Álgebra veces docente: dr. richard herrera a. a e · razonamiento lógico Álgebra docente: dr....

Razonamiento Lógico

ÁLGEBRA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

TEORIA DE EXPONENTES 1. Efectúa:

E =

2

1

4

1

3

12

81

1

125

1

4

1

2

1

A) 0,25 B) 1 C) 0,5 D) 4 E) 16

2. Simplifica: 294

336

30.14.5

80.35.21

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Halla el valor de:

4321

4321

2222

2222

xxxx

xxxx

M

A) 2 B) 1 C) 16 D) 1/5 E) 32

4. Simplifica:

x

x

xx

xxx

x

xx

xx

xx

xx21

; si: x > 0

A) 2x B) x C) x

D) 3x E) 1

5. Calcula:

753 7

75

53

32

7532: S

A) 8 B) 18 C) 15 D) 12 E) 17 6. Calcula:

)5,0)(125,0(4 )0625,0(2)16)(25,0(

A) 1 B) 2 C) 4

D) 8 E) 2

7. Si:

41154 3243 16,9,3,2 cba

Calcula: 43

43

35

2

.ba

c

A) 8 B) 27 C) 3/4 D) 81/8 E) 81 8. El valor aproximado de:

.....16842A es:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1/2 9. Si: "n" es número impar.

3 3 3 3

3 3 3 3

16....161616

4....444

B

A

entonces A.B es: A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 10. Si se cumple que:

.....

b

a

b

a

b

a

ba

ba , ab > 0

Calcula: 11 ab

A) 1 B) 2 C) 2

D) 3 E) 22

11. Simplifica:

41

24

2

3

4

5 5

x

x

x

x

G

A) 1 B) x C) 2x

D) 1x E)

2x

12. Halla: “n” en:12 48 42

xn

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6 13. Reducir:

c

c

c

b

b

b

a

a

a

M

41

41

31

31

21

21

A) 9 B) 3 C) 4 D) 5 E) 12 14. Expresar en un solo radical.

3 8 5 3754 5 642 . bababaa

A) 12

ab B) 6 8ba C)

5ab

D) 6

ba E) 60 5ba

15. Si: a, b, c son números naturales simplifique:

cba

cbacba

cacbba

2232 7.5.3

175.147.135

A) 21 B) 75 C) 105 D) 14 E) 1

16. Halla el equivalente de: 12481

1

328

444

100

5555

...........

.............

veces

veces

xxx

xxxxE

A) 3 17x B)

9x C) 81x

D) 81 x E)

9 x

17. Encontrar el valor de "x"

241

3

2

xx

x

x

A) 1/4 B) 1/16 C) 1/32 D) 0,75 E) 1/2

18. Si: 818181

x

x , Calcula: x

x4

A) 1 B) 1/3 C) 1/9 D) 1/27 E) 1/81

19. Si: 4xx

Halla:

x

x

xx

xE

2

1

.256

1

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 20

20. Si: 122)1( xx x

. Calcula:

xx

1

A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 10



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

00. Luego de reducir la ex presión:

5555

555555

zyx

zyyxzxP

se le clasifica como: a) E. A. I. b) E. A. R. c) E. A. R. E. d) E. A. R. F. e) E. Trascedental

01. Después de reducir:

x xx xx xxx 21 2

La expresión que resulta es: a) Expresión algebraica racional entera b) Expresión algebraica racional fraccionaria c) Expresión algebraica irracional d) Expresión algebraica polinomial e) Expresión trascendental

03. Después de reducir: 11

1

xx

xx

x

La expresión que resulta es: a) Expresión algebraica racional entera b) Expresión algebraica racional fraccionaria c) Expresión algebraica irracional d) Expresión algebraica polinomial e) Expresión trascendental

03. Si el grado de P5Q2 es 44 y el grado de 5 3 PQ es

3. Calcular el grado de (P2 + a3)2, sabiendo que P y Q son 2 polinomios de grado desconocido.

a) 33 b) 42 c) 24 d) 12 e) 1089 04. Si el Polinomio:

nm4n1m3n5m xyyx2yx3)y,x(P

tiene: GR(x) = 9 y G.A. = 11 Calcular el grado relativo de “y” a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4 05. Si el grado de P(x) . Q2 (x) es 13 y el grado de P2(x) .

Q3(x) es 22. Calcular el grado de: P3(x) + Q2(x)

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

06. Hallar “n” para que la expresión sea de 2º grado

4 n2

3 n2

xzxcx

cxbxax)x(M x 0

a) 40 b) 80 c) 20 d) 10 e) 160 07. Si el grado del polinomio “P” es 6 y el grado del

polinomio Q es 3, entonces el grado del polinomio.

E = 3

2

QP

QP2

es

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

08. La expresión n n32 x......x.x.x es de 5to grado,

el valor de “n” es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) N.a. 09. El grado absoluto de:

720747372 )yx...()yx()yx()yx()y,x(P

es: a) 1436 b) 1463 c) 1346 d) 1634 e) N.a. 10. Si:

7n3n2m1m y3yx2xP

9nzn7mm y8yx3x2Q

GR(4) P + GR(y) Q = 12 GR(x) P = 5. ¿Cuál es el grado de Q? a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

11. Si: abba

abba

wz

yx

es de grado 16.

Calcule el grado de: ab

ba

zw

yx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Indicar el grado de:

M = 33

2/1 7

3 933

x

)x()x(x

a) 10 b) 14 c) 17 d) 13 e) 12 13. Señale el grado de:

3 6423

5422

)y,x(

)yxyx)(1x(

xy)1x()yx(M

a) 21 b) 23 c) 22 d) 25 e) 24

BLOQUE I

1. Si el polinomio: P(x,y) = xm+2 y3 + xn–1 ym + xn+3 y es homogéneo, el valor de 2m – n es:

A) 0 B) 4 C) 7 D) –1 E) –7 2. Halla (a + b + c) si el siguiente polinomio es

ordenado y completo:

P(x) = xa+c + 3x6 – 2x5 – (a + b + c) xa+b+1 – (b + c)

xb+c+1 + 7x2 – 11x + 2

A) –6 B) 4 C) 6 D) –4 E) –2

3. Si el polinomio:

P(x) = 3xn+3 – xn+2 + xn+1 + ...... + 3 es completo, ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es:

A) 33 B) 34 C) 39 D) 37 E) 40 4. Si el polinomio ordenado decreciente y completo:

P(x) = x2a+1 + 2xb+3 – 3xc+2 + …. posee 2c términos.

Halla a + b + c A) 14 B) 13 C) 12 D) 15 E) 16 5. El polinomio: R(x) = (a – b)x4 + (b – a)x3 + (c – a)x2

es idénticamente nulo, halla: a3

)cb(2

A) 2/3 B) 4/3 C) 4 D) 1/3 E) 1 6. Si los polinomios:

A(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 B(x) = 3x2 + 6x + 12

son idénticos.

Halla: c – (a + b) A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) –1

7. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo

en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?

A) 10 B) 13 C) 1 D) 12 E) 8 8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x,y) = (3m2 – n) x4–m ym + (n – 9m)xm+1 ym–2 + m(xy)m

A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2 9. P(x) = ax4m+3 + ax2n + ….. + axa–4 + axa–5 P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5)

términos. Halla la suma de coeficientes de P(x)

A) 40 B) 80 C) 140 D) 180 E) N.A. 10. El polinomio: P(x,y) = (b – c – m2)x2 + (c – a – 2mn)xy + (a – b –

n2)y2 es idénticamente nulo.

Halla la relación entre a, b y c.

A) a + b = 2c D) a + b + c = 0 B) a + c = 2b E) a + b = c C) b + c = 2ª F) 1

BLOQUE II 11. Determina el valor de “m” en el polinomio: xm+p + xp+q + xq+r + xr–3, suponiendo que es ordenado

descendentemente y completo en “x”. A) –1 B) 3 C) –2 D) 4 E) –3 12. Halla la suma de los coeficientes del siguiente

polinomio ordenado y completo: R(x) = axm+1 + 2mxa–1 – (3p – 1) xp–2 + (b – 2) xb–2 + 1

A) 11 B) 1 C) –11 D) 14 E) 0 13. Si: P(x+1) = x2 + x + 1 Q(x+2) = ax2 + bx + c P(x – 1) = Q(x) halla: A = a + b + c A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo?

P(x,y)=xm+xm–1y + xm–2 y2 +... + xym–1 + ym

I. Posee m + 1 términos. II. Es homogéneo de grado m.

III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1)

A) Sólo I es verdadera B) Sólo II es verdadera C) Sólo III es verdadera D) Todas son verdaderas E) Ninguna de las anteriores


15. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo?

P(x,y) = xm + xm–2 y2 + xm–4 y4 + ... Para que sea de grado 40, respecto a “y”. A) 22 B) 20 C) 19 D) 23 E) 21 16. Si la expresión: A(x,y,z) = xm+n yn+p zp+m Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son

tres números consecutivos (en ese orden). Calcula: E = mnp A) 9 B) 12 C) 24 D) 28 E) 29 17. P(x) = 2xa–1 + (d + 5)xb–1 + 5xc+2 Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus

términos son consecutivos en forma creciente. Halla “a + b + c + d” A) 17 B) 14 C) 24 D) 35 E) 41 18. El polinomio: Q(x)=(ab – 1)x3a + (a2c2 –4)x2b+(b3c3– 8)x5c es idénticamente nulo. Si a> 0, b>0 y c> 0. Halla: 3a + b + 4c A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 19. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n Q(x) = (x + a)2 + nx + 2 Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a. A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16 20. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105

Además: F(5) = mn

Calcula: E = mn

A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 21. Calcula E = A + B sabiendo que: x3 + 2x2 – 1 = (x + 1) [Ax2 + B(x – 1 )] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 22. Si el trinomio:

c cab cba ba xxx

Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el

monomio: c cab cba b xxx

?

A) 7 B) 13 C) 29 D) 33 E) 30 23. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (a+c–3abc) x2 + (a+c–6abc) x + (b+c–7abc);

abc 0

Calcula: M =

2

cba

abc

A) 1 B) 16 C) 25 D) 49 E) 64

24. Se tiene un polinomio P(x,y,z,w) ordenado decrecientemente y consecutivamente con respecto a todas las letras, cuyos grados relativos con respecto a x, y, z, w, de uno de sus términos son 7, 6, 5, 4, respectivamente: Si la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 240; el número de términos en P, es:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 25. Si el polinomio: P(x) =

122)1(16 22

53 baaa nxxxxaa

(n 0 ; b > 0), es completo y ordenado en forma ascendente y tiene 4a2 términos.

Calcula: M = b a

bab

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 26. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y) = 5x4 – 3x2 y2 + 2xy3. Determinar el polinomio

P(x,y) que debe agregarse a P(x,y) para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo tal que la suma de los coeficientes sea 7 y su valor numérico para x = 2, y = –1 dé como resultado 4.

A) 7x3 y – 4y4 D) 7xy3 + 4y4 B) 7x3 y + 4y4 E) N.A. C) 7xy3 – 4y4

27. Si se cumple la siguiente identidad:

m(x – 2) + n(x + 1) 4x – 17. Halla m – n.

A) 4 B) 10 C) 5 D) 6 E) 4/3 28. Halla el grado de homogeneidad del polinomio: P(x,y) = 8xm+n yn – 5xm+6 yn+4

si se sabe que el grado respecto a “x” es menor en 2 unidades que el grado respecto a “y”.

A) 24 B) 23 C) 22 D) 21 E) 20 29. Calcula el valor de k + m + n, si P es homogéneo y

de grado 17. P(x,y,z) = 5x2m+3 (3yn+1 - xm–1 + zk-2)

A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 30. Calcula la suma de coeficientes del siguiente

polinomio homogéneo: P(x,y) =

bann yxbayax 2327 )(5325

17225 2

)711( nyxb

A) 408 B) 405 C) 40 D) 402 E) 407 31. Siendo:

P(x,y,z) =

cbccabba zxzyyax 43122 523 Un polinomio homogéneo de grado “m + 2”.

Calcula: nn

nnn

cba

cba

1

)(

A) 4 B) 5 C) 2 D) 3 E) 1



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Si el polinomio: P(x,y) = xm+2 y3 + xn–1 ym + xn+3 y es homogéneo, el

valor de 2m – n es: A) 0 B) 4 C) 7

D) –1 E) –7

2. Halla (a + b + c) si el siguiente polinomio es ordenado y completo: P(x) = xa+c + 3x6 – 2x5 – (a + b + c) xa+b+1 – (b + c)

xb+c+1 + 7x2 – 11x + 2

A) –6 B) 4 C) 6

D) –4 E) –2

3. Si el polinomio: P(x) = 3xn+3 – xn+2 + xn+1 + ...... + 3 es completo, ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es:

A) 33 B) 34 C) 39

D) 37 E) 40

4. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P(x) = x2a+1 + 2xb+3 – 3xc+2 + …. posee 2c términos.

Halla a + b + c

A) 14 B) 13 C) 12

D) 15 E) 16

5. El polinomio: R(x) = (a – b)x4 + (b – a)x3 + (c – a)x2

es idénticamente nulo, halla: a3

)cb(2

A) 2/3 B) 4/3 C) 4

D) 1/3 E) 1

6. Si los polinomios: A(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1

B(x) = 3x2 + 6x + 12

son idénticos.

Halla: c – (a + b)

A) 4 B) 1 C) 2

D) 3 E) –1 7. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo

en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?

A) 10 B) 13 C) 11 D) 12 E) 8 8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x,y) = (3m2 – n) x4–m ym + (n – 9m)xm+1 ym–2 + m(xy)m

A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2 9. P(x) = ax4m+3 + ax2n + ….. + axa–4 + axa–5 P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5)

términos. Halla la suma de coeficientes de P(x) A) 40 B) 80 C) 140 D) 180 E) N.A.

10. El polinomio: P(x,y) = (b – c – m2)x2 + (c – a – 2mn)xy + (a – b –

n2)y2 es idénticamente nulo. Halla la relación entre a, b y c. A) a + b = 2c D) a + b + c = 0

B) a + c = 2b E) a + b = c

C) b + c = 2a

11. Si el polinomio: P(x,y,z) = Ax2a+2b–c + By2b+2c–a + Cz2c+2a–b

es homogéneo. Halle:

F = n

nn

)ac(

)cb()ba(

A) 0 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

12. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente.

P(x) = x12–2a + x2a–4 + x4–2a

A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7

13. Señale el grado del binomio homogéneo:

P(x,y) = m

n2

n2

3m

y

ynx

y

ynx

A) 3 B) 2 C) 4

D) 5 E) 1

14. Determina el valor de “m” en el polinomio:

xm+p + xp+q + xq+r + xr–3, suponiendo que es ordenado descendentemente y completo en “x”.

A) –1 B) 3 C) –2

D) 4 E) –3

15. Halla la suma de los coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo:

R(x) = axm+1 + 2mxa–1 – (3p – 1) xp–2 + (b – 2) xb–2 + 1

A) 11 B) 1 C) –

D) 14 E) 0

16. Si: P(x+1) = x2 + x + 1 Q(x+2) = ax2 + bx + c

P(x – 1) = Q(x)

halla: A = a + b + c

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

17. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo?

P(x,y)=xm+xm–1y + xm–2 y2 +... + xym–1 + ym

I. Posee m + 1 términos. II. Es homogéneo de grado m.

III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1) F) Sólo I es verdadera G) Sólo II es verdadera H) Sólo III es verdadera I) Todas son verdaderas J) Ninguna de las anteriores

18. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo?

P(x,y) = xm + xm–2 y2 + xm–4 y4 + ...

Para que sea de grado 40, respecto a “y”.

A) 22 B) 20 C) 19

D) 23 E) 21

19. Si la expresión: A(x,y,z) = xm+n yn+p zp+m Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son

tres números consecutivos (en ese orden).

Calcula: E = mnp

A) 9 B) 12 C) 24

D) 28 E) 29

20. P(x) = 2xa–1 + (d + 5)xb–1 + 5xc+2 Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus

términos son consecutivos en forma creciente.

Halla “a + b + c + d”

A) 17 B) 14 C) 24

D) 35 E) 41

21. El polinomio: Q(x)=(ab – 1)x3a + (a2c2 –4)x2b+(b3c3– 8)x5c

es idénticamente nulo. Si a> 0, b>0 y c> 0.

Halla: 3a + b + 4c

A) 6 B) 8 C) 10

D) 12 E) 14

22. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n

Q(x) = (x + a)2 + nx + 2

Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a.

A) 24 B) 36 C) 15

D) 10 E) 16

23. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105

Además: F(5) = mn

Calcula: E = mn

A) 2 B) 4 C) 5

D) 7 E) 9

24. Calcula E = A + B sabiendo que:

x3 + 2x2 – 1 = (x + 1) [Ax2 + B(x – 1 )]

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

25. Si el trinomio:

c cab cba ba xxx

Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el

monomio: c cab cba b xxx

?

A) 7 B) 13 C) 29 D) 33 E) 30



PRODUCTOS NOTABLES I

PRINCIPALES IDENTIDADES:

Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

* Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Multiplicación de binomios con término común:

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

PRACTICA

BLOQUE I

21. Reduce: 2

22

)()(

)()(

rqpnm

rqpnmrqpnm

22. Reduce:

)3(

)()(22

33

baa

baba

23. Si: x = 1313

y = 1313

halla: x2 – y2

24. Reduce: M = (a+2) (a+3) (a+4) (a+5) – (a2+7a) (a2+7a+22)

25. Si: 51

xx

halle: x3 + x–3

26. Si: x2 + 12y = (y + 6)2, halla:

10 4224322 2. yyxxyx

27. Si: a + b = 3 y ab = 1

Halle: a4 + a2 + a + b2 + b + b4

28. Si: a4 + b6 = 2

halle: 222222

232232

)()(

)()(

aaaa

baba

29. De la ecuación:

baba

411

Reduce: n

nn

n

ba

ba11

1)(

30. Si: x +

x

2 = 1

halle: (x – 3) (x + 2) (x – 4) (x + 3)

31. Si se cumple:

x

y

y

x 2

2 = 2

calcula:

8

y

x

32. Si: x +

x

1 = 3, halle: x2 –

2

1

x; x > 1

33. Reduce:

16 1688 2)23()97()13()5(

34. Sabiendo que x2 – 3x + 1 = 0 Calcula el valor de:

A = 32

23 11

xxxx

35. Si a +

a

1 = 3, halla el valor de

R =

a

a

a

a

aa

aa

11 /1

/1

36. Si: x2 + 1 = –x

halle: x19 + 25

1

x

BLOQUE II

37. Reduce: C = [ (m + n)2 – (m – n)2 ]2 – 16 m2n2

A) mn B) m+n C) 0

D) 1 E) –1

38. Reduce:

M = babababa

A) 2a C) 0 E) 2a – 2b

B) 2b D) 2a + 2b

39. Reduce: (x – 1)3 – x3 + 1

A) x C) 2x E) N.A.

B) x + 1 D) 3x (1 – x)

40. Reduce:

W=2222 . abbabb ; a>0

A) b B) a C) a

D) b E) 0

41. Simplifica: Z = (x2 + x + 4) (x2 + x + 2) – (x2 + x + 8) (x2 + x – 2)

A) 8 B) 16 C) 24

D) 18 E) 43

42. Efectúa: E = (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)

A) 7 B) 1 C) –2

D) 0 E) 3

43. Sea:

2233

22

113

11

211

yxxyyx

xyyxA

; xy 0

si se cumple: 9(x + y) =xy,

calcule: A

A) 1/9 B) 1/3 C) 3

D) 9 E) 1

44. Si: x +

x

1= 4

halle: x2 + x + 2

1

x+

x

1

A) 16 B) 18 C) 14

D) 10 E) 4

45. Si a + b = 5 y

2

ba

ba= 11, halla

ab.

A) 5 B) 7 C) 9

D) 11 E) N.A.

46. Reduce

(x2 –4x –1)2 –(x2– 4x–2)2 – 22

23

)42(

)8(2

xx

x

A) – 9 B) – 3 C) – 11

D) 0 E) 10

47. Calcula U + N, si: U = (a + b – c + d) (a – b + c + d)

N = (a + b + c – d) (b – a + c + d)

A) ad + bc B) ad – bc

C) 4 (ad + bc) D) 4 E) 2 (a2 – b2)

48. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b) –1

calcula: E =

ba

ba

a

b

b

a

2

2

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.


ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.

PRODUCTOS NOTABLES PRINCIPALES IDENTIDADES

Trinomio cuadrado perfecto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 * Identidades de Legendre: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Multiplicación de binomios con término común:

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab Desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Desarrollo de un trinomio al cubo: (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c) (a+c) (a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc (a+b+c)3= 3(a+b+c) (a2+b2+c2)–2(a3+ b3 +c3) + 6abc Identidad trinómica (argand): (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 Igualdades condicionales:´ Si: a + b + c = 0 , se cumple:

i. a3 + b3 + c3 = 3abc ii. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) iii. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

NOTA:

Sean: a; b; c y m; n N

Equivalencia de Gauss:

PRACTICA

BLOQUE I 1. Efectúa:

E = (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)

A) 7 B) 1 C) –2

D) 0 E) 3

2. Si: x +

x

1 = 4

halle: x2 + x + 2

1

x+

x

1

A) 16 B) 18 C) 14

D) 10 E) 4

3. Si a + b = 5 y

2

ba

ba= 11, halla ab.

A) 5 B) 7 C) 9

D) 11 E) N.A.

4. Si: x2 + 1 = –x halle: x37 + 49

1

x

A) 1 B) 0 C) –1

D) 2 E) 1/2

5. Reduce

(x2 –4x –1)2 –(x2– 4x–2)2 – 22

23

)42(

)8(2

xx

x

A) – 9 B) – 3 C) – 11 D) 0 E) 10

6. Calcula U + N, si: U = (a + b – c + d) (a – b + c + d) N = (a + b + c – d) (b – a + c + d)

A) ad + bc B) ad – bc

C) 4 (ad + bc) D) 4 E) 2 (a2 – b2)

7. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b) –1

calcula: E =

ba

ba

a

b

b

a

2

2

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

8. Si a + b = 5 y ab = 3, halla el valor numérico

de

P =

ba

ba

55

A) – 5 B) 1 C) – 1

D) 5 E) 12

9. Si: a4x + a–4x = 34, calcula R = ax – a–x

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) N.A.

10. Si: A + B = 8 ; A.B = 2

Halla A6 + B6

A) 8 B) –8 C) –16

D) 16 E) N.A.

11. Si: (a + b + c + d)2 = 4 (a + b) (c + d)

calcula: M =

cb

ad

bd

ca

dc

ba

A) 0 B) 1 C) –1

D) 3 E) –3

12. Si: x + x–1 = 5 , calcula: x6 + x–6

A) 12 B) 15 C) 16

D) 18 E) 20

13. Si: 2

2 1

xx = 3.

halla: C = 3 1010 2 xx

A) 3 B) –3 C) 5

D) –2 E) 4

14. Si: xy = 1, halla:

K = x

1

12

2

x

y + y

1

12

2

y

x

Además x ; y x ; y > 0 A) 1 B) –2 C) 2

D) 0 E) ½

15. Si: x2 + 1 = 3 x

halle: 3 (2 + 3 )

1

21

10

5

x

x

A) 1 B) –1 C) 0

D) 2 E) –2

BLOQUE II 16. Si: m + n + p = 0

Halla: 222

2333 )(

pnm

pnm

17. Calcula el valor de: E =

ab

c

ac

b

bc

a

acbcab

cba 222222

Para a = 35

b = 52

c = 23

18. Si se cumple: (x + y + z)2 = xy + xz + yz

calcula:

)(

)()(

xzz

zyyyxxP

19. Calcula abc, sabiendo que: a + b + c = 15,

a2 + b2 + c2 = 93,

a3 + b3 + c3 = 645

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac a = b = c

a3+b3+ c3–3abc=(a+b+c)[a2+b2+c2 – (ab+bc+ac)]

a2n + b2m = 0 a = b = 0


20. Sabiendo que:

bababa 4444

= – c

Halle:

)(

)()( 333222

bcacababc

cbacba

21. Si x; y , cumple la igualdad: 2x2 – 4x + 4 + y2 – 2xy = 0

Dar el valor de: x y 43

22. Dado: a + b + c = 1 ab + bc + ac = 0

Halle:

abc

acbcab 222 )()()(

23. Si: x, y z son números reales:

x3 + y3 + z3 = 3xyz ; x + y + z 0

halla el valor de:

3

333

)( zyx

zyx

24. Si xy + yz + xz = 0

halla: E = 222

333333

zyx

zxzyyx

25. Reduce2

333 )2()2()2(

)2()2()2(

abcbcacba

abcbcacba

26. Si: a + b = c b + c = a c + a = b

reduce:

abc

acccbbbaa

3

)2()2()2( 333333333

27. Si: abc 0 y

a

bc

b

ac

c

ab = a + b + c

Entonces halle:

21777777

777777

)(.)( abccbcaba

cba

28. Si: a3 + b3 + c3 = 4abc

a2 + b2 + c2 = (ab + ac + bc) + 1 Calcula:

E = acbcab

c bab aca cb

xxx

xxx

29. Dadas las condiciones: a3 + b3 + c3 = 2 (a + b) (b + c) (a + c)

a + b + c = 1,

calcula el valor de:

bcacab

abcM

51

BLOQUE III

30. Si: a = 3 2 + 5;

b = 2 – 5 2 ;

c = 2 2 – 7

Halla:

M =

ab

c

ac

b

bc

a422 2)2(4

A) 4 B) 3 C) 7

D) 12 E) 1

31. Sabiendo que: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 = 0

calcula: 5

555

)( zyx

zyx

A) 9 B) 3 C) 1

D) 1/3 E) 1/9

32. Reduce:

)()()(9

)()()( 333

xzzyyx

xzzyyx

A) 1 B) 2 C) ½

D) 1/4 E) 1/3

33. Si: a2 + b2 + c2 = 2

ab + bc + ac = 3 halle:

(a – b + c)2 + (a + b – c)2 + (a – b – c)2

A) 0 B) 1 C) 6

D) 2 E) 5

34. Efectuar abreviadamente:

K = (x + x + 1) (x – x + 1) – (x – 1)2

A) x B) 2x C) 3x

D) 4x E) 5x

35. Simplificar: (a, b, +)

babababa

baba

22

A) a B) 0 C) b

D) ab E)–2 ab

36. De las condiciones:

a + b + c = 2 a3 + b3 + c3 = 8

Hallar el valor de:

N =

abc

bcacab

A) 1/3 B) 1 C) –1

D) 2 E) 1/2

37. Si: a3 + b3 + c3 = 0, además: (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 36

halle:

acbcab

111

A) 1/3 B) –1/3 C) –1/6 D) 1/6 E) 1

38. Teniendo en cuenta que: a + b + c = 12, y a2 + b2 + c2 = 100, halla ab + ac + bc

A) 44 B) 20 C) 28

D) 22 E) N.A.

39. Si: (a + 2 ab + b)( a – 2 ab + b) = 0,

calcula: E = 223

43

b a

5b a

baab

bba

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

40. Si a + b + c = 0

halla:

ab

c

ac

b

bc

a 222

A) 8 B) 6 C) 3

D) 0 E) N.A.

41. Si: yz

x

xz

y

xy

z = 1; x, y, z

halla el valor de:

E = )zyx(xyz3

zyx 444

A) 1/2 B) 1/3 C) 1

D) –1 E) –1/3

42. Calcula el valor de: S =

)xyz(z)xzy(y)yzx(x

)xyz(z)xzy(y)yzx(x

Para: xy

z

xz

y

yz

x = 1

A) 0 B) 1 C) 2

D) –1 E) –2

43. ¿A qué equivale: a3 + b3 + c3 – 6abc? Si se cumple:

a(a – b) + b(b – c) + c (c – a) = 0

A) –3abc B) a3 + b3 + c3 C) 0

D) (a+b+c)3 E) abc

44. Halla el valor numérico de: x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz + 2xz

Para: x = 32 ;

y = 52 ;


ÁLGEBRA


FACTORIZACIÓN

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

Multiplicación

FACTOR PRIMO Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico sino admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo. Ejemplo:

14

x)x(P

)1x)(1x()x(P22

fp

)1x(

fp

)1x(

fp

)12

x()x(P

Tiene 3 factores primos en R # DIVISORES O FACTORES

...z.y.xPcba

#D=(a+1)(b+1)(c+1) …

PRÁCTICA

01. Señalar la suma de los coeficientes de un factor de: 333

)c2ba()b2ca()a2cb(

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

02. Marcar el número de factores de:

)mp)(mp(

)pn)(pn()nm)(nm(

2244

22442244

a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

03. 3. Marcar un factor de:

)yx(z)xz(y)zy(x444

a) yzxzxyyzx 222

b) 222zyx

c) xy + xz + yz d) x + y e) x + z

04. Señalar el coeficiente numérico que se obtiene al factorizar

5555)zyx()yzx()xzy()zyx(

a) 20 b) 80 c)5 d) 10 e) 15

05. Marcar un factor de:

2x3x2x2x3x22345

a) x + 1 b) x + 2 c) 2x + 1

d) 2x – 1 e) 1xx2

06. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor:

4x12x8x2x246

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

07. Factoriza1n6n3

262

proporcionando como respuesta el valor numérico de un factor, para n = 2/3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

08. ¿Cuánto vale A + B si el trinomio

4224Byyx42Ax3 es un trinomio

cuadrado perfecto?

a) 52 b) 35 c) 46 d) 63 e) 73

09. Señale el coeficiente de "x"2

que se obtiene en

un factor de:

1x5x6xx2456

a) 3 b) -2 c) -3 d) 5 e) 1

10. Factorizar 1x4x9x1023

, dar como

respuesta el producto de los coeficientes de un factor.

a) 2 b) 1 c) -1 d) -10 e) 10

11. Encontrar el coeficiente que aparece al factorizar:

222)ac()cb()ba(

a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 4

12. Cuántos factores posee:

4x8x5xx4x4x23567

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

13. Calcular la suma de coeficientes de un factor de:

1xxxx2345

a) 1 b) -2 c) -3 d) 3 e) -1

14. Marcar el coeficiente de “x” en un factor de:

1xx2x25

a) 3 b) 0 c) -2 d) 2 e) -1

15. Marcar un factor de:

12

x25

x

a) 1xx2

b) 1xx2

c) 1xx2

d) 1xx2

e) 1xx23

16. Determinar m si:

15x23mx3x

y6x11mx2x

23

23

Tienen 2 factores comunes

a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

17. Marcar la suma de coeficientes de un factor:

3223bb2ab5a3a

a) 5 b) -2 c) -4 d) 4 e) 2

18. Señalar un factor de: x(2x + 1) + y(2y + 1) + 4xy

a) 2x + 2y + 3 b) 2x + y c) x + 2y d) x + y + 1 e) 2x + 2y + 1

19. Marcar el valor de “a” para que el polinomio se pueda descomponer en 2 factores lineales.

)a1(y)4a(y)1a(x322

a) 2 b) 4 c ) -2 d) -4 e) 3

20. Señalar uno de los factores

33

33

33

33

ba

)ba2(b

ba

)b2a(a

a) a – b b) a – 2b c) 2a – 3b d) 2a + b e) a + b

21. Señale uno de los factores de:

2222)2x9x2()3x9x6(

a) 2x + 1 b) 3x + 1 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 4x – 2

22. Reducir:

)4x3)(2x3(

9x27)1x3(M

3

a) 3x b) 2x – 1 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 3x – 1

23. Simplifica:

22

4224

baba

bba3aE

a) 22

baba b) aba2

c) a(a + b) d)22

baba

e)22

baba

24. Indicar cuántos factores primos tiene: 5224322

)yx()1y()2x(yx4)y;x(P

a) 6 b) -10 c) 5 d) 0 e) 4

25. Si el polinomio:

0abc;cbxacxax)x(P23

Tiene como factor a f(x) = x – c. Calcular el valor de b.

a) -1 b) 3 c) 18 d) -2 e) 0,5

26. Indicar la suma de los coeficientes de los factores primos de:

)ba(c)ac(b)cb(a)c;b;a(P222


a) -8 b) 0 c) 12 d) 8 e) -1

27. Indicar un factor primo de:

y12x9)y8x6()y4x3()y;x(F23

a) 3x – y b) 4y – 3 c) -1xy d) 3x + 4y e) 3x – 4y

28. Hallar la suma de los factores primos del polinomio:

2222224)vu(z)vu(2z)z(P

a) 2u b) 2z c) 4z

d) 3uv e) 2v

29. Cuántos factores primos admite el polinomio Q(x)= (x+2)(x+3)(x+4)+(x+3)(x+4)–x–4

a) 2 b) x + 2 c) 6x

d) 0 e) 6x

30. Indicar el número de factores primos de:

)2y5y3()5y7(xx2)y;x(P22

a) 6 b) 2 c) 1 d) 0 e) 12

31. Factorizar:

)2x(3)1x(x4x)x(P24

, e

indicar la menor suma de coeficientes de un factor primo.

a) -3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 0,5

32. Factorizar:

20x92

x213

x94

x)x(P

Si F(x) representa la suma de los factores primos de P(x). Indicar un factor de F(x).

a) 8x22

x b) 6x22

x

c) x + 12 d) 9x – 14 e) -2x + 5

33. Factorizar:

2a32

a83

a12)a(F ; luego indicar el

número de factores lineales

a) 18 b) 6 c) 3 d) 0 e) 7

34. Al factorizar el polinomio:

92

x34

x36

x)x(P

Se obtiene:

)3b2

x2b4

x1b)(3ax2a2

x1a()x(P

Calcula:

3b2b1b

3a2a1a

a) -3 b) -5 c) 8 d) -2 e) 0

35. Halla la suma de factores primos lineales de:

6b27

3b

3a215

6a8)b;a(P

a) 3b – a b) 3a – 2b c) 3ab

d) -8b e) 3ab105

36. Factorizar los polinomios:

2a2x)1a3(2

x)1a()x(P

2x)1a2(2

x)1a()x(P

y calcular el valor de “a” si la suma de los factores no comunes es: 6x + a.

a) 1 b) 0 c) 12 d) 3 e) 5

37. Los trinomios:

3bxx)x(g

6axx)x(f

2

2

admiten un factor común de la forma (x+c). Hallar el valor de ac – bc. a) 3 b) 2 c) 11 d) 4 e) -5

38. Luego de factorizar:

)4x(61x)x(P24

indique el término lineal de un factor primo

a) 2

x4 b) 4x ó –4x c) 4

x9

d) 4

x6 e) 12x

39. Señale el factor primo de menor suma de coeficientes del polinomio:

16x12x)x(P48

a) 42

x24

x

b) 2xx2

c) 6x3

d) 4x2x2

e) 3

x6

40. Sabiendo que el polinomio:

1x2

x)x(F es un factor de:

cbx2

ax7

x)x(P

Calcula: 1bc

12

b2

a

a) 8ab b) 4b c) 2 d) 1 e) 5

41. Si: a + b + c + d =33; {a, b, c, d}

Z y el

polinomio:

7dxx6)x(P2

es factorizable por

aspa simple, tal que:

6x2 + dx + 7

3x a

bx c

indicar la suma de los factores primos.

a) 5x – 8 b) 5x + 8 c) x – 8 d) 2x – 8 e) 6x + 8

42. Señale la suma de coeficientes de uno de los factores primos en:

81x9x)x(P24

a) 12 b) 16 c) 13 d) 4 e) 27

43. Indique un factor de:

6aa7aa)a(R234

a) a – 14 b) -1 c) 2a7

d) 6 – a e) a + 1

44. Factorizar: ax – a + bx – b

a) (x + 1)(a – b) b) (x – 1)(a – b) c) (x – 1)(a + b) d) (x + a)(x – b) e) (ax – 1)(bx + 1)

45. Factorizar: ax + x – a – 1

a) (x + 1)(a – 1) b) (x – 1)(a + 1) c) (x – 1)(a – 1) d) (x – a)(x + 1) e) (x + 1)(1 – a)

46. Indicar un factor primo de:

axxabbx2

a) a +x b) bx2 c) b –x

d) x – a e) ax2

47. Señale un factor primo de: x(a – 1) + y(a – 1) – a + 1

a) a + 1 b) x + y c) x + y + 1 d) x – y –1 e) x + y – 1

48. Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de:

P(x) (x+2) + (x+2)(x+3) + (x-1)(x+2) a) 8 b) 5 c) 2 d) 4 e) 7

49. Luego de factorizar:

babcacab2222

Señale un factor

a) b + c b) 2

ca c) 2cb

d) a + b + c e) 2cab

50. Señale la suma de los términos independientes de los factores primos de:

2am – 2an + 2a – m + n – 1 a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) 3

51. Indicar un factor primo de: (3x+2)(x+y-1) + (3x+2)(1-x+y)-2-3x

a) 3x – 2 b) 2y + 1 c) 2x – 1 d) 2y – 1 e) 2x + 1

52. Factorizar: 22

y4xy4x

a) (x + 2y)(x – 2y) b) 2)y2x(

c) 2)yx2( d) 2

)y2x(

e) (x + 2)(y – 2)

53. Hallar la suma de los factores primos de:

22c)ba(

a) 2(a + b + c) b) 2(a + b – c) c) 2(a + b) d) 2a + b e) 2a +2b – c


ÁLGEBRA

DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. FACTORIALES COEFICIENTE BINOMIAL BINOMIO DE

NEWTON BLOQUE I

01. Al efectuar )!3n()!1n(

)!1n()!2n(

se obtiene:

a)

2

1

n

n b)

)1(

2

nn

n

c)

1

2

n

n d)

2n

n

e)

1

)1(

n

nn

02. Sabiendo que: )!5x()!6x(

)!5x()!7x(

= 15!

El valor de “x” es: a) 7 b) 11 c) 13 d) 9 e) 15

03. El valor natural de “n” que verifica

)!2n(99!n)!1n(

!n.)!1n(

, es:

a) 10 b) 3 c) 5 d) 8 e) 13

04. Al simplificar 80.......33.32.31

80.......22.21.20 se obtiene:

a) 80! – 19! b) 80! – 30! c) 19!/30! d) 19! e) 30!/19!

05. Al simplificar E = !nn!n

)!1n(1!n

)!n(])!1n[(

])!1n[(n

se

obtiene: a) 1/n b) n+1 c) n-1 d) n e) 1

06. El valor de “n” que satisface la ecuación )!!()!!(!5!119 !6!719)!720( nn x es:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6

07. Si se cumple la igualdad

b])!!a[()!1!120(

)!)!!5(()!1!120(

, entonces

el valor de “a + b” es:

a) 5 b) 3 c) 8 d) 4 e) 7

08. El equivalente de)!)!)!!3((()!)!!4(()!1!5(

)!!24()!!5()!)!!6((

es: a) 2! b) 3! c) 4! d) 5! e) 6!

09. Si: 70

)!2(

!

)!22(

)!2(

n

n

n

n entonces el valor

de “n” es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

10. El valor de “x” que verifica la igualdad:

x+2 x+1 x+ +

x+2 x+1 x- -= 1,1

es:

a) 20 b) 18 c) 15 d) 22 e) 14

BLOQUE II

11. Si: n2

C =10, entonces el valor de “2n – 1”, es:

a) 5 b) 15 c) 13 d) 9 e) 7

12. Si “n” verifica

4

.1

3

2

42 n

C

CCn

nn

;

entonces el valor de 1n2 , es:

a) 20 b) 28 c) 32 d) 24 e) 35

13. Si: 18

2

18

xx CC . El valor de “x” es:

a) 4 b) 6 c) 2 d) 10 e) 8

14. Simplificando 21

14

21

7

21

14

3

126

C

CC

se obtiene: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15. Calcula “x” en:

21x221

21x222

x21

2x21

1x22

2x20

CCCCCC

a) 18 b) 19 c) 20 d) 22 e) 21

16. Al reducir

r

1n

1r

n

1r

1n

1r

1n

se obtiene:

a)

r

2nb)

2r

3n c)

1r

2n

d)

2r

2n e)

1r

1nC

17. El valor de “n” en la igualdad:

1331CCC4 2n3

n3

1n3

es:

a) 11 b) 10 c) 12 d) 14 e) 13

18. El valor de “x” en la igualdad:

254

x6154

x59

254

7x54

5xCCCC

7x

54C.

x59

54C4

es:

a) 28 b) 33 c) 22 d) 35 e) 25

19. El valor de “n” en la siguiente igualdad:

1n3

n4

C5C2 , es:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5

20. Al reducir

n

1n

nn

n3

n4

n2

n3

n1

n2

n1

C

Cn...

C

C4

C

C3

C

C2

1

C

se obtiene:

a) 2n(n-1) b) 2

)1n(n c)

2

)1n(n

d) 6

)1n2)(1n(n e) 1n3

21. El valor de “m+n” en la igualdad:

3m3n

2m8

m7

m6

m5

CCCC2C

es:

a) 24 b) 20 c) 28 d) 32 e) 16

BLOQUE III

22. Si la suma de los coeficientes del desarrollo de

10n432 )y3x7(

es igual a la suma de los

coeficientes de la expansión de n832 )wz3( .

Calcula el número de términos de la potencia de

n35 )y2x( .

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

23. Encontrar el coeficiente del término que admite a

20x como parte literal en la expansión de:

123

x

1x

a) 375 b) 415 c) 495 d) 525 e) 604

24. Encuentra el valor de “n” para que el 4t del

desarrollo de n2 )yx( contenga a:

10x .

a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14

25. Halla el valor de “n”, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los términos 6to y

16mo del desarrollo de m2n4 )yx( es 10.

a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8

26. En la expansión de

n3/13

xx

, la

suma de todos los coeficientes es igual a 128. Halla

el coeficiente que contiene a 5x .

a) 40 b) 28 c) 46 d) 35 e) 22

27. Encontrar al término que no contiene a “x” en la expansión de:

9

4 x

1x

a) 6 b) 7 c) 11 d) 8 e) 4


ÁLGEBRA


DIVISIÓN ALGEBRAICA Es una operación que consiste en hacer corresponder a dos

polinomios D(x), d(x) 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, dos polinomios únicos Q(x) y R(x), llamados cociente y residuo respectivamente, tales que: donde: D(x) : Dividendo ; Q(x) : Cociente d(x) : Divisor ; R(x) : Resto

CLASES DE DIVISION

División Exacta: Si R(x)= 0 D(x)=d(x). Q(x) En este caso se dice que D(x) es divisible por d(x)

División Inexacta: En este caso el R(x) 0 PROPIEDADES RELATIVAS AL GRADO

El grado del dividendo es mayor o igual que el grado

del divisor.

Grado ( D(x) ) Grado ( d(x) )

El grado del cociente es igual al grado del dividendo

menos el grado del divisor, o sea:

Grado ( Q(x) ) = Grado ( D(x) ) – Grado ( d(x) )

El grado del Resto es menor o igual que, el grado del

divisor disminuido en la unidad, es decir:

Grado ( R(x) ) Grado ( d(x) ) - 1

MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS METODO DE HORNER

ESQUEMA GENERAL

1

2

3 4

LINEA DIVISORIA METODO DE PAOLO RUFFINI Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b).

ESQUEMA GENERAL

1

3 4

2

01. Al dividir 8 13x - 3x 2x 8x 234 entre (4x-1) se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

02. El resto que se obtiene al dividir:

46833236 23456 xxxxxx

entre 1 3x 2x - x 23 es:

a) 3x+2 b) x2+10 c) x2-20x d) x-20 e) N.A.

03. Al dividir:

4x x- 2x 2x 4x 2345 entre

2 x - 3x 2x 23 el cociente es:

a) 2x2-2x+5 b) 2x2+3x-2 c) 2x2-x+5 d) 2x2+x-2 e) N.A.

04. Calcula el resto en:

1) -(2x entre 4) -10x 2x - (4x 23

a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 6

05. Si la división de:

B Ax 7x - 5x - 6x 234 entre

2 -2x 3x2 es exacta. Entonces el valor

de A + 2B es: a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 0

06. Al dividir:

32

1813127456 23456

x

xxxxxx

el término independiente del cociente es: a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) N.A.

07. Si la división de:

235

2523

235

xxx

cbxaxxx

es exacta. Entonces el valor de a + b + c es: a) -53 b) -48 c) -6 d) 32 e) N.A.

08. Si al dividir:

dxx

cbxaxxx

23

235

2

48

el resto que se obtiene es: 2x2 + 4x.

Entonces calcular: E = a + b + c - 5d. a) 9 b) 8 c) 4 d) 3 e) N.A.

09. Si al dividir:

324

8823

235

xxx

cbxaxxx

el resto que se obtiene es: 3x2 - 2x+1. Entonces a + b + c es: a) 2 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

10. Al dividir:

4

10511 2345

x

xxxxx

Se obtiene un cociente, cuya suma de coeficientes es: a) -12 b) -15 c) -17 d) 10 e) N.A.

11. Si:

5)32(2)23()( 35 xxxxf

obtener: )23( f

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

12. Si la división:

124

1522202

234

xx

baxxxx

es exacta, calcula " ab "

a) -1 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6

13. Luego de dividir:

2

1211452

2345

xx

xxxxx

se obtiene un cociente de la forma:

dcxbxax 23

y un residuo idéntico a : ax + e - 1 Calcula: ad + bc - e

a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) – 1

14. En el siguiente esquema por Ruffini:

4 6 8 -4 -15

16

halla la suma de coeficientes del cociente:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Determina el término independiente del cociente, al dividir:

3

2820755

101520

y

yyy

a) -12 b) - 8 c) 4 d) 15 e) 21

16. Luego de dividir:

2

1511723 2345

x

xxxxx

Indica el residuo a) 84 c) 86 e) 88.

D(x)=d(x). Q(x) + R (x)


b) 87 d) 85

17. Luego de dividir :

Indica la suma de coeficientes del cociente

a) 0 c) 1 e) -1 b) 2 d) -2

18. En la siguiente división exacta:

33

3472

234

xx

xxnxmx

el valor de: mn es:

a) 8 b) 49 c) 64 d) 25 e) 81

19. Al dividir :

7-2

5756-4713-610

10203040

x

xxxx

se e obtiene de residuo a) 4 c) 5 e) 6 b) 7 d) 8

20. Calcula el resto al dividir:

12

)1()2(2

164141

xx

xxx

a) 123 b) 232 c) 257 d) 321 e) 222

21. Halla el resto en:

43

19435577

xx

xx

a) 2x + 2 b) 2x + 12 c) 2x + 6 d) 2x – 8 e) x – 3

22. Calcula el residuo de dividir:

23

793)33(5)13(22

2511210032

xx

xxxxxx

a) 8 b) 81 c) 10 d) 12 e) 14

23. Calcula el resto en:

57

186135422

xx

xxxxxx

y dar una respuesta la raíz cuadrada de dicho residuo

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24. Calcula la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división:

1

101100

x

x

a) - 5 b) 0 c) 1 d) 100 e) 102

25. Calcula el valor de " a " para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, tal que el resto es 16.

1

2251

x

abbxax

a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6

26. Si el resto de dividir:

842

2658323

2345

xxx

nmxxxxx

es: - 5x + 2, entonces “m + n” es:

a) – 2 b) 2 c) 3 d) – 7 e) 7

27. En la división no inexacta:

Determina el valor numérico de:

)9

(1

a

a

cE

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/6 e) ¼

28. Halla (a + b + m), si la división:

57

1219423

2345

xx

baxxxxx

de por residuo : mx2 + 2x – 6

a) 0 b) 23 c) – 22 d) – 19 e) 11

29. Dividir:

x

xxxxx 92)3(5)3(2)3(3)3( 2345

Dando el valor del cociente cuando “x” tome el valor de 4.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

30. Halla el resto de la división:

209

9)4()5(2

4051

xx

xx

a) x - 1 b) 2x c) 3 d) 6 e) N.A.

31. Halla el cociente de dividir:

124

461514122

234

xx

xxxx

a) 32x - x + 2 b) 3

2x - 3x + 2

c) 32x + 2x + 2 d) 3

2x - 3x + 1

e) 32x - 2x + 2

32. Determina "m" y "n" de manera que el polinomio:

53

722

234

xx

nmxxxx

Tenga como residuo a: 4x + 1

a) 16; 21 b) 20; 16 c) 15; 12 d) 8; 16 e) 12; 7

33. Calcula el valor de "m" y "n" si la siguiente división:

122

7

xx

nmxx es exacta.

a) 2; -3 b) -7; -6 c) 5; 3 d) 9; 3 e) 6; 5

34. Halla el resto de:

2

2)7()3( 827

x

xxxx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1-3

7817-53 234

x

xxxx

cbxax

babcxabxxcabxax

2

223245 9)26(22



COCIENTES NOTABLES

PRACTICA

01. En el desarrollo de:

915

2745

ax

ax

hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es:

a) 7 b) 24 c) 5 d) 6 e) Ninguno

02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable?

a) 22

1010

yx

yx

b)

56

1012

yx

yx

c) 75

3525

yx

yx

d)

43

2015

yx

yx

e) N.A.

03. Calcula el número de términos del cociente notable:

32

32

yx

yx mn

si se cumple que: T20 . T30 = x100 y144

a) 100 b) 150 c) 50 d) 30 e) 60

04. Dar el número de términos del cociente notable:

22 yx

yx nn

si el penúltimo término es: x2 y82

a) 42 b) 82 c) 86 d) 43 e) 45

05. El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de:

54

54

yx

yx nn

sabiendo que el T(5) tiene grado absoluto 32, es:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.

06. Halla “m” y “n” para que el término 60 del cociente:

nm

nm

ba

ba42

296148

; sea a56 b708

a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3 n = 2 n = 2 n = 3 d) m = 2 e) N.A.

n = 3

07. Dado la siguiente división notable ba yx

yx

180120

Calcula la suma de las cifras de “ab” sabiendo que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3.

a) 10 b) 9 c) 8 d) 54 e) 44

08. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollo de:

a)

1

13

12

x

x b)

1

13

12

x

x c)

1

13

12

x

x

d)

1

13

15

x

x e)

1

13

15

x

x

09. En el cociente de:

35

63105

ba

aa

el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcula k . k. a) 9 b) 81 c) 100 d) 15 e) 36

10. Si xm-96 y14 es el octavo término del desarrollo del cociente notable:

qp

m

yx

yx

24

; calcula (m + p + q).

a) 124 b) 144 c) 168 d) 158 e) N.A.

11. En el cociente notable de:

75 yx

yx ba

Calcula “a + b” si el término quinto es: xc yd, además d - c = 3. a) 70 b) 100 c) 120 d) 130 e) 140

12. En el desarrollo del cociente notable de:

32 yx

yx ba

hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

13. Calcula el valor numérico del término central del cociente notable:

)(8

)()(22

100100

yxxy

yxyx

para x = 3, y = 2 2

a) 3-2 2 b) 2 2 c) 2

d) 1 e) 3+2 2

14. En el cociente notable de:

22

5050

22

)()(

ba

baba

¿Qué valor adquiere el término central para:

a =

2

248x ; b =

2

248x

a) 2 b) 1/2 c) 2

d) 24 2 e)

48 2

15. Efectuando:

23

1015

yy

yy

el número de términos enteros es: a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

16. Halla el número de términos que tendrá el cociente notable:

5292

505105

nn

mm

yx

yx

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) N.a.

17. Calcula el número de términos de: . . . - x108 y55 + x99 y60 - . . . .

sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 12 b) 22 c) 24 d) 21 e) 23

18. Halla a + b + c si el término central del cociente notable:

ba

ba

yx

yx

11440 33

es el noveno e igual a x40 yc. a) 53 b) 54 c) 11 d) 48 e) 59

Álgebra veces docente: dr. richard herrera a. a e · razonamiento lógico Álgebra docente: dr....

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