libro estad prob cálculo

8/18/2019 Libro Estad Prob Cálculo

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ESTADISTICA, PROBABILIDADY PRECÁLCULO

m a n u a l e s e n c i a l S a n t i l l a n a


2/215

El material de Matemática, proyecto Manual Esencial Santillana, para Educación Media, es una obra colectiva,

creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de

Manuel José Rojas Leiva

Coordinación área Científico-Matemática

Gabriel Moreno Rioseco

Edición

Ángela Baeza Peña

Marcia Villena Ramírez

Ayudantes de Edición

María Gabriela López Urra

Sebastián Venegas Marchant

Colaboradores

Felipe Calderón Concha

María Paulina Sandoval Labarca

Patricia Urzúa Calderón

María Jesús Venegas Marchant

Corrección de Estilo

Isabel Spoerer Varela

Astrid Fernández Bravo

Documentación

Paulina Novoa Venturino

Juan Carlos Reyes LLanos

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la

dirección de

Verónica Rojas Luna

Con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación Gráfica

Carlota Godoy Bustos

Diseño y Diagramación

Ximena Moneada Lomeña

Fotografías

Archivo fotográfico Santillana

CubiertaMariela Pineda Gálvez

Producción

Germán Urrutia Garin

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita

de los titulares del "C op yrig ht", bajo las sanciones establecidas en las leyes,

la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o

procedimiento, compren didos la reprografía y el tratamiento inform ático,

y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

O 2008, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Anztla 1444,

Providencia, San tiago (Chile). PRINTED IN CHILE Impreso en C hile po r

Quebccor Wo rld S.A

ISBN 'l/H 956-1S 1390-7 Inscripción N°: 167.540


3/215

PresentaciónEl Manual Esencial Santillana es una síntesis conceptual de los con

tenidos mínimos de la Educación Media, y una fuente de informa

ción de los contenidos de formación diferenciada incluidos en los

distintos subsectores de aprendizaje.

Por su rigurosidad conceptual, el Manual Esencial Santillana consti

tuye un apoyo al trabajo docente y al aprendizaje teórico y práctico

actualizado de la matemática, especialmente dirigido a estudiantes

de Educación Media y primer año universitario.

Principales aportes didácticos:

- Es una herramienta complementaria al texto escolar.

- Es una guía de apoyo conceptual para quienes no usan texto

escolar.

- Quienes cursan preuniversitario o se encuentran preparando la

PSU, encuentran en la colección todos los contenidos mínimosdel subsector.

- Es un material de consulta para alumnos que cursen primer año

de universidad.

- La presentación de los contenidos es práctica y funcional, para

que el alumno lo pueda usar con facilidad.

- Los temas se presentan de una manera sintética, apoyada por

esquemas, tablas, gráficos, fotografías e ilustraciones que facili

tan la comprensión de los contenidos.- Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, cuando sea perti

nente, con sus respectivos solucionarios.

En definitiva, cada uno de los manuales de esta colección tratará las

grandes áreas temáticas de los sectores de aprendizaje, favorecien

do la visión integral de ellas.


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Capítulo 1 Tecnología y tratamiento dela información: Excel 8

Tema 1: Tecnología y tratamiento de la

información: Excel 10

Tema 2: Datos y fórmulas en Excel 14

Tema 3: Gráficos en Excel 22

Tema 4: Simulaciones en Excel 28

Tema 5: Combinatoria en Excel 30

Capítulo 2 Estadística 34

Tema 1: Estadística descriptiva 36

Tema 2: Tablas de frecuencias 38

Tema 3: Gráfico de frecuencias 40

Tema 4: Medidas de tendencia central 44

Tema 5: Medidas de dispersión 46

Tema 6: Medidas de localización 50

. Tema 7: Diagrama de caja 52

Tema 8: Distribución normal 54

Ejercicios 56

Solucionario 67

Tema 9: Estadística inferencial 70

Tema 10: Nivel de confianza 74

Tema 11: Margen de error y tamaño de la muestra 76

Tema 12: Tablas y anexos 78

Ejercicios 80

Solucionario 84

Capítulo 3: Probabilidad y combinatoria 86

Tema 1: Probabilidad y azar 88


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Irma 4: Diagrama de árbol y triángulo de Pascal

Tema 5: Variables aleatorias y distribuciones

de probabilidad

I n'rcicios

Solucionario

Irma 6: Elementos de combinatoria

inna 7: Variaciones y combinaciones

I |(>rcicios

Solucionario

Capítulo 4: Introducción al cálculo

Tema 1: Sucesiones de números reales

lema 2: Operaciones con sucesiones

Tema 3: Sucesiones monótonas y acotadas

lema 4: Sucesiones convergentes y divergentes

Tema 5: Propiedades de los límites de sucesiones

Tema 6: Fractales

I n'rcicios

Solucionarlo

l»'ma 7: Sumatorias

loma 8: Propiedades de las sumatorias

I jerciciosSolucionario

Tema 9: Progresiones aritmética, armónica

y geométrica

lema 10: Suma de los términos de una progresión

lema 11: Series

I jercicios

Solucionario

98

100

108

112

114

116

121

122

124

126

128

130

132

134

136

140

142

144

148151

152

154

156

158

161


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Ejercicios 166

Tema 13: Límites de funciones 168

Tema 14: Propiedades de límites de funciones reales 170

Tema 15: Asíntotas de una función 172

Ejercicios 174

Solucionario 176

Tema 16: Continuidad y discontinuidad 178

Ejercicios 182

Solucionario 183

Tema 17: Derivadas 184

Tema 18: Función derivada 186

Tema 19: Propiedades de las derivadas y regla de

la cadena 188

Tema 20: Derivada implícita y teorema del valormedio 190

Tema 21: Representación gráfica de funciones 192

Tema 22: Regla de L'Hopital 196

Tema 23: Razón de cambio y diferenciales 198

Ejercicios 200

Solucionario 205

índice alfabético de contenidos 208

Bibliografía 214

Desplegables


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V : para todo.

N: números naturales.

/ : números enteros.

: números reales.

IXI : valor absoluto de x.

U: unión.

O: intersección.

0: conjunto vacío.

íi espacio muestral.

P(A): probabilidad de que ocurra un evento A.

P(A/B): probabilidad de que ocurra un evento

A dado que ocurrió un evento B.

E(x): esperanza de una variable aleatoria x.

x : media aritmética.

Me: mediana.

Mo: moda.

DM: desviación media.

s : desviación estándar o típica para la muestra.


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Tecnología y tratamiento de la información: Excel

oy en día, almacenar, administrar y procesar datos no es una

tarea que se limite solo al quehacer financiero, académico o

científico; la masificación del uso del computador también ha hecho

posible el acceso a las poderosas herramientas de las hojas de cálcu

lo, de las cuales quizá la más conocida sea Excel.

Este software, gracias a lo intuitivo de su interfaz, permite a usuarios

comunes llevar, por ejemplo, un registro actualizado de ingresos y gas

tos y, en general, organizar, procesar y analizar cualquier tipo de datos.

Sin embargo, la mayoría desconoce gran parte de las herramientas de

las que este software dispone: además de las operaciones básicas, cuenta con funciones matemáticas avanzadas las que constituyen un gran

apoyo en áreas tales como la matemática financiera y la estadística.


9/215 O r g a n i z a c i ó n

d e

l o s

c o n t e n i d o s


10/215

Tecnología y tratamiento de la información: Excel

Historia de Excel. La prime

ra version de Excel fue lanza

da en 1985, pero solo servía

para un tipo específico decomputadores.

Posteriormente, en 1987, se

anzó al mercado la version

Excel 2.0.

Celda activa. Nombre de la

celda sobre la cual se está

trabajando. En la hoja decálculo aparece remarcada

con un rectángulo negro.

Introducción

Excel es un programa que permite manipular datos, hacer cálculos, tra

bajar con fórmulas y crear gráficos. La ventana de Excel se puede usar

de manera intuitiva ya que la mayoría de los comandos o acciones uti

lizados con mayor frecuencia están dispuestas en la hoja de trabajo y

pueden ser seleccionadas con el mouse.

Interfaz de Excel

La planilla de cálculos de Excel cuenta con diversas herramientas, como

se muestra en la siguiente imagen.


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i oniiene los comandos del programa, agrupados en menús.

A continuación se detallan algunos comandos de uso habitual:

- Nuevo: se encuentra dentro del menú Archivo y permite seleccionar el

tipo de documento que se va a utilizar, creando el correspondiente

documento en blanco y sin nombre.

Abrir: se encuentra dentro del menú Archivo y permite abrir archi

vos que han sido creados con anterioridad.

■ Guardar como: se encuentra dentro del menú Archivo y permite

cjuardar el documento, con opción a crear un nuevo archivo con

otro nombre.« Pegado especial: se encuentra dentro del menú Edición y permite

pegar un objeto bajo ciertas condiciones establecidas por el usuario.

■ Gráfico: se encuentra en el menú Insertar y permite crear diferentes

tipos de gráficos, elegidos por el usuario.

« Función: se encuentra en el menú Insertar y permite insertar funciones

en una celda.

Dividir: se encuentra en el menú Ventana y permite dividir la hoja de

€ % ooo +o8


12/215

■ Auto-suma: suma números de una fila o columna, introduciendo en

la celda activa la función Suma con el rango de celdas que Excel

sugiere. Si se quiere modificar ese rango, se debe indicar con el

mouse sobre las celdas deseadas o introducir el nombre de las celdas mediante el teclado.

■ Asistente de gráficos: permite crear un gráfico. Existen varias opcio

nes, entre ellas: gráficos de barras, de líneas, de torta, etc.

A partir de los datos previamente seleccionados en la hoja de cálculo,

se selecciona el botón de asistente de gráficos, el cual se ubicará sobre

la hoja, con la posición y tamaño que se determine, arrastrando con

el mouse una vez determinadas las características del mismo.

■ Ordenar ascendente y descendente: permite ordenar una columnade valores seleccionados en orden ascendente o descendente.

■ Combinar celdas: permite combinar las celdas seleccionadas en una

sola celda.

Barra de fórmulas

Se encuentra a la derecha del cuadro de nombres (cuadro que indica

el nombre de la celda activa). La barra de fórmulas permite ingresarfórmulas en la hoja de cálculo, o bien escribir texto en una celda.

Área de la hoja de cálculo

Cada libro (nombre con el cual se denomina un nuevo archivo de Excel

mientras el usuario no le cambie el nombre) contiene tres hojas, ubica

das en un mismo archivo. Cada hoja de cálculo contiene una serie de

columnas y una serie de filas (identificadas por letras y números, res

pectivamente). Las intersecciones entre columnas y filas de una hoja de

cálculo se denominan Celdas y son identificadas según la columna y

fila donde se ubiquen.

Ejemplo

L ; Microsoft(x ccl 1¡bro1

I^ Gj fifchivo fcdWón insertar formato tí®"«™

! D e S I B t ó > Q | a & r U 5 t e © - < ? |

i * * * 10 - | * j r s | * * í B2 * f.

A B C D

1

£34

5

En la imagense muestradestacada

la celda B2.


13/215

L* Microsoft Fxcel -p13 1

I Archivo Edoón Vor ¡nsartar Formato

D G í H « a > t t « & y X Ba ffi«nal » 10 . H X S * S

A2 A-1264

A ! H c nz12 13541|3*1C

6

Figura 1

® t r **o (¿Crin Y» |nMrt«r (ornato » » « M u D*ps

** • l o . i / i l l l S I V «

Seleccionar bloques no contiguos

l’.ira esto se puede seleccionar cada bloque por el procedimiento señalólo anteriormente, manteniendo presionada la tecla Ctrl, de esta forma

l.i nueva selección no anula los bloques seleccionados precedentemente.


14/215

Introducción de datos en una celda

Una manera sencilla de introducir datos es seleccionando la celda y

luego escribir directamente los datos (textos, números, fórmulas, etc.)mediante el teclado. También se puede utilizar el comando Pegar para

introducir datos previamente seleccionados y copiados.

Los datos introducidos aparecen tanto en la celda como en la Barra de

fórmulas. Para desplazarse sobre el texto introducido puede utilizarse

el mouse, o bien, las flechas del teclado.

Una vez introducidos los datos se debe presionar Enter, o simplemente

cambiar de celda.

- X x / f In tro duc ie ndo d ato s

A B C1

2

3

4 In troduciendo datosi

5

6

7

8

9 I

Insertar columnas o filas

Para insertar filas, se selecciona el comando Filas del menú Insertar. En

caso de querer insertar n filas a la vez, seleccionar con el cursor el

número de filas deseadas (n), y luego repetir el procedimiento anterior.

Del mismo modo, para insertar n columnas, simultáneamente, se debe

seleccionar la cantidad de columnas deseadas (n), y posteriormente

elegir el comando Columnas del menú Insertar.

Ejemplo

En las siguientes imágenes se muestra cómo se insertan dos columnas

en medio de otras dos con datos ya ingresados.

Paso 1 Paso 2

» Z

■® 5i Ä& [#],0°* - G ).

o *08 .°í {pe

F G H 13 64 55 44 e6 23 42 65 4

LÉ*"**" iT "— *•

fta»» Ü . « » * - ( ? .

V « X « • - 4 .1 1 * i * _ - * • A .- .{0mm

ttmdtcMnáo

«&y***E »

:

4 &

4

A Vd fcv

4 9i3

?

64

?*

ftm1 •£ «parano*.. CM«**«


15/215

Primero se debe seleccionar el conjunto de

datos y luego seleccionar el comando Ordenar

del menú Datos.

Mkrwoft Fxcel 1Ihro li ft'twvo l/fción Ver Insertar Formato tarramentas Datos Ventana £ 1

i l l u d i l i a l i ? » f e a


16/215

Introducción de fórmulas

Símbolos utilizados para

ealizar operaciones

matemáticas.

+: suma

: resta

: multiplicación

: división

A: elevado a

- A J ,1 Número 1 Número 22_ 3 643_ 4JB 9,124____ 15.02 45.2g ___ I I

Figura 1

Para introducir una fórmula se puede hacer directamente en la Barra

de fórmulas o en la propia celda, o bien, utilizando el comando Función

del menú Insertar.

Introducción de fórmulas mediante el teclado

Esta forma de insertar fórmulas se utiliza principalmente cuando se

requiere relacionar distintas celdas mediante operaciones aritméticas

básicas. Para esto se pueden seguir los siguientes pasos:

1o Seleccionar con el mouse la celda o la zona derecha de la Barra de

fórmulas

2o Antes de introducir una fórmula, escribir el signo.

3o Ingresar la fórmula con los valores numéricos, referencias a celdas,

funciones o nombres correspondientes, todos ellos separados por

los operadores requeridos (+, -, etc.).

4o Una vez introducida la fórmula, pulsar Enter.

Ejemplo

Se calculará la suma y el producto de los números correspondientes a

las columnas denominadas "Número 1" y "Número 2", respectiva

mente (ver figura 1).

En la celda C1 escribir "Suma" y en la celda D1 escribir "Producto".

Luego, para calcular la suma de cada par de números, en la celda C2

se puede escribir "=A2+B2", en la celda C3 escribir "=A3+B3" y en la

celda C4 escribir "=A4+B4".

Para calcular el producto de cada par de números se debe realizar un

procedimiento similar, pero ahora ingresando la fórmula en la colum

na D y cambiando el signo + (suma) por * (multiplicación), como se

muestra en la figura 2.

D3 fi. =A3*B3

A B C D ]1 J Número 1 Número 2 Suma Producto2 3 64 67 1923 1 4,8 9,12 13.92 43.77614 1 15,02 45,2 60.22 678,9045 I6

Figura 2


17/215

Introducción de fórmulas mediante comando "función"

El comando Función del menú Insertar permite introducir fórmulas pre-

diseñadas en la planilla de cálculos, siendo el usuario quien decide

sobre qué valores trabajará la fórmula.Al pulsar sobre el comando Función, se abre una ventana que propor

ciona una breve explicación tanto de la función como de cada uno de

sus argumentos.

Para insertar una función con sus respectivos argumentos en una hoja

de cálculo, se pueden seguir los siguientes pasos:

Argumentos de una función. Son los valoressobre los cuales trabaja lafórmula o función.

1o Seleccionar la celda en la que se desea introducir lafunción.

Edición J¿er

eí« « I* 10

Insertar ] Eormato fc

Fías

Columnas

U Sráíleo...

Símbolo... ___B.

A Función...

* 13

2o Pulsar sobre el comando Función o sobre el botón .Seabrirá un cuadro de diálogo, donde se deberá elegir la fun

ción que se desea utilizar. Las funciones se presentan agru

padas en categorías, entre ellas, una lista de funciones uti

lizadas recientemente. Si no se conoce la categoría en la

cual puede estar una función, se puede seleccionar la cate

goría Todas.

En la parte inferior del cuadro de diálogo aparece una

breve descripción de las funciones y de sus argumentos.

Si se desea mayor información acerca de alguna fun

ción, se puede hacer c//c en Ayuda.

Í Escriba una breve descripción de b que desea hacer y , acontinuación, haga ck en IrO seleccionar una categoría; ¡Usadas recientemente j ]

Seleccionar una función:

eo sSENOAÑOMESDIA

PROMEDICKnúm erol ;núm ero2;...)Devuelve el promedio (media aritmética) de tos argumentos, los cualespueden ser números, nombres, matrices, o referencias que contengannúmeros.

Aceptar

3o Luego de seleccionar la función deseada se

pulsa Aceptar, aparecerá un cuadro de diá

logo que muestra los argumentos necesarios

para cada función, que deben ser definidos

por el usuario.

4o Luego de ingresar los argumentos necesa

rios, e insertar la función en la celda activa,

pulsar Aceptar.

Argumentos de función

“3-

Número 1: númerol¡número2¡... son entre 1 y 30 argumentos numéricos de losque se desea obtener el promedio.

Resultado de la fórmula -

fiiflriftgto.giaüuBdáo | ftceptár


18/215

Funciones de uso

habitual.

• Suma: suma una lista

de valores numéricos.Su sintaxis en Excel es

=Suma().

• Promedio: calcula la

media aritmética (ver

página 44) de una lista

de valores numéricos.

Su sintaxis en Excel es

=Promedio().

• Desviación estándar:

calcula la desviación están

dar (ver página 47) de una

lista de valores numéricos.

Su sintaxis en Excel es

=Desvestp()

• Mediana: calcula la

mediana (ver página 44)

de una lista de valores

numéricos. Su sintaxis en

Excel es =Mediana().

Tipos de funciones

Algunas de las categorías en las cuales se agrupan las funciones son

Usadas recientemente: colección de las últimas funciones utilizadas.

■ Todas: colección de todas las funciones disponibles en el programa

Excel.

■ Financieras: funciones cuya principal aplicación son las finanzas,

contabilidad y balances. Por ejemplo, cálculo de la tasa de interés,

depreciación de un bien, etc.

Fecha y hora: funciones para el manejo de fechas y horas. Algunas

de ellas son: día, mes, año.

Matemáticas y trigonométricas: funciones de uso matemático, cientí

fico e ingenieril, tales como seno, coseno, logaritmos, exponenciales,

etc.

Estadísticas: funciones que facilitan los cálculos estadísticos. Por ejemplo, promedio (media aritmética), cálculo de desviaciones, densidad

de probabilidad, número de elementos de una hoja, etc.

Búsqueda y referencia: funciones que facilitan "moverse" dentro

una lista o una matriz creada, o bien, buscar datos.

Base de datos: funciones que permiten manipular bases de datos.

■ Texto: funciones que permiten la manipulación de textos. Estas fun

ciones utilizan argumentos alfanuméricos. Por ejemplo, convertir

letras a números, o viceversa, dar formato de monedas a un dato, etc.

a Lógicas: colección de funciones lógicas o booleanas (que pueden

tomar dos variables). Los operadores lógicos disponibles son: falso,

verdadero, o, y, si, no.

Definidas por el usuario: es posible que el usuario cree sus propias

funciones en Excel. Además, para obtener información de celdas o

datos se puede acceder al tipo Información, por ejemplo, determi

nar si una celda está vacía.


19/215

Aplicación de funciones estadísticas

I n Excel se puede calcular el promedio, la moda, la mediana y la desvia-

( ión media. Para eso se utilizará como ejemplo las estaturas de 8 personas.Antes de comenzar a insertar funciones, se deben escribir los datos en la

hoja de cálculo. En B1 escribir "Altura", y luego ingresar las siguientes

filturas (medidas en metros): 1,85; 1,75; 1,78; 1,79; 1,78; 1,81; 1,82 y

1,80, desde la columna B2 a B9 (ver figura 1).

Cálculo del promedio

1" Ubicarse en B10 y pulsar sobre el comando Insertar función.

2" Seleccionar la categoría Estadísticas y seleccionar la función Promedio.Luego pulsar en Aceptar.

3“ Seleccionar los datos correspondientes a las celdas B2 a B9 y luego

Aceptar. En la celda B10 deberá aparecer el promedio de las alturas.

En A10, escribir; "Promedio".

Cálculo de la moda

1o Ubicarse en B11 y pulsar sobre el comando Insertar función.

2o Seleccionar la categoría Estadísticas y seleccionar la función Moda.Luego pulsar en Aceptar.

3o Seleccionar los datos de las celdas B2 a B9 y luego Aceptar. En la

celda B11 deberá aparecer la moda de las alturas. En Al 1, escribir:

"Moda".

Cálculo de la mediana

1o Ubicarse en B12 y pulsar sobre el comando insertar función.

2o Seleccionar la categoría Estadísticas y seleccionar la función Mediana.Luego pulsar en Aceptar.

3o Seleccionar los datos de las celdas B2 a B9 y luego Aceptar. En la celda

B12 deberá aparecer la mediana de las alturas. En A12, escribir:

"Mediana".

Cálculo de desviación media


2° Seleccionar la categoría Estadísticas y seleccionar la función Desvprom.

Luego pulsar en Aceptar.

3o Seleccionar los datos de las celdas B2 a B9 y luego Aceptar. En la

celda B13 deberá aparecer la desviación media de las alturas. En

A13, escribir: "Desv. Media".

E3 Microsoft Fxcel -1 ibrol

í§¡5 firchivo Edición S¿er insertar £c

□ & ö d ) * * *Arial * 10 - N K

D13 *A B c

1 Altura2 1,853 1.754 1,785 1,796 1,787 1.818 1,829 1.8

Figura 1

Pantalla final. Al finalizar

los pasos dados para el

cálculo de promedio, moda,

mediana y desviación, se

obtendrá la siguiente imagen:

E? Microsoft Fxcel -1 ihrol

firchivo Edición )¿er insertar Fo

Q H ná> * G

Arial - 10 - N X B13 f i =DESVPfj

A B 1 c1 Altura2 1.853 1.754 1.785 1,796 1,787 1.818 1,829 1.810 Promedio 1,797511 Moda 1.7812 Mediana 1.79513 Desv. Media |I 0.0225 I1


20/215

Aplicación de funciones de fecha y hora

Extraer día, mes y año de una fecha

Se extraerá el día, el mes y el año de una fecha escrita de la formadd/mm/aaaa

O tr, . * i •a í í :OID (■

A B C d T1 Fecha Dia Mes Año2 27/05/19793 04/01/19844 04/02/1973

1o En A1 escribir "Fecha", en B1 escribir "Día", en C1

escribir "Mes" y en D1 escribir "Año".

2o De A2 a A4 escribir las siguientes fechas:

"27/05/1979; 04/01/1984; 04/02/1973"

3o Ubicarse en la celda B2 y seleccionar el comando Insertar función.

4o Seleccionar la categoría Fecha y hora y seleccionar

la función Día. Ingresar como argumento A2 y

luego pulsar Aceptar. En B2 aparecerá el día que

corresponde a la fecha seleccionada.

5o Para evitar repetir los pasos 3o y 4o, para cada fecha, se puede seleccionar la celda B2 y

luego posicionarse en el vértice inferior derecho de la celda y arrastrar el mouse hasta la

celda B4.

82 f. =DIA(A2)A B C D

1 Fecha Día Mes Año2 27/05/1979 273 04/01/1984 44 04/02/1973 4

6o Ubicarse en C2 y seleccionar el comando Insertar función.

7o Seleccionar la categoría Fecha y hora y seleccionar

la función Mes. Ingresar como argumento A2 y

luego pulsar Aceptar. En C2 aparecerá el número

del mes que corresponde a la fecha seleccionada.

8o Similar al paso 5oseleccionar la celda C2 y luego posicionarse en el vértice inferior derecho

de la celda y arrastrar el mouse hasta la celda C4.

a f. *MES(A2)A B C J D

1 Fecha Día Mes Año2 27/05/1979 27 5|3 04/01/1984 4 14 04/02/1973 4 2]

5 m

9o Ubicarse en D2 y seleccionar el comando Insertar función.

10° Seleccionar la categoría Fecha y hora y seleccionar la

función Año. Ingresar como argumento A2 y luego

pulsar Aceptar. En D2 aparecerá el año que corres

ponde a la fecha seleccionada.

02 * =AÑO(A2)A B C D

1 Fecha Día Mes Año2 27/05/1979 27 5 19793 04/01/1984 4 1 19844 04/02/1973 4 2 1973

11° Seleccionar la celda D2 y luego posicionarse en el vértice inferior derecho de la celda y

arrastrar el mouse hasta la celda D4 para realizar los pasos 9o y 10° en las otras fechas.


21/215

Aplicación de funciones matemáticas y trigonométricas

Se calculará el promedio ponderado a partir de una tabla de frecuenciasabsolutas.

1o Ingresar los datos de la tabla de frecuencias, en este caso: Datos Frecuencia absoluta1,5 52,5 43,5 2

n i s i j í i s a y » ( • * • < # ■ «C2 » f - -PRODUCTOtí2:B2)

1......A ....... B C I D E1 Dato Valor I2 I 15 5 1......... ' " T i l3 254 .......M ....... 2 |

2o Ubicarse en C2, luego seleccionar en función la categoría Matemáticas y trigonométricas y selec

cionar la función Producto. Luego Aceptar.

3o Ingresar como argumento A2 y B2, separados por punto y

coma y luego Aceptar. En C2 deberá aparecer el producto de

ambos datos. Ubicar el cursor en el borde inferior derecho

de C2 y arrastrar hasta C4.

4o En C5, ingresar la función matemática Suma, y como argumentos C2:C4.

5o Por último, en C6 ingresar la fórmula "=C5/11", que correspon

de al cociente de la suma del producto de cada valor por su fre

cuencia y el total de datos, es decir, al promedio ponderado (verpáginas 44 y 45).

es f - -SUMA(C2:C4)A B C I D

1 i Dato Valor2 15 5 75

3 2 5 4 104 35 2 7

¿ J .........SH6l ] .....

Aplicación de funciones lógicas

Clasificar una lista de notas en aprobado o reprobado.

1o En A1 escribir "Nota" yen B1 escribir "Aprobado/Reprobado".

2o Escribir las siguientes notas: "6,5; 3,9; 4,5; 5,5 y 2,8", comenzar

desde A2 hasta A6.


4o Seleccionar la categoría Lógicas y seleccionar la función Si.

Luego Aceptar.

5o En el argumento Pruebajógica escribir "A2


22/215

Gráficos en Excel

Tipos de gráficos. Excelpermite crear diversos tipos

de gráficos tales como

histogramas, gráficos circula

res y polígonos de frecuencia(ver páginas 40 y 41).

Creación de gráficos

Excel puede crear gráficos a partir de datos previamente seleccionados

en una hoja de cálculo. El usuario puede insertar un gráfico en unahoja de cálculo, o crear el gráfico en una hoja especial para este fin. En

cada caso, el gráfico queda vinculado a los datos a partir de los cuales

fue creado, de modo que si estos se modifican, el gráfico se actualiza

automáticamente.

Los gráficos contienen elementos (ver página 24) tales como: títulos,

nombres o etiquetas en los ejes, etc., los cuales pueden ser selecciona

dos y modificados individualmente según las necesidades del usuario.

Insertar un gráfico

Utilizar el Asistente para gráficos m es la manera más simple de crear

un gráfico. Aunque este da la opción de seleccionar los datos a repre

sentar gráficamente durante el proceso de construcción, el proceso

resulta más sencillo si la selección se realiza antes.

También se puede construir un gráfico utilizando el comando Gráfico

del menú Insertar.

Para crear un gráfico se pueden seguir los siguientes pasos:

1o Seleccionar los datos (categorías) a representar.

2o Ejecutar el comando Gráfico del menú Insertar o pulsar sobre el botón © .

E3 Micros oft Excel Li br o l

Archivo Edición Ver Insertar j Formato Herramientas D<

□ & Q S “Ü B í Fias ■ «o - r*A1 Columnas

A T B t{o ja de cálculo D1 Nombre Edac£0) Gráfico...2 Andrea 213 Juan 19

fjombre ►A Alejandra

María17155 Imagen ►

6:................. *...................uaroima ZD

7 César 228 Martín 16

910

A continuación aparecerá el primero de una serie de cuadros de diálogo

del Asistente para gráficos, detallados a continuación.


23/215

3o Seleccionar Tipo de gráfico: permite elegir el tipo y subtipo

de gráfico a utilizar entre dos listas que los clasifican en

estándar y personalizados. Haciendo clic sobre cada tipo

aparece una pequeña explicación acerca de la utilidad deeste. Además se puede ver una vista, utilizando el botón

Presionar para ver muestra. Una vez realizada la selección se

puede pasar al siguiente cuadro de diálogo presionando

Siguiente, o insertar el gráfico tal como aparece en la vista

preliminar presionando el botón Finalizar.

4o Modificar datos de origen: se puede comprobar o corregir la

selección de datos realizada. Si se quiere modificar el rango

de datos seleccionados se puede presionar el botón

que aparece a la derecha de la barra Rango de datos, esta

función permite acceder a la hoja de cálculo, de modo de

seleccionar o modificar las celdas de interés. Presionando

nuevamente sobre el botón anterior se vuelve al cuadro de

diálogo, donde se puede dar por terminado el gráfico

(Finalizar), pasar al siguiente cuadro de diálogo (Siguiente) o

volver al anterior (Atrás).

5o En Opciones de gráfico se puede configurar la presen

tación del gráfico. Se puede asignar título, nombres

de las categorías, y el formato de los ejes, además se

puede optar a la presencia y escritura de la leyenda,

la aparición o no de la tabla de datos junto al gráfico

y los rótulos de los datos.

6o En Ubicación del gráfico se puede seleccionar la ubicación del gráfico: existen dos opciones, ubicarlo enla misma hoja de trabajo en la cual se encuentran los

datos de origen, o bien, en una hoja nueva. Se puede

acceder a esta función presionando el botón derecho

del mouse sobre el gráfico. Una vez seleccionada la

ubicación ir a Finalizar.

Una vez creado, este ya es parte de la hoja de cálculo, y por lo tanto,

.iparecerá cada vez que se abra el libro de trabajo.

Atinenteparagráficos-paso3de4: opcionesdegráfico f?P8i13=]| et» I UwwdeAMta| leyente| Ututosdedatos| Tebtodedetos|Tfcfc| Rn*ar |


24/215

I n g r e s o s

( $ )

Formato de objetos gráficos

En un gráfico de Excel se pueden distinguir varios elementos, entre

ellos: marcadores, leyenda, títulos, ejes, texto y área de trazado.

A partir de estos elementos se puede dar formato a un gráfico, o bien

añadir objetos a uno ya creado, según las necesidades del usuario.

Para editar un gráfico, se puede hacer clic sobre el gráfico y luego

doble clic sobre el objeto que se desea modificar, se accederá a una

ventana que permite editar los elementos deseados.

Otra forma es hacer clic en el botón derecho del mouse sobre el objeto

que interesa modificar, accediendo así a un menú que permite cambiar

algunas características del gráfico o bien, acceder a la misma ventana

que en el procedimiento anterior.

Si un gráfico está activo y uno de sus elementos es seleccionado, se mos

trarán opciones específicas para el gráfico y sus elementos (leyenda, ejes,

color, etc.).


25/215

Barra de herramientas de gráficos

Existe una barra de herramientas de gráficos que puede visualizarse

haciendo dic sobre el comando Barra de herramientas del menú Ver,

donde se debe seleccionar Gráfico.

1 I| Area de trazado » ¡¡jp ¡£. | § ] | e 8 ¡1 M| i % »

Esta barra presenta los siguientes botones:

Área del gráfico Cuadro de objetos: permite seleccionar los

distintos objetos o elementos que compo

nen el gráfico.

gg* Formato: permite modificar los parámetros del objeto

seleccionado en el cuadro de selección de objetos.

Tipo de gráfico: permite modificar el tipo de gráfico.

Leyenda: permite mostrar u ocultar la leyenda del gráfico.

Tabla de datos: permite mostrar u ocultar la tabla de datos de

origen en el área del gráfico.

Por filas: permite que los datos de origen se grafiquen por

filas (cada fila corresponde a una categoría distinta).

Por columnas: permiten que los datos de origen se grafiquen

por columnas (cada columna corresponde a una categoría

distinta).

Ángulo descendente: escribe los rótulos de los ejes diagonal

mente de manera descendente.

Barra de herramientas

de dibujo. Excel posee esta

barra de herramientas que

está provista de las mismas

funciones que la barra de

dibujos de otras aplicaciones

de Office, la cual permite

pintar, cambiar color de líneas

(de ejes y de división, por

ejemplo), etc., sin necesidad

de entrar al menú de cada

objeto del gráfico. También

permite insertar imágenes o

fotos si es necesario.

$ Ángulo ascendente: escribe los rótulos de los ejes diagonal

mente de manera ascendente.


26/215

Lectura de gráficos

combinados. Al leer este

tipo de gráficos se debe tener

especial cuidado de no

confundir las series ni los ejes

de valores. Para evitar

confusiones, dar un título

adecuado a cada eje y

procurar que el gráfico tenga

leyenda.

Tener presente. Al

seleccionar el tipo de gráfico

de la serie adicional, Excel

no permite combinar gráficos

2D y 3D.

Gráficos combinados

En un mismo gráfico, se pueden utilizar dos o más tipos de gráficos

para destacar series de datos que contienen distinta información. Ellos

se conocen como gráficos combinados o gráficos de combinación.En estos gráficos se puede crear una escala (eje) adicional que se ubica

al lado contrario de la escala habitual.

Suelen ser útiles en el caso de necesitar dos ejes de ordenadas diferen

tes, generalmente debido a rangos de escala muy distintos.

Ejemplo

Edad y peso de un grupo de personas

3 5 - i T 70

María Alejandro Pedro Andrea

Edad — • — Peso

Para crear uno de estos gráficos se pueden seguir los siguientes pasos:

1o Insertar un gráfico o seleccionar uno ya creado.

2o Seleccionar la opción Datos de origen con botón derecho del mouse

y agregar una nueva serie de datos con la información que se desea

agregar al gráfico, luego ir a Aceptar.

3o Si se quiere representar la serie adicional con un tipo de gráfico dis

tinto, hacer clic en el botón derecho del mouse sobre la serie y

luego seleccionar Tipo de gráfico.

4o Para agregar un eje secundario con los valores de la nueva serie de

datos graficada, se puede seleccionar la serie y hacer clic en el

botón derecho del mouse, y seleccionar Formato de serie de datos

Luego en la pestaña Eje seleccionar la opción Eje secundario.


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Aplicación de gráficos

i i l.ibla muestra un resumen de los mundiales de

Itilbol jugados desde el año 1930 hasta el año,M)06.

i mih/,indo estos datos se mostrará cómo construir

un


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■R&H

Simulaciones en Excel mmmm m 1

Tener presente. Todas las

fundones utilizadas en esta

página pueden insertarse en

la hoja de cálculo mediante elcomando Insertar función.

Descripción de funciones.

A continuación se describen

brevemente las funciones

utilizadas en esta simulación:

• Entero: aproxima un

número al entero menor

más cercano.

• Aleatorio: genera un núme

ro aleatorio entre 0 y 1.

• Contar.si: cuenta las cel

das de un rango específico

que cumplen con una con

dición dada.

Simulación de experimentos aleatorios

Entre las funciones Matemáticas y trigonométricas que Excel contiene,

existe una que genera números aleatorios entre 0 y 1, llamada Aleatorio.

Utilizando esta y otras funciones de Excel se simularán algunos experi

mentos aleatorios (ver página 88).

Lanzamiento de una moneda

Para simular el lanzamiento de una moneda, se considerará que 0 equivale

a sello y 1equivale a cara.

1o En Al escribir "=entero(aleatorio()*2)". Esta instrucción realiza losiguiente:

■ La función aleatorio() genera un número entre 0 y 1.

■ Al multiplicar por 2, se está generando entonces un número

aleatorio entre 0 y 2.

■ Al aplicar la función Entero a este número, se genera un 0 o un

1. Este valor cambia cada vez que se realiza un cálculo en la hoja

o al presionar F9.

2o Copiar la instrucción anterior de Al a B20. Así, se generan 40 datos,

lo que en este caso simula lanzar 40 veces una moneda.

3° En D2 escribir "Sello", en D3 escribir "Cara", en E1 escribir

"Frecuencia" y en F1 escribir "Frecuencia relativa".

4o En E2 escribir "=contar.si(A1:B20;"=0")". Esto cuenta la cantidad de

ceros que hay en los datos generados.

5° En E3 escribir "=contar.si(A1:B20;"=1")". Esto cuenta la cantidad de

unos que hay en los datos generados.

6o En F2 escribir "=E2/40" y en F3 escribir "=E3/40". Esto calcula la fre

cuencia relativa de los sellos y las caras.

A l T flr =ENTEROG«J.EATO RIO0'......................................................................................................- - ............ - - - -

A B C D E F1 0 0 Frecuencia Frecuencia relativa2 1 0 Sello 25 0,6253 0 0 Cara 15 0.3754 0 15 0 06 0 0

7 0 08 1 19 1 010 1 011 0 0 - :. q12 0 113 0 114 0 115 1 1


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Simulación de lanzamiento de un dado

Se simulará el lanzamiento de un dado y se representará mediante un

gráfico de barras los resultados obtenidos. Para esto se pueden seguir

los siguientes pasos:

1o En A1 escribir "=entero(aleatorio()*6+1)". Esto genera un número

entero entre 1 y 6, ambos incluidos.

2o Copiar la instrucción anterior de A1 a C20. Así, se generan 60 datos,

lo que en este caso simula lanzar 60 veces un dado.

3o En E1 escribir "Cara del dado" y luego escribir los números ente

ros entre 1 y 6, de E2 a E7 (cada uno representará una cara del

dado).

4o En F1 escribir "Frecuencia" y en G1 escribir "Frecuencia relativa ".(ver página 38)

5o En F2 escribir "=contar.si(A1:C20 "=1")" Tener presente. Para los6o En F3 escribir "=contar.si(A1:C20 "=2")" pasos 5oa 10° se puede7° En F4 escribir "=contar.si(A1:C20 "=3 ") " pegar la función contar.si.8o En F5 escribir "=contar.si(A1:C20 "=4")"9° En F6 escribir "=contar.si(A1:C20 "=5")"10° En F7 escribir "=contar.si(A1:C20 "=6")"11° En G2 escribir "=F2/60", en G3 escribir "=F3/60", en G4 escribir

"=F4/60", en G5 escribir "=F5/60", en G6 escribir "=F6/60" y en

G7 escribir "=F7/60".

12° Seleccionar la columna G (frecuencia relativa) y construir un gráfico

de barras con estos datos.


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Combinatoria en Excel

Sintaxis función Fact.

Para ingresar directamente la

función Fact en la barra de

fórmulas, se puede escribir enla celda escogida

"=Fact(n)"( donde n es la

cantidad de objetos que se

quiere permutar (ver página

112).

Excel tiene entre sus funciones algunas que permiten realizar cálculos

de permutaciones (ver página 113) y combinaciones (ver página 115)

de elementos, las cuales se detallan a continuación.

Permutaciones

Para calcular el total de permutaciones con cierta cantidad de elementos

se puede utilizar la función Fact, que se encuentra en la lista de funcio

nes matemáticas y trigonométricas de Excel.

Ejemplo

Para calcular la cantidad de permutaciones de 4 elementos se puederealizar lo siguiente:

1o Hacer clic en el menú Insertar y luego en

el comando Función.

0 Archivo fcdoón r

Arid « 10Insertar j formato tjerraméontas

Celdas...

Rías

¿otumna*

Hoja de cálculo

Gráfico...

fit Pyndón,..

Nombre

L3 Comentario

Imagen

Diagrama...

Qbjeto...

Hpcfvtnculo..

Datos VcQtono

® € % MO

2o Seleccionar la lista de funciones Mate

máticas y trigonométricas y hacer clic

sobre la función Fact. Luego Aceptar.

O seleccionar una categoria: jMatemáWcas y trlQonométi ̂|

Seleccionar una fundón:

LOG 10

FACI(número)Devuelve el factorial de ix>número, Igual a l*2*3*...*Número.

I Aceptar I Cancelar j

3o En el argumento Número ingresar la can

tidad de elementos, en este caso, 4.

Luego Aceptar.

Argumento» tie (unción

Número [i ' J H - 4

24

OewelvedFactorial deunrximero, ¡guoJo “Número.

Nummi K el m'nwnnonapiHvodal «*«*(Imm ottonar tufarfnri*.

4o En la celda seleccionada aparecerá el nú

mero de permutaciones, en este caso, 24.

A1 » f t =FACT(4)

A B1 24

23

R«mj*ododolafórrauio 24('X'jdivAsstf.i'.'áV.r f Ac««ar ] canealar J


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i'.u.) calcular el total de permutaciones de r objetos de un total de n,

iiiili/ando Excel se puede utilizar la función Permutaciones, que se•mu uentra dentro de la lista de Funciones estadísticas.

i jomplo

l'.n.i calcular la cantidad de permutaciones de 5 objetos sobre un total

•ir ') objetos se puede realizar lo siguiente.

Sintaxis función

Permutaciones. Para ingre

sar esta función

directamente en la barra defórmulas, se puede escribir en

la celda escogida

"=Permutaciones(n;r)",

donde n es la cantidad total

de elementos y r es la

cantidad de elementos a

permutar (ver página 114).

1° Hacer clic en el menú Insertar y luego en


Wl Archivo £t*oón ycr insertar ; Formato Herramientas Dot os VcQtana

Ariti * 10 Celdas... W € % 000

A1 0M*

A ¿oiumnas cHo)a da cálculo

2 sfato*»...

3

4 fi» fVKión...

5inombro ►

i_3 Comjptario

O

7 08 Qbjeto...

9^ Hip crvine uk>... CtHfAJtlK

m

2o Seleccionar la lista de funciones

Estadísticas y hacer clic sobre la función

Permutaciones. Luego Aceptar.

Insertarfunción

1Buscar una fundón:

lEscnbe una breve descrpción de lo que desea hacery, acontinuación, haga ck en Ir

O seleccionar una categoría: [Estadísticos

Seleccionar una £undón:

NEG61NOMDISTNORMALIZACIONPEARSONPENDIENTEPERCENTIL _ 1POISSON m m m *}

PERMUTACION€S(rMjmero;t amaño)1 Devuelve el número de permutaciones para un número determinado de

objetos que pueden ser seleccionados de los objetos totales.

Ayudasobreestefungón | Aceptar | Cancelar |

i En el argumento Número ingresar la

cantidad total de elementos, en estecaso, 9. En el argumento Tamaño

ingresar la cantidad de elementos que

se quiere permutar, en este caso, 5.

Luego Aceptar.

AfuuniBntw du función f? |X

4o En la celda seleccionada aparecerá el

número de variaciones, en este caso,15.120.

Al * fL -PERMUTACIONESfl.S)

A B C

1 15120

2

3

4

5

6


32/215

Sintaxis función

Combinat. Para ingresar esta

función directamente

en la barra de fórmulas, sepuede escribir en la celda

escogida ''=Combinat(n;r)",

donde n es la cantidad total

de elementos y r es la canti

dad de elementos a combinar.

Para calcular el número de combinaciones de r elementos sobre un tot.il

de n elementos utilizando Excel, se puede usar la función Combinat do

la lista de funciones estadísticas.

Ejemplo

Para calcular las combinaciones de 4 objetos de un total de 11 objetos

se puede realizar lo siguiente:

1o Hacer clic en el menú Insertar y luego en


& Ì Schivo Edición Ver Insertar Formoto yerramiontas Oafcos VcQtana

Arial « 10 Celdas... ® € % ooo

A1 - Etes

A ¿olumnos c-i

2 Stofe*)...

34 f it Pyndón...

5tiombre *

b

7 O Qfagrama...8

Objeto...

9 ^ HpcrYÍnaio... Ctrl


33/215

Aplu.uión de funciones de combinatoria

"i.ii mdo las funciones de combinatoria de Excel, se demostrará que:

1MI n Al escribir "Total de elementos (n)", en A2 escribir "Elementos

seleccionados (r)", en A4 escribir "Combinaciones (C)", en A5

escribir "Variaciones (V)", en A6 escribir "Permutaciones (P)" y en

AH escribir "C =M I?".

' I n B1 ingresar el número "14" y en B2 ingresar el número "8".

i I •.B1; "Error: n debe ser mayor o igual que r";

B5/B6)"

-'i .m.ir los valores de n y r (ingresados en B1 y B2 respectivamente) sevn

venlu ,i que C = — .Pr

Bl » A =SKB2>B1.*Enw n tob* n , mtyor 0 igual qu# r*,B5/S6)A B c1 Total de elementos (n) 14

2 Elementos seleccionados 834 Combinaciones (C) 30035 Variaciones (V) 1210809606 Permutaciones (P) 4032078 C = V/P 3003910

Tener presente. En el paso

3o de la aplicación, se ha utilizado la función Si con el

propósito de verificar que los

valores otorgados a n y r

sean correctos.

Cuando el valor de r sea

mayor que el valor de n, la

función escribe "Error: n

debe ser mayor o igual que r"

en la celda correspondiente(B4, B5 y B8). Si r es menor

o igual a n, entonces se reali

zan los cálculos

correspondientes en cada

caso (en B4 calcula las

combinaciones, en B5 las

variaciones y en B8 el

cociente entre variaciones y

permutaciones).


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Estadística

Qos primeros antecedentes de la estadística se encuentran en

China y se remontan al año 2238 a. C., cuando el general Yao

ordenó un censo general del imperio.

También en la América prehispánica, específicamente en el imperio

Inca, hay registro de sofisticados y eficientes sistemas de almacena

miento de datos, los conocidos quipus.

Actualmente, la estadística es una herramienta que describe con exacti

tud valores de datos provenientes de áreas tan diversas como la biología,la economía, política, psicología, física y las ciencias sociales, entre otras

Ya no se limita solo a recolectar y ordenar datos, sino que también y,

principalmente, a la interpretación de esa información.


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O r g a n i z a c i

ó n

a e

l o s

c o n t e r

3 0 s


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Estadística descriptiva

Etimología. La palabra

estadística" deriva del latínstatus, que significa estado o

ituación.

Tener presente. Una

muestra se toma cuando la

población es muy grande yno es posible realizar un

estudio con todos los

ntegrantes de esta. Es

mportante que la muestra

se escoja correctamente,

pues de lo contrario, las

conclusiones obtenidas no

serán representativas de la

población.

Conceptos básicos

La estadística consiste en un conjunto de técnicas y procedimientos

que permiten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, demanera que, a partir de ellos, se puedan inferir conclusiones.

Población y muestra

La población es un conjunto de objetos o de individuos que se desea

estudiar y que, a su vez, presentan una característica que interesa medir.

Generalmente, el tamaño de la población se denota con la letra N.

Se llama muestra a un subconjunto representativo de la población que sedesea estudiar. Generalmente, el tamaño de la muestra se denota con la

letra n.

Variables estadísticas

Una variable estadística corresponde a la o las características que se

miden en la muestra. Las variables pueden ser cuantitativas o cualitativas

■ Variables cualitativas: son aquellas que no se pueden medir numéricamente, están relacionadas con características. Los valores que toma

este tipo de variables son etiquetas que representan categorías o cua

lidades.

Una variable cualitativa puede ser nominal u ordinal (ver esquema

página 37).

Las variables nominales corresponden a aquellas en las cuales no existeninguna ordenación; por ejemplo, el estado civil, el sexo de un indivi

duo, etc.

Las variables ordinales son aquellas en las cuales existe un orden intui

tivo; por ejemplo, nivel educacional (básico, medio, superior), situación

económica (baja, media, alta), etc.

■ Variables cuantitativas son aquellas que se pueden medir numéricamente, es decir, los valores que toma este tipo de variables son números.

Una variable cuantitativa puede ser discreta o continua (ver esquema

página 37).


37/215

i . v.mobles discretas son aquellas en las cuales los posibles valores

.imii-n frecuentemente de un conteo. En cada tramo o intervalo, la

.uiiiblo solo puede tomar un número determinado de valores

(puteros).

i jrmplos

i Numero de hijos.

) Numero de páginas de un libro, etc.

i i . variables continuas son aquellas en las cuales los posibles valo-

N". surgen frecuentemente de una medición. Estas variables pueden

lomar tantos valores (reales) como sea posible en un tramo.

I Jtmplos

i 1.1 estatura de una persona.

¡ 1.1 masa de alguien, etc.

i -.tudio estadístico

I'.im utilizar un estudio estadístico, generalmente se siguen los siguien-

(•-. pasos:

i «(«colección, orden y recuento de datos.

r ( .ílculo de las medidas de centralización (ver páginas 44 y 45), de

dispersión (ver páginas 46 a 49) y localización (ver páginas 50 y 51).

r Kepresentación gráfica de los resultados,

i Planteamiento de las conclusiones.

Estadística e historia.

En el año 2000 a. C. en

China ya se realizaban estu

dios estadísticos relacionados

con el censo de la población.

Por otro lado, los romanos,cada cinco años, realizaban

un recuento de la población,

que consideraba cantidad de

nacimientos, defunciones,

ganado, etc.


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Tablas de frecuencias

Notación. Para denotar la

frecuencia absoluta se utiliza

a expresión f¡. Para denotar

a frecuencia relativa se utiliza

a expresión h¡.

Tener presente. De la tabla

de frecuencias presentada en

el ejemplo, se pueden

responder preguntas tales

como las siguientes:

• ¿Cuántas veces se obtuvo

4? Respuesta: 3 veces.

• ¿Cuántos resultados

menores o iguales que

4 se obtuvo? Respuesta: 6.

• ¿Qué porcentaje obtuvo el

resultado 5? Respuesta:

El 20%.

• Etc.

Tablas de frecuencia para datos no agrupados

Al ordenar los datos correspondientes a un cierto estudio, es usual agru

parlos en clases o categorías, para lo cual, generalmente, se utilizantablas de frecuencias

Frecuencia absoluta

Es el número de veces que aparece o se repite un cierto valor en la varia

ble de medición.

Frecuencia absoluta acumulada

Representa el número de datos cuyo valor es menor o igual al valor

considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias abso

lutas.

Frecuencia relativa

Representa la razón de ocurrencia respecto al total. Se calcula como el

cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño total de la muestra.

La suma de todas las frecuencias relativas da como resultado 1.

Frecuencia relativa porcentual

Corresponde a la frecuencia relativa expresada en porcentaje. Se calcu

la como el producto de la frecuencia relativa por 100.

La suma de todas las frecuencias relativas porcentuales da como resul

tado 100%.

EjemploAl lanzar un dado 10 veces, se obtienen los siguientes resultados:

1 ( 1 ( 3 ( 4 ( 4 ( 4 ( 5 ( 5 ( 6( 6. Se puede observar que la variable de estudio

es el resultado del lanzamiento del dado. Luego, la tabla de frecuencias

correspondiente es:

Resultado F. absoluta F. acumulada F. relativa F. relativa %

1 2 2 2/10 20%

2 0 2 0/10 0%

3 1 3 1/10 10%

4 3 6 3/10 30%

5 2 8 2/10 20%


39/215

Tablas de frecuencia para ciatos agrupados

'.i el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el

rango (diferencia entre el mayor y menor valor de una variable) es muy

.implio, es usual presentarlos agrupados y ordenados en intervalos

(i.ingo de valores).

Tamaño de un intervalo

11 tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del

i.ingo por la cantidad de intervalos que se desean obtener (ver ejemplo).

Marca de clase

I s un valor representativo de cada intervalo (o clase). Este valor corres

ponde al punto medio del intervalo. Se calcula como la suma del limi

to inferior (menor valor) y el límite superior (mayor valor) del intervalo,

dividido en 2.

I jemplo

Un grupo de 20 pacientes entre 50 y 60 años se realizaron un examen

para medir su nivel de colesterol (en mg/dl). Los resultados obtenidos

lueron los siguientes:

Como se puede observar, los valores de la variable de estudio (nivel de

(olesterol) presentan un rango amplio. Los datos se agruparon en 5219-172 47intervalos de tamaño 9, ya que -------- = — « 9 , es decir, cada

5 5intervalo es de amplitud 9. Luego, la tabla de frecuencias correspon

diente es:

Importante. Que los interva

los tengan igual tamaño faci

lita la interpretación, análisis

y conclusión de los estudios.

Sin embargo, en ocasiones los

intervalos no tienen igual

tamaño.

Amplitud de una clase. Se

calcula mediante la diferencia

entre el límite superior y el

límite inferior de un intervalo.

Tener presente. De la tabla

de frecuencias dada en el

ejemplo se pueden responder

preguntas tales como las

siguientes:

• ¿Qué porcentaje de

pacientes presentan un

nivel de colesterol menor

a 200 mg/dl? Respuesta:

65%.

• ¿Qué porcentaje de

pacientes supera los

200 mg/dl de colesterol

total? Respuesta: 35%.

• ¿Cuántos pacientes tienen

una medición entre 190

mg/dl y 199 mg/dl?

Respuesta: 6 pacientes.

Nivel de colesterol F. absoluta F. acumulada F. relativa F. relativa porcentual

170-179 3 3 3/20 15%

180-189 4 7 4/20 20%

190-199 6 13 6/20 30%

200 - 209 4 17 4/20 20%

210-219 3 20 3/20 15%


40/215

Gráfico de frecuencias

Ejes. En un histograma los

intervalos se representan en

el eje de las abscisas (X),

mientras que en el eje de lasordenadas (Y) se representan

las frecuencias.

Histograma

Es una representación gráfica de una distribución de frecuencias, gene

ralmente de variables cuantitativas agrupadas en intervalos. Está formado por barras cuyas bases representan el intervalo al que corresponden

los valores de la variable, y las alturas están dadas por las frecuencias de

cada categoría (ver ejemplo página 41).

Gráfico circular

Este gráfico, también conocido como diagrama de sectores, se utiliza

para representar cualquier tipo de frecuencias aunque, generalmente,

se utiliza para frecuencias relativas porcentuales.

Los datos son representados mediante sectores de un círculo. Cada

sector indica diferentes categorías de la variable y cada ángulo de los

sectores circulares es proporcional al valor de la variable (ver ejemplo

página 41).

Ángulos de los sectores de un gráfico circular

La medida de los ángulos de los sectores circulares, se obtiene multipli

cando las frecuencias absolutas de la categoría por 360° y dividiendo elnúmero total de datos, es decir:

Ángulo =f¡ •360

Ñ

Donde f¡: frecuencia absoluta y N: total de datos.

Polígono de frecuencias

Un polígono de frecuencias se obtiene al unir los puntos medios de los

intervalos representados por cada barra en un histograma, es decir, al

unir la marca de clase de cada intervalo mediante una línea poligonal

(ver ejemplo página 41).

Ejemplo

Se encuesto al personal de una empresa con la finalidad de conocer y

registrar las edades de sus trabajadores.

La tabla de frecuencias con los resultados obtenidos es la siguiente:

Edades (20 - 25] (25-30] (30 - 35] (35 -40] (40 - 45] (45 - 50] (50 - 55] (55 - 60] > 60

f¡ 7 10 19 18 16 10 7 3 1


41/215

11liistograma correspondiente es:

Edad d« trabajador «s

i l

■iflpll nîS‘

■ f

11


42/215

Pictograma

Observar. En el ejemplo

de gráfico de frecuencias

acumuladas, en el eje X se ha

representado el límite supe

rior del intervalo y en el eje Y,

la frecuencia acumulada.

Alternativa. Es posible

construir un gráfico a partir

de la frecuencia relativa

acumulada.

Tener presente. En el gráfi

co de frecuencias acumuladas

se marcan los puntos de la

forma (x, y), donde

x: límite superior

y: frecuencia acumulada.

Este tipo de gráfico se utiliza para representar variables cualitativas.

Para cada valor de la variable se utiliza una figura cuyo tamaño seaproporcional a la frecuencia.

Ejemplo

El siguiente pictograma corresponde a una encuesta de consumo cul

tural y tiempo libre.

Medios o formatos empleados para escuchar música (año 2004)

Fuente: Encuesta de consumo cultural y uso del tiempo libre 2004, CNCA-INI

Gráfico de frecuencias acumuladas

En un gráfico de distribución de frecuencias acumuladas, se puede

observar que esta frecuencia de un intervalo corresponde a todas las

observaciones menores que el límite superior de ese intervalo.

Ejemplo

Si se considera el caso de las edades del personal de una empresa, (veiejemplo, página 40), se obtiene la siguiente tabla de frecuencias acu

muladas, en la cual se ha incluido el límite superior de cada intervalo y

el respectivo gráfico.

Edades Límitesuperior F. absoluta F. acumulada

(20 - 25] 25 7 7

(25 - 30] 30 10 17(30 - 35] 35 19 36

(35 - 40] 40 18 54(40 - 45] 45 16 70

(45 - 501 50 10 80(50 - 55] 55 7 87(55 -60] 60 3 90(60 - 65] 65 1 91

F Aíumul*U d» edxfet


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Diagrama de tallo y hoja John Wilder Tukey (1915-2000)

Este diagrama tiene por objetivo resumir u ordenar un conjunto de datos,

de modo de conocer intuitivamente la forma de su distribución. Tambiénpermite comparar la distribución de dos o más grupos diferentes.

Este tipo de gráfico se construye separando los valores de cada observa

ción en dos partes, la primera corresponde al tallo y se ubica a la izquierda

de una línea vertical. La segunda (hoja) se ubica a la derecha.

Si se tienen muchas hojas en cada tallo, es posible separarlas en dos tallos.

Ejemplo

A continuación se muestra un diagrama de tallo y hoja, correspondien

te al salario, en miles de pesos, de un grupo de trabajadores de una

empresa.

Tallo Hojas

4 00 255 31 426 28 36 997 18 69 87

8 17 25 339 25 58 77

10 53 7611 01 6912 00 7913 33 70 9514 59 6115 8916 12 5117 1618 65

19 30202122 00

9596

Del diagrama anterior se puede desprender información como la

siguiente:

El trabajador que tiene menor salario, percibe $ 400.000.

El trabajador que tiene mayor salario, percibe $ 2.200.000.La mayoría de los trabajadores percibe entre $ 400.000 y $ 1.600.000,

ya que entre esos valores se presenta la mayor frecuencia de salarios.

Etc.

Inventó el diagrama de tallo

y hoja, como un modo rápidode representar un conjunto

de datos de manera gráfica.

Tener presente. En general

se utilizan diagramas de tallo

y hoja para estudiar la

dispersión de los valores de

una muestra. (Ver páginas

46 a 49).

Además, la elección del tallo

y hojas es arbitraria, estos se

seleccionan de acuerdo a la

conveniencia y dependerá de

la magnitud de los datos.

Ejemplo

El diagrama correspondiente

a los datos: 20, 21, 35, 40,

43 y 45 se puede representar

como:

1


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Medidas de tendencia central

Tener presente. Es única y

fácil de calcular e interpretar,

sin embargo, se ve afectada si

existen valores extremos.

Tener presente. La mediana

es única, y no se ve afectada

por los valores extremos.

Existencia de moda. Es

posible que no exista moda

o que exista más de una.

Ejemplo

La moda de

1-1-2-2-3-4-5-6-7 es 1 y 2.

Las medidas de tendencia central son parámetros estadísticos que indi

can valores cuyo objetivo es resumir la información para un conjunto

de datos, es decir, son representantes de un conjunto de datos. Las

medidas de tendencia central más conocidas son: la media aritmética, la mediana y la moda

Medidas de tendencia central para datos no agrupados

Media aritmética

Valor numérico que corresponde al cociente de la suma de todos los

datos y el número total de observaciones (promedio). Se denota como x

Es decir,

n: número de elementos de la muestra.

Ejemplo

Si se considera el número de hijos de 7 familias con los siguientes

resultados: 1, 2, 2, 4, 5, 5, 6, la media aritmética del número de hijos

- 1+2+2+4+5+5+6 25es 3,6, ya que x = = — « 3,6.

Observar que la media aritmética no coincide con ningún valor de los

datos, ya que estos corresponden a números enteros positivos (núme

ro de hijos), en estos casos, el valor de la media se puede aproximar, es

decir x ~ 4.

Mediana

Se define como el valor central de un conjunto de datos ordenados demanera creciente o decreciente. En el caso que el número de datos sea

par, la mediana corresponde a la media aritmética de los dos valores

centrales. Se denota como Me.

Ejemplo

Las notas de 6 alumnos de un curso de botánica son las siguientes:

2,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0. El número de observaciones es par, por lo3,0+ 4,0

tanto, la mediana es 3,5 pues---

= 3,5.

Moda

La moda de un conjunto de observaciones corresponde a aquel dato

que tiene la mayor frecuencia. Se denota como Mo. En el ejemplo

anterior, hay dos modas: 3,0 y 4,0.


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Medidas de tendencia central para datos agrupados

Media aritméticaLa media para datos agrupados se calcula multiplicando la marca de

clase de cada intervalo (x¡), con sus respectivas frecuencias absolutas (f¡),

se suman los resultados obtenidos y este total se divide por el número

total de datos (n). Es decir:

k

E x ¡f ¡

x = — , k: número de intervalosn

Mediana

Una manera aproximada de calcular la mediana para datos agrupados

es mediante la expresión:

n f

Me = L¡ + j — •tf mediana

Donde:

L¡: límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana,n: número total de elementos de la muestra, o bien, la frecuencia total,

t: amplitud de los intervalos.

f(¡_i): frecuencia acumulada anterior al intervalo en el cual se encuen

tra la mediana.

fmediana- frecuencia del intervalo en el cual se encuentra la mediana.

Moda

La moda para datos agrupados está dada por la expresión:

Donde:

d,: diferencia de la frecuencia del intervalo modal (intervalo con mayor

frecuencia absoluta) y la frecuencia de la clase anterior.

d2: diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia de la

clase posterior,

t: tamaño de los intervalos.

L¡: límite inferior de la clase modal.

Al calcular la moda para datos agrupados, el resultado corresponde a

una aproximación de esta.

Ejemplos para datos

agrupados.

Dada la siguiente tabla de

frecuencias:

Intervalo f¡

40-45 12

46-51 15

52-57 4

La marca de clase para

cada intervalo es 42,5; 48,5 y

54,5, respectivamente,

además n = 31. Luego,

la media aritmética está

dada por:

- 42,5-12 + 48,5-15 + 54,5 -4X = -------------------------

31

x « 46,95

Además, la mediana se ubica

en el intervalo 46-51, ya

que ahí se encuentra el 50%

del total de los datos,

por lo tanto n = 31; t = 6;

f (¡ -1 ) = 1 fmediana = ^

L¡ = 46. Luego,

H-12M =46+ -2------6 = 47,4

e 15

Por otro lado,

d, = 15-12 = 3;

d2= 15-4= 11.

L¡ = 46. Luego,

M = 46 + — -— ■6 = 47,29

03 + 11

Tener presente. Las fórmulas correspondientes a la

mediana y a la moda solo son

válidas cuando t es constante.


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Medidas de dispersión

Tener presente. La suma de

las desviaciones de todos los

datos con respecto a la media

aritmética es siempre cero.

Desviación media para

datos agrupados. Está

dada por la expresión:

S f¡ ’ lxi -*1DM = — --------

n

Donde f¡ es la frecuencia

absoluta de cada valor de la

variable.

Las medidas de dispersión son parámetros estadísticos que indican

cuánto se alejan los datos respecto de la media aritmética. Es decir,

indican la variabilidad de los datos

Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación media y la desviación estándar o típica.

Rango

Indica la dispersión entre los valores extremos de una variable. Se cal

cula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.

Se denota como R. Es decir,

R - x(n) " x(1)

Donde:

x(nj: es el estadístico de orden n, es decir el mayor valor de la variable.

x(1j: es el estadístico de orden 1, es decir el menor valor de la variable.

Desviación media

■ La desviación media de una observación x (d) con respecto a la medui

(x ) se define como la diferencia entre ellas. Es decir,

d = x - x

■ La desviación media de un conjunto de datos (DM) es la media arit

mética de los valores absolutos de las desviaciones de cada dato res

pecto a la media (x). Es decir,

i | x , - i |DM = -----

n

Donde:

x¡: valores de la variable,

n: número total de datos.


47/215

Varianza

Valor de la varianza. La

varianza corresponde alcuadrado de la desviación

estándar y, por lo tanto, su

valor es siempre positivo.

Es otro parámetro utilizado para medir la dispersión de los valores (le

una variable respecto a la media. Corresponde a la media aritmética (lolos cuadrados de las desviaciones respecto de la media. Está dada pm

la expresión:

Dado que la varianza corresponde al cuadrado de la desviación estándar,

está expresada en unidades cuadradas.

Coeficiente de variación

Permite determinar la razón existente entre la desviación estándar (s) y

la media. Se denota como CV. El coeficiente de variación se calcula

mediante la expresión:

El CV no tiene unidades de medida, por lo que permite la comparación

de variables sin importar sus magnitudes ni lo que representan.

Correlación

Tener presente. Al calcular

a covarianza de una variable

respecto a sí misma, se obtie

ne la varianza.

El análisis de la correlación es apropiado cuando se necesita conocer el

grado de asociación entre dos variables.

Covarianza

La covarianza (cov(x, y)) de dos variables es un indicador de la relación

entre ellas. Este parámetro puede utilizarse para medir la relación entre

dos variables solo si están expresadas en la misma escala o unidad de

medida. Está dada por la expresión:

É ( * ¡ - * ) ( * - y)

cov(x, y) = -------------n


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Coeficiente de correlación de Pearson

La correlación o grado de asociación entre dos variables se mide utili

zando el coeficiente de relación de Pearson. Este coeficiente mide el

grado de asociación lineal entre dos variables. Se denota como r y su

valor fluctúa en el intervalo [-1,1].

Este coeficiente se calcula mediante la expresión:

f= cov(x,y)

Donde:

sx: desviación estándar de la variable x.

sy: desviación estándar de la variable y.

Análisis del coeficiente de correlación

Según sea el valor del coeficiente de correlación (r) se tiene que:

■ si r es positivo, la relación lineal entre las variables es directa. Se dice

que la correlación es positiva

■ Si r es negativo, la relación lineal entre las variables es inversa. Se

dice que la correlación es negativa.

■ Si r = 0, no existe relación lineal entre las variables. Se dice que la

correlación es nula.

■ Si r = 1, existe una relación de dependencia total directa entre las

variables. Es decir, si una de ellas aumenta (o disminuye), la otra

aumenta (o disminuye) en igual proporción.

■ Si r =-1, existe una relación de dependencia total inversa entre las

variables. Es decir, si una de ellas aumenta (o disminuye), la otra dis

minuye (o aumenta) en igual proporción.

Representación gráfica de la correlación

Correlación positiva Correlación negativa

Karl Pearson

(1857-1936)

No solo se destacó por sus

contribuciones a la estadística,sino también por sus valiosos

aportes a la antropología,

biometria y genética.

Correlación perfecta. Si el

coeficiente de correlación

toma valores extremos, es

decir, r = 1o r = -1, se diceque la correlación es perfecta.

Si r = 1, la correlación es

máxima directa.

Si r = -1, la correlación es

máxima inversa.

En ambos casos, todos los

puntos pueden representarse

gráficamente, en una misma

recta.

Correlación nula


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Medidas de localización

Tener presente. El segundo

cuartil coincide con la

mediana.

Una medida de localización nos indica el lugar donde se ubica un valor

de la variable dentro de un conjunto ordenado de valores. Las medid.r.

de localización más utilizadas son cuartiles, deciles y percentiles

Cuartiles

Son tres valores que dividen al conjunto de observaciones ordenad.r.

en cuatro partes iguales. Por lo tanto, el primer cuartil (Q,) es el valor

por debajo del cual, o en el cual, se ubica el 25% de todos los valoir.,

el segundo cuartil (Q2) es el valor por debajo del cual se ubica el 50%

de todos los valores y el tercer cuartil (Q3) es el valor por debajo dH

cual se ubica el 75% de todos los valores. Gráficamente:

25%

Q, q2 q3

Tener presente. El quinto

decil coincide con la mediana.

Notación. Los deciles se

denotan como Dv D2, D 9.

Para determinar cada cuartil se utilizan las expresiones:

Qi = L1+0- 1)

Q2=L2 +n- f2 T('-D

•c q 3 = l 3 +

Donde:

i = 1,2, 3.

L¡: límite inferior del intervalo que contiene al cuartil.

f¡_ !: frecuencia actimulada del intervalo anterior que contiene al cuartil

c: tamaño del intervalo donde está el cuartil.f¡: frecuencia absoluta del intervalo que contiene al cuartil.

n: tamaño de la muestra.

Deciles

Los deciles corresponden a nueve valores que dividen al conjunto de

observaciones ordenadas en diez partes iguales. Gráficamente:

10%i——i---1---1---1---1---1---1--- 1---1---1

Di D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9


50/215

i

D. — 1. + fe) ~ f(¡-DU | L¡ +f¡

1=1,2, 3, 9.

L¡: límite inferior del intervalo que contiene al decil.

n: número total de observaciones.

f(¡_i): frecuencia acumulada del intervalo que antecede al decil.

f¡: frecuencia absoluta del intervalo al que pertenece el decil.c: longitud del intervalo que contiene al decil.

Percentiles

Corresponden a 99 valores que dividen al conjunto de observaciones,

ordenadas en cien partes ¡guales.

Para determinar el i-ésimo percentil se utiliza la expresión:

'P - 1 +

- 1' 100/ - f(i-1)r i Ll +

f¡

¡=1,2,3, ..., 99.

L¡: límite inferior del intervalo que contiene al percentil.

n: número total de observaciones.

f(¡_ij: frecuencia absoluta acumulada del intervalo que antecede al percentil.

f¡: frecuencia absoluta del intervalo al que pertenece el percentil.

c: longitud del intervalo que contiene al percentil.

Tener presente. Para calcu-

lar medidas de localización se

utilizan las frecuencias acu-

muladas. Si la variable es

continua, se toma como valor

la marca de clase.

Notación. Los percentiles se

denotan como P1: P2, ..., P99.

Aplicación de los percen

tiles. Esta medida es una de

las más utilizadas cuando elobjetivo es la clasificación de

personas respecto a alguna

característica. Por ejemplo, el

peso o la estatura.

Ejercicio resuelto

1. A partir de la siguiente tabla de frecuencias

determinar P I90-I n te rva lo F. ab so lu ta F. a cu m u lad a

60- 69 10 10

70- 79 2 0 30

80 - 89 2 0 50El 90% de los valores de la tabla se ubican en

el intervalo 80 - 89.

Se tiene: L¡ = 80 (límite inferior del intervalo 80 - 89); n = 50 (tamaño de la muestra);

f¡ = 50 (frecuencia absoluta del intervalo 80 -89); f(¡_ n) = 30 (frecuencia acumulada del inter

valo 70 -79); c = 10 (amplitud del intervalo).

Remplazando los valores anteriores en la fórmula respectiva, se tiene:

90

90 : 80 + -

50

100-30

20•10 = 87,5

Luego, P90 = 87,5. Es decir, el 90% de los datos es menor o igual que 87,5.


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Diagrama de caja

Box-plot. Los diagramas decajas también son conocidos

como box-plot o gráfico de

cajón con bigotes.

Posición de un diagrama.

Un diagrama de cajas se

puede construir de manera

vertical, o bien, horizontal.

Destacado científico cuyos

aportes más importantes los

realizó en el campo de la

estadística. Se le atribuye la

creación del cálculo correla

ciona!.

Un diagrama de caja es una representación gráfica que se construyo .1

partir de los cuartiles de un conjunto de valores de una variable

Además, en este tipo de gráfico se indican otros elementos de la di*,

tribución, tales como: rango, mediana, etc. En general, este gráfico swutiliza para comparar las distribuciones de diferentes grupos.

Construcción de un diagrama de caja

Para su construcción es necesario conocer los siguientes datos par.i

cada variable:

■ Valor mínimo.

■ Valor máximo.

■ Primer cuartil.

■ Segundo cuartil o mediana.

■ Tercer cuartil.

■ Media aritmética de los valores de la variable, este dato no es

imprescindible para la construcción, pero en caso de conocerlo se

incluye en la gráfica.

En un diagrama de caja se puede observar lo siguiente (ver figura):

■ Las líneas que sobresalen del rectángulo, indican el valor mínimoy máximo de los valores de la variable.

■ Los extremos inferior y superior del rectángulo indican el primer y

tercer cuartil, respectivamente, mientras que la línea horizontal (o

vertical) que divide al rectángulo indica la mediana (segundo cuartil),

■ Para indicar la media de los valores (si se conoce) de la variable se

utiliza un signo +.

"O - -QJE._

— Máximo

+

— Mínimo

Sir Francis Galton

(1822-1911)


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Ejemplos

1. Un restaurante seleccionó una muestra de 30 entregas a domicilio

durante un mes, obteniendo la siguiente información:

• Tiempo mínimo de entrega: 13 minutos.• Tiempo máximo de entrega: 30 minutos.

• Q-|: 15 minutos.

• Mediana del tiempo de entrega: 18 minutos.

• Q3: 22 minutos.

Con la información anterior se construyó el diagrama

de caja. De este se puede observar que el tiempo de

entrega de este restaurante está concentrado bajo eltercel cuartil, es decir, sus tiempos de entrega son,

frecuentemente, bajos (demoran poco tiempo en las

entregas).

2. Se registraron los tiempos obtenidos por una nadadora en 50 m pecho,

durante el entrenamiento en tres semanas diferentes, con el objetivo

de averiguar si la práctica favorecía el logro de mejores marcas.

A partir de los tiempos obtenidos en cada semana, se construyó el

siguiente diagrama:

Semana 3

Semana 2

Semana 1

Hzn1-i

Tiempo (segundos)

Del gráfico se puede concluir que a medida que transcurrieron los

días de entrenamiento, la diferencia entre la máxima y mínima

marca, de cada semana, es menor. Además existe un desplazamien

to de la gráfica hacia la izquierda, lo cual muestra que los tiempos

obtenidos se han mejorado respecto de la semana anterior, y por

ende, la práctica está dando resultados.


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Distribución normal

Carl Gauss

(1777-1855)Definición

La distribución normal o gaussiana es ampliamente utilizada en est.i

dística y teoría de probabilidades.

La función asociada a la distribución normal, está dada por:

(x-n)2

f(x) = — ]= e 2° 2ov2jt

Matemático alemán, conocido como el príncipe de las

matemáticas. Elaboró la ley

de densidad de probabilidad

de una variable aleatoria

continua X, que hoy lleva su

nombre y que es conocida

también como distribución

normal.

Tendencia de la curva.

La curva que define una dis

tribución normal presenta

puntos de inflexión en las

abscisas x - o y x + o,

donde se modifica la concavi

dad de la curva. Además, enlos valores de la variable

estadística que tienden a -»

y +oo, la función tiende a cero.

Donde:n: media de la distribución,

o: desviación estándar de la distribución.

A una distribución normal de media ja y desviación estándar o se l


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Intervalos de una distribución normal

Si una población tiene media n y desviación estándar o, se tiene que:

[ L - O H (X + O

El 95,5% de los individuos se

encuentra en el intervalo

[(i - 2o, 11 + 2o].

El 99,7% de los individuos se

encuentra en el intervalo

[|i - 3o, |x + 3o]

Tipificación de una variable

Es posible expresar cualquier distribución normal como una de la

forma N(0,1), la cual se denomina distribución normal tipificada. Para

Una de las ventajas de tipificar una distribución es que se puede medirla desviación de los datos respecto de la media, lo cual permite com

parar la posición relativa de los datos.

Además, existen valores tabulados para una variable Z, de modo que

se facilitan los cálculos, especialmente aquellos relacionados con el

tamaño de una muestra, dada ciertas características de ella.

Ejemplo

Un conjunto de datos X que distribuye N(1, 4), se puede tipificar

X —1como Z = que tiene una distribución N(0, 1).

esto se utiliza la siguiente expresión: Tener presente. Una tipificación consiste en cambiar de

una variable aleatoria X ao otra variable Z de distribución

N(0, 1).


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Ejercicios

1. Indicar en cada caso si la variable dada es

cualitativa o cuantitativa.

a. Número de personas que integran un grupo familiar en una comuna de Santiago.

b. Sueldo de los empleados de una empresa.

c. Color de ojos de los alumnos de un curso.

d. Nivel de escolaridad de los integrantes

de un grupo familiar.

2. Indicar cuáles de las siguientes son variables

discretas y cuáles son continuas.

a. Temperaturas diarias medidas en una

ciudad.

b. Ingresos de los ejecutivos de un banco.

c. Longitudes de 100 clavos producidos por

una empresa.

d. Número de estudiantes en una sala de

clases.

3. Clasificar cada una de las siguientes varia

bles, según sea cuantitativa (discreta o conti

nua) o cualitativa (nominal u ordinal).

Distancia recorrida por un automóvil

desde Calama a Valdivia.

Tiempo que se requiere para responder

una encuesta.

Cantidad de llamadas que llegan a una

central telefónica.

Periódicos vendidos en un kiosco.

Color de pelo de los integrantes de una

familia.

Número de acciones transadas en la

bolsa en un día determinado.

4. Se realizó una encuesta para conocer la prole

rencia del jefe(a) de hogar de una cierta com»

na, por algún tipo de supermercado. Entre lm

100 jefes(as) de hogar entrevistados, 30 preli rieron el supermercado "Triunfo".

a. ¿Cuál es la muestra de esta encue

b. ¿Cuál es el tamaño de la muestra

c. ¿Cuál es la población?

d. ¿Cuál es la variable de estudio?

e. ¿Cuál es la proporción dentro de la mués*

tra, de jefes de hogar que prefirieron el

supermercado "Triunfo"?

f. ¿Cuántos jefes(as) de hogar prefirieron

otro supermercado?

5. En un jardín infantil, las edades de los niños

se han re

libro estad prob cálculo

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