F́ısica Estad́ıstica

Tarea 7

A entregar: viernes 17 de abril de 2015.

Prob. 25. Un sólido con átomos de tres estados.

Considere un sólido cristalino con N átomos, uno en cada sitio de la red.Cada átomo puede estar en tres estados, cuyas enerǵıas son −�0, 0, y �0.

Suponiendo que el cristal se encuentra a temperatura T , calcule:

a) La función de partición canónica.

b) La probabilidad de hallar a un átomo con enerǵıa �0.

c) La enerǵıa total promedio y la capacidad caloŕıfica. Discuta los ĺımites debaja y alta temperatura.

d) La entroṕıa. Discuta los ĺımites de baja y alta temperatura.

e) Calcule la entroṕıa en el ensemble microcanónico y verifique que se obtieneel mismo resultado que en el inciso d).

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Superficie adsorbente de moléculas diatómicas con energía de amarre -εΒ

Gas atómico

Prob. 26. Absorción molecular en una superficie.

Suponga un gas ideal (clásico) monoatómico (masa m) a temperatura Ty presión p. El gas se pone en contacto con un cristal en cuya superficiesolo se pueden ligar pares de átomos (i.e. “moléculas diatómicas”). Vea lafigura. La enerǵıa de amarre de cada molécula en un sitio cristalino es −εB.La superficie tiene N sitios de amarre. Suponga que se establece equilibriotermodinámico entre el gas y las moléculas ligadas a la superficie. Encuentreuna expresión para el número promedio Np de pares amarrados a la superficie.Debe encontrar una expresión del tipo

NpN

=p2

p2 + p20.

Identifique p0. Sugerencia: Resuelva los dos sistemas por separado en elesemble canónico y luego establezca las condiciones de equilibrio.

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Paramagnetismo ideal

Un material paramagnético es aquel que adquiere una magnetizaciónmacroscópica ~M sólo en presencia de un campo magnético externo ~H. Unimán o ferromagneto es aquel que puede presentar una magnetización difer-ente de cero aún en ausencia de campo magnético.

El modelo más sencillo de paramagneto ideal es el de un cristal, tal queen cada sitio hay un átomo y el átomo tiene un momento magnético ~µi. ElHamiltoniano está dado por,

H = −N∑i=1

~µi · ~H (1)

El momento magnético, en principio, es cuántico pero también puede aprox-imarse como clásico. Si es cuántico, el momento magnético se escribe como,

~µ = gµ0~s (2)

con µ0 el magnetón de Bohr y g la razón giromagnética, que es un númeroadimensional del orden de 1 y caracteŕıstico de cada átomo. ~s = sxî+sy ĵ+szk̂es el vector de spin del átomo. La magnitud del spin es s y puede tomarvalores enteros o semienteros.

La magnetización del estado del sistema, a una temperatura T dada, es

~M =

〈N∑i=1

~µi

〉(3)

donde el promedio es en el ensemble apropiado. En este caso, estamossuponiendo el canónico.

Recordemos que la matriz de densidad del sistema a temperatura T es,

Ŵ =1

Ze−βH (4)

donde Z(T,H,N) es la función de partición

Z(T,H,N) = Tr e−βH (5)

y donde la traza es sobre todos los estados del sistema.Por lo tanto, la magnetización es

~M =1

ZTr

(e−βH

N∑i=1

~µi

)(6)

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Como el campo magnético externo es constante, podemos escoger ejescoordenados en el laboratorio tal que ~H = Hk̂, es decir, paralelo al eje z. Eneste caso, el Hamiltoniano se puede escribir como,

H = −HN∑i=1

µzi

= −gµ0HN∑i=1

szi. (7)

Con esta información ya podemos calcular los estados del sistema. Sea sz elspin en la componente z de cualquier átomo. Como el spin del átomo es s,la componente sz toma los valores m con

m = −s,−s+ 1, . . . , s− 1, s

es decir, los estados de un spin son,

sz|m〉 = m|m〉 (8)

Como los átomos son distinguibles por estar en una red cristalina, un estadodel sistema está dado por los valores m de cada átomo,

|{m}〉 = |m1〉|m2〉 . . . |mN〉 (9)

o en forma más sencilla, el estado simplemente se especifica por

{m} = (m1,m2, . . . ,mN). (10)

Cada valor de mi puede tomar los valores mi = −s,−s+ 1, . . . , s− 1, s y laenerǵıa de un estado del sistema es,

E{m} = −gµ0HN∑i=1

mi (11)

Como hay 2s+ 1 valores por cada mi, el número total de estados del sistemaes N2s+1.

La función de partición puede escribirse como, ¡por favor haga todos lospasos!

Z(T,H,N) = Tr e−βH

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=∑{m}

e−βE{m}

=∑{m}

eβgµ0H∑N

i=1mi

=s∑

m1=−s

s∑m2=−s

. . .s∑

m1=−seβgµ0H(m1+m2+...+mN )

=

(s∑

m=−seβgµ0Hm

)N(12)

En clase calcularemos la suma en el paréntesis, que no es nada mas que unasuma geométrica finita, y discutiremos la termodinámica.

Sin embargo, antes podemos hallar una expresión sencilla para la magne-tización y, de paso, los elementos de la termodinámica del sistema.

Usando la forma de H la magnetización puede escribirse como,

~M =1

ZTr

(eβH

∑Ni=1

µziN∑i=1

~µi

)(13)

Muestre primero, usando los estados del sistema arriba descritos que lascomponentes x y y de la magnetización son cero, Mx = My = 0. Es decir,la magnetización sólo es diferente de cero en la dirección z, o sea, paralela alcampo externo aplicado. Escribimos, ~M = Mk̂ y, por lo tanto,

M =1

ZTr

(eβH

∑Ni=1

µziN∑i=1

µiz

)(14)

Muestre que esta expresión se puede escribir como,

M =∂

∂(βH)lnZ (15)

y recordando que la enerǵıa libre de Helmholtz es

F (T,H,N) = −kT ln Tr e−βH (16)

hallamos el importante resultado

M = −(∂F

∂H

)T,N

(17)

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es decir, que si N = constante, dF = −SdT −MdH. En otras palabras, sólonecesitamos conocer la función de partición Z(T,H,N) para hallar todas lapropiedades termodinámicas del sistema ... recuerde, la magnetización esuna propiedad termodinámica cuántica ... con ĺımite clásico apropiado.

Una propiedad magnética muy importante de un sistema, y que lo carac-teriza como tal, es qué tanto se magnetiza con respecto al campo aplicado.Esta cantidad se llama la susceptibilidad magnética y está dada por,

χM =

(∂M

∂H

)T,N

(18)

Mientras mas grande sea χM , mas magnetizable es el material.

Prob. 27. Paramagnetismo clásico.

Considere un cristal paramagnético con N sitios a temperatura T y enpresencia de un campo magnético externo uniforme ~H = Hk̂. El Hamiltoni-ano del sistema puede escribirse como

H = −N∑i=1

~µi · ~H

donde ~µi es el momento magnético del i-ésimo átomo. Considere al momentomagnético como una cantidad que obedece la mecánica clásica, es decir,que los valores de ~µ no están cuantizados: su magnitud es constante |~µi| =µ = constante y su orientación puede tomar cualquier valor, es decir, ~µi =µ(̂i sin θi cosφi + ĵ sin θi sinφi + k̂ cos θi) donde 0 ≤ θi < π y 0 ≤ φi < 2π sonlos ángulos polar y azimutal de las coordenadas esféricas. En otras palabras,el estado de un momento magnético está dado por los valores (θ, φ) de suorientación.

a) Arguya que la suma sobre estados de un átomo, en la expresión (12) arriba,debe cambiarse en el ĺımite clásico por,

s∑m=−s

→∫ 2π0

dφ∫ π0

sin θdθ (19)

Note que no tenemos que dividir entreN ! porque los átomos son distinguibles.

b) Calcule la magnetización promedio de este sistema. Muestre explićıtamenteque la magnetización en las direcciones x y y son cero.

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c) La expresión anterior estrictamente sólo es válida a temperaturas altas.Aproxime dicha expresión en ese ĺımite y muestre que se obtiene la Ley deCurie para la susceptibilidad magnética,

χM ≈ Nµ2

3kT.

Prob. 28. Termodinámica de un paramagneto.

Arriba vimos que la enerǵıa libre de Helmholtz para estos materiales (aN constante) es función de la temperatura y el campo magnético: F =F (T,H). M = − ∂F

∂H.

a) Suponiendo que conoce F (T,H), construya la correspondiente enerǵıalibre F(T,M), i.e. como función de la temperatura y la magnetización M .

Muestre que

H =

(∂F∂M

)T

b) De manera análoga al caso de un gas, podemos definir las capacidadescaloŕıficas a magnetización y campo magnético constantes CM y CH respec-tivamente como:

CM = T

(∂S

∂T

)M

CH = T

(∂S

∂T

)H

Muestre que

CH − CM = −T(∂H

∂T

)M

(∂M

∂T

)H

c) Muestre que para un material paramgnético que obedezca la ley deCurie (i.e. T “altas”), se tiene

CH − CM = CH2/T 2

donde C es la constante de Curie; identif́ıquela.

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