Grupos topologicos, filtraciones ycompletaciones

Manuel Ignacio Polli

2014

Resumen

En el presente trabajo describiremos el proceso general de completacion, elcual generaliza la construccion de los enteros p-adicos y la de las series for-males de potencias con coeficientes en un anillo. El trabajo esta dividido entres capıtulos. En el primero de ellos enunciaremos algunos resultados alge-braicos y definiremos los conceptos topologicos necesarios para desarrollarel tema. En el segundo capıtulo introduciremos la idea de completacion yveremos algunos ejemplos. El tercer capıtulo consistira en probar algunaspropiedades de la completacion, introduciendo previamente el concepto deanillo graduado. Finalizaremos probando que el anillo de series formales depotencias con coeficientes en un anillo A es noetheriano.

Indice general

1. Preliminares 21.1. Generalidades sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Generalidades sobre modulos y algebras asociativas . . . . . . 31.3. Condiciones de cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Conceptos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Grupos topologicos y completaciones 142.1. Topologıas, sucesiones y completaciones . . . . . . . . . . . . . 142.2. Dos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Anillos y modulos graduados 243.1. Definiciones y primeros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Los anillos graduados asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo veremos algunos resultados previos de la teoria de anillosconmutativos, modulos y algebras asociativas, ası como tambien recordare-mos otros ya vistos en la teorıa, los cuales enunciaremos sin demostracion.Comenzaremos con resultados basicos sobre ideales maximales. Luego vere-mos algunas generalidades sobre modulos; daremos una idea de la prueba dellema de la serpiente y ciertas construcciones basicas sobre producto tenso-rial de modulos. Finalmente expondremos algunos resultados basicos sobrecondiciones de cadena y noetherianos.

1.1. Generalidades sobre anillos

Definicion 1.1.1. Sea A un anillo, I un ideal de A. Diremos que I es maxi-mal si I 6= A y no existe ningun ideal I’ tal que I ⊂ I ′ ⊂ A.

Proposicion 1.1.1. Si I es un ideal de un anillo A, A/I es cuerpo si y solosi I es maximal.

Teorema 1.1.2. Todo anillo no trivial A tiene, por lo menos, un ideal ma-ximal.

Corolario 1.1.3. Si I 6= A es un ideal de A entonces existe un ideal maximalde A que contiene a I.

Corolario 1.1.4. Todo elemento de A que no es unidad esta contenido enalgun ideal maximal.

Definicion 1.1.2. Si un anillo A tiene exactamente un ideal maximal, dire-mos que es un anillo local.

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Proposicion 1.1.5. 1. Sea A un anillo y sea I 6= A un ideal de A tal quecada x ∈ A− I es una unidad en A. Entonces A es un anillo local e Isu ideal maximal.

2. Sea A un anillo e I un ideal maximal de A tal que cada elemento de1 + I es una unidad en A. Entonces A es un anillo local.

Demostracion. 1. Razonando por el contrarrecıproco, cada ideal de Aesta formado por elementos que no son unidades y por lo tanto esta con-tenido en I. Entonces I es el unico ideal maximal de A.

2. Sea x ∈ A − I. Como I es maximal, el ideal generado por I y x esA, entonces existe y ∈ A y t ∈ I tales que xy + t = 1; por lo tantoxy ∈ 1 + I y entonces es una unidad (y por lo tanto x lo es). Aplicando1. resulta la tesis.

Definicion 1.1.3. Llamaremos radical de Jacobson de A a la interseccionde todos los ideales maximales de A.

Proposicion 1.1.6. Si R denota al radical de Jacobson de A, x ∈ R si ysolo si 1− xy es una unidad en A, para todo y ∈ A.

Demostracion. Supongamos que 1− xy no es unidad. Segun 1.1.4 pertenecea algun ideal maximal I; pero x ∈ R ⊆ I, entonces 1 ∈ I, lo cual es imposiblepues si ası fuera, serıa I = A.

Recıprocamente, supongamos que x /∈ I para algun ideal maximal I.Entonces I y x generan A, con lo cual u+ xy = 1 para algun u ∈ I e y ∈ A.Entonces 1− xy ∈ I y en consecuencia no es unidad.

1.2. Generalidades sobre modulos y algebras

asociativas

Definicion 1.2.1. Sea A un anillo. Diremos que un A-modulo M es libre sies isomorfo a uno de la forma

⊕i∈IMi, donde Mi

∼= A (como A-modulo).

Proposicion 1.2.1. M es un A-modulo finitamente generado si y solo si esisomorfo a un cociente de An, para algun n > 0.

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Demostracion. ⇒) Sea x1, ..., xn un conjunto de generadores deM . Definimosφ : An → M dado por φ(a1, ..., an) = a1x1 + ... + anxn. Resulta que φ es unepimorfismo de An en M y por lo tanto M ∼= An/Ker(φ).⇐) Tenemos por hipotesis un epimorfismo φ : An →M .

Si ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (1 en el lugar i-esimo), (ei)16i6n generan An y porlo tanto (φ(ei))16i6n generan M .

Proposicion 1.2.2. Sea M un A-modulo finitamente generado, I un idealde A y φ un endomorfismo en M tal que φ(M) ⊆ IM . Entonces φ cumpleuna ecuacion de la forma

φn + a1φn−1 + ...+ an = 0

con ai ∈ I.

Demostracion. Sea x1, ..., xn un conjunto de generadores de M . Cada φ(xi) ∈IM entonces φ(xi) =

∑nj=1 aijxj (1 6 i 6 n, aij ∈ I). Entonces,

n∑j=1

(δijφ− aij)xj = 0

(δij es la delta de Kronecker). Multiplicando por la adjunta de la matriz(δijφ−aij) resulta que det(δijφ−aij) anula las xi y por lo tanto es el morfismocero de M . Desarrollando el determinante resulta la ecuacion buscada.

Corolario 1.2.3. Sea M un A-modulo finitamente generado y sea I un idealde A tal que IM = M . Entonces existe x ≡I 1 tal que xM = 0.

Demostracion. Tomando φ = identidad y x = 1+a1+...+an en la proposicionanterior resulta el corolario.

Definicion 1.2.2. Sean M, N y P tres A-modulos. Diremos que una apli-cacion f : M × N → P es A-bilineal si para cada x ∈ M la aplicaciony 7→ f(x, y) de N en P es A-lineal y para cada y ∈ N la aplicacion x 7→ f(x, y)de M en P es A-lineal.

Definicion 1.2.3. Sean M y N A-modulos. Diremos que el par (T,g), dondeT es un A-modulo y g : M × N → T es una aplicacion A-bilineal, es unproducto tensorial de M y N si para cada A-modulo P y cualquier aplicacionA-bilineal f : M ×N → P , existe una unica aplicacion A-lineal f ′ : T → Pque hace conmutar el siguiente diagrama

4

M ×N f //

g

��

P

Tf ′

;;

Proposicion 1.2.4. Sean M y N A-modulos. Existe el producto tensorial deM y N y es unico, salvo isomorfismos.

Demostracion. La prueba de la unicidad es la usual para los objetos queverifican propiedades universales y la omitiremos. Daremos entonces una ideade su construccion.

Sea C el A-modulo libre AM×N . Sus elementos son combinaciones linealesfinitas formales de elementos de M × N con coeficientes en A. Es decir,objetos de la forma

∑ni=1 ai.(xi, yi), donde ai ∈ A, xi ∈ M y yi ∈ N . Sea D

el submodulo de C generado por elementos de los siguientes tipos:

(x+ x′, y)− (x, y)− (x′, y)

(x, y + y′)− (x, y)− (x, y′)

(ax, y)− a.(x, y)

(x, ay)− a.(x, y)

Sea T = C/D. Si (x, y) ∈ M × N , indicaremos por x ⊗ y su imagen en T .Entonces T esta generado por los elementos de la forma x⊗ y y aplicando ladefinicion resulta que

(x+ x′)⊗ y = x⊗ y + x′ ⊗ y

x⊗ (y + y′) = x⊗ y + x⊗ y′

(ax)⊗ y = x⊗ (ay) = a.(x⊗ y)

Esto es decir que la aplicacion g : M ×N → T definida por g(x, y) = x⊗ yes A-bilineal.

Supongamos que f es una funcion de M×N en un A-modulo P ; entoncesf se extiende linealmente a un morfismo de modulos f : C → P (propiedaduniversal de los modulos libres).

Si f es A-bilineal, resulta que se anula en los generadores de D (y porlo tanto en D), induciendo ası un morfismo f ′ de T = C/D en P tal quef ′(x⊗ y) = f(x, y), y la misma es unica (propiedad universal del cociente).

Resulta entonces que el par (T, g) satisface las condiciones de la definicionanterior, como se querıa.

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Observacion 1.2.5. 1. Al producto tensorial de dos A-modulos M y N ,que acabamos de ver que existe y es unico salvo isomorfismos, lo deno-taremos por M ⊗AN o simplemente M ⊗N si el anillo A sobre el quese tensoriza fue previamente especificado.

2. Si (xi)i∈I y (yi)i∈I son familias de generadores de M y N respectiva-mente entonces los elementos xi⊗ yi generan M ⊗N . En particular, siM y N son finitamente generados entonces tambien lo es M ⊗N .

3. Si partimos de aplicaciones multilineales f : M1×...×Mr → P (linealesen cada variable), podemos definir el producto multi-tensorial M1⊗ ...⊗Mr de manera analoga a lo anterior.

4. Es necesario especificar el producto al que pertenece un tensor x⊗y paraevitar ambiguedades. Por ejemplo, tomemos A = Z, M = Z, N = Z2,M ′ = 2Z y N ′ = N . Si consideramos el elemento 2⊗1, resulta que estees cero como elemento de M ⊗N , pues 2⊗ 1 = 1⊗ 2 · 1 = 1⊗ 0 = 0.Sin embargo, no es cero como elemento de M ′ ⊗N ′.

Proposicion 1.2.6. Sean M , N y P A-modulos. Existen isomorfismos uni-cos

M ⊗N → N ⊗M(M ⊗N)⊗ P →M ⊗ (n⊗ P )→M ⊗N ⊗ P

M ⊕N)⊗ P → (M ⊗ P )⊕ (N ⊗ P )

A⊗M →M

tales quex⊗ y 7→ y ⊗ x

(x⊗ y)⊗ z 7→ x⊗ (y ⊗ z) 7→ x⊗ y ⊗ z(x, y)⊗ z 7→ (x⊗ z, y ⊗ z)

a⊗ x 7→ ax.

Omitimos demostracion.

Observacion 1.2.7. Si f : M → M ′, g : N → N ′ son morfismos de A-modulos y definimos h : M ×N → M ′ ×N ′ como h(x, y) = (f(x), g(y)), esfacil ver que h es A-bilineal y por propiedad universal del producto tensorialinduce un morfismo de A-modulos

f ⊗ g : M ⊗N →M ′ ⊗N ′

tal quef ⊗ g(x⊗ y) = f(x)⊗ g(y)

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Proposicion 1.2.8. Sea

M ′ f //Mg //M ′′ // 0

una secuencia exacta de A-modulos y sea N un A-modulo cualquiera. En-tonces la secuencia

M ′ ⊗N f⊗1 //M ⊗N g⊗1 //M ′′ ⊗N // 0

(1 es la identidad en N), es exacta.Omitimos demostracion.

Observacion 1.2.9. Si M ′ → M → M ′′ es una secuencia de A-modulos,no es cierto en general que para un A-modulo arbitrario N , la secuenciatensorizada

M ′ ⊗N //M ⊗N //M ′′ ⊗N

sea exacta. Veamos un contraejemplo: Sea A = Z y consideremos la secuencia0→ Z→ Z, donde f : Z→ Z esta dada por f(x) = 2x. Si tensorizamos conZ2, la secuencia

0 // Z⊗ Z2f⊗1 // Z⊗ Z2

no es exacta; en efecto, si x⊗ y ∈ Z⊗ Z2,

(f ⊗ 1)(x⊗ y) = 2x⊗ y = x⊗ 2y = x⊗ 0 = 0

es decir, f ⊗ 1 es el morfismo nulo en Z⊗Z2, y por lo tanto no es inyectivo.

Definicion 1.2.4. Si N es un A-modulo con la propiedad de que todas lassecuencias exactas se transforman en secuencias exactas tensorizando con el,diremos que N es un A-modulo plano.

Proposicion 1.2.10. Sea N un A-modulo. N es plano si y solo si paracualquier secuencia exacta corta

0 //M ′ //M //M ′′ // 0

de A-modulos, la secuencia tensorizada

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0 //M ′ ⊗N //M ⊗N //M ′′ ⊗N // 0

es exacta.Omitimos demostracion.

Definicion 1.2.5. Sea f : A→ B un morfismo de anillos. Si a ∈ A y b ∈ B,se define un producto

ab = f(a)b.

Con este producto el anillo B se convierte en un A-modulo, y estas dosestructuras son compatibles. El anillo B dotado de esta estructura de A-modulo se denomina una A-algebra asociativa, o simplemente A-algebra.

Definicion 1.2.6. Sean f : A → B y g : A → C dos morfismos de anillos.Llamaremos morfismo de A-algebras a cualquier morfismo de anillos h : B →C, que sea a su vez morfismo de A-modulos.

Definicion 1.2.7. Sea B una A-algebra y sea f : A → B el morfismo deanillos que la define. Diremos que B es una A-algebra finitamente generada,si existe un conjunto de elementos x1, ..., xn ∈ B tales que cualquier elementode B puede escribirse como un polinomio en x1, ..., xn con coeficientes enf(A); equivalentemente, si existe un epimorfismo de A-algebras del anillo depolinomios A[t1, ..., tn] en B.

Lema 1.2.11 (de la serpiente). Sea

0 //

��

M ′ u //

f ′

��

Mv //

f��

M ′′ //

f ′′

��

0

��0 // N ′

u′// N

v′// N ′′ // 0

un diagrama conmutativo de A-modulos y morfismos, con las filas exactas.Entonces existe una secuencia exacta

0 // Ker(f ′) u // Ker(f) v // Ker(f ′′) −→d

−→d Coker(f ′)u′// Coker(f)

v′// Coker(f ′′) // 0

en la que u, v son restricciones de u, v, y u′, v′ son inducidas por u’, v’.

Demostracion. La prueba del lema es un caso tıpico de seguimiento de diagra-ma y no la desarrollaremos aquı. En cambio nos conformaremos con definirel morfismo d, al que llamaremos morfismo de borde. El mismo se define

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como sigue: Si x′′ ∈ Ker(f ′′), se tiene x′′ = v(x) para algun x ∈ M yv′(f(x)) = f ′′(v(x)) = 0, de modo que f(x) ∈ Ker(v′) = Im(u′) y por lotanto f(x) = u′(y′) para algun y′ ∈ N ′. Se define entonces d(x′′) como laclase de y’ en Coker(f ′). La prueba de que d esta bien definido y que haceexacta la secuencia sale tambien siguiendo el diagrama.

1.3. Condiciones de cadena

Definicion 1.3.1. Sea M un A-modulo. Diremos que M es noetheriano (porEmmy Noether) si para toda cadena ascendente de submodulos M1 ⊆ M2 ⊆... ⊆ Mr ⊆ ... existe n ∈ N tal que Mi = Mn para todo i > n. La condicionanterior se llama condicion de cadena ascendente.

Diremos que un anillo A es noetheriano si lo es como A-modulo, es decir,si cumple la condicion de cadena ascendente en los ideales.

Proposicion 1.3.1. M es un A-modulo noetheriano si y solo si cada submodu-lo de M es finitamente generado.

Demostracion. ⇒ ) Sea N un submodulo de M y sea Σ el conjunto de todoslos submodulos de M finitamente generados. Entonces Σ 6= � (0 ∈ Σ) ypor hipotesis toda cadena en Σ esta acotada superiormente. Segun Zorn,Σ tiene un elemento maximal N0. Si N0 6= N , consideremos el submoduloN0 +Ax donde x ∈ N y x /∈ N0; este es finitamente generado y contiene N0

estrictamente, lo que contradice el hecho de que N0 es maximal en Σ. Luego,N = N0 y todo submodulo es finitamente generado.⇐ ) Sea M1 ⊆ M2 ⊆ ... una cadena ascendente de submodulos de M .

Entonces N =⋃∞n=1 Mn es submodulo de M y en consecuencia finitamente

generado. Sea x1, ..., xr un conjunto de generadores de N . Si xi ∈ Mni, sea

n = maxri=1 ni; entonces cada xi ∈Mn y ası Mn = M y la cadena se para.

Proposicion 1.3.2. Sea

0 //M ′ α //Mβ //M ′′ // 0

una secuencia exacta de A-modulos. Entonces M es noetheriano si y solo siM ′ y M ′′ son noetherianos.

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Demostracion. ⇒ ) Una cadena ascendente de submodulos de M ′ o M ′′ in-duce una cadena en M , que se para por ser M noetheriano y por lo tanto lacadena original se para tambien.⇐ ) Sea Mn una cadena ascendente de submodulos de M ; entonces

α−1(Mn) es una cadena en M ′ y β(Mn) es una cadena en M ′′. Para n sufi-cientemente grande ambas cadenas se paran y por lo tanto Mn tambien lohace.

Corolario 1.3.3. Si Mi, 1 6 i 6 n, son A-modulos noetherianos, tambien loes

⊕ni=1Mi.

Demostracion. Consideremos la secuencia exacta

0 //Mn//⊕n

i=1Mi//⊕n−1

i=1 Mi// 0

Aplicando induccion y la proposicion anterior resulta la tesis.

Proposicion 1.3.4. Sea A un anillo noetheriano y M un A-modulo finita-mente generado. Entonces M es noetheriano.

Demostracion. M es un cociente de An para algun n; supongamos M =An/A′ donde A′ es un submodulo de An. Segun el corolario anterior, An esnoetheriano y por lo tanto la secuencia

0 // A′ // An // An/A′ // 0

esta en las condiciones de la proposicion 1.3.2, con lo cual An/A′ = M esnoetheriano.

Proposicion 1.3.5. Si A es noetheriano e I es un ideal de A entonces A/Ies noetheriano.

Demostracion. Aplicando 1.3.2 a la secuencia

0 // I // A // A/I // 0

resulta que A/I es noetheriano como A-modulo y por lo tanto como (A/I)-modulo.

Proposicion 1.3.6. Si A es un anillo noetheriano y φ : A → B es unepimorfismo de anillos entonces B es noetheriano.

Demostracion. Como B ∼= A/Ker(φ), la proposicion se deduce de 1.3.5.

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Proposicion 1.3.7. Sea A un subanillo de B. Si A es noetheriano y Bes finitamente generado como A-modulo entonces B es noetheriano (comoanillo).

Demostracion. Por 1.3.4 B es noetheriano como A-modulo y por lo tantotambien como B-modulo.

Teorema 1.3.8 (de la base de Hilbert). Si A es un anillo noetheriano en-tonces el anillo de polinomios A[x] es noetheriano.

Demostracion. Sea I un ideal de A[x]. Los coeficientes principales de lospolinomios de I forman un ideal J de A. Como A es noetheriano, J es fini-tamente generado; sea a1, ..., an un conjunto de generadores de J . Para cadai = 1, ..., n existe un polinomio fi ∈ A[x] de la forma fi = aix

ri+(terminosde menor grado). Sea r = maxni=1 ri y sea I ′ ⊆ I el ideal generado por los fi.

Sea f = axm+(terminos de menor grado) un elemento de I; entoncesa ∈ J . Si m > r, supongamos que a =

∑ni=1 uiai, donde ui ∈ A; entonces

f −∑uifix

m−ri ∈ I y tiene grado menor que m. Procediendo como antes sepueden restar polinomios de I ′ hasta obtener un polinomio g de grado menorque r, es decir, f = g + h, h ∈ I ′.

Sea M un A-modulo generado por 1, x, ..., xr−1; por lo anterior tenemosque I = (I ∩M)+ I ′. M es un A-modulo finitamente generado y por lo tantoes noetheriano, entonces I ∩M es finitamente generado como A-modulo. Sig1, ..., gm generan I ∩M , por ser I = (I ∩M) + I ′, resulta que las fi y las gigeneran I. Luego I es finitamente generado y A[x] es noetheriano, como sequerıa.

Corolario 1.3.9. Si A es noetheriano entonces A[x1, ..., xn] es noetheriano.

Demostracion. Sale por induccion, iterando el teorema.

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1.4. Conceptos topologicos

Definicion 1.4.1. Sea X un conjunto. Diremos que un subconjuntoτ ⊆ P (X) es una topologıa en X si cumple:

1. ∅ ∈ τ , X ∈ τ .

2. Cada union arbitraria de elementos de τ es elemento de τ .

3. Cada interseccion finita de elementos de τ es elemento de τ .

Llamaremos espacio topologico a cualquier par (X, τ) donde τ es una topo-logıa en X. Diremos que un subconjunto U ⊆ X es abierto si U ∈ τ .

Si x ∈ X, diremos que un conjunto A ⊆ X es un entorno de X si existeun abierto U ⊆ X tal que x ∈ U ⊆ A.

Definicion 1.4.2. Sea (X, τ) un espacio topologico. Diremos que un conjuntoR ⊆ X es cerrado si Rc es abierto.

Definicion 1.4.3. Sea (X, τ) un espacio topologico y sea A ⊆ X. Definimosla clausura de A y denotamos A como el conjunto

A = {x ∈ X | ∀Ux,∃y ∈ A ∩ Ux}

donde Ux es un entorno de x.

Definicion 1.4.4. Diremos que un espacio topologico (X, τ) es discreto siτ = P (X).

Definicion 1.4.5. Sean (X, τX) y (Y, τY ) espacios topologicos. Diremos queuna funcion f : X → Y es continua, si la imagen inversa de cada abiertode Y es abierto de X. Si f es continua, biyectiva y su inversa es continua,diremos que es un homeomorfismo.

Definicion 1.4.6. Sea (X, τ) un espacio topologico. Diremos que una familiaβ ⊆ τ es una base para τ si todo abierto es union de elementos de β.

Observacion 1.4.1. Sea (X, τ) espacio topologico y β base para τ . Si U ∈ τy x ∈ U entonces existe Uα ∈ β tal que x ∈ Uα ⊆ U .

Teorema 1.4.2. Dada una familia Σ = {Uα/α ∈ A} de subconjuntos de X,existe una unica, menor topologıa τ(Σ) que la contiene.

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Demostracion. La topologıa buscada consiste en ∅, X, intersecciones finitasde los Uα y uniones arbitrarias de estas intersecciones finitas. Para ver queesta es la menor tooplogıa que contiene a Σ, notar que la topologıa descriptaes la interseccion de todas las topologıas que cumplen esa propiedad.

Definicion 1.4.7. Sea (X, τ) un espacio topologico. Si τ = τ(Σ), para unafamilia Σ de subconjuntos de X, diremos que Σ es una subbase para τ .

Definicion 1.4.8. Sea {Xα/α ∈ A} una familia de espacios topologicos.Para cada α ∈ A, sea τα la topologıa de Xα. La topologıa producto en

∏αXα

es la que tiene como subbase a los conjuntos de la forma 〈Uβ〉 = p−1β (Uβ),

donde Uβ ∈ τβ y β ∈ A.

Definicion 1.4.9. Diremos que el espacio topologico (X, τ) es Hausdorff sidados x, y ∈ X, existen abiertos disjuntos Ux, Uy tales que x ∈ Ux e y ∈ Uy.

Proposicion 1.4.3. Un espacio topologico (X, τ) es Hausdorff si y solo siel conjunto diagonal

∆ = {(x, x)/x ∈ X}

es cerrado en X ×X (con la topologıa producto).

Demostracion. ⇒) Sea (x, y) /∈ ∆; como x 6= y y X es Hausdorff, existen Ux,Uy tales que Ux ∩ Uy = ∅, x ∈ Ux e y ∈ Uy. Ası, Ux × Uy ⊆ ∆c y es abierto,por lo tanto ∆c es abierto y ∆ es cerrado.⇐) Sean x, y ∈ X tales que x 6= y. Como (x, y) ∈ ∆c y ∆c es abierto,

existe un abierto de la base contenido en U que contiene a (x, y), de la formaUx × Uy. Estos abiertos Ux y Uy verifican la definicion de Hausdorff para elespacio X.

Proposicion 1.4.4. Sea (X, τ) un espacio topologico, R una relacion deequivalencia en X y X/R el conjunto cociente. La familia

{U ⊆ X/R/p−1(U) ∈ τ}

define una topologıa en X/R.

Definicion 1.4.10. A la topologıa definida sobre X/R en la proposicionanterior la llamaremos topologıa cociente.

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Capıtulo 2

Grupos topologicos ycompletaciones

En este capıtulo comenzaremos probando resultados basicos sobre grupostopologicos. Luego definiremos la completacion de un grupo topologico ydemostraremos su existencia y unicidad, centrando la atencion en cierta clasede grupos, a saber, los que tienen una base de entornos de {0} formada porsubgrupos, que resultan ser los casos interesantes desde el punto de vistaalgebraico. Finalizaremos dando dos ejemplos basicos: los enteros p-adicos ylas series de potencias con coeficientes en un anillo.

2.1. Topologıas, sucesiones y completaciones

Definicion 2.1.1. Diremos que un conjunto G es un grupo abeliano topologi-co si es un grupo abeliano y a la vez espacio topologico, de manera tal quelas funciones

G×G→ G

(x, y) 7→ x+ y

yG→ G

x 7→ −x

son continuas.

Observacion 2.1.1. 1. Si {0} es cerrado en G entonces la diagonal ∆ escerrada en G×G y por lo tanto G es Hausdorff.

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2. Si a ∈ G entonces la traslacion Ta dada por Ta(x) = x + a es unhomeomorfismo de G en G. En efecto, Ta es continua y su inversa esT−a, que es tambien continua.

3. En virtud de 2, si U es un entorno de 0 ∈ G entonces U + a es un en-torno de a y todo entorno de a presenta esa forma; es decir, la topologıade G esta determinada por los entornos de 0 ∈ G.

Lema 2.1.2. Sea H la interseccion de todos los entornos de 0 en G. Entonces

1. H es un subgrupo.

2. H = {0}.

3. G/H es Hausdorff.

4. G es Hausdorff si y solo si H = 0.

Demostracion. 1. Sale en virtud de la continuidad de las operaciones degrupo.

2. x ∈ H ⇔ x ∈ U , para cualquier entorno U de 0 ⇔ 0 ∈ x − U paratodos los entornos de 0 ⇔ x ∈ {0}.

3. Por 2., 0 es cerrado en G/H y por 1. de la observacion anterior, G/Hes Hausdorff.

4. Por 3., si H = 0, G/H es Hausdorff. El recıproco es trivial por definicionde espacio Hausdorff.

Definicion 2.1.2. Sea G un grupo topologico. Diremos que una sucesion(xn)n es una sucesion de Cauchy, si para todo entorno U de 0, existe s(U) ∈N tal que xn − xm ∈ U siempre que m,n > s(U).

Diremos que (xn)n converge a x ∈ G si para todo entorno U de x existes(U) ∈ N tal que xn ∈ U siempre que n > s(U).

Es inmediato ver que toda sucesion convergente es de Cauchy. Si se cum-ple el recıproco, diremos que G es completo.

Definicion 2.1.3. Diremos que un conjunto A es un anillo topologico, si esanillo y a la vez espacio topologico de manera tal que

A× A→ A

(x, y) 7→ x+ y

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yA× A→ A

(x, y) 7→ x.y

son continuas. Diremos que un A-modulo M es un A-modulo topologico sies grupo topologico y ademas A×M →M es continua.

Definicion 2.1.4. Sea M un A-modulo. Llamaremos filtracion de M a cual-quier cadena infinita

M = M0 ⊇M1 ⊇ ... ⊇Mn ⊇ ...

donde los Mn son submodulos de M .

Observacion 2.1.3. A partir de ahora consideraremos solamente moduloscuya topologıa esta dada por una base de entornos de 0 formada por unacoleccion numerable de submodulos; es decir, una filtracion

M = M0 ⊇M1 ⊇M2 ⊇ ... ⊇Mn ⊇ ...

y U ⊆M es entorno de 0 si y solo si contiene a algun Mn.Notemos que en estas topologıas los Mn son a la vez abiertos y cerrados.

En efecto, si x ∈ Mn, x + Mn ⊆ Mn y es un entorno de x, luego Mn esabierto. Por otra parte, M −Mn =

⋃h/∈Mn

(h + Mn), que es abierto por serunion de abiertos y por lo tanto Mn es cerrado.

Ademas notemos que por ser Mn abierto, el modulo M/Mn con la topo-logıa cociente resulta un espacio discreto.

Proposicion 2.1.4. Sea M un A-modulo filtrado por (Mn). Si M es com-pleto con la topologıa inducida por (Mn), una serie

∑∞n=0 xn converge en M

si y solo si la sucesion (xn) converge a 0.

Demostracion. Si la sucesion de sumas parciales Sn converge a un x ∈ Mentonces lımn→∞(Sn − Sn−1) = lımn→∞ xn = 0. Recıprocamente, si xn → 0entonces para todo n, existe un N tal que si k > N , xk ∈ Mn. Entoncesxk + xk+1 + ... + xk+i ∈ Mn para todo i > 0, es decir, la sucesion de sumasparciales es de Cauchy, con lo cual converge, por ser M completo.

Definicion 2.1.5. Sea A un anillo y M un A-modulo con topologıa defini-da por una filtracion (Mn). Llamaremos completacion de M a cualquier A-

modulo topologico M , completo, junto con un morfismo continuo ϕ : M → Mcon la siguiente propiedad universal: para cualquier A-modulo completo M ′ ycualquier morfismo continuo f : M →M ′, existe un unico morfismo continuof : M →M ′ que hace conmutar el siguiente diagrama

16

Mf //

ϕ

��

M ′

Mf

>>

Proposicion 2.1.5. El completado M de M existe y es unico, salvo isomor-fismos.

Demostracion. La unicidad es consecuencia inmediata de la propiedad uni-versal que verifica la completacion.

Para probar la existencia introduciremos primero el concepto de lımiteinverso. Sea Mn una secuencia de modulos y morfismos πn+1 : Mn+1 → Mn.Llamaremos a esto sistema inverso y al conjunto de todas las sucesionescoherentes (mn), es decir mn ∈Mn y πn+1(mn+1) = mn, con la estructura demodulo heredada del producto cartesiano, lo llamaremos lımite inverso delsistema y lo denotamos limMn. Si los morfismos πn son siempre suryectivos,diremos que estamos en presencia de un sistema suryectivo.

Volviendo a la demostracion, sea Mn la filtracion que define la topologıade M . Llamemos M al lımite inverso del sistema (M/Mn), es decir,

M = limM/Mn = {(x1, x2, ...) ∈∏n

M/Mn | xj ≡ xi(modMi),∀j > i}

SeanMn = {(x1, x2, ...) ∈ M | xj = 0,∀j 6 n}

y sea ϕ : M → M , definida de la manera obvia. Dotemos a M de la topologıainducida por la filtracion Mn, conocida como “topologıa de Krull”.

Sea (ak)k ⊂ M , una sucesion de Cauchy. Por definicion de sucesion de

Cauchy, existe k1 tal que si k, l > k1 entonces ak−al ∈ M1; tomemos x1 = a1k1

.

Igual que antes, existe k2 > k1 tal que si k, l > k2 entonces ak − al ∈ M2;tomemos x2 = a2

k2. Notemos que

x2 = a2k2≡ a1

k2(modM1)

ya1k2≡ a1

k1(modM1)

entoncesx2 ≡ x1(modM1)

i.e.,π2(x2) = x1

17

Siguiendo inductivamente, existe kn > kn−1 tal que si k, l > kn entonces

ak − al ∈ Mn y tomamos xn = ankn . En general, vale que πn+1(xn+1) = xn y

por lo tanto si definimos a = (xk)k resulta que a ∈ M . Ademas, si n ∈ N y

k > kn entonces ak − a ∈ Mn. Luego, ak converge a a.Sea M ′ un A-modulo completo y f : M → M ′ un morfismo continuo. Si

x = (x1, x2, ...) ∈ M (xn ∈ M/Mn), elijamos una preimagen xn de xn en M .Entonces la sucesion (xn)n es de Cauchy en M y por lo tanto (f(xn))n es deCauchy en M ′. Entonces lım f(xn) existe en M ′ y es facil ver que no depende

de la eleccion de xn. Si tomamos f(x) = lım f(xn) obtenemos f : M →M ′ ,como se querıa.

Observacion 2.1.6. De la construccion de M se ve que ϕ es inyectivo si ysolo si M es Hausdorff.

Definicion 2.1.6. Sean {An}, {Bn} y {Cn} sistemas inversos. A un diagra-ma conmutativo de secuencias exactas de la forma

0 // An+1//

��

Bn+1//

��

Cn+1//

��

0

0 // An // Bn// Cn // 0

lo llamaremos secuencia exacta de sistemas inversos.

Observacion 2.1.7. Una secuencia exacta de sistemas inversos induce mor-fismos

0 // limAn // limBn// limCn // 0

Proposicion 2.1.8. Si

0 // {An} // {Bn} // {Cn} // 0

es una secuencia exacta de sistemas inversos entonces

0 // limAn // limBn// limCn

es siempre exacta. Si ademas {An} es un sistema suryectivo entonces

0 // limAn // limBn// limCn // 0

18

es exacta.

Demostracion. Sea A =∏∞

n=1An y sea dA : A→ A dada por

dA(an) = an − πn+1(an+1).

Entonces Ker(dA) ∼= limAn. Se definen B,C, dB y dC analogamente. Lasecuencia de sistemas inversos define un diagrama conmutativo de secuenciasexactas

0 // A //

dA

��

B //

dB

��

C //

dC

��

0

0 // A // B // C // 0

y en virtud de 1.2.11 se tiene una secuencia exacta

0 // Ker(dA) // Ker(dB) // Ker(dC) −→−→ Coker(dA) // Coker(dB) // Coker(dC) // 0

lo que prueba la primera parte. Para terminar debemos ver que si {An} esun sistema suryectivo entonces dA es suryectiva (y ası Coker(dA) = 0). Peroesto equivale a resolver inductivamente las ecuaciones

xn − πn+1(xn+1) = an

para xn ∈ An, dados an ∈ An.

Corolario 2.1.9. Sea

0 //M ′ //Mp //M ′′ // 0

una secuencia exacta de A-modulos. Si M tiene la topologıa inducida por unafiltracion Mn y le damos a M ′ y M ′′ las topologıas inducidas, es decir, lasdadas por las filtraciones (M ′ ∩Mn) y (p(Mn)), entonces

0 // M ′ // M // M ′′ // 0

es exacta.

19

Demostracion. La propiedad universal del cociente induce morfismos

M ′/M ′ ∩Mn →M/Mn

yM/Mn →M ′′/p(Mn)

que hacen exacta la secuencia

0 //M ′/M ∩Mn//M/Mn

//M ′′/p(Mn) // 0.

Aplicando 2.1.8 a la misma resulta la tesis.

Corolario 2.1.10. Mn es un submodulo de M y

M/Mn∼= M/Mn

Demostracion. Si tomamos M ′ = Mn en 2.1.8, resulta M ′′ = M/Mn, que es

discreto, entonces M ′′ = M ′′ = M/Mn. Por otra parte, M ′′ = M/Mn, de lo

que resulta M/Mn∼= M/Mn, como se querıa.

Corolario 2.1.11.M = M

Demostracion. Tomar lımite inverso en 2.1.10.

Definicion 2.1.7. Sea A un anillo, I un ideal de A. Llamaremos topologıaI-adica a la inducida por la filtracion (In). Si M es un A-modulo, llamaremostopologıa I-adica a la inducida por (InM). Recordemos que InM consiste entodas las sumas finitas de productos a.m con a ∈ I y m ∈ M y resulta unsubmodulo de M.

Observacion 2.1.12. Con la topologıa I-adica, dado que los In son ideales,A resulta un anillo topologico. Segun 2.1.2, la topologıa es Hausdorff si y solosi

⋂In = 0. El completado A es tambien un anillo topologico y φ : A → A

es un morfismo cuyo nucleo es⋂In.

El completado M de un A-modulo con la topologıa I-adica es tambien unA-modulo topologico.

Definicion 2.1.8. Sea M un A-modulo, I un ideal de A. Diremos que unafiltracion M = M0 ⊇M1 ⊇ ... ⊇Mn ⊇ ... es una I-filtracion si IMn ⊆Mn+1

para todo n. Diremos que es I-filtracion estable si IMn = Mn+1 para todo nsuficientemente grande.

Observacion 2.1.13. InM es una I-filtracion estable.

20

Lema 2.1.14. Si (Mn) y (M ′n) son I-filtraciones estables de M , entonces

tienen diferencia acotada; es decir, existe un entero n0 tal que Mn+n0 ⊆ M ′n

y M ′n+n0

⊆Mn para todo n > n0. Por lo tanto todas las I-filtraciones establesdeterminan la misma topologıa, que es la I-topologıa.

Demostracion. Basta tomar M ′n = InM . Como IMn ⊆ In+1 para todo n,

resulta IM = IM0 ⊆ M1, I2M ⊆ IM1 ⊆ M2 e inductivamente InM ⊆ Mn

para todo n. Por otra parte, sea n0 ∈ N tal que IMn = Mn+1 para todon > n0. Resulta Mn+n0 = InMn0 ⊆ InM .

21

2.2. Dos ejemplos

Ejemplo 2.2.1 (Enteros p-adicos).

Llamaremos entero p-adico a cualquier serie formal

α = a0 + a1p+ a2p2 + ...

donde 0 6 ai 6 p− 1 y denotaremos dicho conjunto por Zp. La suma en Zpse efectua como si estuviesemos sumando en base p. Veamos un ejemplo enZ2: Si

m = 1 + 1 · 2 + 0 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 + 1 · 25 + ...

yn = 0 + 1 · 2 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 + 0 · 25 + ...

entonces

m+ n = 1 + 0 · 2 + 0 · 22 + 1 · 23 + 0 · 24 + 0 · 25 + 1 · 26 + ...

Es inmediato verificar que esta suma hace de Zp un grupo abeliano. Si trun-camos un elemento α ∈ Zp en su termino k-esimo obtenemos

αk = a0 + a1p+ ...+ ak−1pk−1

que lo podemos considerar como un elemento de Z/pkZ. Este proceso inducemorfismos

Zp → Z/pkZ

De esta manera a cada entero p-adico le podemos asociar una sucesion biendefinida (αk)k que cumple que αk ≡ αk−1 (mod pk).

Por otra parte, una sucesion (αk)k que cumpla que αk ≡ αk−1 (mod pk),define un unico entero p-adico (lo construımos haciendo ao = α0, a1 es elunico entero que cumple que α1 = a0 + a1p y sucesivamente).

Ası, tenemos una biyeccion

Zp ∼= limZ/pkZ

que es claramente un isomorfismo. De esta manera, hemos probado que Zpes el completado de Z con la topologıa p-adica.

22

Ejemplo 2.2.2 (Series de potencias).

Si R = A[x1, ..., xn] es el anillo de polinomios sobre el anillo A eI = 〈x1, ..., xn〉, la completacion de R respecto de la topologıa I-adica es elanillo de series formales de potencias A[[x1, ..., xn]].

En efecto, notemos que tenemos morfismos A[[x1, ..., xn]] → R/Ik quemapean f 7→ f + Ik (truncando la serie f a la clase de un polinomio de grado6 k). Los ultimos inducen un morfismo

A[[x1, ..., xn]]→ R

que mapeaf 7→ (f + I, f + I2, ...) ∈ R

El morfismo inverso consiste en mandar (f1 + I, f2 + I2, ...) donde los fi sonpolinomios y fi = fj+(terminos de grado > min(i , j)), a la serie de potenciasf1 + (f2−f1) + (f3−f2) + .... Esta serie esta bien definida porque el grado defi+1−fi es al menos i+1 y es independiente de la eleccion de los fi ∈ fi+I i.

23

Capıtulo 3

Anillos y modulos graduados

Demostraremos en este capıtulo las algunas propiedades de la completa-cion, centrando nuestra atencion en la completacion I-adica. Los principalesresultados que veremos seran el lema de Artin-Rees, del cual deduciremos laexactitud de la completacion I-adica y el teorema de la interseccion de Krull,que caracteriza el nucleo del morfismo canonico ϕ : M → M . Finalizare-mos probando que el completado I-adico de un anillo noetheriano es tambiennoetheriano.

3.1. Definiciones y primeros resultados

Definicion 3.1.1. Llamaremos anillo graduado a un anillo A junto con unafamilia (An)n>0 de subgrupos de A, tales que A =

⊕n>0An y AmAn ⊆ Am+n

para todos m, n > 0. Ası A0 es subanillo de A y cada An es un A0-modulo.

Definicion 3.1.2. Si A es un anillo graduado, llamaremos A-modulo gra-duado a un A-modulo M junto con una familia (Mn)n>0 de subgrupos de Mtales que M =

⊕n>0Mn y AmMn ⊆ Mm+n para todos m,n > 0. Ası cada

Mn es un A0-modulo.Un elemento x ∈M se dice homogeneo de grado n si x ∈Mn para algun

n > 0. Cada x ∈ M puede escribirse como suma∑

n xn donde xn ∈ Mn ytodas las xn salvo un numero finito de ellas son 0. A esas xn las llamaremoscomponentes homogeneas de x.

Si M, N son A-modulos graduados, llamaremos morfismo de A-modulosgraduados a un morfismo de A-modulos f : M → N , tal que f(Mn) ⊆ Nn

para todo N > 0.

24

Observacion 3.1.1. Si A es un anillo graduado, sea A+ =⊕

n>oAn. A+

resulta un ideal de A.

Proposicion 3.1.2. Sea A un anillo graduado. Son equivalentes:

1. A es noetheriano.

2. A0 es noetheriano y A es finitamente generado como A0-algebra.

Demostracion. 1 ⇒ 2) A0∼= A/A+ entonces es noetheriano, en virtud de

1.3.5. A+ es ideal de A por lo tanto es finitamente generado y sean x1, ..., xssus generadores, que podemos suponer que son homogeneos de grados k1, ...ks(todos > 0). Sea A′ la A0-subalgebra generada por x1, ..., xs. Veremos porinduccion en n que An ⊆ A′ para todo n > 0. Para n = 0 es trivial. Sean > 0 y sea x ∈ An. Como x ∈ A+, x es combinacion lineal de las xi;supongamos x =

∑si=1 aixi donde ai ∈ An−ki (puesto que x ∈ An). Como

cada ki > 0, se deduce de la hipotesis inductiva que cada ai es un polinomioen las xi con coeficientes en A0 y por lo tanto tambien lo es x, con lo cualx ∈ A. Luego, An ⊆ A′ y por lo tanto A = A′.

2 ⇒ 1) Teniendo presente la definicion de algebra finitamente generada,la tesis resulta del Teorema de la base de Hilbert (1.3.8).

Observacion 3.1.3. Sea A un anillo (no graduado), I un ideal de A. Sepuede construir un anillo graduado A∗ =

⊕∞n=0 I

n (I0 = A). Analogamente,si M es un A-modulo y Mn es una I-filtracion de M entonces M∗ =

⊕∞n=0Mn

es un A∗-modulo graduado, puesto que ImMn ⊆Mm+n (en virtud de que Mn

es I-filtracion).Si A es noetheriano, I es finitamente generado, supongamos por x1, ..., xr;

entonces A∗ ∼= A[x1, ..., xr] y es noetheriano segun Teorema de la base deHilbert.

Lema 3.1.4. Sea A un anillo noetheriano, M un A-modulo finitamente ge-nerado y Mn una I-filtracion de M . Son equivalentes:

1. M∗ es un A∗-modulo finitamente generado.

2. La filtracion Mn es estable.

Demostracion. Si definimos Qn =⊕n

r=0 Mr, este resulta finitamente genera-do, pues cada Mr lo es. Qn es subgrupo de M∗ y el A∗-submodulo generadopor el es

M∗n = M0 ⊕ ...⊕Mn ⊕ IMn ⊕ I2Mn ⊕ ...⊕ IrMn ⊕ ...

25

Como Qn es finitamente generado como A-modulo, M∗n es finitamente genera-

do como A∗-modulo. Entonces M∗n forma una cadena ascendente cuya union

es M∗. Por ser A∗ noetheriano, 1.3.1 y 1.3.4 implican que M∗ es finitamentegenerado como A∗-modulo si y solo si la cadena se para, es decir, M∗ = M∗

n0

para algun n0. Esto es equivalente a que Mn0+r = IrMn0 para todo r > 0 yesto es decir que la filtracion es estable.

Proposicion 3.1.5 (Lema de Artin-Rees). Sea A un anillo noetheriano, Iun ideal de A, M un A-modulo finitamente generado y Mn una I-filtracionestable de M . Si M ′ es un submodulo de M entonces (M ′ ∩ Mn) es unaI-filtracion estable de M ′.

Demostracion. Se tiene I(M ′ ∩Mn) ⊆ IM ′ ∩ IMn ⊆M ′ ∩Mn+1, con lo cual(M ′ ∩Mn) es una I-filtracion. Entonces define un A∗-modulo graduado quees submodulo de M∗ y por lo tanto finitamente generado, puesto que A∗ esnoetheriano. Aplicando 3.1.4 resulta la tesis.

Teorema 3.1.6. Sea A un anillo noetheriano, I un ideal de A, M un A-modulo finitamente generado y M ′ un submodulo de M . Entonces la topologıaI-adica de M ′ coincide con la inducida por la topologıa I-adica de M .

Demostracion. Sale inmediatamente combinando el Lema de Artin-Rees conel Lema 2.1.14.

Proposicion 3.1.7 (Exactitud de la completacion). Sea

0 //M ′ //M //M ′′ // 0

una secuencia exacta de A-modulos finitamente generados, siendo A un anillonoetheriano. Sea I un ideal de A. Entonces la secuencia de completados I-adicos

0 // M ′ // M // M ′′ // 0

es exacta.

Demostracion. Es consecuencia de 2.1.9 y 3.1.6.

Observacion 3.1.8. Mediante el morfismo ϕ : A → A podemos considerarA como una A-algebra y para cualquier A-modulo M se puede construir elA-modulo A⊗AM . El morfismo de A-modulos M → M define un morfismode A-modulos

A⊗AM → A⊗A M → A⊗A M = M

26

Proposicion 3.1.9. Si M es un A-modulo finitamente generado,A⊗AM → M es suryectivo. Si ademas A es noetheriano, es un isomorfismo.

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

0 //M //

��

M ⊕M ′ //

��

M ′ //

��

0

0 // M // M ⊕M ′ // M ′ // 0

La fila superior es exacta y la inferior tambien lo es, en virtud de 2.1.9.Ademas, la fila superior se parte, con lo cual la inferior tambien lo hace. Estoimplica que

M ⊕M ′ = M ⊕ M ′

Inductivamente, sale que la completacion I-adica conmuta con la suma di-recta. Luego, F ∼= An implica A⊗A F ∼= A⊗A An ∼=

⊕ni=1 A⊗A A ∼= (A)n ∼=

An ∼= F .Si M es finitamente generado se tiene una secuencia exacta

0 // N // An //M // 0

(pues M es un cociente del libre An). Esta induce un diagrama conmutativo

A⊗A N //

�

A⊗A F //

�

A⊗AM //

�

0

0 // N // Fδ // M // 0

donde la lınea superior es exacta segun 1.2.8 y la inferior es exacta segun laproposicion anterior. Como β es isomorfismo y δ es suryectiva, α es suryectiva,quedando demostrada ası la primera parte de la proposicion.

Si suponemos ademas que A es noetheriano, N tambien es finitamentegenerado, con lo cual γ es suryectiva. Siguiendo el diagrama se ve que α esinyectiva, lo que completa la demostracion.

Proposicion 3.1.10. Si A es un anillo noetheriano, I un ideal de A y A elcompletado I-adico de A entonces A es una A-algebra plana.

Demostracion. Es consecuencia de 3.1.7, 3.1.9 y 1.2.10.

27

Proposicion 3.1.11. Sea A un anillo noetheriano, A su completado I-adico.Entonces

1. I ∼= A⊗A I

2. In/In+1 ∼= In/In+1

3. I esta contenido en el radical de Jacobson de A.

Demostracion. 1. Como A es noetheriano, I es finitamente generado yI ∼= A⊗A I por 3.1.9.

2. Sale de 2.1.10, recordando que (A)n = An.

3. Por ser (I)n = In, A es completo por su I-topologıa. Entonces si x ∈ I,

(1− x)−1 = 1 + x+ x2 + ...

converge en I (2.1.4), de manera que 1− x es una unidad. Por 1.1.6, I

esta contenido en el radical de Jacobson de A.

Proposicion 3.1.12. Sea A un anillo local noetheriano, I su ideal maximal.El completado I-adico de A es un anillo local cuyo ideal maximal es I.

Demostracion. Por 2 de la proposicion anterior, A/I ∼= A/I. Entonces A/I

es un cuerpo y por lo tanto I es un ideal maximal. Por 3 de la proposicionanterior I es el radical de Jacobson de A y entonces es el unico maximal.Luego A es anillo local.

Teorema 3.1.13 (Krull). Sea A un anillo noetheriano, I un ideal de A,

M un A-modulo finitamente generado y M el completado I-adico de M .Entonces el nucleo E =

⋂∞n=1 I

nM de ϕ : M → M esta formado por losx ∈M anulados por algun elemento de 1 + I.

Demostracion. Como E es la interseccion de todos los entornos de 0 ∈M , latopologıa inducida en el es la trivial; es decir, E es el unico entorno de 0 ∈ E.En virtud de 3.1.6, la topologıa inducida en E coincide con su topologıa I-adica. Como IE es un entorno en la topologıa I-adica, resulta IE = E.Puesto que M es finitamente generado y A es noetheriano, E tambien esfinitamente generado y de 1.2.3 y IE = E resulta que (1 − α)E = 0 paraalgun α ∈ I. Para el recıproco notemos que, si para algun α ∈ I se tiene(1− α)x = 0, entonces resulta, como se querıa,

x = αx = α2x = ... ∈∞⋂n=1

InM = E

28

Corolario 3.1.14. Sea A un dominio de integridad noetheriano, I 6= A unideal. Entonces

⋂In = 0.

Demostracion. 1 + I no contiene ningun divisor de 0.

Corolario 3.1.15. Sea A un anillo noetheriano, I un ideal contenido en elradical de Jacobson y M un A-modulo. Entonces la topologıa I-adica de Mes Hausdorff; es decir,

⋂InM = 0.

Demostracion. En virtud de 1.1.6, cada elemento de 1 + I es una unidad ypor lo tanto no es divisor de 0.

Corolario 3.1.16. Sea A un anillo local noetheriano, I su ideal maximal yM un A-modulo finitamente generado. Entonces la topologıa I-adica de Mes Hausdorff. En particular la topologıa I-adica de A es Hausdorff.

Demostracion. Es un caso particular de 3.1.15.

3.2. Los anillos graduados asociados

Definicion 3.2.1. Sea A un anillo y sea I un ideal de A. Llamaremos anillograduado asociado a A a

G(A)(= GI(A)) =∞⊕n=0

In/In+1

(I0 = A). En la siguiente observacion definiremos el producto en G(A).

Observacion 3.2.1. Definamos un producto en G(A) como sigue: Si xn ∈In, sea xn su clase en In/In+1; definimos xm xn como xmxn, es decir, laclase de xmxn en Im+n/Im+n+1. El producto no depende de los representanteselegidos y convierte a G(A) en un anillo graduado.

Analogamente, si M es un A-modulo y (Mn) es una I-filtracion de M , sedefine

G(M) =∞⊕n=0

Mn/Mn+1

que es un G(A)-modulo en la manera natural.

29

Proposicion 3.2.2. Sea A un anillo noetheriano, I un ideal de A. Entonces:

1. GI(A) es noetheriano.

2. GI(A) ∼= G(A) (como anillos graduados).

Demostracion. 1. Como A es noetheriano, I es finitamente generado; seanx1, ..., xs sus generadores. Sea xi la clase de xi en I/I2. EntoncesG(A) =(A/I)[x1, ..., xs]. Como A/I es noetheriano, G(A) tambien lo es, segunel teorema de la base de Hilbert.

2. Sale de In/In+1 ∼= In/In+1 (2 de 3.1.11).

Lema 3.2.3. Sea φ : A → B un morfismo de grupos filtrados, es decirφ(An) ⊆ Bn y sean G(φ) : G(A) → G(B), φ : A → B los morfismosinducidos de los grupos graduados asociados y completados. Entonces:

1. G(φ) inyectiva ⇒ φ inyectiva.

2. G(φ) suryectiva ⇒ φ suryectiva.

Demostracion. Consideremos el diagrama conmutativo de secuencias exactas

0 // An/An+1//

Gn(φ)

��

A/An+1//

φn+1

��

A/An //

φn��

0

0 // Bn/Bn+1// B/Bn+1

// B/Bn// 0

Este da la secuencia exacta (lema de la serpiente)

0 // Ker(Gn(φ)) // Ker(φn+1) // Ker(φn) −→−→ Coker(Gn(φ)) // Coker(φn+1) // Coker(φn) // 0

De ella se deduce por induccion en n queKer(φn) = 0 (para 1) o Coker(φn) =0 (para 2).

Proposicion 3.2.4. Sea A un anillo, I un ideal de A, M un A-modulo y(Mn) una I-filtracion de M . Supongamos que A es completo con su topologıaI-adica y que M es Hausdorff con la topologıa definida por la filtracion (esdecir que

⋂Mn = 0). Supongamos ademas que G(M) es un G(A)-modulo

finitamente generado. Entonces M es un A-modulo finitamente generado.

30

Demostracion. Sea (ξi)16i6r un conjunto de generadores de G(M), dondecada ξi es un elemento homogeneo de grado n(i) en G(M); entonces, cada ξies la clase de un xi ∈Mn(i) en el cociente Mn(i)/Mn(i)+1. Sea F i el modulo Acon la I-filtracion estable dada por F i

k = Ik+n(i) y sea F =⊕r

i=1 Fi. Aplicandoel 1 de cada F i en xi se define un morfismo

φ : F →M

de grupos filtrados y G(φ) : G(F )→ G(M) es un morfismo de G(A)-modulos,

suryectivo por construccion. Segun el lema anterior, φ es suryectivo.Consideremos el diagrama

Fφ //

�

M

�

Fφ // M

Como F es libre y A = A, α es un isomorfismo. Ademas, β es inyectivo, puesM es Hausdorff. La suryectividad de φ implica la de φ, con lo cual x1, ..., xrgeneran M como A-modulo.

Corolario 3.2.5 (de la demostracion). Con las hipotesis de 3.2.4, M escompleto.

Demostracion. Vimos en la demostracion de 3.2.4 que φα es suryectivo, conlo cual βφ lo es. Entonces β es suryectivo e inyectivo por ser M Hausdorff.Luego, β es un isomorfismo.

Corolario 3.2.6. Con las hipotesis de 3.2.4, si G(M) es un G(A)-modulonoetheriano entonces M es un A-modulo noetheriano.

Demostracion. Sea M ′ un submodulo de M y sea M ′n = M ′ ∩Mn. Entonces

(M ′n) es una I-filtracion de M ′ y la inclusion M ′

n ↪→Mn induce un monomor-fismo M ′

n/M′n+1 ↪→ Mn/Mn+1 y este una inclusion G(M ′) ↪→ G(M). Como

G(M) es noetheriano, G(M ′) es finitamente generado. Ademas, M ′ es Haus-dorff, pues

⋂M ′

n ⊆⋂Mn = 0. Luego, por 3.2.4, M ′ es finitamente generado,

lo que implica que M es noetheriano.

Teorema 3.2.7. Si A es un anillo noetheriano e I es un ideal de A entoncesel completado I-adico A de A es noetheriano.

Demostracion. Por 3.2.2 sabemos que

GI(A) = GI(A)

es noetheriano. Con las notaciones de 3.2.4, tomemos A como anillo completoy M = A. Aplicando 3.2.6 en este caso resulta el teorema.

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Corolario 3.2.8. Si A es un anillo noetheriano, el anillo de series de po-tencias B = A[[x1, ..., xn]] en n variables es noetheriano.

Demostracion. Vimos que A[x1, ..., xn] es noetheriano (Teorema de la basede Hilbert). Como B es su completado por la topologıa 〈x1, ..., xn〉-adica,resulta que B es noetheriano.

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Bibliografıa

[1] M. F. Atiyah y I. G. MacDonald, “Introduccion al algebra conmuta-tiva”, Reverte, 1978.

[2] H. Matsumura, “Commutative algebra”, The Benjamin/CummingsPublishing Company, 1969.

[3] D. Eisenbud, “Commutative algebra, with a view toward algebraicgeometry”, Springer-Verlag, 1995.

[4] J. Dugundji, “Topology”, Allyn and Bacon, 1966.

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