LECTURAS Sobre Sucesiones S . E . P . '

ESCUELA SUPÍHIOR eeFISICA y MAT6M«i|*$BIBLIOTECA

I .RN

ySeries Infinitas

Antonio Rivera F.

I. P.NDOMADO A LA

BIBLIOTECA DE LA ESCUELA SUPERIOR

DE FISICA, Y. MATEMATICAS

POR;...

CINVESTAV-IPN Departamento de Matemática Educativa

* 2 7 - 3 1 2 4 6 *

MEXICO,

Contenido

Prólogo................................................................................................v

Lección 1Sucesiones de Números Reales................................................................................................................................................................................................1

1.Definiciones

12......................................................Notación

6Lección 2Operaciones con Sucesiones................................................................................................................................................................................................7Lección 3Sucesiones Monótonas. Sucesiones Acotadas................................................................................................................................................................................................14Lección 4Límite de una Sucesión................................................................................................................................................................................................20Lección 5Teoremas importantes sobre límites................................................................................................................................................................................................27

1.Sobre algebra de límites

27

2......................................................Teorema de Weierstrass

343.Criterio de Cauchy

37Lección 6Alguna sucesiones especiales................................................................................................................................................................................................43Lección 7Más ejemplos................................................................................................................................................................................................53Problemas y ejercicios ……………………………………...................................................................................................................................................................................................62

Lección 8Sumas infinitas................................................................................................................................................................................................67

1.Introducción

672......................................................Notación para la suma

72Problemas y ejercicios

................................................................................................

................................................................................................76

Lección 9Series infinitas................................................................................................................................................................................................781......................................................La noción de serie. Sumas parciales

78

2......................................................Propiedades básicas

80Problemas y ejercicios

................................................................................................

................................................................................................82

Iii

Lección 10Criterios de convergencia................................................................................................................................................................................................83

1. Condiciones necesarias y suficientes

832. Una condición necesaria

85

Lección 11Criterio por comparación................................................................................................88

1. Primer criterio por comparación................................................................................................

88

Lección 12Otro criterio por comparación................................................................................................94

1. Criterio por comparación en el límite................................................................................................

94

Problemas y ejercicios................................................................................................

98

Lección 13Series Telescópicas................................................................................................................................................................................................100

1. Convergencia de Series Telescópicas ................................................................................................................................................................................................

100Problemas y ejercicios

................................................................................................

................................................................................................105

Lección 14Series alternantes ................................................................................................ 106

1. Criterio de Leibniz................................................................................................

106

Lección 15Convergencia absoluta y convergencia condicional ................................................................................................ 110

Problemas y ejercicios................................................................................................

112

Lección 16Criterio de la razón................................................................................................ 114

1. Criterio de D'Alembert................................................................................................

114

Lección 17Criterio de la raíz ................................................................................................ 120

1. Criterio de Cauchy................................................................................................

120

Lección 18

Criterio de la integral................................................................................................................................................................................................123

1. Criterio de la integral de Cauchy................................................................................................................................................................................................

123Miscelánea de problemas y ejercicios

................................................................................................

................................................................................................128

Bibliografía................................................................................................ 130

iv

Prólogo

Estas Lecturas sobre el tema de Sucesiones y Series de números reales, forman parte de una colección donde se abordan diversos temas de matemáticas. Están dirigidas a estudiantes de los primeros años de cualquiera de las licenciaturas en Matemáticas, Física o del área de Ingeniería. Los requisitos para las mismas son los cursos de matemáticas del Bachillerato, esto incluye un curso elemental de Cálculo Diferencial e Integral. También se requieren conocimientos de las propiedades básicas de las desigualdades y valor absoluto de los números reales (por ejemplo "desigualdad del triángulo").

Las Lecturas no pretenden ser un libro de texto, pero pueden servir de apoyo para lo primeros cursos de

matemáticas universitarias. De entrada hacemos un amplio análisis del concepto de sucesión y revisamos con cierto detenimiento la noción de convergencia. Desarrollamos diversos ejemplos clásicos de la matemática, algunos de los cuales son planteados como problemas para resolver en los textos de cálculo conocidos.

Van dirigidas a los estudiosos autodidactas. Muchos estudiantes universitarios aprenden de esta manera, a ellos dedicamos esta obra.

Reconocemos que abundan en el mercado gran cantidad de libros de cálculo y que muchos de ellos son excelentes tratados de cálculo y muy completos. Pero no obstante la claridad de exposición que pueda tener un autor, la mayoría de las veces la explicación resulta insuficiente para el estudiante autodidacta. Esto de alguna manera es comprensible, dadas las limitaciones de espacio a las que se enfrentan los autores cuando pretenden cubrir la materia ampliamente.

Por nuestra parte nos hemos restringido al tema específico de sucesiones y series de números reales, por lo que no tuvimos las limitaciones de espacio que tienen los autores de libros de texto de cálculo. En estas lecturas hacemos una discusión más amplia del tema, analizamos más detenidamente las ideas de convergencia y desarrollamos más ejemplos con más detalle.

Esperamos pues, que esta obra cumpla con su cometido: que ayude en el mejor aprendizaje y comprensión del tema a los estudiantes que tienen necesidad de hacerlo por sí mismos.