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Ley de GaussClase 5 03/Enero/2015
Ley de Gauss
Este ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de
distribuciones simétricas de la carga, tales como una corteza esférica o
una línea infinita.
Además se entiende por superficie cerrada aquella que divide el espacio
en dos regiones diferentes, la interior y la exterior a dicha superficie como
se denota a continuación.
Ley de Gauss
Dipolo eléctrico encerrado en
una superficie de forma
arbitraria. El numero de líneas
que abandonan la superficie es
exactamente igual al número
de líneas que entran en ella sin
que importe donde se dibuje la
superficie, siempre que se
encierren dentro de ella ambas
cargas del dipolo.
Ley de Gauss
Para superficies que encierran
otras distribuciones de carga,
como el que se muestra en la
figura, el numero neto de líneas
que sale por cualquier
superficie que encierra las
cargas es proporcional a la
carga encerrada dentro de
dicha superficie. Este es un
enunciado cualitativo de la ley
de Gauss.
Ley de Gauss
Nota. Para contar el numero neto de líneas que salen de la superficie,
cuéntese cualquier línea que cruce desde el interior como +1 y cualquier
penetración desde el exterior como -1. Así pues para la superficie indicada
el balance total de las líneas que cruzan al superficie es cero.
Flujo eléctrico
Las unidades del flujo son 𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶 . Como el campo eléctrico es
proporcional al número de líneas por unidad de área, el flujo eléctrico es
proporcional a número de líneas de campo que atraviesan el área.
Líneas de campo correspondientes
a un campo eléctrico uniforme
que E que atraviesa un área A
perpendicular al campo. El
producto EA es el flujo 𝜙 a través
del área.
EA A
E
Flujo eléctrico
Líneas de campo correspondientes a un campo eléctrico uniforme
perpendicular al área 𝐴1 , pero que forma un ángulo 𝜃 con el
vector unitario 𝑛 normal al área 𝐴2 . Cuando E no es perpendicular
al área es 𝐸𝑛𝐴 , siendo 𝐸𝑛 = 𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 la componente de E
perpendicular al área. El flujo que atraviesa 𝐴2 es el mismo que
pasa por 𝐴1
n
E1A
2A2 1cosA A
La superficie del área 𝐴2 no es perpendicular al campo
eléctrico E. Sin embargo, el numero de líneas que
atraviesan el área 𝐴2 es el mismo que atraviesa el área
𝐴1 , que es perpendicular a E. Las áreas están
relacionadas por : 𝐴2𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐴1
Flujo eléctrico
En donde 𝜃 es el ángulo existente entre E y el vector unitario 𝑛perpendicular a la superficie 𝐴2. Por lo tanto el flujo de una superficie viene
definido por :
En donde 𝐸𝑛 = 𝐸 ∙ 𝑛 es la componente de E perpendicular, o normal, a la
superficie.
cos nE nA EA E A
Flujo eléctrico
La figura siguiente muestra una superficie de forma arbitraria sobre el cual el campo E
puede variar.
iA
in
ESi el área ∆𝐴𝑖 del elemento de área que
elegimos es suficientemente pequeño
podemos considerarle como un plano y la
variación del campo eléctrico a través del
elemento puede despreciarse. Por lo tanto el
flujo eléctrico a través de ese elemento es:
0lim
Definición de flujo electrico
i
ii iA
i S
E n A E ndA
Enunciado cuantitativo de la Ley de
Gauss La siguiente figura muestra una superficie esférica de radio 𝑅 con su centro en la carga
puntual 𝑄. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie perpendicular a la
superficie se denota de la siguiente manera:
2n
kQE
R
Una superficie esférica puntual que
incluye la carga puntual 𝑄 . (a) El
mismo numero de líneas de campo
eléctrico que pasa a través de esta
superficie que incluya 𝑄. (b) El flujo se
calcula fácilmente para una superficie
esférica. Es igual al producto de 𝐸𝑛 por
el área superficial, es decir 𝐸𝑛4𝜋𝑅2
Enunciado cuantitativo de la Ley de
Gauss
Por lo tanto el flujo neto de E a través de esta superficie esférica es:
𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸𝑛 𝑑𝐴 = 𝐸𝑛 𝑆 𝑑𝐴
En donde 𝐸𝑛 puede salir de la integral por ser constante en todos los
puntos. La integral de 𝑑𝐴 extendida a toda la superficie es precisamente el
área total, igual a 4𝜋𝑅2. Con este valor y sustituyendo 𝑘𝑄/𝑅2 por 𝐸𝑛 se
obtiene:
𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸𝑛𝑑𝐴 = 4𝜋𝑘𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
Enunciado cuantitativo de la Ley de
Gauss
Por lo tanto el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a 4𝜋𝑘veces la carga neta dentro de la superficie.:
𝜙𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑆 𝐸𝑛𝑑𝐴 = 4𝜋𝑘𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
Esta propiedad del campo eléctrico es la que ha hecho posible dibujar un
numero fijo de líneas de fuerza desde una carga y conseguir que la
densidad de líneas se a proporcional a la intensidad del campo.
Enunciado cuantitativo de la Ley de
Gauss
Es costumbre escribir la constante de Coulomb 𝑘 en función de otra
constante 𝜖0, denominada permitividad del espacio libre (permitividad del
vacío):
Por lo tanto el valor de 𝜀0 en unidades del SI es
0
1
4k
12 2 2
0 9 2 2
1 18.85 10 /
4 4 8.99 10 /C N m
K N m C
Por lo tanto al ley de Gauss es válida para todas las superficies y
distribuciones de carga. Puede utilizarse para calcular el campo eléctrico
en algunas distribuciones espaciales de carga con altos grados de
simetría. En los campos eléctricos que resultan de distribuciones de carga
estática, la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Sin
embargo la ley de Gauss es mas general, pues también puede aplicarse a
distribuciones de carga no estáticas.
Por lo tanto utilizaremos que
𝜙𝐸 = 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
Problemas
Problema 1
Cuando se mide el campo eléctrico en cualquier parte sobre la superficie
de un cascarón esférico delgado con 0.750 m de radio, se ve que es igual
a 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera? a) ¿Cuál es
la carga neta dentro de la superficie de la esfera? b) ¿Qué puede concluir
acerca de la naturaleza y distribución de la carga dentro del cascarón
esférico?
Problemas
Solución inciso a
De acuerdo a la siguiente figura tenemos que:
rE
rE
rE
rE
rE
rE
rE
rE rE
r Datos𝐸𝑟 = 890𝑁/𝐶𝑟 = 0.750 𝑚
Problemas
Por la ley de Gauss tenemos:
𝜙𝐸 = 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠 180° =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0⇒
⟹ −𝐸𝑟 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
⟹ − 890 4𝜋 0.750 2 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
8.85×10−12
∴ 𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎 = −55.7 × 10−9 = −55.7𝑛𝐶
Problemas
Solución Inciso b
Que la carga neta que actúa dentro de la superficie de la esfera esta
cargada negativamente.
Problemas
Problema 2
Cuatro superficies cerradas, 𝑆1 𝑎 𝑆4, junto con las cargas −2𝑄, 𝑄 𝑦 − 𝑄 se
dibujan en la siguiente figura. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada
superficie.
Problemas
Solución
Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?
𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆1 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
por la ley de Gauss
∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆1 =−2𝑄+𝑄
𝜀0=
−𝑄
𝜀0
Problemas
Solución
Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?
𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆2 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
por la ley de Gauss
∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆2 =+𝑄−𝑄
𝜀0= 0
Problemas
Solución
Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?
𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆3 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
por la ley de Gauss
∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆3 =−2𝑄+𝑄−𝑄
𝜀0=
−2𝑄
𝜀0
Problemas
Solución
Nos piden: 𝜙𝐸 a través de cada superficie = ?
𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆4 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑛𝑒𝑡𝑎
𝜀0
por la ley de Gauss
∴ 𝜙𝐸 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑆4 =0
𝜀0= 0
Problemas
Problema 3
Consideremos un campo eléctrico uniforme 𝐸 = 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖. (a) ¿Cuál es el
flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo
plano es paralelo al plano 𝑦𝑧? (b) ¿Cual es el flujo que atraviesa el mismo
cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30° con el eje 𝑥?
Problemas
Solución inciso a
La definición del campo eléctrico es 𝜙 = 𝑆 𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴. Nosotros podemos
aplicar esta definición para encontrar el flujo eléctrico.
Por lo tanto aplicando esta definición tenemos que:
𝜙 = 𝑆 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖 ∙ 𝑖𝑑𝐴 = 2𝑘𝑁/𝐶 𝑆 𝑑𝐴
𝜙 = 2𝑘𝑁/𝐶 0.1𝑚 2 = 20𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧
𝐿 = 10𝑐𝑚𝑥
𝑦
𝑧
Problemas
Solución inciso b
Procedemos de la misma forma que el inciso a, tenemos que:
𝑖 ∙ 𝑛 = 𝑐𝑜𝑠30°
𝜙 = 𝑆 2𝑘𝑁/𝐶 𝑖 ∙ 𝑛𝑑𝐴 =2𝑘𝑁
𝐶𝑐𝑜𝑠30°𝑑𝐴
𝜙 = 2𝑘𝑁/𝐶 0.1𝑚 2𝑐𝑜𝑠30° = 17.3𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧
𝐿 = 10𝑐𝑚𝑥
𝑦
𝑧