libro estad 2013

ASIGNATURA ESTADSTICA

DOCENTE TITULAR: MG. CARMEN BARRETO R.

AO 2013

CONTENIDO

Pg.

1. RECOLECCIN Y PRESENTACIN DE DATOS Y MEDIDAS ESTADSTICAS 1

1.1. DEFINICIN DE ESTADSTICA 1

1.2. CLASIFICACIN DE LA ESTADSTICA 1

1.3. TRMINOS DE ESTADSTICA 1

1.4. RECOLECCIN DE DATOS 4

1.5. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS: DEFINICIN Y CLASIFICACIN 7

1.6. GRFICOS ESTADSTICOS 23

2.1. MEDIDAS ESTADSTICAS 41

2.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 42

3.1. MEDIDAS DE DISPERSIN 56

3.2. MEDIDAS DE FORMA 74

4.1. EXPERIMENTO 86

4.2. ESPACIO MUESTRAL 86

4.3. EVENTOS 87

4.4. OPERACIONES CON EVENTOS 90

4.5. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE 92

EXHAUSTIVOS

4.6. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON EVENTOS 92

4.7. PROBABILIDAD Y ENFOQUES DE PROBABILIDAD 94

4.8. REGLAS DE PROBABILIDAD 98

4.9. PROBABILIDAD CONDICIONAL 100

4.10. TABLAS DE PROBABILIDAD 112

Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote CURSO ESTADSTICA __________________________________________________________________________________________

CAPITULO I

RECOLECCIN Y PRESENTACIN DE DATOS

1.1. DEFINICIN DE ESTADSTICALa estadstica es una ciencia que proporciona un conjunto mtodos y tcnicas

que se utilizan para recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar el

comportamiento de los datos con respecto a una caracterstica materia de estudio

e investigacin con la finalidad de obtener conclusiones vlidas y tomar

decisiones razonables de acuerdo a tales anlisis.

1.2. CLASIFICACIN DE LA ESTADSTICALa Estadstica se clasifica en dos grandes reas: Estadstica Descriptiva y

Estadstica Inferencial.

a) Estadstica descriptiva: Parte de la estadstica que analiza y describe unconjunto de datos de una muestra o de una poblacin sin sacar conclusiones

de tipo general.

b) Estadstica inferencial: Parte de la Estadstica que infiere o induce leyes decomportamiento para una poblacin a travs de una muestra aleatoria

seleccionada de dicha poblacin.

_________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Julio 2013Versin : 3

Recoleccin Organizacin Presentacin

Cuadros

Grficos

Anlisis Descriptivo

Poblacin(N)

Muestra(n)

Muestreo

Estadstica Inferencial


1.3. TRMINOS DE ESTADSTICAConsiderando que existe un conjunto de trminos que se usan frecuentemente en

estadstica conviene precisar el significado de algunos de ellos.

1.3.1. POBLACIN (N)Es el conjunto de todos los individuos objetos u observaciones que poseen alguna

caracterstica observable comn.

Ejemplo 1:La poblacin de estudiantes de la Escuela de Contabilidad de la Universidad Los

ngeles de Chimbote

Una poblacin puede clasificarse como finita o infinita.

Poblacin finita: Es aquella que tiene un nmero limitado de elementos.Ejemplo 2:Las edades de todos los estudiantes de la Universidad Los ngeles de Chimbote.

Poblacin infinita: Es aquella que tiene un nmero ilimitado de elementos.Ejemplo 3:El nmero de unidades producidas en un proceso de produccin contino.

1.3.2. MUESTRA (n)Es una parte o un subconjunto representativo de la poblacin y al proceso de

obtener la muestra se llama muestreo. La seleccin y el estudio de la muestra,

tiene por objeto la extraccin de conclusiones que sean vlidas para la poblacin

de la cual se obtuvo dicha muestra.

Ejemplo 4:Estudio de una muestra aleatoria de 200 estudiantes de la Escuela de

Contabilidad de la ULADECH segn su nivel socio econmico

1.3.3. VARIABLESEs una caracterstica de la poblacin que se va investigar y puede tomar

diferentes valores.



Las variables se clasifican en: cuantitativas y cualitativas:Variables cuantitativas: Cuando el valor de la variable es de carcter numrico.Las variables cuantitativas pueden ser discretas y continas.

a.1) Variable cuantitativa discreta: Cuando el valor de la variable estrepresentado solo por nmeros enteros (positivos).

Ejemplo 5:X: nmero de hijos

a.2) Variable cuantitativa continua: cuando el valor de la variable puedetomar cualquier valor dentro de un rango dado, por tanto se expresa por cualquier

nmero real.

Ejemplo 6:X: Precio en soles

b) Variable cualitativa: Cuando expresan una cualidad, o atributo, tienencarcter cualitativo, sus datos se expresan mediante una palabra, es no numrico.

La variable cualitativa puede ser: nominal u ordinal.

b.1) Variable cualitativa nominal: Son aquellas que establecen la distincin delos elementos en las categoras sin implicar orden entre ellas.

Ejemplo 7:X: Sexo: Masculino, Femenino.

b.2) Variable cualitativa ordinal: Son aquellas que agrupan a los objetos,individuos, en categoras ordenadas, para establecer relaciones comparativas.

Ejemplo 8:Y: Nivel de pobreza: No pobre, pobre, muy pobre, extremadamente pobre.



1.3.4. UNIDAD DE OBSERVACIN: Tambin se le conoce como unidadestadstica o unidad de anlisis. Es el elemento u objeto indivisible de la poblacin

que ser analizado y sobre los cuales se obtendrn los datos.

Ejemplo 9:Si se quiere estudiar el rendimiento acadmico de los alumnos de la Universidad

Los ngeles de Chimbote, la unidad de observacin sern los alumnos.

1.3.5. OBSERVACIONES: A los datos tambin se le conoce comoobservaciones. Son los valores recopilados como resultado de las observaciones

de una variable.

1.3.6. PARMETRO: Es un valor obtenido para describir en forma resumida lascaractersticas pertinentes o ms importantes de una poblacin.

Ejemplo 10:El sueldo promedio de todos los trabajadores de la Empresa Sider Per de

Chimbote.

1.3.7. ESTADGRAFO: Tambin se le conoce como estadstico(a). Es unamedida descriptiva de una muestra. El estadgrafo sirve como estimacin del

parmetro.

Ejemplo 11:El sueldo promedio del 25% de los empleados de la Empresa Sider Per de

Chimbote.

1.4. RECOLECCIN DE DATOSLa recoleccin o recopilacin de datos es el momento en el cual el investigador se

pone en contacto con los sujetos, objetos o elementos sometidos a estudio con el

propsito de obtener los datos o respuestas de las variables consideradas; a partir

de estos datos se prepara la informacin estadstica, se calcular las medidas de

resumen e indicadores para el anlisis estadstico.



Para recoger la informacin se toma en cuenta las siguientes modalidades: Las

fuentes de informacin, los sistemas de recoleccin y las tcnicas de recoleccin.

1.4.1. Modalidades de Recoleccin de Datos:

1.4.1.1. Fuentes de informacin:Es el lugar, la institucin o persona donde estn los datos que se necesitan para

cada una de las variables o aspectos de la investigacin. Las fuentes de

informacin pueden ser:

a) Fuentes primarias: Cuando los datos se obtienen directamente de la mismapersona o entidad utilizando ciertas tcnicas.

Ejemplo 12: Llevar a cabo una encuesta para conocer el grado de satisfaccin laboral en los

trabajadores de una empresa X.

b) Fuentes secundarias: Cuando los datos ya han sido elaborados y procesadospor otras personas o instituciones.

Ejemplo 13:La informacin estadstica que publica el INEI de los diferentes ministerios del

Per.

1.4.1.2. Sistemas de recoleccin: Son procedimientos que se utilizan pararecoger informacin.

Pueden ser:

a) Los registros: Son libros, padrones, etc. en donde se anotan en forma regularpermanente y obligatoria los hechos ocurridos.

Ejemplo 14:Registros Civiles, RENIEC, Registros Pblicos, Registros Electrnicos, etc.

b) Las encuestas: Son procedimientos de obtencin de informacin estructuradasegn criterios previos de sistematizacin que se efecta con un propsito

especfico en toda la poblacin o en un sector de ella.



Pueden ser:b.1) Encuesta censal: Cuando abarca toda la poblacin en estudio. Ejemplo 15: Censos de poblacin y vivienda de una localidad o pas.

b.2) Encuesta muestral: Cuando abarca una parte de la poblacin en estudio. Ejemplo 16: Llevar a cabo una Encuesta de preferencia electoral.

1.4.1.3. Tcnicas de recoleccionSon procedimientos que se utilizan para recolectar informacin segn la

observacin, naturaleza del trabajo de investigacin.

Pueden ser: La observacin, el cuestionario, la entrevista, test, etc.

a) La observacin: Es la accin de mirar con rigor, en forma sistemtica yprofunda, con el inters de descubrir la importancia de aquello que se observa.

b) El cuestionario: Es un instrumento constituido por un conjunto de preguntassistemticamente elaboradas, que se formulan al encuestado o entrevistado, con

el propsito de obtener datos de las variables consideradas en estudio.

c) La entrevista: Es un dilogo entre personas, es una tcnica donde unapersona llamada entrevistador, encuestador o empadronador solicita al

entrevistado, le proporcione algunos datos e informacin.

d) El test : Pruebas o exmenes con ayuda de un cuestionario o escala que midedeterminadas funciones, generalmente cognitivas.


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1.5. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: DEFINICIN Y CLASIFICACIN

Cuando se rene gran cantidad de datos primarios es til distribuirlos en clases ycategoras y determinar las frecuencias de las clases, o sea, el nmero deelementos que pertenecen a una clase. El ordenamiento tabular de los datos porclases conjuntamente con las frecuencias de clases se denomina distribucin defrecuencias.

1.5.1. DEFINICIN:Es un arreglo tabular en donde se presentan a los datos de una muestra o de unapoblacin bajo un ordenamiento convencional predeterminado de acuerdo a lacaracterstica en estudio.

1.5.1.1. Partes de una distribucin de frecuencias:

CDIGO

TITULO: Deber ser completo y conciso

Yi fi Fi hi Hi hi% Hi%Y1 f1 F1 h1 H1 h1% H1%Y2 f2 F2 h2 H2 h2% H2%Y f3 F3 h3 H3 h3% H3%. . . . . . .. . . . . . .

Total n - 1.00 - 100 -Fuente:

a) Cdigo: Nmero de identificacin.b) Ttulo: Expresa en forma resumida la informacin que contiene, se coloca en

la parte superior de la tabla.El ttulo de un cuadro estadstico debe ser completo y conciso.Se refiere a completo en que debe tener los cuatro elementos fundamentales:poblacin, variable, lugar y tiempo.Se refiere a conciso en que debe ser breve.

________________________________________________________ 7Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Julio 2013Versin : 3

Encabezado

columna

matriz Cuerpo del Cuadro


c) Encabezado: Primera fila del cuadro, explica las categoras y el objeto decada una de las columnas.

d) Columna principal o matriz: Formada por la primera columna y nos indicatambin las caractersticas.

e) Cuerpo: Su formacin se presenta en filas y columnas.f) Fuente: Se coloca en la parte inferior del cuadro y nos indica el lugar en

donde se obtuvieron los datos contenidos en la tabla.

1.2. Trminos elementales para construir una distribucin de frecuencias:

a) Clase o intervalo de clase: Son los grupos que se forman con los valores dela variable cuando la variable es cuantitativa discreta (clase) o continua (intervalode clase). Cuando la variable es cualitativa nominal u ordinal toma el nombre decategora.

b) Frecuencia absoluta: Es el nmero de veces que se repite un determinadovalor de la variable; en el caso de intervalos es el nmero de observacionescomprendidas en dicho intervalo. Se representa por f i con (i=1,2... m); donde mrepresenta el nmero de valores distintos que toma la variable Y i o el nmero deintervalos considerados (mn). Asimismo, la suma de las frecuencias absolutassimples es igual al nmero total de observaciones y se expresa del siguientemodo:

m

iim nffff

121 .....

c) Frecuencia relativa: Es el cociente de la frecuencia absoluta de cada claseentre el nmero total de observaciones. Esta frecuencia se denota por ih con(i=1,2,...m). entonces:

La frecuencia relativa simple toma valores comprendidos entre 0 y 1, esdecir:

1 ihO


nf

h ii nesobservacio de totalnmeroclase cada de absoluta frecuencia


Asi mismo, la suma de las frecuencias relativas simples es igual 1, es decir:

m

iim hhhh

121 1...

d) Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa multiplicada por 100.Se representa por %ih y se considera como el porcentaje de observacionescorrespondientes a cada clase. La frecuencia porcentual est comprendida entre0 y 100.

e) Frecuencia absoluta acumulada: Resulta de acumular o sumarsucesivamente las frecuencias absolutas, se representa por iF . Donde:

F1 = f1 F2 = f1 + f2F3 = f1 + f2 + f3

.

.

.

Fm = f1 + f2 + fm=n

f) Frecuencia relativa acumulada: Resulta de acumular o sumar sucesivamentelas frecuencias relativas se representa por iH . Donde :

H1 = h1 H2 = h1 + h2 H3 = h1 + h2 + h3

.

.

.

Hm = h1 + h2 + h3 + hm = 1

La frecuencia relativa acumulada toma valores comprendidos entre 0 y 1 esdecir:

10 iH



g) Frecuencia relativa acumulada aorcentual: Es la frecuencia relativaacumulada multiplicada por 100%. Se representa por %iH y se considera comoel porcentaje de observaciones acumuladas hasta cierta clase.

1.5.2. CLASIFICACIN DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS:Las distribuciones de frecuencias se construyen de acuerdo a la variable y suclasificacin est dada por: distribuciones de frecuencias en puntos aislados,distribuciones de frecuencias en intervalos de clase y distribuciones defrecuencias por atributos o categoras, tal como se muestra en el siguiente mapaconceptual.



1.5.2.1. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS EN PUNTOS AISLADOSSe utiliza cuando la variable es cuantitativa discreta ya que generalmente losvalores de la variable son pocos, por lo que puede considerarse cada uno de elloscomo una clase.

La distribucin de frecuencias absolutas toma la siguiente forma:TABLA N 1

Distribucin de frecuencias absolutasen puntos aislados

Valores de la variablesiY

Frecuencias absolutasif

Y1Y2

.

.

.

Ym

f1 f2.

.

.

fmTotal n

La distribucin de frecuencias ampliada toma la siguiente forma:

TABLA N 2Distribucin de frecuencias ampliada

iY if if ih iH ih iHY1Y2Y3

.

.

.

Ym

f1 f2f3.

.

.

fm

F1F2F3

.

.

.

Fm

h1h2h3

.

.

.

hm

H1H2H3

.

.

.

Hm

h1%h2%h3%

.

.

.hm%

H1%H2%H3%

.

.

.Hm%

Total n - 1.00 - 100 -

Ejemplo 17:Los siguientes datos hipotticos corresponden a una muestra aleatoria de 30empresas de la ciudad de Lima segn su nmero de accidentes de trabajodurante el ao 2007:

0 3 3 3 4 4 0 2 3 12 2 3 1 3 4 1 2 2 23 3 2 2 2 3 1 2 2 4



La informacin fue obtenida mediante una encuesta realizada por la EmpresaDatum S.A.Se pide:a) Identificar la unidad de observacin y la variable en estudio.b) Construir la tabla de conteo.c) Construir una distribucin de frecuencias ampliada.

Interpretar d) f3, F3, h3% y H3%.d) Determinar cuantas empresas no han tenido accidentes de trabajo.e) Determinar que porcentaje de empresas han tenido por lo menos 3 accidentes

de trabajo.f) Determinar que porcentaje de empresas han tenido a lo ms 2 accidentes de

trabajo.

Solucin:a) Unidad de observacin: Las empresas

Variable: N de accidentes de trabajo

b) A continuacin le mostraremos como construr la tabla de conteo: En primer lugar se observa que el nmero de observaciones es de tamao 30

(n=30).

En segundo lugar identificamos el nmero de observacin diferentes, m=5.Estos valores son y1=0, y2=1, y3=2, y4=3 y y5=4. Los cuales se ubican (en eseorden) en la primera columna de la tabla N 3.

Seguidamente contamos el nmero de empresas con 0, 1, 2, 3 y 4 accidentesde trabajo. Esto se hace utilizando la segunda columna de la tabla N 3llamada conteo, usando el mtodo de los palotes que consiste en colocaruna raya vertical o tarja (/) cada vez que se aparece el valor en cuestin,destacando cada cinco unidades con el fin de facilitar el cmputo final.Finalmente se cuenta el nmero de palotes, obtenindose las frecuenciasabsolutas (fi).

En este caso:f1= 2, f2= 4, f3= 11, f4= 9, y f5= 4



De esta manera se ha construido tabla de conteo de las 30 empresas segunsu nmero de accidentes de trabajo , tal como se observa en el tabla N 3:

Tabla N 3Distribucin de empresas segn su nmero de accidentes de trabajo

N de accidentes detrabajo

iY CONTEO

N deempresas

if01234

IIIIII

IIII IIII IIIII IIII

IIII

24

1194

Total ____ 30

Asi mismo el Cuadro N 1 muestra una distribucin de frecuencias ampliada. Las frecuencias absolutas (f) se obtienen en el proceso de conteo, que vienen

a ser las unidades correspondientes a cada clase.

Las frecuencias acumuladas (F) se obtienen sumando en forma acumulativalas frecuencias absolutas. As:F1 = f1 = 2F2 = f1 + f2 = 2 + 4 = 6F3 = f1 + f2 + f3 = 2 + 4 + 11 = 17F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 2 + 4 + 11 + 9 = 26F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 2 + 4 + 11+ 9 + 4 = 30

Las frecuencias relativas se obtienen dividiendo las frecuencias absolutasentre el tamao de la muestra.



1 21 2

3 43 4

55

f f2 4h 0.07 h 0.13n 30 n 30

f f11 9h 0.37 h 0.30n 30 n 30

f 4h 0.13n 30

= = = = = =

= = = = = =

= = =

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1:5

i 1 2 3 4 5i 1

5

ii 1

h h h h h h

h 0.07 0.13 0.37 0.30 0.13 1.00

=

=

= + + + +

= + + + + =

Las frecuencias relativas acumuladas se obtienen sumando en forma

acumulativa las frecuencias relativas. As:

1 1

2 1 2

3 1 2 3

4 1 2 3 4

5 1 2 3 4 5

H h 0.07H h h 0.07 0.13 0.20H h h h 0.07 0.13 0.37 0.57H h h h h 0.07 0.13 0.37 0.30 0.87H h h h h h 0.07 0.13 0.37 0.30 0.13 1.00

= == + = + == + + = + + =

= + + + = + + + =

= + + + + = + + + + =

Las frecuencias relativas porcentuales se obtienen multiplicando por 100 lasfrecuencias relativas. As:

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

h % h 100 0.07 100 7h % h 100 0.13 100 13h % h 100 0.37 100 37h % h 100 0.30 100 30h % h 100 0.13 100 13

= = == = == = =

= = == = =

Las frecuencias relativas porcentuales acumuladas se obtienen por 100 lasfrecuencias relativas acumuladas. As:



1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

H % H 100 0.07 100 7H % H 100 0.20 100 20H % H 100 0.57 100 57H % H 100 0.87 100 87H % H 100 1.00 100 100

= = == = == = =

= = == = =

c) CUADRO N 1

Distribucin de empresas segn su nmero de accidentes de trabajoLima : Ao - 2007

N de accid.de trabajo

iY

N deempresas

if

Frec.acumulada

iF

Frec.relativa

ih

Frec.relativa

acumulada

iH

Frec.porcentual

%ih

Frec.porcentualacumulada

%iH

01234

241194

26

172630

0.070.130.370.300.13

0.070.200.570.871.00

713373013

7205787

100Total 30 - 1.00 - 100 -

Fuente: Encuesta realizada por la Empresa Datum S.A.

b) Interpretacin:f3 : 11 empresas han tenido 2 accidentes de trabajo.F3 : 17 empresas han tenido 2 accidentes de trabajo o menos.h3% : El 37 % de las empresas han tenido 2 accidentes de trabajo.H3% : El 57% de las empresas han tenido 2 accidentes de trabajo o menos.


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1.5.2.2. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS EN INTERVALOS DE CLASE

Se utiliza generalmente cuando la variable es cuantitativa continua, aqu losvalores de las variables son nmeros por lo que no puede considerarse cada unode ellos como una clase, lo cual es necesario agruparlos en intervalo de clase. Se siguen los siguientes pasos para su construccin:

a) Determinar el rango (R): Se obtiene restando el valor mximo y el mnimo. AsR = Valor Mximo Valor Mnimo

b) Determinar el nmero de intervalos (m): El criterio a seguir paradeterminar el nmero de intervalos generalmente del mismo tamao es que elmismo sea suficientemente pequeo para lograr la simplificacin deseada, pero losuficientemente grande para minimizar los posibles errores de clasificacin.Naturalmente, no es conveniente utilizar muchos intervalos de pequea amplitudya que en un caso extremo, equivaldra a trabajar con los datos originales. Porotra parte, un nmero muy reducido de intervalos, significa cierta concentracin yla prdida de informacin consiguientemente, como ocurrira en otro caso, si seconsiderase un solo intervalo. Se recomienda:

b.1) considerar el nmero de intervalos entre 5 y 20.5 m 20

b.2) Utilizar la regla de Sturges para determinar el nmero de intervalos:m = 1 + 3.33 log n Donde: n es el nmero de observaciones.

a) Determinar la amplitud intervlica (C): Tambin se le conoce como anchodel intervalo y se obtiene dividiendo el rango entre el nmero de intervalos.

C = R . m

b) Determinar los lmites de clase, de manera que cada observacin seclasifique sin ambigedades en una sola clase.



LI(i) LS(i)[y0 - y1 )[y1 - y2 )

::

[ym-1 - ym)

c) Determinar las marcas de clases, la marca de clase o punto medio de cadaintervalo se halla mediante la semisuma del lmite inferior y del lmite superior.As:

2)()( ii

i

LSLIY

Los cuales presentamos a continuacin:

IntervalosLI(i) LS(i)

Marca de clase

iY[y0 - y1 )[y1 - y2 ) : :[ym-1 - ym)

Y1 Y2::

Ym

d) Finalmente se halla frecuencia absoluta de cada clase. As:

TABLA N 4Distribucin de frecuencias absolutas

en intervalos de claseIntervalos

)()( ii LSLI Marca de clase

iyFrecuencia absoluta

simple

if[y0 - y1 )[y1 - y2 ) . :[ym-1 - ym)

y1 y2::

ym

f1 f2::fm

Total - n



Ejemplo 18:Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de 20 jubilados de laAFP Integra de la ciudad de Chimbote segn su monto de pensin mensual ensoles correspondiente al mes de Enero del 2007:

500 650 650 800 700 730 760 790 520 870600 670 1000 850 720 750 780 840 400 860

La informacin fue obtenida de los Registros de Atencin al Usuario de la AFPIntegra.

a) Determinar la unidad de observacin y la variable en estudio.b) Construir la tabla de conteo. Utilice la regla de Sturges.c) Construir una distribucin de frecuencias ampliadas.d) Interpretar f2, F2, h2% y H2%.e) Determinar cuantos jubilados han tenido un monto de pensin de 640 soles o

ms pero menos de 880 soles.f) Determinar que porcentaje de jubilados han tenido un monto de pensin

mensual comprendido entre 760 y 1000 soles.

Solucin:a) Unidad de observacin: Los jubilados.

Variable en estudio: monto de pensin en soles.

b) Siguiendo los pasos establecidos:

Hallando el Rango (R):R = Valor Mximo Valor MnimoR = 1000 400 = 600

Hallando el Nmero de Intervalos (m):m = 1 + 3.33 log nn = 20 log 20 = 1.30m = 1 + 3.33 x 1.30 = 5.33m = 5 intervalos



Hallando la Amplitud Intervlica (C):C = R = 600 = 120

m 5

Determinando los lmites de clases y sus respectivas marcas de clase.

Monto de pensin en soles

)()( ii LSLI Marca de clase

iY

[400 520)[520 640)[640 760)[760 880)[880 1000]

460580700820940

c) Determinando la distribucin de frecuencias absolutas:

Tabla N 5Distribucin de jubilados segn su monto de pensin en soles

AFP INTEGRA - Chimbote: Enero - 2007Monto de pensin en soles

)()( ii LSLI Marca de

Clase

iyConteo

N de jubilados

if

[400 520) 460 II 2[520 640) 580 II 2[640 760) 700 IIII II 7[760 880) 820 IIII III 8[880 1000] 940 I 1

Total - 20

d) A continuacin le mostramos la distribucin de frecuencias ampliada para lasdiferentes frecuencias dadas:



CUADRO N 2Distribucin de jubilados segn su monto de pensin en soles

AFP INTEGRA - Chimbote: Enero - 2007Monto de pensin en

soles

)()( ii LSLI

Marca declase

iy

N de jub.

ifIF ih iH %ih %iH

[400 520)[520 640)[640 760)[760 880)[880 1000]

460580700820940

22781

24

111920

0.100.100.350.400.05

0.100.200.550.951.00

101035405

102055955

Total - 20 - 1.00 - 100 - Fuente: Registros de Atencin al Usuario.

e) Interpretando:f2 : 2 jubilados han tenido un monto de pensin de 520 soles o ms pero

menos de 640 soles..

F2 : 4 jubilados han tenido un monto de pensin de 400 soles o m;as peromenos de 640 soles.

h2% : El 10% de los jubilados han tenido un monto de pensin de 520 soleso ms pero menos 640 soles.

H2% : El 20% de los jubilados han tenido un monto de pensin de 400 soleso ms pero menos de 640 soles.

f) Sumanos las frecuencias absolutas simples de los intervalos 3 y 4 obteniendo:

( 7 + 8 ) =15 trabajadores.

g) Sumamos las frecuencias porcentuales simples de los intervalos 4 y 5

obteniendo : (40% +5%) = 45%

1.5.2.3. DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS POR ATRIBUTOS OCATEGORAS

Este tipo de distribucin se utiliza para clasificar los datos de una variable

cualitativa nominal u ordinal.



TABLA N 6Distribucin de frecuencias para variables cualitativas

Variable

iX

Frecuenciaabsoluta

if

Frecuenciarelativa

ih

Frecuencia relativaporcentual

%ihx1x2.,,

xm

f1 f2...fm

h1h2...

hm

h1%h2%

.

.

.hm%

Total n 1.00 100%

Ejemplo 19:Los siguientes datos obtenidos mediante una encuesta realizada por la Empresa

AMC en el mes de Febrero del 2007 corresponden a una muestra aleatoria de 40

empresas de la ciudad de Chimbote segn motivo del uso de Internet:

P O F F F P F RP P FO P F F F O P RP P PP P P RP O P P F O RP

RP P F RP P P P F P F

Donde:

P: PUBLICIDAD F: FACTURACION

RP: RECEPCION DE PAGOS O: OTROS

Se pide:

a) Identificar la unidad de observacin y la variable en estudio.

b) Construir una distribucin de frecuencias (absolutas y porcentuales).

c) Interpretar f2 y h2%.

Solucin:a) Como resultado de la clasificacin y tabulacin se tiene:



CUADRO N 3Distribucin de empresas segn su motivo de uso de Internet

Cabina Alfa Net - Chimbote Mayo - 2005

Motivo de uso deInternet

iXN de empresas

ifFrecuencia relativa

ihFrecuencia relativa

porcentual%ih

Publicidad

Facturacin

Recepcin de Pagos

Otros

17

12

6

5

0.425

0.300

0.150

0.125

42.50

30.00

15.00

12.50TOTAL 40 1.000 100.00

FUENTE: Encuesta realizada por la Empresa AMC

b) Interpretando:f2 : 12 empresas manifiestan que el motivo de uso de Internet es por

facturacin.h2% : El 30% de las empresas manifiestan que el motivo de uso de Internet

es por facturacin.


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1.6. GRFICOS ESTADSTICOS

1.6.1. DEFINICIN: Un grfico es la representacin de un fenmeno estadsticopor medio de figuras geomtricas (puntos, lneas, rectngulos, paraleleppedos,etc.) cuyas dimensiones son proporcionales a la magnitud de los datosrepresentados. Su objetivo principal es la representacin de los datos en formagrfica, que permita a simple vista darse cuenta del conjunto de elementospresentados y de evidenciar sus variaciones y caractersticas. El grfico es unauxiliar del cuadro estadstico no lo sustituye, sino lo complementa.

1.6.1.1. Partes de un grfico: Al igual que un cuadro estadstico en el grficose consideran las siguientes partes:

1.6.1.2. Escalas usadas en el trazado de un grfico: La mayora de losgrficos se representan en las llamadas Sistema de Coordenadas Cartesianasdonde hay dos ejes, X (Eje horizontal) e Y (eje vertical). En el eje X se colocan lasdiferentes clases de la variable y en el eje Y se colocan las frecuencias (absolutaso porcentuales). La escala de medida que se usan deben ser de la misma longitudo algo mayor la horizontal que la vertical. En general, las 2 escalas deben guardaruna proporcin 1 a 1 y 1 a 2, es decir, que si el eje vertical mide 10cm. el eje

_______________________________________________ 23Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Julio 2013Versin : 3

(FR

ECU

ENC

IA)

CDIGO

TTULO

CUERPO

FUENTEVARIABLE


horizontal debe medir entre 10 y 20. Esta exigencia se hace con el fin de nodistorsionar el fenmeno que se estudia.

1.6.2. CLASIFICACIN DE GRFICOSEntre los grficos ms usuales tenemos: grfico de bastones, histograma defrecuencias, polgono de frecuencias, grfico de barras simples, grfico desectores circulares y grfico Lineal, tal como se muestra en el siguiente mapaconceptual.



1.6.2.1. GRFICOS DE BASTONESTambin se le conoce como diagrama de frecuencias, se utiliza generalmentepara describir datos cuando la variable es cuantitativa discreta y su construccinse hace levantando segmentos perpendiculares al eje de la variable y con unaaltura proporcional a su frecuencia absoluta o relativa porcentual.

Ejemplo 20:Los Grficos N 1 y N 2 muestra el grfico de bastones para frecuenciasabsolutas y relativas porcentuales del Cuadro N 1 de la pag. 15:

GRFICO N 1 Empresas segn s u nmero de accidentes de trabajo

Lima : 2007


Comentario: En el Grafico N 1 observamos que el menor nmero de empresas(2) no han tenido accidentes de trabajo y el mayor (11) ha tenido 9 accidentes detrabajo.


N de accidentes de trabajo

0 1 2 3 4

12

9

6

3N d

e em

pres

as


GRFICO N 2 Porcentaje de empresas segn s u nmero de accidentes de trabajo

Lima : 2007


Comentario: En el Grafico N 2 observamos que el menor porcentaje deempresas (7%) no han tenido accidente de trabajo y el mayor porcentaje deempresas (37%) han tenido 2 accidentes de trabajo.

1.6.2.2. HISTOGRAMA DE FRECUENCIASEste grfico se utiliza para describir datos cuando la variable es cuantitativacontinua. Su construccin se hace levantando sobre el eje de la variablerectangular que tengan por base la amplitud del intervalo de clase y una alturaproporcional a su frecuencia absoluta o relativa porcentual.

Ejemplo 21: Los Grficos N 3 y N 4 muestran el histograma de frecuencias parafrecuencias absolutas y relativas porcentuales del Cuadro N 2 de la pag. 19.


N de accidentes de trabajo

0 1 2 3 4

40

30

20

10

Porc

enta

je


GRFICO N 3

Nmero de jubilados segn su monto de pensin en solesAFP INTEGRA - Chimbote: Enero - 2007

Fuente: Registros de Atencin al Usuario.

Comentario: En el Grafico N 3 observamos que el menor nmero de jubilados(1) han tenido un monto de pensin que varia entre 880 soles y 1000 soles y elmayor nmero de jubilados (8) han tenido un monto de pensin en soles de 760soles o ms pero menos de 880 soles.


N d

e ju

bila

dos

0 400 520 640 760 880 1000


8

6

4

2


GRFICO N 4Porcentaje de jubilados segn su monto de pensin en soles

AFP INTEGRA - Chimbote: Enero - 2007


Comentario: En el Grafico N 4 observamos que el menor porcentaje de jubilados(5%) han tenido un monto de pensin que varia entre 880 soles y 1000 soles y elmayor porcentaje de jubilados (40%) han tenido un monto de pensin en soles de760 soles o ms pero menos de 880 soles.


40

30

20

10

0 400 520 640 760 880 1000

Porc

enta

je



1.6.2.3. POLGONO DE FRECUENCIASEste se utiliza tambin para describir datos cuando la variable es cuantitativacontinua. Su construccin se hace uniendo los puntos medios superiores de losrectngulos en el histograma.

Ejemplo 22:Los Grficos N 5 y N 6 muestran el polgono de frecuencias para frecuenciasabsolutas y frecuencias relativas porcentuales del Cuadro N 2 de la pg. 19.

GRFICO N 5Nmero de jubilados segn su monto de pensin en soles

AFP INTEGRA - Chimbote: Enero - 2007


En el Grafico N 5 observamos que el menor nmero de jubilados (2) han tenidoun monto de pensin de 940 soles y el mayor nmero de hogares (8) han tenidoun consumo mensual de 820 soles.


N d

e ju

bila

dos


8

6

4

2

0 340 460 580 700 820 940 1060


GRFICO N 6

Porcentaje de jubilados segn su monto de pensin en solesAFP INTEGRA - Chimbote: Enero - 2007

Fuente: Encuesta realizada por la Empresa Data S.A.

En el Grafico N 6 observamos que el menor porcentaje de jubilados (5%) hantenido un monto de pensin de 940 soles y el mayor porcentaje de jubilados(40%) han tenido un monto de pensin de 820 soles.



40

30

20

10

0 340 460 580 700 820 940 1060

Porc

enta

je

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1.6.2.3. GRFICO DE BARRAS SIMPLES

Este grfico se utiliza para describir datos cuando la variable es cualitativa nominalu ordinal presentados en cuadro de entrada simple. Su construccin se hacelevantando barras proporcionales a la frecuencia absoluta o relativa porcentual dela cualidad que representan.

Recomendaciones para su construccin:- Todas las barras deben tener el mismo grosor.- El espacio entre barras debe ser de la misma magnitud y constituye la mitad

del ancho de la barra.- El ancho de la barra debe ser el doble del espacio que se deja entre barra y

barra.- La escala de frecuencia debe empezar por cero.- Las barras por esttica deben ordenarse de mayor a menor cuando se pueda.- No se debe recargar las barras tratando de expresar muchos productos en

cada uno de ellas.- Si el grfico tiene muchas barras es mejor expresarlo con un grfico lineal.

Ejemplo 24:Los Grficos N 7 y N 8 muestran el grfico de barras simples para frecuenciasabsolutas y frecuencias relativas porcentuales del Cuadro N 3 de la pag. 21.



Comentario: En el Grafico N 7 observamos que el menor nmero de empresas(5) manifiestan que usan internet por otros motivos y el mayor nmero deempresas (17) manifestan que el motivo de uso de internet es por publicidad.


FUENTE: Encuesta realizada por la Empresa Consultora OMEGANET.Publicidad Facturacin Recepcin de

PagosOtros

0

5

10

15

2017

12

65

GRAFICO N 7 Empresas segn su motivo de uso de Internet

Cabina Alfa Net: Chimbote - Mayo 2005

Motivo de Uso de Internet

N

de E

mpr

esas



Comentario: En el Grafico N 8 observamos que el menor porcentaje deempresas (12.5%) manifiestan que usan internet por otros motivos y el mayorporcentaje de empresas (42.5%) manifestan que el motivo de uso de internet espor publicidad.

1.6.2.4. GRFICO DE SECTORES CIRCULARES O PASTELAl igual que el grfico de barras este grfico se utiliza generalmente pararepresentar variables cualitativas (nominal u ordinal). Se usa frecuentementecuando se desea comparar cada categora de la variable con respecto al total.Para su elaboracin se utiliza una circunferencia, siendo necesario que los valoresabsolutos y/o porcentuales sean traducidos en grados. A cada categora lecorresponde un sector de la circunferencia.

Hallando los ngulos para cada sector:



%

Publicidad Facturacin Recepcin de Pagos

Otros0

9

18

27

36

45 42.5

30

1512.5

GRAFICO N 8 Porcentaje de empresas segn su motivo de uso de Internet

Cabina Alfa Net : Chimbote - Mayo 2005

Motivo de Uso de Internet

Porc

enta

je%

%

% %


Tipos de Caso Angulos(oi)

Publicidad

Facturacin o212 360 10840

a = =

Recepccin de Pagos o36 360 5440

a = =

Otros o45 360 4540

a = =

Total 360

Se puede comprobar que la suma de los cuatro sectores da 360.

Ejemplo 25:Los Grficos N 9 y N 10 muestran el grfico de barras simples para frecuenciasabsolutas y frecuencias relativas porcentuales del Cuadro N 3 de la pag. 21.



o1

17 360 15340

a = =

Publicidad 17

Facturacin 12

Recepcin de Pagos 6

Otros 5

GRAFICO N 9 Empresas segn su motivo de uso de Internet



Comentario: En el Grafico N 9 observamos que el menor nmero de empresas(5) manifiestan que usan internet por otros motivos y el mayor nmero deempresas (17) manifestan que el motivo de uso de internet es por publicidad.

Comentario: En el Grafico N 10 observamos que el menor porcentaje deempresas (12.5%) manifiestan que usan internet por otros motivos y el mayorporcentaje de empresas (42.5%) manifestan que el motivo de uso de internet espor publicidad.

1.6.2.5. GRFICO LINEALEstos grficos se utilizan para representar series cronolgicas o sea distribucionesque se desarrollan a travs del tiempo. Se representan en los ejes decoordenadas cartesianas mediante lneas rectas o quebradas. En el eje horizontalse ubica el tiempo (aos, meses, das, etc.) y en el eje vertical el valor de losdatos. Puede incluir ms de un hecho o situacin.



Publicidad 42.5

Facturacin 30

Recepcin de Pagos 15

Otros 12.5

GRAFICO N 10Porcentaje de empresas segn su motivo de uso de Internet


%

%

%

%


Ejemplo 26:El Grfico N 11 le muestra el grfico de lneas utilizando los datos del Cuadro N 4.

CUADRO N 4Numero de usuarios mensuales de la Cabina Alfa Net

Chimbote: Ao - 2005Aos EN FE M A M J J A S O N D

N de usuarios 150 210 350 400 600 450 800 650 700 350 200 500Fuente: Encuesta realizada por la Empresa Consultora OMEGANET.

Comentario: En el Grafico N 11 observamos que el nmero de usuarios de laCabina Alfanet presentan un crecimiento ascendente en los meses de enero amayo, de junio a julio el nmero de usuarios que llegan a dicha cabina presentanun comportamiento irregular.


150210

350400

600

450

800

650700

350

200

500

0

200

400

600

800

E F M A M J J A S O N D

Nde

usu

ario

s

MESES

GRAFICO N 11Numero de usuarios de la Cabina Alfa Net

Chimbote: Ao - 2005

Fuente: Encuesta realizada por la Empresa Consultora OMEGANET.


AUTOEVALUACIN 01

1. Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de 30 unidades operativasde la ULADECH CATLICA segn su nmero de supervisiones realizadas en el ao 2012:

2 2 3 3 2 4 1 2 2 33 3 3 4 5 3 2 4 1 54 4 3 4 5 3 2 3 3 4

La informacin fue proporciona por la Oficina de Gerencia de Calidad ULADECHCATLICASe pide: a) Identificar la unidad de observacin y la variable en estudio.b) Construir una tabla de distribucin de frecuencias absolutas. (Tabla de Conteo) c) Construir una de distribucin de frecuencias ampliada.d) Interpretar f4, F4, h4% y H4%.e) Determinar cuntos trabajadores han tenido ms de 3 supervisiones.f) Determinar qu porcentaje de trabajadores han tenido a lo ms 3 supervisiones.

2. Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de 20 trabajadores de laEmpresa Sol y Sombra de la ciudad de Chimbote segn monto de CTS en soles Juliodel 2012:

200 400 410 350 420 550 480 380 470 700250 450 500 590 600 330 650 460 580 430

Los datos fueron obtenidos de la Oficina de Personal de dicha entidad.

Se pide:a) Identificar la unidad de observacin y la variable en estudio. b) Construir una distribucin de frecuencias ampliada. Utilice m=5 de intervalos.c) Interpretar f2, F2, h2% y H2%. d) Determinar que porcentaje de trabajadores tienen un monto de CTS de 200 soles oms pero menos de 500 soles. (1punto)

3. Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de 40 administradores de hoteles de la ciudad de Chimbote segn opinin acerca del problema que afecta la actividad turstica en Marzo del 2012:

F S S I O I I I F II F I I I I O O F IO O O I I S S I I II I I I S S S I I I

Donde:



F: Falta de promocin I: Insuficiente Infraestructura S: InseguridadO : Otros

Los datos fueron obtenidos mediante una encuesta realizada por la Empresa Apoyo S.A. a) Identificar la unidad de observacin y la variable en estudio. b) Construir una distribucin de frecuencias absolutas y porcentuales. c) Interpretar f2 y h2%. d) Construir un grfico adecuado para frecuencias porcentuales. 4. Dado del siguiente cuadro:

CUADRO N 1POBLACIN ECONOMICAMENTE ACTIVA OCUPADA

DE 14 A 29 AOS POR SEXOPERU: AO 2005 - 2008

AO 2005 2006 2007 2008

HOMBRES

2440 2582 2700 2800

MUJERES

3000 2500 2300 2200

Fuente: Encuesta de hogares. INEI

Construir un grfico lineal y comentar. (3 puntos)

5. Identificar cada una de las siguientes variables segn su clasificacin:

N de caidas del sistema Marcas de impresoras Velocidad en mg. .............. Nivel socio econmico ...

6. Identifique la unidad de observacin y la variable de estudio en el siguiente enunciado:

Poblacin de usuarios de Internet segn modalidad speedy de su preferencia:

Unidad de observacin:Variable:

7. Determine si es una Poblacin N o muestra n en las siguientes afirmaciones:

a) Estudio del nivel socio econmico de todos los estudiantes de la ULADECH. ( )b) Estudio del 5% de trabajadores de una empresa X segn su sexo. ( )



c) Distribucin del 30% de clientes del Banco de Crdito de una poblacin de 1000 segn sus ahorros mensuales en soles. ( )

d) Encuesta a 100 trabajadores de la Empresa TASA S.A segn su sueldo en soles. ( )

8. De dos ejemplos de poblacin relacionados a su campo porfesional.

9. De 4 ejemplos de variables segn su clasificacin

a) Variable Cuantitativa discreta: ............................................................

b) Variable cuantitiativa continua: ............................................................

c) Variable cualitativa nominal: ...........................................................

d) Variable cualitativa ordinal: ...........................................................

10. Identifique el tipo de fuente de informacin en las siguientes proposiciones:a) La informacin estadstica que tiene el registro de contribuyentes de la SUNAT.

.

b) El nmero de arribos extranjeros registrados por el Ministerio de Comercio y Turismo..

11. De 1 ejemplos relacionados de fuente de informacin primaria y secundaria respectivamente.

......................................................................................................................

......................................................................................................................

12. De 1 ejemplo de encuesta muestral realizadas en su campo profesional.

......................................................................................................................


Universidad Catlica Los ngeles de Chimbote CURSO ESTADSTICA

CAPITULO II

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2.1. MEDIDAS ESTADISTICAS

2.1.1. DEFINICION:

Las medidas estadsticas son medidas de resumen que se calculan a partir de unamuestra y que describen ciertos aspectos de una serie o distribucin de datos parapoder tener un mejor conocimiento de la poblacin.

2.1.2. CLASIFICACIN:A continuacin presentamos un mapa conceptual de la clasificacin de las medidasestadsticas ms usadas.



2.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2.2.1. DEFINICINSon estadgrafos que se ubican en la parte central de un conjunto de datos o de unadistribucin.Los estadgrafos de tendencia central ms importantes y ms usuales son: la mediaaritmtica, mediana y moda.

2.2.2. LA MEDIA ARITMTICA: Tambin se le conoce como media o promedio. Seobtiene sumando todos los valores de los datos observados y se divide entre elnmero total de ellos.

Media Aritmtica = Suma de los valores de la variable Nmero total de datos

Se denota por: x o M[x

2.2.2.1. Formas de clculo de la media aritmtica: a) Para datos no agrupados: La media aritmtica para datos no agrupados estdado por la siguiente frmula:

Ejemplo 26:Los siguientes datos corresponden a los sueldos mensuales en soles de 10 familias:

Xi : 650, 750, 850, 1000, 750, 820, 850, 1200, 1000, 1000

Calcular la media aritmtica e interpretar.

Solucin:

Sustituyendo los datos en la frmula se tiene:


n

xx

n

ii

1


10

i1 2 10i 1

xx x ... x 650 + 750 + 850 + 1000 + 750 + 820 + 850 + 1200 + 1000 + 1000x

10 10 10= + + += = =

x 887 soles mensuales. =Interpretacin: Los trabajadores tienen un sueldo mensual promedio de 887 soles.

b) Para datos agrupados: La media aritmtica para datos agrupados est dada porla siguiente frmula:

n

fyy

m

iii

1

Donde "" iy es la clase o marca de clase de cada grupo o intervalo.La media aritmtica se obtiene sumando el producto de las clases o marcas de clasepor la frecuencia correspondiente y dividiendo la suma entre el nmero total dedatos.

b.1.) Media aritmtica cuando la variable es cuantitativa discreta.A continuacin presentamos un ejemplo para calcular la media aritmtica cuando lavariable es cuantitativa discreta.

Ejemplo 27: Los siguientes datos de la Tabla N 07 corresponde a una muestraaleatoria de 100 cabinas de Internet segn su nmero de cibernautas que acudieronel mes anterior:

Tabla N 07N de cibernautas

iyN de cabinas

if40 1045 2050 4055 1560 1065 5

Total 100

Calcular la media aritmtica e interpretar.



Solucin:En la siguiente tabla de trabajo le mostraremos como calcular la media aritmticacuando la variable es discreta, debemos multiplicar los valores de cada clase consus respectivas frecuencias finalmente se suma esos resultados y se divide entre elnmero de observaciones, tal como se muestra en la siguiente Tabla N 8:

Tabla N 08N de cibernautas

iyN de cabinas

if 44 ii fy 40 10 40045 20 90050 40 2000

55 15 825

60 10 60065 5 325

TOTAL 100 5050

Luego:

scibernauta 51 5.50

1005050

10056510601555405020451040

100

6

1

y

fyy i

ii

Interpretacin: A las cabinas de Internet acuden en promedio 51 cibernautasdurante el mes anterior.

b.2.) Media aritmtica cuando la variable es cuantitativa continua:A continuacin le mostraremos cono calcular la media aritmtica cuando la variablees cuantitativa continua:

Ejemplo 28: La siguientes datos de la Tabla N 09 corresponde a una muestra aleatoria de 300trabajadores segn su edad en aos:



Tabla N 09 Edad en en aos

LI - LS

N detrabajadores

fi [25 - 30) 40 [30 - 35) 60 [35 - 40) 100 [40 - 45) 92 [45 - 50) 8

TOTAL 300Se pide: Calcular la media aritmtica e interpretar

Solucin:

Para calcular la media aritmtica para datos agrupados cuando la variable escontinua debemos hallar la marca de clase o punto medio de cada intervalo y luegoese valor hallado multiplicarlo por su respectiva frecuencia, finalmente debemossumar los resultados hallados y dividir entre el nmero total de observaciones, talcomo se muestra en la siguiente tabla N 10:

TABLA N 10

Edad en aos

)i()i( LSLI Marca de Clase

iy

N detrabaj.

if iify

[25 - 30) 27.5 40 1100 [30 - 35) 32.5 60 1950 [35 - 40) 37.5 100 3750 [40 - 45) 42.5 92 3910 [45 - 50) 47.5 8 380

Total - 300 11090

Luego:6

i ii 1

y f27.5 40 32.5 60 37.5 100 42.5 92 47.5 8y

1300 300

11090y 36.97 aos.300

=

+ + + +

= =

= =

Interpretacin: Los trabajadores tienen en promedio 36.97 aos.


i12345


2.2.2.2. Caractersticas: Es la ms conocida y ms usada en el anlisis estadstico. Para su clculo intervienen todas las observaciones. Es una medida nica, es decir un conjunto de datos tiene una sola media. Es sensible a los valores extremos demasiados altos o demasiados bajos. No se puede calcular cuando presenta clases abiertas en los extremos.

2.2.3. LA MEDIANA: Es una medida de tendencia central que divide al total de nobservaciones debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamao,cada una con el 50% de los datos observados.

Notacin: Me.

2.2.3.1. Formas de clculoa) Para datos no agrupados: Para calcular la mediana, los n datos originales se ordenan en forma ascendente o descendente, luego se halla el lugar en donde se encuentra la mediana (lugar = (n + 1)/2) y finalmente se determina su valor. Se presenta dos casos:

a.1.) Para un nmero par de datos: La mediana ser el promedio de los dosvalores centrales..

Ejemplo 29:Calcular e interpretar la mediana del Ejemplo 26 de la pag. 38.:Xi : 650, 750, 850, 1000, 750, 820, 850, 1200, 1000, 1000

Solucin: Ordenando en forma ascendente

650 750 750 820 850 850 1000 1000 1000 12000

Lugar 5.5

Ubicando el lugar en donde se encuentra la Me n 1 10 1Lugar 5.5

2 2+ +

= = =



Cuando se tiene un nmero par de datos la mediana ser el valor ser elpromedio de los dos valores centrales:

Interpretacin: El 50% de los trabajadores tienen un ingreso mximo de 850soles , no ms del 50% supera dicho ingreso.

a.2.) Para un nmero impar de datos: La mediana ser el valor que estocupando la posicin central.

Ejemplo 30:Los siguientes datos corresponden a los tiempos de acceso en minutos a 11Pginas Web cargadas por la tarde en el horario de 14 a 15 horas desde unordenador domestico:

Xi: 2.9, 1.4, 1.2, 3.4, 1.3, 2.5, 1.6, 1.8, 2.3, 1.5, 1.0

Solucin: Ordenando los datos en forma ascendente 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2.3 2.5 2.9 3.4

Lugar 6

Hallando el lugar en donde se encuentra la mediana:

Cuando se tiene un nmero impar de datos la mediana ser el valor que estocupando la posicin central.


850 850Me2

Me 850 soles.

+=

=

n 1 11 1Lugar 62 2+ +

= = =


Interpretacin: El 50% de las pginas Web son cargadas en un tiempo de accesomximo de 1.6 minutos., el otro 50% supera dicho tiempo.

b) Para datos agrupadosb.1) La mediana cuando la variable es cuantitativa discreta: Cuando la variablees cuantitativa discreta y los datos se encuentra agrupados la mediana ser el valorde la variable cuya frecuencia acumulada sea la primera en exceder a n/2, as:

Me = Xi tal que: Fi n/2 i determina clase

en donde se encuentra la Me.Ejemplo 31:Calcular e interpretar la mediana de los datos de la tabla N 07 de la pgina 39.

Tabla N 11N de cabinas

iyN de cibernautas

if iF40 10 1045 20 30

50 40 7055 15 8560 10 9565 5 100

Total 100 -

Aqu vemos que n = 100, luego n/2 = 50

Entonces la primera frecuencia acumulada que excede a 2n

= 50 es 70, esto es:

70 50

F3 10

i = 3, la mediana se encuentra en la 3ra. clase.

Me = 50 cibernautasInterpretacin: Al 50% de las cabinas acuden como mximo 50 cibernautas duranteel mes anterior, el otro 50% de las cabinas supera dicho nmero.


i123456


b.2.) La mediana cuando la variable es cuantitativa continua: Para calcular lamediana cuando la variable es cuantitativa continua se utilizar la siguiente frmula:

i

iii f

FnCLIMe 1)(2/

Se debe cumplir la siguiente relacin:

i determina el intervalo en donde se encuentra la Me.

Cuando:

21nFi

La mediana est dado por:Me = )(iLI

Adems:

)(iLI : Lmite inferior del intervalo en donde se encuentra la Me.

iC : Amplitud o ancho del intervalo en donde se encuentra la Me.n : Nmero de observaciones de la muestra.

1iF : Frecuencia acumulada inmediata anterior al intervalo en donde se encuentra la Me.

if : Frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra la Me


ii FnF 21


Ejemplo 32:Calcular e interpretar la mediana de los datos de la Tabla N 09 de la pgina 41:

Solucin: Tabla N 12

Edad en en aos

LI - LS

N detrabajadores

fi iF

[25 - 30) 40 40 [30 - 35) 60 100 [35 - 40) 100 200 [40 - 45) 92 292 [45 - 50) 8 300

TOTAL 300 -

Vemos que n = 300 n 1502=

y de acuerdo a la relacin dada tenemos:

100 150 200 F2 150 F3

i = 3, la mediana seencuentra en el 3er. intervalo.

Reemplazando el subndice i=3 en la frmula y los valores correspondientestenemos:

[ ]

[ ]

2(3) 3

3

n / 2 FMe LI C

f

150 100Me 35 5

100

Me 37.5 aos.

-= +

-= +

=

Interpretacin: El 50% de los trabajadores tienen una edad mxima de 37.5 aos,el otro 50% supera dicha edad.


i12345


2.2.3.2. Caractersticas: La mediana es un estadgrafo que no est afectada por valores extremos muy

altos o muy bajos y por lo tanto es ms representativa que la mediaaritmtica, o cuando las distribuciones son poco simtricas.

Es til cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos. Es una medida nica; esto es, una distribucin tiene solamente una mediana.

2.2.4. LA MODA: Es una medida de tendencia central que corresponde al valor dela variable que tiene frecuencia mxima.

Notacin: Md.

Una distribucin puede ser amodal sino tiene ninguna moda, unimodal si tiene unamoda, bimodal si tiene dos modas y multimodal si tiene tres o ms modas.En consecuencia es necesario considerar modas absolutas y modas relativas.

2.2.4.1. Formas de clculoa) Para datos no agrupadosLa moda ser el valor que se repite el mayor nmero de veces.

Ejemplo 33:Calcular e interpretar la moda del Ejemplo 26 de la pag. 38.

Solucin:Observamos que el valor que se repite frecuentemente es 850 y 1000.Entonces: Md = 850 y 1000 soles.

Interpretacin: El mayor nmero de trabajadores tiene un sueldo mensual de 850 y1000 soles.

Ejemplo 34:Calcular e interpretar la moda del coeficiente intelectual expresado en puntaje delsiguiente grupo de alumnos.Xi: 95, 100, 105, 110, 95, 100, 110, 110, 95



Solucin:Md = 95 y 110

Interpretacin: El mayor nmero de alumnos tiene un coeficiente intelectual de 95 y 110 puntos. Eneste caso la serie es bimodal.

b) Para datos agrupadosb.1.) La moda cuando la variable es cuantitativa discretaLa moda ser clase cuya frecuencia es mxima. As:

Md = yi Tal que: fi-1 fi fi + 1 i determina la clase en donde se encuentra la Moda

Ejemplo 35:Calcular e interpretar la moda de los datos de la tabla N 07 de la pag. 39.Solucin:

Tabla N 13N de

cibernautas

iy

N de cabinas

if

40 1045 2050 4055 1560 1065 5

Total 100

Observamos que la mayor frecuencia es 40 y se cumple que:20 40 15

f2 f3 f4

i = 3 la moda se encuentra en la 3ra. clase. Por lo tanto:

Md = 50 cibernautas


i123456


Interpretacin: Al mayor nmero de cabinas acudieron 50 cibernautas durante elmes anterior.

b.2.) La moda cuando la variable es cuantitativa continua: Para calcular la modacuando la variable es continua se utilizar la siguiente frmula:

Se debe cumplir la siguiente relacin: i 1 i i 1f f f- +< >

Adems:

d1 = fi fi-1 d2 = fi fi+1

Ejemplo 36:Calcular e interpretar la moda de los datos dados en la tabla N09 de la pgina 41.

Solucin:Tabla N 14

Edad en en aos

LI - LS

N de trabajadoresfi

[25 - 30) 40 [30 - 35) 60 [35 - 40) 100 [40 - 45) 92

[45 - 50) 8 TOTAL 300

Observamos en la tabla N 14 que la mayor frecuencia es 100 y se cumple que:60 100 92 f2 f3 f4

i=3, la Md. se encuentra en el 3er.intervalo.

d1= f3 f2 = 100 60 = 40d2= f3 f4 = 100 92 = 8


i12345

' i determina el intervalo en donde se encuentra la Moda.

1(i) i

1 2

dMd LI Cd d

= + +


Reemplazando el subndice i=3 en la frmula y los valores correspondientestenemos:

1(3) 3

1 2

dMd LI Cd d

40Md 35 548

Md 39.17 aos.

= + +

= +

=

Interpretacin: El mayor nmero de trabajadores tiene 39.17 aos.

2.2.4.2. Caractersticas: No se encuentra afectada por valores extremos. Puede usarse cuando los datos presentan clases abiertas en los extremos. No es significativa a menos que la distribucin contenga un gran nmero de

datos y exista significativa repeticin de alguno de ellos. Muchas veces la serie no tiene moda porque ningn valor se repite. Cuando la serie tiene dos, tres, o ms modas, se hace difcil su interpretacin y

comparacin.AUTOEVALUACIN 02

1. Para lanzar un nuevo producto al mercado, una empresa estudia el tiempo publicidad, ensegundos, empleados en los medios audiovisuales por otra empresa que produce unproducto similar, los datos se muestran en la siguiente tabla:

Tiempo de publicidad ensegundos

LI - LS

N de anunciosfi

[00 - 20) 10

[20 - 25) 30

[25 - 30) 50

[30 - 35) 40[35 - 40) 20

Total 150


Se pide calcular e interpretar:

a) La media.b) La mediana.c) La moda


2. La siguiente tabla corresponde a una muestra aleatoria de 30 pequeas empresas de laciudad de Chimbote segn el nmero de empleados:

N de empleadosYi

N de empresasfi

2 33 74 105 76 3

TOTAL 30Calcular e interpretar:

a) La moda b) La mediana. c) La media aritmtica

3. Los siguientes datos corresponden al importe de las facturas en dlares por gastosconsumo en un hotel 3 estrellas de la ciudad de Chimbote de 11 turistas:

Xi: 500, 700, 600, 910, 510, 700, 700, 700, 650, 700, 800

a) Calcular el importe de las facturas por gastos de consumo del mayor nmero de turistas.b) Calcular el importe promedio de las facturas por consumo de los turistas.c) Calcular el importe de las facturas por gastos de consumo de la mitad de turistas.

4. Los siguientes datos corresponden a 11 clientes del de la Caja Municipal del Santasegn sus prstamos en dlares: Xi: 4000, 3200, 4500, 3100, 4200, 3500, 4100, 4900, 5100, 3000, 3450

Que medida de tendencia central se ajusta al conjunto de datos dato. Cul es su valor?



CAPITULO III

MEDIDAS DE DISPERSIN Y MEDIDAS DE FORMA

3.1. MEDIDAS DE DISPERSIN3.1.1. DEFINICINLas medidas de dispersin son aquellas que cuantifican el grado de concentracin ode dispersin de los valores de la variable en torno de un valor central, generalmentela media aritmtica. Las medidas de dispersin se utilizan para dos propsitosbsicos:a) Para verificar la confiabilidad de los promedios y b) Para que sirva como base para el control de la variacin misma.Las medidas de dispersin que se utilizan con mayor frecuencia son: Varianza. Desviacin estndar. Coeficiente de variacin.

3.1.2. LA VARIANZAEs una medida que cuantifica el grado de dispersin o de variacin de los valores deuna variable cuantitativa con respecto a su media aritmtica. Si los valores tienden aconcentrarse alrededor de su media, la varianza ser pequea. Si los valores tienena distribuirse lejos de la media, la varianza ser grande.La varianza calculada a partir de una muestra se denota por s2 y referida a lapoblacin se denota por 2 o V [x.La varianza se define como la media aritmtica de los cuadrados de las desviacionesde los datos respecto a su media aritmtica. La varianza es una medida dedispersin con unidades de medicin al cuadrado: S/.2, $2, km2, etc. La varianzasiempre es positiva.

a) La varianza para datos no agrupados:Se utiliza la siguiente frmula:

Para n 30



n

)xx(s

n

1i

2i

2

Para n 30 [varianza de Cochran]

1n

)xx(s

n

1i

2i

2

Ejemplo 36:Los siguientes datos corresponden a una muestra al azar de 8 clientes segn sutiempo en minutos que han visitado la pgina de Internet Google:

Xi : 2.3, 4.5, 4.2, 3.2, 4.4, 2.1, 1.6, 4.3

Calcular e interpretar la varianza:

Solucin:a) Para hallar la varianza primero debemos hallar el tiempo promedio de visita de losclientes:

utosmin3.38

6.268

xx

8

1ii

A continuacin construiremos una tabla de trabajo para calcular la varianza: Tabla N 15

i ix )xx( i 2

i )xx( 1 2.3 -1.0 1.002 4.5 1.2 1.443 4.2 0.9 0.814 3.2 -0.1 0.015 4.4 1.1 1.216 2.1 -1.2 1.447 1.6 -1.7 2.898 4.3 1.0 1.00

Total 26.6 - 9.80



Donde:

80.9)xx(8

1i

2i

Reemplazando dicho valor en la formula de la varianza de Cochran ya que n=8

- =

-


Solucin: a) Hallando en primer lugar el nmero promedio de inasistencias:

b) A continuacin construiremos una tabla de trabajo para calcular lavarianza:

Tabla N 17

yi fi

3 10 -4.58 20.98 209.85 30 - 2.58 6.66 199.87 100 - 0.58 0.34 34.09 80 1.42 2.02 161.611 20 3.42 11.70 234.0

Total 240 - - 839.2Donde:

Reemplazando dicho valor en la formula de la varianza para n=240 > 30.


5

i ii 1

y f1820y 7.58 inasistencias

240 240=

= = =

i(y y)-2

i(y y)-2

i i(y y) f-

25

i ii 1

(y y) f 839.2=

- =

52

2 2 3 4 5i i2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5i 1

52

i i2 i 1

52

i i2 i 1

2

(y y) f (y y) f (y y) f (y y) f (y y) f (y y) fs240 240

(y y) f 20.98 10 6.66 30 0.34 100 2.02 80 11.70 20s240 240

(y y) f 209.8 199.8 34 161.6 234s240 240

(ys

=

=

=

- - + - + - + - + -

= =

- + + + +

= =

- + + + +

= =

=

52

i ii 1

52

i i2 2i 1

y) f 839.2240 240

(y y) fs 3.5 4 inasistencias .

240

=

=

- =

- = = @


Interpetracin: La variabilidad de las inasistenicas es de 4 inasistencias2 respectode su valor central.

Ejemplo 38: La siguiente tabla corresponde a 280 trabajadores de una Empresa X segn su edad enaos:

Tabla N 18Edad en en aos

LI - LS

N de trabajadoresfi

[25 - 30) 40 [30 - 35) 50 [35 - 40) 100 [40 - 45) 50 [45 - 50) 40 TOTAL 280

Calcular e interpretar la varianza.

Solucin: Hallando en primer lugar el promedio:

A continuacin construiremos una tabla de trabajo para calcular la varianza: Tabla N 19

Li - Ls y fi

[25 - 30) 27.5 40 -10 100 4000 [30 - 35) 32.5 50 -5 25 1250 [35 - 40) 37.5 100 0 0 0 [40 - 45) 42.5 50 5 25 1250 [45 - 50) 47.5 40 10 100 4000

Total - 280 - - 10500

Donde:


5

i ii 1

y f10500y 37.5 aos

280 280=

= = =

25

i ii 1

(y y) f 10500=

- =

i(y y)-2

i(y y)-2

i i(y y) f-


Reemplazando dicho valor en la formula de la varianza para n=240 > 30.

Interpetracin: La variabilidad de las edades de los trabajadores es de 37.5 aos 2

respecto de su valor central.

3.1.3. La desviacin estndar o tpicaSe define como la raz cuadrada positiva de la varianza:

Es uno de los estadgrafos de dispersin de mayor uso, la cual se expresa enunidades reales de la variable, es decir ya no estn elevadas al cuadrado. Ladesviacin estndar, al igual que la varianza, es no negativa (s 0), puesto que es laraz positiva de la varianza. A mayor dispersin le corresponder una mayordesviacin estndar.


52

2 2 3 4 5i i2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5i 1

52

i i2 i 1

52

i i2 i 1

52

i i2 i 1

(y y) f(y y) f (y y) f (y y) f (y y) f (y y) fs

280 280

(y y) f100 40 25 50 0 100 25 50 100 40s

280 280

(y y) f4000 1250 0 1250 4000s

280 280

(y y) fs

2

=

=

=

=

- - + - + - + - + -

= =

- + + + +

= =

- + + + +

= =

- =

52

i i2 2i 1

1050080 280

(y y) fs 37.5 aos

280=

=

- = =

ianzas var


Ejemplo 39:Calcular e interpretar la desviacin estndar de los datos del Ejemplo 36 de la pag.54..

Solucin:

Interpretacin: Los tiempos de visita de los clientes se alejan en promedio de suvalor central en 1.95 puntos.

Ejemplo 40 :Calcular e interpretar la desviacin del Ejemplo 37 de la pag. 55:

Solucin:3.5 1.87 2 .= = @s inasistencias

Interpretacin: Las asistencias de los trabajadores se dispersan o se alejan enpromedio de su valor central en 2 inasistencias.

Ejemplo 41 :Calcular e interpretar la desviacin del Ejemplo 38 de la pag. 57:

Solucin:

Interpretacin: Las edades de los trabajadores se dispersan o se alejan enpromedio de su valor central en 6.12 aos.

3.1.4. El coeficiente de variacinEs una medida de dispersin relativa exenta de unidades y expresada en porcentaje,se utilizan para comparar la variacin de dos distribuciones siempre que lasvariables se expresen en las mismas unidades de medida y sean aproximadamentedel mismo tamao promedio. Sin embargo, a veces es necesario comparar dosconjuntos de datos expresados en unidades diferentes (tales como soles y


s 1.4 1.2min utos= =

37.5 6.12 .= =s aos


kilogramos). En estos casos las medidas de dispersin absoluta no son comparablesy deben utilizarse medidas de dispersin relativa.

El coeficiente de variacin de un conjunto de datos se denota por c.v. y se expresacomo:

Donde:

estndar Desviacin s

aritmtica Mediay

Si c.v. 15%, los datos son homogneos, es decir tienen una baja variabilidad. Si c.v. > 15%, los datos son heterogneos, es decir tienen una alta variabilidad.

Ejemplo 42:Calcular e interpretar el coeficiente de variacin de los datos del Ejemplo 36 de lapag. 54.

Solucin:

Interpretacin: Las dispersines de los tiempos utilizados por los clientes en visitarla pgina Google respecto de su valor central son heterogneos.

Ejemplo 43:Calcular e interpretar el coeficiente de variacin de los datos del Ejemplo 37 de lapag. 55:

Solucin:


100ys.v.c

%15%4.361003.32.1.v.c

1.87. . 100 24.67% 15%7.58

c v = = >


Interpretacin: Las dispersiones de las inasistencias de los trabajadores respectode su valor central son heterogneos.

Ejemplo 44:Calcular e interpretar el coeficiente de variacin de los datos del Ejemplo 38 de lapag. 57:Solucin:

Interpretacin: Las dispersiones de las edades de los trabajadores respecto de suvalor central son heterogneos.

Ejemplo 45: Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de los gastos mensualesen soles de 7 estudiantes de administracin:

Xi : 200, 250, 250, 400, 270, 300, 420

a) Cunto es la dispersin de los gastos mensuales respecto de su valor central?

b) Son los gastos mensuales ho

libro estad 2013

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