Álgebra. tema 5. aplicaciones lineales · sea f: v −→w una aplicación lineal, y sun...

Álgebra

Rodrigo García Manzanas Neila Campos González Ana Casanueva Vicente

Departamento de Matemá.ca Aplicada y Ciencias de la Computación

Este tema se publica bajo Licencia: Crea.ve Commons BY-‐NC-‐SA 4.0

Tema 5. Aplicaciones lineales

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.es

CONTENIDOS

1 Introducción

2 Núcleo e imagen

3 Clasificación de aplicaciones

4 Matriz asociada a una aplicación lineal

G320: Álgebra Aplicaciones lineales 1/16

Introducción

APLICACIÓN

Una aplicación f entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar acada elemento de A, uno (y sólo uno) de B

f : A −→ B A f−→ BSi f asigna al elemento a ∈ A el elemento b ∈ B se dice que b es la imagen de a,y se denota f(a) = b

Podríamos pensar en funciones matemáticas como aplicaciones en las que el dominio sería elconjunto inicial A y el rango (o recorrido) el conjunto final B. Por ejemplo, la funciónf(x) = sen(x) podría verse como una aplicación tal que:

f : R −→ [−1, 1]x sen(x)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

dominio

-1

-0.5

0

0.5

1

reco

rrid

of(x) = sen(x)


Introducción

En este tema, trabajaremos con aplicaciones entre (sub)espaciosvectoriales

APLICACIÓN LINEAL (U HOMOMORFISMO)

Dados dos (sub)espacios vectoriales V y W , una aplicación f : V −→Wes lineal si y sólo si:

f(~v1 + ~v2) = f(~v1) + f(~v2), ∀~v1, ~v2 ∈ V

f(α~v) = αf(~v), ∀~v ∈ V, α escalar

f(~0V ) = ~0W

Ejercicio: Comprueba si son lineales las siguientes aplicaciones:

f : R3 −→ R2

(x, y, z) (2x, z)

f : R2 −→ R4

(x, y) (x, y, x+ y, 1)


Introducción

Algunas aplicaciones lineales importantes:

Identidadid : V −→ V~v ~v

Nulan : V −→W~v ~0

Girosf : R2 −→ R2(x, y) (

√2

2 x−√

22 y,

√2

2 x+√

22 y)

Giro de 45◦ (en sentido antihorario) en elplano R2

Reflexiones o simetríasf : R3 −→ R3

(x, y, z) (x,−y, z)Simetría en el espacio R3 respecto delplano XZ

Homoteciasf : R2 −→ R2

(x, y) (1.10x, 1.10y)Dilatación de un 10 % en el plano

Proyeccionesf : R3 −→ R3

(x, y, z) (x, 0, z)Proyección en el espacio R3 sobre elplano XZ


Núcleo e imagen

NÚCLEO

Sea f : V −→W, lineal

Ker(f) ={~v ∈ V | f(~v) = ~0W

}Nota: Como mínimo, Ker(f) estará compuesto por ~0V

Ejemplo: Calcula el núcleo de las siguientes aplicaciones lineales:

f : R3 −→ R2(x, y, z) (x+ y + 2z, 3x+ 3y + 6z)

f : R2 −→ R2

(x, y) (2x− 3y,−x− y)


Núcleo e imagen

IMAGEN

Sea f : V −→W una aplicación lineal, y S un subespacio de V . La imagen de S(Im(S)) será un subespacio de W formado por las imágenes de todos loselementos de S

Propiedades:

dim(Im(S)) ≤ dim(S)Nota: Lógicamente, tambíén se cumplirá que dim(S) ≤ dim(V ) y quedim(Im(S)) ≤ dim(W )

Los subespacios de Rn son rectas, planos, etc. Bajo una aplicación lineal, unarecta no puede transformarse en un plano. En cambio, un plano podrátransformarse en otro plano, en una recta o en un punto ({~0})

La imagen de un sistema generador de S es un sistema generador de Im(S)Nota: Esta es la propiedad que usaremos en la práctica para calcular la imagen de unaaplicación

La imagen de un conjunto L.D. es otro conjunto L.D. La imagen de un conjuntoL.I. no tiene porqué ser L.I. (por ejemplo, no está asegurado que la imagen deuna base de S sea base de Im(f))Nota: Esto sólo ocurrirá para aplicaciones inyectivas


Núcleo e imagen

TEOREMA

Sea f : V −→W una aplicación lineal. Las dimensiones del núcleoy la imagen se relacionan de acuerdo con la siguiente fórmula:

dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(V )

Ejemplo: Calcula la imagen de las siguientes aplicaciones lineales ycomprueba que se cumple la relación de dimensiones entre núcleo eimagen:

f : R3 −→ R2(x, y, z) (x+ y + 2z, 3x+ 3y + 6z)

f : R2 −→ R2

(x, y) (2x− 3y,−x− y)


Clasificación de aplicaciones

Una aplicación lineal f : V −→W puede ser:

Inyectiva⇔ no hay doselementos de V

(antecedentes) que tenganimágenes iguales en W

dim(Ker(f)) = 0

Suprayectiva (osobreyectiva)⇔ todos los

elementos de W tienenantecedente

dim(Im(f)) = dim(W )

Biyectiva⇔ a cadaelemento de V le

corresponde uno de W , yviceversa

inyectiva + suprayectiva

Nota: Si f : V −→W es biyectiva, existe su inversa f−1 : W −→ V que deshace lo hechopor f


Clasificación de aplicaciones

Ejemplos: Clasifica las siguientes aplicaciones lineales comoinyectivas/suprayectivas/biyectivas:

La aplicación del conjunto de la población española mayor de edad enel conjunto de los números naturales, que asigna a cada ciudadano sunúmero de DNI

f : R −→ R+x x2

f : R3 −→ R2

(x, y, z) (x+ y + 2z, 3x+ 3y + 6z)

f : R2 −→ R2

(x, y) (2x− 3y,−x− y)

f : R3 −→ R2

f : R2 −→ R4


Matriz asociada a una aplicación lineal

MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN

Toda aplicación lineal se puede identificar con una matriz, y toda matrizrepresenta una aplicación lineal. Dada f : V −→W lineal, se llama matrizasociada a f (en bases canónicas) a la matriz A que contiene en suscolumnas las imágenes de la base canónica de V

Propiedades:

1 La matriz de f : Rn −→ Rm es de tamaño m× n2 rg(f) = dim(Im(f)) = rg(A)3 A puede utilizarse para calcular la imagen de cualquier vector del

(sub)espacio inicialPor ejemplo, si multiplicamos A por el vector ~v ∈ Rn (en columna), obtendremos elvector f(~v) ∈ Rm (también en columna). Es decir, A~v = f(~v)

Ejemplo: Calcula la matriz asociada de la siguiente aplicación y utilízala para hallar el rangode f y la imagen del vector (2, 3)

f : R2 −→ R3

(x, y) (x+ y, x− y, 0)



ECUACIÓN DE UNA APLICACIÓN

Sea f : Rn −→ Rm, con matriz asociada A =( a1,1 ··· a1,n

.... . .

...am,1 ··· am,n

).

Denotemos por (x1, ..., xn) un vector del conjunto inicial Rn y por(y1, ..., ym) su imagen en Rm. Entonces,( a1,1 ··· a1,n

.... . .

...am,1 ··· am,n

)(x1...

xn

)=(

y1

...ym

),

que también se puede escribir como un sistema de ecuaciones:

y1 = a1,1 · x1 + · · ·+ a1,n · xn...

ym = am,1 · x1 + · · ·+ am,n · xn

Ejemplo: ¿Cuál será la ecuación de la aplicación f : R3 −→ R2 cuyamatriz asociada es A = ( 2 3 10 1 1 )?



CÁLCULO DEL NÚCLEO Y LA IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL MEDIANTE SUMATRIZ ASOCIADA

Núcleo:Los vectores del núcleo son los ~v ∈ V | A~v = ~0W . Por tanto, basta conplantear el siguiente sistema:

A

(x1...

xn

)=(

0...0

)=⇒

si es compatible determinado⇒Ker(f) ={~0}

si es compatible indeterminado⇒Ker(f) seexpresará en forma paramétrica

Imagen:Im(f) es el espacio generado por las columnas de A. Dichas columnas notienen porqué formar una base de Im(f). Para obtener dicha base habrá que suprimir lascolumnas que sean L.D. (por ejem. escalonando la matriz y quedándonos con las columnaspivotales)

Ejemplo: Calcula una base del núcleo y otra de la imagen de la aplicación lineal definida por

la matriz A =(

1 0 −10 2 22 1 −1

)G320: Álgebra Aplicaciones lineales 12/16


La matriz asociada con la que hemos trabajado hasta ahora es la matriz llamadaestándar o en bases canónicas (si no se afirma lo contrario, se tratará siempre dela matriz estándar). Sin embargo, si fijamos en los espacios inicial y final otrasbases distintas de las canónicas, habrá que encontrar una nueva matriz adecuada aestas bases

MATRIZ DE UNA APLICACIÓN EN BASES CUALESQUIERA

Sea f : Rn −→ Rm una aplicación lineal, B una base cualquiera de Rn yB′ una base cualquiera de Rm. Entonces, se define la matriz de f en basesB y B′ como la matriz M que contiene en sus columnas las imágenes delos vectores de B, expresadas en coordenadas respecto de B′

Ejemplo: Sea la aplicación lineal

f : R2 −→ R3(x, y) (x+ y, x− y, 0)

B = {(1, 1), (1,−1)} una base de R2 y B′ = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} unabase de R3. Calcula M , la matriz asociada de f en las bases B y B′



Propiedades de M :Al igual que para la matriz estándar (A)

1 La matriz de f : Rn −→ Rm en bases cualesquiera (M ) es detamaño m× n

2 rg(f) = dim(Im(f)) = rg(M)

3 M

(x1...

xn

)=(

y1

...ym

),

siendo

( x1...

xn

)las coordenadas de ~x ∈ Rn en la base B y

( y1...

ym

)las coordenadas de

su imagen f(~x) en la base B′


f : R2 −→ R3(x, y) (x+ y, x− y, 0)

halla la imagen del vector (5, 3) y comprueba que se cumple la última propiedad,considerando la matriz M que ya has calculado



RELACIÓN ENTRE LA MATRIZ ESTÁNDAR Y LA MATRIZ EN BASES CUALESQUIERA

Sea f : V −→W una aplicación lineal con matriz asociada A en bases canónicas.Sea B una base cualquiera de V , y B′ una base cualquiera de W . Sean además:

P : matriz de cambio de base de B a la b. canónica, en V (y por tanto, P−1 la matriz depaso de la b. canónica a B)

Q: matriz de cambio de base de B′ a la b. canónica, en W (y por tanto, Q−1 la matrizde paso de la b. canónica a B′)

Vf // W

b. canónica

P −1

��

A // b. canónica

Q−1

��base B

P

OO

M // base B′

Q

OO

Entonces⇒M = Q−1AP o A = QMP−1

Nota: Dos matrices son equivalentes si representan la misma aplicación en distintas bases(por ejemplo A y M )



También es posible cambiar de base sólo en el espacio inicial, o sólo en elfinal.

Vf // W

b. canónica

P −1

��

A // b. canónica

base B

P

OOM

55

En este caso, M = AP

Vf // W

b. canónica

M ))

A // b. canónica

Q−1

��base B′

Q

OO

En este caso, M = Q−1A


f : R2 −→ R3

(x, y) (x+ y+, x− y, 0)

para la cual ya hayamos su matriz en bases canónicas A =(

1 11 −10 0

)y la matriz

M =(

1 11 −1−1 1

)en bases B = {(1, 1), (1,−1)} y B′ = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

Halla las matrices P y Q, y comprueba que se cumple la relación M = Q−1AP


IntroducciónNúcleo e imagenClasificación de aplicacionesMatriz asociada a una aplicación lineal

Álgebra. tema 5. aplicaciones lineales · sea f: v −→w una aplicación lineal, y sun...

Documents