lecturas de an alisis matem atico iieditado por mauricio zelaya aguilar en latex.com 2 proposici on...

Lecturas de Analisis Matematico II

Oswaldo Sevilla

Febrero-Mayo 2013

Editado por Mauricio Zelaya Aguilar en www.write LATEX.com 1

Medida de Lebesgue

Una medida es una funcion m :M−→ R M⊂ P(R) ∀A ∈M : mA ≥ 0

a. Es deseable que M = P(R)

b. Es deseable que mI = lI donde l es la longitud, I el intervalo

c. Si (En) es una sucesion de elementos de M disjuntos, entonces m(⋃En) =

∑mEn

d. Si Ty es traslacion, m(TyE) = mE y E =M donde TyE = {z|z = x+ y, x ∈ E}

Proposicion 1

Si m cumple b−d y esta definida en una σ-algebra, entoncesM se llama medida completamente aditiva.Sea m contablemente aditiva y existe A ∈M tal que mA < +∞ entonces m∅ = 0 contablemente aditiva:

• M es σ-algebra

• m(∪En) =∑mEn

• m(TyE) = mE

Demostracion

Sea Bn es tal que B0 = A Bn = ∅ n = 1, . . .

m(A) = m(∪Bn)

=∑n

mBn

= mA+m∅+m∅+ . . .

= m∅+ (mA+m∅+m∅+ . . .)

= m∅+mA

m(A) = m∅+mA =⇒ m∅ = 0 ♦

Si A y B son disjuntos y A,B ∈M entonces m(A ∪B) = mA+mB

Medida Exterior

Sea m∗(a, b) = b− a entonces

m∗ = inf{Iα}∈CI

m∗

(⋃α

Iα

)Donde CI = {{Iα} : Iα intervalo A ⊂ (∪Iα)} es contable

Ejemplo

Sea A = [0, 1) y {(−1, 0, 5), (0, 1)} es cubrimiento de A

m∗A = m∗I1 +m∗I2

= 2.5

{(−ε, I)} cubrimiento de A =⇒ m∗A ≤ m∗Iα = 1 + ε

=⇒ m∗A ≤ 1

Medida Exterior de Lebesgue

Proposicion 2

m∗I = lI


Proposicion 3

Sea (An) sucesion de conjuntos, entonces

m∗

(⋃n

An

)≤∑n

m∗An

Prueba

Sea A = ∪An y sean OA un cubrimiento contable de A, On un cubrimiento contable de An, ∪On

cubrimiento contable de A

m∗A = infOA

∑I∈OA

m∗I

≤ inf∪On

∑I∈On

m∗I

≤∑n

infOn

(∑I∈On

m∗I

)=∑n

m∗An

Pues⋃On es elemento de la familia de cubrimientos {∪On} ⊂ {OA} ♦

Ejemplo

Sea

A = [0, 1] ∩Q= {xn|n ∈ Z+}

CE ={BEn(xn)|xn ∈ A En =

ε

2n+1

}m∗A ≤

∑m∗In

=+∞∑i=1

ε

2n+1

=ε

2< ε

∀ε < 0 ∃CE :∑In∈C

m∗In < ε =⇒ m∗A = 0

Definicion 4

Se dice que E ⊂ R es medible si para todo A ∈ P(R) se tiene que

m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC) = m∗A

Notacion

Si E es medible, E ∈M se define m :M−→ R mE = m∗E medida de Lebesgue

Conjuntos Medibles

E es medible si para todo A ⊂ R : m∗A = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC)Para probar que E es medible basta probar que m∗A ≥ m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC)

Proposicion 5

Si m∗E = 0 =⇒ E es medible


Prueba

Suponga que E es medible entonces para todo A ⊂ R

m∗ = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ EC)

m∗(AC ∩ EC) ≤ m∗A+m∗EC ♦

Teorema 6

Si E1, E2 son medibles =⇒ E1 ∪ E2 es medible

Prueba

Q.E.D. m∗A ≥ m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) +m∗(A ∩ (E1 ∪ E2)C)

A ∩ (E1 ∪ E2) = (A ∩ E1) ∪ (A ∩ E2)

= (A ∩ E1) ∪ (A ∩ E2 ∩ EC1 )

A ∩ (E1 ∪ E2)C = A ∩ EC1 ∩ EC

2 ♦

Teorema 7

Si E es medible =⇒ E + y es medible

Demostracion

Sea A ⊂ R arbitrario

m∗(A ∩ (E + y)) +m∗(A ∩ (E + y)C) = m∗((B + y) ∩ (E + y)) +m∗((B + y) ∩ (E + y)C)

= m∗((B ∩ E) + y) +m∗((B ∩ EC) + y) ♦

Teorema 8

Sea M = {E ⊂ R|Emedible} siendo algebra, es σ-algebra

Observacion

m∗E = 0 =⇒ E ∈MA = {

√2 + r|r ∈ Q, r ≥ −1}

Bx = {xq|x ∈ A ∧ q ∈ Q}

⋃x∈A

Bx ∈M⋃x∈A

Bx contable m

(⋃x∈A

Bx

)= 0

Proposicion 9

Sea E un conjunto, las siguientes proposiciones son equivalentes:

a. Si para todo ε > 0 existe O ⊃ E (O abierto) tal que m∗(0 \ E) < ε

b. E es medible

c. Si para todo ε > 0 existe F ⊂ E (F cerrado) tal que m(E \ F ) < ε

d. Existe G ∈ Gδ G ⊃ E tal que m∗(G \ E) = 0

e. Existe F ∈ Fδ F ⊂ E tal que m∗(E \ F ) = 0

f. Si m∗E <∞ entonces existe U union finita de abiertos tal que m∗(U∆E) < ε para cualquier ε > 0


Propiedades Equivalentes Para Todo α ∈ R

1. {x : f(x) < α} ∈ M

2. {x : f(x) ≤ α} ∈ M

3. {x : f(x) > α} ∈ M

4. {x : f(x) ≥ α} ∈ M

Si una de estas se cumple, entonces f−1((α1, α2)) ∈M1 −→ 4 =⇒ {x : f(x) = α} ∈ M ∀α ∈ R

Definicion 10

f es medible si cumple 1 −→ 4.

Dado un conjunto A, se define χA por χA =

{1 si x ∈ A0 si x /∈ A

Definicion 11

f : A −→ R es simple si f(A) es finito.

Ejemplo

Sea f(x) =

{1 si x ∈ QC

0 si x /∈ Q

Tres Principios de Littlewood

Sea fn medibles y acotadas, fn −→ f , convergencia casi uniforme∀ε > 0, δ > 0 : ∃N, n > N : |fn(x)− f(x)| < ε si x /∈ A tal que mA = δ∀ε > 0, δ > 0 : ∃n > N ∈ Z+ A ⊂ E mA = δ|fn(x)− f(x)| < ε si x /∈ A tal que mA = δtal que x /∈ A =⇒ |fn(x)− f(x)| < εm∗C de Cantor donde Cn ⊃ Cn+1

C =∞⋂n=1

Cn

Cn+1 = Cn \

(3n−1+1⋃k=0

(3k + 1

3n,3k + 2

3n

))C1 = [0, 1]C2 = C1 \ (1/3, 2/3)C3 = C2 \ (1/9, 2/9) ∪ (7/9, /9)

Sea xn = m∗Cn f(x) =

{−1 x ∈ C1 x ∈ [0, 1] \ C

f : [a, b] −→ R a = ξ0 < ξ1 < . . . < ξn−1 < ξn = b

Sn =n∑k=1

Mk(ξk − ξk−1) Mk = sup{f(x) : ξk−1 < x ≤ ξx}

in =n∑k=1

mk(ξk − ξk−1) mk = inf{f(x) : ξk−1 < x ≤ ξx}

R

∫ b

a

f(x)dx = infξpart

Sn

R

∫ b

a

supξpart

in

Si son iguales

R

∫ b

a

f = R

∫ b

a

f = R

∫ b

a

f


g = {Ci si x ∈ (ξ, ξi+1}

R

∫ b

a

f = supgs≤f

∫ b

a

gi donde

∫ b

a

gi =∑

Ci(ξi+1 − ξi)

R

∫ b

a

f = infgs≥f

∫ b

a

gs

R

∫ b

a

f(s)ds = infg≥f

∫ b

a

g(s)ds g es escalonada

R

∫ b

a

f(s)ds = supg≤f

∫ b

a

g(s)ds

ϕ es simple si E es medible, imagen finita

Ejemplo

Sea f(x) =

{1 si x ∈ [0, 1] ∩Q−1 si x ∈ [0, 1] ∩QC

f(x) = 1 · χA1 + 1 · χA2 + 1 · χA3

A1 = [0, 1/2] ∩Q A2 = [1/2, 1] ∩Q A3 = [0, 1] ∩QExpresion canonica: ϕ es simpleϕ =

∑CiχEi donde Ei = ϕ−1(Ci) y Ci es la imagen

Definicion 12

Sea ϕ simple, ϕ : E −→ R se define por ∫E

ϕ =

∫E

∑CiχEi

=∑

CimEi

Proposicion 13

Si ϕ =∑CiχEi donde Ei es medible y Ei ∩ Ej = ∅ entonces∫

ϕ =∑

CimEi

Definicion 14

Sea f medible y acotada, ϕ simple∫f = inf

ϕ≥f

∫ϕ

∫f = sup

ϕ≥f

∫ϕ

Si∫f =

∫f = α entonces

∫f = α por definicion (integral de Lebesgue)

Proposicion 15

Se f es medible y actotada, entonces ∫f =

∫f

Proposicion 16

Si Ψ, ϕ son dos funciones simples que se anulan fuera de un conjunto de medida finita

1.∫

(aΨ + bϕ) = a∫

Ψ + b∫ϕ

2. Si ϕ ≥ Ψ casi en todos partes entonces∫ϕ ≥

∫Ψ


Demostracion

1. ∫(aΨ + bϕ) =

∫(a∑

xiχEi + b∑

xiχE′i)

= I

E = {Ei} disjunto =⇒ E ′′ = {E ′′i } disjuntoE ′ = {E ′i} disjuntoE ′′i ∩ E ′j 6= ∅ =⇒ E ′′i ⊂ E ′j mediblesE ′′ ∩ Ej 6= ∅ =⇒ E ′′i ⊂ Ej{E − i ∩ E ′j} −→ E ′′

Ei =⋃j

Ei ∩ E ′j

Se puede reescribir Ψ =∑

ΨkχE′′k ϕ =∑ϕkχE′′k

I =

∫(a∑

ΨkχE′′k + b∑

ϕkχE′′k

=

∫ ∑(aΨk + bϕk)χE′′k

=∑

((aΨk + bϕk)mE′′k

= a∑

ΨkmE′′k + bϕkmE

′′k

= a

∫Ψ + b

∫ϕ ♦

2. Supongamos que Ψ = ϕ, sea E0 conjunto tal que x ∈ E0 =⇒ Ψ(x) 6= ϕ(x)mE0 = 0 Ψ =

∑ΨiχEi ϕ =

∑ϕiχE′i

Ψ− ϕ es cero fuera de E0 en E − E0

Ψ− ϕ =∑

0χE−E0 +∑

(Ψ− ϕ)iχAi E0 = ∪Ai Ai = {x ∈ E0 : Ψ− ϕ = (Ψ− ϕ)i 6= 0}∫Ψ− ϕ = 0m(E − E0) +

∑(Ψ− ϕ)imAi = 0 =⇒

∫Ψ =

∫ϕ ♦

De manera alterna E = (E − E0) ∪ E0

(Ψ− ϕ)|E0 es simple, (Ψ− ϕ)|E−E0 es simpleΨ ≥ ϕ ∀ x ∈ E − E0 : Ψ(x) ≥ ϕ(x) mE0 = 0 Ψ− ϕ ≥ 0

ξ = Ψ− ϕ

=(∑

ξiχAi +∑

ξiχBi

)Ai ⊂ E − E0 Bi ⊂ E0∫

(Ψ− ϕ) =

∫ξ

=∑

ξimAi +∑

ξimBi

≥ 0

∴∫

Ψ =

∫ϕ ♦

Sea ϕ simple, canonicas Ψ =∑

ΨiχEi donde Ei = Ψ−1({Ψi}), utiles Ψ =∑

ΨiχE′i donde ∪E ′i = E

Ψ : E −→ R

Ψ(E) medible

Ψ medible

E medible

Definicion 17 ∫Ψ =

∫ ∑ΨiχEi

=∑

ΨimEi


Proposicion 18

∫Ψ =

∫ ∑ΨiχE′i

=∑

ΨimE′i

Proposicion 19 ∫(aΨ + bϕ) = a

∫Ψ + b

∫ϕ si Ψ ≥ ϕ

∫Ψ ≥

∫ϕ

Si Ψ, ϕ=0 en E mE <∞ soporte

Proposicion 20

Dada una funcion acotada f entonces

infΨ≥f

∫Ψ = sup

ϕ≤f

∫ϕ

si y solo si f es medible.

Demostracion

a. Sea f es medible αi = −M + ihi αi+1 = −M + (i+ 1)2hiPara ∆i se define

Ei = f−1(∆i)

= f−1 ((αi, αi+1))

Sean Ψ∆ =∑

ΨiχE y ϕ∆ =∑ϕiχE donde ∆ = {∆i}∫

(Ψ∆ − ϕ∆) ≥ 0 por la forma de definir Ψ, ϕ

∫(Ψ∆ − ϕ∆) =

∑(αi+1 − αi)mEi

=∑

himEi

=∑ 2M

nmEi

=2M

n

∑mEi

=2M

nmE −→ 0

≤ (maxhi)mE por definicion de∆i

≤ ε arbitrario ε > 0

∀ε > 0 ∃∆ :

∫(Ψ∆ − ϕ∆) < ε =⇒ inf

Ψ≥f

∫Ψ = sup

ϕ≤f

∫ϕ ♦

b. Suponemos que

infΨ≥f

∫Ψ = sup

ϕ≤f

∫ϕ

Dado εn podemos encontrar Ψn,ϕn tal que∫(Ψn − ϕn)︸︷︷︸

ξn

< εn ξn ≥ 0 ϕn ≤ f ≤ Ψn


ξn −→ 0 sucesion, ξn −→ Ψn+1 ≤ Ψn por la construccion de Ψn, ϕn ξn −→ ϕn+1 ≥ ϕnξ∗ = Ψ∗ − ϕ∗ medibles Ψ∗ = inf Ψn(x) ϕ∗ = supϕn(x)

ξ∗ ≥ 0 =⇒∫ξ∗ = 0

==⇒ ξ∗ = 0

Se cumple

ϕn ≤ ϕ∗ ≤ f ≤ Ψ∗ Ψn =⇒ 0 ≤ f − ϕ∗ ≤ Ψ∗ − ϕ∗ = ξ∗ = 0

=⇒ f = ϕ∗

=⇒ f es medible pues ϕ∗ es medible ♦

Sea F = {ϕ : ϕ simple} contableSea

ϕ∗(x) = supϕ∈F

ϕ(x) =⇒ ϕ∗

es medible{x : ϕ∗x > a} =

⋃ϕ∈F

{x : ϕx > a} contable =⇒ ϕ∗ medible

Sea f simple, f ≥ 0, f > 0 en E, mE > 0 entonces existe ε > 0 tal que

mf−1((ε,+∞)) = 0

mf−1((0,+∞)) ≤∑n

mf−1((ε,+∞))

= 0 −→←− ♦

Proposicion 21

Si

R

∫f existe, entonces R

∫f =

∫f

Demostracion

Supongamos que

R

∫f existe, f es integrable

R

∫f = R

∫f

Cada funcion escalonada Ψ,ϕ es simple. Entonces existen Ψ∗, ϕ∗ simples tal que ϕ ≤ ϕ∗ ≤ f ≤ Ψ∗ ≤ Ψ

R

∫f = sup

ϕ≤fR

∫ϕ ≤ sup

ϕ∗≤f

∫ϕ∗ ≤ inf

ϕ∗≥f

∫ϕ∗ ≤ inf

ϕ≥fR

∫ϕ = R

∫f (1)

(1) =⇒ R

∫f ≤

∫f ≤

∫f ≤ R

∫f

=⇒ R

∫f =

∫f ♦

Funciones Medibles 〈fn〉Proposicion 22

Sea fn(x) −→ f(x), dominio de E medible, existe M tal que ‖fn‖ < M entonces∫fn =

∫f


Demostracion

Por el tercer principio de Littlewood∀ ε > 0, δ > 0 ∃N > 0 : (x ∈ E \ A =⇒ ‖f(x)− fn(x)‖ < ε si n > N) ∧mA < δ para algun A∣∣∣∣∫

E

fn −∫E

f

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫E

(fn − f)

∣∣∣∣ por linealidad

≤∫E

|fn − f |

=

∫E\A|fn − f |+

∫A

|fn − f |

<ε/2

mEm(E \ A) + 2MmA

<ε

2+ 2M

ε

4M∣∣∣∣∫E

fn −∫E

f

∣∣∣∣ =ε

2+ε

2

= ε ♦

P.D.

∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |−|f | ≤ f ≤ |f | =⇒ −

∫|f | ≤

∫f ≤

∫|f | − a ≤ b ≤ a |b| ≤ a

=⇒∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ =

∫|f | ♦

Sea f medible, no negativa.F = {g : g medible, acotada y g(x) ≤ f(x)}∫

f = supg∈F

∫g

Ejemplo

Sea ξ simple −→ f medible, acotada ∫f =

∫f+ −

∫f−

Sean f+(x) = fχE+ f−(x) = −fχE− donde E+ = f−1([0,+∞]) E− = E \E+ = f−1((0,+∞)) SeaFcf = {g : medible, acotada g ≤ cf} g ≤ f =⇒ cg ≤ cf∫

cf = supg∈F

∫g

Si g ∈ Ff =⇒ cg ∈ Fcf cFf ⊂ FcfSi g ∈ FCf =⇒ 1

cg ∈ Ff Fcf ⊂

1

cFf Ff ⊂

1

cFcf

Si g ∈ Ff −→ cg ≤ cf

=⇒ cg ∈ Fcf

=⇒ g ∈ 1

cFcf

g =1

ccg

1

ccg ∈ 1

cFcf

Si g ∈ 1

cFcf =⇒ g =

1

ch h ∈ Fcf

=⇒ cg = h ≤ cf

=⇒ g ≤ f

=⇒ g ∈ Ff ♦


1

cFcf = Ff

1

cφ(Fcf = φ(Ff ) Si ∫

f = supφ(Ff )

1

cφ(Fcf ) = φ

(1

cFcf)

= φ(Ff

=⇒ 1

csup(Fcf ) = supφ(Ff )

⇐⇒ 1

c

∫cf =

∫f

=⇒∫cf = c

∫f ♦

Si es nula es trivialP.D. Ff+g ⊃ Ff + Fg = {x : x = f + g f ∈ Ff Fg}hf ∈ Ff =⇒ hf ≤ f hg ∈ Fg =⇒ hg ≤ gSi hf + hg ≤ f + g =⇒ hf + hg ∈ Ff+g ♦P.D. Ff+g ⊂ Ff + Fg

h ∈ Ff+g =⇒ h ≤ f + g

=⇒ h = (h− f) + f ≤ f + g

=⇒ h ∈ Ff + FgFf+g = Ff + Fg

φ(Ff+g) = φ(Ff + Fg)= φ(Ff ) + φ(Fg) ♦

Si A,B ⊂ R no negativos, entonces sup(A+B) = supA+ supBsupφFf+g = φ(Ff + Fg) ∫

(f + g) =

∫f +

∫g ♦

Si f ≤ g =⇒∫f ≤

∫g entonces A ⊂ B = supA+ ⊂ B

h ∈ Ff −→ h ≤ f ≤ g por hipotesis

=⇒ h ≤ g

=⇒ h ∈ Fgluego Ff ⊂ Fg =⇒ φ(Ff ) ⊂ φ(Fg)

=⇒ supφFf ≤ supφFg

=⇒∫f ≤

∫g ♦

Lema de Fatou

Dada una sucesion de funciones no negativas (fn) medibles definidas en E tales que fn −→ f puntual-mente, entonces ∫

f ≤ lim

∫fn

Sea (xn) sucesion, entonces

limxn = supn

infk≥n

xk sucesion creciente

= limn

infk≥n

xk


Demostracion

Sea h ∈ H funciones no mayores que f . Sea h acotada, no negativa y que se anula fuera de un conjuntode medidad finita Eh hn(x) = min{fn(x), h(x)} x ∈ Eh∫

E

hn =

∫Eh

hn dondeEh ⊂ E luego

∫E

h =

∫Eh

h

= lim

∫Eh

hn por convergencia acotada

= lim

∫Eh

hn

≤ lim

∫Eh

fn ∀n : hn ≤ fn

≤ lim

∫E

fn expandir dominio inferior de funciones no negativas

limxn = limxn xn ≤ yn =⇒ limxn ≤ limyn luego para h ∈ H se tiene que∫E

h ≤ lim

∫E

fn

∫E

f = suph∈H

∫E

h

≤ lim

∫E

fn ♦

Sea f : [0, 1] −→ R

f(x) =

{1 si x ∈ Qc ∩ [0, 1]

0 si x ∈ Q ∩ [0, 1]

R

∫f = 1 R

∫f = 0∑

i

supx∈∆i

(f(x))χ∆i

∑i

infx∈∆i

(f(x))χ∆i

Teorema de Convergencia Monotona

Sea f no negativa, (fn) una sucesion creciente de funciones no negativas, medibles y lim fn = f entonces∫f = lim

∫f

Demostracion

Por el lema de Fatou ya sabemos que ∫f ≤ lim

∫fn

∀n : f ≤ fn =⇒∫f ≥

∫fn

=⇒∫f ≥ lim

∫fn

=⇒∫f = lim

∫fn ♦


Observacion

Para una sucesion (xn) limxn = limxnlimxn = limxn = limxnSi α = sup{xn} =⇒ α ≥ limxnSi α = inf{xn} =⇒ α ≤ limxn

Porposicion 23

Sea Un funciones no negativas y

f =+∑n=1

∞Un

entonces ∫f =

+∑n=1

∞∫Un

Proposicion 24

Sea (Ei) sucesion disjunta de conjuntos medible E = ∪Ei, f no negativa entonces∫E

f =∑i

∫Ei

f

gn =n∑i=1

f · χEi

=n∑i=1

Ui∫E

Ui =

∫E

f · χEi

=

∫Ei

f

Teorema de Convergencia Monotona

Sea (Un) no negativa y f =∑Un entonces ∫

f =∑∫

Un

Demostracion

Sean (Ei) disjuntos medibles, E = ∪Ei entonces∫E

f =∑∫

Ei

f f no negativa y fn =n∑k=1

fχEk monotona

∫E

f = limn

∫E

fn

= limn

∫E

n∑k=1

fχEk

= limn

n∑k=1

∫fχEk

=+∞∑k=1

∫Ek

f ♦


Definicion 25

Sea f : E −→ R es integrable si ∫E

f es finita f no negativa

En general ∫|f | finita, es decir

∫f+

∫f− finitas

Teorema de Convergencia de Lebesgue

Sea (fn) sucesion de funciones medible y para cada n |fn| ≤ g. Si f = lim fn entonces∫f = lim

∫fn

Demostracion

Sea g − f ≥ 0 hn −→ h puntualmente y hn no negativa, al ser ası podemos usar el lema de Fatou∫h ≤ lim

∫hn∫

(g − f) ≤ lim

∫(g − fn) g − fn −→ g − f no negativa∫

g −∫f ≤ lim

∫(g − fn)

= lim

(∫g −

∫fn

)∫

(g + f) ≤ lim

∫(g + fn)∫

g +

∫f ≤ lim

∫(g + fn)∫

g −∫f ≤

∫g − lim

∫fn∫

g +

∫f ≤

∫g + lim

∫fn

=⇒ lim

∫fn =

∫f

Sea xn ≤ y limxn ≤ y

lim

∫fn ≤

∫g∫

f ≤ lim

∫fn∫

(g − f) ≤ lim

∫(g − fn) =⇒

∫g −

∫f ≤

∫g − lim

∫fn

=⇒ −∫f ≤ −lim

∫fn

=⇒∫f ≥ lim

∫fn

lim

∫fn =

∫f = lim

∫fn =⇒

∫f = lim

∫fn ♦

Demostracion

Sea f no negativa y fn −→ f ∫f = lim

∫fn


Sea |fn| ≤ g g integrable h1n = g − fn −→ g − f no negativa∫

(g − f) ≤ lim

∫(g − fn) (2)

≤ lim

∫(g − fn)

Sea h2n = g + fn ≥ 0 g + fn −→ g + f∫

(g + f) ≤ lim

∫(g + fn) (3)

≤ lim

∫(g + fn)

(2) =⇒∫g −

∫f ≤ lim

∫g − lim

∫fn

=⇒∫f ≥ lim

∫fn

Sea lim(xn − yn) = limxn − limyn −→ limxn ≤ limxn

∗

inf(A+B) = inf A+ inf B

inf(A−B) = inf A− inf B

sup(−xn) = − inf(xn)

inf(−xn) = − sup(xn)

(3) =⇒∫f ≤ lim

∫fn ≤ lim

∫fn

=⇒∫f = lim

∫fn (4)

El lımite de dos infimos siempre existe, por lo tanto

(2) =⇒∫g −

∫f ≤ lim

∫g − limfn

=⇒∫f ≥ lim

∫fn

(3) =⇒∫f ≤ lim

∫fn∫

f = lim

∫fn (5)

(4)(5)

∫f = lim

∫fn ♦

Convergencia en Medida

Definicion 26

Para todo ε > 0 existe N tal que n ≥ N entonces m{x : ‖fn(x)− f(x)‖ ≥ ε} < εfn −→ f uniforme =⇒ fn −→ f en medida

Ejemplo

Sea fn(x) = x1/n x ∈ [0, 1] converge en medida a f∗(x) = 1 pero no converge puntualmente a f∗fn −→ f∗ en medida, f∗ no tiene porque ser unicaSi fb = f∗ entonces fn −→ fb en medida


Proposicion 27

Lema de Fatou, teorema de convergencia monotona, teorema de convergencia de Lebesgue siguen validossi convergen por convergencia en medidaPor convergencia de Lebesgue |fn| ≤ g g integrable

fnm−→ f =⇒ lim

∫fn =

∫f

∗fnm−→ fa y fa = fb entonces fn

m−→ fbfn

m−→ fa ∧ fnm−→ fb =⇒ fn = fb

Si n ≥ Na =⇒ m{x : ‖fn(x)− fa(x)‖ ≥ ε} = m{x|fn(x) /∈ Ta(ε)} < εDado ε existe Na tal que n ≥ Na =⇒ m{x|fn(x) /∈ Ta(x)} < εDado ε existe Nb tal que n ≥ Nb =⇒ m{x|fn(x) /∈ Tb(x)} < ε

‖fa(x)− fb(x)‖ ≤ ‖fa(x)− fn(x)‖+ ‖fn(x)− fb(x)‖≤ 2ε si fn(x) ∈ Ta(ε), Tb(ε)

{x : ‖fa(x)− fb(x)‖ ≥ 2ε} ⊂ {x|fn(x) /∈ Ta(ε)} ∪ {x|fn(x) /∈ Tb(ε)}m{x : ‖fa(x)− fb(x)‖ ≥ 2ε} ≤ m{x|fn(x) /∈ Ta(ε)}+m{x|fn(x) /∈ Tb(ε)}

< 2ε para n ≥ max{Na, Nb}

∀ε > 0 : m{x : ‖fa(x)− fb(x)‖ ≥ 2ε} < 2ε =⇒ m{x : ‖fa(x)− fb(x)‖ > 0 ♦Sea lim

x→a+f(x) lim

h→0+sup

x∈(a,a+h)

f(x) = limx→a

f(x) donde supx∈(a,a+h)

funcion monotona

limx→a+f(x) = limh→0+

infx∈(a,a+h)

f(x)

limx→a−f(x) = limh→0+

infx∈(a,a+h)

f(x)

limx→a+

f(x) = limh→0+

supx∈(a−h,a)

f(x)

limx→a−

f(x) = limh→0+

supx∈(a−h,a)

f(x)

Ejemplo

1. Sea f(x) = sin

(1

x

)limx→0+

f(x) = 1 limx→0−f(x) = 1

g(h) = infx∈(0,h)

f(x) g(h) = −1

2. Sea

f(x) =

x2 si x ∈ A A = Q ∩ [0, 1]

0 si x ∈ B B = (√

2 + Q) ∩ [0, 1]

−x2 si x ∈ C C = (A ∪B)C ∩ [0, 1]

f(x) = x2 g(x) = −x2 f = g

fS(x) = supt∈[x,1]

f(t)

fS(x) = 1 constante

fS(0) = 1 fS(1/2) = 1

limx→1− = limx→1−

fS(x) = 1


Observacion

ess sup supremo esencial

ess supx∈[0,1]

f(x) = infy=f

(supx∈[0,1]

f(x)

)supx∈[0,1]

f(x) = 1

= supx∈[0,1]

g(x)

= 0

fi(x) = inft∈[x,1]

f(t)

= inft∈[1−h,1]

f(t)

= −1

limx→1−f(x) = limh→0+

(inf

t∈[1−h,1]f(t)

)= lim

x→1−fi(x)

limx→0+f(x) = 0 = limx→0+f(x)

supt∈[0,x]

f(t) = x2 inft∈[0,x]

f(t) = −x2

ess inf infimo esencial ess infx∈S

f(x) = supy=f

infx∈S

y(x)

Ejemplo

Sea

f(x) =

−(x− 1)2 si x ∈ A1

1

2(x− 1)2 + 1 si x ∈ A3

2(x− 1)2 + 1 si x ∈ A2

ess infx∈[1,2]

f(x) = 1

Observacion

Teorema de convergencia acotada, (fn) acotadas por M en un conjunto de medida finita, fnm−→ f

entonces

∫f = lim

∫fn

δ =

∣∣∣∣∫ (f − fn)

∣∣∣∣Si h : A −→ R medible y |h(x)| ≤M para todo x ∈ A entonces∫

A

≤MmA∣∣∣∣∫A

h

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|h|

≤MmA

Dado ε existe Nε, si n ≥ Nε |f(x)− fn(x)| < ε en un conjunto E \ E0 y

m{x : |f(x)− fn(x)| ≥ ε} = mEε < ε


δ =

∣∣∣∣∫E

(f − fn)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫E\Eε

(f − fn) +

∫Eε

(f − fn)

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫E\Eε

(f − fn)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫Eε

(f − fn)

∣∣∣∣≤∫E\Eε|(f − fn)|+

∫Eε

|(f − fn)|

≤ εm(E \ Eε) + 2M(ε)

≤ ε(mE + 2M) ♦

fn −→ f en E∀ δ ∃ n > N fn −→ f uniformemente en E \ Eδ mEδ > δ

∀ ε, δ ∈ R si n > N =⇒ m{x : |fn(x)− f(x)| ≥ ε} < δ

=⇒ mEδ < δ

Ejemplo

1. Sea f : (0,+∞) −→ R

f(x) =

{e−x si x ∈ QC

g(x) si x ∈ Q

g(x) = (−1)m si x =n

m(expresion mınima)

fn(x) = e[−1(1−1/n)x] n ≥ 1∀ n : |fn(x)| ≤ 1 fn

m−→ f fn −→ e−x

2. Sea Ak = {x|pk(x)} pk(x) proposicion Bk =⋃i≥k

Ai C =⋂k

Bk

P.D. Si x ∈ X \ C entonces existe N ∈ N tal que si n ≥ N se cumple ∼ pn(x)An ∧Bn ⊂ X Ak, Bk, C no necesariamente vacios

Ak = [−1/k, 1/k]

Ak = [−1, 1/k]

Bk =⋃i≥k

Ak

= [−1/k, 1/k]

Bk =⋃i≥k

Ak

= [−1, 1/k]

C =⋂k

Bi

= {0}C = [−1, 0]

=⋂k

Bi


X − C = X \⋂k

Bk

= X⋂(⋂

k

Bk

)

= X⋂(⋃

k

Bk

)=⋂k

(X⋂

Bk)

=⋃k

(X \Bk)

Variacion

Para una division (particion) de un intervalo [a, b] que sea a = t0 ⊂1⊂ . . . ⊂ tn = b (∆)

Se define V∆ =∑|f(ti)− f(ti+1)| T = sup

∆V∆

Ejemplo

Sea varR tan−1 x = π varR sinx = +∞var−π,π sinx = 4 var0,ε sin

(1

x

)var(a,b) fQ(x) = +∞

donde fQ =

{1 si x ∈ Q0 si x /∈ Q

fQ(x) =∑i∈N

1

Proposicion 28

Si f es monotona en [a, b] entonces var[a,b] f(x) = |f(b)− f(a)|D+ D+ D− D− f creciente (f ≥ 0)

Demostracion

Suponga que f no es creciente en (a, b), existe x, y ∈ (a, b) tal que x < y f(x) > f(y)

z = sup{t|f(t) > f(y)}= supMy

a. Sea z ∈My z 6= y z < y

f(z + ε) ≤ y z + ε ≤ y (z + ε) ∈ (z, y)

f(z + ε)− f(z) ≤ f(y)− f(y)

= 0

Para ε > 0 :f(z + ε)− f(z)

ε≤ 0

D+f ≤ 0 D+f ≤ 0Si f no es creiciente en (a, b) =⇒ D+f ≤ 0 ∧D+f ≤ 0 en algun z ∈ (a, b) ♦

b. Sea z /∈My f(z) ≤ f(y)z = supMy ∃ tn ∈My : tn −→ z si supA /∈ A =⇒ supA ∈ A′

z = supMy

= y

f(tn) > f(y) f(z) ≤ f(y)

f(z)− f(tn) < 0

f(z)− f(tn)

z − tn≤ 0 =⇒ D−f(z) ≤ 0 ∧D−f(z) ≤ 0

Si f es no creciente existe x < y tal quef(x) < f(y) =⇒ (D+f ∨D−f ∨D−f ∨D+f) ≤ 0 en algun punto ♦


Ejemplo

Sea f(x) =

{e− tanx2 si 0 ≤ x ≤ π

2

0 si x >π

2Mπ/2 = [0, π/2] supMπ/2 π/2 /∈Mπ/2

D−f(π/2) = 0 D−f(π/2) = 0

Teorema 29

Sean D+ ∧D− ∧D+ ∧D− son mayores que cero en todo (a, b) =⇒ f es creciente

Ejemplo

1. Sea f(x) =

{x+ 1 si x ≤ 0

x− 1 si x > 0

D+f ∧D+f no existe en 0, lo demas es mayor que ceroD−f(x) = 1 = D−f(x) > 0 f no crece y es continua

2. Sea f1(x) =

1

xsi x ∈ C − {0} = A⌊

13−x

⌋si x ∈ (0, 2) \ A

f : (0, 2) −→ R⌊

1

3− x

⌋= 0 si x ∈ (0, 2)

ess infx∈I

f(x) = 0 ess supx∈I

f(x) = 0

Sea f2(x) =

{1x2

si x ∈ A110

⌊10 sin

(1

x−2

)⌋si x ∈ (0, 2) \ A

−10 ≤⌊

10 sin

(1

x− 2

)⌋≤ 10

−1 ≤⌊

10 sin

(1

x− 2

)⌋≤ 1

lo alcanza infinitas veces en (2− ε, 2)

ess supx∈I

f2(x) = 1 ess infx∈I

f2(x) = 0

Sea f3(x) =

{1x2

si x ∈ A110

⌊10 sin

(1x

)⌋si x ∈ (0, 2) \ A

ess supx∈I

f3(x) = 1 ess infx∈I

f3(x) = 1

Si para algun n ∈ N :1

2nπ + π/2/∈ Cantor

Si no es ess sup f3(x) = 0.9(a, b) ∩ CC 6= ∅f−1

3 (−1) =⋃i

Ii para cada Ii : Ii \ C 6= ∅

Luego f3(x) = −1 en x ∈⋃i

Ii \ C 6= ∅

Sea f4(x) =

{1x2

si x ∈ A110

⌊10 sin

(1

x−2

)⌋− 15 si x ∈ (0, 2) \ A

ess sup f4(x) = −14 = infy=f

supIy ess inf f4(x) = −16 = sup

y=fsupIy

∫ b

a

f ≤ ess supx∈I

f(x)(b− a)


ess sup f(x) ≤ sup f(x)

Sea f(x) =

{arctanh(x)− 1 six ≤ 1

arctanh(x) + 1 six > 1

D−−f(x) = D+/−+/− arctanh(x) pues en (1− ε, 1) : f(x)− arctanh(x) = cte

D−− : (x0 − ε, x0) D++ : (x0, x0 + ε)

D+/−+/−f(x) = 1 si x 6= 0 D+

+f(x) = 1 si x = 0 D−−f(x) = −∞ si x = 0

3. Sea f(x) = ex + h(x) f : (1,+∞) −→ R h(x) = parbx2c h es discontinua en√n

n = 2, 3, . . .

D+/−+/− = D

+/−+/−(ex ± 1)

= ex si x 6=√n n = 2, 3, . . .

En x =√n para ε suficientemente pequeno ε =

√n+ 1−

√n

2Si y ∈ (x− ε, x) =⇒ h(x)− h(y) = ±2Si y ∈ (x, x+ ε) =⇒ h(y)− h(x) = 0

D+f(x) = limε→0+(ex+ε + h(x+ ε))− (ex + h(x))

ε

= limε→0+ex+ε − ex

ε

= limε→0+

ex+ε − ex

ε

= ex

= D+f(x)

D−f(x) = limε→0+(ex + h(x))− (ex−ε + h(x− ε))

ε

= limε→0+

(ex − ex−ε

ε

)+ limε→0+

(h(x)− h(x− ε)

ε

)= ex ±∞= ±∞= D−f(x)

∴ D++f(x) = ex

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