Presentacin de PowerPoint

UNIVERSIDAD PEDAGGICA Y TECNOLGICA DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERAESCUELA DE INGENIERA DE SISTEMAS Y COMPUTACIN

Mtodos NumricosTema: Cuadratura de GaussPresentado por: Julian David Grijalba Bernal Vctor Felipe Fonseca Moyano

09/06/2015Unidad 6.2Cuadratura de Gauss

El mtodo de cuadratura de Gauss es un excelente mtodo numrico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fciles de implementar.

La parte (a) de la figura muestra cmo se integrara usando un trapezoide:uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un segmentode recta P1(x). Esto forma un trapezoide de altura h = (b - a), cuya rea es:y que podra escribirse como:

El rea del trapezoide calculada T, aproxima el rea bajo la curva f(x)

3

Se traza una lnea recta por estos dos puntos, se extiende hasta los extremos del intervalo y se forma el trapezoide sombreado. Parte del trapezoide queda por encima de la curva y parte por abajo. Si se escogen adecuadamente los puntos C y D, cabe igualar las dos zonas de modo que el rea del trapezoide sea igual al rea bajo la curva; el clculo del rea del trapezoide resultante da la integral exacta. El mtodo de Gauss consiste esencialmente en seleccionar los puntos C y D adecuados.-

El problema planteado de esta manera, consiste en encontrar los valores de z1, z2, w1 y w2

Entonces hay cuatro parmetros por determinar y, por tanto, cuatro condiciones que se pueden imponer. stas se eligen de manera que el mtodo d resultados exactos cuando la funcin por integrar sea alguna de las cuatro siguientes o combinaciones lineales de ellas.

Suponiendo que la ecuacin funciona exactamente, se tendra el siguiente sistema de ecuaciones

Teniendo en cuenta

8

Ahora no es mas, que evaluar la funcin en los puntos determinados Para integrar en un intervalo distinto de [-1,1] se requiere un cambio de variable a fin de pasar del intervalo de integracin general [a,b]a [-1,1].

Mas de dos puntosUna cuestin importante es que el mtodo de Gauss puede extenderse a tres o ms puntos por ejemplo, si se escogen tres puntos no equidistantes en el segmento de la curva comprendida entre [- 1, 1], se podra pasar una parbola por los tres como en la regla de Simpson, excepto en que dichos puntos se escogeran de modo que minimicen o anulen el error. Similarmente es factible elegir cuatro puntos una curva cuadrtica, cinco puntos y una curva cbica, etc. En general, el algoritmo tiene la forma.

11Los coeficientes y abscisas dadas en la tabla sirven para integrar sobre todo el intervalo de inters, o bien puede dividirse el intervalo en varios subintervalos (como en los mtodos compuestos de integracin) aplicar el mtodo de Gauss a cada uno de ellos.

12Ejemplo

Gracias.