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1. Definición de probabilidad
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota
bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado
intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar
dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin,
introduciremos algunas definiciones:
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Al lanzar una moneda salga cara.
Al lanzar una moneda se obtenga 4.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo
representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
2
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3,
y otro, sacar 5.
Ejemplo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.
Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
B = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}.
A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
2. Tipos de sucesos
Suceso elemental
Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.
Suceso compuesto
Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.
Suceso seguro
Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el
espacio muestral).
3
Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.
Suceso imposible
Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.
Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.
Sucesos compatibles
Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son
compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.
Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son
incompatibles.
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se
ve afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve
afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.
Suceso contrario
El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota
por .
Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
3. Espacio de sucesos
Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.
4
Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:
S= { , {C}, {X}, {C,X}}.
Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso
seguro.
Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es
2n
.
Una moneda E= {C, X}.
Número de sucesos = 22
=4
Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.
Número de sucesos = 24
=16
Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de sucesos = 26
= 64
4. Unión de sucesos
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A B se lee como "A o B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {2, 3, 4, 6}
5
Propiedades de la unión de sucesos
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
Elemento neutro
Absorción
5. Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que
son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
6
A B se lee como "A y B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A B = {3}
Propiedades de la intersección de sucesos
Conmutativa
Asociativa
Idempotente
Simplificación
Distributiva
7
Elemento neutro
Absorción
6. Diferencia de sucesos
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A
que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B =
"sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
Propiedad
7. Sucesos contrarios
El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.
8
Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par".
Calcular .
A = {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}
Propiedades
Leyes de Morgan
8. Propiedades de la probabilidad
9
Axiomas de la probabilidad
1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ p(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
p(E) = 1
3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:
p(A B) = p(A) + p(B)
Propiedades de la probabilidad
1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la
probabilidad del suceso contrario es:
2 Probabilidad del suceso imposible es cero.
3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades
restándole la probabilidad de su intersección.
4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.
5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:
6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:
P(par) = P(1) + P(2) + P(3)
10
9. Regla de Laplace
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos
igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de
que ocurra el suceso A es:
Ejemplos
Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).
Casos posibles: 40.
Casos favorables de ases: 4.
Casos favorables de copas: 10.
Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Casos favorables: {2, 4, 6}.
11
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
2 Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
3 Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
10. Combinatoria y probabilidad
La combinatoria nos puede ser muy útil para calcular los sucesos posibles y
favorables, al aplicar la regla de Laplace. Especialmente si hay un gran número de
sucesos.
Ejemplos
1 Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro
veces.
Casos posibles:
Tenemos dos elementos, cara y cruz, y los tomamos de cuatro en cuatro, importando el
orden.
Casos favorables:
Tenemos 4 monedas y las tomamos de 2 en 2, sin importar el orden.
12
2 Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos
personas fijadas de antemano se sienten juntas?
Casos posibles:
Casos favorables:
Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona habrá 9!;
pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derecha, por
tanto se tiene 2 · 9!.
3Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:
4 ases.
4 ases y un rey.
3 cincos y 2 sotas.
Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
13
3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
Hay cuatro formas de elegir el primer palo y tres formas de elegir al segundo palo.
Al menos un as.
11. Probabilidad de la unión de sucesos
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A B =
p(A B) = p(A) + p(B)
Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A B ≠
p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)
p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A C) − p(B C) + p(A B
C)
Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.
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12. Probabilidad condicionada
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.
Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la
probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.
Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes si
p(B/A) = p(B)
Sucesos dependientes
Dos sucesos A y B son dependientes si
p(B/A) ≠ p(B)
13. Probabilidad compuesta o de la intersección de
sucesos
robabilidad de la intersección de sucesos independientes
p(A B) = p(A) · p(B)
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la
probabilidad de extraer dos ases?
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Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
p(A B) = p(A) · p(B/A)
Ejemplo
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de
extraer dos ases?
Probabilidad de la diferencia de sucesos
14. Tablas de contingencia
Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas
de contingencia.
Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos
determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.
Ejemplo
Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles.
De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
1¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
2Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una
mujer?
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15. Diagramas de árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada
una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas
ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un
posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha
de dar 1.
Ejemplos
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar
la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
17
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
1 Seleccionar tres niñas.
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan:
Tres caras.
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Experimentos compuestos
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios
simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si
realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos
realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol
para hacerse una idea global de todos ellos.
16. Teorema de la probabilidad total
Si A 1, A 2 ,... , A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
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p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejemplo
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales
a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la
tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de
que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
17. Teorema de Bayes
Si A 1, A 2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
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Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.
Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas.
El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas
también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa
un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al
azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1.
La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la
probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no
haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
21
Ejercicios y problemas de probabilidad
1Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hallar:
1
2
3
4
5
6
7
2Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hallar:
22
1
2
3
4
3Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra
verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
1La primera bola no se devuelve
4Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de
que:
1Sea roja.
2Sea verde.
3Sea amarilla.
4No sea roja.
5No sea amarilla.
5Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:
1Extraer las dos bolas con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.
6Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál
es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no
sea blanca?
7En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.
Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.
23
8Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras
son proporcionales a los números de estas. Hallar:
1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
9Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
10Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
1Salga 6 en todos.
2Los puntos obtenidos sumen 7.
11Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un
número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
12Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1Un número par.
2Un múltiplo de tres.
3Mayor que cuatro.
13Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
1Dos caras.
2Dos cruces.
3Dos caras y una cruz.
14En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son
blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un
coche:
1Si se saca una papeleta.
2Si se extraen dos papeletas.
24
3Si se extraen tres papeletas.
15Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender
un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10.
Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el
examen.
16Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5
disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a
una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
17Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de
las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona
elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
18La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20
años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
1De que ambos vivan 20 años.
2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
3De que ambos mueran antes de los 20 años.
Soluciones
1
Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hallar:
1
2
25
3
4
5
6
7
2
Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hallar:
1
2
26
3
4
3
Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde
y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
1La primera bola no se devuelve
E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}
4
Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que:
1Sea roja.
2Sea verde.
27
3Sea amarilla.
4No sea roja.
5No sea amarilla.
5
Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir
el espacio muestral y hallar la probabilidad de:
1Extraer las dos bolas con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.
6
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es
la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
blanca?
28
7
En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos.
Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.
8
Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son
proporcionales a los números de estas. Hallar:
1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
29
9
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
10
Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
1Salga 6 en todos.
2Los puntos obtenidos sumen 7.
30
11
Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número
de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
12
Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1Un número par.
2Un múltiplo de tres.
3Mayor que cuatro.
13
Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
1Dos caras.
31
2Dos cruces.
3Dos caras y una cruz.
14
En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas.
Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:
1Si se saca una papeleta.
2Si se extraen dos papeletas.
3Si se extraen tres papeletas.
32
15
Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un
examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10.
Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el
examen.
16
Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y
el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma
pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
17
Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las
mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida
al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
18
La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años
es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
1De que ambos vivan 20 años.
2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
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3De que ambos mueran antes de los 20 años.
1Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4.
Determinar:
1
2
3
4
5
2Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B) = 1/5.
Determinar:
1
2
3
4
5
6
3En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera
inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el
resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés
34
son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
chica?
4De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la
probabilidad de que:
1 Las dos sean copas.
2Al menos una sea copas.
3Una sea copa y la otra espada.
5Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a
la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el
alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de
que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
6Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de
los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio
francés?
2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
7Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con
problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y
por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con
problemas de chapa.
1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana.
8Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar
la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar por lo menos un niño.
4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
35
9Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la
otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona
una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
10Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por
dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:
1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al
fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no
juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
1 Juegue sólo al fútbol.
2Juegue sólo al baloncesto.
3Practique uno solo de los deportes.
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos
castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos
castaños?
2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
13En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son
varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:
1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea
hombre?
14Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna
B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número
menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B.
A continuación extraemos una bola. Se pide:
1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
36
2Probabilidad de que la bola sea blanca.
15Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual
consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de
que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
16En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro
al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al
azar.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro
seleccionado por A sea de poesía?
17Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el
número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de
encontrarnos:
1 Con una persona sin gafas.
2Con una mujer con gafas.
18En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con
siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del
trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:
1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al
primer llavero A?
1
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4.
Determinar:
1
37
2
3
4
5
2
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B) = 1/5.
Determinar:
1
2
38
3
4
5
6
3
En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés
o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto
francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son
chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
39
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
4
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la
probabilidad de que:
1 Las dos sean copas.
2Al menos una sea copas.
3Una sea copa y la otra espada.
5
Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la
materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el
alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de
que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
40
6
Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de
los chicos han elegido francés como asignatura optativa.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio
francés?
2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada
7
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con
problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y
por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con
problemas de chapa.
1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
41
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana.
8
Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar
la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
42
3Seleccionar por lo menos un niño.
4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
9
Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra
está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una
moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
10
Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos
del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:
43
1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11
En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al
fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además a y un 60% que no
juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
1 Juegue sólo al fútbol.
44
2Juegue sólo al baloncesto.
3Practique uno solo de los deportes.
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12
En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos
castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos
castaños?
2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
45
13
En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son
varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:
1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea
hombre?
14
Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B
contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor
que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A
continuación extraemos una bola. Se pide:
1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
46
2Probabilidad de que la bola sea blanca.
15
Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue
despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza
el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
47
16
En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al
azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro
seleccionado por A sea de poesía?
17
Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el
número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de
encontrarnos:
1 Con una persona sin gafas.
48
2Con una mujer con gafas.
18
En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete
y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se
escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:
1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
49
2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al
primer llavero A?
50
Distribuciones discretas de probabilidad
1. Variable aleatoria
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio
muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las
respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.
Ejemplos
El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.
Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores
posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos
La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.
2. Distribuciones discretas de probabilidad
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación
que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1
Ejemplo
Calcular la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un
dado.
x p i
51
1
2
3
4
5
6
1
Representación
La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de
barras.
52
3. Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a
mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la
función
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la
probabilidad acumulada hasta ese valor.
Ejemplo
Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al
lanzar un dado.
x p i
x <1 0
1≤ x < 2
2≤ x < 3
3≤ x < 4
4≤ x < 5
5≤ x < 6
6≤ x 1
Representación
La representación de un función de distribución de probabilidad es una gráfica
escalonada.
53
4. Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Esperanza matemática o media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo
Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la
distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
x p i x· p i x 2
·pi
1
2
3
54
4
5
6
1 6
Ejercicios de distribuciones discretas
1Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las
puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la
varianza.
2Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de
euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros
como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática
del juego.
3Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un
segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio
justo a pagar por la papeleta?
4Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
55
5 0,1
1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.
2. Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X ≥ 3)
p (3 ≤ X < 4.5)
1
Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las
puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la
varianza.
x p i x · p i x 2
· pi
2 1/36 2/36 4/36
3 2/36 6/36 18/36
4 3/36 12/36 48/36
5 4 /36 20/3 6 100/36
6 5/36 30/36 180/36
7 6/36 42/36 294/36
8 5/36 40/36 320/36
9 4 /36 36/36 324/36
56
10 3/36 30/36 300/36
11 2/36 22/36 242/36
12 1/36 12/36 144/36
7 54.83
2
Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros
como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como
marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del
juego.
x p i x· p i
+100
100/6
+ 200
200/6
+ 300
300/6
- 400
-400/6
+ 500
500/6
-600
- 600/6
100/6
µ =16.667
57
3
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un
segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio
justo a pagar por la papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
4
Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.
2. Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6
58
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5
59
Distribución Binomial
1. Distribución binomial o de Bernoulli
Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito)
y su contrario .
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a
otra. Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
Variable aleatoria binomial
La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada
prueba del experimento.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores
0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Ejemplo
k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.
Distribución binomial
La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.
2. Función de probabilidad de la distribución binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada
función de la distribución de Bernoulli, es:
60
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio
Ejemplo
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de
los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
2.¿Y cómo máximo 2?
3. Media y varianza de la distribución binomial
61
Media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p 0.002.
Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número
esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
1Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras
que cruces.
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30
años, vivan:
1. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
62
4La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se
anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y
la desviación típica.
1
Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que
cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
2
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30
años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
63
3
Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
4
La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál
es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
5
En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se
anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y
la desviación típica.
B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3
64
65
Distribución Normal
1. Distribución normal
Variable aleatoria de la distribución normal
Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y
desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la
curva de Gauss:
Curva de la distribución normal
El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
Es simétrica respecto a la media µ.
Tiene un máximo en la media µ.
Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la
izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
66
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
2. Distribución normal estándar
N(0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por
media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
Su función de densidad es:
Su gráfica es:
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la
figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una
distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).
3. Empleo de la tabla de la distribución normal
Tabla de la curva normal (0, 1)
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).
67
Φ(k) = P(z ≤ k)
Búsqueda en la tabla de valor de k
Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
Céntesimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)
P(Z ≤ 1.47) = 0.9292
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708
68
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
p(Z > 1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P( 0.45 <Z ≤ 1.47) = P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) =
= 0.9292 − 0.6736 = 0.2556
P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
P(−1.47 <Z ≤ − 0.45) = P( 0.45 <Z ≤ 1.47) =
= P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]
P(-1.47 < Z ≤ 0.45) = P(Z ≤ 0.45) − [ 1 − P(Z ≤ 1.47)]=
69
= 0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028
p = K
Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la
probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la
tabla el valor que más se aproxime a K.
p= 0.75Z ≤0.68
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
(X - μ)/σ = 0.68X = μ + 0.68 σ
4. Distribución normal y binomial
Aproximación de la binomial por la normal
Teorema de Moivre
Si:
n·p ≥ 0 y n·q ≥ 0.
La distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución
normal:
Ejemplo
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias,
calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tipos se han teléfono.
70