra suge-rencia es colocar un espejo de manera perpen-dicular a la hoja, sobre lo que ellos consideranque es un eje de simetría. Si observan que el re-flejo completa la figura, entonces podrán ase-gurar que, efectivamente, es un eje de simetría.

Un error común es considerar que las diago-nales de todas las figuras son ejes de simetría.Es importante que los alumnos se den cuentade que esto no sucede en todos los casos. Porejemplo, las diagonales del cuadrado (figura E)son también ejes de simetría, pero las diagona-les del rectángulo (figura C) y del romboide (fi-gura D) no son ejes de simetría. Se espera queen la confrontación se discutan y se validen lasrespuestas correctas. Será interesante descubrirque el romboide no tiene ejes de simetría.

1



L E C C I Ó N

12

No tiene lados Tiene un par de Tiene dos pares Tiene tres pares Tiene cuatro paresparalelos lados paralelos de lados paralelos de lados paralelos de lados paralelos

Figuras B

No tiene Un Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ochoejes de eje de ejes de ejes de ejes de ejes de ejes de ejes de ejes desimetría simetría simetría simetría simetría simetría simetría simetría simetría

Figuras G M N F C H K B J Ñ A

Clasificación de polígonos y otras figuras

¿Quién tiene razón?

3. Fíjate en otras características de las figuras, por ejemplo el número de lados,si los lados son iguales o no, si los ángulos son todos iguales o no. Haz en tu cuadernouna tabla, como la de Juan y Ruth, para que organices tus resultados.

• Con la siguiente información revisa lo que contestaste en el ejercicio 1:

Un polígono es una superficie limitada por lados rectos.

Con tu maestro y tus compañeros comenta las respuestas.

polígonos.

¿Quién crees que tiene razón, Juan o Ruth?

• Trabaja con las figuras de la siguiente página.Juan trazó todos los ejes de simetría de cada unade las figuras y anotó sus resultados en la tabla,pero Ruth dice que a Juan le faltan cinco figuras.Ayuda a Juan a completar la tabla.

2. Ruth se fijó en cuántos pares de lados paralelos tiene cada figura. Tambiénorganizó sus resultados en una tabla, pero no la terminó. Ayuda a Ruth a completarla tabla.

1. Juan dice que un polígono es como las figurasD, G y M, que se encuentran en la página siguiente.

Ruth dice que las figuras B y H también son

2

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21

Para realizar esta actividad pida que cada equi-po elija una característica. No importa que doso más equipos elijan la misma. Cuando termi-nen seleccione dos o tres tablas en las que ha-yan utilizado diferentes criterios de clasificacióny entre todos verifiquen si cada grupo de figu-ras cumple con el criterio señalado.

Al principio, los niñosresolverán los problemas con

procedimientos propios y estosson los que darán significado

a los conocimientos másformales que la escuela

proporciona.

2

3

Si observa que la mayoría de los alumnos tiene dificultades paraidentificar los lados paralelos de las figuras o para verificar el pa-ralelismo con las escuadras, conviene abrir un espacio para acla-rar, de manera colectiva, estos aspectos. Puede propiciar la discu-sión preguntando: ¿Cómo podemos saber si dos o más segmentosson paralelos? ¿Cómo podemos verificar que son paralelas utilizan-do las escuadras? Si nadie lo sabe enséñeles a identificar las líneasparalelas utilizando las escuadras como se indica en la figura.Después pida que continúen resolviendo la actividad.

Ponga mucha atención a lo que sucede con la figura N, porquepuede causar conflicto. En estricto sentido tiene tres lados para-lelos, pero en la tabla se señalan por pares, de manera que si só-lo consideran los lados distintos, dirán que tiene un par de ladosparalelos, pero si consideran parejas que tienen un lado diferen-te dirán que tiene tres pares de lados paralelos.

Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º Fichas 56 y 57 (38, 39, 50)

1313

A B

C

E

D

F G

H

M

O

ÑN

L

K

I

J

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22

3

1



Identificar figuras geométricas; distinguir y cal-cular el área y el perímetro de diversas figurasutilizando el centímetro y el centímetro cuadra-do. En algunos casos los alumnos tendrán la ne-cesidad de recurrir a las fracciones para expre-sar sus resultados.

¿Dónde están?

Para medir el perímetro de las figuras con lados rectos segura-mente la mayoría se apoyará en el conteo de cuadritos y la utili-zación de la regla graduada; las dificultades se presentarán cuan-do deban medir el perímetro de las figuras curvilíneas. Observecómo tratan de resolver la situación y si no se les ocurre algo re-comiéndeles emplear un instrumento flexible (hilaza) que sirvade intermediario.

Es probable que en la confrontación de resul-tados se encuentren diferencias. Si es así, tratede que ellos mismos averigüen el porqué deesas diferencias y que corrijan posibles errores,tales como creer que la figura de seis lados conla que se forma el coche no es un hexágonoporque sus lados son desiguales, o pensar queel perímetro del pentágono mide 9 cm, argu-mentando que cada lado inclinado mide 2 cm.

Es importante abrir un espacio para discutirlas respuestas de las preguntas que se plan-tean en la actividad. Con ellas se pretende quelos alumnos reflexionen sobre la siguienteidea: para que exista un perímetro debe haberuna superficie delimitada por un contorno for-mado por líneas rectas o curvas. Dado que cadarayo del Sol está representado por un segmen-to de recta, éstos no tienen perímetro; sólopuede determinarse su longitud.

Es conveniente tener a la mano pedazos de hi-laza u otro tipo de material (que no se estire) eindicar a los alumnos que si necesitan algo enespecial para resolver la lección lo soliciten.

Para favorecer el intercambio de opinionesse recomienda que primero resuelvan en pare-jas los problemas de la actividad 1, y hagan unalto para confrontar los resultados de esta acti-vidad. Después, pídales que resuelvan las activi-dades 2, 3, 4 y 5 en equipos de tres o cuatroalumnos. Finalmente confronte los resultadosde estas actividades.

L E C C I Ó N

14

3

Perímetro y área de polígonos y otras figuras

¿Dónde están?

1. El perímetro es la cantidad de unidades linealesque caben en el contorno de una figura. Un ejemplode unidad lineal es el centímetro, que es una líneade esta longitud y se abrevia cm.

El área es la cantidad de unidades desuperficie que caben en el interior de una

figura. Un ejemplo de unidad de superficiees un centímetro cuadrado, que es de estetamaño y se abrevia cm2.

¿Se puede calcular el perímetro de los rayos del Sol?¿Por qué?

• Comprueba si el perímetro del pentágono del árbol mide 12 cm.

¿Qué parte de un centímetro cuadrado representa un cuadrito de la cuadrícula dela página siguiente?

2. Si tomas como unidad de superficie al centímetro cuadrado, el área del rectángulode la casa mide 8 cm2. Explica por qué esto es cierto

3. Encuentra en el dibujo dos octágonos. ¿Dónde están?¿Cuál es su área en centímetros cuadrados?

4. Escoge la figura que tú quieras. Calcula su área en centímetros cuadradosy su perímetro en centímetros.

• Toma como unidad de longitud alcentímetro. Con una regla, un hilo o

Nube chica Pentágono Sol Rectángulo Hexágonodel árbol de la casa del coche

Perímetro

lo que tú quieras, calcula el perímetro de las figurasque se piden en la tabla y que se encuentrandibujadas en la siguiente página.

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23

Con la última pregunta se pretende que losalumnos observen que 4 cuadritos de la retículaen la que están dibujadas las figuras equivalena 1 cm2. Es decir, un cuadrito es la cuarta partede 1 cm2 o de cm2. Agregue preguntas como:¿Qué fracción del centímetro cuadrado represen-tan 3 cuadritos?

Para comprobar que el área del rectángulo mi-de 8 cm2, los alumnos podrán seguir varios pro-cedimientos: contar los cuadritos y sacar suequivalencia en centímetros cuadrados, formargrupos de 4 cuadritos para ver cuántos centí-metros cuadrados caben en el rectángulo, omultiplicar lo que mide de base por lo que mi-de de altura.

Pida que expliquen por qué el área del rec-tángulo es de 8 cm2. Esto le permitirá conocer loque entienden por área. Pueden surgir respues-tas como: porque caben 8 cm2; porque caben 32cuadritos y 32 cuadritos son 8 cm2; porque mide4 de base y 2 de altura, y 4 × 2 es 8.

2

3 4

Plantee otras preguntas para destacar la di-ferencia entre perímetro y área, por ejemplo:¿Por qué no se puede expresar el perímetro encentímetros cuadrados y el área en centímetros?

15

1 cm2

15

Comenta con tu maestro y tus compañeros los resultados.Explica cómo se obtuvieron y en dónde hubo dudas.

5. Dibuja en la cuadrícula dos figuras diferentes de 14 cm de perímetro y 12 cm2 de área.

Es probable que algunos alumnos aún tengan dificultades parareconocer como octágono a una figura con ocho lados desigua-les o para calcular el área de algunas figuras, porque no hancomprendido que 4 cuadritos forman 1 cm2, sin importar que es-tén cortados por la mitad o distribuidos de maneras diferentes.Si esto sucede, conviene abrir nuevamente un espacio para acla-rar estos aspectos.

Aproveche la posibilidad de que entre los alumnos surjan diferentes formas de expresar el área de los octágonos (1.5 cm2 o1 cm2) para comentar su equivalencia.

Enriquezca esta actividad pidiendo a los alumnos que tracen ensu cuaderno dos o tres figuras con la misma área y perímetrosdiferentes o figuras que tengan el mismo perímetro pero dife-rente área.

5

14

12

M/5/P-018-051.QX4.0 5/27/02 10:49 am


24

4

1



Reflexionar sobre la factorización de númerosnaturales en un contexto de medición, median-te la búsqueda de pares de números enterosque al multiplicarse arrojen un producto igualal área de un rectángulo dado.

Cuadros y números

Observe cómo resuelven esta actividad losalumnos. Después solicite a una pareja que di-buje en el pizarrón todos los rectángulos queencontraron con un área de 24 u2, anotando encada caso las medidas de largo y ancho. Si otrasparejas encontraron rectángulos diferentes, pí-dales que pasen a dibujarlos. Ponga a discusiónsi los siguientes pares de rectángulos son dife-rentes entre sí:

Invite a los alumnos a analizar las caracterís-ticas geométricas de los cuadrados y los rec-tángulos para revisar semejanzas y diferencias.Ayúdelos a concluir que los cuadrados perte-necen a la familia de los rectángulos porquetambién tienen cuatro ángulos rectos. Sin em-bargo, son diferentes, porque los lados del cua-drado miden lo mismo y sus diagonales sonperpendiculares. Por lo tanto, con 49 u2 se pue-den formar dos rectángulos, el que conocemoscomo cuadrado (7 × 7) y el que conocemos pro-piamente como rectángulo (1 × 49).

Conviene organizar al grupo en parejas paraque trabajen con las primeras cuatro activida-des y pedirles que resuelvan las actividades 5, 6y 7 individualmente. Se recomienda realizar unaconfrontación de procedimientos y resultadoscuando la mayoría de los alumnos hayan con-cluido la actividad 1, otra cuando terminen lasactividades 2, 3 y 4, y finalmente confrontar losresultados de las actividades 5, 6 y 7.

Para dar lugar a esta discusión, plantee pre-guntas que lleven a los alumnos a identificar lassemejanzas y las diferencias de cada par de rec-tángulos. Ayúdelos a deducir que en cada casose trata del mismo rectángulo y que lo únicoque cambia es su posición.

Es importante revisar cuántos rectángulosencontraron los alumnos con un área de 49 u2.Tal vez algunos digan que sólo se puede trazarun rectángulo de 1 × 49, o bien que se puedentrazar dos rectángulos, el que mide 1 × 49 y otrode 7 × 7.

L E C C I Ó N

16

Descomposición de números en productos de dos o más factores

Cuadros y números

¿En cuál caso pudiste dibujar más rectángulos?¿En qué caso pudiste dibujar sólo uno? .

¿A qué crees que se debe? Coméntalo con tus compañeros y tu maestro.

2. Investiga cuántos rectángulos puedes dibujar con el 15, el 30 y el 7.Utiliza tu cuaderno de cuadrícula para dibujar los rectángulos.

3. Trabaja con un compañero:- Tú le dices un número entre 2 y 100 para indicar el área.- Él dibuja o dice las medidas de todos los rectángulos que tengan el área que tú dijiste.- Luego, él te dice el área y tú dibujas o dices las medidas de todos los rectángulos

que sea posible.- Gana el que diga un número con el que se puedan dibujar más rectángulos.

1. En la cuadrícula dibuja rectángulos que tengan el área que se indica.En algunos casos hay varios. Trata de encontrarlos todos.

24 unidades; 49 unidades; 13 unidades; 36 unidades.¡Las unidades deben ser enteras!

4

M/5/P-018-051.QX4.0 5/20/02 10:47 AM

25

Recuérdeles que sólo van a trabajar con núme-ros enteros y observe cómo resuelven estas acti-vidades. Esto le permitirá darse cuenta, por un la-do, si los alumnos comprendieron que la posi-ción de un rectángulo no lo hace diferente deotro si ambos tienen las mismas dimensiones;por otro lado,reconocerá si los niños infieren conqué tipo de números se pueden formar diferen-tes rectángulos con áreas semejantes, y las estra-tegias que ponen en juego para encontrar las pa-rejas de números enteros que al multiplicarsedan como resultado un número determinado.

Probablemente la mayoría de los alumnosbusquen, por ensayo y error, multiplicacionesque den el resultado deseado. Otros quizá lo

Aproveche la pregunta que se plantea en el libro de texto al fi-nal de este punto: "¿A qué crees que se debe?" (que sólo se pue-de construir un rectángulo con 13 u2). Para ayudarles a descubrirque dependiendo de la cantidad de unidades que se utilicen pa-ra formar los rectángulos, algunas veces sólo se puede trazar unoy en otros casos más de uno. Plantee la pregunta: ¿Habrá algunamanera de saber cuántos rectángulos se pueden formar, con el áreaindicada, sin necesidad de trazarlos? ¿Cuál?

hagan de una manera más sistemática. Porejemplo, para encontrar los factores de 72 pue-den aproximarse al número deseado con multi-plicaciones sucesivas: primero 2 × 10 = 20, perocomo falta mucho para llegar a 72, pruebancon 2 × 20 = 40, 2 × 30 = 60, 2 × 40 = 80. Comoen este punto ya se pasaron entonces pruebancon 2 × 35 = 70, 2 × 36 = 72. De esta manerapueden concluir que uno de los rectángulosque se puede construir es el que mide 2 × 36.

También puede suceder que algunos alum-nos dividan entre 2, 3, 4, etcétera, utilizando elalgoritmo de la división, buscando que éstastengan residuo cero o que realicen cálculosmentales sacando mitades. Por ejemplo, mitadde 72 es 36, como 2 × 36 = 72, entonces pue-den trazar un rectángulo de 2 × 36; la mitad de36 es 18 y como 4 × 18 = 72, ya tienen otro rec-tángulo. También pueden sacar la mitad de 18,y como 8 × 9 = 72, ya encontraron uno distintodel que mide 1 × 72.

Si observa que entre los alumnos surgen es-tos procedimientos, sobre todo los tres últimos,pida que los den a conocer en la confrontacióncolectiva. Si no aparecen, usted puede sugerir-los como alternativa. En las actividades 5 y 6 losalumnos tienen la oportunidad de probar estosprocedimientos.

2 3 4

7

17

5. Anota las multiplicaciones que permiten calcular el número de cuadros de cadacolor y el total de cuadros que hay en cada rectángulo.

a) b)

x xx xx xx xx x

Total de cuadros: Total de cuadros:

6. Divide el rectángulo completo en otros más pequeños, con los colores quese indican. Luego anota las multiplicaciones correspondientes.

xxxxxx

Total de cuadros:

7. Calcula el perímetro de los rectángulosque dibujaste en la página anteriory anota aquí los resultados.

Perímetro de los rectángulos con área 49:

Perímetro de los rectángulos con área 36:

Comenta lo que observas contus compañeros y tu maestro.

4. Encuentra las multiplicaciones que den como resultado el número que está enla primera columna y escríbelas como se hace en el ejemplo.

24

40

49

72

12 x 2 8 x 3 6 x 4

En la confrontación, haga notar que el períme-tro de los rectángulos que tienen la misma áreano necesariamente tienen el mismo perímetro.

M/5/P-018-051.QX4.0 5/2/02 12:58 PM


26

5

1 2



Analizar y puntualizar las semejanzas y diferen-cias entre los sistemas de numeración egipcio ydecimal. Inferir el valor de los símbolos que losegipcios utilizaban para escribir números, las re-glas de escritura, así como las propiedades delsistema mediante la interpretación, la compara-ción,el ordenamiento y la escritura de cantidadesexpresadas con símbolos numéricos egipcios.

Formas de representar los números

Anime a los alumnos para que averigüen los valores de los sím-bolos numéricos que utilizaban los egipcios. Si después de untiempo razonable no lo consiguen, pídales que traten de encon-trar la relación que hay entre las veces que se repite cada símbo-lo y el 214. Cuando descubran que vale 1, vale 10 y vale100, se les facilitará identificar el valor de los demás símbolos ytranscribirlos de un sistema de numeración a otro.

Las preguntas que se plantean en la actividad 2 pretenden enfa-tizar estas características, además de hacer notar que en el sistemade numeración egipcio no se usaba el cero.En la confrontación pue-de agregar la siguiente pregunta: Con nuestro sistema de numera-ción, ¿podemos escribir el número 1 004 sin los ceros? ¿Por qué?

Para confrontar los resultados de estas activida-des pida a un alumno que escriba en el pizarrónlos valores de los símbolos egipcios. Si hay desa-cuerdos propicie una discusión para aclararlos.

Para favorecer el análisis de la escritura de losnúmeros en ambos sistemas plantee preguntastales como: ¿En qué número utilizaron más sím-bolos egipcios para escribirlo? ¿Cuántos símbo-los del sistema decimal utilizaron para escribirese mismo número? ¿Por qué para escribir esenúmero se utilizan más símbolos egipcios y me-nos símbolos decimales? ¿Los egipcios necesi-taron al cero para escribir esos números? ¿Porqué? Plantee preguntas similares para compa-

Para favorecer el intercambio de ideas y opinio-nes se recomienda organizar al grupo en pare-jas; con el fin de equilibrar los equipos, procureque los integren alumnos con diferente ritmode aprendizaje.Organice dos confrontaciones deresultados y opiniones, una cuando los alumnosterminen de trabajar con la cuarta actividad yotra después de resolver la quinta.

3 4

rar la escritura del número 1 000 001 en los sis-temas egipcio y decimal.

Ayúdelos a deducir que en ambos sistemascada símbolo tiene un valor absoluto. En el casodel sistema egipcio el valor de cada símbolosiempre es el mismo independientemente dellugar donde se coloque, por lo que sus valoresse suman para saber de qué número se trata.Por ejemplo, el número 436 puede escribirse:

M/5/P-018-051.QX4.0 5/2/02 12:58 PM

27

En cambio, en nuestro sistema, si cambiamosel orden de las cifras 4, 3 y 6 su valor varía (valorrelativo) y, en consecuencia, obtenemos un nú-mero diferente. Por ejemplo: 634, 643, 364, 346 o463.

Si algunos alumnos se equivocan al ordenarlos números, en la confrontación de resultadospídales que muestren en el pizarrón cómo losordenaron y permita que sus compañeros de-tecten los errores y los corrijan.

Se espera que los alumnos sean capaces de comentar, con suspalabras, algunas de las siguientes semejanzas y diferencias queencontraron al resolver la lección.

5

Sistema de Sistema denumeración egipcio numeración decimal

Existe un símbolo para representar cada Sólo se utilizan 10 símbolos:grupo de unidades. (En este caso cada 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9grupo corresponde a las potencias de 10.) Es de base 10 porque un grupo

de 10 unidades forma una unidadde mayor valor.

Es aditivo porque, para averiguar de qué El valor absoluto de cada símbolo cambianúmero se trata, se suma el valor absoluto dependiendo del lugar que ocupe. Porde cada símbolo, independientemente eso se dice que los símbolos 0, 1, 2...del lugar que ocupen. tienen un valor absoluto y un valor

relativo o posicional.

Cada símbolo se puede repetir hasta Los símbolos se pueden repetir, pero nonueve veces. Al tener 10 símbolos iguales valen lo mismo. Por ejemplo:se sustituyen por otro que representa 1 111 = 1 000 + 100 + 10 + 1el valor de esos 10 símbolos.

No es posicional porque no importa el Es posicional por lo que el uso del cero esorden en el que se escriban los símbolos, necesario para representar la ausencia desu valor no cambia; esto hace que no sea unidades de un determinado orden. Pornecesario usar el cero. ejemplo en el número 1 011.

19

¿En qué te fijaste para ordenar los números representados en el sistema egipcio?

Coméntalo con tu maestro y tus compañeros.

• Observa los números ya ordenados. ¿Qué comentarios puedes hacer?

5. Escribe en el cuadro las semejanzas y diferencias que encuentres entre el sistemade numeración egipcio y el sistema de numeración decimal que utilizamosactualmente.

Luego coméntalas con tu maestro y tus compañeros.

Semejanzas Diferencias

4. En la columna de la derecha ordena los siguientes números del menor al mayor.

En la columna de la derecha ordena los siguientes números del menor al mayor.

1

20 020

1 000 000

1 500

88

326

Discute con tus compañeros y tu maestro: El sistema egipcio noera un sistema de numeración posicional, ¿qué querrá decir eso?

Cuando los alumnoslogran comprenderel procedimiento

que otros siguieronpara resolver algúnproblema, puedenprobarlo en otras

situaciones.

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28

6

1



Elaborar y analizar tablas de proporcionalidaddirecta para resolver problemas que implicancomparar razones.

La feria

Observe si los alumnos toman en cuenta la información que seofrece en la ilustración para resolver la actividad. Confronte losresultados que obtuvieron en el primer problema y, si hay dife-rencias, pida que expliquen cómo los obtuvieron. Es probableque haya errores en los cálculos; convendrá aclararlos.

Para revisar los resultados de las tablas, cópielas en el pizarróny pida que las completen tres niños de diferentes equipos. Si al-gún equipo no está de acuerdo con los resultados, pida que expli-que por qué y que pase a corregir el error.

Propicie el análisis de la información registrada en las tablas.Por ejemplo, pida que localicen los resultados parciales del pri-mer problema: el precio de 3 tamales, el de 4 elotes y el de 5 ato-les. También puede pedir que expliquen cómo utilizarían los da-tos registrados en cada tabla para averiguar, por ejemplo, el pre-cio de 12 atoles o para saber qué números deberían anotar en eloctavo renglón de la tabla, en el supuesto de que ésta tuvieramás renglones.

Es importante que observen que los datos registrados en lacolumna izquierda de las tablas aumentan de uno en uno, y quecomenten cómo aumentan los datos registrados en la columnaderecha.

En los dos primeros problemas es muy importante que losalumnos expliquen cómo supieron que una cosa sale más bara-ta que otra, de manera que conviene detenerse el tiempo nece-sario para que los niños traten de explicarlo. Por ejemplo, para elprimer problema habrá quienes piensen: Dan la misma cantidadde aros y de canicas (5), pero se paga más por los aros ($8.00) quepor las canicas ($6.00); entonces sale más barato lanzar una canica.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos para que trabajen con las actividades 1 y 2;se sugiere que resuelvan colectivamente la acti-vidad 3. Cada vez que la mayoría de los equipostermine una actividad, confronte resultados.

2

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29

Ficha 28: 1, 2Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Otros alumnos tal vez harán divisiones ensu cuaderno o utilizarán su calculadora paradeterminar el costo exacto de lanzar un aro yuna canica.

El segundo problema es más complejo queel primero, ya que se trata de comparar dos pa-res de cantidades que tienen diferente núme-ro de objetos y diferente precio.

Probablemente los alumnos tratarán nueva-mente de hallar el valor unitario recurriendo aaproximaciones sucesivas o dividiendo. En lastablas que se presentan después del problemapodrán verificar su resultado y a la vez conocerotro procedimiento en caso de que no se leshaya ocurrido.

La explicación solicitada después de las ta-blas propiciará que los alumnos discutan enqué ayudó a Hilda elaborarlas, y cómo, a partirde ellas, puede concluir que sale más baratoun aro.

Se espera que con la reflexión que se gene-re a partir del segundo problema, puedan re-solver el último. En este caso hay que averiguarsi sale más barato lanzar una canica o un dar-do. Si es necesario, invítelos a utilizar tablas co-mo lo hizo Hilda.

Es importante leer y comentar el texto escri-to con letras azules así como verificar si las pa-rejas de cantidades registradas en cada tablacumplen con la condición señalada para serdirectamente proporcionales.

Otros quizá traten de calcular el precio uni-tario mediante aproximaciones sucesivas, porejemplo: saben que lanzar un aro o una canicacuesta más de $1.00, porque en ambos casos sepaga más de $5.00. Entonces pueden probarcon varias cantidades: $1.30, $1.35, $1.40, etcé-tera, para ver si esa cantidad sumada 5 veces omultiplicada por 5 da como resultado el totaldel pago en cada caso. Una vez que tengan elvalor unitario de cada objeto los compararán.

3

Para continuar en el mismo contexto, pídales que piensen en loque hay en una feria y traten de encontrar dos cantidades quevaríen proporcionalmente. Cuando todos estén de acuerdo,proponga que elaboren una tabla para que registren en ella lainformación.

21

2. Comenta con tus compañeros: ¿Qué es más barato, lanzar una canica o lanzarun aro? ¿Por qué?

¿Qué es más barato, lanzar un aro o lanzar un dardo?¿Por qué?

Para contestar la pregunta anterior, Hilda usó el siguiente procedimiento.

Se dice que dos cantidades son directamente proporcionalescuando las dos aumentan o disminuyen en la misma proporción.

Por ejemplo, si la cantidad de aros aumenta de 10 a 20,el precio aumentará de $16.00 a $32.00.

3. Piensa en otras cantidades de los ejemplos anteriores que varíen propor-cionalmente y elabora algunas tablas.

21

Aros Precio

5 $ 8.00

10 $ 16.00

15 $ 24.00

Dardos Precio

3 $ 5.00

6 $ 10.00

9 $ 15.00

12 $ 20.00

15 $ 25.00

• Hilda descubrió que sale más barato lanzar un aro. Explica cómo pudo haberllegado a esa conclusión

• Calcula qué es más barato, lanzar una canica o lanzar un dardo

Comenta tu resultado con tus compañeros y tu maestro.

La resolución de problemas y la adquisiciónde conocimientos significativos y duraderos

son procesos que deben avanzar enestrecha relación.

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30

7

1



Utilizar los puntos cardinales como referenciaspara ubicar puntos en un plano.

¿A dónde llega David?

Salga con los alumnos al patio y pídales que separen de frente al Sol. Es importante señalarque si realizan la actividad antes del mediodíael Sol estará del mismo lado por donde sale, pe-ro si se realiza después del medio día el Sol seencontrará del lado donde se oculta.

Una vez que identifiquen el lugar por dondesale el Sol, pueden ubicar los puntos cardinalessiguiendo las instrucciones planteadas en la ac-tividad. Se sugiere trazar en el piso dos rectasperpendiculares cuyos extremos apunten hacialos cuatro puntos cardinales y colocar un letre-ro con el nombre de cada punto cardinal en losextremos de los ejes.

Comente a los alumnos que al Oriente tam-bién se le llama Este, y al Poniente, Oeste; mues-tre algunos mapas donde los puntos cardinalesestén indicados con la primera letra de cadanombre, escrito en español o en inglés.

Se sugiere realizar la primera actividad de for-ma colectiva y en el patio de la escuela. Lasotras cuatro actividades las pueden resolverdentro del salón, organizando a los alumnos enparejas para favorecer la interacción.

L E C C I Ó N

22

Ubicación de puntos en un plano con ejes coordenados

¿A dónde llega David?

1. Salgan al patio con su maestro y hagan lo que hace Davidpara orientarse.

David sabe que si mira de frente hacia donde sale el Sol está mirando al oriente.Si extiende sus brazos, al lado derecho tiene el sur y al lado izquierdo

el norte. Atrás de David está el poniente, por donde se mete elSol.

2. David hace un plano para ubicarlas casas de sus amigos y otros

lugares de su colonia.David siempre empieza a caminar a partir del kiosco,

que se encuentra en el cruce de las calles principales,marcadas con azul y rojo. Las líneas de la cuadrícula son lascalles por donde camina David.

Si David se mueve hacia la derecha de la hoja donde estáel plano, ¿qué dirección lleva?, ¿oriente o poniente?

Si David se mueve hacia abajo de la hoja donde está el plano,¿qué dirección lleva?, ¿norte o sur?

David quiere que le digas a dónde llega. Recuerda, su recorridosiempre lo empieza en el kiosco.

David dice que para llegar a la casa de Juan, tiene que caminar3 cuadras hacia el oriente y después 5 cuadras hacia el norte.¿Estás de acuerdo?¿Por qué?

David camina 3 cuadras hacia el poniente y después 2 hacia el norte. ¿A dóndellega?

3. ¿Quiénes viven a 2 cuadras hacia el norte de la calle azul?

• Pinta de verde esta calle.

4. ¿Qué hay a 5 cuadras hacia el poniente de la calle roja?

• Pinta de naranja esta calle.

7

Norte N

North South S E WWestEastN

Sur S Oriente O Poniente P

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Una vez que los alumnos se familiaricen con la manera en la quese señalan los puntos cardinales en los mapas y planos, pregunte:¿Hacia dónde está orientado el frente de la escuela? ¿Qué partes de laescuela quedan al Oriente? ¿Y al Norte? ¿Al Sur? ¿Al Poniente?

Cuando regresen al salón de clases, pídales que resuelvan lasactividades 2 a 5, excepto el juego que se plantea en la última ba-la de la página 23.

Después de la confrontación de resultados, enri-quezca la actividad planteando preguntas co-mo: Si camino 3 calles al Poniente y 6 al Norte, ¿adónde llego? Y si camino 3 calles al Oriente y 2 alSur, ¿qué hay ahí? ¿Cómo se llega a la lechería?

2

3 4 5

Con estas actividades los alumnos reflexionarán acerca de la ne-cesidad de indicar dos puntos de referencia (Norte o Sur y Orien-te o Poniente) para ubicar un punto en el plano.

Por ejemplo, al decir 2 cuadras hacia el Norte, sin mencionarcuántas cuadras al Oriente o al Poniente, sólo se llega al puntodonde cruza la calle roja (eje vertical) con la calle sobre la que vi-ven Sonia y María. Se sugiere destacar, en la puesta en común, lanecesidad de dar las dos referencias con las que se llega directa-mente a la casa de Sonia o a la de María.

Seguramente al resolver las actividades los alumnos usarándistintas expresiones para ubicar un punto. Por ejemplo, para lle-gar a la casa de Paco algunos alumnos dirán: Párate en el kiosco ycamina 7 cuadras al Sur y 3 cuadras al Poniente. Otros tal vez di-gan: Párate en el kiosco y camina 3 cuadras al Poniente y 7 cuadrasal Sur.

Al principio no importa el orden en que se den las referencias;más adelante, acordarán en grupo qué dirección deberán seña-lar en primer lugar y cuál en segundo.

23

5. David quiere que ahora le digas por dónde caminar:

Para llegar a la casa de Paco

Para llegar a la lechería

• Con un compañero juega a trazar los recorridos. Uno de ustedes escoge un lugar adonde va a ir David y el otro dice cómo debe caminar David para llegar a ese lugar.

Berta

N

P

S

O

Juan

Hugo

María

escuela

Sonia

parque

tienda

panadería

Leticia

Paco

lechería

kiosco

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32

8


Localizar, comparar y operar con informaciónnumérica; utilizar unidades de medida, de lon-gitud, de tiempo y de velocidad.

Grandes tamaños,grandes distancias

Dado que la información que se necesita pararesolver las dos primeras actividades se en-cuentra en la lección 1 del libro de Geografía.Quinto grado, conviene pedir anticipadamentea los alumnos que la revisen (pp. 8-13), si es quetodavía no la han trabajado.Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos; pídales que trabajen con las tres activida-des de manera individual y, para unificar los re-sultados de cada equipo, proponga que loscomparen cuando terminen. Si hay diferencias,entre ellos averiguarán en dónde estuvo elerror y lo corregirán.Puesto que, a lo largo de las actividades, losalumnos trabajarán con varios problemas es ne-cesario centrar la atención donde haya resulta-dos o procedimientos diferentes. Se sugiere rea-lizar dos confrontaciones: una, cuando los alum-nos terminen de resolver las primeras dos activi-dades, y otra cuando terminen la actividad 3.

Para resolver la quinta pregunta los alumnos necesitarán realizarvarias restas. Pida a uno de los equipos que pase al pizarrón amostrar el procedimiento que siguieron e invite al resto del gru-po a detectar errores en las operaciones realizadas. Si algún equi-po tiene respuestas diferentes, pida a los alumnos que encuen-tren el error.

Para responder a la sexta y séptima preguntas, los alumnosdeberán buscar una estrategia que les permita averiguar la dis-tancia que existe entre los planetas señalados, ya que la infor-mación que se proporciona en la tabla (p. 12) sólo indica la dis-tancia que hay entre cada planeta y el Sol. Es muy probable quehaya resultados diferentes y es conveniente que expliquen có-mo llegaron a ellos, independientemente de que sean correctoso incorrectos.

1


L E C C I Ó N

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Uso de las operaciones para resolver problemas

¿Cuál es el planeta que tiene el mayor diámetro?

¿Cuál es la medida del diámetro?

¿Cuál es el planeta que tiene el menor diámetro?

¿Cuál es la medida del diámetro?

¿Entre cuáles de los siguientes planetas hay una menor diferencia de diámetro:entre Marte y Mercurio, entre Venus y la Tierra o entre Urano y Neptuno?

¿Cuál es la distancia que hay entre la Tierra y Marte?

¿Y entre la Tierra y el planeta más alejado del Sol?

2. Considerando que el año tiene 365 díasy el mes 30 días, contesta:

¿Cuántos días tarda Júpiter en darla vuelta al Sol?

¿Cuántos tarda Neptuno?

¿Cuántos tarda Plutón?

Grandes tamaños,grandes distancias

8 1. En tu libro de Geografía busca la tabla Los planetas que apareceen la lección “El sistema solar”. Léela con atención y contesta losiguiente. Puedes ayudarte con tu calculadora.

24

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33

Si todos los procedimientos son incorrectos, averigüe si sonerrores de cálculo o si no lograron relacionar adecuadamente losdatos que hay en la tabla. En el primer caso, pídales que verifi-quen el resultado con la calculadora; en el segundo caso, ayúde-los a aclarar por qué es incorrecta la forma en que relacionaronlos datos.Tal vez sea necesario simplificar el problema con un es-quema como el siguiente:

También puede suceder que los alumnos no tomen en cuentaque la distancia de cada planeta al Sol está expresada en millo-nes de kilómetros, en consecuencia pueden incurrir en errorescomo escribir 78.3 km para expresar la distancia entre la Tierra yMarte. Invítelos a reflexionar al respecto con ejemplos de distan-cias conocidas por los alumnos. Por ejemplo: Si la distancia entrela Ciudad de México y Cuernavaca es de 90 km aproximadamente,¿es posible que de la Tierra a Marte haya 78.3 km de distancia? Des-pués pídales que revisen cómo están expresadas las cantidadesen la tabla de su libro de Geografía.

Para resolver los dos últimos problemas los niños pueden utili-zar multiplicaciones sucesivas por 10, 100 o 1 000, calcular do-bles, triples, o dividir. En la confrontación pregunte qué proce-dimiento les parece más eficaz, después centre la atención enlas diferentes formas de expresar el mismo resultado. Por ejem-plo, algunos alumnos pueden responder que el Clermont tarda-ría 995 horas en recorrer el Mississippi; tal vez otros digan quetarda 41 días aproximadamente, o que tarda 1 mes y 11 díaso 1 mes, 1 semana, 4 días y 12 horas.

3

Al confrontar los resultados de los problemasplanteados en esta actividad es probable quehaya diferencias. Proponga a los alumnos queanalicen los procedimientos que siguieron paraobtener sus resultados y encuentren el error, sies que lo hay, o traten de explicar en qué consis-te la diferencia. Por ejemplo, si en el primer pro-blema convierten los 11 años 10 meses a días, elresultado será 4 315 días; pero si los 11 años 10meses los convierten a meses y después a díasse obtiene 4 260 días. Si bien la diferencia es

2

12

12

grande, ambos resultados son correctos. Vale lapena tratar de buscar la explicación de esta di-ferencia.

Es probable que en el último problema algu-nos alumnos encuentren que Plutón tarda 90155 días con 9 horas en dar la vuelta al Sol,mientras que otros obtengan un resultado másdetallado y encuentren que tarda 90 155 díasmás o 90 155 días más de día. Si esto sucede,analice junto con sus alumnos la equivalenciaentre las tres respuestas.

924

Plantee las siguientes pre-guntas: ¿Cuál es la distancia en-tre A y B? ¿Entre A y C? ¿Entre B y C?

A B C

1850

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9

Calcular áreas apoyándose en los conocimien-tos construidos en grados anteriores. Reflexio-nar sobre las diferentes formas de expresar losresultados de una medición, estableciendo rela-ciones de equivalencia entre el área de una fi-gura expresada con números decimales y connúmeros fraccionarios.

¿Cuántas veces cabe?

Si todavía se les dificulta a los alumnos identi-ficar los polígonos, pídales que revisen la lec-ción 2 para que recuerden sus características.Es importante señalar que con la primera tablase propicia que los alumnos usen los númerosdecimales para expresar la medida del largo yancho de los polígonos, así como la de su su-perficie; con la segunda, se favorece el uso defracciones para expresar los resultados.

Es probable que para calcular el área de losrectángulos los alumnos utilicen la fórmula queya conocen (b × h). Si tienen dificultades paramultiplicar los decimales, sugiérales usar la cal-culadora. La pregunta: En un cuadrado, ¿qué pa-sa con el largo y el ancho?, permite retomar elanálisis de las propiedades geométricas quecomparten los rectángulos y los cuadrados.

Es conveniente que los alumnos resuelvan laactividad 1 de manera individual, y que al térmi-no confronten los procedimientos y resultados.

Para resolver la actividad 2 se recomienda or-ganizar al grupo en ocho equipos; pida a cuatrode ellos que trabajen con dos renglones de latabla y a los otros cuatro que resuelvan los res-tantes. Al concluir la actividad, confronte los re-sultados.

El problema planteado en la última bala pue-de dejarse de tarea; pida a los alumnos que tra-cen dos polígonos diferentes a los que trabaja-ron en esta lección. Al día siguiente intercam-biarán las figuras con sus compañeros para ve-rificar si el área que calcularon es correcta.

1



L E C C I Ó N

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Figura Cantidad de cuadritos Cantidad de cm2 Área aproximada

Azul

Verde

Amarilla

Morada

Cálculo del área del rectángulo, el cuadrado y otras figuras

¿Cuántas veces cabe?

En un cuadrado, ¿qué pasa con el largo y el ancho?

• Comprueba tus resultados contando cuántas veces cabe un cm2 en cadapolígono. Recuerda que la medida de los cuadritos de la cuadrícula esla cuarta parte de un centímetro cuadrado. Anota tus resultados en latabla.

1. Para calcular el área de los polígonos que se piden en la siguientetabla, mide con una regla los lados que necesites.

• En papel translúcido, traza polígonos o figuras con lados curvos y calculaaproximadamente cuánto mide su área en cm2. Usa la cuadrícula del materialrecortable número 1.

Polígono Nombre del polígono Largo Ancho Área

Azul

Café Rectángulo 3.5 cm 3 cm 10.5 cm2

Amarillo

Morado

Polígono Cantidad de cuadritos Cantidad de cm2 Área

Azul

Café 42 10 y 10.5 cm2

Amarillo

Morado

9

1—2

1—2• Explica por qué 10 y cm2 se pueden escribir como 10.5 cm2.

2. Calcula aproximadamente el área de las figuras que no son polígonos.Anota tus resultados en la tabla.

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35

En caso de que los alumnos obtengan resultados diferentesen las tablas 1 y 2, revise si hubo algún error al medir con la regla,multiplicar, contar los cuadritos, convertir el número de cuadritosa centímetros cuadrados, o quizás al convertir las fracciones co-munes a decimales.

2

Si bien la relación entre los cuadritos de laretícula y el centímetro cuadrado se trabajó enla lección 3, en la confrontación será interesan-te escuchar los argumentos de los niños parademostrar la equivalencia entre 10 + cm2 y10.5 cm2. Es probable que recuerden que .5 cm2

se lee como cinco décimos de centímetro cua-drado, y que también puede escribirse así ( ).Otros tal vez demuestren gráficamente que lamitad de 1 cm2 se puede escribir como .5 cm2

o porque es la mitad de un entero divi-dido en 10 partes iguales; es decir, es la mi-tad de . Aproveche las diferentes formas deexpresar el área de otros polígonos para resal-tar la relación entre los cuadritos de la retícu-la y el centímetro cuadrado, así como para des-tacar la equivalencia entre: 6 + cm2 y 6.75 cm2;20 + cm2 y 20.25 cm2.

27

Comenta con tu maestro la siguiente información:

Una manera de calcular el área de una figura conlados curvos es contar cuántas veces cabe en ella la unidad demedida. Mientras que para calcular el área del rectángulo se puede,además, multiplicar el número de cuadritos que caben en el largo,por el número de cuadritos que caben en el ancho.

• ¿De qué otra forma podrías calcular el área de un cuadrado sin contarlos cuadritos que caben en él?

27

Se recomienda que antes de trabajar con estaactividad los alumnos estimen el área de las fi-guras que no son polígonos y que las ordenende menor a mayor área. Cuando terminen de re-solver la actividad, pida que comparen su esti-mación inicial y el orden que establecieron conlos resultados de las mediciones realizadas.

Observe si el procedimiento de conteo ycompensación de cuadritos propicia que hayadiferencias en los resultados, porque dependede la forma en la que se compensen los cuadri-tos incompletos. Sin embargo, las diferencias nodeben ser muy grandes. En la confrontación deresultados establezca como correcta el área ob-tenida con mayor frecuencia, y considere co-rrectos otros resultados que se aproximen mása esa medida.

Esta actividad propicia la comprensión de ladiferencia entre perímetro y superficie, el con-cepto de área (medida de la superficie), y porqué se utilizan unidades cuadradas para expre-sar el área y desarrollar estrategias que permi-tan a los alumnos calcular el área de cualquierfigura, aunque no conozcan la fórmula conven-cional, si es que la tiene.

Antes de leer el párrafo escrito en letras azu-les, pregunte: ¿Qué estrategias utilizaron en estalección para calcular el área de las figuras? Segu-ramente mencionarán las que se enuncian en elpárrafo y al leerlo tendrá más sentido para ellos.

Al comentar la última bala destaque el hechode que la fórmula b × h sirve para calcular elárea del cuadrado porque éste también perte-nece a la familia de los rectángulos, sólo que ellargo y el ancho miden lo mismo.

12

510

510

510

510

1010

34

14

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10

1



Reflexionar sobre la noción de frecuencia de unevento mediante el análisis de información pre-sentada en tablas y gráficas de barras.

Un juego con el diccionario

Para introducir la idea de frecuencia de unevento se plantean diferentes preguntas queexigen el conteo de las marcas que Paula y San-tiago hicieron en las tablas para indicar cuántaspalabras encontraron con un determinado nú-mero de letras.

En la confrontación pida que una pareja désus respuestas y que los demás las comparencon las suyas. Es probable que los alumnos in-terpreten de diferente manera las dos últimaspreguntas de esta actividad. Si es así, aclare quese refieren al renglón de cada tabla donde haymás palabras.

Para introducir la palabra frecuencia, puedehacer preguntas como las siguientes: En la pági-na de la P y de la S, ¿es frecuente encontrar pala-bras con dos letras? En cada tabla, ¿cuántas letrastienen las palabras que se encontraron con másfrecuencia? ¿Quién encontró con mayor frecuen-cia palabras de seis letras? En la tabla de Paula,¿cuál es la frecuencia de las palabras con cinco le-tras? ¿Y en la de Santiago?

Si es necesario, explique que la frecuencia in-dica cuántas palabras encontraron con un nú-mero determinado de letras.

Se recomienda que los alumnos resuelvan lasdos primeras actividades en parejas. La activi-dad 3 puede realizarse de manera individual oagrupando a los niños cuyo nombre comiencecon la misma letra. Si algún equipo es muygrande, puede dividirlo en dos o tres equipos.

L E C C I Ó N

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Organización de la información en tablas y gráficas de barras

¿Cuántas palabras en total encontró Paula? ¿Cuántas palabras en total encontró Santiago? ¿Cuántas letras tienen las palabras más largas que empiezan con “P”?

¿Y las palabras más largas que empiezan con “S”? ¿Con qué número de letras encontró Paula más palabras?

¿Con qué número de letras encontró Santiago más palabras?

Un juego conel diccionario

1. Paula y Santiago inventaron un juegocon el diccionario. Paula escogió una pá-gina de la letra “P” y Santiago una pági-na de la letra “S”. El juego consiste enver quién encuentra más palabras conun mayor número de letras. Para fa-cilitar el conteo, cada uno hizo unatabla como las que siguen, y registra-ron con marcas las palabras encon-tradas.

10

Letra “P” Letra “S”Número de letras Número de Número de letras Número de

palabras palabras1 12 / 23 / 34 //// 4 /5 //// 5 ///// /6 ///// //// 6 ///// /7 ///// // 7 ///// ///8 ///// // 8 ///// ///// ///9 ///// / 9 ///// //

10 /// 10 ///11 / 11 ///12 // 12 //13 / 13

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Ficha 1 y 17Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Confronte las respuestas que los alumnos dieron a la pregunta ¿Dequién es la gráfica que aparece arriba? ¿De Paula o de Santiago? Loimportante es que expliquen en qué se fijaron para reconocerla.

Para realizar la segunda parte de esta actividad es importanteque los alumnos acuerden con su compañero cómo elaborar sugráfica, ya que pueden hacer una para Paula y otra para Santiago(como la que se muestra en la lección) o registrando los datos delos dos niños en una misma gráfica, por ejemplo:

2

3

Si surgen los dos tipos de gráficas, en la con-frontación podrán discutir en cuál es más fácilinterpretar la información.

Observe cómo elaboran sus alumnos las grá-ficas. Probablemente algunos no sepan que de-be haber la misma distancia entre los intervalosde cada eje.También es posible que algunos ha-gan su gráfica como la que se presenta en lalección y que otros la hagan a la inversa, es de-cir, que anoten en el eje horizontal los intervalosque se refieren al número de palabras y en elvertical los que se refieren al número de letras.Si bien esto es correcto, puede provocar que losalumnos crean que la gráfica está mal hecha.Ayúdeles a aclarar estos aspectos.Cuando terminen, pida que observen la infor-mación registrada en la tabla de Paula y en lagráfica que hicieron y que comenten cuál de lasdos es más fácil de interpretar. Es importanteque se den cuenta de las ventajas que tiene or-ganizar este tipo de información en una tablade frecuencias o en una gráfica. La primera nospermite registrar la información fácilmente, pe-

ro para analizarla es necesario realizar un re-cuento; la segunda nos permite comparar losdatos visualmente sin necesidad de contar.

Para revisar las gráficas elaboradas por los ni-ños, pida que las intercambien con otra pareja einvítelos a descubrir errores. Si los hay, pida queexpliquen en qué se equivocaron y cómo pue-den corregirlos.

Cuando terminen de registrar la información solicitada, plantee atodo el grupo preguntas como las siguientes: ¿Cuántas letras tie-nen las palabras que encontraron con más frecuencia? ¿Cuántas le-tras tienen las palabras que encontraron con menos frecuencia?¿Cuál es la frecuencia de las palabras más largas?

Cierre la sesión leyendo y comentando junto con los alumnosel párrafo escrito con letras azules. En él se resume lo estudiado alo largo de la lección.

11

2

4

6

8

10

12

14Paula

Santiago

Nú

mer

o d

e p

alab

ras

Número de letras2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

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38

11

1



Analizar algunas propiedades particulares de lamultiplicación y de la división, y como operacio-nes inversas entre sí.

Con la calculadora

Al analizar los cálculos de las dos primeras pare-jas de operaciones, los alumnos tratarán de en-tender y explicarán a sus compañeros por quése obtiene el mismo resultado si las operacio-nes son distintas: 27 × 6 y 27 × 12 ÷ 2, y 49 × 16y 49 × 64 ÷ 4. Se espera que algunos alumnos

encuentren las relaciones que hay entre los nú-meros y puedan explicar los resultados.Por ejem-plo, en las multiplicaciones 27 × 6 y 27 × 12 ÷ 2 se observa que el primer factor es el mismo(27) y cambia el segundo (6 y 12); como 12 es eldoble de 6, al multiplicar 27 × 12 se obtiene el doble de multiplicar 27 × 6. Para obtener elmismo resultado se tiene que dividir entre 2 el producto de 27 × 12 o multiplicar por 2 elproducto de 27 × 6.

Si los alumnos no encuentran estas relaciones,señálelas usted. Al analizar las operaciones de lasegunda bala tendrán otra oportunidad para en-tenderlas. Por ejemplo, en las multiplicaciones 8 × 740 y 4 × 740 × 2,encontramos que 4 es la mi-tad de 8, por lo tanto el producto de 4 × 740 serála mitad del producto de 8 × 740, por lo que elproducto de 4 × 740 se debe multiplicar × 2 paraigualar los resultados o, a la inversa, el productode 8 × 740 dividirlo entre 2.

En la siguiente tabla, en el primer renglón, losoperadores son por 3 y entre 3; en el segundorenglón el resultado no es el mismo para las dosoperaciones y los alumnos deberán explicar porqué. Es importante que al término de la activi-dad 1 hayan encontrado esas relaciones y pue-dan explicarlas.

Si la escuela no cuenta con calculadoras, con undía de anticipación, pida a los alumnos que lle-ven una. Antes de resolver las actividades, orga-nice al grupo en parejas. Procure que cadaalumno tenga una calculadora; si no es posible,trate de que al menos cada pareja tenga una.

Después de que los alumnos hayan conclui-do el primer problema de la actividad 1, analicejunto con ellos las relaciones entre los términosde las operaciones. Organice otra confrontacióndespués de la actividad 3 y una más después decontestar la última pregunta.

L E C C I Ó N

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Uso de la calculadora para reflexionar sobre las operaciones

Con la calculadora

1. ¿Crees que obtendrás el mismo resultado si multiplicas 27 x 6,que si multiplicas 27 x 12 y el resultado lo divides entre 2? .

• Verifica si tu respuesta es correcta utilizando la calculadora, como lo hacen Juany Paula.

¿En cuál caso no obtuviste un resultado igual en los dos cálculos?

Discute lo siguiente con tu maestro y tus compañeros:En los casos en que los resultados de los cálculos fueron iguales, ¿a quécrees que se debió dicho resultado? En el caso en que los resultados nofueron iguales, ¿a qué crees que se debió esto?

2. Inventa y anota pares de cálculos que creas que tendrán el mismo resultado:

• Prueba con las siguientes parejas de cálculos, utilizando el procedimiento anterior:

• Pide a un compañero que los resuelva con la calculadora. Tú resuelve los que élinvente. ¿Los dos inventaron cálculos correctos?

Los dos teclean 27 Los dos teclean 49

Paula marca: Juan marca: Paula marca: Juan marca:

x 6 = x 12 ÷ 2 = x 16 = x 64 ÷ 4 =

¿Les resultó lo mismo? ¿Les resultó lo mismo?

11

Primero teclea: Luego teclea: Primero teclea: Luego teclea:

4 x 120 = 4 x 480 ÷ 4 = 20 x 70 = 60 x 70 ÷ 3 =

8 x 740 = 4 x 740 x 2 = 30 x 160 = 6 x 6 x 160 =

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Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Pedir a los alumnos que calculen el resultado de una multiplica-ción, restringiendo el uso de la tecla , los obligará a buscarotras estrategias.Por ejemplo, para calcular el resultado de 12 × 40,una posibilidad es que sumen 12 veces 40.También es probableque mentalmente calculen algunas multiplicaciones conocidasy en la calculadora sólo introduzcan los resultados. Por ejemplo,mentalmente podrán descomponer la multiplicación 12 × 40en 10 × 40 y 2 × 40 y teclear en la calculadora los resultados:400 + 80 =.

Si hay tiempo, puede plantear otros problemas para enrique-cer la actividad y propiciar el uso de otros procedimientos, porejemplo: Cómo multiplicar 89 × 99 sin usar la tecla y sin sumaruno de los factores tantas veces como indique el otro factor. Si nohay tiempo suficiente plantéelo en otra ocasión.

2

Para inventar parejas de operaciones que ten-gan el mismo resultado, los niños deberán con-siderar las relaciones descubiertas entre la mul-tiplicación y la división. El intercambio de lasoperaciones inventadas con otro compañeroles permitirá validar o invalidar sus respuestas.Pida que busquen el error, si es que lo hay, y locorrijan procurando que cada pareja de opera-ciones tenga el mismo resultado.

3

El alumno deberá encontrar los factores de una multiplicaciónque den como resultado un número establecido de antemano.Con las preguntas que se plantean debajo de las tablas, se pre-tende que los alumnos infieran que los factores o divisores de unnúmero son los que lo dividen exactamente. Si durante el desa-rrollo de la actividad los alumnos no se dan cuenta de esta rela-ción, es posible que en la confrontación colectiva lo consigan alanalizar los números que eligieron como factores. En la actividad5 continuarán trabajando la idea de divisor o factor de maneraimplícita.

31

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones con ayuda de tu calculadora. Hazlo sinoprimir la tecla X. Después anota los cálculos que hayas realizado.

12 x 40 =

15 x 12 =

24 x 11 =

37 x 110 =

• Utiliza la tecla X para averiguar si tus cálculos fueron correctos.

• Reúnete con un compañero y entre ambos prueben con otrasmultiplicaciones que inventen. Deben anotar en su cuadernolos cálculos que hagan con la calculadora.

Comenta con otros compañeros la formaen que resolvieron las operaciones.

4. Utiliza la calculadora para completar las multiplicaciones.Todas deben tener el resultado que se indica. Luego contestalas preguntas.

Todas las multiplicaciones deben resultar 600.

¿Crees que el 7 serviría para completar las multiplicaciones que hay en la tabla? ¿ Y el 9?

• Anota tres números que sirvan para completar la tabla

Todas las multiplicaciones deben resultar 96.

¿Crees que el 5 serviría para completar las multiplicaciones de esta tabla? ¿Y el 8?

Comenta con tu maestro y tus compañeros las respuestasal ejercicio 4.

5. Anota en tu cuaderno varias multiplicaciones que denpor resultado 150 y 200.

96 x 1 x x 2 x 48

3 x x 12 x 2 x 4 x

4 x 15 x 10 x x x

x x x 2 x 3 x 10 x 10 1 x 600

4 5

Ficha 16:4

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12

Analizar las propiedades geométricas de cubosy prismas, así como de sus desarrollos planos oplantillas.

El forro de las cajas

En general, se recomienda que utilice de manera natural los tér-minos geométricos: desarrollo plano, para referirse a la plantillacon la que se pueden construir cuerpos geométricos; caras, parareferirse a las figuras geométricas que limitan el cuerpo; aristas,para señalar la línea en la que se unen dos caras; vértice, para in-dicar el punto en el que se unen tres o más aristas, y bases, paraseñalar las caras paralelas iguales en forma y tamaño de las quese deriva el nombre del prisma.

Organice al grupo en equipos de tres o cuatro in-tegrantes para resolver la actividad 1 y pida queresuelvan la actividad 2 de manera individual.

Se sugiere realizar dos confrontaciones más:una después de la segunda bala de la primeraactividad y otra al concluir la actividad 2.

Al resolver los problemas de la primera y segunda balas, segura-mente surgirán diferentes modelos de desarrollos planos paraun mismo prisma. Por ejemplo:

Si los alumnos sólo trazaron un modelo, sugiera que tracenotro distinto con el que puedan forrar la misma caja que eligie-ron. Si no consiguen forrar su caja con los desarrollos planos queelaboraron, analícelos junto con los niños y averigüen si el errorestuvo en la forma de las caras, en el número de caras que dibu-jaron o en la manera en que las ubicaron.

Para enriquecer la actividad solicite que elijan el desarrolloplano de un prisma y entre todos determinen en dónde colocarlas pestañas para pegarlo; después lo armarán para verificar si lascolocaron en los lugares adecuados.

1



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Al resolver los problemas planteados en lassiguientes balas (tercera a sexta), los alumnosnotarán que hay varias respuestas correctasentre los desarrollos a los que les falta una ca-ra. Si en la confrontación dudan si están bien omal hechos, pídales que los calquen, recorteny armen para comprobar si se puede o no for-mar el prisma.

Antes de resolver la actividad 2, convieneque los alumnos hagan un ejercicio de imagi-nación espacial; pídales que imaginen un cuboy respondan preguntas tales como: ¿Cuántascaras tiene un cubo? ¿Qué forma tienen sus ca-ras? ¿Cuántas aristas tiene? ¿Cuántos vértices?,etcétera.

Si los alumnos tienen dudas acerca de lo que son las aristas olos vértices, muéstreles un cubo y trate de que entre ellos acla-ren sus dudas. Si nadie sabe, usted puede ayudarlos.

2

33

• Contesta las siguientes preguntas.

Tiene dos cuadrados grandes iguales y cuatro rectángulos chicos, también iguales.¿Cómo se llama?

Tiene tres pares de rectángulos iguales. ¿Cómo se llama?

Tiene dos triángulos iguales y tres rectángulos iguales. ¿Cómo se llama?

Tiene dos pentágonos iguales y cinco rectángulos iguales. ¿Cómo se llama?

Si el forro que hizo Éric tiene seis rectángulos iguales, ¿le sirve para forrar unprisma rectangular? ¿Por qué ?

Si el forro que hizo Eugenia tiene cuatro rectángulos iguales y dos pentágonos iguales,¿le sirve para forrar un prisma pentagonal? ¿Por qué?

Mariana hizo un forro bien hecho para un prisma cuadrangular. Si los rectángulosmiden 5 cm de ancho y 8 cm de largo, ¿cuánto pueden medir los lados delos cuadrados?

Cubo Prismatriangular

Prismapentagonal

Prismacuadrangular

Prismarectangular

Compara tus soluciones con las de un compañero.¿Los dos hicieron lo mismo?

2. Observa la forma de las caras de las cajas y ve cómose relacionan éstas con el nombre del prisma.

Es probable que haya diferencias en la res-puesta de la quinta pregunta de esta activi-dad, porque algunos piensen —apoyándoseen lo que se trabajó en las lecciones 4 y 9—que sí se puede construir un prisma rectangu-lar con un desarrollo plano que tenga seis rec-tángulos iguales, ya que si el cuadrado tam-bién es un rectángulo, el cubo es un prismarectangular porque sus seis caras (cuadradas)son rectángulos iguales. Desde este punto devista la respuesta es correcta. Otros alumnospodrían pensar que no se puede construir elprisma porque han observado que los prismasrectangulares tienen cuatro caras laterales uni-das por el lado más largo. Por lo tanto, las basesde esos prismas tienen que estar pegadas enlos lados más cortos. Entonces, si el desarrolloplano tiene seis rectángulos iguales, con dos la-dos largos y dos cortos, al unir las bases con lascaras laterales, sobraría un pedazo de rectángu-lo en cada base. En este caso también es correc-ta la respuesta.

Ficha 25

8 cm

5 cm

8 cm5 cm

8cm

5 cm

Si sucede lo anterior, sugiera a los alumnosque elaboren un desarrollo plano con seis ca-ras rectangulares iguales que midan, por ejem-plo, 9 × 6 cm, y pídales que traten de armarlopara ver quién tienen la razón. Después, puedepreguntar: ¿Qué diferencias hay entre un prismarectangular y un cubo?

Al resolver el último problema es probableque algunos alumnos encuentren que los ladosde los cuadrados del prisma cuadrangular miden8 cm y que otros digan que los lados de los cua-drados miden 5 cm. Si esto sucede, pida que losconstruyan para validar sus respuestas.Descubri-rán que con las medidas indicadas se puedenconstruir dos prismas cuadrangulares diferentes.

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42

13

1



Identificar y medir la base y la altura de algu-nos triángulos y aplicar la fórmula para calcu-lar el área. Reconocer que todo triángulo tienetres alturas, puesto que cualquier lado puedeser la base.

Triángulos y rectángulos

Antes de resolver la lección pregunte a sus alumnos sobre lo quesaben de los triángulos (cuántos triángulos diferentes conocen,cómo se puede calcular su área, cómo saben cuál es la altura deun triángulo, cuál es su base). Después, lea junto con ellos el tex-to escrito con letras azules y comenten la relación entre lo queahí se dice y lo que los alumnos dijeron antes de leer el texto.Pos-teriormente pida que resuelvan la actividad 1.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos. Pídales que trabajen con las actividades demanera individual y que cuando terminen com-paren sus resultados con los de sus compañe-ros de equipo; si hay diferencias, solicite que en-tre ellos averigüen quién tiene la razón. Es con-veniente realizar dos confrontaciones de resul-tados, una cuando terminen la actividad 1 yotra cuando terminen de resolver la actividad 2.

Observe cómo miden los alumnos los lados delos triángulos. Posiblemente algunos crean quelos lados que pasan por las diagonales de lacuadrícula (triángulo morado y rosa) miden 2cm, o tal vez piensen que el triángulo naranjatiene dos lados que miden 4 cm (el que pasapor la diagonal del rectángulo en el que estáinscrito y el que pasa por el largo del rectángu-lo). Si esto sucede, plantee este punto en la con-frontación colectiva y ayúdelos a darse cuentade que la medida de la diagonal de los cuadri-tos es más grande que la medida del lado delcuadrito, por lo que el lado del triángulo naran-ja que pasa por la diagonal del rectángulo midemás de 4 cm.

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L E C C I Ó N

Área. Alturas y bases del triángulo

Triángulos y rectángulos

• Usa tu regla para medir la base y la altura de los triángulos de la siguiente página.¿De qué color son los triángulos que tienen de base 4 cm y de altura 2 cm?

¿Cuál es su área?

¿Cuál es el otro triángulo que también mide 4 cm2 de área?

¿De qué color son los triángulos que tienen de base 2 cm y de altura 3 cm?¿Cuál es su área?

¿Cuál es el otro triángulo que también mide 3 cm2 de área?

2. Calcula el área de los cuadrados, rectángulos y triángulos que se señalanen la tabla. Usa como unidad de medida el centímetro cuadrado.

1. Comenta con tu maestro lo que Edith y Samuelaprendieron sobre los triángulos cuando estaban encuarto grado.

Para calcular el área de un triángulo se puedemultiplicar la medida de la base por la medida de la

altura y dividir el resultado entre dos.Cualquier lado de un triángulo

puede usarse como base.Para cada base que se escoge en un triángulo

hay una altura.La altura es la medida de la línea perpendicular

que une un vértice con el lado opuesto.

• ¿Qué hiciste para saber cuántos cuadritos caben en el triángulo café?

Edith y Samuel dicen que al triángulo verde le caben 48 cuadritos, o sea 12 cm2.Se fijaron que el triángulo verde está dibujado sobre un cuadrado de 6 cuadritos x6 cuadritos y un rectángulo de 10 cuadritos x 6 cuadritos.

13

Cantidad Cantidadde cuadritos en cm2 Área

Rectángulocafé

Triángulocafé

Cantidad Cantidadde cuadritos en cm2 Área

Cuadradoamarillo

Triángulo 1amarillo 2

4

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Es probable que los alumnos tengan dificultades para iden-tificar el cuarto triángulo que mide 4 cm2 de área y el tercertriángulo que mide 3 cm2, porque el triángulo verde claro nomide 4 cm de base y 2 cm de altura, y el azul no mide 2 cm debase y 3 de altura. Además, la altura más fácil de medir en estostriángulos se encuentra fuera de su superficie. Es importanteayudar a los alumnos a identificar estos triángulos y la medidade sus respectivas alturas.

Una vez que el grupo esté de acuerdo en queel área de los triángulos morado, rosa y naranjamide 4 cm2, plantee preguntas como las si-guientes: ¿Los tres triángulos son iguales? ¿Enqué se parecen el triángulo morado y el triángulonaranja? ¿En qué son diferentes? ¿Por qué si sondiferentes su área mide lo mismo? El propósito esque los niños se den cuenta de que el triángulorosa y el morado son iguales en forma porqueson isósceles (tienen dos lados iguales y unodesigual), y son iguales en tamaño porque suslados miden lo mismo, la única diferencia es laposición. En cambio, el triángulo naranja es es-caleno porque la medida de sus tres lados es di-ferente. Por otra parte, es importante que ob-serven que si bien la forma de los triángulos esdiferente, el área es igual para los tres porquemiden lo mismo tanto de base como de altura.

Al completar las tablas los alumnos verificarán que el área delos triángulos es la mitad del área de los rectángulos. Con estepropósito, en la confrontación, plantee preguntas relacionadascon otros triángulos, por ejemplo: ¿Cuánto mide la superficie delrectángulo morado? ¿Qué parte del rectángulo es el triángulomorado?

La pregunta planteada debajo de la tabla da lugar a diferen-tes respuestas. Por ejemplo: supe cuántos cuadritos le caben altriángulo café contando y completando cuadritos, o multiplican-do base por altura y dividiendo el resultado entre dos, o bien, cal-culando el área del rectángulo completo y restándole el área delos triángulos blancos.

Si surge el último procedimiento es importante darlo a cono-cer en la confrontación colectiva y utilizarlo para calcular el áreade los triángulos (el gris) en los que no se pueda aplicar el proce-dimiento sugerido por Samuel y Edith al final de la lección.

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1 cm2

Con tu maestro y tus compañeros averigua por qué aEdith y a Samuel les sirvió esto para calcular el área deltriángulo verde.

• Con el procedimiento que siguieron Edith y Samuel, calculael área del triángulo rosa y del triángulo gris.

2

La estimación deresultados es unahabilidad muyútil en la vida

diaria, su manejodenota la

comprensión delprocedimientoque se pone

en juego.

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14

1



Utilizar el recurso de las rectas paralelas equi-distantes para dividir segmentos de recta enpartes iguales y ubicar números fraccionariosen la recta numérica.

Adornos con listones

Es probable que, al principio, los alumnos crean que para colocar,por ejemplo, 4 esferas en un listón con las condiciones señaladas,deben dividir el listón en 4 partes iguales. En la práctica se daráncuenta de que sólo pueden colocar 3 esferas a la misma distan-cia sin poner alguna en los extremos. Si esto sucede, no los corri-ja, invítelos a buscar la solución. Poco a poco se darán cuenta deque deberán dividir el listón en 5 partes iguales para poder colo-car 4 esferas.

Pueden responder en distintas formas la pregunta ¿Qué frac-ción le corresponde a la esfera verde? Algunos alumnos podrándecir que le corresponde la fracción , porque en lugar de con-tar las partes en las que quedó dividido el listón, contaron

Forme equipos de tres o cuatro alumnos. Em-piece la sesión leyendo el texto escrito con le-tras rojas. Para cerciorarse de que los alumnoshan comprendido los problemas con los quetrabajarán, plantee preguntas como las siguien-tes: ¿Se pueden colocar esferas en los extremos dellistón? ¿Por qué? ¿Pueden colocarse las esferas encualquier lugar del listón? ¿Cómo deben colocarselas esferas? Indíqueles que resuelvan los dos pri-meros problemas. Después de que hayan termi-nado, confrontarán los resultados de estas acti-vidades. Si hay diferencias en las respuestas, pi-da que averigüen quién tiene la razón y que ar-gumenten por qué creen que son correctas oincorrectas.

Pueden trabajar la actividad 3 de manera co-lectiva, ya que resume lo que han trabajado enlas actividades anteriores, la 4 de manera indivi-dual, y al final confrontar los resultados.

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L E C C I Ó N

Ubicación de números fraccionarios en una recta

Adornos con listones

1. Luisa tiene que hacer varios adornos con tiras de listón y esferas.Las esferas tienen que estar colocadas a igual distancia una de otra,sin colocar ninguna en los extremos, como se muestra en el dibujo.

La esfera verde del siguiente dibujo debe ser la tercera de izquierda a derecha.

• Marca los lugares donde se colocarán las demás esferas.

¿En cuántas partes iguales quedó dividido el listón?

Suponiendo que el listón completo es la unidad, ¿qué fracción es cada parte?

¿Qué fracción le corresponde a la esfera verde?

Rosa dice que a la esfera verde le corresponde el 3, Susana dice que le correspondey Beto dice que le corresponde . ¿Quién tiene razón?¿Por qué?

• Dibuja en cada listón lo que se indica.

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(Cinco esferas)

(Ocho partes iguales)

(10 partes iguales)

3—73—8

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las marcas (7) considerando así que cada partees del listón. Otros probablemente digan quele corresponde la fracción . Si esto sucede, nolos corrija, en la confrontación podrán darsecuenta del error y corregirlo con la ayuda desus compañeros. Lo importante es que advier-tan que la fracción que le corresponde a la esfe-ra verde es porque el punto en el que se co-locó está en el límite del tercer octavo del listón.

Para ubicar el lugar en el que deberán colo-car cada esfera, probablemente utilicen algunode los siguientes procedimientos. Por ejemplo,para colocar las 2 esferas que van antes de laverde pueden:

a) Calcular a ojo dónde van y dibujarlas, y hacerlo mismo con las esferas que van después dela verde.

b) Cortar una tira de papel del tamaño del listón.Marcar en la tira el lugar en el que va la esferaverde.Doblar en 2 o en 3 partes iguales el seg-mento del listón a la izquierda de la esfera.

c) Medir con regla el segmento izquierdo dellistón y dividir el resultado de la medición

entre 2 o entre 3, utilizando el algoritmo de ladivisión o con la calculadora.

d) Trazar una recta del tamaño del listón sobreuna hoja blanca y utilizar una hoja rayada pa-ra dividir el segmento izquierdo en 2 o en 3partes iguales.

Es importante que el maestro tenga presen-te que el procedimiento indicado en el inciso c)puede provocar, en algunos casos, que varíe ladistancia entre las esferas. Por ejemplo, al divi-dir en 8 partes la longitud del listón —que mi-de 13.4 cm o 134 mm—, los cocientes son1.675 cm o 16.75 mm y hay un residuo. Dadoque es imposible medir con la regla décimos ocentésimos de milímetro, la única posibilidades aproximar la medida de cada pedazo a 1.6cm o 17 mm, de donde resulta una parte másgrande o más chica que las demás. Si en algu-nos equipos usan este procedimiento, pídalesque verifiquen si todos los pedazos miden lomismo e indíqueles que, por las razones seña-ladas, a veces la regla no ayuda a resolver estetipo de problemas.

Los alumnos que no conocen el procedimientomencionado en el inciso d) lo usarán y podránvalorar sus ventajas cuando resuelvan estas ac-tividades. Si algunos alumnos no entienden có-mo usar la hoja rayada, sus compañeros o ustedpueden enseñarles. Con este propósito consul-te la ficha 9, del Fichero de actividades didácticas.Matemáticas. Quinto grado.

3737

• Analiza el dibujo que completaste.¿En cuántas partes iguales quedó dividido el listón?¿Qué fracción es cada parte?Pinta con color rojo la esfera que está a del extremo izquierdo.

3. En el listón de abajo dibuja cuatro esferas. Antes de dibujarlas contesta lassiguientes preguntas.

¿En cuántas partes iguales tienes que dividir el listón?¿Qué fracción es cada parte?

• Pinta con color azul la esfera que esté a del extremo izquierdo.

4. El trabajo que has hecho con los listones es similar al que se puede hacer en unarecta. Ubica en la siguiente recta la fracción . Considera que los extremos son elcero y el 1.

¿En cuántas partes iguales quedó dividido el segmento 0,1?

• Dibuja en una hoja blanca varias rectas y trata de representar en ellas diferentesfracciones. Te puedes auxiliar con una hoja rayada.

2. Comenta con tu equipo ¿de qué manera piensan que se puede usar una hojarayada para dividir en cuatro partes iguales el listón dibujado? Marca los puntosdonde deben ir las esferas y dibújalas. En el material recortable número 2 encontrarásuna hoja rayada. Si lo necesitas, puedes copiar la longitud del listón en el bordede una hoja para superponerla en la hoja rayada.

0 1

3—4

3—5

5—7

El grado de dificultad de esta actividad aumen-ta al enfrentarse a la recta numérica que repre-senta una unidad acotada por el cero y el uno,pero el uso de la hoja rayada es un gran apoyopara dividir cualquier segmento en partes igua-les y vale la pena que los niños se familiaricencon él.

2 3

4

17

38

38

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15

1



Analizar diversos tipos de información y utilizardiagramas de árbol para organizar y cuantificarlas combinaciones posibles.

Si bien en las tres actividades se planteanproblemas de combinatoria, las variables (con-texto, cantidad y tipo de datos) que se tomaronen cuenta en cada problema, enfrentan a losalumnos a situaciones con diferentes grados dedificultad.

Los programas de televisión

Si a los alumnos se les dificulta utilizar los diagramas de árbol pa-ra resolver los problemas, no se preocupe, a lo largo de esta lec-ción, o con las subsiguientes, lo lograrán.

Con el propósito de que los niños descubran lasventajas de usar diagramas de árbol en proble-mas de combinatoria, se recomienda que elmaestro plantee el primer problema en formaoral, y sólo anote en el pizarrón los datos (sin eldiagrama) para que busquen la respuesta. Esprobable que al principio encuentren sólo algu-nas posibles combinaciones.

Pida que trabajen en su libro el primer pro-blema de la actividad 1. Cuando terminen com-pararán el resultado obtenido con el diagramay los que encontraron al principio de la clase. Pí-dales que comenten por qué en el primer inten-to no encontraron todas las combinaciones. Esimportante que adviertan que con el diagramade árbol se sistematiza la manera de buscar lascombinaciones y al final pueden verlas y conta-bilizarlas sin que se les escape alguna.

Ya que es muy importante que los alumnos in-teractúen al trabajar con esta lección, convieneorganizarlos en equipos para resolverla. Des-pués de terminar cada actividad, confrontarán ycomentarán los resultados.

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L E C C I Ó N

Uso de diagramas de árbol para el conteo de opciones

Los programas de televisión

1. Martín puede ver la televisión una hora al día, de 6 a 7 o de7 a 8, y puede elegir entre el canal 11, el 22 o el 40. Si un programade televisión dura una hora, ¿entre cuántos programas puede elegirMartín diariamente?

Para contestar a esta pregunta, Martín organizó la información en un diagramacomo el siguiente. Complétalo:

6 a 7

canal 11

canal

canal

canal

canal 22

canal 40

15

¿Cuántas opciones diferentes tiene Martín?

• Compara tu respuesta con la de la pregunta 1.

Laura puede ver la televisión también una horaal día y ella puede elegir entre tres horariosdiferentes: de 5 a 6, de 6 a 7 y de 7 a 8, pero sólopuede escoger entre los canales 11 y 22.¿Quién tiene más opciones para escoger?

• Traza en tu cuaderno un diagramacomo el de Martín y comprueba turespuesta.

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2

3

Cuando resuelvan el último problema, tal vezalgunos alumnos se den cuenta rápidamentede que si la duración de los programas se redu-ce a la mitad, pero se mantiene el número decanales y los horarios disponibles, entonces elnúmero de posibilidades aumenta al doble.Otros alumnos probablemente necesiten ela-borar los diagramas de árbol para llegar al re-sultado. Permita que cada equipo lo resuelvacomo pueda. Al analizar los diagramas que ela-boraron pregunte sobre la información queaparece en cada nivel y sobre el total de combi-naciones que hay en cada uno. Por último, pidaa los alumnos que contestaron primero que ex-pliquen cómo encontraron la respuesta.

Al tratar de encontrar lasopciones que tiene Laura paraver la televisión, es probableque elaboren diagramas deárbol como los siguientes.

Confronte los diferentes diagramas elabora-dos por los alumnos y revisen la manera en laque se interpreta cada uno. Puede preguntar:¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden veren cada diagrama? ¿Cuáles son algunas de esascombinaciones? Es importante que se fijen enque cada nivel de los diagramas contiene dife-rentes tipos de información. Por ejemplo, en eldiagrama de la izquierda, en el primer nivel apa-recen sólo los horarios y en el segundo apare-cen los canales. En el de la derecha la informa-ción está a la inversa.

Todos los equipos resolverán el problema resaltado con letrasverdes, a partir de la información proporcionada por dos o tresalumnos que tengan restricciones para ver la televisión. Enfren-tarse a una situación real les permitirá reflexionar sobre la utili-dad de los diagramas de árbol y sobre los datos que necesitanpara elaborarlos.

La dificultad para resolver este problema se presentará cuandose agreguen al menú los postres (gelatina o plátanos). Para quelos alumnos se den cuenta del número de niveles y de ramifi-caciones que debe llevar el diagrama de árbol, plantee pregun-tas tales como: ¿Qué tipo de alimentos se tiene para combinar?¿Cuántos guisados, cuántas guarniciones y cuántos postres son?¿Cuántos niveles debe tener el diagrama? Para terminar, lea juntocon los niños el texto escrito con letras azules y coméntenlo.

5 a 6

Canal 11

Canal 22

6 a 7

Canal 11

Canal 22

7 a 8

Canal 11

Canal 22

Canal 11

Canal 22

5 a 6

6 a 7

7 a 8

5 a 6

6 a 7

7 a 8

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48

16

1


Interpretar la información de un croquis paracalcular áreas mediante la descomposición entriángulos, cuadrados o rectángulos.

Don Ramón y su terreno

Antes de que los alumnos empiecen a trabajarcon la lección, pida que observen con atenciónel croquis del terreno de don Ramón. Planteealgunas preguntas que lleven a los alumnos alocalizar e interpretar la información que hayen el croquis. Por ejemplo: ¿Cuánto mide un ladodel chiquero? Si los niños contestan que 6 cmo 6 cuadritos, cosa que es poco probable, ayú-delos a establecer la diferencia entre las medi-das del dibujo y las medidas reales. Otra pre-gunta puede ser: ¿Cuánto mide el lado más lar-go de la milpa? Una vez aclarados estos aspec-tos pida que resuelvan los problemas de la ac-tividad 1.

Para calcular el área de las superficies señaladas los alumnoscuentan ya con algunos elementos; conocen la fórmula para cal-cular el área de rectángulos, cuadrados y triángulos, y han utiliza-do también el procedimiento de conteo y compensación de uni-dades cuadradas que les permite calcular el área de cualquier fi-gura, aunque no conozcan la fórmula convencional.

En el segundo problema de esta actividad, es muy importanteque usted observe los procedimientos que usan los alumnos pa-ra calcular el área del establo. Se espera que los niños dividan es-ta superficie en un triángulo de 5 m de base por 5 m de altura y

Se sugiere que trabajen en equipo los proble-mas de la actividad 1, y de manera individual elde la actividad 2. Confronte los resultados des-pués de que resuelvan cada actividad. Centre laatención en el análisis de los procedimientosutilizados para calcular el área de figuras pococonocidas por los alumnos.

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L E C C I Ó N

Área de polígonos

Don Ramón y su terreno

1. Don Ramón tiene un terreno que dividió en 8 partespara poder usarlas de diferente manera.

En la siguiente página está el dibujo del terreno y cómo lo dividió donRamón.

• Encuentra el gallinero, el chiquero, la milpa y la hortaliza.

• Usa las medidas que están señaladas en el dibujo y contesta lassiguientes preguntas.

¿Cuánto mide la superficie del chiquero?

El terreno donde está el establo tiene una forma muy rara. Si te fijas, verásque está formado por un rectángulo y un triángulo, ¿cuánto mide la superficiedel establo?

• La superficie donde se siembra el frijol mide 52 m2. Explica por qué esteresultado es correcto.

¿Cuántos metros cuadrados es más grande el terreno del frijol que el terreno de lamilpa? ¿Cuántos metros es más chico el terreno de la hortalizaque el terreno del gallinero?

El terreno de la casa de don Ramón, ¿es mayor omenor que 42 m2?

¿Cuánto mide el terreno de don Ramón?

2. Don Ramón quiere heredar a sus hijosde la siguiente manera:

Para Norma la mitad del terreno de la milpa,la mitad del terreno del frijol, la tercera

parte del chiquero, la hortaliza y 35 m2

del establo.

Para Rogelio el gallinero y lo que queda del terreno de la milpa,del terreno del frijol, del chiquero y del establo.

¿A cuál de los dos hermanos le va a tocar más terreno?

16 Sugerencias para las actividades

M/5/P-018-051.QX4.0 5/20/02 9:29 AM

49

Ficha 55:2Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

un rectángulo de 7 m de base por 5 m de altu-ra, que calculen sus áreas y las sumen. Si no si-guen este procedimiento pero los resultadoscoinciden, deje que continúen.

Ponga especial atención en cómo los alum-nos calcularon el área del terreno donde sesiembra frijol para verificar que mide 52 m2. Esprobable que algunos sigan utilizando el proce-dimiento de conteo y compensación porque esel que dominan, porque les resulta más fácil oporque no han pensado que una figura se pue-de dividir en partes y que la suma de las áreasde sus partes equivale al área total. Si algunosequipos consiguen descomponer la figura enpartes, confronte los procedimientos y desta-que la eficacia de este último. Muchas veces losresultados que se obtienen con el conteo sonaproximaciones, como seguramente sucederáen este caso debido a que uno de los lados nopasa por la diagonal de los cuadraditos de laretícula.

En los tres problemas siguientes, además decalcular el área de los terrenos, deberán deter-minar cuántos metros cuadrados es más gran-

de o más chico un terreno que otro. Es probableque algunos alumnos lo hagan mentalmente,con la calculadora o escribiendo las restas. Pidaque expliquen cómo calcularon mentalmenteel resultado y cómo se resuelven las restas connúmeros decimales.

Para saber si el área de la casa de don Ra-món es mayor o menor que 42 m2, deberándescomponer el terreno en un rectángulo y untrapecio; si observan que sólo el rectángulomide 7 m de largo y 6 de ancho, sabrán que elárea del terreno de la casa de don Ramón esmayor que 42 m2. Otros alumnos quizá calculenel área total de ese terreno.

La última pregunta puede tener respuestasdiferentes: algunos contestarán que el terrenode don Ramón mide 48 m2 y otros que mide285 m2. Pida que expliquen cómo obtuvieronestos resultados. Tal vez los que respondieron48 m2 relacionaron esta pregunta con la ante-rior pensando que se refiere al terreno de lacasa. Los otros quizá consideraron lo correcto,que hace referencia a todo el terreno en el quetambién se encuentra el de su casa.

Para averiguar quién va a heredar más terreno, realizarán variasoperaciones. Observe cómo lo resuelven. Es posible que algunosalumnos calculen exactamente cuántos metros cuadrados le to-can a Norma y a Rogelio sacando mitades, haciendo divisiones,restando y sumando. Otros tal vez descarten el terreno de la mil-pa y del frijol en sus cálculos porque de uno y otro les toca lomismo, concentrándose en el cálculo de lo que les toca del res-to de la herencia. Será interesante observar cómo calculan laparte que les toca del chiquero.

Es importante proponer a los alumnos quecomparen resultados y justifiquen sus

procedimientos para que participen cuandose tenga que decidir cuáles respuestas son

correctas y cuáles no.

2

M/5/P-018-051.QX4.0 5/2/02 1:00 PM


50

17

1



Analizar la información presentada en una ta-bla, comparar y ubicar números decimales enuna recta numérica, y operar con ellos al resol-ver problemas.

El precio de las tortillas

Al confrontar las cantidades escritas con letra, cerciórese de quelos alumnos saben leer y escribir correctamente cantidades dedinero. En el primer caso es válido escribir cero pesos, setenta ycinco centavos o simplemente setenta y cinco centavos.

Al contestar la pregunta ¿Cuánto aumentóel precio de 1 kilogramo de tortilla en los últimos5 años?, es probable que algunos alumnos creanque los últimos cinco años corresponden a losúltimos cinco renglones de la tabla; otros tal vezconsideren los aumentos a partir de abril de1996, y que otros consideren los que hubo apartir de enero de 1996, dato que se puede in-ferir porque en la tabla no se indica que hayahabido aumentos de enero de 1995 a marzo de1996. Por lo tanto, el precio de la tortilla en ene-ro de 1996 era de $0.75 y su precio aumentó$3.75 en los últimos cinco años. Si los alumnosobtienen resultados diferentes, analicen cómolos obtuvieron, ya que las diferencias puedendeberse a la interpretación del problema y estotiene que ver con la siguiente pregunta: ¿En quédatos de la tabla te fijaste para responder?

Organice el grupo en equipos de cuatro o cincoalumnos para que trabajen con las actividades1 y 2; pueden resolver la actividad 3 en parejas.Al confrontar los resultados de las primeras dosactividades conviene empezar por la actividad2. Para ello, dibuje en el pizarrón las rectas nu-méricas; pida que un alumno de cada equipoubique en las rectas dibujadas uno de los perio-dos y uno de los precios solicitados; esto permi-tirá validar las respuestas de la actividad 1.

42

L E C C I Ó N

Interpretación y comunicación de cantidades con números decimales

El precio de las tortillas

• Anota con letras cuánto costaba un kilogramo de tortilla en las siguientes fechas.

Diciembre de 1994Diciembre de 1996Octubre de 1998Enero de 2000

¿Cuánto aumentó el precio de un kilogramo de tortilla en los últimos 5 años?

¿En qué datos de la tabla te fijaste para responder?

¿Cuál fue el periodo de tiempo más largo en el que se mantuvo el mismoprecio?

Los aumentos registrados no siempre fueron iguales. ¿De cuánto fue el mayoraumento registrado y en qué fecha?

1. La tortilla es un alimento muyimportante para los mexicanos.

En la tabla de laderecha se puedever en cuáles fechashubo un aumento delprecio de la tortilladurante los últimosaños.

Mes Año Precio

Diciembre 1994 $0.75

Abril 1996 $1.40

Diciembre 1996 $1.70

Agosto 1997 $1.90

Febrero 1998 $2.20

Junio 1998 $2.60

Octubre 1998 $2.90

Enero 1999 $3.50

Enero 2000 $4.50

17

M/5/P-018-051.QX4.0 5/2/02 1:00 PM

51

Ficha 15 (decimales)Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Para ubicar las fechas que faltan en la recta, esprobable que algunos alumnos empiecen acontar a partir de la línea naranja que apareceen el extremo izquierdo de la recta (incorrecto),y que otros quizá cuenten los espacios limitadospor las líneas verdes (correcto). En la confronta-ción colectiva pida que expliquen cómo hicie-ron el conteo, para que entre ellos se corrijan.

También pueden pensar que el punto que in-dica el límite entre un espacio y otro es el que lecorresponde al periodo de tiempo en cuestión.Es importante resaltar que un año (la unidad)está representado por la distancia limitada conlíneas naranja y que los espacios limitados porlas líneas verdes representan los meses del año.Por lo tanto, el espacio que hay entre una líneay otra corresponde a un periodo de un mes. Siningún equipo ubicó correctamente los perio-dos, enséñeles cómo hacerlo.

Para colocar los precios en la segunda recta,es importante que los alumnos se fijen en que

2

Para responder la penúltima pregunta es necesario que consi-deren el número de meses o años que transcurrieron entre unaumento y otro. En el caso de la última pregunta, los alumnos de-berán efectuar varias operaciones, mentalmente, con la calcula-dora o por escrito (restando con el algoritmo convencional). Si al-gunos alumnos se equivocan al restar, seleccione a varios querestaron bien y a otros que restaron mal y pídales que repitan susoperaciones en el pizarrón. Los demás deberán detectar los erro-res, explicar en qué se equivocaron y cómo corregirlos.

3

los números decimales aparecen entre dos nú-meros enteros, y que entre un número decimaly otro hay otros números decimales. Antes decomentar el párrafo escrito con letras verdespregunte: ¿Qué números hay entre 1.50 y 1.55?

43

2. Representa las fechas de la tabla en esta recta. Además comprueba si tusrespuestas de la página anterior son correctas.

¿En cuántas partes iguales se dividió cada año?¿Cuánto tiempo representa cada parte?

• Representa en esta recta los precios de la tortilla y comprueba si tus respuestasde la página anterior son correctas.

¿En cuántas partes iguales quedó dividido cada peso?

¿Cuánto dinero representa cada parte?

dici

embr

e 19

94

abri

l 199

6

ener

o 20

00

1994 1996 1999

0.75 2.90

0 1 2 3 4 5 pesos

43

Comenta con tus compañeros y tu maestro por qué75 centavos está a la mitad entre 0.70 y 0.80

3. Con tu calculadora encuentra dos números que sumen 5.40

• Encuentra dos números cuya diferencia sea 1.30

Los alumnos utilizarán diversos procedimientos para resolver es-tos problemas. Al principio quizás lo hagan por ensayo y error,pero paulatinamente recurrirán a las propiedades de los núme-ros y de las operaciones que conocen. Por ejemplo, para trabajarcon el primer problema pueden restar de la siguiente manera: a5.40 le restan una cantidad menor (5.40 – 3.20 = 2.20) por lo tan-to 3.20 + 2.20 = 5.40. También pueden sacar mitades y obtener2.70 + 2.70 = 5.40, o pueden sumar tomando como base una can-tidad menor: 3.80 + ¿? = 5.40. Es importante que comenten susprocedimientos.

M/5/P-018-051.QX4.0 5/2/02 1:00 PM


52

18


La segunda pregunta tiene varias respuestas correctas, ya quees probable que dos o más canicas caigan en hoyos del mismovalor, o que caigan en hoyos con valores diferentes. Por ejemplo,pueden reunir 17 puntos si las canicas caen en 6 + 5 + 1 + 2 + 3o 4 + 5 + 6 + 1 + 1, etcétera. Pida que verifiquen si todas las res-puestas encontradas por los equipos suman 17 puntos.

En la tercera pregunta, lo más importante es que los niños di-gan por qué sí o por qué no Karina puede ganar la guitarra, sa-biendo que lleva 15 puntos y le falta tirar 2 canicas.

Identificar algunas propiedades que se cum-plen cuando dos cantidades son directamenteproporcionales. Localizar datos en una ilustra-ción para inferir respuestas.

Las canicas de la feria

Organice al grupo en equipos de cuatro o cin-co alumnos para que trabajen con las activida-des de la lección. Es conveniente realizar variasconfrontaciones: la primera, cuando terminende resolver la actividad 1; otra cuando losalumnos respondan a la primera pregunta dela página 47; una más cuando terminen la acti-vidad 2 y, por último, confrontarán los resulta-dos de la actividad 3.

Antes de trabajar con la lección, propicie quelos alumnos comenten cómo se juega en las fe-rias con las canicas; para qué sirve el tableroque aparece en el extremo inferior izquierdode la página, y qué significan los números queaparecen junto a los juguetes. Después pidaque resuelvan la actividad 1.

Para responder a la primera pregunta se es-pera que los alumnos observen que si las cin-co canicas caen en los hoyos de mayor valor(6), el máximo de puntos que pueden reunires 30. Puede preguntar: ¿Cuál es el menor nú-mero de puntos que se puede obtener al tirarcinco canicas?

46

L E C C I Ó N

Establecer diferencias entre la variación proporcional y no proporcional

¿Cuál es el mayor número de puntos que se puede obtener al tirar 5 canicas?

Karina tiró 5 canicas y obtuvo 17 puntos.¿En cuáles hoyos pudieron haber caído?

Karina lleva 15 puntos y le falta tirar dos canicas. ¿Crees que pueda ganar unaguitarra?

¿Por qué?

2. En la siguiente tabla aparecen las canicas lanzadas por Karina ylos puntos que logró acumular.

Las canicas de la feria

12

21

Canicas lanzadas Puntos acumulados

1 2

2 5

3 7

4 13

5 14

18

¿En qué número cayó la primera canica?¿Y la segunda?¡Cuidado! No es cierto que haya caído en el 5.

1. En el juego de las canicas se trata de meterlas en los hoyos yacumular el mayor número de puntos. Después de tirar cinco canicas,se suman los puntos y se obtiene un premio. Por ejemplo, paraganar el carrito hay que acumular 29 puntos.

28

16

29

46

1


M/5/P-052-087.Qx4.0 5/16/02 3:46 PM

53

Si los alumnos han comprendido la idea deproporcionalidad es probable que la siguien-te pregunta la contesten así: Por cada canicaque caiga en un hoyo se gana la misma canti-dad de puntos. Hay que ponerle el mismo valora los hoyos. Otros, tal vez digan: Para que seanproporcionales las canicas deben caer en hoyoscon el mismo valor. Si la mayoría de los alum-nos piensan de esta manera, serán capaces decompletar la tabla de manera proporcional. Sino es así, complete de manera colectiva unatabla destacando la propiedad que se ha veni-do trabajando: Para que los datos de la tablasean proporcionales, si una cantidad aumentaal doble o al triple, la otra cantidad también de-be aumentar al doble o al triple.

Si algunos alumnos completaron su tablaproporcionalmente y otros no, elija una de cadatipo y copiélas en el pizarrón. Pida a los alumnosque las revisen y con su apoyo ayúdeles a distin-guir cuándo una tabla presenta cantidades quevarían proporcionalmente y cuándo no.

Al analizar los datos de la tabla es importanteque los alumnos observen que en la primeracolumna los números aumentan de uno enuno, mientras que en la segunda no hay una re-gularidad. El aumento es aleatorio porque de-pende del número en el que caiga cada canica.Pida que expliquen por qué se dice en el libroque con la segunda canica no se obtuvieron 5puntos, y pregunte por los puntos que ganaronal tirar la tercera y la cuarta canica.

Confronte cómo justifican los alumnos quelas cantidades de la tabla no son proporciona-les. Es probable que digan: Porque no aumen-tan igual o Porque no aumentan al mismo ritmo oPorque no aumentan de la misma manera o Por-que el doble de 1 es 2, pero el doble de 2 no es 5,etcétera. Si no saben qué contestar, tome encuenta la sugerencia que se da en la siguientebala. Resalte, con ejemplos, la propiedad que seseñala en el texto escrito con letras azules en lalección 6. Después, regresen a la lección 18 y pi-da que verifiquen si en los datos de la tabla,cuando las canicas aumentan al doble o al tri-ple, los puntos acumulados también aumentande la misma manera.

2

3

Después de que completen las tablas y de que verifiquen si lascantidades registradas en ellas aumentan en forma proporcio-nal, propicie que los alumnos comenten por qué en la tabla delos dardos y en la de las canicas de la página 46, las cantidadesno son proporcionales y pida que expliquen qué debería suce-der con el juego de los dardos para que las cantidades seanproporcionales.

Si hay tiempo, solicite a los alumnos que observen qué suce-de si en cada renglón de la tabla dividen (con la calculadora) elnúmero de la segunda columna entre el número de la primera,por ejemplo, en la tabla A: 2 entre 3, 3 entre 6, etcétera. En la ta-bla B: 3 entre 1, 6 entre 2, 9 entre 3, etcétera. Pregunte: ¿Cómo sonlos resultados de las divisiones en cada tabla?

Comente que ésta es otra forma de verificar si las cantidadesde las tablas son o no proporcionales. Si el resultado de la divi-sión es el mismo en todos los renglones, las cantidades sonproporcionales.


M/5/P-052-087.Qx4.0 5/7/02 10:59 AM


54

19

Comparar, ordenar y ubicar dentro de ciertosrangos cantidades expresadas en kilómetroscuadrados.

¿Cuánto mide la República?

Pida a los alumnos que lean esta actividad ycontesten la pregunta que se plantea. Despuésde un tiempo breve confronte las respuestas ypida que las justifiquen. Probablemente con-testen 1 km, a partir de la idea de que un cua-drado cuya superficie mide 1 cm2 mide 1 cmpor lado, así como un cuadrado cuya superficiemide 1 m2 mide 1m por lado.

Es importante que los alumnos se formenuna idea de una superficie de 1 km2, para ello

Para resolver esta lección se sugiere organizaral grupo en equipos de cuatro alumnos y reali-zar una confrontación después de cada activi-dad. Es importante que cada niño tenga unacalculadora, ya que algunos problemas requie-ren cálculos muy extensos.

pídales que, a partir del lugar en el que está laescuela, imaginen otros tres puntos para formarun cuadrado que mida 1 km por lado, todo estode manera aproximada, por supuesto. De serposible, pida que verifiquen la longitud de unode los lados, o bien preguntéles: Si un campo defutbol mide 90 metros de largo por 70 metros deancho, ¿cuántos campos de futbol caben en un ki-lómetro cuadrado?

1


La mayoría de las preguntas de esta actividadse contestan localizando la información en lastablas que hay en la segunda página de la lec-ción. Los alumnos deberán ordenar las cantida-des que corresponden a su zona geográfica yestablecer el lugar que le corresponde en la ta-bla a su entidad federativa. Es poco probableque haya diferentes respuestas correctas por-que esto podría suceder sólo en el caso de queen un mismo salón hubiera niños que viven endistintas entidades. Si esto sucede vale la penacomentarlo.


48

L E C C I Ó N

El km2 como unidad de medida de grandes superficies

¿Cuánto mide la República?

1. Para medir áreas de grandes superficies, como la de los estadosde la República Mexicana, se usa como unidad de medida elkilómetro cuadrado, que se abrevia km2.

¿Cuánto crees que mide el lado del cuadrado que tiene como superficie un km2?

2. En la página siguiente están los datos del área de los estados de la República yla del Distrito Federal.

¿En cuál de ellos vives?

¿Cuánto mide su superficie?

¿En qué zona geográfica vives?

• En un mapa de la República Mexicana localiza tu zona geográfica.

• Fíjate en las otras entidades federativas que pertenecen a la misma zona que latuya. Ordena las áreas, de la más grande a la más chica

¿En qué lugar quedó la entidad en la que vives?

• Encuentra las dos entidades de la República entre las que está comprendida elárea de la entidad donde vives

3. Usa tu calculadora y ordena en tu cuaderno las zonas, de la de menor superficiea la de mayor.

¿Cuál es la zona más grande?

¿En qué lugar quedó la zona a la que pertenece el lugar donde vives?

¿Cuál es la entidad federativa másgrande de la República?

¿Cuál es la entidad federativa máschica?

19

48

2

M/5/P-052-087.Qx4.0 5/27/02 10:51 am

55

Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º Ficha 46 (60)

49

Zona del Noroeste Zona del NorteBaja California 70 113 km2 Chihuahua 247 087 km2

Baja California Sur 73 677 km2 Coahuila 151 571 km2

Sonora 184 934 km2 Durango 119 648 km2

Sinaloa 58 092 km2 Zacatecas 75 040 km2

Nayarit 27 621 km2 San Luis Potosí 62 848 km2

Zona del Centro-Occidente Zona del NoresteGuanajuato 30 589 km2 Nuevo León 64 555 km2

Michoacán 59 864 km2 Tamaulipas 79 829 km2

Jalisco 80 137 km2

Colima 5 455 km2 Zona del Golfo de MéxicoAguascalientes 5 589 km2 Veracruz 72 815 km2

Tabasco 24 661 km2

Zona del Centro-SurQuerétaro 11 769 km2 Zona de la Península de YucatánHidalgo 20 987 km2 Yucatán 39 340 km2

Estado de México 21 461 km2 Quintana Roo 50 350 km2

Morelos 4 941 km2 Campeche 51 833 km2

Tlaxcala 3 914 km2

Distrito Federal 1 499 km2

Puebla 33 919 km2

Zona del Pacífico SurGuerrero 63 794 km2

Oaxaca 95 364 km2

Chiapas 73 887 km2

• Escribe en la tabla los estados cuya superficie está en los rangos señalados.

¿Qué estados no quedaron registrados en la tabla?

• Usa tu calculadora para saber cuánto mide la superficie delterritorio mexicano

Rango Estados

De 1 000 km2 a 40 000 km2

De 40 000 km2 a 80 000 km2

De 80 000 km2 a 120 000 km2

Antes de empezar a resolver esta actividad seráinteresante que los alumnos hagan una estima-ción con base en la pregunta: De acuerdo con losdatos que hay en las tablas, ¿cuál creen que es lazona más extensa? ¿Cuál creen que es la zona me-nos extensa? Anote en el pizarrón las respuestasde cada equipo para que las puedan verificaruna vez que hayan hecho los cálculos.

Aunque en el libro de texto se recomiendaordenar las áreas de las zonas geográficas en elcuaderno, los alumnos pueden anotar las áreastotales a un lado de cada tabla y después nu-merarlas para establecer el orden, ya que es me-jor que tengan toda la información a la vista.

El problema señalado con una bala es un po-co laborioso y los alumnos pueden equivocarsefácilmente. Una manera de ayudarlos a contro-lar sus respuestas consiste en decirles que en elprimer rango (De 1 000 km2 a 40 000 km2) hay 13 entidades federativas; en el segundo rangotambién hay 13 y en el tercero hay 3. Así, losalumnos tendrán un punto de referencia parabuscar en las tablas la información que necesi-tan y seguramente lo harán con más interés. Decualquier manera hay que comparar los resulta-dos colectivamente, incluyendo la preguntaque está enseguida de la tabla. Al final puedenver que 13 + 13 + 3 = 29, puesto que en totalson 32 entidades federativas, hay tres que noquedaron registradas en la tabla porque reba-san los 120 000 km2.

El último problema de esta lección resumetodos los cálculos que se han realizado en unresultado final que es el área de la RepúblicaMexicana, cerca de 2 000 000 km2. Si hay tiempoe interés por parte de los niños pueden agre-garse algunas preguntas como las siguientes:¿Cuánto falta para que el área de la RepúblicaMexicana sea de 2 000 000 km2? ¿El resultado anterior se acerca al área de cuál estado? ¿Aproxi-madamente qué porcentaje del territorio nacio-nal ocupa el estado de Chihuahua?

3En el último problema de esta actividad es

importante que usted se cerciore de que losalumnos comprendieron la expresión: "las dosentidades de la República entre las que el áreade la entidad donde vives está comprendida".Esta expresión se refiere al área mayor y a lamenor más cercanas a la de la entidad dondeviven los alumnos. Por ejemplo, es correcto de-cir que el área de Guerrero (63 794 km2) estácomprendida entre el área de Michoacán (59864 km2) y la de Jalisco (80 137 km2). Sin embar-go las dos áreas más próximas a la de Guerreroson Nuevo León (64 555 km2) y San Luis Potosí(62 848 km2).

Este problema es particularmente interesan-te para los niños que viven en el Distrito Federaly para los que viven en Chihuahua, porque en elprimer caso sólo podrán localizar el estado cu-ya área es mayor y a la vez más cercana (Tlaxca-la), mientras que en el segundo caso sólo po-drán localizar el estado cuya área es menor y ala vez más cercana.

Si sus alumnos no viven en el Distrito Federalo en Chihuahua de todos modos puede plan-tearles la pregunta: ¿Qué contestaría en este pro-blema un niño que vive en el Distrito Federal?¿Qué contestaría un niño que vive en Chihuahua?

M/5/P-052-087.Qx4.0 5/16/02 3:56 PM


56

20

1



Localizar, interpretar y comunicar informaciónmediante tablas o gráficas circulares y de ba-rras. Comparar cantidades de población entre síy con respecto a los territorios que ocupan.

La población del mundo

Con el fin de que los alumnos se den cuenta deltipo de información que contiene la tabla plan-tee preguntas como: ¿Cuántos habitantes habíaen 1960 en América Latina? ¿Qué continente esta-ba más poblado en 1950? ¿En qué década creciómás la población en América Latina?

Al analizar la gráfica, utilice de forma naturallos términos con los que se identifican sus ele-mentos (eje vertical, eje horizontal, intervalos,barras), con el propósito de que los alumnos sefamiliaricen con ellos y poco a poco los inte-gren a su vocabulario. Ayúdelos a inferir el sig-nificado de los intervalos de cada eje y a ob-servar que en el horizontal van de 10 en 10(1950, 1960...) y en el vertical van de 50 en 50(0, 50, 100...).

Para comparar las superficies, probable-mente los alumnos usen alguno de los proce-dimientos que conocen para calcular áreas. Sies así permítaselos; en caso contrario, sugieraque recorten las regiones y las comparen. Para

Las actividades requieren tiempo suficiente pa-ra analizarlas, resolverlas y confrontar los resul-tados. Asegúrese de que los alumnos cuentencon los siguientes materiales: dos mapas con di-visión política, uno del continente americano yun mapamundi, hojas de cuadrícula tamañocarta o papel milimétrico, regla y colores.

Organice al grupo en equipos de cuatroalumnos. Permita que interactúen libremente altrabajar con las actividades. Conduzca de ma-nera colectiva el análisis de la tabla y de la grá-fica de la actividad 1; después pida que resuel-van las actividades 2 y 3. Cada vez que terminenuna actividad confronte resultados y opiniones.

50

L E C C I Ó N

Análisis de la información en tablas y gráficas

La población del mundo

• Rosa y Rodrigo hicieron la siguiente gráfica, utilizando algunos datos de la tablade población.

1. ¿Cómo evolucionaron las poblaciones del mundo en las últimasdécadas? La siguiente tabla muestra cómo ha variado la poblaciónen las distintas regiones del mundo, durante la segunda mitad delsiglo veinte. Las cifras están dadas en millones de habitantes.

Estados Unidosy Canadá

millones dehabitantes

años

20Población del mundo en millones de habitantes

Año Estados Unidos y Canadá América Latina Europa Asia África Oceanía MUNDO

1950 166 164 392 1 560 219 13 2 5141960 199 215 425 1 897 275 16 3 0271970 226 283 460 2 335 354 19 3 6771980 252 365 484 2 884 472 23 4 4801990 276 442 501 3 428 625 26 5 298

Fuente: Organización de las Naciones Unidas (ONU)

50

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

1950 1960 1970 1980 1990

AméricaLatina

M/5/P-052-087.Qx4.0 5/7/02 10:59 AM

57

Ficha 30

verificar, pida que averigüen en el Atlas de Méxi-co. Educación primaria cuánto miden esas super-ficies (Estados Unidos y Canadá 18 929 100 km2

y América Latina 20 939 005 km2).En la confrontación procure que los alumnos

comparen la superficie de América Latina y lacantidad de habitantes que tenía en 1960 conla de 1990 planteando las siguientes situacio-nes: En 1960, ¿cuántos habitantes por kilómetro

cuadrado había en América Latina? ¿Cuántos en1990? Es importante que observen que confor-me pasa el tiempo la población aumenta perola superficie no. Por lo tanto, en una misma ex-tensión territorial, vive un número de personasen continuo aumento, es decir, la densidad de lapoblación es mayor. Pida que lean el texto escri-to con letras verdes e invítelos a expresar lasideas que tengan al respecto.

2

La elaboración de las gráficas puede resultar algo compleja paralos alumnos porque tienen que determinar la amplitud más ade-cuada de los intervalos que deberán registrarse en el eje vertical.Por ejemplo, en la gráfica comparativa entre América Latina yAsia, se deben registrar cantidades que van desde los 164 millo-nes hasta el orden de 3 428 millones. Esto implica que el eje ver-tical debe partir de cero y llegar a 3 428 millones o un poco más.Además, los intervalos deberán tener la misma amplitud parapermitir registrar los datos con la mayor exactitud posible.

Ayude a sus alumnos trazando los ejes en el pizarrón y pre-gunte qué van a registrar en cada eje y cuántos intervalos nece-sitan en cada uno. En relación con los intervalos del eje horizon-tal, éstos están determinados por los cinco años que se van aanotar, pero en el eje vertical la mayor cantidad que debe apare-cer es 3 428 (millones). Una posibilidad es hacer 15 intervalos de240 (millones) cada uno, de esta manera se llegaría hasta 3 600.

En esta otra actividad los alumnos conocerán yanalizarán la gráfica circular o de pastel elabo-rada con los mismos datos que se han venidotrabajando a lo largo de la lección.

Confronte las respuestas que dieron losalumnos y después pregunte: En la gráfica cir-cular ¿cómo supieron que el color amarillo repre-sentaba a Oceanía? A qué conclusiones podemosllegar con sólo ver la gráfica circular?

En la confrontación final discutan sobre laconveniencia de consultar la tabla o las gráficaspara dar respuesta a las preguntas planteadasen las diferentes actividades: Si quiero saber cuáles la diferencia en el número de habitantes entreAmérica Latina y Estados Unidos y Canadá, en1990, ¿qué me conviene consultar, la gráfica debarras, la gráfica circular o la tabla? Y si quiero sa-ber cómo crecieron estas dos poblaciones desde1950 hasta 1990, ¿qué me conviene consultar: al-guna de las gráficas o la tabla?

3


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21

1



Inferir los valores de los símbolos utilizados enel sistema de numeración romano; descubrirsus reglas de escritura mediante el análisis, la in-terpretación, comparación y ordenamiento decantidades escritas con números romanos.

Los números romanos

A partir del análisis del índice de un libro se pre-tende que los alumnos deduzcan su contenido,manifiesten lo que saben de los números roma-nos y comenten en qué otros contextos seusan. Es probable que conozcan el valor de al-gunos símbolos porque los han visto en libros,revistas, periódicos o en algunos relojes. La in-formación que compartan en la confrontaciónserá de utilidad para todos los alumnos en la re-solución de las siguientes actividades.

Es importante invitar a los alumnos a queellos mismos sean los que infieran el valor delos símbolos a partir de lo que ya saben y de lainformación que aparece arriba de la tabla. Altratar de inferir los valores podrán seguir razo-namientos similares al siguiente: 3 se escribeasí: III, y 8 así: VIII. Entonces la V vale 5 porque5 + 3 = 8.

Después de que completen la tabla puedepreguntar: ¿Cómo supieron que L = 50? ¿Y que D = 500? ¿Cómo dedujeron que M = 1 000? ¿Yque C = 100? Solicite que escriban algunos nú-meros con los símbolos romanos en los quesólo se utilice el principio aditivo del sistemade numeración romano, es decir, cuando lossímbolos de menor valor se suman porquevan a la derecha de los símbolos de mayor va-lor. Por ejemplo: 6 (VI), 18 (XVIII), 85 (LXXXV),255 (CCLV), 600 (DC), 836 (DCCCXXXVI), 3 578(MMMDLXXVIII).

Es conveniente que los alumnos trabajen enparejas para favorecer el intercambio de pun-tos de vista. Después de cada actividad, se re-comienda hacer una pausa para confrontar losresultados y socializar los descubrimientosrealizados.

52

L E C C I Ó N

Lectura y escritura de números romanos

Los números romanos

1. La ilustración de la izquierda es lapágina del índice de una enciclopedia.

• ¿De qué trata la enciclopedia?

¿Qué tipo de números se utilizan para señalar lostomos?

¿De cuáles de esos números conoces su valor?

¿Qué título le pondrías a la enciclopedia?

Comenta tus respuestascon tus compañeros y tumaestro.

• En seguida aparecen algunos números romanosy su valor en numeración decimal. Anota enla tabla el valor que representa cada letra.

2. En un principio, los romanos repetían las letrashasta cuatro veces, por ejemplo: el 4 lo escribíancomo IIII y el 9 lo escribían como VIIII. El 90 lorepresentaban como LXXXX y el 140 como CXXXX.

Posteriormente, utilizaron otra forma de representarlos números repitiendo sólo tres veces cada letra.Observa los siguientes números y trata de averiguarcuál es esa forma.

21

I V X L C D M

ÍNDICE GENERAL

T O M O IDesde los orígenes al Islam

(siglos XXX a.C. al VI d.C.)❧

T O M O I IDesde el Islam al Renacimiento

(siglos VII al XVI)❧

T O M O I I IDesde el Renacimiento

hasta la formación de los grandesEstados de Europa

(siglos XVI y XVII)❧

T O M O I VEl siglo liberal y capitalista

(siglo XVIII)❧

III = 3 VIII = 8 XII = 12 VII = 7 XV = 15 LX = 60

LXX = 70 CCC = 300 DCC = 700 MD = 1 500 MM = 2 000 CC = 200

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finalmente que esos símbolos agrupados for-man el 434 es decir CDXXXIV. Después pida queellos le digan cómo escribir otro número, porejemplo el 969 = 900 + 60 + 9.

Ayúdelos a concluir que para escribir núme-ros en el sistema de numeración romano algu-nas veces se utilizan tres principios básicos:

a) Repetir el valor de un mismo símbolo.b) Sumar un valor menor a otro mayor.c) Restar un valor menor a otro mayor.

Si es necesario, apoye a los alumnos para quedetecten el principio de sustracción del siste-ma de numeración romano escribiendo juntocon ellos algunos números. Por ejemplo el 434.Sugiérales que escriban este número en nota-ción desarrollada: 434 = 400 + 30 + 4. Ensegui-da pídales que debajo de cada sumando escri-ban el que corresponde en números romanos.El 400 y el 4 ya están en los ejemplos y sólo de-ben localizarlos, se espera que con la informa-ción anterior puedan escribir el 30. Indíqueles

Observe cómo resuelven los alumnos esta actividad y en la con-frontación elija a cinco alumnos para que cada uno complete unrenglón de las tablas. Al final pregunte si alguien está en desa-cuerdo con los resultados escritos; en caso de ser así, pida que ar-gumente su opinión.

Al confrontar las respuestas de las preguntas planteadas enla penúltima bala de esta actividad vale la pena preguntar quésignifica a.C. y d.C. Si alguien lo sabe pida que lo explique a suscompañeros. Algunos alumnos tal vez sepan la duración del pe-riodo que marca el tomo I al sumar XXX siglos a VI siglos, aun-que es probable que esto no sea evidente para todos. En estecaso se recomienda trazar una línea del tiempo y ubicar los siglosque abarca cada tomo antes y después de Cristo para ayudarlesa encontrar la respuesta.

2

4

3

Es importante que los niñosescriban con sus propias pala-bras las diferencias que en-cuentren entre ambos siste-mas y posteriormente las co-menten. Después pueden ela-borar en su cuaderno una ta-bla como la siguiente:

Sistema de Sistema decimalnumeración romano de numeración

Se utilizan 7 símbolos (letras). Se utilizan 10 símbolos entrelos cuales hay uno para el cero.

No usan el cero para escribir El cero es necesario porquelos números. el sistema es posicional.

No es posicional, porque Es posicional, porque el valorlos valores de los símbolos no de un símbolo depende de ladependen de su posición. posición que ocupa.

En algunos casos se aplica En ningún caso se usael principio sustractivo. el principio sustractivo.

Aplica el principio aditivo: Se suma el valor que adquierense suman los valores absolutos los símbolos por el lugar quede los símbolos. ocupan dentro de un número.

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22

1



Localizar puntos en un plano mediante las dis-tancias que hay de un punto cualquiera a losejes que señalan los puntos cardinales, con elfin de formar figuras, analizar sus propiedadesde simetría y calcular sus áreas.

Puntos y figuras

Mientras los alumnos trabajan con esta actividad observe cómola llevan a cabo para darse cuenta si recuerdan cómo ubicarpuntos en el plano. Un aspecto muy importante de esta activi-dad es la posibilidad que tienen los alumnos de decir que no es-tán de acuerdo con lo que dice David o que sólo están de acuer-do con una parte, ya que las referencias para localizar el puntoverde (12 poniente, 14 sur) no son correctas.Trate de aprovechareste hecho para que los alumnos argumenten.

Al realizar esta actividad los alumnos resolverándos tipos de problemas: expresar las referenciasde un punto a partir de su ubicación en el pla-no y localizar un punto a partir de referenciasdadas. Al terminar, verificarán si lograron o noubicar los puntos en el plano, y anotarán las re-ferencias que faltan en la tabla. Al unir todos lospuntos deben obtener una estrella; si no fue así,en la confrontación se detectarán los errores.

Las tres primeras actividades pueden resolverseindividualmente, después organice al grupo enequipos para trabajar con la actividad 4. Realicetres confrontaciones de resultados: una cuandoterminen la actividad 1, otra después de con-cluir las actividades 2 y 3, y una más después dela actividad 4.

2

54

L E C C I Ó N

Localización de puntos en un plano con ejes de coordenadas

Puntos y figuras

1. David localiza puntos en el plano de la página siguiente y diceque el punto rojo está en (12 oriente, 10 norte), que el puntoverde está en (12 poniente, 14 sur) y el punto morado está en(4 poniente, 15 norte).

¿Estás de acuerdo con lo que dice David? David se equivocó en la localización de un punto, ¿cuál es?

• Escribe la localización correcta de ese punto

2. David trazó una figura en su plano. Para encontrar el dibujo de David sigue lasinstrucciones.

• Localiza en el plano los puntos que están en la tabla. No te olvides de poner laletra que le corresponde a cada punto.

• Escribe en las tablas la ubicación de los puntos que faltan.

• Une con líneas los puntos del A al L siguiendo el orden alfabético. Paracerrar la figura une el punto L con el A.¿Qué figura te salió?

3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura?

Los puntos A y C son simétricos respecto a la línea roja, que esuno de los ejes de simetría de la figura.¿Cuánto mide la distancia desde el punto A a ese eje de simetría?

¿Cuánto mide la distancia del punto C al mismo eje?

• Verifica que para cualquier par de puntos simétricos respectoa un eje de simetría, su distancia al eje sea la misma.

Punto Ubicación Punto UbicaciónA (7 oriente, 11 norte) GB (0, 7 norte) H (0, 7 sur)

C I (7 oriente, 11 sur)

D (6 poniente, 4 norte) JE (13 poniente, 0) KF L

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En la confrontación es probable que los alumnos digan que la es-trella tiene hasta seis ejes de simetría. Para verificarlo, invítelos ausar un espejo (como en la lección 2) o a calcar la estrella, recor-tarla y, por medio de dobleces, descubrir que sólo tiene dos ejesde simetría: la línea roja y la línea morada.

La consigna planteada en la última bala permite generar mu-chas otras con el fin de que los alumnos reafirmen su conoci-miento sobre las características de dos puntos que son simétri-cos con respecto a un eje: están a la misma distancia y el segmen-to que los une es perpendicular al eje. Por ejemplo, encontrar dospuntos que son simétricos al punto J; o bien, ¿Por qué son simétricoslos puntos G e I con respecto a la línea roja? Si sólo mencionan ladistancia dígales que C también está a la misma distancia y sin em-bargo no es simétrico de I.

Calcular el área de la estrella es un problemamás complejo que los resueltos en otras leccio-nes, sin embargo los alumnos tienen elementospara lograrlo. Algunos recurrirán al conteo ycompensación de unidades cuadradas, obte-niendo así un cálculo aproximado del área;otros quizás dividan la estrella en diversas figu-ras o tal vez la inserten en cuadrados y rectán-gulos. Se espera que se den cuenta de que pue-den aprovechar la simetría de la estrella. Estopermite calcular el área de la parte de la estrella

En el intercambio de resultados preguntepor qué David escribió (0, 7 norte) y (0, 7 sur) pa-ra ubicar los puntos B y H y cómo expresaronlas referencias del punto K. Probablemente al-gunos lo hicieron así: (13 oriente, 0 norte), (13oriente, 0 sur), (13 oriente, 0) o simplemente 13oriente. Si esto sucedió, propicie una discusiónpara comentar si es o no necesario indicar: nor-te, sur, oriente o poniente cuando no se avanza.En realidad, en estos casos es suficiente con in-dicar una distancia.

4

55

O

N

S

C

K

JF

G

1 cm2

4. Colorea la figura y calcula su superficie en cm2.

Comenta con tu maestro y tus compañeros qué proce-dimiento seguiste para calcular el área de la figura.

L

P

Ficha 3

que queda en uno de los cuadrantes y despuésmultiplicar por cuatro el resultado, o tambiénpueden calcular el área de la mitad de la estrellay multiplicar por dos el resultado. Dé a los equi-pos el tiempo necesario para que resuelvan elproblema y cuando termine la mayoría anotelos resultados en el pizarrón; seguramente ha-brá diferencias. Solicite que algunos equipos ex-pliquen cómo obtuvieron su resultado y procu-re que entre todos identifiquen el procedimien-to más eficaz para obtenerlo.

3


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23

1



Reflexionar acerca del carácter arbitrario de launidad en una recta numérica y utilizar ésta co-mo recurso para comparar fracciones.

Rectas y números

Para comenzar pida que en equipo comentencuál será la respuesta de la primera pregunta.Recorra los equipos y escuche lo que dicen pa-ra justificarla. Esto le permitirá darse cuenta simanejan las unidades de tiempo (semana, día,hora) y si es necesario aclarar alguna duda.

Para señalar el tiempo que utilizó cada niñoen hacer la tarea se sugiere usar una hoja raya-da; sin embargo, algunos alumnos podrían me-dir con la regla y dividir (con la calculadora ocon el algoritmo) la longitud del segmento en-tre 7. Respete su decisión y observe cómo lohacen. Es probable que algunos midan el seg-mento a partir del 0 hasta el 1 y que otros mi-dan todo el segmento sin tomar en cuenta lasacotaciones. Si esto sucede ayúdeles a corregirel error.

El problema de la tercera bala es más com-plejo, pero los alumnos podrían darse cuentarápidamente de que el cero va en el mismo lu-gar que en las rectas anteriores porque se tratade la misma unidad y la longitud con la que serepresenta es la misma. Si esto sucede, pidaque resuelvan en su cuaderno el mismo pro-

blema cambiando la medida del segmento(por ejemplo de 12 cm), que señalen dondequieran el punto donde termina una unidad(semana) y el límite del periodo de semana.El cambio de esta variable favorecerá que losalumnos reflexionen un poco más sobre lascondiciones del problema.

Organice al grupo en equipos para que traba-jen con la actividad 1; al término confrontaránresultados. Después resolverán la primera partede la actividad 2 (los cuatro primeros proble-mas) y confrontarán resultados. Para terminar,pida que en forma individual trabajen con la se-gunda parte de la actividad 2 y organice la con-frontación de resultados para cerrar la sesión.

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L E C C I Ó N

Representación de fracciones en la recta numérica

Rectas y números

1. Para realizar una tarea de la escuela, Delia utilizó 3 días, Román semana y Lucio de semana. ¿Quién hizo más rápido su trabajo?

• Señala en la siguiente recta el tiempo que usó cada uno, considerando que elsegmento de cero a uno representa una semana. Puedes utilizar la hoja rayada delmaterial recortable número 2.

• Comprueba que la “semana” se puede dividir en 7 partes iguales. ¿Cuánto representacada parte?

2. Si el segmento 0,1 representa la duración de un día, señala el punto que indicaríalas primeras ocho horas.

• Una carrera con bicicletas se llevará a cabo durante una semana, corriendo unaetapa cada día. Señala en la recta de abajo el momento en el que terminala quinta etapa.

• En la siguiente recta se han señalado de semana y el punto donde terminauna semana. Señala el punto que representa el inicio de la semana.

1 semana

0

1 día

23

27

0

1 semana

0 1 semana

47

12

27

27

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Ficha 31,42Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Al ubicar fracciones en una recta y compa-rarlas, se manejan, implícitamente, dos concep-tos: representa un punto en la recta, perotambién es la distancia que hay entre el 0 y el punto . De la misma manera, cuando localizamos , sucede que es un punto enla recta numérica pero también es el segmentocomprendido entre 0 y .

Cuando los alumnos comparan fracciones enla recta, lo que realmente hacen es comparar la longitud de los segmentos y . Compren-der que es un punto en la recta es mucho más complejo para los alumnos.

2

Los problemas que se plantean en la primeraparte de esta actividad son ejemplos claros delcarácter relativo de la unidad que se va a frac-cionar: la unidad puede ser un día, una sema-na, un año, un lustro, una década o cualquierotra unidad de tiempo y pueden representar-se con segmentos de recta de diferente o igualmagnitud.

El primer problema puede resolverse de di-versas maneras: dividiendo la unidad en 24partes iguales, o en tercios, si se dan cuenta deque 8 horas es la tercera parte de 24; en sextoso doceavos, para después señalar el segmentoequivalente a . Permita que trabajen los pro-blemas como quieran, sólo recuérdeles que lahoja rayada les puede facilitar la subdivisióndel segmento en las partes que necesitan, es-pecialmente cuando las divisiones arrojan co-cientes que no se pueden medir con la regla.

En la confrontación destaque los siguientesaspectos: el carácter relativo de la unidad, el he-cho de que cada distancia limitada por las mar-cas utilizadas para subdividir los segmentos re-presenta un periodo (una hora, un día, un mes,un año) y, por último, las ventajas de utilizar lahoja rayada.

Antes de resolver la segunda parte de la ac-tividad, cada equipo estimará cuál de las dosfracciones que se presentan en cada problemaes mayor y lo justificarán. Después validaránsus estimaciones ubicando las dos fraccionesen cada recta. Este tipo de actividades permiteromper con ciertas ideas basadas en el conoci-miento de las propiedades de los números na-turales. Por ejemplo, pensar que es mayorque porque 3 es mayor que 2.

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y , ¿cuál es mayor?

0

¿A cuántos días corresponde el punto marcado?

¿A cuántos meses corresponde el punto marcado?

0

¿A cuántos años corresponde el punto marcado?

0 1 lustro

1

1

2

y , ¿cuál es mayor?

57

45

57

75

1 semana

1 año

118

0

0

10

• La recta puede ser útil para comparar fracciones. Úsala para saber en cada casocuál fracción es mayor.

y , ¿cuál es mayor? 35

23

Para que la resolución de problemas sea el motor que promueva el aprendizaje

matemático y el desarrollo de la capacidadde razonamiento, es necesario enfrentar

desde el principio a los alumnos con la resolución de problemas utilizando

sus propios recursos.

13

13

12

12

12

12

13

13

13

13

12

12

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24

1


Calcular el área de polígonos regulares e irregu-lares dividiéndolos en triángulos, cuadrados yrectángulos. Elaborar una fórmula para calcularel área de un romboide, con base en la transfor-mación de figuras.

El área de los polígonos

Pídales que lean la introducción de la actividad y el primer pro-blema; cerciórese de que entendieron de qué se trata. Puede pre-guntar: ¿En qué consiste este problema? Enseguida mencione quelos tres octágonos son iguales y por lo tanto tienen la mismaárea; agregue la pregunta: ¿Cuántos centímetros cuadrados creenque mide la superficie de cada octágono? Anote en el pizarrón laestimación de cada equipo.

Es importante que en el grupo se trabaje con los tres octágo-nos a fin de verificar que, independientemente de cómo se divi-dan, el área es más o menos igual. Si los equipos eligen sólo unode los octágonos, designe a cada equipo un octágono diferentepara que calculen su área.

Para empezar la confrontación, anote en el pizarrón el resulta-do de cada equipo para compararlos y comprobar cuánto seacercaron a la primera estimación. En segundo lugar, mencionecómo hicieron para encontrar el área total. Por ejemplo, ya queen el octágono amarillo hay cuatro triángulos iguales, basta cal-cular el área de uno y multiplicar el resultado por 4. Sucede algosimilar con los dos rectángulos pequeños. En tercer lugar, co-mente que fue necesario obtener algunas medidas para calcular

Para trabajar con la primera actividad organicea los alumnos en equipos y pídales que acuer-den la estrategia que utilizarán antes de quecada quien lo haga en su libro, así será más fá-cil confrontar los resultados obtenidos y losprocedimientos utilizados. Dadas las caracte-rísticas de la segunda actividad es convenien-te que la realicen individualmente. Procureque cada niño tenga una calculadora porquenecesitarán hacer operaciones con númerosdecimales, cuyo estudio no es el aspecto fun-damental en esta lección. Organice una con-frontación para cada problema cuando la ma-yoría haya terminado.


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Ficha 53 y 55: 1Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

áreas deben ser las mismas. Realice un procesosimilar al del primer problema, considerandoque en éste la dificultad principal para los ni-ños es el trazo correcto de la altura en los trián-gulos que no tienen ángulo recto.

En el tercer problema aumenta la dificultadya que los alumnos deben elegir una manerade dividir el heptágono para calcular su área.Pídales que dividan el heptágono en el menornúmero de figuras posible y, asimismo, que rea-licen el menor número de cálculos.

las áreas parciales; pregunte si están de acuerdocon esas medidas y si es necesario verifíquen-las. En cuarto lugar, revise que los resultados ob-tenidos con la calculadora sean pertinentes. Se-guramente habrá multiplicaciones y divisionescon decimales, las cuales se estudiarán másadelante y no será necesario analizarlas con de-talle, a menos que haya interés por parte de losalumnos.

Una dificultad adicional en los octágonos azuly rojo es calcular el área de los triángulos que notienen un ángulo recto, porque hay que elegiruna base y trazar la altura. Hágales notar que laaltura debe ser perpendicular a la base y quepueden obtenerla usando una hoja de papel ouna escuadra.

Para resolver el segundo problema puede di-vidir al grupo en dos equipos y asignar un cua-drilátero a cada uno. Comente que trabajaráncon dos cuadriláteros iguales y por lo tanto sus

2

Esta actividad requiere que el alumno mida, trace, recorte y pe-gue, por lo que es conveniente que se resuelva individualmente,así todos tendrán la oportunidad de hacer lo que se pide. Esto di-ficulta la observación y la confrontación pero hay que tomar encuenta lo siguiente:

a) Dado que la consigna dice Traza un paralelogramo, pareci-do al coloreado con rojo, lo más probable es que los alum-nos tracen uno igual, pero también es correcto que tracenuno más grande o más pequeño.

b) En el caso de que tracen un paralelogramo igual, es correc-to decir que la altura mide 4 (considerando como unidad ellado de un cuadrito), 2.8 cm u otra, dependiendo del tama-ño de la cuadrícula, y algo parecido puede suceder con labase. Sin embargo, en cualquiera de los casos las medidasdel paralelogramo y del rectángulo deben coincidir.

Es muy importante que algunos alumnos lean lo que escribie-ron en la última bala para que usted se dé cuenta si lograron in-ferir una fórmula para calcular el área del romboide.

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25


Si algunos alumnos buscan en su libro el procedimiento queutilizaron para resolver este tipo de problemas, permítalo, y si nolo hacen no se preocupe, seguramente buscarán alguna formade responder a las preguntas. Quizá algunos piensen que no sepueden hacer más de 4 veleros diferentes porque sólo se tienen4 velas y 4 cascos; otros tal vez se den cuenta de que se trata dehacer combinaciones y hagan dibujos, pero quizá no consiganorganizar la información para no repetir o para que no falte algu-na combinación. Otros probablemente empiecen a utilizar el dia-grama de árbol o algunas operaciones para resolverlo. Lo impor-tante es que traten de encontrar las combinaciones que se pue-den hacer.

Las siguientes preguntas cambian las condiciones del pro-blema. El propósito es que los alumnos adviertan que se pue-den formar más de 4 veleros diferentes, porque si con una velay 4 cascos de distinto color se forman 4 veleros diferentes, y

Utilizar tablas de doble entrada para organizarlas combinaciones que se pueden establecerentre los elementos de dos conjuntos.

La flota naval

Pida con anticipación que cada alumno recorteel material recortable número 3. Organice algrupo en equipos de cuatro alumnos para tra-bajar con las tres actividades. Durante el desa-rrollo de la clase organice dos confrontacionesde resultados: una cuando los alumnos termi-nen la actividad 1, y otra cuando la mayoría delos equipos terminen las actividades 2 y 3.

Observar cómo obtienen la respuesta de lapregunta ¿Cuántos veleros diferentes puedes ar-mar? le permitirá saber si infieren que esteproblema se puede resolver con un diagramade árbol como los que usaron en la lección 15.Sin embargo, es posible que algunos alumnosno relacionen este problema con los diagra-mas de árbol o simplemente no recuerden có-mo se hacen.

1


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L E C C I Ó N

Tablas de doble entrada para conteo de arreglos

La flota naval

1. Para celebrar el Día de la Marina, Concha y Pedro propusieronadornar el salón con una flota de veleros de colores. En cartulinasverde, roja, amarilla y azul dibujaron y recortaron triángulos ycuadriláteros para armar veleros, como los siguientes. Los triánguloseran las velas y los cuadriláteros, los cascos de los barquitos.

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¿Cuántos veleros diferentes puedes armar?

Si sólo tuvieras triángulos rojos y cuadriláteros de los4 colores, ¿cuántos barquitos diferentes podríasformar?

Si solamente tuvieras cuadriláteros amarillos ytriángulos de los 4 colores, ¿cuántos veleros diferentestendrías?

Compara tus respuestas con lasde tus compañeros.

• Organízate en equipos y usa el material recortablenúmero 3. Recorta los triángulos y cuadriláteros ybusca todos los barquitos diferentes que se puedanformar en el equipo. Ten cuidado de que no se repitany de que no falte ninguna combinación.

¿Cuántos veleros diferentes se obtuvieron?

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también se pueden formar 4 combinacionesdiferentes con un casco y 4 velas de diferentecolor, el resultado del problema original debeser más de 4.

Cuando termine la mayoría, organice la con-frontación de resultados que se solicita. Depen-diendo de lo que hayan hecho los alumnos,puede organizarlo de dos maneras: si alguienusó un diagrama de árbol, aunque no esté bienhecho, socialice el procedimiento y, entre todos,elabórenlo en el pizarrón. Si algún equipo utili-zó la multiplicación para resolver el problema,propóngales que por el momento no interven-gan ni muestren a sus compañeros este méto-do, puesto que si se presenta en este momentose interrumpiría el proceso de comprensión deotros procedimientos con los que más adelantepodrán enfrentar problemas más complejos.

Si nadie usó el diagrama de árbol, puede rea-lizar la confrontación de la siguiente manera:

pregunte a cada equipo cuántos veleros dife-rentes encontraron y anote las respuestas en elpizarrón. Después pida al equipo que encontróla mayor cantidad de veleros que diga de quécolores son y anótelos en el pizarrón. Por ejem-plo: vela amarilla, casco rojo. Los demás equiposrevisarán si hay veleros repetidos y si entre losque ellos encontraron están los que dijo sucompañero. Si además de los que ya están escri-tos en el pizarrón encontraron otros veleros di-ferentes, pasarán al pizarrón y los registrarán,revisando que no se repitan. Pida que resuelvanla segunda parte de la actividad para confirmarque sólo se pueden formar los veleros que que-daron registrados en el pizarrón. El material re-cortable permite ordenar los colores de los cas-cos y de las velas para formar los veleros. La for-ma en que lo hagan puede servir de anteceden-te para entender cómo se organizan los datosen las tablas de doble entrada.

2 3

Dado que la lista de Concha no señala el orden en el que se pue-den combinar las velas y los cascos, es posible que los alumnos laden por terminada cuando dibujen la vela azul y el casco amari-llo que falta para que estén todos los colores de las velas y loscascos. También es posible que repitan las velas y los cascos sinllevar algún control. En cambio, la tabla de Pedro muestra unaforma de organizar la información que permite obtener todas lascombinaciones posibles. Observe cómo realizan las actividades.Si algunos equipos tienen dificultades para completar la tabla,ayúdelos a entender cómo hacerlo.

En el caso de que algunos alumnos hayan utilizado la multipli-cación, pregúnteles cómo supieron que se podía utilizar tal ope-ración y qué significa cada uno de los números que multiplicaron.

La introducción de la calculadora en las clases de matemáticas no pretende

sustituir la enseñanza y el ejercicio del cálculo numérico.

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26

Analizar los principios de agrupamiento y posi-ción del Sistema Decimal de Numeración (SDN),al interpretar y representar números hasta deseis cifras y al operar con ellos en el ábaco.Las tres primeras actividades se pueden traba-

Hasta centenas de millar

Se espera que los alumnos expongan argumentos como los si-guientes para justificar la primera respuesta: Paula tiene la razónporque el lugar de las centenas está vacío y el de los diezmiles tam-bién o porque cada cuenta verde vale 10 porque están en el lugarde las decenas y no en el de las centenas y cada cuenta roja vale100 000.

En las tres preguntas siguientes, observe quién realiza bien loscambios al hacer las operaciones con el ábaco y quién tiene difi-cultades. En la confrontación pida a algunos alumnos que expli-quen cómo usaron el ábaco para encontrar los resultados mien-tras el resto del grupo observa para detectar errores. Si éste es elcaso, solicite que expliquen en qué se equivocaron y cómo pue-den corregirlos. Si no los detectan o no pueden explicar cómocorregirlos, hágalo usted.

El último problema de esta actividad puede resolverse de di-ferentes maneras. Posiblemente algunos alumnos escriban elnúmero 312 080 y, a partir del valor relativo de las cifras, conclu-yan que le falta una cuenta de 10 000 y otra de 1 000 para tenerel número solicitado. Otros quizás calculen mentalmente la di-ferencia entre 301 080 y 312 080 concluyendo que faltan 11 000, es decir, una cuenta con un valor de 10 000 unidades y

jar en pareja. Propicie que comenten sus res-puestas y las argumenten cuando así se indiqueen el libro; además, realice una confrontaciónde resultados después de cada actividad.Limite el uso de operaciones escritas en el tra-bajo de esta lección. El uso del ábaco favorece laaplicación de las reglas de agrupamiento y deposición del SDN. Si la escuela no cuenta conábacos, los alumnos pueden elaborarlos conpalitos de paleta metidos en una barra de uni-cel o plastilina. Sustituya las cuentas por ronda-nas de cartón o de otro material. Es importanteque cada pareja tenga por lo menos un ábaco.

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Fichas 8 y 16: 2, 3Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Observe cómo los alumnos representan lascantidades señaladas en los ábacos. Es proba-ble que algunos representen el número 103081 en el ábaco a, porque quizá sumaron men-talmente las cantidades, sin observar que la úl-tima dice 80 centenas y no 80 unidades. Otrostal vez piensen que no es posible representar-las en el ábaco porque en el a, no se puedenponer 80 centenas en un solo poste y, en el b,no se pueden colocar 80 decenas en un poste y16 unidades de millar en otro. Tal vez otros sírealicen bien los cambios necesarios y logrenrepresentar las cantidades correctas.

Cuando la mayoría termine, pida que diganlos números que representaron en cada ábacoy escríbalos en el pizarrón. Si entre los resulta-dos que le den aparecen los correctos (a 111001 y b 716 801), solicite a los alumnos que los

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otra con un valor de 1 000. Tal vez sea necesario aclarar en esteproblema que cuenta no se refiere a operación, sino a las argo-llas que se colocan en el ábaco.

En la confrontación, favorezca que reflexionen sobre la dife-rencia que hay entre representar números en el ábaco y hacerlocon cifras. Pregunte si el número representado en el ábaco es318. Ayúdelos a concluir que cuando se representan númeroscon cifras en el Sistema Decimal de Numeración es necesariousar el cero.

obtuvieron que pasen al frente a mostrar, en unábaco, cómo resolvieron el primer problema.Pregunte: ¿Por qué en el lugar de las centenas nodejaron ninguna cuenta si en el libro dice que hay80 centenas? ¿Por qué en vez de tres cuentas sólodejaron una en el lugar de las unidades de millar?Asegúrese de que todos los alumnos hagan loscambios adecuados al verificar el resultado delábaco b.

Si nadie obtuvo el resultado correcto, ayúde-los a representar las cantidades mediante pre-guntas. Por ejemplo: ¿Cómo podemos represen-tar el uno en el ábaco? ¿En cuál poste debemosponer la cuenta?, etcétera. Seguramente la difi-cultad se presentará con las 80 centenas. Si nosaben cómo colocarlas sugiérales que las cam-bien por millares.

En la confrontación, comente que la tabla funciona como el ábaco, só-lo que en vez de ensartar cuentas, se escribe el número de cuentasque hay en cada poste. Escriba en la tabla el número 10 260 sin los ce-ros y pida que los lean. Señale que en la tabla, igual que en el ábaco,no se necesita el cero, mientras que al escribir números en la formausual, el cero es indispensable.

Es posible que al completar las afirmaciones lo hagan de mane-ra diferente. Por ejemplo, las centenas representan grupos de 10decenas o representan un grupo de 100 unidades. Al comentar-las verifiquen si las respuestas son o no equivalentes. Esto enri-quecerá la actividad y se profundizará en el tema.

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Reunir, organizar y presentar información cuan-titativa en tablas y gráficas. Analizar la frecuen-cia y el promedio.

¿Qué tan altos somos?

Al ordenar las medidas tomadas por Ana y Ós-car, tal vez algunos alumnos decidan eliminarlas que se repiten. Si bien de esta forma cum-plen con ordenarlas, señale que deben registrartodas las medidas aunque se repitan. Cuando

terminen, anote en el pizarrón los datos queuno de los equipos le dicte. El resto verificará sisu ordenamiento coincide con el del pizarrón. Sihay diferencias coméntelas junto con los niñospara ver quién tiene la razón.

Al medir las estaturas, es probable que losalumnos que utilicen la cinta métrica y el flexó-metro anoten sus resultados en centímetros(134 cm, 140 cm), y los que usen el metro demadera los expresen en metros (1.34 m, 1.40m). Si esto sucede, aproveche para discutir en laconfrontación si es correcto o no registrar lasmedidas de esa forma, si son o no equivalentes,para determinar cuál es la unidad de medidaque se utiliza en cada caso y para unificar cómovan a expresar las mediciones en el pizarrón.

Para cerrar esta actividad plantee las siguien-tes preguntas: ¿Entre qué números se encuentranlas estaturas del grupo de Ana y Óscar? (Entre1.27 m y 1.39 m.) ¿Y las estaturas de este grupo,entre qué números se encuentran? En cada grupo,¿cuál es la diferencia entre la estatura máxima yla mínima?

Forme equipos de cuatro alumnos para traba-jar. Obsérvelos mientras lo hacen para recono-cer las dificultades que enfrentan y las habilida-des que han desarrollado para resolver este ti-po de problemas. Después de cada actividaddestine el tiempo suficiente para confrontar losresultados.

Antes de empezar, asegúrese de que cadaalumno tenga una calculadora y de que, cuandomenos, por cada dos alumnos haya un instru-mento para medir longitudes, por ejemplo: cintamétrica, flexómetro o un metro de madera.

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L E C C I Ó N

Análisis de las tendencias en tablas y gráficas: promedios y frecuencias

¿Qué tan altos somos?

1. Organiza con tus compañeros de grupo una investigación paraconocer la estatura de los alumnos de 5° grado.

Óscar y Ana lo hicieron en su salón. Éstos fueron los datos que obtuvieron enmetros.

1.33, 1.34, 1.28, 1.34, 1.38, 1.29, 1.32, 1.32, 1.33, 1.30, 1.31, 1.31, 1.31, 1.33, 1.32,1.32, 1.33, 1.35, 1.33, 1.36, 1.35, 1.33, 1.34, 1.29, 1.34, 1.33, 1.35, 1.32, 1.35, 1.36

• Ordena en tu cuaderno los datos de Ana y Óscar, de menor a mayor.• Junto con tus compañeros, mide la estatura de todos los alumnos del grupo y haz

una lista en el pizarrón, ordenando los datos de menor a mayor.

2. Ana propuso encontrar el promedio de las estaturas de su grupo. Con sucalculadora sumó todas las estaturas y el resultado lo dividió entre el número totalde alumnos. Encontró que el promedio de estaturas de su grupo era de 1.328 m.

• Comprueba el resultado de Ana usando tu calculadora. ¿Cuánto te dio la suma? ¿Cuántos alumnos hay en la clase de Ana?

• Con la ayuda de tu calculadora, encuentra el promedio de los datos de tu salón.¿Cuál es el promedio de estaturas en tu grupo?

• Comprueba que el promedio de las estaturas es un valor intermedio entre elmenor y el mayor de los datos. ¿Por qué crees que pase esto? Discútelo con tuscompañeros.

En promedio, ¿el grupo de Óscar y Ana es más alto o menos alto que el tuyo?

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En esta actividad se aplica otro concepto utilizado en la estadís-tica: la tendencia de las gráficas. Es conveniente observar que losgrupos con cierta estatura tienden a aumentar a partir de 1.28 mhasta 1.33 m, pero esta tendencia se rompe en 1.30 m porque lafrecuencia disminuye. A partir de 1.33 m los grupos de estaturatienden a disminuir pero esta tendencia también se rompe en1.35 m y en 1.38 m.

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En la experiencia de los alumnos, probablemente, la noción máscercana que tienen del promedio se relaciona con sus calificacio-nes. Este conocimiento les permitirá comprender con más facili-dad el significado y la utilidad de este concepto en otra situaciónde medición.

Al realizar la confrontación, destaque el procedimiento paracalcular el promedio y comente la conveniencia de redondearloa milímetros o incluso a centímetros para facilitar su lectura. Conel fin de que los alumnos se familiaricen con la idea de promedio,puede agregar instrucciones tales como: Levante la mano quientenga una estatura mayor que el promedio, calculen el promedio deestatura en cada equipo, etcétera.

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Antes de que los alumnos elaboren la tabla defrecuencias con las estaturas de su grupo, pidaque localicen información en la tabla de Óscary Ana, por ejemplo: Localicen la mayor y la me-nor estatura. Digan cuál es la estatura con mayorfrecuencia. Encuentren una estatura que tengafrecuencia cero.

Es importante que se den cuenta de que1.28 m y 1.38 m establecen los rangos de las es-taturas del grupo de Ana, que las medidas se

3

4

colocan en orden ascendente y que la diferen-cia entre cada una de ellas es de 1 cm; es decir,aumentan de centímetro en centímetro. Al ha-cerlo de esta forma, quedan algunas medidascon frecuencia cero, porque dentro de ese gru-po no hay alumnos con esa estatura. Sin embar-go, es importante incluirlas porque están den-tro de los rangos señalados. Después pida queelaboren la tabla de frecuencias con las medi-das que obtuvieron en su grupo.

La estimación de resultados es una habilidad muy útil en la vida diaria,

u manejo denota la comprensión del procedimiento que se pone en juego.

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Establecer relaciones de equivalencia y ordenentre unidades, décimos, centésimos y milési-mos mediante el cálculo mental y el uso de ma-terial concreto.

¿Cuántos centésimos y milésimos?

Si hay respuestas diferentes organice una discusión en la que ca-da equipo justifique su respuesta. Cuando aclaren las diferenciasagregue otras preguntas, por ejemplo: ¿Por qué creen que la partede la unidad coloreada en rojo es un décimo? ¿Por qué creen que unmilésimo es un décimo de un centésimo? ¿Y por qué un milésimo esun centésimo de un décimo?

Después muestre algunos rectángulos-unidad de tamaños di-ferentes, péguelos en el pizarrón y pida que algunos alumnos co-loreen en cada rectángulo un décimo, un centésimo y un milési-mo para que observen que el tamaño de los décimos, centési-mos y milésimos puede variar si la unidad de la que se obtienenes de diferente tamaño.Sin embargo, un décimo siempre cabe 10veces en su unidad, un centésimo cabe 100 veces y un milésimocabe 1 000 veces.

Es importante destacar la relación de 1 a 10 entre los décimosy los centésimos y entre los centésimos y los milésimos; de ahíque un centésimo sea la décima parte de un décimo, y un milési-mo la décima parte de un centésimo.

Observe que el nivel de dificultad de estas actividades aumentaen forma gradual. En la actividad 2 la unidad de medida con laque están expresadas todas las cantidades es el décimo, sin em-bargo algunas de ellas representan más de un entero. Por ejem-plo, 25 décimos equivalen a 2.5 unidades.

En la actividad 3, algunas cantidades incluyen punto decimaly la unidad de medida es el entero, de manera que 2.3 unidadesequivalen a 23 décimos. En la 4 los alumnos enfrentarán dos pro-

Se recomienda que las primeras cuatro activi-dades y la última se trabajen en equipos de treso cuatro alumnos; la quinta en parejas y la sextacolectivamente. Organice tres confrontacionesde resultados: una después de que resuelvan laactividad 1, otra después de resolver la 4, y la úl-tima al terminar la 7.

Aliente a los alumnos para que traten de re-solver, mediante el cálculo mental, todos losproblemas de la lección. Sólo en caso necesa-rio sugiérales que se apoyen en el rectángulo-unidad.

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de medida es el décimo, por lo tanto .5 equiva-le a de un décimo, es decir a 5 centésimos oa 5 décimos de un décimo.

blemas: distinguir la unidad de medida (déci-mos o unidades enteras) utilizada para expresarlas cantidades, y analizar las que incluyen puntodecimal. Por ejemplo, en 3.5 décimos, la unidad

5

Al realizar la actividad recomiende que el número que digan va-ya acompañado del nombre de la unidad a la que se quieran re-ferir. Por ejemplo, si dicen 5 puede pensarse que son 5 unidadeso 5 décimos por lo que la respuesta puede ser 5 000 milésimos sison unidades o 500 milésimos si creen que son décimos. Si ob-serva que tienen dificultades al hacer las conversiones sugiéralesque se apoyen en los rectángulos-unidad que dibujaron para en-contrar la respuesta.

Al completar la tabla plantee preguntas que permitan a losalumnos inferir qué deben hacer para obtener unidades máspequeñas que el entero y unidades más grandes. Por ejemplo:¿Si tengo una unidad y quiero obtener décimos qué debo hacer?Preguntas como éstas los llevarán a concluir que el entero sedebe dividir en 10 partes iguales, y si quieren obtener centési-mos deberán dividir la unidad en 100 partes iguales. De la mis-ma manera se puede trabajar la idea inversa: ¿Si tengo una uni-dad y quiero tener una decena qué debo hacer? Frente a esta pre-gunta podrán responder que se debe completar 10 unidades omultiplicar 1 x 10, etcétera. Comente que también se escri-be .1, que así: .01, y así: .001. Pregunte: ¿Cómo podemosescribir con punto decimal? ¿Cuántos décimos habrá en .254?¿Y cuántos centésimos?

Aunque se pide a los alumnos que encuentrenlos resultados de las sumas no es necesario en-señarles el algoritmo convencional. Los conoci-mientos que han construido les permitirán re-solverlas. Es importante que quienes llegaron aresultados correctos expliquen a sus compañe-ros cómo lo hicieron. Probablemente recurriránal manejo de equivalencias para resolverlas. Porejemplo, para sumar 2 + + , pueden pen-sar: Un décimo tiene 10 centésimos, entonces 10centésimos más 25 centésimos son 35 centésimos.Entonces el resultado es 2 con .

Es probable que expresen el resultado así:2.35. Si esto sucede, anímelos para que lean elnúmero con las unidades que corresponden;es decir, 2 unidades, 35 centésimos; de esta for-ma se verá la equivalencia con 2 . Tal vez al-gunos alumnos conviertan las fracciones a nú-meros decimales para sumarlas. Si es así socia-lice este procedimiento aunque tengan erro-res. Explique cómo se escriben esos números ycómo se acomodan para sumar.

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12

110

11 000

2541 000

25100

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35100

35100

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dividirlo en dos triángulos iguales y un rectán-gulo. En el caso del romboide tal vez utilicen lafórmula o, asimismo, lo dividan en partes, apo-yándose en lo que estudiaron en la lección 24.Para obtener el área del triángulo se espera queno tengan ningún problema en obtener las me-didas de la base y de la altura para utilizar la fór-mula. Conviene insistir en que no todos los ni-ños o la mayoría de ellos utilizarán los procedi-mientos esperados, y tampoco se trata de for-zarlos a que los usen. Justamente uno de lospropósitos de la confrontación es que todos losalumnos se den cuenta de que entre los dife-rentes caminos que se pueden seguir para re-solver un problema, algunos son más eficaces.

Una vez que los niños se pongan de acuerdoen la información de la tabla, prácticamentequedarán contestadas las preguntas que apare-cen debajo de ésta.

Inferir la relación que hay entre la forma, el perí-metro y el área de triángulos, cuadriláteros ypolígonos de más de cuatro lados.

Perímetros y áreas

Pida a los alumnos que se pongan de acuerdopara completar los datos que hacen falta en latabla. Mientras los equipos trabajan, observe losprocedimientos que emplean para calcular elperímetro y el área de las figuras, especialmen-te en el caso del trapecio, del triángulo y delromboide. Como las figuras están pintadas losniños no podrán contar los cuadritos de uno enuno o de cuatro en cuatro, sin embargo es pro-bable que algunos tracen las líneas sobre las fi-guras para poder contar. Permita que trabajencomo puedan, seguramente en la confronta-ción descubrirán procedimientos más eficaces.

Para calcular los perímetros del trapecio, deltriángulo y del romboide se espera que los ni-ños usen la regla para medir los lados inclina-dos y que estas mediciones tengan cierto mar-gen de error, lo cual se comentará en la confron-tación. Para calcular el área del trapecio podrían

Organice al grupo en equipos para resolver lastres actividades de la lección. Para confrontarlos resultados de la primera actividad reproduz-ca la tabla en el pizarrón, dejando espacio sufi-ciente en las columnas, en caso de que haya res-puestas diferentes. También es conveniente te-ner una cuadrícula dibujada en el pizarrón, depreferencia con tinta indeleble para poder ha-cer trazos y borrarlos sin desdibujar la cuadrícu-la. Para realizar la actividad 3 necesitará alrede-dor de 10 tachuelas o alfileres por cada alumnoy un sobre para guardar, después de utilizarlo, elmaterial recortable número 4.

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Fichas 71 y 72 (58)Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Si dispone de, por lo menos, un geoplano para cada equipo, re-parta este material y explique a los niños que lo usarán para re-solver los problemas de la actividad; después de construir las fi-guras requeridas, pida que las dibujen en la cuadrícula de su li-bro. Como podrá observar, el uso del geoplano hace mucho máságil e interesante la búsqueda de una solución porque los alum-nos no necesitan borrar varias veces. Las diferentes soluciones decada problema pueden mostrarse directamente en el geoplanoo en la cuadrícula del pizarrón.

Es probable que en el segundo problema, donde se pide dibu-jar una figura con la misma área que la figura gris (10 cm2), se ob-tengan figuras con diferentes perímetros. Si alguno de los equi-pos traza una que además coincida en la medida de su períme-tro, aproveche para comentar que dos figuras con áreas igualespueden o no tener el mismo perímetro.

2

Si desea enriquecer la resolución de este problema, y tienetiempo, pida a los alumnos que recorten varios cuadrados igua-les, por ejemplo 10, y que con ellos construyan diferentes figuras;notarán que todas tienen 10 unidades cuadradas de área pero superímetro varía. Pueden trazar en una cuadrícula las figuras queconstruyeron y anotar el perímetro a cada una. Los problemas re-sueltos en estas dos actividades ayudarán a los alumnos a enten-der las conclusiones escritas con letras azules.

3

Para comenzar, pida a los alumnos que recortenel material número 4 y entrégueles las tachue-las o los alfileres. Después propóngales el si-guiente problema: Con las tiras construyan dostriángulos que sean diferentes entre sí, pero cuyoperímetro, en ambos casos, mida 24 cm. La medi-da de los lados de cada triángulo estará dada porla longitud de las tiras que elijan para formar susfiguras. Cuando los equipos logren formar lostriángulos, pida que digan las medidas de los la-dos de cada uno y anótelas en el pizarrón paraver si hay diferencias. Por ejemplo, dos triángu-los con las características señaladas podrían ser:un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6 cm,8 cm y 10 cm, y uno isósceles de 10 cm para loslados iguales y 4 cm para el lado desigual. Unavez que los equipos hayan construido sus dostriángulos, solicite que calculen sus áreas. Se da-

rán cuenta de que el primero mide 24 cm2 mien-tras que el segundo mide menos de 20 cm2,puesto que su base mide 4 cm y su altura me-nos de 10 cm. Ahora dígales que contesten laprimera pregunta.

Para la segunda pregunta, pida a los niñosque construyan en el geoplano varios triángu-los de diferente forma, pero que la base y la al-tura midan lo mismo en todos los casos; pre-gunte qué observan en el área y el perímetro deesos triángulos, y después sugiérales que con-testen la pregunta del libro.

Por último, pídales que usen las tiras paraconstruir cuadriláteros o polígonos de más decuatro lados y que observen lo que pasa con elperímetro y el área cuando se deforman las fi-guras. Hágales notar que el área aumenta o dis-minuye mientras el perímetro no cambia.

Es tarea del maestromotivar la reflexiónpersonal y colectiva

de los alumnos, y la verificación y

expresión individual de sus procedimientos,

soluciones y justificaciones.

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30

1



Construir una fórmula para calcular el área delrombo, transformándolo en un rectángulo y cir-cunscribiéndolo en otro cuya base y altura coin-cidan con las medidas de las diagonales delrombo.

El papalote

Para comenzar, platique brevemente con losalumnos acerca de los papalotes, su forma, ta-maño, cómo hacerlos, etcétera. Si mencionan elrombo, aproveche para destacar algunas carac-

Organice al grupo en equipos. Para que el tra-bajo de los alumnos resulte más provechoso,trazarán, recortarán y pegarán las figuras en in-dividualmente, pero en equipos intercambiaránideas antes de responder algunas preguntas.Para la segunda y tercera actividades se sugiereque primero se trabaje fuera del libro y despuésse haga una lectura comentada de ellas parareafirmar los hallazgos. Para las dos primeras esnecesario que disponga de suficientes reglas,escuadras y hojas de papel. En la tercera necesi-tará una hoja de papel cuadriculado para cadaalumno.

terísticas de esta figura. Enseguida pida a losalumnos que lean la actividad y traten de resol-ver los problemas que se plantean. Aclare que elpapalote que van a construir será más pequeñoque el que aparece en la ilustración.La actividadconsiste en trazar un rombo a partir de las me-didas de sus diagonales y comprobar que suárea mide 96 cm2. El primer obstáculo es seguirlas instrucciones para trazar dos rectas perpendi-culares.Observe a los alumnos mientras trazan elrombo y, si es necesario, ayúdelos a recordar có-mo se puede trazar dos rectas perpendicularescon ayuda de una escuadra que, incluso, pue-den hacer con una hoja de papel. Después deque hayan dibujado la figura, pida que anotenlas medidas que se conocen. Posteriormente,solicite que resuelvan el segundo problema. An-tes de la confrontación, dibuje un rombo en elpizarrón y anote las mismas medidas que usa-ron los alumnos; servirá de apoyo para las expli-caciones. Algunas podrían ser las siguientes:

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L E C C I Ó N

Área del rombo

El papalote

• Traza en una hoja de papel doslíneas perpendiculares: una de16 cm y otra de 12 cm, que secorten en su punto medio. Unelos extremos para trazar el rombo.

1. Se necesita saber cuántopapel se va a utilizar parahacer un papalote con lasmedidas que se muestran.

160 cm

La manera como calculaste el área del rombo, ¿es alguna de las que se hicieron enla clase de la maestra Lucrecia?

Se llaman diagonales a las líneas que unen dos vértices de unpolígono, que no están unidos por uno de sus lados. En el dibujodel papalote, las diagonales están pintadas de rojo y azul.

Comenta con tu maestro y tus compañeros cómo sacarías el área del rombo siconoces las medidas de la diagonal mayor y de la diagonal menor del rombo.

• Tú ya sabes calcular el área de los triángulos, los cuadrados y los rectángulos. Elárea del rombo que acabas de hacer es de 96 cm2. ¿Cómo demostrarías que estoes cierto?

Comenta con tu maestro y tus compañeros tu solución.

2. En la clase de la maestra Lucrecia, los niños recortaron el rombo y formaron unrectángulo de dos maneras, como se muestra a continuación.

120 cm

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8 cm8 cm

6 cm

6 cm

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• El rombo contiene 4 triángulos iguales y el área de uno deellos mide 24 cm2, por lo tanto el área total mide 96 cm2.

• El rombo contiene 2 triángulos iguales y el área de uno deellos mide 48 cm2, por lo tanto el área total mide 96 cm2.

• Porque 16 por 6 es igual a 96; o bien porque 12 por 8 es iguala 96; o bien, porque 16 por 12 entre 2 es igual a 96.

Las comprobaciones de la última bala no son válidas porquelas operaciones planteadas no hacen referencia al cálculo de unadeterminada área.

Para realizar esta actividad pida a los alumnosque cierren sus libros. Solicite lo siguiente: Dibu-jen un rombo en una hoja de papel, empezandopor el trazo de las perpendiculares que se cortanen su punto medio. Elijan las medidas de las dia-gonales. Cuando note que la mayoría ha termi-nado agregue lo siguiente: Ahora recorten elrombo como quieran y después unan todas laspartes, formen un rectángulo y calculen su área.Obsérvelos mientras trabajan y después con-fronte los resultados que obtuvieron. Señaleque el área del rectángulo es la misma que ladel rombo porque el primero se formó con to-das las partes del segundo. Asimismo, haga no-tar la relación entre las medidas que usaron pa-ra calcular el área del rectángulo y las medidasdel rombo. Enseguida pregunte: ¿Cómo se pue-de calcular el área del rombo sin necesidad de re-cortarlo? El propósito es que los alumnos esta-blezcan un procedimiento para calcular el áreadel rombo distinto al que usaron en la primeraactividad y sin necesidad de recortar el rombo.Se espera algo similar a esto: se multiplica lamedida de la diagonal menor por la mitad de loque mide la diagonal mayor, o bien, se multipli-ca la medida de la diagonal mayor por la mitadde lo que mide la diagonal menor. Después pi-da que lean la actividad 2 y que observen los di-bujos correspondientes para que comparen loscortes que hicieron; comenten la informaciónescrita con letras azules.

2 3

Vuelva a pedirles que cierren su libro y solicite:En una hoja de papel cuadriculado tracen unrombo empezando por las diagonales. Cuando lamayoría termine, agregue: Ahora van a trazar unrectángulo que encierre al rombo y que toque suscuatro vértices. Hecho esto, pida que calculen elárea del rectángulo y del rombo, y que encuen-tren la relación que hay entre ellas. A partir de loque digan los alumnos, hágales notar que paracalcular el área del rectángulo multiplicaron lasmedidas de las diagonales del rombo y que elárea del rectángulo es el doble de la del rombo.Enseguida pregunte: ¿Cómo se puede calcular elárea del rombo sin necesidad de dibujar el rectán-gulo que lo encierra? Se espera que digan algoparecido a: Se multiplican entre sí las medidas delas diagonales y el resultado se divide entre dos.

Para terminar pídales que lean la actividad 3y observen los trazos para reafirmar sus descu-brimientos. Comente con ellos la informaciónescrita con letras azules y dígales que han en-contrado cuatro formas distintas para calcularel área de un rombo; trate de que las enuncieny ayúdeles en caso necesario. Un buen ejerciciopara concluir consiste en calcular el área de unrombo usando los cuatro procedimientos y asícomprobar si obtienen el mismo resultado.

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En el caso poco probable de que resuelvan el problema con ladivisión dirán que a cada niño le tocó 0.625 de galleta. Ayúdelosa comprobar que este resultado es equivalente a . Pida que ex-presen el número con fracciones decimales. Esto lo podrán re-presentar así: 0.625 = + + o así: . Después plan-tee preguntas que los lleven a darse cuenta de que = 1,

= , = y = . Ahora bien, = + = + = .

Deténgase el tiempo necesario para analizar junto con losalumnos el resto de las preguntas de esta actividad, sobre todoen las justificaciones de las respuestas. Se trata de centrar laatención en los datos del reparto (5 galletas, 8 niños) y anticipar


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31

1



Encontrar la relación entre un número de obje-tos repartidos, un número de personas entre lasque se reparten estos objetos, y el resultado delreparto. Encontrar diferentes situaciones quearrojen resultados equivalentes.

Reparto de galletas

Con base en el estudio que ya han realizado losalumnos sobre este tema, se espera que no ten-gan mucha dificultad para resolver este proble-ma. Si la mayoría obtiene el resultado correcto,sugiera que justifiquen cómo llegaron a él. Estolos ayudará a entender el procedimiento utiliza-do. Por ejemplo, pueden decir que partieron las5 galletas en 8 partes y después dividieron las40 partes entre 8, de manera que a cada uno letocó . Es probable que la mayoría haya dibu-jado las galletas para luego dividirlas en partesiguales; sin embargo, las particiones pueden va-riar y por consiguiente las formas de expresarlos resultados.

Forme equipos de tres o cuatro alumnos paraque trabajen todas las actividades excepto la 3que deberá resolverse en forma individual. Se re-comienda realizar tres confrontaciones ademásde las que se indica en el libro, para comparar ydiscutir las respuestas. la primera,después de ter-minar las actividades 1 y 2, otra después de queresuelvan la 3 y una más al término de la 5.

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L E C C I Ó N

31

Equivalencia de fracciones con base en el resultado de un reparto

Lo que le tocó a cada niño, ¿es más que una galletao menos que una galleta?

¿Por qué?

Lo que le tocó a cada niño, ¿es más que media galletao menos que media galleta?

¿Por qué?

Si son ocho niños, ¿cuántas galletas se necesitanpara que a cada niño le toque una galleta entera?

Si son ocho niños, ¿cuántas galletas se necesitan paraque a cada niño le toque galleta?

Y para que les toque de galleta, ¿cuántas senecesitan?

2. Si se reparten cuatro galletas entre tres niños,de manera que a todos les toque igual y que no sobre,¿a cada niño le tocará más que una galleta o menosque una galleta? ¿Por qué?

Reparto de galletas

1. Resuelve el siguiente problema: Alicia quiere repartircinco galletas entre ocho niños, de manera que a todosles toque igual y que no sobre. ¿Cuánto le tocará a cadauno?

Después de resolver el problema, compara turesultado con el de otros compañeros.

12

145

8

58

610

2100

51 000

6251 000

1 0001 000

2501 000

5001 000

12

14

1251 000

18

6251 000

5001 000

1251 000

12

18

58

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79


el valor del resultado tomando como referen-cia la unidad o un medio. Se espera que losalumnos puedan formular conclusiones en re-lación con los datos de un reparto y el resulta-do, comparando este último con la unidad ocon un medio.

Esta actividad sirve para confirmar las hipótesisque se hayan generado con las preguntas ante-riores. La única diferencia es que el resultadodel reparto es mayor que 1. Es importante des-tacar que no se requiere que los niños lleguen ala cuantificación numérica del reparto sino quelogren explicar esta relación.

73

4. Rodrigo repartió algunas galletas entre sus amigos. A cada niño le tocó degalleta. ¿Cuántas galletas pudo haber repartido Rodrigo y cuántos niños pueden ser?

Comenta con tus compañeros y tu maestro las respuestasque puede tener este problema.

3. Completa los datos en la siguiente tabla.

Datos del reparto Lo que le toca a cada unoGalletas Niños Más que una galleta Una galleta Menos que una galleta

1 3 X

4 5

5 4

6 6

1 4 1 5

3 2

7 X

9 X

2 X

X

Juan dijo que eran tres galletas y cuatro niños. Pablo dijo queeran seis galletas y ocho niños. ¿Quién de los dos tiene razón?

5. A Juan le tocó de galleta y a María de galleta.¿A quién le tocó más? ¿Por qué?

• Encuentra tres situaciones diferentes de reparto de galletasentre niños, en los que a cada niño le toque la mismacantidad de galleta.

34

23

46

En la confrontación propicie que los alumnos se den cuenta deque algunos renglones de la tabla tienen varias respuestas co-rrectas, ya que a veces sólo se da uno de los datos del reparto yen otros no se da ninguno. Destaque las condiciones que debentener las situaciones de reparto para que a cada niño le toqueuna galleta, más de una o menos.

2

Este problema es más complejo porque sólo se conoce el resul-

tado del reparto. Sin embargo, los alumnos tienen elementos pa-

ra resolverlo. Por ejemplo, saben que había menos galletas que

niños, porque les tocó menos de una galleta. Con esta informa-

ción podrán probar con varios pares de números hasta encontrar

el resultado. También podrán reunir lo que le tocó a varios niños

hasta obtener un número entero de galletas. Por ejemplo: si fue-

ran 2 niños tendríamos + = = 1 galleta . Si fueran

3, + + = = 2 galletas y si fueran 4 niños tendría-

mos + + + = = 3 galletas. De manera que una res-

puesta posible es 3 galletas y 4 niños o cualquier par de números

que sean múltiplos de éstos. Pida que encuentren otros repartos

equivalentes.

Se espera que los alumnos logren verificar la equivalencia de lasfracciones mediante diversos procedimientos y que encuentrendiferentes repartos que arrojen el mismo resultado. Por ejemplo,duplicando o triplicando el número de galletas y de niños.

3

4

5

34

34

64

24

34

34

34

94

14

34

34

34

34

124

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80

32

1 2



Interpretar, representar y operar con horas, mi-nutos y segundos estableciendo equivalencias.

¿A qué hora nos vemos?

Si al contestar la primera pregunta los alumnos hacen referenciaal lustro, la década, el siglo y el milenio, anótelo en el pizarrón ycuestiónelos sobre su equivalencia en otras unidades de medida,por ejemplo: ¿Cuántos lustros forman una década? ¿Cuántas déca-das forman un siglo?, etcétera.

Seguramente los alumnos no tendrán dificultadpara contestar la pregunta que se plantea en estaactividad. Aproveche para comentar sobre la im-portancia de comunicar o registrar la hora correc-tamente. Por ejemplo, puede plantear lo siguien-te: Una vez puse mi despertador electrónico paraque sonara a las 5 de la mañana, pero sonó hastalas 5 de la tarde. ¿Por qué creen que sucedió eso?

Permita que los alumnos opinen librementecon el fin de concluir que muchos relojes des-pertadores y otros aparatos sólo indican las ho-ras de cero a 12, pero agregan a.m. para antesde medio día y p.m. para pasado el medio día.Seguramente no me fijé y puse mi despertador alas 5 p.m. Después de esto puede preguntar: Siun reloj indica las horas de 0 a 24, ¿cómo indicalas 5 de la tarde?

Antes de resolver la actividad, los alumnos tra-bajarán las lecciones "Los movimientos de laTierra" y "Las líneas imaginarias de la Tierra", dellibro Geografía. Quinto grado. Después, en formacolectiva resolverán las primeras cuatro activi-dades de esta lección, las tres siguientes porequipos y la última individualmente. Permitaque usen la calculadora si lo desean. Cuando lamayoría de los equipos termine las actividades5 y 6 organice una confrontación de resultados,otra cuando terminen la 7, y la última despuésde terminar la 8.

3

74

L E C C I Ó N

Relaciones entre horas, minutos y segundos

32¿A qué hora nos vemos?

Meche y Alejandro se van a ver, ¿en la mañana o en la noche?

4. En la secundaria donde estudian Meche y Alejandro, las clases empiezan a las7:30 a.m. y terminan a las 2:30 p.m. Las clases duran 50 min. y descansan10 minutos entre clase y clase.¿Sabes lo que significa a.m. y p.m.?

Comenta con un compañero lo que hizo Meche para saber a qué hora terminasu segunda clase.

1. Para medir el tiempo, usamos unidades como año, mes, semana.¿Qué otras unidades de tiempo conoces?

2. Comenta con tu maestro de dónde sale la unidad de un añoy de dónde la unidad de un día.

¿Cuántas horas tiene un día?¿Cuántos minutos tiene una hora?

¿Cuántos segundos tiene un minuto?

3. Meche le dijo a Alejandro que llegara el viernes a su casa, 15 minutosantes de la hora del noticiero. Meche y Alejandro tienen que ver el

noticiero de las nueve treinta para hacer una tarea de ecología. Mechele dio a Alejandro el siguiente recado para que no se le olvidara la hora.

A las 9:20 a.m. termina la segunda clase.

Nos vemos a las 21:15 hrs.en mi casa.

T.Q.M. Meche

HoraHoraHoraHoraHora MinutosMinutosMinutosMinutosMinutosEntrada 7 3030303030+ 1a. clase 5050505050+ descanso 1010101010+ 2a. clase 5050505050

7 14014014014014099999 2020202020

M/5/P-052-087.Qx4.0 5/7/02 12:09 PM

81

Ficha 19 (14)Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

En el problema de Luz María, es conveniente in-dicar a los alumnos que consideren que unaquincena abarca 2 semanas, es decir, 10 días há-biles. Hecha esta precisión podrán resolver elproblema.

El problema de Gerardo tiene dos respuestascorrectas dado que sólo en 2 días trabaja 6 ho-ras; las otras 3 horas se pueden acomodar en los3 días de la semana que faltan o en 2. Dicho deotra manera, podría tener 0 días libres o 1.

Ponga especial atención en las justificaciones que los alumnosden para explicar cómo supo Meche que su segunda clase termi-na a las 9:20 a.m. Es probable que algunos ya conozcan las dife-rentes reglas de agrupamiento y desagrupamiento de las unida-des de medida de tiempo. Si es así, permita que expliquen lo quehizo Meche, ya que es importante que ellos mismos reflexioneny concluyan lo que deben hacer para pasar de una unidad a otra.

El procedimiento para explicar cómo pasar de 7 horas 140 mi-nutos a 9 horas 20 minutos puede ser mental (en 140 minutoshay 2 horas con 20 minutos) o mediante la división 140 ÷ 60.Estos problemas y los planteados en la actividad 7 se relacionan

con la información que se comentó al trabajarcon la actividad 4.

Para resolver el problema del maestro Meli-tón, los alumnos pueden utilizar diferentes pro-cedimientos; observe cómo interpretan los re-sultados de las operaciones que realicen. Porejemplo, una vez que sepan que el maestro Me-litón da 20 clases a la semana, probablementelos alumnos que usen la calculadora, decidanmultiplicar 50 minutos por 20, obteniendo co-mo resultado 1 000 minutos. Para convertirlos ahoras quizás dividan 1 000 entre 60 obteniendo16.66. ¿Qué significado le darán al 16.66? Es po-sible que sepan que el 16.66 son las horas quese pueden formar con 1 000 minutos, el proble-ma es: ¿Qué significa el .66 horas? Es importanteaclarar la respuesta a esta pregunta.

Quienes hayan hecho la división con el algo-ritmo, tal vez se den cuenta que el cociente sonlas horas y el residuo (40) los minutos que so-bran. De aquí se puede prever que .66 horas son40 minutos y para verificarlo se puede seguir elcamino inverso: 16 horas por 60 minutos son960 minutos, más 40 es igual a 1 000 minutos.

Antes de que los alumnos resuelvan el proble-ma puede pedirles una estimación: ¿Qué equipocreen que ganó? Después, al hacer sus cálculos,la validarán.

Otras preguntas que se pueden plantear uti-lizando la información de las tablas son: ¿Cuán-to tiempo más hizo el equipo de Meche que el deAlejandro? ¿Qué diferencia hay entre el tiempoque hizo Rafael y el que hizo Marisa? ¿Con cuantotiempo le ganó Óscar a Pedro?

Revisar en forma colectiva cómo resuelvenlas operaciones ayudará a los alumnos a detec-tar errores y a corregirlos.

4

5 6

7

8

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Dado que este problema hace referencia a unalongitud, es probable que para resolverlo re-presenten un kilómetro en una recta y lo divi-dan, con la hoja rayada, en 5 y 10 partes iguales,o utilicen las rectas de la página 77 para ubicarlas fracciones y . Otros tal vez recuerdencómo generaron fracciones equivalentes en la

lección 31 y señalen que y es lo mismoporque 6 es el doble de 3 y 10 es el doble de 5.También puede suceder que algunos alumnosconviertan el kilómetro a metros (1 000) y cal-culen y de 1 000 encontrando que en am-bos casos son 600 m.


82

33


Determinar la equivalencia o el orden entre doso más fracciones con apoyos gráficos o cálculomental.

La escuela de Pablo

Organice al grupo en equipos y pida que traba-jen con las primeras cinco actividades; la sextala resolverán individualmente y la última en pa-rejas. Realice la confrontación de resultados delprimer problema como se señala en el libro. Enel segundo problema, observe si los alumnosaplican estrategias adecuadas para descubrir laequivalencia de las fracciones. Si se les dificulta,deténgase y confronte los resultados de esteproblema. En caso contrario, deje que sigan tra-bajando y confróntelos hasta que terminen laactividad 5; cuando terminen la 6 realice otraconfrontación.

No enseñe a los alumnos el algoritmo con elque usualmente se generan e identifican lasfracciones equivalentes; permita que traten deencontrar una estrategia para identificarlas ygenerarlas al resolver los problemas.

Observe que las respuestas de los primeroscinco problemas no son números; sin embargo,para resolverlos, los alumnos deberán emplearlos recursos que conocen para comparar lasfracciones y determinar si son o no equivalentes.Cabe señalar también que si bien todas las frac-ciones se pueden comparar apoyándose en larecta numérica, el contexto de los problemas lle-vará a los alumnos a usar los esquemas de la pá-gina 77 u otros recursos. Permítalo si así lo ha-cen. Más adelante, en la confrontación, podránverificar si el modo en que los usaron les permi-tió resolver los problemas.

76

L E C C I Ó N

Uso de diversos recursos para mostrar la equivalencia de fracciones

La escuela de Pablo

1. Pablo y Juan viven en lugares distin-tos, pero cada uno de ellos tiene querecorrer un kilómetro para ir de su casaa la escuela.

Salen de sus casas y cuando se cruzan Pablo harecorrido y Juan ha recorrido del camino.¿Quién de los dos está más lejos de su casa?

Comenta tu respuesta con tus compañeros y tumaestro.

2. En el grupo de Pablo hay 32 alumnos, del totalson mujeres y del total usan lentes. ¿Quiénes sonmás, las mujeres o los que usan lentes?

3. Juan ha resuelto de las lecciones dematemáticas, Pablo ha resuelto . ¿Quién ha resueltomás lecciones?

33

4. El salón de Pablo es rectangular. El piso está cubierto conmosaicos de tres colores, del total son verdes, sonnaranjas y son rojos. ¿De qué color hay más mosaicos?

76

5. Pablo y Juan compraronlápices de igual tamaño. Pabloha gastado de su lápiz yJuan ha gastado . ¿A quiénle queda el lápiz más largo?

• Identifica el esquema quemás te sirva de la siguientepágina para resolver cadauno de los problemas ante-riores.

35

610

58

1016

13 2

6

39

6189

27

23 3

4

1


35

610

610

35

35

610

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83

Para resolver este problema probablemente los alumnos utili-cen la colección de caritas de la página 77, o dibujen otros obje-tos que representen a los 32 alumnos para formar 8 y 16 subgru-pos concluyendo que y es lo mismo porque representanla misma cantidad de alumnos.

Al tratar de resolver estos problemas, es proba-ble que algunos alumnos piensen que no sepuede, porque no se sabe cuántas lecciones ycuántos mosaicos hay en total. Otros quizáconsideren que en el tercer problema son 87lecciones (porque éste es el número de leccio-nes que tiene su libro) o que determinen unacantidad x para calcular cuánto es de la can-tidad determinada ( de 87 = 19 lecciones) ycuánto es ( de 87 = 9.5 lecciones), hastacomprobar que y son equivalentes por-que representan la misma cantidad de leccio-nes (19). También es posible que razonen de lasiguiente manera: Si un entero se divide en terciosy cada tercio se parte a la mitad, en cada tercio setienen dos sextos, por lo tanto es lo mismo. Encuanto al cuarto problema es probable que uti-licen el rectángulo de la página 77 o que dibu-jen el piso con un número determinado de mo-saicos. Este último procedimiento los enfrenta-rá a un nuevo problema: encontrar un númerodivisible entre 3, 18 y 27.

Este problema es diferente porque las fraccio-nes involucradas no son equivalentes. Algunosalumnos podrán representar los dos lápices consegmentos del mismo tamaño, marcar en cadauna una de las fracciones y ver cuál es mayor.Otros podrán razonar de manera más abstracta:A Pablo le queda de su lápiz porque ya se gas-tó y a Juan le queda , porque ya se gastó .Como es mayor que el pedazo del lápiz dePablo es más grande que el de Juan.

Si no han utilizado los esquemas de la página77 para trabajar los problemas, pida que realicenla segunda parte de esta actividad y comprue-ben si con ellos obtienen los mismos resultados.Si ya lo hicieron, pregunte cómo supieron quelas rectas les podían servir para resolver los pro-blemas 1 y 3.

En la confrontación plantee preguntas paradestacar la relación que existe entre los numera-dores y los denominadores de las fracciones in-volucradas en cada problema, que las hace equi-valentes entre sí. Por ejemplo en , y ,6 es el doble de 3 y 18 es el doble de 9, y 9 es eltriple de 3 y 27 es el triple de 9. Propicie una dis-cusión que permita a los alumnos descubrir quepara resolver los problemas 3 y 4 no era necesa-rio saber cuántas lecciones tenía el libro ni cuán-tos mosaicos tenía el piso. Invítelos a buscar unamanera de comprobar que los mosaicos rojosrealmente representan de la colección.

2

3 4

Al resolver de manera individual la actividad 6, los alumnos apli-carán las estrategias y los conocimientos asimilados para identi-ficar las fracciones equivalentes. Si al confrontar los resultadoshay diferencias, sugiera que los verifiquen en la recta numérica.Mientras realizan la última actividad, observe cómo lo hacen. Encaso necesario, insista en que verifiquen si las fracciones dadasson equivalentes o no.

5

6 7

58

1016

13

13

16

16

13

26

13

23

14

34

13

14

39

618

927

927

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84

34

1



Resolver problemas de combinatoria con carac-terísticas diferentes utilizando diversos recur-sos, entre ellos el diagrama de árbol.

Collares de cuentas

Es probable que al trabajar con esta actividad,algunos alumnos adviertan el parecido conotras que ya han resuelto (lecciones 15 y 25) ybusquen en su libro cómo lo hicieron. Si esto su-cede, permítalo y observe mientras elaboran losdiagramas o las tablas de doble entrada. Si na-die los usa y recurren a otros procedimientos,no se preocupe, más adelante lo harán.

Después de leer el primer planteamiento,aclare que todos los collares deben tener sólo 3cuentas; de este modo los alumnos trabajaráncon un número manejable de combinaciones.

Tomando en cuenta los datos señalados (3colores y 3 cuentas), tal vez algunos alumnospiensen que no pueden hacer un collar con 2 o3 cuentas del mismo color o que no respetenlas condiciones que se incluyen en los siguien-tes problemas. Por ejemplo, la condición indi-cada en el segundo problema fija la posiciónde la cuenta roja y evita la posibilidad de colo-car dos rojas, porque una de ellas quedaría enlos extremos. En este caso, si piensan que loscolores no se pueden repetir, encontrarán sólodos diseños diferentes cuando en realidad soncuatro.

La condición del tercer problema fija el colorde las cuentas que van en los extremos. En estecaso, tal vez los alumnos piensen que sólo sepueden hacer dos collares diferentes, si no con-sideran que al poner una cuenta azul en el cen-tro se cumple con las condiciones señaladas.

En la confrontación, si utilizaron el diagramade árbol para responder a la primera pregunta,reproduzca alguno en el pizarrón para revisar siobtuvieron toda la gama de combinacionescon otros procedimientos. Si alguien trató deusar la tabla de doble entrada, pregunte si pu-dieron o no contestar a la pregunta con ese pro-cedimiento, ya que con una sola tabla sólo sepuede obtener combinaciones de dos cuentas.Para encontrar las combinaciones que se puedehacer con tres cuentas, considerando los colo-res disponibles, es necesario hacer dos tablas. Sinadie usó estos recursos, deje que continúentrabajando con la actividad 2.

Conviene que los alumnos trabajen en formaindividual las actividades 3 y 4, y las demás enequipos de tres alumnos. Intervenga lo menosposible pero observe cómo trabajan. Cuando lamayoría termine cada actividad confrontenprocedimientos y resultados.

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Se espera que los alumnos se den cuenta rápi-damente de que el resultado del primer pro-blema de esta actividad también es 27, ya quelos collares deben tener 3 cuentas y tambiéndisponen de 3 colores diferentes. En el siguien-te problema, es importante aclarar que aun-que se agregue un color más los collares de-ben tener 3 cuentas. En la siguiente ilustraciónse muestra una parte del diagrama de árbolcon algunas de las combinaciones que se pue-den hacer.

Propicie que los alumnos observen cuántosniveles tiene el diagrama que elaboraron ycuántas ramificaciones tiene cada cuenta. Pidaque comparen los dos diagramas elaborados y

Cuando terminen de completar el diagrama de árbol, ayude a losalumnos a analizarlo y comprueben si entre las 27 combinacio-nes obtenidas se encuentran las que cumplen con las condicio-nes indicadas en los tres últimos problemas.

3

que señalen sus diferencias. Después planteeel problema: Si los diseños fueran de 4 cuentas,¿cuántos niveles debería tener el diagrama deárbol?

Entre las tercias de números que suman 10, es posibleque los niños encuentren las siguientes:

1 + 1 + 8 = 10; 1 + 8 + 1 = 10; 8 + 1 + 1 = 10

2

4

En la confrontación propicie el análisis de lasdiferencias entre el problema de los collares de3 cuentas y el problema de la suma de 3 núme-ros que den como resultado 10.

En el primer caso, si bien todos los collarestienen tres cuentas, cuando cambia el orden enel que se colocan se obtiene un collar diferente;en cambio, en el caso de la suma, aunque secambie el orden de los números, se trata de lamisma tercia. Por lo tanto, sólo una de las tercias

repetidas es válida, las otras se eliminan. Solicitea los alumnos que encuentren las tercias quefaltan en la secuencia de la tabla.

Al contestar las siguientes preguntas puedeser que los alumnos digan que ninguna terciatiene un producto mayor o menor. Si esto suce-de, aclare que con el término "producto" se ha-ce referencia al resultado de multiplicar la terciade números.

5 6

La solución de estos problemas también se puede encontrar conun diagrama de árbol, con la condición de que las letras no se re-pitan. En la actividad 6, pida que elijan el nombre de uno de suscompañeros que tenga 3 o 4 letras, para evitar que se conviertaen una tarea cansada y engorrosa.

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86

35

1 2



Tal vez algunos alumnos conviertan las unidades de mayorvalor a unidades de menor valor o viceversa. En este caso, en laconfrontación pida que expliquen cómo hicieron las conversio-nes. También puede ser que expresen las cantidades con punto

Juan: si = 1, entonces = 4 y si = , entonces: 4 + + = 4 .

Por lo tanto Juan coloreó 4 .

Paula: = 1, entonces = 4, = 1, y = .

Entonces 4 + 1 + = 5 o 5.01. Por lo tanto Paula coloreó más.

Generar procedimientos para resolver proble-mas que impliquen suma y resta de fracciones ynúmeros decimales. Que los alumnos descu-bran que la fracción puede significar la divi-sión indicada y también el resultado de esa di-visión, es decir un número.

Si bien la respuesta a las preguntas es una palabra, para contes-tarla los alumnos podrán recurrir a la equivalencia de fraccioneso al coloreado de las partes señaladas en cada problema. Si estoúltimo sucede, para agilizar la actividad, sugiera que un alumnocoloree las partes que le corresponden a Juan y su compañerolas que le corresponden a Paula. En la confrontación pida a dos otres parejas, que hayan resuelto el problema con operaciones,que expliquen cómo lo hicieron. Para comprobar los resultadospuede apoyarse en los rectángulos-unidad coloreados por losalumnos.

Los alumnos que ya dominan la equivalencia de fraccionescon denominador 10, 100 y 1000, probablemente sigan razona-mientos como los siguientes al resolver el primer problema:

Con anticipación pida a los alumnos una calcu-ladora, los cinco rectángulos-unidad que usa-ron para resolver la lección 28 y colores. Pidaque trabajen las actividades 3 y 5 en forma indi-vidual y el resto en parejas. Es importante con-frontar los resultados cuando se indica en el li-bro y, si usted lo considera necesario, puede or-ganizar otra revisión de resultados y procedi-mientos en otro momento.

Recuerde que para agilizar las confrontacio-nes tiene que seleccionar, previamente, a dos otres alumnos (si es individual) o a dos o tres pa-rejas que usaron procedimientos diferentes.

Más sobre decimales

1010

4010

101 000

1100

75100

1100

76100

76100

1 0001 000

4 0001 000

1010

101 000

1100

1100

1100

ab

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87


decimal y las sumen con el algoritmo o con la calculadora. Si al-guien lo hace así, conviene que resuelva las operaciones en el pi-zarrón para revisar la escritura de los números con punto y elalgoritmo para sumar decimales.

Es probable que al resolver los siguientes problemas los alum-nos traten de implementar las estrategias revisadas en la con-frontación de la primera actividad.

En cuanto al último problema de la actividad 2, es importanteque algunos alumnos muestren lo que colorearon en sus rectán-gulos-unidad y, entre todos, verifiquen que cumplen con lo quese pide.

3

Leer en voz alta algunos números escritos conpunto, antes de que los relacionen con las frac-ciones, le permitirá a usted cerciorarse de quelos interpretan adecuadamente y a los alumnosles facilitará identificar su equivalente. Recuerdeque estos números pueden leerse de diferentesmaneras.Por ejemplo: .50 se puede leer cinco dé-cimos, cero centésimos o cincuenta centésimos.

En la confrontación, centre la atención de losalumnos en la función del cero en la escriturade los números decimales mediante preguntascomo: ¿Qué pasa si le quitamos el cero a .50?¿Qué pasa si le quitamos el cero a .05? ¿Qué fun-ción tiene el cero en la escritura de los númerosdecimales?

Al comentar los resultados de la tabla, es impor-tante centrar la atención en la primera y terceracolumnas, preguntando en cada caso si los nú-meros que están en el mismo renglón tienen elmismo valor. Por ejemplo, y 0.07. Pida a losalumnos que lean ambos números para desta-car que en algunos casos se leen igual y enotros no, pero en todos representan el mismovalor. Pregunte en seguida qué pasaría si no hu-biera columna en medio: ¿Podrían de todos mo-dos encontrar el número de la derecha conociendoel de la izquierda o a la inversa? Haga la pruebacon estos ejemplos: , , ; 0.5, 7.9, 0.02.

Lea junto con los alumnos la consigna y el primer problema quese propone y aclare que no se trata de que tecleen .5 sino que elproblema consiste en encontrar tres operaciones con las que seobtenga como resultados .5. Tomando como antecedente la ac-tividad anterior, se espera que los alumnos para encontrar, porejemplo, 3.4, dividan 34 ÷ 10, 340 ÷ 100 y 3 400 ÷ 1 000.

Otros quizás busquen un número que multiplicado por la frac-ción señalada dé como resultado un número entero y despuéstecleen la división correspondiente para obtener la fracción soli-citada. Por ejemplo: 3.4 x 5 = 17. Después dividir 17 ÷ 5 = 3.4; si esasí, sugiérales que busquen otra manera utilizando fraccionescon denominador 10, 100, 1 000, e inclusive 10 000 y 100 000.

4

5

7100

24100

156100

1510

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88

36


En la confrontación de resultados, pida a unrepresentante de alguno de los equipos que es-criba en el pizarrón el peso y el precio que cal-cularon para cada jalea. Si los otros equipos tie-nen resultados diferentes los anotan en el piza-rrón y explican el procedimiento que siguieronpara llegar a ese resultado para que entre todosaverigüen quién tiene la razón y en qué se equi-vocaron los equipos que no llegaron al resulta-do correcto.

En esta actividad se trata de que los alumnos reflexionen sobresus propias acciones y reconstruyan paso a paso lo que hicieronpara resolver los problemas. Esto les permitirá hacer conscienteel procedimiento utilizado.

En la confrontación de resultados pida a un representante dealguno de los equipos que lea la descripción del procedimientoque siguió para calcular el precio de la jalea que pesa 750 g y pi-da al resto del grupo que siga las indicaciones para ver si conellas se llega o no al resultado del problema. Si hay algún error,entre todos lo corrigen. Haga lo mismo con las otras descripcio-nes. Cuando terminen de revisarlas vale la pena preguntar a unode los equipos cómo hizo para calcular los precios de las jaleasque pesan 375 y 965 g, registrando en el pizarrón los diferentes

Reflexionar sobre los procedimientos que pue-den utilizarse para resolver problemas con can-tidades que varían proporcionalmente.

Pesos y precios

Anticipadamente pida a los alumnos que lle-ven su calculadora. Forme equipos de cuatrointegrantes para que resuelvan los problemasde las actividades 1 y 2. En cuanto a la activi-dad 3 conviene trabajarla colectivamente y la4 de manera individual. Organice dos confron-taciones de resultados y procedimientos, unacuando terminen de resolver las dos primerasactividades y otra después de que resuelvan laúltima actividad.

Observe cómo resuelven los problemas.Se espe-ra que los alumnos pongan en juego algunas delas propiedades de las situaciones de proporcio-nalidad directa para obtener el precio de los pa-quetes de jalea, como: sacar mitades del peso ydel precio o dividirlos entre un mismo número,duplicarlas, triplicarlas o multiplicarlas por unmismo número,sumar el precio calculado de doso más jaleas para obtener el de otra o calcular elvalor unitario (1 g).

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procedimientos utilizados. Por ejemplo, para obtener el precio de965 g podrán haber hecho lo siguiente:

Sumar el peso y el precio ya calculado de algunas jaleas (550 + 375 + 50 = 975) y (25 + 18.75 + 2.50 = 46.25). De esta ma-nera se tiene que 975 g cuestan $46.25. Como el peso se excedecon 10 g, es necesario calcular el precio de 10 g de jalea y restar-lo al precio de los 975 g. Para ello pueden dividir el precio de 50g entre 5 (2.50 ÷ 5 = .50) y restar (46.25 – .50 = 45.75). De esta ma-nera se tiene que 965 g cuestan $45.75.

3

Después de que los alumnos completen la ta-bla y contesten la primera pregunta de esta ac-tividad, pida que expliquen por qué dicen quesí o que no son proporcionales. En la búsquedade argumentos que justifiquen sus respuestasexplicitarán lo que hasta el momento han com-prendido sobre la noción de proporcionalidad.Pueden decir por ejemplo Porque si multipli-cas por un mismo número el peso y el precio deuna jalea te da el precio de otra. Por ejemplo:50 × 10 = 500 y 2.50 × 10 = 25.

Al analizar los procedimientos de Pedro, Pau-la y Paco escritos con letras verdes, es importan-te observar que Paco calcula el valor unitario,mientras que Pedro y Paula usan, de manera im-plícita, algunas propiedades de las cantidadesque varían proporcionalmente:

a) La suma de los valores de una magnitudcorresponde a la suma de los valores de la otra

b) Si una magnitud crece al doble, al triple, et-cétera, la otra también.

Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º Fichas 33, 40 y 45

Para destacar estas y otras propiedades, sesugiere copiar en el pizarrón la tabla y pedir alos alumnos que la completen. Después pidaque verifiquen en la tabla si la propiedad a)siempre se cumple y proponga que, utilizandoeste procedimiento, calculen el precio de algu-nos pesos que no estén registrados en la tabla,por ejemplo el precio de 625 g, 1100 g, 1125 gu otros propuestos por ellos. Haga lo mismocon la propiedad b).

Si entre los procedimientos utilizados porlos alumnos no calcularon el precio de un gra-mo de jalea (valor unitario) pida que lo averi-güen y que expliquen cómo lo hicieron. Des-pués invítelos a comprobar que, al dividir losdatos de cada renglón (el peso de la jalea entreel precio), el resultado siempre es el mismo, elprecio de un gramo de jalea. Señale que ésta esotra propiedad de las cantidades que varíanproporcionalmente.

Para resolver el primer problema, los alumnos tal vez calculen elvalor unitario de las alegrías, o elaboren una tabla de proporcio-nalidad para ver cuál es el precio de 12 alegrías en el primerpuesto y compararlo con lo que se paga en el segundo. En el se-gundo problema es probable que se den cuenta rápidamente deque la promoción es la misma, ya que en ambos casos dan un bo-leto de $10.00 por cada $50.00 de compra. Otros tal vez elaborentablas de proporcionalidad para llegar a la misma conclusión. Pi-da que verifiquen si estas tablas cumplen con las propiedadesseñaladas anteriormente.

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Comparar, ordenar y reconocer equivalenciasentre los múltiplos o submúltiplos del metro.Descubrir que entre dos decimales hay otrosnúmeros (densidad).

Las apariencias engañan

Ponga atención a lo que hacen y dicen losalumnos para encontrar la respuesta de la pri-mera pregunta. Es probable que algunos equi-pos concluyan que las cintas de Ana y Paula soniguales, apoyándose en la equivalencia entre las

Las actividades podrán resolverse en equiposde cuatro alumnos. Además de los espacios se-ñalados para que los alumnos comparen y justi-fiquen sus respuestas, conviene organizar unaconfrontación de resultados después de cadaactividad. Dedíquele el tiempo necesario paraque los alumnos argumenten y validen o invali-den las respuestas.Tenga a la mano reglas y me-tros graduados, cintas métricas y flexómetros.

unidades en cuestión, otros quizás crean quePaula tiene razón porque el 200 y 300 valen másque 2.30. Promueva que en la confrontación ex-pliquen cómo encontraron la respuesta losalumnos que acertaron.

Observe cómo ordenan las medidas. Tomeen cuenta que un error que cometen los alum-nos con frecuencia al ordenar números deci-males es creer que éstos funcionan de la mis-ma manera que los naturales. Por ejemplo, sa-ben que entre dos números naturales es mayorel que tiene más cifras. Si bien esta idea funcio-na con los naturales, no sucede lo mismo conlos decimales. Por lo anterior, probablementealgunos equipos los ordenen así: 5.3 m, 5.19 m,5.25 m y 5.1740 m, y otros los ordenen correc-tamente considerando el significado de la par-te decimal. Si surgen diferentes ordenamien-tos, pida que los registren en el pizarrón y pre-gunte en qué se fijaron para ordenarlos. Invíte-los a demostrar quién tiene la razón. Si no se lesocurre apoyarse en los instrumentos de medi-ción, en los rectángulos-unidad o en la rectanumérica, sugiéralo.

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L E C C I Ó N

Ampliar el conocimiento sobre los decimales

Las apariencias engañan

• Ana dijo: Mi cinta de medir tiene 2.30 metros de largo.Paula dijo: La mía es más grande,La mía es más grande,La mía es más grande,La mía es más grande,La mía es más grande, tiene 200 centímetros y 300 milímetros!tiene 200 centímetros y 300 milímetros!tiene 200 centímetros y 300 milímetros!tiene 200 centímetros y 300 milímetros!tiene 200 centímetros y 300 milímetros!

¿Es cierto lo que dijo Paula? ¿Por qué? Discútelo con tus compañeros.Luego anota la conclusión que obtuviste con base en la discusión.

Las siguientes son las medidas de cuatro listones que Paula cortó. Ordénalasempezando por la menor: 5.25 m, 5.19 m, 5.3 m, 5.1740 m.

2. Pon una paloma a lo que es cierto y una cruz a lo que es falso:

37 1. En esta lección ampliarás tus conocimientos sobre los decimales.Pon mucha atención porque, a veces, las apariencias engañan.

Una cuerda que mide 1 275 milímetroses más larga que otra que mide 140centímetros.

De los números siguientes, el máspróximo a .17 es 1.7

0.1 0.20 1.7 .017

De los números que aparecen abajo,el más próximo a 3.5 es 3.550

3.40 3.6 3.42 3.550

Todos los números que aparecen abajorepresentan el mismo valor que 15.00

1 500 150 15 000100 10 1 000

!

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Ponga atención en lo que hacen los alumnos para saber si la afir-mación es falsa o verdadera y en la confrontación pida a los equi-pos que usaron procedimientos diferentes que expliquen lo quehicieron para saberlo. Por ejemplo, para resolver el primer proble-ma pueden convertir los milímetros a centímetros o viceversa, en-contrando que 140 cm = 1 400 mm, o que 1 275 mm = 127.5 cm.

En el segundo y tercer problemas, trate de aprovechar los pro-cedimientos que usan los alumnos para enfatizar el significadode la parte decimal (0.17 son 17 centésimos), las transformacio-nes y la comparación mediante el cálculo mental. Por ejemplo,0.1 es un décimo que equivale a 10 centésimos, la diferencia con17 centésimos es 7 centésimos.

Es probable que algunos alumnos interpreten "el más próxi-mo" como el número menor más cercano. Si esto sucede aclareque también puede ser el número mayor más cercano.

Es interesante analizar los procedimientos que usen losalumnos para resolver el cuarto problema. Lo más probable esque se apoyen en el significado de cada fracción (1 500 centési-mos en el primer caso) y que la conviertan en unidades, sabien-do que con 100 centésimos se forma una unidad. Esta mismaidea puede llevarlos a dividir 1500 entre 100, con lo cual se sim-plifica el procedimiento.

Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º Fichas 47 y 67: 5 a 8

2

Lea junto con los alumnos el problema y antesde que lo resuelvan propicie el análisis de launidad que se presenta. Plantee preguntas quelos lleven a darse cuenta de que la unidad estádividida en 100 partes iguales (centésimos) y deque cada parte está dividida en 10 milésimos.Después pida que resuelvan el problema. Esprobable que al principio algunos alumnospiensen que el 6.2 o 6.3 y 6.5 están entre 6.01 y6.06. Si esto sucede pida que también ubiquenestos últimos números en la recta.

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Es común que los alumnos trasladen las propie-dades de los números naturales a los decimales,por lo que frecuentemente dicen, por ejemplo,que entre 7.8 y 7.9 no hay otro número. Una vezque ubiquen los números en la recta, es impor-tante que los alumnos se den cuenta de que en-tre cualquier par de números decimales, pormuy próximos que estén, siempre hay otros nú-meros. Por ejemplo, entre 7.8 y 7.9 están el 7.81,7.813, 7.82, 7.824, 7.83. Una vez más, lo que ayu-da a entender esta propiedad de los decimaleses enfatizar su significado. Así, 7.8 es 7 unida-des más 8 décimos, que equivale a 7 unidadesmás 80 centésimos (7.80); con esta transforma-ción queda claro que entre 7.80 y 7.90 hayotros números.

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mo, pero su superficie es la misma porque lamedida de su base y de su altura son iguales. Sino observan este detalle, plantee preguntas oactividades que los lleven a pensar sobre esteaspecto. Por ejemplo, puede pedir que recortenalgunos de los romboides generados y bus-quen la manera de transformar cada romboideen un rectángulo. Después pida que calculen elárea del rectángulo y traten de justificar porqué el área es la misma.

Descubrir que paralelogramos diferentes tienenigual área si miden lo mismo de base y de altu-ra. Interpretar instrucciones para trazar figuras.

Trazo de triángulos y cuadriláteros

Promueva que los alumnos tracen en posicio-nes diferentes las líneas y las figuras solicitadas.Mientras realizan la actividad observe cómo lohacen y asesórelos cuando detecte que tienendificultades para usar las escuadras al trazar lasparalelas o las perpendiculares.

En la tercera bala, al trazar las figuras con lasmedidas indicadas, probablemente los alum-nos construirán un rectángulo y una variedadde romboides que se diferencien por la medidade sus ángulos. Aproveche la confrontación pa-ra analizar las semejanzas y diferencias de las fi-guras generadas con base en el paralelismo, laperpendicularidad o no perpendicularidad desus lados y de sus diagonales, y el tipo de ángu-los que forman (agudos, rectos y obtusos).Plantee las siguientes preguntas: ¿Cómo son suslados opuestos? ¿Y los lados contiguos? Si es ne-cesario, explique el significado de los términosopuesto y contiguo, y úselos de manera natu-ral, sin esperar que los alumnos memoricen sudefinición.

Después de calcular el área de los tres parale-logramos que dibujaron, es importante propi-ciar la reflexión sobre el porqué tienen la mismaárea. Probablemente se den cuenta de que sondiferentes porque sus ángulos no miden lo mis-

Organice al grupo en parejas para que resuelvanlas dos actividades.Confronte los resultados y losprocedimientos al final de cada actividad.

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L E C C I Ó N

Trazos con regla y compás

38Trazo de triángulos y cuadriláteros

• Con la regla y las escuadras traza un cuadrado que tenga 4 cm por lado y unrectángulo que tenga 5 cm de base y 8 cm de altura.

1. Con tu juego de geometría explora cómo puedes trazar líneasparalelas y líneas perpendiculares. Haz tus trazos en hojas blancas.

• Trabaja con un compañero: Uno de ustedes dé las medidas de uncuadrado o de un rectángulo y el otro lo dibuja.

• Traza 3 paralelogramos distintos que tengan 5 cm de base y 3 cmde altura.

¿Cómo son las áreas de los 3 paralelogramos?

¿Cuántos paralelogramos podrías trazar que tengan la misma áreaque los que dibujaste?

2. Con la regla traza una línea, marca en ella dos puntos. La aperturade tu compás debe ser mayor a la distancia que hay entre los dospuntos que marcaste.

• Apoya el compás en uno de los dos puntos y traza un círculo.

• Sin cambiar la apertura del compás, traza otro círculo apoyándoteen el otro punto. ¿Los círculos se cortan?

• Marca los puntos donde se cortan los círculos.

• De las configuraciones de la página siguiente, señala la que separece a la que trazaste.

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Fichas 51 y 73

Antes de que los alumnos realicen esta actividad es convenientededicar unos cuantos minutos para explorar si alguien sabe có-mo trazar triángulos utilizando solamente regla y compás. Paraello pida que utilizando estos instrumentos busquen una mane-ra de trazar en su cuaderno un triángulo equilátero.

2

Si alguno de los alumnos logra trazarlo con laregla y el compás, pida que pase al pizarrón yenseñe al grupo cómo se hace. Entre todos veri-fiquen que el triángulo construido cumpla conlas propiedades geométricas que le correspon-den. Es probable que el procedimiento utilizadosea el siguiente.

Si observa que nadie puede trazarlo suspen-da esta actividad y señale que en la actividad 2del libro se presentan las instrucciones paraconstruir triángulos diferentes. Pídales que lasejecuten e identifiquen cómo se puede cons-truir un triángulo equilátero, y que encuentrenla diferencia entre el procedimiento utilizadopor su compañero (si es que surgió) y el proce-dimiento propuesto en el libro.

Observe cómo interpretan los alumnos la in-formación para realizar los trazos que se piden.Si la mayoría de los alumnos tiene dificultadespara seguir las instrucciones, vale la pena sus-pender la actividad, pedir a un alumno que lealas intrucciones y a otro que trace en el pizarrónlo que se le indica. Los demás lo harán en sucuaderno. Si el alumno que está haciendo lostrazos no sabe cómo ejecutuar alguna instruc-ción, pregunte si alguien lo puede hacer. Si nohay respuesta, explíqueles cómo hacerlo. En ca-so de que sólo algunos alumnos tengan dificul-tades, ayúdeles de manera particular.

Es probable que los alumnos crean que en ellibro no aparece la configuración que trazaron.

Si esto sucede, ayúdelos a observar que allí apa-rece toda la línea en la que se basó la construc-ción y que en el libro sólo se ve el segmentoque quedó entre los dos puntos.

En la confrontación plantee preguntas quepermitan a los alumnos observar cómo en unade las configuraciones la medida del radio delos círculos es igual a la medida de los ladosdel triángulo equilátero, y en tres de las confi-guraciones, los lados iguales de los triángulosisósceles tienen la misma medida que el radiode los círculos. Pida a cada equipo que redactelas instrucciones para construir una configura-ción donde los círculos no se intersectan. Estoles permitirá darse cuenta de que cuando laabertura del compás es menor que la medidadel segmento, los círculos pueden o no inter-sectarse.

Construir el triángulo propuesto en la últimabala exige relacionar la medida del radio de loscírculos con la medida de los lados de los trián-gulos. Permita que los alumnos descubran que,para trazar el triángulo escaleno, los círculosson de diferente tamaño.

El propósito es que, con el apoyo de la calculadora, losalumnos resuelvan diferentes actividades que les permitandesarrollar diversas estrategias para afianzar y profundizar

el conocimiento y uso de las operaciones.


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Consolidar el procedimiento usual para sumar yrestar números decimales. Resolver e inventarproblemas de suma y resta que contengan nú-meros decimales y desarrollar estrategias paracalcular mentalmente su resultado.

Compras en el mercado

Este tipo de problemas propi-cia que los alumnos realicenvarias operaciones con un pro-pósito concreto: averiguar loque se puede comprar con$30.45.Como los precios de losproductos pueden combinar-se de diferentes maneras, elproblema tiene varias respues-tas correctas. Por ejemplo:

Pida que resuelvan con un compañero las acti-vidades 1, 2 y 4. La actividad 3 la trabajarán co-lectivamente y la 5 en equipos de cuatro inte-grantes. Prevea que cada pareja cuente con unacalculadora, pero restrinja su uso. Sólo deberáutilizarse en la actividad 4. Aproveche los espa-cios señalados en las actividades para confron-tar los procedimientos y resultados. Para que lasconfrontaciones no resulten tediosas e inútilesseleccione dos o tres procedimientos que per-mitan a los alumnos aprender algo más de loque ya saben y con los que puedan validar susresultados.

del grupo a revisar los procedimientos e iden-tificar los errores.

Las respuestas de la siguiente pregunta pue-den ser más o menos precisas. Por ejemplo, conel presupuesto 1, se sabe que el peso del man-dado es de 3 kg aproximadamente, porque unmanojo de cilantro pesa muy poco. En cambioen el presupuesto 2, es más difícil calcular el pe-so, porque no se sabe cuánto pesan las naran-jas. En casos así, es probable que los alumnos re-curran a su experiencia y digan, por ejemplo,que un kilo de naranjas puede tener 8 o 9


Algunas causas de errores pueden ser: aco-modar inadecuadamente las cantidades parahacer la suma; creer que todos los productosque aparecen en la tabla son los que compró lamamá de Paula; no tomar en cuenta que sepuede comprar más (o menos) de las cantida-des señaladas en la tabla. Si alguna de ellas sepresenta, elija a dos equipos con errores dife-rentes y a uno de los alumnos que haya encon-trado cualquiera de las soluciones correctas. Enla confrontación pídales que muestren lo quehicieron para tratar de resolverlo. Invite al resto

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Presupuesto 1 Presupuesto 2

kg de frijol $ 7.50 1 kg de zanahoria $ 6.20

1 kg de zanahoria $ 6.20 kg de ejotes $ 6.25

1 kg de ejotes $ 12.50 3 docenas de naranjas $ 18.00

kg de plátano $ 3.75

1 manojo de cilantro $ .50

$ 30.45 $ 30.45

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Fichas 36 y 70

piezas, por lo que el peso de 3 docenas puede ser de 4 o 4 kgaproximadamente. Si surge algo como esto, pregunte qué hicie-ron para saber cuánto pesaban las naranjas. Es probable que pa-ra averiguarlo usen algunas propiedades de las situaciones deproporcionalidad. En caso necesario aclare que una gruesa equi-vale a 12 docenas.

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Evite participar mientras resuelven estos pro-blemas. Observe que en el primero las cantida-des están mal acomodadas. Tal vez algunosalumnos no se den cuenta de ello y las sumencomo si fueran números naturales, obteniendoresultados incorrectos. Si esto sucede, tendránoportunidad de corregir el error al contestar lasiguiente pregunta en la confrontación. En elsegundo problema observe cómo acomodanlas cantidades y cómo ejecutan las operacionesque deben hacer fuera del libro para resolverlo.

En la confrontación, elija para cada caso doso tres resultados incorrectos y uno correcto ypida a quienes los obtuvieron que muestren có-mo resolvieron las operaciones. Si el resto delgrupo no identifica los errores, pida que men-talmente calculen el resultado y después lo ve-rifiquen con la calculadora. Finalmente revisenla diferencia entre los procedimientos incorrec-tos y el correcto. Pregunte: ¿Cuántas naranjascompró la persona de la primera lista? ¿Cuántopesaron los ejotes que se compraron en cada lis-ta? ¿Cómo lo supieron?

Pida a los alumnos que tuvieron dificultades pa-ra ordenar los decimales que, siguiendo el pro-cedimiento de Pedro o de Pablo, ordenen en elpizarrón las cantidades implicadas en los pro-blemas anteriores u otras. Propicie el análisis delsignificado de las cifras que están a la derecha ya la izquierda del punto decimal. Si es necesarioproponga otros ejercicios o dicte algunas canti-dades para que los alumnos tengan necesidadde escribir y efectuar la operación.

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Verifique que los alumnos estimen el resultadode las operaciones antes de usar la calculadora.Puede organizar una competencia para ver quéequipo se acercó más al resultado correcto. Talvez algunos alumnos sumen o resten por sepa-rado los enteros y después operen con los deci-males. Por ejemplo, para la primera suma, pue-den pensar: 11 enteros más 8 son 19 enteros, 100más 75 son 175, el resultado es 19.175. Otros qui-zás lo hagan así: 11 más 8 son 19 enteros. Un déci-mo más siete décimos, 8 décimos. Entonces el re-sultado es 19.85. Si bien el primer procedimientoes incorrecto vale la pena utilizarlo en la con-frontación para demostrar por qué lo es.

Cada equipo elige una operación e inventa un problema. Cuandoterminen, pida que lo intercambien con otro equipo para resol-verlo. En la confrontación revisen si los procedimientos y resulta-dos coinciden. Es probable que algunos problemas se resuelvancon una operación diferente a la elegida o que no se pueda re-solver porque les falte información, o porque no plantearon lao las preguntas convenientes. Si esto sucede, redáctenlo entretodos para que se resuelva con la operación que habían elegidolos autores.

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Obtener las medidas necesarias para calcularel área de diferentes figuras. Reflexionar sobrelas causas de errores en la medición. Analizarlas propiedades geométricas de los diferentestipos de trapecios.

Para calcular el área

Para agilizar el desarrollo de la actividad 1 pidaque cada integrante de los equipos elija una delas figuras propuestas, la trace y calcule su áreacon la cuadrícula. En la actividad 2 sólo se pro-pone calcular el área del cuadrilátero y del hep-tágono subdividiéndolos en otras figuras cono-cidas, sin embargo, vale la pena pedir a losalumnos que trazaron figuras curvas que, aden-tro o afuera de la figura curva, tracen una figurade lados rectos que se ajuste lo más posible. Porejemplo:

Posteriormente pida que calculen el área delpolígono formado, subdividiéndolo en cuadra-dos, rectángulos o triángulos. Se espera que losalumnos sean capaces de determinar e identifi-car las medidas que necesitan obtener (largo yancho de los rectángulos y los cuadrados, basey altura de los triángulos) y que apliquen las fór-mulas que ya conocen para calcular su área. Sinota que algunos equipos tienen dificultad pa-ra identificar la altura de los triángulos, trabajecon ellos directamente y enséñeles a usar lasescuadras para encontrar la perpendicular queva de la base al vértice opuesto.

El área calculada con ambos procedimientosseguramente será diferente dado que, en el ca-so de las figuras curvas, se incluyen pequeñasáreas que no forman parte de la figura originalo no se consideran pequeñas áreas que quedanfuera del polígono formado.

Procure que cada alumno disponga de unahoja de papel copia tamaño carta. Organiceequipos de cuatro alumnos para que realicenlas actividades 1 y 2 y pida que individualmen-te resuelvan la primera parte de la actividad 3.Cuando terminen confronte sus resultados yopiniones. La segunda parte de la actividad 3es importante que la resuelvan colectivamen-te, promoviendo el análisis de las propiedadesgeométricas de los trapecios. Las tres últimasactividades conviene que las resuelvan en pa-rejas. Al final, confronte los resultados y proce-dimientos de la actividad 6.

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(SEGUNDA PARTE)Pida que observen los trape-cios y señalen sus semejan-zas y diferencias. Elabore enel pizarrón una tabla como la siguiente y anote las pro-piedades que mencionen losalumnos.

Dado que cada pareja de alumnos debe cons-truir una casita y que ésta tiene dos trapeciosisósceles, conviene que todos los niños tracenuno, siguiendo las indicaciones y que despuésse junten para realizar la siguiente actividad.

Observe cómo trabajan y si es necesarioasesórelos en el uso de la regla y las escuadras.Pregunte a cada pareja qué figuras tienen quetrazar para construir la casita y cuántas debentrazar de cada una. Sólo en el caso de que lamayoría de los alumnos no considere a las fi-guras que no se ven en el dibujo (dos rectán-

En la confrontación, pregunte el resultado que obtuvo cadaequipo con cada procedimiento. Anótelos en el pizarrón para quepuedan compararlos. Propicie que los alumnos expongan susideas acerca del porqué de las diferencias y ayúdeles a destacarlas.

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gulos, un cuadrado y un trapecio) vale la penasuspender la actividad para que entre todos lodescubran. Si no es así deje que continúen.

En este caso, no es necesario confrontar losresultados porque los propios alumnos se da-rán cuenta si pudieron o no construir la casita. Sialgunas parejas no lo logran pida que compa-ren su trabajo con el de otros compañeros y ve-rifiquen si dibujaron el mismo número de carasy si las medidas son o no correctas. Como tarea,pida a estos alumnos que intenten nuevamen-te construir la casita.

4 5

Aunque los alumnos trabajarán con la misma figura, probable-mente obtengan resultados diferentes, ya que toda situación demedición es susceptible al error debido a que en los instrumen-tos de medición puede haber variaciones mínimas en la gradua-ción, o por errores visuales de quien mide. Sin embargo, las dife-rencias no deben ser muy grandes, de lo contrario, el error puedeser de cálculo y será necesario revisar el procedimiento.

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Trapecio Trapecio Trapecioisósceles rectángulo escaleno

Dos lados miden Dos lados pueden Sus cuatro ladoslo mismo o no medir lo mismo tienen diferente

medida

Tienen un par Tienen un par Tienen un parde lados paralelos de lados paralelos de lados paralelos

No son Uno de sus lados Sus lados no sonperpendiculares es perpendicular perpendicularessus lados a la base menor

y a la base mayor

No tiene ángulos Tiene dos ángulos No tiene ángulosrectos rectos rectos

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Analizar las tendencias que muestran los datosorganizados en gráficas de barras y reflexionarsobre el significado del promedio y la medianade un conjunto de datos.

Calificaciones y promedios

Para contestar la pregunta de la actividad 1, esprobable que los alumnos sólo se fijen en la ca-lificación de agosto y de febrero para saber siMateo ha mejorado o no en sus calificaciones.Para fundamentar su respuesta puede ser quealgunos niños digan que sí ha mejorado porqueen agosto tenía 7.3 y en febrero tiene una califi-cación más alta. Otros tal vez justifiquen mejorsu respuesta al observar que de agosto a no-viembre la tendencia subió de 7.3 a 10 y que denoviembre a febrero la tendencia sufrió una li-gera caída, manteniéndose entre 9 y 10.

Si en su recorrido por los equipos nota quealguno tiene dificultad para interpretar la grá-fica, plantee preguntas que lleven a los alum-nos a entender el significado de los númerosregistrados en el eje vertical y la amplitud delos intervalos (2). Posteriormente, en el análisiscolectivo de las actividades, recupere estas pre-guntas y plantéelas al grupo. Haga otras como:

¿Qué otras calificaciones se pueden ubicar entreel 6 y el 8?

Al calcular el promedio se obtiene 8.8714286como resultado. Es probable que algunos alum-nos lo escriban tal como aparece en la pantallade la calculadora, otros tal vez lo interpreten co-mo 8.8 y otros como 8.9. Si bien las tres respues-tas son correctas, aproveche la confrontaciónpara que los alumnos comenten la forma en laque usualmente se registran los promedios delas calificaciones. Esto le permitirá abrir un es-pacio para trabajar nuevamente con los alum-nos los criterios que se utilizan para redondearlas cantidades.

Por ejemplo, para redondear el promedio 8.8es probable que algunos alumnos crean quebasta con truncar su escritura hasta los enteros,obteniendo como resultado 8. Tal vez otrospiensen que debe ser 9 porque 8.8 está mascerca del 9 y otros quizás expliquen que debe

Procure que cada alumno cuente con calcula-dora, regla o escuadra, colores y hojas cuadricu-ladas al resolver la lección. Dado que la últimaactividad deberá trabajarse en equipos de seisalumnos, organícelos desde el principio paraque sepan con quiénes van a trabajar. Soliciteque las primeras cuatro actividades las resuel-van de manera individual y que después se reú-nan en equipos para resolver la última.

Haga un alto cuando terminen de resolver lastres primeras actividades y organice la confron-tación de resultados. Otro después de la cuartaactividad y uno más después de que resuelvanla última. Destine el tiempo necesario en estasconfrontaciones para que los alumnos argumen-ten sus respuestas.

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Para realizar esta actividad proporcione a losalumnos los promedios de cada asignatura queobtuvieron en el año escolar anterior, apoyán-dose en la revisión de sus boletas. Cuando ela-boren sus gráficas, permita que ellos sean losque elijan los intervalos de los ejes y, en la con-frontación de resultados, haga notar que seacual sea el intervalo que utilicen, siempre de-ben empezar por el cero y que éste debe regis-trarse en el punto donde se unen los ejes. Pro-ponga que utilicen la calculadora para obtenerlos promedios y que redondeen los decimales adécimos. Cuando la mayoría de los alumnos ter-mine, indíqueles que comparen y comenten susgráficas con las de otros compañeros.

En la confrontación de resultados pida a doso tres alumnos que expliquen cómo calcularonel promedio y cómo lo redondearon a décimos.Después puede pedir a tres o cuatro alumnosque obtuvieron un promedio entre 8 y 10 quelo escriban en el pizarrón y que todos los orde-nen en sus cuadernos. Finalmente, pida queuno de los alumnos escriba los promedios orde-nados en el pizarrón para ver si todos lo redon-dearon igual. Si hay diferencias promueva unadiscusión para determinar el orden correcto.

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ser 9 porque saben que, cuando los decimalesde sus calificaciones pasan de 0.5 debe redon-dearse al número entero inmediato superior.Vale la pena propiciar la reflexión sobre cómose redondea hasta décimos, centésimos o milé-simos el número 8.8714286.

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4. En un conjunto de datos ordenados, el dato que está en medio de la gráfica sellama la mediana.

• Ordena de menor a mayor las calificaciones de Mateo y haz una gráfica de barrascon los datos ordenados. ¿Cuál es el dato que queda en la parte central?

¿A qué mes pertenece?¿Cuál es la mediana de las calificaciones de Mateo en el año?Cuando se tiene un número par de datos, la mediana es el promedio de losdos datos que quedan al centro.

• Calcula la mediana de tus calificaciones, ¿es igual, mayor o menor quela de Mateo?

¿Cuántas calificaciones son mayores a la mediana?¿Cuántas son menores?¿Cuál puede ser una propiedad de la mediana de un conjunto dedatos?

5. Organízate en equipos de 5 o 6 compañeros y haz una tabla conel promedio de las calificaciones de cada uno de los miembros del equipo;después, traza una gráfica de barras con esos datos.

¿Cuál es el promedio de las calificaciones del equipo?¿Cuál es la mediana de estos datos? Recuerda que para encontrar la mediana,los datos tienen que estar ordenados

• Compara el promedio de tu equipo con los promedios de los otros equiposdel grupo. ¿Qué equipo tiene el promedio más alto?

• Compara la mediana de los datos de tu equipo con las de los otros equiposdel grupo. ¿Qué equipo tiene la mediana más alta?¿Coincide esta respuesta con la que diste a la pregunta anterior?¿Por qué crees que pase esto?

Coméntalo con tus compañeros y tu profesor.

Recuerde a los alumnos que al ordenar los datosincluyan las calificaciones repetidas. Por ejem-plo, las calificaciones de Mateo quedarían de lasiguiente manera: 7.3, 7.6, 8.5, 9.3, 9.7, 9.7, 10.

Para que se den cuenta de la diferencia entreel promedio y la mediana, en la confrontaciónplantee preguntas que los lleven a observar queel promedio frecuentemente no aparece en la lis-ta de calificaciones pero que se ubica entre algu-nas de ellas. Por ejemplo, el promedio de Mateoes 8.9 y esta calificación no aparece en la lista, pe-ro se ubica entre 8.5 y 9.3. En cambio la medianaes uno de los datos de la lista o el promedio dedos de ellos. Puede preguntar: ¿Cuántas califica-ciones de Mateo son mayores que el promedio?¿Cuántas son mayores que la mediana?

En la confrontación será interesante comparar el promedio y lamediana de los equipos y observar que la mediana a veces coin-cide con el promedio y a veces no. Para cerrar la actividad puedepedirles que escriban en el pizarrón el promedio de su equipo,que elaboren una gráfica con esos datos y calculen el promediodel grupo y la mediana.

4

5

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1


Cuántas veces cabe 70 en 1 470 tiene una di-ficultad adicional, porque 70 × 10 × 2 = 1400, yqueda un 70 para una vez más y que, en este ca-so, sí hay que sumar a las veinte que resultande ×10 ×2. Esto no es fácil de ver, de maneraque una posible respuesta errónea sea 20. Esimportante que si surgen estas respuestas sereflexione sobre ellas en el momento de la con-frontación y que quede claro cómo se obtienela respuesta correcta.

Un caso especial es cuántas veces cabe 40en 330, porque el resultado no es un númeroentero. Respuestas tales como 8; 8 y un poqui-to; 8 y sobra algo, pueden considerarse correc-tas. Si algún equipo logra calcular mentalmen-te el resultado exacto (8 veces) vale la penaresaltarlo en el grupo; la calculadora mostraráel resultado: 8.25.

Ejercitar el cálculo mental, la multiplicación y di-visión por potencias de 10, mediante el uso dela calculadora.

Pensando y comprobando

Antes que nada insista a los alumnos que no se vale usar la cal-culadora hasta que hayan realizado los seis cálculos que seproponen.

Entre los cálculos que se plantean en estaactividad hay diferentes niveles de dificultad,por ejemplo, es muy probable que los alum-nos no tengan dificultad para averiguar cuan-tas veces cabe 30 en 900, apoyándose en lamultiplicación de números que son múltiplosde 10 , 30 × 30 = 900, por lo que cabe 30 veces.

Cuántas veces cabe 31 en 620 es un poco máscomplicado por el hecho de que 31 no es múlti-plo de diez, de manera que un procedimientoposible es acercarse al resultado multiplicandopor diez,31 × 10 = 310 y luego buscar el otro fac-tor que en este caso es dos.Así 31 × 10 × 2 = 620,por lo que 31 cabe 20 veces en 620. Un error quese puede derivar de este procedimiento consis-te en sumar los factores ×10 ×2 en vez de multi-plicarlos, de manera que una posible respuestaerrónea es 12, la cual podrán rechazar cuandocomprueben con la calculadora.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos y procure que cada uno tenga una calcula-dora. Si esto no es posible, pídales que resuel-van la lección en parejas. En las dos primerasactividades es muy importante que primero sehagan los cálculos mentalmente y después se usela calculadora para comprobar, las tres siguien-tes actividades se realizan directamente con lacalculadora.

Realice una confrontación de resultados al tér-mino de las actividades 1 y 2.Otra después de re-solver las actividades 3 y 4 y una más para refle-xionar sobre la actividad 5.


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2

Esta actividad no es compleja desde el punto de vista concep-tual, pero es probable que haya muchos errores al hacer los cál-culos debido a que los sumandos con que se construyen lastres sucesiones no son fáciles de manejar mediante el cálculomental. Es conveniente que, al revisar los resultados, se analice,por ejemplo, cómo le hicieron para ir sumando 14 en el caso dela segunda serie. Es probable que algunos lo hayan descom-puesto en 10 + 4.

La última sucesión tiene el problema adicional de calcular elsumando con el cual se construye, puesto que no están dadosdos números seguidos. Vale la pena averiguar cómo le hicieronlos alumnos.

Estas dos actividades son muy similares encuanto al trabajo intelectual que se requiere delos alumnos, la única diferencia es la forma enque se presentan. Es importante tomar encuenta que, en ambos casos, los problemas quese plantean pueden tener diferentes respuestascorrectas. Por ejemplo, en el primer problemade la actividad 3 se espera que la mayoría de losalumnos propongan la secuencia: 10 = para pa-sar de 5 a 0.5, no obstante, también es correctodecir –5 + 0.5 =, dado que en la consigna no hayrestricción alguna. En el caso de que aparezcanrespuestas como la segunda, conviene agregara la consigna que se trata de pulsar el menornúmero de teclas, con el fin de favorecer el usode la multiplicación o división por potencias de10. En todos los problemas de estas dos activi-dades es muy importante que se verifiquen losresultados.

Tenga cuidado con la última parte de la acti-vidad 4, en la que los alumnos anotarán algunaconclusión derivada de los problemas resueltosen las actividades 3 y 4. Pida que algunos equi-pos digan su conclusión y anótelas todas en elpizarrón, después ayúdelos a analizarlas paraasegurarse de que no hay errores, preguntecuál les parece más clara y más útil para efec-tuar este tipo de cálculos, y pida que todos losalumnos prueben la conclusión que han obte-nido para ver si funciona, con los mismos casos

3 4

que han resuelto o con otros. Al final, pida quetodos anoten la conclusión más clara que hanobtenido. Recuerde: no tiene ningún sentidopara los alumnos que les dicte una conclusiónque no ha salido de su propia reflexión.

Para ayudar a los alumnos a reflexionar sobreesta actividad conviene que observe primero sila mayoría obtuvo el mismo resultado. De no serasí, es necesario confrontar algunos procedi-mientos para ver de dónde se derivan las dife-rencias. Es probable que surjan errores debidosa una mala lectura, por ejemplo, que no hayantomado en cuenta que en el segundo guión di-ce 51 decenas, equivalentes a 510 unidades.

Una vez que se pongan de acuerdo en el re-sultado, se puede agregar la pregunta: ¿Por quécreen que el resultado final, 40 (unidades), es simi-lar al número inicial, 40 (centenas)? Es muy pro-bable que los alumnos logren darse cuenta deque se parte de un número al que se le aplicanprimero una multiplicación y una división por elmismo número y en seguida una suma y unaresta por el mismo número. Dicho de otra ma-nera, 40 centenas equivale a decir 40 × 100,mientras que 51 decenas equivale a decir 51 × 10.

5

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43


Invite a los alumnos a trazar con escuadras los diámetros perpen-diculares. Al unir los puntos marcados en la circunferencia por losextremos de los diámetros se obtendrá un cuadrado. Propicieque se den cuenta de que los diámetros del círculo son tambiéndiagonales del cuadrado. Llévelos a explorar las características delas diagonales, con preguntas que les permitan advertir que lasdiagonales del cuadrado tienen la misma medida, que tambiénson ejes de simetría, que se cortan en su punto medio formandocuatro ángulos rectos, que el punto medio de las diagonales

Diferenciar el círculo de la circunferencia. Ubicarel centro de cualquier círculo e identificar sudiámetro y su radio. Trazar polígonos regularesinscritos en un círculo y diferenciar los polígo-nos regulares de los irregulares. Interpretar ins-trucciones para realizar trazos.

Los polígonos regulares

Pida anticipadamente a los alumnos regla, es-cuadras y compás. Conviene trabajar colectiva-mente la primera actividad. Las tres siguientes,si bien las deberán resolver de manera indivi-dual, vale la pena organizar a los alumnos enequipos de cuatro para favorecer la comunica-ción entre ellos. Organice una discusión de re-sultados al final de las actividades 2 y 4.

Pida que uno de los alumnos lea en voz alta ca-da una de las instrucciones y a otro que las eje-cute en el pizarrón. Pida al resto del grupo quehaga sus trazos en el cuaderno. Si hay algunaduda coméntenla. Cuando terminen, plantee al-gunas preguntas que le permitan cerciorarse deque todos los alumnos comprendieron la dife-rencia entre círculo y circunferencia, y entre ra-dio y diámetro.

Se espera que puedan reconocer que paratrazar una circunferencia con un radio determi-nado, la distancia entre las puntas del compásdeberá tener esa medida, y que el diámetro deun círculo mide el doble del radio.

1


2

Circunferencia círculo

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coincide con el centro del círculo, y que la circunferencia pasapor los cuatro vértices del cuadrado.

Al trazar los otros dos ejes de simetría del cuadrado, pida queprolonguen las líneas hasta tocar a la circunferencia y puedan unirlos puntos para formar el octágono. Plantee preguntas que los lle-ven a averiguar cuántos ejes de simetría tiene el octágono, cuántomiden los ejes de simetría de ese octágono, si alguno de sus ejesde simetría coincide o no con los diámetros del círculo, etcétera.

Las estrategias para trazar el triángulo equi-látero solicitado pueden ser diferentes: algunoslocalizarán al tanteo el punto del tercer vérticefaltante, pero con este procedimiento difícil-mente podrán trazar un triángulo cuyos ladosmidan lo mismo. Otros alumnos tal vez razonende diferente manera. Por ejemplo, pueden infe-rir que como los triángulos equiláteros tienensus lados iguales, la abertura del compás debeser igual a la longitud del lado que ya trazaron,y otros quizá consideren que la medida del ladodel triángulo es igual a la del diámetro porquepara trazarlo marcaron dos veces el radio.

Después de que los alumnos realicen las actividades anteriores, seespera que encuentren, por sí mismos, el centro del círculo cuyacircunferencia pasa por los vértices del heptágono. Pueden porejemplo, trazar los ejes de simetría del heptágono (al menos dos)y deducir que el punto donde se cruzan es el centro del círculo.

3 4

Al construir el polígono de 14 lados, es pro-bable que los alumnos infieran que basta condividir entre dos la medida de cada uno de loslados y hacer las marcas correspondientes so-bre la circunferencia para trazarlo. Si lo hacende esta manera no se darán cuenta de que losejes de simetría del heptágono pasan exacta-mente por la mitad de cada uno de sus lados. Siesto sucede, pida en la confrontación que tra-cen los ejes de simetría y ayúdeles a observareste hecho. Después pida que averigüen quépolígono se puede construir sobre el pentágo-no que aparece dibujado en el libro apoyándo-se en sus ejes de simetría.

En la confrontación se espera que los alum-nos digan que los polígonos regulares son los

que tienen todos sus lados iguales. Si esto su-cede plantee que el rombo no es un polígonoregular y sin embargo tiene todos sus ladosiguales. Pida que busquen las diferencias geo-métricas entre el rombo (lección 30) y las figu-ras que trazaron para que se den cuenta deque un polígono regular debe cumplir condos condiciones: sus lados deben ser iguales ysus ángulos también. Con el fin de que obser-ven que en algunos polígonos sus ejes de si-metría coinciden con las diagonales, pida quetracen con rojo los ejes de simetría de los po-lígonos que construyeron, y de azul sus diago-nales. Pregunte: ¿En qué tipo de polígonos suce-de esto?

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Comparar, ordenar y ubicar fracciones en una lí-nea compuesta por varias rectas. Reflexionar so-bre la propiedad de densidad de los númerosfraccionarios.

Las fracciones en la recta

Mientras los alumnos resuelven el primer proble-ma, observe qué recursos ponen en juego. Si esnecesario, sugiera que usen una hoja rayada.Acérquese a las parejas y, si todavía no ubican lasfracciones mayores a uno ( , , , , , ),pregunte: ¿En qué lugar de la recta creen que irála fracción ? ¿Por qué creen que irá en ese lugar?Si ya las ubicaron, pregunte cómo lo hicieron. Enla confrontación pregunte: Antes de ubicar unafracción en la recta ¿cómo podemos saber entrequé números enteros va?

Tenga a la mano hojas de papel copia. Previa-mente solicite a cada alumno: las tiras del ma-terial recortable número 5 (recortadas), 12 rec-tángulos de cartoncillo de 6 × 8 cm, numeradosdel 1 al 12, como se muestra en la ilustracióndel libro. Es importante dedicarle el tiempo ne-cesario para que los alumnos resuelvan las ac-tividades de esta lección y las confrontacionesde resultados y procedimientos se realicen enel momento que se indica en el libro. Organiceal grupo en equipos de tres integrantes paraque resuelvan las actividades 2 y 3. La últimaactividad conviene que la resuelvan individual-mente. Restrinja el uso de las regletas, sólo de-berán utilizarlas para comprobar resultados.

1


Una vez comprendidas las reglas del juego, pidaa cada equipo que saquen sólo dos juegos detarjetas, las revuelvan y las coloquen en un lu-gar al alcance de todos. Conviene que cadaalumno use una hoja para ubicar las fraccionesque le correspondan, trazando para cada frac-ción su recta correspondiente, dado que pue-den surgir fracciones como las siguientes:

, , . Mientras los alumnos trabajan, reco-rra los equipos y observe cómo las interpretan ycómo las ubican en la recta. Es probable que


100

L E C C I Ó N

Uso de recursos visuales para ordenar fracciones

Las fracciones en la recta

Compara tus procedimientos yresultados con los de otroscompañeros.

44112

47

1312

117

68

207

148

238

66

166

0

2

1

3

1. Para realizar este ejercicio, reúnete con un compañero. Ubiquecada uno en la siguiente línea las fracciones que aparecen en elrecuadro de la izquierda.

• Comprueba si cada uno ubicó correctamente las fracciones, utilizando las regletasdel material recortable número 5.

• De las fracciones siguientes, subrayacon rojo las que crees que van antesque y con verde las que crees queirán después.

22 10 15 7 15 18

12 9 8 6 9 10

• Averigua si tus respuestasson correctas utilizandotus regletas.

2. Juega con tus compañeros.

• Haz una recta numérica sobrepapel. Utiliza las regletas delmaterial recortable número 5para marcar la unidad.

• Haz dos juegos de tarjetas conlos números del 1 al 12.

11—7

2

132

117

207

148

238

166

117

112

1212

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Ficha 67: 1, 2Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

tengan dificultad para entender que es igual a 12 unidades.Para ubicar esta fracción la podrán trazar en una recta que mida12 regletas de largo o un segmento del tamaño de una regletaacotado del 11 al 12.

Ponga atención en lo que hacen para resolverestos problemas, ya que comparar fraccionesimplica considerar que ambas provienen deunidades iguales o de una misma unidad. Esprobable que, para compararlas, las ubiquen enla recta o, para hacerlo más rápido, imaginencómo quedarían ubicadas sobre una recta.Tam-bién pueden tratar de establecer alguna rela-ción entre los numeradores y denominadoresde cada par de fracciones. Por ejemplo, en el pri-mer renglón se puede observar que cada partiene el mismo numerador y diferente denomi-nador. Esto permite considerar que en amboshay el mismo número de partes, pero en una deellas las partes son más pequeñas. Por lo tanto,la fracción que tiene el denominador mayor esla menor.

En el segundo renglón se espera que losalumnos se den cuenta de que en cada parejade fracciones los términos están invertidos. Por

ejemplo, en o , el 12 aparece como nume-rador y después como denominador. Esta obser-vación puede llevarlos a ver que necesariamenteuna fracción es mayor que uno, y la otra menor.

Los pares de fracciones del tercer renglónson más difíciles de comparar porque sus nu-meradores y denominadores son diferentes.Sin embargo, los alumnos tienen recursos pa-ra lograrlo. Por ejemplo, compararlas con ,con la unidad, convirtiendo a fracciones equi-valentes, ubicándolas en la recta numérica, in-cluso es probable que hagan la división indi-cada por la fracción y que comparen los co-cientes resultantes.

En la confrontación invite a los alumnos quelograron compararlas sin necesidad de recurrira la recta numérica a que expliquen en qué sefijaron para saber cuál fracción de cada par erala menor. Si pasaron desapercibidas las caracte-rísticas señaladas, hágalas notar preguntando:¿Qué tienen en común las fracciones del primerrenglón?, ¿y las del segundo? Proponga otrasfracciones para que averigüen cuál es mayor omenor sólo analizando las relaciones entre losnumeradores y los denominadores.

Los problemas de esta actividad se centran enel estudio de la propiedad de densidad de losnúmeros racionales. No interesa que los alum-nos conozcan el nombre de esta propiedad nique memoricen su definición. Lo importante esque se den cuenta de que entre dos númerosenteros consecutivos no hay otro entero, pero síhay una infinidad de números fraccionarios yque entre dos fracciones próximas, siempre ha-brá otras fracciones que se ubican entre ambas.Pregunte: ¿A qué creen que se debe?

3

4

121

125

1512

12

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• Por turnos, saca al azar dos tarjetas y con ellas forma fracciones.La primera será el numerador, la segunda el denominador. Por ejemplo,si sale el 3 y luego el 4, se formará .

• El que sacó las tarjetas ubica la fracción que se haya formado sobre larecta dibujada.

• Cuando cada quien haya anotado 5 fracciones, comprueba la ubicacióncon las regletas.

• Gana el que haya tenido más respuestas correctas.

3. Observa las siguientes parejas de fracciones. En cada caso, encierra en un círculola menor.

Comenta con tu maestro y tus compañeros en qué te fijaste para obtener lasrespuestas; utiliza tus regletas para averiguar si son correctas.

4. Anota, en la línea de la página anterior, 3 fracciones que se ubiquen entre y .

¿Cuáles fracciones anotaste? ¿Hay otras fraccionesque pudieras haber anotado?¿Tus compañeros anotaron las mismas fracciones que tú ?

• Anota ahora sobre la línea cuatro fracciones que puedan ir entre y . Puedesayudarte con tus regletas-unidad.

¿Cuáles fueron esas fracciones?

3 o 3 8 u 8 11 u 114 5 7 9 8 7

12 o 15 4 o 6 9 u 815 12 6 4 8 9

2 o 3 7 o 6 5 o 64 5 9 7 8 9

¿Las que tus compañeros anotaron son las mismas o sondiferentes? Si son diferentes, escríbelas aquí.

¿Podrías encontrar otras fracciones para anotar entre y ?

Comenta tus respuestas con tu maestroy tus compañeros.

3—4

1—23—4

4—55—5

1—23—4 101

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106

45

1



Seguramente, la frecuencia obtenida por cadapareja en cada uno de los dos eventos señala-dos en la tabla es diferente. Pida a una pareja dealumnos que lea lo que escribieron acerca depor qué creen que las frecuencias son diferen-tes, y a los demás pregúnteles si están o no deacuerdo con lo que dicen sus compañeros. Pidaque den argumentos sobre su opinión.

Se espera que en la discusión los alumnosconcluyan que el carácter aleatorio de la situa-ción no permite que las frecuencias sean igua-les, pero que sí se puede anticipar que es másprobable que la frecuencia sea más alta en elevento 3 o más porque le corresponde la mayo-ría de las caras.

Descubrir que la probabilidad de un evento enuna situación aleatoria depende del número deveces que se repite en relación con el total deeventos.

¿Quién lava los trastes?

Es probable que al contestar las preguntas deesta actividad algunos alumnos consideren queel trato entre Elena y Andrés es justo porque ladecisión se la dejan a la suerte. Otros tal vez ha-gan un análisis más fino de la situación y obser-ven que Andrés tiene más probabilidades de

perder porque de las seis caras del dado sólodos lo favorecen. Pídales que expliquen en quése fijaron para contestar. Si están equivocadosno los corrija, al simular la situación en la si-guiente actividad tendrán la oportunidad deprobar sus hipótesis.

Prevea que cada pareja de alumnos cuente conun dado, una caja o bote pequeño y 11 cuadra-dos de papel del mismo tamaño. Conviene quelas actividades 1 y 6 las resuelvan los alumnosde manera individual y las restantes junto conun compañero. Además de las confrontacionesque se sugieren en el libro, es conveniente abrirotro espacio cuando terminen de resolver la ac-tividad 3 y uno más después de la actividad 5.

2 3

102

L E C C I Ó N ¿Quién lava los trastes?

De acuerdo con los resultados de tu experimento, ¿quién lavará más veceslos trastes?

¿Era ése el resultado que esperabas? ¿Por qué?

• Compara tu tabla de frecuencias con las de tus compañeros, ¿son iguales? ¿Por qué?

3. Como el dado tiene seis caras, hay seis posibles resultados, ¿cuáles son?

Resultado Marcas Frecuencias

3 o más

menos de 3

¿Con cuáles de estos resultados Elena lava los trastes?

¿Con cuáles de los resultados lava los trastes Andrés?

¿Quién tiene más oportunidades?

¿Crees que Andrés debe aceptar el trato?

¿Cuál puede ser un trato más justo?

Experimentos aleatorios

45 1. Elena y su hermano Andrés deben decidir quiénlava los trastes de la comida. Elena sugiere que lodecidan tirando un dado con las caras numeradas del1 al 6. Si sale 3 o más, Andrés lava los trastes;si sale menos de 3, los lava Elena.

¿Crees que el trato sea justo?¿Por qué?

¿Es más probable que lave los trastes Elena, o quelos lave Andrés?¿Por qué?

Coméntalo con tus compañeros y tu profesor.

2. Con un dado puedes simular lo que podría pasar cuando Elena y Andrés decidenquién lava los trastes. Tira 30 veces el dado y registra tus resultados poniendomarcas en una tabla de frecuencias, como la siguiente:

102

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Vale la pena analizar las respuestas que die-ron a la cuarta pregunta de la actividad 3(¿Quién tiene más oportunidades?) ya que esprobable que haya diferentes respuestas por-que no se sabe si se refiere a tener más oportu-nidades de no lavar los trastes o de lavarlos. Pi-da que aclaren a qué oportunidades se refieren.Si es a no lavarlos, las tiene Elena y si se refierena lavarlos, las tiene Andrés.

La última pregunta de la actividad 3 tienevarias soluciones correctas. Algunos tal vezpiensen que es más justo si se propone lo si-guiente: Si al lanzar el dado sale un número de

4 5

6

puntos par, Elena lava los trastes y si el número depuntos es impar los lava Andrés. Otros puedendecir que será más justo: Si al lanzar el dado sa-le 1, 2 o 3 lava los trastes Andrés, pero si sale 4, 5,6 los lava Elena. Si esto sucede, pida que simu-len la situación con cada una de las propuestaselaborando en su cuaderno la tabla de frecuen-cias que le corresponda a cada trato. Observe siregistran los eventos correspondientes en latabla y cómo registran las frecuencias. Cuandoterminen analicen los resultados y concluyancuál fue el trato más justo.

Seguramente la mayoría de los alumnos se dará cuenta de que tie-nen más probabilidades de sacar la letra "A", porque en la palabra"MATEMÁTICAS" se repite más veces que las demás. Otros quizá toda-vía no logren establecer esta relación. Si esto sucede, no se preocupe,porque cuando realicen el experimento y en la confrontación colec-tiva tendrán la oportunidad de entenderlo.

Cuando terminen de realizar el experimento, los alumnos se da-rán cuenta de que la frecuencia con que ocurre un evento no siem-pre corresponde a la probabilidad con la que se esperaba que ocu-rriera, dado que es probable que las letras que salieron con mayorfrecuencia sean la "T", la "M" o la "A". Otros tal vez encontraron queestas letras tuvieron la misma frecuencia. Pregunte: ¿Por qué creenque en algunos casos la letra "A" no tuvo la mayor frecuencia?, y permi-ta que expresen sus ideas.

Confronte las respuestas dadas a la última pregunta de la activi-dad 5. Se espera que los alumnos infieran que entre más veces se si-mule la situación es más probable que la letra "A" sea la de mayorfrecuencia. Invite a los alumnos a sumar las frecuencias de cada unade las letras obtenidas por cada pareja y destaque que entre más ve-ces se realiza un experimento es más probable que se cumplan lashipótesis de probabilidad.

Al contestar las preguntas se espera que los alumnos puedanconcluir algo como lo siguiente: Es más probable que salga la Aporque se repite más veces en la palabra "Matemáticas". Si de las11 letras que tiene la palabra "Matemáticas", 3 son A, 2 son T, 2 sonM y las otras sólo aparecen una vez, la A tiene más probabilidadesde salir. Proponga que de tarea realicen la actividad 4 y 5 con lapalabra "FERROCARRILERO".

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46

1



Realizar mediciones efectivas utilizando el de-cámetro, el metro y el decímetro. Registrar para-lelamente las medidas en tablas donde cadacolumna representa un orden y pasar de estarepresentación a la escritura usual con puntodecimal.

El patio

Pida a los alumnos que lean y contesten la pri-mera página de la lección, mientras tanto ob-serve cuál de las tres cantidades encierran enun círculo y qué escriben sobre las líneas. Esprobable que algunos se desconcierten por-que no tienen mucho trabajo. Cuando noteque la mayoría terminó, pregunte a algunosequipos por qué encerraron tal cantidad. Cer-ciórese de que las interpretaron bien, en la pri-mera sólo son dos decámetros, mientras queen la tabla se puede ver que hay siete y algomás. En la tercera aparecen 202 decámetrosque resultan demasiados para lo que se puedever en la tabla.

Sobre las preguntas ¿Estás de acuerdo con Ju-lia? ¿Por qué?: simplemente se trata de que losalumnos busquen alguna manera de mostrar larelación de equivalencia entre decímetros, me-tros y decámetros y que se familiaricen con es-tos términos. Recuérdeles que, en el caso de lasunidades de medida, las que inician con el pre-fijo deci indican décimas partes de unidad y lasque inician con deca indican diez unidades.

Otra cuestión importante en esta página dela lección es que los alumnos interpreten el es-quema que aparece abajo. Es conveniente ano-

tarlo en el pizarrón y pedir que alguien lo expli-que. Si es necesario, usted mismo ayúdeles aentenderlo y enseguida pídales que continúencon la lectura y contesten las preguntas queaparecen antes de la segunda actividad.

Las preguntas anteriores giran en torno alanálisis de esta cantidad (20.26 dam), que re-presenta el perímetro del patio escrita en laforma usual, es decir, sin ayuda de la tabla. Paraobtener el mayor provecho de estas preguntas,léalas de una en una y deténgase el tiempo ne-cesario en las que haya respuestas diferentes.Después haga una recapitulación, anote en elpizarrón 20.26 dam y pida a los alumnos que lalean por partes, primero la parte entera (20 de-cámetros) y en seguida la parte decimal (26centésimas de decámetro). Después escribanuevamente la cantidad con el punto decimalen un lugar distinto y pida que la lean, hacien-do notar cómo cambia la unidad de medida.No intente que memoricen una regla sino quepuedan explicar por qué se dan esos cambios.Por ejemplo, al escribir 2 026, la cantidad origi-nal se multiplicó por 100 y se convirtió en decí-metros, puesto que un decámetro equivale a100 decímetros.

Esta lección consta únicamente de dos activi-dades. En la primera se plantean varias pregun-tas para que los alumnos reflexionen sobre lasmaneras de expresar una medida en funciónde la unidad que se utilice, y en la segunda sepropone un trabajo fuera del libro que consis-te en tomar medidas y expresarlas mediantetablas y de la manera usual. Por tanto, es conve-niente que los problemas de la primera activi-dad se resuelvan en equipos y la segunda serealice en parejas. Previamente pida a los alum-nos que traigan de su casa un cordel de aproxi-madamente 15 metros.

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Fichas 13 (longitudes) y 26Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Organice a los alumnos en parejas y pídales que en uno de los cor-deles que trajeron marquen un decámetro, un metro y un decíme-tro. Elija de tres a cinco lugares distintos para que midan el períme-tro y asigne las parejas necesarias a cada lugar.Antes de que tomenlas medidas, pídales que en su cuaderno hagan una tabla similar ala que hay en la primera página de esta lección, para que en ella re-gistren las medidas.Una vez que tengan las medidas, la consigna esexpresar el perímetro sin la tabla y de diferentes maneras: en me-tros, en decámetros, en decímetros, etcétera.

Cuando terminen de reali-zar este trabajo hay que pasaral salón para confrontar los re-sultados. Se sugiere hacer unatabla como la siguiente en elpizarrón para concentrarlos.

2

Procure que las celdas de la tabla sean suficien-temente amplias para anotar los resultados de to-das las parejas. Dado que la cantidad de resulta-dos es muy amplia,centre la atención de los alum-nos solamente en los que tengan grandes diferen-cias con los demás. Es muy probable que hayaerrores y que éstos tengan que ver con la coloca-ción del punto decimal.

Una buena estrategia para que no se pierda elinterés de los alumnos es ponerse de acuerdo pri-mero en los resultados de la tabla similar a la dellibro. En ésta registraron directamente las medi-das sin hacer ninguna transformación; si hay dife-rencias notorias sugiérales que vuelvan a medir.

Tenga presente que el paso de la primera a lasegunda tabla es un salto importante desde elpunto de vista conceptual. En la primera no in-terviene la posicionalidad del sistema, ni la re-gla de cambio de 10 en 10, ni el significado dela unidad de medida, mientras que en la segun-da estos tres aspectos están presentes. Veamosun ejemplo:

Para pasar de 4 dam 24 m 15 dm a 65.5 m hayque hacer las siguientes deducciones:• En 4 dam hay 40 m y en 15 dm hay 1 m, en-

tonces el total de metros es 40 + 24 + 1 = 65

Expresado Expresado Expresadoen decámetros en metros en decímetros

Salón de clases

Cancha

Patio

Jardín

• m es de m, entonces la cantidad puedeexpresarse como 65.5 m

• La cantidad anterior significa 65 metros, más5 décimas de metro, que también puede ex-presarse como 6.55 dam, o bien 655 dm.

105

• Comenta con un compañero lo que hicieron Julia y Ana para sacar el perímetro endecámetros.

Julia sabe que: El punto decimal sirve para escribir magnitudes sinusar la tabla. También se usa para separar del lado izquierdo lacantidad de veces que cabe la unidad completa de lo que se mide, ydel lado derecho la parte que no alcanza para completar la unidad.

Comenta con tu maestro y tus compañeros lo que Julia sabe acerca del usodel punto decimal.

Julia escribió el resultado del perímetro de la siguiente manera: 20.26 dam¿Es éste el resultado que tú señalaste en la página anterior? ¿Por qué crees que Julia anotó dam después de la cantidad? Ana dice que en el perímetro del patio cabe 20 veces un decámetro y 26 centésimaspartes de un decámetro. ¿Estás de acuerdo? ¿Cuánto mide la centésima parte de un decámetro? ¿Cuánto mide la décima parte de un decámetro? Julia recuerda que 10 decámetros es lo mismo que un hectómetro. Si la unidad demedida es el hectómetro, ¿cómo se escribe el perímetro del patio sin usar la tabla?

Si la unidad de medida es el metro, ¿cómo se escribe el perímetro? ¿Cómo se escribe el perímetro en decímetros?

2. Con tu compañero marca en un mecate un decámetro, un metro y un decímetro.

• Con las tres unidades mide el perímetro de diferentes superficies de la escuela,como la del salón o la del patio. Utiliza las tres unidades para medir cada lado delos polígonos.

• Registra tus resultados en una tabla como la de Julia y Ana. Escribe los resultadosusando distintas unidades y el punto decimal.

12

12

510

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110

Si los alumnos no tienen regla con gradua-ción en pulgadas, pida que con un hilo o en elborde de una hoja de papel marquen la longi-tud del clavo y que la midan en la regla de lailustración. Recorra los equipos y observe cómomiden. Pida que verifiquen que el clavo másgrande (1) mide 5 pulgadas.

Si los alumnos tienen dificultades para nom-brar las partes más pequeñas de la pulgada, pí-dales que observen en cuántas partes está divi-dida y pregunte qué nombre le podrán dar a ca-da parte. Cuando terminen, anote en el pizarrónlos números del 1 al 10 para que cada equipoescriba los resultados de las mediciones. Si ex-presan de manera diferente la medida de losclavos, ayúdelos a analizar si todas son o noequivalentes.

Resolver problemas mediante la suma o restade fracciones en el contexto de medición delongitudes. Utilizar la pulgada como unidadde medida.

Tornillos y clavos

Si nadie sabe cuánto mide una pulgada, pida que lo averigüen ylo comenten. Pueden dar, por ejemplo, una medida estimada,consultar el diccionario o usar la regla que aparece en la ilustra-ción o la del juego de geometría. Con el fin de facilitar la confron-tación de los resultados de las mediciones, pida que, sin medir,comparen las longitudes de los clavos y los numeren del mayoral menor.

Los problemas que se plantean en esta lecciónconviene que se resuelvan individualmente, sinembargo, vale la pena reunir a los alumnos enequipos de cuatro o cinco integrantes para favore-cer el intercambio de opiniones, la comparación yla verificación de los resultados.Divida la lección endos partes,de la siguiente manera:haga un alto pa-ra confrontar los resultados de las mediciones yotro cuando terminen de resolver la lección,con elfin de confrontar los resultados de los problemasplanteados en la cuarta y quinta balas. Prevea quecuenten al menos con una calculadora por equipo.

1



47

106

L E C C I Ó N

Problemas relacionados con la suma y resta de fracciones

47Tornillos y clavos

1. ¿Alguna vez has tenido que comprar clavos y tornillos? Recordarásque debes decir la medida en pulgadas. ¿A cuántos centímetrosequivale, aproximadamente, una pulgada?

• Utiliza la regla graduada en centímetros paracomprobar tu respuesta.

• Con ayuda de la regla que hay en esta página,encuentra la medida de cada clavo y anótala enlos recuadros correspondientes.

• Verifica que las medidas que encontraste son2 pulgadas, pulgada, de pulgada,3 pulgadas, 1 pulgada, 5 pulgadas, de pulgada,2 pulgadas, de pulgada y de pulgada.

En esta página hay parejas de clavos que, puestosuno a continuación del otro, miden una pulgada.• Encuentra esas parejas y escríbelas a continuación.

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12

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Fichas 10 y 11Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Por ejemplo, es probable que al medir el clavo número 9 algu-nos alumnos digan que mide y otros que mide (porquemide más de pero menos de ). Es importante que obser-ven que es la medida más exacta, porque la longitud del clavocabe 3 veces en la pulgada, en cambio 3 veces no completala pulgada. Pida que comparen las medidas que obtuvieron conlas que se dan en la tercera bala.

Los problemas planteados después de la tercera bala implicanla suma o la resta de fracciones. Si bien no se ha trabajado el al-goritmo para sumar fracciones de manera formal, se espera quelos alumnos puedan resolverlos apoyándose en sus conocimien-tos sobre la equivalencia de algunas fracciones y mediante el cál-culo mental. Por ejemplo, para seleccionar las parejas de clavosque unidos cabo a cabo miden una pulgada, se descartan los quemiden una o más de una pulgada, por lo que centrarán su aten-ción en los que miden , , , y de pulgada. Aprovechelos resultados de este problema para reafirmar el hecho deque las fracciones que valen uno tienen igual numerador ydenominador.

Es un poco más difícil encontrar las dos frac-ciones que sumen porque no tienen igual de-nominador. Se espera que los alumnos usen laequivalencia para resolver este problema. Porejemplo, pueden pensar: Si le quito a , mequedan . Con formo . Entonces, si pego elclavo que mide con el de obtengo de pul-gada. Aproveche todos los resultados incorrec-tos que surjan para ayudarles a fortalecer el cál-culo mental al sumar y restar fracciones.

Se espera que los alumnos pongan en juegoalgún procedimiento para resolver las sumasque se plantean en la quinta bala, midiendo conla regla, haciendo dibujos o apoyándose en lasequivalencias. Sin embargo, es importante to-mar en cuenta que frente a la representaciónconvencional de las sumas de fracciones, unerror frecuente es operar con ellas como si fue-ran números naturales, es decir, el resultado esla suma de los numeradores sobre la suma delos denominadores. Por lo anterior, es probableque al sumar + algunos alumnos obten-gan como resultado. Si sucede algo semejan-te, en la confrontación ayúdelos a darse cuentade que es menor que y por lo tanto no

puede ser el resultado de + . Esto puedehacerse mediante la recta numérica o la equiva-lencia: = y = . Es importante recor-dar que el maestro debe ayudar a que losalumnos noten el error. No debe olvidarse quea ellos les corresponde encontrar la solucióncorrecta.

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Hay otros dos clavos que unidos cabo a cabo miden de pulgada. ¿Cuáles son lasmedidas de estos dos clavos?

• La medida de dos clavos que se unen cabo a cabo se puede calcular mediante unasuma de fracciones. Utiliza tu regla, o suma, para calcular las siguientes medidas.

¿Cuáles de las sumas que resolviste dan como resultado una medida igual a unapulgada?

¿En cuáles el resultado es menor que una pulgada?

¿En cuáles el resultado es mayor que una pulgada?

3 + 1 =4 2

1 + 1 =2 3

3 + 1 =4 3

1 + =2

2 3

1 + 2 =3 3

1 + 2 =2 3

3 + 2 =4 3

1 + =2

2 5

34

Es recomendableque el maestro

proponga problemasque tengan

diferentes respuestascorrectas, con el

propósito de que losalumnos no seacostumbren a

resolver sóloproblemas con

respuestas únicas.

13

516

516

616

516

12

13

14

34

23

34

14

34

24

24

12

12

14

34

12

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25

25

12

25

12

13

25

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12

510

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1



dividirán 4 ÷ 10 = 0.4. Si es así pregunte qué sig-nifica el cociente.

Puede plantear otros problemas. Por ejem-plo: ¿Cuántas naranjas y tazas de azúcar se nece-sitarán para 15 litros? ¿Y para 12 ?

Resolver problemas de proporcionalidad me-diante diversos procedimientos: elaboración detablas aplicando las propiedades de las situa-ciones de proporcionalidad directa, búsquedadel valor unitario, y comparar razones.

Con el mismo sabor

El primer problema pueden resolverlo algunos alumnos elabo-rando una tabla como la siguiente.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos. Además de las confrontaciones señaladasen el libro, es conveniente hacer un alto al tér-mino de la actividad 1 para confrontar los resul-tados de los dos problemas que ahí se plantean.Mientras los alumnos los resuelven, observe loque hacen y seleccione previamente a los equi-pos que participarán en las confrontaciones.Procure que sean los que utilicen procedimien-tos diferentes. Si surge alguno que no esté ba-sado en un razonamiento proporcional, selec-ciónelo también para favorecer que los alum-nos identifiquen los errores y validen los proce-dimientos y resultados correctos. Si entre losprocedimientos no surge alguno que considereimportante, preséntelo como otra manera másde resolver ese tipo de problemas.

Otros alumnos tal vez busquen directamenteel valor unitario, es decir, el número de naranjasque se debe utilizar para un litro de agua. Si ha-cen esto es probable que dividan 40 ÷ 10 = 4, obusquen un número que multiplicado por 10dé 40. Para las tazas de azúcar, probablemente

Litros Naranjas Tazasde agua de azúcar

10 40 4 Datos conocidos

5 20 2 Sacando mitad

1 4 o o .4

6 24 2 o 2 o 2.40

25

410

25

410

Sacando quinta odividiendo entre 5

Sumando lo de 5 litrosy lo de 1 litro

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113


En el segundo problema, quizás algunosalumnos crean que se debe poner en cada ollala mitad de los limones, y otros consideren quedeben poner más limones en la olla que tienemás agua. Aunque es poco probable, puede su-ceder que algunos alumnos partan de poner lamitad en cada olla, y aumenten limones en unadisminuyéndolos de la otra. De esta manera ob-tendrán parejas de números como: 28-28, 29-27,30-26, 31-25, 32-24, 33-23, etcétera. Si esto suce-de, el problema será averiguar cuál de las pare-jas de números es la respuesta del problema.

Otros probablemente advertirán que si son 7litros de agua, cada litro debe tener la misma

cantidad de limones para que tenga el mismosabor. Con base en este razonamiento, se buscael valor unitario, es decir, el número de limonesque le corresponde a cada litro de agua divi-diendo 56 ÷ 7 = 8 limones. Si esto sucede, en laconfrontación pida que comprueben sus resul-tados con una tabla de proporcionalidad.

2

Pida que lean el problema y antes de que lo resuelvan preguntea cada equipo: ¿Quién tiene razón, Pepe o Lupe? Anote las estima-ciones en el pizarrón. Después pida que lo resuelvan. Dado queen la lección 6 se resolvieron problemas similares, es probableque para resolver éste comparen las razones.

También pueden elaboraruna tabla de proporcionalidadpara cada botella hasta igualarlas cantidades de agua en lastres botellas.

Litros de agua Limones

1 8

2

4

3

Tazas Cucharadas Igualar a litrosde agua de o a cucharadas

concentrado de concentradoBotella tapa verde 3 5 3 5

Botella tapa naranja 8 10 4 5

Botella tapa roja 6 8 3 4

De esta manera se podrán dar cuenta de que la botella de tapaverde tiene más sabor porque tiene más cucharadas de jarabeconcentrado.

Botella tapa verde

Agua Cuch. Jarabe

3 5

6 10

Botella tapa naranja

Agua Cuch. Jarabe

8 10

4 5

2 2.5

6 7.5

Botella tapa roja

Agua Cuch. Jarabe

6 8

3

Este problema también es similar a otro que resolvieron en la lec-ción 36, pero en este caso el nivel de dificultad es más alto por-que ninguna de las cantidades de dulces es el doble o el triple deotra. Sin embargo, como saben que 15 dulces cuestan $7.50, pue-den inferir que 5 dulces cuestan $2.50 y que, si 10 dulces cuestan$5.00, 2 dulces cuestan $1.00. Con estos datos podrán calcular elcosto de 12 dulces.

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114

49

1



Fortalecer el uso de la suma o resta de fraccio-nes o números mixtos para resolver problemas.Conocer y usar la equivalencia entre el pie y lapulgada.

El grosor de la madera

Para contestar a la primera pregunta probable-mente los alumnos multipliquen (2.54 cm × 12pulgadas). Otros tal vez midan con la regla lalongitud de las 12 pulgadas, obteniendo resul-tados diferentes (30.3, 30.4, o 30.5 cm). Si estosucede, aprovéchelo. Dedique un momentopara que los alumnos verifiquen sus medidas ytraten de buscar una explicación a estas dife-rencias. Favorezca el análisis del valor posicio-nal de las cifras obtenida con la multiplicación2.54 × 12 y las que obtuvieron al medir 12 pul-gadas con la regla para que puedan advertirque la diferencia es de de milímetro.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos. Pida que resuelvan las actividades. Observecómo lo hacen y seleccione a los equipos (dos otres) que pongan en juego procedimientos di-ferentes. Cuando la mayoría de los equipos ter-mine de resolver cada actividad, pida a los equi-pos seleccionados que den sus resultados y ex-pliquen cómo los resolvieron. Propicie que losalumnos sean quienes identifiquen los resulta-dos correctos y los errores.

110

L E C C I Ó N

Problemas relacionados con la suma y resta de fracciones

El grosor de la madera

1. El grosor de la madera también suelemedirse en pulgadas o en pies.1 pie = 12 pulgadas.

Si una pulgada equivale a 2.54 cm, ¿a cuántoscentímetros equivale un pie?

• Utiliza esta regla para comprobartu respuesta.

¿Cuántas pulgadas son pie?

¿Y de pie?

49

¿Y de pie?

Pablo dice que de pie son 9 pulgadas.¿Tiene razón Pablo?

¿Por qué?

Juan dice que pie + de pie = de pie;Pablo dice que pie + de pie = de pie. ¿Quién

tiene razón? ¿Por qué?

• Corta una tira de papel que mida pie + de pie y mídelacon la regla que hay en esta página. ¿Cuánto mide la tira completa,

en pies? ¿Cuánto mide la tira completa, en pulgadas?

2. Laura quiere clavar un cuadro de madera en una pared. El grosor dela madera mide de pulgada y los clavos miden 1 pulgadas. ¿Qué tanto

del clavo se introduce en la pared?

• Utiliza la regla de esta página para comprobar tu resultado.

12

14

13

23

12

14

26

12

14

34

12

14

34

14

Ayúdelos a concluir que la cifra 30.5 cm surge al redondear30.48 cm y a darse cuenta de que otra causa de que los resulta-dos de una medición siempre son aproximaciones a la medidareal, es que la graduación de los instrumentos no es muy precisa.

Se espera que las siguientes preguntas los alumnos las resuel-van con relativa facilidad, dado que cuentan con los recursos ne-cesarios. Sin embargo, observe lo que hacen para contestarlas yaque pueden cometer algunos errores. Por ejemplo, uno de losproblemas consiste en averiguar quién de los siguientes niños

210

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115

Fichas 5, 32 y 35Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

tiene razón: Juan dice que + = y Pablodice que + = . Es probable que algunosalumnos contesten que Juan es el que tiene larazón, porque suman numerador con numera-dor y denominador con denominador, sin ob-servar las relaciones que existen entre estas frac-ciones: = + = , o bien de unpie = 6 pulgadas, de un pie = 3 pulgadas,como 6 + 3 = 9, entonces 9 pulgadas son deun pie.

Para resolver el primer problema de esta activi-dad, es probable que los alumnos razonen de lasiguiente manera: Si el clavo mide 1 de pulga-das y en una pulgada hay , entonces el clavo mi-de de pulgada. Como en la madera entran ‹de la medida del clavo, en la pared entran losotros de pulgada. Si de pulgada quedan enla madera, para completar una pulgada falta .Entonces en la pared entra más de pulga-da o sea o de pulgada.

Los razonamientos que sigan para completar la tabla puedenser similares a los anteriores. Lo importante es que sin ayuda delmaestro los alumnos busquen los datos que faltan en la tabla. Siobserva que se equivocan, no los corrija; en la confrontación pi-da que expliquen cómo calcularon los datos faltantes y permitaque sean sus propios compañeros los que identifiquen el error yles ayuden a corregirlo.

Tome en cuenta que el último renglón de la tabla tiene mu-chas respuestas correctas ya que los alumnos tendrán que de-terminar un número fraccionario que pueda restarse a 3 . Pidaque intercambien los cuadernos para que su compañero revisesi los datos registrados en ese renglón son o no correctos. Selec-cione tres o cuatro de estas respuestas (correctas e incorrectas)para revisarlas colectivamente.

Pida a sus alumnos que lean con atención el texto escrito encolor azul. Es importante señalar que no se pretende que losalumnos aprendan un algoritmo para convertir un número mix-to a fracción común. Lo que interesa es que los alumnos constru-yan su propio algoritmo y hagan las conversiones cuando lo ne-cesiten, recurriendo a lo que saben sobre este tema. Después ha-ga preguntas como: ¿Qué fracción es mayor, o 1 ? ¿Cuántaspulgadas hay en de pie?

2

111

Medida de los clavos Grosor de la madera Parte que se introduceen pulgadas en pulgadas en la pared en pulgadas

1 32 41 32 42 23 32 23 63 14 2

1 28 81 18 4

12

Julián dice que 1 pulgadas es equivalente a de pulgada. ¿Crees que tienerazón Julián? ¿Por qué?

Un número formado por un entero y una fracción, por ejemplo1 , se llama número mixto. A veces conviene expresar

los números mixtos como fracciones. Así, 1 =

• Juega con un compañero. Uno dice un número mixto y el otro dice la fracciónque le corresponde. Entre los dos comprueben que el resultado sea correcto.

• Completa los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

1

2

1

3

1

1

1—4 1

—4

5—4

14

54

12

14

26

12

14

34

12

34

12

24

24

14

14

34

14

44

54

34

24

34

14

14

24

12

14

12

94

32

12

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50

1



Establecer la relación entre el aumento o dismi-nución proporcional en las medidas de los la-dos de un polígono y el aumento o disminucióndel área de dicho polígono.

Área de figuras semejantes

Pida a los alumnos que resuelvan esta actividadtal como se indica en la lección, es decir, inician-do con el trazo de los cuadrados y rectánguloscuyas medidas aparecen en las tablas pero conun agregado: que los cuatro cuadrados y los cua-tro rectángulos tengan un ángulo común, comose muestra en las siguientes figuras.

Hecho lo anterior, pídales que agreguen otrocuadrado y otro rectángulo, respectivamente,con las medidas que ellos quieran. Finalmente,dígales que tracen en cada configuración unadiagonal que parta del vértice común y obser-ven lo que pasa. Organice un diálogo colectivopara que algunos alumnos expliquen lo que ob-servan en sus configuraciones. Notarán que, enel caso de los cuadrados, la diagonal es una rec-ta común para todos ellos pero en el caso de losrectángulos, dependiendo de las medidas quehayan elegido para el último que trazaron, nosiempre sucede. Muestre a todo el grupo dosconfiguraciones de rectángulos, una en la que ladiagonal es común para todos y otra en la quequeda fuera el último rectángulo que trazaron,como se puede ver en las siguientes figuras.

Esta lección consta de tres actividades que aun-que tienen un propósito común conviene quese analice por separado cada una. Organice alos alumnos en equipos y procure que en cadauno haya suficientes instrumentos y hojas blan-cas para trazar figuras y obtener medidas.

Enseguida pregunte: ¿Por qué creen que enalgunos casos la diagonal es una recta común yen otros no? Se espera que los alumnos descu-bran que cuando son comunes las medidas delos rectángulos, también son proporcionales,es decir, son el doble, el triple, la mitad, etcéte-ra. Si ellos no lo descubren, explíqueles estapropiedad.

Después de obtener la conclusión anterior,centre la atención en los cuadrados y pregun-te si en algún caso la diagonal no es una rectacomún y enseguida pregunte: ¿Por qué creenque en el caso de los cuadrados que tienen unángulo común la diagonal siempre es una rectacomún?

Lo que está en juego es la noción de seme-janza de figuras, la cual exige dos condiciones:que las medidas de los lados sean proporciona-les, y que los ángulos sean respectivamenteiguales. En el caso del rectángulo, sus ángulosson iguales pero sus lados no necesariamenteson proporcionales, mientras que todos los cua-drados cumplen con estas dos condiciones.

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117

Ficha 64: 3Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

2

grande que 8" es lo mismo que "4 veces 8", o sea32. Después plantee la siguiente pregunta: ¿Quépasa con el área de un cuadrado o de un rectán-gulo cuando las medidas de los lados aumentanal doble? Agregue varias preguntas similarescon la idea de destacar la relación que existeentre la proporción en que aumentan las medi-das de los lados y la proporción en que aumen-ta el área, es decir, en dos figuras que son seme-jantes, si las medidas de los lados se multiplicanpor n el área queda multiplicada por n × n. Pída-les que verifiquen esta propiedad con los datosanotados en las tablas.

Después del diálogo anterior pídales que re-suelvan en el libro la actividad 1, mientras ustedlos observa. Cuando termine la mayoría compa-re las respuestas de los equipos y trate de acla-rar los errores. Es probable que algunas diferen-cias en las respuestas surjan de la expresión:"cuántas veces más grande", por ejemplo, cuán-tas veces más grande es 32 que 8, algunos pue-den pensar que 16 es una vez más grande, 24 esdos veces más grande y 32 es tres veces másgrande. Se trata simplemente de un problemade interpretación. Aclare que la expresión "ve-ces más grande" hay que entenderla simple-mente como "veces", por ejemplo "4 veces más

Pida a los alumnos que lean la información escrita en color azulpara que confirmen las conclusiones obtenidas en la actividad 1.Después, que resuelvan esta actividad mientras los observa.Cuando la mayoría termine, dedique un momento a confrontarlas respuestas. Es probable que nuevamente surjan diferenciaspor la expresión "cinco veces más grandes que los del cuadradorojo". Aclare nuevamente que esto es "cinco veces dos" y no "cin-co veces dos más dos".

El problema del cuadrado y del rombo es interesante porqueofrece a los alumnos la oportunidad de reflexionar sobre un casoen el que ambas figuras tienen lados iguales y sus medidas sonproporcionales (los lados del rombo miden el triple de los del cua-drado), sin embargo se darán cuenta de que el área no aumenta 3× 3 veces. ¿Por qué? Trate de explotar al máximo las ideas de losalumnos y pídales que discutan en cada equipo para tratar de en-contrar alguna explicación y después déles la oportunidad de quela expresen. Se espera que puedan encontrar que el cuadrado y elrombo no son semejantes puesto que cumplen sólo una de lascondiciones (tener lados proporcionales), pero sus ángulos no sonrespectivamente iguales.

3

Precise un poco más la consigna de esta actividad: hay dos grupos de figuras, cua-tro triángulos y cuatro rombos, se trata de pintar con un color los triángulos queson semejantes y con otro color los rombos que son semejantes. La tarea no essimple porque los alumnos tratarán de averiguar cuáles triángulos y cuáles rom-bos tienen lados proporcionales y ángulos iguales. Permítales que resuelvan ellosmismos el problema, pero si es necesario ayúdelos a llevar a cabo el procedimientoque elijan.

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Fortalecer el uso de la escritura decimal para ex-presar medidas.

Las unidades de longitud

Pida a los alumnos que resuelvan la primera ac-tividad mientras usted observa si entendieronla consigna y anota en el pizarrón, en forma delista, las longitudes que se quiere medir: a) lar-go de un libro; b) altura de un niño, etcétera,con el fin de agregar, delante de cada una, launidad o unidades de medida que los alumnoseligieron en cada caso.

Una vez que estén anotados los resultados,promueva la discusión en los casos donde hayadiferencias importantes, por ejemplo, si unequipo eligió el centímetro y otro el metro, valela pena averiguar por qué.

Tome en cuenta que en la mayoría de los ca-sos es posible elegir más de una unidad. Porejemplo, para medir el largo de un libro no hayningún problema en utilizar el centímetro o eldecímetro. Sin embargo, es conveniente que los

Organice a los alumnos en equipos para resol-ver las tres actividades de la lección pero dedi-que un momento a cada una para confrontarlas respuestas.

alumnos digan en qué se basaron para elegir,tal vez uno de los criterios sea que la unidadcon que se mide sea menor que la longitud amedir, pero no tan menor como para que no ha-ya necesidad de repetirla muchas veces.

Es probable que los alumnos confundan la ta-rea de medir con la de expresar una medida; sidetecta esta confusión es importante aclararla.Elproblema que se plantea en esta actividad eselegir "la unidad que conviene utilizar para me-dir" y la conveniencia puede obedecer a distintosaspectos. Por ejemplo, si alguien dice que paramedir la distancia entre dos municipios convieneel decámetro porque se utiliza menos cordel, tie-ne razón, aunque la unidad se tenga que repetirmuchas veces. Ahora bien, una vez que la medi-da está expresada en decámetros, se puede ex-presar con cualquier otra unidad.

Aunque la consigna de esta actividad dice que sólo se usen losdatos de las tablas para contestar las preguntas, es probable quemuchos alumnos no los necesiten y no hay razón para obligarlos.Mientras ellos contestan, observe lo que hacen y no los obliguea usar procedimientos que no necesitan. Por ejemplo, en la se-gunda pregunta seguramente muchos alumnos dirán que la res-puesta es 100 sin ver las tablas, de manera que la siguiente pre-gunta (¿Cómo lo calculaste?) queda fuera de lugar. Sin embargo,no se descarta que otros niños vean en la tabla que un metroequivale a 10 decímetros y un decímetro a 10 centímetros, demanera que el cálculo puede ser 10 × 10 = 100.

2

1


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Las preguntas que giran alrededor de la tabla de unidadessimplemente pretenden que los alumnos se familiaricen con losmúltiplos y submúltiplos del metro y con la idea de que cada uni-dad es 10 veces mayor o menor que la de al lado. Si nota que losalumnos no tienen dificultad para completar la tabla, no es nece-sario confrontar las respuestas.

3

Otorgue el tiempo necesario para que los alum-nos resuelvan esta actividad y, si es necesario,ayúdelos a entender los problemas que se plan-tean, pero permita que ellos los resuelvan. En lalección 46 trabajaron con una tabla similar, sóloque contiene tres tipos de unidad (dam, m ydm) y ésta, siete. Otra diferencia importante esque en esa lección se planteó el problema detraducir una expresión de la tabla a la escriturausual con punto decimal y en esta actividad seplantea el problema inverso: dada una expre-sión decimal localizar la expresión de la tablaque le corresponde.

Es muy probable que los equipos cometanerrores al resolver los problemas de esta activi-dad porque, como se dijo anteriormente, el sig-nificado de los decimales es algo complejo y esnecesario que los alumnos resuelvan una granvariedad de problemas, de manera que invier-tan el tiempo necesario para confrontar las res-puestas y procedimientos y planteen preguntasque los hagan reflexionar. Por ejemplo: ¿Qué sig-nifica 6.35 Hm? Invite a los alumnos a que leanesta cantidad de distintas maneras y póngalas aconsideración de los demás para ver si están deacuerdo. Algunas pueden ser: 6 hectómetrosmás 35 centésimas de hectómetro; 6 hectóme-tros más 3 décimas de hectómetro más 5 centé-

simas de hectómetro; 6 hectómetros más 35metros, etcétera.

Es necesario insistir en que la parte decimal selea en décimos, centésimos o milésimos de tal ocual unidad, porque esto es lo que da la posibili-dad de encontrar el significado correcto a la par-te decimal, evitando que los alumnos la veansimplemente como un entero con otra unidad.Un ejemplo es cuando la cantidad 6.35 Hm selee como 6 hectómetros más 35 centímetros, da-do que el centímetro es la unidad más usual pa-ra la parte decimal. Otro ejemplo aun más clarode este error es cuando la cantidad 6.3 horas selee como 6 horas más 3 minutos, en vez de 3 dé-cimas de hora que corresponden a 18 minutos,puesto que un décimo de hora son 6 minutos.

El reto intelectual de esta actividad consiste,primero, en interpretar la cantidad 6.35 Hm pa-ra saber que se trata de 6 hectómetros y unafracción de hectómetro. Después, localizar en latabla el renglón que contiene esta cantidad,puesto que en todos están las mismas cifras. Elrenglón buscado es la distancia de la escuela almercado, puesto que con 63 decámetros sepueden formar 6 hectómetros; el resto es justa-mente la parte decimal de la cantidad. Las dosúltimas preguntas llevan precisamente a la ne-cesidad de transformar las unidades.

Es necesario que el maestro propicie que losalumnos expliquen los procedimientos que

utilizaron y, paralelamente, escuchen y reflexionensobre los razonamientos expresados por otroscompañeros para mejorar sus procedimientos.

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120

52

1



Resolver problemas de escala en los que launidad de medida que se utiliza representa‹ , o de otra unidad. Observar que lasmagnitudes de un dibujo, hecho a escala deotro, son directamente proporcionales.

El tamaño real

Lea junto con sus alumnos desde el inicio de lalección hasta la primera pregunta que se debecontestar "¿A cuántos centímetros del tamañoreal equivale un cm del dibujo?", y observe lo queresponden. Es probable que algunos alumnosden una respuesta equivocada o simplementeno sepan qué contestar. Si esto sucede no los

corrija ni les explique nada. Pídales que conti-núen resolviendo los problemas. Poco a poco,conforme avancen en la resolución de la lec-ción, comprenderán el significado de la expre-sión 1 cm : 50 cm.

Dado que los alumnos deben verificar la altu-ra del niño dibujado y ya saben que cada centí-metro del dibujo representa 50 cm de la medi-da real, el problema para ellos es interpretaradecuadamente el significado de las cifras en lacantidad 3.2 cm (3 cm más 2 décimos de cm) yaveriguar el valor que representa cada cifra.

Por ejemplo, para calcular el valor real de 3cm, es probable que sumen 3 veces 50 cm omultipliquen 50 × 3 y, para averiguar el valorreal de 0.2 cm, probablemente algunos alum-nos recuerden que 0.2 = de la unidad, queen este caso es un centímetro. Como 1 cm re-presenta 50 cm, entonces de cm represen-ta 5 cm (porque 50 ÷ 10 = 5). Entonces, de1 cm representa 10 cm. Por lo tanto la alturareal del niño es: 150 + 10 = 160 cm o 1.60 m.

Observe si los alumnos logran obtener el re-sultado anterior y qué procedimientos utilizan.Si surgen procedimientos correctos, vale la pe-na darlos a conocer en este momento.

Es conveniente que las dos primeras activida-des las resuelvan en equipos de tres o cuatroalumnos y la última de manera individual. Pre-vea que cada equipo tenga al menos una calcu-ladora. No les diga cómo resolver los proble-mas. Si entre los resultados hay diferencias,aproveche la confrontación que se realice al tér-mino de cada actividad para que los alumnosbusquen una manera de comprobar cuáles sonincorrectos y por qué.

116

L E C C I Ó N

52

Uso de fracciones con denominadores 10, 100, 1000 en problemas de escala

El tamaño real

1. En la página 50 de tu libro de Ciencias Naturales se planteael siguiente problema:

¿Cuál es el tamaño real del niño?

Compara tus resultados con los de otros compañeros y comenta con ellosy con tu maestro por qué en un problema de escala las cantidades sonproporcionales.

Tamaño en el dibujo Tamaño real(cm) (cm)

1 50

2

3

3 +

¿Cuál es el tamaño real del perro, el niño, el árbol, la mariposay la puerta?La escala del dibujo es 1 cm: 50 cm.

De acuerdo con la escala, ¿a cuántos centímetros del tamañoreal equivale un centímetro del dibujo?

• Mide con tu regla la altura del niño y verifica que es 3.2 cm,es decir 3 cm + de cm.

Si un centímetro del dibujo equivale a 50 cm del tamaño real,¿a cuánto equivalen 3.2 cm del dibujo?

• Completa la siguiente tabla para que compruebes tu resultado.

÷ 10

+

=

110

210

210

÷ 10

+

=

210

110

1100

11 000

210

110

210

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Ficha 63: 1Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Es importante que los alumnos adviertanque cuando un dibujo está hecho a escala deotro las medidas son proporcionales. Ayúdelosa analizar la tabla para verificar que las cantida-des anotadas efectivamente son proporciona-les: al dividir o al multiplicar por un mismo nú-mero las cantidades de un renglón se obtienenlas cantidades de otro renglón y al sumar lascantidades de dos o más renglones se obtienenlas cantidades de otro renglón. Lea junto consus alumnos el texto escrito en color azul y pí-dales que con su calculadora verifiquen lo quese dice ahí.

Si la mayoría de los alumnos obtiene un resultado incorrecto,pídales que anoten los números que faltan en la tabla, mientrasusted la reproduce en el pizarrón para comparar los resultadosen la confrontación. Procure que cada vez que se anote un nú-mero en la tabla quede claro por qué se escribe tal número y nootro. Después de completar la tabla, pida a los alumnos que en-cierren los números que forman el 3.2 y sus correspondientes enla columna que dice tamaño real. Si es necesario, pídales queprueben alguno de los procedimientos para calcular la altura realdel perro. Previamente deberán acordar la medida que le corres-ponde en el dibujo.

Tomando en cuenta la información del textoanterior, se espera que los alumnos multipli-quen por 10 o por 100 la medida de la estatu-ra del niño del dibujo (3.2 cm), ya que la escalaexpresada como o significa que la esta-tura real es 10 o 100 veces mayor. Para com-probarlo pueden dividir el resultado de la mul-tiplicación entre 10 o entre 100. Sin embargo,algunos alumnos tal vez necesiten regresar ala expresión 1 cm : 10 cm, o 1 cm : 100 cm pararesolver el problema. Si esto sucede, permítalo.Al completar las tablas podrán verificar susrespuestas.

Ponga mucha atención a las respuestas delos niños en la pregunta que aparece despuésde las tablas: ¿Por qué no puede ser que la escalasea o ? Si nota que no tienen respuesta,agregue: ¿Cuál sería la estatura del niño si la esca-la fuera ? La intención es que concluyan que en ambos casos se obtienen estaturas imposibles.

2

Se espera que los alumnos recuerden que una milésima de me-tro es 1 mm, por lo tanto el cuadrado por construir deberá medir1 mm por lado. Puede solicitarles que tracen otros cuadrados yrectángulos a escala o .

3

Realizar estimaciones, ya seaacerca del resultado de un

problema, de una operacióno de una medida, sóloadquiere sentido si los

alumnos las comparan con elresultado exacto del

problema o de la operación,

110

1100

110

1100

110

110

1100

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53


Una vez que todos han seleccionado sus res-puestas, puede preguntar a algún alumno susresultados y anotarlos en el pizarrón. Despuéspregunte si todos contestaron lo mismo que sucompañero y si hay diferencias anótelas en elpizarrón. Después pida que comenten cómo es-timaron el resultado sin hacer operaciones es-critas ni dibujos.

Es probable que algunos alumnos comentenque en el primer problema seleccionaron másde un kilogramo, porque es más que , y porlo tanto + debe ser más de 1 kilogramo. Pa-ra el problema c), algunos alumnos podrían pen-sar que la respuesta es un metro porque es unpoco más de la mitad y es menos de la mitad,

Desarrollar la habilidad para estimar el resulta-do de problemas que implican la suma y restade fracciones. Seleccionar la operación con laque se pueden resolver ciertos problemas. Bus-car fracciones equivalentes para sumar y restarfracciones con diferente denominador.

¿Como cuánto resulta?

Conviene que los alumnos resuelvan de mane-ra individual las actividades de esta lección, sinembargo, vale la pena organizarlos en equiposde cuatro o cinco alumnos para favorecer la in-teracción entre ellos. Es recomendable comen-tar y confrontar sus resultados al terminar de re-solver cada actividad.

Lea en voz alta la consigna escrita con letra café. Aclare que de-ben resolver esta actividad mentalmente. Ponga un tiempo lími-te para que estimen los resultados de los problemas; esto propi-ciará que los alumnos recurran a la representación mental de losrepartos y de las equivalencias entre las fracciones o al análisis delas relaciones numéricas. Señale que no se trata de encontrar elresultado exacto, sino de que lo estimen rápidamente, y que tam-poco se vale hacer cuentas escritas ni dibujos. Tome el tiempo ycorte la actividad en el momento señalado.

120

L E C C I Ó N

Diversos significados para la adición y sustracción con fracciones

53¿Como cuánto resulta?

1. Después de leer cada uno de los siguientes problemas, seleccionacuál de las tres es la respuesta correcta.

a) Compré kg de guayabas y de kg de uvas. ¿Cuántos kilogramos compréen total?

Menos de un kg Más de un kg Un kg

b) Para ir de mi casa al trabajo esperé de hora para tomar un taxi y el recorridoduró de hora. ¿Cuánto tiempo hice de mi casa al trabajo?

Menos de una hora Más de una hora Una hora

c) Utilicé de metro de listón para atar un regalo y de metro para hacerel moño. ¿Cuánto listón utilicé en total?

Menos de un metro Más de un metro Un metro

d) El carrete de cinta adhesiva contenía 2 metros y gasté de metro.¿Qué cantidad de cinta adhesiva quedó en el carrete?

Más de un metro Menos de un metro Un metro

e) Al iniciar el viaje la aguja marcaba de tanque de gasolina y al terminarmarcaba . ¿Qué parte del tanque se consumió?

Más de tanque Menos de tanque tanque

f) La mitad del grupo votó por Amelia y la tercera parte votó por Raúl. ¿Qué partedel grupo no votó?

Más de del grupo Menos de del grupo del grupo

1—23—4

1—43—4

3—53—10

1—33—6

7—81—4

1—21—2

1—2

1—21—2

1—2

1


12

34

34

12

35

310

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123

-ssul--

nsr--

n,

Al realizar esta actividad, los alumnos tendrán laoportunidad de verificar sus estimaciones ini-ciales. Recuerde la importancia de que sean lospropios alumnos quienes encuentren la solu-ción de los problemas. Para relacionar los pro-blemas con la operación que les corresponde,es probable que algunos alumnos sólo se fijenen las fracciones involucradas sin atender a larelación que se establece entre éstas. Por ejem-plo, es obvio que la suma + correspondeal problema c), porque no aparecen estas frac-ciones en otros problemas. Sin embargo enotros casos, como en el e), deberán seleccionarla operación adecuada.

Lea con sus alumnos el texto escrito con le-tras azules. Se espera que no tengan dificulta-des para entender lo que se enuncia. Si notaque no es así, haga un alto y propicie que co-menten a qué se refiere. Apóyese en el algorit-mo que se propone. Solicite otros ejemplos ydespués pida que resuelvan las operacionescon el procedimiento que se sugiere. Observecómo generan las fracciones equivalentes parasumar o restar.

Cuando terminen, pida que comparen susestimaciones iniciales con los resultados queobtuvieron al realizar las operaciones. Es pro-bable que en algunos casos su estimación hayasido correcta y el resultado de la operación in-correcto. Invítelos a averiguar, colectivamente,si se equivocaron al estimar el resultado, al se-leccionar la operación o al realizarla. Es proba-ble que las operaciones con las que tengan ma-yores dificultades sean las siguientes: + ,1 – ( + ), 2 – . Es probable que esta últi-

por lo tanto, si se juntan y probablemente se forme 1 me-tro. Tal vez haya quienes se den cuenta de que equivale a y‹ + es , que es menor que uno. Para el problema d), pue-den razonar de la siguiente manera: = , si se hubiera gasta-do sólo , entonces quedarían 2 metros, pero como se gastó otro sexto, entonces quedó más de un metro porque en 2 metroshay .

2

ma operación la resuelvan de la siguiente ma-nera: como = , entonces, sólo tengo que res-tarle a 2 metros. Como 2 enteros tiene , en-tonces el resultado es .

La última pregunta tiene muchas respuestascorrectas ya que pueden convertir las fraccio-nes a sextos, doceavos, dieciochoavos, etcétera.Independientemente de la estrategia que si-gan, el número buscado es múltiplo de 2 y de 3,es decir, un número que pueda dividirse entre 2y entre 3, con residuo cero. Si esto sucede, co-mente la conveniencia de usar el menor múlti-plo de ambos. Si lo considera conveniente, pidaque inventen un problema con las operacionesque quedaron sin letra.


121

12

34

24

34

54

2. Anota en cada etiqueta la letra del problema anterior que se puede resolver conesa operación. Dos etiquetas quedan sin letra.

A veces, el denominador de una de las fracciones es múltiplodel denominador de la otra. Por ejemplo + . En estos casos

se puede encontrar una fracción equivalente, = .Entonces + = + =

• Resuelve las operaciones anteriores igualando los denominadores donde seanecesario y verifica tus respuestas de la página anterior.

Para sumar + conviene convertir en octavos. ¿En qué fracción convieneconvertir para sumar + ?

Coméntalo con tus compañeros y tu maestro.

12

24

12

7—81—4

1—41—21—3

34

35

310+

12

34+

78

14+

14

34+

12

13+

78

14–

13

36–2

12

14–

restarle a unola suma

35

310

35

610

610

310

910

13

26

26

126

35

310

35

310

12

13

13

36

13

26

16

126

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124

54

Trazar triángulos y cuadriláteros con medidasdadas, mediante regla, escuadras y compás. Ob-tener las medidas necesarias para calcular suárea. Identificar formas geométricas en unaconfiguración y determinar su área.

Algo más sobre el área

Una vez que los alumnos empiecen a resolverel problema de los trazos observe cómo usanlos instrumentos de geometría para lograr lamayor precisión posible. Para el triángulo equi-látero deben trazar primero la circunferencia yluego dividirla en tres partes iguales. Observesi los alumnos tienen presente que con el mis-mo radio con que trazaron la circunferencia, lapueden dividir en seis partes iguales, y estasdivisiones sirven para trazar el triángulo equi-látero. Si ningún alumno usa este recurso, su-giéralo en el momento de la confrontación.

Para resolver esta lección cada alumno necesi-tará una regla, escuadras y compás. Cada activi-dad consta de varios problemas en los que losalumnos requerirán el tiempo suficiente parallegar a la solución. También es probable quesurjan errores al calcular el área de figuras irre-gulares, que tienen muchos lados o lados cur-vos. Cuando la figura tiene lados curvos, losalumnos sólo podrán obtener una estimacióndel área y por lo tanto habrá diferencias consi-derables en los resultados. Igual sucederá conlos primeros triángulos en donde deben locali-zar la medida de la altura. Si la figura sólo tienelados rectos, aunque sea irregular, el resultadoes único, puesto que las medidas necesarias pa-ra calcular el área están señaladas mediante lacuadrícula.

Con base en lo anterior, aunque cada alumnohaga sus propios trazos al resolver el primerproblema de la actividad 1, es conveniente quelos demás problemas los resuelvan en equipo.Para evitar que se pierda el interés de los alum-nos, dedique una sesión para resolver la activi-dad 1 y otra para la actividad 2.

Incluso trate de averiguar si pueden explicarpor qué sucede esto.

Es probable que muchos alumnos intententrazar los triángulos isósceles y escaleno sólocon ayuda de la regla y las escuadras. Se daráncuenta de que en el isósceles no hay mayorproblema, pero con el triángulo escaleno el ca-mino es mucho más directo si se usa el compáscomo un medio para trasladar las medidas delsegundo y tercer lados, como se muestra en lasiguiente figura.

1



122

L E C C I Ó N

El área por transformación de figuras y otros recursos

54

2. Trabaja con un compañero. Encuentra entre las figuras de la página siguiente:¿De qué color es el polígono que tiene 13 lados?¿Cuánto mide su área en cm2?¿De qué color es el triángulo cuya área es la mitad de la del polígono de 13 lados?

• Encuentra el área de la figura limitada por una sola línea curva.

¿Cuántos cm2 es más chica el área del heptágono que el área del trapecio recto?

• Calcula el área del cuadrilátero morado y del hexágono.

• Calcula el área de la figura limitada por dos líneas curvas¿Cuánto mide la superficie gris?¿Cuántas líneas limitan a esta superficie?¿Cómo son estas líneas?

• Encuentra en la configuración la superficie limitada por 16 líneas rectas y unalínea curva, ¿de qué color es?¿Podrías calcular su área?

Algo más sobre el área

- En un círculo de 12 cm de diámetro, un triángulo equilátero,cuyos vértices estén dentro de la circunferencia.

- Un triángulo escaleno cuyos lados midan 6 cm, 10 cm y 8 cm.- Un triángulo isósceles que tenga un lado de 8 cm y dos de 6 cm.- Un trapecio isósceles de 10 cm en la base mayor, 4 cm en la base

menor y 5 cm de altura.

• En cada una de estas figuras queconstruiste toma las medidas quenecesites y calcula su área. En tucuaderno registra tus resultados.

• Toma una de estas figuras. Córta-la por donde tú creas convenien-te para que al reacomodar todoslos pedazos puedas formar un rectángulo. Calcula el área del rec-tángulo y verifica que tiene la misma área que tenía la figuraoriginal.

Comenta con tu maestro y tus compañeros lo que acabas de hacer.

1. Traza con regla y compás en hojas blancas las siguientes figurasy recórtalas.

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La localización de figuras a partir de la forma y elnúmero de lados seguramente resultará un retointeresante para los alumnos y, por lo tanto, hayque destinarle el tiempo necesario para compa-rar las respuestas. Cada superficie se identificacon un color distinto y el problema es que lo-gren establecer cuáles son sus límites. En leccio-nes anteriores ya se ha dicho que los polígonossólo tienen lados rectos y adquieren nombresespecíficos en función del número de lados:triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etcétera,los cuales pueden ser regulares o irregulares.

Habiendo identificado las figuras se esperaque los alumnos no tengan dificultad para en-contrar las áreas, dado que cuentan con el re-curso de dividir cada figura en otras más sim-ples y, en el último de los casos, pueden contarlos cuadritos. Esto no quiere decir que todos losproblemas de esta actividad sean fáciles, pues-

--sae--sn-

n-eo-a

ore.--

2

Una vez que hayan trazado las figuras, se espera que no ten-gan mayor problema para localizar las medidas necesarias y cal-cular las áreas, pero sí es importante dedicar un momento paracomparar los resultados y aclarar los errores que surjan. Tome encuenta que sólo se trata de calcular las áreas de los tres triángu-los y del trapecio, no la del círculo.

La dificultad del tercer problema de esta actividad dependede la figura que elijan para recortar. Sólo en el caso del triánguloescaleno es necesario hacer dos cortes para formar un rectángu-lo; en las otras tres figuras basta con un solo corte. Lo importan-te de este problema es que una vez construido el rectángulo,comparen su base y su altura con la base y la altura de la figuraoriginal. Así sabrán calcular el área de esta última sin necesidadde convertirla en rectángulo. Dicho con otras palabras, si la basedel rectángulo mide lo mismo que la base del triángulo y la altu-ra del rectángulo es la mitad de la altura del triángulo, entoncesel área del triángulo se puede calcular multiplicando la base porla mitad de la altura.

to que hay varios que seguramente resultaránconflictivos y habrá diferencias en los resulta-dos, aunque no necesariamente sean erróneos.Por ejemplo, el problema de encontrar el áreade la figura limitada por una sola línea curva tie-ne dos opciones: puede ser la figura rosa o elcírculo morado. En ambos casos, el único recur-so es el conteo y la estimación, por lo que las di-ferencias en los resultados pueden ser grandes,lo importante es que se aclare el origen de esasdiferencias.

Otro problema interesante para ser discuti-do es el de la figura gris y la figura limitada poruna sola línea curva. Vistas por separado, sólose puede tener una estimación del área de ca-da una, pero la suma de sus áreas es 64 cm2. Esinteresante observar si los alumnos se dancuenta de este hecho, y si no sucede así, co-méntelo usted.

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1



Descubrir relaciones numéricas en sucesionescortas. Sumar o restar fracciones apoyándose enla equivalencia. Convertir fracciones mayoresque la unidad a números mixtos. Inferir las con-diciones para construir un juego matemático.

Cuadrados mágicos

Resolver colectivamente la primera parte deesta actividad permite a los alumnos conocerlas condiciones que deben cumplir las diferen-tes tercias de números de los cuadrados mági-cos y comprender en qué consisten los proble-mas subsiguientes. Propicie que comenten enqué se fijaron para saber que el cuadrado "A"no es mágico. Pueden pensar que los cuadra-dos son mágicos porque todos los númerosque están dentro de esos cuadrados al sumar-se dan el mismo resultado, o porque cualquiertercia de números suma 15. Si esto sucede,pida que lo comprueben y ayúdeles a llegar auna conclusión.

Al resolver los problemas planteados en latercera bala, aclare que los números que hacenfalta en los casilleros de los cuadrados son losque aparecen debajo de cada cuadrado. Paraconfrontar los resultados dibuje los cuadradosen el pizarrón. Pida a dos alumnos que los com-pleten (sólo hay una manera de hacerlo). Si al-guien lo completó de manera diferente, pidaque muestre cómo lo hizo e invite a sus compa-ñeros a verificar si esa solución cumple o no conlas condiciones de los cuadrados mágicos quehan encontrado.

Ponga especial atención en las respuestasque den a la consigna de la última bala. Se espe-ra que observen que el número central de cadacuadrado es la tercera parte de la suma mágica,por ejemplo 6 es de 18, o 18 es el triple de 6.Si logran establecer esta relación, pida que veri-fiquen si se cumple en los otros cuadrados.

La primera parte de la actividad 1 puede resol-verse colectivamente y la segunda en equiposde cuatro alumnos, al igual que las otras dos ac-tividades. Cuando terminen cada actividad or-ganice la confrontación de resultados y procedi-mientos.Al final de libro se encuentra el materialrecortable número 6. Pida con anticipación quelo recorten. Este material incluye un cuadrado yun juego de tarjetas para cada problema de lalección. Este material permitirá a los alumnosensayar varias posibilidades, hasta encontrar lasolución. Las tarjetas cuyos números no se utili-cen, pueden servir para construir otro cuadradocuando terminen de resolver la lección.

124

L E C C I Ó N

Técnicas para sumar o restar fracciones

55

• Completa los siguientes cuadrados mágicos colocando los números que faltan.Puedes utilizar el material recortable número 6.

• Con la ayuda de tus compañeros trata de averiguar qué relación hay entreel número que se coloca al centro y la suma.

Cuadrados mágicos

Éste es un ejemplo de cuadrado mágico.

• Verifica que al sumar tres númerosen línea, horizontal, vertical o diagonal,se obtiene el mismo resultado.

• Averigua cuál de los siguientes cuadradosno es mágico y explica por qué.

1. Los cuadrados mágicos son curiosidades matemáticas muyantiguas que aparecen en diversos libros o revistas.

8 1 6

3 5 7

4 9 2

5

9 11

9

6 8

15

2718

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

11 4 9

6 8 10

7 12 5

10 3 9

5 7 8

6 11 4

A B

13

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127

Ficha 69

Para encontrar las tercias de números fracciona-rios que sumen 15 medios, es probable que losalumnos sumen o resten por escrito o mental-mente. Por ejemplo, pueden sumar las fraccio-nes que aparecen en el segundo renglón delcuadrado ( + ) y averiguar la diferencia en-tre esta suma y la mágica. De esta manera, ten-drán dos datos en la tercera columna del cua-drado ( y ) con los que puedan encontrar elnúmero que falta, y así sucesivamente.

Es probable que los alumnos no sepan cuálesson los números mixtos. Si es así, ponga algu-nos ejemplos (3 ) y explíqueles que se llamanmixtos porque están formados por un númeroentero y una fracción. No les enseñe el proce-

2

3

dimiento para convertir fracciones mayoresque la unidad a fracciones mixtas. Permita queellos busquen una manera de hacerlo y con-fronte los procedimientos que generen.

Pida que analicen las sucesiones numéricascon las que se construyó este cuadrado mági-co y los anteriores, para ver si encuentran algu-nas regularidades, por ejemplo: todas las suce-siones aumentan de manera regular. En el casodel cuadrado mágico que suma , la sucesiónaumenta de en . Además, la mediana deesa sucesión (el número que queda en mediode la sucesión ordenada) es el número que vaen el centro del cuadrado mágico.

Esta actividad es más compleja porque se utilizan números ente-ros y fracciones con diferente denominador y no se sabe cuál esla suma mágica ni se conoce el número que va en el centro delcuadrado. Sin embargo, los alumnos podrán resolverlo tomandoen cuenta que al sumar los números de cada renglón, debe ob-tenerse la suma mágica, y que el número que va en el centro delos cuadrados es la tercera parte de esa suma o la mediana de lasucesión ordenada de los números en cuestión.

En la confrontación, tome en cuenta que la suma mágica pue-de tener diferentes respuestas equivalentes. Por ejemplo: ,4 , 4 , . Si en el grupo surgen diferentes formas de expre-sarla, pida que verifiquen si éstas son equivalentes o no. Si estono sucede, aproveche la última pregunta de la tercera bala y tra-baje este aspecto. Pregunte qué hicieron para saber que Doloresy Hugo tenían razón en su afirmación y pida que lo expliquen.

Una posible respuesta para la última pregunta de esta activi-dad, es que Pablo convirtió a cuartos los y sumó + + dela siguiente manera: = . Como la mitad de 18 es 9 y la mitad de 12 es 6, Pablo obtuvo . Invite a los alumnos a bus-car argumentos para demostrar que la suma y su resultado sonincorrectos. Pueden apoyarse en dibujos, la recta numérica o lasequivalencias.

Pregunte cómo hicieron para saber cuál número iba en el cen-tro del cuadrado y cómo hicieron para saber que la sucesión, apartir de , aumenta de en . Pida que lo comprueben enel pizarrón construyendo la serie y buscando equivalencias.

Es recomendable queel maestro proponga

problemas que tengandiferentes respuestas

correctas, con elpropósito de que los

alumnos no seacostumbren a resolver

sólo problemas conrespuestas únicas.

32

52

72

22

14

152

12

12

184

12

24

92

54

104

34

52

5 + 10 + 34 + 4 + 4

1812

96

12

14

14


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56

1



Identificar situaciones donde los datos varíenproporcionalmente. Elaborar e identificar gráfi-cas de variación proporcional y no proporcionaly analizar sus características.

Distintas formas de variación

Se espera que los alumnos utilicen sus conoci-mientos sobre las propiedades de las situacio-nes de proporcionalidad directa, obtenidos enlecciones anteriores. Pida que resuelvan estaactividad y recorra los equipos para observarqué propiedades utilizan y qué argumentosdan para determinar si las situaciones son pro-porcionales o no.

Es probable que algunos alumnos recuerdenque cuando dos pares de cantidades son pro-porcionales ambas aumentan al doble o al tri-ple, o disminuyen a la mitad o a la tercera parte.Tomando en cuenta esta propiedad pueden de-ducir que la tabla del sitio de taxis no es propor-cional, porque el doble de 40 km es 80 km, peroel doble de $25.00 no es $45.00. Otros quizá re-cuerden que al sumar los valores de dos renglo-nes de la tabla se obtiene el valor de otro ren-glón. En este caso es importante observar si elresultado obtenido es posible o no. Por ejemplo,en la tabla de la estatura de Juanito, al sumar losvalores del primer y segundo renglones, se tieneque a los 4 meses de edad, Juan mediría 105 cmde estatura, y esto no es posible. Además, el do-ble de 3 meses es 6 meses, pero el doble de loque midió a los 3 meses no corresponde con loque midió realmente a los 6 meses. Por lo tanto,esta situación no es proporcional.

También puede ser que los alumnos obser-ven que el aumento entre las cantidades de al-gunas tablas no es constante. Por ejemplo, en latabla de las pizzas, para que fuera proporcionaldebería aumentar $20.00 el costo por personay, en la de Juan, la estatura tendría que aumen-tar 51 cm por mes.

En la situación del consumo de gasolina, esprobable que algunos alumnos digan que esproporcional porque en los datos de esa tablaaparece el doble de 4 litros, pero quizá no esténconsiderando las distancias que se recorren con4 y 8 litros de gasolina. En la confrontación esimportante señalar este error, si es que aparece,con el fin de que los alumnos se den cuenta deque los datos que aparecen en esa tabla no sonsuficientes para determinar si hay proporciona-lidad o no. En este caso, es necesario averiguarcuántos kilómetros recorre el autobús para lle-gar, desde la base, a cada uno de los lugares se-ñalados para poder compararlos, y concluir queésta es la única situación donde los datos varíanproporcionalmente.

Si bien los alumnos pueden consultar esa in-formación en la tabla de la izquierda (suponien-do que la base de los taxis esté en el mismo lu-gar que la base de los autobuses), es importantecomentar que a veces es necesario buscar infor-

Cada alumno deberá resolver las actividades ensu libro, sin embargo, conviene organizarlos enparejas o en equipos de tres alumnos para favo-recer la interacción y la comparación de estrate-gias y los resultados. Además de las confronta-ciones señaladas en el libro, es importante co-mentar las respuestas que den a las últimas pre-guntas de la tercera actividad.

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Ayude a los alumnos a analizar cómo está ela-borada la primera gráfica antes de que empie-cen a trabajar con las gráficas que representenla información de cada una de las tablas. Plan-tee preguntas que lleven a los alumnos a obser-var que los datos registrados en el eje horizon-tal corresponden a la estatura de Juan, la cualestá marcada en centímetros, con intervalos de10 en 10 a partir del 0 hasta el 70, porque éstaes la estatura máxima registrada en la tabla. Los

mación en otras fuentes para poder determinar si las cantidadesvarían proporcionalmente o no.

Si la mayoría de los alumnos tiene dificultades para identificarla proporcionalidad, elija una de las tablas y plantee preguntasque los lleven a observar si cumple con las propiedades de pro-porcionalidad directa.

datos del eje vertical corresponden a la edad deJuan con intervalos de 3 en 3, a partir del 0 has-ta llegar a 12 meses, para incluir la edad máximaregistrada.

Pida que elaboren las gráficas solicitadas. Siadvierte que la mayoría de los alumnos tienedificultades para determinar los intervalos, re-suelva colectivamente una de las gráficas en elpizarrón.

2

Fichas 29 y 44

Las gráficas corresponden a algunas situaciones planteadas enla lecciones 36 y 48. Si los alumnos eligieron alguna de éstas,probablemente habrá diferencias en el tamaño de los intervaloselegidos.

Cuando los alumnos terminen, organice el análisis de las gráfi-cas apoyándose en las últimas preguntas de esta actividad. Lo im-portante es que observen que, en las gráficas de las situacionesdonde las cantidades varían proporcionalmente, al unir con unalínea los puntos marcados, se obtiene una recta inclinada que pa-sa por el origen (punto 0) o que puede pasar por ese punto si larecta se prolonga, y que en el caso de las situaciones que no va-rían proporcionalmente, la recta no pasa por el origen.

3

Bolsas de dulces

Co

sto

de

la b

ols

a

Co

sto

del

paq

uet

een

pes

os

Nú

mer

o d

e ta

zas

de

azú

car

Paquetes de jalea Naranjada

Número de dulcesen una bolsa

50

121110

9876543210

10 15 20 25

Peso en gramosen paquete

Número de naranjas

50

5

4

3

2

1

0

10 15 20 251000

2422201816141210

86420

200 300 400 500


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57

1 2



Introducir a los alumnos en el estudio de las pri-meras ideas sobre el cálculo de porcentajes.

Descuentos y recargos

Propicie que los alumnos comenten las res-puestas de las tres primeras preguntas de estaactividad con el fin de sondear lo que saben so-bre el porcentaje. Después, pregunte si alguientiene una idea o sabe qué hacer para calcular loque se tiene que pagar por alguno de los pro-ductos de la ilustración. Si alguien sabe, pidaque enseñe a sus compañeros el procedimien-to que conoce.

Lea junto con los alumnos el procedimientodescrito en el libro por Pedro y Paco, y revisenen qué se parece el (o los) procedimientos queconocían sus compañeros. Posteriormente pi-da que resuelvan los siguientes problemas has-ta terminar la actividad 2.

Es probable que algunos alumnos resuelvanel problema de la grabadora y del aparato desonido mentalmente o por escrito con razona-mientos similares al siguiente: En $800 hay 8 ve-ces 100 pesos. Por cada $100 descuentan $50, en-tonces 50 + 50 + ... 50 o 50 x 8 = 400; Entonces$800 – $400 que descuentan... Se debe pagar$400 por la grabadora. Otros alumnos tal vez seden cuenta de que el 50% de $100 equivale a lamitad de 100, y en consecuencia, el problemade la grabadora también se puede resolver cal-culando la mitad de 800. Otros alumnos quizálo resuelvan apoyándose en tablas de propor-

cionalidad como la siguiente, con más o conmenos renglones, dependiendo de la maneraen la que calculen los datos de cada renglón.

La primera parte de la actividad 1 conviene traba-jarla de manera colectiva y la segunda individual-mente, al igual que las actividades 2 y 5. Pida queresuelvan en pareja las actividades 3 y 4. Ademásde las confrontaciones señaladas en el libro,orga-nice una confrontación de resultados después deque resuelvan la segunda parte de las activida-des 1 y 2. Comente las respuestas de los alumnosa la primera pregunta de la actividad 3.

Si surgen estos procedimientos, socialícelosen la confrontación. Pregunte a los alumnos quehicieron operaciones qué representan o signifi-can cada uno de los números utilizados en esasoperaciones, y cómo supieron que debían multi-plicar por 8, con el fin de que expliciten su razo-namiento. Plantee otros problemas tales como:¿Cuál es el 50% de 750? ¿Cuánto se debe pagar porel aparato de sonido? Si el descuento del aparatode sonido hubiera sido de 50%, ¿cuánto costaría?¿Si pagué $600 por un radio que tenía 50% de des-cuento, cuánto me ahorré? Si usaron tablas, inví-telos a revisar si los datos anotados cumplencon las propiedades de las situaciones de pro-porcionalidad que ya conocen.

Precio del producto Descuento

100 50

200 100

400 200

800 400

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Propicie que los alumnos comenten sus res-puestas a la primera pregunta de esta activi-dad, para que se den cuenta de que existe unadiversidad de situaciones en las que es muyimportante y necesario calcular el porcentaje.Por ejemplo, pueden recordar que al hacercompras se paga el 15% de IVA, que en los res-taurantes se paga en general el 10% de propi-na. Quizá sepan que las personas que usan tar-jeta de crédito para hacer compras, pagan unacomisión del 6% del total de la compra. Platí-quele a sus alumnos sobre otro tipo de situa-ciones en las que se tiene que pagar un por-centaje. Por ejemplo, los intereses de présta-mos bancarios o los impuestos.

Mientras los alumnos completan las tablas,observe cómo lo hacen y escuche con atenciónsus comentarios. Probablemente pondrán enjuego algunas de las propiedades de las situa-ciones de proporcionalidad directa (duplican-

3

4 5

Fichas 20:1 a 3 y 21:1

do, triplicando los datos de un renglón, calcu-lando mitades y sumando los datos de dos omás renglones) para calcular los valores faltan-tes. Lo importante es que en la confrontaciónexpliquen cómo lo hicieron, y busquen, colecti-vamente, una manera de calcular el 25% de $50.

Es probable que calculen primero el 25% de100 y después saquen mitades para calcular el25% de 50.También pueden apoyarse en las ta-blas que ya completaron, sumando el 20% de50 y el 5% de 50.

En la confrontación es importante que los alumnos expliciten eltipo de relaciones que establecen para afirmar o negar lo queDiana plantea en el libro. Por ejemplo, pueden razonar de la si-guiente manera: 10% es la décima parte de 100, porque por cada100 das 10 pesos. Diez pesos es una décima parte de $100 porque el10 cabe 10 veces en el 100.

Trate de que los alumnos busquen una manera de demostrarque el 20% de una cantidad no es la tercera parte de esa canti-dad. Posiblemente se les ocurra hacer algo como lo siguiente, pa-ra concluir que el 20% de una cantidad es la quinta parte de esacantidad.

0 20 40 60 80 100

Se espera que las actividades anteriores permitan a los alum-nos deducir el porcentaje aplicado en las dos últimas tablas. Porejemplo, en la primera pueden sacar mitades, y en la segundaprobablemente observen que a cada $10 le corresponde $1.00,por lo que se puede inferir que a cada $100 le corresponde $10,es decir, 10%.

5%

$100 $5

$50 $2.50

20%

50 10

100 20

25%

50 12.50

100 25


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58

1



Establecer la relación entre el resultado de unadivisión y las fracciones en contextos de medi-ción de longitudes. Reconocer a la fracción co-mo el número que expresa con mayor exactitudciertas medidas.

La tienda de regalos

Lea junto con sus alumnos el problema y la pri-mera pregunta. Pida que, sin hacer operaciones,digan más o menos cuánto listón se utilizarápara cada moño. Pregunte: ¿Creen que utilizaráun metro, más de un metro o menos de un metro?¿Por qué? Se espera que los alumnos se dencuenta de la relación que existe entre el núme-ro de metros de listón disponible y el númerode moños que se quieren hacer. Es importantepedirles que busquen argumentos para justifi-car su respuesta.

Es probable que algunos alumnos diganque ningún moño va a medir un metro porquesólo se tienen 3 y se quieren hacer 4 moños.Otros quizás opinen que cada moño va a tenermenos de un metro de listón porque si fuerande un metro los moños, Dolores debería tener4 metros de listón. Después de la estimación,pídales que contesten la pregunta que sigue.Observe lo que hacen para saber quién tienerazón. Tal vez algunos alumnos se centren sóloen verificar una de las dos respuestas. Porejemplo, pueden pensar que la respuesta co-rrecta es porque a cada moño le toca decada metro y, como son 3 metros, entonces lestoca ; o que la respuesta correcta es .75, por-que al dividir 3 ÷ 2 resulta (1.5), y al dividir es-te resultado entre 2, obtienen 0.75; otros quizádividan en su calculadora 3 entre 4, y otrosprobablemente se apoyen en el uso de la rec-ta numérica para comprobar si es lo mismoque .75 m. Cuando terminen, pida la respuestade cada equipo y anótelas en el pizarrón. Des-pués pida a dos o tres alumnos que llegaron ala respuesta correcta que expliquen a sus com-pañeros por qué dicen que los dos tienen ra-zón. Agregue preguntas que lleven a los alum-nos a darse cuenta de que .75 m equivale a ,porque de metro es .25 m y + + =

= .75 m.

Organice al grupo en equipos de tres o cuatroalumnos para resolver esta lección. Realice tresconfrontaciones de resultados, una cuando lamayoría de los alumnos termine de resolver la ac-tividad 1,otra cuando terminen de resolver la pri-mera parte de la actividad 2, y la última que yase indica en la página 131.

130

L E C C I Ó N

Las fracciones como cocientes de dos números enteros

58 1. Dolores tiene una tienda de regalos y muchas veces hace moñospara adornarlos.

Dolores tiene un listón de 3 metros y lo quiere usar todo para hacer cuatro moñosiguales. ¿Cuántos metros de listón utilizará para cada moño?Hilda dice que para cada moño se utilizará de metro, mientras que Beto dice quese utilizará 0.75 metros. ¿Quién tiene razón?

2. Dolores tiene varios listones de colores y medidas distintas, con los que harámoños iguales. Observa la siguiente tabla y resuelve la última columna. Verificatus respuestas.

La tienda de regalos

Color Medida del listón Número de moños Medida para cadaen metros iguales moño en metros

Azul 3 5

Rojo 2 3

Verde 5 4

Blanco 7 7

Amarillo 5 6

Lila 4 5

Naranja 4 3

¿De qué color son los moños que van a llevar más de un metro de listón?

¿Cuáles llevarán menos de un metro?

¿Cuáles llevarán exactamente un metro?

3—4

34

14

34

34

34

14

25100

25100

25100

75100

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Es importante que los alumnos adviertanque al dividir con la calculadora o con el algorit-mo el número de metros entre el número demoños, se obtienen decimales que pueden re-presentarse en forma de fracción. Por ejemplo,en el primer renglón las respuestas pueden ser:‹ o de metro, o 0.60 m y en el segundo, ‹o 0.6..., aunque este último es sólo una aproxi-mación al valor de la fracción.

Al terminar de confrontar los resultados, pidaque verifiquen si las medidas de los moñoscoinciden con sus anticipaciones iniciales.

Para realizar la actividad propuesta en la pá-gina 131, es importante dar un tiempo suficien-te a los alumnos para que conozcan y analicenla manera en que seis niños completaron el úl-timo renglón de la tabla. Después, en la con-frontación de resultados es muy importante pe-dir a los alumnos que busquen argumentos pa-ra justificar sus respuestas, sobre todo para in-validar los procedimientos incorrectos.

Es probable que algunos alumnos piensenque David llegó al resultado correcto. Si nadiese da cuenta de lo contrario, puede plantearpreguntas tales como: ¿Si unen los pedazos delistón con los que se hicieron los 3 moños (1.3 m)se formarán los 3 m? ¿Por qué? Recuérdeles queen el problema se especifica que deben utilizartodo el listón.

En cuanto a los procedimientos de Pedro yde Ricardo, pregunte por el significado de losnúmeros utilizados en la división que realizanen cada caso, con el fin de que se den cuenta deque, en éste, están dividiendo el número de mo-ños entre el número de metros. Por lo tanto, sonincorrectos. Pida que verifiquen si 3 listones de0.75 m unidos forman 4 m.

2

Lea junto con los alumnos el primer problema yaclare que en cada caso debe usarse todo el lis-tón, es decir, no debe haber sobrantes. Antes decompletar la tabla, invítelos a estimar el resulta-do de cada renglón apoyándose en las pregun-tas que aparecen debajo de la tabla. Esta esti-mación permitirá poner en juego la relación en-tre el número de metros y el número de moños,y observar si la medida que obtengan de cadamoño es correcta o no.

Para calcular esas medidas, se espera que losalumnos recurran a alguno de los procedimien-tos enunciados en la actividad anterior. Si losalumnos trabajan con centímetros para evitar lasfracciones o los decimales, recuérdeles que el re-sultado se pide en metros.Se espera también quela medida de cada moño la expresen utilizandofracciones o decimales. Propicie que explicitenlos diferentes procedimientos que emplearon.

Aproveche la oportunidad para comentar con los alumnos al-gunos puntos importantes acerca de la división de números na-turales para obtener un cociente decimal. Enséñeles que, una vezpuesto el punto decimal en el cociente, se pueden aumentar ce-ros al residuo para obtener un resultado más preciso. Con ello seestá trabajando la idea de que 4 = 4.0 = 4.00, etcétera, de ahí quedividir 4 ÷ 3 equivale a dividir 4.0 ÷ 3, o 4.00 ÷ 3, etcétera.

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De cada metro seDe cada metro seDe cada metro seDe cada metro seDe cada metro seusausausausausa para cadapara cadapara cadapara cadapara cadamoño. Como sonmoño. Como sonmoño. Como sonmoño. Como sonmoño. Como son4 metros, a cada4 metros, a cada4 metros, a cada4 metros, a cada4 metros, a cadamoño le tocanmoño le tocanmoño le tocanmoño le tocanmoño le tocan

de metro.de metro.de metro.de metro.de metro.

Se divide 3 entre 4Se divide 3 entre 4Se divide 3 entre 4Se divide 3 entre 4Se divide 3 entre 4 0.75 0.75 0.75 0.75 0.754 4 4 4 4 33333 00000 2020202020 0 0 0 0 0

Para cada moñoPara cada moñoPara cada moñoPara cada moñoPara cada moño0.75 metros.0.75 metros.0.75 metros.0.75 metros.0.75 metros.

Se divideSe divideSe divideSe divideSe divide3 entre 43 entre 43 entre 43 entre 43 entre 4y el resultadoy el resultadoy el resultadoy el resultadoy el resultadoesesesesespara cada moño.para cada moño.para cada moño.para cada moño.para cada moño.

Alejandra

Susana

Pedro

David

Miguel Ricardo

Comenta con tus compañeros y tu maestro los diferentesprocedimientos correctos para que los puedas usaren otros problemas.

Algunos niños resolvieron el último renglón de la tabla con los siguientesprocedimientos. ¿Quiénes lo hicieron correctamente?

¿Cuál razonamiento usaste tú para completar la tabla?

1111133333

4444433333

En 4 metrosEn 4 metrosEn 4 metrosEn 4 metrosEn 4 metroshayhayhayhayhay de metro.de metro.de metro.de metro.de metro.

entre 3entre 3entre 3entre 3entre 3moños, le tocanmoños, le tocanmoños, le tocanmoños, le tocanmoños, le tocan

a cada moño.a cada moño.a cada moño.a cada moño.a cada moño.

121212121233333

121212121233333

4444433333

3333344444

Se divide 4 entre 3Se divide 4 entre 3Se divide 4 entre 3Se divide 4 entre 3Se divide 4 entre 31.31.31.31.31.3

3 43 43 43 43 4101010101011111

Para cada moñoPara cada moñoPara cada moñoPara cada moñoPara cada moño1.3 metros.1.3 metros.1.3 metros.1.3 metros.1.3 metros.

Se divideSe divideSe divideSe divideSe divide4 entre 34 entre 34 entre 34 entre 34 entre 3y el resultadoy el resultadoy el resultadoy el resultadoy el resultadoeseseseses .....44444

33333

35

60100

23

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1



Identificar las medidas necesarias para calcularel volumen de prismas. Imaginar las partes queconforman un cubo y el desarrollo plano paraconstruir un decímetro cúbico.

El volumen de los prismas

Antes de empezar a resolver la lección, pídalesque reúnan todos los cubos para que con ellosconstruyan algunos prismas y que calculen suvolumen. La idea es que tengan la oportunidadde observar dos aspectos fundamentales: notodas las unidades cúbicas que forman un pris-ma se pueden ver, pero no es necesario ver to-das las unidades cúbicas que forman un prismapara calcular su volumen. Invítelos a que digancómo se puede calcular el volumen de un pris-ma y a que demuestren si tienen razón.

Hecho lo anterior, pídales que resuelvan laprimera actividad de la lección, pero antesaclare lo siguiente: cada prisma está dibujadodos veces, en un dibujo se señalan las medidasy en el otro se marcan las unidades cúbicas quelo forman, las cuales representan centímetroscúbicos.

Note que la información que se proporcionapara calcular los volúmenes es cada vez menor.En el prisma naranja se dan las tres medidas connúmero y también aparecen marcadas las uni-dades cúbicas; en el prisma azul ya no aparecen

las medidas con número, pero sí están marca-das y se puede ver, por ejemplo, que la alturamide cuatro unidades. En el prisma verde tam-poco están las medidas con número y no todasestán marcadas; la altura y el ancho se aprecianmuy bien pero hay que inferir que el largo mide7 unidades. En el prisma morado sólo hay unamedida señalada con número y levemente sepuede apreciar que la otra arista también mide7 unidades, por lo que se puede inferir que setrata de un cubo.

Dedique el tiempo necesario para ver si losresultados coinciden y si no, procure que se ha-gan todas las aclaraciones necesarias. Si algu-nos alumnos simplemente dicen que para cal-cular el volumen multiplicaron largo por anchopor altura, cuestiónelos para que reflexionensobre el significado de lo que resulta en cadamultiplicación. Por ejemplo, al multiplicar 6 por11, se sabe cuántos centímetros cúbicos hay enla primera capa, y si el resultado se multiplicapor 4, se obtiene el total de las cuatro capas queforman el prisma.

Con la finalidad de apoyar el estudio de estalección se sugiere que con anticipación encar-gue a cada alumno construir, con cartoncillo, 10cubos de 3 cm de arista. Organice a los alumnosen equipos para que resuelvan la lección, aun-que la última actividad deben realizarla indivi-dualmente.Dedique un momento para confron-tar los resultados de la primera actividad y otropara la segunda. Para realizar la tercera actividadcada alumno necesitará medio pliego de car-toncillo, regla, escuadras, tijeras y pegamento.

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Tan importante es que los alumnos aprendan un procedi-miento eficiente para calcular el volumen de los prismas comoque ese procedimiento esté firmemente sustentado en su propiareflexión. Sólo así podrán generalizar el procedimiento a otrosprismas sin necesidad de memorizar fórmulas.

Pida a los alumnos que resuelvan esta activi-dad y observe los resultados que encuentran;seguramente notará usted que hay diferenciasporque el problema no es trivial. Cuando la ma-yoría termine, haga una tabla en el pizarrón pa-ra anotar los resultados de los equipos y ense-guida invítelos a verificarlos construyendo elcuerpo que aparece dibujado. Pídales que anti-cipen cuántos cubos unidad van a necesitar entotal. Dé el tiempo necesario para que pienseny se pongan de acuerdo y anote las respuestasen el pizarrón.

2

3

Para construir el cuerpo pida a un equipo que construya lastres barras y a los demás equipos que construyan losetas (sieteen total). Pueden unir los cubos unidad con algún pegamento.Una vez que tengan el material necesario armen el cuerpo y asítendrán la oportunidad de ver cuántas losetas, barras o unidadescúbicas hay debajo de la loseta que se ve en la cara superior, a lavez que confirmarán o desecharán los resultados que encontra-ron previamente.

133

¿Qué crees que hay debajo de la loseta que se ve en la cara superior del cubo?

Si ese espacio está ocupado sólo con losetas, ¿cuántas son?Y si debajo de esa loseta el espacio está ocupado con barras, ¿cuántas son?Y si el espacio está ocupado por cm3, ¿cuántos son?

2. Con centímetros cúbicos se construyen barras y losetas, como se muestra en eldibujo. Con este material se construye un cubo grande.

cm3

barra loseta

1 dm

1 dm

1 dm

3. Tú ya sabes que 10 cm es un decímetro.El volumen de un cubo en el que su lado mide undm es de un decímetro cúbico y se abrevia dm3.

• Con cartoncillo construye una caja en formade cubo sin tapa que tenga 1 dm3 de volumeny guárdala porque la vas a usar en la lección69 cuando trabajes con los litros.

¿Cuántos centímetros cúbicos caben en1 decímetro cúbico?

Para realizar esta actividad los alumnos ya hanvisto muchas veces el desarrollo plano de uncubo, no obstante, dedique un momento paraque algunos hagan propuestas y las dibujen enel pizarrón con el fin de que entre todos comen-ten por qué se puede formar un cubo o no. Depaso, pregúnteles en qué partes se deberán di-bujar las "pestañas" para que las caras se pue-dan unir. Si no lo saben, ayúdelos a ver que secolocan alternadas alrededor de la plantilla.

Trate de que la última pregunta no se contes-te simplemente como una regla que se aprendede memoria, sino que mentalmente o con dibu-jos representen los centímetros cúbicos quehay en una arista, en una capa y en las 10 capasque forman el decímetro cúbico, suponiendoque se forma con centímetros cúbicos.

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60


Es importante tomar en cuenta que, si bienen este juego tiene más probabilidades de ga-nar Julián porque más de la mitad de los dadosson de un color diferente al amarillo, dado elcarácter aleatorio del juego, cabe la posibilidadde que en una muestra tan pequeña de even-tos pueda ganar Marcela. Para terminar esta ac-tividad pregunte a los alumnos: ¿Qué cambiosle harían al juego para que Julián y Marcela ten-gan las mismas posibilidades de ganar? Pida algrupo que analicen las propuestas para ver sicon esas modificaciones ambos jugadores tie-nen las mismas probabilidades de ganar. Talvez alguna de esas propuestas coincida con laque se propone en el punto 2.

Analizar los casos posibles de un evento que per-mitan predecir el resultado. Elaborar diagramasde árbol para verificar las predicciones y cuantifi-car las posibilidades reales de que se dé un even-to determinado en una situación azarosa.

Los cubos de colores

Con anticipación tenga en el salón una bolsa depapel y pida a cada pareja de alumnos que llevena la escuela tres dados o canicas (una azul, unaverde y una roja). Pida que en parejas respondana las preguntas que se plantean a lo largo de lalección. Además de la confrontación de respues-tas sugerida en el libro, es conveniente organizarotra cuando terminen de resolver la actividad 2.

Para responder a las preguntas que se plantean enesta actividad, los alumnos necesitarán establecerrelaciones entre dos cantidades, el número de cu-bos con el que cada jugador gana y el total de cu-bos con los que se cuenta. Cuando terminen decontestar las preguntas, pida a una pareja dealumnos que lea la primera pregunta y su res-puesta, y pregunte al grupo si están de acuerdocon sus compañeros. Si no hay acuerdo, favorezcala discusión para aclarar todo lo que sea necesario.

Es probable que los alumnos piensen que enla primera actividad Marcela tiene más probabi-lidades de ganar porque hay más dados amari-llos que de otro color. Otros tal vez pensaránque Julián es el que va a ganar porque hay másdados que no son amarillos. Si esto sucede, or-ganice al grupo en dos equipos: en uno estaránlos que piensan que ganará Marcela y en otrolos que piensen que ganará Julián. Coloque enuna bolsa tantos dados de cada color como losque hay en la primera ilustración. Indique quevan a realizar 15 veces el juego para ver si escierto que siempre ganará Marcela o Julián. Di-buje en el pizarrón una tabla como la siguientepara registrar las veces que gana cada jugador.

Después de las 15 tiradas pregunte por la fre-cuencia obtenida por Marcela y por la de Julián,y trate de que busquen argumentos que expli-quen los resultados del juego.

1


Combinaciones Marcas Frecuencias

Verde-Verde

Verde-azul

Verde rojo

Azul-verde

Azul-azul

Azul-rojo

Rojo-verde

Rojo-azul

Rojo-rojo

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Si en la confrontación anterior los alumnos en-contraron la manera de que el juego sea másequitativo, probablemente estarán de acuerdocon los cambios que se sugieren en esta activi-dad y puedan concluir que bajo estas condicio-nes Julián y Marcela tienen 5 de 10 posibilida-des de ganar. Organice nuevamente el juegocolectivo, repitiéndolo 15 veces para probar es-ta hipótesis.

Después de que los alumnos lean la informa-ción y discutan colectivamente las respuestasde las dos primeras preguntas, conviene invitar-los a realizar este juego en parejas, repitiéndolo10 veces. Pida que registren en cada juego dequé color eran los cubos o las canicas con lasque ganaron o perdieron.

Es probable que al principio los alumnoscrean que sólo hay tres posibilidades para ga-nar porque sólo hay tres cubos de un color di-ferente cada uno. Se espera que cuando termi-nen de jugar los alumnos tengan una idea másclara sobre por qué Jacinto tiene menos proba-bilidades de ganar. Cuando terminen, organiceuna ronda de comentarios sobre lo que suce-dió y trate de que busquen una justificaciónpara los resultados que obtuvieron. Despuéspida que resuelvan el problema planteado enla segunda bala de esta actividad para verificarsus hipótesis.

Pregunte si recuerdan otra manera de orga-nizar la información para saber cuántas combi-naciones se pueden hacer con tres cubos o ca-nicas de colores. Tal vez recuerden que ademásdel diagrama de árbol pueden utilizar un cua-dro de doble entrada para ver todas las combi-naciones posibles (veáse la lección 25). Pida quelo elaboren y revisen si con el cuadro obtuvie-ron las mismas combinaciones que con el dia-grama de árbol.

Si hay tiempo e interés por parte de los alum-nos, convendría volver a jugar ahora que ya co-nocen todas las combinaciones posibles, y regis-trar los resultados del juego en una tabla comola siguiente.

2

135

3. Ángela y Jacinto tienen tres cubos iguales, uno verde, uno azul y uno rojo. Losponen en una bolsa de papel, escogen uno sin ver, anotan el color que les salió ylo regresan a la bolsa. Después escogen otro cubo sin ver. Jacinto gana si salen doscubos del mismo color y Ángela gana si salen dos cubos diferentes.¿Se podría saber quién tiene más oportunidades de ganar?¿Por qué?

• Discútelo con tus compañeros.

• Colorea el diagrama de árbol con todas las posibilidades que pueden aparecer.

¿Cuántos arreglos diferentes hay?¿Con cuántos gana Jacinto?¿Con cuántos gana Ángela?¿Quién tiene más oportunidades de ganar?

¿Con qué opción jugarías tú?¿Por qué?

Comenta tus respuestas con tuscompañeros y tu maestro.

3

Mientras más grande sea el número de veces que se realice eljuego, se acercará más a la predicción de la probabilidad.

Marcela Julián

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61

Estudiar el algoritmo de la multiplicación de unnúmero decimal por un entero, mediante la re-solución de problemas de medición.

Medidas convenientes

Para resolver estas actividades, pida que cadamiembro del equipo seleccione una de las ta-blas indicadas y que dibuje, en su cuaderno decuadrícula, la tabla que eligió y las cubiertas de las mesas y de las bancas. Indique la escalaque deberán utilizar para hacer los dibujos:1 cm = 1 dm o bien, un cuadrito de cuadrícula= a 1 dm. Destaque que una de las condicionesdel problema es desperdiciar la madera lo me-nos posible y aclare que las cubiertas debenser de una sola pieza.

Fíjese si logran convertir las medidas a decí-metros. Si la mayoría del grupo tiene dificulta-des, suspenda la actividad y plantee al grupopreguntas sobre el significado de cada dígitocon los que expresan las medidas. Por ejemplo,en 2.455 m,el 2 significa dos metros y .455 = ‹de metro, o bien, + + de metro. Pre-gunte:¿Cuántos decímetros tiene un metro? ¿Cuán-tos decímetros se pueden formar con 2.455 m?

Es probable que se les ocurra recortar los rec-tángulos que representen a las cubiertas paraensayar diferentes maneras de acomodarlas so-bre la "tabla" dibujada, buscando la manera de

Es conveniente que los alumnos resuelvan pri-mero la actividad 3 organizados en equipos decuatro alumnos. Cuando terminen, dedique unmomento para confrontar los resultados y pro-cedimientos. La actividad 4 conviene resolverlacolectivamente. Por último, pida que, organiza-dos en equipos de tres, resuelvan las activida-des 1 y 2. Permita que usen la calculadora en es-tas actividades y aproveche los espacios señala-dos en el libro para comparar y comentar los re-sultados.

1 2


desperdiciar la tabla lo menos posible o que di-bujen directamente las "cubiertas" sobre las "ta-blas". Estos procedimientos permitirán a losalumnos averiguar cuántas cubiertas de cada ti-po caben en cada tabla y comparar cuánto sedesperdicia. Cuando terminen, pida que res-pondan las preguntas. En la confrontación plan-tee lo siguiente: si no podemos hacer dibujos, ¿dequé otra manera podemos calcular cuántas cu-biertas de mesa o de banca se pueden hacer concada tabla?

Posiblemente se les ocurra calcular el área delas tablas y de las cubiertas con la calculadorapara averiguar, con diversas operaciones, cuán-tas veces cabe la superficie de cada una de lascubiertas en la tabla elegida. Si surge este pro-cedimiento retómelo en la confrontación paraque los alumnos analicen el lugar donde apare-ce el punto decimal en el resultado de las mul-tiplicaciones utilizadas para calcular áreas. Pidaque identifiquen cuál o cuáles de los procedi-mientos utilizados cumplen con las dos condi-ciones: "desperdiciar lo menos posible" y "lascubiertas son de una sola pieza".


4551 000

410

5100

51 000

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Es importante que los alumnos se den cuenta de que el resul-tado de las operaciones no siempre permite resolver correcta-mente un problema. Por ejemplo, en la tabla de 1.35 × 2.75 mcabrán 9 o 10 cubiertas, dependiendo de la manera en que sedistribuyan. Si se divide el área de la tabla entre el área de las cu-biertas, el cociente de la división indica que caben hasta 12 cubier-tas de bancas. Esto es falso en la práctica, si se considera que lascubiertas deben ser de una pieza.

3

Restrinja el uso de la calculadora y de la reglagraduada para resolver esta actividad. Debenutilizarlas sólo para verificar resultados. Al resol-ver el problema planteado en la primera bala,tome en cuenta que pueden surgir algunoserrores en la localización de los números. Porejemplo, los alumnos pueden pensar que elpunto naranja está ubicado en 12.7 cm o en12.8 cm. Observe cómo calculan la distancia so-licitada. Es probable que algunos alumnoscuenten los centímetros y los milímetros quehay de un punto a otro o tal vez busquen la di-ferencia con una resta. Si surge este último pro-cedimiento, destáquelo y cuestione a los alum-nos sobre el significado de los números utiliza-dos en la resta.

Observe lo que hacen para trazar las líneassolicitadas y para saber cuánto miden. Proba-blemente usen un intermediario para reprodu-cir la distancia entre dos puntos y la iterencuantas veces sea necesario. Para averiguarcuánto mide cada línea, tal vez sumen 3 y 4 ve-ces cada distancia. Otros alumnos en vez de su-mar, quizá multipliquen cada distancia por 3 opor 4. Confronte los procedimientos y, si surgeel de la multiplicación, comparen los resultadosque se obtuvieron en cada caso y comenten enqué lugar creen que debe ponerse el puntocuando se multiplica. Pida que verifiquen sus

hipótesis con la calculadora. Propicie que losalumnos externen sus opiniones sobre las ven-tajas de usar la multiplicación en lugar de la su-ma para resolver estos problemas.

4

2.75 m 2.75 m

1.35 m1.35 m

Antes de que los alumnos resuelvan cada unade las multiplicaciones, invítelos a anticipar enqué lugar, del resultado de la multiplicación,creen que va a quedar el punto, y pregúntelespor qué creen que quedará en ese lugar. Des-pués pida que verifiquen sus hipótesis con lacalculadora.Posteriormente solicite que resuel-van la multiplicación con lápiz y papel. Conti-núe de la misma manera con las siguientesmultiplicaciones.

Es probable que los alumnos considerenque en la primera multiplicación el punto de-be quedar colocado dos lugares a la izquierdaporque al sumar 25 veces 17.10, el punto de-be quedar alineado hasta llegar al resultado.Con esta misma idea es probable que antici-pen que al multiplicar 32.1 por 72, el puntoquedará un lugar antes del último dígito delresultado. Haga notar que, en ambos casos, elpunto quedó justamente en el mismo lugarque en las cantidades que se multiplicaron.

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62

1



Utilizar los ejes de simetría y las diagonales co-mo herramienta para identificar el centro de di-versos polígonos y círculos. Desarrollar la habili-dad para trazar triángulos inscritos en círculos yreproducir configuraciones.

El círculo y sus encantos

Una vez que los alumnos señalen el centro decada polígono, invítelos a comprobar su res-puesta trazando la circunferencia. Si el centroestá bien ubicado, la circunferencia pasará portodos los vértices de los polígonos regulares. Alcontestar la segunda pregunta, es probable quealgunos alumnos identifiquen las figuras por sucolor (azul, guinda, amarillo y anaranjada), otrospor su nombre (hexágono, triángulo, cuadradoy pentágono) y otros simplemente anoten polí-gonos regulares. En la confrontación pida queverifiquen si con esas respuestas se refieren alas mismas figuras.

Aproveche las respuestas a la última pregun-ta para que los alumnos comenten por qué seles llama polígonos regulares a algunas figurasy a otras, irregulares. Es importante que recuer-den que los polígonos regulares son los que tie-nen todos sus lados y sus ángulos iguales.

En la confrontación pregunte: ¿Por qué creenque al trazar las circunferencias tomando comocentro el punto en el que se cruzan las diagonaleso los ejes de simetría, sólo dos vértices del rombo(figura verde oscuro) y uno o dos vértices del pa-palote (figura verde claro) tocan a esas circunfe-rencias? Frente a esta pregunta es probableque se den cuenta de que, en estos casos, la

distancia entre los vértices y el punto en el quese cruzan las diagonales y/o los ejes de simetríano es la misma, por lo tanto, las circunferenciasno pueden pasar por todos sus vértices. En elcaso de los otros polígonos sí existe la mismadistancia entre sus vértices, y el punto en elque se cruzan las diagonales y/o los ejes de si-metría, por lo tanto, la circunferencia sí puedepasar por todos sus vértices. Si los alumnos nose dan cuenta de lo anterior, pida que midanestas distancias y ayúdelos a concluir que parapoder inscribir una figura dentro de un círculolos vértices deben ser equidistantes al centrodel círculo.

Para que los alumnos no se queden con laidea de que sólo los polígonos regulares pue-den inscribirse en una circunferencia, pida quetracen un rectángulo, que localicen su centro ytracen una circunferencia que pase por sus cua-tro vértices. Pregunte: ¿Por qué creen que en elrectángulo la circunferencia sí pasa por todos susvértices, si éste es un polígono irregular?

Procure que cada alumno disponga de una ta-padera redonda de cualquier frasco, escuadras,regla y compás para resolver esta lección. Si bienlos alumnos deberán resolver de manera indivi-dual estas actividades, conviene organizarlos enequipos para que comenten entre ellos estrate-gias que permitan resolver los problemas ycomparar sus resultados. Cuando terminen deresolver la actividad 1, dedique un momento pa-ra comentar las respuestas y los resultados obte-nidos por los alumnos así como para confrontarlos procedimientos. En las siguientes activida-des, los alumnos por sí mismos se darán cuentasi lograron o no resolver los problemas, pero esimportante confrontar sus procedimientos,identificar los errores y comentarlos.

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Para encontrar el centro del círculo que recorta-ron, probablemente los alumnos recurran a do-blar el círculo por mitades sucesivas para mar-car el punto donde se cortan los ejes de sime-tría o diámetros de ese círculo.

Observe si la mayoría de los alumnos puedeseguir las instrucciones para encontrar el centrode círculos que no se pueden doblar. Si nota quesólo algunos tienen dificultades, trabaje conellos directamente y ayúdeles a trazar las per-pendiculares utilizando las escuadras. Si la ma-yoría tiene dificultades, suspenda la actividad yrealícela colectivamente para que, con su apoyo,lo logren. Uno de los alumnos pasará al pizarróny ejecutará las instrucciones que lea otro de suscompañeros. Los demás harán los trazos en sucuaderno. Cuando terminen, pida que con la ta-pa tracen varios círculos y verifiquen si al trazarlas dos primeras rectas en diferentes lugares yen diferentes posiciones pueden encontrar elcentro de los círculos. Comente que a estas lí-neas se les llama cuerdas, y llámelas de esta ma-nera de aquí en adelante, para que los alumnosse familiaricen con el término. Pregunte: ¿Cuál esla cuerda más larga que se puede trazar en el cír-culo? ¿Qué otro nombre recibe esa cuerda?

En la segunda instrucción es probable quelos alumnos midan la longitud de cada seg-mento para ubicar el punto medio. Si bien elprocedimiento es correcto, es probable que porimprecisiones propias de la medición, el punto

2

localizado no sea el centro del círculo. Un proce-dimiento más preciso es el estudiado en la lec-ción 38 para trazar rombos.

La manera de trazar un triángulo equilátero conregla y compás se estudió en la lección 43. Sinota que los alumnos tienen dificultades parahacerlo, pida que revisen esa lección. En la con-frontación, centre la atención en las preguntasque se plantean en cada actividad. Es probableque algunos alumnos piensen que la medidadel lado del triángulo es igual a la del diámetro,porque para trazar uno de los lados del triángu-lo se marca dos veces, en la circunferencia, lamedida del radio. Es importante que los alum-nos se den cuenta o verifiquen que la distanciamás corta entre dos puntos de la circunferenciaes la línea recta o la cuerda que los une. Pueden,por ejemplo, medir con un cordel la longitud dela curva limitada por los dos puntos sobre losque se trazó el lado del triángulo y medir la mis-ma distancia en línea recta.

Una vez que los alumnos determinen cuálesde las afirmaciones planteadas en la actividad 4son falsas o verdaderas, pida que busquen ar-gumentos que las justifiquen o las invaliden.

3 4

El problema que enfrentarán los alumnos al resolver esta activi-dad consiste en averiguar en qué punto de la circunferencia de-berán apoyar el compás para reproducir el modelo. Es importan-te que los alumnos ensayen varios procedimientos, que se equi-voquen y vuelvan a probar, para que después puedan explicitaro dar las instrucciones necesarias para reproducirla.

5

Cuerdas

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63

1



Interpretar y comparar la información conteni-da en una tabla. Calcular promedios y media-nas. Elaborar gráficas de barras que representendicha información y reflexionar sobre la confia-bilidad de las tendencias de tablas y gráficas.

Las vacunas en el mundo

Lea junto con sus alumnos el título de la lec-ción, los dos primeros párrafos y coménteloscon ellos recordando el concepto de porcenta-je que trabajaron en la lección 57. Pida que ob-serven la información que se presenta en losencabezados de la tabla, en cada columna y en

cada renglón. Dedique un momento para quelos alumnos comenten si han sufrido alguna delas enfermedades que se mencionan o si estánvacunados contra ellas. Señale la importanciade vacunarse y pida que en su casa verifiquen siestán o no protegidos contra estas enfermeda-des. Ayúdelos a observar que con la informa-ción de la tabla podemos saber algunas cosas yotras no. Por ejemplo: ¿Podríamos saber el por-centaje de niños que no fueron vacunados en Ni-geria? ¿Cuántas vacunas se necesitan para vacu-nar a todos los niños de Nigeria?

Posteriormente pida que en equipo resuel-van los problemas que se plantean en las si-guientes tres balas de esta actividad y que usenla calculadora cuando sea necesario. Mientrastrabajan, escuche con atención los comentariosde los alumnos y observe cómo calculan lospromedios solicitados. Si nota que algunosequipos no recuerdan cómo hacerlo, pídalesque revisen la lección 41. Para realizar la con-frontación señalada en el libro, uno de los equi-pos puede dar la respuesta a cada pregunta y, silos demás no están de acuerdo, pida que ofrez-can argumentos para defender sus puntos devista. Si es necesario, ayúdelos a concluir quéequipo tiene la razón.

Antes de resolver la lección, pida que de tarealocalicen, en un mapamundi, los países queaparecen en la tabla. Prevea que al menos cadapareja de alumnos cuente con una calculadoray que cada alumno lleve pinturas, regla o escua-dras y el mapamundi. Inicie la resolución de lalección de manera colectiva y posteriormentepida que resuelvan las actividades organizadosen equipos de cuatro alumnos. Confronte lasrespuestas de las preguntas cuando terminende resolver la lección y promueva que expon-gan sus puntos de vista.

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L E C C I Ó N

Porcentaje de niños de un año o menos que han sido vacunados (1998)

País Tuberculosis Difteria, tétanos, tosferina (DPT) Polio SarampiónArgentina 99 83 88 99

Bolivia 85 42 33 51

Brasil 99 94 96 96

China 96 98 98 97

Costa de Marfil 84 61 61 66

Etiopía 74 58 57 46

Francia 83 96 97 97

Guatemala 88 89 91 81

Haití 28 22 20 22

India 79 73 73 66

Japón 91 100 98 94

México 93 94 95 89

Nigeria 27 21 22 26

Turquía 73 79 79 76

Venezuela 80 38 64 94

PromedioFuente: UNICEF (Fondo de las Naciones Unidas para la Infancia)

Tendencias en tablas y gráficas: frecuencias, promedios y medianas

63Las vacunas en el mundo

1. La tabla de abajo muestra los datosde niños vacunados en algunospaíses del mundo.

Estos datos se expresan en porcentajes (%),es decir, que el número que aparece en cadaespacio de la tabla indica cuántos niños, decada 100, han sido vacunados. Por ejemplo,el renglón correspondiente a México muestraque 93 de cada 100 niños, de un año o menos,han sido vacunados contra la tuberculosis y que89 de cada 100 niños han sido vacunados contrael sarampión.

• Compara en la tabla los renglones de México y de Etiopía, ¿en qué país estánmejor protegidos los niños contra estas enfermedades?

¿Qué significa que en Japón 100% de los niños haya recibido la vacuna DPT?

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143

Con las tres últimas preguntas de esta activi-dad los alumnos analizarán si la manera en quese interpreta la información es confiable o no.Por ejemplo, al responder a la penúltima pre-gunta de esta actividad, es probable que losalumnos digan que el índice de vacunacióncontra la tuberculosis en Turquía es muy bajoporque al ordenar de mayor a menor los por-centajes,Turquía ocupa el 13° lugar. Si esto ocu-rre, pida que saquen la diferencia entre el por-centaje de Turquía y el de Brasil, y la diferenciaentre el porcentaje de Turquía y Haití. Despuéspida que comparen las diferencias para que seden cuenta de que el porcentaje de Turquía noes tan bajo, ya que está más cerca de los paísesque tienen una mejor protección que de lospaíses que no están bien protegidos.

También puede ser engañoso el porcentajepromedio, por ejemplo, si se considera que elpromedio es una medida representativa delporcentaje real de cada país. Puede observarseque esto es falso en este caso, puesto que elpromedio se encuentra muy alejado de los por-centajes reales de algunos países, por ejemplo,el de Nigeria o Brasil.

2 3

Si hay diferencias en los promedios calcula-dos por los alumnos, es probable que se debana algún error al teclear las cantidades en la cal-culadora o a la manera en la que los redondea-ron. Si en la primera columna obtuvieron 78.6,es probable que anoten 78%, 78.6% o 79%. Siesto sucede, es importante pedir a los alumnosque reflexionen sobre el significado de ese re-sultado. En este caso, 78.6 indica el porcentajepromedio de los niños a los que se les aplicó lavacuna contra la tuberculosis en los países queaparecen en la tabla.

Un análisis más profundo del porcentaje pro-medio muestra que .6% es más importantecuando se trata de grandes cantidades. Porejemplo, si en México hubiera 20 000 000 de ni-ños de un año o menos, entonces 20 000 000 =100%. Si 78.6% de los niños fueron vacunados,calculemos por separado cuántos niños formanel 78% de 20 000 000 y cuántos forman el .6%.

En 20 000 000 hay 200 000 centenas. Enton-ces 200 000 × 78 = 15 600 000 niños; .6 = de1%, y 1% de 20 000 000 = 200 000. Por lo tanto,‹ del 1% = 20 000. Como .6 = de 1%, en-tonces .6% = 20 000 × 6 = 120 000 niños. Porlo tanto:

Agilice el desarrollo de estas actividades, pidiendo que, antes deelaborar las gráficas, identifiquen la mediana de los datos de ca-da columna de la tabla. Si no recuerdan cómo hacerlo, sugieraque revisen la lección 41. Cuando terminen, pida a cada miem-bro de los equipos que elaboren simultáneamente una de lasgráficas solicitadas y que las analicen en equipo contestando laspreguntas que se plantean. Se espera que logren determinarcon facilidad el tamaño de los intervalos del eje en donde ubica-rán los porcentajes.

4

Colorear el mapa como se indica permite resolver con más facili-dad esta actividad. En la confrontación pregunte: ¿Para qué servi-rá analizar información como ésta?

610

110

610

78.6% = 15 720 000

78% = 15 600 000+ .6% = 120 000

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64

Esta actividad puede resolverse de diferentes maneras, toman-do en cuenta la información que ya conocen (por cada 5 litrosde pintura verde se agregan 3 litros de pintura blanca). Porejemplo, pueden pensar: 20 es 4 veces 5, entonces se requieren 4veces 3 litros de pintura blanca, es decir, 12 litros. Pueden tambiénelaborar una tabla y apoyarse en las propiedades de las situacio-nes de proporcionalidad directa que ya conocen. Por ejemplo, alduplicar o triplicar los datos de un renglón, se obtienen los da-tos de otro renglón.

Resolver problemas mediante el uso de fraccio-nes con el significado de razón.

La tienda de pinturas

Ante la tercera pregunta de esta actividad, esprobable que los alumnos den respuestas co-mo las siguientes: 3 litros, 3 litros de 8, 3 por cada8 litros o . Al contestar la quinta pregunta, talvez algunos simplemente sumen 3 litros + 5 li-tros y otros sumen ( + ). Observe cómo ex-presan el resultado de esta suma, ya que pue-den anotar "8 litros de pintura", " ", " " o "1".

En la confrontación retome las respuestas ala tercera y cuarta preguntas. Pregunte por elsignificado de los números involucrados en lafracción y ayúdeles a darse cuenta de que 3 li-tros de 8; 3 por cada 8 litros o , expresan lo mis-mo pero de diferente manera. Por ejemplo, eldenominador de la fracción en este caso sig-nifica que "el todo" (la mezcla) contiene 8 litros,y el numerador significa que 3 de los 8 litros sonpintura blanca.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos para resolver las tres primeras actividades.La última pregunta de la primera actividad y losproblemas planteados en la actividad 4 convie-ne que los trabajen individualmente. Organicetres confrontaciones adicionales a las señaladasen el libro. Una, después de que respondan laúltima pregunta de la actividad 1, otra cuandoterminen de resolver la actividad 3, una máscuando terminen de resolver la actividad 4.

En cuanto a las respuestas dadas a la quintay sexta preguntas, tal vez algunos alumnos con-sideren que el resultado de sumar + es ,porque suman por separado los numeradores ylos denominadores de las fracciones. Pida a losalumnos que no estén de acuerdo con este re-sultado que busquen argumentos para invali-darlo. Por ejemplo, es más que un medio, porlo tanto + no puede ser igual a . Otrosalumnos quizá consideren que la respuesta "1"es incorrecta porque en total se usaron 8 litros yno uno, y es posible que otros piensen que escorrecta porque al mezclar los 8 litros de pintu-ra se obtuvo una sola mezcla de pintura de otrocolor. Usted puede aclarar que la suma incluyela fracción de pintura blanca más la fracciónde pintura verde, y que eso da como resultadola unidad.

1


2


38

38

58

816

88

38

38

38

58

816

58

58

38

12

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145


Al contestar la segunda pregunta de esta ac-tividad, los alumnos probablemente encuen-tren que la mezcla tiene un total de 32 litros. Siconsideran los 32 litros como la unidad (el to-do), sabrán que la mezcla tiene de pinturablanca y de pintura verde. Si dan respuestasdiferentes, pida que busquen argumentos parainvalidar las que consideren incorrectas. Si nousaron tablas de proporcionalidad para resol-ver este problema, dibuje una en el pizarrón,anote los datos conocidos y pregunte si esa ta-bla les puede servir para resolverlo.

-.s-esaos

Confronte las respuestas que den a la últimapregunta y anímelos para que busquen unamanera de comprobar si lo que dice Raúl escierto o falso. Si algunos alumnos afirman que

= , pídales que expliquen cómo hicieronpara saberlo. Probablemente estos alumnos re-currieron al dibujo o al uso de la recta numéricao quizá simplemente duplicaron, cuadruplica-ron o dividieron entre 2, 3 o 4, ambos términosde la fracción, como lo hicieron en la lección 52para resolver problemas de escala que implicana la proporcionalidad. Por ejemplo: Un litro es laquinta parte de 5. Entonces se necesita la quintaparte de 3 litros de pintura blanca. Para averiguarcuál es la quinta parte de 3, tal vez dividan 3 ÷ 5o representen 3 litros en una recta o con dibu-jos y los dividan en cinco partes iguales, en-contrando que la quinta parte de 3 es o 0.6.Pida que representen .6 con fracciones y queaverigüen si = .

Para responder a la primera pregunta tal vez traten de encontrarel resultado exacto, aunque sólo se pide una estimación. Pueden,por ejemplo, dividir 5 ÷ 3 = 1.66 o 3 ÷ 5 = 0.6. Si realizan estas di-visiones, pregunte a los alumnos qué es lo que esperaban encon-trar al realizarlas y cuál es el significado del cociente de cada di-visión. Probablemente no tengan claro que el cociente de la divi-sión 5 ÷ 3 indica cuántos litros de pintura verde se necesitan pa-ra un litro de pintura blanca y que el cociente de la división 3 ÷ 5indica cuántos litros de pintura blanca deben mezclarse por ca-da litro de pintura verde.

Otros alumnos tal vez se aproximen al resultado de la siguien-te manera: Si por cada 3 litros de pintura blanca se necesitan 5 litrosde pintura verde, para un litro de pintura blanca (la tercera parte detres), se necesitará la tercera parte de 5 litros de pintura verde, estoes, 5 ÷ 3 o bien .

Promueva que los alumnos argumenten acerca de las relacionesque establecieron entre las fracciones y sus significados. Porejemplo, la fracción son los litros de pintura verde que se nece-sitan por cada litro de pintura blanca.

3

4

1232

2032

35

35

610

53

53

Litros de pintura Litros de pintura blanca verde

3 5

6 10

12 2038

1232

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146

65

1



Reflexionar sobre la idea de volumen como lacantidad de unidades necesarias para cubrir unhueco, en función de la distribución de las mis-mas.

La pared sin ventana (I)

Pida a los alumnos que lean los tres primerospárrafos de la lección y después invítelos a quecomenten lo que han leído. Se trata de dejar enclaro el problema general de la actividad 1, queconsiste en calcular algunas medidas de un tra-mo de pared en la que había una ventana y sequiere cubrir con ladrillos. Dependiendo de lamanera en que se coloquen los ladrillos se ob-tienen diferentes resultados, tanto en la canti-dad de ladrillos que se usan, como en el grosordel tramo de pared y de su volumen.

Entre los problemas que se plantean en estaactividad se pide que los alumnos dibujen lasdistintas maneras de acomodar los ladrillos pa-ra determinar cuántos se necesitan en cada ca-so; esto les puede resultar complicado si sólo seapoyan en la imaginación. Una manera de ayu-darlos consiste en proporcionarles varias cajasiguales que tengan la forma de un ladrillo, conel fin de que puedan representar los diferentesacomodos que se pueden hacer. Con este apo-yo visual les será más fácil dibujar los arreglosen su cuaderno.

Organice a los alumnos en equipos para que re-suelvan las dos actividades de esta lección. Esconveniente hacer una confrontación de resul-tados al término de la primera actividad y unamás cuando concluyan la segunda.

Es probable que algunos alumnos requieranusar la calculadora para efectuar operaciones,por lo que es necesario que esté disponible. Sinembargo, no deje de insistir en la convenienciade usar el cálculo mental, tanto para hacer ope-raciones con números pequeños, como para es-timar el tamaño de los resultados cuando seusan números grandes.

También es conveniente que antes de resol-ver esta lección consiga la mayor cantidad posi-ble de cajas iguales cuya forma sea parecida a lade un ladrillo (prisma rectangular).

144

L E C C I Ó N

Cálculo de volumen

65 1. Juan está remozando su casa. Al quitar una ventana rectangularquedó un hueco en la pared de 60 cm de alto por 1.20 m de largo.

Norma y Andrés, hijos de Juan, quierencolocar en el hueco una pecera. Pero Juandice que va a tapar el hueco con los ladrillosque tiene en el patio. Éstos son como elque se muestra en el dibujo.

Andrés y Norma empiezan a imaginarsedistintas maneras de colocar los ladrillospara tapar el hueco. Hicieron el siguientedibujo para ayudarse.

La pared sin ventana (I)

Si para llenar el hueco se colocan los ladrillos como lo hicieron Norma y Andrés,¿cuál sería el grueso del pedazo de pared con los ladrillos colocados de esa manera?

• ¿Cuánto medirá el volumen de ese pedazo de pared tomando el ladrillo comounidad de volumen?

• Dibuja en tu cuaderno el frente de la pared que tiene 20 ladrillos. ¿Cuánto mideel grueso de esa pared?

• Dibuja en tu cuaderno el frente de la pared que tiene 100 ladrillos. ¿Cuánto mideel grueso de esa pared?

12 cm

30 cm

12 cm

30 cm

6 cm

6 cm

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hacer nuevamente las cuentas, a menos que sedetecte algún error. Por ejemplo, dos posiblesexplicaciones son: se calcula el volumen de unladrillo y después este resultado se multiplicapor la cantidad de ladrillos que se usan para ta-par el hueco, o se calcula el volumen del tramode pared en centímetros cúbicos.

En el primer procedimiento se espera queno tengan dificultades para calcular el volu-men de un ladrillo porque ya han resuelto estetipo de problemas en lecciones anteriores. De-ben hacer varias multiplicaciones, pero en to-das ellas se usan números naturales.

El segundo procedimiento puede resultarmás complicado porque para calcular el volu-men del tramo de pared que cubre la ventana,el largo y el ancho se mantienen constantes pe-ro el grosor varía de acuerdo con el acomodode los ladrillos.

Después de hacer las aclaraciones necesa-rias, pídales que resuelvan los problemas de es-ta actividad y observe lo que hacen. Tal vez seanecesario aclarar que en los primeros proble-mas la unidad de volumen es un ladrillo, mien-tras que en los resultados que se anotarán en latabla, la unidad es el centímetro cúbico. Si losalumnos no se dan cuenta, hágales notar du-rante la confrontación que los resultados de loscuatro primeros problemas aparecen en la ta-bla y se pueden usar para verificar los que obtu-vieron ellos.

Dedique el tiempo necesario para que losalumnos expliquen cómo obtuvieron el volu-men en centímetros cúbicos que resulta de losdiferentes acomodos, para que se den cuenta deque hay varios caminos, y valoren cuál o cuálesson más eficientes. Anímelos a explicar el proce-dimiento que siguieron, aunque no tengan que

Para hacer más interesante esta actividad pida que cada equipoproponga una cantidad estimada de litros que le caben a la pe-cera y que la anoten en un papel, para que cuando resuelvan lalección 69 vean qué tanto se acercaron al resultado correcto. En-tre tanto, anímelos a explicar cómo hicieron para encontrar lacantidad que proponen. Lo más probable es que la mayoría delos alumnos se imaginen el tamaño de la pecera y la cantidad deagua que le cabe, en cuyo caso la explicación puede ser muysimple. Otra opción es usar el cálculo mental, pero en este casoes poco probable porque, además de las operaciones, habríaque expresar las medidas en decímetros y tener presente queun decímetro cúbico equivale a un litro.

2

Probar, equivocarse, volver a probar hastalograr la solución, propicia que los niñosavancen en su aprendizaje, adquieran

confianza en el manejo de susconocimientos, reconozcan su validez y los

utilicen para resolver las diversas situaciones.

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66

1



El último problema quizá lo resuelvan multiplicando $1.50 × 4,sumando cuatro veces 1.50, o mediante la duplicación para con-cluir que no le alcanza a Pablo, porque si un mango cuesta $1.50,dos cuestan $3.00, cuatro $6.00 y no $7.00.

Probablemente otros alumnos opten por calcular el valor uni-tario y decidan dividir. Dado que hasta el momento no se ha tra-bajado la división con números decimales, es probable que divi-dan como si se tratara de números enteros, sin tomar en cuentael punto decimal, o quizá se les ocurra poner el punto en algúnlugar del cociente de la división, como lo hacen cuando suman orestan números decimales, o tal vez lo hagan porque han vistoque en el resultado de las divisiones a veces se pone un punto.Por ejemplo, para resolver el segundo problema tal vez hagan losiguiente:

Resolver problemas que introduzcan a losalumnos al estudio del algoritmo de la divisiónde números decimales entre un número entero.

Las compras por montón

Ponga mucha atención en los razonamientos que usan los alum-nos para resolver los tres últimos problemas. Por ejemplo, pararesolver el problema de las tunas y manzanas, pueden observarque en cada montón hay el mismo número de frutas, pero quelas manzanas cuestan el doble que las tunas. Por lo tanto, una tu-na cuesta la mitad de lo que vale una manzana. Al resolver el ter-cer problema tal vez señalen que una pera es más cara que undurazno porque los duraznos cuestan menos que un peso y lasperas cuestan más de un peso. Es menos probable, pero puededarse el caso de que algunos alumnos, buscando igualar las can-tidades de duraznos y peras para saber qué sale más barato, usentablas de proporcionalidad como las siguientes y concluyan quesale más barato un durazno que una pera.

No permita el uso de la calculadora para resol-ver esta lección, sólo para verificar resultados.Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos. Confronte los resultados y los diferentesprocedimientos cuando terminen de resolvercada actividad. Propicie que sean los alumnosquienes detecten los errores.

Número de duraznos Precio

8 5

16 10

32 20

40 25

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Al buscar el precio unitariode los duraznos con la divi-sión, es probable que algunosalumnos abandonen este pro-cedimiento porque crean queno se puede dividir una canti-dad menor ($5) entre una can-tidad mayor (8 duraznos).

Si usaron divisiones para resolver los proble-mas, es importante que en la confrontacióndestaque este procedimiento (aunque tenganerrores) para trabajar el algoritmo, sin invalidarlos otros procedimientos con los que resolvieronlos problemas. Pida a los niños que utilizaron ladivisión que la resuelvan en el pizarrón. Pre-gunte al grupo el significado del dividendo, di-visor, cociente y de los residuos parciales. Cues-tione, por ejemplo: ¿Es posible que al dividir$1.25 entre 2 se obtenga como resultado $62? ¿Esposible que cada pera cueste un peso? Las esti-maciones que hicieron los otros alumnos les

2

permitirá observar que una pera cuesta más deun peso. Apóyese en los procedimientos queutilizaron quienes resolvieron con éxito los pro-blemas, sin recurrir a la división, para que obser-ven en qué lugar deben colocar el punto deci-mal. Pida que lo verifiquen con la calculadora. Sialgún alumno sabe dividir con decimales, cer-ciórese de qué tanto comprende el significadodel cociente y del residuo y aprovéchelo paraque apoye a sus compañeros. Si nadie utilizó ladivisión, confronte los resultados. Si hay dife-rencias, invítelos a encontrar el error.

Lea con sus alumnos la consigna de esta actividad y los procedi-mientos que utilizaron otros niños para resolver los problemas.Pida que marquen el que usaron ellos. En el espacio de abajo de-berán hacer las operaciones que crean que utilizaron esos niñospara llegar al resultado.

Por ejemplo, los del equipo 3 seguramente sa-ben que las tunas cuestan menos de $1.00, por-que si costaran $1.00 tendrían que pagar $6 y no$4.50. Para saber cuánto cuesta una tuna, suma-ron 6 veces .50 o multiplicaron .50 × 6 = $3.00. Alver el resultado probaron con otras cantidades(.55, .60...) hasta llegar a .75 × 6 = $4.50. Observecómo hacen las divisiones que utilizaron los ni-ños de los equipos 6, 4 y 1 y aproveche la con-frontación para explicar el algoritmo conven-cional de la división.

Buscar las operaciones que resuelven un pro-blema permite a los alumnos establecer relacio-

nes entre sus elementos, en este caso los de ladivisión con cociente decimal. La discusión su-gerida con letras verdes propiciará que losalumnos se den cuenta de que si multiplicamosal dividendo y al divisor por 2, 3, 4, etcétera, elcociente se mantiene constante.

Al no poderse dividir 1 entero entre 6, deberá convertirse el entero en décimos

1 entero = 10 décimos10 décimos + 5 décimos = 15 décimos15 décimos ÷ 6 = 2 décimos (.2) y sobran 3 décimos

Al bajar el cerro se convierten los 3 décimos sobrantesa centésimos (3 décimos = 30 centésimos)

30 centésimos ÷ 6 = 5 centésimos.Por lo tanto, el cociente de la división = .25 que se lee 25 centésimos o 25 centavos.

6 1.50

26 1.50

3

.26 1.50

30

.256 1.50

3000

Número de peras Precio

5 8

10 16

20 32

40 64

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150

67

1 2



Inferir una manera de calcular el área de los po-lígonos regulares al transformarlos en romboi-des o en trapecios.

El secreto de los polígonos regulares

Una vez que haya distribuido el material, pida alos alumnos que resuelvan estas dos activida-des y observe si tienen alguna dificultad pararealizar los trazos que se indican. Es de esperar-se que la mayoría pueda trazar el hexágono sinningún problema porque el procedimiento esmuy simple. Sin embargo, puede haber proble-mas para trazar el octágono y sobre todo paradividir ambos polígonos en triángulos iguales.Si es necesario, pídales que suspendan el traba-jo y trate de socializar los procedimientos en-contrados, cuidando que cada alumno tenga laoportunidad de hacer sus propios trazos.

Una vez que hayan logrado transformar elhexágono y el octágono en romboides, pídalesque vuelvan a trazar ambos polígonos paraque tengan a la vista las dos parejas de figuras:el hexágono y su romboide correspondiente,así como el octágono y su romboide corres-pondiente. Averigüe si para todos los alumnoses evidente que en cada pareja de figuras semantiene la misma área, y si no es así, favorez-ca la discusión entre los que opinan que sí y losque no están de acuerdo. Finalmente ayúdelos

Para resolver esta lección los alumnos necesita-rán dos hojas blancas cada uno, regla, compás,tijeras y pegamento. Es conveniente que resuel-van individualmente las dos primeras activida-des para que todos tengan la oportunidad detrazar, recortar y pegar. Las actividades 3, 4 y 5pueden resolverse en equipos. Organice unaconfrontación al término de las actividades 1 y2, una más a partir de la primera pregunta quese plantea en la actividad 4, y otra al final, conbase en las respuestas de la actividad 5.

148

L E C C I Ó N

Transformaciones de los polígonos regulares, acercamiento al área de los polígonos

67 1. En una hoja blanca, con regla y compás, traza un hexágonoen el que sus lados midan 4 cm.

¿Cuántos centímetros tienes que abrir el compás?

• Recorta el hexágono.

• Explora cómo puedes cortar el hexágono en seis triángulos iguales de tal maneraque no sobre superficie del hexágono.

• Si no pudiste cortar los seis triángulos, haz otro hexágono y marca en éste susejes de simetría.¿Te sirvieron los ejes de simetría para encontrar los seis triángulos iguales?

• Acomoda los triángulos que encontraste para formar un paralelogramo.

El secreto delos polígonos regulares

2. Ahora dentro de un círculo de 5 cm de radio, traza un octágono. Los vértices deloctágono deben ser puntos de la circunferencia. Recorta el octágono.

• Encuentra y traza ocho triángulos iguales en el octágono utilizando toda su superficie.

• Recórtalos.

• Construye con esos triángulos un cuadrilátero.

• Marca en el siguiente dibujo el cuadrilátero que construiste con todos los triángulosy escribe su nombre

Un hexágono regular un paralelogramo

se transforma en

Un octágono regular

¿en cuál se transforma?

a concluir que, efectivamente, el área se mantie-ne igual puesto que a las figuras originales (he-xágono y octágono) no se les quitó ni agregónada, simplemente cambiaron de forma.

Habiendo establecido lo anterior, pídales queencuentren la base y la altura de cada romboide

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3 4

5

Antes de que los alumnos empiecen a resolverestas actividades, pídales que traten de com-probar sus respuestas, en virtud de que, comoen las actividades anteriores los dos polígonosse transformaron en romboides, es muy proba-ble que generalicen ese resultado para todoslos polígonos. Al exigir la verificación de las res-puestas es probable que los alumnos dibujen ocalquen un pentágono, lo dividan en triángulosiguales y lo recorten. El asunto es que de algunamanera se aseguren de que un pentágono re-gular no se transforma en un romboide sino enun trapecio isósceles.

Habiendo concluido que los polígonos regu-lares se pueden transformar en romboides o entrapecios, plantee la siguiente pregunta: ¿Cómopodemos saber si un polígono regular puedetransformarse en un romboide o en un trapecio,antes de recortarlo y armarlo? Invite a los equi-pos a buscar la respuesta. Después confrontesus conclusiones. Se espera que los alumnos in-fieran que si el número de lados es par, el polí-gono se transforma en romboide y si es imparse transforma en trapecio.

y que calculen sus respectivas áreas. Segura-mente habrá quienes usen la regla para obte-ner las dos medidas y otros se darán cuenta deque la medida de la base corresponde a la mi-tad del perímetro del polígono y, por lo tanto,no necesitan medirla. Es importante recalcar es-te hecho.

Otra reflexión importante consiste en averi-guar cuál es la medida en el polígono que esidéntica a la altura del romboide. Para invitar alos alumnos a encontrarla, puede plantear la si-guiente consigna: Tracen en el polígono la líneaque mide lo mismo que la altura del romboide ydíganme como se llama esa línea. Dé un tiempobreve para que los alumnos resuelvan el pro-blema planteado y después confronte las res-puestas.

Finalmente, pida a los alumnos que expli-quen cómo se puede calcular el área de un po-lígono regular sin necesidad de transformarloen un romboide. Si les resulta complicado, ayú-delos a ver el procedimiento: multiplicando lamitad del perímetro por el apotema.

Realizar estimaciones, ya seaacerca del resultado de

un problema, de una operación o de una medida, sólo adquiere

sentido si los alumnos lascomparan con el resultado exactodel problema o de la operación.

Con esta actividad se intenta recapitular la intención didácticade la lección, en el sentido de que los alumnos hayan podidoconstruir un procedimiento para calcular el área de los polígo-nos. Dé el tiempo necesario para que los equipos se pongan deacuerdo y después anote cada propuesta en el pizarrón. Invítelosa probar cada una de las propuestas distintas, calculando nueva-mente el área del hexágono de la actividad 1, para que observensi obtienen el resultado correcto. Ayúdelos a corregir las pro-puestas más fácilmente corregibles.

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68

1



Expresar en porcentajes la relación entre las di-mensiones de dos rectángulos, uno hecho a es-cala de otro.

Las fotocopias

Pida que resuelvan esta actividad. Permita eluso de la regla graduada. Acérquese a los equi-pos, trate de escuchar lo que comentan y ob-serve cómo contestan las preguntas, sobre to-do las tres últimas en donde los alumnos exter-narán sus hipótesis al respecto. Seleccione al-gunos equipos que den respuestas diferentes.Por ejemplo, es probable que algunos alumnosse den cuenta de que cuando el rectángulo ori-ginal se reduce 50%, el largo y el ancho de la fi-gura fotocopiada mide la mitad de lo que mideel rectángulo original. Otros tal vez vean el pro-blema de diferente manera y consideren que lafigura se redujo 25% porque el rectángulo b ca-be cuatro veces dentro del rectángulo a. Si sur-gen estas dos propuestas, haga un alto y orga-nice una confrontación de ideas con el objetode que los alumnos busquen argumentos conlos que traten de explicar por qué al reducir50% las dimensiones del rectángulo original, lasuperficie se reduce a la cuarta parte (25%). Siadvierte que no encuentran una explicación, pi-da que dividan el rectángulo a en dos partesiguales, y que midan el largo y ancho de losnuevos rectángulos para que observen que alreducir a la mitad la superficie del rectángulo a,no cambia la medida de dos de los lados deesos rectángulos.

Pida que revisen la primera actividad de lalección 50 y que observen lo que sucede con lasuperficie de otros cuadriláteros cuando se re-ducen o se agrandan las medidas de sus lados.Ayúdelos a concluir que al reducir 50% las di-mensiones de una figura, la superficie de esa fi-gura efectivamente se reduce 25%. Después pi-da que continúen resolviendo la lección.

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos para resolver las actividades 1 y 2. Las acti-vidades 3 y 4 conviene que las resuelvan de ma-nera individual. Permita el uso de la calculadoray restrinja el uso de la regla graduada cuandolos alumnos resuelvan los problemas de la acti-vidad 2; deberá utilizarse sólo para verificar losresultados. Los momentos para confrontar ydiscutir colectivamente las respuestas podrándarse después de resolver la actividad 2 y al tér-mino de la lección.

150

L E C C I Ó N

Cálculo de porcentajes con base en la idea de aumentar o reducir

68 1. Las fotocopiadoras pueden aumentaro reducir el tamaño de lo que se fotocopia,basta apretar un botón para indicarleun “tanto por ciento”. Por ejemplo, elrectángulo a se fotocopió con unareducción de 50% y se obtuvo elrectángulo b.

¿Cuánto miden los lados del rectángulo a?largoancho

Las fotocopias

¿Cuánto miden los lados de la fotocopia reducidaa 50%?largoancho

• Explica cómo cambian las medidas de los ladosde un rectángulo que se fotocopia a 50%.

¿Qué crees que resulte si el rectángulo a sefotocopia a 100%?

¿Cuáles medidas crees que resulten si el rectánguloa se fotocopia a 150%?largoancho

150

b

a

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153


Con la penúltima pregunta se espera que losalumnos se den cuenta de que al fotocopiar elrectángulo a al 100%, la reproducción será delmismo tamaño que el rectángulo a, porque100% es el doble de 50% y, el doble de las medi-das del rectángulo b es igual a las medidas delrectángulo a. Sin embargo, es probable que al-gunos alumnos no razonen de la misma maneray crean, por ejemplo, que al fotocopiar el rectán-gulo a al 150%, la reproducción va a ser muchomás chica que el rectángulo b. Si esto sucede nose preocupe, al resolver la actividad 2 tendrán laoportunidad de verificar sus hipótesis.

Los alumnos que consideren que al fotoco-piar el rectángulo a al 100% sale un rectánguloigual al original, probablemente sabrán que alfotocopiarlo al 150% se obtendrá un rectángu-lo más grande que a. Para calcular sus medidaspueden seguir diversos procedimientos, porejemplo, sumar mentalmente 6 más la mitadde 6, y 4 más la mitad de 4, o hacer una tabla deproporcionalidad como la siguiente.

Para resolver esta actividad permita el uso de lacalculadora y evite el uso de la regla graduada.Es probable que los alumnos se den cuenta deque el rectángulo e es igual al a, por lo tanto edebió fotocopiarse al 100%. Que los rectángu-los c y d son mayores que el a, por lo tanto c y dse fotocopiaron a un porcentaje mayor que100%. Como d es más grande que c; entonces dse fotocopió al 150% y c al 125%. El mismo pro-cedimiento podrán seguir para identificar losporcentajes de los rectángulos f y g.

Otra posibilidad es que usen un intermedia-rio para medir los rectángulos. Por ejemplo,marcar sobre el borde de una hoja el largo y elancho del rectángulo a y comparar esas longi-tudes con las de los otros rectángulos. Para ave-riguar cuánto miden los lados de los rectángu-los tal vez recurran al cálculo mental, al uso deuna tabla de proporcionalidad o a operacionesescritas o con la calculadora.

Por ejemplo, saben que 25% es la cuarta par-te de 100%, por lo tanto el rectángulo c midede largo 6 cm + 1.5 cm, y de ancho 4 cm + 1 cm.Saben que 50% es la mitad de 100%, por lo tan-to el largo del rectángulo d mide 6 cm + 3 cm,y de ancho 4 cm + 2 cm. Saben también que80% es cuatro quintas partes de 100%, por lotanto f mide de largo de 6 cm y de ancho ‹de 4 cm, y el rectángulo g mide de 6 cm delargo y de 4 cm de ancho. Pida que verifiquensus resultados con la regla graduada.

Se espera que logren resolver este problema poniendo en juegoalguna de las estrategias antes señaladas. Por ejemplo, puedenhacer una tabla como la que sigue.

Se espera que los alumnos deduzcan que, paraobtener una reducción de 25% pueden fotoco-piar el rectángulo original primero al 50%, y elrectángulo resultante fotocopiarlo nuevamenteal 50%.Para verificarlo,pida que tracen en su cua-

2

3

4

45

45

35

35

Porcentaje Largo Ancho

100% 6 4

50% 3 2

150% 9 6

Porcentaje Largo Ancho

100% 20 cm 12 cm

50% 10 cm 6 cm

25% 5 cm 3 cm

75% 15 cm 9 cm

derno el rectángulo en cuestión al 100%, al 50%y al 25%. Si da tiempo, agregue otras preguntastales como: Si fotocopiamos este rectángulo al200% o al 60%, ¿cuáles serán las medidas de losnuevos rectángulos?

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69

1



Realizar mediciones efectivas de la capacidadde diversos recipientes y estimar sus medidas.Calcular la capacidad de recipientes con pare-des rectas, vinculando las unidades de volumencon las de capacidad.

La pared sin ventana (II)

Una vez que cada equipo tenga el material ne-cesario (varios recipientes, arena y un recipientecuya capacidad sea un litro), dé la siguienteconsigna: En cada equipo hagan una lista de losrecipientes que tienen, ordenándolos desde el quecrean que le cabe menos, al que le cabe más. Enuna segunda columna después de la lista, anotencuántos litros creen que le cabe a cada recipiente(menos de uno, entre uno y dos, entre dos y tres, et-cétera). Finalmente usen el recipiente de un litro yla arena para ver en cuántos casos acertaron.

Mientras los alumnos realizan la tarea enco-mendada, observe lo que hacen y aclare lo ne-cesario. Cuando termine la mayoría, pregunte acada equipo en cuántos casos acertó y elija dosequipos, uno que acertó en muchos casos, yotro que acertó en pocos para que expliquen aqué se debió la facilidad o la dificultad que tu-vieron.

Hecho lo anterior, pídales que contesten laprimera actividad. Cuando la mayoría de losequipos termine, ayúdelos a comparar las res-puestas. Es muy probable que no haya discre-pancias, salvo en el caso de la bolsa de azúcar,que algunos podrían pensar que no es un reci-piente. Si esto sucede, aproveche la situaciónpara que los alumnos discutan.

Es necesario que los alumnos no se quedencon la idea de que a mayor volumen, mayor ca-pacidad. Para ello se recomienda que, de serposible, se presenten dos recipientes que ten-gan las mismas dimensiones en el exterior, pe-ro que hayan sido hechos con materiales dedistinto grosor. Pueden ser dos cajas, una demadera gruesa y otra delgada, que por el exte-rior midan lo mismo, para poder comprobarque la de madera delgada tiene mayor capaci-dad que la otra aunque tengan el mismo volu-men. También puede ejemplificar con un cubode madera que no esté hueco; este objeto tie-ne volumen pero su capacidad es cero. En la vi-da real, si se trata de averiguar la cantidad deagua que le cabe a una pileta, hay que medirlapor dentro para averiguar el volumen de aguaque puede contener.

Para resolver esta lección es conveniente queorganice a los alumnos en equipos y que cadaequipo cuente con por lo menos cinco recipien-tes cuya capacidad no varíe mucho. Procureque los recipientes no sean de vidrio para evitaraccidentes. Además van a necesitar arena, unenvase cuya capacidad sea de un litro y la cajaque construyeron en la lección 59. Organiceuna confrontación al término de la actividad 1 yotra al finalizar la lección.

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2

Ante la pregunta sobre otras medidas de capacidad que elalumno conoce, es probable que mencionen a "la cuchara" o "lataza", porque son medidas de capacidad que se usan cotidiana-mente. Pídales que observen los envases cuya etiqueta indica elcontenido neto en medidas de capacidad, tales como litros, cen-tilitros o mililitros, para que puedan imaginar el tamaño de esasunidades.

La mayoría de los problemas que se planteanen esta actividad encierran dificultades quepueden ocasionar errores en los resultados porlo que es necesario revisar colectivamente lasrespuestas y tratar de aclarar todo lo que seanecesario. Por ejemplo, ¿cuántos cm3 tiene undm3? Asegúrese de que los alumnos puedan ex-plicar por qué son 1 000, de manera que no sevean orillados a memorizar esta equivalencia.Sugiérales que hagan dibujos para ejemplificarsu respuesta.

El siguiente problema remite a la lección 65,en la que calcularon el volumen del tramo depared que cubre la ventana (216 000 cm3). Aho-ra se trata de expresar ese volumen en decíme-tros cúbicos. ¿Qué podrían hacer los alumnospara resolver esta situación? Usted tendrá laoportunidad de observar lo que hacen pero sepueden prever dos caminos: si 1 000 cm3 for-man un dm3, entonces 216 000 cm3 formarán216 000 ÷ 1 000 = 216 dm3, o bien, calcular di-rectamente el volumen del tramo de pared endm3, como se muestra en el siguiente dibujo.

Cualquiera de estos dos caminos, u otro quepudiera surgir, sólo tienen sentido si parten dela reflexión de los alumnos aunque usted tengaque aportar alguna ayuda.

El siguiente problema se espera que no cau-se mayor dificultad puesto que únicamente setrata de pasar un volumen expresado en decí-metros cúbicos a litros. Si la primera parte de es-ta actividad quedó suficientemente clara, esteproblema será resuelto fácilmente.

Observe con cuidado los procedimientosque usan los alumnos en el último problema,en el que se resume todo el trabajo de esta lec-ción y de la 65. Se trata de calcular el volumende agua que le cabe a la pecera y expresarlo enlitros, sólo que las medidas de la pecera se danen centímetros. Una opción es transformar lasmedidas en decímetros para que el resultadose obtenga en decímetros cúbicos. La otra escalcular el volumen en centímetros cúbicos,después transformarlo en decímetros cúbicosy, finalmente, expresar los decímetros cúbicosen litros.

El maestro no debe olvidar proponercontinuamente actividades en las que los alumnos realicen

estimaciones y cálculos mentales,tanto en situaciones numéricas,

como de medición u otras.

Si tiene tiempo, puede plantear otros retos para el alumno re-lacionados con el volumen y la capacidad, por ejemplo: Un señordesea hacer una cisterna donde pueda almacenar 5 000 litros deagua, ¿cuáles podrían ser las dimensiones de la cisterna?

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70


vidan 12 ÷ 4 para calcular de vuelta = 3 km.Como = 3 veces , entonces 3 + 3 + 3 o 3 × 3 = 9 km. Para calcular tal vez sumen 5veces 3 o multipliquen 5 × 3. Otros alumnos qui-zá sumen 12 + 3 porque = 3 km y = 1 y,en este caso, la unidad es el circuito que tieneuna longitud de 12 kilómetros.

Al completar las tablas de la actividad 2, esprobable que los alumnos tengan dificultadespara calcular cuántas vueltas se han dado al re-correr 32, 18, 10, 5 y 1 km. Se espera que se dencuenta de que un km es del circuito porque‹ = 1 vuelta. Esta información podrían utilizar-la para completar la tabla: 32 km = vueltas,5 km = de vuelta, 10 km = de vuelta.Tomeen consideración que los resultados de las ta-blas pueden expresarse con distintas fraccionesequivalentes.

Para agilizar la confrontación de resultados yprocedimientos, dibuje las tablas en el pizarrón.Pida a uno de los equipos que diga sus resulta-dos y regístrelos en las tablas. Si en la primeratabla hay respuestas diferentes, pida a los alum-nos que las obtuvieron que expliquen cómo lehicieron y al grupo que esté atento para deter-

Resolver problemas que implican a la fraccióncomo operador multiplicativo de un númeroentero. Por ejemplo, de 12.

El circuito

Organice al grupo en equipos de cuatro alum-nos para que resuelvan las actividades 1, 2 y 4.Pida que resuelvan individualmente la activi-dad 3. Lleve a cabo tres confrontaciones: unacuando terminen de resolver las dos primerasactividades, otra después de la actividad 3, yuna más al término de la lección. Dibuje en elpizarrón la pista de carreras para que los alum-nos se apoyen en ella (si lo necesitan) al explicarsus razonamientos en las confrontaciones.

En estas actividades los alumnos se enfrenta-rán a dos problemas con diferente nivel de difi-cultad: calcular cuántos kilómetros equivalen aun número determinado de vuelta, expresadocon fracciones menores o mayores que la uni-dad o con números mixtos y el problema inver-so: dada una cantidad de kilómetros, determi-nar cuántas vueltas son, con el agregado deque este número puede ser entero o fracciona-rio. Resolver estos problemas exige que losalumnos pongan en juego la relación entre laspartes y el "todo", cuando el "todo" está forma-do por más de una unidad (12 km). Se esperaque no tengan dificultad para trabajar con losnúmeros mixtos dado que ya los estudiaron enla lección 49.

Mientras resuelven los problemas escuchelos comentarios que hacen al respecto y obser-ve qué procedimientos utilizan. Por ejemplo,para averiguar cuántos kilómetros se recorrie-ron al dar de vuelta, probablemente algunosalumnos se apoyen en la respuesta anterior ( vuelta = 6 km). Saben que = , por lotanto = 3 km. Como + = + = ,entonces 6 + 3 = 9 km. Otros alumnos tal vez di-

1 2


12

34

12

12

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34

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1212

3212

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1012

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Si hay respuestas diferentes en la segundatabla, pida que busquen la manera de averiguarsi esos resultados son o no equivalentes. Porejemplo, con 18 km pueden considerar que sedieron el siguiente número de vueltas 1 , 1 ,‹ , , , 1 , 1 . Para terminar la confrontación,centre la discusión en la respuesta que dieron ala última pregunta. Al comentarlas, los alumnosseguirán construyendo la idea de que las frac-ciones pueden expresar cantidades menores ( ), mayores ( , 1 ), o iguales a la unidad ( ).

minar quién tiene la razón, detectar errores ycorregirlos. Lo importante es que se den cuentade que, para resolver estos problemas, primerotuvieron que dividir (mentalmente o por escri-to) la unidad (12 km) entre el número de partesindicado por el denominador de la fracción (2,3, 4, 5), y después, multiplicar el cociente de ladivisión por el total de partes recorridas (indica-das por el numerador). Por ejemplo, de vuel-ta es lo mismo que decir de 12. Como la uni-dad se dividió en 4 partes iguales el resultadoes: (12 ÷ 4) × 5 = 15 km.

4

3

Frente al primer problema los alumnos pueden dar respuestasdiferentes, dependiendo de la manera en la que interpreten elproblema. Algunos quizá respondan que el corredor abandonóla carrera en el kilómetros 105 y otros digan que la abandonó enel 9. Los primeros probablemente sumaron los 3 primeros kiló-metros recorridos con los que corresponden a 8 vueltas (12 × 8 =96 km) y a vuelta (6 km). Los que respondan que se salió en elkilómetro 9 quizá hayan razonado de la siguiente manera: des-pués de haber corrido 3 kilómetros llegó 8 veces al kilómetro 3, por-que dio 8 vueltas completas y 6 km más adelante se salió. Haga no-tar que ambas respuestas son correctas tomando en cuenta la in-terpretación que le dieron al problema.

Lea junto con sus alumnos la consigna del pro-blema y, sin que les diga cómo hacerlo, resuel-van colectivamente el primer renglón de la ta-bla. Si nota que la mayoría de los alumnos tienedificultad para entender de qué se trata el pro-blema, plantee preguntas tales como: ¿Si un co-rredor parte del kilómetro cero y le da vuelta ala pista, en qué kilómetro se detiene?, ¿y si da 1 vueltas dónde se detiene?, ¿y al dar 2 o 3 ‹vueltas dónde se detiene? ¿Por qué siempre se de-tendrá en el kilómetro 6 si cada vez da un númerodiferente de vueltas?

Se espera que los alumnos intuyan que aldar un número de vueltas completas se llegaal mismo kilómetro de la pista en el que empe-zó a correr, y lo que nos permite saber en quékilómetro se detendrá el corredor es la parte

de la pista que recorrió además de las vueltascompletas.

Después, invítelos a completar los siguientesrenglones en equipo y observe cómo lo hacen.Tome en cuenta que algunos problemas tienenvarias respuestas correctas. En la confrontacióntrate de que expliciten cómo supieron cuántasvueltas se recorrieron cuando conocían el pun-to de partida y el punto de llegada. Por ejemplo,en el tercer renglón se sabe que el corredor sa-lió del kilómetro 2 y llegó al 5. Como la diferen-cia entre 5 y 2 es 3, 3 km corresponden a dela pista en cuestión. El corredor pudo haber corrido de vuelta, o muchas vueltas enterasmás de vuelta. Centre la discusión en la res-puesta de las dos últimas preguntas y, si es ne-cesario, ayúdelos a concluir.

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71

Explorar las propiedades de las figuras hechas aescala: la proporcionalidad de las medidas desus lados y la conservación de la medida de susángulos.

Qué tan grandes y qué tan chicos

Mientras los alumnos trabajan, cuadricule el pi-zarrón y copie las jaulas ya hechas, así como latabla de la página 159, para que sea más eficazla confrontación de resultados.

Una vez que los alumnos han dado respues-ta por equipos a los problemas planteados, sesugiere que lean nuevamente en grupo la acti-vidad y vayan confrontando respuestas al mis-mo tiempo que usted plantea otras preguntaspara hacerlos reflexionar.

Organice al grupo en equipos y pídales queresuelvan la lección. Cuando termine la mayo-ría, organice una confrontación de resultados.Cada alumno necesitará una regla para hacerlos trazos.

Al pedir que anoten en la tabla las medidasde las jaulas de los gansos y las gallinas se espe-ra que los alumnos observen que la medida decada uno de los lados de la jaula de los gansoses el doble de la medida de su lado correspon-diente en la jaula de las gallinas. Usted puedepreguntar, además: ¿en qué se parecen y en quése distinguen ambas jaulas? Deje que los alum-nos se expresen libremente y anote en el piza-rrón, en dos columnas, las características queellos mencionen. Es probable que sugieran elcolor, las letras que se usan para nombrar los la-dos, la forma, el tamaño, el número de lados, et-cétera. Si los alumnos no mencionan la formade las figuras, hágalo usted y trate de aclarar aqué se refiere. Pregunte, por ejemplo, si creenque todos los cuadrados tienen la misma forma,y luego si todos los rectángulos tienen la mismaforma.

Cuando corresponda hacer el análisis sobrela jaula de los pollos, pregúnteles en qué se dis-tingue esta jaula de las demás. Trate de queellos mismos adviertan que no tiene la mismaforma y por qué sucede esto. Se espera que in-tenten explicar de alguna manera que las medi-das no son proporcionales.

1



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L E C C I Ó N

Dibujos a escala

71 1. Crispín cría pájaros, palomas, pollos, patos y gansos. Dibujó jaulasdistintas, tomando en cuenta el tamaño de sus aves.

Qué tan grandesy qué tan chicos

a

hb

c

d

e

f

g

a

b

cd

ef

g

h

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Una vez completa la tabla, conviene analizarla con los alum-nos tomando cada vez dos renglones de medidas, por ejemplo,puede señalar las medidas que corresponden a las jaulas de losgansos y las gallinas:

Trate de que se den cuenta de que en cual-quier par de renglones que tomen, excepto elrenglón de los pollos, se puede encontrar unaregla general que indica la relación que guar-dan ambos conjuntos de medidas. En algunoscasos no será fácil encontrar esa relación, peroinvítelos a que lo intenten. Por ejemplo, señaleel renglón de las gallinas y el de los patos yplantee la misma pregunta: ¿Qué relación existeentre estos dos conjuntos de medidas? Los alum-nos empezarán a buscar si es el doble, el triple

Pregunte: ¿Qué relación existe entre estos dos conjuntos de medi-das? Se espera que los alumnos observen que las primeras (las dela jaula de los gansos) son el doble de las segundas (las de la jau-la de las gallinas), o bien, que las correspondientes a la jaula de lasgallinas son la mitad de las correspondientes a la de los patos.

o la mitad, lo que significa por dos, por tres yentre dos, sólo que en este último caso la rela-ción o la escala no está dada por un númeroentero sino por un número fraccionario. Si nologran encontrarla, invítelos a que verifiquen silas medidas de la jaula de las gallinas equivalena dos tercios de las medidas de la jaula de lospatos. Enseguida pídales que encuentren la re-lación que guardan las medidas de la jaula delos patos con las de la jaula de las gallinas. Sedarán cuenta de que la relación se invierte dedos tercios a tres medios.

Finalmente pídales que comparen el renglón de las medidasde la jaula de los pollos con cualquier otro para que adviertanque en estos casos no es posible encontrar una regla general pa-ra ambos conjuntos de medidas.

¿Cuál es la explicación de todo esto? Que en los primeros ca-sos los conjuntos de medidas son proporcionales y en estos últi-mos no. En los primeros se obtienen figuras a escala y en estos úl-timos no.

Si le queda tiempo, dé a los alumnos la siguiente consigna:Cada equipo piense en un animal distinto a los que se han mencio-nado en esta lección, agreguen un renglón al final de la tabla yanoten cuáles serían las medidas de su jaula, con la condición deque tenga la misma forma que las otras.

Observe el trabajo de los equipos y confronte los resultadosque considere interesantes para todo el grupo.

gansos 16 8 4 4 8 4 4 8

gallinas 8 4 2 2 4 2 2 4

pájaros 4 2 1 1 2 1 1 2

pollos 20 2 4 1 12 1 4 2

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1



mento; de la información que poseen, el hechode que medio litro equivale a 500 mililitros y,con los datos que hay en el texto, se puede sa-ber quién gastó menos entre Irma y Alfonso.

En otros casos, además de la información deltexto y de la fotografía, los alumnos deben infe-rir ciertos datos, lo cual hace un poco más difícilel problema, pero también más interesante. Porejemplo, en el problema de la kermés, si unmaestro gastó $65.50 en el café que compró, seinfiere que compró un kilogramo. Otro gastó$56.00, de lo cual se infiere que compró cuatro

Resolver problemas que impliquen el uso de lasunidades más comunes de capacidad y de peso.

El precio de las cosas

Pida a los alumnos que resuelvan los problemasde la primera actividad, recordándoles que tra-ten de ponerse de acuerdo en cada equipo so-bre la manera de resolverlos y que traten de ve-rificar que la solución encontrada es correcta.Mientras los alumnos trabajan, observe lo quehacen y trate de entender los procedimientosque utilizan. En general, todos los problemas deesta lección requieren más de una operaciónpara resolverse, de manera que los alumnospueden incurrir en errores con cierta facilidad.Déjelos que concluyan y en la confrontacióntrate de que se aclaren las dudas.

En relación con la consigna de marcar conuna cruz o encerrar en un círculo las etiquetas,una posible confusión se derivará de no distin-guir entre la pareja objeto-etiqueta. Por ejem-plo, la cubeta de manteca es un recipiente quetiene cierta capacidad, pero su etiqueta marca25 kg, que es una medida de peso, por lo tantola etiqueta debe marcarse con una cruz.

Lo interesante de varios problemas de estalección es que su solución considera tres fuen-tes de información: la del texto, la de la fotogra-fía y la que poseen los alumnos. Por ejemplo, enel primer problema, los alumnos deben obtenerde la fotografía el costo de cada frasco de pega-

Para resolver esta lección es conveniente quelos alumnos trabajen en equipos para que pue-dan compartir ideas. Dedique un momento pa-ra analizar los procedimientos y resultados delos problemas de la primera actividad y otro pa-ra los problemas de la segunda actividad.

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L E C C I Ó N

Las unidades de capacidad y las de peso

72 1. Marca con una cruz las etiquetas que indican una medidade peso y encierra en un círculo las que indican una medida decapacidad.

El precio de las cosas

Irma compró un frasco de litro de pegamento. Alfonso compró la misma cantidadde pegamento pero en frascos de 125 ml. ¿Quién gastó menos?¿Por qué?

El dueño de un restaurante necesita 25 kg de manteca pero en la tienda no haycubetas de manteca disponibles. Si el restaurantero decidiera llevarse la mantecaen cubetas de un kilo, ¿cuánto pagaría de más? ¿Cuántoskilos de manteca podría comprar con ese dinero?

25kg

$10.50$126.00 1

2 l

600ml

$5.00

200g

$3.50

400g

$6.001kg

$65.50

125ml

$2.50

$14.00

$7.00200g

1kg

$16.00

2l

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Ficha 13 (capacidad)

botes de 200 gramos, por lo tanto, entre estos dos maestros com-praron un kilo más 800 gramos. Los alumnos saben que un kiloson 1 000 gramos, por lo que entre los dos maestros compraron1 800 gramos. De aquí hacia delante sólo falta saber cuánto faltapara los tres kilogramos y separar esta cantidad en partes de 200gramos cada una. Así se puede saber cuántos maestros colabora-ron para comprar el café.

2

En el problema de los refrescos también hayque inferir cuántos mililitros le caben a un vasoy, a partir de esto, cuántos mililitros toma cadapersona. Con esta información ya se puede sa-ber cuántas botellas grandes de refresco ocuántas botellas chicas se deben comprar.

Trate de conocer más a sus alumnos al obser-var qué tan complicados les resultan este tipode problemas y anímelos a que los resuelvancon sus propios medios. Si nota que hay resulta-dos diferentes, escríbalos primero en el pizarrónpara que tengan más argumentos al averiguarquiénes tienen razón.

Al resolver esta actividad es importante quelos alumnos tengan la oportunidad de obser-var y comparar el tamaño de un mililitro, uncentilitro y un decilitro, dado que el litro ya loconstruyeron en la lección 69. El mililitro es lamilésima parte de un litro, de manera que es elvolumen que le cabe a un centímetro cúbico.Hay que hacer un recipiente en forma de cubocuyas aristas midan un centímetro. El centilitroes la centésima parte de un litro, de modo quese puede hacer un recipiente en forma de pris-ma cuadrangular cuya base sea un cuadradode 2 × 2 y su altura debe medir 2.5 cm. El volu-men de este recipiente es 2 cm × 2 cm × 2.5 cm= 10 cm3, que es la centésima parte de 1 000cm3. El decilitro es la décima parte de un litro ypuede mostrarse mediante un recipiente enforma de prisma cuya base sea un cuadrado de5 × 5 y su altura mida 4 cm. El volumen de este

prisma es 5 cm × 5 cm × 4 cm = 100 cm3, que re-presenta la décima parte de 1 000 cm3. Es nece-sario que los alumnos observen la equivalen-cia entre estas unidades, no sólo mediante eltrasvasado de arena o alguna otra sustancia, si-no también analizando sus medidas.Establecer equivalencias entre unidades de me-dida ha sido una de las mayores dificultades pa-ra los alumnos, por lo que es necesario insistiren el significado de cada una. Por ejemplo, pararesolver el tercer problema, los niños tendránque averiguar que 3 frascos chicos de pega-mento son 375 mililitros y luego sería deseableque pensaran: si 10 mililitros hacen un centilitro,hay que dividir 375 entre 10, y esto es igual a 37.5centilitros. Procure que los alumnos intentenjustificar las equivalencias que hacen sin recu-rrir a reglas tales como: se mueve el punto un lu-gar a la izquierda.

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Para una kermés unos maestros regalaron 3 kilos de café. Uno gastó $65.50 en elcafé que compró, otro gastó $56.00, los otros maestros llevaron una lata de200 g cada uno. ¿Cuántos maestros colaboraron para el café?

Carmela y Jacinta compraron jabón. Carmela llevó 7 barras grandes y Jacinta12 barras chicas.

¿Cuántos kg de jabón compró Carmela?¿Cuántos kg de jabón compró Jacinta?¿A quién le salió más barato?

Con una botella chica de refresco se pueden llenar tres vasos. Esteban va a teneruna reunión y piensa que si cada quien se toma cuatro vasos de refresco, con seisrefrescos de 2 l le alcanzaría exactamente. Si esto es cierto, ¿cuántas personas vana estar en la reunión?

Si Esteban comprara sólo refrescos chicos, ¿cuántos tendría que comprar para quecada persona se tome cuatro vasos de refresco?

2. Diez unidades de un mismo tipo dan la misma capacidad que la inmediatamentemayor. Las unidades están ordenadas de mayor a menor.

• Usa los datos de la tabla para contestar las preguntas.

¿Cuántas botellas grandes de refresco se necesitan para tenerun decalitro de refresco?

¿Cuántas botellas chicas de refresco se necesitan paratener 3 litros de refresco?

Con tres frascos chicos de pegamento, ¿cuántos centili-tros de pegamento se tendrían?

¿Cuánto costaría un hectolitro de pegamento si se com-pra en frascos grandes?

Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

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1



Utilizar la fracción como operador en la resolu-ción de problemas. Establecer la relación entrela fracción como operador y el porcentaje.

El deporte favorito

Para contestar la primera pregunta, los alumnosdeberán comparar cantidades expresadas demanera diferente. Se espera que para resolverlapongan en juego lo que han aprendido acercade los porcentajes, en las lecciones 57 y 68, y lainterpretación de la fracción como operador, dela lección 70.

Si bien la primera pregunta no exige calcular cuántos alum-nos están representados con los porcentajes y las fracciones se-ñaladas en los grupos de 5º y 6º, es probable que algunos alum-nos busquen estrategias para averiguarlo. Otros tal vez contes-ten la pregunta comparando los porcentajes y las fracciones. Porejemplo, sabrán rápidamente que los grupos de tercero y cuar-to prefieren el futbol, porque las cantidades que se comparanestán representadas con números enteros. En cambio, paraquinto y sexto la respuesta no es tan inmediata. Un análisis másdetallado les permitirá observar que los de quinto grado prefie-ren el basquetbol porque el 60% es mayor que el 20%. Al com-parar las fracciones se espera que se den cuenta de que el de-porte favorito del grupo de sexto es el volibol, porque es ma-yor que y que .

Para contestar la última pregunta, habrá que calcular cuántosalumnos están representados con el 20%, el 60%, , y . Enel caso de los porcentajes, un razonamiento posible es conside-

La actividad 1 puede realizarse en equipos detres y el resto de las actividades en parejas.Lleve a cabo dos confrontaciones: una cuandola mayoría de los equipos termine de resolver laactividad 1 y otra al final de la lección.

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L E C C I Ó N

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Operadores fraccionarios en situaciones sencillas

El deporte favorito

1. Los alumnos de 3° , 4° , 5° y6° grados hicieron una en-cuesta para saber cuál es eldeporte favorito en cada grupo.Los resultados de la encuestafueron escritos de distintamanera.

Grado Número de alumnos Futbol Basquetbol Volibol

3° 48 19 16 13

4° 42 15 13 14

5° 35 20% 60% 20%

6° 24 13

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¿Cuál es el deporte que tiene másseguidores en cada grupo?

3°4°5°6°

Considerando el total de alumnos delos cuatro grupos, ¿cuál es el deporteque tiene más seguidores?

• Anota en tu cuaderno los cálculosque necesites hacer.

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los problemas. Observe si los alumnos tienendificultades para determinar la unidad (en el ca-so de las fracciones) y el valor que correspondeal 100%. En la confrontación plantee otros pro-blemas cambiando algunos datos con el fin deque los alumnos sigan construyendo una ma-nera de hacer cálculos con las fracciones comooperadores.

Por ejemplo, mantenga las proporciones delas opiniones de un grupo y pregunte: Si en sex-to grado en vez de 24 alumnos fueran 60, ¿cuán-tos alumnos se inclinarían por cada deporte? Si enquinto grado en vez de 35 fueran 50, ¿cuántosalumnos se inclinarían por cada deporte? Tam-bién puede dejar fijo el número de alumnos ycambiar las proporciones, de tal manera que alsumarlas se conforme la unidad o el 100%.

rar que el 100% del grupo de quinto está forma-do por 35 alumnos. Como el 20% es la quintaparte del 100%, entonces, el 20% de 35 es de35, es decir 35 ÷ 5 = 7 alumnos.

En el caso de las fracciones, se espera que losalumnos consideren a los 35 alumnos como launidad y que logren averiguar con cierta facili-dad cuántos alumnos son , y del grupo.

Recuerde que aún no es el momento ade-cuado para enseñar un procedimiento específi-co para resolver estos problemas. Estos aspec-tos los seguirán estudiando en sexto grado. Eneste momento, lo importante es que los alum-nos pongan en juego las relaciones construidassobre la noción de porcentaje de una cantidad,y la relación entre una fracción y la unidad parabuscar una estrategia que les permita resolver

La diferencia en el grado de dificultad de estas actividades radi-ca en que los alumnos pueden resolver la primera mentalmenteporque las cantidades son relativamente pequeñas y las fraccio-nes son menores que la unidad. En cambio, en la actividad 3 apa-recen números más grandes y fracciones menores, mayores eiguales que la unidad. En este último caso se recomienda permi-tir el uso de la calculadora, dado que lo importante es que losalumnos establezcan relaciones adecuadas entre los datos paracompletar las tablas.

Es probable que para hallar el valor de expresiones como ‹de 60, los alumnos calculen primero de 60, dividiendo (men-talmente o por escrito) 60 entre 6, y multiplicando el resultadopor 5, porque 5 veces = . Si los alumnos utilizaron este pro-cedimiento, aproveche la confrontación para que expliciten, porejemplo, cómo saben que 20% equivale a del 100%.

2 3

4

Es importante terminar la sesión con esta actividad, ya que me-diante los problemas que inventen usted podrá darse cuenta desi los alumnos le han dado significado a las expresiones de la ac-tividad anterior. Cuando terminen, seleccione un problema bienplanteado y otro que tenga alguna deficiencia. Escríbalos en elpizarrón y pida que los resuelvan. Al final confronte los resulta-dos e invítelos a comentar por qué no pudieron resolver uno delos problemas.

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Establecer relaciones entre fracciones decima-les y porcentajes. Construir un procedimientopara calcular cualquier porcentaje de cantida-des enteras. Descubrir que un porcentaje me-nor puede ser mayor que otro en función de lacantidad a la que se aplique.

Cálculo de impuestos

En las lecciones 57 y 63 los alumnos han estu-diado el tema del porcentaje con el significadode "tantos por cada 100" y se han dado cuenta deque un porcentaje es también una fracción de una cantidad. Por ejemplo el 75%, 50%, 25%y 10% de una cantidad equivalen, respectiva-mente, a , , y de esa cantidad. Se es-pera que al resolver esta actividad los alumnosse apoyen en estos conocimientos para encon-trar la relación que existe entre el 10% y el 1%aplicado a un número entero.

Para completar la tabla es probable que losalumnos se fijen en cuántas centenas tiene ca-da cantidad y sumen o multipliquen 10 por elnúmero de centenas. Por ejemplo, para calcularel 10% de 2 700 pueden multiplicar 10 x 27, por-que 2 700 tiene 27 centenas y el 10% significa10 de cada 100. Otros tal vez calculen del mis-mo modo el 10% de 100, 200 y 300, y despuéssumen los porcentajes de dos o tres columnaspara calcular los otros porcentajes. Por ejemplo,para calcular el 10% de 500 basta con sumar losporcentajes calculados para 200 y 300. Otrosquizá, al completar las primeras casillas, advier-tan que dividiendo entre 10 al 100, 200 o 300 seobtiene el 10% de esas cantidades y usen esteprocedimiento con las cantidades siguientes.

En la confrontación pida a los alumnos queutilizaron procedimientos diferentes que expli-

quen cómo calcularon el 10% y al final pregun-te: ¿Por qué al dividir entre 10 las cantidades seobtiene el 10%? Después proponga otras canti-dades terminadas en cero para que verifiquenque al dividir entre 10 sólo se elimina un cero yse obtiene el 10%. Pregunte: ¿Qué creen que pa-se si en vez de dividir entre 10 dividimos entre 100?Pida que verifiquen sus hipótesis.

Si las respuestas de las dos últimas preguntasde esta actividad son diferentes pida a los alum-nos que busquen una manera de comprobarcuál es correcta. Si todos respondieron que

= , pregunte: ¿Cómo pueden comprobarlo?Probablemente usen diferentes recursos. Porejemplo, pueden razonar como sigue: Un déci-mo se escribe así: .1 y 10 centésimos así: .10, peroes lo mismo porque .1 tiene 10 centésimos. Otrosquizá apoyándose en lo estudiado en la lec-ción 28 y 35 digan: Si un entero se divide en 10partes iguales, cada parte es un décimo. Si cadadécimo se divide en 10 partes iguales, se obtie-nen 100 centésimos porque cada décimo tiene10 centésimos.

Concluya señalando que el 10% de una can-tidad puede calcularse de diferentes maneras.Mencione los procedimientos generados en elgrupo y subraye que también puede calcularseaveriguando el valor de la décima parte de esacantidad.

Se recomienda organizar al grupo en equiposde cuatro alumnos para resolver los problemas decada actividad. Procure que cada pareja de alum-nos tenga por lo menos una calculadora. Realiceconfrontaciones colectivas en los momentos quese sugieren en la lección.

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110

1100

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Para saber el total a pagar por un producto que cueste $1 500si se cobra un 40% de impuestos, se puede teclear:

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obtener el 1% se divide entre 100. Por lo tantoel 1% de 354 y 1 535 es, respectivamente, 3.54 y15.35. Señale que al dividir entre 100, el puntose recorre dos lugares a la izquierda, como sevio en la lección 42.

En la discusión colectiva se espera que losalumnos infieran que una vez que se tiene el1% de una cantidad puede calcularse cual-quier porcentaje. Por ejemplo, podrán calcularel 7% sumando 7 veces el 1% o multiplicán-dolo por 7. Pida que anoten con sus propiaspalabras cómo calcular cualquier porcentaje decualquier cantidad.

Si los alumnos tienen clara la idea de que unporcentaje es "tantos de cada 100", sabrán queen este caso, por cada 100 pesos se pagará unimpuesto de $1.00. Es posible que en la segun-da tabla anoten en el primer renglón cantida-des como 354 o 1 535. Observe cómo calculanen estos casos el 1%. Si cometen errores, apro-véchelos en la confrontación para que los pro-pios alumnos los corrijan. Para ello, pida que re-visen cómo calcularon anteriormente el 10% yel 1%. Es importante que sean los alumnos losque deduzcan que para obtener el 10% de unacantidad se divide entre 10, mientras que para

4

Ficha 20: 4 21:2 a 5

3

Para resolver estos problemas es probable que los alumnos cal-culen el 1% de cada cantidad y multipliquen el resultado por 40o que calculen el 10% y el resultado lo multipliquen por 4. Socia-lice estos procedimientos en la confrontación. Es importante quelos alumnos exploren cómo funciona en su calculadora la tecla%, ya que puede haber diferencias dependiendo del tipo de cal-culadora. Por ejemplo, en algunas calculadoras, para calcular 40%de 1 500 deben teclear lo siguiente:

Comparar los pares de números de cada renglón sin utilizar calculadora y sin ha-cer cálculos escritos es un problema complejo para los alumnos. Es probable quealgunos sólo se fijen en los porcentajes, sin considerar las cantidades en las que sevan a aplicar, concluyendo, por ejemplo, que en el penúltimo renglón el porcenta-je mayor es el 100%. Cuando calculen los porcentajes, tendrán la oportunidad dedarse cuenta de que el 60% de 1 000 es mayor que el 100% de 300.

Para calcular el 60% de 1 000 pueden calcular el 10% y el resultado multiplicar-lo por 6, o bien, calcular el 50% (500) y el 10% de 1 000 (100) y después sumar losresultados parciales (500 + 100). Pida a algunos alumnos que expliquen cómo cal-cularon los porcentajes.

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1 5 0 0 × 4 0 % =

1 5 0 0 + 4 0 % =


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Elaborar gráficas e identificar las que represen-tan situaciones de variación proporcional y noproporcional. Analizar y comparar la tendencia.

¿Proporcional o no proporcional?

Al analizar las gráficas, se espera que los alum-nos pongan en juego lo que han aprendidoacerca de las situaciones de variación propor-cional y no proporcional, y logren explicitar, a sumanera, sus propiedades. Mientras cada equiporesuelve esta actividad escuche con atenciónen qué se fijan para determinar si las gráficasson o no proporcionales.

Es probable que algunos alumnos no lo re-cuerden con claridad y busquen las leccionesen las que han estudiado este tema. Permítalo,cuidando de que no usen demasiado tiempo.Otros quizá recuerden que, en las gráficas devariación proporcional que han trabajado, la lí-nea que se obtiene al unir los puntos es una rec-ta que al prolongarse pasa por el origen, por loque quizá consideren que las gráficas 1 y 3 noson proporcionales. No los corrija. Espere la con-frontación para trabajar este punto colectiva-mente.

Cuando resuelvan la segunda parte de la ac-tividad se espera que los alumnos logren rela-cionar las situaciones con su gráfica. Acérque-

se a los equipos, observe en qué se fijan pararelacionarlas. Probablemente algunos alum-nos sólo comparen las cantidades que se pre-sentan en las situaciones con las que aparecenen las gráficas. Otros quizá revisen si los pun-tos marcados en cada gráfica coinciden conlos de la situación. Si hacen esto, tal vez se dencuenta de que, en la gráfica 3, el punto que co-rresponde a diciembre de 1994 no correspon-de con el de la situación, ya que $0.75 es iguala de un peso y el punto en cuestión está ubi-cado en otro lugar. Si es necesario plantéelespreguntas tales como: ¿Por qué dicen que estagráfica representa la información de esta situa-ción? ¿Qué representan los números que apare-cen en el eje vertical? ¿Cómo saben que los pun-tos están bien ubicados? ¿Qué pueden hacer pa-ra corregir la gráfica 3?

Probablemente algunos alumnos tengan di-ficultades para relacionar la segunda situacióncon su gráfica. Si esto sucede, apóyelos sugi-riéndoles que elaboren una tabla como la si-guiente con los datos del problema.

Organice equipos de cuatro alumnos para re-solver la actividad 1 y las dos siguientes pidaque las resuelvan individualmente. Realice lasconfrontaciones cuando se señalan en el libro.

34

Número de recipientes 2 4 5 10

Litros de agua en cada uno 50 25 20 10

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 2:20 PM

167


Al analizar esta tabla es posible que los alum-nos confirmen su idea de que no es proporcio-nal, porque cuando una cantidad aumenta aldoble la otra disminuye. Seleccione uno de losequipos que tenga respuestas incorrectas (si esque los hay), con el fin de abrir una discusión or-ganizada en la confrontación, para validar o in-validar las respuestas. Pídale a este equipo queexponga sus resultados. Si hay desacuerdos, so-licite al equipo que explique en qué se fijaron,en cada caso, para responder. Después dé la pa-labra a otros para que invaliden las respuestasque consideren incorrectas.

Ayúdeles a concluir. Si es necesario, centre laatención de los alumnos en las situacionesque corresponden a las gráficas 2 y 3. Verifi-quen colectivamente cuál cumple con las pro-

2

piedades de las situaciones de proporcionali-dad directa; después, aclare que la gráfica 1 re-presenta una situación proporcional diferentea las que han trabajado porque la manera en laque varían sus cantidades funciona comocuando se reparte, en partes iguales, una mis-ma cantidad entre 1, 2, 4, etcétera. Dibuje en elpizarrón una tabla como la anterior y, sin dete-nerse mucho en ella, señale que a menor nú-mero de recipientes, mayor cantidad de agua,y a mayor número de recipientes, menor serála cantidad de agua que se deposite en ellos.Pida que observen en la tabla que cuando unacantidad aumenta al doble o al cuádruple, laotra disminuye a la mitad, a la cuarta parte. Noprofundice más en este aspecto de las situa-ciones de variación.

Al graficar las situaciones es posible que los alumnos tengan di-ficultades para determinar cada eje. Por ejemplo, con la primeratabla pueden hacerlo como en A, sin considerar que debe haberuna regularidad entre los intervalos, es decir, la distancia entrecada marca (la unidad) debe tener el mismo valor, como en B.

Si esto sucede, confronte las gráficas, pidaque identifiquen los errores y que traten de co-rregirlos. Si no los pueden ver, hágaselos notar yenséñeles cómo corregirlos. Es importante co-mentar la gráfica de los taxis porque, si bien latendencia cumple con la condición de ser unalínea recta, no pasa por el origen si se prolonga.Por lo tanto, no es una situación de variaciónproporcional. Lean el texto escrito con letrasazules y coméntenlo.

Si los alumnos respondieron con un sí o con un no las dos prime-ras preguntas, invítelos a explicar por qué lo dicen. Se espera queadviertan que en la primera tabla no se puede prever cuánto co-brarán por un paquete de 5 kilos porque las tarifas no son pro-porcionales al peso. Si nadie puede contestar la última pregunta,comente que en estos casos también se toma en cuenta el volu-men de los paquetes. Ponga como ejemplos 5 kg de plomo y 5kg de algodón.

A B

3

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 2:20 PM


168

76

1


Calcular la capacidad de depósitos en forma deprisma recto. Establecer equivalencias entremetros cúbicos, decímetros cúbicos y litros.

Las albercas y las cisternas

Si tiene oportunidad de llevar a los alumnos a un lugar en el quepuedan ver un depósito de agua y calcular su capacidad, hágalo,será muy importante para que tengan una idea más clara sobrelos cálculos que realizarán en esta actividad.

Pida a los alumnos que lean la introducción de la lección y an-tes de que empiecen a resolver pregúnteles: ¿Qué forma creenque tienen las albercas que aparecen en la tabla? Pídales que dibu-jen la alberca 1 y que le anoten las medidas, observe los dibujosque hacen y, si nota que hay diferencias, favorezca la discusiónhasta que se aclare quiénes tienen razón. Después puede plan-tear otras preguntas para que se familiaricen con los datos de latabla, por ejemplo, ¿cuál es la alberca más profunda?

Después de lo anterior, pídales que resuelvanlos problemas de esta actividad y observe có-mo lo hacen. Se espera que no tengan dificul-tad para hacer los cálculos y, por lo tanto, no ha-brá muchas diferencias en los resultados.

Al hacer la confrontación pregunte por quése obtienen metros cúbicos y aclare el significa-do de esta unidad de medida: "volumen que sepuede representar mediante un cubo que mideun metro de arista".También puede decirse quees el volumen de agua que cabe en un recipien-te cúbico de un metro de arista, o bien, que elmetro cúbico se obtiene de multiplicar tres di-mensiones: largo, ancho y altura, en este casometros por metros por metros, de lo que resul-tan metros cúbicos. Se espera que los alumnosno tengan ningún problema para encontrar losresultados de la tabla.

Organice a los alumnos en equipos para que re-suelvan toda la lección, permita el uso de la cal-culadora y haga una confrontación al terminarcada actividad. Consiga cajas de cartón de dife-rentes tamaños para que los alumnos calculensu capacidad.


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L E C C I Ó N

Relación entre litros y dm3

76

• Explica por qué al chapoteadero le caben 10 000 litros de agua

¿Cuántos litros de agua le caben a la alberca 3?¿Cuántos litros más le caben a la fosa de clavados que a la alberca 2?¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenar las tres albercas?

Albercas y cisternas

1. A los niños de una escuela del estado de Morelos les pidieronaveriguar cuántos litros de agua caben en las albercas de unbalneario. El encargado les dio las medidas de las albercas, queregistraron en una tabla como la que se muestra a continuación.

• Calcula el volumen en m3 de cada una de las albercas. Anota en la tabla tusresultados.

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Largo Ancho Profundidad Volumen en m3

(m) (m) (m)

Alberca 1 20 m 10 m 2 m



Chapoteadero 5 m 4 m .50 m 10

Fosa de clavados 10 m 10 m 4 m

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Ficha 63:2Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

La explicación de por qué al chapoteadero le caben 10 000 li-tros pasa por el hecho de saber que un metro cúbico equivale a1 000 litros, pero es conveniente llevar el cuestionamiento másallá y pedir que los alumnos expliquen por qué se da esta últimaequivalencia. Se trata de que adviertan que un metro cúbicoequivale a 1 000 decímetros cúbicos y, como ya se vio anterior-mente, que un decímetro cúbico equivale a un litro. Todas estasexplicaciones no están de más porque con mucha facilidad sepuede caer en el uso de reglas memorísticas. Habiendo discutidocon cierta profundidad esta cuestión ya no habrá necesidad dehacerlo en las tres siguientes. Si nota que hay muchas respuestaserróneas déles un tiempo para que las rectifiquen.

Pida a los alumnos que resuelvan esta actividadsin ninguna explicación previa y observe lo quehacen. Cuando vea que la mayoría terminó, or-ganice una confrontación de procedimientos yresultados.

Es probable que no haya resultados distintos,pero es conveniente que algunos alumnos ex-pliquen cómo los obtuvieron porque puedensurgir ideas interesantes. Por ejemplo, algunosalumnos podrían tomar en cuenta sólo el tama-ño de los dibujos y las capacidades que apare-cen en la tabla para saber cuál cisterna corres-ponde a cada uno, el más chico a la de menorcapacidad, y así hasta llegar a la de mayor capa-cidad. Este recurso es muy simple pero bastan-te eficaz para resolver este problema y, por su-puesto, completamente válido, no sólo porqueen efecto se aprecian diferencias en los tama-ños de los dibujos, sino porque esas diferenciasse pueden corroborar con las medidas que tie-nen anotadas, por ejemplo entre la que mide 5 m × 4 m × 2 m y la que mide 5 m × 4 m × 3 m, senota que efectivamente esta última es más alta.

Otro procedimiento posible es calcular elvolumen en cada dibujo, en metros cúbicos,

convertir a decímetros cúbicos y luego a litros.Es muy probable que algunos alumnos lousen y vale la pena que se comente. Por ejem-plo, en el primer dibujo el volumen es 144 me-tros cúbicos; 144 000 decímetros cúbicos,o bien,144 000 litros.

Un procedimiento más consiste en convertirlas medidas lineales en decímetros. Para el pri-mer dibujo: 60 dm, 60 dm y 40 dm, que al multi-plicarse dan como resultado 144 000 decíme-tros cúbicos, o bien 144 000 litros.

En caso de que los alumnos terminen muyrápido de resolver la lección, utilice los envasesque consiguió para que se familiaricen con elcálculo de la capacidad. Entregue un envase acada equipo y dígales que calculen su capaci-dad. No olvide que la medición efectiva es unrecurso valioso para que los alumnos desarro-llen la habilidad de medir y de entender mejorel concepto de error en la medida. En este casoellos tendrán que decidir cuáles medidas nece-sitan, qué unidad de medida utilizan y cómo ex-presar el resultado. Usted jugará un papel fun-damental para ayudarlos a aclarar todas las du-das que surjan.

2

El maestro no debe olvidar proponercontinuamente actividades en las que losalumnos realicen estimaciones y cálculosmentales, tanto en situaciones numéricas,

como de medición u otras.

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170

77


Una vez que terminen de llenar la segundatabla, pídales que se pongan de acuerdo paracontestar las preguntas. Si lo requieren, permitael uso de la calculadora para obtener los pro-medios. Tome en cuenta que en esta parte losresultados de cada equipo pueden ser diferen-tes porque provienen de datos diferentes.Cuando la mayoría haya terminado de resolverla actividad 2, lea las preguntas de una en una ypida que los equipos digan su resultado. Asegú-rese de que no tuvieron problemas para obte-ner los promedios y la mediana. Sólo en caso deque haya diferencias muy grandes se hará unarevisión más detallada.

Organizar en una tabla los datos de una encues-ta y presentarlos en una gráfica. Calcular el pro-medio y la mediana.

Estadísticas sobre los fumadores

Para llevar a cabo esta lección es necesario queencargue a los alumnos, por lo menos con undía de anticipación, la encuesta que se describeal inicio de la primera actividad. Como podráver, la información obtenida por cada alumnosirve para hacer un trabajo cada vez más am-plio; en la segunda actividad se reúnen los da-tos del equipo y en la cuarta los de todo el gru-po. Si la encuesta no se realiza previamente, nohabrá información para llevar a cabo el trabajopropuesto.

Dedique un momento para comentar los re-sultados de la segunda actividad, otro cuandoterminen la tercera, y otro más al final de la lec-ción para comentar las respuestas de la activi-dad 4 y comparar las gráficas de la actividad 5.

Analice brevemente, junto con los alumnos, lagráfica del libro de Ciencias Naturales que se in-dica en la actividad 1, para que sepan bien cuáles la información que hay en los ejes y algo quese aprecia de manera evidente: que entre los fu-madores hay más hombres que mujeres y queel grupo de edad donde hay más personas quefuman es entre los 26 y los 34 años.

Enseguida pida a los alumnos que resuelvanlas actividades 1 y 2. Ambas tienen que ver conlos datos de la encuesta que realizaron previa-mente. Se espera que no tengan problema parallenar la tabla que aparece en el libro y una másamplia que deberán hacer en su cuaderno paraconcentrar la información de todo el equipo.

1 2


170

L E C C I Ó N

Recopilación y análisis de la información

77

2. Organízate con tus compañeros para trabajar en equipos. Reúne la informaciónde todo el equipo y haz una sola tabla como la anterior.

¿Cuál es el promedio de edad de las personas entrevistadas?¿Cuál es el promedio de edad de las personas que fuman?La mayoría de las personas entrevistadas ¿son hombres o mujeres?La mayoría de las personas entrevistadas ¿fuman o no fuman?¿Quiénes fuman más, los hombres o las mujeres?

• Ordena tu tabla por edades de los entrevistados. ¿Cuál es la mediana de edad dela muestra?

¿Dónde hay más fumadores, por debajo de la mediana o por arriba de la mediana?

Estadísticassobre los fumadores

1. Revisa la lección 23 (página 110) de tu libro de Ciencias Naturales,“El tabaco y el alcohol dañan la salud”. En esa lección aparece unagráfica de barras en la que se muestra el porcentaje de fumadoresy fumadoras por grupos de edad que había en México en 1993. Contodo el grupo haz una investigación para saber cuántos fumadoresy fumadoras hay en tu colonia o comunidad. Para hacer estainvestigación hay que comenzar por una encuesta.

• Entrevista a seis personas mayores de 12 años que conozcas, puedenser tus padres, hermanos, tíos, primos, abuelos, amigos, vecinos otrabajadores de los comercios cercanos a tu casa.

• Copia en tu cuaderno la tabla siguiente y complétala con los datos detus entrevistas.

Persona entrevistada Edad Hombre/Mujer Fuma/No fuma

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 2:20 PM

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Antes de que los alumnos empiecen a resolver esta actividad, pí-dales que modifiquen los encabezados de la tabla tal como semuestra a continuación.

De esta manera los datos registrados se po-drán utilizar mejor para contestar las preguntas.Pida a los alumnos que elaboren su gráfica indi-vidualmente y que luego las comparen en cadaequipo para ver si son iguales. En caso contra-rio, pídales que averigüen dónde hay errores.Para el cálculo de los porcentajes, dígales queconsideren el total de personas que hay en ca-da grupo de edad. Por ejemplo, si en el primergrupo hay seis personas en total, de las cuales

una mujer y dos hombres fuman, entonces, enla gráfica habrá que señalar el 17% y el 33%, res-pectivamente.

Durante la confrontación es importante queun miembro de cada equipo comente sobre loque es evidente en la gráfica que construyeron,por ejemplo, si entre los fumadores hay másmujeres que hombres, o si el grupo de edad enel que hay más fumadores es entre los 35 y los44 años, o bien, si en todos los rangos de edadhay más hombres fumadores que mujeres.

Probar, equivocarse,volver a probar hasta

lograr la solución,propicia que los niños

avancen en suaprendizaje,

adquieran confianzaen el manejo de sus conocimientos,

reconozcan su validezy los utilicen para

resolver las diversassituaciones.

Para agilizar estas actividades, dibuje en el pizarrón una tabla si-milar a la de la actividad 3 y pida a los alumnos que la reproduz-can en su cuaderno. A continuación proponga a los equipos quecada uno proporcione sus datos para que usted concentre los to-tales en la tabla dibujada en el pizarrón, mientras tanto los alum-nos pueden completar la misma tabla en sus cuadernos y ense-guida resolver los problemas que se plantean en esta actividad.

Anote a un lado de la tabla el promedio de edad que obtu-vieron en cada equipo para que con estos datos los alumnospuedan calcular el promedio de edad de la muestra obtenidapor el grupo. Coménteles que van a calcular el promedio de lospromedios.

Cuando la mayoría haya terminado, haga una puesta en co-mún de los resultados con el fin de aclarar lo necesario. Es proba-ble que al calcular el promedio obtengan resultados distintos, encuyo caso habrá que ver quiénes tienen razón. Finalmente, pída-les que elaboren su gráfica con los datos de la tabla, calculandolos porcentajes como lo hicieron en la actividad 3.

Lea con los alumnos el texto con letras azules que está al finalde la lección y comente sobre la diferencia que existe entre unamuestra y una población desde el punto de vista estadístico.

4 5

3

Mujer Hombre Total

Edad Fuman No fuman Fuman No fuman

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 2:20 PM

11

42 497

077

35


172

78

El propósito es que losalumnos se den cuenta deque si no dividen ese residuo,al reunir la cooperación de to-dos los niños no va a alcanzarpara pagar los artículos que secompraron.

Resolver problemas en contextos de dinero queimpliquen la división hasta centésimos y la re-solución de otras operaciones con números de-cimales.

Material deportivo

Antes de que los alumnos resuelvan el problema, pida que, sinhacer operaciones escritas, estimen cuánto creen que se tieneque pagar por los artículos señalados. Anote las estimaciones enel pizarrón. Después pida que cada quien resuelva el problema ycomparen sus resultados con los de sus compañeros de equipo.La estimación inicial es un referente que les permitirá saber si elresultado que obtuvieron por escrito es factible o no.

Favorezca la interacción entre los alumnos y lacomparación de procedimientos organizandoal grupo en equipos de cuatro para resolver lasactividades 1, 2 y la primera parte de la activi-dad 4. La actividad 3 y la segunda parte de la ac-tividad 4 conviene trabajarla de manera colecti-va. Confronte las respuestas de los alumnoscuando terminen de resolver cada actividad.

1


Dado que no se ha trabajado formalmente la manera de aproxi-mar el cociente de la división hasta decimales, es probable quepara completar la tabla los alumnos dividan los $497 ÷ 48, 42, 35y 24, hasta llegar al residuo que no se puede dividir, sin recurrir alos decimales. Mientras trabajan acérquese a los equipos y obser-ve cómo dividen. Pregunte por el significado de los números uti-lizados en la división: dividendo (costo total), divisor (número dealumnos), cociente (costo por alumno) y residuo (dinero que fal-ta de dividir) y también pregunte: ¿Si cada niño da esa cantidad sejuntan $497?


2

14

35 497

147

07

3º

10

48 497

017

4º 5º

20

24 497

017

6º

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 5:08 PM

173


Deje que los alumnos hagan las operacionesque consideren necesarias para calcular cuántole tocaría a cada niño al repartir el residuo de ladivisión. Es probable que sumen o multipliquenel cociente por el divisor y se den cuenta de que eldinero que falta por reunir es el que aparece enel residuo. Pregunte: Si en tercero y sexto gradosse reparten los $17.00 que faltan, entre los 48 olos 24 alumnos, ¿les tocará un peso, más de unpeso o menos de un peso? ¿Por qué? ¿A qué grupole tocará más? ¿Qué pueden hacer para saber exac-tamente cuánto les tocará pagar de esos $17.00?

Posiblemente los alumnos hagan por separa-do otras operaciones, probando con varias can-tidades hasta llegar al resultado que se aproxi-me más a $17.00. Por ejemplo .40 × 48 = 19.20,.35 × 48 = 16.80, .30 × 48 = 14.40 . Con procedi-

mientos como éste los alumnos probablementeconcluirán que en el grupo de tercero a cadaalumno le tocará pagar $10.35 y que en el grupode sexto cada alumno pagará $20.70. En la con-frontación pida a estos alumnos que expliquena sus compañeros lo que hicieron para dividir elresiduo. Después, pida a alguno de los alumnosque resolvieron la división hasta centésimos (sies que lo hubo) que explique a sus compañeroscómo hacer estas divisiones. Apóyelo para quesus explicaciones sean lo más claras posible. Sinadie supo dividir hasta centésimos, sin invali-dar los procedimientos correctos que hayan sur-gido, enséñeles el procedimiento convencional,como otra manera de resolver este tipo de pro-blemas. Deje escritas en el pizarrón las cuatro di-visiones resueltas hasta centésimos.

Juntos lean el primer problema. Si los alumnos no entienden lapregunta, aclárela planteándola de la siguiente manera: Sólo enun grupo se reúnen exactamente los $497.00 que se necesitan ¿quégrupo es? Dé unos minutos para que encuentren la respuesta.Observe cómo lo hacen. Es probable que algunos alumnos tratende sumar el cociente de la división tantas veces como alumnoshay en cada grupo, otros quizá multipliquen, y otros tal vez ob-serven las divisiones escritas en el pizarrón y al darse cuenta deque sólo en una de ellas el residuo es cero, descubran la respues-ta. Suspenda la actividad cuando estos últimos alumnos tenganla respuesta.

Pida a un alumno que utilizó cada procedimiento que expli-que cómo supo o cómo trató de averiguar qué grupo es el quereúne exactamente los $497. Con el procedimiento que se sugie-re en la siguiente bala, pida que verifiquen si los otros grupos nocompletan los $497.

3

4

Favorezca que los alumnos den sus opinionesacerca de si es necesario o no redondear lascantidades a pagar por los alumnos dando ar-gumentos que justifiquen sus respuestas. En lasegunda parte de esta actividad se presentauna división en la que aparecen escritos los cál-culos que mentalmente se realizan cuando yase sabe dividir y que normalmente no aparecen

registrados en las divisiones. Es importante ana-lizar el algoritmo paso a paso con el fin de quelos alumnos lo comprendan. Resalte el momen-to en el que se termina de dividir los enteros yla importancia de anotar el punto decimal parasepararlos de los decimales que se obtendrán alconvertir a décimos los enteros del último resi-duo parcial.

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/16/02 5:28 PM


174

79

1



Note la diferencia entre el primer y último renglón de la tabla conel segundo y el tercero. En el primer caso la escritura fraccionariaestá claramente definida (2 l y l), mientras que en el segun-do caso es necesario hacer una transformación. Observe si losalumnos sienten esta dificultad y ponga atención a la manera enque tratan de resolverla. Por ejemplo, para expresar un litro y 125mililitros es probable que piensen así: 500 ml es litro; 250 mles de litro; entonces 125 ml es de litro. Para escribir con no-tación decimal es necesario saber que los mililitros son milési-mas de litro, de manera que un litro y 125 mililitros es 1.125 litros(un litro y 125 milésimas de litro), o bien, 1 125 mililitros.

Utilizar la suma, resta y multiplicación con deci-males al resolver problemas de medición y con-versión de unidades de capacidad. Usar diferen-tes expresiones para una misma medida.

Las unidades de capacidad

Comente brevemente con los alumnos lo quees un galón para saber cuál es la idea que tie-nen sobre esta unidad de medida. Si le es posi-ble, consiga un envase cuya capacidad sea ungalón y muéstrelo a los alumnos.Verifiquen queun galón es un poco menos de cuatro litros. En-seguida pídales que empiecen a resolver la lec-ción mientras usted observa lo que hacen.

Ponga especial atención en los dos últimosproblemas de esta actividad, observe las opera-ciones que usan los alumnos y el dominio quemuestran al efectuarlas. Vea si usan multiplica-ciones o sólo sumas. Si nota que hay dificulta-des ayúdeles a corregirlas de manera particularo, en caso de que muchos alumnos tengan difi-

cultad, de manera colectiva. Observe tambiéncómo expresan los resultados y averigüe si sa-ben el significado de la parte decimal. Por ejem-plo, en el primer problema el resultado es 0.87litros (87 centésimas de litro). Pregunte si esmás de un litro o menos de un litro y cuánto lefalta para un litro.

Es muy importante que durante la confronta-ción se destaque el uso de la multiplicación co-mo una manera de abreviar la suma de suman-dos iguales, pero no olvide que el proceso eslento y que sólo mediante la resolución de pro-blemas múltiples y variados los alumnos adqui-rirán confianza con operaciones más eficaces.

Organice a los alumnos en equipos para resol-ver las cuatro actividades de esta lección. Insís-tales en que platiquen para ponerse de acuerdoen la manera de resolver los problemas, de ma-nera que cualquier integrante del equipo pue-da explicar lo que hicieron. Una vez que la ma-yoría haya terminado, organice una confronta-ción de resultados después de cada actividad.

2

14

18

12

14

18

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/20/02 9:43 AM

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Ficha 13 (capacidad)Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Al confrontar los resultados de esta actividadprocure que se comenten ampliamente, sobre to-do los casos en los que haya habido más dificultad.

175

3. Resuelve los siguientes problemas.

El hijo de Joel toma cinco biberones deleche al día. Al biberón le caben 250 ml.¿Cuántos litros de leche toma cada día?

Al tanque de gasolina del coche de Joel lecaben 45 litros. Joel cargó gasolinay el tanque se llenó con 39.8 litros.¿Qué cantidad de gasolina tenía el tanque?

Ramón y sus amigos se tomaron 12 jugoscomo el que se muestra. ¿Cuántos litros dejugo se tomaron?

4. La cubeta se quiere llenar usando los recipientes que se muestran.

Armando usó 15 veces el recipiente de l, y todavía le faltó usar otros recipientespara llenar la cubeta. ¿Qué otras unidades tuvo que usar para llenarla?Explica tu respuesta

Luisa llenó la cubeta. Usó 20 veces el recipiente de 125 ml y acabó de llenarla conel recipiente de l. ¿Cuántas veces usó el recipiente de l?

Pablo llenó la cubeta. Usó todos los recipientes. ¿Cómo pudo Pablo combinar losrecipientes?

125 ml l14 l1

2 1 l 9.625 l

12

12

12

3

4

El primer y segundo problemas de esta activi-dad son muy similares y se espera que los alum-nos no encuentren mucha dificultad al resolver-los, se trata de convertir una cantidad de milili-tros en litros.

En el segundo problema los alumnos pue-den optar por usar el cálculo mental en virtudde que la diferencia entre las cantidades (45 y39.8) no es muy amplia. De esta manera evitanel algoritmo de la resta 45 – 39.8, que en estecaso puede conducirlos a cometer algún error.

Para resolver los problemas de esta actividad serequiere un manejo adecuado de las unidadesde medida de capacidad y de las distintas for-mas de expresar las medidas, con fracciones, condecimales o con números naturales, de maneraque usted podrá ver hasta dónde los alumnoshan adquirido familiaridad con estos conoci-mientos. Observe cómo encuentran los resulta-dos y qué tan diversos son. También aquí es pro-bable que los alumnos usen el cálculo mental paraevitar las operaciones escritas, pero si esto sucedeayúdelos a ver de qué manera se podrían encon-trar los resultados mediante dichas operaciones.

Por ejemplo, en el primer problema es fácilver que 15 veces el recipiente de litro son 7 ‹litros, pero para encontrar la diferencia con9.625 litros hay que pasar el 7 a la notacióndecimal y después de encontrar la diferencia(2.125 litros) ver con cuáles recipientes se puedeobtener esta cantidad.Tome en cuenta que este

Sin embargo es importante que se comente ampliamente la formade resolver dicha resta. En caso de que ningún equipo la haya usa-do, propóngala y pida que algún alumno pase a resolverla. Ésta esuna manera de verificar el resultado que se obtiene mediante el cál-culo mental.

problema tiene diferentes respuestas correctasporque hay distintas maneras de completar2.125 litros con los recipientes que se muestran.Algunas soluciones posibles son: 2 veces un litromás 125 mililitros; 4 veces litro más 125 mili-litros; 8 veces de litro más 125 mililitros; 17veces 125 mililitros.

El último problema también tiene muchasrespuestas correctas. En primer término veacuáles obtienen los alumnos y ayúdelos a anali-zar si son correctas. Después agregue algunasrestricciones para favorecer una mayor refle-xión. Por ejemplo, puede plantear una consignacomo la siguiente: Ahora ganará el equipo quelogre encontrar la manera de llenar la cubetausando menos recipientes. Deje que los alumnosse entusiasmen con este reto y cuando la mayo-ría haya terminado, confronte las respuestas.Note que en este caso la respuesta óptima es:Con un solo recipiente, el de 125 mililitros.

12

12

12

12

14

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 5:10 PM

Calculando cuántos Expresando los decimales Calculando cuántos km Buscan el total km recorrieron con fracciones representa cada fracción de km recorridos


176

80

1



Resolver problemas que impliquen multiplicarnúmeros decimales.

¿Qué distancia recorrieron?

Pida que lean el problema y la información con-tenida en la tabla, y antes de que se dispongan acompletarla pregunte: ¿Quiénes van en los tresprimeros lugares? Es probable que algunosalumnos no se den cuenta de que ya están orde-nados y crean que Gastón, Miguel, Sebastián yValentín ocupan los tres primeros lugares. Si es-to sucede, pregunte en qué se fijan para saberlo.Posiblemente crean que .75 > .9, como sucedecon los números enteros. Pregunte al grupo siestán de acuerdo con lo que dicen sus compa-ñeros. Pida que argumenten sus respuestas.

Plantee otras preguntas para que los alum-nos adviertan que, en la segunda columna, el

número que aparece a la izquierda del puntoindica el número de vueltas completas dadaspor los ciclistas, y los que aparecen a la derechadel punto indican qué parte, de la cuarta vuelta,han recorrido. Mientras los alumnos completanla tabla, observe qué procedimientos utilizan. Esposible que algunos traten de usar la multipli-

Pida a los alumnos que organizados en parejasresuelvan las actividades 1 y 4. Solicite que ensu cuaderno realicen todas las operaciones quenecesiten para resolver los problemas. La pri-mera parte de la actividad 2 conviene trabajar-la colectivamente y la segunda parte de mane-ra individual. De la misma manera pida que re-suelvan la actividad 3. Restrinja el uso de la cal-culadora. Sólo podrán utilizarla cuando se indi-que en el libro. Realice tres confrontaciones: unacuando terminen de resolver la actividad 1, otraal término de la actividad 3 y una más despuésde la actividad 4.

Sacando la mitad de 12.5mentalmente

odividiendo 12.5 ÷ 2

odividiendo 12.5 ÷ 10 ymultiplicando el resultadopor 5

Sumando elresultado de laprimera columnacon el de latercera

.25 de vuelta = de vuelta12

Sacando la mitad de 12.5y 6.25 mentalmente

odividiendo 12.5 ÷ 4

.1 de vuelta = de vuelta110 Dividiendo 12.5 ÷ 10

.75 de una vuelta es igual a

.25 + .25 + .25 = de vueltaSumando 3 veces los kmque se recorren en uncuarto de vuelta

omultiplicándolos por 3

34

.9 = 9 veces de vuelta110

Dividiendo 12.5 ÷ 10 y elresultado multiplicándolopor 9

Sumando 3veces 12.5omultiplicando12.5 × 3

.5 de vuelta = = de vuelta12

510

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2 3

cación pero probablemente tengan dificulta-des para ubicar el punto en el resultado ya queno se ha trabajado la multiplicación con núme-ros decimales en ambos factores. Otros quizábusquen estrategias tales como la siguiente.

En la confrontación pida a una de las parejasque escriba en el pizarrón los resultados queobtuvieron en cada caso. Pregunte si todos ob-tuvieron lo mismo. Es posible que existan dife-rencias debidas a errores de cálculo o a la ma-nera de redondear las cantidades (si lo hicie-ron). Por ejemplo, en el segundo renglón, pudie-ron anotar 46.875, 46.87 o 46.88 km, y en elcuarto 40.625, 40.62 o 40.63 km.

Agilice la actividad confrontando los proce-dimientos de los dos primeros renglones de latabla o los procedimientos con los que obtuvie-ron resultados diferentes. Pida a alguna de lasparejas que resolvieron los problemas apoyán-dose en las fracciones (aunque tenga errores)que expliquen cómo llegaron al resultado delprimer renglón de la tabla. Al resto del grupo in-vítelos a encontrar y corregir errores. Ayúdeles aobservar la equivalencia entre las diferentes for-mas de expresar el número de vueltas recorridas(3.9 = 3 ). Si alguien sumó 3 veces 12.5 + 11.25,pida que hagan esta operación en el pizarrón.Solicite lo mismo a uno de los alumnos quemultiplicaron 12.6 × 3.9. Si colocan mal el pun-to, no los corrija, invite al grupo a comparar el

resultado obtenido con cada procedimiento.Probablemente se den cuenta del error y lo co-rrijan: Pregunte: ¿Cómo saben que el punto va enese lugar?

Ayúdeles a observar que en los factores de lamultiplicación se multiplican décimos por déci-mos, de manera que en el resultado debe habercentésimos, es decir, dos cifras decimales. Hagalo mismo con el otro renglón de la tabla.

177

• Contesta lo siguiente:

¿Utilizaste alguno de estos dos procedimientos para resolver las preguntas de lapágina anterior?¿Por qué Pedro sumó tres veces 12.5 y además 3.125?¿Qué multiplicación tendrás que hacer para obtener el mismo resultado que seobtiene al sumar 12.5 + 12.5 + 12.5 + 6.25?

• Comprueba tu respuesta haciendo las operaciones.

3. Utiliza el procedimiento de Pedro y el de Paula para calcular la distancia recorridapor Sebastián Salgado. Haz las operaciones en tu cuaderno.

• Utiliza el procedimiento de Paula para calcular las distancias recorridas por todoslos ciclistas que aparecen en la tabla. Luego comprueba sumando, como hizoPedro. Puedes ayudarte con la calculadora.

4. ¿Qué ventaja, en kilómetros, le lleva Valentín Blanco a Ricardo Moreno?

¿Cuánto más ha recorrido Miguel Hernández que Sebastián Salgado?

Si la carrera es de 125 km, ¿cuánto le falta por recorrer a Marcelo Veloz?

© Sc

ott

Mar

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itz

Ayude a los alumnos a observar las ventajas deusar la multiplicación para resolver este tipode problemas.

Si nota que tienen dificultad para responder ala segunda y tercera preguntas de la actividad 2,pregunte: ¿Qué parte de una vuelta es 3.125? ¿Y6.25? Observe cómo resuelven las multiplicacio-nes y cómo calculan cuántos kilómetros repre-sentan los decimales. En la confrontación pida aalgunos alumnos que cometieron errores que re-suelvan sus operaciones en el pizarrón. Invite algrupo a identificar los errores, a explicar en quése equivocaron sus compañeros y a corregirlos.

Para resolver el primer problema de esta activi-dad es probable que algunos alumnos sólocomparen el número de vueltas que dio cadacorredor y que den como resultado 0.1 vueltaso de vuelta. En la confrontación hágales no-tar que la pregunta dice qué ventaja en kilóme-tros, por lo tanto es necesario convertir en kiló-metros la respuesta anterior. En cambio, lasrespuestas de los dos últimos problemas pue-den darse en kilómetros o en vueltas porqueno se especifica. Si en el grupo surgen ambos ti-pos de respuestas (en kilómetros y en vueltas)ayúdelos a determinar si son equivalentes o no.

910

110

4

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Después, lea con sus alumnos la segunda parte de esta activi-dad. En el texto escrito con letras azules, se plantea una condi-ción para que los tres niños tengan la misma probabilidad de ga-nar y más adelante se propone un procedimiento con el que sepuede cuantificar la probabilidad de que gane Marcos, el niñoque eligió el color naranja para jugar.

Iniciar con el estudio de la fracción desde la in-terpretación de razón para predecir la probabi-lidad de un evento azaroso sencillo. Este con-cepto se continuará trabajando en sexto gradoy se profundizará en la secundaria.

El juego de la ruleta

Pida a los alumnos que lean el problema y con-testen las tres primeras preguntas. Se esperaque se den cuenta de que, en este caso, los tresniños tienen la misma oportunidad de ganar,porque el círculo está dividido en tres partesiguales. En la confrontación propicie que losalumnos externen sus ideas acerca de por quétienen la misma probabilidad de ganar, e invíte-los a dar ejemplos de cómo debería colorearseel círculo para que uno de los niños tuviera másprobabilidad de ganar que los otros dos.Tal vezopinen que para hacer más probable que un ni-ño gane, la mayor parte del círculo debería estarcoloreado, por ejemplo de verde, y dos partesmás pequeñas deberían estar coloreadas deazul y de anaranjado.

Forme equipos de tres alumnos para que re-suelvan la primera parte de la actividad 1 y laactividad 2. La segunda parte de la actividad 1conviene trabajarla colectivamente y la activi-dad 3 de manera individual. Confronte las res-puestas de los alumnos al terminar de resolvercada actividad.

1



81

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L E C C I Ó N

Si los sectores tienen la misma forma y tamaño, decimos que esigualmente probable que la aguja se detenga en cualquiera de ellos.

Completa la siguiente información.

Probabilidad de eventos

81 1. Marcos, Martina y Mauricioestán jugando con una ruletacomo la que aparece en la figurade la derecha.

El juego de la ruleta

Número de sectores naranjasProbabilidad de que salga naranja = =

Número total de sectores

Si al girar la ruleta la aguja se detiene enel sector naranja, gana Marcos; si se detieneen el sector azul, gana Martina y si sedetiene en el verde, gana Mauricio.¿Cuántos sectores hay en total?¿Quién crees que tenga más oportunidadesde ganar?¿Por qué?

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Es importante detenerse un momento en esta parte de la lec-ción para que los alumnos tengan la oportunidad de reflexionarsobre la relación que hay entre la manera en la que se está pro-poniendo cuantificar la probabilidad de ganar y las fracciones.Para ello, puede plantear preguntas que lleven a los alumnos adarse cuenta de la coincidencia entre la probabilidad de que ga-ne Marcos y la fracción del círculo que está coloreado de anaran-jado. Por ejemplo: ¿En cuántas partes iguales está dividido el círcu-lo? ¿Qué parte del círculo está coloreado de naranja? ¿Cuál es la pro-babilidad de que Marcos gane? Señale que la expresión (un ter-cio), también puede leerse 1 de cada 3 o 1 de 3. Es decir, Marcostiene 1 de 3 oportunidades de ganar, o bien, tiene de las opor-tunidades para ganar.

2

Se espera que los alumnos observen que Mar-cos tiene más probabilidad de ganar, dado quela mitad del círculo está coloreado de anaranja-do. Sin embargo, no se puede asegurar que élgane porque es una situación azarosa y porquela otra mitad del círculo está coloreado de ver-de y de azul. Las cinco últimas preguntas estánorientadas a que los alumnos observen que, delas cuatro oportunidades que se tiene para ga-nar en una tirada, le corresponden 2 al coloranaranjado ( ), 1 al color azul ( ) y 1 al color

3

verde ( ). Esto lo pueden expresar los alumnosde diferentes maneras: 2 de 4 oportunidades;2 de cada 4, o simplemente de probabilidad. Sino utilizan la fracción no se preocupe, éste esun concepto difícil de entender para los alum-nos de quinto grado; con esta lección sólo se es-tán sentando la bases para estudios posterio-res. Confronte las respuestas para ver si hayacuerdo. Si no es así, pida que busquen argu-mentos para invalidar las respuestas que consi-deren incorrectas.

La resolución individual de esta actividad le permitirá observar loque los alumnos han entendido acerca de la relación que existeentre el número de casos favorables y el total de casos que sepueden dar en un evento sencillo donde interviene el azar.

La última pregunta de esta actividad permite que los alumnoscomenten en la confrontación por qué si se sabe que es más pro-bable que gane el color naranja no se puede asegurar. Se esperaque los alumnos concluyan que, si bien se puede anticipar la pro-babilidad de que algo ocurra, nada asegura que sea así. Ésta esuna característica de todos los fenómenos en los que intervieneel azar.

Si queda tiempo después de resolver la lección, pida a cadaequipo que construya una de las ruletas que se muestran en lalección y que jueguen 15 rondas para ver si sus predicciones fue-ron acertadas o no.

13

13

24

14

14

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1



Analizar distintas maneras de expresar y calcu-lar los porcentajes.

El costo de los boletos

Pida a los alumnos que resuelvan la primera actividad sin ningu-na explicación de por medio; se trata de que analicen la informa-ción que hay en la tabla para que a partir de ella puedan encon-trar la que hace falta. Una vez que la mayoría de los alumnos ter-mine de llenar la tabla y de contestar las preguntas que están en-seguida, dedique un momento para comentar las respuestas.Pregunte a cada equipo el título que le pusieron a la tabla y anó-telos en el pizarrón para que después digan cuál es el más apro-piado y por qué. El hecho de buscar un título para la tabla lleva areflexionar sobre su contenido, de manera que es interesante sa-ber qué ven en ella los alumnos y, en función de esto, cuál es eltítulo que les parece más apropiado.

Organice a los alumnos en equipos para que re-suelvan las tres actividades de esta lección. Rea-lice una confrontación de resultados al final decada actividad.

La segunda y tercera preguntas de esta activi-dad están muy relacionadas, ya que si el títuloque se le pone a la cuarta columna es "fraccio-nes" o "fracciones comunes", entonces puedehaber varias respuestas en cada renglón, pero siel título es "fracciones simplificadas", las res-puestas de la cuarta columna son únicas. Porejemplo, en el segundo renglón la única fracciónsimplificada es . Dado que la simplificación defracciones aparece de manera explícita hastasexto grado, es probable que en algunos renglo-nes de la cuarta columna los niños encuentrendiferentes fracciones equivalentes. Durante lapuesta en común es importante analizar todaslas fracciones que surgieron y la manera en quepuede comprobarse que son equivalentes o no,así como la conveniencia de considerar la queestá expresada con los números menores.

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L E C C I Ó N

Problemas que implican cálculo de porcentajes

82

180

¿Qué título le pondrías a esta tabla? Coméntalo con un compañero y anótalo.

¿Qué título le pondrías a la cuarta columna?

¿Crees que en cada uno de los renglones de la cuarta columna podría haber distintasrepuestas? ¿Por qué?

2. En los siguientes espacios anota tres procedimientos distintos para calcular25% de 2 500.

El costo de los boletos

1. Cada renglón de la siguiente tabla contiene expresiones que sonequivalentes. Anota los datos que hacen falta.

• Compara tus procedimientos con los que utilizaron otros compañeros.

¿Cuál o cuáles de todos los procedimientos crees que convenga más utilizar?

¿Por qué?

Coméntalo con tu maestro y tus compañeros.

30 por ciento .30

75% .75

40 por ciento

.80

30100

310

45100

920

34

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Si usted nota que para muchos alumnos es di-fícil encontrar tres procedimientos distintospara calcular el 25% de 2 500, no los presioney espere a ver si durante la puesta en comúnlos niños logran llevar a cabo dichos procedi-mientos. Podrían surgir algunos como los si-guientes:

• Dividir 2 500 entre 4, dado que el 25% es ‹y esto es igual a . Calcular el 25% de unacantidad equivale a calcular la cuarta partede esa cantidad.

2

• Calcular el 10% y el resultado sumarlo dosveces y media. El 10% de 2 500 es 250, dos ve-ces y media 250 es igual a 625.

• Dividir 2 500 entre 100 para obtener el unopor ciento, y este resultado multiplicarlo por25. Así, 2 500 entre 100 es igual a 25 y, 25 x 25es igual a 625.

Es importante que comparen sus procedi-mientos para que adviertan que hay diferentesformas de obtener un porcentaje,pero es más im-portante aún que los alumnos sepan identificar,en cada caso, cuál procedimiento les conviene.

Un aspecto importante de esta actividad es la búsqueda de in-formación en la tabla para poder contestar las preguntas que seplantean. Es probable que los niños no sepan qué es un abono.Coménteles que en este caso es el pago de un boleto que sirvepara entrar a los 12 partidos. Pregúnteles qué significa cada unade las cantidades de la tabla para que todos tengan claro a quése refieren y, después de esto, deje los problemas en sus manos.

En los cuatro primeros problemas se trata deaumentar o disminuir un porcentaje al costo delos boletos que se compran, por ejemplo, en eltercer problema, se compran 10 boletos tresdías antes del partido. De acuerdo con la tabla,los boletos que se compran en la misma sema-na del partido cuestan $55.00 cada uno, por lotanto son $550.00, pero como se aprovecha elplan familiar hay un descuento del 5% que son$27.50, de manera que hay que pagar $522.50

Los dos últimos problemas seguramente re-sultarán más complicados para los alumnosporque ya no se trata de calcular directamenteun porcentaje sino de averiguar a qué porcen-taje corresponde una cantidad. Por ejemplo,en el cuarto problema dice que se compraron3 boletos y se pagó $148.50, para saber conqué anticipación se compraron hay que averi-guar qué porcentaje se descontó. ¿Qué po-drían hacer los alumnos para resolver este problema? Si los boletos se hubieran compra-do en la semana del partido hubieran costado3 × 55 = 165, de manera que hubo un descuento

de 165 – 148.50 = 16.50, esta cantidad es justa-mente el 10% de 165, por lo que los boletos secompraron con dos semanas de anticipación.

Note que un apoyo importantísimo para re-solver este tipo de problemas es el manejo ade-cuado de las multiplicaciones y divisiones por 10y por 100; esto les permitirá a los alumnos apre-ciar rápidamente que 16.50 es el resultado de di-vidir 165 entre 10, que equivale a calcular el 10%.

El último problema es un reto todavía mayorpara los alumnos porque no es tan evidente aqué porcentaje corresponde el descuento. Elcosto de los cuatro boletos, si se compraran enla semana del partido, sería $220.00, lo cualquiere decir que hubo un descuento de 220 – 187 que es igual a $33.00, ¿Qué porcenta-je de 220 es 33? Los alumnos pueden pensarque es más del 10% porque el 10% de $220.00es $22.00, y ya con esto tienen resuelto el pro-blema: El papá de Lupe compró los boletos conmás anticipación porque le descontaron más del10%. Si los alumnos van más allá no es difícil ave-riguar que se trata del 15%.

3

251001

4

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83

1



parte de una cantidad mediante cálculos men-tales o recurriendo al algoritmo convencionalde la división. En este momento, es probableque estos alumnos opten por dividir 13.75 ÷ 5.

Quizá otros alumnos, al llegar al precio de 10lápices, dividan abreviadamente 27.50 ÷ 10 paracalcular el valor de un lápiz.Por ejemplo, puedenpensar: Si 10 lápices cuestan $27.50, para sabercuánto cuesta un lápiz divido $27.50 ÷ 10, y ob-tengo $2.75.

Otros quizá resuelvan esta misma divisióncon el algoritmo convencional,y otros probable-mente se den cuenta desde el principio que elprecio unitario de cualquiera de los objetos sepuede obtener dividiendo el precio del paqueteentre el número de artículos que contiene.

En la confrontación pida a uno de los equiposque le dicte sus resultados y anótelos en el piza-rrón. Si en algunos casos hay desacuerdos, inví-telos a identificar el error en los procedimientosutilizados. Pida a un representante de los equi-pos que utilizaron procedimientos diferentesque expliquen cómo los obtuvieron. Si usarontablas de proporcionalidad directa, es probableque los errores se encuentren en el cálculo de latercera parte o de la quinta parte de una canti-dad,y los que utilizaron la división es posible quetengan errores en el algoritmo o en la ubicacióndel punto en el cociente. Aproveche la oportuni-dad para analizar cómo se pasa de los enteros alos decimales en el cociente de la división.

Resolver problemas para favorecer el uso de ladivisión de números decimales entre númerosenteros con cociente hasta centésimos. Propi-ciar el uso de la fracción desde la interpretaciónde operador.

La papelería

Antes de que los alumnos empiecen a resolverlos problemas, pida que, sin hacer operacionesescritas y sin usar la calculadora, traten de cal-cular mentalmente cuánto costará cada artícu-lo: ¿Más de un peso?, ¿menos de un peso?, ¿cómocuánto? Dé tiempo suficiente para que los equi-pos lleguen a un resultado. Pregunte a cadaequipo sus estimaciones y regístrelas en el piza-rrón. Después pida que calculen el precio exac-to. Estas estimaciones serán de utilidad paraque los alumnos controlen los resultados de susoperaciones.

Dada la experiencia que tienen con el manejode dinero, es probable que algunos traten de cal-cular mentalmente o por escrito el precio unita-rio de los artículos, estableciendo algunas rela-ciones numéricas (sacando mitades). Si los alum-nos deciden utilizar este procedimiento sugiéra-les que elaboren una tabla como la siguiente.

Para resolver los problemas que se plantean enesta lección, conviene organizar a los alumnosen equipos de cuatro para favorecer el inter-cambio de ideas y opiniones. No permita el usode la calculadora. Confronte los resultadoscuando terminen de resolver cada actividad.

Como las cantidades de cada problema noson divisibles entre 2, llegará un momento en elque necesitarán calcular la tercera o la quinta

Lápices Costo

20 55

10 27.50

5 13.75

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 5:10 PM

183Vigile que los alumnos no utilicen calculadora.Es probable que algunos sumen varias veces elvalor unitario, que otros lo multipliquen, y queotros obtengan algunos resultados mediante elcálculo mental. En la confrontación propicie larevisión de los algoritmos que utilizaron paravalidar los resultados. Pida a los que calcularonmentalmente que expliquen cómo lo hicieron.Finalmente, favorezca que los alumnos desta-quen las ventajas de multiplicar en vez de su-mar para resolver este tipo de problemas.

Reproduzca en el pizarrón el cuadro queaparece en la segunda parte de esta actividad.Como puede observarse al resolver estos pro-blemas, se lleva a los alumnos a calcular el cos-to de los artículos de la nota de remisión, esta-bleciendo la relación que hay entre el númerode artículos de cada tipo que se compraron conel número de artículos que contenía cada pa-quete, y trasladando esa relación al precio del

2

paquete. Por ejemplo, en la nota de remisión seindica que se compraron 4 gises y en el últimorenglón de la tabla se indica que el precio deesos 4 gises es la novena parte del costo de 36(en el libro dice 9 en lugar de 36; pida que corri-jan este error). Como de 36 = 4 gises, el cos-to de los 4 gises es también de 9. En la con-frontación, propicie que sean los alumnos quie-nes expliquen sus hallazgos y ayúdeles a darsecuenta de que la operación que nos sirve parapasar de 36 gises a 4, y de $9.00 a $1.00, es la di-visión entre 9, como se indica con el denomina-dor de la fracción.

19

19

Como no se pueden repartir 9 monedas de $1.00 entre los 36 gises,en el cociente escribimos 0, y cambiamos los nueve pesos por monedas de 10¢. Es decir, convertimos los 9 enteros a décimos.

Cómo convertimos los enteros (pesos) a décimos (90 monedas de 10¢).En el cociente se coloca un punto para indicar que lo que vamos a dividir son décimos y no enteros.

Si repartimos 90 décimos entre 36 lápices, a cada lápiz le tocan 2 décimos, es decir 2 monedas de 10¢.Al multiplicar 2 × 36, se obtienen 72 décimos.Es decir, de los 90 décimos ya se repartieron 72.Al restarle 72 a 90, nos damos cuenta de que todavía tenemos que repartir 18 décimos entre los 36 gises.

Como no alcanzan las 18 monedas de 10¢ para repartirlas entrelos 36 gises, entonces cambiamos las 18 monedas por monedas de 1¢. Es decir convertimos los 18 décimos a centésimos.Como cada décimo tiene 10 centésimos, entonces 18 × 10 = 180 centésimos.

Al dividir los 180 centésimos entre 36 vemos que a cada gis le tocan 5 centésimos, porque 5 × 36 = 180 y 180 –180 = 0.Por lo tanto, cada gis cuesta 25¢, .25 centésimos de un peso,o de $1.00.

036 9

0.36 90 décimos

0.236 90 décimos

–7218

0.236 90

–72180 centésimos

0.236 90

–72180

–180000

14

Gises Precio

÷ 9÷ 936 9

4 1

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184

84

1



Descubrir que un dibujo está hecho a escala deotro cuando al multiplicar o dividir por un mis-mo número sus medidas se obtienen las medi-das del otro.

Las reproducciones a escala

Sin recurrir a la medición, se espera que me-diante la observación los alumnos adviertanque algunos elementos del dibujo con marcorojo no se redujeron proporcionalmente y queesto hace que se vean diferentes al original.Acérquese a los equipos y observe en qué se es-tán fijando. Si nota que se les dificulta determi-nar cuáles dibujos no están hechos a escala,centre su atención en cada uno de los elemen-tos del dibujo (casa, perro, tráiler, poste de alum-brado) para que los comparen con el original. Esprobable que noten que, a diferencia del dibujooriginal, en el a, el perro tapa parte de la ban-queta y sus orejas llegan casi al nivel de la puer-ta de la casa, en el c, la caja del tráiler se ve másalta porque está al nivel de la nube, y en el d, labase del poste de alumbrado y la lámpara seven más anchas que en el dibujo original. Encambio, el dibujo b sí está hecho a escala por-que sus elementos se ven igual que en el origi-nal, pero más pequeños.

En las lecciones 52 y 58 los alumnos trabajaronde manera implícita el tema de la escala al apli-car cierto porcentaje para ampliar o reducir lasdimensiones de algunas figuras. En la lección71 empezaron a estudiar de manera explícita eltema, ampliando o reduciendo las medidasreales de un dibujo al multiplicarlas o dividirlaspor un mismo número. Al realizar esta activi-dad podrá observar si los alumnos ponen enjuego esos conocimientos. Mientras resuelvenla actividad observe cómo lo hacen.

Procure que cada alumno cuente con un cuartode pliego de cartoncillo, una hoja tamaño cartade cuadrícula chica, sus escuadras y tijeras. Or-ganice al grupo en equipos de tres alumnos pa-ra que resuelvan las actividades 1 y 3. La activi-dad 2 pueden resolverla de manera individual.Cuando terminen de resolver cada actividadconfronte los resultados.

2

184

L E C C I Ó N

Dibujos a escala

84

• Explica por qué los otros dibujos no son reproducciones a escala del enmarcado enrojo

Las reproducciones a escala

1. Observa los cuatro dibujos a, b, c y d. ¿Cuál de ellos es unareproducción a escala del dibujo enmarcado en rojo? ___________

a b

c d

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185

Fichas 52, 59Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

guientes rectángulos: rojo, 8 × 10; amarillo,12 × 10; y azul, 16 × 10. Si esto sucede, no los co-rrija. Cuando terminen pida que armen su rom-pecabezas. En este caso, los alumnos podrándarse cuenta, por sí mismos, de quiénes logra-ron construirlo y quiénes no. Aproveche estopara propiciar el análisis del procedimiento quesiguieron los alumnos que sí lograron construirel rompecabezas. Así, quienes no lo hicieronidentificarán el error.

Comente el texto escrito con letras azules.Pregunte por cuál número multiplicaron lasmedidas de los rectángulos originales para ob-tener las medidas de los rectángulos amplia-dos. Pida que verifiquen si, al dividir las medidasde los rectángulos ampliados entre el mismonúmero por el que multiplicaron, obtienen nue-vamente las medidas de los rectángulos origi-nales. A los alumnos que no lograron construirel rompecabezas pida que lo hagan de tarea.

Es probable que algunos alumnos interpreten adecuadamen-te la expresión "Ahora haz un dibujo en el que los lados sean 4veces más grandes", y dibujen un carrito cuyas llantas midan 8unidades por lado. Otros quizá la interpreten mal y reproduzcanun carrito en el que, por ejemplo, cada lado de las llantas mida10 unidades, pensando que a la medida original (2 unidades) letenían que agregar 4 veces 2 unidades. Si esto sucede no los co-rrija. En la confrontación propicie que los alumnos externen loque entienden con esa expresión. Si es necesario, ayúdeles aaclarar que 4 veces más grande la medida de sus lados significaque, si un segmento en el dibujo original mide 2 unidades, enla ampliación a escala ese segmento tendrá que medir 4 veceslo que mide originalmente, es decir 4 × 2 = 8 unidades. Lo im-portante es que observen que las figuras a escala deben con-servar su forma original y que la relación entre sus dimensio-nes debe ser la misma. Por ejemplo, si en el dibujo original lallanta es un cuadrado, en el dibujo a escala la llanta tambiéndeberá ser un cuadrado. Si la ventanilla del carro, en el dibujooriginal, es un rectángulo cuya altura mide la mitad de lo quemide la base, en la ampliación a escala las dimensiones del rec-tángulo deberán conservar esa misma relación.

Indique al grupo que cada miembro del equipova a construir con el cartoncillo una pieza de unrompecabezas más grande que el de la ilustra-ción. Numere a los integrantes de cada equipo.Pida a los niños marcados con el número 1 de ca-da equipo que construyan el rectángulo rojo, alos que tengan el número 2 que construyan elrectángulo amarillo, y a los niños que tengan el 3que construyan el rectángulo azul. Pida que leancon atención el problema y observe lo que ha-cen para trazar su rectángulo. Se espera que losalumnos adviertan por sí solos que, si la medidaoriginal del ancho del rectángulo rojo aumentóal doble, las dimensiones de todos los rectángu-los también deberán aumentar al doble.

Sin embargo, es probable que algunos alum-nos piensen que como al ancho del rectángulorojo se le aumentaron 4 cm, deben aumentarle4 cm a cada una de las medidas de los diferen-tes rectángulos. Con esta idea, obtendrán los si-

3

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/16/02 5:35 PM


186

85


Resolver problemas que implican el uso de ladivisión de un número decimal entre un núme-ro natural.

Para comparar precios

Pida a los alumnos que resuelvan el problema deesta actividad sin ninguna explicación de pormedio y observe lo que hacen para tratar de en-tender los procedimientos que utilizan.En la vidareal se presenta con frecuencia la necesidad dedecidir, entre varias opciones, la más económica,por lo que se espera que los alumnos no tengandificultad para entender el problema. Algunosprocedimientos que pueden usar son:

Organice a los alumnos en equipos para resol-ver las tres actividades de esta lección. Es muyimportante que usen la calculadora únicamen-te para comprobar los resultados durante laconfrontación. Dedique un momento despuésde cada actividad para analizar los resultadosobtenidos. Recuerde que no es necesario con-frontar todos los resultados, sólo aquellos quesean distintos o que se hayan obtenido de dife-rente manera.

186

L E C C I Ó N

Problemas que implican dividir un decimal entre un natural

85 1. Muchos productos que se venden en las tiendas aparecen envarios tamaños, por ejemplo, los detergentes.

Para comparar precios

¿Cuál de estos dos sale más barato?

¿Por qué?

Comenta con tus compañeros y tu maestro el procedimiento que usastepara resolver el problema.

2. De los siguientes tipos de productos, averigua cuál de los dos tamaños sale másbarato y márcalo con una cruz.

$139.208 kg

$86.50

5 kg

Producto Tamaño

Chico Precio Mediano Precio

Chiles en rajas 100 g $2.50 200 g $4.40

Mayonesa 190 g $10.20 390 g $13.50

Mermelada 300 g $9.50 550 g $18.65

Café 50 g $8.95 100 g $19.50

Miel 300 g $17.55 380 g $22.40

Papel higiénico Paquete Paquete

con 6 rollos $13.45 con 12 rollos $26.20

• Calcular el costo de un kilogramo en amboscasos, para lo cual el procedimiento expertoes dividir 139.20 entre 8, y 86.50 entre 5. Sinembargo los alumnos pueden ensayar conotras operaciones para llegar a los mismosresultados. Si algún equipo usa la división,aproveche la situación para socializar esteprocedimiento, en caso contrario, déjelosque continúen pues más adelante habráoportunidad de que aparezca la división.

• Otro procedimiento posible es hacer una ta-bla con cantidades de kilogramos y costospara tratar de igualar la cantidad de kilogra-mos en ambos casos. El número más peque-ño al que se pueden igualar es 40 kg.

Recuerde que la idea de anotar estos proce-dimientos es con el único fin de anticipar lo quepueden hacer los niños. De ninguna manera setrata de que explique estos procedimientosdesde el inicio.

1


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187


Al resolver esta actividad insista a los alumnos enque no se vale usar la calculadora, puesto que setrata de utilizar las operaciones y ver que la divi-sión es el recurso más eficiente.Por otra parte, laspreguntas que vienen después de la tabla ayu-dan a verificar los resultados que se han obteni-do y, a la vez, permiten analizar los procedimien-tos. Por ejemplo, la primera pregunta se refiere alcaso de los chiles, el café y el papel higiénico, enlos cuales es muy fácil saber cuál tamaño salemás barato porque el tamaño mediano contieneel doble y sólo hay que ver qué relación guardanlos precios.En el caso concreto de los chiles,el ta-maño mediano contiene el doble de gramos que

el tamaño chico,mientras que el precio es menosque el doble de lo que cuesta el tamaño chico,por lo tanto, sale más barato el mediano.

En el caso de la mayonesa, la relación tam-bién es fácil, ya que se observa que el tamañomediano contiene más del doble de gramosque el tamaño chico, mientras que su precio nollega a ser el doble.

En el caso de la mermelada y la miel, no hayuna relación obvia que permita decidir cuál ta-maño sale más barato, y es precisamente enellos donde el alumno tendrá que usar opera-ciones escritas, por ejemplo, para saber el costode un gramo en cada tamaño.

En muchas lecciones hemos insistido en la necesidad de ayudara los alumnos a analizar los procedimientos que utilizan, con elfin de acostumbrarlos a prever el resultado que esperan encon-trar. Por ejemplo, si los alumnos van a dividir 10.20 entre 190, esimportante que sepan de antemano que con esta división van aobtener el precio de un gramo en el frasco chico de mayonesa.

2

Esta actividad plantea a los alumnos ese tipode reflexión: ¿Qué quería saber Paty al hacer es-tas divisiones? Es muy probable que, al llenar latabla, hayan efectuado divisiones similares, oelaborado tablas como las de esta actividad, demanera que hay razones importantes para pen-sar en ambos recursos. Tan importante es queconozcan las técnicas, como que tengan claroen qué casos pueden usarlas y, todavía más, de-cidir cuándo conviene una más que otra.

Por otra parte, esta actividad da pie para quelos alumnos o usted expliquen el algoritmo paradividir un número decimal entre un número na-tural, procurando enfatizar el significado de lascifras decimales del cociente: décimas de peso,centésimas de peso, milésimas de peso, etcétera.

Es conveniente que, además de los ejemplosque hay en esta actividad, en los que el dividen-do es mayor que el divisor, ayude a los alumnosa analizar otro, como el de la mermelada (9.50entre 300) donde el dividendo es menor que eldivisor. En este caso en el cociente habrá cero

pesos (dado que 9 pesos es menor que 300); ce-ro décimos (dado que 95 décimos es menorque 300); tres centésimos (resultado de dividir950 centésimos entre 300), y así sucesivamente.La división puede continuar hasta donde seanecesario si se agregan ceros en el dividiendo.La operación queda de la siguiente manera.

Después de esto invite a los alumnos a calcu-lar con divisiones el precio de un gramo paracada uno de los productos de la tabla y analicecon ellos lo que se hace y lo que significa conti-nuar la división después del punto decimal.

3

0.0316300 9.50

9 00500

-3002000

-1800200

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188

86

1



Establecer relaciones de equivalencia entre lasdiferentes unidades de medida de peso. Resol-ver problemas que impliquen expresar el pesode un objeto utilizando diferentes unidades demedida y realizar diversas operaciones.

Las unidades de peso

Pida a los alumnos que resuelvan esta actividady mientras lo hacen escuche lo que comentanpara observar si infieren la equivalencia entrelos múltiplos y submúltiplos del gramo. Se es-pera que puedan hacer una analogía entre lasdiferentes unidades de medida de longitud yde capacidad trabajadas en lecciones anterio-res, en las que han aprendido que cuando unaunidad de medida se nombra con los prefijosdeca, hecto o kilo es 10, 100 o 1 000 veces másgrande que la unidad, y que cuando se nombracon los prefijos deci, centi o mili se hace referen-cia a unidades de medida 10, 100 o 1 000 vecesmás pequeñas que la unidad.

Es posible que algunos alumnos tengan cier-ta idea de lo que se puede pesar con los submúl-tiplos del gramo, dado que comúnmente se uti-lizan para indicar las cantidades de las sustan-cias con que se elaboran medicamentos. Si ob-serva que no consideran que la pastilla puedepesar menos de un gramo, acérquese a los equi-pos y pregúnteles qué creen que se puede pesarcon el decigramo, centigramo y miligramo.

También puede suceder que algunos alum-nos no identifiquen el hectogramo y el deca-gramo como unidades de medida, dado que enla vida cotidiana se dice medio kilo en lugar de

5 hectogramos o 50 gramos en vez de 5 deca-gramos. Si esto sucede, acérquese a los equiposy plantéeles preguntas que les permitan averi-guar qué idea tienen acerca de los múltiplos delgramo. Por ejemplo: ¿Un decagramo es mayor aun kilogramo o menor? ¿Qué objetos creen quepueden pesar más de un decagramo, pero menosde un hectogramo?

Otros alumnos quizá consideren que parapesar la misma cosa se pueden usar dos o tresunidades de medida. Si es así, pregúnteles enla confrontación cómo pueden usarlas a la vez.Tal vez logren dar explicaciones tales como:Los jitomates pueden pesar más de 2 kg, porejemplo 2 o 2.250 kg. Como un hectogramo =100 g y un decagramo = 10 g, entonces 2 o2.250 kg = 2 kilogramos + 2 hectogramos + 5 de-cagramos. Si no lo hacen, ayúdeles a observaresta relación.

Si cuenta con una báscula, pida a los alum-nos que pesen objetos pequeños como un lá-piz, un sacapuntas, una goma, una pastilla, unclip, etcétera, para favorecer que todos se for-men una idea del peso de objetos que pesanmás de un gramo pero menos de un decagra-mo o un gramo.

Si es posible, consiga una báscula. Organiceequipos de cuatro alumnos para resolver estalección. Al final de cada actividad confronte losresultados y procedimientos y ponga a discu-sión las opiniones de los alumnos.

14 1

4

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Ficha 13 (peso)Fichero de actividadesdidácticas Matemáticas 5º

Es probable que tengan dificultad para ubi-car el punto decimal. Por ejemplo, al tratar deexpresar en kilogramos 1 decagramo, tal vezanoten 10, .10 o 1.0. Si surgen estos errores en laconfrontación plantee preguntas que lleven alos alumnos a darse cuenta de que 1 Dg equiva-le a 10 gramos y que 10 gramos es la centésimaparte de un kilogramo. Dibuje en el pizarrón latabla de múltiplos y submúltiplos, y ubique 1

Comenten colectivamente las reglas de agrupamiento con lasque se van conformando los múltiplos del gramo. Destaque quéparte del gramo representa un decigramo ( de gramo), un cen-tigramo ( de gramo) y un miligramo ( de gramo). Si loconsidera necesario, proponga a los alumnos que, apoyándoseen la tabla, ordenen de mayor a menor los resultados que obtu-vieron al pesar los objetos en la actividad 1. Después pida quecompleten las tablas del final de la página y observe cómo con-vierten y registran las medidas con la unidad solicitada.

3

2

Dg. Señale que la unidad de medida con la quese quiere expresar la cantidad dada, indica el lu-gar en el que se debe colocar el punto.

Si todos los alumnos coinciden en señalarque kg = 750 g, pregunte: ¿De qué otra ma-nera se puede expresar esta misma cantidad?Posiblemente observen que en 750 g hay 7hectogramos y 5 decagramos y lo expresen dela siguiente manera kg = 750 g, kg = 7.5Hg, o kg = 75 Dg.

Antes de que resuelvan los problemas de esta actividad, plan-tee preguntas como las siguientes: ¿Para hacer los chiles en no-gada se necesita más de kg o menos de kg de duraznos? ¿Sedebe comprar más de un kg de carne de res o menos de un kg? ¿Cuán-tos hectogramos de pasas se necesitan? ¿De qué otra manera se pue-de registrar lo misma cantidad de crema? Pida que justifiquen susrespuestas. Después pida que resuelvan los siguientes problemas.

En la confrontación de resultados propicieque los alumnos justifiquen la relación entre 50Dg de chiles y kg. Confronte los procedimien-tos que siguieron para el segundo problema, esprobable que para restar algunos alumnos ha-yan convertido a kg los 150 Dg de carne de puercoy los 25 Hg de carne de res, que otros hayan con-vertido a Dg los 25 Hg de carne de res y que otroshayan convertido a gramos ambas cantidades.

En el último problema, aunque los alumnosse den cuenta rápidamente de que el error es175 kg, invítelos a comprobar que las otras tresexpresiones son correctas y que, por lo tanto,son equivalentes.

110

1100

11 000

34

34

34

34

12

12

12

Kg Hg Dg g dg cg mg

1

0 0 1

1 Dg = 0.01 Kg

250 Dg de carne de res 2500 g de carne de res–150 Dg de carne de puerco –1500 g de carne de puerco

100 Dg más de carne de res 1000 g más de carne de res

2.5 kg de carne de resco

1.0 kg más de carne de res

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/27/02 10:59 am

–1.5 Kg de carne de puer


190

87



dado hay 6 eventos posibles. Por lo tanto, al lan-zar dos dados quizá consideren que se tendrá eldoble de eventos. Otros alumnos tal vez res-pondan diferente, sin considerar el total decombinaciones posibles. Trate de averiguar enqué estaban pensando para contestar.

Dado que los renglones de las tablas queaparecen en el libro no son suficientes para re-gistrar todos los pares de números que puedengenerarse al lanzar dos dados, pida que copienlas tablas en su cuaderno. Antes de que empie-

Construir un procedimiento para cuantificar laprobabilidad en un juego de azar. Analizar, enese mismo juego, qué eventos no tienen proba-bilidades de ocurrir y cuáles tienen mayor, me-nor o igual probabilidad.

Para asegurar que los alumnos entiendan las re-glas del juego que se analizará, pida a cada pa-reja que lo jueguen con las mismas reglas. Pon-ga un límite en el número de tiradas, por ejem-plo, cada niño deberá lanzar 6 veces los dadosde manera alternada. Después pida que contes-ten las dos primeras preguntas de esta activi-dad.

Al realizar el juego, tal vez la mayoría de losalumnos noten que es más probable que salga7 o un número mayor que 7, o sea que la reglaes más ventajosa para Jorge. Lo interesante se-rá discutir en la confrontación sus puntos devista sobre por qué creen que, al elegir estos nú-meros, se tiene más probabilidades de ganar.Oriente la discusión preguntando: ¿Con qué pa-res de números o de puntos puede ganar Gabrie-la? ¿Cuáles son los pares de números con los quepuede ganar Jorge?

Probablemente interpreten la pregunta¿Cuántos posibles resultados hay? de diferentemanera. Por ejemplo, algunos alumnos tal vezpiensen que se refiere a cuántos posibles resul-tados se pueden obtener al sumar las parejasde números que aparezcan en los dados. En es-te sentido, tal vez respondan 11 (del 2 al 12).Otros quizá piensen que se refiere al total de lasposibles combinaciones de números que sepueden generar al lanzar los dados. Si es el ca-so, es probable que contesten 12, con la idea(trabajada en la lección 45) de que al lanzar un

Procure que cada alumno cuente con un dadocon puntos o con las caras numeradas del 1 al 6.Organice al grupo en parejas para que resuel-van los problemas que se plantean en esta lec-ción. Al término de cada actividad confronte re-sultados y opiniones.

Sumas y dados

190

L E C C I Ó N

Probabilidad de eventos

87 1. Jorge y Gabriela están jugando con dos dados iguales que tienenen cada una de sus caras un número del uno al seis.

Sumas y dados

¿Cuántas oportunidades de ganar tiene Gabriela?¿Cuántas oportunidades tiene Jorge?¿Cuál es la probabilidad de que gane Gabriela?

• Recuerda que:

Si al caer los dados la suma de los dos números es seis o menos,gana Gabriela; si la suma es mayor o igual a siete, gana Jorge.¿Quién crees que tenga más oportunidades de ganar?

¿Por qué?

Coméntalo con tus compañeros.

¿Cuántos posibles resultados hay?

• Completa la tabla siguiente para comprobar tus respuestas.

¿Cuál es la probabilidad de que gane Jorge?¿Por qué?¿Con quién jugarías tú?

Número de resultados en los que gana GabrielaNúmero total de resultados posibles

Probabilidad deque gane Gabriela

= =

6 42 53 1

Números de dados Suma Gana5

84

3

10

4

6 12

Números de dados Suma Gana1 1 Gabriela111112

2 4

3 7 Jorge

1

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191

cen a llenarlas, pida que revisen qué datos tie-nen que registrar en cada columna y pregunte:¿Por qué creen que en la primera columna se repi-te seis veces el 1? ¿Cuántas veces se tendrá que re-petir el 2 en la primera columna? Permita que losalumnos expresen sus opiniones y, si es necesa-rio, plantee el siguiente ejemplo: Imaginen quejugamos con un dado rojo y otro blanco. ¿Cuántasparejas diferentes de números se pueden formarsi el primer número es un rojo? ¿Y si el primer nú-mero es dos rojo? ¿Y si el primer número es tres ro-jo? ¿Cuántas parejas en total? Después pida quecompleten las tablas agregando los renglonesque hacen falta y contesten todas las preguntasque aparecen debajo de las mismas. Observecómo lo hacen.

Con el fin de que los alumnos se den cuentade que en este caso no es lo mismo 1,2 que 2,1y que corroboren que al lanzar dos dados se tie-nen 36 posibilidades de que salga una de esasparejas de números, dibuje en el pizarrón unatabla de doble entrada como la siguiente.

Pida que la completen y que verifiquen si seobtuvieron las mismas parejas de números queen las tablas.

Aunque se presenta a manera de recordato-rio el procedimiento trabajado en la lección 81para cuantificar la probabilidad de los eventos,es probable que los alumnos, para indicar laprobabilidad de que gane Jorge, digan que tie-ne 21 de 36 posibilidades de ganar. En la confron-tación es importante analizar la relación entrelas expresiones 21 de 36 y , ya que compren-derla sentará las bases para estudios posterio-res sobre este tema.

Tomando como base el juego anterior, al resolver los problemasde esta actividad, los alumnos advertirán que, con las condicio-nes dadas en ese juego, es imposible que la suma de los pares denúmeros que se obtienen sea 1 o un número mayor que 12. Invi-te a los alumnos a explicar por qué esos eventos no pueden dar-se en este juego.

Comente con los alumnos el primer párrafo deesta actividad, con el fin de que observen que,al cambiar las reglas del juego, la probabilidadde que salga un número u otro también cam-bia. En este caso, dado que sólo se lanzará undado, sólo hay un de probabilidad o 1 de 6posibilidades de que salga 4. Conocer esta in-formación permite calcular cuántas veces caeráel dado en un número determinado al lanzarlon veces. Antes de completar la tabla pregunte alos alumnos: ¿Qué parte de 12 es 2? ¿Qué parte de18 es 3?, con el fin de que noten que las predic-ciones dadas corresponden a del número delanzamientos.

Al realizar el juego y completar la tabla consus resultados, se darán cuenta de que mientrasmás veces se repite el experimento, el númerode veces en que cae el 4 se acerca más a la pro-babilidad calculada. Confronte las respuestasque dieron a las preguntas que aparecen bajo latabla y pregunte cuál fue su predicción en losdos últimos renglones de la misma. Es probableque algunos alumnos hayan anotado en el pe-núltimo renglón 16, 16.6 o 17 y en el último 33o 33.3. Ponga a discusión si es posible que elcuatro caiga 16.6 veces o 33.3 veces al tirar 100o 200 veces el dado.

3

2

16

2136

Dado blanco

Dad

o r

ojo

1 2 3 4 5 61 1,1 1,22 2,1 2,23 3,34 4,45 5,56 6,6

16

M/5/P-156-192.Qx4.0 5/7/02 5:25 PM

Libro para el maestroMatemáticas. Quinto grado

se imprimió por encargo de laComisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos

en los talleres decon domicilio en

el mes deEl tiraje fue de ejemplares

más sobrantes para reposición

libro para el maestro matemáticas 5º quinto grado (plan de estudios 1993)

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