lecture 11 precodificación y ecualización

2S 2009 - I. Zamora Uni III-Conf11: Precodificación y Ecualización1

Comunicaciones II

Conferencia 11: Precodificación y EcualizaciónUNIDAD III: TRANSMISIÓN DIGITAL DE SEÑALES BANDA BASE

Instructor: Israel M. Zamora, P.E., MS Telecommunications ManagementProfesor Titular, Departamento de Sistemas Digitales y Telecomunicaciones.

Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería


Outline

• Precodificación– Codificación diferencial – Aleatorización– Sustitución de secuencias de 0’s

• Ecualización– Zero Forcing Equalizer


Aspectos adicionales de la precodificación

• En la conferencia 9 hablamos de una de las funciones relevantes de la precodificación relativa al acotamiento de los niveles para los impulsos de señalización.

• La precodificación es un procesamiento que se realiza sobre los datos, previo a la codificación de línea (señalización) propiamente tal.

• Los objetivos buscados mediante la precodificación pueden ser variados, como se verá a continuación:– la codificación diferencial tiene por objeto evitar ambigüedades en la recepción de

señalización polar.

– La aleatorización de tiene por objetivo introducir un número mayor de transiciones para facilitar la sincronización.

– La sustitución de secuencias de 0’s binarias tiene el mismo objetivo.– La extensión del código en comunicaciones ópticas también es una forma de sutitución.

– La precodificación en el código duobinario tiene por objetivo evitar la propagación de errores.


Codificación diferencial

• Cuando se Tx datos por líneas de comunicaciones muy largas es fácil que se invierta la polaridad de los datos Tx, ya sea porque se invierten los alambres, o por múltiples regeneraciones y/o procesamientos de la información (MUX/DEMUX) a lo largo del trayecto.

• Esto no afecta la señalización bipolar (de 3 estados), como es el caso de la duobinaria o la AMI.

• Sin embargo sí afecta a los datos que se envían en forma polar. En este caso es conveniente introducir una precodificación, cuyo objetivo es el de evitar esa ambivalencia.


Codificación diferencial

• Con codificación diferencial, los datos de entrada dk no se Tx directamente. En cambio se Tx los datos ek = dk ⊕ ek-1, donde ⊕ es un sumador de módulo 2 (compuerta OR-exclusivo).

• En el diagrama de bloque de Tx, el precodificador se ubica de la siguiente forma:

Retardo T(Z-1)

Codificador de Línea

kd

⊕

1−⊕= kkk ede

FormateoCodificación

Fuente

PRECODIFICADOR DIFERENCIAL


Codificación diferencial: Esquema Tx-Rx

Retardo TS

(Z-1)


kd

⊕

1−⊕= kkk ede

FormateoCodificador

Fuente

PRECODIFICADOR DIFERENCIALRepetidor/Regene

-rador

Retardo TS

(Z-1)


ke

⊕

1ˆˆˆ−⊕= kkk eed

FormateoDecodificador

Fuente

DECODIFICADOR DIFERENCIAL


Codificación de línea diferencial

• Se puede mostrar que esta codificación provee protección polaridad en la recepción mediante el siguiente ejemplo:

•Codificación

•Secuencia de entrada dk: 1 1 0 1 0 0 1

•Secuencia codificada ek=dk⊕ek-1: 1 0 1 1 0 0 0 1

•Decodificación con polaridad correcta en el canal

•Secuencia recibida : 1 0 1 1 0 0 0 1

•Secuencia decodificada : 1 1 0 1 0 0 1

•Decodificación con polaridad invertida

•Secuencia recibida : 0 1 0 0 1 1 1 0

•Secuencia decodificada : 1 1 0 1 0 0 1

ke

ke

Observe que la decodificación en ambos casoses correcta, aún en el caso que se invierta la polaridad.

Observe que la decodificación en ambos casoses correcta, aún en el caso que se invierta la polaridad.




( )t/TΠA(t)hcon T ⋅= )fT(csinAT)f(HT =

Código Polar NRZ-M • El código polar NRZ-M es un esquema en que se envía una Marca (nivel lógico “1”) transmitiendo un

símbolo de polaridad opuesta al previo

)()(2

τδτTd

RX =

( )∑∞

−∞=

−=k

kb kTtδb(t)x ∑∞

−∞=

−=

kk T

kTtΠbA)t(x

-T/2 T/2

hT(t)A

[ ])(sin)( 222 fTcTAdfSX =

(f )SH(f )S BTX

2=

1 11110 0

tiempo

1 11110 0

tiempo

Td

(f )SB

2

=


Código Polar NRZ-M

Componente CC: No tiene √

Contenido LF: Sí tiene X

Ancho de Banda: BW=fS ±

Sincronización: No tiene X

Transparencia: No tiene X

Detección de errores: No tiene X


Aleatorizadores de datos (Scrambling)

• En general, un aleatorizador (scrambler) tiende a hacer los datos mas aleatorios al remover largas cadenas de 1´s o 0´s. No garantizan transparencia, pero destruyen largas secuencias de 1’s y 0’s, que ocurren frecuentemente, por ejemplo, cuando el canal respectivo está ocioso.

• La aleatorización puede ser útil en la extracción de la información de temporización cuando se remueven las cadenas largas de 0´s de los datos binarios.

• Su uso es primariamente para prevenir el acceso no autorizado a los datos y son óptimos para tal propósito.

• Paradójicamente, la optimización puede en realidad resultar en la generación de largas cadenas de ceros en los datos. En tal caso, la red debe encargarse de estas largas cadenas de ceros usando técnicas de supresión de ceros que estudiaremos posteriormente.

• Básicamente son registros de desplazamientos realimentados y se pueden implementar en HW, lo que los hace muy rápidos.

• Al igual que en el codificador diferencial, en el Tx el registro de desplazamiento de largo n es retroalimentado.

• En cambio, en el Rx, el registro de desplazamiento de largo n es alimentado hacia adelante.


Aleatorizadores de datos (Scrambling)kd

⊕

53 −− ⊕⊕= kkkk eede

FormateoCodificador

Fuente

ALEATORIZADORRepetidor/Regene

-rador

ke

53ˆˆˆ−− ⊕⊕= kkkk eeed


Fuente

DESALEATORIZADOR


Decodificador de Línea

T T

⊕T TT

⊕T T

⊕T TT


Aleatorizadores de datos (Scrambling)S

⊕

53 −− ⊕⊕= TDTDST

FormateoCodificador

Fuente

ALEATORIZADORRepetidor/Regene

-rador

T

T)DD(S 531 −− ⊕⊕=


Fuente

DESALEATORIZADOR


Decodificador de Línea

T T

⊕T TT

⊕T T

⊕T TT


Aleatorizadores de datos (Scrambling)

⊕FormateoCodificador

FuenteCodificador

de Línea

T T

⊕T TT

• Sea S= 100000111101 una secuencia de entrada, con T siendo la salida.

FSSSDDST ⊕=⊕⊕= −− )( 53En la primera pasada. Iterativamente obtenemos:

SFFFSFSST )1( 22 ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕= con )( 53 −− ⊕= DDF

)()())(( 1061088653532 −−−−−−−−−− ⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕= DDDDDDDDDDF)())(( 1513119106533 −−−−−−−− ⊕⊕⊕=⊕⊕= DDDDDDDDF

)())(( 20121061064 −−−−−− ⊕=⊕⊕= DDDDDDF• Esto debe evaluarse hasta llegar al coeficiente que supere D-12 (largo de la secuencia)

SDDDDDDDDDDT ...)1( 2015131211109653 −−−−−−−−−− ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=• Lo que permite calcular la salida T en función de versiones retardadas de S.

S 53 −− ⊕⊕= TDTDST


Ejemplo: Aleatorizadores de datos (Scrambling)

• Para S= 100000111101… la secuencia de entrada de 12 bits, tendremos la secuencia de salida T de 12 bits, según se muestra:

SDDDDDDDT ...)1( 1211109653 −−−−−−− ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=

Secuencia de desplazamiento

S 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 …

SD-3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 …

SD-5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 …

SD-6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 …

SD-9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 …

SD-10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 …

SD-11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 …

SD-12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 …

T=ΣSD-n 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 …

La secuencia de salida a los 12 bits es, por tanto, T= 100000111101…


Sustitución de secuencias cero

• Tiene por objetivo introducir un número mayor de transiciones para facilitar la sincronización.

• BnZS: Binary n Zero Substitution

• BnZs es un esquema de señalización que aumenta las capacidades del código AMI (también llamado bipolar en algunos textos) reemplazando las secuencias de n 0’s binarios consecutivos por una secuencia preestablecida de símbolos que violan la regla AMI. De esta forma se incrementa la densidad de unos en el código transmitido.

• El código B3ZS es utilizado en los sistemas DS-3 de EE.UU.


Propiedades del esquema BnZS

• En el código bipolar B3ZS-NRZ-L, los 1 binarios se transmiten en forma alternada, y los 0’s se transmiten como nivel 0. Sin embargo, cuando ocurre una secuencia de 3 0’s sucesivos, se los reemplaza con una secuencia de 1’s y 0’s de acuerdo a la siguiente regla de codificación:

( )∑∞

−∞=

−=k

kb kTtδb(t)x

±

= binario 0un Tx se 0

binario 1un Tx se dbk

1 10001 1

tiempo

000 0

Número de 1´s desde el último reemplazo

Polaridad pulso previo

Impar Par

- 00- +0+

+ 00+ -0-


Contenido LF: No tiene √


Sincronización: Tiene √

Transparencia: Tiene √

Detección de errores: Se mantiene


Propiedades del esquema código bipolar HDB3-NRZ-L

• En el código bipolar HDB3 (B4ZS-NRZ-L), los 1’s binarios también se transmiten en forma alternada, mientras que los 0’s binarios se transmiten como nivel 0, excepto cuando ocurre una secuencia de 4 0’s sucesivos, en cuyo caso se los reemplaza según la siguiente regla:

( )∑∞

−∞=

−=k

kb kTtδb(t)x

±

= binario 0un Tx se 0

binario 1un Tx se dbk

Número de 1´s desde el último reemplazo

Polaridad pulso previo

Impar Par

- 000- +00+

+ 000+ -00-


Contenido LF: No tiene √


Sincronización: Tiene √

Transparencia: Tiene √

Detección de errores: Se mantiene

1 11110 0

tiempo


ECUALIZACIÓN

• Como hemos estudiado en conferencias anteriores, en muchos canales de comunicaciones (por ejemplo, los establecidos en las redes telefónicas y redes inalámbricas) pueden caracterizarse como filtros lineales de banda limitada con una respuesta al impulso dada por hc(t):

)()()( fjCC

cefHfH θ=

• Donde hc(t) y HC(f) son pares de transformadas de Fourier, con |HC(f)| la respuesta en magnitud del canal, y θc(f) es la respuesta en fase del canal. A efecto de lograr una característica de transmisión sin distorsión a lo largo del canal, es necesario que dentro del ancho de banda de la señal, |HC(f)| debe ser constante. También θc(f) debe ser una función lineal de la frecuencia, lo cual es decir que el retardo debe ser constante para todas y cada una de las componentes espectrales de la señal transmitida.

• Si HC(f)| no es constante dentro del ancho de banda de la señal, se tiene entonces distorsión en amplitud. Si θc(f) no es una función lineal de la frecuencia dentro del ancho de banda de transmisión de la señal, tenemos distorsión de fase.

• Cuando se transmite una secuencia de pulsos, tal distorsión se manifiesta en sí misma como una dispersión o “derrame” de modo que un pulso en la secuencia demodulada recibida no estará bien definido. Por ejemplo, el estudio que hemos hecho sobre ISI es una forma en que se manifiesta la dispersión.

CANALPulso en el TxPulso en el Rx


ECUALIZACIÓN

• Example of a frequency selective, slowly changing (slow fading) channel for a user at 35 km/h


ECUALIZACIÓN

• Example of a frequency selective, fast changing (fast fading) channel for a user at 35 km/h


ECUALIZACIÓN

• De hecho el solapamiento o derrame (ISI), es uno de los mayores obstáculos para alcanzar transmisiones de alta velocidad confiables sobre canales de banda limitada.

• Por ello, los sistema de comunicaciones actuales implementan técnicas que contrarrestan muchas forma de manifestación de ISI. Entre estas técnicas se encuentra la ECUALIZACIÓN.

• Ecualización se refiere, en un sentido amplio, a cualquier procesamiento de señal o filtrado que esté diseñado para eliminar o reducir ISI.

• Existen dos categoría de ecualización que se muestra en el diagrama de abajo:

CATEGORÍAS DE ECUALIZACIÓN

1) Máximum-likelihood sequence estimation (MLSE)2) Ecualization with filters

a) Transversal or decision feedbackb) Preset or Adaptivec) Symbol spaced o fractionally spaced

Aunque hemos indicado la ecualización como una función del receptor también es común su implementación en etapas de repetición de comunicaciones digitales, en dispositivos conocidos comoRepetidores Regenerativos, o Digitpeaters.


ECUALIZACIÓN: Repetidor Generativo

• El Repetidor Regenerativo es un dispositivo intermedio de comunicaciones digitales que permite la extensión y alcance de cobertura de la comunicación.

• Sus funciones son:– Restaurar la forma de onda de los pulsos de entrada por medio de un ECUALIZADOR– Extraer la información de temporización y sincronización requerida para el muestreo oportuno en el receptor.– Toma de decisiones con base en las muestras de los pulsos.

γ

T

t=T

RepetidorRegenerativo

Si ro>γentonces S==> “1” γ

T

ro(T)

Pulso original

que representa

un “1”

El mismo pulso pero distorsionado

por el canal

Instante demuestreo

Pulso regeneradopara un “1”

Fuente Destino

REPETIDOR


ECUALIZACIÓN: Repetidor Generativo

• Un repetidor completo también incluye capacidades para separar la señales DC de las AC, generalmente implementado con acoplamiento de transformadores. En la gráfica de abajo se muestra un diagrama esquemático de un repetidor regenerativo.

Preamplificador y ecualizador

Muestreo y Decisión

Regenerador

Extracción deInformación de Temporización

Medio de Transmisión

Ruido

• Normalmente los pulsos que viajan grandes distancias, aún de pocas decenas de metros, pueden sufrir atenuación y distorsión considerables debido al medio de transmisión.

• La distorsión está en la forma de dispersión, causada por la atenuación de las componentes de alta frecuencias del tren de pulsos.


ECUALIZACIÓN

• La primera categoría MLSE, conlleva la realización de mediciones de hc(t) y luego proveer una forma de ajustar el receptor al entorno de transmisión.

• Al final del día, el objetivo es permitirle al detector obtener una buena estimación de la información enviada por el transmisor con base en la secuencia de pulsos demodulados distorsionados.

• En un receptor MLSE, las muestras distorsionadas no son restauradas o directamente compensada en alguna forma, sino que mas bien, la técnica de mitigación para el receptor MLSE consiste en ajustarse en alguna forma que pueda tratar mejor con las muestras distorsionadas.

• La segunda categoría de Filtros Transversales, utiliza filtros para compensar los pulsos distorsionados. En este caso, el detector encuentra una secuencia de muestras demoduladas que el ecualizador ha modificado o “limpiado” de los efectos ISI.

• La ecualización con filtros, la forma mas popular consiste en considerar el filtro de ecualización como un dispositivo lineal que contiene solo elementos transversales de ecualización con alimentación hacia delante (Transversal equalizers), o combinado con elementos con alimentación hacia atrás (Decision feedback equalizers).

• Los filtros de ecualización pueden agruparse de acuerdo a la naturaleza automática de su operación, la cual puede ser Preset o Adaptive.

• También pueden ser agrupados según la tasa de resolución de actualización.


ECUALIZACIÓN: SRRC

• Baseband system model

• Equivalent model

Tx filter Channel

)(tn

)(tr Rx. filterDetector

ny

nTt =

{ }ka1b

2b 3bT )(

)(

fH

th

T

t

)(

)(

fH

th

R

r

)(

)(

fH

th

C

c

Equivalent system

)(ˆ tn

)(tyDetector

ny

nTt =)(

)(

fP

tp

filtered noise

)()()()( fHfHfHfP RCT=

∑ −k

k kTtb )(δ Equalizer

)(

)(

fH

th

E

e

1b

2b 3bT

∑ −k

k kTtb )(δ )(tx Equalizer

)(

)(

fH

th

E

e

)()()(ˆ thtntn r∗=

{ }ka)(ty

)(ty

Square-Root Raised Cosine (SRRC) filter and Equalizer


ECUALIZACIÓN: SRRC

• En general, podemos expresar la condición de transmisión definiendo la función de trasferencia con base en las funciones de transferencia del filtro de transmisión (generador de forma de onda), la función de transferencia propia del canal, la función de transferencia del filtro de recepción y, agregando ahora, la función de transferencia del ecualizador, de modo que la función de transferencia resultante sea también un filtro de coseno elevado (raised-cosine filter):

)()()()()(RC fHfHfHfHfH ERCT=No ISI en el instante de muestreo

• En condiciones reales, en los sistemas prácticos no se cuenta con el detalle y precisión necesaria de la función de transferencia del canal HC(t) y su respuesta al impulso hc(t) por lo que no es posible diseñar el receptor para que produzca cero ISI con base en esa información. Por tanto, lo usual es conocer (u obtener) las funciones de transferencias del transmisor y receptor, por lo tanto, se hace una aproximación con base en estos dos elementos. En este caso se le denomina: Square-Root Raised Cosine (SRRC) filter and Equalizer.


ECUALIZACIÓN: SRRC

• De esta forma, HT(t) y HR(t) cada una tienen una función de transferencia que es la raíz cuadrada del coseno elevado. Entonces, la función de trasferencia del ecualizador necesario para que compense las distorsiones del canal es simplemente la función inversa de la función de transferencia del canal:

)(1

)(fH

fHC

E = Taking care of ISI caused by channel

)(

)(1

)( fj

CE

CefH

fH θ−=

)()()()(

)()()(

SRRCRC

RC

fHfHfHfH

fHfHfH

TR

RT

===

=Taking care of ISI caused by tr. filter

1)()( =fHfH CE

Es decir, forzamos y nos proponemos diseñar e implemenar unFiltro de ecualización que cumpla la siguiente condición de operación con relación a la función de transferencia del canal:

Por tanto:


ECUALIZACIÓN: SRRC

• Square-root Raised-Cosine (SRRC) pulse shaping

t/T

Amp. [V]

Baseband tr. Waveform

Data symbol

First pulse

Second pulse

Third pulse


ECUALIZACIÓN: SRRC

• Raised Cosine pulse at the output of matched filter

t/T

Amp. [V]

Baseband received waveform at the matched filter output(zero ISI)


ECUALIZACIÓN

Equalization usingMLSE (Maximum likelihood sequence estimation)Filtering

Transversal filteringZero-forcing equalizerLeast or Minimum mean square error (MSE) equalizer

Decision feedbackUsing the past decisions to remove the ISI contributed by them

Adaptive equalizer


TRANSVERSAL FILTERING

• Previamente se analizó que, para poder generar un código de línea que cumpliera con ciertas especificaciones de contenido espectral, se podía escoger una señalización adecuada y un pulso de forma de onda apropiada.

• La forma de onda del pulso se puede lograr mediante Filtros Lineales. Sin embargo, el diseño de estos filtros para que cumplan con determinadas especificaciones resulta ser difícil. Es más fácil sintetizar las formas de onda mediante el empleo de filtros transversales.

• Zero-Forcing Equalizer:• Este tipo de filtro transversal retoma el principio que no es necesario eliminar o minimizar ISI de

los pulsos vecinos en el sentido absoluto para todo tiempo t, sino que lo fundamental es lograr que ISI sea cero o un nivel mínimo posible que pueda ser despreciable en la detección, únicamente en los instantes de muestreo del detector.

• Por ello, este filtro se conoce como forzador de cero por adoptar este principio, es decir, se satisface el criterio de Nyquist para cero ISI o ISI controlada.

• Least Mean Square Error (LMSE) equalizer:• Otro enfoque a la ecualización , es el método LMSE que no trata de forzar que los pulsos sean cero

en los un cierto número de puntos. Mas bien, se minimiza los valores cuadráticos medios de los errores de las muestras de salida.


ZERO FORCING EQUALIZER

• Este tipo de ecualizador de tipo filtro transversal considera que el canal introduce ISI.• En conferencia anteriores hemos manifestado la preocupación real de la presencia de ISI cuando

esto ocurre en los momentos que el detector muestrea la intensidad de los pulsos recibidos en t=nT, con lo cual se manifiesta distorsión

• En el sentido práctico, hablamos de lóbulos laterales (ver figura de abajo) que no pasan por cero en los tiempos de muestreo de los pulsos adyacentes al lóbulo principal. La distorsión puede verse como ecos positivos o negativos que ocurren antes y después del lóbulo principal.

No ISI No ISI No ISI¡¡¡ ISI !!! ¡¡¡ ISI !!! ¡¡¡ ISI !!!

Eco Eco Eco

Pulso ideal

Pulso real



• Al avanzar el pulso por el registro se puede formar la señal digital, que, al ser filtrada a la salida, da lugar a la forma de onda deseada. Los instantes de interés para evitar el ISI tiene que ser tal que τ = T, ya que se quiere forzar a que el pulso valga cero en los instantes T salvo en el instante de interés para él mismo.

• Los filtros transversales tienen su nombre por su apariencia.



• Otra forma de presentación del mismo filtro anterior (observe que se usa T):

)(tx

)(ty



• Para lograr la función de transferencia deseada del tipo coseno-elevado, el filtro de ecualización debe tener una respuesta en frecuencia HE(f) de modo que la respuesta real de canal cuando se multiplica por HE(f) produce HRC(f). En otras palabras, el filtro de ecualización debe generar un conjunto de ecos de cancelación.

• El filtro mostrado abajo es la forma mas común y popular de implementación de un filtro de fácil ajuste.

NOTA: En el diagrama se muestra el caso particular de una transmisión con señalización binaria (M=2), razón por la que los tiempos mostrados corresponden a los tiempos de bit Tb. En el caso generar donde M>2corresponde usar T.


)(ty

)(tx





)(ty

)(tx

Pulso disperso con ISI en los instantesde muestreo de pulsos vecinos.

Pulso ecualizado sin presencia de ISI en los instantes de muestreo de pulsos vecinos.



• El proceso inicia fijando las ganancias de derivación c0=1 y cn=0 (n≠0) para todos los valores de k en el filtro transversal de las diapositivas 33 o 34. De esta forma la salida del filtro será la misma que la entrada pero retardada por NT.

• Para el pulso individual x(t) de entrada mostrado en la figura de la diapositiva 34 y 35 con las derivaciones fijadas anteriormente, tendremos el pulso de salida y(t) que será exactamente x(t-NT), es decir, x(t) retardado por NT.

• Note que para c0=1 y cn=0 (n≠0) el pulso x(t) también representa la salida del filtro y(t).

• Se requiere que el pulso de salida y(t) cumpla con el criterio de Nyquist o el criterio de ISI controlada, según el caso.

• Para el criterio de Nyquist el pulso de salida y(t) debe tener valores de cero en todos los instantes múltiplos de T, mostrado en la figura c en diapositiva 35). No obstante, se muestra la situación general donde esta condición no se cumple tal como ilustra la figura b en la misma diapositiva.

• A tal efecto, se deben ajustar las ganancias de derivación cn’s, con lo cual se genera un desplazamiento adicional de los pulsos de amplitud apropiada que forzará al pulso de salida resultante a ser cero en los instantes t=0, T, 2T, 3T,….

• El pulso y(t) de la figura c de la diapositiva 35 es por tanto, la suma de las formas de onda retardadas, es decir, cnx(t-kT), obviando el retardo NT.



• Por tanto:

∑−=

−=N

Nkn kTtxcty )()(

∑−=

−=N

Nkn TknxcnTy ])[()(

• Tomando las muestras de y(t) en t=nT tenemos que:

,...,,,n 3 2 1 0 ±±±=

• Usando una notación mas conveniente x(n) para denotar x(nT) y denotar y(nT), podemos expresar como:

∑−=

−=N

Nkn knxcny )][()( ,...,,,n 3 2 1 0 ±±±=



• El criterio de Nyquist requiere que las muestras y(n)=0 para n≠0, y que y(n)=1 para n=0.• Esta condición nos lleva al siguiente conjunto infinito de ecuaciones simultáneas en términos de

2N+1 variables.• El sistema no es humanamente posible de resolver. No obstante, podemos especificar los valores de

y(n) pero en 2N+1 puntos tal que:

±±±==

=N,..,, n

ny(n)

210

01

• En realidad no hay una solución única. Esto debe entenderse como que el pulso y(t) podrá tener ISI≠0 en instantes de muestreo en los N pulsos precedentes y en los N pulsos antecedentes.

• Debido que el pulso en realidad decae o se atenúa rápidamente, tal interferencia ISI mas allá del N-ésimo pulso (antes o después) puede despreciarse, en general, cuando N>2.

• En realidad no hay una solución única. Esto debe entenderse como que el pulso y(t) podrá tener ISI≠0 en instantes de muestreo en los N pulsos precedentes y en los N pulsos antecedentes.

• Debido que el pulso en realidad decae o se atenúa rápidamente, tal interferencia ISI mas allá del N-ésimo pulso (antes o después) puede despreciarse, en general, cuando N>2.



• La condición de Nyquist produce un conjunto de 2N+1 ecuaciones simultáneas en 2N+1 variables que pueden expresarse en forma matricial como se muestra:

++

+

=

−

−

−

−

N

N

N

N

c

c

c

c

c

c

c

] x[] N-x[N] x[

] x[] N-] x[N-x[

] x[-N ] x[N] x[N

x[-N]] x[N-x[N]

] x[-N-] ] x[N-x[N-

]N x[- ] x[] x[

N] x[-] x[-] x[

1

1

0

1

2

1

0122

12212

11

1

1 21

1201

210

0

0

0

1

0

0

0

• Las ganancias de derivación cn´s se obtienen al resolver este conjunto de ecuaciones.


EJEMPLO: ZERO FORCING EQUALIZER

• Para el pulso recibido x(t) en la figura de abajo, diseñe un ecualizador tipo “zero forcing” de tres derivaciones (2N+1=3).

• SOUCIÓN:• A efecto de diseñar el filtro, encontramos que N=1, es decir, se require ISI=0 un periodo de

muestreo antes y un periodo de muestreo después del instante de muestreo del pulso recibido indicado en el problema. A tal efecto debemos construir la matriz de condiciones de ecualización, donde es necesario determinar los valores desde x[-2N] hasta x[2N], o, con N=1, es igual a determinar los valores x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2]. De la gráfica tenemos:

1.0]2[

3.0]1[

1]0[

2

1

0

==−==

==

xa

xa

xa

05.0]2[

2.0]1[

2

1

=−=−=−=

−

−

xa

xa

1

-0.2 -0.3

0.10.05



• El arreglo matricial, se vuelve una matriz 3x3, mostrada abajo:

−=

−

1

0

1

01 2

101

210

0

1

0

c

c

c

]x[] x[] x[

][] xx[] x[

][-] x[-] xx[

• Substituyendo estos valores en el arreglo matricial, tenemos:

−−−

−=

−

1

0

1

1 0.3 0.1

0.2 1 0.3

0.05 0.2 1

0

1

0

c

c

c

• Este sistema de tres ecuaciones lineales de tres variable puede resolverse en cualquier método convencional, por ejemplo, usando el método de Gauss, de determinantes o por sustitución convencional. Recuerde que el arreglo matricial es equivalente al arreglo de ecuaciones mostrados abajo:

0c 0.3c0.1c

10.2c c 0.3c

0 0.05c0.2cc

101

101

101

=+−=−+−=+−

−

−−

−



• Independiente del método de resolución adoptado, el resultado es el mostrado en seguida:

• Estos valores de coeficientes de derivación aseguran lo deseado:

318.0c

.131 c

0.210c

1

0

1

===−

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• La figura muestra los resultados anteriores:

lecture 11 precodificación y ecualización

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