DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA E INVESTIGACION OPERATIVA

MUESTREO ESTADISTICO I. CURSO 2004-2005. EXAMEN FINAL.TEORIA. RESUELTO

Nos limitamos a resolver la cuestion, pues lo demas es teorıa pura y dura,explicada en clase.

1. Estimador de Horvitz-Thompson: objetivo, propiedades, varianza y estimador inses-gado de la misma.

2. Muestreo con reemplazamiento. Estimacion de un parametro lineal, θ. Varianza.

3. Probar que para un diseno muestral de tamano fijo se verifica∑

ij∈U ∆ij = 0. calcularlas probabilidades de inclusion de primer y segundo orden, ası como el valor de los ∆ij enun muestreo sistematico de paso k.

La primera parte se puede hacer de multiples formas. Lo hemos visto en clase deTeorıa, al construir la formula de la varianza de Yates-Grundy-Sen. Por ejemplo,∑

ij∈U

∆ij =∑

i

∑j

(πij − πiπj) =∑

i

nπi −∑

i

πi

∑j

πj = n2 − n2 = 0

Hemos aplicado las siguientes igualdades, validas para tamano fijo n :∑

i∈U πi = n,∑j∈U πij = nπi. Todas ellas se han explicado en clase de Teorıa.

Para el muestreo sistematico, se ha visto que πi = 1/k, y πij = 1/k si i = j o i 6= jestan en la misma muestra sistematica, siendo CERO en caso contrario. De donde sededuce,

∆ii =1

k− 1

k2

∆ij = − 1

k2, i 6= j, i, j en distintas muestras

∆ij =1

k− 1

k2, i 6= j, i, j en la misma muestra